Varro, Michel De motu tractatus 1584 Geneva la varro_demot_044_la_1584.xml 044.xml

TERRA MACHINIS MOTA DISSERTATIONES GEOMETRICAE, MECHANICAE PHYSICAE, HYDROSTATICAE In quibus Machinarum Coniugatarum uires inter &longs;e comparantur: Multiplici Noua Methodo Terrae magnitudo et Grauitas inue&longs;tigatur: ARCHIMEDES terrae motionem &longs;pondens ab arrogantia &longs;u&longs;picione uindicatur. AVTHORE PAVLO CASATO E SOCIETATE IESV. ROMAE. Ex Typographia Ignatij de Lazaris.M.DC.LVIII. SVPERIORVM PERMISSV.

ILLVSTRI ET IN PRIMIS GENEROSO DOMINO, DOMINO CAROLO BARONI Azerotin, Name&longs;tij Ro&longs;icij Brandei&longs;ij Domino, MICH. VARRO. S. P. D.

CVM ab Ineunte ætate in Ma­ thematicis me exercui&longs;&longs;em, &longs;em­ per animo meo in hæ&longs;it hoc de&longs;ide­ rium, vt quæ de Archimede Syra­ cu&longs;ano referuntur, ea & ratione demon&longs;trare & experimento comprobare po&longs;&longs;em. Cumque multa in eo genere meditatus e&longs;&longs;em, po&longs;t­ quam ad iuris ciuilis &longs;tudium tran&longs;ii, ac tandem ad Rempub. nunquam mihi tantum otii contigit, vt ea in ordinem redigere potuerim. At cum pau­ cis retrò annis &longs;atis longam peregrinationem per Sarmatiam &longs;u&longs;cepi&longs;&longs;em, e&longs;&longs;etque vacuus curis a- nimus, atque ad earum rerum meditationem me impelleret genius meus, cœpi aliquid de his &longs;cribe­ re, quantum ip&longs;e iter faciendo meo marte a&longs;&longs;equi potui cum libris de&longs;tituerer. Scriptum illud cum in maximè ardua & difficìli contemplatione ver &longs;etur, nec ab eo tempore ex quo ad&longs;olitas occupa­ tiones redii ei extremam manum apponere mihi licuerit, decreueram inter priuatas meas mu&longs;as a&longs;&longs;eruare Verebar enim vulgi iudicium, (cuius ta­ men rationem viro politico habendam e&longs;&longs;e cen&longs;eo) ne­ que &longs;olum vulgi, verum etiam eorum qui doctorum nomine gaudent, cum inaudita quædam interdum quæque ab eorum opinione recedere videantur at­ tingam. Cupiebam etiam in eo argumento vlteriùs progredi, antè quam quidquam ederem, atque ea quæ in meis aduer&longs;ariis ea de re &longs;par&longs;a habeo, iis quæ conge&longs;&longs;eram &longs;ubiicere, vt iu&longs;tum volumen fieret.

Po&longs;tquam verò te di&longs;ce&longs;&longs;um ex hac nostra ci­ uitate parare intellexi, in qua dum ver&longs;atus es. non &longs;olùm ei ornamento fui&longs;ti, &longs;ed etiam optimos quo&longs;que virtutum tuarum admiratione tibi con­ ciliasti: mihi verò peculiariter innumera beneuo- lentiæ &longs;igna exhibui&longs;ti, non potui tantum virum, meíque amantem &longs;ine aliquo munere aut mnhmosu/nw| dimittere. Itaque libellum hunc tibi dicare, & &longs;ub tuo nomine in publicum edere &longs;tatui. Squalli­ dus quidem prodit, & rudis, mole etiam perexi­ guus: &longs;plendidius aliquid & magis elaboratum postularet tua dignitas. Atqui ea e&longs;t argumenti illius magnitudo, vt in eo aliquid volui&longs;&longs;e &longs;atis &longs;it. Militare &longs;anè munus e&longs;t, eóque nomine tibi conueniens: &longs;i quis enim hac cognitione in&longs;tructus fuerit, non minùs ea in re bellica vti poterit, quam Archimedes in Syracu&longs;is defendendis aduer&longs;us Marcum Marcellum v&longs;us est. Eá­ que mirari de&longs;inet quæ de eo Plutarchus nar­ rat. Id lucidius demon&longs;trare potui&longs;&longs;em, &longs;i mihi hæc vlterius per&longs;equendi otium fui&longs;&longs;et: Jeiuna enim per &longs;e videntur, ni&longs;i quis &longs;uccum qui &longs;ub corti­ ce latet, eliciat. Malui tamen hoc veluti pro­ gymna&longs;mate alios quibus plus est otii & in­ genii ad eiu&longs;modi inqui&longs;itionem hortari & ac­ cendere, quàm præclaram illam cognitio­ nem diutius &longs;epultam relinquere cum ne- minem hodie animaduertam qui ei in&longs;udet, neque mihi &longs;pes vlla affulgeat diuturni otii, cuius ope in hoc &longs;tadio pergere poßim: Quòd &longs;i fortè mihi aliquando contingat, riuos plurimos ex his fontibus me educturum; confido; quibus multum commoditàtis rebus humanis accedat. Quæ enim hic traduntur, ad motus omnes atque ad omnis ge neris virium comparationes accommodari po&longs;­ &longs;unt ad fines propo&longs;itos a&longs;&longs;equendos. Quod quàm latè pateat, dici non pote&longs;t. E&longs;t enim eorum v&longs;us non &longs;olùm in mechanicis, in quibus tamen e&longs;t ma ximus, &longs;ed etiam in politicis & œconomicis: &longs;unt enim in illis motus, &longs;unt vires & re&longs;istentiæ. In arte medica & reliquis phy&longs;ices partibus pra­ cticis, quantus &longs;it, nemo fando exprimere poßit. Quia vero ea quæ praxim docent gratiora &longs;unt ip&longs;a contemplatione, & cau&longs;æ propter effecta in­ quirantur, *a)lfh/stas omnes hortor vt quod ego in­ numeris aliis cur is implicitus addere non po&longs;­ &longs;um, ip&longs;i addant. Abundat nunc Europa præ­ &longs;tantibus ingeniis, &longs;i Mœcenates ade&longs;&longs;ent. Ea autem quæ præter hæc meditatus &longs;um, ac fer- mè parata habeo, hæc &longs;unt. Tractatus de iactu. De continuitate eiu&longs;que &longs;olutione. De conden&longs;a­ tione & rarefactione earumque cau&longs;is & effecti­ bus: Item in Mechanicis, tractatus de variis ma­ chinis ad motus ciendos, ac de perfectißimæ cuiu&longs;­ que ad id quod propo&longs;itum fuerit moliendum in­ ue&longs;tigatione. Nonnulla etiam de Rerumpublicarum motu tum interno tum externo notaui, quæ eodem or­ dine tradere optarem: quorum omnium principia hic &longs;i quis diligenter animaduertat tradita &longs;unt. Si quis mihi in his palmam præripuerit, meque an­ teuerterit ei maximas gratias agam. Sunt tamen inter hæc quædam quæ vulgò pandere nephas est. Itaque theoriæ magis in&longs;i&longs;tendum puto, in qua &longs;i quis exercitatus fuerit, nullo negotio illam in opus educere poterit, idque &longs;ine periculo fiet, cum vul­ go non pateat. Alioqui periculum e&longs;t, ne &longs;i particu­ laria tradantur iis contenti homines, vt fieri &longs;olet vniuer&longs;alem cognitionem & cau&longs;arum inqui&longs;i­ tionem negligant, pereatque &longs;cientia. Eaque de cau&longs;a nihil quicquam de his quæ fecerat Archi- medes &longs;criptum relinquere voluit. Exi&longs;timans eos qui in iis quæ qewrhtikw=s tradiderat, diligentem ope­ ram ponere vellent, multò maiora quoties opus fo­ ret præ&longs;tituros. Equidem mihi per&longs;uadeo non de­ futuros qui varia iudicia de hoc no&longs;tro &longs;cripto fe­ rant & qua&longs;i nouum athletam in arenàm pro­ deuntem mirentur. Quibus vno verbo re&longs;pon­ &longs;um volo, me nullius vnquam in verba ma­ gistri iura&longs;&longs;e, &longs;ed liberrimè &longs;emper philo&longs;o­ phatum e&longs;&longs;e: ita vt etiam in principia ab aliis &longs;tatuta animaduertere mihi licere putauerim. Quod eò liberiùs feci, po&longs;tquam magnam partem vulgo receptarum opinionum fal&longs;am e&longs;&longs;e re ip&longs;a deprehendi. Omnibus placuero, &longs;i tibi placuero. Si quid in his ob&longs;curius fuerit, habes clarißimum vi­ rum Wence&longs;laum lauinium tuum, ab&longs;tru&longs;ioris philo&longs;ophiæ indagatorem &longs;ummum, qui tibi omnia explicabit. Hoc igitur munu&longs;culum vt &longs;erena fron­ te &longs;u&longs;cipias rogo. Vale. V I. K al. Jun. Anno Christi Domini M. D. LXXXIV.

M. VARRONIS DE MOTV TRACTATVS.

PROBLEMA.

Data vi datum pondus mouere.

Hoc problema prima quidem fronte mirabile videtur, vt &longs;cilicet pondus vel maximum viribus ta­ men minimis, vt puta &longs;i dicas vnius hominis, vel etiam imbecillioris a­ licuius animalis viribus totum ter­ ræ globum loco moueri po&longs;&longs;e. Quod Archimedem Syracu&longs;anum iacta&longs;&longs;e referunt hoc dicto, do\s pou= stw=| ta\n ga\n kinw=|. Si quis tamen in Geometrico puluere ver&longs;atus fuerit, pre&longs;ertim verò in iis quæ ab ip&longs;o in &longs;uo i)soropikw=n libello traduntur. Illud cæteráque eiu&longs;­ modi, ludicra Geometriæ, vt & ip&longs;e facere &longs;olitus di citur, appellabit. Ex huius autem problematis expli catione, omnium machinarum qu&ecedil; ad motus cien­ dos excogitari po&longs;&longs;unt, ratio pendet. Et&longs;i verò totum Geometrica demon&longs;tratione expediri po&longs;&longs;it, quo­ niam tamen h&ecedil;c con&longs;ideratio, quæ Græcis staqmikh\ di citur Geometriæ tantùm e&longs;t u(pa/llhlos mixta &longs;cili­ cet ex phy&longs;ica & Geometrica eo quòd illius &longs;ubie­ ctum &longs;it motus. Ideò paulò cra&longs;&longs;iori Minerua & præter Geometricam &longs;implicitatem fusikw=s etiam tractanda e&longs;t: alioqui Archimedicis demon&longs;tratio­ nibus &longs;tandum e&longs;&longs;et, quæ in eo mancæ &longs;unt, quòd il­ læ propo&longs;itiones quæ ex phy&longs;icis peti debent, inde­ mon&longs;tratæ manent, nec explicantur, &longs;ed pro confe&longs;­ &longs;is principiorum loco po&longs;tulantur. Eas igitur, qua­ tenus ad huius problematis explicationem faciunt, hic di&longs;cutiemus. Neque enim Euclidis librum de gra­ ui & leui, in quo hoc argumentum per&longs;equi volui&longs;­ &longs;e videtur, integrum habemus. Ari&longs;toteles verò in eo quod ab ip&longs;o &longs;criptum extat de Mechanicis fra­ gmento pr&ecedil;ter &longs;uum morem, cùm alio qui in omni­ bus exacti&longs;&longs;imus &longs;it, hanc quæ&longs;tionem potiùs nota­ uit quàm explicuit in &longs;exto & &longs;eptimo phy&longs;icorum libro multa prætermi&longs;it. Vt igitur ad rem aggredia­ mur, primùm voces, quibus vtendum e&longs;t, definie­ mus, vt intelligatur quo &longs;en&longs;u eas accipiamus.

DEFINITIO I.

Vis dicitur agendi aut agenti re&longs;i&longs;tendi potentia, præ&longs;ertim verò mouendi & mouenti re&longs;i&longs;tendi.

II.

Vis &longs;ubiectum dicitur id quod vis mouet, vel quod à vi mouetur.

Hîc non agimus de vi primaria quæ virium o­ mnium principium e&longs;t, mouétque omnia, nec tamen mouetur, &longs;ed de ea, qu&ecedil; dum mouet, etiam cum &longs;ub­ iecto, cui ine&longs;t, mouetur.

Subiecta verò quæ nullam vim habent, nec mo­ uentur, nec mouenti re&longs;i&longs;tunt: &longs;i qua verò vis illis ac­ cedat, tum ab ea &longs;e moueri patiuntur.

Et&longs;i autem plura &longs;int virium genera, tot &longs;cilicet, quot &longs;unt in rerum natura contrariorum, actionem & pa&longs;&longs;ionem recipientium, vt leue graue, rarum den­ &longs;um, plenum vacuum, durum molle, & cætera eiu&longs;­ modi, quoniam tamen ea omnia hîc per&longs;equi no&longs;tri non e&longs;t in&longs;tituti, cùm de ea tantùm qua motus fit a­ gere &longs;tatuerimus.

III.

Cùm de motu hîc agemus motum ad locum, quem Græci fora\n vocant, intelligi volumus.

IIII.

Linea autem recta quæ e&longs;t ab eo loco à quo mo­ tus fieri incipit ad illum ad quem tendit. Illius vis quæ motum efficit, nutus dicetur.

Eadem verò linea con&longs;iderata à loco ad quem tendit vis ad illum à quo motus fieri incipit, contra nutum dicitur.

Itidem & omnes illi parallelæ.

Quæ verò lineæ vel rectæ, vel curuæ, nutus lineam ad angulos inæquales &longs;ecant, illæ obliquè nutum ver&longs;us, vel contra nutum ferri dicuntur, habita ratio­ ne partium, quas &longs;pectant.

Plurimùm autem à &longs;itu corporis humani deno­ minationem accipiunt illæ partes, vt &longs;ur&longs;um, deor­ &longs;um, dextror&longs;um, &longs;ini&longs;tror&longs;um, antè vel ponè di­ cantur. Quæ verò lineæ, nutus lineam ad angulos rectos &longs;ecant, neque ver&longs;us nutum, neque contra nutum ferri dicuntur, &longs;ed æquè di&longs;tant à loco natu­ rali.

Virium diui&longs;io.

Vis autem omnis aut naturalis e&longs;t, aut non natu­ ralis, aut mixta. Naturalis vis e&longs;t, qua res quælibet natura &longs;ua mouetur, aut mouenti re&longs;i&longs;tit habita ra­ tione tum loci &longs;ui naturalis, tum etiam &longs;itus &longs;uarum partium. Non naturalis e&longs;t quæ nec ratione loci &longs;ui naturalis, nec &longs;itus partium mouet. E&longs;t autem hæc duplex, fortuita &longs;cilicet & voluntaria: illa vt vis ven­ torum & &longs;pirituum intellectu carentium, hæc vt a­ nimalium & &longs;pirituum intelligentium & &longs;imilium. Mixta dicitur, quæ partim naturalis e&longs;t, partim non naturalis.

Locus autem naturalis cuiu&longs;que rei e&longs;t, in quo exi&longs;tens ip&longs;a quie&longs;cit, & &longs;i inde remota &longs;it, vis ei à na tura in&longs;ita eam illuc impellit. Huius verò motus aut quietis cau&longs;&longs;a nulla alia a&longs;&longs;ignari pote&longs;t præter pri- mam illam rerum omnium conditricem, qu&ecedil;, ne o­ mnia in omnibus e&longs;&longs;ent &longs;ingulis partibus vniuer&longs;i &longs;ingula loca attribuit circa quæ conglobantur, & i­ bi hærent. Quicquid enim terreum e&longs;t, in terræ glo­ bum confluxit. Ita quicquid &longs;oli homogenes in Solis corpus, lunaria omnia in lunam, & &longs;ic de cæteris cor poribus vniuer&longs;i. Singulæ autem eorum partes &longs;uis totis adhærent, nec inde &longs;ponte mouentur: &longs;i verò in­ de motæ fuerint, eò redire nituntur. Quod enim in terra fieri videmus, idem & in reliquis corporibus v­ niuer&longs;i fieri dicere po&longs;&longs;umus, &longs;cilicet quod vnita cir ca locum &longs;uum naturalem maneant: &longs;i enim partes eorum &longs;ponte &longs;epararentur, & vi ab ip&longs;is &longs;eparatæ ad locum &longs;uum non redirent, &longs;tatim tota di&longs;&longs;olue­ rentur.

Vis igitur illa in loco &longs;uo quie&longs;cendi grauitas di­ citur, cuius contrarium e&longs;t leuitas. Res autem nulla per &longs;e leuis dicitur, &longs;ed tantùm habita ratione alterius loci, quàm &longs;ui naturalis: vt puta &longs;i pars aliqua Solis vi quapiam in terram inuecta e&longs;&longs;et, &longs;uóque arbitrio committeretur, illa &longs;tatim Solem peteret: ita &longs;i ter­ ræ pars in Solem inuecta e&longs;&longs;et, &longs;uóque arbitrio com mitteretur, &longs;tatim à &longs;ole euolaret, & &longs;e per cælum terram ver&longs;us proriperet. Vt igitur terræ partes in terra graues &longs;unt: &longs;ic Solis partes in &longs;ole graues &longs;unt: in terra verò leues, terræ verò partes in Sole leues &longs;unt. Idem de cæteris corporibus vniuer&longs;i dici po­ te&longs;t. Neque enim faciliùs ex globo lunæ particulam ab&longs;trahas, quàm ex terra glebam.

Aer autem nullum proprium habet locum natu ralem, &longs;ed vbique e&longs;&longs;e pote&longs;t, cùm rerum omnium locus vniuer&longs;alis e&longs;&longs;e videatur: de quo dubitari po­ te&longs;t an &longs;it infinitus, cùm omnia contineat, à nulla re verò totus comprehendatur, &longs;ed hæc di&longs;putatio non e&longs;t huius loci.

Et&longs;i autem nullum proprium habet locum natu ralem, neque leuis aut grauis &longs;it: leuis tamen e&longs;&longs;e vi­ detur, cùm grauis non &longs;it, nec ægrè &longs;e moueri patia­ tur. Itaque &longs;i quo modo ita con&longs;titutus &longs;it, vt rem a­ liquam, quò minùs ad locum &longs;uum naturalem per­ uenire po&longs;&longs;it, impediat, tum per expre&longs;&longs;ionem &longs;eu e)/kqliyin, ab ea eiicietur, in eiú&longs;que locum &longs;uccedet, vt fit in aqua, cùm ei introducitur. Quæ quidem e)/k­ qliyis iis etiam accidit quæ loco naturali gaudent, cùm &longs;e&longs;e mutuò impediunt, ne ad illum ferantur. Præ&longs;ertim verò in liquidis locum habet, quorum partes facilius mouentur, quàm rerum cohærentium & compactarum. Inde accidit vt quicquid liquidis immergitur, tantò fiat in illis leuius quàm grauius, e&longs;t moles eiu&longs;dem liquoris ip&longs;orum moli æqualis. Sed hæc de loco naturali fu&longs;iùs à nobis alibi medita­ ta, obiter hîc attigi&longs;&longs;e &longs;ufficiat, vt intelligatur quid &longs;it vis naturalis.

Vis autem voluntaria nullum certum nutum habet, &longs;ed illum tantùm in quo mouentis voluntas conquie&longs;cit. Cúmque vis naturalis vnum tantùm nutum habeat, &longs;cilicet à loco à naturali requie re­ moto, ad ip&longs;am naturalem requiem, illa infinitos nu tus habet & indeterminatos per &longs;e ac voluntatis tan tùm decreto determinabiles.

Fortuita verò ip&longs;o tantùm ca&longs;u determinabilem nutum habet: quò enim ip&longs;a tendit, eo munere dici­ tur &longs;iue &longs;ur&longs;um, &longs;iue deor&longs;um, &longs;iue ad latera. Itaque & hic & ille nutus a)dio/ristos dicitur. Quemadmodum & is quem habent vires illæ, quibus res à &longs;itu partium naturali remotæ ad illum redeunt: prout enim ab eo motæ &longs;unt, ita ad illum redeunt, prout etiam huc aut illuc obuer&longs;æ &longs;unt, vt vis arcus aut bali&longs;tæ.

DEFIN. V.

Vires autem contrariæ dicuntur, quæ contrarios motus ciere po&longs;&longs;unt, vt ea quæ &longs;ur&longs;um mouet & quæ deor&longs;um, & &longs;ic de cæteris.

Con&longs;ideratur autem in vi quantitas, tum eo quòd vis partibus &longs;uis con&longs;tet, in quas in infinitum diuidi pote&longs;t, & rur&longs;us additione aut multiplicatione au­ geri, tum quòd æqualitatis exce&longs;&longs;us & defectus con­ parationem recipiat.

Ac quoniam vis e&longs;t mouendi potentia, vis par­ tes erunt quæ motus partes efficient, & quæ erit mo tus partium, men&longs;ura eadem erit & vis partium. Et motus quidem propria men&longs;ura e&longs;t linea &longs;eu &longs;patium. Quantum enim res quæpiam mota, &longs;patij percur­ rit, tantùm mota e&longs;&longs;e dicitur. Quoniam verò in mo mento vel in&longs;tanti quod in&longs;tar puncti e&longs;t, & magni­ tudine caret, nullus motus fieri pote&longs;t, &longs;ed motus o­ mnis in tempore fit. Ideò ad motus men&longs;uram tem­ pus etiam adhibere oportet. Illud enim cum &longs;patio vel linea, motus dici facit æquales aut inæquales.

DEFIN. VI.

Æquales igitur motus dicuntur, qui æqualibus temporibus æqualia &longs;patia percurrunt.

Qui autem æqualibus temporibus æqualia &longs;pa­ tia permeant, illi iidem proportionales &longs;unt: hoc e&longs;t, quæ e&longs;t ratio temporis, quo alter eorum fit ad tempus quo fit alter, eadem e&longs;t &longs;patij quod percurrit alter ad &longs;patium quod reliquus percurrit. Si enim duorum quorum &longs;inguli vna hora miliaris vnius i­ ter conficiunt, alter eodem motu per tria miliaria ferri pergat, alter verò per duo tantùm. Ille tribus ho­ ris ea ab&longs;oluet, hic verò duabus, & æquè celeriter ferri dicentur, licet &longs;patia inæqualia percurrant, quo­ niam illa &longs;unt temporibus proportionalia.

VII.

Inæquales autem motus dicuntur, quorum tem­ pora non &longs;unt &longs;patiis proportionalia. Eorum autem maior ille dicitur, cuius maior erit ratio &longs;patij ad &longs;pa tium, quàm temporis ad tempus, quibus fiunt illi motus. Ex quo intelligitur etiam quis minor dica­ tur. Maior igitur dicetur qui celeriùs feretur, minor, qui tardiùs.

VIII.

Æquales igitur vires dicentur, quæ æqualibus motibus &longs;ubiecta &longs;ua mouebunt. Maior verò quæ &longs;ubiectum &longs;uum magis vel celeriùs mouebit. Mi­ nor, quæ minùs vel tardiùs.

Motuum diui&longs;io.

Comparantur autem motus &longs;ecundum omnes comparationis gradus, hoc e&longs;t, æqualitatem, exce&longs;­ &longs;um & defectum: tum &longs;ibi ip&longs;is, cùm totus &longs;uis par­ tibus confertur, tum alij aliis.

Quatenus autem &longs;ibi ip&longs;i motus comparatur, aut e&longs;t o(moiomerh\s &longs;eu æquabilis aut a)nomoiomerh\s, id e&longs;t inæ­ quabilis. Aequabilis, cuius omnes partes tum mini­ mæ tum maiores tempora habent &longs;patiis per quæ cientur proportionalia. Inæquabilis verò, in quo illa non &longs;unt proportionalia.

Inæquabilium autem motuum duo &longs;unt genera, cre&longs;cens &longs;cilicet & decre&longs;cens, ídque vel continuè, vel per interualla, ordinatim vel a)taktw=s.

Cre&longs;cens dicitur, quando partium po&longs;teriorum ip&longs;ius maior e&longs;t celeritas, quàm priorum: decre&longs;cens, quando minor.

Continuè, quando nulla pars illius vel minima alteri parti e&longs;t æqualis &longs;eu &longs;ibi ip&longs;i æquabilis.

Per interualla verò, quando partes quidem illius &longs;ibi ip&longs;is æquabiles &longs;unt, aliæ verò aliis comparatæ inæquabiles.

Ordinatim, quando incrementum aut decremen­ tum illud certa aliqua proportionis progre&longs;&longs;ione fit, vt &longs;i in motu continuè cre&longs;cente, diui&longs;o toto mo tus &longs;patio in aliquot partes æquales eadem &longs;it ratio celeritatis, finis primi &longs;patij ad celeritatem finis &longs;e­ cundi, quæ finis &longs;ecundi ad finem tertij, & &longs;ic dein­ ceps: vel &longs;i finis &longs;ecundi &longs;patij duplo citiùs feratur, quàm finis primi & finis tertij, triplo quàm primi: finis verò quarti quadruplo, & &longs;ic deinceps. Idem &longs;i in quauis alia proportionis progre&longs;&longs;ione illarum partium celeritas, aliarum ad alias &longs;e habeat. In mo­ tu verò per interualla cre&longs;cente augmentum illud or­ dinatim fieri dicetur, &longs;i interuallorum proportio a­ liquem progre&longs;&longs;ionis ordinem &longs;eruet: puta &longs;i primum interuallum duplo tardiùs &longs;ecundo moueatur, triplo verò tardiùs tertio, &c.

Inordinatè autem cre&longs;cere vel decre&longs;cere dicetur motus, &longs;i incrementum illud aut decrementum nul la certa & ordinata proportione fiat.

Comparantur autem motus alij aliis, æquabiles &longs;cilicet & inæquabiles ordinatim progredientes: de inordinatorum enim tum inter &longs;e, tum cum aliis com paratione nihil certò &longs;tatui pote&longs;t.

Comparantur igitur æquabiles cum æquabili­ bus aut cum inæquabilibus, ac etiam inæquabiles cum inæquabilibus.

Æquabiles autem cum æquabilibus compara­ tionibus &longs;uis partibus corre&longs;pondentibus &longs;unt pro­ portionales. Si enim proponantur duo motus æqua­ biles, quorum alter altero maior &longs;it, quæ erit ratio dimidiæ partis vnius ad dimidiam partem alterius, eadem erit tertiæ ad tertiam, & &longs;ic deinceps.

Æquabilium verò motuum cum inæquabilibus, cum iis &longs;cilicet qui per interualla cre&longs;cunt, compa­ ratio fit tanquam cum pluribus diuer&longs;is motibus æ­ quabilibus, &longs;unt enim interuallorum illorum motus æquabiles. At cum continuè cre&longs;centibus aut decre­ &longs;centibus difficile e&longs;t comparationis modum defi­ nire, cùm ne momento quidem &longs;tabilis maneat par tium illarum quantitas. E&longs;t tamen motus æquabilis illorum men&longs;ura: tanti enim e&longs;&longs;e dicuntur, quanti forent, &longs;i in ea celeritatis men&longs;ura ad quam perue­ nerunt, æquabiliter pergerent.

Cre&longs;centes verò cum cre&longs;centibus continuè, con­ parati &longs;iquidem eadem progre&longs;&longs;ionis proportione cre&longs;cant, æqualia &longs;patia ab eorum principiis nume­ rata, æqualibus temporibus emen&longs;a habebunt, idem in decre&longs;centibus. Sed h&ecedil;c hactenus inqui&longs;iui&longs;&longs;e &longs;uf­ ficiat: &longs;i quis enim particulatim omnia expendere vel­ let, in infinitum &longs;e&longs;e extenderet h&ecedil;c partium & pro­ portionum motuum &longs;upputatio.

Iam videamus quæ vires quos horum motuum cieant. Et vis quidem ea qua res quælibet ad &longs;itum naturalem &longs;uarum partium redit, motu continuè de­ cre&longs;cente mouet: quo enim propiùs ad &longs;itum natu­ ralem partium accedit, eo tardior & languidior e&longs;t. Arcus enim cùm primùm laxari incipit, celeriùs mouetur, quàm cùm motus &longs;ui finis propior e&longs;t.

Vis verò naturalis, qua res qu&ecedil;libet ad locum &longs;uum naturalem tendit, &longs;ubiectum &longs;uum, motu continuè & ordinatim cre&longs;cente, mouet. Illius autem motus cau&longs;a e&longs;t quòd faciliùs id moueatur, quod in motu e&longs;t, quàm quod quie&longs;cit. Vis igitur eadem, &longs;ubiectum quod iam in motu e&longs;t premens, illud magis moue­ bit, quàm &longs;i quie&longs;cat, & magis motum, magis etiam mouebit: ita vt eadem vis motione maior fiat, quàm per &longs;e &longs;it. Et hæc e&longs;t cau&longs;a cur ictus, quo magis ab al­ tero venit, eo vehementior &longs;it. Motus autem huius &longs;patia hanc celeritatis proportionem &longs;eruant, vt quæ e&longs;t ratio totius &longs;patij, per quod fit ille motus ad par­ tem ip&longs;ius (vtriu&longs;que initio inde &longs;umpto, vbi e&longs;t mo tus initium) eadem &longs;it celeritatis ad celeritatem.

Exempli gratia, &longs;i vis aliqua per lineam ABC mouerit, &longs;itque AB illius lineæ pars, quæ erit ratio AC ad AB, eadem erit celeritatis motus in puncto C ad celeritatem motus in puncto B. Cuiu&longs;modi proportio ob&longs;eruatur in paralle­ lis triangulum &longs;ecantibus. Vt enim &longs;e habet
AC ad AB, &longs;ic CG ad BF, & vt AD ad AC, &longs;ic DH ad CG. Itaque &longs;i in &longs;patia ali­ quot æqualia diuidatur totius motus &longs;pa tium, finis &longs;ecundi duplo citiùs feretur, quàm finis primi: finis verò tertijtriplo citiùs quàm finis primi, & &longs;ic deinceps. Hac autem ratione fit, vt &longs;patiorum illo­ rum initio maxima &longs;it celeritatis differen­ tia: progre&longs;&longs;u verò &longs;emper minuatur, ac tandem fer­ mè eadem &longs;it, vt fit in trianguli lateribus, quæ lon­ gi&longs;&longs;imè producta æquè di&longs;tare videntur. Eáque e&longs;t ratio cur Solis & Lunæ radij, etiam&longs;i concurrant (in ip&longs;orum &longs;cilicet corporibus, aut vltra res quas illu­ &longs;trant) paralleli tamen appareant. Eadem etiam cau&longs;a e&longs;t cur line&ecedil; omnes ad perpendiculum in terram cadentes, paral­ lelæ videantur, cùm tamen in centro terræ concurrant.

Hunc igitur motum vis naturalis efficit, modò nulla quies intercedat.

Vis autem voluntaria motum omnem ciere apta e&longs;t. Fortuita verò inordinatum tantùm motum effi­ cit. Et hæc de variis virium motibus, eorúmque pro­ portione & partibus.

E&longs;t verò etiam virium partitio quædam, quæ ex eorum quibus inhærent &longs;ubiectorum diui&longs;ione, aut alterius ad alterum proportione re&longs;ultat. In &longs;ubie­ ctis enim, quæ o(moiomerh= &longs;unt, vis naturalis æqualiter per omnes partes diffu&longs;a e&longs;t: ita vt quæ e&longs;t ratio mo­ lis ad molem &longs;ub eadem figura, eadem &longs;it vis ad vim: vt &longs;i globus alicuius metalli, ad alium globum eiu&longs;­ dem metalli mole quadruplus &longs;it, illius quoque pon­ dus ad huius pondus quadruplum erit.

Hactenus vim con&longs;iderauimus quatenus mouet, &longs;upere&longs;t vt eam con&longs;ideremus, quatenus mouenti re&longs;i&longs;tit. Habet autem locum re&longs;i&longs;tentia, vbi duæ vi­ res contrariæ committuntur: &longs;i enim vtraque eodem motu moueat, nulla erit re&longs;i&longs;tentia, &longs;ed altera alteri addita maiorem vim con&longs;tituet.

Committi autem dicuntur vires, quando ita ap­ plicantur & connectuntur, vt altera nutu &longs;uo moueri non po&longs;&longs;it, quin altera contra nutum &longs;uum mouea­ tur. Viribus autem ita connexis, accidit vt altera in alterius &longs;ubiectum agat, & altera in &longs;ubiecto &longs;uo exi- &longs;tens, alteri in altero &longs;ubiecto exi&longs;tenti re&longs;i&longs;tat, ita vt eorum &longs;ubiecta quodammodo reciproca fiant.

CONCLVSIO I.

Illam autem re&longs;i&longs;tentiam vi momenti in eodem &longs;ubiecto æqualem, aut eandem cum ea e&longs;&longs;e, ex ip&longs;ius definitione con&longs;tat. E&longs;t enim re&longs;i&longs;tere non pati &longs;e mo­ ueri. Quantum autem vis quælibet &longs;ubiectum &longs;uum nutu &longs;uo mouet, tantum illud contra nutum &longs;uum moueri non patitur. Mouendi igitur & mouenti re­ &longs;i&longs;tendi potentia in eodem &longs;ubiecto æquales &longs;unt.

II.

Quemadmodum autem in eodem &longs;ubiecto ma­ ior vis ine&longs;&longs;e dicitur, in quo e&longs;t maioris motus po­ tentia, &longs;ic maior re&longs;i&longs;tentia erit maioris motus con­ trarij impatientia. Eadem igitur vis magis mouere nitenti contra ip&longs;ius nutum magis re&longs;i&longs;tet, minus ve­ rò nitenti minùs re&longs;i&longs;tet.

III.

Et quo maior erit motus contrarius, eo magis re­ &longs;i&longs;tet: id e&longs;t, quo celerius vis quælibet à nutu &longs;uo re­ uelletur, eo magis re&longs;i&longs;tet. Duplo igitur citiùs re­ uellenti duplo re&longs;i&longs;tet, triplo citius triplo re&longs;i&longs;tet, & &longs;ic a)nalo/gws in omni proportione. Quæ igitur erit ratio motus ad motum, contra nutum eadem erit in vna & eadem vi ratio re&longs;i&longs;tentiæ ad re&longs;i&longs;tentiam.

Si verò plures vires comparentur.

IIII.

Æqualium quidem virium æqualibus motibus æquales erunt re&longs;i&longs;tentiæ. Si enim æquales vires æ­ qualiter à &longs;uis nutibus reuellantur, æqualiter re&longs;i­ &longs;tent.

V.

Inæqualibus verò motibus, earum re&longs;i&longs;tenti&ecedil; in­ æquales erunt, & motuum proportionem &longs;equen­ tur. Exempli gratia, &longs;int duæ vires A & B, quarum v­ traque vna hora miliare vnum percurrat, illæ æqua­ les erunt. Si igitur vtraque quarta parte vnius milia­ ris, vel dimidio miliari à &longs;uo nutu eodem tempore reuellatur, eadem erit vtriu&longs;que illi motui re&longs;i&longs;ten­ tia. Sin verò altera quidem quarta parte vnius milia­ ris à nutu &longs;uo reuellatur, altera verò eodem tempo­ re integro miliari reuellatur: hæc re&longs;i&longs;tentia ad il­ lam quadrupla erit, & &longs;ic de cæteris motuum pro­ portionibus.

VI.

Inæqualium verò virium re&longs;i&longs;tentiæ æqualibus motibus ip&longs;arum virium proportionem &longs;equentur. Quo maior enim e&longs;t vis, eo magis eodem tempore eodémque &longs;patio contra nutum mouenti re&longs;i&longs;tit. Exempli gratia, &longs;it vis A quadrupla ad vim B, vis A mo­ uenti &longs;e vno miliari quadruplo re&longs;i&longs;tet, quàm B mo­ uenti &longs;e vno miliari eodem tempore.

Inæqualium verò virium inæqualibus motibus re&longs;i&longs;tentiæ, quando motus eam inter &longs;e proportio­ nem &longs;eruabunt, quæ e&longs;t inter eas a)ntipeponqw=s, &longs;eu reciprocè, æquales erunt. Sit enim vis A quæ ad vim B eandem habeat rationem quam C ad D, puta quam 3 ad 1, aut 4 ad 1, aut quæcunque alia &longs;it, moueatúrque vtraque &longs;patio E contra nutum &longs;uum eodem tem­ pore, re&longs;i&longs;tentia A ad re&longs;i&longs;tentiam B &longs;e habebit, vt C ad D per proximam conclu&longs;ionem. Si verò B moue­ atur eodem tempore &longs;patio aliquo quod &longs;e habeat ad &longs;patium E vt C ad D, re&longs;i&longs;tentia B huic motui &longs;e habebit ad re&longs;i&longs;tentiam priori motui, vt C ad D per quartam conclu&longs;ionem. Duæ ergo re&longs;i&longs;tentiæ ad ean­ dem, eandem habebunt rationem, ergo æquales e­ runt per 9 prop. 5. Elem. Eucl.

VIII.

Si verò motuum virium inæqualium proportio non &longs;it eadem quæ e&longs;t ip&longs;arum virium reciprocè, vis illius quæ ad alteram maiorem habebit rationem, quàm motus alterius ad motum ip&longs;ius, re&longs;i&longs;tentia maior erit, altera verò minor. Exempli gratia, &longs;i vis A &longs;it tripla ad vim B, & motus quo B à nutu &longs;uo reuel letur, &longs;it minor quàm triplus ad motum A, re&longs;i&longs;ten­ tia A erit maior quàm re&longs;i&longs;tentia B. Idem erit, &longs;i ma­ ior &longs;it ratio A ad B, quàm 3 ado, motus verò B ad mo­ tum A &longs;it triplus. Contrà verò &longs;i A ad B &longs;it tripla: mo­ tus verò B ad motum A &longs;it maior quàm triplus, ma­ ior erit re&longs;i&longs;tentia B quàm A. Idem accidet, &longs;i A ad B ratio minor &longs;it quàm 3 ad 1, motus verò B ad motum A &longs;it triplus. Hunc autem exce&longs;&longs;um & defectum non vlteriùs &longs;crutabimur, vt ip&longs;ius quantitatis men&longs;uram a&longs;&longs;equamur: alioqui in infinitum fieret progre&longs;&longs;us.

Ex his colligimus re&longs;i&longs;tentias tribus modis æqua­ les aut inæquales dici, per &longs;e &longs;cilicet aut motione, aut vtroque modo. Per &longs;e quidem cùm &longs;ubiectorum vires &longs;unt æquales (id e&longs;t æqualiter &longs;ua &longs;ubiecta mo­ uent) aut inæquales. Motione verò quando per &longs;e quidem in æquales &longs;unt, motione verò æquales fiunt: aut quando per &longs;e æquales &longs;unt, motione verò inæ­ quales fiunt eo, quo dictum e&longs;t, modo. Vtroque mo do æquales aut inæquales dicuntur, quando tum per &longs;e, tum motione tales fiunt. His explicatis videamus quis eorum &longs;it effectus, vbi vires committentur.

IX.

Primùm ex prima conclu&longs;ione &longs;equitur qu&ecedil; erit ratio re&longs;i&longs;tentiæ ad re&longs;i&longs;tentiam, eandem fore re&longs;i­ &longs;tentiæ ad vim cuius e&longs;t altera re&longs;i&longs;tentia: &longs;unt enim vis & re&longs;i&longs;tentia in eodem &longs;ubiecto æquales. Ergo mul­ to magis &longs;equitur, &longs;i re&longs;i&longs;tentia altera maior, altera mi nor fuerit, illam huius vi maiorem fore, vel illius vim hac re&longs;i&longs;tentia maiorem, &longs;i æqualis æqualem.

X

Re&longs;i&longs;tentia autem vi contrariæ commi&longs;&longs;a tantum de ea tollit quanta e&longs;t ip&longs;a re&longs;i&longs;tentia. Sublata autem vi tollitur motus: &longs;ublata verò re&longs;i&longs;tentia, &longs;i vis ad&longs;it, &longs;equitur motus. Vbi igitur vis & re&longs;i&longs;tentia in&ecedil;qua­ les committentur, &longs;i vis maior &longs;it quàm re&longs;i&longs;tentia, fiet motus &longs;ecundum vis illius nutum, & contra nu­ tum vis illius quæ re&longs;i&longs;tit. Si verò re&longs;i&longs;tentia maior fuerit, tum ip&longs;a fiet vis mouens, & vim contrariam contra nutum ip&longs;ius mouebit, dum ip&longs;a nutu &longs;uo mouebitur. Hinc &longs;equuntur duo theoremata, circa quæ totius huius con&longs;iderationis cardo vertitur.

THEOREMA I.

Duarum virium connexarum, quarum (&longs;i mo­ ueantur) motus erunt ip&longs;is a)ntipeponqw=s proportiona­ les neutra alteram mouebit, &longs;ed æquilibrium facient.

Sit vis A commi&longs;&longs;a cum vi B, &longs;itque vis A ad vim B ratio per &longs;e, vt C ad D quæcunque illa &longs;it, &longs;iue dupla, &longs;iue tripla, &longs;iue alia. Sit etiam eadem ratio motus quo B mouebitur, &longs;i ita, vt connexa &longs;unt, moueantur) ad motum quo A mouebitur, quæ e&longs;t C ad D, dico mo­ tum non &longs;equuturum, &longs;ed factum iri æquilibrium. Aut enim A & B vires per &longs;e erunt æquales aut inæ­ quales: &longs;i æquales, ergo & ip&longs;arum motus æquales e­ runt: &longs;unt enim ex hypothe&longs;i ip&longs;is proportionales: ergo per quartam conclu&longs;ionem earum re&longs;i&longs;tentiæ æquales erunt, ergo per decimam conclu&longs;ionem non fiet motus. Si verò &longs;unt inæquales, cùm earum mo­ tus ex hypothe&longs;i &longs;int a)ntipeponqw=s proportionales per &longs;eptimam conclu&longs;ionem æquales erunt etiam re&longs;i­ &longs;tentiæ. Ergo nec motus fiet: nullo igitur modo fiet earum motus. Quod demon&longs;trandum erat.

THEOREMA II.

Quarum verò ita connexarum (&longs;i moueantur) mo tus, ip&longs;is proportionales non erunt: illa alteram mo­ uebit, cuius ad alteram ratio maior erit, quàm huius motus ad illius motum.

Sit vis A cum vi B commi&longs;&longs;a, &longs;itque A ad B ratio per &longs;e, vt C ad D: ita verò connexæ &longs;int, vt &longs;i mouean­ tur, minor &longs;it ratio motus quo B mouebitur ad mo­ tum, quo A mouebitur, quum C ad D dico A motu­ ram B: erit enim per octauam conclu&longs;ionem re&longs;i­ &longs;tentia B minor re&longs;i&longs;tentia A: ergo per nonam con­ clu&longs;ionem re&longs;i&longs;tentia B minor vi A: vis igitur A vim B mouebit per vndecimam conclu&longs;ionem. Quod demon&longs;trandum erat.

Hinc po&longs;&longs;emus ad problematis no&longs;tri demon­ &longs;trationem rectà pergere: ante tamen cra&longs;&longs;iùs ali­ quanto hæc explicanda &longs;unt, vt à quouis faciliùs in­ telligantur. Duæ &longs;unt motus men&longs;uræ, locus &longs;cilicet & tempus: vtroque igitur, tempore videlicet & loco maior, minor aut æqualis dicitur: & quo minori tem­ pore idem &longs;patium ab&longs;oluitur, eo maior e&longs;t, vel quo maius &longs;patium eodem tempore.

Vt igitur motus magnus dicatur, perinde e&longs;t &longs;i paruo tempore fiat, aut magno &longs;patio.

Quod autem maiorem motum ciere pote&longs;t illud, vis maior dicitur, quòd minorem minor.

Vis autem &longs;eu mouendi potentia in eodem &longs;ub­ iecto certa & finita e&longs;t. Qu&ecedil;libet enim res vi natura­ li pr&ecedil;dita, &longs;i à loco naturali ab&longs;it, &longs;uóque arbitrio con­ mittatur, certo tempore eò redit. E&longs;t enim certum in rerum natura quanto tempore libræ vnius pondus deor&longs;um &longs;ponte &longs;ua delatum, miliare vnum aut duo conficiat pro ratione materi&ecedil;, vel quantum &longs;patij v­ na vel duabus horis percurrat. Id verò quantum &longs;it, hominum indu&longs;tria nondum quod &longs;ciam explora­ tum e&longs;t: aliâs autem id demon&longs;trare conabimur.

Mouendi verò potentia in alieno &longs;ubiecto infi­ nita e&longs;t, hoc e&longs;t, in infinitum augeri vel minui pote&longs;t, quoniam in finita auctione & diminutione e&longs;t re&longs;i­ &longs;tentia: tanta enim e&longs;t, quanta e&longs;t in eodem &longs;ubiecto vis: quantú&longs;que motus illius e&longs;t vis alterius re&longs;pectu. Quo igitur vis quæ alienum &longs;ubiectum mouere ni­ titur, illud magis mouere nitetur, eo minùs illud mouere poterit, maior enim erit illius re&longs;i&longs;tentia. Quemadmodum enim quod magis nutu &longs;uo mo­ uetur, maiorem vim mouendi habet. Ita illud idem quod magis contra nutum &longs;uum mouetur, maiorem vim re&longs;i&longs;tendi habet. E contrario verò quo vis quæ­ libet minorem motum in alieno &longs;ubiecto ciere ni­ tetur, eo faciliùs illud mouebit.

Tarditate igitur motus, re&longs;i&longs;tentia in infinitum minui pote&longs;t: minuta verò re&longs;i&longs;tentia vis contrariæ effectus augetur, ita vt vis quæ per &longs;e minima e&longs;t, in contrariam cui plurimum diminuta &longs;it, re&longs;i&longs;tentia maximè agat. Perinde igitur e&longs;t, &longs;i vis mouens ma­ gna &longs;it, mouenda verò parua, ac &longs;i illa celeriter fera­ tur, hæc verò tardè: quantum enim vis mouens &longs;i ma­ gna fuerit in mouendam minorem poterit, tantum vis parua celeriter mota in magnam tardè motam poterit. Si igitur velimus vt vis parua magnam mo­ ueat, eas ita collocare oportet, vt quantum magna paruam &longs;uperat, tantum illi de motus celeritate de­ trahatur, & aliquid ampliùs. Si enim tanta &longs;it tardi­ tas motus vis vnius, re&longs;pectu motus vis alterius, quan­ ta e&longs;t proportio vis illius, ad hanc non fiet motus: vt &longs;i pondus A quatuor librarum cum pondere B libræ vnius committatur: &longs;intque ita connexa, vt dum A vno &longs;patio mouebitur, B quatuor &longs;patiis mouea­ tur, ita vt motus A quadruplo tardior &longs;it motu B non fiet motus, quia quantum A excedit B pondere tan­ tùm deficit motus tarditate.

Tantum enim e&longs;t libram vnam quatuor &longs;patiis moueri, quantum libras quatuor vno &longs;patio eodem tempore: &longs;i igitur alterutri eorum ita con&longs;titutorum, vel momentum vis addatur, id cui additum fuerit, alterum mouebit. Idem fiet &longs;i A ita connectatur vt vel momento citiùs quàm moueri po&longs;itum e&longs;t, mo ueatur vel B tardiùs.

Id etiam alia ratione o&longs;tendi pote&longs;t, &longs;i vis A qua­ drupla &longs;it ad vim B, erunt in A quatuor partes, ip&longs;i B æquales. Si igitur B cum &longs;ingulis illis committatur, ita vt æqualiter moueantur, non fiet motus: &longs;i verò alterutri aut ip&longs;i B, aut &longs;ingulis illis partibus vis vel motus momentum adiiciatur vel detrahatur, illa cui adiectum fuerit, aut cui non detractum fuerit, nutu &longs;uo mouebitur, & aliam contra nutum eius moue­ bit. Addito igitur ip&longs;i B momento, dum vno &longs;patio mouebitur, &longs;ingulas illas partes vno &longs;patio moue­ bit. Vbi igitur &longs;ingulas &longs;emel mouerit, ip&longs;a quater mota erit. Dum verò &longs;ingulæ &longs;emel motæ erunt, to­ tum ex illis con&longs;tans &longs;emel motum intelligetur: po­ terit igitur B addito ip&longs;i momento, dum quater mo uebitur, &longs;emel totum A mouere.

Tertio modo id ip&longs;um concludere po&longs;&longs;umus. Si duæ vires æquales connectantur, ita vt motæ, æqua­ liter moueantur, altera in alteram non aget. Si verò ita connectantur vt motæ inæqualiter moueantur, quantum altera alteram celeritate &longs;uperabit, tantum & vi &longs;uperabit. Vt &longs;i vis A vi B æqualis &longs;it, ac ita con­ nectantur, vt B quatuor &longs;patiis moueatur, dum A vno &longs;patio mouebitur, B quadruplam vim habebit ad A, quia eam in motibus &longs;uis proportionem &longs;eruant, quam &longs;i &longs;eruarent arbitrio &longs;uo commi&longs;&longs;æ, B ad A qua­ drupla e&longs;&longs;et. Si igitur illis ita connexis, ip&longs;i A adda­ tur vis triplo maior quàm ip&longs;a &longs;it, B illis quatuor re­ &longs;i&longs;tet, nec fiet motus.

Duarum igitur virium comparatarum, quanto altera &longs;ubiectum &longs;uum celeriùs mouebit, quàm al­ tera: tanto illa hanc celeriùs mouere poterit, quàm ip&longs;a moueatur, &longs;i illi vis momentum additum fuerit. Ita vt quæ erit proportio vis ad vim, eadem &longs;it mo­ tus, quem illa in hac ciere pote&longs;t ad motum quo ip&longs;a mouebitur. Et è conuer&longs;o quæ erit ratio motus ad motum, eadem erit vis cui additum fuerit momen­ tum ad eam quam ip&longs;a mouere poterit ratio reci­ procè. Iam ad problematis no&longs;tri demon&longs;tratio­ nem veniamus.

Propo&longs;iti problematis demon&longs;tratio.

Sit data vis A quantacunque illa &longs;it magna vel parua: datum verò pondus B quantumquantum il­ lud &longs;it, dico me vi A pondus B tollere po&longs;&longs;e. Id &longs;ic de­ mon&longs;tro.

Primùm enim ex doctrina &longs;ecundi lemmatis, quod inferiùs demon&longs;trabitur, &longs;ciam proportionem pro­ ximè maiorem, quàm &longs;it A ad B proportio. Deinde ex doctrina primi lemmatis ita connectam A & B, vt quando ambo mouebuntur, nunc &longs;it ratio motus quo B mouebitur ad motum quo A mouebitur, quàm &longs;it A ad B. His peractis &longs;equitur vim A pondus B mo­ turam ex &longs;ecundo &longs;uperiùs demon&longs;trato theorema­ te. Quod erat propo&longs;itum.

LEMMA I.

Duas vires ita connectere, vt &longs;i moueantur, earum motus, in data ratione alter ad alterum &longs;e habeant vires contrariæ, aut medio aliquo, aut per &longs;e ab&longs;que vllo medio committuntur. Si ab&longs;que medio com­ mittant, eodem motu mouebuntur, maior enim mi norem eodem motu, quo ip&longs;a moueri poterit, mo­ uebit: aut æquilibrium facient, &longs;i æquales &longs;int: vt &longs;i le­ ue graui committatur, &longs;iquidem leuitas grauitate maior &longs;it, attolletur graue: &longs;in verò grauitas maior &longs;it, leue deprimetur: &longs;i æqualia &longs;int, non mouebun­ tur.

Si verò medio aliquo connectantur mediorum varia &longs;unt genera. Aut enim medium e&longs;t flexibile & o(moiomere\s, vt funis, catena, &c. aut e&longs;t inflexibile, il­ lúdque aut rectum, aut curuum, vt recta linea vel curua vel angulus. Atque hæc omnia aut continua &longs;unt aut diui&longs;a, &longs;implicia aut compo&longs;ita.

Horum autem mediorum opera fit vt vires illis applicatæ, quarum iidem &longs;unt nutus, contrariis mo­ tibus moueantur. Id autem fit cùm in mediis illis inter eorum extrema interiacet quies vna vel plures. Exempli gratia, &longs;i duo pondera funis extremitatibus alligata &longs;int, & funis clauo fixo & immobili incumbat pro­ pter illam quietem inter vtrumque pondus po&longs;itam non poterit alterum deor&longs;um moueri, quin alterum &longs;ur&longs;um moueatur. Idem fiet in linea recta, &longs;i enim illius extre­ mitatibus pondera duo annexa &longs;int, & inter ea &longs;it in illa punctum aliquod quie&longs;cens, dum alterum ex illis ponderibus deor&longs;um feretur, alterum a&longs;cendet. Pun­ ctum autem illud quie&longs;cens in linea illa recta, Gr&ecedil;cis hypomochlium dicitur, eò quòd vecti, quem mo/xlon vocant, &longs;ubiiciatur. Huius autem hypomochlij, in recta linea &longs;e vecte collocatio faciet, vt lineæ extre­ ma &longs;ecundum datam rationem moueantur. Si enim recta linea in datam rationem diui&longs;a fuerit, hoc e&longs;t, vt pars altera ad alteram eam habeat rationem, quam quis voluerit. (Quod quidem quo modo fiat docet Euc.) & in puncto diui&longs;ionis collocetur hypomochlium, illius lineæ extrema &longs;ecundum illam rationem mouebuntur: &longs;iue enim con&longs;ideretur circulorum, quos illa extrema de&longs;cribent, proportio &longs;iue &longs;patium quod illa in linea perpendiculari notabunt vtroque modo illi motus, partium illarum proportionem &longs;eruabunt. Sit exempli gratia linea AB, quæ in puncto C in datam rationem &longs;ecta &longs;it, puta vt pars AC quadrupla &longs;it ad partem CB, mo­ ueatúrque circa centrum C, punctum A de&longs;cribet cir culum quadruplum ad illum quem B de&longs;cribet. E&longs;t enim eadem ratio in cir­ culo diametri ad diametrum, quæ e&longs;t circunferentiæ ad circunferentiam (vt alibi demon&longs;trauimus.) Hac igitur ratione A puncti motus quadruplus

erit ad puncti B motum. Si verò ponamus AD perpen­ dicularem e&longs;&longs;e, & linea AB illi primùm coincidens circa punctum C, moueatur donec A ad D perueniat: tum eodem momento B perueniet ad E: motum igitur erit A in linea perpendiculari tota circuli maioris diame­ tro, quæ e&longs;t AD:B verò in eadem linea, minoris tantùm circuli diametro motum erit, qu&ecedil; e&longs;t BE. Atqui diame ter AD quadrupla e&longs;t ad BE, quia ex hypothe&longs;i &longs;emi­ diametrorum illorum circulorum proportio e&longs;t, vt 4 ad 1. Motus igitur puncti in linea A perpendiculari ad motum puncti B quadruplus erit: Idem dicetur &longs;i in data aliqua alia ratione &longs;ecta &longs;it linea AB. Demon&longs;tratum igitur e&longs;t quomodo fieri po&longs;&longs;it vt rectæ line&ecedil; extrema &longs;ecundum datam rationem moueantur. Si igitur illis extremis duæ vires applicentur, mouebuntur eodem ip&longs;o motu: ergo &longs;ecundum datam vel propo&longs;itam rationem. Quod a&longs;&longs;umptum erat.

Quod autem in vecte demon&longs;tratum e&longs;t, illud e­ tiam in reliquis mediis demon&longs;trandum erit, et&longs;i lemmati &longs;atisfactum e&longs;t, dum in vno exemplo id probatum e&longs;t. Ante igitur &longs;ecundum lemma de­ mon&longs;trabimus.

LEMMA II.

Proportionem proximè maiorem vel minorem, quàm &longs;it datæ vis ad datum pondus proportio, de­ terminare vis cuiuslibet quantitas ex motu ciere po|| te&longs;t, metienda e&longs;t. Motum autem ciere pote&longs;t vel in &longs;ubiecto &longs;uo, vel in alieno. Vis autem men&longs;ura non &longs;umitur ex eo motu quem in &longs;ubiecto &longs;uo ciere po­ te&longs;t, eo quòd licet vis quælibet certum motum ha­ beat & determinatum quo &longs;ubiectum &longs;uum mouet, illius tamen quantitas, vt &longs;uprà diximus, nondum demon&longs;trata e&longs;t. Supere&longs;t igitur vt vires motu illo metiamur, quem in alieno &longs;ubiecto ciere po&longs;&longs;unt, vt id fiat, quærenda nobis &longs;unt &longs;ubiecta quæ in homi­ num pote&longs;tate &longs;int, & cum vi qualibet committi po&longs;&longs;int. Omnium autem mobilium &longs;ubiectorum, maximè in hominum pote&longs;tate &longs;unt grauia: leuia e­ nim coercere vix po&longs;&longs;umus. Ideo vires illis metiri &longs;olemus, &longs;ed grauibus quæ vel vel figuris &longs;uis & com page vel va&longs;e aliquo coercentur. Itaque v&longs;us homi­ num certas qua&longs;dam ponderum men&longs;uras &longs;ibi &longs;ta tui, ponderibus &longs;cilicet quibu&longs;dam certa quantitate con&longs;tantibus inditis nominibus, vt e&longs;&longs;ent ponderum omnium communes men&longs;uræ, vt &longs;unt libræ, vncia, drachmæ, &c. quas famo&longs;as men&longs;uras vocant. Quem­ admodum igitur numeros numeris, &longs;ic pondera pon­ deribus metimur. Tantum enim pondus e&longs;&longs;e dicitur, quot libras vncias drachmas æqualiter mouere po­ te&longs;t dempto momento. Nec tantum pondera hoc modo metimur, &longs;ed etiam alias omnes vires motum ad locum cientes. Quot enim libras vir aut aliud a­ nimal vel ventus aut ignis, aut aliqua alia vis dempto momento mouere poterit, tot libris illam æqualem e&longs;&longs;e dicemus. Si igitur data vel propo&longs;ita vis metien­ da &longs;it, &longs;iquidem naturalis &longs;it, quoniam docuimus vim naturalem per totum &longs;ubiectum diffu&longs;am e&longs;&longs;e in rebus homogeneis: id e&longs;t, vt quæ e&longs;t proportio molis ad molem, eadem &longs;it ponderis ad pondus: &longs;u­ memus partem aliquam illi homogeneam, aut ex i­ p&longs;o &longs;ubiecto, aut ex alio ip&longs;i homogeneo, eámque famo&longs;a aliqua men&longs;ura metiemur, vtramque &longs;cili­ cet committendo & ob&longs;eruando, quem motum al­ tera in altera ciere po&longs;&longs;it, vbi enim æquilibrium fa­ cient motibus extremorum, quibus affixæ fuerint, proportionales erunt per 1 theorema: motus autem illi linearum dimen&longs;ione quam Geometria docet, noti erunt, & eorum proportio, nota igitur erit & virium proportio. Atqui men&longs;uræ famo&longs;æ nota, per &longs;e e&longs;t quantitas: duorum autem proportione cogni­ ta & alterius quantitate, &longs;tatim & reliqui quantitas innote&longs;cit per &longs;ecundam da. Eu. nota igitur vis quan­ titate quæ parti illi ine&longs;t, no&longs;cetur & vis quantitas quæ toti inerit: quæ enim erit ratio molis &longs;ubiecti vis da­ tæ ad molem particul&ecedil; &longs;umpt&ecedil;, eadem erit vis totius ad vim partis. Hîc igitur erunt quatuor proportio­ nalia, &longs;cilicet vt moles ad molem: &longs;ic vis ad vim ex quibus tria nota erunt: moles enim metiri Geome­ tria nos docuit, præterea vis partis, vt demon&longs;traui­ mus, nota e&longs;t, ergo & vis totius quantitas per deci­ mam &longs;eptimam &longs;eptimi Elem. Eucl.

Si verò &longs;ubiectum non &longs;it homogeneum, vi ta­ men naturali &longs;it præditum, &longs;i quidem data vis quam metiri volumus, ea &longs;itque motum ciere volumus, tum con&longs;iderabimus quæ pars in illa, vis minimum habeat: & ex ea totam ip&longs;ius molem æ&longs;timabimus: &longs;i verò &longs;it vis mouenda, &longs;tatuemus qua&longs;i tota &longs;it ho­ mogenea ip&longs;ius parti, quæ vis plurimum in &longs;e habe­ bit, & ex ea totam ip&longs;ius molem æ&longs;timabimus. Ita­ que tum illius quanta minima, tum huius quanta maxima e&longs;&longs;e pote&longs;t, vis quantitas nobis nota erit per proximè demon&longs;tratam rationem. Notis autem vi­ rium quantitatibus, nota erit & earum proportio: ergo & proportio ip&longs;a proximè maior vel mi­ nor: addita enim vel detracta ip&longs;ius denomi- nationi, vnitate erit proximè maior vel mi­ nor.

Si verò vis data non &longs;it naturalis, voluntariam qui­ dem ita æ&longs;timare po&longs;&longs;umus, qualis vt plurimum e&longs;t, & &longs;i quidem ea &longs;it, qua mouere volumus, eam &longs;tatuemus, quanta minima in eiu&longs;dem generis &longs;ub­ iecto e&longs;&longs;e pote&longs;t, vt &longs;i vim hominis quinquaginta li­ bris æqualem ponamus, vim equi centum: &longs;i verò ea &longs;it quam mouere volumus, &longs;tatuemus eam quan­ ta maxima e&longs;&longs;e pote&longs;t, vt vim hominis 300 libra­ rum, vim equi 500 librarum, & &longs;ic dé cæteris: ita vt nullum &longs;it dubium quin illa minor &longs;it, quam &longs;tatue­ rimus, hæc verò maior.

Vis verò fortuitæ quantitatem nulla certa con­ iectura a&longs;&longs;equi po&longs;&longs;umus: ita vt qua&longs;cunque ma­ chinas ei aptemus, modò moueat, modò non mo­ ueat, neque ad no&longs;trum in&longs;titutum magnoperè per­ tinet illa inqui&longs;itio: cum fortuitorum nulla &longs;it di&longs;ci­ plina.

His igitur modis virium duarum datarum pro­ portio proximè maior nota fiet, quod in &longs;ecundo lemmate demon&longs;trandum &longs;ump&longs;eramus.

Iam redeamus ad mediorum, quibus vi­ res annectuntur, con&longs;ide­ rationem.

Docuimus quis &longs;it &longs;implicis ve­ ctis effectus, &longs;implex autem ve­ ctis &longs;emicirculi conuer&longs;ione &longs;uam operationem ab&longs;ouit, ita vt &longs;i vlteriùs F moueatur in in alio &longs;e­ micirculo motus prioribus contra­ rios cieat: vt exempli gratia, &longs;it vectis AB, cuius hypomochium &longs;it C, dum A punctum de&longs;cribet &longs;emicirculum AFD, motus ille deor&longs;um erit: interea verò B punctum de&longs;cribet &longs;emicirculum BGE a&longs;cendendo: &longs;i verò A tran&longs;cendat, D incipiet a&longs;cendere: B verò tran&longs;cen­ dens, E de&longs;cendet: ideo excogitata e&longs;t vectis ratio per­ petua ex plurium vectium &longs;ucce&longs;&longs;ione circa idem hypomochlium: e&longs;t autem illa tum in ergatis aut &longs;u­ culis, tum in duorum tympanorum homocentrico­ rum, &longs;eu eadem axe transfixorum in planis parallelis aptatione, quorum &longs;emidiametri &longs;int in eadem pro­ portione quæ in vecte ad propo&longs;itum motum cien­ dum nece&longs;&longs;aria e&longs;t: centrum verò eorum &longs;eu axis fi­ xa &longs;it, ac ita vires aptentur, vt maior minorem, mi­ nor verò maiorem tympanum impellat. Quemad­ modum autem horum tympanorum homocentri­ corum opera vectis perpetui ratio inuenta e&longs;t, ita eo­ rum multiplicatione motus, & mouentis & mouen­ di, proportio in infinitum augeri pote&longs;t. Cuius rei maximus e&longs;t v&longs;us: nec enim materia ad vectem, cu­ ius longitudo &longs;tadij vnius requireretur, idonea in­ ueniri po&longs;&longs;et: plurium autem tympanorum propor­ tionalium aptatione fiet machina tractabilis, cuius vis maior erit quàm vectis, cuius longitudo &longs;tadij v­ nius e&longs;&longs;et. Si enim duo tympani homocentrici a­ ptentur, quorum proportio &longs;it alterius ad alterum, decupla, vis quæ libram vnam æquabit, vim decem libris æqualem dempto momento mouebit, &longs;i con­ gruè illis tympanis aptentur: &longs;i verò adhuc duo alij tympani fiant, quorum alterius ad alterum decupla &longs;it proportio, ac minor illorum ita aptetur, vt maiorem ex prioribus moueat, appendatur deinde minori ex prioribus tympanis vis centum libris æqualis, maio­ ri verò ex po&longs;terioribus vis vni libræ æqualis, tum hæc illam mouebit, & &longs;ic in infinitum motus extre­ morum proportio multiplicari pote&longs;t. Flexibili ve­ rò medio quies ita aptari pote&longs;t, vt duo eius extre­ ma diuer&longs;is motibus moueantur, & quidem &longs;ecun­ dum datam rationem. Exemplum habemus in orga nis poly&longs;pactis, &longs;eu trochleis, in quibus altero funis extremo immobili manente, reliquum funis circa plures trochleas conuoluitur, quarum aliæ centris immobilibus fixæ &longs;unt, aliæ verò ip&longs;is contrariæ cen tris mobilibus. Atque ita circa illas conuoluitur fu­ nis, vt inter eas &longs;it &longs;patium tantum, quanta e&longs;t linea, per quam motum ciere volumus. Quoties igitur fu­ nis extremum quod moueri pote&longs;t, trahitur, &longs;ingulæ reuolutiones æqualiter minuuntur, eáque ratione, di&longs;tantia quæ e&longs;t inter trochleas contrarias minuitur, ita &longs;cilicet vt quot &longs;unt reuolutiones, in tot partes di&longs;tributum &longs;it motus &longs;patium. Quot igitur reuolu tiones erunt, totuplex erit motus extremitatis funis ad motum trochlearum mobilium ver&longs;us fixas. Si i­ gitur motus i&longs;tius extrema con&longs;tituantur, alterum quidem funis illa extremitas quæ mouetur, alterum ve­ rò terminus &longs;patij illius, quod e&longs;t à trochleis fixis ad mobiles contrarias: quæ erit proportio numeri con­ uolutionum funis ad vnitatem, eadem erit motus, quo funis extremum mouebitur ad motum quo al­ terum extremum mouebitur: pote&longs;t autem in infi­ nitum augeri conuolutionum numerus, ergo & mo tus illius proportio.

Angulus autem ad motum ciendum ita ad­ hibetur. Diximus motus men&longs;uram in nutus li­ nea &longs;umi, quantum igitur vis aliqua per eam ver&longs;us locum naturalem mouetur, tanta e&longs;t, quantum verò per eam à loco naturali reuellitur, tanta e&longs;t eius re&longs;i­ &longs;tentia. Quod verò per lineam à loco naturali æquè di&longs;tantem (id e&longs;t, per eam quæ nutus lineas &longs;ecat ad angulos rectos) mouetur, illud mouenti non re&longs;i­ &longs;tit, omnium autem linearum inter illas intercepta- rum, ac cum illis in earum inter&longs;ectionis puncto con­ currentium, quæ obliquè nutum ver&longs;us, aut contra nutum ferri dicuntur, quo propiùs quælibet ad nu­ tus lineam accedit, per illam rei motæ vis aut re&longs;i&longs;ten­ tia maior e&longs;t: quò verò propiùs ad lineam à loco na­ turali æqui di&longs;tantem accedit, eò minor e&longs;t. Omnium autem maxima e&longs;t in nutus linea, æquidi&longs;tans verò à loco naturali motui per lineam nutus omnino op po&longs;ita e&longs;t, obliquæ verò non ita quia &longs;ecundum illas eodem &longs;patio delata vis propiùs ad locum naturalem acce­ dit, aut ab eo recedit, quàm e&longs;&longs;et, cùm moueri cœpit.

Sit exempli gratia AB linea nutus, vis alicuius, puta ponde­ ris, &longs;itque A &longs;ur&longs;um & contra nu tum: B verò deor&longs;um & nutum ver&longs;us, de&longs;cribatúrque circulus, cuius AB &longs;it diameter, quàm CD, alia diameter &longs;ecet ad angulos rectos in centro E: omnes igitur lineæ à centro E ad circunferentiam circuli ductæ, quæ cadent intra &longs;emicirculum CAD, contra nutum a&longs;cen­ dere dicentur, quatenus circunferentiam &longs;pectant: quatenus verò centrum &longs;pectant, de&longs;cendere dicen­ tur: contra verò omnes in &longs;emicirculo CBD à centro ad circunferentiam ductæ de&longs;cendere circunferen­ tiam ver&longs;us, & centrum ver&longs;us a&longs;cendere dicentur: illæ igitur erunt, quæ obliquè nutum ver&longs;us aut con tra nutum ferri dicuntur: linea verò CED, neque a&longs;cen­ det, neque de&longs;cendet: lineæ verò in ip&longs;am ad angu­ los rectos incidentes nutus lineæ erunt, quoniam li­ neæ AB parallelæ erunt: &longs;i igitur à centro E ducantur lineæ ad circunferentiam inter A & D, puta EF, EG, EH, quarum EF &longs;it proxima lineæ AB:EH verò pro­ xima lineæ CD, ac per illas moueantur contra nutum tres vires æquales eodem tempore, ita vt prima per lineam EF perueniat ad punctum F: &longs;ecunda verò per EG perueniat ad G, tertia per EH perueniat ad H, dico vis motæ per EF maiorem fore re&longs;i&longs;tentiam, quàm illius quæ per EG aut EH, mouebitur & illius quæ per EG mouebitur, maiorem quàm eius quæ per EH mouebitur. Ducantur enim à punctis FGH in lineam ED perpendiculares FK, GL, HM, illæ erunt nutus lineæ: quanta igitur erit FK, tantum vis prima mota cen&longs;ebitur, quanta verò GH, tantum vis &longs;ecun da: quanta verò HM, tantum vis tertia mota cen&longs;ebi­ tur: at qui quæ e&longs;t ratio motus ad motum in viribus æqualibus, per quartam conclu&longs;ionem huius tracta­ tus, eadem e&longs;t re&longs;i&longs;tentiæ ad re&longs;i&longs;tentiam: quæ igitur erit ratio linearum illarum perpendicularium, inter &longs;e eadem erit & re&longs;i&longs;tentiarum virium per lineas ob­ liquas motarum, à quibus illæ perpendiculares du­ ctæ &longs;unt, atqui quo lineæ illæ perpendiculares pro- piùs ad AB circuli diametrum accedunt, eò &longs;unt ma iores per decimam quartam tertij Elem. Eu. ergo & vires per eas lineas delat&ecedil; à quarum extremitatibus du centur, maiores re&longs;i&longs;tentias habebunt: at qui quò magis ad AB, accedunt eo magis ab ED recedunt: quò igi­ tur magis ad ED accedent, eò minores erunt re&longs;i&longs;ten­ tiæ, hinc &longs;equitur tanquam corollarium. Si duæ vi­ res per&longs;e æquales triangulo rectangulo aptentur, cu ius latus alterum, angulum rectum con&longs;tituentium: &longs;it earum nutus linea, ac per illud vis altera mouea­ tur, altera verò per latus angulo recto oppo&longs;itum, quæ erit ratio huius lateris ad illud, eadem erit re&longs;i­ &longs;tentia vis illius ad vis huius re&longs;i&longs;tentiam. Atqui duo­ rum illorum laterum proportio in infinitum auge­ ri vel minui pote&longs;t, ergo & re&longs;i&longs;tentia virium illis ap plicatarum. Hoc igitur modo po&longs;&longs;umus vti angulo &longs;eu triangulo ad motus ciendos, nempe eo immoto vires per eius latera mouendo.

Sed & alia ratione eo vti po&longs;&longs;umus, ip&longs;um &longs;cilicet triangulum mouendo, qui tunc cuneus dicitur. Vt autem eo hac ratione vtamur, vires ita di&longs;ponere o­ portet, vt altera illarum vni ex lateribus angulum rectum con&longs;tituentibus incumbat, altera verò lateri ip&longs;um &longs;ubtendenti. Illa enim tantùm mouebitur, quantum latus cui altera incumbit. Sit exempli gra­

tia triangulus ABC, cuius angulus B rectus &longs;it, latus verò illum &longs;ubtendens &longs;it AC, incumbátque vis D lateri AB, vis verò E lateri AC, &longs;itque vis D nutus linea BC, vis verò E nutus &longs;it linea AB, erigatúrque à puncto C linea CF perpendicularis ad BC æqualis AB, à qua vis E non di&longs;cedat. Si triangulum illud in plano fixo moueatur, donec AB perueniat ad CF, mota e­ rit vis D nutu &longs;uo tantùm, quanta e&longs;t linea BC, vis ve­ rò E tantum, quanta e&longs;t linea AB. Cùm autem po&longs;&longs;it in infinitum augeri & minui, laterum illorum pro­ portio, po&longs;&longs;unt etiam duorum illorum extremorum motus in data ratione con&longs;titui. Quanta enim erit BC ad AB, tantus erit motus vis D ad motum vis E: ergo & in hoc medio primum lemma no&longs;trum de­ mon&longs;tratum e&longs;t.

In hoc autem medij genere hoc diuer&longs;um ab aliis mediis accidit, quòd non tam facilè vtrin­ que motus eo cietur, ac in illis, in quibus &longs;i virium proportio momento vel &longs;uperet, vel minor &longs;it pro­ portione motus extremorum medij, tum motus hinc vel inde cietur. Atqui in hoc propter &longs;uperficie­ rum contactum, quarum pori vel a&longs;peritates &longs;e­ &longs;e mutuò &longs;ubingrediuntur, & ita inuicem adhæ­ rent, fit vt ægriùs cieatur motus, faciliùs ve- rò mouebuntur, &longs;i illæ &longs;uperficies leues fue­ rint, vt &longs;i pinguibus inungantur, vel ex materia leui con&longs;tent. Ideò enim reliqua faciliùs mo­ uentur, quòd circa puncta veluti quædam mo­ ueantur.

Simplicis autem trianguli rectilinei aut cu­ nei in diuturnis motibus ciendis rarus e&longs;t v&longs;us, tum ob illud quod notauimus incommodum ex vitio materiæ, quo fit vt in eo qua&longs;&longs;atione opus &longs;it, tum etiam quòd breui eius operatio termine­ tur. Ideo illo vtimur aut cùm &longs;olutionem con­ tinui molimur, quæ breui tempore fit, vel cùm aliquid di&longs;tendere aut aliquid figere volu­ mus.

Anguli verò curui linei magnus e&longs;t v&longs;us, præ­ &longs;ertim helicis cylindricæ. Nihil enim aliud e&longs;t he­ lix quàm triangulus curuus: &longs;i enim alteram ex lineis rectis angulum con&longs;tituentibus, cylindri ba&longs;i ip&longs;i lineæ æquali obuolueris, reliquam ve­ rò &longs;eruato eodem quem con&longs;tituunt angulo, &longs;u­ per cylindri &longs;uperficiem curuaueris, habebis he­ licem cylindricam, quam &longs;i iterum &longs;eruato eo­ dem angulo in rectum extendas, habebis trian­ gulum rectilineum. Hæc autem helix commo­ di&longs;&longs;ima e&longs;t, tum quòd in parua mole triangulum longi&longs;&longs;imum obuolutum contineat tum quod par­ tes eius omnes &longs;ibi inuicem congruant: omnes enim partes helicis cylindricæ, aut circa eundem, aut circa æquales cylindros de&longs;criptæ, &longs;eruato eodem angulo &longs;ibi inuicem &longs;uppo&longs;itæ congruunt. Quo fit, vt &longs;i ca­ ui cylindri interiori &longs;uperficiei impre&longs;&longs;a &longs;it helix, a­ lia verò cylindri &longs;uperficiei connex&ecedil; ip&longs;i cau&ecedil; æqua­ li, &longs;eruato eodem qui in illo e&longs;t, angulo, &longs;ibi inui­ cem & omnes vnius omnibus alterius partibus con gruant.

Huius autem medij cùm plures &longs;int partes, con &longs;tat enim duabus &longs;uperficiebus, pluribus etiam mo dis variari pote&longs;t. In &longs;umma autem eius affectus hic e&longs;t, vt cylindri ba&longs;i in &longs;uperficie immobili circum a­ xem conuer&longs;a, vis mouenda helicem premat: dum enim cylindrus circum axem conuertetur, vis mo­ uenda qualibet reuolutione tantùm &longs;ecundum cy­ lindri longitudinem mouebitur, quanta e&longs;t di&longs;tan­ tia duarum helicis &longs;pirarum. Quæ igitur erit propor tio circunferentiæ circuli ba&longs;im cylindri con&longs;tituen­ tis ad illam di&longs;tantiam, eadem erit motus orbicularis cuiu&longs;libet puncti in cylindri &longs;uperficie &longs;ignati ad mo tum rectum vis helicem prementis.

Illud igitur medium ex duobus compo&longs;itum e&longs;t, recto &longs;cilicet & curuo: ita igitur vires illi aptandæ &longs;unt, vt eius quam mouere volumus, nutus linea &longs;it cylindri longitudo: illa verò qua mouere volumus, in orbem moueatur, aut &longs;i eius nutus linea recta &longs;it, circa cylindrum fluens illum moueat contingendo.

Et hæc quidem de mediis in &longs;uo genere con&longs;i&longs;ten­ tibus. Po&longs;&longs;unt autem fieri eorum Syzygiæ vectis &longs;ci­ licet cum trochleis, helicis cum vecte, aut cum tro­ chleis, aut omnium &longs;imul. Vectis cum trochleis &longs;i fu­ nis illud extremum, quod mouetur in trochleis, er­ gatis aut &longs;uculis inuoluatur: helix cum vecte coniun­ getur, &longs;i tympanus circum axem moueatur, &longs;itque i­ ta denticulatus, vt dentes ip&longs;ius helicem in cylindro excauatam ingrediantur, quam machinam helicem perpetuam vulgò vocant, eò quòd eius conuer&longs;io perpetua e&longs;&longs;e po&longs;&longs;it, cum helicis &longs;implicis operatio non excedat ip&longs;ius longitudinem. Quorum omnium tum inter &longs;e, tum ad &longs;ubiecta mouenda accommo­ datio adeò varia e&longs;t, vt &longs;cripto comprehendi vix po&longs;&longs;it. Ex his autem quæ dicta &longs;unt, mediocris ingenij me­ chanicus poterit ea prout ip&longs;i nece&longs;&longs;e erit aptare. In machinis autem omnibus hæc cautio adhibenda e&longs;t, vt earum &longs;tructura firma &longs;it, præ&longs;ertim verò vbi cir­ cum axes aliquas fit motus, deinde vt vincula, qui­ bus illis vires affinguntur, valida &longs;int, illarum enim o­ mnium vis in &longs;uo &longs;tatu manendi vtrique vi aptandæ æqualis e&longs;&longs;e debet: aget enim in illas vis vtraque, quòd &longs;i medium firmum non &longs;it, motus in ip&longs;a machina ciebitur. Itaque di&longs;&longs;oluetur, ideò manca videtur pe­ titio illa Archimedis in hoc problemate do\s pou= stw= ta\n ga\n kinw=, quòd locum tantùm in quo con&longs;i&longs;tat, &longs;ibi da­ ri po&longs;tulet, cùm pr&ecedil;terea vincula quibus terra à loco &longs;uo naturali remota &longs;u&longs;tineri po&longs;&longs;et, petere debue­ rit: id autem vt & ea quæ de motu in infinitum augen­ do vel minuendo diximus, ita intelligenda &longs;unt, vt &longs;ciamus infinita hominum pote&longs;tati, quacunque ar­ te iuuetur, non &longs;ube&longs;&longs;e: quamuis enim Geometri­ ca con&longs;ideratio in infinitum &longs;e&longs;e extendat, &longs;unt ta­ men certi fines, vltra quos natura rerum nos pro­ gredi non patitur: &longs;unt præterea vitia materiæ, quæ Geometra non con&longs;iderat, illa tamen non ob&longs;tant quò minùs id quod proponitur, verum &longs;it in intellectu. An verò id quod proponitur tale &longs;it, vt in opus educi po&longs;&longs;it, con&longs;iderabit Geometer habita ra­ tione circun&longs;tantiarum, præ&longs;ertim verò temporis, quod ip&longs;i præ&longs;cribetur, & &longs;umptuum quos facere poterit is qui aliquid faciendum proponet, quæ &longs;i abundè &longs;uppetant, nihil non fieri poterit.

Vt igitur hunc tractatulum concludamus, ac ve­ lut in &longs;ummam contrahamus: In motibus ciendis tria &longs;unt con&longs;ideranda. Vis qua motum ciere volu­ mus, vis quam mouere volumus, & motum quo mouere volumus: duo enim quælibet ex illis ter­ tium determinant. Si enim vi parua vim magnam mouere volumus, id nonni&longs;i paruo motu facere po&longs;&longs;umus: &longs;i verò vim aliquam magno motu mo­ uere velimus, vi magna mouente ad id opus e&longs;t. Si vi parua magnum motum ciere volumus, mini­ mam vim mouendam e&longs;&longs;e oportet: vt puta, &longs;i libra vna centum libras mouere velimus, oportet motum illius, motu huius centuplo maiorem e&longs;&longs;e. Si verò ve­ limus libra vna aliam vim ita mouere, vt ea cen­ tuplo citiùs moueatur, quàm libræ illius pondus, il­ lam cente&longs;imam tantùm libræ vnius partem e&longs;&longs;e ne­ ce&longs;&longs;e e&longs;t: &longs;i verò libram vnam ita mouere velimus, vt centuplo citius moueatur, quàm vis quæ illam mo­ uebit, vi centum libris maiore ad id opus erit. Neque patitur natura &longs;ibi in his vim fieri: &longs;i enim eiu&longs;modi proportio aliquo modo infringi po&longs;&longs;et, &longs;tatim da­ retur au)tw/ma e)nde/lexes, vel vt vocant, motus perpetuus in perpetua materia.

Ex his igitur fundamentis inuentæ &longs;unt machinæ omnes, quotquot antehac &longs;unt excogitat&ecedil;, & quot­ quot po&longs;thac excogitari poterunt, ad ea referentur.

Itaque &longs;i propo&longs;itæ cuiu&longs;cunque machinæ effe­ ctum &longs;cire velimus, con&longs;ideranda &longs;unt duo eius extrema, quibus vires applicantur: quæ enim erit ratio motus vnius ex illis extremis, ad motum alterius eadem erit & virium, quæ illis extre­ mis ad motum ciendum applicari poterunt, addito aut dempto momento, vt &longs;i dum alterum ma­ chinæ extremum palmo vno mouetur, alterum cen tum palmis moueatur vis quælibet huic annexa, al­ teram alteri annexam centuplam momento minùs, mouebit: &longs;ed motu centuplo: mouebit autem & re­ liquas omnes vires, quæ infra centuplam proportio­ nem ad eam habebunt: &longs;i verò non vim centuplam mouere, &longs;ed in data vi motum centuplum ciere veli­ mus, eam quidem in extremo quod centuplo citiùs mouetur, locare oportebit, alteram verò alteri extre mo centuplo maiorem adhibere nece&longs;&longs;e erit.

Hinc oriuntur tria problemata, videlicet data vi datum pondus mouere, quod iam demon&longs;trauimus: item data vi datum motum ciere, quod ex præceden­ tis demon&longs;tratione ab&longs;oluitur: tertium, datam vim, dato motu mouere, quod quidem faciliùs demon­ &longs;tratur, quàm ab&longs;oluitur. Scimus enim, vt id fiat, vim aliam proportionalem (vt docuimus) requiri, quo modo autem illam habere po&longs;&longs;imus, explicare hoc opus, hic labor e&longs;t. Non enim quemadmodum organa ad motus in data proportione ciendos ha­ bere po&longs;&longs;umus: ita & vires infinitæ magnitudinis po te&longs;tati no&longs;træ &longs;ub&longs;unt.

Quod enim ad vires in grauitatis & leuitatis gene re con&longs;i&longs;tentes attinet, eas vt moueant antè moueri oportet à loco vel &longs;itu naturali, vi autem aliqua id fie- ri oportet, quæ iam in promptu &longs;it. Quæ &longs;i tanta e&longs;t, vt po&longs;&longs;it motum propo&longs;itum ciere, fru&longs;trà fiat, &longs;i alij à loco naturali remouendæ, qua po&longs;tea ad motum vtendum &longs;it, adhibeatur.

Nullum igitur ex eiu&longs;modi viribus commodum percipi pote&longs;t, ni&longs;i quis in futurum &longs;ibi pro&longs;piciens, multa à loco vel &longs;itu naturali ex otio remoueat, vt iis, cùm opus erit ad motus ciendos vtatur. Hac ra­ tione quantas vires in promptuario habebit, tantos motus ciere poterit. Præcipuum igitur quod ad hu­ ius problematis con&longs;tructionem pertinet, e&longs;t, vt vi­ res quàm maximas pote&longs;tati no&longs;træ &longs;ubiiciamus, vo luntariis aut fortuitis viribus naturales præparando, aut à natura præparatas, quæ pote&longs;tati no&longs;træ &longs;ub­ &longs;unt, accipiendo. Qualia multa &longs;i mortales aduerte­ rent, fieri po&longs;&longs;ent, vt aliàs, Deo duce, docebimus.

Earum autem virium quæ in raritatis & den&longs;ita­ tis proportione con&longs;i&longs;tunt, &longs;ubiecta plurimùm in no&longs;tra pote&longs;tate &longs;unt: multa enim &longs;unt naturalia &longs;ub iecta actu, den&longs;a potentia verò rara. Si quod igitur eorum potentia proxima &longs;it rari&longs;&longs;imum, ita vt nullo negotio actus ille raritatis induci po&longs;&longs;it, concluda­ túrque loco aliquo angu&longs;to, po&longs;tea inducatur ille a­ ctus, cùm rara maiorem locum occupent, quum den­ &longs;a, fiet vt locus in omnem partem di&longs;tendatur, illius autem partes minùs cohærentes, tantum impellen­ tur, quanta e&longs;t proportio molis rei rarefactæ ad mo­ lem illius cùm den&longs;a e&longs;&longs;et: illa autem raritatis po­ tentia proxima e&longs;t in compo&longs;itione &longs;ulphuris & nitri: ea igitur & &longs;imilibus &longs;ubiectis, in data vi datus motus cieri pote&longs;t.

FINIS.

Errata quæ inter imprimendum irrep&longs;erunt, &longs;ic corrigito.

Pagina 7. linea 10, munere, lege nuere. pag. 11. lin. 12, comparationibus, lege comparati, omni­ bus. pag. 12. lin. 16. finis, lege fini. pag. eadem. lin. penult. Altero, lege Alto. pag. 20. lin. 16. quum C ad L. lege quam. pag. 25. lin. 5. nunc &longs;it ratio, lege minor &longs;it. linea 13. Vi­ res maiori litera (e&longs;t enim &longs;ectionis initium. lin. 15. mittant, lege mittantur. pag. 27. li. 20. puncti in linea A, lege puncti A in linea. pag. 28. lin. 9. vis, lege Vis, maiori litera (e&longs;t enim &longs;ectionis initium. lin. e. motu ciere, leg. motu quem ciere. lin. 23. metiri &longs;olemus, lege non &longs;olemus. lin. vlt. &longs;tatui, lege &longs;tatuit. pag. 32. lin. 4. ab&longs;ouit, lege ab&longs;oluit. lin. 5. dele F. lin. 12. & 13, pone virgulam po&longs;t D & E. lin. 8. hypomochium, lege hypomochlium. pag. 37. li. 13. re&longs;i&longs;tentia, lege re&longs;i&longs;tentiæ. pag. 39. lin. 3. leui, lege læui. pag. 40. linea 5. &longs;uppo&longs;itæ, lege &longs;uperpo&longs;itæ li. 7. connexæ, lege conuexæ. lin. 13. affectus, lege effectus.