Torricelli, Evangelista Opere 1919-1944 Faenza la torri_opere_090_la.xml 090.xml

OPERE DI EVANGELISTA TORRICELLI EDITE IN OCCASIONE DEL III CENTENARIO DELLA NASCITA COL CONCORSO DEL COMUNE DI FAENZA DA GINO LORIA E GIUSEPPE VASSURA

VOLUME I: GEOMETRIA PUBBLICATO PER CURA DI GINO LORIA

PARTE I. CON IL RITRATTO DI E. TORRICELLI E 373 FIGURE

FAENZA

STABILIMENTO TIPO-LITOGRAFICO G. MONTANARI

AMMINISTRATO DALL'ORFANOTROFIO MASCHI

1919.

Riservati tutti i diritti accordati dalla Legge in Italia c all'Estero.

INDICE

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . .Pag.I—XXXVIIIDE SPHAERA ET SOLIDIS SPHAERALIBUS LIBRI DUO.   Dedica . . . . . . . . . . . . . . . . .”1—  2   Proemium . . . . . . . . . . . . . . . .”3— 10   Liber primus . . . . . . . . . . . . . . .”11— 44     ” secundus . . . . . . . . . . . . . .”45— 87DE DIMENSIONE PARABOLAE.   Dedica . . . . . . . . . . . . . . . . .”91— 92   Ad lectorem proemium . . . . . . . . . . .”93— 98   Suppositiones et definitiones . . . . . . . . .”98—101   Quadratura parabolae pluribus modis per duplicem     positionem, more antiquorum absoluta . . . .”102—162   Appendix — De dimensione cycloidis . . . . .”163—169   Scholium — De cycloidibus aliarum specierum . .”170—172DE SOLIDO ACUTO HYPERBOLICUM PROBLEMA ALTERUM . .”173—190DE SOLIDO HYPERBOLICO ACUTO PROBLEMA SECUNDUM . .”191—221   Appendix — De dimensione cochleae . . . . .”223—230APPENDICE AL LEMMA XX DELLA MEMORIA “ DE DIMENSIONE       PARABOLAE ” . . . . . . . . . . . . .”231—238DE TACTIONIBUS . . . . . . . . . . . . . . . .”239—290   Nota dell'editore . . . . . . . . . . . . .”291—292DE PROPORTIONIBUS LIBER.   Ad amicum lectorem proemium in quo de defini-     tionibus geometricis . . . . . . , . . . .”295—305   Definitiones . . . . . . . . . . . . . . .”305        Suppositiones et axiomata . . . . . . . . .”306        (Teoremi) . . . . . . . . . . . . . . . .”307—318   Appendix . . . . . . . . . . . . . . . .”319—327DE PLANIS VARIA . . . . . . . . . . . . . . .”329—345DE SOLIDIS VARIA . . . . . . . . . . . . . . .”347—363DE CIRCULO ET ADSCRIPTIS . . . . . . . . . . . .”365—375DE COMPARAT. PERIMETRORUM CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE”377—386DE AEQUALIT. PERIMETRORUM CYLINDRI CONI AC SPHAERAE”387—407

INTRODUZIONE.

INTRODUZIONE

I. — Ad uno svolto della storia.

Quantunque non siasi ancora stabilito perfetto accordo fra i competenti intorno all'anno in cui, nella storia civile e politica, debbasi collocare l'inizio dell'èra moderna, pure l'evo medio si suole da tutti gli storici chiudere nell'ul­timo decennio del secolo XV o nel secondo del successivo. L'analoga questione relativa alla storia delle matematiche, per quanto ci consta, non venne sinora posta, almeno in modo esplicito. Ma, ove lo fosse stata, non sarebbe certa­mente stato malagevole l'accordarsi nello scegliere la data 1650 come inizio dell'ultima delle grandi divisioni della storia delle scienze esatte; chè allora appunto i germi fe­condi deposti da DESCARTES e FERMAT cominciarono a produrre l'aritmetizzazione della geometria, cioè il grande fenomeno che servì ad imprimerle una fisonomia del tutto nuova ed era destinato a rinnovare tutta la scienza del­l'estensione figurata; inoltre, allora si trovavano in istato d'imminente fioritura le idee ed i metodi chiamati ad as­sicurare sistematica unità alle indagini relative alla misura della superficie e dei solidi a contorni arbitrari; allora finalmente avevano intrapresa la loro gloriosa corsa nel mondo i principi fondamentali posti alla dottrina dei moti e delle forze dall'immortale autore dei Discorsi e dimo­strazioni matematiche intorno a due nuove scienze.

Ora la matematica della rinascenza — al pari di lam­pada che, nell'istante in cui sta per spegnersi, diffonde all'intorno uno sprazzo di fulgidissima luce — presenta in Italia un epilogo oltre ogni dire brillante in un perso­naggio di primo ordine, degno continuatore delle tradizioni scientifiche che, nella patria nostra, sia pure con lunghe deplorevoli lacune, si perpetuarono durante l'enorme pe­riodo storico che corre da ARCHIMEDE a GALILEO: è EVAN­GELISTA TORRICELLI, la cui altissima rinomanza presso i contemporanei è attestata dall'anagramma

En virescit Galileus alterche un suo anonimo ammiratore compose con le lettere che ne formano il nome .

II. — Alunnato e noviziato di E. Torricelli.

Colui a cui la sorte affidò il nobile còmpito di conso­lare gli ultimi giorni della travagliata esistenza di GALILEO GALILEI, vide la luce il 15 ottobre 1608; sebbene nessun documento lo dichiari esplicitamente, pure è pressochè certo che egli nacque in Faenza , perchè suo padre GA­SPARE, apparteneva ad una famiglia, di modeste condizioni di fortuna , la quale, a partire dalla metà del secolo XV ebbe costante dimora in quella città ed ivi si spense sullo scorcio del secolo XVII.

I suoi studi in umanità furono compiuti sotto la guida amorosa e sapiente di uno zio paterno, ALESSANDRO (che assunse il nome di JACOPO quando entrò nell'ordine ca­maldolese e che morì quasi novantenne priore del mona­stero di S. Giovanni della città natìa ); invece nelle scienze, in particolare nelle matematiche, fu istruito dai Padri Gesuiti. Ed in tali discipline diede prove lampanti di tali spiccate attitudini che il suo ottimo zio persuase la famiglia ad inviarlo a Roma allo scopo di perfezionarlo sotto la direzione oculata di uno dei luminari del tempo, BENEDETTO CASTELLI, il celebre discepolo di GALILEO che, a partire dal marzo 1626, era lustro e decoro della Corte di papa URBANO VIII. Ciò accadeva verso la metà dell'anno 1627. Subendo la benefica influenza di tanto istitutore, il TORRICELLI fece progressi talmente rapidi e sorprendenti che ben presto potè affermarsi pensatore originale con la memoria, oggi notissima, Sul moto dei corpi naturalmente discendenti , la quale d'un tratto lo collocò senza con­trasto in prima linea fra gli alunni del celebre matema­tico .

Nelle mani di P. BENEDETTO CASTELLI questa me­moria servì come mezzo per assicurare al diletto alunno una situazione economica e sociale onorevole, lucrosa, stabile . Narra infatti VINCENZO VIVIANI per il tramite di LODOVICO SERENAI quanto segue :

“ Questo Padre (cioè il CASTELLI) nell'aprile del 1641 venendo di Roma per Pisa a Firenze per passare a Ve­nezia al suo Capitolo generale, portò con sè manoscritto il trattatello del Moto composto allora dal Torricelli sui principi del medesimo Galileo, al quem il predetto Abate fece sentire il contenuto e la diversità di maniera che in varie cose aveva quegli tenuta per ampliare quella nuova scienza meravigliosa del Galileo, di cui commiserando il predetto Abate la cecità e scorgendo insieme il pericolo in che, per la di lui grave età travagliata ancora da tante indisposizioni, si stava di perdere per la di lui morte, il residuo delle sue speculazioni non pubblicate che aveva in sè e che gli rimanevano ancora da porre sulla carta, glielo propose in ajuto; e il Galileo che dall'opera sopra detta e dalle relazioni che di quella date gli aveva il Pa­dre, già ne aveva formato gran concetto, volontierissimo lo accettò per ajuto e per compagno e restò col Padre Castelli che al suo ritorno a Roma poteva trattar d'in­viarglielo, come seguì.

“ Giunse dunque il Torricelli alla Villa d'Arcetri (dove abitava Galileo) verso la fine del settembre del medesimo anno ed immantinente incominciò Galileo a comuni­cargli nei discorsi che quegli teneva tutto giorno, ciò che gli rimaneva delle proprie fatiche e meditazioni, le quali aveva stabilite di includere e distribuire in due giornate in dialogo da aggiungersi alle altre quattro dell'opera pochi anni prima stampata sopra le sue due nuove scienze della Meccanica e del Moto locale e la prima di quelle due con­tener doveva l'esplicazione d'alcune delle cose già dette nelle prime quattro, e la soluzione di vari problemi natu­rali suoi e d'Aristotile, esaminati e purgati da alcune fal­lacie prese dal Filosofo e particolarmente nel Trattato “ de incessu animalium ”. La seconda doveva comprendere il racconto di varie esperienze antiche del Galileo da lui fatte per l'investigazione della forza infinita della percossa di cui stimava il medesimo Galileo di avere dopo lunghe vigilie ed applicazioni arrivati i veri principi e fondamenti da poter sopra di essi fabbricare una terza nuova scienza e con progresso geometrico dimostrare proprietà stupende e fuori della comune immaginazione. Ma iniqua sorte invi­diando agli uomini così grandi acquisti nelle scienze, volle che (appena dato principio il Torricelli a distendere la quinta giornata) in capo a poco più di tre mesi dopo la congiunzione in terra di quei due grandi luminari, si estin­guesse il Maggiore conceduto alle vite umane da Dio, sommo Sole, per dimostrar loro nei Cieli e nella Natura novità ammirande e verità peregrine state occulte a tutta l'Antichità ”.

III. — Il periodo fiorentino.

Come è notorio la morte di GALILEO seguì il 6 gen­naio 1641.

“ Per sì funesto accidente non così presto aspetta­tosi dal Torricelli rimaneva qua egli come smarrito; ma la gloriosa memoria del Ser. Gran Duca Ferdinando II sti­molata dalla sua nativa inclinazione a promuovere e pro­teggere le buone lettere e le matematiche in particolare, prese subito a risarcire in parte così gran perdita di simil soggetto statogli rappresentato dal Sen. Andrea Arrighetti a relazione del medesimo Galileo di altissima aspettazione. E mentre questi preparavasi a licenziarsi per tornarsene a Roma fu fatto aspettare d'ordine del G. Duca che allora trovavasi a Pisa e dichiarato successore ad un Galileo cioè matematico di S. A. e per lui fu rinnovata l'antica ma per lungo tempo dimessa lettura di matematiche in questo Studio ” .

In conseguenza di questa provvida ed illuminata deli­berazione il Nostro, sorpassati di poco i trentadue anni, vedeva assicurata a sè stessa una posizione pienamente soddisfacente, perchè, in qualità di matematico dello studio fiorentino, gli era assegnato lo stipendio annuo di scudi 200, ed inoltre il governo toscano gli concesse gratuito alloggio in un quartiere dell'antico palazzo dei Medici che divenne poi palazzo Riccardi (oggi sede della prefettura); più tardi, e precisamente in data 2 gennaio 1644, gli fu con­ferita anche l'ufficio di lettore di fortificazioni militari nella fiorentina Accademia del Disegno con l'annuo emo­lumento di scudi 40 .

Non pago di avere liberato il grande faentino da ogni sorta di preoccupazioni materiali, il Granduca di Toscana lo colmò di altri benefici, il primo e forse più importante dei quali (almeno dal punto di vista dei supremi interessi della scienza), è quello di avere spontaneamente assunta tutte le spese per la stampa e le figure dell'unica opera geometrica che a lui fu concesso di presentare al pubblico , quel- l'opera che ebbe virtù di estendere ai lontani l'altissima stima che il Torricelli si era acquistata da parte delle per­sone che ebbe la fortuna di avvicinarlo.

Col suo trasferimento a Firenze comincia per il TOR­RICELLI il periodo più felice della sua esistenza, quello in cui potè consacrarsi serenamente e con maggiore intensità alla ricerca scientifica ed in cui si affollarono più nume­rose alla sua mente le idee originali . Libero da qual- siasi preoccupazione materiale, essendo bello della persona, gentile di maniera ed amante dell'onesto conversare, non tardò a stringere rapporti di amicizia con le personalità più spiccate viventi allora in Firenze (basti ricordare il celebre pittore SALVATORE ROSA ed il dotto ellenista CARLO DATI); anzi dai regolari convegni che egli tenne con questi valentuomini trasse origine l'Accademia dei “ Percossi ”, in seno alla quale forse egli fece conoscere le Commedie che vuolsi scrivesse ed ove recitò, con plauso generale, quell'Encomio del secol d'oro destinato a prendere posto più tardi nella collezione delle sue Lezioni accademiche . D'altronde l'Accademia della Crusca, onde rendere solenne omaggio alla sua perizia nel maneggio della patria lingua, volle annoverarlo fra i propri membri ed egli, entrando a far parte di quel celebre sodalizio, ri­volse ai nuovi colleghi un ringraziamento che venne pure accolto nella medesima raccolta .

Le più fruttifere indagini da lui condotte a termine nel regno delle scienze matematiche e fisiche durante il pro­prio soggiorno alla Corte di Toscana diedero alcuni risul­tati a cui fu ben presto concesso un posto eminente nei fasti della scienza; fra questi meritano uno speciale ri­cordo i seguenti:

1. Le mirabili qualità da lui avvertite nella cicloide ed in parecchie altre classi di curve piane;

2. La classica esperienza col mercurio e la con­seguente invenzione del barometro ;

3. I procedimenti da lui ideati ed applicati per costruire certi speciali microscopi e per ripulire le lenti destinate ai telescopi .

Esse valsero a diffondere rapidamente la rinomanza del Torricelli, non soltanto al di là delle mura di Firenze, ma eziandio oltre i confini d'Italia. In pari tempo però fecero pullulare detrattori invidiosi che vollero, alcuni diminuire il valore dei suoi ritrovati, altri contestargli i diritti di prio­rità che egli con piena ragione accampava sopra di essi. Da tale ingiustificata ostilità egli fu spinto a scrivere quel Racconto d'alcuni problemi ecc. che oggi rappresenta, dal punto di vista umano, una delle più interessanti pagine, delle sue Opere ; da ciò più tardi un suo amico, CARLO DATI, consigliato e spalleggiato dal fedelissimo esecutore testamentario LODOVICO SERENAI, fu indotto a pubblicare nel 1663, sotto forma di lettera pseudonima, tutti i docu­menti atti ad illustrare e completamente chiarire alcune controversie originate da invenzioni del Nostro e che sono fra le più celebri che siano registrate nella storia delle scienze positive .

IV. — La morte.

Ebbero tali incresciose discussioni il potere di minare la fibra robusta del TORRICELLI e di avvicinare la fine di un'esistenza che sembrava rigogliosa? Il corpo umano è un organismo talmente complicato e misterioso, i rap­porti fra il fisico ed il morale sono tuttora avvolti in così fitta oscurità, che qualunque risposta a questa inquietante domanda dovrebbe giudicarsi imprudente ed infondata; onde noi, dopo di avere richiamata l'attenzione dei lettori sopra le frequenti infermità sofferte dal TORRICELLI anche prima che gli invidiosi cominciassero a latrargli alle cal­cagna , ci limiteremo a riferire i fenomeni che contras­segnarono la sua ultima malattia, quali vengono descritti da un testimonio oculare, meritevole di fede assoluta e completa.

In data 14 ottobre 1647 scriveva LODOVICO SERENAI a FRANCESCO fratello di EVANGELISTA TORRICELLI :

“ Si trova in letto malato il sig. Vangelista fratello di V. S. con febbre che per otto giorni non è stata stimata di gran pericolo, ma hiersera aggravò, e dopo essersi que­sta mattina confessato con grandissimo sentimento e haver fatto testamento, e discorso di tutte le cose sue con gran­dissimo senno sino alle 21 ore incirca, ha poi sull'accen­sione della febbre dato in delirio, e delirò furioso a segno che non si può ajutare con medicamenti senza gran diffi­cultà, e si teme d'incontrarla ancora nel cibarlo. Con la commodità del primo riposo che conceda il delirio sarà pronto il Parocc.no col Santissimo Viatico, e non si man­cherà di vigilanza per ogni rimedio spirituale; siccome attorno al corpo s'è fatto, e si farà tutto il possibile: e acciocchè V. S. possa crederlo sappia che oltre alla servitù sua ordinaria ci assiste quasi del continuo il sig. Dottor Buonajuti suo medico e amico carissimo, io me ne parto soltanto tanto quanto vo à desinare, e a cena con mia moglie habitando vicinissimo, e due astanti mandatici dal Ser.mo Gran Duca non se ne partono punto. In compagnia del sig.r Bonajuti viene alla cura il sig.r Dottore Scafucci medico di S. A. S. la quale somministra regali di delizie e di medicamenti preziosi della sua fonderia. Finalmente la servitù e gli ajuti sono da principi e meritamente essendo egli un Principe della sua professione ”.

Ma tutte queste cure, per quanto assidue, amorose, sa­pienti, non sortirono il desiderato effetto, chè nulla pote­rono contro il delirio che si rinnovava in modo sempre più allarmante; ed il SERENAI addì 25 ottobre 1647 era co­stretto a riprendere la penna per informare FRANCESCO TORRICELLI dell'avvenuta catastrofe :

“ Quel che più ”, egli scriveva, “ anzi infinitamente mi duole è che io devo a dare a V. E. l'infelice nuova della morte del sig. Vangelista seguita questa mattina due ore incirca avanti giorno con pianto universale della Città, e sentimento straordinario del Gran Duca ”,

aggiungendo che

“ il corpo si è depositato nelle Volte della Chiesa Princi­palissima di San Lorenzo questa sera, e gli si farà qualche inscrizione per memoria, e per consolazione nostra, e di lor parenti ”.

Tale epigrafe fu del seguente tenore :

EVANGELISTA TORRICELLIUS FAVENTINUS MAGNI DUCI ETRURIAE MATHEMATICUS ET PHILOSOPHUS OBIIT VIII KAL. NOVEMBRIS ANNO SALUTIS M DC XLVII AETATIS SUAE XXXIX; disgraziatamente questa non fu sufficiente a far distinguere per sempre le ossa del grande pensatore da quelle dei suoi oscuri vicini ; infatti le ricerche dei suoi resti mortali, eseguite per ordine della civica Amministrazione di Fi­renze in occasione del III Centenario della sua nascita, non soltanto non condussero ad alcun risultato, ma gui­darono alla sconsolante conclusione di trovarsi di fronte ad un problema che la scienza è nella impossibilità di scio­gliere .

V. — Le disposizioni testamentarie.

Durante la tregua che il 14 ottobre 1647 si verificò nel delirio che riuscì fatale ad EVANGELISTA TORRICELLI fu concesso all'eminente scienziato di dettare, all'incompara­bile suo amico SERENAI, alcune disposizioni relative ai suoi averi e di dare forma legale alle sue ultime volontà . Mentre per noi ben poco interesse presenta il sapere in qual modo egli abbia diviso le proprie sostanze, possiedono la massima importanza le disposizioni relative alla sorte futura dei lavori scientifici a cui la morte inattesa gli vietò di dare forma ed assetto definitivi; giova pertanto riferirle:

Nel testamento si legge quanto segue:

“ Item ordina al sopradetto Sig.r Lodovico suo esecu­tore che quanto prima, seguita sua morte, trasmetta e mandi a spese della sua eredità al M. R. P. fra Bonaven­tura Cavalieri Matematico dello Studio di Bologna tutti i suoi scritti, studii e fatiche di Geometria quali aveva disegnato di pubblicare alla stampa, essendo già ordinate con le dimostrazioni promesse, acciocchè detto Padre fra Bonaventura ne pubblichi quella quantita che a esso libe­ramente parrà o piacerà, et il restante li mandi a Roma al Sig.r Michelangelo Ricci gentiluomo splendidissimo et amicissimo di detto Sig.r Testatore et intendentissimo di queste scienze, acciò li metta insieme e li pubblichi, come meglio ha significate et ordinate in vece al medesimo Sig.r esecutore. Fra le quali scritture di Geometria detto Sig.r Testatore intende che restino comprese lettere e ri­sposte passate fra lui e i Matematici di Francia ”.

D'accordo ed a complemento di tali ordini stanno al­cuni Ricordi dettati al Serenai, ove fra l'altro è avver­tito che

“ nell'ultima parte del Proemio del libro delle Propor­zioni vi è il Compendio e Indice delle mie altre opere, di quelle che io stimava ”

e riguardo al segreto per la fabbricazione dei vetri è detto:

“ Dettogli: che vuol ella fare del suo segreto delli oc­chiali? Il negozio e segreto dei vetri non occorre neanche mettercelo , perchè io farò che questa mattina sia in mano al Gran Duca serrato: ma ha fatto male S. A. a non mi far lavorare in sua presenza, perchè avrebbe ve­duto e imparato meglio; e non troverà chi lo faccia. Le forme di vetri fatte da me con grandissima diligenza, che S. A. non ne troverà, le lascio alla stessa Altezza S.; e perchè mi costano molti denari, avendole fatte fare in Galleria, dove sempre ho pagato e date mance larghissime, desidero che S. A. se ne mostri benigno con i poveri miei fratelli per quanto le parrà che elle vaglino ”.

VI. — Alla ricerca di un editore.

La consegna al Gran Duca di tutto il materiale ottico relitto dal Torricelli venne eseguita dal SERENAI la sera stessa del 27 ottobre 1647; in che cosa consistesse risulta da un particolareggiato Elenco degli oggetti rimessi al Sovrano, del quale esiste tuttora una copia .

Esaurita questa parte, la più agevole, della missione affidatagli dal compianto amico, il SERENAI si volse sen­z'indugio a preparare la stampa degli scritti lasciati inediti dal TORRICELLI, tanto più fervorosamente avendo avuta l'assicurazione da parte del Gran Duca Ferdinando II che egli stesso avrebbe sostenute le spese della stampa.

Le trattative col CAVALIERI si può dire che finirono prima di venire iniziate; chè, avendo il SERENAI scritto al geometra degli indivisibili sino dal 26 ottobre 1647 per partecipargli la morte del TORRICELLI , ne ebbe risposta di mano di un confratello, fra PLACIDO GHIRLANDI , nella quale è detto che le condizioni di salute del CAVA­LIERI, da cattive che erano da molto tempo, si erano fatte allarmanti: nè in tale apprezzamento vi era alcuna esage­razione, chè il giorno 30 del seguente novembre il CAVA­LIERI passava a miglior vita.

Il SERENAI volse allora il proprio pensiero a MICHE­LANGELO RICCI e, per assicurarsi la sua collaborazione, pregò il MAGIOTTI (con lettere del 30 novembre e del 21 dicembre 1647 ) di assumere la parte di intermediario; il MAGIOTTI non rimase sordo alla preghiera dell'amico (come risulta dalle risposte inviate il 15 dicembre 1647 ed il 10 gennaio 1648 ), ma con esito ben poco soddi­sfacente. Tentò allora il SERENAI un assalto diretto alla troppo ben difesa fortezza , ma, con dolore dovette ri­conoscere ben presto che questa era inespugnabile: ciò è attestato nel modo più chiaro dal seguente brano di let­tera inviata dal RICCI al SERENAI addì 11 aprile 1648 :

“ Quel fervore, col quale gli anni passati intrapresi lo studio delle Matematiche, incominciò ad intiepidirsi alcuni mesi prima che morisse la buona memoria del Sig.r Tor­ricelli, e dopo la sua morte è di maniera diminuito che sento più tosto repugnanza che diletto nell'applicarmivi. Questo però non sarebbe sufficiente a ritardarmi da quel­l'impresa, alla quale mi aveva destinato il Sig.r Vangelista, in riguardo forse di lasciare in sua morte un memorabile onore nella persona d'un suo discepolo, e servitore affe­zionat.mo, cioè dichiarandomi abile alla revisione delle sue degniss.me speculazioni: ma per il peso accresciutomi sù le spalle per la morte di mio Zio, seguita sotto il 15 di Gennaro, e per la grande età di mio Padre, restando sotto la mia direzione quasi in tutto gli affari di mia casa; sono talm.te occupato che nella varietà d'altri pensieri non hanno luogo i concetti Geometrici, che richiedono per se stessi tutto l'ingegno, e la fantasia. Dirò di vantaggio che nei tre mesi decorsi dell'anno corrente sono stato quasi sempre indisposto, et inetto alle fatiche della mente; per le quali cose parmi di avere tanta ragione, e scusa che V. S. possa rendersi persuasa della difficoltà grandiss.ma, che forse potrebbesi e con altro titolo chiamare impossi­bilità, la quale mi fa ricusare la carica di ripulir le opere del Sig. Torricelli ”.

Dolente per questo nuovo insuccesso, ma non scorag­giato, parve al SERENAI che il MAGIOTTI fosse persona indicatissima per assumere l'ufficio a cui il TORRICELLI aveva destinati il CAVALIERI ed il RICCI e si cullò nella dolce illusione di potere giungere a persuaderlo ad addos­sarselo in occasione di una visita che quel valentuomo aveva in animo di fare ad un proprio fratello residente in Firenze ; ma, per ragioni che ignoriamo, anche il MA­GIOTTI declinò l'onorevole ma gravosissimo incarico.

Il seguito delle spinose trattative è narrato dal SERENAI con le seguenti parole :

“ Mancandomi pertanto così gran capitale di questi due matematici e sapendo che tra i veri e buoni Amici che si acquistasse quì il Torricelli il primo era stato Vin­cenzo Viviani, in quel tempo che vivevano amendue in­sieme ospiti e commensali del medesimo Galileo e avendo veduto poi con quanto amore e con qual reciproca fami­gliarità si praticassero continuamente; ricorsi a questo pregandolo contentarsi di faticare sopra le opere geome­triche lasciate in confuso e imperfette dall'Amico nostro, ma egli per lungo tempo ricusò sempre, dicendo non co­noscersi abile a tanta impresa e quando ne fusse stato non aver tempo da impiegarvelo stante le sue occupazioni domestiche e negli affari pubblici e in servigio di S. A. che già un tempo gli impedirono di proseguire i suoi propri studi nonchè applicare agli altri, soggiungendomi altri vari motivi che lo dissuadevano dall'intraprendere questo lavoro.

“ Infine dopo reiterati assalti cedè alle istanze mie e di altri Amici accettando il travagliare sopra tali mano­scritti in quei tempi che gli fossero restati liberi e quieti come diceva richiedersi per lui in simili speculazioni; ma però mi protestò apertamente che volentieri per far cosa grata a me e servire alla memoria del comune amico ac­consentiva di faticarci, ma che siccome ciò faceva senza alcun fine e speranza nè di guadagno nè di premio nè di lode, così voleva almeno assicurarsi di non esporre abben­chè minimo sospetto la sua lealtà, e che però si dichiarava di non voler mai nelle sue mani alcun benchè piccolo fo­gliuzzo degli Originali del Torricelli, con tutto che nume­rati, nè assai nè poco maneggiarli per tempo alcuno, ma che voleva solamente le copie puntuali con le figure foglio per foglio come appresso di me si trovavano. A proposi­zione tanto rispettosa e discreta non seppi che replicare, anzi questa m'insinuò di fare le copie domandate di mia mano propria, come veramente con mia fatica incredibile io lo feci di tutti gli originali matematici imitando giu­stamente, anzi dipingendo tutte le figure, non tanto le ben fatte quanto le guaste e cassate, e ogni parola dello scritto ancorchè cancellata ” .

Quando si tenga presente che molti manoscritti del TORRICELLI consistevano di semplici appunti da lui rapida­mente presi nel corso delle sue ricerche, mentre altri rap­presentano prime stesure di lavori, alle quali erano indi­spensabili molteplici miglioramenti di sostanza e di forma, e che il SERENAI era un giureconsulto di grande reputa­zione , ma affatto digiuno di studi matematici, si vedrà chiaramente che la fatica a cui egli spontaneamente si sobbarcava (e che occupò tutti i suoi ozi durante quattro lunghi anni ) è la più eroica prova di amore per la scienza e di disinteressata amicizia per un illustre defunto che si trovi registrata nella storia. Tante pene avrebbero ben meritato l'unico guiderdone che il SERENAI ne atten­deva, quello cioè di vedere esaudito l'ardente voto formu­lato dal TORRICELLI sul suo letto di morte; ma anche esso fu negato da una sorte implacabilmente avversa!

Non è da credersi che il VIVIANI di deliberato proposito sia venuto meno all'impegno che aveva assunto; la rac- colta fiorentina consacrata ai “ Discepoli di Galileo ” sta a provare quante ore di lavoro egli abbia speso a riordinare, compilare, commentare, trascrivere le opere del diletto commilitone ; ma sia che fosse distratto da indagini sue proprie o quasi totalmente assorbito dalle altre cariche affidategli, sia che le frequenti malattie gli vietassero con­tinuità di lavoro o che preferisse dedicare alla memoria del suo venerato maestro GALILEO il meglio delle sue forze, sia finalmente che, anche in questa contingenza, non gli riu­scisse di vincere la proverbiale incontentabilità che lo in­duceva a correggere, rifare, trascrivere un numero stermi­nato di volte tutto ciò che uscivagli dalla penna, fatto sta che egli scese nella tomba prima che l'augurata edizione si avviasse verso un lontano indizio di attuazione .

Ed il SERENAI, probabilmente avvedendosi della cattiva piega che stava prendendo l'impresa a cui aveva dedicata la vita e sentendo approssimarsi la propria fine, nel testa­mento dettato il 26 settembre 1674 disponeva che tutti i manoscritti torricelliani fossero consegnati ad AGOSTINO NELLI e, in caso di morte di costui, a RIDOLFO PAGANELLI, oppure, nell'ipotesi che anche questi premorisse al testa­tore, a CARLO DATI, in ogni caso a disposizione del VI­VIANI in servizio della progettata edizione: uscita questa in luce tutte quelle carte dovevano essere (come da tempo aveva consigliato il VIVIANI) consegnato al Gran Duca regnante per venire depositato nella Libreria medicea di S. Lorenzo.

Il 28 febbraio 1685 il SERENAI cessava di vivere ed il VIVIANI lo seguiva nel sepolcro addì 22 settembre 1703. In conseguenza le speranze nutrite a lungo e con buon fondamento, che tutte le scoperte fatte dal TORRICELLI venissero poste a disposizione degli studiosi, a maggior gloria di lui ed a vantaggio della scienza, erano, almeno pel il momento, irreparabilmente deluse; per colmo di scia­gura anche le provvide disposizioni prese dal SERENAI onde assicurare la perfetta conservazione dei manoscritti, non sortirono il desiderato effetto, come ci apprestiamo a narrare brevemente .

VII. — Vicissitudini subite dai manoscritti torricelliani.

Morto AGOSTINO NELLI, il figliuol suo GIOVANNI BAT­TISTA, discepolo ed amico del VIVIANI, indusse questi ad assumere la custodia di tutti i manoscritti che il SERENAI aveva ricevuti in deposito fiduciario dal suo compianto amico. Tale adesione non può non recare grande mera- viglia a chi ricordi l'invincibile riluttanza che il VIVIANI aveva da giovane sentita e manifestata di assumere la grave responsabilità di un siffatto deposito. Ma ancor più stupefacente è il fatto che egli, sentendo approssimarsi la grande ombra, mentre diede precise disposizioni a tutela delle ricchissime collezioni di libri e di quadri dei quali era legittimo proprietario, non fece alcun cenno del tesoro di cui un capriccio della sorte (sempre nemica al TORRI­CELLI) avevalo fatto depositario.

Questa negligenza imperdonabile, e che non riusciamo a non chiamare colpevole, visti i deplorevoli effetti che ebbe, proietta sopra la figura morale del VIVIANI una luce ancor più tetra di quanto sia il mancato impegno di pubblicare gli scritti inediti del suo commensale di gio­ventù. In conseguenza di quella dimenticanza (che vo­gliamo giudicare pura e semplice conseguenza di senile amnesia) i manoscritti torricelliani passarono, insieme ad altre carte, in eredità, come mobili, all'abate JACOPO PAN­ZANINI (nipote del VIVIANI e lettore di matematica nello studio fiorentino) e, morto costui (1733), ai suoi nipoti CARLO ed ANGELO, i quali nell'incapacità di comprenderne il valore, un brutto giorno, per fare spazio in armadi so­verchiamente ingombri di biancheria, ne vendettero una parte ad un pizzicagnolo. “ Le vie di Dio son molte ” di­remo con ALESSANDRO MANZONI; giacchè fortuna volle che quel negoziante, ignaro dei più elementari precetti del­l'igiene, si servisse di un autografo del Galilei per avvol­gere una piccola quantità di mortadella da lui venduta a G. B. CLEMENTE NELLI; questi riconobbe subito la scrit­tura del celebre scienziato e, per il tramite di quel pizzi­cagnolo, si pose in relazione con i PANZANINI e riuscì ad acquistare in blocco tutto il materiale scientifico del quale essi a torto, benchè senza alcuna colpa, si consideravano legittimi proprietari.

Ora dal paragone dell'inventario redatto dal NELLI di tutti gli scritti del TORRICELLI da lui comperati con l'Elenco delle Opere inedite del TORRICELLI compilato dal SERENAI con l'aiuto del VIVIANI risulta (fatto incredi­bile, ma pur vero) che, durante le traversie subìte da quei manoscritti, se pure essi subirono qualche perdita, si tratta di cosa pressochè insignificante.

Giunto in possesso di tanto tesoro pensò il NELLI di mostrarsi meritevole dell'insperata fortuna toccatagli col portare a compimento la desideratissima edizione delle Opere inedite del TORRICELLI; mise anche mano ai lavori preparatori, ma sgraziatamente non potè toccare l'ago­gnata mèta. Però, quando ebbe a perdere la speranza di raggiungerla, provvide a che quel tesoro non fosse una nuova volta esposto ad essere disperso; a tale scopo, nel testamento da lui dettato il 14 dicembre 1793, impose ai propri eredi che, qualora pensassero di alienarlo, prima di trattare la vendita con privati, lo offrissero al Gran Duca di Toscana; ora le meno floride condizioni finanziarie della famiglia NELLI avendo consigliata tale vendita, nell'ot­tobre del 1818 Ferdinando III, che deteneva allora lo scettro, esercitando il diritto di prelazione che eragli stato fortunatamente conferito, entrò in possesso di quella ine­stimabile suppellettile scientifica, corrispondendo alla fa­miglia NELLI la somma di zecchini 1046, nella quale le opere del TORRICELLI venivano valutate 80 zecchini. Così finalmente gli scritti del sommo faentino toccavano un porto sicuro! Essi, nel 1861, passarono dalla Biblioteca Palatina alla Nazionale di Firenze, e, con gli altri scritti dell'epoca, diedero origine alla collezione dei “ Discepoli di Galileo ” da noi tante volte ricordata e che, per avventura, è la più importante del genere che esista nel mondo .

VIII. — Pubblicazioni parziali di lavori torricelliani.

Ma nel frattempo alcuni scritti nel Nostro avevano vista la luce in differenti epoche ed in varie occasioni.

Anzitutto, sino dal 1674 il VIVIANI, col consenso del SERENAI , pubblicava tre teoremi dell'opuscolo De pro­porlionibus nel corpo della nota sua opera Quinto Libro degli Elementi di Euclide ovvero Scienza universale delle Proporzioni spiegata con la dottrina del Galileo (Firenze).

Inoltre nel 1715 — come abbiamo già avuto occasione di accennare — uscivano stampate le Lezioni accademiche,per merito di TOMMASO BUONAVENTURI, il benemerito eru­dito che, col concorso di GUIDO GRANDI, BENEDETTO BRE­SCIANI e GIUSEPPE AVERANI curò la prima edizione fio­rentina delle Opere di GALILEO: non è forse fuor di luogo di rilevare, a scanso di equivoci, che per condurre a ter­mine questa importante pubblicazione il BUONAVENTURI si giovò di materiali passati direttamente dalle mani del SERENAI alla Libreria di palazzo Pitti. Gli stessi docu­menti resero possibile che le scritture del Nostro Sopra la bonificazione della Valle di Chiana fossero nel 1768 in­seriti nel T. IV della celebre Raccolta d'autori che trattano del moto delle acque e che dieci anni più tardi, giun­gesse in dominio del pubblico, come Appendice alla bio­grafia del Torricelli scritta da A. FABBRONI, il Racconto d'alcune proposizioni proposte e passate scambievolmente tra matematici di Francia e me dall'anno 1640, in qua . Nè è da credersi che alla pubblicazione integrale delle Operedel TORRICELLI si fosse in quell'epoca del tutto rinunziato; giacchè da una lettera scritta da P. FRISI appunto al FABBRONI il 3 settembre 1774 si apprende che allora vi volgeva la mente un certo GIANNINI (forse il noto ma­tematico toscano PIETRO GIANNINI); ma, come ignoriamo i particolari di questo progetto, ci sono ignote le ragioni per le quali esso venne abbandonato.

Nessun nuovo piano dello stesso genere venne escogi­tato, per quanto ci consta, durante il secolo XIX. Però, inaugurandosi nel 1864 un monumento marmoreo al TOR­RICELLI nella nativa Faenza, furono da G. GHINASSI pub­blicate, asssieme ad altri documenti, alcuni elementi inte­ressanti del suo carteggio scientifico . All'inesauribile munificenza di BALDASSARRE BUONCOMPAGNI si deve la pubblicazione, avvenuta undici anni dopo, di altre impor­tanti sezioni del medesimo carteggio . Ancora: una lettera del Torricelli si trova in una pubblicazione di C. HENRY e nel corso degli anni 1891-98 moltissimi squarci delle Opere inedite del TORRICELLI furono inseriti dal CAVERNI nei primi cinque volumi della sua Storia del metodo sperimentale in Italia, opera che (non è fuor di luogo notarlo) conviene usare con somma cautela, chè troppo spesso il desiderio di denigrare Galileo offusca nell'autore la serenità del giudizio e l'onestà storica . Finalmente allo spirare del secolo scorso giungevano in dominio del pubblico gli studi del TORRICELLI sulla spirale logarit­mica , importante saggio delle sue ricerche sopra “ de lineis novis ”, a cui egli attribuiva tanta importanza.

Ne va dimenticato e taciuto che le indagini amoro­samente condotte sopra le opere già edite guidarono a rivendicare al TORRICELLI la scoperta del metodo delle tangenti che porta il nome del ROBERVAL e la gloria di avere scoperta la prima curva esattamente rettifica­bile . Da ultimo l'importanza dei risultati da lui otte­nuti studiando il celebre problema di FERMAT “ ricerca del punto nel piano di un triangolo per cui è minima la somma delle distanze dai vertici ” consigliarono a chia­mare circonferenze di Torricelli quelle che servono a risol­verlo e punto di Torricelli quello che ne rappresenta la soluzione .

IX. — Risorge il progetto d'un'edizione completa.

Questi vari fatti, mentre ragionevolmente alimentavano la speranza che altre gemme fossero tuttora sepolte nei manoscritti lasciati dal sommo faentino, sembravano im­porre all'Italia risorta un duplice preciso dovere, senti­mentale e scientifico, cioè di soddisfare l'ardente voto espresso sul letto di morte da uno dei più illustri fra i suoi figli e di porre a disposizione di tutti i documenti autentici, atti a costituire i “ considerando ” della sentenza in ultima istanza relativa alle spinose questioni di pro­prietà e priorità che egli aveva dovuto sostenere con ma­tematici ultramontani del tempo suo. La convinzione del­l'imprescindibilità di siffatto dovere spinse chi scrive ad esporre per esteso in occasione del Congresso internazio­nale di scienze storiche che ebbe luogo a Roma nella prima decade dell'aprile 1903 i vari ordini di ragioni che consigliano, e fors'anche impongono, alla patria nostra, il còmpito di continuare nella via in cui essa si pose provve­dendo ad una edizione nazionale, veramente degna, delle Opere di GALILEO, col decretare le stesse postume onore a colui che ebbe a succedergli nella cattedra dello Studio fiorentino .

Questa proposta riscossa l'unanime adesione dei pre­senti (fra i quali si trovava P. TANNERY, l'illustre storico francese che così efficacemente contribuì al buon esito della pubblicazione delle Opere di FERMAT e di DESCARTES), i quali, nella seduta del 6 aprile 1903 concordi votarono il seguente ordine del giorno:

“ La Sezione VIII del Congresso internazionale di scienze storiche (Roma, 1903) fa voti che il governo di S. M. il Re d'Italia affidi alla R. Accademia dei Lincei il còmpito di esaminare le opere manoscritte di Evange­lista Torricelli nell'intento di determinare quali fra esse siano meritevoli di stampa; e di presiedere alla pubblica­zione completa di tutte le opere di lui già edite e di quelle inedite, giudicatene degne, senza escludere il suo carteg­gio scientifico, completando così il lavoro intrapreso con la edizione nazionale delle opere del Galilei ”.

Nell'intento di rendere possibile l'esaudimento di tal voto senza alcun momentaneo aggravio per il bilancio dello Stato, il nostro Ministero della pubblica istruzione, in principio dell'anno scolastico 1904-05, trasferì da Como a Firenze GIOVANNI VAILATI, onde egli dedicasse tutte le ore lasciategli libere dall'insegnamento della matema­tica in quell'Istituto tecnico all'esame preliminare dei manoscritti torricelliani esistenti in quella Biblioteca Na­zionale. Ci è ignoto sino a quale punto il sempre rim­pianto studioso spingesse la sua opera investigatrice; ma questa venne ben presto bruscamente interrotta quando, instituita con R. Decreto 19 novembre 1905 la ben nota Commissione per l'ordinamento degli studi secondari in Italia, il VAILATI fu chiamato a farne parte; onore da lui ben meritato, ma che a ragione pareva racchiudere la mi­naccia di un rinvio “ sine die ” dell'esecuzione della de­siderata edizione.

Si approssimava intanto il III Centenario della nascita del grande scienziato; e GIUSEPPE VASSURA, nel mentre a nome del Municipio di Faenza invitava la Società Ita­liana di fisica a tenere nel 1908 il suo Congresso a Fa­enza, chiedeva venisse emesso un nuovo voto a favore della pubblicazione delle Opere del TORRICELLI; tale lo­devole iniziativa trovò favorevole accoglienza e, nella se­duta del 27 aprile 1906, dopo elevata discussione, venne ad unanimità presa la seguente deliberazione:

“ Il Congresso della Società Italiana di fisica tenutosi in Roma nel 1906 sollecita il governo a dare appoggi ma­teriali e morali affinchè le opere di Evangelista Torricelli vengano sollecitamente pubblicate ”.

Ma neppure questa nuova autorevole esortazione fu sufficiente a convincere il nostro governo che l'invocata pubblicazione costituiva un debito di gratitudine verso chi aveva onorata la patria conservandole, per qualche tempo dopo la morte di GALILEO, un primato che gli stranieri avevano dovuto riconoscere all'Italia.

X. — La presente edizione.

A far ciò volse il pensiero il Comune di Faenza in occasione del III Centenario della nascita dell'inventor del barometro, affidando l'incarico di condurre a termine la nobile e meritoria impresa a GIUSEPPE VASSURA . Con quali criteri egli abbia deciso di adempiere il mandato ricevuto venne da lui stesso esposto in due pubblicazioni che da tempo si trovano a disposizione degli studiosi . A noi basta rilevare quì che a lui appartiene la riparti­zione di tutto il materiale da pubblicarsi in tre volumi, il I destinato ad accogliere tutte le Opere geometriche già edite od in istato da potere venire utilmente pubblicate; il II alle Lezioni accademiche, la Meccanica e Scritti vari;il III riserbato al Carteggio scientifico. E poichè in circa quattro anni di assiduo lavoro egli portò a compimento i volumi II e III così era generale la fiducia che si fosse finalmente scoperta la via capace di porgere la sospirata soluzione della secolare questione.

Se non che, allontanatosi il VASSURA dalla sua città natale sullo scorcio dell'anno 1912, sorse inatteso e spa­ventoso ostacolo contro il compimento dell'iniziata edi­zione. Nell'intento di sormontarlo il Comune di Faenza — dietro suggerimento dello stesso VASSURA — rivolse a me l'invito terribilmente onorevole di curare la pubblica­zione del Volume delle Opere del TORRICELLI dedicato alla Geometria, cioè, in complesso, di tutti i suoi lavori inediti. La gravità di tale missione e l'assoluta impossi­bilità da parte mia di allontanarmi per lungo tempo dalla mia consueta residenza, ove mi trattengono sempre im­prescindibili doveri d'ufficio, mi lasciarono lungamente in dubbio intorno alla deliberazione da prendere. Finalmente, da un lato il desiderio di contribuire all'esaudimento di un desiderio che era espressione di un grande interesse scientifico e nazionale; e dall'altro l'avere il VASSURA poste a mia disposizione le copie eseguite sotto la sua direzione dei lavori torricelliani conservati a Firenze e di altri importanti documenti relativi ed il fatto che io trovai nel dott. C. MOCARINI, dell'Archivio di Stato di Firenze, persona capace e disposta a collazionare ed even­tualmente completare le copie anzidette, finirono col vin­cere la mia troppo giustificata esitazione. Ed ora, superate le difficoltà di ogni genere che intralciarono più e più volte la regolarità del mio procedere (difficoltà che l'im­mane guerra delle nazioni in parte creò ed in parte acuì) mi è dato chiudere la mia fatica presentando al pubblico, in unione al VASSURA, le Opere di E. TORRICELLI, non prima però di avere brevemente esposti i criteri da me prescelti nella mia azione di editore .

XI. — La presente edizione.

Le esigenze imposte ad una riproduzione per mezzo della stampa di opere scientifiche sono di natura ben di­verse da quelle a cui deve soddisfare un lavoro analogo di carattere letterario. Mentre in questo si richiede una riproduzione diplomatica degli originali, che ne rispetti persino la punteggiatura e l'ortografia, ad un'edizione di scritti scientifici si domanda soltanto che vengano religio­samente conservati e fedelmente riprodotti le idee ed i metodi. In conseguenza di ciò noi ci siamo astenuti dal consegnare al tipografo quei frammenti torricelliani che sono manifestazioni tangibili di pensieri che balenarono dinnanzi alla mente dell'autore ed a cui egli non diede più seguito, sia per averli poi ravvisati per “ fatica buttata via ” , sia per mancanza di tempo. È il sistema che già adottarono, ad esempio, gli editori di LAGRANGE, che di­chiararono di seguire coloro a cui fu affidato il gran­dioso compito di preparare la pubblicazione definitiva degli scritti di LEIBNIZ e che, per ragioni ben note a tutti i competenti, verrà abbandonato soltanto riguardo agli scritti di LEONARDO DA VINCI. Perciò la presente edizione è, nelle nostre intenzioni, completa ma non totale, confor­memente, d'altronde, ai voti formulati dal TORRICELLI nel momento in cui preparavasi al viaggio senza ritorno, ed alle intenzioni di tutti coloro che, prima di noi, si accin- sero a soddisfarli. Ciò, naturalmente, non esclude in alcun modo che altri più oculato, possa trovare nei manoscritti che si salvarono dalla minacciata dispersione, materiali per aggiunte ai volumi che noi oggi sottoponiamo al giu­dizio del pubblico; onde questi non hanno alcuna pretesa di far cessare il commovente pellegrinaggio di cui da circa un secolo è oggetto l'inesauribile raccolta dei “ Discepoli di Galileo ”.

I fogli relitti dal TORRICELLI furono investigati con amorosa profondità — già lo abbiamo detto e più d'una volta — dal SERENAI e dal VIVIANI, i quali li ordinarono, onde fare di quelli che trattano argomenti affini un tutto omogeneo e degli altri un artistico mosaico . Ora delle loro fatiche altamente meritorie noi abbiamo tratto il massimo profitto, non soltanto nell'egoistico intento di al­leviare il còmpito nostro, ma perchè quei due valentuo­mini vanno considerati come i più coscienziosi depositari ed i più fedeli interpreti del pensiero torricelliano. Però, anche dopo tale indiscutibile perfezionamento subìto da tutti quei lavori, essi raggiunsero soltanto in piccolissima parte l'esattezza di forma che si esige da qualsia scritto scientifico ; doveva l'editore permettersi di correggere di suo arbitrio le inesattezze riscontrate e di colmare le la- cune da lui notate? A nostro avviso no; giacchè un siffatto poco rispettoso ed arbitrario sistema avrebbe reso difficile, e fors'anche impossibile, al lettore di avere dinnanzi una fedele immagine del pensiero torricelliano; è nostra con­vinzione che il VIVIANI aveva vagheggiato di eseguire que­st'opera complementare, ma che poi l'abbandonò forse per scrupoli ben giustificati; e probabilmente la vana ricerca di un'altra procedura che consentisse di offrire al pubblico le produzioni del suo venerato amico sotto aspetto del tutto soddisfacente fu la cagione che spinse lui — che tanto spesso e volontieri sacrificava alla Dea Procrastinazione — a rinviare di giorno in giorno l'adempimento dell'impegno assunto col SERENAI. Il procedimento indarno cercato dal­l'ultimo discepolo di GALILEO è forse quello a cui ai dì nostri si appigliarono gli editori delle Opere dell'HUYGENS, i quali, riguardo agli scritti inediti del sommo Olandese, adottarono il sistema della riproduzione diplomatica, ac­compagnata da esaurienti commenti, sotto forma di note a piè di pagina; è il sistema che noi pure avremmo pre­ferito ove l'edizione delle Opere di TORRICELLI, al pari di quella di quel celebre scienziato, fosse stata assunta da un sodalizio scientifico avente esistenza illimitata nel tempo; ma, data invece l'enormità del lavoro consistente nel com­pletare e commentare tutti gli scritti inediti del TORRI­CELLI e data la brevità della vita umana, scegliendolo non si sarebbe probabilmente ottenuto altro risultato che di aggiungere un nuovo nome alla lunga teoria di persone che tentarono indarno di porre in circolazione i frutti delle elucubrazioni geometriche del celebre faentino.

Per tali ragioni noi limitammo l'opera nostra ad insi­gnificanti ritocchi superficiali, a qualche sobria dilucida­zione a piè di pagina ed al sostituire gli schizzi nervosa­mente tracciati dall'autore con figure effettivamente capaci di chiarire i ragionamenti esposti .

Coloro che prima di noi si accinsero a pubblicare gli scritti di cui ci occupiamo si proposero di presentarli al pubblico in modo da formare un tutto ben ordinato: pro­blema certo importante e bellissimo, ma che, secondo noi, lo stesso autore non sarebbe stato in grado di risolvere. Infatti si tratta, non di materiali destinati a costituire un'opera unica, ma sibbene di svariatissime ricerche, rag­gruppantisi intorno ad alcuni centri; ond'è nostro con­vincimento che il TORRICELLI se ne sarebbe servito per scrivere parecchie memorie staccate. “ Rebus sic stanti­bus ” per porre un po' d'ordine a quei materiali non si poteva pensare che ad un ordinamento o cronologico, o in base agli argomenti trattati, o tenendo conto dei me­todi di ricerca usati. Ora:

1. Alla cronologia è impossibile ricorrere, chè i fogli lasciati dal Nostro matematico non portano date e d'al­tronde le sue lettere provano che, nel sessennio della sua più intensa produttività (1641-1647), egli si occupava di studi differenti, alternando le indagini di pura geometria con esperienze di fisica e trovando riposo nelle operazioni manuali che lo resero celebre nella pulitura dei vetri con le ricerche baricentriche.

2. Alla materia si fa appello con scarso profitto, chè parecchi soggetti furono da lui trattati da punti di vista differenti.

3. Quanto al metodo d'indagine, pure essendo sempre geometrico, talora è prettamente archimedeo, talora in­vece è ispirato alle idee del CAVALIERI; ora il comporre una Sezione con i lavori scritti in istile antico ed una con gli altri, avrebbe avuto come conseguenza un'evidente e deplorevole violazione dell'ordine in cui si svolse il pen­siero dell'eminente scienziato.

Per tutte queste ragioni noi abbiamo rinunciato ad un rigoroso ordinamento di tutta la materia. Dopo la ripro­duzione della parte non meccanica dell'Opera geometrica — l'unica che egli potè presentare al pubblico — ponemmo un brevissimo squarcio che ne costituisce un complemento, poi gli scritti che, trattando nuovi problemi di contatti circo­lari, della teoria delle proporzioni e di svariate questioni di planimetria e stereometria, porgono aggiunte alla geome­tria elementare degli antichi. Altrettanto può dirsi di una ricca miscellanea di teoremi semplicemente enunciati ed in gran parte desunti dalla precedente raccolta. Seguono ad essa alcune pagine che rivelano i dubbi che, nel TORRICELLI od in altri, sorsero contro la geometria dell'infinito, la quale rigogliosamente fioriva intorno al 1650, e che si ritro­vano in altro suo scritto sugli indivisibili. S'incontrano poi le ricerche baricentriche o stereometriche relative a por­zioni di quàdriche rotonde. Riunimmo finalmente le impor­tanti scritture relative a curve speciali le quali — secondo gl'intendimenti manifestati dall'autore nell'esordio alla me­moria De proportionibus — dovevano essere ingredienti di un'opera di lunga lena da intitolarsi De lineis novis.

Con l'eleggere ed adottare siffatta distribuzione delle materie noi non pretendiamo di avere divinate le inten­zioni del TORRICELLI (dato e non concesso che egli ne avesse di definitive); ci lusinghiamo, però, di non avere resa impossibile la ricostruzione della genesi del suo pen­siero scientifico.

XII. — A che cosa miri la presente pubblicazione.

Nel licenziare il frutto delle nostre lunghe fatiche ci si affaccia spontaneamente la tormentosa domanda quale sarà l'accoglienza che esso sarà per ricevere da parte del pubblico matematico. Ora ci sembra fuor di questione che la presente pubblicazione costituiva da parte dell'Italia un preciso dovere verso uno dei più illustri suoi figli “ onde assicurare contro i danni inevitabili del tempo quelle pa­gine venerande, cui troppo spesso invidiano gli inchiostri seicenteschi, veramente edaci della loro carta ” . Ad essa però non può certamente venir fatta l'accoglienza festosa che il TORRICELLI giustamente sperava quando, nella tregua del delirio, raccomandava agli amici i suoi lavori tuttora inediti. Gli è che nei tre secoli ormai de­corsi dal giorno in cui egli scese nella tomba l'ambiente matematico si è totalmente e radicalmente mutato. I pro­cedimenti di cui egli si serviva sono quelli foggiati da un contemporaneo di PLATONE, EUDOSSO DA CNIDO, svolti ed applicati da ARCHIMEDE e trasfigurati dal CAVALIERI; anzi il TORRICELLI seppe servirsene con tanta abilità e disinvol­tura che ben a ragione questi valentuomini avrebbero po­tuto additarlo alla universale estimazione dicendo: “ Ecco colui che

Mostrò ciò che potea la lingua nostra ”.

A quei vetusti procedimenti egli si attenne con fedeltà ancora più rigorosa di quanto abbia fatto il suo contem­poraneo HUYGENS (matematico che giova citare pei nume­rosi punti di contatto che presenta col Nostro ); giacchè mentre questi prestò di quando in quando facile orecchio alla giovane algebra che allora presentavasi circonfusa di promettenti lusinghe, il TORRICELLI austeramente respinse ogni sorta d'inviti per quanto seducenti, onde nella storia della matematica egli ci si presenta siccome l'ultimo dei puristi . Per effetto di tali spiccate caratteristiche men­tali Egli era destinato ad annoverare in vita molti ammi­ratori e alcuni seguaci, ma fatalmente doveva essere ben presto lasciato in completo abbandono. Perciò, se è indu­bitato che questo fenomeno si sarebbe manifestato pochi decennii dopo la scomparsa del TORRICELLI — cioè dopo il trionfo delle idee di DESCARTES e FERMAT, di LEIBNIZ e NEWTON — non è forse matematicamente certo che esso apparirà sotto forma ancora più generale in un'epoca, come l'attuale, che segue il secolo di LAGRANGE ed EULERO, non­chè quello in cui, per opera della pleiade di matematici iniziatasi con ABEL e CAUCHY e chiusa con WEIERSTRASS e POINCARÉ, l'analisi matematica raggiunse un'altezza, un'e­stensione, un'energia che sarebbe stato follia sperare?...

Perciò — sarebbe vano negarlo — la presente pub­blicazione, al pari delle analoghe che la precedettero in Italia ed all'Estero, possiede un carattere, non pratico, ma eminentemente storico; ad essa è affidata la nobile missione di porgere al futuro storico della matematica gli elementi, di cui sino ad oggi si lamentava l'assenza, per lumeggiare in tutti i suoi più reposti meati il grande pe­riodo che prelude l'apparizione del calcolo infinitesimale e per determinare il posto che spetta ai discepoli di GALILEO fra i precursori dei sommi di cui vanno giustamente su­perbe l'Inghilterra e la Germania.

Tuttavia, come i più recenti mezzi di locomozione non fecero scomparire del tutto i dilettanti di podismo, i quali a ragione sostengono come la rapidità vieti la contempla­zione dei particolari, così è certo che, anche in avvenire, s'incontrerà sempre qualche studioso che, abbandonando le formole e le funzioni generalissime della cui contem­plazione si compiace l'analisi moderna, ritornerà allo studio diretto, cinematico e geometrico, delle figure; ebbene tale presunto e desiderato investigatore, dopo di avere suc­chiato il più vital nutrimento dalle opere lasciateci dalla classica Antichità o fiorite al caldo sole della Rinàscita, trarrà inestimabili vantaggi dalle Opere di EVANGELISTA TORRICELLI che la Patria riconoscente, assolvendo un de­bito che su di essa gravava da secoli, pone oggi a dispo­sizione degli studiosi di tutto il mondo.

Genova, aprile 1919.

GINO LORIA.

DE SPHAERA ET SOLIDIS SPHAERALIBUS

LIBRI DUO.

IN QUIBUS ARCHIMEDIS DOCTRINA DE SPHAERA ET CYLINDRO DENUO COMPONITUR, LATIÙS PROMOVETUR, ET IN OMNI SPECIE SOLIDORUM, QUAE VEL CIRCA, VEL INTRA SPHAERAM, EX CONVERSIONE POLIGONORUM REGULARIUM GIGNI POSSINT, UNIVERSALIUS PROPAGATUR.

Serenissimo Magno Duci Etruriae

FERDINANDO II

Erubescerem profectò, Serenissime Magne Dux, oblaturus libellum hunc Serenissimae Celsitudini Tuae, nisi haberem maxima Archimedis, et Galilei nomina, quae praetendere possim audaciae meae: Exigua enim sunt opuscula haec, et de rebus aetate nostra neglectis, nempe Geometricis. Attamen, nisi fallor, duo maxima Geometriae opera promovebunt, cum veterem De Sphaera, et Cylindro, novamque De Motu scien­tiam exequantur. Sed ego frustra Geometriam excuso apud eum Principem, cui non solum haereditaria, sed etiam in­genita est Mathematicarum disciplinarum protectio. Serenis­simus enim Cosmus II Pater Tuus stipendijs celeberrimo Galileo oblatis; deinde Ser. C. Tua, beneficijs maximis in huiusmodi scientiae cultores collocatis, optime demonstravit intelligere, quanti momenti sint Mathematicae scientiae, vel in disponendis exercituum aciebus, vel in muniendis, exor­nandisque urbibus, utroque tempore belli, pacisque. Cum enim (ut de Mechanica facultate sileam) totum penè civile commercium pondere, numero, et mensura administretur, quis non videat omne hominum negotium in Mathematicis esse? quae tria quantitatis genera cum in Scholis nostris quotidie agitentur, illi profectò maximè utiles Reip. habe­buntur, qui in huiusmodi studijs versati, exercitatique erunt. Libellorum itaque non inutilium causa penitus mala non erit quatenùs Geometrici sunt. Utinam mala non sit eo no­mine quòd sunt mei: Propterea humilitèr oro, ut illos qua­lescumque sint, Tibi tamen debitos, Tuaque munificentia editos, S. C. Tua suscipere dignetur eo vultu, quo me quoque sup­plicem suscepit, atque ea humanitate, quae cum tanti Prin­cipis maiestate coniuncta, amorem elicit etiam ab ignotis. Faveat Deus omnibus votis Tuis, et S. C. Tuam, imperiumque diu tueatur, et augeat.

Sereniss. C. Tuae

Humillimus servus

Evangelista Torricellius.

PROEMIUM

Inter omnia opera ad Mathematicas disciplinas perti­nentia, iure optimo Principem sibi locum vindicare vi­dentur Archimedis inventa; quae quidem ipso subtilitatis miraculo terrent animos. Verùm inter omnes libros egregij Authoris longè eminet ille, qui De Sphaera, et Cylindro inscribitur: neque enim posteritatis tantùm consensu, sed etiam ipsius Scriptoris iudicio primas tenet. Certè hunc ipse in titulum sepulcri elegit, dignumque prae caeteris iu­dicavit, qui tanti viri tumulum exornaret, ostenderetque. Hunc tamen si quis attentiùs considerare, et perpendere velit, magnum quidem inventum fateatur necesse est, sed fortasse non absolutum. Loquor equidem de primo tantùm libro, in quo partem operis Theorematicam, et omnem doctrinae inventionem exequitur: quo veluti iacto funda­mento, in secunda parte postea, quasi coronidis loco, pro­blemata quaedam tamquam corollaria ad eam rem spe­ctantia ipse subnectit. Titulus libri est De Sphaera, et Cylindro; quae quidem verba apud nos idem sonant, ac si dixisset De Sphaera, atque unico solido sphaerali; sed sphaeralia solida, quorum unum est cylindrus, multitudine sunt infinita, ut mox patebit. Ergo absolutior fortasse con­templatio videri potuisset, si eximius Author proportionem, non tantùm eam, quae est inter sphaeram, unicumque ex sphaeralibus solidis perquisisset, verumetiam omnem aliam rationem, quae inter sphaeram ipsam, et unumquodque ex infinitis sphaeralibus solidis inter cedit, ostendendam sibi assumpsisset. Hoc itaque propositum erit, et institu­tum meum in praesenti libello. Doctrinam non solum de Sphaera, et Cylindro, sed de sphaera, et sphaeralibus so­lidis omnibus prosequemur: Mutatisque plerumque Archi­medaeis fundamentis, universaliori demonstratione illam complecti conabimur, atque in omni specie solidorum, vel intrà, vel circà sphaeram descriptorum, propagabimus.

Ex libro Archimedis De Sphaera et Cylindro duo haec colliguntur spectantia ad illa solida, quae nos sphaeralia appellamus: Primum, quòd sphaera dupla est inscripti sibi rombi solidi aequilateri; quod quidem unum est ex solidis sphaeralibus, genitum ex revolutione quadrati inscripti, et circa diagonalem conversi. Alterum; quòd cylindrus ad inscriptam sibi sphaeram est sesquialter. quod quidem et unum ex solidis sphaeralibus est, genitum ex conversione quadrati circumscripti, et circa ipsius catetum revoluti. Stantibus his, contemplatione dignum mihi videbatur uni­versalius aliquod problema huiusmodi.

Dato poligono quocunque regulari sivè intrà, sivè circà circulum descripto, et sive circa diagonalem, sive circa catetum revoluto; pro­portionem dicere, quam factum ex polygono solidum habeat, ad factam ex circulo sphaeram.

Penitus autem ex voto successit instituta contemplatio. Nam inventa proportione, sex ista inferiùs adnotata Theo­remata ita se habere comperi, quemadmodum hìc subij­ciuntur.

Prima solidorum sphaeralium species.

Si intrà circulum descriptum fuerit poligonum regulare habens latera numero parià, et conver­ tatur figura circa catetum B. Quaeri­tur ratio sphaerae ad factum soli­dum.

Continuetur ratio radij poligoni ad catetum eiusdem, nempe A ad B in quatuor terminis A, B, C, D. Erit que sphaera ad solidum inscriptum, ut diameter sphaerae, hoc est ut dupla ipsius A, ad utramque simul B, et D.

Secunda species.

Si intra circulum descriptum fuerit po­ ligonum regulare habens latera numero paria, et cunvertatur figura circà diagona­lem AB. Quaeritur ratio sphaerae ad fa­ctum sphaerale solidum.

Ostenditur. Sphaeram esse ad solidum,

ut quadratum AB ad quadratum cateti AC.

Theor. 7 Lib. 2.

Tertia species.

Si intrà circulum describatur poligonum regulare ha­bens latera numero imparia, et con­ vertatur figura circa catetum B. Quaeritur ratio sphaerae ad factum sphaerale solidum.

Continuetur ratio radij A ad ca­tetum B in quatuor terminis A, B, C, D. Eritque sphaera ad solidum, ut quadrupla ipsius A ad B semel, C bis, et D semel simulque sumptas.

Theor. 19. Lib. 2.

Quarta species.

Si circà circulum describatur poligo­ num regulare, habens latera numero paria, et convertatur figura circa catetum C. Quaeritur ratio solidi ad sphaeram.

Ostenditur solidum esse ad inscriptam sibi sphaeram, ut duo simul quadrata, quorum unum fit ex radio D alterum ex cateto C, ad duplum quadrati C.

Theor. 18. Lib. 2.

Quinta species.

Si circà circulum describatur poligonum regulare habens latera numero paria; et convertatur figura circa diagonalem A. Quaeritur ratio solidi ad sphaeram.

Theor. 6. Lib. 2.

Ostenditur solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse ut radius A ad catetum B hoc est ut axis solidi ad axem sphaerae.

Sexta, et ultima species.

Si circa circulum describatur poligonum regulare ha­bens latera numero imparia, et con­ vertatur figura circa B catetum. Quaeritur ratio solidi ad sphaeram.

Continuetur ratio radij A ad ca­

tetum poligoni B, in tribus terminis A, B, C. Eritque solidum ad sphae­ram, ut A semel, B bis, et C semel simulque sumptae, ad quadruplam ipsius C.

Theor. 18. Lib. 2.

Solidorum itaq: sphaeralium species omninò sex emer­gunt, et uniuscuiusque speciei ratio ad suam sphaeram in­notescit. Possent fortasse videri tres tantum solidorum species, si solida absolutè, ac sine suis sphaeris conside­rentur. Verum si illa ad sphaeram referantur, statim re­latio variatur, et proportio alia consurgit, prout cognata solidis ipsis sphaera inscripta fuerit, vel circumscripta.

Quibus demonstratis, varia pro Corollarijs Theoremata statim emergebant; cuiusmodi sunt. Datis ex praedicta­rum sex specierum solidis duobus quibuscunque, alterius ad alterum rationem notam facere.

Conum aequilaterum circa sphaeram descriptum, esse ad ipsam sphaeram ut 9 ad 4. Nempe duplum sesqui quar­tum. Propterea si circa eandem sphaeram conus, cylin­drusque aequilateri descripti sint, tria solida, nempe conum, cylindrum, et sphaeram fore inter se in continua propor­tione sesquialtera.

Sphaeram ad conum aequilaterum sibi inscriptum esse ut 32 ad 9.

Sphaeram ad inscriptum cylindrum aequilaterum ine­fabilem rationem habere, nempe ut diameter quadrati ali­cuius ad 3/4 lateris eiusdem.

Rombum solidum aequilaterum sphaerae circumscri­ptum ad eandem sphaeram incomensuràbilem esse, nempe ut diameter quadrati alicuius ad latus eiusdem.

Sphaerale solidum exagonale circa catetum revolutum esse ad inscriptam sibi sphaeram sesquisextum.

Sphaeram autem ad exagonale solidum sibi inscriptum, et circà diagonalem revolutum, esse sesquitertiam.

Et alia huiusmodi, quae quidem altiùs perscrutanti in­numera patebunt. Interim satis superque mihi erit aliqua apposuisse, quae propria claritate ultrò se se offerunt etiam aspernanti. Horum maxima pars Corollaria esse poterant praecedentium sex Theorematum; attamen illa demonstra­bimus ex sola etiam Euclidis doctrina, sine ope illorum quae de sphaeralibus praemiseramus; Ut videre est ad Propositiones 30 et 9 seqque in secundo libro. Caeterum huiùs contemplationis occasionem, mox etiam et scriptionis incitamentum praebuit mihi acutissimus librorum Archi­medis scrutator Antonius Nardus Aretinus: huic enim re­fero, atque ipsius eruditis colloquijs, si quid verè Geome­tricum in hac scriptura exciderit mihi.

Si verò pleraque mala erunt, et fortasse omnia, hoc unum culpàndus erit ornatissimus vir, et genere, doctrinà, moribusque conspicuus Andreas Arrighettus Florentinus, qui post magna in me collata beneficia, editionem mali libri non suasit, sed iussit.

DEFINITIONES.

1. Cuiuscunque poligoni regularis latera habentis nu­mero paria, Diagonalem voco lineam, quae per oppositos flgurae angulos ducitur. Catetum verò voco lineam, quae puncta media laterum oppositorum connectit: sive earum­dem semisses. Cuiuscunque verò poligoni regularis latera habentis numero imparia, catetum voco lineam, quae ab uno angulo per centrum figurae extenditur.

2. Si poligonum quodcunque regulare convertatur, sivè circa diagonalem, sive circa catetum, donec ad eum locum redeat unde caepit moveri, solidum illud quod ex revolutione circumscribitur, sphaerale solidum appellare visum est. Parilaterum quidem si poligonum habuerit la­tera numero paria, Imparilaterum verò, quando poligonum latera numero imparia habebit.

Si cylindrus, sive conus, vel etiam coni frustum plano per axem ducto sectum sit: communem secantis plani, et curvae superficiei sectionem vocabimus latus cylindri, sive coni, sive frusti conici.

Suppositiones.

Supponimus. cuiuscunque prismatis circà cylindrum ae­quealtum descripti, superficiem maiorem esse cylindri ipsius superficie. Cylindricam verò superficiem maiorem esse superficie prismatis inscripti, basim habentis regula­rem. exceptis semper basibus. Item pyramidis circa conum descriptae superficiem maiorem esse ipsius coni superficie; Inscriptae verò pyramidis et regularem basim habentis, supponimus superficiem minorem esse conica superficie.

Demonstrantur haec apud Archimedem propos. 9, 10, 11, 12 lib. I de Sph. et Cyl. Si quis verò ea tamquam nota admittere velit, totum libellum nostrum percurrere poterit.

DE SOLIDIS SPHAERALIBUS

LIBER PRIMUS

PROPOSITIO I.

Si Cylindri recti superficies secetur plano oppositis ba­sibus parallelo; erunt segmenta superficiei cylindricae in­ter se, ut segmenta axis, sive lateris cylindri, homologe sumpta.

Esto cylindrus rectus ABCD, seceturque plano EF oppositis basibus parallelo; Dico cylindricam superficiem AEFD, ad cylindricam EBCF, esse ut axis ad axem, sive ut latus AE, ad latus EB.

Producatur utrimque in infinitum cylindrus, et accipiatur recta EG multiplex ipsius EA, iuxtà quamlibet multiplicitatem, sectaque EG in partes ipsi EA aequales, agantur per puncta divisio­num H, I, G; plana oppositis basibus parallela. Eritque tam multiplex recta GE ipsius EA: quàm multiplex est cylindrica superficies EL, super­ficiei ED.

Sumatur etiam recta EM multiplex ipsius EB, iuxta quamlibet multiplicationem; similique peracta constructione ut supra; erit tam multiplex recta EM rectae EB, quàm multiplex est cylindrica superficies EN, superficiei EC.

Manifestum ergo est, quod si recta EG maior fuerit, sive minor, vel aequalis, rectae EM: tunc etiam cylindrica superficies EL, maior erit, sive minor, vel aequalis super­ficiei EN: et hoc semper: Propterea erit, ut AE ad EB, ita superficies AEFD, ad superficiem EBCF. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO II.

Si fuerit quodcunque prisma rectum, habens basim poligonam regularem, habensque altitudinem aequalem quartae parti cateti suae basis; erit perimeter prismatis aequalis poligono suae basis.

Esto poligonum regulare ABCDEF, super quo conci­piatur prisma rectum, habens pro altitudine AL quartam partem cateti IH. Dico peri­metrum prismatis, constan­tem ex figuris rectangulis aequalibus quarum una sit LB, aequalem esse poligono suae basis.

Ducantur enim diagonales AOD, BOE, et erectà per­pendiculari IM, iungantur AM, BM;

Cum ergo IH ponatur quadrupla ipsius IM, erit IO dupla ipsius IM; et ideo triangulum AOB duplum trian­guli AMB eandem basim habentis; sed etiam rectangulum LB duplum est trianguli AMB; propterea rectangulum LB aequale erit triangulo AOB; et sic de reliquis rectangulis, reliquisque triangulis: Quare totus prismatis perimeter, constans ex figuris rectangulis, aequalis est poligono suae basis. Quod erat demonstrandum.

Corollarium.

Constat ergo, quod si altitudo prismatis maior, minorvè fuerit, quàm quarta pars cateti suae basis, erit perimeter prismatis maior, minorvè quàm poligonum suae basis.

PROPOSITIO III.

Si fuerit cylindrus rectus, cuius altitudo aequalis sit quartae parti diametri suae basis; erit cylindrica super­ficies aequalis circulo suae basis.

Esto cylindrus rectus, cu­ ius basis circulus circa dia­metrum AB descriptus; alti­tudo verò AC, aequalis sit quartae parti diametri AB.

Dico cylindricam superfi­ciem aequalem esse circulo suae basis AB.

Si enim aequalis non est; erit circulus vel maior, vel minor cylindricà superficie.

Sit primùm circulus maior quàm cylindri superficies; et supposità differentia G, describatur intrà circulum ali­quod poligonum ADEB, quod quidem deficiat à circulo minori defectu, quàm sit spatium G; et ideo erit poligo­num inscriptum adhuc maius quàm cylindrica superficies (quomodo fiat hoc constat ex Commentarijs in Archime­dem, et ex XII Euclidis:) Tum supra poligonum ADEB concipiatur prisma rectum eiusdem cum cylindro alti­tudinis.

Cùm ergò altitudo prismatis eadem sit ac cylindri, nempe quarta pars rectae AB, erit altitudo prismatis maior quàm quarta pars cateti suae basis poligonae, et ideo pe­rimeter prismatis maior erit quàm poligonum suae basis, et multo maior, quàm cylindrica superficies (factum enim est poligonum maius cylin­ drica superficie). Quod est absurdum: est enim contra praemissas suppositiones.

ex. Corollar. praeced.

Ponatur deinde circulus minor quàm cylindrica su­perficies: et supposità diffe­rentia G, describatur circa circulum aliquod poligonum regulare DEFG, quod excedat circulum spatio minori quàm sit C (quomodo hoc fiat con­stat apud Commentarios in Archim. et in XII Euclidis.) eritque etiam poligonum minus quàm cylindrica superficies.

Concipiatur suprà poligonum erigi prisma eiusdem al­titudinis cum cylindro; eritque altitudo prismatis quarta pars cateti suae basis poligonae. (cum prismatis altitudo eadem sit atq: cylindri; cylindri autem altitudo est quarta pars rectae AB, quae aequalis est cateto poligoni, quod est basis prismatis).

per 2. huius.

Ideo perimeter prismatis aequalis erit poligono suae basis; et propterea minor quàm cylindrica superficies. Quod est contra praemissas suppositiones.

Erit ergò superficies cylindrica aequalis circulo suae basis. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO IV.

Cylindri recti superficies ad circulum suae basis est ut latus cylindri ad quartam partem diametri eiusdem basis.

Esto cylindrus rectus, cuius rectangulum per axem sit ABCD; sumptaque BE, quae quarta pars sit ipsius BC; Dico cylindricam superficiem ABCD ad circulum suae basis esse, ut AB ad BE.

Producatur cylindrus versus F, sectàque BF aequali ipsi BE, erit per praecedentem, cylindrica superficies FC aequalis circulo suae basis BC.

per 1. huius.

Iam: cylindrica superficies BD, ad cylindricam super­ficiem FC est ut AB ad BF; superficies verò FC ad cir­culum BC (ob aequalitatem) est ut FB ad BE; Ergo ex aequo erit cylindrica superficies BD ad circulum BC, ut AB ad BE, nempe ut latus cylindri ad 1/4 diametri basis eiusdem. Quod erat ostendendum.

PROPOSITIO V.

Cylindri recti superficies ad circulum quemlibet, est ut rectangulum per axem cylindri ad quadratum semidia­metri ipsius circuli.

Esto cylindrus rectus cuius re­ ctangulum per axem sit AB, et centrum basis H. Ponatur autem circulus quilibet cuius semidia­meter CD. Dico cylindricam su­perficiem ad circulum ex CD, esse ut rectangulum AB ad quadra­tum CD.

Fiat ex AE (quae quidem 4 pars sit rectae AL) qua­dratum FE, producaturque EG.

Erit ergò cylindrica superficies AB ad circulum suae

basis, ut IA ad AE, hoc est ut IA ad AF, hoc est ut re­ctangulum IE ad quadratum FE; sive, sumptis quadruplis, ut rectangulum AB ad quadratum ex AH. Circulus verò basis AL ad circulum ex CD, est ut quadratum ex AH ad quadratum ex CD; ergò ex aequo erit cylindrica su­ perficies ad circulum ex CD, ut rectangulum per axem ad quadratum CD. Quod erat demonstrandum.

per praeced.

Prim. 6.

2. duodecimi.

Corollarium.

Pro Corollario erit Propositio XIII lib. I Archim. de Sphaera et Cylindro. Constat enim quòd si CD media fuerit proportionalis inter IA, AL; quadratum ex CD aequale erit rectangulo AB et propterea, ex demonstratis, cylindricam superficiem AIBL aequalem esse circulo ex CD necesse est.

PROPOSITIO VI.

Cylindrorum superficies inter se sunt ut eorumdem re­ctangula per axem homologè sumpta.

Sint cylindri recti quorum rectangula per axem sint AB, CD. Dico cylindricam superficiem AB, ad cylindricam CD esse, ut rectangulum AB ad rectangulum CD.

Accipiatur pro circulo quolibet, circulus circa diametrum AE.

per praeced.

Erit ergò cylindrica superficies AB ad circulum quemlibet AE, ut rectang. AB ad quadratum AF. Cir­

culus verò ex AF ad cylindricam superficiem CD est ut quadratum ex AF ad rectangulum CD; ergo ex aequo cylindrica superficies AB ad cylindricam CD, est ut rectangulum AB ad rectang. CD. Quod erat osten­dendum.

per praeced.

PROPOSITIO VII.

Si recta pyramis basim habuerit poligonam regularem­que erit basis pyramidis ad reliquam ipsius superficiem, ut semicatetus basis ad catetum superficiei.

Esto pyramis recta, cuius ba­ sis poligonum regulare AFED. vertex verò G, et centrum basis sit I. Secto deinde uno latere bi­fariam in H, iunctisque GH, IH, erit GH catetus superficiei pyra­midis; IH vero semicatetus basis; quandoquidem omnia triangula in superficie sunt aequi­cruria, et aequalia inter se; quod etiam verum est et in basi.

Dico basim ad superficiem esse ut IH ad HG.

Triangulum enim AIF, ad triangulum AGF (cum sint in eadem basi) est ut IH, ad HG, ergo etiam ipsorum aequemultiplicia, nempe basis, et superficies pyramidis, in eadem ratione erunt, nempe ut IH ad HG. Quod erat ostendendum.

15. quinti.

PROPOSITIO VIII.

Coni recti basis ad reliquam conicam superficiem, est ut semidiameter basis ad latus coni.

Esto conus rectus, cuius basis AB, vertex verò C, axis CD.

Dico circulum basis, ad re­liquam conicam superficiem, esse ut DA, ad AC.

Si enim ita non est; erit circulus AB vel maior, vel min. quam oportet esse, ut ad conicam superficiem sit quemadmodum DA ad AC.

Sit primùm maior; et ponatur tantò maior quantum est spatium E. Inscribatur in circulo poligonum deficiens à circulo, minori defectu quàm spatium E; habebitque hu­iusmodi poligonum ad conicam superficiem adhuc maiorem rationem, quàm DA ad AC. Secto deinde uno poligoni latere AF bifariam in H, iungantur DH, CH; et super poligono concipiatur pyramis quae verticem habeat in C; seceturque DI aequalis ipsi DH, et ducatur IL paralella ad BC, iungaturque IC.

Cum itaque poligonum ad conicam superficiem maiorem habeat rationem quàm DA ad AC; multò maiorem ratio­nem habebit ad superficiem suae pyramidis, quàm DA ad AC, vel DB ad BC. Sed poligonum ad superficiem pyra­midis, per praècedentem, est ut DH ad HC; habebit ergo DH ad HC, sive DI ad IC, multò maiorem rationem quàm DB ad BC, vel quàm DI ad IL. Et propterea IC minor esset quam IL absurdum.

Nam quadratum IC aequale est duobus quadratis ID, DC; cum quadratum IL aequale sit tantùm duobus ID, DL. Ponatur deinde circulus basis AB minor quàm oportet esse ut ad conicam superficiem sit quemadmodum recta DA ad AC, sitque tantò minor quantum est spatium E. Cir­cumscribatur circulo AB poligonum aliquod excedens circulum minori excessu quàm sit spatium E. Habebitque poligonum ad conicam superficiem, adhuc minorem ratio­ nem quàm DA ad AC; ergò poligonum ad perimetrum suae pyramidis multò mino­ rem rationem habebit quàm DA ad AC. Sed poligonum ad perimetrum suae pyra­midis est ut DF ad FC; propterea DF ad FC, multò minorem rationem habebit quàm DA ad AC; quod est impossibile. Aequales etenim sunt tam DF, DA, inter se, quàm FC, AC, inter se.

per 7. huius.

Erit itaque basis coni recti àd reliquam superficiem, ut DA ad AC. Quod erat demonstrandum.

Corollarium.

Hinc patet quòd curva superficies coni, aequalis est circulo cuidam, cuius semidiameter med. prop. sit inter CA, AD nempe, inter latus, et semidiametrum basis coni. Nam sumpta media inter CA, AD erit cir­culus qui fit ex media, ad circulum qui fit ex AD ut CA ad AD. Sed etiam curva coni superficies, ad circulum ex AD est ut CA ad AD. Ergo aequalis est curva coni superficies, circulo, cuius semidiameter media proportionalis sit inter CA, AD.

per praeced.

PROPOSITIO IX.

Cuiuslibet coni recti superficies, ad superficiem cuius­cunque cylindri recti demptis basibus, est ut rectangulum sub latere, et semidiametro basis coni, ad rectangulum per axem cylindri.

Esto conus ABC, cuius basis AC, axis vero BH; et cylindrus cuius rectangulum per axem sit DE. Dico conicam super­ficiem ad cylindricam esse, ut rectan­gulum BAH, ad rectangulum DE.

per 8. huius.

Nàm conica superficies ad circulum suae basis est ut AB, àd AH, sive ut rectangulum BAH ad quadratum AH

circulus autem ex AH, ad cylindricam superficiem DE, est ut quadratum AH, ad rectangulum DE. Propterea, ex aequo, erit conica superficies ABC ad cylindricam DE, ut rectangulum BAH ad rectangulum DE. Quod erat ostendendum.

per 5. huius.

PROPOSITIO X.

Conicae superficies, demptis basibus, inter se sunt ut rectangula sub lateribus conorum, et sub semidiametris basium compraehensa.

Sint duo coni recti ABC, DEF quorum axes BG, EH. Dico curvam coni ABC superficiem, ad curvam su­perficiem coni DEF esse ut rectan­gulum BAG, ad rectangulum EDH quae nimirum sub lateribus conorum, et semidiametris basium compraehen­duntur.

Conica enim superficies ABC, ad circulum AC, est ut recta BA ad AG, sive ut rectangulum BAG; ad quadra­ tum AG. Circulus verò AC ad DF circulum, est ut qua­dratum AG, ad DH; denique circulus DF ad conicam superficiem DEF, est ut quadratum DH, ad rectangulum EDH ergò ex aequo curva coni superficies ABC ad cur­vam DEF, erit ut rectangulum BAG, ad rectangulum EDH. Quod erat ostendendum.

per 8. huius.

per 8. huius.

Lemma.

Si fuerit ABCD frustum coni recti, abscissum planis ad axem erectis (hoc enim modo semper intelligemus frusta conica) secenturque latera AB, DC bifariam in punctis E, et H iungaturque EH. Dico rectam EH componi ex utràque BL, AI, nempe ex semidiametris basium oppositarum frusti conici.

Iungantur BD, EI, LH; Et quoniam AI, ID aequales sunt; item AE, EB, aequales: erunt parallelae EI, BD et ideo in parallelogrammo aequalia erunt latera ID, EM. Ob eandem causam aequalia sunt BL, MH. Ergo tota EH aequalis erit ipsis ID, BL simul sumptis. Quod erat etc.

per 2. sexti.

Definitiones.

Vocabimus imposterum brevitatis causa lineam EH medians Aritme­ticam frusti conici.

Rectangulum verò sub EH et AB latere frusti conici, dicemus rectan­gulum proprium frusti conici.

PROPOSITIO XI.

Curva superficies frusti conici, planis ad axem erectis abscissi, ad conicam quamlibet superficiem, est ut rectan­gulum proprium frusti, ad rectangulum sub latere, et se­midiametro basis ipsius coni.

Esto frustum conicum ABCD abscissum planis ad axem erectis, sitque conus quilibet EFG, cuius axis FH. Dico curvam frusti AC su­perficiem, ad curvam coni EFG superficiem, esse, ut rectangulum sub AB, et sub utraque AL, BI contentum, ad rectangulum FEH.

Compleatur conus AMD cuius datum erat frustum, fa­ctoque angulo MAN recto, et secta AN aequali ipsi AL compleatur rectangulum AP. Ducto deinde diametro MN, et facta BO parallela ad AN erit BO aequalis ipsi BI compleatur etiam figura Bque

per 10. huius.

Iam superficies curva coni AMD ad superficiem cur­vam coni BMC est ut rectangulum LAM ad rectangulum IBM; nempe ut rectangulum AP ad Bque et dividendo, erit curva frusti conici ABCD superficies, ad superficiem coni BMC, ut gnomon AOP, ad rectangulum BQ hoc est ut rectangulum sub AB; et utraque AN, BO, sive AL, BI, ad rectangulum IBM. Curva verò superficies coni BMC ad curvam coni EFG, est ut rectangul. IBM ad rect. FEH ergò ex aequo curva frusti conici ABCD superficies ad curvam coni EFG superficiem est ut rectan. contentum sub AB, et utraque AL, BI ad rectangulum FEH.

Corollarium.

Patet ergò quod frusti conici ABCD superficies sine basibus ad su­perficiem coni EFG est ut rectangulum proprium frusti ad rectangulum FEH. Rectangulum autem proprium frusti comprehenditur sub recta AB, et sub utraque AL, BI, sive potiùs sub AB, et media Aritmetica, quam demonstravimus aequalem utrisque AL, BI.

PROPOSITIO XII.

Cuiuscunque frusti conici superficies ad superficiem cy­lindri recti, est ut rectangulum proprium frusti ad rectan­gulum per axem cylindri.

Esto frustum conicum ABCD, et cylindrus cuius rectan­gulum per axem sit EF. Secetur AB bifariam in H, et agatur media Aritmetica HI aequidistanter ad BC. Dico conicam frusti superficiem, ad cylindricam EF, esse ut rectangulum sub HI, et AB, ad rectangulum EF.

Accipiatur conus quilibet LMN, cuius axis MO. Eritque curva frusti superficies ad conicam curvam LMN, ut re­

ctangulum sub AB, HI, ad rectangulum MLO; sed curva coni LMN ad curvam cylindri EF superficiem, est ut re­ctangulum MLO, ad rectangulum EF; ergo ex aequo curva frusti conici superficies, ad curvam superficiem cylindri, est ut rectangulum sub AB, et HI, nempe ut rectangulum proprium frusti, ad rectangulum EF per axem cylindri. Quod erat ostendendum.

per praeced.

Corollarium.

Curva superficies cuiuscunque frusti conici ABCD ae­qualis demonstratur circulo cuidam, cuius quidem circuli semidiameter E media proportio­ nalis sit inter latus AB frusti co­nici, et inter FH mediam Aritme­ticam eiusdem frusti.

Esto quadratum E aequale rectangulo sub BA, FH sumatur­que cylindrus quilibet IL; et erit curva frusti conici superficies ad curvam cylindricam IL, ut rectan­ gulum sub BA, FH ad rectangulum IL; sive ut quadratum E ad rectangulum IL; hoc est ut circulus ex radio E, ad curvam cylindricam IL. Aequales ergò sunt inter se curva superficies frusti conici AC, et circulus ex radio E factus. Quae quidem Archimedis Propositio est 16 libri primi de Sph. et cyl.

per praeced.

5. huius.

PROPOSITIO XIII.

Si circulum tetigerit recta quaepiam linea aequalitèr utrimque producta, et convertatur circulus circa quemlibet sui axem (dummodo axis tangentem non secet) erit conici frusti superficies, quae à tangente linea describitur, ae­qualis superficiei cylindri eandem altitudinem cum frusto conico habentis, et circa eandem sphaeram descriptibilis.

Esto circulus ADBC, quem duae diametri AB, CD secent ad angulos rectos. Duas insuper tangentes ha­beat alteram DG in extremitate dia­metri CD, alteram verò ubicunque in I, et aequalitèr producantur hinc inde ILIM; dumodo axem AB pro­ductum non secent. Agantur deinde per L, et per M parallelae ad CD, rectae LE, MF tum figura convertatur circa axem AB. Tangens GH describet cylindricam quandam superficiem cuius rectangulum per axem erit EFHG: Tangens verò LM designabit frustum conicae superficiei; denique circulus ipse sphaeram circumscribet. Dico cylindricam superficiem à linea GH descriptam, et conicam superficiem à linea LM factam aequales esse inter se.

Ducatur IP media Aritmetica conici frusti; et agatur IR per centrum que eritque IR perpendicularis ad LM: Du­catur etiam MT perpendicularis ad EG.

Quoniam duo anguli TMI, TLM uni recto sunt ae­quales, nempe ipsi LIQ, demptis alternis TLM, LIS, erunt aequales reliqui TML, SIQ ideoque triangula TML, SIQ, cum rectangul. sint, similia erunt; Ergò ut TM ad ML ita SI ad IQ hoc est (sumptis duplis) PI ad IR: et ideo rectangulum sub TM, IR (quod quidem est rectangulum EFHG) aequale erit rectangulo sub ML, IP, quod proprium vocamus frusti conici. Proptereà per praecedentem ae­qualis erit superficies conici frusti, quae à linea ML descri­bitur, superficiei cylindri EFHG, eandem altitudinem cum ipso frusto habentis, et circà eandem sphaeram ADBC descriptibilis. Quod etc.

PROPOSITIO XIV.

Si circulum tetigerit recta linea aequalitèr utrinque pro­ducta, et convertatur circulus circa axem, qui cum tangente conveniat in extremitate ipsius tangentis, erit superficies coni, quae à tangente describitur, aequalis superficiei cy­lindri, eandem cum cono altitudinem habentis, et circà eandem sphaeram descriptibilis.

Positis ijsdem ut in praecedentis propositionis constructione; si linea ML incidat in axem BL productum, sintque aequales utrinque IL, IM, tunc describet ipsa ML conicam superfi­ciem, Dico conicam huiusmodi su­perflciem aequalem esse superficiei cylindri EFHG eandem altitudinem habentis cum ipso cono, et circa eandem sphaeram descriptibilis.

Fiat enim angulus LMT rectus, et cum LM dupla po­natur ipsius LI, erit MT dupla ipsius IR, hoc est aequalis diametro sphaerae, sive ipsi FH cum autem, per quartam sexti, sit ut ML ad LN, ita TM ad MN erit rectangulum LMN aequale rectangulo sub TM, LN, hoc est rectangulo sub FH, LN, quod quidem per axem est cylindri EFHG. Aequalis ergo est superficies coni OLM, superficiei cy­lindri EFHG. Quod etc.

9. huius.

PROPOSITIO XV.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, sive à quaternario mensurentur, sive tantum à binario, et convertatur figura circa diagonalem, erit uni­versa superficies facti sphaeralis solidi, aequalis superficiei cylindri circa eandem sphaeram descriptibilis.

Esto poligonum ABCDEF parilaterum, sive à quater­nario numerus laterum mensuretur, ut in prima figura, sive tantum à binario, ut in secunda; et convertatur figura circa axem AD, nempe circa diagonalem poligoni. Dico universam superficiem facti solidi sphaeralis aequalem esse superficiei cylindri GHIL eandem altitudinem habentis cum ipso solido, et circa eandem sphaeram descriptibilis.

per praeced.

Superficies enim coni BAF aequalis est superficiei cy­lindri ML; Superficies autem frusti conici, quae inter plana BF, CE intercipitur, aequalis est superficiei cylindri inter

eadem plana intercepti: et sic de singulis partibus super­ficierum, quae solidum sphaerale circumsepiunt; Ergò omnes simul superficies ambientes sphaerale solidum ae­quales erunt superficiei cylindri GHIL. Quod erat osten­dendum.

3. huius.

Lemma.

Si circulum duae diametri AB, CD, ad angulos rectos secuerint, eundemque circulum duae aequales rectae lineae AF, BG tetigerint in extremitatibus axis AB. Tum figura circà axem AB convertatur, describent AF, BG duos circulos aequales, cum ipsae aequales sint. Oportet segmentum cylindri circà eandem sphaeram descriptibilis reperire, cuius superficies aequalis sit duobus simul circulis ex AF, BG dc­scriptis.

Fiat angulus HGI rectus, eritque BI altitudo quaesiti cylindri. Nam propter angulum rectum HGI, erit rectangulum HBI aequale quadrato BG; et rectangulnm ABI hoc est rectangulum LM duplum erit quadrati BG. Propterea superficies cylindri LM dupla erit circuli ex BG descripti, et ideo aequalis ambobus circulis ex BG, AF simul sumptis. Quod etc.

5. huius.

PROPOSITIO XVI.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, sive â quaternario mensurentur, sive tantum à binario, et convertatur figura circa catetum, erit uni­versa superficies facti sphaeralis solidi, aequalis superficiei cylindri circa eandem sphaeram descriptibilis, altitudinem verò habentis aequalem lineae compositae ex diametro sphaerae, et ex tertia proportionalium, si fiat ut sphaerae semidiameter ad semilatus poligoni, ita semilatus ad aliam.

Esto circulus ABCD, quem secent duae diametri AC, BD ad angul. rectos, et circa ipsum sit poligona figura habens latera numero paria, sivè à quaternario mensu­rentur, ut in prima figura; sive tantùm à binario, ut in secunda: Tum convertatur figura circa catetum AC, hoc est circa lineam connectentem bisectiones laterum oppo­sitorum; Ex revolutione poligoni solidum sphaerale descri­betur contentum sub circularibus, conicisque superficiebus, et una cylindrica, ut in prima figura, sive circularibus, et conicis tantùm, ut in secunda. Fiat deinde ut IC ad CL, ita CL ad CM, quod facile erit si fiat angulus ILM rectus; et per M agatur planum NO erectum ad axem. Dico uni­versam superficiem solidi sphaeralis aequalem esse super­ficiei cylindri ENOH.

Hoc autem patet ex praemissis; Nam tota sphaeralis solidi superficies, demptis circulis oppositis, aequalis est superficiei cylindricae inter plana EH, FG compraehensae. Duo verò circuli oppositi quorum centra A, et C aequales sunt (per praecedens lemma) superficiei cylindricae inter duo plana FG, NO contentae. Propterea universa simul sphaeralis solidi superficies aequalis erit superficiei cylindri ENOH circa eandem sphaeram descripti, et altitudinem habentis AM, quae componitur ex diametro sphaerae AC, et ex recta CM, quae quidem tertia proportionalis est ad semidiametrum IC, et semilatus, CL. Quod etc.

deducitur ex 13. huius.

Lemma.

Si circulum ABCD duae diametri AC, BD secent ad angulos rectos; recta autem linea CE eundem contingat in extre­ mitate axis AC et convertatur figura circa AC; ipsa CE circulum describet. Oportet segmentum cylindri circa eandem sphaeram descripti reperire, cuius superficies aequalis sit circulo ex CE de­scripto.

Fiat angulus AEH rectus, ductoque plano per H ad axem erecto. Dico cylindricam superficiem MILN aequari circulo ex CE. Est enim ob angulum rectum AEH, rectangulum ACH, hoc est rectan­ gulum ML, aequale quadrato CE. Proptereà superficies cylindri MILN aequalis erit circulo ex CE. Quod etc.

per 5. huius.

PROPOSITIO XVII.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circà catetum poli­goni: erit universa superficies facti sphaeralis solidi aequalis superficiei cylindri circà eandem sphaeram descriptibilis, altitudinem verò habentis aequalem lineae compositae ex cateto poligoni, et ex tertia proportionalium, si fiat ut dia­meter circuli ad semilatus poligoni, ità semilatus ad aliam.

Esto circulus ABCD, circa quem sit poligonum EFGHI habens latera numero imparia; et convertatur figura circa catetum EC, nempe circa lineam, quae ab uno angulo E perducitur ad bisectionem lateris oppositi; orieturque solidum sphaerale contentum sub co­nicis superficiebus, unicoque circulo.

Facto deinde angulo recto AHL, ductoque per L plano MN ad axem erecto. Dico universam solidi superficiem aequalem esse superficiei cylindri OMNP.

13. huius.

Nam superficies solidi sphaeralis, dempto circulo ex CH descripto, aequatur superficiei cylindri inter plana OP, QR contenti: circulus autem ex CH factus aequalis est (prae­cedens lemma) superficiei cylindri inter plana QR, MN contenti: Propterea universa solidi superficies aequalis erit superficiei cylindri OMNP qui quidem circa eandem sphae­ram cum ipso solido describitur, altitudinem verò habet lineam EL, quae componitur ex cateto EC, et ex linea CL, quae tertia proportionalis est, si fiat ut AC diameter sphaerae, ad CH semilatus poligoni, ita CH ad aliam. Quod erat etc.

PROPOSITIO XVIII.

Hemisphaerij superficies aequalis est superficiei curvae cylindri eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto hemisphaerium ABC, et circa ipsum cylindrus eiusdem altitudinis, ADEC.

Dico superficiem hemisphaerij aequalem esse super­ficiei cylindri ADEC.

Si enim non est aequalis, vel maior erit, vel minor. Ponatur primùm sphaerica super­ ficies maior: fiatque ut cylindri superficies ad superficiem hemi­spherij, quae maior ponitur, ita recta AD ad AG: intelligaturque cylindrus productus usque ad GF. Secetur deinde arcus AB bifa­riam, iterumque portiones eius bifariam, et hoc semper, donec poligoni circà semicirculum ABC descripti semilatus VL minus sit quam recta DG (quod fieri posse constat ex prima Decimi; semilatera enim poligonorum circulo cir­cumscriptorum ex continua arcuum bisectione semper mi­nuuntur plusquam pro medietate, ut ab alijs ostensum est). Factum ergò sit; et esto poligonum HILMN, conver­sàque figura circa axem LO, fiat ex poligono, semisolidum sphaerale sub conicis superficiebus compraehensum. Cum itaque recta DG maior sit quam semilatus LV, multo maior eadem erit quàm LB, et propterea planum PQ pro­ductum per L intra puncta D et G cadet.

Iam quia superficies cylindri AE ad superficiem hemis­phaerij est ut AD ad AG, hoc est ut cylindrica super­

ficies AE ad cylindricam AF, erit cylindrica superficies AF aequalis sphaericae. Propterea, si sphaerica superficies ae­ qualis sit cylindricae AF maior erit quam cylindrica AQ, hoc est quam conicae omnes HILMN, multoque maior quam omnes ASILMRC. quod est absurdum. Est enim contrà principium ab Archimede praemissum.

6. huius.

ex 15. huius.

Assumpsimus conicam quae describitur à linea HS maiorem esse quàm illa superficies, quae describitur à linea AS quod patet ex 12 huius. Rectangulum enim proprium conicae superficiei multò maius est quam rectangulum per axem cylindricae, quando quidem sub maioribus lateribus continetur.

Ponatur iam sphaerica ABC minor quam cylindrica ADEC. Fiat ut superficies cylindrica ADEC ad sphaeri­cam, quae ponitur minor; ita recta AF ad FL. Fiatque ex FL semidiametro aliud hemisphaerium LNI, priori concentricum, et circà ipsum intelligatur cylindrus LHMI: Inscribatur etiam intrà se micirculum ABC figura laterum aequalium, ita ut latera ipsius non tangant semicirculum LNI (quod fieri posse constat ex Euclide). Describaturque alius semicirculus semidiametro FO, qui contingat singula latera factae figurae, et convertatur universa figura circa FB ita ut fiat semisolidum sphaerale AVBTC conicis superficiebus circumseptum; ex semicirculo autem FO fiat aliud hemisphaerium, circà quod concipiatur cylin­drus RQSP.

Iam sic; superficies cylindri ADEC ad superficiem he­misphaerij est, per constructionem, ut AF ad FL, hoc est ut AC ad LI, hoc est ut rectangulum AE ad rectangulum LM, hoc est ut cylindrica AE ad cylindricam LM. Quare sphaerica superficies aequalis erit cylindricae LM, et pro­pterea minor quàm cylindrica RS, hoc est quàm omnes conicae AVBTC, absurdum sphaerica enim superficies ABC maior est quàm omnes conicae AVBTC.

6. huius.

ab 15. huius.

Hemisphaerij ergò superficies aequalis erit superficiei cylindri eandem ipsi basim, eandemque altitudinem habentis. Cum demonstratum sit neque maiorem esse, neque mi­norem. Quod erat etc.

PROPOSITIO XIX.

Cuiuscunque minoris portionis Sphaerae superficies ae­qualis est curvae superficiei cylindri circà integram sphae­ram descripti, et eandem altitudinem cum ipsa portione habentis.

15. quinti.

Esto minor sphaerae portio ABC, et portio cy­lindri FDEG; circa inte­gram sphaeram descripti, eandem tamen altitudi­nem HB cum ipsa por­tione sphaerica habentis. Dico sphaericam superfi­ciem ABC aequalem esse superficiei cylindri FDEG.

Si enim non est aequalis, vel maior erit vel minor.

Ponatur primum maior; et ipsi sphaericae superficiei ABC construatur aequalis (ut in praecedenti) cylindrica FLMG: secto deinde arcu AB bifariam, et portïones eius iterum bifariam, et sic semper, circumscribatur arcui ABC figura multorum laterum INOPQ, terminata ad diametros, quae ducuntur per puncta A et C. Sitque per praedictam bisectionem arcuum, semilatus RO minus quàm recta DL, ut propterea planum ST, ductum per O, cadat intra puncta D, et L. Quemadmodum in praecedenti etc. Convertatur deinde figura universa circà OH, et ex conversione figurae INOPQ nascetur portio solidi sphaeralis sub conicis super­ficiebus contenta.

Iam sic. Quia sphaerica superficies ABC aequalis est per constructionem cylindricae FLMG, maior eadem erit quàm cylindrica FSTG, et multò maior quàm omnes co­nicae INOPQ, multoque etiam maior quàm omnes conicae AVNOPXC. Quod est absurdum, et contrà principia Ar­chimedis.

Assumpsimus cylindricam superficiem FSTG maiorem esse omnibus conicis INOPque Hoc enim patet. Nam ex 13, 14 et 15 huius colligi potest, conicas INOPQ aequales esse superficiei cylindricae contentae inter planum ST, et planum quod duceretur per puncta Ique

Assumpsimus etiam, ductà tangente AV conicam superficiem, quae fit à linea IV, maiorem esse quàm illa quae fit linea AV. Quod quidem demonstratur apud Archimedem ad Propositionem 37 de Sphaera et Cylindro. Sed et ex nostris deduci potest. Nam rectangulum proprium superficiei, quae fit à linea IV, maius est quàm rectangulum proprium illius quae fit à linea AV. Continetur enim sub lineis maioribus.

Ponatur deinde sphaerica superficies portionis ABC min. quam cylindrica FDEG.

Fiat ut cylindrica FDEG ad sphaericam superficiem ABC, quae minor ponitur, ita FH ad HM et centro T semidiametro autem HM fiat hemisphaerium OQP, circa quod intelligatur cylindrus OLNP. Intra arcum autem ABC figura inscribatur multorum laterum AVBXC per continuam bisectionem arcuum ita ut latera ipsius non tangant semicirculum OQP, et convertatur universa figura circa axem BT. Intelligatur autem radio TZ (quae recta perpendicularis sit ad unum latus figurae inscriptae) de­scribi sphaeram, quae tangat singula figurae AVBXC la­tera, et circa huiusmodi sphaeram descriptus concipiatur suus cylindrus gbed.

Iam sic. cylindrica superficies FDEG per constructio­

nem est ad sphaericam ABC, ut FH ad HM, hoc est ut FG ad MI hoc est ut rectangulum FE ad rectangulum MN, hoc est ut eadem cylindrica FE, ad cylindricam MN. Erit ideò sphaerica superficies ABC aequalis cylindricae MN nempè minor cylindrica qe hoc est minor omnib. conicis AVBXC; quod est absurdum.

6. huius.

ex 6. huius.

explicatur infra.

Assumpsimus cylindricam superficiem qe aequalem esse omnib. co­ nicis AVBXC. Quod patet ex demonstratis. Sunt enim tam cylindrus qe, quàm omnes illae conicae eiusdem altitudinis HB; et circà eandem sphaeram gd describuntur.

15. huius.

Constat ergò superficiem ABC aequalem esse cylin­dricae DFGE cum demonstratum sit neque maiorem esse, neque minorem. Quod etc.

Corollarium I.

Ex prima duarum praemissarum Propositionum pa­ tet superficiem integram sphaerae, aequalem esse su­perficiei cylindri sibi circumscripti, et eiusdem cum ipsa sphaera altitudinis.

Cum enim haemisphaerium ABC superficiem habeat aequalem superficiei cylindri AEHC, et item hemispae­rium alterum ADC, superficiem habeat aequalem super­ficiei cylindri AFGC, erit coniunctim tota sphaerae superficies aequalis superficiei cylindri FEHG; exceptis semper basibus.

Corollarium II.

Manifestum etiam est ex ultima propositione, super­ ficiem maioris sphaerae portionis, aequalem esse su­perficiei cylindri eandem cum portione altitudinem habentis, et circà eandem sphaeram descriptibilis.

Corollar. praeced.

Cum enim integra sphaerae superficies aequalis sit superficiei cylindri IDGL, et demonstratum sit super­ficiem segmenti minoris ABC aequalem esse superficiei cylindri EDGF, erit reliqua superficies sphaerae AHC, aequalis reliquae superficiei EILF. Quod oportebat etc.

PROPOSITIO XX.

Superficies sphaerae quadrupla est maximi circuli in eadem sphaera descriptibilis.

Sit sphaera ABCD cuius diameter AC; et circà ipsam intelligatur cylindrus eiusdem altitudinis FEHG.

Dico superficiem sphaerae quadruplam esse maximi circuli in ea descriptibilis.

Superficies enim cylindri FEHG sine ba­sibus, est ad circulum suae basis circa FG, sive circa AC

descriptum, ut EF ad quar. partem ipsius FG, hoc est ut FG ad quar. partem ipsius FG; hoc est quadrupla. Pro­ pterea etiam superficies sphaerae, quae cylindricae est aequalis, quadrupla erit circuli circa AC descripti, qui in sphaera maximus est. Quod etc.

4. huius.

ex prim. Corollar. praeced.

Aliter.

Sphaerica superficies ABCD aequalis est cylindricae FEHG; cylin­drica verò FEHG ad circulum, cuius semidiameter sit AC, est ut re­ctangulum per axem EG, ad quadratum ex semidiametro AC, nempe ad quadratum EG; et ideò aequalis: propterea etiam sphaerica super­ficies aequalis erit circulo cuius semidiameter sit AC; ergò quadrupla erit circuli cuius diameter sit AC. Quod etc.

5. huius.

PROPOSITIO XXI.

Cuiuscunque portionis sphaerae superficies aequalis est circulo, cuius semidiameter aequalis sit lineae quae ex polo portionis perducitur ad circulum, qui in eiusdem por­tionis basi est.

Esto sphaerae portio sive minor sive maior ABC. cuius ex polo ducta sit recta AB. Dico superficiem portionis aequalem esse circulo qui fit ex AB tamquam semidia­metro.

Cum enim quadratum AB aequale sit rectangulo DBE ob circulum, aequale erit et rectangulo GFIH, quod idem est ac rectangulum DBE. Propterea circulus ex AB ae­qualis erit superficiei cylindri, cui per axem sit rectang. GFIH, et ideo aequalis etiam superficiei sphaericae por­tionis ABC. Quod etc.

5. huius.

Tria haec Theoremata, quae sequuntur, ex Archimede desumpta sunt; quod quidem fecimus ne lector Archimedem adire cogeretur, sed universam hanc doctrinam in hoc libello haberet.

PROPOSITIO XXII.

Sint duo coni recti ABC, DEF. Sitque curvae coni ABC superficiei aequalis circulus DF; nempe basis alterius coni DEF; rectae verò IH, quae ex centro I ducitur perpendicu­lariter ad latus AB, aequalis sit altitudo EL: Dico conos ABC, DEF esse aequales.

Nam altitudo BI ad altitudi­ nem EL est ut BI ad IH (ob aequalitem) sive ut BA, ad AI, nempe ut curva superficies ABC ad basim AC; sive ut basis DF ad basim AC reciprocè. Quare aequales erunt coni ABC, DEF. Quod erat etc.

per 4. sexti. 8. huius.

Corollarium.

Hinc patet quòd si conus aliquis, puta DOF basim quidem habeat DF aequalem curvae superficiei ABC, altitudinem verò OL non aequa­lem perpendiculari IH; Ita fore conum ABC ad conum DOF, ut est IH ad OL. Nam conus DEF ad conum DOF est ut EL ad LO. Ergo (sum­ptis antecedentium aequalibus) conus ABC ad conum DOF, erit ut IH àd OL.

PROPOSITIO XXIII.

Si fuerit rombus solidus ABCD, ex duobus conis rectis compositus; Sitque conus EFG habens basim EG aequalem superficiei curvae alterius conorum rombi, puta, BAD; al­titudinem verò FH aequalem rectae CL, quae quidem ex ver­tice reliqui coni BCD ducitur perpendiculariter in latus AB productum alterius coni BAD. Dico rombum solidum ABCD aequalem esse cono EFG.

Ducatur IN perpendicularis ad AB. Iam, conus BCD, ad conum BAD, est ut CI ad IA; et componendo, rombus ABCD ad conum BAD est ut CA ad AI; sive ut CL, ad IN. Conus verò BAD ad conum EFG est ut IN ad FH: ergo ex aequo rombus ABCD ad conum EFG est ut CL ad FH. Ergo aequalis. Quod erat, etc.

per Cor. praeced.

PROPOSITIO XXIV.

Si fuerit conus sive rombus solidus ABCD sectus plano EF ad basim parallelo. Intelligaturque ex integro solido ABCD ablatus rombus solidus EBFD. Dico reliquum so­ lidum ex cavatum AEDFC quod superest, equale esse cono cuidam M, cuius basis M sit aequalis frusto curvae superficiei conicae AEFC inter plana EF, AC, interceptae, altitudo verò M sit aequalis perpendiculari DI, quae à vertice ablati rombi D ducitur in latus BA.

Intelligantur tres coni aequealti L, M, N quorum uni­cuique altitudo sit aequalis rectae DI; basis verò coni L sit aequalis curvae superficiei coni EBF at basis M ae­qualis sit segmento conicae superficiei inter plana EF, AC intercepto: coni tandem N basis aequalis sit utrisque simul praedictis basibus; sive (quod idem est) integrae superficiei curvae coni ABC.

Manifestum est quod integrum solidum ABCD aequale erit cono N (per alterutram praecedentium duarum Pro­pos.) sed etiam duo coni L et M simul sumpti aequales sunt eidem cono N ergo integrum solidum ABCD aequale erit duobus conis L et M simul sumptis. Demptis itaque, rombo EBFD, et cono L, qui per praecedentem sunt ae­quales, reliquum solidum excavatum AEDFC aequale erit reliquo cono M. Quod erat etc.

ex 24. Quinti.

PROPOSITIO XXV.

Si ex cylindro auferatur conus eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habens, erit reliquum excavatum so­lidum, quod ex cylindro superest, aequale cono cuidam, cuius basis aequalis sit superficiei curvae cylindri, altitudo verò aequalis semidiametro basis ipsius cylindri.

Esto cylindrus, cuius rectangu­ lum per axem sit ABCD et ex ipso auferatur conus BEC, ut dictum est. Sumatur autem alius conus FIL, cuius basis FL aequalis sit superficiei curvae cylindri, al­titudo aequalis rectae NB hoc est semidiametro basis cy­lindri. Dico reliquum ex cylindro solidum, dempto cono BEC, aequale esse cono FIL.

Secetur BN bifariam in O. Conus ergo FIL ad conum BEC, rationem habet compositam ex ratione altitudinum HI ad BA, hoc est NB ad BA, et ex ratione basium, hoc est basis quae circa FL ad basim quae circa BC, sive quod idem est, superficiei cylindricae ad basim propriam quae circa BC, hoc est, lineae AB ad BO. Erit ergò conus FIL ad conum BEC, ut NB ad BO, nempe duplus: solidum etiam cylindricum excavatum, dempto cono BEC, duplum est eiusdem coni BEC. Propterea solidum cylindricum excavatum aequale erit cono FIL, cuius basis aequatur superficiei cylindri, altitudo verò aequalis est semidiametro basis cylindri. Quod etc.

4. huius.

PROPOSITIO XXVI.

Si ex cono conus auferatur eandem habens basim alti­tudinem verò minorem, erit excavatum solidum conicum, quod relinquitur, aequale cono cuidam, cuius quidem basis aequalis sit curvae superficiei totius prioris coni, alti- tudo verò aequalis perpendiculari, quae ex vertice ablati coni demittitur in latus maioris coni.

Esto conus rectus ABC ex quo auferatur conus ADC, uti dictum est. Ponatur autem conus EFG, habens basim EG, aequalem curvae superficiei coni ABC; altitudinem verò HF ae­qualem rectae DI, quae per­pendicularitèr à vertice ablati coni cadit in latus AB. Dico solidum conicum excavatum ADCB, dempto cono ADC, aequale esse cono EFG.

Nam cum triangula BLA, BID, rectangula sint, ha­beantque angulum communem ABL, similia erunt. Sed conus EFG ad conum ADC rationem habet compositam ex ratione basium, nempe circuli circa EG, sive superficiei curvae coni ABC, ad circulum circa AC, hoc est rectae BA ad AL; sive BD ad DI, et ex ratione altitudinum, nempe HF ad DL, sive DI ad DL. Conus ergo EFG, ad conum ADC erit ut linea BD ad LD. Sed conus ABC ad conum ADC est ut BL ad LD, et dividendo, etiam solidum excavatum ADCB ad conum ADC est ut linea BD ad DL. Propterea constat solidum excavatum ADCB aequale esse cono EFG. Quod etc.

8. huius.

4. sexti.

Lemma.

Si ab eadem magnitudine AB duae magnitudines inae­ quales auferantur AC, maior, et AD minor, fueritque DC, nempe differentia inter ablatas, aequalis differentiae sive excessui, quo maius residuum BD superat quandam magnitudinem E. Dico ipsam E minori residuo CB aequalem esse.

Patet hoc. Cum enim maius residuum DB superet magni­tudinem E excessu DC; si excessu abijciatur, erit reliqua CB aequalis magnitudini E. Propterea magnitudo E aequalis est minori residuo. Quod etc.

PROPOSITIO XXVII.

Si ex conico frusto conus auferatur, qui pro basi ha­beat maiorem frusti basim, altitudinem verò eandem cum frusto; Erit reliquum excavatum solidum aequale cono cuidam, qui basim habeat aequalem superficiei curvae frusti, altitudinem verò aequalem perpendiculari quae du­citur ex vertice ablati coni in latus alterum conici frusti.

Esto conicum frustum ABCD, cuius maior basis sit circulus circa BC. Et ex ipso auferatur conus BEC, cuius basis sit idem circulus circa BC; altitudo verò FE eadem cum frusto. Dico re­liquum solidum excavatum dem­pto cono BEC, aequale esse cono cuidam, cuius basis aequalis sit curvae superficiei conici frusti ABCD altitudo vero sit linea EH quae nimirùm ex E vertice ablati coni cadit perpendicularitèr in AB latus conici frusti.

Inscribatur alius conus AFD habens basim circà AD, et verticem in F. Ducaturque AI parallela ad EF, eritque tota IC aequalis utrique simul semidiametro basium, nempe ipsi EA, ipsique FB. Fiat deinde circa FB semicirculus FOB, in quo applicetur BO aequalis ipsi FI, sive ipsi EA; eritque circulus ex semidiametro FO differentia inter duos circu­los, quorum semidiametri sint, FB, BQ, sive FB, et EA; nempe differentia inter bases oppositas conici frusti, hoc est inter bases conorum BEC, AFD, et propterea conus cuius basis sit circulus ex FO semidiametro, altitudo verò FE, differentia erit, sive excessus, quo maior conus BEC superat minorem AFD.

Ponatur recta quaedam L, cuius quadratum aequale sit rectangulo ex AB in IC, eritque circulus, qui fit ex L semidiametro, aequalis conicae superficiei frusti ABCD. Demittatur denique ax F recta FM perpendicularis ad AB, et ex E recta EN parall. ipsi HM, eritque facta figura EHMN parallelogrammum rectangulum.

per Cor. prop. 15. hu­ius.

Iam cum propter parallelas HM, RN, sint aequales an­guli BAD, NED, demptis rectis IAD, FED, erunt reliqui BAI, NEF aequales; et ideò triangula BAI, NEF, cum rectos habeant angulos ad I et N aequiangula erunt.

5. secundi.

Cum autem rectangulum BIC simul cum quadrato FI aequale sit quadrato FB, vel quadratis FO, OB, demptis aequalibus BO, FI erit reliquum rectangulum BIC qua­drato FO aequale.

Concipiatur iam conus AFD detrahi ex conico frusto ABCD, eritque reliquum excavatum solidum dempto prae­

dicto cono, aequale cono cuidam cuius basis semidiameter sit L, altitudo verò FM.

24. huius.

Iam: quoniam ob similitudinem triangulorum, est NF ad FE, ut BI ad BA, hoc est (sumpta communi altitudine) ut rectangulum BIC ad rectangulum BA in IC, hoc est, sumptis aequalibus, ut quadratum FO ad quadratum ex L reciprocè, aequales erunt coni reciproci quorum alter alti­tudinem habeat FE, et semidiametrum basis FO; alter verò altitudinem habeat FN, et semidiametrum basis L. Sed conus ille qui altitudinem habeat FE, et radium basis FO, est excessus inter ablatas magnitudines, nempe inter conos BEC, AFD; Conus verò ille qui altitudinem habet FN, et radium basis L, est excessus quo maius residuum totius magnitudinis (nempe conus cuius altitudo FM, et radius basis L) superat quandam aliam magnitudinem, nempe conum, cuius altitudo NM, sive EH, radius autem basis L; erit itaque haec magnitudo, per Lemma praemis­sum, aequalis minori residuo; ergò conus praedictus, cuius altitudo EH, et basis circulus ex L aequalis superficiei conici frusti, aequalis erit minori residuo, hoc est reliquo conici frusti ABCD dempto cono BEC. Quod erat etc.

24. huius.

Aliter.

Sed conemur idem ostendere minus laboriosa demonstratione; si possibile erit ex difficultate materiae, et veriùs ex tenuitate ingenij.

Sit conicum frustum ABCD cuius maior basis BC, et ex ipso auferatur conus BEC, altitudinem habens eandem cum frusto, et pro basi, maiorem ipsius frusti basim. Compleatur conus BGC, cuius datum erat frustum, ductaque EH ad angulos rectos ipsi BG, ponatur IL media proportionalis inter GB, BF, eritque circulus ex IL semidiametro descriptus, aequalis superficiei coni BGC fiat circa IL semicirculus IML, in quo aptetur IM media proportionalis inter GA, AE, eritque circulus ex semi- diametro IM factus aequalis superficiei coni AGD; Reliquus circulus ex semidiametro ML factus, aequalis erit superficiei conicae frusti ABCD. (si enim ab aequalibus aequalia demas reliqua sunt aequalia).

per Cor. 8. huius.

per Cor. 8. huius.

Dico reliquum solidum frusti conici ABCD, ablato cono BEC, aequale esse cono cuidam, cuius altitudo sit EH; basis verò aequalis super­ficiei conicae ispsius frusti; hoc est circulus ex semidiametro ML de­scriptus.

Cum .n. duo circuli ex radijs IM, LM facti aequales sint circulo ex IL descripto si altitudo unicuique eadem assumatur EH, erunt duo coni simul (quorum altitudo communis EH, bases vero circuli ex radijs IM, LM) aequales cono, cuius altitudo eadem EH, basis verò circulus ex IL; iste vero conus aequalis est solido conico BECG, dempto cono BEC, ergo duo illi coni aequales erunt solido BECG. Proptereà ablatis utrinque aequalibus conis, nempè cono, cuius basis ex IM est, altitudo EH, et cono AGD (sunt enim aequales per 22 huius) remanebunt ae­qualia, solidum nempe excavatum frusti ABCD, detracto cono BEC, et conus cuius altitudo EH, basis circulus ex LM radio factus, qui quidem aequalis est superficiei conicae frusti ABCD. Quod etc.

26. huius.

Definitio.

Si ex cylindro cylindrus auferatur aequealtus, et circa eundum axem descriptus, solidum excavatum quod relinquitur, Tubum cylindricum appellabimus.

PROPOSITIO XXVIII.

Cylindrus ad tubum cylindricum aequealtum, est ut quadratum semidiametri basis cylindri ad rectangulum basis ipsius tubi cylindrici.

Esto cylindrus AB cuius axis CD. Tubus verò cylindricus EF (dempto nimirum cylindro GH) aequealtus sit cum cylindro AB. Dico cylindrum AB a tubum EF esse ut quadratum AC semidiametri basis cylindri, ad rectangulnm EGI, nempe ad rectangulum basis tubi, hoc est quod fit à differentia EG et ab aggregato GI semidiametrorum basis ipsius tubi.

Nam cylindrus integer EF ad cylindrum GH, est ut quadratum EL ad LG quadratum. Et dividendo, Tubus cylindricus EF ad cylindrum GH est ut rectangulum EGI ad quadratum GL. Sed cylindrus GH ad AB cylindrum est ut quadratum GL ad quadratum BC. Ergo ex aequo erit tubus cylindricus EF ad cylindrum AB ut rectan­gulum EGI ad quadratum AC. Convertendo igitur patet quod propositum erat.

PROPOSITIO XXIX.

Datae figurae solidae rotundae figuram inscribere, al­teramque circumscribere ex cylindris aequealtis, ita ut de­scriptarum differentia minor sit quolibet dato solido.

Esto cylindrus ABCD, cuius axis EF: datoque intra cylindrum solido AED circa eundem axem EF revoluto, sive hemisphaerium, sive conus, vel conoides sit, oportet ipsi solido AED duas figuras ex cylindris aequealtis compositas, al­teram quidem inscribere, alteram verò circumscribere ita ut circumscripta superet inscriptam minori excessu quam sit quodlibet datum solidum K.

Secetur bifariam cylindrus AC plano HG ad axem EF erecto; iterumque cylindrus HD bifariam secetur plano IL; et hoc fiat semper donec cylindrus aliquis puta AL minor remaneat quàm solidum K. Tunc diviso toto cylindro AC in cylindros aequealtos ac ipse AL, oriantur in solido AED sectiones MN, OP, QR. Concipiamus super unoquoque cir­culorum MN, OP, QR, duos cylindros, alterum quidem versus E, alterum autem versus partes F conversum. Eruntque omnes simul cylindri qui verticem habent versus F, aequales omnibus simul cylindris verticem versus E habentibus (cum singuli singulis aequales sint). Ergo si omnibus cylindris qui verticem habent versus E, addas cylindrum AL, superabit iam figura circa solidum AED descripta, figuram eidem inscriptam, differentia AL; Nempe minori excessu quàm sit solidum K. Quod erat etc.

Corollarium.

Hinc patet quòd data figura solida, sive hemispherium sit, sive conus, sive conoides etc. ipsi duae figurae solidae ex cylindris aeque­altis compositae altera inscribi potest, altera vero circumscribi; ità ut differentia inter datam solidam figuram, et descriptarum alterutram, minor sit quolibet dato solido K.

Differentia enim inter figuram datam et alteram descriptarum minor utique erit quam differentia inter descriptas (est enim pars eiusdem) ergo multò minor quàm solidum K.

PROPOSITIO XXX.

Sphaera quadrupla est coni cuiusdam, qui quidem conus basim habeat aequalem maximo sphaerae circulo, altitu­dinem vero eiusdem sphaerae semidiametro aequalem.

Esto circulus cuius centrum A; quadratum ipsi cir­cumscriptum sit BCDE; iunctisque EA, AD. convertatur figura circa axem FG ita ut à quadrato fiat cylindrus, à sphaera circulus; à triangulo EAD, conus EAD.

Dico sphaeram quadruplam esse coni EAD. Nisi enim quadrupla sit, non erit haemisphaerium aequale solido, quod describitur à triangulo EHA circa axem FG converso (cum hoc solidum duplum sit coni EAD). Erit itaque he­misphaerium vel maius, vel minus solido trianguli EHA.

per 29. huius.

Esto primùm maius, si potest esse; sitque excessus aequalis solido K. Inscribatur in hemisphaerio figura ex cylindris aequealtis constans ita ut ab hemisphaerio de­ficiat minori defectu quam sit solidum K. Et erit flgura inscripta adhuc maior quàm solidum trianguli EHA. Se­cetur etiam axis AG in tot partes aequales in quot sectus erit AF. Ductisque per puncta sectionum planis ad axem erectis, intelligatur in solido trianguli EHA inscripta figura ex tubis cylindricis aequealtis constans, quorum unus sit, cuius sectio est rectangulum HO.

Iam cylindrus IL ad tubum cylindricum HO, est ut quadratum IP ad rectangulum MON. Sed quadratum IP

aequale est rectangulo FPG, nempe ipsi MON (nam FP aequalis est rectae BR, sivè ME, sive MO, et reliqua PG reliquae ON) ergo cylindrus IL aequalis est tubo cylin­drico HO. Hoc modo procedendo ostenduntur omnes cy­lindri in haemispherio aequales omnibus tubis in solido trianguli EHA. Quare figura in hemisphaerio inscripta ex cylindris constans, aequalis erit figurae in solido trianguli EHA descriptae ex tubis cylindricis compositae. Sed figura in hemisphaerio descripta maior erat integro solido trian­guli EHA. Ergò necesse est quod figura inscripta in so­lido EHA eodem solido maior sit pars suo toto. Quod esse non potest.

per 28. huius

Esto deinde, si fieri potest, hemisphaerium minus solido trianguli EHA; sitque defectus aequalis solido K.

Circumscribatur ipsi hemisphaerio figura solida ex cy­ lindris aequealtis constans, ita ut excessus figurae super hemisphaerium minus sit solido K. Tunc enim circum­scripta figura adhuc minor erit solido trianguli EHA. Con­cipiamus deinde solido trianguli EHA aliquam figuram esse circumscriptam constantem ex tubis cylindricis aeque­altis ac cylindri ex quibus constat figura haemisphaerio circumscripta.

per 29 huius.

Iam primus cylindrus HV figurae circa hemisphaerium descriptae, aequalis est primo tubo cylindrico figurae cir­cumscriptae solido trianguli EHA; nam et iste tubus, cy­lindrus est HF.

Secundus cylindrus GI ad secundum tubum LM, est ut quadratum GN ad rectangulum LTF, nempe aequalis (quadratum enim GN, aequale est rectangulo ONP, sive LTF, nam recta ON rectae BQ, sive LE, sive LT, aequalis est, et reliqua NP reliquae TF).

per 28. huius.

Ergo omnes simul cylindri figurae circa hemisphaerium descriptae, hoc est eadem figura, aequalis erit omnibus simul tubis cylindricis circa solidum trianguli EHA de­scriptis, cum singuli singulis aequales sint. Sed figura circa hemisphaerium descripta minor erat solido trianguli EHA. Necesse igitur est quòd solidum trianguli EHA maius sit, quam figura sibi circumscripta pars suo toto. Quod esse non potest.

Hemisphaerim igitur neque maius, neque minus erit solido trianguli EHA, sed ipsi aequale, solidum verò trian­guli EHA duplum est coni EAD, ergò hemisphaerium duplum erit coni EAD. Sphaera verò eiusdem quadrupla erit, Quod erat propositum.

Corollarium.

Hinc patet sphaeram subsesquialteram esse cylindri, cuius basis aequalis sit maximo sphaera circulo, altitudo verò diametro sphaerae aequalis.

Nam sph. ostenditur esse ad conum EAD ut 4, ad unum, conus vero EAD ad cylindrum EBCD est ut unum ad 6 ergo ex aequo sphaera ad cylindrum EBCD erit ut 4 ad 6. Nempe subsesquialtera.

DE SOLIDIS SPHAERALIBUS

LIBER SECUNDUS

PROPOSITIO I.

Conus quilibet circa sphaeram descriptus, aequalis est cono cuidam, qui basim habeat aequalem universae super­ficiei circumscripti coni accepta etiam basi, altitudinem verò aequalem radio sphaerae;

Esto circa sphaeram, cuius cen­ trum A, descriptus conus BCD, (qui videlicet sphaeram tangat et lateribus, et basi) Ponaturque alius conus EFG, qui basim habeat EG aequalem tum curvae superficiei, tum etiam basi coni BCD, altitudinem verò HF habeat aequalem radio sphaerae AL.

Dico conos BCD, EFG aequales esse.

Solidum enim conicum excavatum quod fit ex revolu­tione trianguli CBA circa axem IC, aequale est cono cuidam, qui basim habeat aequalem curvae superficiei conicae BCD, altitudinem verò aequalem perpendiculari AL, nempe radio sphaerae: Talis ergò conus unà cum cono BAD (cum habeant eandem altitudinem) aequales erunt cono EFG; Quandoquidem conus EFG basim habet utrique simul basi aequalem, altitudinem verò alterutrae aequalem. Proptereà et conus BCD, qui duobus praedictis conis aequatur, aequalis erit cono EFG. Quod etc.

26. p. partis

Aliter.

per 3. sexti.

Ducatur IM aequidistans ipsi AL et quoniam angulus CBI divi­ditur bifariam à linea BA, erit ut CB ad BI, ita CA ad AI.

8. prim. partis.

Superficies ergò coni BCD sine basi, ad circulum suae basis est ut CB ad BI, nempe ut CA ad AI, et componendo, et per conversionem rationis, erit universa superficies coni BCD cum basi, ad superficiem eiusdem coni sine basi, ut IC ad CA, hoc est ut IM ad AL.

Propterea si reciprocè adhibeantur bases, et altitu­dines, erit conus cuius altitudo AL, basis verò aequalis universae superficiei coni BCD cum basi, aequalis cono cuius altitudo sit IM, basis verò curva tantum superficies conica BCD, hoc est cono BCD (aequales enim sunt, conus cuius altitudo IM, basis verò conica superficies BCD; et conus BCD per 22 huius).

PROPOSITIO II.

Conus quilibet circa sphaeram descriptus, est ad sphae­ram, ut coni ipsius universa superficies accepta etiam basi, ad superficiem sphaerae.

Esto circa sphaeram ABC de­ scriptus conus DEF; Dico huius­modi conum esse ad sphaeram, ut coni superficies una cum basi, ad superficiem sphaerae.

Ponatur conus HIL ut in prae­cedenti, cuius basis aequalis sit integro perimetro coni DEF una cum basi, altitudo verò PI aequalis radio sphaerae OC, eritque conus HIL aequalis cono DEF.

per praeced.

Agatur per centrum O planum MN ad axem erectum, et in hemisphaerio MCN concipiatur conus MCN.

Iam conus DEF ad conum HIL (ob aequalitatem) est ut totus perimeter coni DEFD ad basim HL, conus autem HIL ad conum MCN, (cum eandem habeant altitudinem)

est ut basis HL ad basim MN, conus denique MCN ad sphaeram, est ut basis MN ad superficiem sphaerae (nempe in ratione sub quadrupla) quare ex aequo erit conus DEF ad sphaeram, ut universus perimeter coni DEF ad super­ficiem sphaerae. Quod etc.

20. et 30. p. partis.

PROPOSITIO III.

Conus quilibet circa sphaeram descriptus, est ad sphae­ram, ut rectangulum contentum sub latere et semibasi coni tamquàm una linea, et sub semibasi, ad quadratum diametri sphaerae.

Esto circa sphaeram, cuius diameter DE, descriptus conus quilibet ABC. Dico conum ad sphaeram esse ut rectangulum sub BAD tamquàm unà linea, et sub AD compraehensum, ad quadratum DE.

Curva enim superficies coni ABC ad circulum suae basis est ut BA ad AD, et componendo erit totus coni perimeter ad eundem cir­culum basis ut BA, AD simul ad AD; hoc est ut rectan­gulum sub linea BAD, et sub AD ad quadratum AD; circulus verò basis coni, ad circulum circa DE, est ut qua­dratum AD ad quadratum DF, circulus denique circa DE ad sphaerae superficiem, est ut quadratum DF ad quadra­tum DE, ergò ex aequo universus coni ABCA perimeter ad superficiem sphaerae (hoc est conus ipse ad sphaeram per praecedentem) erit ut rectangulum sub recta linea BAD, et sub AD, ad quadratum DE. Quod etc.

8. p. pars.

Corollarium.

Pro Corollario potest ostendi conum aequilaterum ad inscriptam sphaeram, esse ut 9 ad 4. Posito enim latere AC 6 erit rectangulum sub latere cum semibasi, et semibasi 27 quadratum verò BD 27 et qua­dratum DE 12 ergo conus ad sphaeram erit ut 27 ad 12 sive ut 9 ad 4.

Scholium.

Possent hic Theoremata non pauca proponi circa solidorum circum­scriptionem, et inscriptionem: qualia sunt.

Si circa sphaeram prisma concipiatur, quod singulis suis parallelo­grammis sphaeram contingat; sitque eiusdem altitudinis; Erit prisma ad sphaeram, ut perimeter basis prismatis ad duas tertias periphaeriae maximi circuli sphaerae.

Si verò non eiusdem sit altitudinis; ratio prismatis ad sphaeram componetur ex praedicta, et ex ratione altitudinum; altitudo autem sphaerae diameter est.

Si cylindro circumscribatur prisma, quod singulis suis parallelo­grammis superficiem cylindri contingat; sintque eiusdem altitudinis. Erit prisma ad cylindrum, ut basis ad basim: nempe, ut perimeter basis prismatis, ad periphaeriam basis cylindri: idem verum est de cono, et pyramidibus circumscriptis.

Si verò prisma, et cylindrus non eiusdem altitudinis fuerint; ratio componetur ex ratione perimetri ad periphaeriam, et altitudinis ad altitudinem.

Si intra cylindrum inscribatur prisma eiusdem altitudinis, habens basim poligonam, regularem, et parilateram; Erit cylindrus ad prisma, ut periphaeria basis cylindri ad perimetrum poligoni regularis in eo­dem circulo descripti, quod habeat latera multitudine sub dupla po­ligoni basis prismatis. Quae vera sunt etiam de cono, et pyramidibus inscriptis.

Quando verò basis prismatis imparilatera fuerit, sive regularis, sive irregularis: Erit cylindrus ad inscriptum prisma, ut periphaeria basis cylindri ad omnes sinus arcuum à lateribus basis prismatis subten­sorum. Dummodo nullus arcus semicirculo maior sit. Quando verò arcus aliquis semicirculo maior sit; et quando figurarum altitudo non sit eadem, et alia huiusmodi, onnia demonstrari possunt facili quidem negotio; sed institutum nostrum est non omnem solidorum inscriptio­nem, et circumscriptionem prosequi; sed illam, tantum, quae circa sphaeram est, vel intra ipsam; Propterea ad inceptum revertamur.

PROPOSITIO IV.

Si circà circulum describatur poligonum habens latera numero paria, sive à quaternario, sive à binario mensurata, et revolvatur figura circa diagonalem, erit factum sphae­rale solidum aequale cono cuidam qui basim habeat ae­qualem superficiei solidi, altitudinem verò semidiametro sphaerae aequalem.

Hoc autem quandò numerus laterum mensuratur à quaternario demonstratum fuit ab Archimede Prop. 29 sive mavis 25 lib. p. de Sph. et Cylin. Quando verò laterum numerus etiam à binario tantnm mensuratur, ostendemus sic, eritque demonstratio (exceptis quae de ultimo solido cylindrico dicentur) eadem cum ea quam affert Archi­medes.

Esto poligonum ABCDEFG habens latera à binario tantum mensurata, ut in prima figura. Ergò semipoligo­ num ABCDEF habebit latera numero imparia, latusque unum tanget circulum in puncto T, atque ideo cylindricam superficiem in conversione describet. Intelligatur conus MNO, cuius basis sit circulus MO aequalis universae su­perficiei solidi sphaeralis, altitudo verò PN, aequalis sit radio sphaerae. Dico sphaerale solidum aequale esse cono MNO.

Rombus enim solidus factus in conversione figurae à triangulo ABQ, aequalis est cono cuidam cuius basis ae­ qualis sit conicae superficiei descriptae à linea AB, alti­tudo verò sit radius QR. Solidum autem excavatum factum in conversione à triangulo BCQ, aequatur cono cuidam cuius basis aequalis sit conicae superficiei descriptae à linea BC altitudo verò aequalis radio sphaerae QS et sic semper procedatur. Ultimum denique solidum cylindricum excavatum descriptum à triangulo CTQ, aequale est cono cuidam, cuius basis aequalis sit superflciei cylindricae à linea CT factae, altitudo verò aequalis sit semidiametro cylindri, QT; Et sic de solidis circa alterum hemisphae­rium TFV descriptis. Ergo universum sphaerale solidum, aequale erit omnibus praedictis conis simul sumptic: ijsdem autem omnibus praedictis conis aequalis est conus MNO (cum basim habeat omnibus simul illorum basibus aequa­lem, nempe superficiei solidi sphaeralis, altitudinem verò unicuique illorum aequalem, nempe radio sphaerae). Pro­pterea praedictum solidum sphaerale aequale erit cono MNO. Quod etc.

23. p. partis.

24. p. partis.

25. p. partis.

PROPOSITIO V.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa diagonalem: ha­bebit factum sphaerale solidum ad sphaeram suam eam rationem, quam universa solidi sphaeralis superficies habet ad superficiem sphaerae.

Manente praecedentis Propositionis constructione; Esto sphaerale solidum cuius diagonalis, atque axis sit AB, cen­trum autem sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse, ut superficies solidi ad su­perficiem sphaerae.

Inscribatur n. in hemisphaerio conus DEF, et ponatur conus GIH cuius basis GH aequalis sit universae super­ficiei solidi sphaeralis ut in praecedenti altitudo verò LI aequalis radio sphaerae, et erit per praecedentem sphaerale solidum aequale cono GIH.

Propter aequalitatem ergò, erit sphaerale solidum ad conum GIH ut superficies universa sphaeralis solidi ad ba­sim coni GIH; conus autem GIH ad conum DEF (ob aequalem altitudinem) est ut basis circa GH ad basim circa DF; conus denique DEF ad sphaeram, est ut ba­sis circa DF ad superficiem sphaerae (nempe in ratione subquadrupla). Propterea erit ex aequo sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram ut universa sphaeralis solidi superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc.

PROPOSITIO VI.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa diagonalem, erit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram ut axis solidi ad axem sphaerae.

Manente praecedentium constructione; esto sphaerale solidum, cuius diagonalis, atque axis sit AB centrum verò sphaerae sit C, et diameter HI.

Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse ut AB ad HI.

Circumscribatur n: circa sphaeram cylindrus NLMO agantur que per extremitates axis A, B, plana ad axem erecta DG, EF per extremitates verò diametri HI plana LM, NO.

Erit, per praecedentem, sphaerale solidum ad sphaeram ut superficies sphaeralis solidi ad superficiem sphaerae; hoc est, (sumptis aequalibus) ut superficies cylindri DEFG, ad superficiem cylindri LNOM, hoc est ut AB ad HI. Quare sphaerale solidum ad sphaeram est ut axis solidi ad diametrum sphaerae. Quod etc.

per 15. p. partis.

18. p. partis.

prima p. partis.

PROPOSITIO VII.

Si intra circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa diagonalem, erit sphaera ad inscriptum sibi sphaerale solidum, ut quadra­tum diametri sphaerae, ad quadratum cateti poligoni.

Sit n. circ. cuius cent. A, et diamet. BC poligonum regulare, cuius diagonalis sit linea BC, et convertatur figura circa BC. Dico sphaeram circumscriptam ad in­clusum sphaerale solidum, esse ut qua­ dratum AC, ad quadratum cateti po­ligoni AD. Ducatur enim DE ex D perpendicularis ad BC, et EF perpen­ dicularis ad AD, eruntque in continua proportione quatuor rectae AC, AD, AE, AF. Concipiatur etiam radio AD aliam sphaeram describi, quae singulas conicas superficies solidi sphaeralis continget; necnon cylindricam, si quam huiusmodi sphae­rale solidum habebit.

4. sexti.

ultima duo­decimi.

Erit itaque sphaera maior ad sphaeram minorem, ut CA ad AF; minor verò sphaera ad sphaerale solidum, quod sibi circumscribitur (per praecedentem) est ut DA ad AC, hoc est, ut AF ad AE; Proptereà ex aequo erit circumscripta sphaera maior, ad inscriptum solidum sphae­rale, ut CA ad AE; nempe ut quadratum CA ad quadra­tum AD. Quod erat etc.

PROPOSITIO VIII.

Si circa sphaerale solidum, natum ex revolutione poli­goni circà diagonalem revoluti, sphaera circumscribatur, et altera inscribatur. Habebit circumscripta sphaera ad solidum, duplicatam rationem illius, quam habet solidum ad inscriptam sphaeram.

Repetita figura Propositionis praecedentis; cum sit cir­cumscripta sphaera ad solidum ut quadratum CA ad qua­

dratum AD; solidum verò ad inscriptam sibi minorem sphaeram, ut CA ad AD; patet rationem circumscriptae sphaerae ad solidum sphaerale duplicatam esse illius quam solidum hahet ac insctiptam sphaeram. Quod etc.

6. huius.

PROPOSITIO IX.

Si circa sphaerale solidum, natum ex revolutione poligoni circà diagonalem revoluti, sphaera circumscri­batur, et altera inscribatur: Erit superficies solidi sphae- ralis media proportionalis inter superficies duarum sphae­rarum.

Manente figura, et constructione praecedentium propositionum. Dico tres superficies, nempe maioris sphaerae, so­lidi sphaeralis, minorisque inscriptae sphaerae, esse inter se in continua pro­portione.

Superficies enim circumscriptae sphaerae est ad superficiem inscriptae, ut quadratum CA ad quadratum AD; superficies autem solidi ad superficiem eiusdem inscriptae sphaerae, est ut recta CA ad rectam AD: Ergò tres su­ perficies praedictae sunt in continua proportione; et qui­dem perimeter sphaeralis solidi medius proportionalis est. inter superficies duarum sphaerarum. Quod etc.

Ostenditur in 6. huius

PROPOSITIO X.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, sive à quaternario, sive tantum à binario mensurata; et convertatur figura circa catetum; Erit fa­ctum sphaerale solidum aequale cono cuidam, cuius quidem basis aequalis sit universae superficiei solidi sphaeralis, al­titudo verò aequalis radio sphaerae.

Esto circa circulum figura poligona aequilatera ABC­DEH habens latera numero paria, et convertatur figura circa catetum IL, orieturque solidum contentum sub co­nicis, circularibus, et una cylindrica superficie, quando numerus laterum à quaternario mensuratur; quandò verò à binario tantum, tunc erit solidum sphaerale sub co­nicis, et circularibus tantum superficiebus compraehensum. Dico utrumque sphaerale solidum aequale esse cono cuidam MNO, qui basim habeat aequalem universae solidi sphae­ralis superficiei, altitudinem verò PN aequalem radio sphaerae.

Hoc ostendetur similiter ut propositione 4 factum est. Nam conus qui fit à triangulo IAQ in conversione circa axem IL, aequatur cono qui basim habeat aequalem cir­culo qui fit ex radio IA, altitudinem verò aequalem radio sphaerae QI, quia idem prorsus est. Solidum autem exca­ vatum, quod fit à triangulo ABQ, aequale probatur cono cuidam, cuius basis aequalis sit conicae superficiei factae à linea AB, altitudo verò sit QR radius sphaerae. Ultimum denique cylindricum solidum excavatum, factum à trian­gulo BQS (quando poligoni latera à quaternario mensu­ rantur, aliàs cylindricum solidum nullum est) aequatur cono cuius basis aequalis sit cylindricae superficiei factae à linea BS altitudo verò sit QS; et sic de altero hemi­sphaerio. Proptereà universum sphaerale solidum aequale erit omnibus praedictis conis simul sumptis; et ideo ae­quale erit etiam cono MNO, qui omnibus illis simul sumptis aequivalet; (quandoquidem basim habet omnibus simul illorum basibus aequalem ex suppositione; altitudi­nem verò unicuique illorum aequalem, nempe radium sphaerae). Quod etc.

24. p. partis.

25. p. partis.

PROPOSITIO XI.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero pario, et convertatur figura circa catetum, habebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram eam rationem, quam universa solidi sphaeralis superficies habet ad superficiem sphaerae.

Manente praecedentis propositionis constructione, esto sphaerale solidum cuius catetus, et axis sit AB; centrum autem sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad inscri- ptam sibi sphaeram esse ut universa ipsius solidi super­ficies ad superficiem sphaerae.

Concipiatur enim in hemisphaerio conus DAE, et in­telligatur alius conus FGH, cuius basis FH aequalis sit universae superficiei solidi sphaeralis, altitudo verò IG aequalis radio sphaerae; et erit per praecedentem sphae­rale solidum aequale cono FGH.

Propter aequalitatem ergo, erit sphaerale solidum ad conum FGH, ut superficies universa sphaeralis solidi, ad basim coni FGH, conus autem FGH, ad conum DAE (ob aequalem altitudinem) est ut basis circa FH, ad basim circa DE; denique conus DAE, ad sphaeram, est ut basis circa DE ad superficiem sphaerae (nempe in ratione subquadrupla): Propterea erit ex aequo sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram, ut universa sphaeralis solidi superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc.

PROPOSITIO XII.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa catetum; Ha­bebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphae­ram, eam rationem, quam habet composita recta linea ex diametro sphaerae, et ex tertia proportionali (si fiat ut semidiameter sphaerae ad semilatus poligoni, ita semilatus ad aliam), ad diametrum sphaerae.

Manente praecedentium propositionum constructione, esto sphaerale solidum cuius catetus, et axis sit AB; cen­trum autem sphaerae sit C. Fiat angulus CDE rectus, eritque BE tertia proportionalis ad semidiametrum CB, et semi­latus poligoni BD. Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse ut EA ad AB; nempe ut composita ex diametro sphaerae AB, et tertia proportionali BE, ad diametrum sphaerae AB. Concipiatur circa sphaeram de­scriptus cylindrus FLMI, et per puncta A; B; E produ­cantur plana FI, LM, GH, ad axem erecta.

Erit ergo, per praecedentem, sphaerale solidum ad in­scriptam sibi sphaeram, ut superficies solidi ad superficiem sphaerae; hoc est, sumptis aequalibus, ut superficies cy­lindri FGHI ad superficiem cylindri FLMI; hoc est ut linea AE ad AB. Quod etc.

16. pri. partis.

18. p. partis.

PROPOSITIO XIII.

Si circà circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa catetum; erit factum sphaerale solidum ad suam sphaeram, ut duo qua­drata, nempe ut quadratum diagonalis, et quadratum cateti simul, ad duplum quadrati eiusdem cateti.

Esto circa circulum, cuius centrum A, descriptum po­ ligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa catetum BC: factoque angulo recto ADE, erit (per praecedentem) solidum sphaerale ad suam sphaeram ut EB ad BC. Dico insuper solidum sphaerale ad suam sphae­ram esse, ut quadratum ex AD, simul cum quadrato ex AC, ad duplum quadrati ex AC.

Nam EA ad AC est ut quadratum DA ad quadratum AC; et componendo, erunt EA, et AC simul, hoc est tota EB, ad AC, ut duo quadrata DA, AC simul ad qua­dratum AC; sumptisque consequentium duplis, erit EB ad BC (hoc est solidum sphaerale ad sphaeram) ut duo quadrata DA, AC simul, ad duplum quadrati ex AC. Quod etc.

per praeced.

PROPOSITIO XIV.

Si intrà circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circà catetum; erit sphaera ad inscriptum sibi solidum, ut integra diameter sphaerae, ad secundam simul, et quartam proportionalium, in ratione semidiametri sphaerae ad semicatetum poligoni.

Sit in circulo cuius diameter AB poligonum habens latera numero pa­ria, et convertatur figura circa cate­tum CD: Ducanturque perpendicu­lares DF ad rectam HE, et FI ad HD; et erunt quatuor lineae EH, HD, HF, HI, in continua ratione semidia­metri HE ad semicatetum HD. Dico sphaeram ad inscriptum solidum esse, ut dupla HE ad utramque simul DH, HI. Vel ut integra diameter sphaerae ad CI.

Intelligatur alia sphaera intra solidum inscripta. Erit ergo exterior sphaera ad interiorem, ut EH ad HI, sive ut dupla EH ad duplam HI; interior verò sphaera ad solidum sphaerale est, ut duo quadrata ex HD, ad duo quadrata HD, HE, hoc est ut duo quadrata ex HI, ad duo quadrata ex HI, HF, hoc est (ut infrà ostendemus) ut dupla HI ad HI, HD; Propterea erit ex aequo sphaera exterior ad inscriptum sibi sphaerale solidum, ut dupla HE, hoc est integra diameter sphaerae, ad HI, et HD simul; quae quidem sunt secunda, et quarta in ratione semidiam. sphaerae ad semicatetum poligoni. Quod etc.

Ultima duo­decimi.

per praec.

Quod autem assumptum est ostendemus. Dico ut duo quadrata ex HI ad duo quadrata simul HI, HF ita esse duplam HI ad HI, HD.

Nam ob angulum rectum HFD, erit ut quadratum FH ad quadratum HI, ita recta DH ad HI, et componendo, sumptisque consequentium duplis, erit ut quadrata FH, HI, ad duo quadrata ex HI, ita duae rectae DH, HI, ad duplam HI. Convertendo ergò, erunt duo quadrata ex HI, ad duo quadrata HI, HF ut dupla HI, ad HI, HD simul. Quod erat etc.

PROPOSITIO XV.

Si circà circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­goni, erit factum sphaerale solidum aequale cono cuidam, cuius basis aequalis sit universae superficiei solidi, altitudo verò radio sphaerae sit aequalis.

Esto circuli centrum A, polig. verò perimeter BCDEFGH. Et sint latera eius numero imparia; conver­taturque figura circa catetum BI, ut oriatur solidum sphaerale contentum sub conicis superficiebus unicoque circulo circa diametrum EF descri­pto. Ponatur iam conus LMN, qui basim habeat aequalem universae su­perficiei sphaeralis solidi, altitudinem verò OM aequalem radio sphaerae AI. Dico solidum sphaerale aequale esse cono LMN.

Agatur per centrum sphaerae planum PQ ad axem erectum, quod transuersè, secabit aliquod latus poligoni, puta CD.

Erit iam rombus solidus, factus à conversione triang. BCA, aequalis cono, qui basim habeat aequalem conicae superficiei factae à linea BC; altitudinem autem aequalem radio sphaerae AR. Solidum verò conicum excavatum quod fit ex giro trianguli CPA, aequale erit cono, qui basim habeat aequalem superficiei, quae fit à linea CP altitudinem verò aequalem radio sphaerae AS. Solidum quoque excavatum, factum ex revolutione trianguli PDA, aequatur cono, qui basim habeat aequalem superficiei co­nicae quae fit à motu lineae PD, altitudinem autem ae­qualem radio shpaerae AS. Eadem prorsum eodem modo dicuntur de solido conico excavato, facto à triangulo DAE; et de ultimo cono facto à revolutione trianguli EIA. Pro­pterea totum sphaerale solidum aequale erit omnibus prae­dictis conis simul sumptis, vel cono LMN, qui omnibus illis praedictis aequivalet: (habet enim basim omnibus si­mul illorum basibus aequalem, altitudinem verò aequalem unicuique illorum). Quod etc.

23. p. partis.

24. p. partis.

27. p. partis.

Scholium.

Attulimus in hac Propositione Theor. 23, 24 et 27 p. partis; Nam ex gyro trianguli BCA oritur rombus solidus ut in 23 p. partis. Ex gyro trianguli CPA oritur solidum quoddam excavatum, quale relin­quitur si ex cono auferatur rombus solidus: ut in 24 p. partis. Denique ex conversione trianguli DPA oritur solidum quoddam excavatum ha­bens basim circularem PQ: quale relinquitur si ex frusto conico conus auferatur habens basim eandem cum maiore basi frusti conici, altitu­dinem quoque eandem ut in Prop. 27 p. partis.

PROPOSITIO XVI.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circa catetum; habebit fa­ctum sphaerale solidum ad inscri­ptam sibi sphaeram, eam rationem quam universa sphaeralis solidi su­perficies habet, ad superficiem sphaerae.

Manente praecedentis proposi­tionis constructione, sit sphaerale solidum cuius catetus, sive axis sit AB, centrum verò sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse, ut ipsius solidi integra superficies ad superficiem sphaerae.

Concipiatur in hemisphaerio conus DEF; et intelligatur conus GHI cuius basis GI aequalis sit universae superfi­ciei solidi sphaeralis, altitudo verò LH aequalis sit radio sphaerae, et erit per praecedentem, sphaerale solidum aequale cono GHI.

Propter aequalitatem ergò, erit sphaerale solidum ad conum GHI, ut superficies universa sphaeralis solidi, ad basim coni GHI; conus autem GHI ad conum DEF (ob aequalem altitudinem) est ut basis circa GI, ad basim circa DF conus denique DEF, ad sphaeram est, ut ba­sis circa DF ad superficiem sphaerae (nempe in ratione subquadrupla). Proptereà erit ex aequo, sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram, ut universa sphaeralis solidi superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc.

PROPOSITIO XVII.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­goni, habebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram eam rationem, quam habet linea composita ex cateto poligoni et tertia proportionalium (si fiat, ut dia­meter sphaerae ad semilatus poligoni, ita semilatus ad aliam), ad diametrum sphaerae.

Manente praecedentium constructione, sit sphaerale solidum cuius catetus, at­que axis sit AB, centrum verò sphaerae C, et diameter DB. Fiat angulus rectus DEF, eritque BF tertia proportionalium, posita diametro DB pro prima, et semi­latere poligoni BE pro secunda. Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse ut tota AF ad DB.

Concipiatur circa sphaeram cylindrus MNOP, et per puncta A, D, B, F, plana agantur ad axem erecta.

Erit ergo, per praecedentem, sphaerale solidum ad in­scriptam sibi sphaeram, ut superficies sphaeralis solidi ad superficiem sphaerae; hoc est, sumptis aequalibus, ut superficies cylindri GHIL ad superficiem cylindri MNOP; hoc est ut recta AF ad BD per primam p. par­tis. Quod etc.

per 17. et 18. p. partis.

PROPOSITIO XVIII.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­goni; habebit factum sphaerale solidum ad sphaeram eam rationem quam habent quatuor simul termini nempe, ma­ximus, minimusque cum duobus medijs; ad quatuor minimos; (quandò ratio rectae GB ad GD continuata fuerit in tri­bus terminis.

Esto circulus cuius diameter AB, cen­ trum verò G, ipsique circumscribatur poli­gonum habens latera numero imparia, cuius catetus sit GB, et convertatur fi­gura circa CB; Factoque angulo GDF recto, erit ratio rectae GB ad GD con­tinuata in tribus terminis GB, GD, GF; uti propositum est. Dico solidum ad sphaeram esse, ut GF, GB, simul cum GD bis sumpta, ad ipsam GB quater sumptam.

Fiat alius angulus ADE rectus; eritque solidum ad sphaeram per praecedentem, ut CE ad diametrum sphaerae AB, hoc est ut EG, GD simul, ad diametrum sphaerae (sunt enim aequales GC, GD) hoc est ut dupla EG, et dupla GD ad duas diametros, hoc est ut FG, GB cum dupla GD, ad quatuor semidiametros GB. Quod erat demon. etc.

ostenditur infra.

Quod autem assumptum fuit, ostendemus sic. Dico ipsam EG bis sumptam, aequalem esse duabus FG, GB.

Quoniam ob angulum rectum, rectangula ABE, GBF, aequalia sunt eidem quadrato BD, aequalia erunt et inter se; ideoque latera eorum reciproca, nempe ut AB ad BG subduplam, ita erit FB ad BE subduplam; aequales ergo sunt FE, EB et tres rectae GF, GE, GB sunt in propor­tione Aritmetica; ideo EG bis sumpta aequalis erit duabus FG, GB. Quod etc.

PROPOSITIO XIX.

Si intra circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­goni, erit sphaera inscriptum sibi sphaerale solidum, ut sunt quatuor simul maximi termini, ad maiorem reliquo­rum semel, et medium bis, et minorem semel sumptum (quando proportio CD ad CE continuata erit in quatuor terminis).

Sit circulus cuius diameter AI, cen­ trum verò C, et inscribatur poligonum habens latera numero imparia; tum con­vertatur figura circa catetum AD. Fiant­que anguli CEB et CBF recti, eritque ratio CD ad CE continuata in quatuor terminis CD, CE, CB, CF. Dico sphaeram ad inscriptum sibi solidum sphaerale esse, ut CF quater sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD semel, simulque sumptas.

Intelligatur alia sphaera cuius semidiameter CD: in­ scripta in solido. Erit ergo maior sphaera ad minorem ut cubus EC ad cubum CD vel recta FC ad CD, vel ut FC quater, ad CD quater; sphaera verò minor inscripta, est ad solidum sphaerale, (per praecedentem) ut CD quater sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD semel: Propterea erit ex aequo, maior, sive circumscripta sphaera, ad suum sphaerale solidum, ut CF quater sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD semel sumptas. Quod etc.

Ultima duo­decimi.

Scholium.

Hactenus sex praecipua Theoremata de solidis sphaeralibus demon­strata sunt. Sequuntur nunc quaedam scitu non iniucunda, et ad do­ctrinam spectantia.

PROPOSITIO XX.

Si intra sphaeram descriptum sit sphaerale solidum pa­rilaterum, circaque diagonalem revolutum: erit sphaera ad excessum, quo ipsa solidum superat, in duplicata ratione diametri sphaerae ad latus poligoni.

Sit in circulo cuius centrum A de­ scriptum poligonum habens latera numero paria, et convertatur circa diagonalem BC. Dico sphaeram ad excessum, quo ipsa so­lidum superat, esse ut quadratum BC ap quadratum CD.

Ducatur AE ex centro perpendicularis ad latus CD, et producatur.

Quoniam per demonstrata, est ut sphaera ad solidum sphaerale ita quadratum FA ad quadratum AE, erit per conversionem rationis sphaera ad excessum, ut quadratum FA ad differentiam quadratorum FA, AE, hoc est ad re­ctangulum FEG, sive ad quadratum EC. Constat ergò sphaeram ad excessum quo ipsa superat inscriptum sphae­rale solidum esse ut quadratum FA ad quadratum EC, sive ut quadratum BC ad quadratum CD. Quod etc.

7 huius.

PROPOSITIO XXI.

Si in eadem sphaera duo solida parilatera, et circa dia­gonalem revoluta, concipiantur, erit differentia unius à sphaera, ad differentiam alterius a sphaera, homologè in duplicata ratione laterum.

Sint in circulo cuius diameter AB duo semipoligona ACB, ADB; et convertatur figura circà diagonalem AB. Dico diffe­rentiam inter sphaeram, et sphaerale soli­dum ACB, ad differentiam inter sphaeram et sphaerale solidum ADB, esse ut qua­dratum CB ad quadratum BD.

Demonstratum enim est differentiam ACB, esse ad sphaeram, ut quadratum BC, ad quadratum AB, sed sphaera ad differentiam ADB, est ut quadratum AB ad quadratum BD, ergo ex aequo erit differentia ACB ad differentiam ADB ut quadratum BC ad quadratum BD. Quod etc.

per praeced.

per eandem.

PROPOSITIO XXII.

Si eidem sphaerae duo solida parilatera, et similia, circaque diagonalem revoluta, alterum circumscribatur, alterum verò inscribatur; superficies sphaerae media pro­portionalis erit inter superficies duorum solidorum.

Sit circulus, cuius diameter AB atque ipsi duo poligona, alterum circumscribatur, alterum verò in­scribatur, habeatque utrumque latera numero paria, et sit numerus late­rum unius aequalis numero laterum alterius, ut sphaeralia solida similia evadant. Tum convertatur figura circa diagonalem CD.

Dico superficiem factae sphaerae mediam proportio­nalem esse inter superficies factorum solidorum.

Ducatur ex centro G recta GL ad contactus M et L, et radio GM fiat sphaera IMH.

Iam superficies solidi AF ad superficiem sphaerae IM intra ipsum inscriptae est ut solidum AF ad sphaeram IM, per 5. huius, nempe ut axis AG ad GM, per 6. huius, hoc est ut rectangulum AGM ad quadratum GM; Super­ficies verò sphaerae IM ad superficiem sphaerae ALF est ut quadratum GM ad quadratum GA. Ergò ex aequo su­perficies solidi AF ad superficiem sphaerae AL erit ut rectangulum AGM ad quadratum GA, nempe ut recta MG ad GA vel ut recta LG ad GC. Sed superficies sphaerae ALF ad superficiem solidi CE est ut LG ad GC (quod probatur eodem modo ut factum fuit supra) ergo in con­tinua proportione sunt superficies universa solidi AMF, superficies sphaerae ALF et superficies solidi CE. Quod erat etc.

Corollarium.

Hinc patet etiam quod si eidem solido sphaerali parilatero circa diagonalem revoluto duae sphaerae, altera circumscribatur, altera verò inscribatur, tres superficies in continua proportione erunt inter se.

PROPOSITIO XXIII.

Sphaeralia solida parilatera circa diagonalem revoluta, et eidem sphaerae, vel aequalibus sphaeris circumscripta, inter se sunt ut axes.

Sint circa circulum cuius centrum A duo poligona dissimilia, quorum latera nu­mero paria sint, et convertantur circa dia­gonalem. Sitque alterius factorum solidorum BFC, axis BC; alterius verò nempe DGE, esto axis DE. Dico solidum BFC, ad so­lidum DGE esse ut BC ad DE.

Hoc autem patet. Quoniam solidum BFC ad sphaeram est ut BC ad diametrum HI; sphaera vero ad alterum solidum DGE est ut diameter HI ad axem DE, erit ex aequo, solidum BFC ad solidum DGE, ut BC ad DE. Quod erat etc.

5. huius.

ex eod.

Hinc facile ostendi potest excessum, quo solidum BFC superat sphaeram, ad excessum quo solidum DGE superat eandem sphaeram, esse ut BH, ad HD.

Cum enim solidum BFC ad sphaeram sit ut BA ad AH, erit divi­ dendo excessus BFC ad sphaeram, ut BH ad HA. Eadem ratione sphaera ad excessum DGE erit, ut HA ad HD; ergo ex aequo, excessus BFC ad excessum DCE, supra sphaeram erit ut BH, ad HD. Quod etc.

6. huius.

PROPOSITIO XXIV.

Solida sphaeralia parilatera, eidem, vel aequalibus sphaeris inscripta, et circa diagonalem revoluta, sunt inter se in duplicata ratione catetorum.

Inscribantur in circulo cuius diameter AC duo semi­poligona ABC, ADC, et convertatur figura circa diago- nalem AC, ut describantur duo solida sphaeralia ut im­peratum est.

Dico solidum sphaerale factum ex poligono ABC, ad solidum sphaerale factum ex poligono ADC, esse ut qua­dratum cateti IE, ad quadratum ca­teti IH.

7. huius.

Solidum enim ex ABC ad sphae­ram, est ut quadratum IE ad quadra­tum IC; sphaera autem ad solidum ADC, est ut qua­

dratum IC ad quadratum IH; ergo ex aequo solidum ABC ad solidum ADC erit, ut quadratum IE ad quadra­tum IH. Quod erat etc.

per eandem.

PROPOSITIO XXV.

Si intra aequales, vel eandem sphaeram, cuius dia­meter AB, descripta fuerint duo solida sphaeralia parila­tera, quorum duo latera sint BC, BD; demittanturque ex punctis C, D, perpendiculares CE, DF ad diametrum; erit solidum cuius latus BC, ad solidum cuius latus BD, ut AE ad AF.

Ducantur enim ex centro I ad latera BC, BD perpendiculares IG, IH.

Recta EA ad rectam AB, est ut qua­dratum AC ad quadratum AB (ob angu­lum in semicirculo rectum ACB) recta autem BA ad AF, est ut quadratum AB, ad quadratum AD, ergo ex aequo recta EA ad rectam AF, est ut quadratum AC ad quadratum AD, hoc est ut quadratum IG ad quadra­ tum IH, hoc est ut solidum cuius latus est BC ad solidum cuius latus est BD. Quod erat etc.

per praeced.

PROPOSITIO XXVI.

Si intra sphaeram cuius diameter AB descriptum sit solidum sphaerale parilaterum, et circa diagonalem revo­lutum; demittaturque ab extremitate lateris BC quod dia- metrum contingit, recta CD perpendicularis ad diametrum circuli AB, erit conus cuius basis circulus AFCBE al­ titudo verò sit AD, subduplus solidi sphaeralis; conus verò, cuius eadem sit basis, et altitudo DB, erit subduplus differentiae, quae inter sphaeram, et so­lidum sphaerale est.

Sphaera enim ad inscriptum solidum est ut quadratum diametri ad quadra­ tum cateti AC (est enim AC ob angu­lum rectum ACB, aequalis cateto poligoni), hoc est ut BA recta ad rectam AD.

7. huius.

Iam quia conus, cuius basis AFCBE altitudo verò sit AB; aequalis est haemisphaerio in eadem basi constituto; erit dictus conus, hoc est hemisphaerium, ad conum cuius basis eadem AFCBE, altitudo verò AD, ut AB ad AD. Sed hemisphaerium etiam ad semisolidum est ut AB ad AD; ut ostendimus supra. Propterea conus cuius basis circulus AFCBE, altitudo autem AD, erit aequalis semi­solido sphaerali, sive subduplus solidi sphaeralis. Quod etc.

ex 30. p. partis.

Similiter inferetur, conum cuius basis eadem AFCBE, altitudo verò DB, subduplum esse excessus illius, quo sphaera solidum superat.

Scholium.

Demonstramus etiam singula illa solida rotunda annularia, quae describuntur in revolutione figurae à bilineis mixtis, quale unum est FC, et solidum sphaerale circundant; aequalia esse singulis sphaeroidi­bus, quarum uniuscuiusque maximus circulus sit circa diametrum FC. Axis verò aequalis sit portioni rectae ex AB quae intercipitur inter duas perpendiculares ad ipsam AB ductas ex punctis F et C et sic de reliquis. Sed hoc alibi.

PROPOSITIO XXVII.

Si eidem circulo duo poligona parilatera alterum cir­cumscribatur, alterum verò inscribatur; et convertatur circumscriptum quidem circa catetum, inscriptum verò circa diagonalem: erit differentia inter circumscriptum et sphaeram, ad differentiam inter sphaeram et inscriptum, ut quadratum lateris circumscripti ad duplum quadrati lateris inscripti.

Esto circuli diameter AB, latus verò poligoni circumscripti CD et inscripti AE. Dico excessum, quo maius solidum sphae­ram superat, ad excessum, quo sphaera superat minus esse ut quadratum CD ad duo quadrata ex AE.

13. huius.

Solidum enim circumscriptum est ad sphaeram ut duo quadrata CI, IA ad duplum quadrati ex IA; ergo dividendo, erit excessus solidi supra sphaeram, ad ipsam sphaeram, ut quadratum CA ad duplum quadrati ex IA, sive ut quadr. CD, ad duplum quadr. ex AB. Sphaera autem ad excessum, quo ipsa superat minus so­lidum, est ut quadratum AB ad quadratum AE, vel ut duo

quadrata ex AB ad duo quadrata ex AE. Propterea ex aequo excessus solidi maioris supra sphaeram, ad excessum sphaerae supra minus solidum, erit ut quadratum ex CD ad duo quadrata ex AE. Quod etc.

20. huius.

PROPOSITIO XXVIII.

Quodlibet sphaerale solidum circa diagonalem revolu­tum (cuius latera numero quidem paria sint, sed nullo modo à quaternario mensurentur, ut sunt 6, 10, 14, 18, 22 etc.) inscripti sibi rombi solidi duplum est.

Sit solidum quale dictum est ABC DEFG circa axem sive diagonalem DI revolutum. Manifestum est quod duo latera opposita BL, FM contingent sphaeram in extremitatibus A, G, dia­metri AG, quae quidem perpendicu­laris sit ad DI; quandoquidem laterum numerus à binario tantum mensuratur, non autem à quaternario.

Inscribantur iam duo coni; nempe ADG in semisolido, habens altitudinem HD; conus verò AIG in hemisphaerio. Erit igitur semisolidum ABCDEFG ad hemisphaerium ut axis ad axem, nempe ut DH ad HI, hoc est ut conus ADG ad conum AIG (cum sint in eadem basi); et permutando semisolidum ad suum conum ADG, erit ut hemisphaerium ad suum conum AIG; quare duplum erit. Propterea omne solidum, quale dictum est duplum erit inscripti sibi rombi solidi. Quod etc.

6. huius.

Lemma.

Si hemisphaerium ABC, et conus quicumque rectus DBE eandem altitudinem habuerint FB; erit hemisphaerium ad praedictum conum ut duplum basis hemisphaerij ad basim eius­dem coni.

Sit ut ponitur: Et inscribatur in hemi­sphaerio conus ABC. Erit ergo conus ABC ad conum DBE ut basis AC ad basim DE; sum­ptisque antecedentium duplis, erit hemisphaerium ABC ad conum DBE ut duplum basis AC ipsius hemisphaerij, ad DE basim coni. Quod erat etc.

PROPOSITIO XXIX.

Quodlibet sphaerale solidum circa diagonalem revolu­tum, cuius latera à quaternario mensurentur, ad inscri­ptum sibi rombum solidum, est ut superficies inscriptae sibi sphaerae, ad semisuperficiem circumscriptae.

Sit solidum quale dictum est AB CDE cui inscribatur semirombus, hoc est conus ACE; ad altitudinem verò hemisphaerij sit conus AFE, in basi AE.

6. huius.

Erit ergo semisolidum ad hemis­phaerium ut axis ad axem, hoc est ut CG ad GF, sive ut conus ACE, ad conum AFE (sunt enim in eadem basi) et permutando erit semisolidum ad suum conum AGE, ut hemisphaerium ad alterum conum AFE, hoc est per lemma praemissum, ut duo circuli ex HI, ad circulum ex AE, vel sumptis duplis, ut quatuor circuli ex HI, ad duos circulos ex AE; hoc est ut superficies inscriptae intra solidum sphaerae, ad semisuperficiem circumscriptae. Pro- pterea etiam dupla eandem rationem habebunt, hoc est totum sphaerale solidum ad inscriptum sibi rombum soli­dum erit ut dictum est. Quod etc.

Poterat etiam concludi; solidum sphaerale praedictum esse ad in­scriptum sibi rombum, ut inscriptus in poligono circulus ad semicir­culum circumscriptum; vel ut quadratum cateti GH ad semiquadratum diagonalis GA eiusdem poligoni.

Lemma.

Si in triangulo aequilatero inscriptus fuerit circulus. Erit circulus alter cuius diameter sit latus trianguli, triplus in­scripti circuli.

Inscribatur circulus ABC in triang. aequilatero DEF. Sitque G punctum, centrum et circuli, et trian­guli; propterea DG dupla ipsius GC, hoc est ipsius GA. Ergo quadr. DG quadruplum est quadrati ex GA et quadratum DA triplum erit eiusdem GA; Quare etiam circulus cuius semidiameter sit DA triplus erit circuli cuius semi­diameter sit CA. Quod erat etc.

PROPOSITIO XXX.

Si circa circulum descriptum fuerit triangulum aequi­laterum et revolvatur figura, erit factus conus acquilaterus ad inscriptam sibi sphaeram ut 9 ad 4.

Esto circa circulum ABC triangulum aequilaterum DEF, et convertatur figura. Dico factum conum aequilaterum esse ad inscriptam sphaeram in proportione dupla sesquiquarta, nempe ut 9 ad 4.

Concipiatur in hemisphaerio GAI co­nus GAI. Erit iam per lemma praecedens circulus cuius diameter DF triplus circuli cuius diameter GI; sed conus DEF ad conum GAI rationem habet com­positam ex ratione altitudinum EA ad AL; quae tripla est: Et ex ratione basium, nempe circuli DF ad circulum GI quae similiter tripla est: quare conus DEF ad conum GAI erit ut 9 ad unum, sumptisque consequentium qua­druplis, erit conus DEF ad sphaeram sibi inscriptam, ut 9 ad 4. Quod erat etc.

PROPOSITIO XXXI.

Si circa eandem sphaeram descripti sint conus, et cy­lindrus, ambo aequilateri; erunt tria solida, nempe conus, cylindrus, et sphaera in continua proportione sesquialtera.

Hoc autem patet. Posita enim sphaera ut 4 erit (per Corollarium Prop. 30 p. partis) cylindrus ut 6; conus autem ostensus est in praecedenti esse ut 9. Quare tria solida erunt inter se in continua proportione sesquialtera. Quod etc.

PROPOSITIO XXXII.

Sphaera ad inscriptum sibi conum aequilaterum est in ratione numeri 32 at 9.

Sit in circulo cuius centrum A in­ scriptum triangulum aequilaterum CBD et convertatur figura circa CH. Dico sphaeram esse ad factum conum aequi­laterum sibi inscriptum ut 32 ad 9.

Ducatur diameter EF ad angulos rectos ipsi CH, et concipiatur in he­misphaerio conus ECF: Punctam A erit centrum tum cir­culi, tum etiam trianguli aequilateri BCD, propterea CH sesquialtera erit ipsius CA.

Sed cum etiam ICL sit triangulum aequilaterum, erit CA potentià tripla ipsius AI, ergò et circulus ex CA, sive ex AE triplus erit circuli ex AI; ideoque conus ECF, triplus coni ICL videlicet ut 24 ad 8. Conus autem ICL ad conum BCD ob similitudinem, est ut cubus AC ad cubum CH, nimirum ut 8 ad 27. Quare ex aequo erit conus ECF ad conum BCD ut 24 ad 27. Reductaque ratione ad minimos terminos, erit conus ECF ad conum BCD ut 8 ad 9. Sumptis igitur antecedentium quadruplis sphaera ad inscriptum sibi conum aequilaterum erit ut 32 ad 9. Quod erat etc.

PROPOSITIO XXXIII.

Rombus solidus aequilaterus circa sphaeram descriptus est ad ipsam sphaeram ut diameter quadrati ad latus eiusdem.

Esto quadratum ABCD circa cir­ culum cuius centrum E; et volvatur figura circa diagonalem BD; Dico rom­bum solidum aequilaterum factum ex revolutione, esse ad sphaeram ut dia­meter quadrati ad latus eiusdem.

Intelligatur in hemisphaerio conus FGH, cuius basis FH, altitudo EG, et ducatur IM.

Erit iam conus ABC cuius basis AC, similis cono FGH, uterque enim rectus et rectangulus est. Ergo conus ABC ad conum FGH erit ut cubus BE ad cubum EG, nempe ut recta BE ad EL (sunt enim EB, EG, EI, EL in continua ratione) sumptis autem consequentium duplis, erit conus ABC ad hemisphaerium, ut BE ad EG, et propterea totus rombus solidus ad totam sphaeram sibi inscriptam erit ut BE ad EG, hoc est ut diameter alicuius quadrati ad latus eiusdem. Quod etc.

PROPOSITIO XXXIV.

Sphaera ad inscriptum sibi cylindrum aequilaterum est ut diameter quadrati ad 3 quart. lateris eiusdem.

Describatur intra circulum cuius centrum A quadratum BCDE, et vol­vatur figura circa catetum AG. Dico sphaeram ad cylindrum BCDE, esse ut diameter alicuius quadrati ad 3 quart. lateris eiusdem.

Intelligatur circa sphaeram alter cylindrus aequilaterus FILM et pro­ducta AM iungantur AD, GO. Erunt ob similitudinem triangulorum, in continua ratione FA, AD, AG, AP; Et quia cylindri sunt similes, nempe aequilateri, erit cylindrus IFML ad cylindrum BCDE ut cubus FM ad cubum CD, hoc est ut cubus FD ad cubum DG, sive ut cubus FA ad AD, hoc est ut recta FA ad quartam AP. Sumptisque antecedentium subsequialteris, erit sphaera ad cylindrum BCDE ut duae tert. ipsius FA ad AP; hoc est ut tota FA ad sesqaialteram ipsius AP; sive (quod idem est) ut FA ad 3 quart. rectae AD. Constat ergo sphaeram ad inscriptum sibi cylindrum aequilaterum esse ut FA ad 3 quar. ipsius AD; hoc est ut diameter alicuius quadrati ad 3 quar. la­teris eiusdem. Quod etc.

PROPOSITIO XXXV.

Solidum exagonale, hoc est sphaerale solidum genitum ab exagono circa catetum revoluto, septuplum est coni eandem sibi basim, et altitudinem habentis.

Esto exagonum aequilaterum, et aequiangulum ACDEFB et converta­tur circa catetum HI; inscribaturque conus AIB. Dico exagonale solidum factum ex revolutione, septuplum esse coni AIB.

Producantur CA, FB donec concur­rant in aliquo puncto L, eruntque ob exagonum, quatuor triangula aequila­tera OCA, OAB, OBF, ABL, aequalia inter se. Concipiatur ergo conus CLF perfectus; eritque conus AIB duplus coni ALB, quandoquidem eandem habet basim AB, sed altitudinem habet HI duplam ipsius HL.

Iam conus CLF ad conum ALB, erit ob similitudinem, ut cubus CL ad cubum LA, nempe ut 8 ad 1; et dividendo semisolidum CABF erit ad conum ALB, ut septem ad unum. Propterea etiam dupla eandem rationem habebunt, hoc est solidum exagonale integrum septuplum erit coni AIB. Quod erat etc.

PROPOSITIO XXXVI.

Si circa circulum describatur exagonum, et revolvatur figura circa catetum; erit sphaera sextupla coni, qui ean­dem basim, et eandem altitudinem cum solido habeat.

Esto circa circulum cuius centrum I exagonum ABCDEF, et convertatur circa catetum GH; inscribaturque in facto solido exagonali conus AHF, qui basim habeat circulum circa AF, alti­tudinem verò GH eandem cum solido. Dico sphaeram sextuplam esse coni AHF.

Concipiantur duo alij coni; nempe LHM in hemi­sphaerio, et AIF super basi AF constitutus ad cen­trum I.

Erit ergò propter exagonum, triangulum AIF aequila­terum, et ideo ipsa IG tripla erit potentià ipsius GA. Constat igitur quod circulus cuius diameter LM (dupla scilicet ipsius IG) triplus erit circuli cuius diameter AF, et propterea conus LHM triplus erit coni AIF. Sphaera autem duo decupla erit coni AIF, et ideo sextupla coni AHF. Quod erat etc.

PROPOSITIO XXXVII.

Si circa circulum describatur exagonum, et volvatur figura circa catetum; erit factum solidum ad factam sphae­ram sesquisextum.

Esto circa circulum cuius centrum I exagonum ABCDEF et convertatur fi­gura circa catetum GH. Dico solidum sphaerale factum, esse ad sphaeram ut 7 ad 6.

Concipiatur enim in solido conus AHF, ut in duabus praecedentibus pro­positionibus.

Erit ergo (per 35 huius) solidum exagonale ad conum AHF ut 7 ad unum, conus autem AHF ad sphaeram est

ut 1 ad 6; quare ex aequo erit solidum ad sphaeram ut 7 ad 6. Quod etc.

per praeced.

Lemma.

Linea diagonalis exagoni potentià sesquitertia est cateti eiusdem.

Sit exagonum ABC cuius centrum D. Dico diagonalem AC potentià esse sesquitertiam ca­teti EF.

Hoc autem patet. Nam ducta DB erit ABD triangulam aequilaterum, ob exagonum; et AD la­tus erit potentià sesquitertium perpendicularis DE; ergò sumptis lineis duplis, etiam AC sesqui­tertia erit potentià ipsius EF. Quod etc.

PROPOSITIO XXXVIII.

Sphaera inscripti sibi solidi exagonalis circa diagonalem revoluti, sesquitertia est.

Sit in circulo cuius centrum A de­ scriptum exagonum BCDEFG; iunctisque DH, DL, DM, DI, convertatur figura circa diagonalem DG. Dico sphaeram inscripti solidi exagonalis sesquitertiam esse. Circulus enim, cuius diameter HI, sesquitertius est circuli cuius diameter LM (per lemma praecedens) ergo conus HDI sesquitertius est coni LDM, sumptisque quadruplis, erit sphaera sesquitertia solidi exagonalis. Quod erat etc.

Assumptum fuit solidum exagonale quadruplum esse coni LDM hoc enim patet ex propositione 28 huius.

PROPOSITIO XXXIX.

Si idem exagonum dupliciter revolvatur, nempe circa catetum, et circa diagonalem; Erit solidum circa catetum revolutum, ad solidum circa diagonalem, in subduplicata ratione numerorum 49 ad 48. Nempe ut radix que num. 49 ad radicem que num. 48.

Esto exagonum aequiangulum, et aequilaterum ABC DEF, quod utroque modo concipiatur revolutum, nempe circa catetum HI et circa diagonalem DA; ut inde fiant duo solida sphaeralia inter se diversa specie; et intra utrunque intelligatur sphaera inscripta. Manife­stum iam est (per lemma Propositionis praecedentis) diagonalem AD potentià sesquitertiam esse cateti HI. Si ergo ponatur HI rationalis 6 erit AD radix quadrata nu meri 48.

Manentibus his. Solidum circa catetum revolutum, ad inscriptam sphaer. est ut 7 ad 6; Sphaera autem ad soli­dum revolutum circa diagonalem est ut HI, ad AD, nempe ut 6 ad rad. que num. 48. Quare ex aequo erit, solidum circa catetum, ad solidum circa diagonalem ut 7 ad radicem quadratam numeri 48. Nempe in subduplicata ratione nu­merorum 49, 48. Quod erat etc.

37. huius.

6. huius.

Lemma.

Si hemisphaerium altitudinem habuerit subduplam alicuius coni: erit hemisphaerium ad conum praedictum, ut basis ad basim.

Habeat haemisphaerium ABC altitudinem HB subduplam altitudinis HE coni DEF. Dico hemis­phaerium ad conum DEF, esse ut circulus AC ad circulum DF.

Concipiantur enim duo alij coni ABC in he­misphaerio, et DBF super basi DF. Erit ergò co­nus ABC ad conum DBF, ut basis AC ad basim DF; sumptisque duplis, erit hemisphaerium ad conum DEF ut basis AC ad basim DF. Quod erat etc.

PROPOSITIO XL.

Solidum parilaterum circa catetum revolutun ad in­scriptum sibi conum, rationem habet quam AB ad BC; facto scilicet angulo DEB recto.

Esto poligonum FGHILE habens latera numero paria, descriptum circa circulum cuius centrum D et conver- tatur figura circa catetum CA, fiatque angulus DEB rectus. Dico solidum ad inscriptum sibi conum FAE, esse ut AB ad BC.

Erit enim solidum ad sphaeram ut BA ad AC, sumptisque consequentium dimidijs, erit solidum ad hemisphae­rium ut BA ad DC, sed (per lemma praece dens) hemisphaerium est ad conum FAE, ut circulus ex DC ad circulum ex CE; sive ut recta DC ad CB; ergò ex aequo erit sphaerale solidum ad inscriptum sibi conum FAE, ut AB ad BC. Quod erat etc.

12. huius.

PROPOSITIO XLI.

Conus inscriptus in solido circa catetum revoluto, ae­qualis est excessui quo solidum inscriptam sibi sphaeram superat.

Manente figura et constructione praecedentis. Dico si sphaera auferatur à solido FGHILE, quòd residuum, quod superest, ablata sphaera, aequale erit cono FAE.

Est enim sphaerale solidum ad sphaeram ut BA ad AC; et per conversionem rationis, solidum ad illud residuun erit ut AB ad BC. Sed (per praecedentem) solidum ad in­scriptum sibi conum est ut AB ad BC. Aequalis est ergò conus FAE, in solido sphaerali inscriptus, omnibus simul solidulis annularibus quae circa sphaeram sunt; sive diffe­rentiae, quae est inter solidum inscriptamque in solido sphaeram. Quod erat etc.

12. huius.

PROPOSITIO XLII.

Hemisphaerium ad excessum quo sua sphaera supe­ratur à solido sphaerali circa catetum revoluto, duplicatam rationem habet diametri sphaerae ad latus poligoni, ex cuius revolutione solidum genitum fuerat.

Manente praecedentium figura, et constructione. Dico hemisphaerium, ad differentiam inter solidum, et inclusam sphaeram, esse ut quadratum AC, ad quadratum FE.

12. huius.

Est enim sphaera ad solidum circumscriptum ut CA ad AB; et dividendo, sphaera ad differentiam inter sphae­ram et solidum, erit ut AC ad CB; sumptisque antece­dentium dimidijs, erit hemisphaerium ad praedictam dif­ferentiam, ut DC ad CB, hoc est ut quadratum DC ad quadratum CE; vel ut quadratum AC ad quadratum FE. Quod erat etc.

Aliter.

Sphaera ad solidum est ut duo quadrata ex CD ad duo simul qua­

drata CD, DE. Ergo dividendo erit sphaera ad differentiam inter ipsam et solidum ut duo quadrata ex CD ad quadratum CE sumptisque ante­cedentium dimidijs, erit hemisphaerium ad differentiam inter sphaeram et solidum, ut quadratum DC ad quadr. CE, sive ut quadratum AC ad quadratum FE. Quod etc.

13. huius.

Corollarium.

Constat etiam hemisphaerium ad conum FAE inscriptum in sphaerali solido, esse in duplicata ratione AC ad FE, nempe axis coni ad dia­metrum basis eiusdem. Quandoquidem conus FAE demonstratus est ae­qualis differentiae inter solidum sphaerale inscriptamque sibi sphaeram.

PROPOSITIO XLIII.

Si exagono regulari simile exagonum inscribatur, ita ut inscripti anguli puncta media circumscriptorum laterum contingant, et convertatur figura circà catetum maioris exagoni, erit solidum exagonale circumscriptum ad inscri­ptum ut 14 ad 9.

Sit ut ponitur: Convertaturque figura circà AB; circaque AB diametrum conci­piatur sphaera, quae quidem maiori po­ligono inscripta erit, minori verò circum­scripta.

per 37. huius.

Erit itaque solidum maius ad sphaeram ut 7 ad 6 nempe ut 14 ad 12; sphaera

verò ad minus solidum erit ut 12 ad 9. Ergò ex aequo solidum maius ad minus erit ut 14 ad 9. Quod erat etc.

38. huius.

PROPOSITIO XLIV.

Solidum sphaerale factum ex revolutione alicuius poli­goni circa diagonalem, ad solidum ex revolutione eiusdem poligoni circà catetum; est ut rectangulum sub diagonali, et cateto, bis sumptum, ad duo simul quadrata, quorum alterum ex diagonali fit, alterum autem ex cateto.

Esto poligonum regulare quodcumque, habens latera numero paria, cuius diago­nalis sit AB, catetus verò CD. Et conci­piatur poligonum converti duplici axe; nempe primùm circà diagonalem AB; et iterum circa catetum CD. Dico solidum ex diagonali ad solidum ex cateto esse, ut rectangulum BED bis sumptum, ad quadrata ex BE, et ex ED: sive ut eorum quadrupla.

Fiat angulus EBH rectus, seceturq: bifariam DH in I; eritque EI media Aritmetica inter ED, EH: Iam solidum ex diagonali ad inscriptam sibi sphaeram est, ut AB, ad CD; sphaera verò ad solidum ex cateto, est ut CD, ad CH; ergò ex aequo solidum ex diagon. ad solidum ex cateto, erit ut AB ad CH, sive ut EB ad EI, (sunt enim semisses rectarum AB, CH). Cum autem BE media Geometrica sit inter HE, ED; ipsa verò EI media Aritmetica sit inter easd. erit so­lidum ex diagonali ad solidum ex cateto ut media Geomet. ad mediam Aritmet. inter rectas HE, ED. Sed ratio rectae HE ad ED, ead. est ac quadr. BE ad quadr. ED: propterea erit solidum ex diagonali ad solidum ex cateto, ut spatium medium proportionale Geometricum ad spatium medium Aritmeticum inter quadrata BE, ED. Spatium autem me­dium Geometricum inter quadrata BE, ED est rectangu­lum BED; medium verò Aritmeticum est quadratum ED, cum semisse quadrati DB. Ergo solidnm ex diagonali ad solidum ex cateto erit ut rectangulum BED; ad quadra­tum ED cum semisse quadrati DB; Vel (sumptis duplis) ut rectangulum BED, bis sumptum, ad quadratum ED bis, cum integro quadrato DB. Sive ut rectangulum BED bis sumptum, ad quadrata BE, ED. Quod erat etc.

6. huius.

12. huius.

Assumpsimus rectangulum BED, medium proportionale esse inter quadrata BE, ED. Hoc enim patet in propositis quibuscunque rectis duabus lineis.

Assumpsimus etiam quadratum ED cum semisse quadrati DB, esse medium Aritmeticum inter qnadrata BE, ED. Quod patet quadratum enim BE superat quadratum ED quadrato BD.

Corollarium.

Hic pro Corollario demonstrari potest, solidum ex diagonali factum semper minus esse solido, quod fit ex cateto; quando idem poligonum convertatur circa diagonalem, et circa catetum. Demonstratur hoc modo.

Quoniam rectangulum BED bis sumptum, minus est duobus qua­dratis BE, ED (sunt enim in continua ratione quadratum EB, rectan­gulum DEB, et quadratum ED, ideoque dupla mediae, minor est duabus extremis magnitudinibus). Et est ut rectangulum BED bis sumptum ad quadr. BE, ED simul, ità solidum ex diagonali ad solidum ex ca­teto; Erit solidum ex diagonali minus quam solidum ex cateto. Quod erat etc.

Si quis autem quaerat, quo excessu solidum ex cateto superet soli­dum ex diagonali. Hoc modo illum proportione notum habebit.

Faciat ut duo quadrata BE, ED simul, ad quadratum quod fit ex differentia rectarum BE, ED, ità maius solidum ad aliud: Et habebit excessum quo maius solidum superat minus.

PROPOSITIO XLV.

Si intra poligonum regulare parilaterum inscribatur simile poligonum, ità ut anguli inscripti bisectiones late­rum circumscripti contingant; convertaturque figura circa catetum maioris poligoni: Erit maius solidum sphaerale ad minus, ut sunt duo simul quadrata duarum diagona­lium, ad duo quadrata minoris cateti.

Esto poligonum parilaterum ABC etc. intra quod inscribatur simile poligonum AIC etc. uti dictum est. Convertaturque figura circa AC catetum maioris poligoni. Dico solidum sphaerale ABC, ad solidum AIC esse ut duo quadrata simul duarum diagonalium, nempe BD, DC ad duo quadrata minoris cateti DI. Circumscribatur solido AIC sua sphaera, quae alteri solido inscripta erit.

Iam solidum ABC ad inscriptam sphaeram, est ut duo quadrata simul BD, DC ad duplum quadrati DC (per 13 huius). Sphaera verò ad inscriptum solidum est, ut duplum quadrati DC ad duplum quadrati DI (per 7 huius). Ergo ex aequo maius solidum sphaerale ad minus erit ut duo simul quadrata BD, DC ad duplum quadrati DI. Quod erat etc.

PROPOSITIO XLVI.

Iisdem positis: si convertatur figura circa diagonalem maioris poligoni GC. Erit maius solidum ad minus, ut in­teger axis AC maioris solidi, ad utramque simul, nempe semicatetum DG minoris, et quartam proportionalium GF; si fiat ut semidiagonalis minoris ad semicatetum; ita se­micatetus ad tertiam, et tertia ad quartam.

Esto solidum quale positum est ABCH cui inscriptum sit solidum IBD uti dictum est. Ducatur, DE perpendicularis ad GB, et EF ad GC; eruntque in continua proportione CG, GB, GD, GE, GF ob angulos rectos.

Iam solidum maius ad sphaeram est ut AC ad HB (per 6 huius) sphaera autem ad solidum minus est ut HB ad utramque simul DG, GF (per 14 huius). Quare ex aequo solidum maius ad minus erit ut AC ad utramque simul DG, GF nempe quod propositum fuerat.

Corollarium.

Quando solida praedicta ab exagono genita fuerint: demonstratur quod posita recta AC 32, DG et GF notae sunt. nempe DG 12 et GF 9. Ergo in hoc casu solidum maius ad minus esset ut 32 ad 21.

Superest nunc ut solida sphaeralia absolutè considerata inter se conferamus, et hoc quot modis fieri poterit: quemadmodum in proémio operis nos esse facturos promiseramus.

PROPOSITIO XLVII.

Solida sphaeralia parilatera circa diagonalem revoluta, inter se sunt ut parallelepipeda basi quadr. cateti, altitu­dine vero diagonali eorumdem.

Sint duo solida sphaeralia pari­ latera circa diagonales AC, DF re­voluta. Sintque HI, LV perpendicu­lares ad latera CB, FE. Dico solidum sphaerale ABC ad solidum DEF esse ut parallelepipedum basi quadrato HI altitudine verò HC, ad parallelep. basi quadrato LV, altitudine LF.

Intelligatur utrique circumscripta sphaera sua. Tunc enim solidum ABC ad sphaeram suam erit ut quadratum IH ad quadratum HC, sive (sumpta communi altitudine CH) ut parallelepipedum basi quadrato IH, altitudine HC, ad cubum HC. Sphaera autem ABC ad sphaeram DEF, est ut cubus HC ad cubum LF. At sphaera DEF, (ut nuper in altera ostendebamus) ad solidum suum DEF est ut cubus LF, ad parallelepipedum basi quadato LV, altitu­dine LF: ergo ex aequo erit solidum ABC, ad solidum sphaerale DEF, ut parallelepipedum basi quadrato HI, al­titudine HC; ad parallelepipedum basi quadrato LV, alti­tudine LF. Quod erat etc.

7. huius.

Scholium.

Idem concludetur etiam si concipiantur sphaera iuxta 6 huius intra data solida inscriptae; sive altera tantum inscripta, altera verò cir­cumscripta iuxsta 6 et 7 huius sicut experienti patebit.

PROPOSITIO XLVIII.

Solida sphaeralia parilatera circa catetum revoluta inter se sunt, ut parallelepipeda basi quadrato diagonalis, alti­tudine verò quae sit aequalis cateto, et quartae proportio­nalium, si fiat ut diagonalis ad catetum, ita catetus ad tertiam, et ita tertia ad quartam.

Sint duo solida sphaeralia circa catetos B, et D revo­luta. Continue turque ratio A ad B in quatuor terminis A, B, E, F. Item ratio diagonalis C ad catetum D continuetur in quatuor terminis C, D, H, I. Dico, primum solidum ad secundum esse ut paral­lelepipedum basi quadrato A, altitu­dine verò B et F; ad parallepipedum basi quadrato C altitudine verò D et I.

Nam primum solidum ad sphae­ram suam est ut B et F simul ad A bis sumptam: acce­ptaque communi basi quadrato A; erit solidum primum ad sphaeram suam, ut parallelepipedum basi quadrato A, alti­tudine verò B et F simul, ad duos cubos A. Sphaera autem prima ad secundam sphaeram est ut duo cubi A ad duos cubos C. Sphaera tandem secunda ad solidum suum, est ut duo cubi C, ad parallelepipedum basi qua­drato C altitudine verò D, et I simul (quod ostenditur ut nuper factum est in prima sphaera) ergo ex aequo primum solidum sphaerale ad secundum, erit ut parallelepipedum basi quadrato A, altitudine B et F simul, ad parallele­pipedum basi quadrato C altitudine verò D et I simul. Quod erat etc.

Scholium.

Idem concludi potest si sphaerae concipiantur intra ipsa solida inscriptae iuxta Propositionem 13 huius; sive altera inscripta, altera verò circumscripta iuxta 13 et 14 huius. Quando verò termini propor­tionis alij evadant à propositis, ut in hac, et in sequentibus, scias proportionem semper eandem esse, in quibuscunque tandem terminis eveniat.

PROPOSITIO IL.

Solida sphaeralia imparilatera sunt inter se ut paralle­lepipeda, basi quadrato perpendicularis, quae ex centro poligoni ducitur in latus eiusdem, altitudine verò aequali praedictae perpendiculari, una cum dupla eius, quae ex centro ad angulum poligoni ducitur, et cum tertia propor­tionalium ad duas praedictas.

Sint solida sphaeralia imparilatera, circa catetos B, et D revoluta. Continuetur ratio per­ pendicularis B ad radium poligoni A in tribus terminis B, A, E. Item ratio D ad C in tribus terminis D, C, I, continuata sit. Dico soli­dum primum ad secundum esse ut parallelepipedum basi quadrato B, altitudine verò aequali B semel, A bis, et E semel, simulque sum­ptis, ad parallelepipedum basi quadr. D altitudine verò aequali D semel, C bis, et I semel simulque sumptis.

Concipiatur in utroque solido sphaerali sua sphaera in­scripta, eritque solidum primum ad sphaeram suam ut B et E simul cum dupla ipsius A ad quadruplam B sumpta­que communi basi quadrato B erit solidum primum ad sphaeram suam ut parallelepipedum basi quadrato B alti­tudine verò B et E cum dupla A ad quatuor cubos B. Sphaera autem prima ad secundam est, ut quatuor cubi B ad quatuor cubos D; Sphaera tandem secunda ad so­lidum suum est, ut quatuor cubi D ad parallelepipedum basi quadrato D altitudine D et I cum dupla ipsius C (quod ostenditur ut nuper factum est) ergo ex aequo patet quod propositum fuerat etc.

38 huius.

PROPOSITIO L.

Solidum sphaerale parilaterum diagonalem revolutum, ac solidum sphaerale parilaterum circa catetum revolu­tum, est ut parallelepipedum basi quadrato cateti, alti­tudine diagonalis bis sumptum, ad parallelepipedum basi quadrato cateti simul diagonalisque, altitudine verò ca­teti.

Sint duo solida sphaeralia, quorum alterum circa dia­gonalem A sit revolutum, alterum verò circa catetum C. Dico solidum primum circa diagonalem, ad solidum se­cundum circa catetum, esse ut parallelepipedum basi quadr. B altitudine A bis sumptum, ad parallelepipedum basi aequali quadratis C, D, altitudine verò C.

Intelligatur in utroque solido inscripta sua sphaera. Et erit solidum primum ad sphaeram suam, ut recta A, ad B; sumptaque eadem basi quadrato B; erit solidum primum ad sphaeram suam, ut parallelepipedum basi quadrato B alti­tudine verò A, ad cubum B sive ut duplum dicti parallele­pipedi ad duos cubos B. Sphaera verò prima ad secundam est, ut duo cubi B, ad duos cubos C. Sphaera tandem se­ cunda ad solidum suum est, ut duo quadrata ex C, ad duo quadrata C, et D; sumptaque communi altitudine C, est, ut duo cubi C, ad parallelepipedum basi aequali quadratis C et D altitudine verò C. Propterea ex aequo patet quod propositum erat.

6. huius.

13. huius

PROPOSITIO LI.

Solidum sphaerale parilaterum circa diagonalem revo­lutum, ad solidum sphaerale imparilaterum est, ut paralle­lepipedum basi quadrato cateti, altitudine diagonali quater sumptum; ad parallelepipedum basi quadrato rectae illius quae ex centro poligoni imparila­ teri perpendiculariter ducitur in latus eiusdem; altitudine verò ae­quali praedictae perpendiculari, una cum dupla illius quae ex cen­tro ad angulum ducitur, et cum tertia proportionalium ad duas praedictas.

Sint duo solida sphaeralia, nempe primum parilaterum circa diagonalem A conversum, alterum verò imparilate- rum circa catetum C revolutum. Continuetur ratio C ad D in trib. terminis C, D, E. Dico primum solidum ad se­cundum esse, ut parallelepipedum basi quadrato B, altitu­dine A quater sumptum, ad parallelepipedum basi qua­drato C, altitudine verò aequali rectis C, et E cum dupla D simul sumptis.

Nam solidum primum ad sphaeram suam est, ut recta A ad B; sive sumpta communi basi quadrato B; ut pa­rallelepipedum basi quadrato B altitudine A, ad cubum B; Vel ut parallelepipedum praedictum quater sumptum, ad cubum B quater sumptum sphaera verò prima ad secun­dam est ut quatuor cubi B ad quatuor cubos C. Sphaera denique secunda ad solidum suum (ut ostensum est in 49 huius) est ut quatuor cubi C, ad parallelepipedum basi quadrato C, altitudine verò aequali rectis C et E cum dupla D simul sumptis. Propterea ex aequo patet quod propositum erat.

PROPOSITIO LII.

Solidum sphaerale parilaterum circa catetum revolu­tum, ad solidum sph. imparilaterum, est ut parallelepipe­dum basi aequali quadratis diagonalis et cateti altitudine cateti bis sumptum, ad parallelepipedum basi quadrato lineae quae ex centro ducitur perpendiculariter in latus poligoni imparilateri, altitudine verò aequali praedictae lineae, una cum illa quae ex centro ad unum angulum per­ducitur, et cum tertia proportionalium ad duas praedictas.

Sint duo solida sphaeralia; al­ terum parilaterum circa catetum A revolutum; alterum imparilate­rum circa C conversum. Et ratio C ad D, continuetur in tribus ter­minis C, D, E. Dico primum soli­dum ad secundum esse, ut paral­lelepipedum basi aequali quadratis B et A, altitudine verò A, bis sumptum; ad parallelepipedum basi quadrato C, altitudine verò aequali C, et E, cum dupla ipsius D.

Nam solidum primum ad sphaeram suam est, ut duo quadrata B et A, ad duplum quadrati A sive sumpta com­muni altitudine A ut parallelepipedum basi aequali qua­dratis B et A, altitudine A ad duos cubos A. Vel ut di­ctum parallelepipedum bis sumptum, ad quatuor cubos A. Sphaera autem prima ad secundam, est ut quatuor cubi A ad quatuor cubos C. Sphaera denique secunda ad solidum suum est ut quatuor cubi C, ad parallelepipedum basi quadrato C altitudine aequali C et E, cum dupla D (ut ostensum fuit in Propos. 49 huius). Ergo ex aequo patet quod propositum fuerat.

FINE DE'LIBRI “ DE SPHAERA ET SOLIDIS SPHAERALIBUS ”

DE DIMENSIONE PARABOLAE

SOLIDIQUE HYPERBOLICI PROBLEMATA DUO: ANTIQUUM ALTERUM

IN QUO QUADRATURA PARABOLAE XX MODIS ABSOLVITUR, PARTIM GEOMETRICIS, MECANICISQUE; PARTIM EX INDIVISIBILIUM GEOMETRIA DEDUCTIS RATIONIBUS: NOVUM ALTERUM IN QUO MIRABILIS CUIUSDAM SOLIDI AB HYPERBOLA GENITI, ACCIDENTIA NONNULLA DEMONSTRANTUR.

CUM APPENDICE DE DIMENSIONE SPATIJ CYCLOIDALIS, ET COCHLEAE.

Ad Serenissimum Principem

LEOPOLDUM

ab Etruria

Difficile reor, Serenissime Princeps Leopolde, ferrea hac aetate libros conscribere; difficiliùs dedicare: quandoquidem bonarum Artium studia ubique in bella degenerant, et Re­gnantes viri non exigunt ingeniorum vires, sed corporum.

Etrusca tamen Regia, non minus foecunda virtutum, quàm Principum, mundum edocet, eandem esse Minervam et Bellonam, unumque Apollinem qui arcum simul amat, et citharam. Serenissima enim Celsitudo Tua (ut reliquos omit­tam) litterarum, et scientiarum omne genus perinde foret, colitque, ac si mundus alta pace frueretur, pulsisque Furijs solae Musae dominarentur. Verùm alia me maior difficultas terret, dum ego tenuitatis meae conscius mecum ipse cogito, libellum hunc ad eum Principem ire, qui illum non solum protegere potest, sed etiam iudicare. Quicquid est, non acre iudicium Sereniss. Celsitudinis Tuae, sed incomparabilem humanitatem invoco, illam inquam humanitatem, quae nuper amplissima in me beneficia contulit, e humi iacentem erexit fortunam meam. Audiat preces meas Dominus Regnantium, talemque Principem diu custodiat: siquidem divinitatis in­terest huiusmodi viros prosperari, ut aeterna Providentia magis elucescat, et coniunctam aliquando cum potestate sa­pientiam in terris demonstrare valeamus.

Sereniss. Celsitud. Tuae

Humillimus, et obsequentiss. servus

Evangelista Torricellius.

AD LECTOREM PROEMIUM

Nullus in un universo Mathematicarum disciplinarum Theatro fortasse tritior pulvis reperitur, quàm parabolae quadratura.

Quarè ergò (inquis amice lector) circà tritum argu­mentum tàm diù desudasti? libenter equidem excipio obie­ctiones tuas; sed utinam ultimus desudaverim. Quam ta­men veniam mihi negas, scias eandem plurimis, et egregiè laudatis Scriptoribus te denegare. Obiectum enim de pa­rabolae quadratura, quod nostra hac aetate confiteor mihi nimis iam inveterasse, crediderim neque novum fuisse Ca­valerio, Galileo, Lucae Valerio, et alijs. Quin immò ipsum Archimedem accusat, quicumque improbat lucubrationes circà subiectum vetus institutas. Audiamus ipsum in proë­mio quadraturae parabolae, ubi scribens Dositheo inquit. Eorum enim, qui antehac Geometriae operam dederunt, nonnulli id investigare, et memoriae mandare studuerunt, circulo dato, vel circuli portione quacunque, spactium rectilineum aequale illi posse inveniri. Item spatium à coni totius rectanguli sectione compraehensum et lineâ rectà, ad quadrati formam et mensuram reducere conati sunt; sumentes non facilè concessibilia fundamenta. Quibus verbis diser­tissime fatetur Geometrarum Princeps argumentum libro­rum De dimensione circuli, e de quadratura parabolae, neque suum fuisse, neque novum. Sed si quis attentè con­sideret Proëmialem epistolam, libro de lineis spiralibus praefixam, intelliget praecipua Archimedis Theoremata, aliorum inventa fuisse, et magna ex parte Cononis. Maxi­mae enim Propositiones librorum De Sphaera et Cylindro; De conoidibus et sphaeroidibus, et De lineis spiralibus (qui libri inter opera Archimedis principem locum tenent (Cononis sunt: Qui (ut inquit auctor) non satis temporis ad haec excogitanda sortitus, vitam permutavit, et ipsa reliquit inexplicata; cum illa inve­nisset, et alia quamplurima perquisisset, ac multum adeò Geometricas facultates ampliasset. Si ergò licuit admirabili, ac propè di­vino Auctori, circa aliorum inventa laborare; quis negabit ignoscendum ingeniolo meo mutuata theoremata contem­planti? Sed esto quod conclusio antiqua sit; argumenta certè, quibus illa confirmabitur, ut plurimum nova erunt, et inaudita: immo cum ad alteram partem libelli accede­mus, in quà de solido acuto hyperbolico dicendum est, non solum ipsum Theorema inexcogitatum, et ut ita dicam pa­radoxicum erit, sed etiam demonstrandi ratio inusitata, et penitus nova. Verùm (inquis) reliqui scriptores, qui huius­modi quadraturam aggressi sunt, vel singulas, vel ad sum­mum binas prodiderunt; neque tamen mediocrem laudem consequuti sunt. Fateor; sed nec ego libellum hunc ex professo institui, composuique: immo quod et alijs, mihi quoque accidit; singulas hasce quadraturas diversis tem­poribus inveni, quas in unum collectas nunc demum vo­lentibus simul exhibeo. Tu tamen exclamas; heu nimis est: quotus enim quisque reperietur tam famelicus Geo­metra, qui legat penè vicies repetitam propositionem, cum numero lemmatum ferè duplo? Huic sanè obiectioni libet contradicere. Cum enim libellus in Propositiones, ut plu­rimum non coherentes digestus sit; sed ita dispositas ut ubicunque libuerit initium facere possis, et finem, dicam cum Martiale

. . . tibi carta plicetur Altera; divisum sic breve fiet opus.

Si vero mavis probare consilium eorum qui unam, aut alteram tantum quadraturam edidere; quis prohibet? Et in hoc legere potes unam, aut alteram; si tamen hoc quo­que; nimis videbitur, nullam. Utilitatem exigis? concedo; et in hanc partem libellum excusare non ausim. attamen non deerit fortasse aliquis qui penitus inutilem non existi­met, cum Geometricus sit. Sola enim Geometria inter li­berales dixiplinas acritèr exacuit ingenium, idoneumque reddit ad civitates exornandas in pace, et in bello defen­dendas; coeteris enim paribus, ingenium quod exercitatum sit in Geometrica palestra, peculiare quoddam, et virile robur habere solet: praestabitque semper, et antecellet, circà studia Architecturae, rei bellicae, nauticaeque sive mavis circà Aritmeticam, artemque metiendi, unde totum civile commercium dependet, regiturque. Quinetiam circà ministeria fluviorum, et aquarum stagnantium, unde non nisi magna percipiuntur sive damna, sive beneficia; pro ut bene, vel male intellecta fuerit huiusmodi rerum na­tura. Sed esto quòd inutilis penitus habeatur libellus; sive quia Reipubl. nihil interest parabolae quadraturae; sive quia multis ab hinc saeculis excogitata fuerat, et demon­strata. Huic verò obiectioni respondeat Reverendiss. D. Be­nedictus Castellius Magister meus. Ipse enim dicet, quòd si Principes terrae, solam illam vulgarem, et apparentem utilitatem in Artibus magni facerent, exigerentque, da­mnandi penitus essent sculptores, Celatoresque egregij eijcendi civitatibus Pictores, Musici, Citharaedi, Poëtae, atque id genus alij. Contrà verò ditandi essent, atque opi­bus, officijsque omnibus demerendi pistores, quorum utili­tati nulla alia par est; caupones, sutores et quicunque artem colunt vitae hominum summoperè utilem. Quinetiam si utilitas sola attendatur, damnandus erit vini usus, et detestanda cultura vinearum. At in summo praetio ha­benda aqua, cuius utilitates tàm facilè est numerare, quàm difficile sit ijs non indigere.

Utcumque ea res se se habeat, veniamus ad obiectiones quae circà artis fundamenta versantur. Indignor equidem Lucam Valerium, verè nostri saeculi Archimedem, cum optimam causam suscepisset, pessimà defensione usum fuisse. Solent ab eruditis culpari figurarum Geometricarum dimensiones, quae Mecanicis fundamentis innixae stabiliun­tur, tam quàm duplex falsum supponant: alterum, quòd superficies gravitatem non habentes, habere tamen concipiuntur: alte­rùm verò, quòd fila quae magnitudines ad libram suspendunt aequi- distantis supponuntur, cum tamen in centro terrae concurrere debeant.Ego verò in ea sum sententia, vel nullam ex his supposi­tionibus esse falsam, vel reliqua omnia principia Geome­triae falsa existere eodem modo. Falsum enim est, quòd circulus habeat centrum, sphaera superficiem, conus soli­ditatem. Loquor de figuris abstractis quales Geometria considerare solet; non autem de fisicis et concretis. Ne­cesse igitur erit fateri quòd circuli centrum, superficies spherae, soliditas coni, et reliqua huiusmodi non contro­versa, nullam aliam habeant existentiam, praeter illam quam accipiunt per definitionem, et per intellectum. Eodem prorsus modus gravitatis est in figuris Geometricis, quo­modo in ijsdem est centrum, perimeter, superficics, soli­ditas, etc. Laudarem igitur in Mecanicis contemplationibus nova definitione figuras generare; hoc, aut alio non ab simili modo.

Quadratum est quadrilaterum, quod, cum aequilaterum, et aequian­gulum sit, singula ipsius punta momentum habent procedendi versus aliquam mundi plagam per lineas inter se parallelas.

Huiusmodi enim definitio omnem demeret occasionem dubitandi, illis, qui Mecanica Archimedis opera, secundum ipsius mentem non accipiunt. Sed hucusque dictum sit pro obliteranda primae falsitatis nota, quòd figurae Geo­metricae graves sint.

Venio nunc ad secundum (ut aliqui existimant) falsum. Principiò, vulgatissima est etiam apud gravissimos viros obiectio illa, videlicet. Archimedem supposuisse aliquod falsum, dum fila magnitudinum ex librà pendentium consideravit tanquam inter se parallela, cum tamen re vera in ipso terrae centro concurrere debeant. Ego verò, (quod pace clarissimorum virorum di­ctum sit) crediderim fundamentum Mecanicum longè alia ratione esse considerandum. Concedo si Fisicae magnitu­dines ad libram liberè suspendantur, quòd fila materialia suspensionum convergentia erunt; quandoquidem singula ad centrum terrae respiciunt. Verum tamen si eadem libra, licet corporea, consideretur non in superficie terrae, sed in altissimis regionibus ultrâ orbem solis; tum fila (dum­modo adhuc ad terrae centrum respiciant) multò minùs convergentia inter se erunt; sed quasi aequidistantia. Con- cipiamus iam ipsam libram Mecanicam ultra stellatam li­bram firmamenti in infinitam distantiam esse provectam; quis non intelligit fila suspensionum iam non ampliùs con­vergentia, sed exacte parallela fore? Quando ego considero libram, figuras Geometricas ponderantem, non concipio illam esse inter cartas librorum, in quibus depicta conspi­citur; neque suppons punctum, ad quod magnitudines ipsius tendunt, esse centrum terrae; sed libram fingo in infinitum remotam esse ab eo puncto, ad quod ipsius gravia contendunt. Si posteà ibi conclusero triangulum aliquod triplum esse cuiusdam spatij; retrahatur imaginatione ipsa libra ad nostras regiones; concedo quòd retractâ librâ de­struetur aequidistantia filorum suspensionis, sed non ideò destruetur proportio iam demonstrata figuraram. Peculiare quoddam beneficium habet Geometra, cum ipse abstra­ctionis ope, omnes operationes suas mediante intellectu exequatur. Quis igitur mihi hoc negaverit, si libeat con­siderare figuras appensas ad libram, quae quidem libra ultra mundi confinium in infinitam distantiam remota supponatur? Vel quis proibebit considerare libram in su­perficie terrae constitutam, cuius tamen abstracta ma­gnitudines tendant, non ad medium terrae punctum, sed ad centrum caniculae, sive stellae polaris? Triangula et parabolae, immò etiam spherae, cilindrique Geometrici, cum nullam per se habeant motus differentiam, non magis ad ipsius terrae, quam ad Saturni centrum contendunt. Destruit ergò beneficium suum quisquis flguras illas, tam­quam ad unicum terrae centrum tendentes, contempla­tur. Cur denique non licebit mihi considerare puncta cu­iuscunque figurae eiusmodi virtute praedita, ut singula versus eandem mundi plagam per lineas inter se parallelas aequali momento contendant? His ita suppositis, quae vera sunt, quemadmodum sunt verae passiones figurarum, quae in definitionibus adhibentur, vera etiam erunt quaecunque Theoremata per Mecanicas rationes ab ipsis astrahentibus fuerint considerata, neque per falsas positiones demonstra­buntur. Tunc itaque falsum dici poterit fundamentum Mecanicum, nempe fila librae parallela esse, quando ma­gnitudines ad libram appensae fisicae sint, realesque, et ad terrae centrum conspirantes. Non autem falsum erit, quando magnitudines (sive abstractae, sive concretae sint) non ad centrum terrae, neque ad aliud punctum propin­quum librae respiciant; sed ad aliquod punctum infinitè distans connitantur.

Coeterum, brevitatis, et facilitatis gratià à vocabulis consuetis non discedemus; punctumque illud ad quod ma­gnitudines librae contendere supponuntur, Centrum terrae nominabimus, Planum verò illud, quod erectum est ad lineam connectentem praedictum punctum cum centro li­brae, Horizontem de more appellabimus.

SUPPOSITIONES, ET DEFINITIONES.

I.

Ponatur eam esse centri gravitatis naturam, ut magnitudo liberè suspensa ex quolibet sui puncto nunquam quiescat nisi cum centrum gravitatis ad infimum suae sphaerae punctum pervenerit.

Concipiamus figuram ABC, suspensam ex sui puncto D, mediante filo ED; liberè; hoc est, ita ut in quamcumque partem converti possit. Sit centrum gravitatis F. pona­musque rectam EDG. perpen­dicularem esse ad horizontem.

Certum est, donec cen­trum F fuerit extrà perpen­diculum EG, figuram ipsam nnnquam mansuram esse. Quando verò punctum F. fuerit in perpendiculo suspensionis EG, tunc figura omninò quie­scet. Centrum enim gravitatis ipsius nusquàm poterit am­pliùs inferius descendere: Quin immò si figura moveretur, centrum ipsum ascenderet, quod esse non potest. Si quis enim centro E, intervallo EDF. tamquam unà recta linea, sphaeram concipiat esse descriptam; ipsa erit sphaera, in cuius superficie feretur punctum F, quando EDF. extensa fuerit, et ad rectitudinem redacta. Certumque est infimum punctum huiusmodi sphaerae esse in perpendiculo EG.

II.

Aequiponderare sibi ipsi figura dicetur, quae ab aliquo sui puncto liberè suspensa maneat, et ad nullam sui partem inclinetur.

III.

Aequiponderat sibi ipsi figura, quando (cum liberè suspensa sit) in ipso suspensionis perpendiculo centrum gravitatis reperitur. Si enim adhuc moveretur, centrum gravitatis ascenderet. Quod est impossibile.

IV.

Centrum gravitatis tunc reperitur in ipso suspensionis perpendiculo, quando figura liberè suspensa sibi ipsi aequiponderat. Alias enim figura quiesceret, et centrum gravitatis ipsius posset adhuc inferiús descen­dere. Quod est absurdum.

V.

Centralitér ad illum librae punctum appendi figura dicetur, in quod cadit perpendiculum, ex centro gravitatis figurae productum.

Esto enim libra AB, cuius ful­ crum sit C, et ad ipsam appensa sit figura CEB, ita ut totum la­tus CB cohereat, et sit veluti ad ipsam libram conglutinatum. Esto centrum gravitatis figurae pun­ctum D, et ex D agatur perpendiculum DF ad horizontem erectum.

Iam figura CEB dicetur, et considerabitur, tamquam appensa centralitêr ad punctum F. Constat enim ex prae­dictis, quòd si figurae latus CB solvatur undique à brachio librae, solumque remaneat filum connexionis DF, nihilo tamen minus figura adhuc manebit ut prius manebat, ean­demque servabit versus libram positionem, quam antea habebat. Vide Arch. Prop. 6. De Quadratura parabolae.

VI.

Aequalia gravia ex aequalibus distantijs aequiponderant, sive libra ad horizontem parallela fuerit, sive inclinata. Et gravia eandem reci­procè rationem habentia, quam distantiae, aequiponderant, sive libra sit ad horizontem parallela, sive inclinata.

Haec sine alia explicatione praemitti poterant; quan­doquidem in doctrina aequiponderantium nunquam suppo­nitur libra horizonti aequidistans: Attamen quia ostendi possunt, non omittendam censeo demonstrationem; prae­sertim cum nonnulli ex libra materiali male fabricata, errorem susceperint, et intellectum admiserint.

Esto inclinata libra AC, suspensa ex puncto B ad filum BD. Sintque magnitudines BFC, et G. centraliter appensae ex punctis E, et A. Et po­natur esse, ut magnitudo BFG, ad magnitudinem G, ita reciprocè distantia AB ad BE. Dico libram AC, quamvis inclinata, magnitudinesque ab ipsa pendentes, penitùs conquiexere, et aequiponderare.

Producantur enim perpendicula GAH, LEI, per centra gravitatis figurarum G, et L, transeuntia, ducaturque ho­rizontalis libra CH, quae item appensa sit ad filum MD. Quoniam igitur est per suppositionem, ut magnitudo BFC, ad magnitudinem G, ita reciprocè AB ad BE; sive (ob parallelas) HM ad MI; aequiponderabunt maguitudines BFC, et G, ad libram horizontalem HC appensae. Ergo commune centrum gravitatis erit omninò in perpendiculo DF. Propterea magnitudines aequiponderabunt etiam dum ad libram AC suspenduntur: aliàs, si moverentur, com­mune centrum gravitatis ipsarum, quod demonstratum est esse in perpendiculo DF, ascenderet. Quod est impossibile.

Haec autem breviùs concludentur hoc modo. Conne­ctantur (in eadem figura) centra gravitatis ductâ rectâ GL.

Quoniam magnitudo BFC ad magnitudinem G, est ut AB ad BE, sive (ob parallelas) ut GN ad NL, erit N cen­trum commune gravitatis magnitudinum appensa­rum. Si ergo libra AC non quiesceret, centrum gravitatis N, ascenderet. Cum enim sit in perpendiculo DF, moveri non potest quin ascendat.

Non me latet auctorum controversiam, circà libram inclinatam, an redeat, maneatvè supponere centra magni­tudinum in ipsa libra esse collocata. Nos tamen, quia in hoc libello, semper considerabimus magnitudines infrà ipsam libram appensas, maluimus rei nostrae servire, quàm aliorum controversiae demonstrationem accomodare.

Coeterum passiones parabolae quas in operis progressu supponemus tamquam notas, vel ipsius Apollonij erunt, vel Archimedis, vel saltem ex Apollonio ipso facili negotio deducentur, cuiusmodi sunt hae, quae sequuntur.

Si Parabola rectam lineam tangentem habuerit, à qui­buslibet autem punctis ipsius tangentis rectae lineae usque ad parabolam demittantur aequidistantes diametro, erunt demissae inter se longitudine ut sunt portiones tangentis potentià inter se. Deducitur enim hoc ex 20. prim. Conic. Nam rectae illae demissae portionibus diametri respon­dent; at partes ipsius tangentis, ordinatim applicatis ae­quales sunt.

Item, si intrà parabolam à punctis quibuslibet rectae illius ordinatim ductae, quae basis parabolae dicitur, rectae lineae erigantur diametro parallelae. Erunt erectae inter se ut sunt rectangula facta à portionibus basis, quae ab ipsis erectis abscinduntur. Hoc enim et a Cavalerio, et a nobis in secundo libro de motu ostenditur.

QUADRATURA PARABOLAE.

PLURIBUS MODIS PER DUPLICEM POSITIONEM, MORE ANTIQUORUM ABSOLUTA.

Lemma Primum.

Si parabola duas tangentes habuerit, altera ex termino basis, alte­ram verò ex vertice: tangens, quae ad basim est, bifariam secabitur ab illa, quae per verticem ducitur.

Esto parabola ABC, cuius dia­ meter BI, ordinatim verò appli­cata (sive basis) sit AC; tangens ex termino basis sit CD; per ver­ticem verò tangens BE. Dico ipsam CD bifariàm secari in pun­cto E.

35 primi Conic.

Cum. N. CD sit tangens, DI diameter, erunt aequales inter se DB. BI. Et quia AC ordinatim applicata est ad

diametrum BI, ipsa verò BE tangit in puncto B, erunt pa­rallelae AC, BE. Et ideo erit ut DB ad BI, ita DE ad EC.

per 32. eiusd.

per 2 sexti.

Quare aequales erunt etiam DE, EC, Quod erat osten­dendum etc.

Lemma II.

Si parabola duas tangentes habuerit ex basis terminis; recta linea quae ab occursu duarum tangentium ducitur diametro parallela, pro­positae parabolae liameter erit.

Esto parabola ABC, cuius ex punctis A et C, duae tangentes sint AD, CD, concurrentes in D. Ex puncto autem D recta duca­tur DE diametro parallela. Dico ipsam DE propositae parabolae diametrum esse.

per 35 2. Co­nicorum.

Sit enim, si possibile est. dia­meter FG. Erunt ergò ob tangentem AF aequales inter se diametri portiones FB, BG. Iterum ob tangentem CI, aequales erunt IB, BG. Et ideò aequales erunt inter se ipsae FB, BI: totum et pars. quod fieri non potest.

Non est ergò alia diameter praeter ipsam DE. Quod erat ostendendum etc.

Lemma III.

Si parabola tres tangentes habuerit; duas ad basim, et tertiam per verticem; erit triangulum sub tangentibus compraehensum octuplum trianguli, quod oritur ex ductu quartae tangentis per verticem alte­rutrae semiparabolae.

Esto parabola ABC, cuius basis AC, diameter BD; duae tangentes ad basim AE, CE. Tangens per verticem sit FBG. Demittatur ex F,concursu tangentium AF, GF, recta FI,

diametro parallela; eritque FI, diameter parabolae AIB. Ducatur denique LM, tan­gens semiparabolam AIB per verticem I. Dico trian­gulum FEG, sub tangenti­bus compraehensum, octu­plum esse trianguli LFM, quod nascitur ex ductu quartae tangentis LM per verticem I portionis AIB.

per lem. praeced.

Iungatur AB basis parabolae AIB, eruntque parallelae AB, LM; et cum sint aequales FL, LA, ob tangentem AF, erit AF dupla ipsius FL; ideoque triangulum AFB quadru­ plum trianguli sibi slmilis LFM. Ergò etiàm FBE quadru­ plum trianguli LFM (sunt enim per lem. primum aequales bases AF, FE) Propterea totum triangulum FEG octuplum erit trianguli LFM. Quod erat ostendendum etc.

per 32, 1. Cor.

per lem. primum.

Corollarium Primum.

Ergò triangulum FEG, factum à primis tribus tangen­tibus, octuplum ostendetur eodem modo etiam trianguli NGP. et propterea semper quadruplum erit duorum simul triangulorum LFM, NGP; quae post ipsum (ductà utrinque alia tangente) oriuntur.

Corollarium secundum.

Manifestum etiam est triangulum FEG sub tangentibus contentum, auferre plusquàm dimidium ex trilineo mixto ABCE: siquidem triangulum FEG, dimidium est duorum simul triangulorum EBA, EBC. Ergo erit plusquàm dimi­dium trilinei mixti ABCE.

Hinc sequitur quòd possibile sit intrà figuram mixtam ABCGF. figuram rectilineam inscribere per continuum du­ctum tangentium; quae quidem figura inscripta deficiat à figura mixta, defectu minori quàm sit quaelibet data ma­gnitudo.

per primam decimi.

Lemma IV.

Si parabola duas tangentes habuerit ad basim: deinde per vertices factarum portionum aliae tangentes ex ordine ducantur; et hoc fiat quotiescunque libuerit; figura a tangentibus circumsepta, si ex vertice parabolae suspendatur (posità diametro ad horizontem perpendiculari) aequiponderabit.

Esto parabola A BC, cuius diameter BD, et duae tangen­tes ad basim sint AE, CE; per verticem verò B tangens sit FBG. Deinde, demis­sis (ut in praecedenti lemmate) diametris FH, GI, per vertices portionum AHB, BI C, tangentes ducan­tur LM, NO.

Iterumque per vertices reliquarum quatuor portionum tangentes ducantur PQ, RS, TU, XZ; et sic semper donec lituerit; Dico figuram; sive potiùs duas figuras rectilineas a tangentibus PQRSFP, TUXZGT; circumseptas, ex pun­cto B aequiponderare: statuta priùs diametro BD ad ho­rizontem perpendiculari.

Ponatur itaque BD diameter parabolae ad horizontem perpendicularis; et rectam FG, (quamcunque inclinationem sortiatur) concipiamus esse libram, cuius fulcrum sit in B.

Quoniam igitur applicata AB bifariam secatur à dia­metro FH in puncto Y; suntque AB, LM, parallelae, erit etiam LM secta bifariam in H; et ideò duorum triangu­lorum LFM, NGO, centra gravitatis sunt in FH, GI; sunt­que FH, GI ad horizontem perpendiculares, ideò appensa centralitèr erunt dicta triangula ad libram FG. ex punctis F et G. Aequiponderabuntque ex distantijs aequalibus BF, BG. Cum ipsa quoque triangula sint aequalia; nempe sub octupla eiusdem trianguli F e G. Eadem prorsus ra­tione posità librà LM, duo triangula PLQ, RMS appensa erunt ex punctis et M; aequiponderabuntque ex puncto H, et ideo appensa erunt ex puncto F. (quandoquidem filum suspensionis FH perpendiculare est ad horizontem). Duo verò triangula TNU, XOZ, praedictis aequalia (cum sint singula suboctupla aequalium LFM, NGO.) ponderabunt simul ambo ex puncto G. Ergo quatuor simul praedicta triangula aequiponderabunt ex puncto B, nempe medio totius librae FG: Eodem modo concludemus reliqua trian­gula, quotcunque sint, ex puncto B aequiponderare. Uni­versa ergo figura à tangentibus circumsepta ex puncto B aequiponderabit. Quod etc.

Lem. 3.

Lem. 3.

Corollarium I.

Hinc pro corollario animadvertemus centrum gravitatis praedictae figurae, à tangentibus compraehensae, esse in diametro parabolae.

Cum enim figura praedicta aequiponderet ex puncto B, erit centrum gravitatis illius in linea quae ex puncto B du­citur perpendicularis ad horizontem; quapropter erit in BD diametro parabolae.

Corollarium II.

Colligemus etiam centrum gravitatis omnium trilineo­rum mixtorum, quae sub linea parabolica ABC, et sub omnibus tangentibus APQRSTUXZC, compraehenduntur, semper in diametro parabolae existere. Patebit autem hoc modo. Centrum trapetij AFGC, est in diametro; centrum etiam parabolae est in diametro; ergò centrum reliquae figurae mixtae erit in diametro. Si ergo centrum huiu­smodi figurae est in diametro, centrum etiam figurae à tangentibus circumseptae demonstratum est esse in dia­metro; propterea centrum omnium simul trilineorum, quae continentur sub tangentibus et linea parabolica, erit in diametro per 8. prim. Aequipond.

15 primi ae­quiponder.

4 secundi eiusd.

8 primi eiusd.

Lemma V.

Si parabola duas tangentes habuerit alteram per verticem, alteram verò ad basim, et ex altera parte basis habeat parallelam diametro; figura snb tribus praedictis rectis lineis, et curvà parabolicà comprae­hensa, aequiponderabit ex puncto tangentis verticalis, in quo ea sic dividitur, ut per ad reliquam tangentem terminata, dupla sit illius quae ad parallelam diametro terminatur.

Esto parabola A BC, cuius tangens ad basim sit CD; per verticem verò FBG; et AG sit parallela diametro. Secetur de­inde FG in E, ita ut FE dupla sit reliquae EG. Dico figuram ABCFG (statutà dia­metro ad horiz. per­pendiculari) aequin­derare ex puncto C. Concipiamus enim diametr. parabolae esse horizonti perpendicularem (hoc autem modo semper intelligendum est) quamcunque tan­dem inclinationem sortiatur libra GF. Et ducta tangente AD (quae omnino transibit per E, ut infrà ostendemus) in­telligatur GF. libram esse, cuius fulcrum est E; ex qua pendent ab una parte triangulum AGE; ab alterà verò, figura mixta ABCFE. Quae quidem figurae si inter se non aequiponderant, ponamus alteram ipsarum praeponderare. Esto igitur; et praeponderet ABCFE, tanto excessu quan­tum est spatium K.

Inscribatur intrà ipsam alia figura à tangentibus HILMNOPQFEH, terminata, ita ut reliquae portiunculae sub dictis tangentibus et curva parabolica contentae, si­mul minores sint spatio K (quod fieri posse constat ex Corollario secundo Lemmatis Tertij). Praeponderabit igitur adhuc figura sub tangentibus compraehensa; quandoqui­dem pars ablata minor est excessu K, et in eodem pun­cto B ponderat simul cum tota magnitudine; tam enim ablatae, quàm totius, centrum gravitatis est in diametro, ut ostendimus ad Corollarium Secundum Lemmatis Quarti.

Accipiatur iàm GR quarta pars totius GA; ducaturque ER. Sumatur etiam CL dupla reliquae LG; et ex pun­cto L centralitèr suspensum erit quodlibet triangulum ha­ bens verticem in E puncto, et basim in recta GA, quae ad horizontem recta ponitur.

Vide Archim. De Quadratura Parab. Pro­pos. 6. 8. 10 et 12.

Iam sic: duo triangula ZEX, UFT, ad triangulum EDF sunt ut duo ad 8, et ad triangul. EBD ut 2. ad 4. et ad aequale AGE. ut 2. ad 4. ergò ad triangulum ARE. erunt ut 2 ad 3, nempe ut LE ad EG, hoc est ut LE ad EB reciprocè. Quare in libra LB duo praedicta triangula ZEX, UFT aequiponderant triangulo ARE ex puncto E.

per Corol. prim.

Lem. 3.

Sumatur iterum GS quarta pars totius GR, et iunga­tur ES. Cum ergo GRE sit quarta pars ipsius GAE, vel ipsius EDB, erit GRE octava pars totius EDF. Quapro­pter aequale erit GRE, alterutro ipsorum ZEX, UFT. Sed quoniam HZI est octava pars ipsius ZEX, erunt quatuor simul triangula HZI, LXM, NUO, PTque (quoniam aequalia sunt inter se) ad triangulum ZEX ut 4. ad 8; sive ut 2. ad 4: et propterea etiam ad triangulum GRE, erunt ut 2. ad 4; ad ipsum verò SRE erunt ut 2. ad 3, nempe LE ad EB. Aequiponderant igitur ex puncto E hinc triangu­lum SRE, et inde quatuor praedicta triangula HZI, LXM, NUO, PTque Eodem prorsus modo, si sub quatuor his triang. alia fuerint in residuis portiunculis triang. ex or­dine descripta, ostendentur aequiponderare ex eodem pun­cto E, cum quodam triang. cuius vertex sit E, basis vero contineat 3. quar. ipsius GS etc. Sed in nostro casu, cum demonstratum sit prima duo triangula ZEX, UFT, aequi­ponderare triangulo ARE. Reliqua item quatuor triangula, quorum unum est HZI. aequiponderare triangulo SRE; Aequiponderabit tota simul figura ex praedictis triangulis composita, triangulo AES, ex puncto E. Sed demonstra­tum fuit, eandem figuram praeponderare triangulo AEG; necesse igitur est ut triangulum AEG minus sit trian­gulo AES; totum sua parte; Quod est impossibile.

Ex lemmate 3.

Si vero ponamus praeponderare triangulum AEG figu­rae ABCFE. Esto; et sit excessus, quo praeponderat, spa­tium K. Accipiatnr GRE quarta pars trianguli AGE: et iterum accipiatur GSE, quarta pars trianguli GRE; et hoc semper fiat, donec veniatur ad aliquod triangulum GSE, quod minus sit spatio K. Tunc enim triangulum ASE adhuc praeponderabit figurae ABCFE. Sed eodem modo, ut super demonstrabimus triangulum ipsum ASE aequi­ponderare alicui figurae rectilineae inscriptae intra figu­ram mixtam ABCFE. Necesse ergo iterum erit ut inscripta figura rectilinea maior sit quàm figura mixta ABCFE, cui ipsa inscribitur; pars suo toto. Quod est absurdum etc.

possibile est per 1, De­cimi.

Aequiponderat ergo ex puncto E universa figura AB CFG, quae sub curva parabolica, duabusqne tangentibus, et linea ipsi diametro parallela continetur. Quod etc.

Quod assumptum est ita ostendemus: Nempe tangentem AD transire per punctum E: hoc est, ita secare rectam FG, ut pars FE, dupla sit reliquae EG. Secet enim AD tangens rectam FG utcunque in E. Iam; cum parallelae sint AG, BD, et aequales AE, ED; erunt aequales etiam GE, EB, Sed aequales sunt FB, BE, ergo FE dupla est ipsius EG. Ideo AD transit per illud E punctum, quod ab initio dixeramus.

PROPOSITIO PRIMA

Quaelibet parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, cuius dia­ meter BD, iungaturque AB, BC, Dico parabolam sesquitertiam esse trian­guli ABC, eandem cum ipsa basim, et eandem altitudinem habentis, Du­cantur tangentes AE, CF, ad ba­sim: FH verò per verticem B; et AH sit ipsi diametro parallela. concipiamusque parabolae diametrum erectam esse ad horizontem. Iam secta HE in I, ita ut EI dupla sit ipsius IH, erit triangulum HAE centralitèr appensum ad punctum I (habet enim centrum gra­vitatis in recta quae ex I ducitur parallela ad HA, et propterea ad horizontem perpendiculari). Erit insuper figura mixta ABCFE centra­ liter appensa ad punctum B. (quandoquidem habet centrum gravitatis in diametro BD ad horizontem perpendiculari). Sed universa magni­ tudo, composita ex dicto triangulo HAE, dictaque figura mixta, aequi­ ponderat ex puncto E; erit ergo triangulum HAE ad figuram mixtam ABCFE, ut reciprocè BE ad EI, nempe ut 3. ad 2. Propterca trapezium AEFC sextuplum dicti trianguli, erit ad figuram mixtam ABCFE, ut 18. ad 2. et per conversionem rationis, ad parabolam erit ut 18, ad 16. Qualium ergo partium parabula est 16, earum trapezium AEFC est 18. et triangulum ABC 12. Quare parabola ad triangulum ABC erit ut 16, ad 12 nempe sesquitertia. Quod erat ostendendum.

Vide Coroll, 1.

Lemmat. 4.

Lemm. praeced.

ostendetur inf.

ostenditur inf.

Quod trapezium AEFC sextuplum sit trianguli HAE, patet. Nam parallelogrammum HD, duplum est trianguli HAB et propterea quadruplum trianguli HAE. ergò tra­pezium AEBD triplum erit trianguli HAE. totum verò trapezium AEFC. sextuplum dicti trianguli HAE. Quod etc.

Cum autem trapezium AEFC sextuplum sit trianguli HAE, erit sextuplum etiam trianguli EAB; et ideo tri­plum duorum EAB, BCF, Nempe ut 18. nd 6. Per con­versionem verò rationis, erit ad triangulum ABC ut 18. ad 12. Quod etc.

Lemma VI.

Si duae parabolae utraqne duas tangentes ad basim habuerit; erunt inter se trilinea mixta sub tangentibus, et curvis parabolicis contenta, ut sunt ipsa triangula sub tangentibus compraehensa.

Sint duae parabolae ABC, DEF. quarum utraqne duas tangentes ad basim habeat AG, GC prioris, et DH, FH, posterioris parabolae. Dico trilineum mixtum ABCG, ad trilineum mixtum DEFH, esse ut triangulum AGC, ad triangulum DHF.

Si enim non est ita: habebit alterum ex trilineis, puta ABCG, ad reliquum, maiorem rationem quàm triangulum AGC, ad DHF. Esto spatium K excessus, quo trilineum ABCG, maius est quàm ut sit in ratione triangulorum.

Ducatur per verticem B tangens IL; demissisque ex punctis I, et L lineis diametro parallelis (quae diametri semiparabolarum erunt) ducantur tangentes OM, NP: et ex punctis O; M; N, P, demittantur aliae diametri ut supra; ducanturque aliae tangentes: et hoc semper fiat, quousque reliquae simul omnes portiunculae, quae sub tangentibus, et curva parabolica continentur; minores sint spatio K. Tunc. N. universa figura tangentibus circum­ septa, et in trilineo mixto ABCG inscripta, habebit adhuc ad trilineum DEFH, rationem maiorem, quam triang. AGC, ad triang. DHF.

Lem. 2.

Coroll I.

Lem. 3.

Inscribatur iam etiam in altero trilineo mixto DEFH. figurae totidem laterum; ductis nimirùm tangentibus to­ties, quoties ductae fuerint in priori trilineo.

Quoniam verò est, ut triangulum IGL ad triangulum QRH, ita duo simul triangula OIM, NLP, ad duo simul UQS, TRZ. (sunt enim partes cum pariter multiplicibus in eadem ratione). Et ut duo simul triangula OIM, NLP, ad duo UQS, TRZ, ita quatuor triangula quae sunt infra puncta O, M, N, P, ad quatuor illa quae sunt sob pun­ctis U, S, T, Z; ob eandem causam etc. Erunt etiam omnia antecedentia simul (nempe figura inscripta in priori trilineo mixto), ad omnia consequentia simul (nempe ad figuram inscriptam in posteriori trilineo mixto) ut unum ad unum; nempe ut IGL, ad QHR. Sive sumptis eorum quadruplis, ut AGC ad DHF. Sedeadem inscripta figura habebat ad trilineum DEFH maiorem rationem quam sit trianguli AGC ad DHF. Minus ergo erit trilineum mixtum DEFH, quam figura sibi in scripta; totum sua parte. Quod est impossibile. Trilinea ergo sub tangentibus, et curvà para­bolica compraehensa, sunt inter se ut triangula sub ijsdem tangentibus et basibus contenta.

25 quinti.

12 quinti.

X quinti

PROPOSITIO II.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Sit parabola ABC, cuius diameter BD; et sit inscriptum triangulum ABC. Dico parabo­lam sesquitertiam esse trian­guli ABC.

Ducantur duae tangentes ad basim, quae sint AE, CE. et FG tangat per verticem B. Demissis deinde FI, GH dia­metro parallelis, ut sint dia­ metri portionum AIB, BHC; ducantur per I et H tangentes LM, NO.

2 Lem.

Erit ergo per Lemma praecedens, trilineum ABCE, ad trilineum AIBF, ut est triangulum AEC, ad ABF. sive ad FBE. Idem verò trili­neum ABCE ad aliud trilineum BHCG, erit ut idem triangulum AEC, ad triangulnm BGC; hoc est ad BGE, Coniunctim ergo, erit trilineum ABCE ad duo trilinea AIBF, BHCG, ut triangulam AEC ad triangulum FEG, nempe ut 4, ad unum, et dividendo, erit triangulum FEG ad duo trilinea AIBF, BHCG, ut 3, ad unum. Trapezium autem AFCG, ad eadem trilinea erit ut 9. ad unum; et per conversionem rationis, ad parabolam erit ut 9. ad 8. et ad triangulum ABC ut 9. ad 6, Qualium ergò factium parabola est 8, talium triangulum ABC est 6. Constat ergo parabolam inscripti sibi trianguli sesquitertiam esse. Quod erat etc.

24 quinti

Lemma VII.

Si in parabola inscribatur triangulum: eandem habens cum parabola basim, eandemque altitudinem. Inscribantur etiam pariter et in reliquis portionibus duo alia triangula: Erit triangulum primò inscriptum, octu­plum alterutri posteriùs inscripti trianguli.

Demonstratur hoc lemma ab Archimede prop. 21. De Quadratura parabolae.

Lemma VIII.

Si in parabola evidenter inscribatur figura ex triangulis constans. Tam bina ipsius triangula (si prout sibi mutuò respondent ita sumantur) quàm etiam tota inscripta figura aequiponderabit ex puncto medio basis ipsius parabolae.

Esto parabola ABC, cuios diameter sit BD; et inscripta statuatur figura, ita ut diameter ad horizontem sit perpen­ dicularis. Sectà deinde utraque AD, DC bifariam in EF; iterunque sectis partibus bifariam in G, H, I, L. etc.

Ducantur GM, EN, HO, IP, FQ, LR, etc. Parallelae ad diametrum.

Inscribaturque in parabola figura AMNOBPQRC. (quae dicitur evidentèr inscribi). Dico triangula quae figuram inscriptam componunt, si bina, et prout sibi mutuò respon­dent ita sumantur, aequiponderare ex puncto D. Praeterea universam figuram inscriptam, ex ipsis triangulis compo­sitam, ab eodem puncto D, aequiponderare.

Sumantur enim duo triangula sibi mutuo respondentia, puta NOB, BPQ, quae inter se aequalia erunt; cum trian­ gula ANB, BQC suboctupla. sint eiusdem trianguli ABC; ipsa vero NOB, BPQ, suboctupla sint aequalium triangu­lorum ANB, BQC. Habebunt insuper centra gravitatis in rectis OS, PT, quae quidem ab angulis O, P, ducuntur ad puncta media basium, NB, BQ, Cum verò OSH, PTI, rcctae ad horizontem positae sint perpendiculares, erunt praedicta triangula NOB, BPQ, centralitèr appensa ex punctis H, et I. Quamòbrem ab aequalibus distantijs HD, DI, aequi­ ponderabunt. Et sic de reliquis figurae triangulis. Quod erat primò propositum.

Lem. 7.

13 primi ae­quiponder.

4. secundi eiusd.

8. primi eiusd.

Figura autem universa evidentèr inscripta componitur ex partibus aequiponderantibus à puncto D; quarè etiam ipsa ex D puncto aequiponderabit. Quod erat ostenden­dum, etc.

Lemma IX.

Positis ijsdem. Si à parabola dematur universa figura evidentêr in­scripta, etiàm omnia segmenta parabolica, quae circumrelinquuntur, ex puncto D. aequiponderabunt.

Repetita enim eadem figura demonstratum est figuram inscriptam aequiponderare ex puncto D. Ergo figura in­scripta centrum gravitatis habet in perpendiculo horizon­tali DB. (per 4. suppositionem) sed etiam parabola cen­trum gravitatis habet in diametro DB, (per 4. secundi aequiponderantium) ergo centrum omnium reliquorum se­gmentorum erit in diametro DB. Quare ex puncto D. aequiponderabunt. per 3. suppositionem. Quod etc.

Corollarium;

Constat etiam eodem prorsus argumento, reliquum figu­rae evidentèr inscriptae, detracto priùs triangulo ABC, aequiponderare ex puncto D. Item reliquum parabolae, dempto triangulo ABC, aequiponderare ex D.

Lemma X.

Si ex parabola auferatur dimidium trianguli inscripti, tota reliqua figura mixta aequiponderabit ex puncto basis reliqui trianguli, in quo sic ea dividitur, ut pars ad curvam terminata quadrupla sit illius, quae terminatur ad diametrum;

Esto parabola ABC inversa; eius­que diameter BD ita statuatur ut ad horizontem sit perpendicularis; Detractoque semi­triangulo inscripto DBC; secetur AD basis reliqui semitrianguli, in quinque partes aequales; quarum una sit DE. Dico huiusmodi figuram ex puncto E suspensam, aequiponderare.

Nisi enim aequiponderet; cum recta AD sit libra, cuius fulcrum est in E, et magnitudo AFBGC, constans ex dua­ bus portionibus parabolicis, appensa sit ad punctum D, secundum centrum gravitatis ipsius: Reliquum autem triangulum ABD altera magnitudo appensa sit ad pun­ctum H (sumpta DH tertia parte totius DA); Altera ex his duabus magnitudinibus praeponderare necesse erit.

Coroll. Lem. 9.

Ponamus primò praeponderare duas portiones AFB, BGC; et sit excessus quo praeponderant aequalis spatio K.

Inscribatur evidentèr intrà duas portiones parabolicas figura multilatera, ita ut omnia simul segmenta parabolica circumrelicta minora sint spatio K. Tunc enim praeponde­rabit adhuc figura inscripta multilatera AIFLBMGNCBA.

Accipiatur DO quarta pars totius DB; et ductà AO, non solum triangulum ABO, aequiponderabit sibi ipsi ex puncto H; sed etiam quodcumque aliud triangulum ha­bens verticem in A et basim in recta DB, sibi ipsi aequi­ponderabit ex puncto eodem H.

Iam sic: Qualium partium AD est 15, DH est 5 et DE est 3. Ergo DE ad EH erit ut 3. ad 2. Cum autem demon­ stratum sit duo triangula AFB, BGC, aequiponderare ex puncto D; triangulum verò BOA, ex puncto H; et cum duo praedicta triangula sint ad totum triangulum ABD ut duo ad 4.; erunt eadem ad triangulum ABO, ut 2. ad 3.; nempe ut HE ad ED reciprocè. Quamobrem duo illa trian­gula AFB, HGC, cum triangulo ABO, aequiponderabunt suspensa ex puncto E.

Lem. 2

ex Lem. 7.

6. Aequi­pond.

Sumatur deinde DP quarta pars ipsius DO; ducaturque AP. Iam; quia duo triangula FLB, BMG aequiponderant ex D itemque duo AIF, GNC, aequiponderant ab eodem puncto D; omnia simul praedicta quatuor triangula aequi­ponderabunt ex puncto D; Quatuor autem praedicta trian­gula ad triangulum AFB sunt ut duo ad 4. Sunt autem AFB, AOD, subquadrupla eiusdem trianguli ABD, et pro­ pterea ad triangulum AOP, erunt ut 2. ad 3. nempe ut HE ad ED, reciprocè. Aequiponderant ergo quatuor illa triangula cum triangulo AOP, ex puncto E. Ergo universa simul figura evidenter inscripta AIFIB MGNCBA aequi­ponderat triangulo ABP. Sed eadem praeponderabat trian­gulo ABD, Minus ergò est triangulum ABD quam triangu­lum ABP. totum sua parte: quod est impossibile.

Lem. 8.

ex Lem. 7.

6. Aequi­pond.

Ponamus deinde praeponderare triangulum ABD; et sit excessus quo praeponderat aequalis spatio K.

Accipiatur AOD quarta pars totius trianguli ABD; iterumque sumatur APD quarta pars trianguli AOD; et hoc semper fiat donec veniatur ad aliquod triangulum, puta APD, quod minus sit spatio K. Tunc enim reliquum ABP adhuc praeponderabit duabus portionibus parabolicis AFB, BGC. Sed idem triangulum ostendetur (eodem pror­sus modo ut supra) aequiponderare alicui figurae intrà parabolicas portiones inscriptae; necesse igitur erit quòd portiones parabolicae minores sint quàm figura illa sibi inscripta; totum sua parte. Quod est impossibile. Aequi­ponderant ergo parabola inversa (dempto semitriangulo inscripto) ex puncto quod dictum est, Quod erat osten­dend. etc.

Corollarium.

Hinc inferre possumus, quòd si ex puncto E, recta ducetur diametro aequidistans, centrum praedictae figurae erit in producta. Siquidem figura ex puncto E aequipon­derat, et linea ex E ducta aequidistans diametro, est ad horizontem perpendicularis. Posset etiam demonstrari, nisi extrà rem esset, centrum praedictae figurae dictam paral­lelam ita secare, ut pars quae terminatur ad curvam sit ad reliquam ut 11 ad 12.

PROPOSITIO III.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem sibi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, ex qua demptum sit dimidium trianguli inscripti: Sum­ptaque DH, quae sit tertia pars totius DA et DE quinta pars eiusdem; si pa rabola huiusmodi statuatur inversa, ita ut diameter sit horizonti perpendicu­ laris, aequiponderabit figura ex puncto E, Sed triangulum ABD appensum est secundum centrum gravitatis ad punctum H librae HD. Duae autem parabolicae portiones residuae appensae sunt secundum centrum gra­vitatis ad punctum D; Ergo triangulum ABD, ad duas reliquas por­tiones erit ut DE ad EH, reciprocè, nempe ut 3. ad 2: Sumptis autem antecedentium duplis erit totum inscriptum triangulum ad reli­quas portiones ut 6. ad 2. Convertendo igitur, et componendo, erit ipsa parabola ad inscriptum sibi triangulum ut 8, ad 6 Nempe sexqui­tertia. Quod etc.

praeced. Lem.

Libet hic demonstrare Lemma Lucae Valerij, nostro tamen modo, diversisque penitùs Mechanicae principijs. Ipse enim utitur propositione illa, quà ante demonstra­verat centrum gravitatis hemispherij. Nos autem simili ratione, ac in praecedentibus, demonstrabimus et Lemma, et ipsam Valerij conclusionem.

Lemma XI.

Omnis semiparabola aequiponderat ex puncto basis, in quo sic ea divi­ditur ut pars ad curvam terminata sit ad reliquam ut quinque ad tria:

Esto semiparabola ABC, cuius diameter AB statuatur ad horizon­tem perpendicularis: Sectà deinde AC in F, ita ut CF ad FA, sit ut 5. ad 3. velut 15. ad 9. Dico figuram ex puncto F suspensam aequiponderare.

Secetur iterùm AC bifariàm in D, et demissà DE parallela diametro, erit ipsa DE diameter parabolae BEC. Sumatur iam AI tertia pars totius AC. Qualium igitur partium AC est 24. talium AD est 12. AF 9. et AI 8, Ergo DF tres, et FI una. Iam si figura non aequiponderat ex puncto F; Cum ID sit libra quae­dam cuius fulcrum est F, et ad punctum I appensum sit triangulum ABC; ex puncto verò D appensa sit parabola BEC; altera ex his figuris praeponderabit.

ex supp. quinta.

Ponamus primò praeponderare parabolam BEC, sit ex­cessus quo praeponderat aequalis spatio K.

Inscribatur evidentèr intra parabolam BEC figura re­ctilinea, ita ut omnes simul residuae portiunculae quibus parabola excedit inscriptam sibi figuram, minores sint spatio K. Manifestum est, quod inscriptà evidentèr figura adhuc praeponderabit triangulo ABC.

Accipiatur AHC quarta pars totius trianguli ABC.

Cum autem DE sit ad horizontem perpendicularis, et triangulum BEC habeat centrum gravitatis in recta GE; erit dlctum triangulum appensum ad D. Triangulum verò BHC appensum ad punctum I; quandoquidem AI tertia pars est totius AC, ipsa vero AB perpendicularis ad hori­zontem constituta est, Quoniàm autem BEC ad ABC est ut unum ad 4., erit idem BEC ad HBC ut unum ad 3. nempe reciprocè ut IF ad FD, Aequiponderant ergo ex puncto F, triangula BEC et HBC.

13 primi ae­quipond.

Lem. 7.

Sumatur iterum ALC quarta pars trianguli AHC; Et quoniam duo triangula BME, ENC aequiponderant ex G (uti demonstratum est) aequiponderabunt etiam suspensa ex D. Cum autèm duo dicta triangula BMC, ENC, sint ad triangulum BEC, sive ad ipsi aequale AHC, ut unum ad 4.; erunt ad LHC, ut unum ad 3; nempe reciprocè ut IF ad FD. Aequiponderant ergo ex puncto F. duo triangula BME, ENC, cum triangulo LHC. Figura ergò universa evidentèr inscripta intrà parabolam BEC. aequiponderat ex puncto F. cum triangulo LBC. Sed eadem praeponde­rabat triangulo ABC. Necesse igitur est quòd triangulum ABC minus sit triangulo LBC. totum sua parte. Quod est absurdum.

Lem. 8.

Lem. 7.

Ponamus deinde praeponderare triangulum ABC, et sit excessus quo praeponderat aequalis spatio K. Sumatur AHC quarta pars totius trianguli ABC. Iterùm sumatur ALC quarta pars trianguli AHC, Et hoc semper fiat donec ventum fuerit ad aliquod triangulum, puta ALC, minus spatio K. Tunc enim triangulum LBC adhuc praeponde­rabit parabolae BEC. Sed eodem modo, quo supra, demon­strabimus dictum triangulum LBC aequiponderare cuidam figurae evidentèr inscriptae intrà parabolam BEC. Unde sequeretur ipsam parabolam BEC minorem esse aliqua figurà sibi inscriptà; totum videlicet sua parte. Quod est absurdum. Aequiponderat ergo semiparabola, uti dictum est constituta, et ex puncto F suspensa. Quod etc.

Corollarium.

Hinc patet, quòd (cum semiparabola aequiponderet ex puncto F.) si ab F demittatur recta ad horizontem per­ pendicularis, in hac demissà erit centrum gravitatis semi­parabolae; aliàs enim non aequiponderaret ex F. Verùm quoniam etiam diameter parabolae ad horizontem perpen­dicularis constituta est, concludemus; quòd recta quae ex puncto F ducitur diametro aequidistans, transit per cen­trum semiparabolae.

Suppositio 4.

PROPOSITIO IV.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, cuius diameter BD, triangulum verò inscriptum sit ABC, Dico parabolam dicti trianguli esse ses­quitertiam.

Sumatur, qualium partium tota DC est 24. talium DE 8.; DF 9; et DG, 12. Eritque earundem EF una, et FG tres, Ductis verò EH, FI, GL, dia­ metro parallelis, erit in EH centrum trianguli BDC; in FI centrum semiparabolae DBMC, et in GL centrum portionis BMC,

13 primi ae­quip.

Lem. praeced.

Ponatur centrum trianguli esse punctum quodcumque H. Item cen­trum semiparabolae esse punctum quodcumque I (quamquàm huius­

modi puncta extrà ipsas figuras ubicunque libuerit sumantur, tamen vero semper eodem modo inferemus.) iunctà deinde HI, et productà, in ipsa HI erit centrum portionis parabolicae BMC; quod cum sit etiam in recta GM producta, necessariò erit in communi concursu L. Para­bola ergò BMC ad triangulum DBC erit reciprocè ut HI ad IL, hoc est, ut EF ad FG, nempe ut unum ad 3. Componendo ergo, sumptisque duplis, erit tota parabola ad totum triangulum ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. Quod erat propositum etc.

4. sec. aequip.

8. primi ae­quip.

Poterat haec demonstratio produci etiam hoc modo, praemisso hoc Lemmate.

Si parabola ad extremum basis lineam habuerit dia­metro parallelam, ed diametri quadruplam, ductoque tertio latere, compleatur triangulum.

Universa haec figura aequiponderabit ex puncto tertij lateris, in quo sic dividitur ut pars ad curvam terminata sit ad reliquam ut 5. ad 3.

Esto parabola ABC, cuius diameter DB statuatur ad horizontem perpen­dicularis; considereturque ipsa para­bola inversa: Tum ad alterutrum basis AC estremum, puta ad punctum A, adiungatur recta AE, diametro aequi­distans, et ipsius diametri quadrupla. Ducto deinde tertio latere EC trian­guli EAC, secetur in F, ita ut CF. ad FE sit ut 5. ad 3. Dico huiusmodi figuram ex puncto F aequiponderare. Quo­niam enim CE ordinatim applicatur ad diametrum AE; erit tota figura EABC semiparabola. Ergo ijsdem ra­tionibus, eodemque progressu quo usi sumus in Lem­mate II ostendemus totam figuram aequiponderare ex F. Sumatur iam EI octo earum partium, qualium tota EC est 24. et EL 12. et EF 9, Eritque IF earundem una, et FL 3. Ergo cum parabola ABC pendeat ex puncto L, ap­pensa ad ipsum secundum centrum gravitatis; triangulum verò AEC ex puncto I; erit parabola ABC ad triangu­ lum AEC ut reciprocè IF ad FL, nempe ut unum ad 3.; sive ut 4. ad 12. et propterea ad triangulum ABC ut 4. ad 3. etc. Est enim ABC quarta pars ipsius ACE etc. Constat ergo parabolam sesquitertiam esse inscripti sibi trianguli.

Ostendetur infra.

ob commu­nem basim AC altitu­dinem verò in ratione quadrupla.

Quod assumptum est, nempe rectam CE ordinatim ap­plicari ad diametrum AE, ostendemus hoc modo.

Si enim non est ordinatim applicata CE, applicetur or­dinatim CM; eritque MABC semiparabola; et quia sunt aequales AD, DC, erit MC secta bifariam in N. Ergo MA sesquitertia est ipsius NB; sed etiam EA ob constructio­ nem sesquitertia est ipsius LB; ergo et reliqua EM sesqui­tertia est reliquae LN; et EC sesquitertia ipsius CL, quod est impossibile. Est enim dupla, non autem sesquitertia. Quare nulla alia praeter CE ex puncto C ordinatim ap­plicari potest ad diametrum AE. Quod etc.

ob semipara­bolam.

19 quinti.

PROPOSITIO V.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, eandemque altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, cuius diameter BD, trian­gulum inscriptum ABC; Dico parabolam esse ses­quitertiam trianguli AB C. tibi inscripti.

Si enim ita non est, neque triangulum ABC erit triplum duarum si- mul reliquarum portionum AEB, BFC. Sed erit vel magis quàm triplum, sive minus quàm triplum.

Sit primò minus quam triplum, eruntque duae reliquae portiones magis quàm tertià pars trianguli ABC. Estò excessus aequalis spatio K, et inscribantur intrà portiones primùm trian gula AEB, BFC; iterumque in reliquis portiuncolis quatuor triangula AGE, EHB, BIF, FLC; deinde octo etc. et hoc semper donec excessus portionum supra inscriptas evidentèr figuras sit minor spatio K. Tunc. n erunt inscriptae figurae adhuc maiores quàm tertia pars trianguli ABC.

Sumatur iam triangulum ABM quarta pars totius trianguli ABC. Et quoniam ABC quadruplum est tam trianguli ABM, quam triangu­lorum AEB, BFC simul sumptorum, aequale erit triangulum ABM, duo­bus simul triangulis AEB, BFC; et propterea triangulum MBC triplum erit duorum simul triangulorum AEB, BFC.

ex Lem. 7.

Accipiatur iterùm triangulum ABN quarta pars totius trianguli ABM. Cum ergò ABM quadruplum sit ipsius ABN; et duo AEB, BFC, qua­ drupla sint quatuor simul subsequentium triangulorum AGE, EHB, BIF, FLC; cumque antecedentia sint aequalia, aequalia erunt etiam conse­quentia; et propterea cum triangulum NBM triplum sit trianguli ABN, triplum etiam erit idem triangulum NBM. quatuor simul triaugulorum, AGE, EHB, BIF, FLC. Et ut unum ad unum ita omnia simul ad omnia. Quare totum simul triangulum NBC, triplum erit figurarum evidentèr intra portiones inscriptarum. Sed triangulum ABC minus erat quam triplum earundem; Ergo ABC minus est quàm NBC totum sua parte. Quod est absurdum etc.

Lem. 7.

12 Quinti.

Ponamus deinde triangulum ABC esse plus quam triplum duarum simul reliquarum portionum. Esto; et excessui, quo est magis quàm triplum, aequale sit spatium K.

Accipiatur ABM quarta pars totius trianguli ABC. Iterum sumatur ABN quarta pars ipsius ABM. Et hoc semper fiat donec veniatur ad aliquod triangulum, puta ABN, quod minus sit spatio K. Eritque adhuc triangulum NBC magis quam triplum duarum portionum. Sed eàdem prorsus ratione, et ordine quo supra, ostendemus triangulum NBC triplum esse cuiusdam figurae intrà portiones evidentèr inscriptae; necesse igitur erit quòd portiones ipsae minores sint quàm figurae intrà ipsas descriptae: Totum sua parte. quod est impossibile.

Triangulum ergo ABC duarum reliquarum portionum triplum est; et componendo; et per conversionem rationis parabola ad suum triangulum erit ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. Quod erat proposi­tum etc.

Lemma XII.

Si parabola tres tangentes habuerit, duas ad basim, tertiam verò per verticem: Erit triangulum sub tangentibus compraehensum, reli­quae figurae (demptà parabolà) triplum.

Esto parabola ABC, cuius diameter BD; tangentes ad basim AE, CE; per verticem verò FBG.

Dico triangulum FEG, sub tangentibus compraehensum reliquae figurae mixtae ABCGF (dempta scilicet parabola) triplum esse.

Si enim non est triplum, erit certè vel magis, vel minùs quàm triplum.

Sit primò minùs quàm triplum; eritque reliqua figura mixta ABCGF, magis quàm tertia pars trianguli FEG. Sit excessus K. Ducanturque per vertices abscissarum portionum tangentes HI, LM; Iterumque per vertices sub­sequentium portionum, tangentes agantur NO, PQ, RS, TU. et hoc semper; donec excessus figurae mixtae ABCGF, supra figuram ex triangulis constantem NOPQRSTUGF, minus aliquando relinquatur quàm spatium K. Tunc enim erit adhuc figura ex triangulis inscripta maior quàm tertia pars trianguli FEG.

Accipiatur triangulum FEI quarta pars trianguli FEG; eritque triangulum FEI aequale duobus simul triangulis HFI, LGM: (cum tam ista duo, quàm illud solum, sub­ quadrupla sint eiusdem trianguli FEG) Ergò triangul. IEG triplum erit duorum simul triangulorum HFI, LGM.

Lem. 3.

Sumatur iterùm triangulum FEX quarta pars ipsius FEI. Cumque sit FEI quadruplum trianguli FEX, duo verò triangula HFI, LGM quadrupla sint quatuor simul triangulorum NHO, PIQ, RLS, TMU, et antecedentia ae­ qualia; etiam consequentia aequalia erunt; eritque trian­gulum FEX aequale quatuor praedictis triangulis NHO, PIQ, RLS, TMU; et propterea XEI triplum erit eorumdem quatuor triangulorum. Cumque sit ut unum ad unum, ita omnia ad omnia: erit totum simul triangulum XEG tri­plum universae figurae rectilineae intrà figuram mixtam inscriptae. Sed eiusdem figurae inscriptae triangulum FEG minus erat quam triplum; necesse igitur est ut triangu­lum FEG minus sit quàm ipsum XEG totum videlicet sua parte. Quod est impossibile.

Lem. 3.

12 Quinti.

Ponamus deinde triangulum FEG esse plus quàm tri­plum reliquae figurae mixtae demptà parabolà.

Esto et sit excessus aequalis spatio K. accinietur trian­gulum FEI quarta pars totius FEG: et iterum sumatur triangulum FEX quarta pars trianguli FEI: et hoc fiat semper donec veniatur ad aliquod triangulum, puta FEX, quod minus sit spatio K. Eritque triangulum XEG adhuc maius quàm triplum reliquae figurae mixtae ABCGF. Sed eadem penitùs ratione, atque ordine ut supra, ostendemus triangulum XEG esse triplum cuiusdam figurae intrà figu­ram mixtam ABCGF. descriptae. Necesse ergò erit, ut figura mixta ABCGF minor sit quam aliqua figura sibi inscripta; totum sua parte. Quod est absurdum.

Si ergò parabola tres tangentes habuerit, ut positum est, erit triangulum sub tangentibus contentum, reliquae figurae, dempta parabola, triplum. Quod erat proposi­tum etc.

PROPOSITIO VI.

Parabola sesquitertiâ est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, cuius diameter BD; duae tangentes AE, CE ad basim, et tertia FBG per verticem. Dico para­bolam sesquitertiam esse inscripti sibi trianguli ABC.

Triangulum enim FEG ad duo tri­linea mixta AFB, BGC per praecedens Lemma, est ut 3. ad nnum. Ergò trape­zium. AFGC (cum triplum sit trianguli FEG) ad duo eadem trilinea mixta erit ut 9. ad unum. Et ad para­bolam erit (per conversionem rationis) ut 9. ad 8. et ad triangulum ABC, erit ut 9. ad 6. Qualium ergo partium parabola est octo, talium triangulum ABC est 6; Quare parabola ad inscriptum sibi triangulum est ut 8. ad 6. nempe sesquitertia. Quod erat etc.

Lemma XIII.

Si parabola tres tangentes habuerit; duas ad basim, tertiam verò per verticem, et ex universa figura dempta sit parabola, dimidiumque trianguli sub tangentibus contenti. Reliqua figura aequiponderabit ex quodam puncto, quod ita integram tangentem lateralem dividit ut pars quae ad contactum curvae terminatur sit ad reliquam ut 9. ad unum.

Esto parabola A BC cuius diameter BD concipiatur ad horizontem perpendi­cularis; sintque duae tangentes ad basim AE, CD verticalis verò tangens EBF. Sectà deinde laterali CD in H, ita ut CH ad HD sit ut 9. ad unum; Dico figuram huiusmodi (demptà parabolà, et semi­triangulo verticali EBD) aequiponderare ex puncto H.

Sumatur DI quinque partium earum, quarum DF est 15. sive quarum DH est 3. Eritque DH ad HI ut 3. ad 2.

Cum autem BD sit ad horizontem perpendicularis, por­tiones mixtae ABE, BCF, appensae erunt secundum cen­trum gravitatis ad punctum B, sive ad punctum D. Trian­gulum verò BDF ob eandem causam, et eodem modo pendebit centraliter ex puncto I (quandoquidem FI dupla est ipsius ID; et ipsa DB ad horizontem perpendicularis). Iam si istae magnitudines non aequiponderant ex H pun­cto librae DI, altera ipsarum praeponderabit. Esto; et praeponderent primò duae portiones mixtae ABE, BCF. Sitque excessus quo praeponderant aequalis spatio K.

Inscribatur intrà mixtas portiones figura ex tangenti­bus, ut iam saepè factnm est. Donec excessus portionum suprà figuram rectilineam inscriptam minur sit spatio K. Tunc enim figura inscripta adhuc praeponderabit trian­gulo BDF.

Accipiatur triangulum DFG quarta pars totius trian­guli DFB; eritque triangulum DFG aequale triangulo NFO (cum ambo sint subquadrupla eiusdem trianguli DFB) et propterea triangulum DFG ad duo triangula TEM, NFO, erit ut unum ad 2. ergò BFG ad duo triangula LEM, NFO, erit ut 3. ad 2. nempe reciprocè ut DH ad HI. Triangulum igitur BGF, et duo triangula LEM, NFO, ex puncto H aequiponderant iuvicem.

ex Lem. 3.

Sumatur iterùm DFP quarta pars totius DFG, eritque DFP aequale duobus simul triangulis quae sunt infrà pun­cta N et O. (Sunt enim quartae partes aequalium trian­ gulorum DFG, NFO). Propterea triangulum DFP ad qua­tuor simul triangula L, M, N, O, erit ut unum ad 2. Sed triangulum PFG, ad eadem quatuor triangula erit ut 3. ad 2. nempe reciprocè ut DH ad HI. Aequiponderat igitur triangulum PFG, cum quatuor dictis triangulis L, M, N, O, ex puncto H. Quamobrem universa figura inter portiones inscripta aequiponderabit cum triangulo BPF ex puncto H. Sed eadem praeponderabat triangulo BDF. Necesse igitur est ut triangulum BDF minus sit quam triangulum BPF, totum sua parte. Quod esse non potest.

ex Lem. 3.

Ponamus deinde praeponderare triangulum BDF dua- bus simul portionibus mixtis ABE, BCF; et ponatur ex­cessus quo praeponderat aequalis spatio K.

Accipiatur triangulum DFG quarta pars ipsius DFB. et iterum sumatur DFP quarta pars ipsius DFG, et sic semper donec veniatur ad aliquod triangulum, puta DFP minus spatio K. Tunc enim reliquum triangulum adhuc praeponderabit portionibus mixtis ABE, BCF. Sed osten­demus eodem penitus argumento, atque ordine ut supra idem triangulum PFB praeponderare alicui figurae intrà portiones ABE, BCF, descriptae. Necesse ergo erit quòd ipsae duae portiones mixtae minores sint quàm aliqua sibi inscripta figura; totum sua parte; quod est absurdum.

Constat ergo quod propositum fuerat.

PROPOSITIO VII.

Parabola sesquitertia et trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto, ut in praecedenti Lemmate para­ bola ABC. cum duabus tangentibus late­ralibus, sive ad basis AE, CD; atque EBF per verticem. Concipiaturque diameter ad horizontem perpendicularis; et ablatà pa­rabola dectractoque dimidio verticalis trianguli; accipiatur DI tertia pars to­tius DF, et sit DH sesquialtera ipsius HI. Aequiponderant ergo (per lemma praece­dens) ex puncto H librae DI, duae ma­gnitudines. Nempe hinc duae portiones ABCFE appensae ad pun­ctum D; inde verò triangulum BDF appensum ad punctum I.

Quamobrem DBF ad ABCFE, erit ut reciprocè DH ad HI, nempe ut 3. ad 2. Sumptisque antecedentium duplis, erit totum verticale trian­gulum EDF ad reliquam figuram mixtam triplum, Propterea (ut in Propositione sexta demonstratum est) parabola inscripti sibi trianguli sesquitertia erit. Quod erat propositum demonstrare.

Lemma XIV.

Si duorum conorum latera trianguli per axem secta fuerint in partes aequales numero, et magnitudine, ductisque per puncta sectionum planis basi parallelis, super sectionum circulis intelligantur cylindri aeque alti intrà conos descripti: Erit ut primus conus ad secundum, ita omnes cylindri primi coni, ad omnes cylindros secundi coni.

Sint duorum conorum trian­ gula per axem ABC, DEF, et duo eorum latera, puta AB, DE, secentur in partes numero aequales; nempe in totidem partes dividatur tàm AB, quàm DE; sintque partes lateris AB aequales inter se, et partes DE item aequales inter se. Ductis deinde per singula sectionum puncta planis GH, IL, etc. basi AC paral­lelis: item planis MN, OP, etc. basi DF parallelis; Concipiantur cylindri AH, GL, etc. eiusdem altitudinis intrà conum ABC descripti; itemque in altero cono alij cylindri aequealti intelligantur; Dico esse ut conus ABC ad conum DEF, ita omnes cylindros coni ABC ad omnes cylindros coni ABC ad omnes cylindros coni DEF.

Concipiantur duo coni GAH, MDN; quorum vertices sint A et D, bases verò circuli GH, MN.

Iàm; Cylindrus AH ad conum GAH est ut cylindrus DN ad conum MDN. (nempe in ratione tripla) conus verò GAH ad conum GBH in eadem basi est ut AG ad GB; sive (propter divisionem in constructione adhibitam) ut DM ad ME, hoc est ut conus MDN ad conum MEN. Conus denique GBH ad conum similem ABC est ut cubus GB ad cubum BA; sivè (propter constructionem) ut cubus ME ad cubum ED, nempe ut conus MEN ad conum similem DEF. Quarè ex aequo cylindrus AH ad conum ABC, erit ut cylindrus DN ad conum DEF. Et permutando cylin­drus AH ad cylindrum DN erit ut conus ABC ad co­num DEF.

Ulterius. Cylindrus etiam GL ad cylindrum MP. eodem penitus modo demonstratur esse ut conus GBH ad conum MEN, sive ut conus ABC ad conum DEF; et hoc modo semper. Proptereà ut unus cylindrus AH ad unum DN, ità quilibet antecedentium ad quemlibet consequentium, ergò ut unus ad unum, nempe ut conus ABC ad conum DEF, ità omnes simul cylindri coni ABC, ad omnes simul cylindros coni ABC, ad omnes simul cylindros coni DEF. Quod etc.

11 Quinti.

12 Quinti.

Lemma XV.

Dato trilineo mixto, sub lineà parabolica, eiusque tangente, et alià rectà diametro parallela compraehenso; possibile est in dato trilineo figuram inscribere constantem ex parallelogrammis aequealtis, quae figura deficiat à trilineo mixto minori differentià quàm sit quaecnmque data magnitudo.

Esto linea parabolica ABC, cuius tangens CD, et diametro aequidistans sit AD. Dico intrà trili­neum mixtum ABCD. describi posse figuram constantem ex paralle­logrammis aequealtis, quae figura deficiat à trilineo mixto, minori defectu quàm sit spa­tium quodcumque da­tum K.

Secetur enim DC bi­fariam in X; iterumque partes bifariàm dividan­tur in H et in P; sem­perque hoc fiat donec veniatur ad sectionem aliquam, puta DE, eius­modi ut parallelogram. ADE, minus sit spatio K. (Quod autem hoc fieri possit, patet. Si enim compleatur paralle­logrammum ADC, ex ipso per continuam bisectionem semper detrahitur dimidium; ergò tandem remanebit AE minus quolibet dato spatio). Ducantur deinde ex punctis sectionum rectae EF, HG, etc. aequidistantes ipsi DA; per puncta autem I, B, etc. ubi parallelae secant para­bolam, ducantur LG, MN, etc. aequidistantes tangenti CD. Et factum erit quod oportebat.

Parallelogrammum enim CO, aequale est ipsi OP, et addito communi OI, erunt duo CO, OR, aequalia ipsi RQ, sive ipsi RS: additoque communi RT, erunt tria CO, OR, RT, aequalia ipsi TP, hoc est ipsi TX, additoque com­muni TZ et sic semper procedendo erunt denique omnia simul parallelogramma CORTZYBIA aequalia ipsi paral­lelogrammo AE. nempe minora spatio K. Multò igitur minor erit defectus figurae inscriptae ex parallelogrammis aequealtis compositae, à trilineo mixto ABCD, quàm sit propositum spatium K. Quod erat etc.

36 Primi.

Corollarium.

Hinc notabimus quod eodem prorsus modo, eàdemque operatione, figura etiam circumscribitur dato trilineo mixto, constans ex parallelogrammis aequealtis, ita ut excessus figurae circumscriptae suprà ipsum trilineum, minor sit quocumque spatio dato K.

Lemma XVI.

Si parabola tangentem habuerit: et insuper duas rectas diametro parallelas, quae duo trilinea abscindant sub tangente, et lineà para­bolica compraehensa; Erit figura ex parallelogrammis aequealtis con­stans in maiori trilineo descripta, ad figuram eiusdem speciei in minori trilineo descriptam, ut cubus maioris tangentis ad cubum minoris.

Esto parabola ABC, cuius tangens CD; et diametro parallela sit utraque DA, EF; ut fiant duo trilinea mixta ABCD maius, et FBCE minus. Dico, si in utroque tri­lineo inscribatur figura constans ex parallelogrammis ae­qualibus utrimque numero, (ut in praecedenti lemmate expositum est) figuram trilinei ABCD, ad figuram trilinei FBCE, esse ut cubus DC ad cubum CE.

Concipiamus, (ad evitandam linearum multitudinem, et confusionem) triangulum GEC cum sua portione parabolae intercepta FBC, transferri, et esse idem quod positum est sub signis HIL. trilineumque FBCE esse idem cum tri­lineo MNLI.

Inscribatur iam in utroque trilineo ABCD, et MNLI, (quod quidem repraesentat ipsum FBCE translatum) figura constans ex parallelogrammis aequealtis; et sit idem nu­merus parallelogrammorum in utroque trilineorum. Intel­ligatur etiam conus, cuius vertex C, sive L; et diameter basis sit, hinc quidem AD, inde verò HI. Sintque in sin­gulis coni segmentis cylindri aequealti OP, QR etc.

1. Sexti.

Iam parallelogrammum BP ad SD, est ut recta BR ad SP, hoc est ut quadratum RC ad CP; hoc est ut qua­

dratum RT ad quadratum PU: hoc est ut cylindrus QR ad cylindrum OP. Eodem modo erit parallelogrammum XR ad SD, ut cylindrus YR ad UD. Ergo erunt duo simul parallelogramma BP, XR, ad SD; ut duo simul cylindri TP, YR, ad cylindrum UD. Procedendo itaque semper hoc modo, et denique componendo, erit tota inscripta figura ex parallelogrammis constans in trilineo ABCD, ad paral­lelogrammum SD, ut omnes simul cylindri qui in cono ACD, ad cylindrum UD.

ob parabo­lam.

24. Quinti.

Amplius; parallelogrammum SD ad NI compositam habet rationem, ex ratione rectae SP ad NZ, sive qua­drati PC ad ZI (sunt enim duae figurae, sed circa ean­dem parabolam translatam) sive quadrati PU ad ZK; et ex ratione rectae DP ad IZ. Est ergò parallelogrammum SD ad NI ut cylindrus UD ad KI, Denique parallelo­ grammum NI ad totam figuram inscriptam intrà trilineum MNLI, est ut cylindrus KI ad omnes cylindros inscriptos intrà conum HLI, Propterea ex aequo erit figura ex pa­rallelogrammis constans inscripta in maiori trilineo ABCD, ad figuram ex parallelogrammis inscriptam in minori tri- lineo MNLI, ut omnes cylindri in cono ACD ad omnes cylindros in cono HLI. Nempe ut conus ACD ad conum HLI, hoc est ad conum GCE (qui idem est). Nempe ut cubus DC ad cubum CE. Quod erat etc.

ostendetur eodem mo­do ut in al­tera figura.

Lemma. 14.

Lemma XVII.

Si parabola tangentem habuerit, et insuper duas diametro paral­lelas rectas lineas, quae duo trilinea mixta abscindant; erunt inter se abscissa reilinea ut cubi suarum tangentium.

Esto parabola ABC, cuius tangens CD: et diametro paral­lela sit utraque DA, EB. Dico trilineum mixtum ABCD ad tri­lineum mixtum BCE, esse ut cubus tangentis DC, ad cubum tangentis CE.

Si enim ita non est, sit alte­rum illorum, si possibile est, maius quam ut habeat dictam proportionem ad reliquum; et ponamus illud esse ABCD, maius quàm quod esse deberet ex­cessu K.

Inscribatur intrà trilineum ABCD figura ex parallelo­grammis aequealtis constans; ita ut à trilineo deficiat mi­nori defectu quàm sit spatium K (haec autem fieri posse ostendimus). Habebitque adhuc figura inscripta ad reli­quum trilineum BCE maiorem rationem quàm cubus DC ad cubum CE.

Lem. 15.

Inscribatur intrà alterum trilineum BCE figura eiusdem speciei, et eiusdem numeri parallelogrammorum cùm de­scripta intra trilineum ABCD. Erit ergò figura inscripta trilineo ABCD ad figuram inscriptam trilineo BCE ut cu­ bus DC ad cubum CE. Sed eadem figura inscripta trilineo ABCD ad trilineum BCE habet maiorem rationem quàm cubus DC ad CE. Minus ergo est trilineum BCE quàm inscripta sibi figura. totum sua parte. Quod est impossi­bile. Constat ergo propositum.

Lemma praecedens.

PROPOSITIO VIII.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, cuius diameter BE, tangentes verò AF, CF, productae eousque donec occurrant ipsis AD, CH, diametro parallelis. Iungaturque rectae lineae AB, BC. (licet in figura omissae sint). Dico parabolam trianguli ABC esse sesquitertiam.

Lem. praece­dens

2. Sexti

Erit enim ABCD ad trilineum BCF, ut cubus DC ad cubum CF, nempe ut octo ad unum. (cum enim sit ut AE ad EC, ita DF ad FC, erit DF aequalis ipsi FC, cubusque DC octuplus cubi CF). Item trilineum CBAH ad trilineum BAF est ut octo ad unum. Coniuctim ergò erunt duo trilinea ABCD, CBAH, ad spatium ABCF. ut octo ad unum. Et dividendo bis, erunt duo triangula AFD, CFH, ad spatium ABCF, ut 6. ad unum. Quamobrem triangulum AFD, sive AFC ad spatium ABCF, erit ut 3, ad unum; et ad parabolam erit ut 3. ad 2. vel ut 6. ad 4. Propterea parabola erit ad triangulum ABC ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. Quod erat propositum demonstrare etc.

Lemma XVIII.

Si fuerit ut prima magnitudo ad secundam, ita tertia ad quartam; Et hoc quotiescumque libuerit. Fuerintque omnes primae inter se, item omnes tertiae magnitudines inter se aequales. Erunt omnes primae simul ad omnes secundas, ut sunt omnes tertiae simul ad omnes quar­tas magnitudines.

Esto ut A prima ad B secundam, ita C tertia ad D quartam. Et iterum ut E prima ad F secundam, ita G tertia ad H quartam; et sic quotie­scunque libuerit. Sintque omnes pri­mae A, E, I, etc. item omnes tertiae C, G, M, etc. inter se aequales.

Dico omnes primas simul ad omnes secundas simul, ita esse ut sunt omnes simul tertiae, ad omnes quartas ma­gnitudines.

Quoniam enim convertendo est ut B ad A ita D ad C. Item ut F ad E; sive ad aequalem A, ita H ad G, sive ad C; erunt simul BF ad A, ut sunt DH slmul ad C. Hoc modo procedendo, ostendemus omnes

secundas simul esse ad A, ut sunt omnes quartae simul ad ipsam C. Ipsa verò A ad omnes est ut C ad omnes tertias (sunt enim aeque submultiplices). Ergo ex aequo omnes secundae ad omnes primas, sunt ut omnes quartae simul ad omnes tertias. Convertendo igitur constat quod erat propositum demonstrare.

24. Quinti.

15. Quinti.

Lemma XIX.

Si parabola tangentem habuerit ad basim; ex alia verò parte rectam diametro parallelam. Erit triangulum sub tangente, et parallela dia­metro, ipsaque basi compraehensum, ipsius parabolae triplum.

Esto parabola ABC, cuius tangens CD, paral­lela diametro sit AD; Dico triangulum ADC esse parabolae ipsius AB C, triplum.

Si enim non est tri­plum parabolae, per con­versionem rationis, non erit sesquialterum trilinei ABCD; et propterea (du­plicato antecedente) to­tum parallelogrammum AE non erit triplum trilinei ABCD.

Trilineum ergo ABCD erit vel plus, vel minus quam tertia pars parallelogrammi AE. Ponatur primùm ssse plus quàm tertia pars, et sit excessui aequale spatium K.

Inscribatur intrà trilineum ABCD, figura constans ex parallelogrammis aequealtis, deficiensque ab ipso trilineo minori defectu quàm sit ipsum spatium K. Et inscripta iam sit eiusmodi figura. Erit ergò adhuc figura inscripta plus quàm tertia pars parallelogrammi AE.

Concipiatur circa rectam AD, circulus, qui sit basis cuiusdam coni verticem habentis in puncto C. et super eàdem basi intelligatur cylindrus AE eiusdem altitudinis cum ipso cono; sectusque sit tam conus quàm cylindrus planis basi parallelis per singulas rectas FG, HI, LM, etc. ductis. Concipiantur etiam intrà conum ACD cylindri ae­quealti PO, OI, etc.

1. Sexti. ob parabo­lam.

Iam sic; parallelogrammum AF ad ND, est ut recta DA ad ON: nempe ut quadratum DC ad quadratum CO; sive, ut quadratum DA ad quadratum OG, nempe, ut cy­

lindrus AF ad cylindrum PO, Et sic, semper. Suntque omnes primae magnitudines aequales parallelogrammo AF, et ideo aequales inter se; omnes autem tertiae magnitu­dines aequales cylindro AF, atque ideo inter se. Erunt ergo omnes primae simul, hoc est parallelogrammum AQ, ad omnes secundas simul, nempe ad figuram inscriptam in trilineo ABCD, ut sunt omnes tertiae simul, nempe cylin­drus AQ, ad omnes quartas simul, hoc est ad omnes cy­lindros intrà conum ACD descriptos. Convertendo igitur; erit figura trilineo inscripta ad parallelogrammum AQ ut omnes cylindri intra conum ACD ad cylindrum Aque Parallelogrammum verò AQ ad parallelogrammum AE est ut DQ ad DE, hoc est ut cylindrus AQ ad cylindrum AE. Propterea ex aequo, figura inscripta in trilineo ad totum parallelogrammum AE, erit ut omnes cylindri in cono inscripti ad cylindrum AE. Sed figura inscripta in trilineo (ex iam dictis) plus quàm tertia pars paral­lelogrammi AE, ergò omnes cylindri in cono descripti erunt plusquam tertia pars cylindri AE, nempe maiores quàm conus ACD. pars videlicet suo toto. Quod est im­possibile.

ob similitud. triang.

Sed ponamus nunc trilineum ABCD esse minus quam tertia pars parallelogrammi AE; sitque defectus aequalis spatio K. Circumscribatur trilineo ABCD figura constans ex parallelogrammis aequealtis excedensque minori ex­cessu quàm sit spatium K; et erit figura circumscripta adhuc minor quàm tertia pars parallelogrammi AE.

Coroll. Lem. 15.

Concipiatur iterum circa rectam AD circulus pro basi coni, qui verticem habeat C; itemque pro basi cylindri ACED eiusdem altitudinis cum ipso cono ACD.

Intelligatur insuper circa conum descripta figura solida constans ex cylindris aequealtis AQ, GI, etc.

Iam parallelogram­ mum AF ad paralle­logrammum AQ (ob aequalitatem) est ut cylindrus ADFG ad cylindrum ADQR. Am­plius. Parallelogram­mum GH ad paralle­logrammum LI est ut GF, sive AD ad Lque nempe ut quadratum DC ad quadratum CQ, sive ut quadratum DA, vel FG, ad quadratum Gque nempe ut cylindrus GH ad cylindrum GI. etc. et hoc modo semper. Suntque omnes singillatim primae magnitudines aequales parallelogrammo AF, et ideò inter se: item omnes tertiae aequales cylindro AF, et ob id inter se; ergo erunt omnes primae simul, hoc est parallelogrammum AE, ad omnes secundas simul, hoc est ad figuram trilineo circumscriptam, ut omnes ter­tiae simul, nempe cylindrus AE, ad omnes quartas simul, nempe ad cylindros conum ACD circumscribentes. Con­vertendo igitur, erit figura circumscripta trilineo, ad pa­rallelogrammum AE, ut omnes cylindri circumscribentes conum ad cylindrum AE. Sed figura trilineo circumscripta minor est quàm tertia pars parallelogrammi AE; ergo etiam omnes cylindri circumscribentes conum, minores erunt quàm tertia pars cylindri AE; nempe minores cono ACD. Totum sua parte: quod esse non potest. Triangulum ergo ADC ipsius parabolae omninò triplum erit. Quod pro­positum fuerat.

1. sexti. ob parabo­lam. ob similitud. triangul.

PROPOSITIO IX.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, cuius diameter EB, triangulum inscriptum sit ABC. Dico para­bolam trianguli ABC esse sesquitertiam;

Ducatur enim tangens CD, et sit recta AD diametro aequidistans:

Erit ergò per praecedens lemma, triangu­lum ACD parabolae triplum; et propterea erit parabola partes quatuor earum, quarum triangulum ADC est duodecim, nempe qualium triangulum ABC est tres. (triangulum enim ABC aequale est triangulo EFC, cum utrum­que duplum sit trianguli EBC, ergo triangu­lum ABC quarta pars erit totius ADC). Constat ergo parabolam ad inscriptum sibi triangulum esse ut 4. ad 3. Nempe sesquitertiam. Quod etc.

PROPOSITIO X.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem sibi basim, et eandem alritudinem habentis.

Esto parabola ABC, cuius dia­ meter BD. Dico parabolam ABC inscripti sibi trianguli esse sesqui­tertiam.

Compleatur parallelogrammum ADBE, et nisi parabola sesquitertia sit trianguli sibi inscripti, neque (sumptis dimidijs) semiparabola A BD, sesquitertia erit trianguli ABD; neque eadem semiparabola ABD erit 2. tertii parallelogrammi ED, sed vel plus vel minus quam 2. tertii eiusdem.

Esto primùm si fieri potest semiparabola ABD magìs quàm 2. tert. parallelogrammi ED; et ponatur excessus aequalis spatio K. Ipsique semiparabolae figura inscribatur constans ex parallelogrammis ae­qualtis (more apud Geometras usitato, prout factum est Lemmate XV.) ita ut differentia inter figuram inscriptam; et ipsam semiparabolam minor sit spatio K. Tunc enim inscripta figura adhuc maior erit quàm 2. tert. parallelogrammi ADBE.

Ducatur circa diametrum AC semicirculus AXC, completoque re­ctangulo, sive quadrato AFXD. ducantur GL, HM, IO, perpendiculares ad AC, et compleantur rectangula DL, GM, HO; Tum intelligatur figura AFXD circumverti circa axem AD; ita ut quadrans ADX, hemisphae­rium describat, quadratum verò AFXD, cylindrum; et rectangula in quadrante inscripta totidem cylindros faciant in ipso hemisphaerio compraehensos.

Iam parallelogrammum BG ad PD, est ut BD ad GP, sive ut re­ctangulum CDA ad rectangulum CGA; sive ut quadratum XD ad qua­dratum LG; sive ut cylindrus XG ad LD. Et hoc modo semper. Suntque omnes primae magnitudines aequales parallelogrammo BG, et omnes tertiae aequales cylindro XG. Ergo erunt omnes primae simul, hoc est parallelogrammum TD, ad omnes secundas simul, nempe ad figuram inscriptam in semiparabola, ut sunt omnes tertiae simul, nempe cylin­drus VD, ad omnes quartas simul, hoc est ad omnes cylindros in he­misphaerio inscriptos. Parallelogrammum verò TD ad ED est ut cy­lindrus VD ad FD, ergo ex aequo, erit parallelogrammum ED ad figuram in semiparabola inscriptam ut cylindrus FD ad omnes cylindros in ipso hemisphaerio compraehensos. Sed parallelogrammum ED minus est quam sesqnialterum figurae intra semiparabolam inscriptae; Ergò cylindrus FD minor erit quàm sesquialter omnium cylindrorum in he­misphaerio descriptorum. Quod est absurdum. Scimus enim dictum cylindrum hemisphaerij esse sesquialterum.

Lem. 18.

Esto deinde (si fieri potest) semiparabola minus quàm 2. tert. ipsius parallelogrammi ED. Ponaturque defectus aequalis spatio K.

Tum ipsi semiparabolae figura quaedam circumscribatur, constans ex parallelogrammis aequealtis (more solit, ut factum est in Lem­mate XV. eiusque Corollario) ita ut differentia inter circumscriptam figuram ipsamque semiparabolam minor sit spatio K. Tunc enim ma­nifestum est, quòd figura circumscripta adhuc minor erit quàm 2. tert. parallelogrammi ED.

Fiat circa diametrum AC se­ micirculus, ut in escriptione prae­cedentis constructionis, completo­que quadrato AOFD, perficiantur reliqua rectangula FL, GM, HN, IA. circa quadrantem descripta. Tum revolvatur figura AF circa axem AD, ita ut solida generen­tur iam dicta; nempe hemisphae­rium ex quadrante, cylindrus ex quadrato AF; totidemque cylin­dri quot rectangula erunt ipsi quadranti circumscripta. Iàm pa­rallelogrammum BL ad se ipsum est ut cylindrus factus ex FL ad se ipsum. Amplius. Parallelogram- mum QM ad PM; est ut QL ad LP; sive BD ad LP, sive ut rectang. CDA ad CLA, sive ut quadratum FD ad LG, sive ut quadratum RL ad LG; nempe ut cylindrus factus ex RM ad cylindrum ex GM: et hoc modo semper.

Suntque omnes primae magnitudines aequales parallelogrammo BL, omnesque tertiae aequales cylindro facto ex FL. Ergo erunt omnes primae simul nempe parallelogrammum AB ad omnes simul secundas, nempe ad figuram semiparabolae circumscriptam, ut sunt omnes ter­tiae simul; nempe cylindrus ex OD factus, ad omnes quartas, nempe ad cylindros hemisphaerio ciscumscriptos. Sed parallelogrammum ED magis est quàm sesquialterum figurae circumscriptae ad semipara­bolam, ergo cylindrus ex OD magis quàm sesquialter erit ad omnes cylindros hemisphaerio circumscriptos.

Lem. 18.

Quod est absurdum: Scimus enim cylindrum hemisphaerio circum­scriptum ipsius hemispherii esse sesquialterum. Patet itaque paralle­logr. ED sesquialternm esse ad semiparabolam ABD; et ideo semiparab. sesquitertia trianguli ABD.

QUADRATURA PARABOLAE

PER NOVAM INDIVISIBILIUM GEOMETRIAM

PLURIBUS MODIS ABSOLUTA

Hactenus de dimensione parabolae more antiquorum dictum sit; Reliquum est ut eandem parabolae mensuram nova quedam, sed mirabili ratione aggrediamur; ope sci­licet Geometriae Indivisibilium, et hoc diversis modis: Suppositis enim praecipui Theorematib. antiquorum tàm Euclidis, quàm Archimedis, licet de rebus inter se diver­sissimis sint, mirum est ex unoquoque eorum quadraturam parabolae facili negotio elici posse; et vice versa. quasi ea sit commune quoddam vinculum veritatis. Posito enim quòd cylindrus inscripti sibi coni triplus sit, hinc sequitur parabolam inscripti sibi triangoli esse sesquitertiam: Si verò mavis praemittere cylindrum inscriptae sibi sphaerae esse sesquialterum, continuò parabolae quadratura infertur. Eadem concluditur supposita demonstratione, quae probat centrum gravitatis coni positum esse in axe, ita ut pars quae ad verticem est, reliquae sit tripla. Parabola non minus quadratur etiam supponendo spatium à linea spirali in prima revolutione descripta, et à recta quae initium est revolutionis, compraehensum, subtriplum esse primi circuli. Contrà verò: supposità parabolae quadratura, prae­dicta omnia Theoremata facilè demonstrari possunt. Quod autem haec indivisibilium Geometria novum penitus in- ventum sit, equidem non ausim affirmare. Crediderim po­tius veteres Geometras hoc metodo usos in inventione Theorematum difficillimorum, quamquam in demonstratio­nibus aliam viam magis probaverint, sive ad occultandum artis arcanum, sive ne ulla invidis detractoribus profer­retur occasio contradicendi. Quicquid est, certum est hanc Geometriam mirum esse pro inventione compendium, et innumera quasi imperscrutabilia Theoremata, brevibus, di­rectis, affirmativisque demonstrationibus confirmare; quod per doctrinam antiquorum fieri minimè potest. Haec enim est in Mathematicis spinetis via verè Regia, quàm primus omnium aperuit, et ad pubblicum bonum complanavit mi­rabilium inventorum machinator Cavalerius.

PROPOSITIO XI.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, cuius tangens CD, et diametro aequidistans sit AD. Perficiatur parallelogrammum AE; et circa diametrum AD intelligatur circulus, qui sit basis coni cuiusdam verticem habentis in puncto C, et item sit basis cylindri alicuius ACED eiusdem altitudinis cum dicto cono.

Ducantur iam quaelibet recta FG paral­lela ad AD, et per ipsum intelligatur tran­ sire planum parallelum circulo AD. Erit ergò FG ad IB ut recta DA ad IB hoc est ut quadratum DC ad quadratum CI, sive ut quadratum DA ad IG, sive ut circulus DA ad circulum IG, nempe ut circulus FG ad eundem IG. Et hoc semper; suntque omnes primae ma­gnitudines aequales rectae DA. Et ideò inter se; omnes etiam tertiae aequales circulo DA et ob id inter se; ergo per Lemma 18 erunt omnes primae simul, nempe parallelogrammum AE, ad omnes secundas simul, nempe ad trilineum ABCD, ut sunt omnes tertiae simul, nempe cylindrus AE, ad omnes quartas simul hoc est ad conum ACD. Est igitur parallelogrammum AE triplum trilinei ABCD. Sumptoque di­midio, erit triangulum ACD sesquialterum trilinei ABCD; et per con- versionem rationis, erit triangulum ACD triplum ipsius parabolae. Propterea, ex demonstratione propositionis 9. erit parabola inscripti sibi trianguli sesquitertia. Quod erat etc.

ob parabo­lam. ob similitud. triang.

Alia quoque ratione parabolam quadrabimus, demon­stratis priùs, quà fieri poterit brevitate, indivisibilium prin­cipijs. Declinabimus autem ab immenso Cavalerianae Geo­metriae oceano, minori audacia radentes terram. Qui volet, haec omnia videre poterit (in fonte dicam, an in pelago?) circa medium secundi libri Geometriae indivisibilium Ca­valerij.

Lemma XX.

Quadrata omnium partium cuiuscunque rectae lineae subtripla sunt totidem quadratorum totius.

Esto quaelibet recta linea AB. Dico omnia simul qua­drata omnium partium rectae AB esse subtripla totidem quadratorum eiusdem rectae lineae AB.

Fiat enim quadratum ACDB, ductàque diametro AD, convertatur figura circa axem AB donec in eum locum redeat unde cepit moveri. Manifestum est, quod à quadrato cylindrus CH describetur, à triangulo verò ABD conus DAH, qui verticem habebit in A. Ducatur iam quaelibet EF parallela ipsi CA, eritque AF, sive FG, (sunt enim aequales) una ex infinitis partibus totius AB.

Iam; quadratum totius AB, ad quadratum partis AF, est, ob aequalitatem, ut quadratum EF ad FG, nempe ut circulus diametro EL factus, ad circulum diametro GI. Et sic erit semper. Suntque primae magnitudines sin­gulae aequales quadrato AB, et tertiae semper aequales circulo DH. Ergo omnes primae simul, hoc est tot qua­ drata lineae AB, quot ipsa habet partes, ad omnia quadrata partium, erunt ut omnes tertiae simul, hoc est ut cyliudrus CH, ad omnes quartas simul, nempe ad conum DAH. Sunt ergò tot quadrata alicuius lineae quot ipsa habet partes, ad omnia quadrata partium ipsius ut cylindrus CH ad conum DAH, nempe tripla. Et convertendo constat pro­positum quod demonstrandum fuerat etc.

2. duodecimi.

Lem. 18.

Lemma XXI.

Omnia rectangula, quae continentur sub aliqua recta linea cum singulis suis partibus, et reliquis partibus sub sesquialtera sunt totidem quadratorum eiusdem rectae lineae.

Assumpta praecedentis Lemmatis figura, acceptum sit in recta AB quodlibet punctum F. Rectangulum sub BAF tanquàm una recta linea, et sub FB. contentum, erit unum ex omnibus praedictis rectangulis, (unum enim latus com­ponitur ex tota AB, cum parte AF; alterum verò est FB, nimirum reliqua pars). Rectangulum autem praedictum, sub BAF tamquam una recta et sub FB contentum, idem est, ob aequalitatem laterum, ac rectangulum EIL. Et hoc semper verum erit hoc modo, ubicunque sit punctum F. Sed omnia rectangula sub rectis interceptis in trapezio CAHD (qualium una est EI) et sub reliquis, qualium una est IL; una cum omnibus quadratis intermediarum sectio­num (qualium una est FI) aequantur (propter V secundi elementorum) omnibus quadratis dimidiarum, qualium una est FL. Omnia verò quadrata intermediarum sectionum, (qualium una est FI) ad omnia quadrata dimidiarum (qua­lium una est FL) sunt ut unum ad 3. Si ergo demantur omnia quadrata intermediarum, remanebunt omnia rectan­gula, quorum unum est EIL, sive omnia rectangula con­tenta sub AB cum singulis suis partibus, et reliquis par­tibus, subsesquialtera omnium quadratorum, quae fiunt à dimidiis, sive totidem quadratorum totius AB. Quod fuerut ostendendum etc.

Lem. praeced.

PROPOSITIO XII.

Parabola sesquitertiam est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, cuius diameter BE, et circa parabolam sit parallelo­grammum DC. Ducatur quaelibet FG diametro parallela; eritque FG. ad GI, ut BE ad GI, sive ut rectangulum CEA, ad CGA, hoc est ut quadratum CE ad rectangulum CGA. Et hoc modo semper; suntque primae magnitudines aequales semper rectae BE; ter­tiae autem semper aequales quadrato CE. Ergo omnes primae simul, hoc est parallelogrammum AB, ad omnes secundas simul, nempe ad semiparabolam AIBE; erunt ut omnes simul tertiae, videlicet tot quadrata lineae CE quot ipsa habet partes, ad omnes quartas simul, nempe ad omnia rectangula sub CE cum singulis suis partibus, et sub reliquis partibus. Ergo (ex praecedenti Lemmate) parallelogram­mum AB erit ipsius semiparabolae sesquialterum; Totumque paralle­logrammum DC erit totius parabolae sesquialterum, nempe ut 6. ad 4. Propterea parabola ad inscriptum sibi triangulum (quod quidem parallelogrammi DC sub duplum est) erit ut 4. ad 3. Nempe sesqui­tertia. Quod erat etc.

Lem. 18.

Possumus sine molestia illorum lemmatum, parabo­lam quadrare eadem argumento, diversis tamen principijs, nempe per suppositionem proportionis, quam cylindrus ha­bet ad sphaeram sibi inscriptam; quae quidem proportio sesquialtera est, ut ostenditur ex Archimede; libro primo de Sphaera et Cylindro.

PROPOSITIO XIII.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, circa quam sit pa­ rallelogrammum AD; et circa diametrum AC fiat semicirculus, circa quem sit rectan­gulum AE. Tum manente axe AC, intelli­gatur circumverti ipsum semicirculum, ita ut ex ipsius revolutione Sphaera circum­scribatur: ex conversione verò rèctang. AE cylindrus nascatur.

Sumpto iam quolibet puncto G. ducatur recta GF parallea diametro HB; et per idem punctum G agatur pla­num GL erectum ad axem AC.

Erit recta FG ad GI, ut BH ad GI (ob aequalitatem) hoc est rectan­gulum GHA, ad rectangulum CGA, sive ut quadratum HN ad quadra­tum GM (ob circulum) sive ut quadratum GL ad quadratum GM; nempe ut circulus ex semidiametro GL in cylindro, ad circulum ex semidia­metro GM in sphaera. Et hoc semper, ubicunque sumatur punctum G. Sunt autem aequales inter se tàm omnes primae, quàm omnes tertiae magnitudines. Ergò omnes primae, nempe parallelogrammum AD ad omnes secundas, nempe ad parabolam ABC, erunt ut omnes tertiae, hoc est cylindrus, ad omnes simul quartas, videlicet ad sphaeram. Sed cylindrus ad sphaeram est sesquialter; ergò parallelogrammum etiam AD parabolae sesquialterum erit: et ipsa parabola inscripti sibi trian­guli sesquitertia; ut in praecedenti conclusum est. Quod etc.

Lem. 18.

Lemma XXII.

Si magnitudines quotcunque ad libram appensae fuerint ex quibus­cunque punctis: totidemque magnitudines alterius ordinìs ex iisdem punctis pendeant, pariter cum praedictis magnitudinibus proportionales. Erit unum idemque librae punctum centrum aequilibrij utriusque or­dinum magnitudinum.

Sint ad libram AB magni­ tudines primi ordinis quotcun­que C,D,E,F, ex quibuscunque punctis appensae. Totidemque magnitudines G, H, I, L, se­cundi ordinis pendeant ex ijsdem punctis; et sint pro­portionales: nempe: Ut C ad D, ita sit G ad H. Iterum ut C ad E, ita sit G ad I. etc. Dico idem punctum librae esse centrum commune aequilibrij utriusque ordinis ma­gnitudinum suspensarum.

Cum enim sit ut C ad D, ita G ad H, ex eodem puncto aequiponderabunt, tam duae magnitudines C et D, quam duae G et H.

Ampliùs. Cum sit ut C ad D, ita G ad H, erit conver­tendo et componendo DC ad C, ut HG ad G. C autem ad E est ut G ad I; ergò ex aequo CD simul ad E erit ut GH simul ad I. Quare magnitudines CD, et E, ex eodem puncto aequiponderabunt, ex quo aequiponderant duae GH et I.

Ulterius. Cum autem per iam dicta, sit ut CD ad E, ita GH ad I, erit componendo CDE ad E, ut GHI ad I. Sed E ad C est ut I ad G; et C ad F, ut G ad L.

Quare ex aequo CDE simul ad F, erit ut GHI simul ad L. Ergo duae magnitudines CDE et F. habebunt idem punctum aequilibrij, quod habent duae magnitudines GHI et L. Et sic etiam si sint plures magnitudines, usque in infinitum, quod erat propositum etc.

Lemma XXIII.

Si parabola tangentem habuerit ad basim, ex altera verò parte lineam diametro parallelam. Trilineum compraehensum sub curvà pa­rabolicà, sub tangente, et sub parallela praedictà, aequiponderabit ex puncto tangentis ubi ea sic dividitur, ut pars ad contactum terminata reliquae sit tripla.

Esto parabola ABC, cuius tangens ad basim sit CD; aequidistans diametro sit AD. Dico trilineum mixtum ABCD aequiponderare ex puncto tangentis CD, ubi ea dividitur ut pars versus conta­ctum C, reliquae sit tripla.

Concipiatur figura ita ut DA ad ho­rizontem sit perpendicularis; et circa diametrum DA intelligatur circulus, qui sit basis coni verticem habentis in puncto C. Sumpto iam quolibet puncto E, ducatur EF aequidistans ipsi DA; et per ipsam transeat planum parallelum basi coni.

Erit ergò recta DA ad EB, ut quadratum DC ad CE; sive ut quadratum DA ad EF, hoc est ut circulus DA ad EF. Et hoc semper, tubicunque sit punctum E. Ergò cum ad libram DC pendeant ab ijsdem punctis magnitu­dines duorum ordinum proportionales ut in praecedenti lemmate imperatum est, habebunt omnes magnitudines simul primi ordinis (hoc est omnes lineae trilinei ABCD, sive ipsum trilineum) idem punctum aequilibrij, quod ha­bent omnes magnitudines simul secundi ordinis (hoc est omnes circuli coni ACD, sive idem conus). Conus autem aequiponderat ex puncto quod secat CD ita ut pars ad C reliquae sit tripla, quandoquidem recta DA est ad ho­rizontem perpendicularis; ergo etiam trilineum ABCD aequiponderabit ex eodem puncto. Quod erat proposi­tum etc.

ob parabo­lam.

PROPOSITIO XIV.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, cuius diameter DE intelligatur ad horizontem perpendicularis; sintque CF et AD tangentes; ipsa vero AF diametro aequidistans. Sumatur deinde FH quarta pars totius FC; et ex puncto H (per lemma praecedens) aequiponderabit trilineum mixtum ABCF. Accipiatur etiam FI tertia pars totius FC, et ex I aequiponderabit totum trian­gulum AFC. Parabola vero, cum babeat cen­trum in diametro, aequiponderat ex D. Ergo trilineum ABCF ad ipsam parabolam erit re­ciprocè ut DI ad IH, nempe duplum (qualium enim partium FC est 12. talium ipsa FD est 6. FI verò 4. et FH 3. et ideó DI 2. et IH una). Propterea componendo erit totum triangulum AFC, parabolae triplum. Reliquum quadraturae absolvitur ut in Propositione IX. factum est. Quod erat etc.

Aliter.

Positis ijsdem, ut suprà, sumatur FH, quarta pars to­tius FC, aequiponderabitque ex puncto H trilineum mi­xtum ABCF. Sumatur etiam FI, ter­ tia pars ipsius FD; tunc enim aequi­ponderabit ex puncto I triangulum FDA.

Trilineum verò mixtum ABCD ae­quiponderat ex puncto D. (nam trian­gulum totum ADC aequiponderat ex puncto D; parabola etiam ablata ex eodem puncto D aequiponderat, ergò etiam reliquum trilineum ABCD ex puncto D aequiponderare necesse est). Erit itaque triangulum FDA ad trilineum ABCD ut reci­procè DH ad HI, nempe ut 3. ad unum; et per conver­sionem rationis triangulum ADC ad parabolam erit ut 3. ad 2. sive ut 6. ad 4. Quarè parabola ad triangulum ABC est ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. Quod erat propositum demonstrare etc.

Alijs etiam principijs parabolae quadraturam aggredia­mur, praemissa sequenti progressionum Geometricarum speculatione.

Lemma XXIV.

Si duae rectae lineae invicem concurrant, et inter ipsas descriptum sit quoddam flexilineum constans ex lineis alternatim parallelis; erunt omnes lineae quae inter se parallelae sunt, in continua proportione.

Concurrant invicem due rectae lineae AB, CB in pun­cto B; et inter ipsas descri­ptum sit flexilineum CADE FG. etc. ita ut CA, DE, FG, etc. sint inter se parallelae; item AD, EF, et reliquae vicisim sumptae inter se parallelae sint. Dico AC, ED, GF, esse in continua proportione.

Est enim, ob parallelas, ut AC ad ED, ita AB ad BE, sive DB ad BF, hoc est ED ad GF. Constat ergò quod propositum fuerat.

2. et 4. sexti.

Lemma XXV.

Positis duabus rectis lineis invicem concurrentibus, ut suprà; si inter ipsas fuerint duae parallelae AC, DE, et iunctà CD, continuatum intelligatur flexilineum ACDE in infinitum usque ad pnnctum concur­sus B. Dico in huiusmodi flexilineo esse omnes, et singulos ad unguem terminos qui sunt in progressione proportionis AC ad DE, in infinitum continuatae.

Ponatur F aequalis ipsi AC, et G aequalis ipsi DE: Et concipiatur propositio F ad G continuata in infinitis suis terminis FH.

Iam si possibile est, ali­quem, sive aliquos terminos esse in progressione FH, qui non reperiantur in flexilineo. Esto: et sit maximus terminus I, illorum, qui cum sint in progressione FH, non sunt in flexilineo. Erit ergò ter­minus I ipsi praecedens, in flexilineo. Sit ille MN. Et quo­niam L ad I est ut F ad G, sive ut AC ad DE, sive ut NM ad PO proximè sequentem, suntque aequales L, et NM; erunt aequales etiam I et PO. Terminus ergo I qui pone­batur non esse in flexilineo, in eodem repertus est.

Eodem penitus modo demonstrabimus nullum terminum esse in flexilineo, qui non sit etiam in progressione FH. etc. Concludemus igitur esse in flexilineo omnes precisè terminos proportionis AC ad DE in infinitum continuatae, cum demonstratum sit nullum in flexilineo terminum de­siderari qui sit in progressione FH; neque ullum supera­bundare, qui non reperiatur etiam ia progressione FH. etc.

Lemma XXVI.

Suppositis infinitis rectis lineis continua proportione maioris inae­qualitatis, rectam lineam, quae praedictis omnibus sit aequalis reperire.

Ponantur primae duae lineae datae progressionis esse A, B: quib. ponantur aequales; CD maiori A, et EF mi­nori B. Sintque CD, EF parallelae; et iungantur DF, CE, quae necessariò concurrent. Concurrant. itaque in puncto G, et ductà CF, ipsi aequidistans sit GL.

Dico rectam DL aequalem esse omnibus infinitis termi­nis progressionis ABM simul sumptis.

Concipiatur enim conti­nuatum flexilineum DCFE etc. in infinitum, usque ad punctum G, eruntque in ipso omnes lineae, sive termini datae progressionis ABM.

Producantur iam HE, NI, et reliquae ipsis parallelae usque ad DL. Eritque EF. aequalis ipsi CP, et HI ae­qualis ipsi Pque et NO ipsi QR; et sic de singulis. Qualibet enim linea quae sit in flexilineo, habebit suam portiunculam respondentem in rectà DL, sibi aequalem; donec flexilineum pervenerit ad ultimum pun­ctum G: Tunc autem neque de flexilineo, neque de linea DL quidquam supererit; sed tam ipsum flexilineum, quàm etiam recta DL penitus absumpta erit: Est enim ipsa GL, quae ab ultimo flexilinei puncto G ducitur, ultima omnium parallelarum, quae producuntur usque ad DL. Ergò omnes simul lineae flexilinei, quarum prima est CD, alternatim sumptae (hoc est omnes lineae poogressionis ABM) ae­quales sunt omnib. portiunculis rectae DL simul sumptis; hoc est ipsi DL. Quod erat ostendendum etc.

34. primi.

Lemma XXVII.

Suppositis infinitis magnitudinibus in continua proportione Geome­trica maioris inaequalitatis, erit prima magnitudo media proportionalis inter primam differentiam et inter aggregatum omnium.

Assumptà enim praecedenti constructione, ducatur FU aequi­distans ipsi GC: et erit DU prima differentia. Sed DU ad primam magnitudinem DC est ut FD ad DG, hoc est ut DC ad DL aggre­gatum omnium. Quod erat demo­strandum etc.

4. Sexti.

Scholium.

Hoc esse verum etiam in numeris, et cuiuscunque ge­neris magnitudinibus non dubitabimus affirmare. Afferre­mus etiam universaliorem demonstrationem, praecipuè cum admodum brevis sit. Huius veritatis conclusis cum à nobis obiter celeberrimo Cavalerio collata fuisset, ipse etiam idem Theorema sequenti demonstratione, quae à nobis iam in prima inventione adhibita fuerat, confirmavit.

Praemittitur hoc. Quod si fuerint quotcunque magni­tudines sive finitae numero, sive infinitae, quarum ante- cedens semper sequente maior sit, erit prima omnium magnitudo aequalis omnibus differentijs simul cum ipsa minima magnitudine sumptis.

Notum est hoc apud Geometras, demonstraturque ut à nobis factum est in Lemmate 15. Ubi ostendimus parallelo­grammum AE aequale esse omnibus differentis inter se­quentia parallelogramma, et minimo parallelogrammo OC.

Supponantur iam infinitae numero magnitudines in con­tinua proportione Geometrica maioris inaequalitatis; ma­nifestnm est quod minima omnium magnitudo vel non erit, vel punctum erit. Ergo in hoccasu erit prima magni­tudo aequalis omnibus tantum differentijs.

Cum autem ponantur magnitudines in continua pro­portione Geometrica, erunt etiam differentiae in eadem ratione proportionales; et ideo (factà conversione) erit ut prima differentia ad primam magnitudinem, ita secunda differentia ad secundam magnitudinem, et sic semper. Propterea ut una ad unam, ita collectim erunt omnes ad omnes. Nempe ut prima differentia ad primam magnitu­dinem, ita erunt omnes simul differentiae (hoc est ipsa prima magnitudo) ad omnes magnitudines simul.

Constat ergò primam magnitudinem mediam propor­tionalem esse inter primam differentiam, et aggregatum omnium

PROPOSITIO XV.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC in quà inscriptum sit triangulum ABC. Dico parabolam trianguli ABC esse sesquitertiam.

Inscribantur enim etiam in reliquis portioniaus ADB, BEC, duo triangula ADB, BEC. Eritque triangulum ABC, quadruplum duorum simul trian­ gulorum ADB, BEC. Concipiantur etiam in reliquis quatuor portiun­culis AD, DB, BE, EC, inscripta quatuor triangula; eruntque duo simul triangula ADB, BEC, quadrupla praedictorum simul quatuor subsequen­tium triangulorum; et hoc modo semper. Parabola igitur nihil aliud est quàm aggregatum quoddam infinitarum numero magnitudinum in proportione quadrupla, quarum prima est triangulum ABC, secunda verò constat ex duobus triangulis ADB, BEC. Propterea prima magni­tudo ABC media proportionalis erit inter primam differentiam, et ag­gregatum omnium, nempe parabolam.

Lem. 7.

Lem. 7.

Ponatur itaque triangulum ABC esse ut 4. et ideo duo simul trian­gula ADB, BEC erunt ut unum: eritque prima differentia (nimirum inter 4. et unum) ut 3. Ergo aggregatum omnium infinitarum magni­tudinum, nempe ipsa parabola, erit (per lemma 27) ad primam ma­gnitudinem, hoc est ad inscriptum triangulum ABC, ut prima ipsa magnitudo ad primam differentiam; videlicet ut 4. ad 3. nempe sesqui­tertia. Quod erat propositum demonstrare etc.

Aliter.

Esto parabola ABC, cuius diameter DB, tangentes ad basim AD, CD, per verticem verò EF. Inscribantur autem in reliquis trilineis ABE, BCF, duo triangula GEH, IFL, (ut im­peratum fuit pro constructione Lemmatis tertij et Quarti). Item in reliquis quatuor trilineis mixtis, quatuor triangula concipiantur; et hoc modo semper. Eritque uni­versum trilineum ABCD, nihil aliud quàm aggregatum quoddam infinitarum multitudine magnitudinum in propor­tione quadrupla, quarum prima est triangulum EDF, se­ cunda verò constat ex duobus triangulis GEH, IFL; tertia verò ex quatuor sequentibus etc. Propterea aggregatum omnium, nempe trilineum mixtum ABCD, ad primam ma­gnitudinem, nempe ad triangulum EDF, erit ut ipsa prima magnitudo ad primam differentiam, videlicet ut 4. ad 3.

Corol. I.

Lem. 3.

Lem. 27.

Cum itaque trilineum ABCD ad triangulum EDF, sit ut 4. ad tria erit idem trilineum ad triangulum ADC, ut 4. ad 12. et ideo parabola ad triangulum ADC erit ut 8. ad 12. et ad inscriptum sibi triangulum ut 8. ad 6. Nempe sesquitertia. Quod erat demonstrandum etc.

Lemma XXVIII.

Si fuerint infinitae numero rectae lineae AB, CD, EF, etc. in con­tinua proportione Geometrica maioris inaequalitatis: altera autem po­natur progressio BG, DH, FI, etc. ita ut sit quaemadmodum AB prima ad BG primam, ità CD secunda ad DH secundam: et ita tertia EF ad tertiam FI, et sic semper. Dico universum aggregatum progressionis AB, CD, EF, etc. ad aggregatum progressionis BG, DH, FI, esse ut AB ad BG.

iuxta Lem. 25.

Intelligantur omnes termini duarum progressionum esse in fle­xilineis etc. iunctisque AD, GD, ducatur OL parallela ipsi AD, et OM parallela ipsi DG, Eritque BL aequalis omnibus infinitis terminis

AB, CD, EF, etc. ipsa vero OM, aequalis omnibus infinitis terminis reliquae progressionis BG, DH, FI.

Lemma. 26.

4. Sexti.

Iam: ut LB ad BA, ita est OB ad BD, hoc est MB ad BG. Per­mutando igitur, aggregatum LB ad aggregatum BM, est ut AB ad BG; nempe ut una magnitudo ad unam. Quod erat etc.

Hoc Theorema poterat supponi tamquam demonstra­tum in propositione 12. Libri V. Euclidis: unum enim atque idem est cum Theoremate dictae propositionis: Ve­rùm, quoniam ferè omnes opinantur Euclidem ibi suppo­nere multitudinem magnitudinum finitam, voluimus auxilio flexilineorum uti.

PROPOSITIO XVI.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim et eandem altitudinem habentis.

Sit parabola ABC, cuius diameter DE, tangentes ad basim AD, CD; per verticem verò FBG. triangulum in­scriptum ABC. Dico parabolam trian­guli ABC esse sesquitertiam.

Cum enim ipsa EB aequalis sit

ipsi BD, recta verò AC dupla rectae FG; erit inscriptum triangulum ABC duplum trianguli FDG sub tangen­tibus compraehensi. Et hoc semper verum est etiam circa reliquas portiones parabolicas AIB, BOC; (est enim AIB parabola, cuius tangentes ad basim sunt AF. BF, ideoque triangulum iscriptum AIB duplum erit trianguli tangentium LFM. Idemque verum etiam est ex alterà parte: Ergo duo simul triangula AIB, BOC, dupla sunt duorum simul LFM, NGP.) ergò cum sint duae progressiones utraque in proportione continuata magnitudinum infini­tarum multitudine, (altera nempe iurà parabolam, cuius primus ter­minus est triangulum ABC, secundus verò, duo triangula simul AIB, BOC etc. altera verò progressio extra parabolam, cuius nempe primus terminus est triangulum FDG; secundus autem duo simul triangula LFM, NGP, etc.) suntque singuli termini progressionis, quae intrà pa­rabolam est, dupli singulorum terminorum progressionis quae extrà est: erit ergo aggregatum universum primae progressionis duplum totius aggregati secundae progressionis; Nempe ipsa parabola dupla erit trilinei mixti ABCD. Componendo igitur, et per conversionem rationis, erit triangulum ADC ipsius parabolae sesquialterum, nempe ut 6. ad 4. ideoque parabola ad triangulum ABC erit ut 4. ad 8. vide­licet sesquitertia. Quod erat ostendendum etc.

ob parabolam.

Lem. 23.

Parabolae quadratura haberi potest sumptis alijs prin­cipijs, ope tamen indivisibilium. Supponimus quae Archi­medes demonstravit in libro de lineis Spiralibus ad Pro­positiones 14. et 25. Praemisso Lemmate huiusmodi.

Lemma XXIX.

Si fuerit ut prima magnitudo ad secundam, ita tertia ad quartam, et hoc quotiescunque libuerit: fuerintque omnes primae, item et omnes tertiae eodem modo proportionales; Erunt omnes primae simul ad omnes secundas, ut sunt omnes tertiae simul ad omnes quartas.

Sit A prima ad B secundam, ut C tertia ad D quartam; et E ad F ut G ad H; et hoc quotiescunque libuerit. Sintque omnes primae, A, E, I, etc. et omnes tertiae C, G, M, etc. proportionales ex ordine; Nempe ut A ad E, ita sit C ad G. Amplius: ut A ad I, ita sit C ad M, etc. et sic semper. Dico omnes primas simul A, E, I, etc. ad omnes secundas simul B, F, L, etc. esse ut sunt omnes tertiae simul C, G, M, etc. ad omnes quartas simul D, H, N, etc.

Accipiantur O, P, que singulae aequales primae primarum, hoc est ipsi A; et sint totidem quot sunt, omnes primae A, E, I, etc. Item su­mantur R, S, T; totidem quot sunt, omes tertiae; et sint singulae R, S, T, aequales primae tertiarum nempe ipsi C.

Iam ob aequalitatem erit ut O ad A, ita R ad C. Amplius: Cum P sit aequalis ipsi A, et S ipsi C, erit (propter suppositionem) ut P ad E, ita S ad G. et hoc sem­ per. suntque omnes O, P, Q aequales, itemque omnes R, S, T, aequales, ergo erunt omnes simul O, P, Q, etc. ad omnes A, E, I, etc. ut omnes R, S, T, simul, ad omnes C, G, M. Denique convertendo, omnes A, E, I, ad omnes O, P, Q, erunt ut omnes C, G, M, ad omnes R, S, T. Quod memento.

Lem. 18.

Quoniam verò ut O ad A, ita R ad C: et ut A ad B, ita C ad D: erit ex aequo O ad B, ut R ad D: Eadem penitus ratione concludemus ex aequo esse ut P ad F, ita ES ad H: et sic de coeteris. Erunt ergò omnes simul O, P, Q, etc. ad omnes B, F, L, etc. ut sunt omnes simul R, S, T, etc. ad omnes D, H, N, etc. Quare ex aequo erunt omnes A, E, I, etc. ad omnes B, F, L, etc. ut omnes C, G, M, etc. ad omnes D, H, N, etc. Quod erat ostendendum.

Lem. 18.

PROPOSITIO XVII.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Sit parabola ABC, cuius tangens sit AE; dia­metro vero aequidistans sit CE; et ducatur quae­libet FD, pa­ rallela ipsi CE, Eritque EC ad FB. Longitudi­ne, ut EA ad AF, sive EC ad FD poten­tia. Propterea erunt in conti­nua proportio­ne. EC, FD, FB.

ob parabolam.

Fiant dein­de centro A. intervallis AC, AD, duo circuli; et ponatur elicis initium ex semidiametro AC. Sitque ipsa elix AGC.

Erit itaque DF ad FB, ut CE ad DF; sive ut CA ad AD, hoc est ut CA ad AG, sive ut peripheria tota CLHC, ad arcum CLH; hoc est ut periphaeria tota DPGD, ad arcum DPG. Atque hoc erit semper, ubicunque sumatur punctum D. Suntque omnes primae, item omnes tertiae magnitudines, eo modo quo debent proportionales, (ut infrà ostendemus).

14. spira­liùm.

Quare omnes primae simul, nempe triangulum AEC, ad omnes se­cundas simul nempe ad trilineum mixtum ABCE, erit ut omnes tertiae simul, nempe ut circulus CLH, ad omnes quartas simul, hoc est ad reliquum ipsius circuli, dempto helicis spatio CAGC. Circulus autem CLH, dicti spatij dempto helicis spatio, sesquialter est; ergò etiam triangulnm ACE sesquialterum erit trilinei mixti ABCE: et per con­versionem rationis, triangulum ACE, triplum erit parabolae ABC. Re­liquum quadraturae absolvetur ut in 9. Propositione factum est.

Lemma praeced.

25. de lineis spiralibus.

Quod autem assumptum fuit, nunc ostendemus; scilicet quod omnes primae, omnesque tertiae magnitudines sint proportionales eo modo, ut requiritur in lemmate prae­cedenti.

Ducatur in praemissa figura, quaelibet MO, aequidi­stans ipsi FD; et ponamus ipsam FD esse primam pri­marum; ipsam verò periphaeriam DPG, primam tertiarum.

Erit ergò DF ad OM, ut DA ad AO, sive ut periphaeria DPG ad periphaeriam cuius semidiameter est AO, etc.

Et sic semper. Quod oportebat etc.

Parabolam etiam quadrabimus intentata adhuc via; nimirum quaesito eius centro gravitatis à priori ope in­divisibilium. Supponimus autem lemma, quod Archimedes ostendit in secundo Aequiponderantium. Hoc est parabo­larum centra gravitatis, in eadem proportione suos dia­metros secare.

Lemma XXX.

Centrum gravitatis parabolae diametrum ita dividit, ut pars ad verticem terminata, reliquae sit sesquialtera.

Esto conus quilibet ABC, cuius basis AMC, axis BD, triangulum verò per axem sit ABC; et sectus sit conus plano EFG, ut iubetur in XI Propositione libri primi Co­nicorum. Eritque sectio quae vocatur parabola, illiusque diameter erit FH, Esto iam centrum gravitatis parabolae EFG, quodvis punctum, puta I. Ostendendum est rectam FI sesquialteram esse ipsius IH.

Agatur per punctum I recta AIL; seceturque conus alio plano MNO, ipsi EFG parall. eritque sectio MNO parabola, et eius centrum gravitatis erit P (est enim ob parallelas ut FI ad IH, ita NP ad PR; sed I ponitur centrum gravitatis pa­rabolae EFG; ergo per proposit. 7. lib. secundi aequipon­derantium P centrum gravitatis erit parabolae MNO). Et sic semper, ubicunque sit planum MNO. Omnium ergò singillatim parabolarum quae sunt in cono ABC, centra gravitatis reperiuntur in recta AL: Quare etiam commune centrum gravitatis omnium earumdem simul praedictarum parabolarum erit in recta AL. Omnes autem parabolae, atque ipse conus idem sunt; ergò centrum coni est in recta AL; quod cum sit etiam in axe BD: erit centrum coni in communi concursu S, ideòque BS erit ipsius SD tripla.

Ducatur ex centro basis recta DQ, aequidistans ipsi AL; eruntque aequales CQ, QL. Cum autem ob centrum coni ipsa BS tripla sit ipsius SD, erit etiam BL, tripla ipsius LQ: et ideo BL sesquialtera ipsius LC: Quare etiam FI sesquialtera erit ipsius IH. Quod erat propositum etc.

ob 2. sexti.

2. sexti.

PROPOSITIO XVIII.

Parabola sexquitertia est trianguli eamdem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto parabola ABC, cuius dia­ meter BD: inscriptum verò trian­gulum ABC. Dico parabolam sesqui­tertiam esse trianguli ABC.

Secentur bifariam AD, DC in punctis E, et F: ductaeque EG, FH, diametro aequidistantes, ipsae dia­metri erunt portionum AGB, BHC. Sint centra gravitatis dictarum portionum O, et N; eruntque utraque GO, HN, sesquialtera reliquae OI, NL. Iungatur ON, et in ipsa ON erit centrum commune gravitatis duarum portionum: sed est etiam in BD (nàm in BD est tam centrum totius parabolae, quam etiam trianguli ABC). Quare punctum P. centrum erit portionum AGB, BHC. Ponatur BD partium 60. eritque GE (cum sit subsesquitertia ipsius BD) par­tium 45. ipsa IE 30. et ipsa EO, hoc est DP. 36. Sit que centrum gravi­ tatis trianguli ABC. Eritque Dque 20. Sit R centrum parabolae eritque RD 24. Erit ergo PR, 12. et RQ, 4. Sed ut PR ad RQ ita reciprocè triangulum ABC ad duas portiones AGB, BHC. Quarè triangulum ABC ad duas portiones AGB, BHC erit ut 12. ad 4. nempe ut 3. ad unum; Componendòque et per conversionem rationis, erit parabola ABC ad inscriptum sibi triangulum ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. Quod erat propositum etc.

Lem praeced.

8. primi aequip.

Lem. praeced.

Nova adhuc ratione quadraturam parabolae invademus sumpto sequenti lemmate, quod quidem è Schola Cavale­riana prodijsse relatum est. Inserviebat enim mensurae cuiusdam solidi ab ipsa parabola circà ordinatim appli­catam revolutae, geniti. Est autem Lemma huiusmodi, Authore Io. Antonio Roccha praestanti Geometra.

Lemma XXXI.

Si figura plana super alìquà sui rectà lineà figuram ipsam secante libretur, erunt momenta segmentorum figurae, ut sunt solida rotunda ab ipsis segmentis, circa secantem lineam revolutis, descripta.

Esto figura plana quaelibet ACDBFE, quam secet recta linea AB: et concipiatur figura librari super rectà AB. Dico momentum segmenti ACDB, ad momentum segmenti AEFB. esse ut solidum rotundum genitum ex revolutione segmenti ACDB circa axem AB, ad solidum rotundum ge­nitum ex conversione reliqui segmenti circa eundem axem revoluti.

Sumptis enim duobus quibuscun­que pnnctis H, et I. in recta AB: ducantur per H et per I, rectae CE, DF. perpendiculares ad ipsam AB: secenturque, bifariam segmenta DH, HF, in punctis L et M.

Habebit ergo momentum rectae DH ad momentum rectae HF, rationem compositam ex ratione magnitudinum DH ad HF, et ex ratione distan­tiarum LH ad HM; sive DH ad HF. Propterea momen­tum rectae DH ad momentum HF erit ut quadratum DH ad quadratum HF.

Eodem modo ostendetur momentum rectae CI, ad mo­mentum rectae IE, esse ut quadratum CI ad quadratum IE, et sic semper.

Amplius momentum DH ad momentum CI, est (ob eandem rationem ut supra) ut quadratum DH ad quadra­ tum CI: et hoc semper, Erunt ergo omnes primae simul magnitudines, nempe omnia momenta figurae ACDB, ad omnes secundas simul, nempe ad omnia momenta reliquae figurae AEFB: ut sunt omnes tertiae simul, nempe omnia quadrata figurae ACDB, ad omnia quadrata reliquae figu­rae. Sive ut sunt omnes circuli figurae ACDB (nempe so­lidum rotundum ex ipsius conversione circa axem AB descriptum) ad omnes circulos reliquae figurae AEFB (nempe ad solidum rotundum ex ipsius revolutione circa eundem axem AB, genitum). Quod erat ostendendum etc.

Lem. 29

Hoc praemisso (quod quidem uti suprà ediximus pe­nitus ab alijs desumptum est, et hic insertum tamquam alienum, neque quod ego sciam adhuc vulgatum) parabo­lam quadrabimus, supposita demonstratione, quà multis modis probatur Cylindrum inscripti sibi conoidis parabolici esse duplum.

PROPOSITIO XIX.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto semiparabola ABCD, circa quam sit rectan gulum DE. Sumatur punctum F, ita ut AF. ad FD, sit ut 5. ad 3. ductaque FG diametro aequidistans, erit in ipsa FG cen­trum gravitatis semiparabolae. Esto illud punctum quodlibet, puta I, et per I ducatur LIM parallela ad AD, accipiaturque IN. aequalis ipsi IM. Intelligatur etiam producta PQ pa- rallela diametro CD, (ubicunque cadat) ita ut parallelogrammum rectan­gulum DP, aequale sit ipsi semiparabolae. Tum concipiatur applicatum ad rectam CD, rectangulum DR, ita ut aequiponderet semiparabolae factà libratione super recta CD. Sitque centrum dicti rectanguli pun­ctum S; et ductà TSX parallela ipsi AD, iungatur recta IS.

Lem. 11.

Iam; manifestum est ex lemmate praemisso quod cylindrus factus à rectangulo DR circa axem DC revoluto, aequalis erit conoidali para­bolico facto à conversione semiparabolae ACD, circa eundem axem CD revolutae; cum aequalia supponantur figurarum planarum mo­menta. Erit ergo cylindrus à rectangulo DR factus, subduplus cylindri à rectangulo DE facti, et ideo quadratum TX subduplum erit quadrati ML (cylindri enim aequealti sunt inter se ut basium quadrata) quod memento.

Verùm MN ad TX, est ut IM ad TS, (sunt enim subduplae earun­ dem) sive ut IV ad VS; nempe (quia aequiponderant figurae planae super linea CD, sive ex puncto V) ut rectangulum DR ad semipara­bolam reciprocè, sive ad rectangulum DP. ipsi semiparabolae aequale: sive ut eorum bases TX ad MO. Ergo TX media proportionalis est inter MN, MO: Quare rectangulum NMO, cum aequale sit quadrato TX, subduplum erit quadrati LM.

4. Sexti.

Ratio verò quadrati LM ad rectangulum NMO, componitur ex ra­tione LM ad MN (quae sesquitertia est per constructionem; sumpsi­mus enim punctum F; ita ut AF ad FD, esset ut 5. ad 3.) et ex ra­tione LM ad MO; quae quidem ignota erat, sed necessario sesquialtera nunc apparet. Ratio enim dupla componitur ex sesquitertia, et sesquial­tera, ut ipsis etiam Cantoribus vulgatum est; ut videre est in his tribus nnmeris 4. 3. 2.

Rectangulum ergo DE ad ipsum DP, sive ad semiparabolam, ses­quialterum erit; et ipsa semiparabola ad triangulum ACD. sesquitertia erit. Quod erat ostendendum etc.

Lemma XXXII.

Sit parabola ABC, cuius basis AC, tangens CD; diametro aequidistans sit AD. Sumpto quo­libet puncto E. ducatur EF diametro aequidi­stans. Dico esse ut FE ad EB, ita CA ad AE.

Est enim DA ad FB longitudine, ut DC ad CF potentià, sive ut DA ad FE potentià. Sunt ergo in continuà ratione DA, FE, FB. Quod me­mento.

ob parabolam.

Iam ut AC ad CE, ita est AD ad EF, sive EF ad FB; et per conversionem rationis, ut CA ad AE, ita est FE ad EB. Quod erat ostenden­dum etc.

Lemma XXXIII.

Quaelibet parabola aequalis est duabus parabolis simul sumptis, quae quidem aequalem ipsi basim habeant, diametrum verò subduplam, et aequaliter inclinatam.

Esto parabola ABC, cuius diameter BH; sintque duae aliae parabolae AEC, AGC. in eadem basi. Diametri vero HE, HG, utraque subdupla sit diametri HB: sed aequa litèr ad basim inclinata, Dico parabolam ABC aequalem esse figurae AECG.

Sumatur enim quodlibet punctum in basi AC; et sit M; ductaque PMN aequidistante ad diametrum BH. Erit BH ad NM, ut rectangulum AHC, ad rectangulum AMC; sive ut recta HE ad MO. Et permutando ut BH ad HE, ita erit NM ad MO. Quare NM dupla erit ipsius MO. Eodem penitus modo ostendetur NM dupla etiam ipsius MP, Ergò, tota NM aequalis est ipsi OP. Et hoc semper. Propterea omnes simul lineae figurae ABC, (nempe ipsa parabola ABC) aequales erunt omnibus simul lineis fi­gurae AECG, (nempe duabus parabolis AEC, AGC). Quod erat etc.

PROPOSITIO XX.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem altitudinem haben­ tis. Esto parabola ABC, cuius diameter BE concipiatur ad horizontem perpen­dicularis, et ipsa pa­rabola inversa sta­tuatur. Producatur CA in D, ita ut ae­quales sint CA, AD; et sit DC libra, cu­ius fulcrum est A. Ducatur CF tangens parabolam; et AF diametro EB aequidistans. Ponatur etiam GH aequalis ipsi AC, et divisam bifariam GH in I, sit utraque IL, IM, subdupla rectae EB. et aequalitèr ad basim inclinata ut est ipsa EB ad AC. Fiantque duae parabolae GLH, GMH, quae (per lemma praeced.) simul aequales erunt parabolae ABC; Et suspendatur figura GLHM ex puncto D.

Accipiantur iam puncta O, et N aequaliter distantia à punctis I et E respectivè. Ductisque NQ aequidistantèr ad EB, et ROS ad LM; Erit ut in praecedenti Lemmate NP aequalis ipsi RS.

Iam QN ad RS est (ob aequalitatem) ut QN ad NP, sive ut DA ad AN reciprocè. Aequiponderant ergo rectae QN et RS, et sic semper. Ergo omnes simul lineae trianguli AFC (nempe ipsum triangulum) aequiponderant omnibus simul lineis figurae GLHM (nempe ipsi figu­rae GLHM).

Lem. 32

Accipiatur AV, tertià pars totius AC. Manifestum est quod si ex V demittatur recta aequidistans ipsi AF. in ipsa erit centrum gravitatis trianguli AFC; eritque ipsa ad horizontem perpendicularis. Propterea erit triangulum AFC. appensum centralitèr ex puncto V. Eritque trian­gulum AFC ad spatium GLHM. reciprocè ut DA ad AV, nempe triplum.

Cum autem spatium GLHM aequale sit parabolae ABC; erit triangu­lum AFC triplum etiam parabolae ABC.

Reliquum quadraturae absolvitur ut Propositione IX. Factum est. Quod etc.

PROPOSITIO XXI.

Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim et eandem altitudinem habentis.

Esto semiparabola ABC, cuius diameter CE, ordinata AE, tangens verò CD, et compleatur parallelogrammum AECD. Manifestum est quod omnes lineae trilinei mixti DABC, quae quidem diametro parallelae sint, inter se sunt in eadem ratione in qua sunt omnes circuli coni alicuius, qui axem habeat DC, et verticem C. Ergo cen­ trum gravitatis omnium linearum trilinei DABC, erit in illa, quae dividit libram DC; quemadmo­dum dividit eandem centrum gravitatis coni; nempe ut pars ad C terminata, reliquae sit tripla. Fiat ergo CF tripla ipsius FD. et ducta FM pa­rallela ad CE, erit centrum gravitatis trilinei DABC in recta FM, ubi­cunque sit.

Lem. 22.

Item, omnes lineae quae in semiparabola ABCE ducuntur, ad dia­metrum parallelae, inter se sunt in eadem ratione, in qua sunt omnes circuli alicuius hemisphaerij, cuius axis sit AE, vertex verò A. Ergò centrum gravitatis omnium linearum ad libram AE appensarum, sive ipsius semiparabolae, erit in illa, quae libram AE sic dividit ut dividit eandem centrum gravitatis hemisphaerij; Nempe ut pars ad A termi­nata sit ad reliquam ut 5. ad 3. Fiat ergo AI ad IE ut 5. ad 3.; et ducta IH parallela ad CE, erit centrum semiparabolae in recta IH, ubicunque sit. Ducatur tandem GL, quae bifariam secet latera AE, DC, et in GL erit centrum gravitatis parallelogrammi DE. quod sit O. Ponatur centrum gravitatis semiparabolae esse punctum quodvis P. ductaque PO, producatur in N; et erit N centrum gravitatis trilinei DABC. Iam, semiparabola ad trilineum est ut NO ad OP, sive ut ML ad LI; nempe ut 2. ad unum; (qualium enim partium tota AE est 8, talium AM est 2, ML est 2, LI est una, et reliqua IE 3. per constru­ctionem). Ergo semiparabola ad parallelogrammum erit ut 2. ad 3. sive ut 4. ad 6; et semiparabola ad triangulum inscriptum ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. Quod etc.

Lem. 22

APPENDIX DE DIMENSIONE CYCLOIDIS

Libet hic appendicis loco addere solutionem proble­matis non iniucundi, et si materiam propositionemque spectes, primo intuito difficillimi. Torsit hoc, fefellitque pluribus ab hinc annis Mathematicos no­stri saeculi primarios; frustrà enim tentata demonstratio evasit ab illorum manibus ob fallaciam experientiae. Appensis namque ad libram manufactam spa­tijs figurarum materialibus, nescio quo fato, ea proportio quae verè tripla est, semper minor quam tripla apparuit. Unde factum est, quòd potius ob suspicionem incommen­surabilitatis (ut ego credo) quàm ob desperationem demon­strationis, instituta contemplatio ab illis dimissa sit.

Suppositum est huiusmodi. Concipiatur super manente aliqua recta linea AB, circulus AC, contingens rectam AB. in puncto A. Noteturque punctum A, tamquam fixum in periphaeria circuli AC. Tum intelligatur super manente recta AB. converti circulum AC. motu circulari simul et progressivo versus partes B: ita ut subinde aliquo sui puncto rectam lineam AB semper contingat, quousque fixum punctum iterum ad contactum revertatur, puta in B. Certum est, quod punctum A fixum in periphaeria circuli rotantis AC, aliquam lineam describet, surgentem primò à subiecta linea AB, deinde culminantem versus D; po­stremo pronam, descendentemque versus punctum B.

Vocata est à praedecessoribus nostris. Praecipue à Ga­lileo iam supra 45. annum, huiusmodi linea ADB. Cyclois, recta verò AB. basis cycloidis; At circulus AC, genitor cycloidis.

Proprietas, et natura cycloidis ea est, ut basis ipsius AB. aequalis sit periphaeriae circuli genitoris AC. Quod quidem non adeò obscurum est: Nam tota periphaeria AC se ipsam in conversionem commensuravit super manente recta AB.

Queritur nunc quam proportionem habeat spatium cy­cloidale ADB ad circulum suum genitorem AC? Osten­demusque, Deo dante, triplum esse. Demonstrationes tres erunt, inter se penitus diversae. Prima, et tertia per no­vam Indivisibilium Geometriam nobis amicissimam proce­dent: Secunda verò per duplicem positionem, more vete­rum recepto; ut utrisque fautoribus satisfiat. Coeterum, hoc moneo; principia ferè omnia, quibus aliquid per indi­visibilium Geometriam demonstratur, ad solitam antiquo­rum demonstrationem indirectam reduci posse: quod à nobis factum est, ut in multis alijs, ita etiam in primo, et in tertio sequentium Theorematum; Sed ne lectoris pa­tientia nimium adhuc abuseremur plura omittenda cen­suimus, tresque tantum demonstrationes exibemus.

THEOREMA I.

Omne spatium quod sub linea Cycloide, et recta eius basi contine­tur, triplum est circuli sui genitoris; sive sesquialterum trianguli ean­dem basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto Cyclois linea ABC descripta à punto C circuli CDEF dum ipse circumver­titur super manente basi AF. (consideramus autem semicycloidem, et semicir­culum, tantum ad evitandam figurae confusionem). Dico spatium ABCF triplum esse semicirculi CDEF; sive ses­quialterum trianguli ACF.

Accipiantur duo puncta H et I in diametro CF. aeque remota à centro G. Ductisque HB, IL, CM aequidistanter ipsi FA, transeant per puncta B, et L semicirculi OBP, MLN, aequales ipsi CDF, et contingentes basim in pun­ctis PN.

Manifestum est rectas HD, IE, XB, QL, aequales esse, per 14. Tertij, aequalesque erunt arcus OB, LN. Item cum aequales sint CH, IF, aequales erunt CR, UA ob parallelas.

Tota periphaeria MLN, ob cycloidem, aequalis est re­ctae AF. itemque arcus LN rectae AN ob eandem causam, cum arcus LN. se ipsum super recta AN commensuraverit; ergo reliquus arcus LM, reliquae rectae NF aequalis erit. Eadem ratione arcus BP. rectae AP, et arcus BO rectae PF, aequalis erit.

Iam recta AN aequalis est arcui LN, sive arcui BO, sive rectae PF. Ergo ob parallelas, aequales erunt AT, SC. Verum quia aequales erant etiam CR, AU. reliquae UT, SR aequales erunt. Propterea in triangulis aequiangulis UTQ, RSX, aequalia erunt latera homologa UQ, XR. Patet itaque quod duae rectae LU, BR simul sumptae aequales erunt duabus rectis LQ, BX, nempe ipsis CI, DH, et hoc semper verum erit ubicunque sumantur duo puncta H et I, dumodo aequaliter à centro sint remota. Ergo omnes li­neae figurae ALBCA, aequales sunt omnibus lineis semi­circuli CDEF; et ideò figura bilinearis ALBCA aequalis erit semicirculo CDEF.

Sed triangulum ACF duplum est semicirculi CDEF. (nam triangulum ACF, reciprocum est triangulo Propos. pr. Arch. de dimens. circ. cum latus AF semiperiphaeriae, latus verò FC diametro sit aequale, unde sequitur trian­gulum ACF aequale esse integro circulo cuius diameter sit CF). Ergo componendo, totum cycloidale spatium ses­quialterum erit trianguli inseripti ACB; Triplum verò se­micirculi CDEF. Quod erat.

Lemma I.

Si super lateribus oppositis alicuius rectanguli AF, duo semicirculi descripti sint, EIF, AGD erit figura sub periphaerijs, et sub reliquis lateribus compraehensa aequalis praedicto rectangulo.

Vocetur autem talis figura Arcuatum; tam si fuerit integra, quàm etiam ipsius partes, quando secta fuerit à linea ipsi FD parallela.

Demonstratur; quoniam cum sint aequa­ les semicirc. dempto communi segmento BGC, additisque communibus trilineis EBA, CFD. clarum erit propositum.

Quando verò detur casus quod segmen­tum nullum sit, tunc brevior faciliorque demonstratis erit. Facilè etiam per ean­dem prostapheresim ostenditur arcuatum sectum à linea ipsi FD parallela aequale esse rectangulo aequealto, et super eadem basi constituto.

Lemma II.

Esto linea cycloidalis ABC descripta à puncto C semi­circuli CDE dum convertitur super manente AE. Com­pleatur rectangulum AFCE, fiatque circa diametrum AF semicirculus AGF. Dico cycloidem ABC secare bifariam arcuatum AGFCDE.

Si enim ita non est, erit utique alterum ex duobus trilineis FGABC, ABCDE, magis quam dimidium eiusdem arcuati. Esto et ponatur alterum ex ipsis (quodcunque sit) puta ABCDE maius quam dimidium arcuati. Sitque exces­sus, quo trilineum superat semissem arcuati, aequalis spatio cuidam K.

Secetur bifariam AE in H; et iterùm HE in I: et sic fiat semper donec rectangulum aliquod IEC minus repe­riatur spatio K. Tunc dividatur integra AE in particulas aequales ipsi IE, et per puncta divisionum L, H, I, tran­seant semicirculi aequales ipsi CDE semicirculo, tangentes basim in punctis L, H, I. secantesque cycloidem in O, B, M, per quae puncta agantur rectae GO, PB, QMD, aequidi­stantes basi AE.

Erit itaque arcuatum OH aequale ipsi GL: arcuatum verò BI aequale arcuato PH: et arcuatum ME aequale arcuato QI. Propterea universa figura inscripta in trilineo ABCDE constans ex arcuatis, aequalis erit figurae eidem trilineo circumscriptae, excepto tamen arcuato IMRCDE. Quod si figurae circumscriptae addas suum arcuatum IMRCDE, superabit circumscripta figura ipsam inscriptam excessu praedicti arcuati, sive rectangulo RE, nempe mi­nori excessu quam sit spatium K. Propterea inscripta in trilineo figura adhuc erit plusquàm dimidium arcuati AG FCDE. et ideo maior quam trilineum FGABC. Sed eadem aequalis est alteri figurae ex arcuatis compositae et in trilineo FGABC descriptae: ergò haec inscripta figura maior esset suo trilineo FGABC. pars suo toto, quod esse non potest.

ostenditur infra.

Quod inscriptae figurae sint aequales patet. Nam arcus OL aequalis est rectae LA, hoc est rectae IE, hoc est arcui RM (ob cycloidem). Ergo arcuatum OH aequale erit arcuato MS. et sic de singulis.

Si verò supponeremus trilineum FGABC maius quam dimidium arcuati AGFCDE, constructio figurae, et de­monstratio penitus eadem erit. Ergò concludemus cycloi­dem lineam ABC bifariam secare arcuatum AGFCDE. Quod erat propositum.

THEOREMA II.

Spatium cycloidale triplum est circuli sui genitoris.

Esto cyclois ABC descripta à puncto C circuli CFD. dico spatium ABCD triplum esse semicirculi CFD.

Compleatur rectangulum A DCE; factoque super AE se­micirculo AGE, ducatur AC.

Triangulum ADC duplum est semicirculi CFD (nam basis AD aequalis est periphaeriae CFD ob cycloidem, altitudo verò DC aequalis diametro) ideò rectangulum ED qua­druplum erit eiusdem semicirculi CFD. Ergo arcuatum AGECFD quadruplum erit eiusdem semicirculi: propterea trilineum ABCFD (per lemma praecedens) duplum erit semicirculi, et componendo spatium ABCE triplum erit eiusdem semicirculi CFD.

THEOREMA III.

Omne spatium cyloidale triplum est circuli sui genitoris.

Esto cycloidalis linea ABC descripta à puncto C se­micirculi CED. Dico spatium ABCD triplum esse semi­circ. CED.

Compleatur rectan­ gulum AFCD; facto­que semicirculo AGF, accipiantur duo puncta H et I in diametro CD aeque remota à centro, et ducantur HL, IG aequidistantes ad AD. quae cycloidem secent in quibusvis punctis B et O. Agan­tur denique per B, et O duo semicirculi PBQ, MON, ut in praecedentibus factum est.

Iam recta GO aequalis est recte RU (cum aequales sint GR, OU et communis RO) sive aequalis est rectae AN, nempe arcui ON (ob cycloidem) vel arcui PB, sive rectae PC, vel TH, vel BS.

Eodem prorsus modo, quo demonstravimus rectam GO aequalem esse rectae BS, demonstrantur omnes et sin­gulae lineae trilinei FGABC aequales omnibus lineis tri­linei ABCED. Propterea dicta trilinea inter se aequalia erunt. Ergo ut in praecedenti Theoremate demonstrabitur cycloidale spatium triplum esse semicirculi CED. Quod erat etc.

SCHOLIUM

DE CYCLOIDIBUS ALIARUM SPECIERUM

Hactenus de Cycloide dictum sit: ulterius enim contem­plationem hanc demonstrando protrahere odiosum esset, et ex appendice liber fieret. Proponi tamen poterant adhuc non pauca circa hanc figuram planam, quam Cycloidem primariam appellare non esset inconveniens; quandoqui­dem infinitae aliae species huiusmodi figurarum ab ipsa iam considerata primaria Cycloide oriuntur. Concipiamus enim (in figura paginae 165.) non solum periphaeriam cir­culi AC aequabili conversione rotari, sed etiam universum planum tam internum, quam externum ipsius circuli AC in infinitum extensi. Manifestum est quòd circuli centrum rectam lineam describet ipsi AB aequidistantem. Puncta verò, quae intra periphaeriam AC sunt constituta, Cy­cloides describent humiliores quàm ipsa primaria ADB. quasdam etiam (quod incredibile quasi videtur) flexuosas: et non ad easdem partes concavum habentes: tales autem fient à punctis prope centrum circuli rotantis AC exi­stentibus.

Puncta verò, quae extra periphaeriam AC erunt, Cy­cloides describent, ipsa primaria altiores, et usque in infi­nitum crescentes.

Circulum cuiuscunque cycloidis proprium genitorem dicere possumus eum, cuius periphaeria concentrica sit pe­riphaeriae AC, transeatque per punctum cycloidem ipsam describens.

In hoc conveniunt omnes, quod aequalibus basibus in­sistunt; humiliores tamen cycloides basim habent genitrici periphaeria maiorem: altiores verò minorem genitrici pe­riphaeria basim habent.

Ratio, quam unaquaeque cycloidalis figura habet ad suum triangulum, vel ad circulum suum proprium geni­torem, semper est maioris inaequalitatis, et variatur in infinitum.

Si tamen utrumque simul consideres et triangulum, et circulum, aequalitatis ratio erit.

Omne spatium sub qualibet cycloide linea, et rectà eius basis con­tentum, ad triangulum super eadem basi; et sub eàdem altitudine con­stitutum, est ut periphaeria circuli proprij genitoris una cum duplo basis cycloidis, ad duplum basis cycloidis. Ad circulum verò proprium genitorem unumquodque cycloidale spatium est ut duplum basis cy­cloidis una cum periphaeria genitoris circuli ad eiusdem circuli peri­phaeriam.

Hinc problemati locus pararetur, datà quacumque ra­tione maioris inaequalitatis, cycloidale spatium invenire, quod ad triangulum, sive circulum suum sit in data ra­tione et in data basi.

Cuiuscunque cycloidalis spatij ad quodlibet spatium cycloidale(etiam si non ab eadem primaria cycloide ortum ducant) ratio componitur ex ratione altitudinis ad altitudinem, et ex ratione dupli basis cum periphaerià genitrice, ad duplum basis cum peri­phaeria genitrice.

Tangentem ad quodlibet imperatum punctum dari posse certum est; peculiari primùm ratione pro Cycloide pri­maria; deinde universali etiam pro omnibus alijs. Tangens ad datum quodlibet punctum primariae cycloidis ducitur ex puncto sublimiori genitoris circuli per ipsum datum punctum transeuntis.

Tangens ad datum punctum cuiuscunque cycloidis ducitur hoc modo. Transeat per datum punctum cycloidis circulus ipsius genitor, quem in dato eodem puncto contingat recta conveniens vel cum basi cy­cloidis, vel cum alia ipsi aequidistante. Fiatque ut radius circuli proprij ad radium circuli primarij, ita tangens praedicta inter datum punctnm, et basim, vel aequidistantem intercepta, ad aliam quandam lineam aptè sumendam à termino tangentis in ipsa vel basi, vel aequidistante. Tum ab extremitate huius assumptae tangens ad imperatum punctum cycloidis emittatur.

Nonnulla etiam Theoremata pro Mecanicis contempla­toribus ex hac figura derivari possent, nisi consulendum iam tandem esset ne simul cum molestia tedium fiat.

DE SOLIDO ACUTO HYPERBOLICO PROBLEMA ALTERUM

PROEMIUM AD LECTOREM.

Aggredior iam opus quod ipsis Geometriae candidatis non solum difficile videatur verùm etiam impossibile. Hactenus enim in Mathe­maticis Scholis repertae sunt dimensiones figurarum ab omni parte finem habentium: quandoquidem inter omnia solida, quae ab antiquis, et modernis Auctoribus multiplici conatu ad mensuram redacta sunt, nullum adhuc, quod ego sciam, ullam dimensionem habuit extensione infinitam. Imo statim atque proponatur sive solidum aliquod, sive figura plana, cuius aliqua extensio in infinitam distantiam procedat, unus­quisque cogitabit huiusmodi figuram infinitae magnitudinis esse debere. Attamen solidum habet Geometria, longitudine quidem infinitum, sed tanta praeditum subtilitate, ut licet in infinitum producatur, exigui tamen cylindri molem non excedat. Tale erit solidum illud ab hyper­bola genitum, quod huius libelli contemplatione prosequemur; inta­ctum hucusque ab alijs, et multiplici, curiosaque Theorematum varie­tate faecundissimum; eò usque ut, nisi me fallat affectus, universa Geometria inter hactenus consideratas figuras nullam habeat curiosi­tatis abundantiorem.

Quo ad methodum demonstrandi, unicum quidem, et praecipuum Theorema duplici conatu ostendemus, et per indivisibilia, et more Ve­terum. Quamquam (ut vera fateamur) primò inventum sit per Indivisi­bilium Geometriam; qui sanè verus est demonstrandi modus scientificus, semper directus, et ipsi naturae germanus. Miseret me veteris Geome­triae, quae cum Indivisibilium doctrinam, sive non noverit, sive non admiserit, circà dimensionem solidorum adeò paucas veritates invenit, ut ipsà penurià infelix ad aetatem nostram pervenerit. Antiquorum enim Theoremata circa doctrinam solidorum, quota pars sunt con­templationum, quas mirabilis nostro aevo Cavalerius (omissis aliis) instituit, circà tot classes solidorum, specie differentium, multitudine abundantium? Methodus nostra, quam usurpaturi sumus in praefato Theoremate, procedet per Indivisibilia curva, sine aliorum exemplo, non tamen sine praemissa Geometriae approbatione, Considerabimus enim omnes cylindricas superficies circà communem axem in nostro solido descriptibiles. Cuius rei cum nullum Cavalerius ipse tradiderit in sua Geometria elementum, existimavimus nostram arguendi ratio­nem exemplis aliquot esse corroborandam. Quamquam hoc apud me superfluum sit; cum iam totum huius libelli progressum ratum habeam, eò quòd ipsum admiserit, probaveritque doctissimus, et eruditissimus vir Raphael Magiottus; cui, ut in plurimis alijs scientijs, artibusque ita et in Mathematicis disciplinis neminem quis iure anteposuerit. Prae­mittemus itaque ante ipsum opus, sub. Exemplorum nomine, quasdam Geometriae propositiones, iam pridie notas, sed à nobis per Indivisibilia curva demonstratas: Sic enim magis manifestum fiet hunc modum de­monstrandi non esse negligendum, praesertim cum in rebus difficillimis maximum ipsius momentum reperiatur. Indivisibilia verò curva, quae ad huiusmodi demonstrationes idonea sunt, in planis quidem figuris solae circulorum periphaeriae se se offerunt; iu solidis autem, super­ficies sphaericae, cylindricae, conicaeque. Quandoquidem istae tantum considerabiles sunt, tamquam ispas figuras perfectè adaequantes, et undique aequalis, uniformisque (ut ita dicam) spissitudinis. Praemit­timus igitur ante operis aggressionem, promissa aliquot Theorematum Geometricorum Exempla.

EXEMPLUM PRIMUM.

Esto circulus, cuius centrum A, semidiameter AB, tan­gens verò sit BC quae supponatur aequalis periphaeriae BD. Tum coniungatur AC. Dico circulum BD. triangulo ABC esse ae­qualem.

Sumatur in semidia­metro AB, quodlibet punctum I, et per I agantur, periphaeria IO circa idem centrum A, et recta IL parallela ad BC. Erit itaque periphaeria BD, ad peri­phaeriam IO, ut semidiameter BA, ad AI. (demonstratur enim hoc à priori, non supposità circuli dimensione) sive ut BC ad IL; et permutando; erit periphaeria BD, ad rectam BC, ut periphaeria IO, ad rectam IL. Ergò peri­phaeria IO, rectae IL erit aequalis: et hoc semper, ubi- cunque sit punctum I. Quarè et omnes periphaeriae simul sumptae, omnibus rectis simul sumptis aequales erunt: nempe circulus ipse BD, aequalis erit triangulo ABC. Quod erat etc.

Concordat cum hoc Theoremate Propositio Prima Archim. De dimensione circuli.

EXEMPLUM II.

Esto circulus, cuius radius AB, tangensque BC sit ae­qualis diametro; et coniunctà AC convertatur figura circà AB, ita ut fiat sphaera BF, et co­ nus rectus CAD. Dico sphaeram BF, cono CAD esse aequalem. Su­matur enim in AB quodvis pun­ctum I, et per ipsum I transeat superficies sphaerica IH, circà cen­trum A; circulusque LIM in cono CAD. Iam: superficies sphaerica BF aequalis erit circulo CD. sphaerica verò BF, ad sphaericam IH, est ut quadra­tum BA, ad quadratum AI; sive ut quadratum BC ad quad. IL; nempe ut circulus CD, ad circulum LM. Sed antecedentes aequales sunt; ergò etiam consequentes: nempe sphaerica superficies IH, aequalis erit circulo LM. Et hoc semper, ubicumque sit punctum I. Propterea omnes sphaericae superficies simul (sive ipsa sphaera BF) aequa­les erunt omnibus circulis simul sumptis, sive cono CAD. Quod erat etc.

Aliter.

Esto sphaera, cuius diameter AB, tangensque BD sit aequalis semidiametro sphaerae: Et coniunctà AD, con­vertatur triangul, ADB circà axem BD, ita ut fiat conus rectus ADC.

Dico sphaeram AB aequalem esse cono ADC. Sumatur enim in diametro AB quodvis punctum I, per quod transeat circulus FH, ad axem erectus in sphaera; et superficies cylindrica LIMN, circà axem DB in cono.

4. Sexti.

Iam: cum AB dupla sit ipsius BD, erit AI, dupla IL, ergò quadratum FI, quod aequale est rectangulo AIB,

duplum erit rectanguli LIB, et aequale rectangulo LIM. Proptereà erit circulus FH aequalis superfici cylindricae LIMN. Et hoc semper, ubicunque sit punctum I. Ergo omnes circuli simul, sive ipsa sphaera, aequales erunt omnibus superficiebus cylindricis simul sumptis, nempe ipsi cono ADC, Quod concordat cum 32. lib. I. De Sphaera et Cylindro Archimedis.

5. p. de soli­dis Sphaer.

EXEMPLUM III.

Esto quadratum ABCD, (nisi enim quadratum suppo­natur, ratiocinatio falsa evaderet, ob inaequalem superfi­cierum spissitudinem; sive ob diversi­ tatem transitus) cuius quadrati esto diameter AC; et convertatur figura circà axem CD, ita ut fiat cylindrus BF, et conus ACF. Sumatur deinde in rectà AC, quodvis punctum H; per quod intelligatur actus circulus HL, intrà conum compraehensus; et insuper su­perficies cylindrica, cuius sectio sit HI, axis verò CD. Erit ergò superficies cylindrica HI ad circulum HL suam basim, ut recta HI, ad quartam partem diametri HL. Et hoc verum erit semper, ubicunquen sit punctum H.

4. primi de Solid. Sphaer.

Ergò omnes simul superficies cylindricae (nempe soli­dum, quod ex cylindro relinquitur, dempto cono ACF) ad omnes simul circulos (hoc est, ad conum ACF) erunt, ut sunt omnes simul rectae trianguli ABC, ad quartam partem omnium rectarum trianguli ACF: nempe in ratione dupla. Quod concordat cum Theoremate X. lib. XII. Euclidis.

EXEMPLUM IV.

Esto conus rectus ABC, cuius axis BD; et productà BC in E, ita ut circulus, cuius diameter CE, sit aequalis curvae superficiei coni ABC, concipiatur circà diametrum CE circulus erectus ad planum ABC; et super circulo CE, intelligatur alter conus CDE, ha­ bens verticem in D. Dico conum ABC, cono CDE, esse aequalem.

Sumatur in rectà DC quodvis punctum H, per quod ductà GHN parallela ad BE, intelligatur per HG superficies conica MGH; cir­càque ipsam HN circulus paral­lelus circulo CE. Iam: conica superficies ABC, ad circulum suae basis AC, est ut recta BC ad CD, sive ut GH ad HD; nempe ut conica superficies MGH, ad circulum HM. Circulus autem AC, ad circulum CE, est ut quadruplum quadrati DC, ad quadr. CE; sive ut quadruplum qua­drati DH, ad quadratum HN; hoc est ut circulus MH, ad circulum HN. Ergò ex aequo, erit conica superficies ABC, ad circulum CE, ut conica MGH, ad circulum HN. Et hoc semper verum erit, ubicumque fuerit pun­ctum H. Ergò omnes simul conicae superficies (nempe conus ABC) aequales erunt omnibus simul circulis, nempe cono CDE. Quod erat etc.

Concordat cum hoc Theoremate Propos. XVII lib. primi De Sphaera, et Cy­lindro Archim.

EXEMPLUM V.

Esto circulus, cuius diameter AB, ponaturque tangens BC diamet. aequalis, et iunctà AC, convertatur figura circà axem AB, ita ut fiat sphaera AE BF, et conus rectus CAN.

Dico conum CAN, ipsius sphae­rae duplum esse.

Accipiatur in diametro AB quodlibet punctum D, per quod agatur planum EF ad axem AB erectum; quod quidem pla­num duos circulos efficiet, alterum EF in sphaera, alterum verò HI in cono; Concipiatur super basi HI cylindrus rectus HLMI. Iam: superficies cylindri HLMI, ad circu­ lum EF, est ut rectangulum LI, ad quadratum ED; nempe dupla. Et hoc semper; ubicunque sit punctum D: pro- pterea, ut una ad unam, ita omnes ad omnes. Erunt ergò omnes superficies cylindricae, nempe conus CAN, ad omnes circulos, nempe ad sphaeram AEBF, in ratione dupla. Quod etc.

5. p: de soli: sph:

Concordat cum hoc Theoremate propos. XXXII. De Sphaera et Cylindro.

EXEMPLUM VI.

Esto circulus cuius diameter AB, tangensque AC po­natur diametro aequalis coniunctaque EC, convertatur figura circa axem EF aequidistantem tangenti AC, ita ut à circulo describatur sphaera, à triangulo verò ACE solidum quoddam cylindricum excavatum dempto cono CED. Dico sphaeram praedicto so­lido excavato esse aequalem.

Sumatur in diametro AB quodvis punctum H, per quod intelligatur su­perficies sphaerica HI, priori superficiei sphaericae concentrica; et insuper su­perficies cylindrica, quae describitur à recta HL tangenti AC parallela, circa axem EF revoluta, Iam: CA ad AE est ut LH ad HE, et sumptis consequentium duplis, CA ad AB, est ut LH ad HI. Proptereà, LH ad HI aequalis erit; et ideò superficies curva cylindri LHIO aequalis erit su­perficiei sphaericae HI. Et hoc semper, ubicunque fuerit punctum H. Proptereà omnes omnibus, nempe omnes su­perficies sphaericae simul, sive sphaera AB, aequales erunt omnibus superficiebus cylindricis simul, hoc est solido ex­cavato CABD. dempto cono CED. Quod etc.

Concordat cum hoc Theor. Propositio 32. De Sphaera et Cylindro.

Lemma.

Superficies cuiuscunque cylindri recti AB (intelligo semper sine basibus) ad superficiem curvam cuiuscunque segmenti sphaerici CDE, est ut rectangulum per axem cylindri, ad rectangulum FDI, sub ca­ teto segmenti, et diametro sphaerae.

Nam, superficies cylindrica AB, ad circulum cuius semidiameter sit linea ex polo DC, est ut rectangulum AB, ad quadratum DC: Ergò, sumptis consequentium aequa­libus, erit cylindrica superficies, ad curvam sphaerici segmenti CDE superficiem, ut rectangulum AB ad rectan­gulum FDI. Quod erat etc.

5. p: de soli: sphaer:

EXEMPLUM VII.

Esto sphaera, unà cum cylindro sibi circumscripto, quorum axis sit recta CD. Secenturque plano AB ad axem erecto. Dico cylindrum AH, sesquialterum esse solidi se­ctoris sphaerici ECFG.

Accipiatur CL aequalis ipsi CN. et intelligatur cy­lindrus LCDM, cuius altitudo LC. eritque aequalis cylin­dro AH. Concipiatur etiam demptus conus LGM; et sumpto in axe CG quovis puncto O fiant aequales GO, GR, et transeat per ipsum punctum O sphaerica super­ficies QOU in sectore; et cylindrica IORS, in solido cylindrico LCDM excavato ablatione coni LGM; sitque tam sphaericae superficiei quam cylindricae transeuntis per O, diameter ipsa OR.

Iam: tota CG, ad totam rectam GO, est ut EG ad GQ, nempe, ut ablata NG, ad GP; ideò reliqua CN, ad OP, erit ut tota CG, ad GO; sive ut CL, ad OI. Sed antece­dentes sunt aequales, ergò rectae OP, OI aequales erunt. Proptereà rectangula ROP, ROI aequalia erunt; et super­ficies sphaerica. QOU aequalis erit superficiei cylindricae IORS. Et hoc semper, ubicunque sit punctum O. Ergò omnes superficies omnium segmentorum sphaericorum (nempe solidus sector ECFG) aequales erunt omnibus su­perficiebus cylindricis simul sumptis, hoc est solido exca­vato LCDM. Cui si addatur conus iam ablatus LGM, patebit propositum: nempe cylindrum LCDM, sive AH, sesquialterum esse sectoris sphaerici ECFG. Quod etc.

Lem. praeced.

Lemma.

Arcus circulorum AB, CD. inter se rationem habent compositam ex ratione semidiametrorum AG ad CF, et ex ratione angulorum AGB ad CFD. Nam, fiat angulus CFH aequalis an­gulo AGB. Erit igitur arcus AB ad CH, ut semidiameter AG ad CF; sed arcus CH ad CD. est ut angulus CFH, vel AGB, ad angulum CFD. Ergò patet arcum AB, ad CD, rationem habere compositam ex rationibus semidiametrorum AG ad CF, et angulorum AGB ad CFD.

EXEMPLUM VIII.

Esto circulus, cuius semidiameter AB sit initium lineae spiralis AEIB. Secetur bifariam AB in C; et erectà per­pendiculari CD, quantacunque, fiat per puncta ADB para­bola, cuius diameter CD. et centro A, intervallo AC fiat arcus CE. Dico spatium sub ipsà spirali, et rectà AB com­praehensum, ad factam parabolam ADB, esse ut arcus CE, ad rectam CD.

Sumatur in AB quodvis punctum aliud à puncto C, puta H; et per H fiat arcus HI in spatio spiralis, et recta HL in parabola, ipsius diametro aequidistans.

Iam: arcus CE ad HI rationem habet compositam ex ratione semidia­metrorum CA ad AH; et ex ratione angulorum, sive (quod idem est ob lineam spiralem) ex ratione temporum, nempe rectae CB ad BH. Ergo arcus CE, ad HI, est ut rectangulum ACB, ad rectangulum AHB, sive ut recta CD, ad HL, ob para­bolam. Permutando igitur, arcus CE, ad rectam CD, est ut arcus HI ad rectam HL; et hoc modo semper; ubi­cunque sit punctum H. Ergò omnes simul arcus, sivè spa­tium spiralis, ad omnes simul rectas, nempe ad parabolam, erunt ut unus arcus CE, ad unam rectam CD. Quod erat etc.

Si quis ergò ponat rectam CD aequalem arcui semicirculi CE, erit parabola ADB aequalis spatio spirali. Quinque adhuc alijs modis spa­tium spiralis lineae, in parabolam transformatur, quamquam non omnes per curva Indivisibilia procedant. Et Theorema concordat cum 25. de lineis spiralibus Archimedis.

EXEMPLUM IX.

Esto hemisphaerium ABC, cuius axis BD, conus verò inscriptus ABC. Dico hemisphaerium ipsius coni esse du­plum.

Sumatur in rectà AB punctum quod­ vis I; per quod transeat circulus NO in hemisphaerio erectus ad axem; et superficies cylindrica FIHL, in cono circa axem PD.

Iam: circulus NO, ad IH, est ut quadratum NP ad PI: et dividendo, armilla circularis, cuius latitudo NI, ad cir­culum IH, erit ut rectangulum NIO, ad quadratum IP: sed rectangulum NIO, ad quadratum IP: sed rectangulum NIO, sive AIB, aequale est rectangulo FH (nam, per 4. sexti, AI ad IF, est ut HI ad IB). Ergò, armilla NI, ad circulum IH, erit, ut rectangulum FH ad quadratum IP; sive ut cylindrica superficies FIHL, ad eundem circulum IH. Aequales ergò sunt armilla circularis, cuius latitudo NI, et superficies cylindrica FIHL: et hoc semper, ubicunque sit punctum I. Ergò omnes simul armillae, nempe solidum hemisphaericum excavatum dempto cono ABC, aequales erunt omnibus simul superficiebus cylindricis, nempe ipsi cono ABC. Proptereà coniungendo, patet hemisphaerium inscripti coni duplum esse. Quod etc.

2. duodecimi.

16. sexti.

5: 1: primi: de soli, sph.

EXEMPLUM X.

Quod libet minus segmentum sphaericum ABC, ae­quale est conoidi cuidam hyperbolico EDF: eandem alti­tudinem BD habenti, super basim verò EF, aequalem curvae superficiei segmenti, constituto: cuius latus versum sit DG, scilicet differentia inter catetum segmenti, et ra­dium sphaerae.

Nam, sumatur in sagitta BD quodvis punctum N, per quod tran­seat sphaerica superficies ONR, priori concentrica in segmento, et circulus cuius radius NM, basi pa­rallelus in conoide.

Eritque curva superficies ABC, ad curvam ONR, ut circulus ex radio AB, ad circulum ex radio ON, ob aequalitatem: sive ut quadra­tum AB ad ON, vel ut rectangulum IBD, ad rectangulum HND. sive, in subduplis, ut rectangulum GBD ad GND; sive (ob hyperbolam) ut quadratum BF, ad quadratum NM; sive ut circulus radio BF, ad circulum ex radio NM. Sed antecedentia sunt aequalia per suppositionem, ergo aequalis erit superficies curva ONR, circulo cuius radius NM. Et hoc semper; ergo omnes omnibus; nempe sphaerae segmentum minus aequale erit conoidi hyperbolico. Quod erat etc.

Quandò verò segmentum sphaerae fuerit hemisphaerium, demon­stratur aequale cono, qui basim habeat, acqualem curvae superficiei hemisphaerij, et altitudinem eandem.

Quando verò fuerit segmentum sphaerae maius, tunc ostendetur aequale duobus solidis nempe frusto cuidam recto conoidis hyperbolici, cuius maior basis, sit aequalis curvae superficiei segmenti sphaerici, latus versum sit excessus sagittae segmenti suprà radium sphaerae, altitudo verò excessus diametri suprà sagittam. Et cono cuidam, super minori basi praedicti frusti constituto, cum altitudine, quae sit aequalis lateri verso ipsius frusti. Facilis demonstratio est, quamquam propo­sitio difficilis videatur.

Concordantia praecedentis demonstrationis cum doctrina Archimedis.

Sumpta praecedenti constructione et figura; Esto Cono­ides hyperbolicum EDF quod ostensum est aequale minori segmento sphaerae ABC. Dico illud, etiam ex doctrina Ar­chimedis, aequale esse praedicto segmento sphaerico ABC.

Producatur IU aequalis radio sphaerae; eritque segmentum minus ABC ad conum ABC ut UD ad DI. Ponatur etiam TD. sesquialtera ipsius GD. Eritque conoides EDF, ad co­num EDF, ut TB ad BG.

31: De Conoid: et sphaeroid: 27. eiusdem

Iam: segmentum sphaericum ad conum suum ABC, est ut UD ad DI: conus autem ABC, ad conum aeque­altum EDF, est ut quadratum AD, ad quadratum EB; sive ad quadratum AB; nempe ut rectangulum IDB, ad rectangulum IBD, sive ut eorumdem altitudines, DI ad IB; Ergò ex aequo, segmentum sphaerae ABC, ad conum EDF, est ut UD, ad IB: sive (sumptis earumdem rectarum subduplis) ut TB ad BG. Nempe ut conoides, ad eundem conum. EDF. Aequantur ergo segmentum sphaerae, et ipsum Conoid: etiam ex doctrinà Archimedis.

Assumpsimus rectas TB, BG, esse semisses rectarum UD, IB, respe­ctivè. et hoc patet. Nàm, UD constat ex duabus semidiametris, et ex ipsa GD; sed TB constat ex unica semidiametro, et semisse DG, OB constructionem. Reliquum manifestum est.

Latus rectum praedicti Conoidis non est necessarium, quandoquidem datur latus versum, et semidiameter basis, sed si quis illud requirat, inveniet duplum esse lateris versi.

EXEMPLUM XI.

Esto cylindrus rectus ABCD, cuius basis AD, axis verò PE, intelligaturque ablatus ab ipso conus BEC, ita ut re­linquatur cylindrus excavatus. Producatur deinde CD in F, ita ut DF possit duplum rectanguli CDE, et iunctà EF convertatur triang. EDF (saltem ima­ ginatione, nam figura non et per­fecta) ita ut oriatur conus, cuius basis semidiameter sit DF, axis verò ED. Dico talem conum aequalem esse praedicto cylindro excavato. Su­matur enim in axe ED, quodvis punctum I, et per ipsum transeat superficies cylindrica ILMN, circà axem EP in solido excavato cylindrico; et circulus cuius radius IO in EO cono, qui axem habet ED.

Iam circulus ex radio DF, ad circulum ex radio IO est ut quadratum DF ad IO, sive ut quadratum DE ad EI, sive ut rectangulum CDE, ad rectang. LIE; sed quadra­tum DF ponitur duplum rectanguli CDE; ergò quadratum IO duplum erit rectanguli LIE; et ideo aequale rectan­ gulo LINM. Proptereà circulus ex radio IO, aequalis erit superficiei cylindricae LINM; et hoc semper, ubicunque sit punctum I. Ergo omnes circuli simul, sive conus cuius axis est ED, aequales erunt omnibus superficiebus cylin­dricis simul, sive solido cylindrico excavato ABECD. Quod erat etc.

2. duodecimi.

5. p. de soli sph.

Quod autem concordet cum Euclide 1. 12. ostenditur. Nam conus BEC, ad conum cum qui habet axem ED, rationem habet compositam ex ratione altitudinum, nempe rectae PE ad ED, sive rectanguli PED, ad quadratum ED, et ex ratione basium, nempe quadrati ED, ad qua­dratum DF. Ergo conus BEC, ad conum cuius axis est ED, est ut re­ctangulum PED, ad quadratum DF, nempe subduplus, ob constructio­nem; sed idem conus BEC subduplus est solidi excavati ABECD, ergo etiam ex doctrina Euclidis patet solidum cylindricum excavatum ABE CD, aequale esse cono, cuius axis est ED, radius verò basis DF. etc.

EXEMPLUM XII.

Quilibet cylindrus rectus AB, cuius axis sit CF, ae­qualis est conoidi parabolico, cuius altitudo sit CD; semi­diameter verò basis sit DE, quae quidem potentia sit aequalis rectangulo AB; et erit circulus ex radio DE ae­ qualis superficiei cylindricae AB.

5. p. de so­lid. sph.

Intelligatur converti semiparabola ECD circà axem CD, ita ut praedictum conoides oriatur. Sumpto deinde in axe CD quolibet puncto I, per ipsum tran­ seat in cylindro superficies cylindrica IL, circà axem CF; at in conoide, cir­culus, cuius semidiameter sit IH, basi parallelus.

Iam: superficies cylindrica AB: ad cylindricam IL, est ut rectangulum AB, ad rectangulum IL, sive ut eorun­ dem semibases, DC sd CI, sive ut quadratum DE ad IH; nempe ut circulus, ex radio DE ad circulum ex radio IH. Sed antecedentes ponuntur aequales, ergo etiam conse­quentes; nempe superficies cylindrica IL, aequalis erit circulo ex radio IH: et hoc semper, ubicunque sit pun­ctum I. Proptereà omnes cylindricae simul superficies, omnibus circulis aequales erunt. videlicet cylindrus co­noidi. Quod etc.

6. p. de so­lid. sph.

ob parabo­lam.

Demonstratur concordare cum Archimede hoc modo. cylindrus AB ad conum in conoide inscriptum, rationem habet compositam ex ra­tione altitudinum, nempe ex ratione FC ad tertiam partem CD, (pro cono inscripto, accipio cylindrum in eàdem quidem basi, sed cum alti­tudine subtripla) et ex ratione basium, nempe quadrati CD ad DE, sive quadrati CD, ad rectangulum AB, sive rectae CD ad duplam CF, sive in subtriplis ut tertia pars CD, ad duas tertias ipsius CF.

Proptereà cylindrus AB, ad conum in conoide inscriptum, erit ut FC, ad duas tertias ipsius FC, nempe sesquialter. Concordat itaque cum 23. de Conoid. et sphaeroid.

EXEMPLUM XIII.

Quilibet conus rectus ABC, cuius axis sit BD, aequalis est sphaeroidi, quae axem habeat DC, nempe semidiametrum basis coni; et sectà DC bifariam in F, semidiameter sphaeroidis FE po­tentià sit subdupla trianguli A BC.

Compleatur rectangulum FH LU; eritque, ob suppositionem, recta FE aequalis potentià re­ctangulo FL: ideoque circulus cuius radius FE, aequalis erit superficiei cylindricae quae transit per FH circà axem BD.

5. p. de so­lid: sph:

Sumatur iam quodlibet punctum I in axe DC. et per I transeat superficies cylindrica IMNO: et circulus in sphae­roide, cuius radius sit IP. Superficies itaque cylindrica FL,

ad cylindricam IN, est ut rectangulum FL ad IN. Nempe rationem habet compositam ex ratione FH ad IM, sive FC ad CI; et ex ratione FU ad IO, vel FD ad DI. erit itaque cylindrica FL ad cylindricam IN, ut rectang. DFC ad rectang. DIC; sive ut quadratum FE ad IP, nempe ut circulus ex radio FE, ad circulum ex radio IP. Sed antecedentes aequales sunt, ergo etiam consequentes: nimirum, superficies cylindrica IMNO, aequalis erit circulo ex radio IP. et hoc semper ubicunque punctum I. Ergò omnes omnibus, hoc est conus ABC, aequalis erit sphae­roidi praedictae. Quod erat etc.

6 p. de so­lid sph.

ob ellipsim.

Concordare cum Archimede ostendemus. Nam; conus ABC, ad co­num in hemisphaeroide inscriptum, rationem habet compositam ex ratione basium, nempe quadrati DC, ad quadratum FE; vel quadrati DC ad rectangulum FL; sive (cum rectangula habeant aequalem ba­sim) rectae DC ad FH; sive AC ad DB. Et ex ratione altitudinum, nempe BD ad DF. Erit ergò conus ABC, ad conum in hemisphaeroide inscriptum, ut recta AC ad rectam DF, nempe quadruplus. Concordat ergò cum prop. 29 de Conoid. et sphaeroid.

EXEMPLUM XIV.

Esto parabola, vel hyperbola, vel ellipsis, vel circuli circumferentia, cuius axis AB; semilatus rectum AC sit ad angulos rectos cum axe AB: et coniuncta BC ab extre- mitate axis procedat. Sumatur iam quaelibet ordinatim applicata DE, producta in F; et convertatur ipsa sectio conica circà axem AE; sed quadrilaterum AEFC conver­tatur circà AC. Dico solidum factum à conversione trilinei DAE, aequale esse solido EFCIH, facto à conversione quadrilateri AEFC, circà axem AC revoluti.

Nam; cum AC sit semilatus rectum, erit quadratum applicatae DE, duplum rectanguli AEF, et ideò aequale rectangulo HEF. Proptereà, circulus, cuius radius sit DE, aequalis erit superflciei cylindricae, quae describitur à re­ ctà EF, circà axem AC conversà. Et hoc semper, ubi­cunque sit punctum E. Ergo omnes omnibus. Nempe omnes circuli simul, sive solidum conoidale, aequale erit omnibus superficiebus cylindricis simul sumptis, nempe solido de­scripto à quadrilatero AEFC, circà axem AC converso. Quod etc.

5. p. de so­lid: sph:

Scholium.

Si quis verò dubitet, an praecedens Theorema concordet cum pro­positionibus Archimedis, omnem dubitandi occasionem delebunt tres sequentes demonstrationes.

Concordantia pro Conoide parabolico.

Esto conoide parabolicum ABC. Ostendit Archim. Prop. 23 de Co­noid. et Sphaeroid. Conoides ABC, esse sesquialterum coni ABC.

Esto solidum, quale discriptum est à qua­ drilatero DBHG, in praecedenti constructione; quod quidem solidum in parabola, erit cylin­drus. Secetur in tres partes aequales tàm BH, quàm etiam BD. Eritque conus ABC aequalis cylindro super eàdem basi AC constituto, sub altitudine verò DL; considerabimusque cylin­drum hunc, pro dicto cono ABC.

Iam: cylindrus GE, ad conum ABC, sive ad cylindrum eius vicarium, rationem habet com­positam, ex ratione altitudinum HB ad LD, et ex ratione basium, nempe circuli ED, ad circulum AC, sive quadrati BD ad DA; sive rectae BD, ad duplam BH. cum enim BH sit semilatus rectum, erit quadratum AD aequale rectangulo sub BD, et dupla BH, sive in sub­triplis, rectae LD ad BI duas tert. ipsius BH. Est ergo cylindrus GE, ad conum ABC, ut HB ad BI; nempe sesquialter. Quod concludit etiam Archimedes de Conoide parabolico.

Pro Conoide hyperbolico.

Esto deinde conoides hyperbolicum ABC, cuius latus versum BE; sitque FB sesquialtera ipsius BE. Ostendit Archimedes prop. 27. de Conoid. et sphaeroid. quod co­ noides ABC, est ut FG ad GE. Dico etiam solidum HMNOG ge­nitum in Exemplo 14. ad co­num ABC esse, ut FG, ad GE.

Secentur in tres partes ae­quales rectae BG, BN, NL, erit­que conus ABC aequalis cy­lindro cuidam, cuius basis sit eadem AC, altitudo verò sub­tripla, nempe GX. At solidum HMNOG (cum nil aliud sit, nisi cylindrus quidam cui deest co­nus MNO) aequale erit cylindro super eadem basi HG constituto, cum altitudine verò BT. Consi­derabimus igitur tàm solidum HMNOG, quàm etiam conum ABC, tanquam si essent cylindri iam dicti, eorumdem solidorum vicarij.

Iam: solidum HMNOG, ad conum ABC, rationem habet compositam ex ratione altitudinum BT ad GX, et ex ratione basium, nempe cir­culi HG, ad circulum AC; sive quadrati BG, ad quadratum AG; sive rectae BG ad duplam ipsius GO (cum enim BN. sit semilatus rectus, erit quadratum AG aequale rectangulo sub BG, et dupla ipsius GO.) sive, sumptis subtriplis, ut GX, ad duas tertias ipsius GO, vel ad duas tertias BL. Erit ergò solidum HMNOG ad conum ABC, ut BT ad TU. Quod memento.

Recta BE ad EG, est ut BN ad GO, sive ut BN ad BL, sive (in subsesquialteris) ut NU ad UT. Sumptis ergo antecedentium dimidijs, erit FE ad EG, ut BU ad UT. et componendo, FG, ad GE, ut BT, ad TU. Proptereà solidum HMNOG, ad conum ABC, (quod iàm ostendi­mus esse ut BT ad TU) erit etiam ut FG ad GE. Quod prorsus de co­noide concludit etiam Archimedes prop. 27. de Conoid. et sphaeroid.

Pro Segmento sphaeroidali, vel sphaerico.

Esto portio sphaeroidis sive sphaerae ABC, vel maior, vel minor; ponaturque EF aequalis ipsi ED, nempe dimidio axis. Ostendit Archi­medes prop. 31. et 33. De Conoid. et sphaer. portionem ABC, ad conum in­scriptum ABC, esse ut FG ad GE. Dico etiam solidum HMNOG, genitum in exem­plo 14. ad eundem conum inscriptum ABC, esse ut FG ad GE. Secentur in tres partes aequales, rectae BG, BL, LN. eritque co­nus ABC aequalis cylindro, cuius basis eadem sit cum cono, nempe AC; altitudo autem subtrip!a, nempe GX. Solidum verò HMNOG, quia componitur ex cylindro HMOG, et ex cono MNO, aequale erit cy­lindro super eadem basi HG constituto, cum altitudine BI. Considerabimus igitur tam solidum HMNOG, quàm etiam conum ABC, tanquam si essent cylindri iam dicti eorundem solidorum vicarij.

Iam: solidum HMNOG, ad conum ABC, rationem habet compositam ex ratione altitudinum BI ad GX; et ex ratione basium, nempe cir­culi HG ad AC, sive quadrati BG ad quadratum GA, sive rectae BG ad duplam ipsius GO. (cum enim BN, sit semilatus rectum, erit qua­dratum AG aequale rectangulo sub BG, et dupla GO) sive sumptis subtriplis, ut GX ad duas tertias ipsius GO, vel ad duas tertias BL. Ergo solidum HMNOG, ad conum ABC, erit ut IB ad BP. quod me­mento.

Recta BG ad GE, est ut NO ad OE, sive ut NL ad LB. sive (in subsesquialteris) ut TL ad LU; componendo autem BE ad EG, erit ut TU ad UL; sumptisque antecedentium dimidijs, erit FE ad EG, ut IP ad UL, sive ad PB: Et componendo, FG ad GE, erit ut IB ad BP. Pro­ptereà, solidum HMNOG, ad conum ABC, (quod iam ostendimus esse: ut IB ad BP) erit etiam ut FG ad GE. Quod prorsus de portione sphae­roidis concludit etiam Archimedes Prop. 31. et 33. de Conoid. et Sphaeroid.

Plura adhuc exibere poteram exempla demonstrationum per Indivisi­bilia curva procedentium, nisi superflua, immò etiam et molesta existi­massem. Hoc unum admoneo lectorem, in magna parte praecedentium Theorematum me facilitatis gratia fecisse casum Propositionis parti­cularem, cum tamen facere potuissem universalissimum. Exempli causa. Poteram (in figura primi exempli) supponere tangentem BC cuiuscun­que longitudinis, et deinde ostendere ita esse circulum ad triangulum, ut periphaeria ad tangentem: sed faciliorem conclusionem indicavi aequalitatem inferre, quàm proportionalitatem; presertim cum in so­lido hyperbolico de aequalitate tantùm ratio habeatur. Si itaque co­rollaria limitata plerumque demonstravi, vice Theorematum universa­lium, scias datà operà factum esse.

Definitio.

Si hyperbola circà asymptoton, tamquàm circà axem, convertatur, solidum fiet (si secundum axem consideretur) longitudine infinitum, quod quidem Acutum solidum hy­perbolicum nominabimus.

DE SOLIDO HYPERBOLICO ACUTO

Lemma Primum.

Esto hyperbola cuius asymptoti sint AB, AC, angulum rectum continentes; et revolutà figurà circà axem AB, factum supponatur solidum acutum hyperbolicum infinitè longum versus B; quemadmodum definitum est. In­telligatur iàm intrà ipsum acutum solidum, rectangulum aliquod per axem AB ductum, puta DEFG. Dico hoc rectangulum acquale esse qua­drato semiaxis ipsius hyperbolae.

Ducatur ex A centro hyperbolae, semiaxis AH, qui angulum BAC bi­fariam secabit; fiatque rectangulum AIHC; quod omninò quadratum erit (nam cum rectangula figura sit, angulus A bifariam ab axe AG dividitur). Ergò quadratum rectae AH, duplum erit quadrati AIHC, sive duplum rectanguli AF. et ideò aequale rectangulo DEFG, Quod erat proposi­ tum etc.

ob 12 se­cundi Conic.

Lemma II.

Omnes cylindri circà communem axem intrà solidum acutum hyperbolicum descripti, isoperimetri sunt. intellige semper sine basibus. Esto acu­ tum solidum, cuius axis AB, et intra ipsum intelligantur de­scripti circà communem axem AB, quotlibet cylindri CDEF, GHLI. Eruntque aequalia re­ ctangula per axem CE, GL, ergò aequales erunt etiam cur­vae cylindrorum superficies. Quod erat.

12. secundi Conic. 6. p. de solid. sphaer.

Lemma III.

Omnes isoperimetri cylindri (cuiusmodi sunt illi, qui in acuto solido hyperbolico describuntur) inter se sunt ut diametri suarum basium. Quoniam enim, in praecedenti figurà, aequalia sunt rectangula AE, AL; erit ut FE ad IL, ita IA ad AF. Iam cylindrus CE ad cylindrum GL, rationem habet compositam ex ratione quadrati FA ad quadratum AI; et ex ratione rectae FE ad IL; sive ex ratione rectae IA ad AF, vel quadrati IA ad rectangulum IAF. Propterea cylindrus CE ad cylindrum GL, erit ut quadratum FA ad rectangulum IAF; nempe ut rectà FA ad AI. Quod etc.

Lemma IV.

Esto solidum acutum ABC, cu­ ius axis DB, et centrum hyperbolae sit punctum D. in quo scilicet asymptoti conveniunt, axis autem hyperbolae sit DF. Intelligatur ex centro D, ad intervallum DF de­scripta sphaera AEFC, quae ma­xima erit omnium intra acutum so­lidum descriptibilium ex centro D. Sumptoque cylindro quocunque in­trà acutum solidum descripto, puta GIHL. Dico cylindri GH superficiem subquadruplam esse superficiei sphaerae AEFC.

Cum enim rectangulum GH per axem cylindri, aequale sit quadrato DF, erit cylindrica superficies aequalis circulo qui fit ex radio DF nempe circulo AEFC: Propterea ea­dem superficies cylindrica GIHL subquadrupla erit super­ficiei sphaerae AEFC, cuius etiam circulus AEFC subqua­druplus est. Quod etc.

4: de sol sphaer.

Lemma V.

Cuiuscunque cylindri GHIL intra solidum acutum de­scripti (ut in praecedenti figura) superficies sine basibus aequalis est circulo cuius semidiameter sit linea DF. nempe semiaxis. sive semilatus versum ipsius hyperbolae. Hoc enim in ipso progressu praecedentis lemmatis demonstra­tum est.

THEOREMA.

Solidum acutum hyperbolicum infinitè longum, sectum plano ad axem erecto, unà cum cylindro suae basis, aequale est cylindro cuidam recto, cuius basis sit latus versum, sive axis hyperbolae, altitudo verò sit aequalis semidiametro basis ipsius acuti solidi.

Esto hyperbola, cuius asymptoti AB, AC, angulum rectum contineant; sum­ptoque in hyperbola quolibet puncto D, ducatur DC aequidistans ipsi AB, et DP aequidistans AC. Tum convertatur uni­versa figura circa axem AB. ità ut fiat solidum acutum hyperbolicum EBD, una cum cylindro suae basis FEDC. Produ­catur BA in H, ita ut AH. aequalis sit integro axi, sive lateri verso hyperbolae. Et circa diametrum AH intelligatur cir­culus erectus ad asymptoton AC: et super basi AH concipiatur cylindrus rectus ACGH, cuius altitudo sit AC, nempe semidiameter basis acuti solidi. Dico solidum universum FEBDC, quan­quam sine fine longum, aequale tamen esse cylindro ACGH.

Accipiatur in recta AC quodlibet punctum I, et per I intelligatur ducta superficies cylindrica ONLI in solido acuto compraehensa circa axem AB: item circulus IM in cylindro ACGH aequidistans basi AH.

Erit ergo praedicta superficies cylindrica ONLI ad circulum IM, ut rectangulnm per axem OL, ad quadratum radij circuli IM; nempe ut rectangulum OL, ad quadratum semiaxis hyperbolae; et ideo aequalis ex lemmate. Et hoc semper verum erit, ubicunque sumatur punctum I. Propterea omnes simul superficies cylindricae, hoc est ipsum solidum acutum EBD, una cum cylindro basis FEDC, aequale erit omnibus cir­culis simul, hoc est cylindro ACGH. Quod erat etc.

Scholium.

Incredibile videri potest, cum solidum hoc infinitam longitudinem habeat, nullam tamen ex illis superficiebus cylindricis quas nos consi­deramus, infinitam longitudinem habere; sed unamquamque esse ter­minatam; ut unicuique patebit, cui vel modicè familiaris sit doctrina Conicorum.

Veritatem praecedentis Theorematis satis per se claram, et per exempla ad initium libelli proposita confirmatam satis superque puto. Tamen ut in hac parte satisfaciam lectori etiam Indivisibilium parùm amico, iterabo hanc ipsam demostrationis in calce operis, per solitam veterum Geometrarum viam demonstrandi, longiorem quidem, sed non ideo mihi certiorem.

Interim, quia demonstrationes exhibebimus de illo tantùm acuto solido, cuius hyperbolae genitricis asymptoti angulum rectum conti­neant, dicamus hic obiter, omissà demonstratione, quibus figuris ae­qualia sint acuta solida; quando asymptoton angulus obtusus fuerit, vel acutus.

Demonstrationes, quas ad evitandam molem praeteri­mus, sibi lector industrius facili negotio comparabit.

Esto hyperbola cuius asymptoti AB, AC angulum obtusum conti­neant; et revoluta figura circa axem AB fiat solidum acutum infinitè longum versus B. seceturque (ut in prima fig.) plano DE ad axem erecto. Erit solidum acutum DBE aequale cylindro DILE, et cono IAL. In secunda verò figura sit planum secans DE. erit solidum acutum universum quod imponitur super circulo DE sumpto etiam cono OAU, aequale cylindro IE, et cono IAC simul sumptis.

Quando verò angulus asymptoton acutus ponatur, et sit planum secans CD in prima figura. Erit solidum acutum CHD una cum cono EAI aequale cylindro CEID. At in secunda figura erit universum soli­dum acutum factum ex conversione quadrilinei mixti ABCDA sine fine longi, duplum cylindri IEDC.

Sequuntur iàm sub nomine Corollariorum Propositiones quadam ex praecedenti Theoremate promanantes; quae quidem aliquot praeroga­tivas huius acuti solidì hyperbolici fortasse non contemnendas demon­strabunt.

Corollarium Primum.

Acuta solida hyperbolica EBD, NBL, quae in figura pag. 193. extensionibus ED, NL ad axem erectis fiunt, una cum cylindris suarum basium, inter se sunt ut diametri earundem basium, nempe ut recta ED ad NL.

Nam resumpta praecedentis Theorematis figura, et con­structione, erit solidum FEBDC, aequale cylindro ACGH. et solidum ONBLI aequale cylindro AIMH, Ergo solidum ad solidum erit ut cylindrus ad cylindrum, nempe ut CA ad AI, sive sumptis duplis ut recta FC ad OI; sive ut ED ad NL. Quod erat etc.

Corollarium II.

Acuta solida hyperbolica DBE, HBL, etiam sine cylin­dris suarum basium sumpta, inter se sunt ut diametri earumdem basium, nempe ut DE ad HL. Descriptis enim basium cylindris CDEF, GH LI, erit totum solidum CDB EF, ad totum solidum GH BLI ut CF ad GI. Sed abla­tus cylindrus CE ad ablatum cylindrum GL est ut CF ad GI. Ergo reliquum etiam so­lidum DBE, ad reliquum H BL erit ut totum ad totum; nempe ut CF ad GI. Hoc est ut DE ad HL. Quod etc.

Corollarium III.

Esto solidum acutum sectum planis AB, CD, EF, GP, ità ut sectionum semidiametri sint ut numeri naturalitèr ab unitate progredientes (quod facile fiet, si ac­cepta ad libitum IL, ae­quales ipsi IL secentur LM, MN, NO, etc. ducti­sque LG, ME, NC, etc. ad axem parallelis, per puncta G, et E, et C, etc. agantur secantia plana). Dico omnia frusta inter­cepta aequalia esse tum inter se, tum etiam acuto so­lido GUP. Patet hoc. Nam cum acuta solida sint ut diametri basium; et in hoc casu diametri basium ponantur ut numeri naturalitèr ab unitate progredientes, etiam acuta solida GUP, EUF, CUD, etc, in eadem ratione Aritmetica erunt. Ergo omnes excessus, nempe omnia frusta aequalia erunt tam inter se, quàm etiam acuto solido GUP. ut erat propositum etc.

Scholium.

Poterat etiam proponi hoc modo. Si fuerit solidum acutum sectum plano GP ubicunque. Sumaturque HQ semissis axis HI. Deinde sumatur QR tertia pars axis QI; iterumque accipiatur RT quarta pars axis RI: Postea accipiatur quinta pars reliqui axis, et hoc semper; et per puncta sectionum plana agantur; erunt eadem ut supra etc.

Corollarium IV.

Acutum solidum hyperbolicum abscissum plano ad axem erecto aequale est cylindro suae basis.

Esto solidum acutum ABC abscis­ sum plano AC ad axem erecto (hoc enim modo intelligemus semper plana secantia, quod oportet meminisse) et supponatur solidum infinitè pro­ductum ad partes B. Dico solidum ABC, aequale esse cylindro suae basis nempe DACE

Fiat enim cylindrus FEIG ut in Theoremate pag. 193. Eritque totum solidum DABCE, ex demonstratis aequale cylindro FI. Iam cylindrus FI, ad cylindrum DC, rationem habet compositam ex ratione quadrati HF ad FE et ex ratione rectae FE ad EC; sive quadrati FE ad rectangulum FEC. Cylindrus itaque FI ad cylindrum DC, est ut quadra­tum FH ad rectangulum FC, nempe duplus. Propterea solidum universum DABCE (cum aequale sit cylindro FI) duplum erit cylindri DC. Et divisum, erit solidum acutum ABC aequale suae basis cylindro DACE. Quod etc.

Corollarium V.

Maximum hemisphaerium FBE, intra solidum acutum inscriptibile ex D centro hyperbolae, subsesquial­terum est universi solidi FHACE ipsum hemisphaerium ambientis. So­lidum autem FHACE constat ex acuto solido infinitè longo HAC, et ex cylindro basis hemisphaerium tan­gente FHCE.

Facto enim cylindro IE ut in theoremate pag. 193. erit hemisphae- rium FBE subsesquialterum cylindri IE; Cum eandem alti­tudinem habeat, et basim eandem, nempe circulus cuius radius est semiaxis DB. Subsesquialterum ergo erit ipsum hemisphaerium etiam solidi FHACE, quod aequale demon­stratum est cylindro IE. etc.

Corollarium VI.

Esto solidum acutum cuius axis AB (in figura pag. 196.) sectum ubicunque plano DE. Secetur verò et altero plano HL, quod capiat portionem axis duplam. Dico frustum so­lidum DHLE, à secantibus planis interceptum aequale esse solido acuto HBL sibi superimposito.

Cum enim rectangula CE, GL sint aequalia, et latera eorum reciproca, erit recta DE dupla ipsius HL, et ideo solidum acutum DBE duplum erit acuti solidi HBL, et dividendo, frustum DHLE aequale erit acuto solido HBL. Quod etc.

Scholium.

Hinc manifestum est, quod si acutum solidum secetur uti dictum est, frustum interceptum DHLE (quod duas bases habebit) aequale semper erit cylindro minoris basis GHLI. Subduplum verò cylindri maioris basis CDEF.

Corollarium VII.

Esto solidum acutum sectum à tribus planis AB, CD, EF; secantibus axem so­ lidi proportionaliter; hoc est, sit ut GH ad GI, ita GI ad GL. Dico frustum ACDB ad frustum CEFD, esse ut LI ad IH. nempe in reciproca ratione alti­tudinum.

Cum enim rectangula GF, GD, GB. sint aequa­lia, et latera eorum reciproca, erunt tres rectae HB, ID, LF, in eadem continua proportione in qua sunt GL, GI, GH. Sed solida acuta AOB, COD, EOF, sunt ut basium semi­diametri HB, ID, LF, sive ut QL, GI, GH, ergo excessus solidorum inter se erunt ut excessus linearum. Nempe frustum solidum ACDB, ad frustum CEFD erit ut LI ad IH. Quod etc.

Scholium.

Ex demonstratis patet primò, quomodo datum frustum AEFB, se­ cari possit plano CD, ita ut factae portiones inter se sint ut altitudi­nes, reciprocè tamen sumptae. Quod quidem sit sumendo GI mediam proportionalem inter GL, GH.

in fig. prae­ced.

Manifestum est quod si su­matur quodlibet segmentum axis, puta AB, et secetur bi­fariam in C, deinde AC sece­tur bifariam in D; reliquum autem AD bisecetur in E; et sic semper. Erunt frusta so­lida intercepta à planis per B, C, D, E, ductis, in continua proportione in qua axes, sive axium differentiae. Eritque primum et subtilissimum frustum FI aequale acuto solido sibi superimposito. At secundum frustum duplum erit primi, tertium quadruplum primi, 4. verò octuplum, quintum sedecuplum: et sic semper; quo magis ad cen­trum A accedemus, maiora praecedentibus erunt frusta, et multiplicia secundum numeros in proportione dupla progredientes ab unitate.

Si verò sumatur quodlibet segmentum axis AE, cuius duplum po­natur AD; et ipsius AD duplum secetur AC, et sic deinceps; eadem evenient, ut supra dictum est.

Quaecunque autem diximus exemplo allato de ratione dupla, verum etiam est de tripla, quadrupla, sesquialtera; et de quacunque alia ratione.

Corollarium VIII.

Si solidum acutum sectum fuerit planis AB, CD, EF, GH, etc. ita ut axis portiones à centro I incipientes, nempe IL, LM, MN, NO, etc. aequales sint; erit primum frustum AD, ad secundum CF ut 3. ad unum; secundum verò frustum ad tertium erit ut 4, ad 2; Tertium ad quartum erit ut 5. ad 3. quartum ad quintum ut 6. ad 4.; et sic semper ut numeri binario diffe­rentes; addita scilicet semper unitate utrique termino rationis.

Nam solidum acutum AUB ad solidum acutum CUD, est ut AL ad CM, nempe ut MI ad IL, hoc est duplum. Et dividendo, erit frustum AD aequale solido acuto CUD, sive ut 3. ad 3. Solidum vero CUD ad solidum EUF est ut CM ad EN, sive ut NI ad IM, nempe ut 3. ad 2. Et per conversionem rationis erit solidum CUD ad frustum CF ut 3. ad unum. Ergo ex aequo erit frustum AD ad frustum CF ut 3. ad unum. Quod etc.

Eodem modo penitus ratio reliquorum frustorum con­sequentium ostenditur esse talis qualis proposita est.

Scholium.

Patet in progressu demonstrationis primum frustum AD aequale esse solido acuto sibi imposito CUD. At secundum frustum CF duplum est solidi EUF sibi impositi; Tertium verò triplum; quartum quadru­plum, et sic in infinitum.

Corollarium IX.

Si solidum acutum à cylindricis superficiebus divisum fuerit, erunt solida annularia inter cylindricas superficies interceptas, inter se, ut sunt portiones asymptoti ab ipsis cylindricis superficiebus abscissae.

Sit hyperbola ABC et linea quotcunque AD, BE, CF. parallelae asymptoto HI; et convertatur figura circà asym­ptoton HI. Dico solidum descriptum à quadrilineo EBCF, ad solidum descriptum à quadrilineo DABE, esse ut recta FE ad ED.

Fiat enim cylindrus LF, ut in Theoremate pag. 193. eritque solidum NMICF aequale cylindro LF. Et solidum POIBE, aequale cylindro LE, abla­tis ergo aequalibus, re­manebit cylindrus SF aequalis solido sibi re­spondenti facto à quadri­lineo EBCF. Pari ratione cylindrus TE aequalis ostendetur solido sibi re­spondenti facto à qua­drilineo DABE; erit igitur, ob aequalitatem, solidum qua­drilinei EBCF, ad solidum quadrilinei DABE ut cylindrus SF ad cylindrum TE, nempe ut recta FE ad ED. Quod etc.

Corollarium X.

Acuta solida ABC, DEF. super basibus aequalibus AC, DF constituta, et à conversione inaequalium hyperbola­rum descripta, sunt inter se in duplicata ratione axium suarum hyperbolarum.

Intelligantur enim sub basibus solidorum cylindri HC, LF, eritque solidum ABC aequale cylindro HC; et soli­ dum DEF. aequale cylindro LF. Proptereà solidum ABC ad solidum DEF, erit ut cylindrus HC ad cylindrum LF. sive (cum aequales bases habeant) ut altitudo HA ad al­titudinem LD. sive ut rectangulum HC ad rectangulum LF, hoc est, sumptis aequalibus, ut quadratum axis IN ad quadratum axis MO. Quod etc.

Corollarium XI.

Acuta solida ABC, DEF, facta ab inaequalibus hyper­bolis, et secta planis AC, DF ita ut portiones axis LH, OI aequales sint; erunt inter se ut bases, nempe ut circulus AC ad circulum DF.

Hoc autem patet. Nam solidum ABC aequale est cy­lindro cuius basis sit AC altitudo verò LH. et solidum DEF aequale est cylindro cuius basis sit DF, altitudo vero OI. Ergo solidum ABC ad solidum DEF erit ut praedictus cylindrus ad dictum cylindrum, nempe (cum aequales altitudines habeant) ut basis AC ad basim DF. Quod erat etc.

Corollarium XII.

Acuta solida quaecunque sint ABC, DEF; in p. fig. huius pag. inter se sunt ut solida rectang. basi quadrato axium hyperbolarum; altitudine verò diametro basium eo­rundem solidorum. Hoc est, solidum ABC ad solidum DEF erit ut solidum parallelepipedum basi quadrato axis MO, altitudiue DF.

Factis enim DE more cylindris HC, LF; ratio cylindri HC ad cylindrum LF componetur ex his tribus rationibus. nempe ex ratione altitudinis HA ad LD. et ex ratione basium, sive ex ratione rectae AC ad DF, iterumqne ex ratione rectae AC ad DF. Ergo ratio cylindri HC ad LF, componitur ex ratione rectanguli HAC ad rectangulum LDF, sive quadrati IN. ad quadratum MO, et ex ratione rectae AC ad rectam DF. Propterea etiam ratio solidi acuti ABC ad solidum acutum DEF composita erit ex ratione quadrati IN ad MO, et ex ratione rectae AC ad rectam DF. Ergo patet propositum.

Corollarium XIII.

Dato acuti solidi frusto quocumque ADCB, aequalem ipsi cylindrum exibere super altera sui base quaecunque sit. puta AB. Fiat ut recta AB ad DC ita EF ad FG. Dico cylindrum HB cuius altitudo sit FG, basis verò AB aequalem esse frusto AC.

Ducatur DK parallela ad EF. Eritque FO ad OE, ut DE, sive KF ad FA. Propterea OF ad FE erit ut FK ad KA. Sed EF ad FG est ut AF ad FK, ergo per pertur­batam erit OF ad FG ut FA ad AK. Quod memento.

Iam acutum solidum AMB ad acutum solidum DMC est ut AB recta ad DC, vel ut AF ad DE, hoc est ut AF ad FK, Ergo erit solidum acutum AMB, sive cylindrus LB ipsi aequalis, ad frustum ADCB ut FA ad AK, hoc est OF ad FG, hoc est ut cylindrus LB ad cylindrum BH. Constat igitur cylindrum LB eandem habere rationem et ad frustum ADCB, et ad cylindrum BH. Quare cylindrus BH aequalis erit dato frusto acuti solidi, et super altera eiusdem basi. Quod etc.

Corollarium XIV.

Circumscriptus cylindrus AEFB ad frustum acuti so­lidi ADCB. est ut diameter AB ma­ ioris basis ad diametrum DC minoris basis. Fiat enim ut AB ad DC ita GH ad HI, et erit cylindrus AMLB aequalis frusto solido per Cor. prae­cedens. Cylindrus autem AF ad cy­lindrum AL, est ut GH ad HI; hoc est ut AB ad DC. Quare cylindrus circumscriptus AEFB etiam ad frustum AC erit ut recta AB ad DC. Quod etc.

Corollarium XV.

Frustum quodlibet acuti solidi ADCB ad inscriptum sibi cylindrum EDCF est ut diameter basis maioris AB, ad diametrum minoris basis DC. Fiat enim ut AB ad DC, ita GH ad HI, eritque cy­lindro AL aequalis frusto AC. Erit insuper cylindrus AL isoperimeter cylindro EC, quandoquidem latera eorum facta sunt re­ ciproca, et ideo rectangula per axem ae­qualia. Erit ergo (per lemma 3. huius) cylindrus AL sive frustum ADCB, ad cylindrum inscriptum EC ut diametri basium, sive ut recta AB ad EF, hoc est ut AB ad DC. Quod etc.

Corol. 23.

6. p. de solid. sphaeral.

Corollarium XVI.

Frustum quodlibet acuti solidi ADCB. medium propor­tionale est inter inscriptum, et circumscriptum sibi cy­lindrum.

Demonstratum enim est in duobus prae­ cedentibus Coroll. quod circumscriptus cy­lindrus AE ad frustum ADCB est ut recta AB ad DC. Frustum verò ADCB ad in­scriptum cylindrum est ut AB ad DC. Ergo constat quòd frustum est medium propor­tionale inter duos cylindros. Quod erat etc.

Corollarium XVII.

Datum acutum solidum AEB in data ratione secare ut F ad G. Fiat ut G ad F ita data HI ad IL. et per L agatur planum CD. Eritque convertendo et componendo F et G, simul ad G, ut LH ad HI, sive ut AB ad CD, vel ut solidum AEB ad solidum CED; et dividendo patet propositum.

Si verò basis acuti solidi sit CD, et oporteat illud secare iterum inferius versus hyperbolae centrum plano AB, ita ut frustum ACDB ad reliquum solidum CED quamli­bet datam rationem habeat ut F ad G. Ita imperata exequemur. Fiat ut F et G simul ad G, ita data LH ad HI; et per I ducatur planum AB. eritque ut F et G simul ad G, ita AB ad CD; sive solidum AEB ad CED; et dividendo patet pro­positum. Quod erat etc.

Corollarium XVIII.

Dato solido acuto secto plano AB. frustum accipere CABD versus N centrum hyperbolae, quod sit aequale cuicunque dato cylindro GH molis etiam immensae.

Fiat ut cylindrus AL ad cylindrum GH, ita recta NL data ad rectam LF. et erecta FD ductoque plano DC. Dico frustum CB aequale esse cylindro GH.

Nam cylindrus AL ad GH, est ut recta NL ad LF, et convertendo, componendo, iterumque convertendo, erit cy- lindrus AL ad cylindros GH, ut LN ad NF, sive ut OB ad MD; sive ut solidum acutum AUB ad solidum acu­tum CUD; sive ut cylindrus AL ad solidum acutum CUD. Aequales ergo sunt duo si­mul cylindri AL et GH, acuto solido CUD. Demptisque ae­qualibus, nempe cylindro AL et solido acuto AUB, re­manet cylindrus GH aequalis frusto CABD. Quod etc.

Versus verticem verò limitatione opus est. Esto datum solidum acutum sectum plano CD, debeatque sumi frustum CABD versus verticem, aequale cylindro dato GH (dum­modo cylindrus GH minor sit cylindro ECDF).

Fiat ut cylindrus ED ad GH, ita recta NF data, ad FL et erecta LB, dico frustum CABD aequale esse cy­lindri dato GH.

Nam recta FN ad NL, est ut DM ad BO, sive ut acu­tum solidum CUD ad acutum AUB; et per conversionem rationis NF ad FL, erit ut acutum solidum CUD sive ut cylindrus ED ad frustum CABD. Sed ut NF ad FL, ita est etiam cylindrus idem ED ad GH, aequantur ergo fru­stum CABD et cylindrus GH. Quod etc.

Scholium.

Ex priori parte huius demonstrationis patet solidum hyperbolicum versus infinitam planitiem EF magnitudine infinitum esse. potest enim ex ipso sumi pars ipsius quae aequalis sit cuicunque magnitudini datae:

Corollarium XIX.

Esto solidum acutum sectum plano AB. Oportet illud secare iterum alio plano PI, ita ut frustum APIB ad cy­lindrum sibi circumscriptum, sit ut C ad D; dummodo ratio C ad D, sit minoris inaequalitatis.

Fiat, ut C ad D, ita data EF ad FG; et per G ducatur planum HL. Eritque C ad D, ut EF ad FG, nempe (ob ae- qualia rectangula) ut IG ad BE hoc est ut frustum AI ad cylindrum AL. Quod etc.

Si verò datum planum se­cans sit PI, et solidum secan­dum sit inferius versus F ite­rum eadem lege, ita procede­mus. Fiat ut C ad D, ita EF ad datam FG. et per E ducatur planum AB. Eritque frustum AI ad cylindrum AL, ut GI ad EB, sive ut EF ad FG, hoc est ut C ad D. Quod erat etc.

Corollarium XX.

Esto solidum acutum sectum plano AB. oportet illud iterum secare versus F. ita ut frustum inter sectiones compraehensum, ad inscri­ ptum sibi cylindrum quamli­bet datam rationem maioris inaequalitatis habeat, ut C ad D.

Fiat, ut C ad D, ita data EF ad FG; ductoque per G plano IH. Erit frustum IB ad cylindrum inscriptum OB, ut GH ad EB, sive ut EF ad FG, sive ut C ad D. Quod etc.

Si vero planum secans datum sit IH, et secundum sit solidum iterum eadem lege versus infinitam longitudinem. fiat ut C ad D ita EF ad datam FG. Eritque frustum IB ad cylindrum OB ut EF ad FG, nempe ut C ad D. Quod etc.

Corollarium XXI.

Esto frustum acuti solidi ABCD ponaturque circulus EF medius proportionalis inter bases AD, BC, et erigatur cylindrus EG cuiuscunque altitudinis. Dico frustum AC ad cylindrum EG esse ut recta IL ad GF.

Fiat enim ut recta AB ad BC ita IL ad LO, et ad alti­tudinem LO erigatur cylin­drus AN, qui aequalis erit frusto AC (per coroll. 13). Iam cylindrus AN ad cylindrum EG, rationem habet com­positam ex ratione basium, nempe quadrati AD ad EF; hoc est ex ratione rectae AD ad BC; sive potius rectae IL ad LO et ex ratione altitudinum, nempe LO ad FG. Ergo cylindrus AN ad EG, erit ut recta IL ad FG; Propterea etiam frustum AC ad cylindrum EG erit ut IL ad FG. Quod etc.

Scholium.

Ergo si altitudo FG fiat aequalis ipsi IL, erit cylindrus EG aequalis frusto AC.

Corollarium XXII.

Esto frustum acuti solidi ABCD, quod habeat alteram ex suis basibus (quaecunque illa sit) puta AD, aequalem basi EM cylindri EG. Dico fru­ stum AC ad cylindrum EG esse ut rectangulum sub diametro inaequalis basis, et sub altitudine frusti, ad rectangulum per axem cylindri. Nempe ut rectangulum BC. HI ad rectangulum EG.

Fiat ut AD ad BC ita HI ad IO; erectoque cylindro AL cum altitudine IO, erit frustum AC aequale cylin­dro AL. Iam cylindrus AL ad EG, ob aequales bases, est ut OI ad GM, Sed ratio rectae OI ad GM, componitur ex ratione rectae OI ad IH, sive BC ad AD, hoc est BC ad EM; et ex ratione HI ad GM. Ergo ratio OI ad GM erit eadem quae est rectang. BC, HI, ad rectangulum sub EM, MG. Propterea etiam cylindrus AL, sive frustum AC ad cylindrum EG, erit ut rectangulum BC, HI ad rectangu­lum EMG. Quod etc.

Corollarium XXIII.

Si frustum acuti solidi ABCD et cylindrus EF aequa­les altitudines habuerint. Erit frustum AC ad cylindrum EF ut rectangulum sub BC, AD, ad quadratum EG.

Fiat ut AD ad BC, ita LU ad UO. eritque frustum AC ae­quale cylindro AI cuius altitudo sit UO. Iam cylindrus AI ad cy­lindrum EF, rationem habet com­positam ex ratione altitudinum UO ad GF; sive UO ad UL sive BC ad AD; nempe ex ratione rectang. BC, AD, ad quadratum AD. Et ex ratione ba­sium; nempe quadrati AD ad EG. Ergo cylindrus AI, sive frustum AC, ad cylindrum EF, erit ut rectang. sub BC, AD, ad quadratum EG. Quod etc.

Corollarium XXIV.

Frustum acuti solidi ABCD, ad cylindrum quemlibet EF. rationem habet compositam ex ratione rectanguli BC, LI, ad rectangulum AD, GF; et ex ratione quadrati AD ad quadratum EG.

Fiat ut AD ad BC, ita LI ad IO; eritque cylindrus AU, aequale frusto AC. Iam recta IO ad rectam GF, est ut rectangulum sub BC, LI ad rectangulum sub AD, GF, (nam ratio rectae IO ad GF, componitur ex ratione IO ad IL, sive BC ad AD; et ex ratione IL ad GF. Ergo recta IO ad GF, est ut rectangulum BC, IL, ad rectan­gulum AD, GF). Sed cylindrus AU ad cylindrum EF, ra­tionem habet compositam ex ratione IO ad GF, nempe ex ratione rectanguli BC, LI, ad rectangulum AD, GF, et ex ratione quadrati AD ad EG. Propterea etiam fru- stum AC ad cylindrum EF rationem habebit compositam ex ratione rectanguli BC, LI, ad rectangulum AD, GF; et ex ratione quadrati AD ad EG. Quod etc.

Scholium.

Poterat etiam proponi sic. Frustum AC ad cylindrum EF, rationem habet compositam ex ratione rectanguli AD, IL, ad rectangulum BC, FG; et ex ratione quadrati BC ad EG.

Corollarium XXV.

Sint duo frusta acutorum solidorum qualiacunque. Dico frustum HBCE ad frustum DFGA, habere rationem com­positam ex ratione rectangu­ lorum basium, et ex ratione altitudinum; nempe ex ra­tione rectanguli BC, HE ad rectangulum FGDA; et ex ratione rectae IN ad ML.

Fiat enim super basi DA cylindrus DO cum altitudine AO, quae sit aequalis ipsi NI. Eritque (per Coroll. 23.) frustum HC ad cylindrum DO, ut rectangulum BC, HE ad quadratum DA. Cylindrus autem DO ad frustum DG est (per Coroll. 22.) ut rectan­gulum DAO ad rectangulum FG, ML. Nempe ad illud, rationem habet compositam ex ratione rectae DA ad FG, sive ex ratione quadrati DA ad rectangulum DA, FG. Et ex ratione rectae OA ad ML, sive IN ad ML. Ratio ita­que frusti HE ad frustum DG componitur ex rationibus rectanguli BC, HE, ad quadratum DA; et ex ratione qua­drati DA ad rectangulum DA, FG; et ex ratione rectae IN ad ML. Demptoque medio illo termino superffuo nempe quadrato DA, Erit ratio frusti HC ad frustum DG com­posita ex ratione rectanguli BC, HE, ad rectangulum DA, FG; et ex ratione rectae IN ad ML. Quod erat etc.

Corollarium XXVI.

Esto frustum solidi acuti ABCD sectum plano HL; ducaturque BN parallela ad axem. Dico, totum frustum ABCD ad partem HBCL, esse ut AN ad HI.

Nam solidum acutum AGD ad so­lidum BGC, est ut AF ad BE, sive ut AF ad FN; et dividendo frustum ABCD ad solidum acutum BGC erit ut AN ad NF, sive ut AN ad IO. So­lidum verò BGC ad frustum HC (si­mili argumento) est ut OI ad IH. Ergo ex aequo frustum AC, ad HC erit ut AN ad HI. Quod etc.

Scholium.

Hinc patet quomodo datum frustum acuti solidi in data ratione secari possit, quod tamen ad finem Corollariorum elegantiori proble­mate exequemur.

Corollarium XXVII.

Esto frustum solidi acuti ABCD, cuius axis MI. sitque centrum hyperbolae punctum H. Secetur deinde frustum AC plano quocunque EF ad axem erecto. Dico frustum AF, ad frustum EC. esse ut rectangulum sub IL, HM, ad re­ctangulum sub HI, LM.

Nam frustum AF ad frustum EC, rationem habet compositam ex ratione frusti AF ad acutum solidum EGF; et ex ratione solidi longi EGF ad fru­stum EC. Sed quia solidum acutum AGD ad acutum solidum EGF est ut recta AI ad EL; sive ut recta LH ad HI, erit dividendo frustum AF ad so­lidum EGF ut LI ad IH. Amplius: Solidum EGF ad solidum BGC. est ut EL ad BM, sive ut MH ad HL; et per conversionem rationis, erit solidum EGF ad frustum EC, ut HM ad ML. Patet ergò quòd ratio frusti AF ad frustum EC, compo­nitur ex ratione LI ad IH, et ex ratione HM ad ML. Proptereà frustum AF ad EC erit ut rectangulum sub LI, HM, ad rectangulum sub IH, LM. Quod etc.

Scholium.

Ideò si fiat, ut MH ad HI, ita ML ad LI. Bifariam secabitur fru­stum AC à plano per punctum L ducto. Aequalia enim erunt ipsa rectangula.

Corollarium XXVIII.

Si axis frusti ABCD bifariam se­ cetur à plano EF. Erunt portiones inter se, nempe AF. ad EC ut recta AD ad BC. scilicet ut diametri ba­sium remotarum.

Frustum enim AF ad EC, est ut rectangulum sub HG, OI ad rectan­gulum sub HO, IG. per praeced: Sed OI, et IG altitudines rectangulorum sunt aequales, Ergò frustum AF ad EC, erit ut GH ad HO, sive ut AD ad BC. Quod etc.

Scholium.

Hinc patet; quod si in solido longo hyper­bolico quotcunque sumantur axis portiones deinceps aequales A, B, C, D, E. ubicunque fiat initium. Erit frustum FG ad GH ut recta FA ad HC. Frustum verò GH ad HI erit ut MB ad ND. Et frustum HI ad IL ut HC, ad LE, et sic in infinitum.

Corollarium XXIX.

Datum acuti solidi frustum ABCD in data ratione se­care; puta ut E ad F.

Fiat, ut recta AD ad BC, ita E ad aliam quae sit G. Deinde fiat, ut G ad F, ità HI ad IL, et per I ducatur planum MN.

Iam frustum AN ad MC est ut rectangulum LO, IH, ad rectangulum LI, OH. Ergo ratio frusti AN ad MC componitur ex ratione laterum LO ad OH, sive AD ad BC, sive E ad G. Et ex ratione laterum HI ad IL. sive G ad F. Ergò ratio frusti AN ad MC. com­ponitur ex ratione E ad G, et G ad F. Proptereà erit AN frustum ad MC ut E ad F. Quod etc.

Iam ista sufficiat demonstravisse, ex plurimis Theorematibus, quae ex faecundissimo hoc solido derivari poterant. Interim ad promissam demonstrationem accedamus, quam tamen praeterire poterit quicunque iam allatà contentus fuerit.

DE DIMENSIONE ACUTI SOLIDI HYPERBOLICI

IUXTÀ METHODUM ANTIQUORUM.

Superest nunc ut Theorema illud, quod post Lemma quintum osten­dimus per methodum, et doctrinam Indivisibilium, demonstremus ite­rùm more Antiquorum, et praecipuè Archimedis. Impossibile enim quo­dammodo videtur, infinitam longitudine figuram sub solita figurarum inscriptione, et circumscriptione posse compraehendi. Tamen id non solum à nobis factum est, verum etiam à Clarissimo viro, et Geometra praestantissimo Robervallio, qui nostrum solidum hyperbolicum in­ventis arduis, sublimibus, acutissimis, et ut brevitèr dicam suis, men­suravit, eiusque frustum in data ratione dissecuit. Abstineo ab illius demonstrationis editione invitus. Comparvit enim eius epistola eius prorsus tempore, quo iam haec praelis subijcerentur, neque de volun­tate Authoris satis constabat, neque iam per tempus licebat expectare, donec illius beneplacitum ex Gallia Parisijsque significaretnr.

Veniamus itaque ad lemmata opportuna, quorum primum sit.

Lemma Primum.

Differentia, quae est inter duos circulos, ad circulum quemlibet tertium; est ut rectangulum compraehensum sub differentia, et aggregato semidiametrorum eorundem circulorum, ad quadratum semidiametri tertij illius circuli.

Vocetur autem talis differentia duorum circulorum, quando con­centrici fuerint Armilla.

Esto Armilla, sive differentia duorum circulorum concentrico­rum, ille cuius latitudo AB, cen­trum verò C. Dico armillam AB, ad circulum quemlibet DF; esse ut rectangulum ABE ad quadratum semidia­metri DF.

per. 2. duo­decimi. ex 5. secundi.

Nam circulus ex radio AC, ad circulum ex radio CB, est ut quadratum AC, ad quadratum CB; et dividendo Armilla AB, ad circulum ex radio CB; erit ut rectangulum ABE, ad quadratum CB. Circulus verò ex radio CB, ad circulum ex radio DF, est ut quadratum CB, ad quadra­tum DF. Ergò, ex aequò, erit Armilla AB, ad circulum DF, ut rectangulum ABE, ad quadratum DF. Quod erat etc.

Lemma II.

Si ex cylindro recto AB, ablatus fuerit cylindrus CD, circa communem axem IE constitutus; reliquum solidum excavatum quod remanet, aequale erit cylindro cuidam recto FG, cuius quidem basis FH aequalis sit Armillae, quae circa centrum E latitudinem habet AC; altitudò verò LM aequalis sit altitudini EI.

Vocetur autem talem solidum excavatum, tubus cylindricus.

Quoniam tres cylindri AB, CD, FG, aequealti sunt; erit cylindrus AB ad CD, ut circulus AO ad circulum CU. et dividendo erit tubus cylindricus ad cylindrum CD, ut ar­milla AC ad circulum CU; sed cylindrus CD ad cylindrum FG, est ut circulus CU ad circulum FH.

Ergo ex aequo erit tubus cylindricus AB ad cylindrum FG, ut armilla AC ad circulum FH. Sed armilla AC cir­culo FH supponitur aequalis; ergò et tubus cylindricus AB, aequalis erit cylindro FG. Quod erat etc.

Lemma III.

Quilibet cylindrus rectus AB, ad quemlibet tubum cy­lindricum rectum CD, rationem habet compositam ex ra­ tione altitudinum, nempe EB ad FD, et ex ratione basium, nempe ex ratione quadrati AH, ad rectangulum CIF. (de­

monstratum enim est ita esse circulum AE ad armillam CI, ut quadratum AH ad rectangulum CIF).

Lem. I.

Ponatur cylindrus LM, cuius altitudo NM sit aequalis altitudini FD; basis verò LN, aequalis sit armillae CI; Et erit, per praecedens lemma, tubus cylindricus CD aequalis cylindro LM.

Iam cylindrus AB, ad tubum CD eandem habebit ra­tionem quam habet ad cylindrum LM; nempe compositam ex ratione altitudinis EB ad NM, sive ad FD; et ex ra­tione basium, hoc est circuli AE ad circulum LN; sive quadrati AH ad quadratum LO, vel quadrati AH ad rectan­gulum CIF. Quod erat etc.

Lemma IV.

Esto hyperbola cuius asymptoti sint AB, BC, angulum rectum compraehendentes; sitque hyperbolae semiaxis BD. (semiaxem appello, quia B punctum in quo asymptoti concurrunt, centrum hyperbolae est). Dico quadratum rectae BD, duplum esse cuiuscunque rectanguli AE, inter asymptotos, et hyperbolam ipsam compraehensi.

Ducantur DC, DI asymptoti ae­quidistantes; eritque figura BIDC, quadratum; cum anguli ad B semirecti sint; sed ad C et ad I recti. Ideo quadratum lineae BD, duplum erit qua­ drati BIDC; sive rectanguli AE inter asymptotos, et hy­perbolam ipsam compraehensi. Quod erat etc.

ex. 12. sex. Con.

Lemma V.

Esto hyperbola AB, cuius asymptoti angulum rectum continentes sint CD, DE; sumptisque duobus punctis A, B, utcumque in hyperbola, ducantur duae rectae BE, AI, asymptoto CD. aequidistantes. et AN, BM, alteri asym­ptoto DE parallelae, quae concurrant in L. Tum conver­tatur universa figura circa axem CD.

Dico cylindrum quendam IEPO (cuius quidem basis IO habeat semidiametrum IL aequalem semiaxi hyperbolae; altitudo verò sit intercepta IE). Maiorem esse tubo illo cylindrico, qui fit ex conversione rectanguli IB circa axem CD; Minorem verò tubo illo qui fit ex conversione rectan­guli IL, circa eundem axem revoluti.

In primis; quia IT est aequalis semiaxi hyperbolae, erit quadratum IT duplum rectanguli DB, sive aequale rectangulo UB. Iam: cylindrus OE, ad tubum qui fit ex rectangulo IB (intellige semper circa axem CD) rationem habet compositam ex ratione basium; nempe ex ratione quadrati IT, sive rectanguli UB ad rectangulum UIE. Hoc est (abiectis rectangulis) ex ratione lateris UE ad EI: et ex ratione lateris EB ad IU. Et insuper ex ratione altitu­dinum; nempe rectae EI ad EB. Ergo ratio cylindri OE ad tubum IB, componitur ex praedictis tribus rationibus; scilicet ex ratione rectae UE ad EI: et ex ratione EI ad EB; et ex ratione EB ad IU. propterea cylindrus OE, ad tubum IB, erit ut primus terminus ad ultimum; nempe ut recta UE ad IU; hoc est minor. Quod erat ostenden­dum primò.

Lem. praecedens.

Lem. 3.

Ratio verò cylindri OE, ad tubum, qui fit ex rectan­gulo IL, componitur ex ratione basium, scilicet ex ratione quadrati IT, vel rectanguli IN, ad rectangulum UIE; hoc est (abiectis rectangulis) ex ratione lateris FI, ad IE; et ex ratione reliqui lateris AI, ad IU. Et insuper ex ratione altitudinum, nempe IE ad AI. Ergò ratio cylindri OE, ad tubum IL, componitur ex his tribus praedictis rationibus; nempe ex ratione FI ad IE; et IE ad AI; et AI ad IU. Propterea cylindrus OE ad tubum IL, erit ut primus ter­minus FI ad ultimum IU. et ideo minor. Quod erat osten­dendum etc.

Lemma VI.

Esto hyperbola cuius asymptoti CD, DE angulum re­ctum compraehendant, sumptisque in hyperbola utcumque duobus punctis A et B; ducantur AI, BE asymptoto CD parallelae.

Dico solidum illud an­ nulare quod describitur ex conversione quadrilinei mixti IABE, circa axem CD revo­luti, aequale esse cuidam cylindro recto IEPO. Debet autem huius cylindri alti­tudo esse IE; diameter verò basis IO, debet esse aequalis integro axi ipsius hyper­bolae.

Sit enim (si possibile est) solidum illum annulare fa­ctum ex quadrilineo IABE, circa axem CD revoluto, minus cylindro OE: et ponatur defectus aequalis cuidam solido K.

Secetur BL bifariam in F. deinde reliqua FL secetur bifariam in G; Et hoc fiat semper donec tubus aliquis cylindricus, qui describitur ex revolutione rectanguli ALG, minor sit solido K. Tum enim sectà totà BL, in partes aequales ultimae GL, ducantur à singulis punctis divisio­num, rectae GH, FN, YR, aequidistantes ipsi DE. Ex punctis verò M, N, R, in quibus praedictae parallelae hy­perbolam secant, demittantur rectae, sive potius plana MS, NT, RU. ad asymptoton DE erecta. Denique ex con- versione singulorum rectangulorum aequalium, quorum unum est AG, totidem tubi cylindrici describantur circa axem CD.

Iam: tubus qui fit à rectangulo RB (intellige semper circa axem CD) ob aequalem altitudinem, eandemque ha­sim, aequalis erit tubo RF. additoque communi tubo RN, erunt duo tubi BR, RN simul sumpti aequales tubo NY, sive tubo NG. Additoque communi NM, erunt tres tubi BRNM. aequales tubo MF, sive ML; et addito communi ultimo MA, erunt omnes tubi simul BRNMA, aequales tubo AG, nempe minores solido K. ob constructionem.

Propterea universa figura constans ex tubis ER, &N, ZM, XA, circumscripta solido annulari facto à quadrilineo IABE, minus addit. supra ipsum solidum annulare, quàm sit solidum K. Ergo ipsa figura circumscripta adhuc minor erit cylindro OE. Quod est absurdum. Nam tubus AX. superat cylindrum XO: Tubus item MZ superat cylindrum ZS. et sic de reliquis per lemma 5.

Lem. 5.

Ponatur deinde (si possibile est) solidum annulare ge­nitum ex quadrilineo IABE, maius esse cylindro OE. po­naturque excessus aequalis solido cuidam K.

Peragatur similis constructio, ut supra; ita ut omnes tubi cylindrici BRNMA, minores iterum ostendantur so­lido K. Tunc enim figura inscripta in solido annulari prae­dicto constans ex tubis &B, ZR, XN, IM, minus deficiet ab ipso solido annulari, quà sit solidum K. Propterea eadem inscripta figura adhuc maior erit cylind. OE. Quod est absurdum. Nam tubus XH minor est cylindro XO; et tubus XN, minor est cylindro XT. Et sic de reliquis.

Lem. 5.

Patet ergo, quòd solidum annulare genitum ex conver­sione quadrilinei IABE, circa axem CD, aequales est cy­lindro OE. Siquidem ostensum est, neque minus neqne maius esse posse.

Lemma VII.

Esto hyperbola, cuius asymptoti angulum rectum con­tinentes, sint AB, BC; et convertatur figura circa axem AB, ita ut fiat solidum hyperbolicum, cuius infinita sit longitudo versus partes A. Secto deinde huiusmodi solido, plano DE ad axem erecto, super basi DE concipiatur cylindrus DFGE, ha­bens altitudinem DF. Intelligatur­que alius cylindrus BGLI, cuius altitudo sit BG, basis verò semi­diameter BO ponatur aequalis se­miaxi hyperbolae. Dico cylindrum BL duplum esse cylindri FE.

Nam cylindrus BL ad cylin­drum FE, rationem habet com­positam ex ratione basium, nempe ex ratione quadrati OB ad BG; et ex ratione altitudinum, nempe ex ratione rectae BG ad GE, sive quadrati BG ad rectangulum BGE. Ergò cylindrus BL, ad cylindrum FE, est ut quadratum OB, ad rectangulum BE. Nempe duplum. Quod erat etc.

THEOREMA.

Esto hyperbola, cuius asymptoti angulum rectum continentes sunt AB, AC. Et sumpto in hyperbola quolibet puncto D, ducatur DC pa­rallela ad BA. Tum conver­ tatur figura circa axem AB; ita ut fiat solidum acutum hyperbolicum infinitae lon­gitudinis versus partes B, (intellige semper punctum B in infinitam distantiam esse remotum). Constabitque prae­dictum solidum hyperboli­cum ex duobus solidis, nem­pe ex cylindro recto FEDC, et ex solido acuto EBD, cu­ius quidem basis erit circulus ED, altitudo verò sine fine.

Dico universum huiusmodi solidum FEBD aequale esse cylindro cuidam recto ACIH. cuius altitudo sit AC (nempe semidiameter basis acuti solidi) diameter verò basis AH. aequalis sit integro axi hyperbolae.

Sit enim (si possibile est) solidum hyperbolicum FEBDC minus cy­li ndro AI. Ponaturque ex cylindro AI cylindrus aliquis NCIL, qui ae- qualis sit solido hyperbolico; et producatur LNM donec hyperbolae occurrat in M. (occurret enim cum asymptoto AB supponatur parallela).

Iam cylindrus NI, aequalis erit solido annulari, quod describitur à revolutione quadrilinei mixti NMDC; et propterea minus omninò erit solido integro hyperbolico FEBDC. Non ergo eidem est aequalis. Quod est contra suppositum.

Lem. 6.

Ponatur deinde (si possibile est) solidum hyperbolicum FEBDC maius cylindro AI. Quoniam igitur solidum hyperbolicum FEBDC. (sive finitae magnitudinis sit, sive infinitae) maius supponitur quàm cylin­drus AI. Erit aliquod ipsius segmentum, puta FEOMDC, aequale cy­ lindro AI. Quod est absurdum. Nam solidum annulare factum à revo­lutione quadrilinei NMDC, aequale est cylindro NI; Cylindrus autem ON subduplus est cylindri NH. Ergò tota portio solidi hyperbolici FEOMDC, minor erit cylindro AI.

Lem. 6.

Lem. 7.

Patet ergo, quod universum solidum acutum hyperbolicum FEBDC, quanquam infinitae longitudinis sit, aequale tamen est praedicto cy­lindro AI. Quandoquidem neqne minus neque maius esse potest. Quod erat ostendendum etc.

APPENDIX DE DIMENSIONE COCHLEAE

Cum adhuc à nomine, quod ego sciam, Geometrica consideratione examinatum sit solidum vulgatum, et antiquissimum, meoque judicio aliqua animadversione non indignum (Cochleam intelligo), non abs re fore iudicavi illud brevi contemplatione prosequi.

Non enim aliena erit à praecedenti libello praesens speculatio, quae per Indivisibilia curva, superficiesque cylindricas procedit, Neque ingra­tum Geometris opus futurum existimo, si demonstravero cui figurae notae iam dimensionis, aequale sit solidum quiddam neque rectum, neque rotundum, sed spirali revolutione contortum, quale nullum adhuc inter mensuratas figuras possidet Geometria. Praemissa itaque defini­tione veniamus ad lemmata, qua fieri poterit brevitate, expedienda.

Definitio.

Si eodem tempore moveantur duae planae figu­ rae, quae semper in eodem plano consistant, nempe rectangulum ABCD. circa axem AB motu circulari aequabili, et figura quaecunque DE motu progres­sivo super latere DC. Solidum quod à figura geni­trice DE describitur, Cochleam appello.

Lemma Primum.

Esto solidum quodlibet rotundum ACBG; cuius axis sit AB, figura genitrix ABC; sectusque sit plano DFE aequidistantèr axi, et ad figuram genitricem erecto, quod quidem faciat in superficie solidi rotundi semisectionem lineam DFE. Dico solidum illud rotundum quod oritur ex revolutione figurae DFE, circa axem DE, aequari so­lido quod describitur à figura DCE circa axem AB revoluta.

Intelligatur enim solidum rotundum secari alio plano per CEG ducto, et ad axem AB erecto, eruntque puncta CFG in semicirculi pe­riphaeria cuius diameter est CG; et ideò quadratum IF aequale erit rectangulo CIG, et propterea (per lemma pri­mum praecedentis demonstrationis) circulus cuius radius IF, aequalis armillae quam recta CI describit circa axem AB. Et hoc semper verum erit ubicunque sit planum se­cans CFG. Ergo omnes simul circuli, nempe solidum rotun­dum factum à revolutione figurae DFE circa axem DE, aequales erunt omnibus armillis simul sumptis, hoc est solido facto à figura DCE, revoluta circa axem AB. Quod erat etc.

Lemma II.

Esto cylindrus rectus ABCD, et ex recta ED tamquam termino duae rectae lineae in superficie cylindrica aequales ipsi ED moveantur: quarum altera puro circulari motu Zonam EFAD describat, altera vero quocunque motu Zonam EH GOD designans, moveatur donec ambae ad unum, idemque latus cylindri puta AB pervenerint, Dico huiusmodi zonas, sive zonarum portio­nes inter se esse aequales.

Concipiatur enim trigonus cylin­dricus superior HFE transferri, et supra inferiorem GAD collocari, ita ut periphaeria FE ipsi AD superponatur, quae necessariò congruent, cum sint arcus aequalium cir­culorum et rectae sive chordae FE, AD (si ducantur) ae­quales sint per Propositionem 33. Primi Elementorum Euclidis.

Ipsa etiam recta FH congruet cum recta sibi aequali AG, aliàs duae rectae se intersecarent in superficie cylin­drica, quod esse non potest. Ipsa tandem curva HNE, qua­liscunque sit, congruet cum curva GOD. Nisi enim con­gruat; esto; et sit GMD translata curva HNE, quae non congruit cum GOD. Ductàque IN in superficie cylindri, erit MI inaequalis ipsi IO; ergo etiam NL, cum aequalis sit MI, erit inaequalis ipsi IO; ergo etiam NL, cum ae­qualis sit MI, erit inaequalis ipsi IO, quod esse non po­test; Cum enim per suppositionem aequales sint IL, ON, additàque sive ablatà communi LO, erit tota IO, aequalis tota NL. Propterea totum triangulum cylindricum HFE, aequale est triangulo cylindrico GAD. et ideò, per pro­straphaeresim, Zona EFAD, zonae EHGD est aequalis. Quod etc.

Lemma III.

Si rectangulum AB, et figura genitrix quacunque BCD moveantur, ut in definitione positum est donec peracta integra revolutione ad idem pla­ num redeant unde ceperant mo­veri. Dico factam cochleam pri­mae revolutionis DGH, aequalem esse annulo circulari, qui ab ea­dem figura genitrice describetur circa axem AE.

Concipiatur enim figura BCD describere primum cochleam pri­mae revolutionis DGH, quae ini­tium habeat à figura BCD, et finem in figura LFH. Deinde in­telligatur describere annulum circularem in se redeuntem, qui habeat initium et finem in figura eadem BCD.

Accipiatur in figura BCD quaelibet recta IO parallela axi AE, quae quidem recta IO in revolutione duas zonas cylindricas, et aequales (per lemma praecedens) describet, in una eademque cylindrica superficie, alteram quidem in cochlea, alteram verò in annulo. Et aequales semper erunt, ubicunque sumatur recta IO. ergo omnes simul zonae cy­lindricae quae sunt in cochlea, aequales erunt omnibus simul zonis cylindricis quae sunt in annulo, propterea et ipsa cochlea aequalis erit ipsi annulo. Quod etc.

Corollarium.

Hinc manifestum est omnes cochleas primae revolutionis esse inter se aequales, quandoquidem singulae eidem annulo circulari aequales sunt.

Lemma IV.

Manentibus ijs quae Apollonius supponit in XI, XII, et XIII, primi Conicorum. Esto conus ABC, sectus plano non verticali per FNR, faciente in superficie coni sectionem FNR quaequnque illa sit; cuius dia­meter esto FE. Ducaturque FI aequidistans ipsi AC. Tum fiat, ut FE ad EA (partem basis trian­guli per axem à vertice coni av­versam) ita IF ad FL. Dico FL esse latus rectum sectionis.

Ponatur FL ad punctum F utcumque, et ducatur DL ab extremitate axis; Accepto deinde quolibet puncto N in sectione applicetur NO, et per O agatur QP aequidistans ipsi AC; at OM ducatur parallela ad FL. Erit iam FO ad OQ, ut FE ad EA, sive ut IF ad FL, nempe ut PO ad OM, ob parallelas; Ergo rectangula FOM, POQ sunt aequalia; quamobrem rectangulum FOM aequale erit quadrato ON, et propterea FL rectum figurae latus. Quod etc.

Licet hoc verum sit in omni sectione coni, solam hy­perbolam depiximus, quoniam sola hyperbola facit ad rem nostram.

Lemma V.

Sit rectangulum AC, in eodem existens plano cum triangulo orthogonio EBF. convertatur circa manens latus AD donec ad locum redeat unde coepit moveri. Dico annulum circula­rem descriptum à triangulo EBF ae­qualem esse conoidi cuidam hyperbo­lico, cuius altitudinis sit BE; cuius latus rectum sit quarta proportiona­lium si fiat ut EB ad BF ita dupla BA ad aliam. Versum verò latur quarta sit proportionalium, si fiat ut FB ad BE, ita dupla BA ad aliam.

Convertatur figura uti dictum est, et rectangulum AC describat cylindrus cuius sectio per axem CM; intelliga­turque productam esse rectam FE, donec cum axe conve­niat in H, et cum MI in I. Manifestum est triangulum HAF describere conum GHF, cuius axis est AH: Conci­piatur iam secari conum GHF aequidistantèr axi plano per EB, sive per INM ducto quod quidem planum erectum sit ad figuram genitricem coni, nempe ad planum GHF. Eritque sectio in cono GHF hyperbola; Et propterea so­lidum quod describitur à triangulo MNG, sive EBF. circa axem AD, aequale erit (per lemma primum) conoidi hy­perbolico à praedicta hyperbola descripto. Huius autem conoidis, sive huius hyperbolae latus rectum habetur (per lemm. praeced.) si fiat ut NM, ad MG, ita EN, sive dupla BA ad aliam. Versum verò, quod est NI, habebitur si fiat ut GM ad MN, ita EN, sive dupla BA ad aliam quae erit NI. Quod erat etc.

per 4. sexti.

THEOREMA.

Cochlea primae revolutionis, quae describitur à triangulo EBF in praecedenti figura, aequalis est conoidi cuidam hyperbolico, cuius al­titudo sit EB; latus rectum sit quarta proportionalium, si fiat ut EB ad BF, ita dupla BA ad aliam. Versum verò latus sit quarta propor­tionalium, si fiat ut FB ad BE, ità dupla BA ad aliam.

Hoc enim patet ex iam demonstratis. Praedicta enim cochlea ae­qualis est (per lem. primum.) annulo facto à triangulo EBF. Sed an­nullus circularis trianguli EBF praedicto conoidi est aequalis (per lemma praecedens). Ergo patet quod propositum erat.

DE COCHLEA.

Scholium.

Cochlea verò cuius figura genitrix parallelogrammum rectangulum sit, aequalis est cylindro cuius altitudo sit EB, eadem cum altitudine figurae genitricis, semidiameter verò basis media proportionalis sit inter FB, et rectam compositam ex FA, AB.

Si verò figura genitrix circulus fuerit, erit facta co­chlea primae revolutionis ad sphaeram circuli genitoris, ut periphaeria quae describitur à radio, qui sit aequalis utrique, nempe rectae AB in praecedenti figura, semidia­metroque circuli genitoris, ad duas tertias diametri eiu­sdem circuli genitoris.

Reliquum esset ut Mechanica etiam Theoremata horum solidorum exequeremur, praesertim quando cochlea gigni­tur à triangulo; Centrum enim gravitatis in axe est, divi­ditque portiunculam quandam ipsius axis (aequalem ab­scindendam lateri EB, et circa punctum medium ipsius axis collocandam) veluti conoidis cuiusdam hyperbolici cen­trum secat proprium diametrum; sive praedictae portiun­culae semissem ita dividit, uti eandem secaret centrum gravitatis cuiusdam segmenti sphaerici duplam habentis altitudinem, basimque dato cuidam circulo aequalem. Sed tanti non est singulas istas nugas longiùs protrahere, ut te benevolum lecturem ulteriùs adhuc torqueamus. For­tasse etiam fiet, nisi universa haec, quae in istis libellis continentur, tibi displicuisse comperiam, ut ea quae hic desiderantur, et multò plura circa gravitatem, ipsiusque centrum, peculiari libello geometricè compraehendam. In­terim scio me patrocinium debere longissimae tot mensum desidiae: cum iam supra annum, ex quo opuscula haec maximis Geometris promissa sunt, producatur lentissima eorum impressio. quod quidem pluribus de causis factum est; neque hoc tam negligentiae meae imputandum est, quàm fortuitis quibusdam casibus, imperatisque. Accidit enim intermedio hoc tempore, ut plurium mensium studio atque labore inciderim in solutionem optici illius proble­matis tamdiù perquisiti, cuius videlicet figurae esse de­beant superficies vitrorum, quae ad usum Telescopij elabo­rantur. Exitus demonstrationem confirmavit. quamquam enim neque optatam figuram (ut credibile est) perfectè ha­berent, neque undequaque absoluta, et perpolita à Tirone adhuc inexperto, et inexercitato viderentur, ope tamen, et vi figurae illius ad quam proximè tantùm accedebant, ad eum usque perfectionis gradum pervenerunt, ut Telescopia optimi cuiusque artificis, cuius ad hunc diem fama in hac úrbe innotuerit, superaverint. Neque iudicium hoc perpe­ràm prolatum est; sed repetitis saepius, summaque cum diligentia varijs experimentis, nocte, dieque, et adhibitis eruditissimis testibus, quorum iudicium nemo iure damna­verit. Certè, qualecunque fuerit inventum, nescio plusne gaudij, laudisque mihi attulerit, an premij: quandoquidem Serenissimi Magni Ducis effusa, et vere Regia liberalitas magno auri pondere donatum me non semel voluit. Mirum itaque videri non debet quòd omissà per integrum seme­stre libellorum curà, totam operam novo invento, mihique in primis exoptatissimo, ne dicam utilissimo, impenderim. Factum etiam est ut hac de causa libelli minus ca­stigati evaserint; authore nimirum distracto, et ad alia, eaque diversissima, converso. Quapropter orandus etiam atque etiam es benevole lector, ut haec qualiacunque ae­qui, bonique facias, et errata vel toleres, vel corrigas. praesertim cum tam manifesta plerunque sint, ut nemi­nem fugere valeant, sed ultrò se se ipsa offerant; ut vi­dere est in prima statim epistola nuncupatoria, et su- binde satis frequenter in ijs quae sequuntur. Correctiones non addemus in fine operis, ut plerique solent; quia ne­que satis vacavit temporis ad mendosa omnia adnotanda, neque voluimus mutilà brevique recensione aliquot erra­torum, omnem deinde excusationi meae locum erripere; dum tacita praetermissio eorum, quae censum effugissent, tamquam approbationis quoddam genus mihi potuisset im­putari.

APPENDICE AL LEMMA XX DELLA MEMORIA “ DE DIMENSIONE PARABOLAE ”.

AVVERTIMENTO.

Sul recto della carta 1 del codice della Collezione Galileiana intitolato “ Disce­poli di Galileo T. XXXII — Torricelli Evangelista T. XII ” si legge, scritto di mano di Lodovico Serenai, quanto segue:

La inclusa è una risposta del Torricelli all'opposizione fatta da Tomm.o Bianchi Inglese contro il lemma 20, del trattato de Dimensione Parabolae stampato da esso Tor­ricelli.

Si potrà stampare col racconto, cioè appresso al racconto di varie proposizioni se non converrà luogo più a proposito.

Ma non penso a proposito stamparla col nome del Bianchi, perchè si vede che anco l'istesso Torricelli lo taceva nella sua risposta, fingendo non saperlo.

Forse Tommaso Bianchi non era l'oppositore ma quello che fece pervenire al Torri­celli l'opposizione altrui.

E segue a carte 2-7 il manoscritto autografo, portante sul recto delle carte 2, 4, 6, 7 i numeri rossi 57, 58, 59, 60 corrispondenti all'inventario dei mss. compilato da L. Serenai.

A c. 8-14 trovasi la copia conforme della stessa scrittura di mano di L. Serenai con la intestazione seguente:

Risposta a Tomm.o Bianchi e Racconto di alcune Proposizioni ecc.

Queste due fare di congiungerle insieme, et ambedue stamparle l'ultime di tutte le cose geometriche.

Facendosi ora la ristampa delle Opere del Torricelli che furono già edite nel 1644, si è creduto opportuno riprodurre dall'autografo questa scrittura come appendice alla memoria, De Dimensione Parabolae, che trovasi in questo Vol. I, dopo di avervi tolte alcune figure che parvero non indispensabili all'intelligenza del testo.

Giova avvertire che il personaggio qui indicato col nome di Tommaso Bianchi è Thomas Withe, nato a Hutton (Essex) nel 1593 e morto a Londra il 6 luglio 1676, il quale scrisse di teologia e di matematiche firmandosi Albius de Albiis, Anglus, Blackloe (o Blacklow), Bianchi, Candidus o Richworth. Di lui si trova menzione tanto in una lettera di R. F. de Sluse a Chr. Huygegs in data 5 agosto 1659 (Oeuvres com­plètes de Huggens, T. II. La Haye 1889, p. 450), quanto in una di M. A. Ricci al Torri­celli del 16 dicembre 1645 (v. la presente edizione, T. III, p. 348). Cfr. A. FAVARO. Amici e corrispondenti di G. Galilei, XXVII. Riccardo White (Atti del R. Istituto Ve­neto, T. LXXI, 1911-12. Parte II, p. 10-24).

APPENDICE AL LEMMA XX DELLA MEMORIA “ DE DIMENSIONE PARABOLAE ”

Lemma XX .

Quadrata omnium partium cuiuscumque rectae lineae subtripla sunt totidem quadratorum totius.

Dico propositionem hanc esse universalem, et proba­tionem ipsius esse particularem; et si Prop.o accipiatur universaliter esse falsam.

Esto enim linea AB seu CD ei aequalis et completo quadrato ducatur diameter BC et linea quaedam curva CB et ducantur in quadrato lineae EF, GH paral­lelae dictis AB, CD. Et manife­stum est lineas quae a BC duci possunt ad BD, quales sunt LF, et MH, constituere omnes partes linearum AB, seu CD. Rursus omnes lineas quae duci possunt parallelae lineis AB et CD a linea curva BC ad lineam BD, quales sunt IF, KH constituunt etiam ipse omnes partes lineae AB, sive CD, et tertio omnes lineae quae possunt duci a linea AC ad lineam curvam BC quales sunt EI, GK etiam ipse consti­tuunt omnes partes lineae AB, sive CD.

Evidens autem est superficiem mixtilineam BKCD esse maiorem triangulo BCD, et triangulum BCD esse maius superficie mixtilinea BKCA, id est omnes partes linea 2omodo sumptos esse maiores omnibus partibus eiusdem li­neae AB po modo sumptis. Et omnes partes dictae lineae AB po modo sumptas esse maiores omnibus partibus eiu­sdem lineae AB tertio modo sumptas.

Similiter si circumvoluta superficie BKCD circa axem BD fiat corpus convexum, et circumvoluto triangulo BCD circa eumdem axem BD fiat conus; et circumvoluta su­perficie BKCA circa axem AC fiat corpus extraconcavum, erit corpus primum maius 2o et secundum maius tertio; idest omnia quadrata partium lineae AB, sive CD se­cundo modo sumptarum erunt maiora quadratis partium eiusdem lineae sumptarum po modo. Et quadrata par­tium eiusdem lineae sumptarum 3o modo.

Quare cum probatio Auctoris procedat tantummodo de omnibus partibus et earum quadratis sumptis po modo est particularis; et conclusio in reliquis; sive de partibus 2o et 3o modo sumptis, et earum quadratis absolute falsa.

Rursus cum probatio lemmatis 21. pendeat a priore lemmate, ut patet per illa verbo pag. 142. vers. 19 Omnia vero quadrata intermediarum sectionem etc. sunt ut unum ad tria. Evidens est etiam hoc lemma eodem defectu laborare.

Tandem Propos.o 12 quatenus in probatione accipitur Ergo ex praecedenti lemmate parallelogrammum AB erit ipsius semiparabolae sesquialterum subiecta est eidem fal­laciae. quia quadrata partium subtripla non sunt quadrata partium terminatarum ad diametrum, qualium una est ML, sed partium terminatarum ad lineam curvam idest semi­parabolam, qualium una est IK. Probatio enim conclu­sionis eversa est talis. Quia omnia quadrata intermediarum quarum una est IK sunt subtripla totidem quadratorum lineae integrae AB sive CD; idcirco omnia rectangula ex linea AB sive CD cum suis partibus in reliquos partes, (quorum unum est IO in NI) sunt subsesquialtera dictorum quadratorum lineae AB, sive CD. Sed omnes lineae paral­lelogrammi (quarum una est BD) se habent ad omnes lineas parabolae (quarum una est IG) sicut omnia qua­drata CD ad omnia rectangula (quorum unum est OIN) ergo parabola est ad parallelogrammum ut 4 ad 6. Cum itaque. Propos.o illa fundamentalis quod omnia quadrata intermediarum quarum una est IK sunt subtripla totidem quadratorum sit falsa, tota substructio est caduca.

Sed fiat argumentum analytice et dicatur. Quadrata intermediarum sunt corpus parabolicum Conoides itaque ad cylindrum eiusdem altitudinis et basis, idest ad totidem quadrata totius CD ut unum ad duo: ergo parallelo­grammo omnia ex linea et omnibus partibus suis in reli­quas partes, aequalia erunt eisdem quadratis omnium par­tium: Ergo si parallelogrammum AD sit ad dimidiam parabolam sicut totidem quadrata CD ad omnia parallelo­gramma ex CD et omnibus suis partibus in reliquas partes erit parallelogrammum ad semiparabolam sicut duplum ad dimidium.

BUE, BUE, BUE.

Concedendum est tandem est (Cl. Vo.) omnes partes accipi quo­modo ipse volue rit: et in figura CEBD esse omnes partes lineae AB. Ergo inquit ipse omnia qua­drata figurae CEBD subtripla erunt totidem quadratorum totius AB. Concedo quatenus omnes li­neae figurae COBD sunt omnes partes rectae AB. Sed postea nego figuram solidam ex COBD esse subtriplam ad figuram ex AD. Nam ad hoc ut figurae solidae eandem servent rationem quam habent inter se omnia earundem indivisibilia, hoc mihi videtur omnino semper necessarium, videlicet quod indivisibilia utrimque sint aequaliter spissa, sive aequali quodam et continua spissatione constipata. Hoc autem in casu de quo agimus non ita se habet. Nam sumpto aliquo antece­dente, puta quadrato HI, certum est quando eius conse­quens sit IL, tunc etiam ex concessione Cl. Vi. inferri omnia ad omnia esse tripla. Sed quando consideramus figuram COBD consequens illud quod esse deberet LI est OH; manifestum ergo est in figura CEBD indivisibilia versus apicem spissiora esse quam in figura AD. atque hinc est quod figurae solidae servent aliam rationem ab ea quam habent omnia earum indivisibilia.

Siquis habeat in Arithmetica ratione decem virgas supra rectam AB disponendas semper aliam atque aliam spatij quantitatem poterit intercipere; si illas ineaequa­libus intervallis digestas disponat. Nam quo magis minores versus apicem addensabit eo maiorem superficiem inter­cipiet. Contra vero si raras collocet minores, densasque ma­iores. Illa denique erit semper certa et immutabilis ratio eiusdem spatij occupandi si date virgule super eadem recta linea aequalibus inter se divisae intervallibus statuantur.

THEOREMA.

Omnes simul partes alicuius numeri subduplae sunt eiusdem numeri toties sumpti quot ipse habet partes.

Exempli gratia proponatur numerus 5. omnes eius par­tes sunt 1. 2. 3. 4. quarum summa est 10. quae quidem summa subdupla est numeri 20. nempe eiusdem numeri 5. quater sumpti, cum ipsi quater partes habeat. Idem etiam verum est in quantitate continua si supponamus quamlibet minimam mensuram, exempligratia esto quantitas AB, sup­positaque qualibet eius mensura AC tanquam indivisibili, si accipiantur omnes partes ipsius AB subduplae erunt ma­gnitudinis AB toties sumptae quot ipsa habebit partes. Cave tamen ne intelligas partes aequales inter se nam hoc non facit ad rem nostram.

Certe ego nulla alia ratione possum concipere omnes partes alicuius rectae lineae. Satis etiam manifeste mihi videbar ostendisse in demonstratione lemmatis 20. de Quadr.a Parabolae me hoc modo tantum accipere omnes partes alicuius rectae lineae. Pro una enim ex illis infi­nitis partibus semper accepi... et non... quamquam postea hanc illi substituerim cum illi aequali sit. Hoc enim modo tot erunt omnes partes alicuius rectae lineae quot sunt eiusdem omnia puncta recti transitus: et propterea eiu­sdem rectae lineae sive aequalium rectarum linearum par­tes erunt non sotum multitudine aequales, sed etiam ma­gnitudine singulae singulis, et si hoc magis placet omnes simul omnibus simul.

Excessuque partium idem semper erit tam in primis quam in medijs, ultimisque partibus datae lineae et aequa­libus semper differentijs procedet continuato quodam ar­gumento, ut omnino fieri debet ad hoc ut alicuius quan­titatis omnes partes recte accipiantur. Si enim proponatur exempli gratia numerus aliquis puta 20. cuius iubeamur omnes partes accipere (partes dicuntur in tota hac con­troversia quae suo toto minores sunt) si quatuor ex mi­noribus partibus creverit quatuor unitatibus, totidem vero partes ex medijs sive ex maioribus crescant cum eodem augmento, sive plus sive minus quam quatuor unitatibus manifestum est omnes partes dati numeri non recte sum­ptas esse.

Nam in quantitate discreta nempe in numeris unitates pro indivisibilibus habentur. ergo singulae partes numeri 20. debent se se excedere eadem semper differentia, hoc est semper indivisibili, sive una unitate. Hinc est quod si acci­piamus quotcunque partes dati numeri dumodo se se dein­ceps consequantur, totidemque etiam ex maioribus eodem modo deinceps contiguas consideremus idem erit incremen­tum utrinque tam in parvis quam in magnis partibus.

Quod demum tunc verum erit quando quodlibet ante­cedens rationis suo consequenti vel supraponetur, vel ad idem punctum eadem recta linea terminabunt.

Sed ego iubeo hunc laborem gratis ostendendi scilicet quod nullo alio modo praeterquam a me usurpato accipi possint omnes partes alicuius rectae lineae. Incumbebat enim ipsi Cl. Viro tamquam proponenti et pronuntianti hoc, suam propositionem probare. Sed quia iam provin­ciam suscepi, prosequamur.

Pronuncio contrarium nempe solum eas quae ducuntur ex BC ad BD esse vere omnes partes & nam rectae que ab AC ducuntur ad CKIB nullo modo possunt esse par­tes et hoc probo quia sumpto in CA quolibet puncto G. erit CG una ex omnibus partibus & sed GH est minor. Item una ex omnibus partibus erit CE, sed EI est mi­nor. ergo omnes lineae figurae ACKB sunt minores omni­bus partibus rectae & singulae singulis.

Quia vero hic omnes partes sumuntur secundum defi­ninitionem meam, quod fortasse non arridebit Cl. Viro, sumamus omnes partes eo modo quo ipse etiam concessit, dum dixit...

Prima controversia versari videtur circa illud meum dictum in lemmate 20. de Quad.ra Parabolae, ubi omnes partes alicuius rectae lineae nominavi. Disputatur enim de hoc. Utrum omnes partes alicuius rectae lineae unico tantum modo sumi possunt ut mihi videbatur, an pluribus modis, ut videtur, Cl.o Viro quicunque ille sit.

Principio ponam rationes quae mihi persuadent omnes partes alicuius rectae lineae unico tantum modo accipi posse, deinde fallacias detegere conabor, quae Cl. Viro persuaserunt pluribus modis praedictas partes accipi posse.

Si quis etiam sine magna attentione considerabit de­monstrationes meorum lemmatum 20. et 21. de Quad.raParabolae manifeste videbit me accepisses dictum illud omnes partes alicuius rectae lineae iuxta sensum sequentis definitionis.

Omnes partes alicuius datae rectae lineae nihil aliud sunt nisi omnes lineae, quae inter alterum datae rectae lineae extremum et singula ipsius puncta intercipiuntur.

DE TACTIONIBUS.

AVVERTIMENTO.

Lo scritto seguente è inedito. L'originale si trova a Firenze nel Vol. XXVI della Collezione: “ Discepoli di Galileo ”, accompagnato da una copia fattane dal Serenai, da una compilazione dovuta al Viviani, da alcune note di questo e final­mente da un Indice scritto dallo stesso Viviani; nel prepararlo per la stampa ci siamo serviti tanto dell'originale, quanto della copia, ricorrendo alla compilazione soltanto quando ciò fu indispensabile.

Benchè l'esordio dello scritto in questione indurrebbe a pensare di trovarsi in presenza di un lavoro già pronto per la stampa, in realtà si tratta di un semplice abbozzo, ben lontano dalla perfezione di forma che hanno gli scritti pubblicati dal Torricelli; a provarlo basti dire che, mentre la lingua adottata è la latina, si tro­vano qua e là delle frasi italiane e che buon numero di problemi sono risolti due o più volte con procedimenti sostanzialmente identici. Ora nel prepararlo per la stampa noi abbiamo reputato opportuno il sopprimere tutte le ripetizioni, che avrebbero rappresentato un inutile ingombro e sarebbero state cagione di tedio per il lettore. Ci siamo anche permessi di omettere alcuni passi non aventi legame col resto e che si direbbero semplici appunti relativi a idee abbandonate poi come poco importanti; però le soppressioni di entrambe le specie vennero sempre dichiarate.

Per rendere più agevole la lettura del presente lavoro, oltre a dare migliore aspetto alle figure, si è diviso tutto il lavoro in paragrafi, che indicammo col mezzo di numeri scritti entro parentesi quadre, seguendo il sistema generale adottato per distinguere le aggiunte ed osservazioni dell'editore da quanto scrisse l'autore.

Volendo assegnare approssimativamente l'epoca a cui risalgono queste ricerche “ sui contatti ”, giova osservare che a tergo della pagina dell'originale ove sta scritto il proemio, si trova una bozza della lettera pubblicata a pag. 69 del Vol. III della presente edizione, lettera alla quale venne assegnata la data “ Febbrajo 1642 ”; è pertanto da ritenere quelle ricerche non posteriori a tale anno.

Rimandiamo alcune osservazioni sul presente opuscolo ad una Nota finale; ma riferiamo qui le seguenti parole con cui il Torricelli (immediatamente prima del paragrafo [26] del suo lavoro) ha pronunciato una specie di giudizio sulla propria opera: SI PRETENDE DI FAR TUTTE QUESTE COSE CON L'INTELLETTO, IC NON CON LA PRA­TICA; PERÒ MI PROTESTO D'HAVER SEGU TATO ALLE VOLTE LE SOLUTIONI PIÙ TOSTO INGE­GNOSE CHE LE FACILI.

DE TACTIONIBUS

Nimium profecto praestiturus eras amice lector etiam sine praefatione libellum lecturus: fuisset supra notum fateor, si tu vel solum librum eruditis oculis inspexisses. Ego tamen qui legitime ob hoc opus accusari possem, ne me ipsum in causa propria deseruisse viderer, pro re pauca loqui, et prologi opem invocare, necesse indicavi, et ve­nerat mihi in mentem tamquam lusus geometricus solutio problematis illius, quod de tactionibus ex Apol.[lonius] P.[ergaeus] refere P.[appus] A.[lexandrinus] l. 7 Math. Coll. Volvebam animo nihil ex libro praestantissimi auctoris praeter superstitem memoriam ad nos pervenisse; attamen omnia suppleri posse existimabam primum, deinde addita etiam demonstratione confirmabam. Quia vero problematis casus valde multiplex erat, et modus solutionis nostrae satis simplex videbatur, utrumque consideratione dignum, et scriptione existimavi. Facto itaque iam libello, forte mihi refertur idem argumentum tractatum fuisse ab exi­mijs scriptoribus, quorum opera exposita iam in theatro famae, et immortalitatis legebantur. Erubui primum, et peracti laboris (quicunque fuerit) acriter paenituit. Cogi­tabam me tironem, et in castris geometriae prima vix iam stipendia commerentem in eandem arenam descen­disse cum maximis geometris. Latuit ob hanc causam integro iam septennio opusculum meum, donec aeversus Romam audiverum ab amicis eruditis, quod scriptores qui hoc argumentum tractaverunt, nihil de sectionibus conicis edidissent etc.

Propos. 4. lib. 2. descriptio hyperbolae. Pappus Eutoci ad lib. 5. Apollonij idem.magnum illud geometriae opus nisi daretur sectionum conicarum non dicam descriptio, sed saltem pura et vere geometrica contemplatio. Quando igitur determinabimus et omnino ostendemus centrum quesiti circuli esse con­cursu duarum sectionum, quarum axes, et foci, et vertices dati sint, satis superque erit ad erudiendum intellectum, cuius tantum gratia contemplationem aggredimur.

A. Volvebam animo, nihil ex libro praestantissimi au­ctoris praeter superstitem memoriam ad nos pervenire attamen omnino suppleri posse existimabam primum de­inde addita demonstratione comprobabam.

B. Fateor supra notum fuisset si tu vel solum librum eruditis oculis inspexisses.

Has in theoricas contemplatione conscribo non ut ali­quis circulos se se mutuo contingentes circino regulaque describat, sed ut unusquisque intellectu percipiat, et ipsa mentis acie aperte videat ubi sit centrum circuli quaesiti. Sic ipse geometrarum princeps docuit nos non triangu­lum exhibere dato circulo aequale, sed cui triangulo ae­qualis sit, sola speculatione contentus, sine pratica de­monstravit, asserens tale triangulum omnino aequale esse proposito circulo. Sic etiam antiquos, et magni nominis geometras constat ad solutionem problematum lineis co­nicis usos fuisse magna quidem felicitate, majore ingenij laude. Apollonius ipse meo quidem inditio frustra con­scripsisset magnum illud geometriae opus nisi daretur sectionum conicarum non dicam descriptio, sed saltem sunt et vero geometrica contemplatio.

Visum tandem est haec tibi dare non arcea sed potius ut ita dicam tamquam aliena et ipsi Apollonio referenda. Quis enim neget maximum conicorum opificem hoc opus de tactionibus perficere voluisse propria artis instrumentis et machinis officine sue. Quis dicat illum nescivisse?

Sed aliquis nimis delicatus huiusmodi solutione per loca ut appellant solida non probat.

Vix enim in animum inducere possum Ap.ni P. ad so­lutionem problematis de Tactionibus invenienda alijs me­dijs usum fuisse quam suis, hoc est parabola, hyperbola, ellipsi, etc.

[1] PROPOS.o A datis tribus centris tres circulos descri­bere qui se se mutuo contingant.

Sint [Fig. 1] data centra

[Fig. 1].A, B, C, et nectatur triangu­lum ABC, fiat iam BD ae­qualis BC minimo lateri, et AD reliquae fiat aequalis ipsa AE et reliqua EC secetur in I bifariam; erit IC una semi­diameter, ac propterea datae erunt tam FB quam AH. Dico iam descriptis ad contactum duobus circulis ex C et B, reliquos AH, AI aequales re­manere. Tota enim BD ae­qualis est BC, et ablatae aequales, ergo DH remanet aequalis ipsi FC, hoc est IC, hoc est EI, additis vero aequalibus AD, AE

[Fig. 2].tota AH aequalis erit toti AI. Quare ter­tius circulus tanget priores etc.

Aliter etiam idem exequetur hoc modo. Super [Fig. 2] maiori latere AC sumatur AE aequalis ipsi AB, et CD aequalis ipsi CB, dividaturque ED bifariam in I. Erit CI una semidiame­trorum, ac propterea datae omnes relique BF, FA. Cum enim tota CD toti CB sit aequalis et ablatae sint aequales, erit DI, BH hoc est BF aequalis: est ergo BF aequalis IE. Sed erant AB, AE aequales ergo ablatis aequalibus remanent semidiametri AF, AI aequales. Ut supra. Idem CD, CB sunt aequales ergo HB, ID vel FB, IE, ergo reliquae AF, AI.

His premonstratis, et ut dictum est rectis lineis in punctis D, E, I patet.

Hyperbolam quae vertice D focis vero A, B describitur transire per C et illam quae vertice E et focis B, C de­scribi transire per A etc.

Parim inter AD, DB quaedam est differentia, et eadem inter AI, BE, additis vero aequalibus eadem erit etiam inter AC et BC, punctum ergo C erit in hyperbola cuius vertix D foci autem A, B.

Hinc patet tertia solutio problematis non datis focis A, B et puncte C describi potest hyperbola CD datum ergo et punctum D.

PROPOS.o Intra datum triangulum circulum describere ita ut si ab angulis tres circuli describantur illum omnes et sese mutuo contingant.

Fiat [Fig. 3] hyperbola DJC ex puncto contactus. Item

[Fig. 3].alia EJ quae priori occurrat in J. Erit J centrum quaesiti circuli.

I. Dato circulo lineam tangentem ducere et a dato puncto eam ducere.

II. Data linea circulum tangentem ducere,

et dato centro.

= et per datum punctum.

= et datae magnitudinis.

III. Dato circulo circulum tangentem ducere

= et ad datum punctum

= et datae magnitudinis

= et per datum punctum datae magnitudinis.

IV. Datis duobus circulos lineam utrique tangentem com­munem dare ad easdem partes

= item transverse non ad eosdem partes

= datae rectae lineae duos circulos tangentes ad data duo puncta aplicare =

[Fig. 4].

[2] Sit [Fig. 4] hyperbola CG cuius foci A, B et cen- tris A, B ad intervallum lateris transversi DC duo circuli descripti sint. Dico duas quascunque lineas OG, GB, vel NF, FB, vel ME, EB, vel QC , CB, esse aequalis, etc.

Nam AC, DB, sunt aequales, et ablatis aequalibus AQ, DC remanent aequales QC, CB, etc. unica vero ratione cum quaelibet ex A superet quamlibet ex B, differentia eadem AO, AN, AM. Ablatis differentijs remanebunt reli­quae aequalis.

Rursus omnes CR, EL, FI, GH, aequales esse singulis AC, AE, AF, AG.

Sunt enim AD, CB aequalis et additis aequalibus erunt totae AC, CR aequales etc. et quia singulae ex B deffi­ciunt a singulis EA. eadem differentia erunt omnes ex B cum d.a differentia aequalis omnibus et singulis ex A pro­ductis.

[3] Dato [Fig. 5] circulo qui et AI et dato puncto B circulum describere oportet qui cum transeat per B con­

[Fig. 5].tingat circulum qui ex A et ipsi sint datae magnitudinis (non tamen minoris diametri quam BH).

Sit datum semidiam. BC describaturque ex B circulus CE in quo erit centrum quaesiti cum debeat transire per B. Sit deinde AD aequalis utrique semidiametro AH et BC factoque circulo ex A secet priorem in E (secabit enim semper). Dico E esse centrum quaesitum et circulum ex E per B ductum tangere eum qui ex A. Tota enim AD sive AE facta est aequalis duobus semidiametris nempe suppositae et datae; ablata igitur supposita AI, remanet IE aequalis reliquae BC; ergo si per B describatur circulus transibit per I.

Dico non alium esse circulum huiusmodi, dempto eo qui ex G. Si enim esset ut ex O, essent due AO, AE ae­quales inter se quod est absurdum, essent aequales quia utraque constaret ex duabus semidiametris aequalibus BC, AH.

[4] Dato [Fig. 6] puncto C extra circulum dico centra omnium circulorum qui per datum punctum transeunt,

[Fig. 6].tanguntqu. datum circulum, centrum habere in ea hyper­bola cuius foci punctum datum, et circuli dati centrum, vertex vero medium lineae inter punctum datum et con­vexum circuli dati.

Tangat ut ponitur circulum ex B circulus qui ex A et transeat per C, superat ergo BA ipsam CA differentia BD quas BF superat FC est; ergo punctum A in hyper­bola etc.

Si vero etiam punctum E datum sit fiat hyperbola, et deinde producatur BE ad A dico circulum ex A per C ductum tangere in E etc.

[5] PROPOS.o Datae magnitudinis circulum describere qui per datum transeat punctum et datum circulum con­tingat.

Sit datus circulus ex AI [Fig. 7], datum punctum sit B et data sit magnitudo IF que minor non sit dimidia IB.

[Fig. 7].Fiat hyperbola CD cuius vertex C foci vero AB, et inter­vallo AF centro A. Fiat circulus FD (cum enim maior sit AF quam AC) occurret circulus hyperbolae, occurrat in D. Dico circulum ex D centro per B ductum tangere circulum qui ex A, et esse datae magnitudinis. Ducatur AD, jam sic, quia D punctum est in hyperbola, circulus ex D per B ductus tanget circulum datum per ea quae ostendimus in precedenti et quia AF, AD sunt aequales, ablatis AI, AE, remanent IF, ED aequales; est ergo cir­culus datae magnitudinis.

[6] PROPOS.o Dato [Fig. 8] circulo ex A, datoque puncto B, per quod ducere oporteat circulum qui contingat in dato puncto C.

[Fig. 8].

Ducatur AC infinite, iungatur CB et secetur bifariam ad angulosque rectos ab ipsa ED, et occurret in D. Dico circulum ex D per B descriptum tangere datum circulum in dato puncto C. Ducatur BD. Duo igitur triangula CED, BED per 4 p.i habent latus BD

[Fig. 9].aequale lateri CD. Patet ergo propositum.

[7] Per [Fig. 9] datum A cir­culum describere, qui datam rec­tam tangat, et sit datae magni­tudinis (non tamen minoris dia­metri quam recta AI).

Sumatur data magnitudo se­midiameter AD, et describatur circulus DE, in quo erit centrum quaesiti. Ducatur deinde ED recta parallela ipsi BC per F et sit IF aequalis ipsi AD semidiametro datae. Occurret recta ED circulo ED (nam quaelibet AL et IF maiores sunt dimidio totius AI) ut in D; dico circulum ex D per A tangere rectam et esse datae magnitudinis. Cum enim AD, FI sint aequales, erunt AD, DC aequales et est DC perpendicularis. Ergo circulus ex D per A con­tinget in C et erit datae magnitudinis.

[8] Indiget lemmate.

Datis duobus circulis lineam utrique communem tangen­tem dare.

Factum iam sit [Fig. 10] et CE tangat utrumque; eruut anguli ad D et ad E recti, quare DB et EA paral­

[Fig. 10].lelae erunt. Ergo ut EA ad DB ita AC ad CB; sed EA, DB datae sunt et data est differentia reliquarum BA, ergo datur punctum C.

Componetur autem hoc modo: Sint dati circuli qui ex A et B, fiat ut EA ad DB ita AC ad CB; dico lineam quae ducitur ex C et reliqua sunt in priori libello.

Datis ut supra oporteat invenire lineam transverse con­tingentem.

Factum jam sit [Fig. 11] et DE tangat utrunque erunt

[Fig. 11].anguli ad D et E recti et ad C sunt ad verticem, ergo per 4. 6i. ut AE ad DB ita AC ad CB. Datae sunt AE, BD, et data tota BA, ergo reliquae BC, CA datae sunt. AE, BD et data tota BA ergo relique BC, CA date sunt etc. Componetur autem ut in priori libello.

[9] Ecce duo lemmata quae desunt.

Datis duabus lineis [Fig. 12] A et B oportet duas alias invenire, quarum differentia sit data CD .

[Fig. 12].

Producatur utrinque in infinitum, et ad puncta C, D duae rectae ponantur utcumque parallelae et aequales datis A, B; iunganturque puncta E, F et EF occurret in I. Factum est quod ponitur. Erit enim ut FD ad EC, hoc est ut B ad A, ita ID ad IC, quarum differentia est recta CD.

Aliud. Datis A, B duas reperire quae simul datam rectam CF constituant.

Pone [Fig. 13] ad extrema puncta CD, FG parallelas ad quemlibet angulum, et aequales duabus B, A; iunga­turque DG, quae secet in E. Erit per 4. 6.i ut CD ad FG ita CE ad EF, hoc est ut B ad A, ita CE ad EF quae simul datam rectam componunt.

[Fig. 13].

[10] Sit [Fig. 14] data recta AB et data in ea duo puncta B, C; oportet duos circulos describere tangentes rectam in C et B, quarum centra sint in directum ipsi puncto A.

[Fig. 14].

Ponantur CD, BE ad angulos rectos, sumptoq, alte­rutro centro ad libitum ut G ducatur AG; erit punctum sectionis F centrum alterius. Patet utrunq contingere nam semidiametri FC, GB angulos rectos faciunt ad C et B.

Quando data sit magnitudo unius verbigratia maioris, sumatur magnitudo quelibet BG, reliqua fiant ut supra et si data sit magnitudo minoris sumatur data magnitudo FC et fiat ut supra.

Patet etiam datam esse proportionem diametrorum ut est enim AB ad AC ita BG ad CF.

[Fig. 15].

Data iam sit [Fig. 15] recta BC et oporteat de­scribere duos circulos tangentes in B et C, quo­rum centra sint in di­rectum dato puncto A. Ponantur ad rectos angu­los CF, BG, sumptoque unius quolibet centro F, (nisi data sit magnitudo certa FC) fiat circa semidiame­trum FC circulus et ducta FG per A, dabit reliquum centrum. Nota quod punctum A potest iam dari extra lineam et magnitudo circulorum non est...

CONTACTUS CIRCULORUM, ET LINEARUM RECTARUM.

OLIM LIBER APOLLONIJ PERGEI, NUNC LUSUS GEOMETRICUS.

[11] A dato puncto ad datum circulum rectam lineam contingentem applicare.

Hoc problema soluit Euclides Lib. 3o. Item Apollonius lib. 2o. hoc modo.

Datum punctum sit [Fig. 16]

[Fig. 16].A, ergo AB data est, fiat ut BA ad AC ita BD ad DC et DE recta sit ad diametrum demon­strat rectam lineam AE circulum tangere in E.

Dico nullam aliam lineam da­tum circulum tangere posse ab eodem puncto A. Tangat enim si potest AF et iungantur IF, IE. Erunt ergo anguli AFI, AEI ae­quales inter se quod est absurdum.

Aliter. A dato puncto [Fig.

[Fig. 17].17] A, opportet dato circulo lineam contingentem appli­care.

Fiat AD media proportio­nalis inter AE, AF; centroque A intervallo AD describatur circulus qui secet in C. Dico AC circulum tangere iunga­tur BC. Et quia quod AC factum est aequale rectan­gulo EAF recta AC contin­gens erit. per ult. 3.i elem.

[12] Data recta linea cir­culum describere qui illam tangat transeatque pur datum punctum.

Sit data recta linea [Fig. 18] AB; oportet per punctum C circulum ducere qui datam lineam tan­

[Fig. 18].gat. Ducatur CD utcunque et sit ED per­pend. ad AB. Fiat deinde angulus DCE aequalis angulo EDC. Dico circulum cen­tro E intervallo ED descriptum per C transire. Hoc patet ex aequalitatem angu­lorum tangit autem lineam BA propter angulum rectum.

Hinc etiam manifestum est per datum punctum circulum duci posse, qui datam lineam rectam tangat in dato puncto. Sumptum fuit enim punctum D ad libitum et decet dat. magnitud.

[13] Datis duobus circulis, rectam lineam ducere quae utrumque tangat circuvlum .

Sint p.o aequalis dati circuli, in quo casu patet quod quaeritur.

Sit iam [Fig. 19] AE maior quam BD, fiat ut AE ad BD ita EC ad CD et ex puncto C duca­

[Fig. 19].tur recta linea quae tangat alterum in B, dico alterum quoque contingere in A.

Ducatur enim ad contactum B recta BD quae erit ad ang. rectos ipsi AC, et ducatur item ad ang. rectos eidem EA donec conveniat. Manifestum est EA aequalem esse semidiametro, ergo CA convenit cum circulo, sed angulus A rectus est, ergo tangit in A.

Dico praeterea eosdem circulos ad eosdem partes aliam tangentem non habere.

Quod enim ex puncto C aliam non habeant manifestum est, nam transi­ret vel supra vel infra B, quia cir­culus B aliam tangentem non habet ab eodem puncto.

Tangat si possibile est utrunque li­nea ex F ducta. Erit ob angulos G et I, ut EI ad DG ita EF ad FE. Sed ita erat EC ad CD; ergo divi­dendo erit ut ED ad DF ita ED ad DC, quod est absurdum.

Iisdem datis rectam lineam du­cere inter periferias, quae utrunque contingat.

Fiat [Fig. 20] ut

[Fig. 20].AD ad BE ita AC ad CB et per C ducatur ipsa CD contingens in D. Dico eandem productam tangere in E. Sit enim BE pa­rallela ipsi AD, et con­veniat cum DE, erit ut AC ad CB ita AD ad BE quare BE semidiameter erit. Sed angulus ad E rectus ergo, CE tan­git in E.

Dico iam non esse aliam communem tangentem si qui­dem per C neuter admittit secundam tangentem; sit ergo si possibile est DFE communis tangens; erunt triangula ADF, BEF similia, propter rectos DE et aequales ad F angulos. Erit ergo AF ad FB ita ut erat AC ad CB, quod est absurdum.

[14] Lemma. Datis duabus lineis quae non sint paral­lelae, rectam lineam ducere quae comprehensum ab illis angulum bifariam secet, etiam si angulus per distantiam non habeatur.

Sint [Fig. 21] datae li­

[Fig. 21].neae AB, CD. Sumatur quodlibet punctum E, sit­que EF parallela ipsi CD, fiat triangulum AFE, ae­quicrure cuius vertex E, et AF producatur a cuius medio H excitetur ad an­gulos rectos HI. Patet HI secare bifariam angulum occultum. Nam propter paral­lelam FE, triangula cuius bases AF et AC sunt similia, ergo illus cuius basis AC est equicrure. Sed basis secatur bifariam a perpendiculari, ergo etiam angulus.

[15] Datis duabus rectis lineis per punctum in altera earum datum circulum describere

[Fig. 22].qui utramqu. contingat.

Si sint [Fig. 22] datae rectae lineae AB, CD in ter se parallelae et datum punctum sit E. Ducatur perpendicolaris EF, et circa dia­metrum EF habebis circulum quae­situm.

Sint [Fig. 23] iam AB, CD non parallelae. Ducatur FG quae an­gulum illarum secet bifariam, sitqu. datum punctum E, ducatur EH perpendicularis

[Fig. 23].ad AB; dico circulum ex H descriptum intervallo HE, lineam quoque CD contingere. Ducatur enim HI ad angulos rectos ipsi CD, erit propter angulos aequales ad G, et rectos ad E, I et latus com­mune HG erit inquam latus HE aequalis HI. Hoc est HI semidiameter est; sed anguli ad I sunt recti, ergo tangens est.

[16] Lemma. Clarum est ex doctrina conica quod si linea AB hyperbole erit cuius foci sint C, D, omnes lineae a punctis C, D ad aliquod punctum hyperbolae conve­nientes eandem habebunt differen­tiam quam habent DA, AC.

[Fig. 24].

His ita suppositis [Fig. 24], sit hyperbole ABC cuius foci D et E. Dico duas lineas eandem quam EA ad differentiam habentes ad ali­quod punctum extra hyperbole con­venire non posse. Conveniant si possunt ad I, et ipsa DI secet hy­perbolam in B iungatur BE. Ergo ex ipsa suppositione inter DB, BE eadem erit differentia quae inter DI, IE, quod esse absurdum ita ostendo. Sit idem communi excessus DF, et iungatur FF, erunt FI, IE aequales item FB, BE aequales ergo angulus ad F aequalis erit duobus ad E, quod est absurdum.

[17] Lemma aliud. Si tota

[Fig. 25].[Fig. 25] recta AB secta sit bifariam in C, deinde utraque partium secta sit utcunque in D et E. Dico eandem esse differentiam inter duas sectiones medias DC, CE, quae est inter extremas.

Sit BE minor quam AD, et ponatur AF ipsi EB aequalis, erit FD differentia extremarum. Sed ab aequalibus CB, CA deme aequales FA, EB remanebit CF ipsi CE aequalis ergo patet eandem FD esse quoque mediarum differentiam. Quod opportebat idem sequit de duabus lineis et quae sint aequales etc.

[18] Datis focis hyperboles, datoque eiusdem latere tran­sverso, sive ipsius transitu hyperbole potest describi.

Patet ex elementaris Conicis Apoll.i

[19] Datis duobus cir­

[Fig. 26].culis, circulum descri­bere, qui tangat et in­cludat utrunque datorum circulorum.

Sint [Fig. 26] duo cir­culi ex A, B centris dex­cripti et opporteat descri­bere circulum qui tangat et includat utrunque

Factum iam sit, et circulus ex E centro tangat utrunque in C, D. Dico centrum E esse in hyperbola cuius foci A, B, transitus vero F, punctum

[Fig. 27].medium totius IH. Cum enim ED, EC sint aequales erit eadem differentia inter BE, EA, quae est inter semidia­metrum CA, BD contrario modo; quare tota CE, toti DE aequalis erit. Ergo cir­culus ex E tanget utrunque in C et D; compositio ergo patet.

Circulum describere qui duos datos circulos tangat convexa sui parti.

Factum iam sit [Fig. 27], et circulus ex centro G tan­gat utrumque datorum in E, F. Secta sit bifariam DC in I, et focis AB descripta sit hyperbole IG, centrum circuli tangentis erit in hac hyperbola. Nam inter AI, IB, est differentia adiectarum, et inter AG, GB est differentia ea­rundem per antecedens lemma; per lemma erit G punctum hyperbolae.

[20] Lemma. Si [Fig. 28] recta

[Fig. 28].linea AB, secta sit bifariam in C, et addita sit BD, dempta vero AE, erit differentia inter DC, CE, ae­qualis aggregato ex AE, BD. Nam sit FA aequalis BD erit tota FC aequalis toti CD ergo differentia inter CD, CE erit FE.

Convertitur hoc modo. Si

[Fig. 29].[Fig. 29] DC superabit CE aliquo excessu ut EF, cuius excessus altera pars auferatur ut BD, altera vero AE, addatur; dico AC, CB aequales esse. Sunt enim DC, CF aequalis, sed BD, AF fiunt ae­quales, ergo reliquae AC, CB sunt aequalis.

[21] Datis duobus circulis, circulum describere qui utrunque datorum tangat, sed alterum includat, alterum excludat.

Factum iam sit [Fig.

[Fig. 30].30] et circulus ex G tangat utrumque dato­rum in F, I, ut ponitur.

Secetur bifariam AE in D et focis C, B describatur hyperbole quae sit DG. Per ante­cedens lemma BD su­perabit DC toto aggre­gato BE, CA. Pariter BG superabit GC eodem aggregato nempe BI, GF, quare punctum G in hyperbola erit. Eodem modo demonstra­bitur centrum cuiuscumque circuli contingentis esse in ea­dem hyperbola.

Compositio erit hacc. Dividatur AE bifariam in D et fiat hyperbole ut dictum est. Sumpto deinde quolibet puncto in hyperbole ut G. Ducatur GF per centrum C. Dico circulum centro quidem G intervallo vero GF de­scriptum tangere alterum circulum. Ducatur enim GB, et quia punctum G est in hyperbola erit differentia inter BG, GC eodem quae inter BD, DC (nempe aggregatum semi­diametrum BE, CA, per lemma antecedens). Si, ergo, pars differentiae dematur ut BI, altera pars addatur ut FC, fient IG, FG aequales; ut est demonstratum, etc.

Si vero duo dati circuli exterius se contingant idem ostendetur, nempe centra omnium contingentium parte sui concava, esse in quadam hyperbola, omnium vero contin­gentium parte sui convexo centra esse in alia hyperbola.

Sint dati circuli circa C, D centra descripti [Fig. 31] centrum circuli tangentis convexo quicunque ille sit, ut G,

[Fig. 31].erit in hyperbola cuius foci C, D, transitus vero per I, punctum contactus supositi. Hoc facili apparet ex demon­stratis.

Centrum vero circuli tangentis concavo erit iu illa hy­perbola cuius foci C, D, transitus vero per E, punctum scilicet medium totius rectae AB. Hoc etiam patet ex is quae ante demonstrata sunt.

Circulus autem transversus quicunque ille sit habebit centrum in recta AB infinite producta, extra tamen ipsa CD. Manifestum est.

[22] Hoc supponendum est. Ellipsis linea geometrica ha­bet hoc peculiare. Sit [Fig. 32]

[Fig. 32].elipsis circa focos A, B. De­monstratum est in doctrina conica duas AD, DB, item duas AE, EB, etc. aequales esse duabus BC, CA.

Lemma. Quibus suppositis dico: si [Fig. 33] duae rectae AE, BE sint aequales dua­bus BC, CA, punctum E esse in ellipsi cuius foci sunt B, A, vertex vero C. Si enim non

[Fig. 33].est in ellipsi, ducatur [AE] ellipsis secetque in D, iunga­tur DB, erunt ergo etiam duae. Quare duae AE, EB duabus AD, DB, aequales erunt. Et ablata comuni AD, erunt duo latera DE, EB aequalia uni DB quod est absurdum.

[23] Datis duobus circulis se interius tangentibus, dico centra omnium circulorum duos datos tangentium esse in ellipsi, cuius foci sunt centra circulorum datorum, vertex vero punctum contactus dati.

Sint enim [Fig. 34] duo circuli dati circa centra A, B,

[Fig. 34].se se contingentes in C, dico circulum qui tangit utrumque quicumque ille sit habere centrum in ellipsi quae transit per D punctum medium ipsius IE, et cuius foci sunt cen­tra A, B etc.

Sit circulus cuius centrum G qui tangat utrumque in H, F, dico G esse in ellipsi etc.

Est IE differentia diametrorum, ergo media ID diffe­rentia erit semidiametro quare AD maior semidiameter erit; ablata vero communi BD, erit AB aequalis DE, nempe differentia eadem semidiam. quae ablata a maiori AD, remanebit minor BD. Cum ergo AD, DB duae semidia­metri sint, est etiam BD, hoc est BG una et FA altera ergo duae AG, GB duobus AD, DE, sunt aequales. Est ergo punctum G in ellipsi.

Compositio patet. Nam dati sint duo circuli ex A, B, descripti opporteas facere quod propositum erat. Descri­batur ellipsis ut dictum est sumptoque quolibet puncto G ducatur GA, dico circulum centrum G per F descriptum tangere alium circulum in H. Nam duae AG, GB, duabus BH, FA ergo ablatis communibus BG, FA, reliquae erunt aequales nempe GH, GF, ergo in H fiet contactus. Quod erat ostendendum.

[24] Datis duobus circulis se secantibus, circulum de­scribere in spatio intercepto qui tangat utrunque

[Fig. 35].

Sint [Fig. 35] duo circuli inaequales ex A, B centris descripti se mutuo secantes; dico centrum cuiuscumque cir­culi contingentis utrunque datarum in spatio intercepto, esse in illa hyperbola cuius foci sunt A, B vertex vero C, punctum medium totius DE. Tangat enim ut dictum est circulus ex G utrumque. Cum sint semidiametri AE, BD inaequales habebant aliquam differentiam et ablatis ae­qualibus BC, CE, remanebunt AC, CB cum illa eadem differentia semidiametrorum; idem ratione AG, GB eam­dem differentiam habebunt, quare G erit in hyperbola.

Compositio facile patet; nam sumatur punctum G et ducatur AF, dico circulum centro G intervallo GF de­scriptum tangere reliquum circulum. Nam tota AF, su­perat totam BH eadem differentia qua ablata AG ab la­tam GB ergo reliquae sunt aequales. Desideratur lemma ad haec ult. verba. Vide lemma.

In eadem hyperbola quae [Fig. 36] per medium pun­ctum B lineae FG transit erunt centra circulorum omnium

[Fig. 36].qui tangunt exterius. Tangat enim qui ex D. Differentia quae est inter AD, DC eadem est ac inter semidiametros quia adiect sunt aequales DE, DI, illa vero differentia est quae inter AB, BC (ut ostensum est) ergo punctum D, est in hyperbola.

Centra vero omnium circulorum concavo tangentium (quando dati circuli se inter secant) sunt in illa hyperbola quae focos habet BA verticem vero I medium totius CD punctum [Fig. 37].

Tangat ut ponitur circulus quicunque ex E centro descri­ptus. dico centrum E esse in dicta hyperbola.

Cum enim sint ae­

[Fig. 37].quales CI, ID, habebunt reliquae AI, IB diffe­rentiam eandem quam dempt. semidiametri ea­dem ratione cum sint aequales EF, EG, habe­bunt reliquae EA, EB eandem differentiam, er­go punctum E est in hyperbola.

Componetur ut in an­tecedentibus.

[25] Ostendetur etiam hoc quod sequitur:

Duobus datis circulis utcumque centra omnium circu­lorum convexo tangentium sunt in quadam hyperbola; centra autem omnium concavo tangentium sunt in alia hyperbola quae illi opponitur. Vocat enim Apollonius huiusmodi lineas sectiones oppositas, quarum foci et la­tus transversum ijdem sunt. Ut in exemplo.

Duae sectiones hy­

[Fig. 38].perbolicae [Fig. 38 e 39] DH, EG habeant cosdem focos A, B, et idem latus transver­sum DE et distantias DA, EB aequales. Vo­cant Geometrae hu­iusmodi sectione op­positas.

Pro habendis cen­tris circulorum qui tangant convexo de­scripsimus hyperbolam EG per punctum medium E ipsius IC, ad habenda vero centro tangentium concavo descri­psimus hyperbolam DH ex D, punctum medium totius CF. Erunt huiusmodi sectiones opposite.

Dimidia totius CD, et dimidia segmenta intercepti IE sunt aequales duabus semidiametris; ergo, ablato maiori AC, remanent AD, IE, semidiametro minori IB aequales, dempta communi IE remanet AD aequalis ipsi EB.

[Fig. 39].

In secunda figura clarius est CD, DF sunt aequales inter se et esquivalent duabus diametris; ergo CD duabus semidiametris equivalet dempta maiori C et remanet AD semidiametro minori EB equalis.

Ut FA ad CA ita ablatum IA ad BA ergo reliquum FI ad CB ut erat totum ad totum nempe duplum: sed FI duplum est etiam DE ergo DE, CB, sunt aequales.

Quando circuli di­

[Fig. 40].stant idem ostende­mus hoc modo [Fig. 40]. Punctum D sit medium ipsius IH et C medium totius. D erit vertex hyperbole tangentium convexo, C vero vertex hyperbole tangentium concavo.

Tota AF continet duas diametros et duas ID, DH; ergo dimidia AC continebit duas semidiametros et semel DH. Dempta maiori semidiametro AB reliqua BC conti­nebit EH, HD, ergo patet propositum.

Ad hanc de­monstratio­nem redu­cere oportet omnes ante­cedentes.

Alius casus [Fig. 41]. Secentur bifariam FI in C, EI in L et EH in D; erunt CD vertices hyperbolarum in quibus sunt centra cir­

[Fig. 41].culorum transverse tan­gentium. Dico item CA, DB aequales esse, EH dupla est DH et IH dupla BH, ergo reliqua EI dupla reliquae DB; eadem rationem EI du­pla est ipsius CA quare CA, DB sunt aequales. Ergo hy­perbole per C, D sunt opposite.

[26] Dato puncto A [Fig. 42] et recta AB, circulum describere qui cum tran­

[Fig. 42].seat per datum punctum D contingat datam rec­tam in puncto A.

Sumatur quodlibet punctum B et ducatur BD; fiatque ut BD ad BA ita BA ad BC, et circa triangulum ADC circulus describatur. Manifestum est rectum AB circulum contingere, quia AB quadratum aequalem est rectangulo DBC.

[27] Datis [Fig. 43] duabus lineis AB, BC, et puncto D,

[Fig. 43].circulum describere qui cum utramque contingat per datum transeat punctum.

Ducatur HB quae secet angulum ABC bifariam, deinde iungatur BD et sumatur punctum quodcumque E, sitque EF ad angulos rectos ipsi AB; facto deinde circulo E, ipsa FG erit aequalis ipsi FE; producatur autem DH parallela ipsi GF. Dico H esse centrum quesiti circuli. Sit enim HA ad angulos rectos ipsi AB, et erit ut HA, ad FE, ita HB ad FB. Pariterque ut DH, ad GF, ita rursus HB ad FB, erit AH ad EF ut DH ad GF. Sed EF, GF, sunt aequales, ergo AH, DH aequales erunt. Patet ergo circulum cen­tro H descriptum transire per D contingere in A, et quia HB secat angulum bifariam continget etiam lineam CB. Quod opportebat.

Si vero ducatur FI aequalis ipsi FE,

[Fig. 44].et sint FI, LD parallelae, erit L centrum alterius circuli maioris, qui quesitum pre­stabit effectum. Demonstratio eadem est.

[28] Hyperbolae descriptio. Dati gl'as­simptoti AB, BC [Fig. 44] e dato il punto D nell'iperbola, bisogni fa... l'iper­bola.

Tira DA, DC parallele alli assimptoti e, preso qualunque punto E, tira EH parallela alla BC, e per dove segherà DC tira BHI, e dove questa sega AD, tira IL parallela ad AB, e L sarà il punto della iperbola.

Alia. Sint asym­

[Fig. 45].ptoti [Fig. 45] AB, BC datumque punctum D, fiat parallelogr. BD; sumptoque quo­libet puncto E, sit EF parallela ipsi BC, ductoque EC, sit H DF parallela ipsi EC, dico F esse in hy­perbola etc. Vel ob similitud. triang. erit EI ad IC ut FI ad ID, ergo parall. EID aequale erit parall. CIF in eodem angulo. Add. aequale IB erunt etc. Hoc in ult. fig. .

[29] Lemma. Data recta [Fig. 46] AC datisque duabus perpendicularibus BH, CI, opportet lineam EF ducere quae

[Fig. 46].secet BE, CF in data ratione et utrisque simul sumptis sit aequalis.

Sit data ratio CA ad AB, et ducatur AI utcumque quae secet in H, et ducatur NHL parallela ipsi AC, sumatur iam CD aequalis ipsi BH et centro I fiat circulus DL. Ma­nifestum est rectam lineam IL duabus CI, ML aequales esse. Ducatur AF parallela ipsi LI, dico factum esse quod opportebat.

Sit enim EG parallela ipsi AC. Quia est ut BE ad CF ita BH ad CI vel ML ad CI, erit CG ad CF ut CN ad CL, et dividendo sumptisque antecedentium duplis, et compo­nendo erit ut FB, et CF ad GF, ita ML et CI ad NI; sed GF ad FE, est ut NI ad IL; ergo ex aequo ut EB et CF ad FE ita ML et CI ad IL sed MI et C sunt aequales ipsi IL, ergo etiam BE et CF erunt aequales ipsi FE. Ducta est igitur FE, quae duas BE, CF abscindit in data ratione, et utrique est aequalis.

[30] Dato circulo [Fig. 47] cuius centrum A et linea BC secante, oporteat ducere circulum qui contingat datam lineam, datamque circuli pe­

[Fig. 47].riferiam in puncto I.

Ducatur AF perpendicu­laris ad ipsam BC et per I transeat EB; sitque BL paral­lela ipsi FE, et trasmittantur AM, FL per punctum I; de­monstratum iam est BL dia­metrum esse circuli illius, qui ex M centro descriptus tangit in punctis B et I ex­terne.

Sed ducatur parallela DG; dico DG diametrum esse, et H centrum illius circuli qui tangit in D, et I in­terne. Sunt enim ob parallelas, et angulum communem similia triangula FAI, DHI, illud aequicrure ergo etiam hoc, quare sunt aequales DH, HI. Eadem ratione osten­dentur aequales GH, HI. Patet ergo factum esse qd. op­portebat.

[31] Datis ijsdem [Fig. 48], et dato puncto B, eadem fa­cere, eadem manent

[Fig. 48].constructione etc.

Ducatur GB que dabit punctum F, de­inde erigatur FI et ducatur HB; erit ite­rum IF diameter et E centrum circuli quaesiti. Ratio ea­dem est ac in su­perio.

Quando punctum B datum sit in linea puta F cum duca­tur GF et habebitur punctum B. Reliqua ut supra etc.

Data eadem recta linea, et dato puncto B, eadem sint facienda.

Factum iam sit, et iungantur centra recta BEFA, du­cantur autem perpendiculares ED, BC, erit ut AB, ad BC, ita AE ad ED, vel ad EB, dantur autem AB, BC, ergo dabuntur etiam AE, EB. Itaque centrum quaesiti circuli datum est. Compositio facilis est. nam

Iungatur et producatur FB, et sit BC perpendicularis ad AC: fiat iam ut AB ad BC ita AE ad EB, et demit­tatur perpendicularis ED. Dico ED, EB aequales esse; eadem enim est ratio AE ad EB, quae AE, ad ED, ergo. Patet factum fuisse quod opportebat.

Item [Fig. 49] dato circulo cuius centrum A datoque puncto C, circulum describemus contingentem hoc modo.

[Fig. 49].Ducatur ACD donec conveniat fiatque ut DC, ad CF, ita AB, ad BC sitque BE parallela ipsi CF, manifestum est ita esse DB ad BC ut ad BE, ergo BE, BC sunt aequales etc.

Si vero datum sit punctum I ducatur IAH fiatque ut HI ad IG ita HL ad LI. Eademque ratione demonstrabitur IL aequalis ei que ex L eadit in DH, ad angulos rectos. etc.

Utrunque datorum contingat quolibet modo; et ad quodlibet datum punctum; et cuiuscumque datae possibilis magnitudinis.

[32] Dato circulo et linea recta quae non sit secans, opporteat aliam circulum describere, qui et circulum, et lineam datam contingat. in puncto dato.

Hinc descriptio para­

[Fig. 50].bolae.

Sit [Fig. 50] linea data CB, et circulus qui ex A cen­tro. Ducatur AB ad angulos rectos et sit datum punctum C, sit CE parallela ipsi AB, nectatur deinde FC quae se­cet in I, et ducantur HI et AI; dico CE diametrum, et D centrum esse quaesiti cir­culi. Quia enim ob parallelas et angulos verticales ad I similia sunt duo triangula FAI et IDC; illud autem aequicrure est, ergo etiam IDC, et DC, DI sunt aequales; cum autem DC sit perpendicularis, et DI centra coniungat, circulus centro D, per C, I ductus continget ut opportebat.

Eodem modo ostendetur DE aequalis ipsi DI, ob simi­litudinem triangulorum AHI, IED; ergo CE diameter erit, cum CD, DE, eidem sint aequales etc.

Si vero datum sit punctum I, ducatur FI quae dabit C, ductaque CE parallela ipsi AB, nectantur AI, HI, et de­monstrabitur supra CE, diametrum, ipsum vero punctum D centrum esse quaesiti circuli.

Possent huiusmodi problemata exponi metodo resolu­tiva, quae etiam si utillima sit ad inventionem, omittitur quic longior est ipsa

[Fig. 51].compositiva, magis e­tiam illam laudaverim speculantibus, quam scribentibus iam spe­culata et inventa.

Datis ijsdem alio modo idem exeque­mur.

Sit [Fig. 51] datum punctum D et ducatur AD, sumaturque quod­vis punctum C et fiat circulus Ed; ductaque CE ad angulos rectos ipsi GH ducatur DE quae dabit punctum G, dico perpendicularem GF, ipsi FD aequalem esse. Sunt enim similia propter parallelas duo triangula GFD, et ECD hoc autem est aequicrure ergo et illud. F igitur est centrum circuli quaesiti qui tangit in G et in D. Ut erat faciendum.

Si vero datum pun­

[Fig. 52].ctum D, sit in linea recta ita propositum absolve­mus.

Ducatur [Fig. 52] perpendicularis DF ae­qualis semidiametro AE, et iungatur ipsa AF. Angulo deinde AFC, fiat aequalis angulos FAC; manifestum est, C esse rursus centrum quaesiti circuli. Est enim ob ae­quales angulos tota CF toti CA aequalis, et ablata ablatae ergo reliqua CD reli­quae CE aequalis erit. Ut ante etc.

Eadem eodem modo ostendentur etiam si data linea datum contingat circulum. Quando vero secat pene eodem eveniet hoc modo.

[33] Datis ijsdem opporteat describere circulum datae magnitudinis qui tam li­

[Fig. 53].neam quam circulum da­tum contingat.

Ducatur [Fig. 53] CE parallela ipsi BD, ad in­tervallum dati semidia­metri, et secetur in C ab arcu cuius centrum A, semidiameter vero ag­gregatum duorum da­tarum semidiametrorum. Manifestum est utramque CF, CB, aequales fieri tum inter se, cum etiam datae cuiumque lineae.

[34] Si duo circuli se se vel interius vel exterius con­tingant, et ductae sint duae diametri parallelae linea quae diametrorum parallelarum extrema opposita con­nectit, per contactum transibit.

Contingant se

[Fig. 54].duo circuli quorum centra AB [Fig 54] et nectantur cen­tra, sintque parallelae semidiametri AD, BC, quarum extre­ma iungantur recta CD; dico rectam CD, transire per pun­ctum contactum. Secentur rectae AB, DC in puncto quolibet E; ostendetur E esse circulorum contactus hoc modo etc. Est enim ut DE ad EC ita DA ad BC, rursus ut DE ad EC ita AE ad EB. Sunt ergo AE, EB semidiametri quare E punctum contactus est.

Poterat etiam addi, coniungendo, ut DA et BC, ita AE, EB ad EB; sed DA, BC sunt aequales duabus AE, EB, ergo etiam BC, BE sunt aequales etc.

[35] Si duo cir­

[Fig. 55].culi se contingant sive interius sive exterius, linea quae per contactum du­citur, proportiona­liter secat diame­tros parallelos.

Contingant se circuli quorum cen­tra A, B [Fig. 55] in puncto C, et per contactum C ducatur EI quae occurrat duobus diametris parallelis; dico ita esse FE ad ED ut GI ad IH. Est enim ob similitudinem triangulorum ut CA ad AE, vel ut FA ad AE, ita CB vel GB ad BI; ergo per conversionem rationis ut FA ad FE, ita GB ad GI, et sic etiam antecedentium duplae DF ad FE, ut HG ad GI, quare dividendo erit DE ad EF ut HI ad IG.

Si duo circuli se contingant linea quae per contactum ducitur secat diametros parallelas (etiam extra circulos) proportionaliter.

Sit ut ponitur [Fig. 56] EF per contactum quae secet diametros productos in E et F. Dico ita esse DF ad FG,

[Fig. 56].ut HE ad EI; est enim CA vel AG ad AF ut CB, vel BI ad BE; dividendo prius ergo antecedentium duplae, erunt DG ad GF, ut HI ad IE, et componendo, ut DF ad FG ita HE ad EI. Quod erat ostendendum.

His ita demonstratis facile ostendi potest etiam con­versa, nempe: Si diametri parallelae secentur proportio­naliter vel intra, vel extra circulos, lineam que sectionum puncta connectit per contactum transire.

[36] Lemma. Circulorum periferiae inter se sunt ut diametri.

Exponantur [Fig. 57] duo circuli quorum semidiametri AD, BC, ipsi AD, ponatur aequalis LM, ipsi autem BC sit aequalis GI; factisque LMN, GIH angulis rectis, suppo- natur MI aequalis peripheriae circuli DE; at ipsa IH ae­qualis peripheriae CF. Erit triangulum LMI aequale cir­culo ED, et triangulum GIH aequale circulo FC.

per p.m Ar­chim. de di­mens. Circ.

Iam dico ita esse semidiameter LM ad periferiam MI ut est semidiameter GI ad peripheriam IH. Quod si non est fiat ut LM ad MI, ita GI ad IO, facta ergo sunt similia triangula LMI, GIO, et propterea triangulum LMI

[Fig. 57].ad triangulum GIO, rationem habebit dupplicatam lateris LM ad latus GI, hoc est AD ad BC. Sed circulus ED, ad circulum FC eandem habet rationem; ergo ut circulus ED, ad FC circulum, ita triangulum LMI, ad triangulum GIO; sunt autem aequales p.a et tertia, ergo circulus FC aequalis erit triangulo GIO, quod est absurdum, est enim aequalis triangulo GIH. Quare circulorum peripheriae, etc.

Hinc facile ostendetur hoc theorema.

[37] Supra [Fig. 58] recta AB posito semicirculo ACB, et descriptis quotcunque

[Fig. 58].semicirculis AF, DG, EH, se se contingen­tibus, qui totam AB expleant. Dico peri­feriam ACB, omni­bus periferijs AFD, DGF, EHB aequa­lem esse.

Cum enim sit ut unum antecedens ad unum consequens, ita quodlibet an­tecedentium etc. erunt omnes peripheriae F, G, H, ante- cedentes ad omnes diametros consequentes ADEB, ut una F, ad unam diametrum AD, hoc est ut una C ad unam diametrum AB, ergo si ACB periferia ad diametrum AB, eandem habet rationem quam omnes peripheriae AF, DG, FH, ad omnes diametros ADEB, erit permutando ut pe­riferia ACB ad reliquas periferias AF, DG, EH, ita dia­meter AB, ad diametros ADEB, 3.a et 4.a sunt aequalis, ergo et p.a cum secunda aequales erunt. Quod erat etc.

[38] Data recta linea AC datisque punctis B, C, duos

circulos describere qui se se contingant, et datam rectam lineam in datis punctis § eorumque diametri datam habeant rationem.

Partila al segno §. e fanne due.

Sit data ratio [Fig. 59] CA ad AB, et ducantur per­pendiculares BD, CE sitque linea DE per lemma ante­

[Fig. 59].cedens [28] aequalis duabus BD, CE, et illae datam ha­beant rationem. Dico puncta D, E centra esse circulorum quaesitorum. Descripto enim circulo CI, manifestum est DB, DI, aequales remanere: ergo circulus BI continget rectam lineam ob angulos rectos ad B et continget cir­culum quia de centra coniungit. Quod erat fac. .

Lemma. Datis duabus rectis lineis AB, CD, non paral­lelis angulum ab ipsis comprehensum bifariam secare .

Ducatur [Fig. 60] a quolibet puncto D recta DE pa­rallela ipsi AB, fiatque. triangulum EDC isosceles, cuius basis CE producta in

[Fig. 60].A secetur bifariam CA in F, et eis HF ad angulos rectos ipsi AC; dico rectam FH secare angulum bifa­riam. Sunt enim ob parallelas duo trian­gula similia cuius ba­ses CE, CA, sed cuius basis CE est aequi­crure, ergo quod habet basim CA erit aequicrure; sed cum basi secta sit bifariam in F, et perpendicularl FH, erit angulus ad verticem bifariam sectus. Quod facere oppor. etc.

[39] Datis duabus rectis lineis circulum describere qui utranque contingat et circulus debeat esse datae magnitu­dinis.

Sint datae rectae lineae AB, CD, quae si fuerint paral­lelae facili negocio exequemur quod propositum est .

Sed non sint parallelae [Fig. 61] ducatur EI que secet

[Fig. 61].angulum AIC bifariam. Manifestum est centrum circuli quesiti esse in recta EI; ponatur DF data semidiameter et ducatur FE, parallela ipsi CD; patet circulum centro E descriptum qui tangat in C tangere etiam in A. Ducantur enim perpendicularis EA, EC, quoniam anguli ad A et C sunt recti et ad verticem I sunt aequales, latus autem EI commune est erunt EA, EC aequales etc. .

[40] Dato circulus cujus centrum A, circulum descri­bere qui debeat transire per B et contingere datum cir­culum in dato quolibet puncto I .

Ducatur [Fig. 62 e 63] per centrum IA et nectatur recta BI anguloque CIB fiat aequalis angulus CBI, et con­

[Fig. 62].

[Fig. 63].veniat recta BC, cum recta AI in puncto C; dico C cen­trum esse circuli qui per B ductus tangit datum circulum in dato puncto I. Cum enim recta CI coniungat centra et duo latera CI, CB, ob aequalitatem angulorum sint ae­qualia: patet factum esse quod opportebat etc.

[41] Datis duobus circulis, circulum utrique tangentem dare ad datum punctum.

Sint dati [Fig. 64] circuli quorum centra A, B, et da­tum sit punctum C.

[Fig. 64].Ducatur per centrum BC, et sumatur CD aequalis ipsi AI; iunctaque AD, fiat an­gulus EAD, aequales angulo EDA, et con­veniant lineae in E. Dico circulum qui centro E, intervallo EC ducitur, circulum cuius centrum est A contingere. Sunt e­nim ob aequales angulos latera EA, ED aequalia et ablatis aequalibus IA, CD reliquae EC, EI aequales erunt.

Si vero datum [Fig. 65] sit punctum I sumatur ID

[Fig. 65].aequalis ipsi CB, et fiat iterum angulus EBD, aequalis an­gulo EDB etc. ut supra.

Eadem dicentur etiam si dati circuli se se contingant, sive secent.

Datis item duobus circulis [Fig. 66] quorum centra A, B, datoque puncto C, circulum per C describere qui utrumque contingat.

Ducatur CB per centrum et sumatur CD aequalis ipsi IA iunctaque AD, fiat ADF triangulum isosceles cuius basis AD. Dico circulum centro F per C ductus reliquum circulum contingere. Si enim aequalibus FA, FD adijcian­

[Fig. 66].tur aequalis eum FC, FI aequalis; quae coniungunt centra ergo puncto I, C sunt contactus.

Si vero datum sit punctum I, sumetur I aequalis ipsi CB fietque trianguium EBF isosceles. Reliqua ut supra etc.

Datis item duobus circulis se se secantibus idem exe­quemur.

Sit datum punctum [Fig. 67] D; iungatur BD et su­

[Fig. 67].matur DC extra aequalis ipsi AI, fiatque triangolum iso­sceles AEC, cuius basis AC. Dico circulum centrum E per D descriptum contingere reliquum circulum etc. Tota enim EA, toti EC, est aequalis, et ablata ablatae, ergo reliqua EI reliquae ED aequalis erit, etc.

Si vero datum sit punctum I, producatur IA et sit IL aequalis ipsi BD, iungaturque BL; fiat deinde triangulum isosceles BLE, cuius basis BL. Dico circulum centro E intervallo EI descriptum tangere reliquum etc. Tota enim IL est aequalis toti BD et ablata ablatae ergo reliqua IE, reliquae ED, etc. Quare etc.

Datis duobus circulis se secantibus circulum utrique communem tangentem dare in dato puncto.

Sint dati circuli [Fig. 68] quorum centra A, B, datumque Punctum sit C. Jungatur CB, et sit CD aequalis ipsi AE,

[Fig. 68].et super basi AD fiat triangulum ADI isosceles. Dico cir­culum qui centro I per C ducitur reliquum etiam circulum tangere. Tota enim CD toti AE est aequalis, et ablata ablatae, ergo reliqua CI reliquae IE, aequalis erit, etc.

Quod si datum punctum sit E sumetur recta EL ae­qualis ipsi CB reliqua vero, ut supra etc.

Datis duobus circulis idem exequemur hoc modo.

Sint dati duo circuli quorum centra A, B, et datum sit punctum C, opportet per C circulum describere qui utrinque datorum contingat etc.

Factum iam sit [Fig. 69] et recta CE quae iungit con­tactus proferatur in F et iungatur FA. Quoniam ad ver- ticem E sunt aequales inter se, et duobus C, F, erunt duo DCE et F aequales, sed sunt alterni, ergo DB, FA,

[Fig. 69].sunt parallelae. Sed data est DB, ergo datur AE, et pro­pterea datur FC; datoque puncto E datur etiam AED, ergo datur centrum D etc. Compositio manifesta est.

Ex eadem constructione liquet si producatur EF in H, ita esse BH ad HA ut CB ad FA, sed istae duae datae sunt et data differentia AB, ergo datur punctum H. Com­positio erit haec. Invento puncto H ducatur HC, et da­bitur punctum E, ergo datur centrum D, ut supra. Omnia sunt manifesta.

Idem exequemur in alio casu quasi eodem modo.

Sint dati circuli quorum centra [Fig. 70] A, B, et datum punctum sit C.

[Fig. 70].

Factum iam sit et iuncta per contactus rectae CEG nectatur AD. Angulus ECF aequalis est angulo FEC sunt enim aequalia latera opposita; item angulus EDA angulo AED est aequalis ob eandem rationem; ergo angulus FDA angulo ECF est aequalis, quare lineae DA, CF sunt pa­rallelae; et CF datur, ergo etiam DA ergo et CD, cum punctis E et G.

Componetur hoc modo. Ducatur CB, eique parallela AD et iungatur CDE, invento autem E puncto ducatur EA quae occurrat ipsi CB, productae in F. Dico duas EF, CF aequales esse. Quod manifestum videtur etc.

Poterat etiam fieri ut semidiameter CB ad semidiame­trum AD ita BG ad GA. Deinde ad datum punctum C duci GC quae dedisset idem punctum E etc. Clarum est.

Si vero dati cir­

[Fig. 71].culi se se intersecant idem faciemus hoc modo.

Dati circuli sint [Fig. 71] quorum cen­tra A, B, datumque sit punctum C . Fa­ctum iam et iungatur contactus DI ductaque CIF; patet ipsam EF parallelam esse ipsi CD, quae cum datae sint ergo datur etiam punctum I a recta FB, quo dato datur ipsa AG datur ergo centrum G. Quod erat inveniendum.

Punctum autem I datur etiam a recta ED, quae iungit extrema diametrorum parallelarum.

Datis item duobus circulis se intersecantibus quorum centra sint [Fig. 72] A, B, idem opporteat exequi per da­tum punctum C.

Factum iam sit et iungatur per contactus FCD. Iam patet DB esse parallelam ipsi AC. Angulus enim ACL aequalis est suo verticali; ergo et ipsi CFE, ergo etiam ipsi BDF, suo alterno etc. Cum autem data sit AC, datur et parallela BD, ergo datur DC, punctumque F et linea BF; datur ergo E, centrum quaesitum. Compositio patet etc.

Hinc manifestum est ob similitudinem triangulorum DBL et ACL, ita esse AL ad LB, ut AC ad BD, quae cum sint semidiametri datae sunt, ergo datum est pun- ctum L, et propterea data est LC quae dat iterum punctum F, ad quod si ducatur recta BF datum erit centrum E. Comp. patet.

Dato eodem puncto C ductaque AC, sit ei parallela BM, et ducatae MCH, iungaturque BH. Dico circulum centro G

[Fig. 72].per C ductum contingere in H. Cum enim propter paral­lelas similia sint triangula HBM, HGC, illud vero sit equi­crure, hoc etiam aequicrure erit, ergo cum HG, GC sint aequales, et centra coniungant circulus centro G per C et H descriptus utrinque continget. Quod facere opportebat.

Cum autem AC, BM sint parallelae, nisi sint aequales conveniet ipsa MH, cum

[Fig. 73].recta BA; ut in puncto N. Eritque ut MB ad AC, ita BN ad NA; datum est ergo punctum N et dabatur aliud punctum C, ergo duci potest NC quae dabit punctum H et si iungatur BH dabit centrum G.

Dati circuli sint [Fig. 73] quorum centra A, B, et datum punctum sit D. Ducatur BD, cui sit parallela AF et nectatur FD quae dabit punctum C, ductaque AC dabitur E. Dico E centrum esse quaesiti circuli. Sunt enim ob parallelas duo triangula similia FAC, CED, sed FAC est aequicrure ergo etiam CED, etc. Quare centro E duci potest circulus per DC puncta qui utrumque datorum continget.

Quod si datum sit punctum C in interiore. Ducatur AC, et ei sit parallela BF, nectaturque FC quae dabit punctum D, ergo datur BD linea, et in ea centrum E ut supra. Ostendetur idem quia ob parallelas AE, FB, similia sunt triangula FDB, CDE, ut supra.

Datis ijsdem eodem perficiemus alio modo.

Sint dati circuli [Fig. 74]

[Fig. 74].quorum centra A, B, datumque sit punctum D, ducatur BD, ponaturque DF aequalis ipsi AE, et iuncta AF fiat an­gulus FAI aequalis angulo AFI. Erit ergo tota AI toti IF aequalis, et ablata abla­tae reliqua igitur HI reli­quae ID aequalis erit. Ut supra etc.

Si autem duo circuli sint, unus intra alium, et descri­bendux sit circulus utrumq datorum contingens qui sit datae magnitudinis, ita faciemus.

Debet autem data diameter minor esse tota IF.

Sint dati circuli [Fig.

[Fig. 75].75] quorum centra A, B, minori semidiametro AE addatur data magnitudo CE, fiatque centro A ar­cus cuius semidiameter A, a maiori autem semi­diametro auferatur ea­dem data magnitudo et fiat arcus centro B cuius semidiameter BC. Con­veniant autem arcus in C. Patet C esse centrum quesiti circuli. Cum enim CE sit ea quae fuit adiecta ipsi AE, et CD sit ea quae dempta fuit ab ipsa BD, erunt ipsae CD, CE aequales. Quare factum est quod etc.

Datis item duobus cir­

[Fig. 76].culis [Fig. 76] quorum centra A, B, opportet cir­culum describere datae magnitudinis qui utrumque datorum contingat alte­rum cava, alterum vero convexa, sui parte.

Data magnitudo non sit maior quam LI, neque minor quam HM.

A data magnitudine auferatur semidiameter AF, reliqua fiat arcus cuius semidiameter sit AE, rursus data magni­tudo auferatur a semidiametro DB et reliqua EB fiat ar­cus. sitque punctum E, concursus arcum. Patet ED, FE aequales esse etc. Ut supra etc. ergo factum est quod opportebat etc.

Ex his quae dicta sunt quamquam aliquis casus om­mittatur facile patet qua ratione. Datis duobus circulis utcumque tertius describi possit qui utrumque

Si vero datum punctum sit H in circulo interiore. ducta AH sumatur HC aequalis semidiamet. BD et iun­gatur BC, fiatque angulus IBC, angulo ICB aequalis erunt iterum totae BD, HC aequales, et ablatae IC, IB sunt aequales, ergo reliquae ID, IH, erunt aequales. Ut su­pra repertum est igitur punctum I centrum circuli quae­siti etc.

Datis item duobus circulis, quorum unus non sit totus intra alium, opporteat describere circulum datae magnitu­dinis qui amborum convexa contingat.

Data magnitudo [Fig. 77] sit FH, et centro A fiat circulus FC. Eadem magnitudo sit GI, et centro B fiat circulus IC, iungaturqu. AC, CB etc. Cum duae FH, GI positae sint aequales erunt duae CD, CE aequales ergo C centrum est circuli contingentis in D et E, ut querebatur datae magnitudinis etc.

[Fig. 77].

Datis duobus circulis disiunctis, circulum designare qui alterum cava alterum vero convexa sui parte con­tingat et sit datae magnitudinis, maioris tamen diametri quam EG.

Sit contingendus

[Fig. 78].concavo circulus [Fig. 78] cuius cen­trum A, et a data magnitudine aufera­tur AC fiatque ad in­tervallum residui ar­cus cuius semidia­metrum AE iterum datae magnitudini addatur BD, et fiat arcus cuius semid. sit EB secenturque arcus in E. Mani­festum est ipsas EC, ED aequales fieri ergo E, centrum est quesiti circuli.

[42] Sit AG divisa bifariam in E, erit C transitus hyperbole B, F vero foci hyperbole secundi hyperbole foci erunt F, I transitus vero H, debent habere convexum am­bae ad partes minoris circuli.

Praxis aliam super maiore latere AB, intervallis BC, AC, centris B, A describantur duo arcus qui spatium ali­quod intercipient cum AC, CB, maiores sint qnam recta AB, illoque spatio diviso bifariam erit punctum medium transire hyperbolae et erit eadem differentia segmentum maioris, quae inter minora latera erat .

[43] Si dati duo circuli sint concentrici [Fig. 79] ex A centro descripti, dico omnes circulos qui tangunt in spatio intercepto habere centrum in eo circulo qui transit per H

[Fig. 79].punctum medium ipsius FG. Tangat enim qui ex I, clarum est lineam quae iungit centra per utrumque contactum tran­sire. Tota vero RQ est aequalis toti FG: ergo dimidia RI, dimidiae FH, quare tota AI toti AH etc. est ergo pun­ctum I in circulo.

Dico secundo: Omnes circulos qui tangunt oblique al- terum convexa alterum vero concava sui parte habere centrum in circulo qui [Fig. 80] ex A ducitur per E, punctum medium totius CG. Tangat utrumque circulus ex centro M patet unicam lineam quae centra iungit per utrumque contactum transire. Jam sic tota CG toti LO est aequalis, ergo dimidia ac dimidie M, O, est aequalis et ablatis aequalibus CA, AO, remanet MA ipsi AE aequalis punctum ergo M, est in circulo.

[44] Dati sint duo circuli [Fig. 80] circa centra A, B, descripti, quorum unus sit totus intra alium. Dico cir­culum quemlibet contingentem habere centra in ea ellipsi

[Fig. 80].cuius foci A, B, vertices vero D, G, puncta media segmen­torum CE, FH.

Sit enim circulus contingens qui ex I. Dico I punctum esse in dicta ellipsi etc. Cum totae CE, FH sint differentia diametrorum erunt dimidiae DE, FG differentia semidia­metrorum quare duae DB, FG aequales erunt semidiametro maiori H; sed ablatis aequalibus FG, GH, remanebit DB, aequalis ipsi AG, et dempta communi AB erit DA aequales ipsi BG. Dicebamus duas DB, FG aequales esse semid. maiori AL, hoc est duabus AI, IM, et additis aequalibus BM, BF, erunt duae AI, IB aequales toti DBFG, vel duabus BD, DA. Quare punctum I erit in ea ellipsi quam diximus. .................................. .

NOTA.

Attesta Pappo Alessandrino avere Apollonio Pergeo composta un'opera in due libri dal titolo e)pafw_n (De tactionibus nelle versioni latine) avente per iscopo di costruire una circonferenza passante per p punti dati e tangente a r rette o c cir­conferenze pure date, p, r, c, essendo tre numeri interi non negativi aventi per somma 3; i problemi ivi considerati sono, dunque, DIECI, dal momento che tutte e sole le ipotesi possibili relativi ai dati sono le seguenti:

I.Tre punti.II.Tre rette.III.Tre circonferenze.IV.Due punti ed una retta.V.Due rette ed un punto.VI.Due punti ed una circonferenza.VII.Due circonferenze ed un punto.VIII.Due rette ed una circonferenza.IX.Due circonferenze ed una retta.X.Un punto, una retta ed una circonferenza.

L'opera di Apollonio essendo andata perduta, tentarono di divinarla (e ci limi­tiamo a citare coloro che vissero non dopo il Torricelli) Snellio (1597), Vieta (1606) e Ghetaldi (1607). Altret anto NON volle fare il nostro autore, il quale, invece, si pro­pose di trattare alcune questioni ANALOGHE, ma NON IDENTICHE a quelle studiate dal sommo geometra di Perga; giacchè il fine che egli si propose è ancora la costru­zione d'una circonferenza, ma i dati sono differenti, perocchè egli suppose noto il punto di contatto della linea richiesta con una delle date, oppure conosciuto il rag­gio della circonferenza da descriversi.

Nella prima ipotesi si tratta di determinare il centro di una circonferenza la quale:

I.Passi per un punto e tocchi una retta data in un punto assegnato [12];II.Tocchi due rette date, una in un suo punto dato [15];III.Tocchi una circonferenza ed una retta in un suo punto [31];IV.Tocchi una retta ed uua circonferenza in un suo punto dato [30];V.Tocchi due circonferenze, una in un suo dato punto [41);VI.Passi per un punto e tocchi una data circonferenza in un punto asse- gnato di essa [6,40].

Tutti questi problemi sono risoluti nella precedente memoria ed i numeri scritti in parentesi indicano in quali paragrafi si trovino le soluzioni. Si può però osservare che, a rigore, essi potevano ridursi a tre soltanto; infatti, se un cerchio incognito deve toccare un dato cerchio in un assegnato punto P, esso avrà per tangente in P la retta r che tocca ivi quel cerchio, onde, nell'enunciato del corrispondente problema, al posto della circonferenza si può porre la retta r; mediante tale considerazione il problema IV si riduce al II, il V al III ed il VI al I. Ora, benchè le soluzioni proposte da Torricelli per questi due problemi ultimi siano nel fondo identiche, non risulta che egli abbia avvertita in generale la possibilità dell'indicata riduzione.

Quando poi della circonferenza da descrivere si conosca il raggio, i dati possono essere soltanto: i corrispondenti problemi sono risoluti dal Torricelli nei paragrafi indicati, eccezion fatta per il I e III, che vennero ommessi probabilmente per la loro facilità.

I.Due punti II.Due rette [39]. III.Due circonferenze. IV.Un punto ed una retfa [7]. V.Un punto ed una circonferenza [3, 5]. VI.Una retta ed una circonferenza [33];.

Oltre agli indicati problemi Torricelli ne risolve altri già studiati da Euclide e da Apollonio e finalmente uno sul quale giova spendere qualche parola; si tratta di costruire tre circonferenze che risultino a due a due tangenti e delle quali si conoscano i centri A, B, C; tale problema ammette QUATTRO soluzioni; una si ottiene scegliendo come punti di mutuo contatto delle circonferenze richieste i punti nei quali i lati del triangolo ABC sono toccati dalla circonferenza in esso inscritta, ed è quella appunto a cui si arresta il discepolo di Galileo; le altre provengono similmente dalle tre circonferenze ex-inscritte.

I mezzi di cui Torricelli si serve in generale per conseguire l'intento propostosi sono quelli concessi da Euclide ai geometri; però egli ha ritenuto lecito di servirsi di sezioni coniche anche in casi in cui non era indispensabile ricorrervi.

Da ultimo va osservato che le questioni trattate ammettono in generale parecchie soluzioni; il Torricelli si limita ad indicarne una soltanto; ma le procedure da lui esposte sono capaci di porgerle tutte, quando vengano eseguite a dovere (cioè quando il trasporto di un segmento si faccia indifferentemente in un senso o nell'altro, quando si considerino entrambe le bisettrici degli angoli formati da due rette o entrambe le intersezioni d'una retta con una circonferenza o di due circonferenze fra loro).

DE PROPORTIONIBUS LIBER.

AVVERTIMENTO.

Della presente memoria esistono a Firenze tre esemplari nel Vol. XXVI della nota Collezione dei “ Discepoli di Galileo ”. due autografi, il terzo copia. Di essa (che sembra essere uno degli ultimi lavori di cui si occupò il sommo Faentino) è fatto cenno nella chiusa di una lettera diretta a M. A. Ricci il 24 agosto 1647 (queste Opere, T. III, p. 474-5); un largo riassunto ne venne pubblicato da R. Caverni (Storia del metodo sperimentale in Italia, T. V, Firenze 1898, p. 101-104), il quale afferma che lo scritto del Torricelli corse lungo tempo per le mani degli amici e servl come testo nelle scuole in luogo dei Libri V e VI di Euclide. Lo stesso scritto venne ana­lizzato da F. PODETTI (v. l'articolo La teoria delle proporzioni in un manoscritto ine­dito di Evangelista Torricelli inserito nel Fascicolo di luglio-settembre 1914 del Bol­lettino di bibliografla e storia delle scienze matematiche) grazie all'importanza che possiede per chi intenda formarsi un concetto completo degli studi che furono fatti nella Scuola del Galileo sul V Libro degli Elementi di Euclide.

Nella scguente riproduzione vennero soltanto omesse alcune figure non necessarie all'intelligenza del testo

DE PROPORTIONIBUS LIBER

AD AMICUM LECTOREM PROEMIUM IN QUO DE DEFINITIONIBUS GEOMETRICIS

Quanam temporum injuria factum esse dicam, ut apud Euclidem, cujus in omni fere theoremate veritas tam clare elucet, aliquando tanta obscuritas reperiatur, ut nihil in­certius, ne dicam fallacius judicandum sit? Hujusmodi videtur quintus Liber, qui in ipsis praesertim definitioni­bus corruptus, et contaminatus est eousque ut, me judice, non mereatur excusari. Hinc factum est, quod me co­hibere non potuerim, quin exiguo hoc opere pertractan­dam assumerem Proportionum doctrinam, cui, veluti fun­damento, universa Geometriae moles innititur. Non ignoro quam magnum, et quam difficile sit apud hominum Na­tiones impetrare, ne Libellus in dicta causa condamne­tur; praecipue tanti nominis, et tantae vetustatis Auctore in contrarium decertante. Sed quicquid tandem futurum sit, si non aliis, mihi certe satisfaciam, atque illis, si qui erunt, qui, monitore me, Geometriam addiscere velint. Nec me terret lapsus cujusdam scriptoris, qui nostro hoc saeculo eandem provinciam in feliciter agressus est: quippe qui existimavit eodem modo se habere quantitates, atque proportiones, quae ab illis erga aliquam tertiam quanti­tatem proficiscuntur. Nam sedulo gratulandum esset Lo­garithmorum computatoribus, si nihil discriminis inter quantitates, et proportiones intercederet. Excusant non nulli antiquos, quicumque fuerint, qui in Definitiones Eu­clidis manus iniicere non dubitaverunt, dicentes neminem teneri ad reddendam rationem Definitionum geometrica­rum: ideo Euclidem (hunc enim brevitatis causa nomina­bimus) potuisse definire proportionalitatem quocumque modo voluerit: putantque satis esse ad demonstrandum quatuor magnitudines proportionales, si ostendatur aeque multiplicia ipsarum eadem habere symptomata, quae in definitione posita fuerant: et tum demum abunde nobis consultum esse opinantur, quando docent cavendum, ne unquam auctori concedamus quatuor magnitudines pro­portionales existere, nisi prius ostenderit magnitudinibus ipsis, earumque aeque multiplicibus praemissam ab eo definitionem convenire. At, nisi ego fallor, non leviter falluntur, qui talia jactant. Geometra enim in definiendis illis rebus, quarum conceptus jam aliquo modo apud mul­titudinem praeexistit Liber, et sui juris omnino non est: sed debet accomodare definitionem suam tali conceptui, quemadmodum fecit Euclides ipse in definitione circuli, et in definitione proportionis numerorum, et in aliis quam plurimis. Declarabo dictum exemplo. Potuisset Euclides definire circulum centum modis, ponendo scilicet in defi­nitione quamlibet ex innumeris ipsius circuli passionibus exempli gratia hoc modo. Circulus est figura plana, in qua si duae linae reclas se secuerint quocumque modo, rectan­gula partium semper inter se sint aequalia.

Inculpabilis tamen talis definitio non fuisset. Nam pro definitione alicujus subjecti in Mathematicis non debemus perperam usurpare quamcunque affectionem ejusdem su­bjecti; praesertim vero quando ea difficilis intellectu; et de cujus possibilitate prompta sit, et non injusta dubi­tatio. Sed accipienda erit aliqua ex facilioribus, et no­tioribus, atque illa prorsus, quae magis se accomodat conceptui de ejusmodi subjecto praeexistente, ex qua de­finitione postea, tamquam ex fonte, omnes alias cognatas passiones ejusdem subjecti, possimus derivare. Quis enim tantae credulitatis sit, adeoque obtusam habeat mentis aciem, ut non dubitet, an ejusmodi accidens in aliqua figura possit unquam reperiri? Neminem existimo tam perspicaci pollere intellectu, ut ipsi statim liqueat, nulla exhibita demonstratione, an inter infinitas figuras possi­biles ulla possit existere, quae habeat imperatam condi­tionem illam, ut si intra ipsam duae rectae se secuerint quocumque modo, rectangulum partium unius semper ae­quale sit, sive duplum, sive quadruplum rectanguli partium alterius. Sed quid nam obscurius, et justissima dubita­tione dignius concipi unquam potest quam definitio sexta Libri V Euclidis, ubi supponitur dari posse quatuor ma­gnitudines, quarum aequemultiplicia juxta quamlibet ex infinitis possibilibus multiplicationibus sumpta, ut ibi ju­betur, semper in excessu, sive defectu, vel aequalitate conveniant? Video ad hanc dubitationem meam in promptu esse responsionem illam, geometrae definitori incumbere onus probandi, atque demonstrandi, quod in aliquo su­bijecto reperiatur ea conditio, quam ipse posuit in defini­tione: et hoc quotiescumque ea conditio obscurior fuerit, neque ex se ipsa statim appareat: quod cum ostenderit concedendum erit ei subjectum illud esse idem prorsus, quod antea definiverat. Quae quidem responsio nulla est; accepto enim iterum circuli exemplo, si demonstraverit geometra aliquam esse figuram, in qua rectae se se­cantes rectangula semper aequalia efficiant, concedemus figuram illam esse circulum, quoniam ei hoc nomen ipse imposuerat in definitione; sed hunc circulum semper intel­ligemus secundum suam definitionem, non autem secun­dum conceptum universalem multitudinis: remanebit pro­pterea semper in intellectu justissima quaedam dubitatio, an hujusmodi circulus hoc modo definitus, ac demonstra­tus idem circulus sit cum illo qui jampridem aliquo sal­tem modo notus erat. Itaque nisi et hoc demonstre­tur, nunquam ego concedam figuram eo modo definitam, quamquam liquido demonstretur in rerum natura reperiri, lineasque intra ipsam se secantes rectangula aequalia semper continere, esse illam eamdemque figuram planam, et rotundam, quam antea sub conceptu et nomine circuli aliquo modo praenoscebam. Dubitabo potius, nisi aliud praeterea demonstretur illam posse esse aliquam figuram ovalem oblongam, sinuosam et fortasse angularem. Ad de quod Euclides, id quod ipse posuerat in sexta defini­tione Libri V, licet obscurissimum, et de quo unusquisque merito dubitare debet, an possibile sit, numquam tamen demonstrat, sed statim in quarta propositione usurpat tan­quam certum, et possibile. Supponit enim quatuor ma­gnitudines esse proportionales, atque ideo ex definitione sexta, illarum aeque multiplicia debito modo sumpta juxta quamlibet ex infinitis multiplicationibus aeternum conve­nire, sive in excessu, sive in defectu, sive in aequalitate. In reliquis deinde propositionibus semper supponit aeter­nam illam aequemultiplicium concordiam, de cujus pos­sibilitate dubitamus, non solum possibilem, sed de facto veram esse in aliquo subjecto nempe suppositis aliquibus magnitudinibus proportionalibus, deinde veram esse con­cordiam, hanc etiam in aliquo alio subjecto ipse demon­strat, et quidem evidentissime ideoque concludit ex vi suae definitionis quasdam alias magnitudines, praeter Illas primas proportionales existere. Fingamus Euclidem im­perare statim in prima propositione primi Libri circulum describi, hoc est figuram illam tali pacto definitam, ut in ea rectae lineae se secantes rectangula aequalia semper constituant, de qua veritate, et possibilitate ante demon­strationem maxime dubitandum esset, quisnam adeo se­dati compositique animi fuerit, ut librum ipsum iratus non proijciat, et ab omni geometria confestim se abdicet? In quinto autem Libro statim concedemus tamquam pos­sibilem, veramque aeternam illam aequemultiplicium con­cordiam, de cujus veritate, et possibilitate nemo unquam acute mentis erit, qui dum in eum locum primo incidit, summopere non ambigat. Praemonet Euclides tunc qua­tuor magnitudines proportionales fore, quando inter ea­rum aequemultiplicia aeternam illam concordiam contin­get reperiri. Demus illi concordiam hanc existere posse, et quidem juxta omnigenam aequemultiplicium multi­plicationem. At quis me certum reddit in qua tandem proportione proportionales futurae sint illae quatuor ma­gnitudines, quas Auctor proportionales vocat? Cur nam in Geometrica, quam in Arithmetica, sive Armonica, sive in alia quacumque proportionalitate irregulari? Rispon- debit aliquis in Geometrica proportione erunt, nam hoc Auctor ipse manifeste praedicit. Adeo ne vilis effecta est Mathematicarum disciplinarum dignitas, ut in scho­lam, vel ipsius geometrarum principis recipiatur pudendum ignominiosum illud ipse dixit? Non me latet quam pluri­mos laborare, ut veritatem sextae illius definitionis per­suadeant experimentis aliquot ab arithmetica desumptis. Ostendunt enim, positis quatuor numeris proportionalibus, aequemultiplices ipsorum juxta praeceptum sumptos sem­per concordes esse in excesso, defectu, aequalitate. Quae quidem experiundi ratio si bona creditur, et demonstra­tionis vim habere censeatur cur non latius promovetur, et reliqua theoremata quinti Libri pari facilitate, et sim­plicitate per numeros demonstrantur sublata poenitus di­ficillima illa aequemultiplicium doctrina? Nesciunt for­tasse isti, sive potius nescire simulant talia numerorum exempla ad reprobandas quidem propositiones esse idonea, quando in uno tantum casu non succedunt ex voto. At nunquam posse confirmare licet decies, sive centies, mil­liesque repetito experimento semper feciliter, atque ex animi penitus sententia evadant. Quam severe nobiscum a natura actum est. Ad destruendam enim aliquam as­sertionem nostram, unus tantum casus in contrarium sufficit, ad confirmandam vero, omnes, hoc est infinitos consentire necesse est: sed quamquam plurima numero­rum experimenta feliciter tandem succedant, non ne plura erunt illa quae intentata remanebunt in infinita numero­rum multitudine? Removenda igitur esset dubitatio, ne inter tot omissa experimenta aliquis numerus delitescat, qui nostram aeque multiplicium concordiam tandem de­struat. Porro concedamus disputationis gratia, non plu­rima, sed omnia numerorum experimenta arridere, quidnam denique censendum erit de magnitudinibus incommensu­rabilibus, quae quidem inter se non possunt habere ratio­nem iliam, quam habet numerus ad numerum? Quodnam inventum machinabimur, ut de illarum etiam aequemul­tiplicibus, aliquod periculum faciamus, quemadmodum fe­cimus de numeris? Non desunt qui opinentur quamlibet in geometria definitionem bonam esse: scilicet existimant nihil aliud geometricam definitionem esse praeter no­menclaturam quamdam, et proprie nominis impositionem. Non negaverim quasdam vere esse nominis impositiones, quas geometra fingere potest arbitrio suo. Quando au­ctor definitionem hanc dedisset fenestra est cujus pars nulla est, optimam definitionem, hoc est nominis imposi­tionem dedisse faterer: deinde vero extremitates linearum fenestras esse libentissime concessissem et quotiescumque fenestram idem geometra in eodem opere nominavisset. numquam intellexissem, illas, quae ad excipiendam lucem in parietibus domorum, templocumque relinquuntur, sed rem quandam quae juxta praescriptum in definitione nullas partes habeat utpote linearum communis aliqua intersectio, sive extremitas, sive aliquid simile. Pari ratione si dica­mus sextam illam definitionem nihil aliud esse praeter nominis quamdam impositionem, quis non videat omnem operam perdi, omnemque hujus doctrinae fructus interire? Quotiescumque enim imposterum magnitudines proportio­nales, sive proponi, sive demonstrari, sive quocumque alio modo nominare audiam, numquam alium conceptum de illis in intellectu constituam praeter illum in definitione imperatum. Nempe proportionalitatem semper interpre­tabor tamquam si diceret magnitudines illas tales esse, ut earum aeque multiplicia semper habeant prescriptam il­lam concordiae conditionem. Coeterum ignorabo poenitus, quod magis ad rem nostram attinet, nimirum an prima ad secundam sit ut est tertia ad quartam, hoc est an ratio, quae inter primam et secundam est, vere, et sine ulla du­bitatione similis sit rationi, quae inter tertiam et quartam intercedit. Credamque proportionales esse ex vi demon­strationis definitionisque quamquam supersit, et merito quidem suspicio illa, quod prima magnitudo possit esse dupla secundae, tertia vero tripla quartae, neque enim de­monstratio neque definitio removet hanc suspicionem oc­casionemque dubitandi . Praeterea si tamquam bonam illam demonstratione definitionem sine admittere debea- mus illam definitionem, quae re ipsa theorema est, non video cur pari rationi admittendae non sint tamquam definitiones sive axiomata reliquae omnes quinti Libri propositiones. Nullum certe est inter illa theoremata ae­que difficile arduumque intellectu atque illa definitio. Ac­cedit insuper alia difficultas non levior priore. Non debet geometra ejusdem subjecti duas simul exhibere defini­tiones, quarum unitas, et concordantia statim apparere non possit nisi adducta demonstratione. Data enim prima definitione, quaecumque ea sit, si deinde aliam afferat, quae manifestam non habeat connexionem, atque unita­tem cum priore definitione, secunda haec non erit amplius definitio, sed statim degenerabit in theorema, quod omnino sua peculiari demonstratione indigebit. Vera definitio pro­portionalitatis habetur apud Euclidem dum inquit proportio vero est rationum similitudo. Quaecumque alia deinceps de proportionalitate adiiciatur, quae idem aperte non sonet cum adducta jam definitione, omnino reiicenda erit inter theoremata, et evidenti demonstratione comprobanda. Hoc equidem factum fuisse jam tum vel ab Euclide, vel ante ipsum ab aliquo alio geometra crediderim, licet ipsa de­monstratio, quae tum fonte apud Graecos celeberrima erat ad aetatem nostram non pervenerit. Alias enim qua ra­tione excusari posset noster auctor poenitus ignorarem. Redolet nescio quid non vulgaris difficultatis etiam defi­nitio majoris proportionis. Nam quis me certiorem faciet magnitudines tunc nequaquam esse proportionales, quando illarum aeque multiplicia praescriptam illius concordiae legem non servabunt in omnibus casibus? Etenim si videre aequemultiplicia concordare in mille casibus, facile addu­car ut credam magnitudines illorum esse proportionales, neglecto, si qui erit, aliquo casu, in quo aequemultiplicia ab imperata concordia aberrare cognoscantur. Discant ex hac definitione, qui paucis tantum experimentis feliciter examinatis tentatis facile sibi persuadebant proportionali­tatem inter quatuor magnitudines reperiri, discant, inquam, non esse fidendum illis quoscumque fuerint examinibus quandoquidem Euclides ipse nos terret in hac definitione. Exclamat enim majorem tunc esse proportionem, hoc est magnitudines minime proportionales esse, quotiescumque earum multiplicia in unico tantum casu a praescripta con­cordia discrepare reperiantur; licet per innumeras casuum miriades concordare antea reperta fuissent. Tandem ut ad conclusionem accedam, pari facilitate dubitabo magni­tudines non esse proportionales, licet earum aequemulti­plicia imparatam concordiam constantissime servent, et esse proportionales, licet ab eadem concordia aliquando recedant. Hactenus enarratae sunt difficultates, quae me ad hoc opus, qualecumque sit, impulerunt.

Respondeo nunc ad aliquo objectiones, quibus obnoxium me non nemo judicare potuisset, si tacite praeterijssem. Primum mea methodus neque ipsa caret difficultatibus suis, nam praeter definitiones habet etiam suppositiones non paucas, quibus veluti fundamentis molem suam superaeci­ficat. Adde etiam quod inter suppositiones accenseo non nulla, quae Euclides demonstratione indigere judicavit. Ab his breviter me expedio. Euclides suppositis difficillimis principiis faciliosa quaeque demonstravit. Ego contra prae­missis facilioribus, notioribusque principiis difficillima quae­que demonstrare conatus sum. Nemo certe negabit apud Euclidem difficiliora esse principia, quam theoremata cui methodo contrariam poenitus me secutum esse non despero. In secunda, et tertia suppositionum mearum, quatuor re ipsa continentur axiomata. Sed nemo non videbit illa ex aliorum suppositione potuisse demonstrari, nisi tam mani­festa essent, ut simpliciter supponi posse visa fuerint. Ar­guet me fortasse aliquis, quod libellum hunc ex magna parte Proportionibus, et demonstrationibus ex Euclide de­sumptis infarcivi. Ad haec non me excuso. Utinam opus ipsum, et quidem integrum conflare potuissem theoremati­bus hinc inde ex Euclide collectis. Dolet quod non nihil ex meo interserere aliquando coactus sum. Non enim opus hoc ab ingenio, sed a necessitate provisum est. Quod ad molem libelli attinet, nemo certe pre nimia magnitudine illum legere abnuet. Numerus propositionum quae scitu necessariae ad 24 non ascendit: quin etiam ex illis quar­tam fere partem demere potes, non quia praetermittendae sint, sed quia ex sexto, decimo, undecimo, dodecimoque libro exceptae sunt, ideoque cum ad illarum loca perve­neris apud Euclidem; tamquam diu perceptas praeterire poteris. Proemium fortasse, et Appendicem in Libro qui de Propositionibus agit, si quis cum opere conferat, nullam servare proportionem videbuntur: delictum hoc excusabi­mus exemplo. Non desunt qui hanc ipsam materiam ag­gressuri integrum pene volumen in prolegomenis, nec ae­quali necessitate adacti conscripsere.

Indecorum ne videbitur maxima geometriae opera praemanibus habentem cum elementaribus hisce tyroci­niis in medium prodire. Sed jam testatus sum breve hoc opus egestati me dedisse, et meae, et auditorum meorum, et volentium. Post hac liber de lineis novis non neces­sitati dabitur, sed genio. Lineae autem novae vocantur parabolarum infinitae species hyperbolarumque in infini­tam distantiam abeuntium, spiralium plura genera, cycloi­dales, logarithmicae, atque aliae lineae antiquis poenitus ignotae.

Non deerunt infinitae spatiorum quadraturae; solido­rum rotundorum dimentiones; linearum curvarum tangen­tes, et mensurae planorum, solidorumque centra-gravitatis, et alia id generis.

In Parabolis dabuntur quadraturae omnium quinque modis. Tangentes modis totidem. Solida tam circa axem, quam circa basim, et circa alias lineas, tamquam axes revoluta, omniumque etiam tam planorum, quam solidorum parabolicorum centra gravitatis.

In Hyperbolis dabuntur planorum quadraturae, solido­rumque dimensiones circa utramque asymptoton revolu­torum, quamquam secundum longitudinem fine omnino careant planae, solidaeque ab hyperbolis genitae figu­rae. — Quin etiam tangentes ad unum quodque punctum hyperbolarum ducentur, et quod mirum est demonstra­buntur solida quaedam hyperbolica exiguo cylindro ae­qualia quamquam infinitae latitudinis sint, hoc est super basi, tum secundum extensionem, cum etiam secundum quantitatem infinita constituantur.

In Spiralibus quando quaecumque radiorum dignitates fuerint, ut quaecumque dignitates temporum, dabuntur quadraturae omnium ad circuli sectorem relatarum. Prae­terea tangentes, hoc est quam rationem habeat ad arcum circuli recta quaedam linea, quae a tangente secatur ar­chimedeo more insuper ostendetur unamquamque lineam spiralem cuidam lineae parabolicae aequalem.

In Spiralibus vero quarum radii temporibus aequalibus in geometrica ratione procedunt, ostendetur ipsam spira­lem lineam, licet ex infinitis numero revolutionibus con­stet, antequam ad suum centrum perveniat, suae tangenti aequales esse spatium vero etsi ex infinitis numero revo­lutionibus componatur cuidam triangulo isosceli aequale demonstrabitur, cujus trianguli lateribus ipsa etiam spi­ralis linea aequalis apparebit.

In Logarithmicis vero lineis, quas, et ob unicam asym­ptoton hemi-hyperbolas vocamus, demonstrabimus spatium, licet in infinitam longitudinem abeat, trianguli tamen a tangente facti duplum esse. At solidum ab eadem figura genitum, licet sine fine longum, coni tamen ab eodem tangentis triangulo facti sesquialterum esse. Haec, et si­milia ostendemus habita plerumque ratione non solum de lineis quadratis, cubisque, quemadmodum ab antiquis factum est, sed etiam de omnibus reliquis algebrae di­gnitatibus.

De Cycloidibus lineis nihil addam, cum jam evulga­verim in libellis anno 1644 editii praecipuas earum af­fectiones. Praedicta omnia ut plurimum duplici ratione demonstrantur, hoc est per novam Indivisibilium Geo­metriam, et more veterum. De omnibus novis lineis de­finitiones, enunciationesque theorematum fere omnium, imo etiam demonstrationum aliquam partem tradidi per manus amicorum in Italia et ultra montes. Excipio ta­men parabolarum definitionem quam ego non dedi, sed ab amicis accepi. Prodibit aliquando opus, volente Deo, jamdiu maturum. Interea praestat circa vitra ad usum telescopij potius laborare, quae ab omnibus Europae par­tibus expetuntur, quam circa theorematum dispositionem, figurarumque accuratam descriptionem excruciari: peracta scilicet inventione, quae sola voluptati esse potest. Tan­dem supra votum meum erit, si abste Amice Lector, tenuissimo huic operi in praesens veniam impetravero. Operi de lineis, ut spero, pro humanitate tua non negabis applausum et fortasse ex parte saltem materiae admira­tionem.

DEFINITIONES.

1. Pars est magnitudo magnitudinis, minor majoris, cum minor metitur majorem.

2. Multiplex autem est major minoris, cum minor metitur majorem.

3. Ratio est quaedam duarum magnitudinum ejusdem generis unius ad alteram secundum quantitatem habitudo.

4. Ejusdem generis sunt magnitudines, quae possunt multiplicatae se se mutuo superare.

5. Proportio est rationum similitudo, hoc est: In eadem ratione magnitudines dicuntur esse prima ad se­cundam et tertia ad quartam, quando ratio primae ad secundam similis fuerit rationi, quam habet tertia ad quartam.

6. Eamdem autem habentes rationem magnitudines proportionales vocentur.

7. Proportio in tribus paucissimis terminis consistit.

8. Cum autem tres magnitudines proportionales fue­rint, prima ad tertiam duplicatam habere rationem dicitur ejus, quam habet ad secundam. At cum quatuor magni­tudines proportionales fuerint in proportione continua, prima ad quartam triplicatam habere rationem dicitur ejus quam habet ad secundam.

9. Homologae, seu similes ratione magnitudines di­cuntur antecedentes quidem antecedentibus, conseguentes vero conseguentibus.

SUPPOSITIONES ET AXIOMATA.

1. Quae eidem sunt eaedem rationes inter se sunt eaedem.

2. Aequales magnitudines ad eamdem eamdem ha­bent rationem. Et magnitudines, quae ad eamdem ma­gnitudinem eamdem habent rationem, sunt aequales.

3. Eadem magnitudo ad aequales eamdem habet ra­tionem; et si eadem magnitudo ad duas magnitudines eamdem habeat rationem, illae sunt aequales inter se.

4. Inaequales magnitudines ad aliquam tertiam ma­gnitudinem, supponimus non habere eamdem rationem, sed diversam. Ratio vero majoris magnitudinis ad illam tertiam magnitudinem, vocatur major quam sit ratio mi­noris ad eamdem: non quia sit major, namque hoc nimis obscurum esset in proportionihus, sed quia a majore ma­gnitudine procedit .

5. Si vero fuerint quatuor magnitudines, et prima ad secundam supponatur, sive dicatur habere majorem rationem quam tertia ad quartam, hoc nihil aliud signi­ficat, neque aliud unquam intelligendum est apud aucto­res, nisi primam illam magnitudinem non esse proportio­nalem sed majorem existere, quam esse deberet ad hoc, ut ipsa sit ad secundam quemadmodum est tertia ad quartam. Diciturque major, non quia major sit, nam hoc nimis obscurum esset, sed quia procedit a magnitudine quae major est quam esse deberet.

6. Aequales magnitudines quotcumque sint eamdem habent rationem, quam habent numeri a quibus nume­rantur. Exempli gratia: Septem lineae palmares ad qua­tuor lineas palmares eamdem habent rationem quam habet numerus 7 ad numerum 4. Vel quinque quadrata palmaria ad novem quadrata palmaria eamdem habent rationem, quam habet numerus quinque ad numerum novem.

PROPOSITIO I.

Propositis duabus magnitudinibus inaequalibus et eju­sdem generis, quarum [Fig. 1] AB sit major, CD vero

[Fig. 1].minor, si ex majore AB aufe­ratur dimidium et rursus ab ea, quae remanet, dimidium detrahatur, atque iterum ex reliqua dimidium, et hoc fiat semper, relinquetur tandem ex AB quaedam magnitudo, quae minor erit proposita mi­nori magnitudine CD.

Multiplicetur enim minor CD toties, donec aggregatum CH, hoc est magnitudo composita ex multiplicatione, major sit quam ipsa AB (hoc fieri potest ex definitione quarta, cum supponatur magnitudines ejusdem generis). Tunc ipsa AB secetur bifariam in E, et iterum reliqua EA secetur bifariam in F, et hoc fiat toties, donec par­tes ipsius AB numero aequales sint partibus ipsius CH. Jam si ex minore BA auferamus dimidium BE, at ex majore HC auferamus primam ipsius partem HI, quae vel dimidium erit totius vel minor quam dimidium, erit reli­qua EA minor quam reliqua IC. Iterum si ex minore EA auferamus dimidium EF, at ex majore IC auferamus se­cundam ipsius partem IL, quae vel dimidium erit, vel minus quam dimidium, erit reliqua FA minor quam reli­qua LC. Peracto itaque simili argumento toties quot erunt partes magnitudinum, deveniemus tandem ad hanc con­clusionem nempe ultimam GA minorem esse quam sit ultima DC, quod erat propositum.

PROPOSITIO II.

Si fuerit quodcumque triangulum ABC [Fig. 2], cujus basis AC secta sit in quotcumque partes inter se aequales, et ex vertice trianguli ad puncta singula divisionum basis ducantur rectae lineae, erit totum triangulum divisum in triangula inter se aequalia. Quod constat ex proposi- tione 38a Primi Libri. Dico quamlibet

[Fig. 2].summam horum triangulorum exempli gratia ABD ad reliquam DBC ita esse ut basis AD ad basim DC, hoc est triangula ABD ad triangula DBC eam­dem habere rationem, quam habet recta AD ad rectam DC.

Omnia enim triangula ABD ad omnia triangula DBC eamdem habent rationem, quam habet numerus trian­gulorum ABD ad numerum triangulorum DBC. Sed etiam omnes partes rectae AD ad omnes partes rectae DC eam­dem habent rationem quam numerus partium AD ad nu­merum partium DC, sive quam habet numerus triangulo­rum ABD ad numerum triangulorum DBC (est enim idem numerus tam partium rectae AC, quam triangulorum ipsis insistentium). Propterea per primam suppositionem eadem erit ratio triangulorum ABD ad triangula DBC, atque ratio rectae AD ad rectam CD. Quod erat propositum.

PROPOSITIO III.

Triangula ejusdem altitudinis eamdem habent rationem quam bases.

Sint duo triangula ejusdem

[Fig. 3].altitudinis ABC, CBD [Fig. 3]. Dico ita esse triangulum ABC ad triangulum CBD ut est basis AC ad CD, hoc est rationem trianguli ABC ad CBD similem esse atque prorsus eamdem cum ratione basis AC ad CD.

Nam si possibile est non sit ita, sed quam rationem habet triangulum ABC ad triangulum CBD, eamdem concipiamus habere aliquam aliam rectam lineam EC ad CD sive EC minor sit sive major quam AC. Secetur CD bifariam, at­que iterum bifariam, et hoc fiat semper, donec remaneat per primam huius quaedam recta CI minor quam sit AE. Tunc dividatur tota CD in partes aequeles ipsi CI, quae quidem tota absumetur praecise, et recta CA dividatur in partes aequales eidem CI facto initio ex puncto C, donec divisio fieri poterit, sive aliqua divisio cadat in A, sive non. Certum est quod aliquod ex punctis divisionum cadet omnino intra puncta E, A, et cum ipsa CI mensura divi­sionum ex constructione minor sit quam ipsa EA. Cadat ergo intra puncta E, A aliqua divisio, quae sit L, tum ad singula divisionum aequalium puncta ducantur rectae ex puncto.

Jam in casu primae figurae quia recta LC major est, et EC minor non habebunt LC, et EC ex 4. suppos. eam­dem utraque rationem ad CD, sed recta LC major erit, quam esse deberet ad hoc, ut ad CD eamdem habeat ra­tionem, quam habet EC minor ad eamdem CD. Trian­gulum vero LBC ad CBD eamdem habet rationem per preced. quam habet recta LC ad CD, propterea etiam triangulum CBD majus erit quam esse deberet, ut ad ipsum habeat eamdem rationem, quam habet recta EC ad CD, ergo multo magis triangulum ABC majus erit, quam esse opporteret ad hoc, ut sit ad ipsum CBD que­madmodum est recta EC ad CD, quod est contra suppo­situm.

In secunda vero figura

[Fig. 4].[Fig. 4] triangulum LBC ad CBD non habebit eamdem rationem ex 4 suppos., quam habet triangulum ABC minus ad idem CBD, sed ipsum LBC majus erit quam esse deberet, basis vero LC ad CD eam­dem habet rationem per 2ahuius, quam triangulum LBC ad CBD; propterea ipsa etiam basis LC erga CD major erit quam esse deberet ad hoc ut sit quemadmodum est trian­gulum ABC ad CBD. Ergo et recta EC multo major erit quam esse opporteret ad hoc ut ipsa EC ad CD eam­dem habeat rationem quam triangulum ABC habet ad CBD, quod est contra suppositum.

Patet ergo quod triangulum ABC ad CBD est ut basis AC ad CD, quando quidem demonstravimus, quam ratio­nem habet triangulum ABC ad CBD eamdem nullam aliam lineam praeter AC posse habere ad CD.

Scholium.

Triangula vero ejusdem altitudinis sunt, sive vertices habeant ad idem punctum conjunctos et bases in directum, ut videre est in appositis figuris, sive inter easdem tantum parallelas sint, sive (quod solum considerandum est) per­pendiculares habeant, quae ex vertice ad bases demittun­tur inter se aequales. Omnibus enim his casibus accomo­dari potest nostra demonstratio.

PROPOSITIO IV.

Si in quocumque triangulo ABC [Fig. 5] fuerit quae­dam recta DE parallela ad unum latus BC, haec parallela proportionaliter secabit ipsius trianguli latera.

Et si latera AB, AC proportionaliter

[Fig. 5].secta sint quae ad sectiones adiuncta fuerit recta linea DE, erit ad reliquum latus parallela.

Esto primum DE parallela ad BC. Dico ut AD ad DB ita esse AE ad EC. Ductis enim rectis DC, BE, erunt trian­gula DBE, DCE aequalia inter se per 37aprimi cum sint super eadem basi DE, et inter easdem parallelas. Jam basis AD ad basim DB est ut triangulum AED ad triangulum DEB (sunt enim ejusdem altitudinis) sive ex 3 suppos. ut trian­gulum idem AED ad EDC, sive ut basis AE ad basim EC. Quod primo propositum fuit.

Supponamus nunc latera AB, AC secta esse proportio­naliter, nempe ita esse AD ad DB, ut AE ad EC. Dico rectam DE parallelam esse lateri BC. Nam triangulum AED ad triangulum DEB per preced. est ut basis AD ad basim DB sive (per suppositionem) ut AE ad EC, sive per preced. ut triangulum idem ADE ad triangulum EDC. Cum itaque idem triangulum DAE eamdem habeat ratio­nem ad duo triangula DEB, EDC aequalia erunt ex 3asuppos. inter se DEB, EDC, et cum sint super eadem basi DE et ad easdem partes, erunt etiam per 39a primi inter easdem parallelas. Ergo DE et BC sunt parallelae. Quod erat propositum.

PROPOSITIO V.

Si in quocumque triangulo ABC [Fig. 6] angulus qui­libet ABC bifariam secetur a recta BD, dico basim AC in ratione laterum sectam esse, hoc est

[Fig. 6].segmentum AD ad segmentum DC eamdem habere rationem, quam habet latus AB ad BC.

Ducatur AI parallela ad BD, quae conveniet cum CB producta: facit enim angulor ICA et IAC, sive BDC simul sumptos minores duobus rectis. Con­veniat ergo in I. Erit jam angulus AIB aequalis angulo DBC externo et op­posito parallelarum: at angulus IAB aequalis est angulo alterno ADB, ae­quales vero sunt per suppositionem anguli ABD, DBC, propterea aequales erunt inter se AIB, IAB, et ideo la­tera IB, AB aequalia. Erit ergo AB ad BC ut IB ad BC propter aequalitatem, sive ut AD ad DC. Quod etc.

PROPOSITIO VI.

Si quatuor magnitudines proportionales fuerint, et con­vertendo proportionales erunt.

Demonstrabimus in hoc, et in quatuor seguentibus theo­rematibus propositionem in lineis tantum, donec in Appen­dice ad finem libelli ostendamus veram esse etiam in aliis quantitatis generibus.

Sint quatuor lineae rectae proportionales AB, BC, AD, DE [Fig. 7] nempe quam rationem habet prima AB ad secundam BC, eamdem habeat tertia AD ad quartam DE; dico conver­

[Fig. 7].tendo eamdem ha­bere rationem CB ad BA, quam ha­bet ED ad DA. Po­nantur prima cum secunda in direc­tum, ita ut unam eamdemque rectam lineam constituant ABC. Item tertia cum quarta rectam lineam conficiant ADE. Tum inclinentur AC et AE, ita ut se tangant in puncto A, et angulum efficiant quemcumque. Ducantur etiam BD, BE, CD, CE.

Jam triangula BCD, DEB cum sint super eadem basi BD, et inter lineas BD, CE (quae parallelae sunt per se­cundam partem quartae propositionis hujus libri) aequalia erunt inter se. At recta CB ad BA est ut triangulum CDB ad triangulum BDA, sive ob aequalitatem, ut trian­gulum EBD ad idem DBA sive ut recta ED ad DA. Quod etc.

PROPOSITIO VII.

Si divisae magnitudines proportionales fuerint, et com­ponendo proportionales erunt.

Sit ut recta [Fig. 7] CB ad BA divisim ita ED ad DA divisim, dico et component proportionalis esse sive est CA ad AB, ita esse ut est EA ad AD.

Ponantur enim in directum CB, BA item ED, DA, in­clinenturque invicem ad punctum A, et reliquae rectae lineae ducantur, ut in praecedentis propositionis con­structione imperatum est. Erunt ex jam demonstratis duo triangula BCD, BED aequalia inter se, sumptoque com­muni BDA, aequalia CDA, EBA. Jam recta CA ad AB erit ut triangulum CDA ad ADB, sive triangulum EBA ad idem ABD, sive ut recta EA ad AD quod etc.

PROPOSITIO VIII.

Si compositae magnitudines proportionales fuerint, et dividendo proportionales erunt.

Sint compositae magnitudines proportionales quatuor rectae lineae [Fig. 7] CA, AB, EA, AD, et sit ut CA ad AB, ita EA ad AD. Dico dividendo ita esse CB ad BA ut ED ad DA.

Inclinatis enim lineis ad angulum A quicumque sit, et ductis BD, CE, BE, CD erit triangulum CDA ad triangu­lum BDA ut basis CA ad basim AB, sive ut EA ad AD per suppositionem: sive ut triangulum EBA ad idem DBA. Aequalia ergo sunt per secundam suppositionem triangula CDA, EBA, et dempto communi BAD, aequalia erunt CDB, EBD. His demonstratis, recta CB ad BA est ut triangulum CDB ad DBA, sive ut aequale EBD ad idem DBA, sive ut basis ED ad DA. Quod etc.

PROPOSITIO IX.

Si quatuor magnitudines proportionales fuerint, et per­mutando proportionales erunt.

Sint quatuor rectae lineae proportionales AB, BC, AD, DE. Nempe ut AB prima ad BC secundam, ita sit AD tertia ad DE quartam. Dico primam AB ad tertiam AD ita esse ut secunda BC ad quartam DE. Qui modus ar­guendi dicitur permutando.

Componantur in directum, deinde inclinentur indicem ad angulum quem­

[Fig. 8].libet, ut videre est in figura [Fig, 8]. Ductis deinde CE, BD, manifestum est, ex jam demonstra­tis in quarta hujus, quod BD, CE paral­lelae erunt. Secetur angulus CAE bitariam a recta AF, et ex F demittantur FH, FI perpendiculares ad AC, AE, ducanturque FC, FE. Patet primo perpendiculares FH, FI aequales esse per 26aprimi. Nam in triangulis FAH, FAI anguli ad A sunt aequales per constructionem, et ad H, et ad I recti, la­tusque AF commune.

Jam recta BA ad AD erit ut BF ad FD, sive ut trian­gulum BCF ad FED, sive ut BC ad DE. Quod erat propositum.

Triangula enim FCB, FED cum habeant aequales alti­tudines FH, FI inter se sunt ut bases BC, DE.

PROPOSITIO X.

Si fuerint quotcumque magnitudines, et aliae ipsis ae­quales numero, quae binae in eadem ratione sumantur, et ex aequo in eadem ratione erunt.

Sint quotcumque magnitudines A, B, C, H, et aliae ipsis aequales numero D, E, F, I, quae in eadem ratione sint, si binae sumantur, nempe ut A ad B ita sit D ad E, et iterum ut B ad C, ita sit E ad F, et hoc modo proce­datur semper. Dico ex equo ita esse primam A ad ulti­mam H, uti est prima D ad ultimam I. Qui modus ar­guendi dicitur ex aequo.

Cum enim sit ut A ad B, ita D ad E, erit permutando A ad D, ut B ad E. Amplius quia est ut B ad C, ita E ad F, et permutando erit ut B ad E, ita C ad F. Et quia tam ratio A ad D, quam etiam ratio C ad F con­venit, atque eadem est cum ratione B ad E, erit ratio A ad D eadem cum ratione C ad F. Ergo permutando erit ut A ad C, ita D ad F. Quod primo erat ostendendum.

Si vero fuerint plures quam tres magnitudines ulterius procedemus usque in infinitim summa facilitate hoc modo. Quia A ad C est ut D ad F per jam demonstrata, et C ad H est ut F ad I per suppositionem. Erit ex aequo (uti supra demonstratum est in tribus magnitudinibus) ut A ad H, ita D ad I. Quod etc.

Admonitio.

Praecedentes quinque propositiones demonstravimus huc usque in solis lineis. Superest nunc ut eas demon­stremus universaliter veras esse etiam in omni alio ge­nere quantitatis. Exequemur hoc ad finem libelli in Ap­pendice, quam addituri sumus. Quae quidem Appendix multo justius hoc prorsus loco apponenda erat, quando quidem sequentes propositiones et proponuntur, et demon­strantur in quocumque genere quantitatis, sed quia longior evasit, quam quae inter propositiones mereatur interponi; non immerito in eum locum rejecta est.

PROPOSITIO XI.

Si fuerint tres magnitudines, aliaeque ipsis aequales numero, quae binae in eadem ratione sumantur, fuerit autem perturbata earum proportio, ex aequalitate in ea­dem ratione erunt.

Sint tres magnitudines A, B, C, atque aliae tres D, E, F, quae binae in eadem ratione sumantur, sed perturbata sit eorum proportio, nempe ut A ad B, ita sit E ad F et ut B ad C ita sit D ad E. Dico ex aequalitate pertur­bata esse A ad C, ut est D ad F.

Concipiamus esse ut B ad C, sive ut D ad E (est enim per suppositionem eadem ratio B ad C, atque D ad E) ita F ad aliam magnitudines I. Eruntque D, E, F, I, qua­tuor magnitudines proportionales.

Jam quia est ut A ad B, ita E ad F per suppositio­nem, et ut B ad C, ita F ad I (hoc enim a nobis impe­ratum est), erit ex aequo A ad C ut E ad I. Sed cum D, E, et F, I sint quatuor magnitudines proportionales, erit permutando D ad F ut E ad I. Sed etiam A ad C erat ut E ad I. Ergo eadem est ratio A ad C, atque D ad F, cum utraque conveniat cum ratione E ad I. Quod etc.

PROPOSITIO XII.

Si compositae magnitudines proportionales fuerint et per conversionem rationis proportionales erunt.

Sint compositae magnitudines

[Fig. 9].proportionales, nempe [Fig. 9] ut AB ad BE, ita sit CD ad DF. Dico per conversionem rationis ita esse DA ad AE, ut est DC ad CF.

Nam quia est ut AB ad BE ita CD ad DF per suppo­sitionem erit dividendo AE ad EB, ut CF ad FD, et con­vertendo erit BE ad EA ut DF ad FC, et componendo erit BA ad AE ut DC ad CF. Quod etc.

PROPOSITIO XIII.

Si fuerit ut totum ad totum, ita ablatum ad ablatum, et reliquum ad reliquum, erit ut erat totum ad totum.

Sit ut totum [Fig. 10] AB ad

[Fig. 10].totum CD, ita ablatum BE ad ablatum DF. Dico reliquum AE ad reliquum CF, ita esse ut erat totum ad totum, sive (quod idem est ex suppositione) ut erat abla­tum ad ablatum. Nam cum AB ad CD sit ut BE ad DF per suppositionem, erit permutando AB ad BE ut CD ad DF, et dividendo AE ad EB ut CF ad FD, iterumque permutando AE ad CF, ut EB ad FD. Patet ergo, quod reliqua AE ad reliquam CF ita est ut erat ablata EB ad ablatam FD, sive ut totum AE ad totum CD. Quod. etc.

PROPOSITIO XIV.

Partes cum pariter multiplicibus in eadem sunt ratione, si, prout sibi mutuo respondent, ita sumantur.

Sint partes A, B, et earum aeque multiplices sint C, D, dico partem A ad partem B ita esse ut est multiplex C ad aequemultiplicem D. Nam cum per suppositionem tam multiplex sit C ipsius A, quam D pisius B, erit ut C ad A, ita D ad B, et permutando ut C ad D, ita erit pars A ad partem B. Quod etc. .

PROPOSITIO XV.

Si sint magnitudines quotcumque proportionales, que­madmodum se habuerit una antecedentium ad unam con­seguentium, ita se habebunt omnes simul antecedentes ad omnes consequentes simul.

Sint magnitudines quotcumque A, C, E proportionales totidem magnitudinibus B, D, F. Nempe ut A ad B ita sit C ad D, et ita E ad F etc. Dico omnes simul antece­dentes A, C, E ad omnes consequentes simul B, D, F ita esse ut una antecedentium magnitudinum ad unam con­sequentium exempli gratia ut E ad F. Quoniam per sup­positionem ut A ad B, ita C ad D, erit permutando ut A ad C, ita B ad D, et componendo ut A, C simul ad C, ita B, D simul ad D, et permutando ut A, C simul ad B, D simul ita C ad D, sive ita E ad F. Ulterius quia A, C simul ad B, D simul sunt ut E ad F erit per- mutando ut A, C simul ad E, ita B, D simul ad F, et com­ponendo A, C, E simul ad E ut B, D, F simul ad F, et permutando A, C, E ad B, D, F ut E ad F. Quod etc. Hoc modo procedere possumus usque in infinitum.

PROPOSITIO XVI.

Eadem, ad minorem, majorem habet rationem, quam ad majorem.

Esto magnitudo quaelibet A, quae rationem habeat ad magnitudines B, C, sit autem B minor, et C major. Dico A ad minorem B habere majorem rationem quam ad C.

Supponamus enim aliquam aliam magnitudinem D, quae habeat ad A eamdem rationem, quam habet B ad C, et quia B ponitur minor quam C erit etiam D minor quam sit A. Jam permutando D ad B eamdem habebit ratio­nem, quam habet A ad C. Ergo ratio A ad B, quae major vocatur ratione D ad B major vocabitur etiam ratione A ad C. Ostendimus ergo magnitudinem A ad ipsam B non habere eamdem rationem quam habet ad C, sed diversam, atque illam prorsus, quam in suppositione quarta posuimus esse, sive potius dici majorem. Quod etc.

PROPOSITIO XVII ET XVIII.

Pro 17 et 18 propositione vide propositiones 24 et 25 lihri quinti Euclidis, ibique finem facito libelli Proportio­num. Quamquam enim apud aliquot numerus Propositio­num usque ad 34 asendat Euclidis tamen illae non sunt sed ab alijs additae: propterea omitti poterunt a tironibus ad elementa tantum necessariae propesantibus.

Ceterum quis ultimae Propositio 6ti libri non parum retardare posset incipientes siquidem equemultiplicia de­monstratur eam hic addere placet libello nostro eamque reducere ad methodum quae uti sumus in 3a propositionis demonstratione.

APPENDIX.

Demonstravimus uc usque ex propositionibus Libri quinti eas omnes, quas scitu necessarias judicavimus. Re­liquas ad aeque multiplicia spectantes, licet Euclidis sint praetermissimus, lemmata enim sunt ipsi quidem neces­saria, at apud nos supervacua. Sed jam tempus exigit ut ostendamus in aliquibus tantum exemplis quomodo ea, quae de solis lineis demonstravimus ad superficies etiam et ad solida propagari possint: et hoc in gratiam eorum, qui cum proportionum accidentia circa lineas demonstrata viderint dubitare adhuc poterunt, an ea vera sint etiam in superficiebus, in solidis, in temporibns, et in omni alio genere quantitatis. Mihi autem, ut vera fateatur, abunde satisfactum est cum accidentio duplicitatis, sive quadru­plicitatis, sive cujuscumque alterius rationis etiam ineffa­bilis in uno tantum quantitatis genere demonstrata sint. Proportio enim exempli gratia dupla, sive sesquialtera, idem ens est tam in lineis, quam in superficiebus, quam in corporibus, propterea quicquid de dupla, sive sesquial­tera proportione demonstratum fuerit in lineis, conver­tendo, sive permutando, sive componendo verum semper erit de eadem proportione etiam in quocumque alio genere quantitatis. Sed omissa persuasione apud geometras illicita veniamus ad demonstrationes, quas conscribere profiteor potius ad aliquem in geometria provectum, quam pro ty­ronibus inexpertis, praecipue si quis praeceptore careat. Melius enim sibi consulet quisquis in hac disciplina inci­piens est, si ad ulteriora pergat, percepta tantum particu­lari demonstratione, quam retenta universali ignorantia: particularem autem demonstrationem fortasse habebit per­lectis, quae hactenus tradidimus in hoc libello, universalem vero ignorantiam retinebit, nec eam nisi post longum tem­poris spatium excutiet, teste Galilaeo, atque allia doctis­simis, viris, quicumque per solitam aequemultiplicium de­finitionem transire maluerit.

Demonstremus in primis modum illum arguendi, qui dicitur convertendo, verum esse etiam in magnitudinibus diversi generis.

Esto recta A ad B ut superficies C ad D. Dico con­vertendo rectam B ad A ita esse ut spperficies D ad C. Concipiamus [Fig. 11] duo trian­

[Fig. 11].gula EIG, GIL ejusdem altitudi­nis inter se, quorum primum EIG aequale sit spatio C. Secundum vero GIL aequale sit spatio D. Jam recta A ad B per supposi­tionem est ut spatium C ad D, sive ob aequalitatem ut triangu­lum EIG ad GIL, hoc est ut basis EG ad GL; ergo convertendo in lineis recta B ad A erit procul dubio ut recta LG ad GE, sive ut triangulum LIG ad GIE, nempe ut spatium D ad C ob aequalitatem. Quod etc.

Neque vero quis me arguat quod in superiori, vel in aliqua ex sequentibus constructionibus conceperim, et ve­lut facta supposuerum duo triangula aeque alta, et qui­buscumque datis figuris aequalis. Nam is parum se geo­metram ostenderet. Certum enim est in demonstratione theorematum nos supponere posse tamquam factum quic­quid manifesto constat fieri posse, licet a nemine unquam factum fuerit.

In problematibus vero aliter se res habet.

Ostendatur nunc modus ille qui dicitur componendo. Sit in praecedentis domonstrationis figura ut recta A ad B divisim, ita spatium C ad D. Dico componendo A et B simul ad B ita esse ut C et D simul ad D. Peracta enim eadem constructione, quae in praecedenti imperata est, erit componendo in lineis ut A et B simul ad B, ita bases EG, GL simul ad LG, sive ut triangulum EIL ad GIL. Nempe ut duo simul spatia C ad D. Quod erat propositum.

Si vero quatuor datae magnitudines superficies fuerint, hoc modo demonstrationem instituemus, quod non solum pro sequentibus, sed etiam pro duabus praecedentibus de­monstrationibus monitum et exempli causa productum ve- lim proponatur demonstrandus modus ille, qui dicitur di­videndo. Sit utrumque simul spatium A et B ad B, ita utrunque simul spatium C et D ad D. Dico ita esse divi­dendo A ad B ut C ad D. Concipiantur quatuor triangula ejusdem altitudinis EFH, HFI, LMN, NMO [Fig. 12]; quo­rum primum aequale

[Fig. 12].sit spatio A, secun­dum vero spatio B, tertium spatio C quartum spatio D. Jam basis EI ad IH est ut triangulum EFI ad triangulum HFI, nempe ut spa­tia A et B simul ad B, sive ut C et D simul ad D, vel ut triangulum LMO ad triangulum NMO, nempe ut basis LO ad ON. Propterea dividendo in lineis erit ut EH ad HI, ita LN ad NO, et ideo triangulum EFH ad triangu­lum HFI erit ut triangulum LMN ad triangulum NMO, nempe spatium A ad B, ut spatium C ad D. Quod etc.

Permutata ratio non cadit nisi inter magnitudines ejus­dem generis. In lineis jam demonstrata est. Demonstre­mus eam et in superficiebus. Ponemus repetita praecedenti figura esse, ut spatium A ad B, ita C ad D. Dico permu­tando ita esse A ad C, ut est B ad D. Peracta enim si­mili constructione recta EH ad HI est ut triangulum EFH ad HFI; nempe ut spatium A ad B, sive ut spatium C ad D, nempe ut triangulum LMN ad NMO, hoc est ut recta LN ad NO. Ergo permutando in lineis recta EH ad LN erit ut HI ad NO. Propterea triangulum EFH ad LMN erit ut triangulum HFI ad NMO, et ideo spatium A ad C erit ut spatium B ad D. Quod etc.

Pauca haec exempla satis esse deberent ad confirman­dam nostram doctrinam etiam in superficiebus, nam sem­per eadem regula est, nempe ut pro spatiis datis conside­remus totidem triangula ejusdem inter se altitudinis, et datis spatiis aequalia, quemadmodum in praecedentibus a nobis factum est. Attamen afferamus adhuc unicum hoc exemplum ilius modi, qui dicitur ex aequo.

Sint lineae A, B, C, in eadem proportione, si binae sumantur cum spatiis D, E, F. Dico ex aequo ita esse lineam A ad C ut est spatium D ad F.

[Fig. 13].Concipiantur triangula ejusdem altitudi­nis quorum primum [Fig. 13] HIL aequale sit primo spatio D, secundum vero LIM secundo spatio E, et tertium tertio. Jam recta A ad B per suppositionem est ut spatium D ad E nempe ut triangulum HIL ad LIM, sive ut basis HI ad IM; ulterius recta vero B ad C per supposi­tionem, est ut spatium E ad F, sive ut triangulum LIM ad MIO, nempe ut recta LM ad MO; ergo ex aequo in lineis erit A ad C ut HL ad MO, hoc est A ad C ut triangulum HIL ad MIO, sive ut spatium D ad F. Quod etc.

Si vero utrimque data fuerint spatia in quocumque ex productis exemplis, utrimque pro datis spatiis concipienda erunt totidem triangula ejusdem inter se altitudinis, eo­demque modo procedendum juxta jam allata demonstra­tionum exempla.

At si quis nondum acquiescat, jubeatque sibi demon­strari praemissa theoremata etiam quando in rationum terminis inveniant corpora, tunc eadem prorsus servata methodo in demonstrationibus alium medium usurpabi­mus. Repetenda erit propositio tertia hujus libelli, atque ea universaliori quadam ratione proponenda et demon­stranda, ita ut corpora ipsa comprehendat. Nos eam hic subjiciebimus hoc modo.

Cylindri sive parallelepipeda ejusdem basis inter se sunt ut altitudines. Esto cylindrus AB sectus plano CD oppositis basibus parallelo, et erunt cylindri AC, CE ejusdem basis. Dico cylindrum AC ad CE esse ut altitudo AD ad DE. Quicquid autem de solo cylindro brevitatis causa dicetur, intelligatur etiam de parallelepipedo. Nisi enim sit ita con­cipiamus, si possibile est, ut cylindrus AC ad CE ita esse aliquam aliam rectam lineam ID ad DE, sive ID sit major, sive minor quam ipsa AD. Tunc secetur bifariam DE, iterumque bifariam atque hoc fiat semper donec remaneat quaedam recta DL minor quam AE. Deinde tota DE se­cetur in partes ipsi DL aequales, quod fieri poterit sine dubio, et tota DE praecise absumetur. Item recta DA di­stribuatur, donec fieri poterit, in partes ipsi DL aequales initio facto ex puncto D, sive aliqua divisio cadat in I, vel in A, sive non. Certum tamen est aliquam divisionem omnino casuram esse inter punta A et I, quandoquidem recta metiens DL minor est quam AI. Cadat igitur inter A et I punctum divisionis O, tum per singula divisionum aequalium puncta intelligantur producta plana cylindrum secantia et oppositis basibus parallela, quae quidem cylin­drum OB in particulas inter se aequales divident.

Jam in prima figura [Fig. 14] recta

[Fig. 14].OD ad DE non habet eamdem ratio­nem, quam habet ID minor ad eamdem DE, sed OD major est quam esse de­beret. Omnes autem cylindri OC ad omnes CE sunt ut recta OD ad DE (quod probatur ex prima et sexta sup­positione ut in secunda propositione hujus libelli de triangulis factum est) ergo et omnes cylindri OC ad omnes CE non habent rationem, quam habet ID ad DE, sed majores sunt quam esse deberent. Ergo multo magis cylindrus AC major erit, quam esse deberet, ut ad CE eamdem habeat rationem quam habet recta ID ad DE. Quod est contra suppositum.

In secunda vero figura cylindrus OC ad CE non est ut cylindrus minor AC ad eumdem CE, sed major est quam esse debeet. Recta vero OD ad DE est ut cylindrus OC ad CE (quod colligitur ex prima et sexta suppositione, uti mox monebamus), ergo etiam recta OD versus DE major erit quam esse deberet, et multo magis recta ID ergo eamdem DI major erit quam esse opporteret, ut ad illam eamdem habeat rationem quam habet cylindrus AC ad CE. Quod est contra suppositum.

Patet ergo quod cylindrus AC ad CE est ut recta AD ad DE quamdoquidem demonstravimus quam rationem habet cylindrus AC ad CE, eamdem nullam aliam lineam praeter AD posse habere ad DE. Atque haec conclusa sint etiam de parallelepipedo quamquam brevitatis causa so­lum cylindrum nominavimus. Demonstravimus ergo absque multiplicium ope duas Euclidis propositiones nempe 25a un­decimi et 13a duodecimi.

His praemonstratis proponatur confirmandus aliquis ar­guendi modus exempli gratia qui dicitur dividendo, etiam in eo casu quando inter terminos datae proportionis nu­merabuntur corpora.

Esto ut recta AB ad BC, ita duo solida D et E simul ad E. Dico dividendo ita esse rectam AC ad CB ut soli­dum D ad E. Concipiatur aliquis cylindrus FH aequalis utrique solido D et E, simul sumptis, sectusque intelli­gatur plano OL oppositis basibus parallelo, ita ut cylin­drus FL aequalis sit solido D. Manifestum est, quod reli­quus cylindrus OH omnino aequalis erit reliquo solido E. Jam recta AB ad BC est per suppositionem, ut solida D et E simul ad E, sive ut cylindrus FH ad HO ob aequali­tatem nempe ut altitudo FI ad IO. Ergo dividendo in lineis erit AC ad CB, ut FO ad OI, sive ut cylindrus FL ad OH, nempe ut solidum D ad solidum E. Quod etc.

Satis jam constare arbitror nostram methodum, qua demonstravimus doctrinam proportionum, non solum in lineis, quemadmodum illam determinare videbantur quin­que ex nostris propositionibus, verum etiam in superficie­bus corporibusque solidam, et inconcussam permanere. At ne quis forte suspicetur, an praedicta methodus praeter lineas, superficies et corpora ulterius adhuc extendi possit, libet unicum exemplum afferre pro omnibus, ut appareat quomodo deletis funditus aeque multiplicibus alia quoque quantitatis genera ad nostram demonstrandi rationem re­vocare possimus.

Proponamus demonstrandum nobis primum theorema Libri de Lineis spiralibus apud Archimedem quod idem est , eamdem que demonstrationem habet cum primo theoremate de motu locali aequabili apud Galilaeum : utrumque enim per solitam aequemultiplicium definitio­nem ostenditur.

Si punctum aliquod aequali semper velocitate super aliqua recta linea AB feratur, duasque ipsius portiones [Fig. 15] AC, CB permeaverit.

[Fig. 15].Dico portionem AC ad CB eam­dem habere rationem, quam ha­bent tempora ipsa, quibus pun­ctum portiones permeavit.

Ponantur DE, EF tempora, quibus punctum permeavit rectas AC, CB. Nempe DE sup­ponatur tempus recta AC, ipsum vero EF tempus rectae CB. Ostendendum est rectam AC ad rectam CB esse ut tempus DE ad tempus EF.

Nisi enim sit ita, concipiamus, si possibile est, ut tempus DE ad EF, ita esse aliquam aliam lineam IC ad eamdem CB, et erit omnino ipsa IC vel minor, vel major quam AC.

Secetur CB bifariam, iterumque bifariam, et hoc fiat semper donec remaneat quaedam CG minor quam AI, di­vidaturque tota CB in partes aequales ipsi CG; quae qui­dem tota absumetur praecise. Item distribuatur et ipsa CA in partes aequales eidem CG initio facto ex C, et continuata divisione quousque fieri poterit. Certum est aliquam divisionem casuram esse inter puncta A et I, quandoquidem recta CG metiens minor facta est quam AI. Cadat itaque inter A et I divisio L, et quoniam rectae AC tempus est ipsum DE erit rectae LC, quae minor est tempus minus quam DE. Esto igitur rectae LC tempus OE, tunc secetur tempus OE in totidem partes aequales, in quot aequales partes divisa est recta LC et tempus EF in totidem partes aequales in quot divisa est recta CB, eruntque singulae partes temporis OE tempora singularum partium aequalium rectae LC, CB. Idemque dictum sit de partibus temporis EF, et rectae CB. Cum autem omnes partes rectarum LC, CB omnifarium sumptae inter se ae- quales sint per costrutionem, erunt etiam omnes partes temporum OE, EF inter se aequales, ob suppositionem, aequalis semper velocitatis, sive motus aequabilis.

Jam recta LC ad CB non est, ut recta minor IC ad eamdem CB, sed ipsa LC major erat quam esse opporte­ret. Ut autem recta LC ad CB, ita tempus OE ad EF (quod infertur ex prima et sexta suppositione hujus). Ergo etiam tempus OE major est quam esse opporteret quam­obrem tempus DE multo majus est quam esse deberet, ut ad EF eamdem habeat rationem quam habet recta IC ad CB. Quod est contra suppositum.

Quando vero [Fig. 16] IC major fuerit quam AC pe­racta eadem constructione aliqua divisio cadet intra I, et A, quae sit L. Eritque tempus

[Fig. 16].rectae LC majus quam sit tem­pus rectae AC, nempe majus quam sit tempus DE. Esto igitur OE tempus rectae LC. Dividantur tempora OE, EF in to­tidem partes aequales in quot aequales partes sectae erunt rectae LC, CB, quae quidem temporum particulae omnes aequales erunt inter se, ut in praecedenti dictum est.

Jam tempus OE ad tempus EF non habet eamdem rationem, quam habet tempus minus DE ad idem EF, sed ipsum OE majus est quam esse oporteret. Ut autem tem­pus OE ad EF ita recta LC ad CB (ex prima et sexta suppositione hujus) ergo etiam LC versus CB major est, quam esse deberet, et multo magis IC erga eamdem CB major erit, quam esse deberet, ut eamdem habeat ratio­nem, quam habet tempus DE ad EF. Quod est contra suppositum.

Patet ergo quod recta AC ad CB est ut tempus DE ad EF, quandoquidem demonstravimus quam rationem ha­bet tempus DE ad EF eamdem nullam aliam lineam prae­ter AC posse habere ad CB; quod erat propositum.

Non me fugit demonstrationem hanc omnesque illi si­miles ad unicum casum reduci potuisse, facta scilicet constructione semel tantum sive super lineis, sive super temporibus, prout haec, vel illae majorem habere rationem dicerentur, sed malui aliquam potius obscuritatem vitare, quam prolixitatem. Poterant etiam omnes praedictae pro­positiones sub unico tantum theoremate universalissimo comprehendi, atque demonstrari. Quotiescumque enim duae magnitudines eam inter se mutuam connexionem habue­rint, ut semper in partes aequales simul secari possint, si utcumque secentur, partes ipsarum proportionales erunt. Sed alterius loci, operisque duxi hujusmodi demonstratio­nes exhibere. Imo repetitam toties eamdem demonstra­tionem, non ex casu, aut necessitate sed consilio, et data opera sequtus sum.

Haec habui, quae de propositionibus geometricis abno­tanda censerem, si non aliis, saltem mihi, atque omnibus illis, qui monitore me, geometriam addiscere volent. Nisi enim fallor, positis notioribus, et facilioribus principiis tum in definitionibus, cum etiam in suppositionibus diffi­ciliora inde proportionum theoremata deduxi: primum in lineis, mox propagata universalius doctrina, et in superfi­ciebus, corporibusque, atque in omni genere quantitatis, quod sub geometrica proportione cadere soleat et per ae­quemultiplicia demonstrari. Addidi propositionibus quinti Libri, praeter primam, secundam, tertiam atque ultimam sexti etiam vigesimam-quintam undecimi, et decimam-ter­tiam duodecimi Librorum Euclidis, partim quia meae in­tentioni inservire videbantur, partim ut appareret, quo­modo omnia illa theoremata in quibus proportionalitas per aequemultiplicia demonstratur ad tertiam hujus libelli propositionem reducantur.

FINE DEL DE PROPORTIONIBUS LIBER.

DE PLANIS VARIA.

AVVERTIMENTO.

Della seguente collezione di problemi e teoremi (tratti fcrse dalle Lezioni del Torricelli) si trovano tre copie nel T. XXVII dei “ Discepoli di Galileo ”, parzialmente dovute al Viviani ed al Serenai; di certi brani fu possibile rintracciarne l'autografo e se ne fece apposita menzione. L'ordiuamento della materia appartiene ai due suc­citati amici del sommo Faentino. Fra questo lavoro (e altrettanto dicasi degli altri che seguono in questa I Parte del Vol. 1) ed il Campo di tartufi che trovasi in prin­cipio della II Parte si trovano numerose coincidenze che il lettore avvertirà senza il nostro aiuto.

DE PLANIS VARIA

PROP. I.

Propositiones 28 et 29 Libri VI simul demonstratur. Ad rectam BC [Fig. 1] applicare parallelogrammum ae­quale rectilineo A, deficiens vel excedens figura simili parallelogrammo E.

[Fig. 1].

Debet autem in prima esse conditio etc. ut it 28 VI.

Sexta bifariam BC in F. Super FC fiat rectilineum FG simile, similitaque positum ipsi E, compleaturque CH.

Tum ad rectam BH in angulo BHG applicetur paral­lelogrammum BI per 45 primi aequale ipsi A sumaturque inter GL, LI mediae LM. Dico BO (habens defectum vel excessum CO similem E) aequalem esse A. Nam figura CL ad LO est ut GL ad LI, sive ut figura CL ad LN, ergo aequales sunt OL, LN et

[Fig. 2].per prostapheresin aequa­les erunt BI et gnomon, sive BI et BO, sive A et BO. Quod etc.

PROP. II.

Pono equales [Fig. 2] AB, CD, et parallelas EF, GM. Dico rectangula GBH, EDF esse aequalia.

Est enim HB ad DE, ut 4 sexti, BC ad CD, sive ut DA ad AB, nempe ut DF ad BG, ergo rectangula sunt aequalia.

PROP. III.

Pro tyronibus. Sit ut in figura.

Dico omnia rectangula [Fig. 3] BCD, ECI esse ae­qualia.

[Fig. 3].

Demonstratur per secundum.

Nam angulus E rectus est ob semicir­culum et D ob suppositionem. Duo rect­angula BCD cum duobus quadratis BC, CD aequantur quadrato BD, sumptoque communi DI, erunt duo rectangula BCD cum tribus quadratis BC, CD, DI, sive cum duobus BC, CI, aequalia quadrato BI, hoc est quadratis BE, EI hoc est duobus rect­angulis ECI, tribusque quadratis BE, EC, CI, sive potius BC, CI tantum. Demptis ergo quadratis communibus erunt duo rectangula aequalia duobus etc.

Demonstratur per tertium.

Fiat circulus circa diametrum BI qui transibit per puncta E, D, et propterea due recte BD, EI secabunt se in circulo.

Demonstratur per sextum.

Triangula rectangula BEC, CDI sunt similia, ergo la­tera circa aequales angulos ad C proportionalia etc.

PROP. IV.

Si ex terminis diametri [Fig. 4] BD, cir­

[Fig. 4].culi tangens DA et BA secans occurrant in A, erit rectangulum ABC aequale qua­drato diametri.

Demonstratur per secundum.

Nam rectangulum ABC bis cum qua­drato AC equatur quadratis AB, BC, sive quadratis AD, DB, BC, sive quadratis AD, DB, BC; dempto communi AC erit rectangulum ABC bis aequale quadratis CD, DB, BC, sumptis dimidiis patet rectangulum ABC aequale esse quadrato BD.

PROP. V.

[Fig. 5].

Posito angulo [Fig. 5] A recto, si due recte ex A in circulum incidant ut vides etc. erunt duo quadrata DA, CA, et duo rectangula DAC simul equalia quadrato BE etc. Hoc enim patet quia ductis parallelis CF, DG erunt aequales AC, BF, GE. Sed per quartam secundi quadratum BE aequale est quadratis EF, FB, et bis rectangulo EFB etc.

PROP. VI.

Positis ijsdem [stessa Fig.]. Cum duo quadrata DA, AC cum duobus rectangulis DAC vel cum duobus rectan­gulis HBA per 36 tertij sint aequalia quadrato BE, addito communi quadrato BH, erunt duo quadrata DA, AC cum duobus rectangulis HAB et quadrato HB per septima se­cundi equantur duobus quadratis HA, AB. Concludamus igitur quatuor quadrata DA, AC, HA, AB, aequalis esse quadrato diametri etc.

PROP. VII.

Stantibus ijsdem [Fig. 6] si ex cen­

[Fig. 6].tro ducantur ad AD, et AH perpendi­culares ML, MF erit angulus LMF rectus, et ideo GI chorda quadrantis. Dico quadrata LA, LB, FA, FC equari quadranti GI. Sunt enim quadrata LA, LB subdupla quadratorum HA, HB et quadrata FA, FC subdupla quadrato­rum DA, AC per decimam secundi, quare simul quatuor illa quadrata sub­dupla sunt horum quatuor quadratorum per preced. nempe quadrati ex diametro, quare aequalis sunt quadrato GI.

PROP. VIII.

Recta [Fig. 7] AB tangat maiorem

[Fig. 7].circulum in B, tunc quadratum CD cum quatuor rectangulis IEH erunt equalia quadrato maiores diametri, que in hoc casu erit necessario GB. Ratio est quia cum AB tangat angulusque ABE in semicirculo sit rectus, erit BEG dia­meter etc.

Iam ducatur DM parallela ad CE; eritque tam DE, quam CE, BA rectangulum, huius enim omnes anguli sunt in semicirculo.

Iam duo quadrata BE, EG equalia sunt quadratis EG, GM, sive (per septimam secundi) duobus rectangulis EGM, quadratoque EM, hoc est duobus rectangulis EGM, qua­dratoque EM, hoc est duobus rectangulis GEB, quadrato­que CD. Duo item quadrata CE, EF; aequalia erunt rect­angulis GEB (quia et ipsa GB diameter), sive duobus IEH. Simul ergo diametri equalia erunt quadrato CD, quatuor­que rectangulis IEH. Quod etc.

PROP. IX.

Ex Sereno .

[Fig. 8].

In quocumque trian­gulo secta bifariam basi [Fig. 8] AC in D, erunt duo quadrata AB, BC ae­qualia quatuor quadratis AD, DC et BD bis.

PROP. X.

Ideo quatuor quadrata laterum parallelogrammi equalia sunt duobus quadratis diametrorum.

PROP. XI.

Sint aequales arcus [Fig. 9]

[Fig. 9].AB, BC, et equales linee EC, CD, perpendiculum BH bise­cabit DA.

Item quadratum AB ae­ quale erit rectangulo IAD.

Per Ptol. lib. I, c. 6.

PROP. XII.

Sint aequales arcus [stessa Fig.] AB, BC, item linee AI, EC, erit rectangulum FEI aequale quadrato EB. Quia similia sunt triangula isoscelia EBF et EIB etc.

PROP. XIII.

Sit ut supra, erit ut AB ad BE, ita AC ad EF, vel CEA. Est enim BH subdupla AC, et ut AB ad BE ita BH ad HE, vel CA ad EF duplas etc.

PROP. XIV.

Eadem est differentia inter segmenta atque inter sec­tores semicirculum complentes [Fig. 10]

[Fig. 10].ECB, BCA sunt equales quia equalibus peripherijs insistunt; ergo ECA duplus est anguli BCA etiam BAD duplus est eiusdem, ergo aequales sunt ECA, BDA. Quare parallele sunt BD, EC. Ideo aequalia sunt triangula EBC, EDC additoque segmento EC, erit differentia sectorum complentium semicirculum.

PROP. XV.

Alterum ex propositis Problematibus erat.

Datam rectam lineam ita in duas partes secare ut dif­ferentia quadratorum partium datam rationem habeat ad rectangulum sub ijsdem partibus comprehensum.

Quod absolvemus hoc modo.

Sit data recta linea [Fig. 11] AB rationis autem ter­mini C et D. Coaptentur EF, FG ad angulos rectos inter se. Sitque EF aequalis ipsi C, et FG ipsi D. Eum divisa EF bifariam in H describatur centro H, radio HG semi­circulus secans lineam EF productam in I et L. Fiat deinde ut IF ad FG ita AM quadratum ex AB et sumpta MN equali ipsi MB, compleatur figura.

[Fig. 11].

Quia est ut IF ad FG, vel FG ad FL, ita AM ad MB vel BR ad RF, erunt tres linee IF, FG, FL, et tria spacia AO, OB, OF, vel OP in continua et eadem ratione. Ergo ex equo et dividendo erit ut EF ad FL, ita gnomon QNS ad OP. Sed ut FL ad FG hoc est ut C ad D, ita gnomon QNS ad rectangulum OB, nempe differentia quadratorum partium, ad rectangulum ex partium. Quod erat faciendum.

PROP. XVI.

Alterum erat.

Datam rectam lineam ita in duas partes dividere, ut rectangulum sub tota et minori segmento comprehensum habeat datam rationem ad differentiam quadratorum par­tium.

Quod ita peragemus. Sit data recta linea AB et ter­mini date rationis C, D. Fiat ut dupla ipsius C ad D, ita AE ad EB.

Seceturque AE bifariam in F. Dico F esse punctum quesitum.

Cum enim sit ut dupla ipsius C ad D ita AE ad EB, erit (sumptis antecedentium dimidijs) ut C ad D, ita AF ad EB hoc est rectangulum FAB ad rectangulum RBA sub eadem altitudine. Sed rectangulum FAB est id quod continetur sub tota, et minori segmento, rectangulum vero EBA est differentia quadratorum partium. Quare factum est quod oportebat .

PROP. XVII.

Dato triangulo secto per lineam [Fig. 12] AB dicere proportionem trapezij ad triangulum.

[Fig. 12].

Ducatur CA ipsique parallela BD. Dico trapezium ad reliquum trianguli esse ut ED ad DF. Ducta enim CD erit triangulum ECD ad triangulum DCF ut ED ad DF; sed triangulum ECD aequatur trapezio ECBA, cum sit triangulum triangulum DCA ae­quale triangulo CBA, triangulum vero CDF equatur reliquo triangulo ABF, cum sit triangulum ABD aequale triangulo DCB; ergo patet etc.

Lemma.

In quocumque triangulo cum fuerint AP, ON parallele, erunt rectangula ABN, OBP inter se equalia .

PROP. XVIII.

Ideo transvertim ducta [Fig. 13]

[Fig. 13].AB in triangulo DCI, ductisque pa­rallelis CA, BE, prout etiam DB, AF, erunt CD, EF inter se parallele. Rect­angulum enim DIF equale est rectan­gulo AIB, sive rectangulo EIC, ergo ut DI ad IC, ita EI ad IF. Quod etc.

Lemma.

Suppono in sequenti figura triangu­

[Fig. 14].lum [Fig. 14] ABC ad triangulum OBC esse ut rectangulum ABC ad rectan­gulum OBN. Hoc elicitur ex vigesima­tertia sexti.

PROP. XIX.

Triangulum [Fig. 15] ABC secare per lineam ex puncto D peractam ita ut pars ad A terminata sit ad reliquam ut EF ad FG.

Producantur omnia triangula latera quorum unum puta CA, transeat primo per fatum punctum D. Ducatur DH parallela ipsi AB, fiatque ut EG ad GF

[Fig. 15].coniunctim, ita CB ad HI.

Ductaque IC sumatur BM aequalis ipsi BL et ad BM applicetur rectangu­lum aequale rectangulo HBM excedens figura quadrata, quod quidem faciat latitudinem BN. Dico rectam DN se­care triangulum ut imperatum est.

Quoniam enim rectangulum BNM applicatum est aequale rectangulo HBM erit ut NM ad MB ita HB ad BN et componendo ut NB ad BM, sive NB ad BL, ita HN ad NB, nempe DH ad OB et ideo rectangulum OBN equale erit rectangulo DH, BL, sive rectangulo AB, HI (sunt enim parallele DH, AB, et IL pertinet ad verticem C); ergo rectangulum ABC ad rectangulum OBN erit ut rectangulum ABC ad rect­angulum AB, HI, nempe ut CB ad HI, vel ut EG ad GF, et dividendo trapezium AONC ad reliquum triangulum OBN erit ut EF ad FG. Quod erat etc.

PROP. XX.

Sit deinde datum triangulum [Fig. 16] ABC ex dato puncto D ita secandum, ut pars ad A terminata sit ad reliquum ut EF ad FG.

Producantur omnia latera, cadatque punctum D intra ipsa latera producta.

[Fig. 16].Ducatur per D recta HDI parallela ad AB, fiatque ut EF ad FG, ita HL ad LI; si punc­tum L congruet cum D solutum erit proble­ma per rectam LC; sed non congruat.

Ducta LC, duca­tur MN parallela ad ipsam AC, perfectoque parallelo­grammo IO, iungatur ON, et ducatur AP parallela ipsi ON, et tandem ad rectam BP applicetur rectangulum equale rectangulo IBP excedens figura quadrata faciens latitudinem Bque Dico rectam DQ solvere problema.

Quoniam enim rectangulum BQP applicatum est ae­quale rectangulo IBP erit QP ad PB ut IB ad BQ et componendo ut QB ad BP ita IQ ad QB, sive ID ad BR; ergo rectangulum RBQ equale est, rectangulo DI, BP hoc est rectangulo OB, BP sive AB, BN; ergo rectangu­lum ABC ad rectangulum RBQ (sive triangulum ABC ad triangulum RBQ) erit ut idem rectangulum ABC ad rec­tangulum et BN, nempe ut CB ad BN, sive AB ad BM, hoc est HI ad IL, et dividendo erit trapezium ARQC ad reliquum triangulum RBQ ut HL ad LI, sive ut EF ad FG. Quod erat faciendum.

PROP. XXI.

Dato parallelogrammo [Fig. 17] AB punctoque C, du­cere rectam CD, quae faciat triangulum EAD, aequale parallelogrammo dato.

Ducatur CF secans AG productam in L, sumptaque AH dupla ipsius AG, ducatur CM equidistans ipsi LA, et pro­ducatur FA ad M. Fiat ut LA ad AH ita FA ad MO.

[Fig. 17].Denique ducta OF ipsi. PA sumatur equalis AQ, recteque AQ applicetur rectangulum aequale rectangulo MAQ ex­cedensque quadrato, et faciat latitudinem AD.

Dico rectam CD solvere problema.

PROP. XXII.

Datis tribus semidiametris [Fig. 18] AH, CD, CE una cum distantia AC, et ducta HDF que utrumque tangat circulum, queritur arcus VF qui secatur a recta que ex centro C ducitur tangens in P; sumpta enim HO equalis

[Fig. 18].DC, ducta OC erit ipsi HF parallela et angula ad O recti existent.

Fiat igitur ut AC data ad AO datam (est enim diffe­rentia datarum AH, CD) ita sinus totus ad alium et habe- bimus sinum anguli ACO sive CFD cuius complementum erit angulus DCF.

Iterum fiat ut CE data ad DC datam ita sinus totus ad alium, qui erit sinus anguli DEC, cuius complementum dabit angulum DCE. His peractis notus erit angulus ECF, nempe differentia inter angulos repertos.

Fiat tandem ut data AC ad datam AP ita sinus totus ad sinum anguli ACP. Note sunt ergo peripherie SV et EX, que si demantur ex semicirculo, nota erit peripheria VE. Quod etc.

PROP. XXIII.

Due medie proportionales.

[Fig. 19].

Date sint extreme AB, BC. Si fa­cias bene figuram medie erant [Fig. 19] BD, BE.

PROP. XXIV.

Esto semicirculus cuius centrum [Fig. preced.] A, diameter BC, et si possibile est supponamus ab aliquo Geometra sectum esse per viam puram geometricam hu­iusmodi circulum in qualibet ratione, (que tamen sit nota) per lineam diametro parallelam DE et sit ratio semicirculi BFC ad segmentum DEF exempli gratia dupla. Fiat an­gulus BAF rectus, iunctaque AD, esto HI perpendicularis ad ipsum AD. Iam sic. Sector BAF ad sectorem DAF est ut arcus BF ad arcum DF. Sector autem DAF ad por­tionem DHF est ut arcus DF ad differentiam quae est inter ipsum arcum DF et rectam HI. Sed ratio sectoris BAF ad portionem DHI supponitur ex invento alicuius Geometre dupla; ergo et arcus BF rationem habebit du­plam ad differentiam que est inter arcum DF et rectam HI. Propterea si totus arcus BF secetur bifariam in L, erit reliquus arcus LD equalis recte HI.

Quod quidem problema a quopiam constructum fuisse per viam puram geometricam non credo.

Quod promisimus ostendimus sic. Sector DAF equatur triangulo, cuius basis sit radius DA, altitudo vero equalis arcui DF. Ergo sector DAF ad triangulum DAH in ea­dem basi, erit ut altitudo sive ut arcus DF ad altitudinem HI, et per conversionem rationis patet quod promisimus .

PROP. XXV.

Reflexio fit per brevissimas. Ita in spherica et in qualibet conoidali superficie convexa.

PROP. XXVI.

De Convexorum refractione.

Sit lens ABC cuius centrum D. Sphere vero diameter BE perpendi­culare radium GB, obliquum FA. Nota mensuram anguli inclinationis IAF semper esse arcum AB.

Praxis ostendit concursum fieri circa punctum E proxime, ergo re­fractionis angulus HAE esset dimidium anguli incidentie. Scimus au­tem esse debere multo minorem videlicet tertiam partem. Quod igitur superest, dicemus fieri a superficie vitri plana, et erit differentia inter dimidium et tertiam partem nempe pars sexta. Dicemus ergo plani refractionem esse sextam partem inclinationis incidentie.

Nota angulum inclinationis super planum aequalem esse angulo refractionis convexi. At id non videbis nisi in magna figura.

Nota Keplerum aliosque opticos ponere concursum radiorum ultra sesquidiametrum sphere circiter. Ideo experiaris ut certior evadas.

PROP. XXVII .

Contra Secundam Sanctinis .

Ponatur linea externa maior quam tripla semidiametri et reliqua peragantur iuxta mentem Sanctinij cuius figu­ram et constructionem suppono.

Iungatur [Fig. 20] DC et demittatur DM perpendicu­laris ad diametrum, erit differentia inter quadrata AH, AD aequalis rectangulo CM in AB, ergo ob constructionem Sanctinij quadratum DI rectangulo CM in AB equale erit.

Iam quadratum FD equatur quadratis FC, CD gemino­que rectangulo FCM, et demptis equalibus rectangulum

[Fig. 20].FDE sive quadratum AI equale remanet quadratis AC, CD geminoque rectangulo FCM, ergo etiam duo quadrata AD, DI, sive potius AH cum gemino quadrato DI equale erit duobus AC, CD, geminoque rectangulo FCM, demptisque equalibus, geminum quadratum DI aequale gemino rect­angulo FCM, sive simplex simplici. At quadratum DI equale erat rectangulo CM in AB, ergo rectangulum FCM equale est ei quod fit ex CM in AB, propterea recta FC recte AB aequalis quod est impossibile, cum enim suppo­natur extera EF maior quam tripla semidiametri non po­test FA aequalis esse semidiametro.

PROP. XXVIII.

Contra tertiam Sanctinij.

Ponatur arcus [Fig. 21] AD qui subtenditur a semidia­metro, ducanturque DI, HC

[Fig. 21].perpendiculares ad diame­trum.

Jam quia quadratum AD equale est rectangulo BAI et quadratum AH rectangulo BAC erit rectangulum sub IC et AB differentia quadratorum AD, AH, sed eorundem est differentia quadratum DH, vel rectangulum FDE (utrum­que per suam constructionem) ergo rectangulum FDE equale erit rectangulo sub IC et AB.

Quadratum F cum gemino rectangulo FCI equale est quadratis FC, CD, demptis equalibus remanet rectangulum FDE, sive mavis IC cum gemino rectangulo FCI, equale quadratis AC, CH sive quadrato IC octies sumpto.

Quod falsum est. Nam rectangulum IC in AB cum ge­mino rectangulo FCI superat octuplum quadrati IC tanto excessu quantum FA in IC bis sumptum.

FINE DEL DE PLANIS VARIA.

DE SOLIDIS VARIA.

AVVERTIMENTO.

Lo scritto seguente fu tratto dal Vol. XXVII dei “ Discepoli di Galileo ”, ove oltre l'originale, se ne trovano due copie, una di mano del Viviani l'altra, destinata alla stampa; è una raccolta composta dal Viviani stesso con materiali torricelliani.

DE SOLIDIS VARIA

THEOR. I. PROP. I.

Si prisma triangolare [Fig. 1] AE ac pyramis BAD fuerint supra basim eiusdem parallelogrammi BCDE, et in eadem simul altitudine, erit pri­

[Fig. 1].sma pyramidis sesquialterum. Si enim consideratur pyramis EAHD super basim trianguli EHD, et in eadem prismatis altitudine, ipsa pyramis tertia pars est solius pri­smatis triangularis AE.

Quod erat etc.

Animadvertendum tamen est idem prisma triangulare sesquialterum esse cuiuslibet pyra­midis eamdem cum ipsa altitudinem, basimque ipsi BCDE aequalem. Haec enim pyramis quaecumque sit, semper ipsi BCDEA aequalis erit.

Idem dicimus de cono, dum eius basis basi BCDE py­ramidis illius fuerit aequalis.

THEOR. II. PROP. II.

Si fuerit circa semicirculum [Fig. 2] AHIB descriptum semipolygonum ACFB, etiam irregulare, et semicirculus circa axem AB volvatur, erit factum solidum ad suam spheram, ut est totus solidi perimeter ad superficiem spherae.

Prolixa huius theorematis demonstratio non esset opus, neque libelli editi, nimirum ut opinor De solidis sphaera­libus, neque instituti nostri ut puta

[Fig. 2].de solidis descriptis ex instituto tractantis hoc loco afferre.

Sufficiat nobis ex mente Ioan­nis Keppleri, et aliorum nostri sae­culi considerare, tum ipsam spe­ram, tum etiam totum solidum illam ambiens in minimos et infi­nitos circulos imno conulos sive pyramidulas resolutum, ita et om­nium vertices in centro sint, bases vero in perimetris figurarum.

Omnes enim huiusmodi sive circuli imno conuli, sive mavis pyramidulae eamdem altitudinem habebunt, sive se­midiametrum spherae non solum illae, quae intra spheram sunt, sed etiam illae in quas circumductum solidum di­stribuitur. Omnes igitur simul minime pyramidis ambientis solidi, hoc est ipsum solidum ad omnes minimas pyramidis spherae, hoc est ad ipsam spheram erunt ut omnes simul illarum bases ad omnes bases istarum simul nempe ut totus perimeter solidi ambientis ad ipsum spherae peri­metrum.

Quod oportebat aliquo brevi modo demonstrare.

THEOR. III. PROP. III.

Si centrum spherae [Fig. 3] D

[Fig. 3].et axis BD si sumatur tangens BC aequalis chordae BA et fiat revo­lutio circa DB, erit factus conus DEF aequalis descripto sectori so­lido DABE.

Ratio est quia CF basis coni aequalis erit curvae superficiei por­tionis sphericae ABE per Archi­medem De sphera et cylindro et altitudo DB eadem ac sectoris.

PROBL. I. PROP. IV.

Dato igitur quolibet solido sectore spherae possumus ex modo dictis conum aequalem et aequalem facere.

Hin pro Corollario sequitur illa Archimedis Propos., vi­delicet sphaeram aequalem esse cono basim circuli maximi quadruplam habenti et altitudinem radio aequalem.

Nam circulus ex radio diametri BG quae est maxima chordarum, ex B ducibilium, quadruplus est maximi in sphaera circuli ABCG.

Id omne sive precedentem tertiam et quartam proposi­tionem ostendas ope infinitorum conorum vel pyradum ae­qualem altitudinem habentium, uti factum fuit in Prop. 2 huius Tractatuti, atque hinc postmodum elicias cylindrum sphaere sesquialterum esse cum et predicti coni sesquial­ter sit.

Is enim cylinder sextuplus est coni super propriam ba­sim quae equalis est circulo maximo GABE et in altitudine radij DB quae proprie altitudinis est dimidium, ille vero conus spherae aequalis quadruplus est coni eiusdem (cum ille sit in eadem cum hoc altitudine et super quadrupla basi) quapropter ipse cylindrus spherae circumscriptus ne­cessario sesquialter est illius coni sphaerae equales nempe sphere eiusdem sibi inscriptae.

THEOR. IV. PROP. V.

Aequilaterum dicemus conum cu­

[Fig. 4].ius sectio per axem triangulum ae­quilaterum est.

In triangulo equilatero [Fig. 4] ACE circulus ex diametro lateris AC sesquitertius est circuli ex diametro lateris AB quoniam circulus diametri AC aequalis est duobus simul circulis ex CB, BA et quadruplus circuli ex CB dimidio ipsius AC.

Huc usque demonstratur idem quod tamquam lemma proponitur a Cl. Auth. pro 56. Campi quod idcirco omittere voluimus.

Hinc circulus lateris AC triplus est inscripti circuli DB. Nam si ponatur AB partium 3 eadem AB erit potentia ut novem, et potentia et potentia AC quae ostensa est ses­quitertia potentie AB erit ut duodecim sed contingens AF est ipsius AC dimidium, ergo ipsius potentia erit quarta, pars potentie AC nempe ut 3. Sed potentia BA ad AF est ut ipsa AB ad AD. Nam rectangulum BAD aequat. qua­drato tangentis AF et potentia AB est ut 9 et AF ut 3, ergo et linea BA tripla est AD, sive sesquialtera relique DB, sed potentia BA posita fuit ut 9 qualium partium po­tentia AC ostensa est ut 12, ergo potentia relique BD ipsius AB subsesquialterae erit ut quatuor, et potentia AC erit ut 12: ergo circulus ex diametro lateris AC vel CE triplus est circuli inscripti ex DB. Quod etc.

Convertatur modo triangulum equilaterum ACE circa axem. Cum circulus ex DB ut dictum est sit ut quatuor superficies spherae erit ut 16, quarum circulus ex diametro AC vel ex CE est ut 12, ut superius conclusimus. Sed quoniam conica superficies a latere AC descripta ad suam basim ex diametro CE in cono recto ACE est ut AC ad CB et AC dupla est CB, conica etiam ex AC hic dupla erit circuli ex diametro CE, unde ipsa conica erit ut 24; sed spherica ut diximus, est ut 16, quare conica spherice, hoc est curva superficies coni recti superficiei sibi inscripte sphere est sesquialtera.

THEOR. V. PROP. VI.

Amplius totus coni perimeter, nempe conica superficies curva huius coni recti [Fig. preced.] ACE quae est ut 24 una cum basi circuli circa CE, quae est ut 12 erit ut 36, sphaerica autem superficies sen inscripte spherae DB est ut 16, ergo perimeter solidi (sive universa coni recti ACE superficies) erit duplus sesquiquartus superficiei sibi in­scripte spherae DB.

Cum sit ergo universa superficies huius aequilateri coni ACE ut 36, universa vero superficies cylindri recti GH eidem spherae circa DE circumscripti sit ut 24 (nam cur­vae cylindri recti GH aequatur superficiei inscripte sphae­rae circa DB nempe quatuor circuli circa DB, nempe, quorum alter ut diximus est ut 4, ita ut tota superficies curva cylindri basis aequatur eidem circulo circa DB ita ut ambo simul bases sint ut 8) cumque spherae eiusdem circa DE superficies ostensa sit ut 16, erunt trium huius­modi solidorum universe superficies, nempe coni recti equi­lateri, cylindri recti equilateri cylindri recti et sphaerae tam cono quam cylindri inscriptae in ratione horum nu­merorum 36, 24, 16 seu in ratione 9, 6, 4 hoc est in eadem continua ratione sesquialtera ita ut universa cylindri recti superficies spherae circumscripti: sit medio loco propor­tionalis inter universam superficiem aequilateri coni cir­cumscripti eidem spherae et superficiem spherae eiusdem.

Sed ut in secunda Propos. huius Tractatus ostensum fuit ut sunt universae superficies solidorum eidem spherae a quibuscumque polygonis circumscriptorum ad superfi­ciem spherae inscriptae, ita sunt ipsa solida circumscripta ad spheram inscriptam, ergo tria quoque predicta solida, nimirum coni aequilateri, cylindri recti et spherae ipsis so­lidis inscripte sunt in eadem continua ratione sesquialtera adeo ut cylinder sphaerae circumscriptus sit medius pro­portionalis inter ipsam sphaeram et conum aequilaterum eidem circumscriptum quod pariter Prop. 31 Lib. 2 De so­lidi sphaeral. fuerat demonstratum.

THEOR. VI. PROP. VII.

Sed ut in precedenti secunda Prop. conclusum fuit so­lida spherae circumscripta ad ipsam spheram sunt ut illo­rum perimetri ad spherae superficiem erit et conus hic aequilaterus sibi inscripte spherae duplus sesquiquartus hoc est ut 9 ad 4.

THEOR. VII. PROP. VIII.

Cum sit ergo totus conus [stessa Fig.] ACE ad inscrip­tam spheram DB ut 36 ad 16, si ex eo auferatur conus CIE (cum sit in eadem cum illo basi et in subtripla alti- tudine EI, subtriplus est totius coni CAE), nempe est ut 12 supererit residuus conus excavatus DCABE ad ipsam sphaeram, ut 24 ad 16, hoc est sphaerae sesquialter, sive aequalis cylindro GH sphaerae eidem circumscripto.

THEOR. VIII. PROP. IX.

Superficies autem sphaerae [stessa Fig.] ACE circum­scripte huiusmodi cono aequilatero ACE erit ad superfi­ciem sphaerae inscripte DB ut quatuor ad unum (sunt enim earum semidiametri in ratione dupla, quoniam AB ostensa a nobis fuit superius sesquialtera DB seu tripla sui dimidij BI, ac ideo divisim AI radius sphaerae circum­scripte duplus IB radij spherae inscripte sunt spherice su­perficies ut quadrata radiorum); sed inscripta spherica circa DB inventa est nnper ut 10, ergo circumscripta ACE erit ut 64, universa autem conica superficies ACE reperta est ut 36, quare circumscripta sphaerica ACE ad conicam super­ficiem universam sibi inscripti coni recti ACE erit ut 64, ad 36, vel ut minimi numeri 16 ad 9, vel ut 32 ad 18.

THEOR. IX. PROP. X.

Soliditas autem circumscriptae

[Fig. 5].sphaerae [Fig. 5] ACE est ad sphe­ram inscriptam DB ut 32 ad 4 (cum harum semidiametri IA, IB sint in ratione octupla inscripta vero sphera DB ad sibi circumscriptum conum rectum ACE est ut 4 ad 9, ut paulo ante animadvertimus). Quare circumscripta sphera ad sibi inscriptum conum aequilaterum erit ut 32 ad 9. Horum itaque so­lidorum superficies nempe sphaerae, et coni aequilateri inscripti sunt ut 32 ad 18 soliditates vero ut 32 ad 9.

THEOR. X. PROP. XI.

Conus preterea equilaterus [v. Fig. preced.] ACE ad suam inscriptam sphaeram DB est in duplicata ratione axis coni AB ad axem spherae DB.

Nam ostensa enim AB partium 3 aequalem DB est 2, ac propterea quadratum AB est ut 9 et DB ut 4 et ut est 9 ad 4, ita ostensum est esse conus ACE ad spheram sibi inscriptam DE.

Conus tandem equilaterus sine basi isoperimeter est cylindro eamdem sibi altitudinem basim vero circulum in triangulo inscriptum habenti.

Nam qualium partium maximus circulus inscriptae sphaerae DB positus fuit 4 talium inventa est curva su­perficies sibi circumscripti coni aequilateri ACE partium 24 et talium curva circumscripti cylindri in altitudine ses­quialtera AB et super eadem cum illo basi, quae ipsi ma­ximo circulo est aequalis est ut altitudo DB ad altitudi­nem AB, nempe ut 16 ad 24, ergo curva superficies coni aequilateri ACE sphaerae DB circumscripti aequalis est curvae superficiei cylindri in eadem cum cono altitudine AB et super basim circuli ex diametro DB aequilatero triangulo ACE per axem coni ducto est aequalis.

THEOR. XI LEMMATICUM.

PROP. XII.

Triangulum aequilaterum

[Fig. 6].exagoni aequilateri sesquial­terum est si utrinque eidem circulo sit circumscriptum, quia latus trianguli aequila­teri [Fig. 6] ABC circulo DEF circumscripti triplum est la­teris exagoni DEFG eidem circulo circumscripti. Perime­ter vero trianguli eiusdem sesquialter est perimetri eiusdem exagoni.

Horum examen per numeros facilis est.

Nam AHI est triangulum aequilaterum, quoniam intra exagonum uterque angulorum ad HI aequatur uni recto cum duabus tertijs; ergo uterque reliquorum angulorum qui iis deinceps sunt in triangulo AHI ad H et I erit 2/3 unius recti et tantumdem erit reliquus ad A, quapropter AHI est aequilaterus, unde AH aequatur lateri exagoni HI vel HL, pariterque BL est eidem LH aequalis; ergo latus AB trianguli aequilateri circulo DF circumscripti triplum est lateris HL circumscripti exagoni ac propterea illius triplum seu perimeter trianguli aequilateri sesquialter est huius sextupli, nempe perimetri exagoni equilateri.

THEOR. XII. PROP. XIII.

Si praemissa figura convertatur circa axem [Fig. 7] DC, perimeter, sive universa superficies coni aequilateri ad pe­rimetrum, sive ad universam superficiem solidi exagonalis erit ut 18 ad 11 immo ut 27

[Fig. 7].ad 14 ut infra ostendam, qua­propter etiam solidum ad so­lidum, nempe conus aequila­terus ad solidum exagono erit ut 18 ad 11 ut 27 ad 14.

Sed conus ipse ad spheram sibi inscriptam est ut 18 ad 8 ut Teor. ostendit ad Prop. XXX Lib. II De solid. sphae­ralib. velut 27 ad 12; ergo so­lidum ab exagono ad sibi in­scriptam spheram erit ut 11 ad 8 imno ut 14 ad 12 vel ut 7 ad 6 et ad eidem spherae circumscriptum cylindrum erit ut 11 ad 12 imno ut 14 ad 18 vel ut 7 ad 9.

Quod vero universa superficies coni aequilateri ABC ad universam alterius solidi ab exagono utrumque eidem spherae DF circumscriptum sit ut a me asseritur in ra­tione 27 ad 14 non autem in ratione 18 ad 11 (ex qua nu­merorum aequivocationes ortum habent et reliquae) sic demonstrabimus.

Ex centro M et ex vertice C trianguli aequilateri ABC agantur MN, CO tangenti AB parallele, hoc est rectos effi­cientes angulos ad MC cum CD et ad punctum N termi­num radij MN in quadrantes DMN sit talia contingens circuli PO, occurrat perductum contingens latus FQ exa­goni FNG. Iam cum sit C axis CD sesquialter diametri DF (uti a me conclusum fuit ad fincm Prop. V huius ad num. 1) erit et latus OP sesquialterum lateris QP et ob id cylin­drica superficies ab OP sesquialtera cylindrice ab QP. Si ergo illa ab OP ponatur partium 18, tantumdem erit co­nica CA per Prop. 14 Lib. I De solidis sphaeralihus et cylindrica a QP erit quae est 2/3 ipsius OP erit spatium 12 et tantumdem erit sphaerae superficiis; sed haec qua­drupla est sui circuli maximi FD erit earumdem partium 3 circulis vero ex diametro lateris AB triplus est circuli ex diametro FD ut ibidem conclusimus; ergo 15 circulus ex diametro AB, sive basis coni equilateri ACB erit earum­dem partium 9. Sed conica ex CA diversa est partium 18, ergo universa coni aequilateri superficies erit ut 27.

Et quoniam latus AB trianguli aequilateri triplum ostendimus in preced. Prop. XII lateris HL exagoni erit circulus ex diametro AB nonuplus circuli ex diametro HL nempe erit ut 9 ad 1; sed circulus ex diametro AB ad cir­culum ex diametro FD (ut nuper ostendimus est ut 9 ad 3) ergo circulus ex diametro AB ad circulum ex diametro FD ad circulum ex diametro HL atque ex RS est ut 3 ad 1 erat autem circulus ex DF partium 3 ergo duo simul circuli circa diametros HL, RS erunt earumdem 2; sed conicae superficies a lateribus RL, LH exagoni descripte aequales sunt cylindricis altera alteri a lateribus QN, NP demptis per eamdem Prop. 14 De solid. sphaeralibus; duae simul haec sunt illarum partium 12 ergo et duae simul conicae ab RL, LH erunt ut 12 et una cum circulis circa RS, HL qui sunt ut 2 efficient 14, quare universa super­ficies solidi a semiexagono RFLHD descripti circa spheram FN, DG erit partium illarum 14 sed universam superficiem coni equilateri CAB circa eamdem sphaeram descripti iu­venimus superius ipsarum partium 27; ergo universa su­perficies coni equilateri ad universum solidi semiexagono (utrumque circa eamdem sphaeram et circa catetum de­scriptum) est ut 27 ad 14, uti ostendere proposueramus.

Hin et solida ab ipsis superficiebus comprahensa Prop. 2 huius hoc est conus aequilaterus et solidum a semiexa­gono eidem sphaerae circumscripta circa catetos sunt in ratione 27 ad 14 quod ad captum reliquorum ex superius propositis ostendisse sufficiat.

THEOR. XIII. PROP. XIV.

Sphaeroides figurae rationem habent compositam ex ratione axium, et ex ratione maximorum circulorum.

Patet sint enim semiaxes ABCD maximi vero circuli, quorum diametri EFGH. Concipiantur EAFGCH. Hemi­sphaeroidibus inscripti.

Iam sphaerois B ad sphaeroidem D erit (sumptis ea­rum subquadruplis per Archimedem) ut conus EAF ad conum CGH, propterea compositam inter se rationem ha­bebunt ex rationibus semiaxium ABCD, vel integrorum axium sphaeroidum et earum maximorum circulorum quo­rum diametri sunt EFGH. Quod etc.

THEOR. XIV. PROP. XV.

Sphaeroides ab eadem ellipsi genite tum circa minorum axem tum circa majorem inter se sunt in reciproca ra­tione axium.

Esto ut ponitur in precedenti figura jam sphaerois B ad sphaeroidem D rationem habet eamdem quam earum subquadrupli, nempe quam conus EAF ad conum GCH, nempe compositam rationibus ipsarum basium, vel quadra­torum EBGD hoc est duplicata ratione laterum EBGD sed cum eadem utrinque ponatur acquales sunt tam EBCD quam ABGD; ergo sphaerois B ad sphaeroidem D ratio­nem habet compositam ex ratione AB ad CD et ex du­plicata ratione CD ad AB hoc est ex ratione CD ad AB demptis ergo duabus propositionibus primis, quae ob reci­procam aequalitatem se invicem tollunt (ut alibi ostendam erit sphaerois B ad D ut axis CD ad axem AB). Nempe in reciproca ratione axium.

Quod erat etc.

Quod vero duae rationes primae AB ad CD et CD ad AB se invicem tollant patet; quoniam ratio, quae ex his componitur est quae ipsius AB ad AB nempe aequalitatis, quae est eadem ac ipsius CD ad CD; sed erat sphaerois B ad D in ratione composita trium predictarum rationum AB ad CD, CD ad AB et CD ad AB, quarum duae primae conficiunt rationem aequalitatis CD ad CD ergo sphaerois B ad D est in ratióne composita duarum tantum nempe CD ad CD et CD ad AB quae duae rationes, conficiunt rationem tantum primae ad ultimam magnitudinem, nempe axis CD ad axem AB.

PROBL. II. PROP. XVI.

Sphaeram in data ratione secare .

Suppositio: Esto sphaera [Fig. 8] ABCD

[Fig. 8].cuius axis AC secta plano BD ad axem erecto, ponaturque AE ipsi CA in directum et aequalis semidiametro.

Ostendit Cavalerius Lib. 3 suae Geo­metrie Prop. 6 sphaeram ABCD ad seg­mentum BCD esse ut parallelepipedum sub altitudine radij EA, basi quadrato FC, quae ratio (addam ergo) in hanc elegan­tiorem reducitur duplando tantum termi­nos, nempe ut cubus axis AC ad paralle­lepipedum sub altitudine dupla EF et basi quadrato FC hoc est altitudine axis sphae­rae cum duplo axis reliquae portionis, et basi quadrato axis assumptae portionis.

Lemma.

Esto parabola, cuius diameter [Fi­

[Fig. 9].gura 9] AB tangens AC parallela diametro CD et in trilineo mixto ACD sint duo parallelogramma CE, CF. Dico parallelogrammum CE ad CF esse ut parallelepipedum sub altitu­dine CI basi quadrato IA. Hoc autem patet, quoniam parallelogramma ac­quiangula CE, CF habent rationem ex rationibus laterum compositam, nempe ex ratione CH ad CI et ex ratione HE ad IF hoc est quadrato HA ad AI (ob parabolam) nempe ex rationibus qui­bus componitur ratio parallelepidero­rum superius dictorum.

Esto nunc sphaera secunda cuius diameter [Fig. 10] AB, circa quam circulus maximus AOBP et diametri sesquial­tera sit AC sintque datae rationes termini BE, BD qui in tangente circuli ad B indirep­

[Fig. 10].tum sumitur. Fiat praeterea parabola AD per punctum D tangens AB in A ita ut AF circulum tangens ad A. Sit illius axis per E vero fiat hi­perbola intra asimptotos AC, AH, quae necessario secabit parabolam in duobus punctis, eo quod utraque asymptotos CH, CA occurrat parabolae, et punctum E per quod haec ducitur sit intra trilineum mixtum parabolicum DA, CH.

Secet igitur ad partes BF parabolam in I et per I sol­vetur problema nimirum si per I agatur planum OP ad axem AB datae sphaerae erectum ipsumque axem secans in que Dico portionem sphaericam OBP ad portionem reli­quam OAP esse in ratione data DE ad EB.

Per puncta DEI agantur DH, EL, IG diametro AB pa­rallele; erit per praecedens lemma ut parallelogrammum DC ad IC, ita parallelepipedum sub altitudine CB et basi quadrata BA ad parallelepipedum sub altitudine CQ et basi quadrata QA; sed huiusmodi parallelepipeda sunt per praemissam suppositionem, ut est tota sphaera BOAP ad hanc portionem OAP, ergo ut parallelogrammum DC ad IC, vel ad sibi aequalem EC (ob hyperbolam), ita est tota sphaera BOAP, ad sui portionem OAP et dividendo ut pa­rallelogrammum DL ad LB vel (ut basis DE ad EB ter­mini datae rationis) ita portio sphaerica OBP ad reliquam portionem sphaericam OAP. Quod erat faciendum etc.

THEOR. XV. PROP. XVII.

Cylindri aequealti et ut

[Fig. 11].in hac figura simul compositi [Fig. 11] AB, AC, AD inter se sunt tangentes in para­bola ad diametros basium vel ut vitium in ipso auto­grapho extantem corrigatur sunt inter se ut lineae BE, CF, DG ex diametrorum ba­sium terminis quae ad para­bolam HG cuius vertex H tangens HD aequidistanter ductae ipsi parabolae diametri HM.

Ipsi enim cylindri AB, AC, AD sunt inter se ut bases vel ut quadrati diametrorum HB, HC, HD vel ut ipse ap­plicate BE, CF, DG in trilineo DHG ob parabolam.

THEOR. XVI. PROP. XVIII.

Si in parabola cuius axis [Fig. 12] AB et ordinatim ductae BE, CD fuerit AB altitudo cylindri et CD diame­ter basis, erit hic aequalis cylindro cuius altitudo sit AC et basis diameter BE. Idem de conis sub praedictis altitu­dinibus ac basibus.

Facillime patet hoc, quoniam ob para­

[Fig. 12].bolam, ut sunt altitudines BA, AD, ita sunt circuli ex ordinatis ductis BC, DE et cum huiusmodi cylindrorum altitudines sint in reciproca ratione basium ipsi dubio procul sunt aequales. Pariterque coni qui sunt eorundem cylindrorum subtripli.

THEOR. XVII. PROP. XIX.

Si in parabola cuius axis [Fig. 13] MH et ordinatae quotcumque BA, ED, HG et aequalia fuerint rectangula per axes sint MBC, MEF, MHI, altitudines tamen sint MB, ME, MH. Concessa etiam vera est.

Quo ad primum cum sit rectangulum ABC aequale ex hypothesi rectangulo DEF

[Fig. 13].erit DE ad AB, ut BC ad EF. Quoniam vero altitudo EM ad altitudinem MB est (ob parabolam) ut quadratum ED ad qua­dratum BA vel ut quadratum BC ad qua­dratum EF, erunt reciproce altitudines et bases adeoque cylindri, quorum sint altitu­dines MB, ME, bases vero circuli circa BC, EF aequales erunt et sic de angulis. Ergo etc.

Quo ad conversam. Cum supradicti cy­lindri sint aequales erit circulus circa BC ad circulum circa EF, vel quadratum BC ad EF ut altitudo EM ad MB, vel ut quadratum ED ad BA (ob parabolam) qua­propter et latus BC ad EF erit ut latus ED ad BA adeo­que rectangula ABC, DEF sunt aequalia. Quod etc.

THEOR. XVIII. PROP. XX.

Si fuerit vas [Fig. 14] AC semper aqua plenum perfo­ratum ut fundo ad B sitque solidum a cadente aqua con­formatum BLM juxta nempe curvitatem hyperbolae bi­quadraticae prout investigatam in aedito libello De motu aquarum si a suprema aqua

[Fig. 14].libella C fiat parabola CF, du­canturque plures in ea applicatae GD, HL, IF quae intra aqueum solidum producantur ad B, L, M ut in figura cylindri omnes super bases B, L, M, in altitudinibus GD, HE, IF inter se aequales erunt.

Nam per doctrinam ab Ab. Benedicto Castelli traditam in tractatu De aquis decur­rentibus, sectio B ad sectionem L, est ut velocitas per L ad velocitatem per B acquisita per L ad velocitatem per B acquisita per aquae descensum in utraque sectione a su­prema libella AC, vel ut velocitas gravis cadentis a C ad H ad velocitatem eiusdem a C ad I vel, per Coroll. Prop. X Lib. primi De motu gravium naturaliter descen­dentium , ut ordinata HE ad ordinatam GD. Sunt igitur bases B, L reciprocae altitudinibus HE, GD, quare cylin­drus super basim B in altitudine GD, aequalis est cylindro super basim L in altitudine HE et sic de reliquis etc.

FINE DEL DE SOLIDIS VARIA.

DE CIRCULO ET ADSCRIPTIS.

AVVERTIMENTO.

Il seguente lavoro è una collezione di materiali sparsi dovuta alle fatiche del Viviani e del Serenai; è ora per la prima volta tratto dall'inedito servendosi delle due copie che se ne trovano nel Vol. XXVII del “ Discepoli di Galileo ”.

DE CIRCULO ET ADSCRIPTIS

PROP. I.

Si tangens [Fig. 1] AB sit aequalis arcui AC, triangu­lum ADB aequale erit sectori ADC.

Posita AE aequali peripheriae, erit DAE triangulum Archimedis De dimensione circuli, eritque triangulum DAE

[Fig. 1].ad triangulum DAB ut est EA ad AB, idest ut peripheria ad arcum AC, nempe ut circulus ad sectorem ADC. Verum antecedentia sunt aequalia, ergo et consequentia, triangu­lum videlicet ADB sectori ADC.

PROP. II.

Sit tangens [Fig. 2] BC ex centro sit AC; dico trian­gulum ABC ad suum sectorem BAE esse ut tangens BC ad arcum BE.

Posito arcu BD aequali recte BC,

[Fig. 2].erit triangulum ABC sectori BAD ae­quale per precedentem. Modo tangens BC ad arcum BE, est ut arcus BD ad arcum BE, nempe sector BAD ad sectorem BAE, vel ut triangulum BAC ad sectorem BAE ad aequalita­tem; ergo etc. Quod etc.

PROP. III.

Quodlibet trapetium etiam irregulare [Fig. 3] ABCD circulo circumscriptum ad circulum est ut trapetij peri­meter ad ipsam circuli peripheriam.

Ducantur ex centro linee ad omnes angulos, et erit resolutum poligonum in triangula

[Fig. 3].eandem altitudinem habentia cir­culus autem in sectores. Sumatur quodlibet ex triangulis AFE; erunt omnia triangula ob com­munem altitudinem (nempe poli­gonum) ad assumptum triangu­lum AFE ut poligoni perimeter ad AF.

Triangulum vero AFE ad sec­torem est ut AF ad arcum FG; denique sector ad circu­lum est arcus FG ad peripheriam, quare ex aequo erit poligonum ad circulum, ut poligoni perimeter ad circuli circumferentiam.

PROP. IV.

Poligona circulo circumscripta inter se sunt ut ambi­tus. Ad circulum vero sunt ut ambitus ad peripheriam. Ad inscripta autem sunt exacte ut circulus etc.

PROP. V.

Sector [Fig. 4] ABCD ad suum

[Fig. 4].triangulum et CD est ut semiarcus BC ad perpendicularem EH. Utraque enim figura triangulum est super ea­dem basi CD cum altitudinis BC et EH duplicatis; ergo etc.

PROP. VI.

Ideo (in eadem figura) assumpto arcu CI aequali linee EH esset sector ad triangulum ut BC ad CI. Quare divi­dendo segmentum ABCE ad suum triangulum ADC erit ut BI ad IC.

PROP. VII.

Si ergo AC secet circulum, ductaque IH perpendi­culari ad EC, sumatur CL aequalis IH, erit semper ad segmentum homologe ut BL ad LD.

PROP. VIII.

Si fiat ut [Fig. 5] IC perpendicularis ad arcum CA ita radius CB erit etc.

Dato sectore. Si fiat ut triangu­

[Fig. 5].lum ABC ad segmentum ACH, ita radius BC ad CD, erit triangulum CAD equale segmento et perpen­dicularis DE aequalis arcui AHC etc. Nam componendo erit ut triangulum ACB ad sectorem ita linea CB ad BD, vel triangulum idem ACB ad triangulum ADB etc. Est ergo sector aequalis triangulo ADB etc. Hinc est quod altitudo DE aequalis est arcui CHA etc.

PROP. IX.

Sector ad trapezium ex tangenti­

[Fig. 6].bus est ut arcus [Fig. 6] AE ad li­neam AD. Ad trapetium vero inscrip­tum est arcus ad chordam.

PROP. X.

Sector [Fig. 6] AECB ad suum trapetium eum rationem habet, quam arcus ad subtensam etc. Nam sector triangulum est cuius basis AB alti­tudo vero arcus trapetium autem triangulum est cuius cadem AB basis et altitudo AC.

PROP. XI.

Proportio trium figurarum

[Fig. 7].trapezij [Fig. 7] BADC tra­petij BAEC trianguli BAC, est in lineis BD, BE, BF.

PROP. XII.

Circulus ad suum quadratum est ut peripheria qua­drantis ad radium, vel semiperipheria ad diametrum.

PROP. XIII.

Ergo etiam circulus ad quodcumque inscriptum regu­lare poligonum laterum numero parium est ut peripheria ad ambitum poligonum laterum numero subduplorum.

PROP. XIV.

Ergo circulus ad suum triangulum est ut peripheria ad dimidium ambitus trianguli.

PROP. XV.

Ergo circulus ad pentagonum est ut peripheria ad duas subtensas, cum dimidia subtensas intelligo angulis poligoni.

PROP. XVI.

Ergo circulus ad suum poligonum est ut duo arcus ad unicam subtensam, vel parium sit vel imparium numero laterum.

PROP. XVII.

Hexagonum ad circulum est ut ambitus trianguli ad peripheriam. Circulum ad dodecagonum est ut peripheria ad ambitum exagoni; ergo ex equo hexagonum ad dode­cagonum est ut ambitus trianguli ad ambitum exagoni, et hoc verum est in omnibus poligonis habentibus latera nu­mero duplicia, sintque tria poligona, ergo exagonum ad dodecagonum est ut CB ad BA, et sic in omnibus etc. Demonstratio aliter fieri potest. Dodecagonum est trian­gulum super basi AD eiusque altitudo est ambitus hexa­goni; at hexagonum est triangulum super eadem basi, et illius altitudo est ambitus trianguli etc. Ergo etc.

PROP. XVIII.

Hexagonum ad poligonum triginta laterum eam ratio­nem habet quam ambitus trianguli ad ambitum quinde­cagoni etc.

PROP. XVIIII (sic).

Dodecagonum inscriptum ad inscriptum exagonum ra­tionem habet diametri ad latus trianguli, ergo idem ad triangulum est ut diameter ad dimidium lateris trianguli.

PROP. XX.

Sit [Fig. 8] CD latus poligoni quot­

[Fig. 8].vis laterum et CB latus poligoni la­terum numero duplorum etc. Erit rectangulum sub AB, CE duplum trianguli ACB, hoc est aequale duo­bus triangulis ACB, ADB.

Quare rectangulum sub radio et semiambitu poligoni aequatur poli­gono laterum numero duplorum etc.

PROP. XXI.

Dodecangulum aequatur quadrato ex latere trianguli aequilateri inscripti. Nam dodecagonum aequatur rectan­gulo (per praecedentem) sub radio et semiambitu exagoni; hoc est tribus quadratis semidiametri, hoc est quadrato lateris trianguli etc.

PROP. XXII.

Quadratum circumscriptum ad inscriptum hexagonum est ut diameter ad tres quartas lateris trianguli inscripti.

PROP. XXIII.

Idem quadratum ad triangulum equilaterum inscriptum est ut diameter ad tres octavas lateris ipsius trianguli.

PROP. XXIV.

Ergo inscriptum quadratum (quod est dimidium qua­drati diametri) est ad hexagonum ut diameter ad dimi­dium perimetri trianguli. At idem quadratum inscriptum erit ad triangulum ut diameter ad quartam partem peri­metri eiusdem trianguli.

PROP. XXV.

Ex Villebrordo Snellio, sed aliter a nobis demonstrata .

Erit ergo circumscriptum quadratum ad inscriptum do­decangolum, ut perimeter ipsius quadrati ad perimetrum exagoni, hoc est ut quatuor diametri ad tres diametros, videlicet sesquitertium.

PROP. XXVI.

Erit etiam quadratum inscriptum ad dodecangulum in­scriptum ut duo ad tres, hoc est subsesquialterum.

PROP. XXVII.

Triangulum circumscriptum quadruplum est inscripti. Quadratum circumscriptum duplum est inscripti. Patet omnibus.

Ideo nota circumscriptum poligonum ad inscriptum sibi simile habere semper proportionem duplicatam propor­tionis quam habet AB ad perpendicularem BC supra la­tus etc.

PROP. XXIIX (sic).

Circulum dicere aequalem cuicumque poligono inscri­pto. Fiat ut peripheria ad mediam proportionalem inter ipsam peripheriam et perimetrum poligoni laterum numero subduplorum ita radius ad alium et habebis radium circuli quaesiti. Melius, vel quod idem est fiat ut duo arcus poli­goni ad mediam proportionalem inter dictos duos arcus et eorum subtensam ita radius ad alium etc. et habebis ra­dium circuli quaesiti. Et nota quod hoc convenit etiam poligonis disparibus.

PROP. XXIX.

Circulum dicere aequalem cuicumque poligono circum­scripto.

Fiat ut unus arcus ad mediam inter ipsum arcum et unum latus, ita radius ad alium, et habebis radium circuli quesiti.

PROP. XXX.

In primo casu sit diameter inventa

[Fig. 9].[Fig. 9] AC, et data AB, ergo diameter CB dabit circulum aequalem omnibus segmenticulis etc.

PROP. XXXI.

In secundo caso [stessa Fig.] data sit AC et inventa AB et erit circulus CB aequalis omnibus segmenticulis.

PROP. XXXII.

Forsan meluis sic ut fiat circulus aequalis poligono cuius latus sit AC. Fac ut DC ad arcum, ita BC ad BE. Vel et meluis, fac ut arcus ad CD ita CB ad BH, et sumpta media proportionali BO erit semidiameter quesiti circuli.

PROP. XXXIII.

Segmenticula omnia residua ablato poligono sunt trian­gulum super basi radij cum altitudine excessus peripherie super latera poligoni laterum numero subduplorum.

Ideo segmenta omnia dodecagoni ad omnia simul seg­menta exagoni rationem habent excessus peripherie super perimetrum hexagoni ad excessum eiusdem super perime- trum trianguli vel, et idem est, sunt ut differentia inter arcum AID et subtensam DA ad differentiam inter ipsum arcum et semichordam DE.

PROP. XXXIV.

Dato circulo, cuius radius AB, aequale poligonum re­gulare dicere, quotcumque laterum.

Sit latus similis poligoni in dato circulo AC. Fiat ut DC ad arcum CA, ita BC ad BE; sumptaque inter BC, BE media proportionali BF, fiat radio BF circulus et erit GF latus poligoni quesiti. Est enim poligonum FG ad poligo­num CA ut EB ad CB, hoc est ut arcus AC ad CD, hoc est ut circulus AC ad poligonum idem AC. Quare poligo­num GF aequale erit circulo dato. Quod etc.

FINE DELLO SCRITTO DE CIRCULO ET ADSCRIPTIS.

DE COMPARATIONE PERIMETRORUM CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE.

AVVERTIMENTO.

Nel Vol. XXVII della raccolta “ Discepoli di Galileo ” si trovano due copie del seguente lavoro, una di mano del Serenai, del Viviani l'altra; per la presente pub­blicazione si assunse come fondamento la prima perchè è una fedele trascrizione di alcune pagine originali tuttora esistenti (e che abbiamo segnalate in margine della nostra riproduzione). È necessario avvertire, a scanso di equivoci, che i richiami al presente lavoro fatti nel corpo dell'altro De aequalitate perimetrorum cylindri, coni ac sphaerae (v. più innanzi p. 387 e segg.) si riferiscono alla copia vivianea, che nonscegliemmo perchè l'altra, come più schietta emanazione del pensiero torricelliano, aveva indiscutibili diritti ad essere preferita.

DE COMPARATIONE PERIMETRORUM CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE

CYLINDRORUM SUPERFICIES SUNT INTER SE UT RECTANGULA PER AXEM.

Discepoli di Galileo, T. XXIII, c. 72-75.

Corollario.

Coni superficies [Fig. 1] BAH ad conicam EDF (sine basibus) est ut rectangulum ABC ad rectangulum DEI.

Conica s. BAH ad suam basim est ut rectangulum ABC ad quadratum BC. Sed circulus ex BC ad conicam DEF est ut quadratum BC

[Fig. 1].ad rectangulum DEF, erit ergo ex equo conica ABC, ad conicam DEI ut rect­angulum ABC ad rectan­gulum DEF.

Corollario.

Manifestum est omnes conos habentes latera et bases et modo ut rectan­gula que conorum propria vocamus, nempe sub latere et semibasi respective omnia inter se sint equalia isoperi­metros esse; hoc est demptis basibus equales habere co­nicas superficies.

Conorum aequales bases habentium superficies sunt ut latera triangulorum per axem.

Sit ut ponitur ergo conica superficies coni [Fig. preced.] ABC ad conicam superficiem coni DEF, erit ut rectangu­lum ABC ad rectangulum DEF. Sed cum latera BC, EF ponantur equalia erit ut AB ad DE. Quod etc.

Similium conorum superficies sunt ut bases, sive in du­plicata ratione diametrorum basium vel axium etc.

Sit ut ponitur. Similia ergo triangula [Fig. preced.] ABC, DEF, et rectangula ABC, DEF similia erunt, et ideo in duplicata ratione laterum homologorum BC, EF; sive ma­vis AB, DE, vel etiam AC, DF. Rectangula autem ABC, DEF sunt ut superficies quare similium conorum super­ficies sunt in duplicata ratione semidiametrorum basium sive ut bases, sive in duplicata ratione axium etc.

Si conus et cilindrus eamdem basim habuerint erit cy­lindrica superficies ad conicam ut axis cilindri ad semi­latus trianguli per axem coni.

[Fig. 2].

Sit ut ponitur, erit ergo cilindrica superficies ad conicam vel axis cylindri ad semilatus trianguli per axem coni.

Sit ut ponitur, erit ergo cylindrica superficiet ad circulum basis ut [Fig. 2] AB ad BF, quartam par­tem diametri BC; sed cir­culum basis ad conicam est ut EB ad BD, hoc est (sumptis dimidijs) ut FB ad BH, ergo ex equo erit cilindrica superficies ad conicam ut AB ad BH etc.

Coni equilateri superficies est sue basis dupla. Hoc autem patet. Cum enim sit conus equilaterus erunt equa- les [Fig. 3] AB, BD et ideo AB dupla BD. Sed superficies coni ad basim est ut AB ad BD, ergo dupla; quod etc.

Coni equilateri superficies ad superficiem cylindri eam­dem basim et altitudinem habentis est ut semidiameter basis [Fig. 4] AB ad axem BC.

[Fig. 3].

[Fig. 4].

Sit ut ponitur erit conica ad cilindricam ut rectan­gulum....

Si conus et cylindrus equilateri in eadem basi erunt, perimetri et basis in continua ratione dupla erunt etc. Patet. Patet.

Dato cono cilindrum aequealtum et isoperimetrum fa­cere. Producatur axis [Fig. 5] AB in C. Fiat

[Fig. 5].deinde angulus ADC rectus et erit DC dia­meter basis cylindri, qui si coni altitudinem AB habuerit, isoperimeter cono erit etc.

Cum enim sit ob similitudinem triangu­lorum ut DA ad AB ita CB ad DB erit rectangulum ADB aequale rectangulo sub AB, DC comprehenso.

Sed ut rectangulum ADB ad rectangu­lum sub AB axe et DC diametro basis ita conica ad cylindricam superficiem quare isoperimetri erunt conus et cylindrus etc.

Dato cono cylindrum isoperimetrum facere in eadem basi.

Dividatur latus [Fig. 6] BC bifariam

[Fig. 6].in E et sumatur axis AD aequalis ipsi BE. Dico AD esse altitudinem cylindri, qui cum super eadem basi sit cum dato cono ipsi etiam isoperimeter sit etc.

Hoc autem patet; nam superficies ci­lindri ad superficiem coni super eadem basi est ut axis AD ad semilatus BE. Sed haec aequalia sunt ex constructione, quare etiam superficies aequales erunt.

Dato cilindro cono aequealtum et iso­

[Fig. 7].perimetrum facere.

Sit cilindrus [Fig. 7] ABCD cuius basis BC axis EF ducatur inclinata FG ita ut facto angulo FGH recto ipsa GH aequalis evadat ipsi BC, (hoc autem cum adeo expeditum non sit praetermittemus).

Dico conum cuius latus FG axis FE isoperimetrum esse cilindro, erit enim ob similitudinem triangulorum ut FG ad FE, sta HG ad GE, et ideo rectangulum FGE

[Fig. 8].aequale rectangulo sub FE, GH, hoc est sub FE, BC. Quare conica superficies ci­lindricae aequalis erit.

Dato cilindro, super eadem basi co­num isoperimetrum constituere. Sit datus cylindrus [Fig. 8] ABCD et inclinetur BF dupla ipsius BA ex puncto B ad axem EF, erit conus cuius latus sit BF, axis vero EF, isoperimeter dato cilindro etc.; erit enim per constructionem FB ad BA ut CB ad BE, nempe in ratione dupla. Quare rectangulum FBE aequale erit rectangulo ABC, et ideo aequalis erit coni superficies superficiei cilindri etc. quod etc.

Conum et cilindrum isoperimetros erigere super eadem basi, et sub eadem altitudine.

Sit data quaelibet altitudo [Fig. 9]

[Fig. 9].AB cuius dupla BC inclinetur ex puncto B. Dico super basi DC et sub altitudine AB conum atque ci­lindrum esse isoperimetros.

Erit enim ut BC ad BA ita DC ad CA, nempe in ratione dupla et ideo rectangulum BCA equale rectangulo sub DC, BA, quare conica superficies erit superficiei cilindrice, quod etc.

Lemma.

Si trianguli rectanguli basis ita secta fuerit, ut eadem sit differentia inter segmenta ac inter latera, erit rectan­gulum sub segmentis equale triangulo etc.

Id. T. XXXIV, c. 265-2671.

Sit triangulum rectangulum

[Fig. 10].[Fig. 10] ABC habens angulum rectum B et ponatur BE aequalis ipsi BA, eritque CE differentia inter latera. Secetur deinde CF aequalis ipsi CE, et reliqua FA bifariam dividatur in D.

Manifestum est quod inter segmenta basis AD, DC, eadem erit differentia ac inter latera. Dico jam rectan­gulum ADC equale esse triangulum ABC.

Cum enim BC secta sit utcumque in E erunt (septima secundi) duo rectangula CBE una cum quadrato CE aequali quadratis CB, et BE hoc est CB et BA, hoc est quadrato CA hoc est quatuor rectangulis CDA cum quadrato CF. Demptis ergo aequalibus quadratis CE, CF, erunt duo rect­angula CBE aequalia quatuor rectangulis CDA (et sub quadrupla etiam); propterea semirectangulum ipsius CBE, vel ipsius CBA hoc est ipsum triangulum CBA, equale erit rectangulo CDA.

Quod etc.

Corollarium.

Hinc, si per B, D, transeat hyperbole BDG cuius loci sint A, C, erit rectangulum CBD ex lineis a facis angu­lum rectum B constituentibus dimidium figure, vel trian­gulum CBA, quarta pars prime figure cum sit equale ret­tangulo CDA quod per 51 tertij Conicorum equatur quarte parti figure.

Lemma.

Proposito conico segmento [Fig. 11] ABCD et duobus circulis ex EF, GH. Si fuerit

[Fig. 11].rectangulum IL, CD, proprium coni aequale duobus quadratis EF, GH, erit perimeter seg­menti aequalis duobus simul circulus ex FE et GH.

Est enim ut quadratum EF ad rectangulum IL, CD, ita circulus ex EF ad perimetrum conici segmenti ergo per 24 quinti, erit ut duo quadrata EF, GH ad perimetrum conici segmenti.

Quare cum aequalia ponan­tur dicta quadrata rectangulo IL, CD, equales erunt et duo circuli perimetro conici segmenti.

Quod etc.

PROPOSITIO.

Si circa circulum descriptum fuerit quadratum, circuli autem peripheriam tetigerit recta linea [Fig. 12] AB in quolibet puncto C, et convertatur figura circa axem DE. Tunc linea AB tangens segmenta describet conice super­ficiei ABRS. Dico conicam huiusmodi superficiem aequa­lem esse duobus simul circulis, qui ex semidiametris DF, DA flunt.

Ducantur enim diametri FE, GE et agantur ex punctis A et B, recte AL, BH parallele lateribus oppositis et ite­rum per L agatur LM, et per

[Fig. 12].M agatur MH parallele late­ribus oppositis quadrati.

Erit jam AC equalis ipsi AD, hoc est LQ, hoc est QE, hoc est PN sed etiam BC ae­qualis est BC tota ergo AB toti BN aequalis erit.

Insuper NM media aritme­tica est segmenti AB, RS, (con­stat enim ex NQ, dimidia ma­xima BR, et ex QM, dimidia minime AS); ergo rectangulum BNMH erit rectangulum proprium segmenti conici ABRS.

Quod rectangulum si aequale fuerit quadratis FD, DA, erit segmenti superficies aequalis duobus circulis ex FD, DA per lemma precedens.

Quod ita esse hoc modo demonstrabimus.

Cum enim aequales sint FD, FR, erit eadem differentia inter FA, FB, ac inter reliqua segmenta AD, BP hoc est inter AC, CB, erit igitur per lemma primum triangulum AFB aequale rectangulo ACB, hoc est rectangulo EI (est enim sub ijsdem lineis) quare etiam dupla, nempe rectan­gulum IF aequale erit duobus rectangulis HE, EI addito­que communi IP, erit totum HP aequale toti AP, hoc est GQ, additoque communi toto rectangulo MP, erit rectan­gulum BNMH, nempe proprium segmenti conici, equale duobus quadratis PO, EN, nempe quadratis linearum FD, DA. Quare perimeter segmenti conici AB, RS equalis erit duobus circulis ex DF, DA.

Quod etc.

Corollarium.

Positis ijsdem, manifestum ergo est conicam superfi­ciem segmenti [Fig. 13] ABRS una cum armilla circulari cuius altitudo AF centrum autem D aequalem esse cylin­drice FPVX.

Cum enim conica AB aequalis sit circulis DF, DA, ad­dita communi armilla AF erit conica AB et armilla AF simul aequalis duobus simul

[Fig. 13].circulis DA, DF, cum armilla AF, hoc est duobus circulis DF vel tantum cilindrice FP tota enim cilindrici FG, qua­drupla est circuli maximi DF, ergo etc. Quod etc.

Scholium.

Si ergo ducatur altera quae­libet tangens YZ erit conica YZ cum armillari ZF aequalis conice BA cum armil­lari AF, utraque enim ipsarum simul aequatur cilindrice FP per corollarium; praecedens dempta ergo communi ar­milla AF erit conica tantum BA aequalis conicae YZ cum armilla ZA.

FINE DEL COMPARATIONE PERIMETRORUM CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE.

DE AEQUALITATE PERIMETRORUM CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE VARIA.

AVVERTIMENTO.

Anche questa è una compilazione fatta dal Viviani col mezzo di materiali i cui autografi non esistono più. Il Vol. XXVII dei “ Discepoli di Galileo ” ne contiene due esemplari concordanti fra loro, uno di mano del Viviani, l'altro destinato al tipografo.

DE AEQUALITATE PERIMETRORUM CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE VARIA

PROBL. I. PROP. I.

Dato cono, cuius triangulum per axem sit [Fig. 1] ABC, axis BD, cylindrum aequealtum, et isoperimetrum facere.

Producatur axis BD ad E, fiat de­

[Fig. 1].inde angulus BAE rectus, et erit AE diameter basis cylindri qui si coni al­titudinem habuerit isoperimeter cono erit.

Cum enim sit, ob similitudinem triangulorum, ut AB ad BD ita EA ad AD erit rectangulum BAD aequale rectangulo sub BD, AE comprehenso. Sed ut rectangulum BAD ad rectan­gulum sub axe BD et AE diametro basis ita conica ad cylindricam superficiem. Ergo isoperi­metri (Prop. 6. De compar. perimetrorum ecc. ) erunt datus conus et inventus cylinder. Quod etc.

PROBL. II. PROP. II.

Dato cono, cuius triangulum per axem sit [Fig. 2] ABC, axis BD cylindrum isoperimetrum facere in eadem basi AC.

Dividatur latus AB bifariam in E

[Fig. 2].et sumatur axis LF aequalis ipsi AE. Dico DF esse altitudinem cylindri GC qui cum sit super eadem basi cum dato cono, ipsi etiam isoperimeter sit. Hoc autem patet. Nam superficies cylindri GC ad superficiem coni ABC super eadem basi et ut axis DF ad semi­latus AE sed haec aequalia sunt per 15 De compar. perimetrorum ex constructione; quare etiam superficies aequales erunt. Quod etc.

PROBL. III. PROP. III.

Dato cylindro, conum aequealtum et isoperimetrum facere.

Sit cylinder [Fig. 3] ABCD cuius

[Fig. 3].diameter basis BC, axis EF, oportet etc.

Ducatur inclinata FG (a vertice ni­mirum axis cylindri usque ad CB etiam producta, si opus fuerit) ita ut, facto angulo FGH recto ipsa GH, quae vi­delicet inter CB, et productum axem FE intercipitur (aequalis evadat ipsi diametro basis BD). Hoc autem cum adeo expeditum non sit pretermittemus. Dico conum, cuius latus FG, axis FE idem ac cylindri isoperimetrum esse cylindro AC.

Est enim, ob similitudinem triangulorum ut GF ad FE ita HG ad GE; et ideo rectangulum FGE aequale rectan­gulo sub FE, GH, hoc est sub FE, BC, sive rectangulo ABC, per axem cylindri, quare, per 6 De compar. peri­metrorum conica superficies a latere FG cylindricae a la­tere AB circa communem axem FE revolutis aequalis erit. Quod etc.

Praetermissum superius tamquam non adeo expedi­tum, absolvemus sic constructionem pergendo super eadem figura, in qua opus erat ex applicare FG, ita ut ipsi per­pendicularis GH sit aequalis diametro BC, quod fiet si.

Dato axi FE applicetur parallelogrammum aequale qua­drato diametri basis BC dati cylindri AC, et excedens figura quadrata, nam id erit rectangulum, quod dat FHE, et super totam FH describatur semicirculus FGH rectam CB secant in G, nam junctis FG, GH, ipsa GH diametro BC aequalis erit.

Est enim, ob semicirculum, quadratum GH aequale rectangulo FHE vel quadrato BC, per constructionem, ergo et latus GH lateri BC aequale est. Quod etc.

PROBL. IV. PROP. IV.

Dato cylindro, super eadem basi conum isoperimetrum constituere.

Sit datus cylindrus [Fig. 4] ABCL,

[Fig. 4].cui super basi BC constituendus sit co­nus isoperimeter.

Inclinetur BF dupla ipsius BA la­teris cylindri dati a puncto B ad cy­lindri axem EF, erit conus cuius latus sit BF, axis vero FE isoperimeter dato cylindro AC.

Est enim, per constructionem FB ad BA, ut CB ad BE, nempe in ra­tione dupla, quare rectangulum FBE aequale erit rectangulo ABC et ideo aequalis erit (per 6 De compar. perimetrorum) coni superficies AFC superficiei cylindri dati AC. Quod etc.

PROBL. V. PROP. V.

Conum et cylindrum isoperimetros erigere super eadem basi et super eadem altitudine.

Sit data primum quaelibet altitudo [Fig. 5] AB, et fa­cere oporteat quod propositum est.

Ipsius AB dupla BC, inclinetur ex B in angulo recto BAC. Dico super basim, cuius radius sit AC, et sub altitu­dine AB conum CBD, et cylindrum CE esse isoperimetros.

Erit enim ex constructione ut BC ad CA ita DC ad BA, nempe in ratione dupla et ideo rectangulum BCA sub coni latere et radio basis ae­

[Fig. 5].quale rectangulo sub CD, BA per axem cylindri, quare co­nica superficies aequalis erit su­perficiei cylindricae. Quod etc.

At si non altitudo, sed ba­sis tantum cuius radius AC data fuerit altitudo postmo­dum proposito satisfaciens sic assegnetur.

Sumatur in perpendiculari AB super CA hinc inde a puncto A duae aequales recte AF, AH, et centro F ad intervallum AH fiat arcus HG secans AC in G et iun­gatur FG, cui ex C agatur CB parallela, nam abscissus axis AB erit quaesitus.

Est enim, ob triangulorum similitutidem, BC ad BA ut FG ad FA, vel ut FH ad FA, seu in ratione dupla, quare ex superius ostensis conus CBD et cylindrus FE erunt isoperimetri. Quod etc.

PROBL. VI. PROP. VI.

Dato cylindro, sphaeram isoperimetram facere.

Esto cylindrus, cuius rectangulum per axem [Fig. 6] AC. Oportet etc.

Invenias mediam proportiona­

[Fig. 6].lem inter latera FC, CB rectan­guli AC quod assequetur si a producto latere FG sumatur CD, alteri CB aequale et circa diame­trum FD. Fiat semicirculus FED, nam pars producte BC in semi­circulo comprehensa, nempe CE erit, ut constat, media proportio­nalis inter latera FC, CD, vel FC, CB eritque ipsa media diameter sphaerae dato cylindro isoperimetra.

Naturae lusus. Nam ad hoc ut sphaera, non quo ad perimetrum, sed quo ad soliditatem fiat aequalis cylindro, non una tantum, sed duae requirantur medie proportio­nales. Quod vero sphaera ex diametro medie CE sit iso­perimetra cylindro AC patet. Quoniam curva superficies cylindri AC ad superficiem spherae, cuius diameter CE, est ut (De compar. perimetrorum) rectangulum per axem AC ad quadratum diametri CE, sed rectangulum FLB et quadratum CE sunt spatia equalia (cum et sit media pro­portionalis inter latera FC, CB); ergo cylindrus datus et sphaerae ex CE sunt solida isoperimetra inter se. Quod erat faciendum.

PROBL. VII. PROP. VII.

Dato cono, cuius semitriangulum per axem [Fig. 7] AC sit ABC, sphaeram isoperimetram facere.

Inveniat mediam proportio­

[Fig. 7].nalem inter latus AB et radium basis BC quae sit D, et haec fiat diameter, nam ipsius sphaera dato cono ABC erit isoperimetra. Su­perficiem enim curvati coni ABC ad superficiem sphaerae D est ut (22 De compar. perimetrorum etc.) rectangulum ABC aequale est quadrato D cum haec sit media inter latera AB, BC, ergo conus at sphaera perimeter ha­bent aequales. Quod etc.

PROBL. VIII. PROP. VIII.

Dato segmento conicae superficiei sphaeram isoperime­tram facere.

Esto ABCD [Fig. 8] mensalis per axem EF segmenti conici, cui oportet sphaeram isoperimetram facere.

Secetur AB bifariam in G agaturque GF ipsis AD, BC, aequidistans et inter AB, GF, sume mediam proportiona­lem L, quae diameter erit sphaerae isoperimetrae dato segmento comico AC. Producantur BA, FE, donec conve­niant in M.

Iam superficies sphaerae, cuius diameter L ad peri­metrum coni cuius latus MB axis MF,

[Fig. 8].est ut (per 22 De compar. perimetro­rum) quadratum L ad rectangulum sub MB, BF, vel ut rectangulum sub AB, GF, quadrato medie L aequale ad idem rectangulum MBF, vel ut (per 5 eiusdem) perimeter segmenti conici AC ad eumdem perimetrum coni, M, B, F: quare superficies sphae­rae ex diametro L aequatur perimetri dati segmenti AC. Quod erat etc.

PROBL. IX. PROP. IX.

Dato eodem segmento conico, cylindrum isoperimetrum aequealtum facere.

Fac angulum [Fig. preced.] AGH rectum. Nam GH inter latus AB, et axem erit radius basis cylindri, dato segmento AC isoperimetri et aequealti.

Est enim EF ad AB ut ME ad MA (ob parallelas BF, AE), vel ut NM ad MG, vel ut NG ad GH (in similibus rectangulis triangulis NMG, NGH), ergo rectangulum sub extremis EF, GH, aequale rectangulo sub mediis AB, GN, et sumptis spatiorum duplis, rectangulum sub axe in du­plam HG, seu in diametrorum basis cylindri hoc est rec­tangulum per axem coni aequale rectangulo sub dupla GN, hoc est sub FG in AB, quod est rectangulum pro­prium segmenti conici AC: quapropter cum rectangulum per axem huius cylindri aequealti, ac segmentum aequale sit rectangulo proprio eiusdem segmenti ipsa solida erunt (per 5 eiusdem) isoperimetra. Quod etc.

PROBL. X. PROP. X.

Dato segmento sphaerae, segmentum conicum isoperi­metrum circumscribere.

Sit [Fig. 9] ABC segmentum sphaerae, cuius axis BD, diameter basis A, C, oportet etc.

Bifariam secetur axis BD in E, ducaturque ad E tan­gens HC a CA et a tangente BL, terminata in HG. Nam perimeter segmenti conici a recta

[Fig. 9].GH descripti aequalis erit superficiei segmenti sphaerici ABC.

Circumscribatur toti sphaerae, cu ius et BC et segmentum, cylindrus circa fundem axem BD, et cuius frusti inter plans AC, GB, comprehensi sit rectangulum per axem IM. Erit ergo perimeter segmenti conici a GH ae­qualis (per 13 Lib. primi De sphaera et solid. sphaeralib. ) perimetro frusti cylindrici ab IL descripto, sed perimeter hic aequatur superficiei segmenti sphacrici ABC (ut con­stat ex Archimede) ergo et perimeter segmenti conici a GH eidem sphaericae superficiei aequalis est. Quod erat etc.

PROBL. XI. PROP. XI.

Date spherae, cuius diameter sit AB conos isoperime­tros facere.

Erigatur [Fig. 10] AC ipsi AB

[Fig. 10].aequalis, et perpendicularis, facto­que circulo DCE seu factis quot­cumque semicirculis DCE, FCH, ICG etc. centra habentia in recta AB vel in producta et per C tran­seuntia, ita tamen ut punctum A nullorum sit centrum, et ob id partes diametrorum DA, AE, vel FA, AH, vel IA, AG in­ter se sint aequales, et erit minor pars recta DA, cuius diametri radius basis, et maior pars reliqua AE.

Latus quesiti coni similiter si sit FA minor pars, et reliqua AH maior, erit AE radius basis et AH latus coni etc, et si IA minor AG erit IA radius basis et AG latus coni datae sphaerae AB isoperimetri.

Erit enim harum conica quaecumque ad sphaericam ut (22 De compar. perimetrorum) rectangulum sub proprio latere et proprio radio basis, ad quadratum diametri AB, nempe aequalis. Sunt enim, (ob semicirculos) omnia rec­tangula DAE, FAH, IAG aequalia quadrato perpendiculari AC, vel quadrato AB diametri datae sphaerae. Quod etc.

PROBL. XII. PROP. XII.

Datis quotcumque cylindris aequealtis, cylindrum omni­bus isoperimetrum facere.

Componantur simul dati ae­

[Fig. 11].quealtis cylindri [Fig. 11] A, B, C, ita ut diametri eorum basium unam rectam lineam constituant DE, nam et eorum rectangula per axes A, B, C, unum tantum rec­ctangulum constituent DF, quod dico esse per axem quaesiti cy­lindri omnibus datis simul A, B, C isoperimetri. Manifeste patet hoc, cum cylindrorum perimetri sint (4 De compar. perimetrorum) ut rectangula per axes, et omnia, simul datorum cylindrorum A, B, C, constituant rectangulum per axem cylindri inventi DF. Quod erat etc.

Corollarium.

Si igitur DE summa diametrorum basium cylindrorum omnium A, B, C, aequalis fuerit altitudini EF, cylinder DE erit circumscriptibilis hemisphaerio super basim circuli ex DE, eruntque inter se solida isoperimetra quapropter et hemispherium erit isoperimetrum omnibus simul cylindris A, B, C, aequealtis.

PROBL. XIII. PROP. XIII.

Datis quotcumque sphaeris, sphaeram isoperimetram facere.

Sunt [Fig. 12] sphaerae, quarum axes AB, BC, CD etc. Sphaeram invenire his omnibus simul isoperimetram.

Componantur axes AB, BC, ad rectum angulum B et iungatur AC, cui ad rectum angulum ACD constituatur alter axis CD et hoc fiat quousque aderint

[Fig. 12].sphaerarum axes, et tandem jungatur AD, nam haec erit axis, sphaerae, datis omnibus simul AB, BC, CD, isoperimetrae.

Nam ob rectum angulum ACD est qua­dratum AD aequale duobus simul CB, BA, ob rectum angulum B ergo unicum quadra­tum AB aequatur omnibus simul DC, CB, BA, sed ut sunt quadrata laterum DC, GB, BA, ita sunt (per 19 De compar. perimetrorum etc.) et superficies sphae­rarum, quarum illa sint axes, ergo et superficies sphaerae, cuius axis AD aequatur omnibus simul superficiebus sphae­rarum, quarum sunt axes AB, BC, CD. Quod etc.

PROBL. XIV. PROP. XIV.

Date spherae, ad datum in ea punctum, circumscribere segmentum conicum aequealtum et isoperimetrum.

Esto quaelibet sphaera, cuius axis

[Fig. 13].[Fig. 13] AB, centrum C et circulus per axem ADBE, circa quam ad da­tum punctum D describendum sit segmentum conicum aequealtum et isoperimetrum.

Duc ex D perpendicularis DE su­per axem AB, quam ipsa DE secet in F, ex quo deinde sumas FG, FH, utraque aequalis radio CA, atque ex G, H aequidistantes ducas ipsi DE, ductisque tangentibus ex D, E, conveniant hac cum illis in I, L, M, N. Nam sic frustum conicum cuius mensalis per axem est ILNM erit equealtum, et isoperimetrum datae sphaerae ADBE.

Huius demonstratio apparet ex Prop. 39 De compar. perimetrorum cylindri, coni et sphaerae etc. in qua primo loco a nobis ostensum fuit perimetrum segmenti conici sphaerae circumscripti ad superficiem eiusdem sphaerae esse ut axis segmenti ad axem sphaerae, sed, in hac hu- iusmodi axes sunt aequales (ex constructione) ergo et so­lidorum perimetri aequales erunt. Quod etc.

Hoc autem loco necessario animadvertendum est punc­tum D in peripheria maximi circuli ADBE non posse dari ubique ad libitum, sed a polis B, D, ex utraque axis parte remotum saltem per arcum quemdam, quem ita determi­nabimus.

Secetur semiaxis [Fig. 14] CA in O se­

[Fig. 14].cundum extremam ac mediam rationem ita ut segmentum maius CO sit centrum versus, atque ex O erigatur ad CA per­pendicularis POR, idemque penitus fiat ad alteram partem semiaxis CB per ordinatam ductam ST. Dico propositum punctum exhiberi minime posse in aliquo arcuum AP, AR, et BS, BT. Nam quaecumque recta contingens ad puncta in ipsis arcubus, sumpta de eodem axe segmentum abscindit inter se et proprium or­dinatim ductum, et contactus comprehensum, minus uti­que ipso semiaxe eo quod abscissum a contingente per aliquod punctum O, R, S, T, eidem semiaxi et praecise aequale, quod sic demonstrare licebit.

Facta superiori constructione sit ad P circulum con­tingens Pque Dico axis segmentum QO inter tangentem et ordinatim ex P, radio CA aequale esse. Iam ob tangentem PQ est rectangulum QCO aequale quadrato radij CA, quare (... Lib. primi Conicorum) ut QC ad CA, ita CA ad CO, et ita prima differentia QA ad secundam differen­tiam AO. Sed ut CA ad CO, ita est quoque CO ad OA (cum sit CA secta in O secundum etremam, ac mediam rationem) ergo ut QA ad AO ita CO ad eandem OA, quare QA, CO sunt aequales, et communi addita AO patet pro­positum. Quod vero tangens ad quodcunque punctum in arcu AP datum segmentum axis abscindat inter se, et suam ordinatam, minus radio CA, satis perspicuum est quod cum hoc casu segmentum axis extra circulum minus sit ipso AQ, reliquum vero prope centrum sit maius, et segmentum intermedium utrisque est, commune. Secus accidit per tangentem ductam a quolibet puncto inter- medij arcus PS, nam vel haec ipsi axi AB aequidistat (dum scilicet punctum datum D fuerit, in vertice semicir­culi ADB), vel cum axe convenit et tunc abcissum axis segmentum extra circulum maius utique evadit ipsi ex­tremo QA, illud vero inter centrum et suam ordinatam minus fit interno CO, quapropter addito utrisque inter­medio segmento radij, totum inter tangentem, et ordina­tam semper maius est eodem radio CA, adeo ut ex eo possibile sit partem sumere equalem ipsi radio, vel se­miaxi sphaerae datae, et mensalem quaesiti segmenti co­nici sphaerae circumscripti describere, uti factum superius fuit in ipsius Propositionis 14 constructione, ex quibus, omnibus constat problema praesens determinatum.

PROBL. XV. PROP. XV.

Super basim dati segmenti sphaerae cylindrum isoperi­metrorum exigere.

Data sit sphaera [Fig. 15] AIBH; cuius

[Fig. 15].centrum C axis IH ad quem sit perpendicu­laris AB diamcter basis cuiuscumque portio­nis AHB, et super hanc oporteat cylindrum erigere datae spherae isoperimetrum.

Ex producto axe ECD sumatur DE ae­qualis diametro HI, et ex EA ducatur tan­gens AF, quae cum EF ipsi AB parallela conveniat in F. Et erit cylinder, cuius axis AF, basis vero circulus AB isoperimeter sphaerae AIBH.

Iungatur AC, et agatur AL ipsi DE aequidistans.

Erit enim (ob similitudinem triangulorum) ut CA ad AD, ita FA ad AL; quare rectangulum FAD aequale rec­tangulo LAC, et eorum dupla, nempe rectangulum FAB aequale rectangulo sub LA, vel sub ED in duplam AC hoc est in HI. Sed ED, HI sunt aequales ex constructione, ergo rectangulum FAB, et quadratum diametri HI datae spherae quare si rectangulum FAB revolutum faciat ali­quem cylindrum nempe sit rectangulum per axem alicuius cylindri, cuius FA sit latus, et AB diameter suae basis, is erit isoperimeter spherae et super basim AB datae por­tionis AHB. Perimeter namque. cylindri ad superficiem sphaere est ut (per 21 De Compar. Perimetrorum) rectan­gulum per axem cylindri ad quadratum axis sphaerae. Quod erat etc.

THEOR. I. PROP. XVI.

Duos cylindros equales et isoperimetros simul nemo constituet dissimiles.

Sint A, B duo cylindri inter se aequales et isoperimetri, dico et similes esse inter se.

Nam ob isoperimetriam, erit rectangulum A aequale rectangulo et ideo per 4 De compar. perimetrorum, ratio composita ex latere C ad D et ex latere E ad F erit equa­litatis. Item ob solidatem cylindrornm aequalem ratio com­posita ex altitudine C ad altitudinem D, et ex circulo basis E ad circulum basis F, sive ex diametro E ad H (tertiam proportionalem post diametros E, F) cui ratio equalitatis, hoc est eadem que componebatur ex C ad D et ex E ad F, sed quae ex C ad D, inest in utraque ratio­neum compositione, ergo relique rationes ex E ad F et ex E ad H, sunt aequales, quare aequales erunt secunda et tertia linea, F et H ergo et etiam prima et trium pro­portionalium.

Quod si E et F sunt equales, necessario C et D aequa­les erunt cum rectangula A, B (ob cylindrum per isoperi­metrum) sunt equalia. Adeoque ipsa rectangula per axem similia erunt, et ob id dico cylindrum A, B, preter equali­tatem et isoperimetriam datam similitudinem quoque ha­bere inter se. Quod erat demonstrandum.

THEOR. II. PROP. XVII.

In triangulo rectangulo [Fig. 16]

[Fig. 16].ABC, sphaera ex catheto isoperime­tra est cylindri cuius altitudo sit ba­sis segmentum AD, diameter vero basis sit reliquum segmentum DC, vel e contra.

Nam rectangulum ADC, quod evadit per axem cylindri, aequale est quadrato BD axis sphaerae et ideo eorum pe­rimetri. Sunt (p. 21 De compar. perimetrornm) equales.

THEOR. III. PROP. XVIII.

Si in circulo fuerint duae dia­

[Fig. 17].metri [Fig. 17] AB, CD inter se ad rectos angulos et AD chorda quadrantis, ducta qualibet ED diametro AB perpendiculari in altero quadrante, qui illi deinceps est, et usque ad AD producta in G, completoque rectangulo GDBF. Erit sphaera circa axem ED iso­perimetra cylindro, cuius rectan­gulum per axem sit ipsum DGFB.

THEOR. IV. PROP. XIX.

Esto sphaera, sive circulus [Fig. 18] AEBC, cuius dia­meter AB, aeque ad rectos angulos EDC et sint chordae AC, CB his positis plura ex prae­

[Fig. 18].demonstratis eliciuntur.

Superficies sphaerae cuius dia­meter AC aequabitur cylindricae superficiei, cuius rectangulum per axem sit ex lineis BA, AD, quod hoc sit quadrato AC aequale. Et ideo eadem cylindricae aequabitur superficiei segmenti sphaerici EAC cum tam haec, quam superficies sphaerae AC, cui aequabitur cy­lindrica aequalis sit circulo ex radio AC per Archimedem. Et ob easdem rationes altera cylindrica, cuius per axem rectangulum sit ABD, ae­quabitur superficiei retiqui segmenti EBC, et superficiei sphaerae ex diametro BC. Item duae simul sphaericae superficies ex AD, DC aequales superficiei proprij seg- menti EAC, cum sint duo quadrata AD, DC aequalia qua­drato AC.

Praeterea et quatuor sphaerae ex AD, DC, DB, toti sphaericae ex AB, cum et illorum quatuor quadrata unico ex AB sint aequalia.

Insuper duae simul cylindricas ex rectangulis per axem BAD, ABD, quae duorum segmentorum superficiebus EAC, EBC sunt aequales toti sphaericae circa AB aequales esse.

Amplius recta utcumque sphaerae diametro in D, cum sit quadratum AC medium proportionale inter quadrata BA, AD, et quadratum idem AC aequale rectangulo BAD, erit cylindrica cuius rectangulum per axem sit BAD media proportionalis inter sphaericas circa BA, AD. Et ob eas­dem rationes cylindrica, cuius rectangulum per axem est ABD media proportionalis inter sphaericas circa AB, BD.

Loco autem cylindricarum huiusmodi medio loco pro­porlionalium sume sphaericas circa AC, CB ipsis cylindricis aequales ostentas ipsae idem praestabunt.

Ulterius. Erunt due sphaerae simul ex diametris AD, DB una duobus cylindris, quorum rectangula per axes sint ex lateribus AD, DB isoperimetrae toti sphaerae circa AB; quoniam duo quadrata AD, DB, cum duobus rectangulis ADB aequantur quadrato AB.

Et quatuor sphaerae simui AD, DB, ED, DC, isoperi­metrae toti sphaerae, cum quatuor quadrata AD, DB, ED, DC aequalia sint unico AB.

Et duae sphaerac AD, DB, cum duobus cylindris, quo­rum rectangulum per axem sit EDC isoperimetrae toti spherae, cum duae sphaerae ED, DC, ipsis cylindris equi­lateris sint isoperimetrae ex Archimede.

Invento praeterea centro F, erit superficies sphaerae, cuius diameter FD, una cum superficie cylindri, cuius BD, DA sint axis, et diameter basis aequales simul circulo AEBC. Nam quadratum FD una cum rectangulo BDA aequatur etiam quadrato FA. Dicas iterum. Erit sphaera circa diametrum FA quae circulo AEBC in superficie est aequalis isoperimetra sphaerae circa diametrum FD, una cum cylindro, cuius rectangulum per axem sit BDA vel EDC. Tandem sumptis horum perimetrorum quadruplis erit tota sphaera circa diametrum AB isoperimetra sphae­rae, cuius radius sit FD, et duobus cylindris, quorum BD, DA sint axis et radius basis.

THEOR. V. PROP. XX.

Conus aequilaterum [Fig. 19] ABC sine basi, isoperi­meter est cilindro, eandem sibi altitudi­

[Fig. 19].nem BD basim, vero circulum DE trian­gulo inscriptum habenti.

Constat hoc ex Prop. 14 Lib. primi De solidis sphaeralibus , in qua curva superficies coni ABC, cuius latera AB, BC tangunt maximum inscriptae sphaerae circulum ED ad puncta media F, G, ostenditur aequalis superficiei curvae cy­lindri, cuius altitudo sit eadem BD, latera vero eundem circulum contingant, quod idem est ac si dicas, cuius basis sit ope circulus inscriptus ED. Quod etc.

THEOR. VI. PROP. XXI.

Dato cono, cuius triangulum per axem [Fig. 20] AC sit ABC, et inventa BD me­

[Fig. 20].dia proportionali inter latus AB, et radium basis BC, quae sit BD. Erit sphaera DB isoperimetra suo cono ABC. Quoniam rectangulum ABC aequatur quadrato BD, et ut (per 22 De compar. perimetro­rum) rectangulum per axem ad quadratum diametri, ita superficies ad superficiem.

Ductaque ipsi BD paral­lela EF in triangulo ABD erit sphaera circa EF isoperimetra suo cono AEH etc. Nam cum sit BD media inter AB, BC, etiam EF, media est inter AE, EI. Quod si in semicirculo DLB circa DB applicetur DL aequalis praecedenti diametro EF, et jun­gatur BL erit sphaera circa diametrum BL isoperimetra segmento primo intermedio BE, HG, atque ita de reli­quis etc. Conica enim superficies ABG ad conicam AEH est ut sphaerica ex BD ad sphaericam ex EF, vel ex DL ob ae qualitatem, ergo per conversionem rationis, conica ABG ad conicum sui segmenti reliquum BH est ut sphae­rica BD ad sphaericam sui reliquum ex BL (nam sphaerica tantum ex DB, aequatur duobus simul ex DL, LB, comodo, quo conica ABG duobus simul conicis ex AE ut EB ae­qualis est) sed antecedentes sunt aequales, ergo et conse­quentes. Quod etc.

THEOR. VII. PROP. XXII.

Si fuerit ellipsis, cuius axis, vel etiam quaevis diameter sit [Fig. 21] AB, latus vero rectum BC ad B contingenter applicatum, et regulatrix AC,

[Fig. 21].sphaera cuiuslibet odinatim applicatae DE erit isoperi­metra cylindro sibi respon­denti FB, cuius rectanguli per axem latera sint EB seg­mentum diametri abscissum ab applicata et EF segmen­tum applicatae inter diame­trum et regulatricem.

Est enim ob ellipsis pro­prietatem quadratum DE ae­quale rectangulo BEF et sphaerae superficies ad cylin­dricam ut (per 21 De compar. perimetrorum) quadratum diametri ad rectangulum per axem cylindri. Quod etc.

THEOR. VIII. PROP. XXIII.

Si parabola [Fig. 22] ABC, vel circa axim, vel circa diametrum, et semicirculus ADC habuerint eamdem ba­sim AC, et in parabola fuerit quaecumque diametro paral- lela BE erit cylinder, cuius rectangulum per axem sit AEC ex segmentis basis, isoperime­

[Fig. 22]ter cylindro, cuius altitudo sit EB diameter vero basis sit BG aequalis semper recto lateri da­tae parabolae ABC. Est enim per lemma 36. Lib. De motu proiectorum rectangulum AEC aequale rectangulo EBG, ergo et cylindrica cylindricae aequalis.

Erit ob id cylinder, cuius rectangulum per axem EBG semper isoperimeter sphaerae ex ED applicatae in semicirculo.

Quadratum enim ED aequatur etiam rectangulo AEC ob semicirculum; ergo etc.

THEOR. IX. PROP. XXIV.

Si rectum latus parabolae [Fig. 23] AE circa axem AB fuerit recta linea AB circa quam fiat semicirculus ACB semper conica descripta ab AC revo­

[Fig. 23].luta circa axem AB aequabitur cylin­dricae, cuius rectangulum per axem sit CDE dum CE perpendicularis fue­rit super AB.

Cum sit enim chorda AC in semi­circulo aequalis applicata DE in pa­rabola (uti elicitur ex Prop. 26 Lib. 5 Barth. Soveri etc. ), vel ut brevius constat ex eo, quod sum quadratum AC, ob semicirculum quam quadratum DE, ob parabo­lam aequale sit rectangulo sub BA verso eius latere in AD abscissum diametri segmentum erit rectangulum ACD sub coni latere, et radio basis aequale rectangulo EDC per axem cylindri: quare et coni perimeter aequalis (per 6 De compar. perimetrorum) perimetro cylindri. Quod erat etc.

THEOR. X. PROP. XXV.

Si fuerit parabola, cuius rectum latus sit [Fig. 24] AB diameter AC et quaecumque ordinatim ducta CE vel DF etc.

Sphaera circa diametrum CE, vel DF

[Fig. 24].isoperimetra erit cylindro, cuius diameter basis sit CA, vel DA, AB, vero semper sit cylindrorum altitudo.

Manifeste patet hoc quoniam ob pa­rabolam, quadratum CE aequatur rectan­gulo CAB per axem cylindri et quadratum DF rectangulo DAB adeoque et sphaerae circa CE, DF, isoperimetrae suis cylindris CAB, DAB.

Si vero AB rectum parabolae latus, et cuius sit axis AC, fiat diameter basis eiusdem cylindri recti, cuius latus adhaerat axi ACD, erunt pariter ob sphaerae applicaturum CE, DF et isoperimetrae suis cylindris iuxta altitudines AC, AD etc.

In quoque constat ex rationibus superius allatis etc.

THEOR. XI. PROP. XXVI.

Si cylindri quotcumque iso­

[Fig. 25].perimetri habuerint rectangula [Fig. 25] BH, BD, BI per axem in eodem plano posita, et ad com­munem rectum angulum B con­stituta, horum appositi anguli H, D, I hyperbolam quamdam con­tingent.

Huius ratio est, quoniam, cum cylindrorum superficies sint equa­les et eorum rectangula per axes aequalia erunt (per 4 additarum De compar. perimetrorum etc.) et ob id anguli H, D, I, erunt ad hyperbolam ex secundo conicorum.

His positis; dico omnes huiusmodi cylindros isoperi­metros BH, BD, BI, qui sunt ad hyperbolam, isoperimetros quoque esse sphaerae interceptae, vel inscriptae quadrato BHDF, cuius diameter sit semiaxis transversus hyper­bolae HDI.

Superficies enim sphaerae inscriptae cylindro, cuius rec­tangulum per axem sit quadratum BHDF isoperimetra est eidem cylindro per Archimedem, ergo et reliquis cylindris huic isoperimetris erunt isoperimetri. Quod etc.

FINE DEL DE AEQUALITATE PERIMETRORUM CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE E DEL VOL. I. P. I.

OPERE DI EVANGELISTA TORRICELLI.

Riservati tutti i diritti accordati dalla Legge in Italia e all'Estero.

OPERE DI EVANGELISTA TORRICELLI

EDITE IN OCCASIONE DEL III CENTENARIO DELLA NASCITA COL CONCORSO DEL COMUNE DI FAENZA

DA

GINO LORIA E GIUSEPPE VASSURA

VOLUME I: GEOMETRIA

PUBBLICATO PER CURA DI GINO LORIA

PARTE II.

CON 567 FIGURE E 2 TAVOLE LITOGRAFATE

FAENZA

STABILIMENTO TIPO-LITOGRAFICO G. MONTANARI AMMINISTRATO DALL'ORFANOTROFIO MASCHI

1919.

INDICE

CAMPO DI TARTUFI . . . . . . . . . . . . . .Pag.1— 43CONTRO GL'INFINITI . . . . . . . . . . . . . .”45— 48SUGLI ISOPERIMETRI . . . . . . . . . . . . . .”49— 55DE CENTRO GRAVITATIS SECTORIS CIRCULI.   More veterum . . . . . . . . . . . . . .”59— 69   Per geometriam indivisibilium . . . . . . . .”71— 77DE MAXIMIS ET MINIMIS . . . . . . . . . . . . .”79— 97NOVA PER ARMILLAS STEREOMETRIA.   Pars prima   — De solidis vasiformis . . . . .”101—123     ”  secunda — De resolutione solidorum in solida”125—147     ”  tertia   — De conoidalium mensura . . .”149—161   Appendix     — De anularibus ac de obliquis co-     noidalibus . . . . . . . . . . . . . .”163—173DE CENTRO GRAVITATIS PLANORUM AC SOLIDORUM . . . .”175—226DE INFINITIS HYPERBOLIS . . . . . . . . . . . .”227—274DE INFINITIS PARABOLIS . . . . . . . . . . . . .”275—328DE CYCLOIDE . . . . . . . . . . . . . . . . .”329—334DE HEMHYPERBOLA LOGARITMICA . . . . . . . . . .”335—347DE INFINITIS SPIRALIBUS . . . . . . . . . . . . .”349—399SEZIONI CONICHE.    De geometrica in plano per puncta linearum coni-      carum descriptione . . . . . . . . . . .”403—410    De conicis varia . . . . . . . . . . . . .”411—414DE INDIVISIBILIBUS .    De indivisibilium doctrina perperam usurpata . .”417—432MISCELLANEA . . . . . . . . . . . . . . . . .”433—440APPENDICE — Lettera a Filaleti di Timauro Antiate.   Della vera storia della cicloide e della famosissima   esperienza dell'argento vivo . . . . . . . . .”441—482

CAMPO DI TARTUFI.

AVVERTIMENTO.

Della variopinta raccolta di teoremi e problemi intitolata Campo di tartufi esistono a Firenze (Vol. XXXIII della collezione “ Discepoli di Galileo ”) non meno di tre esem­plari, il I autografo, il II del Serenai con note del Viviani, il III tutto, di nuovo, del Viviani. La seguente stampa venne eseguita in base al I, il quale venne riprodotto integralmente, soltanto ommettendo le figure che non erano indispensabili all'intel­ligenza del testo Le lacune che il lettore avvertirà qua e là vennero in parte la­sciate dallo stesso Torricelli, ma in parte furono consigliate dall'osservare che le frasi ommesse sono cenni poco chiari intorno a certi punti su cui l'autore propone­vasi di ritornare, e certamente lo avrebbe fatto se la morte non glielo avesse vietato.

Il Campo di tartufi è costituito di proposizioni in buon numero semplicemente enunciate e che vennero in parte verificate; i ragionamenti all'uopo congegnati non vennero inseriti, chè avrebbero costituito un lungo commento estraneo ai fini della presente pubblicazione; soltanto, seguendo un sistema già adottato nella pre­sente edizione, furono aggiunte alcune brevi dilucidazioni, sotto forma di note a pie'di pagina.

CAMPO DI TARTUFI

1. Il circolo al quadrato inscritto è come la periferia a due diametri [Fig. 1].

Perchè il circolo è un triangolo

[Fig. 1].su la base AB con altezza di tutto il giro. Ma il quadrato è un triangolo su la medesima base AB, con l'al­tezza quadrupla di BC; dunque etc.

2. Nota che l'esagono al 30-agono ha la medesima proporzione che l'am­bito del triangolo all'ambito del quin­decagono.

3. Dato sectore [Fig. 2], si fiat ut triangulum ABC ad segmentum ACH ita radius BC ad

Guarda

[Fig. 2].CD, erit triangulum CAD aequale segmento et perpendicularis DE ae­qualis arcui ACH.

Nam componendo erit ut triangu­lum ACB ad sectorem ita linea CB ad BD, vel triangulum idem ACB ad triangulum ABC. Et est ergo sector aequalis triangulo ADB et hinc est quod altitudo DE aequalis est arcui CHA, etc.

4. Il circolo al suo poligono sta come due archi ad una sottesa: o sia di lati numero pari, o impari.

5. Posito [Fig. 3] angulo A recto, si due rectae ex A incirculum incidant ut vides. Erunt duo quadrata DA, AC, et duo rectangula DAC, simul ae­

[Fig. 3].qualia quadrat BE.

6. Hoc enim patet [Fig. 3] quia ductis parallelis CF, DG, erunt ae­quales AC, BF, GE. Sed per quartam secundi quadratum BE aequale est quadratis EF, FB, et bis rectangulo EFB; etc.

7. Positis ijsdem [Fig. 3]. Cum duo quadrata DA, AC, cum duobus rectangulis DAC, vel cum duobus rectan­gulis HAB (36.3tii) sint aequalia quadrato BE, addito com­muni quadrato BH, erunt duo quadrata DA, AC, cum duobus rectangulis HAB, et quadrat HB, aequalia qua­dratis EB, BH, nempe quadrat diametri. (Sed duo rectan­gula HAB cum quadrato HB, aequantur duobus quadratis HA, AB). Concludamus igitur quatuor quadrata DA, AC, HB, AB, aequalia esse quadrato diametri.

Guarda

PER LA FACCIATA PRECEDENTE [n. 3]:

8. Si fiat ut IC perpendicularis ad arcum CA ita radius CB ad BD, erit etc.

9. Stantibus ijsdem si ex centro

[Fig. 4].ducantur [Fig. 4] ad AD et AH per­pendiculares ML, MF: erit angulus LMF: rectus et ideo GI, corda qua­drantis. Dico quadrata LA, LB, FA, FC aequari quadrato GI.

Sunt enim quadrata LA, LB sub­dupla quadratorum HA, AB, et qua­drata FA, FC, subdupla quadratorum DA, AC, (per... 2di) quare simul quatuor illa quadrata subdupla sunt horum quatuor quadratorum, nempe qua­drati ex diametro, quare aequalia sunt quadrato GI.

10. GD tangat in B [Fig. 5]. Dico triangula ACE, DGF esse similia; sunt enim simil. triangulo BED, ergo etc. Sed si producatur BH sinus erit ut AB ad BH, ita DG, ad GF, quare in sequenti figura [Fig. 6] rectang. IFG, equale erit rectangulo sub tangent. et sinu FD, BH etc.

[Fig. 5].

[Fig. 6].

[Fig. 7].

Sic etiam esset [Fig. 7] (demissa GL) rectangulum FL, aequale ei quod sub HB, GD: et etiam in semicirculo idem versum est: quia rectangula sunt dupla praedicto­rum etc.

11. Quando [Fig. 8] duae lineae AB,

[Fig. 8].BC, aequales erunt duabus DB, BE, per G et F: puncta non media sed transibit parabola, ex 41, 3. Conicorum .

12. Quando vero rectangula illa erunt aequalia, per puncta media erit hyperbole, ex 43. 3tis Conicorum. ....................................

PER IL LIBRETTO DEI MOMENTI.

14. Momentum totale ad momentum in hoc situ , est ut tota spherae superficies ad armillam quam sub­tendit AB si sphaera voluatur circa EF [Fig. 9].

15. Se [Fig. 10] nel cilindro BD sarà la CE utcum­que, e giri circa l'asse AB, sarà la superficie conica di CE

[Fig. 9].

[Fig. 10].all'armillare di CD, come CE a CD. Perchè sono due capi­mozzi rectangoli che hanno le basi uguali l'una all'una, e l'altra all'altra, e la loro altezza sono CD, CE.

16. Ma che i capimozzi, quali

[Fig. 11].dissi, siano come le altezze etc.

Siano [Fig. 11] e tirisi la BH. Sarà il triangolo ABH al trian­golo AEH, come BH ad HE, et anco il rettangolo BD al ED sta nell'istesso mo'; dunque coniun­ctim ABD ad AED ita come CD alla DF etc.

17. Che la superficie dell'hemi­

[Fig. 12].sfero, la superficie del cono inscritto, e la base sono in continua propor­zione.

Poichè la superficie dell'hemisfero alla base sta [Fig. 12] come il qua­drato BC al quadrato DC (essendo dupla); ma quella del cono alla base sta come la BC alla CD, sono dunque in continua proportione etc.

18. Nel libro del moto prova [Fig. 13] la similitu­dine delli triangoli ABF, EDC così: FBE è retto, C et E fanno un recto, demptis alternis DEB et BA remanent aequales C et ABF, ergo etc.

[Fig. 13].

[Fig. 14].

19. Segmentum conicae superficiei [Fig. 14] AB, ad armillam basis CB est ut linea AB ad BC. Hoc autem ex figura [Fig. 10]...

20. In sphaera erunt aequales, AB, BD [Fig. 15]. Sarà però la superficie cilindrica di AB, alla armillare di BD come EB ad EC (essendo C il

[Fig. 15].punto medio di BD). Sono due capi­mozzi con la medesima altezza; la cilindrica è un parallelogrammo [Fig. 16] FG, tale che la base FH sia eguale alla periferia AO, e la armil­lare è un capomozzo IG, la cui base IH sia uguale alla periferia ND, e l'altra alla BM, cioè AO,

[Fig. 16].cioè LG. Ma la figura FG alla IG sta come PH ad HF, cioè come la media aritmetica tra le periferie alla minor periferia, ovvero come la media aritmetica tra li diametri al minor diametro, adunque l'armillare BD alla cilindrica AB, sta come CE ad EB.

21. Lemma per il suddetto. Essendo come la peri­feria AB alla BC [Fig. 17], così

[Fig. 17].il diametro DE ad EH. Dico che sarà come la media aritmetica FB alla BC, così la media aritmetica IE ad EH.

Nam dividendo, sumptisque antecedentium dimidijs et componendo erit ut oportet etc.

22. Se il rettangolo AB e il triangolo CEB [Fig. 18] habbiano l'istessa base, ma diversa altezza, sarà il rettan­golo al triangolo come l'altezza AE, alla mezza altezza ED.

Patet...

[Fig. 18].

[Fig. 19].

23. Ma [se] haveranno [Fig. 19] solo una base eguale haveranno la proportione composta dell'altezza del ret­tangolo all'altezza dell'obliquo, e della media aritmetica tra le basi dell'obliquo alla base del retto.

Perchè (per la 16) la proporzione di AB a DE ovvero EI è composta della proporzione di AD a DI e di ED a DB.

24. Però la superficie cilin­

[Fig. 20].drica [Fig. 20] all'armillare ha la prop. composta di AC alla CE, altezze; et della DB alla BC, che sono la media aritmetica tra dia­metri, et il minor diametro, che è quanto dire la media aritmetica tra le periferie; o basi de'capi­mozzi etc.

POSTA A FACCIA 14 NEL LIB. DE'SOLIDI SFERALI .

Per il lemma [22]. Posta la superficie del cilindro alla sua base sta come l'asse ad un quarto del diametro. Se non lo credi vedi il lemma [22]. ....................................

La superficie conica alla sua base, è come il lato del cono al semidiametro della base.

Di qui si ponno sciogliere vari problemi.

25. Posto il triangolo rettangolo, che l'angolo retto sia A [Fig. 21] se noi divideremo la base BC aritmetica­mente come BA ad AC , sarà il

[Fig. 21].rettangolo BDC eguale al triangolo BAC, Però anco il rettangolo BAC sarà doppio del rettangolo BDC.

Se nell'hyperbola AE tiraremo dai foci CA, BA che l'angolo A sia retto, sarà il rettangolo CAB la metà della figura, ovvero il triangolo CAB (per essere eguale al rettangolo BDC) sarà 1/4 della figura.

26. Se [Fig. 22] per A sarà una tangente et una se­gante. Sarà il rettangolo AEB

[Fig. 22].eguale al rettangolo DEF, et i due quadrati DFB, eguali alli due DAB e la linea CD eguale alle due HC, DI.

Il rettangolo CFB eguale al rettangolo FDE. Il rettan­golo BCF eguale al DCA etc. La conica CD è eguale alli due circoli FH, HC.

La ragione perchè, addita communi l'armilla CF, ugua­gliano la cilindrica IF.

27. Nota che quando il contatto A sarà nel mezzo del quadrante, allora la armillare CF sarà uguale alla ci­lindrica DI. Questo pende da quella verità fuori di qui; et è che le due CD, DI siano uguali alla cilindrica FI. Ma io lo provo meglio così all'usanza.

Guarda più giù che troverai ogni cosa demostrato, per non esserci loco più qui.

28. Ampliatione d'una passata.

Preso qualunque segmento di sfera; la superficie co­nica è media proporzionale tra la superficie nel segmento, e la base etc.

29. Preso qualunque segmento

[Fig. 23].la cilindrica alla spherica ha la pro­porzione composta della proporzione di [Fig. 23] BA ad AC dimidia di AD, e del quadrato DB al quadrato DA. Poichè la cilindrica alla conica è come BA ad AC, la conica alla sferica è come il quadrato DB al quadrato DA.

30. Se sarà il semicircolo col triangolo rettangolo dentro. Si giri [Fig. 24] circa l'asse AC. Sarà la super­ficie sferica AB alla BC, come il

[Fig. 24].quadrato AB al BC, cioè come la linea AD alla DC. Ma la conica AB alla BC (per esser due triangoli con la medesima base) sta come l'altezza AB alla BC; dunque la sferica AB alla sferica BC ha doppia proporzione di quella che habbia la conica AB alla BC etc.

☆

31. In eadem figura. Se girasse circa l'asse BC ancora, la AC farebbe un circolo; e sarebbero la sferica tutta, la conica e la circolare in continua proportione etc.

Poichè imaginiamoci prolungato l'asse CB oltre H, e tiriamo la AI ad angoli retti con AC, e dove concorrono facciamo che l'asse CH sia d'un altra sfera. Sarà dunque la portione di superficie AEC eguale a tutta la sferica ABCL, (da Archimede si cava facilmente); ma la sferica AEC, la conica AD e la base di AB sono continue (come ho di­mostrato); ergo etc.

Che la sferica alla sua base sia

[Fig. 25].come il quadrato di AB al quadrato di AD, è chiaro ex Archimede.

32. Se la AB [Fig. 25] sarà tan­gente e da gli estremi si tirino le AD, BC, sarà il rettangolo CD eguale al triangolo ABE.

33. Parabolae descriptio; sed talis, ut sunt pars mea­rum descriptionum quae magis inservire debeat inventioni et solutioni problematum, quam descriptioni parabolarum.

[Fig. 26].

Dato semilatere [Fig. 26] AB. Per B agatur orthogonia et per A fiat circulus quolibet intervallo, focus erit C .

34. Alia parabola descriptio. Potest [Fig. 27] angu­lus ABC, poni ad libitum. Quando tr. sit rectus tunc etc. Nota che l'ultimo punto verso A svanisce. I punti sono nel mezzo delle traverse.

[Fig. 27].

[Fig. 28].

35. Se la curva [Fig. 28] ADH haverà 3 tangenti e siano HE, ED, et DB, BA eguali è circolo, se proportio­nali, parabola. ....................................

PRO LIBELLO DE MOTU .

38. Ad primam primi Corollarii

[Fig. 29].[Fig. 29]: Ergo gravia tunc habebunt aequalia momento quando ipsi fue­rint ut tangentes complementorum anguli elevationis.

Posito enim sinu toto AB erunt AC, AD dictae tan­gentes.

39. Quando vero gravia

[Fig. 30].aequalia fuerint, erunt mo­menta ut sinus angulorum elevationis. (Nota che vi è, ma la prova è più bella così).

Nam [Fig. 30) cum sint momenta ut ED, FD, he sunt sinus angulorum DAC, DBC etc.

LEMMA DE MOTU.

40. Parallelae [Fig. 31] BC,

[Fig. 31].FD aequales sunt, nam iunctis CD, ED una eademque recta erunt, alias continuata ED faceret angulum re­ctum extra C. Absurdum etc.

DE MOTU.

41. Si duo circuli [Fig. 32] se in infimo puncto tan­gant, erunt tempora per AB, DC, etc. aequalia. Item cum

[Fig. 32].

[Fig. 33].tota tempora aequalia sint, et ablata ablatis erunt re­liqua BE, CE (etiam non sint ex quiete) aequalia.

DE MOTU.

42. Si duo circuli se exterius tangant in punctis su­blimiori et infimo, erunt tempora [Fig. 33] AB, CD ae­qualia etc.

Ducta enim BE, erunt FE, ID aequales et EI, BF aequales, ergo etc. et de residuis idem etc.

43. Sector ad trepezium ex tangentibus est ut arcus AE ad lineam AB [Fig. 34].

44. Ma poi al trapezio interno à come l'arco alla corda.

[Fig. 34].

[Fig. 35].

45. Sector [Fig. 35] ADBC ad suum trapezium eam rationem habet quam arcus ad substensam, etc.

Nam sector triangulum est cuius basis AC altitudo vero arcus, trapezium autem triangulum est cuius eodem AC basis et altitudo AB.

46. Però il circolo al suo quadrato ha la proportione che ha la periferia del quadrante al

[Fig. 36].radio, ovvero la semiperiferia al dia­metro.

47. Però ancora: Il circolo [Fig. 36] a qualunque poligono regolare in­scritto di lati pari ha la proportione che ha la periferia all'ambito di un poligono di lati la metà meno.

48. Però il circolo al suo trian­

[Fig. 37].golo ha la proporzione che ha la pe­riferia alla metà dell'ambito del trian­golo etc. [Fig. 37].

49. Però il circolo al pentagono, o altro poligono ha la proporzione che ha la periferia a due sottese e mezza; nel settagono a 3 1/2. Per sottese intendo quelle delli angoli del poligono. Vedi al se­

[Fig. 38].gno ☆ [n. 30].

50. Questa era da per sè [Fig. 38]: Duae mediae preportionale. Da­tae sint extremae AB, BC. Si facias bene figuram, mediae erunt BD, BE ecc.

SEGUE DE'POLIGONI.

51. L'essagono al circolo [Fig. 38] ha la proportione che l'ambito del triangolo alla periferia. Il circolo al do­decagono sta come la periferia al­

[Fig. 39].l'ambito dell'essagono, adunque ex aequo l'essagono al dodecagono sta come l'ambito del triangolo all'ambito dell'essagono e questo è vero in tutti i poligoni che habbiano i lati di nu­mero doppi, e siano tre i poligoni etc.

Dunque l'essagono al dodecagono sta come la CB alla BA, e così di tutti gl'altri e la dimostrazione può farsi alio modo. Il dodecagono è un triangolo sopra la base AD e l'altezza sua è il giro dell'essagono. Ma l'es­sagono è un triangolo sopra la medesima base che ha per altezza il giro del triangolo; ergo etc.

52. I poligoni circonscritti al circolo sono come gli ambiti fra di loro; col circolo poi sono come l'ambito alla periferia; con gli inscritti sono giusto come il cir­colo etc. ....................................

53. In qualunque triangolo divisa per mezzo la base [Fig. 40] AC in D, saranno i due qua­

[Fig. 40].drati AB, BC eguali a quattro quadrati AD, DC, et BD bis.

54. Però i quattro quadrati de' lati del parallelogrammo sono eguali alli due quadrati de diametri etc. ....................................

56. Dire un circolo il quale sia eguale a qualunque poligono inscritto.

Rispondi così: Fiat ut periferia ad mediam proportio­nalem inter ipsam peripheriam et perimetrum poligoni laterum duplo pauciorum, ita radius ad alium, et habebis radium circuli quaesiti, etc.

Melius, vel quod idem est. Fiat ut duo arcus poligoni ad mediam proportionalem inter dictos duos arcus et eo­rum subtensam, ita radius ad aliam etc. et habebis radium circuli quaesiti.

È noto che così è comune anco alli poligoni dispari.

57. Dire un circolo eguale a qualunque poligono cir­conscritto.

Fiat ut unus arcus ad mediam

[Fig. 41].inter ipsum arcum et unum latus, ita radius ad alium, et habebis ra­dium circuli quaesiti.

58. Nel primo caso sia il dia­metro trovato [Fig. 41] AC et il pro­posto AB, il diametro CB darà un circolo uguale a tutti i segmentini.

59. Nel secondo caso sia il proposto AC, et il trovato AB e sarà il circolo CB eguale a tutti i segmentini. ....................................

61. Tutti i segmentini che restano dopo un poligono; sono un triangolo sopra la base del radio, con l'altezza dell'eccesso della periferia sopra i

[Fig. 42].lati del poligono la metà meno di lati [Fig. 42].

62. Però tutti i segmenti del dodecagono, a tutti i segmenti dell'e­sagono hanno la proporzione che ha l'eccesso della periferia sopra il peri­metro dell'essagono, all'eccesso dell'i­stessa sopra il perimetro del triangolo.

Overo (et è l'istesso) sono come la differenza tra l'arco AID e la sottesa DA, alla differenza tra l'istesso arco e la semicorda DE.

63. Dato circulo [Fig. 43], cuius

[Fig. 43].radius AB, aequale poligonum regu­lare dicere, quotcunque laterum etc.

Sit latus similis poligoni in dato circulo AC. Fiat ut DC ad arcum CA ita BC ad BE, sumptaque inter BC, BE, media proportionalis BF fiat radio BF circulus et erit GF latus poligoni quaesiti. Est enim poligo­num FG ad poligonum CA ut EB ad CB, hoc est ut arcus AC ad CD hoc est ut circulus AC ad poligonum idem AC, quare poligonum, GF aequale erit circulo dato. Quod etc. ....................................

DELL'OTTAGONO.

66. Sia l'ottagono regolare [Fig. 44]. Dico prima che il rettangolo BHA è uguale al rettangolo AFH.

Poichè per la dimostrazione comune il quadrato C è doppio dell'I, però eguale alli I et L. Ma anco M è eguale ad N, però CM è eguale ad LIN. Quod erat etc.

(Cava di qui un problema. Data FB bifariam secta in A, ipsi rectam adiungere BH ut

[Fig. 44].rectangulum AFH aequale sit rectan­gulo BHA).

Dico anco che la conica BD, è eguale alla cilindrica DH. Poichè la conica è l'istesso che il capomozzo che vedi, la cilindrica è il rettangolo PH, però prese le metà LE, AD, sono quei rettangoli mostrati eguali; sono dunque eguali anco i tutti, et i loro tripli. Quare etc. Ma addita communi la cilindrica DE, sarà il giro dell'ottagono (senza i circoli FB) eguale alla cilindrica.

Nota per corollario che in questo caso la cilindrica ED è eguale alla armillare BH, poichè ciascuna con la BD è uguale alla cilindrica tutta.

Questo anco si prova a priori in questo modo: Perchè l'armillare di BH è il capomozzo PFBD; e la cilindrica è il rettangolo PE. L'uguaglianza si prova così etc.

Il triangolo BND è eguale al quadrato I, et il rettan­golo M, eguale all'N, ergo tutto a tutto. Però l'armillare BH uguale alla cilindrica DE.

Provo che il rettangolo PH sia eguale al capomozzo OL alio modo: il quadrato BAD, eguale alli due IQ, il rettangolo M eguale al rettangolo N, cioè al triangolo R, ergo simul, et eorum dupla e mi piace più così.

DELL'ESSAGONO.

67. Lemma. Nel triangolo equilatero

[Fig. 45].[Fig. 45] il quadrato AC è sesquitertio del AB, perchè di quelle parti delle quali AC è quattro, di quelle CB è una, e però BA, sarà tre. Quod etc.

68. Sia [Fig. 46] l'essagono ACDE e sia l'asse BF. Dico che le due coniche sono uguali alla cilindrica SV.

Sia fatta la figura et essendo DE lato dell'essagono, sarà DGE mezzo triangolo equilatero, però FG, GE eguali, e però H, I, L saranno tre qua­

[Fig. 46].drati. Hora la conica DE è il ca­pomozzo MNOP, overo il rettan­golo QR etc. overo la sua metà NE, la cilindrica poi è il rettan­golo ST, overo la sua metà SF, che si mostra uguale al NE così.

Per il lemma il quadrato di DE è il sesquiterzo di DG, cioè il quadrato fatto QP è sesquiterzo del quadrato fatto FS, adunque li tre terzi, che sono li tre quadrati, eguali H, I, L, sono uguali al quadrato FS. Però la conica DE eguale alla cilindrica SV. Quod etc.

Corollario. Ma per la comune si mostra che la conica LD e l'armillare SD simul sono sempre eguali alla cilin­drica; di più in questo caso mostro che la conica DL, con la conica LE sono uguali all'istessa cilindrica, però sono uguali fra di loro; et dempta communi LD, resta l'armillare DS, eguale alla conica esclusa LE.

DEL DODECAGONO.

69. Sia il dodecagono [Fig. 47] ACLNP. Dico che la co­nica CL è uguale alla sua

[Fig. 47].cilindrica Eque e la conica LN uguale alla QN.

Sarà GH sino di gradi 30, però come HG à GI dupla così FG a GC, ove­ro DL ad LC dupla, sarà dunque DL uguale a GC, et a CB, però uguali i quattro quadrati R, S, I, T, etc. Nota che la co­nica CL è un tal capo­mozzo, o rettangolo ZY, e la cilindrica è il rettan­golo RO, i quali sono uguali, perchè il rettangolo SIY è la metà dell'uno e dell'altro, essendo i due quadratini SI eguali alli due RT, et il rettangolo Y al rettangolo X.

Ma più avanti. Dico che la conica LN è eguale alla cilindrica QN etc., essendo il quadrato CL come quattro et DL come uno, sarà il quadrato CD come tre, però il quadrato segnato 3, sarà uguale a tre quarti del quadrato CL, cioè al gnomone ZSI, cioè alli tre quadratini S, I, T; ma li due rettangoli 2 et 4 sono uguali alli due X, Y. Però tutti 2, 3, 4, è eguale ad X, S, I, Y, T, cioè la conica alla cilindrica etc.

Corollario. Hora sumpta comuni NO, sarà tutto il giro del dodecagono eguale alla cilindrica.

E la conica NL alla LC, havrà la proporzione della linea NQ alla QE.

Nota, che essendo (per la comune) la NO e la OE uguale alla VC, CE, dempta communi la OE, sarà (in ogni figura regolata) la sola NO uguale alle due VC, CO. ....................................

CONTRO GL'INFINITI PERCHÈ È FALSO.

73. Di qui si cava [Fig. 48] che

[Fig. 48].la figura DABCFE, composta del ci­lindro ADFC, e delli due segmenti ABC, DEF, è la metà della sfera.

Poichè questa contiene tante cilin­driche quanti sono i punti del semi­quadrante AB e l'altra figura re­sidua ne contiene tanti quanti sono i punti del semiquadrante GA e cia­scuna eguale a ciascuna etc. essendo però falsa quella egualità.

CONTRO GL'INFINITI.

74. Se sarà la sfera col suo cilindro [Fig. 49] et segata con tutti i piani possibili paralleli alle basi, sempre il circolo del cilindro (eccettuata la sezione per centrum) sarà maggiore, adunque tutte le sezioni

[Fig. 49].simul saranno maggiori di tutti simul, non è vero. Poichè la cilindrica è uguale alla sferica .

CONTRO GL'INFINITI.

75. Essendo sopra la medesima base il semicircolo, la parabola e ret­tangolo con l'istessa altezza. Tirandosi [Fig. 50] la AD perpendicolare alla base sempre quella del semicircolo sarà media proporzio­

[Fig. 50].nale tra quelle del rettangolo e della parabola, adunque anco di tutti; però il semicircolo sarà medio tra la para­bola, et il suo... [?]

76. Lemma. Si in figura [Fig. 51] AB ducta erit utcun­que LI ducanturque omnes CE, FH ad regulam AL, erunt omnia segmenta, hoc est omnes lineae figurae ALIM, ad omnes lineas LIB, ut figura ad figuram.

[Fig. 51].

[Fig. 52].

77. His positis: Fiat in emisferio [Fig. 52] ABC conus ABC, compleaturque rectangulum BF, tum secto hemisferi etc. erit circulus ex GL ad circulum ex GI, hoc est ad circulum ex LB ut EL ad LB, hoc est ut OM ad MN, et sic semper. Quare omnes circuli, hoc est hemisferium, erit ad conum ut figura EFCB ad CBD, nempe 3/1, quod est falsum, est enim 2/1.

Aliter. Siano nel quadrato AB

[Fig. 53].[Fig. 53] le due parabole contrarie et uguali, e girisi la figura circa l'asse AC, è manifesto che una farà il fuso, e l'altra il conoide.

78. Proverò che il fuso e co­noide sono uguali.

Tutte le superficie cilindriche fatte dalle linee come [Fig. 53] DE, a tutte le sue basi EF sono come tutte le linee DE alla metà di tutte le EF, quae est ratio aequalitatis. Dunque il conoide è la metà del suo cilindro.

Iterum, tutte le superficie cilindriche fatte dalle linee simili alla DG, sono a tutte le loro basi come tutte dette linee alla metà di tutte le GH, cioè alla metà delle semi­parabole. Dunque ratio est aequalitatis e però il fuso è la metà del suo cilindro. Cerco perchè il sillogismo se­condo inganna e non il primo etc.

79. Voluatur quadratum [Fig. 54] AB,

[Fig. 54].cum diametro CD, eritque conus et cy­lindrus.

Cilindricae omnes ut EF, erunt ad cir­culos omnes FG, ut omnes lineae EF, hoc est ut triangulum ACD ad 1/4 linearum omnium FG, hoc est ad 1/4 trianguli DCG, hoc est ut 2 ad 1, sed hoc verum est...

80. Sia il fuso [Fig. 55] parabolico

[Fig. 55].con la sferoide; se sarà segato col piano ABCD, sarà il circolo BD al CD, come AD alla DC, et sic semper. Però tutti i circoli, cioè la sferoide, al fuso sarà come tutte le linee cioè come il rettan­golo alla parabola, però sesquialtero. Dun­que essendo il fuso 8, la sferoide sarà 12 et il cilindro 18, ma è solo 15, ergo è falso il modo. ....................................

83. Se i cilindri haveranno le superficie eguali, toc­cheranno una hiperbola: la ragione è perchè essendo uguali le superficie saranno uguali i rettangoli per axem, però toccheranno l'hiperbola.

84. Se i cilindri saranno uguali di mole, le super­ficie saranno come le applicate nella parabola alle loro axi, overo altezze etc. Anco i rettangoli per axem hanno la medesima proportione. Ho mostrato che la superficie alla superficie è in proporzione subdupla delle altezze, adunque sono come le applicate.

85. I cilindri della medesima altezza hanno la pro­portione fra loro come le tangenti nella parabola ai dia­metri delle basi etc. Poichè essi sono come le basi, cioè come i quadrati dei diametri, cioè come le dette applicate.

86. Sphaerarum super­

[Fig. 56].ficies sunt ut quadrata dia­metrorum.

Quadratum enim [Fig. 56] ABC ad quadratum EFG est ut circulus D ad circulum H, sed circulus D ad circulum H est ut sferica superficies ad sfericam, ergo ex aequo etc. Quod erat.

Hic addere potest. Superficies solidorum similium esse ut sunt quadrata laterum homologorum etc. ....................................

91. Quaelibet cilindrica superficies ad sfericam est ut rectangulum per axem

[Fig. 57].ad quadratum diametri.

Utraque enim superfi­cies tripla sesquiseptima est dicti figurae etc. .

92. Conicam quaeli­bet ad sfericam est [Fig. 57] ut rectangulum ABC, ad quadratum diametri.

Utroque enim superficies tripla sesquiseptima est dicte figurae.

93. Tutti i cilindri dell'hiperbola [Fig. 58] sono iso­perimetri alla sfera intercetta, se l'angolo delle asimptoti sia retto. Quando non sia retto sono isoperimetri alla sfera del diametro BC etc.

[Fig. 58].

[Fig. 59].

94. Se nella parabola [Fig. 59] sarà la AB altezza, e la CD base, questo cilindro sarà uguale al cilindro del­l'altezza AC, et base BE. Idem de conis.

95. Data quaelibet hiperbola circa suos asimptotos, cilindris omnes sunt inaequales, quo altiores minores, quo depressiores capaciores sunt.

96. Tutti i cilindri dell'hiperbola sono isoperimetri; ma se due haveranno l'altezze e diametri delle basi reciproca- mente uguali, saranno in proporzione

[Fig. 60].continua con il medio DH [Fig. 60].

Nam tres lineae sunt in ratione continua GI, HF, AD, item tres (ipsis enim aequales sunt) GD, FD, ED. Jam cilindrus GB ad cilindrum FB compositam habet ex longitudine IG ad HF, vel HF ad AD, et ex po­tentia GD ad DF, vel FD ad DE, cilindrus autem HD ad EA, hanc eandem habet. Quare continui sunt. Quod etc.

97. Però se volgerai un quadrato, et un rettangolo eguale ad esso, duplici axe, farai tre cilindri continui.

Metti la proposizione del Galileo con la quale mostra che il circolo è massimo delle figure isoperimetre etc. .

98. Di più nota che delli poligoni regolari isoperi­metri, quello che ha più lati è maggiore.

Sia il pentagono B e quadrato A isoperimetri [Fig. 61].

[Fig. 61].Facciasi intorno al pentagono un circolo et inscrivasi un decagono e circoscrivasi un quadrato.

99. Dico primieramente che il decagono al qua­drato A, ha la proportione che il perimetro del quadrato circoscritto al perimetro del quadrato A; et anco che il decagono è medio proporzionale tra i due quadrati.

Il quadrato circoscritto al decagono sta come il peri­metro del detto quadrato al perimetro del pentagono, cioè al perimetro di A. Ma il quadrato circoscritto al qua­drato A, ha la duplicata proporzione del perimetro al pe­rimetro, però sono in proportione continua.

100. Di più come il decagono al quadrato A così è il perimetro del quadrato circoscritto al perimetro del qua­drato A.

101. Hora essendo in proportione continua il quadrato grande il decagono et il quadrato A, il decagono al pen­tagono è come .......................... ....................................

102. Così l'esagono inscritto è medio proporzionale tra due poligoni, uno dei quali sia circoscritto e l'altro isoperi­metro al triangolo inscritto; l'ottagono inscritto è medio proporzionale tra due poligoni simili, uno

[Fig. 62].dei quali sia circoscritto e l'altro sia iso­perimetro al quadrato inscritto. Etc.

103. Proportio trium figurarum [Fig. 62] BADC, trapetii BAEC, trianguli BAC, est in lineis BD, BE, BF.

Però servitene a'bisogni.

104. Il quadrato circoscritto al trian­

[Fig. 63].golo [Fig. 63] equilatero iscritto ha la proporzione che ha il diametro a 3/8 del lato d'esso triangolo.

105. Adunque l'istesso quadrato al­l'essagono iscritto sarà come il diametro alli 3/4 del lato del triangolo.

Ma prova prima questa, e poi la precedente.

106. Però il quadrato iscritto (che è la metà del qua­drato del diametro) all'essagono sarà come il diametro alla metà del perimetro del triangolo.

107. Da Villebrordo Snellio . Ma demostrato a no­stro modo.

Sarà dunque il quadrato circoscritto al dodecangolo inscritto come il perimetro d'esso quadrato al perimetro dell'esagono, cioè come 4 diametri a 3 diametri, cioè ses­quiterzo.

108. Sarà ancora il quadrato inscritto all'istesso do­decangolo inscritto come 2 a 3, cioè subsesquialtero, etc.

109. Il dodecangolo inscritto all'essagono inscritto ha la proporzione che il diametro al lato del triangolo, adunque l'istesso al triangolo è come il diametro a mezzo lato del triangolo.

110. Il triangolo circoscritto è quadruplo dell'in­scritto.

[Fig. 64].

111. Il quadrato circoscritto è duplo dell'iscritto, ognuno lo sa.

112. Però nota che sempre la circoscritta all'inscritta simile ha proporzione duplicata della propor­zione [Fig. 64] di AB alla perpendi­colare sopra il lato.

ROBBA PER LA FACCIATA 40 .

113. Dei poligoni regolari iscritti quello che haverà più lati haverà maggior perimetro.

Siano etc. [Fig. 65]. Mostrano

[Fig. 65].gl' (sic) autori che l'arco BA più gran­de all'arco CA più piccolo ha maggior proporzione che la corda BA alla corda CA.... Prendansi dal poligono di più lati i lati ACFDE eguali di numero alli lati del poligono ABH. Haveranno tutti i lati del poligono ABH a tutti i lati presi ACFDE la proporzione che ha uno ad uno (per 15 quinti), cioè che ha BA ad AC, la qual proporzione è minore che la proporzione dell'arco BA all'arco AC, cioè minore che la proporzione della periferia tutta a tutti gli archi presi ACFDE (essendo equemoltiplici), cioè minore che quella di tutti i lati del poligono ACF et alli mede­simi lati presi ACFDE. Sarà dunque il perimetro del po­ligono di più pochi lati minore.

114. Dei poligoni inscritti, quello che ha più pochi lati è minore.

Poichè sono due triangoli, e quello di più lati ha mag­gior base e maggior altezza; adunque è maggiore.

115. I poligoni circoscritti hanno fra loro la mede­sima proporzione che hanno i loro perimetri.

Poichè sono triangoli con la medesima altezza; et i perimetri con le loro basi.

116. Va prima il lemma: Dei poligoni circoscritti quello che ha meno lati è maggiore....

117. De i poligoni isoperimetri quello che ha più lati è maggiore....

Forma due proposizioni con una sola demostrazione.

118. Qualsivoglia poligono è medio proporzionale tra due circoli uno dei quali [D] sia inscritto ad esso, e l'al­tro [E] sia isoperimetro.

119. Il poligono al suo circolo ha la proporzione del perimetro alla periferia, cioè della periferia di E alla pe­riferia di D, cioè del diametro E al diametro D. Ma il circolo di E al circolo di D ha dupplicata questa propor­zione, sono dunque continui.

120. Vedi però manifestissimamente quello che mo­strò il Galileo ancora, cioè che il circolo è maggiore del poligono suo isoperimetro. ....................................

124. Si in parabola aequalia fuerint

[Fig. 66].[Fig. 66] rectangula ABC, DEF, GHI, erunt aequales cilindri MBC, MEF, MHI.

Conversa etiam vera est.

125. Quo ad primum: essendo il ret­tangolo ABC uguale al rettangolo DEF sarà come DE ad AB così BC ad EF.

Perchè poi l'altezza EM alla altezza MB stà come il quadrato ED al quadrato BA, cioè come il quadrato BC al quadrato EF, cioè come il circolo BC al circolo EF, saranno reciproche l'altezze e le basi, però uguali i cilindri; et sic de sin­gulis et ergo etc.

126. Quo ad conversam: Essendo uguali i cilindri sud­detti sarà il circolo BC ad EF, cioè il quadrato BC ad EF, come l'altezza EM ad MB, cioè come il quadrato ED al BA, ob parabolam, adunque sarà come BC ad EF così ED a BA, però sono uguali ABC, DEF etc. Quod etc.

PER IL LIBRO DE MOTU.

127. Di qui si cava che se sarà un vaso sempre pieno d'acqua forato nel fondo B [Fig.

[Fig. 67].67] e sia il solido d'acqua ca­dente BLM, se dalla cima del livello faremo una parabola e tiraremo diverse applicate HE, IF, etc., saranno tutti i cilindri su le basi B, L, M, con l'altezze GD, HE, IF eguali. Poichè per la dottrina di Don Benedetto Castelli la sezzione B alla sez­zione L stà come la velocità di L alla velocità di B, cioè come la HE alla GD; sono

[Fig. 68].dunque reciproche le basi e l'altezze, però i cilindri uguali. ...................

131. Se sarà l'ellissi di cui sia lato recto BC, sarà la sfera [Fig. 68] di qualunque applicata isoperimetra al ci­lindro corrispondente BD .

PER LA SFERA E SUOI SOLIDI.

132. Lemma. Se il prisma triangolare e la piramide [Fig. 69] haveranno per base il me­

[Fig. 69].desimo parallelogrammo BCDE e la medesima altezza: sarà il pri­sma sesquialtero della piramide etc.

Poichè considerandosi sopra la base DHE la piramide AHDE è 1/3 di tutto, e però l'altra pira- mide sopra la base parallelogramma sarà 2/3 di tutto. Quod etc.

133. Nota però che il prisma triangolare è sesquial­tero di qualunque piramide che abbia la medesima altezza, e base uguale alla BCDE, poichè questa piramide, qua­lunque sia, sarà sempre uguale alla piramide BCDEA e l'istesso dico di un cono quando la base del cono fosse uguale a quella della piramide. ....................................

135. Si fuerit circa semicirculum [Fig. 70] AHIB descriptum semipoligonum AGFB etiam irregolare; si se­micirculus circa axem AB volua­

[Fig. 70].tur, erit factum solidum ad suam spheram, ut est totus solidi peri­meter ad superficiem sphaerae.

Prolixa huius theo. demonstra­tio non esset opus neque libelli ne­que instituti nostri. Sufficiat nobis ex mente Jo. Kepleri, et aliorum nostri seculi, considerare tum ipsam sphaeram tum etiam totum solidum illam ambiens in minimos et infinitos conulos sive piramidales resolutum, ita ut omnium vertices in centro sint, bases vero in perimetris figurae. Omnes enim huiusmodi (sive conulos sive mavis piramidulas) eandem altitudinem habebunt nempe semi­diametrum sphaerae, non solum illae quae inter sferam sunt, sed etiam illae in quas circumductum solidum di­stribuitur. Omnes igitur simul minimae piramides am­bientis solidi, hoc est ipsum solidum, ad omnes minimas piramides, sferae hoc est ad ipsam sferam erunt ut omnes simul illarum bases, ad omnes bases istarum simul, nempe ut totus perimeter solidi ambientis ad ipsum sferae perimetrum. Quod opportebat aliquo brevi modo demon­strare.

136. I poligoni circoscritti alla sfera si chiamano da noi quei poligoni solidi composti di superficie coniche, ci­lindriche e circolari nati dalla revolutione d'un poligono circa un circolo....

137. Se la parabola et il se­

[Fig. 71].micircolo haveranno la medesima base [Fig. 71], sarà il cilindro ABC isoperimetro al cilindro BF, DE.

Nota che la BF si porti sem­pre in capo il circolo del lato retto DFE.

138. Però sarà sempre il ci­lindro BFDE isoperimetro alla sfera BH.

Prova che il rettangolo BF, DE sia sempre uguale al quadrato BH.

139. Lemma. Buono lem­

[Fig. 72].ma per entrare nelle cose delle sfere. Provato che hai le superficie esser come i qua­drati delli diametri, aggiungi: dunque sono come i rettan­goli ABC, ADC [Fig. 72].

140. Accompagna con foglio se­

[Fig. 73].parato.

Se si volgerà l'essagono circa l'asse [Fig. 73] AB, il solido alla sfera sarà come 11 ad 8.

Se volgerà circa l'asse DC, sarà alla sfera come l'asse suo all'asse della sfera.

141. Datae sfere conum circum­scribere cuius perimeter ad periferiam sfere sit in data ratione .................... ....................................

143. Facendo axe la AD [Fig. 74], allora la conica AB alla conica BD sarà come la linea AB alla BD (et è subdupla della AC alla CD),

[Fig. 74].overo del segmento AB al seg­mento BD. Questo è vero in tutti i coni congiunti di basi; overo che hanno base eguale.

144. Ma, facendo axe la BC, nasceranno pure due coniche su­perficie e la AB alla BD, sarà come il cubo AB al cubo BD.

Poichè la superficie AB alla BD, mentre è asse BC, stà come il rettangolo BAC al rettangolo BDC, cioè ha proporzione composta di AB a BD, che è la semplice, e di AC a CD, che è duplicata, dunque ha triplicata pro­porzione.

Nota che per fare questo ci vuole quello che sai tu.

145. Se sarà lato retto d'una

[Fig. 75].parabola la linea AB [Fig. 75] e sia fatto il semicircolo, sempre la conica AE circa l'asse AB sarà uguale alla cilindrica CDE.

Per essere AE uguale a CD, sarà il rettangolo AED uguale al rettan­golo CDE, ergo etc.

146. Se sarà centro A [Fig. 76]

[Fig. 76].et axe della sfera l'AB, la conica CAD alla sferica CBD, sarà come il rettangolo ACE al quadrato CB. L'i­stessa conica CAD all'altro segmento sarà come il rettangolo ACE al qua­drato CG. Ma la conica CBD alla sferica CBD, sarà come la linea CE alla linea CB.

147. Ex data sfera segmen­

[Fig. 77].tum abscindere cuius superficies ad superficiem sui coni sit ut A ad B maioris ad minorem.

Fiat [Fig. 77] ut A ad B ita CD ad DE, ita erit etiam CE ad EH, hoc est superficies segmenti ECF ad superficiem coni sui ECF.

148. Superficies cuiuslibet segmenti [Fig. 78] ABD ad superficiem suae sphaerulae BC est ut quadratum AB ad quadratum BC. Duplicatam rationem etc.

[Fig. 78].

[Fig. 79].

149. Secto diametro sferae utcunque erunt duae sfere simul [Fig. 79] AC, CB, cum duobus cilindris simul ACB, isoperimetrae toti sferae.

Vel quatuor sferae AC, CB, CD erunt isoperimetrae toti sfere. Vel duo sferae AC, CB cum duobus cilindris D, C isoperimetrae toti, etc.

150. Fra i corollarij della

[Fig. 80].solida:

Sit [Fig. 80] centrum sferae D et axis DB, si sumatur BC aequalis BA erit conus DCF aequalis sec­tori solido DABE. Ratio quia basis coni aequalis erit segmento super­ficiei ABE et altitudo eadem DB.

151. Dato igitur quolibet sectore possumus conum aequalem facere; e quì viene per corollario quella d'Ar­chimede che la sfera sia uguale al cono che habbia la base quadrupla e l'altezza del radio.

152. Dimostra tutto questo per via delli infiniti coni aequealti e di qui cava poi che il cilindro sia sesquialtero della sfera; perchè è di quel cono. ....................................

155. Si circuli diameter secetur utcunque [Fig. 80], erit superficies sferae cuius diameter AC una cum super­ficie cilindri cuius DC, CB sunt axis et

[Fig. 81].diameter, aequales simul circulo. Dicas iterum erit sfera AB isoperimetra.

156. Si sferae diameter secetur utcunque [Fig. 81], erit tota sfera iso­perimetra sferae cuius radius AC, et duobus cilindris quorum DC, CB sint axis et radius.

157. Nel triangolo equilatero il circolo del lato è sesquiterzo del circolo del cateto. Però il circolo del lato è triplo dell'iscritto.

Pongasi AB [Fig. 82] esser 3; però sarà potenza come 9; sarà AC potenza come 12 e BD potenza sarà come 4. Quod etc.

158. Girisi hora [Fig. 82] circa

[Fig. 82].l'asse AB; sarà la superficie della sfera BD 16. Il circolo CE si è detto sarà 12. Ma perchè la superficie co­nica alla sua base in qualunque cono retto è come AC alla CB, qui sarà dupla, però la conica sarà come 24, ma la sferica si è detto come 16, però la conica è sesquiterza della sfe­rica. Di più tutto il perimetro del cono, cioè la conica con la base, sarà come 36 e la sferica è come 16; adun­que sarà il perimetro del solido duplo sesquiquarta.

159. Ma avendo concluso che i solidi circoscritti alla sfera sono alla sfera come il perimetro loro alla superficie sferica, sarà questo cono alla sfera duplo sesquiquarto. Essendo dunque tutto il cono alla sfera come 36 a 16, se leveremo il cono CDE [Fig. 82] (che per haver un terzo d'altezza è 1/3 del tutto), resterà il residuo come 24 a 16, cioè sesquialtero della sfera, overo eguale al cilindro circa sferam.

160. Superficies autem sferae circumscriptae huius­modi cono erit ad superficiem inscriptae ut 4 ad 1 (sunt enim earum diametri in ratione du­

[Fig. 83].pla) quare circumscripta sferica ad conicam superficiem erit ut 9 ad 16 [Fig. 83].

161. Soliditas autem circum­scripte sferae erit quandoquidem sfe­ram inscriptam (diximus esse ut 4 et diametri sunt in ratione dupla) ut 32. Quare circumscripta sfera ad inscri­ptum conum erit ut 32 ad 9.

162. Conus aequilaterus ad suam inscriptam sferam est in duplicata ratione axis coni ad axem sferae.

163. Conus aequilaterus sine basi isoperimeter est cilindro eandem sibi altitudinem basim vero circulum in triangulo circumscriptum habenti.

164. Se [Fig. 84] la tangente AB sarà uguale all'arco AC, sarà il triangolo ADB, uguale al sectore. ☆

Pongasi AE uguale alla periferia e sarà DAE il trian­golo d'Archimede de dim. Circ. Sarà il triangolo DAE al triangolo DAB come EA ad AB, cioè come la periferia all'arco AC, cioè come il circolo al settore ADC. Ma gli

[Fig. 84].antecedenti sono uguali, dunque anco i conseguenti; cioè il triangolo ADB al settore ADC.

165. Sia [Fig. 85] la tangente

[Fig. 85].BC, et AC ex centro; dico che il trian­ golo ABC al suo settore BAE, è come la tangente BC all'arco BE.

☆

Pongasi l'arco BD uguale alla BC; sarà dunque il triangolo ABC uguale al settore BAD per la passata. Hora la tangente BC all'arco BE è come l'arco BD all'arco BE, cioè come il settore BAD al set­tore BAE, cioè come il triangolo BAC al settore BAE ob aequalitatem, ergo etc. Quod etc.

166. Quodlibet trapezium etiam irregolare [Fig. 86] ABCD etc. circulo circumscriptum ad circulum est ut tra­ pezium perimeter ad ipsam circuli periferiam.

☆

[Fig. 86].

Ducantur ex centro li­neae ad omnes angulos re­solutum poligonum in trian­gula eandem altitudinem habentia circulus autem in sectores. Sumatur quodlibet ex triangulis AFE erunt omnia triangula ob commu­nem altitudinem (nempe po­ligonum) ad assumptum triangulum AFE ut poligoni pe­rimeter ad AF. Triangulum vero AFE ad sectorem est ut AF ad arcum FG, denique sector ad circulum est ut arcus FG ad periferiam, quare ex aequo erit poligonum ad circulum ut poligoni perimeter ad circuli circumfe­rentiam.

167. Sector [Fig. 87] BAD maior

[Fig. 87].semicirculo ad suum trapetium CBAD est ut totus arcus ad cordam BD, sive semiarcus AB ad semicordam BE.

Utraque enim figura tam trape­tium quam sector triangulum est su­per basi eadem AC diversa tamen altitudine. Sector enim altitudinem habet periferiam; sed trapetium alti­tudinem habet BD et quare sector ad trapetium erit ut arcus ad cordam.

168. Sector [Fig. 88] ABCD ad

[Fig. 88].suum triangulum ACD est ut semi­arcus BC ad perpendicularem EH. Utraque enim figura triangulum est super eodem basi CD, cum altitudi­nibus BC et EH, duplicatis ergo etc.

169. Però (in eadem figura), se si prendesse l'arco CI eguale alla EH, sarebbe come il settore al triangolo così BC a CI, e però dividendo il segmento ABCE al suo triangolo ADC sarà come BI ad IC.

170. Stante questo, se sarà segato

[Fig. 89].il circolo dalla AC [Fig. 89] e tirata la IH perpendicolare alla EC, e si prenda la CL eguale alla IH, sarà il segmento al segmento homologamente come BL ad LD etc. ........................

172. Dato cilindro sphaeram iso­perimetram facere.

Trova la media perpendicolare tra li due lati del ret­tangolo per axem e quella sarà diametro della sfera.

Coglionatura della natura facta a noi, che per farla eguale di solido, ci vogliono le due medie proporzionali.

173. Se [Fig. 90] saranno uguali

[Fig. 90].AB, BC, la conica AC sarà uguale alla cilindrica HI, però alla sferica corrispondente.

Poichè il rettangolo sotto EB, AC (che è la conica) è uguale al ret­tangolo FH (che è la cilindrica), per esser reciproche.

174. Dato segmento sferae, conicam isoperimetram circumscribere.

Sega l'asse bifariam in E e poi tira la tangente etc. che sarà fatto.

175. Se [Fig. 91] sarà la parabola il cui lato retto sia AB, sempre la sphera CD sarà isoperimetra al cilin­dro CAB fatto di modo che la CA sia base e l'altra altezza.

[Fig. 91].

[Fig. 92].

176. Se [Fig. 92] sarà un cilindro, lungo il cui dia­metro della base AB si faccia lato retto della parabola BC. Saranno le sfere delle applicate isope­

[Fig. 93].rimetre sempre al suo cilindro.

177. Dato cono sferam isoperimetram facere.

Trova [Fig. 93] la media tra AB, BC, e falla diametro che la sfera sarà isoperime­tra al cono.

178. Nel triangolo rettangolo

[Fig. 94].[Fig. 94] è certo che la sfera del cateto è isoperimetra al cilindro che habbia per altezza AB e per base AC, vel e contra.

179. Dato segmento conicae su­

[Fig. 95].perficiei, sferam isoperimetram fa­cere.

Seca [Fig. 95] bifariam AB in C, et inter AB, CD sume mediam propor­tionalem, quae diameter erit sphaerae isoperimetrae dato segmento.

Dato eodem cilindrum, isoperime­trum equealtum facere.

Fà l'angolo ACE retto e sarà fatto; e semidiametro della base sarà CE.

180. Dato [Fig. 96] un

[Fig. 96].cono lungo ABC, trova la media proporzionale tra AB, BC, e sia DB. Poni in di­retto che è meglio, sarà la sfera DB isoperimetra al suo cono, e tirata la parallela EF sarà la sfera EF isope­rimetra al suo cono.

181. Ma le sfere isope­rimetre alli segmenti inter- medij sono le DI, EO, levati gli diametri precedenti BI, FO.

182. E di più secta utcumque sferae diametro in C, erit cilindrica DAC media inter sfericas CA, AD; at ci­lindrica ADC media inter sfericas AD, DC; in cambio de i cilindri medij proporzionali piglia le sfere AB, BD.

183. Se nel circolo saranno due diametri ad angoli retti, e la corda del quadrato AB [Fig. 97]. Tirata qua­lunque CD sarà la sfera CD isoperimetra al cilindro DE, nell'una e nell'altra figura.

[Fig. 97].

[Fig. 98].

184. Cava il problema facendo passare i circoli per A [Fig. 98]. Data basi, vel data altitudine futuri cilindri ad datam sferam isoperimetra. ....................................

186. Sia la sfera ABD [Fig. 99];

[Fig. 99].la sferica AB sarà uguale alla cilin­drica di DA e di AC, e però anco il cilindro DAC sarà uguale alla super­ficie del segmento della sfera e l'altro cilindro ADC all'altro segmento e le due sfere AC, CB al segmento suo; e le quattro sfere AC, AB, CB, CD alla sfera tutta etc. et i due cilindri DAC, ACD a tutta la sfera. ....................................

200. Duos cilindros aequales et isoperimetros nemo constituet dissimiles.

Nam ob isoperimetriam erit

[Fig. 100].rectangulum A [Fig. 100] ae­quale rectangulo B; et ideo erit ratio composita ex c ad det ex e ad f aequalitatis: item ob soliditatem cilindrorum ae­qualem erit ratio ex c ad det ex e ad h aequalitatis; quare aequales erunt f et h, ergo et etiam prima e. Quare duo cilindri penitus et aequales et similes erunt.

201. Datae sferae AB [Fig.

[Fig. 101].101] conos isoperimetros facere.

Sit AC aequales AB, factoque circulo DCE per punctum C, erit DA radius basis, et AE latus coni; erit enim conica ad sferi­cam ut rectangulum sub latere et radio ad quadratum diametri; nempe aequale.

202. Per cavare l'hiperbola dalla parabola.

Fà due parabole [Fig. 102] eguali circa l'istesso asse; e dati [Fig. 103] gli asimptoti LM, LP, taglia LN, LM

[Fig. 102].

[Fig. 103].eguali al AB, taglia le LO, LR, eguali alle CD, DE, taglia le LP, LQ eguali alle FG, GH. Poi tira le parallele alli asimptoti e dove concorrono passerà l'hiperbola.

203.Il cono equilatero circa sferam è ...18,il cilindro è .................12,il solido dell'essagono è .........11,la sfera è ..................8

204. Se la corda fa una parabola, una tela o altro panno grave e cederà farà uno conoide parabolico, tanto più essendo caricato d'acqua per di sopra, o d'arena. Forse questo milita ancora nella goccia d'acqua pendente.

205. La curvatura dell'aste quando sono intere e che uno prema in mezzo ha due forze et quando rotte, ha una forza. ....................................

206. Ex horologio portabili, polum cognoscere. Dabit enim quantitatem noctis, sine diei.

[Fig. 104].

207. Per fare [Fig. 104] che il rettangolo ABC al rettangolo ADC sia in data ratione ci vogliono le due medie proporzionali. ....................................

CONTRO GL'INFINITI.

AVVERTIMENTO.

Il brano seguente si connette ai nn. [73-80] del Campo di tartufi, onde si pensò fosse opportuno stamparlo in questo punto delle Opere; è inedito e venne tratto dal T. XXXIII (carte 45-66) della raccolta “ Discepoli di Galileo ”.

Esso consta di alcune argomentazioni fallaci, provenienti da un'errata applica­zione dei concetti che stanno a fondamento della Geometria degli indivisibili; le rac­colse il Torricelli nell'intento di formare una collezione di paradossi curiosi, oppure per mettere sull'avvisato i propri discepoli sui pericoli che minacciano colui che applica il concetto di infinito senza sufficienti prudenza ed oculatezza? Altri decida.

CONTRO GL'INFINITI

Contro l'argomento mio solito degli indivisibili si po­trebbe addurre questo (oltre gl'(sic) al­tri che hò nell'altro libretto) cioè che

[Fig. 1].essendo asse di una sfera la retta [Fig. 1] AB, e sia tagliata con un piano perpendicolare all'asse, sarà sempre l'armilla CD eguale al cer­chio suo corrispondente CE, essendo il rettangolo uguale al quadrato; però il cilindro scavato eguale alla sfera: falso.

Ma a ciò si risponde etc.

Qui farà à proposito l'esempio del parallelogrammo (oltre gl'(sic) altri del libretto), poichè, essendo sempre [Fig. 2] AB maggiore

[Fig. 2].di BC, saranno dunque tutti insieme maggiori di tutti insieme; falso. Poi­chè illa bifariam secat diameter.

Overo questo: posta [Fig. 3] AB ma­

[Fig. 3].iore di BC et CD eguale alla CB, saranno sempre eguali EF, FG; dunque il trian­golo DCA eguale al triangolo CAB; falso. Ma si risponde etc.

Nota che la linea sopra la quale con­vengono le parallele (overo ne i solidi i piani paralleli) si chiama la linea delli transiti. Et i transiti devono sempre essere della mede­sima inclinatione, acciò i termini di quà et di là siano eguali di numero. Quando questo non sarà vero, allora l'argomento fallirà.

Se nel cilindro [Fig. 4] ABCD sarà il suo hemisfero AED e si tirerà FHI parallela all'asse EL e si giri la FI circa l'asse EL, farà una superficie cilindrica. Hora sarà la cilin­drica superficie delle FI à quella della IH come FI ad IH, e così sempre, adunque tutte le superficie come

[Fig. 4].della FI (che sarà il so­lido del triangolo ABE) a tutte quelle come la IH (che sarà il solido del bi­lineo AHEIA) saranno come tutte le linee del triangolo alle linee del bi­lineo, cioè come il trian­golo al bilineo. Ma è certo che il solido del triangolo è duplo del solido del bilineo, adunque il trian­golo ABE sarebbe duplo del segmento circolare AHE. Quod falsum est.

Sit conus [Fig. 5] ABC et sit AC

[Fig. 5].aequales diametro sferae. Ducatur iam planum de' basi parallelum erit­que linea FG aequalis IB. Sed ob circulum erit quadratum DI aequale rectangulo LIB, hoc est rectangulo MF; et circulus ex DI aequale erit superficiei cilindricae FM, et sic sem­per. Ergo omnes circuli (hoc est sfe­ra) aequales erunt omnibus cilindricis superficiebus (hoc est cono), quod est falsum. Cum enim sfera, dupla coni etc.

SUGLI ISOPERIMETRI.

AVVERTIMENTO.

Anche il seguente frammento (di cui l'originale occupa le carte 49-52 del T. XXXIII della solita raccolta) può considerarsi come un proseguimento del Campo di tartufi (cfr. nn. [97], [113-117], [120], ecc.); donde la ragione di inserirlo, malgrado la sua forma imperfetta, a questo punto delle Opere.

SUGLI ISOPERIMETRI

Si circulum cuius centrum [Fig. 1] A tetigerint duae rectae lineae BC maior, BD minor. Dico maiorem esse rationem tangenti CB ad

[Fig. 1].tangentem BD quam arcus HB ad ar­cum BE.

Ducatur enim per E linea LI paral­lela tangenti BC. Tum sic recta CD ad DB est ut LE ad EI, hoc est ut trian­gulum LEA ad triangulum EIA. Maio­rem ergo rationem habet quam sector HEA ad triangulum EIA, et multo maio­rem quam sector idem HEA ad sectorem EBA, hoc est quam arcus HE, ad EB. Quare componendo erit maior ratio CB ad BD, quam arcus HB ad BE etc.

Poligonorum circulo circumscriptorum, quod pauciora habet latera, maiorem habet perime­trum [Fig. 2].

[Fig. 2].

Hoc autem manifestum est in po­ligonis quando numerus laterum unius poligoni multiplex est numeri laterum alterius: ut in triangulo et ex angulo videre licet item in quadrato et trian­gulo (fagli tutti due) et alijs etc. Sed quando numerus laterum similis non erit multiplex numeri alterius, ita procedemus etc.

Corollario. Dunque quello che ha meno lati è maggiore.

Mostrato questo si prova che posti due poligoni dissi­mili, ma isoperimetri quello che ha più lati è maggiore.

Sia quello di più lati [Fig. 3] ABC etc. e quello

[Fig. 3].di meno DEF etc. Inscri­vasi all' ABC un circolo, et ad esso circolo circon­scrivasi il poligono simile a DEF. Havere questo po­ligono LH maggior peri­metro del poligono ABC, per la precedente. Sed idem ad figuram sibi similes dupli­catam habet huiusmodi rationem, quare figura DEF minor est. Quod etc.

Corollar. Patet hinc quod si dato poligono DEF, ad aliquem circulum F duo poligoni circumscribantur alterum quidem dato poligono simile, alterum vero isoperimetrum, tria poligoni esse in continua ratione.

Conclusio deduci posset etiam hoc modo:

Inscribatur circulus I.

Perimeter LH maior est perimetro AB, ergo etiam perimetro DE; sed figurae similes sunt, ergo circulus ex F maior est quam circulus ex I, ergo semidiameter FH maior quam ID et ideo poligonum ABC maior quam DEF cum isoperimetri sint. Quod etc.

Nota che i poligoni isoperimetri hanno la proporzione homologa dei semidiametri dei circoli inscritti.

Demonstratione. Sint latera duorum poligonorum [Fig. 4] AB, AC. Dico perimetrum poligoni

[Fig. 4].AC quod habet pauciora latera, maiorem esse perimetro poligoni AC quod plana habet latera.

Quia BA ad AC maiorem ra­tionem habet quam EA ad AD, et permutando, BA ad EA maiorem habebit quam CA ad DA. Quare ex 15 quinti totus perimeter BA ad totam periferiam maiorem rationem ha­bebit quam totus perimeter CA ad totam periferiam, patet ergo etc.

Li poligoni isoperimetri hanno la proporzione fra di loro che hanno i semidiametri dei circoli iscritti.

Perchè sono triangoli su la medesima base et hanno i suddetti semidiametri per altezza.

Triangulum exanguli sesquialter est.

[Fig. 5].

Quia latus triangulum circumscripti duplum [Fig. 5] est lateris exagoni cir­cumscripti.

Perimeter vero sesquialter est peri­metri eiusdem exagoni.

Il conto è facile: perchè ABC è triangolo equilatero.

Se la premessa figura sarà girata; il perimetro del cono equilatero al perimetro del solido esagonale sarà come 18 ad 11. Però anco il suo solido al solido sarà come 18 ad 11. Ma il cono alla sfera è come 18 a 8, dunque l'es­sagonale alla sfera sarà come 11 ad 8, et al cilindro sarà come 11 a 12 etc.

Il calcolo della superficie, o perimetro si fa parago­nando alli rossi, o morelli del cilindro, quali si suppongono come 4.

[Fig. 6].

Definitio. Sferam [Fig. 6] in cono in­scriptum dicimus quando sfera tanget co­num in bisectione laterum per axem.

Conus ad sferam inscriptam erit per iam dicta ut superficies coni ad perime­trum sfere; nempe ut cilindri perimeter (cui aequatur conica superficies) ad su­perficiem sferae, hoc est ut axis coni ad axem sferae.

Ergo perimeter coni ad perimetrum inscripti sfere est ut axis ad axem, soliditas etiam eodem modo, est etc.

[Fig. 7].

Alia Definitio. Sfera [Fig. 7] in se­gmento coni inscribi dicitur quando tanget bisectionem.

Hec se habent eodem modo, nempe segmentum conicorum ad spheram (tam quo ad corpus tam quo ad superficiem est ut axis segmenti ad axem sfere).

Si fuerit quaelibet sfera [Fig. 8] circa quam ad datum punctum D describendum sit segmentum conicum isoperi­

[Fig. 8].metrum et equialterum. Fa così tira DE; poi piglia AC, AB uguali al semidiametro e tirate le tangenti; sarà il fru­sto conico CGH equialtero uguale et isoperimetro alla sfera etc. per le passate.

Datis quotcunque cilindris aequealtis cilindrum omnibus isoperimetrum facere etc.

Datis quotcunque circulis circulum omnibus isoperime­trum facere.

Datis quotcunque sferis, sferam

[Fig. 9].isoperimetram facere etc.

Si [Fig. 9] tangens axem secaret esset accipiendum solidum factum ex revolutionem linearum AE, EF, es­setque huiusmodi solidum conus ACB, cum cono DFE, dempto tamen cono DCE.

Data sfera; et circulo in ea [Fig. 10] AB, ponatur DC aequalis diametro et ducatur tangens

[Fig. 10].AE, erit cilindrus cuius axis AE, basis AB, isoperimeter sferae etc.

Est enim ob similitudinem rectan­guli ut HA ad AD ita EA ad AF, quare rectangulum EAD aequatur re­ctangulo FAH, et eorum dupla EAB, et quadratum diametri quare si rectan­gulo EAB revolutum faciat, aliquem ci­lindrum erit isoperimeter sfere, erigatur (col compasso) AE, e quando segherà AF prolungata, haverà l'altezza del cilindro etc.

Li due cilindri che vedi, sono isoperimetri all'hemi­sferio etc.

DE CENTRO GRAVITATIS SECTORIS CIRCULI.

AVVERTIMENTO.

Della memoria seguente esistono, nel Vol. XXXVII della raccolta “ Discepoli di Galileo ” quattro esemplari, due autografi ed il terzo di mano del Serenai; l'ultimo è una copia preparata ad uso della stampa progettata. Di tutti fu tenuto il debito conto nella presente pubblicazione del lavoro in questione; il quale fu dato alle stampe per la prima volta (a quanto ci consta) nel T. V (Firenze, 1898) della Storia del metodo sperimentale in Italia di R. Caverni (p. 274-281 e 286-291).

Dal carteggio del Torricelli emerge che del centro di gravità di un settore cir­colare egli cominciò ad occuparsi nei primi mesi del 1643 (lettere a R. Magiotti e B. Cavalieri del 14, 21 e 28 febbraio di detto anno; queste Opere T. III, p. 103, 105 e 110), e che lo ebbe presente sin verso il termine della sua esistenza (lettera a Ca­valieri del 7 aprile 1646; Opere. T. III, p. 365).

DE CENTRO GRAVITATIS SECTORIS CIRCULI

MORE VETERUM

Lemma I.

Si quadrata duorum laterum trianguli, simul sumpta, minora sint reliqui lateris quadratu; angulus, ab illis duobus lateribus compraehensus, obtusus erit.

Esto triangulum [Fig. 1] ABC,

[Fig. 1].sintque quadrata AB, BC simul sumpta reliquo quadrato AC mi­nora. Dico angulum B esse obtu­sum.

Nisi enim B sit obtusus, erit certe vel rectus, vel acutus. Re­ctus esse non potest; nam qua­drata AB, BC essent aequalia quadrato AC. Acutus esse non potest: quoniam quadrata AB, BC simul majora essent quadrato AC. Superest igitur quod angulus B sit obtusus. Quod etc.

Omitte si lubet hoc primum lemma tamquam satis notum ex 13a secundi Elementorum.

Lemma II.

Si fuerit circuli sector quadrante, minor perpendicularis in triangulo, ad reliquam sagittam, magis quam dupla erit.

Esto circuli sector [Fig. 2] ABCD,

[Fig. 2].quadrante minor, cujus chorda sit AC, et ex centro D demissa perpendicularis DE ad AC. Dico DE ad reliquam sa­gittam EB magis quam duplam esse.

Dupla enim esse non potest. Quo­niam si ponatur DE dupla reliquae EB; erit BD, sive CD, ad DE ut 3 ad 2, ergo quadratum CD ad DE erit ut 9 ad 4. Quadratum vero idem per conver­sionem rationis CD ad CE erit ut 9 ad 5, et duo simul quadrata CD, DA ad quadratum AC erunt ut 18 ad 20. Propterea per Lemma precedens, angulus ADC obtusus. Quod est contra suppositum.

Minus quam dupla non potest esse: quoniam, si ponatur DE minus quam dupla reliquae EB, erit composita BD, sive CD, magis quam sesquialtera ipsius DE. Qualium igi tur partium CD est 3, ipsa DE est minus quam 2. Qualium vero partium quadratum CD est 9, talium quadratum DE minus erit quam 4, et talium CE quadratum erit magis quam 5. Qualium itaque partium quadrata simul CD, DA sunt 18, talium quadratum AC est magis quam 20. Ergo angulus ADC est obtusus, quod est contra suppositum.

Superest igitur quod recta DE ad reliquam EB sit magis quam dupla. Quod etc.

Lemma III.

Quilibet circuli sector, sive quaelibet figura rectilinea, vel intra, vel circa ipsum, per continuam arcus bisectio­nem descripta, centrum gravitatis habet in axe, hoc est in recta, quae bifariam secat angulum, qui ad centrum est.

Supponimus cum Archimede congruentium figurarum centra gravitatis congruere.

Esto circuli sector, vel figura plana qualis dicta fuit [Fig. 3] ABCD, linea vero bisecans angulum ADC sit DB; dico in recta BD esse centrum totius figurae.

Supponamus enim centra partium esse quaelibet pun­cta E et F: ducaturque recta EF. Superpositis itaque invicem figurae partibus BAD, BCD

[Fig. 3].ipsae partes congruent ob aequalita­tem omnium angulorum, omniumque laterum. Centra igitur E et F con­gruent quare recta EI congruet cum IF, aequalesque erunt EI, IF. Sunt autem ut magnitudines (quarum cen­tra E et F) aequalis inter se; ergo magnitudinis ex utri­sque magnitudinibus compositae centrum gravitatis erit punctum I, punctum videlicet medium librae EF. Ergo centrum gravitatis est in axe BD. Quod etc.

Lemma IV.

Centrum gravitatis sectoris circuli quadrante minoris est inter centra triangulorum, quorum alterum inscriptum sit, alterum vero ipsi sectori circumscriptum.

Esto sector [Fig. 4] ABCD,

[Fig. 4].quadrante minor, triangulum vero inscriptum sit ACD, circunscri­ptum EFD. Patet quod perpen­dicularis DG magis quam dupla erit ad reliquam GB. Sit ergo DI dupla ad IB et DO dupla ad OG, eruntque puncta I et O centra gravitatis triangulorum EFD, ACD. Dico inter puncta O et I esse centrum gravitatis sectoris ABCD.

Sit enim (si esse potest) centrum gravitatis sectoris punctum I. Cum ergo I sit centrum totius, hoc est trian­guli EFD, et partis unius, nempe sectoris ABCD; erit necessario centrum gravitatis etiam partis alterius, nempe trilineorum EAB, BCF. Quod est absurdum.

Sit (si esse potest) O. Cum ergo O sit centrum gravi­tatis totius magnitudinis, nempe sectoris, partisque unius, nempe trianguli ACD: erit omnino centrum etiam partis alterius nempe segmenti ABC. Quod est absurdum.

Sit (si esse potest) V. Cum ergo I sit centrum totius magnitudinis, hoc est trianguli EFD; V vero centrum partis unius, nempe sectoris: erit centrum alterius partis, nempe trilineorum EAB, BCF, omnino versus D. Quod est impossibile.

Sit denique (si esse potest) R. Cum ergo R sit centrum totius nempe sectoris ABCD; punctum autem O partis unius, hoc est trianguli ADC; erit centrum alterius partis, nempe segmenti ABC, omnino ulterius versus D. Quod est absurdum.

Superest ergo quod centrum gravitatis sectoris sit inter puncta I et O. Quod erat propositum demonstrare.

Lemma V.

Si figura quaelibet [Fig. 5] ABCD in duas figuras con­gruentes secta fuerit a linea BD (dummodo congruentium figurarum aequales anguli sint ad ea­

[Fig. 5].dem partes) et supposito centro gra­vitatis semifigurae BAD, quod sit E, si ex E ducatur EI perpendicularis ad BD. Dico I esse centrum gravitatis totius figurae ABCD.

Producatur enim EI ita ut IO sit aequalis ipsi IE, eritque centrum re­liquae semifigurae punctum O; nam superpositis figuris, puncta E et O congruent, cum rectae IE et IO per­pendiculares sint ad BD (et aequales inter se). Propterea centrum magnitudinis ex utrisque magnitudinibus com&s