Torricelli, Evangelista Opere 1912 Firenze la torri_opere_090_la.xml 090.xml

OPERE DI EVANGELISTA TORRICELLI

EDITE IN OCCASIONE DEL III CENTENARIO DELLA NASCITA

COL CONCORSO DEL COMUNE DI FAENZA

DA

GINO LORIA E GIUSEPPE VASSURA

VOLUME I: GEOMETRIA PUBBLICATO PER CURA DI GINO LORIA

PARTE I. CON IL RITRATTO DI E. TORRICELLI E 373 FIGURE

FAENZA

STABILIMENTO TIPO-LITOGRAFICO G. MONTANARI

AMMINISTRATO DALL'ORFANOTROFIO MASCHI

1919.

Riservati tutti i diritti accordati dalla Legge in Italia c all'Estero.

INDICE

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . .Pag.I—XXXVIIIDE SPHAERA ET SOLIDIS SPHAERALIBUS LIBRI DUO.   Dedica . . . . . . . . . . . . . . . . .”1—  2   Proemium . . . . . . . . . . . . . . . .”3— 10   Liber primus . . . . . . . . . . . . . . .”11— 44     ” secundus . . . . . . . . . . . . . .”45— 87DE DIMENSIONE PARABOLAE.   Dedica . . . . . . . . . . . . . . . . .”91— 92   Ad lectorem proemium . . . . . . . . . . .”93— 98   Suppositiones et definitiones . . . . . . . . .”98—101   Quadratura parabolae pluribus modis per duplicem     positionem, more antiquorum absoluta . . . .”102—162   Appendix — De dimensione cycloidis . . . . .”163—169   Scholium — De cycloidibus aliarum specierum . .”170—172DE SOLIDO ACUTO HYPERBOLICUM PROBLEMA ALTERUM . .”173—190DE SOLIDO HYPERBOLICO ACUTO PROBLEMA SECUNDUM . .”191—221   Appendix — De dimensione cochleae . . . . .”223—230APPENDICE AL LEMMA XX DELLA MEMORIA “ DE DIMENSIONE       PARABOLAE ” . . . . . . . . . . . . .”231—238DE TACTIONIBUS . . . . . . . . . . . . . . . .”239—290   Nota dell'editore . . . . . . . . . . . . .”291—292DE PROPORTIONIBUS LIBER.   Ad amicum lectorem proemium in quo de defini-     tionibus geometricis . . . . . . , . . . .”295—305   Definitiones . . . . . . . . . . . . . . .”305        Suppositiones et axiomata . . . . . . . . .”306        (Teoremi) . . . . . . . . . . . . . . . .”307—318   Appendix . . . . . . . . . . . . . . . .”319—327DE PLANIS VARIA . . . . . . . . . . . . . . .”329—345DE SOLIDIS VARIA . . . . . . . . . . . . . . .”347—363DE CIRCULO ET ADSCRIPTIS . . . . . . . . . . . .”365—375DE COMPARAT. PERIMETRORUM CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE”377—386DE AEQUALIT. PERIMETRORUM CYLINDRI CONI AC SPHAERAE”387—407

INTRODUZIONE.

INTRODUZIONE

I. — Ad uno svolto della storia.

Quantunque non siasi ancora stabilito perfetto accordo fra i competenti intorno all'anno in cui, nella storia civile e politica, debbasi collocare l'inizio dell'èra moderna, pure l'evo medio si suole da tutti gli storici chiudere nell'ul­timo decennio del secolo XV o nel secondo del successivo. L'analoga questione relativa alla storia delle matematiche, per quanto ci consta, non venne sinora posta, almeno in modo esplicito. Ma, ove lo fosse stata, non sarebbe certa­mente stato malagevole l'accordarsi nello scegliere la data 1650 come inizio dell'ultima delle grandi divisioni della storia delle scienze esatte; chè allora appunto i germi fe­condi deposti da DESCARTES e FERMAT cominciarono a produrre l'aritmetizzazione della geometria, cioè il grande fenomeno che servì ad imprimerle una fisonomia del tutto nuova ed era destinato a rinnovare tutta la scienza del­l'estensione figurata; inoltre, allora si trovavano in istato d'imminente fioritura le idee ed i metodi chiamati ad as­sicurare sistematica unità alle indagini relative alla misura della superficie e dei solidi a contorni arbitrari; allora finalmente avevano intrapresa la loro gloriosa corsa nel mondo i principi fondamentali posti alla dottrina dei moti e delle forze dall'immortale autore dei Discorsi e dimo­strazioni matematiche intorno a due nuove scienze.

Ora la matematica della rinascenza — al pari di lam­pada che, nell'istante in cui sta per spegnersi, diffonde all'intorno uno sprazzo di fulgidissima luce — presenta in Italia un epilogo oltre ogni dire brillante in un perso­naggio di primo ordine, degno continuatore delle tradizioni scientifiche che, nella patria nostra, sia pure con lunghe deplorevoli lacune, si perpetuarono durante l'enorme pe­riodo storico che corre da ARCHIMEDE a GALILEO: è EVAN­GELISTA TORRICELLI, la cui altissima rinomanza presso i contemporanei è attestata dall'anagramma

En virescit Galileus alterche un suo anonimo ammiratore compose con le lettere che ne formano il nome .

II. — Alunnato e noviziato di E. Torricelli.

Colui a cui la sorte affidò il nobile còmpito di conso­lare gli ultimi giorni della travagliata esistenza di GALILEO GALILEI, vide la luce il 15 ottobre 1608; sebbene nessun documento lo dichiari esplicitamente, pure è pressochè certo che egli nacque in Faenza , perchè suo padre GA­SPARE, apparteneva ad una famiglia, di modeste condizioni di fortuna , la quale, a partire dalla metà del secolo XV ebbe costante dimora in quella città ed ivi si spense sullo scorcio del secolo XVII.

I suoi studi in umanità furono compiuti sotto la guida amorosa e sapiente di uno zio paterno, ALESSANDRO (che assunse il nome di JACOPO quando entrò nell'ordine ca­maldolese e che morì quasi novantenne priore del mona­stero di S. Giovanni della città natìa ); invece nelle scienze, in particolare nelle matematiche, fu istruito dai Padri Gesuiti. Ed in tali discipline diede prove lampanti di tali spiccate attitudini che il suo ottimo zio persuase la famiglia ad inviarlo a Roma allo scopo di perfezionarlo sotto la direzione oculata di uno dei luminari del tempo, BENEDETTO CASTELLI, il celebre discepolo di GALILEO che, a partire dal marzo 1626, era lustro e decoro della Corte di papa URBANO VIII. Ciò accadeva verso la metà dell'anno 1627. Subendo la benefica influenza di tanto istitutore, il TORRICELLI fece progressi talmente rapidi e sorprendenti che ben presto potè affermarsi pensatore originale con la memoria, oggi notissima, Sul moto dei corpi naturalmente discendenti , la quale d'un tratto lo collocò senza con­trasto in prima linea fra gli alunni del celebre matema­tico .

Nelle mani di P. BENEDETTO CASTELLI questa me­moria servì come mezzo per assicurare al diletto alunno una situazione economica e sociale onorevole, lucrosa, stabile . Narra infatti VINCENZO VIVIANI per il tramite di LODOVICO SERENAI quanto segue :

“ Questo Padre (cioè il CASTELLI) nell'aprile del 1641 venendo di Roma per Pisa a Firenze per passare a Ve­nezia al suo Capitolo generale, portò con sè manoscritto il trattatello del Moto composto allora dal Torricelli sui principi del medesimo Galileo, al quem il predetto Abate fece sentire il contenuto e la diversità di maniera che in varie cose aveva quegli tenuta per ampliare quella nuova scienza meravigliosa del Galileo, di cui commiserando il predetto Abate la cecità e scorgendo insieme il pericolo in che, per la di lui grave età travagliata ancora da tante indisposizioni, si stava di perdere per la di lui morte, il residuo delle sue speculazioni non pubblicate che aveva in sè e che gli rimanevano ancora da porre sulla carta, glielo propose in ajuto; e il Galileo che dall'opera sopra detta e dalle relazioni che di quella date gli aveva il Pa­dre, già ne aveva formato gran concetto, volontierissimo lo accettò per ajuto e per compagno e restò col Padre Castelli che al suo ritorno a Roma poteva trattar d'in­viarglielo, come seguì.

“ Giunse dunque il Torricelli alla Villa d'Arcetri (dove abitava Galileo) verso la fine del settembre del medesimo anno ed immantinente incominciò Galileo a comuni­cargli nei discorsi che quegli teneva tutto giorno, ciò che gli rimaneva delle proprie fatiche e meditazioni, le quali aveva stabilite di includere e distribuire in due giornate in dialogo da aggiungersi alle altre quattro dell'opera pochi anni prima stampata sopra le sue due nuove scienze della Meccanica e del Moto locale e la prima di quelle due con­tener doveva l'esplicazione d'alcune delle cose già dette nelle prime quattro, e la soluzione di vari problemi natu­rali suoi e d'Aristotile, esaminati e purgati da alcune fal­lacie prese dal Filosofo e particolarmente nel Trattato “ de incessu animalium ”. La seconda doveva comprendere il racconto di varie esperienze antiche del Galileo da lui fatte per l'investigazione della forza infinita della percossa di cui stimava il medesimo Galileo di avere dopo lunghe vigilie ed applicazioni arrivati i veri principi e fondamenti da poter sopra di essi fabbricare una terza nuova scienza e con progresso geometrico dimostrare proprietà stupende e fuori della comune immaginazione. Ma iniqua sorte invi­diando agli uomini così grandi acquisti nelle scienze, volle che (appena dato principio il Torricelli a distendere la quinta giornata) in capo a poco più di tre mesi dopo la congiunzione in terra di quei due grandi luminari, si estin­guesse il Maggiore conceduto alle vite umane da Dio, sommo Sole, per dimostrar loro nei Cieli e nella Natura novità ammirande e verità peregrine state occulte a tutta l'Antichità ”.

III. — Il periodo fiorentino.

Come è notorio la morte di GALILEO seguì il 6 gen­naio 1641.

“ Per sì funesto accidente non così presto aspetta­tosi dal Torricelli rimaneva qua egli come smarrito; ma la gloriosa memoria del Ser. Gran Duca Ferdinando II sti­molata dalla sua nativa inclinazione a promuovere e pro­teggere le buone lettere e le matematiche in particolare, prese subito a risarcire in parte così gran perdita di simil soggetto statogli rappresentato dal Sen. Andrea Arrighetti a relazione del medesimo Galileo di altissima aspettazione. E mentre questi preparavasi a licenziarsi per tornarsene a Roma fu fatto aspettare d'ordine del G. Duca che allora trovavasi a Pisa e dichiarato successore ad un Galileo cioè matematico di S. A. e per lui fu rinnovata l'antica ma per lungo tempo dimessa lettura di matematiche in questo Studio ” .

In conseguenza di questa provvida ed illuminata deli­berazione il Nostro, sorpassati di poco i trentadue anni, vedeva assicurata a sè stessa una posizione pienamente soddisfacente, perchè, in qualità di matematico dello studio fiorentino, gli era assegnato lo stipendio annuo di scudi 200, ed inoltre il governo toscano gli concesse gratuito alloggio in un quartiere dell'antico palazzo dei Medici che divenne poi palazzo Riccardi (oggi sede della prefettura); più tardi, e precisamente in data 2 gennaio 1644, gli fu con­ferita anche l'ufficio di lettore di fortificazioni militari nella fiorentina Accademia del Disegno con l'annuo emo­lumento di scudi 40 .

Non pago di avere liberato il grande faentino da ogni sorta di preoccupazioni materiali, il Granduca di Toscana lo colmò di altri benefici, il primo e forse più importante dei quali (almeno dal punto di vista dei supremi interessi della scienza), è quello di avere spontaneamente assunta tutte le spese per la stampa e le figure dell'unica opera geometrica che a lui fu concesso di presentare al pubblico , quel- l'opera che ebbe virtù di estendere ai lontani l'altissima stima che il Torricelli si era acquistata da parte delle per­sone che ebbe la fortuna di avvicinarlo.

Col suo trasferimento a Firenze comincia per il TOR­RICELLI il periodo più felice della sua esistenza, quello in cui potè consacrarsi serenamente e con maggiore intensità alla ricerca scientifica ed in cui si affollarono più nume­rose alla sua mente le idee originali . Libero da qual- siasi preoccupazione materiale, essendo bello della persona, gentile di maniera ed amante dell'onesto conversare, non tardò a stringere rapporti di amicizia con le personalità più spiccate viventi allora in Firenze (basti ricordare il celebre pittore SALVATORE ROSA ed il dotto ellenista CARLO DATI); anzi dai regolari convegni che egli tenne con questi valentuomini trasse origine l'Accademia dei “ Percossi ”, in seno alla quale forse egli fece conoscere le Commedie che vuolsi scrivesse ed ove recitò, con plauso generale, quell'Encomio del secol d'oro destinato a prendere posto più tardi nella collezione delle sue Lezioni accademiche . D'altronde l'Accademia della Crusca, onde rendere solenne omaggio alla sua perizia nel maneggio della patria lingua, volle annoverarlo fra i propri membri ed egli, entrando a far parte di quel celebre sodalizio, ri­volse ai nuovi colleghi un ringraziamento che venne pure accolto nella medesima raccolta .

Le più fruttifere indagini da lui condotte a termine nel regno delle scienze matematiche e fisiche durante il pro­prio soggiorno alla Corte di Toscana diedero alcuni risul­tati a cui fu ben presto concesso un posto eminente nei fasti della scienza; fra questi meritano uno speciale ri­cordo i seguenti:

1. Le mirabili qualità da lui avvertite nella cicloide ed in parecchie altre classi di curve piane;

2. La classica esperienza col mercurio e la con­seguente invenzione del barometro ;

3. I procedimenti da lui ideati ed applicati per costruire certi speciali microscopi e per ripulire le lenti destinate ai telescopi .

Esse valsero a diffondere rapidamente la rinomanza del Torricelli, non soltanto al di là delle mura di Firenze, ma eziandio oltre i confini d'Italia. In pari tempo però fecero pullulare detrattori invidiosi che vollero, alcuni diminuire il valore dei suoi ritrovati, altri contestargli i diritti di prio­rità che egli con piena ragione accampava sopra di essi. Da tale ingiustificata ostilità egli fu spinto a scrivere quel Racconto d'alcuni problemi ecc. che oggi rappresenta, dal punto di vista umano, una delle più interessanti pagine, delle sue Opere ; da ciò più tardi un suo amico, CARLO DATI, consigliato e spalleggiato dal fedelissimo esecutore testamentario LODOVICO SERENAI, fu indotto a pubblicare nel 1663, sotto forma di lettera pseudonima, tutti i docu­menti atti ad illustrare e completamente chiarire alcune controversie originate da invenzioni del Nostro e che sono fra le più celebri che siano registrate nella storia delle scienze positive .

IV. — La morte.

Ebbero tali incresciose discussioni il potere di minare la fibra robusta del TORRICELLI e di avvicinare la fine di un'esistenza che sembrava rigogliosa? Il corpo umano è un organismo talmente complicato e misterioso, i rap­porti fra il fisico ed il morale sono tuttora avvolti in così fitta oscurità, che qualunque risposta a questa inquietante domanda dovrebbe giudicarsi imprudente ed infondata; onde noi, dopo di avere richiamata l'attenzione dei lettori sopra le frequenti infermità sofferte dal TORRICELLI anche prima che gli invidiosi cominciassero a latrargli alle cal­cagna , ci limiteremo a riferire i fenomeni che contras­segnarono la sua ultima malattia, quali vengono descritti da un testimonio oculare, meritevole di fede assoluta e completa.

In data 14 ottobre 1647 scriveva LODOVICO SERENAI a FRANCESCO fratello di EVANGELISTA TORRICELLI :

“ Si trova in letto malato il sig. Vangelista fratello di V. S. con febbre che per otto giorni non è stata stimata di gran pericolo, ma hiersera aggravò, e dopo essersi que­sta mattina confessato con grandissimo sentimento e haver fatto testamento, e discorso di tutte le cose sue con gran­dissimo senno sino alle 21 ore incirca, ha poi sull'accen­sione della febbre dato in delirio, e delirò furioso a segno che non si può ajutare con medicamenti senza gran diffi­cultà, e si teme d'incontrarla ancora nel cibarlo. Con la commodità del primo riposo che conceda il delirio sarà pronto il Parocc.no col Santissimo Viatico, e non si man­cherà di vigilanza per ogni rimedio spirituale; siccome attorno al corpo s'è fatto, e si farà tutto il possibile: e acciocchè V. S. possa crederlo sappia che oltre alla servitù sua ordinaria ci assiste quasi del continuo il sig. Dottor Buonajuti suo medico e amico carissimo, io me ne parto soltanto tanto quanto vo à desinare, e a cena con mia moglie habitando vicinissimo, e due astanti mandatici dal Ser.mo Gran Duca non se ne partono punto. In compagnia del sig.r Bonajuti viene alla cura il sig.r Dottore Scafucci medico di S. A. S. la quale somministra regali di delizie e di medicamenti preziosi della sua fonderia. Finalmente la servitù e gli ajuti sono da principi e meritamente essendo egli un Principe della sua professione ”.

Ma tutte queste cure, per quanto assidue, amorose, sa­pienti, non sortirono il desiderato effetto, chè nulla pote­rono contro il delirio che si rinnovava in modo sempre più allarmante; ed il SERENAI addì 25 ottobre 1647 era co­stretto a riprendere la penna per informare FRANCESCO TORRICELLI dell'avvenuta catastrofe :

“ Quel che più ”, egli scriveva, “ anzi infinitamente mi duole è che io devo a dare a V. E. l'infelice nuova della morte del sig. Vangelista seguita questa mattina due ore incirca avanti giorno con pianto universale della Città, e sentimento straordinario del Gran Duca ”,

aggiungendo che

“ il corpo si è depositato nelle Volte della Chiesa Princi­palissima di San Lorenzo questa sera, e gli si farà qualche inscrizione per memoria, e per consolazione nostra, e di lor parenti ”.

Tale epigrafe fu del seguente tenore :

EVANGELISTA TORRICELLIUS FAVENTINUS MAGNI DUCI ETRURIAE MATHEMATICUS ET PHILOSOPHUS OBIIT VIII KAL. NOVEMBRIS ANNO SALUTIS M DC XLVII AETATIS SUAE XXXIX; disgraziatamente questa non fu sufficiente a far distinguere per sempre le ossa del grande pensatore da quelle dei suoi oscuri vicini ; infatti le ricerche dei suoi resti mortali, eseguite per ordine della civica Amministrazione di Fi­renze in occasione del III Centenario della sua nascita, non soltanto non condussero ad alcun risultato, ma gui­darono alla sconsolante conclusione di trovarsi di fronte ad un problema che la scienza è nella impossibilità di scio­gliere .

V. — Le disposizioni testamentarie.

Durante la tregua che il 14 ottobre 1647 si verificò nel delirio che riuscì fatale ad EVANGELISTA TORRICELLI fu concesso all'eminente scienziato di dettare, all'incompara­bile suo amico SERENAI, alcune disposizioni relative ai suoi averi e di dare forma legale alle sue ultime volontà . Mentre per noi ben poco interesse presenta il sapere in qual modo egli abbia diviso le proprie sostanze, possiedono la massima importanza le disposizioni relative alla sorte futura dei lavori scientifici a cui la morte inattesa gli vietò di dare forma ed assetto definitivi; giova pertanto riferirle:

Nel testamento si legge quanto segue:

“ Item ordina al sopradetto Sig.r Lodovico suo esecu­tore che quanto prima, seguita sua morte, trasmetta e mandi a spese della sua eredità al M. R. P. fra Bonaven­tura Cavalieri Matematico dello Studio di Bologna tutti i suoi scritti, studii e fatiche di Geometria quali aveva disegnato di pubblicare alla stampa, essendo già ordinate con le dimostrazioni promesse, acciocchè detto Padre fra Bonaventura ne pubblichi quella quantita che a esso libe­ramente parrà o piacerà, et il restante li mandi a Roma al Sig.r Michelangelo Ricci gentiluomo splendidissimo et amicissimo di detto Sig.r Testatore et intendentissimo di queste scienze, acciò li metta insieme e li pubblichi, come meglio ha significate et ordinate in vece al medesimo Sig.r esecutore. Fra le quali scritture di Geometria detto Sig.r Testatore intende che restino comprese lettere e ri­sposte passate fra lui e i Matematici di Francia ”.

D'accordo ed a complemento di tali ordini stanno al­cuni Ricordi dettati al Serenai, ove fra l'altro è avver­tito che

“ nell'ultima parte del Proemio del libro delle Propor­zioni vi è il Compendio e Indice delle mie altre opere, di quelle che io stimava ”

e riguardo al segreto per la fabbricazione dei vetri è detto:

“ Dettogli: che vuol ella fare del suo segreto delli oc­chiali? Il negozio e segreto dei vetri non occorre neanche mettercelo , perchè io farò che questa mattina sia in mano al Gran Duca serrato: ma ha fatto male S. A. a non mi far lavorare in sua presenza, perchè avrebbe ve­duto e imparato meglio; e non troverà chi lo faccia. Le forme di vetri fatte da me con grandissima diligenza, che S. A. non ne troverà, le lascio alla stessa Altezza S.; e perchè mi costano molti denari, avendole fatte fare in Galleria, dove sempre ho pagato e date mance larghissime, desidero che S. A. se ne mostri benigno con i poveri miei fratelli per quanto le parrà che elle vaglino ”.

VI. — Alla ricerca di un editore.

La consegna al Gran Duca di tutto il materiale ottico relitto dal Torricelli venne eseguita dal SERENAI la sera stessa del 27 ottobre 1647; in che cosa consistesse risulta da un particolareggiato Elenco degli oggetti rimessi al Sovrano, del quale esiste tuttora una copia .

Esaurita questa parte, la più agevole, della missione affidatagli dal compianto amico, il SERENAI si volse sen­z'indugio a preparare la stampa degli scritti lasciati inediti dal TORRICELLI, tanto più fervorosamente avendo avuta l'assicurazione da parte del Gran Duca Ferdinando II che egli stesso avrebbe sostenute le spese della stampa.

Le trattative col CAVALIERI si può dire che finirono prima di venire iniziate; chè, avendo il SERENAI scritto al geometra degli indivisibili sino dal 26 ottobre 1647 per partecipargli la morte del TORRICELLI , ne ebbe risposta di mano di un confratello, fra PLACIDO GHIRLANDI , nella quale è detto che le condizioni di salute del CAVA­LIERI, da cattive che erano da molto tempo, si erano fatte allarmanti: nè in tale apprezzamento vi era alcuna esage­razione, chè il giorno 30 del seguente novembre il CAVA­LIERI passava a miglior vita.

Il SERENAI volse allora il proprio pensiero a MICHE­LANGELO RICCI e, per assicurarsi la sua collaborazione, pregò il MAGIOTTI (con lettere del 30 novembre e del 21 dicembre 1647 ) di assumere la parte di intermediario; il MAGIOTTI non rimase sordo alla preghiera dell'amico (come risulta dalle risposte inviate il 15 dicembre 1647 ed il 10 gennaio 1648 ), ma con esito ben poco soddi­sfacente. Tentò allora il SERENAI un assalto diretto alla troppo ben difesa fortezza , ma, con dolore dovette ri­conoscere ben presto che questa era inespugnabile: ciò è attestato nel modo più chiaro dal seguente brano di let­tera inviata dal RICCI al SERENAI addì 11 aprile 1648 :

“ Quel fervore, col quale gli anni passati intrapresi lo studio delle Matematiche, incominciò ad intiepidirsi alcuni mesi prima che morisse la buona memoria del Sig.r Tor­ricelli, e dopo la sua morte è di maniera diminuito che sento più tosto repugnanza che diletto nell'applicarmivi. Questo però non sarebbe sufficiente a ritardarmi da quel­l'impresa, alla quale mi aveva destinato il Sig.r Vangelista, in riguardo forse di lasciare in sua morte un memorabile onore nella persona d'un suo discepolo, e servitore affe­zionat.mo, cioè dichiarandomi abile alla revisione delle sue degniss.me speculazioni: ma per il peso accresciutomi sù le spalle per la morte di mio Zio, seguita sotto il 15 di Gennaro, e per la grande età di mio Padre, restando sotto la mia direzione quasi in tutto gli affari di mia casa; sono talm.te occupato che nella varietà d'altri pensieri non hanno luogo i concetti Geometrici, che richiedono per se stessi tutto l'ingegno, e la fantasia. Dirò di vantaggio che nei tre mesi decorsi dell'anno corrente sono stato quasi sempre indisposto, et inetto alle fatiche della mente; per le quali cose parmi di avere tanta ragione, e scusa che V. S. possa rendersi persuasa della difficoltà grandiss.ma, che forse potrebbesi e con altro titolo chiamare impossi­bilità, la quale mi fa ricusare la carica di ripulir le opere del Sig. Torricelli ”.

Dolente per questo nuovo insuccesso, ma non scorag­giato, parve al SERENAI che il MAGIOTTI fosse persona indicatissima per assumere l'ufficio a cui il TORRICELLI aveva destinati il CAVALIERI ed il RICCI e si cullò nella dolce illusione di potere giungere a persuaderlo ad addos­sarselo in occasione di una visita che quel valentuomo aveva in animo di fare ad un proprio fratello residente in Firenze ; ma, per ragioni che ignoriamo, anche il MA­GIOTTI declinò l'onorevole ma gravosissimo incarico.

Il seguito delle spinose trattative è narrato dal SERENAI con le seguenti parole :

“ Mancandomi pertanto così gran capitale di questi due matematici e sapendo che tra i veri e buoni Amici che si acquistasse quì il Torricelli il primo era stato Vin­cenzo Viviani, in quel tempo che vivevano amendue in­sieme ospiti e commensali del medesimo Galileo e avendo veduto poi con quanto amore e con qual reciproca fami­gliarità si praticassero continuamente; ricorsi a questo pregandolo contentarsi di faticare sopra le opere geome­triche lasciate in confuso e imperfette dall'Amico nostro, ma egli per lungo tempo ricusò sempre, dicendo non co­noscersi abile a tanta impresa e quando ne fusse stato non aver tempo da impiegarvelo stante le sue occupazioni domestiche e negli affari pubblici e in servigio di S. A. che già un tempo gli impedirono di proseguire i suoi propri studi nonchè applicare agli altri, soggiungendomi altri vari motivi che lo dissuadevano dall'intraprendere questo lavoro.

“ Infine dopo reiterati assalti cedè alle istanze mie e di altri Amici accettando il travagliare sopra tali mano­scritti in quei tempi che gli fossero restati liberi e quieti come diceva richiedersi per lui in simili speculazioni; ma però mi protestò apertamente che volentieri per far cosa grata a me e servire alla memoria del comune amico ac­consentiva di faticarci, ma che siccome ciò faceva senza alcun fine e speranza nè di guadagno nè di premio nè di lode, così voleva almeno assicurarsi di non esporre abben­chè minimo sospetto la sua lealtà, e che però si dichiarava di non voler mai nelle sue mani alcun benchè piccolo fo­gliuzzo degli Originali del Torricelli, con tutto che nume­rati, nè assai nè poco maneggiarli per tempo alcuno, ma che voleva solamente le copie puntuali con le figure foglio per foglio come appresso di me si trovavano. A proposi­zione tanto rispettosa e discreta non seppi che replicare, anzi questa m'insinuò di fare le copie domandate di mia mano propria, come veramente con mia fatica incredibile io lo feci di tutti gli originali matematici imitando giu­stamente, anzi dipingendo tutte le figure, non tanto le ben fatte quanto le guaste e cassate, e ogni parola dello scritto ancorchè cancellata ” .

Quando si tenga presente che molti manoscritti del TORRICELLI consistevano di semplici appunti da lui rapida­mente presi nel corso delle sue ricerche, mentre altri rap­presentano prime stesure di lavori, alle quali erano indi­spensabili molteplici miglioramenti di sostanza e di forma, e che il SERENAI era un giureconsulto di grande reputa­zione , ma affatto digiuno di studi matematici, si vedrà chiaramente che la fatica a cui egli spontaneamente si sobbarcava (e che occupò tutti i suoi ozi durante quattro lunghi anni ) è la più eroica prova di amore per la scienza e di disinteressata amicizia per un illustre defunto che si trovi registrata nella storia. Tante pene avrebbero ben meritato l'unico guiderdone che il SERENAI ne atten­deva, quello cioè di vedere esaudito l'ardente voto formu­lato dal TORRICELLI sul suo letto di morte; ma anche esso fu negato da una sorte implacabilmente avversa!

Non è da credersi che il VIVIANI di deliberato proposito sia venuto meno all'impegno che aveva assunto; la rac- colta fiorentina consacrata ai “ Discepoli di Galileo ” sta a provare quante ore di lavoro egli abbia speso a riordinare, compilare, commentare, trascrivere le opere del diletto commilitone ; ma sia che fosse distratto da indagini sue proprie o quasi totalmente assorbito dalle altre cariche affidategli, sia che le frequenti malattie gli vietassero con­tinuità di lavoro o che preferisse dedicare alla memoria del suo venerato maestro GALILEO il meglio delle sue forze, sia finalmente che, anche in questa contingenza, non gli riu­scisse di vincere la proverbiale incontentabilità che lo in­duceva a correggere, rifare, trascrivere un numero stermi­nato di volte tutto ciò che uscivagli dalla penna, fatto sta che egli scese nella tomba prima che l'augurata edizione si avviasse verso un lontano indizio di attuazione .

Ed il SERENAI, probabilmente avvedendosi della cattiva piega che stava prendendo l'impresa a cui aveva dedicata la vita e sentendo approssimarsi la propria fine, nel testa­mento dettato il 26 settembre 1674 disponeva che tutti i manoscritti torricelliani fossero consegnati ad AGOSTINO NELLI e, in caso di morte di costui, a RIDOLFO PAGANELLI, oppure, nell'ipotesi che anche questi premorisse al testa­tore, a CARLO DATI, in ogni caso a disposizione del VI­VIANI in servizio della progettata edizione: uscita questa in luce tutte quelle carte dovevano essere (come da tempo aveva consigliato il VIVIANI) consegnato al Gran Duca regnante per venire depositato nella Libreria medicea di S. Lorenzo.

Il 28 febbraio 1685 il SERENAI cessava di vivere ed il VIVIANI lo seguiva nel sepolcro addì 22 settembre 1703. In conseguenza le speranze nutrite a lungo e con buon fondamento, che tutte le scoperte fatte dal TORRICELLI venissero poste a disposizione degli studiosi, a maggior gloria di lui ed a vantaggio della scienza, erano, almeno pel il momento, irreparabilmente deluse; per colmo di scia­gura anche le provvide disposizioni prese dal SERENAI onde assicurare la perfetta conservazione dei manoscritti, non sortirono il desiderato effetto, come ci apprestiamo a narrare brevemente .

VII. — Vicissitudini subite dai manoscritti torricelliani.

Morto AGOSTINO NELLI, il figliuol suo GIOVANNI BAT­TISTA, discepolo ed amico del VIVIANI, indusse questi ad assumere la custodia di tutti i manoscritti che il SERENAI aveva ricevuti in deposito fiduciario dal suo compianto amico. Tale adesione non può non recare grande mera- viglia a chi ricordi l'invincibile riluttanza che il VIVIANI aveva da giovane sentita e manifestata di assumere la grave responsabilità di un siffatto deposito. Ma ancor più stupefacente è il fatto che egli, sentendo approssimarsi la grande ombra, mentre diede precise disposizioni a tutela delle ricchissime collezioni di libri e di quadri dei quali era legittimo proprietario, non fece alcun cenno del tesoro di cui un capriccio della sorte (sempre nemica al TORRI­CELLI) avevalo fatto depositario.

Questa negligenza imperdonabile, e che non riusciamo a non chiamare colpevole, visti i deplorevoli effetti che ebbe, proietta sopra la figura morale del VIVIANI una luce ancor più tetra di quanto sia il mancato impegno di pubblicare gli scritti inediti del suo commensale di gio­ventù. In conseguenza di quella dimenticanza (che vo­gliamo giudicare pura e semplice conseguenza di senile amnesia) i manoscritti torricelliani passarono, insieme ad altre carte, in eredità, come mobili, all'abate JACOPO PAN­ZANINI (nipote del VIVIANI e lettore di matematica nello studio fiorentino) e, morto costui (1733), ai suoi nipoti CARLO ed ANGELO, i quali nell'incapacità di comprenderne il valore, un brutto giorno, per fare spazio in armadi so­verchiamente ingombri di biancheria, ne vendettero una parte ad un pizzicagnolo. “ Le vie di Dio son molte ” di­remo con ALESSANDRO MANZONI; giacchè fortuna volle che quel negoziante, ignaro dei più elementari precetti del­l'igiene, si servisse di un autografo del Galilei per avvol­gere una piccola quantità di mortadella da lui venduta a G. B. CLEMENTE NELLI; questi riconobbe subito la scrit­tura del celebre scienziato e, per il tramite di quel pizzi­cagnolo, si pose in relazione con i PANZANINI e riuscì ad acquistare in blocco tutto il materiale scientifico del quale essi a torto, benchè senza alcuna colpa, si consideravano legittimi proprietari.

Ora dal paragone dell'inventario redatto dal NELLI di tutti gli scritti del TORRICELLI da lui comperati con l'Elenco delle Opere inedite del TORRICELLI compilato dal SERENAI con l'aiuto del VIVIANI risulta (fatto incredi­bile, ma pur vero) che, durante le traversie subìte da quei manoscritti, se pure essi subirono qualche perdita, si tratta di cosa pressochè insignificante.

Giunto in possesso di tanto tesoro pensò il NELLI di mostrarsi meritevole dell'insperata fortuna toccatagli col portare a compimento la desideratissima edizione delle Opere inedite del TORRICELLI; mise anche mano ai lavori preparatori, ma sgraziatamente non potè toccare l'ago­gnata mèta. Però, quando ebbe a perdere la speranza di raggiungerla, provvide a che quel tesoro non fosse una nuova volta esposto ad essere disperso; a tale scopo, nel testamento da lui dettato il 14 dicembre 1793, impose ai propri eredi che, qualora pensassero di alienarlo, prima di trattare la vendita con privati, lo offrissero al Gran Duca di Toscana; ora le meno floride condizioni finanziarie della famiglia NELLI avendo consigliata tale vendita, nell'ot­tobre del 1818 Ferdinando III, che deteneva allora lo scettro, esercitando il diritto di prelazione che eragli stato fortunatamente conferito, entrò in possesso di quella ine­stimabile suppellettile scientifica, corrispondendo alla fa­miglia NELLI la somma di zecchini 1046, nella quale le opere del TORRICELLI venivano valutate 80 zecchini. Così finalmente gli scritti del sommo faentino toccavano un porto sicuro! Essi, nel 1861, passarono dalla Biblioteca Palatina alla Nazionale di Firenze, e, con gli altri scritti dell'epoca, diedero origine alla collezione dei “ Discepoli di Galileo ” da noi tante volte ricordata e che, per avventura, è la più importante del genere che esista nel mondo .

VIII. — Pubblicazioni parziali di lavori torricelliani.

Ma nel frattempo alcuni scritti nel Nostro avevano vista la luce in differenti epoche ed in varie occasioni.

Anzitutto, sino dal 1674 il VIVIANI, col consenso del SERENAI , pubblicava tre teoremi dell'opuscolo De pro­porlionibus nel corpo della nota sua opera Quinto Libro degli Elementi di Euclide ovvero Scienza universale delle Proporzioni spiegata con la dottrina del Galileo (Firenze).

Inoltre nel 1715 — come abbiamo già avuto occasione di accennare — uscivano stampate le Lezioni accademiche,per merito di TOMMASO BUONAVENTURI, il benemerito eru­dito che, col concorso di GUIDO GRANDI, BENEDETTO BRE­SCIANI e GIUSEPPE AVERANI curò la prima edizione fio­rentina delle Opere di GALILEO: non è forse fuor di luogo di rilevare, a scanso di equivoci, che per condurre a ter­mine questa importante pubblicazione il BUONAVENTURI si giovò di materiali passati direttamente dalle mani del SERENAI alla Libreria di palazzo Pitti. Gli stessi docu­menti resero possibile che le scritture del Nostro Sopra la bonificazione della Valle di Chiana fossero nel 1768 in­seriti nel T. IV della celebre Raccolta d'autori che trattano del moto delle acque e che dieci anni più tardi, giun­gesse in dominio del pubblico, come Appendice alla bio­grafia del Torricelli scritta da A. FABBRONI, il Racconto d'alcune proposizioni proposte e passate scambievolmente tra matematici di Francia e me dall'anno 1640, in qua . Nè è da credersi che alla pubblicazione integrale delle Operedel TORRICELLI si fosse in quell'epoca del tutto rinunziato; giacchè da una lettera scritta da P. FRISI appunto al FABBRONI il 3 settembre 1774 si apprende che allora vi volgeva la mente un certo GIANNINI (forse il noto ma­tematico toscano PIETRO GIANNINI); ma, come ignoriamo i particolari di questo progetto, ci sono ignote le ragioni per le quali esso venne abbandonato.

Nessun nuovo piano dello stesso genere venne escogi­tato, per quanto ci consta, durante il secolo XIX. Però, inaugurandosi nel 1864 un monumento marmoreo al TOR­RICELLI nella nativa Faenza, furono da G. GHINASSI pub­blicate, asssieme ad altri documenti, alcuni elementi inte­ressanti del suo carteggio scientifico . All'inesauribile munificenza di BALDASSARRE BUONCOMPAGNI si deve la pubblicazione, avvenuta undici anni dopo, di altre impor­tanti sezioni del medesimo carteggio . Ancora: una lettera del Torricelli si trova in una pubblicazione di C. HENRY e nel corso degli anni 1891-98 moltissimi squarci delle Opere inedite del TORRICELLI furono inseriti dal CAVERNI nei primi cinque volumi della sua Storia del metodo sperimentale in Italia, opera che (non è fuor di luogo notarlo) conviene usare con somma cautela, chè troppo spesso il desiderio di denigrare Galileo offusca nell'autore la serenità del giudizio e l'onestà storica . Finalmente allo spirare del secolo scorso giungevano in dominio del pubblico gli studi del TORRICELLI sulla spirale logarit­mica , importante saggio delle sue ricerche sopra “ de lineis novis ”, a cui egli attribuiva tanta importanza.

Ne va dimenticato e taciuto che le indagini amoro­samente condotte sopra le opere già edite guidarono a rivendicare al TORRICELLI la scoperta del metodo delle tangenti che porta il nome del ROBERVAL e la gloria di avere scoperta la prima curva esattamente rettifica­bile . Da ultimo l'importanza dei risultati da lui otte­nuti studiando il celebre problema di FERMAT “ ricerca del punto nel piano di un triangolo per cui è minima la somma delle distanze dai vertici ” consigliarono a chia­mare circonferenze di Torricelli quelle che servono a risol­verlo e punto di Torricelli quello che ne rappresenta la soluzione .

IX. — Risorge il progetto d'un'edizione completa.

Questi vari fatti, mentre ragionevolmente alimentavano la speranza che altre gemme fossero tuttora sepolte nei manoscritti lasciati dal sommo faentino, sembravano im­porre all'Italia risorta un duplice preciso dovere, senti­mentale e scientifico, cioè di soddisfare l'ardente voto espresso sul letto di morte da uno dei più illustri fra i suoi figli e di porre a disposizione di tutti i documenti autentici, atti a costituire i “ considerando ” della sentenza in ultima istanza relativa alle spinose questioni di pro­prietà e priorità che egli aveva dovuto sostenere con ma­tematici ultramontani del tempo suo. La convinzione del­l'imprescindibilità di siffatto dovere spinse chi scrive ad esporre per esteso in occasione del Congresso internazio­nale di scienze storiche che ebbe luogo a Roma nella prima decade dell'aprile 1903 i vari ordini di ragioni che consigliano, e fors'anche impongono, alla patria nostra, il còmpito di continuare nella via in cui essa si pose provve­dendo ad una edizione nazionale, veramente degna, delle Opere di GALILEO, col decretare le stesse postume onore a colui che ebbe a succedergli nella cattedra dello Studio fiorentino .

Questa proposta riscossa l'unanime adesione dei pre­senti (fra i quali si trovava P. TANNERY, l'illustre storico francese che così efficacemente contribuì al buon esito della pubblicazione delle Opere di FERMAT e di DESCARTES), i quali, nella seduta del 6 aprile 1903 concordi votarono il seguente ordine del giorno:

“ La Sezione VIII del Congresso internazionale di scienze storiche (Roma, 1903) fa voti che il governo di S. M. il Re d'Italia affidi alla R. Accademia dei Lincei il còmpito di esaminare le opere manoscritte di Evange­lista Torricelli nell'intento di determinare quali fra esse siano meritevoli di stampa; e di presiedere alla pubblica­zione completa di tutte le opere di lui già edite e di quelle inedite, giudicatene degne, senza escludere il suo carteg­gio scientifico, completando così il lavoro intrapreso con la edizione nazionale delle opere del Galilei ”.

Nell'intento di rendere possibile l'esaudimento di tal voto senza alcun momentaneo aggravio per il bilancio dello Stato, il nostro Ministero della pubblica istruzione, in principio dell'anno scolastico 1904-05, trasferì da Como a Firenze GIOVANNI VAILATI, onde egli dedicasse tutte le ore lasciategli libere dall'insegnamento della matema­tica in quell'Istituto tecnico all'esame preliminare dei manoscritti torricelliani esistenti in quella Biblioteca Na­zionale. Ci è ignoto sino a quale punto il sempre rim­pianto studioso spingesse la sua opera investigatrice; ma questa venne ben presto bruscamente interrotta quando, instituita con R. Decreto 19 novembre 1905 la ben nota Commissione per l'ordinamento degli studi secondari in Italia, il VAILATI fu chiamato a farne parte; onore da lui ben meritato, ma che a ragione pareva racchiudere la mi­naccia di un rinvio “ sine die ” dell'esecuzione della de­siderata edizione.

Si approssimava intanto il III Centenario della nascita del grande scienziato; e GIUSEPPE VASSURA, nel mentre a nome del Municipio di Faenza invitava la Società Ita­liana di fisica a tenere nel 1908 il suo Congresso a Fa­enza, chiedeva venisse emesso un nuovo voto a favore della pubblicazione delle Opere del TORRICELLI; tale lo­devole iniziativa trovò favorevole accoglienza e, nella se­duta del 27 aprile 1906, dopo elevata discussione, venne ad unanimità presa la seguente deliberazione:

“ Il Congresso della Società Italiana di fisica tenutosi in Roma nel 1906 sollecita il governo a dare appoggi ma­teriali e morali affinchè le opere di Evangelista Torricelli vengano sollecitamente pubblicate ”.

Ma neppure questa nuova autorevole esortazione fu sufficiente a convincere il nostro governo che l'invocata pubblicazione costituiva un debito di gratitudine verso chi aveva onorata la patria conservandole, per qualche tempo dopo la morte di GALILEO, un primato che gli stranieri avevano dovuto riconoscere all'Italia.

X. — La presente edizione.

A far ciò volse il pensiero il Comune di Faenza in occasione del III Centenario della nascita dell'inventor del barometro, affidando l'incarico di condurre a termine la nobile e meritoria impresa a GIUSEPPE VASSURA . Con quali criteri egli abbia deciso di adempiere il mandato ricevuto venne da lui stesso esposto in due pubblicazioni che da tempo si trovano a disposizione degli studiosi . A noi basta rilevare quì che a lui appartiene la riparti­zione di tutto il materiale da pubblicarsi in tre volumi, il I destinato ad accogliere tutte le Opere geometriche già edite od in istato da potere venire utilmente pubblicate; il II alle Lezioni accademiche, la Meccanica e Scritti vari;il III riserbato al Carteggio scientifico. E poichè in circa quattro anni di assiduo lavoro egli portò a compimento i volumi II e III così era generale la fiducia che si fosse finalmente scoperta la via capace di porgere la sospirata soluzione della secolare questione.

Se non che, allontanatosi il VASSURA dalla sua città natale sullo scorcio dell'anno 1912, sorse inatteso e spa­ventoso ostacolo contro il compimento dell'iniziata edi­zione. Nell'intento di sormontarlo il Comune di Faenza — dietro suggerimento dello stesso VASSURA — rivolse a me l'invito terribilmente onorevole di curare la pubblica­zione del Volume delle Opere del TORRICELLI dedicato alla Geometria, cioè, in complesso, di tutti i suoi lavori inediti. La gravità di tale missione e l'assoluta impossi­bilità da parte mia di allontanarmi per lungo tempo dalla mia consueta residenza, ove mi trattengono sempre im­prescindibili doveri d'ufficio, mi lasciarono lungamente in dubbio intorno alla deliberazione da prendere. Finalmente, da un lato il desiderio di contribuire all'esaudimento di un desiderio che era espressione di un grande interesse scientifico e nazionale; e dall'altro l'avere il VASSURA poste a mia disposizione le copie eseguite sotto la sua direzione dei lavori torricelliani conservati a Firenze e di altri importanti documenti relativi ed il fatto che io trovai nel dott. C. MOCARINI, dell'Archivio di Stato di Firenze, persona capace e disposta a collazionare ed even­tualmente completare le copie anzidette, finirono col vin­cere la mia troppo giustificata esitazione. Ed ora, superate le difficoltà di ogni genere che intralciarono più e più volte la regolarità del mio procedere (difficoltà che l'im­mane guerra delle nazioni in parte creò ed in parte acuì) mi è dato chiudere la mia fatica presentando al pubblico, in unione al VASSURA, le Opere di E. TORRICELLI, non prima però di avere brevemente esposti i criteri da me prescelti nella mia azione di editore .

XI. — La presente edizione.

Le esigenze imposte ad una riproduzione per mezzo della stampa di opere scientifiche sono di natura ben di­verse da quelle a cui deve soddisfare un lavoro analogo di carattere letterario. Mentre in questo si richiede una riproduzione diplomatica degli originali, che ne rispetti persino la punteggiatura e l'ortografia, ad un'edizione di scritti scientifici si domanda soltanto che vengano religio­samente conservati e fedelmente riprodotti le idee ed i metodi. In conseguenza di ciò noi ci siamo astenuti dal consegnare al tipografo quei frammenti torricelliani che sono manifestazioni tangibili di pensieri che balenarono dinnanzi alla mente dell'autore ed a cui egli non diede più seguito, sia per averli poi ravvisati per “ fatica buttata via ” , sia per mancanza di tempo. È il sistema che già adottarono, ad esempio, gli editori di LAGRANGE, che di­chiararono di seguire coloro a cui fu affidato il gran­dioso compito di preparare la pubblicazione definitiva degli scritti di LEIBNIZ e che, per ragioni ben note a tutti i competenti, verrà abbandonato soltanto riguardo agli scritti di LEONARDO DA VINCI. Perciò la presente edizione è, nelle nostre intenzioni, completa ma non totale, confor­memente, d'altronde, ai voti formulati dal TORRICELLI nel momento in cui preparavasi al viaggio senza ritorno, ed alle intenzioni di tutti coloro che, prima di noi, si accin- sero a soddisfarli. Ciò, naturalmente, non esclude in alcun modo che altri più oculato, possa trovare nei manoscritti che si salvarono dalla minacciata dispersione, materiali per aggiunte ai volumi che noi oggi sottoponiamo al giu­dizio del pubblico; onde questi non hanno alcuna pretesa di far cessare il commovente pellegrinaggio di cui da circa un secolo è oggetto l'inesauribile raccolta dei “ Discepoli di Galileo ”.

I fogli relitti dal TORRICELLI furono investigati con amorosa profondità — già lo abbiamo detto e più d'una volta — dal SERENAI e dal VIVIANI, i quali li ordinarono, onde fare di quelli che trattano argomenti affini un tutto omogeneo e degli altri un artistico mosaico . Ora delle loro fatiche altamente meritorie noi abbiamo tratto il massimo profitto, non soltanto nell'egoistico intento di al­leviare il còmpito nostro, ma perchè quei due valentuo­mini vanno considerati come i più coscienziosi depositari ed i più fedeli interpreti del pensiero torricelliano. Però, anche dopo tale indiscutibile perfezionamento subìto da tutti quei lavori, essi raggiunsero soltanto in piccolissima parte l'esattezza di forma che si esige da qualsia scritto scientifico ; doveva l'editore permettersi di correggere di suo arbitrio le inesattezze riscontrate e di colmare le la- cune da lui notate? A nostro avviso no; giacchè un siffatto poco rispettoso ed arbitrario sistema avrebbe reso difficile, e fors'anche impossibile, al lettore di avere dinnanzi una fedele immagine del pensiero torricelliano; è nostra con­vinzione che il VIVIANI aveva vagheggiato di eseguire que­st'opera complementare, ma che poi l'abbandonò forse per scrupoli ben giustificati; e probabilmente la vana ricerca di un'altra procedura che consentisse di offrire al pubblico le produzioni del suo venerato amico sotto aspetto del tutto soddisfacente fu la cagione che spinse lui — che tanto spesso e volontieri sacrificava alla Dea Procrastinazione — a rinviare di giorno in giorno l'adempimento dell'impegno assunto col SERENAI. Il procedimento indarno cercato dal­l'ultimo discepolo di GALILEO è forse quello a cui ai dì nostri si appigliarono gli editori delle Opere dell'HUYGENS, i quali, riguardo agli scritti inediti del sommo Olandese, adottarono il sistema della riproduzione diplomatica, ac­compagnata da esaurienti commenti, sotto forma di note a piè di pagina; è il sistema che noi pure avremmo pre­ferito ove l'edizione delle Opere di TORRICELLI, al pari di quella di quel celebre scienziato, fosse stata assunta da un sodalizio scientifico avente esistenza illimitata nel tempo; ma, data invece l'enormità del lavoro consistente nel com­pletare e commentare tutti gli scritti inediti del TORRI­CELLI e data la brevità della vita umana, scegliendolo non si sarebbe probabilmente ottenuto altro risultato che di aggiungere un nuovo nome alla lunga teoria di persone che tentarono indarno di porre in circolazione i frutti delle elucubrazioni geometriche del celebre faentino.

Per tali ragioni noi limitammo l'opera nostra ad insi­gnificanti ritocchi superficiali, a qualche sobria dilucida­zione a piè di pagina ed al sostituire gli schizzi nervosa­mente tracciati dall'autore con figure effettivamente capaci di chiarire i ragionamenti esposti .

Coloro che prima di noi si accinsero a pubblicare gli scritti di cui ci occupiamo si proposero di presentarli al pubblico in modo da formare un tutto ben ordinato: pro­blema certo importante e bellissimo, ma che, secondo noi, lo stesso autore non sarebbe stato in grado di risolvere. Infatti si tratta, non di materiali destinati a costituire un'opera unica, ma sibbene di svariatissime ricerche, rag­gruppantisi intorno ad alcuni centri; ond'è nostro con­vincimento che il TORRICELLI se ne sarebbe servito per scrivere parecchie memorie staccate. “ Rebus sic stanti­bus ” per porre un po' d'ordine a quei materiali non si poteva pensare che ad un ordinamento o cronologico, o in base agli argomenti trattati, o tenendo conto dei me­todi di ricerca usati. Ora:

1. Alla cronologia è impossibile ricorrere, chè i fogli lasciati dal Nostro matematico non portano date e d'al­tronde le sue lettere provano che, nel sessennio della sua più intensa produttività (1641-1647), egli si occupava di studi differenti, alternando le indagini di pura geometria con esperienze di fisica e trovando riposo nelle operazioni manuali che lo resero celebre nella pulitura dei vetri con le ricerche baricentriche.

2. Alla materia si fa appello con scarso profitto, chè parecchi soggetti furono da lui trattati da punti di vista differenti.

3. Quanto al metodo d'indagine, pure essendo sempre geometrico, talora è prettamente archimedeo, talora in­vece è ispirato alle idee del CAVALIERI; ora il comporre una Sezione con i lavori scritti in istile antico ed una con gli altri, avrebbe avuto come conseguenza un'evidente e deplorevole violazione dell'ordine in cui si svolse il pen­siero dell'eminente scienziato.

Per tutte queste ragioni noi abbiamo rinunciato ad un rigoroso ordinamento di tutta la materia. Dopo la ripro­duzione della parte non meccanica dell'Opera geometrica — l'unica che egli potè presentare al pubblico — ponemmo un brevissimo squarcio che ne costituisce un complemento, poi gli scritti che, trattando nuovi problemi di contatti circo­lari, della teoria delle proporzioni e di svariate questioni di planimetria e stereometria, porgono aggiunte alla geome­tria elementare degli antichi. Altrettanto può dirsi di una ricca miscellanea di teoremi semplicemente enunciati ed in gran parte desunti dalla precedente raccolta. Seguono ad essa alcune pagine che rivelano i dubbi che, nel TORRICELLI od in altri, sorsero contro la geometria dell'infinito, la quale rigogliosamente fioriva intorno al 1650, e che si ritro­vano in altro suo scritto sugli indivisibili. S'incontrano poi le ricerche baricentriche o stereometriche relative a por­zioni di quàdriche rotonde. Riunimmo finalmente le impor­tanti scritture relative a curve speciali le quali — secondo gl'intendimenti manifestati dall'autore nell'esordio alla me­moria De proportionibus — dovevano essere ingredienti di un'opera di lunga lena da intitolarsi De lineis novis.

Con l'eleggere ed adottare siffatta distribuzione delle materie noi non pretendiamo di avere divinate le inten­zioni del TORRICELLI (dato e non concesso che egli ne avesse di definitive); ci lusinghiamo, però, di non avere resa impossibile la ricostruzione della genesi del suo pen­siero scientifico.

XII. — A che cosa miri la presente pubblicazione.

Nel licenziare il frutto delle nostre lunghe fatiche ci si affaccia spontaneamente la tormentosa domanda quale sarà l'accoglienza che esso sarà per ricevere da parte del pubblico matematico. Ora ci sembra fuor di questione che la presente pubblicazione costituiva da parte dell'Italia un preciso dovere verso uno dei più illustri suoi figli “ onde assicurare contro i danni inevitabili del tempo quelle pa­gine venerande, cui troppo spesso invidiano gli inchiostri seicenteschi, veramente edaci della loro carta ” . Ad essa però non può certamente venir fatta l'accoglienza festosa che il TORRICELLI giustamente sperava quando, nella tregua del delirio, raccomandava agli amici i suoi lavori tuttora inediti. Gli è che nei tre secoli ormai de­corsi dal giorno in cui egli scese nella tomba l'ambiente matematico si è totalmente e radicalmente mutato. I pro­cedimenti di cui egli si serviva sono quelli foggiati da un contemporaneo di PLATONE, EUDOSSO DA CNIDO, svolti ed applicati da ARCHIMEDE e trasfigurati dal CAVALIERI; anzi il TORRICELLI seppe servirsene con tanta abilità e disinvol­tura che ben a ragione questi valentuomini avrebbero po­tuto additarlo alla universale estimazione dicendo: “ Ecco colui che

Mostrò ciò che potea la lingua nostra ”.

A quei vetusti procedimenti egli si attenne con fedeltà ancora più rigorosa di quanto abbia fatto il suo contem­poraneo HUYGENS (matematico che giova citare pei nume­rosi punti di contatto che presenta col Nostro ); giacchè mentre questi prestò di quando in quando facile orecchio alla giovane algebra che allora presentavasi circonfusa di promettenti lusinghe, il TORRICELLI austeramente respinse ogni sorta d'inviti per quanto seducenti, onde nella storia della matematica egli ci si presenta siccome l'ultimo dei puristi . Per effetto di tali spiccate caratteristiche men­tali Egli era destinato ad annoverare in vita molti ammi­ratori e alcuni seguaci, ma fatalmente doveva essere ben presto lasciato in completo abbandono. Perciò, se è indu­bitato che questo fenomeno si sarebbe manifestato pochi decennii dopo la scomparsa del TORRICELLI — cioè dopo il trionfo delle idee di DESCARTES e FERMAT, di LEIBNIZ e NEWTON — non è forse matematicamente certo che esso apparirà sotto forma ancora più generale in un'epoca, come l'attuale, che segue il secolo di LAGRANGE ed EULERO, non­chè quello in cui, per opera della pleiade di matematici iniziatasi con ABEL e CAUCHY e chiusa con WEIERSTRASS e POINCARÉ, l'analisi matematica raggiunse un'altezza, un'e­stensione, un'energia che sarebbe stato follia sperare?...

Perciò — sarebbe vano negarlo — la presente pub­blicazione, al pari delle analoghe che la precedettero in Italia ed all'Estero, possiede un carattere, non pratico, ma eminentemente storico; ad essa è affidata la nobile missione di porgere al futuro storico della matematica gli elementi, di cui sino ad oggi si lamentava l'assenza, per lumeggiare in tutti i suoi più reposti meati il grande pe­riodo che prelude l'apparizione del calcolo infinitesimale e per determinare il posto che spetta ai discepoli di GALILEO fra i precursori dei sommi di cui vanno giustamente su­perbe l'Inghilterra e la Germania.

Tuttavia, come i più recenti mezzi di locomozione non fecero scomparire del tutto i dilettanti di podismo, i quali a ragione sostengono come la rapidità vieti la contempla­zione dei particolari, così è certo che, anche in avvenire, s'incontrerà sempre qualche studioso che, abbandonando le formole e le funzioni generalissime della cui contem­plazione si compiace l'analisi moderna, ritornerà allo studio diretto, cinematico e geometrico, delle figure; ebbene tale presunto e desiderato investigatore, dopo di avere suc­chiato il più vital nutrimento dalle opere lasciateci dalla classica Antichità o fiorite al caldo sole della Rinàscita, trarrà inestimabili vantaggi dalle Opere di EVANGELISTA TORRICELLI che la Patria riconoscente, assolvendo un de­bito che su di essa gravava da secoli, pone oggi a dispo­sizione degli studiosi di tutto il mondo.

Genova, aprile 1919.

GINO LORIA.

DE SPHAERA ET SOLIDIS SPHAERALIBUS

LIBRI DUO.

IN QUIBUS ARCHIMEDIS DOCTRINA DE SPHAERA ET CYLINDRO DENUO COMPONITUR, LATIÙS PROMOVETUR, ET IN OMNI SPECIE SOLIDORUM, QUAE VEL CIRCA, VEL INTRA SPHAERAM, EX CONVERSIONE POLIGONORUM REGULARIUM GIGNI POSSINT, UNIVERSALIUS PROPAGATUR.

Serenissimo Magno Duci Etruriae

FERDINANDO II

Erubescerem profectò, Serenissime Magne Dux, oblaturus libellum hunc Serenissimae Celsitudini Tuae, nisi haberem maxima Archimedis, et Galilei nomina, quae praetendere possim audaciae meae: Exigua enim sunt opuscula haec, et de rebus aetate nostra neglectis, nempe Geometricis. Attamen, nisi fallor, duo maxima Geometriae opera promovebunt, cum veterem De Sphaera, et Cylindro, novamque De Motu scien­tiam exequantur. Sed ego frustra Geometriam excuso apud eum Principem, cui non solum haereditaria, sed etiam in­genita est Mathematicarum disciplinarum protectio. Serenis­simus enim Cosmus II Pater Tuus stipendijs celeberrimo Galileo oblatis; deinde Ser. C. Tua, beneficijs maximis in huiusmodi scientiae cultores collocatis, optime demonstravit intelligere, quanti momenti sint Mathematicae scientiae, vel in disponendis exercituum aciebus, vel in muniendis, exor­nandisque urbibus, utroque tempore belli, pacisque. Cum enim (ut de Mechanica facultate sileam) totum penè civile commercium pondere, numero, et mensura administretur, quis non videat omne hominum negotium in Mathematicis esse? quae tria quantitatis genera cum in Scholis nostris quotidie agitentur, illi profectò maximè utiles Reip. habe­buntur, qui in huiusmodi studijs versati, exercitatique erunt. Libellorum itaque non inutilium causa penitus mala non erit quatenùs Geometrici sunt. Utinam mala non sit eo no­mine quòd sunt mei: Propterea humilitèr oro, ut illos qua­lescumque sint, Tibi tamen debitos, Tuaque munificentia editos, S. C. Tua suscipere dignetur eo vultu, quo me quoque sup­plicem suscepit, atque ea humanitate, quae cum tanti Prin­cipis maiestate coniuncta, amorem elicit etiam ab ignotis. Faveat Deus omnibus votis Tuis, et S. C. Tuam, imperiumque diu tueatur, et augeat.

Sereniss. C. Tuae

Humillimus servus

Evangelista Torricellius.

PROEMIUM

Inter omnia opera ad Mathematicas disciplinas perti­nentia, iure optimo Principem sibi locum vindicare vi­dentur Archimedis inventa; quae quidem ipso subtilitatis miraculo terrent animos. Verùm inter omnes libros egregij Authoris longè eminet ille, qui De Sphaera, et Cylindro inscribitur: neque enim posteritatis tantùm consensu, sed etiam ipsius Scriptoris iudicio primas tenet. Certè hunc ipse in titulum sepulcri elegit, dignumque prae caeteris iu­dicavit, qui tanti viri tumulum exornaret, ostenderetque. Hunc tamen si quis attentiùs considerare, et perpendere velit, magnum quidem inventum fateatur necesse est, sed fortasse non absolutum. Loquor equidem de primo tantùm libro, in quo partem operis Theorematicam, et omnem doctrinae inventionem exequitur: quo veluti iacto funda­mento, in secunda parte postea, quasi coronidis loco, pro­blemata quaedam tamquam corollaria ad eam rem spe­ctantia ipse subnectit. Titulus libri est De Sphaera, et Cylindro; quae quidem verba apud nos idem sonant, ac si dixisset De Sphaera, atque unico solido sphaerali; sed sphaeralia solida, quorum unum est cylindrus, multitudine sunt infinita, ut mox patebit. Ergo absolutior fortasse con­templatio videri potuisset, si eximius Author proportionem, non tantùm eam, quae est inter sphaeram, unicumque ex sphaeralibus solidis perquisisset, verumetiam omnem aliam rationem, quae inter sphaeram ipsam, et unumquodque ex infinitis sphaeralibus solidis inter cedit, ostendendam sibi assumpsisset. Hoc itaque propositum erit, et institu­tum meum in praesenti libello. Doctrinam non solum de Sphaera, et Cylindro, sed de sphaera, et sphaeralibus so­lidis omnibus prosequemur: Mutatisque plerumque Archi­medaeis fundamentis, universaliori demonstratione illam complecti conabimur, atque in omni specie solidorum, vel intrà, vel circà sphaeram descriptorum, propagabimus.

Ex libro Archimedis De Sphaera et Cylindro duo haec colliguntur spectantia ad illa solida, quae nos sphaeralia appellamus: Primum, quòd sphaera dupla est inscripti sibi rombi solidi aequilateri; quod quidem unum est ex solidis sphaeralibus, genitum ex revolutione quadrati inscripti, et circa diagonalem conversi. Alterum; quòd cylindrus ad inscriptam sibi sphaeram est sesquialter. quod quidem et unum ex solidis sphaeralibus est, genitum ex conversione quadrati circumscripti, et circa ipsius catetum revoluti. Stantibus his, contemplatione dignum mihi videbatur uni­versalius aliquod problema huiusmodi.

Dato poligono quocunque regulari sivè intrà, sivè circà circulum descripto, et sive circa diagonalem, sive circa catetum revoluto; pro­portionem dicere, quam factum ex polygono solidum habeat, ad factam ex circulo sphaeram.

Penitus autem ex voto successit instituta contemplatio. Nam inventa proportione, sex ista inferiùs adnotata Theo­remata ita se habere comperi, quemadmodum hìc subij­ciuntur.

Prima solidorum sphaeralium species.

Si intrà circulum descriptum fuerit poligonum regulare habens latera numero parià, et conver­ tatur figura circa catetum B. Quaeri­tur ratio sphaerae ad factum soli­dum.

Continuetur ratio radij poligoni ad catetum eiusdem, nempe A ad B in quatuor terminis A, B, C, D. Erit que sphaera ad solidum inscriptum, ut diameter sphaerae, hoc est ut dupla ipsius A, ad utramque simul B, et D.

Secunda species.

Si intra circulum descriptum fuerit po­ ligonum regulare habens latera numero paria, et cunvertatur figura circà diagona­lem AB. Quaeritur ratio sphaerae ad fa­ctum sphaerale solidum.

Ostenditur. Sphaeram esse ad solidum,

ut quadratum AB ad quadratum cateti AC.

Theor. 7 Lib. 2.

Tertia species.

Si intrà circulum describatur poligonum regulare ha­bens latera numero imparia, et con­ vertatur figura circa catetum B. Quaeritur ratio sphaerae ad factum sphaerale solidum.

Continuetur ratio radij A ad ca­tetum B in quatuor terminis A, B, C, D. Eritque sphaera ad solidum, ut quadrupla ipsius A ad B semel, C bis, et D semel simulque sumptas.

Theor. 19. Lib. 2.

Quarta species.

Si circà circulum describatur poligo­ num regulare, habens latera numero paria, et convertatur figura circa catetum C. Quaeritur ratio solidi ad sphaeram.

Ostenditur solidum esse ad inscriptam sibi sphaeram, ut duo simul quadrata, quorum unum fit ex radio D alterum ex cateto C, ad duplum quadrati C.

Theor. 18. Lib. 2.

Quinta species.

Si circà circulum describatur poligonum regulare habens latera numero paria; et convertatur figura circa diagonalem A. Quaeritur ratio solidi ad sphaeram.

Theor. 6. Lib. 2.

Ostenditur solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse ut radius A ad catetum B hoc est ut axis solidi ad axem sphaerae.

Sexta, et ultima species.

Si circa circulum describatur poligonum regulare ha­bens latera numero imparia, et con­ vertatur figura circa B catetum. Quaeritur ratio solidi ad sphaeram.

Continuetur ratio radij A ad ca­

tetum poligoni B, in tribus terminis A, B, C. Eritque solidum ad sphae­ram, ut A semel, B bis, et C semel simulque sumptae, ad quadruplam ipsius C.

Theor. 18. Lib. 2.

Solidorum itaq: sphaeralium species omninò sex emer­gunt, et uniuscuiusque speciei ratio ad suam sphaeram in­notescit. Possent fortasse videri tres tantum solidorum species, si solida absolutè, ac sine suis sphaeris conside­rentur. Verum si illa ad sphaeram referantur, statim re­latio variatur, et proportio alia consurgit, prout cognata solidis ipsis sphaera inscripta fuerit, vel circumscripta.

Quibus demonstratis, varia pro Corollarijs Theoremata statim emergebant; cuiusmodi sunt. Datis ex praedicta­rum sex specierum solidis duobus quibuscunque, alterius ad alterum rationem notam facere.

Conum aequilaterum circa sphaeram descriptum, esse ad ipsam sphaeram ut 9 ad 4. Nempe duplum sesqui quar­tum. Propterea si circa eandem sphaeram conus, cylin­drusque aequilateri descripti sint, tria solida, nempe conum, cylindrum, et sphaeram fore inter se in continua propor­tione sesquialtera.

Sphaeram ad conum aequilaterum sibi inscriptum esse ut 32 ad 9.

Sphaeram ad inscriptum cylindrum aequilaterum ine­fabilem rationem habere, nempe ut diameter quadrati ali­cuius ad 3/4 lateris eiusdem.

Rombum solidum aequilaterum sphaerae circumscri­ptum ad eandem sphaeram incomensuràbilem esse, nempe ut diameter quadrati alicuius ad latus eiusdem.

Sphaerale solidum exagonale circa catetum revolutum esse ad inscriptam sibi sphaeram sesquisextum.

Sphaeram autem ad exagonale solidum sibi inscriptum, et circà diagonalem revolutum, esse sesquitertiam.

Et alia huiusmodi, quae quidem altiùs perscrutanti in­numera patebunt. Interim satis superque mihi erit aliqua apposuisse, quae propria claritate ultrò se se offerunt etiam aspernanti. Horum maxima pars Corollaria esse poterant praecedentium sex Theorematum; attamen illa demonstra­bimus ex sola etiam Euclidis doctrina, sine ope illorum quae de sphaeralibus praemiseramus; Ut videre est ad Propositiones 30 et 9 seqque in secundo libro. Caeterum huiùs contemplationis occasionem, mox etiam et scriptionis incitamentum praebuit mihi acutissimus librorum Archi­medis scrutator Antonius Nardus Aretinus: huic enim re­fero, atque ipsius eruditis colloquijs, si quid verè Geome­tricum in hac scriptura exciderit mihi.

Si verò pleraque mala erunt, et fortasse omnia, hoc unum culpàndus erit ornatissimus vir, et genere, doctrinà, moribusque conspicuus Andreas Arrighettus Florentinus, qui post magna in me collata beneficia, editionem mali libri non suasit, sed iussit.

DEFINITIONES.

1. Cuiuscunque poligoni regularis latera habentis nu­mero paria, Diagonalem voco lineam, quae per oppositos flgurae angulos ducitur. Catetum verò voco lineam, quae puncta media laterum oppositorum connectit: sive earum­dem semisses. Cuiuscunque verò poligoni regularis latera habentis numero imparia, catetum voco lineam, quae ab uno angulo per centrum figurae extenditur.

2. Si poligonum quodcunque regulare convertatur, sivè circa diagonalem, sive circa catetum, donec ad eum locum redeat unde caepit moveri, solidum illud quod ex revolutione circumscribitur, sphaerale solidum appellare visum est. Parilaterum quidem si poligonum habuerit la­tera numero paria, Imparilaterum verò, quando poligonum latera numero imparia habebit.

Si cylindrus, sive conus, vel etiam coni frustum plano per axem ducto sectum sit: communem secantis plani, et curvae superficiei sectionem vocabimus latus cylindri, sive coni, sive frusti conici.

Suppositiones.

Supponimus. cuiuscunque prismatis circà cylindrum ae­quealtum descripti, superficiem maiorem esse cylindri ipsius superficie. Cylindricam verò superficiem maiorem esse superficie prismatis inscripti, basim habentis regula­rem. exceptis semper basibus. Item pyramidis circa conum descriptae superficiem maiorem esse ipsius coni superficie; Inscriptae verò pyramidis et regularem basim habentis, supponimus superficiem minorem esse conica superficie.

Demonstrantur haec apud Archimedem propos. 9, 10, 11, 12 lib. I de Sph. et Cyl. Si quis verò ea tamquam nota admittere velit, totum libellum nostrum percurrere poterit.

DE SOLIDIS SPHAERALIBUS

LIBER PRIMUS

PROPOSITIO I.

Si Cylindri recti superficies secetur plano oppositis ba­sibus parallelo; erunt segmenta superficiei cylindricae in­ter se, ut segmenta axis, sive lateris cylindri, homologe sumpta.

Esto cylindrus rectus ABCD, seceturque plano EF oppositis basibus parallelo; Dico cylindricam superficiem AEFD, ad cylindricam EBCF, esse ut axis ad axem, sive ut latus AE, ad latus EB.

Producatur utrimque in infinitum cylindrus, et accipiatur recta EG multiplex ipsius EA, iuxtà quamlibet multiplicitatem, sectaque EG in partes ipsi EA aequales, agantur per puncta divisio­num H, I, G; plana oppositis basibus parallela. Eritque tam multiplex recta GE ipsius EA: quàm multiplex est cylindrica superficies EL, super­ficiei ED.

Sumatur etiam recta EM multiplex ipsius EB, iuxta quamlibet multiplicationem; similique peracta constructione ut supra; erit tam multiplex recta EM rectae EB, quàm multiplex est cylindrica superficies EN, superficiei EC.

Manifestum ergo est, quod si recta EG maior fuerit, sive minor, vel aequalis, rectae EM: tunc etiam cylindrica superficies EL, maior erit, sive minor, vel aequalis super­ficiei EN: et hoc semper: Propterea erit, ut AE ad EB, ita superficies AEFD, ad superficiem EBCF. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO II.

Si fuerit quodcunque prisma rectum, habens basim poligonam regularem, habensque altitudinem aequalem quartae parti cateti suae basis; erit perimeter prismatis aequalis poligono suae basis.

Esto poligonum regulare ABCDEF, super quo conci­piatur prisma rectum, habens pro altitudine AL quartam partem cateti IH. Dico peri­metrum prismatis, constan­tem ex figuris rectangulis aequalibus quarum una sit LB, aequalem esse poligono suae basis.

Ducantur enim diagonales AOD, BOE, et erectà per­pendiculari IM, iungantur AM, BM;

Cum ergo IH ponatur quadrupla ipsius IM, erit IO dupla ipsius IM; et ideo triangulum AOB duplum trian­guli AMB eandem basim habentis; sed etiam rectangulum LB duplum est trianguli AMB; propterea rectangulum LB aequale erit triangulo AOB; et sic de reliquis rectangulis, reliquisque triangulis: Quare totus prismatis perimeter, constans ex figuris rectangulis, aequalis est poligono suae basis. Quod erat demonstrandum.

Corollarium.

Constat ergo, quod si altitudo prismatis maior, minorvè fuerit, quàm quarta pars cateti suae basis, erit perimeter prismatis maior, minorvè quàm poligonum suae basis.

PROPOSITIO III.

Si fuerit cylindrus rectus, cuius altitudo aequalis sit quartae parti diametri suae basis; erit cylindrica super­ficies aequalis circulo suae basis.

Esto cylindrus rectus, cu­ ius basis circulus circa dia­metrum AB descriptus; alti­tudo verò AC, aequalis sit quartae parti diametri AB.

Dico cylindricam superfi­ciem aequalem esse circulo suae basis AB.

Si enim aequalis non est; erit circulus vel maior, vel minor cylindricà superficie.

Sit primùm circulus maior quàm cylindri superficies; et supposità differentia G, describatur intrà circulum ali­quod poligonum ADEB, quod quidem deficiat à circulo minori defectu, quàm sit spatium G; et ideo erit poligo­num inscriptum adhuc maius quàm cylindrica superficies (quomodo fiat hoc constat ex Commentarijs in Archime­dem, et ex XII Euclidis:) Tum supra poligonum ADEB concipiatur prisma rectum eiusdem cum cylindro alti­tudinis.

Cùm ergò altitudo prismatis eadem sit ac cylindri, nempe quarta pars rectae AB, erit altitudo prismatis maior quàm quarta pars cateti suae basis poligonae, et ideo pe­rimeter prismatis maior erit quàm poligonum suae basis, et multo maior, quàm cylindrica superficies (factum enim est poligonum maius cylin­ drica superficie). Quod est absurdum: est enim contra praemissas suppositiones.

ex. Corollar. praeced.

Ponatur deinde circulus minor quàm cylindrica su­perficies: et supposità diffe­rentia G, describatur circa circulum aliquod poligonum regulare DEFG, quod excedat circulum spatio minori quàm sit C (quomodo hoc fiat con­stat apud Commentarios in Archim. et in XII Euclidis.) eritque etiam poligonum minus quàm cylindrica superficies.

Concipiatur suprà poligonum erigi prisma eiusdem al­titudinis cum cylindro; eritque altitudo prismatis quarta pars cateti suae basis poligonae. (cum prismatis altitudo eadem sit atq: cylindri; cylindri autem altitudo est quarta pars rectae AB, quae aequalis est cateto poligoni, quod est basis prismatis).

per 2. huius.

Ideo perimeter prismatis aequalis erit poligono suae basis; et propterea minor quàm cylindrica superficies. Quod est contra praemissas suppositiones.

Erit ergò superficies cylindrica aequalis circulo suae basis. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO IV.

Cylindri recti superficies ad circulum suae basis est ut latus cylindri ad quartam partem diametri eiusdem basis.

Esto cylindrus rectus, cuius rectangulum per axem sit ABCD; sumptaque BE, quae quarta pars sit ipsius BC; Dico cylindricam superficiem ABCD ad circulum suae basis esse, ut AB ad BE.

Producatur cylindrus versus F, sectàque BF aequali ipsi BE, erit per praecedentem, cylindrica superficies FC aequalis circulo suae basis BC.

per 1. huius.

Iam: cylindrica superficies BD, ad cylindricam super­ficiem FC est ut AB ad BF; superficies verò FC ad cir­culum BC (ob aequalitatem) est ut FB ad BE; Ergo ex aequo erit cylindrica superficies BD ad circulum BC, ut AB ad BE, nempe ut latus cylindri ad 1/4 diametri basis eiusdem. Quod erat ostendendum.

PROPOSITIO V.

Cylindri recti superficies ad circulum quemlibet, est ut rectangulum per axem cylindri ad quadratum semidia­metri ipsius circuli.

Esto cylindrus rectus cuius re­ ctangulum per axem sit AB, et centrum basis H. Ponatur autem circulus quilibet cuius semidia­meter CD. Dico cylindricam su­perficiem ad circulum ex CD, esse ut rectangulum AB ad quadra­tum CD.

Fiat ex AE (quae quidem 4 pars sit rectae AL) qua­dratum FE, producaturque EG.

Erit ergò cylindrica superficies AB ad circulum suae

basis, ut IA ad AE, hoc est ut IA ad AF, hoc est ut re­ctangulum IE ad quadratum FE; sive, sumptis quadruplis, ut rectangulum AB ad quadratum ex AH. Circulus verò basis AL ad circulum ex CD, est ut quadratum ex AH ad quadratum ex CD; ergò ex aequo erit cylindrica su­ perficies ad circulum ex CD, ut rectangulum per axem ad quadratum CD. Quod erat demonstrandum.

per praeced.

Prim. 6.

2. duodecimi.

Corollarium.

Pro Corollario erit Propositio XIII lib. I Archim. de Sphaera et Cylindro. Constat enim quòd si CD media fuerit proportionalis inter IA, AL; quadratum ex CD aequale erit rectangulo AB et propterea, ex demonstratis, cylindricam superficiem AIBL aequalem esse circulo ex CD necesse est.

PROPOSITIO VI.

Cylindrorum superficies inter se sunt ut eorumdem re­ctangula per axem homologè sumpta.

Sint cylindri recti quorum rectangula per axem sint AB, CD. Dico cylindricam superficiem AB, ad cylindricam CD esse, ut rectangulum AB ad rectangulum CD.

Accipiatur pro circulo quolibet, circulus circa diametrum AE.

per praeced.

Erit ergò cylindrica superficies AB ad circulum quemlibet AE, ut rectang. AB ad quadratum AF. Cir­

culus verò ex AF ad cylindricam superficiem CD est ut quadratum ex AF ad rectangulum CD; ergo ex aequo cylindrica superficies AB ad cylindricam CD, est ut rectangulum AB ad rectang. CD. Quod erat osten­dendum.

per praeced.

PROPOSITIO VII.

Si recta pyramis basim habuerit poligonam regularem­que erit basis pyramidis ad reliquam ipsius superficiem, ut semicatetus basis ad catetum superficiei.

Esto pyramis recta, cuius ba­ sis poligonum regulare AFED. vertex verò G, et centrum basis sit I. Secto deinde uno latere bi­fariam in H, iunctisque GH, IH, erit GH catetus superficiei pyra­midis; IH vero semicatetus basis; quandoquidem omnia triangula in superficie sunt aequi­cruria, et aequalia inter se; quod etiam verum est et in basi.

Dico basim ad superficiem esse ut IH ad HG.

Triangulum enim AIF, ad triangulum AGF (cum sint in eadem basi) est ut IH, ad HG, ergo etiam ipsorum aequemultiplicia, nempe basis, et superficies pyramidis, in eadem ratione erunt, nempe ut IH ad HG. Quod erat ostendendum.

15. quinti.

PROPOSITIO VIII.

Coni recti basis ad reliquam conicam superficiem, est ut semidiameter basis ad latus coni.

Esto conus rectus, cuius basis AB, vertex verò C, axis CD.

Dico circulum basis, ad re­liquam conicam superficiem, esse ut DA, ad AC.

Si enim ita non est; erit circulus AB vel maior, vel min. quam oportet esse, ut ad conicam superficiem sit quemadmodum DA ad AC.

Sit primùm maior; et ponatur tantò maior quantum est spatium E. Inscribatur in circulo poligonum deficiens à circulo, minori defectu quàm spatium E; habebitque hu­iusmodi poligonum ad conicam superficiem adhuc maiorem rationem, quàm DA ad AC. Secto deinde uno poligoni latere AF bifariam in H, iungantur DH, CH; et super poligono concipiatur pyramis quae verticem habeat in C; seceturque DI aequalis ipsi DH, et ducatur IL paralella ad BC, iungaturque IC.

Cum itaque poligonum ad conicam superficiem maiorem habeat rationem quàm DA ad AC; multò maiorem ratio­nem habebit ad superficiem suae pyramidis, quàm DA ad AC, vel DB ad BC. Sed poligonum ad superficiem pyra­midis, per praècedentem, est ut DH ad HC; habebit ergo DH ad HC, sive DI ad IC, multò maiorem rationem quàm DB ad BC, vel quàm DI ad IL. Et propterea IC minor esset quam IL absurdum.

Nam quadratum IC aequale est duobus quadratis ID, DC; cum quadratum IL aequale sit tantùm duobus ID, DL. Ponatur deinde circulus basis AB minor quàm oportet esse ut ad conicam superficiem sit quemadmodum recta DA ad AC, sitque tantò minor quantum est spatium E. Cir­cumscribatur circulo AB poligonum aliquod excedens circulum minori excessu quàm sit spatium E. Habebitque poligonum ad conicam superficiem, adhuc minorem ratio­ nem quàm DA ad AC; ergò poligonum ad perimetrum suae pyramidis multò mino­ rem rationem habebit quàm DA ad AC. Sed poligonum ad perimetrum suae pyra­midis est ut DF ad FC; propterea DF ad FC, multò minorem rationem habebit quàm DA ad AC; quod est impossibile. Aequales etenim sunt tam DF, DA, inter se, quàm FC, AC, inter se.

per 7. huius.

Erit itaque basis coni recti àd reliquam superficiem, ut DA ad AC. Quod erat demonstrandum.

Corollarium.

Hinc patet quòd curva superficies coni, aequalis est circulo cuidam, cuius semidiameter med. prop. sit inter CA, AD nempe, inter latus, et semidiametrum basis coni. Nam sumpta media inter CA, AD erit cir­culus qui fit ex media, ad circulum qui fit ex AD ut CA ad AD. Sed etiam curva coni superficies, ad circulum ex AD est ut CA ad AD. Ergo aequalis est curva coni superficies, circulo, cuius semidiameter media proportionalis sit inter CA, AD.

per praeced.

PROPOSITIO IX.

Cuiuslibet coni recti superficies, ad superficiem cuius­cunque cylindri recti demptis basibus, est ut rectangulum sub latere, et semidiametro basis coni, ad rectangulum per axem cylindri.

Esto conus ABC, cuius basis AC, axis vero BH; et cylindrus cuius rectangulum per axem sit DE. Dico conicam super­ficiem ad cylindricam esse, ut rectan­gulum BAH, ad rectangulum DE.

per 8. huius.

Nàm conica superficies ad circulum suae basis est ut AB, àd AH, sive ut rectangulum BAH ad quadratum AH

circulus autem ex AH, ad cylindricam superficiem DE, est ut quadratum AH, ad rectangulum DE. Propterea, ex aequo, erit conica superficies ABC ad cylindricam DE, ut rectangulum BAH ad rectangulum DE. Quod erat ostendendum.

per 5. huius.

PROPOSITIO X.

Conicae superficies, demptis basibus, inter se sunt ut rectangula sub lateribus conorum, et sub semidiametris basium compraehensa.

Sint duo coni recti ABC, DEF quorum axes BG, EH. Dico curvam coni ABC superficiem, ad curvam su­perficiem coni DEF esse ut rectan­gulum BAG, ad rectangulum EDH quae nimirum sub lateribus conorum, et semidiametris basium compraehen­duntur.

Conica enim superficies ABC, ad circulum AC, est ut recta BA ad AG, sive ut rectangulum BAG; ad quadra­ tum AG. Circulus verò AC ad DF circulum, est ut qua­dratum AG, ad DH; denique circulus DF ad conicam superficiem DEF, est ut quadratum DH, ad rectangulum EDH ergò ex aequo curva coni superficies ABC ad cur­vam DEF, erit ut rectangulum BAG, ad rectangulum EDH. Quod erat ostendendum.

per 8. huius.

per 8. huius.

Lemma.

Si fuerit ABCD frustum coni recti, abscissum planis ad axem erectis (hoc enim modo semper intelligemus frusta conica) secenturque latera AB, DC bifariam in punctis E, et H iungaturque EH. Dico rectam EH componi ex utràque BL, AI, nempe ex semidiametris basium oppositarum frusti conici.

Iungantur BD, EI, LH; Et quoniam AI, ID aequales sunt; item AE, EB, aequales: erunt parallelae EI, BD et ideo in parallelogrammo aequalia erunt latera ID, EM. Ob eandem causam aequalia sunt BL, MH. Ergo tota EH aequalis erit ipsis ID, BL simul sumptis. Quod erat etc.

per 2. sexti.

Definitiones.

Vocabimus imposterum brevitatis causa lineam EH medians Aritme­ticam frusti conici.

Rectangulum verò sub EH et AB latere frusti conici, dicemus rectan­gulum proprium frusti conici.

PROPOSITIO XI.

Curva superficies frusti conici, planis ad axem erectis abscissi, ad conicam quamlibet superficiem, est ut rectan­gulum proprium frusti, ad rectangulum sub latere, et se­midiametro basis ipsius coni.

Esto frustum conicum ABCD abscissum planis ad axem erectis, sitque conus quilibet EFG, cuius axis FH. Dico curvam frusti AC su­perficiem, ad curvam coni EFG superficiem, esse, ut rectangulum sub AB, et sub utraque AL, BI contentum, ad rectangulum FEH.

Compleatur conus AMD cuius datum erat frustum, fa­ctoque angulo MAN recto, et secta AN aequali ipsi AL compleatur rectangulum AP. Ducto deinde diametro MN, et facta BO parallela ad AN erit BO aequalis ipsi BI compleatur etiam figura Bque

per 10. huius.

Iam superficies curva coni AMD ad superficiem cur­vam coni BMC est ut rectangulum LAM ad rectangulum IBM; nempe ut rectangulum AP ad Bque et dividendo, erit curva frusti conici ABCD superficies, ad superficiem coni BMC, ut gnomon AOP, ad rectangulum BQ hoc est ut rectangulum sub AB; et utraque AN, BO, sive AL, BI, ad rectangulum IBM. Curva verò superficies coni BMC ad curvam coni EFG, est ut rectangul. IBM ad rect. FEH ergò ex aequo curva frusti conici ABCD superficies ad curvam coni EFG superficiem est ut rectan. contentum sub AB, et utraque AL, BI ad rectangulum FEH.

Corollarium.

Patet ergò quod frusti conici ABCD superficies sine basibus ad su­perficiem coni EFG est ut rectangulum proprium frusti ad rectangulum FEH. Rectangulum autem proprium frusti comprehenditur sub recta AB, et sub utraque AL, BI, sive potiùs sub AB, et media Aritmetica, quam demonstravimus aequalem utrisque AL, BI.

PROPOSITIO XII.

Cuiuscunque frusti conici superficies ad superficiem cy­lindri recti, est ut rectangulum proprium frusti ad rectan­gulum per axem cylindri.

Esto frustum conicum ABCD, et cylindrus cuius rectan­gulum per axem sit EF. Secetur AB bifariam in H, et agatur media Aritmetica HI aequidistanter ad BC. Dico conicam frusti superficiem, ad cylindricam EF, esse ut rectangulum sub HI, et AB, ad rectangulum EF.

Accipiatur conus quilibet LMN, cuius axis MO. Eritque curva frusti superficies ad conicam curvam LMN, ut re­

ctangulum sub AB, HI, ad rectangulum MLO; sed curva coni LMN ad curvam cylindri EF superficiem, est ut re­ctangulum MLO, ad rectangulum EF; ergo ex aequo curva frusti conici superficies, ad curvam superficiem cylindri, est ut rectangulum sub AB, et HI, nempe ut rectangulum proprium frusti, ad rectangulum EF per axem cylindri. Quod erat ostendendum.

per praeced.

Corollarium.

Curva superficies cuiuscunque frusti conici ABCD ae­qualis demonstratur circulo cuidam, cuius quidem circuli semidiameter E media proportio­ nalis sit inter latus AB frusti co­nici, et inter FH mediam Aritme­ticam eiusdem frusti.

Esto quadratum E aequale rectangulo sub BA, FH sumatur­que cylindrus quilibet IL; et erit curva frusti conici superficies ad curvam cylindricam IL, ut rectan­ gulum sub BA, FH ad rectangulum IL; sive ut quadratum E ad rectangulum IL; hoc est ut circulus ex radio E, ad curvam cylindricam IL. Aequales ergò sunt inter se curva superficies frusti conici AC, et circulus ex radio E factus. Quae quidem Archimedis Propositio est 16 libri primi de Sph. et cyl.

per praeced.

5. huius.

PROPOSITIO XIII.

Si circulum tetigerit recta quaepiam linea aequalitèr utrimque producta, et convertatur circulus circa quemlibet sui axem (dummodo axis tangentem non secet) erit conici frusti superficies, quae à tangente linea describitur, ae­qualis superficiei cylindri eandem altitudinem cum frusto conico habentis, et circa eandem sphaeram descriptibilis.

Esto circulus ADBC, quem duae diametri AB, CD secent ad angulos rectos. Duas insuper tangentes ha­beat alteram DG in extremitate dia­metri CD, alteram verò ubicunque in I, et aequalitèr producantur hinc inde ILIM; dumodo axem AB pro­ductum non secent. Agantur deinde per L, et per M parallelae ad CD, rectae LE, MF tum figura convertatur circa axem AB. Tangens GH describet cylindricam quandam superficiem cuius rectangulum per axem erit EFHG: Tangens verò LM designabit frustum conicae superficiei; denique circulus ipse sphaeram circumscribet. Dico cylindricam superficiem à linea GH descriptam, et conicam superficiem à linea LM factam aequales esse inter se.

Ducatur IP media Aritmetica conici frusti; et agatur IR per centrum que eritque IR perpendicularis ad LM: Du­catur etiam MT perpendicularis ad EG.

Quoniam duo anguli TMI, TLM uni recto sunt ae­quales, nempe ipsi LIQ, demptis alternis TLM, LIS, erunt aequales reliqui TML, SIQ ideoque triangula TML, SIQ, cum rectangul. sint, similia erunt; Ergò ut TM ad ML ita SI ad IQ hoc est (sumptis duplis) PI ad IR: et ideo rectangulum sub TM, IR (quod quidem est rectangulum EFHG) aequale erit rectangulo sub ML, IP, quod proprium vocamus frusti conici. Proptereà per praecedentem ae­qualis erit superficies conici frusti, quae à linea ML descri­bitur, superficiei cylindri EFHG, eandem altitudinem cum ipso frusto habentis, et circà eandem sphaeram ADBC descriptibilis. Quod etc.

PROPOSITIO XIV.

Si circulum tetigerit recta linea aequalitèr utrinque pro­ducta, et convertatur circulus circa axem, qui cum tangente conveniat in extremitate ipsius tangentis, erit superficies coni, quae à tangente describitur, aequalis superficiei cy­lindri, eandem cum cono altitudinem habentis, et circà eandem sphaeram descriptibilis.

Positis ijsdem ut in praecedentis propositionis constructione; si linea ML incidat in axem BL productum, sintque aequales utrinque IL, IM, tunc describet ipsa ML conicam superfi­ciem, Dico conicam huiusmodi su­perflciem aequalem esse superficiei cylindri EFHG eandem altitudinem habentis cum ipso cono, et circa eandem sphaeram descriptibilis.

Fiat enim angulus LMT rectus, et cum LM dupla po­natur ipsius LI, erit MT dupla ipsius IR, hoc est aequalis diametro sphaerae, sive ipsi FH cum autem, per quartam sexti, sit ut ML ad LN, ita TM ad MN erit rectangulum LMN aequale rectangulo sub TM, LN, hoc est rectangulo sub FH, LN, quod quidem per axem est cylindri EFHG. Aequalis ergo est superficies coni OLM, superficiei cy­lindri EFHG. Quod etc.

9. huius.

PROPOSITIO XV.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, sive à quaternario mensurentur, sive tantum à binario, et convertatur figura circa diagonalem, erit uni­versa superficies facti sphaeralis solidi, aequalis superficiei cylindri circa eandem sphaeram descriptibilis.

Esto poligonum ABCDEF parilaterum, sive à quater­nario numerus laterum mensuretur, ut in prima figura, sive tantum à binario, ut in secunda; et convertatur figura circa axem AD, nempe circa diagonalem poligoni. Dico universam superficiem facti solidi sphaeralis aequalem esse superficiei cylindri GHIL eandem altitudinem habentis cum ipso solido, et circa eandem sphaeram descriptibilis.

per praeced.

Superficies enim coni BAF aequalis est superficiei cy­lindri ML; Superficies autem frusti conici, quae inter plana BF, CE intercipitur, aequalis est superficiei cylindri inter

eadem plana intercepti: et sic de singulis partibus super­ficierum, quae solidum sphaerale circumsepiunt; Ergò omnes simul superficies ambientes sphaerale solidum ae­quales erunt superficiei cylindri GHIL. Quod erat osten­dendum.

3. huius.

Lemma.

Si circulum duae diametri AB, CD, ad angulos rectos secuerint, eundemque circulum duae aequales rectae lineae AF, BG tetigerint in extremitatibus axis AB. Tum figura circà axem AB convertatur, describent AF, BG duos circulos aequales, cum ipsae aequales sint. Oportet segmentum cylindri circà eandem sphaeram descriptibilis reperire, cuius superficies aequalis sit duobus simul circulis ex AF, BG dc­scriptis.

Fiat angulus HGI rectus, eritque BI altitudo quaesiti cylindri. Nam propter angulum rectum HGI, erit rectangulum HBI aequale quadrato BG; et rectangulnm ABI hoc est rectangulum LM duplum erit quadrati BG. Propterea superficies cylindri LM dupla erit circuli ex BG descripti, et ideo aequalis ambobus circulis ex BG, AF simul sumptis. Quod etc.

5. huius.

PROPOSITIO XVI.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, sive â quaternario mensurentur, sive tantum à binario, et convertatur figura circa catetum, erit uni­versa superficies facti sphaeralis solidi, aequalis superficiei cylindri circa eandem sphaeram descriptibilis, altitudinem verò habentis aequalem lineae compositae ex diametro sphaerae, et ex tertia proportionalium, si fiat ut sphaerae semidiameter ad semilatus poligoni, ita semilatus ad aliam.

Esto circulus ABCD, quem secent duae diametri AC, BD ad angul. rectos, et circa ipsum sit poligona figura habens latera numero paria, sivè à quaternario mensu­rentur, ut in prima figura; sive tantùm à binario, ut in secunda: Tum convertatur figura circa catetum AC, hoc est circa lineam connectentem bisectiones laterum oppo­sitorum; Ex revolutione poligoni solidum sphaerale descri­betur contentum sub circularibus, conicisque superficiebus, et una cylindrica, ut in prima figura, sive circularibus, et conicis tantùm, ut in secunda. Fiat deinde ut IC ad CL, ita CL ad CM, quod facile erit si fiat angulus ILM rectus; et per M agatur planum NO erectum ad axem. Dico uni­versam superficiem solidi sphaeralis aequalem esse super­ficiei cylindri ENOH.

Hoc autem patet ex praemissis; Nam tota sphaeralis solidi superficies, demptis circulis oppositis, aequalis est superficiei cylindricae inter plana EH, FG compraehensae. Duo verò circuli oppositi quorum centra A, et C aequales sunt (per praecedens lemma) superficiei cylindricae inter duo plana FG, NO contentae. Propterea universa simul sphaeralis solidi superficies aequalis erit superficiei cylindri ENOH circa eandem sphaeram descripti, et altitudinem habentis AM, quae componitur ex diametro sphaerae AC, et ex recta CM, quae quidem tertia proportionalis est ad semidiametrum IC, et semilatus, CL. Quod etc.

deducitur ex 13. huius.

Lemma.

Si circulum ABCD duae diametri AC, BD secent ad angulos rectos; recta autem linea CE eundem contingat in extre­ mitate axis AC et convertatur figura circa AC; ipsa CE circulum describet. Oportet segmentum cylindri circa eandem sphaeram descripti reperire, cuius superficies aequalis sit circulo ex CE de­scripto.

Fiat angulus AEH rectus, ductoque plano per H ad axem erecto. Dico cylindricam superficiem MILN aequari circulo ex CE. Est enim ob angulum rectum AEH, rectangulum ACH, hoc est rectan­ gulum ML, aequale quadrato CE. Proptereà superficies cylindri MILN aequalis erit circulo ex CE. Quod etc.

per 5. huius.

PROPOSITIO XVII.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circà catetum poli­goni: erit universa superficies facti sphaeralis solidi aequalis superficiei cylindri circà eandem sphaeram descriptibilis, altitudinem verò habentis aequalem lineae compositae ex cateto poligoni, et ex tertia proportionalium, si fiat ut dia­meter circuli ad semilatus poligoni, ità semilatus ad aliam.

Esto circulus ABCD, circa quem sit poligonum EFGHI habens latera numero imparia; et convertatur figura circa catetum EC, nempe circa lineam, quae ab uno angulo E perducitur ad bisectionem lateris oppositi; orieturque solidum sphaerale contentum sub co­nicis superficiebus, unicoque circulo.

Facto deinde angulo recto AHL, ductoque per L plano MN ad axem erecto. Dico universam solidi superficiem aequalem esse superficiei cylindri OMNP.

13. huius.

Nam superficies solidi sphaeralis, dempto circulo ex CH descripto, aequatur superficiei cylindri inter plana OP, QR contenti: circulus autem ex CH factus aequalis est (prae­cedens lemma) superficiei cylindri inter plana QR, MN contenti: Propterea universa solidi superficies aequalis erit superficiei cylindri OMNP qui quidem circa eandem sphae­ram cum ipso solido describitur, altitudinem verò habet lineam EL, quae componitur ex cateto EC, et ex linea CL, quae tertia proportionalis est, si fiat ut AC diameter sphaerae, ad CH semilatus poligoni, ita CH ad aliam. Quod erat etc.

PROPOSITIO XVIII.

Hemisphaerij superficies aequalis est superficiei curvae cylindri eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis.

Esto hemisphaerium ABC, et circa ipsum cylindrus eiusdem altitudinis, ADEC.

Dico superficiem hemisphaerij aequalem esse super­ficiei cylindri ADEC.

Si enim non est aequalis, vel maior erit, vel minor. Ponatur primùm sphaerica super­ ficies maior: fiatque ut cylindri superficies ad superficiem hemi­spherij, quae maior ponitur, ita recta AD ad AG: intelligaturque cylindrus productus usque ad GF. Secetur deinde arcus AB bifa­riam, iterumque portiones eius bifariam, et hoc semper, donec poligoni circà semicirculum ABC descripti semilatus VL minus sit quam recta DG (quod fieri posse constat ex prima Decimi; semilatera enim poligonorum circulo cir­cumscriptorum ex continua arcuum bisectione semper mi­nuuntur plusquam pro medietate, ut ab alijs ostensum est). Factum ergò sit; et esto poligonum HILMN, conver­sàque figura circa axem LO, fiat ex poligono, semisolidum sphaerale sub conicis superficiebus compraehensum. Cum itaque recta DG maior sit quam semilatus LV, multo maior eadem erit quàm LB, et propterea planum PQ pro­ductum per L intra puncta D et G cadet.

Iam quia superficies cylindri AE ad superficiem hemis­phaerij est ut AD ad AG, hoc est ut cylindrica super­

ficies AE ad cylindricam AF, erit cylindrica superficies AF aequalis sphaericae. Propterea, si sphaerica superficies ae­ qualis sit cylindricae AF maior erit quam cylindrica AQ, hoc est quam conicae omnes HILMN, multoque maior quam omnes ASILMRC. quod est absurdum. Est enim contrà principium ab Archimede praemissum.

6. huius.

ex 15. huius.

Assumpsimus conicam quae describitur à linea HS maiorem esse quàm illa superficies, quae describitur à linea AS quod patet ex 12 huius. Rectangulum enim proprium conicae superficiei multò maius est quam rectangulum per axem cylindricae, quando quidem sub maioribus lateribus continetur.

Ponatur iam sphaerica ABC minor quam cylindrica ADEC. Fiat ut superficies cylindrica ADEC ad sphaeri­cam, quae ponitur minor; ita recta AF ad FL. Fiatque ex FL semidiametro aliud hemisphaerium LNI, priori concentricum, et circà ipsum intelligatur cylindrus LHMI: Inscribatur etiam intrà se micirculum ABC figura laterum aequalium, ita ut latera ipsius non tangant semicirculum LNI (quod fieri posse constat ex Euclide). Describaturque alius semicirculus semidiametro FO, qui contingat singula latera factae figurae, et convertatur universa figura circa FB ita ut fiat semisolidum sphaerale AVBTC conicis superficiebus circumseptum; ex semicirculo autem FO fiat aliud hemisphaerium, circà quod concipiatur cylin­drus RQSP.

Iam sic; superficies cylindri ADEC ad superficiem he­misphaerij est, per constructionem, ut AF ad FL, hoc est ut AC ad LI, hoc est ut rectangulum AE ad rectangulum LM, hoc est ut cylindrica AE ad cylindricam LM. Quare sphaerica superficies aequalis erit cylindricae LM, et pro­pterea minor quàm cylindrica RS, hoc est quàm omnes conicae AVBTC, absurdum sphaerica enim superficies ABC maior est quàm omnes conicae AVBTC.

6. huius.

ab 15. huius.

Hemisphaerij ergò superficies aequalis erit superficiei cylindri eandem ipsi basim, eandemque altitudinem habentis. Cum demonstratum sit neque maiorem esse, neque mi­norem. Quod erat etc.

PROPOSITIO XIX.

Cuiuscunque minoris portionis Sphaerae superficies ae­qualis est curvae superficiei cylindri circà integram sphae­ram descripti, et eandem altitudinem cum ipsa portione habentis.

15. quinti.

Esto minor sphaerae portio ABC, et portio cy­lindri FDEG; circa inte­gram sphaeram descripti, eandem tamen altitudi­nem HB cum ipsa por­tione sphaerica habentis. Dico sphaericam superfi­ciem ABC aequalem esse superficiei cylindri FDEG.

Si enim non est aequalis, vel maior erit vel minor.

Ponatur primum maior; et ipsi sphaericae superficiei ABC construatur aequalis (ut in praecedenti) cylindrica FLMG: secto deinde arcu AB bifariam, et portïones eius iterum bifariam, et sic semper, circumscribatur arcui ABC figura multorum laterum INOPQ, terminata ad diametros, quae ducuntur per puncta A et C. Sitque per praedictam bisectionem arcuum, semilatus RO minus quàm recta DL, ut propterea planum ST, ductum per O, cadat intra puncta D, et L. Quemadmodum in praecedenti etc. Convertatur deinde figura universa circà OH, et ex conversione figurae INOPQ nascetur portio solidi sphaeralis sub conicis super­ficiebus contenta.

Iam sic. Quia sphaerica superficies ABC aequalis est per constructionem cylindricae FLMG, maior eadem erit quàm cylindrica FSTG, et multò maior quàm omnes co­nicae INOPQ, multoque etiam maior quàm omnes conicae AVNOPXC. Quod est absurdum, et contrà principia Ar­chimedis.

Assumpsimus cylindricam superficiem FSTG maiorem esse omnibus conicis INOPque Hoc enim patet. Nam ex 13, 14 et 15 huius colligi potest, conicas INOPQ aequales esse superficiei cylindricae contentae inter planum ST, et planum quod duceretur per puncta Ique

Assumpsimus etiam, ductà tangente AV conicam superficiem, quae fit à linea IV, maiorem esse quàm illa quae fit linea AV. Quod quidem demonstratur apud Archimedem ad Propositionem 37 de Sphaera et Cylindro. Sed et ex nostris deduci potest. Nam rectangulum proprium superficiei, quae fit à linea IV, maius est quàm rectangulum proprium illius quae fit à linea AV. Continetur enim sub lineis maioribus.

Ponatur deinde sphaerica superficies portionis ABC min. quam cylindrica FDEG.

Fiat ut cylindrica FDEG ad sphaericam superficiem ABC, quae minor ponitur, ita FH ad HM et centro T semidiametro autem HM fiat hemisphaerium OQP, circa quod intelligatur cylindrus OLNP. Intra arcum autem ABC figura inscribatur multorum laterum AVBXC per continuam bisectionem arcuum ita ut latera ipsius non tangant semicirculum OQP, et convertatur universa figura circa axem BT. Intelligatur autem radio TZ (quae recta perpendicularis sit ad unum latus figurae inscriptae) de­scribi sphaeram, quae tangat singula figurae AVBXC la­tera, et circa huiusmodi sphaeram descriptus concipiatur suus cylindrus gbed.

Iam sic. cylindrica superficies FDEG per constructio­

nem est ad sphaericam ABC, ut FH ad HM, hoc est ut FG ad MI hoc est ut rectangulum FE ad rectangulum MN, hoc est ut eadem cylindrica FE, ad cylindricam MN. Erit ideò sphaerica superficies ABC aequalis cylindricae MN nempè minor cylindrica qe hoc est minor omnib. conicis AVBXC; quod est absurdum.

6. huius.

ex 6. huius.

explicatur infra.

Assumpsimus cylindricam superficiem qe aequalem esse omnib. co­ nicis AVBXC. Quod patet ex demonstratis. Sunt enim tam cylindrus qe, quàm omnes illae conicae eiusdem altitudinis HB; et circà eandem sphaeram gd describuntur.

15. huius.

Constat ergò superficiem ABC aequalem esse cylin­dricae DFGE cum demonstratum sit neque maiorem esse, neque minorem. Quod etc.

Corollarium I.

Ex prima duarum praemissarum Propositionum pa­ tet superficiem integram sphaerae, aequalem esse su­perficiei cylindri sibi circumscripti, et eiusdem cum ipsa sphaera altitudinis.

Cum enim haemisphaerium ABC superficiem habeat aequalem superficiei cylindri AEHC, et item hemispae­rium alterum ADC, superficiem habeat aequalem super­ficiei cylindri AFGC, erit coniunctim tota sphaerae superficies aequalis superficiei cylindri FEHG; exceptis semper basibus.

Corollarium II.

Manifestum etiam est ex ultima propositione, super­ ficiem maioris sphaerae portionis, aequalem esse su­perficiei cylindri eandem cum portione altitudinem habentis, et circà eandem sphaeram descriptibilis.

Corollar. praeced.

Cum enim integra sphaerae superficies aequalis sit superficiei cylindri IDGL, et demonstratum sit super­ficiem segmenti minoris ABC aequalem esse superficiei cylindri EDGF, erit reliqua superficies sphaerae AHC, aequalis reliquae superficiei EILF. Quod oportebat etc.

PROPOSITIO XX.

Superficies sphaerae quadrupla est maximi circuli in eadem sphaera descriptibilis.

Sit sphaera ABCD cuius diameter AC; et circà ipsam intelligatur cylindrus eiusdem altitudinis FEHG.

Dico superficiem sphaerae quadruplam esse maximi circuli in ea descriptibilis.

Superficies enim cylindri FEHG sine ba­sibus, est ad circulum suae basis circa FG, sive circa AC

descriptum, ut EF ad quar. partem ipsius FG, hoc est ut FG ad quar. partem ipsius FG; hoc est quadrupla. Pro­ pterea etiam superficies sphaerae, quae cylindricae est aequalis, quadrupla erit circuli circa AC descripti, qui in sphaera maximus est. Quod etc.

4. huius.

ex prim. Corollar. praeced.

Aliter.

Sphaerica superficies ABCD aequalis est cylindricae FEHG; cylin­drica verò FEHG ad circulum, cuius semidiameter sit AC, est ut re­ctangulum per axem EG, ad quadratum ex semidiametro AC, nempe ad quadratum EG; et ideò aequalis: propterea etiam sphaerica super­ficies aequalis erit circulo cuius semidiameter sit AC; ergò quadrupla erit circuli cuius diameter sit AC. Quod etc.

5. huius.

PROPOSITIO XXI.

Cuiuscunque portionis sphaerae superficies aequalis est circulo, cuius semidiameter aequalis sit lineae quae ex polo portionis perducitur ad circulum, qui in eiusdem por­tionis basi est.

Esto sphaerae portio sive minor sive maior ABC. cuius ex polo ducta sit recta AB. Dico superficiem portionis aequalem esse circulo qui fit ex AB tamquam semidia­metro.

Cum enim quadratum AB aequale sit rectangulo DBE ob circulum, aequale erit et rectangulo GFIH, quod idem est ac rectangulum DBE. Propterea circulus ex AB ae­qualis erit superficiei cylindri, cui per axem sit rectang. GFIH, et ideo aequalis etiam superficiei sphaericae por­tionis ABC. Quod etc.

5. huius.

Tria haec Theoremata, quae sequuntur, ex Archimede desumpta sunt; quod quidem fecimus ne lector Archimedem adire cogeretur, sed universam hanc doctrinam in hoc libello haberet.

PROPOSITIO XXII.

Sint duo coni recti ABC, DEF. Sitque curvae coni ABC superficiei aequalis circulus DF; nempe basis alterius coni DEF; rectae verò IH, quae ex centro I ducitur perpendicu­lariter ad latus AB, aequalis sit altitudo EL: Dico conos ABC, DEF esse aequales.

Nam altitudo BI ad altitudi­ nem EL est ut BI ad IH (ob aequalitem) sive ut BA, ad AI, nempe ut curva superficies ABC ad basim AC; sive ut basis DF ad basim AC reciprocè. Quare aequales erunt coni ABC, DEF. Quod erat etc.

per 4. sexti. 8. huius.

Corollarium.

Hinc patet quòd si conus aliquis, puta DOF basim quidem habeat DF aequalem curvae superficiei ABC, altitudinem verò OL non aequa­lem perpendiculari IH; Ita fore conum ABC ad conum DOF, ut est IH ad OL. Nam conus DEF ad conum DOF est ut EL ad LO. Ergo (sum­ptis antecedentium aequalibus) conus ABC ad conum DOF, erit ut IH àd OL.

PROPOSITIO XXIII.

Si fuerit rombus solidus ABCD, ex duobus conis rectis compositus; Sitque conus EFG habens basim EG aequalem superficiei curvae alterius conorum rombi, puta, BAD; al­titudinem verò FH aequalem rectae CL, quae quidem ex ver­tice reliqui coni BCD ducitur perpendiculariter in latus AB productum alterius coni BAD. Dico rombum solidum ABCD aequalem esse cono EFG.

Ducatur IN perpendicularis ad AB. Iam, conus BCD, ad conum BAD, est ut CI ad IA; et componendo, rombus ABCD ad conum BAD est ut CA ad AI; sive ut CL, ad IN. Conus verò BAD ad conum EFG est ut IN ad FH: ergo ex aequo rombus ABCD ad conum EFG est ut CL ad FH. Ergo aequalis. Quod erat, etc.

per Cor. praeced.

PROPOSITIO XXIV.

Si fuerit conus sive rombus solidus ABCD sectus plano EF ad basim parallelo. Intelligaturque ex integro solido ABCD ablatus rombus solidus EBFD. Dico reliquum so­ lidum ex cavatum AEDFC quod superest, equale esse cono cuidam M, cuius basis M sit aequalis frusto curvae superficiei conicae AEFC inter plana EF, AC, interceptae, altitudo verò M sit aequalis perpendiculari DI, quae à vertice ablati rombi D ducitur in latus BA.

Intelligantur tres coni aequealti L, M, N quorum uni­cuique altitudo sit aequalis rectae DI; basis verò coni L sit aequalis curvae superficiei coni EBF at basis M ae­qualis sit segmento conicae superficiei inter plana EF, AC intercepto: coni tandem N basis aequalis sit utrisque simul praedictis basibus; sive (quod idem est) integrae superficiei curvae coni ABC.

Manifestum est quod integrum solidum ABCD aequale erit cono N (per alterutram praecedentium duarum Pro­pos.) sed etiam duo coni L et M simul sumpti aequales sunt eidem cono N ergo integrum solidum ABCD aequale erit duobus conis L et M simul sumptis. Demptis itaque, rombo EBFD, et cono L, qui per praecedentem sunt ae­quales, reliquum solidum excavatum AEDFC aequale erit reliquo cono M. Quod erat etc.

ex 24. Quinti.

PROPOSITIO XXV.

Si ex cylindro auferatur conus eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habens, erit reliquum excavatum so­lidum, quod ex cylindro superest, aequale cono cuidam, cuius basis aequalis sit superficiei curvae cylindri, altitudo verò aequalis semidiametro basis ipsius cylindri.

Esto cylindrus, cuius rectangu­ lum per axem sit ABCD et ex ipso auferatur conus BEC, ut dictum est. Sumatur autem alius conus FIL, cuius basis FL aequalis sit superficiei curvae cylindri, al­titudo aequalis rectae NB hoc est semidiametro basis cy­lindri. Dico reliquum ex cylindro solidum, dempto cono BEC, aequale esse cono FIL.

Secetur BN bifariam in O. Conus ergo FIL ad conum BEC, rationem habet compositam ex ratione altitudinum HI ad BA, hoc est NB ad BA, et ex ratione basium, hoc est basis quae circa FL ad basim quae circa BC, sive quod idem est, superficiei cylindricae ad basim propriam quae circa BC, hoc est, lineae AB ad BO. Erit ergò conus FIL ad conum BEC, ut NB ad BO, nempe duplus: solidum etiam cylindricum excavatum, dempto cono BEC, duplum est eiusdem coni BEC. Propterea solidum cylindricum excavatum aequale erit cono FIL, cuius basis aequatur superficiei cylindri, altitudo verò aequalis est semidiametro basis cylindri. Quod etc.

4. huius.

PROPOSITIO XXVI.

Si ex cono conus auferatur eandem habens basim alti­tudinem verò minorem, erit excavatum solidum conicum, quod relinquitur, aequale cono cuidam, cuius quidem basis aequalis sit curvae superficiei totius prioris coni, alti- tudo verò aequalis perpendiculari, quae ex vertice ablati coni demittitur in latus maioris coni.

Esto conus rectus ABC ex quo auferatur conus ADC, uti dictum est. Ponatur autem conus EFG, habens basim EG, aequalem curvae superficiei coni ABC; altitudinem verò HF ae­qualem rectae DI, quae per­pendicularitèr à vertice ablati coni cadit in latus AB. Dico solidum conicum excavatum ADCB, dempto cono ADC, aequale esse cono EFG.

Nam cum triangula BLA, BID, rectangula sint, ha­beantque angulum communem ABL, similia erunt. Sed conus EFG ad conum ADC rationem habet compositam ex ratione basium, nempe circuli circa EG, sive superficiei curvae coni ABC, ad circulum circa AC, hoc est rectae BA ad AL; sive BD ad DI, et ex ratione altitudinum, nempe HF ad DL, sive DI ad DL. Conus ergo EFG, ad conum ADC erit ut linea BD ad LD. Sed conus ABC ad conum ADC est ut BL ad LD, et dividendo, etiam solidum excavatum ADCB ad conum ADC est ut linea BD ad DL. Propterea constat solidum excavatum ADCB aequale esse cono EFG. Quod etc.

8. huius.

4. sexti.

Lemma.

Si ab eadem magnitudine AB duae magnitudines inae­ quales auferantur AC, maior, et AD minor, fueritque DC, nempe differentia inter ablatas, aequalis differentiae sive excessui, quo maius residuum BD superat quandam magnitudinem E. Dico ipsam E minori residuo CB aequalem esse.

Patet hoc. Cum enim maius residuum DB superet magni­tudinem E excessu DC; si excessu abijciatur, erit reliqua CB aequalis magnitudini E. Propterea magnitudo E aequalis est minori residuo. Quod etc.

PROPOSITIO XXVII.

Si ex conico frusto conus auferatur, qui pro basi ha­beat maiorem frusti basim, altitudinem verò eandem cum frusto; Erit reliquum excavatum solidum aequale cono cuidam, qui basim habeat aequalem superficiei curvae frusti, altitudinem verò aequalem perpendiculari quae du­citur ex vertice ablati coni in latus alterum conici frusti.

Esto conicum frustum ABCD, cuius maior basis sit circulus circa BC. Et ex ipso auferatur conus BEC, cuius basis sit idem circulus circa BC; altitudo verò FE eadem cum frusto. Dico re­liquum solidum excavatum dem­pto cono BEC, aequale esse cono cuidam, cuius basis aequalis sit curvae superficiei conici frusti ABCD altitudo vero sit linea EH quae nimirùm ex E vertice ablati coni cadit perpendicularitèr in AB latus conici frusti.

Inscribatur alius conus AFD habens basim circà AD, et verticem in F. Ducaturque AI parallela ad EF, eritque tota IC aequalis utrique simul semidiametro basium, nempe ipsi EA, ipsique FB. Fiat deinde circa FB semicirculus FOB, in quo applicetur BO aequalis ipsi FI, sive ipsi EA; eritque circulus ex semidiametro FO differentia inter duos circu­los, quorum semidiametri sint, FB, BQ, sive FB, et EA; nempe differentia inter bases oppositas conici frusti, hoc est inter bases conorum BEC, AFD, et propterea conus cuius basis sit circulus ex FO semidiametro, altitudo verò FE, differentia erit, sive excessus, quo maior conus BEC superat minorem AFD.

Ponatur recta quaedam L, cuius quadratum aequale sit rectangulo ex AB in IC, eritque circulus, qui fit ex L semidiametro, aequalis conicae superficiei frusti ABCD. Demittatur denique ax F recta FM perpendicularis ad AB, et ex E recta EN parall. ipsi HM, eritque facta figura EHMN parallelogrammum rectangulum.

per Cor. prop. 15. hu­ius.

Iam cum propter parallelas HM, RN, sint aequales an­guli BAD, NED, demptis rectis IAD, FED, erunt reliqui BAI, NEF aequales; et ideò triangula BAI, NEF, cum rectos habeant angulos ad I et N aequiangula erunt.

5. secundi.

Cum autem rectangulum BIC simul cum quadrato FI aequale sit quadrato FB, vel quadratis FO, OB, demptis aequalibus BO, FI erit reliquum rectangulum BIC qua­drato FO aequale.

Concipiatur iam conus AFD detrahi ex conico frusto ABCD, eritque reliquum excavatum solidum dempto prae­

dicto cono, aequale cono cuidam cuius basis semidiameter sit L, altitudo verò FM.

24. huius.

Iam: quoniam ob similitudinem triangulorum, est NF ad FE, ut BI ad BA, hoc est (sumpta communi altitudine) ut rectangulum BIC ad rectangulum BA in IC, hoc est, sumptis aequalibus, ut quadratum FO ad quadratum ex L reciprocè, aequales erunt coni reciproci quorum alter alti­tudinem habeat FE, et semidiametrum basis FO; alter verò altitudinem habeat FN, et semidiametrum basis L. Sed conus ille qui altitudinem habeat FE, et radium basis FO, est excessus inter ablatas magnitudines, nempe inter conos BEC, AFD; Conus verò ille qui altitudinem habet FN, et radium basis L, est excessus quo maius residuum totius magnitudinis (nempe conus cuius altitudo FM, et radius basis L) superat quandam aliam magnitudinem, nempe conum, cuius altitudo NM, sive EH, radius autem basis L; erit itaque haec magnitudo, per Lemma praemis­sum, aequalis minori residuo; ergò conus praedictus, cuius altitudo EH, et basis circulus ex L aequalis superficiei conici frusti, aequalis erit minori residuo, hoc est reliquo conici frusti ABCD dempto cono BEC. Quod erat etc.

24. huius.

Aliter.

Sed conemur idem ostendere minus laboriosa demonstratione; si possibile erit ex difficultate materiae, et veriùs ex tenuitate ingenij.

Sit conicum frustum ABCD cuius maior basis BC, et ex ipso auferatur conus BEC, altitudinem habens eandem cum frusto, et pro basi, maiorem ipsius frusti basim. Compleatur conus BGC, cuius datum erat frustum, ductaque EH ad angulos rectos ipsi BG, ponatur IL media proportionalis inter GB, BF, eritque circulus ex IL semidiametro descriptus, aequalis superficiei coni BGC fiat circa IL semicirculus IML, in quo aptetur IM media proportionalis inter GA, AE, eritque circulus ex semi- diametro IM factus aequalis superficiei coni AGD; Reliquus circulus ex semidiametro ML factus, aequalis erit superficiei conicae frusti ABCD. (si enim ab aequalibus aequalia demas reliqua sunt aequalia).

per Cor. 8. huius.

per Cor. 8. huius.

Dico reliquum solidum frusti conici ABCD, ablato cono BEC, aequale esse cono cuidam, cuius altitudo sit EH; basis verò aequalis super­ficiei conicae ispsius frusti; hoc est circulus ex semidiametro ML de­scriptus.

Cum .n. duo circuli ex radijs IM, LM facti aequales sint circulo ex IL descripto si altitudo unicuique eadem assumatur EH, erunt duo coni simul (quorum altitudo communis EH, bases vero circuli ex radijs IM, LM) aequales cono, cuius altitudo eadem EH, basis verò circulus ex IL; iste vero conus aequalis est solido conico BECG, dempto cono BEC, ergo duo illi coni aequales erunt solido BECG. Proptereà ablatis utrinque aequalibus conis, nempè cono, cuius basis ex IM est, altitudo EH, et cono AGD (sunt enim aequales per 22 huius) remanebunt ae­qualia, solidum nempe excavatum frusti ABCD, detracto cono BEC, et conus cuius altitudo EH, basis circulus ex LM radio factus, qui quidem aequalis est superficiei conicae frusti ABCD. Quod etc.

26. huius.

Definitio.

Si ex cylindro cylindrus auferatur aequealtus, et circa eundum axem descriptus, solidum excavatum quod relinquitur, Tubum cylindricum appellabimus.

PROPOSITIO XXVIII.

Cylindrus ad tubum cylindricum aequealtum, est ut quadratum semidiametri basis cylindri ad rectangulum basis ipsius tubi cylindrici.

Esto cylindrus AB cuius axis CD. Tubus verò cylindricus EF (dempto nimirum cylindro GH) aequealtus sit cum cylindro AB. Dico cylindrum AB a tubum EF esse ut quadratum AC semidiametri basis cylindri, ad rectangulnm EGI, nempe ad rectangulum basis tubi, hoc est quod fit à differentia EG et ab aggregato GI semidiametrorum basis ipsius tubi.

Nam cylindrus integer EF ad cylindrum GH, est ut quadratum EL ad LG quadratum. Et dividendo, Tubus cylindricus EF ad cylindrum GH est ut rectangulum EGI ad quadratum GL. Sed cylindrus GH ad AB cylindrum est ut quadratum GL ad quadratum BC. Ergo ex aequo erit tubus cylindricus EF ad cylindrum AB ut rectan­gulum EGI ad quadratum AC. Convertendo igitur patet quod propositum erat.

PROPOSITIO XXIX.

Datae figurae solidae rotundae figuram inscribere, al­teramque circumscribere ex cylindris aequealtis, ita ut de­scriptarum differentia minor sit quolibet dato solido.

Esto cylindrus ABCD, cuius axis EF: datoque intra cylindrum solido AED circa eundem axem EF revoluto, sive hemisphaerium, sive conus, vel conoides sit, oportet ipsi solido AED duas figuras ex cylindris aequealtis compositas, al­teram quidem inscribere, alteram verò circumscribere ita ut circumscripta superet inscriptam minori excessu quam sit quodlibet datum solidum K.

Secetur bifariam cylindrus AC plano HG ad axem EF erecto; iterumque cylindrus HD bifariam secetur plano IL; et hoc fiat semper donec cylindrus aliquis puta AL minor remaneat quàm solidum K. Tunc diviso toto cylindro AC in cylindros aequealtos ac ipse AL, oriantur in solido AED sectiones MN, OP, QR. Concipiamus super unoquoque cir­culorum MN, OP, QR, duos cylindros, alterum quidem versus E, alterum autem versus partes F conversum. Eruntque omnes simul cylindri qui verticem habent versus F, aequales omnibus simul cylindris verticem versus E habentibus (cum singuli singulis aequales sint). Ergo si omnibus cylindris qui verticem habent versus E, addas cylindrum AL, superabit iam figura circa solidum AED descripta, figuram eidem inscriptam, differentia AL; Nempe minori excessu quàm sit solidum K. Quod erat etc.

Corollarium.

Hinc patet quòd data figura solida, sive hemispherium sit, sive conus, sive conoides etc. ipsi duae figurae solidae ex cylindris aeque­altis compositae altera inscribi potest, altera vero circumscribi; ità ut differentia inter datam solidam figuram, et descriptarum alterutram, minor sit quolibet dato solido K.

Differentia enim inter figuram datam et alteram descriptarum minor utique erit quam differentia inter descriptas (est enim pars eiusdem) ergo multò minor quàm solidum K.

PROPOSITIO XXX.

Sphaera quadrupla est coni cuiusdam, qui quidem conus basim habeat aequalem maximo sphaerae circulo, altitu­dinem vero eiusdem sphaerae semidiametro aequalem.

Esto circulus cuius centrum A; quadratum ipsi cir­cumscriptum sit BCDE; iunctisque EA, AD. convertatur figura circa axem FG ita ut à quadrato fiat cylindrus, à sphaera circulus; à triangulo EAD, conus EAD.

Dico sphaeram quadruplam esse coni EAD. Nisi enim quadrupla sit, non erit haemisphaerium aequale solido, quod describitur à triangulo EHA circa axem FG converso (cum hoc solidum duplum sit coni EAD). Erit itaque he­misphaerium vel maius, vel minus solido trianguli EHA.

per 29. huius.

Esto primùm maius, si potest esse; sitque excessus aequalis solido K. Inscribatur in hemisphaerio figura ex cylindris aequealtis constans ita ut ab hemisphaerio de­ficiat minori defectu quam sit solidum K. Et erit flgura inscripta adhuc maior quàm solidum trianguli EHA. Se­cetur etiam axis AG in tot partes aequales in quot sectus erit AF. Ductisque per puncta sectionum planis ad axem erectis, intelligatur in solido trianguli EHA inscripta figura ex tubis cylindricis aequealtis constans, quorum unus sit, cuius sectio est rectangulum HO.

Iam cylindrus IL ad tubum cylindricum HO, est ut quadratum IP ad rectangulum MON. Sed quadratum IP

aequale est rectangulo FPG, nempe ipsi MON (nam FP aequalis est rectae BR, sivè ME, sive MO, et reliqua PG reliquae ON) ergo cylindrus IL aequalis est tubo cylin­drico HO. Hoc modo procedendo ostenduntur omnes cy­lindri in haemispherio aequales omnibus tubis in solido trianguli EHA. Quare figura in hemisphaerio inscripta ex cylindris constans, aequalis erit figurae in solido trianguli EHA descriptae ex tubis cylindricis compositae. Sed figura in hemisphaerio descripta maior erat integro solido trian­guli EHA. Ergò necesse est quod figura inscripta in so­lido EHA eodem solido maior sit pars suo toto. Quod esse non potest.

per 28. huius

Esto deinde, si fieri potest, hemisphaerium minus solido trianguli EHA; sitque defectus aequalis solido K.

Circumscribatur ipsi hemisphaerio figura solida ex cy­ lindris aequealtis constans, ita ut excessus figurae super hemisphaerium minus sit solido K. Tunc enim circum­scripta figura adhuc minor erit solido trianguli EHA. Con­cipiamus deinde solido trianguli EHA aliquam figuram esse circumscriptam constantem ex tubis cylindricis aeque­altis ac cylindri ex quibus constat figura haemisphaerio circumscripta.

per 29 huius.

Iam primus cylindrus HV figurae circa hemisphaerium descriptae, aequalis est primo tubo cylindrico figurae cir­cumscriptae solido trianguli EHA; nam et iste tubus, cy­lindrus est HF.

Secundus cylindrus GI ad secundum tubum LM, est ut quadratum GN ad rectangulum LTF, nempe aequalis (quadratum enim GN, aequale est rectangulo ONP, sive LTF, nam recta ON rectae BQ, sive LE, sive LT, aequalis est, et reliqua NP reliquae TF).

per 28. huius.

Ergo omnes simul cylindri figurae circa hemisphaerium descriptae, hoc est eadem figura, aequalis erit omnibus simul tubis cylindricis circa solidum trianguli EHA de­scriptis, cum singuli singulis aequales sint. Sed figura circa hemisphaerium descripta minor erat solido trianguli EHA. Necesse igitur est quòd solidum trianguli EHA maius sit, quam figura sibi circumscripta pars suo toto. Quod esse non potest.

Hemisphaerim igitur neque maius, neque minus erit solido trianguli EHA, sed ipsi aequale, solidum verò trian­guli EHA duplum est coni EAD, ergò hemisphaerium duplum erit coni EAD. Sphaera verò eiusdem quadrupla erit, Quod erat propositum.

Corollarium.

Hinc patet sphaeram subsesquialteram esse cylindri, cuius basis aequalis sit maximo sphaera circulo, altitudo verò diametro sphaerae aequalis.

Nam sph. ostenditur esse ad conum EAD ut 4, ad unum, conus vero EAD ad cylindrum EBCD est ut unum ad 6 ergo ex aequo sphaera ad cylindrum EBCD erit ut 4 ad 6. Nempe subsesquialtera.

DE SOLIDIS SPHAERALIBUS

LIBER SECUNDUS

PROPOSITIO I.

Conus quilibet circa sphaeram descriptus, aequalis est cono cuidam, qui basim habeat aequalem universae super­ficiei circumscripti coni accepta etiam basi, altitudinem verò aequalem radio sphaerae;

Esto circa sphaeram, cuius cen­ trum A, descriptus conus BCD, (qui videlicet sphaeram tangat et lateribus, et basi) Ponaturque alius conus EFG, qui basim habeat EG aequalem tum curvae superficiei, tum etiam basi coni BCD, altitudinem verò HF habeat aequalem radio sphaerae AL.

Dico conos BCD, EFG aequales esse.

Solidum enim conicum excavatum quod fit ex revolu­tione trianguli CBA circa axem IC, aequale est cono cuidam, qui basim habeat aequalem curvae superficiei conicae BCD, altitudinem verò aequalem perpendiculari AL, nempe radio sphaerae: Talis ergò conus unà cum cono BAD (cum habeant eandem altitudinem) aequales erunt cono EFG; Quandoquidem conus EFG basim habet utrique simul basi aequalem, altitudinem verò alterutrae aequalem. Proptereà et conus BCD, qui duobus praedictis conis aequatur, aequalis erit cono EFG. Quod etc.

26. p. partis

Aliter.

per 3. sexti.

Ducatur IM aequidistans ipsi AL et quoniam angulus CBI divi­ditur bifariam à linea BA, erit ut CB ad BI, ita CA ad AI.

8. prim. partis.

Superficies ergò coni BCD sine basi, ad circulum suae basis est ut CB ad BI, nempe ut CA ad AI, et componendo, et per conversionem rationis, erit universa superficies coni BCD cum basi, ad superficiem eiusdem coni sine basi, ut IC ad CA, hoc est ut IM ad AL.

Propterea si reciprocè adhibeantur bases, et altitu­dines, erit conus cuius altitudo AL, basis verò aequalis universae superficiei coni BCD cum basi, aequalis cono cuius altitudo sit IM, basis verò curva tantum superficies conica BCD, hoc est cono BCD (aequales enim sunt, conus cuius altitudo IM, basis verò conica superficies BCD; et conus BCD per 22 huius).

PROPOSITIO II.

Conus quilibet circa sphaeram descriptus, est ad sphae­ram, ut coni ipsius universa superficies accepta etiam basi, ad superficiem sphaerae.

Esto circa sphaeram ABC de­ scriptus conus DEF; Dico huius­modi conum esse ad sphaeram, ut coni superficies una cum basi, ad superficiem sphaerae.

Ponatur conus HIL ut in prae­cedenti, cuius basis aequalis sit integro perimetro coni DEF una cum basi, altitudo verò PI aequalis radio sphaerae OC, eritque conus HIL aequalis cono DEF.

per praeced.

Agatur per centrum O planum MN ad axem erectum, et in hemisphaerio MCN concipiatur conus MCN.

Iam conus DEF ad conum HIL (ob aequalitatem) est ut totus perimeter coni DEFD ad basim HL, conus autem HIL ad conum MCN, (cum eandem habeant altitudinem)

est ut basis HL ad basim MN, conus denique MCN ad sphaeram, est ut basis MN ad superficiem sphaerae (nempe in ratione sub quadrupla) quare ex aequo erit conus DEF ad sphaeram, ut universus perimeter coni DEF ad super­ficiem sphaerae. Quod etc.

20. et 30. p. partis.

PROPOSITIO III.

Conus quilibet circa sphaeram descriptus, est ad sphae­ram, ut rectangulum contentum sub latere et semibasi coni tamquàm una linea, et sub semibasi, ad quadratum diametri sphaerae.

Esto circa sphaeram, cuius diameter DE, descriptus conus quilibet ABC. Dico conum ad sphaeram esse ut rectangulum sub BAD tamquàm unà linea, et sub AD compraehensum, ad quadratum DE.

Curva enim superficies coni ABC ad circulum suae basis est ut BA ad AD, et componendo erit totus coni perimeter ad eundem cir­culum basis ut BA, AD simul ad AD; hoc est ut rectan­gulum sub linea BAD, et sub AD ad quadratum AD; circulus verò basis coni, ad circulum circa DE, est ut qua­dratum AD ad quadratum DF, circulus denique circa DE ad sphaerae superficiem, est ut quadratum DF ad quadra­tum DE, ergò ex aequo universus coni ABCA perimeter ad superficiem sphaerae (hoc est conus ipse ad sphaeram per praecedentem) erit ut rectangulum sub recta linea BAD, et sub AD, ad quadratum DE. Quod etc.

8. p. pars.

Corollarium.

Pro Corollario potest ostendi conum aequilaterum ad inscriptam sphaeram, esse ut 9 ad 4. Posito enim latere AC 6 erit rectangulum sub latere cum semibasi, et semibasi 27 quadratum verò BD 27 et qua­dratum DE 12 ergo conus ad sphaeram erit ut 27 ad 12 sive ut 9 ad 4.

Scholium.

Possent hic Theoremata non pauca proponi circa solidorum circum­scriptionem, et inscriptionem: qualia sunt.

Si circa sphaeram prisma concipiatur, quod singulis suis parallelo­grammis sphaeram contingat; sitque eiusdem altitudinis; Erit prisma ad sphaeram, ut perimeter basis prismatis ad duas tertias periphaeriae maximi circuli sphaerae.

Si verò non eiusdem sit altitudinis; ratio prismatis ad sphaeram componetur ex praedicta, et ex ratione altitudinum; altitudo autem sphaerae diameter est.

Si cylindro circumscribatur prisma, quod singulis suis parallelo­grammis superficiem cylindri contingat; sintque eiusdem altitudinis. Erit prisma ad cylindrum, ut basis ad basim: nempe, ut perimeter basis prismatis, ad periphaeriam basis cylindri: idem verum est de cono, et pyramidibus circumscriptis.

Si verò prisma, et cylindrus non eiusdem altitudinis fuerint; ratio componetur ex ratione perimetri ad periphaeriam, et altitudinis ad altitudinem.

Si intra cylindrum inscribatur prisma eiusdem altitudinis, habens basim poligonam, regularem, et parilateram; Erit cylindrus ad prisma, ut periphaeria basis cylindri ad perimetrum poligoni regularis in eo­dem circulo descripti, quod habeat latera multitudine sub dupla po­ligoni basis prismatis. Quae vera sunt etiam de cono, et pyramidibus inscriptis.

Quando verò basis prismatis imparilatera fuerit, sive regularis, sive irregularis: Erit cylindrus ad inscriptum prisma, ut periphaeria basis cylindri ad omnes sinus arcuum à lateribus basis prismatis subten­sorum. Dummodo nullus arcus semicirculo maior sit. Quando verò arcus aliquis semicirculo maior sit; et quando figurarum altitudo non sit eadem, et alia huiusmodi, onnia demonstrari possunt facili quidem negotio; sed institutum nostrum est non omnem solidorum inscriptio­nem, et circumscriptionem prosequi; sed illam, tantum, quae circa sphaeram est, vel intra ipsam; Propterea ad inceptum revertamur.

PROPOSITIO IV.

Si circà circulum describatur poligonum habens latera numero paria, sive à quaternario, sive à binario mensurata, et revolvatur figura circa diagonalem, erit factum sphae­rale solidum aequale cono cuidam qui basim habeat ae­qualem superficiei solidi, altitudinem verò semidiametro sphaerae aequalem.

Hoc autem quandò numerus laterum mensuratur à quaternario demonstratum fuit ab Archimede Prop. 29 sive mavis 25 lib. p. de Sph. et Cylin. Quando verò laterum numerus etiam à binario tantnm mensuratur, ostendemus sic, eritque demonstratio (exceptis quae de ultimo solido cylindrico dicentur) eadem cum ea quam affert Archi­medes.

Esto poligonum ABCDEFG habens latera à binario tantum mensurata, ut in prima figura. Ergò semipoligo­ num ABCDEF habebit latera numero imparia, latusque unum tanget circulum in puncto T, atque ideo cylindricam superficiem in conversione describet. Intelligatur conus MNO, cuius basis sit circulus MO aequalis universae su­perficiei solidi sphaeralis, altitudo verò PN, aequalis sit radio sphaerae. Dico sphaerale solidum aequale esse cono MNO.

Rombus enim solidus factus in conversione figurae à triangulo ABQ, aequalis est cono cuidam cuius basis ae­ qualis sit conicae superficiei descriptae à linea AB, alti­tudo verò sit radius QR. Solidum autem excavatum factum in conversione à triangulo BCQ, aequatur cono cuidam cuius basis aequalis sit conicae superficiei descriptae à linea BC altitudo verò aequalis radio sphaerae QS et sic semper procedatur. Ultimum denique solidum cylindricum excavatum descriptum à triangulo CTQ, aequale est cono cuidam, cuius basis aequalis sit superflciei cylindricae à linea CT factae, altitudo verò aequalis sit semidiametro cylindri, QT; Et sic de solidis circa alterum hemisphae­rium TFV descriptis. Ergo universum sphaerale solidum, aequale erit omnibus praedictis conis simul sumptic: ijsdem autem omnibus praedictis conis aequalis est conus MNO (cum basim habeat omnibus simul illorum basibus aequa­lem, nempe superficiei solidi sphaeralis, altitudinem verò unicuique illorum aequalem, nempe radio sphaerae). Pro­pterea praedictum solidum sphaerale aequale erit cono MNO. Quod etc.

23. p. partis.

24. p. partis.

25. p. partis.

PROPOSITIO V.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa diagonalem: ha­bebit factum sphaerale solidum ad sphaeram suam eam rationem, quam universa solidi sphaeralis superficies habet ad superficiem sphaerae.

Manente praecedentis Propositionis constructione; Esto sphaerale solidum cuius diagonalis, atque axis sit AB, cen­trum autem sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse, ut superficies solidi ad su­perficiem sphaerae.

Inscribatur n. in hemisphaerio conus DEF, et ponatur conus GIH cuius basis GH aequalis sit universae super­ficiei solidi sphaeralis ut in praecedenti altitudo verò LI aequalis radio sphaerae, et erit per praecedentem sphaerale solidum aequale cono GIH.

Propter aequalitatem ergò, erit sphaerale solidum ad conum GIH ut superficies universa sphaeralis solidi ad ba­sim coni GIH; conus autem GIH ad conum DEF (ob aequalem altitudinem) est ut basis circa GH ad basim circa DF; conus denique DEF ad sphaeram, est ut ba­sis circa DF ad superficiem sphaerae (nempe in ratione subquadrupla). Propterea erit ex aequo sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram ut universa sphaeralis solidi superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc.

PROPOSITIO VI.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa diagonalem, erit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram ut axis solidi ad axem sphaerae.

Manente praecedentium constructione; esto sphaerale solidum, cuius diagonalis, atque axis sit AB centrum verò sphaerae sit C, et diameter HI.

Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse ut AB ad HI.

Circumscribatur n: circa sphaeram cylindrus NLMO agantur que per extremitates axis A, B, plana ad axem erecta DG, EF per extremitates verò diametri HI plana LM, NO.

Erit, per praecedentem, sphaerale solidum ad sphaeram ut superficies sphaeralis solidi ad superficiem sphaerae; hoc est, (sumptis aequalibus) ut superficies cylindri DEFG, ad superficiem cylindri LNOM, hoc est ut AB ad HI. Quare sphaerale solidum ad sphaeram est ut axis solidi ad diametrum sphaerae. Quod etc.

per 15. p. partis.

18. p. partis.

prima p. partis.

PROPOSITIO VII.

Si intra circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa diagonalem, erit sphaera ad inscriptum sibi sphaerale solidum, ut quadra­tum diametri sphaerae, ad quadratum cateti poligoni.

Sit n. circ. cuius cent. A, et diamet. BC poligonum regulare, cuius diagonalis sit linea BC, et convertatur figura circa BC. Dico sphaeram circumscriptam ad in­clusum sphaerale solidum, esse ut qua­ dratum AC, ad quadratum cateti po­ligoni AD. Ducatur enim DE ex D perpendicularis ad BC, et EF perpen­ dicularis ad AD, eruntque in continua proportione quatuor rectae AC, AD, AE, AF. Concipiatur etiam radio AD aliam sphaeram describi, quae singulas conicas superficies solidi sphaeralis continget; necnon cylindricam, si quam huiusmodi sphae­rale solidum habebit.

4. sexti.

ultima duo­decimi.

Erit itaque sphaera maior ad sphaeram minorem, ut CA ad AF; minor verò sphaera ad sphaerale solidum, quod sibi circumscribitur (per praecedentem) est ut DA ad AC, hoc est, ut AF ad AE; Proptereà ex aequo erit circumscripta sphaera maior, ad inscriptum solidum sphae­rale, ut CA ad AE; nempe ut quadratum CA ad quadra­tum AD. Quod erat etc.

PROPOSITIO VIII.

Si circa sphaerale solidum, natum ex revolutione poli­goni circà diagonalem revoluti, sphaera circumscribatur, et altera inscribatur. Habebit circumscripta sphaera ad solidum, duplicatam rationem illius, quam habet solidum ad inscriptam sphaeram.

Repetita figura Propositionis praecedentis; cum sit cir­cumscripta sphaera ad solidum ut quadratum CA ad qua­

dratum AD; solidum verò ad inscriptam sibi minorem sphaeram, ut CA ad AD; patet rationem circumscriptae sphaerae ad solidum sphaerale duplicatam esse illius quam solidum hahet ac insctiptam sphaeram. Quod etc.

6. huius.

PROPOSITIO IX.

Si circa sphaerale solidum, natum ex revolutione poligoni circà diagonalem revoluti, sphaera circumscri­batur, et altera inscribatur: Erit superficies solidi sphae- ralis media proportionalis inter superficies duarum sphae­rarum.

Manente figura, et constructione praecedentium propositionum. Dico tres superficies, nempe maioris sphaerae, so­lidi sphaeralis, minorisque inscriptae sphaerae, esse inter se in continua pro­portione.

Superficies enim circumscriptae sphaerae est ad superficiem inscriptae, ut quadratum CA ad quadratum AD; superficies autem solidi ad superficiem eiusdem inscriptae sphaerae, est ut recta CA ad rectam AD: Ergò tres su­ perficies praedictae sunt in continua proportione; et qui­dem perimeter sphaeralis solidi medius proportionalis est. inter superficies duarum sphaerarum. Quod etc.

Ostenditur in 6. huius

PROPOSITIO X.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, sive à quaternario, sive tantum à binario mensurata; et convertatur figura circa catetum; Erit fa­ctum sphaerale solidum aequale cono cuidam, cuius quidem basis aequalis sit universae superficiei solidi sphaeralis, al­titudo verò aequalis radio sphaerae.

Esto circa circulum figura poligona aequilatera ABC­DEH habens latera numero paria, et convertatur figura circa catetum IL, orieturque solidum contentum sub co­nicis, circularibus, et una cylindrica superficie, quando numerus laterum à quaternario mensuratur; quandò verò à binario tantum, tunc erit solidum sphaerale sub co­nicis, et circularibus tantum superficiebus compraehensum. Dico utrumque sphaerale solidum aequale esse cono cuidam MNO, qui basim habeat aequalem universae solidi sphae­ralis superficiei, altitudinem verò PN aequalem radio sphaerae.

Hoc ostendetur similiter ut propositione 4 factum est. Nam conus qui fit à triangulo IAQ in conversione circa axem IL, aequatur cono qui basim habeat aequalem cir­culo qui fit ex radio IA, altitudinem verò aequalem radio sphaerae QI, quia idem prorsus est. Solidum autem exca­ vatum, quod fit à triangulo ABQ, aequale probatur cono cuidam, cuius basis aequalis sit conicae superficiei factae à linea AB, altitudo verò sit QR radius sphaerae. Ultimum denique cylindricum solidum excavatum, factum à trian­gulo BQS (quando poligoni latera à quaternario mensu­ rantur, aliàs cylindricum solidum nullum est) aequatur cono cuius basis aequalis sit cylindricae superficiei factae à linea BS altitudo verò sit QS; et sic de altero hemi­sphaerio. Proptereà universum sphaerale solidum aequale erit omnibus praedictis conis simul sumptis; et ideo ae­quale erit etiam cono MNO, qui omnibus illis simul sumptis aequivalet; (quandoquidem basim habet omnibus simul illorum basibus aequalem ex suppositione; altitudi­nem verò unicuique illorum aequalem, nempe radium sphaerae). Quod etc.

24. p. partis.

25. p. partis.

PROPOSITIO XI.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero pario, et convertatur figura circa catetum, habebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram eam rationem, quam universa solidi sphaeralis superficies habet ad superficiem sphaerae.

Manente praecedentis propositionis constructione, esto sphaerale solidum cuius catetus, et axis sit AB; centrum autem sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad inscri- ptam sibi sphaeram esse ut universa ipsius solidi super­ficies ad superficiem sphaerae.

Concipiatur enim in hemisphaerio conus DAE, et in­telligatur alius conus FGH, cuius basis FH aequalis sit universae superficiei solidi sphaeralis, altitudo verò IG aequalis radio sphaerae; et erit per praecedentem sphae­rale solidum aequale cono FGH.

Propter aequalitatem ergo, erit sphaerale solidum ad conum FGH, ut superficies universa sphaeralis solidi, ad basim coni FGH, conus autem FGH, ad conum DAE (ob aequalem altitudinem) est ut basis circa FH, ad basim circa DE; denique conus DAE, ad sphaeram, est ut basis circa DE ad superficiem sphaerae (nempe in ratione subquadrupla): Propterea erit ex aequo sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram, ut universa sphaeralis solidi superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc.

PROPOSITIO XII.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa catetum; Ha­bebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphae­ram, eam rationem, quam habet composita recta linea ex diametro sphaerae, et ex tertia proportionali (si fiat ut semidiameter sphaerae ad semilatus poligoni, ita semilatus ad aliam), ad diametrum sphaerae.

Manente praecedentium propositionum constructione, esto sphaerale solidum cuius catetus, et axis sit AB; cen­trum autem sphaerae sit C. Fiat angulus CDE rectus, eritque BE tertia proportionalis ad semidiametrum CB, et semi­latus poligoni BD. Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse ut EA ad AB; nempe ut composita ex diametro sphaerae AB, et tertia proportionali BE, ad diametrum sphaerae AB. Concipiatur circa sphaeram de­scriptus cylindrus FLMI, et per puncta A; B; E produ­cantur plana FI, LM, GH, ad axem erecta.

Erit ergo, per praecedentem, sphaerale solidum ad in­scriptam sibi sphaeram, ut superficies solidi ad superficiem sphaerae; hoc est, sumptis aequalibus, ut superficies cy­lindri FGHI ad superficiem cylindri FLMI; hoc est ut linea AE ad AB. Quod etc.

16. pri. partis.

18. p. partis.

PROPOSITIO XIII.

Si circà circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa catetum; erit factum sphaerale solidum ad suam sphaeram, ut duo qua­drata, nempe ut quadratum diagonalis, et quadratum cateti simul, ad duplum quadrati eiusdem cateti.

Esto circa circulum, cuius centrum A, descriptum po­ ligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circa catetum BC: factoque angulo recto ADE, erit (per praecedentem) solidum sphaerale ad suam sphaeram ut EB ad BC. Dico insuper solidum sphaerale ad suam sphae­ram esse, ut quadratum ex AD, simul cum quadrato ex AC, ad duplum quadrati ex AC.

Nam EA ad AC est ut quadratum DA ad quadratum AC; et componendo, erunt EA, et AC simul, hoc est tota EB, ad AC, ut duo quadrata DA, AC simul ad qua­dratum AC; sumptisque consequentium duplis, erit EB ad BC (hoc est solidum sphaerale ad sphaeram) ut duo quadrata DA, AC simul, ad duplum quadrati ex AC. Quod etc.

per praeced.

PROPOSITIO XIV.

Si intrà circulum describatur poligonum habens latera numero paria, et convertatur figura circà catetum; erit sphaera ad inscriptum sibi solidum, ut integra diameter sphaerae, ad secundam simul, et quartam proportionalium, in ratione semidiametri sphaerae ad semicatetum poligoni.

Sit in circulo cuius diameter AB poligonum habens latera numero pa­ria, et convertatur figura circa cate­tum CD: Ducanturque perpendicu­lares DF ad rectam HE, et FI ad HD; et erunt quatuor lineae EH, HD, HF, HI, in continua ratione semidia­metri HE ad semicatetum HD. Dico sphaeram ad inscriptum solidum esse, ut dupla HE ad utramque simul DH, HI. Vel ut integra diameter sphaerae ad CI.

Intelligatur alia sphaera intra solidum inscripta. Erit ergo exterior sphaera ad interiorem, ut EH ad HI, sive ut dupla EH ad duplam HI; interior verò sphaera ad solidum sphaerale est, ut duo quadrata ex HD, ad duo quadrata HD, HE, hoc est ut duo quadrata ex HI, ad duo quadrata ex HI, HF, hoc est (ut infrà ostendemus) ut dupla HI ad HI, HD; Propterea erit ex aequo sphaera exterior ad inscriptum sibi sphaerale solidum, ut dupla HE, hoc est integra diameter sphaerae, ad HI, et HD simul; quae quidem sunt secunda, et quarta in ratione semidiam. sphaerae ad semicatetum poligoni. Quod etc.

Ultima duo­decimi.

per praec.

Quod autem assumptum est ostendemus. Dico ut duo quadrata ex HI ad duo quadrata simul HI, HF ita esse duplam HI ad HI, HD.

Nam ob angulum rectum HFD, erit ut quadratum FH ad quadratum HI, ita recta DH ad HI, et componendo, sumptisque consequentium duplis, erit ut quadrata FH, HI, ad duo quadrata ex HI, ita duae rectae DH, HI, ad duplam HI. Convertendo ergò, erunt duo quadrata ex HI, ad duo quadrata HI, HF ut dupla HI, ad HI, HD simul. Quod erat etc.

PROPOSITIO XV.

Si circà circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­goni, erit factum sphaerale solidum aequale cono cuidam, cuius basis aequalis sit universae superficiei solidi, altitudo verò radio sphaerae sit aequalis.

Esto circuli centrum A, polig. verò perimeter BCDEFGH. Et sint latera eius numero imparia; conver­taturque figura circa catetum BI, ut oriatur solidum sphaerale contentum sub conicis superficiebus unicoque circulo circa diametrum EF descri­pto. Ponatur iam conus LMN, qui basim habeat aequalem universae su­perficiei sphaeralis solidi, altitudinem verò OM aequalem radio sphaerae AI. Dico solidum sphaerale aequale esse cono LMN.

Agatur per centrum sphaerae planum PQ ad axem erectum, quod transuersè, secabit aliquod latus poligoni, puta CD.

Erit iam rombus solidus, factus à conversione triang. BCA, aequalis cono, qui basim habeat aequalem conicae superficiei factae à linea BC; altitudinem autem aequalem radio sphaerae AR. Solidum verò conicum excavatum quod fit ex giro trianguli CPA, aequale erit cono, qui basim habeat aequalem superficiei, quae fit à linea CP altitudinem verò aequalem radio sphaerae AS. Solidum quoque excavatum, factum ex revolutione trianguli PDA, aequatur cono, qui basim habeat aequalem superficiei co­nicae quae fit à motu lineae PD, altitudinem autem ae­qualem radio shpaerae AS. Eadem prorsum eodem modo dicuntur de solido conico excavato, facto à triangulo DAE; et de ultimo cono facto à revolutione trianguli EIA. Pro­pterea totum sphaerale solidum aequale erit omnibus prae­dictis conis simul sumptis, vel cono LMN, qui omnibus illis praedictis aequivalet: (habet enim basim omnibus si­mul illorum basibus aequalem, altitudinem verò aequalem unicuique illorum). Quod etc.

23. p. partis.

24. p. partis.

27. p. partis.

Scholium.

Attulimus in hac Propositione Theor. 23, 24 et 27 p. partis; Nam ex gyro trianguli BCA oritur rombus solidus ut in 23 p. partis. Ex gyro trianguli CPA oritur solidum quoddam excavatum, quale relin­quitur si ex cono auferatur rombus solidus: ut in 24 p. partis. Denique ex conversione trianguli DPA oritur solidum quoddam excavatum ha­bens basim circularem PQ: quale relinquitur si ex frusto conico conus auferatur habens basim eandem cum maiore basi frusti conici, altitu­dinem quoque eandem ut in Prop. 27 p. partis.

PROPOSITIO XVI.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circa catetum; habebit fa­ctum sphaerale solidum ad inscri­ptam sibi sphaeram, eam rationem quam universa sphaeralis solidi su­perficies habet, ad superficiem sphaerae.

Manente praecedentis proposi­tionis constructione, sit sphaerale solidum cuius catetus, sive axis sit AB, centrum verò sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse, ut ipsius solidi integra superficies ad superficiem sphaerae.

Concipiatur in hemisphaerio conus DEF; et intelligatur conus GHI cuius basis GI aequalis sit universae superfi­ciei solidi sphaeralis, altitudo verò LH aequalis sit radio sphaerae, et erit per praecedentem, sphaerale solidum aequale cono GHI.

Propter aequalitatem ergò, erit sphaerale solidum ad conum GHI, ut superficies universa sphaeralis solidi, ad basim coni GHI; conus autem GHI ad conum DEF (ob aequalem altitudinem) est ut basis circa GI, ad basim circa DF conus denique DEF, ad sphaeram est, ut ba­sis circa DF ad superficiem sphaerae (nempe in ratione subquadrupla). Proptereà erit ex aequo, sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram, ut universa sphaeralis solidi superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc.

PROPOSITIO XVII.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­goni, habebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram eam rationem, quam habet linea composita ex cateto poligoni et tertia proportionalium (si fiat, ut dia­meter sphaerae ad semilatus poligoni, ita semilatus ad aliam), ad diametrum sphaerae.

Manente praecedentium constructione, sit sphaerale solidum cuius catetus, at­que axis sit AB, centrum verò sphaerae C, et diameter DB. Fiat angulus rectus DEF, eritque BF tertia proportionalium, posita diametro DB pro prima, et semi­latere poligoni BE pro secunda. Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram esse ut tota AF ad DB.

Concipiatur circa sphaeram cylindrus MNOP, et per puncta A, D, B, F, plana agantur ad axem erecta.

Erit ergo, per praecedentem, sphaerale solidum ad in­scriptam sibi sphaeram, ut superficies sphaeralis solidi ad superficiem sphaerae; hoc est, sumptis aequalibus, ut superficies cylindri GHIL ad superficiem cylindri MNOP; hoc est ut recta AF ad BD per primam p. par­tis. Quod etc.

per 17. et 18. p. partis.

PROPOSITIO XVIII.

Si circa circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­goni; habebit factum sphaerale solidum ad sphaeram eam rationem quam habent quatuor simul termini nempe, ma­ximus, minimusque cum duobus medijs; ad quatuor minimos; (quandò ratio rectae GB ad GD continuata fuerit in tri­bus terminis.

Esto circulus cuius diameter AB, cen­ trum verò G, ipsique circumscribatur poli­gonum habens latera numero imparia, cuius catetus sit GB, et convertatur fi­gura circa CB; Factoque angulo GDF recto, erit ratio rectae GB ad GD con­tinuata in tribus terminis GB, GD, GF; uti propositum est. Dico solidum ad sphaeram esse, ut GF, GB, simul cum GD bis sumpta, ad ipsam GB quater sumptam.

Fiat alius angulus ADE rectus; eritque solidum ad sphaeram per praecedentem, ut CE ad diametrum sphaerae AB, hoc est ut EG, GD simul, ad diametrum sphaerae (sunt enim aequales GC, GD) hoc est ut dupla EG, et dupla GD ad duas diametros, hoc est ut FG, GB cum dupla GD, ad quatuor semidiametros GB. Quod erat demon. etc.

ostenditur infra.

Quod autem assumptum fuit, ostendemus sic. Dico ipsam EG bis sumptam, aequalem esse duabus FG, GB.

Quoniam ob angulum rectum, rectangula ABE, GBF, aequalia sunt eidem quadrato BD, aequalia erunt et inter se; ideoque latera eorum reciproca, nempe ut AB ad BG subduplam, ita erit FB ad BE subduplam; aequales ergo sunt FE, EB et tres rectae GF, GE, GB sunt in propor­tione Aritmetica; ideo EG bis sumpta aequalis erit duabus FG, GB. Quod etc.

PROPOSITIO XIX.

Si intra circulum describatur poligonum habens latera numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­goni, erit sphaera inscriptum sibi sphaerale solidum, ut sunt quatuor simul maximi termini, ad maiorem reliquo­rum semel, et medium bis, et minorem semel sumptum (quando proportio CD ad CE continuata erit in quatuor terminis).

Sit circulus cuius diameter AI, cen­ trum verò C, et inscribatur poligonum habens latera numero imparia; tum con­vertatur figura circa catetum AD. Fiant­que anguli CEB et CBF recti, eritque ratio CD ad CE continuata in quatuor terminis CD, CE, CB, CF. Dico sphaeram ad inscriptum sibi solidum sphaerale esse, ut CF quater sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD semel, simulque sumptas.

Intelligatur alia sphaera cuius semidiameter CD: in­ scripta in solido. Erit ergo maior sphaera ad minorem ut cubus EC ad cubum CD vel recta FC ad CD, vel ut FC quater, ad CD quater; sphaera verò minor inscripta, est ad solidum sphaerale, (per praecedentem) ut CD quater sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD semel: Propterea erit ex aequo, maior, sive circumscripta sphaera, ad suum sphaerale solidum, ut CF quater sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD semel sumptas. Quod etc.

Ultima duo­decimi.

Scholium.

Hactenus sex praecipua Theoremata de solidis sphaeralibus demon­strata sunt. Sequuntur nunc quaedam scitu non iniucunda, et ad do­ctrinam spectantia.

PROPOSITIO XX.

Si intra sphaeram descriptum sit sphaerale solidum pa­rilaterum, circaque diagonalem revolutum: erit sphaera ad excessum, quo ipsa solidum superat, in duplicata ratione diametri sphaerae ad latus poligoni.

Sit in circulo cuius centrum A de­