IORDANI
OPVSCVLVM
DE PONDEROSITATE
NICOLAI TARTALEAE
STVDIO CORRECTVM
NOVISQVE FIGVRIS AVCTVM.
CVM PRIVILEGIO.
TRAIANO CVRTIO.
VENETIIS,
APVD CURTIVM TROIANVM. M D LXV.
Francisco Labiae
omni virtvtvm
genere ornato. Cvrtivs Troianvs S. D.
Non me fugit summa in expecta
tione te esse, cum optimis litera
rum studijs, qui te uehementius in
cumbat cognoscam neminem. nul
lum profecto doctrinae genus est, in
quo non uerseris, nulla disciplina,
quam non intelligere uelis, tu gram
maticorum canones, historias, et poetarum fabulas
mirifice tenes, tu rhetoricis flosculis abundas, diale
cticorum argutias scrutaris, physices arcana, et supe
riores intelligentias peruestigas, tu theologorum ab
dita petquiris, tu mathematicis, et omni denique eru
ditionis genere delectaris, quamobrem, pro mea in
te, et patrem tuum beneuolentia, propter egregiam
tuam indolem, iucundissimos mores, diuinum inge
scenti dicare uolui hunc Iordani ingeniosi, et acuti
hominis librum de ponderibus, quem mihi suis in
fragmentis Nicolaus Tartalea familiaris meus, uir
quidem praeclaris ornatus scientijs excudendum re
liquit. Accipias igitur laeto vultu hunc in lucem edi
tum, tuoque sub nomine emissum, quandoquidem
tibi non modo iucunditati, sed etiam utilitati fore
certo scio. Vale: Non. Kalendas Feb.
Prima svppositio.
Omnis ponderosi motum esse ad me
dium uirtutemque ipsius esse potentia ad
inferiora tendendi uirtutem ipsius, siue
potentia possumus intelligere longitu
dinem brachij librae, aut uelociter eius
quem probatur ex longitudine brachij
librae, et motui contrario resistendi. Se
cunda: Quód grauius est uelocius de
scendere. Tertia: Grauius esse in de
scendendo quanto eiusdem motus ad medium rectior. Quar
ta: Secundum situm grauius esse cuius in eodem situ minus obli
quus descensus. Quinta: Obliquiorem autem descensus in ea
dem quantitate minus capere de directo. Sexta: Minus graue
aliud alio secundum situm, quod descensum alterius sequitur
contrario motu. Septima: Situm aequalitatis esse aequalitatem
angulorum circa perpendiculum, siue rectitudi
nem angulorum, siue aeque distantiam regulae su
perficiei Orizontis.
Quaestio Prima.
Inter quaelibet grauia est uirtutis, et ponde
ris eodem ordine sumpta proportio.
Sint pondera a,b,c, leuius c, descendatque a,b, in d, et
c, in e. Itaque ponatur a,b, sursum in f, et c,i,h.
Di
co ergo quód quae proportio a,d, ad c,e, sicut a,b, pon
deris ad c pondus, quanta enim uirtus ponderosi tanta
descendendi uelocitas: at quae compositi uirtus ex uirtu
tibus componentium componuntur. Sit ergo a, aequale c.
Quae igitur uirtus a, eadem et, c.
Sit igitur proportio a,
b, ad c, minor quám uirtutis ad uirtutem. Erit similiter
proportio a, b, ad a, minor proportio quám uirtutis a,b,
ad uirtutem a, ergo uirtutis a, b, ad uirtutem b, minor pro
portio quám a, b, ad b. per 30. quinti Euclidis quód est in
conueniens. Similium igitur ponderum minor, et maior
proportio, quám uirtutum. Et quia hoc inconueniens erit,
utrobique eadem ideo a, b, ad c, sicut a, d, ad c, e, et e, con
trario sicut c, b, ad a, f.
Quaestio secunda.
Quum aequilibris fuit positio aequalis aequis ponderibus ap
pensis ab aequalitate non discedet: et si á rectitudine separa
tur, ad aequalitatis situm reuertetur. Si uero inaequalia appen
dantur, ex parte grauioris usque ad directionem declinare co
getur.
Aequilibris dicitur quando á
centro circunuolutionis bra
chia regulae sunt aequalia. Sit
ergo centrum a, et regula b, a, c, ap
pensa b, et c, perpendiculum f, a. Cir
cunducto igitur circulo per b, et c,
in medio cuius inferioris medietatis
sit e, manifestum quoniam descensus
tam b, quám c, e, per circunferentiam
circuli uersus e, et cum aeque obli
quus sit hinc inde descensus, quum sint
aeque ponderosa, non mutabit alter
utrum. Ponatur item quód submit
atur ex parte b, et ascendat ex par
te c, dico quoniam redibit ad aequali
tatem. est enim minus obliquus de
scensus a, ad aequalitatem, quám a, b,
uersus e. Sumantur enim sursum ar
cus aequales, quantumlibet parui qui
sint c, d, et h, b, et ductis lineis ad ae
quidistantiam aequalitatis, quae sint,
c, 2, l, et d, m, n. Item b, k, h, 6, y, t, di
mittatur orthogonaliter descendens
diametrum quae sit f, 2, m, a, k, y, e,
erit quód 2, m, maior k, y, quia sum
pto uersus f, arcu ex eo quód sit aequa
lis c, d, et ducta ex transuerso linea
x, r, s, erit r, 2, minor 2, m, quód facile demonstrabis. Et quia r, 2, est ae
qualis k, y, erit 2, m, maior k, y. Quia igitur quilibet arcus sub c, plus ca
piat de directo quám ei aequalis sub b, directo est descensus a, c, quám a, b,
et ideo in altiori situ grauius erit c, quám b, redibit ergo ad aequalitatem.Sit item b, grauius, quám c, et po
nantur aequaliter, quia ergo utrobi
que est aeque obliquus descensus pa
tet, quia b, descendit. Ponatur etiam
b, inferius, ut libet, et, c, superius: di
co quód etiam in hoc situ erit gra
uius b, dimittant enim directae lineae
c, d, et b, h, et contingentes circulum
sint b, l, c, m, et sit arcus c, z, simi
lis, et aequalis, et in eodem situ cum
arcu b, e, quem et linea c, m, contin
get. Et quia obliquitas arcuum b, e,
uel c, z, est angulus d, c, z, et obli
quitas arcus, c, e, est in angulo
d, c, m, atque proportio anguli
d, c, z, ad angulum d, c, m, est
minor qualibet proportione,
quae est inter maiorem, et mi
norem quantitatem. Minor et
erit, quám pon
deris b, ad pondus t. Quomodo ergo plus ad
dat b, super c, quám obliquitas
super obliquitantem grauius
erit b, in hoc situ, quám c, hac
rationem non definet b, descen
dere, et, c, ascendere, usque f, e, q.
Quaestio tertia.
Omne pondus in quam
cunque partem discedat ab
aequalitate secundum situm
fit leuius.
Svpra enim locum aequalita
tis duo loca signentur super,
et infra, et ab omnibus arcus
resecentur ab inferiore aequales, ut
libet parui, et qui est sub loco ae
qualitatis plus capiet de directo.
Quaestio quarta.
Quum fuerint appensorum po
ndera aequalia, non faciet nutum
in aequilibri appendiculorum in
aequalitas.
Sit responsa a, b, c, centrum c, et
appendicula a, d, et b, e, longius au
tem b, e, appensa b, e, descendatque c,
z, y, orthogonaliter quantumlibet, et
ductis d, z, et e, y, aeque distantibus re
spondere, et positis centris in z, et y,
circunducantur quartae circulorum
per d, et, e. Et quoniam d, z, et e, y,
sunt aequales, erunt et quartae circu
lorum aequales. et quia per illorum
circunferentias est descensus d, et c,
quum aeque ponderosa sint d, et e, et
aeque obliquus, descensus in hoc situ
aeque grauia erunt. Non ergo nuta
bit hinc, uel inde responsa. Quod
autem per illas sit illorum descensus,
sic constet. Describatur enim semi
circulus circa centrum c, secundum
quantitatem b, et a, et dimittatur a,
in m, et b, in n, descendantque ab m,
et n, ad quartarum circunferentias
lineae m, x, et n, h, aeque distantes c,
x, dico quód m, x, adaequatur a, d, et
n, h, aequalis est b, e, quod patet ductis
lineis z, x, y, h. Quum ergo semper de
scendant a, et b, per hunc semicircu
lum descendunt etiam d, et e, per de
scriptas quartas, et hoc fuit demon
strandum.
Quaestio quinta.
Si brachia librae fuerint inae
qualia, aequalibus appensis ex
parte longiore nutum faciet.
Sit responsa a, c, b, et sit a, c, longior
quám c, b. dico quód appensis aequa
libus ponderibus, quae sint a, et b. de
clinabit ex parte a, dimissa enim perpen
diculari c, f, b, circinentur duae quartae cir
culorum circa centrum c, quae sint a, b, et
b, f, et eductis contingentibus ab a, et b,
quae sint a, e. et b, d, palam est minorem
esse angulum e, a, b, contingentiae, quám
d, b, f, et ideo minor obliquus descensus
per a, b, quám per b, f. grauius ergo a,
quám b, in hoc situ.
Quaestio sexta.
Si fuerint brachia librae pro
portionalia ponderibus appe
nsorum ita, ut in breuiori grau
iter appendatur, aeque gra
uia erunt secundum situm ap
pensa.
Sit ut prius regula a, c, b, appensa
a, et b, sitque proportio b, ad a, tam
quam a, c, ad bc. dico quód non
nutabit in aliqua parte librae. sit enim
ut ex parte b, descendat, transeatque
in obliquum linea d, c, e, loco a, c, b, et
appensa d, ut a, et e, ut b, et d, b, linea orthogonaliter descendat, et e, h,
ascendat. palam quoniam trianguli d, c, b, et e, c, h, sunt similes, quia pro
portio d, c, ad c, e, quám d, b, ad e, h, atque d, c, ad c, e, sicut b, ad a, ergo d, b,
ad e, h, sicut b, ad a, sit igitur c, l, aequalis c, b, et c, e, et l, aequatur b, in pon
quales, erit d, b, ad l, m, sicut b, ad a, est sicut l, ad a, sed ut ostensum est a,
et l, proportionaliter se habent ad contrarios motus alternatim. Quod igi
tur sufficiet attollere a, in d, sufficiet attollere l, secundum l, m. Quum er
go aequalia sint l, et b, et l, c, aequale c, b, l, non sequitur b, contrario motu,
neque a, sequitur b, secundum quód proponitur.
Quaestio settima.
Si duo oblonga per totum similia, et quantitate, et ponde
re aequalia appendantur ita, ut in alterum dirigatur, alterum
orthogonaliter dependeat, ita etiam, ut termini dependentis
et medii alterius eadem sit a centro distantia, secundum nunc
situm aeque grauia fient.
Sint termini regula a, et b, centrum c, ut appensa qui
dem dirigitur secundum situm. Resp. ad aequedistan
tia orizontis sit, adde medium eius d, et alterum de
pendes b, 6,. fit tunc b, c, sitque b, c, tamquam c, a, d.
Dico quód
a, d, c, et b, 6, in hoc situ aeque grauiora sunt. Ad huius
euidentiam dicimus, quód si responsa ex parte a, sit ut c,
e, et appendantur in a, et e, duo pondera aequalia, sicut
z, et y, et duplum utriusque appendatur ad b, quod sit
x, l, erit etiam in hoc situ x, l, tanquam z, et y, in pondere. Sint enim x, et
l, dimidia eius eritque pondus eius, x, ad pondus z, tanquam b, c, ad c, e, per
praemissam, et commune pondus l, ad pondus y, in hoc situ, sicut ab b, c, ad
c, a, itaque erit x, l, ad z, et y, in hoc situ, sicut ad e, c, et a, c, duplum a, b, et
quia duplum b, c, est, ut c, a, et c, e, erit x, l, aequale z, et y, in pondere in
hoc situ, hac ratione, quoniam omnes partes b, 6, pondere sunt aequales, et
in hoc situ, et quaelibet duae partes a, d, e, aequaliter a, d, distantes sunt in pon
tum toti.
Quaestio ottaua.
Si inaequalia fuerint brachia librae, et in cen
tro motus angulum fecerint: si termini eorum
ad directionem hinc inde aequaliter accesserint:
aequalia appensa in hac dispositione aequaliter
ponderabunt.
Sit centrum c, brachia a, c, longius
b, c, breuius, et descendat perpen
diculariter c, e, 6. supra quam per
pendiculariter cadant hinc, inde a, 6. et b, e, aequales.
Quum sint ergo ae
qualia appensa a, c, b, ab hac positio
ne non mutabuntur, pertranseant enim
aequaliter a, 6, et b, e, ad k, et z, et
super eas fiant portiones circulorum
m ,b, h, z, k, x, a, l, et circa centrum
c, fiat commune proportio k, y, a, f,
similis, et aequalis portionis m , b, h, z,
et sint arcus a, x, a, l, aequales sibi at
que similes arcubus b, m, b, h. Itemque
a, y, a, f. si ergo ponderosius est a, quam
b, in hoc situ descendat a, in x, et a
scendat b, in m, ducantur igitur lineae
z, m, k, x, y, k, f, l, et m, p, super z, b,
stet perpendiculariter etiam x, e, et
f, d, super k, a, d, et quia m, p, aequa
tur f, d, et ipsa est maior x, t, per si
miles triangulos erunt m, p, maior
x, t, quia plus ascendit b, ad rectitu
dinem, quam a, descendit. quod est
impossibile, quum sint aequalia: desce
ndat ratione b, in h, et trahat a, in l,
et cadant perpendiculariter h, 2, super b, z, et l, n, et y, o, super n, m, fiet
l, n, maior y, o, et ideo maior, h, r, vnde similiter colligitur impossibile. Ad
maiorem autem euidentiam describamus aliam figuram, hoc modo. Esto linea recta i, k, e, n, z, et circa centrum c, hinc inde duo semicirculi y,
a, e, z, k, b, d, n, et transeat lineae aequedistantes á diametro a,f,e, et b, l,
d, directequeque perpendiculares hinc inde fiant aequales ut b, l, et e, f, pertra
ctis recte lineis e, b, c, a, d, c, e, positio quód pondera sint aequalia m, a, b, d,
e, f, in hoc situ aeque ponderosa erunt. Ducte enim lineae b, a, b, x, f, b, e, d,
a, d, f, d, e, omnes secabuntur per aequalia apud diametrum, veluti b, x, f,
et ita omnes diuisae erunt per medium. quare ergo in medio omnium sint
centra posita, sicut sunt pondera posita aequaliter, ergo ponderant: subti
lius tamen quaedam differentia potest perpendi: ut sit a, ponderosius quám
b, et b, quám f, et f, quám d, et d, quám e, nec tamen potest d, eleuare e,
statim enim proportio lineae d, e, uersus e, fieret maior, sed e, potest nutu facto
trahere b, et b, similiter a, et d, a, et a, d, et b, f, et f, b. donec circumuo
luta dependeant ut sit angulus supra centrum, sub ipso enim motu b, infe
rius crescet semper pars lineae b, a, uersus b, et fiat b, grauius.
Quaestio nona.
Aequalitas declinationis identitatis ponderis.
Declinationis aequalitas tantum in uia recta conseruatur, et ipsa sit
in linea a, b, et recte descendens linea sit a, c, sintque in a, b, duo loca
d, et e. Sive ergo á d, descendat quodlibet pondus, siue ab e, eiusdem
ponderis erit, aequales enim partes sub d, et, c, sumptae aequaliter capiunt
de directo, quod patet ductis perpendicularibus ad a, c, a, b, eisdem locis
quae sint e, f, h, 6. l, et dimissis orthogonaliter super illas d, k, et e, m, li
neas, vnde siue excedatur pondus supra a, b, siue simul ponatur vnius pon
deris est.
Quaestio decima.
Si per diuersarum obliquitatum uias duo pondera descen
dant, fiantque declinationum, et ponderum vna proportio, eo
dem ordine sumpta vna erit utriusque uirtus in descendendo.
Sit linea a, b, c, aequedistans orizonti, et super
eam orthogonaliter erecta sit b, d, á qua descen
dant hinc, inde lineae d, a, d, c, sitque d, c, maioris
obliquitatis proportione igitur declinationum dico
non angulorum, sed linearum usque ad aequedistan
tem resecationem, in qua aequaliter sumunt de dire
cto. Sit ergo e, pondus super d, c, et h, super d, a, et
sit e, ad b, sicut d, c, ad a, d. Dico ea pondera esse vni
us uirtutis in hoc situ, sit enim d, k, linea vnius ob
liquitatis, cum d, c, et pondus super eam. ergo aequa
le est e, quae sit 6. Si igitur possibile est, descendat e,
in l, et trahat h, in m, sitque 6, n, aequale h, m, quod
etiam aequale est e, l, et transeat per 6. et h, perpen
dicularis, super d, b. Sitque 6, h, y, et ab 1, sit l, t, sunt
et tunc super 6, h, y, n, z, m, x, et super l, t, erit e, r,
quia igitur proportio n, z, ad n, 6, sicut ad d, 6, d, y,
propter similitudinem triangulorum, et ideo sicut
d, b, ad d, k, et quia similiter m, x, ad m, h, sicut d,
b, ad d, a. Erit propter aequalem proportionalitatem per
turbata m, x, ad n, z, sicut d, k, ad d, a, et hoc est
sicut 6, ad h, sed quia r, e, non sufficit attollere 6, in
n, nec sufficiet attollere m, in m, sic ergo manebunt.
Quaestio vndecima.
Quum sit responsa libre vnius ponderis,
et grossiciei per totum: et ipsa in pondere
data super inaequalia diuidatur, atque ex
parte breuiore dependeat aequabiliter pon
dus datum, erunt et portiones, et regulae,
quae sunt a centro examinis similiter datae.
Sit responsa a, b, c, data in pondere, et aequalis in grossicie, et dependeat
aequalis b, c, et in medio a ,e, notetur
z, á quo dependeat pondus h, aequa
le a, e, et in eo etiam situ aeque pon
derabit. Quia ergo in hoc situ aeque
ponderant h, et d, eritque proportio d,
ad h, ea z, b. ad b, c, et permutatim
quae proportio d, ad z, b, ea est a, e,
hoc est h, ad b, c, et coniunctim quae
proportio d, et dupli z, b, hoc est a, c,
ad z, b, ea est a, e, et dupli b, c, hoc est
e, c, ad b, c. Si ergo tota a, b, c, ducatur
in suum dimidium, et perductum diui
datur per d, et a, c, quod totum est da
tum, exibit b, c,. datum.
Quaestio duodecima.
Quod si portiones datae fue
rint, et pondus datum erit.
Cum enim ut praemissum est d,
pondus cum tota a, c, sit ad eius
dimidium, sicut tota a, c, ad b,
c. cum sint a, b, et b, c, datae, si ducatur
a, c, in suum dimidium, ut prius, et pro
ductum diuidatur per b, c, exibit pon
dus d, et tota a, c, detracta ergo a, c,
relinquitur pondus d, datum.
Quaestio tertiadecima.
Si uero pondus datum fue
rit, et pars cui appenditur da
ta, totum quoque datum erit.
Verbi gratia d, pondus datum
sit, et b, c, portio data.
Quia
igitur d, ad h, siue ad e, a, sicut
z, b, ad b, e, erit, quód ex ductu d, in c,er
go quod ex ductu d, in c, b, bis aequale ei
quod ex ductu a, e, in z, b, bis, et hoc est
in totum a, c, ergo quod es d, in c, b, bis
cum quadrato e, b, est aequale ei, quod ex
a, e. in a, c, cum quadrato c, b, sed quod
ex a, e, in a, c, cum quadrato c, b, ualent
quadratum a, b, per primam, et quartam
secundi Euclidis, in materijs igitur quod
ex ductu d, in c, b, bis cum quadrato c, b,
ualent quadratum, a, b, sed quod ex du
ctu d, in c, b, bis cum quadrato c, b, est, quoddam datum cum d, et c, b, sint
data ergo quadratum a, b, est datum: ergo eius radix, scilicet a, b, est da
ta, cum sit datum quod fit ex d, in b, c, erit et quod ex z, b, in e, a, datum. quare et quod ex z, b, m, z, e, quorum cum sit differentia data, erit utrun
que eorum datum: sicque tota a, b, c. data hoc opus est, ut ei quod fit ex d,
in b, c, bis addatur quadratum b, c, et compositi radix erit a, b. In hac non
ponderandi ratione hic incidunt generalia, scilicet quód quadratum d, c, b,
est tanquam quadratum d, et quadratum b, a. Quod enim fit ex d, in c, b,
bis est quadratum, quod ex tota c, a, in ea, quare ex d, in c, b, bis cum qua
drato c, b, est quantum quadratum b, a. Quadratum ergo d, c, b, ut quadra
ta d, et b, a, amplius quod fit ex d, c, h, in c, b. bis est, ut quadratum c, b,
et quadratum b, a, quod enim fit ex d, in c, b, bis cum quadrato c, b, est, ut qua
dratum b, a, quare quod est d, in c, b, bis cum quadrato c, b, bis et hoc est
quod fit ex d, c, b, in c, b, bis erit, ut quadrata b, a, et b, c. amplius quadratum
d, c, b, et quod fit ex d, c, b, in c, b, a, bis est, ut quadrata c, b, a, et d, b, a, erit
h, quadratum d, c, b, et quod fit bis ex d, c, b, in c, b, tamquám quadrata d,
et b, a, et b, a, et b, e, et tunc fit bis, ex d, c, b, in b, a, est ut quod est, d, at
que c, b, in b, a, bis, et sic patet, quod dicitur.
Quaestio quartadecima.
Quod si pondus datum sit, et pars opposita, data similiter o
mnia data erunt.
Eadem ubique depositio, et d, atque b, a, data sunt, et quadrata eo
rum coniuncta data erunt, quae sunt, ut quadratum d, c, b, cuius radix
quae est d, c, b, data erit. dempto ergo d, relinquitur c, b, datum, et sic
ota a, b, c, data erit.
Quaestio quintadecima.
Si responsa dati fuerit ponderis, et pondus appensum cum
parte, in qua dependet fecerit quod datum, utrunque eorum
datum erit.
b, a, bis. de quibus dempto quadrato a, b, c, relinquitur quadratum d, b, a,
datum erit ergo d, b, a, datur et ipsius ad d, c, b, differentiam da
ta, quae est differentia a, b, ad b, c, sicque
utrunque erit datum. Et similiter d,
eadem ratione, si data a, b, c, fuerit d,
b, a, datur erunt omnia data: quia
enim quadrata a, b, c, et d, b, a, sunt,
ut quadratum d, b, c, et quod fit ex
ipso in a, b, c, bis, erit quadratum d, a,
b, cum duplo quadrati a, b, c, tanquam
quadratum compositi ex a, b, c, et d,
b, c, quod cum sit datum, et a, b, c, da
tum erit, et d, b, c, datum, sicque ut prius
b, a, et b, c, et d, data amplius scilicet d, c,
b, et d, b, a, data non autem a, b, c, erit
quoque et ipsa data, et singula da
ta, quum sit enim quadratum d, b, c,
ut quadratum d, et quadratum b, a,
detracto eo de quadrato d, b, a. relinquitur, quod fit ex d, in b, a, bis datum,
quare utrunque datum.
Quaestio sextadecima.
Si brachia librae fuerint data pondere, et breuius in duo se
cetur similiter data, et a sectione pondus dependeat quod li
bram inaequalitate componat, ipsum quoque datum esse de
monstrabitur.
Sint brachia librae ut prius a, b, longius b, c, breuius quod secetur in e, de
pendeatque pondus d, quod libram inaequalitate conseruet, dependeat au
tem et a, quum pondus h, quidem operetur. Quia igitur tam h, quám
d, cum c, b, ponderat ut b, a, dempto b, c, aequale erit d, in pondere ad h, in sicut igitur b, c, ad b, e, et d, ad h.
quumque sit h, datum, et d, datum
erit. Amplius et si d, datum esset, atque c, e, et c, b, data fierent b, a, et a, c,
data. Sicut etiam b, c, ad b, e, et d, ad h, in eadem proportione.
quare h, datum
ob hoc etiam b, a, data erit. Similiter ratione, si d, pondus fuerit datum, et
a, b. et b, c, data erunt b, e, et, c, e, data.
quia enim a, b, et b, c, data sunt,
erit et h, datum. atque sicut d, ad h, ita c, b, ad b, e, quare b, e, datum erit.
Quaestio decimaseptima.
Quod si a breuiore duo dependeant pondera, alterum ter
mino, alterum a sectione, quae regulam in aequedistantiam con
seruent, compositumque ex ipsis datum sit singulis Responsae se
ctionibus existentibus datis, utroque appensorum data erunt.
a, b, b, c, et sectiones datae b, e, e, c,
et ponderantia h, et d, sitque y. aequale d, ut sit totum h, y, datum.
sit
tunc t, pondus, quod dependens a, c,
aequalitatem faciat, cuius ad h, y, dif
ferentia data sit z, et quia t, est in
pondere, ut h, d, h,y, erit maius pon
dere quam h, et d, quantum est z,
ergo y tantum est pondere, quantum
d, et z, sed y, ad d, in pondere est, si
cut b, c, ad b, e, ergo y, ad z, sicut b, c,
ad e, c, et quia z, datum erit, et y, da
tum similiter. hoc amplius si h, et d,
data, atque c, e, et e, b, erit et b, a, da
tum. quia enim t, ad z. sicut b, e, ad c,
e, erit z, datum. Sitque t, atque a, b,
data. Amplius si h, et d, data, rationeque a, b, et b, c, erunt b, e, et e,c, data.
quia enim a, b, et b, c, data erit t, datum. et ob hoc z, et quia b, c, ad c, e,
sic d, ad z, erit c, e, datum. Amplius simili de causa si b, a, et b, c, data at
que b, e, et c, e. sitque d, datum, siue h, siue differentia eorum, siue propor
tio, omnia data erunt.
Quaestio decimaoctaua.
Si sectiones librae sunt adinuicem datae, pondusque datum in
dera data alterum in termino, alterum insectione appensa, re
gulam in aequedistantiam constituant, ipsa quoque in pondere
data erit.
a, b, ad c, b, datur in proportio
ne appendaturque pondus d, ela
tum aequabiliter ex parte c, duo ergo
a, b, c, datam esse in pondere. Ponatur
enim ipsa alicuius noti ponderis quod
diuidatur secundum proportionem a,
b, a, d, et c, b, ponaturque maius a, b,
et minus e, b, et secundum hoc inue
nietur pondus d. sicut ergo se habet pon
dus d, prius sumptum ad posterius sum
ptum, ita se habebit pondus a, b, c, ad
pondus positum. Si enim maius, uel
minus, et t, similiter maius, uel minus
quám positum est, erit quód si, d, in e
dependeat, et data sit c, b, ad e, b, da
tum erit, et t, aequaliter pendens a, c,
quód si d, et h, data sint, similiter et
t, datum erit. quod quoniam datum
est, datum erit pondus a, b, c.Commen
tum respicit prius schema praecedentis
propositionis.
Si responsa dati ponderis per
inaequalia diuidatur, et alter mi
nus ipsius data pondera appen
dantur, quae in aequalitate con
sistant, brachia quoque librae a
centro, examinis data erunt.
Verbi gratia, dependeat ex a pon
dus d, et a, c, pondus utrunque
et sit b, z, aequalis b, c, et diui
deat e, sitque y, tanquam a, t, z. eritque proportio e, ad h. y, sicut c, b, ad b, c,
et permutatim e, ad c. sicut y, h. siue h, cum a, z, ad b, c. quare sicut e, cum
c, b, ad c, b, ita h, cum b, a. ad b, c. Itemque h, ad d, sicut a, b. ad c, h. erit ad a,
b, sicut d, ad c, b. Itaque d, et c ,b, ad c, b, sicut h, et a, b.
Igitur e, cum c, b,
ad d. sicut cum c, b, sicut a, b, ad b, c, et coniunctim sicut e, d, cum a, b, c, aeque
quae est dupla c, b, ad d, cum c, b,. Ita tota a, b, c, ad a, b, c.
Si ergo a, b, c, duca
tur in d, et c, b, perductum diuidatur per d, e, et a, b, c, simul exibit b, c, da
ta. Amplius si data a, b, c, fuerint a, b. et b, c, datae, et totum d, e, datum,
et d, et c. erit datum. Amplius si illis datis fuerint, uel d, uel e, datum,
erit reliquum datum. Amplius si d, et e, data sint, et proportio a, b, et b, c,
data, erit tota a, b, c, data. Quia enim e, cum c, b, est data ad d. cum c, b, quon
iam sicut a, b, ad b, c, et quia d, et e. data sunt, erit et c, b. atque a, b, c, to
ta data. Amplius si datum a, b, et b, c, fuerit proportio e, ad d. data erit,
utrunque eorum datum.
Quaestio vigesima.
chii pondus datum appendatur,
quod alicui dato, et a termino
alterius dependenti in ponde
re aequentur altera sectionum li
brae data, reliqua data erit.
Haec habentur ex praemissa,
quia mutua est inter pondera,
et remotiones proportio. Di
uisiones quoque huius plures sunt ue
luti in praemissa.
Quaestio uigesimaprima.
Quod si a termino, et a sectio
ne unius brachii duo pondera
data dependeant, quae tertio in
termino alterius in aequalitate
respondeant sectionibus regulae
datis, illud tertium datum erit.
deat d, et 3. et a, c, depen
deat e, h, 1. penderetque e ut v.
et h, ut 3. et b, 1, cum b, e, quantum
a, b. eritque singulum eorum datum,
quare totum datum. Amplius si e, h,
1. datum est, proportio v. ad 3. data,
quodlibet eorum datum erit, dependeat
ex a, d, g. quód in pondere respondeat
ad e, h, 1. proportio igitur ad 3. data,
atque 3. ad d, quare g, ad v. quumque
g, s, sit datum, erit utrunque datum,
et 3. datum. Aliae quoque plures diuisiones intercidunt.
Quaestio vigesimasecunda.
Si duo pondera alterum in
termino, alterum in sectione
longioris brachii suspensa duo
bus datis ponderibus, et a ter
mino breuioris dimissis in pon
dere aequentur, locis suis alter
natis, singula eorum data erunt.
a, t, suspen
sa sint. dimissum itaque 3.
ad
a, et d, a, t, respondeant h, in
i, pondere tunc sumptis aequalibus d,
et 3. quae sint m, et n, pendeat m,
cum 3. in t, et n, cum d, in a, ponde
rabunt simul quanto c, h, quod quum
sit datum, et d, n, aequale in 3. erunt
ipsa data, sicque et d, et 3. datum erit.
Quaestio vigesimatertia.
Si supra regulam in perpendiculo centro motus posito quan
tumlibet pondus utralibet parte dependeat non erit possibile
illud usque ad directum centri descendere.Sit responsa a, b,
c, perpendiculum b, u, e, cen
trum d, et sit a, pondus ma
ius, quám c, ducantur ergo lineae d,
a, d, e, et pertranseat d, a, a, 3,. do
nec sit d, a, 3, ad d, a, tamquam a pon
dus ad c, sitque , 3, ponderet ut c. Quia igitur tria pondera a, c, 3, sic
dependent in a, b, c, atque reuo
lutio eorum circa centrum d, quare
essent in lineis d, a, 3, et d, c, sed po
sitis ita ipsis tantum uellet 3, dista
re a directo d, quantum , et c, distabit
quoque et a, proportionaliter a dire
cto eiusdem non ergo ad directum
quum poterit pertingere.
Quaestio uigesimaquarta.
Quum sit igitur distantia cen
tri a medio. Responsae ad longi
tudinem ipsius data ponderaque
appensa ad pondus regulae da
ta erit perpendiculi declina
tio data.
Sit regula, quae directum determi
nat h, d, l, 3, et c. ut prius, decli
netque regula ex parte a, donec
linea h, d, l, 3, secet in l, quasi ergo
centrum exanimis esset in l, sicut si
ta est. Responsaquum ergo sine pon
dera data, et regula , erunt sectio
nes. Responsae quae sunt a, l, l, c, datae
quasi longitudo utriusque ad b, d, da
ta erit similiter et l, b, quia etiam
angulus l, d, b, datus erit , et est ut
angulus c, u, h, et ipsa est declina
tio perpendiculi a directo data.
Quaestio uigesimaquinta.
Si uero sub regula centrum designetur, uix continget in hoc
situ stabiliri pondera.
perpendiculum d, b, e, sitque e, cen
trum sub Responsa, et pondera a,
et c, ductis igitur lineis e, a, e, c, qua
si inde ipsis, sint, sic sita sunt ponde
ra. ipsius igitur in hoc situ aeque pon
derantibus si fiat qualitercunque nu
tus in alterutra partium ueluti in a,
crescet ex parte a, portio. Responsae
usque ad rectitudinem quae signetur
h, l, 3, ut sit communis sectio ipsius, et
regulae in l, sicque grauius reddetur con
tinue donec circumuoluatur regu
la sub e.
Quaestio uigesimasexta.
Possibile est igitur Respon
sa aeque distantis collocata quan
tumlibet pondus in alterutra
parte suspendere, quae regulam
ab aequalitate non separet.
Sic regula a, b, c, centrum b, linea
directionis d, b, e, sitque Responsa
suo pondere in aequalitate sita. Sumatur igitur alia Responsa aequa
lis grossiciei, et ponderis, quae sit h, t,
3, posito t, in eius medio, sitque portio
regulae h, b, in utralibet parte minor
longitudine quam sit h, t, et pendeat regula h, t, 3, ab h, fixa ut t, sit in dire
cto sub b, secta a linea directionis in t, dico ergo ipsa ita dependens non fa
ciet mutare literam, sita est enim quasi si traheretur linea b, 3, et in ipsa
linea b, h, dependeret omnesque partes eius aequaliter a, t, distantes aeque
ponderarent, distant enim aequaliter a linea directionis, quia t, 3, ponde
rant, quantum b, t, t, h, non ergo fiet nutus, sed et super hoc si quolibet pon
dus suspendatur a, t, non faciet, hinc uel inde nutum.
Quaestio vigesimaseptima.
Quolibet ponderoso ab aequalitate ad directionem eleua
to secundum mensuram substinentis in omni positione pon
dus ipsius determinari est possibile.
liter ponderis situm aequaliter et fixo
b, eleuetur in a, donec directum sit c,
b, mota a, quae suo describat quartam cir
culi ab a, in c, sitque situs aequalitatis pri
mus directionis dicatur ultimus, et quando di
uidit arcum a, c, per aequalia, sic ipsa b, d, et
situs medius, et quum eleuatum fuerit secun
dum mensurarum substinentis, sit b, e, et per
pendicularis e, l, sit pro eleuante, et sit hic
situs secundus. In situ uero .3. sit b, f, sitque
arcus f, d, aequaliter d, e, dico igitur ipsum
semper leuius fieri usque in f, aeque graue
ut in e, et inde item semper leuius usque
ad c, possibile alius leuius esse in a, quam in
d, et grauius, et aeque graue pro quanti
tate e, l, sit enim g, h, aequaliter e, l, ut or
thogonaliter erecta, donec contingat d, b,
in h, et dimittatur d, k, recte super a, b. Si
igitur g, fuerit in medio a, b, tunc g, h, ae
quum erit eius dimidio, scilicet dimidio a,
b, quia é aequale g, b, quum sit d, b, in d, ad
pondus a, b, sicut linea b, k, ad b, a, atque
pondus eius in d, ad pondus eius in h, ut b,
g, ad b, k, quum sit b, g, ad b, k,
sicut b, k, ad b, a, quia sunt consequenter proportio
nali erit pondus d, b, in h, tanquam pon
dus a, b, quia habent eadem proportionem
ad pondus d, b, in a, quod si g, sit uersus b,
erit in h, maius pondus, quam in a, si uero
uersus a minus sit, item in u, perpendicu
laris aequaliter e, l, quia b, k, haberet ma
ior proportio ad b, g, quam ab ad b, k, et
gens b, f, in e, u, m, transeatque linea e, u,
p, et ducantur perpendiculares f, r, f, x,
ad b, a, b, c.
ad pondus f, b, ut l, b, ad r, b, siue x, b, ad
p, b, a puncta f, et e, aequedistent (ex
hypothesi) a punctis c, et a, siue a puncto
d, pondusque f, b, in u, ad pondus eius in f,
sicut f, b, ad u, b, siue r, b, ad m, b. Et quia
x, p, ad p, b, sicut r, b, ad m, b, erit pon
dus e, b, ad pondus f, b, sicut pondus f, b,
in u, pondus eius in f, tantum ergo est
pondus e, b, in e, quám f, b, in u, quia figu
rae, a, b, p, est similis figurae, f, r, b, c, (quod
facile probabis) et figura a, u, m, b, p, circa diametrum f, b, (per sextum Eu
clidis) erit similis eisdem. Ideo sicut b, l, ad b, r, sic b, r, ad b, m, et ideo si
cut b, e, in e, ad pondus b, f, m, f, sic erit idem pondus f, b, in u, ad idem pon
dus f, b, in f, et ideo (per quintam Euclidis) pondera e, b, in e, et b, f, in u,
erunt aequalia. Quod autem in e, sit leuius, quám in h, probatur quia d,
h, est longior, et est etiam d, r, maior, quám e, z, et angulus b, e, 3, minor
angulo u, k, z.
Quaestio uigesimaoctaua.
Mundus non in medio descen
dens breuiorem partem secundum
proportionem longioris ad ip
sam grauitatem redditur.
dus e. Diuidatur autem e, in d, ac f, ut
sit d, ad f, sicut a, b, ad b, c. Si igitur su
spenditur d, in c, et f, in a,
tanti ponderis quodlibet eo
rum, quanti e, intellecto quód
in opposita, sit quasi cen
trum librae. substinentibus igi
tur in a, et c, pondus c, de
pendens a, b, erit grauitas
in a, ad grauitatem c, sicut
c, b, ad b, a.
Quaestio vigesimanona.
Omne medium impedit motum.
rit medium sit t, ponaturque c, quasi instan
tia, quae sit t, e, d. Si igitur c, nullius fuit
grauitatis si non impedit motum a, b, descenden
te quum impellatur ab ipso, cogetur descendere
et sic erit ut grauitatem habens, poterit ergo
descendens ex parte e, ad pondus ex parte d,
attollere, aeque ergo constabat a descensu suo
impellere d, quia attollens d, non impedietur a
uelocitate sua, quod est impossibile. Quod sic
ponderosum finite, si non mouetur quod ipsum
impedit, habebit eam ab aqua tenus impedire,
si mouetur, quum a, b, ipsum consequetur, erit a,
b, grauius quo uelocius sitque 3, aequale a, b, in
pondere, possibile igitur est 3, ex parte 3, po
situm motu c, descendere, et attollere ad pon
dus ex parte d, fietque tunc 3, in pondere ut c. si igitur a, b, non impeditur impellendo, non
impedietur impellendo 3, similiter ergo quum
moueantur a, b, et 3. motu naturali, non im
pediuntur in attollendo d, quod totum est im
possibile.
Quaestio trigesima.
Quo ponderosius est pro quod fit tran
situs, eo in transeundo difficilior fit de
scensus.
Huiuscemodi per quod fit transitus sunt
aer et aqua, et alia liquida, quod igi
tur ponderosius est ipsum sit a, b, c, quod
leuius sit d, e, f, quodque transit t, transiens au
tem per illa, offendat in b, et e. Est autem b, gra
uius, quám e. Quumque ad descendum impedian
pedit b, quám quód impedit c, quia autem t, habet, eodem offendendi impe
dimento, plus offendetur in b, similiter infra b, et e, aequaliter, si sursum
pellatur, tardioris erit motus in b.
Quaestio trigesimaprima.
Quod maius coheret, plus substinet.
scendens t, quae cadens offendat in b, ad hoc
ergo, ut per transeat, habet a, b, separari
a, b, c. Quo ergo cohaeret, uel plus substinebunt
t, ut non moueantur ante operationem suam,
uel si moueatur, plus habet e, a, secum trahere
coniuncta. plus ergo impedient, et ideo prius.
Quaestio trigesimasecunda.
In profundo magis est descensus
tardior.
Sit profundum a, b, g, d, lineis conclusum, et partes, per quas sit descen
sus sine e, f, k, profundior e, partes collaterales e, b, et g, quanto igitur
liquor est profundior, tanto inferiores partes plus comprimuntur, ut
e, comprimitur enim et a superioribus et iuxta se positis. Quum enim
liquida sint b, g, comprensa a superioribus nituntur undique, euadere. Coar
ctant ergo e, ita, ut si f, cederet exiret in locum superiorem. Vnde manife
stum est, quód non solum e, sustinet f, sed nititur contra e, t, et e, o, magis
f, contra k, minusque ideo f, repelleret k si in f, profunditas terminaretur. Tunc enim solidum suppositum substineret tantum f, et non niteretur con
tra magis igitur, quum impediatur descensus k, in hoc situ quód si minor
esset profunditas, et e, magis impedietur.
Quaestio trigesimatertia.
Altitudo maior minuit grauitatem.
Vt superiorem formam repetamus, dicimus in omni liquido quam
libet partem inferiorem a qualibet superiori grauari, ut e non so
sit a, descendere i b, tendit et in e, quoniam liqui
dum est similiter, et f, ab b, omni superiori graua
tur, eo quód amplius quanto
a, b, latius. quanto igitur plus nititur contra. k, et ideo amplius
tardabitur descensus t, tertium grauitatis minuetur.
Quaestio trigesimaquarta.
fit descendendo uelocior.
In aere quidem magis in aqua minus, se
habet enim aer ad omnes motus. Res igi
tur grauis descendens primo motu tra
het posteriora, et mouet proxima inferio
ra, et ipsa mota mouetur sequentia, ita ut
illa mota grauitatem descendentem impe
diat minus. Vnde grauius efficitur, et ceden
tia amplius impelli, ita ut iam non impellan
tur, sed etiam trahant. Sicque fit, ut illius gra
uitas tractu illorum adiuuatur et motus
eorum grauitate ipsius augeatur, unde et
uelocitatem illius continue multiplicare
constat.
Quaestio trigesimaquinta.
Et enim si acutum, et strictum fuit, fa
cilius pertransit, et hoc dicitur leuius
enim separat, et sic fit leuius, minori
etiam ostendit, minus quidem impeditur, et
ob hoc etiam uelocius transit e, contra si ob
tusum est.
Quaestio trigesimasexta.
Omne motum plus mouet.
Si quid ex impulsu moueatur, certum est quód impelletur si autem mo
tu proprio descendat, quo plus mouetur, uelocius fit, et eo pondero
sius ad quae plus impellit motum, quám sine motu, et quo plus moue
tur, eo amplius.
Quaestio trigesimaseptima.
Quod motum plus impedit plus impellitur.
impedit c, et quod minus b, sitque
libra u, e, f, duoque pondera z, et
t, sitque a, quasi in d, suspensum, atque
in z, ab f, dependens, quum c, impe
diat omnino motum a, et t, cum b,
patet, ergo quód e, t, quám b, minus,
ergo a, t, adiuuat c, quám c, b, substi
nendum a, plus ergo grauatur c, pon
dere a, quám b, plus ergo impellitur.
Quaestio trigesimaoctaua.
Et grauius rei motae, et leuitas frustrare uidentur mouen
tis uirtutem.
Sic mouens a, b, et quod mouetur c, adeo ergo leue potest esse c, respe
ctu uirtutis a, b, ut eam non impediat, et ita uix impelletur. adeo er
go graue, quod uirtuti impellentis non cedat, uel et ideo modicum mo
uebitur, uel nihil, utrobique ergo uidetur frustrata uirtus impellentis, quia
non confert ad motum rei in rapisse uel parum.
Quaestio trigesimanona.
Virtutem impellentis adiuuat circumactio ipsius, eó am
plius, quó fuit longius.
igitur impellat a, b, c, impellat e, in c, et
moueatur a minus impellet, quám si figa
tur a. Ponderosius est enim c, in situ aequa
litatis, quám si dimittatur a, ut ostensum est. Manete item a, plus impelletur e, in c, quám
in b, quia grauius in c. Item circumactum c,
manete a, plus impellet, quám utroque prius
non moto. quia motum plus eó etiam maius, quó longius dicitur.
fixo enim
a, in centro circumacta b, et, c, describent arcus circulorum, et maiorem e. Quum ergo maius pondus in c, quám in b, et uelocius quoque motum mul
to amplius impelletur e, in c, quám in b, similiter etiam circumactum e, cum
c, magis mouebitur, quám si c, motum prius offendat. Si iterum centrum al
terius motus sit in b, ut c, b, t, circa ea: et iterum c, b, moueatur circa b,
et augmentabitur uirtus impellendi pro duplici motu, quám aequali tem
pore multo maiori circumitur, feretur.
Quaestio quadragesima.
Quod sustentatur in terminis circa medium, citius deprimi
tur, et eo amplius si impellatur. et hoc secundum formam im
pellentis, et quantitatem ipsius fit plurimus.
quoque si substineatur in a, et, c,
plus habebit deprimi circa b, uel
omnium substineat b, nisi continuitas
ad alia, quam quidem quandoque sub
stinet, quandoque non sufficit. omnino
etiam ex quo incipit descendere b, fit
magis ponderosum, quám inimus inci
pit esse pondus, in a, et c, porro, quan
to b, magis distat á terminis, magis pon
derabit, quám ipsa sunt in centrum librae, quoniam substentantur prae longi
tudine. ergo contingit aggrauari medium, ut rumpatur antequam di
rigatur. hoc autem magis contingit etiam b, impellitur, sicque duplicato
pondere citius directo continuitatis b, cum a, et, c, soluitur, atque magis sit,
si acutum fuerit impellens: magis enim impellet vnum, atque hoc etiam ut
e, soliditas continuitatis, et ponderis, et impulsui non cedant, siquae substi
dium semper fit grauius. hoc etiam si inuentus termino substineatur, fit et
si in altero, ut in a, quoniam si impellatur in b, quoniam grauius, fiet b, non
equetur c, circunuolutionem b, et rumpetur continuitas. alioquin plus
transiret c, quám b, quam si leuius esset minima soliditas in c, a.
Quaestio quadragesimaprima.
Quum medium detinetur facilius extrema curuantur.
detineatur, extrema impellantur, quòniam
motum eorum in partem, qua impelluntur
non potest sequi, oportet curuari, quoniam dire
ctam habet solui nisi connexio soliditatis im
pediat. quae quidem minus perfecit in a, quám
in b, et c, quám d, impulsa enim a, et e, quo
niam medij connexione detineri habent scilicet b,
et d, quum ipsa habilia sint ad sequendum,
quum in se non detineantur, minus impedietur
a, et e, continuitate ad c, sicque fit, ut quum ex
trema facilius cedant, in quo illis uiciuiora fa
cilius sequantur, contingat totum curuari in cir
culum. quanto igitur longius a, c, e, tanto le
uius extrema curuantur in eadem ratione, qua
et remotiora á centro librae ponderosiora sunt,
quoniam maiores arcus describunt eandem quoque: et in omnem partem
magis sequentur impellentem, si non pondus ipsum impediat. Notum etiam
quód super hoc quidem manente c, non magis impedit pondus a, quám pon
dus b, impellentem b, quoque ad ipsum pondus.
Quaestio quadragesimasecunda.
Magis impulsum plus cohaeret.
Haec impulsio sit a posterioribus, quae impulsa habent anteriora per
pellere. quae quoniam pondere suo aliquatenus resistunt, habent
media constringi. Vnde quando in latus declinantur, hinc etiam con
tingit, quód inferiora superioribus infixa, uel depulsis infiguntur.
Quaestio quadragesimatertia.
si motu directe offendantur, redit
directe.
Hoc quidem fieri habet per medium,
in quo defertur, siue aer, siue aqua, et
propter partium raritatem sit in quo
defertur b, idest aer, siue aqua, et materiam
a, in quo offendit c. Quia ergo a, mouet b,
quum recedat a, de e, loco suo, et impellat b,
de loco suo, oportet ut ad supplendum
loca posteri. reciperetur b, vnde eodem im
pulsu et permouetur, et retorquetur eo am
plius quum offendat a, in c, quumque b, ne
queat procedere pondere imminentis constru
ctum ponderosus refertur, et cum impetus
a, refractus sit in c, et ponderet solo iam in
uitatur. habet retrahi motum b, nisi pon
dus eius praeualeat, et directe. quia in om
nes partes aequaliter recedit b. Raritas uero
partium hoc idem operatur, quoniam prio
res partes a, quum prius offendantur in e,
urgentur mole, et impetu posteriorum, et
cedunt in se, sicque deluso impetu redeuntes
in locum suum, alias repelluntur recedendo,
separabiles sunt partes constrictae, hinc, inde
resiliunt.
Si quidem aliquod quo amplius conti
nue demissum descendit, tantum in priori
perstrictus efficiatur.
Exitus per quod egreditur a, b, et per prima pars c, quod quum descen
Item quum c, fuerit in u, fit f, e, in 3.
quare ergo
quo plus descenderit, ponderosius erit c, ponderosius in u, f, quám in a,b.
Quia uero dum e, peruenit in u, f, pertingit c, in 3. t, longius erit a, f, quám
f, 3. quia gracilius continue, quia partes uelociores, et sic tandem adrum
puntur.
Si res inaequalis ponderis in partem quamcunque impellantur, pars gra
uior occupabit.
Sit quod impellit a, b, pars grauior a.
Si ergo impellatur ex parte a, et
b, impellatur, quoniam leuius est, facilius cedet pulsui. quumque facilitatem
eius non sequatur a, frustrabitur quidem in se, et grauitate a, adiuuabit;
sicque totus uisus reuertetur ad a, habet ergo praecedere in suo impetu trahe
re b. Si uero b, posterius impellatur, et praecedat a, impulsum quidem b, im
pellet a, leuitas 3. attrectabitur mouendo a, et ideo prius impelletur a, quia
motum ipsius plus impedit, totoque conatu in plurium habebit trahere b, ea
finiter liber Ioradam de ratione ponderis.
Et sic finit.