MARINI GHETALDI
PATRICII
RAGVSINI
PROMOTVS ARCHIMEDIS
SEV.De varijs corporum generibus
grauitate & magnitudine
comparatis.
ROMAE,
Apud Aloy&longs;ium Zannettum. MDCIII.
REVERENDISSIMO
SERAPHINO OLIVARIO
RAZZALIO.
PATRIARCH AE
ALEXANDRINO.
MARINUS GHETALDUS. S.P.D.
Egregia &longs;anè Reuerendi&longs;sime
PRÆSVL quod probe no&longs;ti, vete
rum &longs;apientum fœlicitas fuit. Eam
enim cum ingenij præ&longs;tantia, tum
prærogativa temporis laudem occu
parunt, Et vero illis non &longs;olum nos plurimum de
bemus, quod plurima ip&longs;i perfecere: verum etiam quod
quædam qua&longs;i fundamenta iecere, quibus dum rerum
ri no&longs;tras vires, exercere indu&longs;triam, remque &longs;apientiæ
publicam amplificare po&longs;simus. Quo in genere magno
rum ego virorum &longs;tudium potius, quam gloriam æmu
latus &longs;uper vnum ex Archimedeis fundamentis, de ra
tione, qua varia corporum genera inter &longs;e grauitate &
magnitudine comparantur, fabricatus nonnulla &longs;um:
per&longs;onam, quam &longs;emper recu&longs;aui, patrocinium huiu&longs;
modi quærendum mihi exi&longs;timaui, quod & imbecillita
tem meam contra obtrectatorum, &longs;i qui forte exi&longs;terent,
calumnias &longs;u&longs;tineret; & imminentem famæ, exi&longs;timatio
ni&longs;que iacturam auerteret. Vnus igitur tu occuri&longs;ti SE
RAPHINE qui &
&longs;es, & quodam qua&longs;i iure deberes. Cum enim tu me ad
emittendum id opus hortatu tuo compuleris, videbatur
quodam iure ad tuam fidem eius tutela pertinere.
is es, quem non modo rudes, &longs;ed etiam docti &longs;u&longs;piciunt.
Habet no&longs;tra hæc ætas, quos admitetur; habet quos ex
tollat præclaros viros, &longs;ed quos tibi anteponat, non facile
inueniet. Degis ea in Vrbe, quæ laudis mediocritatem
vel nunquam agnouit, vel &longs;emper contemp&longs;it: neque in
tanta maie&longs;tate, tua deficit virtus, &longs;ed bono in lumine po
&longs;ita collucet magis. In primis enim tua vitæ integritas
elu&longs;modi e&longs;t, vt non contenta dome&longs;tico præcomo lati&longs;
&longs;ime peruagetur. Habent omnes quod prædicent, & imi
tentur; habet quod excipiat grati&longs;sima memoria po&longs;te
ritas vniuer&longs;a. Doctrinæ vero ea excellentia es, vt ea &longs;atis
omnibus clarus, & illu&longs;tris, non &longs;atis tibi,
certes. nec mirum, qui vel à primis incunabulis ad &longs;um
ma contendebas, &longs;i prouecta iam ætate vix habeas, quo
altius contendas. Præclarum &longs;anè & eximium vno do
ctrinæ genere; &longs;ublime, atque admirabile multiplici ex
cellere. Tu vero în omni genere laudem egregiam a&longs;&longs;e
cutus es ab&longs;olutam videlicet tibî gloriam propo&longs;itam
volui&longs;ti;
temnendam puta&longs;ti. Placet incredibili rerum humana
rum v&longs;ui diuinarum rerum cognitionem adiungere; vt
habeat animus à caducis ad æterna, &longs;e conferendo, vnde
oblectamentum capiat, & admirationem. Philo&longs;ophiam
ita tenes, vt qui in maximis negotijs a&longs;sidue ver&longs;atus es,
videaris &longs;emper fui&longs;&longs;e otio&longs;us. Quid dicam de &longs;ingulari
ne quam tu tanta cum auiditate ex reconditi&longs;simis Ma
thematicorum fontibus hau&longs;i&longs;ti, vt illud a&longs;&longs;ecutus in eo
genere iam &longs;is, quod alij in maxima tranquillitate, in
&longs;ummo otio vix au&longs;int optare? Exitum tuorum laborum
felici&longs;simum vides: gloria multiplici frueris,
precaria &longs;ed tua & quibu&longs;dam qua&longs;i gradibus ad ampli&longs;
&longs;imos: honores euehendus, in ea con&longs;titueris dignitate; in
qua pro &longs;acro&longs;ancta Eccle&longs;ia
in peramplo tot illu&longs;trium vitorum Theatro non alienæ
gloriæ &longs;pectator, &longs;ed actor tuæ con&longs;i&longs;tas. Tu vero, quod
rarum e&longs;t, laudem &longs;apientiæ, quæ vix vllos habet at ter
minos, humanitatis tuæ terminis circum&longs;cribis; & expo
nis omnibus
dinum homines fluuii deducantur. Felix qui &longs;olidæ
felicitatis cau&longs;am & initium in re con&longs;titutum ita foues,
vt cum alijs illam communicando, non imminuas, &longs;ed
amplifices, prægrande videlicet non &longs;uccre&longs;centis, &longs;ed
adultæ iam virtutis fœnus honorem ex honore, laudem
ex laude con&longs;equi vberiorem, hæc illa &longs;apienti viro non
indigna liberalitas, quæ rerum pre&longs;tanti&longs;simarum po&longs;
&longs;e&longs;sione non imminuta, in copia tenuitatem non inqui
nunquam deficit. Quin etiam i&longs;to loco con&longs;titutus bo
narum literarum &longs;tudio&longs;os complecteris, ac tueris. Hæc
e&longs;t vera germanæ nota &longs;apientiæ, cum, quas vires nanci
&longs;citur, ijs &longs;apientiam alit, tuus animus & tuæ &longs;apientiæ, &
alienæ par e&longs;t. Hæc &longs;unt firmi&longs;sima & &longs;olidi&longs;sima funda
menta ad æternam po&longs;teritatis memoriam, quam licet
profici&longs;ci iam videas ex iis quibus abundas animi orna
mentis, ne&longs;cio tamen quo pacto gratior nobis accidit,
cum ex aliorum etiam prædonio &longs;u&longs;cipit in crementum.
Hinc domus tua floret docti&longs;simorum familiaritatibus;
hinc xnulli ad tuam con&longs;uetudinem præcluditur aditus;
hinc plurimorum &longs;tudia commouentur; hinc illa &longs;apien
tum æmulatio & admiratio
dinum ad te concur&longs;us; tanquam ad &longs;apienti&longs;simum hu
mani Quid ego
igitur quem tibi &longs;excentis eximiæ beneuolentiæ argu
mentis obligatum volu&longs;ti, perexigiuum hunc ingenij
mei partum expo&longs;iturus, vnum te nominis & exi&longs;tima
tionis meæ patronum non &longs;u&longs;cipiam equidem in am
pli&longs;simi Theatri lucem &longs;apienti&longs;simorum <32> hominum
con&longs;pectum, quibus abundat hæc no&longs;tra ætas inferre me
non magnopere cogitabam.
tem impuli&longs;ti vel reluctantem
tem. iam nunc mihi videor in exigua vel nulla &longs;pe lau
dis ex ingenio meo; &longs;empiternam nominis immortali
tatem ex tuo patrocinio con&longs;ecutus. Vale.
Romæ VII. Kal. Maij. MDCIII.
BENEVOLO
LECTORI.
D
tione comparari inter &longs;e à Mathematicis
po&longs;&longs;unt mole ac pondere. Pondere compara
tio fit, cum inter corpora diuer&longs;i generis mo
le aqualia, quæritur, qu&ecedil; &longs;it ratio ponderis:
quanto videlicet, vnum altero grauius, aut leuius &longs;it. Ma
gnitudine autem &longs;it collatio, cum po&longs;ita pari grauitate, quæ
ritur, que &longs;it ratio magnitudinis; quanto &longs;it alterum altero
maius, aut minus. Quæ comparatio mihi cum videretur &
iucunda cognitu, & v&longs;um nonnullum habere, nec fu&longs;e à quo
piam explicata, non ita pridem &longs;uper ea non nihil cœpi me
liris &longs;ed nihil de luce ac publico cogitabam l
qui malim &longs;cire, quam ne&longs;ci di&longs;cere, quam docere. Sed ta
men cum Michael Sægnerus in rebus. Mathematicis ex
cellens vir, ac Magi&longs;ter meus, cui ego plurimum debere me
fateor, ab eo enim prima elementa habui, repo&longs;cere à me pu
blicum aliquem doctrina &longs;ua fructum videretur ac Fede
ricus Saminiatus euius suorum &longs;uauitatem, & beneuol&ecedil;n
tiam erga me diu, dum &longs;imul hi&longs;ce studijs condi&longs;cipuli ope
ram dedimus, expertus &longs;um, me ut aliquid auderem tum
oratione, tum exemplo &longs;uo excitaret, cœpi minus ab ea cogi
tatione alienus e&longs;&longs;e. Deinde vero &longs;ummos vixos habui
Etenim cum Clauium, quod tam diu cupiebam,
vidi&longs;&longs;em
gnitatem Ab eo &longs;imul ac Theodo&longs;io.
Rubeo ho
mine mihi tum ex &longs;tudiorum &longs;imilitudine, tum præcipue ex
eius humanitate amici&longs;simo, ad Reuerendi&longs;simum Sera
phinum deductus &longs;um. I&longs;qs me tantus Præ&longs;ul non &longs;olum
humani&longs;sime complexus est, verum etiam ita hortatus ad
eualganda, que &longs;crip&longs;eram; plane vt mihi nefas putauerim
non parere. Accipe igitur & tu Lactor optime amico ac be
nigno animo laborem hunc, quem à me tali
&longs;umma benignitas expre&longs;sit. Argumentum quidem, vt
dicebam non iniucundum e&longs;t, nec ab v&longs;u alienam. Huiu&longs;
modi enim comparatione Archimedes mixtionem argemi
in aure deprehendit, & furtum Aurificis in corona aurea
patefecit. de quæ re &longs;uo loco ego tractabo, & facilem mon
strabo viam, quæ vel argentum in aure, vel quod visme
tallum in quolibet admistum deprehendi queat, & alte
ri grauitate
Tati vere opu&longs;culo nomen ab Archimede, quem Ducem &longs;e
quor, impo&longs;ui Nam cum ille, vt erat &longs;ummus Magi&longs;ter, &longs;e
tis habui&longs;&longs;et hunc, totum quasi fabricum po&longs;ito fundamen
to delineare in primo lib.
vbi agit de ijs quæ vehuntur in
aqua. Opus ego pro
re conatus &longs;um p
ctam. Qua in re &longs;i quid a&longs;&longs;equutus &longs;um, quod publice pro
betur, gaudeo cau&longs;a & mea & publica illud quidem &longs;pe
rofere vt conatus non di&longs;pliceat.
MARINI GHETALDI
PROMOTVS ARCHIMEDES
SEU.
Grauitate, & magnitudine comparatis.
THEOREMA I. PROPOS. I.
Si duorum Grauium Corporum eiu&longs;dem ge
neris alterum alterius fuerit multiplex, quo
tuplex maius fuerit minoris, totuplex erit
maioris grauitas, grauitatis minoris.
SINT duo corpora eiu&longs;dem generis ABC, D, quorum grauita
tes, EFG, ip&longs;ius ABC, & H, ip
&longs;ius D, &longs;it autem corpus ABC,
multiplex corporis D. Dico quo
tuplex e&longs;t corpus ABC, corporis
D, totuplicem e&longs;&longs;e grauitatem,
EFG, grauitatis H, diuidatur
enim corpus ABC, in partes ip
&longs;i D, æquales, quæ &longs;int A, B, C,
quoniam igitur corpus A, æqua
le e&longs;t corpori D, magnitudine,
& &longs;unt eiu&longs;dem generis, erit grauitas vnius æqualis grauitati alterius.
Sumatur grauitas E, æqualis grauitati H, erit igitur corporis A, gra
uitas E, & reliqui corporis BC, grauitas FG. Rur&longs;us quoniam cor
pora B, D, &longs;unt magnitudine æqualia, erunt æquè grauia, &longs;umatur
grauitati H, æqualis grauitas F, erit igitur corporis B, grauitas F, &
reliqui corporis C, grauitas G, & &longs;ic fiat, donec perueniatur ad vlti
mam partem corporis ABC, æqualem ip&longs;i D, &longs;it ea vltima pars C, quo
niam igitur corpus C, æquatur magnitudine ip&longs;i D, æquabitur, & gra
uitate, quare grauitas G, æqualis erit grauitati H, &longs;equitur igitur
quot partes &longs;unt in corpore ABC, æquales ip&longs;i D, tot e&longs;&longs;e partes in
grauitate EFG, æquales ip&longs;i H, quoties enim &longs;ump&longs;imus in corpore
ABC, corpus ip&longs;i D æquale, toties & in grauitate EFG, &longs;ump&longs;imus Si duorum igitur grauium corporum
eiuldem generis, & c. quod erat demon&longs;trandum.
THEOREMA II. PROPOS. II.
Corpora grauia eiu&longs;dem generis magnitudine com
men&longs;urabilia, eandem in grauitate rationem ha
bent, quam in magnitudine.
SINT corpora commen&longs;urabilia eiu&longs;dem generis A, B, quorum
grauitates C, ip&longs;ius A, & D, ip&longs;ius B, Dico e&longs;&longs;e vt A, ad B, ita C, ad D,
quoniam enim, A, B, commen&longs;ura
bilia &longs;unt, metietur ip&longs;a aliquod
corpus, metiatur, & &longs;it E, cuius
generis cum corporibus A, B, *ergo
quotuplex e&longs;t corpus A, ip&longs;ius E,
F, & quotuplex B, ip&longs;ius E, *totuplex
D, ip&longs;ius F, &longs;i igitur diuidantur cor
pora A, B, in partes æquales ip&longs;i E,
& grauitates quoque C, D, in partes æquales ip&longs;i F, erit vt corporis
A, pars vna, ad corpus E, ita pars vna grauitatis C, ad grauitatem F,
æquale videlicet ad æquale, & æque multiplicatis antecedentibus
erit vt A, ad E, ita C, ad F, &longs;unt enim antecedentium, hoc e&longs;t, illarum
partium æque multiplicia A, C, eadem ratione, vt B, ad E, ita erit D,
ad F, & conuertendo vt E, ad B, ita F, ad D. quoniam igitur vt A, ad
B, ita C, ad D. corpora igitur commen&longs;urabilia eiu&longs;dem generis ean
dem in grauitate rationem habent, quam in magnitudine, quod erat
demon&longs;trandum.
teced.
teced.
THEOREMA III. PROPOS. III.
Et incommen&longs;urabilia corpora eiu&longs;dem generis
eandem in grauitate rationem habent, quam in
magnitudine.
SINT incommen&longs;urabilia corpora A, BC, quorum grauitates
D, ip&longs;ius A, & EF, ip&longs;ius BC. Dico e&longs;&longs;e vt A, ad BC, ita D, ad EF, &longs;i
minorem quam EF,
vel ad maiorem, &longs;it
primum ad minoré,
pempe ad EG, & ex
ponatur aliquod cor
pus K, eiu&longs;dem gene
ris cum corporibus
A, B C, cuius graui
tas &longs;it æqualis ip&longs;i
GF, & à corpore BC,
auferatur aliqua
pars HC, quæ &longs;it mi
nor corpore K, ita vt reliquæ pars. BL, &longs;it commen&longs;urabilis ip&longs;i A. &
&longs;it partis HC, grauitas IF, ergo reliquæ partis BL, grauitas erit EI.
Quoniam igitur corpus A, commen&longs;urabile e&longs;t ip&longs;i BL,* erit vt A, ad
BL, ita D, ad EI, &longs;ed vt A, ad BC, ita e&longs;t D, ad EG, atque A, primus,
proportionalium terminus in &longs;erie prima, * maiorem habet
nem ad BL, &longs;ecundum terminum, quam A, primus terminus in &longs;erie
&longs;ecunda ad BC, &longs;ecundum; ergo & D, tertius terminus in &longs;erie prima
ad EI, quartum, maiorem habebit rationem quam D, tertius termi
nus in &longs;erie &longs;ecunda ad EG, quartum, quoniam igitur D, maiorem
habet rationem ad EI, quam ad EG,* erit EI, minor quam EG, quod
e&longs;t ab&longs;urdum. non igitur e&longs;t vt A, ad BC, ita D, ad minorem quam EF.
teced
Deinde &longs;it vt A, ad BC, ita D, ad maiorem quam EF, nempe ad
EG, & expo&longs;ito cor
pore K, vt dictum
e&longs;t, cuius grauitas,
&longs;it æqualis grauita
ti FG, addatur cor
pori BC, aliquod
corpus CH, quod &longs;it
minus corpore K, &
eiu&longs;dem generis cú
corporibus A, BC,
ita vt totum corpus
BL, &longs;it commen&longs;urabile ip&longs;i A, & &longs;it ip&longs;ius CH, grauitas FI, ergo to
tius corporis BL, grauitas erit EI; Quoniam igitur corpori A, com
men&longs;urabile e&longs;t corpus BL,* erit vt A, ad BL, ita D, ad EI, &longs;ed vt A, ad
BC, ita e&longs;t D, ad EG, atque A, primus proportionalium terminus in
&longs;erie prima, * minorem habet rationem ad BL, &longs;ecundum terminum,
D, tertius terminus in &longs;erie prima ad EI, quartum, minorem habebit
rationem quam D, tertius terminus in &longs;erie &longs;ecunda ad EG, quartum.
Quoniam igitur D, minorem habet rationem ad EI, quam ad EG, Non igitur e&longs;t vt A,
ad BC, ita D, ad maiorem quam EF, o&longs;ten&longs;um autem e&longs;t neque ad mi
norem; quare vt A, ad BC, ita erit D, ad EF. & incommen&longs;urabilia igi
tur corpora eiu&longs;dem generis eandem in grauitate rationem habent,
quam in magnitudine, quod erat demon&longs;trandum.
teced..
ID QVOD nos duobus præcedentibus Theorematis de
mon&longs;trauimus,
dam axioma &longs;upponunt, quam bene & rationabiliter ip&longs;i vide
rint; melius enim Euclides propo&longs;itionem 20. primi libri Ele
mentorum &longs;uppo&longs;ui&longs;&longs;et vt pronuntiatum; vnicuique enim no
tius e&longs;t duo trianguli latera reliquo e&longs;&longs;e maiora (cum & A&longs;ino
illud &longs;it notum) quam corpora grauia eiu&longs;dem generis eandem
in grauitate rationem habere, quam in magnitudine, & tamen
illam propo&longs;itionem demon&longs;trat Euclides, non &longs;upponit, non
igitur hæc, quæ minus ad principij rationem accedit, &longs;uppo
nenda fuit, &longs;ed demon&longs;tranda.
THEOREMA IV. PROPOS. IV.
Si quatuor corporum grauium primum ad
eandem in magnitudine rationem habeat, quam
tertium ad quartum, primum autem, & &longs;ecundum &longs;int
eiu&longs;dem generis, itidem tertium, & quartum; & in gra
uitate primum ad &longs;ecundum eandem rationem habebit,
quam tertium ad quartum.
PRIMVM enim A, ad &longs;ecundum B, eandem in magnitudine ra
tionem habeat, quam tertium C, ad quartum D, &longs;int autem A, B,
eiu&longs;dem generis, itidem C, D. Dico. & in grauitate primum A, ad
&longs;ecundum B, eandem rationem habere, quam tertium C, ad D, quar
tum. Sint enim earum grauitates E, ip&longs;ius A, & F, ip&longs;ius B, ip&longs;ius
vero C, &longs;it grauitas G, & ip&longs;ius D, grauitas H, quoniam igitur cor-
pora A, B, eiu&longs;dem &longs;unt generis,
&longs;imiliter, & corpora C, D,* erit
vt A, ad B, ita E, ad F,* & vt
C, ad D, ita G, ad H. Sed poni
tur vt A, ad B, ita e&longs;&longs;e C, ad D,
ergo vt E, ad F, ita erit G, ad
H. Si igitur quatuor corporum
grauium, primum ad &longs;ecundum
eandem in magnitudine ratio
nem habeat: etcæt. quod demon
&longs;trare oportebat.
THEOREMA V. PROPOS. V.
Solida corpora liquido grauiora demi&longs;&longs;a in liquidum
ferentur deoríum, donec de&longs;cendant, & erunt in li
quido tanto leuiora, quanta e&longs;t grauitas liquidi magni
tudinem habentis &longs;olido corpori æqualem.
HOC autem demon&longs;tratum e&longs;t ab Archimede propo&longs;.7. primi li
bri de ijs, quæ vehuntur in aqua.
THEOREMA VI. PROPOS. VI.
Si quatuor grauium corporum primum, & &longs;ecundum
fuerint magnitudine æqualia, tertium vero, & quar
tum æque grauia, fuerint autem primum, & tertium
eiu&longs;dem generis, itidem &longs;ecundum, & quartum; erit, vt
grauitas corporis primi, ad grauitatem &longs;ecundi, ita gra
uitas liquidi æqualis magnitudine corpori quarto, ad gra
uitatem liquidi tertio corpori æqualis.
SINT quatuor corpora A, B, C, D, quorum A, primum, & B, &longs;e
cundum &longs;int magnitudine æqualia, tertium vero C, & D, quartum
æque grauia, &longs;int autem A, & C, eiu&longs;dem generis, itidem B, & D. Di
co vt grauitas corporis A, ad grauitatem corporis B, ita e&longs;&longs;e grauita
tem liquidi æqualis magnitudine corpori D, ad grauitatem liquidi
magnitudine corpori C, æqualis. Accipiantur enim tria eiu&longs;dem ge
magnitudine, ip&longs;um vero F, æqua
le corpori C, & ip&longs;um G, æquale
corpori D. Quoniam igitur e&longs;t vt
D, ad G, ita B, ad E, æquale vi
delicet ad æquale, erit permutan
do vt D, ad B, ita G, ad E, & quo
niam &longs;unt eiu&longs;dem generis corpo
ra D, B, &longs;imiliter & corpora G, E,
e&longs;t ip&longs;ius C, ponuntur enim æque
grauia corpora C, D, ad grauita
tem corporis B, ita liquidi G, gra
uitas ad grauitatem liquidi E.
Similiter quoniam e&longs;t vt A, ad E,
ita C, ad F, æquale videlicet ad
æquale, erit permutando vt A, ad
C, ita E, ad F, & quoniam ponuntur eiu&longs;dem generis corpora A, C,
liquidi E, grauitas ad grauitatem liquidi F, &longs;ed vt grauitas corporis
C, ad grauitatem corporis B; ita e&longs;t grauitas liquidi G, ad grauita
erit vt grauitas corporis A, ad ip&longs;ius corporis B, grauitatem, ita liqui
di G, grauitas, ad grauitatem liquidi F. &longs;i igitur quatuor grauium
corporum primum, & &longs;ecundum, & c. quod erat demon&longs;trandum.
THEOREMA VII. PROPOS. VII.
Si quatuor grauium corporum primum, &
fuerint magnitudine æqualia, tertium vero, & quar
tum æque grauia, fuerint autem primum, & tertium
eiu&longs;dem generis, itidem &longs;ecundum, & quartum; primum
ad &longs;ecundum eandem in grauitate rationem habebit,
quam habet in magnitudine quartum ad tertium.
SINT quatuor grauia corpora A, B, C, D, quorum A, primum,
& B, &longs;ecundum &longs;int magnitudine æqualia, tertium vero C, & D, quar
tum æque grauia, &longs;int autem A, & C, eiu&longs;dem generis, itidem B, &
D. Dico corpus A, eandem in grauitate rationem habere ad corpus
Sit enim li
quidi magnitudine æqualis corpo
ri C, grauitas E, &longs;imiliter, & liqui
di æqualis magnitudine corpori D,
grauitas F, quoniam igitur gra
uia corpora eiu&longs;dem generis, ean
dem in magnitudine rationem*
bent, quam in grauitate, erit vt ma
gnitudo liquidi æqualis corpori D,
ad magnitudinem liquidi æqualis
corpori C, hoc e&longs;t, vt magnitudo
corporis D, ad magnitudinem cor
poris C, ita grauitas F, ad grauita
tem E, &longs;ed vt grauitas F, ad grauitatem E, * ita e&longs;t grauitas corporis
A, ad grauitatem corporis B,* ergo vt grauitas corporis A, ad graui
tatem corporis B, ita erit magnitudo corporis D, ad corporis C, ma
gnitudinem. Si quatuor igitur grauium corporum primum, & &longs;ecun
dum, & c. quod erat demon&longs;trandum.
teced.
11. 5.
PROBLEMA I. PROPOS. VIII.
Propo&longs;itis duobus corporibus magnitudine æquali
bus, vno &longs;olido, altero liquido, data &longs;olidi corporis
grauitate, grauitatem liquidi inuenire.
SINT duo propo&longs;ita corpo
ra magnitudine æqualia A, B,
quorum A, &longs;it &longs;olidum, B, vero
liquidum, & &longs;it &longs;olidi data graui
tas CD, Oportet inuenire quan
ta erit grauitas liquidi B. Si &longs;o
lidum A, grauius &longs;it liquido, de
mittatur in
liquido grauitatem ED, quoniam
igitur &longs;olidum A, grauius e&longs;t li
quido, demi&longs;&longs;um in liquidum
erit* in liquido tanto leuius,
ta
dine æqualis &longs;olido A, &longs;ed
A, leuius e&longs;t in liquido, quanta
erit CE.
Si vero &longs;olidum A, &longs;it leuius liquido, accipiatur aliquod aliud cor
pus &longs;olidum F, grauius liquido, ita vt &longs;olidum con&longs;tans ex vtri&longs;que
&longs;olidis A, F, demi&longs;&longs;um in liquidum feratur deor&longs;um, & &longs;it &longs;olidi F,
grauitas DG, item eiu&longs;dem &longs;olidi F, in liquido videlicet exi&longs;tentis &longs;it
uitas DH.
Et quoniam &longs;olidi A, grauitas e&longs;t CD, &longs;olidi vero F, grauitas DG,
erit vtrorumque &longs;olidorum A, F, grauitas CG. coniungantur &longs;olida
A, F, & &longs;olidum ex vtri&longs;que con&longs;tans demittatur in liquidum, & ha
beat in liquido grauitatem GI, (habebit autem in liquido minorem
grauitatem, quam &longs;olum &longs;olidum F, quoniam &longs;olidum F, grauius li
quido fertur deor&longs;um nullo prohibente, & coniunctum cum &longs;olido A,
leuiori liquido ab eo &longs;u&longs;tinetur, ne deor&longs;um feratur
ctum) quoniam igitur &longs;olidi, quod con&longs;tat ex vtri&longs;que &longs;olidis A, F,
habentis magnitudinem æqualem vtri&longs;que &longs;olidis A, F, grauitas CI,
&longs;ed grauitas liquidi æqualis magnitudine &longs;olido F, e&longs;t DH, ergo reli
qui liquidi æqualis &longs;olido A, erit grauitas CD, IH, &longs;ed liquidum B,
æquatur magnitudine &longs;olido A, ergo grauitas liquidi B, erit CD, IH,
inuenta igitur e&longs;t liquidi corporis B, grauitas CD, IH, de qua quæ
rebatur.
Placet huic Problemati exemplum apponere, vt vnicuique
etiam di&longs;ciplinæ Mathematicæ experto ad v&longs;um pateat adi
tus; quare etiam &longs;equentibus Problematis apponemus &longs;imilia
exempla.
Exemplum.
Qvidam proponit aliquod corpus &longs;olidum notæ
grauitatis, & vult &longs;cire quanta erit grauitas liqui
di, magnitudinem habentis propo&longs;ito Corpori &longs;olido æ
qualem.
tas &longs;it
habentis æqualem propo&longs;ito plumbo A, ponderetur plumbum A, in
aqua (modum quo ponderanda &longs;int corpora &longs;olida in aqua, inferius
apponemus) & habeat grauitatem
habentis æqualem plumbo A, 2.
Eadem via omnium liquidorum inuenitur grauitas, quan
do nimirum corpus &longs;olidum &longs;it grauius liquido, cuius liquidi
quærenda e&longs;t grauitas, hoc e&longs;t quando corpus &longs;olidum demi&longs;
&longs;um in liquidum feratur deor&longs;um.
Quando vero corpus &longs;olidum fuerit leuius liquido, hoc e&longs;t
demi&longs;&longs;um in liquidum non de&longs;cendat, per adiectionem alicuius
alius &longs;olidi corporis liquido grauioris, quæ&longs;ita liquidi grauitas
inuenietur.
21.
tis æqualem ceræ A. Quoniam cera leuior est, quam aqua, &longs;i demitta
F, grauius quam aqua, ita vt corpus constans ex vtri&longs;que corporibus
A, F, demi&longs;&longs;um in aquam feratur deor&longs;um, &longs;it igitur corpus F, plum
beum, cuius grauitas &longs;it v.g.
rumque corporum A, F, ceræ nimirum, & plumbi grauitas
gatur cera, & plumbum, & ita coniuncta ponderentur in aqua, &
habeant grauitatem
rum
lem vtri&longs;que corporibus ceræ & plumbi
tudinem habentis æqualem plumbo F, est
22,
At vero &longs;i propo&longs;itum fuerit aliquod corpus &longs;olidum ma
gni ponderis, ita vt difficile po&longs;&longs;it ponderari in aqua, hac via
inuenietur aquæ quæ&longs;ita grauitas.
uenire grauitatem aquæ magnitudinem habentis
accipiatur aliquod paruum plumbi corpus F, cuius grauitas &longs;it v.g.
23,
dictum est, quæ &longs;it.
qui &longs;it
plumbo A, erit
teat facere, quod imperatum e&longs;t. accipiatur aliquod paruum ceræ cor
pus F, cuius grauitas &longs;it v.g.
2100,
gnitudinem habentis æqualem ceræ A,
Neque nece&longs;&longs;e e&longs;t, vt illud corpus &longs;olidum magni ponderis
reip&longs;a proponatur, &longs;ufficit enim vt eius grauitas notificetur
numero tantum.
Si autem propo&longs;itum fuerit inuenire quanta erit graui
tas argenti viui magnitudine æqualis propo&longs;ito corpori &longs;o
lido A; ratione qua &longs;upra, non inuenietur ip&longs;a grauitas, quo
niam nullum corpus demi&longs;&longs;um in argentum viuum fertur
deor&longs;um, ni&longs;i aurum, aurum vero in ip&longs;o argento viuo perrum
pitur, &longs;ed qua ratione inuenienda &longs;it ip&longs;a argenti viui graui
tas, dicemus ad finem exempli propo&longs;itionis decimæ quartæ.
Quomodo ponderanda &longs;int corpora &longs;olida in aqua.
C
bræ lance appendatur, in altera lance ponantur pondera, & cor
pus appen&longs;um demittatur in aquam, ita vt in aqua libere pendeat, ne
que lancem, cui appen&longs;um est corpus, neque aliam in qua &longs;unt
aqua contingat, & ita ponderetur propo&longs;itum corpus, ac &longs;i in aere pen
deret.
æque grauis e&longs;t atque aqua, & ideo nihil addet, vel minuet grauita
tis in ip&longs;o corpore ponderando.
stineri nequeat, appendatur pluribus &longs;imul iunctis &longs;etis, & ne aliquid
grauitatis &longs;etarum coniunctio addat corpori ponderando, ponantur
in altera lance totidem &longs;etæ æquales eis, quæ ex lance, cui appen&longs;um e&longs;t
corpus pendent, v&longs;que ad corpus appen&longs;um, hac igitur &longs;etarum addi
tione æque ponderabunt lances, & quamuis illæ &longs;etæ, quibus appen
&longs;um est corpus, &longs;int longiores, quam aliæ alteri lanci addita, longitudi
ne partium, quibus ligatum est corpus, tamen quoniam illæ partes
æque graues &longs;unt, atque aqua, exi&longs;tentes cum ip&longs;o corpore in aqua, nul
lam grauitatem habebunt, & ideo illæ &longs;etæ, quæ alias &longs;uperant dictis
partibus, & &longs;i longiores, non erunt grauiores quam aliæ, existenti
bus, nempe, vt dictum e&longs;t, illis partibus cum ip&longs;o corpore in aqua. Sic
igitur in aqua ponderanda erunt &longs;olida corpora, quod animaduerti&longs;&longs;e
fuit operæ pretium.
PROBLEMA II. PROPOS. IX.
Propo&longs;itis duobus corporibus magnitudine æquali
bus, vno &longs;olido, altero liquido, data corporis li
quidi grauitate, grauitatem &longs;olidi inuenire.
SINT duo propo&longs;ita corpora
magnitudine æqualia, A, quidem &longs;o
lidum, B, vero liquidum, &longs;it autem li
quidi B, data grauitas F, & oporteat
inuenire grauitatem &longs;olidi A, accipia
tur aliquod corpus &longs;olidum D,
generis, cum &longs;olido A, cuius grauitas
&longs;it H, deinde liquidi eiu&longs;dem generis
cum liquido B, magnitudine æqualis
&longs;olido D,* inueniatur grauitas quæ &longs;it
G, & fiat vt G, ad H, ita F, ad aliam
grauitatem, quæ &longs;it C. Dico &longs;olidi A,
grauitatem e&longs;&longs;e C, accipiatur enim aliquod corpus liquidum E, eiu&longs;
dem generis cum liquido B, grauitatem habens æqualem &longs;olido D.
Quoniam igitur &longs;unt quatuor corpora grauia B, A, E, D, quorum pri
mum B, & &longs;ecundum A, &longs;unt magnitudine æqualia, tertium vero E,
& quartum D, æque grauia, & &longs;unt eiu&longs;dem generis corpora B, E, &longs;i
militer, & corpora A, D,*erit vt grauitas liquidi æqualis
ne &longs;olido D, hoc e&longs;t vt G, ad grauitatem liquidi E; hoc e&longs;t ad H,
tnr
tatem, &longs;ed vt grauitas G, ad grauitatem H, ita e&longs;t grauitas F, ad C,
grauitatem, ergo grauitas C, æqualis erit grauitati &longs;olidi A. Inuenta
igitur e&longs;t &longs;olidi A, grauitas C, quod facere oportebat.
ius.
Exemplum.
Qvidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
grauitatis, & vult &longs;cire quanta erit grauitas alicu
ius &longs;olidi, magnitudinem habentis propo&longs;ito Corpori li
quido æqualem.
æqualem propo&longs;itæ aquæ B, verbi gratia &longs;it vas aliquod plenum aqua,
cuius aquæ grauitas &longs;it 100, & oporteat &longs;cire, &longs;i illud
tur plumbo, quanta illius plumbi erit grauitas. Accipiatur aliquod
plumbeum corpus D, cuius grauitas &longs;it
habentis æqualem plumbo D, inueniatur grauitas, quod quomodo fie
ri oporteat iam dictum e&longs;t in antecedentis problematis exemplo: &longs;it igi
tur ea inuenta grauitas
rum qui &longs;it
dinem habentis propo&longs;itæ aquæ B, æqualem, hoc est illius plumbi, quod
in va&longs;e continetur.
At vero &longs;i
aut ligni, aut
&longs;i in opere accidet, ni&longs;i quod ratio inueniendi grauitatem
aquæ magnitudinem habentis æqualem corpori &longs;olido leuio
ri, quàm aqua, differt in aliquo à ratione, qua inuenitur graui
tas aquæ magnitudinem habentis æqualem &longs;olido corpori
grauiori, quam aqua, &longs;ed vtramque rationem exemplo ante
cedentis Problematis illu&longs;trauimus, in eo enim &longs;atis explica
tum e&longs;t de vtraque.
uitas ceræ magnitudinem habentis æqualem propo&longs;itæ aquæ B, acci
piatur aliquod cereum corpus D, cuius grauitas &longs;it
magnitudinem habentis æqualem ceræ D, inueniatur grauitas, vt in
antecedentis Problematis exemplo dictum est, quæ grauitas &longs;it
fiat vt
qui &longs;it
magnitudinem habentis æqualem propo&longs;itæ aquæ B.
Similiter &longs;i propo&longs;itum liquidum corpus B, fuerit olei, aut
vini, aut cuiu&longs;cumque liquidi, præter argenti viui, eadem om
nino via, qua ante, inuenietur quæ&longs;ita corporis &longs;olidi grauitas,
&longs;ed de argento viuo tractabimus ad finem propo&longs;itionis deci
mæ quartæ.
PROBLEMA III. PROPOS. X.
Propo&longs;itis duobus corporibus æque grauibus, vno
&longs;olido, altero liquido, data &longs;olidi corporis magnitu
SINT duo propo&longs;ita corpora
æque grauia, A, quidem &longs;olidum B,
vero liquidum, &longs;it autem &longs;olidi A, da
ta magnitudo C, & oporteat inuenire
quanta erit magnitudo liquidi B, Ac
cipiatur aliquod corpus &longs;olidum D,
eiu&longs;dem generis cum &longs;olido A, & &longs;it
eius grauitas G, & liquidi, quod &longs;it E,
eiu&longs;dem gener is cum liquido B, ma
gnitudinem habentis æqualem &longs;olido
D,* inueniatur grauitas quæ &longs;it H, &
fiat vt grauitas H, ad grauitatem G,
ita magnitudo C, ad aliam magnitudinem quæ &longs;it F. Quoniam igitur
&longs;unt quatuor corpora grauia E, D, B, A, quorum primum E, & &longs;ecun
dum D, &longs;unt æqualia magnitudine, tertium vero B, & quartum A,
æque grauia, & &longs;unt eiu&longs;dem generis corpora E, B, &longs;imiliter, & corpo
ra D, A, *erit ut grauitas H, ad grauitatem G, ita magnitudo C, ad
quidi B, magnitudinem, &longs;ed vt grauitas H, ad grauitatem G, ita e&longs;t
magnitudo C, ad magnitudinem F, ergo magnitudo F, æqualis erit
magnitudini liquidi B, inuenta igitur e&longs;t liquidi corporis B, magni
tudo F, quod facere oportebat.
Sed quoniam corporum regularium magnitudo quo
que exprimitur latere eiu&longs;dem corporis, vel diametro, &longs;i
propo&longs;ita duo corpora A, B, fuerint regularia, vtpote &longs;ph&ecedil;
rica, fuerit autem &longs;phæræ A, data diameter C, & oporteat
inuenire quanta erit diameter &longs;phæræ B. ita faciendum
erit.
Accepto, vt diximus, aliquo corpore &longs;olido D, eiu&longs;dem generis
&longs;phæra A, & inuenta grauitate liquidi E, vt &longs;upra, fiat vt grauitas H,
ad grauitatem G, ita cubus ex C, ad alium cubum, cuius latus &longs;it F,
dico ip&longs;um latus F, æquale e&longs;&longs;e diametro &longs;phæræ B. Quoniam enim
eadem ratione qua &longs;upra demon&longs;trabitur, vt grauitas H, ad grauita
tem G, ita e&longs;&longs;e magnitudinem &longs;phæræ A, ad &longs;phæræ B, magnitudinem,
&longs;ed magnitudo &longs;phæræ A, ad magnitudinem &longs;phæræ B,* triplicatam
rationem habet eius, quam C, diameter &longs;phæræ A, ad diametrum
&longs;phæræ B, &longs;imiliter & cubus ex C, ad cubum ex diametro &longs;phæræ B,
B, ergo vt grauitas H, ad grauitatem G, ita erit cubus ex C, ad cubum
ex diametro &longs;phæræ B, &longs;ed vt grauitas H, ad grauitatem G, &longs;ta e&longs;t cu
bus ex C, ad cubum ex F, ergo cubus ex F, æqualis erit cubo diame
tri&longs;phæræ B; quare & latus F, æquabitur &longs;phæræ B, diametro. inuen
ta igitur e&longs;t quantitas diametri liquidæ &longs;phæræ, B, quod facere opor
tebat.
Exemplum.
Qvidam proponit aliquod corpus &longs;olidum notæ
magnitudinis, & vult &longs;cire quanta erit magnitudo
alicuius liquidi, grauitatem habentis propo&longs;ito corpori
&longs;olido æqualem.
10
tis æqualem propo&longs;ito plumbo A, accipiatur aliquod corpus
D, cuius grauitas
plumbo D, inueniatur grauitas, vt in exemplo propo&longs;. 8. dictum e&longs;t,
quæ &longs;it
igitur indicabit quanta erit magnitudo aquæ grauitatem habentis
æqualem propo&longs;ito plumbo A.
Quod &longs;i
te &longs;phæricum, cuius &longs;phæræ diameter &longs;it 10, & oporteat inue
nire quanta erit diameter &longs;phæræ ex aqua, grauitatem haben
tis æqualem propo&longs;itæ &longs;phæræ A, ita faciendum erit.
uitas
inueniatur grauitas quæ &longs;it
e&longs;t 1000, ad alium numerum qui &longs;it
cubus diametri &longs;phæræ ex aqua grauitatem habentis æqualem propo
&longs;itæ &longs;phæræ A, quare eius latus cubicum, quod est
vero indicabit ip&longs;am diametrum.
alicuius alterius formæ regularis, eadem ratione inueniemus latus cu
bi ex aqua grauitatem habentis æqualem propo&longs;ito cubo A, nam &longs;i cu
bi A, datum &longs;it latus
grauitate propo&longs;ito cubo A, quare latus cubicum numeri
Neque di&longs;&longs;imili ratione inuenietur magnitudo olei, aut ar
genti viui, aut cuiu&longs;cumque generis liquidi grauitatem habe
tis propo&longs;ito corpori &longs;olido æqualem, &longs;ed quomodo inuenien
da &longs;it grauitas argenti viui magnitudinem habentis æqualem
corpori &longs;olido, docebimus po&longs;t exemplum propo&longs;itionis de
cimæ quartæ.
PROBLEMA IV. PROPOS. XI.
Propo&longs;itis duobus corporibus æque grauibus, vno &longs;o
lido, altero liquido, data liquidi corporis magnitu
dine, magnitudinem &longs;olidi inuenire.
SINT propo&longs;ita duo corpora æ
quæ grauia, A, quidem &longs;olidum, B,
vero liquidum, &longs;it autem, liquidi B;
data magnitudo F, & oporteat &longs;olidi
A, magnitudinem inuenire. Accipia
tur aliquod corpus &longs;olidum D,
generis cum corpore &longs;olido A, cuius
grauitas &longs;it G, deinde liquidi quod &longs;it
E, eiu&longs;dem generis cum corpore liqui
do B, magnitudinem æqualem
tis &longs;olido D, *inueniatur grauitas,
quæ &longs;it H, & fiat vt grauitas G; ad gra
uitatem H, ita F, magnitudo, ad aliam magnitudinem, quæ &longs;it C;
quoniam igitur &longs;unt quatuor corpora D, E, A, B, quorum primum D,
& &longs;ecundum E, &longs;unt magnitudine æqualia, tertium vero A, &
B, æquæ grauia, & &longs;unt eiu&longs;dem generis &longs;olida D, A, &longs;imiliter, & liqui
da E, B,* erit vt grauitas G, ad grauitatem H, ita F, magnitudo ad ma
gnitudinem &longs;olidi A, &longs;ed vt grauitas G, ad grauitatem H, ita e&longs;t ma
gnitudo F, ad C, magnitudinem, ergo magnitudo C, æqualis erit ma
gnitudini corporis &longs;olidi A, inuenta igitur e&longs;t corporis &longs;olidi A, ma
gnitudo C, quod erat faciendum.
Qvod &longs;i propo&longs;ita duo corpora æque grauia A, B, fue
rint regularia vtpote &longs;phærica, fuerit autem liqui
ta erit diameter &longs;olidæ &longs;phæræ A, ita faciendum erit.
Accepto vt &longs;upra corpore &longs;olido D, & liquidi E, inuenta grauitate,
vt dictum e&longs;t, fiat vt grauitas G, ad prauitatem H, ita cubus ex F, ad
alium cubum, cuius latus &longs;it C, Quoniam igitur eadem ratione qua
&longs;upra o&longs;tendetur, vt grauitas G, ad grauitatem H, ita e&longs;&longs;e magnitudi
nem &longs;phæræ B, ad &longs;phæræ A, magnitudinem, &longs;ed magnitudo &longs;phæræ B,
F, diameter &longs;phæræ B, ad diametrum &longs;phæræ A, &longs;imiliter, & cubus ex
quam F, ad diametrum &longs;phæræ A, ergo, vt grauitas G, ad
H, ita erit cubus ex F, ad cubum ex diametro &longs;phæræ A, &longs;ed vt graui
tas G, ad grauitatem H, ita e&longs;t cubus ex F, ad cubum ex C, ergo cubus
ex C, æqualis erit cubo diametri &longs;phæræ A, quare, & latus C, æquabi
tur ip&longs;ius &longs;phæræ A, diametro, inuenta igitur e&longs;t quantitas diametri
&longs;olidæ &longs;phæræ A, quod facere oportebat.
Exemplum.
Qvidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
magnitudinis, & vult inuenire quanta erit magni
tudo alicuius &longs;olidi grauitatem habentis propo&longs;i
to corpori liquido æqualem.
& oporteat inuenire quanta erit magnitudo plumbi grauitatem ha
bentis æqualem propo&longs;itæ aquæ B, accipiatur aliquod corpus
D, cuius grauitas &longs;it verbi gratia
bentis æqualem plumbo D, inueniatur grauitas quæ &longs;it
cuit propo&longs;itionis octauæ exemplum, & fiat vt
alium numerum qui &longs;it
magnitudo plumbi grauitatem habentis æqualem propo&longs;itæ aquæ B.
Quod &longs;i propo&longs;itum corpus aqueum B, &longs;it &longs;phæricum, cuius
&longs;phæræ diameter &longs;it 10, & oporteat inuenire quanta erit dia
meter &longs;phæræ ex plumbo, grauitatem habentis æqualem pro
po&longs;itæ &longs;phæræ B, ita faciendum erit.
rum qui &longs;it
plumbo, grauitatem æqualem habentis propo&longs;ite ex aqua &longs;phæræ B,
quare eius latus cubicum, quod est
diametrum.
ius alterius formæ regularis, eadem ratione vtemur ad inueniendum
latus cubi ex plumbo, grauitatem habentis æqualem propo&longs;ito ex aqua
86 22/2
quare latus cubicum numeri
quæ&longs;itum latus cubi ex plumbo.
Neque di&longs;&longs;imili ratione inuenienda erit magnitudo auri,
argenti, ceræ, aut cuiu&longs;cunque &longs;olidi, grauitatem habentis
propo&longs;ito corpori liquido æqualem.
PROBLEMA V. PROPOS. XII.
Propo&longs;itis duobus &longs;olidis corporibus magnitudine
æqualibus, data grauitate vnius, grauitatem al
terius inuenire.
SINT propo&longs;ita duo corpora &longs;o
lida magnitudine æqualia A, B, &longs;it au
tem vnius, vtpote ip&longs;ius A, data gra
uitas C, & oporteat inuenire grauita
tem ip&longs;ius B. Accipiatur aliquod &longs;oli
dum corpus D, eiu&longs;dem generis cum
corpore &longs;olido A, cui æquale grauita
te accipiatur alterum E, eiu&longs;dem ge
neris cum corpore B, deinde liquidi
magnitudine æqualis corpori D,
ueniatur grauitas, quæ &longs;it G, item li
quidi eiu&longs;dem generis, æqualis ma
gnitudine corpori E,* inueniatur grauitas, quæ &longs;it H, & fiat vt H, ad
G, ita C, ad aliam grauitatem, quæ &longs;it F. Quoniam igitur &longs;unt qua
tuor corpora A, B, D, E, quorum A, B, primum videlicet, & &longs;ecundum
&longs;unt æqualia magnitudine, tertium vero D, & E, quartum æque gra
uia, & &longs;unt
uitas C, ad &longs;olidi B, grauitatem, ita grauitas H, ad grauitatem G, &longs;ed
go grauitas F, æqualis erit grauitati &longs;olidi B, inuenta igitur e&longs;t cor
poris &longs;olidi B, grauitas F, quod facere oportebat.
Hoc Problema magni momenti e&longs;t, pleri&longs;que artificibus
maximo v&longs;ui e&longs;&longs;e pote&longs;t. in arte fu&longs;oria propo&longs;ito operis modu
lo, ex illius grauitate, facile metalli ad opus faciendum, gra
uitatem inueniet, &longs;i enim hoc ignoret artifex, periculum e&longs;t, ne
metallum, aut deficiat, vel &longs;i multum e&longs;t, ob nimiam graui
tatem difficile tractetur.
Neque tormenti bellici magi&longs;tro inutile erit, is enim cogni
ta grauitate alicuius globi, exempli gratia ex plumbo, &longs;tatim
alterius globi eiu&longs;dem magnitudinis, vel &longs;it ex lapide, vel ex
fcrro, vel ex quacunque alia materia, grauitatem inueniet.
Exemplum.
Qvidam proponit aliquod corpus &longs;olidum notæ
grauitatis, & vult &longs;cire quanta erit grauitas alicu
ius &longs;olidi, alterius generis, magnitudinem habentis pro
po&longs;ito corpori &longs;olido æqualem.
1150
habentis æqualem propo&longs;ito plumbo A. Accipiantur duo corpora æque
grauia, D, plumbeum, E, stanneum, deinde duarum quantitatum,
aquæ, quarum una &longs;it æqualis magnitudine plumbo D, altera &longs;tanno
E,
74,
rum, qui &longs;it
gnitudinem habentis propo&longs;ito plumbo A.
Etiam &longs;i non accipiantur duo corpora, plumbeum videlicet
& &longs;tanneum, æque grauia, &longs;ed grauitate quacunque, grauitas
&longs;tanni magnitudinem habentis æqualem propo&longs;ito plumbo
D, inuenietur &longs;ic.
quacunque, &longs;it vcrbi gratia plumbi D, grauitas
grauitas
gnitudine æqualis plumbo D, altera stanno E, inueniantur graui
tates, quæ &longs;int, primæ videlicet quantitatis
habentis æqualem plumbo, cuius grauitas est 37, erit
ius grauitas est 37, e&longs;t grauitas
titatum aquæ
magnitudine corpori plumbeo, &longs;ecunda stanneo, que &longs;unt æque gra
uia, vtriu&longs;que enim grauitas est
1150,
&longs;tanni, magnitudinem habentis æqualem propo&longs;ito plumbo A, quanta
Quod &longs;i propo&longs;itum &longs;it cereum corpus aliquod, aut cuiu&longs;
cunque generis &longs;olidi, &longs;iue leuioris quam aqua, &longs;iue grauio
ris, & oporteat inuenire grauitatem alicuius &longs;olidi alterius
generis, magnitudine æqualis propo&longs;ito corpori &longs;olido. Ea
dem ratione qua &longs;upra inuenietur quæ&longs;ita &longs;olidi grauitas, &longs;ed
hoc &longs;olum animaduertendum e&longs;t, quod non eadem ratione
inuenitur grauitas aquæ, magnitudinem habentis æqualem
propo&longs;ito cuiu&longs;cunque generis &longs;olido, alia enim tenenda e&longs;t
ratio ad inueniendam grauitatem prædictæ aquæ, quando
propo&longs;itum &longs;olidum &longs;it grauius quam aqua, alia vero quando
leuius, &longs;ed &longs;iue &longs;it leuius, &longs;iue grauius, de inuentione huiu&longs;
modi grauitatis, in exemplo propo&longs;itionis octauæ, &longs;atis e&longs;t ex
plicatum.
PROBLEMA VI. PROPOS. XIII.
Propo&longs;itis duobus &longs;olidis corporibus æque graui
bus, data magnitudine vnius, magnitudinem alte
rius inuenire.
SINT propo&longs;ita duo corpora &longs;olida æque grauia A, B, &longs;it au
re magnitudinem ip&longs;ius B, Accipiatur aliquod &longs;olidum corpus D,
eiu&longs;dem generis cum &longs;olido A, & &longs;it eius grauitas G, deinde &longs;olidi
corporis quod &longs;it E, eiu&longs;dem generis cum &longs;olido B, magnitudine
æqualis ip&longs;i D, inueniatur grauitas, quæ &longs;it H, hoc autem, Proble
ma antecedens docuit, & fiat vt grauitas H, ad grauitatem G, ita
magnitudo C, ad aliam magnitudinem, quæ &longs;it F. Quoniam igitur
A, quorum E, D, primum videlicet,
& &longs;ecundum, &longs;unt æqualia magnitu
dine, tertium vero B, & quartum A,
æquegrauia, & &longs;unt eiu&longs;dem generis
corpora E, B, &longs;imiliter & corpora
tatem G, ita magnitudo C, ad corpo
ris B, magnitudinem, &longs;ed vt grauitas
H, ad grauitatem G, ita e&longs;t magnitu
do C, ad F, magnitudinem, ergo ma
gnitudo F, æqualis erit magnitudini
corporis B. inuenta igitur e&longs;t corporis B, magnitudo F, quod facere
oportebat.
Quod &longs;i propo&longs;ita duo corpora æque grauia A, B, fue
rint regularia, vtpote &longs;phærica, fuerit autem &longs;phæræ A,
data diameter C, & oporteat inuenire, quanta erit dia
meter &longs;phær&ecedil; B, ita faciendum erit.
Accepto corpore &longs;olido D, & inuenta &longs;olidi corporis E, grauita
te, vt &longs;upra dictum e&longs;t, fiat vt grauitas H, ad grauitatem G, ita cu
bus ex C, ad alium cubum, cuius latus &longs;it F. Quoniam igitur eadem
ratione, qua &longs;upra, demon&longs;trabitur, vt grauitas H, ad grauitatem G,
ita e&longs;&longs;e magnitudinem &longs;phæræ A, ad &longs;phæræ B, magnitudinem, &longs;ed
tionem habet eius, quam C, diameter &longs;phæræ A, ad diametrum &longs;phæSimiliter & cubus ex C, ad cubum, ex diametro &longs;phæræ B, *tri
plicatam rationem habet eius, quam C, ad &longs;phæræ B, diametrum; er
go vt grauitas H, ad grauitatem G, ita erit cubus ex C, ad cubum ex
diametro &longs;phæræ B, &longs;ed vt grauitas H, ad grauitatem G, ita e&longs;t cubus
ex C, ad cubum ex F; ergo cubus ex F, æqualis erit cubo diametri
&longs;phæræ B; quare & latus F, æquabitur &longs;phæræ B, diametro. inuenta
igitur e&longs;t quantitas diametri &longs;phæræ B, quod facere oportebat.
Neque hoc Problema inutile erit tormenti bellici magi&longs;tro,
is enim cognita diametro alicuius globi, exempli gratia, ex
plumbo, &longs;tatim alterius globi eandem habentis grauitatem,
diametrum inueniet, &longs;it globus ille, vel ex lapide, vel ex fer
ro, vel ex quocunque alio &longs;olidorum genere.
Exemplum.
Qvidam proponit aliquod corpus &longs;olidum notæ
magnitudinis, & vult inuenire, quanta erit magni
tudo alicuius &longs;olidi alterius generis, grauitatem
habentis propo&longs;ito corpori &longs;olido æqualem.
740,
tem habentis æqualem propo&longs;ito plumbo A. Accipiatur aliquod cor
pus plumbeum D, cuius grauitas &longs;it 115, deinde stanni, magnitudi
ne æqualis plumbo D, inueniatur grauitas, quæ &longs;it
do fieri oporteat, dictum est in antecedentis Problematis exemplo, &
fiat vt
numcrus indicabit quanta erit magnitudo &longs;tanni, grauitatem haben
tis æqualem propo&longs;ito plumbo A.
Quod &longs;i propo&longs;itum corpus plumbeum A, &longs;it &longs;phæricum, cu
ius &longs;phæræ diameter &longs;it 10, & oporteat inuenire quanta erit
diameter &longs;phæræ ex &longs;tanno, grauitatem habentis æqualem
propo&longs;itæ &longs;phæræ A, ita faciendum erit.
tas &longs;it 115, & &longs;tanni, magnitudinem habentis æqualem plumbo D, in
ueniatur grauitas, quæ &longs;it
qui e&longs;t 1000, ad alium numerum qui &longs;it
erit cubus diametri &longs;phæræ ex stanno, grauitatem habentis æqualem
propo&longs;itæ ex plumbo &longs;phæræ A, quare eius latus cubicum, quod est
11 52/100,
alicuius alterius formæ regularis, eadem ratione inuenietur latus cu
bi ex stanno, grauitatem habentis æqualem propo&longs;ito plumbeo cu
bo A, &longs;i enim ip&longs;ius cubi plumbei A, datum &longs;it latus 10, erit numerus
1554 2/17<31>
bo A, quare latus. cubitum numeri
ximum vero; indicabit quæ &longs;itum latus.
Neque di&longs;&longs;imili ratione inuenienda erit magnitudo auri,
argenti, cæræ, aut cuiu&longs;cumque &longs;olidi, grauitatem habentis
propo&longs;ito corpori &longs;olido æqualem.
PROBLEMA VII. PROPOS. XIV.
Propo&longs;itis duobus liquidis corporibus magnitudine
&ecedil;qualibus, data grauitate vnius, grauitatem alte
rius inuenire.
SINT propo&longs;ita duo cor
ra liquida, magnitudine æqualia
A, B, &longs;it autem vnius, vtpote li
quidi A, data grauitas G, &
oporteat alterius liquidi B, gra
uitatem inuenire. Accipiatur
aliquod corpus &longs;olidum C, & li
quidi, quod &longs;it H, eiu&longs;dem ge
neris cum liquido A, magnitu
tur grauitas, quæ &longs;it D, &longs;imiliter
& liquidi, quod &longs;it I, eiu&longs;dem
generis cum liquido B, magni
tudine æqualis eidem &longs;olido C,
& fiat vt D, ad E, ita G, ad aliam grauitatem, quæ &longs;it F. Quoniam
igitur e&longs;t vt A, ad B, ita H, ad I, æquale videlicet ad æquale, erit per
mutando vt A, ad H, ita B, ad I, & quoniam eiu&longs;dem &longs;unt generis cor
tem D, ita liquidi B, grauitas, ad grauitatem E, & permutando vt
grauitas G, ad grauitatem liquidi B, ita D, grauitas, ad grauitatem
E, &longs;ed vt grauitas D, ad grauitatem E, ita e&longs;t grauitas G, ad graui
tatem F; ergo grauitas F, æqualis erit grauitati liquidi B. inuenta
igitur e&longs;t liquidi corporis B, grauitas F, quod facere oportebat.
Exemplum.
Qvidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
grauitatis, & vult &longs;cire, quanta erit grauitas alte
rius liquidi, magnitudinem habentis propo&longs;ito corpori
liquido æqualem.
oporteat inuenire, quanta erit grauitas aquæ, magnitudinem haben
vtpote plumbeum, & aquæ, magnitudinem habentis æqualem plumbo
C, inueniatur grauitas, quæ &longs;it 12, vt in exemplo propo&longs;. 8.
Similiter & olei, magnitudinem æqualem habentis, eidem plumbo C,
inueniatur grauitas, quæ &longs;it 11, & fiat, vt
numerum qui &longs;it
tas aquæ, magnitudinem habentis æqualem propo&longs;ito oleo A.
grauitas
tudincm habentis æqualem propo&longs;ito argento viuo A. Accipiatur ali
quod vas vitreum mundum, & politum, cuius grauitas &longs;it v. g.
55,
ditati ip&longs;ius va&longs;is
tum
genti viui A, grauitas est
viui &longs;imul cum ip&longs;o va&longs;e, grauitas
&longs;imul cum argento viuo A, in aqua, ita vt aqua repleat va&longs;is partem
vacuam, & &longs;it va&longs;is grauitas in aqua &longs;imul cum argento viuo
va&longs;e
36,
bentis æqualem propo&longs;ito argento viuo A.
Sed &longs;i propo&longs;itum fuerit aliquod magnum argenti viui cor
pus, ita vt difficile po&longs;&longs;it ponderari in aqua, hac via inuenietur
aquæ quæ&longs;ita grauitas.
uitasAccipiatur ali
quod paruum argenti viui corpus C, cuius grauitas &longs;it
magnitudinem habentis æqualem argento viuo C, inueniatur graui
tas, eo modo quo dictum est, quæ &longs;it
alium numerum, qui &longs;it
grauitas aquæ, magnitudinem habentis æqualem propo&longs;ito argento
viuo A.
420,
tudine æqualis propo&longs;itæ aquæ A. facto, vt &longs;upra, & inuenta graui
tate
tur indicabit quanta erit grauitas argenti viui, magnitudine æqua
lis propo&longs;itæ aquæ A.
Inueniemus etiam aliter, & expeditius grauitatem
aquæ, magnitudinem habentis æqualem propo&longs;ito ar
gento viuo A.
rea tunica tenui&longs;&longs;ima, ne fiat argento viuo leuius, neue ab
uatur, deinde aquæ, magnitudinem habentis æqualem ip&longs;i corpori an
reo inueniatur grauitas, vt dictum est in propo&longs;.
eidem corpori aureo, inueniatur grauitas, quæ &longs;it
7,
qualem argento viuo A, erit
&longs;it propo&longs;itum aliquod corpus aqueum, cuius grauitas
420,
tudine æqualis propo&longs;itæ aquæ A. Superinducta corpori aureo cerea
tunica, vt &longs;upra, & inuentis grauitatibus
argenti viut, magnitudine æqualium prædicto aureo corpori, fiat vt
7,
æqualis propo&longs;ito corpori aqueo A, erit
Qua ratione inuenienda &longs;it grauitas argenti viui, ma
gnitudinem habentis propo&longs;ito cuicunque corpori &longs;oli
do æqualem.
grauitas
magnitudine æqualis propo&longs;ito plumbo A. inueniatur grauitas aquæ
magnitudinem habentis æqualem plumbo A, vt in exemplo propo&longs;i
tionis
gnitudine æqualis ip&longs;i aquæ, ea erit de qua quæritur, &longs;it enim inuen
ta argenti viui grauitas
grauitas est
uum, cuius grauitas 190, magnitudine propo&longs;ito plumbo A, æquale;
quare inuenta est grauitas argenti viui, magnitudine æqualis propo
&longs;ito plumbo A, quod facere oportebat.
Quomodo inuenienda &longs;it grauitas cuiu&longs;cunque cor-
ex argento viuo æqualem.
190, & oporteat inuenire quanta erit grauitas plumbi, magnitudine
æqualis propo&longs;ito argento viuo A. inueniatur grauitas aquæ, magni
tudinem habentis æqualem argento viuo A, quæ &longs;it
ta grauitate plumbi, magnitudine æqualis ip&longs;i aquæ, vt in exemplo
propo&longs;. 9. dictum est, ea erit de qua quæritur.
&longs;it enim inuenta plum
bigrauitas
tur magnitudine plumbo, cuius grauitas est
argento viuo A, plumbum cuius grauitas e&longs;t
tudine argento viuo A. quare inuenta, e&longs;t grauitas plumbi, magnitu
dine æqualis propo&longs;ito argento viuo A, quod facere oportebat.
PROBLEMA VIII. PROPOS. XV.
Propo&longs;itis duobus liquidis corporibus æquè graui
bus, data magnitudine vnius, magnitudinem alte
rius inuenire.
SINT propo&longs;ita duo cor
pora liquida æquè grauia A,
B, &longs;it autem vnius vt pote li
quidi A, data magnitudo G,
& oporteat inuenire quanta
erit magnitudo liquidi B. Ac
cipiatur aliquod &longs;olidum cor
pus C, & liquidi quod &longs;it H,
eiu&longs;dem generis cum liquido
A, magnitudinem habentis
æqualem &longs;olido C, *
tur grauitas quæ &longs;it D, &longs;imili.
ter & liquidi, quod &longs;it I, eiu&longs;dé
generis cum liquido B, magni
tudinern habentis æqualem eidem &longs;olido C, * inueniatur grauitas,
quæ &longs;it E, & fiat vt grauitas E, ad grauitatem D, ita magnitudo G, ad
ad aliam Quoniam igitur &longs;unt quatuor cor
pora grauia I, H, B, A, quorum primum, & &longs;ecundum &longs;unt magnitu
dine æqualia, tertium vero, & quartum æque grauia, & &longs;unt eiu&longs;dem
generis primum videlicet, & tertium, &longs;imiliter eiu&longs;dem generis &longs;e
gnitudo G, ad liquidi B, magnitudinem, &longs;ed vt grauitas E, ad graui
tatem D, ita e&longs;t magnitudo G, ad F, magnitudinem; ergo magnitudo
F, æqualis erit magnitudini liquidi B. inuenta igitur e&longs;t corporis li
quidi B, magnitudo F, quod facere oportebat.
Quod &longs;i propo&longs;ita duo corpora æque grauia fuerint
regularia, vtpote &longs;phærica, fuerit autem &longs;ph&ecedil;ræ A, data
diameter G, & oporteat inuenire, quanta erit diameter
&longs;phæræ B, ita faciendum erit.
ACCEPTO aliquo cor
pore &longs;olido C, & inuentis
grauitatibus D, E,
H, I, vt &longs;upra, fiat vt grauitas
E, ad grauitatem D, ita cu
bus ex G, ad alium cubum,
cuius latus &longs;it F. Quoniam
igitur eadem ratione, qua
&longs;upra o&longs;tendetur, vt grauitas
E, ad grauitatem D, ita e&longs;&longs;e
magnitudinem &longs;phæræ A, ad
&longs;phæræ B, magnitudinem, &longs;ed
magnitudo &longs;phæræ A, ad
metrum &longs;phæræ B, &longs;imiliter & cubus ex G, ad cubum diametri &longs;phæ
metrum; ergo vt grauitas E, ad grauitatem D, ita erit cubus ex G, ad
cubum diametri &longs;phæræ B, &longs;ed vt grauitas D, ita grauitatem D, ita
e&longs;t cubus ex G, ad cubum ex F; ergo cubus ex F, æqualis erit cubo
diametri &longs;phæræ B; quare & latus F, æquabitur diametro ip&longs;ius &longs;phæ
ræ B. inuenta igitur e&longs;t quantitas diametri &longs;phæræ B, quod facere
oportebat.
Exemplum.
Qvidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
magnitudinis, & vult inuenire, quanta erit ma
gnitudo liquidi alterius generis, grauitatem
habentis propo&longs;ito corpori liquido æqualem.
oporteat inuenire quanta erit magnitudo aquæ, grauitatem habentis
æqualem propo&longs;ito oleo A, accipiatur aliquod &longs;olidum corpus C, vt
pote plumbeum, & aquæ magnitudinem habentis æqualem plumbo
C, inueniatur grauitas, vt in exemplo prop.
inueniatur grauitas quæ &longs;it 11, & fiat vt 12, ad
tudo aquæ grauitatem habentis æqualem propo&longs;ito oleo A.
do
grauitatem habentis æqualem propo&longs;itæ aquæ A. Accipiatur aliquod
corpus &longs;olidum C &longs;i aureum, &longs;uper inducatur ei cerea tunica propter
iam
inueniatur grauitas quæ &longs;it
bentis æqualem eidem C, inueniatur grauitas quæ &longs;it
dicabit quanta erit magnitudo argenti viui grauitatem habentis
æqualem propo&longs;itæ aquæ A.
Quod &longs;i propo&longs;itum corpus aqueum A, &longs;it &longs;phæricum, culus
&longs;phæræ diameter &longs;it 10, & oporteat inuenire quanta erit dia
meter &longs;phæræ ex argento viuo, grauitatem habentis æqualem
propo&longs;itæ &longs;phæræ A, ità faciendum erit.
tibus
lem habentium corpori C, quæ &longs;int
tas argenti viui, fiat vt
ad alium numerum, qui &longs;it
metri &longs;phæræ ex argento viuo, grauitatem habentis æqualem propo
&longs;itæ ex aqua &longs;phæræ A: quare latus cubicum numeri
4 19/100
alicuius alterius formæ regularis, eadem ratione, qua &longs;upra inuenit
tur latus cubi ex argento viuo, grauitate æqualis propo&longs;ito ex aqua
cubo A, nam &longs;i ip&longs;ius cabi A,
quare latus cubicum numeri
dicabit quæ&longs;itum latus cubi, ex argento viuo.
Neque di&longs;&longs;imili ratione inuenietur magnitudo reliquo
rum omnium liquidorum, grauitate propo&longs;ito corpori cuiu&longs;
cumque generis liquidi, æqualium, quare dicta &longs;ufficiant.
Dvm adhuc Opu&longs;culum &longs;ub prælo e&longs;&longs;et, dubitandi an&longs;am,
ex eo vir docti&longs;simus, cui percurrendum illud tradi
deram, arripuit, quod ex grauitate, corporum in aqua
exi&longs;tentium, non po&longs;&longs;et vera ratio, quam habent diuer&longs;a
ip&longs;orum corporum genera in grauitate, deprehendi, ni&longs;i
corpora fuerint &longs;imilia. &longs;i enim (aiebat) accipiantur duo
corpora eiu&longs;dem generis, & grauitatis, quorum vnum &longs;it
planum, alterum conicam formam habens, & ponderen
tur in aqua, ita vt coni vertex deor&longs;um ver&longs;us pondeat, ba&longs;is
vero ip&longs;ius coni, & latæ corporis plani &longs;uperficies æquidi&longs;tent
horizonti conus in aqua maiorem habebit grauitatem, cor
pore plano, quia corpus planum magis ab aqua &longs;u&longs;tentatur,
quam conus, & hoc quidem manife&longs;tum e&longs;t, quoniam &longs;i am
bo demittantur eodem tempore in aquam, conus citius ad
imum de&longs;cendet, quam corpus planum. Hoc argumentum
licet primo a&longs;pectu probabile videatur, tamen fal&longs;o concludit.
verum e&longs;t quod aqua &longs;u&longs;tentat magis corpus planum, quam
conum, ip&longs;um tamen &longs;u&longs;tentat, ne tanta velocitate feratur
deor&longs;um, non ideo ip&longs;ius grauitati aliquid detrahit, neque
enim ex velociori motu &longs;impliciter inferri pote&longs;t maior gra
uitas, illud enim valeret etiam in aere, quod e&longs;t fal&longs;um, &longs;ed
ne huiu&longs;modi dubitatio veritatis &longs;pecie aliquem decipiat, &longs;e
quenti Theoremate eam de&longs;truere agrediar.
THEOREMA VIII. PROPOS. XVI.
Corpora eiu&longs;dem generis, & grauitatis grauiora
quam aqua, et&longs;i di&longs;similia, æqualem in aqua
grauitatem habent.
SINT duo eiu&longs;dem generis, & grauitatis corpora A, B, grauiora
quam aqua, & &longs;int di&longs;&longs;imilia, dico ip&longs;a corpora æqualem in aqua
grauitatem habere. &longs;it enim &longs;i fieri pote&longs;t corpus A, leuius corpore B,
corpori L, appendatur, corpus B, & ambo &longs;imul demittantur in
&longs;int æque grauia atque aqua, neque &longs;ur&longs;um, neque deor&longs;um &longs;eran
tur, &longs;imiliter accipiatur alterum corpus M, eiu&longs;dem generis cum
corpore L, ip&longs;ique &longs;imile, &
æquale, & corpori M, appen
datur corpus A. Deinde in
teligatur aqua con&longs;i&longs;tens, &
manens, eiu&longs;que &longs;uper&longs;i
cies &longs;phærica C D E, cuius
&longs;phæræ centrum K, aquæ
enim con&longs;i&longs;tentis, atque
manentis &longs;uperficies &longs;phæ
rica e&longs;t, cui
trum idem
terræ, hoc autem demon&longs;tratum e&longs;t ab Archimede Prop. 2. lib.
1. de
ijs, quæ vehuntur in aqua. Inteligantur etiam duæ pyramides con
iunctæ, & continuatæ, æquales, & &longs;imiles KCD, KDE, pro ba&longs;ibus
habentes in &longs;uperficie aquæ parallelogramma, vertices autem pun
ctum K, & corpora L, B, comprehendantur à pyramide KDE, corpo
ra vero M, A, à pyramide KCD, & &longs;ub corporibus L, B, de&longs;cribatur
quædam alterius &longs;phæræ &longs;uperficies FGH, in aqua, circa centrum K,
poterit autem huiu&longs;modi &longs;uperficies &longs;ub corporibus L, B, de&longs;cribi,
quoniam & &longs;i ip&longs;i corpora demerguntur tota, non ideo feruntur
deor&longs;um, ponuntur enim æque grauia atque aqua. Quoniam
igitur eiu&longs;dem generis ponuntur corpora M, L, & æqualia, & &longs;imilia,
erunt æque grauia, cum in aqua, tum in aere, & quoniam corpus
A, leuius e&longs;t in aqua, corpore B, erunt corpora M, A, &longs;imul, in aqua
leuiora corporibus L, B, &longs;ed corpora L, B, &longs;imul, æque grauia &longs;unt at
que aqua, ergo corpora M, A, &longs;imul, leuiora erunt quam aqua; quare
corpus M, non demergetur totum, &longs;ed aliqua pars ip&longs;ius ex aquæ &longs;u
per&longs;icie extabit.
Et quoniam eiu&longs;dem generis, & grauitatis ponuntur corpora A, B,
erunt magnitudine æqualia, & per additionem æqualium æquali
bus, corpora M, A, erunt æqualia corporibus L, B,
Quoniam igitur corpora M, A, æqualia &longs;unt corporibus L, B, pars
autem corporis M, extat ex aquæ &longs;uperficie, & corpora L, B, tota de
merguntur, minus loci ocupabunt in aqua corpora M, A, quam cor
pora L, B, quare maior erit grauitas corporum M, A, & aquæ conti
nentis ip&longs;a corpora, quæ e&longs;t in loco pyramidis CDGF, quam corpo
rum L, B, & aquæ ip&longs;a corpora
ca quæ e&longs;t &longs;ub &longs;uperficie GH; quare expellet partem minus pre&longs;&longs;am,
(æqualiter enim & continuatæ iacent inter &longs;e&longs;e) &
quod e&longs;t ab&longs;urdum, ponebatur enim manens. non igitur corpus A,
leuius e&longs;t in aqua corpore B. eadem ratione o&longs;tendetur neque corpus
B, leuius e&longs;&longs;e in aqua corpore A, quare con&longs;tat propo&longs;itum.
ALITER.
Sint duo eiu&longs;dem generis, & grauitatis corpora A, B, grauiora
quam aqua, & &longs;int di&longs;&longs;imilia. o&longs;tendendum e&longs;t ip&longs;a corpora æqualem
in aqua grauitatem habere, &longs;it enim corporis A, vel ip&longs;ius B, graui
tas CD, aquæ vero magni
tudinem habentis æqua
lem ip&longs;i A, vel B, &longs;it graui
tas C, & accipiatur ali
quod corpus L, leuius
aqua, cuius grauitas &longs;it
ip&longs;i C, æqualis, aquæ ve
ro, magnitudinem haben
tis æqualem corpori L, &longs;it
grauitas æqualis ip&longs;i CD,
itaque appen&longs;o corpore
B, corpori L, corpus ex
vtri&longs;que con&longs;tans æque graue erit atque aqua, grauitas enim vtro
runque corporum B, L, e&longs;t æqualis vtri&longs;que grauitatibus CD, & C, &
grauitas aquæ, magnitudinem habentis æqualem
L, B, æqualis e&longs;t ei&longs;dem grauitatibus CD, & C, corpora igitur B, L,
demi&longs;&longs;a in aquam, neque &longs;ur&longs;um, neque deor&longs;um ferentur, quia cor
pus B, grauius quam aqua fertur deor&longs;um tanta vi, quanta à corpo
re
Rur&longs;us accipiatur alterum corpus &longs;olidum M, eiu&longs;dem generis
cum corpore L, ip&longs;ique &longs;imile, & æquale, & corpore A, appen&longs;o ip&longs;i
M, & demi&longs;&longs;is ambobus in aquam, eadem ratione qua &longs;upra o&longs;ten
detur, corpora A, M, &longs;imul, e&longs;&longs;e æque grauia atque aqua, & corpus
A, tanta vi deor&longs;um ferri, quanta retrahitur &longs;ur&longs;um à corpore M,
&longs;ed corpora M, L, æqualem vim habent retrahendi &longs;ur&longs;um, cum
&longs;int eiu&longs;dem generis, & æqualia, & &longs;imilia, ergo æquali vi retra
hentur corpora A, B, ne de&longs;cendant; quare con&longs;tat ip&longs;a corpora A,
B, æqualem in aqua grauitatem habere quod erat o&longs;tendendum.
THEOREMA IX. PROPOS. XVII.
Sphære eiu&longs;dem generis inter &longs;e &longs;unt in grauitate, vt
diametrorum cubi in magnitudine.
SINT &longs;phæræ eiu&longs;dem gene
ris ABC, DEF, quarum diame
tri BC, EF. dico vt &longs;ph&ecedil;ra ABC,
&longs;e habet in grauitate, ad &longs;phæram
DEF, ita &longs;e habere in maguitudi
ne cubum ex BC, ad cubum ex
EF, &longs;it enim &longs;phæræ ABC, graui
tas G, & &longs;phæræ DEF, grauitas H,
quoniam igitur eiu&longs;dem generis
ponuntur &longs;phæræ ABC, DEF,
erit^{*} vt &longs;phæra ABC, ad &longs;phæram DEF, ita grauitas G, ad H,
tatem, &longs;ed &longs;phæra ABC, ad &longs;phæram DEF,^{*} triplicatam habet
tionem eius, quam diameter BC, ad EF, diametrum, ergo & graui
tas G, ad grauitatem H, triplicatam habebit rationem eius, quam
habet BC, ad EF, &longs;ed & cubus ex BC, ad cubum ex EF,^{*} triplicatam
rationem habet eius, quam BC, ad EF, ergo vt grauitas G, ad graui
tatem H, ita erit cubus ex BC, ad cubum ex EF. &longs;phæræ igitur eiu&longs;
dem generis inter &longs;e &longs;unt in grauitate, vt diametrorum cubi in ma
gnitudine, quod erat demon&longs;trandum.
Ad comparandum inter &longs;e duodecim corporum genera
grauitate, & magnitudine tabella.
TABELLE WAR HIER
In
teligatur plumbum, quoniam leuius est auro, grauitatem habere 1, & in linea plumbi,
in prima columna nominati &longs;ub titulo auri, quæratur auri grauitas, ea erit
bum igitur ad aurum rationem habebit in grauitate vt 1, ad 1 1
duo corpora magnitudine æqualia, vnum plumbeum alterum aureum, &longs;it autem plum
bei corporis grauitas
eiu&longs;dem magnitudinis rationem habebit in grauitate vt 1, ad 1 1
tem inter &longs;e genera diuer&longs;a grauitate, in corporibus magnitudine æqualibus.
inteli
gatur aqua, vt leuior argento viuo grauitatem habere 1, & in linea aqua, &longs;ubtitulo ar
genti viui, quæratur argenti viui grauitas, ea erit
rationem habebit in grauitate vt 1, ad 13 4/7.
inteligatur
aurum, quoniam grauius e&longs;t plumbo, magnitudinem habere 1, & in linea plumbi, &longs;ub ti
tulo auri, quæratur plumbi magnitudo, ea erit 1 1
aureum, alterum plumbeum, &longs;it autem corporis aurei magnitudo 1, plumbei erit 1 1
quare corpus aureum ad corpus plumbeum eiu&longs;dem grauitatis &longs;e habebit in magnitudi
ne vt 1, ad 1 19/21, comparantur autem inter &longs;e genera diuer&longs;a magnitudine, in corpori
bus æque grauibus.
vt grauius aqua, magnitudinem habere 1, & in linea aquæ, &longs;ub titulo ferri, quæratur
aquæ magnitudo, ea erit
Altera, ad comparandum inter &longs;e duodecim corporum genera,
grauitate, & magnitudine, tabella.
TABELLE WAR HIER
intelliga
tur aurum, quoniam grauius est argento, grauitatem habere 100, & in line a auri, &longs;ub
titulo argenti, reperietur argenti grauitas
habebit in grauitate vt
aqualia, vnum aureum, alterum argenteum, &longs;it autem aurei corporis grauitas
magnitudinis, rationem habebit in grauitate, vt
quoniam
æqua grauior est vino, intelligatur eius grauitas
linea aquæ, &longs;ub titulo vint, datur vini grauitas
&longs;e habebit in grauitate, vt
aurum. intelligatur argentum, vt leuius auro, magnitudinem balere
100,
erit
100,
argenteum, alterum aureum, &longs;it autem argentei corporis magnitudo
100,
eiu&longs;dem grauitatis, &longs;e habebit in magnitudine, vt 100, ad
gentum viuum. quoniam aqua leuiora est argento viuo, intelligatur
eius magnitudo
ratur argenti viui magnitudo, & reperietur
argentum viuum &longs;e habebit in magnitudine, vt 100, ad
Hic &longs;equitur tabula, ad inueniendas &longs;phærarum grauita
tes, ex data diametrorum magnitudine, cuius hæc e&longs;t
explicatio.
quo, cuius men&longs;uram in margine appo&longs;uimus, eaque re&longs;pondet ad Ro
mani palmi, quo hodie vtimur, men&longs;uram vt 4, ad 3, huiu&longs;modipe
dem diuidimus in duodecim partes æquales, &longs;eu vncias, quas inuenies
in prima Columna &longs;ub titulo magnitudinis.
enim diuidimus in
pulum inAd inueniendas igitur &longs;phærarum grauitates ex
data diametrorum magnitudine, hæc erit ratio.
ciarum, in&longs;pice tabulam, & in linea trium vnciarum, &longs;ub titulo gra
uitatis plumbeæ &longs;phæræ, deprehendes ip&longs;am &longs;phæram grauitatem ba
bere lib.
in linea
19, gran.
vnius pedis. in linea vnius pedis, &longs;eu 12, vnciarum, &longs;ub titulo graui
tatis &longs;phæræ &longs;tanneæ, datur quæ&longs;ita &longs;phæræ grauitas lib.
quem. Atque ita reliquarum &longs;phærarum in tabula nominatarum, ex
data diametrorum magnitudine, grauitates inuenies.
Qua ratione hanc Tabulam compo&longs;uimus.
tem habentis diametrum, & ad hoc faciendum, oportebat aliquam
&longs;pbæram efficere, &longs;ed quoniam ad illam efficiendam, exactam humana
diligentia non &longs;ufficit, fieri curauimus Cylindrum ex &longs;tanno, altitu
dine aqualem diametro circuli, qui ba&longs;is e&longs;t ip&longs;ius Cylindri, is enim
torno fieri pote&longs;t multo exactior quam &longs;phæra, & facilius. huius au
tem Cylindri altitudo, vel diameter ip&longs;ius ba&longs;is, erat duarum vncia
rum prædicti pedis Romani, grauitas vero duarum librarum, cum
vna vncia, & octo &longs;crupulis, &longs;iue vt hoc pondus ad grana reducamus,
Cylindri grauitas erat Gran. 14592. abstulissent ab hac Cylindri
grauitate partem tertiam. id est
uauimus, pro grauitate &longs;phæræ, diametrum habentis æqualem altitu
dini Cylindri, o&longs;ten&longs;um enim est ab Archimede propo&longs;.
&longs;phæra, & Cylindro, Cylindrum, qui ba&longs;im habeat maximo in &longs;phæra
circulo æqualem, & altitudinem æqualem diametro &longs;phæræ, ad ip&longs;am
&longs;pbæram &longs;e&longs;quialterum e&longs;&longs;e; itaque grauitatem &longs;phæræ, diametrum
habentis duarum vnciarum inuenimus e&longs;&longs;e gran.
ciarum, facile inuenientur reliquarum
inuenienda &longs;it grauitas &longs;phæræ stannea habentis diametrum
ciæ, fiat vt cubus ex
ras eiu&longs;dem generis inter &longs;e e&longs;&longs;e in grauitate, vt diametrorum cubi in
magritudine.
trum
uitatem gran.
bentis
Ad inueniendas &longs;phæra
diametrorum
T A B
TABELLE WAR HIER
rum grauitates ex data
magnitudine
V L A.
TABELLE WAR HIER
TABELLE WAR HIER
TABELLE WAR HIER
TABELLE WAR HIER
bentium magnitudine quacunque, inuenientur grauitates.
uenientur grauitates.
tiplicetur ip&longs;a grauitas, per
ductus dabit grauitatem &longs;phæræ, diametrum habentis
metrorum. deinde &longs;i multiplicetur eadem grauitas per
cubum ex
diametrum
ex
4/4,
vel ex quacunque alia materia, hæc erit ratio.
licet &longs;phæræ stanneæ
qui &longs;it
tis
habet in grauitate vt
quam ad comparandum inter &longs;e duodecim corporum genera, grauita
te, & magnitudine, appo&longs;uimus.
habentis
TABELLE WAR HIER
qui &longs;it
ciarum grauitatem habebit gran. 15 117
uanda in reliquis ratio.
dictum est de &longs;phera &longs;tannea, numeri producti dabunt grauitates
&longs;phærarum ex plumbo, ad quarum diametros latera cubica rationem
habebunt vt
diametrum habentis
Sequitur, ad inueniendas diametrorum
magnitudines ex data &longs;phæ
rarum grauitate,
tabula.
TABELLE WAR HIER
TABELLE WAR HIER
TABELLE WAR HIER
TABELLE WAR HIER
TABELLE WAR HIER
TABELLE WAR HIER
TABELLE WAR HIER
TABELLE WAR HIER
E
nuer&longs;a, in ea enim inueniuntur &longs;phærarum grauitates ex data
diametrorum magnitudine, in hac vero deprehenduntur diametro
rum magnitudines ex data &longs;phærarum grauitate.
grauitatem habentis 10, lib. Numeri in prima columna &longs;ub titulo
grauitatis denotant &longs;phærarum grauitates, reliqui vero in reliquis
columnis denotant diametrorum magnitudines; itaque in linea
diametri magnitudo partium
tis 50, lib.
in linea 50, lib. &longs;ub titulo magnitudinis diametri &longs;phæræ
ferreæ, datur quæ&longs;ita diametri magnitudo
bentis 60, lib.
in linea 60, lib. &longs;ub titulo magnitudinis diametri &longs;phæræ
argenteæ, datur ip&longs;a magnitudo
tatem habentis 38, lib.
in linea 38, lib. &longs;ub titulo magnitudinis dia
metri &longs;phæræ stanneæ, datur quæ&longs;ita diametri magnitudo 6, ad
vnguem.
dines denotant, non &longs;unt veri, ac certi, &longs;ed veris bene proximi,
numeri, quorum ip&longs;i &longs;unt radices cubicæ, non &longs;unt cubi, & ideo ip&longs;a
radices non explicantur accurate, &longs;ed vel veris maiores, vel minores,
atque vt cogno&longs;cantur quæ &longs;int maiores, queue minores, maioribus
duo puncta adiecimus, minoribus vnum, accuratis nullum. inter om
nes autem vnus est accuratus, is &longs;cilicet, qui magnitudinem indicat
diametri &longs;phæræ stanneæ, grauitatem habentis
po&longs;.
habentis vnius vnciæ, id est, vt grana
vnius libræ, idest, ad grana
hoc e&longs;t, ita
&longs;phæræ stanneæ, grauitatem habentis 1, lib.
demonstratum enim
est prop.
vt diametrorum cubi in magnitudine; quare radix cubica numeri
5 13/19,
præci&longs;e cubus, eius radix non explicabitur accurata, &longs;ed vt explicetur
veræ bene proxima, multiplicetur
5684210 10/19,
rato numero cubo, ea erit
meri
5 13/19,
grauitatem habentis 1, lib.
erit
&longs;phærarum, grauitatem habentium duplam primæ, triplam, quadru
plam &c. ita inuenientur diametri.
centupli diametri &longs;pheræ stanneæ, grauitatem habentis duplam pri
mæ, hoc est
uitas &longs;phæræ vnius libræ, ad grauitatem &longs;phæræ duarum librarum,
ita cubus diametri primæ &longs;phæræ, ad cubum diametri &longs;ecundæ. Si
vero triplicetur numerus
17052631 11/19,
tatem habentis triplam primæ, idest
tem habentis quadruplam primæ, & &longs;ic deinceps. itaque &longs;i ex eius
multiplicibus, neglectis fractis,
tis numeris cubis, ip&longs;æ indicabunt diametrorum magnitudines in
ratione centupla. Sed vt etiam euitetur labor multiplicandi prædi
ctum numerum
plicia.
11368421 1/19,
addatur eius triplum, id e&longs;t,
dabit eius quintuplum, & &longs;ic &longs;ola additione inuenientur eius quot
cunque multiplicia.
alia materia, &longs;i enim quæratur de magnitudine diametri verbi gra
tia &longs;phæræ ferreæ, grauitatem habentis 1, lib.
fiat vt grana
grauitatem vnius libræ, id est ad grana 6912, ita cubus diametri
vnius vnciæ, hoc e&longs;t ita 1, ad alium numerum qui &longs;it
tur numerus * erit cubus diametri &longs;phæræ ferreæ, grauitatem haben
metrum, & quoniam numerus
non explicabitur eius radix accurate, multiplicetur per 1000000, &
ex producto
quam ex accurato numero cubo, ea erit
dicis numeri
cubum ex 100; diameter igitur &longs;phæræ ferreæ, grauitatem habentis
1, lib.
erit
plicato eruatur radix cubica
ra ferreæ, grauitatem habentis
cubica
crit
diametri. multiplicia autem numeri
uenientur, vt dictum est &longs;upra de inuentione multiplicium numeri
5684210 10/19.
huius.
Qvomodo Archimedes argenti mixtionem depre
hendit in auro.
mortalibus in quodam fano con&longs;titui&longs;&longs;et ponendam, immani precia
locauit faciendam, & aurum ad &longs;acoma appendit redemptori. is ad
tempus opus manufactum &longs;ubtiliter, regi approbauit, & ad &longs;acoma
pondus coronæ vi&longs;us e&longs;t præ&longs;titi&longs;&longs;e. Po&longs;tea quam indicium e&longs;t factum,
dempto auro, tantundem argenti in id coronarium opus admixtum
e&longs;&longs;e: indignatus Hiero &longs;e contemptum, neque inueniens, qua ratione
id furtum deprehenderet, rogauit Archimedem, vti in &longs;e &longs;umeret de
eo cogitationem. tunc is cum haberet eius rei curam, ca&longs;u venit in
balneum, ibique cum in &longs;olium de&longs;cenderet, animaduertit quantum
corporis &longs;ui in eo in&longs;ideret, tantum aquæ extra &longs;olium effluere.
cum eius rei rationem explicationis offendi&longs;&longs;et non est moratus, &longs;ed
exiliuit gaudio motus de &longs;olio, & nudus vadens domum ver&longs;us, &longs;igni
ficabat clara voce inueni&longs;se quod quæreret. nam currens identidem
grece clamabat
duas dicitur feci&longs;&longs;e ma&longs;&longs;as æquo pondere, quo etiam fuerat coro
na, vnam ex auro, alteram ex argento. cum ita fecißet, vas
ad &longs;umma labra impleuit aqua, in quo demi&longs;it argenteam ma&longs;&longs;am,
cuius quanta magnitudo in va&longs;e depre&longs;&longs;a est, tantum aquæ effluxit.
ita exempta ma&longs;&longs;a, quanto minus factum fuerat refudit, &longs;extario
men&longs;us, vt eodem modo, quo prius fuerat, ad labra æquaretur. ita ex
eo inuenit, quantum ad certum pondus argenti certa aquæ men&longs;ura
re&longs;ponderet.
demi&longs;it, & ea exempta, eadem ratione men&longs;ura addita, inuenit ex
aqua non tantum defluxi&longs;&longs;e, &longs;ed tantum minus, quantum minus ma
gno corpore eodem pondere auri ma&longs;&longs;a e&longs;&longs;et quam argenti. Postea
vero repleto va&longs;e, in
defluxi&longs;&longs;e in coronam, quam in auream. eodem pondere ma&longs;&longs;am, &
ita ex eo quod plus defluxerat aquæ in corona, quam in ma&longs;&longs;a ratio
cinatus, deprehendit argenti in auro mixtionem, & manifestum fur
tum redemptoris. Hactenus Vitruuius.
Mirum certe Archimedis fuit inuentum, ip&longs;ius tamen
modus ad inueniendam illam aquæ men&longs;uram, quæ ad
certum pondus auri, vel argenti, vel coronæ re&longs;ponderet,
maiori diligentia indiget, quam quæ ab hominibus adhiberi
pote&longs;t, impo&longs;&longs;ibile enim e&longs;t, exempta corona, vel aurea ma&longs;&longs;a,
vel argentea, tantum aquæ refundere, quantum è va&longs;e efflu
xerat ad vnguem, nam repo&longs;ita aqua in va&longs;e, non po&longs;&longs;umus
cum autem incipit, effluit aliquando totus ferè cumulus, ita
que vel plus aquæ additur eo, quod deficit, vel minus, ni&longs;i
coniectura a&longs;&longs;equatur: at vero coniectura pro veritate non ac
cipitur. præterea exempta corona, vel aurea ma&longs;&longs;a, vel argen
tea, eximitur etiam &longs;imul cum ip&longs;a aliquantum aquæ, quæ cir
cum ip&longs;am remanet, atque huiu&longs;modi defectus errorem indu
cit &longs;en&longs;ibilem.
Neque per collectionem quæ&longs;ita aquæ men&longs;ura inueniri
pote&longs;t: æquè enim impo&longs;&longs;ibile e&longs;t vniuer&longs;am illam æquam col
ligere, quæ extra vas effluit, quando corona, vel aurea ma&longs;&longs;a
vel argentea in ip&longs;o va&longs;e deprimitur, cum enim aqua è va&longs;e
effluat, pars ip&longs;ius aquæ va&longs;i, ex quo effluit, pars va&longs;i in quod
influit adhæret, & &longs;i vniuer&longs;a omnino &longs;emper non colligatur,
erit non parui erroris cau&longs;a, præter quam quod, non &longs;emper
adeo facile inuenitur par auri, argentique ma&longs;&longs;a, quando co
rona, vel alia auri ma&longs;&longs;a, quæ examinanda proponitur, medio
crem excederet magnitudinem.
Neque præterea pote&longs;t di&longs;cerni prædicta argenti portio in
aliqua auri parua ma&longs;&longs;a, differentiæ enim aquarum, quæ ex
tra vas effluunt, &longs;unt adeo exiguæ, vt ne cogno&longs;ci quidem
po&longs;&longs;int, quod &longs;i cogno&longs;cerentur, non &longs;emper erunt veræ,
&longs;iquidem non &longs;emper in va&longs;is medio in cumulum cre&longs;cens
æqualis aquæ copia remanet, &longs;ed maior interdum, inter
dum minor, vt con&longs;picitur. fit enim vt aliquando cumulus
ille frangatur pluribus in locis, & ideo aqua diffundatur, vt
ferè nihil ip&longs;ius cumuli &longs;uper&longs;it, aliquando vero frangatur
in vno tantum loco, & aqua colligens &longs;e in cumulum, parum
diffluat.
Sed ponderandis corporibus in aere & aqua, eo modo, quo
dictum e&longs;t in fine exempli prop.
8. inuenitur quæ&longs;ita aquæ,
grauitas, ita exactè, vt requiritur, fiue &longs;it corpus illud paruum,
&longs;iue magnum nihil intere&longs;t, & præterea facillima e&longs;t operatio,
nec adinueniendæ &longs;unt auri, & argenti ma&longs;&longs;æ æque graues, ac
differentes inter &longs;e, &longs;ufficiunt.
De ratione autem, qua Archimedes, cognitis grauitatibus
trium corporum ex aqua, magnitudine æqualium, coronæ
&longs;cilicet vnum, alterum ma&longs;&longs;æ aure&ecedil;, tertium argenteæ, potue
rit furtum aurificis in regia corona deprehendere, atque ar
gentum quod erat in ea permixtum ab auro di&longs;cernere, pluri
mi &longs;crip&longs;erunt, modos etiam ad id faciendum excogitarunt
varios, longa tamen methodo, atque difficili v&longs;i &longs;unt, & quod
maximam confu&longs;ionem, & ob&longs;curitatem parit, nullum opera
tionis tradunt præceptum firmum, ac &longs;tabile. ego autem vni
ca tantum proportionis ratiocinatione, &longs;eu regula trium (vt
vulgo dicitur) breuiter, & expedite idem con&longs;equor, eamque
geometrica ratione demon&longs;tro. Problema igitur ad hoc facien
dum ita concipio & ab&longs;oluo.
PROBLEMA IX. PROPOS. XVIII.
Portionem metalli, alteri metallo mi&longs;tam, ponde
ris ratiocinatione di&longs;cernere.
QVONIAM de Hieronis corona facta e&longs;t mentio, &longs;it ea B,
eiu&longs;que grauitas EK, & oporteat argentum, quod &longs;it in ea
ab auro di&longs;cernere, hoc e&longs;t oporteat inuenire quanta erit portio ar
genti, & quanta auri. In
telligantur duo corpora
A, D, vnum aureum, al
terum argenteum æque
grauia atque corona,
deinde trium corporum
ex aqua, magnitudine
æqualium, aureo &longs;cili
cet corpori vnum, alte
rum coronæ, tertium
corpori argenteo, inue
niantur grauitates, id autem poterit fieri facillime, &longs;i
corpora vnum ex auro, alterum ex argento, grauitate quacunque, vt
bere duo corpora ex auro & argento, grauitatem habentia eandem
quam & corona, & hac de cau&longs;a diximus &longs;upra
pora, non autem accipiantur. &longs;it igitur primi corporis aquei æqualis
aureo A, inuenta grauitas G, &longs;ecundi vero æqualis coronæ B, graui
tas F, & tertij æqualis corpori argenteo D, grauitas H, & fiat vt dif
ferentia inter G, & H, ad EK, ita differentia inter G, & F, ad aliam
grauitatem, quæ &longs;it K. Dico K, grauitatem e&longs;&longs;e portionis argenti,
quod e&longs;t in corona, E vero grauitatem auri.
Vel &longs;i pro tertio proportionis termino &longs;umatur differentia inter F,
& H, & quartus terminus &longs;it E, Dico E, grauitatem e&longs;&longs;e portionis au
ri, K vero argenti.
Quartus autem vtriu&longs;que proportionis terminus * minor e&longs;t
cundo EK, quod & tertius minor e&longs;t primo, primus enim terminus
e&longs;t differentia inter G, & H, tertius vero, vel e&longs;t differentia inter G, &
F, vel differentia inter F, & H, vterque minor primo. Exemplis autem
res fiet illu&longs;trior.
Exemplum.
I.
Intelligantur duo corpora, vnum aureum, alterum argenteum, æque
grauia atque corona, deinde trium corporum ex aqua, magnitudine
æqualium, aureo &longs;cilicet corpori vnum, alterum coronæ, tertium cor
pori argenteo, inueniantur grauitates, vt in exemplo prop.
est, quæ &longs;int primi nimirum corporis aquei
9 6/31,
22 17/26,
na, qua detracta ex totali grauitate coronæ, reliquum
grauitas portionis auri.
& 9 6/31,
tionis auri, quæ &longs;i dematur ex totali grauitate coronæ, remanebit
22 17/26,
Exemplum.
II.
& ære, & habeat grauitatem
171. lib.
& oporteat inuenire quanta erit portio æris in ip&longs;o corpore,Intelligantur duo corpori, vnum ex auro puro, al
terum ex ære, æque grauia atque corpus mistum, & trium corporum
ex aqua, quorum vnum &longs;it æquale corpori aureo magnitudine, alte
rum misto, tertium aureo, inueniantur grauitates, vt in exemplo pro
po&longs;.
19,
9, & 11,
34 1/5,
136 4/5,
lata ex totali corporis mi&longs;ti grauitate, reliquum
tem portionis æreæ.
At vero huiu&longs;modi ratiocinationem ad di&longs;cernendum ar
gentum ab auro, vel aliud metallum ab altero metallo, recte
e&longs;&longs;e in&longs;titutam, &longs;equenti Theoremate demon&longs;trabitur.
THEOREMA X. PROPOS. XIX.
Si trium corporum æque grauium primum & ter
tium fuerint generis diuer&longs;i, &longs;ecundi autem portio
fuerit eiu&longs;dem generis cum corpore primo, reliqua ve
ro eiu&longs;dem generis cum corpore tertio, fuerint etiam
tres quantitates aquæ prædictis corporibus æquales, pri
ma videlicet corpori primo, &longs;ecunda &longs;ecundo, & tertia
tertio. erit vt differentia grauitatum primæ & tertiæ
quantitatis aquæ, ad grauitatem corporis &longs;ecundi, ita
differentia grauitatum primæ & &longs;ecundæ quantitatis
aquæ, ad grauitatem portionis corporis &longs;ecundi, quæ e&longs;t
eiu&longs;dem generis cum corpore tertio.
Et ita differentia grauitatum &longs;ecundæ & tertiæ quan
titatis aquæ, ad grauitatem portionis eiu&longs;dem generis
cum corpore primo.
SINT tria corpora æque grauia A, BC, D, quorum A, primum,
& tertium D. &longs;int generis diuer&longs;i, portio vero &longs;ecundi B, &longs;it eiu&longs;dem
generis cum corpore A, & portio C, eiu&longs;dem generis cum corpore
D, &longs;int etiam alia tria
corpora aquea P, OL,
& Q,
le corpori A, magnitu
dine, ip&longs;um vero OL,
æquale corpori BC, &
ip&longs;um Q, æquale cor
pori D, & &longs;int earum
grauitates, G, ip&longs;ius P,
& FV, ip&longs;ius OL, & H,
ip&longs;ius
rentia grauitatum G,
H, ad grauitatem cor
poris BC, ita e&longs;&longs;e diffe
rentiam grauitatum
G, FV, ad grauitatem
portionis C; & ita differentiam grauitatum FV, H, ad portionis B,
grauitatem. Sit enim portionis B, grauitas E, & portionis C, gra
uitas K; ergo totius corporis BC grauitas erit EK, &longs;i
quæ &longs;it æqualis portioni B, grauitas F, ergo reliquæ portionis L,
ita B, ad O, æquale videlicet ad æquale, erit permutando, vt A, ad B,
ita p.ad O, & quoniam &longs;unt eiu&longs;dem generis A, B, &longs;imiliter & P, O,
* erit vt grauitas corporis A, hoc e&longs;t vt EK, (ponuntur enim
pora A, BC, D, æque grauia,) ad E, ita G, ad F, quod igitur fit ex EK,
& F, nempe ex extremis, æquale erit ei, quod fit ex E, & G, hoc e&longs;t
ex medijs.
Similiter quoniam e&longs;t, vt D, ad Q, ita C, ad E, æquale videlicet ad
æquale, erit permutando, vt D, ad C, ita Q, ad L, & quoniam &longs;unt
eiu&longs;dem generis D, C, &longs;imiliter & Q, L, * erit vt grauitas ip&longs;ius D,
hoc e&longs;t vt EK, ad K, ita H, ad V; quare quod fit ex EK, & V, ex extre
mis, æquabitur ei, quod ex H, fit & K, ex medijs.
Sed o&longs;ten&longs;um e&longs;t id quod ex EK, fit & F. æquale e&longs;&longs;e ei quod fit ex
G, & E, ergo quo
e&longs;t id quod fit ex EK, & FV, æquale erit ei quod ex G, fit & E, vna
eum eo quod ex H, & K, &longs;ed quod ex G, fit & E, æquale e&longs;t ei quod fit
ex G, & EK, minus eo quod ex G, & K, quod enim additur, idem &
EK, vna cum eo quod ex H, & K, minus eo quod fit ex G, & K. aufe
ratur vtrinque id quod fit ex G, & EK, quod igitur fit ex FV, & EK,
minus eo quod ex G, &
EK, æquabitur ei quod
ex H, & K, minus eo
quod fit ex G, & K, &longs;ed
quod fit ex H, & K,
minus eo quod fit ex
G, & K, æquale e&longs;t ei
quod ex differentia ip
&longs;arum H, G, fit & K,
&longs;imiliter, & quod fit ex
FV, & EK, minus eo
quod ex G, & EK,
æquale e&longs;t ei quod ex
differentia ip&longs;arum
FV, G, fit & EK, ergo
quod ex differentia
ip&longs;acum H, G, fit & K, æquale erit ei quod ex differentia ip&longs;arum
FV, G, fit & EK; æqualitatem ad proportionem reuocando, erit vt
differentia grauitatum. H, G, ad grauitatem EK, ita differentia
grauitatum FV, G, ad graui
&longs;trandum.
Dico quoque vt differentia grauitatum H, G, ad grauitatem EK,
ita e&longs;&longs;e differenti Quoniam
enim o&longs;ten&longs;um e&longs;t, quod fit ex EK, & FV, æquale e&longs;&longs;e ei quod ex G. fit
& E, vna cum eo quod ex H, & K; quod autem fit ex H, & K, æquat
idem & minuitur: ergo quod fit ex EK, & FV, æquale erit ei quod fit
ex H, & EK, vna cum eo quod ex G, & E, minus eo quod ex H, & E.
addatur vtrin que quod ex H, fit & E, & &longs;ubducantur ea quæ fiunt ex
G, & E, & ex EK, & FV; quod igitur fit ex H, & E, minus eo quod ex
G, & E, æquabitur ei quod ex H, fit & EK, minus eo quod ex FV, &
EK, &longs;ed quod fit ex H, & E, minus eo quod ex G, & E, æquale e&longs;t ei
quod ex, differentia ip&longs;arum H, G, fit & E, &longs;imiliter, & quod ex H, fit
& EK, minus eo quod ex FV, & EK, æquale e&longs;t ei quod ex differentia
ip&longs;arum H, FV, fit & EK; ergo quod ex differentia ip&longs;arum H, G, fit
& E, æquabitur ei quod ex differentia ip&longs;arum H, FV, fit & EK; qua
re æqualitatem ad
zd grauitatem E. quod &longs;ecundo loco fuit demon&longs;trandum.
Alia breuior Theorematis demon&longs;tratio.
RESVMATVR eadem figura vt &longs;upra.
Quoniam igitur
corpus D, æquale e&longs;t corpori Q, magnitudine, & portio C, æqualis
portioni L, erit vt D, ad Q, ita C, ad L, & permutando vt D, ad C, ita
Q, ad L, & quoniam eiu&longs;dem &longs;unt generis D, C, &longs;imiliter & Q, L, * erit
vt grauitas corporis D, hoc e&longs;t vt EK; ad K, ita H, ad V.
Similiter quoniam ponuntur æqualia magnitudine corpora A, P,
& æquales quoque portiones B, O, erit vt A, ad P, ita B, ad O, & per
mutando vt A, ad B, ita P, ad O, &longs;ed eiu&longs;dem &longs;unt generis A, B, &longs;imili
ter & P, O, * vt igitur grauitas corporis A, id e&longs;t vt EK, ad E, ita erit
G, ad F, & per conuer&longs;ionem rationis erit vt EK, ad K, ita G, ad G,
minus F, &longs;ed demon&longs;tratum e&longs;t, vt EK, ad K, ita e&longs;&longs;e H, ad V, ergo vt
H, ad V, ita erit G, ad G, minus F, & permutando vt H, ad G, ita V,
ad G, minus F, & diuidendo vt H, minus G, ad G, ita erit FV, minus
G, ad G, minus F, rur&longs;us permutando erit vt H, minus G, ad FV, mi
nus G, ita G, ad G, minus F, &longs;ed vt EK, ad K, ita e&longs;t G, ad G, minus F,
vt e&longs;t demon&longs;tratum, ergo vt H, minus G, ad FV, minus G, ita erit
EK, ad K, quare permutando vt H, minus G, ad EK, ita erit FV, mi
nus G, ad K, quod e&longs;tò primum.
Dico quoque vt H, minus G, ad EK, ita e&longs;&longs;e H, minus FV, ad E.
Quoniam enim o&longs;ten&longs;um e&longs;t vt EK, ad K, ita e&longs;&longs;e H, ad V, erit per
conuer&longs;ionem rationis vt EK, ad E, ita H, ad H, minus V, &longs;ed demon
&longs;tratum e&longs;t vt EK, ad E, ita e&longs;&longs;e G, ad F, ergo vt H, ad H, minus V, ita
erit G, ad F, & permutando vt H, ad G, ita H, minus V, ad F, & diui
dendo vt H, minus G, ad G, ita erit H, minus FV, ad F, & permutan
do vt H, minus G, ad H, minus FV, ita G, ad F, &longs;ed vt EK, ad E, ita e&longs;t
G, ad F, vt e&longs;t demon&longs;tratum, ergo vt H, minus G, ad H, minus FV,
ita erit EK, ad E, quare permutando, erit vt H, minus G, ad EK, ita
H, minus FV, ad E, quod erat &longs;ecundo loco demon&longs;trandum.
Svpere&longs;t igitur vt dicamus, qua ratione ex grauitate aúri
cogno&longs;ci po&longs;&longs;it eius qualitas; id quod ex ijs, quæ dicta
&longs;unt facilè colligitur; &longs;i videlicet nota fiat cuiu&longs;uis ma&longs;&longs;æ auri
grauitas, quam habet tum in aere, tum in aqua. Sed ante
omnia, duo nobis &longs;unt præmittenda, & explicanda. nimirum
quid &longs;it aurum 24. partium, &longs;eu (vt vulgo dicitur) di 24. ca
uer&longs;a auri qualitas. Deinde quomodo aurum alligent Auri
fices, vel alij ad quos alligandi officium &longs;pectat. His enim
cognitis, non erit difficile, id quod proponitur, certa aliqua
ratione, a&longs;&longs;equi.
vero dicitur non purum, &longs;ed aliquo alio metallo, vel pluribus affe
ctum. & quia hæc affectio multiplex e&longs;t, ideo etiam auri qualitas,
qua ex varia mixtione na&longs;citur, varia &longs;it est nece&longs;&longs;e : quamuis vna
tantum &longs;it qualitas auri puri. Qualitas enim auri in quouis cor
pore propo&longs;ito, exprimitur partibus auri puri, qua &longs;unt in ip&longs;o corpo
re, non in magnitudine, &longs;ed in grauitate &longs;umptis, qualibus totum cor
pus constat
tione quam habent illæ partes in grauitate ad totum corpus: quod
exemplo clarius explicabitur in hunc modum.
expurgatum & ad aurum purum reductum, ami&longs;erit ex pri&longs;tina
grauitate nempe ex
tantum
vel fuerit alterius metalli. Totum igitur illud corpus aureum ab
initio propo&longs;itum, &longs;i adhuc intelligatur tale quale fuit ante expurga
tionem, appellabitur
ratti. eo quod tota illa maßa mista,
tinuerit. Immo non &longs;olum illa ma&longs;&longs;a auri, &longs;ed etiam illa cuius ip&longs;a
fui&longs;&longs;et pars, vel que ip&longs;ius fui&longs;&longs;et quæcunque pars dicetur
tium. Neque enim in alligationibus metallorum, alia est alli
gatio partium, alia totius, &longs;ed vtrorunque vna eademque e&longs;t qua
litas.
&longs;eruant. Non enim purificant totum corpus propo&longs;itum, &longs;ed ali
quam eius particulam etiam perexiguam, quam &longs;olam ad aurum pu
rum reducunt. hac enim reducta, non &longs;olum recte definiunt cuius
fuerit qualitatis particula illa purificata ante purificationem; ve
rum etiam cuius fuerit qualitatis, & quot partium fuerit illud cor
pus, à quo eadem particula detracta fuit, & illud, quod adhuc &longs;u
pere&longs;t, diminutum &longs;cilicet illa parte purificata, vt in eodem exemplo
propo&longs;ito, corporis aureiEius enim quali
tatem &longs;i forte aurifices inuestigare velint, detrahent ex eo particu
lam, verbi gratia, vnius vnciæ, vel quod idem est particulam
cEst &longs;i quidem inuenerint, ex priori grauitate
pulorum, deperi&longs;&longs;e nihil: pronuntiabunt aurum illud, hoc est, non
&longs;olum particulam illam excoctam, &longs;ed etiam illud d quo fuit detra
cta, nec non & illud quod reman&longs;it post &longs;ubtractionem e&longs;&longs;e vel &longs;ui&longs;
&longs;e aurum prima qualitatis &longs;eu
tum purum. Si vero deprehenderine grauitatem diminutant, ver
bi gratia, nunc e&longs;&longs;e
illud quod reman&longs;it e&longs;&longs;e
gatam nunc quidem e&longs;&longs;e aurum purum, fui&longs;&longs;e vero particulam auri
20.
atibus, &longs;ecundum partes auri puri, quas in qualibet ma&longs;&longs;a auri in
uenerint, ea&longs;que vige&longs;imas quartas tutius grauitatis, non magnitu
dinis. Nam cum in hac comparatione qualitatum, &longs;eor&longs;im habe a
tur ratio partium auri, & &longs;eor&longs;im metallorum alligatorum; manife
stum est &longs;i grauitas totius corporis intelligatur diui&longs;a in
æquales, ex quibus
bet partem auri cum qualibet parte argenti & æris collatam, magni
tudine e&longs;&longs;e minorem; & &longs;imiliter partem argenti minorem parte
aris; propterea quod aurum omnia reliqua metalla &longs;uperet grauita
te quemadmodum & argentum ip&longs;um as, vt constat experienties
atque hinc constat quam apte ac conuenienter Aurifices vtantur
vocabulo partium. hac enim ratione
quamque qualitatem auri cuiuslibet ma&longs;&longs;æ propo&longs;itæ. Sed nunc ad
&longs;ecundum veniamus & modum alligationis. quem ydem ob&longs;eruant
breuiter adnotemus.
cum alys metallis alligari potest, eam retinuere aurifices, quam diu
turna experientia deprehenderunt omnibus alys e&longs;&longs;e commodiorem,
eam nimirum quæ ab auri &longs;imilitudine vel minimum di&longs;cedat; qua
lis e&longs;t quæ &longs;olius argenti atque æris mixtione perficitur. Et quidem
&longs;ipartes auri excipias, aris atque argenti partes, quæ auro &longs;unt per
mi&longs;cendæ &longs;emper volunte&longs;&longs;e æquales in grauitate: propterea quod
eadem experientia Magi&longs;tra didicerunt hunc e&longs;se mixtionis modum
longe optimum.
qualitatis, accipiunt tot partes auri puri æquales, quot partium fu
turum e&longs;t aurum producendum, pauciores tamen partibus
ex otroque metallo partes aquales in grauitate; atque bis rite inter &longs;e
permixtis componunt aurum de&longs;ideratæ qualitatis: eamque deno
minant à partibus auri puri in mixtione a&longs;umptis. Et quoniam
non prodiret
ctius; propterea quod
argenta vero & are aliquid deperdatur, &longs;olent Aurifices tanto plus
mi&longs;cere argenti & aris quantum perdi po&longs;&longs;e deprehenderunt.
pertinent hoc loco exponere; &longs;ed illud tantum vt receptum apud om
nes ad ferre voluimus, ex quo manifeste constat, qua metallorum
mixtio in &longs;ingulis qualitatum generibus statuatur: qua quidem e&longs;t
illa quam adduximus, nempe in auro
auri puri & reliquam qua deest ad
parte argenti, & dimidia In auro vero
tium, auri e&longs;&longs;e
&longs;umma omnium partium est
ut numerus partium auri, &longs;emper denominet qualitatem auri, &
vna medietas reliquarum partium, quæ partibus a
complendas parteshac
enim &longs;atis est &longs;uppo&longs;ui&longs;&longs;e, ad nouum illud artificium, quo paulo po&longs;t
inuestigaturi &longs;umus auri qualitatem ex &longs;ola grauitate quam habet
in aere & aqua, eamque qualitatem duplici via inuestigabimus,
vna per calculum, per tabellam altera: & quia ad calculum &longs;pe
ctant ea, quæ &longs;uperi
ferenda cen&longs;uimus quæ hic &longs;unt nece&longs;&longs;aria, cuiu&longs;modi &longs;unt auri,
argenti, atque æris grauitas, quam obtinent in aere, & aqua, quo
quidem ita &longs;e habet vt &longs;equitur.
stet partibus æqualibus argenti, & aeris in grauitate, quantam
grauitatem habeat in aqua & que &longs;it ratio in grauitate ip&longs;ius mi
sti ad aquam &longs;i enim grauitas aeris in aere &longs;it
aqua erit
grauitas corporis mi&longs;ti ex argento, & ære iuncta mixtionem prædi
ctam, quæ etiam &longs;ubintelligenda erit in &longs;equantibus, in aere fuerit
18,
mi&longs;tum ex argento & are ad corpus aqueum eiu&longs;dem magnitudi
nis, rationem habebit
i&longs;torum numerorum eadem e&longs;t ratio.
modo. Sit exemp.: gratia propo&longs;ita aliqua ma&longs;&longs;a aurea, cuius gra
uitas in aere &longs;it vnc
sum aurum. Ponderetur ea ma&longs;&longs;a in aqua & habeat grauitatem
vnciarum
puro
vnciam
rus enim quartus, nempe vnc.
dine æqualis corpori mi&longs;to ex argento & ære, euius grauitas est in
ærè vnc.
gnitudinis rationem habet in grauitate vt
quarum prima æquatur auro puro
propo&longs;itæ
&longs;imiliter
&longs;ponantur eo ordine, quo &longs;equitur.
TABELLE WAR HIER
uitatem, quæ est vnc.
primo proportionis termino, pro &longs;ecundo termino ponatur grauitas
different
vnc.
TABELLE WAR HIER
constat
tes vige&longs;
tius ma&longs;&longs;æ. hinc fit quod eædem
immediate denominent au
rum propo&longs;itum e<32>eQuando vero grauitas totius ma&longs;
&longs;a non exprimitur per numerum
partes vige&longs;imas quartas totius grauitatis efficiat quartus ille pro
portionis terminus vt in &longs;equenti exemplo clarius apparebit.
propo&longs;itæ ma&longs;&longs;æ magnitudine æqualis. Inueniantur
grauitates aquæ, vna re&longs;pondentis auro puro magnitudine, altera
corpori mi&longs;to ex argento & ære, ita tamen vt grauitas tum auri pu
ri, tum corporis misti &longs;it eadem quæ ma&longs;&longs;æ propo&longs;itæ, non &longs;ecus ac in
præcedenti exemplo factitatum est. hoc e&longs;t primo fiat vt
5301,
habentis æqualem auro puro,
vt
producetur nu
aqualis corpori mi&longs;to ex argento & ære grauitatem habenti eandem
cum eadem ma&longs;sa propo&longs;ita. Atque hæ tres grauitates aquæ &longs;criban
tur eo ordine quo &longs;upra; inuenti&longs;que differentijs inter primam &
TABELLE WAR HIER
tuatur pro primo proportionis termino prior differentia
tertio posterior
pro&longs;ecundo termino, & quæratur terminus quartus, qui in præ-
TABELLE WAR HIER
puri in ma&longs;&longs;a propo&longs;ita. Sed quoniam
&longs;a in partibus vige&longs;imis quartis totius grauitatis, id quod ad g
tis o&longs;tendimus, reuocanda erit ad partes vige&longs;imas quartas hoc est
ad partes, qualium tota propo&longs;ita ma&longs;&longs;a est
difficile. Nam &longs;i fiat vt tota grauitas ma&longs;&longs;æ propo&longs;itæ
uitatem auri puri
eadem &longs;it ratio itaprocul dubio quartus nu
merus proportionalis, erit ille qui quæritur. Est autem hic quar
tus numerus
tium
portionis terminum
dem, quia primus terminus est differentia inter grauitates primæ,
& tertiæ aquæ, quæ nunquam mutantur, nam illæ aquæ magnitu
dine &longs;unt æquales altera auro puro, reliqua mi&longs;to ex argento & ære,
quæ corpora aureum &longs;cilicet & mistum &longs;emper ponuntur eiu&longs;dem
grauitatis nempe
ma&longs;&longs;æ propo&longs;itæ, quæ &longs;i maior fuerit, vel minor, ad eam facile reuo
cabitur. Vnde in posterum &longs;olum opus erit inuenire tertium pro
portionis terminum, hoc est differentiam inter grauitates &longs;ecundæ
& tertiæ aquæ.
auri, cuius
dem in aere
inter primam, & &longs;ecundam grauitatem est
tibus primis duobusReuocetur primum
ptopo&longs;itæ ma&longs;&longs;æ grauitas
gatur ip&longs;a ma&longs;&longs;a grauitatem babere
aureæ maßæ, cuius grauitas
TABELLE WAR HIER
mino; ergo
TABELLE WAR HIER
Quartus autem terminus
auri puri, quod est in ma&longs;&longs;a propo&longs;ita, eam tamen indicabit in par
tibus, qualibus tota ma&longs;&longs;a constat
auri qualitatem indicet, reuocanda erit ad partes qualium totæ
ma&longs;&longs;a propo&longs;ita est
dimus, cum argentum explorauimus, quod mi&longs;tum in aurea corona
credebatur; is liquido intelliget hic nihil aliud acce&longs;&longs;iße, ni&longs;i quod
loco argenti, a&longs;&longs;umptum &longs;it corpus ex argento & ære mistum, eo
quod hæc duo metalla tantum in alligationibus auri &longs;oleant adbibe
ri, vt diximus. Quod &longs;i con&longs;taret plura alia a&longs;&longs;umpta e&longs;&longs;e, etiam in
quauis alia ratione, facile erit cuiuis ad &longs;imilitudinem huius, for
mare alium modum, &longs;ed nos, ne longiores &longs;imus, ad v&longs;um &longs;equentis
tabulæ nos conferamus, qua illis con&longs;ultum volumus qui minus in
præceptis Arithmeticis &longs;unt exercitati, velillis, qui alias ob cau&longs;as
tabulis vti malunt, quam calculis.
apparet in
tes, re&longs;pondentes &longs;ingulis Denominatoribus qualitatum auri, a deno
minatore partium
quamuis proprie loquendo nulla &longs;it qualitas auri partis nullius, quia
tunc non e&longs;&longs;et aurum, &longs;ed mistum ex argento & ære. Hos denomi
natores auri omnes inuenies in prima columna &longs;ub titulo qualitatis.
In columna vero &longs;ub titulo misti placuit etiam de&longs;cribere denomi
natores mi&longs;ti ex argento & ære, vt vnico intuitu appareat quot par
tes auri puri, & quot partes misti ex argento & ære contineantur
in &longs;ingulis qualitatibus.
grauitas auri cuiuslibet qualitatis quam obtinet in aqua, quæ qua
ratione inueniatur, dicetur inferius vbi agetur de compo&longs;itione
eiu&longs;dem tabulæ.
tabulæ beneficio reperiatur ex grauitate auri quam habet in aere &
aqua, eius qualitas. Alter vero est vt cogno&longs;catur grauitas in aqua,
quando vnà cum grauitate quam aliquod aurum habet in aere da
tur ip&longs;ius qualitas. & de hoc v&longs;u cum &longs;it &longs;implicior prius nobis erit
agendum.
TABELLE WAR HIER
TABELLE WAR HIER
purum &longs;eu aurum
in &longs;upremo ordine è regione denominatoris partium 24, &longs;ub titulo
grauitatis auri in aqua, datur vnc. 1
tamen illam maiorem in tabula ponere, vt omnes fractiones totius
tabulæ e&longs;&longs;ent eiu&longs;dem denominationis, & re&longs;ponderent denomina
toribus fractionum quæ habentur in tabella partis proportionalis.
rum vnius libræ, qualitatis veroquam &longs;i in tabula
quæras, inuenies &longs;ub eodem titulo è regione denominatoris
tium. vnc.
11, Scrup. 6, Gran.
liquis.
erit ratiocinatione proportionis, in qua pro primo termino ponatur
vna libra auri propo&longs;itæ qualitatis, pro &longs;ecundo termino, grauitas
eidem re&longs;pondens in aqua quam tabula exhibet, pro tertio vero ter
mino collocetur vera grauitas auri propo&longs;iti. Quartus enim ter
minus exhibebit grauitatem ip&longs;ius auri in aqua. Vt &longs;i propo&longs;itum
fiat vt lib.
1. ad vnc
11, Scrup.
lib.9, Scrup. 15, Gran.
ri propo&longs;iti in aqua. Et &longs;ic de alijs.
& æquè facilis quando grauitas auri quam in aere & aqua habet, in
tabula reperitur precise. Nam &longs;i proponatur exemp.
gratia aurum
vnius lib.
habens in aqua
22,
vero grauitatem habet, quæ in tabula non reperitur, indicium erit
aurum propo&longs;itum non e&longs;&longs;e aliquot partium præcisè, &longs;ed annexam
habere aliquam fractionem, quæ per partem proportionalem inue
nietur hoc modo.
11. Scrup. 6, Gran.
uitas enim proxime maior est vnc. 1
la procedunt per æqualem exce&longs;&longs;um, vel defectum, vt inferius de
mon&longs;trabitur. Inueniatur quoque differentia inter eandem gra
uitatem proxime minorem & inter grauitatem auri propo&longs;iti quam
habet in aqua, quæ
1/2,
componatur totus denominator auri propo&longs;iti partium
dem modo inueniendus erit denominator
cuius grauitas in aqua, in tabula non reperitur.
nominatorum auri, is multo breuius a&longs;&longs;equetur quod quæritur, per
tabellam partis proportionalis. illic enim vnico ingre&longs;&longs;u offendet
partem proportionalem, quam quærit, vt in eodem exemplo apparet,
in quo differentia grauitatum auri erat Gran.
tabella partis proportionalis habetur præcisè è regione particularum
12.
20 12/24, Quando vero
differentia grauitatum in tabella partis proportionalis non habetur
præcisè. accipiatur alia ip&longs;i propinquior & particula illi in latere
re&longs;pondens addatur denominatori auri ex primaria tabula extra
cti. &longs;ic enim &longs;altem non errabitur in vna particula vige&longs;imaquarta
vnius partis denominatoris auri.
vel &longs;olum aliquot vnciarum. Reducenda erit eius grauitas quam
habet in aqua, ad grauitatem quam haberet &longs;i e<32>et vnius libræ, id
quod ab&longs;oluetur per proportionis ratiocinationem, &longs;i pro termino
primo ponatur vera grauitas auri propo&longs;iti, pro &longs;ecundo, eiu&longs;dem
grauitas in aqua, & pro tertio lib.
1, quartus enim terminus indica
bit grauitatem in aqua re&longs;pondentem vni libræ auri propo&longs;iti. &
hac inuenta reliqua expedientur vt prius.
Sed illud tantum obiter aduertere placet, quod videtur pertinere
ad commodiorem v&longs;um tabulæ, videlicet vt ys in ca&longs;ibus in quibus
nece<32>arius est calculus, fractiones granorum ommittantur quando
minus valent quam
vnum granum reliquis granis, & &longs;i quando accidat hinc procreari
grana
&longs;crupula in tabula inuenta. hac enim ratione calculus erit expedi
tior & error qui hinc oborietur erit in&longs;en&longs;ibilis.
Compo&longs;itio eiu&longs;dem tabulæ.
bit compo&longs;itionem tabulæ in eo con&longs;istere, vt inueniatur grauitas
quam aurum cuiu&longs;uis qualitatis habet in aqua, hoc e&longs;t &longs;i intelligan
tur propo&longs;itæ plures ma&longs;&longs;æ auri, &longs;ingulæ &longs;ingularum librarum, &
alia &longs;it qualitatisquanta &longs;it gra
uitas vniu&longs;cuiu&longs;que in aqua, id quod hoc extremo loco inuestigare
docebimus.
quo
niam igitur grauitas auri in aere, ad grauitatem eiu&longs;dem in aqua
&longs;e habet vt 19, ad
grauitatem nempe lib.
grana reuocata valet vnc.
grauitas auri puri in aqua, quam in tabula è regione denominatoris
24,
372/1767,
&longs;itque exemp. gratia illud aurum
nitione qualitatis, ex
e&longs;&longs;e auri puri, duas argenti, & reliquas duas æris & quoniam gra
uitas misti in aere, ad grauitatem eiu&longs;dem in aqua rationem habet
vt
tuor &longs;emiunciæ, vel potius
auriinuenien
tur enim pro grauitate illius mi&longs;ti in aqua vnc.
grauitas auri puri
9 9/19,
duæ grauitates inuentæ colligantur in vnam &longs;ummam, inueniemus
totam ma&longs;&longs;am auri propo&longs;itam, cuius grauitas in aere ponebatur lib.
1, in aqua babere grauitatem vnc.
fractionis ad &longs;crupula, & grana, vnc. 1
Atque
eodem modo deprehendentur grauitates auri in aqua
aliarum qualitatum.
tabulæ hac via eruere; ob&longs;eruari quidem poterit prædicta Methodus
quando &longs;eor&longs;im inuestiganda fuerit alicuius auri grauitas in aqua,
in
ce&longs;&longs;ario eadem differentia procedere, &longs;icut & denominatores quali
tatum eadem differentia procedunt; atque adeo differentiam illam
e&longs;&longs;e eam, qua grauitas &longs;emiunciæ auri puri in aqua &longs;uperat in aqua
expre<32>æ, vt exemp. gratia.
grauitates auri
Quo
niam igitur in auro
vero
vero
auro
misti plus quam in auro
tium in aqua &longs;uperabit in aqua grauitatem auri
uitate, qua &longs;emiuncia auri puri &longs;uperat &longs;emiunciam mi&longs;ti. Quod
erat demon&longs;trandum. Et eadem est ratio de alys grauitatibus, non
&longs;olum quæ in hac tabula de&longs;cribuntur, &longs;ed etiam de illis, quæ de&longs;cri
bentur in alys, copio&longs;ioribus, in quibus videlicet denominatores non
e&longs;&longs;ent partes integræ, &longs;ed partes partiam; dummodo etiam illæ partes
per vnam eandemque differentiam progrederentur.
per continuam additionem eiu&longs;dem numeri, &longs;ic erit progrediendum.
Primo inuenienda erit grauitas quam habet &longs;emiuncia auri puri in
aqua, quæ inuenietur &longs;i fiat vt
numenum qui &longs;it vnc.
valet &longs;crup.
bebitur &longs;i fiat vt
&longs;it vnc.
&longs;crupula, & grana valet &longs;crup.
inuentas, quam per &longs;ubtractionem inuenies Gran.
tamen fractio reducta e&longs;t ad partes
tabellam partis proportionalis.
quæ inuenietur &longs;i grauitas &longs;ecundo loco reperta per
tur, productus enim numerus vnc.18, Gran.
bit quæ&longs;itam grauitatem. Qua in calce tabulæ de&longs;cripta, compo
nentur reliquæ grauitates omnes per continuam additionem diffe
rentiæ tertio loco inuentæ. Si enim addatur ad grauitatem auri
partis o, idest ad grauitatem misti vnius libræ in aqua, componeturaddita vero ad grauitatem 1, partis, procrea
bit grauitatempropter rationem quam paulo ante
aperuimus.
tionalis, primo enim inuenta e&longs;t vige&longs;ima quarta pars differentiæ
&longs;ecundum quam tabula progreditur quam &longs;upra inuenimus e&longs;&longs;e
Gran.
hanc particulam addidimus primum &longs;ibi ip&longs;i, & produximus diffe
rentiam
adiecimus eandem particulam, & inuenimus pro tribus particulis
gran.
tiam Gran.
&longs;ecundum quam tabula progreditur.
ERRATA SIC CORRIGE.
TABELLE WAR HIER
34.
quia madefacta papyrus,
breuiorem reddidit. Ita que &longs;i quarta decima pars vnius vncia addatur ip&longs;i men
&longs;ura componetur dimidij pedis men&longs;ura; vel &longs;i ip&longs;a men&longs;ura duplicetur, & ei ad
datur &longs;eptima pars vnius vncia fiet men&longs;ura vnius pedis, ad cuius rationem em
nes calculi in tabulas optime re&longs;pondebunt.
ex quo tamen nihil sr
reris &longs;equitur &longs;i tituli recte accipiantur.