HIERONYMI
CARDANI MEDIO
LANENSIS, CIVISQV'E BONO
NIENSIS, PHILOSOPHI, MEDICI ET
Mathematici clarisimi,
OPVS NOVVM DE
PROPORTIONIBVS NVMERORVM, MO
TVVM, PONDERVM, SONORVM, ALIARVMQV'E RERVM
menurandarum, non olm Geometrico more tabilitum, ed etiam
uarijs experimentis & oberuationibus rerum in natura, olerti
demontratione illutratum, ad multiplices uus ac
commodatum, & in V libros digetum.
PRAETEREA.
ARTIS MAGN, SIVE DE REGVLIS
ALGEBRAICIS, LIBER VNVS, ABSTRVSISSIMVS
& inexhautus plane totius Arithmetic theaurus, ab
authore recens multis in locis recogni
tus & auctus.
ITEM.
DE ALIZA REGVLA LIBER, HOC EST, ALGEBRAICAE
logitic u, numeros recondita numerandi ubtilitate, ecundum Geo
metricas quantitates inquirentis, necearia Coronis,
nunc demum in lucem edita.
O
utile & necearium.
Cum C.
Maiet.
Gratia & Priuilegio.
BASILE.
IN LIBRVM DE
PROPORTIONIBVS HIERONYMI
CARDANI MEDIOLANENSIS, CIVISQV'E
Bononienis, Medici, Prfatio ad M. A. Amulium
Venetum Card. Illutrisimum.
Bene Dictum et meo iudicio Platone M.
A. Amuli optime, beatas fore Repub.
i uel
illarum domini apienti amatores eent,
aut qui apienti eent amatores domina
rentur, hoc ipum clar intelligens, tudio a
pienti nihil ee utilius humano generi:
quo imul & pietas, & iutitia, & mutuus
amor hominum inter e & eorum commo
da continerentur. Nempe hice quatuor tota notra felicitas com
prehenditur. Si quidem pietate in Deos nihil nii anctum, & pu
rum, & illutre apimus: hoc ipo primum quod upra nos et, intel
ligimus, Deos ueneramur, gratias agimus, timor cum ueneratione
notros animos ubit, & de futura uita cogitamus, hc ipa morta
lia i non negligentes altem paruifacientes. Iutitiam autem ade
neceariam humano generi ee cimus, ut ine illa neque ee, nedum
ben ee posmus, ut neque latronum ctus abque ea diu tare po
int. Porr quid dicam de concordia, & mutua hominum beneuo
lentia, in quibus omnis uit human dulcedo repoita et: nec quis
utineat uiuere, qui e omnibus odioum ee entiat. His ipis fi
lios in pem alimus, parentes fouemus, fratres tuemur, & adiuua
mus, amicis opitulamur, cum hominibus hilarem & iucundam ui
tam ducimus. Si quis erpentem in lecto haberet, nunquam om
num caperet: ita nihil moletius et in hac uita, quam ee cum quo
nolis, & priuari conuetudine eorum cum quibus maxim uiuere
cupias. Quid enim habent Principes prcipuum cum tota illa po
tentia quam habent, nii hoc unum, quod uis quos amant bene fa
cere posint: nam reliqua omnia exerceri, uenari, edere, bibere, dor
mire, iter agere, loca amna inuiere multis alijs conceum et, ma
ioreque commodo qui in uita priuata degunt. Si ergo principatum
cum tot laboribus, curis, periculis, & merit omnes appetunt: nec
et in eo quicquam prcipuum prter hoc, cui dubium et quin
hoc non it ummum huius uit hominibus bonum? propter cu
ius uel dubiam pem eorum, qu habent obliti mortales pericli
tantur. Succedunt inde tot commoda, non olum utilia, ed pleraque
cm libris contineantur, merit optimus quique librorum bono
rum perpetuitati atque in columitati fauere debet. C.
Caligulam exe
cramur olum ob id quod Vergilij, & T. Liuij cripta delere cogi
tauerit. Quid facturi eemus, i feciet quod cogitauerat?
Et in a
pientum monumentis bonum ine malo, mens ine corporea labe:
Virtutes abque uitijs, grati & iucunditas ine orde, & immundi
tia, uoluptas ine dolore, conueratio abque tdio, deliti abque mie
ria nuda, omnia bona prtant, atque laudabilia ab omnibus morta
litatis exuuijs libera, tantum commodi afferunt libri. Sed & in eo
rum electione ac tudijs modus, ac medio critas qudam eruanda
et, qu i quis neglexerit non leui incommodo afficietur: eam an
tiqui rationem alij proportionem appellarunt, non equidem etiam
in pertritis tam
obcuram ee fatentur, ego difficillimam puto undique, & magis for
an ubi non exitimamus. Vnde plures decidere uidemus magnis
cum auxilijs, & euidenti pe: quid aliud et in caua qum ignota
menura rerum? quam tamen plerique tenere e putant.
Ergo, cm
ummum bonum in hac menura itum ee cernerem, ut clar oten
dunt muic uoces, qu non nii indiuiduo (ut ita dicam) pacio
eu loco tare pount, ita & in figuris picturarum & tatuarum, &
diebus decretorijs, & negocijs ciuilibus operprecium me factu
rum exitimaui, i omnia hc qu lat patebant breuiter in unum
redegiem,
alis do cui, breuibus tractationibus, & plura continerentur, & faci
lius docerentur. Cum uer bona fortuna qudam effeciet, ut tibi
libellum dedicaem de Prouidentia ex contitutione temporum,
longe meliore occaione nominis tui typographi obliti int, indi
gnum fore putaui, ut non rea (quemadmodum cum Glauco Dio
medes) cum aureis commutarem. Itaque infinitis licet circumuentus
negocijs totus huic oper in cubui, atque ade ut prter pem unius
anni pen pacio liber abolueretur. Qui cum tibi (ut dixi) iam iur
deberetur, e tamen magis dedicandum putaui, quod non ego o
lum quanquam id maxim, ed communis conenus ho
minum exitimet, te ingulari uirtute omnibus
tudiois plurimum fauere,
Vale.
TABVLA PRO
POSITIONVM DE
PROPORTIONIBVS.
FINIS.
HIERONYMI CAR
DANI MEDIOLANENSIS, CI
VI'SQVE BONONIENSIS, MEDICI
de Proportionibus, eu Ope
ris Perfecti
LIBER QVINTVS.
Prima diffinitio.
Proportio ab Euclide ic decribitur, Qud
it duarum quantitatum eiudem generis,
quod ad magnitudinem attinet, compara
tio certa.
Secunda diffinitio.
Proportiones per imilitudinem
cm quantitas quantitati
generis, cui fingitur qualis ee potetate.
Velut i a b fingatur monas in comparatione
ad b c erit rectangulum a c quale line b c.
Tertia diffinitio.
Proportio qualis proportioni et, cm eodem modo termini
e habent inuicem in utraque
Quarta diffinitio.
Proportiones ecundum genus not dicuntur, cm nouimus,
qud int maiores, aut minores. Nam cm quales unt, imul ne
ceffe et, ut cognocamus genus, & peciem.
Quinta diffinitio.
Datum poitione et: quod neceari ex poitis certam habet
quantitatem.
Sexta diffinitio.
Datum impliciter dicitur, quod ex propoitis cognoci potet,
quantum it.
Septima diffinitio.
Proportiones potetate
H autem unt aliquando eiudem generis, cum primis ut nu
meri: aliquand alterius, ut linearum & uperficierum, angulorum,
& arcuum: aliquando eiudem generis, & diuenarum pecierum,
ut arcuum per inus, qua utuntur Atronomi.
Octaua diffinitio.
Proportio homonyma dicitur duarum quantitatum diueri ge
neris, ed alterius a b altero dependentium, uelut motus ad tem
Dicimus enim motum tardum, uel uelocem in comparatione
ad tempus.
Nona diffinitio.
Proportionum ali dicuntur rhete, ali alog, rhet qu unt
ut numeri ad numerum, alog qu non unt numeri ad numerum.
Decima diffinitio
Proportio rhete alia qualis, alia multiplex, uel ubmultiplex:
alia unius partis exceus, aut defectus, alia plurium, quam uper
partientem, aut upartientem uocant.
Vndecima diffinitio.
Cum diuio denominatore per numeratorem exit quantitas alo
ga, proportio dicitur aloga: i autem numerus integer, aut pars nu
meri nota dicitur rhete.
Duodecima diffinitio.
Proportionem in proportionem duci et, quoties recto ordine
tres quantitates in eidem collo
titates a b c dicetur proportio a ad c producta ex pro
portione a ad b & b ad c, & imiliter proportio c ad
a producitur ex proportione b ad a, & c ad b.
Tertiadecima diffinitio.
Proportionem per proportionem diuidi et, quoties ad eandem
quantitatem du quantitates comparantur, tunc illarum propor
tio et, qu prodit una per alteram diuia.
Sint proportiones a & b ad c & interponatur b inter a & c, dico
proportionem a ad c diuiam per proportionem a ad b, & prodire
proportionem b ad c, contat ex conuera prcedentis.
Quartadecima diffinitio.
Additio proportionum intelligitur quotiens duarum quanti
tatum ad unam tertiam, proportiones per aggregatum iparum
quantitatum ad eandem coniunguntur.
Velut i comparentur a b & b c ad d, inde tota
a c ad d dicemus proportionem, ac ad d ee con
ad Hoc & duo equentes icut & du
trabitur ee. nunc olum quomodo
Quintadecima diffinitio.
Detractionem proportionis proportione intelligimus fieri
per
dem quantitatem.
Velut in exemplo uperiore detracta proportione b c ad d ex
& probatur
ex conuerione prcedentis.
Sextadecima diffinitio.
Extractio radicum alicuius proportionis fit per extractionem
radicum quantitatum illius iuxta unam, & eandem rationem.
Velut quadrat, uel cub, uel pronic, uel unineralis, uel alte
rius modi.
Decimaeptima diffinitio.
Cm fuerint du proportiones imiles in tribus terminis con
tinuat, dicetur proportio prim quantitatis ad tertiam ueluti
prim ad ecundam duplicata. Et i int tres proportiones imiles
in quatuor terminis, dicetur proportio prim quantitatis ad quar
tam triplicat ei, qu et prim ad ecundam,
Decimaoctaua diffinitio.
Confua proportio dicitur implicis, aut compoit quantitatis
ad compoitam in comparatione ad proportiones ad partes.
Decimanona diffinitio.
Quantitates qu in continua unt proportione Analog
Dictum et hoc ad fugiendum nomen barbarum, etiam ut bre
uiter tamen poemus ententiam explicare.
Vigeima diffinitio.
Reflexa proportio dicitur cum trium quantitatum aggregatum
prim, & terti e habet ad ecundam uelut ecunda ad tertiam,
Vigeima prima diffinitio.
Trium quantitatum analogarum ali quidem Geometric,
cm proportio imilis et: Ali Arithmetic, cum fuerit qualis
exceus hucind: Ali muic cum fuerit proportio prim ad ter
tiam multiplex, aut implex, aut compoita exceus qu implici
iuncta it ad multiplicis perfectionem: eadem autem it proportio
exceus prim, & ecund ad exceum ecund upra tertiam.
Velut proportio 6. 4. 3. dupla et utrinque, & 6. 3. 2 tripla.
& 28. 24.
21. & 45. 40. 36. Geometrica uer & arithmetica facilius continuan
tur in quotquot quantitatibus, ed & muica uelut 12. 8. 6. 4. 3. &
proportio 8 ad 5 muica et: quia proportio 5 ad 4 muica et, &
bene onans, igitur contitutis 8. 5. 4. cum 8 ad 4 ben onet, & 5
ad 4, & 4 it extrema non media inde 8. & 5 ben nam in me
dijs
Vigeima ecunda diffinitio.
Quantitates qu imilem habent proportionem non continua
tam, omiolog appellantur.
Vigeima tertia diffinitio.
Prima operatione conitere dicuntur proportiones, cm inter
primo conflatas quantitates contiterint.
PRIMA Animi communis ententia.
Omnis Proportio et, aut qualitatis, aut maior inqualis,
aut minor.
Secunda animi communis ententia.
Quilibet numerus tantus dicitur, quanta et illius proportio ad
monadem.
Dicimus enim quatuor, quod monadem quater contineat.
Et
duo cum dimidio cm monadem bis & emis contineat.
Tertia animi communis ententia.
Proportionem defectus, eu detract quantitatis ad defectum
ee poe, ut quantitatis ad quantitatem dicuntur communes ani
mi entcnti, qu ex intellectu olo terminorum, quod uer int,
cognocuntur. Si ergo defectus et quantitas, & quantitas eiudem
peciei, quia detrahitur, & defectus non et implicitur, ed detra
cto ergo per quartam petitionem: uel primam diffinitionem erit
proportio interillas. Sunt enim amb detract.
Quarta animi communis ententia.
Inter quantitatem, & defectum minorem quantitate, cuius et de
fectus, et proportio, quatenus et quantitas. Sit a b linea, & detra
cta quantitas b c, non maior a b & d it alia quuis quantitas eiu
tio quatenus b c et quantitas, quia unt eiu
dem generis ideo unt in aliqua proportione
per primam diffinitionem. Sed ut b c et defectus, nulla et propor
tio: quia quanto b c augetur, tanto augetur proportio d ad b c, &
hoc et contra demontrata ab Euclide.
Quinta animi communis ententia.
Cum proportio producitur ex proportionibus qulibet illa
rum dicetur producta diuia per alteram.
Sexta animi communis ententia.
qualium quantitatum eu proportionum ad tertiam compa
rabilium eadem et proportio atque uicisim. Hc eti demontre
tur ab Euclide, et tamen hic generalior: & atis per e nota. Vt it
propior animi communi ententi, qum rei demontrand.
Septima animi communis ententia.
Ad quod quantitas proportionem habet infinitam, id in genere
illius quantitatis non comprehenditur.
Nam proportio et duarum quantitatum eiudem generis com
paratio certa: at hc comparatio certa non et: non igitur quantita
tes amb unt, aut non eiudem generis.
PRIMA Petitio.
Si fuerit primi ad ecundum, ut tertij ad quartum, & ex primo in
ecundum producatur quale, aut maius, aut minus primo, uel
ecundo, producetur eodem modo ex tertio in quartum quale aut
maius, aut minus tertio, uel quarto eadem ratione & ordine.
Secunda petitio.
Proportiones pount duci, diuidi, iungi, & auferri, & umi radix
in eis cuiucunque generis, atque earum quantitatis, ut libet, poe
tranponere.
Tertia petitio.
Proportionis cuiuuis nomen denominatore upr cripto, &
numeratore infr cripto umitur.
Quarta petitio.
Diuia quauis quantitate per aliam eiudem generis, quod exit
proportio dicitur.
Quinta petitio.
Qulibet proportio et uel inter duas quantitates, uel per unam
ignificatur.
Nam per tertiam petitionem i int du quantitates, qu non h
beant unius rationem, nomen umit proportio duobus numeris,
in autem it altera monas, erit per ecundam animi communem en
tentiam, proportio numerus ipe Ide patet, quod dicitur.
Sexta petitio.
Propoita proportione quacunque, & monade quantitatem inue
nire, qu e habeat ad monadem in proportione propoita.
Nam cm per quartam petitionem diuia quantitate per quan
titatem exeat proportio, & numerus ad
portio, ideo umpta monade ecundum illum numerum, ille nume
rus et quantitas quita.
Septima petitio.
Quamlibet quantitatem per aliam eiudem generis diuidere
poe.
Octaua petitio.
Proportionem in proportionem ducere poe: quamuis int in
ter quantitates diueri generis.
Quod dicitur de multiplicatione intelligendum et de alijs ope
rationibus upr enumeratis.
Nona petitio.
Monadem emper umere in quo cunque genere poe propoi
ta proportione.
Nam licet diuidere per eptimam petitionem quantitatem per
quantitatem proportionis: & quod exit, et proportio per quar
tam petitionem, & per ecundam animi communem ententiam
illa proportio et numero qualis: ergo diuia proportione, per i
milem numerum tatuetur monas.
Decima petitio.
In quouis genere quantitatum umere poe quantitatem, qu
e habeat ad monadem in proportione data. Similem huic propo
nit Euclides in lineis generaliter: nos autem contr generaliter in
omnibus quantitatibus, ed de monade tantum.
exti
Monadem in quancunque quantitatem ductam quale ipi pro
ducere. Similiter & proportionem qualem.
Nam cum aliqua quantitas augeat ducta aliqua minuat, necee
et aliquam ee, qu nec augeat, nec minuat, & hc et monas. Idem dico de diuiione.
Aequalitas etiam ducta, uel diuidens non
mutat proportionem: nec quantitatem ipam, igitur monas qua
litatem refert. Quod etiam et perpicuum ex upradictis.
mi
ententia.
Duodecima petitio.
Cum fuerint quatuor quantitates & ad primam, & tertiam qu
multiplicibus aumptis, item que ad ecundam & quartam, & i mul
tiplex prim maius et multiplici ecund, multiplex terti it ma
ius multiplici quart, & i minus minus, & i quale quale, idque
emper quouis modo aumptis his proportionibus ad primam &
tertiam, & ad ecundam & quartam erit proportio prim ad ecun
dam, ut terti ad quartam. Hc etiam aumitur ab Euclide.
Et per
hanc intelligimus etiam conueram.
diff.
Tertiadecima petitio.
Quantitates quales, atque proportiones in quauis quanti
tates duct eandem eruant rationem. Euclides hanc demontrat,
nos autem ad uitandum tdium petimus concedi, ub qua in
cluduntur diuiio etiam additio, detractio, laterum omnium in
uentio.
ti
Quartadecima petitio.
Cm termini alicuius quantitatis eandem eruant rationem in
omnibus, & firmi unt ac tabiles eiudem rationis comparatione
content partes qualem eruant exceum, eu proportionem.
PROPOSITIO prima.
Proportionem in proportionem duci et uperiores nume
ros atque inferiores inuicem ducere.
Sit proportio line a ad lineam b, ut anguli cad angulum d, ta
tuatur e monas in genere a
b, & fiat fad e, ut cad d, & du
catur a in f & b in e, & pro
ducantur g & h. Quia ergo
fet proportio ipa, erit g ad
a ut c ad d, ed h et qualis
b, igitur a ad h ut ad b. Du
cta ergo dicetur proportio a
ad b in proportionem c ad d
ducendo terminos proportionis, eu quantitatis recta cilicet u
periores cum uperioribus, & inferiores cum inferioribus. Nam i
rurum contituantur fad e ut a ad b cm f it proportio, & k ad f ut
c ad d, erit k ad e, ut g ad h, k autem fit ex ductu proportionis a ad b,
qu et fin proportionem c ad d, liquet igitur propoitum.
mi entent.
Propoitio
Proportio extremorum producitur ex intermedijs.
Sint a b c quantitates dico proportio
nem a ad c, produci ex proportione a ad b
& b ad c, tatuantur totidem monade d e
f, erntque ex demontrantis ab Euclide in
quinto
ne, ftatuatur ergo d prima quantitas e e
cunda & tertia f quarta. eritqe per prce
dentem proportio productorum ex d in e
& it g, & in f & it h, producta ex propor
tionibus d ad e & e ad f, quare ex propor
tionibus a ad b & b ad e, ed ex dictis cum
e it eadem, erit proportio d ad f, ut g ad h & proportio, d ad f per
quam proportionem ab Euclide demontratam, ut a ad c, igitur
proportio a ad c producitur ex proportionibus a ad b & b ad c, &
et proportio ipa a ad c d numerus, ut otenum et.
P
Ex hoc equitur, qud cm fuerit quantitas tertia monas ex pro
portionibus inuicem ductis producetur prima quantitas.
Ex hoc equitur, qud conuera proportio producitur ex con
ueris proportionibus.
Propoitio tertia.
Si proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis
producatur, ipa uer proportio inter duas alias quantitates fue
proportionis.
Hc propoitio ut prcedens &
pt unt, & ab eo demontrantur. Sit ergo proportio a ad b, pro
qud cum int ex quantitates, qud fieri pote
runt quindecim coniugationes, quas poui la
tere facilitatis gratia, quibus repondent totidem
conuer: erunt ergo triginta. Singul autem ha
rum produci pount duodecim modis: ductis
di. Et hoc et clarum pere, modo
quod inguli horum modorum posint produ
ci duodecim modis, & capiamus ab primam qu
potet produci ex c d & e f: Item ambabus con
ueris d c & fe: & rurus altera recta altera con
uera: & hoc bifariam c d & f e, & d c & e f, unt er
go iam quatuor modi. Totidem ex c e & d f, toti
demque ex c f & d e, igitur erunt duodecim mo
di, quibus produci poe intelligitur propor
tio a ad b.
Propoitio quarta.
Si fuerit proportio primi ad ecundum produ
cta ex proportionibus tertij ad quartum, & quin
ti ad extum, producetur etiam ex proportione
tertij ad extum, & quinti ad quartum.
Sit proportio a b producta ex proportioni
cta ex proportionibus c ad f, & e ad d, diponan
tur ut in figura & fiat ex c in e g, & ex d in fh, ergo
per primam harum g ad h ut a ad b, ed per pr
uppoita in ecunda productione etiam prode
unt g & h, igitur per primam propoitionem ha
rum a ad b proportio producitur ex proportionibus c ad f terti
cilicet ad extam, & e ad d quint ad quartam, quod fuit
Propoitio quinta.
Si fuerit proportio primi ad ecundum producta ex proportio
ne tertij ad quartum, & quinta ad extum: erit proportio tertij ad
extum producta ex proportionibus primi ad ecundum, & quar
ti ad quintum.
Sit proportio a ad b producta ex proportio
nibus c ad d, & e ad f, dico quod proportio c ad
f producitur ex proportione a ad b & d ad e. In
terponam d e inter c & f, eritque ex ecunda pro
poitione repetita proportio c ad f producta ex
tribus proportionibus c ad d, d ad e, e ad f, ed
proportiones c ad d, & e ad f producunt pro
citur ex proportionibus a ad b, & e ad f.
Propoitio exta.
Ex trecentis exaginta modis producenda
rum proportionum triginta ex tantum ee ne
cearios.
Per quartam enim proportio a ad b produ
citur bifariam, & ex c ad d, & e ad f, & ex c ad f, &
e ad d. & perpr cedentem c ad f producitur ex
a ad b, & d ad e, & per quartam rurus ex a ad e,
& d ad b. Et per prcedentem rutus a ad e ex c
ad f & b ad d, igitur per quartam eadem produ
cetur ex c ad d & b ad f. Quare per prceden
tem c ad f ex a ad e, & d ad b, & ita diponemus
hos modos in tabula. Vides etiam
mi ad quartum nec ad extum, & li
quet, qud cm int quindecim o
mnes modi qui produci poe intelli
guntur, & nouem tantum producan
tur ex ee, qui non producuntur, quos
eorum in tabula coniunxi. Et con
tat etiam, quod totidem conueri ci
licet decem octo
bus diximus, ut int omnes triginta
ex, qui contat ex duabus propoi
tionibus prmisis, & hac tertia,
adiungemus cilicet, qud propor
tio primi ad tertium producatur ex
proportionibus
& quinti ad Hoc enim ex pr
cedentibus non liquet: ben liquet
permutatis ordinibus, quod i pro
portio primi ad tertium producitur,
tio primi ad Nam tertium, & quin
tum, item que quartum,
& extum non
runt
tario. Ergo interpoi
to e inter a, & c per e
cundam propoitio
nem proportio a ad c
producitur ex proportionibus a ad
e, & e ad c, ut ex demontratis in pr
enti proportio a ad c producitur ex
c ad f & b ad d. Proportio ergo a ad
c producitur ex proportionibus e
ad c & c ad f & b ad d, at e ad c & c ad
f producunt eam, qu et e ad f per Igitur pro
portio a ad c producitur ex propor
tionibus b ad d ecundi ad quartum,
& e ad f quinti ad extum. Hc Al
chindus in uo libello: ed licet inge
nio a ualde: parum
gnam
potquam Heber has ex quantita
tes traduxit ad quatuor, prorus hc
cientia ulli uui ee deijt.
producuntur
pri. ad quartu
pri. ad extum
ec. ad
ec. ad
tert. ad quint.
quart.
ad ext.
Propoitio eptima.
In modis qui neceari produ
cuntur ex duabus proportionibus,
cum du quantitates ex illis, qu mo
portio producta ad quatuor quanti
tates omiologas reducetur.
Sint ex quantitates a b c d e f, &
producatur proportio a ad b ex pro
portione c ad d, & e ad f, tu cis, qud
modi recepti unt prima cum ecunda, tertia uel quinta, & ecunda
cum quarta, & exta, & tertia imiliter cum eidem, & quinta eodem
modo cum eidem: i igitur du quantitates ex his, qu faciunt pro
portio ad quatuor quantitates omologas, cilicer abiectis amba
bus qualibus. Sit gratia exempli prima qualis quint: & quia
in octauo modo proportio
portione primi ad quintum, & exti ad tertium, ergo per expoita
proportio ecundi ad quartum, ut exti ad tertium, & ita permutan
do, & conuertendo ecundi ad extum, ut quarti ad tertium, & tertij
ad quartum, ut exti ad ecundum.
petitione.
Propoitio octaua.
Si duarum
rioribus multiplicentur, atque coniungantur: erit proportio aggre
gati ad productum ex inferioribus inuicem proportio ex primis
proportionibus compoita.
Sit proportio una a ad b, alia c ad d, ducatur b in
c, fiatque e & a in d, & fiat f, iunganturque e & f & fiat h,
& ducatur b in d et fiat g: dico
poitam ee ex proportione a ad b, & c ad d. Quia
enim ex b in c fit e, & ex b in d fit g, erit proportio e
ad g, ut c ad d, & imiliter, quia ex d in a fit f, & ex d in b fit g, erit f ad
g ut a ad b. Sed e & f componunt h, igitur proportio h ad g et com
poita ex proportionibus e & f ad g, igitur per communem animi
ententiam, & diffinitionem compoit proportionis, proportio h
ad g compoita et ex proportionibus a ad b, & c ad d, quod et
propoitum.
tione.
nitionem.
Propoitio nona.
Si duarum proportionum uperiores numeri alternatim cum
inferioribus multiplicentur, minusque productum ex maiore detra
hatur, erit reidui ad productum ex inferioribus proportio uelut
illa, qu relinquitur detracta minore proportione ex maiore.
Hc eodem modo probatur, ut prcedens, nii quod h fit de
tracto minore: gratia exempli ex f, & ita ex diffinitione patet pro
poitum.
152.
Propoitio decima.
Si fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio uelut al
terius partis ad
titatis eiudem generis ad ecundam compoita proportio ex pro
portionibus eiudem quantitatis aumpt ad utran que partem pri
m quantitatis eorum.
Sit a b quantitas diuia in c, & i cut a b ad a c,
ita b c ad d: eritque iterum permutando a b ad b c,
ut a c ad d, & umatur qudam quantitas e eiu
poita ex proportionibus e ad a c, & e ad b c. Poita ergo e tan<08> u
periore numero, & a c & c b inferioribus, erit ex octaua propoitio
ne huius proportio productorum ex e in a c, & coniunctorum, &
ex conequenti per primam ecundi Elementorum producti ex e in
a b ad productum ex a c in c b compoita ex proportionibus e ad
a c, & e ad c b: at quod fit ex a c in c b, et quale ei quod fit ex a b in
d, eo qud a b, a c, c b & d unt omiolog per decimamextam exti
ex d in a b et compoita ex proportionibus e ad a c, & e ad e b: At
proportio producti ex e in a b ad productum ex d in a b, et uelut e
ad d. per uppoita igitur proportio e ad d et compoita ex propor
tionibus e ad a c, & e ad b c, quod fuit demontrandum.
Propoitio undecima.
Proportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad ag
gregatum duarum qualium quantitatum et compoita ex pro
portionibus primis, & diuia per duplam.
Sit proportio a ad c, & b ad d, & int c & d
quales, dico qud proportio a b ad c d et
compoita ex proportionibus a ad c, & b ad
d diuio compoito per duplam. Quia enim
c & d unt quales, erit b ad c, ut b ad d, qua
re ex diffinitione cm proportio a b ad c d
it compoita ex proportionibus a ad c, & b
ad c, erit etiam compoita ex dictis ex propoitione a ad c, & b ad d,
tatuatur ergo e qualis c d media inter a b & c. Et erit per ecun
dam propoitionem proportio aggregati a b ad c producta ex
proportione aggregati a b ad c, & e ad c, igitur proportio a b ad e
erit proportio a b ad c, diuia per proportionem e ad c, ed e ad c et
dupla: igitur proportio a b ad c d et proportio a b ad c diuia per
duplam.
com. ententia.
Acom.
en
tentiam.
Propoitio duodecima.
Propoitis duabus proportionibus unam alteri iungere abque
multiplicatione.
10. P
Sint propoit proportiones a ad c &
b ad d, & aumo e ad c, iuxta ea qu Eu
clides demontrauit, ut b ad d, erit igitur
proportio a e ad c, compoita ex proportionibus a ad c, & e ad c,
ed proportio e ad c et, ut b ad d, igitur proportio a e ad c compo
ita et ex proportionibus a ad c, & b ad d.
com.
tentia.
Aliter ex b in c fiat fex a in d, g ex c in d h coniunctum ex f g, k.
Quia ergo ex c in b fit f, ex c in d h, erit f ad h,
ut b ad d, igitur ut e ad c, ed a ad c, ut g ad h igi
tur a e ad c, ut k ad h, ed k ad h cmponitur ex
proportionibus a ad c, & b ad d. Ex octaua ha
rum igitur proportio a c ad c compoita et ex
eidem. Foran quis dicat hanc eandem ee
octau ed
paratur ad productum, in hac ad unam ex
quantitatibus.
Ex hoc equitur qud: Qulibet du quantitates quarum ag
gregatum etidem ad eam quantitatem, componunt eandem pro
portionem.
Propoitio tertiadecima.
Proportio confua aggregati prim & terti quatuor quantita
tum omiologarum ad
poita ex eidem diuia per duplam.
Sint a ad b, ut c ad d, dico, qud erit confua
proportio a c aggregati ad
poit ex his proportionibus diui per du
plam qualis. Erit enim aggregati ex a c ad aggregatum ex b d, ue
lut a ad b per 18 quinti Elementorum. Sed proportiones a ad b,
& c ad d componunt proportionem producti a in d, & c in b per
octauam harum, ad
et quale producto ex b in c per decimamextam exti Elemento
rum, & proportio producti ex b in c ad productum ex b in d et ue
lut c ad d, quare ut aggregati a c ad aggregatum b d, igitur propor
tio compoita ex a ad b, & c ad d, et uelut confua bis umpta. Igi
tur confua et uelut compoita diuia per duplam per modum un
decim huius.
Propoitio quartadecima.
Proportiones confu, & coniunct in tribus quantitatibus in
uicem commutantur.
Sint tres quantitates, dico, quod proportio c
ad a b confua et, conuera coniunct a & b ad
c. Nam per dicta proportio a b ad c efficit con
iunctam ex a b ad c: ed c ad a b conuera et eius, qu et a b ad c, &
proportio c ad a b et confua eius, qu et c ad a & b. Igitur pro
portio confua in tribus quantitatibus et contraria coniunct in
eidem.
Ex quauis ergo illarum data, data erit & reliqua.
Propoitio quintadecima.
Si fuerint quatuor quantitas-proportio confua aggregati pri
m & terti ad aggregatum ecund, & quart erit ut monadis
addito prouentu, qui fit diuia differentia differentiarum prim &
ecund, atque quart & terti per aggregatum terti, & quart ad
ipam monadem.
Sint quatuor quantitates a b, c, d, e f, &
it a b maior cin a h, & e fmaior d in f g, &
differentia f g & a h it a k: dico proportio
nem a b, & d confuam ad c & e f, ee ut mo
nadis addito prouentu, uel detracto a k diui per aggregatum c.
& e f ad ipam monadem, & manifetum et, qud potet continge
re pluribus modis: Primus ut a b it maior c & e f minor d, & tunc
differenti coniungentur, & prouentus, addetur monadi. Idem fa
ciendum erit i a b it maior c, & e f it minor d, ed exceus uperet
defectum. At i uel a b it minor c, & e f maior d, uel ita minor, ut c
exceus upra b a it maior defectu, detrahemus prouentum mo
nade. Alia cautio et qud i fuerint utrinque exceus, aut defectus,
minuemus minorem de maiore: i autem unus it exceus alter de
fectus, iungemus illos, & pot diuidemus. uno ergo demontrato
ut pote primo intelligentur reliqui. Quia ergo b h et qualis c &
e g qualis d & h k qualis g f, erit ex communi animi ententia ag
gregatum ex d & k b quale aggregato ex c & e f, igitur per dicta
proportio aggregati ad aggregatum et unum. at uer diuia k a
per c & e f fit quantum diuia eadem per b k, & d, ed diuia k a per b
k, & d iunctas, exit proportio a k ad aggregatum b k & d: igitur di
uia a k per aggregatum e f & c, exibit eadem proportio, igitur a b
& d ad aggregatum c & e f et coninncta ex monade & proportio
ne a k ad aggregatum c & e f, quod erat demontrandum.
Ex hoc patet quod proportionum confuio
fit iunctis denominatoribus numeratoris: mul
tiplicatio multiplicatis: additio multiplicatis
decuatim in numeratores ad productum ex
denominatoribus, ut in exemplis.
Propoitio extadecima.
Omnium quatuor quantitatum propoita
prima, qu non minorem habet proportionem
ad uam correpondentem, qum alia ad aliam
erit proportio confua illarum, ut pro
ducti ex aggregato prim & terti in
dam in ipam quartam.
Hc magis reducit confuam proportionem ad notitiam, qum,
prcedens, quia reducit ad proportionem
et implicisima, iue per multiplicationem quantitatum fiat, du
unt tantum multiplicationes, iue per eundem terminum ufficit
alium addere. Summatur ergo a b, c, d & e, & non it maior propor
tio d ad e, qum a b ad c, & tatuatur tunc prima a b, ecunda c, ter
tia d, quarta e, & potquam non et minor ratio a b ad c, qum d ad
e, umatur a f ad c, ut d ad e. licet enim hoc facere.
Dico quod pro
portio confufa a b & d ad c & e et uelut producti ex aggregato a b
& d in d ad productum ex aggregato a f & d in e. Statuatur aggre
gatum a b & d linea a d prima quantitas, & aggregatum a f & d,
a d ecunda quantitas, & d tertia,
& c quarta, & ex a b in d fiat g, ex
a d in e fiat h, erit ergo per pri
mam propoitionem g ad h pro
ducta ex proportionibus a b d ad
a f d, & d ad c. Sed proportio a f d
ad aggregatum c e, et uelut d ad
e. Proportio uer a b d ad a f d, &
a f d ad e c producunt proportio
nem a b d ad c & e per ecundam propoitionem, harum igitur con
ua a b ad c, & d ad e, & et proportio a b d ad c & e, producuntur
ex proportionibus a b d ad a f d, & d ad e. Ergo proportio g ad h
et confua ex a b ad e, & d ad e, quod erat demontrandum.
Propoitio decimaeptima.
Omnes du proportiones conuer producunt qualem pro
portionem.
Sint du proportiones a ad b & b ad a conuera,
dico, qud producunt proportionem qualem. fiat
enim b ad c, ut b ad a, erit igitur a qualis c & b c con
uera eius qu et a ad b, ed per ecundam harum
proportiones a ad b, & b ad c producunt propor
tionem a ad c, igitur proportiones etiam a ad b & b ad a produ
cunt eandem.
mi
ententiam.
Propoitio decimaoctaua.
Si fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multi
plici prter ultimam: proportio uer penultim ad ultimam qua
lis reidui prim ad ecundam, erit prim ad aggregatum reliqua
rum uelut penultim ad ultimam.
Sint quantitates a b c d in continua proportione multiplici, ed
d ad e it uelut reidui a & b ad b, dico proportionem a ad b c d e
ee ut d ad e. Quia enim et gnomonis e ad quadratum d, ut d ad e
ex uppoito erit per coniunctam proportionem c & d ad d & e, ut
d ad e, ed e gnomo cum quadrato d efficit qua
dratum e, igitur ut c quadrati ad d & eiuncta, ita
d ad e. Rurus, quia b quadrati ad c quadratum,
ut c ad d erit gnomonis b ad quadratum c, ut
gnomonis c ad quadratum d, & ita d ad e, igitur
gnomonum b c cum quadrato d ad aggrega
tum c d e quadratorum, ut d ad e, ed c gno
mo cum d quadrato perficit c quadratum,
& c quadratum cum gnomone b perficit
quadratum b, igitur proportio quadrati b
ad quadrata c d e, ut d quadrati a d e. Et ita
repetendo de quotuis quantitatibus in infi
nitum uque. Hc proponitur ab Archimede in libro de quadrato
quali parabol, & minus generaliter & pluribus demontratur. Ego tamen quia et generalis, decribam illam per corrolarium: ad
damque aliud quod ex hoc equitur.
quinti
ti
ti
Si fuerint quotlibet
it autem penultima ad ultimam qualis reidui prim & ecund
ad ecundam, erit proportio prim ad aggregatum omnium alia
rum ueluti penultim ad ultimam.
Hc enim et euidens, quia conuenit ei demontratio propoita.
exemplo autem in numeris latere
poito uides declarationem. nam
proportio 16 ad 32 et uelut 27 rei
dui prim & ecund ad ipam e
cundam cilicet ad 54.
Ex hoc patet etiam qud aumptis omnibus, ub multiplicibus
analogi uque in infinitum prima quantitas et multiplex aggre
gati omnium reliquarum numero 1 m: quo prima et multiplex
ecund.
Si fuerint quotlibet quantitates in uper particulari proportio
ne analog, erit proportio prim ad aggregatum omnium in infi
nitum iuxta proportionem multiplicem conueram illius partis.
Velut collect in equialtera dupl in exquitertia tripl in
exquieptima eptupl. Vt capio 512 448 392 343, & ita deinceps
uque in infinitum aggregatum omnium earum erit 3584. Septu
erit 54 duplum 27 prim in eo ordine.
SCHOLIVM.
Ex quo patet genus demontrandi nouun & pulchrum: nam
upponatur 54, aggregatum duplum 27, prim igitur addito 27
ad 54, cum it dimidium, & addito 13 1/2, dimidio 27 ad 27, nam ex
uppoito quantitas equens et exquialtera ad 27, igitur 81 et du
plum ad 40 1/2. Igitur conuertendo et proportio aggregati prioris
ad 27 et dupla, ergo aggregatum et 54.
ti
Ex hoc patet eandem generaliter quod proportio maioris quan
titatis ad aggregatum reliquarum analogarum et, uelut eius quod
prouenit diuio quadrato maioris termini per differentiam eius, &
equentis maioris in eadem proportione ad ipum maiorem.
Exemplum it proportio augens 25 & 35 duarum quintarum, uo
lo cire quantum it aggregatum omnium citra 25, maximam acci
pio 35, ulteriorem ad 25, cuius differentia a 25 et 10, cum quo diui
do 625 quadratum, exit 62 1/2 aggregatum quantitatum. Et facile po
ret demontrari. Si quis dicat in qua proportione unt infinit
quantitates analog cum 12, quiunct efficiunt 10, iunge 10 cum
12 fit 22, duc 22 in 12 fit 264, diuide 264 per 10, exit 26 2/3, & in ea pro
portione
60, & 132 diuide per 12, exeunt 11 & 5, & ita eruntin proportione 11
ad 5 experiaris, & inuenies, & demontratur ex prioribus.
Propoitio decimanona.
Si fu erint aliquot quantitates arithmetic omiolog, quarum
exceus it qualis minim, omnibus autem deficientibus upple
menta ad qualitatem maxim adiungantur, erunt quadrata omni
um quantitatum qualium adiecto rurus quadrato prim cum
eo quod fit ex minima primi ordinis in
titatum eiudem tripla aggregato quadra
torum omnium quantitatum primi ordinis
pariter acceptis.
Sint aliquot quantitates a b c d e f g h in
continua proportione. Arithmetica dipoit
ita ut minima
renti quantitatum
d, et ita de alijs, addantur
gulis harum, qu int i k l m n o p, ita ut
fiant quales
maiori. Etque
quatuor partes quales, i quinque in quinque, i decem in decem, eara
tione ut ultima
et finis ecund partis, antepenultima ubi et finis terti, & ic de
alijs. Vocabo ergo primas
titates primi ordinis, ed quantitates quales qu
titatib. primi ordinis, & fupplementis, appellabo quantitates ecun
di ordinis: ex quo patet qud prima
quia non et diuia, reliqu omnes differunt, quantitates uer quas
adiunxi nominabo
ordinum: ut i
ptem, & i quantitates
quia inter upplementa Erunt er
go upplementa i k l m n o p, qutanto erunt maiora quanto quan
titates primi ordinis unt minores, & contr tanto maiora, quanto quantitates
nis Hcuolui pluribus
agere, ut dilucidior eet propoitio. qu licet
confua ualde propter multitudinem Dico
ergo d aggregatum
mo quadrato bis repetito, eu uno addito
in aggregatum quantitatum primi ordinis et
quadratis omnibus
plo facilius innotecat, int
quorum quadrata int 64. 49. 36. 25. 16. & 9.4 & 1. qu iuncta
204, dico quod i umamus quadrata omnium
ordinis, qu unt octies 64, & eis addiderimus unum
his, ut fiant nouies 64, & erunt 556, imul iuncta & eis addamus, d
fit ex 1 quantitate minima primi ordinis in 36 aggregatum quanti
tatum omnium primi ordinis, & et tale
612, quod tale 612 et triplum 204, aggregati
dinis unius demontratio hc et. Quia ex quarta ecundi Element.
Euclidis ingula quadrata
tant ex quatuor partibus quarum du unt quadrata partium, reli
qu du unt producta ex partibus
lis 1, & p qualis b, quia upplementa
tatibus, & ita c qualis o & k qualis g & d, qualis n & l, qualis
f, e
ecundi ordinis hab entibus
titatibus quod quadrata partium
quantitatum: ueluti capio b i ecundam & h p ultimam,
qualis i. Ergo quatuor quadrata b i & h p unt dupla quadratis b
& h, & ita
parantur: ed in e m quia et ola una quantitas, itud et etiam cla
rius, quia quadrata e & m unt dupla quadrato e oli eo, quod & m
unt quales. Igitur per demontrata ab Euclide erit proportio o
mnium quadratorum b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, ad quadrata b c d e
f g h, pariter accepta proportio dupla. atuer addito quadrato a
quadratis b c d e f g h, & erunt quadrata omnium quantitatum, &
quadratis b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, duplo quadrati a cilicet emel,
quia a et ex ecundo ordine quantitatum, & emel, quia hoc fuit a
umptum in Problemate. Sequitur ut quadrata omnia
ecundi ordinis, prout unt diuia in partes addito quadrato a, int
dupla quadratis primarum quanttatum, imul pariter acceptis. Re
liquum et modo ut otendamus dupla
eo quod fit ex minima quantitate, cilicet h in aggregatum iparum
quantitatum primi ordinis ee quale quadratis,
dem primi ordinis pariter acceptis. Contatigitur, quod duplum i
in b et quale duplo h in ipum b, quia h & i unt quales, & du
plum k in ipum c, et quale quadruplo h in idem c, quia k et du
pla h, & imiliter duplum l in ipum d et quale excuplo, h in d,
quia l et tripla h, & ita procedendo erunt illa dupla producta
qualia productis ex h in ipas quantitates toties umptis quantus
et numerus, qui prouenit duplicato numero, ecundum
tinetur in illo upplemento, exemplum uolo duplum producti lin
d bis, cio qud upplementum l continet h ter, duplicabo tria & fi
ent ex, Quo con
tituto, cum uppoitum it producta illa duplicata cum producto h
in aggregatum primarum
rum quantitatum, igitur addemus
titates productis illis prioribus, & fiet productum h in a emel, in b
ter, in c quinquies, in d epties, in e nouies, in f undecies, in g trede
cies, & in h quindecies quale duplo producti uniucuiuque quan
titatis in uum upplementum cum producto h in
rum quantitarum, at quadratum a et quale producto ex h in eam,
qu talem habet proportionem ad ipum a,
h per demontrata ab Euclide, & pariter de quadrato b, quod et
quale ei quod fit ex h in eam qu toties continet b, quotiens b con
tinet h, & ita quadratum c quale et ei, quod continetur ub h, &
habente proportionem ad b eandem, quam b ad h, & imiliter de
quadrato c & omnibus reliquis, uque ad h ipum. Gratia ergo exem
cundas, quia quotus et numerus quantitatum, totus et numerus
ecundum quem a continet h, & imiliter quotus et numerus quan
ttatum incipiendo b, & quotus et numerus quantitatum incipi
endo c, toties b uel c
nium quantitatum imul iuncta unt qualia productis ex h in in
gulas illarum toties umptis, quoties ill
numerus illius quantitatis, incipiendo ab h, & Rurus dico, quod productum multiplicis cuiuslibet
minimam, eu quadratum eiudem quantitatis quale et producto
eiudem quantitatis, & dupli omnium equentium primi ordinis in
ipam minimam quantitatem, uelut quadratum a et quale produ
cto ex h in a, & in duplum b c d e f g h, hoc
his quantitatibus, quia i quadratum a et quale producto h in o
mnes quantitates ecundi ordinis, & omnes quantitates ecundi or
dinis imul umpt unt quales ipi a, & duplo
dinis, quia tales quantitates unt quales uis upplementis uici
im, ut h cum i, k cum g, f cum l, e
quantitates primi ordinis unt dimidium quantitatum ecundi or
dinis, ergo duplum quantitatum primi ordinis et dimidium quan
titatum ecundi ordinis, uerm de b dico idem accidere, quia qua
dratum b et quale producto ex h in b, & in duplum reliquarum
b, cilicet duplum c d e f g h, & hoc et otendere, quod it quantita
tes unt dimidium totidem quantitatum qualium b, nam c et mi
nor b in h, & upplementum p quod et quale ipi b, i tota h p fiat
qualis ipi b, ut pote h q erit ipa q dempta h qualis ipi c, ergo
quantitates primi ordinis emper unt quales upplementis non
ueris, ed prioris quantitatis aumpt, eu in comparatione ad il
lam, quadratum igitur b et quale producto ex h in b, & in duplum
c d e f g h, & imiliter per eadem, quadratum c et quale producto
ex h in c, & in duplum d e f g h, & ic de alijs. Habemus ergo, quod
quadrata a b c d e f g h imul iuncta unt qualia producto ex h in
a, & in duplum reliquarum, & ex h in b, & in duplum reliquarum
equentium, & producto ex h in c emel, & in duplum equentium
uque ad h, & ita de reliquis. hoc enim et, quod nuper demontraui
mus. Antea quo que
l, e in m, f in n, g in o, h in p,
erat quale productis ex h in a emel, & in b ter, & in c quinquies, in
d epties, in e nouies, in fundecies, in g tredecies, in eipam h quin
decies, detractis ergo p
& ex h in b c d e f g h bis
riter conduplicatis uis equentibus ex altera, quod fit ex h in b e
mel, in c ter, in d quinquies, in e epties, in f nouies, in g undecies,
in h tredecies, detractis ergo rurus quod fit ex h in b emel, & ex
h in c d e f g h bis relinquetur, quod fit ex h in c, & duplo equen
tium, & d & duplo equentium, & e & aliarum pariter: & ex alia
parte, quod fit ex h in c emel, & in d ter, & in e quinquies, in f e
pties, in g nouies, in h undecies. Ab his rurus detractis, qud fit
ex h in c emel, & in equentes bis, relinquetur h in d emel cum uis
equentibus bis, & in e emel cum uis equentibus & in f, & in g &
in h pariter, & ex alia parte, quod fit ex h in d emel, in e ter, f quin
quies, g epties, h nouies, ab his rurus detraho, quod fit ex h in d
emel, & in equentes bis, relinquetur ex una parte, quod fit ex h
in e f g h cum duplo equentium ex alia, quod fit ex h in e e
mel, f ter, g quinquies, h epties, & imiliter ab his detractis, quod
fit ex h in e emel, & bis in equentes, relinquetur ex una par
te; quod fit ex h in f emel, & in g h bis, & in g emel, & in h bis,
& in h emel, & ex alia, quod fit ex h in f emel, in g ter, in h quin
quies. Iterum detractis, quod fit ex h in f emel, & in g h bis com
muniter relin quetur, quod fit ex h in g emel, & in h bis, & in h e
mel, & ex alia parte quod fit ex h in g emel, & ex h in h ter. Sed
ita, qu relicta unt iam, unt manifet qualia, ergo etiam pri
ma aggregata ab initio fuere qualia, ergo & qualia illis qua
drata a b c d e f g h his, qu fiunt, ex h in eadem quantita
tes cum duplo producti b in i, cin k, d in l, e in m, f in n, g in o,
h in p, ed iam his quadratis a b c d e f g h demontrata unt ee du
pla quadrata h p, g o, f n, e m, d l, c k, b i, cum duplo quadra
ti a, ergo quadrata omnium quantitatum ecundi ordinis cum
quadrato a rurus repetito, & producto h in aggregatum quanti
tatum primi ordinis unt tripla quadratis quantitatum primi ordi
nis pariter acceptis, quod fuit propoitum, & fuit Archimedis in li
bro de lineis piralibus, & ego adieci hic propter modum demon
trandi, qui et elegantisimus, & procedit ex principijs arithmeti
cis, & diueris communibus, & ideo non reuoluitur, ut olentre
liqu qutiones.
P
P
Propoitio uigeima.
Cm fuerint quatuor quantitates, fueritque ecunda qualis ter
ti, aut prim qualis quart, erit proportio prim ad quartam,
aut terti ad ecundam producta ex proportionibus prim ad e
cundam, & terti ad quartam.
Cm enim quantitates h non fuerint quales,
portione prim ad ecundam, ecund ad tertiam, & terti ad quar
tam: ergo non ex olis proportionibus prim ad ecundam, & ter
ti ad quartam, & imiliter ex prima harum proportio prim ad e
cundam, & terti ad quartam producunt proportionem producti
prim in ecundam ad productum terti in quartam. Et in multi
plicatione proportio, qu olet ee inter producta illa, & et quai
duplicata et inter ipas quantitates. Sint igitur quantitates a b c d,
& it b qualis c, ponantur ergo recto ordine a b c d, eritque propor
tio a ad d producta ex proportioni
bus a ad b, b ad c, & c ad d, producan
tur igitur ex proportionibus a ad b, c
ad d. proportio c ad f, erit igitur pro
portio e ad f, i multiplicetur per pro
portionem b ad c eadem qu prius, &
producta iam et eadem ei, qu et a
ad d, ergo proportio a ad d erit producta ex proportionibus a ad
b, c ad d per primam propoitionem. Quod uer diximus de pri
ma & quarta i int quales, manifetum et, qud res redit ad idem
olum tranmutato ordine, ut tertia, & quarta prmittantur prim,
& ecund. Hcigitur propoitio nihil aliud innuit, qum quod
in hoc cau productio, quolet fieri ex tribus proportionibus fiat
ex duabus tantum.
Propoitio uigeimaprima.
Cm decuatim ducta fuerit prima in quartam, & ecunda in ter
tiam; productumque prim in quartam diuium fuerit per produ
ctum ecund in tertiam erit proportio prim ad ecundam diui
a per proportionem terti ad quartam. Et imiliter interpoita
omiologa.
Primum exponamus ecundam partem, it
proportio a ad b, quam uolo diuidere per
proportionem c ad d, facio e ad b, ut c ad d, erit
ergo per
ducta ex proportione a ad e, & e ad b, quare ex a ad e, & c ad d, ergo
diuia proportione a ad b per proportionem c ad d exit proportio
a ad e, & hic et ecundus modus. Primus autem modus ducatur a
in d & fiat f, & b in c & fiat g, dico proportione f ad g ee prouen
tum proportionis a ad b, diuide per proportionem c ad d, ducatur
igitur c in f & fiat h, & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c
in f, & f producitur ex a in d, ergo h producetur ex producto c in d,
in a, & imiliter quia k producitur ex d in g, & g producitur ex b in
erit a ad b ut h ad k, igitur ex prima harum cum ex c in f producatur
h, & ex d in g k, & dicatur produci proportio h ad k ex proportio
ne c ad d, & f ad g, & proportio h ad k it eadem, qu a ad b, ergo
proportio a ad b producitur ex c ad d, & f ad g, ergo diuia propor
tione a ad b prodibit proportio f ad g, quod fuit propoitum.
Propoitio uigeimaecunda.
Cm fuerit proportio prim ad ecundam maior, qum terti
ad quartam, erit confua ex his maior qum terti ad quartam, mi
nor autem qum prim ad ecundam.
Sit proportio a ad b maior qum c
ad d, dico, quod confua ex a c ad b d
et maior, qum c ad d, et minor qum
a ad b, ut enim c ad d ita fiat e ad b, erit que per tertiamdecimam ha
rum e c ad b d confua minor qum a c ad b d, nam e et minor a,
quia proportionem habent minorem ad b quam a eo qud e ha
bet proportionem ad b, quam c ad d, qu
a ad b, ut uppoitum et, igitur e c ad b d minor, qum a b ad c d, e b
autem ad c d et, ut demontratum et qualis c ad d, ergo c ad d mi
nor, qum confua a b ad c d, quod et ecundum per idem proba
bitur, & primum poita f ad d, ut a ad b, eritque a maior c, igitur ma
ior proportio a f ad b d, qum a c ad b d, ed a f ad b d, ut a ad b per
candem tertiamdecimam huius ergo proportio confua a b ad c d
et minor, qum a ad b.
Propoitio uigeimatertia.
Omnis motus naturalis ad locum uum et: ideo per rectam li
neam fit.
Motus naturalis et, ut coneruetur corpus, & conueniat locus
corpori, igitur fit ad uum locum. Locus autem dicitur in compara
tione ad uniuerum. ideo omnis motus naturalis et centro mun
di urum, uel ad centrum deorum. Et quia quanto natura celerius
uum finem potet aequi (quia finis bonus et aliter non illum ap
peteret) eum qurit, cm it apientisim uit minitra: at linea re
cta breuisima et Euclide tete puncto ad punctum, igitur omnis
motus naturalis et urum aut deorum per rectam lineam.
primi
Propoitio uigeimaquarta.
Omnis motus circularis uoluntarius et.
Sit motus in circulo eu per circulum in orbe cuius it centrum,
it c mundi centrum: igitur ex diffinitione circuli tantum ditabit a,
quantum b ab ipo c: ed in motu naturali per prcedentem necee
et, ut recta feratur ad c, uel recedat, igitur motus a et uoluntarius,
non naturalis. nam i uiolentus eet, non
eet perpetuus. Omnia ergo atra feruntur
circa centrum mundi. Sit modo rota e f g, di
co e non moueri motu circulari nam linea
e c
trum non circa centrum. Indicio etiam id
et: qud i in e ponatur frutum aliquod
inigne plumbi in motu ad g per f decen
det raptim: at dum ex g in e magna cum dif
ficultate, igitur motus hic non et naturalis,
nec circularis. nihil etiam hoc modo ponte mouetur.
Sed cum non
moueatur per rectam naturaliter, nec quiditans centro per cir
culum relinquitur, ut moueatur motu uiolento, aut mito, ed non
ex uoluntario, cum nullo modo moueatur quiditans centro,
ed emper ab e line ad centrum fiant breuiores, liquet ee mo
tum uiolentum: aut mitum ex naturali, & uiolento.
Propoitio uigeimaquinta.
Tres unt motus omnino implices naturalis, uoluntarius &
uiolentus.
Tres unt modi, quibus pount moueri in comparatione ad cen
trum cilicet uel recta cum centro, uel quiditando centro, uel
neutro modo, igitur tres motus. Rurus uel principio interiore
non intelligente, & et naturalis, uel intelligente & et uoluntarius:
uel exteriore & et uiolentus. Hc autem diuiio et olum propria
non prima. Nam et uiolentus in recta ad centrum: ideo omnis, qui
non et in recta ad centrum, nec quiditat, uiolentus et: non ta
men omnis uiolentus et extra rectam. Attractio autem, qu fit ob
raritatem corporum, eu, ut dicunt, uacuo, uiolenta et non natu
ralis nii ratione finis, non agentis. Sunt enim quatuor genera mo
tus uiolenti ab Aritotele poita, uectio, tractio, pulio, & uolutio:
quanquam his non opus it in demontratiua cientia.
uolutionem ex tractione, & pulione apud illum conitere.
cap.
Propoitio uigeima.
Motus ergo compoiti quatuor neceari unt pecies.
Si tantum unt tres pecies implicium, contat ratione arithme
tica quatuor ee compoitorum. Diquiramus ergo an int natura
liter tot pecies, foran enim repugnabit aliquis alicui. Porr uidea
mus prim, quot int uiolentorum pecies: Prima erit cum non e
cundum rectam lineam fuerit: nec centro quiditantem. Secun
da cum fuerit ecundum rectam, ed non ad centrum. Tertia cum
fuerit in recta ad centrum, ed contrario modo, uelut terr urum.
cipio naturali. Velut cum quis proij cit lapidem rect in terram
turri uiolentius, qum ille ua grauitate decenurus eet. Hic igi
tur motus et compoitus ex naturali, & uiolento. Animalium au
tem motus uoluntarius et, cum it principio interiore cognocen
te: & it quatenus principio in linea circulari qualiter ditante
centro: ed quia obtat grauitas, ide mitus et ex naturali, & uo
luntario. Sed circularis, & uiolentus oli ee non pount: nam uio
lentus et neceari in corpore graui aut leui: ed omne corpus gra
ue aut leue, cm mouetur, naturaliter mouetur altem in fine: & per
totum motum, motu cculto, qui maxim in hoc libro dignus et
conideratione, igitur motus uoluntarius, & uiolentus non po
unt ee imul oli. Eruntergo ecundum naturam tantm tres pe
cies. Velut cm quis candit, autalit: Et enim motus naturalis al
tem in fine, & uoluntarius, & uiolentus. Si quis autem uelit uiolen
tum cum uoluntario copulare dicemus contare eam compoitio
nem in initio aliendi. Motum autem occultum uocamus grauita
tem aut leuitatem.
Propoitio uigeimaeptima.
Motus uoluntarius et in loco: naturalis ad locum: uiolentus
exloco.
Hc et tertia differentia primarum pecierum motuum uolun
tarius fit manente corpore toto in eodem loco, ideo proprius et
clo, corpora autem animalium in eodem loco feruntur: quia in
eodem orbe nata redire ad proprium locum. Et ide, ut dixi, et mo
tus mitus ex naturali, & uoluntario, qui i per e fieret, non fatiga
ret mobile, cm ex utroque principio ab interiore ui procedat. Sed
quia fit per muculos, qui trahuntur: hic autem motus et uiolen
tus, ide per conequentiam fatigat. Qui uer naturalis, et ut re
deat corpus ad uum locum, igitur naturalis et ad locum. Sed
uiolenti finis et, ut protrudatur ex loco in quo et, non habens cer
tum finem. licet enim qui trahit, ad uum locum trabat, non tamen
ad locum mobilis.
Propoitio uigeimaoctaua.
Motus quilibet naturalis aut uiolentus in aliquo medio fit.
Cm uacuum non detur, & omnis motus naturalis it ad locum,
et uiolentus ex loco per prcedentem, igitur cm non it in medio,
uacuum erit in aliquo corpore, uelut aere, aqua, igne, ligno.
Propoitio uigeimanona.
Omnis motus uoluntarius qualis et emper: impliciter etiam
quilibet alius motus.
Motus uoluntarius non habet, qud fatiget, & umma perfectio
et qualitas, & natura qu mouet non debilitatur, igitur perpe
tuo pereuerat qualis. neque enim et, ut dixi, per medium corpus.
Naturalis quoque, & uiolentus cum ratione proportionis mouentis
upra mobile pere non uarientur, & ab quali proportione qua
lis uelo citas proueniat, igitur natura tales motus unt quales, nam
in utroque mouens, mouet ecundum ultimam uam uim.
Propoitio trigeima.
In omni corpore mobili in medio, partes medij reitunt obui,
ali impellunt.
Sit mobile a cui partes ubiaceant direct b, & it graue.
Et pa
tet ne diuidatur b reitere, cum autem uperauerit, partes b decen
dunt ante a, & trahunt partes c & d adhrentes ecum, atque ita e c d f
adiuuant ad decenum partes etiam laterales
g & h cum a tranit in b, ne detur uacuum, tran
eunt in k uelo ci motu, ergo propellunt a maio
reimpetu inferius.
Ex quo patet, quod in omni motu naturali,
uel uiolento fit augumentum uelocitatis ab initio altem uque
ad aliquid.
Et ide etiam bellic machin cuiucunque generis certam exi
gunt ditantiam, ut uiolentius feriant.
Propoitio trigeimaprima.
Omnis motus naturalis in quali medio ualidior et in fine,
qum in principio: uiolentus contr.
Cm enim ex prcedenti augeantur emper ob medium, & cau
fa, qu mouet, it perpetua, & principio terno, quod per dict
qualiter mouet, igitur motus ille fiet uelo cior in fine qum in alia
parte temporis. In uiolento autem, cm perueniat ad finem deinit
uis illa neceari, qu mouet, & uperatur ui naturali, qu mo
uet in contrarium, igitur antequam ceet motus fiet tardisimus
in fine.
Ex quo patet, qud motus quadrifariam miti dicuntur, aut pe
cie, ut cm quis iacit lapidem turri: uel ex occulto naturali, & uio
lento manifeto: uelut cm quis iacit lapidem, & decendit potmo
dum ex b in c motu utroque manifeto, ed ex a
in b motu uiolento manifeto, & naturali oc
culto: uel ratione medij, & hoc modo omnis
motus naturalis etiam non olum uiolentus et
mitus ex proportione uirtutis mouentis, cum motu medij, ad me
dium ipum, uel i uiolentus it ex proportione uirtutis mouentis,
Quarto ex motibus
imperfectis natura ua, & non et uera mitio, & hoc apparet in mo
tibus uoluntarijs animalium, qui non unt neque quales, neque perfe
ct circa medium: ed unt potius imiles uoluntarijs. Etideo de
montrationes ill Aritotelis quoad uum nihil iuuant nos.
Propoitio trigeimaecunda.
Omne mobile naturaliter motum, eu uiolenter uelo cius moue
tur in medio rariore, qum deniore. Maior quoque et proportio fi
nis motus in corpore rariore ad finem motus in corpore deniore,
qum principij. In uiolento autem celeris perueniet ad finem mo
tus in corpore deniore.
A mobile moueatur in b medio rariore, & in c denio
re, igitur b minus reitit, qum c & magis adiuuat, quia
uelocis mouetur: igitur duplici de caua a mouebitur
uelocis in b qum in c: & quia per corrolarium trigei
m, & prcedentis proportio finis (ubi qualiter moueantur) ad
ua principia maior erit in d, qum in e: ergo per
pano poita d prima, b ecunda, e tertia, c quarta, maior erit propor
tio d ad e, qum b ad c quod fuit propoitum in naturali.
Propoitio trigeimatertia.
Omnia duo mobilia qualis undique magnitudinis, qu quali
in tempore qualia patia pertraneunt in diueris ubtantia me
dijs, necee et, ut it ponderis ad pondus, quemadmodum medij
ad medium, proportio duplicata.
Sint duo mobilia a & b magnitudine, & forma omnino paria,
& int media c & d, exempli gratia: & pertraneant quale patium
in utroque in eodem tempore, e dico proportionem ponderis b ad
pondus a ee duplicatam ei qu et raritatis c ad raritatem d. Quia
enim feruntur qualiter, nam in quali tem
pore, eu eodem qualia patia pertrane
unt, erit proportio potenti a cum uo auxi
lio ad id, quod reitit ex c ut b cum uo au
xilio ad id, quod reitit ex d, permutando igi
tur d ad c, ut b ad a, ed c ad d proportio rari
tatis duplicat actionem, tum minus reiten
do, tum adiuuando motum a, igitur proportio differenti motus
et duplicata proportioni raritatis: ed proportio motus et qua
lis proportioni ponderis uicisim per uigeimamextam exti Ele
mentorum b ad a, igitur proportio b ad a ponderis et duplicata ei,
qu et raritatis c ad raritatem d.
SCHOLIVM PRIMVM.
Ne tamen ine exemplo intelligas hanc duplicatam rationem,
proponatur craritas quatuor, d unum, a pondus duodecim libra
rum, tunc c reitit olum ex quarta parte, & effi
cit a quadruplo maioris actionis, cilicet ut qua
draginta octo, tota igitur proportio, qua mo
uebitur a in c, erit centum nonaginta duorum, & hoc diuidemus
per d, quod et unum, exibit Pro
portio igitur b ad a et exde cupla, & hc et duplicata quadrupl
raritatis c ad raritatem d.
Qud i quis neget tantundem augere c actionem a, quanto mi
nus reitit, ed aut magis aut minus, & it proportio b ad a dupli
cata ipi f, dico fee proportionem c ad d, nam proportio b ad a
et uelut actionis c ad d per decimamextam exti Elementorum,
ergo ex auxilio c in proportionem a ad c fit proportio b ad a, ed ex
fin e fit proportio b ad a ex diffinitione proportionis duplicat. Sed ex duabus proportionibus a ad c, & actionis ex c ad a produ
citur proportio b ad a, igitur per
rum proportio c ad d et media inter proportiones a ad c, & actio
nis a in c, quare qualis f, igitur proportio b ad a duplicata ei, qu
et c ad d quod erat demontrandum.
SCHOLIVM SECVNDVM.
Si autem media fuerint diuerarum rationum, ut aqua, & ar non
demontrat argumentum, quia pondera inter e non eruant ratio
nem. Nam lignum centum librarum ex alicis arbore, non magis
decendit, qum lignum libr unius. Ide nec in comparatione ad
medium aris.
Propoitio trigeimaquarta.
Proportio corporis cubi ad uam uperficiem quadratam, et ue
lut eiudem uperficiei ad latus, eiudem uer ad monadem.
Sit cubus a b c eius quadrata, uperficies a
c, latus a b, monas d, dico eas ee inuicem
analogas. Quia enim proportio a b c ad a c
et, ut quoties aumitur a c in a b c, & toties
ctiam aumitur a b in a c ex diffinitione Eucli
dis ecundo Elementorum, i ergo monas et
in continua proportione, habeo intentum: i
non ponatur e media inter a e & d, erit ergo
per decimam noni Elementorum elatus a c,
ergo qualis a b, igitur cum a c, e & d int analog, erunt & a b c,
a b, & d analog, quod fuit demontrandum.
C
Propoitio trigeimaquinta.
Vocum magnitudines excrecunt in acumine non in grauitate,
finis autem et in utroque extremo, propter hoc minima facta uaria
tione in hypate acut uix ferunt.
Quoniam facta uariatione in hypate, qu et
in Diapaon, uel bis Dapaon maiore interual
lo ditat, uelut ex a in b in grauiore, maius et in
teruallum ex c in d, igitur maior et b d, qum a c
ergo ingul uoces inter b & d magis ditant,
qum inter a & c, & quanto magis appropin
quant ad d, igitur d maius et qum b. Ergo magnitudo et ratione
acuitatis, non grauitatis, cum uppouerimus d ee acutiorem b &
cipo a. Otenditur etiam idem quia uox grauis fit ex priuatione
motus icut acuta ex uehementia. Motus autem et res, quies,
priuatio.
Secundum ic: nam remisio mota non feriet aurem, ide onum
non pariet ob nimiam tarditatem. At in uelo cisimo motu oportet
uel fidem uel arteriam contrahi, & non contrahitur nii per mucu
los, igitur contentio illa finem habet. Si autem non it necearium
habere, uel ualde procul posit extendi contentio, ut in machinis
igneis trepitus fit maximus, nam motus, ut motus et etiam in are
nullum finem per e habet nii ratione intrumenti, ergo trepitus
tantus ee potet, ut ferm oburdecant, qui audierint, ut ferunt de
Nili cataractis.
Tertium ic it a b humi
lior uox, qu excrecat e
mitonio minore olum in
c, & it d e dupla ad ab e
cundum naturam, ut in uo
cibus medijs fiet, ut i e debeat excrecere emitonio minore per de
cimamnonam quinti
creuerit ad diapaon quadrupla: pueri autem uox, qu iam diapa
on altior et d e, erit bis diapaon, & ide quadrupla b c, ed in acu
tioribus erit dupla, nullus enim puer et adeo fract uocis, quiu
pra humillimam non acendat per diapaon, igitur interuallum uo
cum erit octuplum a d, b c, ed communiter acen dunt ad bis diapa
on, igitur interuallum unius uocis etiam cum emitonio propor
tionem habentis et quale ferm toti a b, cum autem in diapaon
int duodecim emitonia, & duo comata, manifetum et, quod ex
tenio illa erit maxima in Etide
minimum in crementum in humilioribus uocibus, ubi quis coga
tur, quibudam non omnino feratur.
SCHOLIVM.
Ob hoc natura fecit, ut non quemadmodum in fidibus uoces ex
breuitate intenderentur, ed ex contrictione ligul, ut dicunt, u
per aperam arteriam uox ad diapaon acueretur addito impetu
proportione, ut ex contrictione, & impetu
portio. Hoc autem manifet experimur in elymis in quibus null
prorus facta mutatione intrumenti contantibus digitis omni
bus prter pollicem initr uocem exacuimus ad diapaon, inde
etiam ad bis diapaon: icut declarauimus in commentarijs Epi
demiorum.
Propoitio trigeimaexta.
Si proportio per proportionem minorem quali ducatur, pro
portio minor producetur. Vnde manifetum et duas proportio
nes minores qualitate inuicem ductas proportionem minorem
unaquaque illarum producere.
Proportio a b ad c, qualicunque it, duca
tur in proportionem minorem qualitate
fad g, dico quod producta proportio erit
minor ea, qu et a b ad c fiat d ad a b, ut f
ad g, et erit per ecundam huius d ad c pro
ducta ex proportionibus a b ad c, & f g. Itemque per decimamquar
tam quinti
d ad c. igitur qum proportio a b ad c in proportionem f ad g. Sit
autem utraque minor qualitate ea, qu a b ad c, & ea qu f ad g, di
co productam unaquaque earum ee minorem. Quod enim (manen
tibus his, qu dicta unt) minor it d ad c, quam a b ad c ex prima
parte otenum et. Qud uer etiam minor it d ad c, qum d ad
a b, & ex conequenti qum f ad g demontratur ic. Quia enim mi
nor et a b ad c, qualitate erit a b minor c, fiat ergo h qualis a b,
erit ergo d ad h, ut d ad a b per eptimam quinti Elementorum, at d
ad c minor qum d ad h per octauam eiudem, igitur minor d ad c,
qum d ad a b, igitur patet propoitum.
Propoitio trigeimaeptima.
Si plures homines, quorum nulli per e nauim mouere posint,
aut pondus ferre imul iuncti eam moueant, aut pondus ferant,
erunt ill proportiones coniunct non product.
Cm enim primus non posit mouere nec ecundus, erunt pro
portiones minores qualitate, Ide per ecundam partem prce
dentis multo minus mouerent duo, qum unus. Et i quatuor mo
produceretur, fieret minor, ergo minus mouerent quinque qum
quatuor ex ijdem, quod et aburdum.
Propoitio trigeimao ctaua.
Omne corpus tantm reitit motui contrario uo naturali quan
cum mouetur occulto motu quiecendo.
Sit a corpus quiecens in pauimento b, & mouetur in eo occul
to motu uerus centrum, ut upr uium et, contra
rius illi it motus ad c, i ergo a quieceret in c moue
retur ad b occulto motu certa ui, ergo eadem retitit,
ne traheretur ad c. Manifetum et autem, quod hic
motus occultus et minor manifeto.
26. P
po.
Ex hoc patet cur naues & currus ab initio tard & difficulter mo
ueantur, ubi moueri cperint motus augetur: quoniam reitunt
per motum occultum naturalem qui maximus et dum quiecunt,
ut etiam do cebat philoophus in mechanicis, nam motus ille natu
ralis et, & ide contrarius uiolento: Ergo cum iam mouetur uio
lenter minus, mouetur naturaliter, igitur minus reitit. Declarabi
tur enim infr qud omne quod mouetur duobus motibus tanto
minus uno mouetur quanto magis altero.
Propoitio trigeimanona.
Ab quali aut minore ui, qum it
Sit a quod reitat, ne urum trahatur per decem, dico, quod
urum trahetur neque decem, neque minore: nam i impedimen
tum non eet, moueretur infra ut decem, ergo i traheretur urum
per decem tantum moueretur urum,
ceret. Si uer minore moueretur maiore ui deorum, quam ur
um, ergo deorum impliciter non urum.
Propoitio quadrageima.
Omne corpus phricum tangens planum in puncto mouetur
ad latus per quancunque uim, qu medium diuidere potet.
Sit corpus ad unguem phricum a tan
gens planum b in puncto c (et enim hoc
necearium ex demontratis ab Euclide in
decimaexta Propoitione tertij Elemento
rum) dico, quod mouebitur ui, qu potet
cindere arem. Nam cum non acendat, nec
decendat, ed quai in circulo ad centrum
mundi moueatur, pondus non affert. Neque
ratione magnitudinis contactus, cum it in
puncto olo, igitur remanet olum aris impedimentum.
Ex hoc liquet, quod oportet b planum ee ex durisima mate
ria, qu nullo modo cedat, aliter tanget pluqum in puncto.
Vix fieri potet, utin elementaribus phra tangat planum in
puncto. Vel quia planum non erit exact rectum, uel non durum,
ut prorus non cedat, uel non ad quilibrium poitum, uel phra
non erit exact rotunda.
Propoitio quadrageimaprima.
Si fuerint du quantitates umaturque totius aggregatum maio
ris & minoris, quoties aggregatum minoris, & maioris, erit pro
portio confua maioris aggregati ad minus, minor qum multipli
cis maioris ad multiplex minoris.
Sint du magnitudines a & b, & it a maior
b, & umatur exempli gratia a quater cum b e
mel, & b quater cum a emel, dico, quod propor
tio (quam confuam ee liquet) aggregati primi ad ecundum, et
minor qum quadrupla. Contat enim quod proportio quadru
pli a ad a et maior, quam b ad quadruplum b, cum una it quadru
pla, alia ub quadrupla, igitur per uigeimamecundam huius ag
gregati quadrupli a cum b emel, ad quadruplum b cum a emel mi
nor, qum quadrupli a ad a, & maior qum b ad quadruplum b, &
et pro intellectu Archimedis.
A
deran.
P
Propoitio quadrageimaecunda.
Trahentium nauim, ut ferentium pondera proportiones in e in
uicem, quomodo ducere oporteat coniderare.
Hoc quomodo non posit fieri upr docuimus, nunc etiam ge
neraliter dicam, cum conitant hc in duobus terminis, productio
uer prupponit quatuor terminos, ut in prima propoitione, aut
altem tres, atque in his medius habet rationem mouentis, & moti,
ergo cum in huiumodi
unus it mouens, & motum proportio non poterit produci. Illud
etiam patet exemplo, nam i eet lapis, aut nauis obitens ut ex, &
eent homines uiribus inguli, ut quatuor cum dimidio, tres mo
uerent in proportione dupla exquiquarta perdicta uperius eo
dem loco, at i proportio duci poet aliquorum hominum nume
rus poet mouere in duplicata proportione ad unguem cilicet
5 1/16 ut eet uix hominum collectorum 30 3/8 at nullus et numerus ho
minum qui collectus faciat hunc numerum, nam ex homines ex
plentnumerum 27, & eptem 31 1/2, & ide non potet duci propor
tio. Et ide maximus et error dicendo decem homines mouent na
uim proportione tripla, ergo triginta alij additis illis imiles robo
re mouebunt proportione uiginti eptupla cilicet ducta nonu
Sed umpta proportione alio modo producitur.
Ve
lut i dicam, homines decem mouent nauim, aut
portione tripla, igitur quadraginta homines idem facient propor
tione duodecupla cilicet quadrupla in triplam ducta. Cum ergo
addo triginta homines, qui mouent in proportione nonupla, non
oportet ducere nonuplam in triplam, ed totum numerum accipe
re, & quam proportionem habet ad partem, tandem habet uis mo
uens ad uim Vnde i duo moueant in proportione ex
quialtera, & ex in proportione quadrupla cum dimidia, & iungan
tur, ut fiant octo, non oportebit ducere exquialteram, in quadru
plam exquialteram, ed cum octo ad duo it in proportione qua
drupla, umemus quadruplam ad exquialteram, qu erit excupla,
& octo mouebunt, aut pondus gerentin proportione excupla.
Propoitio quadrageimatertia.
Productionem ad additionem retrahere.
Sit proportio a ad b dupla potetate li
cet int quinque homines, & int quindecim
homines c, & habebunt ad b excuplam
proportionem per prcedentem. Iuncta
ergo a, & c per octauam huius
b proportione octupla, dico, quod i du
xeris i.
qua
druplam in proportionem a ad b, qu et dupla, proueniet eadem
octupla. Nam quia in coniunctione ufficit iungere c cum a, & u
mitur ecundum proportionem a ad b, igitur cum proportio a ad
b co mparata ad proportionem c & a ad b it, icut proportio c & a
ad a, & proportio c & a ad a it, icut proportio c ad a, & a ad a, &
proportio a ad a habet rationem unius, igitur proportio aggregati
c a ad b et producta ex proportione c ad a plus monade in propor
tionem a ad b, quod erat demontrandum.
Propoitio quadrageimaquarta.
Si fuerit proportio motoris ad id, quod et maximum non mo
uens & patium, & tempus, nota erit etiam reliquorum nota.
Spe contingit, ut quinque homines moueant nauim, & patium
ad tempus notum, & etiam cognitum maximum, quod mouere
non potet. Sit ergo a numerus hominum, b na
uis, c maximum, quod non mouere potet, d
tempus, e patium, f motor alius iue numerus
hominum notus, & g tempus, dico, quod h patium notum erit, eu Quoniam ergo notum et a & c, quia et quale
b, igitur proportio a ad b nota et: ed iuxta illam a mouet b in d
tempore per e patium, igitur per prcedentem, ut f ad a ita patij
ad e in d tempore. Sed per eadem ut temporis d ad patium illud,
ita g ad h, ergo cum nota int d e f g erit etiam h, & ita conuertendo.
Propoitio quadrageimaquinta.
Rationem tater otendere.
Archimedes nititur huic fundamento, quod pondera, qu pro
portionem mutuam habent, ut ditanti libella a, qu upen
duntur, qualiter ponderant, it ergo libella a b, & upena in a cen
trum mundi c, ad quod dirigitur pondus, & liquet, quod ipum
non e inclin abit ex uigeimatertia propoitione. Si ergo ponantur
lo co line b d in e & f, & it proportio e b
ad b f, ut g ad h, dico, qud erit quili
brium, per eandem enim h mouebitur in k,
cilicet ut perueniat in rectam a d, i enim
non eet upenum h, moueretur in re
cta e h per eandem, quia ergo retinetur, mo
uetur per obliquam h k, & umatur in pro
pin quum punctum in b e, & n in quali di
tantia in e f, quia ergo e b totum mouetur
eadem ui in ingulis partibus, quia a pon
dere h, & in h mouetur per h k in m per m
p, ergo qualis et proportio magnitudinis h k ad m p, talis et uis
in m p ad uim in h k, & ita in b erit pen infinita: quia quanta ui ex
tenditur ex h in k tanta puncta b, e circumuertit ergo propor
tio hypomochlij ad patium, uelut roboris ad robur, at eadem n o
ad h k, et enim n o qualis m p, & n b, & b m quales, ut uer g ad
h, ita e b ad b f: ergo ut e b ad b f, ita uirium n o ad h k, ut igitur g ad
h, ita uirium m p ad h k: ut etiam g l ad n o, ita uirium f b ad n b. nam idem pondus cilicet g mouet totam b f, igitur ut g e habet
ad n o, ita h ad m p, ed m p & n o unt quales, ergo tanta et uis g
in f, quanta h in e.
ti
Ex quo patet, quod hypomo chlion moueretur infinita ui, i po
et ee punctus: ed quia in extrema uperficie cylindri, ide potet
aliqua ui retineri.
Et i quis poet capere hatam in extremo puncto, non poet
eam mouere, etiam quod haberet robur infinitum, quia ab quali
non fit motus per trigeimamnonam propoitionem.
Et libella nihil retinet nii quantum et pondus eius quod cu
bet motum, etiam i eet infinitum, nii quatenus non uult recede
re ex directo centri mundi: & ut grauat hypomochlion faciens im
presionem.
Et i terra tota eet appena polo, moueretur magna ui: quoni
am uis eadem et in polo, qu in circulo toto quinoctij.
Etrota, quanto uelocius mouetur in ambitu, tanto mi
norem habet uim: ed propter arem, qui ecum circum
fertur, mouetur magno impetu, & magnas facit liones. Ide hoc in cono non accidit.
Ex quo patet ratio eleuandi pondera magna per tra
bem, ut latere uides.
Propoitio quadrageimaexta.
An it aliqua proportio, & qualis inter animam, & ui
tas, & ua corpora coniderare.
Declarauimus motum cli ee uoluntarium, obequente c
lo per uirtutem in eo infuam. In animalibus autem, & prcipu
in homine notius et hoc experientibus nobis in ipis: ed motus
hic, ut dixi upra, mitus et, ille uer cletis ignotior et. Certum
tamen et plen obequi clum uit, nec prorus repugnare. So
let Aritoteli imponi, qud i adderetur atrum clo, qud clum
aut quieceret, aut tardius moueretur: quod et, ac i diceremus,
qud homo paruus i fieret maior, non eet ade agilis, tanquam
motus ille eet ab externa caua. Im perinde eet, aci quis dice
ret, quod lapides magni minus uelociter decenderent, quam par
ui. Quin potius ut lapis magnus uelocis mouetur: qum par
uus naturali motu, & tardius prternaturali, ita clum motu uo
luntario, i ita dici poet qualius & maiore cum efficacia, quan
to denius. Et ita i Aritoteles illud dixiet, otendiet magnam
imperitiam. Ide quale iudicium debemus facere de Alexandro, &
Aueroe, qui hoc ei tribuunt.
piam. De Animalibus foran poet hoc dici,
mus, motus ille mitus et. Remanet ergo difficultas,
tus ite non proportione fit, quare non et infinitus? & dico quae in
animalibus tres unt cau, una, quia et mitus, & habet repugnan
tiam: ecunda, quia et de loco ad locum, motus autem cli et in lo
co: tertia et communis etiam clo, et et, Natura enim diuina non appetit mouere
Quid et ergo
proportio,
ideo illud et Et
In natura
tatis bonum ipum. Et ideo hc proportio
In anima
libus autem non et uis illa nii, cum proportione, quia primum in
trumentum, quod recipit, & et piritus uim habet determinatam,
cum it uirtus in materia: ideo
ne, uelut lumen in medio in e non habet proportionem nii ad lu
cem, ed ut et in illo, potet ee remium, Qu
ritur ergo quantitas illius? i dicas, qud et luce: quro quanti
tas lucis, unde it? foran dicendum, qud uelutin motibus, quanto
deniora unt corpora tanto Nam
calor in materia augetur iuxta illius quantitatem: idem in luce, &
reliquis. Dico ergo proportionem ee infinitam: nam i corpus e
et infinitum & optim dipoitum infinita ui moueretur & agili
tate, ut enim maius et eo maiores uires habet.
2.
Propoitio quadrageimaeptima.
Si duo mobilia qualiter in eodem circulo iuxta proprios mo
tus moueantur, productum temporis circuituum inuicem erit
quale producto differenti temporum circuitus duct in tempus
coniunctionis prim.
Sint duo mobilia a & b in eodem pun
cto, qu qualiter uerus eandem partem
moueantur qualibus in temporibus, inui
cem tamen in qualiter, ita quod a in f & b
in g temporibus aboluant circulum, & ho
rum differentia it h. Dum itaque a perficit
circulum b perueniat in c, igitur c d b et dif
ferentia, qu uperanda et, & proportio
circuli ad b c ut g ad f, quare reliqui ad reli
quum, ut reidui ad reiduum, cilicet circu
li ad c d b, ut g ad h, & b c ad c d b ut f ad h, coniungantur igitur in k
tempore, eruntque k f g h omiologa, ut productum ex circulo in b c
diuio per certam quantitatem & cum circulo & b c & c d b diffe
rentia, & it productum exfin g, dico quod diuia per h exibit k
tempus coniunctionis prim, it itaque d locus coniunctionis, dico
igitur quod differentia patij pertraniti a b, a & a, b in reditu ex con
iunctione prima ad d et unus circulus completus, non enim po
unt ee plures, nam equeretur, qud a aliquando pertraniet b,
et ic non eet prima coniunctio, nec potet ee minus, nam ic cum
a & b int in d ultra perfectas circulationes uterque eorum pertran
iuit arcum b c, igitur nullo modo differentia potet ee minor cir
culo, neque maior, ut declaratum et, igitur et unus circulus ad un
Hoc declarato ponatur m patium compofitum ex circulis
pertranitis a b a cum patio b d, etenim patium, quod pertranit
b a coniunctione in a, ad coniunctionem primam in d, & erit ex de
montratis horum differentia circulus qui uocetur o, & it p pa
tium, quod pertranit b in tempore eodem, in quo a pertranit o, &
it q differentia o, & p qu in circulo et c d l b, quia igitur in eodem
tempore a pertranit m & b, n, erit m ad n, ut a ad b, & eadem ratio
ne a ad b, ut o ad p, igitur ex undecima quinti Euclidis m ad n, ut o
ad p, quare cum o it differentia m & n, & q, differentia o & p erit ex
decimanona quinti Euclidis, m ad o, ut o ad q, & ita circulus et ana
logus inter patium pertranitum motore uelociori, & inter diffe
rentiam patij qu accidit, dum uelocior motor pertranit circu
lum, id et qud circulus a c d et analogus inter c d l b, & circulos
pertranitos a b a cum portione b d. Reuertor igitur ad propoi
tum, cum it m ad o, ut o ad q, & m ad o, ut n ad p, ex extadecima
quinti Euclidis, erit ex undecima eiudem n ad p, ut o ad q, quare ex
extadecima exti Elementorum ducto o, id et circulo, eu maiore
numero in p patium pertranitum a b, eu ducto fin g, & diuio per
q differentiam patiorum, eu per h exibit n, eu patium quod
pertranit b ab una coniunctione ad aliam quod erat demon
trandum.
Ex hoc patet, quod proportio temporis coniunctionis ad tem
pus tardioris motus circuitionis et ueluti temporis circuitus uelo
cioris motoris ad differentiam temporis motus tardioris, & uelo
cioris motoris in uno circuitu.
Propoitio quadrageimao ctaua.
Si tria mobilia ex eodem puncto dicedant, fuerintque duorum, ac
duorum coniunctiones in temporibus commenis illa tria mobi
lia denu coniungentur in tempore producto ex denominatore di
uiionis temporis maioris per minus in minus, aut numeratore
in maius.
Sint tria mobilia a, quod circuat in duobus annis b in quinque,
c in eptem. Dico quod primum redibunt in numero producto ex
eptem quinque & duobus, qui unt numeri primi, & erit ille nume
rus eptuaginta annorum. Nam in eptuaginta annis a perficiet tri
gintaquinque reuolutiones b quatuordecim, c decem: ergo
per perfectos circuitus ad idem punctum. Otendo modo quod
non ante: nam i ic: it, ut in trigintaquinque annis igitur b & c per
ficient perfectos circuitus, ergo
non redibit, quoniam eius circuitus non numerat trigintaquinque
aliter non fuiet eptuaginta minimus numeratus ab a b c, cum
go a non perficiet circuitus, ergo non redibit ad primum
non erit iunctus cum b & c. Quod i dicas a b c coniungi in decem
eptem annis numero non numerato ab ali
quo illorum temporum, auferantur perfe
ct circulationes, &
ex a, du quint ex b, tres eptim ex c, igi
tur oportebit ut h portiones int qua
les, ut pot perfectas circulationes in idem
punctum,
ualebunt, quare proportio 7 ad 3 & 5 ad 2
& 2 ad 1, et una, quare permutando 3 ad 2
ut 7 ad 5, ed 7 & 5 unt contra e primi, ergo in ua proportione mi
nimi per dicta in eptimo Elementorum: ergo tria, & duo non unt
in eadem proportione. Rurus dicantur conuenire in annis qua
tuordecim cum dimidio, ergo in uiginti nouem conuenient ite
rum: ergo per ecundam partem erit eptem ad unum, ut duo ad
unum, igitur permutando unius ad unum, ut eptem ad duo, ed
unum et quale uni, ergo duo erunt qualia eptem. Rurus dica
mus, quod in tempore annorum <02> quadrata decem imiliter aufe
ram integras reuolutiones, quas potero, & erunt <02> 2 1/2 m: 1, & <02> 2/5 &
<02> 10/49 qualia. Hic uides infinita equi in conuenientia, qu longum
eet numerare, nam eptem eet quale quinque, & proportio recii
ad potentia rethe, ut numeri ad numerum. Igitur non conueniunt
ante eptuaginta annos.
Ex hoc equitur, qud nullibi conuenient prterqum in eo
dem puncto, cilicet in quo ab initio coniuncti fuerunt.
2.
Sequitur denuo ex propoitione ipa repetita, & primo corrola
rio, quod nullibi alibi conuenient qum in dato primo puncto, in
quo coniuncti fuerant ab initio etiam uque in ternum.
Sit rurus ut a circuat in annis duobus cum dimidio, b in tribus
cum tertia parte, cin quatuor cum quarta parte ducam per uos
denominatores, & erit ut a in quinque annis. b in decem, c in decem
eptem circuant, & redeant ad idem punctum, & quia quin que nu
merat decem, & decem, & decemeptem unt numeri inuicem pri
mi, ducam decem in decemeptem fiunt centum eptuaginta. Con
tat igitur c quadrages, b quinquagies emel, a exagies octies cir
cumuerti, & redire ad idem punctum: ergo rurus coibunt pot tot
annos in eo, dico modo, quod non ante: nam i non it, ut in trigin
ta tribus annis. gratia exempli, aufero
que, & relinquentur exdecim tria & tria, & rurus ex exde cim tres
13, & 2 1/2 ad 1/2 & 3 1/3 ad 3 eadem, & ita 17/13, 5/2 & 10/9 eadem i iam upponi/>
mus 17 & 10 ee primos inuicem, ut in ecunda demontratione./>Igitur equuntur eadem corrolaria, qu dicta unt.
Propoitio quadrageimanona.
Propoito mobilis in circulo circuitus tempore, dataque ratione
ditanti ab illo mobilis circuitum inuenire, quod ex eodem pun
cto dicedens cum alio mobili in dato puncto conueniat ub quo
cunque numero circuituum tempus quoque coniunctionis.
Sit in circuli peripheria a
cuat quali motu (hoc enim emper intel
ligitur) in b tempore: & it datus punctus c
in quo dicedens e mobile ex coniunctio
ne cum a pot certos circuitus proprios,
aut etiam. ine ulla circuitione perfecta de
beat conuenire. Volo cire tempus circui
tionis e: & etiam tempus coniunctionis. Sit ergo primum ut abque circuitione ulla e, a debeat comprehen
dere e in c pot numerum circuitionum ipius a, qui it f. nam i a o c
currit e in prima circuitione ipius e, igitur a mouetur uelocius
qum e, cum ergo debeat attingere ipum e, necee et ut a pertran
eat prius per punctum ex quo dicesit antequam redeat ad con
iunctionem e: ergo perficiet altem unam circuitionem. Ducemus
ergo f in b, & fiet g tempus circuitus aut circuituum a, & quia pa
tium a c datum et, it b temporis circuitus a ad h, uelut circuli to
tius ad a c, & iungatur g cum h & fiat k. Fiat quoque, ut monadis
ad h, ita l ad monadem, & ducatur l in k, & fiat m: dico m ee tem
pus circuitus e. Contat enim ex uppoito, quod k et tempus to
tum in quo a peruenit pot b circuitiones in c, i ergo e moueretur
per m tempus totum ex uppoito perficeret circuitum, at quia cir
cuitus ad a c, ut monadis ad h, igitur etiam ut l ad monadem, ergo
proportio circuitus ad a c, ut m ad monadem: ergo i in m tranit to
tum circuitum in monade tranit a c: ed monas ducta in k facit k,
igitur e in tempore k perueniet in c, quod erat demontrandum. Proponatur modo tempus reuolutionum e ipum d: eodem mo
do agemus ducendo fin b fit g, addatur h & fiat k, diuidatur k per
aggregatum d & a e, & exeat m, (idem enim et diuidere per aggre
gatum d & h, & multiplicare per l) dico ergo ut in demontratione
priore, quod m et tempus circuitus e. Nam cum k it tempus, in
quo a pot circuitus f peruenit ad c, ergo diuio ipo toto tempore
pus unius reuolutionis.
Exemplum primi in repaul obcuriore: it f 4 & b 2 1/2 & a c 4/5, du
cemus 4 in 2 1/2 fit 10, adde 4/5 6 quod et 2 fit 12, diuide per 4/5 eu mul
tiplica per 5/4 quod idem et, fit 15 circuitus e, in quatuor ergo circui
tibus, & 4/5 qui unt duo decim anni perueniet a ad c, & in duodecim
annis e perueniet ad c, nam 12 unt 4/5 ipius 15. Similiter in ecundo
cau it f 4 ut prius b 2 1/3 a c 1/7, ducemus 4 in 2 1/3 fit 9 1/3, addemusque h
portionem b qualis a c et totius circuitus, id et 1/7, et autem 1/7 2 1/3, 1/3
fient 9 1/3, imiliter ponatur d 5, & quia a c et 1/7 erunt 36/7, diuide ergo
9 2/3 id et 29/3 per 36/7 exeunt 203/108 tempus reuolutionis e. Quin que ergo
reuolutiones e erunt 1015/108 addita eptima parte, qu et 29/108 fient 2044/108
eu 261/27, & unt anni 9 18/27 eu 9 2/3, ergo in tanto tempore a faciet qua
tuor circuitus, & eptimam partem, & e quinque circuitus, & e
ptimam.
Ex hoc patet, quod non coniungentur in alio loco, neque alio tem
pore ante prdictum tempus.
Propoitio quinquageima.
Omnes circuituum portiones in eiudem temporibus
Sint in circulo a b c d e f g: a & b iuncta, & in primo congreu
iungantur in c, in ecundo in d, in tertio in e, in quarto in f, in quinto
in g, in exto in h, in eptimo in k, in octauo in l. Et ic deinceps
tempora
us quales etiam a c, c d, d e, e f, f g, g h, h k,
k l. Et i aggregatum a cilicet circulorum,
& portionis fuerit commenum circulo, &
ita de b erunt omnia
& etiam inter e. Et i inter e aggregata, uel
portiones erunt, & eodem modo reliqua. Et quoniam circuli circulis commeni unt:
i portiones erunt inuicem commen
& toti circuitus cum partibus commeni, &
i non commeni, neque erunt inter e, neque ad circulum. Et i totum
patium cum circuitibus erit unius generis, erunt duplicata, & tri
plicata, & quadruplicata eiudem generis: quare cum patia ipa
detractis circuitibus uelut rhete habeant naturam recii, & patia
ipa tota int eiudem generis, erunt patia, qu relinquuntur eiu
dem generis. Erunt tamen incommena neceari, i partes fuerint
incommen toti. Ponatur a c incommena toti circulo dico, quod
a k Quia enim a c
et incommena circulo, & k a cum toto circulo emel et commen
igitur cum circulus, & a k diuidantur in cir
culum et a k, & circulus it incommenus circulo, cum a k erit aggre. gatum ex circulo, & a k incommenum ipi a k, & a k pariter incom
mena circulo. Rurus quia a k et incommena circulo cum a k, &
circulus cum a k it multiplex ad a c, erit a k incommena a c, quare
erit c k incommena a k & a c, & circulo ad dita a k. Si ergo a c it
commena circulo, erunt omnes portiones e genere numeri, & i
potentia rhete erunt omnes, uel potentia rhete, uel circulis detra
ctis, ut a k & a l recia: & a c it potentia ecunda rhete, id et radix cu
bica erunt omnes c d, d e, e f, potentia ecunda rhete, et radices cubi
c numeri, eu latera corporum rhete, a k uero & a l, & huiumodi
in infinitum recia potentia rhete.
mi
Ex hoc patet, quod cum circulus posit diuidi in infinita gene
ra quantitatum, qu non unt inuicem commen cumque coniun
ctiones h emper in eodem genere maneant, quod infinita pun
cta, & infinitis in peciebus quantitatum remanebunt in quibus a
& b in perpetuum nunquam conuenient. Velut i coniunctio pri
ma fiat in <02> cu. 1/2 alicuius circuli, nunquam conuenient, neque in me
dietate, neque in quarta parte, nec octaua, nec tertia, nec exta, nec no
na, nec quinta, nec decima, & ic de ingulis in genere commena
rum toti circulo. Neque in <02> quadrata 1/2 uel 1/3 uel 1/5 neque <02> 1/6 uel 1/20,
neque in <02> 3 m: 1, nec 2 m: <02> 3 nec in <02> <02> 2 aut 3 aut 7 nec in <02> rela
ta alicuius numeri, nec in 2 m: <02> <02> cub. 3 nec 2 m: <02> cub.
4, & ic
de alijs.
mam uigei
mi
Propoitio quinquageimaprima.
Operationes dictas exemplo declarare.
Supponamus in circulo prdicto a c <02> 7 contat, quod ee non
potet, quia <02> 7 et maior monade, ideo toto circulo, quare non po
terit ee pars circuli, ed referetur ad
circulus it 10. emper ergo diuidemus <02> 7, eu eam portionem per
10 quantitatem circuli & exibit <02> 7/100, & hc erit portio circuli, & ita
i portio it <02> cub. 16, diuidemus <02> cub.
16 per 10 exibit <02> cu 2/125, &
ita de alijs.
Sed cum ex repetitione crecat portio illa, donec exuperet mo
nadem, aut aliquem quemuis numerum detracta monade aut nu
mero circuituum habebit rationem recii. Velut <02> 7/100 quater um
pta efficit <02> 112/100. Et hoc et potentia rhete, ed i quis auferat mona
dem fiet <02> 112/100 m: 1, & hoc et recium 1, cilicet 1 p: <02> v: 23/25 m: <02> 28/25, ed ta
men uer et linea media.
Quod uer non contingat coniungi in alio loco, neque tem
pore it, ut a b iungantur in c, & it reuolutio a triplex integra, & b
pars circuitus, & a circuitus tres anni, & quia circuitus b unt fex
cum tertia, diuidemus decem per 6 1/3 exit
1 11/29, dico quod non prius, neque in alio
puncto. Si enim primm in eodem pun
cto, &, gratia exempli, in quatuor annis
congruit enim, & b dicamus quod per
egerit duas reuolutiones cum tertia, hoc
enim et necearium, i debet perueni
re ad c, & erunt anni tres, & 23/19, non ergo
anni quatuor. Cum enim tempora di
uera diuiduntur per numeros haben
tes proportionem erunt, qui prodeunt
numeri in eadem ratione. Diuio ergo
10 per 1 11/19 exit 6 2/3, & diuio 4 per 1 11/19 exit
2 8/15, igitur 6 1/3 ad 2 8/15, ut 10 ad 4, igitur 8/25
non potet ee quale 1/3. Si enim per
prcedentem repetuntur, ergo non po
unt redire, doneciterum coniung antur in ipo a. Si enim aliter it
ut ex e, igitur e c et qualis a c pars toti, quod contingere non po
tet. Sin uer coniunctio fiat in d, igitur per prcedentem d e et
pars a c ubmultiplex quomodolibet, quare non fuerunt aum
pti primi numeri. Veluti in exemplo contituimus, quod a, & b
conueniunt in c in decem annis, & a c et tertia pars circuitus: er
go in triginta annis conueniunt in a, & in quadraginta rurus in c.
i ergo quis aumpiet quadraginta annos ab initio pro con
greu, & diuiiet per 1 12/19 exiret 25 1/3, & i per 3 exiret 13 1/3, & mani
fetum et, quod uterque numerus potet diuidi per eundem nu
merum, utpote 4 & exit numerus cum eadem parte cilicet 6 1/3 &
3 1/3 ergo conuenient ante, non ergo aumpiti minimos in ea pro
portione. Illi autem nequaquam amplius diuidi non pount eo
dem modo.
Propoitio quinquageimaecunda.
Tria mobilia coniuncta in eodem puncto, quorum duo, & duo
conueniant in partibus in commenis inter e, in perpetuum in nul
lo unquam puncto conuenient.
Sint a b c iuncta, & primo iungantur a & b, iterum in d & b, &
c in e, & int a d, a e inconimen, dico qud a b c nunquam con
uenient in aliquo puncto, eu primo, eu alio prim o: i non con
ueniant in f, erunt ergo in g tempore re
uolutiones integr, & portio a f inuper. Et quia h contituuntur per congreus
b cum a, & unt patia a d, & b cum c, &
unt patia e f, igitur patium a f erit ex ge
nere quantitatis a d, & a e per quinqua
geimam, harum ergo erunt commen:
quod et contra uppoitum. Et harum
propoitionum principium et traditum
Campano Nouarieni Euclidis expoitore, in quodam libello
non edito qui diligentia patris mei Facij ad me peruenit.
Propoitio quinquageimatertia.
Sit orbis a b cuius cen
centrum c, manubrium c
d f e, eu uero tangat circu
lum g, eu more gemmas
culpentium aligetur al
teri orbi funiculo a l b, &
it in uertice axis k m or
biculus olidus aut emi
circulari forma m, dico
quod proportio motus a
b ad motum m et produ
cta ex duabus proportio
nibus c n
& emidimetientis m ad k
o, quare ut rectanguli c n
in dimidium dimetientis
m ad quadratum o, ut enim a b ad ol orbem, id et
c n ad o k, quoniam o l mouetur toties in una circuitione a b, quo
ties
tinetur in c n toties in una circuitione a b o l circumuertitur, ed
quoties circumuertitur ol, toties etiam m, quia uterque mouetur eo
dem circuitu k m axis, ergo quoties m circumducitur in circuitu a
b toties o k continetur in c n, ergo i fiat comparatio emidiametri
m ad c n, erit product a proportio circuitus a b ad circuitum m ex
proportione c n ad o k, et emidimetientis m ad
proportio numeri circuitus unius p
& emidimetiente m ad quadratum k o, quod erat
Manifetum et autem ex ipa ola contitutione, quod i a b mo
initro in dextrum, & uterque circulorum g & k in uperiore parte,
& in inferiore mouebitur contrario motu, cilicet in uperiore ini
tro in dextrum, & inferiore dextro in initrum, illi uer duo or
bes imili motu mouebuntur tam in parte uperiore, qum inferio
re, & proportio motuum eorum inter e erit uelut dimetientium
corundem.
Rurus cum a b circumuertatur cum manubrio c d f e, tanto uelo
cius circumuertetur, & in ea proportione, qua d f continetur in c n,
& in eodem tempore, in quo manubrium circumuertitur in eodem
axis circumuertitur, & orbis, ut dictum et, ergo in eodem tempo
re, in quo axis circumuertitur in eodem orbis: ergo tanto tardius
uidebitur moueri axis ipo orbe, quanta et proportio minoris in
qualitatis ipius axis, eu ambitus, eu emidimetientis ad ambi
tum, eu emidimetientem orbis.
Propoitio quinquageimaquarta.
Proportio circuli ad uum diametrum per
ta pars peripheri. Rurusque eiudem circuli ad peripheriam diame
tri quarta pars.
Quoniam enim uperficies circuli, ut ab
Archimede demontratum et, fit ex dimi
dio diametri in
eadem fiat ex tota peripheria in
tem diametri, & ex tota diametro in quar
tam ergo proportio are
circuli ad diametrum per imilitudinem
et quarta pars peripheri, & proportio are
ad
ti
Propoitio quinquageimaquinta.
Proportionem medicamentorum per ordines uppoita quali
proportione in ordinibus per quantitates, & proportiones de
montrare.
Galenus libro quinto de Simplicibus medicamentis, quem e
quuti unt alij medici, ponit quatuor ordines
ta qualitates calidi, frigidi, icci, & humidi, & primus et cum
camentum
ynthium, & oriza: ecundus et, cum entitur, ed non ldit, ut nux
myritica, aluia, ozimum: tertius et cum entitur, & ldit, ed
non detruit, neque corrumpit corpus, uelut aarum apium ta
phiagria, cappares, myrrha, ruta: quartus et, cum detruit ue
lut pyretrum, piper, euphorbium cpe aggrete, & inapis, cina
tertij gradus, & hoc opus comparatur ad corpus icut dicit Gale
nus, & Serapio non ad linguam, ut medici notri temporis interpre
tantur. Ex quo patet, quod aliqua medicina poterit ee quarti ordl
nis, & non ldere linguam in gutu, & alia tertij ordinis, qu non
olum ldet linguam, ed enum eius corrumpet, et detruet, quod
contingit propter ubtantiam tenuem cra mitam cum iccitate
pari ipi calori. Sed non oportet hc nunc tractar, enon olum quia
non it locus, ed etiam qud conua it per eipa materia abque
eo, quod difficultatem difficultati addamus, olum ergo eas dubita
tiones adiungemus, quas
tem, neque uperfugere, neque declinare poumus. Nam de icco,
& humido, cum int long minoris actionis, qum calidum, & fri
gidum, & prcipu humidum, non uideo quomodo posit Gale
nus tatuere medicinam humidam tertij gradus, nedum quarti,
cum non posit inueniri medicina, qu detruat corpus notrum
propter humidam qualitatem. Et licet Serapio pouerit gingiber
& enulam & zelim in tertio ordine calidorum & humidorum: &
inter frigidas, & humidas in tertio portulacam, aizoum, & uirgam
patoris, & fungos. Primum non auus et ponere medicinas ullas
calidas, aut frigidas in quarto ordine, qu int humid. ecundum,
quando dicit medicinas caldas, aut frigidas, atque humdas in ter
tio ordine, intelligit olum de qualitate actiua cilicet caliditate, uel
frigiditate, & non de humida qualitate, quod otendit de gingibe
re, & enula, dicens, quod unt calid in tertio ordine, & humid
humido crudo, non auus addere ordinem, quia non udit ratio
nem, qua poent dici humid in tertio. Et clarius in capite de zei
len, quem tatuerat inter medicinas calidas, & humidas in tertio, di
cit quod et calida in tertio, & humida in primo, ergo non intelligit
per medicinas calidas & humidas in tertio ordine, quod int humi
d in tertio ordine. Clarius etiam de frigidis & humidis, nam por
tula cam dicit ee frigidam in tertio, humidam in ecundo, & quod
maius, et cum collo caet aizoum inter medicinas frigidas, & hu
midas in tertio ordine, dicit, quod et frigidum in tertio ordine, ad
ijcit, quod et iccum parum, & de uirga patoris nihil dicit de hu
mido, ed dicit, quod atringit, ex quo concludo, quod ecun
dum mentem Serapionis nulla et medicina humidior portulaca,
etiam uidetur innuere de fungis, atis et quod non excedunt ecun
dum ordinem in humido neque calida neque frigida, ed frigida unt
humidiora, ut fungi, & portulaca, quia frigiditas in generatione
humidum magis admittit, qum caliditas, & calida magis hu
humido, & icco et generalis apud Serapionem, quod non intelli
gitur ordo in pasiuis, nii pecialiter exprimatur, nam de iccitate
non nego, quin inueniantur medicin icc in tertio, & foran in
quarto ordine, ed de hac Galeni ocitantia, qu in illo peculiaris
et dum uult equi uas methodos ine alio dicrimine, medicis con
i derandum relinquo.
ult.
337. &
338.
Secunda difficultas et maior, & magis pertinet ad nos, & et,
qud non declarauit an iti ordines inter e
eruarent, an omnino nullam, i enim nulla proportio eruatur, fieri
nullo modo potet, ut per cognitionem temperatur implicium
medicamentorum cognocamus temperaturam compoitorum ex
illis ratione ulla, ed oportebit olum experiri. Sed i ordines er
uant proportionem, adhuc relinquitur dubium, an illa proportio
it Arithmetica, uel Geometrica, uel Muica, & nihil mirum eet,
quod eet Muica, ut alis docuimus, ubitractauimus de differen
tia inter enum auditus, et uius. Sed quia de hac nullus medicus ui
detur intellexie, omittam hanc tractationem. Et quanqum Gale
nus posit uideri non exitimae, qud hi ordines non eruent
proportionem ullam, quia non auus et tractare de temperamen
to medicamentorum compoitorum per rationem temperamen
ti implicium, nihilominus uppoito quod ita eet, quod eruetur
altera proportionum, uolo otendere rationem componendi in
utraque proportione & Arithmetica, & Geometrica. Ex quo e
quitur, quod Aueroes qum ocitanter tractauerit in quinto uo
rum collectaneorum de hoc, & non ditinguit, neque docet pri
mum an it aliqua proportio, deinde i qua it, cuius generis it, &
cum in re tam clara pugnet prorus, ut ccus ictus maximos eden
do, ed in caum pleroque, qum mal agant qui ei in arduis tan
tum tribuunt fidei, & authoritatis, ed hc et infelicitas notra, &
ira Deorum. Suppoito ergo quod prim ordines ditinguantur
per proportionem arithmeticam, it uperficies a b pro quantitate,
& a it calida in primo gradu, & b in ter
tio, erit ergo perinde ac i duo corpora
eent unum altitudinis unius cum bai
quadrilatera rectangula a, aliud altitu
dinis trium, bai autem quadrilatera u
perficie rectangula b, hoc igitur erit to
tum mitum, & quia quantitas medicamenti non mutatur qu et
a, b, ergo talia corpora quantur uni corpori, cuius bais et a b,
cum ergo talia corpora producantur ex a in unum, & b in tria, ergo
tius medicamenti, iuxta quod contituitur regula prima libri artis
medendi paru huiumodi, & reliqu, traduxi autem illas ad hunc
locuin, quia pendent ex demontratione hac: duc numerum ordi
nis ingulorum medicamentorum in numerum quantitatis, imilia
iunge, disimilia detrahe, quod fit, diuide per aggregatum, quanti
tatum, exibit numerus ordinis compoiti. Sic micendo calidum in
ecundo ordine cum duplo pondere temperati conflabit calidum
in bee. Secunda i ex pluribus diuerarum, qualitatum, & ordi
num temperatum efficere uelis, duc qu unt eiudem qualitatis in
uas quantitates, & iunge, quod fit, diuide per numerum or dinis
medicamenti contrarij, exibit quantitas illius, ub qua i iungatur,
fiet medicamentum temperatum. Tertia cum nolueris ex tempera
to, & alio cuiucunque ordinis medicamen conficere ordinis re
misionis, detrahe numerum ordinis eius, quod conficere uis ex nu
mero ordinis eius, quod habes, & cum reiduo diuide numerum
medicaminis, quod conficere uis, quod exit et numerus quantita
tis medicamenti non temperati in comparatione ad temperatum.
Ex his potes propoitis quibucunque medicamentis conficere
antidotum ub quo cunque ordine remisiore potentisimo ex il
lis. Quarta in compoitione, qu non fermentecit calida, calidis
iuncta emper opus augent, ut mel cum pipere. Qu autem ub mi
nore quantitate exhibentur non ub remisiore ordine agant, ed
uel facilius impediuntur, uel minorem corporis partem, uel leuius
immutant.
Quod i tatuamus proportionem ee Geometricam, modus
erit idem in omnibus, & quo ad numerum etiam in primo, & ecun
do ordine, quia in proportione dupla Geometrica ecundus ordo
tantundem ditat primo, quantum primus ab qualitate, quia
unum & duo eruant proportionem, & qualem ditantiam, ed in
cteris ordinibus non ita erit, quia qui eet trium in Arithmetica,
cilicet totius ordo et, quatuor in Geometrica, & quartus ordo,
qui eet quatuor in Arithmetica, eet octo in Geometrica, ideo
cribemus ordines hoc modo, & operabimur cum
numeris loco ordinum, exemplum ergo primum
it medicina calida in tertio ordine quatuor uncia
rum, & medicina frigida in
unciarum, duco quatuor in tria, i proportio it Arithmetica, fit
duodecim, duco duo in duo fit quatuor, detraho quatuor in duo
decim, quia omnis medicina tantum retondit de contrario, eu mi
nuit relin quuntur octo cilicet caliditatis, diuido per ex ag
pio ecundi ordinis. Secundum exemplum int edem medicin,
& it proportio Geometrica, ducemus ergo quatuor in quatuor, &
fiunt exdecim, & duo in duo fiunt quatuor, detrahe quatuor ex ex
decim, & remanent duodecim, diuide per ex, ut prius, exeunt duo,
ergo erit calida in fine ecund i gradus uides ergo dicrimen. rurus
int amb medicin calid, & ducemus, ut prius in tertio exem
plo, ubi proportio it Arithmetica iungendo duodecim cum qua
tuor, & fient exdecim, diuide per ex, exeunt duo, & du terti, er
go erit calida in medio tertij gradus, rurus in quarto exemplo iun
gemus edecim cum quatuor, & fient uiginti, diuide per ex exi
bunt tria & tertia, & ita erit in medio tertij gradus, ut prius, ed i
ille quatuor unci eent calid in quarto gradu, & ill du unci
in ecundo gradu, ut prius ducendo quatuor in quatuor fiunt ex
decim, & duo in duo fiunt quatuor, iunge, & fient uiginti, diuide
per ex exeunt tria cum tertia, ergo erit calida in principio quarti
gradus ecundum proportionem Arithmeticam, ed ecundum
Geometricam duc quatuor in octo, fiunt triginta duo, adde qua
tuor ut prius, cilicet productum duorum in duo fiunt triginta ex,
diuide per ex, exeunt ex, & quia ex ad quatuor maiorem habent
proportionem, qum octo ad ex ideo hc medicina erit calida ul
tra medium quarti gradus, iam ergo uides rationem, & differen
tiam horum.
Quod i quis dicat, an debeat attendi Geometrica proportio in
medicamentis, an Arithmetica, repondeo, qud ueriimilius et de
Arithmetica, quia illa proportio etiam quod it minor quatuor ad
trium, qum trium ad duo, & mult minor qum duo ad unum ni
hilominus long plus operatur, quia tertius ordo iam incipit ee
prter naturam, & uidemus, quod lio facta in uulnerato, etiam
qud it quadruplo minor, plus nocet long, qum in ano qua
druplo maior: quia termini prter naturam unt uald anguti in
comparatione ad latitudinem naturalem, icut etiam uidemus in
tendendis chordis corpionum, quod ultima pars et breuis & ta
men homini tantam difficultatem adijcit. Notandum et etiam,
qud ob hoc diuierunt ordines in tres partes, uelut gingiber et
calidum in fine tertij ordinis, origanum in medio, cinamomum in
principio, & ita euphorbium et calidum in principio quarti gra
dus, ed in fine principij piper, in principio principij aqua epara
tionis in medio quarti ordinis, ed oleum chalcanthi factum ea ar
te, ut exurat paleas, icut ignis et calidum in fine quarti ordinis, &
ita ufficiet diuidere propter eandem cauam primum, & ecun
et qualis, uel etiam foran maior, ed ratione uarietatis operatio
nis qu minus entitur, & maxim in primo ordine.
Propoitio quinquageimaexta.
Proportio cuiuuis binomij ad uum recium, uel ei commen
um et duplicata ei, qu ad numeri latus.
Cum enim proportionis medium it latus numeri eo quod ex bi
nomio in recium uum fit numerus ex his, qu demontrata unt
generaliter in tertio Arithmetic de omnibus binomijs cum uis
reciis, uel in quadratis lateribus erit <02> numeri media proportione
inter binomium, & uum recium, igitur cum proportio producto
rum ex binomio in commena recio it, ut commenorum ad reci
a crunt omnia producta ex binomio in commena recio uo <02> nu
meri, igitur proportio binomij ad recium uum, & omnia com
mena illi, et duplicata ei qu ad <02> numeri.
po. lib.
de
A
ti
eiudem.
mi
Propoitio quinquageimaeptima.
Motus rationem ad pondus inuenire.
Otenum et antea, quod motus naturalis uelocior fit in fine, ac
magis augetur ob aris motum, ubi uer hret et ac i quiecat. Eadem autem et ratio in motis uiolenter, & naturaliter dum qua
li impetu feruntur. Sed ubit pot etiam, quod motus qualiter
augerentur minus tamen crecit proportio uiolenti cilicet ob im
pedimentum naturale. Sed i uis mouens fuerit
ade ualida ut proportio incrementi ex are it
maior, qum impedimentum, & in crementum al
terius mobilis naturaliter moti, motus ille uelo
cior fiet naturali, ut in phris ferreis ex machina
igne excusis, quod ergo attinet ad prentem
motum ratio et eadem. Quicun que ergo motus
minoris grauis cogit decendere lancem ex ad
uero proportionem habet eandem ad uum mo
bile quam habet graue quiponderans. Sit ergo
ut a ex b, c, d, e, eleuet eodem ordine pondera e, f,
g, h, erit ergo ponderum h, g, f, e, ad e inuicem, & ad a qualis mo
tuum ob ditantiam intentorum. Experimentum ergo docet, qud
dimidium ponderis quilibrium facit ex palmo minoris dimidio
motum manifetum, & ex palmo quarta pars ponderis, ergo e ha
bent prope portionem.
Propoitio quinquageimaoctaua.
Qu ex alto decendunt cur non eandem pro ditantia motus ra
tionem in libero are eruent coniderare.
Ar in ublimiore eius regione emper naturali motu fertur ex
Oriente in Occidentem, ed & infra uerum minus manifet. At ca
u plerun que contingit, ut moueatur long uehementius, eu ad ean
dem partem, eu aliam. Qui uer naturalis et, debilis
et, quoniam in tenui ualde ubtantia et: nec
ed intar motus aqu maris fluit ac refluit: aliter ne
cee eet, ut ingulis horis per mille milliaria procede
ret, ut ic ne que latere poet, quarndoquidem fortuiti mo
tus, qui unt multo tardiores non latentnos. Nam tardiores illos
ee
in homine prope temperamentum: i igitur motus naturalis aris
eet continuus, in hora ar procederet ob ambitum terr millies
mille paus,
nullum uentum aut procellam uperare quinquaginta paus, cum
etiam continuus ee nunquam oleat, im ne posit quidem, ita que
cum hic multo tardior etiam in ublimi, dum et, nos latere non
queat, multo minus poet naturalis latere, i ade uelox & in ea
dem parte Prterea tantus impetus nun
quam minore motu, aut caua uperaretur, ade ut emper flatum
aris orientalem entiremus. Quotidie etiam aduenire ad nos a
rem ex Illyrico, Macedonia, Myia, Ponto, Bythnia, Capado cia, Sy
ria, Babylonia, Hyrcanomar, Bactrianis, Sacs, Scythis, ac Seris, to
to prterea Oceano orientali tam uato, & Gallica noua, terra que flo
rida non olum res et admirabilis', & incredibilis, ed etiam aliena
enu, & ab his, qu eueniunt. A'enu quidem, quoniam nebul,
qu in are mouentur, primm non in eandem partem emper mo
uentur: nun quam autem ade celeriter: at i ar ic circumuoluere
tur, mouerentur & illa, qu in eo continentur, quotidieque arem ex
periremur & nubiloum, & madidum propter mare. Nechis, qu
eueniunt hoc atis repondet, nec nobis id contingeret, ut i peti
aliqua in regione notra directa uiret, ut ar ingulis diebus la
be ea infectus ad nos deferretur. Moueri uer arem emper mani
fetisimum et tum experimento, tum ratione: ratione iquidem,
quod aqua & clum naturaliter perpetu mouentur, quare etiam
ar. Experimento, qud ubi hiant otia, & ianu, ibi perpetuus en
titur flatus. Ergo i a pondus decendat in c, ex alto fertur rect, ed
i ex ublimi transferetur in b, & indirecta, & ad latus, unde ex
hoc equitur.
Propoitio quin quageimanona.
Omne mobile motum duobus motibus non ad idem tendenti
bus, utro que eorum tardius mouetur imili motu.
Sit a mobile, quod moueatur per a b c impulu uenti aut uiolen
to cum naturali coniuncto: & it terminus naturalis e,
& uiolenti d: uter que in directo c, dico, quod tardius per
ueniet ad c quam d, uel e. De e manifetum et, quoniam
motus aris, qui intendit motum a, diuditur in partem,
qu iuuat motum ad d, & partem, qu mouetur ad e,
igitur fit minor adiectio. Et etiam quia a c et longior
a e ex diffinitione rect: quare tardius perueniet ad c qum ad e du
plici ratione. Dico etiam, quod tardius ad c qum d.
Quia enim
uis, qu fert ad d repugnat ei, qu fert ad e, & uis, qu fert ad e, re
pugnat ei qu fert ad d, igitur tardius perueniet ad c, qum d. Nec
potes dicere, qud uis, qu fert ad c adiuuet ad motum regione
d, nam cum unus motus non posit perfici ine altero, igitur quan
tum motus ad eretar dabit motum ad d, tanto motus a c erit tard
or abolut motu ad d. Verum etiam et, quod c e breuior erit a d,
quia motus ad e emper contrahit motum ad d naturalis uiolen
rum ob cauam dictam. Vtrm uer motus ad c abolut it tardi
or, qum ad d, non uppoito, quod c e it qualis a d, ed minor,
nunc non et locus determinandi.
Ex hoc patet, quod motus quiditantis mobilis, finis et mini
mus omnium: quoniam mobile quai quiecit in illo. Velut i a mo
ueatur ad b, inde deflectat ad c minimus motus erit in b, ubi incipit
naturalis: nam cum incipiat, erit debilisimus, quia non
et motus actu: uiolentus autem qualis et naturali,
dum minimus et: ergo cum ex ditantia medij palmi
duplicetur, naturalis erit motus in b minimus, nii b c
eet minor dimidio palmi. Et etiam qud eet minor, quia ut di
ctum et, uter que imul iunctus et qualis uni eorum non impedito
uel minor.
Propoitio exageima.
Omne mobile motu naturali decendens parte, decendit gra
uiore ecundum grauitatis centrum.
Sit a mobile, grauitatis centrum b, cuius pars ei pro
ximior it c a, dico quod decendat motu naturali c a,
parte tangendo terram, quia enim totum a non potet
decendere ad centrum decendit b, quia eadem et na
tura partis, & totius: totius autem terr natura et ut
centrum, totius it centrum grauitatis, quare b breuiore uia fertur
ad centrum, ergo per c d proximiorem partem ipi b. Sed pars pro
ximior neceari et grauior, quia centrum et in medio grauita
rem partem.
Ex hoc equitur, qud graue habens partes inquales, eu ub
tantia, cu forma, i ita excutiatur, ut pars grauior
tet, ut circumuoluatur.
Propoitio exageimaprima.
Proportionem ictus ad pondus rei, & ditantiam generaliter
coniderare.
Dictum et uperius de proportione decenus ad grauitatem:
& qud i graue decendat ex alto impeditur motu aris: & qud
res, qu mouetur duobus motibus non ad idem tendentibus tar
dius mouetur, quam motus it unuquique. Demm qud graue
decendens circumuoluitur, i pars grauior non it, deorum: & an
tea ubi egimus de proportione motus ad grauitatem, quod hcin
telligenda unt prout pount intelligi de motu etiam uiolento. Cum ergo uideamus duo hc, quod res acuta frangit caput, i ex
alto incidat, ed non concutit, lata concutit, ed non diuidit, premit
tamen carnem ubiectam: nec hoc accidit merito ponderis: nam ut
uium et emilibra lapidis, uel ferri cadens ex alto contundit caput,
& uulnerat, & non eleuat in quilibrio, ut pot ex alto cadens loco
per patium octo palmorum pondus exdecim librarum, & a pon
dere exdecim librarum homo non lditur, nec uulneratur, ergo id
accidit ex alia caua, & et, quod ar interceptus inter graue, & cor
pus notrum non potet dilabi tam cit, ergo ne corpus penetret,
cogitur ingredi locum, cui et obuius, at que ita concutere, & diuide
re. Ex quibus equuntur omnia hc.
Primm i quod incidit, molle fuerit, non uulneratur caput, uel
pars ubiecta, quia reilit in corpus molle: nec molli, quia retundi
tur, potet uulnerari: ergo nullo modo. Sed neque ade concutit,
quia ar rediens, & receptus in molli corpore pro parte, non uer
berat locum.
Secundum in omni colliione eu duri, eu mollis, ed magis du
ri, dilabuntur partes aris ad latera, ideo quod partes medi pre
muntur. Et quanto motus et tardior.
Tertium in motu uelo ci fit maior ictus & lio, & maiora omnia
quam proproportione motus: quoniam ob uelo
git aris. Et ide fiunt grauia uulnera ex modico incremento uelo
citatis motus.
Quartum res lat, dur concutiunt, & non uulnerant nii int
cum magno impetu, aut ualde graues: acut autem uulnerant, ed
non concutiunt, nii parti acut lata uccedat.
Quintum, corpora dura magis lduntur latis, quia cindun
tur, mollia autem tenuibus, quia diuiduntur: nam mollitie excipi
unt arem, & ita latis non ade patiuntur, & etiam, quoniam nec
franguntur, nec ponte cinduntur.
Sextum, etiam in duris penetrat aliquid aris, aliter tota frange
rentur. Contat etiam omnem lapidem marmoreum, aut iliceum
ee poroum, ut dicunt. Et etiam quia recipitur in mollioribus, er
go etiam in durioribus & in durisimis: quod i non recipiant ut ui
trum, & gemm tota franguntur. Hoc etiam uidetur enie Philo
ophus, qui uult, qud res franguntur ob poros.
Propoitio exageimaecunda.
Proportionem motoris in plano ad motorem, qui eleuat pon
dus iuxta id, quod mouet inuenire.
Contitutum et inuenire proportionem uirium, qu eleuant
pondus ad uires, qu ipum in plano leui trahere po
unt. Vires enim, qu eleuant pondus a unt edem
puta b, qu uero trahunt c, ed h pount uariari, nam
quanto uinculum altius, aut decliuis locus magis, aut
apera uperficies eu ponderis eu plani, tanto difficilius trahitur,
& maiores expocit uires: hoc enim experimento deprehenditur. Du uer potrem cau etiam per e perpicu unt, nec demon
tratione indigent: nii quod i planum it durisimum, ac leuisi
mum, quod et aperum facilius trahitur, quia minore ui parte pla
num tangit. Nos prterea upponimus planum quale undique
leue durum, & corpus undique ibi imile, id et cubi formam refe
rens, & uinculum in imo: Demontrare igitur expedit primum,
qud in hoc cau b et duplum ad c. Quia enim cum a eleuatur b ui
res uperant motum obcurum eu occultum, eu pondus a, & i
permitteretur ine eo, quod utineret, decenderet iuxta pondus
uum, quod it d: nititur ergo per pondus d, at quia trahendo duci
tur circa medium, nam plana uperficies parum differt rotunda
terr ob terr magnitudinem, media erit repugnantia: in eo enim
quod mouetur, grauitatem habet d in eo, quod
lam habet grauitatem, mediam ergo retinet grauitatem, quare ut b
ad d, ita c ad dimidium, grauitatis a, at b et primum, quod potet
mouere d, igitur c et primum, quod potet mouere dimidium a, ut
ergo dimidium a ad d, ita c ad b, et igitur c dimidium b.
Propoitio exageimatertia.
Omne graue quanto proximius alligatum plano, tanto faci
lius trahitur.
Sit graue a b c alligatum funibus in d ef, dico,
qud facilius trahetur per fe qum c b & e b, qum
d a, quia i debet trahi ex a uel b, aut cadet, aut uis ex
a & b communicabitur c, igitur erit minor qum in
c, & hoc naturaliter. Mathematica autem ratione quoniam ex a tra
hetur c, quai per lineam d c: at attractio recta et ualidior obliqua
igitur attractio c per d et debilior, qum per f. Rurus i e trahitur
per d cm a peruenerit in d, erit perinde ac, i attractum eet per li
neam c d, ed linea c d mouet duobus motibus, uno ad uperiora, al
tero ad latus, ergo lentius ad f per d c qum f c, quod erat demon
trandum.
Propoitio exageimaquarta.
Omne mobile quanto latius tanto tardius mouetur in plano.
Demontratum et uperius qud i mobile it phricum, & tan
gat planum in puncto, qud mouetur per quancunque uim aptam
diuidere medium. Quia ergo i tangat in puncto facillime moue
tur, i in linea paul difficilius, i per uperficiem adhuc difficilius,
igitur cum fiat attritio in motu quanto latius et mobile eo diffici
lius mouetur. Sit ergo mobile a b, quod moueatur uerus c, & quia
pars b eu dimidium mouetur iuxta rationem me
dietatis, & pars a eodem modo, ergo conduplicata
difficultate, quia medietas b impedit medietatem, a
quanto latius et, & longius a b, tanto difficilius
mouetur. Et hoc intelligitur de corporibus ualde
latis propter dicta uperius.
Propoitio exageimaquinta.
Proportionem duorum mobilium inter e cum auxilio medij
inuenire.
Graue decendit naturaliter quatuor cauis: prima et ponderis
magnitudo, unde quod grauius et celerius decendit. Secund ob
paruam medij repugnantiam, ideo quanto medium et rarius &
mobile tenuius, tanto celerius decendit: contr uer tardius. Ter
ti ob impetum aris ub equentis: & ideo mobile qud ex eadem
materia contat, emper decendit parte acutiore uprapoita, ne ar
cogatur celerius ferri: & quanto diutius decendit, tanto magis in
tenditur motus, at que augetur, ut upr de claratum et. Quarta caua
et, quod non impediatur ab are tranuerfim moto, et latere: ideo
leuia mobilia & magna non olum lentius decendunt, quoniam
paruam uim habeant, & magnam repugnantiam, ed quia tranuer
im impula minus mouentur motu recto, ut upra uium et. Por
quare cum medium upponatur eiudem generis, & figura non
eiumodi, nec leuitas, ut prorus non impellat, nedum ut moueat la
tus: figura quo que eadem ambobus relinquetur proportio motus
ad motum producta ex proportionibus incrementi in proportio
nem ponderum, & iam habuimus proportionem incrementi ex
motu aris, ergo proportio unius motus producti ad alteram no
ta erit.
Propoitio exageimaexta.
Proportionem laterum eptagoni, & ubtenarum coniderare,
& qu reflexa proportione pendent.
Sit eptagonus a b d f g e c, & ubten b
c, & f e duobus lateribus, tribus autem d c
d e, & erunt (quia intelligitur eptagono
quilatero, & quiangulo) b c & e finuicem
quales: & item d c, & d e quales: & i du
cerentur b e & c f inuicem quales: & ad a c
& d g: quare cum angulus cb d conitatin
arcu c e g f d, & angulus b d c in arcu b a c,
& angulus b c d in arcu b d; & it arcus c e g
f d duplus arcus b a c, quia c e g f d ubtendit quatuor latera epta
goni, & arcus b a c duo, & ita arcus etiam b a c duplus arcui b d
erit angulus d b e duplus angulo c d b, & angulus c d b duplus an
gulo b c d, quare per demontrata nobis proportio laterum b d,
b c, c d, et reflexa, igitur proportio d b & b c, ad d c, ut d e ad b c, &
rurus proportio b d & d e ad b e, ut b e ad b d. Quare uppoita
d b 1, b c 1 poitione, erit d c latus 1 quad. p: 1 poitione.
Proportio
uer, ut dictum et b d & d c ad b c, id et p: <02> 1 quad. p: 1 pos, ad 1
pos et, ut b c ad b d, id et 1 pos ad 1, igitur 1 p: <02> v: 1 quad. p: 1 pos
quatur quadrato b c, quod et 1 quad. igitur 1 quad.
m: 1 quatur
<02> v: 1 quad. p: 1 pos quare 1 quad.
quad.
m: 2, quad.
p: 1 quatur 1
quad. p: 1 pos.
Additis igitur communiter quatuor quadratis fient
1 quad. quad.
p: 2 quad.
p: 1 qualia 5 quad.
p: 1 pos.
Et reducitur ad
1 cu. qualem 1 3/4 pos p: 7/8.
exti
Aliter tante uppoitione ut Ludouicus Ferrarius ex demon
tratis Ptolemo quadratum b c, & et 1 quad et quale produ
cto ex b d in c e, quod et 1, & a b in d c, igitur detracto 1, produ
cto b d in c e ex 1 quad. quadrato c b, relinquitur productum ex
a b in c d 1 quad. m: 1, ergo diuio co per a b, qu et 1, relinquitur
c d 1 quad. m: 1 huius uer quadratum per
quad.
m: 2 quad.
p: 1 et quale 1 producto b d in c e, & producto b
cin d e detracto 1 communi, relin quetur productum ex b c in d e 1
quad. quad.
m: 2 quad.
igitur diuio 1 quad.
quad.
m: 2 quad.
per 1
pos, exit 1 cu. m: 2 pos qualia d e, & d e et qualis d c, ut ab initio
demontrauimus, & d c fuit 1 quad. m: 1, igitur 1 cu.
m: 2 quantur 1
quad. m: 1, igitur 1 cu.
p: 1 quantur 1 quad.
p: 2 pos.
Aliter ut Pacciolus, concurrant latera eptagoni b d, c e in a, & du
cantur perpendiculares a f, d g & c d, & it c e i ca 1 pos, & quia ut
a e ad a c, ita d e ad b c, erit ergo b c (1 posp: 1)/(1 pos) quare b f (1/2 pos 1/2,)/(2 pos) &
quia d h et dimidium d e, erit d h, & g f
1/2, cum ergo b f it (1/2 pos p: 1/2)/pos erit ergo di
uia 1/2 pos per 1 pos, & exit 1/2, b f 1/2p: 1/2/pos
igitur detracta g f relinquetur g b 1/2/(1 pos).
& eius quadratum 1/4/(1 quad). igitur cum qua
dratum b d it 1, erit quadratum g d 1 m:
2/4/(2 quad)g c autem et compoita ex e f, qu
et 1/2p: 1/2/(1 pos) & f g qu et 1/2, erit igitur c
g 1 p: 1/2/(1 pos), &
compoitum ex quadratis c g & g d erit 2 p: 1/pos c a uer et qua
lis c d, quia, ut demontratum et angulus d c e et eptima pars
duorum rectorum, & angulus b c e ei duplus, quare cum c f a it re
ctus erit ex trigeimaecunda primi Elementorum f a c tres epti
m unius recti, ergo d a c 6/7 unius recti, d c a uer 2/7 unius recti, quia
et eptima pars duorum rectorum, gitur a d c et 6/7 unius recti: igi
tur c d et qualis c a, ergo quadratum quadrato: igitur 1 quad. p: 2
pos p: 1, quatur 2 p: 1/(1 pos) igitur 1 quad. p: 2 pos, quantur 1 p: 1/(1 pos).
Quare 1 cub. p: 2 quad.
quatur 1 pos p: 1.
Sit etiam angulus a duplus b, & b c dupla
b a: & erit per eadem proportio a c, & a b
ad c b, ut c b ad c a. Ponamus ergo ab 1, erit
b c 2, & a c 1 pos, & a c, a b 1 pos p: 1, & du
cta in a c fit 1 quad. p: 1 pos, & hoc et quale 4 quadrato b c per re
flex proportionis diffinitionem. Igitur a c et <02> 4 1/4 m: 1/2, & ita
de alijs.
Propoitio exageimaeptima.
Si fuerint aliquot quantitates ab una quantitate, alique totidem
alterius, ut ecund ad ecundam duplicata, & quart ad quartam
triplicata, quint ad quintam quadruplicata, at que ic de alijs.
Sint quantitates b c d e f, ab a in continua proportio
ne, & ali totidem g h k l m, dico quod proportio h c et
duplicata ei, qu et g ad b, & k ad d triplicata, & l ad e
quadruplicata, & ic deinceps, umatur enim unum, & ab
co o p q r s in proportione b ad a, & tuxyz in propor
tione g ad a, erit igitur p quadratum o, & u quadratum t,
& q cubus o, & x cubus t, & ita de alijs: ergo proportio
n ad p duplicata ei, qu t ad o, & x ad q triplicata ei, qut
ad o, & potet etiam demontrari generaliter ultra qua
dratum, & cubum: nam i ducatur t in o, fiat que
portio enim ad
ut t ad o, igitur per diffinitionem proportionis duplicat
poitam in quinto libro ab Euclide u ad p duplicata ei,
qu t ad o, & imiliter ex t in p fit
q Quia ergo propor
tio q ad
o, & ita de reliquis, cum ergo proportio p ad o it, ut e ad b, & o ad
n, ut b ad a, & n ad t, ut a ad g, & t ad u, ut g ad h, equitur ut it t ad a,
ut g ad b, & u ad p, ut h ad c, igitur cum it ut u ad p duplicata ei, qu
et t ad o erit h ad e, duplicata ei qu et g ad b, & ita de reliquis, &
no refert, eu dicas u ad p duplicatam ei, qu et t ad o, eu dicas p
ad u duplicatam ei, qu et o ad t. Aliter & euidentius in duabus
oleo demontrare: cum enim it e & h duplicata ei qu et b & g
ad a, ut upra, & quadrati b ad quadratum a, & quadrati g ad qua
dratum a duplicata his qu b & g ad a erunt b & g quadratorum
ad quadratum a, uelut c & h ad a. Et conuertendo qua
drati a ad quadratum g, ut a ad h, contituantur ergo
drati b ad quadratum g, ut b ad g proportio duplicata
igitur e ad h, ut b ad g duplicata.
quinti
Propoitio exageimaoctaua, collectorum ab Euclide
& Archimede.
Omnis cylindrus cono habenti baim, & altitudinem eandem
triplus et. Omnis cylindrus phr habenti eundem magnum
circulum, & altitudinem exquialter et. Omnis phra dupla et
cono, cuius bais et eius circulus magnus, & altitudo eadem, qu
phr ipius. Omnis uperficies phr quadrupla et maiori
uo circulo. Superficies portionis phr et qualis circulo, cu
Quilibet ector phr qualis et cono, cuius bais et circu
lus qualis uperficiei eiudem portionis, altitudo uer phr e
midiameter. Proportio phr ad ectorem datum, et duplica
ta ei, qu et dimetientis ad lineam, qu uertice portionis ad lim
bum. Cum enim phra it qualis cono, cuius bais et maior cir
culus, altitudo uer dupla dimetienti per tertiam harum, qu hic
proponuntur: erit phra qualis cono baim habenti circulum,
cuius emidiameter it qualis diametro phr, altitudo uer e
midiameter phr. At per extam harum ector phr et qua
lis cono habenti altitudinem cmidiametrum phr, baim autem
ipam portionis uperficiem: igitur proportio phr ad ecto
rem, uelut circuli cuius diameter et dupla dimetienti phr ad
crculum qualem uperficiei portionis: at uperficies portionis
per quintam harum et qualis circulo, cuius emidiameter et li
nea uertice portionis ad limbum eiudem: ergo proportio ph
r ad uum ectorem et uelut circuli, cuius dimetiens et duplus di
metienti phr, aut emidimetiens et qualis dimetienti phr
ad circulum, cuius emidimetiens et linea uertice portionis ad
limbum. Sed proportio talium circulorum et duplicata propor
tioni emidimetientium, igitur proportio phr ad uum ecto
rem et ueluti dimetientis phr ad lineam, qu uertice portio
nis ad limbum duplicata. Cuicunque portioni phr conus ille
habetur qualis, qui baim hab eat eandem cum portione, altitudi
nem uer lineam rectam, qu ad altitudinem portionis eandem
habeat proportionem, quam emidiametros phr un cum alti
tudine reliqu portionis habet ad eandem reliqu portionis alti
tudinem. Earum phr portionum, qu qualibus uperfi
ciebus continentur medietas phr maxima exitit. Proportio
uperficiei phr plano diui ad reliqu portionis uperficiem,
& reidui ectoris ad ectorem, et uelut quadratorum duarum li
nearum qu uerticulis ectionum ad communem uperficiem
plani portiones ecantis decendunt: nam ectorem phr, dico
corpus compoitum ex portione, & cono illo. Ille idem etiam defi
nit Ellipim coni a cuti anguli ectionem, quam dicit etiam fieri e
cto cylindro per planum non ad angulos rectos tante uper cylin
dri axem. Ab hac igitur coni acuti anguli ectione eu ellipi cir
cumacta figura phroides corpus quod baim rotundam habet,
uocat: id que duplex ob longum, quod fit diametro longiore quie
cente, & prolatum quod fit quiecente breuiore: icut reliquam ci
licet parabolen aut hyperbolen, quia inferius non et terminata,
cumacta fit conoidale, quia planam habet baim. Si ergo in ea
dem rectanguli coni ectione plano portiones quales habentes
diametros abcindantur, ill portiones erunt quales. Et triangu
li in eidem portionibus incripti quales erunt. Diametrum uo
cat in
tantes per qualia diuidit. Omnis circuli cuius diameter et ma
ior diameter ellipis proportio ad ellipim et uelut direct diame
tri ellipis ad diametrum tranueram. Ex quo patet quod pro
portio cuiuslibet circuli ad ellipim et uelut quadrati u diame
tri ad rectangulum recta, & tranuera diametro ellipis compre
henum. Ex hoc rurus equitur quod ellipis ad ellipim, ut re
ctanguli ex diametris unius ad rectangulum ex diametris alterius.
Si conoides & phroides ecet plano quiditanti axi fiet e
ctio conoidalis imilis ei qua conoides eu phroides decri
ptum et. Sin autem upra axem plano ad perpendiculum erecto
ectio circulus erit. Et i ecentur obliqu fiet ellipis, modo omnia
latera comprehendat. Omnis portio conoidalis rectanguli, quam
planum ecat, exquialtera et, cono qui baim & axem eandem ha
bet. Ex quo patet, quod i portio conoidalis rectanguli & ph
r medietas eandem baim habeant & axem eundem, medietas
phr exquitertia erit conoidali portioni. Et i eiudem rectan
guli conoidalis portiones abcin dantur erit portionum propor
tio uelut quadratorum axium. Cuiuslibet phroidis pars pla
no per centrum abcia dupla et cono baim & axem eadem ha
benti. Si autem non uper centrum erit proportio earum ad co
num baim, & axem eandem habentem uelut coniunct ex axe al
terius partis & dimidio axis phroidis ad axem alterius partis.
Demum proportio partis conoidis obtui anguli plano abci
ad conum, baim & axem eadem habentem et ueluti line, com
poit ex axe portionis & triplo adiect ad compoitum ex axe
portionis & duplo eiudem adiect. Adiectam uocat hyperbolis
tranueram. Omnis cylindrus cono triplus et habenti eandem
baim & altitudinem. Omnes cylindri coni phr unt in pro
portione corporum imilium planis uperficiebus contentarum.
Propoitio exageimanona, collectorum ex quatuor libris
Apollonij Pergei &
Si fuerit linea bifariam diuia, eique in longum alia addita, & rur
us alia detracta, fueritque totius cum addita ad eam, qu addita et
ueluti reidui ad detractam erit line com
poit ex addita, & dimidia ad dimidiam
Rurusque li
ne compoit ex dimidio & reiduo dimidi ac detract ad li
neam compoitam ex addita & detracta ut reidui dimidi, & de
tract ad partem detractam. Et rurus totius compoit ad com
poitam ex dimidia & addita, uelut compoit ex addita, & diffe
rentia ad ipam additam. Velut it propoita a b per qualia diuia
in c, addita b d, & detracta b e, it proportio a d ad d b, ut a e ad e b,
dico ee, ut c d ad cb, ita ab ad c e. Et ut a e ad e d ut c e ad e b.
Etite
rum ut a d ad c d uelut e d ad d b. In parabole proportio partium
diametri ad uerticem terminantium duplicata et proportioni li
nearum ab eidem punctis ordinatim ductarum ad ipam ectio
nem. In hyperbole autem & ellipi & circuli circumferentia erit
quadratorum linearum ordinatim ductarum inter e uelut rectan
gulorum partium diametri ad eadem puncta terminantium. Et in
eidem i puncto peripheri contingens ad diametrum ducatur,
& ab eodem ordinata, erit ut partis diametri intercept inter extre
mum, & ordinatam ad partem inter ordinatam & peripheriam, ue
lut intercept inter extremum & contingentem ad interceptam
exterius inter finem contingentis & peripheriam. Et in eidem
quadratum emidiametri quale ee rectangulo ex intercepta in
ter centrum & caum contingentis in inter ceptam inter centrum &
caum ordinat loco contactus product. Si parabolen recta
linea contingens ad diametrum perueniat, umptoque puncto alio
in ectione quiditans ab eo ducatur contingenti: & ab utroque
etiam ad diametrum ordinat, demum uertice quiditans illis,
& priore puncto diametro quiditans donec concurrant, erit
triangulus ex ordinata, & quiditante ecundo puncto, & dia
metri parte contentus rectangulo ex prima ordinata & parte dia
metri inter uerticem & ecundam ordinatam contento qualis.
Si in parabole contingente ad diametrum ducta ex alio puncto
ei quiditans ducatur ex ipa ectione, ubi iterum ecat ectionem/>
intercepta per qualia diuidetur linea puncto contingentis dia
metro quiditanti ducta. Idem uer ferm continget ducta li
nea centro in locum contactus, ecabit enim omnes contingenti
quiditantes in hyperbole, ellipi at que circulo. Et autem omne
centrum in medio diametri: diameter autem in circulo & ellipi il
las per qualia diuidit intus enim et: in contrapoitis inter uerti
cem, & uerticem poita et exterius utriuque contingenti ad per
pendiculum initens. In hyperbole autem exterius etiam adiacet,
ut in contrapoitis eadem & tranuera uo catur: cuius terminus et
punctus concurus cum latere trianguli, qui conum per axem diui
pount, Recta appellabitur. Datarecta linea poitione, aliaque ma
gnitudine data & anglo parabolen, & hyperbolen, & ellipim,
& contrapoitas circa datam poitione tanqum diametrum de
cribere tanqum cono erecto, ut angulus ad uerticem ectionis
comprehenus it, & per rectam rectangulum quale comprehen
datur quadrato dat line magnitudine. Si linea in duas partes
diuidatur, eique utrinque quales line adiun
gantur erit rectangulum ex partibus totius
quale rectangulis partium prioris line, & ex
priore linea cum una adiecta in eam, qu adiecta et. Si hyperbo
len recta linea in uertice contingat, & utrinque abcindatur, quan
tum et, quod potet in quartam partem rectanguli ex diametro
tranuera hyperbolis, qu exterius adiacetin eam, qu recta dici
tur, ad quam, qu ordinatim ducuntur, unt quiditantes line,
qu ectionis centro ad terminos contingentis ducuntur emper
ipi ectioni magis appropinquabunt, nec unquam conuenient: &
ob id aymptoton appellantur. Nec ull ali intra
inueniri poterunt. Vnde etiam intra
cemur hyperbolen cuius anguli latera int aymptota. Aymptotis
duabus propoitis uni hyperboli, in finitas alas eidem aymptotas
inuenire. Duabus rectis aymptotis infinitas ubijci poe hyperbo
les illis rectis, & inter e aymptotas. Cum in duabus uperficie
bus quiditantibus duo circuli quales, quorum linea per cen
tra non et ad perpendiculum earum infinitis planis ecantur, fiunt
in ipis line peripheria in peripheriam rect qu corpus cylin
dricum claudunt quod calenus cylindrus appellatur: long alius
ab eo, qui fit recto cylindro per duo plana quiditantia, ed non
ad perpendiculum poita diecto. nam eius extrem uperficies
non circuli, ed ellipes unt. Si calenus cylindrus plano non
quiditanti bai, ed ita ut angulos interiores quales faciat angu
lis bais ectio circulus erit: uo caturque hcectio ubcontraria: nec
ulla prter hanc & bai quiditantem ectio circulus ee potet:
ed unt ellipes. Super eundem circulum, & ub eadem altitudi
ne ellipes imiles in cono & cylindro ee pount, qu ab eodem
plano fiant, docetque uel bai uel cono uel cylindro, aut cono pro
poito reliqua facere, quod et ualde admirabile: cum ellipis cylin
drica emper qualis it in utraque parte diametro tranuera
utrinque qualiter ditante, conica uer minor neceari it in u
periore parte uerus coni uerticem latior in inferiore, ubi partes a
diametro tranuera qualiter diteterint: ip autem non olum i
miles, ed unam perpe in utri que ee uult. Sed & hoc Archime
des dicere uidetur: line duct uertice conicaleni ad perpendi
culum uper baes ingulas omnium triangulorum per axem/> coni
traneuntium in peripheriam unius circuli cadunt.
Propoitio eptuageima.
Si fuerint tres quantitates in continua proportione, alique toti
dem in continua proportione, poterunt contituere tres quantita
tes in quali differentia peruerim copulat.
Velut int a b c primi ordi
nis, & d ef ecundi, & it 28,
b 4, c 2, & d 2 1/4, e 1 1/2, f 1, tunc
iunctis a & e fit 9 1/2, & b & d b
1/4, & e cum f 3, at 3 & 6 1/4 & 9 1/2
qualiter ditant, nam diffe
rentia et 3 1/4. At i iungatur
cum e, & b cum f, & c cum d
idem poterit contingere: ut in
figura uides, nam a e et 8 1/2,
p: <02> 1 1/4, & b f 7, & c d 5 1/2, m: <02> 1 1/4, & differentia b f ab utro que com
poito, et 1 1/2 p: <02> 1 1/4, qua excedit & exceditur. Dico modo, quai
ex ordine coniungantur qualecun que proportiones fuerint, modo
non int amb qualitatis 1, ut b iungatur cum c, & reliqu ut li
bet, uelut a cum d, & c cum f, uel a cum f, & e cum d, nunquam fient
quales exceus, nam de primo et clarum: nam i a cum diun
gatur, & amb fuerint maxim, maior et differentia a ad b, qum
b ad c, & maior etiam d ad e qum e ad f, ideo maior erit differentia
a & d ad b e qum b e ad c f, quod erat probandum. Eodem modo
ed laborioius demontratur reliquus modus cilicet, quod con
iunctio a f ad b e et maior aut minor qum b e ad c d, ex hoce
quuntur corrolaria.
Primum, tres quales quantitates non pount diuidi in tres, &
tres quantitates in continua proportione ordinat, ut dixi, nii u
triuque ordinis tres, ac tres inuicem int quales.
Secundum, tres quantitates in quali exceu ordinate, ut dixi,
non pount diuidi in tres, & tres quantitates, qu int in eadem
proportione quantumcun que proportiones ill duorum ordinum
fint diuer .
Tertium, tres quantitates, qu intin eadem proportione non
pount diuidi ordinate in tres ac tres, qu int in continua propor
tione nii int amb proportiones edem cum proportione ipa
rum quantitatum.
Propoitio eptuageimaprima.
Proportionem leuitatis ponderis per uirgam torcularem attra
cti ad rectam upenfionem inuenire.
Sit torcularis uirga, cuius pir a b per circui
tum int centupl ad altitudinem a b, & axis d c
emidiametro b c centupla, & quoniam per upe
rius aumpta, qualis et proportio patij ad pa
tium, talis leuitatis ad
dens per a b leuius quam per b
imiliter cum circuitus b c, & d c int in eodem tem
pore, & circuitus d c, it centuplus ad piralem b c
per demontrata ab Euclide, ergo e erit centuplo
leuius circum ductum per d qum b, ed per b circumductum cen
tuplo leuius et, qum per rectam, igitur e ponderat folum particu
lam ex decem millibus recti ponderis.
Propoitio eptuageimaecunda.
Proportionem ponderis phr pendentis ad acendentem per
accliue planum inuenire
Sit phra qualis ponderig in pun
cto b, qu debeat trahi uper b c accli
ue planum b e ad perpendiculum pla
ni b f. Quia ergo in b e mouetur a, qua
uis modica ui per dicta uperius, erit per
communem animi ententiam uis, qu
mouebit a per e b nulla: per dicta uer
a mouebitur ad f emper, a contanti ui
quali g, & per b c a contanti ui qua
li k, icut per b d a contanti quali h, ergo per ultimam petitio
nem, cum termini eruent, quo ad partes eandem rationem in
guli per e, & motus per b e it a nulla ui, erit proportio g ad k, ue
lut proportio uis, qu mouet per b f ad uim, qu mouet per
b c, & uelut anguli per e b f recti ad angulum e b c, & ita uis,
qu mouet a per b f, & et, ut dictum et, g ad uim, qu mouet
per b d, & et h ex uppoito, ut c b f ad e b d, igitur proportio dif
ficultatis motus a per b d ad idem a per b c, et uelut h ad k, quod
erat demontrandum.
Propoitio eptuageimatertia.
Proportionem ponderum attractorum penes figuram in pla
no inuenire.
Sint duo pondera qualia in plano a & b, & it
a uperficies qua planum tangit dupla b uperfi
ciei, qua planum tangit: dico quod i trahantur ab
imo, quod erunt qualia: upendantur, & erunt
qualia ex uppoito, ed a quiecens in plano et
dimidium a upeni, & b quiecens in plano et di
midium b upeni ex demontratis uperius, igi
tur per communem animi ententiam a & b in pla
no unt qualia.
Ex hoc manifetum et, quod proportio uirium trahentium pon
dera in plano eadem et, qu iporum ponderum dum upendun
tur. Vbiplanum quale it, & olidum.
Propoitio eptuageimaquarta.
Proportionem concutientis ad concuum tabili inuenire.
Intelligo concutiens ee olidum, quod non frangitur, idque gra
uitate, & impetu concutere, nam de duritie upponitur, & grauitas,
ut demontrabitur in corrolario et iuxta uperficiem inferiorem
ponderi comparatam. Cum ergo motus concusionis magnitudo
contet ex grauitate, impetu & figura, concusi autem ex pondere
& connexione: multiplicatis inuicem partibus productorum pro
portio, erit proportio concusionis: ut it grauitas decem, impetus
quadraginta: pondus icti centum connexio ut duo, ducemus qua
dragintain decem, & fient quadringenta, et duo in centum, fient du
centa, igitur concusio erit dupla.
Cum fuerit figura rotunda, concusio erit integra in puncto:
quia phra iacens in plano totum pondus in punctum cogit.
Si autem planum et, quod ijcitur, proportio totius ad totum et
minor, qum partis ad partem pro ratione quantitatis latitudinis.
ed maior ratione aris compreheni, de quo infr.
Cum proportio minor fuerit tabile, non poterit in olido plano
moueri: aliter fieret motus debiliore, & per prcedentem etiam
poet pari ratione eleuari.
Cumque tabile non mouetur, & omne agens agat aliquid necee
et, ut tabilis partes cedant, aut dioluantur. Quanto ergo magis
cedit, tanto minus dioluitur.
Cau igitur qu alleuiant ictum, ne dioluatur, unt eptem le
uitas ictus, ponderis, fractura, mollities eius, quodicitur, mollities
eius, quod excipit ictum, motus eiudem, & figura lata, & inqua
lis. Durities ergo, quatenus fractur opponitur, aliud et, quam ut
molliciei: & utra que et caua, qu augetictum, ut reliqu
oppoit minuunt, dicemus autem de his inferius.
Propoitio eptuageimaquints.
Proportionem immoti in aqua ad immotum in terra in excipien
do ictum inuenire.
Sit pondus a in terra quale b eiudem natur magnitudinis fi
gur, & eodem in itu, quod it in aqua porr a, i eet affixum ter
r oportet, ut conuellatur, aut dioluatur aut frangatur. Et clarum
et, quod totum ictum excipit. Si uer
affixum non it, euertitur, & tanto mino
rem partem excipit ictus, quanto faci
lior et ad euerionem. Vnde nata fabu
la de quercu, qu cum immobilis eet,
& taret uento euera et, arundo flecten
do e, cecidit quidem, ed non et eradi
cata. Sermo igitur et de b inidenti aqu
in comparatione ad a, quando excipit
plenum ictum. Cum ergo b tangitur, ex
cipit plenum ictum illo intanti, ed quia
non excipitur ictus cedente materia, &
antequam materia cedat b mouetur loco, quia inidet aqu, ergo
non excipit ictum. Proponatur ergo, quod moueatur b per cpa
tium in d tempore, & it, ut idem b ab e ui trahatur per idem pa
tium in eodem tempore ex loco directo ad eandem partem: qua
lis ergo proportio e ad b, & arem, qui cum eo reitit, talis propor
tio ictus f grauis puta in a ad ictum Y in b. Quia per demontra
ta uperius proportio f ad a producitur ex proportionibus e ad b,
& a ad e, ergo diuia proportione f ad a per proportionem c ad b
exibit proportio ictus Y in a ad ictum Y in b quod erat demon
trandum.
Ex hoc patet, quod b quanto mollius, leuius, & trictius in imo,
& in tenuiore aqua, eo minus ldetur. Et quanto ictus lentior fue
rit etiam quod it grauius Y.
Propoitio eptuageimaexta.
Proportionem duorum mobilium ibi inuicem concurrentium
per rectam inuenire.
Iam cognito, quod mobilia, qu loco mouentur per prceden
tes, ed omnino quiecunt integros excipiuntictus: alia quidem,
qu concurrunt, non omnino reiliunt, alia uero reiliunt, & qu
reiliunt minores excipiuntictus, equitur ut diuera it compara
tio: nam erunt, qu tando excipient ictus, & hc integros ut mu
ri, & qu concurrendo, nec reiliendo, ut equi curu incitati: & qu
tando, ed reiliendo, ut naues tantes: & qu concurrendo, rei
liendo qe ut naues uentis, & triremes ab impulu: bifariam ergo
contingit intelligi, quod proponitur. Sed in utroque etiam enu
uarietas et: nam ut concurrit pars altera celerius, ita etiam magis
concutitur. Et ideo it, ut proportio icts it in comparatione ad
grauitatem dupl, & concurrant qualiter, & int qu grauia, &
neutrum reiliat, erunt in proportione quadrupla, & eodem mo
do i utrunque reiliat. At i diuero impetu ferantur, ut dixi, tria
erunt prcipu conideranda grauitas eu pondus, impetus, & an
reiliat. Quanto enim grauiora fuerint, & maiore impetu agen
tur, & non reilierint eo maiorem ictum recipient: quanto leuio
ra, & minore impetu, & magis reilierint, minus ldentur. Sed &
in debilitando ictum coniderare oportet tria, quod reiliat, quod
diffugiat, quod circumuertatur: reiliunt naues, i rotris concur
rant pleno ictu: i uer non pleno ictu concurrant, ed diffugiant
hoc experimento compertum et minimum ee ictum: i rotro
tranuerum nauis feriatur medium, et hoc.
Sit ergo ut a b nauis tangat rotro b c ic ut
diffugiat, erit hypomochlium c, & i tangat
e f hypomochlium et in d dupla, ergo et c b
ipi d e, igitur ictus duplo minor excipitur
c b qum ef. Et etiam tempus long maius,
quo excipit ictum ef, qum b c: tatim enim dicedit b c occurrit que
alijs partibus, in c f autem impingit, & angulus a d c et long ma
ior recto, qum a b f: ob hc igitur long maior et ictus c f qum
b c: uocant autem hoc declinationem.
Propoitio eptuageimaeptima.
Proportionem motus obliqui ad motum rectum in nauibus
inuenire.
Cm uentus fertur ad puppim rect, nauiqe gubernaculum di
tunc motus et uelocisimus: fingamus autem, quod omnia ad
idem tendant prter uentum, qui non directus it ad puppim, ed
latere, ut uides, & temo itin contrarium tantundem directus, &
upponamus pro nune, quod uelum it olum in anteriore parte
nauis, nam ecus eet nimis magna differentia,
quod nauis una ageretur tribus malis alia una:
Quritur igitur proportio motus b c ad mo
tum d e: fiat ergo c f qualis e g, ita ut f angulus
rectus it, & manifetum et, quod h c maior et
c f, cum ergo angulus f rectus it, quanto maior
erit angulus h c f, tanto maior erit proportio h c
ad c f, quod et primum a, ide noto angulo h c f
per ea, qu tradita unt ab Atrologis de inu &
arcu erit nota proportio c h ad c f, ideo ad e g
fiat ergo c k qualis c h, igitur c k erit maior e g, i ergo perambula
bit qualiter c, ut c h, erit temporis motus e g ad motum e f, ut c k
ad c f, igitur cum nota it c k, et enim qualis c h, erit temporis ad
tempus proportio nota. Quod autem in quali tempore mouebi
tur nauis per c k & h c patet ex aumpto inferius declarando.
Propoitio eptuageimaoctaua.
Propoitionem nauis ad triremes quotuis concurrentes de
montrare.
Sit nauis deferens pondus decuplo maius triremi, & contat,
quod impulu quabitur decem triremibus, ubi flante uento e
puppi qualiter feratur in aduerum, quantum triremes ui homi
num. Sed quoniam triremes impediuntur uento licet ine uelis
int, habent enim & ip malum, & uelum, ed exigua comparatio
ne nauium, ideo ictus ille multo ualidior et ex demontratis. Cum
uero uis illa imul it, liquet, 'qud hoc in cau nii machin obta
rent una nauis mille poet obruere triremes diiunctas per tantum
patium inter e, quantum et id, in quo nauis potetuenti impul
um recipere. At impedimentorum maximum unt machin, qu
in nauim collimant lateribus, cum triremes quaqu uerum e a
g ant, & ob id proram olam exponunt ictibus, in quam difficile
et collimare, & i tangatur pars ea robutior et, nec periculum
euerionis ade in currit, ut lateribus: nec enim ade anguta et a
prora ad puppim nauis, quam latere ad latus: his tot cauis mi
nus et obnoxia machinis triremis, qum nauis. Sed & alia caua
et, quoniam necee et ut ob angulum laterum ad proram
Secundum impe
dimentum et uento, i ualde obliquus it, nam ad rectum impul
um, multum debilitatur: aut i incontans it, uiribusque remittatur. Tertium uer i triremes inuicem connex int, ac e tangant, in
quas nauis dirigitur. Sed & hoc infr demontrabitur nauim, ut le
uior fuerit facilius elabi, ed ut pondere magis onerata grauiores
ictus inferre: ob hoc triremem inuenerunt mediam maximi uus Galeonum uulg uocant.
Propoitio eptuageimanona.
Proportionem medicamentorum purgantium inuicem de
clarare.
Scio, qum multa concurrant, etiam per e ad purgationem mul
titudo humorum prparatio locus propinquus, ed nobis er
mo et pariub conditione, ut it dimidia uncia Casi nigr in tri
bus uicibus expurget libram humorum, & uelim cire ab una un
cia, quoties expurgabitur, & quantum. Dico, quod in camonio, &
agarico hc ratio deprehendi potet: in his autem medicamentis,
qu magis leniunt, qum proprietate educant, ut et casia nigra,
ratio hc non ualet, quoniam feces quando que pro maiore par
te educuntur, ita ut etiam multiplicato medicamento deit, quod
educatur. Et quamuis humores iuxta proportionem trahat, cum
tamen feces proportionem non eruent, equitur: ut aggregati ad
aggregatum proportio non eruetur. At non et facile potmo
dum internocere feces ab humoribus, quocirca uidetur propor
tio illa confundi. Quod i medicamentum leniens, fiat ob quanti
tatem purgans humores, ut de multa casia nigra, tuncnon potet
asignari illa comparatio nii ut et medicamentum purgans. Et it
gratia exempli, primum ut grana ex camonij purgent aliquem
ter, & uncias decem bilis, dico iuxta rationem uprapoitam, quod
grana duodecim purgabunt iuxta proportionem duplam exqui
alteram, i duo grana nil purgant, ed commouent. qualia enim
unt: ut quatuor int dupla, & ex tripla, & mouent ter, quia exqui
alteram habent proportionem ad exceum, igitur duodecim du
plam, & exquialteram ad quatuor, nam decem ad quatuor et du
pla exquialtera, & purgabit epties cum nixu libras duas fer
me bilis. Vt comparatio fiat exceus ad uim, qu reitit eodem
modo. In casia ergo nigra i uncia
& du unci purgant ter, & libram unam bilis, tres unci duplam
duplum purgabunt, & duplo magis, id et prter feces libras
duas bilis in ex uicibus.
Propoitio octuageima.
Proportionem motus ecundum obliquum ad rectum in pa
tio declarare.
Hc udetur imilis uperiori cuidam propoitioni, ed tamen in
hoc differt, quoniam in c a upponimus nauim moueri, ut concu
tiat, hic autem iuxta motum olum: ut proponamus b nauim ferri
uerus a uento recto ex b in a: it autem uentus ex
cin a mouens nauim ex b in a: nn enim moue
bit ut quidam putant in ratione c a ad b a: ut i ca
it exquiquarta ad b a, ut quali impetu ex b &
c flante uento moueretur tardius per c a, quam
per b a, quia qualiter ex uppoito: ergo tanto
tardius c fertur in a, quam b in idem quanto lon
gior et c a, b a igitur i b perueniet in a in qua
tuor diebus c perueniet in idem a in quinque
diebus. Hoc enim et per e manifetum: ed non qurimus id, ed
ut uento c a quali per c a ei, qui et b a per b a, ubi b moueatur uen
to c a per b a, quanto tardius mouebitur. Mouebitur.
n.
tardius ad
a per b a, quam per c a, at per c a tardius, quam ex b in a per qua
lem uim, ergo multo tardius ex b in a per c a uentum, quam per uen
tum ex b in a. Qurimus ergo compoitionem horum, ut it c
nauis, qu debeat transferri ad a per uentum ex b, & equitur,
quod tardius, quam ex c per uentum ex c in a, & tardius ex b per
uentum ex cin a. Ergo malus, qui in prora et conuoluto eo, qui
et in puppi, ut etiam Aritoteles docet tantundem nititur ad re
ctum ex cin quiditantem locum ab a quantum c ditat ab con
tra temo, qui in puppi et dirigitur ad h, & i ualidius it uentus e
tiam adiuuante temonem, eu contra nitente, quantum licet mo
bili pondere nauis ad id latus, premitur enim nauis, quai ubmer
gi debeat, uento in aduerum premente, ut i uentus repente huic
contrarius exoriatur, Cum ergo uen
tus ex b feratur, quiditans c h, & c feratur per temonem in k, & ab
oppoitis qualis actio equatur, im tota impeditur, ex c in h fere
tur iuxta proportionem anguli, quem contituit h c cum a c ad to
um rectum, Si igitur ex c in a debuit ferri in duodecim horis ob
cti pars, feretur ex c uerus a ad quantitatem b a in quatuorde
cim horis: igitur rurus quanta et proportio c a ad b a tan
tum et temporis, in quo fertur ex c ad a ad quatuordecim horas
per uentum b a.
Propoitio octuageimaprima.
Qualis it angulus, per quem potet moueri nauis ad rectum
explorare.
Cum in prcedenti propoitione otenum it angulum k c a
oportere ee qualem angulo h c a, ut feratur, c in a uento c h, nec
tamen prorus, ed temo magis inflectit uerus k quam uentus co
git uerus h: icut contra maiori ui uentus dirigit ad h, qum temo
ad k, ut necee it nauim flecti ad k pondere, ideo i uentus eet
tranuerus periclitaretur, necee et, ut per omnes uentos, qui fe
runt ab ea, qu ad perpendiculum uper c a, & unt quatuordecim:
ed quoniam, ut dixi, pondere adiuuante uis uenti minor fit, nece
e et, ut per uentos debiliores feratur magis ab extremis, qui pro
pe perpendiculum unt: ita ut numerus omnium it, cum leuisimi
fuerint, quatuordecim, cum uiolentisimi, tres tantum proprius, &
qui ditant trigeimaecunda parte totius circuli, id et partibus un
decimi, cum quarta reliqui undecim, medij unt: ut tanto plures a
umi posint Nauclero, quanto molliores unt uenti, tanto pau
ciores, quo uiolentiores. Tutius autem fuerit in ualidis uentis diri
gere nauim per uentum proximiorem, quam per ipummet, qui re
ct tendit ad locum. Veluti tendat nauis ex a in b, uentus tendat in
cualidior, cumque magnus fuerit angulus c a b, ut pot dodrans to
tius recti, ut eet temo dirigendus ad extum uentum altrinecus di
rigemus olum ad quintum, ut feratur in d, & hoc erit tanto cele
rius, & celerius feratur per a d & d b, qum i nauis recta lata eet
ex a in b. inuper tutius.
Propoitio octuageimaecunda.
Proportionem uelorum indagare.
Vela tribus in locis diponi olent dolo b, quod in prora con
tituitur, & in malo, qui ponitur in medio ratione, qu inferius
otendetur, ed non ad unguem, quia cum malus in anteriorem
partem uento impellatur, i eet in medio, emper prmeretur
nauis in anteriorem partem, ex quo duo magna incommoda eque
rentur: primm ut periculum ubiret, ne inuera in anteriorem par
Secundum ne prea in parte anteriore dif
ficilius aquas diecaret, & ob id longe tardiu, moueretur. Pro
pter hc duo incommoda igitur malus etiam i unicus eet
(quod uulgatisimum maloribus notris fuit) in parte magis
pror proxima locabatur gubernatoribus, ut eet quai in trien
te rotro in bee puppi: Rarum fuit, & memorabile, quod nunc
pasim habet olim Antigoni
potremum Epidromus ut ipa uoce intelligamus non fuie ue
lum in malo ipo medio, ed in puppi contitutum. Caua Dolonis
inferius exponetur: quod autem eet paruum, & omnium mini
mum, ut nauis acile ab eo inuerteretur. Vnde etiam nunc minus
minime habent tam quantitate, quam etiam altitudine, quod uo
cant Trinehetum, olum enim utinet nauim, qu uentis, uel un
dis mergi olet: ab undis ubi humilior et, uentis lateribus, et an
teriore parte. Vnde humile, & exiguum uelum efficit, ut nauis ante
riore parte leuis, nec mergatur prona uentis, nec aquas ea exci
piat, nec tamen impelli potet nauis in copulos, nec euerti ob cau
as dictas: ob qu in magnis tempetatibus hoc ipo duntaxat uti
olent. Quod eti nimium uierint, etiam illud demittunt, & i
fieri potet, etiam malum ipam quamuis ine uelo it. Sed plerun
que circumuolutam, & implicatam olet antennam annexam, at
que upenam habere. Sed & ne nauis prorum obruatur, quo
niam ea pars omnem uentorum uim excipere olet, & ut leuisima
it ijdem Gubernatores puppim multa arena, lapillis qe onerant. Ergo uelocitas nauis uentorum impetu, eorumqe rectitudi
ne uelorum magnitudine, & loco humiliore, aut ublimiore ha
betur: tum nauis leuitate, & forma. Qu enim non merguntur ut
gatas appellat) quai aquas innatantes curu unt uelocisim. Et
longiores latis. Pot has unt, qu carinam habent tenuem, ut fa
cile aquas diuidant. Vltimo loco, qu quai medi, ante quidem
tenues, pt latiores ad uelocem curum, & ferendum onera apt,
& humiles altis: & leui ex ligno. Sed nos de uelorum uarieta
te loquimur, non ea', qu ad malos pertinet. Contat enim me
dio loco plus mouere, quam in extremis, ut infr docebi
mus. Antiquo enim tempore opus non fuit malorum mul
titudine, quoniam yderibus uias dirigebant ob id non ad
amusim, quoniam linea dirigi non poterat maxim ob mo
tus obliquitatem in circulo uius: ide mali multi confu
ionem in curu, & impedimentum in naui, maiuqe pericu
lum attulient. At nunc inuenta pyxide, & lapidis Her
quai craa minerua depictum, & potetate deformatum, ad amu
im contrahant. Motus ergo magnitudo non impliciter contat,
ed comparatione upericiei ueli ad uelum longitudine quidem,
ac latitudine conflata per multiplicationem. Altitudinis quo que ut
infr exponetur. Ex quorum omnium ductu, quai cubica, uel tri
plicata ratione, ut uperius otenum et, ratio uelocitatis motus na
uium conflatur.
Propoitio octuageimatertia.
Proportionem receus recta uia ad obliquitatem inuetigare.
Sit nauis in a itura in b (uentus rectus ad c, medius ad e) per
liquum
per a d, & int ad perpendiculum b e, b d quas contat ee breuisi
mas earum, qu ad a c & ad a d. Queritur igitur quando uelocius
ferretur ad b, an cum per a c, c b, an cum per a d, d b,
an cum per a b impliciter. Et contat quod a d & d b
longiores unt a b, itud enim demontratum et ab
Euclide in primo Elementorum, dico modo a c, &
c b ee longiores a d & d b, nam quadrata a d & d b
& a c & c b unt qualia quadrato a b per dicta ibi
dem, & ideo quadrata a c & c b qualia quadratis a d
& d b, ed a d et longior a c, quia ducta c d angulus
d c a et obtuus, igitur ad maiorem a c per decimam
nonam primi Elementorum: quare per communem
animi ententiam quadratum a d maius et quadrato a c, quarerur
us per communem animi ententiam quadratum c b maius et
quadrato d b. Cum ergo quadrata a d & d b qualia int quadra
tis a c & c b, & a d it maior a c & c b maior d b, equitur per nonam
ecundi Elementorum, quod a c & c d int maiores a d & d b pari
ter acceptis. Si ergo maior fuerit exceus qum proportio motus
per temonem cohibiti, ut upra uium et, tardius mouebitur per
a d, d b qum a b per a c, c b qum per a d, d b, ed i contr maior it
proportio motus cohibiti temone ad motum liberum qum ex
ceus ad exceum uelocius mouebitur per a d d b, qum per a b,
& per a c qum per a b. Accedit huc e incommodo longioris ui,
quod uento a c non poterit ferri nauis ex c d in b, quoniam antea
gre ferebatur: & nunc grius per c b qum a b, plus enim ditat
uentus a c ab itinere c a qum uento a b, ut uium et uperius, igi
tur multo melius et (ni quid obtet) ire per a b qum per
uiam: nii tationes int in c d, uel periculum immineat in a b. Vbi ta
men uenti ecundarent, tantum et uirium in recto curu, & quali
c b in b quam per ipam a b, quod fuit propoitum declarare.
Propoitio octuageimaquarta.
Ditantiam centri terr centro mundi per motum lapidis Her
culei declarare.
Non me later Aritotelem exitimare centrum mundi ee cen
trum terr illudque probae, quod tamen ex demontratione notra
mathematica apparet nuncubijciam, & quid ad illius rationes di
cendum it, alis etiam dicendum erit: nam liber hic, ut mathemati
ca decet, ee debet ab omnibus contentionibus abolutus. Con
tat an non ee propriam uim lapidis illius, ut qui non it circum
criptus ed frutulum quoduis id potet, neque per e, ed in ferro &
pendulo, nec fieri potet, ut it illius
ed quai perfect portionis cuiudam generis terr, qu abolu
ta it, cuius indicium et illius copia, neque enim ullibi non inuenitur,
& ubi ferrum effoditur, ut in Ilua Inula Tyrrheno mari, et ergo fer
ri uis terr marit, qu perfecta in uo ge
nere, ubi uim fcundam acceperit macu
lo cilicet Herculeo lapide, qurit primum
ut decendat, ubi hoc non posit
rit, ut quiecere posit. Vt ergo quiecat
motu cli qui et ab Oriente in Occiden
tem iuxta axis cli itum e dirigit, quod
ille olus quiecat in uo motu, uel altem
tardisim moueatur: indicio et quod i
extra itum illum acus ferrea imbuta eo lapide ponatur, tatim tre
mit uchementer, ade ut nec momento ullo conitat, ed mier &
grauiter torqueri uideatur, non ergo quod entiat polorum locum
qui tantum abet ab illa, ut nec ab homine perito mathematicarum,
ed quod uix illa cli entiatur circa centrum mundi. Cuius indi
cio et Oceani maris, aquarum fluxus & refluxus. Duos ergo ha
bet motus terra perfecta, eu ferrum lapide Herculeo
ordinatos imperfectum perfecto: perfectus et, ut decendat ad cen
trum terr, ut ibi quiecat: imperfectum, cum perfecto prohibe
tur, ut quiecat altem extra centrum cum in clinatione ad centrum,
et hoc fiet i ecundum longitudinem acus dirigatur per axem mun
di, cum itu tamen decenui ad terr centrum proximiore, ut pi
us uperius declarauimus, dum de motu grauium & prcipu li
br, & centro grauitatis loqueremur. Quibus demontratis tum
experimento tum ratione Fortunio Affaytato Cremoneni Me
dico, cum per hc potmodum cogeretur fateri acum ad polum
uem partibus, eu decima parte unius recti in centro terr, qu et
quadrageima totius ambitus cli. Statuatur centrum mundia, &
b a c axis, ecundum quam mouetur motu diurno, ital a dextra exit
oriens, k a initra occidens, & tatuatur d centrum terr, eu upr
eu infr, non tamen in linea b c, ed uel upr in dextra parte, uel in
fr in initra, ita ut ducta linea per illud punctum arcus b g it no
uem partium. Contituta ergo acu in e puncto, ubilinea h ad g ecat
peripheriam terr dico, quod acus dirigetur per h g, & non per b c,
nam acus mouetur ad centrum per eam, & in eo itu tota dirigitur,
quia omnes partes grauis conentiunt in motu principij grauitatis
ad centrum, hoc enim demontratum: nixus ergo et ut moueatur
per c d, & in eo nixu qui et quies cuto dit lineam axis, qu et a b,
ut quiecat, ergo non quiecet, nii in linea d g, quod erat demon
trandum. Qu autem equuntur ex his corrolaria omnia concor
dant cum experimentis. Ergo hic ermo et demontratiuus, ut e
nim bene dixit Auerroes: Sermo demontratiuus atisfacit omni
bus problematibus qu Ex
hoc ergo patet, quod angulus ditantia d ab a in latitudine et de ci
ma pars recti, et quod quanto magis ditatin longitudine centrum
terr centro mundi, tanto etiam minus ditatin latitudine. Hc
enim unt demontrata clar in mathematicis. Vnde fieri poet
quod hc quantitas ditanti eet res, per quam exigua etiam i
non eet maior quatuor digitis ufficeret, modo etiam per ualde
paruum patium ditaret ab eodem in longitudine. De caua au
tem huius differenti alis dicendum erit, hiclo cus non et, ed uf
ficit cire quod ita it, quod i mobilis it punctus d, clarum et ali
quando futurum ut minus ditet g b, aliquando ut it idem. Et
qualicunque motus it, necee et eam ditantiam uariari.
Propoitio octuageimaquinta.
Proportio ponderis unius grauis ad aliud ub eadem menura
et, ueluti eiudem ad differentiam ponderis uais repleti ex altero
graui, & ex ambobus detracto priore.
Sit aurum a, & liquor b, qu repleant uas c, &
pondus amborum it librarum quadraginta, &
uas repletum liquore olo it librarum xxix, au
rum autem it ponderis librarum xij, igitur reli
quum erit ponderis xxviij, differentia ergo ua
is pleni, & non pleni liquore et libra una, pon
dus auri et librarum duodecim: dico quod au
ri pondus et duode cuplum ponderi liquoris, &
retur quod pondus liquoris eet xxvij, & quia plenum uas uppo
nitur ee librarum xxix, eet differentia librij, at auri pondus et
libr xij, igitur proportio ponderis auri ad liquorem eet excu
pla. Nam i uas plenum liquore ex uppoito et librarum xxix, &
cum auro xl, gratia exempli, & auri pondus et xij, igitur liquoris
pondus et xxviij librarum: ed cum liquor it corpus imilium par
tium, igitur loci ad lo cum, ut ponderis ad pondus, ergo dum adet
aurum, liquor occupat xxviij partes cxxxix, totius uais igitur au
rum continet unam partem tantum, & cum aurum pondus habeat
librarum xij, & liquor unius: quia totum uas cxxxix librarum dum
et plenum, & et diuium in xxix partes, igitur pondus unius par
tis liquoris et una libra, igitur pondus auri et duode cuplum ad
pondus liquoris quod fuit propoitum.
Ex quo equitur qud i ducatur pondus illud partis per pon
dus repleti uais ex alio graui, & productum diuidatur per differen
tiam illam, prodibit pondus uais repleti liquore graui.
Exemplum, i pondus auri fuerit librarum xij, pondus uais re
pleti liquore xxix librarum, pondus auri & liquoris replentium
uas xxxix librarum, ducemus xij in xxix fit cccxlviij, diuido perij
differentiam xxvij ponderis uais, repleti ex ambobus detracto au
ri pondere, & xxix ponderis uais repleti liquore exit clxxiiij, & tan
tum auri uas illud continebit, nam cum du partes quas occupa
bat aurum eent ponderis librarum xij, totum quod erat partium
xxix, continebit decies & quater cum dimidio illud aurum xij, aut
ductum in xiiij cum dimidio, efficit cclxxiiij ut prius.
EXEMPLVM.
Quia ergo in uperiore propoitione docui, quod ferrum et ue
ra terra: uolui cire qualis eet proportio ferri ad aquam. Accepi ur
ceum cuius aqua dum plenus eet ponderis, fuit unciarum ex, &
eptuncis unci, & eptuncis duodecim partis unci & pondus
ferri unci eptem, & triens unci & triens duodecim partis un
ci: & uais aqu & ferro eodem repleti unci tredecim, & duode
cima & eptunx duode cim partis unci. Detrahemus ergo vij &
trientem & trientem duodecim. i.
7 & 64/144 pondus ferri ex 13 19/144, &
relinquentur 5 99/144, detrahe ex 6 81/144, pondere aqu totius uais relin
quuntur 17/18, diuide 7 64/144 per 17/18 exit proportio ponderis ferri ad pon
dus aqu 7 15/17. Ethoc et proximum ei quod dixit Philoophus de
proportione ponderis terr & aqu.
Ex hoc patet olutio problematis cuiudam propoiti aliasque mi
nus bene oluti cm cauam habeat manifetisimam, cilicet quod
funditur, non quod quicquam abumatur in metallo, ed caua et
quod cum aurum it duplum pondere ferro, erit ex demontratis
ex decuplum ad pondus aqu. Igitur cum it proportio ponderis
auri ad differentiam patij eadem, i it uas aqu ponderis libr
unius & medi, erit pondus totum xxiij unciarum, igitur aqua de
ficiet olum ex decimaoctaua parte eu crecet ex impoitione auri,
ed illa pars in tumore aqu abumitur,
dum aureos imponimus plana olum it, ed quia non ex
quauis rotunditate defluit, aliter in urceo tam exiguo
non poet apparere rotunda: quod enim rotunditas to
tius terr, qu etiam planam otendit totam unam re
gionem ad rotun ditatem qu apparet in exiguo urceo
aqu. Et igitur rotunditas illa potius ob lentorem aqu qui auge
tur lentore argenti, & etiam magis auri, cum enu digitorum per
cipiatur.
Ex hoc apparet ratio quomodo Archimedes potuerit deprehen
dere coronam Hierone propoitam quantum auri & argenti con
tineret. Sit ergo uas a b aqua
cum libra auri it ponderis unciarum quadraginta unius, & cum li
bra argenti ponderis unciarum quadraginta cum dimidio, igitur
erit auri pondus ad aqu pondus duodecuplum, argenti autem
ad idem octuplum, quare auri ad Ponamus ergo quod corona impoita ex auro & argento olo fa
bricata (hoc enim upponere oportet) fuerit un ciarum exaginta,
pondus autem aqu content cum corona in uae unciarum uigin
tiquatuor cum dimidio, cilicet totum octuaginta quatuor cum di
midia, erit ergo proportio ponderis coron ad pondus aqu, ut
cxx ad xi, aurum igitur et proportione duodecuplum, argentum
autem octuplum, corona ut cxx ad xi. Contituantur ub eidem ra
tionibus ducen do lxxxviij. cxx.
cxxxij.
hoc et ac i dicamus, accipe
partes ex cxxxij & lxxxviij, tot ut faciant integrum & componant
cxx. Et ide reduces ad minores numeros, cilicet xxxiij.
xxij.
et xxx.
& operaberis per regulam de conolatione monetarum, quas po
nemus infr, & fient auri partes octo & argen
ti partes iij, nam cum duxeris iij in octo pon
dus argenti fiet xxiiij, & cum duxeris viij in
xij, pondus auri fiet xcvi, igitur totum pon
dus erit cxx, diuidendum per xi, aggregatum
partium auri & argenti, ita uero uncia ad unciam, ut tota corona mi
ta ad coronam puram auri & argenti.
Ex hoc etiam patet modus
inuicem per olam aquam, uelut auri ad plumbum, ad lapides uel
s, aut ris ad lapidem & imilia, ut in prcedenti operatione de
prehenditi: nam cum it nota proportio auri ad aquam & ris uel
lapidis ad eandem, erit auri ad s uel lapidem nota.
Et imiliter ciemus per hoc accipere partes diuerorum, qu iun
ct faciant contitutum pondus. Velut uolo facere maam ex mel
le & aqua, qu impleat uas, quod mellis contineat
quindecim, aqu duodecim, uolo ut contentum it
ponderis quatuorde cim, operabor, ut in
nibus
uides in operatione latere.
Propoitio octuageimaexta.
Si circuli in quales, eu in phra, eu in plano e ecuerint nun
quam oppoitos angulos quales habent.
Capiantur tres quart cir culorum magnorum a b, a c, b c, & alia
b d ad rectos angulos
parallelus, erit ergo e f qualis e g, & f e qualis f g, ed bais c g et
quarta circuli, & bais c b dimidium quart
circuli eo quod tota b a et quarta circuli, igi
tur per modum 25 primi Elementorum qu
tenet, erit angulus c f g maior oppoito c f b. Hoc autem tenet in eiudem rationis uperfi
ciebus, quales unt h, qu unt uperficies eiudem phr. poet
etiam demontrari per modum quart primi Elementorum. Et eti
am contituta phra e f g, cuius hic circulus eet maior circulus, &
non tangeret nii in illa linea phra maiorem, & utrin que ecaret eo
dem circulo. Et etiam per cordas & trigonos rectilineos, auxilio
Ex hoc equitur auxilio regul dialectic,
quod in omnibus parallelis a c d & e f g cum b c circulo
maiore, & per aliam regulam dialecticam in omnibus cira
culis inqualibus inter e ad quales angulos ecanti
bus & ex tertia demum regula dialectica, equitur in o
mnibus circulis in qualibus e ecantibus ad quemuis
angulum in phr uperficie. Sunt autem h regul medi inter
axiomata & demontrata. Et ex logica propria illi arti.
In plano au
tem patium d b c minus et a b c, ed patium c b d et unum, ergo
per communem animi ententiam patium a b d, maius et patio
c b c, quod fuit probandum.
tij
Propoitio octuageimaeptima.
Proportionem crasitiei aqu ad arem in comparatione ad ra
dios demontrare.
Sit in aheno a b c d in imo e dena
rius argenteus cera affixus uel cla
uo, quem uideat ex h impoita aqua
clara uque ad f, uideat ex k, igitur per
aquam deflectitur perpendiculo
per angulum k f n, & in l, per angu
lum l g o crecente aqua demum in
labro m a p, & it e annexus, & tabu
la h k l m it affixa olo uel pondere
firma foraminibus obliquis infr
pectantibus, & per a apicientibus extremitatem e. Poumus ergo
imaginari primum, qud omnes inclinationes int perpendicu
lari, dum exit aqua, & ita denarius uideretur, uel in uperficie aqu
in directo e, uel in recta ex oculo in imo, quorum neutrum uerum
et. Secundus modus et, ut radius delatus e a flectatur ad k uell, &
hoc non quia in a non et mutatio medij. Tertius et, ut linea ex ocu
lo ducta perueniat per punctum a ad uperficiem aqu, & ex ea
per directum ad denarium, & tunc quia oculus iudicat e uidere
per rectam, ideo iudicabit e uidere per l a g in q, eo quod emper in
directo loci in quo et e. At quoniam non ex qua cunque ditantia ui
detur e, ed ex longinquiore loco, ubi uas fuerit humilius quod li
ne ad a ex oculo, quanto a fuerit humilius, tanto propius ipi e
procedunt. Et uera uice line ex e ad a, quanto e et humilius ad
quencunque locum inflectuntur, tanto inferius Ergo cum fue
rint ad quilibrium h, magis ditabunt ab e, & ita e magis procul
uidebitur. Caua ergo triplex et humilitas, uel altitudo uais: humi
litas uel altitudo aqu: & labri uais altitudo. Sed han crelinquere
poumus. Difficultas ergo experimenti etiam rect facti et, quo
niam poito uae n c d olum, ut altitudo it tantum n e, procul ma
gis uidebitur e, qum i uas it a b c d, & totum plenum. Vbi autem
uas fit a b c d, magis procul uidebitur e cum uerit totum plenum,
quam cum fuerit plena ola pars n c d. Sic difficile et coniderare
an altitudo aqu faciat ad uiionem procul, cum in humiliore, ed
disipari uae longius uideatur in pauca, quia labrum non obtat:
in eodem autem longius in pluri aqua, quia labrum etiam non ob
tat, ed alia ratione. Vt ergo uideamus hoc experimentum, capie
tudinis & latitudinis, & collo cabimus ita ut p n radius quiditet
f e, & collo cabimus tabulas cum foraminibus, ut prius, & g f p q
in quilibrio, in de uidebimus, an q p it qualis aut breuior, nam
longior ee non potet, quoniam inflectitur a minore aqua, ideo
angulus p h q non potet ee maior f a g, uppoita p h quali a f:
quod i non eet, ufficeret, ut q & p eent in quilibrio uno, & f g
alio. Sed ueritas et quod maiore aqua maior fit reflexio: tum
quia in his, qu unt ecundum naturam corpoream, & ubtan
tiam denam, aut tenuem uarietas quantitatis uariat uires: tum
quia uidemus, quod in altiore aqua denarius uidetur magis cum
fundo elatus. Igitur his cognitis experimentum fiat cum uae ple
no. Et (ut dixi) coniderabimus proportionem anguli f a g ad far,
eu f e c qu an et no tabilis: ade ut it maior proportio aqu ad
arem comparatione grauium qum lucis.
Ex his cognocemus comparatione eiudem aqu tenuitatem
aris unius regionis in comparatione ad arem alterius: nam ubi
remotius uidebitur denarius, ibi ar erit tenuior.
Et per idem in eadem regione comparationem aquarum.
Nam
cum it idem ar, & uas, ac reliqua paria, ubi magis procul uidebi
tur denarius, aqua erit crasior ide deterior.
Se quitur etiam qud omnes res propiores in aqua uidentur,
quam int, & ide maiores: & ob id etiam omnis aqua profundior
et, quam uideatur. Vtingredi perp it periculoum.
Propoitio octuageimaoctaua.
De intrumento
momentorum.
Intrumentum Acolingen, quo momenta temporum deprehen
dantur fabricare.
Et quoniam motus naturales fiunt in tempore: & dicuntur ue
lociores, uel ob patium loci magnum, quod uperatur, uel ob tem
poris breuitatem in uelo cisimis motibus, quod ad patia attinet,
facilius dignocuntur uelociores, quoniam patium maius & ma
net, ut menurari commod posit: ed qud ad tempus, quanto tar
diores, quoniam in uelo cibus quantitas temporis et exigua: & e
tiam tempus ipum perpetu diffluit: ide difficillim deprehendi
potet. Huius caua exco gitauimus intrumentum, quod uo caui
mus Acolingen: quod contat tribus rotis: prima et pedum duo
decim diametri, in ambitu autem habet denticulos ccclx qua
les, & qualiter inter e ditantes, huius peripheri funis cum pon
deribus ineritur, ita ut cum alijs duabus rotis renitentibus in una
hora circumagatur qualiter. Duodecim ex his denticulis curru
lis duode cim denticulorum axis ecund rot ineritur: ic ut cum
rota magna duode cim conuera fuerit partibus, ecunda rota cu
ius axis it pedum duorum, cilicet excuplo maior circumuerta
tur. Huius minoris ambitus diuius it in cxx partes quales, &
unicuique parti denticulus inertus it: ita hc rota tricies in una
hora conuertetur. Singulis uer denticulis currulis axis rot ha
bentis denticulos quatuor ineratur, ita ut dum ecunda rota uer
titur emel minima circumuertatur tricies: nam pro ingulis qua
tuor denticulis, quibus media rota cir cumagetur, minima tota cir
cumuertetur, ideoqe nongenties in una hora. Hc minima ro
tula beem pedis in dimetiente habebit, ut it exta pars illius, in
ambitu autem diuia erit in xl partes, ut cum circumuera fue
rit nongenties in una hora pertranierit partes xxxvi. Et cum
pulus hominis communis int in hora <23>, uel circa nouem partes
ex his rot minoris perficient circiter unam pulationem ex diato
le & itole, eu ex ditentione & contractione perfectam: ut partis
unius conuerio fiat in nona parte, uel circa unius pulationis pul
us humani: & hoc et minimum ferm, quod ab humano en
u percipi posit. Erit etiam proportio rotarum eadem tam in dia
metris, qum circuitibus cilicet excupla, neque motus diffor
mis, quoniam maior tanto tardius mouebitur, quanto quod ue
locius mouetur etiam minus erit, tamen proportio uelo citatis ma
ioris ad minorem in qualibus patijs uigintiquin cupla, ut ma
ioris ad mediam quintupla, nam cum it excupla in ambitu,
& tricies moueatur uelocius comparatione totius, equitur, ut
proportio patij, quod uperabit media ad patium, quod u
perabit maior in eidem temporibus, erit quintupla, emper ad un
guem. Et ita medi ad minorem quintupla, & ide maioris ad
pcriculoa, ut in rotis moletrinis, & it diuia per medium iuxta
proportionem, cum it tanto uelo cior minor media, quanto media
maiore. Rurus proportio partium maioris ad medi partes tripla
et cilicet ccclx ad cxx, & medi ad
portio et excupla, iterum igitur partes maioris ad mediam, & me
di ad minorem erunt in dupla proportione, utrobique, & et pul
chrum. Ide partes etiam minim rot erunt atis magn: nam
cum diameter it bes pedis, ambitus peripheri erit duorum pe
dum. 1. unciarum uigintiquatuor: igitur diuia peripheria in xl par
ter, unaqu que pars erit maior dimidia uncia.
SCHOLIVM.
Et cum defuerit intrumentum, utemur menura expulu homi
nis deumpta, ed non et ade exacta. Accedit aliud commodum,
qud cum in una hora circumuertantur partes xxxvi, id et triginta
ex mille: & octauus orbis circumuertatur in totidem annis, tot
erunt momenta ex his in una hora, quot anni in uno circuitu tella
rum fixarum. Vtintelligamus, qum breui tranit una hora apud
nos, ita apud Deum, utita dicam (nam nulla in infinito proportio)
unus annus magnus, & reditus rerum omnium. Comparata etiam
rota minima ad rotam moletrini ic e habet, qud cm modica ad
et, ueratur rota in una pulatione: cum atis abundans quinquies,
aut exies cum immodica duo decies.
Ex hoc equitur, quod homo i moueretur uelo citate motus ro
t moletrin in ex eb domadibus perueniret ad ydus Lun, nam
rotarum earum, quibus ferrum acuitur emidimetiens communi
ter et bes unius paus, ide dimetiens paus cum triente: ambi
tus ergo quatuor paus, & xxi pars, colligamus nunc integra, in
uno ictu pulus circumagitur decies, id et paus xl, in hora unt
<23> pulationes: in hora igitur patium pertranitum et cxl pauum
in M. horis, ergo erunt clx M. pauum addita parte xxi, erunt clxviij
M. pauum, & tantum ditat luna terra: & M. hor unt dies pen
xlij, eb domad cilicet ex.
Propoitio octuageimanona.
Proportionem denitatis aqu ad arem per pondera inuenire.
Contingit hoc multis modis: primum acceptis duabus phru
lis qualibus ex crytaliubtantia unaque demia ab altisima turri,
& menurato ictu per intrumentum prcedens, & ub totidem
momentis alia demia in aquam, in de ub eodem tempore dimen
a altitudine, erit proportio patij ad patium, ut denitatis aqu, ad
denitatem aris. Item emia phrula per intrumentum in arem,
in de in aquam: & fumpta proportione. Et uidimus corpionem,
qui
& dimidium ade, ut proportio fuerit, ut quinquaginta ad unum:
ide et fallax experimentum in uiolento motu: nam cum emitte
batur in aquam erat prop, & ob id in ummo robore: cm in a
rem, emittitur enim uis. De hoc ergo loquar.
Et erumpentia ob id magis qum terra, et minus qum ex are:
diuiditur enim aqua cum graue petit fundum, & aqua feruet: & et
mirabilius, qum utile.
Propoitio nonageima.
Rationem impetus uiolenti extra misi ponderis ad qualita
tem reducere.
Sit uiolentum a quod moueatur per b c d e, e patium, & quia
uiolentum contr nititur naturali, cadat ergo in planum in e: unt
ergo tria conideran da, primum quod, ut dixi alis, motus uiolen
tus pro certa ditantia augetur, & cauam ibireddidi, ut pot uque
ad c, ed hoc eet difficile cognitu. Secundum, quod ubi in cipit de
crecere, emper magis ac magis decrecit propter naturalem ni
xum contra operantem. Tertium quod ubi decendere in cipit, ibi
et qualis uis uiolentum motum agens cum naturali. Certum et
etiam quod motus qualis intelligitur erecta ad perpendiculum
e f, donec occurrat a d: & diuia tota b f per tempus, locus ergo, in
quo mouetur per tantum patium, dicitur locus motus qualis:
co k conitere propiorem f, qum b, etiami qualiter mouere
tur. Primum qud in tota g f declinat, & totus motus et lentior,
qum in tota b g, & tamen tardatur tantundem, ergo per commu
nem animi ententiam, k et propior f, qum b. Secund, quia per
ecundum uppo itum motus a uerus f, continu fit lentior, igitur
per communem animi ententiam mult longius et tempus mo
tus a k, quam f, & tanto maius patium. Terti, quia motus ex b uer
us caugetur, & i eet qualis adhuc mult eet breuior k f quam
a k, igitur mult magis hoc modo, & triplicata ratione. Si ergo b k
eet exquiquarta olum ipi k f,
erit b k dupla: ferm ex triplicata
ratione ipi k f, & iuxta eundem
modum ponemus mediam uim
xlvi pasibus corpione a quam
& hoc modo erit propid quod et.
SCHOLIVM.
Dubitat autem Philoophus in mechanicis qu nam uis it, qu
moueat lapidem iam excuum? & dubium non et quin ex parte it
ar motus tum ratione, quia mouetur ergo mouet, tum experimen
to, ut in fulminibus, & his qu uento impelluntur, ut hypophyis,
ed in corpionibus & arcubus & pilis id non ufficere uidetur. Ita
que uelut & caliditas & frigiditas in corporibus natura contrarijs
aliquandiu manent, & agunt ita & uiolentos motus, idque Alexan
der & Simplicius uolunt. Inditio unt qud mota & emia ex lon
gioribus machinis quan quam non arem continentibus, nec in
anibus tamen, longius eijciunt agittas & misilia, quoniam uis
illa firmius imprimitur, uelut etiam de lapidibus & ferro, quod di
utius in igne moram traxit, aut continu follibus ignitum et, nam
etiam tanto tardius refrigeratur unum quod que horum, & alia urit
& accendit calore illo externo, quanquam natura frigidum it: di
cemus autem & de hoc uo loco.
Propoitio nonageimaprima.
Proportionem grauis cubi, & phrici qualium in accliui, &
decenus eorum demontrare.
Hic non pauca unt
qud hoc intelligi potet, uel de motibus at
tractionis, uel impulionis, uel inuerionis. Secundum quod omne, quod impellitur uperis, tantundem gra
uat attractum, quantum ad decenum, i it rotundum, nam qua
drata, Quia tamen
omnia difficilis decendunt phricis, & facilius qum in plano,
ubi ponderant nii per dimidium grauitatis, ide proportio hc
contat ex proportione anguli decenus ad totum rectum, & ma
gnitudine uperficiei, qua incumbit ad pondus comparata. Omne
enim graue, quanto grauius tam ad quietem, qum ad motum na
turalem potentius et: hoc enim perpicuum et, quia quieti natu
rali motus uiolentus, & motui naturali quies uiolenta opponitur:
quia ergo maiore ui opus et ad motum prter naturam, ergo e
cundum naturam etiam maiore ui quiecit. Aumpimus ergo cu
bum, ut magis notum. Sphra igitur in omni decliui decendit,
quia ut dictum et, nil habet quod reitat ad motum: & ipa gra
uior et in decliui, qum in plano, quia c pun
ctus cadit ultra e, ergo punctus contactus, &
centrum grauitatis, & centrum mundi, non unt
in una linea. Si enim b c contangeretur, eet b c
plana. Si uer tangit, angulus et maior angulo
contactus, ergo cum necearium it, quidita
re aliter non eet phricum, oportet, ut eleue
tur ex parte c, & decendat uerus b, & ide ut
continuetur motus. Si uer it in linea conta
ctus b c f, & quiditet non erit, ut dixi punctus
contactus in linea centrorum, ed in a c, cum uppoitum it lineam
a d ee lineam centrorum: maior et ergo portio g c e, qum rei
duum, ergo decendet in b. Cubus uer non decendet, nii cum di
midium d addito, quod inter cipitur inter lineam mediam, & qu
centro mundi ad punctum medium contactus uque qu perueniat
ad oppoitam partem, eam habuerit proportionem ad idem me
dium eadem portione detracta, quem iuncta proportioni an guli
declinationis ad reiduum recti dimidiam proportionem efficiat. Eademque ratio aliorum planorum.
Dico prterea qud motus
phr, & etiam corporum rectarum uperficierum in decenu
alius et qualis, & alius inqualis, & quai latere, uelut i angu
lus unus prolabatur, ac fiat circumuolutio: cum ergo facilius fiat
hoc, & maxim i non retineatur qualiter, & difficile it in medio
retinere, propterea prolapus hi melius
qum in medio, non olum ob hanc qualitatem, & complexum
meliorem, ed
cilis cohibentur, &
aut ui Et ideo uin cula in rami cibus duplicia dextra, & ini
tra cilicet in
olum in medio nectantur.
Ex hoc etiam equitur,
quod cm omne graue
pont emper appropin
quet centro mundi, & a i
moueretur per planum e,
magis remoueretur cen
tro mundi, ut per e c per ea
qu diximus, & quoniam
linea ex centro mundi ad
c longior et, qum ad e,
mult potet enim ee, ut
in proportione diametri
quadrati ad latus eius, &
ctiam maior. ergo poterit
ee ade parum decliuis
linea c d, ut c punctus ma
gis diter centro mundi,
qum d, & tamen feretur
ex d in c motu naturali, ut demontratum et, ergo per purum mo
tum naturalem poterit a remoueri centro mundi. Hoc uolui pro
ponere, ut intelligeres in plano uero c e non moueri a ponte, quia
c neceari altior et d: i ergo mouebitur, non erit c e recta, ed
pars proportionis circuli uperficiei terr, qu enu recta ditin
gui non poterit. Hoc ergo et primum, ex quo equitur.
Quod aliquid poterit uideri decliue, in quo non decendet im
erit, ut pot i aliqua linea obliqua eet inter c e, & f e, illa eet decli
uis pecie, & re, & tamen graue in illa non decenderet, quia cen
tro mundi magis remoueretur: hoc tamen et perdifficile factu, &
maxim in parua ditantia, uel etiam unius miliaris. Atque hc
in leuigatis.
Propoitio nonageimaecunda.
Propprtionem ponderis qualis iuxta longitu dinis compara
tionem demontrare.
Hoc et, quod Archimedes reliquit
intactum, cum eet maxim necea
rium, & otendit magis abtrua, ed
pace illius dixerim minus utilia. Cum
ergo umpiem uirgam b f ponderis
unciarum xxiij, fuiet b a uigeimaquarta pars, b f fuit pondus
quilibrij in b appenum librarum uigintiex cum dimidia: fuit igi
tur proportio ponderis e f ad pondus f b, ut tredecim ferme ad
Et rurus feci a b quintam partem a f, & fuit a b unciarum
quatuor, & pondus quod quauit librarum quatuor, ide du
plum ad pondus b f, icut c f ad c b: contat enim qud pondus ap
penum et quale ponderi cf. Et rurus poui b a quartam partem
b f, & fuit pondus, quod quauit in b du libr: ex quo manife
tum et, qud proportio c f ad c b et emper uelut ponderis c f ad
totam b f. Et hoc et, ac i dicamus, qud proportio ponderis c f ad
totam et confua ex proportione e f ad c b, & c f, quod et 1 p. Id
etiam declaratum et in primo de Subtilitate. Proponatur ergo
lemma, iam ic proportio ponderis cf ad pondus b c, et primum
ut longitu dinis cf, i eet upena in medio ad longitudinem b c,
quia upponuntur proportione imiles uis longitudinibus ma
gnitudines, & pondera. At c f upena in c, tanto et grauior pon
dere proprio, quanto proportionis longitudinis cf ad cb quadra
tum, quia in e ducitur proportio: igitur proportio ponderis c f in
loco uo ad b c pondus et confua ex proportione longitudinis
cf ad c b, & quadratis eiudem proportionis longitudinis cf ad c
b. Sed quadratum proportionis longitudinis cf ad cb et quale
producto proportionis longitudinis c f in ipam c f, propterea
qud ex proportione longitudinis cf ad cb in ipam c b fit c f, igi
tur proportio ponderis c f ad pondus c b et confua ex propor
tione ponderis c f ad pondus c b, & proportione ponderis cf alicu
ius e habentis ad pondus cf, ut cf longitudo ad longitudinem
c b, igitur proportio ponderis cf ad pondus b f, ut cf ad c b in lon
gitudine, quod erat probandum.
Propoitio nonageimatertia.
Propter quid in concusione etiam leui nauis loco moueatur
otendere. Vnde manifetum et, duas naues ibi inuicem occuran
tes retrocedere, & quantum retrocedant amb.
Proponatur, quod proportio motus grauis in a d graue in aqua
it, uelut proportio ponderis attracti in terra ad denitatem aqu
cum profunditate, nam ubi pondus upernataret aqu, quia aqua
et rotunda, et ac i tangeret in puncto. Quare per demontrata u
peris mouebitur quacunque ui, ergo nixus contrarius aduenit ob
profunditatem, & aqu denitatem, ed quanto aqua denior et,
tanto minus nauis decendit, & quanto minus dena, tanto magis:
ergo pari modo ferm redduntur mobiles, & in aqua dulci & ala,
ubi naues int imiles forma, pondere, magnitudine. Quia crgo ne
cee et tabulam nauis ee duriorem, quam aqua ad reitendum,
ergo pars maior ictus mouebit primo nauim, quam tabulam pe
netret, cum ergo quod facilius et, prcedat, difficilius ergo naues
rios
cee et, ut intercedat quies media, & in quiete ab ictu, ut uium et
uperius, oportet, ut quod excipit ictum uelloco moueatur, uel ce
dat, & ictus penetret, uel ar non condenetur ob tarditatem ultra
metam, nec retro cedere potet ex uppoito, & ictus et magnus,
clarum et, quod oportet, ut cedat, & i durum it confringatur. Proportio ergo receus ad ictum et ut temporis, & magnitudinis
partis, qu cedit, & retro ceus poito ictu tanquam monade.
Propoitio nonageimaquarta.
Si quantitas aliqua nota atque proportio erit producta quantitas
nota imiliter. Et i du proportiones not fuerint, erit producta
ex his atque diuia, coniunctaque, atque detracta nota. Et i fuerit totius
ad partem proportio nota erit, & ad aliam partem nota, & alterius
partis ad alteram uno minor. Et i fuerit partis ad partem, erit ad to
tum monade minor atque nota. Et i fuerit unius quantitatis ad duas
quantitates proportio nota, erit & confua ex eis nota. Et i fuerint
trium quantitatum omiologarum, aut quatuor analogarum, o
mnes prter unam cognit erunt, & illa alia cognita.
Sit quantitas a b & ducta in d proportionem,
producat b c: dico quod duobus quibuslibet ex
his cognitis, erit cognitum tertium: nam cogni
tum quodlibet dicitur in comparatione ad impliciter cognitum,
quod et unum per e omnibus cognitum. Ob id Arithmetica et
prima omnium diciplinarum, quia habet principium cognitum,
& id, quod et, ad principium comparatum cognitum in illius com
paratione: neque aliter cognitum dici potet. Quia ergo d cognita
et, erunt monades, & partes cognit in ea: aliter non eet cognita
b a, igitur cum cognita it, erit cognita per ingulas monades, quan
ta it. Et i diceres qud b a non et cognita per partem monadis:
dico quod pars monadis non et incognita, quia cum monades
unt cognit, eet d incognita. Omnes enim, quod componitur ex
cognito & incognito, et incognitum, quia cognitum olum ratio
ne partis cognit. Si ergo pars monadis et cognita, erit pars a b
qulibet prout ex monade componitur impliciter cognita. Su
peret, ut olum pars partis: & dico quod illa etiam et cognita:
quia i pars ab eet, monas eet cognita: eet enim pars ipa.
animi com
muni enter
tia.
Sed i it pars, erit umpta ecundum partem monadis ipius,
ide erit cognita iuxta nomen, uelut dimidium et dimidium mo
nadis, dimi dium terti partis monadis et cognitum, quia tertia
pars et cognita, & cimus, quanta pars aumatur illius. Ergo i a b,
Per hc eadem pro
bantur quatuor equentes partes eodem modo. Sexta ic: it pro
portio a c ad c b, nota igitur in comparatione ad monadem, ed pro
portio a c ad c b b a et monas, igitur proportio a c ad a b nota et,
quoniam aliter non poet dici proportio a c ad b c nota. Aliter, it
proportio a c ad c b e nota, ex uppoito igitur conuera nota qu
it f ex f, igitur in a c fit b c ex g in a c, fiat a b ergo ex a c in f g fit a, cigi
tur f g et monas, f autem nota et, igitur in comparatione ad mona
dem, ergo reiduum g notum. Cum uer proportio a c ad c b com
ponatur ex proportione a b b c ad b c, & proportio b c ad b c it
monas, & proportio a c ad b c nota, erit proportio a b ad b c cogni
ta, & monade minor proportione a c ad b c. Per idem octaua pars
demontrabitur. Inde it proportio a ad b, & ad c no
ta, erit ergo b, & c ad a nota, quare b c ad a nota, ed
hc et conuera ad b c confua, igitur proportio a
ad b confua nota et. Vltimum it, int a b c omiolog, & int a & b
not duo, quod c nota et, nam a b, i not unt, nota et proportio
earum. Ergo & proportio b ad c ergo per primam partem huius
cum it b nota, exit & c. Et i ponantur a c not, dico, qud b nota
erit: nam proportio a c ad c nota et, qu it d, igitur d ad monadem
ut a ad c, ergo latus notum erit, quod ductum in c producit b, b igi
tur nota. Et imiliter in analogis int a b c not: & ide erit propor
tio a ad b nota ergo c ad d. cumque c nota it, ergo per primam par
tem huius erit d nota, quod fuit demontrandum.
trat.
P
12. P
P
ententia.
Propoitio nonageimaquinta.
Cuiuuis trigoni rectanguli, aut cuius duo anguli int in dupla
proportione, aut qui circulo incriptus it cognita quantitate uni
us lateris in comparatione ad dimetientem i proportio
terum cognita fuerit, erunt omnia eius latera cognita.
Non de cognitione propinqua
Heber tractatum et, ed de exacta, de qua uperius egi nunc ermo
et: it igitur primum a b c trigonus orthogonius: & it a rectus, &
proportio
erunt: nam it proportio, gratia exempli,
a b ad b c, erit ergo quadrati a b ad qua
dratum b c cognita, quia duplicata: at
quadrata a b, & a c perficiunt quadratum
b c, igitur proportio quadrati a b ad a c et
et 1 p: cognita erit, quare & a b ad a c, &
et primum. Exemplum, ponatur b c dupla a b, erit a b quadratum
ub quadruplum quadrato a b quare ubtriplum quadrato a cigi
duplus angulo c qualicunque it, erit per demontrata uperius pro
portio a b b c ad a c, ut a c ad a b, i igitur nota it proportio a c ad
a b, erit nota proportio a b b c ad a b per prcedentem. Ergo per
eandem omnia nota cilicet b c ad b a, & b c ad c a. Et i eet nota
proportio a b ad b c, dico, quod eent nota omnia, nam nota eet
a b, & b c, & quod fit ex a b in ipum aggregatum. Sed hoc et
quale quadrato a c, igitur notum et quadratum a c ergo a c: igitur
proportio a b b c ad a c, & a c ad a b. Vt i a b eet 4 b c 5, eet a b b c
9 ducta in a b, qu et, fit 36, cuius latus et b a c cilicet. Et i eet
trigonus aliquis in cir culo, cuius proportio duorum laterum it co
gnita ad dimetientem relata, equitur per demontrata upe
rius, quod etiam tertium latus erit cognitum in comparatione ad
eadem, & ideo etiam proportio illorum laterum ad unguem co
gnita erit.
mi
ti
P
Multa prterea cognita eent in hoc genere, qu nunc prter
mitto, quia non unt ad finem necearia. Alia prterea per diligen
tem inquiitionem maioris artis qum alias edidimus. tum uer
etiam per nouas demontrationes.
Propoitio nonageimaexta.
Cum in perpicuum denum radij luminoi in ciderint, quatuor
fiunt luminis genera.
Sit ol a, & perpicuum denum, exempli gratia, ut ampula
magna aqua plena b c d, & i it rotunda accendit ignem ex ad
uero ut in e. Dico ergo in b c d ee quatuor genera luminis.
Pri
mum quod et ualidius, & rect tranit, ualidius enim et, quod
tranit qum quod tranire non potet, & etiam quia, ut dixi,
ignem accen dit. Secundum et quod colligitur in ampula, & dein
de pargitur
qum quod non penetrat, aut i penetrat, non pargitur, & hoc dif
funditur circa uas, necreflectitur rect, ed quai intro colligitur, &
diuera ratione diffunditur, et tamen imbecillius primo, ut dictum
et. Tertium genus et, quod illuminat intus ingrediendo, ed non
pargitur, & hoc et debilius ecundo, quia Quar
tum et, quod non ingreditur omnino, ed refle
ctitur, itud et abque dubio imbecillimum, quo
niam penetrare non potet. Et licet in peculis
concauis radius reflexus uideatur ee ualidior,
tatim enim accendit ignem, hoc non contin
git, nii quia in peculo cauo radij omnes col
combibuntur, ut ita dicam ed omnes Ex quo colligitur
quin cuplex ordo radiorum iuxta rationem uirium, primus et refle
quos unt radij, qui traneunt per perpicuum maxim rotundum,
qui & ipi generant ignem, & debiliorem primo, deinde reliqui
tres equentes upradicti. Sextus et radiorum, qui reflectuntur
rebus non nitidis, ut muris, & tabulis, nam omnia dura reflectunt
& etiam mollium pleraque, & hc reflexio et ferm infinita, & ob id
cubicula etiam in angulis illuminantur.
Ex hoc equitur, qud Luna remittit lumen, non reflectit, nam
ecus non illuminaret to tum orbem, ed olum portionem oppo
itam Soli, & hoc etiam rar, ergo combibitur, & illutrat circun
circa ubique.
In tellis lumen Solis pertranit aliter, i reflecteretur, non illumi
naret nos, aut apparerent, uelut comet, quia pars una eet clarior
reliqua, & i conbiberent lumen, non uiderentur qu clar, cum
Sol eet propinquus, aut remotus.
Luna tota intus illuminatur Sole, quoniam i ante coniun
ctionem illuminatur initra parte, & combibit lumen per cor
rolarium primum, & pot coniunctionem illuminatur dex
tra, & combibit pariter lumen, ergo et tota natur perpicu, ed
uidetur obcura ex aduero, propterea qud radij ualidiores refle
xi illutrant illam ex parte Solis, diffugiunt contraria, quod ma
nifet apparet in ampula expoita Soli. Pars enim clarior uerus
Solem uidetur, quam ex aduero, hoc autem long magis in Luna
ob ditantiam.
In omni Solis eclipi fit colectio radiorum ad apectum, &
ideo in regione illa, in qua centrum Solis integitur centro Lun,
& ubicunque fit, fit in cendium per tertium corrolarium. Hoc autem
fit emper in quauis coniunctione, & dum Luna ilet in regione ae
ris, ed terris non e cundm centrum, uerm ad latitudinem, & ad
Orientem ante coniunctionem cum Sole, & ad Occidentem pot:
ed centra non unt in linea uius.
Ex hoc equitur, quod oportet ubtantiam Lun ee ualde cla
ram, cum uideamus ab ampula tam paruum lumen diffundi, & ra
rum, Luna uer in uniuerum orbem, & tam copioum, ut nece
arium it ubtantiam Lun ee denam, & lucidam ualde.
SCHOLIVM.
Et i quis dicat, qud i in cendium illud fieri poet in hora ecli
pis, equeretur, qud ut in ampula in medio Lun uideretur ma
Propterea dico, qud uel ac
eidit, quia homo non potet ea hora intueri Solem, & etiam et im
peditus radijs circumtantibus, cuius indicio et, quod in pe
culo poito in aqua, imile uidetur tellul in centro Lun: & hic et
plen dor Solis collectus in centro Lun. poet etiam dici, qud
Luna circa medium propter maculam non admitteret lumen, & ita
eet inqualium partium.
Propoitio nonageimaeptima.
Motum inuerionis in figuris in comparatione ad motum ph
r in plano inuetigare.
Voco motum inuerionis, qui imilis et motui phr, cili
cet circumuertendo graue uertice, & manifetum et, qud in
quacunque figura, qua graue inidet plano per punctum ue
lut ouata ipum mouetur quauis ui, ed i inideat per uperfi
ciem, quanto maior et, & humilior, tanto difficilius mouetur,
ide in corpore uiginti baium, qud inter regularia uocata, plu
res habet, uperficies pro ratione qualis ponderis, motus erit
longe facilior. Alia caua et inqualitas partium, unde qu ro
tunda unt, quia prominent, facile mouentur, & cum partes me
di initant plano, quanto minores erunt tanto facilius moue
buntur ratione ponderis. Vnde patet, qud corpora ouata faci
lius mouentur, etiam qum phrica, habent enim partem me
diam minorem, & paria unt ratione inceus plani, ed aris mul
titudine tardius, quoniam enim phra ub quali ambitu plus
continet corporis, ergo ouatum quale phr habet maio
rem ambitum ipa phra. Hc autem Theone partim de
montrata unt, partim ab Archimede, & partim nobis, ergo
motus ouati et ferm qualis motui phr, & tardior et con
citatus, qum phr, quia ma
iore excipitur are, & partes exte
riores non ita incumbunt in me
dium ecundum longitudinem. Cu
bus uero tardior et propter qua
litatem, & latitudinem uperficiei in
ferioris, omnium
pter has cauas conus ambligonius,
& quanto magis fuerit, ratio uero
eleuationis et, ut it cubus b c, cuius
medium grauitatis it b uper pla
lineam c f ipi plano, & proportio grauitatis totius upeni in com
paratione ad grauitatem eius, qui inuertit, et, uelut proportio par
tis terminat ad lineam c f uerus eum, qui eleuat ad partem, qu
ultra et, cum uer h partes not int iuxta perpendiculum ex
centro grauitatis, manifetum et, quod ciemus pondus corporis
a b cf, dum inuertitur in quo cunque itu ad pondus eius, dum u
penditur, & clarum et, qud cm centrum, & medium grauitatis
fuerint in una linea per c f, tunc nulla erit grauitas.
Propoitio nonageimaoctaua.
Proportionem ponderum qualium per differentiam angulo
rum inuenire.
Sit a b, qu i appena eet ad quidi
tantem terr uperficiei, nulla ui poet ele
uari, inflectatur ergo ad c punctum, omia
c g, & manifetum et, quod i b c initeret
ad perpendiculum, ponderaret a c i eet in
quilibrio, ponatur ergo accliuis in c d per
notum angulum. Quia igitur b c ad c a no
ta et, erit dicta uperis notum pondus
b h, poita h c quali c a, quare totius a b,
& iam fuit e k notum, & punctus d notus:
hoc enim infr demontrabitur, qualis igitur proportio line
tranuer dl ad lineam decendentem d m, talis differenti pon
derum c m, & c e, id et partis ad partem. hc autem inferis de
montrabuntur. Neque enim aburdum et in materijs mitis, ali
quando uti nondum demontratis cum fuerint mathematica, quia
obtinent principij rationem, quod etiam facit Archimedes. Ma
nifetum et autem, quod in angulo m c d recti dimidio, propor
tio media erit. Sed hoc bifariam contingere potet cilicet, ut it
media, per quantitatem, & per proportionem, et autem media, ut
demontrabitur infr ecundum proportionem l d ad l e, propo
natur ergo c e b, erit latus quadrati <02> 72, igitur latus octogoni et
<02> v: 72 m: <02> 2592, & latus reidui <02> v: 72 p: <02> 2592. quadrata er
go partium bais differunt in <02> 10368. Quare partes bais unt
6 p: <02> 18, & 6 m: <02> 18 cilicet l e, l d autem et <02> 18, igitur differen
tia, & proportio et, qualis <02> 18 ad 6 m: <02> 18 ferm, ut 17 ad 7, & ta
lis et proportio ponderis c d ad pondus c e ratione in crementi,
eu differenti. Vt i pondus in c e eet decem librarum in c in
ratione eet uiginti octo cum tertia.
45. P
P
Propoitio nonageimanona.
Proportionem grauitatum per multitudinem uppoitorum or
bium otendere.
Omne, quod mouetur, mouetur ecundum naturam ponderis,
qu in attractione, ut demontratum et, qualis et dimidio u
peni, cum ergo diuidatur in multiplices partes motus uniucuiu
que, et ecundum dimidium illius partis, ut, i int ex rot in cur
ru det, quod uehitur, it pondus exaginta librarum, unaqu que
rota habet pondus quinque librarum, cilicet diuio triginta per
ex, & quia quod cunque mouetur phric non habet pondus,
nii quantum premitur axis, ide pondus exaginta librarum in
uehendo red ditur lus, quanto proportio producta minor et
additione. Exemplum, it deductum pondus exaginta librarum
per ex rotas ad uigintiquatuor, quia i rot poent circumduci,
ut in inuerione dictum et, & eent quales, & in olido quali,
ac duro, nulla ui mouerentur, ed quai per e, ergo uppoito pon
dere uiginti quatuor librarum aumemus unamquamque partem,
& ducemus eam in eipam, cilicet detraham quintam partem ex
toto 30, fit 24, duc 30 in e, fit 900, duc 24 in e, fit 576, proportio ut
25 ad 16, at diuio 30 in ex partes, fit 5, detrahe quintam partem, fit
4, duc in e, fit 16, duc in ex, fit 96, igitur proportio 900 ad 96 et ut
25 ad 2 2/3, quod ergo erat 16 factum et 2 2/3, proportio ergo de
crecentis maior et diuio per plura. Sed plerunque additis ro
tis crecit pondus nihilo ecius, redditur etiam leuius. Sed & de
hoc in equenti.
Propoitio centeima.
Proportionem grauitatis ponderum attractorum per trochlea
rum numerum inuetigare.
Aritoteles in Mechanicis cenet cauam leuitatis trochlearum
ee in pondere eleuando, qud pondera auxilio uectium facilius
mouentur, qum manibus. Rotul uer in trochleis uectes unt,
& axis mita hypomochlij, ergo facilius pondus trahitur per u
nam rotulam, qum i manu traheretur, at uer per duas tres,
unde tris paus longe facilius, & etiam facilius per quinque, unde
pentas paus, nam quinque orbiculis, quai totidem uectibus
diuium pondus manifet fit leuius, & ut dictum et, tanquam
totidem uectibus pondus eleuatur, etqe proportio produ
aumit laboris, poterior uer uectis maiorem partem ibi ponde
ris eruat, uelut in uccula etiam iugum traiectum per plures colo
pes facilius uertitur. Et i quis dicat nnne totum pondus inidet
prim trochle per trochleam, intelligo nunc olm rotulam cum
ipo axe, eu axiculo (ut dicunt) non autem in proprio ignificato,
in quo etiam funis traiectus, & inidens rotul, eu rotulis, nam
una trochlea plures continere'potet orbiculos, & axes. Licet ergo
pondus inideat prim trochle, eu rotul, in eo tamen, quod tra
hitur, diuiditur', licet non qualiter dico, prter id funis motum
intendi. nam motus actionem auget, & ide quanto longior, eo fa
cilius mouet ob con cusionem, demum quia leuis et rotula circa
axem, ut plus uecte posit.
Q
Propoitio centeimaprima.
Proportionem precij gemmarum ex tribus in eodem genere co
gnitis inuenire.
Solent gemmarij uendere adamantem ponderis unius grani
uno coronato, duorum autem granorum tribus coronatis, qua
tuor autem, gratia exempli, quadraginta coronatis, quritur quan
tum ualebit adamas octo granorum, quoniam ergo proportio
non eruatur. Et enim in pondere utraque dupla, in precio autem
ex prima habetur tripla, ex ecunda habetur proportio maior,
qum tredecim ad unum, propterea utendum et proportione
propinquiori, i atis faceret. gratia exempli, in prima ad ditione fuit
unum granum, & acquiiuit proportionem triplam, in ecunda fue
runt duo grana, i ergo acquiiet olum excuplam proportio
nem, haberemus intentum. Propterea in ito cau oportet demon
trare forma Geometrica, uppoito, qud it figura recta ex uno la
tere a b, ita ut angulus, uel minimus capiat b c qualem a b, & ex
quali b a c addito fiat b d tripla b c, & ex angulo b a e duplo b a d,
fiat b c d e quadragintupla a b, & iuxta rationem erit in infinitum. Siue it parabole, iue hiperbole, eu it alia coincidentium.
SCHOLIVM.
Et nota, qud i res hc eet naturalis, otenderet infinitum in
rebus ex regula dialectica, ed quia ex
Propoitio centeimaecunda.
Proportionem motuum inuerionis, & attractionis in plano
inuenire.
Et it, ut aliquid inuertatur, declaratum autem et upr, quid it
inuerio, & qum diuera it rurus, & qud attractio et dimidium
ponderis eleuati. Cum ergo contet in inuerione, quanta it pro
portio ponderis upeni ad pondus inuerum, & pondus upeni
it duplum ponderi attracti, equitur, ut diuifa proportione ponde
ris upeni ad pondus inuerum per medium cognocatur propor
tio attractionis ad inuerionem.
Ex hoc equitur, quod aliquod pondus trahi potet, quod non
potet inuerti, hoc autem indigetlonga declaratione, quam doce
bimus inferis: & tamen attigit hocrar.
Propoitio centeimatertia.
Proportionem eorundem in accliui demontrare.
Dupliciter potet intelligi, uel decendendo, uel acendendo.
Sed ego nunc loquor de acenu, contraria ratione intelliges de
decenu, & circa inuerionem demontrata et proportio eius
iuxta angulum acenus, & imiliter declarabitur de proportione
attractionis iuxta eundem angulum acenus, & nuper declarata
et proportio inuerionis in plano ad attractionem, ex quibus e
quitur per ea, qu dicam inferius, qud proportio cuiuuis mobi
lis inueri ad attractum ub quibucun que angulis nota erit.
Propoitio centeimaquarta.
Proportionem motus attractionis in decliui ad motum in pla
no determinare.
Si ab accliue, eu decliue in quo d ad attra
hendum, cuius nota et ex uperioribus dif
ficultas in plano ratione figur contante, er
go ea quritur proportio acenus, & quo
niam terminus ad perpendiculum et dupla
proportio, & iam grauitas in plano et dimidium, ide quicquid
acquiritur in eleuatione et in comparatione ad illud dimidium,
cum ergo attractio ecundum eandem proportionem augeatur, er
go emper maior difficultas augebitur, ergo ab initio minimum
Exempli gratia it, ut graue d
in plano it, ut quin que, & upenum decem, ergo in medio angulo
erit pen eptem, ed eptem minus longe
cem ad eptem, ergo in ecunda parte plus long augebitur difficul
tas attractionis upra difficultatem in medio angulo accliui, quam
in prima parte plano ad medium accliue, & quoniam planum in
plano decendit, tanto uehementius, quanto difficilius attrahitur,
ergo planum in decliui ublimi longe maiore impetu feretur infr
quam it proportio anguli ad angulum. Exempli gratia, planum in
medio angulo, i incipiat decendere in dodrante multo lentius,
qum pro dimidio uirium decenus totius anguli, im initium de
cenus et medio recti ad unguem, ubi omnia plana int, & duri
ima, & caua huius et, quia omne graue tendit ad centrum, qud
maior pars ipius grauis et ultra medium grauitatis in decliui
humiliore.
64. P
Propoitio centeimaquinta.
Proportionem ferentium pondus in pertica inuenire.
Hc proponitur etiam Philoo
pho, & ponatur ab, & i pondus it in
medio d grauat qualiter utrunque,
nam in hoc conentit experimentum
cum ratione, at uer i ponatur in cita,
ut b c it tripla b a uiderentur a & b, tanquam hypomochlia, & pon
dus ipum b, ut grauior eet cb, quam c a. Aritoteles, eu author
ille hoc uidens bifariam repondet: primum qud hoc et inuer
um intrumentum, cum in cteris motor it ex aduero hypomo
chlij, hic in ipo, getans enim mouet & hypomochlij intar et hu
merus. At hoc uerum non et: quod mouet enim et pondus, & et
in c: nam a, & contingit moueri: quia i tarent, idem equeretur. Se
cunda reponio et, quod utrun que premit cilicet ferentes & pon
dus, & qud qui longior et ab hypomochlio facilius mouet, &
redit ad idem ferm: nam in c contituitur, quod moueri debet, ca
pita uectium unt a, & b: motus autem et ipum utinere pondus. At hoc non uidetur, quoniam ratio, qua uectis longior facilius mo
uet, et ambitus magnitudo, ob quam motus redditur tardior, &
ideo leuior: igitur non et hoc uerum de motu occulto, icut et gra
uis prementis, ed circumducente, cum in occulto uelut in tatera
contrarium accidere do cuerimus alis. Quidam dixere b premere
c uerus a, a contr uerus b, & ide grauari magis a b, qum b ab
a, quia maiorem uim habet b e, qum a c. Itud falum et bifariam.
Primum, quia & i a, & b int in quilibrio, ut nec unus in alterum
et. Et etiam quia non et uerum, qud qui longius in cumbit, ma
iorem uim inferat. Propterea dicendum et, qud qui ex commu
nibus propria nituntur demontrare, omnes corrumpunt dicipli
nas. Nihil deterius et his montris.
Nam eti hc ratio uera eet:
non tamen reddit cauam, quia non et ex proprijs principijs. Dico
ergo, quod i c decendat in e, per perpendiculum decendet, igitur
d b et longior d a, quare angulus e a b maior e b a: igitur pondus c
plus decendit comparatione a, qum b, ergo plus grauat cipum a
qum b, eu ex caua, quod magis premat, eu ex effectu, qud ma
gis deceerit. Caua ergo erroris et, quod i ponatur angulus f b a
qualis angulo f a b, & ponatur b f qualis b c, tun c in eodem tem
pore, in quo tranit dimidium c in e, tranibit aliud dimidium c in f. quia eparat partes grauiores unt in c b, qum c a, propter ditan
tiam ab hypomochlio, ed tunc uelo cius mouentur, & angulus fit
qualis. Sed quando pondus et unum, & c decendit ad e, cum de
cendat inquali tempore, & peragat maiorem angulum compa
ratione a, quam b, equitur, ut uelo cius moueatur comparatione a
qum b. Ergo i non mouetur, cum omnis potentia it imilis actui,
tum quia ab eo producitur, & effectus et imilis cau: tum quia
et initium actus, igitur etiam quod a b non in clinetur, nec decen
dat, grauius erit pondus, comparatione a qum b, quod erat de
montrandum.
M
Ex hoc equitur, qud aliqua iuncta erunt grauiora repectu u
nius, qu erunt mutato ordine diuia leuiora. Quoniam diuia,
qu longius ditant qualem, aut maiorem angulum faciunt, iun
cta minorem.
Propoitio centeimaexta.
Quales proportiones angulorum doceant laterum proportio
nes. At que uicisim determinare.
Sit circulus a b c, cuius dimetiens, nota b d it b, erit ergo latus
exagoni a b dimidium b d, id et 3. igitur
cum angulus a it rectus, erit a d <02> 27 latus
trianguli. Et latus quadrati per eandem <02>
18. Vt latus exagoni it <02> 9. Quadrati <02> 18
Trianguli <02> 27, & ita potetate e habent
hc ut 1. 2. 3. Et unt nota. Et quia latus d e c
agoni et <02> 11 1/4 m, 1 1/2. & ipum erit notum. Quare latus pentagoni et <02> v 22 1/2 m: <02>
101 1/4 notum. Et iam notum fuit latus epta
goni. Habebimus igitur latera Trianguli
ubtenorum duobus ex his. Sit, gratia exempli, a b 3 & b c <02> 11 1/4m:
1 1/2, ut prius, & ponatur b d diameter, erit ad <02> 27 & c d <02> v 22 1/2 m:
<02> 101 1/4, quam ducemus in a b, & fiet <02> v 202 1/2 m: <02> 8201 1/4. Duce
mus itidem <02> 27 a d in b c <02> 11 1/4 m: 1 1/2 fiet <02> 303 3/4m: <02> 60 3/4, hoc to
tum diuide per 66, qu et b: fiet a c <02> 8 7/16 m: <02> 1 11/16 p: <02> v: 5 45/72 m: <02>
6 1701/5184. Nec credas te errare, quoniam latus pentagoni eet, ac i an
gulus b rectus eet: ed quia et obtuus, ideo a c et alia linea, &
maior latere pentagoni. Et imiliter i a b, & a c not eent, utpo
te a b 3, ut prius a c 5 dico, qud b c nota et: nam a d erit <02> 27, &
quia ex b d in a c fit 30, fiet ex b c in a d pos <02> 27, et ex a b in c d <02> 324
m: 9 quad. igitur 30 m: pos <02> 27 quantur <02> 324 m: 9 quad.
quare
900 p: 27 quad. m: pos <02> 97200
igitur 576
p: 16 quad. quantur pos <02> 97200. Quadratum igitur p: 36 quan
tur pos <02> 379 11/16, erit ergo b c <02> v: <02> 94 59/64 p: <02> 58 59/64 & imiliter i a c
it nota, puta 4 erit a b ubtena dimidio arcus a c nota. Erit enim a e
2 ergo d e 3 p: <02> 5 et b e 3 m: <02> 5,
modo diuidendo, iungendo, & detrahendo habebimus ex quatu
or illis implicibus trianguli quadrati. Pentagoni, & eptagoni in
numeras linearum magnitudines in circulo. Et imiliter quouis mo
do, ut dictum et, in quauis figura quilatera, utpote uppoito
quod decriptum it nonangulum in
circulo quilaterum, quod etiam erit
quiangulum, & it arcus a b duplus
arcui a c, erit angulus a c b duplus an
gulo a b c, & angulus b a c in portione
b d e c excuplus a b c, & triplus a c b. Erit ergo per demontrata proportio
b a ad a c, uelut a c, & c b, ad a b: pro
portio autem a b arcus ad a c, ex up
poito maior et proportione rect a b ad a c, igitur etiam propor
tione a c & c b ad a b, ergo duo latera trianguli ad tertium minorem
habent proportionem, quam arcus ad arcum, quanto rect ad re
ctam minor et. Sit rurus in triangulo b e d quomodolibet modo
it angulus b d e quadruplus angulo b e d, & diuidatur d per qua
lia ducta d f, erit igitur proportio f d, d e ad f e, ut e f ad f d, ed e f ad
f b ut d e ad d b. igitur proportio b d, d e ad f b
tionibus e f ad f d, & e d ad d b. Proportio igitur b d, d e ad f b, ut
producti ex e f in e d ad productum ex d fin d b. Rurus ponamus,
quod in quadrangulo a b c d prim figur it a b 4 b c 3 c d 5 ad 6
dico, qud pacium contentum erit notum. Ductis rectis a c & b d
quia in eaem portione circuli a d, & anguli a d e quales, quia con
tra e poiti. igitur trianguli a b e, & c d e imiles, & proportio d c ad
a b, ut c e ad b e, c d autem fuit 5 a b 4, igitur i b e ponatur 4 pos c e
erit 5 pos. Per eadem, & eodem modo a d ad b c ut d e ad e c. igitur
poita c e 5 pos erit e d 10 pos, tota igitur d b 14 pos. Et quoniam ea
dem proportio a e ad e b per eadem, & e b fuit 4 pos: igitur a e et 8
pos, quare a e 13. pot productum igitur ex a c in d b, et 182 quad. & hoc quatur productis a b in c d, quod et 20, & b c in a d quod
et 18, totum igitur et 38, igitur res et <02> 19/91. Quare not erunt line
b e, e d, a e, & e c, ed ufficit, ut cognita it a c, uel b d. Per regulam
enim triangulorum erunt not are a b c, & a d e, quare tota uper
ficies a b c d. Et et inuentum Scipionis Ferri Bononienis de quo
alis. Potet etiam inuenta a c uel b d haberi uperficies facilius
per catheros.
ment.
S
E
ti
tij
mi
mi
Sit modo obtui angulus a b c, & nota latera ingula, & angu
lus a b c, & producantur latera ad perpendicu
lum, ut int d & e recti, & quia anguli ad a unt
quales, erunt anguli e b a, & d e a emper
quales. Et hoc idem contingit in acuti angulis
triangulis intus, & et utile mechanicum: &
quia a b c notus et, & d notus, erunt anguli tri
goni d b c noti: & i fuerit angulus a notus,
noti, & ideo anguli e b a, & d c a: & emper notum, quod fit ex b a
in a d, uel c a in a e, unt enim qualia inter e: etiam not ad & a c,
quoniam duplum horum et exceus quadrati b c uper quadrata
a b, & a c. Quod uer proponitur Monteregio de cognitione an
gulorum in triangulis non et intelligendum, ut uerba ignificant,
ed olum de cognitione quoad uum tabularum.
mi
cundi
Et iterum ponamus, qud proportio a c c b ad a b it qualis a b
ad a c, dico qud angulus c duplus et angulo b. Si non ducatur c d
faciens angulum d c b duplum b, erit igitur pro
portio d c c b ad d b, ut d b ad d c. Maior et
d c, qum a c, aut qualis, aut minor, i qualis,
igitur maior proportio d c c b ad b d qum b a,
igitur maior proportio b d ad d c quam b a ad a c
ad a c & quales unt igitur b d maior d a pars toto, quod ee non
potet. Si uer d c ponatur maior a c, magis ex hoc equitur b d ma
iorem ee b a. Quod i minor it d c qum a c.
Ex demontratio
ne ipius reflex proportionis patet hoc contingere non poe. Et imiliter patet conueras in reliquis etiam ueras ee, non olum
one & detractione. Et et ex ubtilisimis operationibus, qu ho
mini in hoc genere eueniant.
Propoitio centeimaeptima.
Si in circulo duo diametri ad rectum angulum e ecauer int: ali
uer ad perpendiculum ex diametro exierint ad circumferentiam,
ingul upra diametrum erunt maiores portionibus reliquis dia
metri uperioribus, infra autem minores. Dimidium autem porti
onis uperioris reiduum ad centrum maius agitta habebit. In ali
qua prterea portionis uperioris parte, qu uerus diam etrum
tranuerum poita et, maior et differe ntia partis diametri ei cor
repondentis, quam line tranuer.
Sint du diametri a b, c d ad perpendi
culum ecantes e in centro, &
upr f g k h, & infra m l ad perpendicu
lum upra a b: dico f g ee maiorem f a,
& k h k a, & contr minorem m l, qum
m a. Per octauam enim exti, quod fit ex
b f in f a quale et
maior f g, quia b f et maior c b, & ideo
e c g f, ergo f g maior et f a, m l
multo igitur minor m a, quod et primum. Suppoito etiam, qud
a g arcus it dimidium a c, dico a f
g quale et quadratis f e, & f g, &
& e g et qualis lateri exagoni, & a g latus octogoni, igitur e g ma
ior g a, & duo quadrata e f & f g maiora duobus quadratis f g &
f a, detracto igitur communi f g quadrato, patet propoitum.
tij
E
mi
15.
E
Cum rurus ex prima parte huius line f g & k h int maiores f a,
& k a & ea it qualis e c, necee et ut iuxta punctum c augeatur
magis linea in ea, quam it differentia line tranuer ad lineam
tranueram per communem animi ententiam, quod et tertium.
tij
Propoitio centeimaoctaua.
Punctum qualitatis differenti decenus, & remotionis cen
tro inuenire.
Per prcedentem moto puncto a uerus c emper u que ad e, c ma
gis ditat
maior et n a, & per eandem dum appropinquat ad c cum e c fiat
qualis ea, maius fit in crementum in a e, qum repectu line tran
ueralis. Volo ergo inuenire punctum hoc in quo fit mutatio: &
diuido arcum ac per qualia in f, & dico illum ee punctum qu
itum: accepto quouis puncto in e f, puta k, duco g o h p quiditan
tes a b, & c d: erunt que anguli q & n recti
& anguli f e a, & f e c quales, igitur uter
que dimidium recti: igitur per dicta in
primo Elementorum Euclidis e n qua
lis n k, igitur c q qualis e n, quare h p
qualis g o, ed quod fit ex o k in k g et
quale ei, quod fit ex p k in k h, igitur
k h et qualis k g ex eisdem otendi
tur f l m k quadratum ee. Quia ergo
k h et qualis k g, & k l qualis k m, erit l g qualis m h. Er
go decendendo ex g in f, quantum f l uperat l g, tantum decen
dendo ex f in h, f m uperat m h per communem animi ententi
am. At f m et decenus f in linea a e, & m h ditantia, qu acqui
ritur in linea f r, n m enim et qualis f r, igitur n h excedit f r in
h m, & ita a n excedit a r in n r quali f m. Quantum ergo in g f,
l f excedit l g, tantum in decenu ex f in h, f m, qu refert g l, ex
cedit h m, qu refert f l. Arcus autem f g et qualis arcui f h,
quod
darum illorum quadrata unt inuicem qualia, quia line f m, &
f l item que m h & l g unt quales, & anguli m, & l recti. Igitur cum
ad quod uis punctum in linea e f emper linea decenus in parte
inferiore et maior linea ditanti tanto, quanto per qualem ar
cum in uperiore linea ditanti et maior linea, decenus equitur
per regulam Dialecticam quod punctus f, et punctus qualitatis. Per idem diceremus in quarta parte inferiore.
mi
tij
& 6.
mi
E
mi
tij
Propoitio centeimanona.
Rationem libr expendere.
Cum libra moueatur, uelut rota circa axem, quia trutina manet,
ide i pondus ponatur, dum iugum fuerit in linea a b nihil mo
uebitur, quia appetitus decenus ex puncto a maximus et, & ni
hil iuuat motum extra naturam, idem dico de graui poito inuerti
ce b a. Nam duo unt motus in rota, & in libra unus, per quem
dum fertur per arcum a f, gratia exempli decendit, quantum et
a r, qu et minor dimidio e r, & ide minor e r, qu et maior di
midio, ut demontratum et, & etiam minor r f, qu qualis et r e
per demontrata rurus: & hic et naturalis ut palam et: alter pr
ter
bus: cun que hic it ad latus et etiam
a centro, nam e f et longior c r, i ergo r ferretur in f, moueretur
centro, & contra naturam. Dum ergo fertur ex a in f, multo lentius
plurimum decendit. Ex h ad b autem celerrim, quoniam decen
dit, & appropinquat line a b, ut uter que motus it naturalis. Non
ergo mouetur prter naturam nii quatenus longius recedit linea
a b, unde in inferiore parte mouetur ad eandem, ide de parte c b
tota perpicua et ratio, cur facillim decendat, imiliter & tota,
hoc enim et demontratum. Similiter & quare difficillim feratur
ex b u que ad p, & ultra p u que ad directum r f: at de motu ex a in f,
quod debeat ferri, quia plus remouetur, quam decendat, nulla et
ratio: ut nec cur ex oppoito f ad a difficilem e prtet: & hoc et,
quia tertiam rationem etiam ipe Aritoteles, & qui eum equuti
unt, prtermiit. Ea autem et, quod dum fertur ad g, uel f etiam li
cet non decendat magis, qum remoueatur, ex a
ad centrum terr tamen magis appropinquat. Quia enim e a et qualis e c, quoniam prodeunt
centro circuli eiudem, & b e, & e c unt maio
res b c, ide b a erit maior b c, et autem b cen
trum mundi, ergo a motum ad c, appropin qua
uit ipi b
ti.
mi
Dico etiam quod libra ex chalybe tenuisimo,
& quanto
10 exactior, quoniam lances ill minori exceu
mouentur, quia plus ditant ab hypomochlio. Sit ergo libra, cuius iugum a b trutin a c: lances d & e, alia libra,
cuius lances h, & k, & l m longiores, iugum f g. Contat, quod
qualis proportio f g ad a b, talis ambitus, ad ambitum: motus er
go i it qualis utrarumque, igitur a tanto minore proportione
ergo qualiter moueantur, i it dupla exquiquarta in d cum lan
ce ad e uacuam, erit in h exquialtera, & mouebit quali tempore. Ergo iuxta hoc fient libr, qu examinabunt decimam, & uigei
mam partem grani, quod et necearium in preciois rebus, & me
dicamentis potentibus, & long magis in mechanicis experimen
tis, & maxim qu ad demontrationem pertinent magnitudinis
uperficierum, & contat res in tribus, in longitudine, f g iungi, in le
uitate materi illius, & lancium, nam tanto maior redditur propor
tio ponderis exigui, & in firmitate iugi ac rectitudine. ide debet
fieri ex chalybe purgato, durato ac tenuisimo, natura que leui, & ut c
it in medio, & mobilis f g.
Coniderandum et demum an f l & g m int grauiores f h, &
g k. Vt enim grauiores extiterint minus facil mouentur.
Viden
tur autem mihi, qui de his concriperunt perperam contempie
hoc, contat enim, qud dum l decendit, remouetur a b n c tru
tina, & m, qu acendit contra appropinquat. Videtur autem hoc
bifariam contra naturam: nam ut diximus pondus applicat e ad
rectam n c, quia uerus centrum, & etiam quia facit angulum ob
tuum, cum deberet, ut ab initio altem contituere cum iugo re
ctum. Et de m nihil mirum et, cum acutum, ut e ad lineam, qu ad
centrum retrahat. Huiumodi prterije Aritotelem, demiror,
qu nimis fuerunt in conpicuo, ut dubitem ne non uus it ille li
ber, qui eius pen nihil apiat prter obcuritatem. Tentan
dum et igitur horum cauas asignare. nam qu huiumodi po
tet ee doctrina nii perfecta fuerit, in omnibus etenim necee et
aut omnia cire, aut ignorare. In hoc igitur dico, quod h f, eu l f,
emper quiditant n c trutin, ergo cum angulus f c n in clina
to iugo fiat obtuus decendente pondere, & n c g acendente pon
dere fiat acutus, ergo angulus l f c tantundem fiet obtuior, & m g c
acutior, quanto anguli ad c tales unt. Et caua et quia n c ratio
ne ponderis et directa ad centrum, ergo oportet, ut pondera l, uel
h, & m, uel k, i debent tendere ad centrum, ut f l, & g m quidi
tent n c, nii quantum et pro ditantia f, puncto c, & g a b eodem,
qu comparata ad Circa hc
tumuis exigua ufficit ad motus
uitate, & alijs. Et quae graue, quod expers et enus, debeat equi ratio
nem Geometricam uix apientibus
perpicua:
grauis it extra Ergo ola in clinatio ad hoc ut
nea Et ergo principium in ei
po. In appenis imiliter.
Trutina enim, & finis iugi, & grauis
trum
& ola ditantia intercedat. & hoc et primum.
Quia ergo
ex materia olida, mouetur ratione, qu dicta et, lances autem
oportet cum filis appeni int, ut puncta f & h, uell, & g k, uel g m
int in una linea cum centro terr. Et quia l magis ditat a b f quam
h, & m a g magis, quam k, & oportet faciant eandem inclinatio
nem, quia anguli trutin cum iug unt ijdem, & linea cl et ma
ior c h, & c m, qum c k in quouis itu, ergo patium, quod ambitur,
et maius ergo per d e montrata uperius l et grauius h etiam
prter uinculorum additionem, & m grauius k. Quanto igi
tur longiores unt funiculi libr extremitate eu iugi, tanto gra
uius redditur pondus, quod tamen multi putant ee falum: nec
aliquid referre, qud it longum, aut breue utentaculum.
Propoitio centeimadecima.
Si du phr ex eadem materia decendant in
re eodem temporis momento ad planum ueniunt.
Supponitur quod ex eodem loco.
Sermo enim
aburda ub interpretatione nunquam nii ab inui
dioo, uel imperito intelligi debet. Sit ergo a tripla
ad b, phrula ad phrulam ex plumbo amb fer
ro uel lapide eiudem generis, dico, qud inquali
tempore peruenient ad planum c d. Nam a propor
tionem habet ad b, ut uigintieptem ad unum. pro
portio autem patij a ad patium b nonupla et, &
proportio denitatis aris ad arem et tripla, propterea quod den
itas illa multiplicatur propter impetus magnitudinem. nam i ro
bur, ut decem percutiat baculo lato, ut quatuor ictus erit maior du
plo, qum it robur, ut quinque percutiat baculo, ut duo: propter
denitatem ergo maiorem aris in a, quam in b: & quoniam i ub
maiore impetu mouetur
erit comparanda longitudini centro a ad longitudinem a centro
b, qu et tripla. Si ergo ubtripla et ratio motus b ad a, quod
ad medium attinet, tripla autem propter uelo citatem diceus a
ris medio grauitatis, quod et in uperficie e regione centri graui
tatis in linea ad centrum mundi, ut dictum et in prcedenti: mani
fetum et, quod a, & b inquali tempore peruenient ad ubie
ctum planum, & quiditans centris eorum. Similiter & in aqua:
quanto et emidiameter a longior emidiametro b, liquet ex hoc,
quod quali uelo citate decendunt, ed ob uelo citatem motus in
are latet dicrimen anticipationis contactus oli a ante b, qui di
gnocitur in aqua, ex quo patet exactam ee qualitatem. Sed rei
liunt emel in aqua amb, cum pluries in are a olo, quare etiam in
aqua perturbatur cognitio in parum accuratis, at que enu prditis,
icut etiam in cau, ne altera alteram perueniat, utra que comprehena
duobus digitis, altera alteram tangente, & uque ad centrum in
aquam demisis imul digitis dilatatis dimittend unt.
Propoitio centeimaundecima.
Cur ex medio tela ualidiorem ictum, & naues in calmo remo,
ac malo recipiant inde ex puppi explorare.
Aritoteles uidetur in Mechanicis, & qui eum equuti unt, ui
dentur rem nauticam qud ad remos attinet, referre in longitu
dinem partis, qu calmum tanqum hypomochlium interiacet
& manum: ea enim circa medium nauis cum illa ibi it latior ma
ior et. Sed & qui lembos ducunt, & in puppe magis ditant
calmo & in prora, qum in medio nauis, nec tamen uelo cius il
lam agunt: non qud ratio illa fala it, ed quia uelo cius ferun
tur etiam ob aliam cauam, qum it hc, & magis uniueralem. Primum igitur umamus, quod uperis demontratum et cili
cet, qud ubi pondus aliquod quale undique tanquam in li
bra upenum fuerit, proportio ponderis partium inqualium
ad duas partes quales, et confua ex proportione longitudi
nis earundem, & quadrato eiudem proportionis. Sit ergo diui
a a b in c, & fiat c e qualis c a: proportio igitur ponderis b e ad
pondus e a et compoita ex proportione b e ad e a, & quadrato
eius at poita agi
na d g in medio a b, proportio ponderis b e
ad pondus ea et, ueluti longitudinis b e
ad e a, igitur proportio
cum agina et extra medium in c, et tanto
maior proportione b c ad ea, quantum et quadratum illius pro
portionis, ergo b e pondus maius et, cum agina et in c, qum in d. igitur per
erit pondus a b minus emper cum agina et in d, <08> in ullo alio lo
co a b. Ergo pondus a b apprehenum in d
maiore proportione, <08> in ullo alio loco. Hatile ergo in medio ap
prehenum maiore ui mouebitur, qum in ulla alia parte. Et i gra
crasius, uel grauius propius cupidi. Semper igitur ob hanc cau
am mota ex medio grauitatis, eu uelo, eu ramo, eu manu uelo
cius mouentur, qum ex alijs partibus. In remo etiam potet acce
dere illud commodum, cuius meminit Aritcteles. Propter hoc igi
tur, qui malum in naui collo carunt tantm unum, in medio ferm
eum collocarunt, ut antiqui: & qui duos aut tres, maiorem crasio
rem cilicet, & altiorem in medio contituerunt.
ti
Propoitio centeimaduodecima.
Cur ex imo leuia longius ferantur declarare.
Iam uer
paratione ad medium, ed extremorum inuicem, mia enim ab imo
uelo cius feruntur, qum medio non olum manu, ed corpioni
bus, & arcubus. Videmus & hoc oberuare pueros uirgam lon
gius iacentes non ex medio, ed imo apprehenam, quoniam pars
ipa anterior, & qu manu apprehena et, uehementi impetu emit
titur: & ut recipit impetum magis qualem, longius fertur, nam
quod emittitur proportionem habet ad patium. Cum ergo appre
hena in medio uirga olum medietate anteriore impetum recipiat
per e, ob id minus fertur: at impetus equitur proportionem, ut ui
um et, qu et circa medium ob leuitatem ponderis. In leuibus
ergo maius patium uperabunt emia ex imo, quoniam propor
tio patij eadem et ad duplum, & ad dimidium. igitur ex imo fer
me duplum etiam patij uperabit: non tamen omnino quia maio
rem, ut dixi proportionem habet ad id, quod ex medio comprehen
um et. At in leuibus non et necearium, ut ex medio apprehen
dantur, quoniam etiam cum incremento illo ponderis iam leuia
unt: plus ergo facit longitudo eius, quod eiaculatur, qum impe
tus, cuius demontratio et hc. Sit uirga
a b apprehena in medio ponderis unci
medi, & in a d, ut it d a palmus, & uigei
ma pars totius a b, erit ergo reiduum ad duplum, a d nonuplum,
& a b tota unciarum quin que cum dimidia, i igitur grauetur, quia in
itu recto et medi unci, in quiditanti terr, quin que unciarum
cum dimidio, erit in itu dimidij recti unciarum trium. Et igitur
proportio excupla, i apprehendatur in medio, & ad quiditan
tem, ad apprehenam in imo, & ad angulum medium: at emia ex
a d habet totum arem a b circumdantem impulum ex c b olum
dimidium reliqua pars ui trahitur, ergo proportio patij a b, erit
exdecupla ferm patio b c, quoniam et triplicata corporis ad cor
pus eius, qu et longitudinis ad longitudinem, & quadruplicata
Et iam minus fere
batur quinta parte, ideo longius eiaculabitur triplo ex a, qum ex
c. Nec tamen maiore impetu, quia obliqu fertur, & qu obliqu
are enim circumambiente perturbantur, & in incertum trudun
tur. Qu ergo grauia unt ex medio emia, & ad quiditantem
longius feruntur, & maiore cum impetu, quia magis direct: leuia
autem longius ex imo, ed minore cum impetu, i aliqua caua re
cto, & quiditante declinauerint. At i uprema parte, & iuxta
cupidem, neque procul feruntur, neque cum impetu ob cauas di
ctas. Eadem quoque ratio et omnium machinarum: ide oblon
glongius eiaculantur, quoniam proportionem eruant ad cana
iem. Sed de hoc inferius agetur.
Propoitio centeimatertia decima.
Cur uirga longius mittatur puero, qum uiro inuetigare.
Diligentia, & uus puerilis efficit, ut uirga feratur ecundum me
dium rectianguli: uir autem non contanter iacit, & ecundum re
ctum, at rectus inceus in leuibus, quia ab are in obliquum defle
ctitur uirga ob longitudinem efficit, ut inflectatur infr celerius, &
deinat citius motus, ac finiatur. Tertia caua et, qud leuisima
non ade recipiunt impetum ut grauia: nam leuisimam & exigu
am ligni portionem maximo nixu uix excutiemus manu. Caua
ergo et: quoniam uim, oportet, ut habeat, quod contra naturam
mouetur, ut naturaliter moueri posit, qucun que igitur naturaliter
exiguum habent motum, ut pluma, palea, fetuc nulla ratione ue
hementer contra naturam agi pount. Qudam ergo pueris lon
gius
niam ad angulum latiorem magis feruntur, qum it rectus, qu
dam quoniam leuisima unt. Sed i leuiora non feruntur ualido
motu uiolento, cur tamen pueris iacta longius Ratio et,
quoniam maior uis deficiente obiecto magis fatigatur, atque ide
minus mouet. Propter hc igitur omnia non olm in pueris, ed
in machinis, qu accommodata unt, melius impelluntur, a c lon
gius feruntur, qum leuisima. nam nec palea corpione iacta tam
procul, qum agitta fertur, cum proportio maior it, tamen ad pa
leam, qum ad agittam. Inde fit, ut quemadmodum Turca ille lite
ras ui Prin cipis, cum timeret ad notros propius accedere, lapidi al
ligatas longius emiit. Cauam autem huius docet Aritoteles in
Mechanicis dum qurit cur, & grauia & leuia ualde longe proijci
nequeunt: nam grauia nimis, moueri
ualde ad rem mouere non ualent. Ob hc utra que ex his paruo cum
Sed & leuia ferun
tur hac illac, ut non posint retinere impetum prioris uiolenti: in
natum enim et, ut duorum motuum imul in eadem re uigentium,
cum illa proprio impetu feratur, unus alterum impediat: nam i ro
ta uehatur circulariter acta, non tamen ceabit, aut iminuetur impe
tus circulationis. Multa ergo in huiumodi anomalis motibus con
ideranda unt, ut illorum impetum robur, aclocum definiamus.
Ex hoc liquet, cur plumbe phrul longius ferantur tor
mento emi, qum ligne, etiam i non fran gantur.
Propoitio centeimaquartadecima.
Cir cularis motus differentias quatuor ee, earum qe rationem
contemplari.
In motu circulari aut axis
Vtro que
autem modo uel mouetur ab axe, uel circumferentia, igitur contat
quatuor ee motuum differentias: quas cum tres proponat author
libri Mechanicarum, aut Aritotelem illum ee, credendum non
et, aut illum tupidum dicere necee et, nam modum diuidendi
eum latuie quis putet. cum rota igitur aut phra in plano cir
cumagitur, motus et ex circumferentia prgrediente axe: ut pa
lam et: motis enim loco nobis mouentur omnia, qu unt in no
bis. Cum uer rot ub curru unt, progreditur axis earum, & rota
ob id cum quiecere nequeat, quia facilius circumuertitur, qum
trahatur, procedit, & hic et ecundus modus, quo rota ex circumfe
rentia mouetur, & ex axe initium et motus. At uer in rota molari,
& quibus gladij exacuuntur, cum loco non moueantur, motus et
ex axe: axis enim rotam circumagit, non rota axem, quiecit tamen
in eodem loco rota, & axis cilicet, quia non progreditur, ed in lo
co mouetur: atque hic et tertius modus. Demum uccula putei, &
ipa mouetur circulari motu, & trochle etiam, neque enim progre
diuntur: ed non ex axe mouentur, uerm uccula per coloppes cir
cumducitur, & tro chlea per funes, axis que in uccula mouetur, in tro
chleis autem quiecit prorus: dico mouetur, id et circumducitur,
non quod progrediatur: ut non olum int quatuor modi, ed po
tius quin que, nam & demontratione otenduntur, & experimento
do cente deprehenduntur. Horum omnium liberrimus et, primus
ex cir cumferentia progrediente toto, eu attracto eu impulo & ue
locisimus, cuius cauam upr otendimus. Proximus huic et mo
tus rotarum per axem, quoniam axis premit rotam interius o
lam, & labitur: ideo que quod & axis, & rota intus int leuisima, pro
det plurimum: & aurig axungia inungunt, & nomen ab eo traxit
Et quae rota magna it: quoniam cum
tur in quali tempore & magna, & parua trahitur: utra que uer una
conuerione tantam
ria. Quod i plures int rot celerius feruntur, quia axis minus tan
to Et i rectus it axis, & bene rotundus, & foramen ro
tundum, & latius, & durisimo ligno, ut non posit in clinari: &
rota ipa in ambitu qualis, omnia hc faciunt ad motus uelo cita
tem, unde Homerus.
Id et, uetigia per cusit pedibus, ante que illa puluis pedibus ex
cuus (uetigia cilicet relinquentibus) ingrederetur. Principalis
autem caua uelo citatis et agens, uelut equi. Sed inter
& priorem medius et Scital uocat, nam ut in primo axis proci
dit & rotundum uperficie circumagitur, licet axis etiam circum
ducatur, ut axis, & rota, aut phra duplici motu moueantur, fci
licet antrorum, & circumcirca, in rota currus duo ijdem motus
int, axis quo que antrorum moueatur, ed non circumagatur: unde
impeditior et hic motus: ita in Scytala utrun que utro que motu mo
uetur, & circumcirca, & antrorum, at que id commune et, cum pri
mo ita axis mouet rotas, non rot axem, qud ecundo motui ro
tarum in curru proprium et, ut tantum degenerent primo motu,
quanto leuius uertuntur, qum in ecundo motu. Trahitur ergo
iugum in citala, uelut in rotis currus,
ed et annexum rotis non in curri
bus. Propterea in primo motu trahi
tur, uel impellitur uperficie: in e
cundo a b axe, ed non affixo rotis, unde gr trahuntur in cyta
la ab axe affixo rot. Quare leuius qum in curru, difficilius qum
in rota uel phra uperficie extima circumacta. Quartus modus
et, ut dixi, circumuecta rota ab axe, quum non progreditur, ut in
moletrinis, & rotis, quibus ferrum exacuitur. Et enim hic imilior
primo, quia contrarius, in primo enim procedit rota, & uertitur
circumferentia, hic quiecit rota, & mouetur ab axe. Proximus huic
et, qui fit in ucculis ob firmitatem axis: nam axis et coniunctus
rot. Vltimus et trochlearum, qui & difficillimus: it enim cir
cunferentia, & axis diiunctus et trochlea: quod ad dit difficulta
tem. Sed & trochlea caret colloppibus.
Ergo uerum et, quod o
mnia rotunda facilius circumaguntur, ed uaria ratione: nam plus
mota uper aliquo plano, ut in plautris & cytalis: minus in uccu
lis, & rotis acuentibus ferrum, & molis: nam & i rotun ditatem iu
uet ob qualitatem ad conuerionem, non tamen in his et ad e
Vtilitas ergo prima et, cum circumuertitur in plano, uelut
in rotis cytalis, & phris. Secunda qu minor et, cum uperfi
cie circumuertitur, ut in trochleis. Tertia cum coloppis, qu mi
nima et omnium, ut in ucculis. Motus autem cli non et ex tri
plici primo genere, cum it in loco, & non ad locum, neque ut rot
molaris: nam ille et ex axe: necut in tro chlea: nam in ea axis quie
citipum autem clum circa axem non uertitur, ed cum axe, i ta
men inecabilis linea circumagi potet dici. Relinquitur ergo, ut
Cli motus propior it motui uccul, qum alij motui. Differt
ab eo in hoc, quod in uccula mouetur axis ab orbe: at in clo
ut non mouetur ab axe, ita nec axis ab orbe: cun que it motus im
plicisimus, in alio genere collocandus et: quando quidem in illo
nulla pars posit dici primo, quod
Propoitio centeimaquinta decima.
Proportionem motuum impulionis, & attractionis inter'e ab
eadem ui declarare.
Contat, qud attractio cum fune longiore ualidior et, quam
cum manibus, quoniam et cum motu quodam: motus autem au
get actionem, ideo attractio ualidior et hac de caua, ed & impul
io cum baculo ualidior et, quam cum manibus, quoniam licet col
ligere omnes uires in illo baculo, & ipum applicare loco, unde fa
cilius impelli potet. Velut phra ex medio latere: nam ibi magis
colliguntur uires, & ad impellendum facilius et, quodcun que leui
us et. Pars autem magis remota centro grauitatis et leuior, his
duabus cauis, phra ex medio latere facilius ac magis impellitur. Sed nos upponimus nunc applicationem qualem ee, nam e
cus ad impellendum facilius et applicare totum corpus, qum at
tractionem. Pectore enim magna ui impellimus, nihil et compar,
quo trahere posimus. Sed, ut dixi, it baculus applicatus alicui la
pidi ea parte, qua facilius potet impelli & trahi, & quritur, qu
maior it uis, an attrahendi? & dico qud homo, uel conatur trahe
re toto corpore, & impellere, at que hoc modo magis trahit, qum
impellet, quoniam corporis pondus melius adhibetur in tractione
qum impulu: uel citra corporis pondus, ed ola ui membrorum:
& tunc magis impellit, quoniam impulus fit corpore prono in
teriorem
in attractione in partem poteriorem. Sed ubi nulla it diueritas
neque horum, neque figurarum qualis uis qualem efficit motum:
quia impulus impellentis comparatione et attractio repectu al
terius. Verm non et eadem uis nec prop par impellendi, at que
attrahendi hominibus, cum attractio fiat per muculos ad origi
tum natura delegatum inuenio, nam ad extenionem muculi a
n ex aduero unt fabricati: cum ergo duo int tantum motus mu
culorum tenio, dum
dum membrum quiecit in naturali nullus erit locus impulioni,
nii ex conequentia non per e, quamobrem multo infirmiorem il
lum attractione in brachijs ee, necee et.
Propoitio centeimaextadecima.
Cur machin ablong igne longius emittant phram ex
plorare.
Quoniam ratio uperius adducta, neque in his, neque in hypophy
is (uocant cerbatanas) non potet atisfacere, cum tamen idem e
quatur in his, ut in illis uidetur, quai uis ee in phrula ic emi
a, & non in are, quemadmodum dicebamus, coniuncto ee. Ex
quo necee eet, ut quod longius ferretur, etiam ualidiores ictus
inferret, hoc autem
non ita e habet, ed
ictus magnitud o
ex robore machi
narum tam ignea
rum, quam corpio
num pendet, nam
it a corpio ma
gnus, ed tenuis, ex
hc palam et lon
gius mittere agit
tam, qud parua,
& breui, quantun
uis craa non lon
ge mittitur: at uer
quod b craus & paruus maiore cum impetu mittat otenditur
nam ea pondera agitt mouet, qu non potet mouere a, igitur b
ualidiore robore mouet, quam a. Prtera illud oten dit iugum fu
nis arcus crasiora duriora, qu maioribus uiribus
a, qui puero tendi poterit. Non et ergo eadem ratio mittendi
longius, & ualidiore cum robore. Eadem ergo cum ratio it in
machinis igneis, crasiores enim, & latiores ac breuiores magis
concutiunt, quam longiores tenuiores minoris phr capaces:
non olum ob mag nitudinem phr magis ill concutiunt, ed,
ut dixi, ob maiorem impetus uim: caua ergo et manifeta in his,
ed non caua, qua longius ferantur in longiore canali. Sed uide
Contituatur can alis a b
logior, & c d breuior, ut it exqui alter a b ad c d, & it rurus
phrul locus e in longiore,
exqui alter in ditantia a b, qua
lis et in f a d, & erit per dicta
ab Euclide in quinto, ac exqui
altera c f. Poemus igitur di
cere, quod uelut ab hypomo
chlio longiore patio circuma
gitur pondus: ita & a b c, & f. Sed rurus incidimus in id, ut
maiore impetu feratur e qum f. Ideo i concedatur maiore ferri ex
e, quam ex f non equitur, ut celerius, aut maiore impetu. Percutit
puer pugno quanta ui potet ac celerrim, uir robutus lent, & mi
nore impetu, ed tamen ictus long maior et. Et enim ictus robur
non uelo citate olum, ed maiore ex ponderis grauitate, qu ola
premit, urget, & frangit etiam ine motu. Solum ergo id retat du
bium, cur i grauius et, moueatur eodem ferm impetu: nam quo
maiore impetu fertur, eo longius fertur, non tamen magis ferit, con
cutit, aut quaat, ed grauitas ad hoc plus facit impetu. Palea maxi
mo impetu demia non ferit, non ledit, & celerius decendit, fer
rum ola grauitate actum, im etiam temperato ictu ldit graui
ter, quaat, & frangit: itaque f maiore indiget quantitate pyrij pulue
ris, qum e: iquidem tertia parte ponderis u phr: at maius
et pondus f quam e, ergo maius pondus pulueris f qum e, ergo
maior uehementia ictus, iquidem ea equitur, robur cau mouen
tis im pliciter: ut concludamus longitudinem ictus equi propor
tionem motoris ad motum, ed uehementia robur motoris: nam i
ex portione mouet quale pondus maiore cum impetu mouet,
quoniam maior et proportio: i minore igitur pondus maius et,
&, ut dixi plus facit magnitudo ponderis cum leui ictu, qum ma
gnitudo ictus cum leui pondere. Qu ergo feruntur per longio
res canales maiore impetu feruntur, & ocietatem
per longius
motus confirmata et, & proportio eius, qud mouet, maior et ad id,
quod
tione Quod
Propoitio centeimadecimaeptima.
In cuniculis maior et uis pulueris copioioris ampliore in pa
tio, qum paucioris in minore iuxta proportionem eandem.
Sit patium f d exqui tertium b e, puluis quo que in f d patio i
militer exqui tertius pulueri b e pondere, & manifetum et, quod
dum conuertitur in ignem qualicun que it proportio (modo eadem
ignis ad puluerem) erit ignis in f d pariter exqui tertius igni in b e,
dico qud i crasities f d it etiam exqui tertia crasitiei b e, quod
poterit frangi, & moueri f d quiecente b e. Vnde idem in cuniculis
ut magnus cuniculus cum multo puluere posit mouere montem
paruus cum puluere proportione repondente priori non posit. Nam cm qualia int omnia iuxta que rationem eandem, necee et
ut pro ratione extendantur, at in paruo patio minor fit denitas c
tera paria unt, ergo paruo patio non tantus fit impetus, quantus
magno. Impetus etiam proportionem habet ad
iunctionem, maiore igitur impetu plura, & maiora mouentur, &
conuelluntur, quam minore, ob hc igitur minores cuniculi uc
cutiunt, maiores euertunt, maximi exturbant, & proij ciunt. Nam
qui uccutiunt, ubi pondus, aut coniunctio maior it, qum ut di
trahere posint, condenant partes proximiores, & rimas faciunt,
per quas exhalat ignis aut omnino extinguitur, aut condenatur. At ergo in bellicis machinis, minus dilatat puluis, cum fuerit in lon
go canali, ob id ergo maiore impetu feruntur per illas, qum per
breuiores, etiam qud minor it puluis, minor it ignis. Experimen
tum facies in canali, ubi ambuci medulla pro globulo flatu impel
lente expellitur ab que periculo: nam quanto minor fuerit canalis
ambitu ac longior eo maiore impetu pellitur. Foran quipiam nos
merit poterit uideri
nitioa humano generi do ceam. Quibus repondeo, me nihil do cu
ie, quod n humani generis detrimentum cedat, huiumo di que pr
cepta iam obcurae, ut ne quid mali accidere poet hominibus ex
his:
ipimodi artis
tur. Vt cum ad copiam, ad magnitudinem, ad coacta imperia mie
rorum repicio, nihil plus posit addi. Omnia enim hucu que
ad potentiorum in crementa. An ergo uccurrere afflictis, obesis,
cinctis, quare
cebit? Ab initio fuimus omnes liberi: excogitata fuit regni ratio ad
commodum hominum, ea uera et per uim in Subtili
ergo ratione
mis, ut dixi, qu ad cuniculos ad
ictus ad
fertur, nota unt improbis illis artificibus, nec notrum et pectare,
cur id licuerit, potquam Deus hanc uiolentiam ee uoluit. Multa
damnamus,
bus,
ca multis, & exigua magnis. In cteris obcurare ita decet cuncta,
obee pount, aut quouis modo puerti ad malos uus
cta
tis uiri.
Propoitio centeimadecimaoctaua.
Quanta proportione decedat ictus in obliquum parietem ab eo,
qui et ad perpendiculum declarare.
Sit paries b d e, ex a
eet in c d
ualidisimus, in uero in f g abraderet, & Quritur ergo ex b d e muro
qualis excipietur? erit ergo proportio anguli c d a ad
ueluti ictus a d in d c ad
nem,
acutior,
d a nonuplus ipi dimidio, & ad Si ergo
ictus d tres, cuius demontratio hc et. Supponamus
b d c ad ictibus centupla erit in d c ad
millecupla: nam
ad perpendiculum <08> in b d e
erit ergo
cundo ictu decuplo magis
centuplo magis ictibus c d turris, <08> b e, & ita in
tribus: ex
ex dec c d Imo ut
et multo minus repetita ratione multiplicis. Ob id in arce
laneni
uallo que
res. Fiat ergo murus cuius proportio a d c ad b d a it ex
quitertia, erit que angulus b d c
natis,
gnitudinis, at que duritiei, ac ade ben coniunctus fer
reis cathenis, ac tolonibus, ut posit reitere
rentium
ta, ut in numeris uides, efficiat quinquies replicatis nouem
ictibus, fiet proportio decupla quinquies producta, qu et cen
ergo peruenit ad quinquaginta ictus rectos necee erit, ut
recta i eet quin quaginta olm potuiet utinere. Qu ergo hu
mana potentia ufficeret. In arce Medio
in illis extuberationibus lapideis. Sed quoniam hic occurritur per
inclinationem machinarum, ide de hoc
Propoitio centeimadecimanona.
Quantum ictus machin procliuis ad
Huiuce caua
a b <08> d e duplici caua, &
ignis, &
uperior in b retineat Sed caui
tas fiat maior in inferiore parte: cuius
quiliber facere potet Huic ergo olerti,
tormenta iubet altius collocare obtat
ictus ex decliui itu periculoior et pro machina, & ma
xim d retro impellit, quae ex retro cea, pot <08> exone
rata et,
rium
tiplicatione Habet &
dum itus muri accliuis
utinet: ade ut omnib.
diculo, et quiditanti ad Venetus.
S. aliter Patauij cauit,
uidetur que, quae apientisimus it, & eandem equatur ubi que normam,
pot <08> in
ta, ac pro fundisima aqua que perenni muniuit, &
poet euerti, lateribus uer humiles, ac crasisimas turres, ut nul
la ui poent dirui, eas que tormentis bellicis, undi que latera lutrantib. repleet, illud diligentisime cauit, ne murus humilior eet aduera
ripa, ed ad
is phrul non tangerent
uum, excedat
in ambitu et uno ictu oculi cognoci posit, & aggeris angulus ma
ior it uno pau,
utictus in Eam ob cauam
lum, aut planta, uel colliculus eet cir
cum circa
periculo hc urbs, ne tota dificijs euer
is concidat.
dicit, ut in Nouo catro in Melit Inul
arce S. Elmi appellata plu <08> mille icti
bus in ingulos dies imo M D obtundere
Eum que impetum producere ad quindecim dies, & ui
ginti tum etiam longius, ut facil domos omnes euertat, homines
occidat: i qui uperunt tot in commodis obruuntur uigilijs, fame,
iti, puluere, ut inutiles red dantur. Ide huic
aggeribus intra mnia erectis, in quos uis
emoritur. Sed dices, cur ergo non pro muris erigere eos prtat, &
minore umptu atis? quoniam ubruuntur fooribus facillim, i
ad illos peruenire posit hotis. Ide intra m nia utilisimi unt, pro
mnijs parum prount. Quod uer ad tetudines attinet, ub qui
bus
tior prohibent omnino iniuriam, qu ab his imminet. Cterum hu
iumodi cum in longum
uijs, frigoribus omnino
ufficere posit. Rhodus, Alba regia, Melita, Catrum
tium, i diferri potuient tempora, non cesient uictori quantum
uis uperbo. Vicit pertinacia, audacia que umma,
capere Mul
t machin, & pauci homines prd obeorum expoit unt:
pauc, & pauci homines obidebuntur potius, quam obidebunt. Exercitus magnus dioluitur, & emetipum conumit, i nulla fiat
accesio aut exigua quomodo tabit: i magna auxilia omnia cor
rumpuntur. Contr obesis auxilia i ueniant lutrata, & munita, et
omnibus necearijs ornata uiri integri
pore, armati contra inermes, alacres contra torpidos uperueniunt. Ob id prcipuum et auxilium prter hc his, qui oppugnantur co
pia militum, qui per initia nun <08> quiecant diu noctu que,
duo tubicines perpe Serio
unt: mira euenire olent in his inperatis, ac audacibus eruptionib. perpe
Ita
uel omnino cepto deinat hotis, aut
tius <08> nam
gn uires uo arbitrio
potiri locis Etenim
tra
litur
euerio ab imo per machinas, cuniculi, eu uffosio, urbis euerio, eu
pter
: nihil. n.
reitit immen illi potetati, & crudelitati
eru
Et longum et opus iue per paucos, iue per multos quis ef
ficere conetur: ut non minus exigat temporis, qum obidio: nam
multitudine unus alterum impedit, & mortui uiuos, ut omnino res
it non peranda nii aduerus inertisimos. Pontes euertunt machi
n, ignes que. Sed ubi etiam muros obtinuerint ob rotunditatem in
illis conitere non pount. Inde defenoribus propulantur ari
is, telis, ignibus, tranueris trabibus, machinis: illudque accedit com
modi, ut quanto plures eo facilius excutiantur. Dixi non debere
uereri maxima etiam prterid, quoniam & it ip tanto anguine
acquiit tanto deorum & hominum iniuria modica cintilla ignis
ine munitionibus, exercitibus, iue machinis, abque terr
neIn illam mieram lachry
mam patris cintilla ignis inferni, cm Deo placuerit,
quod
unius filij, uix uno lutro toto dioluitur. Hanc
etiam genio ecum ex utero detulit Alexander Magnus. In alijs alij
genium ortiti unt, alij Ex imperio Ay
riorum per luxum Sardanapalus: ex Medorum per
ges: ex Di
ces, hc quid ad proportionem? Im uelut machina ad
librata pauculo illo puluere Pyrio
ni ignis emini magni tyranni indita euertit at que dioluit totum re
gnum ine machinis, ut dixi, uel exercitibus ullis, & quod maius et
remedio nullo. Sed puerulo indito luxus, ignaui, crudelitatis at que
tultiti fontibus, mirabile dictu an, & ad proportionem diuino
rum Sed redeamus ad intitutum: Video
enim, quid posit obijci, cilicet muros craos, et altiores tueri
& dificia illius poe abque aggeris erectione, & i
etiam nihilominus imo magis, quod et terram, uque
ratione manet, quia concuti non posit machinis: nec hotes id cu
raturos, perantes hoc Verm ni fallor, ut paruis arcibus tanta ui tormentorum nullum
et
geri confidant, nam & pauci homines tanto labori non ufficerent,
& agger cum foa effoa cilicet terra defenores nimis in
cogeret. At in urbibus contra eueniet: muris enim erectis altius ma
chin lapidum frutis hominem
te ob coniunctionem inferior concutitur, & in de
ut uidimus Papi, quo
aditus ad ubruendum reliquas partes
ingreum hotibus exhibent. Tum uer magis, quod non confi
dunt animo
breui tempore extruere, & etiam intelligunt, antequam erigatur,
patere lateribus introitum hotibus.
Propoitio centeimauigeima.
Proportionem partium nauis ad eundem obliquum uentum
explorare.
Sint mali in naui a b c, ad b e, c fuentus regione g h k etiam ad
perpendiculum feratur, ut anguli g d a, h e b, k f c int quales, dico
tamen diuero modo affici: nam cum premitur a uerus l, c premi
tur uerus f: at i prematur cuerus n a, premitur uerus d, at i pre
matur b uerus m, & a uer
us l, ed non quantum ex
g d, & cuerus n, ed non
quantum ex k f, ab eodem
ergo uento contrarij mo
tus efficiuntur ex uelorum
diueritate, etenim per uen
tum d feretur ad meridiem
nauis, & per uelum f ad Se
ptentrionem etiam didu
cto auxilio e l a ui, quanto
magis cum illo: & i uen
tus excipiatur in f uelo,
non iuuabit clauus, & i in
d dirigetur, & temperabitur motus, & i in e medio modo. Ergo i
uentus feratur rect iuuabit, ut dici olet omnibus, & plenis uelis
excipere, i ex obliquo demittere antennam puppis, in autem ual
de obliqu us it, olo pror uelo utemur. Si ualidior qum oportet
humiliore. Atque hc potmodum unt diligenter numeranda, ac
metienda: nunc ufficiat cauam reddidie, & admonuie diueri
tatis motuum, qu ex uelis contingit: nam e fertur nauis, qu
prora dirigitur. Ergo cum puppis tanto feratur uerus meridiem
a b, quanto prora uerus meridiem a d, & quanto puppis fertur uer
us
fertur uerus meridiem a d, tanto uerus boream a b f, ed itus claui
potet multo plus in comparatione ueli d, quam f cilicet, quia di
tantia a b a et o a, & ditantia e c et o c, tanto plus ergo potet cla
ui itus in comparatione ad uelum d, quam f, quanta et proportio
d, quam f, ergo uelum d minus agit nauim, quam f. Sed ut extrema
e habent, ita medium eorum comparatione, igitur malus b e uali
dior et, multo d a, & infirmior c f. Verm, ut dixi, ob itum impli
citer ualidius et, uelum e quam f, & etiam quia, ut dixi, altior &
erasior olet ee, ideo multo ualidior tribus his cauis, qum e f:
adde quartam qud uelum habet maius, antiquo tempore uoca
tum acatius. At ut etiam docui c b non et in medio, nec quiditat
ab a d & c f, ed in clinatur ad proram ideoque imbecillior: cum ergo
it qualium, & paulo maiorum uirium, qum c f, & tutior, & me
lius agatur per
pterea b e mali, & ueli maximus et uus: ade mali nomen per an
tonomaiam de ipo impliciter intelligatur.
Propoitio centeimauigeimaprima.
Flabelli uires, at que naturam declarare.
Sit flabellum a b c appenum, ut olet, in a, & moueatur motu
quai circa axem p a q in parte inferiore, & ar comprehenus ub
b h k, & patium it 1 m figur nauicularis, qu contat ee par
tem cylindri inanis ex formatione ab Euclide cripta: nam i pro
poneretur p a q ad perpendiculum upertans plano, fieret circum
ducta a b c uperficie, qu eet lata uperius, icut etiam inferius
cylindrus: at uperius a b tenuis et, & anguta, ergo fiet pars cy
lindri inanis: quia non circunuoluitur, donecredeat. Ergo per di
cta uperius ectio illius p r q s per axem et pars cuiudam elly
pis. Et ectio quuis plan uperficiei quiditans a b cuelut tu,
item que quiditans axi p a q et uperficies rectangula, quarum
una et imilis, & qualis b h k, et in una uperficie cum axe p a q
alia uer et quiditans eidem axi maior aut minor quiditanti
um, & ipa laterum, at que rectangula ac i cylindrus tans axi plano
quiditanti ecaretur iuxta longitudinem eu altitudinem uam:
& manifetum et, quod ita duo plana, & eorum uperficies ecant
e mutu ad rectos angulos.
Quibus contitutis, qui tabunt iuxta l, & m longitudines aris
moti, & loci, per quem tranit flabellum, entient magnum uentum,
quoniam cum corpus m x l ab extremis partibus it elatius a b ex
tremis, tantes, & alti tangentur uento agitato. Si uero edeant, aer
primum non attinget illos, ut etiam quia urum pellitur non per
ueniet ad illos, im diffugiet, ergo non refrigerabuntur. Qui uer
lateribus l x m
et ab illis, cum autem fuerit in x, erit in loco humiliori, & mouebi
contactu, neque motu, qui
fiet per quiditantem f,
& g non poterunt refrige
rari. Sed i humili loco e
deant, quoniam ar decen
dit, ex l & m uerus x, &
etiam, quia erunt proximi
h k,
gerabunturQui
frigerabuntur
lulum in reditibus propin
quis, & neque tantes,
edentes
tur h k. Rurus i b h k fue
rit grauior eodem, ut de
cendat tanto impetu,
to
pote ex ligno tenui nucis,
tunc multo magis refrige
rabit, & procul,
ualidiorem, ed quoniam
celerius occurantes ibi
contrarijs motibus, ac
hementibus
tium aris, & ideo in ambitum impelletur, & undique cubiculum
refrigerabit, quod non faciet maius long flabellum lento motu
agitatum, aut ex materia leui. Idem multo magis contingeret, ubi
duo eent flabella laquearibus appena, qu ad perpendiculum
flabella rotunda eent, tunc maiorem ambitum aris occuparent,
& uelocius deficientibus angulis mouebuntur.
Propoitio centeimauigeimaecunda.
Contemptus circa olis rationem in umbris declarare.
Contat primm olem, & excentro, & toto eius ambitu illumi
nare hanc primm diueritatem, qu aliquando tota diametro
computata dimidium unius partis totius cli excedit: cioterici
negligunt, ut exiguam. Secund etiam diueritatis illius, qua mo
d terra uerus abidem defertur, mod ad terram decendere to
tidem uariata altitudine, non parum nullam habent rationem, eu
eu qud incertum adhuc it, an id uer oli accidat. Tertium et fi
nis umbr ipius gnomonis, qui incertus et, ut pars non contem
nenda in dubium uertatur, quoniam enim ex obcuro in illumi
natum feratur, attamen contemnitur etiam. Quartum qud cum
ol moueatur in pira, fingitur quai in parallelo quinoctiali circu
lo circumagatur ab his, qui horologia decribunt. Quintum qud
cum inqualiter in orbe uo moueatur quanuis exigua it hc dif
ferentia, qualiter Sextum et, qud
dies quales upponuntur, qui tamen tum ex ratione partis pera
grat, tum ratione acenus
qualitas Sed & hc ut
prior ratione magis,
d oritur ex uius circulo eu horizonte, & circulo traneunte p cen
tum et emidiameter terr,
tis, ed et inenilis quantitatis.
mone umbra, & radijs olis latera non mutant lineas, qu ole ad
centrum terr deueniunt, nec qud maius et, radius olis ad uerti
cem hominis breuior habetur femidimetiente. Hc
otericorumVerum quatuor
tantm altitudinem poli regionis locum olis in eclyptica locum
olis in circulo quinoctialis, uel quinoctiali parallelo, ex qui
bus tribus fit altitudo olis, una in circulo cilicet uerticali ab hori
zonte, & differentia line meridian linea uerus polum, quam
otendit lapis Herculeus, de qua dictum et uperius.
Propoitio centeimauigeimatertia.
Cognita ratione umbr ad gno
monem inum, & arcum altitudi
nis ab horizonte quouis tempo
re dignocere.
Sit circulus magnus, in quo ol
a f g upertans ad perpendicu
lum circulo uius f e g, quos mani
fetum et tranire per idem cen
trum mundi c, quia magni unt, &
it c d erecta ad perpendiculum
uper f g, nam perinde et per e
ptimum contemptum, ac i uper
ficies horizontis traneat per terr centrum, & pedes per octauum,
ideo proportio e c ad c d umbr ad gnomonem, ut b e ad b a, ergo
octauum contemptum et dimetiens circuli, ergo a b inus notus,
& arcus f a, quod et primum cognitum. Et hic quidem circulus
uerticalis dicitur, quia per illum tranit, aliter non eet ad perpen
diculum horizonti.
po.
Ex hoc equitur, quod altitudines olis quales omnes in uno
unt circulo horizonti parallelo. Et i ol fuerit in uno circulo ho
rizonti parallelo, altitudines olis, & umbr magnitudines qua
les erunt.
Sol nii bis in una die potet ee in circulo horizonti parallelo,
emel ante meridiem, & emel pot, tantundem ab eodem ditans.
Cum ergo ita it, necee et umbras quales, & circulum hori
zonti
bus, prterquam cum in punctis fuerit qualis ab quinoctiali, &
in eandem partem declinationis, & hoc bis
pro quolibet circulo parallelo, icut in eodem die etiam bis
ut dictum et.
Nam exempli gratia, cum ol et in initio Capricorni, & in Cli
medio, minima et umbra eius diei, & totius anni. Cum ergo fuerit
ante meridiem, uel pot, erit umbra maior ex uppoito ecudo um
bra meridiei: at ei qualis poterit ee umbra meridiei alterius diei
ex primo uppoito, ergo umbr quales diuerorum dierum fi
unt ub diuero itu olis, quo d circulum meridiei, quod erat de
montrandum.
Ex hoc equitur, quod horarum determinatio fit ecundum line
am in qualem obliquam, qu toti anno eruiat, ut qualium um
brarum determinatio hararum & partium eius numerum.
Ex quo colligitur modus faciendi gnomonem, eu per umbras
rectas, eu per ueras, qui docebit toto anno non
menta
Propoitio centeimauigeimaquarta.
Proportionem umbr uer ee ad gnomonem, uelut gnomo
nis ad umbram ueram.
Vmbra uera dicitur, quoties gnomo in pariete ad perpendicu
lum figitur, ic ut gnomo quiditet circulo horizontis. Sit ergo
paries c k ad perpendiculum f g, & h k a d gnomo ad perpendicu
lum parietis & ol, ut prius in a, & it primo k h tant longitudinis
ut umbr locus it
trin que qualis, & propterea triangulus k h d imilis d c e. Sit modo
gnomo maior m l ipo h k & c l maior c k eu qualis, & quam an
guli k & l recti unt, & anguli l m n, & k h d qualis, quia a n, & a c
anguli imiles, igitur proportio l m gnomonis ad l n umbram
ut k h gnomonis ad k d umbram, ed k h, ad k d, ut c e umbr ad c d
gnomonem: igitur proportio l m gnomonis ad l n
br c e ad c d gnomonem, quod fuit demontrandum.
mi
E
Ex hoc primm patet & prcedenti, quod cognita proportione
umbr uer ad gnomonem cognocitur inus olis, & arcus altitu
dinis in circulo magno, & et altitudo ab horizontis parte, qu
proximior et loco olis, ut demontratum nobis in Geometricis.
Se quitur etiam, qud cm umbra fuerit qualis gnomoni, eu
recta, eu uera olis, uel Lun, uel tell, altitudo erit partium qua
draginta quin que: nam anguli d & e, uel d & h erunt quales: igitur
arcus f a medietas quart ide partium xlv. Et i gnomo fuerit ma
ior umbra uera, uel minor recta, erit arcus f a minor xlv partibus, i
contr maior. Et hoc ubique terrarum.
Et ubi non posit tantundem
eleuari, ut quando ol et ub circulo capricorni, nunquam nobis
gnomo quabitur umbr rect ed emper erit minor, & emper
maior umbra uera pari ratione.
E
exti
E
Propoitio centeimauigeimaquinta.
Proportionem dimetientis, & peripheri cuiuslibet circuli paral
leli quinoctiali per cognitam partem magni circuli demontrare.
Hc erat tam clara, ut hic locum non mereretur: tam necearia
huic propoito, ut non potuerit omitti. Sit ergo Aequinoctij circu
lus a b portio circuli magni nota, a c parallelus circulus, quinoctij
circulo c d, erit igitur inus c d notus. Et ide
ergo & pars utraque b d d a nota. Quare detracta a d ex d b relin qui
tur d g qualis f c diametro paralleli asignari. Quare proportio
a b ad e f nota ex obiter upr demontratis, & pariter ambi
tus circuli a b ad ambitum circuli c d, et enim ut dimetientis ad di
metientem.
& 8. & 17.
di
P
Propoitio centeimauigeimaexta.
Circuli horarij naturam declarare.
Circulus horarius et circulus magnus
traniens per
ydus, de quo agitur, & per polos mundi,
ide differt circulo priore altitudinis So
lis, quia ille tat ad perpendiculum uper
horizontem, nii cum tangitur uice meridi
ani, uterque tamen tranit per
ac olis. Hic etiam ad imiles partes qui
noctij circulum, & omnes parallelos ecat.
ante, & pot numerant. Ide
putat unt
ubiuis it, ol mod regiones qualiter ditent fortunatis, eu int
in eadem longitudine.
Propoitio centeimauigeimaeptima.
Data Poli altitudine ortus amplitudinem demontrare.
Sit horizon a d b quinoctij circulus
a k f eclyptica c g, & punctus ortus in ea g. & c initium arietis, & g b amplitudo ortiua
& c e, c f quart circulorum, ut it e f maxi
ma olis declinatio, & polus mundi borea
lis l, quia igitur l d nota et ex uppoito, &
l k quadrans erit k h
circuli notum. Quia uer quinoctium, &
Meridianus ecant e ad angulos rectos, &
b a quiditat ab utro que polo, erit b polus
h d, quare b k, quarta circuli, & angulus k
rectus. Igitur umus in dipoitione tabula
rum primi mobilis, ergo etiam oppoitus
triangulus, qui ei et qualis, & quiangu
lus in eadem dipoitione b m d, quare cum
data it g n declinatio
Propoitio centeimauigeimaoctaua.
Nota amplitudine ortus cuiuque
Sit in eadem figura nota g b, uolo illius
Cum
ergo g n it declinatio, erit pars arcus Meridiani horarij per polos
traneuntis, compleatur ergo l g n o, & quia g n nota et, quia de
clinatio puncti dati, & g b nota ex uppoito, & f angulus rectus,
quia e f et portio meridiani, erit b n nota differentia acenionis a
quarta circuli k b,
lelus imilis et k n, & in eo
niet ad p. Poumus etiam ine inuentione arcus ortus amplitudi
nis per triangulum k m d ex notitia g n cognocere eandem n b.
Ex his duabus equitur
Propoitio centeimauigeimanona.
Data altitudine olis in quacunque regione quacunque die ditan
tiam olis Meridiano cognocere.
Sit Horizon a b c d quinoctij circulus b e d.
Meridianus a e c
Polus mundi Borealis f uertex, g,
ticalis circulus p h l uque ad Horizontem, & circulus parallelus
quinoctij circulo h m, it ergo h l altitudo olis nota, igitur h g nota
erit reiduum quart circuli, & imiliter h k
nota, quia declinatio puncti dati in eclypti
ca et n nota dies, & locus olis ex uppoi
to ergo nota fh
ta et
li ex uppoito, ergo reiduum quadrantis
f g, ergo triangulus f g h notorum laterum
ergo notus angulus f, ergo arcus k e ditan
tia umpta in quinoctij circulo puncti h,
cui imilis et arcus h m ex parallelo h m, nam quando k perueniet
in e h perueniet in m, & in quali tempore, qua diuia per quinde
cim gradus, habebimus horas
& minuta horarum dando quibuslibet gradibus quatuor minuta
hor, & quibuslibet minutis graduum quatuor ecunda hor, &
ita habebimus tempus exactisimum Meridie in quacunque regi
one, & in quacunque hora diei.
P
M
Propoitio centeimatrigeima.
Data regionis altitudine, & loco olis proportionem gnomo
nis tam ad umbram rectam, quam ueram, uel etiam in cylindro de
terminare.
Hc et propoitio illa pulcherrima, quam tot ambagibus tradi
dere antiqui cum uis analematibus, & cioteris, nec tamen demon
trationem, nec rationem exactam intrumenortum contructio
nem, qua poemus per umbras rectas ueras, & cylindricas cire ad
unguem, qualis hora, & minutum, & ecundum diei eet quocun
que anni tempore. Plerique autem tam laborio id conati unt de
montrare, ut tudioos deterruerint ab opere: res autem ipa facil
lima et. Propoita ergo Poli exacta altitudine olis in Meridie
declinatione addita uel detracta, habebis reiduum eius ad qua
drantem f g, & imiliter habebis ex declinatione nota loci olis de
tracta quadrante f h & iuxta horam tuam, & minutum multi
plicatum per quindecim arcum k e quare angulum f, ex quo arcum
g h, quare reiduum h l, igitur punctum umbr rect, uel uer ipi
us gnomonis ad unguem, & ita contitues horologium exactisi
mum ecundum ea, qu dixi in Corrolarijs upradictis, & quia ho
rizon a b c d ecat quinoctialem in
anguli b h g, & k h l quales. Igitur poito g ortu puncti eclypti
c, erit g b ortus amplitudo nota, & ide angulus b h g, & k h l
notus, & ita extendemus per totum annum. Cum uer fuerit g ele
uatus erit, ut
gulus fiet in eodem circulo, quia gnomo et etiam in illius uperfi
cie. Ergo angulus erit qualis angulo, quem faceret ol, i oriretur
in puncto horizontis, quem ecat circulus
uerticalis ub ea altitudine: ed his et no
tus: nam in priore figura g h f et notus ea
& k rectus, et enim f polus b d, & h k decli
natio nota ergo k n, & h n not. At e k, &
g h fuere not. Ergo e n, & g n, quare rei
du n l & n b not. Et autem angulus l
rectus. ergo ortus amplitudo punctil nota
cilicet arcus l b, ergo in prenti figura angulus m h b, ergo k h l. igitur poterimus tatuere angulos umbrarum, & iam poumus
determinare magnitudinem: ergo punctum ad
libet hora, & parte hor ingulis diebus in quacunque regione dat
altitudinis poli uera, & rects. In cylindrica autem eodem modo i
cut in uera, et enim pecies umbr uer, nii quod analema ob ob
liquitatem cylindri melius aptatur, rotundum cilicet cum
de
teregij de
T
P
C
P
mi
Propoitio centeimatrigeimaprima.
Si line alicui dupla alterius
Sit a b linea, cui adiecta it b c, & rurus ad b c c d
dico, quod proportio a c ad a b et maior, qum a d ad a c. Propor
tio enim c d ad c a minor et, qum ad a b per octauam quinti E
lementorum. Ergo minor d c ad c a qum c b ad a b, quia b c & c d
unt quales, ide
ad a b:
tio d a ad a c minor, quam c a ad a b, quod erat demontrandum.
ti
Propoitio centeimatrigeimaecunda.
Si ad duas lineas, quarum una alteri dupla it eadem linea adda
tur erit aggregati ex minore, & a d adiecta ad ipam
proportio quam aggregati ex maiore, & adiecta ad ipam maio
rem duplicata.
Sint du line a b, & c d.
& it c d dupla ad a b, ad datur
b e, & uo cetur iuncta c d, d f dico,
quod proportio e a ad a b, et mi
nor duplicata f c ad c d, adij cia
tur d f qualis g f, quia ergo g d
et dupla ad f d, ideo ad e b c d autem et du pla ad a b, tota igitur
quare ut g c ad g d ut e a ad e b
eueram ut e a ad a b, ita g c ad c d, ut g c ad c d
f e, & f c ad c d, igitur e a ad c b componitur ex eidem. Proportio
autem g c ad f c et minor, quam f c ad c d, igitur minor qum du
plicata f c ad c d. contat uer ex eidem, quod proportio c a ad a b
maior et duplicata g c ad f c.
Propoitio centeimatrigeimatertia.
Si fuerint du quantitates, quarum una alteri dupla it: minua
tur minore qudam
ris ad Si uer minori addatur et maiore detrahatur, erit aggregati ad mi
nore m minor proportio qum maioris ad reiduum duplicata.
Sit a b dupla c d, & addatur qu
dam ad b a, qu it a g, eadem detraha
tur ex c d & it c h, dico, quod propor
tio e d ad d h maior et, quam duplica
ta g b ad a b, & rurus i qudam ad c & minuatur ex a b utpot
c f addatur c d, & a e minuatur ex a b, erit proportio f d ad c d mi
nor duplicata a b ad g e.
gul c h, igitur a l dupla et e h & a b fuit dupla a d, c d igitur ut in
priore contitution prcedentis a b ad l b, ut c d ad h d & a b ad
b l maior, quam duplicata a b ad b k ut minor qum k b ad b l. hoc
enim demontratum et in fine, igitur c d ad h d maior, qum du
plicata a k ad k b, ed a k ad k b maior et per uigeimam tertiam, hu
ius cilicet per demontrationem illius, qum g b ad b a, igitur mul
to maior c d ad d h, qum duplicata g b ad b a, quod et primum.
Secundum ic per eadem, addito enim duplo f c ipi
a b ut in ecunda figura, & int a m, & m n erit f d ad c d,
ut n a ad a b, quare cum n a ad a b it minor duplicata per
prcedentem in b ad a b, & a b ad e b it maior, ut demon
tratum et in uigeima tertia huius, qum m b ad a b, erit
f d ad d c multo minor duplicata a b ad b e, quod et e
cundum.
Propoitio centeimatrigeimaquarta.
Si rectangula uperficies it cuius pars tertia quadrata it, corpus
quod ex latere quadrat in reiduum uperficiei contat maius et
quouis corpore ex eadem uperficies aliter diuia contituto.
Sit rectangulum a c cuius tertia pars c e it quadrata, dico quod
corpus, quod
rit ex latere partis uperficiei a b in reliquam Si non diuidatur
uel upra uel infra, & primo in f erit
rum per primam exti Elementorum: at
per prcedentem maior et proportio
e d ad d f, qum a f ad a e, duplicata igi
tur maior et proportio e d ad eam, qu
potet uper f c uperficiem, quam f a ad
a e, igitur maior, qum a k ad a b ex pri
ma exti Elementorum: igitur per trige
imam quartam undecimi. Parallelipe
dum ex e d in a b maius et parallelipedo ex ea, qu potet in f c u
perficiem in ipam uperficiem a k. Si uer diuiio facta fuerit in g,
contat ex prcedenti, quod minor et proportio g e ad e d, qum
it duplicata e a ad a d a g, eam igitur minor proportio eius line,
qu potet in g e uperficiem ad e d quam a b ad a h, igitur paralle
lipedum ex e d in a b et maius parallelipedo ex ea, qu potet g c
in a h cum it a b ad a h, ut dictum et, uelut a e ad a g.
Manifetum et autem, qud tale corpus et quale duplo cubi
lateris partis terti quadrat.
Propoitio centeimatrigeimaquinta.
Si linea in duas partes, quarum una it alteri dupla, diuidatur
erit, quod fit ex tertia parte in quadratum reidui parallelipedum
maius omni parallelipedo, quod ex diuiione eiudem line crea
ri posit.
Sit a c dupla b c, & it quadratum ad ipius a c, dico parallelipe
dum ex b c in a d maius ee quouis alio ex
diuiione line a b imiliter creato. Secetur
primo in e, & fiat quadratum a f, eritque per
uigeimam quintam. Huius proportio c b
ad b c maior duplicata a e ad a c, quare ma
ior, quam a f ad a d per uigeimam exti Ele
mentorum, igitur per trigeimam quartam
undecimi, Parallelipedum ex b c in a d maius et parallelipedo e b
in a f, quod et demontrandum. Si uer diuiio cadat in g, fiat qua
dratum a h, et erit per uigeimamtertiam huius proportio g c ad c b
minor, quam duplicata c a ad a g: igitur minor, qum a d ad a h, igi
tur per eandem parallelipedum ex c b in a d maius et parallelipe
do ex g b in a h.
Ex hoc liquet qud parallelipedum illud erit quadruplum cu
bo minoris partis, & dimidium cubi maioris.
Propoitio centeimatrigeimaexta.
Denominationes in infinitum extendere.
Inquit Euclides, i fuerint quotlibet quantitates ab uno in conti
nua proportione, erit tertius numerus quadratus, & omnes alij e
quentes uno intermio. Tertia igitur in comparatione ad ecun
dam etiam, quod non it numerus, et quadratum: et enim tertia
ab uno quadratum ecund, qu et proportio. Detracto igitur
uno omnes quantitates lo co pari unt quadrat: ut cias ergo cu
ius unt quadrat diuide per medium, & erit quadratum illius, er
go quadrageima erit quadratum uigeim, & uigeima decim,
& decima quint, & uigeimaexta terti decim, & ita de alijs. Iuxta hoc dicemus, quod ecunda erit
tum quadrati, & octaua Et extadeci
ma quad quad quad quad. & ita trigeima ecunda quad quad quad
quad quad. Quod autem quad.
et quarta in ordine, ideo & octa
ua & duodecima & decimaexta, & ic de alijs unt quadrata qua
drati, & icut quarta et quadratum quadrati prim, ita octaua e
cund, & duodecima terti, & extadecima quart, & uigeima
quint, & ita emper diuidendo per quatuor.
po.
Secunda regula dicebat ibidem Euclides, i fuerint quotlibet
quantitates ab uno in continua proportione quartus, ab uno erit
cubus upple ecund, & ita duobus emper intermisis, uno igi
tur ipo relicto quolibet loco ternario, ut tertia, exta, nona, duode
cima unt cubi, & cubi eius quantitatis, qu exit diuio numero per
tria, uelut tertia prim, exta ecund, nona terti, duo decima quar
t: & ita tertia erit cubus nona cubus cubi, & uigeimaeptima cu
bus cubi cubi cilicet prim. Et trigeimanona et cubus ter
ti decim.
po.
Tertia regula quarta quantitas, ut uium et: et quad quad.
Et
quinta et relatum primum, quia 5 et numerus primus, & 7 et re
latum ecundum, quia et ecundus numerus primus: & undecima
tertium: & tertiadecima quartum: & decimaeptima quintum: &
decimanona extum: & uigeimatertia eptimum & uigeima quin
ta, quia et primus numerus prter quam ad quintam, ide et rela
tum quint, qu et relatum primum prim, omnes ergo numeri
primi unt relata, alij omnes unt ex natura cubi uel quadrati. Sed
relata unt inter e omnia diuerorum generum nii
tum, quod et relatum primum primi relati, & quadrageimumno
num et relatum ecundum relati ecundi. Et ita centeimum uigei
mum primum et relatum tertium tertij relati, reliqua, ut dixi, me
dia inter hc unt ui generis.
Quarta regula propoita quantitate ab uno in continua propor
tione, i uis cire cuius natur it detracto uno conidera, an posit
diuidi per duo, et quadratum medietatis, & ita procedes diuiden
do uque ad numerum primum, qui uel et 2, & erit ex genere quad
quad. uel 3, & erit ex genere quadratorum cuborum, & imiliter i
it 9, erit ex genere quadratorum cubi cubi. Et i proueniat alius nu
merus primus, ut 5. 7. 11. 13. erit quadratum relati illius ordinis. Et i
non potet diuidi numerus quantitatum per 2 uide, i posit diuidi
per 3, tunc erit cubus illius quantitatis, & i illa quantitas, qu pro
uenit ex diuiione: fuerit 3, uel potuerit diuidi per 3, erit cubus, uel
cubus cubi, & ita deinceps. Si uer it alius numerus primus, ut 5.
7. 11. erit cubus relati. Et ita i
genere relati. Et tunc i posit diuidi per alium numerum, ut 35, erit
relatum ex eo genere. Vtpot trigeimaquinta quantitas et rela
tum ecundum relati primi, eu relatum primum relati ecundi. Nam quoties quantitas potet diuidi per duos numeros, dicetur
ub utro que uicisim, ut duodecima potet diuidi per 4 & 3, ide di
cetur cubus quad quad. uel quad quad.
cub.
& per 2 & 6, & dicetur
quadratum cubi quadrati, & quadratum cubicum quadrati ipius
proportionis, ad quam omnia referri debent.
Quinta regula ex prcedenti pendet, & et, quod denomina
tiones, & proportiones uicisim commutantur: uelut 256 et quad
quad quad, & inter quad quad quad, & quad quad unt quatuor ter
mini ipo computato, & inter quad quad, & quod uii duo, ergo
quad quad quad continet plures proportiones, & proportiones
duplicat non contituunt quad: nam 64 continet duas duplas
ad 16, non tamen et quadratum 16, ideo oportet diligenter ani
maduertere.
Sexta regula imiliter ex dictis pendet, & et, qud gratia exem
pli relatum primum comparatum ad primum terminum et exta
quantitas, cum autem comparatur ad rem, iam prupponit pro
portionem. Exemplum relatum primum proportionis 21/20 et 4084101/3200000
& et aliquanto maior exquiquarta, & i colligas terminos 100.
105. 110 1/4 115 61/80 121 861/1600 127 19681/32000. Tu uides qud unt ex termini in
utra que computando primum, ed in 21/20 unt duo termini, & in qua
drato tres, & in quadrato quadrati per prcedentem, adduntur
duo & ultimus cilicet extus fit ex relato ipo. Ergo ultra propor
tionem unt tantum quatuor termini.
Septima regula ad effugiendum omnes errores tu cis, qud
4096 quadratum 64 et extus a 64, ad quem habet proportionem
quadrati, & 64 et imiliter extus ab uno illo cilicet non compu
& it extus ab eo, eo computato 4096 autem 64 it eptimus, ta
men non et eadem ratio, quia 64 non et quadratum 2.
Propoitio centeimatrigeimaeptima.
Rationem numerorum ex progresione declarare.
Michal Stifelius rationem pulcherrimam tradidit ad inuentio
nem numerorum, qui uo cantur multiplicandi, & componitur hoc
modo. Ex prima componitur 1 & 2, faciunt 3. 1. 2. 3 faciunt 6. 1. 2. 3. 4
faciunt 10, & ita prima tabula contituit ecundam recta erie nu
merorum iunctis o
mnibus ab uno. Ter
tia fit ex ecunda &
tertia, prim aumi
tur 10 in tertia, ut in
ecunda, & ex 10 e
cund, & 10 terti
fit 20, & ex 15 ecun
d, & 20 terti fit
35, & ex 21 ecund,
& 35 terti fit 56, &
ex 28, & 56 fit 84. Et
quanta fit ex tertia,
& ex eipa. primum
aumendo 35 ex ter
tia, & ponitur pro
primo numero quart, & ex 35 terti, & 35 quart fit 70 numerus
ecund quart: & ita ex 56 & 70 fit 126, & ex 84, & 126. 210. & ita
quinta ex quarta & eipa, & ic in infinitum.
A
Regula ergo et, qud binarius eruit <02> quadrat, & quia nihil
et in eius directo, olus ipe eruiet <02> quadrat. Ternarius autem
cubic, & quia in eius directo et alter ternarius, ille etiam eruiet
<02> cubic. Quaternarius autem eruiet quadrato quadrati, & ena
rius, qui et in illius directo. Ergo quinarius eruiet <02> relat prim,
& duo equentes numeri cilicet 10 & 10, & eo dem modo enarius
numeri duo equentes 15 & 20 eruient cubo quadrati, & ita etiam
eptenarius cum tribus equentibus numeris 21. 35 & 35 eruient
rel. ecundi radici, & ita deinceps in infinitum.
Propoitio centeimatrigeimaoctaua.
Modos uus horum numerorum declarare.
In quouis numero denominationis oportet tot addere o, quo
emper minuere unam o, uelut quia quadrata <02> et prima ad 2 ad
demus o, & fiet 20, nec alium quremus numerum. Sed quia cubi
ca et ecundo loco, habebit prima nota 00, & fiet 300, & ecundum
3 unam 0, & fiet 30, & in quadrato quadrati addemus 000 primo,
& 00 ecundo, & o tertio, & ita hab ebimus 4000. 600. 40. ed quia
in tabula non et 4 ultimum, addemus imilem primo emper. In
relato primo, ergo habebimus 50000. 1000. 1000. 50. & in cubo
quadrati 600000. 150000. 20000. 1500. 60. Manifetum et, qud
his uice uera aumpimus 15 & 6 imiles prioribus addendo em
per ut dixi o minus, donec ad unam peruenerit. Et ita in relato e
cundo 7000000. 2100000. 350000. 35000. 2100. 70. & ita dein ceps.
Propoitio centeimatrigeimanona.
Radices omnes propoitis numeris extrahere.
Propoitis quibuuis numeris utpot 916132832, uolo detrahere
<02> relatam primam, primum habebo in tabula decripta relata pri
ma numerorum implicium uque ad 10 uelut in exemplo. Dein de
ubcribam pun
ctum ub prima
nota dextra, &
quia et quarta in
dum notrum, omittam quatuor notas in
ter medias, & ubcribam punctum aliud,
& ita facerem i eent plures qum decem
not: relinquitur ergo ad
initra 9161, cuius quro <02> relatam pri
mam in tabula, quam inuenio ee 6, nam
proximius ex minoribus ad 9161,
detraho igitur 7776, ex numero
propoitio relinquitur. Dein de
pno 6 & quadratum eius, & cub. & quadratum
quadrati, quia, ut dixi, et quarta denominatio a
uentos relati primi ex prcedenti propoitione: & duco ingulos
cum uis collateralibus, ut uides etiam in figura, et cum ultimo pro
ducto, cilicet 64800000 diuido 138532832 exit 2, huius accipio o
mnes numeros ad relatum primum uque ut uides, & pono minores
regione maiorum, utpot 2 regione 1296 & 50000, & 4 regio
& duco 6 in 50 fit 300, duco in 16 fit 4800, duco 36 in 1000 fit
36000, duco 36 in 8 fit 288000, duco etiam 216 in 10000 & fit
2160000, & duco hos per 4 fit 86400000, duco rurus 1296 in
50000 fit 64800000, duco in 2 fit 129600000. Demum addo 32 re
latum primum 2, & fit umma omnium 138532832, & ita habemus
radicem relatam primam dictinumeri ee 62. Et i numerus produ
ctus fuiet maior oportuiet accipere proximo minorem. Inde per
regulam equentem addere minutias.
Propoitio centeimaquadrageima.
Radices per numeros fractos determinare.
Duplex et modus, ut etiam docui in arithmeticis, cilicet ut pro
radice quadrata addatur duo o, & pro cuba tria, & pro quadrata
quadrata quatuor, & pro relata prima quinque, & ita deinceps, &
pr decimis emel, pro centeimis bis, pro milleimis ter, pro millia
ribus eu partibus earum quater, pro centeimis milleimis quin
quies, pro milleimis milleimarum exies, & ita deinceps deinde
per prcedentem detrahere radicem, & erit ualde exacta. Exemplo
non utar, nii qud i uelles radicem relatam 16 ad milleimas, acci
cipies radicem relatam numeri latere propoiti, & ita de alijs
1600000, 00000, 00000, & i uelles <02> cub. 5 1/5 per milleimas, pri
mo addes ter 000, & fiet 3000000000, inde ume 1/5 1000000000,
qui et 200000000, & adde ad 5000000000, fit 2500000000,
& hoc quia unum refert numerum 1000000000 ex uppoito & 1/5
et 1/5 unius.
Secundus modus et, ut accipias proxim maiorem, & multipli
ca in e, & detrahe numerum propoitum, & reiduum diuide per
duplum radicis primo inuent, i fuerit quadrata, & per triplum
quadrati eiudem i fuerit cubica, & per quadruplum cubi, i fuerit
quadrata quadrata, & per quin cuplum quadrati quadrati, & quod
exit detrahes ex priore radice, & rurus quod relinquitur, multipli
ca in e, & eodem modo agendo quod uperet numero propoi
to, diuide per duplum radicis prioris, i it radix quadrata, uel per
triplum quadrati i it cubica, & quod exit rurus detrahe, & ita a
gendo, peruenies ad exactisimam radicem, exemplum uolo radi
cem quadratam 5 proxima maior et 3, quadratum 9, differentia 4,
diuide per 6 duplum 3 exit 2/3, detrahe ex 3 fit 2 1/3, quadratum et 49/9
quod et 5 4/9, rurus diuido 4/9 differentiam 5 4/9 & 5 per 4 2/3 duplum
radicis prim exit 2/21, detrahe ex 2 1/3, relinquitur 2 5/21, radix atis pro
pinqua, nam eius quadratum et 5 4/441, in cubica imiliter uolo <02>
cu. 5, proxima maior et 2, cubus 8, differentia 3, diuide per triplum
differentia et 23/64 diuide per triplum quadrati 1 3/4 qud et 9 3/16 exit
23/588 detrahe ex 1 3/4
hunc exceum i placet per triplum quadrati 1 107/147 & et ferm 9 exit
56050/3176523 quai detrahe ex 1 107/147 relinquuntur 323159/453789.
Tertius modus et ubtilior, tu cis, d duo decima denominatio
et quadrata ext, & quadrata quad, terti, & cuba quarti, quarta
autem et inter
portione: ergo inuenta <02> numeri propoiti & <02> radicis inuent
duas quantitates, quod facile erit enim procedendo, & habebo <02>
cu. quitam, cilicet minorem ex duabus intermedijs.
Et imiliter
pro relata prima, capiam exaginta denominationes, & cis, qud
quintadecima et <02> <02> exageim, & decima et <02> cu. <02> exageim,
& duodecima <02> relata prima exageim per eandem inuenta, er
go <02> numeri propoiti tanquam ille it exageima denominatio,
inueniam illius radicis inuent <02> quadratam, & cubicam, &
quia duodecima quantitas qu et <02> relata prima numeri et
ecunda, quatuor intermediarum inter ponam inter <02> quadra
tum, quadratum, & cubicam quadratam quatuor numeros in
continua proportione, & ecundus ex minoribus erit <02> relata
prima numeri propoiti. Exemplum cubic uolo <02> cu: 5 habui <02>
quadratam eius 2 5/21 ed uolo proximiorem diuidendo 4/441 per 4,
quod et ferm duplum 2 5/21 exit 1/441 detraho ex 2 5/21 relinquitur ualde
proxima <02> 5. 2 104/441 huius igitur radix quadrata, primo inuenta et 1 1/2
ecunda proximior et 1 41/84 reduco ad eandem denominationem fi
ent 284/9261 2 416/1764 & 1 861/1764 inter 3944, & 2625, inueniemus duos nume
ros in continua proportione, ut uides, & erit ecunda quantitas
3006/7641, quod et 167/98 proximum ad 1 5/7, <02> cubica. 5.
ut liquet. Pro relata prima ergo ponamus, ut ue
lim <02> relatam
imiliter <02> cu: 5 fuit 1 69/98 igitur reducam ad unam denominationem,
& inueniam quatuor numeros in
& ecundus pot minimum ex illis erit <02> relata prima propinqui
ima 25. Quomodo uer inueniantur facillim illi termini, do
cui in exto libro operis perfecti.
Quarta regula et utilior, licet minus uideatur nobilis, & et un
data in hoc, quod i a b it maior c & eis ad dantur b e, & d f qua
les dico, quod erit minor proportio a c ad c f, quam a b ad c d, & ex
conequenti per Dico ergo quod maior et proportio a b
ad c d, qum a e ad e f, fiat d g ad quam it b c ut
a b ad c d, eritque a e ad c g ut a b ad c d, minor au
tem et a e ad c f, quam ad c g, igitur minor a e ad
c f qum a b ad c d quod fuit propoitum. Simili
ter i fuerint du quantitates, a b & c d, quarum a b it maiore, c d
autem eadem e minor, dico, qud dimidium aggregati a b & c d
maiorem habebit proportionem ad e, qum c d & minor, nam iun
cta b f quali d e ad a b, ita ut f g it dimidium totius a f, qia ergo
f g et dimidium f a & fb et minor dimidio
f a cum it minor b a, & imiliter f g et mi
nor a b, quia a b et maior dimidio a f, quia
et maior b f, ergo proportio g f ad c et ma
ior quam b f ad e, ita quam c d ad e, & mi
nor qum a b ad e, quod fuit propoitum. Quo uio uolo <02> 1000
quadratam, & qud de quadrata dico, dico etiam de alijs radici
bus & erit ex ecunda regula harum 31 39/62 & quadratum erit 1000
1521/3844. Iuxta ergo primam partem regul 31 38/61 erit minus, & in ueritate
in eo, quod fit ducendo, ut uides, & hoc et pro
ximum ad 11/160, multiplico igitur duplum 31 39/62,
quod et ferm 63 1/4 in 1/160 fient 63/160 detrahe ex
1521/3844 hoc modo, diuide 3844 per 160 exit 24 /40
diuide 1521 per 24, exit 63 3/8, habes igitur quod
1521/3844 unt 63/160, igitur detracto 63/160 ex 63/160 nihil relinquitur, & erit <02> exa
cta ualde 1000 hoc 31 38/61 cuius quadratum 1000 41/3421 uides breuita
tem, & propinquitatem in producto differentia et 1/100 aut parum
maius quod ad radicem comparatum cum debeat diuidi per du
plum eius erit paulo maius 1/6300. Vnde facilior et, & breuior hc
uia qum per 00 ad ditus. Rurus uolo aliquid
pinquitate ita facio. Conidero qud 31 38/61 et maius 1/6300 radice, di
uido 6300 per 62 exit 103 ferm, neque enim curo in hoc fractiones,
multiplico ergo 103 in 38/61 & habeo 3914/6283 hic denominator et proxi
mus 6300, aufero ergo 1 ex 3914, habebo ualde proximam <02> 1000,
31 3913/6283 cuius quadratum et 1000 minus 1/1048 hoc ut dixi diuium
per duplum <02> quod et 63 et omnino inenile in radice.
quinti
P
ti
Quinta regula et omnium pulcherrima, & et communis omni
bus & fractis & integris & omnibus generibus radicum, & it ex
emplum, uolo <02> radicis upracript cilicet 31 3913/6283 multiplico 31
in 6283, & fit 194793, cui addo 3913, fit 198686 manifetum et igi
tur, quod 198686/6283 quiualet 31 3913/6283 hoc facto, quod et commune om
meratorem, qui et 194686 per denominatorem, qui et 6283, & i
uoluero radicem cubicam, multiplicabo eundem numeratorem
per quadratum denominatoris, & i uoluero radicem radicis, mul
tiplicabo per cubum, multiplicabo per quadratum quadratum
6283, & ita de alijs una diminutione minore, & eius qui prouenit
numeri <02> uprapoita denominatori erit <02> eiumodi, quam uce
piti, uelut in exemplo fuit numerus 198686/6283 quia ergo uolo <02> quad. multiplico 198686 in 6283, & fit 1248344138, huius accipio <02>
quad. qu et 35332, hc autem et diuidenda per 6283, & exeunt
5 3917/12566, ecce uides radicem exactam admodum, & facilem. Volo rur
us <02> quadrat. 5 3917/12566, multiplico 12566 per 5 & fit 62830, cui addo
3917, & fit 66747, cui uppono 12566 denominatorem, fient ergo
66747/12566, manifetum et igitur qud hoc quiualet 5 3917/12566, i igitur mul
tiplicarem denominatorem per denominatorem & numeratorem,
quod proueniret, eet quale eidem numero, ergo <02> eius eet ea
dem cum <02> prioris, ed <02> denominatoris eet prior numerus, er
go ufficiet extrahere <02> producti ex denominatore in numerato
rem, & ita productum erit ex denominatore in numeratorem
838742802, cuius <02> et 28961, hc igitur diuia per 12566 oten
dit <02> 2 3892/12566. In hac autem quadrata et alius modus ine multiplica
tione, ed non et communis alijs, ubi tatueris denominatorem
pro denominatore <02>, utpote 12566, & numeratorem 66747, con
titues medium enim augendo.
Rurus uolo <02> relatam 2 3829/12566 reduco ad denominatorem, & fit
ut prius 28961/12566, duco igitur 12566 ad quad. quad.
ed ufficiet in hoc
cau deducere ad minores denominationes, utpot diuide 28961
per 12566 exit 2 3829/12566 multiplico per 566 fit 1104 5862/12566, hoc detrahe
ex 28961 habebis 27856/12000, diuide igitur per 1000 habebis 12 & 27 107/125
at 108/126 unt 6/7, igitur habes 12 pro denominatore, & 27 6/7 pro nume
ratore, quare erunt numeri 195/84, erit ergo per hanc regulam, ut ducas
84 ad quad. quadrati, & fit 49787136, duc in 195 fit 9708491520,
cuius <02> relata prima et 99, igitur <02> relata prima 2 3829/12566 et 1 15/84 pau
lo maior, id et 1 13/70. Et nota quod i denominator haberet <02> illius
generis, quam quris, ufficeret inuenire radicem eiudem generis
abque alia numerorum multiplicatione.
Propoitio centeimaquadrageimaprima. (deducere.
Numeros fractos ad minores in
Cum plerunque numeri fracti hab cantur per radices, ut aliquan
do maiores int, aut minores eo fit, ut posint reduci ad mino
res numeros, ut melius intelligi posint & facilius tractari, &
uolo certa ratione ad minores diuiiones deducere. Deduco pri
m totum ad fractiones ducendo 2 in 12566, & addendo 3829, &
fit 26961/12566, multiplico 12566 per 9, quia proportio unius ad alterum
et ferm, ut 9 ad 4, & fit 113094, multiplico 4 in 28961 fit 115844,
hoc igitur et maius, igitur proportio 28961 ad 12566 et maior
qum 9 ad 4, detraho igitur 12566 ex 28961, relinquitur 16395, de
traho 113094 ex 115844, relinquitur 2750, diuido 2750 per 16395
exit 55/328 addo 2 denominatori fit 55/330, quod et 1/6, namit additiones
paru prter qud parum uariant quantitatem etiam dum ad ex
amen reducuntur, nihil impediunt, detrahe igitur 1/6 9/4, & ducendo
per 6, & detrahendo 53/23, duco igitur primos numeros cilicet 28961/12566
mutuo in 53/23, fiunt 665998, & 666107, ita uides, quod proportio
53 ad 23 et paulo minor, qum 28961 ad 12566, & quiualent 27/23
& 2 3829/12566.
Propoitio centeimaquadrageimaecunda.
Denominationum incrementa ex extrema cognita inuenire, &
conuero modo.
annis. Quro
mitterentur maximi errores. Et in ea multi unt modi, & omnes fal
i prter hanc uiam nulla et uera, adde qud uellent multi per or
tem inuentam oluere augendo per ingulos annos, quod ade
difficile eet, & pen foret imposibile. Ide diuides 40000 per 40
numerum ortis exit 1000, igitur in 40 annis unum fit mille, unt
ergo 40 denominationes ab uno, quarum quadrageima et 1000,
igitur uigeima et <02> 1000 cilicet 31 3913/6283, igitur decima et <02> eius
5 3917/12566 huius radix, erit quinta quantitas 2 7/23, cuius <02> relata prima,
erit proportio 1 13/70, cuius quadratum et 1 1889/4900 eu
1 67/165 pro ecunda quantitate, duces ergo primam,
res fractiones facilitatis caua 53/23, & habebis ex
tam quantitatem 2 118/161, duco etiam quintam quan
titatem cilicet 53/23 in ecundam qu et 232/165, & fit e
ptimi anni quantitas, duco igitur eptem anno
rum numerum, qui et 3 14/61 in 31 38/61 fit 102 992/6283. At in
ex annis additis ad uiginti, fit tanto minus, quan
to 31 38/61 ductum in differentiam eptem, & ex an
norum qu et 60/121, fit ergo 15 35/492. Quia ergo an
cilicet multiplicando per 12 numerum menium 2 992/6283 fit 25 5621/6283 di
uide 25 5621/6283 per 15 35/492, exit menis unus, & dies 21, detrahe ex 27 an
nis, remanent anni 26, menes 10, dies 9, in quo tempore habuit
4000 aureos coronatos. Vura autem fuit ut uium 13/70, igitur per re
gulam trium duc 13 in 100 fit 1300, diuide 1300 per 70 exit 18 4/7 &
tanta fuit pro centum. Et cum computaueris in tribus annis, acqui
rit modico plus bee eius, quod habet. Et ita in 13 annis, & parua
illa parte perueniet ad decuplum eius, quod habet, cilicet 4000 au
reorum, & habebit aureos 40000, ut propoitum et.
P
SCHOLIVM.
In propoita proportione numero que terminorum rediuiuam u
uram inuenire.
Sit gratia exempli, in ex annis uura rediuiua uigeim, erit
qe proportio 21/20, cuius numeratorem exies ducam in e primum
bis fit 441: ergo ducto 441 in e fit qe 194481 ductum in 441
fit 85766121 exies ductum 21, quinquies autem ducam 20 deno
minatorem in e fit bis 400, ter 8000,
quinquies ergo 3200000, diuide nume
ratorem per denominatorem abiectis
quinque notis erit 26 2566121/3200000. Qu propor
tio et proxima 26 4/5 ad 20, & ita ut 134 ad
100. Et i pigeret tdij autlaboris poes
pro xij annis, ducere 134 in e, & fit 17956
diuide per 100 eadem ratione, exit 179 14/25
& ita 100 in xij annis, fit tantundem. Et
ita pro xviij & xx annis.
Propoitio centeimaquadrageimatertia.
Si linea in duas partes diuidatur, corpora, qu fiunt ex una par
te in alterius quadratum mutu qualia unt corpori, quod fit ex
tota linea in uperficiem unius partis in alteram.
Sit a c diuia in a b, b c quadratum a b it
a d,
ex a b in b e, a f dico qud corpora ex a b in
b e, & b c in a d qualia unt corpori ex a c
in a f. Quia enim corpus ex a c in a f contat
ex a b in a f, & b c in a f, per primam ecun
di Elementorum. corpus autem ex a b in a f
et quale corpori ex b c in a d, & corpus
ex b c in a f et quale corpori ex a b in b c
igitur contat propoitum.
eius demon
trationem.
P
decimi
Propoitio centeimaquadrageimaquarta.
Duplum cubi medietatis maius et aggregato corporum mutu
orum cuiuslibet diuiionis, quantum et, quod fit ex tota in quadra
tum differenti.
Sit a b diuia per qualia in c, & per inqua
lia in d, dico, qud duplum cubi a c et maius ag
gregato corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadratum
a cin eo quod fit ex a b in quadratum c d, nam per
plum cubi a c et quale corpori ex a b in quadratum a c: aggrega
tum quo que corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadra
tum a d et quale ei, quod fit ex a b in
dratum
ti, igitur duplum cubi a c excedit aggregatum
in corpore ex a b in quadratum c d differenti, quod et
di
Propoitio centeimaquadrageimaquinta.
Si line a in duas partes diuidatur quadrata ambarum partium
detracto eo quod fit ex una partein alteram, qualia unt producto
unius in alteram cum quadrato differenti.
Sit linea a c diuia in b, & it differentia a b,
b c, b d, dico quod quadrata a b & b c detracto
eo quod fit ex a b in b c, qualia unt producto a b in b c cum qua
drato b d. Quoniam.
n.
quadrata a b, b c qualia quadratis a d d b
b c & productis ex a d in d b bis & quod fit ex a b in b c quale et
ei quod fit ex a d in e cum eo quod fit ex a d in d b, quia a d et qua
lis b cideo quadrata a b & b c detracto eo quod fit ex a b in b c unt
qualia quadratis a d d b, & producto a d in d b emel: a c quadra
tum a d cum producto a d in d b et quale producto a b in a d, &
ex conequenti in b c, igitur reiduum quadratorum a b & b c de
tracto producti a b in b c et quale a b in b c cum quadrato b d
quod fuit propoitum.
di
di
Propoitio centeimaquadrageimaexta.
Corpus quod fit ex linea diuia in uperficiem qual em quadra
tis ambarum partium detracta uperficie unius partis in
quale aggregato cuborum
Sic a b diuia in e quadrata partium e f &
b d detrahatur ex e f, f g qualis a d, dico cor
pus ex a b in uperficies b d, d g quale e
e cubis a c & c b pariter acceptis, quia. n.
ex a b in b d fiunt duo corpora cubus
b d & corpus ex a d in quadratum d b hoc
autem et quale corpori ex b cin a d quia
corporibus qu fiunt ex a c, c b in uperficiem d g at cubus a c con
tinet duo corpora qu fiunt & a c in d g & g f, igitur cubus a c upe
rat productum ex a b in d g in producto ex a c in f g & uperatur ab
eo in producto ex b c in d g, uperabatur etiam, ut uium et, cubus
b c producto b a in d b in producto b cin c f, igitur cubi a c c b u
perantur producto a b in ad in producto b cinc f & in d g, quare
in producto b c in f e: i quidem f e & f g unt qualia ex uppoito
uperant autem in producto ex c b in e f, igitur tantum et in in quo
uperantur quantum et id in quo uperant: ergo unt qualia.
Propoitio centeimaquadrageimaeptima.
Propoita linea diuia duas ei lineas adijcere, ut proportio addita
rum ingularum & partium imul iunctarum ad additas it mutua.
Sit linea a b diuia in c uolo eius
partibus addere lineas, ut propoi
tum et, tatuo mediam c d inter a e &
c b qu it c d, & facio ut c d ad c a ita
c a ad a e, & ut d c ad c b ita c b ad b f, quia ergo d e media et inter
a c & c b, & ut ea ad a cita d c a c b ad c f erunt omnes in continua
proportione, quare proportio e c ad c a ut c f ad b f & e c ad ea ut
c f ad c b quod et propoitum.
ti
ti
Propoitio cen teima quadra geimaoctaua.
Propoitis tribus lineis primam ic diuidere, ut adiectis duabus
alijs lineis ecundum rationem mutuam ingularum ingulis ag
gregatum ex una adiectarum & parte ad aggregatum ex alia parte
& adiecta e habeat, ut ecunda ad tertiam.
Sit a, b, c, d, propoit line,
uolo diuidere a b ita in e ut
umpta ecundum proportio
nem alicuius quantitatis, puta
g ad a e ic b f ad e b & ut g ad
e b ic g a ad a e ut it propor
tio g e ad e f ut c ad d. Sint ergo
omnia
gulum ex a e in e b, cum ergo
g a contineat a e ut g continet e b, g autem continet e b ecundum
a e, igitur g a continet a e ecundum a c, ergo ex diffinitione qua
drati a g et quadratum a e. Pari ratione b f et quadratum b e.
pro
portio igitur g e ad e f cum it ut c ad e ex uppoito erit ut ipi pro
portioni addamus, & detrahamus ex duplo a b & dimidium rei
dui ducamus in e, & addamus aggregato quadrati a b cum ipa
io nota, & et ut dicamusu: olo diuidere datam lineam, ut quantita
tes adiect ub mutua proportione ad unam tertiam cum parti
bus obtineantinter e proportionem datam.
di
Propoitio centeimaquadrageimanona.
Datam lineam ic diuidere, ut proportio quadratorum ad du
plum unius partis in alteram it, ut line dat ad lineam datam.
Sit data a b quam uolo diuidere, ut proponitur ub proportio
ne c d ad e, diuido a b bifariam in f, & abcindo
g d qualem d e, & inter c g
pono proportione, & ut h ad c g ita a f medietatis a b ad fk. Omnia
ita unt notisima ex primo & exto ElementoSi ergo abcindantur fk ex fa, dico
quod proportio quadratorum l k & k a ad du
plum rectanguli a k in k b et ut c d ad d e. Quia. n.
c e ad c g dupli
cata et ei qu et h ad c g, duplicata et
re ut quadrati a f ad fk, ita c e ad c g, igitur diiungendo c g ad g e ut
reidui quadrati k f ad reiduum quadrati a f, quare c g ad g d ut
quadrati k f ad dimidium reidui quadrati a f, igitur coniunctim c d
ad d g ut quadrati k f & dimidij reidui quadrati a f ad ipum dimi
dium reidui. At uer cum g d it qualis d e, erit c d ad d e ut qua
drati k f cum dimidio reidui pius dicti ad ipum dimidium rei
dui. Igitur etiam ut dupli quadrati k f cum reiduo ad
enim omnia duplicata. At
le quadratis a f & f k, igitur quadratorum a f & f k ad differentiam
eo rum proportio et ut c d ad d e, igitur dupli quadratorum a f &
f k ad duplum differenti quadratorum a f & fk ut c d ad d e. Ve
rum duplum quadratorum a f & f k quatur quadratis b k & k a.
Et duplum differenti quadratorum a f & fk et quale duplo pro
ducti b k in k a, igitur proportio quadratorum k b & k a ad
producti k b in k a et ueluti c d ad d e, quod et propoitum.
di
di
Propoitio centeimaquinquageima.
Propoitis duabus lineis
utrique adiungere, ut it maioris ad additam pro
portio, uelut quadratorum minoris & adiect
ad duplum unius in alteram.
Hc et quai conuera
Sit a ma
ior, & b c minor, & fiat b d dupla b c, uper
erigatur b f qualis a; & it rectangulum d f &
decribatur quadratum b c quod it b g reidu
uperficiei ad d f latus it h, dico h ee lineam quitam. Superficies
perficies f d, tota quatur quadratis h & b c, igitur quadrata h & b
c dupla unt uperficiei a in b c, quod uer fit ex a in duplum b c e
habet ad id quod fit ex h in duplum b c, ut a ad h, cum per eandem
lineam ducantur, igitur quod fit ex a in duplum b c, & unt quadra
ta h & b c, e habent ad duplum h in b c, ut a ad h, quod fuit de
montrandum.
Propoitio centeimaquinquageimaprima.
Proportio differenti quadratorum partium, cuiuuis line ad
quadratum differenti
Sit a b diuia in puncto c, & fiat c d qualis
c b, manifetum et quod differentia partium
et a d, dico proportionem differenti quadra
torum a c & c b ad quadratum a d differenti partium ee ut a b ad
a d. Quoniam differentia quadratorum a c & c b et, quod fit ex a d
in d c bis cum quadrato a d, & ide quod fit ex a d in d b cum qua
drato a d, & ide quod fit ex tota a b in a d. Igitur differentia qua
drato a c & c b et quod fit ex a b in a d, quare cum quadratum a d
fiat ex a d in a d, erit proportio a b ad a d, uelut differenti quadra
torum a c & b c ad quadratum a d differenti partium. Quod fuit
propoitum.
di
di
E
Propoitio centeimaquinquageimaecunda.
Si linea in duas partes quales duas que in quales diuidatur, fue
ritque proportio aggregati ex maiore & dimidio ad ipam maiorem
uelut ex minore, & aliqua linea ad ipam minorem, & rurus aggre
gati ex minore dimidio ad ipam minorem, uelut aggregati ex ma
iore & alia addita ad ipam maiorem, erit proportio dimidij'ad par
tem unam inqualem, uelut alterius partis inqualis ad uam ad
ditam mutu, & etiam proportio ad ditarum inuicem, uelut pro
portio partium inqualium duplicata, & rurus ipum dimidium
line aumpt medium erit proportione inter additas. Demum
proportio dimidij cum ad dita maiore ad dimidium cum addita mi
nore, uelut maioris partis ad minorem.
Sit propoita a b diuia per
qualia in c per inqualia in
d, & it ut addantur a g & b f,
ita ut proportio c a, & a d ad a d it ueluti f d ad d b, & c b & b d ad
b d, uelut g d ad d a, & hc et quarta
& Cylindro: quia ergo a c & a d ad a d, ut f d ad d b erit a c ad a d,
fb ad b d. Et imiliter quia et c b & b d ad b d, uelut g d ad d a erit
Quia ergo c a et
qualis c b, erit c a ad b d, uelut g a ad a d, & iam fuit a d ad c a, ut b d
ad f b, per conueram igitur a d ad b d, ut g a ad a d, & ut b d ad fb,
interpoitis ergo a d & d b inter a g & b f cum compoita it pro
portio a g ad b f ex proportione a g ad a d, & ad d b, & d b
ad b f, & proportio a d ad d b, it qualis proportioni
a g ad a d, & d b ad b f, igitur proportio a g ad b f. Per de
montrata ab Alchindo et duplicata proportioni a d ad
d b quod et ecundum. Rurus quia ex primo demon
trato, uel eius conuero proportio a d ad a c et uelut b d
ad b f, & d b ad a c, ut a d ad a g, proportiones ergo
a d & d b ad a c componunt proportionem produ
ducti a d in d b, quod it h ad quadratum a c quod it
k, & imiliter proportio b d ad b f & a d ad a g com
ponunt proportionem producti ex b d in a d, quod
itl ad productum b f in a g, quod it m, per demontrata ab Eucli
de in exto Elementorum, igitur proportio h ad k ut l ad m, ed h &
l unt quales, quia producuntur ex eidem, igitur per demontra
ta in quinto Elementorum Euclidis, k et quale m, ergo a c et me
dia pro portione inter b f & g a, quod et tertium. Quia uer ex pri
mo demontrato et fb ad b d, ut a c ad a d, & c b ad idem b d, ut g a
ad idem a d erit coniungendo fb & b c ad b d, ut coniun
gendo g a & a c ad a d, ed fb & b c componunt f c & g a,
& a c componunt g c, igitur ut f c ad b d, ita g c ad a d, er
go permutando g c ad f c, ut a d ad b d, quod et quartum.
P
Cum ergo punctum d fuerit datum, licet inuenire a g & b f, faci
l, ut Archimedes prup ponit proportionem g d ad d f datam &
qurit eam, qu et a d ad d b, & peruenitur ad res numero triplo
quadrati dimidij line aumpt quales cubo & numero, qui it
ex duplo cubi dimidij in 1 m: ipa proportione, & quod produci
tur diuio per 1 p: ipa proportione. Veluti poita a b 10, & propor
tione quam uolo g d ad d f excupla, duco 5 dimidium 10 in e fit 25,
& triplico, fit 75 numerus rerum. Inde duco 5 idem dimidium ad
cubum fit 125, duplico fit 250, duco in 5, qui et 1 m: proportione fit
1250, diuido per 7, qui et 1 p: proportione exit 178 4/7 numerus, qui
cum cubo quatur 75 rebus. Cum ergo contituta fuerit diuiio in
c, non recipit proportionem g d ad f d quam uolueris, ed equitur
una ola ad Sed non et ita.
Et
ed non inue tigat eam, im otendit eam ex aumptis. At Euto ci
us oten dit ambas, Ex hoc pa
tet cur Dio cles aumperit lineam unam, qu et a c, qu e ha
bet ad a d, & d b, ut uicisim a d, & d b ad additas, quod et pri
mum demontratum. Sic enim omittit primum quod proponit Ar
chimedes, & aumit quod proximum et: & ide Archimedes non
pro bat, nec prupponit, quod Diocle probatur, cilicet datum
ee punctum d in linea a b, ed olum in linea g f, ide cogitur pro
bare ecundum quod demontratur ab Eutocio, & nobis demon
tratum et upr. Archimedes
uo cat b f, qu et qualis b c medietati: aliam aumit quam uocat
b h, cuius proportio ad b d et icut quadrati ad a d quadratum a b. Contat ergo quod proportio g d ad d f et data.
Et imiliter f g ad
g d, & et 1 pr proportione data. Vnde notandum quod datum
dicitur, impliciter cognitum alio modo, dicitur datum poitione,
quod et certum & tale, uelut i quis dicat, diuide 10 in duos nume
ros quadratos: hoc non et datum, potet enim diuidi pluribus mo
dis. At i dicas ut una pars it alterius
untur partes, dicitur datum poitione. Ergo datum poitione et du
plex, uel ut ratio nota it, non autem quantitas, ut i dicam a b et du
pla ad b c, utra que dicitur nota poitione, quo
niam necio quanta it a b. Vel i quantitas et
nota proportio ignota it, ut i a c it 10, & it,
ut b c it <02> relata, a b erit punctus b, & proportio a b ad b c data po
itione, non tamen nota. Et i dicas igitur omnia, qu habent deter
minationem erunt data poitione? Dico quod non, quia oportet,
ut illa determinatio comprehendatur ub una ratione, eaque altem
generaliter co gnita.
Propoitio centeimaquinquageimatertia.
Vim quan cun que manus multiplicare.
Cum enim radimus aut trahimus manifetum et,
quod ambabus manibus uis conduplicatur, & ma
ior redditur, quanta et proportio totius ad exce
um: uelut it a quod mouetur ab una manu uiribus
ut b, qu unt exceus b d upra a, cum ergo propor
tio c b d ad a it compoita ex proportionibus c &
b d ad a manifetum et, quod erit producta ex pro
portione c b d ad b d, & b d ad a, ed e b d et dupla
ad b d, quia e et qualis, cigitur proportio c b d ad
a et maior multo qum duorum exceuum, qui mo
uerent in proportione dupla: uelut i adderemus f
b d
b cum d moueat a in proportione b d ad a & f cum d mouebit a in
proportione eadem qua b d, ergo per uiam additionis duplo ue
locius, qum dupla proportione, uerm dupla comparatione ad
proportionem b d ad a, non autem duplicata ed dupla, ut dixi, qu
erit maior qum dupla per Ergo i addatur al
ter homo, erit dupla ad illam duplam, ueluti addendo qualem d b
f e, ade ut i proportio d b f e eet quintupla, mouerent illi duo in
proportione decupla. Sed annexo baculo aut lima aut erra annu
lo h, ita ut circunuolui posit h quabit uires non olum d b f e ed
multorum hominum. igitur multo plus aget homo ambabus ma
nibus radendo aut ecando cum g, qum quadrupla proportione
unius manus, & hocincrementum et non olum magn
utilitatis, ed ualde
operum grauiorum. Et huiumodi conduplicatio et ratio
lim quam urdam uocamus.
Propoitio centeimaquadrageimaquarta.
Si line dat alia linea adiungatur, ab extremitatibus autem pri
oris line du rect in unum punctum con currant proportionem
habentes quam media inter totam & adiectam, ad adiectam erit
punctus concurus puncto extremo line adiect ditans per li
neam mediam. Qud i ab extremo alicuius line qualis medi
eu peripheria circuli cuius emidiameter it media linea du line
ad prdicta puncta producantur, ip erunt in proportione medi
ad adiectam.
Hc propoitio et admirabilis: & etiam decripi, ut multa ecre
ta Dialectic potius
congrueret. Ide potius cholij caua poita et quam ipius tracta
tionis: ut
picere oporteat.
& proportio c ad d, & fiat d e ad c, ut c ad d, & a b ad e ut b f ad d, &
ut g ad c, eritque g media inter a f & f b, quod licet olum upponatur
ab Appollonio,
cta et Concurrant ergo ex a & b du line in aliquod
punctum, putat h ut it a h ad h b uelut c ad d, dico quod i ducat
h f quod ipa erit qualis g, ducatur b l quiditans a h, & quia
ex uppoito a h ad h b, ut g ad b f, erit b h ad h a, ut b f ad g, & quia
trianguli a h f & b l f unt imiles erit proportio a h ad b l, ueluti a f
ad fb, igitur per quam proportionem b e h ad b l, ut a f ad g, ed ut
a f ad g ita g ad b f ex uppoito: & ut a f ad g, it a h a ad h b, ex uppo
angulo h b l, ergo triangulus a h b et
imilis triangulo h b l, quare angulus
b h l et qualis angulo h a f, igitur du
orum triangulorum f a h, & fb h duo
anguli unius a & f unt quales duo
bus angulis, alterius igitur propor
tio a f ad fh repicientium angulos
quales ut a h ad h b repicientium an
gulum f, ed a h ad h b ut c ad d, ex up
poito igitur a f ad f h, ut c ad d, ed ut c ad d ita a f ad g, ex uppoito
ergo h f et qualis g.
mi, &
ti
ti
E
mi, &
ti
ti
Cum ergo hc demontratio it ex enu in uno puncto h, ide ad
qulibet puncta traduci potet, qu potero imaginari, & ita pri
ma uo cabitur enus,
do non aumimus aliquid, quod it proprium alicui puncto, nii
proportionem h a ad h b imilem ee c ad d, ideo hoc pertinet ad
intellectum, & et tertium. Etidem dico i k eet ultra h quod po
tet contingere. mod k a ad k b it ut c ad d & k f it qualis g idem
equetur, & comprehenditur ub tertio & pertinet ad intellectum,
& quoniam demontratur quod punctum k ubicun que umatur, et
in quali
pheria circuli, & hoc potet ee in infinitis locis impliciter & extra
infinitum nihil et, igitur ub hoc continetur conuerum cilicet,
quod a quolibet puncto circuli ductis lineis ad a & b ip erunt in
proportione c ad d. Et ita abque principijs Geometricis concluditur
propoitio Geometrica & hoc et
tellectus humani. Et potet demontrari Geometric duobus uer
bis. Quia. n.
li erit media inter a f & f b, quare cum angulus f it communis, erit
proportio a h ad h b, laterum repicientium angulum f in utroque
triangulo, uelut h f lateris in maiori ad f b latus in minori, quare
cum ex uppoito h f ad fb it ut c ad d, erit a ad b, ut c ad d. Et uides
Apollonium, & Pappium quanta uperflua adij ciant in hac ecun
da parte demontrationis, qu et prima apud illos, & ducunt
lineam non neceariam ex puncto b ad latus fh. Vt
rique non tantum potuerint Geometria & ingenio, qu ferunt excel
lentisima in illis, quantum nos ex Dialectica
tes. et enim ingulare hoc exemplum.
E
ti
I
nicor.
in
Ex hoc
iretque per m & n eet a m ad m b & a n ad b n, ut a h ad h b.
SCHOLIVM
Ex hoc pater qualiter ex uera demontratione enu otena per
uenimus ad quotquot imaginando, inde intellectu abiectis condi
tionibus non necearijs facimus infinitum & uniuerale. Demum
ine artis pe cialis auxilio otendimus Iheorema uniuerale (quod
etiam poterat otendi Geometric, ed long pulchrius et, ac ubli
mius per
per implicem
puncto peripheri circuli, cuius emidiameter et media proportio
ne inter totam extenam centro uque exterius, & partem qu' et
centro ad punctum decriptum ub proportione continua
linearum line duct ex eo ad punctum exterius, & punctum de
criptum unt in proportione datarum linearum.
Propoitio centeimaquinquageimaquinta.
Primm oportet cire ee tres naturales
numerorum eries, primam Euclidis iuxta
quamuis
tius & quintus, & ita uno emper intermi
o unt quadrati. Primus quo que.
1. unum &
quartus & eptimus & ita duobus intermisis unt cubi. In ecun
do ordine et naturalis eries numerorum, ex qua colligitur alia, &
ex illa bini quilibet e equentes contituunt numerum In tertia numeri impares, qui emper collati efficiunt quadratum.
Sit ergo propoitus numerus cui uelim
addere quadratum numerum, ut fiat qua
dratus totus, accipe numerum quadratum
minorem illo quem uis, & detrahe propo
ito numero eu quadrato eu non reidu
um, diuide per duplum <02> quadrati quod
detraxiti, d exit duc in e fiet quadratus numerus, idem que additus
numero propoito, faciet quadratum. Velut capio 16 qui et qua
dratus, aufero 9 quadratum
plum <02> 9, exit 1 1/6 quadratum eius et 1 13/36 qui additus ad 16 facit 17 13/36
Ex hoc patet propoito quouis numero
di infinitos numeros quadratos qui
SCHOLIVM.
Poem adducere demontrationes omnium
tur res longa Exemplum ecundum capio mod 14 qui non et quadratus, aufe
ro 9, remanet 5, diuido per 6 duplum <02> 9 exit 5/6
rentia duorum quadratorum, cilicet 25/36 & 14 25/36.
Ex hoc habebis duo quadrata in datis terminis qu different
dato numero, & et pulchrum. Velut uolo duo quadrata qu dif
ferant in 2, & <02> minoris it inter 1 & 2, tunc capies per regulam i
pam 2, & auferes
per duplum radicis efficiat
dratum, aufero ex 2, relinquitur 1 5/9 diuido per duplum 2/13 radicis 4/9 &
et 1 1/3 & exit 1 1/6, & hic et minor numerus cuius quadratum et 1 13/36
cui i addantur 2, fient 3 13/36 numerus quadratus 1 5/6.
Cum autem uolueris duo quadrata qu differant in 100, tunc
per regulam datam i auferes 1, peruenires ad numeros magnos &
fractos, & ideo melius et quia numerus et par, ut detrahas nume
rum parem quadratum, ita quod reiduum posit diuidi per
radicis, ut in hoc non detraho neque quia remanet impar, nec 16 quia
84
24, cuius quadratum d et 576 addito 100 facit 676
Et ita ex 433 non auferam ed 9, quia relinquetur 24 qui potet diui
di per e, duplum <02> 9 & exit 4 cuius
Secunda regula, cum uolueris propoito uno numero quadra
to illum diuidere infinitis modis in duos numeros quadratos, cape
quemuis numerum quadratum per primum exemplum regul pri
m, & cum eo diuide numerum propoitum, & qui proueniet erit
quadratus,
meri quia multipli catio fit per
meros qui unt partes diuioris. Velut uolo facere de 4 duas partes
qu int
bus
tos
per 169. Tertia regula cum unus numerus additus
primo & detractis
numerus coniunctus cum differentia illorum nume
rorum & detractus primo & additus ecundo facit
eodem numeros quadratos, ueluti capio 10 primum
3 ecundum 6 additus ad 10 & detractus 7 efficit 6
& 1 quadratos dico quod iunctus 16 cum 3 differen
tia 10 & 7 fit 9, qui detractus 10 & additus ad 7 effi
cit 1 & 16 numeros quadratos priores.
SCHOLIVM
Sunt & alij modi plures faciendi huiumodi, ed
nerales, & nihilo minus unt magis confui, & non aliquid plus.
Quarta regula,
qui bifa
uelut 10 ex 25, & 25 & 49 & 1,
& diuius in
d it portio minor eiumodi, ut adiecta illi
cir
drato qualia duob. Maio
ra c d
minoribus upplementis c d
drato qualia h g Ergo propoito numero, put 3 ducam in e
fit 9,
1 numerus
numerus, alter <02> 1. 1. 1, & 5. Et imi
liter capio 6 36
4. 32 differentia 4, numerus
2, ideo
6 unt 200,
10
eius 81 du
6. 72 differentia 9 numerus
unus 450,
15, qui contat ex 9 & 6. Et
ita capio 11 cuius et 121,
6 et 72 differentia, 72 & 21 et
49 numerus 7,
ris et unus numerus, alter et 7 17, qui contat ex 11 & 6. Quinta regula, per hoc inueniemus infini
tos numeros
unum
unt dupli ad qui proueniet erit
cilicet 16/289, duc in numeros
dratos
& hi iuncti
et diuius numerus. Et ita poteris diuidere 32 in infinitos alios
Sexta regula, ponamus mod d uelim diuidere 10,
duob. 9 & 1, & non
ita d it diuius in alios
duos: fit 250/25, at 250
ex duob. quad.
<08> 225/25 & 25/25, cilicet 169/25 & 81/25, id et 6 19/25 & 3 6/25, qui unt
2 3/5 & 1 4/5, & ita uolo diuidere 13 in duo alia
25 & fit 325/25, qui neceario com
ponentes 13, & <02> unt 3 2/5 & 1 1/5, & in his opus et in dutria, cilicet ut ut proueniant numeri illi
iti ex Vt uer uideamus
dere 6 in duos numeros
pares, & ic
dius numerus unt & ali rationes, ed neque unus poet ee inte
ger, & alius fractus, n.
6 numerus integer:
int duo fracti: ed in numeris fractis deductis ad minimas deno
minationes
ces, ergo oportet d hoc it in illis, & quia iuncti debent facere inte
gros 6, necee et ut denominator it unus, &
meratores imul iuncti int
quipollere 6, ergo ille denominator & numeratores am
bo int & int
merumqui ductus in 6, faciat
aut
ueluti totius ad 6, ed totu continet 6 in quia ex 6 in
fit
ergo ex medietate in idem fit medietas, ed medietas et nume
rus ergo 3 eet numerus
d et falum, oportet
ri illi int in quales, & ut 6 diuidatur in duas partes inquales, hoc numeris
nam i eet impar,
ille erit
tum
numeri quia denominator utriuque partis ex uppoito et nume
rus
ri
6, quia numerus productus
citur
4, exit neceario idem 3. Pro colligendo ergo numeros omnes, qui
ges, & diuides per 6, &
& numeri
minatoribus Vt uer cognocas, ex quibus po
it componi primum ex imparibus, non oportet aumere nii 135,
quia 7 diuium per 6 relin quit 1, & 9 diuium per 6, relinquit 3, & 35
diuium per 6 relinquit 5. ergo non potet componi numerus im
par, qui diuidatur per 6, ut up erit impar alius qum 1. 3. 5. ed 1 & 3
& 5, & 5 componunt 4 & 1, & 1 & 3 & 5 componunt 2, cilicet abie
cto 6, ergo tales numeri
tur in 3, ut 9 & 81, qui faciunt 90, uel in 1 & 5, ed nullus numerus
quadratus diuius per 6 terminatur in 5, quia 1 ductum in e produ
cit 1, & 3 pro ducit 3, & 5 pro ducit 1, ut 5 in 5 facit 25, & 11 in 11 produ
de 5, & compoitis 5, nam diuio 5 in 3 & 2, quadratum eius
nitur
quadrato 3, qud et 9, in quo uperet 3, & ex quadrato 2 quod et
4, ed iunctis 4 & 3, & abiecto 6 uperet 1, ergo 5 in 5
o producto relin quitur 1. Et imiliter capio 17, et
5 quadratum, ergo 17 componitur ex quadrato 12, in quo nihil u
peret, & duplo 5 in 12, in quo
& ex quadrato 5, in quo uperet 1, ergo in nullo numero
ex 5 & 6, uel compoitis ex 6, poterit produci numerus, qui diuius
per 6 relin quat 5, igitur neque talis numerus potrit
bus quadratis, in quib. uperit 5 & 1, quia nullus et, in quo uper
it 5 facta diuiione per 6. Ex quo colligitur una regula: quod i quis
dicat multiplicaui 27 in e, et diuii per 13, uellem cire quid uperet,
dico quod ine multiplicatione et diuiione poteris hoc cire ex de
montratione dicta, diuide ergo 27 per 13, & relin quitur 1, duc in e
fit 1: dices ergo, quod upererit 1, & ita i ducerem 28 in e, & diuide
rem per 11, dico quod upererit 3, nam diuio 28 per 11, relin quitur
6, duc in 6 fit 36, diuide per 11, relin quitur 3, ut dictum et, & tantum
ad propoitum, pater quod ex duobus tantum numeris imparibus
quadratis potet conflari ille numerus,
relin quunt 3. Sed de paribus uel uperet 2 uel 4 uel nihil, ed
tum
ex duobus numeris, in quibus uperint 2, neque in quibus uperint
4, neque in quibus uperint in uno 2, in altero 4
quibus emper upererit 4, & iuncta faciunt 8, in uperet 2,
re
rum
4, quia in aggregato
tur quod ille numerus componetur ex duobus quadratis, uel impa
ribus, quorum latera diuia per 6 relinquunt 3, uel ex duobus pari
bus, quorum latera diuia per 6 nihil relinquant. Oportet igitur
inuenire duos tales numeros quadratos numerorum imparium, in
quibus uperit 3, i diuidantur per 6, aut parium in quibus nihil u
perit, quorum aggregato diuio per 6 prodeat numerus
di
His uiis dico, quod contat radices talium numerorum opor
tere ee in imparibus per additionem 6 incipiendo 3, ut int
3. 9. 15. 21. 27. 33. 39. 45. 51. & ic deinceps: in paribus au
tem per additionem eiudem 6 incipiendo 6, uelut 6. 12.
18. 24. 30. 36. 42. 48. 54. 60. Dico ergo quod diui
o numero illo compoito per 6 in imparibus exibit numerus,
Quia
225, qui
uperet 3, & imiliter capio 6 & 12,
6. Et hoc quia
ergo aggregato diuio per 6 d prodit,
Et in imparibus quo dlibet
numerus impar
prodibit, uel erit
ret 6, ergo tres
& qui prodit per
lorum.
dratorumAt hoc ee
qui
quod et contra uppoitum, quare nullo modo 6 potet diuidi in
duos numeros quadratos, neque integros, neque fractos, quod erat
demontrandum. Habes igitur ex hoc demontrationem quando
ptimi
Propoitio centeimaquinquageimaexta.
Horologiorum tempus multiplicare.
Contingit quando que d
pus breue et, uolumus
duob. modis poumus,
lior et ed perpetuus, & long nobilior, nam
grauitas ponderis ueratilis efficit
diorem
re Sit ergo rota a b uerati
lis, qu certam menuram exigit pro quacunque funis parte correperon
dentis uni denti ex centum, in quos ditincta it, curriculum
quinque
rurus ad
ea Iam
uer tempus illud poterit duplicari ac triplicari iuxta
poris ueratilis:
dius
plendam
reuolutio indicis tanto tardior erit, ut
indicem equuntur horarum demontrationes celerius aut eodem
modo ferantur. Ponamus ergo pot<08> eadem et ratio celerioris &
qu uelocis, ponderis
ris, aut qualiter cir cumducti in dicis, celerioris
deris, quod ad nullam Sit ergo ut pon
dus uelim tardius decendere, rotam
quod ex tempore mobili eu ueratili (& et ferrum, quod in um
mo horologij citra ultraque
l) id fieri non potet: nam quantum tardabitur rota tertia ecunda
& prima, atque ob id decenus ponderum, tantum remorabitur rota
prima qu indicem otendit, ergo tantum index tardabitur quan
rum
ratur, &
Secundus modus et, ut rota una totum tempus cum indice in ui
gintiquatuor horis circumuoluatur, & currulis in quo funis minor
fiat: necee et
ter decies, &
niam tempus & dentes menur repondent: igitur ub eidem cir
cuitibus numero eodemque tempore minus ex fune
ruli paruo <08> magno: quare mutatione indiget currulis, aut ut funis
circumuoluens rotam curriculum habeat
horas, in qua pauciores int dentes: nam in eodem tempore, & cir
cuitu paucioribus uicibus circumuoluitur rota funis qu grauita
te temporis, & multitudine
eruabit Sed in hoc necee et gra
uius efficere pondus, aut leuius
niam
Tertius modus facilior et, & magis com
d qu funem
firmiter int
nis una parte tro chle appenus in k,
ad inferiorem aliam tro chleam lineraturque
ibi orbiculo uo, & redeat dextra uperius
at
ad
ipum, &
ibique decendens connectatur tro chle in inferiori in o, cuius im
parti annectatur pondus remorans in imo annexum parte tro ch
lep. Cum ergo trahitur n tro chlea, trahitur funis ade ut pon
dus m, tandem acendat cum tro chleal prope k: quia ergo in duo
decim horis pondus m decenderet per k l funem reuolutionibus
circa d rotam dicamus uiginti, ergo i debet decendere k ad l, per
funem duplicatam k l cum ipam necee it obequitantem d reuo
lutionibus quadraginta circumuolui d, nam tota o h n d m g l k lon
g maior et duplo k l, necee et m decendere tardius qum in du
plo temporis, quo decenderet per rectum funem k l, quod erat de
montrandum. Et hanc appendicem uidi apud Carem Odonum
Apulum medicum, uirum elegantem lepidique ingenij. Memento
uer quod ubi orbiculi non cederent funi, uel quia duriores in cir
cumuolutione, uel quia latius exciperent illum reduplicato fune
circa illos omnin o circumducuntur, ed difficilius ide egent gra
uiori pondere.
Propoitio centeimaquinquageimaeptima.
Horologiorum molarium rationem otendere.
Sunt horum duo genera primum, & anti
quius licet multo poterius eo quod pon
deribus ducitur, quod funiculo ex inteti
nis ouium eu fidibus lir agitur. Sit igitur
axis f k erectus uper plano, cui per longum
coniuncta mola multiplicis pir in fine, cu
ius cannectatur ferreo circulo, qui habeatur lo co capul b c, qu
circumuolui posit: huic
cto g, it autem e h in modum pyramidis enim in acutum, ed non
ualde per
iculo, & uertatur h e, colligens funiculum tractum in pira uerus
apicem: unde funiculus circumuoluet b g d,
ergo molam, & contrin get uiolenter
qu circumuolui potet a b e ad h: & cum trahitur in d eremittitur,
non potet mola tatim retrahere reluctantibus denticulis h l rot,
& alijs qu implicantur curriculo m, a igitur mola contructa uio
lenter mouet b g d, capulam motu contrario c in d & in g & in b,
quare funis d e trahitur, & trahit e h illum circumuoluendo contra
rio motu priori, is mouet denticulo rotam h l, illa per curriculum in
aliam Hic adet capula, & quod circumuertitur claue non et axis mol
ed extra molam, cilicet e h. Et quoniam hac ratione quanto mola a
ctura auxilium prtatur, ut funis in inferiore parte
res orbes, & regione tanto uehementius uertat e h: & ita uis qu
remittitur ob mol laxitatem, augetur tantundem ob itum & ma
gnitudinem pirarum ut ditantiorum ua extremitate ab hypomo
chlio, quod et axis coni e h, eu intar axis.
Alterum genus horologiorum cum mola ine fune loco capul
habet
agitur uiolenter, non et extra molam, ed ei annexa et mola intus,
exterius
exterior, ed non Vbi mola quan
tum decet contricta et ublato clauo tatim ecum trahit rotam, &
illa Sed
in hoc idem et in commodum ine remedio
quod fuit in priore. Vbi enim cperit laxa
ri mola tanto tardius progrediuntur rot
atque index. Veluti axis a b cui ecun dum lon
gitudinem mol caput interius annexum
et altero circulo rot in c d curriculum rot e, implexum rot f
clauus rotam retinens, donec circumducto a b mola contringa
tur, & latus eius trahat rotam ex c. Inde ublato clauo circulus, eu
rota trahitur ex c in g, & in famola, qu etiam ecundum eandem
partem circumuoluta et: igitur d circumagetur rota & reliqua. Sed ut dixi contructio hc non atisfacit.
Aliam ergo oportuit excogitare qu huiumodi et.
Sub axe a b,
qui cir cumuertitur ad molam contrahendam rotam, collocant par
uam qu et, ut ita dicam, pars axis ima cui ineruntur dentes in am
bitu ea ratione, ut dum mola ten ditur, premant denticulos interio
res, atque ita elabitur, totiesque circumducitur manente g f, donec
colligatur mola, qu non ut in priore reliquo extremo ulli rot
affixa et, ed column in continenti
opercula horologij. Cum ergo mola
tenta retrahat axem a b contrario mo
tu, & ille rotam mobilem, qu cum
non posit regredi propter aueros
dentes, mouet rotam f g contrario mo
tu, qu circumacta per denticulos u
os curriculum agit, & reliqua omnia
necearia. Cur autem cum laxatur mo
la, & uertit lentius c e rotam coniun
ctam, ideoque g f, & reliqua omnia
fit crasior, & durior adeoque robuta, & rot leues, ac tempus dum
laxata fuerit munus uum iuto in tempore obeant: quare necee
et, ut ab initio uehementius agat, & celerius rotam cum axe qui tra
hitur mola. Ergo excogitarunt aliud genus retinaculi forma co
chle quod ab initio moratur
quanto magis mola explicatur eo minus retinet
ut uehementer retineat uehementem concitationem medio criter
moderatam, egniter lentam, nullo modo iutam: ita fit, ut emper
ferm qualiter moueatur. Difficile et tamen ad unguem eruare
moderationem, & qualitatem, & magis etiam in his horologijs,
qu uno circuitu mol tempus
efficere molam, qu longo tempore duret, cum intenta ualde cele
rius moueat rotas, & ob id breui aboluat circuitum, mollior au
tem cit remittatur. Et ob id longior & non ade
dura melior et. Ratio autem cochle ita e habet.
Circa axem mol d deducitur cochlea a b c, qu
dum laxatur mola cochlea mouetur ex b in c, at que
ita pariter laxatur uis cochle retinentis axem.
Propoitio centeimaquinquageimaoctaua.
Rationem indicis mobilis cum rota horarum numerus per ictus
indicatur explicare.
Hoc fieri potet in ingulo genere horologij trium
Propterea ufficiat de uno otendie.
Sed & in ingulo genere unt
multi modi, unius tamen reddidie Hoc
tuor habet difficultates: prima ut horarum ictus conueniant cum
indice: ecunda ut conuero indice conuertatur, & rota ictuum: ter
tia ut ictuum numerus cum numero indicis conueniat. Vnde mul
ta unt horologia, in quibus ictus unus olum auditur ingulis ho
ris, atque hic modus facilis et: quarta cur in horum pleri que i non
pulata tatim hora
retineri potet, donec pondus illud decenderit. Ergo primi & ter
tij ratio hc habeatur, cum rota qu indicis rotam circumagit, per
uenerit ad hor finem, denticulo oluit aliam, eleuans obicem, illa
mouetur pondere proprio alio, cilicet ab illo quod tempus agit:
aut i it horologium mol mola alia propria, qu malleos cir
cumacta perpetu mouet, atque motura eet emper, donec pondus
ad terram decenderet: uerum dum mouetur decendit ferrum pro
quouis ictu quod in rot limbum incidit, & donec inciderit in eam
partem qu lenis et dilabitur, nec retinetur, & ita eleuatur rurus,
pondus non amplius decendit, rota ititur, malleus manet immo
bilis: patia ergo qu unt inter cauitates unt ecundum magnitu
dinem proportionis numerrum
cim, uel ad uiginti
quatuor terminan
tium. Ita quod, gra
tia exempli, it iam
in cauitate a duode
cim hor uncus, di
uidam circulum to
tum in duas partes
quales, quia in in
gulis medietatibus
propoitum et, duo
decim facere cauita
tes pro unco retinen
do. Et quia in una
quaque medietate o
portet, ut pulent ho
r lxxviij, & prterea int ibi ex patia cauitatum, quarum ingul
contineant, gratia exempli, duo patia unius ictus, ut certius retinea
tur uncus,
dietatem circuli utranque in nonaginta partes quales in cipiendo
ab a, & dabimus b prim hor quod patium et unius tantum par
tis ex nonaginta, pot decribemus c cauitatem duarum partium,
ita ubi ictum unum dederit uncus, retinebitur in c, pt accipiemus
duo patia, & int ignificata d litera, pot qu faciemus cauitatem e:
& ita uncus bis cadet in d, & pulabunt duo ictus, & pt retinebi
tur uncus in e. Et pot accipiam patium trium partium, quod it f,
& pot decribam cauitatem g duarum partium, atque ita procedam
uque ad duodecim.
Ex quo manifetum et pondus quod agit rotam uol non de
cendere, nii dum hor pulant, ecus quiecere.
Secundum, qud decendit illud pondus plus & minus, iuxta
proportionem numeri horarum, ita quod quando pulabit una ho
ra parum ualde decendet, cum ex hor excuplo magis, cum duo
decim adhuc long magis, id et duplo plus qum cum pulant
ex hor.
Secunda contructio hanc habetrationem: Cum n rota indicis
coniuncta fuerit rot, qu transfert malleum, necee et ut un fe
frequens et, cilicet cur aut quomodo i diui unt ut cir
indice non transferatur rota mallei,
dicis in idem incidat, ut hor qu pulu declarantur ad unguem
& in eidem ectionibus
Verm quia multis modis contingit ordinem horologiorum
peruerti: in imilibus quidem i hora indicis imul & pulus un
circumferuntur, ed tardius ambo index traducitur ad locum debi
tum, inde ponderi aliquid additur. Si uer ant proceerit quam.
Sol in dicet ablato pondere, ines tempus fluere uque ad indicis lo
cum ine motu horologij, pondus quoque ipum minues. At i pon
dus pulus in terram deuenerit uel prop, expecta donec uper li
nea index fuerit, inde trahe, neque. n.
excurret: nam i dum index et in
medio hor aut prop, traxeris pondus pulus, non deinet decen
dere, pulabuntqe hor donec ad terram pondus deuenerit,
qud i iam in errorem incideris pulentque hor & decendat, pon
dus, enim deducito indicem, cum. n.
ad finem hor peruenerit ini
tiumque equentis, quoniam ferrum in interuallum deuenerit rota &
pondus firmabitur. Inde ublato
index montrat peruenerit, reddes pondus horologio. Si ergo ho
ram pulu
gulam
uero toties repetes immoto in dies & ublato, i uereris ne extra
teruallum
hora pulet qu cum indice conuenit, tatimque pondus quo hor
pulant urum retrahes. His quinque regulis uum dices imilium
horologiorum, unumquodque autem proprias habet: ed du pri
m omni horologi atisfaciunt. Qud i h non atisfa ciunt iam
horologium laborat: tum uer illud dioluere oportet & deterge
re & inungere, iuuat autem uel capula uel linteo perpetuo pul
uerem ab illo arcere. Qud i nec ic retituitur necee et diol
uere & antea coniderare impedimentum, pt denticulum qui la
borat, plerunque. n.
aliquem inuenies huius modi, quem lima aut alia
ratione retitues, emper autm hi ferm retituuntur: at qui mola
aguntur prter rotarum & axium & indicum labores, mol etiam
inqualitati & defectibus ubiciuntur, qui i nimis uelo citer agunt
rotas cum difficultate retituuntur moderationi, i lentius rar uel
nunquam emendantur, uix etiam noua inducta mola.
Propoitio centeimaquinquageimanona.
Nullus angulus rectilineus qualis ee potet alicui angulo con
tento recta & circuli portione.
Sit angulus a & circulus b c, dico non poe aliquem angulum
contentum recta & circuli portione ee illi
qualem. i enim ee posit, it c b e.
duca
tur recta b d faciens rectilineum d b c qua
lem a, erit igitur d b c qualis e b c per com
munem animi ententiam, eu ergo b d ca
dat intra circulum eu extra, erit pars qua
lis toti quod ee non potet. Sed neque po
tet cadere recta uper b e. namid et contra demontrata ab Eucli
de. At i it angulus c b e exterior imiliter producta b d, eu intus,
eu extr cadat, pars erit qualis toti quod ee non potet.
mi
Ex hoc patet quod nullus angulus peripheria circuli & recta
tentus potet ee qualis recto, quia rectus etiam rectilineus et.
Et rurus nullus angulus peripheria &
recta contentus recta linea per qualia
diuidi potet, patet quia una pars eet an
gulus rectilineus, alia contentus recta & pe
ripheria: iti
quare nec prior potuit per qualia diuidi.
Ex hoc etiam patet quod pacium con
nam dimidium eet quale dimidio, quod et contra demontrata.
LEMMA PRIMVM.
Inter duos circulos qui e diuidant infinit line duci pount.
Inter circulos autem qui e tangant, rectalinea duci non potet.
Sint duo circuli a b & a c, qui e diuidant
in a, & ducatur ex centro inferioris d a &
a d, & ad d a cathetus a e, dico qud a e di
uidet angulum b a c ducatur ex centro u
perioris a c b quod it f, fa cui cathetus a g,
quia ergo e a cadit infra a g, & inter a g &
a b non potet duci recta, igitur e a cadit in
tra a c b circulum. Rurus tangant e circuli
c d & c e, & ducatur a b per centra
applicabit ad c, ex c ducatur cathetus c f &
cta quauis linea infra c f, cadet intra
c e. Non ergo poterit cadere inter c d & c e.
mi
tij
tij
LEMMA SECVNDVM.
Dato angulo contento duabus peripherijs
e e cantium qualem rectilineum illi fabricare.
Sit angulus a b c duabus peripherijs qualium circulorum con
tentus, uolo ei qualem rectilineum fabricare, ducantur b d & b e
quales, ut pote facto b centro eritque angulus d b a qualis angu
lo e b c, addito utrique communi d b e ex peri
pheria & recta, fiet angulus d b e ex rectis
qualis a b c ex peripherijs, quod crat de
montrandum.
8.
Ex hoc patet quod reliqua duo pacia
non pount ee qualia rectilineo. Nam
patium b a c demontratum et quale e
e rectilineo, & b ad non et quale rectili
neo,
angulo rectilineo, nam i ic it b a c quale
f g h & c a d h g k,
toti f g k d et contra
b a e quia b a c & d a e unt
per e, & Totum
ctis ergo
lia
demontrata hic, nec b a e,
ambo patia b a e & c a d unt
ergo qualia f g k, erit ergo ex communi animi ententia patium f
g h quale pacio c a d, quod et contra primam partem corrolarij.
LEMMA TERTIVM.
mi
Inter duas rectas lineas e tangentes circuli dati peripheriam
ducere. Sit circulus datus a b rectilineus
angulus c d e, uolo illum diuidere circuli
periferia data b f, duco perpendicularem
d g ex, d uper d c, & facio g d qualem a b
& duco circulum per d qui it d h qui cadet
infra d c & ob id etiam upra d e, igitur di
uidet angulum c d e, quare cum circulus d h it qualis circulo b f
patet propoitum.
tij
Ex hoc patet quod infinitis modis potet diuidi angulus c d e
peripheria b f, nam diuio per rectam c d e linea d k per qualia & di
uio k d e per prentem peripheria b f, patet propoitum quoniam
angulus c d e potetin infinitum recta diuidi, & ita emper per peri
pheriam, unde patet propoitum.
tertij
E
SCHOLIVM.
Atque hc omnia equuntur de mente Euclidis, qu tamen ui
dentur difficillima creditu, quoniam anguli rectilinei, et ex periphe
ius & minus & nunquam detur quale, uidetur aburdum ne dum
admirabile. Et maxim quod etiam anguli ex peripheria & recta
unt diuerorum generum inter e & infinitorum. Prterea itud re
pugnare uidetur ipimet Euclidi, dicenti duabus magnitu dinibus
propoitis inqualibus, i de maiore earum plus dimidio detraha
tur, atque iterum de reiduo maius dimidio, & rurus de eo quod re
linquitur plus dimidio, necee erit ut tandem minor minore quan
titas relinquatur. Neque illud argumentum uidetur concludere an
gulus contactus, ex recta, & circuli circumferentia non potet recta
diuidi, & rectilineus potet diuidi, ergo rectilin eus emper et ma
ior angulo contactus, quia hoc contingit in angulo contactus pro
pter modum anguli, non paruitatem: i cut etiam non ualet de figu
ra a lunari, & quadrangulo b. nam potet b diuidi
ab angulo ad angulum recta & a non potet, &
tamen a maius et quam b, cum contineat ipam. Proponantur ergo duo circuli a d e & a f g qui e contingant in a, &
corum centra int b & c & ducantur rect a f d & a g e & contat
d portiones a d & a f imiles unt,
itemque a e & a g, ducta enim a b c
per centra circulorum ex contactu
tranibit per illa: quare anguli h a g
& h a e untijdem & imiliter h a f
& h a d ijdem, portiones ergo af &
a d itemque a g & a e imiles unt: an
gulus igitur g a e ex peripherijs &
e a d ex rectis unt ijdem in puncto
a: ed quod ad basim maior et ba
is g e quam e d: hoc enim uppono
quod per e et manifetum toties Quia ergo unt du ma
gnitudines, quarum ter mini unt ijdem ex una parte, cilicet pun
ctum a, ex alia autem unus et maior altero, cilicet g e quam e f &
a d e peripheria et maior recta a g e. Ergo per regulam dialecti
cam i ub eadem proportione procederent, maius eet patium
emper inter peripherias qum rectas. igitur angulus peripheria
rum et maior angulo rectis contento. Cum angulus non it
nii quidam habitus propinquitatis linearum, ed angulus con
tactus ex recta & peripheria maior et contento ex peripherijs cum
habeat rationem totius ad partem, igitur angulus contactus et
maior dato angulo rectilineo.
tij
tertij
mi
Propoitio centeimaexageima.
Propoita linea tribus que in ea ignis punctum inuenire, ex que
duct tres line ad igna int in proportionibus datis.
Sit data linea a b c in qua puncta dicta & dat tres line d e f, uo
lo inuenire punctum, puta g ex quo duct tres
line ad a b c puncta int in proportione a g ad
g b, ut d ad e & g b ad g c, ut e ad f. Per prceden
tia inuenio circulum ex cuius peripheria omni
bus ex punctis duct line ad a b int in pro
portione d ad e, & per idem circulum ex cuius
peripheria qulibet line duct ad b c puncta
int in proportione c ad f, i igitur iti duo circu
li e ecabunt in aliquo puncto puta g: liquet
quod line duct ex g ad a b c, erunt in propor
tione d e f.
Ex quo liquet quod i uoluero ducere ad tria puncta data, tres
lineas in continua proportione data d ad e, ubijciam tertiam uel in
terponam, i uoluero mediam. Et i uellem, ut eet a g ad g b dupli
cata ei qu et g b ad b c, & uellem qud proportio d ad a d f data
eet, oporteret inuenire duas medias proportione inter d & f, in de
operari cum una earum per modum propoitum. Differt corrola
rium hoc propoitione in hoc, quod in propoitione non quri
mus nii proportionem g a ad g b & g b ad b c, non g a ad g c, neque
comparationem proportionum: at in corrolario qurimus tres
proportiones g a g b & g c, & comparationem proportionum in
ter e, cilicet qualitatem.
Propoitio centeimaexageimaprima.
Si fuerint duo trianguli quorum baes in eadem linea int con
tituti & quales & ad unum punctum terminati, & latus unum
commune inter reliqua quantita
te medium, necee et angulum
maioribus lineis contentum mi
norem ee.
Sint duo trianguli a b c, a c d,
quales proponuntur, & it a d ma
ior a b dico angulum d a c ee mi
norem. Si non fiat angulus d a c
qualis ex alia parte, & oportet i non it minorut uel cadat a d u
per a b & ducta a d ad qualitatem cadet infra b, ducta ergo d c erit
trigonus a d c maior a b c, quod ee non potet cum int quales.
infra, cum totum it maius parte erit a d e, ut prius maior a b c quod
et contra Euclidem. Reliquum et ut d c cadat upra b c: hoc au
tem ee non potet, nam cum uppouerimus a b ee minorem a c
erit angulus a c b minor angulo a b c, quare a c b et minor recto, &
ide a c d maior recto, at a c d qualis et a c d, alteri igitur a c d et
maior recto a c b minor, erit ergo pars maior toto.
mi
mi
mi
dem.
dem.
dem.
LEMMA.
His demontratis quis dicere poet ex uperius expoitis quod
angulus rectilineus emper eetmaior angulo contactus? quia an
gulus contactus non potet diuidi nii obliqua linea, recti lineus
autem tam obliqua quam recta. Propter hoc exponantur circuli
tres e tangentes a b, a c, a d hac rati
one ut a b, b c, c d int quales, erunt
enim centra omnia in linea conta
ctus, & ducatur a e f g recta quomo
dolibet: & erunt ductis lineis b c,
c f, d g anguli e f g recti, quare om
nes trigoni a b e, a c f, a d g, imiles
& ideo a e, e f, f g quales, atque por
tiones a g, a f, a e, iuxta proportio
nem circulorum, quare a g, erit ex
quialtera a f & a f dupla a e, igitur
per prcedentem maior erit angu
lus e a f, quam f a g, & a d a ex recta
& peripheria quam e a f, igitur augendo eadem ratione cum perue
niamus ad angulum b a g qui ferm et recto qualis cum deficiat
olo angulo contactus, liquet angulum e a g ee long maiorem
multis rectilineis. Itud poet etiam demontrari uia Archimedis
diuidendo arcus g a in h & f a in k bifariam ducendo que lineas re
ctas g h & fk & ita diuidendo h a in 1, & k a in m bifariam, & ducen
do rectas atque ita emper appropinquando puncto a. Concludo er
go quod angulus
rectilineis. Caua autem erroris et quod multi exitimarunt corro
larium illud ee Euclidis cum non it. Nam Euclidi ufficit hoc
qud angulus contactus Eo uer quod it minor omnibus re
ctilineis angulis non utitur, ide etiam i
quanto minus: cum uerum non it, ide fuit
quod recta linea diuidi poet, quod apert ut dixi falum et.
P
tij
tij
mi
E
tertij
dentem.
SCHOLIVM.
Ratio autem qud omnis angulus contactus indiuiduus it, eu
duorum circulorum, eu circuli cum recta et, quoniam cum fuerint
du rationes contrari, & una perpetu minuitur, alia manet ne
cee et, ut tandem, qu minuitur, uperetur ab ea qu manet: cum
ergo circuli curuitas maneat, & angulus tendat in punctum perpe
tua diminutione necee et, ut curuitas circuli impediat diuiio
nem rect: ed hoc habet duplicem obicem. Primum, quia nullus
angulus ex circumferentia & recta poet diuidi: hoc autem falum
et manifet, cum olus ille qui fit ex contactu line, qu non di
uidit circulum, diuidi non posit. Secund, quod angulus conta
ctus duorum circulorum e exterius tangentium multo minus
poet diuidi angulo contactus interioris duorum circulorum,
quod tamen falum et: & hoc animaduertit Campanus noter, uir
acutus. Dico ergo qud in his qui e tangunt exterius, non fit diui
io nii emel: & quamuis inclinentur mutu, tamen in concuru
non aptantur, ut cum obuiat rect aut cau parti circuli quia ne
cee et, ut accedat, in alio autem dicedat: indicio et quod circu
los e exterius tangentes, in puncto facil decribes, interius uix fie
ri potet, ed uidentur coniuncti
per longum interuallum. Ad aliud
dico, qud ille angulus ex recta &
peripheria conuexa circuli propter
diceum eruat maiorem inclina
tionem in quocunque puncto, qum
it acceus conuex partis exterio
ris circuli.
Propoitio centeimaexageima
ecunda.
Proportionem duorum orbium
quorum diametrorum
tis, & concau proportiones dat
int, inuetigare.
Sint duo orbes a b c d & e f g h,
& it proportio a d ad b c, data & e
h ad f g, data & rurus a d ad e h, di
co orbis proportionem a b c d ad Quia. n.
propor
tio a d phr ad b c et ueluti ad di
metientis ad b c quare orbis ad ad
Quare phr b c ad f g phram. atnota et proportio f g ad e h
dimetientium igitur & phrarum: igitur nota et f g phr ad or
bem e h, igitur cum nota it proportio orbis ad a d phram b c, &
b c phr ad f g phram, & f g phr ad orbem e h, erit propor
tio orbis a d ad orbem e h nota, quod et propoitum.
decimi
&
Propoitio centeimaexageimatertia.
Proportionem uirium tellarum per motus uos indagare.
Mouentur tell omnes ab Oriente in Occidentem die una, qui
motus fit prima mente, qu mouet: ide quod ad hoc attinet non
et diueritas: uerm in motibus ab Occidente in Orientem
proprij, oportet coniderare tempus, in quo
gnitudinem ambitus, & inde magnitudinem orbis, qui circumagi
tur, & horum trium facta comparatione dignocitur robur uirium
tellarum & uitarum qu mouent eas. Ponatur ergo, ut uelim pro
portionem uit Saturni ad uitam Lun: erit ergo (ut docet Alphra
ganus) Luna, cum et in longitudine propiore, altitudinem habens
109000 M.P. & cum et in longitudine longiore 208500, tota igitur
dimetiens 417000 M.P. mane 218000 M.P. Igitur proportio olida
rum phrarum et uelut 72511713 ad 10360232, remanebit ergo
proportio orbis ad phram elementorum, ut 62151481 ad
10360232, & et excuplum ferm. Rurus proportio dimetientis al
titudinis Saturni ad contentum et uelut 2011 ad 1440, & et prop
201 ad 114, quare 67 ad 38, quare phrarum ut 300000 ad 55000
ferme. Igitur fer ut 60 ad 11. Rurus proportio dimetientis ph
r Saturni ad dimetientem phr Lun et prop 313, & phra
rum olidarum 306 317 10. Perinde et. Quia ergo proportio ph
r Saturni ad phram Lun et 30631710, & orbis Lun et 5/6
olum phr u diuidemus 30631710 per 5/6, & exibit proportio
phr Saturni ad orbem Lun 36758052, at quia proportio o
lid phr Saturni ad contentum et ut 60 ad 11, erit phr ad
orbem, ut 60 ad 49 reiduum, diuidam ergo 36758052 per 60, exe
unt 612634, & ducam per 49, id et per 100, fit 61263400, & diuiden
do per 2, exit 30631700, detraho 612634, relinquitur proportio or
bis Saturni ad orbem Lun 30019066.
Iam uer circuitus Saturni ad circulum Lun, proportio et 313,
ut uium et, Lun autem tempus per ex ductum et 164 dies, Sa
turni 177 anni propemodum, qui unt dies 64649 diuide, duc
ergo 313 in 164, fiunt 51332. Idem ergo peragrat Luna in
51332 diebus, quod Saturnus in 64649, & et quo ad hoc agi
bem 30019066, ed lentis quinta parte, detrahe illam fiet robur Sa
turni in comparatione ad Lunam 24015253.
Et tamen Luna multo agilior ob propinquitatem, & ob uarie
tatem luminis, & magnitudinem uperficiei. Et etiam quod maius
et ob id quod defert ad nos uires omnium yderum, nihilominus
quo ad uires uix et comparatio.
SCHOLIVM.
Multum autem differt hc propoitio uperiore, nam in illa
quiuimus uim uitarum ex proportione ad ua corpora, qu
quodammodo et quodammodo, non hic autem exponimus uim
uitarum ex earum operatione. Propterea ubij ciemus breuiter alti
tudinem proportiones in minore longitudine & maiori
Stellarum fixarum propior 20110 longior non habetur.
Et h
menur unt in comparatione ad emidiametrum terr. Et iuxta
id quod potuit e cundum rationem haberi: nam demontratio ola
et de altitudinibus Solis & Lun, & eorum magnitudinibus
Ptolemo in magna compoitione.
14. 15.
16.
Propoitio centeimaexageimaquarta.
Syderum proportionem in magnitudine otendere.
Stellarum autem fixarum inignium unaquque etiam minima, i
credendum et Alphragano, et centies maior tota terra, unde ca
nem necee et centies mille maiorem ee, et enim in eadem altitu
dine, & dimetiens decuplus dimetienti tellarum ecund magni
tudinis, quas ille inignes uocat: aliter Saturnus non tantus ee
poet, cum it minimus apectu.
Propoitio centeimaexageimaquinta.
Propoitionem motuum omnium
Videtur Sol quai Rex in Clo, nam omnes orbes cum illius
motu conueniunt, & uideturres admiratione digna his, qui non
nouerunt, quanta it concordia omnium rerum, de qua infr dice
mus. Ergo Luna primum hoc habet, ut linea qualis motu Solis
emper media it inter lineam qualis motus Lun & loci maxim
inqualitatis motus eius, ubi cilicet tardisim mouetur, Veneris
autem & Mercurij ut motus quales idem emper int cum motu
quali, & locus cumloco ipius Solis ad unguem prterid quod
infr dicemus. Trium uer
Prolemo In omniretitutione cuiu
libet planet uperioris numerus
mero
tis pariter acceptis. Velut Saturnus in annis quinquaginta nouem
die una & horis decem octo quinquageies epties per motum in
qualem ad
te inuper una & quadraginta quin que minutijs, qu repondent di
ei uni, & horis decem octo ex motu Solis, & ita bis Saturnus reuol
uitur ecundum motum qualitatis & quinquageies epties per
motum inqualem & imiliter. Iupiter in annis 70, diebus trecen
tis exaginta, horis quatuor, exaginta quinque reuolutiones inqua
les perficiet & ex quales, deficientibus ex qualibus quatuor par
tibus & dextante quod et
bus, & dextante diei ad perfectionem cilicet annorum eptuaginta
atque unius. Martis quo que tella in annis eptuaginta nouem, & die
bus tribus & horis ferm quatuor triginta nouem facit inquali
tatis reuolutiones: qualitatis autem quadraginta duas, & inuper
partes tres cum extante, quas manifetum et peragrari Sole in
diebus tribus atque horis quatuor. Veneris quo que ydus in octo an
nis deficientibus diebus duobus & quadrante, inqualitatis quin
que perficit reuolutiones, qualitatis autem tantundem ad un
quantum Sol deficiente eadem parte eu diebus duobus & qua
drante. Mercurij quo que tella in quadraginta ex annis & una die
& hora una ferm quadraginta ex ferm perficit reuolutiones
qualis motus & inuper gradum unum cum portione repondenti
portioni temporis, id et, hor ferm uni: in qualitatis autem cen
um quadraginta quin que. Atque hc unt manifetisima et ut dixi ad
miranda unt, prterea alia minus generalia, aut minus manifeta
aut non tanti momenti qu conult prtermitto, non et. n.
locus
hic do cendi artes ingulas ed olum ea tra ctandi qu ad argumen
Igitur ut ad rem redeam.
Solis cum octauo Orbe ea
ratio et, ut linea quam ille permeat eadem it quam qu fix tell,
non. n.
ad eandem ditantiam & mente conceptam ab quinoctijs
decendentem ac quiditantem mouetur, ed ad eam ecundum
quam tell fix in octauo orbe mouentur in comparatione ad ecli
pticam uperioris orbis. Porr de his atque huiumodi in Paralipo
menis diximus, ubi etiam docuimus quomodo ecundum duos cir
culos, qui olum circa uum centrum mouentur, punctus datus per
petu in recta linea feratur.
Propoitio centeimaexageimaexta.
Proportiones muicas uperpartientes in eas qu particula una
tantum abundant reducere.
Ptolemi hoc inuentum fuit, ut & multa alia prclara: itaque ta
tuendum et, primum uoces quales non concentum efficere, quia
diuer non unt, qu autem diuer unt, nihilominus proportio
ne contant implicisima & multiplici, tales optimam efficiunt ar
moniam. Eiumodi unt qu in dupla unt proportione, uocatur
autem diapaon. 1. quai omnia comprehendens non numero uo
cum uelut diapente & diatearon quatuor & quin que uo cibus. In
diapao. n.
omnia
1. omnes uo
Pt unt qu in
unde bis diapaon, pot qu in tripla, nam propior et monadi eu
qualitati: ed non ade implex ut bis diapaon. Vocant
diapaon diapente: inde huma
nis habetur:
cupla, eu bis diapaon diapente. Quintupla
ed de hac inferius dicemus, atque de multiplicib. dicta unto.
Sed de
nunc agendum. Clarum et.
n.
has ee implicisimas.
Cum ergo du
pla proportio non magis posit diuidi qualibus interuallis atque
implicibus proportionibus qum in exquialteram & exquiter
tiam, uelutinter 4 & 2 interpoito 3. nam proportio 3 ad 2 et ex
quialtera, & 4 ad 3 exquitertia: nec melius potet diuidi, at exqui
alteram & exquitertiam quantumuis magnis numeris diuidere
non licebat melius aut commodius quam per exquioctauas: uelu
ti umpto numero 64 cui duplus et 128, inter medius 96 qui cum
64 exquialteram facit proportionem, qu uauisima et omni
um deductis multiplicibus, uo caturque diapente. At qu et 128 ad
96 exquitertia et minuque ben onat per e, ed in acutioribus uo
cibus olum cum alijs ben onat, uelut cum diapente, perficiens
diapaon, interuallum, ergo inter 96 & 64 diuium per exquio cta
id accidebat in
& multominus 96 ad 81, quare uium et Ptolemo ut ubtracta mona
de Rurus proportio 128 ad 64
80 ad 64,
pro ditono ut At 128 cum 80 et in
proportione uperpartiente tres quintas, Regula
et quae ubi cononantia uo
nans, Spe.
n.
fit ut ex duab.
cononantibus dionans
& 40, at inter 48 & 40 et emiditonus ut
80, nam inter 45 & 40 et proportio exquioctaua, inter 48
quiquinta decima,
partiens tertias eu olida Iam er
go uidemus detractione aut additione exquio ctuageim, concinnas
reddi uulgatiores armonias:
rurus
nade ad octo poit unt. Vides prterea
Diatearon
uidi potet, i ecus diuidatur <08> in
&
cilicet in duo
dius
potet. Cum ergo octo ad
quippe nimis remota et hc proportio en
u humano:
que proportio Sed dubitabis
merit, quia
riam
miditonum
infirmari regula illa, quae cononantia diuia i una pars
posit ee dionans,
ron, ut dixi, numerari inter ambiguas coniugationes, quatenus
fe et, dionans et: at que ic in
quatenus
ditono aut emiditono upr efficiat
ben onantes. At quintupla proportio ut ab initio propoitum et,
bis diapaon, & exquiquarta, ut plan Omnes igitur decem, &
genere ditoni, & exquiquart, ed paulo minus ben
ipe. Igitur
Verum
ut otenum et & decimaeptima,
ben onat, hc
uperquadripartiens quintas. Diapaon quo que cum exta maiore & mi
nore eandem habentrationem quam 16 ad 5, & 10 ad 3, triplam utranque,
ed altera exquiquinta, altera exquitertia: bis diapaon uer
ut uiginti ad tria, & 32 ad quin que excupla utraque: ed altera uperbipar
tiens tertias, altera quintas.
lum concinnam magis ee & uauem ed omnem
rum Qud uer in caua fuit ut toni & emitonia
in uu eent, id et, quoniam in
nem in Ide
tonos & emitonia
ri uu aequi coguntur. At uer poterat & per exquiextam diuidi dia
tearon, ut inter triginta ex & quadraginta nouem interpoitis 42, ue
rm triplex
non eruaretur, ed incidebat in cacophoniam, addita quadrageima o
ctaua parte: deficiente
tione exquitertia: ut inter 49 & 64 loco 48 & 64, uelut
36, additaigitur monade in termino medio utrin que fit dionantia. Se
cundum inconueniens, et quae ic diuidente non eruabatur ratio exqui
quart & exquiquint eu ditoni & emiditoni, qu uoces ben o
nant. Tertium inconueniens erat, qud hcratio diuidendi diapentes
minim atisfaciebat, uelutinter 324 & 216. Interponere enim necee
erat 252 & 294, unde incongrua rurus erat diuiio. His tot cauis cum
proportiones maiores non fatisfacerent ut exqui quinta qu diatea
ron nullo modo qualiter diuidere potet, & in diapente deficit exqui
uigeimaquarta, ut inter 25 & 36, coacti unt cum nec exquiexta nec
exquieptima idone eent ad exquio ctauam confugere.
Et & alia diuiio toni in emitonia,
& 16, media uox et 17 emitonium maius inter 17 & 16, ed minus inter
18 & 17,
toniumPtole
mus hoc negaret, quia exquiquinta eu emiditonus
gro, qui et inter 90 & 80, & emitonio
96 & 90, & et exquiquinta decima:
pterea dicemus cauam ee quae poito emiditono inter 81 & 96, id et,
27 & 32 ublato tono, id et, 234 & 216, remanebit 13 differentia 256 ad
243, eu qualis et 96 ad 91 & 1/8 qu et ut 768 ad 729 et redit ad
nus emitonio minore. ecundum
inter 135, & 120, & emitonio maiore inter 128 & 120 remanebit emito
nium minus ferm inter 19 & 18, id et, 133 & 126, qu proportio differt
135 & 138. Si quis autem bene animaduertat, exquioctuageima illa
adimitur, ex tono & additur emitonio minori, & hc et caua qud
emitonium maius Ptolemi it concinnum, quia additur tonis imper
fectis. Dimidium autem emitonij minoris et inter 36 & 35, & uocatur
nus diuiditur in duas diees, minorem, qu et inter 72 & 71, & maio
rem, qu et inter 71 & 70, & ide manet difficultas quomodo intenta
uoce per dieim fiat melior cononantia? nam de remisione poemus
dicere qud accipitur loco exquio ctuageim: ed in exquioctuage
ima remittitur de tono ecundum mentem Ptolemi, in diei intendi
tur emitonium minus, icut otendit experimentum, ed foran conue
niunt quia intentio emitonij minoris deducit emiditonum ad exqui
quintam: et enim differentia emitonij minoris intenti hoc modo ad
emitonium minus, ut 136 ad 135: ed hoc et long minus exquioctua
geima, unum at et, hanc ee ultimam diuiionem toni in octo par
tes, & ut in diatonico toni dominantur, ita in chromatico emitonia in
enarmonico diees, ed diees fugitando (utita dicam) ac aures uelli
cando, mirum in modum oblectant audientes: uelut toni tando, un
de etiam nomen, emitonia medium modum obtinent.
Tertium genus proportionis (omitto mod
binarij, ternarij, quinarij, qui ultimus et eorum quos enus recipiat,
nam eptenarius propinquior et binarij diuiioni ob octonarium, &
modos illos atis notos Doricum, Lydium & Phrigium, ac eiumodi)
et Ptolemi: rurus qui cum uideret depectam futuram muic con
templationem, conatus et illius aliquod ingulare emolumentum
otendere, quemadmodum fecit & in libro de Prdictionibus, exiti
mans ni illos compouiet ueluti prmium otendentes tanti laboris
quantus necearius uideretur ad intellectum librorum Magn com
poitionis, futurum ee, ut hi negligerentur, ergo & hoc in muic li
bris otendere molitus et, cilicet, prclarum ee
plationis
Non omnia poumus omnes.
Virum enim hunc upra omnem humani ingenij
mus: ed hanc partem quam hic agit, ade infeliciter tractat, ut malim
credere Etenim
quid turpius apienti homini <08> imitari uulgares illos?
eptem mundi miracula, nimis cert in
uti Sed quo
niam contat omnia qu in mundo unt ordine coniuncta ee, & ne
cesitate uinciri, ide cm finis ipe uerus it, non tam debemus Ptole
mum damnare, quae non probauerit, qum laudare, quod
ratione it aectus. Spe enim accidit huiumodi uiris ade prtan
tibus ut ueritas detegatur, quam cm illi, ut mos et
bus adornare nituntur, trangredientes metam muneris, in aburda &
ineptias Ergo id mod declarare aggrediar, upponens quae ue
rum et, cilicet hanc muicam
& ab illis originem ducere. Verm dubium et, an oni propter nume
ros iucundi int, an propter aliud? & i propter aliud, cur ergo numeri
ad hoc unt necearij? & cur oberuare eos oportet ne ab illorum ordi
ne diiungi posint? Hoc
ratum et, cilicet delectare nos, qu percipiuntur quque ratione facta
uidentur,
ctant nos, quoniam natur ordine nos contamus. Illud difficilius lon
g d
cto harmonia cum rebus cletibus aut humanis Foran
& illud ab re non eet intelligere, cur nullum animal prter hominem
capax it harmoni? an foran
& ob id olus gaudet ratione? ordinata
maxim, numerus autem quid aliud et qum ordinis
go. Porr hc accipienda unt ex his qu enibus deprehenduntur,
qualia unt quae animus mouetur & uarios affectus in duit iuxta harmo
ni diueritatem ltiti, trititi, impetus, remisionis, timoris, pei, ira
cundi, & commierationis. Nos enim maxim octo affectus mouent
muic modulationes. Secundum quid autem mouent?
uel quia con
on aut dion, uel quia concitat aut tard, uel quod maius et quae
tendant in acutum ad alacritatem, uel in grauem deinant & remium
onum ad
dorum. Illud an non obcurum et,
tanguntur licet plurimum delectent, aut etiam ldant, anima mouetur
ad affectus, licet, ut dixi, magis homo delectetur, aut trititia afficiatur
quemadmodum ex onorum uaria natura, quod etiam in moris Ta
rantula (arane genus et) deprehenditur. Quinim nec luce nec co
loribus aut pictura, nii ut hc ad memoriam
ad hilaritatem aut trititiam uel iram, uel commierationem mouemur. Vnde
poent obliuici, at long plures
rent,
uel imagines pount ade mouere animi affectus, uel onus. Nam
duo in uniuerum ex uiu ad animi affectus mouendos habentur, tene
br ad trititiam & metum, pictura regionum
tem, ed
non habemus. Videtur ergo ob hc onus ipe magis anim intimus
<08> ullum aliud enile. Quod i odoratus et in
us in pupilla oculi, gutus in lingu neruis, ueriimile et magis inti
mum ee auditum, cilicet in cerebro ipo, atque ob id magis ab illo mo
ueri animam. Neque
tri pars non et: neque tympano, cm uperflua fuiet cauitas interior
omnis: neque enim inter pupillam & cerebrum pars ulla cernitur ad ui
um adiuuandum idonea: ed olus ufficit conenus pupill cum cere
bro: nam ad nos per piritus deffertur imago, non
nec in uno tempore fieret, ed ueluti
& eodem tempore reflectitur imago, ut primo ita enus uius ex pu
pilla in cerebro & in corde & anima imul relucet. At ergo non potuit
in tympano uel neruo deniore fieri auditus, ed in cerebro ipo, ob d
magis moueret affectus. Sed & magis incorporeus et onus, ut qui
intrumentum proprium non afficiat, nii cum immoderatus fuerit, at
omnis color, omnis lux oculum afficit, ac, ut ita dicam, tingit, neque uc
cesiones illas ob id ade minutas oculus percipere potet ut auris,
ed coinquinatur, ut ita dicam, priorum obiectorum reliquijs atque ima
ginibus. Vt in uniuerum contet puriorem ee auditus enum etiam
anim notr propiorem qum uium.
Quibus contitutis uidendum et, quomodo onus permutet affe
ctus: hoc autem
ed quoniam aut corporis eam partem, qu et anim intrumentum,
id et, piritum, aut anim
nexa et. Vt enim corpus deerit aut impeditur corporis commercio
corpus immoritur: hoc prentiens animus, fiunt illa duo pruia ad
mortem timor & trititia. Vt contr, ltitia non et nii communicatio
anim corpori, & quatenus communicatur olum de uita cogitat, atque
ob id quai immortalis, qui ltatur obliuicitur mortis. Ergo anim ra
tio illa erit, qu ut cognocit perfect exhilaratur dulcedine uo cum, &
hoc fit in diapaon. Vt uer imperfect diapente, ut imperfectius dia
tearon, at cum ex diatearo & diapente perficitur diapaon, accidit ei
arcam
perfecta colligit: ex quint enim & quart enu Videamus ergo an aliquid it
imile in anim facultatibus, nec exterioribus
atque interioribus fiat intelligentia. Et enus
tia
unius & rationis reliquarumque Iam uer habemus exactam
cognocit. Nunc ulterius procedamus et uideamus, anit aliqua
iunctio inter illas, nam imilitudo eti it una originis caua, non tamen
ola digna et ut Philoopho
lis uinculi. Non et ut
turSed i quis hoc
uelit, magis ad rationem proprietatis repiciat, uauitas in chromatico,
ubtilitas in Enarmonico, tabilitas in diatonico: Vt
mentem uer referri posit,
turalemque facultatem. Sed, ut dixi, iam propius accedamus,
nus, ut Doricus ad alacritatem pertinet, ad pugnam, ad uim anim ira
cibilis: Phrygius ad Sed
uenta aut ditributa aptemus ordini natur, ed ut res rebus. Diximus
quatuor ee
ionis. Et
an hioli affectus int maximi, quippe deee Et mihi dubium non et quin hi potentisimi int
Sed metus
Proprium enim perturbationum et excedere rationem: at metus mor
tis, ppri aut de filio, non et ratione aliens, nec excedit metas, mod
inanis non it aut falus, ob hoc metum excludemus ab hoc negocio:
tum maxim ob id quod nulla muica et qu
opus it in eo, qui it cum ratione coniunctus. Indicio et quae potius
excudit abrupta muica, icut & omnia alia qu perturbant rationem,
ueluti Amorem igitur & odium
excitat muica, quia amor & odium alicuius unt amor & odium, mui
ca Et commieratio, licet it
Didonis aut Phillidis, tamen et generaliter mierentis. Quramus er
go rurus qui int affectus generales animi. Et an
atque trititia: impetus & remisio: uitia ac miericordia & audacia.
tria ferme
tu perturbato animi unt eiecta ratione. Ob id
cundia Quapropter & ita
at ra
tio Hc autem, ut ita dicam, nulla et muica.
Sed neque muica ulla trititiam gignit, cum ut dixi, trititia nil aliud it <08>
mortis imago, muica Vnde
philus muicus
ingulare ee exemplum in humana uita refert Plinius. Relin quitur igi
tur tandem, ut muica maxim moueat tres affectus ltitiam, remisio
nem & miericordiam. Et quod ex his potmodum ad labores inurga
mus intentius, hoc non et ex muic ui aut facultate, ed
ad illa alia cauis. Neque ergo
tionibus uoluntarijs muic
atque eentia. Veluti intentionis et remisionis, aperitatis atque uauitatis
celeritatis ac tarditatis;
tionis: h enim differenti prcipu unt uo cum, uel etiam tete Arito
tele. Verm
affectuum, Sed non et qualis ratio, quoniam natura notra ad
raliter inclinata et, ad intentionem non ita, ed per uim
dio uoluptatis, aut cum anima purior et corporis impedimentis. Et
ob id ad tudia nil aptius et pura obrietate: nihil ineptius crapula atque
temulentia. At ltiti cau unt, &
in uauem,
aut dolore aut alio Vnde
in ltitia olent homines exclamare. At ad
omnia remitti oportet ex magna in parua, adeoque deficientem ex apera
in leuem, ex ueloci in tardam, ex diona in cononantem. Antiqui ergo
(ut author et Clius Rhodiginius) Dorico ad temperantiam & mode
rationem utebantur, cilicet qud non haberet prcipites lapus, neque
arduas intentiones: Phrygio ad impetum & bellicum ardorem, cilicet
per aperas intentiones: Lydio ad fletus & lamentationes per caus &
remisiones longas ac uaues: ideo funeribus peculiaris: Mixolydio ad
commierationem, ut defectiones interponantur & breues abruptque
remisiones, iuuantque in hoc plurimum & enus uerborum, familiaris
hic tragdijs: Aeolicus qui & Ionicus tranquillitatis animi author et
o mnumque conciliat: Dorico non abimilis ed uauior & mollior: ide
chromatici generis. Qu uer ad cli motus referuntur, diapaon qui
dem refertur ad motum diurnum, nam maximo contat, & exactisimo
interuallo, unusque et in omnibus & iucundisimus & omnia continet,
uelut & diurnus motus. Proprius autem tm erraticis qum fixis, qui
etiam qualitati propinquior et, & ad maiorem ditantiam cilicet de
clinationis igniferi ab quinoctij circulo ad diapente refertur. Rurus
diatearon qud minimo
e quidem quai non neceario ad motum in latitudinem Ex horum itaque duorum
admodum et ex diatearo & diapente conformatur diapaon, pulchra
contruitur exortus & occaus yderum ratio, qu primo motu
dibilibus.
Porr de participatione diapente, quam non
trumentis
eu n.
nunc uo
caruerunt anti
qui)
in ditonis & emiditonis extaque utraque. Vt
uauiores Exempli
gratia, int fides expoit octo, & ut
ad 80, id et ut 8 ad 5, c facta et remisior octogeima, quare
81 diapente habeat ad 121
octuageima parte 120, quare intentior diapente. Atin diapao
omnia ad
dita unt. Sed hc tractatio proprium
mis curioi illa huc traducere. quemadmodum, & ut uellemus
Philoophiam naturalem,
ducere Melius an fuiet ubtilioribus rationibus
Propoitio centeimaexageimaeptima.
Proportionem muicam ad apores & odores coaptare.
Melius feciet Ptolemus, i
et picturas,
ad machinas, poterat
quaginta annis Et quan<08> Latin criperit, non
tam turp erat latina legie, aut
neciuie necearia pulchraque inuenta aliorum clarorum uirorum, &
quod deterius erat, Ergo
ut ad rem ueniam: muica proportio bifariam
pliciter, & ex comparatione, & impliciter quidem umma uauitas ad
diapaon refertur: et enim uauisimus concenus in aporibus, ergo
dulce ei
nere. At pinguis, qualis in carnibus & ouis ben prparatis ad
refertur, et enim & ipe uauisimus pot dulce, at que in uo genere perfe
ctus, diatearon uer optim alo Hic enim per e improbus
et & inuauis, icut etiam apor alus et, diatearon
perficit diapaon, & cum diapao inutile et, et dicordat, ita apor alus
cum pingui ummam delectationem affert: cum dulci ade parum con
gruit, ut melius ocietur Ergo al
us apor cum diatearo ad
pido, & atringens cum ditono conueniunt ad unguem, nam uterque
illepidus, & cum dulci conuenit, ita emiditonus & ditonus cum diapa
um, & inter e unt quai imiles quod ditono accidit & emidito
no, ed & neuter horum cum pingui conuenit, neque ditonus aut e
miditonus cum diapente congruit, dicordat enim hc compoitio
non parum. Rurus & in hoc imiles unt quod diatearon cum di
tono & emiditono plurimum conuenit, ita & inipidum, & atrin
gens cum alo bell Diatearon enim cum ditono ex
tam efficit maiorem, & cum emiditono minorem qu utrique cono
nant, non tamen plus uaues per e unt, qud dulci & pingui care
ant, ut nec exta maior aut minor, d neque diapaon perficiant neque
diapente: Acris
mutuo conueniunt cum inipido acris, & cum atringente acidus,
quemadmodum & exta maior cum emiditono, & minor cum di
tono copulatur perficientes diapaon: ed minus uauem, quia ab
et diapente ibi, quia abet pingue: auterum uero cum acri mode
rato conuenit, propterea bene uterque cum inipido iungitur, unde
illud Epigrammatici:
Vt apiant fatu fabrorum prandia bet,
O quam pe petet uina piperque coquus.
Piper enim acre et, & uinum auterum et.
Et iuta querela Cicero
nis in Epitolis familiaribus, qui maluis fatetur e uictum, ut deci
derit in lienteriam: conueniunt ambo hi apores
uelut & utraque exta maior & minor cum diapaon & diapente, at
neuter cum alo, nam neque diatearon cum extamaiore uel mino
re iungi potet. Amarus autem apor tono perimilis et, dionus
enim per e et emper, & amarus pere odious tonus origo et o
mnium
tes, eu acidi, eu acres prius amari unt: tonus prterea nulla cum
cononantia peius coit qum cum diapao, ita neque amarus apor
infelicius iungnur qum cum dulci, amarus quo que apor cum nul
lo magis conuenit
cit diapente dulcisimam cononantiam, ut multi oliuas benalas
prtulerint faianis: tantum conuenit alo cum amaro, amarus,
quo que apor leuis non abhorret pingui, deteriorem
to efficit, ut intortis ex abynthio ouis & caeo, atque in uitibus in
quibus coma abynthij in cocta fuit parum, degenerat tamen apor
ille pingui: ita tono addito ad diapente fit exta maior, non ade
uauis ut diapente, attamen Similiter i tonus
addatur ad emiditonum aut ad ditonum ex altero fit diatearon,
qui non concordat ex reliquo tritonus omnium aperrimus. Ergo
cum idem fiat coniuncto amaro cum inipido, ac deterius
tet. Manifetum etigitur optim conuenire hano aporum diui
ionem cum muica proportione.
Cumque apores ex eptem planetis pendent manifet, Saturnus
Iupiter pingue
mandum, uires que Venus habet dulce: de
montratione hoc non indiget. Mars alum &
tus et, Luna inipidum.
Mercurius
& humida Luna, & Mercurius
giditatem declinet,
tellarum, ut upr docuimus. Huiumodi ergo ratione coniderata
Luna ad
ad extam maiorem, Mars ad
Iupiter ad diapente, Venus ad diapaon, unde plena illius dona uul
garis felicitatis opum honoris amoris & uoluptatis, pot quem et
Iupiter, ut ine his duobus omnino nulla posit ee felicitas.
Sed & in circulo igniferi aliquam muica proportio habebit ra
tionem: diapaon
tem, & dimidij ad quadrantem, & trientis ad
totius circuli ad beem, & dodrantis ad
entem, &
drantem, & besis ad
olo
tione Ptolemus omierit unam
tuor in diapaon & diapente, tres tantum numerauit. Reliquas
quatuor per integra igna numerare licebit, ad
ctuum deducere non poumus, propterea efficaciam quandam ha
bent etiam ignorum mutationes, ed harmoniam non perficiunt,
nam & i umamus exquiquartam & exquiquintam, ut in his ex
quialteram, eu diapente contituamus, aut tria aut ex igna acci
pere oportebit: utrunque fuerit, reliqua pars ad diatearon pertinere
minim potet: quamobrem conuenientius eet meo iudicio, ut to
tus circulus non ad diapaon, uelut Ptolemus, referretur, ed po
tius ad diapaon diapente: ita enim contitutis quatuor, quinque,
ex, duo decimque numeris, contaret tota ratio harmonica, diuio e
tiam diapente in ditonum & emiditonum. ed de hoc atis.
Reuertamur ad apores, in quibus diximus aliam ee rationem
muicam iuxta
riorem, medius uer ad deteriorem exquitertia, optimus ad me
dium exquialtera, apor ille optimus erit. Et primum quidem id
in pingui tanqum medio dulcique & alo experiamur, imiliter in
alo, acri, atque inipido.
et inipidus, quia per e ferri potet, alus autem medius, acris de
terrimus, uperabit ergo inipidus alum exquialtera, acrem du
pla proportione, alus acrem exquitertia. Rurus dulcem copule
mus cum acri, & cum inipido aut cum acido, & inipido prtabit,
ut dulcis dupla, aut quadrupla, aut octupla proportione inipi
dum uperet, id et, per diapaon, uel bis diapaon, aut ter diapa
on: acidum uero inipidum exquitertia uperabit. Alia rurus ra
tio in coniunctionibus aporum ad enum uniucuiuque referenda
et, in quo enim et umma uoluptas comparatione ad illum, hic ta
tuemus diapaon, optimumque contituemus aporem, dimidium il
lius quod ad uires attinet ex minus iucundo exquitertium, ad il
lum minus iucundum ex medio. Exempli gratia, proponamus ut
alicui autera maxim iucunda int (nam ala nemini, qud nullum
animal prter hominem, im ne plant quidem nii admodum
pauc, & ui generis alo alantur, iucunda ee pount: cum alum
amari pars it, eoque deterius quod acutum italum, unde in ale
nullum animal nacitur: in abynthio, quanqum ualde amaro, exi
guum mucarum genus, nigrum tota tate oritur, & in ruta uer
miculi) is ergo auteri, quantum atis eritumet, dulcis
dij. gratia exempli (nam optima ad extremum oppoitum uix tran
ire queunt) beem accipito huius, gratia exempli, tanqum deter
rimi atringentis dodrantem, ut it dulcis ad atringentem dupla
proportio. Sic ergo contituetur iuxta naturam propriam muica
proportione apor iucundisimus.
Idem quo que in odoribus & eadem ratione, ed ex aporibus hoc
cum intellectum it, frutra fuerit conumere tempus, eadem enim
in omnibus ad ciendum proportionem intelligenda erunt.
Propoitio centeimaexageimaoctaua.
Picturarum proportiones explicare.
Et pictura imago rei corpore quanqum, & per illam, & acti
ones, & cogitationes, ed non nii ut per corpora ignificantur: ut
ergo corpora ipa referamus. coloribus opus et, nam corpora, co
lorata unt, ecund ipa rerum natura cientiaque illarum, unde pi
ctorem multicium ee necee et. tertium et, ut minimas earum
differentias explicare norit. quartum, ut affectiones, uelut in ira
in clinationem quandam, flexionem cruris atque imilia. quintum et
lux coloribus
qui, quando quidem hc uu magis & conideratione, qum ratio
ne content proportionee, nec int ade admiranda ut neque im
plex magnitudo Tria ergo ui
dentur ee prcipua quorum nunc ratio habenda eet, ut int in
totum nouem, ed unum ex his relinquemus, tum quia alienum ab
hac conideratione, tum quia alibi pertractatum atque etiam ab alijs,
neque ade admiratione dignum cilicet magnitudo picturarum re
pondens magnitudini corporum iuxta itus differentiam, nam
qu altiores unt paulo latiores atque in uperiori magis parte quam
in inferiore, mult autem longiores ee oportet, ic & qu latere
erunt eadem ratione iuxta apectus ingredientium rationem. Ve
rum hoc ut dixi omittamus, & de duplici miraculo in pictura lo
quamur, cilicet ditantia magna quam in parua tabella referimus,
et corporeitate quam in plano reprentamus. Horum autem duo
rum aliqua communia unt aliqua propria. Dicemus ergo
de corpore ita pingendo, ut palm extra tabulam prominere uide
atur. Hoc autem primum ex forma umitur, nam i corpus in plano
it necee et, ut partes illius qudam prorus abcondantur, par
tes ali non prorus, ali prorus int in conpicuo. Ergo pictu
ram talem fingere oportebit, qu partes ingulas pro ratione oten
dat aut occultet.
umm partes lucid & clar aclumine quai dealbat: media, me
dia quadam ratione ut in columnis, tantumque potet hc ratio, ut
uel ola picturas fallere nos faciat corpora eas ee putantes. Opor
tet autem imum ee ad unguem imile in colore colori anguli loci
& ummum parti qu e oculis maxim ubiectam prbet & cla
ram: media uer qualia ex umbris obcurari olent. Tertia ratio et
pro modo partium iuxta
in c d ex e oculo: depingemus in c d iuxta obli
quitatem uam, quia cum c d uideatur per line
as e a c & e b d, & eleuatum in itu a b, necee et
ut uideatur in itu a b, ergo eleuatum c d. Et
& alia conideratio proportionis ad proxima
remotaque, grati a exempli, i homo eet pot co
lumnam a b, lateret eius pars, qu et propinquior parieti c d, ergo
i depinxerimus hominis partes tantum dextram, reliquum ub um
bra, cogitur oculus iudicare columnam eleuatam a pariete. De
mum omnia hc ita unt ubijcienda oculis, & per minimas diffe
ijcienda, tum proprio, tum aliorum non artis in expertium, ut res
prorus aboluta uideatur, atque in hoc multum refert multiplices
partes ecundum longitudinem coloribus ditinguere ad hoc a
ptis, qui unt obcurus, ub obcurus, cinereus, qualis ilicis candi
dus ine luce, demum etiam aliquid nigri adijciendum, nam diuiio
ecundum longitudinem multum impedit, hanc reprentationem
iuuant, & extrema ben coaptata, uelut capi imi, & capitula & u
premi,
plinthi, echini, hypotrachelia, atagali, apophyges. Qu etiam in
parte inferiore
re, & tylobata, et alia tnia umma diligentia, & cum eleuatione ac
magnitudine ultra column limites extendantur. Sicin tylobata
ratio diapente contat, cui olet addi utrinque exta pars pro coro
nice, manifetum et autem, quod in ea contat muica ratio diapa
on ex diapente & diatearo, compoiti nam du ext partes, alte
ra utrinque adiecta tertiam conficiunt ut it diatearon upr diapen
te. In regionibus autem & patijs depingendis eadem ferm eruan
da unt duobus tamen adiectis,
pars,
clo determinanda et (nii nox fingatur) nam clum longisim
nobis ditat, ita nubes coloribus proprijs, & montes cum niui
bus, & patia uelut fluminis alueus, mare, lacus, atque hc omnia
per colores ditanti finguntur, uelut fluminis pars propior clara
& lympida, & colore aqueo cernitur remota obcura, qu maxi
m procul abet nigra. Sed maxima et confirmatio in compara
tionibus: ut i arbores prop magn int, & homines & animalia,
in remotiore autem parte minimi, ac quai puncti magnitudinem
referentes, atque ut in his muica non geometrica aut arithmeti
ca proportio eruetur. Equidem i quis iudicio hc conequa
tur, ac diligentia qu cribi non pount, ed contemplatione ha
bentur, enu quoque, quem experimentum docet, necipum man
dare literis, licet ex rationibus tamen, quas hic docemus intelli
get parum differre reprentationem re ipa corporea. Sed de
his hactenus, qu i diligentius quis perequi uelit ine
artis experientia, plus adimet perfectioni rei,
quam adijciet. Hoc enim alis
declarauimus.
D
Propoitio centeimaexageimanona.
Proportionem muicam in intrumentis declarare iuxta compo
itionis rationem.
Tria unt intrumentorum genera, in quibus maxim relucet ra
tio compoitionis muic qu nobis nunc unt demontranda,
cilicet machin bellic, ut catapult & balit & corpiones, & hy
draulica intrumenta ad modulationes parata, qu antiquo tem
pore maxim in uu fuerunt nunc deita, de quibus Vitruuius agit
in decimo libro. Tertium et neorum intrumentorum, quorum
etiam uus deijt in cnicis theatris, ad intendendam uocem cum
modulatione, ut etiam clamor audientium & uulgi cum uoluptate
excipiatur, de quo idem in quinto libro egit. Sed nil melius qum
uerba ipius explicare de hoc tractantis, unt autem hc. Muicen
autem ciat oportet, uti canonicam rationem & mathematicam no
tam habeat: prterea balitarum, catapultarum, corpionum tem
peraturas posit rect facere. In capitulis enim dextra ac initra
unt foramina homotonorum, per qu tenduntur ergatis aut ucu
lis & uectibus neruo torti funes, qui non prcluduntur, nec pr
ligantur nii onitus ad artificis aures certos & quales fuerint. Bra
chia enim qu in eas tentiones includuntur cum exten duntur
qualiter & parter utraque plagam emittere debent. Quod i non ho
motona fuerint, impedient directam telorum misionem. Item the
atris uaa rea, qu in cellis ub gradib. mathematica ratione
cantur
icas iue concentus
& diapente & diapaon, uti uox cnici onitus
itionibus, tactu
ad Hydraulicas quo que machinas & c
tera efficere nemo
poterit. Capiamus ergo primum illud d et manifetius, cilicet de
hydraulicis organis quorum meminit Suetonius in Nerone: Reli
quam diei partem per organa hydraulica noui & ignoti generis cir
cunduxit, otendenque ingula de ratione ac difficultate cuiuque di
erens iam e prolaturum, ut contet illa fuie magni opificij qu
notra tate deiere. Retat unicum & ualde leue
ne uelligne reonantis. Certum et
ceri aqu, ut dulcior & mollior non olum euadat, ed etiam acuti
or ac modulatior. Eadem autem ratio maris: ed cum aqu corpus
moueatur, uidetur difficile eruare proportionem. ea prima diffi
cultas. ecunda et, quod cm aqua moueatur, uix ficri poe uide
tur ut totum eruet uocis integrum tenorem. tertia ob illius con
Propterea nil mirum et i Nexo de his ubtiliter di
putauit, mirum fuit quod in tanta animi perturbatione nii ad
amentia, ut illi putant, referatur. Sed quidiam amplius uagor, extat
compendioa ratio contructionis illius apud eundem Vitruuium
ubi Philander ex Atheneo onus hydradis uauis admodum atque
iucundus auditu et: ita ut omnes concinnitate capti conuerterent,
fuitque Alexendrin urbis inuentum authore Cteibio tonore, et
autem magn Clepydr intrumentum non abimile, unt enim
fitul in aquam contort, qu, cm aqua iuuene quopiam per
cutitur, axinis per organum traneuntibus inflantur,
qeEt autem arrotund hoc intrumentum
perimile inuentumque Ptolemi ecundi Euergit temporibus, de
quo eundem Cteibium cripie ferunt. Fiebant autem ex re &
bais eligno cum regulis dextra ac initra calari regula compactis,
aqua autem in rea arca continebatur. Facil autem et per hc reli
qua inuenire: nam epitomijs includebatur ar atque reerabatur, &
modus erat per uectes: non tamen octo
numerum intrumentum id uperabat organa notra ut lo cupleti
ora ita aperiora. Liquet ergo i fabrilis omnis ars ad Architectum
pertinet, illum etiam hacratione oportere ee peritum muic.
18.
cap.
16.
24.
De Vais uer neis theatri quod melius et qum ut eundem
authorem conulamus, dicentem uaa rea pro ratione magnitudi
nis theatri ita fabricentur, ut cum
inter e diatearon diapent, ex ordine addit diapaon, potea inter
edes theatri contitutis cellis ratione muica ibi collo centur: ita uti
nullum parietem tangant circaque habeant locum
capite patium, ponantque inuera & hab eant in parte qu pectat ad
cenam uppoitos cuneos ne minus alios emipede, contraque eas
cellas relinquantur apertur inferiorum graduum cubilibus lon
g pedes duos alt emipedem. Et i non erit ampla magnitudine
theatrum, media altitudinis tranueraregio deignetur, & in ea tre
decim cell duo decim qualib.
interuallis ditantes
uti ea echea qu upra cripta unt, ad neten hyperboleon onan
tia in cellis qu untin cornibus extremis utraque parte prima col
locentur, ecunda ab extremis diatearon ad
tertia diatearon ad neten parameon, quarta ad neten ynemme
non, quinta diatearon ad meen, exta diatearon ad hypaten me
en in medio unum diatearon ad hypaten hypaton. Qu fequun
tur & ad intelligentiam prdictorum melius ex Gulielmo Philan
dro emendata ic trancribemus: Eas regiones in tredecim cellas
diuidit qualibus interuallis: id et, cellas paribus uicisim inter
tamen non uus, ed partitionis & reponus caua fit in media pr
cinctione. In ima prcinctione ponuntur uaa qu habent harmo
ni In
bent netes hyperboleon. Subequuntur utrinque qu unt ad neten
diezeugmenon interuallo cononantia diatearon. In tertijs cel
lis unt qu ad neten parameen interuallo item diatearon, qu
unt in quartis tono olummodo ditant & unt netes ynemenon. In quintis cellis unt ad meen interuallo diatearon.
In extis cellis
ad hypaten meon, In media cella unt ad hy
paten hypaton interuallo diatearon. In media prcinctione unt
uaa chromatos, collocantur autem in cornibus uaa qu unt ad
paraneten hyperbolem. In ecundis cellis ad paraneten diezeugme
pente. In quartis ad lichanon meon interuallo diatearon.
In quin
tis ad lichanon hypaton, In extis ad parameen d
patium ad paraneten hyperboleon et diapente ad paraneten hy
nemenon diatearon. In chromatis media cella nulla unt uaa,
quod lichano hypaton ad proslambanomenon, aut ad aliam o
mnino decem & octo uocum nulla it cononantia, unt enim h
mitonia tantum duo & tonus. In tertia prcinctione collocantur
uaa diatoni. Etin cornibus quidem ea qu unt ad paraneten, hy
perboleon. In ecundis cellis ad paraneten diezeugmenon.
patio
diatearon. In tertijs ad paraneten hynemenon diapente.
In quar
tis ad lichanon meon diatearon. In quintis ad lichanon hypaton
diatearon. In extis qu ad proslambanomenon diatearon pa
tio. In media qu unt ad meen, quod ea ad proslambanomenon
habet cononantiam diapaon, & ad lychanon hypaton diapente.
Hc autem ex igura patent in opere de Subtilitate decripta.
Porr quod ad machinas attinet.
Sit catapulta, cuius rudens a b
quam oportet trahere, i emittere debeat lapi
dem, aut corpio agittam ad aliquod ignum
puta c, cum ergo onus c a & c b homotenus fue
rit, non olum qualiter pertract erunt c a &
c b, ed etiam quales: nam i quales eent, &
inqualiter tract, aut inquales & inqualiter
tract At i in
quales &
not qu trepitum edit duplicem, & effigiem
oculis
am dirigitur
de his agit.
Propoitio centeimaeptuageima.
Coniugationes cuiuuis numeri breuiter inuenire.
Sint gratia exempli
guli, & hoc
pount ee omnes imul, & hoc uno modo tantum, & pount ee
duo, & hoc potet uariari
octo, & manifetum et, quod
draginta quinque, nam cum erunt octo, duo
pount 45 modis, ergo & illi octo ad Et i
militer tres quot modis uariantur tot modis
quatuor totex: quinque autem quia unt dimidium decem, pluribus
modis uariantur. Etide pro ordine huius detrahes
undecim uiri pones decem, i decem pones
ralem eriem numerorum, utinfr uides uno emper termino defi
ciente: & expriore ordine, ubi uidebis emper
ros: ut 3. 6. in de ub 6. 10. & 20 latere, & ub 20 35. & latere 70 du
plum 35, & ub
re 252, & hoc pro
cognitione d
rect is opera
tus. Secund a
nimaduertes
quentes
fieri ex recta li
nea priorum, ue
lut extus ordo et 7. 28. 84. 210. 462. ita incipiendo in primo ordi
ne 7, & tendendo ad dextram, inuenies illos eodem numeros ad
unguem, & ita in eptimo ordine 8. 36. 120. 330. initra inuento 8
in primo ordine, & procedendo ad dextram, inuenies 36. 120. &
330. Tertium et quod numeri ultimi medio unt ijdem, ut 462 &
462. 330 & 330. 165 & 165. 55 & 55. 11 & 11. Et eorum, ut dixi, rema
net 1. Oportetigitur colligere numeros angulares, ut latere ui
des, & fit 2047 numerus coniugationum, tot enim modis pount
uariari. Et i eent decem tantum, ut ab initio propoui, primus or
do finitur ad 10, ecundus ad 45, tertius ad 120, quartus ad 210, quin
tus ad 252, extus redit ad 210, eptimus ad 120, octauus ad 45, no
nus ad 10, decimus ad 1. Etita colligeretur umma ex extremis nu
meris angularibus 1023. Et tot erunt coniugationes. Hic uides quia
numerus 10 et par, et quod adempta monade, relinquitur 9, qui et
impar qud medius qui pertinet ad quintum ordinem et maxi
ut intelligeres rationes colligendi ingulos ordines eor
um. Quod ergo attinet ad collectionem maximi numeri,
primus ordo eruit emper ultimo
& ecundus penultimo, & tertius antepenultimo, & ita de
ultimus uariabitur 55 modis. Et i tertius uaria
tur 165 modis, antepenultimus uariatur 165 mo
dis. Et ita de alijs.
Hc autem ratio atisfacit multum, & et ne
cearia in temperiebus corporis humani. Vt in
ecundo, De dentibus. Et etiam ut qulibet di
ciplina qum breuisim tradi posit, ut gratia
exempli, medicina tota in una pagina, dico me
dicina
& Latinorum, & etiam long plus: nam i tradatur uigintiquatuor
regulis fimplicibus, & ex illis fiant coniugationes 16777215, mani
fetum et quod erunt regul omnes h multo plures, qum con
tineantur in omnibus libris Grcorum, & Arabum, & Latino
rum, qui extant. Et tamen perpicuum et, uigintiquatuor regulas
una pagina commodisim contineri. Et hoc alis docui, quan
qum credam me errae in upputatione, nam locum inuenire non
potui. Vnum et id certum, qud hc ratio qum nunc explicabo,
et uera & demontratiua, & facillima.
Cum enim uperior it uera & demontratiua, non et tamen fa
cilis, & prcipu in magnis numeris. Et ide inueni hanc, qu (ut
dixi) facillima et: adde numero propoito monadem, in de confla
ri inuenias numerum monade in eodem ordine, & ab eo detra
cta monade habes numerum coniugationum. Exemplum, i int
10 adde 1 fit 11. Vndecimus ergo numerus in proportione dupla
et 1024, detrahe 1 & relinquantur 1023 numerus coniugationum,
ut in priore upputatione. Item i int 11 numeri adde 1 fit 12, duo de
cimus ergo numerus in proportione dupla et 2048, detrahe 1 re
lin quuntur 2047, coniugationes 11, ut prius in upr cripto exem
plo. Et ita pro uiginti quatuor regulis adde 1 fit 25, uigeimus quin
cus igitur numerus in ordine dupl proportionis monade et
16777216, ergo detracta monade relin quitur numerus (ut dixi) re
gularum & coniugationum uigintiquatuor regularum, qu ta
men non int contrari inuicem: nam tunc eent pauciores. Et
quia in itis numeris duplicandis poes facile incidere in errorem,
diuide ultimum per 16, & i nihil uperet, rect procesit opus: in
Vtau
tem habeas numeros ingulorum or
dinum, in quauis multitudine, deduci
to numerum ordinis primo, & diui
de per numerum ordinis ipius reli
quum, & illud quod prouenit, duci
to in numerum maximum prceden
tis ordinis, & habebis numerum qu
itum. Velut i int undecim, uolo ci
re breuiter numeros, qui fiunt ex ua
riatione trium. Primum deduco pro
ecundo ordine 1 ex 11 fit 10, diuido per
2 numerum ordinis, exit 5, duco in 11 fit
55 numerus ecundi ordinis. Inde detra
ho 2, qui et numerus differenti ordi
nis tertij primo ex 11, relinquitur 9, di
uido 9 per 3
co 3 in 55 numerum ecundi fit 165, nu
merus tertij ordinis. Similiter uolo nu
merum uariationum quatuor, deduco
3 differentiam 4 primo ordine ab 11,
relinquitur 8. diuido 8 per 4 numerum ordinis, exit 2, duc 2 in 195
fit 330. numerus quarti ordinis. Similiter pro quinto detraho 4 dif
ferentiam primo ordine, relinquitur 7, diuido per 5 numerum or
dinis exit 1 2/5, duco in 330 numerum prcedentis ordinis, fit 462
numerus quinti ordinis.
Ex hoc colligitur manifet modus conuertendi proportionem
arithmeticam in proportionem mitam: dico mitam, quia opor
tet addere monadem in priore numero: dein de quia numerum
terminorum oportet umere iuxta numerum asignatum, cilicet
addita monade: demum, quia oportet detrahere monadem ipam. Et tamen umpta proportione Geometrica ut liquet, cilicet con
tinua dup la.
Propoitio centeimaeptuageimaprima.
Propoitis duobus quibuslibet numeris, quotuis alios, eu in
continuum, eu medios in continua proportione arithmetica, geo
metrica & muica inuenire.
Hc tota propoitio pendet ex intellectu diffinitionis earum.
Sint ergo propoiti duo numeri 2 & 3, & uelim tertium in conti
nua proportione arithmetica, duplico quemuis, ut pote 3 fit 6, de
Item uolo quar
tum, duplico 4 fit 8, detraho 3 remanet 5 quartus numerus: item
uolo minorem 3 & 2, duplico 2 fit 4, detraho 3 remanet 1, i autem
uellem minorem uno, non poet, quia eet nihil, ed crecendo
potet extendi in infinitum, ita capio 2, & <02> 10, duplico <02> 10, fit <02>
40, detraho 2, remanet <02> 40 m: 2, & ita i uolo quartum numerum,
duplico <02> 40 m: 2 fit <02> 160 m: 4, detrahe <02> 10 ex <02> 160 m: 4, re
manet <02> 90 m:4, & ita 2 <02> 10 <02> 40 m: 2, & <02> 90 m: 4, unt in con
tinua proportione arithmetica, & ita potet extendi in infini
tum. Sed i uellem unum, aut duos, aut tres terminos, uel quouis
medio 5 arithmetic, diuido differentiam per 1 p:numero termi
norum, & partes addo minori numero. Exemplum, uolo tres nu
meros medios inter 2 & 7 in continua proportione arithmeti
ca, detraho 2 7 remanet 5, diuido 5 per 1 p: quam 3, id et per 4,
exit 1 1/4, adde ergo 1 1/4 ad 2 fit 3 1/4 primus terminus, cui adde iterum
1 1/4 fit 4 1/2 ecundus terminus, cui adde iterum 1 1/4 fit 5 3/4 tertius
numerus: fient ergo quinque termini, hoc modo in continua pro
portione arithmetica 23 1/4 4 1/2 5 3/4 & 7. Rurus uolo totidem, uolo
inter 2 & <02> 32, detraho 2 ex <02> 32 remanet <02> 32 m: 2, diuido per 4,
qui et 1 p: numero terminorum, exit <02> 2 m: 1/2, addo ergo <02> 2 m:
1/2 ad 2 fit 1 1/2, p: <02> 2 primus terminus, cui iterum addo <02> 2 m: 1/2 fit
<02> 8 p:1, ecundus terminus, cui etiam addo <02> 2 m: 1/2 fit <02> 18 m:
1/2, & ita habes tres terminos medios in continua proportione
arithmetica inter 2 & <02> 32, & ita i uelles quatuor terminos, diui
deres differentiam per 5, & i uelles quinque, diuideres per ex. &
ita de alijs quibucunque.
Pro Geometrica proponantur, gratia exempli, 2 & 4, i uelim in
continua proportione tertium, duco 4 in emet fit 16, diuido per 2
exit 8. & i uelles quartum duc 8 in e fit 64, diuide per 4 exit 16
quartus terminus, & ita in infinitum, & i uelles minorem 2, duc 2
in e fit 4, diuide 4 per 4 exit 1 tertius terminus, & ita i uelles mino
rem. duc 1 in e fit 1, diuide per 2 exit 1/2 quartus terminus, & ita ha
bes quouis terminos, & et imilis arithmetic hc operatio, ed
in arithmetica duplicamus unum terminum, & detrahimus alium:
in geometrica multiplicamus unum terminum ad productum, &
diuidimus per alium. Et i uelim terminum in continua proportio
ne 2 & <02> 10, duco eodem modo <02> 10 in e fit 10, diuido per 2 fit 5
tertius terminus, & uelim quartum, duco 5 in e fit 25, diuido per <02>
10 exit <02> 62 1/2 quartus terminus.
Et i uelles plures terminos medios in proportione geometrica, de
ducito maius extremum in e
cubica producti et ecundus terminus, idem facio de minore in
e in de in maiorem, & accipio <02> cu. Exemplum, uolo duos termi
nos inter 2 & 3, duco 3 in e fit 9, duco 2 in 9 fit 18, capio <02> cu. 18. hic
et unus terminus, & ita duco 2 in e fit 4, duco in 3 fit 12, capio <02> cu. 12 pro ecundo termino.
Et i uolo tres terminos, duco 3 in 3 fit 9, du
co 3 in 9 fit 27, duco 2 in 27 fit 54, & <02> <02> 54 et primus terminus. Item duco 2 in 2 fit 4, duco 3 in 3 fit 9, duco 4 in 9 fit 36, & <02> <02> 36, id
et, <02> 36 et ecundus terminus, imiliter duco 2 ad uum cubum fit
8, duco 3 in 8 fit 24, & <02> <02> 24, et tertius terminus. Similiter uolo
quatuor terminos medios, duco 3 in 3 fit 9, duco 9 in 9 fit 81, duco 2
in 81 fit 162, & <02> relata prima 162, et primus terminus, item duco 2
in 2 fit 4, & 4 in 4 fit 16, & 3 in 16 fit 48, & <02> relata prima 48 erit
quartus terminus, item ducendo 3 ad cubum fit 27, & 2 ad quadra
tum, & fit 4, & 4 in 27 fit 108, & <02> relata prima 108, erit ecundus
terminus, & imiliter ducendo 2 ad cubum fit 8, & 3 ad quadratum
fit 9, & 9 in 8 fit 72, & <02> relata prima 72 et tertius terminus. Habe
bis ergo terminos in continua proportione 2, id et, <02> relata pri
ma 32, <02> relata prima 48, <02> relata prima 72, <02> relata prima 108, <02>
relata prima 172, & <02> relata prima 243, quod et 3, & ita de alijs in
infinitum.
At pro muica, i int exhibiti duo numeri minores utpot 2 & 3,
uelim tertium terminum, diuido 2 per 1 differentiam exit 2, detraho
1 pro regula remanet 1, diuido 3 maiorem terminum per 1 exit 3, ad
de 3 ad 3, fit 6 maior terminus. Similiter capio 3 & 4, diuide 3 mino
rem terminum per 1 differentiam exit 3, detrahe 1 pro regula, relin
quitur 2, diuide 4 terminum medium per 2 exit 2, adde ad 4 fit 6 ma
ior terminus. Stiphelius autem erat in ua regula, nam ic 12 4 & 3
eentin continua proportione muica ex ua regula. Dico ergo,
quod i proponantur 5 & 7, & uelim muicam proportionem con
tinuare, detraho 5 de 7 relinquitur 2, diuido 5 per 2 exit 2 1/2, detra
he 1 pro regula remanet 1 1/2, diuide 7 per 1 1/2 exit 4 & 2/3, adde ad 7
fit 11 2/3, reduc ad integra multiplicando omnia per 3, habebis
35, 21, & 15, in continua proportione muica, nam 35 ad 15 et ut 7
ad 3, & 14 ad 6, et ut 7 ad 3, et autem 14 differentia 21 & 35, & 6 dif
ferentia 21 & 15, & ita poes continuare inueniendo quartum,
quintum, extum, in infinitum. Rurus int propoiti duo termini
maiores, uelut 6 & 4, detrahe 4 6 exit 2, diuide 6 per 2 exit 3, ad
de 1 pro regula fit 4, diuide 4 minorem terminum per 4 exit 1, de
trahe 1 ex 4, relinquitur 3 minor terminus, & ita propoitis 6 & 3
gula fit 3, diuide 3 per 3 exit 1, detrahe ex 3 relinquitur 2 minor ter
minus, & ita potes inuenire quotuis. Gratia exempli, habeo 3 & 2
maiores, capio 1 differentiam, per quam diuido 3 exit 3, addo 1
fit 4, diuido 2 minorem terminum per 4 exit 1/2, detrahe 1/2 ex
2, relinquuntur 1 1/2, erunt ergo 32 & 1 1/2, 1. 6. 4. 3. duplican
do 2, ut prius in continua proportione muica, quia ergo 632
unt in continua proportione muica, & 32, & 1 1/2 unt in con
tinua proportione muica, erunt duplicando 3. 4. 6. 12. in con
tinua proportione muica. Rurus int propoiti maior, & mi
nor terminus, ut 6 & 2, diuides maiorem per minorem exit 3,
cui addes 1 fit 4, diuide 4 differentiam 6 2 per 4 iam inuentum
exiti, adde ad 2 fit 3 medius terminus, imiliter inter 6 & 3, uolo me
dium terminum in proportione muica, detraho 3 6, relinquitur
3, imiliter diuido 6 maiorem terminum per 3 minorem terminum,
exit 2, addo 1 pro regula fit 3, diuido 3 differentiam iam eruatam
per hoc 3 iam inuentum exit 1, addo ad 3 minorem terminum fit 4,
medius terminus, ic uolo inter 4 & 6 medium terminum in con
tinua proportione muica, diuido 6 per 4: exit 1 1/2, addo ei pro re
gula fit 2 1/2, diuide 2 differentiam 4 & 6 per 2 1/2 exit 4/5, adde ad 4
fit 4 4/5 terminus medius, duc omnes in 5, habebis integros nume
ros 30, 24 & 20, & unt pulcherrim regul, quia poes diui
dere 24 & 20 interponendo medium, id et capiendo 6 & 5, diui
de 6 per 5 exit 1 1/5, adde 1 pro regula fit 2 1/5, diuide 1 differentiam
per 2 1/5 exit 5/11, adde ad 5 fient termini 5 5/11 & 6, reduc ad integra fi
ent 55. 60. 66. & quia 30. 24. & 20, etiam erant in continua propor
tione, & 30 ad 20, erat exquialter, ide capiam exquialterum ad
55, & et 82 1/2, erunt ergo 82 1/2 66. 60. & 55. in continua proportio
ne muica, ergo duplicando 165 132 120 & 110, erunt in continua
proportione.
Adnotat Stiphelius, quod cum fuerint tres termini in continua
proportione geometrica, & inter primum & tertium interpoitus
fuerit terminus in continua proportione arithmetica, quod ibi
erit proportio muica, & dat exemplum de 12. 9. 8 & 6, ed ita et in
telligendum, ut aumpta proportione arithmetica, ut pot 12 9 &
6, in de ut et 9 ad 6, ita fiat 12 ad 8, tunc iti tres termini 128 & 6 e
runt in continua proportione muica. Et hoc et pulchrum, i ita in
telligatur, cilicet ex proportione Geometrica & Arithmetica con
tituere proportionem muicam.
Ex hoc patet d in
duo termini fuerint numeri, tertius erit numerus, & in Geometrica
idem erit, i medius & extremus fuerint numeri, erit alter extremus
numerus, ed tamen i unus euariet, omnes poterunt ee diueri.
Propoitio centeimaeptuageimaecunda.
Proportiones Stiphelij decribere.
Coniderauit Michael Stiphelius quod umpit
dam inueniri proportiones tribus numeris contitutis, qu in nul
lo trium primorum generum continerentur, ed qudam tamen
geometricis ali muicis asimilarentur, prima ergo Geometrica
rum et, quoties proportio ecund ad primam fuerit, uelut diffe
renti ecund & prim ad differentiam ecund & terti. Velut
capio 2, 4, 5, proportio 4 ad 2 et dupla talis et 2 differenti 4 & 2
ad 1 differentiam 5 & 4, nam in uera proportione Geometrica fit
conuero modo, quia proportio ecund ad primam et, uelut dif
ferenti terti & ecund ad differentiam ecund prima ut in 4.
6. & 9 proportio 6 ad 4 et uelut 3 differenti 9 ad 6 ad 2 differen
tiam 6 & 4.
portio tertij ad ecundum et uelut differenti primi & ecundi ad
differentiam ecundi & tertij: Velut capio 1, 4, 6, proportio 6 ad 4
tertij cilicet, & ecundum et uelut 3 differenti 4 & 1, ad 2, differen
tiam 6 & 4, & hc imiliter differt Geometrica uera in eo quo in
Geometrica uera oporteret, ut proportio tertij ad ecundum eet
ut differentia tertij & ecundi ad differentiam ecundi & primi. Dif
fert priore, quoniam in illa differenti eruant eundem ordinem,
quanuis transferantur in hac uer fit conuerus modus.
Tertia et ut it proportio differenti prim & terti ad diffe
rentiam prim & ecund, uelut ecund ad primam, in Geometri
ca autem eet icut aggregati ecund & prim ad ipam primam,
tales ergo quantitates erunt uelut 4, 6, 7, nam proportio 6 ad 4 et
uelut 3 differenti 4 & 7 ad 2 differentiam 4 & 6.
Quarta proportio imilis Geometric et cum fuerit proportio
differenti prim & terti ad differentiam terti & ecund, uelut
ecund ad primam, uelut in 2, 3, 5 proportio differenti 5 & 2 qu
et 3 ad differentiam ecund & terti, qu et 2 et uelut 3 quantita
tis ecund ad 2 quantitatem primam.
Prima
umitur: Vt it proportio prim ad tertiam uelut differenti ecun
d & terti ad differentiam ecund & prim, ueluti capio 6 pri
mam 5 ecundum 3 tertiam proportio 6 ad 3 et dupla icut 2 diffe
Manife
tum et autem quod in uera harmonica proportio differentiarum
et prim & ecund ad illam qu ecund & terti.
Secunda notha harmonica et, ut it propor
tio prim ad tertiam, uelut differenti prim
tertia ad differentiam ecund tertia, ponatur
25, prima 21, ecunda 15, tertia proportio 25 ad 15
et uelut 10 differenti prim tertia ad b differen
tiam ecund tertia.
Tertia et imilis priori, nii quod umitur dif
ferentia prim ecunda pro ultimo termino. Ex
emplum, 25 primus terminus, 19 ecundus, 15 ter
tius, proportio 25 ad 15 et uelut 10 differenti pri
m a tertia ad b, differentiam prim ecunda. Has proportiones quanqum exigu utilitatis, proponere uo
lui, ut excogitatis aliquibus demontrationibus, uelut uperius
diximus, pulchra theoremata & problemata tradi poent.
Propoitio centeimaeptuageimatertia.
Circulum uper centro uo mouere qualiter, ita qud omnia
illius puncta per rectam lineam moueantur ultro citro que.
Sit a centrum circuli b c, & qualis ei
circulus d e, centrum eius b in circumfe
rentia circuli b c, fixum ita ut ibi mouea
tur ad motum circuli b c: & moueatur b
uerus c qualiter, & e contrario motu
etiam regulariter, & duplo uelocius ex e
uerus d, dico omnia puncta d e moue
ri in linea recta, & primum capio pun
ctum d, quod it in linea recta centro
rum: & moueatur b ad c, & i circulus d e
eet immobilis, palam et qud pun
ctum d cum it in una linea a b, cum b
perueniret in c, d eet in linea a c, put in
h ecundum quantitatem, ergo b d ex
centro c, decribo circuli portionem h k,
duco etiam c k, erit ergo angulus h c k
duplus a, quare arcus h k duplus b c,
nam conitunt in centris circulorum
qualium: igitur cum ex h motu conuero, & duplo ueloci in codem
tempore feratur d perueniet in k, & ita ecundum rectam lineam
erit motum eadem ratione ex d in k, quod erat demontrandum.
tij
Ex hoc patet qud quando b
erit in c peracta quarta circuli, ut in
ecunda figura erit per motum l e
in a: nam cum d a it dupla c b, igi
tur in eodem tempore l perueniet
ad a, in quo b perueniet ad c.
Dico etiam, quod
ueniet ad fin prima figura, d perue
niet ad g, quia permeabit totum cir
culum, & a b d unt in una recta li
nea. Et cum b perueniet ad m in e
cunda figura, d rurus perueniet ad a centrum.
Ex hoc patet, qud punctum d permeabit lineam rectam qua
lem duplo diametri unius circuli, id et, quantum et linea a g in pri
ma figura.
Sequitur etiam, qud d punctum meabit et remeabit per rectam
lineam ag, peragendo bis eam in uno circuitu circuli b c, eu duo
bus circuitibus d e.
Oten damus modo, quod pun
ctum d extra lineam centrorum, ci
licet in linea d c a f tranibit per
ctam
ducatur c d uque ad k, ita ut c k it
qualis c a, erit ergo punctus d pri
m figur m regione k terti, &
dum c mouetur ad e, d perueniat
ad g, erit ergo e g qualis ea, & e
cet circulus g h rectam a d in h, &
ducatur c h. Et erit ut prius angu
lus h e g duplus h a g, ergo arcus
g h duplus e c, ergo g remeauit in
h in tempore quo c feretur in e,
quare d decendit per rectam in h.
Dico rurus, qud quanto ma
gis d erit propinquum line d g,
tanto minus decendet in recta,
quanto magis propinquum longi
tudinibus medijs,
uebitur, ade ut in ecunda figura
apparet motum ex d in g, non decendit nii per d n, & motum ex g
in l decendit ex n in a centrum fixum. Decendat ergo ex e in h & h
Quia n m & n l
unt minores quarta circuli, & maiores unt f e & fl, & angulus an
gulo non minor, patet propoitum. Ita ergo motus, ut appropin
quant
Et hoc inuentum fuit Ludouici Ferrarij, cuius meminimus in Ar
te magna, & nos ei ub texuimus ex notra inuentione, cuius ille de
montrationem inuenire nequiuit.
Propoitio centeimaeptuageimaquarta.
Progreus & regreus tam ine latitudine, qum cum latitudi
ne in planetis per olos concentricos circulos qualiter motos de
montrare.
Sit eclyptica a b c d, & arcus regreus b c in partes
quatuor quales diuius, & decribantur circuli duo b
h & e k uper e & f, & upponatur orbis uperior ub
eclyptica tamen, cuius polus in f, qui circumagatur in du
plo temporis retroceus planet, & in ditantia circuli
e k ub puncto e eclyptic, polus alterius orbis concen
trici inferioris, qui circumagatur in tempore retro ceus
planet, & planeta it in puncto 6, liquet ergo qud pla
neta ille in uno circuitu e k circuli permeabit b c & re
meabit, & emper erit ub ipa eclyptica. Sed enim eclyptica habet
rationem rect line, ut quiuis circulus maximus. Et i quis relu
ctetur fingamus rectam ubtenam arcui b c, & aliam potmodum
quiditantem in eadem uperficie, & in orbe inferiore, & tunc pa
tebit liquid propoitum. Sed i uelim latitudinem decribam, ma
ximam latitudinem puncto b, & ducam circulum magnum per
punctum illud: reliqua ut prius, ad unguem: nihil enim refert quod
ad demontrationem prcedentis attinet, eu a d ponatur eclypti
ca, eu alius circulus magnus.
Ex hoc patet caua cur retroceus in initio, & in fine int exigui,
in medio int magni im maximi, & quomodo perpetu uarietur
latitudo in tempore retro ceus, & ratio omnium, & imiliter de in
crementis & uelocitate motus.
Ex hoc equitur, quod cum erratica fuerit in centro eu polo f, &
tunc mouetur uelo cism, qud tamen erit in oppoito olis, &
tunc etiam ibi erit ipe polus, quare alter erit cum ipo ole.
Et quia dum motus et uelocisimi ecundum ordinem igno
rum, tunc erratica uperior et oli iuncta, etque in polo, oportet ut
polus fmoueatur ecundum ordinem ignorum, ade ut cum ol
peruenerit ad illius oppoitum, orbis uperior dimidium perfecerit
Ergo orbis uperior tanto tar
dis mouetur ole, quantum et id quod peragit polus ine quali
motu in orbe ignorum, per motum circunducentis orbis uperio
ris in tempore dimidij circuitus. Inferior ergo cum moueatur du
plo uelocis uperiore, ut dictum et, igitur duplo uelo cius ole, ni
i quantum et duplum motus poli uperioris per motum orbis
circunducentis.
SCHOLIVM I.
Intelligo autem per arcum retro ceus non olum illum quo pla
neta retrocedit, nam hic et long minor arcu proceus, ed in quo
motus in qualis et minor quali, palam autem et hunc fore
qualem arcui uelocioris motus qum it motus qualis.
SCHOLIVM II.
Cum ergo, dum erratica et in polo orbis uperioris, ibi quiecat
motu eius, motu autem inferioris orbis uelocisim moueatur eu
progrediendo eu regrediendo motuque cir culari, & tamen per re
ctam lineam, igitur uideretur qud motus circularis partes poet
tranire in rectum. Repondeo qud ufficit ola inclinatio ob ma
gnitudinem anguli: nam dum ydus transfertur extra centrum mo
tu orbis inferioris, mouetur uelociter quo ad angulum motu orbis
uperioris.
Propoitio centeimaeptuageimaquinta.
Cauam uarietatis diametrorum ex uppoitis concentricis de
montrare.
In tribus uperioribus planetis & quibucunque tellis octaui or
bis manifetum et, qud pars qu repicit nos quant remotior
fuerit Sole, Manifetum et etiam & expe
rimento & ratione, qud illud quod magis lucet, & et
Sole in nocte, maius uidetur, icut etiam de facibus nocturnis. Et
rurus, quod ub tantia orbium circa loca qu habentur pro polis
et denior, & quod res in medio deno apparent maiores, icut de
picibus in aqua, denarijs & baculis. Demontratum
cedenti, quod quando tella fuerit in polo orbis uperioris, qud
tunc maxim retrocedit, & ide cum in tempore maximi retro ce
us it in oppoito Solis
multo maiores duabus ex cauis ee uidentur, & iuxta proportio
nem propinquitatis ad Solem commutant quantitatem & tanto
minores apparent, quia non pount, commutare
na propter qualitatem ubtanti & luminis proprij copiam, qu
non init dicerni uarietatem figur. In Luna autem ecus et, nam in
ob id non apparet maior, im minor aut medi quantitatis in op
poito Solis, ed maxima in longitudinibus medijs, quoniam ibi
unt poli motus uarietatis ut dictum et, qu habet locum retro ce
us, ed ob motus paruitatem Luna non potet retrocedere, uerm
olm motus tardatur. Nam licet denitas it in clo uperiore &
motus uelox nihilominus efficit imaginem maiorem, icut apparet
de pice in magna aqua in medio, & in parua in imo, nam in parua
uidetur long maior qum in magna, licet it in quali ditantia. In
Venere autem & Mercurio eadem et ratio ditanti Sole ut di
ctum et in prcedenti. Cum ergo ub Sole multum moueantur
motu differenti uel ecundum uccesionem, uel contra ucce
ionem in medijs longitudinibus, parum tunc uidentur ee mino
res, quia unt remotiores polo orbis uperioris. Quod autem pro
pinqui coniunctioni Solis, & ueloces uideantur minores, itud
contingit ob primam cauam, quia minus illuminantur, ea parte
qu ad nos uergit. Retat ergo olum otendere cur propinqui
Soli & in retroceu
enim remoti polo orbis uperioris & propinqui Soli, caua et
quoniam apparent olm in crepuculis quando unt ic dipoiti,
& tunc ar et crasior. Qu caua facit, ut neque dum uelocisimi
unt emper parui uideantur, ide non potet contitui certa ratio. im ita deducta unt potius ex fundamento falo illius figmen
ti, quam ex enu (ita enim argumentantur) retro cedunt, ergo unt
propinquiores terr, ergo uidentur maiores, & ita fingunt en
u ehabere quod fala ratione otendere uidentur. quodque itud
it uerum, patet quia nullum
Aegypti potet otendere differentiam minorem exminutis, &
hic et ferm diameter Mercurij, nec tanta et differentia in Venere. Reliquum et ut atisfa ciamus obiectioni quam faciunt de diuer
itate magnitudinis Lun propter eclipim, nam uidetur ee ali
quando maior, & aliquando minor in quali ditantia ectione
capitis & caud draconis, ade ut non uideatur poe asignari. di
co ergo huius cauam ee umbram ipius Lun dubiam, icut eti
am in crepuculis, quoniam Sol in diuero itu facit diueram um
bram comparatione oculi notri, maior et enim in hyeme qum
in tate, & qu et propior nobis qum qu procul, & qu et in
meridie qum iuxta Ortum uel Occaum, & ide tam parua diffe
rentia & incerta, & qu aliquando uariat, nullo modo uitiare po
tet rationem motuum ternorum.
Propoitio centeimaeptuageimaexta.
Rationem centri grauitatis declarare.
Duplicem rationem
upenorum ponderum: alteram upernatantium aqu, in qua
rum utraque ubtilitatis cert et quantum dignum et authore illo
ingenio isimo, icut etiam in elica linea, fructus autem non pro ra
tione laboris, neque enim ab tate illa uque nunc inuentus et qui
quam, qui potuerit docere, nec ille idem qu nam utilitas ex huiu
modi contemplatione haberetur, propterea totum hoc una propo
itione concluimus.
Dico igitur qud
dratis aut quadrilateris parallelis et, ubie interecant du diame
tri. Et quod in triangulis et punctus in quo concurrant tres line,
duct ab angulis ad latera illa per qualia ecando. In quadrilatero
autem trapezio centrum grauitatis et in puncto line, qu ecat
ambo latera oppoita per qualia, ita ut proportio partis eius li
ne, qu intercipitur minore quiditantium, ad partem qu in
tercipitur maiore quiditantium, it ueluti dupli maioris qui
ditantium cum minore ad duplum minoris quiditantium cum
maiore. Cuiucunque portionis recta linea, & rectanguli coni ecti
one comprehen, centrum grauitatis diuidit diametrum portio
nis, ita ut pars eius ad uerticem terminata, it ad partem eam exqui
altera, qu ad baim portionis terminatur. Cuiuslibet fruti ecti
one rectanguli coni ablati, centrum grauitatis et in linea recta, qu
fruti exitit diametros: qua in quinque partes quas diuia, cen
trum in quinta eius media exitit, atque in eo eius puncto quo ipa
quinta ic diuiditur, ut portio eius propinquior minori bai fru
ti ad reliquam eius portionem eam habeat proportionem, quam
habet olidum, cuius bais it quadratum line illius qu fruti ba
is maior extiterit.. Altitudo uer itis utrique imul qualis line
qu dupla it minoris bais fruti, & bai maiori eiudem, ad oli
dum quod baim habeat quadratum bais minoris fruti, altitudi
nem uero itis utrique imul qualem line qu dupla it maioris
bais, & bai minori. Et hc de prima, multa qe alia pulchra de
clarat Federicus Comandinus, in uo libro de Centro grauitatis, ut
pote. Quod cuiuslibet portionis conoidis rectanguli axis cen
tro grauitatis ita diuiditur ut pars, qu determinatur ad uerticem
reliqu, qu ad baim terminatur dupla it, & long ubtiliora qu
quilibet uidere poterit apud illum.
SCHOLIVM.
Partes omnes conentiunt in grauitatem medij, quoniam una
aliam non uult centro mundi fieri propiorem.
De ecunda prcipua unt, quod i magnitudo aliqua humido
leuior ea in grauitate proportionem habebit ad humidum qualis
molis, quam pars magnitudinis demera ad totam magnitudinem,
& hoc intelligitur quando magnitudo illa fuerit genere olido
rum rectorum & rectangulorum. Secunda et, qud qu imilia
unt uperficiebus, ita ut axem habeant in medio, ecundum itum
axis merguntur & prominent, & i aliter mergantur, redeunt. Ter
tia, quod qu angutiora unt, ab oppoita parte uer latiora, incli
nantur ad partem acutiorem, quia ic facilius decendunt. Quarta
et, de corporibus non qualibus, ipa enim necee et, ut ab hac e
inflectant, & ratio horum diuera et iuxta rationem proportionis
partium qu merguntur adinuicem. Quinta et, qud mera in hu
mido, quanto minus mera fuerint, tanto facilius & eo frequenti
us commutantur.
Propoitio centeima eptuageimaeptima.
Si proportio aliqua ex duabus proportionibus eiudem quanti
tatis ad alias duas componatur: erit proportio illarum duarum ea
dem proportioni producti ex proportione in primam duarum
quantitatum detracta priore illa quantitate, qu ad duas compara
tur, ad eandem priorem quantitatem.
Sit proportio a ad compoita ex proportionibus c
ad d & c ad e, dico qud proportio d ad e et, ut produ
cti ex proportione in d detracto c ad ipum c. Et nos
uperius expouimus conueram huius. Erit enim per
ex c in d, & e ad productum d in e: at productum d in e & in propor
tionem, et idem quod productum proportionis in d in ipum e: igi
tur cum in uno it productum e in c, & d in c, in alio productum a b
in d in de in e, qu unt qualia, detracto producto e in c ex produ
cto proportionis in d & inde in e, relinquetur, productum c in d
quale producto a b .i. proportionis in productum d in e, detracto
numero c in e: igitur ducto c in d, & diuio per productum a b in d
numero c, exibit e, igitur cum illud productum fiat ex d, cilicetin c,
& ex e in productum proportionis in d dempto numero c, erit pro
portio d ad e, uelut producti ex d in proportionem, detracto e ad
ipum c, uelut c it 12, d 4, e 6, a b erit 5 proportio d ad e, uelut d in a b,
id et 20, detracto c, & et 8 ad c 12.
Ex demontratione equitur, quod qualis et proportio e ad a b,
talis et producti d in e, ad aggregatum eorum. Si quis ergo dicat,
habeo 10, & uolo inuenire duas quantitates, quarum differentia it
1, & proportio 10, ad eas componat quintuplam, dices quintupla
et dimidium 10, igitur in uenias duas quantitates, quarum differen
tia it 1, & proportio producti unius in alteram ad aggregatum it
dupla. Et hoc et manifetum.
Propoitio centeima eptuageimaoctaua.
Proportionem mitionis metallorum, maxim auri & argenti
declarare.
Dubium non et, quod mitio non cognocatur ducto ponde
re totius in partem auri uel argenti, & productis collectis diuio
aggregato per aggregatum ponderis, idqe et per e manife
tum, nam qualis et proportio partis ad partem, talis et totius ad
totum.
Sed et genus mitionis, quod uocant conolationem.
Veluti,
uolo ex argento perfectionis decem & eptem, & quinque, confla
re argenti maam centum librarum perfectionis nouem, ita agen
dum et. Detrahe 9 10, & omni maiori 10, relinqui
tur 1, hoc uppone 7 & 5, item detrahe 7 & 5, & omne
minus 9 9, relinquitur 2 & 4, iunge omnia reidua
fient 8, nam 4. 2. 11. Dicemus ergo quod 8 unci per
fectionis nouem componentur ex 6 uncijs perfe
ctionis decem & una eptem alia quinque. Pot di
ces, i unci octo fiant 100, ex & una, & una, quot fient, eruntque un
ci aut libr, aut ut uo cant march perfectionis decem, & duo de
cim cum dimidia, ac duodecim cum dimidia perfectionis, ut e
ptem & ut quinque: licebit etiam propoitis terminis pluribus ex
repetita operatione idem facere, ueluti int ma perfectionis 10.
7. 5. & 2. uolo maam perfectionis ut 8. Tu cis quod ex 10. 7 & 5.
fit maa perfectionis nouem data lege ub 6. 1 & 1. nunc habeo iam
perfectam ut 9, aliam ut 2, detraho 2 ex 8, relinquitur 6 & 8, x 9 re
linquitur 1, iunge fient 7, erunt ergo eptem unci, in
quibus ex erunt perfectionis, ut 9 & 1 perfectionis ut
2, & totum erit perfectionis ut octo. Duc ergo, ut ex
plores ueritatem, 6 in 9 fit 54, duc 2 in 1 fit 2, iunge fit 56
diuide per 7 exit 8 perfectio quita.
Per idem intelliges detractionem ex maa argenti perfectionis
7, detraxi quartam partem perfectionis 10, uolo cire do drantem
in 7 fit 84, detrahe 30 ex 84, relinquitur 54, divide 54 per 9, reidu
um 12 & 3, exit 6 perfectio reidui.
Si quis dicat propoitis argenti pondo 50 & dodrante perfe
ctionis 11/18, uolo partem aumere, & igne perficere, ita purum ar
gentum, quod relinquitur additum reiduo, efficiat ipum perfe
ctionis dextantis & besis unci pro libra, eu 8/9, divide 11/18 per 8/9 exit
11/16, duc in pondo 50 cum dodrante, fiunt pondo 34, unci 7 1/8, hoc
igitur erit aggregatum conflatum ex argento puro & reiduo. De
trahe igitur 11/18 ex integro, relinquitur 7/18, detrahe pondo 34, uncia
7 1/8 ex pondo 50 cum dodrante, relinquuntur pondo 15 unci 6 7/8
(pondo enim uncias continet ub hoc enu, quia uui eruimus o
cto) divide per 7/8, exeunt pondo 40 unci 6 1/4, & tanta pars debuit
igne purgari. In ea enim erunt puri argenti pondo 24, unci 7 /78,
qu addita reiduo, cilicet pondo 9, uncijs 7 3/4 conficiunt pondo
34 uncias 7 1/8 perfectionis dict.
Quidam micuit uncias decem auri perfectionis dextantis, &
partem perfectionis dextantis cum dimidio, & aliud perfectionis
besis concreuit maa perfectionis dodrantis unciarum octuagin
ta, quruntur pondera reliquarum partium, ubtrahe 10 pondus
ex 80 pondere, relinquuntur 70 perfectionis 17 5/7, inde detrahe per
modum uperiorem, & relinquuntur 3 2/7 & 1 5/7,
70, quid producet 3 2/7 & 1 5/7, & inuenies quod 1 5/7
producet 24 & 3 5/7 producet 46, qui iuncti faci
unt 70. Igitur aurum perfectionis dextantis
cum dimidio fuit unciarum 46 aurum perfe
ctionis, besis unciarum 24. Reliqua interro
gata diolues per regulas Algebr, horum
modo.
Propoitio centeima eptuageimanona.
Si duobus totis du portiones imiles abcindantur, ab eidem
denuo, & abcisis proportionibus partes edem auferantur, denuo
ac denuo, quoties libuerit portionibus, & reiduis iparum
quantitatum partes edem auferantur, erit reidui ad reiduum, ue
luti totius ad totum.
Sint du quanitates a b & k l, & abci du partes imiles ex
utragque b c & l m, & it propoita aliqua proportio, qu it h, &
umatur portio b d ipius b c, ecundum proportionem h, & i
portionem h, umatur rurus
de ipius a b pars ecundum h,
& n o ipius k l, ecundum ean
dem proportionem. Et rurus
umatur e f qualis d b, & o p
qualis n l, ut int portiones
b c & l m ecundum proportionem h, & umatur f g ipius a c, ecun
dum proportionem h, & p q ipius k o, ecundum eandum propor
tionem, & ita procedendo emper, dico quod erit a g reidui ad k q
reiduum, ut a b ad k l. Quia enim a b ad b c, ut k l ad l m ex uppoi
to, erit a b ad b d, ut k l ad l n: et etiam a b ad d e, ut k l ad n o ex up
poito, igitur a b ad b c, ut k l ad l o. Igitur a b ad a c, ut k l ad k o.
Rur
us quia b c ad e f, ut l m ad o p, erit a b ad e f, ut k l ad o p, at fuit a b
ad a e, ut k l ad k o & a e ad g f, ut k o ad p q, igitur a b ad' g f, ut k l ad
q p. Quare a b ad g e, ut k l ad q o.
Iterum ergo a b ad b g, ut k l ad
l
erat demontrandum.
22.
dem.
22
ti
dem.
Ex hoc patet, quod eti proportio non maneat eadem in parti
bus totius, & partis modo it eadem in totis ad partes aumptas, et
in partibus ad partes aumptas, nihilominus equitur idem.
Sequitur rurus, quod eti proportio eadem non maneat quan
titatum aumptarum ad partes qu umuntur, nec etiam partium
modo emper pars, qu aumitur it totius pars, & alia partis idem
ueratur.
Velut i prima uice capiam b d partem b c, ut l n partem l m e
cundum h proportionem, & deinde capiam d e partem a b & n o
partem k l ecundum proportionem r, qu it alia ab h, & ecunda
uice capiam e f partem b c, & o p partem l m ecundum proportio
nem h, qu it alia ab h & r. Et capiam f g partem a e & p q partem
k o, ecundum eandem proportionem, ed tamen qu non it ali
qua prdictarum, cilicet h r s, ed diuera ab eis, & uocetur t, dico
quod nihilominus erit proportio a g ad k q, ut a b ad k l, qu pa
tent ex ui demontrationum, in quibus nil plus aumitur ad de
montrandum, qum id quod proponitur in corrolarijs.
Ex hoc etiam equitur, quod ecundum quem numerum prima
quantitas abumetur, ecundum eundem abumetur & ecunda.
Velut i prima quantitas abumatur ad unguem in quinta detra
ctione, etiam ecunda k l in quinta detractione ad unguem abume
tur, quod patet per demontrata, nam reidua emper unt edem
partes iparum quantitatum.
Quarto equitur, quod i detractio fuerit facta eodem modo, &
fuerit proportio totius ad totum, ut reidui ad reiduum, erunt par
tes aumpt imiles.
Velut i fuerit facta detractio iuxta propoitionem, aut primum
uel ecundum corrolarium, & fuerit proportio a g ad k g, ut a b ad
k l, erit a b ad b c, ut k l ad l m.
Sequitur etiam, quod i fuerit aumpta proportio
tium eadem, & facta fuerit detractio in omnibus prter unam iux
ta dicta, & fuerit totius ad totum, ut reidui ad reiduum, erit ut illa
etiam reliqua detractio, eu ad tota, eu ad partes it facta, ecundum
eandem proportionem.
Velut i it proportio a b ad k l, ut a g ad k g, & rurus ut b c ad
l m, & aumpt int proportiones edem emper totius, & totius
ad partes, & reiduorum ad partes, etiam & b c & l m ad partes, eti
am excepta una eu quantitatum a b & k l, eu reiduorum ut a c &
k o, eu partium ut b c & l m ad partes, dico quod h partes etiam
erunt aumpt ecundum eandem proportionem ad ipas magni
tudines, uel partes primas uel reidua.
Sed & id equitur ex his, quod cuiucunque eu totius eu partis
eu utriuque pars maior aumetur, erit maior proportio totius ad
totum qum reidui ad reiduum.
Hc demontrantur Campano, nam i it maior proportio a b
ad a g, quam k l ad k g, erit maior a b ad k l qum a g ad k g.
Sequitur rurus, quod in eadem contitutione cuiucunque ma
ior pars abumetur, ea quantitas minori numero, uel numeri parte
abumetur.
Nam i minor erit continuo proportio a b ad a e, qum k l ad k
o, & a e ad e g, qum k o ad o g, erit longe minor a b ad b g qum k l
ad l g, igitur longe maior a b ad a g quam k l ad k g. Igitur a g citius
abumetur quam k g.
Propoitio centeimaoctuageima.
Si aliqua quantitas in duas partes diuidatur, fueritque alicuius,
quantitatis ad partes illas compoita proportio eiudem quan
titatis ad partes alias quantitatis diuia aliter proportio eadem
componi.
Sit a b proportio ad partes c d qu int c e, & c d componens f,
dico quod non poterit c d alis diuidi, ut proportio a b ad illas
componat eandem proportionem f. Aliter it diuia in g, & erit mi
igitur proportio a b ad c d maioris exceus ad proportionem a b
ad c g, qum it proportio a b ad g d, ma
ior proportione a b ad c e, propterea quod
g e communis differentia maiorem habet
proportionem ad e d quam g c, igitur ma
ius et aggregatum proportionum a b ad
c e, & e d,
Propoitio centeimaoctuageimaprima.
Cum fuerit aliqua proportio compoita ex proportionibus pri
m ad ecundam & tertiam, & rurus quart ad quintam & ex
tam, ita e habebit proportio ecund ad tertiam proportionem
quint ad extam, uelut producti ex proportione in ecundam de
tracta prima ad primam ad productum ex proportione in quin
tam, detracta quarta ad quartam.
Sit pro portio g compoita ex proportionibus a
ad b & c, & proportionibus d ad e & f, dico quod
quemadmodum b ad c, ad proportionem e ad f, ita
producti ex g in b, detracto a ad a ad productum ex
g in e, detracto d ad d. Et enim, ut demontratum
et b ad c, ut productum ex g in b, detracto a ab a & e ad f, ut pro
ducti ex g in e, detracto d ad d, igitur cum qualium int edem
comparationes, erit ut proportionis b ad c ad proportionem e ad
f, ita producti ex g in b, detracto a ad a, ad productum et g in e, de
tracto d ad d.
Quare erit proportio b ad c ad proportionem e ad f, uelut rei
dui b detracto quod prouenit, diuio a per proportionem a ad pro
portionem reidui e detracto quod prouenit diuio d per propor
tionem ad ipum d.
Propoitio centeima octuageimaecunda.
Propoita differentia proportionum partium imilium ad par
tes aumptas propoitaque proportione totius ad reidua eandem
differentiam proportionum totius ad reliquum reidui inuenire.
Sint dat partes b c & e f, imiles in compa
ratione ad a b & d e, & data reidua a g & d h
in
proportionis f e ad c l, ad proportionem
c b ad b k, dico quod data et differentia proportionis a b ad g k
ad proportionem d e & f h. Nam quia proportio f e ad c l, ad pro
l e contineat a b ad b k, ut f e ad e l, c b ad b k, ed a b ad a d, ut d c ad
d h, igitur a b ad b d, ut d e ad c h. Sunt ergo du quantitates a b &
d c, qu eandem habent compoitam proportionem ad g k & k b,
& h l & l e, quare per prcedentem proportionis h l ad l e, ad pro
portinem g k ad k b, ut h l detracto prouentu d e, diuii per propor
tionem ad d e ad proportionem g k, detracto prouentu a b, diuii
per eandem proportionem ad ipum a b. Si igitur nota et l e & h l,
erit nota proportio reidui h l detracto prouentu d e diuii per pro
portionem, quare nota detractio g k detracto prouentu a b diuii
per eandem proportionem ad a b. Et autem a b nota, & propor
tio nota, & ideo prouentus, & cum it proportio nota, erit ergo
reiduum notum, cui addito prouentu fit tota g k nota, quod fuit
demontrandum.
Propoitio centeima octuageimatertia.
Spatium uit naturalis per patium uit fortuitum declarare.
Cum contet homines cau uiuere grotantes primum pe:
deinde uiuentes in are malo, & ipum intempetiuis horis ub
euntes trititijs, curis, uigilia, uenere, laboribus perperam e excru
ciantes,
oporteat, & intempetiu, & mal prparato, & uario e replentes,
atque ic alij ad exageimum, alij ad eptuageimum, rari octuage
imo, rariores nonageimo uel centeimo anno ita
cau, neque ui aut morbo, ed potius quai naturali quadam morte
abumpti intereant: de quibus tantum et ermo. Atque ut exem
plo commodiore utamur, capiamus annum octogeimum, qui et
terminus communis uit human, non olum notra tate, ed an
tiquo tempore etiam fuit, ut Dauid tetatur in Palmis, in Cantico
Moyis: antea autem i quis moriatur, non naturali morte, ed ui
morbi abumptus exitimatur. Certum et, quod i homo recta ra
tione uiueret, quod aliquanto diutius uitam extenderet, neque enim
negare poumus, cum in magnis excesibus maxim ectionis ue
n & curarum, quin homo euidentur uitam breuiorem efficiat:
quod ergo euidentisimum et in magnis excesibus, in paruis ean
dem habet uim licet occultiorem. Errorem autem in uita hunc ade
e perpetuum, quique intelligit qui notras actiones penitare uelit,
cum altem malam equamur conuetudinem: iam ergo proponan
tur iuxta dicta du line a b uit naturalis exquiit recte longior &
tat ee breuiorem aliquanto. Et proponatur error quadrageim
partis in ipa uita, quamuis it longe maior: quotuquique enim et
qui non altem edat bibatque quadrageima parte, pluqum opor
teat in comparatione ad naturam, id et, ut natura fatigatur quadra
geima illa parte amplius qum debeat: idem dico de laboribus, cu
ris, uigilijs, uenere. Sed hoc non et generale: habetque multas exce
ptiones inuicem pugnantes, ut tandem concludam non concoqui
plen poe, & ob id impurum manere, unde cit dioluitur, & ca
lorem etiam naturalem extinguit: atque etiam ob id, tum quia debi
tos labores, & multo minus ad perfectam tatem perferre
unt, denari nequit & pinguecere, ut duplici caua multo celerius
reoluatur, una etiam calorem extinguat. Sit ergo a e talis pars a b,
qualis c f, c d. Cum ergo a b conumi
tur in octuaginta annis, emper eruat
qualiter abumitur: quia portiones
ill quales unt in minore inuicem icut in maiore, & inquales
eruant eandem proportionem, umatur ergo a b annorum cclvij. menium v. & abumatur emper quantitas qualis octuageima
a e, & quadrageima a b & reiduorum.
E
Vt corrigas tabulam, cito quod numerus quadrageim cum
uperiore annorum numero leua componit numerum quadrage
im uperioris impliciter, aut abiectis quadragenarijs. Velut
regione trigeimi anni, unt anni nonagintanouem, quad. 17
directo anni 29, unt anni 103, quad. 0. ad de 17 quad.
ad 103 fit 120,
abijce 40 ter, nil uperet, & ita nulla et quadragenaria regione
29 & 103.
Rurus cum deuenimus ad annos 79, uperunt olum 28 qua
dragenari, & et minus anno, ed hoc fieri ob fractiones & nume
rorum partes, & etiam i eet aliquis error, eet magis ad augen
dum numerum annorum 257, menium ex qum ad diminutio
nem, ideo non curaui de exacta ueritate.
Prterea ex hac tabella dignocis, quod in ultimis annis parum
potet produci uita in comparatione ad primos, ueluti in 60 anno
uperunt anni 20, ex uita ordinaria, ex exacta paulo plures qum
25, cilicet 25 cum dimidio. Ergo 60 anno non poterit per quam
uis cutodiam homo producere uitam plus annis quinque cum di
midio. Et i dicas tunc cutodia maxim opus et, & magis qum
unquam, repondeo quod uerum et, ed non ad producendum ui
tam, ed ne in morbum incidas: nam ex quocunque morbo homo ab
ea tate perit, cum habeat ade imbecilles uires. Ex hoc patet,
quod Alexius Cornarius, patritius Venetus, cum incpiet cuto
diam anno 36, cum poet uiuere 44 annis, iuxta rationem uit com
munis, potuit producere eam annis 79, igitur annis 25 pluqum ui
xiet uita communi etiam qud fuiet anus.
Si ergo aliquis it uicturus centum annis uita communi adde
mus eodem modo trigeimamnonam partem, id et quadragei
mam partem, & quadrageimam quadrageim huic numero, &
unum amplius, & habebimus numerum ut infr.
Et ex hac tabula dignocemus quantum quique posit uiuere,
quouis tempore tatis u, illud intelligendo quod non et eadem
menura omnibus, ut neque uit ordinari, nec magnitudinis cor
porum, nec ingeniorum, nec eiumodi in aliquibus uita decrecit
per uigeimam partem, hic cilicet qui inordinat uiuunt, alijs uix e
xageima, quan<08> paucisimis. Hic ergo numerus maxim concor
dat cum experimentis duobus,
tra, cilicet Ioannis de
de temporibus, annis 400. Et ambo fuerunt milites Caroli Ma
gni, nam non potuerunt omnino propicere uit rationi exquii
tisim.
tius in uit genus, abtinent enim carnibus, ouis, caeo & uino, u
tunturque fructibus tantum, & uiuebant ine olicitudine ulla & cu
ris. Vnde rect ininuatum et etiam ultra hitoriam, quod Adam
eet perpetu uicturus, i non degutaet fructum arboris boni &
mali, id et, quod mors nobis obrepit ob, olicitudines & curas. A
uenzoar autem cum uixerit multis cum curis, & fuerit in carcere
Hali, & ab eo per iniuriam uexatus, & natus in malo are, ola ratio
ne uictus produxit uitam ad annos 135, ut tetatur Auerroes, quid
euenturum erat, i in bono are educatus nihil graue, & ade diu
turnum expertus fuiet:
Pro uu autem huius & uperioris tabul, i quis proponat iu
uenem ex tirpe eorum, qui uiuunt exaginta annis, iam natum de
cem & eptem annos, uelimusque cire quantum uiuere posit, uide
regione 20 annorum in primo ordine, & habes annos 139. Quad.
18. & ab hoc numera 17 annos, & habebis annos 37 regione,
quorum unt anni 76. Quad. 35, id et, menes 10, dies 15. uel iunge
17, numerum annorum exactorum, & 20 numerum annorum defi
cientium ab 80, fiunt anni 33, ut prius, quorum regione habet an
nos 76. quad. 35.
At cio multos qui parum conyderat hc legunt, obiecturos,
primum quod neque mihi, neque ulli alij potui, uel ad centum uel ad
nonaginta annos
eiumodi, naturaliter eet ut in pluribus: at uix inuenire licet
qui exceerit centeimumuigeimum annum. Et maxim cum cri
ptum it: Non piritum meum in carne ultra centum uiginti annos,
& loquitur Deus. Videtur etiam necee hoc uolenti, cupere totam
uitam ub incerto fine, & non uacare, nec negotijs nec uoluptati,
qu unt duo illa prcipua, quibus uita notra contat, & maxim
amittere bona, ade ecura ob tam leuem & inanem pem. Abur
dum etiam ee hoc quod latuerit tot prclaros medicos atque phi
loophos, quorum nullus de hoc ermonem fecit. Hc & huiumo
di unt qu mihi obij ci poe entio. At rogo quid admirabilius et,
an olem ee plus centies et exagies terra ac mari, an homines tam
diu poe producere uitam? Et plures imperito hoc quam illud cre
dituri unt: & tamen res illa ita e habet, nec apud apientes dubia
et: nedum incredibilis. Similiter qud corpus ade tenue, debeat
ade celeriter circumferri, ut in uno ictu pulus debeat peragere
patium bis mille quingentorum millium pauum, & tamen & il
lud demontrari potet euidentisim. Ergo ut ad obiecta repon
deam er mihi hoc inuenire
quibudam ufficiat educatio ab initio, ed requiritur uccesio,
qualis fuit olim per multas tates, ic progenerantur gigantes &
homines ad miraculum uque, docui etiam exacta media tate, hoc
uix fieri poe. Contingunt prterea multa impedimenta.
Sufficit
nobis cire quid it in natura hominis, non quro mod quomo
do faciendum: nec et prentis intituti, quin etiam ueriimile et
ad hoc ee uiam quandam compendioiorem, qu minim la
tuerit antiquos, maxim Hebros. Et foran etiam hoc notro tem
pore haberi poet quamuis lateat. Vnum et certum, oportere ab
initio uit (qui uiam hanc exquiitam, quam hic trado, equi uo
luerit) contituere formam uictus, & tum maxim contractam,
quoniam (ut uium et in tabula) ex minimo errore, & breui tempo
re plurimum temporis uit perit. Oportet autem multa adee, cor
pus moderat anum, & medio criter altem contitutum, intituto
rem apientem, obedientiam pueri, & per omnes tates cum pati
entia umma commoda diuitiarum, & bonum arem & fortunam
blandientem notro propoito, ne quis caus in tanto tempore ad
uerus nos impediat, ob tot & tanta qu necearia unt, & asidu,
ideo res hc fabuloa uia et ad hanc uque diem, tum maxim quod
nemo eam docuerat. De dicto Moyis non laboro, cum imus me
dici ac philoophi non theologi. Quin etiam pot hc uixit Abra
hamus annis clxxv, Iaacus autem clxxx, Iacobus cxlvij, ed non la
boro de his, uerm relinquo illa apientibus: melius et ergo ut de
montrationem adducam huius, cum experimento etiam coniun
ctam. Contat enim quod humidum pingue euanecit per tates,
eu calore innato, eu ab are conumatur, & quod humidum pin
gue purum, ac denum tard abumitur, icut apparet experimen
to de oleo & epo alitis, qu durant longiori tempore, quam i nil
tale admitum habeant hc pinguia, imiliter aqua quadruplo ce
lerius, imo longe uelocius abumitur oleo in uae feruente. Et ita
de pinguedinibus uariorum animalium de ligno iunipero, quod
referunt durare in annum, cur alia non posint ad ex dies. Cer
tum etiam et, quod coctio condenet, & et Philoophi in quar
to Metheororum. Si ergo coctio perfecta fiat, & purisimum hu
midum retauretur, dubium non et, quin homo posit uiuere ex
cuplo plus aut
minum, tunc acquiritur perfectio
demus de auro, d prorus
mitur: ade ut liceat dicere, foran non ee contra rationem, quod
detur humidum, quod nunqum calore naturali abumitur, quia
lor nii ab exteriore igne, ed in humido notro et calor intus, & e
cundum ubtantiam, ut altem habeamus experimentum longi
im uit & humidi quod uix calore, & non nii multis in eculis
abumatur. Atque hc (ne incurramus irriionem Galeni) de Phi
loopho qui pollicebatur perpetuitatem uit, quanquam non ob
id refugiam hoc, ut negem poe hominis uitam ee perpetuam,
quod Galenus
mus omnia ublunaria interire, qud ciamus omne compoitum
debere diolui, quoniam compoitio it accidens, & accidens et
medium inter ea qu unt & non unt: loquor de huiumodi acci
dentibus qu adueniunt. Demum, quoniam calor ille it in ipo hu
mido: ideo cum hc non animaduerterit Galenus, potius fuit uates
in irridendo, qum apiens, ut authoritate eius moueri debeamus. Hanc coctionem non animaduerterunt medici, ed olam illam bo
nam qu et caua anitatis, qu tat cum uigilia, labore & ciborum
multitudine, cm illa exacta non tet nii cum optimis & paucis
ualde cibis, quiete ac omno. Et ideo unt ex genera coctionum, di
co quod ad perfectionem attinet corrupta, imperfecta, imperfecta
morboa, imperfecta qu emendari potet, has omnes uitare do
cent medici: bona qu et cum longa anitate, cui medici tudent:
ualde bona quam per umbram quai
nec per omnium quidem uiderunt, qu ola et caua tant lon
gitudinis uit, cum tamen nunquam fuerit uel admodum parum
interrupta. Hoc autem inter ctera otendit experimentum de ele
phantis, quos Aritoteles ducentis annis uiuere contanter affir
mat, alius dixit ee trecentis. Vt contet iam in natura animalium
& in genere caloris habentis magnum motum, & ubtantiam te
nuem hoc inueniri poe, ut excludamus plantas de
gisima atis contat, ed quia caret motu euidenti calor in illis, &
ubtantia et craa animalium comparatione, non laboro. At de
elephanto omnes confitentur qud it omnium ingenio isimum,
ade ut multi homines illo indutria & cognitione inferiores ee
uideantur. Neque etiam ueriimile et quod natura hominem fecerit
hac in parte illo inferiorem, prertim cum de nullo alio animali
apud Aritotelem dubium it, & ubi modo aliquod dubium eet
propter querelam Theophrati, & illud quod olet prdicari de
ceruis, tanto magis ueriimile et indignum fuie hominem conce
dere tot animalibus in diuturnitate uit. Quam obrem cum hc
tractatio ad libros de tuenda Sanitate pectaret, homines ad eos re
leego, nam ob id illos concripi qud uiderem Galenum nec hoc
nes intereruie. Verm etiam, quoniam eam tractationem diuul
it, ut alia cogamus qurere in libris de Alimentis, alia, de cibis bo
ni & mali ucci: tum uer & tractatio ipa eduliorum et imperfe
cta, & multa etiam deficiunt circa genera: in quo et ex cuandus ob
uarietatem regionis & tatis. Deet prterea maxima pars, qu
nec ibi nec alibi habetur, cilieet, de ciborum prparatione. Quod
etiam hc latuerint tot prclaros uiros, quid mirum? cum Hippo
crates uixerit eculo illo agreti, in quo non et mirandum, quod ali
quid, pauca qudam & abtrua omierit, ed quod tam multa tam
bene inuenerit, ut fuerit, icut de Pindaro dicitur, im long uerius
quam de Pindaro inimitabilis. De Galeno quid mirum, qui non
nii ueterum cripta collegit, atque utinam De Aritotele
is multa inuenit uo Marte, & Theophratus long plura. De alijs,
dico tam medicis qum philoophis, hoc et, quod queror, quod
in patio pene duorum millium annorum, non hoc quod ualde re
conditum erat, ed nec leue ullum experimentum, uel natur arca
num, uel uit alutare auxilium inuenerit. Sed litigant de nugis &
rebus inutilibus, & etiam qu ciri
magna impietate. Quod uer necee it amittere uoluptatem, &
negocia prtermittere uolenti hanc uitam longam adipici, qu
potmodum etiam ualde in certa et: dico quod quantum ad uolu
ptates & negocia, non ee necee, ed olum uperfluas res, & dam
noas & irritas, quas etiam philoophi & ciuitatum intitutores, &
morum cenores docent debere uitari, etiam nullo propoito emo
lumento, at reliqua
ed etiam iucunda. De incerto fine, quid et certum apud homines,
nii hoc nihil certum ee? Verum tamen i quis repiciat ad pr
mium tam ingulare et, & nobile atque utile, ut non luerit operam
immerit, quicunque cum pe tam illutris commodi, & tam exigua
iactura rerum, ac minore periculo e huic ale experiund commi
erit. Cum, i quis hoc ipum adipicatur, uer dici posit ummum
bonum adeptum ee: Non olum compos factus diuturnitatis ui
t, ed cum illa tot uoluptatum, qu in longo tempore percipiun
tur cienti tot rerum, quas non nii temporis longitudo otende
re potet, tot denique caus uidere tum opum in crementum, quod
quai certisimum et in longa tate & uu apientia & authoritate
plena, ade ut ferm necee it ad principatus peciem deuenire,
qui tamdiu uixerit, tum gloria ipa in comparabili. Hc autem ma
xime accidere necee et, quod ut uium et, quanto longior fuerit
tas eo firmiores
qud i cum hoc obolis felicitas accedat, non obcurum et huiu
modi poe dici ultimam hominis felicitatem apud eos, qui huma
nas res aliquid ee putant. Accidunt autem hc ponte in eculo
rum renouationibus, cum humanum genus conumitur, eu qui u
perunt ob robur, eu ex terra geniti, ut dubitat Aritoteles. Haen
credit, tum ob aris puritatem, & maxim qud alterutro modo
ex calidis regionibus & ublimibus locis homines reparari nece
e it, tamen etiam ob uictus implicitatem, cum in altera uperint
oli pices, in altera ne hi quidem, ut in Arcanis demontratum et. Atque etiam ob curarum abentiam: iquidem homines illi gau
dent, reges ex agricolis haud dubi terrarum facti, ac quai ecu
ri moletiarum ad hanc tatem perueniunt longa patia tempo
ris, & propagand obolis habentes, ut felicisim uiuant, retituti
ex optimis quibucunque aure illi tati, non olum ob uit yn
ceritatem atque plendorem, ed etiam longitudinem ic appella
t. Qu finem habuit dum atis (uti cperunt) Saturno in uum
traductis: unde etiam falcis inigne accepit. Eadem tamen tate
paucisimi ex infinitis diutius quam notra uiuere cperunt, cte
ri omnes minus quam nunc, qud neque uetitus corporum ab in
undatione parta, neque aris puritas qualoribus maneret, & edu
lia multo pauciora eent hominibus & incondita.
ca.
Propoitio centeimaoctuageimaquarta.
Qucunque grauia in uorticibus aquarum merguntur, in me
dio uorticis primum uera mergantur.
Hanc proponit Aritoteles, ed non quantum necearium et
explicauit, unius enim quiti, id et, primi multiplicem rationem
reddit. Sed neque illam perfect, quod amborum caua una it, ac
coniuncta, ic ergo uortex, cuius extremus
circulus a b centrum in aqu uperficie c
capacitas uorticis d e, ut aqua feratur per
patium d e f g, h k in maiore circulo na
uis, aut aliud graue, quod natura ua non
eet decenurum (ut fal exponitur de
lapide, nam lapis, nec reuoluitur, nec fer
tur ad d e circulum intimum, ed proccu
pat ex grauitate ua fertur in imum) dico
d h k prius circumuoluetur, in de trahetur
ad d e, & ubi fuerit ibi
it neceari peruenet ad c antequam decendat. Cum ergo aqua
Sed & quia de
cendit per d e f g, & magis ex centro e, ideo omnes partes circumui
cin trahuntur ad d e, & ad e centrum uperficiei uorticis, tanqum
ad centrum, ut decendant, atque id primum. Cunque
partim propria grauitate, partim
ma, quod natura ua
tractionis, qu
us perueniat ad c qum decendat, quia contra
cendit ui Cum uer pars qu in directo c et, uelo cisim
decendat, conantur omnes partes aqu, qu circa unt decendere,
et
habentinitium in e, circulus autem
tur moueri circulariter. Sed cum in circulo partes
uelo cius mouebuntur, uelocius in elica a b qum l m, & l m qum
n o. Et ob has duas cauas mouebuntur uelocius partes qu unt
circa c, qum ditantes ab n.
uperius quod unus motus in
Cum ergo h k it in pacio a b
l m & aqua
qui uidetur circularis, nam mouetur motu eius quo Mo
uetur etiam ad d e, quoniam pars illa et humilior, nam emper de
cendit, omne
tim ad quem, ideo partim iam aqua illa cum decendat humilior et
locus, igitur nauis ad Tertio, quia latus k impelli
tur, in maiore circulo, ideo maiore impetu
qum h, quare
tur,
lariter
tis
bitur ad d e & motu circulari aut participe
eius. Quarta caua et, quoniam h cupit
cendereergo ferri, ubi minus impe
diatur motu
circulo, de qua a b, qa a b
ues fuerint in ambitu uorticis
isque motus et
toru & Cur
uel g, <08> ad e uel c inde ex illis ad d uel g, prertim
qu decendit per e d & c g maiore impetu decendit qum per ad
uel a g ut demontratum et, ergo non poterit qu et in e d uel e g
loco dimoueri, nec cedere aqu per obliquam lineam decendenti.
Propoitio centeimaoctuageimaquinta.
Cur homo edens quanto altius edet, & quanto magis crura ad
femora & femora ad pectus reclinata habet, facilius conurgat, cum
tamen hc oppoito modo inuicem e habeant, declarare.
Huius ecundam partem Aritoteles in Mechanicis propouit,
ed neque ub adiecta dubitatione, edens n
altius a b pectus, b c femur, c d crus eiu
dem uel qualis, pectus g h, femur h k, crus
k l longior b f quam h n facit, ut facilius ur
gat a b c d qum g h k l, & tamen anguli
a b c & b c d unt maiores g h k & h k l, qui
nimo cum uolumus urgere, contrahimus c d & k l prop & re
gione a b, igitur patetratio ecundi, propior n et c d ipi a b quanto
angulus a b c minor et, cui qualis et b c d. Cum ergo quanto pro
pior et c d ipi a b eo facilius urgat, quoniam particeps magis di
poitionis per quam urgit, propior autem quo anguli unt acuti
ores, ideo facilius exurgit homo, quo contractiora unt crura, & an
guli femorum ad crura & pectus minora. Hucusque Aritoteles &
bene.
Sed cur rurus contractiora dum unt crura, homo facilius exur
git? Proponantur c f contracta ad perpendiculum, & in clinetur b a
in o ut fiant b o & f e equiditantes, ita enim commodius urgimus:
nec aliter qui unt imbecilliores: quia ergo b et in directo f, ideo
muculi femoris inferiores ob crus, & uperiores ob pectus unt
magis teni & anteriores cruris itidem, ideo maiore ui trahunt par
ticulam. Vnde manente fixo f & capite etiam & pectore grauitate
ua adiuuantibus, facilius homo exurgit quam ad latos angulos
cum contractio, ut dixi, muculorum et inclinatio partium uperio
rum fiat maior.
Rurus pro prima parte problematis, dico qud quanto altior
et b f tanto facilius exurgit, nam upponatur angu
lus reflixionis a h e qualis a h c, & b c k qualis h k f,
igitur cum b f it breuior b f, erit h k breuior b c & f k,
f c. quare b c femur, & f c crus erunt uiolentius exten
a qum in itu h k, k f ergo, muculi fa cilius erigent
edentem altiore loco qum humiliore, quod erat de
montrandum.
Propoitio centeimaoctuageimaexta.
Si fuerit proportio prim & ecund quantitatis ad tertiam, ut
prim & quart ad quintam, fueritqe quarta ecunda maior, erit
proportio quart ad quintam maior qum ecund ad tertiam. Quod i fuerit maior quart ad quintam, qum ecund ad tertiam,
necee etquartam ecunda ee maiorem.
Sit proportio a & b ad c, ut a & d ad e, itque d maior b, dico maio
rem ee
i maior it proportio d ad c qum b ad c, dico d
ee maiorem b. Quoniam enim et d et maior
b ad d et maior a b per
tiam, igitur cum it proportio a d ad e ut a b ad c,
erit e maior c, igitur minor proportio a ad e quam a ad c, at propor
tio totius a d ad e et qualis proportioni a b ad e, igitur ex com
muni animi ententia maior proportio d ad e, quam b ad c. Rurus,
i maior et proportio d ad e qum b ad c, igitur per communem
animi ententiam maior et a ad e qum a ad c, igitur e maior qum
c, ed d maiorem habet proportionem ad e qum b ad c, igitur d
maiorem qum b.
ti
dem.
pius repe
titam.
Propoitio centeimaoctuageimaeptima.
Si eidem uiribus & eadem proportione cum auxilio ponderis
tertij, quartum pondus moueatur quibus ecundum auxilio primi,
necee et quartum pondus tardis & maiore cum difficultate
moueri qum ecundum.
Maneat prior figura, & int uires a qu cum pondere b moue
ant c pondus, et cum d pondere eadem uires ub eadem proportio
ne moueant e, it autem pondus d maius qum b, dico e tardius &
difficilius moueri qum c. Nam ex prcedente e erit maius qum
c, & proportio d ad e maior qum b ad c, & proportio a ad e minor
qum ad c, tum ergo propter uectem magis preum, tum quia d
non mouet e, nii motum ab a, necee et ut tardius & maiore cum
difficultate admoueat e quo a b mouet c. Et ideo eo perueniri po
terit abque dubio, ut a b moueat uelociter e & a d, nullo mouente. Quia hoc accidit cm d non mouet c nii quia motum ab a.
Propoitio centeimaoctuageimaoctaua.
Si uires aliqu moueant cum ponderibus aliqua pondera, ut
compoita proportio it eadem proportioni uirium & duorum
ponderum mouentium aggregatum quale duorum ponderum,
ubi maior fuerit partium inqualitas, ibi erit maior difficultas.
Sint uires a, & aggregatum ponderum b c & d e qualia, & a
cum f & g moueat b & c ub proportionibus componentibus ean
uendo d & a, & k mouendo e, & it maior diffe
rentia ponderis e ad d qum c ad b, dico quod
maiore
b & e. Nam
c & b, & d e & b c int qualia, erit e maius c, igi
tur e difficilius mouebitur ab a & k qum c ab a
& g. Itidem quia e tanto maius et c, quanto b
maius et d, & proportio a k ad e & a h ad d, conficiunt proportio
nem a g ad c & a f ad b, erit ut motus d e int tardiores & difficilio
res motibus b c, per regulam dialecticam, nam difficultas motus e
upra difficultatem motus c, et maior quam difficultas motus b
upra difficultatem motus d, igitur difficultas motus d & e, maior
et difficultate motus b & e, quod erat demontrandum.
dentem.
Propoitio centeimaoctuageimanona.
Si pondus minus ad longitudinem maiorem ub quali pro
portione coaptetur, facilius deorum trahetur qum quod maius
et & propius.
Sit itula aqu f annexa tigno
in e & ad minuendum pondus
ad datur ex aduero elongius eu
uincatur pondus a, dico quod
grauitatem addatur b proprius
in e, nam quia b quiponderat in
d ut a in e, & homo trahens ex e
plus potet qum ex d, igitur fa
cilius trahet ex e quam d. Et
niam
to magis ditat medio, licet mo
ueat magis, ergo inclinatum ad
medium, cum ergo moueatur
uelocius ex e quam d, & emper
uelocius decendendo in com
paratione a g h, igitur emper
magis & magis uelociter ex e
qum d ut it duplex incrementum & comparatione c e ad c d &
decenus ad decenum in utroque & imiliter in reditu, quia facilius
impelletur urum e qum d per primam rationem.
Propoitio centeimanonageima.
Si fuerit primum graue minus ecundo, & ecundum minus ter
tio, proportio autem primi ad ecundum multo maior qum ecun
dus ecundo, utipum &
bus, & primo uel ecundo quam antea.
Sit a
b ad c, uires d, & d cum a moueat b & cum b mo
ueat c, dico qud poterit addi pondus ad b ut d
cum a moueat b, & d cum b moueat e maiore fa
cilitate componendo proportiones quam antea: Cum enim fuerit
proportio d b ad c minima,
plus refert difficultas c moti a b d: igitur cum addito pondere di
midio quod a uperat b omnino uincat a d ipum b, cum eo quod
additum et, & tanto minor it difficultas motus c a b d cum ponde
re addito, equitur ut minor it difficultas motus b cum pondere
addito a b a d, & motus c b cum pondere addito & d qum b & e
ab a & b cum uiribus d.
Ex hoc patet quod qui interpretati unt Aritotelem, cum non
posit nec intelligi nec demontrari, fucum fecerunt legentibus: ni
hilominus hoc illis debemus, quod i Phrynis non fuiet, Timo
theus non fuiet, nam nii illi quod ciuerunt protulient in medi
um, ego foran aut illa non intellexiem aut neglexiem. Itaque & re
liquas habes nobis expoitas licet non ade diligenter, & mo
dum huiumodi exponendi. Subij ciemus autem et hanc, ut obiect
qutioni, quantum nerui it (i pnitus quis res equi uelit, non
addictus nimis authoritati ueterum ut pedem figere uelit, ubi illi
res uix tactas reliquerunt) in telligamus.
SCHOLIVM.
Vocatur autem hc proportio auxiliaris.
Cunque fuerit qualis d
& a ad b ut d & b ad e, dicetur auxiliaris qualis.
Propoitio centeimanonageimaprima.
Cum fuerint duo pondera & uires duxerique aggre gatum ex ui
ribus & minore pondere in maius, addiderisque inuper
productum dimidij uirium in e latus aggregati detracto dimidio
uirium, dicetur pondus auxiliare qualis proportionis.
Sint pondera b minus, c maius, & ducatur aggre
gatum ex a uiribus & b minore pondere in e, & ei
addatur quadratum dimidij a, dico quod radix eu
latus huius detracto dimidio a et pondus auxiliare
quale, it productum a b in e uperficies & quadra
tum dimidij a it e, ita quod tota d e it uperficies
quadrata, cuius latus it f g: f h autem dimidium a di
co h g ee pondus auxiliare quale. Quia enim f g
dratum fh et quale e uperficiei, erit quadratum h g minus uper
ficie d in duplo g h in h f, quare productum a b in cerit quale qua
drato g h in e & a, nam duplo g h in h f & iam duplum g h in h f et
quale producto g h in a, quia a et duplum h f, igitur qualis et pro
portio a b ad g h, talis g h & a ad c, igitur per definitionem datam
g h & quantitas grauitatis auxiliaris quale.
E
ti
Ex hoc manifetum et, quod i fuerit datum pondus tertium au
xiliare, quod ciemus quantum addendum uel detrahendum ut fi
at pondus auxiliare quale, nam inuenta g h i fuerit k maior adde
mus quod deficit, & i minor qum k detrahemus ex k quod et
uperfluum.
Et rurus inuenta g h ut perficiamus pondus quale, augebimus
aliquantiper, ut fiat qualis ad unguem difficultas in motu: iuxta
doctrinam uperis d atam.
Propoitio centeimanonageimaecunda.
Si ex medio diametri linea ad perpendiculum erigatur ad circu
li peripheriam: ex eo puncto
tus ad circumferentiam uque, eu extra ad diametrum, erit proportio
totius line ad totam, uelut mutu partis ad partem.
Ex media diametro a c. 1.
& ex d line d a d e d h, dico d e ad d a, ut d a ad d f, & d h ad d a ut
d a ad d g, & d e ad d h ut d g ad d f. Quia n quod fit ex d em e f,
quale et ei quod ex e c in e a, quod uer ex e c in e a cum quadrato
b d eu b a quale et quadrato b e, igitur ex
e d in e f cum quadrato d b quale qua
drato b e, ex d e igitur in e f cum quadratis
d b & b a quale quadrato d e. Quadratis
autem a b & b d quale quadratum d e:
igitur ex d e in e f cum quadrato d a qua
le quadrato d e. At quadratum d e quale
et his qu ex d e in e f, & f d igitur detra
cto communi ex d e in e f, erit quadratum d
e quale ei quod ex d e in d f, igitur d e ad
d a, ut d a ad d f. Similiter quod fit ex h d in
d g, quale et ei quod fit ex h g in g d cum
quadrato d g, at quod fit ex h g in g d et quale ei quod fit ex c g in
g a, erit quod fit ex c g in g a cum quadrato d g quale ei quod fit ex
d h in d g. Quadratum autem d g et quale quadratis d b, b g igi
tur d h in d g quale et ei quod fit ex g a in c g cum quadratis b d
b g, at quod fit ex a g in g c cum quadrato b g et quale quadrato
qualia quadrato a d, igitur quadratum a d et quale ei quod fit ex
h d in d g, quare proportio h d ad d a ut d a ad a g. Quia ergo pro
portio d e ad d a ut d a ad d f, & d h ad d a ut d a ad d g, erit d e ad d h
ut d g ad d f.
tij
di
mi
di
ti
di
tij
mi
di
ti
17.
E
Vnde manifetum et omnes has lineas in uam interiorem par
tem ductas rectangulum contituere quale quadrato quod circu
lo eidem incribitur.
Propoitio centeimanonageimatertia.
Rationem ponderis triplicem explicare.
Superius declaratum et qud id quod quiecit, habet motum
occultum. Qurit autem Aritoteles cur ecuris pondere prea
diuidit lignum, minore uer ed moto ed modo diuidit? Diximus
motum inee qui perpetuo augetur, indicium et, quod i ex a de
cendat,
autem occultum
dium ex medijs locis. Omitto modo de motu aucto per
uim humanam, de quo uidetur qurere Aritoteles, quili
bet enim ar addit uper motum iam acquiitum & fit hoc
argumentum centies ac millies maius, quoniam m et qui
diuidit, pondus autem non ponetrat. Sicut ergo cuneus
magis diuidit lignum quam claua, ita quod mouetur ine
proportione (ut ita dicam) non olum ob
et ut uehementer diuidat lignum aut lapidem ubiectum,
& non in proportione ditanti. Sicut i pondus in forma
ecuris, & ipa ecuris diuidit longe magis ligna quam cla
uis maioris ponderis & maiore ui decendens: ita pondus motum
quam immotum. Hoc ade perpicuam habet cauam, ut quanto
plura uerba addererentur, eo redderetur res difficilior. Habet ergo
propriam olum grauitatem & motum occultum. Cterum et ter
tium, genus
lut f quod dico ee maius & minus occultum quam i ia
ceret in plano, quoniam icut tuber & cauitas in qua iacet
imul tempore unt, natura tamen tuber et prius cauitate,
ita pondus appenum prius et, contr nixum uinculi na
tura & quodammodo tempore, emper enim grauat, & illud em
per reitit upra illius grauitatem: Sed pondus quod et in plano
occultam omnino habet actionem bifariamque diting uitur a pon
dere upeno: Primum qud pondus quod quiecit & contra in
tendi principium imul non olum unt tempore ed etiam natu
ra. Sed in appeno, ut dixi, pondus prius grauat quam uincu
Secund, quia pondus in plano non inchoat
motum ed pendens inchoat, ideo qud et in plano habet pror
us occultum, quod pendet non: & i it lignum eiudem molis &
duritiei cui appenum it f & cui inideat, magis atteretur id cui ap
penditur, & prius<08> cui inidet. Cterm quod
ad grauitatem attinet qualia unt, nam ar in
utroque pellit deorum, ac magis quod quiecit
in plano: olum enim planum reitit, in pendu
lo onere etiam aer uppoitus, quo fit ut quod
pendet, minus graue it. Sed qualia uidentur.
M
Propoitio centeimanonageimaquarta.
Proportionem ponderis longioris in medio upeni ad breuius.
illi quale & in medio upenum, declarare.
Hanc generaliter propouit Aritoteles in Mechanicis,
pondera in medio
grauius erit a b quam d e. Et hoc et
certum quia a & b extrema plus di
tant ab hypomochlio. Sit igitur g h reecta qualis hiccinde d e,
pondus et quale a b, erit g h minus pondere d e in k, igitur per
communem animi ententiam k et quale uer ponderi a g & h b,
igitur cum a g & h b plus ponderent in itu uo quam in itu d e,
patet propoitum quoad Aritotelem attinet, cilicet quod a b et
grauior d e.
Vt mod otendam proportionem, erit proportio h b ad g h ut
ponderis h b ad totum
deris a g ad totum a h, a h autem et qualis g b & a g qualis h b
ex communi animi
unt quales & in eodem itu: igitur a g, h b ad g h, ut ponderum
a g h b ad pondus g b. Et ita patet quod quanto longior et a b in
comparatione ad d e, tanto a g & h b in comparatione ad g h, igitur
tanto maior proportio ponderum a g h b ad pondus a h. rurus et
tanto maius quanto a b et longior per
igitur multo maius et pondus a g h b, quanto longior a b in com
paratione ad d e.
ius.
d e pondus 12 longitudinis
unius pedis ingul. Et quia a g & b h unt
pariter quales g h & ideo pondus a g h b qualia g b ponderi,
ed pondus g b et librarum nouem, quia g b et dodratus a b, igi
tur tota a b et ponderis quindecim, nam g h et ponderis ex, et er
go pondus a b quadrante maius d e.
Propoitio centeimanonageimaquinta.
Si lectus fiat dupla longitudine ad latitudinem melius uffulcie
tur retibus ex medio ad angulos, & eis quiditantibus quam e
cundum longitudinem & latitudinem.
Hc proponitur Philoopho in mechanicis, & dico quod i a b
it dupla a c, &
partes quales inuicem, nam upponitur a b qualis
lis
tim poit utiliores
centius ob patiorum minorem differenti
am. Adducam olm tres Philoophi ratio
nes: prima, quoniam ligna non ade facil
finduntur nec incuruantur tranuerim tra
cta, ut recta & ecundum longitudinem, Et
ide long plus durabit
& cum pondis rectoribus, & ide etiam
cum retibus magis intentis: & erit firmior
& pulchrior. Secunda ratio et, quod cum
retes in ecunda contitutione quales inuicem int, in prima qu
ecundum latitudinem dupl, qu longiores erunt magis laxabun
tur tranueralibus, & ita turpiores & incommod breui redden
tur, & in ecunda contitutione qualiter utinebunt pondus & re
uolutionem cubantis, tum ob qualitatem longitudinis inter e,
tum ob itum imilem inter e, tum ad humanum decubitum
milem
extremis quam in medio, & magis laxantur ob id qu unt ecun
dum eundem fitum. Et hanc cauam expoitores non intellexe
runt multi, multo minus tertiam, in qua faciunt demontrationem
Geometricam & computantrem numeris. Deinde non animaduer
tunt quod in ecunda figura aumunt quinque lineas, cum in prima
tantum aumpient quatuor. Peius omnibus et quod demon
tratio hc cum de tranueris ad magis tranueras lineas it non
et ad propoitum Aritotelis, qui in duabus primis rationibus
tranueras comparauit his, qu latere ad latus & capite ad ca
put deducuntur, ita ubi trifariam decepti unt, ibi maxim glori
antur. Mierum nunc philoophandi genus: uoluntque upercilium
ee loco doctrin. Sint igitur line duct ut uides, dico omnes
pariter acceptas in prima figura, ee longiores omnibus pariter ac
ceptis in ecunda figura, quod intendit O
teno ergo de duabus, idem uppoito numero equali de omnibus
Demontrandum et ergo a b & g q maiores ee
nam
quales unt potetate quadrato,
di inter duplum
ctarum et duplum quadratis uniucuiusque earum pariter acceptis,
uelut & quadratum medi inter duplum
tum coniunct ex a b & a c et quale duplo quadrati a b cum qua
drato a c, igitur uperat duplum quadrati
quod potet in duplum quadrati
a b & a d unt longiores iunct
tum et quadratum a c.
mi
mi &
cundi
E
di
Propoitio centeimanonageimaexta.
Si duo circuli uper eodem centro eodem motu transferuntur,
quale patiu m uperant.
Sint duo circuli a b, c d uper eodem centro e qui transferantur
uper axe per
tum ergo a erit in f, quia c d contingit pla
num c g, igitur e c et ad
ergo punctum a et in f & a f qualis c g,
igitur a b circulus olum reuolutus et e
mel, & tantum perambulauit pacij quan
tum e d & quali uelo citate, cm tamen eorum it proportio pa
tij ad Hc et ubtilisima
Supponunt duo:
ad illum motum,
exe ipo per tan
tum mouebitur
tum ab illo mo
tore mouebitur:
Secundum,
potentia in
tempore diuero
modo duo mobi
lia mouebit qua
lia, cum
tui aentietur aliud quod i hc mobilia eiuncta fuient, quod
aptitudinem haberet
iunctum et. Cum ergo inquiunt circulus c d moueatur ab a b cir
culo, nec conferat quic<08> ad motum, ideo tantum tranibit pacium
Sed quoniam propofi
to circulo alio non circa idem centrum, utpote k l reuoluetur &
perueniet ad h ex demontratis.
quia unus circulus tantum per e mouetur circa centrum, reliqui
omnes non pere circa centrum, ed ab alio circulo primo mouen
tur, ide nihil refert eu int circa idem centrum eu circa aliud, hoc
enim fortuitum et. Ideo ad argumentum repondent cauilloam
ee
e centrum ee. Sed non et pere, uerm per
Attamen de
miror de huiumodi olutione. Primum quod ipemet.
Aritoteles
de hoc nos docuit in primo Poteriorum dicens. Non et igitur ex
uno in aliud genus
Arithmetica. Et
exponens. Fieri non potet, ut demontratio transferatur de
arte in artem. Et ibidem docet, quod neque ut amb prmi
int communes, neque etiam maior tantum, icut exponebat Al
pharabices. Verm dicit, olum licet in artibus, qu unt in com
paratione generis ad peciem, ut it concluio ueluti phyica ma
ior propoitio, in ubiecta cientia ueluti medicina. Vnde
Philoophus. Propter hoc Geometri non licet demontrare quod
contrariorum una et cientia: ed neque quod duo cubi cubus, neque
alij cienti quod alterius: nii in his qu ita inter e habent ut alte
ra ub altera it, ueluti perpectiua ad Geometricam, & harmonica
ad Et pot docet quod etiam non licet demontrare ex
communibus: hc igitur ratio et ex alienis genere atque communi
bus. Quid, qud non oluit difficultatem qu mathematica tota et
& innititur manifetis principijs. Debuit enim oten dere quomo
do tardius moueatur circulus maior ipo minore: hoc enim et ne
cee i eodem tempore debent qualia patia pertranire. Accipia
mus ergo quod manifetum et, cilicet uectionem ee hanc in qua
e centrum perpetu per quiditantem lineam fertur in m, nullum
autem circulum progreus centri ee cauam nii ut rota mouet
currum & currus axem, reuolutio ergo not efficit ut patium c g
pertraneat nota, & ideo motus ille circularis non et, quia circula
ris motus fit manente centro, ed et circulus progrediens uelut &
punctum e: at in circulo, hoc et dicrimen qud puncta, uariantur
centrum autem non. Dico ergo ut melius intelligas qud talis mo
tus et uelut famulorum fabrorum qui rotam circunducant
impellentes, talis enim motus, et rectus, & et impulionis non au
tem circularis. Et ide omnia puncta qualiter mouentur, & per
quale patium, accidit autem ut hic motus fiat circunuertendo,
Et i quis obijciat quod hc repon
io et eadem cum illa qu tribuitur Aritoteli, dico quod non, quia
in illa upponuntur duo fala, unum quod principium motus ali
quando it in c d, aliquando in a b, quod pro ecunda parte falum
et: nam nunqum principium potet ee in a b, nam i intelliga
mus de modo motus, non mouetur nec a b nec c d motu circulari,
quoniam (ut dixi) motus et uectio, eu tractio, non circularis. Sin
autem de caua motus rot illa et in circulo emper maximo, cili
cet c d & non a b. Et caua erroris horum fuit duplex: cum enim ci
rent hanc rationem, dubitarunt an circulus c d motus eet potius
caua motus circuli a b, an contr, ide protulerunt ambos, icut illi
quibus ublata et res aliqua, ut non errent, dicunt hic, uel hic ubri
puit rem meam. Secunda fuit, quia neciuerunt ditinguere inter
motum per circulum & motum circularem, cum it magnum dicri
men: motus enim rot et per circulum, quia per circumferentiam
eius, qu et circulus, non autem circularis. Eti uperius appella
uerim circularem, cum ditinxi in triplicem motum phr circum
uolutionem, tunc non curaui de uerbis, quia uerba tum non erant
caua erroris.
tij
mi
Ex hoc patet unum, quod et difficilius, cilicet quia certum et,
qud tam c d qum a b mouentur uper rectas, & ita ut ingula
puncta c d tangant ingula puncta c g, & a b ingula puncta a f, &
tamen c d circumferentia, aut non et qualis rect c g, aut circum
ferentia a b non et qualis rect a f, aliter i amb circumferenti
ambabus rectis eent quales, cum rect int quales, ut demon
tratum et, eent circumferenti etiam a b & c d, quales maior
minori, quod et imposibile. Non ergo ualet argumentum, ite cir
culus circumfertur uper rectam aliquam, ita ut cum redit ad idem
punctum rectam perambulauit ad unguem, ergo illius peripheria
et qualis illi rect.
Melius ergo fuiet huius reddere rationem, in quo et tota dif
ficultas, nam illa (ut dixi) de motu circulari nulla et, i quis tam pe
nitus intropiciat. Sit igitur ut rot axis c, traneat in f, & quia e a &
f g quales unt a centro ad circumferentiam, & a g quiditans
b c, erit per demontrata punctum g in linea fh, & ponamus quod
punctum fuerit m, quod translatum, & retro reuolutum peruene
rit ad h, & ecet e m a b circulum in n, dico quod n et punctum g, in
quo etiam et animaduertendum de tupore horum cribentium,
nec aduertentium quod puncta circulorum a b & c d retro cedunt,
uerus a & c, & non uerus o & p, & hoc et quod decipit illos.
& e f,
in linea e m, erit in
linea f h, ed n et
igitur
nea fh, et circulo g
q, <08> g et n
nis
peruenit in g. Vi
des ergo quod m
retrocesit per angulum m g h, n autem antecesit per angulum n
g f, qui et qualis angulo m g h. Ex quo liquet caua dictorum, &
quod non intellexerunt qutionis fundamentum cum ferantur
ingula puncta in una reuolutione qualiter cum centro motu re
cto: & motu circumuolutionis unt immobilia, quia tantum retro
cedunt in una medietate, quantum procedunt in alia.
Propoitio centeimanon ageimaeptima.
Curlances ad
Alis cum uiderem apud Aritotelem & eius expoitores hoc
problema non um auus, quia ex proprijs non mihi occurrebat
demontratio, rationem reddere, at confecta dialectica tatim appa
ruit modus. Sit ergo libra a b appena ex trutina c d, & it per pon
dus educta loco e f, & ublato reuertitur
ad locum priorem: Et rurus eadem i
immineat g d uten taculo
igitur palam et quod in trutina d e gra
uior et
grauis, aut omnino non grauior. Neque
potet id accidere quod in primo cau
angulus e d c acutus, it in ecundo obtu
us, nam i ob angulum e d c acutum
cundo cau decendet f, quia pariter f d g acutus et, & qualis e d c,
hoc autem non contingit. Mira ne dicam tultitia an audacia
qui nihil intelligentes aui unt, hc pertractare, perantes in tot e
culis nullum futurum, qui ignorantiam uam & impotura depre
hendat, dicunt enim quod in primo cau producta quadam recta
ad perpendiculum, & qu it h k maiorem reddi d e qum d f, ne que
quomodo id fiat otendunt, & i (ut dixi) maior it
cau maior d f quam d e in
cendit, in ecundo decendet magis d f, at hoc non accidit ed tat.
grauiorem ee f in primo cau, in ecundo non ee grauiorem, aut
leuiorem, ut neque ad angulum refugere posimus. Ergo upponere
oportet qu manifeta unt, e ee grauiorem f, aliter enim non de
cenderet: non prohiberi autem in primo cau motum prohiberi in
ecundo, aliter uel grauior fieret f, uel maneret eadem grauitas: i
quidem maneret grauitas, nec impediretur decendere e in e
cundo cau, ut in primo, at non decendit. Si grauitas mutaretur, igi
tur f decenderet ecundo cau magis quam in primo. Quod i di
cas non tanto fieri grauiorem, igitur f magis deprea decendet
altem, at nunquam decendit, igitur grauior et emper e qum f,
ed in ecundo cau impeditur motus non in primo. Caua grauita
tis et, quoniam d et centrum grauitatis, quia medium. igitur cum
c & d conpirent contra f, necee et e decendere per uperius de
montrata, igitur e decendet in primo cau, quia grauius et ut do
cui nec impeditum. At in ecundo cau e & d unt grauiora, ed d
et impeditum, quia non habet motum, nii occultum inidet enim
g d, igitur tantum ponderat e quam f, ergo prorus non mouebun
tur, facit & ad hoc qud quuis latitudo d, utentaculi prohibet
motum, at deee uix potet. Vides ergo illos nugas palam agere.
Primum deet illis dialectica, deinde ingenium acre, deinde quod
maius et, uolunt confetim tranire ex principijs ad remota theore
mata, quod fieri non potet.
M
Propoitio centeimanonageimaoctaua.
Cur olidum quod cubus
LEMMA PRIMVM.
Si intra circulum triangulus quilaterus decribatur, & ab uno
angulorum per centrum rect ducatur, angulum per qualia diui
det, & trianguli latus, & ad angulos rectos ei initet, ipa uer qu
ex centro per qualia uicisim trianguli latere diuidetur.
Sit a b c quilaterus circulo incriptus,
cuius centrum d, ducaturque ad e f rect per
centrum, & ducantur d b & d c, eritque ex hoc
triangulus a b d quilaterus triangulo a c d,
quare angulus b a d qualis c a d, igitur ar
cus b e qualis c e, igitur arcus b e et exta
pars circuli, quare b e recta latus exagoni,
quare b e erit qualis d e, igitur cum anguli
a d f int utrin que recti, crit d f qualis f e, itaque
f d, tertia pars fa & fb dimidium a b quia b c.
mi
tij
dem.
15.
E
E
mi
LEMMA SECVNDVM.
Quadratum lateris trianguli quilateri e habet ad illius uperfi
ciem, ut latus eius ad mediam lineam inter latus dodrantis, & qua
drantis proportione duplicata.
Quadratum a b et quale quadratis a f, fb, & quadruplum qua
drato b f, igitur quadratum a f et do drans quadrati a b. Quod ue
r fit ex a fin f b et medium proportione inter quadrata a f, f b, re
ctangulum igitur ex a fin fb, et ex lateribus dodrantis a f, & qua
drantis b f quadrati a b, quare cum medi inter a f & fb quale fa
ciat quadratum rectangulo a fin fb, erit proportio quadrati a b ad
quadratum medi inter a f, fb, ut lateris trianguli ad mediam inter
latera dodrantis, & quadrantis quadrati lateris ipius duplicata: re
ctangulum autem a fin fb et quale triangulo a b c, igitur propor
tio quadrati a b ad triangulum a b c et uelut lateris a b ad mediam
inter latera dodrantis & quadrantis duplicata.
mi
E
&
ti
20.
mi
LEMMA TERTIVM.
Propoitio quadrati cubi phr inclui ad triangulum pyrami
dis eidem phr inclu, et uelut lateris pyramidis eu trianguli
eius ad cathetum uum.
Proponatur enim phr diameter g, & latus pyramidis b a, &
latus cubi b h, qu corpora illi phr includuntur: igitur g erit
potetate exquialtera ad a b, & tripla ad b h, igitur b a et potetate
dupla ad b h, quod igitur fit ex b a in dimidium uum, et quale
quadrato b h, igitur b h et media inter b a & b f, b f enim et dimi
dium b a, ut probatum et. Quadratum igitur a b e habet ad trian
gulum a b c, ut a b ad mediam inter a f & fb duplicata: Quadratum
quoque a b e habet ad quadratum h b, ut a b ad mediam inter a b &
b f, duplicata igitur proportio quadrati b h ad triangulum a b c, et
uelut lateris a b ad cathetum a f.
13.
tertij
15.
tertij
ti
L
LEMMA QVARTVM.
Proportio lateris pyramidis ad axem illius et potetate ex
quialtera.
Intelligatur bais pyramidis triangulus a b c, & conus pyrami
dis k, & qu per centrum phr tranit ex cono k d, cumque k d a
angulus rectus it, erit quadratum k a quale quadratis k d, d a, at
d a et dupla d f, ut probatum et, igitur potetate exquitertia f b,
k a uer et quadrupla potetate fb, quia fb et dimidium k a, igitur
k a et tripla potetate a d, igitur k a potetate exquialtera k d, quod
erat demontrandum.
mi
L
Ex hoc patet quod proportio axis pyramidis ad latus cubi ea
dem phra circumcriptorum et potetate exquitertia.
Quia enim k a et potetate dupla ad b b, & equialtera poteta
te ad k d, necee et ut k d it exquitertia potetate ad b h.
LEMMA QVINTVM.
Prima altitudinem habens pyramidis & triangulum eiudem
baim, quale et cubo eidem phr incripto.
Cum enim proportio quadrati b h ad triangulum a b c it uelut
a b ad a f, a b autem ad a f it ex quitertia potetate ex demontratis,
erit quadratum b h ad triangulum a b c ex quitertium potetate: at
cubi b h altitudo et ipa b h, primatis autem a b c altitudo et k d,
k d autem potentia exquitertia ad b h, igitur prima a b c et quale
cubo b h, quod fuit propoitum.
ma.
L
Ex hoc equitur, quod cum prima it triplum u pyramidi, ut
ab Euclide habetur, quod cubus et triplus pyramidi, quam eadem
phra circumcribit.
decimi
Nunc uenio ad demontrationem propoitionis, & dico quod
corpus difficile et ad motum, uel ob magnitudinem bais, cui ini
det, uel ob pondus, uel ob formam: nam corpus quod forma et
contracta, difficil mouetur, ut pyramis, contr, quod prominet la
teribus, facile reuoluitur, ut corpus duodecim baium pentagona
rum, & uiginti triangularum: ergo cubi edes et maior qum ua
pyramis, & pondus triplo maius, & etiam non prominet cubus,
ide pro re tabili poitum et corpus eiumodi. Eo quod ob gra
uitatem etiam, ut dixi, it tabilius pyramide eiudem phr. Quod
i etiam aumeres pyramidem, cuius bais eet qualis quadrato
cubi, ipa e haberet ad pyramidem phr in grauitate, uelut latus
trianguli ad uum cathetum, & ideo proportio ponderis cubi ad
pyramidem eet, uelut tredecim ad quinque ferm: ergo ratione pon
deris eet long tabilior cubus ipa pyramide. At in alijs corpori
bus, qu rationalia uocantur, non et tanta proportio ponderis, &
bais et minor & forma prominet.
cimi
Propoitio centeimanonageimanona.
Rationem remorum nauim impellentium inuenire.
Sit a remi extremum, quod manu apprehenditur, b calmus cui
remus inidet: c extremum aliud latius remi, quod uocant pal
mam, transferatur nixu manus, & motu corporis a in d, ut c per
ueniat in e, unt enim quales a b, d b, b c, b e etiam & angu
li a d b contrapoiti, quare trianguli a b d & c b e imiles, igitur
primum quanto maior propoitio c b ad b a, tanto maior propor
tio c ad a d, & ita ex quali motu longius transferetur remus, eu
palma. Secundum, cum motus a d fiat nixu brachiorum & corpo
ris, quanto magis transfertur corpus eo minus opus erit brachio
Et
quo minus laborabunt brachia, plus
corpus laborabit. Etide, ut declara
tum et upr, minor labor erit cum
qualiter ambo laborabunt. Tertium,
quo minor erit proportio c b ad b a,
eo maius patium pertranibit remex,
qui mouet ex a in d, ed tanto facilius
mouebit, quia labor motus b c minue
tur, ut upr uium et per longitudinem a b & d b, ut upr demon
trauimus. Quartum, cm remus tranierit quoddam patium
iuxta robur, puta ex c in e, necee et ut eleuetur uper aquam, tum
quia impediret motum pro greus nauis, tum ut transferatur ante:
aliter i transferretur ante ub aqua difficilius multo, quam per a
rem transferretur, & retroageret tantundem nauim, quantum an
tea retroactam impulit. His per e notis dico, qud translato remo
ex c in e, necee et nauim contr transferri ex f in g: nam quia impe
dimentum ex aqua tranitur c in e, maius et quam nauis uper a
quam, & remus debet transferri ex a in d, & non potet transferri
nii uel tante naui, & translato c in e, uel tante a b c remo, & tran
lata naui: & tunc necee et, ut e pro grediatur ad h, ita deecabit a
quam ch, ergo difficultas manet eadem ferm, ex his fit motus com
poitus, ut palma non redeat uque ad e, ed maneat remus minus in
clinatus, & quai ad perpendiculum in h. Et manifetum et, d erit
motus compoitus ex retro ceu remi & pro ceu nauis. Qui etiam
remiges circa medium unt minus laborarent, i remus qualiter
promineret extra calmum, ed magis laborant, quia proportio et
eadem, & a b et longior, & crasior remus, ut minus flectatur ob
longitudinem, aliter i eet qualis crasitudinis, & multo longior
flecteretur aut frangeretur, ide robutiores remiges ponuntur in
medio triremis. Iuuatur prterea motus nauis prorum ex percu
ione remi, & impetu iam aquiito cum nixu remi in aduerum u
perueniente. Rurus cum nauis transferatur eodem tempore ant
qu a progreditur ad d, manifetum et qud magna pars et ex
motu nauis, non nixu corporis aut uirium: & ita quod celerius mo
uetur ex c in h, ab initio dum nauis quiecit, aut tardius mouetur,
tardius autem dum nauis progreditur.
mi
E
Propoitio ducenteima.
Cur temo
uarietas it in prora, ipe contituatur in puppi. Et cum tranuerim
ab aqua prematur, rect nauim dirigat?
Dixi quod in hipomochlio parua uarietas fit in motu: igitur
leui caua magnum nauigium impellitur aut uariatur. Cum enim a
ferri, tum uero quod debuit
d, nam motus ipe ab alia caua fit, uelut
ita non et difficultas nii propter motum aqu, cilicet
ut tabula cindat illam. Ad hoc autem contulit illud
quod intra nauim prominet ut uectis rationem habeat,
& ob id facilius uerti.
Similiter uarietas in puppi exigua et caua magn
uarietatis in prora, quod autem potet fieri paucioribus
& faciliori modo id debet fieri, hac igitur caua in pup
pi temonem contituere oportet eu guberna culum.
Cum autem impellatur mari, necee et, ut latere excipiat
aquam ita ut tantum pendeat in unam partem, quantum nauis in
adueram, nam i nauis non penderet, gubernaculum rect dirige
retur. Vt ergo ex duobus obliquis
tur, ita ex naui & gubernaculo, nam int a b & c b & im
pellatur ad d, impelletur per mediam lineam b e & non
per a b neque c b, igitur oportet temonem pendere ex ad
uero inclinationis nauis. Et etiam alia ratio, quoniam
nauis ecurior redditur, nam quemadmodum quod in
medio et, facilius impellitur tranuerim, qum quod pendet in
contrarium, ita & in gubernaculo. Et & id ob necesitatem, quoni
am motus aqu plerumque et in partem, uelut & uentus ad la
tus eius itus, ecundum quem moueri debet nauis. Sicut igitur &
uela & malus inclinantur, ut motum directum efficiant, quia ali
dirigitur nauis quam qui mouet uentus, ita de temone compara
tione aqu.
Propoitio ducenteimaprima.
Si du line non ecantes circuli peripheriam in
ea coant, exterius necee et illas peripheria
LEMMA PRIMVM.
Si fuerit proportio primi ad ecundum maior qum tertij ad
quartum, erit primi ad tertium maior qum ecundi ad quartum.
Quamuis hoc demontretur Campano, quia
tamen facile et hic adijcietur. Sit igitur maior a
ad b quam c ad d, dico maiorem ee a ad c quam
b ad d, quia enim maior et a ad b quam c ad d fiat e ad b ut c ad e
eritque e minuquam a, eigitur ad c ut b ad d ed maior a ad c quam
e ad e igitur maior a ad c quam b ad d.
ti
dem.
dem.
dem.
LEMMA SECVNDVM.
Si fuerint quatuor quanti
tates, quarum exceus prim
upra ecundam, fit minor ex
ceu terti upra quartam, itque prima non minor tertia, erit propor
tio prim ad ecundam minor qum terti ad quartam.
ti
tes ambas.
ti
Sit exceus a upra b c, g b minor exceu d upra e f qui it h e, di
co quod proportio a ad b c et minor proportione d ad e f. Quia
enim a et maior d, & b g minor h e, erit maior proportio a ad b g
qum d ad h e, igitur fiat a ad g k ut d ad h e, erit ergo g k maior g b
quare k e minor b c ex communi animi ententia, et autem a ad k c
ut d ad e f, minor autem a ad c b qum ad k c, igitur minor a ad b c
quam d ad e f.
dem.
dem.
ti
Si intra circulum quicurium, & uper eandem baim figura
quilatera & quiangula
accepta minora duobus trianguli lateribus.
Sit ut proponitur, & producantur b d &
c e qu concurrent intra triangulum, quia
anguli d b c & e c b upponuntur quales, &
ducta d e producantur d fl, & e g l qu
current
dem cauam, igitur a b & a c unt maiores k b
& k c, ergo maiores k d, d b, & k e, e c quia
unt edem. Duct quo que de imili modo
k d & d e, unt maiores l d & l e, igitur l f, f d & l g, g e, igitur a b & a c
maiores unt b d, d f, f l c e e g g l pariter acceptis. Rurus ducta f g:
f l & l g maiores unt m f & m g, igitur a b & a c unt maiores omni
bus lateribus figur incript.
Ex hoc patet quod latera polygoni fi
gur quilater & quiangul incript
portioni circuli unt minora lateribus tra
pezij circuncripti eidem peripheri.
Sit ergo trapezium a g h b circa periphe
quilatera & quiangula a c, d f b. Et quia
trapezium et figura cuius oppoita duo
latera unt qualia, & duo anguli upra ba
im quales: itemque duo in ummitate inui
cem quales,
quod patet ductis lineis ex centro ad ex
trema trapezij. Et ideo etiam
maiora lateribus polygoni, & imiliter duo latera h d maiora late
ribus polygoni inclu, ergo latera trapezij erunt maiora omni
bus lateribus polygoni inclu.
mi, &
Ex hoc habetur demontratio propoitionis: int du line a b
& a c qu comprehendant portionem cir
culi b c, dico eas ee maiores b c portione,
i enim a b & a c unt quales diuio arcu
b c per qualia in f, ducam contingentem
h f k, i non faciant trian gulum quicruri
um b c d uper b c, & cuius ambo latera pa
riter accepta int qualia a b & a c. Et du
cam contingentem & habebo trapezium
h b, c k. Quare i peripheria circuli b c et
minor d b & d c pariter acceptis, habeo
peripheriam per qualia ut fiat figura polygonia uper b c quila
tera & quiangula, cuius differentia a peripheria it minor differen
tia d b & d c trapezio b h, k c, id et, tribus eius lateribus, nam cum
d h & d k int maiores h k, contat quod d b & d e unt maiores h b,
& k c & h k igitur it differentia illa l, &
polyg oni minorl: igitur cum peripheria it qualis aut maior
d b & d c, & differentia a lateribus polygoni minor qum d b &
d c, a b, h b, h k, k c, erit minor proportio peripheri ad latera poly
goni qum d b & d c ad tria latera trapezij, quare minor propor
tio peripheri ad d b & d c qum laterum polygoni ad tria latera
trapezij, ed latera polygoni unt minora tribus laterib. trapezij,
igitur peripheria b c et minor d b & d e, quod erat
dem.
mi
3
SCHOLIVM.
Hanc propoitionem non cripi qud eet magni momenti, ed
propter modum probandi, i enim repicis ex uno oppoito cilicet
quod peripheria circuli it maior trianguli lateribus, otendo de
montratione non ducente ad inconueniens, ed implici quod ipa
peripheria et minor trianguli lateribus, & hoc nunquam fuit
ab aliquo, im uidetur plane imposibile. Et et res admirabilior
qu inuenta it ab orbe condito, cilicet otendere aliquid ex uo
oppoito, demontratione non ducente ad imposibile & ita, ut
posit demontrari ea
et contrarium concluioni, uelut i quis demontraret qud So
crates et albus quia et niger, & non poet demontrare aliter, &
ideo et long maius Chryippeo Syllogimo.
Ex hoc patet quod pars line exterioris qu tangit circulum
tercepta.
Sit portio circuli a e, & linea a b intercepta linea c b ex centro,
dico ab ee longiorem a e, ducatur b e qualis a b, ad
circumferentiam, qu illi obuiabit, ducanturque c a, c e
eritque angulus e c b qualis a c b, igitur arcus a d,
qualis d c, quare a d erit
a b, b e, facta enim fuit b e qualis a b, cum ergo per
prentem du line a b, b e, int maiores a e, igitur per commu
nem animi ententiam a b maior a d.
E
E
tij
Propoitio ducenteimaecunda.
Rationem trepitus otendere.
Fit trepitus ob multitudinem aris percusi, uelut cum tabulis
percutimus: & cauitatum caua, unde ligna & tabul leues magis
trepunt, & illud Virgilij:
Sonitumque dedere cauern.
Tum uer ob ictus impetum, impetus
a, partim anguti loci. Fulmen edit tonitru in quo & caua nebula
excipit arem, & multum impetuque maximo delatum,
tem metalla magis quam ligna eo qud magis ob
tes moueantur. Indicio et, quod intenta ut s & tenuia
pitum edunt: & dum onant tremunt, aurum autem parum onat,
quoniam denisimum et, et minus intentum
um, & magis intentum, quod autem intentum et totum imul mo
uetur, & ob id tridet: lignum
tallum percutiat arem, ed quia in eo ar percutitur. Craum
metallum & lignum non ade onant: metallum quoniam non mo
uet arem, non enim mouetur: lignum quoniam non mouetur, nec
in eo qui et incluus ar, ar autem facil mouetur, & ob id in ligno
cauo, etiami craum it, trepitus magnus editur. Ergo eti tenue
it metallum, quod infixum et tabul, reonat multum:
ueatur, ed quoniam Neque enim tabula per
e ola, qu etiam nimis tunderetur onum edere magnum potet
quoniam cedit: Oportet
lum i craum, ed hebetem
niam neque moueri potet infixum & craum, nec cauernoum et, &
tamen excipit ictum, ne lignum reonet. Velox autem ictus
tum
bellic igne, contr anguta fitula
inflata. Igitur ar oni caua et ecundum
ar & magnus motus ibi onus magnus. Multus quidem aut in ca
cibus, aut quia magno corpore tridulus efficitur, aut inter duo
corpora, qui grauitate medius et. Impetu uer
magnus, nam tonitrus procul audimus nonitum quamuis celerri
mum, acutum uer ob angutiam loci. Atque h cau unt onorum.
Propoitio ducenteimatertia.
Cur cytalis onera portentur facilius, explorare.
Demiror
Aritotelem non
nos
expo Sit ergo cur
rus humilis cytalis Diximus
untlonge maiores cytalis e f g h,
gis mouere <08> rotam,
trauerimus, de Quia
ergo cytala k l m habet hypomo chlion in k et
m, &
rotul ill
lopum, Et hoc
et quod dixit Philoophus. In utrique.
n.
his
tus
lopibus, nam ut
dio Ex quo
erunt l k l t & l m, tanto facilius
liores, mod non obruantur in terra, quoniam tardius mouentur,
qu minorem habent circuitum, qu autem tardius mouentur, fa
cilius mouentur, ut upr pius demontratum et: Ob has ergo
duas cauas pondera facilius feruntur curribus cum cytalis, qum
cum rotis magnis mod terra non obruantur.
Propoitio ducenteimaquarta.
Cur pluribus trochleis pondera facilius eleuentur oten dere.
Dictum et atis de hoc in lib.
de Subtilitate, at nunc quod ad de
montrationem attinet Quia. n.
ingul rotul diffi
culter
igitur & totam
moueri. Habent & rotul ip centrum eu axem hypomochlij, eu
fulcimenti loco, ambitum
& ut plures. Vna enim alterius loco fungitur uectis.
Trochlea qui
dem et, ut uides, intrumentum longum upr angutius, ed non,
craum, in quo plures orbiculi olent collo cari, unde pe numero
trochle nomine intelligimus orbiculos ei in cluos, circa quos fu
nis uo catur, ut in tro chleis & orbiculi & funes in cluduntur. Succu
lis etiam olent capita funium trahi: ut uectis auxilio im nonnun
qum rotarum facilius pondera eleuantur.
Propoitio ducenteima quinta, uper uerbis Platonis,
de fine Reipub.
Et autem ei quod diuinitus generandum et circuitus, quem nu
merus Human uer, in quo primum argumen
tationes uperantes, ut uperat tres ditanti: quatuor autem ter
minos accipientes, imilium & disimilium, ab
tium cuncta correpondentia, & rationem habentia inuicem effece
runt. Quorum exquitertium fundamentum quinario
efficit harmonias ter aucta quidem: qualem qualiter centum to
ties, quandam autem qualem quidem, longitudine
quidem numerorum diametris
gentibus uno ingulis: non habentibus rationem
tum autem cuborum ternarij. Totus autem hic numerus geometri
cus talem authoritatem habet ad potiorem deterioremque
tionemQuem locum Aritoteles ita declarat.
Quorum exquiter
tium fundamentum quinario coniunctum duas exhibet harmo
nias,
C
hac materia accipi poet. Par et ut in diuina generatione numerus
ruptionem: nam ermo et de corruptione, corrumpitur
quodque ut aliud generetur, malum enim et ob bonum, non contr. Liquet autem ex Euclide talem numerum ee octies mille
ginti octo. Et hic et finis
uelut in cli retitutionibus, ac continuato ordine olet oberuari,
et prop annus magnus: ueriimile et enim
decima, cilicet totius circuitus parte. Human uer intelligit qua
tuor monade numeros, aut in quauis ratione principium li
neam uperficiem corpus, ut
octo: duo decim decem octo uiginti
patia, & octo cum uiginti eptem unt disimilia & deficien
tia: maiora Contr de
cemocto & duodecim unt imilia atque ab Hc Aritoteles omittit, ut ad in
troductionem, non rem pertinentia, uelut & finem tanqum ex
prcedentibus notum. Vnde uerba Aritotelis unt ad unguem
eadem uerbis Platonis, cilicet: Quorum exquitertium funda
mentum quinario iunctum duas efficit harmonias: loco autem ter
aucta quidem, cribit Aritoteles: efficiatur olidus, id et cubus, ut
in quadratum uum ducatur: loco autem uerborum qualem
qualiter centum centies, uque illuc diametris rationem habenti
bus quinarij ponit numerum diagrammatis. Et autem diagram
ma, quod Plato uocat diametrum, cum numerus potet ferm du
plum numeri alterius, ut 3 duplum 2, & 7 duplum 5, & 17 duplum
12, & emper numerus hic dimetiens, excedit duplum alterius uno,
quod ex his patet, qu ab Euclide demontrata unt in decimo li
bro. Quare i debet ee quadratum eius monade maius duplo, al
terius quadrati, & duplumalterius quadrati et par, igitur addi
ta monade erit impar, ergo latus eius dimetiens impar emper: la
tera autem ipa quadratorum, qu duplicantur aliquando pa
ria unt ut 2, & tunc quadratum dimetientis et unum plus duplo
ut 9 et maius 8 monade, i uer latera imparia int, erit quadratum
dimetientis uno minus duplo, ut 49 quadratum 7 et minus uno
50, duplo 25, quadrati 5. Ex quo patet agnatio, ut ita dicam in
ter 7 & 5.
Cum ergo dicit, quorum exquitertia et, ac i diceret, ex horum
numerorum erie umemus eptenarium principium epitrite, & di
metientem 5, quos imul iungemus.
Propoitio ducenteimaexta.
Rhombi pasiones quadam declarare.
Sit a d recta diuia in k per qualia, cui u
pertent k b & k c ad perpendiculum inter e
quales, & ingul
&
latera erunt omnia qualia inuicem, & angu
li a & d oppoiti, & b & c oppoiti etiam inui
cem quales. Sed b & c maiores erunt a & d:
& ideo talem figuram appellauit Aritoteles rhombum picis i
militudine in medio latioris
latitudine maior et. Dicit ergo Aritoteles, d i rhombus ipe cir
cumuoluatur, ita ut b traniret per b a c, & a per a c d, a maius pa
tium traniret ex recta, cilicet a k d qum b, quod traniret b k c. Et
ad hoc aumit, qud cum angulus c it maior a, igitur du line
a c d unt minus curu quam du b a c, igitur b a c habent ratio
Ergo i in quali
b a c & a, a c d, magis per rectam feretur a qum b, ed quod rectum
et maius occupat patium: igitur uelocius fertur a in d compara
tione habita ad a d qum b in c, comparatione habita ad b c.
E
mi
M
Pro intellectu reliquorum ab eo dictorum, & quorundam mira
bilium, proponatur alius rhombus illi qualis, in tabula pictus deli
neatis lateribus & diametris, qui fit l m o n, & diametri l p o & m p
n, & abcindatur hic ex uperficie, & uperponatur ita, ut puncta l m
o n ordinatim cadant, & aptentur Et tunc i rhombus l o totus moueretur, necee et, ut moueatur e
cundum latus aliquod, ut pote l m, & quiditans a b, igitur dicetur
moueri uper latus aliquod, cilicet a c: atque hic et mo
tus, quem Aritoteles uocat Si
lateris, non poet omnino moueri in uperficie a d
rhombi: et ita
ueretur, quod tamen upponit Aritoteles. Neque
i quieceret punctum aliud quam p haberet ratio
nem motus regularis, quod ab illo upponitur: reli
quum et igitur, ut rhombus l o moueatur uice rhombi a d eruan
do centrum, id et punctum p in puncto k. Dicamus ergo primum
de motu compoito Aritotelis, & pt de notro.
Moueatur l m uper a c, quiditans emper a b, ut eruet itum
quem habebat ita, quod
l punctum quod gerit uicem a, decendat tantum in linea l m, quan
tum l extremum in linea a c: dicit Philoophus, quod a eu l emper
decendet in linea a d, & erit in e a. Supponatur quae latus l m fit f g, &
erit l n, f t, ducatur
near q, quiditans a f,
a b d c, & proportio a f ad fr, ut a c ad c d, ed a c et qualis c d,
et qualis f r, ed l decendit in l m, Pot deficiunt qudam uerba: ob
qu nemo intellexit ententiam Philoophi, &
nere lectoribus, tan<08> intellexient, tres imul errores admittendo,
cilicet Aritotelem ob propriam ignorantiam, ut tultum accuan
do, qui fala dicat, & demontrare nitatur: produnt eipos cum
ua impudentia. Et lectoribus imponere conantur, debet ergo ic
legi (b in ipa b c diametro latum, ubi latus b d moueatur in late
re b a, & b qualiter uerus d in b d, qualis enim et ipa b e)
Tunc enim contat ut hic dixi, m moueri per b c rectam ut l per a d:
Dicit ergo
qu potet ee minor b a: nam
in e, & quia m decendit in o, in eodem tempore, ergo o erit in c, &
tibus qum m l unico Et quia aliquis dicere potuiet non et
mirum, quod m it minus motum duobus motibus qum l m latus
unico tantum: quia m mouetur motu contrario motui lateris: nam
latus m o mouetur in latere b a acendendo, et punctum m uerus o
in ipo m o decendendo. Dicit Philoophus, hoc et mirum, quia
cum idem contingat in motu l, cuius latus mouetur per a c, & l per l
m recedendo in partem contrariam, nihilominus uelocius motum
et l, qum latus l m, quia a d et longior a c. Ex quo patet, quae qutio
Philoophi et una tantum, & non du. Et et cur motum duobus
motibus in rhombo, in uno mouetur uelocius latere tantum moto
uno motu, in alio tardius? Et quia aliquis dicere poet, d b c po
et ee
uenire talem rhombum, qui etiam habeat a c longiorem, & tunc ni
hilominus Aliud
tratione, et quae ex duobus motibus rectis diueris potet fieri unus
motus rectus diuerus: igitur idem punctum, puta formica poteric
imul, & emel moueri duobus motibus rectis diueris. Et hoc et,
quia primus motus et rectus olum ecundum formam, & non e
cundum materiam: & alter ecundus, cilicet mitus et ecundum
materiam & non ecundum formam per rectam.
E
Ex hoc
bi l o in rhombo a d, fixo centro p in centro k, &
libet, l, dico quod l f emper qualis erit a f, quia
quales,
angulus k l a, qualis angulo k a l, ed angulus k a c
et qualis angulo k l m, cum angulus k l m eet
angulo k a b, & angulus k a b et
igitur angulus k l m et qualis angulo k a c,
duus fl a et qualis reiduo f a l, quare f a qualis
fl. Si igitur quantum procedit latus m l in a c,
decendat punctum in linea l m punctum perpetuo, erit in linea a c,
& per eam mouebitur. Vnde equitur quod
mi
mi
E
Quod
motib.
uno recto in linea, cilicet
l m, & altero circulari. .
circa
cto Aliud et
Quod
ad Patet quia mouebitur, gratia exempli, primo motu ex l
in f, & pt motu circulari, & uer erit motum ex a in f, qui motus
et qualis motui priori propri, & olo ex l in f.
Propoitio ducenteimaeptima.
Proportionem agentium naturalium in tranmutatione con
yderare.
Sit latitudo a b ad conuerionem terr in aurum me
dium perfectionis a b it c, & medium a c d b, cuius dimi
dium it e b. Et fiat commutatio a c in f g, tempore dimi
dium f g, g h in g h deberet peruenire ad perfectionem d,
quoniam ratio a c ad c d, ut f g ad g h. At uer dum trani
ret terra ad perfectionem c tota reitebat, iam adepta per
fectione a c non reitit, nii pro medietate, at proportio cu
iuslibet quantitatis ad dimidium alterius producitur ex
proportione eadem & dupla, dupla igitur et proportio
agentis ad imperfectionem a c ei qu et ad a b, igitur in di
midio temporis g h acquiret perfectionem c d, & it g k di
midium g h, erit ergo tempus totum fk, in quo acquiret
a d. At ratio hc contare non potet, nam i diuidatur p a
tium a b in trientes fient trientes duo, & quarta pars in perfectione
a d: ed iam multo citius acquiret quam in fk tempore, quod et di
midium & octaua pars. Sed hoc non cogit, quoniam partes prim
unt emper contumaciores, & ut diponuntur fiunt magis obedi
entes, non iuxta proportionem impliciter, ed ut unt in materia,
& ide hc actio et imilior proportioni exceus, & et Arithme
tica quam capacitatis cilicet Geometric.
Ex hoc patet, quod res qu ad ummam maturitatem perueni
unt, maxim
aurum, infans. Ergo oportet maxim iuxta finem cauere, ne detur
occaio ulla accelerandi partum.
Propoitio ducenteimaoctaua.
Mota res centro grauitatis per priorem motum in reditu uelo
cius mouetur, quam i quieuerit.
Sit a b c lectus penilis, in quo ho
mo aut patera, in qua aqua uel
num
neceari et in linea loci, cui anne
xus et lectus a g, & in patera lo ci
medij manus continentis pateram
tibus otendendum et primo.
LEMMA PRIMVM.
Omne graue
pondere mobili aut inmobili, continente ultra centrum grauitatis
naturalis uiolenter fertur.
Seu it pondus per e non fluctuans in penili lecto, eu humor in
patera, quum
ilis homo uel plumbum, humor autem aqua uel uinum bifariam
& ratione pater i mobilis it in a laxa manu, & etiam per humo
rem ipum redeuntem ad locum
lis patera, humor altem reflueret propria inundatione ad locum
uum centri grauitatis, licet in patera eet immobilis locus grauita
tis uelocius & maiore cum impetu, ade ut traneat uerus e,
erit motus primus ex e in f, et retitutio ex fin e: eu in immobili pon
dere mobilis continenti, ut in lecto penili: eu in immobili conti
nente, cilicet potqum ad locum uum retitutum fuerit per uim
retenta patera manu iuxta itum priorem in a, mobili autem con
tento, id et, humore, multo autem magis contento, & continente
mobilibus. Vt i patera & humor ipe imul
ra trangredietur locum uum, & humor duplici motu uperau
ctus trangredietur motum naturalem. Cum enim a d et remotum
a g, & et in f, mouetur maiore impetu, quam it pro ratione pon
deris, ut demontratum et, igitur tranibit ad e, cum ergo redeat
ad g motu naturali, necee et ut motus uiolentus it ualidior ea
parte naturalis, qua d reitit, dum et in g, ne dimoueatur g, i igi
tur tractum ad c, uperauit uim qua manet in g, in eo quod moue
tur ad f, igitur in reditu mouebitur tantum ultra g uerus e, quan
tum et acquiitum ex ui tranitus ultra g uerus f, quanto ergo ma
ior et arcus e d, tanto maior et d f, & quanto maior et arcus d f,
tanto maior d h.
Ex quo patet, quod quanto magis remouetur d g, tanto maio
re impetu fertur uerus extremum aliud & ultra medium.
LEMMA SECVNDVM.
Omne pondus appenum et graue comparatione medij graui
tatis, ad hoc ut ab eo remoueatur, quantum et pro ratione anguli
ex quo appenum et.
Sit d appenum in a & in b, & it angulus c b d, triplus angu
lo c a d, dico quod tripla et uis qu transfert d in c ex b, ei qu
transfert ex a, quoniam enim mixtus et in b & a, igitur a d qua
lia patia quales uires exigentur: igitur uirium proportio ut
angulorum, at quanto maior et a d in proportione ab b d tanto
maior et proportio anguli c b d ad
ior et a d tanto facilius remouet quali pa
tio d uerus e. Et licet remoueantur ab ipo
d, emper eadem proportio manebit, ma
nente eadem longitudine b d & a d, nam
proportio d f ad d c, et uelut f b d ad
c b d, & ut d f ad d e, ita f a d ad c a d, quare
fb d ad c b d, uelut f a d ad c a d, quare fb d
ad f a d, ut c b d ad c a d, quod fuit pro
poitum.
mi
ti
ti
dem.
LEMMA TERTIVM.
Grauitatem ponderis appeni aut fluidi
in comparatione ad remotionem centro
grauitatis inuenire.
Nam cum d trahetur per planum ut upenum, & non tractum
a d, erit dimidium ponderis appeni, igitur ex lemmate ecundo, pa
tebit proportio laboris in remouendo d loco proprio in quan
cunque partem & ditantiam, & in quouis loco it appenum.
ius.
Ex hoc equitur, quod poterit annulus tam alt appendi, utiuxta
proportionem angul & leuitatem propriam cum filo tenuisimo,
& ut fuerit latus, & poitus regione oris, ut ex ermone circum
agatur quaqua uerus, & percutiat labra uais aqua pleni ferm, ut
uideatur plane repona dare.
LEMMA QVARTVM.
Quanto magis remotum fuerit pondus ex eodem centro recta
linea, tanto maiore impetu agetur, ut ultra locum medium feratur
non quali, ed producta proportione.
Sit a b, & ut dictum et, non et ei pondus, nii quatenus remoue
tur a recta, & in c ummam habeat grauitatem, & d it medium b c,
dico ergo quod multo maiore impetu feretur ex cin
b quam ex d, nam cum c it umma grauitas, erit al
tem dupla grauitati d, ed d grauitas et pen infinita,
ut demontratum et in comparatione ad b, ut iuxta
itum remotionis linea b, cum ergo proportio in
gularum partium c d ad ingulas d b medietate b c ditantes it ma
ior dupla augendo, erit proportio c d ad d b, uelut pro
poita h k dupla g f, & h e dupla e f, e k h ad e g f quadru
pla, igitur & eo maior quo acquiitus et impetus ex de
montratis, quare proportio motus & impetus ex c in
b, et multo maior impetu ex d in b quadrupla pro
portione.
ius.
Ex his omnibus concluditur propoitum in prima figura, & et
quod i b c inclinetur uerus e, mouebitur a d, certo impetu uerus
e. Et quia i prius b c inclinatum fuerit in f, redit a d, dum b c reuer
titur ad proprium itum ultra lineam a d g uque ad h per primum
lemma. Et cum b c inclinatur ad b f peruenit, quantum b c inclina
ta ad f, cilicet ad e, igitur ex motibus b c in f & in e tanto plus mo
uetur d ultra e, quantum et productum d e in d h, ideo multo plus
quam i olum motum fuiet d ex recta a g, etiam quod non moue
retur b c. Multo plus ergo moto etiam b c, ut diximus.
Propoitio ducenteimanona.
Si uperficies rectangula in duas partes quales diuia intelli
gatur, qu amb quadrat int, itemque in duas inquales, erit pa
rallelipedum ex latere medi partis in totum uperficiem maius ag
gregato parallelipedorum ex par
tibus inqualibus, in latera alte
rius partis mutuo in eo, quod fit
ex differentia lateris minoris par
tis a medi latere in differentiam
maioris partis uperficiei media
uperficie bis, & ex differentia am
borum laterum inqualium iun
ctorum ad ambo latera qualia
iuncta in minorem partem uperficiei.
Proponatur a g diuia in duo quadrata qualia a h, h b, & late
ra erunt a c, c b, & in duo inqualia a d d g, quarum latera int b c,
a f