Baliani, Giovanni Baptista De Motu Naturali Gravium Solidorum Ioannis Baptistae Baliani 1638 Genua la balia_demot_076_la_1638.xml 076.xml

De MOTV NATVRALI, GRAVIVM SOLIDORYVM IOANNIS BAPTISTAE BALIANI PATRITII GENVENSIS.

GENVUAE, EX Typographia Io: Mariae Farroni, Nicolai Pe&longs;agnij, et Petri Franci&longs;ci Barberij, &longs;oc. MDCXXXVIII. SVPERIORUM PERMISSV.

PRAEFATIO

Mihi quoque, sicut et caeteris hominibus, inest sciendi cupiditas, nec grave fuit, usque à primis annis, et aliorum scripta percur-rere, et naturales effectus observare, qui facile mihi persuaserim, ex bisce fontibus, tum scientiam, tum sapientiam in animum derivare, si tandem ex effectibus diligentius perspectis, non modo ad inde consequentes, sed etiam ad causas, usque ad primam deveniat intellectus. Statui igitur apud me ipsum non acquiescere soli relationi plurimorum, etiam doctiorum; potuisse siquidem contingere existimavi, ut aliqua laterent, etiam in plurimis oculatissimos, vel non plene ab eis explica-rentur; & ratus sum non inutilem laborem futurum, si ex accuratiori naturae rerum investigatione, & ex affectionum inde resultantium deductione, circa quod omnis demonstra-tiva scientia versatur, aut scitis adderem aliqua, aut doctiori-bus acuerem desiderium addendi plura: hinc factum est, ut exci-tara mens ex praecognitis legendo, ad ea, quae se offerebant, secundum privatas, aut publicas occupationes pervestiganda, converteretur studiosus. Inter alia dum anno millesimo sex-centesimo undecimo, per paucos menses, ex patriae legis prae-scripto, Praefectum Arcis Savonae agerem, ex militaribus observationibus quae occurrebant, illud maxime depraehendi, ferreos, & lapideos tormentorum bellicorum globos, & sic corpora gravia, seu eiusdem, seu diversae speciei, in inaequali satis Mole, & gravitate, per idem spatium, aequali tempore, & motu, naturaliter descendere, idque ita uniformiter, ut repetitis experimentis mihi plane constiterit, duos ex prae-dictis globis, vel ferreos ambos, vel alterum lapideum al-terum plumbeum, eodem plane momento temporis dimissos sibi, per spatium quincaginta pedum, etiam si unus esset librae unius tantum, alter quincaginta, in indivisibili tem-poris momento, subjectum solum ferire, ut unus tantum am-borum ictus sensu perciperetur. Repetebam animo sapien-tum esse pronunciatum, gravia moveri naturali motu, se-cundum gravitatum proportionem; Processi ulterius, & peri-culum feci, num forte iuxta eorum sententiam contingeret, si corpora dimissa, ejusdem fere essent molis, sed longe di-versi ponderis, puta unum plumbeum, cereum alterum; & expertus sum in cereo aliquam longiorem moram in descen-su, attamen longe infra proportionem gravitatum, globus quippe ille cereus, in data distantia quinquaginta pedum de-scensus, uno circiter pede distabat a solo, quando plumbeus tangebat subjectum planum, objecto aere intermedio ni fal-lor, sensibiliter resistente, & impediente motum. Institi adhuc, & globos in gravitate, & in materia inaequales appendi funiculis aequalibus, & agitatos animadverti moveri tempore aequali, & hoc servare adeo fideliter, ut globus plumbeus dua-rum unciarum, alter librarum duarum, ferreus librarum 34. & lapideus quadraginta circiter, nec non, & lapis in-formis, quorum funiculi comprehensis ipsorum semidiame-tris aequales essent, uno, & eodem temporis spatio moveren-tur, & vibrationes easdem numero darent hinc inde, sive mo-tus unius globi fieret per aequale spatium, sive per inaequa-le, ita ut qui majori impetu jactabatur, & sic majus spatium percurrebat, illud tanto velocius pertransiret. In quibus peragendis illud praeter expectationem sese mihi obtulit, quod quotiescunque globi penderent ex funiculis inaequalibus, ita inaequali motu ferebantur, ut longitudines funiculorum, durationibus motuum, in duplicata ratione responderent.

Porro cum ex praemissis satis superque liqueret, in naturali motu gravium, proportionem gravitatum communiter credi-tam, non servari; in eam descendi sententiam, ut arbitrater fortasse, gravitatem se habere ut agens, materiam vero, seu mavis materiale corpus, ut passum, & proinde gravia mo-veri juxta proportionem gravitatis ad materiam, & ubi sine impedimento naturaliter perpendiculari motu ferantur, mo-veri aequaliter, quia ubi plus est gravitatis, plus pariter sit materiae, seu materialis quantitatis; si vero accedat aliquid resistantiae, regulari motum secundum excessum virtutis agentis supra resistentiam passi, seu impedientia motum; qui excessus momentum noncupabitur, & quod communiter gra-vitati attributum fuit, momento attribui debere, nimirum ut sit momentum ad momentum, ut velocitas ad velocita-tem; Et hinc fieri posse, ut cognoscamus qua mensura, seu proportione corpora gravia naturali motu ferantur super su-bjectis planis, si super eis quomodolibet inclinatis, ipsorum gravium momenta ubique innotescant, quae majora, aut mi-nora videntur censenda, secundum quod magis, aut minus super plano quiescunt, & sic secundum majorem, aut mino-rem inclinationem plani resistentis; quod demum tali pro-portione facile fieri mihi existimandum videtur, juxta quam reciproce momentis proportionantur lineae dictorum plano-rum, si ambae ductae sint ab eodem puncto ad idem planum orizontale; de quo Simon Stevinus l. p. de Statica prop. 19. & acutissime Galileus in Mechanica manuscripta, ubi de Cochlea, & ego aliquali experientia compertum habui. Cae-terum si per experientiam Scienta hominibus efficitur, prae-dicta de quibus saepius repetitis actibus expertus fui, ut prin-cipia scientiae habenda fore censui; in quibus occultae con-clusiones delitescant, demonstrationibus duntaxat aperiendae. Rimari caepi; an deprehenderim aliorum erit judicium. Subjecta paucula, quae presens aliquod otium expedire per-misit, de motu naturali solidorum gravium, Amice lector tibi exhibeo, mox de liquidorum, & deinceps alia plura tam parata daturus, si haec placuerint. Placuit sane mihi, vel paucula tibi dare, qui te ejus ingenii esse confidam, ut non verba, sed res, easque non mole, sed pondere censeas, felicior si de eorum genere existimaveris, quae non mole magna sunt, quod si talia non fuerint, quo minora minus defatigabunt, sui exilitate, auctoris partus proprios omnino esse probatura. Idioma latinum elegi ut communius. Praemisi aliqua na-turalia principia, sine quibus naturales conclusiones aliunde duci posse non video. Quae ex praedictis experimentis innotuerunt, suppositiones appellare, & a reliquis petitionibus se-cernere libuit. Petitiones illas, quibus quid fieri petimus, con-structioni deservientes, tanquam factu, & cognitu faciles, & proinde supervacaneas, prudens praetermisi; ratus siqui-dem nil inde incredulitatis, aut difficultatis derivaturum. Septimum postulatum ea ratione segregavi, quod illud aliquo pacto a 22. prop. pendeat, & quod in illo etiamsi veritas non deficiat, evidentiam tamen ut in caeteris non agnoscens, certis dubia quo quo pacto permiscere noluerim; ut proinde plura eorum, quae ex illa deducta sunt, & diversa Methodo & attingendo potius, quam demonstrando subjunxerim. Si quae demum minus probata, seu explicata, aut quo quo pacto imperfecta reperies, velim te tribue-re cuidam naturali meae propensioni, ad no-va potius, qualiacumque ea sint, inve-nienda, quam inventa perficienda. Vale.

DEFINITIONES

Pendulum dicimus pondus filo appensum.

Pendula dicuntur aequalia, seu aequipendula, sive inaequalia, quae, & longiora, aut brevio-ra, quatenus fila, e quibus dependent, sunt aequalia, longiora, aut breviora.

Vibrationes pendulorum sunt eorum motus hinc inde Vibrationes aequales dicimus, quae fiunt per spatia aequalia, & e contra inaequales.

Vibrationes aeque celeres si fiant per spatia aequalia tem-pore aequali.

Vibrationis diuturnitatem dicimus ipsius Durationem, tempus nimirum, quo ipsa vibratio perficitur.

Vibrationes aequediuturnae, sunt, quae fiunt tempore aequali, etiamsi per spatia inaequalia, inde diuturnior est, quae longiori perficitur tempore.

Vibrationes integras dicimus eas, quae se extendunt per integrum semicirculum, se hinc inde moventes per circuli quadrantem.

Vibrationis portio est pars arcus, quem ipsa vibratio disignant.

Vibrationum similes portiones sunt arcus ipsarum in-tercepti inter binas lineas ductas a centro, a quo concipiuntur pendula pendere.

Vibrationis portionem priorem decimus eam mini-mam portionem, a qua integra vibratio initium habet.

Momentum est excessus virtutis moventis supra mo-tus impedimenta.

SUPPOSITIONES

PRIMA. Solidorum aequipendulorum cujus-cumque gravitatis vibrationes aequales sunt aeque-diuturnae.

2 Equipendulorum eorumdem vibrationes sunt aeque-diuturnae, etiamsi inaequales.

3 Pendulorum inaequalium longitudines sunt in du-plicata ratione diuturnitatum vibrationum, seu ut quadrata vibrationum.

4 Momentum gravis super plano inclinato est ad ip-sius gravitatem, ut perpendicularis ad inclinatam, si ab eodem puncto ducta sint ad idem planum orizontale dicta perpendicularis, & dictum planum inclinatum, & proinde tali casu proportio gravita­tis ad momentum est reciproca proportioni linea-rum super quibus grave movetur.

PETITIONES, SEU POSTULATA

Pr. Pendulorum inaequalium portiones similes vibra-tionum sunt inter se quoad diuturnitatem, ut vibra-tiones integrae.

Sint pendula AB, AC; dependentia a puncto A, & ele-ventur ad libellam orizontis puncti A, in E, D, de-scribentia arcus BD, CE, integrarum vibrationum, & in arcubus BD, CE sumantur portiones similes EF, DG, seu HI, KL ductis EA, FA, seu HA, IA. Peto mihi concedi, esse pendulorum diuturnitates in arcubus EC, DB, ut in portionibus EF, DG, nec non HI, KL, & ita deinceps.

2. Ut est momentum ad momentum solidi gravis, ita velocitas ad velocitatem.

Hujusmodi passio communiter attribui solet gravitati sim-pliciter, quod eum nimis clare experientiis supra expo-sitis nullo pacto congruere possit, momentis attribuenda esse visa est, ut in praefatione explicatum fuit.

3. Portiones minimae peripheriae Circuli concipiende sunt, ac si essent lineae rectae.

Quaecumque arcus portio est circularis, attamen si est minima portio, tam parum aberrat a linea recta, ut non modo quo ad sensum, sed quoad quascunque physicas passiones, perinde esse videatur, ac si esset linea recta, id-circo ut petitionem admittendam censeo, quemadmodum in-mechanicis admittitur illa, quod perpendiculares sunt paral-lelae, etiamsi in centro concurrant universi, quatenus eisdem sunt passionibus physicis subjectae, ac si vere essent parallelae.

4. Data recta linea, possimus concipere circulum talis magnitudinis, cujus portio peripheriae aequalis quo ad sensum datae lineae, concipienda sit, ac si esset linea recta.

Haec petitio videtur concedenda, quia si concipiamus cir-culum, ejusque portionem minimam, ut in praece-denti, si fiat ut hujusmodi portio ad datam lineam, ita circulus ad alium, portio hujus, datae lineae aequalis erit, & similis omnino praedicta minimae portioni, & proinde pa-riter concipienda ut linea recta.

5. Solida perpendicula libero motu aeque velociter feruntur, & in tali proportione, ac si essent pendula, & moverentur in priori portione vibrationum.

Quoniam prior portio non differt sensibiliter a recta, ut in tertia petitione, nec etiamsi sit major ut in quarta, iisdem physicis passionibus subjicitur, & exinde motibus aequalibus.

6. Solida naturaliter mota super plano inclinato aeque velociter moventur ac si essent pendula, & moveren-tur in tali portione vibrationum, quae quoad sensum esset aequalis, & paralella lineae dicti plani super qua dicta solida moverentur.

Non differt a praecedente, nisi quod in illa motus est per-pendicularis, in hac inclinatus, in reliquis est par ratio.

PRONUNCIATA

P. Quae sunt aequidiuturna tertio, sunt aequidiu-turna inter se.

2. Quadrata datorum temporum, sunt etiam quadrata aliorum datis aequalium.

3. Gravia eadem super planis aequalibus & pariter incli-natis, pariter moventur.

PROPOSITIO PRIMA.

Solidi penduli naturaliter moti vibrationes quan-tumvis semper minores, sunt aequidiuturnae.

Sit solidum A pendulum debite applicatum filo BA, quod ab altera parte elevatum naturaliter, postea faciat hinc inde vibrationes semper minores, ita ut prior vibratio sit V. G. per spatium CD maius, posterior vero per spatium EF minus.

Dico quod dicta vibrationes erunt aequidiuturnae, ita ut vibra-tio per spatium CD sit eiusdem durationis, ac vibratio per spatium EF.

Sit aliud solidum G aequipendulum solido A, debite applica-tum filo HG, quod elevetur ab una parte eodem tempore minus quam solidum A ita ut sint minores vibrationes soli-di G, quam, solidi A, ut sit motus penduli G in initio per spatium IK aequale spatio EF.

Quoniam spatia EF, & IK, sunt aequalia ex suppositione, sunt etiam vibrationes EF, & IK, aequidiuturnae, sed IK, & CD sunt pariter aequidiuturnae, ergo EF, & CD sunt etiam aequidiuturnae. Quod fuit probandum.

Per pri-mam sup-positionem. Per secun-dam sup-positionem. Per pr. pron.

PROPOSITIO II. PROBLEMA PRIMUM.

Pendula constituere, quorum diuturnitates vibra-tionum sint in data ratione.

Data sit proportio diuturnitatum vibrationum, quam volumus esse inter solida A,B; & sit ea, quae est inter C, & D; quae est continuo eadem,a.

Venanda est longitudo filorum, quibus applicata dicta solida producant vibrationes quaesitas.

Per pr. hujus.

Sint E F numeri mensurantes proportionem, quae est inter C & D, quorum quadrati numeri G & H, Fila IA, KB fiant inter se ut G, ad H, & erunt fila quaesita, quibus si applicentur solida A, B, producentur diuturnitates vibra-tionum quaesita.

Quoniam ita est IA, ad KB, ut quadratum G numeri me-tientis C, ad quadratum H numeri metientis D, erunt C, & D diuturnitates vibrationum pendulorum A, & B; & proinde in ratione data. Quod faciendum fuit.

Per 3. suppo.

PROPOSITIO TERTIA.

Lineae descensus gravium, dum naturali motu perpendicula-riter feruntur, sunt in duplicata ratione diuturnitatum.

Sint LN, KM linea descensus gravium L, K, & sint PO ipsorum diuturnitates.

Dico LN, KM esse in duplicata ratione ipsarum P, O.

Sint pendula AH, AI, dependentia a puncto A, & eleven-tur ad libellam ipsius A usque ad E, B, quae in elevatione producant arcus HB, IE, & sint talis longitudinis, ut du-cta ACF, secet arcus BC, & EF, portionis minimae, aequa-les quo ad sensum lineis LN, KM, & sit S, quadratum diuturnitatis P, & T quadratum O, & Q, R, diuturni-tates vibrationum BC, & EF.

Quoniam diuturnitates Q, R sunt aequales diuturnitatibus P, O; S, T, sunt etiam quadrata ipsarum Q, R, & quia vibrationes integrae pendulorum AH, AI sunt ut qua-dratum T ad quadratum S, portiones BC, EF, sunt pa-riter inter se ut quadratum T ad quadratum S, sed BC, & EF sunt aequales lineis KM, LN, ergo etiam KM, LN sunt ut quadrata S, T, & proinde in duplicata ratione P, O, temporum seu diuturnitatum earumdem. Quod, &c.

Per 5. pet. Per 2. pron. Per 3. supposit. Per 5. petit. Per 3. petit. Per 1. pron.

PROPOSITIO QUARTA. PROBL. II.

Data diuturnitate gravis descendentis a data altitudine, constituere altitudinem, a qua idem grave cadat in data alia diuturnitate.

Sit A diuturnitas gravis B, dum cadit in C, & data sit diuturnitas quaecumque D.

Constituenda est alia altitudo, a qua grave descendat iuxta diuturnitatem D.

Fiant E, & F quadrata temporum A, D, & ut F ad E, fiat altitudo GH, ad altitudinem datam BC; Dico GH esse al-titudinem quaesitam.

Quoniam BC, & GH sunt in duplicata ratione datarum diu-turnitatum A, D, per constructionem; per ipsas gravia B, & G cadent in diuturnitatibus A, & D datis, unde re-perta est altitudo GH quaesita. Quod fuit faciendum.

Per 3. hujus.

PROPOSITIO V. PROBL. III.

Data altitudine, a qua descendat grave in nota diutur-nitate; perquirere quanta sit diuturnitas, qua descen-dat ab alia altitudine data.

Sit A altitudo per quam descendat grave diuturnitate B nota, & data sit alia altitudo C.

Oportet reperire quanta sit diuturnitas, qua idem grave de-scendat per C.

Fiat D quadratum diuturnitatis B, & fiat ut A ad C, ita quadratum D ad quadratum E, cuius radix F est diutur-nitas quaesita.

Quoniam A, & C sunt in duplicata ratione diturnitatum B, & F per constructionem, per ipsas gravia descendent in diuturnitatibus B, F, unde F est diuturnitas ipsius C quaesita. Quod faciendum fuit.

Per 3. hujus.

PROPOSITIO VI.

Gravia naturali motu descendunt semper velocius ea ratione, ut temporibus aequalibus descendant per spa-tia semper maiora, iuxta proportionem quam ha-bent impares numeri ab unitate inter se.

Sit grave A quod descendat per lineam ABC, & tempus quo descendit ab A in B sit aequale tempori, quo de-scendit a B in C, & a C in D.

Dico quod lineae AB, BC, CD sunt inter se ut 1. 3. 5. & sic deinceps.

Sit G numerus mensurans tempus, quo A descendit in B, & H, quo descendit a B in C, & I, quo descendit a C in D, quae tempora sunt ex suppositione aequalia, & sit K qua-dratum ipsius G, & L quadratum GH, & M quadratum totius GHI.

Quoniam quadrata K, L, N sunt ut AB, AC, AD, quae quadrata sunt ut 1, 4, 9, sunt itidem AB, AC, AD, ut 1. 4. 9. & dividendo AB, BC, CD, ut 1. 3. 5. & sic dein-ceps. Quod probandum fuit.

Per 3. hujus.

PROPOSITIO VII.

Lineae descensus gravium super plano inclinato mo-torum, sunt in duplicata ratione diuturnitatum.

Sint AB, CD plana pariter inclinata, super quibus mo-veantur gravia A, C, & sint EF ipsorum diuturnitates.

Dico AB, CD, esse in duplicata ratione ipsarum E, F.

Secetur AB bifariam in G, & erecta GH, perpendiculari longissima, fiant pendula HI, HK, quae sint inter se ut AB, CD, & eleventur in L, M, describentia arcus LI, KM, secantes GH in N, O, & ab N hinc inde secentur arcus NP, NQ aequales quo ad sensum rectis GA, GB, & ductis PH, QH, secetur pariter arcus LI, in R, S, & intelligan-tur arcus PQ, RS, tam parvae curvitatis, ob maximam longitudinem pendulorum HI, HK, ut pro rectis habean-tur, puta portionis minimae, & proinde aequales rectis AB, CD: sit Z quadratum diuturnitatis E, & V, diuturnitatis F, & sint XY diuturnitates vibrationum PQ, RS.

Quoniam diuturnitates X, Y, sunt aequales diuturnitatibus E, F, sunt etiam Z, V, quadrata ipsarum X, Y; & quia vibrationes integrae pendulorum HI, HK sunt inter se, ut quadratum V, ad quadratum Z, portiones RS, PQ erunt etiam inter se ut quadratum V ad quadratum Z; sed RS, PQ aequantur rectis CD, AB,, ergo, & CD, AB sunt ut quadratum V, ad quadratum Z, & proinde, in duplicata ratione ipsarum EF. Quod, &c.

Per 6. petit. Per 2. pron. Per 3. hujus. Per pr. pet. Per 3. petit. Per 2. pron.

Corolarium.

Hinc patet esse longitudines planorum per quae gravia fe-runtur ut quadrata temporum, & tempora ut radices longitudinum planorum.

PROPOSITIO VIII. PROB. IV.

Dato plano inclinato, super quo per spatium datum grave moveatur in nota diuturnitate, determinare in eodem plano spatium per quod dictum grave mo-veatur in quavis alia diuturnitate data.

Sit A diuturnitas gravis B, dum descendit in C super pla-no inclinato BC, & data diuturnitas D.

Praescribendum est aliud spatium in eodem plano BC, per quod idem grave pertranseat in diuturnitate D.

Fiant E, F quadrata temporum A, D, & ut F ad E fiat BG ad BC, Dico BG esse spatium quaesitum.

Quoniam BC, & BG sunt in duplicata ratione datorum temporum A, D per constructionem, per ipsa cadet grave B diuturnitatibus A, D datis, ergo reperta est BG quae-sita. Quod faciendum erat.

Per 6. hujus.

PROPOSITIO IX. PROB. V.

Dato plano inclinato, super quo per spatium datum gra-ve moveatur nota diuturnitate; & dato alio spatio quocumque; reperire diuturnitatem, qua grave per ipsum descendat.

Sit A diuturnitas gravis B, dum descendit in C super pla-no inclinato BC, & dato alio spatio BG.

Querendum quanta sit diuturnitas gravis in BG.

Fiat E quadratum diuturnitatis A, & ut BC ad BG fiat ut quadratum E ad quadratum F, cuius radix D erit diutur-nitas ipsius BG quaesita.

Quoniam BC, & BG sunt in duplicata ratione diuturnita-tum A, D per constructionem; per ipsa cadunt gravia diu-turnitatibus A, D, unde D est diuturnitas per spatium BG quaesita. Quod faciendum erat.

Per 7. hujus.

PROPOSITIO X.

Gravia descendunt super planis inclinatis per spatia semper maiora, iuxta rationem, quam habent im-pares numeri successive inter se.

Sit grave A, quod descendat super plano ABC inclinato, & tempus quo descendit ab A in B sit aequale tempo-ri, quo descendit a B in C, & a C in D.

Dico quod lineae AB, BC, CD sunt inter se ut 1. 3. 5. &. sic deinceps.

Sit E numerus mensurans tempus, quo A descendit in B, & F quo descendit a B in C, & G quo descendit a C in D, quae tempora sunt ex suppositione aequalia, & sit H quadratum ipsius E, & I quadratum EF, & K quadratum totius EFG.

Quoniam quadrata HIK sunt ut AB, AC, AD, quae quadrata sunt ut 1. 4. 9. sunt pariter AB, AC, AD, ut 1. 4. 9. & dividendo AB, BC, CD, sunt ut 1. 3. 5. & sic deinceps. Quod probandum erat.

Per 7. hujus.

PROPOSITIO XI.

Si Duo gravia descendant alterum super linea perpen-diculari, alterum vero super inclinata; proportio ve-locitatum est reciproca proportioni linearum.

Sit ABC planum normaliter erectum super lineam ori-zontalem BC, cuius latus AB sit perpendiculare, & AC, inclinatum.

Dico quod proportio velocitatum solidorum gravium moto-rum secundum lineam AB perpendicularem, & AC in-clinatum, est ut proportio longitudinis inclinatae AC ad longitudinem perpendicularis AB; videlicet ita est longi-tudo AB ad longitudinem AC, ut velocitas super AC ad velocitatem in AB.

Quoniam est ut AC ad AB, ita momentum in AB, ad mo-mentum in AC; & ut momentum in AB ad momentum in AC, ita velocitas in AB ad velocitatem in AC; er-go est etiam ut AC ad AB, ita velocitas in AB ad velo-citatem in AC. Quod fuit probandum.

Per 4. supp. Per 2. pet.

PROPOSITIO XII.

Gravia descendunt super plana diverse inclinata tali proportione, ut si velocitas ad velocitatem recipro-ca longitudinibus planorum ductorum ab eodem puncto, ad idem planum orizontale.

Sint F, D plana inclinata ducta ad idem planum orizon-tale.

Dico esse ut planum D ad planum F, ita velocitatem gravis ducti super F, ad velocitatem eiusdem ducti super D.

Ducatur perpendicularis E, & sint B, A, C velocitates gra-vium latorum super perpendiculari, & super planis F, D.

Quoniam est A ad B, ut E ad F, item, & B ad C, ut D, ad E, erit A ad C ut D ad F, scilicet velocitas gravis su-per F ad velocitatem gravis super D, ut longitudo pla-ni D ad longitudinem plani F. Quod fuit probandum.

Per 11. hujus. Per 23. Quinti.

PROPOSITIO XIII. PROBL. VI.

Reperire inclinationem plani, super quo grave movea-tur tali velocitate quae cum alia super diversa incli-natione sit in ratione data.

Moveatur grave A super recta AB, seu perpendicula-ri, seu inclinata, & data sit proportio C ad D.

Oportet reperire aliud planum inclinatum, ita ut velocitas gravis moti super AB ad velocitatem alterius moti super illo reperiendo, sit ut D ad C.

Producatur BA; & fiat ut C ad D ita BA, ad AE; & centro A, intervallo AE describatur circulus, secans BF in F; ni secet, problema insolubile est; si secat, ducatur AF, quam dico esse planum quaesitum.

Quoniam ut C ad D, ita AB ad AE, seu AF per constructio-nem, erit C velocitas super AF, & D super AB, unde velo-citates super ipsis sunt in ratione data. Quod faciendum fuit.

Per 12. hujus.

PROPOSITIO XIV. PROBL. VII.

Data linea perpendiculari, per quam grave descendat, cui annectatur linea, seu planum declinans; in decli-nante reperire punctum, quo grave perveniat eo tempore, quo pertransiverit perpendicularem.

Sit triangulum ABC orthogonaliter erectum super plano orizontali BC, cuius latus AB intelligatur sit linea perpendicu-laris, per quam grave descendat, & latus AC sit planum inclinatum.

Oportet in plano AC reperire punctum quo grave perveniat eodem tempore, quo in B.

Fiat ut AC ad AB, ita AB ad tertiam AD, & D erit pun-ctum quaesitum.

Quoniam ut AC ad AD, ita quadratum AC ad quadra-tum AB, & ut AC ad AD, ita quadratum temporis AC ad quadratum temporis AD, ergo ut quadratum AC ad quadratum AB, ita quadratum temporis AC ad qua-dratum temporis AD, ergo ut AC ad AB, ita tempus AC ad tempus AD, sed ut AC ad AB, ita tempus AC ad tempus AB, ergo tempus AB est aequale tempori AD. Quod, &c.

Per 19. Sexti. Per cor. 7. hujus. Per 11. Quinti. Per 22. Sexti. Per 11. hujus.

PROPOSITIO XV.

Linea connectens puncta, ad quae duo gravia ab eo-dem puncto digressa, quorum alterum perpenden-ter, alterum super plano declinante descendat, simul perveniunt, est perpendicularis dicto plano declinanti.

Descendant simul duo gravia a puncto A primum per-pendiculariter in B, secundum super plano inclinato AC, tali lege, ut simul perveniant ad puncta BD, & ducta sit linea BD.

Dico quod dicta linea BD est perpendicularis ad AD.

Fiat AF aequalis datae AB, & AE aequalis AD, & duca-tur EF.

Quoniam ut AD ad AB, ita AB ad AC, & AD, AE, item AB, AF sunt aequales per constructionem, se-quitur quod AE ad AF est ut AB ad AC, ergo EF, BC sunt parallelae, unde triangulum AEF, & proin-de ABD est simile triangulo ABC, unde anguli ABC, ADB simul recti, & BD perpendicularis ad AD. Quod, &c.

Per 13. hujus. Per 2. Sexti. Per 4. Sexti.

PROPOSITIO XVI. PROBL. VIII.

Data linea perpendiculari, & plano declinante; reperire in perpendiculari producta punctum, quo perveniat grave eo tempore, quo pertransit planum inclinatum.

Data sit perpendicularis AB, cui connexum planum inclinatum AD.

Oportet in AB producta reperire punctum, quo perveniat grave eo tempore, quo pervenit in puncto D.

In puncto D perpendicularis erigatur ad AD, & protraha-tur usquequo coeat cum AB producta in E, & E est pu-nctum quaesitum.

Quoniam triangula & ADE, AEC sint aequiangula, cum anguli ADE, AEC sint aequales, nempe recti, & BAD communis, sunt etiam similia, ergo ut AC ad AE, ita AE ad AD, sed ut AC ad AD, ita qua-dratum AC ad quadratum AE, & ut AC ad AD, ita quadratum temporis AC ad quadratum temporis AD, ergo ut quadratum AC ad quadratum AE ita qua-dratum temporis AC ad quadratum temporis AD, er-go ut AC ad AE, ita tempus AC ad tempus AD, sed ut AC ad AE, ita tempus AC ad tempus AE, ergo tempora AE, & AD sunt aequalia. Quod &c.

Per 32. prim. Per 4. sexti. Per 4. sexti. Per 19. Sexti. Per Cor. 7. hujus. Per 11. Quinti. Per 22. sexti. Per 11. hujus.

PROPOSITIO XVII. PROBL. IX.

Dato plano declinante, super quo grave descendat, & dato alio plano minus declinante, in hoc reperire punctum, quo perveniat mobile eo tempore, quo pertransit dictum planum magis declinans.

Sint plana AB, AC quorum AC minus inclinatum.

Oportet in AC reperire punctum, quo grave perveniat, quando pervenit in B.

Fiat ut AC ad AB ita AB ad AD, & dico D esse punctum quaesitum.

Quoniam ut AC ad AD ita est quadratum AC ad quadra-tum AB, & ut AC ad AD ita quadratum temporis AC ad quadratum temporis AD, ergo ut quadratum AC ad quadratum AB, ita quadratum temporis AC ad quadratum temporis AD, Unde AC ad AB ut tempus AC ad tempus AD, sed ut AC ad AB, ita tempus AC ad tempus AB, ergo tempora AB, AD, sunt aequa-lia. Quod, &c.

Per 19. sexti. Per cor. 7. hujus. Per 11. Quinti. Per 22. sexti. Per 11. hujus.

PROPOSITIO XVIII. PROBL. X.

Datis planis declinantibus ortis ab eodem puncto, re-perire in magis declinante punctum quo grave per-veniat eo tempore, quo pertransit planum minus declinans.

Datum sit planum minus declinans AC, & magis AD, terminantia super plano orizontali BD.

Oportet in AD producta reperire punctum, quo perveniat grave eo tempore, quo pertransivit planum minus decli-nans AC.

Fiat ut AD ad AC ita AC ad dictam AD productam in E, quod est punctum quaesitum.

Quoniam ut AE ad AD ita est quadratum AC ad quadra-tum AD, sed AE ad AD est ut quadratum temporis AE, ad quadratum temporis AD, ergo ut quadratum AC ad quadratum AD, ita quadratum temporis AE ad quadratum temporis AD, unde AC ad AD ut tempus AE ad tempus AD, sed AC ad AD est ut tempus AC ad tempus AD, ergo tempora AE, AC sunt aequalia. Quod, &c.

Per 19. sexti. Per cor. 7. hujus. Per 11. Quinti. Per 22. sexti. Per 11. hujus.

PROPOSITIO XIX. PROBL. XI.

Dato motus naturali gravis quomodocumque ad pun-ctum datum, reperire seu in perpendiculari, seu in plano quomodolibet inclinato punctum, a quo di-gressum, perveniat ad idem punctum quo prius, tem-pore aequali.

Sit AB linea quomodocumque aut perpendicularis, seu planum inclinatum; super qua grave descendat in B, & data sit quaecumque linea BC, aut perpendicularis, aut quomodolibet inclinata, quae cum AB, coeat in B.

Oportet in BC reperire punctum, a quo grave digressum per-veniat in B tempore quo pervenit ab A in idem B.

Ducatur AC orizontalis, & fiat BD tertia proportiona-lis ad CB AB, & D est punctum quaesitum. Quod ut probetur.

Per 11. Sexti.

Fiat iterum rectae AC paralella, & aequalis BE, & ducta EA, secetur recta BF parallela ipsi AD.

Quoniam AF, BD sunt pariter inclinatae, & aequales, gra-via per ipsas aequali tempore moventur, ergo aequali tem-pore ut per AB, quod, &c.

Per 33. Primi. Per 3. pronun. Per pr. pron.

PROPOSITIO XX. PROBL. XII.

Datis duobus planis diverse inclinatis longitudinis no-tae; & nota diuturnitate gravis moti super uno, re-perire diuturnitatem si moveatur super alio.

Sint plana AB, CD inclinata, & sit data diuturnitas E plani AB.

Oportet reperire diuturnitatem plani CD.

Fiat AF, paralella, & aequalis datae CD, in qua reperiatur punctum G quo perveniat grave, tempore quo in B, unde E est etiam diuturnitas spatii AG, quo dato, & spatio AF perquiratur eias diuturnitas, quae sit H, & dico H esse diuturnitatem quae grave descendit in CD.

Per 17. hujus. Per 9. hujus.

Quoniam E, H sunt diuturnitates gravium descendentium in AG, seu AB, & AF, per constructionem, & AF est aequalis, & paralella datae CD per constructionem, sunt etiam E, H diuturnitates ipsarum AB, & CD, unde reperta est diuturnitas ipsius CD. Quod, &c.

Per 3. pron.

PROPOSITIO XXI. PROBL. XIII.

Datis duabus diuturnitatibus, quarum prior sit gravis moti super plano dato longitudinis notae, & dato alio plano diversimode declinante; reperiendum est in eo punctum, quo grave perveniat in secunda diuturnitate data.

Dato plano declinante AB, super quo grave A moveatur diuturnitate C, & dato alio plano D declinationis quae sit dissimilis declinationi datae AB; data itidem diu-turnitate E.

Oportet reperire in D punctum quo grave perveniat in diuturnitate E.

Ducatur AF parallela ipsi D, in eaque reperiatur pun-ctum F, quo grave perveniat tempore quo in B, & prae-scribatur in eadem spatium AG per quod moveatur in diuturnitate E, & fiat DH aequalis ipsi AG, & dico H esse punctum quaesitum.

Per 17. hujus. Per 8. hujus.

Quoniam diuturnitates in AB, AF sunt aequales per con-structionem, & C, E sunt diuturnitates super planis AF, AG per constructionem, sunt etiam diuturnitates super AB, AG, & proinde super DH ipsi AG aequali, & paralellae, quod, &c.

PROPOSITIO XXII.

Si duo gravia descendunt alterum quidem perpendicu-lariter, alterum vero super plano declinante, perve-niunt ad idem planum Orizontale tali ratione, ut sit eadem proportio inter diuturnitates eorum, quae in-ter perpendicularem, & declinantem.

Sit linea AB perpendiculariter erecta super plano Ori-zontali BC, & AC planum declinans.

Dico quod diuturnitates gravium descendentium per AB, & per AC, sunt ut AB ad AC.

Ducatur BD normalis ad AC.

Quoniam est ut AD ad AC ita quadratum temporis AD ad quadratum temporis AC, & tempora AD, & AB sunt aequalia, & proinde eorum quadrata, ergo ut AD, ad AC ita quadratum temporis AB ad quadratum tem-poris AC, sed ut AD ad AC ita quadratum AB ad qua-dratum AC, ergo ut quadratum temporis AB ad qua-dratum temporis AC, ita quadratum AB ad quadratum AC, sed quia latera sunt inter se ut eorum quadrata, est ut AB ad AC ita tempus AB ad tempus AC. Quod, &c.

Per cor. 7. hujus. Per 15. hujus. Per 2. pron. Per 19. Sexti. Per 22. Quinti. Per 24. Sexti.

PROPOSITIO XXIII.

Duo gravia descendentia super planis diversa ratione declinantibus, perveniunt ad idem planum orizon-tale ea ratione, ut sit eadem proportio inter diutur-nitates, quae inter dicta plana si ab eodem puncto ad idem planum orizontale producta sint.

Datis planis AB, AC declinantibus, ductis ab eodem puncto A ad planum orizontale BC.

Dico quod diuturnitates gravium descendentium per AB, AC sint ut AB ad AC.

Fiat ut AC ad AB ita AB ad AD, ita ut grave perveniat in D eodem tempore quo pervenit in B.

Per 13. hujus.

Quoniam est ut AD ad AC, ita quadratum temporis AD ad quadratum temporis AC, & tempora AD, AB sunt aequalia, & proinde eorum quadrata; ergo ut AD ad AC ita quadratum temporis AB, ad quadratum tem-poris AC, sed ut AD ad AC, ita quadratum AB ad qua-dratum AC, ergo ut quadratum temporis AB ad quadra-tum temporis AC, ita quadratum AB ad quadratum AC, ergo ut tempus AB ad tempus AC, ita AB ad AC. Quod fuit probandum.

Per Cor. 7. hujus. Per 17. hujus. Per 2. pronun. Per 19. sexti. Per 22. sexti.

PROPOSITIO XXIV

Datis planis, & perpendiculari ad eadem linea orizon-tali egressis, quae coeant infra in eodem puncto, gra-via super ipsis mota procedunt ea ratione, ut sit ea-dem proportion inter diuturnitates, quae inter longi-tudines planorum, & dictam perpendicularem.

Data sit linea orizontalis AB, in qua initium sumant plana declinantia AC, DC, nec non perpendicula-ris BC coeuntia in puncto C.

Dico quod diuturnitates gravium super ipsis motorum, sunt ut AC, DC, BC.

Ducatur CE paralella ipsi AB, & a puncto A ducantur paralellae ipsis CB, CD, & sint AE, AF.

Quoniam diuturnitates super planis AF, AC, sunt ut AF, AC, & super planis eisdem, & perpendiculari AE, sunt ut AF, seu AC ad AE, & AE, AF sunt paralellae ipsis CD, CB, & eisdem aequales, sequitur quod etiam super AC, DC, BC diuturnitates sunt iuxta propor-tiones longitudinum, Quod probandum fuit.

Per 23. hujus. Per 15. hujus. Per 33. prim. Per 3. pron.

PROPOSITIO XXV.

In circulo Orthogonaliter erecto, si a summitate ad puncta peripheriae ducantur plana, quo tempore gra-ve perpendiculariter inde pervenit ad planum ori-zontale; si descendat per dicta plana, eodem perve-niet respective ad quodlibet dictorum punctorum peripheriae.

Sit circulus cuius centrum B, & diameter AC erectus super plano orizontali GC, & in eo ducta sint plana de-clinantia a puncto A ad puncta peripheriae DEF, & de-scendant gravia super dicta plana, & perpendiculariter.

Dico quod eodem tempore pervenient ad, D, E, F, C.

Ducantur DC, EC, FC.

Quoniam puncta praedicta sunt ea, in quae cadunt perpendi-cularia ducta a puncto C in AD, AE, AF, eo perveniunt gravia eodem tempore quo in C. Quod probandum fuit.

Per 30. Tertii. Per 16. hujus.

PROPOSITIO XXVI.

Si in circulo erecto, a puncto inferiori ducantur plana ad puncta peripheriae, & a dictis punctis descendant gravia super dicta plana eodem tempore quo a puncto su-premo descendit aliud grave perpendiculariter; perve-nient omnia eodem instanti ad dictum punctum inferius.

Sit circulus cuius diameter ABC erectus super plano orizontali, quod tangat in C, & a C ducantur plana CD, CE, & a punctis, E, D gravia descendant super dicta plana, nec non, & a puncto supremo A perpendiculariter.

Dico quod eodem tempore perveniunt in C.

A puncto A ducantur AF, AG paralellae ipsis CE, CD, & ducantur AF, FC.

Quoniam in triangulis AEC, AFC anguli alterni FAC, ACE sint aequales,, & anguli AFC, AEC sunt etiam aequales puta recti, & basis AC communis, Triangula sunt aequalia, & proinde AF est aequalis CE, quod idem probabitur de reliquis, ergo cum AF, CE, & reliquae sint paralellae, & aequales, gravia per CE, CD perve-nient in C eodem tempore, quo digressa ab A perveniunt ad puncta FG, sed haec eodem tempore quo perpendicularis pervenit in C, ergo etiam ea quae per CE, CD. Quod, &c.

Per 29. primi. Per 30. Tertii. Per 26. primi. Per 25. hujus.

POSTULATUM VII

Ductis planis inclinatis, & linea perpendiculari in-ter binas paralellas orizontales, Gravia super illis mota ubi perveniunt ad paralellam inferiorem ha-bent aequales velocitatis gradus; & proinde si ab inde infra sortiantur parem inclinationem, aequeveloci-ter moventur.

Videtur probabile. Primo quia si diuturnitates sunt longitu-dinibus proportionales, ut propositione 22. huius probatum fuit, credibile est motus in fine esse aequales.

Secundo. Argumento ducto ab experientia pendulorum, quae quantumvis longiora, aut breviora, & proinde circa fi-nem magis, aut minus inclinata, pariter ascendunt, si pa-riter descendant.

Tertio. Quia videmus aquam per siphones rectos, sive obli-quos, seu inclinatos ductam, pariter ascendere, si pariter descendat. Ceterum fateor minorem evidentiam hoc po-stulatum caeteris praemissis prae se ferre, quae fuit causa quod illud, ut in praefatione, segregaverim, & sequentia, alia methodo, tangendo fere tantummodo exposuerim, & a pluribus aliis propositionibus, quae hinc deduci facile pos-sent, data opera abstinuerim.

PROPOSITIO XXVII. PROBL. XIV.

Dato gravi moto perpendiculariter per spatium datum diuturnitate data, quod perficiat motum super plano inclinato per spatium itidem datum; perquirere in ipso diuturnitatem.

Moveatur grave A perpendiculariter per spatium AB diuturnitate C, & perseveret in motu super spatio BD in plano inclinato BD.

Venanda est diuturnitas eius in ipso BD.

Producatur DB donec concurrat cum AE orizontaliter du-cta ab A in E, & fiat ut AB ad EB, ita diuturnitas C ad diuturnitatem G, quae idcirco erit diuturnitas ipsius EB, & sit H quadratum diuturnitatis G, & fiat ut EB ad ED, ita quadratum H ad aliud quod sit I a cuius latere K, quod est diuturnitas ipsius ED, ablata KL aequali G, erit LM reliquum diuturnitas BD quaesita.

Per 22. hujus.

Quoniam notum est triangulum AEB, cum notus sit angu-lus AEB aequalis alterno EDF inclinationis notae, & EAB rectus ex constructione, & notum latus AB ex hypo-tesi, notum erit etiam latus EB, & quia diuturnitas in pla-no BD est eadem ac si motus antecedens esset per EB, EB, & ED sunt in duplicata ratione diuturnitatum G, K ex con-structione; unde a K deducta KL aequali G ex constructio-ne, remanet LM diuturnitas BD. Quod, &c.

Per 7. post.

Inde sequitur quod summa diuturnitatum C, & LM, est diutur-nitas totius ABD.

Eadem operatione pariter reperietur diuturnitas BD si BD sit perpendicularis, & AB inclinata.

Item si ambo sint plana inclinata.

Ducta AD facile reperietur diuturnitas in ipsa si fiat ut ED ad AD, ita K ad aliud per 21. hujus.

Ducto alio plano puta DN, reperietur eius diu-turnitas.

Si fiat ut ED ad OD ita diuturnitas ipsius ED puta L ad diu-turnitatem OD, quae sit P, deinde ut OD ad ON ita quadratum diuturnitatis P ad aliud quadratum, cuius Ra-dix erit diuturnitas ipsius DN.

Ex his patet quod si addantur plura plana eadem ratione re-perientur eius diuturnitates.

Ex his etiam patet quod si in circulo dentur plura, plana verbi gratia AB, BC, CD, DE, & data sit diuturnitas super dia-metro, dabitur etiam diuturnitas cuiusvis dicto-rum AB, BC, CD, DE, & etiam omnium simul.

Ex his facile etiam cognoscere poteris esse breviorem, diu-turnitatem per A, B, C, C, D, E quam per AE.

FINIS.