NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
Simon Steuin wenscht
Tis oock openbaer, dat d'eerste twee tot grooten voordeele der menschen, ter form van beschreuen consten gherocht sijn, namelick * Telconst ende Meetconst, maer niet also t'Ghewicht, om dat sijn oirsproncklicke eyghenschappen den voorighen verborghen bleuen.
Wel is waer dat inde Rechtwichten duer eruaring bemerckt is, twee euestaltwichtighe met haer ermen * euerednich te wesen. Doch sy hebben ghemeent * soodanighe eueredenheyt te schuylen onder de ronden beschreuen op t'vastpunt duer d'uytersten der ermen; Uyt het welck, na den ghemeenen aert der dwaling, gheen kennis der oirsaken en volghde.
Wat de Scheefwichten belangt, daer en is niet met allen af gheweten. Inder voughen dat dese * stof gheen form van Const als d'ander ghecrighen en conde. Maer doen t'gheual anders lucte, ende dat sulck langverborghen hem duer sijn uyterste beghinselen openbaerde, sy is eintlick daer toe ghecomen, in sulcker ghedaente als die uwe Keyserlicke M. hier toegheeyghent wort.
[]
Maer anghesien byde voordachtighe niet sonder oirsaeck ende bestaende reden Ten is oock niet om met een groote Const, in een grooter spraeck eerst uytghegaen, den grootsten van Europa te vereeren, hoe lijckformich sulcx nochtans de reden soude mueghen wesen.
Waerom dan? Op dat de Weeghconstens * daden streckende tot merckelicke verbetering der Ghemeensaeck, int werck ghebrocht worden, van sulcx als daer ick duer besonder brieuen van v Octroy af versouck.
Waerom sal yemant mueghen segghen, dit niet bestelt duer leegher (naer de ghebruyck) totten Hoochsten vrie toeganck hebbende? Yghelick, om dattet t'onghehoort is, soude vreesen niet alleen met een lacherlick * voorstel te verschijnen, maer selfs oock belacht te worden: Nu op dat der spotters schamp tot ghetuych haerder onwetenheyt strecke, wy hebbent duer t'ghene willen versoucken, dat voor den verstandighen alsulcx ende meerder veruaet. daerafmen wyder en breeder soude connen segghen; Maer want ons einde tot Saken streckt, niet tot Woorden, sullen dese verlatende en die verwachtende, uwe K. M. in alle ootmoedighe eerbieding veel ghelucx wenschen. Uyt Leyden in Oogstmaent des I586 Iaers.
[ 9 ]
[ ]
is wel waer datter inde Natuer niet wonderlick en is, nochtan tot onderscheyt der dinghen die wy duer de oirsaken verstaen, vande ghene welcker redenen ons onbekent sijn, soo gheuen wy dese met recht de naem van wonder, niet dat sijt eyghentlick sijn, maer om dattet hem voor ons alsoo ghelaet. T'welck soo wesende, wy sullen ons in desen ansien billichlick mueghen verwonderen, duer wat middel de Natuer mocht wercken, doen sy ons voorouders sich haer spraeck dede maken; ouermidts ons van soo constighen werck, der oirsaken ghenouchsaem wetenschap ghebreect. Maer want een beclaghelicke verblintheyt, als duer TSCHICSEL
Tis te weten dat de Duytschen in die seer oude tijden vande welcke ter weerelt gheen opentlicke schriften gebleuen en sijn, gheweest hebben een treffelick seermachtich Gheslacht. t'welck duer sulcke verderuende oirsaken als meer ander machtighe volcken weeruaren sijn, als oirloghe en dierghelijcke, voorderende uytroeying der wetten, breking van goe oirdens, verwoesting der steden, &c, tot manier van wiltheyt gherocht is, doch niet so volcommen, of den ouden aert der grootmoedicheyt, rechtueerdicheyt, ende ghetrauheyt, daer Tacitus oock af betuycht Dese haer woestheyt heeft gheduert tot ontrent de tijden van Iulius Cæsar, welcke daer naer tot beteren staet begon te keeren, soo dat sy eintlick weder ghecommen sijn ter regiering ouer t'eertrijcxdeel Europa, als kenlick is. Maer want yemandt van haer voornomde eerste macht twyffelen mocht, ouermits
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
NOT_TRANSCRIBED
...
[ (11 blz), met (13 blz) ]
...
... dattet voormael een seer wys, gheleert, ende ouertreflick Gheslacht is gheweest, als vooren bethoont is, daertoe ghecommen sijnde met langher tijdt, duer veel eruaringhen. Ende soo wy van dese voorghanghers weerdighe navolghers willen gheacht sijn, en sullen niet duer een beestelick ghetuych van ondancbaerheyt, so groote gauen ons naghelaten, duer onwetenheyt versmaen, noch, den lasteraers diese niet en kennen, sottelick gheloouen, noch verlatende den spieghel der talen, ons dickmael behaghen in haer leelick schrapsel van schuym der vuyllicheyt; maer sullen ter contrari die clouclick beschermen, niet met ydel woorden als d'hare sijn, noch na t'onuerstandt van hemlien die de goetheyt der Saken in haer talen beschreuen, onbescheydelick de goetheyt der talen meenen te wesen; maer ghelijck t'gout duer t'vier beproeft wort, alsoo salmen haer weerdicheyt duer de daet
Maer soo sy vraghen wat sulcke woorden te bedien hebben, men mach antwoorden, dattet de opening is van t'ghene tot nochtoe den voorighen sterflicken seerbegheerde verborghentheden gheweest sijn, streckende tot groot voordeel van t'menschelick gheslacht, want hoewel yder lichaem in sijn eyghen plaets licht noch swaer en is, nochtans t'ghewicht des lochts is duer sulcx nu volcomelick ghelijck van ander stoffen, metgaders ettelicke sijn noytbekende ancleuinghen Laetter maer cloeclick anuallen, want hebbender Reuchlinus, Valla, Erasmus, Barbarus, Picus, Politianus, &c. me duer gherocht, die maer Latijn en beschermden, Sghelijcx de Françoysen, wiens strijtredenen
Dit is t'ghene wy vande weerdicheyt der Duytsche tael voorghenomen hadden te verclaren; Inde selue sullen wy de WEEGHCONST, die de wonderlicste der is, eerst tot Constens form laten commen, als spraeck die der Natueren eyghenschappen grondelicxt beteeckenen can, ende als bequaemste wit, daer al d'ander die willen, tot yder ghemeentens grootste nut, na micken, ende haer bepalinghen Oock by aldien der Duytschen vliet daerin alsoo vermeerderde, ghelijct de reden wel eyscht, t'selue soude ons voornemen verstercken om met ander angheuanghen voort te varen: Doch soo de contrarie gheschiede, ick can my vernoughen in een eerlick voornemen mijn goede wille te verclaren, welcke in haer beroup tot yders dienst gheeyghent is.
DE Beghinselen der Weeghconst, welcke van swaerheyt sijn duer t'ghedacht van natuerlicke stof gheweert, sullen in twee boucken begrepen worden. Des eersten boucx eerste deel sal van 14 * bepalinghen wesen: T'ander van 28 * voorstellen, van de ghedaenten der ghewichten, die tweederhande sijn, als Rechtwichten, ende Scheefwichten. Der Rechtwichten sijn twee * afcomsten, te weten Rechtdaelwichten, ende Rechthefwichten, beschreuen inde achtien eerste voorstellen. Der Scheefwichten sijn oock twee afcomsten, als Scheefdaelwichten, ende Scheefhefwichten, verclaert inde rest der voorstellen.
nibus. Species.
Twelck wy tot meerder claerheyt int corte ende tafelwys aldus vervaten:
selen vandeWeegh
constsiin tweeboucken, het
1
daentender ghe
wichten,wiens
1
2
len der
dael
wichten.
hef
wichten.
hef
wichten.
de rest dervoorstellen.
dael
wichten.
2
heitsmiddel
punten der
Beschreuen door Simon Steuin.
vande Bepalinghen.
WEEGCONST is die, welcke leert de Redenen, Eueredenheden, ende ghedaenten vande ghewichten ofte swaerheden der lichamen.
Swaerheydt eens lichaems, is de macht sijnder daling in ghestelde plaets.
Om datse door sulcke bekende ghewichten gheuytet wort, wy noemense Bekende swaerheydt.
D dan naer luyt deser bepaling is Swaerheydts middelpunt des cloots ABC; Ende alsoo salmen verstaen dat binnen alle lichamen soo wel ongeschicter form ende van stof oneenuaerdigher swaerheydt als gheschicter ende eenvaerdigher, is eenich sulcken punt, waer an tlichaem also hanghende, alle ghestalt houdt diemen hem gheeft, welck punt ghenoemt wort sijn Swaerheydts middelpunt. Ende op dattet door eenighe sijne eyghenschappen kennelicker sy, sullender noch dit toe segghen: Het swaerheydts middelpunt der oirdentlicke lichamen als Pilaren, Clooten, Lancworpighe Clooten Maer die niet ouer al euewichtigher Stof en sijn, en hebben dese twee punten niet nootsaeckelick tot een selfde plaets. Wat de naelden Het ghebuert oock in veel lichamen als Rynghen, Haecken, Beckens, ende dier ghelijcke, dat haer swaerheydts middelpunt niet en valt inde stof des lichaems, maer binnen tlichaem uyt de stof.
Men soudet oock mueghen aldus bepalen:
Sijn eyghenschap is tlichaem alsins te deelen in twee euestaltwichtighe stucken.
X.
Dese Euestaltwichticheydt dient nootsaeckelick verstaen, ende onderscheyden vande Eueneyghenwichticheydt, anghesien dit al wat anders is als dat, want om by voorbeelt daer af te spreken, tghewicht ande cortste sijde des onsels hanghende, is somtijts thienmael swaerder als tander, nochtan hebben sy een ghelaet van euewichticheyt, maer ten is niet eyghen, dan alleenlick na de ghestalt.
Wy noemen E der eerste ende tweede Form Hefwicht, overmidts tselve wicht, het lichaem A verheft, oft in die verheven ghestalt houdt.
Maer E der derde ende vierde Form, Daelwicht, om dattet het lichaem an sijn gehechte sijde B doet dalen, ofte in die ghedaelde gestalt houdt.
Ende sulcke linien (die bouen de voorgaende ons oock euewidich vanden sichtender connen ontmoeten) in t'ghemeen Trecklini.
Daer voor sullen wy soodanige Duytsche stellen
Stof Form Daet Grondt Ancleuing Gheslacht Afcomst Bepaling Voorstel Eysch Vertooch Reden Everedenheyt Even Ghelijcke Voorbeelt Swaerheytsmiddelpunt As Middellini Omtreck Euewydeghe Lijckstandighesijden Vlack Plat Pilaer Telconst Meetconst Wisconst Wisconstnaer Wisconstlick.
Vyt desen volght oock dat onder alle lichamelicke formen die inde natuer bestaen, so en isser gheen ander, wisconstelick Oock en soude (teghen t'volghende voorstel) de swaerste swaerheyt niet sulcken reden hebben tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten, maer d'eene soude naer de ghestalt swaerder sijn, om dat haer houck plomper ende den rechthouck naerder is dan des anders houck. Maer om t'selue by voorbeelt te verclaren, laet AB den cortsten erm sijn, diens ghewicht C, ende AD den langsten erm, diens ghewicht E in sulcken reden sy tot tghewicht C, als AB tot AD, ende F sy t'sweerelts middelpunt; Alwaer blijct dat den houck FBA plomper ende den rechthouck naerder is, dan den houck ADF, waer uyt volght (door tvoornoemde 22 voorstel) dat C naer de ghestalt swaerder sal sijn dan E.
Alle dese ongheuallen spruyten daer uyt, dat FE met GE in d'eerste form, ofte BF met DF der tweede form, gheen evewydighe linien en sijn: Maer ouermits dat verschil in alle t'ghene de menschen weghen, onbemerckelick is, want den balck soude al veel milen lanck moeten sijn eer hem dat soude connen openbaren, soo begheeren wy datse voor euewydighe ghehouden worden. Wel is waer dat wy die ansiende voor t'ghene sy sijn, volcommelick souden connen wercken na haerlieder ghedaente, maer want dat moeyelicker soude wesen, ende tot de saeck, dat is de nochtans niet voorderlicker, so ist beter ghelaten.
welcke ghedeelt sy in 6 euen deelen, door platten
Laet ABCD wederom een pilaer sijn, ghedeelt
Wy moeten bewysen dat ghelijck het lichaem ofte de swaerheydt (twelck hier een selfde is om haer eueredenheydt MH is euen an MG door tghegheuen, laet tot elck doen KM, soo sal dan KH euen sijn an MG met KM; daer naer van d'eene ghetrocken GK, ende van d'ander KI (welcke GK ende KI euen sijn door tghegheuen) soo sal KM met KM euen blijuen an IH; Ende haer helften als KM ende IL sullen oock euen sijn. Laet tot elck (te weten KM ende IL) doen MI, Ende ML sal euen sijn an IK. Ghelijck GI tot haer helft KI, also IH tot haer helft IL, ende door oueranderde eueredenheyt Ghelijck dan de swaerste swaerheyt EFDA, tot de lichtste EFCB, also den langsten erm ML, tot den cortsten MK.
Nu doen het lichaem in d'eerste ghestalt hinck ande hanthaef MN, alsdoen was EFDA euestaltwichtich met EFCB; Maer tghewicht EFDA in dees tweede ghestalt neerghetrocken synde, en brengt an KL gheen meerder noch minder swaerheyt dan in d'eerste ghestalt door de begheerte. Sghelijcx en brengt tghewicht EFCB der tweede ghestalt, an LK gheen meerder swaerheydt dan in d'eerste ghestalt, daerom de ghewichten der tweede ghestalt sijn an KL de selfde die sy in d'eerste waren, daerom oock de balck KL blijft noch inde selue eerste ghestalt, waer duer EFDA noch euestaltwichtich blijft met EFCB. De sticken dan des pilaers blijuen soo wel euestaltwichtich verscheyden, als doen sy an malcanderen waren, ende de ermen oock inde selue reden.
Ende is kennelick dat KL noch inde selue ghestalt sal blyuen, ende veruolghens EFDA noch euestaltwichtich met EFCB, ende de ermen noch inde selue reden.
Dit soo sijnde tis kennelick dat des heels pilaers rechter sijde, euewichtich is teghen haer slincker.
Ende is openbaer dat den lichamelicken balc ABFE noch in haer eerste ghestalt sal blyuen. Laet ons nu achten dat het deel IKDE, ghesneen sy van IKCF, ende dat elck deel vallen mach daert wil, maer sy hanghen an haer swaerheyts
Maer IKDE, sulcken reden te hebben tot IKCF, als den erm OR, tot den erm OQ, is vooren beprouft; Inder voughen dat tghene eerst betoocht was anden weegconstighen balck (dat is een lini) sulcx hebben wy hier verclaert an een lichamelicken.
Laet d'een swaerheyt A sijn weghende 3 , hanghende an C, d'ander B van 1 hanghende an D; ende CD si balck.
Men sal CD also deelen, dat haer meeste stick naest de swaerheydts middellini van de minste swaerheydt, sulcken reden hebbe tot het minste stick, ghelijck de meeste swaerheyt tot de minste, twelck sy in E, te weten dat ED sulcken reden hebbe tot EC, als 3 lb van A, tot 1 lb van B. Ick seg dat de hanghende door E, als EF, d'hanthaef is.
Laet d'een swaerheydt sijn den pilaer ABCD weghende 6 lb, ghedeelt als den pilaer int beghin des eersten voorstels; Ende an Q hanghe een ghewicht Y van 12 lb. Wy moeten d'handthaef vinden. De swaerheydts middellini des pilaers is IT, ende van tghewicht Y is BQ, ende TQ is balck,
Laet ABCD wederom den pilaer sijn, ghedeelt als vooren, hanghende nu Y 6 lb an X. Wy moeten d'handthaef vinden. De swaerheydts middellini des pilaers is IT, ende van Y is NX, ende TX is balck: de selue salmen in tween deelen, alsoo dat de sticken de reden hebben als 6 lb van Y, tot 6 lb des pilaers, twelck vallen sal in V, indervoughen dat VL de begheerde handthaef sijn sal.
E swaerheydts middellini van MLBCY, is NX, ende van MLAD is SG, ende SX is balck, de selue salmen in tween deelen, also dat de stucken de reden hebben als 8 lb van MLBCY, tot 4 lb van MLAD: welverstaende tcortste stick naer de swaerheyts middellini van tswaerste deel, twelck vallen sal in V, inder voughen dat VL wederom de begheerde handhaef sijn sal als vooren.
Laet ABCD wederom den pilaer sijn, ghedeelt als vooren, hanghende Y 6 lb an X, ende Z 24 lb an R. Wy moeten d'handthaef vinden. De
Laet ABCD wederom den pilaer sijn, ghedeelt als vooren, hanghende Y 6 lb an X, ende Z 24 lb an R, ende Æ 12 lb an Q. Wy moeten d'handthaef vinden. De swaerheydts middellini van ABCDYZ is SG door het 4 voorbeelt, ende van Æ is QB, ende SQ is balck: de selue salmen in tween deelen, also dat de sticken de reden hebben als 36 lb vanden pilaer met Y
Ende soomen noch hinghe an P 24 lb, d'handthaef soude SG sijn, ende so voorts met allen anderen swaerheden diemen anden pilaer soude mueghen hanghen. De swaerste swaerheydt A int eerste voorbeelt, heeft sulcken reden tot de lichtste B, als den langsten erm ED, tot den cortsten EC, daerom EF door de bepaling is d'hanthaef. Sghelijcx sal oock tbewys sijn van al dander voorbeelden, twelck wy om de cortheydt achterlaten.
Wesende dan ghegheuen bekende swaerheden, wy hebben haer handthaef gheuonden naer den eysch.
I.
Laet A ende B twee euestaltwichtighe swaerheden sijn, welcker A hanghende an C weeght 3 lb, maer B hanghende an D is onbekent, ende EF sy d'handthaef. Wy moeten tghewicht van B bekent maken. Men sal ondersoucken wat reden den erm ED heeft, tot den erm EC, wort beuonden, neem ick, als van 3 tot 1, daerom seg ick, ED 3, gheeft EC 1, wat A 3 lb ? comt voor B 1 lb.
Laet inde form des 2 voorbeelts van het 2 voorstel den pilaer ABCD voor d'een swaerheyt weghen 6 lb, ende dander onbekende swaerheyt sy tghewicht daer an hanghende Y, ende d'hanthaef sy XN. Wy moeten tghewicht van Y bekent maken. [ Figuur ingevoegd ] Anghesien TI swaerheydts middellini is des pilaers, ende QB van Y, so sal TQ balck sijn, diens cortsten erm XQ, ende langsten XT; Daerom salmen ondersoucken wat reden den erm XQ, heeft tot XT, wort beuonden neem ick, als van 1 tot 2. Ich seg dan, XQ 1, gheeft XT 2, wat den pilaer 6 lb ? comt voor Y 12 lb. Der ghelijcke voorbeelden mochten wy hier stellen op dander formen des 2 voorstels, ten waer die door de voorgaende kennelick ghenouch sijn. Laet B int eerste voorbeelt, soot mueghelick waer, swaerder sijn dan 1 lb, de swaerste swaerheydt dan en sal niet sulcken reden hebben tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten; twelck teghen het I voorstel is; B dan en is niet swaerder dan 1 lb. Sghelijcx salmen oock bethoonen dat sy niet lichter en is, sy weeght dan effen 1 lb, twelck wy bewysen moesten. Wesende dan ghegheuen twee euestaltwichtighe swaerheden, d'een bekent dander onbekent, ende d'hanthaef: Wy hebben die onbekende bekent ghemaect, naer den eysch.
Laet A ende B twee euestaltwichtighe swaerheden sijn, welcker A hanghende an C weeght 3 lb, ende B hanghende an D 1 lb, ende de langde des erms DE sy 6 voeten.Wy moeten de langde des anderen erms vinden. Men sal segghen A 3 lb, gheeft B 1 lb, wat DE 6 voeten ? comt voor EC 2 voeten. Ende der ghelijcke voorbeelden mochten wy stellen op de formen der voorbeelden des voorstels, ten waer die duer tvoorgaende kennelick ghenouch sijn. Laet EC, soot mueghelick waer, langher sijn dan 2 voeten; den langsten erm sal dan minder reden hebben tot den corsten, dan de swaerste swaerheyt tot de lichtste, twelck teghen het eerste voorstel is, EC dan en is niet langher dan 2 voeten; Sghelijcx salmense oock bewysen niet corter te sijn, sy is dan effen van twee voeten, twelck wy bewysen moesten.
Wesende dan ghegheuen twee euestaltwichtighe swaerheden met de langde van d'eenen erm, wy hebben de langde des anderen erms gheuonden, naer den eysch.
Laet ABCD een pilaer
wesen, diens as EF, ende haer middelpunt
Wy moeten een ghewicht vinden in sulcken reden tot den pilaer, als van 2 tot 3, dat is euen an sijn 2/3. Ghelijck de Meetconstighe ende Telconstighe voorstellen Oft andersins om den pilaer heel te laten, men mocht hem teghen ander stof weghen, daer af nemende de /, maer wy willent Weegconstlicker doen in deser voughen. Men sal van tmiddelpunt G af, naer F, teeckenen eenighe vijf punten (te weten 5 voor de somme der 3) als H, I, K, L, M, van malcanderen euewyt;
Ende van het tweede punt I (van het tweede om dat 2 het ander der ghegeuen ghetalen is) salmen den pilaer ophangen byde swaerheyts, middellini IN; Daer naer salmen an tvijfde punt M een ghewicht hanghen als O, euen so swaer dat alles in euestaltwichticheyt sy, twelck soo wesende, ick seg dat tghewicht van O, in sulcken reden is tot tghewicht des pilaers, als 2 tot 3, ofte dat O euen is ande 2/3 des pilaers.
G is swaerheydts middelpunt Wesende dan ghegheuen een pilaer, wy hebben gheuonden een ghewicht in ghestelde reden tot des pilaers ghewicht, naer den eysch. Wy souden oock mueghen voorbeelden stellen met Redenen van onmetelicke palen
Laet ABCD een pilaer sijn, ghesneen door sijn swaerheydts middelpunt met een plat FG, euewydich vanden grondt AD, ende laet H vastpunt inde swaerheydts middellini IG wesen, bouen het swaerheyts middelpunt E, ende KL sy as, ende MN sichteinder.
Wy moeten bewysen dat den as KL euewydich blijft vanden sichteinder. MN.
Laet KL soot mueghelijck waer, oneuewydich sijn vanden sichteinder MN, als in
Tis oock te anmercken als voor ghemeenen Weegconstighen Reghel, dat
Alle swaerheyts middelpunt eens hanghenden lichaems is in siin swaerheydts middellini.
Maer tswaerheydts middelpunt hier bouen E en is inde tweede form niet in sijn swaerheydts middellini IO, tis dan een onmueghelicke ghestalt. Wesende dan een pilaer ghesneen, &c.
Laet ABCD een pilaer wesen, diens swaerheydts middelpunt E vast sy, daer by hanghende ande lini EF, ende den as GH sy euewydich vanden sichteinder IK.
Wy moeten bewysen dat den pilaer ABCD alle ghestalt houdt diemen hem gheeft.
Laet ons den ghegheuen pilaer (tpunt E vast blijuende) een ander ghestalt gheuen dan d'eerste, als in dees tweede form, Wesende dan tvastpunt het swaerheydts middelpunt des pilaers, hy houdt alle ghestalt diemen hem gheeft, twelck wy bewysen moesten.
Laet ABCD een pilaer wesen, ghesneen door sijn swaerheyts middelpunt E, met een plat
Wy moeten bewysen dat den pilaer omkeeren sal, tot dat sijn swaerheydts middelpunt is in sijn swaerheyts middellini. maer dit natuerlick verstaen, want Wisconstelick
A. Al dat ligt moet grondt hebben daert op rust,
E. Dees pilaer en heeft gheen grondt daer hy op rust,
E. Dees pilaer dan en can soo niet ligghen.
Inder voughen dat hoewel den as IK euewydich ghestelt is vanden sichteinder LM, soo sal nochtans den pilaer (tpunt G vast blyuende) omkeeren ouer die sijde daer hy eerst beghint. Maer dat hy solang keeren sal tot dat sijn swaerheydts middelpunt inde swaerheydts middellini is, is door het voorstel openbaer. Wesende dan den pilaer ghesneen, &c.
Laet AB twee swaerheden sijn ende haer middellinien CD, EF, ende haer CE, ende d'hanthaef GH, inder voughen dat CG is tot GE, als de swaerheydt B tot A, Laet IK noch een balck wesen, oneuewydich van CE, ende laet GH oneindelick voortghetrocken worden naer L, sniende den balck IK in M.
Wy moeten bewysen dat IM ende MK, oock de ermen sijn der swaerheden AB; dat is ghelijck B tot A, alsoo MI tot MK. Laet ghetrocken worden CN, euewydich van IK, sniende HL in O. Ghelijck CG tot GE, also CO tot ON
D'handthaef dan oneindelick voortghetrocken, deelt alle balcken tweer swaerheden in haer ermen, twelck wy bewysen moesten.
Laet ABCD een pilaer sijn weghende 4 lb, ende ghesneen door sijn swaerheydts middelpunt E, met een plat FG euewydich vanden grondt AD, ende laet H vastpunt wesen beneden tmiddelpunt E int middel van EG; Ende anden pilaer twee ghewichten hanghen als I, K, elck weghende 4 lb, welcker middellinien vastpunten sijn D, C, ende laet LM den as, ende NO sichteinder wesen.
Wy moeten vinden of den as LM euewydich sal connen blijuen vanden sichteinder NO; ofte alle gestalt houden diemen haer gheeft; Ofte ommekeeren tot dat haer swaerheydts middelpunt E is inde swaerheyts middellini door H, welcke verscheydenheden vallen connen naer de reden der swaerheyt des pilaers, tot de ghewichten dieder anhangen.
Men sal trecken door E de swaerheyts middellini PQ des pilaers, daer naer door Maer den pilaer weeght 4 lb, ende I, K, elck 4 lb, tsamen 8 lb door tghegheuen, daerom ghedeelt EG in T, alsoo dat ET, sulcken reden heb tot TG, als 8 tot 4: Ick seg dat LM keeren sal (ouermits T onder H comt) tot sy euewydich is vanden sichteinder. Laet nu den pilaer weghen 4 lb, ende I en K elck 2 lb, tsamen 4 lb, daerom ghedeelt EG in H (welcke H tmiddel van EG is door tghegheuen) alsoo dat EH sulcken reden heb tot HG, als 4 tot 4: ick seg dat LM (ouermits het in H viel) alle ghestalt sal houden diemen haer gheeft. Laet nu den pilaer weghen 4 lb, ende I, K elck I lb, tsamen 2 lb, daerom ghedeelt EG inV, also dat EV sulcken reden hebbe tot VG, als 2 tot 4, Ick seg dat den pilaer met al de rest omkeeren sal (ouermitds V bouen H comt) tot dat H is in haer swaerheydts middellini. Ten eersten I en K elck 4 lb weghende, dat dan LM keert tot sy euewydich is vanden sichteinder, blijct aldus: De hanghende door T ghelijck TX, is swaerheyts middellini des heels, daerom die latende, ende hanghende tgheheel ande hanghende
Ten tweeden I, K, elck 2 lb weghende, dat dan LM alle ghestalt houdt, wordt aldus bethoont: Laet ons achten dat I ende K opgheschorst sijn, alsoo dat D tswaerheydts middelpunt sy van I, ende C van K, ende door de begheerte sy en sullen anden pilaer gheen oirsaeck van verandering der swaerheydt wesen; Twelck soo sijnde, H is tswaerheyts middelpunt van soodanighen lichaem vergaert uyt den pilaer ende de twee ghewichten IK, ende door de bepaling tsal daer op alle ghestalt houden diemen hem gheeft, tselfde sal also bewesen worden in alle ghestalten daermen LM in soude connen stellen.
Ten laetsten I, K, elck I lb weghende, dat dan alles omkeert, wort aldus bethoont: De hanghende door V ghelijck VZ, is swaerheyts middellini des heels, daerom die latende, ende hanghende tgheheel ande hanghende HY door H ghegheuen vastpunt, so sal de sijde naer ADI, swaerder sijn dan naer BCK, daerom oock sal de sijde ADI neerdalen, tot dat H inde swaerheyts middellini is des heels, ende ofmen schoon LM (alles op tvastpunt H draeyende) euewydich stelde vanden sichteinder NO, sy en can so niet blyuen door het voorstel, maer alles sal omkeeren, twelck wy bewysen moesten.
Wesende dan ghegheuen een vastpunt des bekenden pilaers, &c.
Uyt het voorgaende is ghenouch blijckelick den ghemeenen voortganck in allen anderen, als van pilaren welcker vastpunt is buyten de lini als FG, ende der ghewichten vastpunten op ander plaetsen dan DC; Maer ouermits wy hier voornamelick trachten de oirsaecken vande ghedaenten des s grondelick te openbaren (daer af inde Weeghdaet breeder sal gheseyt worden) so en gheuen wy van sulcke ongheschicte ghestaltheden gheen besonder voorbeelden.
Laet ABCD een pilaer sijn, weghende I0 lb, diens swaerheydts middelpunt E, ende laet de ghewichten daer an hanghende wesen Wy moeten het vastpunt vinden daerop sy alle ghestalt houden diemen haer gheeft. Men sal
Laet ABCD een pilaer sijn weghende 6 lb, diens vastpunt E, ende handthaef EF, ende twee ghewichten G, H, elck 3 lb weghende, welcker vastpunten C, D; ende IK, sy as, euewydich vanden sichteinder LM, ende D sy tpunt voor de begheer
Daer naer wort den as IK (alles draeyende op E) verheuen als inde tweede form. Wy moeten een ghewicht an D vinden, dat den as IK in die ghestalt houde. Men sal vinden door het voorstel, tvastpunt daer op den as alle ghestalt houde diemen haer gheeft twelck N sy: Daer naer salmen trecken DN, ende de hanghende
Tswaerste ghewicht I2 lb des erms ON, heeft sulcken reden tot het lichtste 6 lb des erms OD, ghelijck den langsten erm OD, tot den cortsten ON; Daerom hanghet al euestaltwichtich ande handthaef EF door het voorstel. Ende veruolghens den as IK blijft in haer ghegheuen ghestalt.
Daer naer werdt den as LM (alles draeyende op E) verheuen, als in de tweede form.
Wy moeten een ghewicht an P vinden, dat den as LM in die ghestalt houde.
Men sal vindendoor het voorstel tvastpunt daerop tghegheuen alle ghestalt houdt diemen hem gheeft, twelck Q sy, daer naer salmen trecken PQ, ende de hanghende
Tswaerste ghewicht 9 lb des erms RQ, heeft sulcken reden tot het lichtste ghewicht 4 1/2 lb des erms RP, ghelijck den langsten erm RP, tot den cortsten RQ, daerom hanghet al euestaltwichtich ande handthaef EF door het voorstel, ende veruolghens den as LM blijft in haer ghegheuen ghestalt, twelck wy bewysen moesten.
Wesende dan ghegheuen een bekenden pilaer met sijn vastpunt, &c.
Laet A des balcx BC vastpunt, ende AB met AC twee euen ermen sijn, ende an B hanghe het rechtreckwicht D, ende an C sy het rechthefwicht E, euewichtich an D, ende sijn balck sy FG, diens vastpunt H, ende euen ermen HF, HG, ende den houck ABI, sy euen anden houck ACF. Wy moeten bewysen dat het rechtdaelwicht D, ende trechthefwicht E, ande euen ermen AB, AC, euen ghewelden doen. Laet an C een ghewicht K hanghen, euen an D. Laet ons weeren E, ende is blijckelijck dat de macht van D is de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, want D is euen an K, ende AB an AC. Laet nu D weeren, ende E wederom anhanghen, ende de macht van E is oock de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, want K is euen an E, ende HF an HG, daerom E ende D doen an,euen ermen AB,AC, euen ghewelden.
Laet A des handthaefs vastpunt, ende AB met AC twee euen ermen sijn, ende an B hanghe tscheefdaelwicht D, diens scheefdaellini BE, ende an C sy tscheefhefwicht F, euen an D, ende sijn scheefheflini sy CG, ende den houck ABE, sy euen anden houck ACG.
Wy moeten bewysen dat het scheefdaelwicht D, ende tscheefhefwicht F, ande euen ermen AB, AC, euen ghewelden doen. Laet an C een scheefdaelwicht H Laet ons weeren F, ende is kennelick dat de macht van D teghen H, is de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, want D is euen an H, ende den erm AB, an AC, ende den houck ACI, anden houck KBE. Laet nu D weeren, ende F wederom anhanghen, ende de macht van F is oock de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, ouermidts H euen is an F.
Laet A des handthaefs vastpunt, ende AB met AC twee euen ermen sijn, ende an B hanghe het scheefdaelwicht D, diens scheefdaellini BE, ende an C sy het scheefhefwicht F, euen an D, diens scheefheflini sy CG, ende den houck KCG, sy euen anden houck KBE. Wy moeten bewysen dat het scheefdaelwicht D, ende het scheefhefwicht F, ande euen ermen AB, AC, euen ghewelden doen. Laet an C een scheefdaelwicht H hanghen euen an D, diens scheefdaellini CI, also dat den houck ACI, euen sy anden houck ABE. Laet ons weeren F, ende is kennelick dat de macht van D teghen H, is de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, want D is euen an H, ende den erm AB an AC, ende den houck ACI, anden houck ABE. Laet nu D weeren, ende F wederom anhanghen, ende de macht van F is oock de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, ouermits H euen is an F.
Een daelwicht dan ende een hefwicht an hem euen, doen met euen houcken an euen ermen euen ghewelden, twelck wy bewysen moesten.
Laet ABCD een pilaer sijn, weghende 6 lb, Wy moeten een rechthefwicht an V vinden, dat den pilaer in die standt houde. Men sal de lini QR voorttrecken tot in Y, also dat RY euen sy an RV: Daer naer salmen vinden tghewicht Z an Y, euestaltwichtich met den pilaer, tselue (ghedenckende dat R vastpunt is) sal van 4 lb wesen door het voorstel; Ick seg daerom dat het begheerde rechthefwicht twelck Æ sy, van 4 lb sal wesen.
Ouermidts den erm RV des rechthefwichts Æ, euen is anden erm RY des ghewichts Z, ende Æ euen an Z, soo is de ghewelt Æ euen an de ghewelt van Z door het voorstel. Maer de ghewelt van Z is (Æ gheweert sijnde) den pilaer in die standt te houden, de ghewelt dan van Æ (Z gheweert sijnde) is oock den pilaer in die standt te houden, twelck wy bewysen moesten. Wesende dan ghegheuen een pilaer, ende twee punten inden as, t'een vast, t'ander int langste deel verroerlick: Wy hebben gheuonden een rechthefwicht an tverroerlick, dat den pilaer in sijn ghegheuen standt houdt naer den eysch.
Laet by voorbeelt an X hanghen 6 lb, so sal Z moeten weghen I2 lb door het 3 voorstel, ende vervolghens Æ I2 lb.
Maer om d'oirsaeck hier af Wisconstelick Wesende dan twee punten inden as des pilaers t'een vast t'ander verroerlick, &c.
Laet ons den pilaer met sijn ghewichten des I4 voorstels wat verkeeren op tvastpunt R, ende dat Æ 4 lb noch sy rechthefwicht, alsoo dat dan alles van gestalt sy als hier neuen. Wy moeten bewysen dattet rechthefwicht Æ den pilaer oock in die ghegheuen ghestalt houdt. Laet ons weeren Æ ende anhanghen Z 4 lb, ende door het voorstel den pilaer sal in die ghestalt bliuen: Maer Æ doet by V soo grooten ghewelt anden pilaer als Z by Y door het I3 voorstel, daerom gheweert Z, ende Æ anghehanghen, soo sal Æ den pilaer oock in die ghestalt houden. Wesende dan twee punten inden as des pilaers t'een vast tander verroerlick, trechthefwicht an tverroerlick, dat den pilaer in een ghestalt houdt, sal hem in alle ghestalten houden, twelck wy bewysen moesten.
Laet ABCD een pilaer sijn weghende 6 lb, ghedeelt als int I voorstel, rustende met de twee punten R, V, op de punten van Œ, Æ. Wy moeten bewysen dat ghelijck het asstick TR, tottet asstick TV, also tghewicht rustende mettet punt V op tpunt van Æ, tottet tghewicht rustende mettet tpunt R op tpunt van Œ.
TR is dobbel an TV door tghewstelde,
Maer om tghemeen nootsaeckelick veruolgh in allen te bewysen, laet ons voorttrecken VR tot in Z, also dat RZ euen sy an RV; aensiende daer naer R voor tvastpunt, so sal an Z moeten hanghen 4 lb, om de pilaer in die ghestalt te houden door het 3 voorstel. Maer tghene an V den pilaer in die ghestalt houdt als Æ, doet daer an alsulcken gheweldt als Δ, door het I3 voorstel; An Æ dan rust een ghewicht euen an Δ. Laet ons insghelicx voorttrecken, RV tot in Φ, also dat VΦ euen sy an VR, ansiende daer naer V voor vastpunt, soo sal an Φ moeten hanghen Δ 2 lb, om den pilaer in die ghestalt te houden door het 3 voorstel, maer tghene an R den pilaer in die ghestalt houdt als Œ, doet daeran alsulcke ghewelt als Δ door het I3 voorstel, An Œ dan rust een ghewicht euen an . Nu anghesien Insghelijcx nemende V voor tvastpunt, soo heeft den erm TV sulcken reden tot den erm VΦ, als Δ tot den pilaer, maer RZ is altijt euen an VΦ: Wy hebben hier dan twee eueredenheden
Maer alle twee eueredenheden elck van vier palen, welcker tweede palen an malRustende dan een pilaer op twee punten inden as, &c.
Laet by boorbeelt door de punten R, V, hanghende linien ghetrocken worden, ende punten inde selue ghestelt als Y , Ghenomen nu dat Y ende de punten sijn daer den pilaer op rust, tis kennelick dat op Y rusten sal 2 lb, ende op 4 lb, waer uyt alsulcken vertooch openbaer is.
I 0.
Laet ABCD een pilaer wesen, diens as EF, ende swaerheydts middelpunt G, ende de twee punten daer d'een pilaer op rust
nochtans om alhier wat breder vande nootsakelicheyt te segghen, so laet ons achten al of H ter plaets van O waer, twelck soo ghenomen tghewicht alsdan op H rustende, heeft sulcken reden tottet ghewicht op P rustende, ghelijck GP, tot GO, duer het I7 voorstel; Laet ons voort nemen dattet tpunt H vast blijuende, den pilaer in haer ghegheuen ghestalt neerghetrocken worde, soo verre als van H tot O, ende duer de begheerte, de swaerheydt an H rustende blijft de selue. Sghelijcx salmen bethoonen de swaerheyt dieder op P rust, oock te rusten op I, daerom ghelijck GO tot GP, also de swaerheyt rustende op I, tot de swaerheyt rustende op H. Rustende dan een pilaer op eenighe twee punten, &c.
...
Ghelijck des driehoucx rechter sijde tot de slincker, also t' des cloots op de slincker sijde, tottet staltwicht des cloots op de rechter sijde.
Laet ABC een driehouck wesen diens plat sy rechthouckich op den sichteinder, ende den grondt AC euewydich vanden sichteinder, ende op de sijde AB, die dobbel sy an BC, ligghe een cloot D, ende op de sijde BC een cloot E, euewichtich ende euegroot met den cloot D.
T' Wy moeten bewysen dat ghelijck de sijde AB 2, tot BT' Laet ons maecken rondtom den driehouck ABC eenen crans van veerthien clooten, euegroot, euewichtich, ende euewijt van malcanderen, als E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, Q, R, D, al ghesnoert an een lini, streckende door haer middelpunten
T' Soo t'staltwicht der vier clooten D, R, Q, P, niet euen en waer met het staltwicht der twee clooten E, F, t'een of t'ander sal swaerder sijn, latet wesen (soot mueghelick waer) der vier D, R, Q. P; Maer de vier clooten O, N, M, L, sijn euewichtich met de vier clooten G, H, I, K, de sijde dan der acht clooten D, R, Q, P, O, N, M, L, is swaerder na de ghestalt dan de sijde der ses clooten E, F, G, H, I, K: maer want het swaerste altijdt het lichtste ouerweeght, de acht clooten sullen neerwaert rollen, ende d'ander ses rijsen:
Latet soo wesen, ende D Maer dit soo wesende, den crans der clooten sal alsulcken ghestalt hebben als sy te vooren dede, ende sullen om de selue redenen de acht clooten ter slincker sijde wederom staltwichtigher sijn dan de ses clooten ter rechter, waer duer de acht clooten wederom neer sullen rollen, ende d'ander ses rijsen, welcke valling ter eender, ende rijsing ter ander, om dat de reden altijdt de selue is, altijdt ghedueren sal, ende de clooten sullen uyt haer seluen een maken, t'welck valsch is.
Het deel dan des crans D, R, Q, P, O, N, M, L, is euestaltwichtich met het deel E, F, G, H, I, K: Maer van sulke euewichtighe ghetrocken euewichtighe, de resten sijn euewichtich, laet ons dan van dat deel trecken de vier clooten O, N, M, L, ende van dit de vier clooten G, H, I, K, (welcke euen sijn ande voornoemde O, N, M, L,) de resten D, R, Q, P, ende E, F, sullen euestaltwichtich sijn, Maer wesende dese twee euestaltwichtich met die vier, E sal tweemael staltswaerder sijn als D. Ghelijck dan de lini BA 2, tot de lini B
T' Wesende dan een driehouck wiens plat, &c.
(te weten uyt het middelpunt Dit also sijnde, anghesien de vier clooten P, Q, R, D, hier vooren, euestaltwichtich waren met de twee clooten E, F, so sal desen cloot D, euestaltwichtich sijn teghen de cloot E: want ghelijck die P, Q, R, D, tot E, F, also dese D tot E: Daerom ghelijck de lini AB, tot BC, alsoo den cloot D tot den cloot E.
I.
Ende is openbaer dat ghelijck AB tot BC, (dat is dobbel als vooren) also den pilaer D tottet t'ghewicht E.
V.
Maer ghelijck AB tot BC, alsoo den Pilaer tot t'ghewicht E door het 4 veruolg, daerom ghelijck LD tot DI, also den pilaer tot E. Laet ons nu ande lini KD voughen t rechthefwicht M met den pilaer euestaltwichtig, t'selue ghewicht M sal met den pilaer euewichtich sijn door het voorstel: Daerom ghelijck LD tot DI, also M tot E.
Laet ons oock voughen an DO t'scheefhefwicht P, dat den pilaer (de ghewichten M, E gheweert sijnde) in die standthaude. Nu anghesien DL, des driehouckx DLI, lijckstandighe Maer de lijckstandighe linien van dese ghelijcke driehoucken ABN, LDO, sijn BA met DL, ende BN met DO, Daerom segghen wy als vooren, Ghelijck BA tot BN, alsoo het staltwicht van BA tot het staltwicht van BN (door het I vervolgh) Ende oock ghelijck DL tot DO, also het staltwicht van DL tot het staltwicht van DO, dat is also M tot P. Maer by aldien de lini BN, ghetrocken waer van B af ouer d'ander sijde van BC, so soude de lini DO, dan oock vallen van D ouer d'ander sijde van DI, dat is, daer DO nu valt onder DI, sy souder dan bouen vallen, ende t'voorgaende bewys soude oock dienen tot sulcke ghestalt, te weten, dat wy noch segghen souden, ghelijck BA tot BN, alsoo t'staltwicht van BA, tottet staltwicht van BN; Ende ghelijck DL tot DO, alsoo t'staltwicht van DL, tottet staltwicht van DO, dat is, also M tot P. Inder voughen dat dese eueredenheydt
'
dat CL Maer want LD ende DO binnen t'lichaem des cloots niet bequamelick en connen beschreuen worden, so laet ons trecken de hangende CE, ende sullen dan hebben buyten t'lichaem een driehouck CEO, ghelijck anden driehouck LDO, welcker lijckstandighe
en behouuen gheen tot haer verroersel, meer dan de omstaende verhindernissen en veroirsaecken, als Water, Locht, Naecsel der assen, teghen de bussen, naecsel der rayers teghen de straet, ende dierghelijcke.
Laet oock KL een ander pilaer sijn, euen ende ghelijck anden pilaer DE, wiens as MN, ende O een punt des as naeckende BC, ende van ghelijcke ghestalt in sijn pilaer, als H inden pilaer DE; Laet oock P een ander punt sijn van sulcker ghestalt inden pilaer KL, als I inden pilaer DE; Ende laet Q een vastpunt sijn daer ouer de lini IQP slieren mach, alsoo dat de lini IQ euewydich Ende om de redenen die int voorstel vande I4 clooten verclaert sijn (t'welck wy hier duer soodanighe veel slierende pilaren oock souden connen bewysen, maer want sulcx uyt t'voorgaende kennelick is, wy slaent ouer) het staltwicht des pilaers KL, sal dobbel sijn an t'staltwicht des pilaers DE.
Ende om de redenen als vooren, ghelijck TI tot IV, alsoo R tot X. Ende dit niet alleen als IV rechthouckich is op den as FG, maer cromhouckich soot valt, waeraf men besondet bethooch soude mueghen doen, maer tis openbaer ghenouch door het 6 veruolgh.
Laet AB een pilaer sijn, diens as CD, ende vastpunt E, ende t'verroerlick punt F, ende t'scheefhefwicht dat hem in die ghestalt houdt sy G, diens scheefheflini FH, ende FI sy rechtheflini, diens rechthefwicht K. Laet LM oock een pilaer sijn, euen ende ghelijck an den pilaer AB, wiens as sy NO, ende vastpunt E, ende verroerlick punt P, also dat EN euen sy an ED, ende EF an EP, ende t'scheefhefwicht Q sy euen an G, ende sijn scheefheflini sy PR, euewydich Dit soo sijnde laet ons vergaren de twee pilaren AB ende LM, ansiende AM voor een heel pilaer, wiens swaerheyts middelpunt Laet ons nu weeren de ghewichten K, G, S, Q, ende den pilaer AM sal op E alle ghestalt houden diemen hem gheeft door het voorstel, hy sal dan soo blijuen, ende den pilaer AB sal alsoo euewichtich blijuen teghen den pilaer LM. Laet ons nu de ghewichten Insghelijcx soo is oock de macht van K, den pilaer AB in die ghestalt te houden, daerom oock is de macht van S den pilaer LM in die ghestalt te houden; Nu ghelijck IF tot FH, also K tot G door het 8 veruolg, Maer TP. is euen an IF, ende PR an FH, ende S an K, ende Q an G, ghelijck dan TP tot PR, alsoo S tot Q. Dese eueredenheydt dan, als wy gheseyt hebben, is so wel inde voorbeelden alwaer t'roerende punt P leegher is dan t'vastpunt E, ende alwaer de scheefheflini PR afwyct vande sijde des vastpunts E, als daert hoogher is, ende daer de scheefheflini helde naer t'vastpunt.
X.
Ende inder seluer voughen salmen vanden anderen ghestalten door haer contrarien altijt dese eueredenheyt bewysen.
Dit so ghenomen, laet ons den pilaer der eerste form neerduwen, ofte der tweeder form oplichten, tot dat KF sulcken reden hebbe tot FH, als 3 tot 7, ende alsdan sal G oock euestaltwichtich sijn teghen den pilaer door de voorgaende vervolghen; Inder voughen dat den pilaer hoogher ende leegher verheuen, sal teghen G euestaltwichtich blijuen, t'welck openbaer onmueghelick is, als oock wisconstlick KF dan en heeft tot FH gheen ander reden dan I tot G.
...
T' Laet AB een pilaer sijn diens as CD, ende t'vast
T' Wesende dan inden as des pilaers een vastpunt, &c. Soo eenighe der linien als IF, FK, de sijde des pilaers niet en sneen, men sal die sijde voorder trecken tot dat sy ghesneen wort, als inde voorgaende laetste form.
Laet AB een pilaer sijn, diens as CD, ende vastpunt E, ende roerlick punt F, daer an den pilaer door trechtdaelwicht G in die ghestalt ghehouden wort, daer an oock den pilaer door t'scheefdaelwicht H (welverstaende G gheweert sijnde) in die ghestalt ghehouden wordt, ende de rechtdaellini snie de sijde des pilaers in I, maer de scheefdaellini snie de selue sijde in K. Wy moeten bewysen dat ghelijck de rechtdaellini IF tot de scheefdaellini FK, alsoo t'rechtdaelwicht G tot het scheefdaelwicht H. Laet ons teeckenen t'punt L, alsoo dat EL euen sy an EF, ende voughen an t'punt L t'rechthefwicht M, dat den pilaer in die ghestalt can houden, diens rechtheflini LN: Insghelijcx t'scheefhefwicht O, dat den pilaer oock in die ghestalt can houden, wiens scheefheflini LP euewydich sy met FK. Ghelijck NL tot LP, also M tot O, duer het voorstel maer de macht van G is anden pilaer euen met de macht van M, ende de macht van H met die van O duer het voorstel, ende IF is euen an LN, ende FK, an LP; Daerom ghelijck de rechtdaellini IF tot de scheefdaellini FK, alsoo t'rechtdaelwicht G tottet scheefdaelwicht H, Sghelijcx sal oock t'bewys sijn van alle d'ander ghestalten als inde formen hier na volghende.
T' Wesende dan inden as des pilaers een vastpunt ende een roerlick, &c.
T' Laet ABCD een pilaer sijn weghende 6 lb, ende ghedeelt als int voorstel, ende t'vastpunt sy X, ende het roerende punt S, an t'welck gheuoecht sy een onbekent scheefhefwicht Y, met den pilaer euestaltwichtich, ende sijn scheefheflini snie de sijde des pilaers AB in Œ. T' Wy moeten dat onbekende scheefhefwicht Y bekent maken. T' Men sal sien wat rechthefwicht an S den pilaer in die ghestalt soude houden, wort beuonden door voorstel, van 4 lb, daer naer salmen ondersoucken wat reden eenighe hanghende lini T' Laet ons trecken de hanghende door S welcke sy AS. T' Ghelijck AS tot SŒ, also t'rechthefwicht tottet scheefhefwicht Y door het 20 voorstel, maer den driehouck ŒZB, is ghelijck anden driehouck ŒSA, welcker lijckstandighe linien Ende sghelijcx sal den voortganck sijn in allen anderen voorbeelden. T' Wesende dan ghegheuen een bekenden pilaer met een vastpunt inden as, &c.
Laet AB een pilaer sijn diens as CD, ende vastpunt daer in E, en t'roerlick punt F, an t'welck een scheefhefwicht G sy, dat den pilaer in die ghestalt houde, ende diens scheefheflini FH. Laet oock an t'selue punt F gheuoucht wesen een scheefhefwicht I, ouer d'ander sijde, ende met G euewichtich, ende diens scheefheflini FK, den houck KFD euen make anden houck HFC. T' Wy moeten bewysen dat I anden pilaer euen sulcken ghewelt doet als G, te weten dat I (G gheweert sijnde) den pilaer oock in die ghestalt sal houden. T' Laet an t'punt F gheuoucht worden t'rechthefwicht L dat den pilaer oock in die ghestalt can houden, ende sijn rechtheflini sy FM. T' Want de linien FH, FK, sijn tusschen de euewydighe waer uyt volght dat ghelijck MF tot FH, alsoo MF tot FK, Maer ghelijck MF tot FH, alsoo L tot G, daerom oock ghelijck MF tot FK, also L tot G; maer I is euen an G door t'ghestelde, ghelijck dan MF tot FK, alsoo L tot I. T'welck so sijnde, I houdt den pilaer in die ghestalt door het voorstel. Sghelijcx sal oock t'bewijs sijn in alle anderen voorbeelden. T' Euen ghewichten dan der trecklinien van een selfde punt des as, ende op verscheyden sijden met den as euen houcken makende; doen anden pilaer euen ghewelden, t'welck wy bewysen moesten.
T' Laet AB een pilaer sijn diens as CD, ende vastpunt E, ende roerlick punt F, waer an gheuoucht is t'scheefhefwicht G, dat den pilaer in die ghestalt houdt, ende also dat sijn scheefheflini HF rechthouckich op den as CD is; Laet oock an F gheuoucht worden t'scheefhefwicht I, euen an G, ende sijn scheefheflini sy KF. T' Wy moeten bewysen dat G meerder ghewelt doet anden pilaer, dan I, oock gheen meerder ghewelt daer an doen en can. T' Laet ons an F voughen t'rechthefwicht L dat den pilaer in die ghestalt houden can, diens rechtheflini FM. T' Maer dat G daer an gheen meerder doen en can, is daer uyt openbaer, dat van F op de sijde des pilaers gheen corter lini en can ghetrocken worden dan FH, anghesien sy daer op rechthouckich is. T' Als dan des ghewichts trecklini rechthouckich op den as is, soo doedet an den pilaer ghegheuener ghestalt de grootste ghewelt, t'welck wy bewysen moesten.
A.
I
T' Laet AB een pilaer sijn hanghende ande twee oneuewydighe linien CD, EF, welcke voortghetrocken sijn tot G, H, sniende malcanderen in I. T' Wy moeten bewysen dattet punt I inde swaerheyts middellini is des pilaers AB. Den houck FEC, ofte IEC, ofte HEC, is al een selfden houck, also oock is DCE, ofte ICE, ofte GCE, daerom wat punten wy inde linien HE, ende CG voor uytersten nemen, den pilaer Laet ons nemen I, ghemeen uyterste punt van d'een ende d'ander lini, den pilaer dan houdt daer an sijn ghegeuen standt. Maer hanghende den pilaer an t'punt I, so is de hanghende
T' Laet AB een pilaer sijn hanghende ande oneuewydighe linien CD, EF, welcke voortghetrocken sijn tot G, H, sniende malcanderen in I. T' Wy moeten bewysen dattet punt I, inde swaerheyts middellini is des pilaers AB. Laet ons DG ende FH ansien voor stylen ofte stiue linien daer den pilaer op rust, welcke door de begheerte niet en breken noch en buyghen;
der seluer ghewelt is euen ande ghewelt der linien CD, EF, want ghelijck dese den pilaer in sijn ghegheuen standt houden alsoo oock die. Ende wat punten wy inde linien DG, FH voor uytersten nemen, den pilaer houdt daer op sijn ghegheuen standt. Laet ons nemen I, ghemeen uyterste punt van d'een en d'ander lini; den pilaer dan houdt daer op (Wisconstlick
T' Laet AB een pilaer sijn welcke in die standt ghehouden wort door de scheefdaellini CD, ende scheefheflini EF, de selue sijn voortghetrocken tot G, H, sniende malcanderen in I. T' Wy moeten bewysen dat I inde swaerheydts midT' Laet ons GC ansien voor styl, ofte stijue lini ende nemen dat de macht die an D int neertrecken was, nu neerstekende sy in yder punt tusschen C en G daermen haer stelt, ende den pilaer AB, sal alsoo op allen punten diemen tusschen C, G ende E, H voor uytersten neemt, sijn ghegheuen standt houden. Laet ons nemen I ghemeen uyterste van d'een en d'ander lini, den pilaer dan houdt daer an sijn ghegheuen standt; maer hanghende den pilaer an t'punt I, de hanghende door I is des pilaers swaerheyts middellini, inde welcke I is.
T' Laet AB een pilaer sijn, welcke in die standt ghehouden wort door de scheefdaellini CD, ende de scheefheflini EF, de selue sijn voortghetrocken tot T' Wy moeten bewysen dat I inde swaerheyts middellini is des pilaers AB.
T' Laet ons HE ansien voor stijl, ofte stiue lini, ende nemen dat de macht die an E int opheffen was, nu opstekende sy in yder punt tusschen E en H, daermen haer stelt, ende den pilaer AB sal also op allen punten diemen tusschen Laet ons nu nemen I ghemeen uyterste punt van d'een en dander lini, den pilaer dan houdt daer op sijn ghegheuen standt, maer rustende den pilaer op t'punt I, soo is de hanghende door I des pilaers swaerheydts middellini, inde welcke I is. T' Twee oneuewydighe linien dan, daer een pilaer an hangt beyde oneyndelick voortghetrocken, snien malcanderen inde swaerheydts middellini des pilaers, t'welck wy bewysen moesten.
T' Laet AB een pilaer sijn hanghende an twee linien, d'een CD rechthouckich op den sichteinder, d'ander EF (soot mueghelick waer) scheefhouckich, ende GH sy des pilaers swaerheydts middellini. T' Wy moeten bewysen t'hinhoudt des voorstels. T' Laet CD ende EF voortghetrocken worden, sniende malcander in I. T' Soo den pilaer in die ghestalt blijft hanghende ande linien CD, EF, sy sal op alle vastpunten in die voortghetrocken linien de selue ghestalt houden, ouermidts de houcken ICE, ende IEC, niet en veranderen:
Daerom ghenomen I T'selue sal oock alsoo bethoont worden als de lini EF ouer dander sijde neigt. Wesende dan IC rechthouckich op den sichteinder, d'ander lini als EF en cander niet scheefhouckich op sijn; nootsaecklick dan rechthouckich: Ende veruolghens sooder EF scheefhouckich op is, dander moeter oock scheefhouckich op sijn.
Want laetse (soot mueghelick waer) daer van wycken, als CK, sniende de voortghetrocken EI in K, inder voughen dat de hanghende lini door K, sal om de redenen als bouen swaerheydts middellini wesen des pilaers, t'welck noch ongheschicter is dan doen wy die seyden door I te vallen: D'ander lini dan die den pilaer in de ghestalt can houden, en wyckt van EF niet, sy en is met haer oock gheen euewydighe als bouen bethoont is, ende ter sijden uyt te wijcken is openbaer onmueghelick, sy neigt dan nootsaecklick naer EF. Ende soo EF ouer d'ander sijde neigde, men sal insghelijcx bethoonen dat d'ander lini van haer wycken sal. T' Soo d'eene dan der twee linien, &c.
T' Laet AB een pilaer sijn wiens as CD, ende twee punten daer in E, F, welcker scheefhefwichten die hem in die standt houden sijn G, H, ende rechthefwichten I, K, ende scheefheflinien EL, FM, ende rechtheflinien EN, FO. T' Wy moeten bewysen dat ghelijck LE
T' Laet ons F ansien voor vastpunt, ende E voor t'roerlick, daerom (door het voorstel) ghelijck LE tot EN, alsoo G tot I. Laet ons ten tweeden E ansien voor vastpunt, ende F voor t'roerlick; Daerom (door t'voornoemde 20 voorstel) ghelijck MF tot FO, alsoo H tot K. T' Hanghende dan een pilaer euestaltwichtich teghen twee scheefhefwichten: Ghelijc scheefheflini tot rechtheflini, alsoo elck scheefhefwicht tot sijn rechthefwicht, t'welck wy bewysen moesten.
T' Laet ons t'voorbeelt nemen der eueredenheydt des voorstels aldus: Het sy een pilaer AB, diens as CD, ende swaerheyts middelpunt E, ende vastpunt daer in F, ende roerlick punt G, an t'welc gheuoucht sy een scheefhefwicht H, dat den pilaer in die ghestalt houde, diens scheefheflini GI. Daer naer trechthefwicht K, dat den pilaer oock in die ghestalt houde, diens rechtheflini GL, alwaer wy segghen, ghelijck IG tot GL, also H tot K. T' Wy moeten bewysen dat dese eueredenheydt niet alleenlick also en bestaet in t'lichaem AB een pilaer sijnde, maer van sulcke form alst valt.
Laet ons den pilaer AB (blijuende de linien FG ende IL op haer plaetsen) neertrecken, alsoo dat hy bliue hanghende an sijn swaerheyts middelpunt Ende door de begheerte den pilaer en veroirsaect op de punten F, G, gheen ander swaerheydt dan d'eerste; ende alles blijft noch euestaltwichtich, ende ghelijck IG tot GL, alsoo noch H tot K.
De eueredenheydt dan des 20 voorstels en is niet alleenelick alsoo met den pilaer, maer met yder lichaem: Ende der ghelijcke salmen oock alsoo bethoonen van al t'ghene hier vooren in alle d'ander voorstellen vanden pilaer gheseyt is. T' Alle de eueredenheden dan, welcke hier vooren bescreuen sijn vanden pilaer tot de ghewichten an hem hanghende, ende dier ghewichten linien; de selue sijn van yder lichaem tot de ghewichten an hem alsoo hanghende, ende dier ghewichten linien, t'welck wy bewysen moesten.
by voorbeelt ande uytersten des lichaems M, N, Want voortghetrocken de lini IN tot inde rechte CD, t'welck ick neem te vallen in G, sghelijcx ghetrocken door M de hanghende
B
Y hebben in t'eerste bouck tot het beschriuen der wichtighe ghedaenten, ghenomen een pilaer (voldoende aldaer het voornemen) diens swaerheyts middelpunt door ghemeene wetenschap bekent is, maer in veel ander lichamen en ghebueret niet also; wel is waer dattet door een corte ghemeene reghel in allen werckelick te vinden is, so door t'eerste voorstel der Wat de bepalinghen
Y
I.
T' Laet ABC een euesijdich driehouck wesen, diens formens middelpunt sy D. T' Wy moeten bewysen dat D oock het swaerheyts middelpunt is des driehoucx ABC. T' Laet ghetrocken worden van A tot int middel van BC, de lini AE, sghelijcx van C tot int middel van AB, de lini CF. T' Wesende de driehouck ABC opghehanghen byde lini AE, het deel AEC sal euewichtich hanghen teghen AEB, want sy sijn euen groot, ghelijck, ende van ghelijcker ghestalt; AE dan is swaerheyts middellini des driehoucx ABC, Ende om de selue reden sal FC oock des driehoucx swaerheyts middellini sijn, maer dese snien malcanderen in des formens middelpunt D, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan D.
T' Laet ABCD een euewydich vierhouck sijn, diens formens middelpunt E. T' Wy moeten bewysen dat E oock het swaerheyts middelpunt is.
T' Laet ghetrocken worden FG, tusschen de middelpunten van AD ende BC, insghelijcx HI, tusschen de middelpunten van AB ende DC. T' Wesende den vierhouck opghehanghen byde lini HI, Het deel HIDA sal euewichtich hanghen teghen HICB, want sy sijn euegroot ghelijck ende van ghelijcker ghestalt; HI dan is swaer
T' Laet ABCD een gheschickt ofte inschriuelick vijfhouck wesen, diens formens middelpunt F sy. T' Wy moeten bewysen dat F oock het swaerheyts middelpunt is. T' Laet ghetrocken worden van A tot int middel van DC, de lini AG; sghelijcx van B tot int middel van ED, de lini BH. T' Wesende den vijfhouck opghehanghen byde lini AG, het deel AGDE sal euewichtich hanghen teghen het deel AGCB, want sy sijn euegroot, ghelijck, ende van ghelijcker ghestalt: AG dan is swaerheyts middellini des vijfhoucx, ende om de selue reden sal BH oock des selfden vijfhoucx swaerehyts middellini wesen; maer dese doorsnien malcanderen in des formens middelpunt F, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan F. Sghelijcx sal oock t'bewys sijn in allen anderen hebbende een formens middelpunt als Seshoucken, Ronden, Scheefronden, &c. T' Yder plats middelpunt der form dan, is oock sijn swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten.
T' Laet ABC een driehouck sijn van form soot
T' Wy moeten bewysen dat des driehoucx swaerheyts middelpunt inde lini AD is. T' Laet ons trecken EF, GH, IK, euewydighe van BC, sniende AD in L, M, N, daer naer EO, GP, IQ, KR, HS, FT, euewydighe met AD. T' Ouermits EF euewydighe is van BC, ende EO, FT met LD, soo sal EFTO, euewydich vierhouck sijn, wiens EL euen is met LF, oock met OD ende DT, waer duer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx EFTO in DL is, duer het I voorstel deses boucx. Ende om de selue reden sal het swaerheyts middelpunt des euewydichs vierhoucx GHSP wesen in LM, ende van IKRQ in MN, ende vervolghens het swaerheyts middelpunt der form IKRHSFTOEPGQ ghemaect vande voornoemde drie vierhoucken, sal wesen inde lini ND, ofte AD. Nu ghelijck hier in beschreuen sijn drie vierhoucken, also canmender oneindelicke sulcke vierhoucken in beschrijuen, ende des binneschreuens formen swaerheyts middelpunt, sal altijt sijn (om de redenen als vooren) inde lini AD. Maer hoe datter sulcke vierhoucken meer sijn, hoe dat den driehouck ABC min verschilt vande binneschreuen form der vierhoucken; want treckende linien euewydich van BC door de middelen van AN, NM, ML, LD, t'verschil des laetsten ghestalts, sal effen den helft sijn van t'verschil des voorgaenden ghestalts. Wy connen dan door dat oneindelick naerderen sulck een form binnen den driehouck stellen, dattet verschil tusschen haer ende den driehouck, minder sal wesen dan eenich ghegheuen plat hoe cleen het sy: Waer uyt volght, dat stellende AD als swaerheydts middellini, so sal t'staltwicht des deels ADC, min verschillen van t'staltwicht des deels ADB, dan eenich plat datmen soude connen gheuen hoe cleen het sy, waer uyt ick aldus . Daerom AD is swaerheyts middellini, ende vervolghens t'swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC is in haer. T' Yder driehoucx swaerheydts middelpunt dan is inde lini ghetrocken vanden houck tot int middel der sijde, t'welck wy bewysen moesten.
A.
I.
T' Laet ABC een driehouck wesen. T' Wy moeten sijn swaerheytds middelpunt vinden. T' Men sal van A tot int middel van BC, trecken de lini AD, sghelijcx van C tot int middel van AB, de lini CE, sniende AD in F: Ick seg dat F t'begheerde swaerheydts middelpunt is. T' T'swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC, is inde lini AD, ende oock in CE, duer het 2 voorstel, tis dan F, t'welck wy bewysen moesten. T' Wesende dan ghegheuen een driehouck: Wy hebben sijn swaerheydts middelpunt gheuonden naer den eysch.
T' Laet ABC een driehouck sijn, ende vanden houck B een lini ghetrocken worden tot D int middel van AC, sghelicx van C tot E int middel van AB, sniende BD in F voor swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC. T' Wy moeten bewysen dat CF dobbel is an FE. T' Ghetrocken de reden ECF dan is tot FE, als van 2 tot I. T' Het swaerheyts middelpunt dan eens driehoucx deelt de lini vande houck tot int middel der sijde alsoo, dattet stick naer den houck dobbel is an t'ander. t'welck wy bewysen moesten.
T' Laet ABC een driehouck wesen, van t'welck yder sijde AB ende BC ghedeelt sy in drie euen deelen, met de punten D, E, F, G, ende tusschen de punten E, G, naest de derde sijde BC, sy ghetrocken de lini EG. T' Wy moeten bewysen dat EG duer des driehoucx ABC swaerheyts middelpunt streckt T' Laet ons trecken van A tot int middel van BC, de lini AH, sniende EG in I. T' Ouermits T' Wesende dan twee sijden eens driehoucx elck ghedeelt in drie euen deelen, de lini tusschen de twee punten der deeling naest de derde sijde, streckt door des driehoucx swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten.
T' Laet ABCD een ongheschict vierhouck wesen. T' Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.
T' Men sal den vierhouck deelen in twee driehoucken met de lini AC, ende vinden het swaerheyts middelpunt van elck driehouck, duer het 3 voorstel, dat van ACB sy E, ende van ACD sy F, Daer naer salmen maken
T' Laet ABCDE een ongheschickt vijfhouck sijn. T' Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. T' Men sal trecken AC, ende vinden t'swaerheyts middelpunt des driehoucx ACB door het 3 voorstel, t'welck F sy, ende vanden vierhouck ACDE duer t'voorgaende I voorbeelt, t'welck G sy, ende de lini FG sal balck wesen, daer naer salmen maken twee euewydighe vierhoucken van een selfde hoochde, als HIKL euen anden vierhouck ACDE, ende HIMN euen anden driehouck ACB, deelende den balck GF in O, alsoo dat den erm OF, sulcken reden hebbe tot den erm OG, als IK tot IM; Ick seg dat O t'begheerde swaerheyts middelpunt is.
T' Laet ABCDEF een ongheschickt seshouck sijn. T' Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. T' Men sal trecken AC, ende vinden t'swaerheydts middelpunt des driehoucx ACB duer het 3 voorstel, t'welck G sy, ende vanden vijfhouck ACDEF, duer het voorgaende 2 voorbeelt, t'welck H sy, ende de lini GH sal balck wesen. Daer naer salmen maken twee euewydighe vierhoucken van een selfde hoochde, als IKLM, euen anden vijfhouck ACDEF, ende IKNO Welcke maniere van wercking in allen anderen veelsijdeghe platten ghelijck sal sijn ande voorgaende.
Wy heben hier bouen voorbeelden beschreuen alwaer t'ghegheuen plat verkeert wort in euenhooghe ende euewydighe vierhoucken, wy connen t'selfde oock doen sonder soodanighe verkeering, daer af wy verscheyden voorbeelden beschrijuen sullen als volght.
T' Laet ABCD een ongheschickt vierhouck wesen. T' Wy moeten sijn swaerheydts middelpunt vinden. T' Men sal den vierhouck deelen in twee driehoucken, met de lini AC, ende vinden t'swaerheydts middelpunt van elcken driehouck door het 3 voorstel, dat van ACB sy E, ende vanden driehouck ACD sy F, de lini dan EF is balck. Daer naer salmen trecken DG ende BH, beyde rechthouckich op AC, deylende den balck FE en I, alsoo dat den erm IE, sulcken reden hebbe tot den erm IF, als DG tot BH; Ick seg dat I t'begheerde swaerheyts middelpunt is.
T' Laet ABCDE een ongheschickt vijfhouck sijn. T' Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. T' Men sal den vijfhouck deelen in drie driehoucken, met eenighe linien als AD, AC, vindende daer naer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx ACDE duer het 4 voorbeelt, t'welck F sy, ende des driehoucx ACB duer het 3 voorstel, t'welck G sy, ende de lini FG, is balck, Daer naer ghetrocken BH rechthouckich op AC; Ende CI met EK rechthouckich op AD, men sal der drie linien AD, AC, HB, vinden de vierde euerednighe
VI.
T'
T' Men sal den seshouck deelen in vier driehoucken, met eenighe linien als AC, AD, FD, vindende daer naer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx ADCB door het 4. voorbeelt, t'welck G sy, ende des vierhoucx ADEF, t'welck H sy, ende de lini HG is balck. Daernaer ghetrocken BI ende DK rechthouckich op AC, insghelijcx AL ende EM beyde rechthouckich op FD, men sal der drie linien welcker eerste FD, de tweede AC, de derde BI met KD, vinden de vierde euerednighe, welcke NO sy, deelende den balck HG in P, also dat den erm PG, sulcken reden hebbe tot den erm PH, ghelijck AL met EM, tot NO; Ick seg dat P het begheerde swaerheyts middelpunt is.
Ende soo salmen voort mueghen varen met ander veelhouckeghe platten.
T' Ghelijck int eerste voorbeelt HI tot HL, alsoo den erm NE tot den erm NF, maer Het punt dan N is (door het voorstel des I boucx) des vierhoucx swaerheyts middelpunt. Sghelijcx sal oock bewijs sijn des 2 ende 3 voorbeelts. T'vierde voorbeelt is openbaer als wy bewesen hebben dat ghelijck DG, tot HB, alsoo den driehouck ACD, tot ACB in deser voughen: Nemende AC voor hoochde, ende DG ende HB voor gronden, soo heeft den rechthouck begrepen onder AC ende DG, sulcken reden tot den rechthouck onder AC ende HB, ghelijck DG tot HB Des 5 voorbeelts bewys sal oock claer sijn als wy bewesen hebben, dat ghelijck EK met IC tot LM, alsoo den vierhouck ACDE tot den driehouck ACB, aldus: Anghesien LM vierde euerednighe is der drie AD, AC, HB, de rechthouck begrepen onder AD ende LM, sal euen sijn
V
T' Laet ABCDEF een ongheschickt seshouck sijn. T' Wy moeten sijn swaerheydts middelpunt vinden. T' Men sal den seshouck deelen in vier driehoucken, met eenighe linien als AC, AD, FD, vindende daer naer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx ADCB door het 4 voorbeelt, t'welck G sy, ende des vierhoucx ADEF, t'welck H sy, ende de lini HG is balck. Daernaer ghetrocken BI ende DK rechthouckich op AC, insghelijcx AL ende EM beyde rechthouckich op FD, men sal der drie linien welcker eerste FD, de tweede AC, de derde BI met KD, vinden de vierde euerednighe, welcke NO sy, deelende den balck HG in P, also dat den erm PG, sulcken reden hebbe tot den erm PH, ghelijck AL met EM, tot NO; Ick seg dat P het begheerde swaerheyts middelpunt is. Ende soo salmen voort mueghen varen met ander veelhouckeghe platten.
[ Figuren ingevoegd: ]
Maer T'bewys van het 6 voorbeelt is duer dit oock kennelick ghenouch. T' Wesende dan ghegheuen een rechthouckich plat: Wy hebben sijn swaerheydts middelpunt gheuonden naer den eysch.
V.
T' Laet ABCD een vierhouck sijn, diens twee euewydighe sijden AB ende DC, ende de lini uyt E middel van AB, tot F middel van DC, sy EF. T' Wy moeten bewysen dat t'swaerheyts middelpunt des vierhoucx ABCD inde lini EF is. T' Laet de drie linien DA, FE, CB, voortghetrocken worden, welcke om de eueredenheyt T' Laet ons den driehouck GDC ophanghen byde lini GF, ende het deel GFC sal euestaltwichtich sijn, teghen GFD door het voorstel, waer deur oock t'swaerheyts mid
Maer den driehouck GEB, is oock euestaltwichtich teghen den driehouck GEA, daerom van euestaltwychtighe ghetrocken euestaltwichtighe, de resten als de vierhoucken EFDA, EFCB, sullen noch euestaltwichtich blijuen, ende haer swaerheyts middelpunt noch inde lini GF, maer niet uyt de form in EG; Nootsaecklick dan in EF. T' Het swaerheydts middelpunt dan des vierhoucx met twee euewydighe sijden, is inde lini tusschen dier sijden middelpunten, t'welck wy bewysen moesten.
T' Laet ABCD een vierhouck wesen met twee euewydighe sijden AB, DC, ende de lini tusschen haer middelpunten sy EF, ende t'swaerheydts middelpunt sy G. T' Wy moeten bewysen dat ghelijck tweemael DC met eenmael AB, tot tweemael AB met eenmael DC. also GE tot GF. T' Laet ghetrocken worden DB, ende ghedeelt in drie euen deelen met de punten H, I, ende door de selue ghetrocken worden KL, ende MN, euewydich van DC, sniende EF in O en P. Daer naer de lini DE, sniende MI in Q, Ende BF sniende KL in R, Ende ten laetsten RQ. T' Anghesien het swaerheydts middelpunt des driehoucx BDC, is in BF, duer het voorstel, ende oock in HL duer het voorstel, soo is R, sijn swaerheyts middelpunt, ende om de selue reden is Q swaerheyts middelpunt des driehoucx ABD, ende QR is dier driehoucken balck, inden welcken haer beyder, dat is des vierhoucx ABCD, swaerheyts Maer want de twee driehoucken CDB ende ABD sijn tusschen twee euewydighe AB ende DC, so sijn sy inde reden van haer gronden Maer GE is euen an tweemael GP met eenmael GO, ende GF is euen an tweemael GO met eenmael GP, daerom ghelijck tweemael DC met eenmael AB, tot tweemael AB met eenmael DC, alsoo GE tot GF. T' Het swaerheyts middelpunt dan des vierhoucx met twee, &c.
I.
T' Laet ABCD een rechtlinich plat wesen, diens swaerheyts middelpunt E, ende BDA deel des plats, wiens swaerheyts middelpunt F. T' Wy moeten t'swaerheyts middelpunt vinden des ander deels BDC. T' Men sal trecken FE tot in G, alsoo dat FE sulcken reden hebbe tot EG, als t'stick BDC tottet stick BDA: Ick seg dat G t'begheerde swaerheyts middelpunt is des ander deels BDC. T' Anghesien t'swaerheyts middelpunt van BDA is F, ende des heels ABCD is E, soo moet t'swaerheyts middelpunt des ander deels BDC sijn in de rechte FE oneindelick voortghetrocken. Want soot mueghelick waer, latet daer buyten wesen als H, ende laet ons trecken FH, het swaerheyts middelpunt dan des heels sal in FH sijn, maer dat is teghen t'ghestelde
Latet nu wesen Ten is dan tusschen Tis dan nootsaecklick G, t'welck wy bewysen moesten.
T' Laet ABCD een rondt wesen, diens halfmiddellini T' Wy moeten het swaerheyts middelpunt vinden des ander deels, dat is der maen ABCDHGF. T' Men sal IE voorttrecken tot in K, also dat IE sulcken reden hebbe tot EK, als de maen ABCDHGF tot het rondt AFGH, ende K sal t'begheerde swaerheydts middelpunt wesen. Daer af t'bewys ghelijck sal sijn an tvoorgaende. Maer om de reden dier maen tot dat rondt te vinden, men sal trecken CL euen met AG, daernaer AL, vindende Want ouermits ALC rechthouck is (reden dat sy int half rondt staet
Sghelijcx soudemen voortvaren dat int rondt ABCD meer ronden ghebraken; by voorbeelt het rondt NO, wiens middelpunt P. Want Ende alsoo met allen anderen formen welcker deelen reden kennelick is. T' Wesende dan ghegheuen de swaerheyts middelpunten eens plats ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel kennelick is: wy hebben het swaerheyts middelpunt gheuonden des ander deels naer den eysch.
T' Laet ABCD een brantsne sijn diens middellini AD. T' Wy moeten bewysen dat t'swaerheyts middelpunt inde lini AD is. T' Laet ons trecken de linien EF, GH, IK, euewydighe van BC, ende sniende AD in L, M, N, daer naer EO, GP, IQ, KR, HS, FT, euewydighe van AD. T' Ouermidts EF euewydighe is van BC, ende EO, FT, van LD, soo sal EFTO euewydich vierhouck sijn, wiens EL euen is met LF, oock met OD ende DT, waer duer t'swaerheyts middelpunt van EFTO, in DL is duer het voorstel, Ende om de selue reden sal t'swaerheyts middelpunt des euewydich vierhoucx GHSP in LM wesen, ende van IKRQ in MN, ende veruolghens t'swaerheyts middelpunt der form IKRHSFTOEPGQ, ghemaeckt vande voornoemde drie vierhoucken sal inde lini ND oft AD sijn. Maer hoe datter sulcke vierhoucken meer gheschreuen worden, hoe dattet verschil des brandtsnees ABC, ende der binnenschreuen form van die vierhoucken vergaert, minder is, wy connen dan door dat oneindelick naerderen sulck een form binnen de brandtsne stellen, dattet verschil tusschen haer ende de brantsne, minder sy dan eenich ghegheuen plat hoe cleen het sy, waer uyt volght, dat stellende AD als swaerheyts middellini, so sal t'staltwicht des deels ADC, min verschillen van t'staltwicht des deels ADB,
dan eenich plat T' Yder brandtsnees swaerheyts middelpunt dan, is in haer middellini, t'welck wy bewysen moesten.
A.
T' Laet ABCD ende T' Wy moeten bewysen dat ghelijck AE tot ED, also T' Laet ons trecken de linien AB, AC, die deelende in haer middelen F, G, ende trecken FG sniende AD in H, daer naer FI ende GK euewydighe van AD, ende daer naer IA, IB, KA, KC, ende laet ons stellen L in IF, alsoo dat IL dobbel sy an LF, sghelijcx M, alsoo dat KM dobbel sy an MG, ende laet ons trecken LM, sniende AD in N, ende IK, sniende AD in O, ende laet ons stellen P, alsoo dat AP dobbel sy an PD, ende laet ons IF voorttrecken tot Q inden grondt BC. Nu anghesien AP dobbel is an PD, so is P t'swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC, ende omme de selue reden L, M,
NP dan is balck, de selue ghedeelt in R, alsoo dat den erm NR sy tot RP, als den driehouck ABC tot de twee driehoucken ABI, ACK, dat is, als 4 tot I (want alle brantsne is tot den driehouck als ABC ghelijck 4 tot 3, duer het 24 voorstel der viercanting des brantsnees van Archim. daerom, &c.) Laet ons nu derghelijcke linien ende punten oock beschrijuen inde brantsne T' Ghelijck AD tot AO, also het viercant van DB tottet viercant van OI Dese twee rechtsideghe formen dan ghelijckelick beschreuen in verscheyden brandtsneen, hebben het swaerheyts middelpunt in haer middellinien, also dat de deelen onder malcanderen euerednich Ende so wy inde brandtsnekens BI, IA, AK, KC, driehoucken beschreuen, soo ghedaen is inde brantsneen ABI, ACK, vindende daer naer t'swaerheyts middelpunt des heels binnescreuen rechtlinich plats, t'welck ick neem dat hier S soude wesen, ende daer Maer wy connen duer sulck oneindelick inschriuen der rechtlinighe formen oneindelick naerderen nae E, ende Want laet (soot mueghelick waer) T t'swaerheyts middelpunt sijn des brantsnees ABC, ende Nu alsmen duer t'inschrijuen veelsidegher formen in T' Aller brantsneens middellinien dan, worden van het swaerheyts middelpunt eueredelick ghedeelt, t'welck wy bewysen moesten.
T' Laet ABC een brantsne sijn, diens middellini AD. T' Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden. T' Men sal de middellini AD, deelen in E, alsoo dat AE tot ED de reden hebbe van 3 tot 2: Ick seg dat E t'begheerde swaerheyts middelpunt is. T' Laet ghetrocken worden de rechte linien AB, ende AC, ende de selue ghedeelt in haer middelen, F, G, ende ghetrocken worden FG sniende AD in H, daer naer FI ende GK euewydighe van AD, ende laet ghestelt worden t'punt L in IF, inder voughen dat IL sy tot LF, als AE tot ED: Laet oock ghestelt worden t'punt M in KG, alsoo dat MG euen sy an LF, ende laet ghetrocken worden LM sniende AD in N, ende IK sniende AD in O, ende laet IF voortghetrocken worden tot Q, inden grondt BC, ende laet ghestelt worden t'punt P, alsoo dat AP dobbel sy an PD, ende P sal swaerheyts middelpunt sijn des driehoucx ABC, ende want L, M, als swaerheyts middelpunten ghestelt sijn der brantsnekens ABI, ende ACK, soo sal N swaerheyts middelpunt sijn dier twee brandtsnekens, daerom ghedeelt den balck PN, also dat d'een erm sulcken reden hebbe tot d'ander, als den driehouck ABC tot die twee brantsnekens, wy sullen t'begheerde hebben; maar de heel brantsne heeft sulcken reden tot den driehouck ABC als 4 tot 3 (duer het 24 voorstel vande viercanting der brantsne van Archimed.) daerom den driehouck ABC heeft sulcken reden tot de twee brantsnekens, als 3 tot I; Ghedeelt dan PN alsoo dat het opperste stick, drievoudich sy tot het onderste, wy sullen t'swaerheyts middelpunt des heels hebben. Ist dan dat wy bethoonen t'selue, te vallen in E (welcke E duer t'werck soo staet dat AE is tot ED inde reden van 3 tot 2) so is E het ware swaerheyts middelpunt. T' AO ende OH soo wy verclaert hebben int II voorstel, sijn elck I/4 van AD, Maer ghelijck 3 tot 2, alsoo AE tot ED, ende IL tot LF, ende ON tot NH, daerom ghedeelt O
daer toeghedaen I/2 voor HD, doet voor ND 3/5, daer af ghetrocken PT' Wesende dan ghegheuen een brantsne: Wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.
V.
T' Laet ABCD een ghecorte brantsne sijn (welverstaende dat AB euewydighe sy met DC) wiens middellini EF. T' Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden.
T' Men sal de ghecorte brantsne volmaken, daer an stellende t'ghebrekende ABG, daer naer salmen teekenen H, alsoo dat GH sy tot HE, als 3 tot 2: Insghelijcx I, alsoo dat GI sy tot IF, als 3 tot 2, daer naer K, alsoo dat IH sulcken reden hebbe tot IK, ghelijck de ghecorte brandtsne ABCD, tot de brantsne ABG; Ick seg dat K t'begheerde swaerheyts middelpunt is. T' I is swaerheyts middelpunt des heels, ende H des deels, ende ghelijck t'ander deel tot dit, alsoo HI tot IK, daerom K, duer het voorstel, is t'begheerde swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten. T' Wesende dan ghegheuen een ghecorte brantsne, wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.
T' Laet ABCD een viergrondich T' Wy moeten bewysen dat E oock is sijn swaerheyts middelpunt. T' Laet ons t'lichaem ophanghen byde lini AF, maer het viergrondich bestaet uyt vier euen ende ghelijcke naelden een selfder ghestalt, wiens ghemeene sop E, daerom AF is des lichaems swaerheyts middellini, ende om de selue reden sal de lini CE oock des swaerheyts middellini sijn: E dan is oock het swaerheyts
Sghelijcx sal oock t'bewys sijn van allen lichamen hebbende middelpunten der form, soo wel vermeerde ende ghecorte gheschicte lichamen, als gheschicte, want soomense ophangt byde middellinien deur eenighen lichamelicken houck, ofte duer het middelpunt haerder gronden ende des formens middelpunt, soo hebben al de naelden (wiens ghemeene sop het formens middelpunt, ende gronden de platten des lichaems sijn) tot allen sijden ghelijcke ghestalt, daerom oock duer ghemeene wetenschap, ende duer de begheerte des I boucx, alles hangt an die lini euewichtich, ende veruolghens de sne sulcker twee swaerheyts middellinien malcander sniende in des formens middelpunt, is ock het sawerheyts middelpunt. T' Yder lichaems formens middelpunt dan, is oock sijn swaerheyts middelpunt.
X.
T' Laet AB een driehouckich pilaer sijn diens grondt ACD. T' Wy moeten bewysen dat sijn swaerheyts middelpunt int middel vanden as is. T' Laet ons trecken van D tot E int middel van AC de lini DE: Daer naer FG ende HI euewydighe van AC, sniende DE inde punten K, L, daer naer de linien FM, HN, IO, GP, euewydighe met DE, daer naer van A tot Q int middel der sijde DC, de lini AQ: Laet sghelijcx oock beschreuen worden het decsel, ende laet ons den pilaer doorsnien met een plat T' T'plat ghetrocken duer DE, ende duer haer lijckstandighe Maer hoe datter sulcke vierhouckighe pilaren meer beschreuen sijn inde ghegheuen driehouckighen, hoe dat dese min verschilt van die; wy connen dan duer dat oneindelick Ende om de selue reden ist oock int plat duer AQ, ende haer lijckstandighe int decksel. Maer deser twee platten ghemeene sne is de rechte lini tusschen de swaerheyts middelpunten des grondts ende decsels, welcke lini den as is des ghegheuen pilaers, tswaerheyts middelpunt dan is inden as, het is oock int plat duer RS, want t'selue deelt den pilaer in twee euen, ghelijcke, ende lijckstandighe deelen; Maer dat plat doorsnijt den as in sijn middel, het swaerheyts middelpunt dan is in des as middel.
A.
T' Laet AB een vierhouckich pilaer wesen, diens grondt ACDE. T' Wy moeten bewysen dat sijn swaerheyts middelpunt int middel vanden as is. T' Laet ons trecken een plat duer AD, ende haer lijckstandighe int decksel, deelende also den ghegheuen pilaer in twee driehouckighe pilaren, welcker yder het swaerheyts middelpunt int middel vanden as heeft duer het I voorbeelt, daerom ghetrocken den balck tusschen die twee punten, ende den seluen ghedeelt in sijn ermen, het onderscheydt der ermen sal het swaerheyts middelpunt sijn des ghegheuen pilaers, welck punt valt in t'swaerheyts middelpunt des plats euewydich vanden grondt den pilaer in twee euen stucken deelende, ende t'selue int middel der lini tusschen de swaerheyts middelpunten des gronts ende decksels, dat is int middel vanden as; T'selue salmen oock alsoo bethoonen in yder pilaer. T' Yder pilaers swaerheyts middelpunt dan, is int middel vanden as, t'welck wy bewysen moesten.
T' Laet ABCD een naelde sijn, diens grondt den driehouck BCD, wiens swaerheyts middelpunt E, ende den as AE. T' Wy moeten bewysen dat des naeldens swaerheyts middelpunt inden as AE is. T' Laet ons de naelde snien met een plat FGH euewydich met BCD, ende sniende den as AE in I: Laet oock ghetrocken worden FK, GL, HM, euewydich vanden as AE, alsoo dat de punten K, L, M, int plat sijn des driehoucks BCD, inder voughen dat FGHKLM een pilaer is, wiens grondt IKL euen ende ghelijck is an het decksel FGH, ende ghelijck anden grondt BCD; Daer naer ghelijck de naelde doorsneen was met FGH, laetse noch eenmal alsoo doorsneen sijn met het plat NOP, sniende den as in Q, ende daer uyt oock alsoo ghemaect den pilaer NOPRST, te weten NR, OS, PT, euewydich vanden as AE, ende de punten R, S, T, int plat FGH. T' Anghesien de driehoucken NOP, RST, FGH, KLM, alle ghelijck sijn anden driehouck BCD, ende dat haer punten Q, I, E, in haer sulcken stant hebben als E inden driehouck BCD, ende dat E des driehoucx BCD swaerheyts middelpunt is, soo sijn oock die Q, I, E, haer driehouckens swaerheyts middelpunten, waer duer IE as is des pilaers FGHKLM, in wiens middel huer swaerheyts middelpunt is duer het voorstel. Sghelijcx is QI oock as des pilaers NOPRST, in wiens middel huer swaerheyts middelpunt is, ende vervolgens het swaerheyts middelpunt des lichaems uyt die twee pilaren vergaert is in QE, daerom oock in AE; Maer hoe datter inde naelde sulcke pilaren meer beschreuen worden, hoe dattet verschil der naelde ende der
blijuende nochtan het swaerheyts middelpunt der binneschreuen form altijt inden as AE; Wy connen dan duer dat oneindelick naerderen sulcken form binnen de naelde stellen, dattet verschil tusschen haer ende de naelde, minder sal wesen dan eenich ghegheuen lichaem hoe cleen het sy, waer uyt volght dat stellende AE voor swaerheyts middellini, der naelde, soo sal het staltwicht van d'een sijde tot d'ander, min verschillen dan eenighe swaerheyt diemen soude connen gheuen, waer uyt ick aldus : Sghelijcx sal oock t'bewys sijn val naelden wiens gronden sijn Vierhoucken, Veelhoucken, Ronden &c. T' Yder naeldens swaerheyts middelpunt dan is inden as.
A.
T' Laet ABCD een naelde wesen, diens grondt sy den driehouck BCD. T' Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden. T' Men sal de swaerheyts middelpunten vinden van eenighe twee driehoucken, als E van BCD, ende F van ADC, treckende de linien AE, BF; welcker sne G, ick seg te wesen het begheerde swaerheyts middelpunt. T' Des naldens ABCD swaerheyts middelpunt is in AE, ende oock in BF, duer het I6 voorstel, het is dan nootsaeclick G. T' Wesende dan ghegheuen een naelde: Wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.
T' Laet ABCD een driehouckighe naelde wesen, diens sop A, ende grondt BCD, ende den as van B tot int swaerheyts middelpunt E des driehoucx ADC, sy BE, ende van A tot int swaerheyts middelpunt F des driehoucx BCD sy AF, sniende BE in G, voor t'swaerheyts middelpunt der ghegheuen naelde. T' Wy moeten bewysen dat BG drievoudich is an GE. T' Laet ons trecken van H middel van CD, de linien HA, HB. T' Ouermits HA ghetrocken is uyt het middel van DC tot inden houck A, ende dat E t'swaerheyts middelpunt is des driehoucx ACD, soo sal AE dobbel sijn an EH duer het voorstel, ende om de selue reden sal BF dobbel wesen an FH. Dit soo sijnde, ghetrocken de reden EA 2, tot AH 3, vande reden BF 2, tot FBG dan is tot GE, als 3 tot I.
Nu dese vierhouckighe naelde ghedeelt in twee driehoekighe, wiens gronden ECB, ende ECD, diens assen AG, ende AH, wiens swaerheyts middelpunten I, K, des heelen naeldens swaerheyts middelpunt sal inde lini IK wesen, tis oock in AF duer het voorstel, tis dan L: Maer want AGH een driehouck is, ende IK euewydich van GH (want IG is t'vierendeel van GA, ende HK t'vierendeel van HA daerom &c.) soo sal AL sulcken reden hebben tot LF Sghelijcx sal oock t'bewys sijn in alle naelde met veelsidighen grondt.
Maer hoe de naelde daer in beschreuen van meer houcken is, hoe die binneschreuen naeldens grootheyt vande ronde naelde min verschilt, daerom oock connen wy om het oneindelick naerderen, een binneschreuen setten, min verschillende vande veruatende, dan eenich ghegheuen lichaem hoe cleen het sy; Daerom oock de langde der plaets van diens swaerheyts middelpunt tot deses, corter soude moeten wesen dan eenighe langde die mueghelick is ghegheuen te worden, waer uyt ick aldus : T' Het swaerheyts middelpunt dan van yder naelde, deelt den as alsoo, dat het stuck naer den houck drieuoudich is an t'ander.
A.
T' Laet ABCD een lichaem sijn, diens swaerheyts middelpunt E, ende BDA deel des lichaems, wiens swaerheyts middelpunt F. T' Wy moeten t'swaerheyts middelpunt vinden des ander deels BCD. T' Men sal trecken FE tot in G, alsoo dat FE sulcken reden hebbe tot EG, als tstick BDC tottet stick BDA: Ick seg dat G t'begheerde swaerheyts middelpunt is, des ander sticx BDC; waer af t'bewys ghelijck sal sijn an t'bewys des voorstels. Wy souden oock moghen voorbeelt setten van een heele cloot, wiens ander deel oock een cloot sy, maer sulcx is openbaer ghenouch duer het tweede voorbeelt des boueschreuen 9 voorstels in ronden. T' Wesende dan ghegheuen t'swaerheydts middelpunt eens lichaems ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel
T' Laet ABCDEF een ghecorte naelde sijn, diens decksel ABC, ende grondt DEF. T' Wy moeten huer swaerheyts middelpunt vinden. T' Men sal de ghecorte naelde volmaken, daer an stellende het ghebrekende ABCG, vindende H swaerheyts middelpunt des driehoucx DEF, treckende den as GH, wiens punt inden driehouck ABC, sy I, daernaer salmen teeckenen K, alsoo dat GK drievoudich sy an KI: Insghelijcx L, also dat GL drievoudich sy an LH, teeckenende M, alsoo dat KL sulcken reden hebbe tot LM, ghelijck de ghecorte naelde ABCDEF, tot de naelde ABCG, Ick seg dat M t'begheerde swaerheyts middelpunt is. T' L is swaerheyts middelpunt des heels, ende K des deels, ende ghelijck t'onderste deel tottet bouenste, also KL tot LM, Daerom M, door het voorstel des I boucx is t'begheerde swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten. Sghelijcx sal oock den voortganck sijn in allen anderen ghecorte naelden. T' Wesende dan ghegheuen een ghecorte naelde: Wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden, naer den eysch.
T' Laet A een ongheschickt platgrondich lichaem sijn, dat is omvanghen in platten so veel alst sy. T' Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.
T' Men sal Ten quaetsten commende men can als duer ghemeene reghel, alle platgrondich lichaem in soo veel naelden deelen alst platten heeft, stellende eenich punt int lichaem voor haer ghemeene sop. Dit soo sijnde, men sal yder naeldens swaerheyts middelpunt vinden duer het voorstel. Daer naer om te vinden t'ghemeene swaerheydts middelpunt van twee naelden, men sal tusschen haer swaerheyts middelpunten een balck trecken, die deelende in sulcken reden als haer twee naelden tot malcanderen sijn, weluerstaende t'cortste deel naer de swaerste naelde. Ende inder selue voughen salmen daertoe vergaderen de derde naelde, ende alle d'ander, ende t'punt den balck alsoo ten laetsten deelende, sal t'begheerde swaerheyts middelpunt sijn, waer af t'bewys openbaer is. T' Wesende dan ghegheuen een platgrondich lichaem soodanigher form alst valt, Wy hebben sijn swaerheyts middelpunt gheuonden, naer den heysch.
Het swaerheyts middelpunt des rechten branders inden as te wesen is duer ghemeene wetenschap openbaer, wy sullen dan alleenelick t'voorbeelt stellen des gheens diens as opden grondt cromhouckich is.
T' Laet ABC een brander wesen diens grondt BC sy, ende den as AD daerop cromhouckich. T' Wy moeten bewysen dattet swaerheyts middelpunt in AD is. T' Laet ons den brander snien met twee platten EF, GH euewydich vanden grondt BC, welcker ghemeene sneen met den as AD, sijn I, K; Ende laet ons trecken de linien EL, FM, GN, HO:
T' Want LD halfmiddellini Maer hoe datter sulcke pilaren inden brander meer beschreuen worden, hoe dattet verschil des branders ende der binneschreuen form van sulcke pilaren vergaert, minder is. Wy connen dan duer dat oneindelick naerderen sulcken form binnen den brander stellen, dat huer verschil minder sal wesen, dan eenich ghegheuen lichaem hoe cleen het sy; Waer uyt volght dat stellende AD voor swaerheyts middellini des branders, soo sal t'staltwicht van d'een sijde tot d'ander, min verschillen dan eenighe swaerheyt diemen soude connen gheuen, waer uyt ick aldus : Daerom AD is haer swaerheyts middellini. T' Yders branders swaerheyts middelpunt dan, is inden as; t'welck wy bewysen moesten.
A.
X.
T' Laet ABC een brander wesen diens sop A, ende as AD sy. T' Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. T' Men sal den as AD in E deelen, alsoo dat AE dobbel sy an ED, ende E sal t'begheerde swaerheyts middelpunt sijn; T'welck bewesen is duer Frederick Commandin int 29 voorstel, waer af den sin verclaert naer onse manier soodanich is. T' Laet den brander doorsneen worden met een plat FG, euewydich vanden grondt BC, ende duer t'middel des as H, ende sniende de uytersten des branders in I, K, ende laet BCGF ende IKLM twee pilaren sijn, beschreuen omme den brander, wiens middelpunten N, O, ende IKPQ een pilaer binnen den brander, wiens swaerheyts middelpunt oock O sijn sal.
Nu want ghelijck AD tot AH, t'welck is als 2 tot I, alsoo Maer op dattet claerder sy, Wy sullender noch een besonder voorbeelt af beschrijuen aldus: Laet ons den brander ABC noch eenmael snien duer de middelen van AH, ende HD, daer uyt teeckenende vier omschreuen, ende drie binneschreuen pilaren, als hier onder, alwaer AD des branders as is, ende der pilaren middelpunten sijn I, K, L, M, ende AE sy noch dobbel an ED als vooren. Nu want ghelijck AD tot AN (t'welck is als 4 tot 3 T'welck soo sijnde, ende anghesien alle de swaerheyts middelpunten ende der pilaren swaerheden bekent sijn, soo ist openbaer duer het voorstel des I boucx, dattet swaerheyts middelpunt der vier omschreuen pilaren sal vallen in L, also dat LE sal doen I/24 van AD, ende der drie binneschreuen pilaren sal vallen in S, also Dees twee punten dan L ende S vallen wederom euen verre van E.
Maer soomen om den brander schreue sulcke acht pilaren, ende seuen daer binnen, men sal sulcke punten noch euewydich vinden van E; te weten elck I/48 van AD. Maer soomen om den brander schreue soodanighe sesthien pilaren, ende vijfthien daer binnen, men sal sulcke punten noch euewydich vinden van E, te weten elck I/96 van AD: Inder voughen dat het verschil der volghende inschrijuing, altijt den helft is der voorgaende, daer af wy naer t'nootsaecklick veruolg in allen souden trachten, ten waer wy dat lieten om de cortheyt. Dit soo sijnde E is t'swaerheyts middelpunt des ghegheuen branders: want latet (soot mueghelick waer) daer buyten sijn tusschen Ten is dan gheen ander punt dan E, t'welck wy bewysen moesten. T' Wesende dan ghegheuen een brander, wy hebben sijn swaerheyts middelpunt gheuonden, naer den eysch.
T' Laet ABCD een ghecorten brander sijn, diens decsel AB, ende grondt DC, ende as EF. T' Wy moeten huer swaerheyts middelpunt vinden. T' Men sal den ghecorten brander volmaken, daer an stellende t'ghebrekende ABG, Daernaer salmen teeckenen H, alsoo dat GH dobble sy an HE, sghelijcx, I also dat GI dobbel sy an IF, daernaer K, alsoo dat IH sulcken reden hebbe tot IK, als den ghecorten brander ABCD, tottet branderken ABG:
Ick seg dat K t'beT' I is swaerheyts middelpunt des heels DCG, ende H des deels ABG, ende ghelijck t'ander deel ABCD, tot dit deel ABG, alsoo HI tot IK duer t'werck, daerom K, duer het voorstel, is t'begheerde swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten. T' Wesende dan ghegheuen een ghecorten brander, wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.