Monte, Guidobaldo delLe Mechaniche1581VeneziaPigafetta, Filippoitmonte_mecha_02_it_15812643.17037.xml

LE MECHANICHE DELL'ILLVSTRISS SIG. GVIDO VBALDO DE' MARCHESI DEL MONTE: TRADOTTE IN VOLGARE DAL SIG. FILIPPO PIGAFETTA: Nellequali &longs;i contiene la vera Dottrina di tutti gli I&longs;trumenti principali da mouer pe&longs;i grandis&longs;imi con picciola forza. A beneficio di chi &longs;i diletta di que&longs;ta nobili&longs;&longs;ima scienza; & ma&longs;&longs;imamente di Capitani di guerra, Ingegnieri, Architetti, & d'ogni Artefice, che intenda per via di Machine far opre marauiglio&longs;e, e qua&longs;i &longs;opra naturali. Et &longs;i dichiarano i vocaboli, & luoghi più difficili.

In Venetia, Appre&longs;&longs;o France&longs;co di France&longs;chi Sane&longs;e. MD LXXXI.

ALL'ILLVSTRISSIMO SIGNOR GIVLIO SAVORGNANO, CONTE DI BELGRADO. &c. Signore o&longs;&longs;eruandi&longs;&longs;imo.

Conciosia co&longs;a, che la &longs;cienza delle Mecha­niche gioui &longs;ommamente à molte, & importan­ti attioni della no&longs;tra vita, à gran ragione fu ella da i Filo&longs;ofi, & da i Rè antichi &longs;timata degna di laudi &longs;ingularißime; & i Matematici vi han­no impiegato lo &longs;tudio, & l'opera più che meza­namente, & i Principi fauoriti gl'ingegnieri eccellenti, & arricchiti. Ben è per certo di alti&longs;­&longs;ima &longs;peculatione, & di &longs;ottile manifattura; imperoche tocca quella par­te della Filo&longs;ofia, che tratta de gli elementi in vniuer&longs;ale, & del moto, & della quiete de' corpi, &longs;econdo i luoghi &longs;uoi, a&longs;&longs;egnando la cagione in certo modo de' loro mouimenti naturali; & anco sforzandoli, per via di machi­ne à partir&longs;i da proprij &longs;iti, gli tra&longs;porta all'insù, & per ogni lato in mo­uimenti contrari alla natura loro.

Mena ella ad effetto ambedue que&longs;te intentioni con le propo&longs;itioni che na&longs;cono, & &longs;ono congiunte con la materia &longs;te&longs;&longs;a, & co' difici, & i&longs;trumenti, che forma artificialmente. La onde egli è dibi&longs;ogno con&longs;iderare que&longs;tadottrina in due manìere; l'vna ìn quanto và &longs;peculando, & con ragione di&longs;correndo &longs;opra le co&longs;e, che s'hanno à fare, &longs;eruendo&longs;i dell' Arithmetica, della Geometria, dell' A&longs;trologia, & della Filo&longs;ofia naturale: & l'altra che po&longs;cia le manda ad e&longs;ecutione, & haue nece&longs;sita dell'e&longs;&longs;ercitio, & lauoro delle mani, v&longs;ando l'Architettura, la Pittura, il di&longs;egno, l'arte de' fabri, de'legnaiuoli, de'muratori, & d'altri me&longs;tieri tali, per modo che ella vie­ne ad e&longs;&longs;ere me&longs;colata, & in parte compo&longs;ta della naturale Filo&longs;ofia, delle Matematiche, & delle arti manuali. Per laqual co&longs;a chiunque &longs;i troua dotato d'ingegno acuto, & da fanciullo hà incominciato ad apprendere le già dette &longs;cienze, & &longs;a di&longs;egnare, & lauorare di &longs;ua mano, potrà nel vero ottimo Mechanico, & inuentore, & facitore di opere marauiglio&longs;e riu&longs;cire.

Infinite parti, & vtilißime à gli huomini comprende que&longs;ta noti­tia, & in guerra, & in pace, ne i commodi della città, della villa, & della mercatantia, & in altri; peroche la Medicina toglie da lei i difici per ri­porre le o&longs;&longs;a &longs;mo&longs;&longs;e, & rotte ne i &longs;iti &longs;uoi. Onde pone Oriba&longs;io nel libro delle Machine, diuer&longs;i i&longs;trumenti pre&longs;i dalla Mechanica, & conuertiti nell'v&longs;o della Medicina, come il Tri&longs;pa&longs;ton di Archimede: l'arte del nauigare ricono­&longs;ce anco diuer&longs;i aiuti, come il timone, co'l quale, collocato di dietro, ouero alle bande del nauilio ageuolmente lo moue, & dirizza, quantunque per ri&longs;petto à tutto il corpo del va&longs;ello piccioli&longs;simo &longs;ia. I remi, che à gui&longs;a di leua lo &longs;pingono innanzi, & l'arbore, & la vela &longs;ono pur di &longs;ua inuentione. I molini, i quali &longs;i girano co'l vento, con l'acqua, & con la forza vi­ua: & i pi&longs;trini, le carra, gli aratri, & altri ordigni di villa; il pe&longs;are con la bilancia, & con la &longs;tadera; il cauare l'acqua da pozzi con le grù, ouero cicogne, dette da latini to&longs;senoni, che &longs;ono come grandis&longs;ime bilancie, & con le rote, & altre co&longs;e tali &longs;i riducono alla Mechanica. La ragione pa­rimente del condurre le acque, & da profondis&longs;ime valli in alto farle &longs;urgere uà &longs;otto lei. Chiamarono gli antichi coloro Mechanici ancora, i quali co'l fiato, ò vento, ouero acqua, ò corde, ò nerui faceuano vedere, & vdire effetti miracolo&longs;i; come &longs;uoni diuer&longs;i, & canti d'augelli, & fin ad e&longs;pri­mere la voce humana in parole: & quelli che con horologi, i quali &longs;i mo­uono da &longs;e &longs;tes&longs;i con rote, ò da acqua, ò da &longs;ole il tempo mi&longs;urarono, & di­&longs;tin&longs;ero in hore. Appartengono alla Mechanica gli facitori delle Sfere compartite ne'&longs;uoi cieli, co'l mouimento de'Pianeti, & di tutti i corpi cele&longs;tiali à &longs;embianza dell'vniuer&longs;o mondo, & ciò mediante il mouimen­to eguale, & in giro, che loro daua l'acqua, di cui la fama &longs;uona e&longs;&longs;ere &longs;tato Archimede Siracu&longs;ano il primo mae&longs;tro. il mouere etiandio con poca forza pe&longs;i grandis&longs;imi con i&longs;trumenti, & ingegni diuer&longs;i è principale of­ficio della Mechanica, come Bilancie, Stadere, Leue, Taglie, Cunei, Moli­nelli, Rote co' denti & &longs;enza, Viti d'ogni &longs;orte, Argani, Mangani, Triuelle, & altri molti, i quali da que&longs;ti &longs;i compongono: & &longs;econdo Ari&longs;totele tutti &longs;i riducono alla Leua, & al cerchio, & alla machina ritonda, laquale quanto è maggiore, tanto più velocemente &longs;i moue. L'arte del fortificare le piazze, & i &longs;iti, & del difendergli, laquale acconciamente &longs;i puote chiamare Architettura militare, è profrees&longs;ione Mechanica: peroche per via di Cortine, & di Baloardi, & d'altri ripari, qua&longs;i con machine, & i&longs;trumen­ti s'ingegna l'huomo con pochi &longs;oldati di ributtarne in dietro molti, & mantener&longs;i con vantaggio. Il fabricare, & adoprare oltre à ciò gli i&longs;trumenti da guerra è proprio dono di que&longs;ta &longs;cienza, come Bali&longs;te, ò Bale&longs;tre, Catapulte, Scorpioni, Fionde, & &longs;imili, che da lontano gittano foco, & &longs;aßi, & ma&longs;&longs;e di ferro pe&longs;anti dugento cinquanta, & più libre, & Moli da molino &longs;econdo Silio Italico, & Vitruuio, per di&longs;tanza di for&longs;e 300. pas&longs;i à mi&longs;ura con ruino&longs;o colpo; & &longs;aette, & verettoni, & falariche grandi à gui&longs;a di traui: & quelli che percoteuano con l'vrto da pre&longs;&longs;o, come Arieti, Onagri, Te&longs;tugini, & &longs;imili; & in altri v&longs;i, come Sambuche, Corui, Mani di ferro, & gli altri maritimi, & Angoni, Monangoni, Tollenoni, &longs;cale &longs;no­date, ponti, torri mobili, & &longs;imili difici antichi, i quali &longs;ono &longs;tati poi ri fiutati, &longs;uccedendo in &longs;uo luogo le Artiglierie, da e&longs;&longs;ere anch'e&longs;&longs;e ordinate nell' ampiezza della con&longs;ideratione Mechanica, facendo elle còn sì poca materia acce&longs;a, tanto horribile perco&longs;&longs;a.

Que&longs;ta &longs;cienza, che fuor di quanto &longs;i è detto, abbraccia innumerabili altri v&longs;i, & diletteuoli, & nece&longs;&longs;ari à mortali, in diuer&longs;i tempi hebbe in &longs;orte vari &longs;tati, per ri&longs;petto à gli artefici, che la e&longs;ercitarono: peroche, di là cominciando, ne gli antichis&longs;imi &longs;ecoli, che pa&longs;&longs;arono auanti la guerra di Troia vi&longs;&longs;e Dedalo Athenie&longs;e gran mae&longs;tro di Mechanica, ilquale trouò il primiero la &longs;ega, l'a&longs;cia, il piombino da torre le diritture, la tri­uella, l'albero, l'antenna, la vela, & altri or digni: di&longs;egnò in Creta poi quell'intricato labirinto, & alla fine gli conuenne fabricare per &longs;e, & per Icaro &longs;uo figlio due paia d'ali, & volar&longs;ene via per l'aere à gui&longs;a d'au­gelli, come cantano i Poeti.

Nella fabrica del tempio di Salomone, che fu la maggiore per grandezza, per mae&longs;tria d' Architettura, & ornamento, di quante ne &longs;iano &longs;tate fatte giamai; & delle piramidi, & di tanti altri difici di quei &longs;eco'i, che hanno riempito il mondo di &longs;tupore, egli &longs;i può credere, che interueni&longs;&longs;ero eccellenti Mechanici, per leuare in alto le pietre &longs;mi&longs;urate, & per altre opere, lequali à condurgli à fine &longs;i ricercauano. Nacquero dapoi Eudo&longs;&longs;o, & Archita Tarentino, ambidue valenti ingegnieri; & di Archita &longs;i legge, che lauorò di legno vna colomba con tanta mae&longs;tria temperata, & gonfiata, che da &longs;e volaua per l'aria à gui&longs;a di viua colomba. Seguì co­&longs;toro il Filo&longs;ofo Ari&longs;totele, ilquale certe poche, ma bellis&longs;ime que&longs;tioni Me­chaniche, la&longs;ciò &longs;critte. A lui venne appre&longs;&longs;o Demetrio Rè, nominato il pigliatore, ò di&longs;truggitore delle città, peroche fabricaua machine, & difi­ci, co' quali per di&longs;opra vi montaua, & &longs;e ne faceua padrone, lequali per auentura furono &longs;imiglianti alla machina detta Cauallo, con cui li Greci pre&longs;ero la famo&longs;a Troia; di che ragionando Pau&longs;ania nell' Attica, dice che giudica e&longs;pre&longs;&longs;a mattezza il credere, che fo&longs;&longs;e vn cauallo, & non machina bellico&longs;a per acco&longs;tare alle muraglie, & prenderle. Que&longs;to Rè cominciò ad aumentare la Mechanica in qualche honore. Ma Archimede, che fù il megliore artefice di quanti fecero giamai que&longs;ta profes&longs;ione innanzi, & dopo lui, & qua&longs;i vn lume, che poi ha illu&longs;trato tutto il mondo, accrebbe in colmo la riputatione della Mechanica, & di pouera arte, & vile, che prima era, come vuole Plutarco nella vita di Marcello, nel numero delle arti nobili, & pregiate alla militia pertinenti la ripo&longs;e. Imperoche combat­tendo Marcello Siracu&longs;a patria &longs;ua per mare, & per terra con grande ho&longs;te di Romani, egli co'&longs;uoi diuer&longs;i ingegni, & machine differenti, ribut­tò &longs;empre gli sforzi, con graue lor danno, & vergogna; come Liuio, Plutarco, & altri nominando i difici che v&longs;aua, diffu&longs;amente raccontano. Per­cioche quando Marcello s'auicinaua aile muraglie per conqui&longs;tar le con la Sambuca, il buon Archimede co'l Tollenone, & con le mani di ferro la al­zaua di pe&longs;o in aere, & poi &longs;nodando quegli vncini &longs;uoi, la faceua cadere da alto, in mare &longs;ommergendola; il mede&longs;imo effetto adoprando contra gli altri nauili, sì fattamente, che gli conuenne allontanare l'armata ben to&longs;to dalle mura. Ne ce&longs;sò tuttauia d'infe&longs;tare il nemico: ma &longs;i come nota Galeno nel terzo libro de' temperamenti, & Giouanni Zonara, & Tze&longs;es confermano, allegando Diodoro, & Dione, compo&longs;e certi &longs;pecchi grandi & concaui, &longs;econdo la proportione della di&longs;tanza di quei va&longs;elli dalla mu­raglia, & opponendogli à raggi del Sole in diritta linea qua&longs;i per miraco­lo, gli bru&longs;ciaua. Dalla parte della terra &longs;imilmente offendeua gli aduer­&longs;ari con arme diuer&longs;e da gittare. Per laqual co&longs;a nè in mare, nè in terra da gl'ingegni di quell'eccellente Mechanico &longs;i poteua egli &longs;chermire, nuoui ripari, & horribili offe&longs;e apparecchiando &longs;empre. Pappo Ale&longs;&longs;andrino allega il quarante&longs;imo trouato di Archimede, per dichiarare, che almeno i &longs;uoi difici al numero di quaranta a&longs;cendeuano. La onde Marcello, veg­gendo, che niuno profitto apportauano all'impre&longs;a gli a&longs;&longs;alti &longs;uoi, & che erano vn mettere le genti ad euidente pericolo, per cagione di quel &longs;olo valoro&longs;o vecchio, gli nacque vna tal opinione, & à tutto l'e&longs;ercito, che da po&longs;&longs;anza diuina fo&longs;&longs;e gouernato in quella dife&longs;a, & mutò la ragione del guerreggiare, dando&longs;i all'aßedio, & al vietare &longs;trettißimamente le vitto­uaglie a quella città.

Que&longs;te furono le cagioni, che la Mechanica &longs;alì in tanta gloria, & che i Romani le a&longs;&longs;egnarono dapoi grado honoreuolißimo ne gli e&longs;erciti lo­ro, come &longs;i legge nel primo libro della guerra ciuile, che Ce&longs;are &longs;e prigione il Capitano de' fabri di Pompeio, nomato Magio Cremona, & Vitruuio fu Capitano delle Bali&longs;te di Ce&longs;are Augu&longs;to, che &longs;arebbe nella militia moder­na, come Capitano generale dell' artiglieria. La qual gloria &longs;ucceßiua­mente le fu mantenuta poi da molti dottißimi &longs;crittori, & mae&longs;tri di Mechanica, come da Cte&longs;ibio Ale&longs;&longs;andrino, da Herone Ale&longs;&longs;andrino, da un'altro Herone, da Ateneo, da Bione, da Pappo Ale&longs;&longs;andrino, che allega Carpo di Antiochia, da Eliodoro, da Oriba&longs;io, & da altri Greci, i quali fiorirono in diuer&longs;i tempi, in&longs;egnando la ragione, la mi&longs;ura, & l'v&longs;o de gli i&longs;trumenti bellico&longs;i non &longs;olo, ma di tutti gli altri, che le pertengono. Fra Latini antichi Varrone &longs;cri&longs;&longs;e dell' Architettura, & per con&longs;eguente douette anco far mentione della Mechanica: & Vitruuio, & Vegetio, & qual­che altro hanno fauellato d'intorno alla fabrica delle machine militari, & da mouer pe&longs;i, & aiutato à con&longs;eruare fra gli huomini viua la digni­tà della Mechanica.

Ma ruinando l'Imperio di Romani, & &longs;uccedendo i barbari in Italia, in Grecia, in Egitto, & in ogni contrada, oue &longs;i e&longs;ercita&longs;&longs;ero le buone lettere, caddero mi&longs;erabilmente, & &longs;i perderono qua&longs;i del tutto le &longs;cienze, & in &longs;pecialità re&longs;tò la Mechanica lunghißimo tempo negletta, non cono&longs;cen­do&longs;i in guerra altri difici, che Bricole, Trabucchi, Mangani, Martinelli, & certi i&longs;trumenti tali, finche &longs;ouragiun&longs;e l'artiglieria, laquale à poco à po­co gli &longs;e di&longs;u&longs;are à fatto: & di quella parte altre&longs;i della Mechanica, laquale s'adopra al mouer pe&longs;i, ben picciolo intendimento rima&longs;e. Vera co&longs;a è, che &longs;embra da vn tempo in quà le arti, & le dottrine più nobili, come le belle lettere appellate humane, la Filo&longs;ofia, la Medicina, l'A&longs;trologia, l'A­rithmetica con la Mu&longs;ica, la Geometria, l'Architettura, la Scoltura, la Pittura con molte altre: & &longs;pecialmente la Mechanica e&longs;&longs;ere dalle o&longs;cure te­nebre, oue giaccuano &longs;epolte, alla chiara luce ri&longs;u&longs;citate: Percioche ri­&longs;tringendomi alle Mechaniche Giordano, che &longs;cri&longs;&longs;e de' pe&longs;i, la incominciò à &longs;olleuare alquanto, & poi Leon Batti&longs;ta Alberti nella &longs;ua Architettu­ra: il Tartaglia aper&longs;e anco la via à molte &longs;peculationi Mechaniche: Vitto rio Fau&longs;to nell' Arzanà di Venetia mo&longs;trò d'e&longs;&longs;ere buon Mechanico: Mon­&longs;ig. Reuerendiß. barbaro eletto d' Aquileia ne' Commentari del decimo di Vitruuio nominò gli i&longs;trumenti da mouer pe&longs;i: Georgio Agricola nel &longs;e&longs;to de' Metalli raccol&longs;e a&longs;&longs;ai machine da leuar pe&longs;i, & qualche d'vn'altro: & nuouamente l'Autore di que&longs;t'opera, ilquale ben d'altra maniera in ciò procedette, che gli autori nominati, peroche con ordine ammirabile, & con vere, & certe ragioni ha in&longs;egnato &longs;olo fra Latini ottimamente que&longs;ta &longs;cienza tutta da mouer pe&longs;i.

Ma &longs;i come i moderni da me ricordati, & principalmente l'Autore del pre&longs;ente libro hanno ornata & e&longs;altata la Mechanica con le parole, & co i volumi; co&longs;i V. S. Illu&longs;triß. l'hà celebrata, & magnificata co' di&longs;cor&longs;i, & con le operationi i&longs;te&longs;&longs;e, & co' fatti re&longs;a famigliare, & dome&longs;tica, diuer&longs;e machine fabricando con profondißima dottrina, & facendone e&longs;perten­ze nel mouere qualunque gran pe&longs;o, di cui &longs;i po&longs;&longs;a l'huomo in ogni bi&longs;ogno &longs;eruire. Talche ben &longs;i puote con verità affermare, che per vna parte e&longs;&longs;a, & l'Autore di que&longs;ti trattati per l'altra, habbiate alla Mechanica il pri&longs;tino honore re&longs;tituito, che da i tempi antichi in quà le cra &longs;marrito.

Sono &longs;or&longs;e quaranta anni già &longs;cor&longs;i, che per i&longs;cherzare con Nicolò Tartaglia, per&longs;ona à &longs;uoi tempi molto &longs;timata in que&longs;ta profeßone, & che &longs;i dilettaua di andare &longs;oluendo que&longs;tioni &longs;ottili di Mechanica, & di Mathematica, & ne' &longs;uoi dialoghi introduceua à fauellare per&longs;onaggi grandi: & alcuna fiata gli faceua dire qualche co&longs;a, di cui eßi prendeuano onta, V. S. Illu&longs;triß. gliene propo&longs;e for&longs;e quaranta Mechaniche qua&longs;i tutte, & difficili: alcune delle quali egli prouò di &longs;oluere, delle altre &longs;i &longs;cusò con dire, che à cia&longs;cheduna di loro &longs;arebbe &longs;tato me&longs;tieri vn volume intero, co­me &longs;i legge ne' &longs;uoi libri &longs;tampati della noua &longs;cientia.

Hor non è punto di marauiglia, che ella habbia penetrato con l'inten­dimento tanto dentro, & &longs;aputo co&longs;i bene operare nelle Mechaniche, & &longs;ia fatta padrona in tutto dell'arte del fortificare i &longs;iti, & d'ogni altra parte della militia: peroche fu dall'ottimo &longs;uo padre alleuata in compagnia di huomini &longs;cientiati, & d'alio affare, tra quali fu vn tempo Con&longs;tantino La&longs;cari nobilißimo huomo Greco, & pieno di dottrina, da cui &longs;ucceßi­uamente imparò, oltra le altre lettere, Arithmetica, Geometria, A&longs;tro­logia, Geografia; à ài&longs;egnare, & lauorare manualmente in me&longs;tieri diuer­&longs;i; à caualcare, à maneggiare le arme, à tirare d'archibugio, & d'artiglieria, & à comporre fochi artificiati, & l'arte per eccellenza detta del bombardiero; à viuere &longs;obriamente, & le fatiche tolerare al caldo, al freddo, & ad ogni di&longs;agio, co&longs;e tutte, che di&longs;pongono l'animo, & indurano il corpo alla militia. Giunta poi all' età di &longs;edici anni, fu inutata con dodici caualli qua&longs;i tutti Turchi, & con prouedimento conueneuole di denari à vede­re tutta quella guerra, che pa&longs;sò in Italia dalla pre&longs;ura del Rè France&longs;co Primo di Francia, fin alla pace generale, che &longs;eguì l'anno 1529. Nella­quale interuennero qua&longs;i tutti i mouimenti militari, che &longs;i po&longs;&longs;ano ima­ginare, sì per gli e&longs;erciti grandi, che erano à fronte l'vn contra l'altro, sì per la qualità, & quantità delle impre&longs;e fatte, & per mille altri accidenti importantißimi, & &longs;tratagemi auenuti, & sì principalmente; percio­che nell'vn campo, & l'altro in varie &longs;tagioni militarono i primi guer­rieri del mondo, & in gran numero, i quali con prudenza, a&longs;tutia, & brauura contendeuano à gara, & per honore di &longs;oura&longs;tare, & e&longs;&longs;ere vinci tori. Et veramente chi ben con&longs;idera, fin da i tempi antichi, rarißime volte è &longs;tato con numero maggiore di Capitani famo&longs;i, ò con più copia d'im­pre&longs;e grandi guerreggiato, che in quegli anni: Peroche furono fatti prigio­ni due de' maggiori Prencipi del mondo, &longs;i a&longs;&longs;ediò Milano, & per forza fu­rono pre&longs;e tre città, Roma, Cremona, & Pauia; &longs;i videro più fatti d'ar­me, & gli e&longs;erciti &longs;i andarono per&longs;eguitando da Milano à Roma; &longs;i che Piacenza, Parma, Bologna, & Fiorenza guardaròn&longs;i dalle armi nemiche.

Nello &longs;plendore dunque della &longs;cola del Duca France&longs;co Maria d'Vrbino, ilquale era Capitano generale della Lega, & di quegli altri valentißimi Capitani, andaua V. S. Illu&longs;triß. come di &longs;ua libertà, & benißimo à ca­uallo, con chi le piaceua, & &longs;i trouaua à quelle fattioni, che volea, &longs;eguendo le più volte il Sig. Giouanni de' Medici, & Paulo Luzza&longs;co, che erano &longs;empre de&longs;ti, & arditi, & come l'occhio dell'e&longs;ercito. Quì non è mia in­tentione di narrare gli auenimenti di quella guerra, ma &longs;i bene di auertire, che chi la vide, & appre&longs;e da buon &longs;enno i &longs;uoi moti; & &longs;eppe manda­re à memoria quei &longs;atti marauiglio&longs;i, ben puote meritamente vantar&longs;i di hauer mirato ca&longs;i memorabili, i quali nè anche in migliata d'anni &longs;o­gliono accadere; come ella, che e&longs;&longs;endo giouine di viuace &longs;pirito, & am­mae&longs;trata nelle arti nece&longs;&longs;arie al &longs;oldato, & volentero&longs;ißima d'imparare, hebbe opportuna occa&longs;ione di far&longs;i prattica dell'ordinare, dell'e&longs;ercitare, del far marciare in battaglia, dell'alloggiare in campagna gli e&longs;erciti &longs;i­curamente: & del pre&longs;entare al nemico il fatto d'arme con vantaggio: Del fortificare, & difendere i &longs;iti, & offenderli con le mine, con le trin­cee, con le artiglierie, con gli a&longs;&longs;alti, & con tutti gli altri sforzi; & d'o­gni parte della militare &longs;cienza.

Ritornati in pace i Prencipi Chri&longs;tiani, &longs;i dedicò al &longs;eruigio de' Sereniß. &longs;uoi Signori, oue ne i più importanti carichi, & maggiori, & in due guerre haue e&longs;&longs;a aggiunto cinquanta anni di noua, & ottima &longs;eruitù all'an­tica di qua&longs;i dugento anni, continua, & fedeli&longs;s. fattagli da i &longs;uoi pre­dece&longs;&longs;ori Sauorgnani, fabricando nello &longs;patio di que&longs;to tempo in diuer&longs;e prouincie de' &longs;uoi &longs;tati pre&longs;&longs;o che cinquanta Baloardi, con eccellentißima ra­gione inte&longs;i, & con vero magi&longs;terio lauorati, & notabilißimo ri&longs;parmio del publico danaro.

Ma per tornare alle Mechaniche dico, che quando gli anni pa&longs;&longs;ati io venni à vi&longs;itarla ad O&longs;opo &longs;ua fortezza, &longs;entì &longs;ommo piacere in &longs;corgere quel monte, che circonda più d'un miglio, &longs;ituato alla foce del fiume Ta­gliamento, oue dalle &longs;trettezze di quei gioghi s'allarga nelle pianure del Friuli, d'ogn'intorno alto pre&longs;&longs;o che &longs;e&longs;&longs;anta paßi à mi&longs;ura, tutto di ma­cigno duro, & di&longs;co&longs;ce&longs;e, & erto sì, che rende la &longs;alita impoßibile fornito attorno di baloardi cauati nel &longs;a&longs;&longs;o, & di molti tagli, & canoniere per ferire gli aduer&longs;ari, & di artiglierie, & d'arme d'ogni &longs;orte à &longs;ufficienza, da cui &longs;i hà vi&longs;ta di qua&longs;i tutto il Friuli, & è &longs;cudo, & riparo, come al­tra volta fù, contra l'empito delle genti nemiche, lequali in Italia tenta&longs;&longs;ero di &longs;cendere da quella parte; po&longs;to di co&longs;ta alla &longs;trada principale, che conduce in Lamagna, per laqual vanno, & vengono Signori, & Principi, & Amba&longs;ciadori, & infinite mercatantie; onde ella, che tiene &longs;empre le guardie, & vedette sù quel monte, quando pa&longs;&longs;ano Signori principali, hà per co&longs;tume di &longs;alutargli con le &longs;ue artiglierie, & conuitarg'i anco nel &longs;uo alloggiamento d'O&longs;opo, oue tutto l'anno &longs;oggiorna, quantunque habbia & Belgrado, & Aris, & Ca&longs;telnouo, & Sauorgnano, & villaggi a&longs;&longs;ai: percioche l'aere vi è purißimo, & &longs;pende il &longs;uo tempo in ocio con negocio, di continuo vi&longs;itata da Gentil'huomini, & Signori diuer&longs;i; talche la &longs;ua ca&longs;a viene ad e&longs;&longs;ere vn ridotto di per&longs;one virtuo&longs;e, & vn'albergo di &longs;ol dati, & di dottori. lui &longs;i caualca, tenendo ella vna &longs;talla piena di buoni&longs;­&longs;imi caualli, &longs;i armeggia, &longs;i và alla caccia, & in ogni attione &longs;i e&longs;ercita vi­ta cauallere&longs;ca. Oltre à quanto hò diui&longs;ato, pre&longs;i anco diletto in vedere la &longs;ua habitatione e&longs;&longs;ere à gui&longs;a d'vna bottega d'arme politamente à &longs;uoi luoghi &longs;erbate: & vn magazino di machine bellico&longs;e, & da mouer pe&longs;i,hauendone ella fabricate di &longs;ua indu&longs;tria for&longs;e dodici di maniere differenti, parte da &longs;tra&longs;cinare, & parte da alzare con pochißima forza &longs;mi&longs;u­rati pe&longs;i: come quella, che hà vna &longs;ola rota co' denti, & ali'erta tira cin­que de' &longs;uoi canoni con la po&longs;&longs;anza di Grada&longs;&longs;o &longs;uo Nano: & quell'altra, la quale con vna oncia di forza &longs;ola, po&longs;ta nel manico, che la volge, dà il meto à quattordici mila libre di pe&longs;o: che &longs;e al detto manico &longs;i attribui&longs;ce la forza, che comunalmente haue l'huomo con la mano, cioè libre cinquanta, egli è manife&longs;to la predetta machina hauere po&longs;&longs;anza di mouere, co&longs;a incredibile, molto più di otto millioni di libre. Que&longs;te machine portabi­li da vn mulo, & alcune anche da vn'huomo &longs;ono à diuer&longs;i affari nece&longs;&longs;a­rijßime, & maßimamente à maneggiare, & condurrei pezzi großi del­l'artiglieria. & per certo &longs;e l'anno 1529. il Conte di San Polo Capitano France&longs;e nel ritirar&longs;i dall'a&longs;&longs;edio di Milano inuer&longs;o Piemonte con l'e&longs;er­cito, & con l'artiglieria, haue&longs;&longs;e portato &longs;eco vno de' minimi i&longs;trumenti d'O&longs;opo, non &longs;arebbe &longs;cor&longs;o in quello &longs;tremo infortunio, percioche in marciando fu da vn graue canone rotto il ponte, che trauer&longs;aua il fo&longs;&longs;o della &longs;trada, & il pezzo cadè nel fango. Onde formoßi il campo per non la­&longs;ciarlo à dietro, & non hauendo ingegno da cauarlo fuori, &longs;i con&longs;umò tan­to tempo, che &longs;opragiun&longs;e Antonio da Leua con le &longs;ue genti, & ritrouando l'e&longs;&longs;ercito nemico &longs;eparato, & in quel di&longs;ordine, lo mi&longs;e in rotta, & fè preda delle bagaglie, delle artiglierie, & del Capitano mede&longs;mo. Non hà troppo tempo, che il Duca France&longs;co di Gui&longs;a, allhor che di Francia guidò l'e&longs;ercito in Abruzzo, douendo partire, volle &longs;piegare prima la fanteria, & cauælleria &longs;ua in ordinanza à fronte del nemico, qua&longs;i à battaglia sfi­dandolo; ma poi nel ritorno &longs;caualco&longs;si vn pezzo d'artiglieria, & s'arre­&longs;tò tutta la ma&longs;&longs;a delle genti, & quei Prencipi France&longs;i &longs;montati da ca­uallo, penarono buona pezza auanti, che lo ripone&longs;&longs;ero &longs;u le rote, con ri&longs;chio di patir danno da gli aduer&longs;ari, che haue&longs;&longs;ero con quella occa&longs;ione &longs;pinto innanzi. Di que&longs;ti e&longs;empi non mancano per l'hi&longs;torie.

Hora che è pace V. S. Illu&longs;triß. è andata inue&longs;tigando per &longs;uo diporto molte, & varie &longs;orti di ordigni da mouer pe&longs;i, affine di valer&longs;ene nelle fabriche, & nell'argine di pietre, che fa per ritenere l'impeto del Taglia­mento, che non gua&longs;ti i colti di O&longs;opo, & per douer&longs;ene anco &longs;eruire, quando che &longs;ia in guerra. Si come fece Archimede, ilquale, &longs;econdo Plutarco, &longs;tando in pace à petitione di Hierone Rè, compo&longs;e quelle tante Machine per giuo­co, & i&longs;cherzo di Geometria, lequali poi &longs;oprauenendo la guerra, le &longs;eppe conuertire opportunamente contra Romani. Et &longs;e egli, come te&longs;tificano diuer&longs;i autori, &longs;edendo con certa machina detta, &longs;econdo Oriba&longs;io, Tri&longs;pa&longs;ton, per che &longs;i maneggiaua con tre corde, tirò dal mare in terra quella gran naue del Rè &longs;uo; & con la forza della mano &longs;ini&longs;tra mo&longs;&longs;e mediante l'i&longs;tru­mento vn pe&longs;o di cinque mila &longs;taia ò moggia, sì fattamente che diputan­do à cia&longs;cuno &longs;taio quarantacinque libre di pe&longs;o, a&longs;cenderebbono alla &longs;om­ma di dugento venticinque mila libre; & pre&longs;umeua&longs;i di hauer potuto mouere la terra, trouando doue fermar&longs;i con la leua, ò con quella &longs;ua ma­china de&longs;critta da Pappo nell'ottauo libro delle raccolte matematiche, la quale hauea cinque rote co' &longs;uoi as&longs;i, & vna vite perpetua co'l manico: Io mi rendo certo, che ella s'ingegnerebbe di formare i&longs;trumenti per adoprare altretanto.

Hauendo io dunque veduti, & i&longs;perimentati que&longs;ti vari difici ad O&longs;o­po; & es&longs;endomi &longs;tato da lei mo&longs;trato la prima volta il pre&longs;ente libro, & commendato &longs;ommamente, mi propo&longs;i nell' animo, che vtile &longs;arebbe il ridurlo in volgare, accioche coloro i quali &longs;ono atti per altro ad intenderlo, ma non hanno cono&longs;cenza del Latino, pote&longs;sero, farne &longs;uo profitto. Co&longs;i compiuta l'opera, & fattala &longs;tampare, la mando à V. S. Illu&longs;tri&longs;s. che po&longs;&longs;ede e&longs;qui&longs;itamente que&longs;ta materia, & &longs;econda i &longs;tudi delle buone lette­re, i quali, &longs;e dopo Iddio, non vengono fauoriti da i gran Signori, nulla vagliono. Che &longs;e in qualche parte haurò à gli amatori delle Mechaniche re­cata ageuolezza, & vtilità con le mie fatiche, douranno eglino &longs;aper' à lei buon grado, che di que&longs;ta fattura è &longs;tata cagione. Di Venetia à 28. di Giugno 1581.

Di V. S. Illu&longs;tri&longs;s. Affettionatiß. &longs;eruidore Filippo Pigafetta.

AI LETTORI

Il pre&longs;ente libro contiene &longs;ei trattati, il primo de quali è della Bilancia con la Stadera, l'altro della Leua, il terzo della Taglia, il quarto dell' A&longs;&longs;e nel­la rota, il quinto del Cuneo, & l'vltimo della Vite, che tutti &longs;ono i&longs;trumenti Mechanici. Intitula&longs;i le Mechaniche. Ma percioche que&longs;ta parola Mechaniche non verrà for&longs;e inte&longs;a da cia&longs;cheduno per lo &longs;uo vero &longs;ignificato, anzi troueran&longs;i di quelli, che &longs;timeranno lei e&longs;&longs;ere voce d'ingiuria, &longs;olendo&longs;i in molte parti d'Italia dire ad altrui Mechanico per i&longs;cherno, & villania; & alcuni per e&longs;&longs;ere chiamati Ingegnieri &longs;i prendono &longs;degno: non &longs;arà per auentura fuori di propo&longs;ito il ricordare, che Mechanico è vocabolo honorati&longs;&longs;imo, dimo&longs;trante, &longs;econdo Plutarco, me&longs;tiero alla Militia pertinente, & conueneuole ad huomo di alto affare, & che &longs;appia con le &longs;ue mani, & co'l &longs;enno mandare ad e&longs;ecutione opre marauiglio&longs;e à &longs;ingulare vtilità, & diletto del viuere humano.

Fù, per nominarne alcuno tra molti Filo&longs;ofi, & Prencipi de' preteriti &longs;ecoli, Archita Tarentino, & Eudo&longs;&longs;o compagni di Pla­tone, & valenti&longs;&longs;imi Ingegnieri, & Mechanici, che &longs;ono vna mede&longs;ma co&longs;a, di cui fa Plutarco mentione nella vita di Marcello: & Demetrio Rè, inuentore &longs;ottili&longs;&longs;imo di Machine bellico&longs;e, & ne lauoraua di &longs;ua mano ancora: & fra Greci di Sicilia Me­chanico, & Ingegniere famo&longs;is&longs;imo Archimede Siracu&longs;ano, il quale era di gran legnaggio, & parente di Hierone Rè di Sicilia.

Et quantunque Plutarco nell'i&longs;te&longs;&longs;a vita affermi, che egli di &longs;pregia&longs;&longs;e le Mechaniche, come bas&longs;i & vili, & materiali, nè di loro degna&longs;&longs;e &longs;criuere giamai, & che non per opera principale, ma per vn cotale &longs;ollazzo, & giuoco di Geometria impiegaua la fatica nelle Mechaniche, pregato da quel Rè; sì leggiamo noi tuttauia in altri autori, lui hauere dettato vn libro della mi &longs;ura, & proportione d'ogni maniera di va&longs;ello, diui&longs;ando la forma della gran naue fabricata da Hierone, à cui nulla manca­ua: & Pappo Ale&longs;&longs;andrino allega il libro della Bilancia di Ar­chimede, che è pur Mechanico tutto: & l'i&longs;te&longs;&longs;o nell'ottauo delle raccolte Matematiche pone vn'i&longs;trumento da mouer pe&longs;i, mo&longs;trando e&longs;&longs;ere il quarante&longs;imo trouato d' Archimede, per cui di&longs;&longs;e; Dami oue io mi fermi, ch'io mouerò la terra; & Carpo Mechanico &longs;cri&longs;&longs;e, che Archimede compo&longs;e vn libro del modo del fare le Sfere, che è fattura Mechanica. Ma più il mede&longs;imo Archimede, non vna &longs;ola volta cita &longs;e &longs;te&longs;&longs;o, nel libro della Quadratura della Parabola, con parole tali. Imperoche egli è dimo­&longs;trato nelle Mechaniche; accennando alcune propo&longs;itioni del &longs;uo libro delle co&longs;e, che egualmente pe&longs;ano, ilquale è tutto Me­chanico. Oltre à ciò vna parte del libro della Quadratura della Parabola, & il &longs;econdo delle co&longs;e, che &longs;tanno &longs;opra l'acqua, oue­ro à galla &longs;ono Mechanici. Da que&longs;ti luoghi vede&longs;i e&longs;pre&longs;&longs;o, che non &longs;olamente Archimede fece opre Mechaniche, ma ne &longs;cri&longs;&longs;e anco molti trattati; & confe&longs;&longs;a Plutarco per niuna altra dottri­na e&longs;&longs;ere tanto in riputatione &longs;alito Archimede, quanto per le impre&longs;e Mechaniche; anzi veramente co'l mezo loro hauer&longs;i egli all'hora procacciato fama non di &longs;cienza humana, ma di &longs;apien­za diuina. Per la qual co&longs;a egli è ben da con&longs;iderare, come Plu­tarco &longs;i &longs;ia la&longs;ciato tra&longs;correr' à dire, che Archimede le Mechaniche di&longs;preggia&longs;&longs;e, nè di loro degna&longs;&longs;e &longs;criuere: & per certo egli forte d'opinione &longs;arebbe&longs;i ingannato, &longs;e haue&longs;&longs;e poco &longs;timata quel la facultà, che lo fè guadagnare gloria di gran lunga maggio­re, che qualunque altra &longs;cienza &longs;i po&longs;&longs;ede&longs;&longs;e. Vitruuio de i Latini fù buon Mechanico, & &longs;eruì per Capitano delle Bali&longs;te, & delle altre machine da guerra Ottauiano Ce&longs;are, & gli intitu­lò le &longs;ue fatiche dell' Architettura, & ne diuenne ricco.

L'e&longs;&longs;ere Mechanico dunque, & Ingegniero con l'e&longs;empio di tanti valent'huomini, è officio da per&longs;ona degna, & &longs;ignorile: & Mechanica è voce Greca &longs;ignificante co&longs;a fatta con artificio da mouere, come per miracolo, & fuori dell'humana po&longs;&longs;anza grandis&longs;imi pe&longs;i con picciola forza, & in generale comprende cia&longs;cun Dificio, Ordigno, I&longs;trumento, Argano, Mangano, oue­ro ingegno mae&longs;treuolmente ritrouato, & lauorato per cotali effetti, & &longs;imili altri infiniti in qual &longs;i voglia &longs;cienza, arte, & e&longs;er­citio. Laquale hò de&longs;critta co&longs;i materialmente per darne vn certo &longs;aggio accommodato al gu&longs;to del più de gli huomini; trala­&longs;ciando le accurate di&longs;&longs;initioni à miglior tempo.

Aggiunga&longs;i, che &longs;otto que&longs;to vniuer&longs;ali&longs;&longs;imo titolo &longs;i è con­tentato l'Autore di manife&longs;tare per hora, & il primo de Latini con dimo&longs;trationi ageuoli, & piane, in&longs;egnare &longs;olamente la ra­gion dello intendere, & maneggiare gli &longs;ei predetti I&longs;trumenti Mechanici; à quali &longs;i riducono tutti gli altri, come à &longs;uoi prin­cipii, & fondamenti; & da'quali &longs;i po&longs;&longs;ono comporne diuer&longs;e maniere, accozzandone in&longs;ieme due, tre, & più, come l'A&longs;&longs;e nella rota con la Taglia, la Vite co'l detto A&longs;&longs;e, & con la Leua, & &longs;uc­ces&longs;iuamente de gli altri ad arbitrio di chiunque in varie opre &longs;e ne sà con giudicio valere, come nota l'Autore nel fine di que&longs;to volume.

Hor come che l'Autore con bella via, & chiara, & con ordine ammirabile di que&longs;ti difici habbia ragionato, & la co&longs;a per &longs;e molto o&longs;cura non &longs;ia ad intender&longs;i: nondimeno ben ricerca ella tutto l'intelletto dell'huomo, & che con &longs;i&longs;&longs;a &longs;peculatione &longs;i leg­gano attentis&longs;imamente più d'vna volta le dimo&longs;trationi.

Doue &longs;i vede in alcuni luoghi di que&longs;ti trattati cotale &longs;orte di lettere picciole, differente dalle altre, come la pre&longs;ente; auer­ta&longs;i che non vi &longs;ono co&longs;e dettate dall' Autore di que&longs;to libro di Mechaniche, ma notate da colui che l'hà volgarizato, à fine di chiarire qualche pa&longs;&longs;o difficile, & ageuolare l'intendimento à' Lettori non co&longs;i prattichi nelle Scole de' Filo&longs;ofi.

Ponga&longs;i anco mente, che à carte 121. nel trattato della Vite, è po&longs;to fra i detti dell' Autore il Problema di Pappo, ilquale do­uea e&longs;&longs;ere &longs;tampato con lettere differenti dalle altre, ma per in­auertenza è &longs;tato me&longs;&longs;o co' caratteri &longs;te&longs;&longs;i delle propo&longs;itioni dell' Autore, che è difetto. Non è &longs;tato pos&longs;ibile &longs;chiuare alcuni falli nello &longs;tampare. Onde correggan&longs;i in que&longs;ta maniera. Nel la Lettera à carte 1. faccia 2. ver&longs;i 25. to&longs;&longs;enoni, leggi tollenoni. car. 43. ver. 22. dell'angolo, all'angolo. carte 48. f. 2. nella po­&longs;tilla, per la 2. di que&longs;to; della 2. di que&longs;to. carte 87. f. 2. ver. 14. dalla, alla. carte 93. ver. 32. cni, cui. carte 115. ver. 20. Hlici, Helici. Gli altri errori di lettere meno importanti, & che non mouono il &longs;en&longs;o alla, di&longs;cretione del giudicio&longs;o Lettore &longs;i ri mettono.

TRATTATI IN QVEST'OPERA CONTENVTI.

I. Della Bilancia, con la Stadera à carte 1 II. Della Leua. 35 III. Della Taglia. 56 IIII. Dell' A&longs;&longs;e nella Rota. 102 V. Del Cuneo. 107 VI. Della Vite. 115

LIBRO DI MECHANICHE, DELL'ILLVSTRISSIMO SIGNORE, II. S. GVIDO VBALDO DE' MARCHESI DEL MONTE.

Diffinitioni.

Il centro della grauezza di cia&longs;cun corpo e vn certo punto po&longs;to dentro, dal quale &longs;e con la imaginatione s'intende e&longs;&longs;erui appe&longs;o il gra­ue, mentre è portato &longs;ta fermo, & mantiene quel &longs;ito, che egli hauea da principio, ne in quel portamento &longs;i và riuolgendo.

Que&longs;ta diffinitione del centro della grauezza in&longs;egnò Pappo Ale&longs;&longs;andrino nell'ottauo libro delle raccolte ma­thematiche. Ma Federico Comandino nel libro del cen­tro della grauezza de' corpi &longs;olidi dichiarò l'i&longs;te&longs;&longs;o centro in questa maniera de&longs;cri­uendolo.

Il centro della grauezza di cia&longs;cuna figura &longs;olida è quel punto po&longs;to dentro, d'intorno alquale le parti di momenti eguali da ogni parte &longs;i fermano. Peroche &longs;e per tale centro &longs;arà condotto vn piano, che &longs;eghi in qual &longs;i voglia modo la figura, &longs;empre la diuiderà in parti, che pe&longs;eranno egualmente.

NOTITIE COMVNI.

I.

Se da co&longs;e egualmente pe&longs;anti &longs;i leneranno co&longs;e, che pur egualmente pe&longs;ino, le re&longs;tanti pe&longs;eranno egualmente.

II.

Se à co&longs;e egualmente pe&longs;anti &longs;i aggiungeranno co&longs;e, che pur egualmente pe&longs;ino, tutte in&longs;ieme pe&longs;eranno egualmente.

III.

Le co&longs;e, che all'i&longs;te&longs;&longs;o &longs;ono eguali in pe&longs;o, &longs;ono tra loro anco gra­ui egualmente.

PRESVPPOSTE.

I.

Di vno corpo è vn &longs;olo centro della grauezza.

II.

Il centro della grauezza di vn corpo è &longs;empre nel mede&longs;imo &longs;ito per ri&longs;petto al &longs;uo corpo.

III.

I Pe&longs;i &longs;ono portati in giu &longs;econdo il centro della grauezza.

DIFFINITIONI. La diffinitione è vn breue parlare, che manife&longs;ta, & inte­ramente dichiara la co&longs;a propo&longs;ta, &longs;i fattamente che non &longs;i po&longs;&longs;a trouare condi­tione, ouero accidente alcuno principale in e&longs;&longs;a co&longs;a, &longs;e la diffinitione è buona, che non &longs;ia in virtù compre&longs;a, & detta da lui; come per e&longs;empio l'Autore qui di &longs;opra da ad intendere che &longs;ia il centro della grauezza con due diffinitioni.

Le Notitie comuni poi &longs;ono certe &longs;entenze manife&longs;te al &longs;en&longs;o comune de gli huomi­ni, lequali pur che vi &longs;i ponga mente, &longs;ubito vdite, &longs;i intendono, & &longs;e le pre&longs;ta il con&longs;entimento.

Ma la Pre&longs;uppo&longs;ta è diuer&longs;a, peroche mette per vero la co&longs;a co&longs;i e&longs;&longs;ere, come &longs;i pro­pone &longs;enza altro di&longs;cor&longs;o per farla cono&longs;cere.

DELLA BILANCIA

Avanti che &longs;i faccia mentione della Bilancia, accioche la co&longs;a re&longs;ti più chiara, &longs;ia la Bilancia AB in linea diritta, & CD la Truttina della Bilancia, laquale &longs;econdo la con&longs;uetudine comune &longs;tà &longs;empre à piombo dell'orizonte. & il punto C immobile, d'intorno alquale &longs;i volge la Bilancia, &longs;i chiami il centro della bilancia, &longs;ia pur collo­cato di &longs;opra della bilancia, ò di &longs;otto, benche non propriamente, che non fa nulla Ma il CA, & il CB &longs;iano le di&longs;tanze, & braccia della Bilancia, co&longs;i nomate. & &longs;e dal centro della bilancia collocato di &longs;opra, ò di &longs;otto della Bilancia, &longs;arà tirata vna linea à piom­bo di AB, que&longs;ta &longs;i chiamerà perpendicolo, che &longs;o&longs;terrà la Bilancia AB, & &longs;empre &longs;tarà à piom­bo di e&longs;&longs;a Bilancia, mo­ua&longs;i ella in qual &longs;i voglia modo.

Concio&longs;ia che in que&longs;to trattato della Bilancia, & ne gli altri ancora l'Autore v&longs;i alcune parole, lequali non &longs;i &longs;ono potute tra&longs;portare commodamente in volga­re, per non e&longs;&longs;ere e&longs;&longs;e anco &longs;tate accettate in que&longs;ta lingua, ne inte&longs;e da ognuno, io le ho la&longs;ciate co&longs;i latine. Ma accioche non facciano difficultà à coloro, i quali non intendono il latino, le andrò per tutto à fuoi luoghi dichiarando.

Nel re&longs;to poi delle parole mi &longs;ono attenuto più al chiaro, & all'v&longs;ato, che &longs;ia pos&longs;i­bile, & ho po&longs;to angolo retto, & linea retta in cambio di angolo diritto, & linea diritta, & linea della direttione in lo co di linea della dirittura, & co&longs;i diretto per diritto, & alcuna volta magnitudine in vece di grandezza, & angolo mi&longs;to per me&longs;colato, & angolo curuilineo per di linee torte, & linea curua per torta, & &longs;oli­do per &longs;odo, & for&longs;e qualche altro vocabolo poco v&longs;ato in que&longs;ta no&longs;tra fauella, &longs;timando che cote&longs;te parole &longs;iano per dimo&longs;trare maggiormente la co&longs;a, & la in­tentione dell' Autore: & etiandio de&longs;iderando, che &longs;i rendano famigliari, & dome&longs;tiche in que&longs;ta &longs;cienza, talche ognuno le po&longs;&longs;a ageuolmente intendere.

Trutina è quella co&longs;a, che &longs;o&longs;tiene tutta la Bilancia, laquale Trutina pigli a il Perno, ouero l'A&longs;&longs;etto, & noma&longs;i in que&longs;ti pae&longs;i Gioa, altroue Giouola, ouero l'orecchie della Bilancia, & in altre contrade Scocca, talche non &longs;i troua &longs;in hora vocabolo, che in Italia communemente vi &longs;i confaccia, ne alcuno di que&longs;ti &longs;arebbe inte&longs;o per tutto. Onde io ho &longs;critto co&longs;i la Trutina, &longs;perando, che &longs;i habbia à fare termi ne, & parola generale à tutte le nationi d'Italia.

Perpendicolo vuol dire quella linea, che &longs;porge in fuori dal centro della Bilancia al mezo di detta Bilancia, ilqual Perpendicolo è &longs;olamente nelle Bilancie, lequali hanno il centro di fuori della Bilancia, o &longs;ia di &longs;otto, ò &longs;ia di &longs;opra. Ma quando il cen­tro della Bilancia è nel mezo di e&longs;&longs;a, all'hora non vi è que&longs;to Perpendicolo per e&longs;&longs;ere il centro della Bilancia, & il mezo di e&longs;&longs;a vn'i&longs;te&longs;&longs;o punto. Et que&longs;to Perpen­dicolo è co&longs;a imaginata dall' Autore &longs;olamente, & non da altri, per ageuolare al­cune dimo&longs;trationi della Bilancia, che di nouo ha inue&longs;tigate: & non è la linguet­ta, ne meno la linea della direttione, ò dirittura che &longs;i habbia à dire.

LEMMA.

Sia la linea AB à piombo dell'orizonte, & col diametro AB &longs;i de&longs;cri­ua il cerchio AEBD, il cui centro &longs;ia C. Dico il punto B e&longs;&longs;ere l'infimo luogo della circonferenza del cerchio AEBD, & il pun­to A il piu alto, & quali &longs;i voglian punti, come DE, i quali &longs;iano però egualmente di&longs;tanti da A e&longs;&longs;ere egualmente po&longs;ti di &longs;otto, & quelli che &longs;tanno piu da pre&longs;&longs;o ad e&longs;&longs;o A, e&longs;&longs;ere più alti di quelli, che &longs;ono più da lunge.

Allunghi&longs;i la linea AB fin al centro del mondo, che &longs;ia F. Dapoi &longs;ia pre&longs;o nella circonferenza del cerchio qual &longs;i voglia punto, come G, & &longs;i congiungano le linee FG FD FE. Hor per­cioche BF è la minima linea di tutte quelle, che dal punto F &longs;ono tirate alla circonferenza AEBD, &longs;arà la BF minore della FG. Per laqual co&longs;a il punto B &longs;arà piu da pre&longs;&longs;o al pun­to F, che il G. Et per cotesta ragione &longs;i dimo­strerà, che il punto B &longs;ta più da pre&longs;&longs;o al centro del mondo di qual &longs;i voglia altro punto della cir­conferenza del cerchio AEBD. Sarà dunque il punto B l'infimo luogo della circonferenza del cerchio AEBD. Dapoi perche AF tirata per lo centro è maggiore di GF, &longs;arà il punto A più alto non &longs;olamente di G, ma etiandio di qual &longs;i voglia altro punto della circonferenza del cer­chio AEBD. Oltre à ciò perche DF, & FE &longs;ono eguali, i punti DE &longs;aranno egualmente di stanti dal centro del mondo. Et e&longs;&longs;endo DF maggiore di FG, &longs;arà il punto D, che è più dapre&longs;&longs;o al punto A, più alto del punto G, lequali co&longs;e tutte erano da mo&longs;trar&longs;i.

Per la ottaua del terzo.

Que&longs;to vocabolo Lemma greco v&longs;ato da tutti i volgarizatori di Euclide, & da gli altri Scrittori di Mathematica ancora, hò accettato anch'io. Ma ben con tutto ciò &longs;timo che egli habbia me&longs;tieri di vn poco di lume per e&longs;&longs;er inte&longs;o; & viene à dire, &longs;i come nota Cicerone nel &longs;econdo della Diuinatione, co&longs;a che prima &longs;i prende per render facile l'intendimento delle co&longs;e, lequali &longs;i hanno dapoi à mo&longs;trare, & non è Pre&longs;uppo&longs;ta, perche ella non &longs;i proua con ragione, ma &longs;uppon&longs;i; ma il Lemma &longs;i dimo&longs;tra, come in que&longs;to luogo, che prende il punto B e&longs;&longs;ere po&longs;to nell'infimo &longs;ito della circonferenza del cerchio, & lo proua per douer&longs;ene valere nelle &longs;eguenti dimo&longs;trationi.

Doue in que&longs;to Lemma &longs;i dice, che la linea AB è à piombo dell'orizonte, intenda&longs;i per orizonte il piano della campagna, & del terreno &longs;ottopo&longs;to, volendo dire orizonte parola greca vn cerchio, che termina la no&longs;tra veduta, & abbraccia & diui de la metà della terra tutta. Quando dunque &longs;i troua in que&longs;ti libri vna linea, oue­ro altra quantità e&longs;&longs;ere à piombo, ouero egualmente di&longs;tante, ò inchinata all'ori­zonte, intenda&longs;i per l'orizonte il piano della campagna, ò del terreno.

PROPOSITIONE I.

Se il pe&longs;o &longs;arà &longs;o&longs;tenuto nel centro della &longs;ua grauezza da linea diritta non &longs;i fermerà giamai, &longs;e quella i&longs;te&longs;&longs;a linea non &longs;arà à piombo dell'orizonte.

Sia il pe&longs;o A, & il centro della &longs;ua grauezza B, ilqual pe&longs;o venga &longs;o &longs;tenuto dalla linea CB. Dico che il pe&longs;o non è per fermar&longs;i giamai, &longs;e CB non &longs;arà à piombo dell'o­rizonte. Sia il punto C immobi­le, e&longs;&longs;endo co&longs;i nece&longs;&longs;ario, accio il pe&longs;o &longs;ia &longs;o&longs;tenuto: & e&longs;&longs;endo il punto C immobile, &longs;e il pe&longs;o A de­ue&longs;i mouere, il punto B de&longs;criuerà la circonferenza di vn cerchio, il cui mezo diametro &longs;arà CB. Per laqual co&longs;a &longs;u'l centro A & con lo &longs;patio BC &longs;i de&longs;criua il cerchio BFDE. & &longs;ia di prima BC à piombo dell'orizonte, & &longs;ia tirata &longs;in à D, & il punto C &longs;tia di &longs;otto al punto B. Hor percioche il pe&longs;o A &longs;i moue in giù &longs;econdo il centro della gra­uezza, il punto B &longs;i mouerà in giù, oue naturalmente inchina ver&longs;o il centro del mondo per la linea diritta BD: tutto il pe&longs;o A dunque con B &longs;uo centro della gra­uezza, grauerà &longs;opra la linea diritta BC, & concio&longs;ia che il pe&longs;o venga &longs;o&longs;tenuto dalla linea CB, la linea CB &longs;o&longs;terrà tutto il pe&longs;o A, &longs;opra laquale non puote mouer&longs;i in giù, e&longs;&longs;endogliene da e&longs;&longs;a vietato. Per la diffinitione dun­que del centro della grauezza, il punto B & il pe&longs;o A &longs;taranno in que&longs;to &longs;ito. & quantunque il B &longs;ia piu alto di qual &longs;i voglia al­tro punto del cerchio, tuttauia non &longs;i mouerà in giù da que&longs;to &longs;ito per la circonferenza del cerchio, pero­che non &longs;i inchinerà più ver&longs;o lo F, che ver&longs;o lo E, per e&longs;&longs;ere nell'vna parte & nell'altra eguale la di&longs;ce­&longs;a: ne il pe&longs;a A piu &longs;tà pendente in vna parte che nell'altra, ilche non auiene in qual &longs;i voglia altro punto della circonferenza del cer­chio, eccettuato il D. Sia il centro

della grauezza dell'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o, come in F, concio&longs;ia che la di&longs;ce&longs;a &longs;ia dal punto F ver&longs;o il D, & la a&longs;ce&longs;a ver&longs;o il B, però il punto F mouera&longs;&longs;i in giù: & per­cioche non &longs;i puote mouere al centro del mondo per linea diritta, per e&longs;&longs;ere impe­dito dal punto C immobile per cau&longs;a della linea CF, ma ben &longs;i mouerà &longs;empre in giù come richiede la &longs;ua natura: & e&longs;&longs;endo il D il luogo infimo, &longs;i mouerà per la circonferenza FD finche peruenga in D, nelqual &longs;ito fermera&longs;&longs;i il pe&longs;o, & re&longs;terà immobile, sì perche non &longs;i puote più mouere in giù per e&longs;&longs;ere attaccato al punto C, sì anche percioche egli è &longs;o&longs;tenuto nel &longs;uo centro della grauezza. Et quando F &longs;arà in D, &longs;arà &longs;imilmente la FC in DC, & in&longs;ieme à piombo dell'orizonte. il pe&longs;o dunque non &longs;i fermerà giamai finche la linea CF non &longs;tia à piombo dell'orizonte, che bi&longs;ognaua prouare.

Per la terza pre&longs;upposta di questo.

Di quì &longs;i puote cauare, che il pe&longs;o &longs;ia pur &longs;o&longs;tenuto in vn dato punto in qual &longs;i voglia modo, non &longs;tarà fermo giamai, &longs;e non quando la linea tirata dal centro della grauezza del pe&longs;o à quel punto, &longs;tia à piombo dell'orizonte.

Come, po&longs;te le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e, &longs;ia &longs;o&longs;tenuto il pe&longs;o dalle linee CG CH. Dico che &longs;e la tirata linea BC &longs;arà à piombo dell'orizonte, il pe&longs;o &longs;tarà fermo: ma &longs;e la tirata linea CF non &longs;arà à piombo dell'orizonte, il punto F &longs;imouerà in giù fin al D, nel qual &longs;ito &longs;tarà fermo il pe&longs;o, & la tirata linea CD &longs;arà à piom­bo dell'orizonte. Le quali co&longs;e tutte con la ragione mede&longs;ima &longs;i pro­uerebbono.

PROPOSITIONE II.

La bilancia egualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui centro &longs;tia &longs;opra la detta bilancia, & che habbia i pe&longs;i eguali nelle &longs;tremità, & egual­mente di&longs;tanti dal perpendicolo, &longs;e da cotale &longs;ito &longs;arà mo&longs;&longs;a, & nell'i&longs;te&longs;&longs;o di nuouo la&longs;ciata, ritornerà, & iui re&longs;terà.

Sia la bilancia AB in linea diritta egualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui centro C &longs;ia &longs;opra la bilancia, & &longs;ia CD il perpendi­colo, il quale &longs;arà à piombo dell'orizonte: & la di&longs;tanza DA &longs;ia eguale alla di&longs;tan­za DB: & &longs;iano i pe&longs;i in AB eguali, i centri della grauez­za de' quali &longs;iano ne i punti AB. Moua&longs;i da que&longs;to &longs;ito la bi­lancia AB come in EF, dapoi &longs;ia la&longs;ciata. Dico che la bilancia EF ritor­neràin AB di&longs;tante egualmente dall'orizonte, & iui rimanerà. Hora percioche il punto C &longs;tà immobì le mentre la bilancia &longs;i moue, il punto D veni rà à de&longs;criuere vna cir­conferenza di cerchio, il cui mezo diametro &longs;a­rà CD. Per laqual co&longs;a co'l centro D, & lo &longs;patio CD de&longs;cri­ua&longs;i il cerchio DGH. Et perche CD &longs;empre &longs;tà à piombo della bi­lancia, mentre la bilancia &longs;arà in EF, la li­nea CD &longs;arà in CG &longs;i fattamente, che CG

venga ad e&longs;&longs;ere à piombo di EF: & concio&longs;ia che AB &longs;ia diui&longs;a in due parti eguali nel punto D, & i pe&longs;i in AB &longs;iano eguali, &longs;arà etiandio il centro della grauezza della magnitudine compo&longs;ta di que&longs;ti due corpi AB nel mezo, cioè in D: & quando la bilancia in&longs;ieme co i pe&longs;i &longs;arà in EF, &longs;arà parimente G il centro della grauezza della magnitudine compo&longs;ta di e&longs;&longs;i AB: & percioche CG non è à piombo dell'orizonte, la grandezza compo&longs;ta de i pe&longs;i EF non rimarrà in questo &longs;ito, ma &longs;i mouerà in giù &longs;econdo il centro della grauezza &longs;ua, che è in G, per la circonferenza GD, finche &longs;i faccia à piombo dell'orizonte, cioè finche CG ritorni in CD. Et quando CG &longs;arà in CD, la linea EF (perche &longs;em­pre &longs;tà ad angoli retti con CG) &longs;arà in AB, nelqual &longs;ito &longs;tarà ferma. La bi­lancia dunque EF ritornerà in AB, laquale è di&longs;tante egualmente dall'orizon­te, & iui rimarrà, che bi&longs;ognaua dimo&longs;trare.

Per la quarta del primo di Archimede delle co&longs;e che pe&longs;ano egualmente.

Per la prima di questo.

Per la prima di questo.

PROPOSITIONE III.

La bilancia egualmente di&longs;tante dall'orizonte, che habbia nelle &longs;tre­mità pe&longs;i eguali, & egualmente lontani dal perpendicolo, e&longs;&longs;endo collocato il centro di &longs;otto, rimarrà in que&longs;to &longs;ito. Ma &longs;e indi &longs;arà mo&longs;&longs;a, & la&longs;ciata à ba&longs;&longs;o, &longs;i mouerà &longs;econdo la parte piu ba&longs;&longs;a.

Sia la bilancia AB in linea diritta, egual­mente di&longs;tante dall'orizonte, il cui centro C &longs;ia di &longs;otto alla bilan­cia, & &longs;ia CD il per­pendicolo, ilquale &longs;arà à piombo dell'orizon­te, & la di&longs;tanza AD &longs;ia eguale alla distan­za DB, & &longs;iano in AB pe&longs;i eguali, i cen­tri della grauezza de' quali &longs;iano ne' punti AB. Dico primiera­mente che la bilancia AB &longs;tarà ferma in que&longs;to &longs;ito. Hor percioche AB &longs;i diuide in parti eguali nel punto D, & i pe&longs;i po&longs;ti in AB &longs;ono eguali, &longs;egue, che il punto D &longs;ia il centro della grauez­za della magnitudine compo&longs;ta di ambedue i corpi me&longs;&longs;i in AB; & il CD che &longs;ostiene la bilancia &longs;tà à piombo dell'orizonte: Adunque la bilancia AB in que&longs;to &longs;ito rimarrà ferma. Ma da que&longs;to &longs;ito moua&longs;i la bilancia AB come in EF, & la&longs;ci&longs;i dapoi. Dico che la bilancia EF &longs;i mouerà dalla parte dello F. Et percioche il CD &longs;tà &longs;empre à piombo della bilancia, mentre la bilancia &longs;arà in EF verrà ad e&longs;&longs;ere anche il CD in CG à piombo di EF, & il punto G della magnitudine composta di EF &longs;arà il centro della grauezza, ilquale mentre &longs;i moue de&longs;criuerà la circonferenza del cerchio DGH, il cui mezo diametro è CD, & il centro C. Ma perche CG non &longs;tà à piombo dell'orizonte, la grandezza compo&longs;ta de i pe&longs;i EF non rimarrà in questo &longs;ito, ma &longs;econdo il cen­tro della &longs;ua grauezza &longs;i mouerà in giù per la circonferenza GH. La bilancia dunque EF &longs;i mouerà in giù dalla parte dello F, che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la quarta del primo d' Archimede delle co&longs;e che pe&longs;ano egualmente.

Per la prima di questo.

PROPOSITIONE IIII.

La bilancia egualmente di&longs;tante dall'orizonte, & che habbia nelle &longs;tremità pe&longs;i eguali, & egualmente di&longs;tanti dal centro collocato in e&longs;&longs;a bilancia. Se ella indi &longs;arà mo&longs;&longs;a, ò non, douunque ella &longs;arà la&longs;cia­ta, rimarrà.

Sia la bilancia nella linea diritta AB egualmente di&longs;tante dall'orizon­te, il cui centro C &longs;ia nella i&longs;te&longs;&longs;a linea AB, & la di&longs;tanza CA &longs;ia eguale alla distanza CB, & &longs;iano i pe&longs;i AB eguali, i cui cen­tri della grauezza &longs;tia no ne i punti AB. Mo ua&longs;i la bilancia come in DE, & iui &longs;ia la&longs;cia­ta. Dico primamen­

te che la bilancia DE non &longs;i mouerà, & rimarrà in quel &longs;ito. Hor percioche i pe&longs;i AB &longs;ono eguali, &longs;arà il centro della grauezza della magnitudine compo&longs;ta delli due pe&longs;i A & B in C. Per laqual co&longs;a l'i&longs;te&longs;&longs;o punto C &longs;arà il centro della bilancia, & il centro della grauezza di tutto il pe&longs;o. Et percioche il centro della bilancia che è C, mentre la bilancia AB in&longs;ieme co'pe&longs;i &longs;i moue in DE, rimane immobile, non &longs;i mouerà ne anche il centro della grauezza, che è l'i&longs;te&longs;&longs;o C. Adunque ne anche la bilancia DE &longs;i mouerà per la diffinitione del centro della grauezza, e&longs;&longs;endo in e&longs;&longs;o appiccata. L'i&longs;te&longs;&longs;o accade parimente &longs;tando la bilancia AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, ouero e&longs;&longs;endo in qual &longs;i voglia altro &longs;ito. Rimarrà dunque la bilancia oue &longs;arà la&longs;ciata, che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Benche habbiamo con&longs;iderato nelle co&longs;e predette le grauezze &longs;olamente delle magni­tudini, le quali &longs;ono po&longs;te nelle &longs;tremità della bilancia, &longs;enza la grauezza della bi­lancia; niente di manco per e&longs;&longs;ere anche le braccia della bilancia eguali, auenirà lo i&longs;te&longs;&longs;o alla bilancia, con&longs;iderata la &longs;ua grauezza in&longs;ieme co' pe&longs;i, ouero &longs;enza pe&longs;i, percioche il centro iste&longs;&longs;o della grauezza &longs;enza pe&longs;i &longs;arà anco centro della grauez­za della bilancia &longs;ola. Similmente &longs;e li pe&longs;i &longs;aranno appiccati nelle &longs;tremità del­la bilancia, come &longs;uole far&longs;i, auerrà l'iste&longs;&longs;o, purche le linee tirate da i punti oue &longs;o­no attaccati i pe&longs;i ver&longs;o i centri delle grauezze, (moua&longs;i la bilancia in qual &longs;i vo­glia modo) vadano à concorrere nel centro del mondo, peroche doue &longs;ono attaccati i pe&longs;i in questa maniera, iui grauano, come &longs;e in quegli &longs;te&longs;&longs;i punti baue&longs;&longs;ero i centri delle grauezze. Oltre à ciò poßiamo con&longs;iderare le co&longs;e che &longs;eguono in tut­to al modo i&longs;te&longs;&longs;o.

Ma percioche à que&longs;ta vltima conchiu&longs;ione molte co&longs;e dette da alcuni, che &longs;entono al­tramente, paiono contra&longs;tare; però in cote&longs;ta parte egli &longs;arà bi&longs;ogno dimorare alquanto, & &longs;econdo le mie forze non &longs;olo farò opra di difendere la propria mia &longs;entenza, ma Archimede ancora, ilquale &longs;embra e&longs;&longs;ere &longs;tato in que&longs;to i&longs;te&longs;­&longs;o parere.

Giord. de' pe&longs;i. Il Cardano della &longs;ottigliezza. Il Tartaglia de' que&longs;iti, & inuentioni

Po&longs;te le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e, &longs;ia tirata la linea FCG à piombo di AB, & dell'orizonte: & col centro C, & lo &longs;pa­tio CA &longs;ia de&longs;crit­to il cerchio ADFB EG: &longs;aranno i punti ADBE nella circonferenza del cerchio, per e&longs;&longs;ere le braccia della bilancia eguali. & percioche conuen­gono que&longs;ti autori in vna &longs;entenza, affer­mando, che la bilan­cia DE non &longs;i moue in FG, ne rimane in

DE, ma ritorna nella linea AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, mo&longs;trerò que&longs;ta loro opinione non potere à modo alcuno &longs;tare. Percioche &longs;e egli è vero quel che dicono, ouero auenirà questo effetto per e&longs;&longs;ere il pe&longs;o D più graue del pe&longs;o E, ouero &longs;e li pe&longs;i &longs;ono eguali, le di&longs;tanze nelle quali &longs;ono po&longs;ti, non &longs;aranno eguali, cioè la CD non &longs;arà eguale alla CE, ma più grande. Ma che i pe&longs;i col­locati in DE &longs;iano eguali, & la di&longs;tanza CD &longs;ia eguale alla di&longs;tanza CE, è chiaro dalla pre&longs;uppo&longs;ta. Hor perche dicono che il pe&longs;o po&longs;to in D in quel &longs;i­to è più graue del pe&longs;o po&longs;to in E nell altro &longs;ito da ba&longs;&longs;o: mentre i pe&longs;i &longs;ono in DE, non &longs;arà il punto C piu centro della grauezza, imperoche non stanno fer­mi &longs;e &longs;ono attaccati al C, ma &longs;arà nella linea CD per la terza del primo di Archimede delle co&longs;e che pe&longs;ano egualmente. Non &longs;arà già nella CE per e&longs;&longs;ere il pe&longs;o D più graue del pe&longs;o E: &longs;ia dunque in H, nelquale &longs;e &longs;aranno attacca­ti, rimarranno. Et percioche il centro della grauezza de' pe&longs;i congiunti in AB &longs;tà nel punto C: ma de' pe&longs;i po&longs;ti in DE il punto è H: mentre dunque i pe&longs;i AB &longs;i muouono in DE, il centro della grauezza C moueraßi ver&longs;o D, & s'appre&longs;&longs;erà più da vicino al D, ilche è impoßibile, per mantenere i pe&longs;i vna me­de&longs;ima di&longs;tanza fra loro: peroche il centro della grauezza di cia&longs;cun corpo &longs;tà &longs;em­pre nel mede&longs;imo &longs;ito per ri&longs;petto al &longs;uo corpo. Et quantunque il punto C &longs;ia il centro della grauezza di due corpi A. & B, tuttauia per e&longs;&longs;ere mediante la bi­lancia co&longs;i giunti in&longs;ieme, che &longs;empre &longs;i trouano nell'iste&longs;&longs;o modo; però il punto C &longs;arà co&longs;i centro della grauezza loro, come &longs;e fo&longs;&longs;e vna &longs;ola magnitudine; percio­che la bilancia in&longs;ieme co' pe&longs;i fa vn &longs;olo corpo continuo, il cui centro della grauezza &longs;empre &longs;tarà nel mezo. Non è dunque il pe&longs;o po&longs;to in D più graue del pe­&longs;o po&longs;to in E. Che &longs;e dice&longs;&longs;ero il centro della grauezza non nella linea CD, manella CE douer e&longs;&longs;ere, auerrà l'i&longs;te&longs;&longs;o fallo.

Per la &longs;econda &longs;upposta di questo.

Per la quarta del primo di Archime de delle co&longs;e che pe&longs;ano egualmente.

Di più &longs;e il pe&longs;o D &longs;i mouerà in giù, mouerà il pe&longs;o E in sù. Adunque vn pe&longs;o più graue di E nel mede&longs;imo &longs;ito pe&longs;erà tanto quanto il pe&longs;o D, & auerrà che co&longs;e graui di&longs;uguali, po&longs;te in eguale distanza pe&longs;eranno egualmente. Aggiun­ga&longs;i dunque al pe&longs;o E qualche co&longs;a graue, &longs;i fattamente, che contrape&longs;i al D &longs;e nel C &longs;aranno attaccati. Ma e&longs;&longs;endo &longs;ta­to di &longs;opra mo&longs;trato il punto C e&longs;&longs;ere il c&etilde;­tro della grauezza di pe&longs;i eguali po&longs;ti in DE; &longs;e dunque il pe­&longs;o. E &longs;arà più graue del pe&longs;o D, &longs;arà anche il centro della grauezza nella linea C E. & &longs;ia que&longs;to centro il K. Ma per la diffi­nitione del centro della grauezza, &longs;e li pe&longs;i &longs;aranno appiccati al K, staranno fermi. Dunque &longs;e &longs;aranno

appiccati al C, non &longs;taranno fermi, che è contra la pre&longs;uppo&longs;ta: ma il pe&longs;o E &longs;i mouerà in giù. Che &longs;e appiccati al C pe&longs;a&longs;&longs;ero ancora egualmente, na&longs;cerebbe che di vna magnitudine, due &longs;arebbono i centri della grauezza, che è impo&longs;&longs;ibile. Adunque il pe&longs;o po&longs;to in E più graue di quello che è in D, non pe&longs;erà tanto quanto il D attaccando&longs;i al punto C. I pe&longs;i dunque eguali po&longs;ti in DE, attac­cati nel centro della loro grauezza pe&longs;eranno egualmente, & &longs;taranno immobili, che &longs;u proposto di mo&longs;trare.

Per la terza del primo di Archimede delle co&longs;e che pe&longs;ano egualmente.

Per la prima &longs;upposta di questo.

A que&longs;ta vltima &longs;conueneuolezza ri&longs;pondono, dicendo e&longs;&longs;ere impo&longs;&longs;ibile aggiungere al lo E &longs;i picciolo pe&longs;o, che in ogni modo &longs;e ben &longs;i appiccano al C, il pe&longs;o E non &longs;i moua &longs;empre in giù ver&longs;o il G. La qual co&longs;a habbiamo noi pre&longs;uppo&longs;to poter&longs;i fare, & credeuamo poter&longs;i fare: Peroche quel che è di più del pe&longs;o D &longs;opra il pe&longs;o E, hauendo ragione, & parte di quantità, &longs;i imaginauamo non &longs;olamente e&longs;&longs;ere minimo, ma ancora poter&longs;i diuidere in infinito, il che eßi per certo non &longs;ola­mente minimo, ma ne anche e&longs;&longs;ere minimo, non potendo&longs;i ritrouare, &longs;i sforzano di mo&longs;trare in que&longs;ta maniera.

Il Tartaglia nella &longs;esta propo&longs;itione del quarto libro.

Pongan&longs;i le co&longs;e iste&longs;&longs;e & da i punti DE &longs;iano tirate le linee DHEK à piombo dell'orizonte, & &longs;ia vn'altro cerchio L DM, il cui centro &longs;ia N, ilquale tocchi FDG nel punto D, & &longs;ia eguale ad FDG. Sarà NC linea retta: & perche l'angolo K EC è eguale all'an­golo HDN, & l'angolo CEG è parimente eguale al­l'angolo NDM,

peroche egli è contenuto da mezi diametri, & da circonferenze eguali: &longs;arà il re­stante angolo & mi&longs;to KEG eguale al re&longs;tante angolo & mi&longs;to HDM. Et per­cioche pre&longs;uppongono, che quanto è minore l'angolo contenuto dalla linea tirata à piombo dell'orizonte, & dalla circonferenza, tanto in quel &longs;ito e&longs;&longs;ere anco più graue il pe&longs;o. Talche &longs;i come l'angolo contenuto da HD, & dalla circonferenza DG, è minore dell'angolo KEG, cioè dell'angolo HDM, co&longs;i &longs;econdo que&longs;ta proportione il pe&longs;o po&longs;to in D &longs;ia più graue di quello che &longs;tà in E. Mala pro­portione dell'angolo MHD all'angolo HDG è minore di qual &longs;i voglia altra proportione, che &longs;i troui tra la maggiore, & minore quantità: Adunque la pro­portione de i pe&longs;i DE &longs;arà la minima di tutte le proportioni, anzi non &longs;arà qua&longs;i ne anche proportione, e&longs;&longs;endo la minima di tutte le proportioni. Che la propor­tione di MDH ver&longs;o HDG &longs;ia di tutte la minima, mo&longs;trano con que&longs;ta ne­ce&longs;&longs;aria ragione, peroche MHD &longs;upera HDG con angolo di linea curua, che è MGD, ilquale angolo è il minimo di tutti gli angoli fatti di linee rette: ne po­tendo&longs;i dare angolo minore di MGD &longs;arà la proportione di MDH ver&longs;o HDG la minima di tutte le proportioni. Laqual ragione pare e&longs;&longs;ere grandemente friuo­la, peroche quantunque l'angolo MDG &longs;ia di tutti gli angoli fatti di linee rette il minore, non perciò &longs;egue totalmente egli e&longs;&longs;ere di tutti gli angoli il minimo, im­peroche &longs;ia dal punto D tirata la linea DO à piombo di NC, ambedue que­ste toccheranno le circonferenze LDMFDG nel punto D. Ma percioche le circonferenze &longs;ono eguali, &longs;arà l'angolo MDO misto eguale all'angolo ODG mi­&longs;to. L'vno de gli angoli dunque, cioè ODG &longs;arà minore di MDG, cioè minore del minimo. Dapoi l'angolo ODH &longs;arà minore dell'angolo MDH. Per laqual co&longs;a ODH haurà proportione minore all'angolo HDG, che MDH all'i&longs;te&longs;&longs;o HDG. Dara&longs;&longs;i dunque la proportione anco minore della minima, laquale mostre­remo dauantaggio in infinito minore in questo modo. De&longs;criua&longs;i il cerchio DR, il cui centro &longs;ia E, & il mezo diametro ED, la circonferentia DR tocche­rà la circonferenza DG nel punto D, & la linea DO nel punto D. Per laqual co&longs;a minore &longs;arà l'angolo RDG dell'an­golo ODG, & &longs;i­milmente l'angolo R DH dell'angolo O DH. Adunque ha­uerà minore propor­tione RDH ad HD G di quel che haurà ODH ad HDG. Pigli&longs;i dapoi tra E & C, come &longs;i vuo­le, il punto P, dalquale nella di&longs;tanza
di PD &longs;i de&longs;criua vn'altra circonferenza DQ, laquale toccherà la circonferen­tia DR, & la circonferentia DG nel punto D, & l'angolo QDH &longs;arà mi nore dell'angolo RDH.
Adunque QDH haurà proportione minore ad HDG che RDH ad HDG, & nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo in tutto, &longs;e tra il C & il P &longs;i tor­rà vn'altro punto, & tra que&longs;to, & il C vn'altro, & co&longs;i &longs;ucceßiuamente &longs;i de­&longs;criueranno infinite circonferentie tra DO, & la circonferenza DG: dalle quali troueremo &longs;empre la proportione minore in infinito: & co&longs;i &longs;egue, che la propor­tione del pe&longs;o po&longs;to in D al pe&longs;o po&longs;to in E non &longs;ia tanto picciola, che non &longs;i po&longs;&longs;a ritrouarla &longs;empre minore in infinito. Et perche l'angolo MDG &longs;i puote diuidere in infinito, &longs;i potrà anche diuidere quel più di grauezza che ha il D &longs;o­pra lo E in infinito.

Per la &longs;econda del terzo.

Per la vige&longs;imanona del primo.

Per la deci­ma ottaua del terzo.

Per la ottaua del quinto.

Per la vndecima del terzo.

Per la decima ottaua del terzo.

Ne bi&longs;ogna trala&longs;ciare, che eglino hanno pre&longs;uppo&longs;to nella demo&longs;tratione l'ango lo KEG e&longs;&longs;er maggiore dell'angolo HDC, come co&longs;a nota: il che ben è vero &longs;e DHEK &longs;ono fra loro e­gualmente di&longs;tanti. Ma percioche, come eßi pari­mente pre&longs;uppongono, le linee DHEK &longs;i vanno à trouare nel centro del mondo, le linee DHEK non &longs;aranno egualmente di&longs;tanti giamai, et l'angolo KEG non &longs;olo non &longs;arà maggio­re dall'angolo HDG, ma minore. Come per gra­tia di e&longs;&longs;empio, &longs;ia tirata la linea FG &longs;in al centro del mondo, che &longs;ia S, & con giungan&longs;i DS ES. Egli è da mostrare l'angolo SE G e&longs;&longs;ere minore dell'ango lo SDG. Tiri&longs;i dal punto E la linea ET, che toc­chi il cerchio DGEF, & dall'i&longs;te&longs;&longs;o punto &longs;ia tirata la EV egualmente di&longs;tan

te da DS: Percioche dunque EVDS &longs;ono tra loro egualmente di&longs;tanti, &longs;imil­mente ET DO &longs;ono egualmente di&longs;tanti: &longs;arà l'angolo VET eguale all'ango­lo SDO: & l'angolo TEG eguale all'angolo ODM, per e&longs;&longs;ere contenuto da linee toccanti la circonferenza, & da circonferenze eguali. Tutto l'angolo dun­que VEG &longs;arà eguale all'angolo SDM. Leui&longs;i via dall'angolo SDM l'ango lo di linee curue MDG: & dall'angolo VEG leui&longs;i via l'angolo VES, & l'angolo VES fatto di linee rette è maggiore dell'angolo MDG fatto di linee curue; &longs;arà il re&longs;tante angolo SEG minore dell'angolo SDG. Per laqual co&longs;a dalle pre&longs;uppo&longs;te loro non &longs;olo il pe&longs;o posto in D &longs;arà più graue del pe&longs;o po&longs;to in E, ma per lo contrario il pe&longs;o E &longs;arà più graue dell'i&longs;te&longs;&longs;o D.

Producono tutta via ragioni con le quali &longs;i sforzano di mo­&longs;trare, che la bilan­cia DE ritorna per neceßità in AB e­gualmente distante dall'orizonte. Pri­ma dimo&longs;trano l'i­&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o e&longs;&longs;ere più graue in A, che in altro &longs;ito, che chiamano &longs;ito della egualità, e&longs;&longs;endo la linea AB egual­mente di&longs;tante dal­l'orizonte. Da­poi quanto è più da

pre&longs;&longs;o allo A, tanto e&longs;&longs;ere piu graue di qual &longs;i voglia altro più da lontano, cioè il pe&longs;o po&longs;to in A e&longs;&longs;ere più graue, che in D; & in D, che in L: & &longs;imil­mente in A più graue, che in N; & in N più graue, che in M. Con&longs;ide­rando &longs;olamente vn pe&longs;o in vno delle braccia in sù, ouero in giù mo&longs;&longs;o. Percio­che dicono, po&longs;ta la trutina della bilancia in CF, il pe&longs;o me&longs;&longs;o in A è più lunge dalla trutina che in D; & in D più lunge, che in L: peroche tirate le linee DO LP à piombo di CF, la linea AC re&longs;ta maggiore di DO, & DO di e&longs;&longs;a LP, & auiene l'i&longs;te&longs;&longs;o ne i punti NM. Dapoi dicono da qual luogo il pe&longs;o &longs;i mo­ue più velocemente, iui è più graue: ma egli &longs;i moue più velocemente dallo A, che da altro &longs;ito; adunque egli è più graue nello A. Con &longs;imile mo­do, quanto più egli è da pre&longs;&longs;o allo A, tanto più velocemente &longs;i moue: adunque nel D &longs;arà più graue, che in L. L'altra cagione poi che cauano dal mo­uimento più diritto, & più torto è, che quanto il pe&longs;o di&longs;cende più diritto in archi eguali, pare e&longs;&longs;er anco più graue; concio&longs;ia che il pe&longs;o e&longs;&longs;endo libero, & &longs;ciolto, &longs;i moua di &longs;ua propria natura per lo diritto; ma in A egli di&longs;cende più dirittamente; dunque in A &longs;arà più graue, & dimo&longs;trano ciò pigliando l'arco AN egua­le all'arco LD. & da i punti NL &longs;iano tirate le linee NRLQ egualmente di­&longs;tanti dalla linea FG, laquale chiamano anche della direttione; & quelle altre &longs;e­gheranno le linee ABDO in QR, & dal punto N &longs;ia tirata la NT à piombo di FG: Dimo&longs;trano veramente LQ e&longs;&longs;ere eguale à PO, & NR ad e&longs;&longs;a CT, & la linea NR e&longs;&longs;er maggiore di Lq. Hor percioche la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o dallo A fin ad N per la circonferentia di AN trapa&longs;&longs;a maggior parte della linea FG, (che eßi chiamano pigliare di diritto) che la di&longs;ce&longs;a di L in D per la circonferenza LD; concio&longs;ia che la di&longs;ce&longs;a AN trapaßi la linea CT, ma la di&longs;ce&longs;a LD la linea PO, & CT è maggiore di PO, la di&longs;ce&longs;a di AN &longs;arà più diritta, che la di­&longs;ce&longs;a di LD: &longs;arà dunque più graue il pe&longs;o po&longs;to in A, che in L, ouero in qual &longs;i voglia altro &longs;ito, & nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo dimo&longs;trano, che quanto il pe&longs;o è più vicino allo A, è più graue; cioè &longs;iano le circonferenze LD DA tra loro eguali, & dal punto D &longs;ia tirata la linea DR à piombo di AB; &longs;arà la DR eguale al­la CO. & dimo­&longs;trano po&longs;cia, che la linea DR è maggiore della LQ, & dicono che la &longs;ce&longs;a di DA prende più di &longs;ce&longs;a diritta, che non fa LD, pe­roche è maggiore la linea CO, che la OT: Per la­qual co&longs;a il pe&longs;o &longs;arà più graue in D, che in L, ilche parimente auiene ne punti NM. & co&longs;i il pre&longs;uppo&longs;to, per loquale dimo­
&longs;trano la bilancia DE ritornare in AB a&longs;&longs;ermano come noto, & manife&longs;to; cioè che &longs;econdo il &longs;ito il pe&longs;o è tanto più graue, quanto nel mede&longs;imo &longs;ito manco tor­ta è la &longs;ce&longs;a: & la cagione di cotal ritorno dicono e&longs;&longs;ere que&longs;ta; peroche la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in D è più diritta della &longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in E, per pigliare il pe&longs;o di E manco della direttione in de&longs;cendendo che non fa il pe&longs;o di D pur nel di&longs;cendere: Come &longs;e l'arco EV &longs;ia eguale à DA, & &longs;iano tirate VHET à piombo di FG; &longs;arà maggiore DR di TH.
Per laqual co&longs;a per la pre&longs;uppo&longs;ta il pe&longs;o me&longs;&longs;o in D per ri&longs;petto al &longs;ito &longs;arà più graue del pe&longs;o me&longs;&longs;o in E. Adunque il pe&longs;o me&longs;&longs;o in D e&longs;&longs;endo più graue &longs;i mouerà in giù, & il pe&longs;o po&longs;to in E in &longs;u fin che la bilancia DE ritorni in AB.

Il Cardano nel primo della &longs;ottigliezza.

Giordano nella quarta propo&longs;itione.

Il Tartaglia nella quinta propo&longs;itione.

Il Cardano. Giordano alla propo&longs;itione quarta.

Il Tartaglia alla propo&longs;itione. 5.

Per la trige&longs;imaquarta del primo.

Giordane nella quarta pre&longs;upposta.

Giordano nella &longs;econda propo&longs;itione.

Il Tartaglia nella quinta propo&longs;itione.

L'altra ragione ancora di que&longs;to ritorno è, che quando la trutina della bilancia è &longs;opra di lei in CF; la linea CG è la meta: & percio che l'angolo GCD è maggiore dell'angolo GCE, & l'angolo maggiore dalla meta rende più graue il pe&longs;o: adun­que &longs;tando la trutina della bilancia di &longs;opra &longs;arà più graue il pe&longs;o in D, che in E, & perciò il D ritornerà nello A, & lo E nel B.

Il Cardano.

Meta è pur voce Latina co&longs;tumata da gli antichi ne i giuo chi, & conte&longs;e fatte ne i cerchi murati, & ne i Theatri, percio che il principio, oue &longs;i dauano le mo&longs;&longs;e a' corri­tori, &longs;i chiamaua Carcere, & il fine Meta; di modo, che meta viene à dire termine & fine: & piu in altro &longs;ignificato il luogo piu ba&longs;&longs;o, & infimo. Hor qui &longs;i puote intendere ad ambidue i modi, cioè che la linea CG &longs;ia la meta, cioè il termine & fine, nelquale ha da peruenire il pe&longs;o collocato nella bilancia; ouero il luogo infimo della circonferenza, alquale capita il pe&longs;o per natura. Doue &longs;criue l'Autore l'angolo maggiore dalla Meta, vuol dire l'angolo, che fa il braccio della bilan­cia con la Meta CG.

Et co&longs;i con que&longs;te ragioni &longs;i sforzano dimo&longs;trare la bilancia DE ritornare in AB; le quali al parer mio &longs;i po&longs;&longs;ono ageuolmente &longs;oluere.

Primieramente dunque in quanto s'appartiene alle ragioni, che dicono il pe&longs;o me&longs;&longs;o in A e&longs;&longs;ere piu graue, che in altro &longs;ito, lequali cauano dalla di&longs;tanza piu da lonta­no, & piu da pre&longs;&longs;o della linea FG, & dal mouimento piu veloce, & piu diritto dal punto A. In prima non dimo&longs;trano veramente perche il pe&longs;o &longs;i moua piu velo­cemente dallo A, che da altro &longs;ito. ne perche &longs;ia maggiore CA di DO, & DO di LP, per que&longs;to, come per vera cagione, &longs;egue il pe&longs;o po&longs;to in A e&longs;&longs;ere piu gra­ue di quello, che è in D, & quello di D, di quel che &longs;tà in L, percioche non &longs;i queta l'intelletto, &longs;e di ciò altra cagione non &longs;i dimo&longs;tra, parendo &longs;egno piu to&longs;to, che vera cagione. Quello ste&longs;&longs;o accade parimente all'altra ragione, laquale adducono dal mouimento piu diritto, & piu torto. Oltre à ciò tutte quelle co&longs;e, che per&longs;uadono per via del mouimento piu veloce, & piu tardo il pe&longs;o in A e&longs;&longs;ere piu graue, che in D, non per­ciò dimo&longs;trano, che il pe&longs;o in A, in quanto è in A, &longs;ia piu graue del pe&longs;o D, in quanto è in D, ma in quanto &longs;i parte da i punti D A. Onde, auanti che piu oltre &longs;i proceda, prima dimo&longs;trerò, che il pe&longs;o quanto egli è piu da pre&longs;&longs;o ad FG manco graua, &longs;i in quanto egli &longs;tà nel &longs;ito, oue &longs;i ritro

ua, come anche in quanto &longs;i parte da quello: & in&longs;ieme, che egli è fal&longs;o il pe&longs;o e&longs;&longs;ere piu graue in A, che in altro &longs;ito.

Tiri&longs;i la FG fin al centro del mondo, che &longs;ia in S, & dal punto S tiri&longs;i anco vna linea, che tocchi il cerchio AFBG. non potrà già questa linea tirata dal punto S toc­care il cerchio nel punto A; imperoche tirata la linea AS, il triangolo ACS verrebbe ad hauere due angoli retti, cioè SAC, & ACS, che è impoßibile: ne meno toccherà &longs;opra il punto A nella circonferenza AF; peroche &longs;egherebbe il cer­chio. Toccherà dunque &longs;otto, & &longs;ia SO: &longs;iano dapoi congiunte le lince SD SL, lequali &longs;eghino la circonferenza AOG ne' punti KH, & &longs;iano ancho congiunte le linee CK CH. Et percioche il pe&longs;o, quanto egli è piu da pre&longs;&longs;o di F, tanto piu an­co &longs;tà &longs;opra il centro; come il pe&longs;o in D preme, & &longs;tà piu &longs;opra il punto del volgi­mento C, come à centro, cioè in D piu graua &longs;opra la linea CD, che &longs;e egli fo&longs;&longs;e in A &longs;opra la linea CA: & dauantaggio piu in L &longs;opra la linea CL. imperoche e&longs;&longs;endo li tre angoli di cia&longs;cun triangolo eguali à due angoli retti, & l'angolo DCK del triangolo DCK, che è di due lati eguali &longs;ia minore dell'angolo LCH del triangolo LCH, che è pur di due lati eguali: &longs;aranno gli altri alla ba&longs;e, cioè CDK CKD in&longs;ieme pre&longs;i maggiori de gli altri CLH CHL; & le metà di que&longs;ti, cioè l'angolo CDS &longs;arà maggiore dell'angolo CLS. E&longs;&longs;endo adunque CLS minore, la linea CL piu &longs;i acco&longs;terà al mouimento naturale del pe&longs;o me&longs;&longs;o in L del tutto &longs;ciolto; cioè à dire alla linea LS, che CD al mouimento DS: percioche il pe&longs;o po&longs;to in L libero, & &longs;ciolto &longs;i mouerebbe ver&longs;o il centro del mondo per LS, & il pe­&longs;o po&longs;to in D per DS. Ma perche il pe&longs;o me&longs;&longs;o in L graua tutto &longs;opra LS, & quello che è in D &longs;opra DS, il pe&longs;o in L grauerà piu &longs;opra la linea CL, che quello, che &longs;tà in D &longs;opra la linea DC. Adunque la linea CL &longs;o&longs;terrà piu il pe&longs;o, che la linea CD, & nel modo iste&longs;&longs;o quanto piu il pe&longs;o &longs;arà dapre&longs;&longs;o ad F, &longs;i dimostrerà piu e&longs;&longs;er &longs;o&longs;tenuto dalla linea CL per cotesta cagione, peroche &longs;empre l'angolo CLS &longs;arebbe minore, la­qual co&longs;a etiandio èmanife&longs;ta; perche &longs;e le linee CL, & LS s'incontra&longs;&longs;ero in vna linea, ilche auiene in FCS, all'hora la linea CF &longs;o&longs;terrebbe tutto il pe&longs;o, che è in F, & lo renderebbe immobile, nè haurebbe niuna grauezza in tutto nella circonferenza del cerchio. L'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o dunque per la diuer&longs;ità

de' &longs;iti &longs;arà piu graue, & piu lieue. & que&longs;to non già percio che per ragione del &longs;ito alcuna volta egli acqui&longs;ti veramente grauezza maggiore, & alcuna volta la perda, e&longs;&longs;endo &longs;empre della i&longs;te&longs;&longs;a grauezza, troui&longs;i douunque &longs;i voglia: ma percioche egli graua piu, & meno nella circonferenza, come in D piu graua &longs;opra la circonferenza DA, che in L &longs;opra la circonferenza LD: cioè &longs;e il pe&longs;o &longs;arà &longs;o&longs;tenuto dalle circonferenze, & dalle linee diritte; la circonferenza AD &longs;o&longs;terrà piu il pe&longs;o po&longs;to in D, che la circonferenza DL, &longs;tando il pe&longs;o in L; peroche meno aiuta CD, che CL. Oltre à ciò quando il pe&longs;o è in L, &longs;e egli fo&longs;&longs;e del tutto libero & &longs;ciolto, &longs;i mouerebbe in giu per LS, &longs;e non gliene fu&longs;&longs;e vietato dalla linea CL, laquale sforza il pe&longs;o po&longs;to in L à mouer&longs;i oltre la linea LS per la circonferenza LD, & lo caccia in certo modo, & in cacciandolo viene in parte à &longs;o&longs;tenerlo; percioche &longs;e non lo &longs;o&longs;tene&longs;&longs;e, & gli face&longs;&longs;e re&longs;i&longs;tenza, &longs;i mouerebbe in giu per la linea LS, ma non già per la cir­conferenza LD. Similmente la CD fa re&longs;i&longs;tenza al pe&longs;o po&longs;to in D, sforzan­dolo à mouer&longs;i per la circonferenza DA. Nell'iste&longs;&longs;o modo &longs;tando il pe&longs;o in A, la linea CA con&longs;tringerà il pe&longs;o à mouer&longs;i oltre la linea AS per la circonferenza AO; peroche l'angolo CAS è acuto, e&longs;&longs;endo lo angolo ACS retto. Adunque le linee CA CD in qualche parte, ma non già e­gualmente fanno re&longs;istenza al pe&longs;o. & qualunque volta l'angolo, che è nella circonfe­renza del cerchio fatto dalle linee che e&longs;cono dal centro del monde S, & dal centro C &longs;a­rà acuto, dimo&longs;treremo auenire l'i&longs;te&longs;&longs;o. Hor percioche l'angolo mi&longs;to CLD è eguale à l'angolo CDA, per e&longs;&longs;ere conteuuto da mezi diametri, & dall'i&longs;te&longs;&longs;a circonferenza; & l'angolo CLS è minore dell'angolo CDS; &longs;arà il re&longs;tante SLD maggiore del re&longs;tante SDA. Per laqual co&longs;a la circonferenza DA, cioè la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o in D &longs;ara piu da pre&longs;&longs;o al mouimento natu­rale del pe&longs;o &longs;ciolto me&longs;&longs;o in D, cioè della li­nea DS, che la circonferenza LD della linea LS. Meno dunque farà re&longs;i&longs;tenza la linea CD al pe&longs;o po&longs;to in D, che la linea CL al pe&longs;o po&longs;to in L. Però la linea CD &longs;o&longs;terrà meno, che CL, & il pe&longs;o &longs;arà piu libero in D, che in L: mouendo&longs;i piu naturalmente il pe&longs;o per DA, che per LD. Per laqual co&longs;a piu graue &longs;arà in D, che in L. Similmente dimo&longs;treremo, che CA manco &longs;o&longs;tiene, che CD & che il pe&longs;o piu in A, che in D è libero, & piu graue. Dopo dalla
parte di &longs;otto per l'i&longs;te&longs;&longs;e cagioni, quanto il pe&longs;o &longs;arà piu da pre&longs;&longs;o al G, &longs;arà piu ri­tenuto, come in H dalla linea CH, che in K dalla linea CK: percioche e&longs;&longs;endo l'angolo CHS maggiore dell'angolo CKS, le linee CH HS, &longs;i acco&longs;te­ranno piu alla direttione, che CK KS.
& per que&longs;to &longs;arà piu ritenuto il pe&longs;o da CH, che da CK; percioche &longs;e CH HS &longs;i incontra&longs;&longs;ero in vna linea, come auie­ne &longs;tando il pe&longs;o in G, allhora la linea CG &longs;o&longs;terrebbe tutto il pe&longs;o in G, per modo che &longs;tarebbe immobile. Quanto minore dunque &longs;arà l'angolo contenuto dal la linea CH, & dalla di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o &longs;ciolto, cioè dalla linea HS, tanto meno anco quella linea ritenirà il pe&longs;o, & doue &longs;arà manco ritenuto, iui &longs;arà piu libero, & piu graue. Oltre à ciò &longs;e il pe&longs;o fo&longs;&longs;e libero in K, & &longs;ciolto, &longs;i mouerebbe per la li­nea KS, ma egli è impedito dalla linea CK, laquale sforza il pe&longs;o a mouer&longs;i di qua dalla linea KS per la circonferenza KH; percio che lo ritira in certo modo, & in ritirandolo viene a &longs;o&longs;tenerlo, peroche &longs;e non lo &longs;o&longs;tene&longs;&longs;e, &longs;i mouerebbe il pe­&longs;o in giu per la linea diritta KS, ma non per la circonferenza KH. Similmente la CH ritiene il pe&longs;o, sforzandolo a mouer&longs;i per la circonferenza HG. Et percio­che l'angolo CHS è maggiore dell'angolo CKS, leuati via gli angoli eguali CHG, CKH, &longs;arà il re&longs;tante SHG maggiore del re&longs;tante SKH. Adunque la circonferenza KH, cioè la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in K &longs;arà piu da pre&longs;&longs;o al mo­uimento naturale del pe&longs;o po&longs;to in K &longs;ciolto, cioè alla linea KS, che la circonfe­renza HG alla linea HS. Per laqual co&longs;a meno ritiene la linea CK, che CH, mouendo &longs;i il pe&longs;o piu naturalmente per KH, che per HG, Con ragione &longs;imile anco &longs;i mo&longs;trerà, che quanto minore &longs;arà l'angolo SKH, la linea CK &longs;o&longs;terrà meno. Stando dunque il pe&longs;o in O, percioche l'angolo SOC non &longs;olamente è minore dell'angolo CKS, ma anco il minimo di tutti gli angoli, che e&longs;con da i punti CS, & hanno la cima nella circonferenza OKG; &longs;arà l'angolo SOK il mi nimo &longs;i dell'angolo SKH, come de tutti gli altri co&longs;i fatti. Adunque la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in O &longs;arà piu da pre&longs;&longs;o al mouimento naturale di e&longs;&longs;o pe&longs;o &longs;ciolto in O, che in altro &longs;ito della circonferenza OKG: & la linea CO meno &longs;o&longs;tenirà il pe&longs;o, che &longs;e egli fo&longs;&longs;e in qual &longs;i voglia altro &longs;ito della i&longs;te&longs;&longs;a circonferenza OG. Similmente perche l'angolo del toccamento SOK è minore &longs;i dell'angolo SDA, &longs;i dello SAO, & &longs;i di qual &longs;i voglia altro &longs;imile; &longs;arà la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o me&longs;&longs;o in O piu da pre&longs;&longs;o al mouimento naturale di e&longs;&longs;o pe&longs;o &longs;ciolto in O, che in altro &longs;ito del­la circonferenza ODF. Oltre a ciò perche la linea CO non puote &longs;pingere il pe&longs;o po&longs;to in O mentre egli &longs;i moue in giu, per modo che egli &longs;i moua oltre la linea OS, per cioche la linea OS non taglia il cerchio, ma lo tocca; & l'angolo SOC è retto & non acuto, il pe&longs;o po&longs;to in O non grauerà niente &longs;opra la linea CO, ne &longs;tarà &longs;opra il centro, come accaderebbe in qual &longs;i voglia altro punto &longs;opra l'O. Sarà dun­que il pe&longs;o po&longs;to in O per que&longs;te cagioni libero, & &longs;ciolto piu in que&longs;to &longs;ito, che in qual &longs;i voglia altro della circonferenza FOG; & perciò in que&longs;to &longs;arà piu graue, cioè a dire piu grauerà, che in altro &longs;ito. Et quanto &longs;arà piu da pre&longs;&longs;o ad O, &longs;arà piu graue di quello, che &longs;e fo&longs;&longs;e piu da lunge: & la linea CO &longs;arà egualmente di­&longs;tante dall'orizonte: non pero all'orizonte del punto C (come &longs;timano e&longs;&longs;i) ma del pe&longs;o po&longs;to in O, douendo&longs;i prendere l'orizonte dal centro della grauezza del pe&longs;o. Lequali co&longs;e tutte bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la decima ottaua del terzo

Per la 21. del prim.

Ma &longs;e il braccio della bilancia fo&longs;&longs;e maggiore di CO, come per la quantità di CD; &longs;arà parimente il pe&longs;o me&longs;&longs;o in O piu gra­ue. De&longs;criua&longs;i il cerchio OH, il cui centro &longs;ia D, & il mezo diametro D il cerchio OH toccherà il cerchio FOG nel punto O, & toccherà anche la linea OS nel punto mede&longs;imo, laquale è la &longs;ce­&longs;a naturale, & diritta del pe&longs;o po&longs;to in O. Et percioche l'angolo SOH è minore dell'angolo SOG, &longs;arà la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in O per la circonferenza OH piu dapre&longs;&longs;o al mouimento naturale OS, che per la circonferenza OG. Piu libero dunque & &longs;ciolto, & per con&longs;equente piu graue &longs;a­ràin O, &longs;tante il centro della bilancia in D, che in C. Similmente &longs;i mo&longs;trerà, che quanto piu grande &longs;arà il braccio DO, il pe&longs;o po&longs;to in O &longs;arà d'auantaggio piu graue.

Per la 11. del terzo.

Per la 18. del terzo.

Ma &longs;e l'iste&longs;&longs;o cerchio AFBG co'l &longs;uo centro R &longs;arà piu da pre&longs;&longs;o ad S centro del mondo, & dal punto S &longs;ia tirata vna linea, che tocchi il cerchio ST, il pun­to T, (doue il pe&longs;o è piu graue) &longs;arà piu lontano dal punto A, che il punto O: percioche &longs;iano tirate da i punti OT le linee OMTN à piombo di CS, & congiungan&longs;i RT, & &longs;ia il centro R nella linea CS, & la linea ARB &longs;ia egualmente di&longs;tante ad ACB. Percioche dunque i triangoli COS RTS &longs;ono di angoli retti, &longs;arà SC à CO, come CO à CM. Similmente SR ad RT, come RT ad RN. E&longs;&longs;endo dunque RT eguale à CO, & SC maggiore di RS: haurà proportione maggiore SC à CO, che SR ad RT. onde baurà parimente proportione maggiore CO à CM, che RT ad RN. &longs;a rà dunque minore CM, che RN. Tagli&longs;i dunque RN in P &longs;i fattamen­te, che RP &longs;ia eguale à CM; & dal punto P &longs;ia tirata la linea PQ egualmente di&longs;tante dalle linee MONT, laquale tagli la circonferenza AT in Q, & in fine congiongan&longs;i la RQ. Hor per cioche le due CO CM &longs;ono eguali à le due RQ RP, & l'angolo CMO è eguale all'angolo RPQ. &longs;arà an­che l'angolo MCO eguale all'angolo PRQ. Ma l'angolo MCA retto è eguale all'angolo PRA retto; a­dunque il re&longs;tante OCA al restante QRA &longs;arà eguale, & la circonferen­za OA parimente eguale alla circonferenza QA. Però il punto T per e&longs;&longs;ere piu di&longs;tante dal punto A, che Q, &longs;arà anco piu di&longs;tante dal punto A, che il punto O. Dimo&longs;trera&longs;&longs;i parimente, che quanto piu il cerchio &longs;arà vicino al centro del mondo, che egli &longs;a rà anco piu lontano. Et co&longs;i come pri­ma dimo&longs;trera&longs;&longs;i il pe&longs;o nella circonfe­renza TAF &longs;tar &longs;opra il centro R, ma nella circonferenza TG e&longs;&longs;ere ri­tenuto dalla linea, & ritrouar&longs;i piu graue nel punto T.

Per la ottaua del &longs;esto.

Per la ottaua del quinto.

Per la decima del quinto.

Per la 7. del &longs;esto.

Per la 26. del terzo.

Che &longs;e il punto G fo&longs;&longs;e nel centro del mondo; allhora quanto piu il pe&longs;o &longs;arà da pre&longs;&longs;o al G, &longs;arà piu graue: & douunque &longs;ia po&longs;to il pe&longs;o, fuor che nel G &longs;empre &longs;tarà &longs;opra il centro C, come in K: Imperoche tirata la linea GK; que&longs;ta (&longs;e condo laquale &longs;i fa il mouimento naturale del pe&longs;o) in&longs;ieme co'l braccio della bilancia KC farà vn'angolo acuto, peroche gli angoli posti alla ba&longs;e in K & G del triangolo di due lati eguali CKG &longs;ono &longs;empre acuti. Hor &longs;iano paragonate in&longs;ieme que&longs;te due co&longs;e, cioè il pe&longs;o posto in K, & quello, che è po&longs;to in D, &longs;arà il pe&longs;o in K piu graue, che quello in D; imperoche tirata la li­nea DG, e&longs;&longs;endo che li tre angoli di cia&longs;cuno triangolo &longs;iano eguali à due angoli retti, & l'angolo DCG del triangolo CDG di due lati eguali &longs;ia maggiore dell'angolo KCG del triangolo CKG di due lati eguali; &longs;aranno gli altri angoli alla ba&longs;e DGC GDC pre&longs;i in&longs;ieme minori de gli al­tri KGC GKC pre&longs;i in&longs;ie

me; & la metà di questi, cioè l'angolo CDG &longs;arà minore dell'angolo CKG: Per laqual co&longs;a mouendo&longs;i il pe&longs;o po&longs;to in K &longs;ciolto naturalmente per KG, & il pe&longs;o po&longs;to in D per DG come per &longs;patij, per i quali &longs;ono portati nel centro del mondo; la linea CD, cioè il braccio della bilancia &longs;i acco&longs;terà piu al mouimento naturale del pe&longs;o po&longs;to in D totalmente &longs;ciolto, alla linea cioè DG, che CK al mouimento &longs;atto &longs;econdo KG. So&longs;tenterà dunque piu la linea CD, che C K. & perciò il pe&longs;o po&longs;to in K per le co&longs;e di &longs;opra dette &longs;arà piu graue, che in D. Ol­tre à ciò, perche &longs;e il pe&longs;o po&longs;to in K fo&longs;&longs;e del tutto libero, & &longs;ciolto, &longs;i mouerebbe in giu per KG, &longs;e egli non fo&longs;&longs;e impedito dalla linea CK, laquale sforza il pe&longs;o à mouer&longs;i oltra la linea KG per la circonferenza KH; la linea KG &longs;o&longs;tente­rà il pe&longs;o in parte, & gli farà re&longs;istenza, sforzandolo à mouer&longs;i per la circonferenza KH. Et percioche l'angolo CDG è minore dell'angolo CKG, & l'angolo CDK è eguale all'angolo CKH, &longs;arà l'angolo re&longs;tante GDK maggiore del re &longs;tante GKH. Dunque la circonferenza KH &longs;arà piu da pre&longs;&longs;o al mouimento naturale del pe&longs;o &longs;ciolto po&longs;to in K, cioè alla linea KG, che la circonferenza DK alla linea DG. Per laqual co&longs;a la linea CD &longs;a piu re&longs;i&longs;tenza al pe&longs;o po&longs;to in D, che la linea CK al pe&longs;o posto in K. Adunque il pe&longs;o po&longs;to in K &longs;aràpiu graue, che in D. Similmente mostrera&longs;&longs;i, che quanto il pe&longs;o &longs;arà piu da pre&longs;&longs;o ad F, come in L manco grauerà; ma quanto piu da pre&longs;&longs;o &longs;i trouerà al G, co­me in H, e&longs;&longs;ere piu graue.

Che &longs;e il centro del mondo fo&longs;&longs;e in S fra i punti CG; Primieramente &longs;i mo&longs;trerà nel modo i&longs;te&longs;&longs;o, che il pe&longs;o in qualunque luogo po&longs;to starà &longs;opra il centro C, come in H: peroche tirate le li­nee HG HS, l'angolo che è alla ba&longs;e GHC del triangolo di due lati eguali CHG è &longs;empre acuto: Per laqual co&longs;a anco SHC minor di lui &longs;arà parimente &longs;empre acuto. ma &longs;ia ti rata dal punto S la linea SK à piombo di CS. Dico che il pe&longs;o è piu gra­ue in K, che in alcun'altro &longs;ito della circonferenza FKG; & quanto piu da pre&longs;&longs;o &longs;arà allo F, ouero al G meno graue­rà. Prendan&longs;i ver&longs;o lo F i punti DL, & con giungan&longs;i le linee LC LS DC DS, & &longs;iano al­

lungate le linee LS DS KS HS fin'alla circonferenza del cerchio in EM NO; & &longs;iano congiunte CE, CM, CN, CO. Hor percioche LE DM &longs;i taglia­no in&longs;ieme in S, &longs;arà il rettangolo LSE eguale al rettangolo DSM. Onde &longs;i come è la LS ver&longs;o la DS, co&longs;i &longs;arà la SM ver&longs;ola SE; ma è maggior la LS della DS; & la SM di e&longs;&longs;a SE. Dunque LS SE pre&longs;e in&longs;ieme &longs;aranno mag­giori delle DS SM. & per la ragion i&longs;te&longs;&longs;a &longs;i mo&longs;trerà la KN e&longs;&longs;er minore di DM. Di piu percioche il rettangolo OSH è eguale al rett'angolo KSN; per la mede&longs;i­ma ragione la HO &longs;arà maggiore della KN. & nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo in tutto la KN &longs;i dimostrerà minore di tutte le altre linee, che pa&longs;&longs;ino per lo punto S. Et percioche de i triangoli di due lati eguali CLE DCM i lati LC CE &longs;ono e­guali a i lati DC CM; & la ba&longs;e LE è maggiore di DM: &longs;arà l'angolo LCE maggiore dell'angolo DCM. Per laqual co&longs;a gli angoli CLE CEL posti alla ba&longs;e tolti in&longs;ieme &longs;aranno minori de gli angoli CDM CMD; & le me­tà di que&longs;ti, cioè l'angolo CLS &longs;arà minore dell'angolo CDS. Dunque il pe&longs;o po&longs;to in L &longs;opra la linea LC grauerà piu, che po&longs;to in D &longs;opra la DC; & piu &longs;tarà &longs;opra il centro in L, che in D. Similmente &longs;i mo&longs;trerà, che il pe&longs;o in D&longs;tarà piu &longs;opra il centro C, che in K. Adunque il pe&longs;o po&longs;to in K &longs;arà piu graue, che in D, & in D, che in L. & con la mede&longs;ima ragione in tutto, pero­che KN è minore di HO, &longs;arà l'angolo CKS maggiore dell'angolo CHS. Per laqual co&longs;a il pe&longs;o posto in H &longs;tarà piu &longs;opra il centro C, che in K; & in que­&longs;ta maniera &longs;i mostrerà, che douunque &longs;ia il pe&longs;o nella circonferenza FDG, manco starà &longs;opra il centro quando &longs;arà po&longs;to in K, che in altro &longs;ito: & quanto piu dapre&longs;&longs;o egli &longs;arà ad F, ouero à G piu &longs;tarà &longs;opra. Dopo percioche l'angolo CKS è maggiore del CDS, & CDK è eguale à CKH: &longs;arà il re&longs;tante SKH mi­nore del re&longs;tante SDK. Per laqual co&longs;a la circonferenza KH &longs;arà piu da pre&longs;&longs;o al mouimento naturale diritto del pe&longs;o po&longs;to in K &longs;ciolto, cioè alla li­nea KS, che la circonferenza DK al moui­mento DS. & perciò la linea CD &longs;a piu re&longs;i&longs;tenza al pe&longs;o po&longs;to in D che la CK al pe&longs;o me&longs;­&longs;o in K. & per que&longs;ta ragione &longs;i mo&longs;trera l'an­golo SHG e&longs;&longs;er mag­giore dello SKH; & per con&longs;equente la linea CH &longs;are piu re&longs;i&longs;tenza al pe&longs;o po&longs;to in H, che CK al pe&longs;o me&longs;&longs;o in K. Similmente dimo&longs;trera&longs;&longs;i che la linea CL piu &longs;o­&longs;tenterà il pe&longs;o, che CD:
& per le, cagioni i&longs;te&longs;&longs;e &longs;i prouerà, che il pe&longs;o me&longs;&longs;o in K grauerà meno &longs;opra la li­nea CK, che in qual &longs;i voglia altro &longs;ito della circonferenza FDG: & quanto piu da pre&longs;&longs;o &longs;arà ad F, ouero à G, manco grauerà.
dunque piu graue &longs;ara in K, che in altro &longs;ito: & &longs;arà meno graue quanto piu da pre&longs;&longs;o &longs;tara ad F, ouero a G.

Per la 35. del terzo.

Per la 16. del &longs;esto.

Per la 7. del terzo.

Per la 25. del quinte.

Per la 25. del primo.

Se in fine il centro C fo&longs;&longs;e nel centro del mondo, egli è manife&longs;to, che il pe&longs;o po&longs;to doue &longs;i voglia &longs;tarà fermo. Come posto il pe&longs;o in D la linea CD &longs;o&longs;terrà tutto il pe&longs;o, per e&longs;&longs;er a piombo dell'orizonte di e&longs;&longs;o pe&longs;o po&longs;to in D. Dunque &longs;tarà fermo il pe&longs;o.

Per la prima di questo.

Hor percioche nelle co&longs;e, che fin qui &longs;ono &longs;tate dimostrate non habbiamo fatto mentio­ne alcuna della grauezza del braccio della bilancia, però &longs;e vorremo anco con&longs;idera­re la grauezza del detto braccio, &longs;i potrà ritrouare il centro della grauezza della magnitudine fatta dal pe&longs;o, & dal braccio, & &longs;i de&longs;criueranno le circonferenze de' cerchi &longs;econdo la di&longs;tanza dal centro della bilancia ad e&longs;&longs;o centro della grauezza, come &longs;e in e&longs;&longs;o (come è veramente) fo&longs;&longs;e posto il pe&longs;o, Et le co&longs;e che &longs;enza la con&longs;ideratio ne della grauezza del braccio della bilancia habbiamo trouato, tutte nell'i&longs;te&longs;&longs;o mo­do con&longs;iderando ancora tal grauità le ritrouaremo.

Dalle co&longs;e dette dunque, con&longs;iderando la bilancia, come ella è lontana dal centro del mondo nel modo che e&longs;&longs;i hanno fatto, come etiandio è in atto, appare la fal&longs;ità di coloro, che dico­no il pe&longs;o po&longs;to in A e&longs;&longs;ere piu graue, che in altro &longs;ito; & in&longs;ieme e&longs;&longs;er fal&longs;o, che quan­to piu il pe&longs;o è lontano dalla linea FG, tan­to e&longs;&longs;ere piu graue: imperoche il punto O è piu da pre&longs;&longs;o alla FG, che il punto A; percioche la linea tirata a piombo dal pun­to O ad FG è minore della CA. Da poi egli è parimente fal&longs;o, che il pe&longs;o dal punto A &longs;i moua piu velocemente, che da altro &longs;ito. peroche dal punto O &longs;i mouerà piu velocemente, che dal punto A, concio&longs;ia che in O &longs;ia piu libero ve&longs;ciolto, che in altro &longs;ito; & la &longs;ce&longs;a dal punto O &longs;ia piu da pre&longs;&longs;o al mouimento naturale diritto, che qual &longs;i vo­glia altra di&longs;ce&longs;a.

Per la 15. del terzo.

Oltre a ciò quando mo&longs;trano per via della piu diritta, & della piu torta di&longs;ce&longs;a, che il pe­&longs;o è piu graue in A, che in D, & in D, che in L. Primieramente per certo e&longs;tima no il fal&longs;o, che &longs;e alcun pe&longs;o &longs;arà collocato in qual &longs;i voglia &longs;ito della circonferenza, come in D, la &longs;ua vera di&longs;ce&longs;a douer&longs;i fare per la linea diritta DR egualmente di­&longs;tante da e&longs;&longs;a FG, come &longs;econdo il mouimento naturale, &longs;i come prima è &longs;tato det­to. Percioche in qual &longs;i voglia &longs;ito &longs;i collochi alcun pe&longs;o, &longs;e riguardiamo il mouimento &longs;uo naturale al proprio luogo, alquale &longs;i moue dirittamente per &longs;ua natura, pre&longs;uppo&longs;ta tutta la figura dell'vniuer&longs;o mondo, &longs;arà tale, che &longs;empre lo &longs;patio, per lo qua­le &longs;i moue naturalmente, parerà hauere ragione di linea tirata dalla circonferenza al centro. Adunque le naturali di&longs;ce&longs;e diritte di qual &longs;i voglia pe&longs;o &longs;ciolto non &longs;i po&longs;&longs;ono fare per linee tra loro egualmente di&longs;tanti, per an­dar&longs;i à trouar tutte nel centro del mondo. pre&longs;uppongono da poi, che il pe&longs;o mo&longs;&longs;o da D in A per linea diritta ver&longs;o il centro del mondo &longs;ia della quantità i&longs;te&longs;&longs;a, come &longs;e egli fo&longs;&longs;e da O in C &longs;i fattamente, che il punto A &longs;ia egualmente di&longs;tante dal cen­tro del mondo, come C; ilche è parimente fal&longs;o:

Imperoche il punto A è piu da lontano dal centro del mondo, che C: percioche maggior è la linea tirata dal centro del mondo fin ad A, che quella del centro del mondo fin a C, concio&longs;ia che vna linea dal centro del mondo fin ad A &longs;i di&longs;tenda &longs;otto vn'angolo retto contenuto dalle linee AC, & dal punto C al centro del mondo. Dalle quali co&longs;e non &longs;olo rie&longs;ce vana quella pre&longs;uppo&longs;ta, laquale dimostra, che la bilancia DE ritorna in AB, ma anco cadono tutte le loro dimo&longs;trationi; &longs;e for&longs;e non dice&longs;&longs;ero, che que&longs;te co&longs;e tutte per la grandi&longs;&longs;ima di&longs;tanza, che è fra il centro del mondo, & noi &longs;ono co&longs;i in&longs;en&longs;ibili, che per cagione di que&longs;ta in&longs;en&longs;ibilità, &longs;i po&longs;&longs;ano pre&longs;upponere, come vere; concio&longs;ia, che tutti quelli, iquali hanno trattato que&longs;te co&longs;e, le habbiano pre&longs;uppo&longs;te, come note; ma&longs;&longs;imamente, percioche quello e&longs;&longs;ere in&longs;en&longs;ibile non fà, che la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o da L in D (per v&longs;are le loro paro­le) non pigli meno del diretto, che la di&longs;ce&longs;a DA. Similmente l'arco DA piglie­rà piu del diretto, che la circonferenza EV. onde &longs;arà vera la pre&longs;uppo&longs;ta, & le altre dimo&longs;trationi rimarranno nella &longs;ua &longs;ua forza. Concediamo etiandio, che il pe&longs;o po&longs;to in A &longs;ia piu graue, che in altro &longs;ito; & che la di&longs;ce&longs;a diritta del pe&longs;o &longs;i debba fare per linea diritta egualmente di&longs;tante da FG, & quali &longs;i voglian punti pre&longs;i nelle linee egualmente di&longs;tanti dall'orizonte e&longs;&longs;ere egualmente lontani dal centro del mondo: non &longs;eguiterà gia per que&longs;to, che la loro dimostratione &longs;ia vera, con la­quale vengono a dire, che il pe&longs;o posto in A è piu grane, che in altro &longs;ito, come in L. Percioche &longs;e egli fo&longs;&longs;e vero, che quanto piu il pe&longs;o in que&longs;ta maniera di&longs;cende piu al diritto, iui fo&longs;&longs;e piu graue; &longs;eguirebbe etiandio, che quanto l'iste&longs;&longs;o pe&longs;o de­&longs;cende&longs;&longs;e egualmente in archi eguali al diritto, che ne i luoghi mede&longs;imi haue&longs;&longs;e gra­uezza eguale, ilche in que&longs;to modo e&longs;&longs;er fal&longs;o &longs;i dimo&longs;tra.

Per la 18. del primo.

Siano le circonferenze AL AM tra loro eguali, & congiunga&longs;i LM, laquale ta­gli AB in X; &longs;arà LM egualmente di&longs;tante da FG, & à piombo di AB, & XM &longs;arà eguale ad XL. Se dunque il pe&longs;o da L &longs;arà mo&longs;&longs;o in A per la cir­conferenza LA, il mouimento &longs;uo diritto &longs;arà &longs;econdo la linea LX. Ma &longs;e egli &longs;i mouerà da A in M per la circonferenza AM, il &longs;uo mouimento &longs;arà &longs;econdo la linea diritta XM. Per laqual co&longs;a la &longs;ce&longs;a da L in A &longs;arà eguale alla &longs;ce&longs;a da A in M, &longs;i per cau&longs;a delle circonferenze eguali, & &longs;i per le linee rette eguali, & à piombo di e&longs;&longs;a AB. Adunque il pe&longs;o mede&longs;imo po&longs;to in L grauerà egualmente, come in A, ilche è fal&longs;o, concio&longs;ia, che egli è di gran lunga piu graue in A, che in L.

Per la terza del terzo.

Et benche AMLA prendano, &longs;econdo e&longs;&longs;i, egualmente del diretto, diranno for&longs;e, nondimeno perche il principio della &longs;ce&longs;a da L, cioè LD piglia meno del diretto, che il principio della &longs;ce&longs;a da A, cioè AN, il pe&longs;o in A &longs;arà piu graue, che in L. Imperoche e&longs;&longs;endo (come è &longs;tato di &longs;opra po&longs;to) la circonferenza AN eguale ad LD, laquale (&longs;econdo eßi) piglia di diretto CT; ma LD piglia di diretto PO, però il pe&longs;o &longs;arà piu graue in A, che in L. ilche &longs;e fo&longs;&longs;e vero, &longs;eguirebbe, che l'i&longs;te&longs;­&longs;o pe&longs;o nel mede&longs;imo &longs;ito, in diuer&longs;o modo &longs;olamente con&longs;iderato, ver&longs;o il mede&longs;imo &longs;ito fo&longs;&longs;e & piu graue, & piu lieue; ilche è impo&longs;&longs;ibile. cioè &longs;e con&longs;ideriamo la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in L in quanto egli de&longs;cende da L in A &longs;arà piu graue, che &longs;e con&longs;idereremo la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o i&longs;te&longs;&longs;o da L in D &longs;olamente. ne po&longs;&longs;ono negare per i mede&longs;imi detti &longs;uoi, che la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o da L in A non pigli del diretto LX, ouero PC. Et che &longs;imilmente la &longs;ce&longs;a AM non prenda di diretto XM: pigliando eßi ancora à que&longs;to modo, & co&longs;i nece&longs;&longs;ario &longs;ia di pigliare. percioche &longs;e vogliono dimo&longs;trare, che la bilancia DE ritorni in AB paragonando la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in D con la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o posto in E, egli è nece&longs;&longs;ario, che mo&longs;trino, che la diritta &longs;ce&longs;a OC ri&longs;pondente alla circonferenza DA &longs;ia maggiore della &longs;ce&longs;a diritta TH ri&longs;ponden­te alla circonferenza EV. peroche &longs;e piglia&longs;&longs;ero &longs;olamente vna parte di tutta la &longs;ce &longs;a da D in A, come DK, & dimo&longs;tra&longs;&longs;ero, che piu di diretto piglia la &longs;ce&longs;a DK, che la eguale portione della &longs;ce&longs;a dal punto E, &longs;eguirebbe il pe&longs;o po&longs;to in D, &longs;econ­do eßi, e&longs;&longs;ere piu graue del pe&longs;o po&longs;to in E, & mouer&longs;i in giu fin al K &longs;olamente. per modo che la bilancia &longs;ia mo&longs;&longs;a in KI. Similmente &longs;e vogliono mo&longs;trare, che la bilancia KI ritorni in AB pigliando vna portione della &longs;ce&longs;a da K in A, cioè KS, & mo&longs;tra&longs;&longs;ero, che KS pigli piu di diretto, che la &longs;ce&longs;a eguale, che è dirimpetto dal punto I: &longs;eguirebbe con &longs;imile modo il pe&longs;o po&longs;to in K e&longs;&longs;ere piu graue, che in I, & mouer&longs;i &longs;olamente fin ad S. Et &longs;e di nouo mo&longs;tra&longs;&longs;ero vna portione della &longs;ce&longs;a da S in A, & co&longs;i &longs;ucceßiuamente e&longs;&longs;ere piu diritta della &longs;ce&longs;a eguale del pe&longs;o oppo&longs;to; &longs;empre &longs;eguirà, che la bilancia SI andarà piu da pre&longs;&longs;o ad AB, ma non dimostre­ranno giamai che per uenga in AB. Se dunque vogliono di mo&longs;trare, che la bilancia DE ritorni in AB, egli è nece&longs;&longs;a­rio, che pre&longs;uppongano, che la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o da D in A prenda di diretto la quantità della linea tira­ta dal punto D ad AB ad angoli ret­ti; & co&longs;i, &longs;e para­goneremo le &longs;ce&longs;e e­guali di DA AN fra loro, lequali prendono di diretto OC CT, accaderà, che

il pe&longs;o i&longs;te&longs;&longs;o &longs;arà in D graue egualmente, come in A. Ma &longs;e le portioni &longs;olamente piglieremo da DA, &longs;arà piu graue in A, che in D. Adunque dalla diuer&longs;ità &longs;o­lamente del modo del con&longs;iderare, auerrà, che il pe&longs;o mede&longs;imo &longs;arà & piu graue, & piu leggiero; & non per la natura della co&longs;a. Di piu la pre&longs;uppo&longs;ta loro non afferma, che il pe&longs;o &longs;econdo il &longs;ito &longs;ia piu graue, quanto nel &longs;ito mede&longs;imo il principio della &longs;ua di&longs;ce&longs;a è meno obliquo. La pre&longs;upposta dunque di &longs;opra addotta, cioè che &longs;econdo il &longs;ito il pe&longs;o è piu graue quanto nell'i&longs;te&longs;&longs;o &longs;ito meno obliqua è la di&longs;ce&longs;a, non &longs;olamente non &longs;i puote concedere à modo alcuno, per le co&longs;e, che habbiamo dette; ma anco percioche non è co&longs;a difficile il dimo&longs;trare tutto l'oppo&longs;to, cioè il pe&longs;o mede&longs;imo in eguali circonferenze quanto meno obliqua è la di&longs;ce&longs;a, iui meno grauare.

Siano come prima le circonferenze AL AM tra loro eguali; & &longs;ia il punto L vici no ad F, & congiunga&longs;i LM, la quale &longs;arà à piombo di AB & LX &longs;arà anco eguale ad XM. Dapoi pre&longs;&longs;o ad M tra M & G &longs;ia pre&longs;o come &longs;i vuole, il punto P, & &longs;ia fatta la circonferenza PO eguale alla circonferenza AM, &longs;arà il punto O pre&longs;&longs;o ad A. & &longs;iano congiunte le linee CL, CO, CM, CP, OP & dal punto P tiri&longs;i la PN a piombo di OC. & percioche la circonferenza. AM è eguale alla circonferentia OP; &longs;arà l'angolo ACM eguale all'angolo OCP, & l'angolo CXM retto eguale al retto CNP, &longs;arà anco il re&longs;tante angolo XMC del triangolo MXC eguale al re&longs;tante NPC del triangolo PCN. Ma il lato ancora CM è eguale al lato CP, dunque il triangolo MCX è eguale al triangolo PCN, & il lato MX eguale al lato NP. Onde la linea PN &longs;arà eguale ad LX. Tiri&longs;i oltre a ciò dal punto O la linea OT egualmente di­&longs;tante da AC, laquale tagli NP in V. & &longs;ia anco tirata dal punto P vna linea a piombo di OT, la quale per certo non puote cadere tra OV, perche e&longs;&longs;endo l'angolo ONV retto, &longs;arà acuto lo OVN. Per la qualco&longs;a OVP &longs;arà ottu&longs;o. Non caderà dunque la linea tirata dal punto P tra OV à piombo di OT: pe­roche due angoli d'uno triangolo &longs;arebbono l'u­no retto, & l'altro ot­tu&longs;o, che è impoßibile. Caderà dunque nella linea OT nella parte di VT, et &longs;ia PT. &longs;arà &longs;e condo e&longs;&longs;i, PT la di

ritta &longs;ce&longs;a della circonferenza OP. Percioche dunque l'angolo ONV è retto, &longs;arà la linea OV maggiore della ON. Onde la OT &longs;arà parimente maggiore della ON. & co&longs;i di&longs;tendendo&longs;i la linea OP &longs;otto gli angoli retti ONP, OTP, &longs;arà il quadrato di OP eguale alli quadrati ON NP in&longs;ieme pre&longs;i, &longs;imilmente eguale a i quadrati di OT TP in&longs;ieme. per laqual co&longs;a li quadrati in&longs;ie­me di ON NP &longs;aranno eguali a i quadrati in&longs;ieme di OT TP. Ma il quadrato di OT è maggiore del quadrato di ON, per e&longs;&longs;ere maggiore la linea OT della ON. Adunque il quadrato di NP &longs;ara maggiore del quadrato TP & perciò la linea TP &longs;arà minore della linea PN, & della linea LX. Meno obliqua dunque &longs;arà la &longs;ce&longs;a dell'arco LA, che dell'arco OP. Dunque il pe&longs;o po­sto in L, per i loro detti, &longs;arà piu graue, che in O, il che, per le co&longs;e, che di &longs;opra habbiamo detto, è manife&longs;tamente fal&longs;o. concio&longs;ia, che il pe&longs;o po&longs;to in O &longs;ia piu graue, che in L. Non &longs;i puote dunque raccogliere dal piu diritto, & piu torto mouimento in quel modo pigliato, e&longs;&longs;ere il pe&longs;o tanto piu graue &longs;econ­do il &longs;ito, quanto nel mede&longs;imo &longs;ito è meno torta la &longs;ce&longs;a. & quinci na&longs;ce tutto qua&longs;i il &longs;uo errore & inganno in cote&longs;ta co&longs;a. Imperoche quantunque per acciden­te alle volte dalle co&longs;e fal&longs;e ne &longs;egua il vero, tutta via per &longs;e &longs;te&longs;&longs;e principalmente dalle fal&longs;e ne &longs;egue il fal&longs;o, &longs;i come dalle vere &longs;empre il vero ne &longs;egue. Non è pero da marauigliar&longs;i, &longs;e mentre e&longs;&longs;i prendono co&longs;e fal&longs;e, & &longs;tanno &longs;opra quelle, come veri&longs;&longs;ime, raccolgono, & conchiudono co&longs;e in tutto fal&longs;i&longs;&longs;ime. &longs;ono oltre a ciò inganna­ti, mentre pigliano a contemplare la bilancia &longs;emplicemente per via di matematica, e&longs;&longs;endo la con&longs;ideratione &longs;ua mechanica affatto, ne di lei &longs;i po&longs;&longs;a ragionare a modo alcuno &longs;enza il vero mouimento, & &longs;enza i pe&longs;i, che &longs;ono in tutto co&longs;e naturali, &longs;en­za le quali non &longs;i po&longs;&longs;ono ritrouare per niuna maniera le vere cagioni di quelle co&longs;e, che accadono alla bilancia.

Per la 27. del terzo

Per la 32. del primo

Per la 26. del primo.

Per la 13. del primo.

Per la 19. del primo.

Per la 47. del primo.

Oltre a ciò &longs;e anche concederemo la pre&longs;up­po&longs;ta, &longs;i partono tuttauia molto lunge dal la con&longs;ideratione della bilancia, mentre di­&longs;corrono; che in quel la maniera debba la bilancia DE ritor­nare in AB: percio che &longs;empre pigliano vn di due pe&longs;i &longs;eparatamente come D, ouero E, come &longs;e hor l'uno, hor l'altro fo&longs;&longs;e po&longs;to nella bilan­cia, non congiunti in &longs;ieme ambidue in modo veruno, e&longs;&longs;en­

doche nondimeno bi&longs;ogni fare tutto all'oppo&longs;ito di ciò, ne &longs;i puote con&longs;iderare dirit­tamente l'uno &longs;enza l'altro, e&longs;&longs;endoche &longs;i ragiona di loro nella bilancia collocati. Concio&longs;ia che quando dicono la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in D e&longs;&longs;ere meno torta, che la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in E, co&longs;i &longs;arà il pe&longs;o in D, per la pre&longs;uppo&longs;ta, piu graue del pe&longs;o po&longs;to in E; onde per e&longs;&longs;ere piu graue, eglie nece&longs;&longs;ario, che &longs;i moua in giu, & che la bilancia DE ritorni in AB: Cote&longs;to di&longs;cor&longs;o non è di momento alcu­no. Primieramente &longs;empre argomentano come &longs;e i pe&longs;i in DE debbano &longs;cende­re, con&longs;iderando la &longs;ce&longs;a di vno &longs;olamente &longs;enza la compagnia, & congiungimen­to dell'altro. Vltimamente nondimeno e&longs;&longs;i per la comparatione delle di&longs;ce&longs;e de'pe­&longs;i conchiudono il pe&longs;o posto in D mouer&longs;i in giu, & il po&longs;to in E in &longs;u, prenden­do l'uno, & l'altro pe&longs;o congiunti in&longs;ieme fra loro nella bilancia. Ma da &longs;uoi me­de&longs;imi principij, i quali v&longs;ano, & dalle &longs;ue dimo&longs;trationi &longs;i puote cauare ageuoli&longs;&longs;i­mamente l'oppo&longs;ito di quel che &longs;i faticano di difendere. Imperoche &longs;e &longs;i paragona la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in D con la &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in E, come tirate le'linee EK DH a piombo di AB, e&longs;&longs;endo l'angolo DCH eguale all'angolo ECK, & l'angolo DHC retto eguale al retto EKC, & il lato DC eguale al lato CE; &longs;arà il triangolo CDH eguale al triangolo CEK, & il lato DH eguale al lato EK: & e&longs;&longs;endo l'angolo DCA eguale all'angolo ECB, &longs;arà anco la circonferenza DA eguale alla circonferenza BE. Mentre dunque il pe&longs;o po­sto in D &longs;cende per la circonferenza DA, il pe&longs;o po&longs;to in E &longs;ale per la circon­ferenza EB eguale a DA, & la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in D prenderà, (&longs;econdo il co&longs;tume loro) di diretto DH: & la &longs;alita del pe&longs;o E prenderà di diretto EK eguale a DH: &longs;arà dunque la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o posto in D eguale alla &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in E: & quale &longs;arà la inclinatione d'uno al mouimento in giù, tale &longs;arà etiandio la re&longs;i&longs;tenza dell'altro al mouimento in sù, cioè la re&longs;istentia della violenza del pe&longs;o po&longs;to in E nella a&longs;ce&longs;a, contra&longs;tando &longs;i oppone alla naturale po&longs;&longs;anza del pe­&longs;o po&longs;to in D per e&longs;&longs;ere a lei eguale; percioche quanto il pe&longs;o po&longs;to in D per la na­tural po&longs;&longs;anza de&longs;cende piu velocemente in giù, in tanto il pe&longs;o po&longs;to in E più tar­do &longs;ale violentemente. Per laqual co&longs;a niuno di loro due pe&longs;era piu dell'altro, non procedendo attione da eguale. il pe&longs;o po&longs;to in D dunque non mouerà il pe&longs;o po&longs;to in E in &longs;u&longs;o, peroche &longs;e lo moue&longs;&longs;e, &longs;arebbe nece&longs;&longs;ario, che il pe&longs;o po&longs;to in D ha­ue&longs;&longs;e virtu maggiore in di&longs;cendendo, che il pe&longs;o po&longs;to in E in &longs;alendo, ma que&longs;te co­&longs;e &longs;ono eguali: adunque &longs;taranno &longs;ermi i pe&longs;i, & la grauezza del pe&longs;o po&longs;to in D &longs;a­rà eguale alla grauezza del pe&longs;o po&longs;to in E. Oltre a ciò perche pre&longs;uppongono, che quanto il pe&longs;o è piu di&longs;tante dalla linea FG della dirittura, tanto e&longs;&longs;ere piu graue. però tirate parimente da i punti DE le linee DO, EI a piombo di FG, con modo &longs;imile &longs;i dimostrerà il triangolo CDO e&longs;&longs;ere eguale al triangolo CEI: & la linea DO e&longs;&longs;ere eguale ad EI. Tanto dunque è di&longs;tante il pe&longs;o po&longs;to in D dalla linea FG, quanto il pe&longs;o po&longs;to in E. Dalle ragioni loro dunque, & dalle &longs;ue pre&longs;uppo&longs;te li pe&longs;i me&longs;&longs;i in DE &longs;ono graui egualmente. Di piu, che vieta che non &longs;i di mo&longs;tri la bi lancia DE mouer&longs;i per nece&longs;&longs;ità in FG con &longs;imile ragione? Primie­ramente &longs;i puote raccogliere dalle loro mede&longs;ime dimo&longs;trationi, la &longs;alita del pe&longs;o po­&longs;to in E ver&longs;o il B e&longs;&longs;ere piu diritta della &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in D ver&longs;o lo F, cioè manco prendere di diretto la &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in D in archi eguali, che la &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in E. Pre&longs;upponga&longs;i dunque, che il pe&longs;o &longs;ia piu leggiero &longs;econ­do il &longs;ito tanto quanto nel &longs;ito mede&longs;imo meno diritta è la &longs;ua &longs;alita: Laqual pre­&longs;upposta pare tanto manife&longs;ta, quanto l'altra loro. percioche dunque la &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in E è piu diritta della &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in D, per la pre&longs;uppo&longs;ta il pe&longs;o po&longs;to in D &longs;arà piu leggiero del pe&longs;o po&longs;to in E. Adunque il pe&longs;o po&longs;to in D &longs;i mouerà in sù dal pe&longs;o po&longs;to in E, &longs;i fattamente che la bilancia peruenga in FG, & co&longs;i potra&longs;si dimo&longs;trare la bilancia DE mouer&longs;i in FG, laqual dimo&longs;tratio­ne è del tutto veramente friuola, & pati&longs;ce le difficultà mede&longs;ime. Percioche quan­tunque &longs;i conceda, come vero, che il pe&longs;o po&longs;to in E &longs;alendo &longs;ia piu graue del pe&longs;o in D &longs;imilmente &longs;alendo, non perciò da que&longs;to &longs;egue, che il pe&longs;o po&longs;to in E de­&longs;cendendo &longs;ia piu graue del pe&longs;o posto in D &longs;alendo. Niuna dunque di que&longs;te due dimo&longs;trationi, che dicono la bilancia DE ritornare in AB, ouero mouer&longs;i in FG, è vera.

Per la 15. del primo.

Per la 25. del primo.

Oltre a ciò &longs;e e&longs;amineremo la loro pre&longs;uppo&longs;ta, & la forza delle loro parole, vedremo per certo che altro &longs;entimento hanno. Imperoche e&longs;&longs;endo che &longs;empre lo &longs;patio per loquale il pe&longs;o naturalmente &longs;i moue, &longs;i deue prendere dal centro della grauezza di e&longs;­&longs;o pe&longs;o ver&longs;o il centro del mondo à &longs;embianza di vna linea diritta tirata dal centro della grauezza al centro del mondo, tanto &longs;i dirà que&longs;ta co&longs;i fatta di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o piu, & meno obliqua, quanto, &longs;econdo lo &longs;patio di&longs;&longs;egnato, a &longs;embianza della pre­detta linea piu ò meno &longs;i mouerà, (andando pero &longs;empre a trouare il luogo &longs;uo naturale, & vie piu &longs;empre auicinandoui&longs;i.) talche tanto piu obliqua &longs;i dica la &longs;ce&longs;a quanto &longs;i parte da cotale &longs;patio: & piu diritta quanto a lui &longs;i acco&longs;ta. & in que&longs;to &longs;entimento quella pre&longs;upposta non deue partorire difficulta ad alcuno, percioche co­&longs;i è la verita &longs;ua chiara, & conforme alla ragione, che non pare hauer me&longs;tieri di e&longs;­&longs;er fatta in alcun modo manife&longs;ta.

Se dunque il pe&longs;o &longs;ciolto, collocato nel &longs;i­to di D &longs;i deue mouere al luogo pro­prio, &longs;enza dubbio, po&longs;to S centro del mondo, &longs;i mouerà per la linea DS, &longs;i­milmente il pe&longs;o po&longs;to in E &longs;ciolto &longs;i mouerà per la linea ES. Per laqual co­&longs;a &longs;e, (come è vero) la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o &longs;i dirà piu, ò meno obliqua, &longs;econdo lo al lontanar&longs;i, ouero appre&longs;&longs;ar&longs;i a gli &longs;patij di&longs;segnati per le linee DS ES, per ri &longs;petto a'loro naturali mouimenti ver&longs;o i proprij luoghi, egli è chiaro, che meno obliqua è la &longs;ce&longs;a di E per EG, che di D per DA, per e&longs;&longs;ere stato di &longs;opra mo&longs;trato che l'angolo SEG è minore dell'angolo SDA. Per laqual co&longs;a piu grauerà il pe&longs;o in E, che in D, il che totalmente è il contrario di quel­lo, che e&longs;si &longs;i &longs;ono sforzati di prouare. Leueran&longs;i per auuentura contra di noi dicendo. Se dundue il pe&longs;o po&longs;to in E è piu graue del pe&longs;o po&longs;to in D, la bi­lancia DE non &longs;tarà giamai in que­&longs;to &longs;ito, laqual co&longs;a noi habbiamo pro­po&longs;to di mantenere, ma &longs;i mouerà in F G. Allequali co&longs;e ri&longs;pondiamo. che im­porta a&longs;&longs;ai, &longs;e noi con&longs;ideriamo i pe&longs;i o­uero in quanto &longs;ono &longs;eparati l'uno dal­l'altro, ouero in quanto &longs;ono tra loro congiunti: perche altra è la ragione del

pe&longs;o po&longs;to in E &longs;enza il congiungimento del pe&longs;o po&longs;to in D, & altra di lui con l'altro pe&longs;o congiunto, &longs;i fattamente che l'uno &longs;enza l'altro non &longs;i po&longs;&longs;a mouere. Imperoche la diritta, & naturale di&longs;ce&longs;a dal pe&longs;o po&longs;to in E, inquanto egli è &longs;enza al­tro congiungimento di pe&longs;o, &longs;i fa per la linea ES. ma inquanto egli è congiunto col pe&longs;o D, la &longs;ua naturale di&longs;ce&longs;a non &longs;arà piu per la linea ES, ma per vna li­nea egualmente di&longs;tante da CS. percioche la magnitudine compo&longs;ta de i pe&longs;i ED. & della bilancia DE il cui centro della grauezza è C, &longs;e in ne&longs;&longs;un luogo non &longs;a­rà &longs;o&longs;tenuta, &longs;i mouerà naturalmente in giu nel modo che &longs;i troua, &longs;econdo la gra­uezza del centro per la linea diritta tirata dal centro della grauezza C al centro del mondo S, finche il centro C peruenga nel centro S. La bilancia dunque DE in&longs;ieme co'pe&longs;i, in quella maniera, che &longs;i troua &longs;i mouerà in giu per modo tale, che il punto C &longs;i moua per la linea CS, fin che C peruenga in S, & la bilancia DE in HK; & habbia la bilancia in HK la po&longs;itione i&longs;te&longs;&longs;a, che prima hauea; cio è, che la HK &longs;ia egualmente distante da DE. Congiungan&longs;i dunque DH EK. egli è manife&longs;to, che mentre la bilancia DE &longs;i moue in HK, mouer&longs;i an­che i punti DE per le linee DH EK, come quelle che &longs;ono & fra &longs;e, & ad e&longs;&longs;a CS eguali, & egualmente di&longs;tanti. Per la qual co&longs;a i pe&longs;i posti in DE, in quanto &longs;ono fra loro congiunti, &longs;e riguarderemo il mouimento loro naturale &longs;i moueranno non &longs;econdo le linee DS, ES, ma &longs;econdo LDH MEK egualmente di&longs;tanti da e&longs;&longs;a CS. Ma la naturale inclinatione del pe&longs;o po&longs;to in E libero, & &longs;ciolto &longs;arà per ES, & del pe&longs;o po&longs;to in D &longs;imilmente &longs;ciolto &longs;arà per DS. & per­cio non è &longs;conueneuole, che il pe&longs;o mede&longs;imo hora in E, hora in D, &longs;ia piu graue in E, che in D. Ma &longs;e i pe&longs;i po&longs;ti in ED &longs;ono l'un l'altro fra &longs;e congiunti, & gli con&longs;idereremo in quanto &longs;ono congiunti, &longs;arà la naturale inclinatione del pe­&longs;o po&longs;to in E per la linea MEK, percioche la grauezza dell'altro pe&longs;o po&longs;to in D fa &longs;i, che il pe&longs;o po&longs;to in E non graui &longs;opra la linea ES, ma nella EK. Ilche fa parimente la grauezza del pe&longs;o po&longs;to in E, cioè, che il pe&longs;o po&longs;to in D non graui per la linea retta DS, ma &longs;econdo DH, per impedir&longs;i ambedue l'uno l'altro che non vadino à propri luoghi. Concio&longs;ia dunque che la naturale &longs;ce&longs;a dirit­ta de i pe&longs;i po&longs;ti in DE &longs;ia &longs;econdo LDH, MEK, &longs;arà &longs;imilmente la naturale &longs;alita diritta loro &longs;econdo le i&longs;te&longs;&longs;e linee HDL KEM. & la naturale &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in E &longs;i dirà più, & meno torta, quanto che &longs;econdo lo &longs;patio &longs;i mouerà più, & meno pre&longs;&longs;o la linea MK. & a que&longs;to modo in tutto &longs;i ha da pigliare & la &longs;a lita & la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in D &longs;econdo la linea LH, &longs;e dunque il pe&longs;o po&longs;to in E &longs;i moue&longs;&longs;e in giù per la linea EG, mouerebbe il pe&longs;o po&longs;to in D in sù per DF. & percioche l'angolo CEK è eguale all'angolo CDL, & l'angolo CEG è eguale all'angolo CDF; &longs;arà il re&longs;tante angolo GEK al re&longs;tante LDF eguale. & e&longs;&longs;endo quella pre&longs;uppo&longs;ta, che dice il pe&longs;o e&longs;&longs;er più graue &longs;econdo il &longs;ito, quanto in quel mede&longs;imo &longs;ito la di&longs;ce&longs;a è meno obliqua per chiara, & manife&longs;ta ri­ceuuta, &longs;arà anche da e&longs;&longs;ere accettata &longs;enza dubbio que&longs;t' altra, cioè, che il pe&longs;o &longs;arà più graue &longs;econdo il &longs;ito, quanto nel &longs;ito mede&longs;imo meno obliqua &longs;arà la &longs;alita; per non e&longs;&longs;ere manco manife&longs;ta, ne meno conforme alla ragione. &longs;arà dunque eguale la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in E alla &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in D, percioche la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in E tiene tanto di obliquo, quanto la &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in D. & quale&longs;arà la inclinatione dell'vno al moui­mento in giù, tale parimente &longs;arà la re&longs;istenza dell'altro al mouimento in sù. Adunque il pe&longs;o po&longs;to in E non mo­uerà in sù il pe&longs;o po&longs;to in D: ne il pe&longs;o po&longs;to in D: &longs;i mouerà in giù &longs;i fatta­mente, che moua in sù il pe&longs;o po&longs;to in E. imperoche e&longs;&longs;endo l'angolo CEB eguale a CDA, & l'angolo CEM &longs;ia eguale all'angolo CDH; &longs;arà il re&longs;tante MEB eguale al re&longs;tante HDA. La &longs;ce&longs;a dunque del pe&longs;o po­&longs;to in D &longs;arà eguale alla &longs;alita del pe­&longs;o po&longs;to in E. Adunque il pe&longs;o po&longs;to in D non mouerà in sù il pe&longs;o po&longs;to in E. Dalle quali co&longs;e &longs;egue che i pe&longs;i po&longs;ti in DE, in quanto tra loro &longs;o­no congiunti, &longs;ono egualmente graui.

Per la 33. del primo.

Per la 29. del primo.

Per la 29. del prime.

L'altra ragione po&longs;cia, con laquale vorrebbono mo&longs;trare, che &longs;imilmente la bilancia DE ritorna in AB, con dire, che e&longs;&longs;endo la trutina della bilancia CF, la méta viene ad e&longs;&longs;er CG. & percioche l'angolo DCG è maggiore dell'angolo ECG, il pe&longs;o po&longs;to in D &longs;arà più graue del po&longs;to in E; dunque la bilancia DE ritornera in AB; non conchiude nulla al parer mio; & que&longs;ta fintione della trutina, & della méta è più to&longs;to da trala&longs;ciare, & pa&longs;&longs;arla con &longs;ilentio, che farne pur vna paro la per confonderla, e&longs;&longs;endo del tutto co&longs;a volontaria, percioche la nece&longs;&longs;aria ragione per laquale il pe&longs;o po&longs;to in D dall' angolo maggiore &longs;ia più graue, & perche il maggiore angolo &longs;ia cagione di grauezza maggiore non appare in niun loco. che &longs;e gli angoli &longs;aranno tra loro paragonati, e&longs;&longs;endo l'angolo GCD eguale all'angolo FCE; &longs;e l'angolo GCD è cau&longs;a della grauezza, perche l'angolo FCE &longs;imil­mente non è della grauezza cagione? Di questo effetto mostrano di produ­cere in mezo que&longs;ta cagione, perche CG è la mé­ta, & CF la trutina; &longs;e (dicono e&longs;&longs;i) CG fo&longs;&longs;e la trutina, & CF la méta, all'hora l'angolo FCE &longs;arebbe cagione della grauezza, ma non già il DCG ad e&longs;&longs;o e­guale laquale ragione è al tutto fatta con la imagi­natione, & di voglia propria. Peroche, che puote importare che la trutina &longs;ia ouero in CF, ouero in CG, e&longs;&longs;endo la bilancia DE &longs;empre &longs;o&longs;ten­tata nell'i&longs;te&longs;&longs;o punto C? Ma affine che l'inganno loro re&longs;ti più chiaro.

Sia la mede&longs;ima bilancia AB, il cui mezo C. dapoi tutta la FG &longs;ia la trutina, laquale &longs;tia immobile, & &longs;o&longs;tenga la bilancia AB nel punto C. & moua&longs;i la bilancia in DE. & per­cioche la trutina è &longs;opra, & &longs;otto la bilancia, quale ango lo &longs;arà cagione della grauezza, e&longs;&longs;endo &longs;o&longs;tenuta la bi­lancia DE &longs;empre nel punto mede&longs;imo? Diranno for­&longs;e &longs;e la trutina &longs;arà &longs;o&longs;tenu­ta dalla po&longs;&longs;anza po&longs;ta in F, allhora CG &longs;arà tan­to quanto la méta, & l'an­golo DCG &longs;arà della grauezza cagione. Ma &longs;e

egli &longs;arà &longs;ostenuto in G, allhora FCE &longs;arà cagione della grauezza, & la CF &longs;arà tanto quanto la méta. della qual co&longs;a niuna cagione pare poter&longs;i addurre, &longs;e non imaginata; peroche la méta (che dicono) non pare hauere à modo veruno niente di virtù che tiri dalla parte dell'angolo maggiore alcuna volta, & alcuna dalla parte del minore. Ma &longs;ia &longs;o&longs;tenuta la trutina da due po&longs;&longs;anze in F cioè, & in G, ilche &longs;i puote fare per nece&longs;&longs;ità, come &longs;e la po&longs;&longs;anza posta in F fo&longs;&longs;e tanto debile, che per &longs;e &longs;te&longs;&longs;a pote&longs;&longs;e &longs;o&longs;tentare &longs;olamente la metà del pe&longs;o & &longs;ia la po&longs;&longs;anza posta in G eguale alla po&longs;&longs;anza po&longs;ta in F, & ambedue in&longs;ieme co' pe&longs;i &longs;o&longs;tenga­no la bilancia. all'hora quale angolo &longs;arà cagione della grauezza? non gia FCE, peroche la trutina è in CF, & è &longs;o&longs;tentata in F: ne meno il DCG, e&longs;&longs;endo la trutina in CG, & parimente &longs;o&longs;tentata in G. Non &longs;aranno dunque gli angoli della grauezza cagione. Co&longs;i ne anche la bilancia DE da que&longs;to &longs;ito per que&longs;ta cagione &longs;i mouerà. Ma que&longs;ta loro &longs;entenza pare e&longs;&longs;ere confermata da e&longs;&longs;i in due modi. Primieramente
dicono Ari&longs;totele nelle que&longs;tioni mecaniche hauere propo&longs;to que&longs;te due que&longs;tioni &longs;olamente, & le &longs;ue dimo&longs;trationi e&longs;&longs;ere fondate &longs;i nel maggiore, & nel minore angolo, & &longs;i nella giacitura della trutina della bilancia.
Affermano dapoi que&longs;to iste&longs;&longs;o in&longs;egnare la e&longs;perientia ancora, cioè, che la bilancia DE, &longs;tando la &longs;ua trutina in CF, ritorna in AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte. & quando la trutina &longs;tà in CG, mouer&longs;i in FG. Mane Ari&longs;totele, ne la e&longs;perienza fauo­ri&longs;cono que&longs;ta loro opinione, anzi più to&longs;to le &longs;ono contrarij. Peroche in quan­to appartiene alla e&longs;perienza &longs;i ingannano, e&longs;&longs;endo manife&longs;to ciò per e&longs;perienza accadere, all'hor che il centro ancora della bilancia &longs;arà collocato ò &longs;opra, ò &longs;ot­to della bilancia, ma non già auenire que&longs;to stando la trutina ò &longs;opra &longs;olamente, è &longs;otto.

il Cardano.

Imperoche &longs;e la bilancia A B haue&longs;&longs;e il centro C &longs;opra la bilancia, & fo&longs;­&longs;e la trutina CD &longs;otto la bilancia, & &longs;i moue&longs;­&longs;e la bilancia in EF, allhora EF di nouo ri­tornerà in AB. egual­mente di&longs;tante dall'o­rizonte. &longs;imilmente &longs;e la bilancia haue&longs;&longs;e il cen­tro C &longs;otto la bilancia, & fo&longs;&longs;e la trutina CD &longs;opra la bilancia, et &longs;i moue&longs;&longs;e la bilancia in EF, egli è manife&longs;to, che la bilancia &longs;i mouerà in giu dalla parte di F, &longs;tan­do la trutina &longs;opra la bi­lancia. & in qual &longs;i vo­glia altro &longs;ito che &longs;ia la trutina, auerrà &longs;empre il mede&longs;imo. Adunque non è la trutina, ma il centro della bilancia cagione di cotali diuer&longs;i effetti.

Per la terza di questo.

Egli è pero d'auertire in que&longs;ta parte che con di&longs;&longs;icultà &longs;i puote lauora re vna bilancia materiale, che in vno punto &longs;olamente &longs;ia &longs;o&longs;tenuta, &longs;i come con la mente la imagi­niamo, & habbia le braccia dal centro co&longs;i eguali non &longs;olamente in lunghezza, ma in larghezza, & in profundità, ò gro&longs;&longs;ezza, che tutte le parti di quà, & di là pe&longs;i­no a punto egualmente. percio che la materia di&longs;&longs;icili&longs;&longs;imamente pati&longs;ce cotale giu­&longs;ta mi&longs;ura. Per laqual co&longs;a &longs;e con&longs;idereremo il centro e&longs;&longs;ere in e&longs;&longs;a bilancia, non bi­&longs;ogna ricorrere al &longs;en&longs;o, concio&longs;ia, che le co&longs;e artificiate non &longs;i po&longs;&longs;ano ridurre a quel &longs;ommo grado di perfettione. Ma nelle altre co&longs;e la e&longs;perienza veramente potrà in&longs;egnare le co&longs;e che appaiono percioche quantunque il centro della bilancia &longs;empre &longs;ia vn punto, nondimeno quando egli &longs;arà &longs;opra la bilancia, poco importa, &longs;e ben la bilancia non &longs;ara &longs;o&longs;tenuta in quel punto co&longs;i puntalmente però che per e&longs;&longs;ere &longs;empre &longs;opra la bilancia auerrà &longs;empre il mede&longs;imo. Con &longs;imile modo, quando egli anco è &longs;otto la bi­lancia, ilche tuttauia non accade stando il centro in e&longs;&longs;a bilancia, per che &longs;e egli non &longs;arà &longs;o&longs;tenuto &longs;empre in quel mezo accuratamente, &longs;ara differenza, e&longs;&longs;endo co&longs;a faci li&longs;&longs;ima, che quel centro, muti il proprio &longs;ito, mentre &longs;i moue la bilancia.

Ma che Ari&longs;totele habbia propo&longs;to due que&longs;tioni &longs;olamente, cioè perche la trutina &longs;tando &longs;opra, &longs;e la bilancia non &longs;arà egualmente di&longs;tante dall'ori­zonte in equilibrio, cioè egualmente di&longs;tante dal orizonte ritorna, ma &longs;e la trutina &longs;ara po&longs;ta &longs;otto non ritorna, ma di piu &longs;i moue &longs;econdo la parte ba&longs;&longs;a: egli è verò per certo. Ma non già per que&longs;to le dimo&longs;trationi &longs;ue &longs;ono fondate nell'angolo maggiore, ò minore, & nella giacitura della trutina, come e&longs;&longs;i dicono: per cio­che in questo non com­prendono la mente del filo&longs;ofo, che a&longs;&longs;egna la ragione de gli effetti diuer&longs;i de'mouimenti della bilancia. peroche tanto è lon­tano, che il filo&longs;ofo attribui&longs;ca que&longs;ti diuer&longs;i effet

ti à gli angoli, che piu to&longs;to dica e&longs;&longs;ere cagione l'ecce&longs;&longs;o, & quel &longs;opra più della grandezza che è dal perpendicolo dell'uno delle braccia della bilancia hor dall'una parte, hora dall'altra.

Come stando la trutina &longs;opra in CF, il perpendicolo &longs;arà FCG, il quale &longs;em­pre inchina, &longs;econdo lui, ver&longs;o il centro del mondo, il quale anco diuide la bilancia mo&longs;&longs;a in DE in parti di&longs;uguali: & la parte maggiore è ver&longs;o il D, & quel che è piu, inchina in giu. Adunque dalla parte di D la bilancia &longs;i mouerà in giu fin che ri­torni in AB. Ma &longs;e la trutina &longs;arà in CG di &longs;otto, &longs;arà GCF il perpendico­lo, ilquale diuiderà parimente la bilancia DE in parte di&longs;uguali, & la parte maggiore &longs;arà ver&longs;o E; Per laqual co&longs;a la bilancia &longs;i mouerà in giu dalla parte di & accioche que&longs;to &longs;ia dirittamente compre&longs;o, &longs;appia&longs;i, che quando la trutina è &longs;o­pra la bilancia, &longs;i ha da intendere, che anche il centro della bilancia &longs;ia &longs;opra la bi­lancia, & &longs;e di &longs;otto, anche il centro deue &longs;tare di &longs;otto, come piu a ba&longs;&longs;o manife&longs;te­ra&longs;&longs;i. Altramente la dimo&longs;tratione di Ari&longs;totele non conchiuderebbe nulla, pero che stando il centro in e&longs;&longs;a bilancia, come in C moua&longs;i la bilancia in qual &longs;i voglia modo, il perpendicolo FG non diuiderà giamai la bilancia &longs;e non nel punto C, et in parti eguali. Onde la &longs;entenza di Ari&longs;totele non &longs;olamente non gli fauori&longs;ce, ma gli fa anche grandi&longs;sima mente contra. il che non &longs;olamente è chiaro dalla &longs;econda & terza propo&longs;itione di que&longs;to libro, ma anco percioche &longs;tando il centro &longs;opra la bilancia, il pe&longs;o alzato acqui&longs;ta grauezza maggiore per cau&longs;a del &longs;ito. Dalla qual co&longs;a accade il ritorno della bilancia ad eguale di&longs;tanza dall'ori­zonte. Ma per lo con­trario auiene quando il centro è &longs;otto la bilan­cia. Le quali co&longs;e tutte &longs;i dimo&longs;treranno in que­&longs;ta maniera, pre&longs;uppo­nendo le co&longs;e, che di &longs;o­

pra furono dechiarate, cioè il pe&longs;o &longs;ar&longs;i più graue da quel loco dal quale &longs;cende piu dirittamente, & da quello che egli &longs;ale piu dirittamente far&longs;i parimente piu graue.

Sia la bilancia AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui centro C &longs;ia &longs;opra la bilancia, & &longs;ia il perpendicolo CD: & &longs;iano i centri della grauezza di pe&longs;i eguali po&longs;ti in AB: & la bilancia &longs;ia mo&longs;&longs;a in EF. Dico, che il pe&longs;o posto in E ha grauezza maggiore, che il pe&longs;o posto in F. & per­ciò la bilancia EF e&longs;&longs;e­re per ritornare in A B. &longs;ia allungata prima la linea CD fin'al centro del mondo, che &longs;ia S. Dapoi &longs;ia­no congiunte le linee AC, CB, EC, CF, HS; & dai punti EF &longs;iano ti­rate le linee EKGFL egualmente di&longs;tanti da HS. Per­cioche dunque la di&longs;ce&longs;a naturale diritta di tutta la grandezza, cioè della bilancia EF co&longs;i di&longs;po&longs;ta in&longs;ieme co'pe&longs;i è &longs;econdo la gra­uezza del centro H per la diritta linea HS; &longs;arà parimente la di&longs;ce&longs;a de'pe&longs;i me&longs;&longs;i in EF co&longs;i di&longs;po&longs;ti &longs;econdo le linee diritte EK FL egualmente distanti da HS, &longs;i come di &longs;opra habbiamo dimo&longs;trato. La di&longs;ce&longs;a dunque, & la &longs;ali­ta de i pe&longs;i po&longs;ti in EF &longs;i dirà più, & meno obliqua &longs;econdo la vicinanza, ò lontananza diputata &longs;econdo le linee EK FL. & per­cioche li due lati AD DC &longs;ono eguali a i due lati BD

DC; & gli angoli al D &longs;ono retti, &longs;arà il lato AC eguale al lato CB. & e&longs;­&longs;endo il punto C immobile; mentre, che i punti AB &longs;i moueranno, de &longs;criueran­no la circonferenza di vno cerchio, il cui mezo diametro &longs;arà AC. Per laqual co&longs;a co'l centro C &longs;ia de&longs;critto il cerchio AE BF, i punti AB EF &longs;aranno nel la circonferenza del cerchio. ma e&longs;&longs;endo EF eguale ad AB, &longs;arà la circonfe­renza EAF eguale alla circonferenza AFB. Onde tolta via la comune AF&longs;arà la circonferenza EA eguale alla circonferenza FB. Hor percioche l'ango­lo mi&longs;to CEA è eguale al mi&longs;to CFB, & HFB è maggiore di CFB, & l'angolo HEA è minore di CEA; &longs;arà l'angolo HFB maggiore dell'angolo HEA. Da quali &longs;e &longs;aranno leuati via gli angoli HFG HEK eguali, &longs;arà l'angolo GFB maggiore dell'angolo KEA. Adunque la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in E &longs;arà meno obliqua della &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in F. & quantunque il pe&longs;o po&longs;to in E de&longs;cendendo, & il pe&longs;o po&longs;to in F &longs;alendo &longs;i mouino per eguali circonferenze, nondimeno percioche il pe&longs;o po&longs;to in E da que&longs;to luogo di&longs;cende piu dirittamente di quel che il pe&longs;o F a&longs;cende:pero la naturale po&longs;&longs;anza del pe&longs;o po&longs;to in E &longs;upererà la re&longs;i&longs;tenza della violentia del pe&longs;o F. Onde grauezza maggiore hauerà il pe&longs;o posto in E, che il pe&longs;o po&longs;to in F. Adunque il pe&longs;o po&longs;to in E &longs;i mouerà in giù & il pe&longs;o po&longs;to in F in sù, fin che la bilancia EF ritorni in AB, che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 4. del primo.

Per la 28. del terzo.

Per la 29. del primo.

La ragione di que&longs;to effetto po&longs;ta da Ari&longs;totele qui &longs;i puote vedere manife&longs;ta. Percio­che &longs;ia il punto N doue le linee CS EF &longs;i tagliano in&longs;ieme. & percioche HE è eguale ad HF; &longs;arà NE maggiore di NF. adunque la linea CS, che no­ma perpendicolo, diuiderà la bilancia EF in parti di&longs;uguali. concio&longs;ia dunque, che la parte della bilancia NE &longs;ia maggiore della NF, & quel che è di più bi&longs;o­gni, che &longs;ia portato in giù, la bilancia EF dalla parte di E &longs;i mouerà in giu finche ritorni in AB.

Ragione de Aristotele.

Oltre à cio da quelle co&longs;e, che fin hora &longs;ono &longs;tate dette, &longs;i puote affermare, la bilancia EF da quel &longs;ito mo­uer&longs;i piu velocemente in AB; d'onde la linea EF allungata a dirittura per­uenga nel centro del mon­do. come &longs;ia EFS vna linea diritta. & percioche CD CK &longs;ono tra loro eguali. &longs;e dunque col cen­tro C, & con lo &longs;patio CD &longs;i de&longs;criuerà il cerchio DHM, &longs;aranno i punti DH nella circonferenza del cerchio. Ma perche la CH è à piombo di EF, toccherà la EHS il cer­chio DHM nel punto H. il pe&longs;o dunque po&longs;to in H, (&longs;i come di &longs;opra habbiamo prouato) &longs;arà piu

graue che in verun altro &longs;ito del cerchio DHM. Adunque la grandezza fatta de' pe&longs;i EF, & della bilancia EF, il cui centro della grauezza sta in H, in cote&longs;to &longs;ito grauerà più, che in qual &longs;i voglia altro &longs;ito del cerchio &longs;i troui il punto H. Da que&longs;to &longs;ito adunque &longs;i mouera piu velocemente che da qualunque altro. & &longs;e lo H &longs;arà piu da pre&longs;&longs;o al D manco grauerà, & me­no &longs;i mouerà da quel &longs;ito; peroche &longs;empreè piu torta la &longs;ce&longs;a, & meno diritta. La bilancia dunque EF &longs;i mouerà più velocemen­te da que&longs;to &longs;ito, che da altro &longs;ito, & &longs;e piu dapre&longs;&longs;o acco&longs;teraßi ad AB, d'indi &longs;i mouerà meno poi quanto piu da lunge &longs;arà di&longs;tante il punto H dal punto C &longs;i mouerà più velocemente, il che non &longs;olo da Ari&longs;totele nel principio delle que&longs;tioni mecaniche, & dai detti di &longs;opra è manife&longs;to, ma ancora da quel le co&longs;e, che di &longs;otto nella &longs;e&longs;ta propo&longs;itione &longs;iamo per dire, apparerà chiaro. La bilancia dunque EF quanto più &longs;arà lontana dal &longs;uo centro, &longs;i mouerà anche piu velocemente.

Sia poi la bilancia AB, il cui centro C stia &longs;otto la bilancia, & &longs;iano in AB pe&longs;i eguali, & &longs;ia mo&longs;&longs;a la bilancia in EF. Dico che il pe&longs;o ha grauezza maggio­re in F, che in E. & perciò la bilancia EF e&longs;&longs;ere per mouer&longs;i in giù dalla parte di F. &longs;ia allungata la linea DC dall'una parte, & dall'altra fin nel centro del mondo S, & fin ad O, & &longs;ia tirata la linea HS, alla quale dai punti EF &longs;iano tirate le linee GEK FL egualmente di&longs;tanti, & &longs;iano congiunte le CE CF: & dal centro C con lo &longs;patio CE de&longs;criua&longs;i il cerchio AEO B &longs;i dimo&longs;trerà &longs;imilmente i punti AB EF e&longs;&longs;e­re nella circonferenza del cerchio, & che la di&longs;ce&longs;a della bilancia EF in&longs;ie­me co'pe&longs;i &longs;i fà diritta &longs;e condo la linea HS: & de i pe&longs;i po&longs;ti in EF &longs;e­condo le linee GK FL egualmente di&longs;tanti da HS. Et percioche l'angolo CFP è eguale all'angolo CEO &longs;arà l'ango­lo HFP maggiore del­l'angolo HEO. ma l'angolo HFL è eguale al­l'angolo HEG. Da quali &longs;e &longs;aranno leuati via gli angoli HFP HEO,

&longs;arà l'angolo LFP minore dell' angolo GEO. Per laqual co&longs;a la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in F &longs;arà piu diritta della a&longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in E. Adunque la po&longs;&longs;anza naturale del pe&longs;o po&longs;to in F &longs;upererà la re&longs;i&longs;tenza della violentia del pe&longs;o po&longs;to in E. & percio hauerà maggior grauezza il pe&longs;o di F, che il pe&longs;o di E. Adunque il pe&longs;o di F &longs;i mouerà in giù, & il pe&longs;o di E &longs;i mouerà in sù.

Per la 29. del primo.

La ragione di Ari&longs;totele parimente qui è chiara. Percioche &longs;ia il punto N doue le linee CO EF &longs;i tagliano in&longs;ieme. &longs;arà la NF maggiore della NE. & perche il perpendicolo CO, &longs;e­condo lui, diuide in parti di&longs;uguali la bilancia, & la parte maggiore è ver&longs;o F, cioè NF; la bilan­cia EF &longs;i mouerà in giù dalla parte di F, concio &longs;ia che quel che è di piu venga portato à ba&longs;&longs;o.

Ragione di Aristotele.

Similmente dalle co&longs;e dette caueremo, che quanto piu la bilancia EF tenente il centro &longs;otto la bilancia, &longs;arà lontana dal &longs;ito AB &longs;i mouerà piu velocemente, percioche il centro della grauezza H, quanto piu è di&longs;tante dal punto D, tanto piu velocemente il pe&longs;o compo&longs;to de' pe&longs;i EF, & della bilancia EF &longs;i mouerà, finche l'angolo CHS diuenga retto. & dauantaggio &longs;i mouerà anche piu velocemente quanto la bilancia &longs;arà piu lontana dal cen­tro C.

Oltre à ciò ne piace dalle &longs;ue ragioni, & fal&longs;e pre&longs;uppo&longs;te manife&longs;tare, & produrre gli effetti, & i moti già dichiarati della bilancia, affine che appaia quanta &longs;ia la efficacia della ve­rità, come quella, che dalle co&longs;e fal&longs;e ancora &longs;i sforza di ri&longs;plendere.

Pongan&longs;i le co&longs;e iste&longs;&longs;e, cioè &longs;ia il cerchio AE BF, & la bilancia AB, il cui cen­tro C &longs;ia &longs;opra la bilancia, moua&longs;i in EF. Dico che il pe&longs;o po&longs;to in E hà iui grauezza maggiore, che il pe&longs;o po&longs;to in F; & che la bilancia EF ritornerà in AB &longs;iano tirate dai punti EF le linee EL FM à piombo di AB, le quali &longs;aran­no tra loro egualmente di&longs;tanti, & &longs;ia il punto N doue la AB, & la EF &longs;i tagliano fra loro. Percioche dunque l'angolo FNM è eguale all'angolo ENL, & l'angolo FMN retto è eguale ad ELN retto, & il re&longs;tante NFM al re&longs;tante NEL è etiandio egua­le; &longs;arà il triangolo NLE &longs;imile al triangolo NMF. Si come dunque è la NE ver&longs;o la EL, co&longs;i NF ad FM; & permutan­do, &longs;i come EN ad NF, co&longs;i EL ad FM. Ma e&longs;&longs;endo HE eguale ad HF, &longs;arà EN mag­gior di NF. Per laqual co&longs;a anco EL &longs;arà mag

giore di FM. & percioche mentre il pe&longs;o po&longs;to in E de&longs;cende per la circonferen­za EA, il pe&longs;o po&longs;to in F &longs;ale per la circonferenza FB eguale alla circonferen­za EA, & la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in E piglia (come e&longs;&longs;i dicono) di diretto EL: & la &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in F piglia di diretto FM, meno di diretto verrà a pi­gliare la &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in F, che la di&longs;ce&longs;a del pe&longs;o po&longs;to in E. Dunque il pe&longs;o po&longs;to in E haurà grauezza maggiore, che il pe&longs;o po&longs;to in F.

Per la 28. del primo.

Per la 15. del primo.

Per la 29. del primo.

Per la 4. del &longs;esto.

Per la 16. del quinto.

Sia allungata la linea CD dall una parte, & dall'altra in OP, laquale tagli la linea EF nel punto S. & percioche (come dicono) quanto piu è lontano il pe&longs;o dalla linea della direttione OP, tanto &longs;i fa piu graue; però con que&longs;to mezo ancora pro­uera&longs;&longs;i il pe&longs;o po&longs;to in E hauer grauezza maggiore del pe&longs;o po&longs;to in F. Siano dai punti EF tirate le linee EQ FR a piombo di OP. Con &longs;imile ragione mo&longs;trera&longs;&longs;i, che il triangolo QES è &longs;imile al triangolo RFS; & che la linea EQ è maggiore di RF. & co&longs;i il pe&longs;o po&longs;to in E &longs;arà piu lontano dalla linea OP, che il pe&longs;o po&longs;to in F; & per ciò il pe&longs;o po&longs;to in E hauerà grauezza maggiore del pe&longs;o po&longs;to in F. Dallequali co&longs;e appare euidente il ritorno della bilancia EF in AB.

Ma &longs;e il centro della bilancia &longs;arà &longs;otto la bilancia, allhora &longs;i mo&longs;trerà con gli i&longs;te&longs;&longs;i me zi, che il pe&longs;o abba&longs;&longs;ato hauerà grauezza maggiore dall'alzato. &longs;iano tirate da pun­ti EF le linee EL FM a piombo di AB. &longs;imilmente &longs;i prouerà EL e&longs;&longs;ere maggiore di FM; et perciò la &longs;ce&longs;a del pe&longs;o posto in F prenderà meno di dirittura, che la &longs;alita del pe&longs;o po&longs;to in E. On­de la re&longs;i&longs;tenza della vio­lentia del pe&longs;o po&longs;to in E &longs;upererà la naturale incli­natione del pe&longs;o po&longs;to in F. Adunque il pe&longs;o po&longs;to in E &longs;arà piu graue del pe&longs;o posto in F.

Sia allungata etiandio la CD dall'una parte & l'altra

in OP, & &longs;iano tirate dai punti EF le linee EQ FR à piombo dilei. &longs;i pro verà con l'i&longs;te&longs;&longs;o modo in tutto, che la linea EQ è maggiore di FR. & percio il pe&longs;o po&longs;to in E &longs;arà piu lontano dalla linea della dirittura OP, che il pe&longs;o po&longs;to in F. Adunque il pe&longs;o po&longs;to in E haurà grauezza maggiore del pe&longs;o po&longs;to in F. Dalle quali co&longs;e &longs;egue, che la bilancia EF &longs;i moue in giù dalla parte di E.

Si che Aristotele propo&longs;e que&longs;te due que&longs;tioni &longs;olamente, & la&longs;ciò la terza, cioè quando il centro della bilancia &longs;tà nella bilancia i&longs;te&longs;&longs;a. Que&longs;ta però trala&longs;ciò egli, co­me nota, &longs;i come egli &longs;ole trala&longs;ciare le co&longs;e molto note. Imperoche à chi puote far dubbio, che &longs;e il pe&longs;o &longs;arà &longs;o&longs;tentato nel centro della grauezza &longs;ua, che non i&longs;tia fermo? Ma potrebbe for&longs;e alcuno riprendere quelle co&longs;e che per &longs;ua &longs;ententia hab­biamo propo&longs;to, affermando noi non hauere prodotto in mezo tutta la intera &longs;entenza &longs;ua. Imperoche proponendo egli nella &longs;econda parte della que&longs;tione &longs;econda. “Perche la bilancia e&longs;&longs;endo posta la trutina di &longs;otto, quando, portato il pe&longs;o in giu, alcuno lo rimoue, non a&longs;cende, ma rimane?” non afferma perciò la bilancia mouer&longs;i in giù, ma rimanere, il che pare &longs;imilmente hauere nella vltima conclu&longs;ione raccolto. Ma que&longs;to non &longs;olamente non ci fa contra, ma &longs;e egli è ben' inte&longs;o grandi&longs;&longs;imamen­te aiuta.

Percioche &longs;ia la bilancia AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui centro E &longs;ia &longs;otto la bilancia. & perche Ari&longs;totele con&longs;idera la bilancia come ella è in fatto, però egli è nece&longs;&longs;ario collocare la trutina, ouero qualche altra co&longs;a &longs;otto il centro E, co­me EF, che in ogni modo &longs;arà trutina, per modo, che &longs;o&longs;tenga il centro E. & &longs;ia ECD il perpendicolo. & accioche la bilancia AB &longs;i moua da que&longs;to &longs;ito, dice Ari&longs;totele, ponga&longs;i il pe&longs;o in B, ilquale e&longs;&longs;endo graue mouerà la bilancia dalla par­te B in giù, come in G, talche per l'impedimento non potrà egli piu mouer&longs;i in giu, ma non dice gia Ari&longs;totele, che &longs;i moua la bilancia in giu dalla parte di B fin tanto che parerà, da poi &longs;i la&longs;ci, come noi di cemmo: ma ordina che &longs;ia posto il pe&longs;o in B, il quale di &longs;ua natura &longs;i mouera &longs;empre in giù finche la bilancia &longs;i appog­gi alla trutina, ouerò a qualche altra co&longs;a. & quando il B &longs;a­rà nel G, la bilan­cia &longs;arà in GH, nel qual &longs;ite leuato via il pe&longs;o, rimarrà: per e&longs;&longs;ere la maggior parte della bilancia dal perpendicolo uer&longs;o il

G, che è DG, che DH. ne piu mouera&longs;&longs;i in giu, imperoche la bilancia &longs;tarà &longs;opra la trutina, ouero qualche altra co&longs;a, che &longs;o&longs;tenga il centro della bilancia. peroche &longs;e a cote&longs;ta non &longs;i appoggia&longs;&longs;e, verrebbe la bilancia à mouer&longs;i, &longs;econdo la &longs;ua opinione, in giù dalla parte di G, concio&longs;ia, che quello che è di piu, cioè DG debba e&longs;&longs;ere per nece&longs;&longs;ità in giu portato.

Ma potrebbe dauantagio dire alcuno, &longs;e in B &longs;arà collocato vn pe&longs;o picciolo, &longs;i mo­uerà ben la bilancia in giu, ma non gia fin al G; nel qual &longs;ito, &longs;econdo Aristo­tele, leuato via il pe&longs;o, deue remanere. ilche è manife&longs;to per la e&longs;perientia, inchi­nando&longs;i la bilancia più, & meno, quando in vna e&longs;tremita della bilancia &longs;olamente vi è po&longs;to il pe&longs;o, che &longs;ia ò maggiore, ò minore. ilche è veri&longs;&longs;imo allhora che il centro è collocato &longs;opra la bilancia, ma non già &longs;otto, ne in e&longs;&longs;a bilancia, come per gratia di e&longs;empio.

Sia la bilancia AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui centro C &longs;ia &longs;opra la bilancia, & il perpendicolo CD a piombo dell' ori­zonte, il quale da la par­te D &longs;ia allungato in H. Hor percioche con&longs;iderata la grauezza della bi­lancia, &longs;arà il punto D il centro della grauezza della bilancia. &longs;e dunque vn piccolo pe&longs;o &longs;arà po­&longs;to nel B, il cui centro della grauezza &longs;ia nel punto B; gia piu non &longs;arà il centro della grauezza D della magnitudine compo&longs;ta della bilancia

AB, & del pe&longs;o po&longs;to in B, ma &longs;arà nella linea DB, come in K: per modo che DE ad EB &longs;ia come il pe&longs;o po&longs;to in B alla grauezza della bilancia AB. congiunga&longs;i la CE. & percioche il punto C è immobile, mentre la bilancia &longs;i moue, il punto E de&longs;criuerà la circonferenza del cerchio EFG, il cui mezo dia­metro è CE, & il centro C. Ma perche CD &longs;tà a piombo dell' orizonte, la linea CE non &longs;arà gia ella à piombo dell' orizonte. Per laqual co&longs;a la grandez­za composta di AB, & del pe&longs;o po&longs;to in B non rimarrà in questo &longs;ito; ma &longs;i mouerà in giu &longs;econdo il centro E della &longs;ua grauezza per la circonferenza EFG, finche CE diuenti a piombo dell' orizonte, cioè finche la CE peruenga in CDF. & allhora la bilancia AB &longs;arà mo&longs;&longs;a in KL, nel qual &longs;ito la bilancia rimarrà in&longs;ieme co'l pe&longs;o, ne d'auantaggio &longs;i mouerà in giù. che &longs;e in B &longs;arà po&longs;to vn pe&longs;o piu graue, il centro'della grauezza di tutta la magnitudine &longs;arà piu dappre&longs;&longs;o al B, come in M. & allhora la bilancia &longs;i mouerà in giu, finche la congiunta linea CM peruenga nella linea CDH. Dal por&longs;i dunque pe&longs;o maggiore ò minore in B, la bilancia &longs;i inchinerà piu ò meno. Da che &longs;egue che il pe&longs;o B de&longs;criuerà &longs;empre vna circonferenza minore della quarta parte d'un cerchio, per e&longs;&longs;ere l'angolo FCE &longs;empre acuto:ne il punto B peruenirà gia mai fin alla linea CH, percioche &longs;empre il centro della grauezza del pe&longs;o, & dalla bilancia in&longs;ieme &longs;arà fra BD. tuttauia quanto &longs;arà il pe&longs;o po&longs;to in B piu graue, de&longs;criuerà anche circonferenza maggiore, ve­nendo&longs;i per que&longs;to il punto B ad acco&longs;tare piu alla linea CH.

Per la 6. del primo. di. Arch. delle co&longs;e egualmente pesanti.

Per la 1. di questo.

Mi habbia la bilancia AB il centro C nella i&longs;te&longs;&longs;a bilancia, & nel &longs;uo mezo, &longs;arà il C centro ancora della grauezza della bilancia, dal quale &longs;ia tirata la li­nea FCG a piombo di e&longs;&longs;a AB, & dell' orizonte. Ponga&longs;i dapoi in B qual pe&longs;o &longs;i voglia; &longs;arà il centro di tutta la grauezza, come in E; &longs;i fattamente che la CE ver&longs;o EB &longs;ia come il pe&longs;o po&longs;to in B alla grauezza della bilancia. & percioche la CE non è a piombo dell' orizonte, la bilancia AB, & il pe&longs;o po&longs;to in B non rimaranno in que­&longs;to &longs;ito gia mai; ma &longs;i mo­ueranno in giu dalla par­te di B, fin che CE &longs;i faccia à piombo dell' ori­zonte; cioè fin che la bilan­cia AB peruenga in FG. Onde è chiaro, che cia&longs;cun pe&longs;o po&longs;to in B, &longs;empre de&longs;criue la quarta parte d'un cerchio.

Ma &longs;ia il centro C &longs;otto la bilancia AB, & &longs;ia DCE il perpendicolo. &longs;imilmente per e&longs;&longs;er il pe&longs;o posto in B, &longs;arà il centro della grauezza della magnitudine compe &longs;ta di AB bilancia, & del pe&longs;o po&longs;to in B nella linea DB, come in F; &longs;i fattamente che come DF &longs;i ha ver&longs;o FB co&longs;i &longs;ia il pe&longs;o po&longs;to in B al pe&longs;o della bilan­cia. congiunga&longs;i CF. & percioche CD è a piombo dell' orizonte, non &longs;arà gia la linea CF a piombo dell'orizonte. Per laqual co&longs;a la magnitudine compo&longs;ta della bilancia AB, & del pe&longs;o po&longs;to in B in que&longs;to &longs;ito non &longs;tarà mai ferma; ma in giu mouera&longs;&longs;i &longs;e alcuna co&longs;a non la impedi&longs;ce, finche CF peruenga in DCE, nel qual &longs;ito la bi­lancia rimarrà in&longs;ieme co'l

pe&longs;o. & il punto B &longs;arà come in G, & il punto A in H, & la bilancia GH non hauerà piu il centro di &longs;otto, ma &longs;opra e&longs;&longs;a. La qual co&longs;a hauerà &longs;empre, quan­tunque &longs;i ponga vn minimo pe&longs;o in B. Auanti che dunque il B peruenga al G, egli è nece&longs;&longs;ario, che la bilancia incontri la trutina po&longs;ta di &longs;otto, ouero alcuna altra co&longs;a, che &longs;o&longs;tenti il centro C, & iui s'appoggi. Da que&longs;to &longs;egue, che il pe&longs;o B &longs;empre &longs;i moue oltre la linea DK, & de&longs;criue &longs;empre vna circonferenza maggiore della quarta parte del cerchio, per e&longs;&longs;ere l'angolo FCE &longs;empre ottu&longs;o, & l'angolo DCF &longs;empre acuto. & quanto il pe&longs;o posto in B &longs;arà piu leggiero, de&longs;criuerà tut­tauia anche circonferenza maggiore. Imperoche quanto il pe&longs;o po&longs;to in G &longs;arà piu leggiero, tanto piu il pe&longs;o detto posto in G &longs;i alzerà; & la bilancia GA s'acco&longs;te rà piu pre&longs;&longs;o al &longs;ito egualmente di&longs;tante dall'orizonte. Le quali co&longs;e tutte re&longs;tano manife&longs;te da quelle che di &longs;opra &longs;ono &longs;tate dette.

Prouate que&longs;te co&longs;e, egli è chiaro, che il centro della bilan­cia è cagione de gli effetti diuer&longs;i della bilancia. & &longs;i vede ancora che tutte le pro­po&longs;itioni di Archimede delle co&longs;e, che egualmente pe&longs;ano, a ciò pertinenti, in ogni &longs;ito &longs;ono vere. cioè, &longs;ia pur la bilancia di&longs;tante egualmente dall'orizonte, ouero non, pur che il centro della bilancia &longs;ia collocato in e&longs;&longs;a bilancia, &longs;i come egli la con&longs;ide­

rà. & quantunque la bilancia habbia di&longs;uguali le braccia, auerrà tuttauia l'i&longs;te&longs;&longs;o, & &longs;i dimo&longs;trerà co'l modo i&longs;te&longs;&longs;o in tutto, che il centro della bilancia collocato in diuer&longs;e maniere produrrà vari effetti.

Percioche &longs;ia la bilancia AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte; & &longs;iano in AB pe&longs;i di&longs;uguali, il centro della grauezza dei quali &longs;ia in C, & &longs;ia attacata la bilancia nell'i&longs;te&longs;&longs;o punto di C, & moua&longs;i la bilancia in DE; egliè manife&longs;to, che la bilancia rimarrà non &longs;olamente in DE, ma in qual &longs;i voglia altre &longs;ito.

Per la diffinitione del centro della grauezza.

Ma &longs;ia il centro della bilancia AB &longs;opra il C in F; & &longs;ia FC à piombo di AB, & dell' orizonte: & &longs;e la bilancia &longs;arà mo&longs;&longs;a in DE, la linea CF &longs;arà mo&longs;&longs;a in FG, la quale per non e&longs;&longs;ere à piombo dell' orizonte, la bilancia DE &longs;imouerà in giu dalla parte di D, finche FG ritorni in FC: & allhora la bilancia DE &longs;arà in AB, nel qual &longs;ito an che rimarrà.

Per la prima di questo.

Che &longs;e il centro F della bi­lancia &longs;arà &longs;otto la bilan­cia, & &longs;ia la bilancia mo&longs;&longs;a in DE primieramente egli è manife&longs;to che la bilancia rimarrà in AB: & in DE mouera&longs;&longs;i in giu dalla parte di E, per non e&longs;&longs;ere la linea FG à piombo dell' orizonte.

Per la prima di questo.

Da que&longs;te co&longs;e co&longs;i terminate, &longs;e la bilancia fo&longs;&longs;e inarcata, ouero, che le braccia della bi lancia forma&longs;&longs;ero vn'angolo, & &longs;i di&longs;poneße il centro diuer&longs;amente, (ben che que­&longs;ta propriamente non &longs;arebbe bilancia,) potremo nondimeno anche dimo&longs;trare di lei varij effetti. Come &longs;ia la bilancia ACB, il cui centro, d'intorno al quale &longs;i volge, &longs;i a C, & tiratala linea AB, &longs;ia l'arco ouerò l'angolo ACB &longs;opra la linea AB; & pongan&longs;i in AB i centri della grauezza de'pe&longs;i, i quali rimangano in que&longs;to &longs;ito. Moua&longs;i poi la bilancia da que&longs;to &longs;ito, come in ECF. Dico che la bilancia ECF ritornerà in ACB. Ritroui&longs;i il centro della grauezza di tutta la magnitudine D, & &longs;ia congiunta la CD. Hor percioche i pe&longs;i AB stanno fermi, la li­nea CD &longs;arà à piombo dell'orizon­

te. Quando dunque la bilancia &longs;arà in ECF, la linea CD &longs;arà come in CG; la quale per non e&longs;&longs;ere à piombo dell' orizonte, la bilancia ECF ritornerà in ACB. ilche parimente auenirà, &longs;e il centro C &longs;arà me&longs;&longs;o &longs;opra la bilancia, co­me in H.

Per la prima di questo.

Che &longs;e l'arco, ouero l'angolo ACB &longs;arà &longs;otto la linea AB, nel modo i&longs;te&longs;&longs;o mo&longs;treremo, la bi­lancia ECF, il cui centro &longs;ia ouero in C, ouero in H, do­uer&longs;i mouere in giu dalla parte di F.

Et &longs;e l'angolo ACB fo&longs;&longs;e &longs;oprala linea AB, & il centro della bilancia H; & & la linea CH &longs;o&longs;tene&longs;&longs;e la bilancia; & &longs;i moue&longs;&longs;e la bilancia in EKF; la bilancia EKF ritornerà in ACB.

Ma &longs;e il centro della bilancia &longs;arà D, moua&longs;i in qualunque modo la bilancia, doue &longs;i la&longs;cierà, lui rimarrà.

Se poi il punto H &longs;arà &longs;otto la linea AB; allhora la bilancia EKF &longs;i mouerà in giu dalla parte di F.

Et con &longs;imile ragione in tutto, &longs;e l'ango­lo ACB &longs;arà &longs;otto la linea AB; & &longs;ia il centro della bilancia H, & &longs;ia la bilancia &longs;o&longs;tentata dalla linea CH; &longs;e la bilancia moueraßi da que&longs;to &longs;ito, &longs;i mouerà in giu dalla parte del pe&longs;o più ba&longs;&longs;o. & &longs;e il centro della bilan­cia &longs;ia D; rimarrà doue &longs;i la&longs;cierà. che &longs;e &longs;arà in K; & da cotale &longs;ito &longs;i mouerà, ritornerà ad ogni modo nello i&longs;te&longs;&longs;o. Le quali co&longs;e tutte da quel che in

principio dicemmo &longs;ono manifeste. &longs;imilmente &longs;e il centro della bilancia &longs;arà po&longs;to in vno della bracia della bilancia, ò dentro, ò fuori, ò in qual &longs;i voglia modo troueremo le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e.

In que&longs;to luogo egli conuiene auertire, il che poteua&longs;i anco fare di &longs;opra à carte cinque pre&longs;&longs;o la fine della &longs;econda faccia oue è &longs;critto. oltre à ciò po&longs;siamo con&longs;ide­rare le co&longs;e che &longs;eguono in tutto al modo i&longs;te&longs;&longs;o. Che que&longs;to autore è &longs;tato il primo à con&longs;iderare e&longs;qui&longs;itamente la bilancia, & intenderla dalla natura, & dal vero e&longs;&longs;er &longs;uo; pero che egli il primiero di tutti ha manife&longs;tato chiaramente il modo del trattarla, & in&longs;egnarla, con proporre tre centri da e&longs;&longs;ere con&longs;iderati in que&longs;ta &longs;peculatione; l'uno è il centro del mondo, l'altro il centro della bilancia, & il terzo il centro della grauezza della bilancia, che in e&longs;&longs;a era vn na&longs;co&longs;to &longs;ecreto di natura. Senza que&longs;ti tre centri, chiara co&longs;a è, che non &longs;i puote venire in cono&longs;ci­mento perfetto, ne dimo&longs;trare gli effetti varij della bilancia, i quali na&longs;cono dalla diuer&longs;ità del collo care il centro della bilancia in tre modi, cioè quando il centro della bilancia &longs;ta &longs;opra il centro della grauezza di e&longs;&longs;a, ouero quando è di &longs;otto, o pure allhorche il centro della bilancia è nell'i&longs;te&longs;&longs;o centro della gra­uezza di lei; &longs;i come l'autore in&longs;egna nella tre precedenti dimo&longs;trationi, cioè nella &longs;econda, nella terza, & nella quarta propo&longs;itione: peroche nella &longs;econda mo­&longs;tra quando la bilancia torna &longs;empre egualmente di&longs;tante dall'orizonte; nella ter­za quando non &longs;olo non ritorna, ma &longs;i moue al contrario; nella quarta, che e&longs;&longs;endo la bilancia &longs;o&longs;tenuta nel &longs;uo centro dalla grauezza &longs;ta ferma douunque ella &longs;i troua, il quale effetto in particolare non è piu &longs;tato tocco, ne veduto, ne manco da niuno manife&longs;tato, fuor che dall'autore: anzi fin hora tenuto fal&longs;o, & impo&longs;&longs;ibile da tutti gli predece&longs;&longs;ori no&longs;tri; i quali con molte ragioni &longs;i &longs;ono sforzati di prouare non &longs;olamente il contrario, ma hanno etiandio affermato per certo, che la &longs;períenza mo&longs;tra la bilancia non dimorare gia mai ferma &longs;e non quando ella è egualmente di&longs;tante dall'orizonte. Laqual co&longs;a in tutto è contraria alla ragione prima, per e&longs;&longs;ere la dimo&longs;tratione della &longs;udetta quarta propo&longs;itione tanto chiara, facile, & vera, che non sò, come &longs;e le po&longs;&longs;a in modo alcuno contradire: & poi al­l'e&longs;perienza concio&longs;ia che l'autore habbia fatto &longs;ottili&longs;simamente lauorare bilan­cie giu&longs;te a po&longs;ta per chiarire que&longs;ta verità, vna delle quali hò io veduto in mano dell'Illu&longs;tre Signor Gio. Vicenzo Pinello, mandatagli dall'i&longs;te&longs;&longs;o autore, la quale per e&longs;&longs;ere &longs;o&longs;tenuta nel centro della &longs;u a grauezza, mo&longs;&longs;a douunque &longs;i vuole, & poi la&longs;ciata, &longs;tà ferma in ogni &longs;ito doue ella vien la&longs;ciata. Ben è egli vero, che non bi &longs;ogna, nel fare cote&longs;ta e&longs;perienza, correr co&longs;i a furia, per e&longs;&longs;ere co&longs;a oltra modo difficile, come dice l'áutore di &longs;opra, il fare vna bilancia, la quale &longs;ia nel mezo delle &longs;ue braccia &longs;o&longs;tenuta à punto, & nel centro proprio della &longs;ua grauezza. Per la qual co&longs;a egli è da por mente, che qual'hora alcuno &longs;i mette&longs;&longs;e à far cotale e&longs;perienza, & non gli riu&longs;ci&longs;&longs;e, non perciò &longs;i deue &longs;gomentare, anzi dica pur fermamente di non hauer bene operato, & vn'altra volta ritorni à farne la &longs;perienza, fin che la bilancia &longs;ia giu&longs;ta, & eguale, & venga &longs;o&longs;tenuta à punto nel centro della grauez­za &longs;ua. Et benche da altri &longs;iano &longs;tate tocche le altre due predette &longs;peculationi, cioè quando la bilancia ritorna &longs;empre egualmente di&longs;tante dall'orizonte, & quando &longs;i moue al contrario di que&longs;to &longs;ito, tuttauia non &longs;i è piu inte&longs;a que&longs;ta verità gia mai apertamente, &longs;e non dall'autore no&longs;tro; peroche gli altri non hanno co'l &longs;en­no penetrato in ciò tanto auanti, che habbiano &longs;aputo con di&longs;tintione con&longs;iderare il centro della bilancia in tre modi, come hò narrato. Che &longs;e hanno pur diui&longs;ato qualche co&longs;a d'intorno à que&longs;to, l'hanno fatto confu&longs;i&longs;simamente, & con male dimo&longs;trationi, dalle quali non &longs;i puote cauare ferma conchiu&longs;ione, & chiara. Questi predece&longs;&longs;ori no&longs;tri han&longs;i da intendere i moderni &longs;crittori di cotal materia alle­gati in diuer&longs;i luoghi dall'autore, fra quali Giordano, che &longs;cri&longs;&longs;e de'pe&longs;i fù riputa­to a&longs;&longs;ai, & &longs;in qui è &longs;tato &longs;eguito molto nella &longs;ua dottrina. Hor l'autore no&longs;tro hà procurato con ogni &longs;tudi o di caminare per la via de' buoni Greci antichi, mae&longs;tri delle &longs;cienze, & in particolare di Archimede Siracu&longs;ano prencipe delle ma thematiche famo &longs;i&longs;simo, & di Pappo Ale&longs;&longs;andrino, come egli dice, leggendogli nella &longs;ua propria fauella, non tradotti; peroche il piu delle volte &longs;ono co&longs;i maltrattati, che à gran pena &longs;i puote trarre da loro frutto veruno. & affine che que&longs;ta noua opinion &longs;ua, dimo&longs;trata à pieno nella predetta quarta propo&longs;itione, re&longs;ti to­talmente chiara, non &longs;i è gia contentato egli d'hauerla dimo&longs;trata con viue ragioni, & certe &longs;olamente, ma come buon filo&longs;ofo, procedente con via di reale dottrina, & di fondata &longs;cienza, (imitando Ari&longs;totele, ilqual ne' principii de &longs;uoi libri, inue­&longs;tigando dottrina migliore, hà datto contra la opinione de gli antichi, &longs;oluendo le ragioni addotte da loro:) hà ben voluto, e&longs;&longs;endo la verità vna &longs;ola, proporre le opinioni de'&longs;uoi predece&longs;&longs;ori, & e&longs;aminare le loro ragioni, lequali &longs;embrano prouar il contrario, & &longs;oluerle, la loro fallenza dimo&longs;trando co'l pre&longs;ente di&longs;cor&longs;o, che incomincia, come è detto à carte cinque nella faccia &longs;econda, & qui fini&longs;ce il quale di&longs;cor&longs;o &longs;eruirà in que&longs;ta materia, &longs;econdo che &longs;i &longs;uole dire per la opinione de gli antichi. Et percio che egli contiene co&longs;e di alti&longs;sima &longs;peculatione, ma&longs;simamen­te d'intorno al con&longs;iderare doue &longs;ia piu graue vn pe&longs;o &longs;olo po&longs;to in vno braccio della bilancia, bi&longs;ogna in ogni modo, per bene intendere, leggerlo, & i&longs;tudiarlo con accurati&longs;sima diligenza. Ma per certo l'autore è &longs;tato non &longs;olo il primo à trouare que&longs;ta verità, ma il primo etiandio a dimo&longs;trare in qual maniera &longs;ia me&longs;tieri con&longs;iderare, & &longs;peculare interamente la pre&longs;ente materia tutta. Con laquale &longs;pecu­latione proua di nouo, & confermai varij effetti, & accidenti della bilancia già di mo&longs;trati nelle pro&longs;sime tre propo&longs;itioni; mo&longs;trando ancora, come &longs;in qui cote&longs;te co&longs;e &longs;iano da gli altri &longs;tate malamente con&longs;iderate, & con principij fal&longs;i. Anzi di piu per confermatione della verità &longs;oggiunge, che que&longs;ti tali non hanno &longs;aputo fa re le loro demo&longs;trationi; poi che co'l proprio modo di &longs;peculare v&longs;ato da loro, & con le loro mede&longs;ime ragioni proua la &longs;ua intentione, & &longs;entenza e&longs;&longs;ere veri&longs;sima, appoggiando &longs;i alla dottrina di Ari&longs;totele &longs;empre, & facendo toccar con ma­no, che egli con e&longs;&longs;o lui è d'accordo nelle que&longs;tioni mechaniche. In trattando que&longs;ta materia moue l'autore alcuni dubbi molto belli, & curio&longs;i, & poi chiara­mente gli &longs;olue. In vltimo, accioche non manca&longs;&longs;e nulla al compiuto cono&longs;cimento di que&longs;to &longs;oggetto, egli hà trattato delle bilancie, che hanno le braccia di&longs;uguali, & di quelle che hanno le dette braccia piegate, & torte. In &longs;omma &longs;i può ben affermare, che in cote&longs;to di&longs;cor&longs;o &longs;iano compre&longs;e tutte quelle co&longs;e, che po&longs;&longs;ono e&longs;&longs;ere diui&longs;ate d'intorno à materia tale. Le quali &longs;ono di belli&longs;sima & &longs;ottili&longs;sima &longs;peculatione, & à chiunque &longs;i diletta, & attende à que&longs;ti no bili &longs;tudi nece&longs;&longs;arij&longs;sime, & da e&longs;&longs;ere, come hò ricordato piu d'una volta, con molta attentione vedute, & con&longs;iderate.

Doue &longs;i legge que&longs;to vocabolo latino Equilibrio, intenda&longs;i per eguale contrape&longs;o, cioè che pe&longs;a tanto da vna banda, quanto dallaltra in pari lance, ò libra, ò bilancia che &longs;i dica.

Librar congiu&longs;te lance.

Di&longs;&longs;e il Petrarcha.

PROPOSITIONE V.

Due pe&longs;i attaccati nella bilancia, &longs;e la bilancia &longs;arà tra loro in modo diui&longs;a, chele parti ri&longs;pondano &longs;cambieuolmente à pe&longs;i; pe&longs;eranno tanto ne'punti doue &longs;ono attaccati, quanto &longs;el'uno & l'altro fo&longs;&longs;e pendente dal punto della diui&longs;ione.

Siala bilancia AB, il cui centro &longs;ia C, & &longs;iano due pe&longs;i EF pendenti da' punti BG: & diuida&longs;i BG in H, &longs;i fattamente, che BH ad HG habbia la pro­portione iste&longs;&longs;a, che hà il pe&longs;o E al pe&longs;o F. Dico i pe&longs;i EF pe&longs;are tanto in BG, quanto &longs;e amendue pende&longs;&longs;ero dal punto H. faccia&longs;i AC eguale à CH. & &longs;i come AC à CG, co&longs;i faccia&longs;i il pe&longs;o E al pe&longs;o L. &longs;imilmente come AC à CB, co&longs;i faccia&longs;i il pe&longs;o F al pe&longs;o M. & &longs;iano attaccati i pe&longs;i LM al punto A. Hor percioche AC è eguale à CH, &longs;arà BC ver&longs;o CH come il pe&longs;o M al pe&longs;o F. & percioche piu grande è BC di CH; &longs;arà anche il pe&longs;o M maggiore di F. Diuida&longs;i dunque il pe&longs;o M in due parti QR, & &longs;iala parte di Q eguale ad F; &longs;arà BC à CH, come RQ à Q: & diuidendo, come BH ad HC, co&longs;i R à Q. Dapoi conuertendo, come CH ad HB, co&longs;i Q ad R. Oltre à ciò perche CH è eguale à CA, &longs;arà HC ver&longs;o CG come il pe&longs;o E al pe&longs;o L: maè piu grande HC di CG, però &longs;arà anche il pe&longs;o E maggio­re del pe&longs;o L. Onde diuida&longs;i il pe&longs;o E in due parti NO, &longs;i fattamente, che la parte di O &longs;ia eguale ad L, &longs;arà HC à CG come tutto lo NO ad O; & diuidendo, come HG à GC, co&longs;i N ad O. & conuertendo, come CG à GH, co&longs;i O ad N. & di nuouo componendo, come CH ad HG, co&longs;i ON ad N. & come GH ad HB, co&longs;i è F ad ON. Per la qual co&longs;a per la proportione vguale come CH ad HB, co&longs;i F ad N. Ma come CH ad HB co&longs;i è Q ad R: &longs;arà dunque Q ad R come F ad N. & permutando co­me Q ad F; co&longs;i R ad N. ma la parte di Q è egual ad e&longs;&longs;o F. per la qual co&longs;a la parte di R ancora &longs;arà eguale ad N. e&longs;&longs;endo dunque il pe&longs;o L eguale ad O, & il pe&longs;o F eguale parimente al Q, & la parte di R eguale ad N; &longs;a ranno i pe&longs;i LM eguali a i pe&longs;i E\1 & percioche &longs;i come AC ver&longs;o CG, co&longs;i è il pe&longs;o E al pe&longs;o L, i pe&longs;i EL pe&longs;eranno egualmente. &longs;imilmente percioche &longs;i come AC è ver&longs;o CB, co&longs;i il pe&longs;o F è al pe&longs;o M, i pe&longs;i FM pe&longs;eranno anco egualmente. i pe&longs;i dunque LM pe&longs;eranno egualmente co'pe&longs;i EF attacca­ti in BG. & e&longs;&longs;endo la di&longs;tanza CA eguale alla di&longs;tanza CH, &longs;e dunque ambidue i pe&longs;i EF &longs;aranno attaccati in H, i pe&longs;i LM pe&longs;eranno egualmente co' pe&longs;i EF attaccati in H. Ma LM pe&longs;a ancora egualmente con EF in GB. Adunque &longs;aranno egualmente graui i pe&longs;i EF in GB attaccati come in H. pe&longs;eranno dunque tanto in BG quanto attaccati in H.

Per la 17. del quinto.

Per la con­&longs;eguenza della 4. del 5.

Per la 17. del quinto.

Per la con&longs;eguenza della 4. del 5.

Per la 18. del quinto.

Per la 16. del quinto.

Per la 11. del quinto.

Per la 16. del quinto.

Perla 6. del primo di Archimede delle co&longs;e che pe&longs;ano egualmente.

Per lo 2. con. della not di questo.

Per la 3. con. della not ai questo.

Ma &longs;iano i pe&longs;i EF attaccati in CB; & &longs;ia C il centro della bilancia, & diuida&longs;i CB in H, per modo che CH ver&longs;o HB &longs;ia come il pe&longs;o F al pe&longs;o E. Dico che i pe&longs;i EF pe&longs;eranno tanto in CB quanto nel punto H. faccia&longs;i CA eguale à CH, & come CA ver&longs;o CB; co&longs;i faccia&longs;i il pe&longs;o F ver&longs;o vn'altro, che &longs;ia D, ilquale &longs;i appicchi in A. Hor percioche CH è eguale à CA, &longs;arà CH ver&longs;o CB, come F à D; & ben è maggiore CB di CH, però il pe&longs;o D &longs;a rà maggiore del pe&longs;o F. Diuida&longs;i dunque il D in due parti GK, & &longs;ia il G eguale allo F; &longs;arà BC à CH come GK ver&longs;o il G; et diuidendo, come BH ad HC, co&longs;i K ver&longs;o G; & conuertendo come CH ad HB, co&longs;i G ver­&longs;o K. & come CH ad HB, co&longs;i è F ver&longs;o E. Dunque come G ver­&longs;o K co&longs;i è F ad E. & permutando come G ad F, co&longs;i K ad E. & per­che GF &longs;ono eguali, &longs;aranno anche KE tra loro eguali. Concio&longs;ia dunque che la parte G &longs;ia eguale ad F, & il K ad e&longs;&longs;o E; &longs;arà tutto il GK eguale a i pe&longs;i EF. & percioche AC è eguale à CH; &longs;e dunque i pe&longs;i EF &longs;aranno pendenti dal punto H, il pe&longs;o D pe&longs;erà egualmente co'pe&longs;i EF attaccati in H. Ma pe&longs;a anche egualmente con eßi in CB, cioè F in B, & E in C; per e&longs;&longs;ere come AC ver&longs;o CB, co&longs;i F ver&longs;o D: percioche il pe&longs;o E pendente da C centro della bilancia non è cau&longs;a, che la bilancia &longs;i moua in alcuna delle due parti. tanto &longs;aranno dunque graui i pe&longs;i EF in CB, quanto in H appicati.

Per la 17. del quinto.

Per la con&longs;eguenza della 4. del 5.

Per la 11. del quinto.

Per la 16. del quinto.

Sia finalmente la bilancia AB, & da i punti AB &longs;iano pendenti i pe&longs;i EF, & &longs;ia il centro della bilancia C fra i pe&longs;i, & diuida&longs;i la AB in D, talche AD ver&longs;o DB &longs;ia come il pe&longs;o F al pe&longs;o E. Dico che i pe&longs;i EF pe&longs;ano tanto in AB, quanto &longs;e ambidue fo&longs;&longs;ero pendenti dal punto D. faccia&longs;i CG eguale à CD; & co­me DC à CA, co&longs;i faccia&longs;i il pe&longs;o E ad vn'altro pe&longs;o H, ilquale &longs;ia attaccato in D. & come GC ver&longs;o CB, co&longs;i faccia&longs;i il pe&longs;o F ad vn'altro che &longs;ia K, & attachi&longs;i K in G. Hor percioche, come il BC è ver&longs;o il CG, cioè ver&longs;o il CD, co&longs;i il pe&longs;o K ad F; &longs;arà il K maggiore del pe&longs;o F. Per laqual co&longs;a diuida&longs;i il pe&longs;o K in L & in MN, & faccia&longs;i la parte L eguale ad F, &longs;arà come BC à CD, co&longs;i tutto LMN ad L; & diuidendo, come BD ver&longs;o DC, co&longs;i la parte MN alla parte L. come dunque BD à DC, co&longs;i la parte MN ad F. & come AD à DB, co&longs;i F ad E. Per laqual co&longs;a per la egual proportione, come AD ver&longs;o DC, co&longs;i MN ad E. & e&longs;&longs;endo AD maggiore di CD; &longs;arà anco la parte MN maggiore del pe&longs;o E. Diuida&longs;i dunque MN in due parti MN, & &longs;ia M eguale ad E. &longs;arà come AD à DC, co&longs;i NM ad M; & diuidendo, come AC ver&longs;o CD, co&longs;i N ad M: & conuertendo, come DC ver&longs;o CA, co&longs;i M ad N. & come DC à CA, co&longs;i è E ad H; &longs;arà dunque M ad N come E ad H; & permutando come M ad E, co&longs;i N ad H. Ma per e&longs;&longs;ere ME tra loro eguali, &longs;aran­no anche NH tra &longs;e eguali. & percioche co&longs;i è AC ver&longs;o CD, come H ad E: i pe&longs;i HE pe&longs;eranno egualmente. &longs;imilmente percioche, come è GC à CB, co&longs;i F ver&longs;o K, i pe&longs;i etiandio KF pe&longs;eranno egualmente. Adunque i pe&longs;i EK HF nella bilancia AB, il cui centro &longs;ia C pe&longs;eranno egualmente. & concio&longs;ia che GC &longs;ia eguale à CD, & il pe&longs;o H &longs;ia pur eguale ad N, i pe&longs;i NH pe&longs;eranno egualmente. & percioche tutti pe&longs;ano egualmente, tolti via i pe&longs;i HN, iquali pe&longs;ano egualmente, i re&longs;tanti pe&longs;eranno egualmente; cioè i pe&longs;i EF, & il pe&longs;o LM pendenti dal centro C della bilancia. Ma percioche la parte L è egua­le ad F, & la parte M è eguale alla parte E; &longs;arà tutto LM eguale a i pe&longs;i FE in&longs;ieme pre&longs;i. & e&longs;&longs;endo CG eguale à CD, &longs;e i pe&longs;i EF &longs;aranno &longs;atti pendenti dal punto D, i pe&longs;i EF appiccati in D pe&longs;eranno egualmente con LM. Per laqual co&longs;a LM pe&longs;erà egualmente tanto ad eßi EF appiccati in AB, quan­to &longs;e fo&longs;&longs;ero appiccati nel punto D; peroche la bilancia rimane &longs;empre nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo. Adunque i pe&longs;i EF pe&longs;eranno tanto in AB quanto nel punto D; che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 17. del quinto.

Per la 23. del quinto.

Per la 17. del quinto.

Corollario della quarta del quinto.

11. del 5.

16. del 5.

Per la 6. del 1. di Archimede delle co&longs;a che egualmente pe&longs;ano.

Per la 2. notitia commune di que&longs;to.

Per la commune notitia di questo.

Per la commune notitia di questo.

Ma que&longs;te co&longs;e tutte dimo&longs;treremo in altra maniera, & piu Mechanicamente.

Sia la bilancia AB, & il &longs;uo centro C, & &longs;iano, come nel primo ca&longs;o, due pe&longs;i EF pendenti da i punti BG: & &longs;ia GH ad HB, come il pe&longs;o F al pe&longs;o E. Di­co che i pe&longs;i EF pe&longs;eranno tanto in GB, quanto &longs;e ambidue &longs;te&longs;&longs;ero pendenti dal punto H della diui&longs;ione. Siano di&longs;po&longs;te le mede&longs;ime co&longs;e, cioè faccia&longs;i AC eguale à CH, & dal punto A &longs;iano appe&longs;i due pe&longs;i LM, per modo che il pe&longs;o E ver&longs;o il pe&longs;o L &longs;ia come CA ver&longs;o CG; & come CB ver&longs;o CA, co &longs;i &longs;ia il pe&longs;o M ver&longs;o il pe&longs;o F. I pe&longs;i LM pe&longs;eranno egualmente (come è detto di &longs;opra) con li pe&longs;i EF appiccati in GB. Siano dapoi due punti NO li centri della grauezza de' pe&longs;i EF; & &longs;iano congiunte le linee GN BO; & &longs;ia con­giunta NO, laquale &longs;arà come bilancia; laquale etiandio faccia sì, che le linee GN BO &longs;iano tra loro egualmente di&longs;tanti; & dal punto H &longs;ia tirata la HP à piombo dell'orizonte, laquale tagli NO nel P, & &longs;ia egualmente distante dal le linee GN BO. In fine congiunga&longs;i GO, laquale tagli HP in R. Percioche dunque HR è egualmente di&longs;tante dal lato BO del triangolo GBO; &longs;arà la GH ver&longs;ola HB, come GR ad RO. Similmente percioche RP è egual

mente di&longs;tante dal lato GN del triangolo OGN; &longs;arà GR ver&longs;o RO, come NP ver&longs;o PO. Per laqual co&longs;a come GH ad HB, così è NP ver&longs;o PO. Ma come GH ver&longs;o HB, così è il pe&longs;o F ver&longs;o il pe&longs;o E; adunque come NP ver&longs;o PO, così è il pe&longs;o F ver&longs;o il pe&longs;o E. Dunque il punto P &longs;arà il centro della grauezza della magnitudine compo&longs;ta di ambidue i pe&longs;i EF. Intendan&longs;i dunque i pe&longs;i EF e&longs;&longs;ere in maniera dalla bilancia NO annodati, come &longs;e fo&longs;&longs;e vna grandezza &longs;ola d'ambidue i pe&longs;i EF composta, & attacata ne i punti BG, &longs;e dun­que &longs;aranno &longs;ciolti i legamenti BG de' pe&longs;i; rimarranno i pe&longs;i EF pendenti da HP; &longs;i come prima &longs;tauane in GB. Ma i pe&longs;i EF appiccati in GB pe&longs;ano egualmente co'i pe&longs;i LM, & i pe&longs;i EF pendenti dal punto H hanno l'i&longs;te&longs;&longs;a di&longs;po&longs;itione ver&longs;o la bilancia AB, come &longs;e fo&longs;&longs;ero appiccati in BG: Gli isteßi pe&longs;i dunque EF pendenti da H pe&longs;aranno egualmente con gli i&longs;te&longs;&longs;i pe&longs;i LM. Sono dunque egual­mente graui i pe&longs;i EF attaccati in GB, come attaccati in H.

Per la &longs;econda del &longs;esta.

Per la 11. del quinto

Per la &longs;esta del primo di Archimede delle co&longs;e, che pe&longs;ano egualmente.

Per la 1. di questo.

Similmente dimo&longs;treraßi, che i pe&longs;i EF pe&longs;eranno tanto appiccati in qual &longs;i voglia al­tro punto, quanto &longs;e l'vno, & l'altro fo&longs;&longs;e pendente dal punto H della diui&longs;ione. Percioche &longs;e, come di &longs;opra habbiamo in&longs;egnato, &longs;i troueranno i pe&longs;i nella bilancia, à i quali i pe&longs;i EF pe&longs;ino egualmente; gli isteßi pe&longs;i EF pendenti da H pe&longs;eranno egualmente co' mede&longs;imi pe&longs;i trouati; per e&longs;&longs;ere il punto P &longs;empre il centro della grauezza loro; & la HP a piombo dell'orizonte.

PROPOSITIONE VI.

I pe&longs;i eguali nella bilancia appiccati hanno in grauezza quella pro­portione, che hanno le di&longs;tanze, dalle quali &longs;tanno pendenti.

Sia la bilancia BAC &longs;o&longs;pe&longs;a nel punto A; & &longs;ia &longs;egata la AC, come pare in D. & da i punti DC &longs;iano attaccati EF pe&longs;i eguali. Dico, che il pe&longs;o F ver&longs;o il pe&longs;o E ba quella proportione in grauezza, che hala di&longs;tanza CA alla di&longs;tanza AD. Per­cioche faccia&longs;i come CA ver&longs;o AD, co&longs;i il pe&longs;o F ver&longs;o vn'altro pe&longs;o, che &longs;ia G. Dico prima i pe&longs;i GF pendenti dal punto C tanto pe&longs;are, quanto i pe&longs;i EF pendenti da punti DC. Tagli&longs;i DC in due parti eguali in H, & da H &longs;iano fatti pendere ambidue i pe&longs;i EF. Pe&longs;eranno EF pre&longs;i in&longs;ieme in quel &longs;ito tanto quanto pe&longs;ano in DC. Ponga&longs;i BA eguale ad AH, & &longs;itagli BA in K, di modo, che KA &longs;ia eguale ad AD: dapoi dal punto B &longs;ia &longs;atto pendente il pe&longs;o L, ilquale &longs;ia il doppio del pe&longs;o F, cioè eguale a i due pe&longs;i EF, ilqual pe&longs;erà egualmente co'pe&longs;i EF appiccati in H, cioè appiccati in DC. Percioche dunque, come CA ver&longs;o AD, così è il pe&longs;o F ver&longs;o il pe&longs;o G, &longs;arà componendo come CA AD ver&longs;o AD, cioè come CK ver&longs;o AD, così i pe&longs;i FG ver&longs;o il pe&longs;o G. Ma per e&longs;&longs;er come CA ver&longs;o AD, così il pe&longs;o F al pe&longs;o G, &longs;arà anche conuertendo, come DA ver&longs;o AC, così il pe&longs;o G ver&longs;o il pe&longs;o F; & i doppi dei con&longs;eguenti, come DA alla doppia di e&longs;&longs;a AC, così il pe&longs;o G al doppio del pe&longs;o F, cioè al pe&longs;o L. Per laqual co&longs;a come CK ver&longs;o DA, così i pe&longs;i FG al pe&longs;o G; & come AD alla doppia di AC, così il pe&longs;o G al pe&longs;o L, adunque dalla egual proportione come CK alla doppia di AC, così i pe&longs;i FG al pe&longs;o L. Ma come CK alla doppia di AC, così la metà di CK, cioè AH, cioè BA ver&longs;o AC. Adunque come BA ver&longs;o AC, così FG pe&longs;i al pe&longs;o L. Per laqual co&longs;a per la &longs;e&longs;ta dell'i&longs;te&longs;&longs;o primo di Archimede, i due pe&longs;i FG pendenti dal punto C pe&longs;eranno tanto, quanto il pe&longs;o L pendente dal B; cioè quanto i pe&longs;i EF pen­denti da i punti DC. Così percioche i pe&longs;i FG tanto pe&longs;ano quanto i pe&longs;i EF, leuato via il pe&longs;o comune F, tanto pe&longs;erà il pe&longs;o G appicato in C, quanto il pe

&longs;o E in D. Et perciò il pe&longs;o F al pe&longs;o E hà quella proportione in grauezza, che hà al pe&longs;o G. Ma il pe&longs;o F ver&longs;o il G era come CA ver&longs;o AD. adunque il pe&longs;o F ancora ver&longs;o il pe&longs;o E hauerà quella proportione in grauezza, che ha CA ver&longs;o AD che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 5. di questo.

Per la 18. del quinto.

Per la con&longs;eguenza della quarta del quinto.

Per la 22. del quinto.

Per la &longs;ettima del 5.

Ma &longs;e nella bilancia BAC &longs;i faranno pendenti da i punti BC, i pe&longs;i EF eguali; Dico &longs;imilmente, che il pe&longs;o E ver&longs;o il pe&longs;o F hà quella proportione in grauezza, che ha la di&longs;tanza CA alla di&longs;tanza AB. faccia&longs;i AD eguale ad AB, & dal punto D &longs;ia fatto pendente il pe&longs;o G eguale al pe&longs;o F, ilquale etian­

dio &longs;arà eguale ad E. Et percioche AD è eguale ad AB; i pe&longs;i FG pe&longs;eranno egualmente, & hauranno la mede&longs;ima grauezza. Et concio&longs;ia, che la grauezza del pe&longs;o E ver&longs;o la grauezza del pe&longs;o G &longs;ia come CA ad AD; &longs;arà la gra­uezza del pe&longs;o E ver&longs;o la grauezza del pe&longs;o F, come CA ad AD, cioè CA ad AB, che parimente era da mo&longs;trare.

Altramente.

Sia la bilancia BAC, col &longs;uo centro A: & ne i punti BC &longs;iano appiccati pe&longs;i eguali GF, & &longs;ia prima il centro A, come &longs;i vuole, fra B, & C. Dico, che il pe&longs;o F ver&longs;o il pe&longs;o G hà quella proportione in grauezza, che ha la di&longs;tanza CA alla di&longs;tanza AB. Faccia&longs;i come BA ver&longs;o AC, co&longs;i il pe&longs;o F ad vn­altro H, ilquale &longs;ia appiccato in B: i pe&longs;i HF pe&longs;eranno egualmente de A. Ma e&longs;&longs;endo i pe&longs;i FG eguali, haurà il pe&longs;o H ver&longs;o il pe&longs;o G la proportione mede&longs;ima, che ha ad F. Come dunque CA ver&longs;o AB, co&longs;i è H ver&longs;o G: & come H ver&longs;o G, co&longs;i è la grauezza di H alla grauezza di G, per e&longs;&longs;ere attaccati nell i&longs;te&longs;&longs;o punto B. Per laqual co&longs;a come CA ad AB, co&longs;i la grauezza del pe&longs;o H alla grauezza del pe&longs;o G. Et concio&longs;ia che la grauezza del pe&longs;o F attacato in G &longs;ia eguale alla grauez­za del pe&longs;o H attaccato in B, &longs;arà la grauezza del pe&longs;o F ver&longs;o la grauezza del pe&longs;o G, come CA ver&longs;o AB, cioè come la di&longs;tan­za alla di&longs;tanza, che bi&longs;ognaua mostrare.

Per la 6. del prime di Archimede delle co&longs;e che pe&longs;ano egualmente.

Per la 7. del quinto.

Ma &longs;e la bilancia BAC fo&longs;&longs;e tagliata, come &longs;i vuole in D, & appicchin&longs;i in DC i pe&longs;i EF eguali. Dico &longs;imilmente co&longs;i e&longs;&longs;ere la grauezza del pe&longs;o F alla gra­uezza del pe&longs;o E, come la di&longs;tanza CA alla di&longs;tanza AD. Faccia&longs;i AB eguale ad AD & &longs;ia appicca­to in B il pe&longs;o G eguale al pe&longs;o E, & al pe&longs;o F. Hor percioche AB è eguale ad A D; i pe&longs;i GE

pe&longs;eranno egualmente. Ma per e&longs;&longs;ere la grauezza del pe&longs;o F ver&longs;o la grauezza del pe&longs;o G, come CA ad AB, & la grauezza del pe&longs;o E &longs;ia eguale alla grauezza del pe&longs;o G; &longs;arà la grauezza del pe&longs;o F ver&longs;o la grauezza del pe&longs;o E, come CA ad AB, cioè CA ad AD, che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

COROLLARIO.

Da que&longs;to è manife&longs;to, che quanto il pe&longs;o è piu di&longs;tante dal centro della bilancia, tanto egli è anco piu graue, & per con&longs;eguente mo­uer&longs;i piu velocemente.

Quinci oltre à ciò &longs;i mo&longs;trerà facilmente anche la ragione della Sta­dera.

Corollario vocabolo Latino co&longs;tumato da tutti gli altri Scrittori Italiani in cotal materia, nè di&longs;piacque à Dante nel 28. cap. del Purgatorio. “Dirotti vn corollario an­co per gratia.” vuol dire, &longs;econdo Varrone nel primo libro della lingua Latina, quella giunta, & quel &longs;opra piu, che &longs;i dà oltre al pagamento, quando &longs;i compera qualche co&longs;a. Al tempo antico allhor che i recitatori di Tragedie, Comedie, & altri Poemi nelle &longs;cene &longs;i portauano bene, & piaceuano à gli vditori, era loro do­nato oltra al prezzo a&longs;&longs;egnato, vn corollario per cia&longs;cuno, cioè vna piccola coro na per douer&longs;ene ornare le tempie per giunta, & &longs;opra piu delle &longs;ue mercedi. Co&longs;i nelle &longs;cienze matematiche v&longs;a&longs;i di aggiungere certe co&longs;e, oltra le propo&longs;itioni, qua&longs;i giunte & con&longs;equenze, le quali na&longs;cono dalle co&longs;e primieramente dimo&longs;tra­te, & &longs;ono loro corri&longs;pondenti, & non &longs;ono però nè propo&longs;itioni, nè problemi, nè lemmi, ma alla &longs;embianza predetta chiaman&longs;i corollarij, molti de i quali han­no congiunta la &longs;ua dimo&longs;tratione.

Hor &longs;ia AB il fusto della Stadera, la cui trutina &longs;ia in C; & &longs;ia il marco della &longs;tadera E. Appicchi&longs;i in A il pe&longs;o D, che pe&longs;i egualmente col marco E appic­cato in F. Appicchi&longs;i parimente vn'altro pe&longs;o G in A, ilqual anco pe&longs;i egual­mente col marco E appiccato in B. Dico, la grauezza del pe&longs;o D ver&longs;o la gra­uezza del G e&longs;&longs;ere co &longs;i, come CF ver&longs;o CB. Hor per­cioche la grauezza del pe&longs;o D è eguale al la grauez­za del pe­&longs;o E at­taccato in F, & la

grauezza del pe&longs;o G è eguale alla grauezza del pe&longs;o E po&longs;to in B; &longs;arà la grauez­za del pe&longs;o D alla grauezza del pe&longs;o E po&longs;to in F, come la grauezza del pe&longs;o G alla grauezza del pe&longs;o E po&longs;to in B; & permutando come la grauezza del pe&longs;o D alla grauezza del pe&longs;o G, co&longs;i la grauezza di E po&longs;to in F alla grauezza di E po&longs;to in B; ma la grauezza del pe&longs;o E in F alla grauezza di E in B po&longs;to è come CF ver&longs;o CB; come dunque la grauezza del pe&longs;o D alla grauezza del pe&longs;o G, co&longs;i è CF ver&longs;o CB. Se dunque la parte del fu&longs;to CB diuidera&longs;&longs;i in parti eguali, po&longs;to &longs;olo il pe&longs;o E & piu da pre&longs;&longs;o, & piu da lontano dal punto C; le grauezze de pe&longs;i, lequali &longs;tanno pendenti dal punto A &longs;aranno tra loro manife&longs;te & note. Co­me&longs;e la di&longs;tanza CB &longs;arà tripla della di&longs;tanza CF, &longs;arà parimente la grauezza di e&longs;&longs;o G tripla della grauezza di D, che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Ragione del la stadera.

In altro modo po&longs;&longs;iamo anco v&longs;are la &longs;tadera, affine che le grauezze de i pe&longs;i &longs;i facciano note.

Sia il fu&longs;to della stadera AB, la cui trutina &longs;ia in C, & &longs;ia il marco della stadera E, ilquale &longs;ia appiccato in A; & &longs;iano i pe&longs;i DG di&longs;uguali, le proportioni delle grauezze de quali cerchia­mo: &longs;ia appiccato il pe&longs;o D in B talche pe&longs;i egual­mente con E. Similmente appicchi&longs;i il pe&longs;o G in F, ilquale pe&longs;i egualmente con l'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o E. Dico D ver&longs;o G co&longs;i e&longs;&longs;ere; come CF ver&longs;o CB. Hor perche i pe&longs;i DE pe&longs;ano egualmen

te, &longs;arà D ad E, come CA à CB. & concio&longs;ia, che anche i pe&longs;i GE pe&longs;i­no egualmente, &longs;arà il pe&longs;o E ver&longs;o il pe&longs;o G, come FC à CA; Per laqual co&longs;a per la proportion eguale il pe&longs;o D al pe&longs;o G, co&longs;i &longs;arà, come CF à CB. che parimente bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la &longs;esta del primo di Archimede delle co&longs;e, che pe&longs;ano egualmente.

Per la 23. del quinto

PROPOSITIONE VII.

PROBLEMA.

Dati quanti &longs;i vogliano pe&longs;i nella bilancia, appiccati in qual luogo &longs;i &longs;ia, ritrouare il centro della bilancia, dal quale &longs;e &longs;arà fatta penden­te la bilancia, i dati pe&longs;i &longs;taranno fermi.

PROBLEMA. Sotto il nome di Propo&longs;itione &longs;i contiene il Problema ancora vo­cabolo greco; ma il Problema ha dauantaggio della Propo&longs;itione in particolare, che ordina, & in&longs;egna ad operare qualche effetto; doue la Propo&longs;itione &longs;uole &longs;ta re nella nuda &longs;peculatione &longs;olamente. Et que&longs;ta è la differenza tra la Propo&longs;itio­ne, & il Problema.

Sia la bilancia AB, & &longs;iano dati quanti &longs;i vogliano pe&longs;i CDEFG prendan&longs;i nel la bilancia, a piacere i punti AHKLB, da quali &longs;ian fatti pendenti i dati pe&longs;i. Bi&longs;ogna ritrouar il centro della bilancia, dal quale &longs;e &longs;i farà l'appiccamento, rimangano i dati pe&longs;i. Diuida&longs;i AH in M, &longs;i che HM ad MA &longs;ia come la grauezza del pe&longs;o C alla grauezza del pe&longs;o D. Dapoi diuida&longs;i anco BL in N, &longs;i che LN ad NB &longs;ia come la grauezza pe&longs;o G alla grauezza del pe&longs;o F. Et di­uida&longs;i MN in O, &longs;i che MO ver&longs;o ON &longs;ia come la grauezza de pe&longs;i FG alla grauezza de'pe&longs;i CD. Et in fine diuida&longs;i KO in P, &longs;i che KP ver&longs;o PO &longs;ia come la grauezza de'pe&longs;i CD FG alla grauezza del pe&longs;o E. Hor percio­che i pe&longs;i CDFG tanto pe&longs;ano in O, quanto CD in M, & FG in N; pe&longs;eranno egualmente i pe&longs;i CD in M, & FG in N, & il pe&longs;o E in K, &longs;e &longs;aranno &longs;o&longs;pe&longs;i nel punto P. Et concio&longs;ia, che i pe&longs;i CD tanto pe&longs;ino in M, quanto in AH, & FG in N quanto in LB; i pe&longs;i CDFG pendenti da' punti AHLB, & il pe&longs;o E da K, &longs;e da P &longs;aranno &longs;o&longs;pe&longs;i, pe&longs;eranno egual­mente, & rimarranno. egli è dunque trouato il P centro della bilancia, dalquale rimangono i pe&longs;i dati. Che bi&longs;ogna operare.

Per la 5. di questo.

COROLLARIO.

Da que&longs;to è chiaro, che &longs;ei centri della grauezza de' pe&longs;i CDEFG fo&longs;&longs;ero ne' punti AHKLB, &longs;arebbe il punto P il centro della grauezza della magnitudine compo&longs;ta di tutti i pe&longs;i CDEFG.

Que&longs;to è manife&longs;to dalla diffinitione del centro della grauezza, concio&longs;ia che i pe&longs;i ri­mangano, &longs;e &longs;ono &longs;o&longs;tenuti dal punto P.

Il fine della Bilancia.

DELLA LEVA.

LEMMA.

Siano quattro grandezze ABCD; & &longs;ia la A maggiore della B, & C maggiore della D. Dico, che A ver&longs;o D hà proportione maggiore di quello che hà B ver&longs;o C.

Hor percioche A ver&longs;o C hà proportion maggio­re, che B ver&longs;o C; & A parimente ver&longs;o D hà proportion maggiore di quel che ha ver&longs;o C: Dunque A ver&longs;o D l'hauerà maggiore, che B ver&longs;o C, Che bi&longs;ognaua mostrare.

Per la 8. del quinto.

PROPOSITIONE I.

La po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o attaccato alla Leua, ha la proportione mede&longs;ima al detto pe&longs;o, che ha la di&longs;tanza della Leua fra il &longs;o&longs;tegno po&longs;ta, & lo attaccamento del pe&longs;o, alla di&longs;tanza, che è dal &longs;o&longs;tegno alla po&longs;&longs;anza.

Sia la leua AB, il cui &longs;oftegno &longs;ia C; & &longs;ia il pe&longs;o D pendente da A con AH, &longs;i che AH &longs;ia &longs;empre à piombo dell'orizonte: & &longs;ia la po&longs;&longs;anza &longs;oftenente il pe­

&longs;o in B. Dico che la po&longs;&longs;anza posta in B ver&longs;o il pe&longs;o D &longs;ta co&longs;i, come la CA ver&longs;o la CB. Faccia&longs;i come la BC alla CA, co&longs;i il pe&longs;o D ad vn'altro pe&longs;o E, talche &longs;e egli in B &longs;arà appiccato, pe&longs;erà egualmente con D, per e&longs;&longs;er il C centro della grauezza di ambidue. Per laqual co&longs;a vna po&longs;&longs;anza eguale ad e&longs;&longs;o E po&longs;ta nel mede&longs;imo lo go pe­&longs;erà e­gual­mente con e&longs;­
&longs;o D, nella leua AB, collocando il &longs;o&longs;tegno &longs;uo in C, cioè impedirà, che il pe­&longs;o D non inchini in giu&longs;o, &longs;i come impedi&longs;ce il pe&longs;o E.
Ma la po&longs;&longs;anza di B al pe&longs;o D hàla mede&longs;ima proportione, che il pe&longs;o E ha all'iste&longs;&longs;o D: adunque la po&longs;&longs;anza di B ver&longs;o il pe&longs;o D &longs;arà come CA ver&longs;o CB; cioè la di&longs;tanza del­la leua dal &longs;ostegno al &longs;o&longs;tenimento del pe&longs;o, alla di&longs;tanza dal &longs;ostegno alla po&longs;&longs;an­za, che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 6. del 1. di Archimede delle co&longs;a che egualmente pe&longs;ano.

Per la 7. del quinto.

Di quì ageuolmente &longs;i puote mo&longs;trare, che quanto il &longs;o&longs;tegno &longs;arà piu vicino al pe&longs;o, tanto minor po&longs;&longs;anza &longs;i ricerca à &longs;o&longs;tenere il detto pe&longs;o.

Poste le co&longs;e mede&longs;ime &longs;ia il &longs;o&longs;tegno in F piu da pre&longs;&longs;o ad A, che C; & faccia&longs;i come BF ad FA, co&longs;i il pe&longs;o D ad vn'altro pe&longs;o G, ilquale &longs;e in B &longs;ia ap­piccato; i pe&longs;i DG dal &longs;o&longs;tegno F pe&longs;eranno egualmente. Hor percioche BF è mag­giore di BC, & CA maggio re di AF; la propor­tione di

BF ver&longs;o FA &longs;arà maggiore, che di BC ver&longs;o CA: & perciò maggiore anco &longs;arà la proportione del pe&longs;o D al pe&longs;o G, che de l'iste&longs;&longs;o D ad E: Dunque il pe&longs;o G &longs;arà minore del pe&longs;o E. & concio&longs;ia che la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in B eguale à G pe&longs;i egualmente con D, auerrà, che minore po&longs;&longs;anza di quella, laquale è eguale al pe&longs;o E &longs;o&longs;tenterà il pe&longs;o D; e&longs;&longs;endo la leua AB, & il &longs;o&longs;tegno &longs;uo doue è F, che &longs;e egli fo&longs;&longs;e doue è C. Similmente anche mo&longs;trera&longs;&longs;i, che quanto piu dapre&longs;&longs;o &longs;a rà il &longs;o&longs;tegno al pe&longs;o D, &longs;empre vi &longs;i ricercherà anco po&longs;&longs;anza minore per &longs;o&longs;tentare il detto pe&longs;o D.

Per la mede&longs;ima &longs;esta.

Per lo Lemma.

Per la 10. del quinto

COROLLARIO.

Onde &longs;i puote raccogliere chiaramente, che e&longs;&longs;endo AF minore di FB, minor po&longs;&longs;anza anco &longs;i ricerca in B per &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o D. & e&longs;&longs;endo eguale, eguale: & maggiore, maggiore.

PROPOSITIONE II.

In altra maniera po&longs;&longs;iamo v&longs;are la Leua.

Sia la leua AB, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia B, & il pe&longs;o C &longs;ia attaccato, come &longs;i vuole, in D fra AB; & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in A che &longs;ostiene il pe&longs;o C. Dico, che &longs;i come BD à BA; co&longs;i è la po&longs;&longs;anza di A' al pe&longs;o C. Appicchi&longs;i in A il pe&longs;o E eguale al C; & come AB ver&longs;o BD, co&longs;i faccia&longs;i il pe&longs;o E ver&longs;o vn'altro pe&longs;o, come F. Et percioche i pe&longs;i CE &longs;ono tra &longs;e eguali, &longs;arà il pe&longs;o C ver&longs;o il pe&longs;o F come AB ver&longs;o BD. Attacchi&longs;i parimente il pe&longs;o F in A. & percioche il pe&longs;o E al pe&longs;o F è come la grauezza del pe&longs;o di E alla grauezza di F; & il pe&longs;o E ad F è come AB à BD; come dunque la grauezza del pe&longs;o E alla

grauezza del pe&longs;o F, co&longs;i è AB ver&longs;o BD. ma come AB à BD, co&longs;i è la grauezza del pe&longs;o E alla grauezza del pe&longs;o C: Per laqual co&longs;a la grauezza del pe&longs;o E alla grauezza del pe&longs;o F co&longs;i &longs;arà, come la grauezza del pe&longs;o E alla gra­uezza del pe&longs;o C. I pe&longs;i dunque CF hanno la mede&longs;ima grauezza: &longs;i che pon­ga&longs;i la po&longs;&longs;anza di A che &longs;o&longs;tenga il pe&longs;o F, &longs;arà la po&longs;&longs;anza di A eguale al pe&longs;o F. & percioche il pe&longs;o E attaccato in A è graue egualmente, come il C appicca­to in D; hauerà la proportione i&longs;te&longs;&longs;a la po&longs;&longs;anza di A ver&longs;o la grauezza del pe&longs;o F appiccato in A, che ha alla grauezza del pe&longs;o C appiccato in D. Ma la po&longs;&longs;anza di A eguale ad F &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o F; dunque la po&longs;&longs;anza di A &longs;o&longs;tenterà anco il pe&longs;o C. Et co&longs;i per e&longs;&longs;ere la po&longs;&longs;anza di A eguale al pe&longs;o F, & il pe&longs;o C ver&longs;o il pe&longs;o F &longs;ia come AB à BD; &longs;arà il pe&longs;o C ver&longs;o la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in A come AB à BD. & conuertendo, come BD à BA, co&longs;i la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in A ver&longs;o il pe&longs;o C. Dunque la po&longs;&longs;anza ver&longs;o il pe&longs;o co&longs;i &longs;arà, come la di&longs;tanza, che è fra il &longs;o&longs;tegno, & l'appiccamento del pe&longs;o alla di&longs;tanza, che è dal &longs;o&longs;tegno alla po&longs;&longs;an­za, che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Nella &longs;esta di questo de la bilancia.

Dalla 11. del quinto.

Per la &longs;esta della bilancia

Per la 29. del quinto.

Per la &longs;ettima del 5.

Per lo Corollario della 4 del quinto.

Altramente.

Sia la leua AB, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia B, & il pe&longs;o E &longs;ia pendente dal punto C, & &longs;ia in A la forza, che &longs;ostiene l pe&longs;o E. Dico, che &longs;i come BC à BA, co&longs;i è

anco la po&longs;&longs;anza di A ver&longs;o il pe&longs;o E. Allunghi&longs;i AB in D, & faccia&longs;i BD eguale à BC; & appicchi&longs;i il pe&longs;o F al punto D, che &longs;ia eguale al pe&longs;o E; & parimente dal punto A &longs;i faccia pendere il punto G in modo, che il pe&longs;o F habbia la proportione i&longs;te&longs;&longs;a ver&longs;o il pe&longs;o G, che ha AB à BD. i pe&longs;i FG verranno à pe&longs;ar egualmente: & concio&longs;ia che CB &longs;ia eguale à BD, anco i pe&longs;i FE eguali pe&longs;eranno egualmente. Ma i pe&longs;i FEG nella bilancia, ouero nella leua DBA appiccati, il cui &longs;o&longs;tegno è B, non pe&longs;eranno egualmente, ma inchineranno à ba&longs;&longs;o dalla parte di A. Per laqual co&longs;a ponga&longs;i in A tanta forza, che i pe&longs;i FEG pe&longs;i­no egualmente, &longs;arà la po&longs;&longs;anza in A eguale al pe&longs;o G; peroche i pe&longs;i FE pe&longs;a­no egualmente, & la forza in A niente altro deue fare, che &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o G, ac­cioche non de&longs;cenda. Et percio che i pe&longs;i FEG, & la po&longs;&longs;anza in A pe&longs;ano egualmente, leuati dunque via i pe&longs;i FG, i quali pe&longs;ano egualmente, i re&longs;tanti pe&longs;eran­no pur egualmente, cioè la po&longs;&longs;anza in A co'l pe&longs;o E, cioè la po&longs;&longs;anza in A &longs;o­sterra il pe&longs;o E, &longs;i che la leua AB rimanga, come era prima. Et per e&longs;&longs;ere la po&longs;&longs;anza in A eguale al pe&longs;o G, & il pe&longs;o E eguale al pe&longs;o F, haurà la po&longs;&longs;anza in A la proportione iste&longs;&longs;a al pe&longs;o E, che hà BD, cioè BC à BA, che bi&longs;ogna ua mo&longs;trare.

COROLLARIO I.

Da que&longs;to etiandio, come prima, puote e&longs;&longs;ere manife&longs;to, che &longs;e il pe&longs;o E &longs;arà po&longs;to piu vicino al &longs;o&longs;tegno B, come in H, minore po&longs;&longs;anza po&longs;ta in A puote &longs;o&longs;tener il detto pe&longs;o.

Percioche minor proportione ha HB à BA, che CB à BA. & quanto piu da vicino il pe&longs;o &longs;arà al &longs;o&longs;tegno, &longs;empre anco &longs;i mo&longs;trerà &longs;imilmente minor po&longs;&longs;anza poter &longs;o&longs;tener il pe&longs;o E.

Per la 8. del quinto.

COROLLARIO II.

Segue etiandio, che la po&longs;&longs;anza in A &longs;empre è minore del pe&longs;o E:

Percioche pigli&longs;i tra A & B qual punto &longs;i voglia, come C, &longs;empre BC &longs;arà minore di BA.

COROLLARIO III.

Da que&longs;to parimente &longs;i puote cauare, che &longs;e due &longs;aranno le po&longs;&longs;anze, l'vna in A, & l'altra in B, & ambedue &longs;o&longs;tentino il pe&longs;o E, la po&longs;­&longs;anza in A ver&longs;o la po&longs;&longs;anza in B è come BC ver&longs;o CA.

Percioche la leua BA fa l'officio di due leue, & AB &longs;ono come due &longs;o&longs;tegni, cioè quando AB è leua, & la forza che &longs;o&longs;tiene è in A, &longs;arà il &longs;uo &longs;o&longs;tegno B. Ma quando BA è leua, & la po&longs;&longs;anza &longs;ta in B, il &longs;o&longs;tegno &longs;arà A, & il pe&longs;o &longs;empre rimane appicca­to in C. Et percio che la po&longs;&longs;anza in A ver&longs;o il pe&longs;o E è come BC à BA, & come il pe&longs;o E alla po&longs;&longs;anza, che è in B, co&longs;i è BA ad AC, &longs;arà per la propor

tion eguale la po&longs;&longs;anza in A alla po&longs;&longs;anza in B come BC à CA, & à que&longs;to modo facilmente ancora potremo cono&longs;cere la proportione, laquale è po&longs;ta de Ari&longs;totele nelle que&longs;tioni Mecaniche alla que&longs;tione 29.

Per la 22. del primo.

COROLLARIO IIII.

E manife&longs;to etiandio, che ambedue le po&longs;&longs;anze in A, & in B pre&longs;e in&longs;ieme, &longs;ono eguali al pe&longs;o E.

Percioche il pe&longs;o E alla po&longs;&longs;anza in A è come BA à BC, & l'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o E ver&longs;o la po&longs;&longs;anza in B è come BA ad AC; Per laqual co&longs;a il pe&longs;o E ver­&longs;o l'vna, & l'altra po&longs;&longs;anza in A, & in B pre&longs;e in&longs;ieme, è come AB ver&longs;o BC, & CA in&longs;ieme, cioè ver&longs;o BA. il pe&longs;o dunque E è eguale ad amen­due le po&longs;&longs;anze pre&longs;e in&longs;ieme.

PROPOSITIONE III.

In altro modo ancora po&longs;&longs;iamo v&longs;are la Leua.

Sia la leua AB, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia B. & &longs;ia il pe&longs;o C appiccato al punto A, & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in D, comunque &longs;i voglia tra AB, &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o C. Di­co che come AB à BD, co&longs;i è la po&longs;&longs;anza in D al pe&longs;o C. Appicchi&longs;i al punto D il pe&longs;o E eguale à C; & come BD à BA, co&longs;i faccia&longs;i il pe&longs;o E ad vn'altro pe&longs;o, come F: & per e&longs;&longs;ere i pe&longs;i CE tra loro eguali, &longs;arà an­co il pe&longs;o C al pe&longs;o F, come BD à BA. Appicchi&longs;i &longs;imilmente il pe&longs;o F in D. & per­che il pe&longs;o E ad F è come la grauezza del pe&longs;o E alla grauez­za del pe&longs;o F; & il pe&longs;o E al

pe&longs;o F è come BD à BA. Come dunque la grauezza del pe&longs;o E alla gra­uezza del pe&longs;o F, co&longs;i è BD à BA. Ma come BD à BA, co&longs;i è la gra­uezza del pe&longs;o E alla grauezza del pe&longs;o C. Per laqual co&longs;a la grauezza del pe&longs;o E alla grauezza del pe&longs;o F ha la proportione mede&longs;ima, che ha alla gra­uezza del pe&longs;o C. i pe&longs;i dunque CF hanno la grauezza mede&longs;ma. Sia dunque la po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o F, che verrà ad e&longs;&longs;ere la detta po&longs;&longs;anza in D eguale al pe&longs;o F. & percioche il pe&longs;o F posto in D è graue egualmente come il pe&longs;o C po&longs;to in A; haurà la po&longs;&longs;anza in D la proportione mede&longs;ima ver&longs;o la grauezza del pe&longs;o F, che ha alla grauezza del pe&longs;o C. Ma la po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o F, dunque la po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;tenterà anco il pe&longs;o C; & il pe&longs;o C alla po&longs;&longs;anza in D &longs;arà co&longs;i come il pe&longs;o C al pe&longs;o F; & C ad F è come BD à BA, &longs;arà dunque il pe&longs;o C alla po&longs;&longs;anza in D, come BD à BA: & conuertendo come AB à BD, co&longs;i la po&longs;&longs;anza in D al pe&longs;o C. La po&longs;&longs;anza dunque al pe&longs;o, è come la di&longs;tanza dal &longs;ostegno allo appiccamento del pe­&longs;o alla distanza dal &longs;o&longs;tegno alla po&longs;&longs;anza. che bi&longs;ognaua mostrare.

Per la 6. di questo della bilancia.

Per la 6. di questo della bilancia.

Per la 9. del quinto.

Per la 7. del quinto.

Altramente.

Sia la leua AB, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia B. & dal punto A &longs;ia fatto pendente il pe&longs;o C, & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o C. Dico, che come AB à BD, co&longs;i è la po&longs;&longs;anza in D al pe&longs;o C. allunghi&longs;ila AB in E, & faccia&longs;i BE egua­le à BA, & al punto E &longs;ia appiccato il pe&longs;o F eguale al pe&longs;o C; & come BD à BE co&longs;i faccia&longs;i il pe&longs;o F ad vn'altro pe&longs;o G, ilquale &longs;ia appiccato al punto D, i pe&longs;i FG pe&longs;eranno egualmente. & percioche AB è eguale à BE, & i pe&longs;i FC &longs;ono eguali, &longs;imilmente i pe&longs;i FC pe&longs;eranno egualmente, ma i pe&longs;i FGC ap­piccati nella leua EBA, il cui &longs;o&longs;tegno è in B non pe&longs;eranno egualmente; ma in­chineranno in giu&longs;o dalla parte di A. Ponga&longs;i dunque in D tanta forza, che i pe&longs;i FGC pe&longs;ino egualmente; &longs;arà la po&longs;&longs;anza in D eguale al pe&longs;o G; peroche

i pe&longs;i FG pe&longs;ano egualmente, & la po&longs;&longs;anza in D niente altro deue fare, che &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o G che non di&longs;cenda. & percioche i pe&longs;i FGC, & la po&longs;&longs;anza in D pe&longs;ano egualmente, leuati via dunque i pe&longs;i FG, i quali pe&longs;ano egualmente, i re&longs;tanti pe&longs;eranno egualmente, cioè la po&longs;&longs;anza in D co'l pe&longs;o C, cioè la po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;terrà il pe&longs;o C, talche la leua AB stia come prima. & per e&longs;&longs;ere la po&longs;&longs;anza in D eguale al pe&longs;o G, & il pe&longs;o C eguale al pe&longs;o, hauerà la po&longs;&longs;anza posta in D la proportione mede&longs;ima al pe&longs;o C, che EB, cioè AB à BD. che bi&longs;ognaua mostrare.

COROLLARIO I.

Da que&longs;to è chiaro ancora, come prima, che &longs;e &longs;arà po&longs;to il pe­&longs;o più vicino al &longs;o&longs;tegno B, come in H, il pe&longs;o douer&longs;i &longs;o­&longs;tenere da forza minore.

Percioche HB ha proportione minore à BD, che AB à BD. & quanto più da vicino &longs;arà al &longs;o&longs;tegno, &longs;empre anco minore forza vi &longs;i ricercherà.

Per la 8. del quinto.

COROLLARIO II.

Egli è parimente manife&longs;to, che la po&longs;&longs;anza in D è &longs;empre maggiore del pe&longs;o C.

Perche &longs;e tra AB &longs;i piglia qual &longs;i voglia punto, come D, &longs;empre AB &longs;arà maggiore di BD.

El è da auertire, che que&longs;te dimo&longs;trationi lequali habbiamo prodotte in mezo, &longs;i po&longs;&longs;o­no à tutte que&longs;te co&longs;e commodamente adattare non &longs;olamente e&longs;&longs;endo le leue egual­mente distanti dall'orizonte, ma anche inchinate le dette leue all'orizonte. ilche è chiaro da quel che nella bilancia &longs;i è diui&longs;ato.

PROPOSITIONE IIII.

Se la po&longs;&longs;anza mouerà il pe&longs;o appiccato nella leua, &longs;arà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o, come la di&longs;tanza dal &longs;o&longs;tegno alla po&longs;&longs;anza, alla di&longs;tanza dall'i&longs;te&longs;&longs;o &longs;o&longs;tegno fin allo appiccamento del pe&longs;o.

Sia la leua AB, il cui &longs;o&longs;tegno C, & &longs;ia il pe&longs;o D attaccato al punto B, & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in A mouente il pe&longs;o D con la leua AB. Dico lo &longs;patio della po&longs;­&longs;anza in A allo &longs;patio del pe&longs;o e&longs;&longs;ere co&longs;i come CA à CB. Moua&longs;i la leua AB, & affine che il pe&longs;o D &longs;i moua in sù, bi&longs;ogna che B &longs;i moua in sù, & A in giù. & percioche C è punto immobile; però mentre A, & B &longs;i mouono, de­&longs;criueranno circonferenze di cerchi. Moua&longs;i dunque AB in EF; &longs;aranno AEBF circonferenze di cerchi, i me­zi diametri de' quali &longs;ono CA CB. compi&longs;ca&longs;i tutta la cir­conferenza AGE, & tut­ta la BHF, & &longs;iano KH i punti doue AB, & EF ta­gliano il cerchio BHF. Hor percioche l'angolo BCF è eguale all'angolo HCK, &longs;a­rà la circonferenza KH eguale alla circonferenza BF, & concio&longs;ia, che le circonferen­ze AEKH &longs;iano &longs;otto l'i­&longs;te&longs;&longs;o angolo ACE, & la circonferenza AE à tutta la circonferenza AGE &longs;ia come l'angolo ACE à quattro retti, & come l'i&longs;te&longs;&longs;o an­golo HCK à quattro retti, co&longs;i anche è la circonferenza HK à tutta la circonferentia HBK, &longs;arà la circonferentia

AE à tutta la circonferentia AGE, come la circonferentia KH à tutta la KFH. & permutando come la circonferentia AE alla circonferenza KH, cioè BF, co&longs;i tutta la circonferenza AGE à tutta la circonferenza BHF; ma tut­ta la circonferenza AGE co&longs;i &longs;i ha à tutta la BHF, come il diametro del cer­chio AEG al diametro del cerchio BHF. Come dunque la circonferenza AE ver&longs;o la circonferenza BF, co&longs;i è il diametro del cerchio AGE al diametro del cerchio BHF: ma come il diametro al diametro, co&longs;i è anche il mezo diametro al mezo diametro, cioè CA à CB. Per laqual co&longs;a come la circonferenza AE alla circonferenza BF, co&longs;i CA à CB: ma la circonferenza AE è lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a, & la circonferenza BF è eguale allo &longs;patio di D pe­&longs;o mo&longs;&longs;o, peroche lo &longs;patio del mouimento del pe&longs;o D &longs;empre è eguale allo &longs;patio del mouimento del punto B, per e&longs;&longs;ere attaccato in B. Lo &longs;patio dunque della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o è come CA à CB; cioè come la di&longs;tan­za dal &longs;o&longs;tegno alla po&longs;&longs;anza, alla distanza dall'i&longs;te&longs;&longs;o all'appiccamento del pe&longs;o. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 15. del primo.

Per la 26. del terzo.

Per la 16. del 15.

Per la 23. del 8. di Pappo.

Per la 11. del quinto.

Ma &longs;ia la leua AB, il cui &longs;o&longs;tegno B, & la po&longs;&longs;anza mouente in A, & il pe&longs;o in C. Dico lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a allo &longs;patio del pe&longs;o tra&longs;portato co&longs;i e&longs;­&longs;ere, come BA à BC. Moua&longs;i la leua, & accioche il pe&longs;o &longs;ia alzato in sù, egli è nece&longs;&longs;ario, che anche i punti CA &longs;i mouano in sù. Moua&longs;i dunque A in sù fin'in D; & &longs;ia il mouimento della leua BD. mo&longs;tre­remo nel modo i&longs;te&longs;&longs;o, come prima è detto, che i punti CA de&longs;criuono circonferenze di cerchi, i cui mezi dia­metri &longs;ono BA BC. & di­mo&longs;treremo &longs;imilmente co&longs;i e&longs;&longs;ere AD à CE, come il mezo diametro AB al me­zo diametro BC.

Et per la ragione i&longs;te&longs;&longs;a, &longs;e la po&longs;&longs;anza fo&longs;&longs;e in C, & il pe&longs;o in A &longs;i prouerà co&longs;i e&longs;&longs;ere CE ver&longs;o AD, co­

me BC à BA, cioè la di&longs;tanza dal &longs;o&longs;tegno alla po&longs;&longs;anza; alla di&longs;tanza dal­l'iste&longs;&longs;o allo attaccamento del pe&longs;o. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

COROLLARIO.

Da que&longs;te co&longs;e è manife&longs;to, che maggiore proportione ha lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza, che moue allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o, che il pe&longs;o alla mede&longs;ima po&longs;&longs;anza.

Percioche lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza allo &longs;patio del pe&longs;o ha la mede&longs;ima proportione, che il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il detto pe&longs;o. Ma la po&longs;&longs;anza, che &longs;ostie­ne è minore della po&longs;&longs;anza che moue, però il pe&longs;o haurà proportione minore alla po&longs;&longs;anza che lo moue, che alla po&longs;&longs;anza, che lo &longs;ostiene. Lo &longs;patio dunque della po&longs;&longs;anza che moue allo &longs;patio del pe&longs;o haurà proportione maggiore, che il pe&longs;o al­l'i&longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza.

Per la 8. del quinto.

PROPOSITIONE V.

La po&longs;&longs;anza che in qual &longs;i voglia modo &longs;o&longs;tenga il pe&longs;o con la le­ua hauerà la proportione mede&longs;ima ad e&longs;&longs;o pe&longs;o, che la di&longs;tanza fra po&longs;ta dal &longs;o&longs;tegno al punto, doue dal centro della gra­uezza del pe&longs;o tirata vna linea à piombo all'orizonte tagli la leua, alla di&longs;tanza che è fra il &longs;o&longs;tegno, & la po&longs;&longs;anza.

Sia la leua AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, col &longs;uo &longs;o&longs;tegno N. &longs;ia dopo il pe&longs;o AC, il cui centro della grauezza &longs;ia D, ilquale &longs;ia prima &longs;otto la leua: ma il pe&longs;o &longs;ia appiccato à i punti AO. & dal punto D &longs;ia tirata la linea DE à piombo dell' orizonte, & di AB. Che &longs;e vi &longs;aranno altre leue ancora AF AG, i cui &longs;o­stegni, &longs;iano H K, & il pe&longs;o A C &longs;ia appiccato nella le­ua AG ne i punti AQ, & nella leua A F ne' punti AP: & la li­nea DE allunga­

ta tagli AF in L, & AC in M. Dico che la po&longs;&longs;anza in F &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o AC ha quella proportione ad e&longs;&longs;o pe&longs;o, che ha KL à KF; & la po&longs;&longs;anza in D ha quella proportione al pe&longs;o, che ha NE ad NB; & la po&longs;&longs;anza in G al pe&longs;o quella, che ha HM ad HG. Hor percioche DL &longs;tà à piombo dell' orizonte, il pe&longs;o AC venga ap­piccato doue &longs;i voglia nella linea DL, rimarrà nel modo i&longs;te&longs;&longs;o che &longs;i troua. Per la­qual co&longs;a &longs;e nella leua AB &longs;i &longs;cioglieranno gli appiccamenti, che &longs;ono ad AO, il pe&longs;o AC appiccato in E rimarrà nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo, come hora rimane, cioè leuato via il punto A, & la linea QO, nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo il pe&longs;o appiccato in E rimarrà, come era &longs;o&longs;tenuto da punti i&longs;te&longs;&longs;i AO, come &longs;i proua per lo commentario di Federico Commandino nella &longs;esta propo&longs;itione di Archimede della quadratura della parabola, & dalla prima di que&longs;to della bilancia. Co&longs;i percio che il pe&longs;o AC ha &longs;empre la i&longs;te&longs;&longs;a di&longs;po&longs;itione ver&longs;o la bilancia, &longs;ia pur in AO &longs;ostentato, ouero pendente dal punto E; la po&longs;&longs;anza mede&longs;ima in B &longs;o&longs;tenterà il pe&longs;o i&longs;te&longs;&longs;o AC pendente, ouero da E, ouero da AO. ma la po&longs;&longs;anza in B &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o AC appiccato in E co&longs;i &longs;i hà ad e&longs;&longs;o pe&longs;o, come NE ad NB; La po&longs;&longs;anza dunque in B &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o AC da punti AO pendente &longs;arà co&longs;i ad e&longs;&longs;o pe&longs;o, come NE ad NB. Non altra­mente &longs;i mo&longs;trerà, che il pe&longs;o AC pendente dal punto L rimane, come &longs;e fo&longs;&longs;e &longs;oste nuto da punti AP; & la po&longs;&longs;anza in F ad e&longs;&longs;o pe&longs;o e&longs;&longs;ere co&longs;i come KL à KF. Ma nella leua AG il pe&longs;o AC appiccato in M co&longs;i rimanere, come egli è &longs;o&longs;tenuto da punti AQ & la po&longs;&longs;anza di G co&longs;i e&longs;&longs;ere al pe&longs;o AC, come HM ad HG, cioè co­me la di&longs;tanza dal &longs;o&longs;tegno al punto, doue la linea tirata à piombo dell' orizonte dal centro della grauezza del pe&longs;o taglia la leua, alla di&longs;tanza dal &longs;o&longs;tegno alla po&longs;­&longs;anza. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la prima di questo.

Che &longs;e FBG fo&longs;&longs;ero i &longs;o&longs;tegni delle leue, & le po&longs;&longs;anze fo&longs;&longs;ero in KNH &longs;o&longs;tenenti il pe&longs;o, con &longs;imile modo &longs;i mo&longs;trerà la po&longs;&longs;anza in H, co&longs;i e&longs;&longs;ere al pe&longs;o, come GM à GH, et la po&longs;sanza in N al pe&longs;o, come BE à BN, et la po&longs;sanza in K al pe&longs;o come FL ad FK.

Et &longs;e le leue AB AF AG haue&longs;&longs;ero i &longs;o&longs;tegni in A, & il pe&longs;o fo&longs;&longs;e NO; poi dal centro D della &longs;ua gra­uezza fo&longs;&longs;e tirata la li­nea DME L à piombo di AB, & dell' orizonte, & fo&longs;&longs;e­ro le po&longs;&longs;anze in FB G; &longs;imilmente mo&longs;tre­ra&longs;&longs;i la po&longs;&longs;anza di G &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o N

O co&longs;i e&longs;&longs;ere ad e&longs;&longs;o pe&longs;o, come AM ad AG, & la po&longs;&longs;anza in B come AE ad AB; & la po&longs;&longs;anza in F come AL ad AF.

Sia dapoi la leua AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia D, & &longs;ia BE il pe&longs;o, il cui centro della grauezza &longs;ia F &longs;opra la leua; & dal punto F tiri&longs;i la linea FH à piombo, & dell' orizonte, & di e&longs;&longs;a AB; & &longs;ia &longs;o&longs;tenuto il pe&longs;o dal punto B, & da PQ. &longs;iano po&longs;cia altre leue BLBM, i cui &longs;o&longs;tegni &longs;iano NO; & la linea FH allungata tagli BM in K, & BL in G; & venga &longs;o&longs;tenuto il pe&longs;o

nella leua BL ne'punti BP; & nella leua BM dal punto B, & PR. Dico, che la po&longs;&longs;anza in L &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o BE nella leua BL ha quella proportione ad e&longs;&longs;o pe&longs;o, che NG ad NL; & la po&longs;&longs;anza in A al pe&longs;o ha quella proportio­ne, che DH à DA; & la po&longs;&longs;anza di M al pe&longs;o ha quella proportione, che OK ad OM. Hor percioche la linea KF tirata dal centro della grauezza F è à piombo dell' orizonte, &longs;ia pur &longs;ostenuto il pe&longs;o da qual &longs;i voglia punto della linea KF, egli rimarrà, come hora &longs;i troua. Se dunque &longs;arà &longs;ostenuto in H, rimarrà co me prima, cioè leuato via il punto B, & PQ, i quali &longs;o&longs;tengono il pe&longs;o, rimarrà il pe&longs;o BE nel modo che da e&longs;&longs;i era &longs;o&longs;tenuto. Per la qual co&longs;a grauerà nella le­ua AB in H, & haurà alla leua quella di&longs;po&longs;itione mede&longs;ima, che prima, & per­ciò &longs;arà come &longs;e fo&longs;&longs;e appiccato in H. La mede&longs;ma po&longs;&longs;anza dunque &longs;o&longs;terrà il mede&longs;imo pe&longs;o BE &longs;o&longs;tentato ouero in H, ouero in B & Q. Ma la po&longs;&longs;anza in A &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o BE appiccato in H con la leua AB ha l'i&longs;te&longs;&longs;a proportione ad e&longs;­&longs;o pe&longs;o, che DH à DA; l'i&longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza dunque in A &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o BE ne' punti BQ &longs;o&longs;tentato, &longs;arà ad e&longs;&longs;o pe&longs;o come DH à DA. Similmente &longs;i mo&longs;trerà il pe&longs;o BE, &longs;e in G &longs;arà &longs;o&longs;tenuto, rimanere come egli era &longs;o&longs;tenuto da punti BP: & nel punto K, come da punti BR. Per la qual co&longs;a la po&longs;&longs;anza in L &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o BE ad e&longs;&longs;o pe&longs;o co&longs;i &longs;arà come NG ad NL. ma la po&longs;&longs;anza in M al pe&longs;o, come OK ad OM; cioè come la di&longs;tanza dal &longs;o&longs;tegno al punto, doue dal centro della grauezza del pe&longs;o la linea tirata à piombo dell' orizonte taglia la leua, alla di&longs;tanza dal &longs;o&longs;tegno alla po&longs;&longs;anza. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la prima di questo della bilancia.

Per la prima di questo.

Che &longs;e LAM fo&longs;&longs;ero i &longs;o&longs;tegni, & le po&longs;&longs;anze in NDO; &longs;imilmente mo&longs;trera&longs;&longs;i la po&longs;&longs;anza in N co&longs;i e&longs;&longs;ere al pe&longs;o, come LG ad LN; & la po&longs;&longs;anza in D, come AH ad AD, & la po&longs;&longs;anza in O come MK ad MO.

Et &longs;e le leue BA BL BM haue&longs;&longs;ero i &longs;o&longs;tegni in B, & il pe&longs;o fo&longs;&longs;e NO &longs;opra la leua, & dal centro F della grauezza fo&longs;&longs;e tirata la linea FD EG à piombo di AB, & dell' orizonte; & fo&longs;&longs;ero le po&longs;&longs;anze in LAM, &longs;imilmente proue­

ra&longs;&longs;i la po&longs;&longs;anza in L &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o co&longs;i e&longs;&longs;ere ad e&longs;&longs;o pe&longs;o, come BD à BL; & la po&longs;&longs;anza in A al pe&longs;o come BE à BA, & la po&longs;&longs;anza in M come BG à BM.

Sia vltimamente la leua AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui &longs;ostegno &longs;ia C, & il pe&longs;o DE habbia il centro della graueza F nella leua AB; & &longs;iano alla fine altre leue GHKL, co i &longs;o&longs;tegni &longs;uoi MN; & il pe&longs;o nella leua GH &longs;ia &longs;o&longs;tentato da i punti GO, & nella leua AB da punti AT, & nella leua KL da punti KQ, & il centro F della grauezza &longs;ia parimente in amendue le le­

ue GH KL, & &longs;iano le po&longs;&longs;anze in HBL. Dico la po&longs;&longs;anza in H co&longs;i e&longs;&longs;ere al pe&longs;o, come NF ad NH; & la po&longs;&longs;anza in B al pe&longs;o, come CF à CB, & la po&longs;&longs;anza in L al pe&longs;o, come MF ad ML. Hor percioche F è il centro della grauez­za del pe&longs;o DE, &longs;e dunque in F &longs;arà &longs;o&longs;tenuto, &longs;tarà il pe&longs;o DE come prima, per la diffinitione del centro della grauezza; & &longs;arà come &longs;e egli fo&longs;&longs;e appiccato in F; & &longs;tarà nella leua in quel modo i&longs;te&longs;&longs;o, &longs;o&longs;tenga&longs;i pure ò da punti AP, ouero dal punto F. ilche parimente auerrà nelle leue GH KL, cioè che il pe&longs;o re&longs;terà nel modo i&longs;te&longs;&longs;o, &longs;o&longs;tenti&longs;i pur ò in F, ouero in GO ouero in KQ. La mede&longs;ma po&longs;&longs;anza dunque in B &longs;o&longs;tenterà il pe&longs;o i&longs;te&longs;&longs;o DE appiccato, ouero in F, ouero in AP: & quando egli è appiccato in F, è ad e&longs;&longs;o pe&longs;o come CF à CB, dunque la po&longs;&longs;anza &longs;o­&longs;tenente il pe&longs;o DE appiccato ad AP &longs;arà ad e&longs;&longs;o pe&longs;o come CF à CB. & nel modo i&longs;te&longs;&longs;o la po&longs;&longs;anza in H &longs;arà al pe&longs;o appiccato in OG co&longs;i, come NF ad NH. & la po&longs;&longs;anza in L &longs;arà al pe&longs;o appiccato in KQ, come MF ad ML. ilche anco bi&longs;o­gnaua mo&longs;trare.

Ma &longs;e li &longs;o&longs;tegni fo&longs;&longs;ero HBL, & le po&longs;&longs;anze fo&longs;&longs;ero in NCM; &longs;imilmente prouera&longs;&longs;i la po&longs;&longs;anza in N co&longs;i e&longs;&longs;ere al pe&longs;o, come HF ad HN & la po&longs;&longs;anza in C come BF à BC; & la po&longs;&longs;anza in M come LF ad LM.

Et &longs;e le leue BA BC BD haue&longs;&longs;ero i &longs;o&longs;tegni in B, & fo&longs;&longs;ero i pe&longs;i in EF GH KL, di modo che i loro centri della grauezza MNO fo&longs;&longs;ero nelle leue, & le

po&longs;&longs;anze fo&longs;&longs;ero in CAD. Similmente prouera&longs;&longs;i, che la po&longs;&longs;anza in C co&longs;i è al pe&longs;o EF, come BM à BC, & la po&longs;&longs;anza in A al pe&longs;o GH, come BN à BA, & la po&longs;&longs;anza in D al pe&longs;o KL, come BO à BD.

PROPOSITIONE VI.

Sia AB linea retta, ad angoli retti, dellaquale &longs;tia AD, la­quale dalla parte di D &longs;ia allungata come &longs;i vuole fin'al C, & &longs;ia congiunta la CB, laquale parimente allunghi&longs;i dalla parte di B fin ad E. Dapoi &longs;iano dal punto B tirate altre linee, come &longs;i vuole BF BG eguali ad AB tra AB BE; & da i punti FG &longs;iano tirate le linee FH GK à piombo delle &longs;udette, lequali &longs;i facciano eguali fra loro, & ad e&longs;&longs;a A D come &longs;e BA AD fo&longs;&longs;ero mo&longs;&longs;e in BF FH, & in BG GH; & congiungan&longs;i CH CK, lequali taglino le linee BF BG ne'punti MN. Dico che BN è minore di BM, & BM di e&longs;&longs;a BA.

Congiungan&longs;i BD BH BK, & percioche due linee DA AB &longs;ono eguali à due HF FB, & l'angolo DAB retto è anco eguale al retto HFB; &longs;aranno i re&longs;tanti angoli eguali à i re&longs;tanti angoli, & HB eguale ad e&longs;&longs;a DB. Similmen­te mo&longs;trera&longs;&longs;i il triangolo BKG e&longs;&longs;ere eguale al triangolo BHF. Per laqual co&longs;a co'l centro B, & con l'interuallo di vna di e&longs;&longs;e de&longs;cri­ua&longs;i il cerchio DH KE, il quale tagli le linee CH CK ne' punti OP; & congiun­gan&longs;i OB PB. Percioche dunque il punto K è più vi­cino ad E, che H; &longs;arà la linea CK maggiore di CH, & CP minore di CO: dunque PK &longs;arà maggiore di OH. Ma perche il triangolo BKP di due lati eguali ha i &longs;uoi lati BK BP eguali à i lati BH BO del triangolo BHO di due lati eguali, ma ben la ba&longs;e KP maggiore della ba&longs;e HO, &longs;arà l'ango­lo KBP maggiore dell' angolo HBO. dunque i restanti angoli alla ba&longs;e, cioè KPB PKB pre&longs;i in&longs;ieme, i quali tra loro &longs;ono eguali, &longs;aranno minori de i re&longs;tanti angoli al­la ba&longs;e po&longs;ti, cioè OHB HOB, iquali etiandio tra loro &longs;ono eguali e&longs;&longs;endo che tutti gli angoli di cia&longs;cuno triangolo &longs;iano eguali à due angoli retti. Per laqual co&longs;a anche le metà di que&longs;ti, cioè NKB &longs;arà minore di MHB. Et concio&longs;ia, che l'angolo BKG

&longs;ia eguale all'angolo BHF, &longs;arà NKG maggiore di MHF. Se dunque nel punto K &longs;i faccia l'angolo GKQ eguale ad FHM &longs;i &longs;arà il triangolo GKQ eguale al triangolo FHM; Imperoche due angoli in FH di vno &longs;ono eguali à due in GK d'vn'altro, & il lato FH è eguale al lato GK, &longs;arà GQ eguale ad FM. Adunque GN &longs;arà maggiore di FM. & co&longs;i per e&longs;&longs;ere BG egua­le à BF, &longs;arà BN minore di e&longs;&longs;a BM. ma che BM &longs;ia minore di e&longs;&longs;a BA è manife&longs;to, percioche BM, è minore di e&longs;&longs;a BF, laquale è eguale à BA. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 4. del primo.

Per la 8. del terzo.

Per la 25. del 5.

Per la 5. del primo.

Per la 26. del primo.

Di più &longs;e tra BG BE &longs;i tiri à piacere vn'altra linea eguale à BG; & faccia&longs;i l'operatione, come di &longs;opra è stato detto, prouera&longs;&longs;i &longs;imilmente la linea BR e&longs;&longs;er mi­nore di BN. & quanto più da vicino &longs;arà ad e&longs;&longs;a BE, &longs;arà anche &longs;empre minore.

Che &longs;e i triangoli eguali BFH BGK fo&longs;&longs;ero di &longs;otto fra BC BA collocati; & fo&longs;&longs;ero congiunte le linee HC KC, le­quali taglia&longs;&longs;ero le linee BF BG allungate dalla parte di FG ne' punti MN, &longs;arà la BN maggiore della BM, & la BM di e&longs;&longs;a BA.

Imperoche allunghi&longs;i CH CK fin alla circonferenza in OP, & congiungan&longs;i BO BP; con &longs;imile modo mo&longs;trera&longs;&longs;i la linea PK e&longs;&longs;ere maggiore ai OH, & l'angolo PKB e&longs;&longs;ere minore dell angolo OHB. & percioche l'angolo BHF è eguale dell' angolo BKG, &longs;a rà tutto l'angolo PKG mi­nore dell' angolo OHF. Per laqual co&longs;a il re&longs;tante GKN &longs;arà maggiore del re&longs;tante FHM. Se dunque fara&longs;&longs;i l'angolo GKQ eguale ad FHM la linea KQ taglierà in modo la GN, che GQ diuenterà eguale ad FM. Per laqual co&longs;a maggiore &longs;arà GN, che FM; allequali &longs;e &longs;aranno aggiunte le eguali BF BG, &longs;a­rà BN maggiore di BM. & per e&longs;&longs;ere BM maggiore di FB, &longs;arà anco maggiore di BA. &longs;imilmente prouera&longs;&longs;i che quanto più da vicino &longs;arà BG à BC, la linea BN &longs;empre &longs;arà maggiore.

PROPOSITIONE VII.

Sia la linea retta AB, à cui &longs;tia à piombo AD, laquale allun­ghi&longs;i dalla parte di D come pare &longs;in'à C, & congiunga&longs;i C B, laquale etiandio &longs;i allunghi fin'ad E; & &longs;imilmente tra AB BE &longs;iano, come pare, tirate BF BG eguali ad e&longs;&longs;a AB, & da punti FG &longs;iano tirate le linee FH GK pur eguali ad e&longs;&longs;a AD, & à piombo di BF BG, come &longs;e BA AD fo&longs;­&longs;ero mo&longs;&longs;e in BF FH BG GK: & congiun­gan&longs;i CH CK, lequali taglino le linee allungate BF BG ne' punti MN. Dico che BN è maggiore di BM, & BM di e&longs;&longs;a BA.

Congiungan&longs;i BD BH BK, & co'l centro B, & con lo &longs;patio BD de&longs;criua&longs;i il cerchio. &longs;imil­mente come nella precedente, di­mo&longs;treremo i punti KHDOP e&longs;&longs;ere nella circonferenza del cerchio; & i triangoli ABD FBH GBK e&longs;&longs;ere tra loro eguali, & la linea PK e&longs;&longs;ere maggiore della OH, & l'angolo PKB e&longs;&longs;ere minore dell'angolo OHB. Percioche dunque l'angolo BHF è eguale all'angolo BKG, &longs;arà tutto l'angolo PKG minore dell'angolo OHF. Per laqual co&longs;a il re&longs;tante GKN &longs;arà maggiore del re&longs;tante FHM. Se dunque &longs;i &longs;arà l'angolo GKQ eguale ad e&longs;&longs;o FHM, &longs;arà il triangolo GKQ eguale al triangolo FHM, & illato GQ al lato FM eguale; &longs;arà dunque maggiore GN di e&longs;&longs;a FM; & perciò BN maggiore &longs;arà di BM. & BM &longs;arà maggiore di BA; impe­roche BM è maggiore di e&longs;&longs;a BF. Che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Et nel modo i&longs;te&longs;&longs;o in tutto, quanto più da pre&longs;&longs;o &longs;arà BG ad e&longs;&longs;a BE, &longs;empre la li­nea BN &longs;i dimo&longs;trerà e&longs;&longs;er maggiore.

Che &longs;e &longs;aranno po&longs;ti di &longs;otto i triangoli BF HB GK tra AB BC, & &longs;iano tiratele linee CHO GKP, lequali taglino le li­nee BF BG ne' punti MN: &longs;arà la linea BN minore di e&longs;&longs;a BM, & BM di e&longs;sa BA.

Congiungan&longs;i BO BP. &longs;imilmente prouera&longs;&longs;i, che l'angolo P KB è minore dell' angolo OH B. Hor percioche l'angolo F HB è eguale all'angolo GKB; &longs;arà l'angolo GKN maggio­re dell'angolo FHM: per la qual co&longs;a la linea GN &longs;arà maggiore di e&longs;&longs;a FM. & per­ciò la linea BN &longs;arà minore della linea BM. & concio­&longs;ia che maggiore &longs;ia BF di BM; &longs;arà BM minore di BA. & con &longs;imile modo proueraßi, che quanto più B G &longs;arà dapre&longs;&longs;o ad e&longs;&longs;a BC, la linea BN &longs;empre &longs;arà minore.

PROPOSITIONE VIII.

La po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o che habbia il centro della grauez­za &longs;opra la leuà egualmente di&longs;tante dall'orizonte, quanto più il pe&longs;o &longs;i inalzerà da que&longs;to &longs;ito con la leua &longs;empre haurà bi&longs;ogno di po&longs;sanza minore per e&longs;sere &longs;o&longs;tenuto: ma &longs;e &longs;arà abba&longs;sato di maggiore.

Sia la leua AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia C, & il pe&longs;o BD il centro della grauezza delquale &longs;ia doue è H &longs;opra la leua; & &longs;ia la po&longs;&longs;an

za &longs;o&longs;tenente in A. Moua&longs;i dapoi la leua AB in EF, & &longs;ia il pe&longs;o mo&longs;&longs;o in FG. Dico primieramente che minore po&longs;&longs;anza po&longs;ta in E &longs;o&longs;tenirà il pe&longs;o FG con la leua EF, che la po&longs;&longs;anza in A il pe&longs;o BD con la leua AB. &longs;ia il K il centro della grauezza del pe&longs;o FG. Dapoi &longs;iano tirate sì da H, come da K le linee HL KM à piombo de'loro orizonti, lequali &longs;i andaranno à tro­uare nel centro del mondo, & &longs;ia HL à piombo anche di e&longs;&longs;a AB. Dapoi &longs;ia tirata la linea KN à piombo di EF, laquale &longs;arà eguale ad HL, & la CN eguale ad e&longs;&longs;a CL. Hor percioche HL è à piombo dell'orizonte, la po&longs;&longs;anza in A &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o BD haurà quella proportione ad e&longs;&longs;o pe&longs;o, che CL à CA. Di nuouo, percioche KM è à piombo dell'orizonte, la po&longs;&longs;anza in E &longs;o­&longs;tenente il pe&longs;o FG co&longs;i &longs;arà al pe&longs;o come CM à CE. & per e&longs;&longs;ere CN NK eguali ad e&longs;&longs;e CL LH, & contenere angoli retti, &longs;arà CM minore di e&longs;&longs;a CL; Dunque CM à CA haurà proportione minore, che CL à CA; & CA è eguale à CE, dunque haurà CM proportione minore à CE, che CL à CA: & per e&longs;&longs;erei pe&longs;i BD FG eguali, però che è il pe&longs;o mede&longs;imo. Dun­que &longs;arà minore proportione della po&longs;&longs;anza in E &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o FG ad e&longs;&longs;o pe&longs;o, che della po&longs;&longs;anza in A &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o BD ad e&longs;&longs;o pe&longs;o. Per laqual co&longs;a minore po&longs;&longs;anza po&longs;ta in E &longs;o&longs;tenterà il pe&longs;o FG, che la po&longs;&longs;anza in A il pe&longs;o BD. & quanto più &longs;arà inalzato il pe&longs;o, &longs;empre &longs;i mo&longs;trerà po&longs;&longs;anza anche minore douer &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o, per e&longs;&longs;ere la linea PC minore della CM. Sia dapoi la leua in QR, & il pe&longs;o in QS, il cui centro della grauezza &longs;ia O. Dico che po&longs;&longs;anza maggiore &longs;i richiede in R per &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o QS, che in A per &longs;ostentare il pe&longs;o BD. Tiri&longs;i dal centro O della grauezza la linea OT a piombo dell'orizonte. & percioche le linee HL OT &longs;e &longs;aranno allungate dal­la parte di L, & di T &longs;i andranno à ritrouare nel centro del mondo, &longs;arà la CT maggiore della CL: & è la CA eguale ad e&longs;&longs;a CR, dunque la TC haurà pro­portione maggiore à CR, che LC à CA. Maggiore dunque &longs;arà la po&longs;&longs;an­za in R &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o QS, che in A &longs;o&longs;tenente il BD. Similmente mo­&longs;trera&longs;&longs;i, che quanto la leua RQ abba&longs;&longs;ando&longs;i, &longs;arà più di&longs;tante dalla leua AB, &longs;empre più &longs;i ricercherà po&longs;&longs;anza maggiore à &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o: peroche la di&longs;tanza CV è più lunga di CT. Quanto dunque il pe&longs;o &longs;i alzerà più dal &longs;ito egualmente di&longs;tante dall'orizonte, &longs;arà &longs;empre &longs;o&longs;tenuto da po&longs;&longs;anza minore; & quanto più &longs;i abba&longs;&longs;erà, di po&longs;&longs;anza maggiore haurà me&longs;tieri per e&longs;&longs;er &longs;o&longs;tentato. che bi&longs;ogna­ua mo&longs;trare.

Per la quinta di questo.

Per la 6. di questo.

Per la ottaua del quinto.

Per la 10. del quinto.

Per la 6. di questo.

Per la 6. di questo.

Per la ottaua del 5.

Per la 10. del quinto.

Per la 6. di questo.

Quinci facilmente &longs;i caua, che la pos&longs;anza in A alla po&longs;sanza in E co&longs;i è, come CL à CM.

Imperoche co&longs;iè LC à CA, come la po&longs;&longs;anza in A al pe&longs;o; & come CA, cioè CE à CM, co&longs;i è il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza in E; Per laqual co&longs;a per la pro­portion eguale, la po&longs;&longs;anza in A alla po&longs;&longs;anza in E &longs;arà come CL à CM.

Per la 22. del quinto.

Con &longs;imile ragione mo&longs;treraßi non &longs;olamente che la po&longs;&longs;anza in A co&longs;i è alla po&longs;­&longs;anza in R, come CL à CT, ma che la po&longs;&longs;anza in E ancora alla po&longs;&longs;anza in R è co&longs;i, come CM à CT, & co&longs;i nel re&longs;to.

Sia poi la leua AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia B, & il centro H della grauezza del pe&longs;o CD &longs;ia &longs;opra la leua; & moua&longs;i la leua in BE, & il pe&longs;o in FG. Dico che minore po&longs;&longs;anza po&longs;ta in E &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o FG con la leua EB, che la po&longs;&longs;anza in A il pe&longs;o CD con la leua AB. Sia K il centro della grauezza del pe&longs;o FG, & da i centri delle grauezze HK &longs;iano

tirate le linee HL KM à piombo de'loro orizonti. Hor percioche dalle co&longs;e di &longs;opra mo&longs;trate BM è minore di BL, & BE è eguale à BA, haurà pro­portione minore BM à BE, che BL à BA: ma come BM à BE, co&longs;i è la po&longs;&longs;anza in E &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o FG ad e&longs;&longs;o pe&longs;o, & come BL a BA, co&longs;i la po&longs;&longs;anza in A al pe&longs;o CD; la po&longs;&longs;anza in E al pe&longs;o FG haurà propor­tione minore, che la po&longs;&longs;anza in A al pe&longs;o CD. Dunque la po&longs;&longs;anza in E &longs;a­rà minore della po&longs;&longs;anza in A. Similmente mo&longs;trera&longs;&longs;i quanto più il pe&longs;o &longs;i alze­rà, &longs;empre minore po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o, ma &longs;ia la leua in BO, & il pe&longs;o in BQ, il cui centro della grauezza &longs;ia R. Dico, che maggior po&longs;&longs;anza &longs;i ricerca in O per &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o PQ con la leua BO, che per &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o CD con la leua BA. Sia tirata dal punto R la linea RS à piombo dell'orizonte. & percioche BS è maggiore di BL, haurà BS proportione maggiore à BO, che BL à BA; Per laqual co&longs;a la po&longs;&longs;anza in O &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o PQ &longs;arà maggio re della po&longs;&longs;anza in A &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o CD. & à que&longs;to modo &longs;i mo&longs;trerà an­cora che quanto la leua BO abba&longs;&longs;ando&longs;i, &longs;arà più di&longs;tante dalla leua AB &longs;em­pre vi vorrà po&longs;&longs;anza maggiore à &longs;o&longs;tener il pe&longs;o.

Per la 6. di questo.

Per la 8. del quinto.

Per la 5. di questo.

Per la 10. del quinto.

Per la 6. di questo.

Di qui parimente, come di &longs;opra è manife&longs;to, che la po&longs;&longs;anza in A è alla po&longs;&longs;anza in B, come BL à BM: & la po&longs;&longs;anza in A alla po&longs;&longs;anza in O, come BL à BS. & la po&longs;&longs;anza in E alla po&longs;&longs;anza in O, come BM à BS.

Oltre à ciò &longs;e &longs;i intenderà vn'altra po&longs;&longs;anza in B, per modo che due &longs;iano le po&longs;&longs;an­ze, che &longs;o&longs;tentino il pe&longs;o, minore &longs;arà la po&longs;&longs;anza in B, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o PQ con la leua BO, che il pe&longs;o CD con la leua BA. ma per lo contrario &longs;i ri­cerca po&longs;&longs;anza maggiore in B per &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o FG con la leua BE, che il pe&longs;o CD con la leua AB: percioche tirata la linea KN à piombo di EB, &longs;arà EN eguale ad AL: Per laqual co&longs;a EM &longs;arà maggiore di LA. Dunque EM haurà proportione maggiore ad EB, che LA ad AB, & LA maggiore ad AB, che SO ad OB, lequali &longs;ono proportioni della po&longs;&longs;anza al pe&longs;o.

Per la 8. del quinto.

Per la 5. di questo.

Similmente prouera&longs;&longs;i, che la po&longs;&longs;anza in B &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o con la leua AB è al­la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente po&longs;ta nell'i&longs;te&longs;&longs;o punto B con la leua EB, come LA ad EM; & co&longs;i e&longs;&longs;ere anche alla po&longs;&longs;anza di B &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o con la leua OB, come AL ad OS. Ma quelle po&longs;&longs;anze che &longs;o&longs;tengono con le leue EB OB &longs;ono co&longs;i tra loro come EM ad OS.

Dapoi mo&longs;treremo come nelle co&longs;e che di &longs;opra &longs;ono &longs;tate dette, che la po&longs;&longs;anza in B ha quella proportione alla po&longs;&longs;anza in E, che EM ad MB; & la po&longs;&longs;anza in B co&longs;i e&longs;&longs;ere alla po&longs;&longs;anza in A, come AL ad LB, & la po&longs;&longs;anza in B alla po&longs;&longs;anza in O, come OS ad SB.

Per il 3. corollario.

Per la 2. di questo.

Ma &longs;ia la leua AB e­gualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia B, & il centro H della grauezza del pe&longs;o AC &longs;ia &longs;opra la leua: & moua&longs;i la leua in BE, & il pe&longs;o in EF, & la po&longs;&longs;anza in G. di mo&longs;trera&longs;&longs;i parimente, come di &longs;opra, che la po&longs;&longs;anza in G &longs;o &longs;tenente il pe&longs;o EF è minore della po&longs;­&longs;anza in D &longs;o&longs;te­

nente il pe&longs;o AC. percioche e&longs;&longs;endo minore BM di BL haurà minore pro­portione MB à BG, che LB à BD. & à que&longs;to modo proueraßi, che quanto il pe&longs;o più &longs;i alzerà con la leua, &longs;empre minore po&longs;&longs;anza &longs;i ricerca à &longs;o&longs;tenere il detto pe&longs;o. &longs;imilmente &longs;e la leua &longs;i moue in BO, & la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente &longs;ia in N, &longs;i mo&longs;trerà la po&longs;&longs;anza in N e&longs;­&longs;ere maggiore della po&longs;&longs;anza in D. pe­roche SB ha pro­portione maggiore à BN che LB à BD. Mo&longs;tre­raßi ancora, che quanto il pe&longs;o più s'abba&longs;&longs;erà, &longs;empre ricercar&longs;i po&longs;&longs;anza maggiore à &longs;o&longs;tene­re il pe&longs;o. che bi&longs;o­gnaua mo&longs;trare.

Di quì parimente è chiaro, che le po&longs;&longs;anze in GDN co&longs;i tra loro &longs;ono, come BM à BL, & come BL à BS, & vlti­mamente come BM à BS.

COROLLARIO

Da que&longs;te co&longs;e è manife&longs;to, che &longs;e la po&longs;sanza con la leua moue rà in sù il pe&longs;o, il cui centro della grauezza &longs;ia &longs;opra la leua, quanto più &longs;arà alzato il pe&longs;o, &longs;empre vi vorrà po&longs;sanza mi­nore per mouere il pe&longs;o.

Percioche doue la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o è &longs;empre minore, &longs;arà parimente la po&longs;­&longs;anza, che lo moue &longs;empre minore.

Da que&longs;te co&longs;e dimo&longs;treraßi etiandio, &longs;ia pur il centro della grauezza del pe&longs;o mede&longs;i­mo ò più da pre&longs;&longs;o, ò più da lunge della leua AB egualmente di&longs;tante dall' ori­zonte, che la po&longs;&longs;anza mede&longs;ima in A &longs;o&longs;terrà nondimeno il pe&longs;o: come &longs;e il centro H della grauezza del pe&longs;o BD &longs;ia più da lunge dalla leua BA, che il cen­tro N della grauezza del pe&longs;o PV, pur che la linea HL tirata dal punto H à piombo dell'orizonte, & della leua AB paßi per N, & &longs;ia il pe&longs;o PV eguale al pe&longs;o BD; &longs;arà sì il pe&longs;o BD, & sì il pe&longs;o PV come &longs;e ambidue &longs;o&longs;­&longs;ero appiccati ad L; & &longs;ono eguali per e&longs;&longs;ere pre&longs;i in luogo di vn pe&longs;o &longs;olo, dun­que la i&longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza in A &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o BD &longs;o&longs;terrà anche il pe&longs;o PV. Ma nella leua EF quanto il centro della grauezza &longs;arà più da lunge dalla leua. tanto più egualmente la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenterà il pe&longs;o mede&longs;imo, come &longs;e il centro K della grauezza del pe&longs;o FG fo&longs;&longs;e più da lunge dalla leua EF, che il centro X dalla grauezza del pe&longs;o *uZ; in modo però, che la linea tirata dal punto K à piombo della leua FE paßi per X; & &longs;ia il pe&longs;o FG eguale al pe&longs;o *uZ; & da punti KX &longs;iano tirate le linee KM X<36> à piombo de loro orizonti; &longs;a­

rà la C<36> maggiore di CM; & perciò il pe&longs;o FG &longs;arà nella leua co&longs;i come &longs;e fo&longs;&longs;e appiccato in M, & il pe&longs;o *uZ come fo&longs;&longs;e appiccato in <36>. Hor per­cioche C<36> ha proportione maggiore à CE, che CM à CE, maggiore &longs;arà la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in E, che &longs;o&longs;terrà il pe&longs;o *uZ, che FG. Manella leua QR per lo contrario &longs;i dimo&longs;trerà, cioè che quanto il centro della grauezza del pe&longs;o mede&longs;imo è più da lunge dalla leua, tanto più anche maggiore è la po&longs;&longs;anza che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o. peroche maggiore è CT di CI, & perciò CT hauerà proportio­ne maggiore à CR, che CI à CR. &longs;imilmente dimo&longs;treraßi, &longs;e il pe&longs;o &longs;arà col locato fra la po&longs;&longs;anza, & il &longs;o&longs;tegno, ouero la po&longs;&longs;anza po&longs;ta fra il &longs;o&longs;tegno, & il pe&longs;o, il che mede&longs;imamente auuenirà alla po&longs;&longs;anzà che moue peroche doue po&longs;&longs;anza minore &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o, iui po&longs;&longs;anza minore lo mouerà: & doue &longs;i ricerca po&longs;&longs;anza maggiore in &longs;o&longs;tenere, iui anche maggiore vi vuole in mouere.

Per la 8. del quinto.

PROPOSITIONE IX.

La po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o, che habbia il centro della &longs;ua grauezza &longs;otto la leua egualmente di&longs;tante dall'orizonte, quanto più il pe&longs;o &longs;arà alzato da que&longs;to &longs;ito con la leua, haurà egli &longs;empre anco me&longs;tieri di po&longs;&longs;anza maggiore ad e&longs;&longs;ere &longs;o&longs;tenuto; Ma &longs;e abba&longs;&longs;ato, di minore.

Sia la leua AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia C, & &longs;ia il pe&longs;o AD, il cui centro L della grauezza &longs;ia &longs;otto la leua, & &longs;ia in B la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenen­te il pe&longs;o AD: moua&longs;i dopo la leua in FG, & il pe&longs;o in FH. Dico prima, che po&longs;&longs;anza maggiore &longs;i ricerca in G per &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o FH con la leua FG, di quel che &longs;iala po&longs;&longs;anza in B e&longs;&longs;endo il pe&longs;o AD, ma con la leua AB. &longs;ia

M il centro della grauezza del pe&longs;o FH, & da punti LM &longs;iano tirate le linee LK MN à piombo de'loro orizonti; & &longs;ia tirata la linea MS à piombo di FG, che &longs;arà eguale ad LK, & CK &longs;arà etiandio eguale ad e&longs;&longs;a CS. Percioche dunque CN è maggiore di CK haurà NC proportione maggiore à CG, che CK à CB; & la po&longs;&longs;anza in B al pe&longs;o AD ha la mede&longs;ma proportione, che KC à CB: & come la po&longs;&longs;anza in G al pe&longs;o FH, co&longs;i è NC à CG; dunque la po&longs;&longs;anza in G hauerà maggiore proportione al pe&longs;o FH, che la po&longs;&longs;anza in B al pe&longs;o AD. Maggiore dunque è la po&longs;&longs;anza in G della po&longs;&longs;anza in B. che &longs;e la leua &longs;arà in OP, & il pe&longs;o in OQ: &longs;arà la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in B maggiore, che in P: percioche &longs;i dimo&longs;trerà nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo CR e&longs;&longs;ere minore di CK, & CR hauere proportione minore a CP, che CK a CB; & perciò la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in B e&longs;&longs;ere maggiore della po&longs;&longs;anza po&longs;ta in P. & a que&longs;to modo mo&longs;tre­ra&longs;&longs;i che quanto più il pe&longs;o &longs;i alzerà dal &longs;ito AB, &longs;empre vi vorrà po&longs;&longs;anza mag­giore à &longs;o&longs;tenerlo. ma per lo contrario accaderà &longs;e egli &longs;arà abba&longs;&longs;ato. che bi&longs;o­gnaua mo&longs;trare.

Per la 7. di questo.

Per la 8. del quinto.

Per la 5. di questo.

Per la 10. del quinto.

Di quà ancora &longs;i puote ageuolmente cauare, che le po&longs;&longs;anze po&longs;te in PBG &longs;ono in modo di&longs;po&longs;te fra loro, come CR à CK; & come CK à CN, & come CN à CR.

Sia dopo la leua AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, co'l &longs;uo &longs;o&longs;tegno B; & il pe&longs;o CD habbia il centro O della grauezza &longs;otto la leua, & &longs;ia in A la po&longs;­&longs;anza &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o CD. Moua&longs;i dapoi la leua in BE, & BF, & &longs;i tra­&longs;porti il pe&longs;o in GH KL. Dico, che maggiore po&longs;&longs;anza per &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o &longs;i

ricerca in E, che in A; & maggiore in A che in F &longs;iano tirate da i centri delle grauezze le linee NM OP QR à piombo de gli orizonti, lequali allungate da la parte di NOQ &longs;i andranno à trouare nel centro del mondo. Mo&longs;tre­ra&longs;&longs;i parimente come di &longs;opra, che BM è maggiore di BP, & BP maggio­re di BR; & che BM ha proportione maggiore à BE, che BP à BA; & BP à BA maggiore che BR à BF: & per que&longs;to la po&longs;&longs;anza in E mag­giore è della po&longs;&longs;anza in A; & la po&longs;&longs;anza in A maggiore della po&longs;&longs;anza in F. & quanto la leua &longs;i alzerà più dal &longs;ito AB, mo&longs;trera&longs;&longs;i &longs;empre, che mag­giore po&longs;&longs;anza vi vuole à &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o: ma &longs;e abba&longs;&longs;eraßi, minore.

Per la 7. di questo.

Di quì è chiaro etiandio che le po&longs;&longs;anze po&longs;te in EAF co&longs;i tra loro &longs;ono, come BM à BP, & come BP à BR, & come BM à BR.

Di più &longs;e in B &longs;arà vn'altra po&longs;&longs;anza, per modo, che due po&longs;&longs;anze &longs;iano quelle che &longs;o&longs;tengano il pe&longs;o. Di maggiore po&longs;&longs;anza è bi&longs;ogno in B per &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o KL con la leua BF, che per &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o CD con la leua AB. & dauan­

taggio anco maggiore con la leua AB, che con la leua BE: peroche RF ha proportione maggiore ad FB, che PA ad AB; & PA ad AB mag­giore, che EM ad EB.

Similmente mo&longs;treraßi, che le po&longs;&longs;anze in B &longs;o&longs;tenenti il pe&longs;o con le leue tra loro co&longs;i e&longs;&longs;ere, come EM ad AP, & come AP ad FR, & come EM ad FR.

Oltre à ciò la po&longs;&longs;anza in B co&longs;i &longs;arà alla po&longs;&longs;anza in F, come RF ad RB; & la po&longs;&longs;anza in B alla po&longs;&longs;anza in A come PA à PB, & la po&longs;&longs;anza in B al­la po&longs;&longs;anza in E come EM ad MB.

Per lo 3. corrollario.

Per la 2. di questo.

Ma &longs;ia la leua AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, col &longs;uo &longs;o&longs;tegno B, & il pe&longs;o AC, il cui centro della grauezza &longs;ia &longs;ot­to la leua, & &longs;ia la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;te­nente il pe&longs;o in D, & moua&longs;i la le­ua in BE BF, & la po&longs;&longs;anza in GH; &longs;imil­mente mo&longs;trera&longs;&longs;i, che la po&longs;&longs;an­za in G è maggiore della po&longs;&longs;anza in D, & la po&longs;&longs;anza in D maggiore della

po&longs;&longs;anza in H. percioche KB ha proportione maggiore à BG, che BL à BD, & BL à BD maggiore che MB à BH. & à questa maniera mo&longs;trera&longs;&longs;i che quanto la leua più &longs;i alzerà dal &longs;ito AB, dauantaggio douere &longs;empre e&longs;&longs;ere maggior la po&longs;&longs;anza per &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o: & quanto più s'abba&longs;&longs;a, minore. che dimo&longs;trare era me&longs;tieri.

Similmente in que&longs;te, le po&longs;&longs;anze poste in GDH co&longs;i tra loro &longs;aranno, come BK à BL, & come BL à BM, & alla &longs;ine come BK à BM.

COROLLARIO.

Da que&longs;te co&longs;e etiandio è pale&longs;e, che &longs;e la po&longs;&longs;anza mouerà con la leua in sù vn pe&longs;o, che habbia il centro della grauezza &longs;otto la leua; Quanto più il pe&longs;o &longs;arà alzato, &longs;empre vi vorrà po&longs;­&longs;anza maggiore per mouere il pe&longs;o.

Imperoche &longs;e la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o è &longs;empre maggiore, &longs;arà parimente la po&longs;&longs;anza che moue il pe&longs;o &longs;empre maggiore.

Da que&longs;te co&longs;e anco &longs;i cauerà facilmente &longs;e &longs;arà il centro della grauezza dell'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o ò più da pre&longs;&longs;o, ò più da lunge dalla leua AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, che la po&longs;&longs;anza mede&longs;ima po&longs;ta in B &longs;o&longs;terrà il pe&longs;o. come &longs;e il centro L della grauezza del pe&longs;o AD fo&longs;&longs;e più da lunge dalla leua BA, che il centro N della grauezza del pe&longs;o PV, pur che la linea LK tirata dal punto L à piombo dell orizonte, & della leua AB pa&longs;&longs;i per N: &longs;imilmente come nella prece­

dente &longs;i mo&longs;trerà, che la po&longs;&longs;anza mede&longs;ima in B &longs;ostiene & il pe&longs;o AD, & il pe&longs;o PV. Ma nella leua EF quanto il centro della grauezza &longs;arà più da lunge dalla leua, tanto haurà me&longs;tieri di po&longs;&longs;anza maggiore per &longs;ostenere il pe&longs;o. co­me il centro M della grauezza del pe&longs;o FH &longs;ia più da lunge dalla leua EF, che il centro S della grauezza del pe&longs;o XZ. &longs;iano tirate da i punti MS le linee MI SG à piombo de gli orizonti; &longs;arà CI maggiore di CG: & perciò la po&longs;&longs;anza di E deue e&longs;&longs;ere maggiore &longs;o&longs;tenendo il pe&longs;o FH, che il pe&longs;o XZ. Ma per lo contrario &longs;i mo&longs;trerà nella leua OR, cioè che quanto il centro della grauezza dell'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o è più da lunge dalla leua, il pe&longs;o viene &longs;o&longs;tentato da po&longs;&longs;anza mino re. peroche minore è C*u de CT. & in modo &longs;imile demo&longs;traraßi ancora &longs;tando il pe&longs;o fra la po&longs;&longs;anza, & il &longs;o&longs;tegno, ouero la po&longs;&longs;anza tra il &longs;ostegno, & il pe&longs;o, ilche parimente auerrà alla po&longs;&longs;anza che moue; peroche doue po&longs;&longs;anza mino­re &longs;o&longs;tien il pe&longs;o, iui minore po&longs;&longs;anza lo mouerà. & doue vuole po&longs;&longs;anza maggio­re in &longs;o&longs;tentare, iui anco ella &longs;arà maggiore in mouere.

PROPOSITIONE X.

La po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o che habbia il centro della grauez­za nella i&longs;te&longs;&longs;a leua, &longs;ia pure in qual &longs;i voglia modo tra&longs;porta­to il pe&longs;o con la leua; vi &longs;arà &longs;empre me&longs;tieri della po&longs;&longs;anza i&longs;te&longs;&longs;a, acciò &longs;ia &longs;o&longs;tenuto.

Sia la leua AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, co'l &longs;uo &longs;o&longs;tegno C, & E cen­tro della grauezza del pe&longs;o &longs;ia in e&longs;&longs;a leua. Moua&longs;i dapoi la leua in FG, & HK,

& il centro della grauezza in LM. Dico che la mede&longs;ima po&longs;&longs;anza di KBG &longs;em­pre &longs;o&longs;terrà l'iste&longs;&longs;o pe&longs;o. Hor percioche il pe&longs;o nella leua AB è &longs;i fattamen­te di&longs;po&longs;to, come &longs;e egli fo&longs;&longs;e appiccato in E; & nella leua GF come &longs;e egli fo&longs;&longs;e appiccato in L; & nella leua HK, come &longs;e egli fo&longs;&longs;e appiccato in M; & le distanze CL CE CM &longs;ono tra loro eguali; & parimente CK CB CG pur tra loro eguali; &longs;arà la po&longs;&longs;anza in B al pe&longs;o, come CE à CB; & la po&longs;&longs;an­za in K al pe&longs;o, come CM à CK, & la po&longs;&longs;anza in G al pe&longs;o, come CL
à CG.
La po&longs;&longs;anza mede&longs;ma dunque in KBG &longs;osterrà il pe&longs;o mede&longs;mo tra&longs;portato in vari &longs;iti. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 5. di questo.

Similmente prouera&longs;&longs;i, &longs;e il pe&longs;o fo&longs;&longs;e tra la po&longs;&longs;anza, & il &longs;o&longs;tegno; ouero la po&longs;­&longs;anza tra il &longs;o&longs;tegno, & il pe&longs;o, che il mede&longs;imo auerrà alla po&longs;&longs;anza, che moue.

PROPOSITIONE XI.

Se la di&longs;tanza della leua tra il &longs;o&longs;tegno, & la po&longs;&longs;anza haurà pro­portione maggiore alla di&longs;tanza trapo&longs;ta dal &longs;o&longs;tegno al pun­to, doue dal centro della grauezza del pe&longs;o tirata vna linea à piombo dell'orizonte taglia la leua che non ha il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza; il pe&longs;o veramente &longs;arà mo&longs;&longs;o dalla po&longs;&longs;anza.

Sia la leua AB, & dal punto A appicchi&longs;i il pe&longs;o C; cioè il punto A &longs;empre &longs;ia quel punto, doue la linea tirata à piombo dal centro della grauezza del pe&longs;o ta­gli la leua; & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in B, & il &longs;ostegno D; & DB habbia à DA proportione maggiore, che il pe&longs;o C alla po&longs;&longs;anza in B. Dico che il pe&longs;o C &longs;a­rà mo&longs;&longs;o dalla po&longs;&longs;anza in B. Faccia&longs;i come BD à DA, co&longs;i il pe&longs;o E alla po&longs;&longs;anza in B; & appicchi&longs;i parimente il pe&longs;o E in A: egliè chiaro che la po&longs;­&longs;anza in B pe­&longs;a egualmente con e&longs;&longs;o E; cioè che &longs;o&longs;tiene il detto pe&longs;o E. & per­cioche BD ha proportion maggiore à DA che C alla po&longs;&longs;anza in B. & come BD à DA, co&longs;i

è il pe&longs;o F. alla po&longs;&longs;anza: adunque E haurà proportione maggiore alla po&longs;&longs;an­za, che il pe&longs;o C alla po&longs;&longs;anza i&longs;te&longs;&longs;a. Per laqual co&longs;a il pe&longs;o E &longs;arà maggiore del pe&longs;o C. & perche la po&longs;&longs;anza pe&longs;a egualmente con e&longs;&longs;o E; dunque la po&longs;&longs;anza non pe&longs;erà egualmente con e&longs;&longs;o C, ma per la forza &longs;ua inchinerà al ba&longs;&longs;o. dunque il pe&longs;o C &longs;arà mo&longs;&longs;o dalla po&longs;&longs;anza in B con la leua AB, il cui &longs;o&longs;tegno è in D.

Per la prima di questo.

Per la 10. del quinto.

Ma &longs;e la leua fo&longs;&longs;e AB, & il &longs;o&longs;tegno A, & il pe&longs;o C appiccato in D, & la po&longs;&longs;anza in B, & BA haue&longs;&longs;e proportione maggiore ad AD, che il pe&longs;o C alla po&longs;&longs;anza in B. Dico che il pe&longs;o C mouera&longs;&longs;i dalla po&longs;&longs;anza in B. faccia&longs;i come BA ad AD, co&longs;i il pe­&longs;o E alla po&longs;&longs;anza in B: & &longs;e E &longs;arà appiccato in D, la po&longs;&longs;anza in B &longs;o&longs;tenterà il pe­&longs;o E. Ma per hauere BA pro­portione maggiore ad AD, che il pe&longs;o C alla po&longs;&longs;anza in B; & come BA ad AD, co&longs;i è il pe&longs;o E alla po&longs;&longs;anza in B; dunque il pe&longs;o E haurà proportione maggiore alla po&longs;&longs;an

za che è in B, che il pe&longs;o C all'i&longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza: & perciò il pe&longs;o E &longs;arà maggio re del pe&longs;o C; & la po&longs;&longs;anza in B &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o E; dunque la po&longs;&longs;anza in B con la leua AB mouerà il pe&longs;o C minore del pe&longs;o E appiccato in D, il cui &longs;o­stegno è A.

Per la 2. di questo.

Per la 10. del quinto.

Sia da capo la leua AB, & il &longs;uo &longs;o&longs;tegno A, & il pe&longs;o C &longs;ia appiccato in B, & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in D: & DA habbia proportione maggiore ad AB, che il pe&longs;o C al­la po&longs;&longs;anza, che è in D. Di co che il pe&longs;o C &longs;arà mo&longs;&longs;o dal la poßanza che è in D. Fac­cia&longs;i come D A ad AB, co&longs;i il pe&longs;o E alla po&longs;&longs;anza,

che è in D; & &longs;ia il pe&longs;o E pendente dal punto B: la po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;ter­rà il pe&longs;o E. Ma DA tiene proportione maggiore ad AB, che C alla po&longs;­&longs;anza in D. & come DA ad AB, co&longs;i è il pe&longs;o E alla po&longs;&longs;anza in D; dunque il pe&longs;o E haurà proportione maggiore alla po&longs;&longs;anza che è in D, che il pe&longs;o C alla i&longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza. Per laqual co&longs;a il pe&longs;o E è maggiore del pe&longs;o C. Et percioche la po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o E, dunque la detta po&longs;&longs;anza in D mouerà il pe&longs;o C appiccato in B con la leua AB, il cui &longs;o&longs;tegno è A. che bi&longs;ognaua prouare.

Altramente.

Sia la leua AB, & il pe&longs;o C appiccato in A, & la po&longs;&longs;anza in B, & &longs;ia il &longs;o&longs;tegno D; & DB habbia proportione maggiore à DA, che il pe&longs;o C alla po&longs;&longs;anza in B. Dico che il pe­&longs;o C &longs;arà mo&longs;&longs;o dalla po&longs;&longs;an­za in B. Fac­cia&longs;i BE ad EA, come il

pe&longs;o C &longs;i ha inuer&longs;o la po&longs;&longs;anza, &longs;arà il punto E tra BD: percioche egli è me­&longs;tieri che BE habbia proportione minore ad EA, che DB à DA; & però BE &longs;arà minore di BD. & percioche la po&longs;&longs;anza in B &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o C ap­piccato in A con la leua AB, che hà il &longs;o&longs;tegno E; dunque minore po&longs;&longs;an­za po&longs;ta in B, che la data &longs;o&longs;terrà il pe&longs;o mede&longs;imo nel &longs;o&longs;tegno D. La po&longs;&longs;an­za data dunque po&longs;ta in B mouerà il pe&longs;o C con la leua AB, che ha il &longs;o&longs;te­gno in D.

Per la 1. di questo.

Sia dapoi la leua AB, & il &longs;uo &longs;o&longs;tegno in A, & il pe&longs;o C appiccato in D, & &longs;iala po&longs;&longs;anza in B; & AB habbia proportione maggiore ad AD, che il pe&longs;o C alla po&longs;&longs;anza in B. Di co che il pe&longs;o C &longs;i mouerà dalla po&longs;&longs;anza in B. Faccia&longs;i AB ad AE, come il pe&longs;o C alla po&longs;&longs;anza; &longs;arà &longs;imilmente il punto E tra BD, percioche egli è nece&longs;&longs;a­rio che AE &longs;ia maggiore di A D. & &longs;e il pe&longs;o C fo&longs;&longs;e appicca

to in E, la po&longs;&longs;anza in B lo &longs;o&longs;tentarebbe. ma po&longs;&longs;anza minore po&longs;ta in B, che la data &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o C appiccato in D; dunque la data po&longs;&longs;anza in B mo­uerà il pe&longs;o C appiccato in D con la leua AB, che ha il &longs;uo &longs;o&longs;tegno A.

Per la ottaua del 5.

Per la 2. di questo.

Per il 1. corollario del la 2. di questo.

Sia da capo la leua AB co'l &longs;o&longs;tegno &longs;uo A; & il pe&longs;o C &longs;ia appiccato in B, & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in D. & DA habbia proportione maggiore ad AB, che il pe&longs;o C alla po&longs;&longs;anza in D. Dico che il pe&longs;o C &longs;arà mo&longs;&longs;o dalla po&longs;&longs;an­za in D. faccia&longs;i come il pe&longs;o C a'la po&longs;&longs;anza, co&longs;i DA &longs;ia ad AE; &longs;arà AE maggiore di

AB; per e&longs;&longs;ere proportione maggiore da DA ad AB, che da DA ad AE. Che &longs;e il pe&longs;o C &longs;arà appiccato in E, egli è chiaro, che la po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;ter­rà il pe&longs;o C appiccato in E. Ma po&longs;&longs;anza minore che la data &longs;o&longs;tiene l'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o C in B; dunque la data po&longs;&longs;anza in D mouerà il pe&longs;o C appiccato in B, con la leua AB che hà il &longs;o&longs;tegno &longs;uo A. come bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 8. del quinto.

Per la 3. di questo.

Per il 1. corollario del la 3. di questo.

PROPOSITIONE XII.

PROBLEMA.

Fare che vna data po&longs;&longs;anza, moua vn pe&longs;o dato con vna data le­ua.

Sia il pe&longs;o A come cento, & la po&longs;&longs;anza che ha da mouere &longs;ia come diece; & &longs;ia la data leua BC. Egli è bi&longs;ogno che la po&longs;&longs;anza, che è diece moua il pe&longs;o A, che è cento, con la leua BC. Diuida&longs;i BC in D con &longs;i fatta maniera che CD habbia la proportione mede&longs;ima à DB, che ha cento à diece, cioè diece ad vno; per­

cioche &longs;e D &longs;i face&longs;&longs;e &longs;o&longs;tegno, egli è manife&longs;to, che la po&longs;&longs;anza in C come diece pe&longs;erà egualmente co'l pe&longs;o A appiccato in B, cioè che &longs;o&longs;terrà il pe&longs;o A. Prenda&longs;i tra BD qual &longs;i voglia punto, come E, & faccia&longs;i E il &longs;o&longs;tegno. Hor per­cioche maggiore è la proportione di CE ad EB, che di CD à DB; CE haurà proportione maggiore ad EB, che il pe&longs;o A alla po&longs;&longs;anza di diece po&longs;ta in C; dunque la po&longs;&longs;anza di diece po&longs;ta in C mouerà il pe&longs;o A, che è cento, appiccato in B con la leua BC, che ha il &longs;uo &longs;o&longs;tegno E.

Per la 1. di questo.

Per lo lemma di questo.

Per la 11. di questo.

Ma &longs;e la leua fo&longs;&longs;e BC, & il &longs;o&longs;tegno B. diuida&longs;i CB in D per &longs;i fatta maniera, che CB habbia la proportione i&longs;te&longs;&longs;a à BD, che ha cento à diece: & &longs;e il pe&longs;o A &longs;arà appiccato in D, & la po&longs;&longs;anza in C, la po&longs;&longs;an­za in C come diece &longs;o&longs;terrà anco il pe&longs;o A appiccato

in D. Prenda&longs;i qual &longs;i uoglia punto tra DB, come E, & ponga&longs;i il pe&longs;o A in E; & per e&longs;&longs;ere proportione maggiore da CB à BE, che da BC à BD; CB haurà proportione maggiore à BE, che il pe&longs;o A di cento alla po&longs;&longs;anza di diece. Dunque la po&longs;&longs;anza di diece po&longs;ta in C mouerà il pe&longs;o A di cento appiccato in E con la leua BC, che ha il &longs;o&longs;tegno &longs;uo B. che bi&longs;ognaua menar ad effetto.

Per la 2. di questo.

Per la ottaua del quinto.

Per la 11. di questo.

Ma ciò non &longs;i puote mandar' ad e&longs;ecutione con la leua BC, che habbia il &longs;o&longs;tegno &longs;uo in B, & il pe&longs;o A di cento &longs;ia appiccato in C. Percioche ponga&longs;i la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o A comunque &longs;i &longs;ia tra BC, come in D; &longs;empre la po&longs;&longs;anza &longs;arà maggiore del pe&longs;o A. Per laqual co&longs;a egli è me&longs;tieri che &longs;empre la data po&longs;­&longs;anza &longs;ia maggiore del pe&longs;o A. Sia dunque la po&longs;&longs;anza data, come cento cin­quanta. Diuida&longs;i BC in D &longs;i fattamente che CB &longs;ia à BD come cento cin­quanta à cento, cioè tre à due: & &longs;e la po&longs;&longs;anza &longs;arà po&longs;ta in D, egli è chiaro, che la po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;ter­rà il pe&longs;o A appiccato in C. & co&longs;i prenda&longs;i tra DC qual &longs;i voglia punto, come E, & ponga&longs;i la po&longs;&longs;anza mouente in E, & per e&longs;&longs;ere proportion maggiore da EB à BC, che da DB à BC; haurà EB proportione maggiore à BC, che il pe&longs;o A

alla po&longs;&longs;anza in E. Dunque la po&longs;&longs;anza di cento cinquanta po&longs;ta in E mouerà il pe&longs;o A di cento appiccato in C con la leua BC che hà il &longs;o&longs;tegno B. come bi­&longs;ognaua oprare.

Per il 2. corollario della 3. di questo.

Per la 3. di questo.

Per la 8. del quinto.

Per la 11. di questo.

COROLLARIO.

Di qui è manife&longs;to, &longs;e la data po&longs;&longs;anza &longs;arà maggiore del dato pe&longs;o, que&longs;to poter&longs;i fare, ouero &longs;tando in maniera la leua, che il &longs;o&longs;tegno &longs;uo &longs;ia fra il pe&longs;o, & la po&longs;&longs;anza; ouero che el­la habbia il pe&longs;o fra il &longs;o&longs;tegno, & la po&longs;&longs;anza; ouero alla fine e&longs;&longs;endo po&longs;ta la po&longs;&longs;anza fra il pe&longs;o, & il &longs;o&longs;tegno.

Ma &longs;e la data po&longs;&longs;anza &longs;arà minore, ouero eguale al dato pe&longs;o, egli è parimente chiaro, che il mede&longs;imo &longs;i puote mandare ad e&longs;ecutione &longs;olamente &longs;tando la leua in maniera, che il &longs;o&longs;te­gno &longs;uo &longs;ia tra il pe&longs;o, & la po&longs;&longs;anza; ouero che ella habbia il pe&longs;o fra il &longs;o&longs;tegno, & la po&longs;&longs;anza.

PROPOSITIONE XIII.

PROBLEMA.

Dati quanti &longs;i voglian pe&longs;i appiccati douunque &longs;i &longs;iano nella leua il cui &longs;o&longs;tegno parimente &longs;ia dato, ritrouare vna po&longs;&longs;anza la quale &longs;o&longs;tenga i dati pe&longs;i in vn punto dato.

Siano i dati pe&longs;i ABC nella leua DE, & il &longs;o&longs;tegno &longs;uo F, douunque ne' pun­ti DGH &longs;iano appiccati, & habbia&longs;i à collocare la po&longs;&longs;anza nel punto E. egli è me&longs;tieri trouare la po&longs;&longs;anza, laquale &longs;o&longs;tenga in E i dati pe&longs;i ABC con la le ua DE. diuida&longs;i DG in K &longs;i fattamente, che DK &longs;ia à KG come il pe­&longs;o B al pe&longs;o A; dapoi diuida&longs;i KH in L &longs;i fattamente, che KL &longs;ia ad LH come il pe&longs;o C à i pe&longs;i BA, & come FE ad FL, co&longs;i faccian&longs;i i pe&longs;i ABC

tutti in&longs;ieme alla po&longs;&longs;anza, laquale ponga&longs;i in E. dico, che la po&longs;&longs;anza in E. &longs;o­&longs;tenterà i dati pe&longs;i ABC appiccati in DGH con la leua DE che ha il &longs;o&longs;te­gno &longs;uo F. Hor percioche &longs;e i pe&longs;i ABC fo&longs;&longs;ero appiccati in&longs;ieme in L, la po&longs;&longs;anza in E &longs;o&longs;terrebbe i dati pe&longs;i appiccati in L; ma i pe&longs;i ABC pe&longs;ano tan­to in L, quanto &longs;e C in H, & BA in&longs;ieme fo&longs;&longs;ero appiccati in K; & AB nel K tanto pe&longs;ano, quanto &longs;e A in D, & B in G fo&longs;&longs;ero appiccati; dun­què la po&longs;&longs;anza in E &longs;o&longs;tenterà i dati pe&longs;i ABC appiccati in DGH con la leua DE che ha il &longs;o&longs;tegno F. Che &longs;e la po&longs;&longs;anza haue&longs;&longs;e ad e&longs;&longs;ere po&longs;ta in qual &longs;i voglia altro punto dalla leua DE fuor che in F, come in K; faccia&longs;i come FK ad FL, co&longs;i i pe&longs;i ABC &longs;iano alla po&longs;&longs;anza: &longs;imilmente dimo&longs;treremo, che la po&longs;&longs;anza in K &longs;o&longs;terrà i pe&longs;i ABC ne' punti DGH appiccati. come bi&longs;ognaua fare.

Per la 1. di questo.

Per la 5. di questo della bilancia.

Per la 2. di questo.

Da que&longs;ta, & dalla quinta di que&longs;to, &longs;e i pe&longs;i ABC &longs;aranno po&longs;ti in qual &longs;i voglia modo nella leua DE, & che bi&longs;ogni ritrouare la po&longs;&longs;anza, la quale debba &longs;o&longs;te­nere in E i dati pe&longs;i &longs;iano tirate da i centri delle grauezze de i pe&longs;i le linee AB C à piombo de gli orizonti, lequali taglino la leua DE ne' punti DGH; & &longs;i operino le altre co&longs;e nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo: egli è manife&longs;to, che la po&longs;&longs;anza in E,

ouero in K &longs;o&longs;tenterà i dati pe&longs;i, percioche egli è l'i&longs;te&longs;&longs;o come &longs;e i pe&longs;i fo&longs;&longs;ero appiccati in DGH.

PROPOSITIONE XIIII.

PROBLEMA.

Fare che vna data po&longs;&longs;anza moua quanti pe&longs;i &longs;i vogliano, po&longs;ti douunque, & in qualunque modo &longs;i &longs;ia in vna data leua.

Sia la data leua DE, & &longs;iano i dati pe&longs;i, come è po&longs;to nel precedente corollario, & &longs;ia A come cento, B come cinquanta, & C come trenta; & la data po&longs;&longs;an­za &longs;ia come trenta. &longs;iano po&longs;te le co&longs;e mede&longs;ime, & ritroui&longs;i il punto L; dapoi

diuida&longs;i LE in F, &longs;i fattamente che FE ad FL &longs;ia come cento ottanta à trenta, cioè &longs;ei ad vno, & &longs;e F &longs;i face&longs;&longs;e &longs;o&longs;tegno, la po&longs;&longs;anza come trenta in E &longs;o&longs;terrebbe i pe&longs;i ABC. pigli&longs;i dunque tra LF qualunque punto come M, & faccia&longs;i M il &longs;o&longs;tegno: egli è manife&longs;to, che la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in E co­
me trenta mouerài pe&longs;i ABC come cento ottanta con la leua DE.
che bi&longs;o­gnaua mo&longs;trare.

Per la 13. di questo.

Per la 11. di questo.

Ma ciò non potremo già vniuer&longs;almente menare ad effetto, &longs;e il &longs;o&longs;tegno fo&longs;&longs;e nelle &longs;tremità della leua, come in D; peroche la proportione di DE à DL, cioè la proportione de' pe&longs;i ABC alla po&longs;&longs;anza, laquale ha da &longs;o&longs;tenere i pe&longs;i &longs;empre è data. Laqual co&longs;a molto meno anco &longs;i potrebbe fare, &longs;e la po&longs;&longs;anza &longs;i haue&longs;&longs;e à porre tra DL.

PROPOSITIONE XV.

PROBLEMA.

Ma percioche mentre i pe&longs;i &longs;i mouono con la leua, ha la leua an­cora grauezza, della quale infin qui non &longs;i è fatto mentione alcuna: però dimo&longs;triamo primieramente in che modo &longs;i troui la po&longs;&longs;anza, la quale &longs;o&longs;tenga nel dato punto la leua data, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia parimente dato.

Sia la leua data AB, il cui &longs;o&longs;tegno C &longs;ia dato: & &longs;ia il punto D nelquale &longs;i habbia à collocare la po&longs;&longs;anza, che debba &longs;o&longs;tentare la leua AB, &longs;i fattamente che re&longs;ti immobile. &longs;ia dal punto C tirata la linea CE à piombo dell'orizonte la quale diuida la leua AB in due parti AE EF; & della parte AE &longs;ia il centro G della grauezza, & della parte EF il centro del'a grauezza &longs;ia H, & dai punti GH &longs;iano tirate le linee GK HL à piombo de gli orizonti, lequali taglino la linea AF ne' punti KL. Hor percioche la leua AB è diui­&longs;a dalla linea CE in due parti, cioè AE EF; però la leua AB, niente altro &longs;arà, che due pe&longs;i AE EF nella leua, ouero bilancia AF po&longs;ti; il cui appicca mento, ouero &longs;o&longs;tegno è C. Per laqual co&longs;a i pe&longs;i AE EF &longs;aranno co&longs;i po&longs;ti,

come &longs;e fo&longs;&longs;ero appiccati in KL. Diuida&longs;i dunque KL in M, &longs;i fattamente, che KM &longs;ia ad ML come la grauezza della parte EF alla grauezza della parte AE; & come CA à CM, co&longs;i faccia&longs;i la grauezza di tutta la leua AB alla po&longs;&longs;anza, laquale &longs;e in D &longs;arà collocata (pur che DA &longs;ia à piombo dell'orizonte) pe&longs;erà egualmente con la leua; cioè &longs;o&longs;terrà la leua AB premendo in giù, che bi&longs;ognaua trouare.

Per la 13. di questo.

Che &longs;e la po&longs;&longs;anza &longs;i haue&longs;&longs;e à porre nel punto B. Faccia&longs;i come CF à CM, co&longs;i il pe&longs;o AB alla po&longs;&longs;anza. Con &longs;imile modo prouera&longs;&longs;i che la po&longs;&longs;anza in B &longs;o&longs;terrà la leua AB. & l'i&longs;te&longs;&longs;o d mo&longs;trera&longs;&longs;i in qualunque altro &longs;ito s'haue&longs;­&longs;e à porre la po&longs;&longs;anza, (fuor che in E) come in N. peroche faccia&longs;i CO à CM come AB alla po&longs;&longs;anza, laquale &longs;e &longs;i porrà in N &longs;o&longs;tenterà la leua AB.

Ma aggiunga &longs;i il pe&longs;o appiccato, ouero po&longs;to nella leua; come, po&longs;te le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e, fia il pe&longs;o P appiccato in A; & la po&longs;­&longs;anza s'habbia à porre in B, &longs;i fattamente che &longs;o&longs;tenghi la le ua AB in&longs;ieme col pe&longs;o P.

Diuida&longs;i AM in Q, &longs;i fattamente, che AQ &longs;ia à QM, come la grauezza della leua AB alla grauezza del pe&longs;o P; dapoi come CF à CQ, co&longs;i fac­cia&longs;i la grauezza AB, & P in&longs;ieme alla po&longs;&longs;anza, la quale ponga&longs;i in B: egli è manife&longs;to, che la po&longs;&longs;anza in B &longs;o&longs;terrà la leua AB in&longs;ieme co'l pe&longs;o P. Che &longs;e fo&longs;&longs;e CA à CM, come AB à P; &longs;arebbe il punto C il loro centro della grauezza, & perciò la leua AB in&longs;ieme co'l pe&longs;o P &longs;enza la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in B &longs;tarà ferma. Ma &longs;e il centro della grauezza de' pe&longs;i fo&longs;&longs;e tra CF, come in O. Faccia&longs;i come CF à CO, co&longs;i AB & P in&longs;ieme alla po&longs;&longs;anza, laqua­le in B &longs;o&longs;tenterà sì la leua AB come il pe&longs;o P.

Per la 13 di questo.

Per la 6. di Archimede delle cose che egualmente pe&longs;ano.

Similmente mo&longs;trera&longs;&longs;i il mede&longs;imo &longs;e fo&longs;&longs;ero più pe&longs;i nella leua AB douunque, & in qual modo &longs;i &longs;ia di&longs;po&longs;ti.

Oltre à ciò da que&longs;te co&longs;e &longs;i puote cono&longs;cere, come nella decimaquarta propo&longs;itione di que&longs;to habbiamo in&longs;egnato, in che modo cioè po&longs;&longs;iamo mouere i dati pe&longs;i po&longs;ti douunque &longs;i voglia nella leua, con vna data po&longs;&longs;anza, e con vna data leua, ilche po&longs;­&longs;iamo fare nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo non &longs;olamente con&longs;iderando la grauezza della leua; ma anco gli altri accidenti, iquali &longs;ono &longs;tati di &longs;opra mo&longs;trati &longs;enza la grauezza del­la leua; con &longs;imile modo con&longs;iderata la grauezza della leua in&longs;ieme co' pe&longs;i, ouero &longs;enza pe&longs;i &longs;i mo&longs;treranno.

IL FINE DELLA LEVA.

DELLA TAGLIA.

Con l'in&longs;trumento della Taglia &longs;i può mouere il pe&longs;o in molti modi: ma percioche in tutti è la ragio­ne mede&longs;ima: però affine che la co&longs;a re&longs;ti più chia­ra, intenda&longs;i in quello che &longs;i ha da dire, che il pe­&longs;o &longs;empre &longs;i habbia da mouere all'insù ad angoli retti al piano dell'orizonte in que&longs;to modo.

Sia il pe&longs;o A ilquale &longs;i habbia ad alzare in sù ad angoli retti al piano dell'orizonte: & come &longs;i co&longs;tuma di fare: &longs;ia attaccata di &longs;opra vna taglia, che habbia due girelle, gli a&longs;&longs;etti dellequali &longs;iano in BC: & &longs;ia anche legata vn'altra taglia al pe&longs;o, laquale &longs;imilmente habbia due girelle, gli a&longs;&longs;etti delle qua­li &longs;iano in DE: & per tutte le girelle d'ambedue le taglie &longs;ia condotta intorno la corda, la­quale in vno de i capi, come in F deue e&longs;&longs;ere legata. Ponga&longs;i ancorala po&longs;&longs;anza che moue in G, laquale mentre di&longs;cende, il pe&longs;o A per lo contrario &longs;arà le­uato in &longs;u&longs;o, &longs;i come afferma Papo nell'ottauo libro delle rac­colte matematiche, & Vitruuio nel decimo dell'architettura, & altri.

Hor in che modo que&longs;to in&longs;trumento della ta­glia &longs;i riduca alla leua, & perche vn pe&longs;o gran­de &longs;i moua da piccola forza, & in qual modo, & in quanto tempo; & perche la corda debba e&longs;&longs;ere legata da vn ca­po: & quale debba e&longs;­&longs;ere l'officio della ta­glia, che è po&longs;ta di &longs;ot­to, & quale di quella, che &longs;tà di &longs;opra, & in che modo &longs;i po&longs;&longs;a tro­uare ogni proportio­ne data ne i numeri tra la po&longs;&longs;anza, & il pe&longs;o, diciamo.

LEMMA.

Siano due linee rette AB CD egualmente di&longs;tanti, lequali tocchino il cerchio ACE ne' punti AC, il centro delqual cerchio &longs;ia F, & &longs;i congiunghino FA & FC. dico che la linea AFC è retta.

Tiri&longs;i la linea FE egualmente di&longs;tante dal­le linee AB CD. Et percioche AB & FE &longs;ono egualmente di&longs;tanti, & l'angolo BAF èretto: &longs;arà anco A FE retto, & all'i&longs;te&longs;&longs;o modo CFE &longs;arà retto: adunque la linea AFC èret­ta, ilche s'hauea à dimo&longs;trare.

Per la 18. del terzo.

Per la 29. del primo.

Per la 14. del primo.

PROPOSITIONE I.

Se la corda &longs;i condurrà intorno alla girella della taglia, che &longs;ia attaccata di &longs;opra, & che vno delli &longs;uoi capi &longs;i leghi al pe&longs;o, & l'altro tratanto &longs;ia pre&longs;o dalla po&longs;sanza, che &longs;o&longs;tiene il detto pe&longs;o; la po&longs;sanza &longs;arà eguale al pe&longs;o.

Sia il pe&longs;o A alquale venga legata la corda à B: & la taglia, che habbia la girella CEF il cui centro D appicchi&longs;i di &longs;opra: & &longs;ia parimente D il centro dell'a&longs;&longs;etto, & d'intorno alla girella volga&longs;i la corda BCEFG: & &longs;ia in G la po&longs;­&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A. Dico la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in G e&longs;&longs;ere eguale al pe­&longs;o A. &longs;ia FG egualmente di­&longs;tante da CB. Percioche dun­que il pe&longs;o A &longs;ta fermo, &longs;a­rà CB à piombo del piano dell'orizonte. onde FG &longs;a­rà al piano i&longs;te&longs;&longs;o à piom­bo. Siano i punti CF nel­la girella, da quali le corde CB FG &longs;cendano nel pia­no dell'orizonte ad angoli retti, tocche­ranno le dette corde BC FG la girella CE

F ne'punti CF peroche non po&longs;&longs;ono &longs;egare la girella. Siano congiunte le li­nee DC DF. &longs;arà retta la linea CF & &longs;aranno anche retti gli angoli DCB DFG. Ma percioche BC &longs;ta à piombo sì all'orizonte, come ad e&longs;&longs;a CF &longs;arà la detta CF egualmente di&longs;tante dall'orizonte. & concio&longs;ia che il pe&longs;o &longs;ia attac­cato in CB & la po&longs;&longs;anza &longs;ia in G ch'è il mede&longs;imo, come &longs;e ella fo&longs;&longs;e in F: &longs;arà CF tanto quanto vna bilancia, ouero vna leua, il cui centro, ouero &longs;o&longs;tegno &longs;arà D, imperoche la girella è &longs;o&longs;tenuta nell'a&longs;&longs;etto, & il punto D per e&longs;&longs;ere centro dell'a&longs;&longs;etto, & della girella rimane immobile, &longs;e ben l'vno, & l'altro &longs;i volgono intorno. Per laqual co&longs;a e&longs;&longs;endo la di&longs;tanza DC eguale alla di&longs;tanza DF, & la po&longs;&longs;anza che è in F contrape&longs;i egualmente al pe&longs;o A attaccato in C &longs;o­&longs;tenendo il pe&longs;o in modo, che non cala al ba&longs;&longs;o, &longs;arà la po&longs;&longs;anza a&longs;&longs;egnata in F ouero in G che è tutt'vno, eguale al pe&longs;o A: percioche po&longs;ta in G fa l'i&longs;te&longs;&longs;o effetto che &longs;e nel mede&longs;imo G fo&longs;&longs;e appiccato vn'altro pe&longs;o eguale al pe&longs;o A, liquali pe&longs;i attaccati in CF contrape&longs;eranno egualmente. Oltre à ciò non facendo&longs;i moto in niuna delle parti, &longs;arà l'i&longs;te&longs;&longs;o e&longs;&longs;endo circondata in que&longs;to modo la girella intor­no con vna corda &longs;ola BC e FG come &longs;e fu&longs;&longs;ero due corde BC FG legate alla leua, ouero alla bilancia CF.

Per la 8. di questo della bilancia.

Per la ottaua dell'vndecimo.

Per la 18. del terzo.

Per la 28. del primo.

Per la 1. del 1. d'Archimede delle co&longs;e che pe&longs;ano egualmente:.

COROLLARIO.

Da que&longs;to può e&longs;&longs;ere manife&longs;to, che il mede&longs;imo pe&longs;o dalla i&longs;te&longs;­&longs;a po&longs;&longs;anza puote e&longs;&longs;ere tuttauia &longs;o&longs;tenuto &longs;enza anche alcu­no aiuto di que&longs;ta taglia.

Percioche &longs;ia il pe&longs;o H eguale al pe&longs;o A à cui &longs;ia legata la corda KL & &longs;iala po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o H in L. Hor concio&longs;ia che volendo &longs;o&longs;tenere al­cun pe&longs;o &longs;enza aiuto veruno vi bi&longs;ogni tanta forza, quanta &longs;ia eguale al pe&longs;o; la po&longs;&longs;anza che è in L &longs;arà eguale al pe&longs;o H, ma il pe&longs;o H è po&longs;to eguale al pe&longs;o A, alquale è anco eguale la po&longs;&longs;anza G. &longs;arà dun­que la po&longs;&longs;anza in G eguale alla po&longs;&longs;anza in L che è l'i&longs;te&longs;&longs;o, come &longs;e la i&longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tene&longs;&longs;e il pe&longs;o mede&longs;imo. Oltre à ciò &longs;e le po&longs;&longs;anze, lequali &longs;ono in G & in L &longs;o&longs;&longs;ero eguali fra loro, & poi &longs;epara­tamente dai pe&longs;i minori, è co&longs;a chiara, che le dette po&longs;&longs;anze non &longs;arebbono &longs;ufficienti à &longs;o&longs;tenere quei pe&longs;i che &longs;e que&longs;te po&longs;&longs;anze &longs;aranno maggiori, egli è manife&longs;to, che e&longs;&longs;e mo­ueranno i pe&longs;i. & co&longs;i la po&longs;&longs;anza in L col pe&longs;o H venirà ad e&longs;&longs;e­re nella proportione mede&longs;ima, co­me la po&longs;&longs;anza in G col pe&longs;o A.

Ma perche nella dimo&longs;tratione è &longs;tato pre&longs;uppo&longs;to che l'a&longs;&longs;etto &longs;i volga in torno, ilquale il più delle volte &longs;tà immobile, però &longs;tando anche immobile il detto a&longs;&longs;etto dimo&longs;tri&longs;i l'i&longs;te&longs;&longs;o.

Sia la girella della taglia CEF, il cui centro &longs;ia D, & &longs;ia l'a&longs;&longs;etto GHK, il cen­tro delquale &longs;ia mede&longs;imamente D: Tiri&longs;i il diametro CGDKF egualmente di&longs;tante dall'orizonte. et percioche mentre la girella &longs;i volge, la circonferenza del cerchio CEF &longs;empre va egual­mente di&longs;tante alla circonferenza del­l'a&longs;&longs;etto GHK: percioche ella &longs;i volge intorno à l'a&longs;&longs;etto, & le circonferenze de' cerchi egualmente di&longs;tanti hanno il centro mede&longs;imo, &longs;arà il pun­to D &longs;empre centro & della girella, & dell'a&longs;&longs;etto. Per laqual co&longs;a e&longs;&longs;en­do DC eguale à DF & DG ad e&longs;&longs;o DK, &longs;arà GC ad e&longs;&longs;o KF eguale. Se dunque nella leua, ouero bilan­cia CF &longs;i attaccheranno pe&longs;i eguali, contrape&longs;eranno egualmente, peroche la di&longs;tanza CG è eguale alla di&longs;tan­za KF, & l'a&longs;&longs;etto GHK immobile &longs;erue per centro, ouero per &longs;o&longs;tegno. Stando dunque immobile l'a&longs;&longs;etto, &longs;e la po&longs;&longs;anza &longs;i metterà in F che &longs;o&longs;tenga il pe&longs;o appiccato in C, &longs;arà la po&longs;&longs;anza in F ad e&longs;&longs;o pe&longs;o eguale, ilche era da mo&longs;trare.

Et concio&longs;ia che del tutto &longs;ia il mede&longs;imo, che l'a&longs;&longs;etto ouero &longs;i volga intorno, ò non &longs;i volga: però &longs;ia lecito nelle co&longs;e, che &longs;i hanno à dire, prendere in loco dello a&longs;&longs;etto il centro &longs;olamente.

PROPOSITIONE II.

Se la corda &longs;i condurrà intorno alla girella della taglia, che &longs;ia legata al pe&longs;o, legando l'vn de' capi &longs;uoi in qualche loco, & l'altro &longs;ia pre&longs;o dalla po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o, &longs;arà la po&longs;­&longs;anza la metà meno del pe&longs;o.

Sia il pe&longs;o A. &longs;ia BCD la girella della taglia legata al pe&longs;o, il cui centro &longs;ia E, &longs;ia dapoi inuolta d'intorno la girella la corda FBCDG, & legata in F, & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in G che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A. Dico che la po&longs;&longs;anza in G è la metà meno del pe&longs;o A. Siano le corde FB GD perpendicolari all' orizonte del punto E, lequali &longs;aranno fra loro egualmente di&longs;tanti: & tocchino le dette corde FBGD, il cerchio BCD ne i punti BD: congiunga&longs;i la linea BD ella pa&longs;­&longs;erà per E centro, & &longs;arà egualmente di&longs;tante dall'orìzonte di e&longs;&longs;o centro, & concio&longs;ia che la G po&longs;&longs;anza debba &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o A con la taglia; bi&longs;ogna, che la corda &longs;ia legata dal'vno de' capi, come in F, &longs;i fattamente, che F fac­cia re&longs;i&longs;tenza egualmente almeno alla po&longs;&longs;anza, ch'è in G, altramente e&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza in G non potrebbe à modo alcuno &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o. Et perche la po&longs;&longs;anza

&longs;o&longs;tiene la girella mediante la corda, & la girella &longs;o&longs;tiene la parte re&longs;tante della taglia mediante l'a&longs;&longs;etto, allaqual taglia il pe&longs;o è appiccato, pe&longs;erà que&longs;ta parte del­la taglia nell'a&longs;&longs;etto, cioè nel centro E: onde il pe&longs;o A pe&longs;erà &longs;imilmente nel mede&longs;imo centro E, come &longs;e egli fo&longs;&longs;e appiccato in E. Po&longs;ta dunque la po&longs;&longs;anza che stà in G doue è D (perche egli è totalmente il mede&longs;imo) &longs;arà BD come vna lèua, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;arà B, & il pe&longs;o attaccato in E, & la po&longs;&longs;anza in D: & e&longs;&longs;endo la corda FB immobile, conueneuolmente il B puote &longs;eruire per &longs;o­&longs;tegno. Ma ciò più chiaramente apparerà dapoi. Hora percioche la po&longs;&longs;anza al pe&longs;o ha la proportione mede&longs;ima, che hà BE à BD, & BE in proportione è la metà manco di BD: dunque la po&longs;&longs;anza che è in G &longs;arà la metà meno del pe&longs;o A. Che bi&longs;ognaua dimo&longs;trare.

Per la &longs;esta dell'vndecimo.

Per la procedense.

Per la 2. di questo nella leua.

Que&longs;to dunque &longs;tà nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo con vna corda &longs;ola FBCDG condotta intor­no alla girella, come &longs;e fo&longs;&longs;ero due corde BF GD legate alla leua BD, il cui

&longs;o&longs;tegno &longs;arà B, & il pe&longs;o fo&longs;&longs;e attaccato in E & la po&longs;&longs;anza, che lo &longs;o&longs;tiene fo&longs;&longs;e in D, ouero in G che è l'iste&longs;&longs;o.

COROLLARIO I.

Da que&longs;to dunque è manife&longs;to, che il pe&longs;o è &longs;o&longs;tenuto à que&longs;to modo da po&longs;&longs;anza minore in proportlone della metà meno, di quel che &longs;arebbe &longs;enza aiuto veruno di cotale taglia.

Come &longs;ia il pe&longs;o H eguale al pe&longs;o A, alquale &longs;ia lega­tala corda KL, & la po&longs;­&longs;anza, che è in L &longs;o&longs;ten­ga il pe&longs;o H, &longs;arà la po&longs;­&longs;anza in L &longs;eparatamente eguale al pe&longs;o H, & al pe&longs;o A; ma la po&longs;&longs;an­za, che è in G in propor­tione è la metà manco del pe&longs;o A. Per laqual co&longs;a la po&longs;&longs;anza che è in G &longs;a­rà la metà meno in propor­tione della po&longs;&longs;anza, che è in L, & in que&longs;to modo ne gli altri tutti di que&longs;ta maniera &longs;i potrà ritrouare la proportione.

COROLLARIO II.

Egli è manife&longs;to ancora, &longs;e &longs;aranno due po&longs;&longs;anze l'vna in G & l'altra in F, lequali &longs;o&longs;tengano il pe&longs;o A, che l'vna, & l'al­tra in&longs;ieme &longs;aranno eguali al pe&longs;o A, & cia&longs;cheduna di loro &longs;o&longs;terrà la metà del pe&longs;o A.

Et que&longs;to è manife&longs;to dal terzo & dal quarto corollario del &longs;econdo di que&longs;to nel trattato della leua.

COROLLARIO III.

Oltre à ciò que&longs;to parimente &longs;i fa noto, perche cioè la corda debba e&longs;&longs;ere legata nell'vno de' capi.

PROPOSITIONE III.

Se à cia&longs;cuna dell'vna, & l'altra girella delle due taglie, l'vna delle quali &longs;ia po&longs;ta di &longs;opra, & l'altra di &longs;otto, & que&longs;ta &longs;ia lega­ta al pe&longs;o; &longs;arà condotta intorno la corda: legando l'vno de' capi in qualche loco, & l'altro &longs;ia tenuto dalla po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o, &longs;arà la po&longs;&longs;anza la metà meno del pe&longs;o.

Sia il pe&longs;o A, &longs;ia BCD la girella della taglia, che &longs;ia legata al pe&longs;o A, il cui centro &longs;ia K, & EFG &longs;ia la girella della taglia appiccata di opra, il cui cen­tro &longs;ia H, dapoi &longs;ia condotta intorno le girelle la corda LBCDMEFGN laquale &longs;ia legata in L, & &longs;ia la po&longs;­&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A in N. Dico la po&longs;&longs;anza, che &longs;ta in N e&longs;&longs;e­re la metà meno del pe&longs;o A. Percio­che &longs;e la po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A fo&longs;&longs;e collocata doue &longs;ta M, &longs;areb­be per certo la po&longs;&longs;anza in M la metà meno del pe&longs;o A: & alla po&longs;&longs;anza in M è eguale la forza di N, percioche egli è come &longs;e la po&longs;&longs;anza in M &longs;o&longs;te­ne&longs;&longs;e la metà del pe&longs;o A &longs;enza taglia, alquale egualmente contrape&longs;a il pe&longs;o che è in N per e&longs;&longs;ere eguale alla metà del pe&longs;o A. Per laqual co&longs;a la forza in N che è alla metà del pe&longs;o A eguale, &longs;o­&longs;tenirà e&longs;&longs;o A. La po&longs;&longs;anza dunque in N che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A, è la metà meno di e&longs;&longs;o A. che bi&longs;ognaua mo­&longs;trare.

Per la 8. di questo.

Per la 1. di questo.

Ma &longs;e, come nella &longs;econda figura, la corda BCDEFGHKL &longs;arà inuolta d'intorno à le girelle, & legata in B: & la po&longs;&longs;anza in L &longs;o&longs;tenga il pe&longs;o A, &longs;arà &longs;imilmente la po&longs;&longs;anza in L la metà meno del pe&longs;o: Peroche la girella della taglia di &longs;o­pra, & la taglia i&longs;te&longs;&longs;a &longs;ono del tut­to inutili: & è il mede&longs;imo, come &longs;e la corda fo&longs;&longs;e legata in F, & che la po&longs;&longs;anza in L &longs;o&longs;tene&longs;&longs;e il pe&longs;o con la &longs;ola taglia legata al pe&longs;o, la qual po&longs;&longs;anza è &longs;tata dimo&longs;trata e&longs;­&longs;ere la metà meno del pe&longs;o A.

COROLLARIO.

Seguita da que&longs;te co&longs;e, che &longs;e &longs;aranno due po&longs;&longs;anze in BL, am­bedue tra loro &longs;aranno eguali.

Percioche ogn'vna di loro da per &longs;e è la metàmeno di e&longs;&longs;o A.

PROPOSITIONE IIII.

Sia la leua AB, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia A, laqual leua &longs;ia diui&longs;a in due parti eguali in D, & &longs;ia il pe&longs;o C appiccato in D, & &longs;iano due po&longs;&longs;anze eguali in BD, che &longs;o&longs;tengano il pe&longs;o C. Dico, che ogn'vna di que&longs;te po&longs;&longs;anze po&longs;te in BD è vn ter­zo del pe&longs;o C.

Hor percioche vna delle due po&longs;&longs;anze è collocata in D, & il pe&longs;o C &longs;tà appiccato all'i&longs;te&longs;&longs;o punto D. La po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;ienirà la parte del pe&longs;o C, che &longs;arà eguale ad e&longs;&longs;a po&longs;&longs;an­za D. Per laqual co &longs;ala po&longs;&longs;anza in B &longs;o&longs;tenirà l'altra parte re &longs;tante, laqual parte &longs;a rà il doppio tanto, quanto è la po&longs;&longs;anza di B, e&longs;&longs;endo che il pe&longs;o ver&longs;o la po&longs;&longs;anza ha la proportione i&longs;te&longs;&longs;a, che

ha AB ad AD: & le po&longs;&longs;anze po&longs;te in BD &longs;ono eguali, adunque la po&longs;­&longs;anza, che è in B &longs;o&longs;tenirà il doppio più di quello, che &longs;o&longs;tenirà la po&longs;&longs;anza, che è in D. Diuida&longs;i dunque il pe&longs;o C in due parti, l'vna delle quali &longs;ia il doppio del­l'altra: ilche &longs;i farà, &longs;e lo diuideremo in tre parti eguali EFG, & all'hora FG &longs;arà il doppio di E. Co&longs;i la po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;tenirà la parte E, & la po&longs;&longs;anza in B le altre due parti FG. Ambedue dunque le po&longs;&longs;anze po&longs;te in BD tra loro eguali &longs;o&longs;terranno in&longs;ieme tutto il pe&longs;o C. & perche la po&longs;&longs;anza in D &longs;o&longs;tie­ne la parte E, laquale è la terza parte del pe&longs;o C, & ad e&longs;&longs;o è eguale, &longs;arà la po&longs;­&longs;anza in D vn terzo del pe&longs;o C: & concio&longs;ia che la po&longs;&longs;anza di B &longs;o&longs;tenga le parti FG, la po&longs;&longs;anza dellequali po&longs;ta in B è la metà meno: &longs;arà la po&longs;&longs;anza in B all'vna delle parti FG, come alla G eguale. & il G è la terza parte del pe&longs;o C. La po&longs;&longs;anza dunque in B &longs;arà il terzo del pe&longs;o C. Cia&longs;cuna delle po&longs;&longs;anze dunque in BD è vn terzo del pe&longs;o C, che bi&longs;ognaua dimo&longs;trare.

Et &longs;e fo&longs;&longs;ero due leue AB EF diui&longs;e in due parti eguali in GD, i &longs;o&longs;tegni delle­quali fo&longs;&longs;ero AF, & il pe&longs;o C fo&longs;&longs;e appiccato all'vna, & l'altra leua in DG

&longs;i fattamente, però che pe&longs;a&longs;&longs;e egualmente nell'vna, & l'altra: & fo&longs;&longs;ero due po&longs;­&longs;anze eguali in BG. Si dimo&longs;trerà con ragione in tutto mede&longs;ima, che ogn'vna delle po&longs;&longs;anze po&longs;te in B & G è vn terzo del pe&longs;o C.

PROPOSITIONE V.

Se all'vna & l'altra, di cia&longs;cuna girella di due taglie, l'vna delle quali &longs;ia po&longs;ta di &longs;opra, & l'altra di &longs;otto, & legata al pe&longs;o; &longs;a­rà condotta intornò la corda, legando vno de'&longs;uoi capi alla taglia di &longs;otto, & l'altro &longs;ia tenuto dalla po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tie­ne il pe&longs;o: &longs;arà la po&longs;&longs;anza vn terzo del pe&longs;o.

Sia il pe&longs;o A, &longs;ia BCD la girella della taglia legata al pe&longs;o A, il cui centro &longs;ia E, & &longs;ia FGH l'altra girella della taglia appiccata di &longs;opra, il cui centro &longs;ia K: &longs;ia condotta intorno alle girelle la corda LFGHBCDM, laquale &longs;ia legata alla taglia di &longs;otto in L; & la po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A &longs;ia in M. Dico che la po&longs;&longs;anza in M è vn terzo del pe&longs;o A. Siano tirate le li­nee FH BD per li centri KE egualmente di&longs;tanti dall'orizonte, &longs;i come nelle precedenti è detto. Hor percio­che la corda FL &longs;o&longs;tiene la taglia di &longs;otto, laquale &longs;o&longs;tiene la girella nel &longs;uo centro E: &longs;arà la corda di L come po&longs;&longs;anza che &longs;o&longs;tiene la girella, tanto quanto &longs;e fo&longs;&longs;e in e&longs;&longs;o E centro: & la po&longs;&longs;anza di M è come &longs;e &longs;te&longs;&longs;e in D; &longs;i farà dunque DB come leua, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;arà B: ma il pe&longs;o A, come di &longs;opra fù dimo&longs;trato, appicca­to in E viene &longs;o&longs;tenuto da due po&longs;­&longs;anze, l'vna po&longs;ta in D, & l'altra in E. & concio&longs;ia, che nel &longs;o&longs;tenere i pe&longs;i &longs;tiano le leue FH BD immobi­li, &longs;e li pe&longs;i &longs;aranno appiccati alle cor­de FL HB &longs;aranno que&longs;ti i&longs;te&longs;&longs;i eguali, per hauere la leua FH il &longs;o&longs;tegno nel mezo; altramente dall'vna delle parti &longs;i farebbe il mouimento à ba&longs;&longs;o, co&longs;a che tuttauia non accade; Adun­que tanto &longs;o&longs;tiene la corda FL, quanto la HB. Di più percioche dal me­zo della leua BD il pe&longs;o pende at­taccato, però &longs;e fo&longs;&longs;ero due po&longs;&longs;anze in BD che &longs;o&longs;tene&longs;&longs;ero il pe&longs;o, &longs;areb­bon fra loro eguali: & benche la cor­da FL &longs;o&longs;tenga e&longs;&longs;a ancora il pe&longs;o, poiche ella &longs;ta in loco de la po&longs;&longs;anza E, nondimeno percioche &longs;o&longs;tiene da quel mede&longs;imo punto, doue è appicca­to il pe&longs;o, non farà però che le po&longs;­

&longs;anze, lequali &longs;ono in BD non &longs;iano tra loro eguali, peroche aiuta tanto all'v­na, quanto all'altra. Ma le po&longs;&longs;anze che &longs;ono in BD &longs;ono le i&longs;te&longs;&longs;e, come &longs;e fu&longs;&longs;ero in HM. Per laqual co&longs;a tanto &longs;o&longs;terrà la corda MD quanto la HB: ma co&longs;i &longs;o&longs;tiene HB come FL; adunque la corda MD co&longs;i &longs;o&longs;tenirà, come FL, cioè come &longs;e in D & in L fo&longs;&longs;ero appiccati pe&longs;i eguali. Concio&longs;ia co&longs;a dunque, che pe&longs;i eguali &longs;ian &longs;o&longs;tenuti da po&longs;&longs;anze vguali, le po&longs;&longs;anze in ML &longs;aranno eguali, delle quali è in tutto vna ragione iste&longs;&longs;a, come &longs;e ambedue fo&longs;&longs;ero in DE. Onde, e&longs;&longs;endo che il pe&longs;o A &longs;tia attaccato nel mezo della leua BD, & che due po&longs;&longs;anze po&longs;te in DE &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o &longs;iano eguali: &longs;arà B il &longs;o&longs;tegno, & cia&longs;cheduna po&longs;&longs;anza po&longs;ta in DE ouero in ML &longs;arà vn terzo del pe&longs;o A. Adunque la po&longs;&longs;anza in M &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o &longs;arà vn terzo del pe&longs;o A. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 2. di questo

Per la 1. di questo.

Per la 3. corollario di questo.

Per la 2. di questo della leua.

Per la 4. di questo.

COROLLARIO.

Da que&longs;to è manife&longs;to, che ogn'vna delle corde MD FL HB &longs;o&longs;tiene la terza parte del pe&longs;o A.

Oltre à ciò &longs;e da M &longs;arà la corda portata intor­no ad vn'altra girella po&longs;ta più &longs;u nella ta­glia, che &longs;imilmente &longs;ia attaccata di &longs;opra, il cui centro &longs;ia N &longs;i fattamente che peruenga in O, & iui &longs;ia tenuta dalla po&longs;&longs;anza; &longs;a rà la po&longs;&longs;anza che in O &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A parimente vn terzo del pe&longs;o. Percioche la corda MD &longs;o&longs;tiene tanto di pe&longs;o, come &longs;e in D fo&longs;&longs;e appiccato il pe&longs;o eguale alla terza parte del pe&longs;o A, alla quale è pari la po&longs;­&longs;anza in O ad e&longs;&longs;a eguale, cioè vn terzo del pe&longs;o A. La po&longs;&longs;anza dunque in O è vn terzo del pe&longs;o A.

Per la 1. di questo.

Et accioche non &longs;i ritorni à dire &longs;pe&longs;&longs;e volte il mede&longs;imo, egli fà me&longs;tiero &longs;apere, che la po&longs;&longs;anza in O è &longs;empre eguale à quella, che &longs;ta in M. come &longs;arebbe à dire, &longs;e la po&longs;&longs;an­za in M fo&longs;&longs;e vn quarto, ouero vn quinto, ò &longs;imile co&longs;a di e&longs;&longs;o pe&longs;o, la po&longs;&longs;anza parimente in O &longs;arà vn quarto, ouero vn quinto, & co&longs;i di mano in mano dell'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o, nel modo che è di&longs;po&longs;ta la po&longs;&longs;anza di M.

Potrebbbe for&longs;e alcuno dubitare in alcune dimo&longs;trationi delle taglie come in que&longs;ta quinta propo&longs;itione, tolta da me per e&longs;&longs;empio per e&longs;&longs;ere piu &longs;chietta delle altre, che in fatto con la e&longs;perientia non riu&longs;ci&longs;&longs;ero in proportione le forze a' pe&longs;i, co­mela ragione dimo&longs;tra; peroche pre&longs;upponendo &longs;i nelle dimo&longs;trationi matematiche le linee &longs;enza larghezza, & profondità, & co&longs;i le altre co&longs;e imaginando &longs;i &longs;e­parate dalla materia, ageuolmente &longs;i per&longs;uadiamo e&longs;&longs;ere vere come dicono. Ma la e&longs;perientia poi molte volte mo&longs;tra diuer&longs;ità, & &longs;i trouiamo ingannati, facendo la materia gran demente variare le co&longs;e. In que&longs;ta propo&longs;itione &longs;i narra, che rauolgendo d'intorno à due girelle di due taglie vna corda, & quel che &longs;egue, la forza &longs;arà vn terzo del pe&longs;o, cioè &longs;e il pe&longs;o &longs;ara trecento, egli verrà &longs;o&longs;tenuto dalla po&longs;&longs;anza di cento. Direbbe alcuno ciò e&longs;&longs;ere dubbio&longs;o, peroche le girelle, gli a&longs;&longs;etti &longs;uoi, le funi, & il pe&longs;o della taglia di &longs;otto fanno re&longs;i&longs;tenza alla forza, & grauano sì, che ella non potrà &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o. Si ri&longs;ponde che que&longs;te co&longs;e ben farebbo­no re&longs;i&longs;tenza nel mouere il pe&longs;o, ma non già nel &longs;o&longs;tentarlo: & bi&longs;ogna notaro con diligenza che l'autore in que&longs;te dimo&longs;trationi parla &longs;empre del &longs;o&longs;tenere &longs;o­lamente con le forze i pe&longs;i che non calino al ba&longs;&longs;o, non del mouere. Però con­&longs;ideri&longs;i, che quando li pe&longs;i &longs;i hanno da far mouere con le po&longs;&longs;anze, allhora le gi­relle, & gli altri impedimenti faranno re&longs;i&longs;tenza; ma quando &longs;i ha da far &longs;olamen­te che il pe&longs;o &longs;tia fermo, & habbia il &longs;uo contrape&longs;o &longs;emplicemente &longs;enza porre in con&longs;ideratione altri ri&longs;petti, che è officio della po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente; all'hora nè le girelle, nè altro danno re&longs;i&longs;tenza veruna, & la proua fondata &longs;u la ragione torna &longs;empre per eccellentia, anzi pare che quanto piu re&longs;i&longs;tenza vi &longs;ia, tanto piu facilmente la forza &longs;o&longs;tenga. Auertendo con tutto ciò, che nel fare la e&longs;perienza bi&longs;ogna hauere riguardo alla taglia di &longs;otto, & alla corda, lequali hanno la &longs;ua grauezza &longs;i fattamente, che &longs;e il pe&longs;o come nell'e&longs;&longs;empio propo&longs;to, &longs;arà trecento libre, & la forza cento, & la taglia di &longs;otto con la &longs;ua fune quattordici, è me&longs;tieri che alla po&longs;&longs;anza di M &longs;i aggiungano quattro libre, & due terzi di forza, ac­cioche po&longs;&longs;a &longs;o&longs;tenere tutto il pe&longs;o, & co&longs;i verrà ad e&longs;&longs;ere in M po&longs;&longs;anza vn ter­zo giu&longs;tamente del pe&longs;o. Ma per &longs;apere quanta forza bi&longs;ogni aggiungere alla po&longs;&longs;anza, accioche per ri&longs;petto alla taglia di &longs;otto, & alla fune, &longs;o&longs;tenghi il pe&longs;o tut­to, faccia&longs;i que&longs;ta ragione. La taglia di &longs;otto con parte della fune, per gratia di e&longs;&longs;empio, è quattordici libre, il pe&longs;o è trecento, & la po&longs;&longs;anza cento. Hor per la regola detta del tre. Se trecento danno cento, che daranno quattordici? Tro­ueran&longs;i quattro libre, & due terzi da e&longs;&longs;ere aggiunte alla po&longs;&longs;anza di M, per &longs;o&longs;tenere il pe&longs;o A. “Laqual co&longs;a tocca in &longs;o&longs;tanza l'auttore più à ba&longs;&longs;o dicendo. & &longs;i come habbiamo ciò con&longs;iderato nella decimaquinta, & quel, che &longs;egue. ilqual loco bi&longs;ogna intendere in que&longs;ta maniera, che le taglie non &longs;i deuono pigliare ad vn'i&longs;te&longs;&longs;o modo &longs;empre, ma diuer&longs;amente, come graua­no, ilche na&longs;ce dall'e&longs;&longs;ere in vari luoghi, & le po&longs;&longs;anze, & i pe&longs;i collocati, & fer­mate le taglie. Hor nella &longs;econda propo&longs;itione di que&longs;to trattato has&longs;i da inten­dere la po&longs;&longs;anza e&longs;&longs;ere la meta meno del pe&longs;o, prendendo per lo pe&longs;o, & il pe&longs;o, & la taglia di &longs;otto in&longs;ieme, à cui &longs;tà attaccato, come &longs;i vede chiaro nella dimo&longs;tratione della detta &longs;econda propo&longs;itione, doue &longs;i proua che la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tiene la girella, laquale &longs;o&longs;tiene anche il re&longs;to della taglia nell'a&longs;&longs;etto, alla qual taglia è attac­cato il pe&longs;o, oue &longs;i cono&longs;ce e&longs;pre&longs;&longs;o, che la taglia, & il pe&longs;o s'hanno à pigliare per tutto il pe&longs;o. Per la qual co&longs;a, &longs;e in quel ca&longs;o il pe&longs;o in&longs;ieme con la taglia pe­&longs;eranno vinti, la po&longs;&longs;anza che gli &longs;o&longs;tenterà &longs;arà dieci. Et per vn'altro e&longs;&longs;empio nella nona propo&longs;itione di que&longs;to nel primo ca&longs;o, &longs;e il pe&longs;o con la taglia di &longs;otto pe&longs;eranno vinticinque, la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente &longs;arà cinque. & co&longs;i egli è me&longs;tieri hauer con&longs;ideratione nelle altre, cioè di&longs;tinguere doue è la grauezza della taglia, quando graua di &longs;otto &longs;olamente, come nelle allegate propo&longs;itioni, & &longs;imili: & quando &longs;olamente di &longs;opra, come nelle propo&longs;itioni 17. & 18. & &longs;imili: & quando ambedue le taglie grauano di &longs;opra, & di &longs;otto, come nelle propo&longs;itioni 20. 22. & 23. & &longs;imili: & quando anche nel'vna taglia, ne l'altra grauano, come nella prima propo&longs;itione & nella 19. anzi in e&longs;&longs;a 19. la taglia di &longs;otto aiuta la po&longs;sanza ad e&longs;&longs;ere piu leggiera: & nel &longs;econdo ca&longs;o dopo il corollario della 16. propo&longs;itione, & &longs;imili. & oltre à ciò deue&longs;i por mente alle corde ancora, la grauezza delle qua­li non hà &longs;empre da e&longs;&longs;ere con&longs;iderata, peroche grauano nelle propo&longs;itioni 15. 17. ma non grauano già nella 19.

Ne parmi etiandio che &longs;i habbia ad hauere punto di riguardo alla picciolezza, & grandezza delle girelle po&longs;te nelle taglie, & de gli a&longs;&longs;etti &longs;uoi, credendo che per neces&longs;ità habbiano da e&longs;&longs;ere lauorati con mi&longs;ura tale, & proportione co&longs;i accu­rata, che mancando da quella non rie&longs;cano le dimo&longs;trationi alla e&longs;perientia; per roche, &longs;i come nota l'autore poco appre&longs;&longs;o, ba&longs;ta che con certa conueneuole mi&longs;ura, & proportione le girelle nelle taglie &longs;iano maggiori l'vna dell'altra &longs;i fattamente, che le corde non &longs;i tocchino, & freghino fra loro, & co&longs;i vengano ad impedi re i mouimenti delle po&longs;&longs;anze, & de' pe&longs;i.

PROPOSITIONE VI.

Siano due leue AB CD diui&longs;e in due parti eguali in EF, li &longs;o&longs;tegni delle quali &longs;iano in BD; & &longs;ia il pe&longs;o G in EF appiccato all'vna, & l'altra leua &longs;i fattamente, che pe&longs;i dall'vna, & dall'altra egualmente: & &longs;iano due po&longs;&longs;anze in AC egua­li, che &longs;o&longs;tengano il pe&longs;o. Dico, che ogn'vna delle po&longs;&longs;anze in AC è vn quarto del pe&longs;o G.

Concio&longs;ia che le po&longs;&longs;anze po­&longs;te in AC &longs;o&longs;tengano tutto il pe&longs;o G, & la po&longs;&longs;an­za di A ver&longs;ola parte del pe&longs;o, che &longs;o&longs;tiene, &longs;ia come BE à BA, & la po&longs;&longs;an­za in C alla parte di e&longs;&longs;o G pe&longs;o &longs;o&longs;tenuto da lei &longs;ia co&longs;i, come DF à DC, & come BE à BA, co&longs;i è DF à DC: &longs;arà la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in A ver&longs;o la parte del pe&longs;o, che &longs;o&longs;tiene, co­

me la po&longs;&longs;anza di C ver&longs;o la parte di e&longs;&longs;o pe&longs;o, che &longs;o&longs;tiene: & le po&longs;&longs;anze po&longs;te in AC &longs;ono eguali; &longs;aranno dunque le parti del pe&longs;o G eguali, lequali &longs;ono &longs;o­&longs;tenute dalle po&longs;&longs;anze. Per laqual co&longs;a cia&longs;cuna po&longs;&longs;anza po&longs;ta in AC &longs;o&longs;terrà la metà del pe&longs;o G. Mala po&longs;&longs;anza in A è la metà meno del pe&longs;o, che &longs;o&longs;tie­ne; adunque la po&longs;&longs;anza in A &longs;arà per lo mezo della metà, cioè eguale alla quarta portione del pe&longs;o G; & però &longs;arà il quarto del pe&longs;o G, nè altramente &longs;i di­mo&longs;trerà la po&longs;&longs;anza in C e&longs;&longs;ere vn quarto dell'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o G. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 2. di questo nella leua.

Ma &longs;e &longs;aranno tre leue AB CD EF diui&longs;e in due parti eguali in GHK, li &longs;o&longs;tegni delle quali &longs;iano BDF, & il pe&longs;o L &longs;ia nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo appicca­to in GHK: & &longs;iano tre po&longs;&longs;anze in ACE eguali, che &longs;o&longs;tengano il pe&longs;o: &longs;i mo&longs;trerà &longs;imil­mente cia&longs;cuna po&longs;&longs;anza e&longs;&longs;ere vn &longs;e&longs;to del pe&longs;o L: & con questo ordi­ne &longs;e fo&longs;&longs;ero quattro le­ue, & quattro po&longs;&longs;anze, cia&longs;cuna po&longs;&longs;anza &longs;arà la ottaua parte del pe&longs;o, & co&longs;i di mano in mano in infinito.

PROPOSITIONE VII.

Se à tre girelle di due taglie, l'vna delle quali po&longs;ta di &longs;opra habbia vna &longs;ola girella, & l'altra di &longs;otto ne habbia due, & &longs;ia legata al pe&longs;o; &longs;ia po&longs;ta d'intorno la corda; legando l'vn de' capi &longs;uoi in qualche loco, & l'altro &longs;ia tenuto dalla po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o. La po&longs;&longs;anza &longs;arà vn quarto del pe&longs;o.

Sia il pe&longs;o A: &longs;iano le tre girelle, il centro dellequali &longs;ia BCD: & la girella, il cui centro è D, &longs;ia della taglia appiccata di &longs;opra: ma quelle girelle, il cui centro è in B C &longs;iano della taglia legata al pe&longs;o A: & la corda EFGHKLNOP &longs;ia condotta intorno à tutte le girelle, & legata in E: & &longs;ia la forza che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A in P. Dicola po&longs;&longs;anza in P e&longs;&longs;ere vn quarto del pe&longs;o A. Siano tirate le linee KL GF ON per li centri delle girelle, &longs;i che &longs;iano egual­mente di&longs;tanti dall'orizonte; le quali per le co &longs;e, che già &longs;ono dette, &longs;aranno come leue. & percioche per cagione della leua, ouero bilan­cia KL, il cui &longs;o&longs;tegno, ouero centro è nel mezo, tanto &longs;o&longs;tiene la corda KG, quanto la NL non &longs;i facendo mouimento in niu­na delle parti: Di più per cau&longs;a della leua GF dal cui mezo, come &longs;o&longs;pe&longs;o dipende il pe&longs;o; &longs;e fo&longs;&longs;ero due po&longs;&longs;anze in GF, oue­ro in HE, (percioche &longs;i come è &longs;tato più volte detto, la ragione dell'vno, & dell'al­tro &longs;ito è pari) &longs;arebbono per certo que&longs;te tali po&longs;&longs;anze eguali fra loro. Onde co&longs;i &longs;o­&longs;tiene la corda HG, come EF: &longs;imilmente &longs;imo&longs;trerà tanto &longs;o&longs;tenere la corda PO, quanto la NL. Per laqual co&longs;a le corde PO KG EF LN &longs;o&longs;tengono egualmen­te. Adunque &longs;o&longs;tiene egualmente sì la cor­da PO, come la KG. Se dunque s'inten­de&longs;&longs;ero e&longs;&longs;ere due po&longs;&longs;anze in OG, ouero in PH, che è il mede&longs;imo, lequali tuttauia &longs;o­&longs;tenghino il pe&longs;o, come &longs;o&longs;tengono le corde, &longs;arebbono per certo eguali: & GF ON baurebbono le forze di due leue, il &longs;o&longs;tegno delle quali &longs;aranno FN & il pe&longs;o A &longs;a rà appiccato in BC, che è il mezo delle le­ue. & percioche tutte le corde &longs;o&longs;tengo­no egualmente, tanto &longs;o&longs;teniranno le due

PO LN quanto le due KG EF. tanto dunque &longs;o&longs;terrà la leua ON, quan­to la leua GF. Onde nell'vna, & l'altra leua ON GF pe&longs;erà egualmente il pe&longs;o. &longs;arà dunque ogni po&longs;&longs;anza che è in PH vn quarto del pe&longs;o A. & e&longs;&longs;endo, che la corda KG &longs;i prenda in loco di po&longs;&longs;anza, come quella, che non &longs;o&longs;tiene altramente di quel che faccia PO, &longs;arà la po&longs;&longs;anza di P, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A vn quarto di e&longs;&longs;o pe&longs;o. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 1. di questo.

Per il 2. corollario della 2. di questo.

Per la 6. di questo.

COROLLARIO I.

Di qui è manife&longs;to, che cia&longs;cuna corda EF GK LN OP &longs;o­&longs;tiene la quarta parte del pe&longs;o A.

COROLLARIO II.

E chiaro ancora, che non meno &longs;o&longs;tiene la girella il cui centro è C, di quello che faccia la girella, il centro dellaquale è B.

Altramente.

Po&longs;te ancora le co&longs;e mede&longs;ime, &longs;e fo&longs;&longs;ero due po&longs;&longs;anze eguali, che &longs;o&longs;tene&longs;&longs;ero il pe&longs;o A, l'vna in O, & l'altra in C: &longs;arebbe cia&longs;cuna delle dette po&longs;&longs;an­ze vn terzo del pe&longs;o A. Ma perche la leua GF, il cui &longs;o&longs;tegno è F, è diui&longs;a in due parti eguali nel C. &longs;e dunque &longs;i porrà la po&longs;&longs;anza in G che &longs;o­&longs;tenga l'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o, come la po&longs;&longs;anza di C, &longs;arà la po&longs;&longs;anza di G la metà della po&longs;&longs;anza, che fo&longs;&longs;e in C; per­cioche &longs;e la po&longs;&longs;anza di C per &longs;e &longs;te&longs;&longs;a &longs;o&longs;tene&longs;&longs;e il pe&longs;o, che è appiccato in C, &longs;arebbe per certo eguale ad e&longs;&longs;o pe&longs;o; et &longs;e l'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o fo&longs;&longs;e &longs;o&longs;tenuto dalla po&longs;&longs;anza di G, &longs;arebbe il doppio di e&longs;&longs;a G po&longs;&longs;anza, & la po&longs;&longs;anza di C &longs;areb­be vn terzo del pe&longs;o A; dunque la po&longs;&longs;anza di G &longs;arebbe vn &longs;e&longs;to della po&longs;&longs;anza del pe&longs;o A. Per laqual co &longs;a, e&longs;&longs;endo, che la po&longs;&longs;anza di O &longs;ia vn terzo del pe&longs;o A, & la po&longs;&longs;anza di G vn &longs;e&longs;to: &longs;ara l'vna, & l'altra po&longs;­&longs;anza in&longs;ieme po&longs;te in OG la metà del pe&longs;o A, percioche la terza par­te con la &longs;e&longs;ta &longs;à la metà. Ma per­cioche la po&longs;&longs;anza di OG, ouero di PH, (come prima è detto) &longs;ono fra loro eguali, & l'vna, & l'altra in&longs;ie­me &longs;ono la metà del pe&longs;o A, &longs;arà ogn'vna delle po&longs;&longs;anze po&longs;te in PH vn quarto di e&longs;&longs;o A. Adunque la po&longs;&longs;anza di P che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A &longs;arà vn quarto di e&longs;&longs;o pe&longs;o A. che era da mo&longs;trare.

Per la 4. di questo.

Per la 3. di questo della leua.

Ma &longs;e'la corda &longs;arà legata in E, & &longs;ia dauantaggio inuolta intorno à quattro girelle, et peruenga in P, &longs;imo&longs;trerà &longs;imilmente, che la po&longs;&longs;anza di P &longs;arà vn quarto del pe&longs;o A; peroche egli è il mede&longs;i­mo, come &longs;e la corda fo&longs;­&longs;e legata in L, & che la po&longs;&longs;anza &longs;o­&longs;tene&longs;&longs;e il pe&longs;o con la cor­da inuolta intorno à tre girelle &longs;olamente, i centri delle quali fo&longs;&longs;ero BCQ, percioche la girella, il cui centro è D, del tutto è inutile.

PROPOSITIONE VIII.

Siano due leue AB CD diui&longs;e in due parti eguali EF, i &longs;o­&longs;tegni delle quali &longs;iano AC, & &longs;ia appiccato il pe&longs;o G ne' punti EF all'vna, & l'altra leua, &longs;i fattamente, che dall'vno, & l'altro pe&longs;i egualmente: & &longs;iano tre po&longs;&longs;anze eguali in BD E che &longs;o&longs;tenghino il pe&longs;o G. Dico, che cia&longs;cuna delle det­te po&longs;&longs;anze &longs;eparatamente è vn quinto del pe&longs;o G.

Percioche il pe&longs;o G &longs;ta appiccato in EF, & &longs;ono le tre po&longs;&longs;anze in EBD egua­li: però la po&longs;&longs;anza di E &longs;o&longs;terrà la parte &longs;olamente del pe&longs;o G, che &longs;arà eguale ad e&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza di E, ma le po&longs;&longs;anze di BD &longs;o&longs;terranno la parte re&longs;tante, & la parte, che è da B &longs;o&longs;tenu­ta, &longs;arà il doppio di e&longs;&longs;o: ma la parte &longs;o&longs;tenuta da D &longs;a­rà &longs;imilmente il doppio di e&longs;&longs;o D per cau&longs;a della pro­portione di BA ver&longs;o AE, & di DC ver&longs;o CF. Concio&longs;ia dunque, che le po&longs;&longs;an­ze di BD &longs;iano eguali, &longs;a­ranno anche (per quel che di &longs;opra è detto) le parti del pe

&longs;o G, lequali &longs;ono &longs;o&longs;tenute dalle po&longs;&longs;anze di BD, fra loro eguali, & ogni vna &longs;arà il doppio di quella tal parte, che è &longs;o&longs;tenuta dalla po&longs;&longs;anza di E. Diuida&longs;i dunque il pe&longs;o G in tre parti, delle quali due &longs;iano fra loro eguali, & di più ogni vna di loro &longs;eparatamente &longs;ia il doppio dell'altra terza parte, ilche accaderà, &longs;e in cinque parti eguali HKLMN &longs;arà diui&longs;o: percioche la parte compo&longs;ta di due parti KL è il doppio della parte H, & la parte ancora di MN è &longs;imilmen­te il doppio della parte i&longs;te&longs;&longs;a H. Per laqual co&longs;a anche la parte KL &longs;arà egua­le alla parte MN. Ma &longs;o&longs;tenga la po&longs;&longs;anza di E la parte di H; & la po&longs;&longs;anza di B le parti di KL: & la po&longs;&longs;anza di D le parti MN; adunque le tre po&longs;&longs;anze eguali po&longs;te in BDE &longs;o&longs;terranno tutto il pe&longs;o G: & ogn'vna delle po&longs;&longs;anze di BD &longs;o&longs;terrà il doppio di quel che &longs;o&longs;tiene la po&longs;&longs;anza di E. Però e&longs;&longs;endo che la po&longs;&longs;anza di E &longs;o&longs;tenga la parte di H, laquale è la quinta parte del pe&longs;o G, & &longs;ia ad e&longs;&longs;o eguale, &longs;arà la po&longs;&longs;anza di E vn quinto del pe&longs;o G. & percioche la po&longs;&longs;anza di B &longs;o&longs;tiene le parti di KL, lequali &longs;ono il doppio & del­la po&longs;&longs;anza di B, & della parte di H, &longs;arà ancora la po&longs;&longs;anza di B ad e&longs;&longs;o H eguale. Per laqual co&longs;a &longs;arà vn quinto del pe&longs;o G. Ne altrimente &longs;i dimo&longs;tre­rà, che la po&longs;&longs;anza di D è vn quinto del pe&longs;o G. cia&longs;cuna po&longs;&longs;anza dunque in BDE è vn quinto del pe&longs;o G. che bi&longs;ognaua dimo&longs;trare.

Per la 4. di questa nella leua.

Per la 6. di questo.

Che &longs;e &longs;aranno tre leue AB CD EF diui&longs;e in due parti eguali in GHK, i &longs;o&longs;tegni dellequali &longs;iano A CE, & il pe&longs;o L nel modo i&longs;te&longs;&longs;o &longs;ia appiccato in GHK, & &longs;iano quattro po&longs;&longs;anze eguali in BD FG che &longs;o&longs;tengano il pe­&longs;o L; &longs;i mo&longs;trerà con &longs;imi­gliante modo, che cia&longs;cuna po&longs;&longs;anza in BD FG &longs;a­rà vn &longs;ettimo del pe&longs;o L: & &longs;e quattro fo&longs;&longs;ero le le­ue, & cinque le po&longs;&longs;anze eguali &longs;o&longs;tenenti il pe&longs;o; con l'i&longs;te&longs;&longs;o modo ancora &longs;i mo&longs;trerebbe che ogni vna del­le po&longs;&longs;anze &longs;arebbe vn nono del pe&longs;o, & co&longs;i di mano in mano &longs;ucce&longs;&longs;iuamente.

PROPOSITIONE IX.

Se à quattro girelle di due taglie, l'vna delle quali &longs;ia po&longs;ta di &longs;opra, & l'altra di &longs;otto legata al pe&longs;o, &longs;ia condotta intorno la corda, legando l'vno de'&longs;uoi capi alla taglia di &longs;otto, & l'al­tro &longs;ia ritenuto dalla po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o. &longs;arà la po&longs;­&longs;anza vn quinto del pe&longs;o.

Sia il pe&longs;o A, alquale &longs;ia legata la taglia, che habbia due girel­le, i cui centri &longs;iano BC: & &longs;ia la taglia appiccata di &longs;opra, che habbia due altre girelle, i cui centri &longs;iano DE, & la corda &longs;ia tirata intorno à tutte le girelle, laquale &longs;ia legata al­la taglia di &longs;otto in F: & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in G che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A. Dico che la po&longs;&longs;anza di G è vn quinto del pe&longs;o A. Siano tirate le linee HK LM per li centri BC egual­mente di&longs;tanti dall'orizonte, le quali nel modo i&longs;te&longs;&longs;o, che di &longs;opra è &longs;tato detto, dimo&longs;trere­mo e&longs;&longs;ere come leue, i &longs;o&longs;tegni delle quali &longs;ono KM, & il pe&longs;o A pende attaccato nel me­zo BC dell'vna, & l'altra le­ua, & le tre po&longs;&longs;anze LHC, che &longs;o&longs;tengono il pe&longs;o, lequali con &longs;imile modo mo&longs;treremo e&longs;&longs;ere eguali: percioche le corde fanno l'i&longs;te&longs;&longs;o officio, come &longs;e fo&longs;&longs;ero po&longs;&longs;anze: & percioche il pe&longs;o dall'vna, & l'altra leua HK LM pe&longs;a egualmente, ilche &longs;i dimo&longs;trerà ancora, come nelle precedenti è &longs;tato dimo&longs;trato: &longs;arà ogni po&longs;&longs;anza po&longs;ta sì in L ouero in G, che è il mede&longs;imo; & sì in H & in C, cioè in F vn quinto del pe&longs;o A. La po&longs;&longs;anza dunque di G, che &longs;o&longs;tie­ne il pe&longs;o A. &longs;arà vn quinto di e&longs;&longs;o pe&longs;o A. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 8. di questo.

Che &longs;e dauantaggio &longs;i traporterà la cor­da in F d'intorno ad vn'altra girella, il cui centro &longs;ia N, & &longs;ia legata in O, &longs;i prouerà &longs;imilmente per due ragioni, come nella &longs;ettima propo&longs;i­tione di que&longs;to, che la po&longs;&longs;anza di G che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A, è vn &longs;e&longs;to di e&longs;&longs;o pe&longs;o A. Percioche prima dalle treleue LM HK FP licui &longs;o­stegni &longs;ono in KP, & il pe&longs;o è ap­piccato nel mezo delle leue, & le tre po&longs;&longs;anze po&longs;te in LHF che &longs;o&longs;ten­gono il pe&longs;o &longs;ono eguali: poi dalle po&longs;&longs;anze di LHN cia&longs;cuna delle quali &longs;arebbe vn quinto del pe&longs;o A, per­cioche ambedue le po&longs;&longs;anze in&longs;ieme po&longs;te in LH &longs;arebbono &longs;otto doppie &longs;e&longs;quialtere al pe&longs;o, & la po&longs;&longs;anza di F &longs;arebbe vn decimo, e&longs;&longs;endo la metà di e&longs;&longs;a N. Ma due quinte parti con vna decima parte fanno la metà, la qual metà &longs;e &longs;arà diui&longs;a per tre, ri­&longs;ponderà la &longs;e&longs;ta parte del pe&longs;o à cia­&longs;cuna delle po&longs;&longs;anze po&longs;te in LHF. Dalle quali co&longs;e è manife&longs;to la po&longs;&longs;an­za di G e&longs;&longs;ere vn &longs;e&longs;to del pe&longs;o A; & &longs;i dimo&longs;trerà &longs;imilmente che cia­&longs;cuna girella &longs;o&longs;tiene eguale portione del pe&longs;o.

Per la 6. di questo

Per la 8. di questo.

In que&longs;to trattato della taglia, &longs;i come in tutti gli altri ancora, l'autore pre&longs;uppone, che qualunque per&longs;ona &longs;i mette à leggere il &longs;uo libro delle Mechaniche &longs;ia inten­dente di numeri, & di Geometria, & però ha &longs;empre mantenuto quello accurato &longs;tile, & dimo&longs;tratiuo co&longs;tumato da buoni Matematici, v&longs;ando i vocaboli proprij della &longs;cienza, alcuni de' quali io hò ben potuto volgarizare facilmente, &longs;i che ogn'vno gli po&longs;&longs;a intendere, come per e&longs;&longs;empio, nelle proportioni duplum, tri­plum, quadruplum, & gli altri &longs;imili, ponendo in vece loro due volte tanto, tre volte tanto, & quattro volte tanto: & co&longs;i per 'oppo&longs;ito &longs;ubduplum, &longs;ubtriplum, & &longs;ubquadruplum, la metà, vn terzo, & vn quarto: & parimente &longs;e&longs;quialterum, &longs;e&longs;quitertium, & &longs;e&longs;quiquartum, & gli altri &longs;imili, che vogliono dire vna volta & meza, vna volta, & vn terzo, & vna volta & vn quarto. Que&longs;ti dico s'hanno potuto ben dire, & facilmente nella no&longs;tra lingua. Ma nell'ampiezza delle propor­tioni trouando&longs;i altri vocaboli a&longs;&longs;ai, i quali non è pos&longs;ibile co&longs;i adattare alla no­&longs;tra lingua, tra quali alcuni &longs;i trouano po&longs;ti dall'autore in que&longs;to trattato della taglia, & io &longs;ono &longs;tato sforzato à la&longs;ciargli co&longs;i, come erano, per mancamento di parole, che nella no&longs;tra fauella gli po&longs;&longs;ano e&longs;primere; hò giudicato douer e&longs;&longs;ere co &longs;a vtile il dichiarare tutti i predetti vocaboli pertinenti alle proportioni, che ha il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza, & la po&longs;&longs;anza al pe&longs;o &longs;critti dall'autore in que&longs;to trattato della taglia, accioche quelle per&longs;one lequali non po&longs;&longs;edono que&longs;ti termini, non habbia no fatica di andare &longs;tudiando i loro &longs;ignificati.

Dico dunque vna quantità poter&longs;i paragonare, & hauere proportione con vn'altra in tre modi principali, la&longs;ciando hora le più &longs;ottili di&longs;tintioni. Primieramente come maggiore ver&longs;o la minore, dapoi come minore ver&longs;o la maggiore, & in fi­ne come eguale ver&longs;o la eguale. Tutta la dottrina delle'proportioni, con&longs;i&longs;te in que&longs;ti riguardi, cioè dal maggiore al minore, dal minore al maggiore, & dall'e­quale all'equale. Hor quando vna quantità, che &longs;ia maggiore è paragonata con vn'altra, che &longs;ia minore, che &longs;i dice proportione di maggiore di&longs;uguaglianza, na­&longs;cono cinque generi di proportioni, l'vno è il moltiplice &longs;chietto, il &longs;econdo è il &longs;opraparticolare, il terzo il &longs;oprapartiente, il quarto il moltiplice &longs;opraparticola­re, & il quinto & vltimo il moltiplice &longs;oprapartiente. Ma quando &longs;i fa compara­tione della minore quantità ver&longs;o la maggiore, all'hora &longs;i producono cinque altri generi oppo&longs;ti apunto à i predetti cinque, & &longs;i dicono di minore di&longs;uguaglian­za, à i quali per fargli differenti da loro &longs;i aggiunge da Latini il &longs;ub, cioè &longs;otto, &longs;criuendo &longs;i &longs;otto moltiplice, &longs;otto&longs;opra particolare, &longs;otto &longs;oprapartiente, &longs;otto moltiplice &longs;opra particolare, & &longs;otto moltiplice &longs;oprapartiente. Tutte le propor­tioni dunque &longs;ono compre&longs;e in vniuer&longs;ale da que&longs;ti diece generi oppo&longs;ti fra &longs;e l'vn l'altro, cia&longs;cheduno de quali poi ha le &longs;ue &longs;petie differenti di proportioni. Ma io non hò qui intentione di numerarle, nè dichiarare diffu&longs;amente que&longs;ta materia delle proportioni, ma &longs;olamente li vocaboli po&longs;ti dall'autore nel pre&longs;ente libro della taglia, ba&longs;tando mi hauerne dato in generale vna rozza cognitione. Ma chi di ciò de&longs;idera hauere intero cono&longs;cimento legga tra i &longs;crittori della lingua Ita­liana Fra Luca dal Borgo, il Tartaglia ne i libri della Arithmetica, & il dottis&longs;imo Zarlino nella prima parte delle In&longs;titutioni Harmoniche. Dice l'autore in que&longs;to loco. Percio che &longs;arebbono ambedue le po&longs;&longs;anze in&longs;ieme in LH &longs;otto doppie &longs;e&longs;quialtere di e&longs;&longs;o pe&longs;o. Cioè le due po&longs;&longs;anze po&longs;te in LH haurebbono quella proportione ver&longs;o il pe&longs;o, che ha 2. à 5. cioè &longs;e il pe&longs;o fo&longs;&longs;e come cinque, le po&longs;­&longs;anze larebbono come 2. che è la proportione &longs;otto doppia &longs;e&longs;quialtera. Segue poi, Ma due quinte con vna decima fanno la me tà, cioè à &longs;ommare in&longs;ieme due quinti, & vn decimo fanno la metà di cinque, pero che li due quinti &longs;ono due parti del cinque, & la deci ma parte è la metà di vn quinto, tanto che met­tono in&longs;ieme due, & mezo, che &longs;ono la metà di cinque. Che &longs;e que&longs;ta metà poi &longs;arà diui&longs;a per tre, ne riu&longs;cirà la &longs;e&longs;ta parte da e&longs;&longs;ere attribuita à cia&longs;cheduna delle tre po&longs;&longs;anze po&longs;te in LHF. Il modo del diuidere la metà per tre è facile, & fas&longs;i in que&longs;ta maniera ponendo tre di &longs;opra, & vno di &longs;otto; & vno di &longs;opra, & due di &longs;otto con la &longs;ua linea nel mezo, come &longs;i co&longs;tuma, & mol­tiplicando il tre intero co'l due denominatore della metà, ne viene 6, alquale di &longs;opra &longs;i ag­giunge vno, & è vn &longs;e&longs;to.

Che &longs;e come nella terza figura la corda &longs;i allungherà in O, & &longs;i condarrà intorno ad vn'altra gi­rella, il cui centro &longs;ia Q, la qual corda poi &longs;i leghi in R alla taglia di &longs;otto; &longs;arà la po&longs;&longs;an­za di G vn &longs;ettimo del pe&longs;o. & co&longs;i procedendo in infinito, la proportione della po&longs;&longs;anza al pe&longs;o, quanto &longs;i voglia &longs;otto moltiplice ver&longs;o il pe­&longs;o &longs;i potrà trouare. Dapoi &longs;i mo&longs;trerà &longs;empre, come nelle precedenti, che &longs;e la po&longs;&longs;anza, la­quale &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o &longs;arà vn quarto, ouero vn quinto, ouero in qual &longs;i voglia altro modo &longs;arà di&longs;po&longs;ta ver&longs;o il pe&longs;o, che &longs;imilmente cia&longs;cuna corda &longs;o&longs;terrà la quarta, ò la quinta, ouero qual &longs;i voglia altra parte del pe&longs;o, &longs;i come la i&longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza: peroche le corde fanno il mede&longs;imo, come &longs;e fo&longs;&longs;ero tante po&longs;&longs;anze: & le girelle co­me &longs;e fo&longs;&longs;ero tante leue.

Per la 8. di questo.

Sotto moltiplice. Que&longs;to è il primo genere delle proportioni, che &longs;i riguardano dal minore al maggiore, detto di minore di&longs;uguaglianza, il quale &longs;otto di &longs;e tiene a&longs;&longs;ais&longs;ime &longs;petie, & è op­po&longs;to come ho ricordato, al moltiplice. Dice l'autore: & co&longs;i procedendo in infinito &longs;i potrà ritrouare qual &longs;i voglia proportione &longs;otto moltiplice. Percio che la po&longs;&longs;anza è minore del pe&longs;o, & però ver&longs;o lui ha proportione &longs;otto moltiplice, come di vno ver&longs;o due, & di due ver­&longs;o quattro per darne e&longs;&longs;empio, & co&longs;i de gli al­tri numeri tali.

COROLLARIO

Di qui è manife&longs;to, che le girelle della taglia, allaquale è legato il pe&longs;o, fanno sì, che il pe&longs;o è &longs;o&longs;tenuto da po&longs;&longs;anza minore, di quel che &longs;ia e&longs;&longs;o pe&longs;o, co&longs;a che veramente non fanno le gi­relle della taglia di &longs;opra.

Egli nondimeno conuiene &longs;apere, che come &longs;uole &longs;ar&longs;i, la girella della taglia di &longs;otto, il cui centro è N, deue e&longs;&longs;ere minore di quella girella, il cui centro è C, & que&longs;ta anche minore di quella, che ha il centro in B: & in &longs;omma &longs;e &longs;aranno più girelle nella taglia di &longs;otto legata al pe&longs;o, &longs;empre quella girella deue e&longs;&longs;ere maggiore delle altre, che è più vicina al pe&longs;o attaccato: ma al contrario hanno à di&longs;por&longs;i le girelle nella taglia di &longs;opra, ilche &longs;i co&longs;tuma di fare, acciò che le corde fra loro non &longs;i intrichino; peroche in quanto alle girelle, &longs;iano ò grandi, ò picciole, non importa nulla, &longs;eguendone &longs;empre l'i&longs;te&longs;&longs;o.

Di più è da notare, ilche etiandio dalle co&longs;e dette facilmente appare, che grandi&longs;&longs;ima differenza na&longs;ce tra la po&longs;&longs;anza, & il pe&longs;o dal legare la corda ouero in R della taglia di &longs;otto, ouero in S, percioche &longs;e &longs;i legherà in S, la po&longs;&longs;anza di G &longs;arà vn &longs;e&longs;to del pe&longs;o; ma &longs;e in R vn &longs;ettimo, co&longs;a che non accade alla taglia di &longs;opra: percioche leghi&longs;i la corda, come nella precedente figura, ouero in T, ouero in O, &longs;empre la po&longs;&longs;anza di G &longs;arà vn &longs;e&longs;to di e&longs;&longs;o pe&longs;o.

Dopo que&longs;te co&longs;e egli è da con&longs;iderare in che modo la forza moua il pe&longs;o, & di più lo &longs;patio, & il tempo della po&longs;&longs;anza, che moue, & del pe&longs;o che è mo&longs;&longs;o.

“Di piu egli è da notare ilche etiandio è manife&longs;to dalle co&longs;e dette &c. Qui potreb­be for&longs;e ad alcuno parere difficile in che modo po&longs;&longs;a e&longs;&longs;ere, che dal legare la cor­da in R, ouero in S, come &longs;i vede in que&longs;ta figura, na&longs;ca tanta differenza. Onde noti&longs;i che legando la corda in S, la girella Q re&longs;ta del tutto inutile, & è come &longs;e ella non vi fo&longs;&longs;e; & la corda per non e&longs;&longs;ere attaccata in R alla taglia di &longs;otto, ma in S fuori non &longs;o&longs;tiene la taglia, talche la forza di G viene ad e&longs;&longs;ere &longs;olamente vn &longs;e&longs;to del pe&longs;o. &longs;oggiunge poi ilche non auiene alla taglia di &longs;opra.” Doue auerta&longs;i che mentre &longs;i ha tenuto propo&longs;ito delle lettere S & R, ha bi&longs;ognato guardare nella qui &longs;opra&longs;critta figura, ma in parlando di TO, egli è me&longs;tieri per in­tendere que&longs;to loco mirare nella figura precedente, che è la &longs;econda della nona propo&longs;itione, peroche iui &longs;ono le lettere TO. La ragione per la quale non na&longs;ca differenza nella po&longs;&longs;anza à legare la corda in T ouero in O, ma &longs;ia tutto vno, è che la taglia di &longs;opra &longs;ta &longs;empre ferma, per modo, che non importa nulla il le­gare la corda in O nella taglia di &longs;opra, ouero in T fuori di e&longs;&longs;a, poiche am­bidue i luoghi &longs;ono immobili, & iui la corda &longs;ta ferma. Lequali tutte co&longs;e l'autore hà toccato breuis&longs;imamente per e&longs;&longs;ere que&longs;to trattato della taglia lungo, la­&longs;ciando al lettore ancora qualche co&longs;a da &longs;peculare per &longs;e mede&longs;imo.

PROPOSITIONE X.

Se la corda &longs;arà inuolta intorno alla girella della taglia appicca­ta di &longs;opra, all'vno de'capi, dellaqual corda &longs;ia attaccato il pe&longs;o, & all'altro po&longs;ta la po&longs;&longs;anza, che moue. La detta po&longs;&longs;anza mouerà con la leua &longs;empre egualmente di&longs;tante dall'orizonte.

Sia il pe&longs;o A. &longs;ia la girella della taglia appiccata di &longs;opra, che habbia il centro K. Sia dapoi la corda HB CDEF legata al pe&longs;o A in H, & &longs;ia inuolta d'intorno alla girella; & &longs;ia la taglia per modo appiccata in L, che non habbia alcun altro mouimento fuorche il volgimento libero della girella d'intorno al &longs;uo a&longs;&longs;etto, & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in F che moua il pe&longs;o A. Dico, che la po&longs;&longs;anza di F mouerà &longs;empre il pe&longs;o A con la leua egualmente di&longs;tan­te dall'orizonte. &longs;ia tirata la linea BKE egual­mente di&longs;tante dall'orizonte, & &longs;iano i punti BE doue le corde BH & EF toccano il cerchio: &longs;arà BKE la leua, il &longs;o&longs;tegno dellaquale è nel &longs;uo mezo, che è K, come di &longs;opra è detto. Men­tre che dunque la forza di F inchina al ba&longs;&longs;o ver&longs;o M, la leua EB &longs;i mouerà, mouendo&longs;i tut­ta la girella, cioè volgendo&longs;i attorno. Mentre che dunque F &longs;ta in M &longs;ia il punto E della leua mo&longs;&longs;o fin ad I, & il B &longs;in'al C, di mo­do, che la leua &longs;ia in CI. Dapoi &longs;i faccia la linea NM eguale ad e&longs;&longs;a FE: & quando il punto E, &longs;arà in I all'hora il punto della corda, ilquale era in E &longs;arà in N, & quello,

che era in B &longs;arà in C di modo, che tirata la linea CI pa&longs;&longs;erà per lo centro K. Hor mentre il B &longs;ta in C &longs;ia il punto H in G, & &longs;arà BH al CBG eguale, e&longs;&longs;endo la mede&longs;ima corda. & percioche mentre EF inchina in MN rimane pur &longs;empre EFM à piombo dell'orizonte, & tocca il cerchio nel punto E di modo, che la linea tirata dal punto E per lo centro K &longs;ia &longs;empre egualmente di&longs;tante dall'orizonte, ilche mede&longs;imamente auiene alla corda BG & al pun­to B. Mentre dunque il cerchio, ouero la girella &longs;i volge intorno, &longs;empre &longs;i mo­ue la leua EB, & &longs;em­pre ancora rimane vn'al­tra leua in EB, e&longs;&longs;endo che per natura di e&longs;&longs;a gi­rella, nellaquale &longs;empre, mentre &longs;i moue, re&longs;ti il diametro da B in E, (ilquale è in loco di le­ua) auuiene che partendo&longs;ene vna, &longs;ucceda l'altra &longs;empre, durando però cotale aggiramen­to; & co&longs;i accade, che la po&longs;&longs;anza moua il pe&longs;o &longs;empre con la leua EB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, ilche bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 2. di questo.

Po&longs;te le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e, lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza, che moue il pe&longs;o, è eguale allo &longs;patio dello i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o, che è mo&longs;&longs;o.

Percioche egli è &longs;tato dimo&longs;trato, che mentre F &longs;tà in M, il pe&longs;o A, cioè il punto H è in G: & concio&longs;ia che la corda HBCDEF &longs;ia eguale alla GBCDEN FM per e&longs;&longs;ere la corda i&longs;te&longs;&longs;a: leuata via dunque la commune GBCDENF &longs;arà la HG alla FM eguale, & &longs;imilmente &longs;i mo&longs;trerà la di&longs;ce&longs;a di F e&longs;&longs;ere &longs;empre eguale alla &longs;alita di H. Adunque lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza è eguale allo &longs;patio del pe&longs;o. che era da dimo&longs;trare.

Oltre à ciò la po&longs;&longs;anza moue il pe&longs;o i&longs;te&longs;&longs;o per i&longs;patio eguale in tempo eguale, tanto con la corda inuolta intorno alla girella della taglia appiccata di &longs;opra, quanto &longs;enza taglia, pur che li mouimenti di e&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza in velocità &longs;iano eguali.

Stando le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e, &longs;ia vn'altro pe&longs;o P eguale al pe&longs;o A, alquale &longs;ia legata la corda TQ à piombo dell'orizonte: & &longs;ia TQ eguale ad e&longs;&longs;a HB: & muoua la po&longs;&longs;anza di Q il pe&longs;o P all'insù ad angoli retti all'orizonte, come &longs;i moue il pe&longs;o A. Dico, che per eguale &longs;patio, & in vno i&longs;te&longs;&longs;o tempo la po&longs;&longs;anza di Q mo­ue il pe&longs;o P, & la po&longs;&longs;anza di F il pe­&longs;o A: ilche è il me­de&longs;imo, come &longs;e l'i­&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o fo&longs;&longs;e mo&longs;­&longs;o in tempo eguale, &longs;econdo che habbia­mo propo&longs;to. Sia allungata la EF in S, & la TQ in R, & &longs;iano le QRFS fatte eguali non &longs;olo fra &longs;e, ma etiandio ad e&longs;&longs;a BH. Hor concio&longs;ia che le TQ QR &longs;iano eguali ad e&longs;&longs;e HB FS, & la forza di Q mo­ua il pe&longs;o P per la linea retta TQ R: & dall'altro

canto la forza di F moua A per la retta HB, & le velocità de i mouimenti dell'una, & l'altra po&longs;&longs;anza &longs;iano eguali, all'hor che nell'i&longs;te&longs;&longs;o tempo la po&longs;&longs;anza di Q &longs;arà in R, & la po&longs;&longs;anza di F &longs;arà in S, e&longs;&longs;endo gli &longs;patij eguali: & mentre la po&longs;&longs;anza di Q è in R, il pe&longs;o P, cioè il punto T &longs;arà in Q, per e&longs;&longs;e­rela TQ eguale ad e&longs;&longs;a QR, & mentre che la po&longs;&longs;anza di F &longs;ta in S, il pe­&longs;o A, cioè il punto H &longs;arà in B; ma lo &longs;patio TQ è eguale allo &longs;patio HB: adunque le po&longs;&longs;anze di FQ mo&longs;&longs;e egualmente moueranno i pe&longs;i PA eguali per eguali &longs;patij in tempo eguale. che era da mo&longs;trare.

PROPOSITIONE XI.

Se la corda &longs;arà inuolta intorno alla girella della taglia legata al pe&longs;o, laqual corda con vno de' &longs;uoi capi &longs;ia legata in qualche luogo, & con l'altro pre&longs;a dalla po&longs;&longs;anza che moue il pe&longs;o; La po&longs;&longs;anza mouerà &longs;empre con la leua egualmente di&longs;tante dal l'orizonte.

Sia il pe&longs;o A: &longs;ia la girella CED della taglia legata al pe&longs;o A, da KH, & &longs;ia KH ad ango­li retti dell'orizonte, di modo the il pe&longs;o &longs;egua &longs;empre il mo­uimento della taglia, &longs;ia pur fat­to all'insù, ouero all'ingiù, & &longs;ia il centro della girella K, & la corda inuolta intorno alla gi­rella &longs;ia BCDEF, la quale &longs;ia legata in B, di modo che &longs;tia immobile in B: & &longs;ia in F la po&longs;&longs;anza, che moue il pe&longs;o A. Dico che la po&longs;&longs;anza di F mo­ue &longs;empre il pe&longs;o A con la le­ua egualmente di&longs;tante dall'ori­zonte. Siano BC EF egualmente di&longs;tanti sì fra loro, come ad e&longs;&longs;a KH, & à piombo al­l'orizonte della i&longs;te&longs;&longs;a KH, & toccanti il cerchio CED ne i punti EC, & &longs;ia congiunta la EC laquale pa&longs;&longs;erà per lo centro K, & &longs;arà egualmente di &longs;tante dall'orizonte, &longs;i come pri­ma è detto. Hor percioche la girella CED &longs;i volge d'intor­no K &longs;uo centro, però mentre la forza di F tira sù il punto E dourebbe di&longs;cendere il punto C & tirare in giù B: mala cor­da po&longs;ta in B è immobile, on­de BC non può di&longs;cendere. Per laqual co&longs;a mentre la po&longs;­

&longs;anza di F tira sùlo E, tutta la girella &longs;i mouerà in sù, & per con&longs;equenza tut­ta la taglia, & il pe&longs;o; & EKC &longs;arà come leua, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;arà C: pero­che il punto C per cau&longs;a di BC qua&longs;i è immobile, ma la po&longs;&longs;anza che moue la leua è in F con la corda EF, & il pe&longs;o &longs;ta appiccato in K. Che &longs;e il punto C fo&longs;&longs;e del tutto immobile, & &longs;i moua la leua EC in NC, & &longs;i diuida NC in due parti eguali in L: &longs;aranno CL LN eguali ad e&longs;&longs;e CK KE. Per la qual co&longs;a &longs;e la leua EC fo&longs;&longs;e in CN, il punto K &longs;arebbe in L: & &longs;e &longs;i con duce&longs;&longs;e la linea LM à piombo dell'orizonte, laquale &longs;ia anche eguale alla KH, &longs;arebbe il pe&longs;o A, cioè il punto H in M. Ma percioche la po&longs;&longs;anza di F mentre và in &longs;u&longs;o mouendo la girella &longs;empre &longs;i moue &longs;opra la linea retta EFG, laquale è anco egualmente di&longs;tante &longs;empre da BC, &longs;arà nece&longs;&longs;ario, che la girella della ta­glia &longs;empre &longs;i troui tra le linee EG BC, & il centro K &longs;tando nel mezo, &longs;i mo­uerà &longs;empre &longs;opra la linea retta HKT. Sia condotta adunque per L la linea PT LQ egualmente di&longs;tante sì dall orizonte, come dalla EC, laquale &longs;eghi la HK allungata in T, & co'l centro T, & lo &longs;patio TQ &longs;i formi il cerchio QR PS, ilquale &longs;arà eguale al cerchio CED; & li punti PQ toccheranno le cor­de FE BC ne i punti PQ. Peroche il rettangolo PECQ & la PT & la TQ &longs;ono eguali ad e&longs;&longs;e EK KC. Dapoi per T &longs;ia tirato RTS diametro del cerchio PQS egualmente di&longs;tante ad e&longs;&longs;a NC, & &longs;ia fatta TO eguale alla KH. Hor mentre il centro K &longs;arà mo&longs;&longs;o fin alla linea PQ all'hora il cen­tro K &longs;arà in T. Maegliè &longs;tato dimo&longs;trato, che il centro della girella &longs;i moue &longs;empre per la linea retta HT. Onde accioche il centro K &longs;ia nella linea PQ egual­mente di&longs;tante ad e&longs;&longs;a EC, egli è nece&longs;&longs;ario, che e&longs;&longs;o &longs;ia in T: & accioche an­chora la leua EC &longs;i alzi nell'angolo ECN egli è nece&longs;&longs;ario, che &longs;ia in RS & non in CN percioche l'angolo RSE all'angolo NCE è eguale & co&longs;i il &longs;o­&longs;tegno C non è del tutto immobile, mouendo&longs;i tutta la girella all'insù, & tutta mutt'il luogo: nondimeno il C ha ragione di &longs;o&longs;tegno, peroche meno &longs;i moue C di quel che fà K & E, percioche &longs;i moue il punto E fin ad R, & il K fin al T, ma il punto C fin ad S &longs;olamente. Per laqual co&longs;a mentre il centro K &longs;i troua in T, il &longs;ito della girella &longs;arà QRPS: & il pe&longs;o A, cioè il punto H &longs;arà in O, e&longs;&longs;endo TO eguale à KH; ma il &longs;ito di EC, cioè della leua mo&longs;&longs;a, &longs;arà RS: & la po&longs;&longs;anza di F &longs;arà mo&longs;&longs;a in &longs;u&longs;o per la retta linea EFG: ma nel­l'i&longs;te&longs;&longs;o tempo, che K &longs;arà in T, &longs;ia la po&longs;&longs;anza in G; & mentre la leua EC in que&longs;to modo &longs;i moue, rimangono pur &longs;empre GPBQ fra loro egualmente di­&longs;tanti, & à piombo dell'orizonte, talche doue toccano la girella, come ne' punti PQ, &longs;empre la linea PQ &longs;arà il diametro della girella & come leua egualmen­te di&longs;tante dall'orizonte. Mentre dunque la girella &longs;i moue, & và attorno, &longs;empre anche &longs;i moue la leua EC, & &longs;empre rimane vn'altra leua nella girella egualmente di&longs;tante dall'orizonte, come PQ, per modo, che la po&longs;&longs;anza di F moua il pe&longs;o, &longs;tando la leua egualmente di&longs;tante all'orizonte, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;acà &longs;empre nella linea CB, & il pe&longs;o nel mezo della leua appiccato: & la po&longs;&longs;anza nella li­nea EG, che era da mo&longs;trare.

Per la 1. di questo.

Per la 2. di questo.

Per la 34. del primo.

Per la 29. del primo.

Stando le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e. Lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza, che moue il pe­&longs;o è il doppio dello &longs;patio dell'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o mo&longs;&longs;o.

E&longs;&longs;endo &longs;tato dimo&longs;trato, che mentre il K &longs;tà nel T, il pe&longs;o A cioè il punto H e&longs;&longs;ere in O: & nell'i&longs;te&longs;&longs;o tempo ancora la po&longs;&longs;anza di F e&longs;&longs;ere in G: & per­cioche la corda BCDEF eguale è alla corda EQSPG, peroche è la mede&longs;ima corda: & la corda che è inuolta intorno al mezo cerchio CDE eguale è alla cor­da, che &longs;ta d'intorno al mezo cerchio QSP: tolti via dunque li due pezzi di corda communi BQ, & FP: &longs;arà il re&longs;tante della corda FG eguale ad e&longs;&longs;i due pezzi di corda rima&longs;i CQ & EP in&longs;ieme pre&longs;i. Ma EP eguale è al TK, & il CQ &longs;arà anche eguale ad e&longs;&longs;o TK, peroche &longs;ono PK & TC parallelo­grammi rettangoli. Per laqual co&longs;a le linee EPCQ in&longs;ieme &longs;ono due volte tanto, quanto è TK. Adunque la corda FC &longs;arà due volte tanto quanto la TK. & percioche la KH è eguale alla TO, leuando via la corda commune KO &longs;a rà la KT eguale ad e&longs;&longs;a KO. Per laqual co&longs;a la corda FG &longs;arà due volte tan­to quanto e&longs;&longs;a HO: cioè lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza due volte tanto quanto lo &longs;pa­tio del pe&longs;o, che era da mo&longs;trare.

“Parallelogrammi rettangoli. Vuol dire figure di linee egualmente diftanti fra loro, lequali formino angoli retti à differenza di altre figure, che &longs;e ben &longs;ono di linee egualmente di&longs;tanti, non formano tuttauia angoli retti.

Dapoi la po&longs;&longs;anza mouerà il pe&longs;o i&longs;te&longs;&longs;o in tempo eguale per la metà dello &longs;patio, con la corda inuolta d'intorno alla girella della taglia legata al pe&longs;o, che &longs;enza taglia; pur che le veloci­tà de' mouimenti di e&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza &longs;iano eguali.

Peroche &longs;ia, &longs;tando le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e, vn'altro pe&longs;o V eguale al pe&longs;o A al quale &longs;ia legata la corda <36>X & &longs;ia in X la po&longs;&longs;anza, che moue il pe&longs;o V, Dico, &longs;e le velocità de' mouimenti dell'vna, & l'altra po&longs;&longs;anza &longs;aranno eguali, che la po&longs;&longs;anza

di F mouerà il pe&longs;o A nell'i&longs;te&longs;&longs;o tempo per la metà dello &longs;patio, per lo quale il pe&longs;o V &longs;arà mo&longs;&longs;o dalla po&longs;&longs;anza di X, che è il mede&longs;imo, come &longs;el'i&longs;te&longs;&longs;o pe­&longs;o in tempo eguale fo&longs;&longs;e mo&longs;&longs;o. Moua la po&longs;&longs;anza di X il pe&longs;o V, & la po&longs;&longs;an­za peruenga in *u; & &longs;ia X*u eguale ad e&longs;&longs;a FG: & &longs;i faccia *uZ eguale à X<36>, talche quando la po&longs;&longs;anza di X &longs;arà in *u, &longs;ia il pe&longs;o V cioè il punto <36>in Z; ma <36>Z è eguale ad FG, e&longs;&longs;endo eguale ad X*u: dunque <36>Z &longs;arà due volte tanto, quanto OH. Per laqual co&longs;a mentre le po&longs;&longs;anze &longs;aranno in G*u, i pe&longs;i AV &longs;aranno in OZ. Hor nell'i&longs;te&longs;&longs;o tempo &longs;aranno le po&longs;&longs;anze in G*u, peroche le vetocità de mouimenti &longs;ono eguali: onde la forza di F mouerà il pe­&longs;o A nel mede&longs;imo tempo per la metà di quello &longs;patio, per loquale il pe&longs;o V &longs;a
rà mo&longs;&longs;o dalla po&longs;&longs;anza di X: & li pe&longs;i &longs;ono eguali, adunque la po&longs;&longs;anza moue­rà il pe&longs;o i&longs;l e&longs;&longs;o in tempo eguale per la metà dello &longs;patio, con la corda, & la taglia legata in que&longs;to modo al pe&longs;o, che &longs;enza taglia; purche le velocità della po&longs;&longs;anza de'mouimenti &longs;iano eguali, che era da mo&longs;trar&longs;i.

PROPOSITIONE XII.

Se la corda &longs;arà riuolta d'intorno à più girelle, legando l'vno de' capi &longs;uoi in qualche loco, & l'altro &longs;ia tenuto dalla po&longs;&longs;anza, che moue il pe&longs;o: La po&longs;&longs;anza mouerà con le leue &longs;empre egualmente di&longs;tanti dall'orizonte.

Sia il pe&longs;o A. &longs;ia la girella CED della taglia legata al pe&longs;o da KS ad angoli retti all'orizonte; di modo, che il pe&longs;o &longs;egua &longs;empre il &longs;uo mouimento ò &longs;u&longs;o, ò giu&longs;o, che &longs;ia fatto. Sia dapoi la girella intorno al centro L della taglia appiccata di &longs;opra; & &longs;iala corda BCDEHMNO riuol­ta d'intorno alle girelle, laquale &longs;ia legata in B; & &longs;ia in O la forza mouente il pe&longs;o A, mouendo&longs;i al ba&longs;&longs;o per OP. Di­co che la po&longs;&longs;anza di O mouerà &longs;empre il pe&longs;o A con le leue &longs;empre egualmente di&longs;tanti dall'orizonte. &longs;ia tirata la linea NH per lo centro L egualmente di&longs;tan­te dall'orizonte, che &longs;arà la leua della girel­la, il cui centro è L: &longs;ia tirata da poi la EC per lo centro K, &longs;imilmente di&longs;tan­te egualmente dall'orizonte, la quale &longs;arà anche la leua della girella, il cui centro è K. Moua&longs;i la po&longs;&longs;anza di O in giu&longs;o, la quale mentre in giu&longs;o &longs;i moue, mouerà la leua NH, & mentre la leua &longs;i moue, la N &longs;i mouerà in giu&longs;o, & la H in &longs;u&longs;o, come è detto di &longs;opra. Ma mentre la H &longs;i moue in &longs;u&longs;o, moue etiandio in &longs;u&longs;o la E, & la leua EC, il cui &longs;o&longs;tegno è C, ma il &longs;o&longs;tegno C non puote mouere in giu&longs;o il B; però la girella il cui centro è K mouera&longs;&longs;i in &longs;u&longs;o, & per con&longs;equenza la ta­glia, & il pe&longs;o A, come nella preceden­te è stato detto. & perche per la mede&longs;i­ma cau&longs;a, che è stata a&longs;&longs;egnata nelle pre­cedenti, rimangono &longs;empre le leue egual­mente distanti dall'orizonte in HN, &

in EC, la po&longs;&longs;anza dun­que mouente il pe&longs;o A lo mouerà &longs;empre &longs;tando le leue egualmente distan­ti dall'orizonte; che era da mo&longs;trar&longs;i.

Per la 1. & 10. di questo.

Per la 11. di questo.

Par la 10. di questo.

Et &longs;e la corda &longs;arà riuolta d'intorno à più girelle; &longs;imil­mente &longs;i dimo&longs;trerà la po&longs;­&longs;anza mouere il pe&longs;o con le leue &longs;empre egualmente di&longs;tanti dall'orizonte: & le leue delle girelle della taglia di &longs;opra &longs;empre e&longs;&longs;e­re come HN, i &longs;o&longs;tegni delle quali &longs;aranno &longs;empre nel mezo: ma le leue delle girelle della taglia di &longs;otto &longs;empre e&longs;&longs;ere, come EC; li cui &longs;o&longs;tegni &longs;aranno nel­le &longs;tremità delle leue.

Stando le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e, lo &longs;patio della po&longs;­&longs;anza, è il doppio dello &longs;patio del pe­&longs;o.

Sia mo&longs;&longs;o il centro K fin al centro R; & &longs;ia la girella FTG: poi &longs;ia per lo cen­tro R condotta la linea GF egualmente di&longs;tante da e&longs;&longs;a EC: le corde EH CB toccheranno la girella ne i punti GF. Faccia&longs;i alla fine RQ eguale à KS. Mentre dunque K &longs;arà in R, il pe&longs;o A, cioè il punto S &longs;arà in Q,& mentre il centro della girella è in R, &longs;ia la po&longs;&longs;anza di O mo&longs;&longs;a in P. & percioche la corda BCDEHMNO eguale è alla corda BFTGHMNP per e&longs;&longs;er la corda iste&longs;&longs;a, & FTG è eguale à CDE; leuate via dunque le com­muni BF & GHMNO, &longs;arà la re&longs;tante OP eguale ad e&longs;&longs;e FC EG pre­&longs;e in&longs;ieme: & per con&longs;equenza due volte tanto, quanto è KR, & QS. & e&longs;­&longs;endo OP lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a, & SQ lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o; &longs;arà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza due volte tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o. che era da mostrar&longs;i.

Oltre à ciò la po&longs;&longs;anza mouerà il pe&longs;o i&longs;te&longs;&longs;o in tempo eguale per la metà dello &longs;patio, con vna corda riuolta d'intorno à due girelle, l'una delle quali &longs;ia della taglia di &longs;opra, & l'altra &longs;ia della taglia legata al pe&longs;o; che &longs;enza taglie: pur che i mo­uimenti di e&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza &longs;iano egualmente veloci.

Percioche &longs;tando le co­&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e, &longs;ia il pe&longs;o V eguale ad e&longs;&longs;o A, alquale &longs;ia legata la corda X<36>; & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in X che moue il pe&longs;o V; la quale mentre moue il pe&longs;o, peruenga in *u: & &longs;iano fatte X*u Z<36> eguali ad e&longs;&longs;a OP; &longs;arà Z<36>due volte tanto quan­to QS. & &longs;e le velocità de' moui­menti dell'vna, & l'altra po&longs;&longs;anza &longs;a­ranno eguali; egli è manife&longs;to, che il pe­&longs;o V trapa&longs;&longs;a due volte tanto &longs;patio nell'i&longs;te&longs;&longs;o tempo, di quel che trapa&longs;&longs;i il pe&longs;o A: percioche nel tempo mede&longs;imo la po&longs;&longs;anza di X per­uiene ad *u, & la po&longs;&longs;anza di O à P; & li pe&longs;i &longs;imilmen­te in ZQ. che era da mo&longs;trar&longs;i.

PROPOSITIONE XIII.

Riuolgendo la corda d'intorno à due girelle di due taglie, I'vna dellequali &longs;ia di &longs;opra, & l'altra di &longs;otto, & legata al pe&longs;o; e&longs;­&longs;endo anche l'vno de' capi di detta corda legato alla taglia di &longs;otto, & l'altro tenuto dalla po&longs;&longs;anza che moue; &longs;arà lo &longs;patio cor&longs;o della po&longs;&longs;anza, che tira, tre volte tanto quanto lo &longs;pati del pe&longs;o mo&longs;&longs;o.

Sia il pe&longs;o A; &longs;ia BCD la girel­la della taglia legata al pe&longs;o A, attaccato da EQ, & &longs;ia E il centro della girella; &longs;ia dapoi F GH la girella della taglia appic­cata di &longs;opra, il cui centro K; & &longs;ia la corda LFGHDBCM ri­uolta intorno à tutte le girelle, & legata alla taglia di &longs;otto in L: & &longs;ia in M la po&longs;&longs;anza, che moue. Dico lo &longs;patio cor&longs;o dalla po&longs;&longs;anza di M, mentre moue il pe&longs;o, e&longs;&longs;ere triplo dello &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o A. Moua&longs;i la po&longs;&longs;anza di M fin ad N; & il centro E &longs;ia mo&longs;&longs;o fin ad O; & L fin à P; & il pe&longs;o A, cioè il pun­to Q fin ad R; & la girella mo&longs;&longs;a &longs;ia TSV. Siano condot­te per EO le linee ST BD egualmente di&longs;tanti dall'orizonte, lequali &longs;aranno anche tra loro e­gualmente di&longs;tanti. Ma percio­che mentre E &longs;ta in O, il pun­to Q &longs;ta in R; &longs;arà EQ eguale ad OR, & EO ade&longs;&longs;o QR eguale; &longs;imilmente LQ &longs;arà eguale à PR, & LP ad e&longs;&longs;o QR eguale. Adunque le tre QR EO LP fra loro &longs;aranno eguali; à cui &longs;ono etiandio eguali BS DT. Et percioche la corda LFGHDCBM è eguale alla corda PFGHTVSN e&longs;&longs;en­do vna corda i&longs;te&longs;&longs;a, & la corda, che è intorno al mezo cerchio TVS è eguale alla corda, che è intorno al mezo cerchio BCD; tolte via dunque le communi PF GHT, & SM; &longs;arà la re&longs;tan­te MN eguale alle tre BS LP DT pre&longs;e in&longs;ieme. ma BS LP DT in&longs;ieme &longs;ono tre volte tanto, quanto

EQ, & per con&longs;e­quenza QR. Lo &longs;patio dunque MN della traportata po&longs;&longs;anza è tre volte tanto, quanto lo &longs;patio QR del pe&longs;o mo&longs;&longs;o. che era da mo&longs;trar&longs;i.

Il tempo ancora di questo mouimento è manife&longs;to, percio­che la po&longs;&longs;anza i&longs;te&longs;&longs;a in tempo eguale mouerà l'i&longs;te&longs;&longs;o pe­&longs;o in i&longs;patio tre co­tanto maggiore &longs;en­za tali taglie, di quel che &longs;arebbe con e&longs;&longs;e taglie à que&longs;to modo commodate. Lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o &longs;enza le taglie è eguale allo &longs;patio della po&longs;&longs;an­za. & in que&longs;to modo ritrouaremo in tutte il tempo.

PROPOSITIONE XIIII.

Legando la corda d'intorno à tre girelle di due taglie, l'vna del­lequali &longs;ia di &longs;opra, & habbia vna &longs;ola girella, & l'altra di &longs;ot­to, & ne habbia due, & &longs;ia legata al pe&longs;o; laqual corda &longs;ia le­gata con l'vno de' capi &longs;uoi in qualche loco, & l'altro tenu­to dalla po&longs;&longs;anza, che moue il pe&longs;o: &longs;arà lo &longs;patio cor&longs;o dal­la po&longs;&longs;anza, che tira, quattro volte tanto, quanto è lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o.

Sia il pe&longs;o A, &longs;iano le due girelle, i cui centri K I della taglia legata al pe&longs;o con Ka; di modo, che il pe&longs;o &longs;empre &longs;egua il mouimento della taglia in &longs;u&longs;o, ouero in giu&longs;o: &longs;ia dapoi la girella il cui centro L della taglia appe&longs;a di &longs;opra in d; & &longs;ia la corda BCDEFGHZMNO riuolta intorno à tutte le girelle, & legata in B; & &longs;ia in O la po&longs;&longs;anza, che moue il pe­&longs;o A. Dico lo &longs;patio, ilquale la po&longs;&longs;anza di O mouendo trapa&longs;&longs;a, e&longs;&longs;ere quat­tro volte tanto, quanto lo &longs;patio del pe­&longs;o A mo&longs;&longs;o. Mouan&longs;i le girelle della taglia legata al pe&longs;o; & mentre il centro K è in R, il centro I &longs;ia in S, & il pe&longs;o A, cioè il punto a in b: &longs;aranno IS KR ab tra &longs;e eguali, & parimen­te KI ad e&longs;&longs;a RS eguale: percioche le girelle mantengono fra &longs;e la di&longs;tanza mede&longs;ima &longs;empre; & Ka &longs;arà eguale ad e&longs;&longs;a Rb . &longs;iano condotte per li centri delle girelle le linee FHQTECVXNZ egualmente distanti dall orizonte, lequali tocchino le corde ne i punti FH QT

EC VX NZ che parimente &longs;aranno fra loro egualmente di&longs;tanti: & EQ CT VN XZ non &longs;olamente fra &longs;e, ma ancora ad e&longs;&longs;e IS KR ab &longs;aranno e­guali: & mentre li centri KI &longs;ono in RS, la po&longs;&longs;anza di O &longs;ia mo&longs;&longs;a in P. Et percioche la corda BCDEFGHZ MNO è eguale alla corda BT<36>QF GHX*uVP e&longs;&longs;endo vna corda mede­&longs;ima, & le corde d'intorno à mezi cerchi T<36>Q X*uV &longs;ono eguali alle corde, che &longs;ono d'intorno à CDE ZMN; tolte via dunque le communi BT, QFGHX, & VO; &longs;arà OP eguale ad e&longs;&longs;e VN XZ CT QE pre&longs;e tutte in&longs;ieme. ma le quattro VN ZX CT QE &longs;ono tra &longs;e eguali, & in&longs;ieme quattro volte tanto quanto KR & ab. Per laqual co&longs;a OP &longs;arà quattro volte tanto quanto è e&longs;&longs;a ab. Adunque lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza è quattro volte tanto quanto è lo &longs;patio del pe&longs;o. che era da mo&longs;trare.

Et &longs;e la corda in P &longs;arà dauantaggio ri­uolta d'intorno ad vn'altra girella ver&longs;o il d, & la po&longs;&longs;anza mouendo&longs;i in giù moua in sù il pe&longs;o: &longs;imilmente &longs;i mo&longs;trerà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza e&longs;&longs;ere quattro volte tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o.

Ma &longs;e la corda in B &longs;i riuolgerà d'intorno ad vn'altra girella, laqual corda &longs;i leghi dapoi alla taglia di &longs;otto; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di O, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o A vn quinto dal pe&longs;o. & &longs;e in O &longs;arà la po&longs;&longs;anza, che moua il pe&longs;o A; &longs;imilmète &longs;i dimo&longs;tre rà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza po&longs;ta in O e&longs;­&longs;ere cinque volte tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o A.

Per la 9. di questo.

Et &longs;e la corda &longs;i adatterà in modo d'intorno alle girelle, che la po&longs;&longs;anza di O &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o &longs;ia vn &longs;e&longs;to del pe&longs;o; & in loco della po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o, &longs;i met­ta in O la po&longs;&longs;anza, che lo moua; nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo &longs;i mo&longs;trerà lo &longs;patio della po&longs;­&longs;anza e&longs;&longs;ere &longs;ei volte tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o. & co&longs;i procedendo in infinito &longs;i troueranno le proportioni dello &longs;patio della po&longs;&longs;anza allo &longs;patio del pe­&longs;o mo&longs;&longs;o quanto &longs;i vogliano moltiplici.

Et co&longs;i procedendo in infinito &longs;i troueranno le proportioni dello &longs;patio della po&longs;­&longs;anza allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o quanto &longs;i vorrà moltiplici. Già è detto che moltiplice è il primo genere delle proportioni nelle quantità paragonate dal mag­giore al minore, però qui vuol dire, che con tale regola &longs;i ritroueranno le pro­portioni dello &longs;patio del pe&longs;o allo &longs;patio della po&longs;&longs;anza in infinito, douendo e&longs;&longs;ere lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mouente moltiplice, cioè molte volte maggiore dello &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o, come appare nel pre&longs;ente e&longs;&longs;empio, che è &longs;ei volte più, come &longs;ei ad vno; & que&longs;to è il &longs;ignificato di moltiplice.

COROLLARIO I.

Da que&longs;te co&longs;e è manife&longs;to, co&longs;i hauer&longs;i il pe&longs;o ver&longs;o la po&longs;&longs;an­za, che lo &longs;o&longs;tiene, come lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza che moue al­lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o.

Come &longs;e il pe&longs;o A &longs;arà cinque volte tanto quanto la po&longs;&longs;anza di O, che &longs;o&longs;tiene il detto pe&longs;o A; &longs;arà anche lo &longs;patio OP della po&longs;&longs;anza mouente il pe&longs;o cin­que volte tanto quanto lo &longs;patio a b del pe&longs;o mo&longs;&longs;o.

COROLLARIO II.

E manife&longs;to ancora per le co&longs;e dette, che le girelle della taglia, laquale è legata al pe&longs;o, fanno sì, che minore &longs;patio è quello, ilquale è de&longs;critto dal pe&longs;o mo&longs;&longs;o, che dalla po&longs;&longs;anza che tira; & che in tempo maggiore &longs;i de&longs;criua vn dato &longs;patio eguale, che &longs;enza loro: ilche veramente non fanno le girelle della ta­glia di &longs;opra.

Mo&longs;trata la proportione moltiplice, che ha il pe&longs;o ver&longs;o la po&longs;&longs;anza, hora &longs;i mo&longs;tri per lo contrario la proportione moltiplice, che haue la po&longs;&longs;anza ver&longs;o il pe&longs;o.

PROPOSITIONE XV.

Se la corda &longs;arà inuolta d'intorno alla girella della taglia tenu­ta di &longs;opra dalla po&longs;&longs;anza; l'vn capo dellaquale &longs;ia legato in qualche loco, ma all'altro &longs;ia appiccato il pe&longs;o, &longs;arà la po&longs;&longs;an­za due volte tanto quanto il pe&longs;o.

Sia la taglia, che habbia la girella co'l &longs;uo centro A; & &longs;ia il pe&longs;o B legato alla corda CDEFG, laquale &longs;ia in uol­ta d'intorno alla girella, & alla fine legata in G; & &longs;ia la po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o in H. Dico, che la po&longs;&longs;anza di H è due volte tanto quanto il pe&longs;o B. Sia condotta la linea DF per lo centro A egualmente di &longs;tante dall'orizonte. Percioche dun­que la po&longs;&longs;anza di H &longs;o&longs;tiene la ta­glia, laquale &longs;o&longs;tiene la girella nel &longs;uo centro A, laqual girella &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o; &longs;arà la po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene la gi­rella, come &longs;e fo&longs;&longs;e po&longs;ta in A; &longs;tan­do dunque e&longs;&longs;a in A, & il pe&longs;o ap­piccato in D, & legato alla corda CD; &longs;arà la DF come leua, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;arà F, il pe&longs;o in D & la po&longs;&longs;anza in A. Ma la po&longs;&longs;anza ver­&longs;o il pe&longs;o è come DF ad FA, & DF è il doppio di FA: adunque la po&longs;&longs;anza di A ouero di H, che è l'i&longs;te&longs;&longs;o, &longs;arà due volte tanto, quanto il pe&longs;o B. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 3. di questo nella leua.

Oltre à ciò occorre à con&longs;iderare, &longs;tando ferme tutte que&longs;te co&longs;e, che egli è l'i&longs;te&longs;&longs;o, e&longs;­&longs;endo vna corda &longs;ola CDEFG in que&longs;to modo inuolta d'intorno alla girella, co­me &longs;e fo&longs;&longs;ero due corde CDFG legate nella leua, ouero nella bilancia DF.

Altramente.

Stando le mede&longs;ime co&longs;e, &longs;e in G fo&longs;&longs;e appiccato un pe&longs;o K eguale al pe&longs;o B, li pe&longs;i BK pe&longs;erebbono egualmente nella bilancia DF, il cui centro A. Ma la po&longs;­&longs;anza di H, laquale &longs;o&longs;tiene i pe&longs;i BK è eguale ad ambidue pre&longs;i in&longs;ieme, & i pe&longs;i BK &longs;ono due volte tanto quanto è e&longs;&longs;o B. Adunque la po&longs;&longs;anza di H &longs;a­rà due volte tanto quanto è il B. & percioche la corda legata in G non fa al­tro niente, &longs;e non che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o B, che non di&longs;cenda, laqual co&longs;a parimente fà il pe&longs;o K appiccato in G: la po&longs;&longs;anza dunque di H, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o B, e&longs;&longs;endo la corda legata in G, è due volte tanto quanto il pe&longs;o B. che bi&longs;ognaua mostrare.

PROPOSITIONE XVI.

Po&longs;te le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e, &longs;e in H &longs;arà la po&longs;&longs;anza che moue il pe&longs;o, mouerà ella con la leua egualmente di&longs;tante dall'orizonte.

Que&longs;to etiandio &longs;i mo&longs;trerà, co­me è detto di &longs;opra. Moua&longs;i la girella in sù, & habbia il &longs;ito di MNO, il cui centro L: & per L &longs;ia condotta la linea MLO egualmente di­&longs;tante da e&longs;&longs;a DF, & dall'orizonte. & percioche le cor­de toccano il cerchio MON ne i punti MO; però e&longs;&longs;en­do che la po&longs;&longs;anza di A, ouero di H, che è l'i&longs;te&longs;&longs;o, mo­ua il pe&longs;o B appiccato in D con la leua DF, il cui &longs;o&longs;te­gno è F; &longs;empre rimarrà da uantaggio vn'altra leua, co­me MO egualmente di&longs;tan­te dall'orizonte, di modo che &longs;empre la po&longs;&longs;anza moua il pe&longs;o, &longs;tando la leua egualmente di&longs;tante dall'orizonte, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;empre è nella linea OG, & il pe&longs;o in MC, & la po&longs;&longs;anza nel centro della girella.

Po&longs;te le co&longs;e mede&longs;ime, lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o è due volte tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza, che moue.

Sia mo&longs;&longs;a la girella dal centro A fin al centro L; & il pe&longs;o B, cioè il punto e, nell'i&longs;te&longs;&longs;o tempo &longs;ia mo&longs;&longs;o nel P; & la po&longs;&longs;anza di H fin in K; farà AH ad e&longs;&longs;a LK eguale, & AL ad e&longs;&longs;a HK: & percioche le corda CDE FG eguale è alla corda PMNOG, peroche è vna corda i&longs;te&longs;&longs;a, & la corda d'intorno al mezo cerchio MNO eguale è alla corda d'intorno al mezo cerchio DEF: tolte via dunque le communi corde DP FG, &longs;arà PC eguale à DM FO pre&longs;e in&longs;ieme, lequali cor­de &longs;ono due volte tanto quanto è e&longs;&longs;a AL & per con&longs;eguenza e&longs;&longs;a HK. Lo &longs;patio dunque del pe­&longs;o mo&longs;&longs;o CP è due vol­te tanto, quanto è lo &longs;pa­tio della po&longs;&longs;anza HK. che bi&longs;ognaua mostrare.

COROLLARIO

Da que&longs;to è manife&longs;to, l'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o e&longs;&longs;ere tirato dalla i&longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza in tempo eguale per due volte tanto &longs;patio con la taglia in que&longs;to modo accommodata, che &longs;enza taglia; pur che i mouimenti di e&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza &longs;iano eguali in velocità.

Percioche lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o &longs;enza taglia è vguale allo &longs;patio della po&longs;&longs;anza.

Che &longs;e la corda &longs;arà in G riuolta d'intorno ad vn'altra girella, il cui centro K; & &longs;ia la taglia di cotale girella attaccata di &longs;otto, laquale non habbia alcuno altro mouimento, &longs;e non il libero riuolgimento della girella d'intorno all'a&longs;&longs;etto &longs;uo; & la corda &longs;i leghi in M; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di H che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o B. &longs;imilmente due volte tanto, quanto è e&longs;&longs;o pe&longs;o. il che per certo è manife&longs;to, con­cio&longs;ia, che egli &longs;ia in tutto vna co&longs;a i&longs;te&longs;&longs;a, &longs;e ouero la corda &longs;ia in M ouero in G legata, per­cioche la girella del centro K non fà nulla, & è totalmente inutile.

Ma &longs;e la po&longs;&longs;anza che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o B &longs;arà in M, & la taglia di &longs;opra &longs;ia appiccata in sù; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di M e­guale al pe&longs;o B.

Percioche la po&longs;&longs;anza di G, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o B è eguale al pe&longs;o B; & ad e&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza di G è eguale la po&longs;&longs;anza di L; percioche GL è leua, il cui &longs;o&longs;tegno è K; & la di­&longs;tanza GK è eguale alla di&longs;tanza KL; &longs;arà dunque la po&longs;­&longs;anza di L, ouero (che è il mede&longs;imo,) di M eguale al pe&longs;o B.

Per la 1. di questo.

Que&longs;to tale mouimento &longs;i fà nel­le leue DF LG i cui &longs;o&longs;tegni &longs;ono KA, & il pe&longs;o in D, & la po&longs;&longs;anza in F; ma nella leua LG la po&longs;&longs;anza &longs;tà in L, & il pe&longs;o come &longs;e fu&longs;&longs;e in G.

Se poi &longs;arà in M la po&longs;&longs;anza, che moue il pe&longs;o, & &longs;i tra&longs;porti, la po&longs;&longs;anza in N & il pe&longs;o &longs;ia mo&longs;&longs;o fin ad O; &longs;arà lo &longs;patio MN della po&longs;&longs;anza eguale allo &longs;patio di CO pe&longs;o; percioche e&longs;&longs;endo la corda MLGFDC eguale alla corda NLG FDO, peroche è vna i&longs;te&longs;&longs;a corda; leuata via la commune MLGFDO, &longs;arà lo &longs;patio MN della po&longs;&longs;anza eguale allo &longs;patio CO del pe&longs;o.

Et &longs;e la corda in M &longs;arà inuolta intorno à più girelle, &longs;empre la po&longs;&longs;anza, che in vno delli &longs;uoi e&longs;tremi &longs;o&longs;terrà il pe&longs;o &longs;arà eguale ad e&longs;&longs;o pe&longs;o: & gli &longs;patij del pe&longs;o, & della po&longs;&longs;anza che moue &longs;empre &longs;i mo&longs;treranno e&longs;&longs;ere eguali.

PROPOSITIONE XVII.

Se à cia&longs;cuna delle due girelle di due taglie, l'vna delle quali &longs;ia &longs;o &longs;tenuta di &longs;opra dalla po&longs;&longs;anza, & l'altra &longs;ia po&longs;ta di &longs;otto, & iui attaccata, &longs;i condurrà intorno la corda; con l'vno de' &longs;uoi capi legato alla taglia di &longs;opra, & l'altro appiccato al pe&longs;o; la po&longs;&longs;anza &longs;arà tre volte tanto quanto il pe&longs;o.

Sia la girella co'l centro A della taglia attaccata di &longs;otto; & &longs;ia la corda BCDEFG inuolta intorno non &longs;olamente à cote&longs;ta girella, ma etiandio alla girella della taglia di &longs;opra, che ha il centro K; & &longs;ia la corda legata in B della taglia di &longs;opra; & in G &longs;ia at­taccato il pe&longs;o H; & la po&longs;&longs;an­za in L &longs;o&longs;tenga il pe&longs;o H. Di­co che la po&longs;&longs;anza in L ètre volte tanto quanto il pe&longs;o H, per­cioche &longs;e fo&longs;&longs;ero due po&longs;&longs;anze, che &longs;o&longs;tenne&longs;&longs;ero il pe&longs;o H vna in K, & l'altra in B, &longs;arebbono ambe­due in&longs;ieme tre volte tanto quan­to il pe&longs;o H: percioche la po&longs;&longs;anza in K è due volte tanto quan­to il pe&longs;o H, & la po&longs;&longs;anza in B è eguale ad e&longs;&longs;o pe&longs;o. & per cioche la &longs;ola po&longs;&longs;anza in L è eguale ad ambedue le po&longs;&longs;anze in KB, peroche la po&longs;&longs;anza in L &longs;o­&longs;tiene sì la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in K, come la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in B; & la detta po&longs;&longs;anza in L fa l'i&longs;te&longs;&longs;o, come &longs;e fu&longs;&longs;ero due po&longs;&longs;anze, l'v­na in K & l'altra in B. Sarà dunque tre volte tanto la po&longs;&longs;an­za in L quanto il pe&longs;o H. Che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 15. di questo. Nella prece dente.

Ma &longs;e in L &longs;arà la po&longs;&longs;anza, che moue il pe&longs;o. Dico lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o e&longs;&longs;ere tre volte tanto, quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a.

Moua&longs;i il centro della girella K fin ad M, lo &longs;patio delquale mouimento è ve­ramente eguale allo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a, co­me è detto di &longs;opra: & quando K &longs;arà in M, B &longs;arà in N, & NB &longs;a rà eguale ad MK; & mentre K è in M, fia il pe&longs;o H, cioè il punto G mo&longs;&longs;o in O; & per MK &longs;iano condotte le linee EF PQ egualmente di&longs;tanti dall'orizonte; &longs;arà cia&longs;cu­na delle EP BN FQ eguale ad e&longs;&longs;a KM. Et percioche la coda BCD EFG eguale è alla corda NCDPQO; e&longs;&longs;endo vna mede&longs;ima corda; & la corda po&longs;ta intorno al mezo cerchio ERF e­guale è alla corda po&longs;ta in torno al mezo cerchio PSQ; tolte via dunque le corde communi BC DE, & FO, &longs;arà OG eguale alle tre corde QF NB PE pre&longs;e in&longs;ieme. ma QF NB PE in­&longs;ieme &longs;ono tre volte tanto quanto MK, cioè lo &longs;pa­tio della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a; lo &longs;patio dunque GO del pe&longs;o H mo&longs;&longs;o, è tre vol­te tanto quanto è lo &longs;pa­tio della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Nella precedente.

PROPOSITIONE XVIII.

Se ad ambedue le girelle delle due taglie: l'vna delle quali &longs;ia &longs;o &longs;tenuta di &longs;opra dalla po&longs;&longs;anza, & l'altra &longs;ia po&longs;ta di &longs;otto, & iui attaccata, &longs;arà inuolta intorno la corda; con l'vno de' ca­pi &longs;uoi in qualche luogo legato, ma non già nella taglia di &longs;o­pra, & all'altro &longs;ia appiccato il pe&longs;o; la po&longs;&longs;anza &longs;arà quattro volte tanto quanto il pe&longs;o.

Sia la taglia di &longs;otto, che habbia due gi­relle con li centri &longs;uoi AB; & &longs;ia la taglia di &longs;opra, che &longs;imilmente hab­bia due girelle con li centri &longs;uoi CD: & &longs;ia la corda EFGHKLMNOP riuolta d'intorno à tutte le girelle, che &longs;ia legata poi in E, & &longs;ia appicca­to in P il pe&longs;o Q: & &longs;ia la po&longs;&longs;an­za in R. Dico la po&longs;&longs;anza di R e&longs;­&longs;ere quattro volte tanto quanto il pe­&longs;o Q: concio&longs;ia che &longs;e &longs;i intenderan­no due po&longs;&longs;anze, l'vna in K & l'al­tra in D, la po&longs;&longs;anza in K che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o Q con la corda KLM NOP &longs;arà eguale al pe&longs;o; & &longs;aranno le due po&longs;&longs;anze in&longs;ieme l'vna in D & l'altra in K &longs;ostenenti il pe&longs;o Q tre volte tanto quanto l'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o. Ma la po&longs;&longs;anza di C è due volte tanto quanto la po&longs;&longs;anza di K, & per con &longs;equenza del pe&longs;o Q. peroche egli è la mede&longs;ima co&longs;a, come &longs;e in K fo&longs;&longs;e appiccato vn pe&longs;o eguale al pe&longs;o Q, delquale è due volte tanto la po&longs;&longs;anza di C. Adunque due po&longs;&longs;anze po&longs;te in DC &longs;ono quattro volte tanto quanto è il pe&longs;o Q. & concio&longs;ia, che la po&longs;&longs;anza di R &longs;o&longs;tenga con le girelle il pe&longs;o Q, &longs;arà la po&longs;&longs;anza di R co­me &longs;e fo&longs;&longs;ero due po&longs;&longs;anze l'vna in D

& l'altra in C: & l'vna, & l'altra in&longs;ieme &longs;o&longs;tene&longs;&longs;e il pe&longs;o Q. La po&longs;&longs;anza dunque di R è quattro volte tanto quanto il pe&longs;o Q. che bi&longs;ognaua dimo&longs;trare.

Per la 16. di questo.

Per la 15. di questo.

COROLLARIO

Dalla qual co&longs;a è manife&longs;to, che &longs;e la corda &longs;arà legata in G, & riuolta d'intorno alle girelle, i cui centri &longs;ono BCD; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di R che &longs;o&longs;tiene quattro volte tanto, &longs;imilmente quan­to il pe&longs;o Q. Percioche la girel­la il cui centro è A non fà nulla.

Che &longs;e la po&longs;&longs;anza mouènte il pe&longs;o &longs;a rà in R. Dico lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o e&longs;&longs;ere quattro volte tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza.

Siano mo&longs;&longs;i i centri CD delle girelle fin ad ST; &longs;aranno per le co&longs;e di &longs;opra dette CS DT eguali allo &longs;patio della po&longs;&longs;anza; & per SDT &longs;iano condotte le linee HK VX NO *uZ egualmente di&longs;tanti dall'orizonte; & mentre li centri CD &longs;ono in ST, &longs;ia il pe&longs;o Q, cioè il punto P mo&longs;&longs;o in <36>. & percioche la corda EFGHKLMNOP eguale è al la corda EFGVXLM*uZ<36>; e&longs;&longs;endo vna mede&longs;ima corda: & le corde po&longs;te d'intorno à mezi cerchi NIOHaK &longs;iano eguali alle corde, lequali &longs;ono intorno à i mezi cerchi *udZ VbX; tolte via dunque le communi EFGH KLMN & O<36>; &longs;arà P<36> eguale ad e&longs;&longs;e N*u ZO VH XK in&longs;ieme pre&longs;e, ma le quattro N*u ZO VH XK tutte in&longs;ieme &longs;ono quattro volte tanto quanto DT cioè lo &longs;pa­tio della po&longs;&longs;anza. Lo &longs;patio dunque PQ del pe&longs;o è quattro volte tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza. che era da mo&longs;trar&longs;i.

Ma &longs;e la corda &longs;a rà rilegata in E della taglia di &longs;opra, & la po&longs;&longs;anza di R &longs;o&longs;tenga il pe­&longs;o Q. &longs;arà la po&longs;&longs;anza di R cinque volte tanto quanto il pe&longs;o Q. & &longs;e in R &longs;arà la po&longs;&longs;anza, che moue il pe&longs;o &longs;arà lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o cinque volte tanto, quanto lo &longs;pa­tio della po&longs;­&longs;anza. Lequa­li co&longs;e tutte &longs;i dimo&longs;treranno con modo &longs;imile, come nelle precedenti è &longs;tato fatto.

Ma &longs;e la po&longs;&longs;anza di R &longs;o­&longs;tene&longs;&longs;e il pe&longs;o Q hauen­do la taglia tre girelle, i cui centri &longs;iano ABC; & &longs;ia vn'altra taglia di &longs;otto, che habbia due, ò tre girel­le, i cui centri &longs;iano DEF; & &longs;ia la corda riuolta d'in torno à tutte le girelle, & &longs;ia legata in G ouero in H; &longs;imilmente mo&longs;trera&longs;&longs;i la po&longs;&longs;anza di R e&longs;&longs;ere &longs;ei volte tanto quanto il pe&longs;o Q. & &longs;e in R &longs;arà la forza mouente il pe&longs;o, &longs;i mo&longs;trerà lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o e&longs;&longs;ere &longs;ei volte tan­to quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza.

Et &longs;e la corda &longs;arà legata in K della taglia di &longs;opra, & in R &longs;ia la po&longs;&longs;anza che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o; con modo &longs;imile &longs;i prouerà la po&longs;&longs;an­za di R e&longs;&longs;ere &longs;ette volte tanto quanto il pe&longs;o Q.

Et &longs;e in R &longs;arà la po&longs;&longs;anza che moue, &longs;i mo&longs;trerà lo &longs;patio del pe&longs;o Q e&longs;&longs;ere &longs;ette volte tanto quanto lo &longs;pa­tio della po&longs;&longs;anza. & co&longs;i in infinito ogni proportio­ne molteplice della po&longs;&longs;an­za ver&longs;o il pe&longs;o potra&longs;&longs;i trouare. & &longs;i mo&longs;trerà &longs;empre, co&longs;i e&longs;&longs;ere il pe&longs;o ver&longs;o la po&longs;&longs;anza che lo &longs;o­&longs;tiene, come lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza che moue il pe&longs;o, allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o.

Hor il mouimento delle leue delle girelle in que&longs;te &longs;i fà in cotal modo, cioè le leue delle girelle della taglia di &longs;opra &longs;i mouo­no, come è detto, nella decima&longs;e&longs;ta di que&longs;to; cioè hanno il &longs;o&longs;tegno nel­le &longs;tremità, la po&longs;­&longs;anza nel mezo, & il pe&longs;o nell'al­tra &longs;tremità ap­piccato. Ma le leue della taglia di &longs;otto hanno il &longs;o­&longs;tegno nel mezo, & il pe&longs;o, & la po&longs;&longs;anza nelle &longs;tromità.

COROLLARIO

In que&longs;te co&longs;e è manife&longs;to, che le girelle della taglia di &longs;opra &longs;o­no cagione, che il pe&longs;o &longs;i moua da po&longs;&longs;anza maggio re di e&longs;&longs;o pe&longs;o, & per maggiore &longs;patio di quel che è lo &longs;patio di e&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza, & per eguale in manco tempo: co&longs;a che veramente non fanno le girelle della taglia di &longs;otto.

In altro modo ancora po&longs;&longs;iamo ritrouare que&longs;ta proportione moltiplice della po&longs;&longs;an­za ver&longs;o il pe&longs;o.

PROPOSITIONE XIX.

Se à cia&longs;cuna delle girelle dell'vna, & l'altra delle due taglio, l'v­na delle quali &longs;ia appiccata di &longs;opra, & l'altra di &longs;otto ritenu­ta dalla po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene, &longs;i riuolga intorno la corda; con l'vno de' capi &longs;uoi legato in qualche loco, & con l'altro attac­cato al pe&longs;o: la po&longs;&longs;anza &longs;arà due volte tanto quanto il pe&longs;o.

Sia la girella della taglia appiccata di &longs;opra, il cui centro &longs;ia A; & BCD &longs;ia del­la taglia di &longs;otto; &longs;ia dapoi la corda EBCDFGHL rilegata in E; & in L &longs;ia appiccato il pe&longs;o M; & &longs;ia la po&longs;&longs;anza che &longs;ostiene il pe&longs;o M po&longs;ta in N. Dico la po&longs;&longs;anza di N e&longs;&longs;ere due volte tanto quanto il pe&longs;o M. Per cioche e&longs;&longs;endo &longs;tato di &longs;opra mo&longs;trato la po&longs;&longs;anza di L, laquale per gratia di e&longs;&longs;empio, &longs;o&longs;tenga il pe&longs;o O ap­piccato in N, e&longs;&longs;ere la metà meno di e&longs;&longs;o pe&longs;o; adunque la po&longs;&longs;anza di N, che è eguale al pe&longs;o O &longs;o&longs;tenirà il pe­&longs;o M, che è eguale alla po&longs;&longs;anza di L; & &longs;arà detta po&longs;&longs;anza due volte tan­to quanto il pe&longs;o M. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 3. di questo.

Altramente.

Po&longs;te le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e. Percioche la po&longs;&longs;an­za di F, ouero di D, che è l'i&longs;te&longs;&longs;o, è eguale al pe&longs;o M: & BD è vna leua, il cui &longs;o&longs;tegno è B, & la po&longs;­&longs;anza di N è come &longs;e ella fo&longs;&longs;e nel mezo della leua, & il pe&longs;o eguale ad e&longs;&longs;o M &longs;tà come &longs;e egli fu&longs;&longs;e in D per cau&longs;a della corda FD, che è l'i­&longs;te&longs;&longs;o, come &longs;e BCD fo&longs;&longs;e la girella della taglia di &longs;opra, & il pe&longs;o fo&longs;&longs;e appiccato nella corda DF, &longs;i come nella decimaquinta, & nella decima­&longs;e&longs;ta è detto. La po&longs;&longs;anza dunque di N è due volte tanto, quanto il pe&longs;o M. che era da mo&longs;trar&longs;i.

Per la 1. di questo.

Ma &longs;e in N &longs;arà la po&longs;&longs;anza, che moue il pe&longs;o M, &longs;arà lo &longs;patio del pe&longs;o M due volte tanto quanto la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in N, ilche è manife&longs;to dalla duodecima di que&longs;to; percioche lo &longs;patio del punto L che inchina in giu&longs;o, è due volte tanto quanto lo &longs;patio di N che và in &longs;u&longs;o; &longs;arà dunque per lo contrario lo &longs;patio del­la po&longs;&longs;anza di N che inchina in giù la metà meno dello &longs;patio del pe&longs;o M mo&longs;­&longs;a all'in sù.

Hor &longs;i come dalla terza, dalla quinta, & dalla &longs;ettima di que&longs;to &c. &longs;i po&longs;&longs;ono rac­cogliere le ragioni del pe&longs;o O, &longs;iano quanto &longs;i voglia molteplici ad e&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza po&longs;ta in L, con l'i&longs;te&longs;&longs;o modo parimente &longs;i potranno mo&longs;trare le ragioni quanto &longs;i voglia molteplici della po&longs;&longs;anza po&longs;ta in N, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o M. & co&longs;i dalla decimaterza, & dalla decimaquarta &longs;i mo&longs;treranno le ragioni quanto &longs;i voglia molteplici allo &longs;patio del pe&longs;o M, allo &longs;patio della po&longs;&longs;anza po&longs;ta in N.

Si potrà ancora dalla decima&longs;ettima, & dalla decimaottaua di que&longs;to ritrouare la proportione molteplice, laquale ha la po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o ver&longs;o l'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o, &longs;i come la proportione della po&longs;&longs;anza di N al pe&longs;o M &longs;i dimo&longs;traua nel­la propo&longs;itione decimaquinta, & decima&longs;e&longs;ta: & &longs;i trouerà co&longs;i e&longs;&longs;ere il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o; come lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza, che moue allo &longs;patio del pe&longs;o.

Li mouimenti delle leue in que&longs;te &longs;i fà in cotal modo, cioè le leue delle girelle della ta­glia di &longs;otto &longs;i mouono, come della leua BD, laquale &longs;i moue, come &longs;e B fo&longs;&longs;e il &longs;o&longs;tegno, & il pe&longs;o &longs;te&longs;&longs;e in D, & la po&longs;&longs;anza nel mezo. Ma le leue delle girel­le della taglia di &longs;opra &longs;i mouono, come FH, il cui &longs;o&longs;tegno è nel mezo, il pe&longs;o in H & la po&longs;&longs;anza in F.

COROLLARIO.

Da que&longs;to è manife&longs;to, che le girelle della taglia di &longs;otto in que­&longs;te fanno effetto tale, che il pe&longs;o vien mo&longs;&longs;o da po&longs;&longs;anza mag­giore, di quel che &longs;ia e&longs;&longs;o pe&longs;o, & per maggiore &longs;patio dello &longs;patio di e&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza, & per eguale in manco tempo. Co&longs;a che non fanno già le girelle della taglia di &longs;opra.

Cono&longs;ciute le proportioni molteplici, hor egli è da accostar&longs;i alle &longs;opra particolari.

Cono&longs;ciute le proportioni molteplici, già egli è da venire alle &longs;opraparticolari. Il genere &longs;opraparticolare è il &longs;econdo propo&longs;to di &longs;opra, quando cio è &longs;i paragona vna quantità maggiore ver&longs;o vna minore &longs;i fattamente, che e&longs;&longs;a maggiore con­tenga la minore vna ò piu volte, & di piu parte di e&longs;&longs;a, che la pos&longs;i numerare in­teramente: come per e&longs;&longs;empio, il tre contiene il due vna volta, & più la metà di e&longs;&longs;o due, cioè vno, ilquale puote numerare il tre. Intende dunque l'autore d'in­ue&longs;tigare la proportione &longs;opraparticolare, che hà il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza.

PROPOSITIONE XX.

Se à cia&longs;cuna delle girelle dell'vna & l'altra delle due taglie, l'v­na delle quali &longs;ia &longs;o&longs;tenuta di &longs;opra dalla po&longs;&longs;anza, & di &longs;otto &longs;ia po&longs;ta, & legata al pe&longs;o, &longs;arà inuolta d'intorno la corda; con l'vno de' &longs;uoi capi legato in qualche loco, & l'altro attac­cato alla taglia di &longs;otto; il pe&longs;o &longs;arà vna volta & meza tanto quanto la po&longs;&longs;anza.

Sia ABC la girella della taglia di &longs;opra, & DEF quella della taglia di &longs;otto legata al pe&longs;o G; & &longs;ia la corda HABCDEFK inuolta d'intorno alle, girelle laqual corda &longs;ia legata in K, & in H alla taglia di &longs;otto; & &longs;ia in L la po&longs;&longs;anza che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o G. Dico, che il pe&longs;o è vna volta & meza tanto quanto la po&longs;&longs;anza. Hor percio­che l'vna, & l'altra corda CD AH &longs;o&longs;tiene la terza parte del pe&longs;o G; &longs;arà ogn'vna delle po&longs;­&longs;anze po&longs;te in DH vn terzo del pe&longs;o G; alle quali tutte pre&longs;e in&longs;ieme è eguale la po&longs;&longs;anza di L: peroche la detta po&longs;&longs;anza di L è due volte tanto quanto è la po&longs;&longs;anza di D, & di quella che &longs;ta in H. Per laqual co&longs;a la po&longs;&longs;anza di L viene ad e&longs;&longs;ere &longs;otto &longs;e&longs;quialtera del pe&longs;o G. Adunque il pe&longs;o G ver&longs;o la po&longs;&longs;anza di L è co­me tre à due. cioè vna volta & meza. che bi&longs;o­gnaua mo&longs;trare.

Per il corollario della 5. di que&longs;to.

Per la 15. di questo.

“Per laqual co&longs;a la po&longs;&longs;anza di L è &longs;otto &longs;e&longs;quialtera del pe&longs;o G. Hò detto, che il &longs;opraparticolare è il &longs;econdo genere de'moltiplici, la prima &longs;petie del quale è tre à due, che è &longs;e&longs;quialtera, cioè vna volta & meza. Hor chi fà comparatione al contrario di due à tre na&longs;ce la &longs;otto &longs;e&longs;quialtera, hauendo forza quella voce &longs;otto di paragonare la minore quantita con la maggiore. La po&longs;&longs;anza dunque di L &longs;arà in proportione co'l pe&longs;o G come dueà tre, & in que&longs;ta gui&longs;a deue&longs;i in­tendere &longs;empre tale vocabolo.

Ma &longs;e la po&longs;&longs;anza che moue il pe&longs;o &longs;arà in L: Dico lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza e&longs;&longs;ere vna volta & meza tanto, quanto lo &longs;pa­tio del pe&longs;o.

Stando le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e, peruenga la girella ABC fin ad MNO, & la girella DEF fin à PQR; & H in S; & il pe&longs;o G fin in T. Et perche la corda HABCDEFK è eguale alla corda SMNOPQRK e&longs;&longs;endo la corda i&longs;te&longs;&longs;a; & le corde che &longs;ono d'in­torno à mezi cerchi ABCMNO &longs;o no tra loro eguali, & quelle, che &longs;ono d'intorno alli mezi cerchi DEF PQR &longs;imilmente &longs;ono tra loro eguali; tolte via dunque le corde AS CP RK communi, &longs;aranno le due CO MA e­guali alle tre DP HS FR. ma l'v­na, & l'altra di CO AM &longs;eparata­mente è eguale allo &longs;patio della po&longs;&longs;an­za mo&longs;&longs;a. Per laqual co&longs;a le due CO MA in&longs;ieme &longs;aranno due volte tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza; & le tre DP HS FR in&longs;ieme con &longs;imile modo &longs;aranno tre volte tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o. Ma la metà, cioè lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a, al­la terza parte, cioè allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o, ha proportione tale quale è dal doppio della metà al doppio del terzo, cioè come il tutto à duo terzi, che è come tre à due. Lo &longs;patio dunque della po&longs;&longs;anza po&longs;ta in L è vna volta & meza tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o G mo&longs;&longs;o. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

PROPOSITIONE XXI.

Se à tre girelle di due taglie, l vna delle quali &longs;ia &longs;o&longs;tenuta dalla po&longs;&longs;anza di &longs;opra con vna &longs;ola girella, & l'altra con due girel­le &longs;ia po&longs;ta di &longs;otto, & legata al pe&longs;o, &longs;arà inuolta d'intorno la corda, con l'vno de' &longs;uoi capi legato in qualche luogo, & l'altro legato nella taglia di &longs;opra; il pe&longs;o &longs;arà vna volta, & vn terzo tanto quanto la po&longs;&longs;anza.

Sia il pe&longs;o A legato alla taglia di &longs;otto, laquale habbia due girelle, i cui centri &longs;iano BC, & la taglia di &longs;opra habbia la girella co'l centro D; & &longs;ia la corda EFGHKL MN riuolta d'intorno à tutte le gi­relle, laquale &longs;ia legata in N, & in E dalla taglia di &longs;opra; & &longs;ia la po&longs;&longs;anza in O, che &longs;o&longs;tenga il pe&longs;o A. Dico che il pe&longs;o è vna volta & vn terzo tanto quanto è la po&longs;&longs;anza. Et percioche cia&longs;cheduna delle corde NM HG EF KL &longs;o&longs;tie­ne la quarta parte del pe&longs;o A; & tutte in&longs;ieme &longs;o&longs;tengono tutto il pe­&longs;o; le tre HG EF KL in&longs;ieme &longs;o&longs;terranno le tre parti del pe&longs;o A. Per laqual co&longs;a il pe&longs;o A ver&longs;o tutte que&longs;te in&longs;ieme &longs;arà come quattro à tre: & concio&longs;ia che la po&longs;&longs;anza di O faccia il mede&longs;imo, che &longs;anno le corde HG EF KL tutte in&longs;ie­me; peroche le &longs;o&longs;tiene tutte; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di O eguale à le tre HG EF KL in&longs;ieme; & perciò il pe&longs;o A ver&longs;o la po&longs;&longs;anza di O &longs;arà co­me quattro à tre, cioè vna volta, & vn terzo. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per il 1. corolario della V. di que&longs;to.

Ma &longs;e in O &longs;arà la po&longs;&longs;an­za che moua il pe&longs;o A. Dico lo &longs;patio cor&longs;o dal­la po&longs;&longs;anza di O e&longs;&longs;ere vna volta & vn terzo tan­to quanto è lo &longs;patio del pe&longs;o A mo&longs;&longs;o.

Stando le co&longs;e mede&longs;ime, &longs;ia il centro B mo&longs;&longs;o in P; & C fin in Q; & D in R; & E in S nel­l'i&longs;te&longs;&longs;o tempo: & &longs;iano per li cen­tri condotte le linee ML<36>ZFG TV HK X*u egualmente di&longs;tanti, & dall' orizonte, & fra &longs;e &longs;te&longs;­&longs;e: &longs;imilmente, come nella prece­dente &longs;i dimo&longs;trerà, le tre corde XH SE *uK e&longs;&longs;ere eguali alle quattro TG VF ZL <36>M. & percioche le tre XH SE *uK &longs;o­no in&longs;ieme tre volte tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza: ma le quattro TG VF ZL <36>M in­&longs;ieme &longs;ono quattro volte tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o; &longs;arà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza ver&longs;o lo &longs;pa­tio del pe&longs;o, come la terza parte alla quarta parte. Ma la terza parte ver&longs;o la quarta parte è come tre terzi à tre quarti, cioè come il tutto ver&longs;o tre quarti, che è come quattro ver&longs;o tre. Lo &longs;patio dun­que della po&longs;&longs;anza allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o hà proportione di vna volta & vn terzo. che era damo­&longs;trar&longs;i.

Ma &longs;e la corda in E &longs;arà inuolta d'in torno vn'altra girella, laqual cor­da poi &longs;ia legata alla taglia di &longs;otto; &longs;imilmente si mo&longs;trerà la pro­portione del pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza di O, che lo &longs;o&longs;tiene e&longs;&longs;ere vna vol­ta & vn quarto; che &longs;e la po&longs;&longs;an­za e&longs;&longs;ere vna volta, & vn quar­to ver&longs;o lo &longs;patio del pe&longs;o. & co&longs;i in infinito procedendo ritro­ueremo qual &longs;i voglia proportione &longs;opraparticolare del pe&longs;o ver&longs;o la po&longs;&longs;an­za, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o, come lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mouemte al­lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o.

Il mouimento po&longs;cia delle leue &longs;i fà in que&longs;to modo, cioè della leua ML è il &longs;o&longs;tegno M, e&longs;&longs;endo la corda legata in N, & la po&longs;&longs;anza in L. ma percioche il punto L và in sù, il quale è mo&longs;&longs;o dalla corda KL, però K &longs;i mouerà in sù, & la po&longs;&longs;anza nel mezo; Ma la le­ua FG haurà per &longs;o&longs;tegno G, il pe&longs;o nel mezo, & la po&longs;&longs;an­za in F; peroche il punto F &longs;i moue in sù dalla corda EF. Ol­tre à ciò il G china in giù nella girella; peroche la H anchora nella &longs;ua girella &longs;i moue all'ingiù.

PROPOSITIONE XXII.

Se all'vna & l'altra di cia&longs;cuna girella delle due taglie, l'vna del­le quali &longs;ia &longs;o&longs;tenuta di &longs;opra dalla po&longs;&longs;anza, & l'altra po&longs;ta di &longs;otto, & legata al pe&longs;o, &longs;arà condotta d'intorno la corda; con l'vno de &longs;uoi capi legato in qualche luogo, & l'altro attaccato alla taglia di &longs;opra. &longs;arà la po&longs;&longs;anza vna volta & meza tanto quanto il pe&longs;o.

Sia la girella ABC della taglia legata al pe&longs;o D; & EFG la girella del­la taglia di &longs;opra, il cui centro &longs;ia H; &longs;ia dapoi la corda KABCEFGL ri­uolta d'intorno alle girelle, & legata in L & in K alla taglia di &longs;opra; & &longs;ia in M la po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o D. Dico che la po&longs;&longs;anza è vna volta & meza quanto è il pe&longs;o. Hor percioche la po&longs;&longs;anza di E &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o D è la metà meno del pe&longs;o D; & la po&longs;&longs;anza di H è due volte quanto la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in E; &longs;arà la po&longs;­&longs;anza di H eguale al pe&longs;o D; & concio&longs;ia, che la po&longs;&longs;anza di K &longs;ia la me­tà meno del pe&longs;o D; &longs;aranno ambe­due le po&longs;&longs;anze in&longs;ieme po&longs;te in HK vna volta & meza quanto il pe&longs;o D. e&longs;&longs;endo adunque la po&longs;&longs;anza di M egua­le à due po&longs;&longs;anze in HK pre&longs;e in&longs;ie­me, &longs;i come di &longs;opra è &longs;tato dichiarato; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di M vna volta & meza quanto il pe&longs;o D. che bi&longs;ogna­ua mo&longs;trare.

Per la 2. di questo.

Per la 15. di questo.

Per il 2. corollario del la 2. di questo.

Ma &longs;e la po&longs;&longs;anza che moue il pe&longs;o &longs;arà in M, &longs;i mo&longs;trerà &longs;imilmente, come nelle precedenti, lo &longs;patio del pe&longs;o e&longs;&longs;ere vna volta & meza tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza.

Et &longs;e la corda in K &longs;arà inuolta d'interno ad vn'altra girella, il cui centro &longs;ia N; laquale dapoi &longs;ta rilegata alla taglia di &longs;otto in O; & la po&longs;&longs;anza di M &longs;o&longs;ten­ga il pe&longs;o D. Dico la proportione della po&longs;&longs;anza al pe&longs;o e&longs;&longs;ere vna volta, & vn terzo.

Hor percioche la po&longs;&longs;anza di E che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o D con la corda EC BAKPO è vn terzo di e&longs;&longs;o D, & la po&longs;&longs;anza di H è due volte tanto quanto e&longs;&longs;o E; &longs;arà la po&longs;­&longs;anza di H &longs;otto &longs;e&longs;quialtera al pe­&longs;o D. & nel modo iste&longs;&longs;o, per­cioche la po&longs;&longs;anza di O, laquale è come &longs;e fo&longs;&longs;e nel centro della gi­rella ABC è vn terzo del pe&longs;o D, & la po&longs;&longs;anza di N è due volte tanto quanto è e&longs;&longs;o O. &longs;arà parimente la po&longs;&longs;anza di N &longs;otto &longs;e&longs;quialtera al pe&longs;o D. Per laqual co&longs;a due po&longs;&longs;anze in&longs;ieme po&longs;te in HN &longs;uperano il pe&longs;o D d'vna terza parte, & &longs;ono ver&longs;o il detto D in ragione di vna volta & vn terzo. & concio&longs;ia, che la po&longs;&longs;an­za di M &longs;ia eguale alle due po&longs;&longs;anze di HN pre&longs;e in&longs;ieme, &longs;upere­ra mede&longs;imamente la detta po&longs;&longs;an­za di M il pe&longs;o D di vn terzo. Adunque la proportione della po&longs;­&longs;anza po&longs;ta in M ver&longs;o il pe&longs;o D è vna volta, & vn terzo. che bi­&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 5. di questo.

Dalla 15. di questo.

Per la 3. & 15. di questo.

Che &longs;e la po&longs;&longs;anza mouente il pe&longs;o &longs;a­rà in M, con modo &longs;imile proue­ra&longs;&longs;i lo &longs;patio del pe&longs;o D e&longs;&longs;ere vna volta & vn terzo tanto quanto la po&longs;&longs;anza di M.

Et &longs;e la corda in O &longs;arà inuolta d'in­torno ad vn'altra girella, laquale dapoi &longs;ia legata alla taglia di &longs;opra; nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo dimo&longs;treremo la proportione della po&longs;&longs;anza M, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o e&longs;&longs;ere vna volta & vn quarto tanto quanto il pe&longs;o. & &longs;e in M &longs;arà la po&longs;&longs;anza che moue, &longs;imilmente mo&longs;treraßilo &longs;patio del pe&longs;o e&longs;&longs;ere vna volta & vn quarto tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza. & co&longs;i procedendo in infinito ritrouereme qual &longs;i voglia proportione &longs;opraparticolare della po&longs;&longs;anza al pe&longs;o, & &longs;empre mostreremo la po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o co&longs;i e&longs;&longs;ere ver&longs;o il pe&longs;o, come lo &longs;pa­tio del pe&longs;o allo &longs;patio della po&longs;&longs;anza, che moue il pe&longs;o.

Ma il mouimento della leua EG è come &longs;e G fo&longs;&longs;e il &longs;o&longs;tegno, e&longs;&longs;endo la corda legata in L, & il pe&longs;o, come &longs;e fo&longs;&longs;e appiccato in E, & la po&longs;&longs;anza nel mezo. Ma della leua CA il &longs;o&longs;tegno è A, il pe&longs;o nel mezo, & la po&longs;&longs;anza in C. & il K è il &longs;o&longs;tegno della leua PK, il pe&longs;o in P, & la po&longs;&longs;anza nel mezo. Le qua­li co&longs;e tutte &longs;i dimo&longs;treranno, come nelle precedenti.

PROPOSITIONE XXIII.

Se all'vna, & l'altra delle due girelle di due taglie, l'vna dellequali &longs;ia &longs;o&longs;tenuta di &longs;opra dalla po&longs;&longs;anza, & l'altra po&longs;ta à ba&longs;&longs;o, & legata al pe&longs;o, &longs;ia menata intorno la corda, legando am­bidue li &longs;uoi capi in qualche luogo, non già nelle taglie; la po&longs;&longs;anza &longs;arà eguale al pe&longs;o.

Sia la girella della taglia di &longs;o pra ABC, il cui centro D; & la girella della taglia le­gata al pe&longs;o H &longs;ia EFG; il cui centro K; & &longs;ia la corda LEFGABCM ri­uolta d'intorno alle girelle & legata in LM; & &longs;ia in N la po&longs;&longs;anza che &longs;o­&longs;tiene il pe&longs;o H. Dico che la po&longs;&longs;anza di N è egua­le al pe&longs;o H. Prenda&longs;i il punto O douunque &longs;i &longs;ia nella corda AG. Hor percioche &longs;e la po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o H fo&longs;&longs;e in O, &longs;arebbe la metà meno del pe&longs;o H, & la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in D è due volte quanto è quella di O, ouero (che è l'i&longs;te&longs;&longs;o) di N; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di N e­guale al pe&longs;o H. che bi­&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 2. di questo.

Per la 15. di questo.

Et &longs;e in N &longs;arà la po&longs;&longs;anza, che moue il pe&longs;o. Dico, che lo &longs;patio della po&longs;&longs;an­za po&longs;ta in N è e­guale allo &longs;patio del pe&longs;o H mo&longs;&longs;o.

Percio che lo &longs;patio del punto O mo&longs;&longs;o è due volte tanto quanto è lo &longs;patio sì del pe&longs;o H mo&longs;&longs;o, come della po&longs;&longs;anza N mo&longs;&longs;a; &longs;arà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza N allo &longs;patio del pe&longs;o H eguale.

Per la 11. di questo.

Per la 16. di questo.

Altramente.

Stando le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e. &longs;ia tra­portato il centro della gi­rella ABC fin à P; & la girella habbia il &longs;ito in QRS. Dapoi nell'i&longs;te&longs;&longs;o tempo la girella EFG &longs;ia in TVX, il cui centro &longs;ia *u, & il pe&longs;o &longs;ia peruenuto in Z. &longs;iano tira­te per i centri delle girel­le le linee GETX AC QS egualmente di&longs;tanti dall' orizonte. & &longs;i come nelle altre fu dimo&longs;trato, le due corde AQ CS &longs;a ranno eguali alle due cor­de XG TE; ma AQ CS in&longs;ieme &longs;ono due volte tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a; & le due XG TE in&longs;ieme &longs;imilmente &longs;ono due vol­te tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o; &longs;arà dunque lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza eguale allo &longs;patio del pe&longs;o. che bi&longs;ognaua mostrare.

Che &longs;e l'vna, & l'altra taglia haurà etiandio due girelle, i cui centri &longs;iano ABCD, & la corda &longs;ia inuolta d'intorno à tutte, la quale &longs;ia rilegata in LM; &longs;imilmen­te &longs;i mo&longs;trerà, che la po&longs;&longs;an­za di N è eguale al pe&longs;o H. Peroche cia&longs;cuna po&longs;&longs;anza po&longs;ta in EF &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o è vn quarto del pe&longs;o; & le po&longs;&longs;anze di CD &longs;ono due volte tanto quanto quelle, che &longs;ono in EF; &longs;arà cia­&longs;cuna po&longs;&longs;anza di CD la metà del pe&longs;o H. Per la­qual co&longs;a le po&longs;&longs;anze di CD pre&longs;e in&longs;ieme &longs;aranno eguali al pe&longs;o H. Et percioche la po&longs;&longs;anza di N è eguale à due po&longs;&longs;anze po&longs;te in CD; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di N eguale al pe&longs;o H.

Et &longs;e la po&longs;&longs;anza che moue &longs;a­rà in N, con modo &longs;imile &longs;i mo&longs;trerà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza e&longs;&longs;ere eguale allo &longs;pa­tio del pe&longs;o.

Ma &longs;e l'vna & l'altra taglia ha­uerà tre, ò quattro, oue­ro quante &longs;i voglia girelle, &longs;empre &longs;i dimostrerà la po&longs;­&longs;anza di N e&longs;&longs;ere eguale al pe&longs;o H; & lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mouente il pe&longs;o e&longs;­&longs;ere eguale allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o.

Ma i mouimenti delle leue in que&longs;ta maniera &longs;ono di&longs;po&longs;ti, che il &longs;o&longs;tegno delle girelle della taglia di &longs;opra, come AC della figura preceden­te è in C, il pe&longs;o appiccato in A, & la po&longs;&longs;anza nel mezo in D. ma le leue delle girelle della taglia di &longs;otto co&longs;i &longs;i mouono, che di e&longs;&longs;o GE il &longs;o&longs;tegno &longs;ia E, il pe&longs;o appiccato nel mezo, & la po&longs;&longs;anza in G.

PROPOSITIONE XXIIII.

Se à tre girelle di due taglie, l'vna delle quali, che habbia vna girella &longs;olamente &longs;ia &longs;o&longs;tenuta di &longs;opra dalla po&longs;&longs;anza, & l'altra po&longs;ta di &longs;otto con due girelle, & legata al pe&longs;o, &longs;arà girata in­torno la corda: e&longs;&longs;endo li due &longs;uoi capi legati in qualche luogo, ma non già nella taglia di &longs;opra: il pe&longs;o &longs;arà il doppio della po&longs;&longs;anza.

Siano AB i centri delle girelle della taglia legata al pe&longs;o C: & il D &longs;ia il centro della girella di &longs;opra; &longs;ia dapoi la corda riuolta d'intorno à tutte le girelle, & rilegata in EF; & &longs;ia in G la po&longs;&longs;anza, che &longs;o­&longs;tiene il pe&longs;o C. Dico, che il pe&longs;o C è due volte tanto quanto la po&longs;&longs;anza G. Hor percioche &longs;e in HK fo&longs;&longs;ero due po&longs;&longs;anze, che &longs;o­&longs;tene&longs;&longs;ero il pe&longs;o con due corde ri­uolte d'intorno alle girelle &longs;olamente della taglia di &longs;otto, &longs;arebbe per certo l'vna & l'altra po&longs;&longs;anza po­&longs;ta in KH vn quarto del pe&longs;o C; Mala po&longs;&longs;anza di G è eguale alle po&longs;&longs;anze di HK pre&longs;e in&longs;ieme: percioche è due volte tanto quan­to cia&longs;cuna delle po&longs;&longs;anze di H, & K; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di G la metà del pe&longs;o C. il pe&longs;o dunque &longs;arà il doppio della po&longs;&longs;anza. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Dalla 7. di questo.

Dalla 15. di questo.

Et &longs;e in G &longs;arà la po&longs;&longs;anza mouente il pe&longs;o. Dico che lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza è il doppio dello &longs;pa­tio del pe&longs;o.

Stando le co&longs;e i&longs;te&longs;&longs;e. &longs;iano mo&longs;&longs;e le girelle; &longs;i dimo&longs;trerà &longs;imilmente am­bedue quelle corde LM NO e&longs;­&longs;ere eguali alle quattro PQ RS TV X*u. Ma LM NO in­&longs;ieme &longs;ono il doppio dello &longs;patio della po&longs;&longs;anza di G mo&longs;&longs;a; & le quattro PQ RS TV X*u in&longs;ieme &longs;ono quattro volte tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o. Lo &longs;patio dunque della po&longs;&longs;anza ver&longs;o lo &longs;patio del pe&longs;o è come la metà ad vn quarto. Sarà dunque lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza allo &longs;patio del pe&longs;o il doppiò.

Di qui egli è da con&longs;iderare in che modo &longs;i faccia il mouimento; percioche e&longs;&longs;en­do legata la corda in F, la leua NO nella prima figura haurà il &longs;o&longs;tegno in O, il pe&longs;o nel mezo, & la po&longs;&longs;anza in N. &longs;imilmente percioche la corda è rilegata in E, la leua PQ haurà il &longs;o&longs;tegno in P, & il pe&longs;o ne, nezo, & la po&longs;&longs;anza in Q. Onde le parti delle girelle di N & Q &longs;i moueranno in sù; adunque le girelle &longs;i moueranno non ad vna parte, ma in contrarie par ti, cioè vna alla de&longs;tra, & l'altra alla &longs;ini&longs;tra. & percioche le po&longs;&longs;anze di NQ &longs;ono le i&longs;te&longs;&longs;e, che &longs;ono in LM; le po&longs;&longs;an­ze dunque di LM e&longs;&longs;en­do eguali &longs;i moueranno in sù. La leua dunque LM non &longs;i mouerà in niuna delle parti. Per la qual co&longs;a no anche la gi­rella &longs;i girerà intorno. Co&longs;i LM &longs;arà come bi­lancia, il cui centro D, & li pe&longs;i appiccati in LM &longs;aranno eguali alla quar­

ta parte del pe&longs;o C; peroche cia&longs;cheduna corda in LN MQ &longs;o&longs;tiene la quarta parte del pe&longs;o C; &longs;i mouerà dunque tutta la girella, il cui centro è D in sù, ma non già voltera&longs;&longs;i intorno.

Et &longs;e la corda po&longs;ta in F &longs;iriuolgerà d'intorno à due altre girelle, i cui centri &longs;iano HK laquale dapoi &longs;ia rilegata in L; &longs;arà la proportione del pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza vna volta & meza.

Percioche &longs;e fo&longs;&longs;ero quattro po&longs;&longs;anze in MNOI, cia&longs;cheduna di loro &longs;arebbe vn &longs;e&longs;to del pe&longs;o C. Per laqual co&longs;a quattro po&longs;&longs;anze in&longs;ieme in MN OI &longs;aranno quattro &longs;e&longs;ti del pe&longs;o C. & percioche due po&longs;&longs;anze in&longs;ieme po&longs;te in HD &longs;ono eguali à quattro po&longs;&longs;anze po&longs;te in MNOI; & la po&longs;­&longs;anza di G è eguale alle po&longs;&longs;anze di DH; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di G egua­le à quattro po&longs;&longs;anze in&longs;ieme po&longs;te in MNOI; & perciò &longs;arà quat­tro &longs;e&longs;ti del pe&longs;o C. La proportio­ne dunque del pe&longs;o C alla po&longs;&longs;anza di G è vna volta & meza.

Per la 9. di questo.

Et &longs;e in G &longs;arà la po&longs;&longs;anza, che moue, con modo &longs;imile &longs;i mo&longs;trerà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza e&longs;&longs;ere vna volta & meza tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o.

Et &longs;e la corda di L &longs;arà dauantaggio riuolta d'intorno due altre girelle, &longs;i­milmente &longs;i dimo&longs;trerà la proportio­ne del pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza e&longs;&longs;ere vna volta, & vn terzo. Che &longs;e in G &longs;arà la po&longs;&longs;anza che moue, &longs;i mo&longs;tre­rà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza e&longs;&longs;ere vna volta, & vn terzo quanto lo &longs;patio del pe&longs;o, & co&longs;i di mano in mano procedendo in infinito ritroueremo qual &longs;i voglia proportione &longs;oprapar­ticolare del pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza. & &longs;empre ritroueremo co&longs;i e&longs;&longs;ere il pe&longs;o ver&longs;o la po&longs;&longs;anza che lo &longs;o&longs;tiene, co­me lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza che moue allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o dalla po&longs;­&longs;anza.

Il mouimento delle leue &longs;i fa in que&longs;to modo, la leua *u Z, e&longs;&longs;endo la corda legata in E ha il &longs;o&longs;tegno in *u, il pe&longs;o attaccato in B nel mezo, & la po&longs;&longs;anza in Z. & la leua PQ ha il &longs;ostegno in P, la po&longs;&longs;anza nel mezo, & il pe&longs;o in Q. Percioche bi&longs;ogna, che le girelle, i cui centri &longs;ono BD, &longs;i mouano nella parte i&longs;te&longs;&longs;a, cioè che QZ &longs;i mouano all'insu. & percioche la corda è rilegata in L, &longs;ara il T il &longs;o&longs;tegno della leua ST, che ha il pe&longs;o nel mezo, & la po&longs;&longs;anza in S; & percioche S &longs;i moue all'insù, è co&longs;a nece&longs;&longs;aria, che R anchora &longs;i moua all'insù; & però, F &longs;arà il &longs;o&longs;tegno della leua FR, & il pe&longs;o &longs;arà in R, & la po&longs;&longs;anza nel mezo. Le girelle dunque, i cui centri &longs;ono HK &longs;i mouono in parti contrarie di quelle, le quali hanno i centri BD; Per laqual co&longs;a le parti del­le girelle PF nelle girelle inchineranno al ba&longs;&longs;o, cioè ver&longs;o XV. La leua dunque VX non &longs;i mouerà nè in vna, nè in altra parte, mouendo&longs;i P & F al ba&longs;&longs;o; & VX &longs;arà come leua, nel cui mezo &longs;ia appiccato il pe&longs;o, & in VX due po&longs;&longs;anze eguali alla &longs;e&longs;ta parte del pe&longs;o C. Percioche le po&longs;&longs;anze di MO, cioè le corde PV FX &longs;o&longs;tengono la &longs;e&longs;ta parte del pe&longs;o C. Adunque tutta la girella, il cui centro è A &longs;i mouerà in sù in&longs;ieme con la taglia, ma non già &longs;i volgerà intorno.

PROPOSITIONE XXV.

Se à tre girelle di due taglie, l'vna delle quali habbia due girel­le, & &longs;ia tenuta di &longs;opra dalla po&longs;&longs;anza; & l'altra habbia vna &longs;o la girella, & &longs;ia po&longs;ta di &longs;otto, & legata al pe&longs;o, &longs;arà inuolta in torno la corda: e&longs;&longs;endo legato l'vn & l'altro de'&longs;uoi capi in qualche luogo, ma non già nella taglia di &longs;otto. La pos&longs;anza &longs;arà due volte tanto quanto il pe&longs;o.

Sia il pe&longs;o A legato alla taglia di &longs;otto, laquale habbia la girella &longs;ua co'l centro B; ma la taglia di &longs;opra habbia due girelle, i cui centri &longs;iano CD, & &longs;ia la corda inuolta d'intorno à tutte le girelle, & rilegata in EF; & la po&longs;&longs;anza che fo&longs;tie­ne il pe&longs;o &longs;ia in G. Di­co la po&longs;&longs;anza di G e&longs;&longs;e­re due volte tanto quanto il pe&longs;o A. Percioche &longs;e in HK fo&longs;&longs;ero due po&longs;&longs;anze, che &longs;o&longs;tene&longs;&longs;ero il pe­&longs;o, l'vna & l'altra &longs;areb­be la metà del pe&longs;o A: ma la po&longs;&longs;anza di D è due volte tanto quanto la po&longs;­&longs;anza di H, & la po&longs;&longs;anza di C è due volte tanto quanto la po&longs;&longs;anza di K; Per laqual co&longs;a due po&longs;­&longs;anze in&longs;ieme po&longs;te in CD &longs;aranno il doppio di ambe­due le po&longs;&longs;anze di HK pre&longs;e in&longs;ieme. Ma le po&longs;&longs;an­ze di HK &longs;ono eguali al pe&longs;o A & le po&longs;&longs;anze di CD &longs;ono etiandio eguali ad e&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza di G; la po&longs;&longs;anza dunque di G &longs;a­rà il doppio del pe&longs;o A, che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per il 2. corollario del la 2. di questo.

Per la 15. di questo.

Ma &longs;e in G &longs;arà la po&longs;&longs;anza mouente il pe&longs;o, &longs;imilmente &longs;i mo&longs;trerà, come nella precedente lo &longs;patio del pe&longs;o e&longs;&longs;ere il doppio dello &longs;patio della po&longs;&longs;anza.

Qui parimente è da con&longs;ide­rare, che la leua PQ non &longs;i moue, peroche la leua LM hà il &longs;o&longs;tegno in L, la po&longs;&longs;anza nel mezo, & il pe&longs;o in M. Mala leua NO hà il &longs;o&longs;tegno in O, la po&longs;&longs;anza nel mezo, & il pe&longs;o in N. Per laqual co&longs;a M, & N &longs;i moueranno all'in sù. Le girelle dunque, lequali hanno i centri CD &longs;i mouono in parti contrarie. Onde la leua PQ non &longs;i mouerà nè all'vna, nè all'altra parte; & &longs;arà come &longs;e fo&longs;&longs;e appiccato il pe&longs;o nel mezo, & in PQ due po&longs;&longs;anze fu&longs;&longs;ero eguali alla metà del pe&longs;o A. Peroche l'vna & l'altra po&longs;&longs;anza di HK è la metà del pe&longs;o A. Tutta la girella dunque il cui centro è B &longs;i mouerà all'insù, ma non già &longs;i volge­rà intorno.

Et &longs;e la corda di F &longs;i volge&longs;&longs;e ancora d'intorno à due al­tre girelle, i cui centri &longs;o&longs;­&longs;ero HK, laqual corda poi &longs;ia legata in L; &longs;arà la proportione della po&longs;&longs;an­za po&longs;ta in G vna volta & meza quanto il pe&longs;o A.

Percioche &longs;e in MN OP fo&longs;&longs;ero quattro po&longs;&longs;anze &longs;o&longs;tenenti il pe&longs;o, cia­&longs;cheduna di loro &longs;arebbe il quarto del pe&longs;o A: ma concio&longs;ia che la po&longs;&longs;anza di K &longs;ia il doppio della po&longs;&longs;anza di N; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di K vn quarto del pe&longs;o A. & percioche la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in D è eguale al le due po&longs;&longs;anze MO; &longs;arà ancho­ra la po&longs;&longs;anza di D vn quarto del pe&longs;o A. Et di più e&longs;&longs;endo la po&longs;­&longs;anza di C vn quarto della po&longs;&longs;an­za di P, &longs;arà &longs;imilmente la po&longs;&longs;anza di C vn quarto del pe&longs;o A. Tre po&longs;&longs;anze dunque po&longs;te in CDK &longs;ono eguali à tre metà del pe&longs;o A. Ma percioche la po&longs;&longs;anza di G è eguale alle po&longs;&longs;anze di CDK, &longs;a­rà la po&longs;&longs;anza di G eguale alle tre metà del pe&longs;o A. La proportio­ne dunque della po&longs;&longs;anza al pe&longs;o è vna volta, & meza.

Per la 7. di questo.

Per la 15. di questo.

Che &longs;e in G &longs;arà la po&longs;&longs;anza, che mo­ue, &longs;arà lo &longs;patio del pe&longs;o vna volta & meza tanto quanto lo &longs;patio del­la po&longs;&longs;anza.

Et &longs;e la corda in L &longs;arà inuolta dauan­taggio d'intorno à due altre girelle, &longs;imilmente &longs;i mostrerà la proportio­ne della po&longs;&longs;anza al pe&longs;o e&longs;&longs;ere vna volta & vn terzo. & co&longs;i in infinito ritroueremo tutte le proportioni &longs;opraparticolari della po&longs;&longs;anza al pe&longs;o. & mo&longs;treremo la po&longs;&longs;anza che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o e&longs;&longs;ere co&longs;i ver&longs;o il pe­&longs;o, come lo &longs;patio d l pe&longs;o mo&longs;&longs;o allo &longs;patio della po&longs;&longs;anza che mo­ue il pe&longs;o.

Il mouimento delle leue &longs;i farà in que­&longs;to modo, cioè il Q &longs;arà il &longs;o&longs;tegno della leua QR, la po&longs;&longs;anza nel mezo, il pe&longs;o in R; & della leua Z <36>il &longs;o&longs;tegno &longs;arà il Z, il pe&longs;o nel mezo, & la po&longs;&longs;anza in <36>. &longs;imil­mente lo X &longs;arà il &longs;o&longs;tegno della le ua VX, la po&longs;&longs;anza nel mezo, & il pe&longs;o in V. & percioche lo V &longs;i moue all'insù, &longs;i mouerà all in sù lo *u ancora, & della leua *u F il &longs;o­&longs;tegno &longs;arà F. Per laqual co&longs;a F & Z nelle girelle &longs;i moueranno in giù. & perciò la leua ST non &longs;i mouerà nè in vna, nè in altra par­te; & ST &longs;arà come bilancia, il cui centro &longs;arà D, & i pe&longs;i po&longs;ti in ST &longs;aranno eguali alla quarta parte del pe&longs;o A. Peroche cia&longs;cu­na corda SZ TF &longs;o&longs;tiene la quar­ta parte del pe&longs;o A. La girellá dunque del centro D &longs;i monerà al­l'insù, ma non &longs;i volgerà intorno.

Fin qui, &longs;ono &longs;tate dichiarate le proportioni molteplici, & &longs;otto molteplici che ha il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza; & da­poi le proportioni &longs;opraparticolari, & &longs;otto &longs;opraparticolari. Hora re­&longs;ta, che &longs;i manife&longs;tino le proportio­ni tra il pe&longs;o, & la po&longs;&longs;anza &longs;oprapartienti, & molteplici &longs;opraparticolari, & molteplici &longs;oprapartienti.

“Et dapoi le &longs;opraparticolari, & le &longs;otto &longs;opraparticolari furono dichiarate. Dal cono&longs;cimento del &longs;opraparticolare &longs;i intende ageuolmente il &longs;otto &longs;opraparticolare che gli è oppo&longs;to; pero che paragonando come è detto il 3. co'l 2. na&longs;ce il &longs;o­praparticolare, & per lo contrario il 2. co'l 3. &longs;i produce il &longs;otto &longs;opraparticolare per la forza di quella voce &longs;otto.

“Hora re&longs;ta &c. Qui propone di trattare delle proportioni, che il pe&longs;o hà con la po&longs;&longs;anza nel genere &longs;oprapartiente, & nel genere compo&longs;to del molteplice &longs;opraparticolare, & del molteplice &longs;oprapartiente. il genere &longs;o prapartiente è diuer&longs;o dal &longs;opraparticolare, che doue nel &longs;opraparticolare vna quantità contiene l'altra vna ò più volte, & più parte, che può interamente numerare & l'vna, & l'altra: nel &longs;oprapartiente contiene vna, ò più volte, & dauantaggio parte che non le puo­te numerare, & mi&longs;urare perfettamente, come il cinque contiene il 3. vna volta, & piu parte di e&longs;&longs;o, che è il 2. il quale non è mi&longs;ura commune di ambidue loro, & &longs;i denomina &longs;oprabipartiente terze, pero che contiene vna volta, & piu due terze parti del contenuto.

“Segue poi. Et le molteplici &longs;opraparticolari, che hò di &longs;opra mo&longs;trato. Componendo due generi in&longs;ieme il molteplice, & il &longs;opraparticolare na&longs;ce que&longs;to moltepli­ce &longs;opraparticolare, nelquale vna quantità contiene l'altra molte volte, & più parte di e&longs;&longs;a, che è mi&longs;ura commune di ambedue. La primiera &longs;ua &longs;petie è il 5. pa­ragonato co'l due, che lo contiene due volte, & piu la metà di lui, cioè vno, mi­&longs;ura di ambedue. Chiama&longs;i que&longs;ta proportione doppia &longs;e&longs;quialtera. Mettendo parimente in&longs;ieme il genere molteplice co'l &longs;oprapartiente, &longs;i fa il molteplice &longs;o­prapartiente, il quale è differente dal &longs;opradetto per ri&longs;petto che in lui la maggior quantità contiene la minore molte volte, & piu parte di e&longs;&longs;a, che non puote e&longs;&longs;e­re loro mi&longs;ura commune; la prima &longs;petie del qual genere è come 8. à 3. peroche l'otto contiene il 3. due volte, & piu parte di e&longs;&longs;o 3. cioè 2. che non gli puo mi&longs;urare ambidue, concio&longs;ia che il 2. non puo mi&longs;urare il 3. come fà l'otto per e&longs;&longs;ere que&longs;ti due numeri 8. & 3. tra &longs;e primi. & chiama&longs;i proportione doppia &longs;oprabi­partiente. Vuole dunque l'autore andar inue&longs;tigando le proportioni fra il pe&longs;o, & la po&longs;&longs;anza ne i predetti generi ancora, come hà fatto ne gli altri.

Da que&longs;te poche co&longs;e, lequali hò qui narrato per ageuolare l'intédimento de i voca­boli pertinenti alle proportioni po&longs;te da l'autore, &longs;i potrà facilmente con qual­che &longs;tudio comprendere tutta la &longs;omma delle vltime dimo&longs;trationi della taglia, nelle quali &longs;ono que&longs;ti vocaboli di proportioni, quantunque in ogni loco qua&longs;i con gli e&longs;&longs;empi &longs;tes&longs;i de' numeri &longs;iano dall'autore manife&longs;tate.

PROPOSITIONE XXVI.

PROBLEMA.

Se vogliamo trouare la proportione &longs;oprapartiente, come &longs;e la proportione, laquale hà il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o &longs;arà &longs;oprabipartiente, come il cinque à tre.

Ponga&longs;i la po&longs;&longs;anza in A, the &longs;o­&longs;tenga il pe&longs;o B, & il pe&longs;o B habbia proportione alla po&longs;&longs;an­za A, come cinque ad vno; cioè &longs;ia la po&longs;&longs;anza di A vn quinto del pe&longs;o B: dapoi riuolgendo la corda i&longs;te&longs;&longs;a d'intorno ad altre girelle, ritroui&longs;i la po&longs;&longs;anza di C, laquale &longs;ia tre volte tanto quan­to la po&longs;&longs;anza di A. Et percio che il pe&longs;o B alla po&longs;&longs;anza po­&longs;ta in A è come cinque ad vno; & la po&longs;&longs;anza di A alla po&longs;&longs;anza di C è come vno ver&longs;o tre, &longs;a rà il pe&longs;o B ver&longs;o la po&longs;&longs;anza di C come cinque à tre, cioè &longs;o­prabipartiente.

Per la 9. di questo.

Per la 17. di questo.

Et à que&longs;to modo tutte le proportio­ni &longs;oprapartienti del pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza &longs;i troueranno; come &longs;e la proportione &longs;opratrepartiente vorrà alcuno trouare, proceda con l'ordine iste&longs;&longs;o: cioè faccia&longs;i che la po&longs;&longs;anza di A &longs;ostenente il pe­&longs;o B &longs;ia vn &longs;ettimo del pe&longs;o B; Dapoi &longs;i faccia, che la po&longs;&longs;anza di C &longs;ia quattro volte tanto quanto è quella di A; &longs;arà il pe&longs;o B ver&longs;o la po&longs;&longs;anza di C, come &longs;ette à quattro; cioè &longs;opratrepar­tiente.

Ma &longs;e in C &longs;arà la po&longs;&longs;an­za mouente il pe&longs;o, &longs;arà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza &longs;oprabipartiente allo &longs;patio del pe&longs;o.

Per cioche lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza po&longs;ta in C è la terza parte della &longs;patio della po&longs;&longs;anza po&longs;ta in A,cioè, che co&longs;i &longs;ono tra loro, come il cinque al quindici: & lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza di A è cinque volte tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o B, cioè come quindici à tre. &longs;arà dunque lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza posta in C ver&longs;o lo &longs;patio del pe&longs;o B come cinque à tre; cioè &longs;oprabipartiente: & &longs;empre dimostreremo, co&longs;i e&longs;&longs;ere lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza che moue allo &longs;patio del pe&longs;o; come il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza che lo &longs;o­&longs;tiene.

Per la 17. di questo.

Per la 14. di questo.

Et con ragione del tutto &longs;imile ritroueremo la proportione &longs;oprapartiente della po&longs;&longs;anza al pe&longs;o. Peroche &longs;e C fo&longs;&longs;e di &longs;otto, & in e&longs;&longs;o fo&longs;&longs;e appiccato il pe&longs;o; & il B di &longs;opra, nelquale fo&longs;&longs;e la po&longs;&longs;anza che in C &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o, &longs;arebbe la po&longs;­&longs;anza di B &longs;oprabipartiente al pe&longs;o appiccato in C: e&longs;&longs;endo il B allo A come cinque ad vno; ma A al C come l'vno al tre.

Per la 18. & per la 5. di questo.

Ma &longs;e vorremo trouare la proportione molteplice &longs;oprapartico­lare; come &longs;e la proportione, laquale ha il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza, che lo &longs;o&longs;tiene &longs;ia doppia &longs;e&longs;quialtera, come cinque à due.

Nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo, co'l quale ritrouiamo le &longs;oprapartienti, ritroueremo ancora tutte queste molteplici &longs;opraparticolari. Come faccia&longs;i il pe&longs;o po&longs;to in B alla po&longs;&longs;anza di A, come il cinque all'vno; & la po&longs;&longs;anza di C alla po&longs;&longs;anza di A come il due all'vno; co&longs;a che &longs;i farà, &longs;e la corda &longs;arà rilegata in D, ouero in E; ma non già alla ta­glia di &longs;opra; &longs;arà il pe&longs;o B alla po&longs;&longs;anza di C, come il cinque al due, cioè dop­pio &longs;e&longs;quialtero.

Per la 9. di questo.

Per la 15. & 16. di questo.

Et per lo contrario ritrouaremo la proportione molteplice &longs;opraparticolare della po&longs;­&longs;anza al pe&longs;o; & come nelle altre &longs;i mo&longs;trerà co&longs;i e&longs;&longs;ere lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza che moue allo &longs;patio del pe&longs;o, come il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza, che lo &longs;ośtiene.

Con l'i&longs;te&longs;&longs;o modo ritrouaremo ancora ogni proportione &longs;opra­partiente; come &longs;e la proportione, laquale ha la po&longs;&longs;anza co'l pe&longs;o, &longs;arà doppia &longs;oprabipartiente, come l'otto al tre.

Faccia&longs;i la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in A &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o B vn'ottauo del pe&longs;o B, & la po&longs;&longs;anza di C &longs;ia vn terzo della po&longs;&longs;anza di A; &longs;arà il pe&longs;o B alla po&longs;&longs;anza di C, come l'otto al tre. & per lo contrario ritroueremo ogni proportione molteplice &longs;oprapartiente della po&longs;&longs;anza al pe&longs;o. & come nelle altre ritrouaremo co&longs;i e&longs;&longs;ere il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza che lo &longs;o&longs;tiene, come lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza che moue allo &longs;patio del pe&longs;o.

Per la 9. di questo.

Per la 17. di questo.

Ma egli è da notare, che benche più volte &longs;ia &longs;tato detto nelle demo&longs;irationi prece­denti, la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o e&longs;&longs;ere due volte tanto quanto e&longs;&longs;o pe&longs;o, ò tre, & co&longs;i di mano in mano, come nella decimaquinta di questo è &longs;tato mo&longs;trato; non­dimeno percioche la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tiene non &longs;olamente il pe&longs;o, ma la taglia ancora, però egli pare, che &longs;ia me&longs;tieri porre la po&longs;&longs;anza di molto maggiore virtù, & di pro­portione maggiore ver&longs;o il pe&longs;o. ilche è vero, &longs;e vogliamo con&longs;iderare etiandio la grauezza della taglia. Ma percioche cerchiamo la proportione che è fra la po&longs;­&longs;anza & il pe&longs;o, però habbiamo trala&longs;ciato cote&longs;ta grauezza della taglia, laquale &longs;e alcuno vorrà anche con&longs;iderare, alla po&longs;&longs;anza potrà aggiungere forza che &longs;ia eguale alla taglia. ilche mede&longs;imamente &longs;i potrà o&longs;&longs;eruare nella corda. & &longs;i co­me habbiamo ciò con&longs;iderato nella decimaquinta, l'i&longs;te&longs;&longs;o parimente nelle altre po­tremo con&longs;iderare.

Egli è me&longs;tieri &longs;apere etiandio, che &longs;i come tut­te le proportioni tra la po&longs;&longs;anza, & il pe&longs;o &longs;ono &longs;tate ritrouate con vna &longs;ola corda: co&longs;i ancora potranno&longs;i le i&longs;te&longs;&longs;e ritrouare con più corde, & con più taglie. come &longs;e vorremo ritrouare la proportione molteplice &longs;opraparticolare con più corde, cioè &longs;e la proportio­ne, laquale hà il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza che lo &longs;o&longs;tiene &longs;arà doppia &longs;e&longs;quialtera, come cinque à due; bi&longs;ogna comporre que&longs;ta proportione da più proportioni come per gratia di e&longs;&longs;em­pio dalla proportione &longs;e&longs;quiquarta, che è il cinque al quattro, & dalla doppia, che è il quattro al due. Ponga&longs;i dunque la po&longs;&longs;an­za di A che &longs;o&longs;tenga il pe&longs;o B, alla qua­le il pe&longs;o habbia la proportione di vna volta & vn quarto, come cinque à quattro: dapoi con vn'altra corda &longs;i troui la po&longs;&longs;anza di C, della quale &longs;ia doppia la po&longs;&longs;anza di A. & percioche il B all' A è come cin­que à quattro: & l' A al C come il quat­tro al due: &longs;arà la po&longs;&longs;anza di B alla po&longs;­&longs;anza di C come il cinque al due; cioè ha­urà la proportione doppia &longs;e&longs;quialtera.

Per la 21. di questo.

Per la 2. di questo.

Et è da notare poter&longs;i trouar' anche que&longs;ta pro­portione, &longs;e comporremo la proportione di cinque à due da più, come cinque à quindici, & il quindici al venti, & il venti al due. Et in que&longs;to modo ritroueremo non &longs;olo ogni al­tra proportione, ma qualunque &longs;i &longs;ia in mol­ti, & infiniti modi ritroueremo. percioche ogni proportione &longs;i può comporre di propor­tioni infinite. come è manife&longs;to nel commen­tario di Eutocio nella quarta propo&longs;itione del &longs;econdo libro di Archimede della sfera, & Cilindro.

Po&longs;&longs;iamo ancora v&longs;are più corde: & adoperare le taglie di &longs;otto &longs;ola­mente, ouero quelle di &longs;opra.

Sia il pe&longs;o A alquale &longs;ia legata la ta­glia, che habbia la girella col centro B; &longs;ia rilegata la corda in C, la quale &longs;ia inuolta d'intorno alla gi­rella, & peruenga la corda in D: &longs;arà la po&longs;&longs;anza di D &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o A la metà del pe&longs;o A. Dapoi la corda in D &longs;ia rilegata ad vn'altra corda, laquale &longs;ia legata in E, & peruenga in F. &longs;arà la po&longs;&longs;anza di F la metà di quel­lo, che &longs;o&longs;tiene la po&longs;&longs;anza in D: percioche egli è come &longs;e il D &longs;o&longs;tene&longs;&longs;e la metà del pe&longs;o A &longs;enza taglia: per laqual co&longs;a la po&longs;&longs;anza di F &longs;arà vn quarto del pe&longs;o A. & &longs;e dauantaggio la corda di F &longs;i ri­legherà ad vn'altra traglia, & &longs;i ri­uolga intorno alla &longs;ua girella vn'altra corda, laquale &longs;ia legata in G, & peruenga in H: &longs;arà la po&longs;&longs;anza di H la metà della po&longs;&longs;anza di F. Adunque la po&longs;&longs;anza di N è vn'ottauo del pe&longs;o A. & co&longs;i in infinito ritroueremo &longs;empre la po&longs;­&longs;anza in proportione &longs;otto doppia ver&longs;o la precedente po&longs;&longs;anza.

Et &longs;e in H &longs;arà la po&longs;&longs;anza che mo­ue, &longs;arà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza ot­to volte tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o: percioche lo &longs;patio di D è due volte tanto quanto lo &longs;patio del pe&longs;o A, & lo &longs;patio di F è due volte tanto quanto lo &longs;patio di D: &longs;arà lo &longs;patio di F quattro volte tanto quanto lo &longs;patio di A pe&longs;o. &longs;imilmente percioche lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza di N è il doppio dello &longs;patio di F, &longs;arà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza di N otto volte tanto quanto il pe&longs;o A.

Per la 2. di questo.

Per la 2. di questo.

Per la 11. di questo.

Sia poi il pe&longs;o A legato alla fune, la­quale &longs;ia inuolta d'intorno alla girel­la della taglia di &longs;opra, & rilegata in B, & &longs;ia la po&longs;&longs;anza di C che &longs;o &longs;tenga il pe&longs;o A; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di C due volte tanto quanto il pe&longs;o A: dapoi C &longs;ia rilegata ad vn'al­tra fune, laquale &longs;ia rinuolta d'intorno la girella d'vn'altra taglia, & ri­legata in D; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di E due volte tanto quanto la po&longs;&longs;anza di C. Per laqual co&longs;a la po&longs;&longs;anza di E &longs;arà quattro volte tanto quan­to il pe&longs;o A. Et &longs;e dauantaggio lo E &longs;i rilegherà ad vn'altra fune, laquale &longs;ia inuolta dintorno' alla gi­rella d'vn'altra taglia ancora, & &longs;ia rilegata in F; &longs;arà la po&longs;&longs;anza di G due volte tanto quanto la po&longs;&longs;anza di E. Adunque la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in G è otto volte tanto quanto il pe&longs;o A; & co&longs;i in infinito ritrouere­mo &longs;empre la po&longs;&longs;anza e&longs;&longs;ere due volte tanto quanto la po&longs;&longs;anza prece­dente.

Per la 15. di questo.

Per la iste&longs;&longs;a.

Ma &longs;e in G fo&longs;&longs;e la po&longs;&longs;anza che moue, &longs;arà lo &longs;patio del pe&longs;o otto volte tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza po&longs;ta in G: percioche lo &longs;patio del pe­&longs;o A è due volte tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza posta in C, & il C è due volte tanto quanto è lo &longs;patio di e&longs;&longs;o E. Per laqual co&longs;a lo &longs;patio del pe&longs;o A &longs;arà quattro volte tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza di E. &longs;imilmente percioche lo &longs;patio di E è due volte tanto quan­to è lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza po&longs;ta in G; &longs;arà dunque lo &longs;patio del pe&longs;o A otto volte tanto quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza po&longs;ta in G.

Per la 16. di questo.

COROLLARIO.

Da que&longs;te co&longs;e è manife&longs;to, che &longs;empre lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza che moue ha proportione maggiore ver&longs;o lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o, di quel che ha il pe&longs;o ver&longs;o la mede&longs;ima po&longs;&longs;anza.

Que&longs;to è chiaro da quelle co&longs;e lequali &longs;ono &longs;tate dette nel corollario della quarta pro­po&longs;itione di que&longs;to nella leua.

PROPOSITIONE XXVII.

PROBLEMA.

Che &longs;i moua vn pe&longs;o dato da vna po&longs;&longs;anza data con le taglie.

La po&longs;&longs;anza data ò che ella è maggiore, ouero eguale, ò pure minore del pe&longs;o dato.

Se è maggiore, all'hora la po&longs;­&longs;anza, &longs;enza altro &longs;tromen­to, ò fune inuolta d'intor­no alla girella della taglia appiccata di &longs;opra, mouerà il pe&longs;o dato. percio che po&longs;&longs;anza minore della data pe&longs;a tanto quanto il pe&longs;o, adunque la data, che è maggiore mouerà. L'i&longs;te&longs;&longs;o &longs;i può fare in tutte le propo­&longs;itioni nelle quali la po&longs;&longs;an­za, che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o è &longs;tata dimo&longs;trata ò eguale, ò minore del pe&longs;o.

Per la 1. di questo.

Ma &longs;e eguale mouerà il pe&longs;o e&longs;&longs;endo la fune inuolta d'intorno al la girella della ta­glia legata al pe&longs;o, percio che la po&longs;&longs;an­za che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o è la metà del pe­&longs;o. la po&longs;&longs;anza dun­que eguale al. pe&longs;o mouerà il pe&longs;o da­to. ilche parimen­te &longs;i puote fare &longs;e­condo le propo&longs;itio­ni, nellequali &longs;i è mo&longs;trato la po&longs;&longs;an­za e&longs;&longs;ere minore del pe&longs;o.

Per la 2. di questo.

Che &longs;e è minore, &longs;ia il pe&longs;o dato come &longs;e&longs;&longs;anta, & la po&longs;&longs;anza che moue &longs;ia da­ta come tredici. Troui&longs;i la po&longs;&longs;anza di A, che &longs;o &longs;tenga il pe&longs;o B, laquale &longs;ia vn quinto del pe&longs;o & percioche la po&longs;&longs;anza di A che &longs;o&longs;tiene il pe&longs;o è come dodici; adunque po&longs;&longs;anza maggiore di do­dici po&longs;ta in A mouerà il pe&longs;o B. Per laqual co&longs;a la po&longs;&longs;anza come tredi­ci po&longs;ta in A mouerà il pe&longs;o B. che bi&longs;ognaua fare.

Per la 9. di questo.

Egli è parimente da auerti­re nel mouere i pe&longs;i, che la po&longs;&longs;anza alcuna volta meglio for&longs;e moue mouen­do&longs;i in giù, che mouendo&longs;i in sù. come volga&longs;i dauantaggio la fune d'intorno ad vn'altra girella della ta­glia di &longs;opra, il cui centro &longs;ia C, & la fune per­uenga in D; &longs;arà la po&longs;­&longs;anza di D &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o B &longs;imilmente dodi­ci, &longs;i come ella era in A. Però la po&longs;&longs;anza di tredici po&longs;ta in D mouerà il pe­&longs;o B. & percioche &longs;i moue in giù, for&longs;e tirerà più facilmente, che &longs;e fo&longs;­&longs;e po&longs;ta in A, ma il tempo è l'i&longs;te&longs;&longs;o, &longs;i come egli era etiandio in A.

Per la 5. di questo.

PROPOSITIONE XXVIII.

PROBLEMA.

Sia propo&longs;to à noi il fare, che la po&longs;&longs;anza mouente il pe&longs;o, & il pe&longs;o &longs;i mouano per gli &longs;patij dati, i quali &longs;ia­no fra loro commen­&longs;urabili.

Sia dato lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza come tre, & del pe&longs;o come quattro. ritroui&longs;i la po&longs;&longs;anza di A &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o B, la quale &longs;ia vna volta, & vn ter­zo quanto il pe&longs;o, come quat­tro à tre. Se dunque in A fo&longs;&longs;e la po&longs;&longs;anza mouente il pe&longs;o; &longs;arebbe lo &longs;patio del pe­&longs;o vna volta, & vn terzo quanto lo &longs;patio della po&longs;&longs;an­za, cioè come quattro à tre; che bi&longs;ognaua fare.

Per la. 22. di questo.

Per l'iste&longs;­&longs;a.

Ciò po&longs;&longs;iamo menar ad effetto con vna &longs;ola fune per le co&longs;e det­te nella vige&longs;ima &longs;econda, & nella vige&longs;ima quinta di que­&longs;to. che &longs;e ciò vorremo fare con più funi, potremo porlo in opra non &longs;olo con molti, ma con modi infiniti, come di &longs;opra è detto. Per laqual co­&longs;a ciò ben po&longs;siamo affermare, che pare co&longs;a marauiglio&longs;a, cioè.

Nella 26. di questo.

COROLLARIO I.

Da que&longs;te co&longs;e e&longs;&longs;ere manife&longs;to, Qualunque data proportione nei numeri tra il pe&longs;o, & la po&longs;&longs;anza; & tra lo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o, & lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a; poter&longs;i trouare con le taglie in modi infiniti.

COROLLARIO II.

Dalle co&longs;e dette è manife&longs;to etiandio che quanto più facilmen­te &longs;i moue il pe&longs;o, tanto maggiore e&longs;&longs;ere etiandio il tempo; ma quanto più difficilmente, tanto minore e&longs;&longs;ere: & co&longs;i per lo contrario.

IL FINE DELLA TAGLIA.

DELL'ASSE NELLA ROTA.

La fabrica, & compo&longs;itione di que&longs;to i&longs;trumento in&longs;egna Pappo nell'ottauo libro delle raccolte ma­tematiche: & chiama a&longs;&longs;e AB, & timpano CD d'intorno al centro mede&longs;imo (che noi diremo ro­ta) & noma&longs;citale quei ba&longs;toni i quali &longs;ono fic­cati ne'buchi della rota notate per EFGH, & le altre &longs;uc­ce&longs;&longs;iuamente, che noi pur diremo raggi. talche la po&longs;&longs;anza, laquale è &longs;empre ne i raggi, come in F, mentre ella volge intorno la rota, & l'a&longs;&longs;e, moua anco in sù il pe&longs;o K appicca­to all'a&longs;&longs;e con la corda LM riuolta d'intorno all'a&longs;&longs;e. A noi re&longs;ta dunque, di mo&longs;trare, perche i gran pe&longs;i da piccola forza,

& in che modo etiandio &longs;i mouano con que&longs;to i&longs;trumento: & di più manife&longs;tare la ragione del tempo, & dello &longs;patio del­la po&longs;&longs;anza mouente, & del pe&longs;o mo&longs;&longs;o fra loro, & ridurre l'v­&longs;o di cote&longs;to i&longs;trumento alla leua.

PROPOSITIONE I.

La po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o con l'a&longs;&longs;e nella rota, ha la propor­tione mede&longs;ima al pe&longs;o, che il mezo diametro dell'a&longs;&longs;e al me­zo diametro della rota in&longs;ieme co'l raggio.

Sia il diametro dell'a&longs;&longs;e AB, & il &longs;uo centro C; &longs;ia il diametro della rota DCE d'intorno al centro mede&longs;imo; & &longs;iano AB DE nell i&longs;te&longs;&longs;a linea retta; &longs;iano dopo li raggi eguali tra loro, & egualmente di&longs;tanti DF GH, & gli altri ne' bu­chi della rota; & &longs;ia FE egualmente di&longs;tante dall'orizonte, & il pe&longs;o K &longs;ia appiccato alla corda BL volubile d'intorno all'a&longs;&longs;e. & la po&longs;&longs;anza po&longs;ta in F &longs;o&longs;tenga il pe&longs;o K. Dico che la po&longs;&longs;anza in F co&longs;i &longs;i hà al pe&longs;o K, come CB à CF. Faccia&longs;i come CF à CB, co&longs;i il pe&longs;o K ad vn altro pe&longs;o come M, il quale &longs;ia appiccato in F. & percioche i pe&longs;i MK &longs;ono appiccati in ­FB; &longs;arà FB come leua, ouero bilancia; ma percioche il C è punto immobile, d'intorno

alquale l'a&longs;&longs;e, & la rota &longs;i riuolgono; &longs;arà C il &longs;o&longs;tegno della leua FB, ouero il centro della bilancia. & per e&longs;&longs;ere co&longs;i CF à CB come K ad M, i pe&longs;i KM pe&longs;eranno egualmente. La po&longs;&longs;anza dunque di F &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o K contra­pe&longs;erà egualmente con e&longs;&longs;o pe&longs;o K accioche egli non chini al ba&longs;&longs;o, & &longs;arà eguale ad M. Percioche la po&longs;&longs;anza opera il mede&longs;imo che il pe&longs;o M. dunque il pe&longs;o K&longs;arà alla po&longs;&longs;anza di F, come CF à CB, & conuertendo la po&longs;&longs;anza &longs;arà al pe&longs;o, come CB à CF, cioè il mezo diametro dell'a&longs;&longs;e al mezo diametro della rota in&longs;ieme co'l raggio DF. &longs;imilmente mo&longs;trera&longs;&longs;i anco, che &longs;e la po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o fo&longs;&longs;e in Q, all'hora &longs;o&longs;terrebbe con la leua CQ. & haurebbe quella pro­portione al pe&longs;o, che CB haue à CQ. cioè il mezo diametro dell'a&longs;&longs;e al mezo dia­metro della rota in&longs;ieme co'l raggio EQ, che bi&longs;ognaua dimo&longs;trare.

Per la 6. del 1. d' Archimede del le co&longs;e che pe&longs;ano egualmente.

Per lo corollario della 4. del 5.

Per la 2. di questo della leua.

COROLLARIO.

Egli è manife&longs;to che la po&longs;&longs;anza &longs;empre è minore del pe&longs;o.

Percio che il mezo diametro dell'a&longs;&longs;e &longs;empre è minore del mezo diametro della rota. & la po&longs;&longs;anza in tanto è minore del pe&longs;o, in quanto il mezo diametro dell'a&longs;&longs;e è mi nore del mezo diametro della rota in&longs;ieme co'l raggio. Per laqual co&longs;a quanto è più lungo CF, ouero CQ. & quanto è più corto CB, tanto anco &longs;empre minore po&longs;&longs;anza po&longs;ta in F, ouero in Q, &longs;o&longs;tenterà il pe&longs;o K. percioche quanto minore è CB, tanto il mezo diametro dell'a&longs;&longs;e, haurà proportione minore al mezo diametro della rota in&longs;ieme co'l raggio.

In que&longs;to loco occorre da e&longs;&longs;ere con&longs;iderato, che &longs;e il pe&longs;o &longs;arà appiccato in vn'altro raggio, come in T, che &longs;o&longs;tenga il pe&longs;o K, in modo cioè, che il pe&longs;o appiccato in T, & il pe&longs;o K po&longs;to d'intorno all'a&longs;&longs;e rimangano; &longs;arà il pe&longs;o in T più graue del pe&longs;o M appiccato in F. Percioche &longs;ia congiunta TB, & dal punto C &longs;ia tirata la CI à piombo dell'orizonte, laquale tagli la TB in I; & alla fine con giunga&longs;i TC, laquale &longs;arà eguale à CF. Et percioche i pe&longs;i &longs;ono appiccati in TB &longs;i haueranno in modo come &longs;e haue&longs;&longs;ero i centri delle grauezze loro in TB, come dianzi fu detto. & perche rimangono, &longs;arà il punto I per la prima di que­&longs;to della bilancia, il centro della grauezza di ambidue in&longs;ieme, per e&longs;&longs;ere CI à piombo dell'orizonte. Ma percioche l'angolo BCI è retto, &longs;ara BIC acuto, & la linea BI &longs;arà maggiore di e&longs;&longs;a BC. Per laqual co&longs;a l'angolo CIT &longs;arà ottu&longs;o, & perciò la linea CT &longs;arà maggiore di TI. Et concio&longs;ia che CT &longs;ia maggiore di TI, & IB maggiore di BC; haurà TC proportione maggiore à CB, che TI ad IB; & conuertendo BC haurà proportione minore à CT, cioè à CF, che BI ad IT, come per la vige&longs;ima&longs;e&longs;ta del quinto de gli elementi; (&longs;econdo il Commandino) è manife&longs;to. Ma percioche il punto I è centro della grauezza de' pe&longs;i &longs;tanti in TB, &longs;arà il pe&longs;o po&longs;to in T al pe&longs;o po&longs;to in B, come BI ad IT. ma il pe&longs;o in F &longs;i hà al pe&longs;o mede&longs;imo in B, come BC à CF; dunque il pe&longs;o in T haurà proportione maggiore al pe&longs;o in B, che il pe&longs;o in F a'l i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o in B. adunque &longs;arà più graue il pe&longs;o in T, che il pe&longs;o in F.

Per la 29. del primo.

Per la 13. del primo.

Per la 6. del 1. di Archimede delle co&longs;e che pe&longs;ano egualmente.

Che &longs;e in loco del pe&longs;o in T &longs;i porrà vna po&longs;&longs;anza animata, che &longs;o&longs;tenga il pe&longs;o K, laquale in maniera &longs;i inchini, come &longs;e vole&longs;&longs;e andare al centro del mondo, come di &longs;ua propria natura &longs;à il pe&longs;o appiccato in T; &longs;arà que&longs;ta &longs;te&longs;&longs;a eguale al pe&longs;o ap­piccato in T, altramente non &longs;o&longs;tentarebbe, laquale veramente &longs;arà maggiore della po&longs;&longs;anza collocata in F. percioche &longs;i come &longs;i ha il pe&longs;o di T al pe&longs;o di F, co&longs;i ha&longs;&longs;i anco la po&longs;&longs;anza di T alla po&longs;&longs;anza di F, per e&longs;&longs;ere le po&longs;&longs;anze eguali a' pe&longs;i. Ma &longs;e cia&longs;cheduna po&longs;&longs;anza pre&longs;a &longs;eparatamente &longs;o&longs;tenente il pe&longs;o tanto in T quanto in F, &longs;econdo la circonferenza THFN, &longs;i vole&longs;&longs;e mouere, come &longs;e il raggio fo&longs;&longs;e pre&longs;o con vna mano; all'hora la mede&longs;ima po&longs;&longs;anza po&longs;ta in F, ouero in T, potrà &longs;o&longs;tenere l'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o K; concio&longs;ia, che ponga&longs;i pure nella &longs;tremità di qual &longs;i voglia raggio, &longs;empre verrà ad e&longs;&longs;ere egualmente di&longs;tante dall'i&longs;te&longs;­&longs;o centro C, & ad hauere la &longs;ua inclinatione &longs;econdo la circonferenza i&longs;te&longs;&longs;a egualmente di&longs;tante &longs;empre dal centro mede&longs;imo. ne come fa il pe&longs;o di &longs;ua propria na­tura più de&longs;idera e&longs;&longs;ere portata nel centro, che mouer&longs;i in cerchio: percioche riguar­da l'vno, & l'altro, ouero qual &longs;i voglia altro mouimento &longs;enza veruna differenza in tutto. Per laqual co&longs;a non i&longs;ta il fatto nel modo i&longs;te&longs;&longs;o, &longs;e ouero i pe&longs;i, ouero le po&longs;&longs;anze animate &longs;aranno po&longs;te ne' luoghi mede&longs;imi per far l'i&longs;te&longs;&longs;o officio.

Per la 10. del 5.

Mala po&longs;&longs;anza moue il pe&longs;o con la leua FB, cioè mentre la po&longs;&longs;anza di F volge in­torno la rota, gira intorno anche l'a&longs;&longs;e, & FB &longs;i fà come leua, il cui &longs;o&longs;tegno è C; la po&longs;&longs;anza mouente in F, & il pe&longs;o è appiccato in B: & mentre il punto F peruiene in N il punto H &longs;arà in F, & il punto B &longs;arà in O; per modo che la tirata linea NO pa&longs;&longs;i per C; & nell'i&longs;te&longs;&longs;o tempo il pe&longs;o K &longs;arà mo&longs;&longs;o in P, per modo che OBP &longs;ia eguale ad e&longs;&longs;o BL, e&longs;&longs;endo la i&longs;te&longs;&longs;a corda.

Dapoi dalla quarta di que&longs;to della leua ageuolmente caueremo co&longs;i e&longs;&longs;ere lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza che moue allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o, come il mezo diametro della rota in&longs;ieme co'l raggio al mezo diametro dell'a&longs;&longs;e, cioè come CF à CB; per e&longs;&longs;ere la circonferenza FN ver&longs;o BO, come CF à CB. Et percioche BL è eguale ad OBP, leuata via la commune BP, &longs;arà OB eguale ad e&longs;&longs;a PL. Per la qual co&longs;a FN che è lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza ver&longs;o PL &longs;patio del pe&longs;o, &longs;arà come CF à CB, cioè il mezo diametro della rota in&longs;ieme co'l raggio al mezo diametro del­l'a&longs;&longs;e. Laqual co&longs;a parimente mo&longs;trera&longs;&longs;i, &longs;tando la po&longs;&longs;anza in Q, ouero in qual &longs;i voglia altro raggio, come in S. concio&longs;ia, che e&longs;&longs;endo li raggi fra loro eguali, & egualmente di&longs;tanti; &longs;ia doue &longs;i voglia la po&longs;&longs;anza mo&longs;&longs;a con velocità eguale, tra­pa&longs;&longs;erà &longs;empre in tempo eguale &longs;patio eguale, cioè da Q in R, ouero da S in T &longs;i mouerà nel mede&longs;imo tempo, che da F in N. ma in quel tempo che la po&longs;&longs;anza &longs;i moue da F in N, nel mede&longs;imo in tutto anco il pe&longs;o K da L &longs;i moue in P. adunque &longs;ia doue &longs;i voglia la po&longs;&longs;anza, &longs;arà lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o, come CF à CB, cioè come il mezo diametro della rota co'l raggio al mezo diametro dell'a&longs;&longs;e.

Per la 4. di questo della leua.

COROLLARIO I.

Da que&longs;te co&longs;e è manife&longs;to, che co&longs;i è il pe&longs;o alla po&longs;&longs;anza &longs;o&longs;te­nente il pe&longs;o, come lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mouente allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;&longs;o.

COROLLARIO II.

Egli è manife&longs;to etiandio, che lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza mouen­te hà &longs;empre maggiore proportione allo &longs;patio del pe&longs;o mo&longs;­&longs;o, che il pe&longs;o alla &longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza.

Oltre à ciò quanto il cerchio FHN d'intorno à i raggi è più grande, tanto anco &longs;i con&longs;umerà più tempo in mouere il pe&longs;o, pur che la po&longs;&longs;anza &longs;i moua con eguale ve­locità; & il tempo tanto &longs;arà maggiore quanto il diametro dell'vno &longs;arà maggiore del diametro dell'altro; percioche le circonferenze de'cerchi &longs;i hanno come i diametri. & concio&longs;ia, che per la trige&longs;ima &longs;e&longs;ta del quarto libro di Pappo delle raccolte

matematiche po&longs;&longs;iamo ritrouare le circonferenze eguali di due cerchi di&longs;uguali; per­ciò ritroueremo anche il tempo à que&longs;to modo delle portioni di&longs;uguali de' cerchi. Ma per lo contrario quanto &longs;arà maggiore la circonferenza dell'a&longs;&longs;e, il pe&longs;o mouera&longs;&longs;i più pre&longs;to in sù, percioche maggior parte della corda BL in vno giro compiuto, &longs;i riuolge d'intorno al cerchio ABO, che &longs;e fo&longs;&longs;e minore, per e&longs;&longs;ere la corda inuolta eguale alla circonferenza del cerchio, d'intorno alquale &longs;i riuolge.

Per la 23. dell'estano libre di Pappe.

COROLLARIO.

Da que&longs;te co&longs;e è manife&longs;to, che quanto più ageuolmente &longs;i moue il pe&longs;o, tanto il tempo è anco maggiore; & quanto più ma­lageuolmente, tanto il tempo e&longs;&longs;ere minore. & co&longs;i per lo contrario.

PROPOSITIONE II.

PROBLEMA.

Far che &longs;i moua vn dato pe&longs;o, con l'a&longs;&longs;e nella rota da vna data po&longs;&longs;anza.

Sia il dato pe&longs;o &longs;e&longs;&longs;anta, & la po&longs;&longs;anza come dieci. Faccia&longs;i vna linea retta AB, laquale &longs;i diuida in C, &longs;i fattamente che AC habbia la proportione i&longs;te&longs;&longs;a à CB, che ha &longs;e&longs;&longs;anta à diece. & &longs;e CB fo&longs;&longs;e il mezo diametro del­l'a&longs;&longs;e, & CA il mezo diametro della rota co'raggi; egli è chiaro, che la po&longs;&longs;an­za come dieci po&longs;ta in A pe&longs;erebbe egualmente co'l

pe&longs;o &longs;e&longs;&longs;anta po&longs;to in B. ma pigli&longs;i tra BC qual &longs;i voglia punto, & &longs;ia D; & faccia&longs;i BD il mezo diametro dell'a&longs;&longs;e, & DA il mezo diametro della rota co'raggi, & ponga&longs;i il pe&longs;o &longs;e&longs;&longs;anta in B con vna corda inuolta d'intorno all'a&longs;&longs;e, & la po&longs;&longs;anza in A. Hor percioche AD ha proportione maggiore à DB, che AC à CB: haurà proportione maggiore AD à DB, che il pe&longs;o &longs;e&longs;&longs;anta appiccato in B alla po&longs;&longs;anza di dieci posta in A. Per laqual co&longs;a la po&longs;&longs;anza di A mouerà il pe&longs;o di &longs;e&longs;&longs;anta con l'a&longs;&longs;e nella rota, il mezo diametro delquale è BD, & DA è il mezo diametro della rota co'raggi. ilche era da far&longs;i.

Per la precedente.

Per il lemma nella prima di questo della leua.

Per la 11. di questo della leua.,

Altramente.

Ma Mecanicamente meglio &longs;arà in que&longs;to modo.

Ponga&longs;i l'a&longs;&longs;e, il cui mezo diametro &longs;ia BD, & il centro &longs;uo C, ilquale a&longs;&longs;e &longs;ta­tuiremo maggiore, ò minore, come la grandezza, & grauezza del pe&longs;o ricerca. Allunghi&longs;i po&longs;cia la li­nea BD fin ad A; & faccia&longs;i BC à CA, come diece à &longs;e&longs;&longs;anta., & &longs;e CA fo&longs;&longs;e il mezo dia metro della rota co'raggi, la po&longs;&longs;anza di diece

po&longs;ta in A pe&longs;erebbe egualmente co'l pe&longs;o di &longs;e&longs;&longs;anta po&longs;to in B. Ma allunghi&longs;i, BA dalla parte di A, & in que&longs;ta allungata linea prenda&longs;i qual &longs;i voglia punto come E, & faccia&longs;i CE il mezo diametro della rota co'raggi; & ponga&longs;i la po&longs;­&longs;anza di diece in E; haurà EC a CB proportione maggiore, che il pe&longs;o &longs;e&longs;&longs;anta po&longs;to in B alla po&longs;&longs;anza di diece po&longs;ta in E. Dunque la po&longs;&longs;anza di diece po&longs;ta in E mouerà il pe&longs;o &longs;e&longs;&longs;anta appiccato in B, con la corda inuolta d'intorno all'a&longs;&longs;e, il cui mezo diametro è CB, & CE è il mezo diametro della rota co i raggi. che bi­&longs;ognaua fare.

Sotto que&longs;ta &longs;orte d'i&longs;trumento &longs;ono gli argani, i molinelli, le triuelle, i timpani, ò rote co' &longs;uoi a&longs;&longs;i, ò &longs;iano dentate, ò nò, & &longs;imili.

Ma la triuella tiene anco non &longs;o che della vite; pero che mentre moue il pe&longs;o, cioè men­tre fora, per &longs;ua qua&longs;i natura &longs;empre trapa&longs;&longs;a viè più oltre: percioche ha qua&longs;i le helici de&longs;critte come d'intorno ad vn cono. ma perche ella ha la cima acuta, &longs;i puo­te anche ridurre commodamente alla ragione del cuneo.

L'Autore hà qui me&longs;&longs;o que&longs;te cinque figure, lequali rappre&longs;entano cinque i&longs;trumenti da mouer pe&longs;i, iquali &longs;i riducono &longs;otto que&longs;ta facultà, accioche &longs;i vegga es&longs;i e&longs;­&longs;er vna co&longs;a mede&longs;ima con l'i&longs;trumento dell'a&longs;&longs;e nella rota già dichiarato; & vi hà po&longs;to le lettere ABC con le &longs;ue linee, per dar ad intendere, che il pe&longs;o hà la proportione mede&longs;ima alla po&longs;&longs;anza, che lo &longs;o&longs;tiene, che hà AC à CB, & &longs;e &longs;arà mo&longs;&longs;o il pe&longs;o da vna po&longs;&longs;anza mouente, lo &longs;patio della po&longs;&longs;anza &longs;arà &longs;imil­mente allo &longs;patio del pe&longs;o, come AC à CB; laqual po&longs;&longs;anza deue&longs;i intendere po&longs;ta in cima de i manichi delle &longs;tanghette di&longs;co&longs;to dal centro tanto quanto è CA. Il pe&longs;o has&longs;i poi da intendere legato ad vna corda, che &longs;ia auolta d'intorno all'a&longs;&longs;e, ilquale &longs;arà lontano dal centro tanto quanto è CB: & co&longs;i per le co&longs;e dette in que&longs;to Trattato, la po&longs;&longs;anza che &longs;o&longs;tien haurà quella proportione al pe&longs;o, che ha CB à CA. Con &longs;imile modo s'ha da intendere la figura, che hà il timpano, con&longs;iderando che &longs;e la forza fo&longs;&longs;e nella &longs;tremità del timpano, & il pe&longs;o &longs;arebbe auolto d'intorno all'a&longs;&longs;e. Quanto alla triuella, ò &longs;ucchiello che &longs;i nomi, per e&longs;­&longs;ore vn'i&longs;trumento fatto non per &longs;o&longs;tenere, ma per mouere, egli è bi&longs;ogno, che la po&longs;&longs;anza habbia proportione maggiore al pe&longs;o di quel che ha CB à CA per la vndecima propo&longs;itione di que&longs;to nella leua.

IL FINE DE LL'ASSE NELLA ROTA.

DEL CVNEO.

Aristotele nelle que&longs;tioni mecaniche nella que&longs;tione 17. afferma, che il cuneo nel fendere vn pe&longs;o fa l'officio totalmente di due le ue contrarie l'vna all'altra fra loro in que&longs;to modo.

Sia il cuneo ABC, & la &longs;ua cima B, & &longs;ia AB eguale à BC, & quel che s'ha da fendere &longs;ia DE FG; & &longs;ia la parte del cuneo HBK fra DE FG, & HB &longs;ia eguale ad e&longs;&longs;a BK. Percuo­ta&longs;i, come &longs;uol far&longs;i, il cuneo in AC, mentre il cuneo viè perco&longs;&longs;o in AC, &longs;i fà AB leua, il cui &longs;o&longs;tegno è in H, & il pe&longs;o in B. & nel modo i&longs;te&longs;&longs;o CB &longs;i fa leua, il cui &longs;o&longs;te­gno è K, & il pe­&longs;o &longs;imilmente in B. Ma mentre il cu­neo è perco&longs;&longs;o, egli entra in e&longs;&longs;o DE

FG anco con portione di &longs;e maggiore di quel che fo&longs;&longs;e prima: & &longs;ia questa por­tione MBL; & &longs;ia MB eguale ad e&longs;&longs;a BL. & per e&longs;&longs;ere MB, & BL mag­giori di HB BK, &longs;arà anco ML maggiore di HK. Mentre dunque ML &longs;arà nel &longs;ito di HK; egli è me&longs;tieri che la fe&longs;&longs;a &longs;i faccia maggiore; & che D &longs;i moua ver&longs;o O, & G ver&longs;o N; & quanto maggior parte del cuneo entra fra DEFG, tanto maggior fe&longs;&longs;a &longs;i faccia; & DG &longs;empre più &longs;aranno cacciati ver&longs;o ON. dunque la parte KG che &longs;i fende mouera&longs;&longs;i dalla leua AB, ilcui &longs;o&longs;tegno è in H, & il pe&longs;o in B; &longs;iche il punto B di e&longs;&longs;a leua AB cacci la parte KG: & la parte HD mouera&longs;&longs;i dalla leua CB, il cui &longs;o&longs;tegno è K, &longs;i che B con la leua CB cacci la parte HD.

Ma trouando&longs;i tre maniere di leue, come è &longs;tato di &longs;opra mo­&longs;trato. però &longs;arà for&longs;e più conueneuole con&longs;iderare il cuneo in que&longs;to modo.

Po&longs;te le co&longs;e iste&longs;&longs;e, intenda&longs;i la leua AB, & il &longs;o&longs;tegno &longs;uo B, & il pe&longs;o in H, come nella &longs;econda di questo nella leua dicemmo. &longs;imilmente &longs;ia la leua CB co'l &longs;uo &longs;o&longs;tegno B, & il pe&longs;o in K; &longs;iche la parte HD &longs;i moua dalla leua AB, il cui &longs;o&longs;tegno è B, & il pe&longs;o in H; &longs;iche il punto H di e&longs;&longs;a leua AB cacci la parte HD. & con modo &longs;imile la parte KG moua&longs;i dalla leua CB, il cui &longs;o&longs;te­gno è B, & il pe&longs;o in K, &longs;iche il K di e&longs;&longs;a leua CB mouala parte KG. ilche &longs;arà &longs;or&longs;e più conforme alla ragione.

Percioche &longs;ia il cuneo ABC; & &longs;iano due pe&longs;i &longs;eparati DEFG, & HIKL, fra quali &longs;ia la parte DBH del cuneo, la cui cima B tenga il mezo tra l'vno, & l'al­tro &longs;ito. Percota&longs;i il cuneo in modo, che anche dauantaggio più &longs;ia cacciato fra i pe&longs;i, come prima è stato detto; per­cioche &longs;ono que&longs;ti pe&longs;i come &longs;e fo&longs;&longs;ero vno con­tinuo &longs;olamente GF KL, che bi&longs;ogna&longs;&longs;e fendere: percioche nel mo­do iste&longs;&longs;o la parte DG mentre il cuneo è più oltre cacciato, &longs;i mouerà ver&longs;o M, & la parte HL ver&longs;o N. Moua&longs;i dunque la parte DG ver&longs;o M, & la parte HL ver&longs;o N; & il B

mentre trapa&longs;&longs;a più oltre, &longs;empre rimanga nel mezo tra l'vn pe&longs;o, & l'altro. Hor mentre D G è mo&longs;&longs;o dal cuneo in uer&longs;o M; egli è manife&longs;to, che B non moue la parte DG inuer&longs;o M con la leua CB, il cui &longs;o&longs;tegno è H, perche il punto B non tocca il pe&longs;o; ma DG moueraßi dal punto D della leua con e&longs;&longs;a leua AB, che ha per &longs;o&longs;tegno B; peroche il punto D tocca il pe&longs;o. & gli i&longs;trumenti mouono per toccamento. &longs;imilmente HL moueraßi da H con la leua CB, che ha per &longs;o&longs;te­gno B; & ambedue le leue &longs;i fanno re&longs;i&longs;tenza l'vna all'altra fra loro in B, talche B faccia più tosto officio di &longs;o&longs;tegno, che di mouere il pe&longs;o. laqual co&longs;a anco ma­nife&longs;teraßi in que&longs;ta maniera.

Sia quel che s'ha da fendere vn parallelogrammo rettangolo ABCD; & &longs;iano due leue eguali EF GF, & le parti delle leue HF KF &longs;iano tra AB CD; & &longs;ia HF eguale ad FK, & &longs;ia HA eguale à KB. & faccia me&longs;tieri con le leue EF FG fendere AB CD &longs;enza perco&longs;&longs;a, cioè &longs;iano le po&longs;&longs;anze mouenti in EG eguali. Ma per e&longs;&longs;ere fe&longs;&longs;a AB CD, egli è me&longs;tieri che la parte HA &longs;i moua ver&longs;o M; & KB ver&longs;o N: ma mentre le leue &longs;i mouono, co­me per e&longs;&longs;empio l'vna in M, & l'altra in N; egli è nece&longs;&longs;ario, che il punto F rimanga immobile, perche in e&longs;&longs;o &longs;i fa l'incontro delle leue. Per laqual co&longs;a F &longs;arà il &longs;o&longs;tegno dell'vna, & l'altra leua; & FG mouerà la parte KB, il

cui &longs;o&longs;tegno &longs;arà F, & la po&longs;&longs;anza mouente in G; & il pe&longs;o in K. &longs;imilmente la parte HA moueraßi dalla leua EF, il cui &longs;o&longs;tegno è F, & la po&longs;&longs;anza in E, & il pe&longs;o in H.

Che &longs;e KH fo&longs;&longs;ero i &longs;o&longs;tegni immobili, & i pe&longs;i in F; mentre la leua FG &longs;i sforza di mouere il pe&longs;o po&longs;to in F, all'hora le fa re&longs;i&longs;tenza la leua EF, laquale parimente &longs;i sforza di mouere il pe&longs;o po&longs;to in F in uer&longs;o la parte oppo&longs;ta; ma percioche le po&longs;­&longs;anze &longs;ono eguali, & le altre co&longs;e eguali: dunque non &longs;i farà mouimento in F; percioche l'eguale non moue l'eguale. Egli è dunque pale&longs;e, che in F &longs;i fà grandißima re&longs;i&longs;tenza dalle leue, che iui fra loro &longs;i incontrano, talche F viene ad e&longs;&longs;ere vn cer­to che immobile. Per laqual co&longs;a con&longs;iderando il cuneo come moue con le leue fra loro contrarie, egli per auentura le v&longs;a più to&longs;to à que&longs;to &longs;econdo modo, che al primo.

Ma percioche tutto il cuneo &longs;i moue nel fendere, però po&longs;&longs;iamo con&longs;iderarlo anche in vn'altro modo, cioè mentre che entra in quel che viene fe&longs;&longs;o, niente altro e&longs;&longs;ere, che vn mouere vn pe&longs;o &longs;opra vn piano inchinato all'orizonte.

Sia il piano egualmente di&longs;tante dall'orizonte, che paßi per AB; &longs;ia anco il cuneo CDB; & &longs;ia CD eguale ad e&longs;&longs;a DB: & il lato del cuneo DB &longs;ia &longs;empre nel &longs;ottopo&longs;to piano. &longs;ia dopo il pe&longs;o AEFG immobile in A; & &longs;ia la parte del cuneo EDH &longs;otto AEFG. Hor percioche mentre il cuneo è perco&longs;&longs;o in CB, maggior parte del detto cuneo entra &longs;otto AEFG, di quel che &longs;ia EDH; &longs;ia

que&longs;ta parte IDH. & perche illato del cuneo DB è &longs;empre nel piano &longs;ottopo­&longs;to tirato per AB egualmente di&longs;tante dall'orizonte, allhora quando la parte del cuneo KDI &longs;arà &longs;otto AEFG; &longs;arà il punto K in H, & I &longs;otto E, ma IK è maggiore di HE: dunque il punto E &longs;arà mo&longs;&longs;o in sù. & mentre il cuneo entra &longs;otto AEFG, il punto E &longs;i mouerà in sù &longs;opra il lato EI del cuneo; & nel modo i&longs;te&longs;&longs;o, &longs;e il cuneo trapa&longs;&longs;erà più oltre, il punto E moueraßi &longs;empre &longs;opra il la­to DC del cuneo; dunque il punto E del pe&longs;o &longs;i mouerà &longs;opra il piano DC in­chinato all orizonte, la cui inclinatione è l'angolo BDC. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

In que&longs;to e&longs;&longs;empio con&longs;iderando il cuneo, che moue à &longs;embianza di leua, egli è manife&longs;to che il cuneo BCD moue il pe&longs;o AEFG con la leua CD: &longs;i che D &longs;ia il &longs;o&longs;te­gno, & il pe&longs;o po&longs;to in E: ma non già con la leua BD, il cui &longs;o&longs;tegno &longs;ia H, & il pe&longs;o po&longs;to in D.

Ma accioche la co&longs;a re&longs;ti più chiara v&longs;iamo altro e&longs;&longs;empio.

Sia vn piano egualmente di&longs;tante dall'orizonte, che paßi per AB: &longs;ia il cuneo CAB, il cui lato AB &longs;ia &longs;empre nel &longs;ottopo&longs;to piano; & &longs;ia il pe&longs;o AEFG, che non habbia verun'altro moto &longs;e non in sù, & in giù ad angoli retti all'orizonte: talche

tirata la linea IGK à piombo del piano &longs;ottopo&longs;to, & di e&longs;&longs;a AB, il punto G venga ad e&longs;&longs;ere &longs;empre nella linea IGK. & percio che mentre il cuneo è perco&longs;&longs;o in CB, egli trapa&longs;&longs;a tutto più oltre &longs;opra AB; il pe&longs;o AEFG &longs;i leuerà, come per le co&longs;e predette &longs;i è mo&longs;trato. Moua&longs;i il cuneo in modo, che E alla fine peruenga in C, & la giacitura del cuneo ABC venga ad e&longs;&longs;ere MNO, & la giaci­tura del pe&longs;o AEFG &longs;ia PMQI, & G &longs;ia in I. co&longs;i perche mentre il cuneo &longs;i moue &longs;opra la linea BO, il pe&longs;o AEFG &longs;i moue in sù dalla linea AC. & mentre il cuneo ABC trapa&longs;&longs;a più oltre, il pe&longs;o AEFG &longs;empre più dal lato del cuneo AC &longs;i leua: dunque il pe&longs;o AEFG &longs;i mouerà &longs;opra il piano del cuneo AC; ilche veramente altro non è, &longs;e non vn piano inchinato all'orizonte, la cui inclinatione è l'angolo BAC.

Que&longs;to mouimento &longs;i riduce ageuolmente alla bilancia, & alla leua; percioche quel che &longs;i moue &longs;opra il piano inchinato all'orizonte, &longs;i riduce alla bilancia per la nona propo&longs;itione di Pappo dell'ottauo libro delle raccolte matematiche. percioche è vna i&longs;te&longs;&longs;a ragione, che ouero &longs;tando fermo il cuneo, il pe&longs;o &longs;i moua &longs;opra il lato del cu­neo; ouero che e&longs;&longs;endo egli mo&longs;&longs;o, &longs;i moua anco il pe&longs;o &longs;opra il &longs;uo lato, come &longs;o­pra vn piano inchinato all'orizonte.

La propo&longs;itione di Pappo allegata qui dall'Autore, & in altri luoghi di que&longs;to li­bro, hò ripo&longs;ta in loco conueneuole nel Trattato della Vite, &longs;timando, che per auentura ella &longs;ia per tornare più al propo&longs;ito della Vite, & &longs;eruirle in più chiarez­za, che al Cuneo. Laquale propo&longs;itione mi fù mandata dall'Autore, & io &longs;e ben non le manca nulla, la hò rincontrata accuratamente co'l Pappo Greco del Sig. Pinello, per modo che &longs;i haurà perfettis&longs;ima ad vtile, & diletto di coloro, i qua­li niuna co&longs;a di Pappo &longs;crittore marauiglio&longs;o di Mecaniche hanno nè veduto, nè letto giamai.

Hora mo&longs;triamo in che modo, quelle co&longs;e lequali &longs;ono fe&longs;&longs;e, &longs;i mouano come &longs;opra piani inchinati all'orizonte.

Sia il cuneo ABC, & AB &longs;ia eguale ad e&longs;&longs;a BC. Diuida&longs;i AC in due parti in D, & &longs;ia congiunta BD. &longs;ia dopo la linea EF, per laquale paßi il piano egual­mente di&longs;tante dall'orizonte, & &longs;ia BD nella mede&longs;ima linea EF; & mentre il

cuneo è perco&longs;&longs;o, & mentre &longs;i moue in ver&longs;o E, &longs;empre BD &longs;ia nella linea EF. & quel che &longs;i ha da fendere &longs;ia GHLM, dentro alquale &longs;ia la parte del cuneo KBI: egli è manife&longs;to, che mentre il cuneo &longs;i moue in ver&longs;o E, la parte KG mo­uer&longs;i in ver&longs;o N; & la parte HI in ver&longs;o O. percota&longs;i il cuneo per modo che la linea AC &longs;ia nella linea NO; allhora K &longs;arà in A, & I in C: & K per le co&longs;e &longs;udette &longs;arà mo&longs;&longs;o &longs;opra KA, & I &longs;opra IC. Per laqual co&longs;a mentre &longs;i moue il cuneo, la parte KG &longs;i mouerà &longs;opra il lato BA del cuneo, & la parte IH &longs;opra il lato BC. La parte dunque KG &longs;i mouerà &longs;opra il piano inchinato all'o­rizonte, la cui inclinatione è l'angolo FBA. &longs;imilmente IH &longs;i moue &longs;opra il piano BC nell'angolo FBC. le parti dunque di quel che &longs;i &longs;ende moueran&longs;i &longs;o­pra piani inchinati all'orizonte. & quantunque il piano BC &longs;ia &longs;otto l'orizonte; tutta via la parte IH &longs;i moue &longs;opra IC, come &longs;e BC fo&longs;&longs;e &longs;opra l'orizonte nel­l'angolo DBC: percioche le parti di quel che &longs;i fende &longs;i mouono nel tempo me­de&longs;imo dall'i&longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza. &longs;arà dunque la mede&longs;ima ragione del mouimento della parte IH, & della parte KF. &longs;imilmente è l'i&longs;te&longs;&longs;a ragione &longs;e EF è egualmente di&longs;tante dall'orizonte, ouero &longs;e è à piombo dell'orizonte, ouero in altro modo: peroche egli è nece&longs;&longs;ario, che la po&longs;&longs;anza, laquale moue il cuneo, &longs;ia la mede&longs;ima, re­&longs;tando le altre co&longs;e le mede&longs;ime. &longs;arà dunque la &longs;te&longs;&longs;a ragione.

Dopo que&longs;te co&longs;e egli è da con&longs;iderare, quali &longs;iano quelle co&longs;e, lequali fanno sì, che più ageuolmente alcuna co&longs;a &longs;i moua, ouero &longs;i &longs;enda, lequali &longs;ono due.

Primieramente quel che opera in modo, che alcuna co&longs;a più ageuolmente &longs;ia fe&longs;&longs;a. ilche più appartiene etiandio alla e&longs;­&longs;enza del cuneo, è l'angolo po&longs;to alla cima del cuneo: pero che quanto minore è l'angolo, tanto più ageuolmente moue, & fende.

Siano due cunei ABC DEF, & l'angolo ABC po&longs;to alla cima &longs;ia minore dell'angolo DEF. Dico che alcuna co&longs;a più ageuolmente &longs;i moue, ò fende dal cuneo ABC, che da DEF. Diuidan&longs;i AC DF in due parti eguali ne'punti GH; & &longs;iano congiunte BG & EH. Hor percioche le parti di quello, che &longs;i fende dal cuneo ABC &longs;i mouono &longs;opra il piano inchinato all'orizonte, la cui inclinatione è GBA; & quelle che dal cuneo DEF &longs;i mouono &longs;opra il piano inchinato all'orizonte, la cui inclinatione è HED, & l'angolo GBA è minore dell'angolo HED; per e&longs;&longs;ere GBA minore di DEF: & per la nona di Pappo dell'ottauo libro delle raccolte matematiche, quel che &longs;i moue &longs;opra il piano AB, &longs;i mouerà più facilmente, & da po&longs;&longs;anza minore, che &longs;opra ED. Quel che &longs;i &longs;ende dunque dal cuneo ABC più

ageuolmente, & da po&longs;&longs;anza minore &longs;i fende, che dal cuneo DEF. &longs;imilmente mo&longs;trera&longs;&longs;i, che quanto più acuto &longs;arà l'angolo po&longs;to alla cima del cuneo, tanto più ageuolmente mouera&longs;&longs;i, & fendera&longs;&longs;i alcuna co&longs;a. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Pos&longs;iamo dimo&longs;trare que&longs;to etiandio con altra ragione, con&longs;i­derando il cuneo come egli moue con le leue contrarie l'vna all'altra fra loro, fi come nel &longs;econdo modo fù detto. ma bi&longs;ogna prima dimo&longs;trare que&longs;to.

Sia la leua AB, che habbia il &longs;uo &longs;o&longs;tegno B immobile, & quel che s'ha da mouere &longs;ia CD EF rettangolo, co&longs;i di&longs;po&longs;to, che non po&longs;&longs;a mouer&longs;i in giù dalla parte di FE; & il punto E &longs;ia immobile, & come centro; &longs;iche il punto D &longs;i moua per la circonferenza del cerchio DH, il cui centro &longs;ia E. & C per la circonferenza CL, &longs;i che la linea congiunta CE &longs;ia il &longs;uo mezo diametro. di più CDEF tocchi la le ua AB in C, & la leua AB moua il pe&longs;o CDEF, & la po&longs;&longs;anza mouente &longs;ia in A, il &longs;o&longs;tegno in B, & il pe&longs;o in C. &longs;ia dapoi vn'altra leua MCN, laquale etiandio moua CD EF, il cui &longs;o&longs;tegno immobile &longs;ia N; la po&longs;&longs;anza mouente in M, & il pe&longs;o &longs;imilmente in C; & &longs;ia CN eguale ad

e&longs;&longs;a CB, & CM ad e&longs;&longs;a CA; & moua&longs;i alternamente il pe&longs;o CDEF con le leue AB MN. Dico che CDEF più ageuolmente &longs;i mouerà dall'i&longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza con la leua AB, che con la leua MN.

Faccia&longs;i il centro B, & con lo &longs;patio BC de&longs;criua&longs;i la circonferenza CO. &longs;imilmen­te co'l centro N, & lo &longs;patio NC de&longs;criua&longs;i la circonferenza CP. Hor percio­che mentre la leua AB moue CD EF, il punto della leua C &longs;i moue &longs;opra la circonferenza CO, per e&longs;&longs;ere B &longs;o&longs;tegno, & centro immobile. &longs;imilmente men­tre la leua MN moue CD EF, il punto C &longs;i moue per la circonferenza CP: mentre dunque la leua AB moue CD EF, &longs;i sforza mouere il punto C del pe&longs;o &longs;opra la circonferenza CO; ilche non può già fare, perche C &longs;i moue &longs;opra la cir­conferenza CL. Per laqual co&longs;a nel mouimento della leua AB &longs;econdo la parte che le ri&longs;ponde, & nel mouimento del pe&longs;o fatto &longs;econdo C, ne na&longs;ce vn certo con­tra&longs;to: percioche &longs;i mouono in diuer&longs;e parti. &longs;imilmente mentre la leua MN moue CD EF, &longs;i sforza mouere il C &longs;opra la circonferenza CP: & però in que&longs;to ancora na&longs;ce in ambidue i mouimenti vn &longs;imile contra&longs;to. Et perche la circonferenza CO è più da pre&longs;&longs;o alla circonferenza CL, che non è CP, cioè più da pre&longs;&longs;o al mouimento, che fa il punto C del pe&longs;o; però il contra&longs;to tra il mouimento della le ua AB, & il mouimento del pe&longs;o C &longs;arà minore, che tra il mouimento della leua MN, & il mouimento dell'i&longs;te&longs;&longs;o C, ilche etiandio è chiaro, &longs;e &longs;i intenda che CF &longs;ia à piombo dell'orizonte; percioche all'hora la circonferenza CP più inchina al ba&longs;&longs;o, che CO: & CL và in sù. & perciò &longs;i fa contra&longs;to minore tra la leua AB, & il mouimento C, che fra la leua MN, & il mouimento C. Ma doue è conte&longs;a minore, iui è più ageuolezza. Dunque &longs;i mouerà più facilmente CDEF con la leua AB, che con la leua MN. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

COROLLARIO

Da que&longs;to è chiaro, che quanto minore è l'angolo contenuto dalla linea CF, ouero CE, ouero CD; cioè quanto minore è l'angolo BCF, ouero BCE, ouero anche BCD; tanto più ageuolmente il pe&longs;o è mo&longs;&longs;o. ilche mo&longs;treras&longs;i nel­l'i&longs;te&longs;&longs;o modo.

Ma quel che è propo&longs;to mo&longs;treremo in que&longs;ta maniera.

Siano li cunei ABC DEF, & l'angolo ABC &longs;ia minore dell'angolo DEF, & AB BC DE EF &longs;iano tra loro eguali. &longs;iano dapoi quattro pe&longs;i eguali GH IL NO QR rettangoli; & &longs;iano LM KH nella mede&longs;ima linea retta. &longs;imilmente RS PO in linea retta; &longs;aranno GK IM egualmente di&longs;tanti, & NP QS anco egualmente di&longs;tanti. &longs;ia IBG la parte del cuneo fra i pe&longs;i GH IL; & la parte del cuneo QEN fra i pe&longs;i NOQR; & &longs;iano IB BG QE EN tra loro eguali. Dico che i pe&longs;i GH IL più ageuolmente &longs;aranno dalla po&longs;&longs;anza i&longs;te&longs;&longs;a co'l cuneo ABC mo&longs;si, che i pe&longs;i NO QR dal cuneo DEF.

Per la 28. del primo.

Diuidan&longs;i AC DF in due parti eguali in TV, & congiungan&longs;i TBVE, &longs;aranno gli angoli po&longs;ti al T, & V retti. congiunga&longs;i IG, laquale tagli BT in X. Hor

percioche IB è eguale à BG, & BA eguale à BC: &longs;arà IA eguale ad e&longs;&longs;a GC. Per laqual co&longs;a BI ad IA è co&longs;i, come BG à GC; dunque IG è egualmente di&longs;tante ad e&longs;&longs;a AC: & perciò gli angoli ad X &longs;ono retti; ma gli angoli XGK XIM &longs;ono retti, peroche GM è rettangolo. Per laqual co&longs;a TB è egualmente di­&longs;tante da GKIM. dunque l'angolo TBC è eguale all'angolo BGK, & TBA è eguale ad e&longs;&longs;o BIM. &longs;imilmente mo&longs;treremo che l'angolo VEF è eguale ad ENP, & VED eguale ad EQS. & per e&longs;&longs;ere l'angolo ABC minore dell'angolo DEF; &longs;arà anco l'angolo TBC minore di VEN. Per laqual co&longs;a BGK &longs;arà anche mi­nore di ENP. con &longs;imile modo BIM è minore di EQS. Hor percioche il cuneo ABC moue con due leue AB BC, che hanno i &longs;o&longs;tegni &longs;uoi in B, & i pe&longs;i in GI. &longs;imilmente il cuneo DEF moue con due altre leue DE EF, i cui &longs;o&longs;tegni &longs;o­no in E; & i pe&longs;i in NQ: per la precedente i pe&longs;i GH IL &longs;i moueranno più ageuolmente con le leue AB BC, che i pe&longs;i NO QR con le leue DE EF. i pe&longs;i dunque GH IL, &longs;i moueranno più ageuolmente co'l cuneo ABC, che i pe&longs;i NO QR co'l cuneo DEF. & perche è la ragione i&longs;te&longs;&longs;a nel mouere & nel fendere; però più ageuolmente &longs;i fenderà alcuna co&longs;a co'l cuneo ABC, che co'l cuneo DEF. Et dimo­&longs;trera&longs;&longs;i mede&longs;imamente che quanto minore è l'angolo po&longs;to alla cima del cuneo, tanto più ageuolmente &longs;i moue alcuna co&longs;a, ouero &longs;i fende, che bi&longs;ognaua mostrare.

Per la 2. del &longs;esto.

Per la 9. del primo.

Per la 28. del primo.

Oltre à ciò quelle co&longs;e, lequali &longs;ono mo&longs;&longs;e dal cuneo DEF, &longs;i mouono per maggiori &longs;patij che quelle che &longs;ono mo&longs;&longs;e dal cuneo ABC. Imperoche affine che DF &longs;ia tra QN, & affine che AC &longs;ia trà IG, egli è nece&longs;&longs;ario che QN &longs;i mouano per maggiori &longs;patij, cioè l'vno alla de&longs;tra, l'altro alla &longs;ini&longs;tra, che IG, per e&longs;&longs;ere DF maggiore di AC: pur che tutto il cuneo entri fra i pe&longs;i. Ma dalla po&longs;&longs;anza più facilmente &longs;i moue per minor &longs;patio alcuna co&longs;a nel mede&longs;imo tempo, che per mag­giore: pur che le altre co&longs;e con le quali &longs;i fà il mouimento &longs;iano eguali: &longs;e dunque AC DF peruerranno nell'i&longs;te&longs;&longs;o tempo in IG QN, e&longs;&longs;endo A I CG DQFN tra loro eguali; più facilmente dalla po&longs;&longs;anza &longs;i moueranno GI co'l cuneo ABC, che QN co'l cuneo DEF. per laqual co&longs;a i pe&longs;i GHIL &longs;i moueranno più facil­mente dalla po&longs;&longs;anza co'l cuneo ABC, che i pe&longs;i NO QR co'l cuneo DEF. & &longs;imilmente &longs;i mostrerà, che quanto l'angolo po&longs;to alla cima del cuneo &longs;arà mino re, tanto più ageuolmente &longs;i moueranno i pe&longs;i, ouero &longs;i fenderanno.

La &longs;econda co&longs;a laquale è cagione, che alcuna co&longs;a &longs;i fenda più ageuolmente è la perco&longs;&longs;a, mediante laquale è mo&longs;&longs;o il cuneo & moue, cioè vien perco&longs;&longs;o, & fende.

Sia il cuneo A, quel che s'ha da fendere B, & quel che percuote C; ilquale ouero da &longs;e &longs;te&longs;&longs;o percuote, & moue; ouero dalla po&longs;&longs;an­za che lo regge, & moue. che &longs;e da &longs;e &longs;te&longs;&longs;o, prima s ha da auertire, che quan­to più &longs;arà graue, tanto &longs;i farà la perco&longs;&longs;a maggiore. & oltre à ciò quanto più &longs;arà lunga la di­stanza tra AC, faraßi parimente maggiore perco&longs;&longs;a: pe­roche cia&longs;cuna co&longs;a graue, mentre &longs;i moue, prende più di grauezza mo&longs;&longs;a, che &longs;tando ferma, & dauantaggio anco più, quanto più da lontano è mo&longs;&longs;a.

Che &longs;e C &longs;arà mo&longs;&longs;o da qualche po&longs;&longs;anza, come per lo manico DE &longs;ia mo&longs;&longs;o. Prima quanto C &longs;arà più graue; dapoi quanto &longs;arà più lungo DE, tanto la perco&longs;&longs;a faraßi maggiore: percioche &longs;e la po&longs;&longs;anza mouente &longs;arà posta in E, &longs;arà il C più di&longs;tante dal centro, & però moueraßi più tosto, come Ari&longs;to­tele dimostra nelle questioni mecani­che; & puote e&longs;&longs;ere anco chiaro da quelle co&longs;e, che furono dette nel trat­tato della bilancia, che quanto più il

pe&longs;o C è di&longs;tante dal centro, tanto più far&longs;i graue, & vrterà etiandio con più ga­gliard'empito, e&longs;&longs;endo la forza in E più po&longs;&longs;ente.

Ma que&longs;ta è la &longs;econda co&longs;a, laqual è cagione che con que&longs;to i&longs;trumento &longs;i mouano gran pe&longs;i, & &longs;i fendano. Percioche la perco&longs;&longs;a è vna forza gagliardißima, come è ma­nife&longs;to da la decimanona delle questioni mecaniche di Ari&longs;totele: peroche &longs;e &longs;o­pra il cuneo &longs;i imporrà vn pe&longs;o grandißi­mo, allhora il cuneo non farà nulla à pa­ragone &longs;petialmente della perco&longs;&longs;a. che &longs;e anco &longs;i adatta&longs;&longs;e al cuneo vna leua, ouero vna vite, ò qualche altro tale &longs;tromento per cacciare il cuneo più à dentro nel pe&longs;o, non auenirà effetto qua&longs;i di momento niuno, ri&longs;petto alla perco&longs;&longs;a. della qual co&longs;a puote e&longs;&longs;ere inditio, che &longs;e fo&longs;&longs;e il corpo A di pietra, da cui alcuno vole&longs;&longs;e leuar via

qualche parte, come vn pezzo dell'angolo B, allhora potrebbe rompere ageuolmente con vno martello di ferro, &longs;enza altro &longs;tromento, percotendo in B, qualche pezzo dell'angolo B: ilche non potrà fare con ne&longs;&longs;uno altro &longs;tromento, che &longs;ia priuo di per­co&longs;&longs;a, &longs;e non con difficultà grandißima, &longs;ia ò leua, ò vite, ò qual &longs;i voglia altra co&longs;a tale. La onde la perco&longs;&longs;a è cagione, che &longs;i fendano i gran pe&longs;i. & hauendo la per­co&longs;&longs;a co&longs;i gran forza, &longs;e le aggiungeremo qualche &longs;tromento accommodato à moue­re, & fendere, vedremo per certo co&longs;e marauiglio&longs;e. Cote&longs;to &longs;tromento è il cuneo, nel quale due co&longs;e, inquanto s'appartiene alla &longs;ua forma, occor­rono ad e&longs;&longs;ere con&longs;iderate: L'v­na, che il cuneo è attißimo à ri­ceuere, & &longs;o&longs;tenere la perco&longs;&longs;a: l'altra è, che per la &longs;ua &longs;ottigliezza nell vna delle parti facilmente entra ne'corpi, come e&longs;pre&longs;&longs;a­mente &longs;i vede. Il cuneo dunque opera&longs;i con la &longs;ua perco&longs;&longs;a, che vediamo qua&longs;i miracoli nel fen­dere i corpi.

Alla facoltà di cotale &longs;tromento &longs;i po&longs;&longs;ono etiandio ridurre commodamente quelle co &longs;e tutte, lequali con perco&longs;&longs;a, ouero &longs;pinta tagliano, diuidono, &longs;orano, & fanno altri cotali effetti, come &longs;pade, punte, coltelli, &longs;curi, & &longs;imili. La &longs;ega ancora &longs;i ridurrà à que&longs;to: peroche i &longs;uoi denti percotono, & &longs;ono à &longs;embianza di cuneo.

IL FINE DEL CVNEO.

DELLA VITE.

Pappo nell'i&longs;te&longs;&longs;o ottauo libro trattando mol­te co&longs;e della vite, in&longs;egna come ella &longs;i deue fa­bricare; & come con cotale &longs;tromento &longs;i moua­no grandi pe&longs;i: & di più mette altre &longs;peculatio­ni molto vtili alla cognitione di lei. Ma per­cioche tra le altre co&longs;e egli promette di voler mo&longs;trare la vi­te niente altro e&longs;&longs;ere, che vn cuneo pre&longs;o &longs;enza la perco&longs;&longs;a, il quale faccia il mouimento &longs;uo con la leua. & que&longs;to in lui &longs;i de&longs;idera: però noi &longs;i sforzeremo di mo&longs;trare ciò. & di più ridurre la detta vite alla leua, & alla bilancia, accioche alla fi­ne &longs;e n'habbia compiuta cognitione.

Hò ritenuto nel tradurre le parole Cilindro, & Helice i vocaboli i&longs;tes&longs;i, come l'Au­tore gli ha po&longs;ti, percioche la no&longs;tra lingua pouera ancora di que&longs;te voci, non ne hà fin hora approuata alcuna per buona, & communemente in te&longs;a in tutta Italia per &longs;ignificare le predette due co&longs;e Cilindro, & Helice. Però io, affine di dome­&longs;ticarle, hò voluto farne e&longs;perientia, la&longs;ciandole co&longs;i, &longs;e per auentura pote&longs;&longs;ero e&longs;&longs;er accettate. Cilindro, voce Greca, è quel ba&longs;tone lauorato al torno, nel quale &longs;i intagliano quei rileui co' &longs;uoi concaui, che vanno montando in &longs;u&longs;o à lumaca, ò chiocciola, & &longs;i dicono vite, ouero in qualche contrada d'Italia vermi, ò chiocciole, & l'Autore qui noma Hlici. Ba&longs;ta che la co&longs;a re&longs;ti chiara, non que&longs;tionan­do de' nomi, & &longs;i intenda che voglia dire Cilindro, & Helice. La Vite in latino &longs;i chiama Cochlea à &longs;imiglianza cred'io dell'animale che &longs;i mangia detto lumaca, ò bouolo, ò chiocciola, che è più &longs;imile à Cochlea latino, talche la vite, &longs;tando sù i nomi, viene ad hauere pre&longs;o il nome da quell'animale, che nella ca&longs;a, la quale &longs;empre porta &longs;eco &longs;i ra&longs;&longs;embra, mas&longs;imamente nel fondo di e&longs;&longs;a, in certo modo al rileuo, ò verme, ouero helice della vite. Onde ben &longs;i potrebbe con ragione dire chiocciola alla vite, volgarizando il vocabolo latino cochlea, come &longs;i appellane chiocciole le &longs;cale che a&longs;cendono à vite.

Sia il cuneo ABC, ilquale &longs;i riuolga d'intorno al Cilindro DE, & &longs;ia IGH il cu­neo riuolto d'intorno al cilindro, la cui cima &longs;ia I. &longs;ia dapoi il cilindro in&longs;ieme co'l cuneo po&longs;toui d'intorno accommodato in modo, che &longs;enza alcuno impedimento &longs;i po&longs;&longs;a volgere intorno co'l manico KF attaccato all'a&longs;&longs;e: & &longs;ia LMNO quel che s'ha da fendere, ilquale etiandio dalla parte di MN &longs;ia immobile, &longs;i come &longs;uole far&longs;i in quelle co&longs;e, che &longs;i fendono. & &longs;ia la cima I'tra RS. Volga&longs;i intorno KF, &

peruenga à KP; & mentre che KF &longs;i volge intorno, tutto il cilindro DE ancora &longs;i volge intorno, & il cuneo IGH. per laqual co&longs;a mentre KF &longs;arà in KP, la cima I non &longs;arà più tra RS, ma altra parte del cuneo, come TV: ma TV è maggiore di RS; peroche la parte del cuneo, laquale è più di&longs;tante dalla cima, &longs;em­pre è maggiore di quella, che è più ad e&longs;&longs;a vicina. accioche dunque TV &longs;ia tra RS, bi&longs;ogna che R ceda, & &longs;i moua ver&longs;o X, & S in ver&longs;o Z, come fanno le co&longs;e, che &longs;i fendono. tutto dunque LMNO &longs;i fenderà. Similmente dimo&longs;treremo, che mentre il manico KP &longs;arà in KQ, allhora GH &longs;arà fra RS: & mentre GH &longs;arà tra RS, egli è nece&longs;&longs;ario che R &longs;ia in X, & S in Z. talche XZ &longs;ia eguale à GH; & &longs;empre LM NO &longs;i fenderà dauantaggio. co&longs;i dunque è manife&longs;to, che mentre KF &longs;i volge intorno, &longs;empre R &longs;i moue in ver&longs;o X, & S in ver&longs;o Z: & R mo­uer&longs;i &longs;empre &longs;opra ITG, & S &longs;opra IVH, cioè &longs;opra i lati del cuneo volti d'intorno al cilindro.

PROPOSITIONE I.

Il cuneo accommodato in que&longs;to modo d'intorno al cilindro, niente altro è, che la vite, laquale habbia due helici congiunte fra loro in vno punto.

Sia il cuneo ABC; & AB &longs;ia eguale à BC. diuida&longs;i AC in due parti in D, & congiunga&longs;i BD; &longs;arà BD à piombo di AC: & AD eguale à DC, & il triangolo ABD eguale al triangolo CBD. Faccia&longs;i dapoi i triangoli rettangoli EFG HIK non &longs;olo tra loro eguali, ma etiandio eguali ad ambidue i triangoli

ADB, & CDB. & &longs;ia il cilindro LMNO, la cui linea che lo circonda detto Perimetro &longs;ia eguale ad ambedue FGKI: & LMNO &longs;ia parallelogram­mo per l'a&longs;&longs;e. & faccia&longs;i MP eguale ad FE, & PN eguale ad HI. & ponga&longs;i HI in NP, & inuolga&longs;i il triangolo HIK d'intorno al cilindro; & &longs;ia de &longs;critta la helice NQR &longs;econdo KH, come in&longs;egna anche Pappo nell'ottauo libro alla propo&longs;itione vige&longs;ima quarta. & &longs;imilmente ponga&longs;i EF in MP, & in­uolga&longs;i il triangolo EFG d'intorno al cilindro, & de&longs;criua&longs;i per EG la helice PRM. & co&longs;i per e&longs;&longs;ere PM PN eguali ad EF HI, &longs;arà MN eguale ad e&longs;&longs;a AC, & per e&longs;&longs;ere le helici PRM PQN eguali alle linee EG HK; &longs;a­ranno dunque le dette helici eguali ad e&longs;&longs;e AB BC. dunque il cuneo ABC &longs;arà tutto inuolto d'intorno al cilindro LMNO. Siano tagliate da poi le helici, come in&longs;egna Pappo, &longs;econdo la larghezza del cuneo; & à que&longs;to modo il cuneo in&longs;ieme
co'l cilindro niente altro &longs;arà, che la vite, laquale habbia due helici PRM PQN congiunte fra loro d'intorno al cilindro LN in vno &longs;olo punto.
che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

COROLLARIO.

Di qui puote e&longs;&longs;ere manife&longs;to, come &longs;i po&longs;&longs;ano de&longs;criuere le helici nella vite.

Hora dimo&longs;triamo, come &longs;i mouano i pe&longs;i &longs;opra le helici della vite.

Sia come prima il cuneo IGH inuolto d'intorno al cilindro DE, la cui cima &longs;ia I, & &longs;i adatti il cilindro in modo, che &longs;i po&longs;&longs;a volgere liberamente con l'a&longs;&longs;e &longs;uo. & &longs;ia­no due pe&longs;i MN di qualunque figura vogliamo, commodati nondimeno in modo che non po&longs;&longs;ano mouer&longs;i &longs;e non &longs;opra la diritta linea LO, laquale &longs;ia egualmente di&longs;tante dall'a&longs;&longs;e del cilindro; & &longs;iano MN pre&longs;&longs;o la cima I del cuneo. Volga&longs;i intorno KF, & peruenga in KP: & mentre KF &longs;arà in KP, allhora TV &longs;a rà fra i pe&longs;i MN, &longs;i come di &longs;opra habbiamo detto. dunque M &longs;i mouerà ver&longs;o

L, & N ver&longs;o O. Similmente mo&longs;trera&longs;&longs;i, che mentre KP &longs;arà in KQ, allho­ra GH &longs;arà tra i pe&longs;i MN; & M &longs;arà in X, & N in Z; &longs;i che XZ &longs;arà eguale à GH. Per laqual co&longs;a mentre KF &longs;i volge intorno, &longs;empre il pe&longs;o N &longs;i moue in ver&longs;o O, & &longs;opra la helice IRS; & M &longs;opra l'altra helice.

Similmente &longs;e la vite haurà più helici co­me nella &longs;econda fi­gura, il pe&longs;o A, mentre la vite &longs;i volge intorno, &longs;empre &longs;i mouerà &longs;opra le he­lici BCD EFG; pur che il pe&longs;o A in modo &longs;i adatti, che non po&longs;&longs;a mo­uer&longs;i &longs;e non &longs;opra la retta linea HI e­gualmente di&longs;tante da e&longs;&longs;o cilindro. Per cioche nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo, che &longs;i moue &longs;o­pra la prima helice, &longs;i moue etiandio &longs;o­pra la &longs;econda, & &longs;o pra la terza, et &longs;opra le altre. Percioche quante &longs;i voglian helici che &longs;iano, non &longs;on altro niente, che vn lato del cuneo inuol­to d'intorno all'i&longs;te&longs;­

&longs;o cilindro vna, & più volte. et &longs;ia la vite ouero à piombo dell'orizonte, ouero egualmente di&longs;tante dall'orizonte, ouero in altro modo collocata, non importa nulla; per­cioche &longs;empre valerà l'i&longs;te&longs;&longs;a ragione.

Che &longs;e come nella terza figura, &longs;i imporrà alcuna co&longs;a &longs;opra la vite, come B, che è nomata Tilo di&longs;po&longs;to in modo, che dalla parte di &longs;otto egli habbia le helici concaue adattate molto acconciamente ad e&longs;&longs;a vite. egli potrà e&longs;&longs;ere a&longs;&longs;ai chiaro, che e&longs;&longs;o B, mentre la vite &longs;i volge intorno, mouera&longs;&longs;i à quel modo in tutto &longs;opra le helici della

vite, come &longs;i moueua il pe&longs;o &longs;econdo la prima figura; purche il tilo &longs;i accommo­di, come in&longs;egna Pappo nell'ottauo libro, in maniera cioè, che egli &longs;i moua egual­mente di&longs;tante dall'a&longs;&longs;e del cilindro auanti, ouero indietro &longs;olamente.

Et &longs;e in luogo del tilo, che hà le helici concaue nella parte di &longs;otto, &longs;i ponga, come nel la quarta figura il cilindro concauo, come D, & nella &longs;ua concaua &longs;uperficie &longs;i de­&longs;criuano le helici, & &longs;i taglino in modo, che acconciamente &longs;i adattino alla vite; (percioche nel mede&longs;imo modo &longs;i de&longs;criueranno le helici nella &longs;uperficie concaua del cilindro, come &longs;i fà nella conue&longs;&longs;a) &longs;e la vite poi &longs;arà fermata ne' poli &longs;uoi, cioè nel

&longs;uo a&longs;&longs;e, & volga&longs;i intorno, egli è manife&longs;to, che D &longs;i mouerà al mouimento del giro della vite, come &longs;a il tilo. & di più &longs;e D &longs;i &longs;ermerà in EF, &longs;i che rimanga immobile, mentre la vite &longs;i volge intorno, mouera&longs;&longs;i &longs;opra le helici del cilindro D &longs;e­condo il mouimento del giro &longs;uo, fatto alla de&longs;tra, ouero alla &longs;ini&longs;tra, sì all'innan­zi, come all'indietro, & il cilindro D in que&longs;ta maniera accommodato, &longs;i chiama volgarmente la madre, ouero la femina della vite.

Che &longs;e alla vite (come nella quinta figura) &longs;arà po&longs;ta la rota C co' dentìtorti, come in&longs;egna Pappo nel mede&longs;imo ottauo libro, ouero anche diritti; ma in modo &longs;atti, che &longs;i adattino facilmente con la vite. egli è &longs;imilmente manife&longs;to, che al mouimen

to della vite moueraßi etiandio intorno la rota C. & nell'i&longs;te&longs;&longs;a maniera &longs;i moue­rannoi denti della rota C &longs;opra le helici della vite. & que&longs;ta &longs;i dice vite perpetua, percioche sì la vite, come la rota mentre &longs;i riuolgono &longs;tanno &longs;empre nel modo i&longs;te&longs;&longs;o.

Que&longs;te co&longs;e habbiamo detto, accioche &longs;ia pale&longs;e, che la vite nel mouere il pe&longs;o fà l'officio del cuneo &longs;enza perco&longs;&longs;a. percio che lo rimoue dal luogo oue era, &longs;i come il cuneo rimoue quelle co&longs;e che moue, & &longs;ende. & que&longs;te co&longs;e tutte &longs;i mouono dalla vite come il pe&longs;o A nella &longs;econda figura, & lo M nella prima.

Hor percioche habbiamo dimo&longs;trato poter&longs;i con&longs;iderare con due ragioni il cuneo, che moue, cioè come moue con le leue, ouero come è vn piano inchinato all' orizonte, però con&longs;ideraremo anco la vite in due modi.

Et prima come ella moue con le leue; come nella prima figura. giri&longs;i intorno KF, &

peruenga in KP, allhora, &longs;i come è detto, TV &longs;arà fra pe&longs;i MN. & &longs;i come con&longs;ideriamo le leue nel cuneo, co&longs;i le po&longs;siamo parimente con&longs;iderare nella vite in que&longs;ta maniera, cioè &longs;arà IVH la leua co'l &longs;o&longs;tegno &longs;uo I, & il pe&longs;o po&longs;to in V. &longs;imilmente ITG la leua co'l &longs;o&longs;tegno &longs;uo I, & il pe&longs;o in T. & le po&longs;&longs;an­ze mouenti dourebbono e&longs;&longs;ere in GH; ma &longs;i come nel cuneo la po&longs;&longs;anza mouente è la perco&longs;&longs;a, laquale moue il cuneo; però &longs;arà doue la po&longs;&longs;anza moue la vite, co­me in P colmanico KP; peroche la vite &longs;i moue &longs;enza perco&longs;&longs;a. Ma que&longs;ta con &longs;ideratione parerà for&longs;e impropria per cau&longs;a delle leue piegate. Onde &longs;e &longs;i inten­derà, quello che è mo&longs;&longs;o dalla vite, e&longs;&longs;ere mo&longs;&longs;o &longs;opra vn piano inchinato all' orizonte; per certo cotale con&longs;ideratione &longs;arà più conforme alla figura di e&longs;&longs;a vite, ma&longs;sima­mente conuenendo anche al cuneo.

PROPOSITIONE II.

Se &longs;arà la vite AB, c'habbia le helici CDEFG eguali: Di­co che e&longs;&longs;e non &longs;ono altro niente, che vn piano inchinato al­l'orizonte, riuolto d'intorno al cilindro.

Sia la vite AB à piombo dell'orizonte, che habbia due helici CDEFG. Ponga&longs;i HI eguale à GC, laquale diuida&longs;i in due parti in K. &longs;aranno HK KI non &longs;o­lamente fra loro, ma etiandio ad e&longs;&longs;e GEEC eguali, & tiri&longs;i ad e&longs;&longs;a HI la li­

nea LI ad angoli retti; & intenda&longs;i per LI vn piano egualmente di&longs;tante dall'o­rizonte: & &longs;ia LI due volte tanto quanto la linea che gira intorno al cilindro AB che dice&longs;i Perimetro, laquale diuida&longs;i in due parti eguali in M; &longs;aranno IM ML eguali al Perimetro del cilindro. Congiunga&longs;i HL, & da punto M &longs;ia ti­rata la linea MN egualmente di&longs;tante da HI, & congiunga&longs;i KN. Hor per­cioche i triangoli HIL NML &longs;ono &longs;imili fra loro, per e&longs;&longs;ere NM egualmen­te di&longs;tante da HI; &longs;arà LI ad IH, come LM ad MN: & permutando co­me IL ad LM, co&longs;i HI ad NM. Ma IL è due volte tanto quanto LM; dunque anco HI &longs;arà il doppio di MN. ma ella è il doppio anche di KI; per laqual
co&longs;a KI NM &longs;ono tra &longs;e eguali.
& percioche gli angoli po&longs;ti ad MI &longs;ono retti, &longs;arà KM vn parallelògrammo rettangolo, & KN &longs;arà eguale ad IM. Per la­qual co&longs;a KN &longs;arà eguale al Perimetro del cilindro AB. Co&longs;i ponga&longs;i HI in GC &longs;arà HK in GE. Volga&longs;i in giro dapoi il triangolo HKN d'intorno al ci­lindro AP, de&longs;criuerà HN la helice GFE; per e&longs;&longs;ere NK eguale al Perime­tro del cilindro, & il punto N &longs;arà in E & MN in CE. & percioche ML è eguale al Perimetro del cilindro. Vo ga&longs;i di nuouo in giro il triangolo NML d'intorno al cilindro AB NI, de&longs;criuerà la helice EDC. Per laqual co&longs;a tutta la LH de&longs;criuerà due helici CDEFG. egli è dunque chiaro che que&longs;te helici della vite niente altro &longs;ono &longs;e non il piano inchinato all'orizonte, la cui inclinatione è l'ango lo HLI inuolto intorno al cilindro, &longs;opra ilquale moue&longs;i il pe&longs;o. che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 4. di questo.

Ma in che maniera ciò &longs;i riduca alla bilancia è manife&longs;to per la nona dell ottauo libre dell'i&longs;te&longs;&longs;o Pappo.

Ma in che maniera ciò &longs;i riduca alla bilancia. &c.

L'Autore in tutti que&longs;ti &longs;uoi libri delle Mechaniche non hà voluto trappore co&longs;a al­cuna detta da altri, & che non &longs;ia totalmente &longs;ua, però hà la&longs;ciata la propo&longs;itio­ne di Pappo quì allegata da lui, laquale facendo mirabilmente al propo&longs;ito per dichiarare dauantaggio quanto egli in que&longs;to luogo propone, hò giudicato e&longs;&longs;ere conueneuole l'aggiungeruela.

PROBLEMA DI PAPPO ALESSANDRINO nell'ottauo libro delle raccolte Mathematiche.

Mo&longs;&longs;o vn dato pe&longs;o da vna po&longs;&longs;anza in vn piano egualmente di­&longs;tante dall'orizonte, & dato vn'altro piano inchinato, ilquale faccia vn'angolo dato co'l &longs;ottopo&longs;to piano; trouar vna po&longs;&longs;anza, dallaquale &longs;ia mo&longs;&longs;o il dato pe&longs;o nel piano inchinato.

Pa&longs;&longs;i il &longs;ottoposto piano egualmente di&longs;tante dall'orizonte per la linea MN. ma per KM pa&longs;si il piano inchinato à que&longs;to nel dato angolo KMN. & &longs;ia il pe&longs;o A mo&longs;&longs;o dalla po&longs;&longs;anza C nel &longs;ottopo&longs;to piano. & in vece di A intenda&longs;i vna sfe­

ra egualmente graue intorno al centro E; laqual &longs;i collochi nel piano per MK, & lo tocchi in L. la linea dunque tirata EL è à piombo al piano, &longs;i come è &longs;tato di­mo&longs;trato nel quarto teorema de i Sferici. et però ella è perpendicolare alla linea KM. Tiri&longs;i EH equidi&longs;tante alla MN. & dal punto L &longs;i tiri ad EH la perpendico­lare LF. Hor percioche l'angolo EHL è dato per e&longs;&longs;er eguale al dato angolo acuto KMN; &longs;arà ancora l'angolo ELF dato, cioè eguale all'angolo EHL e&longs;&longs;endo che il triangolo ELF &longs;ia equiangolo al triangolo EHL. adunque il triangolo ELF è dato in &longs;pecie; & la proportione di EL, cioè di EG ad EF è data. per laqual co&longs;a, & la proportion della restante FG ad EF &longs;arà data. Faccia&longs;i come GF ad FE, co&longs;i il pe&longs;o A al pe&longs;o B; & la po&longs;&longs;anza C alla po&longs;&longs;anza D. Ma la po&longs;&longs;anza del pe&longs;o A è C; adunque la po&longs;&longs;anza del pe&longs;o B nel mede&longs;imo piano &longs;arà D. & perche co&longs;i è la retta linea GF ad FE, come il pe&longs;o A al pe&longs;o B:
&longs;e li pe&longs;i AB &longs;aranno po&longs;ti ne i centri EG appiccati nel punto F, pe&longs;eranno egualmente; come &longs;ostentati dalla ba&longs;e LF, laquale è à piombo all'orizonte.
Ma è po&longs;to il pe&longs;o A intorno al centro E. percioche in &longs;uo luogo è la sfera. dunque il pe­&longs;o B posto intorn'al G, pe&longs;erà egualmente; di modo che la sfera per la inclinatio­ne del piano non de&longs;cenderà al ba&longs;&longs;o; ma&longs;tarà ferma, come &longs;e ella fo&longs;&longs;e nel &longs;ottopo­&longs;to piano. & perche nel &longs;ottopo&longs;to piano ella &longs;arebbe mo&longs;&longs;a dalla po&longs;&longs;anza C; adun­que nel piano inclinato &longs;arà mo&longs;&longs;a dall'vna el'altra, cioè dalla po&longs;&longs;anza C, & dalla po&longs;&longs;anza del pe&longs;o B, cioè dalla po&longs;&longs;anza D. & la po&longs;&longs;anza D è data.

La ri&longs;olutione adunque del problema è &longs;tata geometricamente dimo&longs;trata. ma accioche con vn e&longs;empio facciamo & la con&longs;trutione, & la dimostratione. &longs;ia il pe&longs;o A, per e­&longs;empio, di ducento talenti, condotto nel piano equidi&longs;tante all'orizonte dalla po&longs;&longs;anza C mouente; cioè &longs;iano quaranta huomini, che lo mouano. ma l'angolo KMN, cioè EHL &longs;ia due terzi di vn retto: &longs;arà il re&longs;tante FLH vn terzo d'vn retto. ma l'angolo ELH èretto, adunque & lo ELF è due terzi d'vn retto. & di quali parti quattro retti contengono 360. di tali l'angolo ELF, ne contiene 60. ma di quali due retti contengono 360. di tali l'angolo ELF ne contiene 120. per laqual co&longs;a de&longs;critto vn cerchio intorn'al triangolo rettangolo ELF; &longs;arà la circonferen­za, allaquale è &longs;ottoposta la retta linea EF, 120. di quelle parti, delle quali tutto il cerchio è 360. & la retta linea EF è qua&longs;i 104. di quelle parti, dellequali EL diametro del cerchio è 120. Si come que&longs;te &longs;ono co&longs;e chiare dalla tauola delle linee rette, che &longs;i de&longs;criuono nel cerchio, appre&longs;&longs;o Tolomeo nel primo libro delle co&longs;e Ma­tematiche. La proportione adunque della retta linea EL, cioè di EG ad EF è quel­la, che ha 120. à 104. & però la proportione della re&longs;tante GF ad FE è quella che hà 16. à 104. Ma la mede&longs;ima è del pe&longs;o A al pe&longs;o B, & della po&longs;&longs;anza C alla po&longs;&longs;anza D. Ma il pe&longs;o A è di 200. talenti, & la po&longs;&longs;anza C, che lo moue, è di 40. huomini; adunque il pe&longs;o B &longs;arà di mille, e trecento talenti. ma la po&longs;&longs;an­za D di ducento & &longs;e&longs;&longs;anta huomini. percioche come 16. à 104. co&longs;i è 200. à1300 & 40. à 260. &longs;i che e&longs;&longs;endo che primamente il pe&longs;o di ducento talenti &longs;ia mo&longs;&longs;o da quaranta huomini nel piano egualmente distante dall'orizonte: &longs;arà mo&longs;­&longs;o l'i&longs;te&longs;&longs;o pe&longs;o da gli huomini gia detti; cioè da trecent'huomini nel piano inchina­to all'orizonte &longs;econdo l'angolo KMN. ilquale è po&longs;to e&longs;&longs;er due terzi di vn retto.

Poiche habbiamo veduto in che modo &longs;i mouono i pe&longs;i con que&longs;to istrumento; hora egli è da con&longs;iderare quali &longs;iano quelle co&longs;e, lequali operano sì, che i pe&longs;i &longs;i mouano fa­cilmente, & que&longs;te &longs;ono due.

Primieramente quel che fa sì che più facilmente il pe&longs;o &longs;i moue, & che più appartiene etiandio alla e&longs;&longs;entia della vite, è la he­lice po&longs;ta d'intorno alla vite. Come &longs;e d'intorno alla data vi­te AB &longs;aranno due helici di&longs;pari CDAEFG, & &longs;ia AC minore di EG. Dico che il pe&longs;o mede&longs;imo &longs;i mouerà più facilmente &longs;opra la helice CDA, che &longs;opra EFG

Compia&longs;i il cuneo AD CHI, cioè de&longs;criua&longs;i la helice CHI eguale à CDA, & &longs;ia la cima del cuneo C. &longs;imilmente compia&longs;i il cuneo GFEKL, la cui cima &longs;ia E. pon

ga&longs;i dapoi la linea retta MN, laquale &longs;ia eguale ad AC, à piombo dellaquale &longs;ia tirata la linea NP, che &longs;ia eguale al Perimetro del cilindro AB: & congiun­ga&longs;i PM; &longs;arà PM perle co&longs;e dette, eguale ad e&longs;&longs;a CDA. Allunghi&longs;i po&longs;cia MN in O, et faccia&longs;i ON eguale ad MN, et congiunga&longs;i OP; &longs;arà il cuneo OPM eguale al cuneo ADCHI. & &longs;imilmente faccia&longs;i il cuneo STQ eguale al cuneo GFEKL; &longs;arà TR eguale ad e&longs;&longs;a PN, & al Perimetro del cilindro & QR eguale à GE. & per e&longs;&longs;ere GE maggiore di AC, &longs;arà anco RQ maggiore di MN. tagli&longs;i RQ in V, & faccia&longs;i RV eguale ad e&longs;&longs;a MN, & con­giunga&longs;i TV: &longs;arà il triangolo TVR eguale al triangolo MPN; percioche le due linee TRRV &longs;ono eguali alle due PN NM, & gli angoli i quali conten­gono &longs;ono eguali, cioè retti. dunque l'angolo RTV &longs;arà eguale all'angolo NPM. Per laqual co&longs;a l'angolo MPN è minore dell'angolo QTR; & i doppi di que&longs;ti, cioè l'angolo MPO è minore dell'angolo QTS. Hor percioche il cuneo, ilquale hà l'angolo alla cima minore più facilmente moue, & fende, che quello che l'ha maggiore. dunque il cuneo MPO più facilmente mouerà, che QTS. piu facilmente dunque &longs;arà mo&longs;&longs;o il pe&longs;o dal cuneo ADCHI, che dal cuneo GFEKL. dunque il pe&longs;o più facilmente &longs;arà mo&longs;&longs;o &longs;oprala helice CDA, che &longs;opra la EFG. & nel modo i&longs;te&longs;&longs;o prouera&longs;&longs;i, che quanto minore &longs;arà AC tanto più ageuolmente &longs;i mouerà il pe&longs;o. il che bi&longs;ognaua mo&longs;trare.

Per la 1. di questo.

Per la 1. di questo.

Per la 4. del primo.

Altramente.

Sia data la vite AB, che habbia due helici eguali CDEFG; &longs;ia dapoi vn'altro ci­lindro a b eguale ad e&longs;&longs;o AB, nel quale prenda&longs;i OP eguale à CG; & diuida&longs;i OP in tre parti eguali OR RT TP; & de&longs;criuan&longs;i tre helici OQ RS TV P; &longs;arà cia&longs;cuna delle OR RT TP minore di CE, & di EG; percioche la terza

parte è minore della metà. dico, che il pe&longs;o mede&longs;imo &longs;i mouerà più facilmente &longs;o­prale helici OQRS TVP, che &longs;opra CDEFG. faccia&longs;i HIL triangolo di angoli retti, in modo che HI &longs;ia eguale à CG, & IL &longs;ia eguale al doppio del Peri­metro del cilindro AB, & per LI &longs;i intenda vn piano egualmente di&longs;tante dall'o­rizonte; &longs;arà HL eguale à CDEFG, & HLI &longs;arà l'angolo della inclinatione. faccia&longs;i &longs;imilmente il triangolo X*uZ di angoli retti, in modo che XZ &longs;ia eguale ad e&longs;&longs;a OP, laquale &longs;arà etiandio eguale à CG, & ad HI; & &longs;ia Z*u tre volte tanto quanto è il Perimetro del cilindro: &longs;arà X*u eguale ad OQRSTVP. di­uida&longs;i Z*u in tre parti eguali in g d, &longs;arà cia&longs;cuna delle linee Z g g d d *u egua­le al Perimetro del cilindro a b, lequali etiandio &longs;aranno eguali al Perimetro del cilindro AB; & per con&longs;eguente ad e&longs;&longs;e IM, & ML. congiunga&longs;i X d. & percioche le due linee HI IL &longs;ono eguali alle due XZ Zd, & l'angolo HIL retto è eguale all'angolo XZd retto; &longs;arà il triangolo HIL eguale al triangolo XZd; & l'angolo HLI eguale all'angolo XdZ; & Xd eguale ad HL. ma perche l'angolo X d Z è maggiore dell'angolo X*uZ; &longs;arà l'angolo HLI maggiore del­l'angolo X *uZ. & perciò il piano HL più inchina all'orizonte, che X *u. Per la qual co&longs;a il pe&longs;o mede&longs;imo da po&longs;&longs;anza minore &longs;opra il piano X*u &longs;arà mo&longs;&longs;o, che &longs;o pra il piano HL; come anco facilmente &longs;i caua dalla &longs;te&longs;&longs;a nona di Pappo. & per non e&longs;&longs;ere nient'altro le helici OQRSTVP, che il piano X*u inchinato all' ori­zonte nell'angolo X *u Z d'intorno al cilindro a b inuolto; & &longs;imilmente per non e&longs;&longs;ere niente altro le helici CDEFG, che il piano HL inchinato all'orizonte nel­l'angolo HLI d'intorno al cilindro AB inuolto; dunque più facilmente mouera&longs;&longs;i il pe&longs;o &longs;opra le helici OQRS TVP, che &longs;opra le helici CDEFG.

Per la 2. di questo.

Per la 21. del prime.

Che &longs;e OP diuidera&longs;&longs;i in quattro parti eguali, & &longs;i de&longs;criueranno d'intorno a b quat­tro helici, &longs;i mouerà anco più facilmente il pe&longs;o &longs;opra queste quattro, che &longs;opra le tre OQRS TVP, & quanto più helici &longs;aranno, tanto più facilmente &longs;i mouerà il pe&longs;o. ilche bi&longs;ognaua mostrare.

Ma il tempo di que&longs;to mouimento facilmente &longs;i fa chiaro, peroche le helici CDEFG &longs;ono eguali ad HL: & le helici OQRS TVP &longs;ono eguali ad X*u; ma X*u è maggiore di HL; però faccia&longs;i *u c eguale ad HL: &longs;e dunque due pe&longs;i &longs;i moueranno &longs;oprale linee LH *uX, & le velocità de' mouimenti &longs;iano eguali, più to&longs;to pa&longs;&longs;erà quel che &longs;i moue &longs;opra LH, di quel che &longs;i moue &longs;opra *uX: peroche nel tempo i&longs;te&longs;&longs;o &longs;aranno in He. Per laqual co&longs;a il tempo di quel che &longs;i moue &longs;opra le helici OQRSTVP &longs;aràmaggiore di quello che è mi&longs;ura di quello che moue&longs;i &longs;opra CD EFG, & quanto più helici &longs;aranno, tanto maggiore &longs;arà il tempo. & e&longs;&longs;endo date le linee HI XZ, & IL Z*u; percioche già &longs;ono date le viti AB a b, & dati gli angoli ad IZ retti, &longs;arà data HL. &longs;imilmente anco X*u &longs;arà data. Per la­qual co&longs;a &longs;arà data anco la loro proportione. La proportione dunque de' tempi delle co&longs;e lequali &longs;ono mo&longs;&longs;e &longs;opra le helici, &longs;arà data.

Per la 18. del primo.

Per la 48. del primo.

Per la prima delle date. & per la 6. del 1. del Monteregie de i triangoli.

L'altra co&longs;a, la quale è cagione che i pe&longs;i ageuolmente &longs;i muouo­no &longs;ono le &longs;tanghe, ouero i manichi, co' quali &longs;i volge intorno la vite.

Sia la vite che habbia le helici ABCD, & habbia anche le &longs;tanghe EF GH po&longs;te ne'buchi della vite. &longs;ia &longs;otto le helici il cilindro MN nel quale non &longs;iano intagliate le belici; & d'intorno al cilindro volga&longs;i la corda, che tiri il pe&longs;o O, ilquale &longs;i moua &longs;econdo il mouimento delle &longs;tanghe EF GH, come &longs;e fo&longs;&longs;e tirato con lo &longs;tro­mento dell'argano. &longs;ia tirata (per quelle co&longs;e, che prima &longs;ono &longs;tate dette dell'a&longs;&longs;e

nella rota) la linea LK eguale alla &longs;tanga, & à piombo dell'a&longs;&longs;e del cilindro, & che lo tagli in I: egli è manife&longs;to, che quanto &longs;arà più lunga LI, & quanto più corta IK, che il pe&longs;o O più facilmente &longs;i mouerà. ma egli è da auertire che mentre la vite moue il pe&longs;o, &longs;e &longs;i imaginerà, che in luogo di tirare il pe&longs;o O con la corda, ella moua il detto pe&longs;o &longs;opra le helici ABCD, mouerà etiandio il pe&longs;o in K, ilquale &longs;ia R più ageuolmente &longs;opra le helici. percioche LK è leua, il cui &longs;o&longs;tegno è I; e&longs;&longs;endo che &longs;i volga la vite d'intorno all'a&longs;&longs;e, & la po&longs;&longs;anza mouente &longs;ia in L, & il pe&longs;o in K; peroche &longs;i moue più facilmente il pe&longs;o con la leua LK, che &longs;enza la le­ua; percioche LI &longs;empre è maggiore di IK. Onde intenda&longs;i, che &longs;tando ferma la vite &longs;i moua il pe&longs;o R dalla po&longs;&longs;anza di L con la leua LK &longs;opra la helice CK, ouero che è il mede&longs;imo, &longs;i come anco di &longs;opra dicemmo, &longs;e il pe&longs;o R &longs;arà in maniera ac­commodato, che non po&longs;&longs;a mouer&longs;i &longs;e non &longs;opra la linea retta PQ egualmente di­&longs;tante dall'a&longs;&longs;e del cilindro: & &longs;ia riuolta intorno la vite, &longs;tando la po&longs;&longs;anza in L: mouera&longs;&longs;i il pe&longs;o R &longs;opra la helice CD nell'i&longs;te&longs;&longs;o modo, come &longs;e fo&longs;&longs;e mo&longs;&longs;a dalla leua LK. percioche egli è il mede&longs;imo, che ouero &longs;tando ferma la vite il pe&longs;o &longs;imo ua &longs;opra la helice, ouero che la helice &longs;i volga intorno, in modo che il pe&longs;o &longs;i moua &longs;o pra lei per e&longs;&longs;ere mo&longs;&longs;o dall'i&longs;te&longs;&longs;a po&longs;&longs;anza di L. &longs;imilmente mo&longs;treraßi, che quan­to più lunga è LI, dauantaggio anco mouer&longs;i &longs;empre piu facilmente il pe&longs;o, pero­che &longs;i mouerebbe da po&longs;&longs;anza minore. che era il propo&longs;ito.

Dal corolla vio.

Per la 1. di questo del­la leua.

Per la 1. di questo della leua.

Il tempo di que&longs;to moto parimente è manife&longs;to, percioche quanto è più longa LI tanto il tempo &longs;arà maggiore, pur che le po&longs;&longs;anze de i mouimenti &longs;iano eguali in velocità, &longs;i come è detto dell'a&longs;&longs;e nella rota.

COROLLARIO.

Da que&longs;te co&longs;e è manife&longs;to, che quante più helici &longs;ono, & quanto più &longs;ono lunghe le &longs;tanghe, ouero i manichi, il pe&longs;o ben più facilmente &longs;i moue, ma più tardo.

Et alla fine di qui &longs;i farà manife&longs;ta la virtù della po&longs;&longs;anza che moue, che è po&longs;ta nelle &longs;tanghe.

Sia dato il pe&longs;o A come cento, &longs;ia CD vn piano inchinato all'orizonte nell'angolo DCE. Troui&longs;i per la i&longs;te&longs;&longs;a nona di Pappo con quanta forza il pe&longs;o A &longs;i moue &longs;o pra CD, che &longs;ia diece. Faccia&longs;i la vite LM, che habbia le helici GHIK & le altre nell'angolo ECD per le co&longs;e che &longs;ono dette, la po&longs;&longs;anza di diece mouerà il pe&longs;o A &longs;opra le helici GHIK. Ma &longs;e con que&longs;ta vite vogliamo mouere il pe&longs;o A,

& la po&longs;&longs;anza mouente &longs;ia come due. Tiri&longs;i la linea NP à piombo dell'a&longs;&longs;e della vite, che tagli quell a&longs;&longs;e in O; & faccia&longs;i PO ad ON, come vno à cinque, cioè due à diece. Hor percioche la po&longs;&longs;anza che moue il pe&longs;o A in P, cioè &longs;opra le he­lici, è come diece, allaquale po&longs;&longs;anza re&longs;iste, & è eguale la po&longs;&longs;anza di N, come due, percioche NP è vna leua, il cui &longs;o&longs;tegno è O. dunque la po&longs;&longs;anza come due po&longs;ta in N mouerà il pe&longs;o A &longs;oprale helici della vite. Faccian&longs;i dunque che le &longs;tanghe, ouero i manichi peruengano fin ad N. egli è manife&longs;to, che la po&longs;&longs;an­za di due in que&longs;te mouerà'l pe&longs;o di cento con la vite LM.

Per la 1. di questo del­la leua.

Se dunque &longs;arà la vite QR, che habbia le helici nell'angolo DCE, & d'intorno ad e&longs;&longs;a &longs;ia la &longs;ua madre S, laquale &longs;e pe&longs;erà cento, aggiunga&longs;i ST che &longs;ia certo mani co, ò &longs;tanga, di modo che T &longs;ia di&longs;tante dall'a&longs;&longs;e del cilindro nella proportione i&longs;te&longs;&longs;a, che è NOP; egli è manife&longs;to, che la po&longs;&longs;anza di due in T moue S &longs;opra le helici della vite; peroche niente altro è S che il pe&longs;o mo&longs;&longs;o &longs;oprale helici della vite, &longs;imilmente &longs;e S &longs;arà immobile volti&longs;i intorno la vite co'l manico, ouero con la &longs;tanga QX fatta nella proportione mede&longs;ima; & &longs;e &longs;arà la vite cento di pe&longs;o, (la quale ben da &longs;e &longs;te&longs;&longs;a, ouero co'l pe&longs;o V attaccato alla vite, ouero co'l pe&longs;o *u po&longs;to &longs;opra la vite pe&longs;erà cento) egli è manife&longs;to, che la po&longs;&longs;anza di due in X mouerà la vite QR &longs;opra le helici intagliate nella madre della vite. & co&longs;i nelle altre co&longs;e, lequali co'l dificio della vite &longs;i mouono, ritroueremo la proportione del pe&longs;o alla po&longs;­&longs;anza.

COROLLARIO.

Da que&longs;to è chiaro come vn dato pe&longs;o &longs;i moua da vna data po&longs;­&longs;anza con la vite.

Oltre à ciò parimente in que&longs;to luogo occorre ad e&longs;&longs;ere o&longs;&longs;eruato, che quanto più heli­ci &longs;aranno nella madre della vite, tanto meno pati&longs;ce la vite nel mouere i pe&longs;i, che &longs;e la madre haurà vn'helice &longs;ola, allhora il pe&longs;o di cento &longs;arà &longs;o&longs;tenuto da vna &longs;ola helice della vite, ma &longs;e più &longs;arà anco compartita la grauezza del pe&longs;o in più, & in

tante quante &longs;aranno le helici della vite; come &longs;e conterrà quattro helici, allhora quattro helici della vite, l'vna aiutando l'altra fra loro pre&longs;teranno l'opera à &longs;o&longs;te­nere tutto il pe&longs;o; percioche cia&longs;cuna di loro &longs;o&longs;tenterà la quarta parte del pe&longs;o tutto. che &longs;e dauantaggio contenirà più helici, &longs;i compartirà anco in più portioni, & perciò minori, tutta la grauezza del pe&longs;o.

Egli è &longs;tato dunque dimo&longs;trato, che il pe&longs;o &longs;i moue dalla vite, come da cuneo &longs;enza perco&longs;&longs;a: peroche ella in vece di perco&longs;&longs;a moue con la leua, cioè con la &longs;tanga, ouero manico.

Dimo&longs;trate cote&longs;te co&longs;e, egliè manife&longs;to in qual modo &longs;i po&longs;&longs;a mouere vn dato pe&longs;o da vna data po&longs;&longs;anza. che &longs;e con la leua ciò vogliamo menar ad effetto; po&longs;&longs;iamo & con vna data leua mouere vn dato pe&longs;o con vna data po&longs;&longs;anza. La qual co&longs;a non &longs;i puote già fare del tutto da ne&longs;&longs;uno de gli altri di&longs;ici, &longs;ia ouero la vite, ouero l'a&longs;&longs;e nella rota, ò pur la taglia, per­cioche nè con le taglie date, nè con vn dato a&longs;&longs;e nella rota, nè meno con vna data vite, &longs;i puote mouere vn pe&longs;o dato da vna po&longs;&longs;anza data; per e&longs;&longs;ere in loro &longs;empre determinata la po&longs;&longs;anza. Se dunque la po&longs;&longs;anza, che habbia à mouere il pe­&longs;o, &longs;arà data minore di que&longs;ta, non mouerà il pe&longs;o giamai. nondimeno po&longs;&longs;iamo dato l'a&longs;&longs;e, & la rota &longs;enza i raggi moue re vn pe&longs;o dato con vna data po&longs;&longs;anza: potendo noi adattare i raggi in modo, che il mezo diametro della rota data in&longs;ieme con la lunghezza del raggio habbia al mezo diametro dell'a&longs;­&longs;e la proportione data. la qual co&longs;a i&longs;te&longs;&longs;a puote accadere alla vite ancora; cioè mouere vn dato pe&longs;o con vna data vite &longs;en­za il manico, ò &longs;tanga con vna data po&longs;&longs;anza. percioche cono&longs;ciuta la po&longs;&longs;anza, la quale habbia da mouere il pe&longs;o &longs;opra le helici, po&longs;&longs;iamo di&longs;porre in maniera il manico, ò &longs;tanga, che la data po&longs;&longs;anza nella &longs;tanga habbia la forza mede&longs;ima, che la po&longs;&longs;anza mouente il pe&longs;o &longs;opra le helici. & concio&longs;ia, che que&longs;to non po&longs;&longs;a per niun modo auenire alle date taglie; tuttauia po&longs;&longs;iamo mouere vn dato pe&longs;o con le date taglie, & con la data po&longs;&longs;anza in modi in finiti. Ma con lo &longs;tromento del cuneo egli pare e&longs;&longs;ere chiaro che non &longs;i puote già mouere vn pe&longs;o dato con vna data po&longs;&longs;anza: percioche vna data po&longs;&longs;anza non puote mouere vn dato pe&longs;o &longs;opra vn piano inchinato all'ori­zonte: nè da vna po&longs;&longs;anza data &longs;i mouerà vn dato pe&longs;o con le leue contrarie fra loro, &longs;i come &longs;ono nel cuneo; concio&longs;ia che non &longs;i po&longs;&longs;a nelle leue del cuneo mantenere la propria, & ve­ra proportione della leua: percioche i &longs;ostegni delle leue non &longs;ono immobili per mouer&longs;i tutto il cuneo.

Potrà dapoi cia&longs;cuno fabricare machine, & comporle di più &longs;or ti, come di taglie, & molinelli, ò di argani, ouero di più rote co' denti, ouero in qual &longs;i voglia altro modo; & da quelle co­&longs;e che habbiamo detto ageuolmente ritrouare la proportio­ne tra il pe&longs;o, & la po&longs;&longs;anza.

In que&longs;to loco è da por mente, che &longs;e l'Autore non hà &longs;eruato il modo di con&longs;ide­rare que&longs;ti due vltimi i&longs;trumenti, cioè il cuneo, & la vite, come hà fatto la leua, la taglia, & l'a&longs;&longs;e nella rota, ne'quali puntalmente hà dimo&longs;trato la proportione della forza co'l pe&longs;o; che ciò hà egli fatto per e&longs;&longs;ere que&longs;ti due i&longs;trumenti, cioè il cuneo, & la vite per &longs;e &longs;tes&longs;i non atti ad e&longs;&longs;ere con&longs;iderati in quanto &longs;o&longs;tengo­no il pe&longs;o, ma ben in quanto lo mouono. Percioche e&longs;&longs;endo, che le po&longs;&longs;anze lo quali mouono po&longs;&longs;ano e&longs;&longs;ere infinite, non &longs;ene puo a&longs;&longs;egnare ferma regola, co­me &longs;i farebbe della po&longs;&longs;anza, che &longs;o&longs;tiene, laquale è vna &longs;ola, & determinata. Hor che il cuneo non &longs;ia atto ad e&longs;&longs;ere con&longs;iderato in quanto &longs;o&longs;tiene, que&longs;to è chia­ro per &longs;e &longs;te&longs;&longs;o: &longs;imilmente che la vite non &longs;ia atta ad e&longs;&longs;ere con&longs;iderata in quan­to &longs;o&longs;tiene, ciò pur &longs;i vede manife&longs;to nelle viti ordinarie da mouer pe&longs;i. Come per e&longs;empio nella figura po&longs;ta quì di &longs;opra, imaginiamoci che la madre S della det­ta vite QR &longs;tia ferma; poi &longs;ia il pe&longs;o V attaccato alla vite di che grauezza &longs;i vo­glia, & hora maggiore, & hora minore, con tutto ciò il pe&longs;o V non farà giamai sì, che la vite QR cali al ba&longs;&longs;o volgendo&longs;i nella madre. Doue e&longs;pre&longs;&longs;amente &longs;i vede, che non &longs;i può fare il pe&longs;o V di tal &longs;orte, & grandezza che la vite &longs;tia ferma, talche per ogni minima aggiunta che &longs;i face&longs;&longs;e al pe&longs;o ella anda&longs;&longs;e al ba&longs;&longs;o; percio che, &longs;i come è detto, &longs;empre re&longs;terebbe ferma. L'Autore dunque hà trattato de i due predetti vltimi &longs;tromenti per quanto comportaua la natura loro, &longs;i come pa­ragonando in&longs;ieme tutti cinque gli &longs;trumenti da mouere pe&longs;i per conclu&longs;i one dell'o pera, dice. “Dimo&longs;trate que&longs;te co&longs;e egli re&longs;ta chiaro, & quel che &longs;egue &longs;in'al &longs;ine.

IL FINE.