(Proeemium)

Cum scientia de ponderibus sit subalternata tam geometrie quam philosophie naturali, oportet in hac scientia quedam philosophice, quedam geometrice probari. Primo oportet scire quod brachium descendendo in libra a summo in deorsum describit circulum, cuius circuli semidiameter est semper equalis brachio libre. Secundo oportet ostendere quod maior arcus eiusdem circuli est magis curvus minore, et quod talis in minore plus curvatur quam in circulo maiore. Primum probatur, quia minus de corda, que est linea recta, respondet proportionaliter arcui maiori, quam minori; non enim arcui duplo respondet corda dupla, sed minus ea. Secundum patet sic, quia si sumantur de circulo maiori et minori arcus equales, corda arcus maioris circuli longior est.

Propterea possum ex hoc ostendere, quod pondus in libra tanto fit levius, quanto plus descendit in semicirculo. Incipiat igitur mobile descendere a summo semicirculi, et descendat continue. Dico tunc quod, cum maior arcus circuli plus contrariatur recte linee quam minor, casus gravis per arcum maiorem plus contrariatur casui gravis qui per rectam fieri debet, quam casus per minorem arcum. Patet ergo quod maior est violentia in motu secundum arcum maiorem, quam secundum minorem; alias enim non fieret motus magis contrarius. Cum ergo apparet plus in descensu adquirendum impedienti, patet quia minor erit gravitas secundum hoc. Et quia secundum situationem gravium sic fit, dicatur gravitas secundum situm in futuro processo.

Ita enim, sillogizando de motu tamquam motus sit causa gravitatis vel levitatis, potius per motum magis contrarium concludimus causam huiusmodi contrarietatis esse plus contrariam, id est, plus habere violentie. Quod quidem grave descendat, hoc est a natura; sed quod per lineam curvam, hoc est contra naturam, et ideo iste descensus est mixtus ex naturali et violento. In ascensu vero ponderis, cum ibi nihil sit secundum naturam, debet argui sicut de igne, quoniam nihil naturaliter ascendit. De igne enim arguitur in ascensu, sicut de gravi in descensu; ex quo sequitur quod grave, quanto plus sic ascendit, tanto minus habet de levitate secundum situm, et sic plus habet de gravitate secundum situm.

Sed diceret aliquis forte, quod non oportet propter predicta grave in portione circuli inferiori fieri secundum situm levius, quia ponatur non esse motum sed quietem; tunc nihil contrarium nature acquiritur. Sed contra hoc arguitur sic: Possibile fuit hanc quietem esse terminum motus intrinsecum, sicut albationis albedo; cum igitur motus non contrarientur nisi quia termini eorum contrariantur, et equalis est proportio quietum inter se et motuum inter se, per locum a proportione sequitur tantam esse contrarietatem in quiescendo sicut in movendo. In termino enim cuiuscumque motus intrinseco, viget tota natura in actu que in motu fuit quasi in potentia, secundum quam fiebat contrarietas sive oppositio. Grave igitur in portione circuli inferiori, sive moveatur sive quiescat, levius est secundum situm.

Atque eodem sillogismo necesse est pondus gravius esse quodam modo, et velocius descendere, quod movetur in circulo maiori; quia, ut prius probatur, minus obliquatur quam in circulo minori, et per consequens minus habet violentie. Quia igitur minus distat descensus in circulo maiori a descensu naturali qui est per rectam lineam, quam qui est in circulo minori, dicatur descensus rectior, id est plus tendens ad rectitudinem; atque in circulo minori, ob rationem oppositam, obliquior descensus. Quia vero superius dictum est, in quiete esse contrarietatem sicut in motu, potest esse dubitatio: quia in eodem situ ubi est illa dependentia quietis obliquitatis potest esse dependentia rectitudinis, sicut si lapis suspendatur in tecto domus in loco ponderis quod pendet in libra. Sed dicendum ad hoc, quod varietas violentie facit varietatem quietis secundum formam, quod est manifestum ex variatione motuum ad quietes. Eadem enim violentia fit totus ad quietem motus, et ipsa quies; sicut patet ex predictis; unde idem forte sit locus quietum naturaliter diversarum.

Istis igitur notis, sequuntur suppositiones libri ponderum. Et dicuntur suppositiones, quia per istam scientiam non debent probari, sed supponi. Probantur tamen ex dictis, que indigent probatione, sicut post apparebit. Sunt igitur suppositiones septem.

(Suppositiones)

P.001 Prima est hec: OMNIS PONDEROSI MOTUM ESSE AD MEDIUM.

P.002 Secunda: QUANTO GRAVIUS EST, VELOCIUS DESCENDERE.

P.003 Tertia: GRAVIUS ESSE IN DESCENDENDO, QUANTO EIUSDEM MOTUS AD MEDIUM EST RECTIOR.

P.004 Quarta: SECUNDUM SITUM GRAVIUS ESSE, QUANTO IN EODEM SITU MINUS OBLIQUUS EST DESCENSUS.

P.005 Quinta: OBLIQUIOREM AUTEM DESCENSUM, MINUS CAPERE DE DIRECTO IN EADEM QUANTITATE.

P.006 Sexta: MINUS GRAVE ALIUD ALIO ESSE SECUNDUM SITUM, QUANTO DESCENSUM ALTERIUS SEQUITUR CONTRARIO MOTU.

P.007 Septima: SITUM EQUALITATIS ESSE EQUIDISTANTIAM SUPERFICIEI ORIZONTIS.

Omnes autem suppositiones sunt satis manifeste per predicta, et ideo iam propositiones prosequi licet. Et dicuntur propositiones, quia proponuntur ut probentur. Sunt igitur propositiones tredecim.

(Propositiones)

P.01 Prima est hec: INTER QUELIBET DUO GRAVIA EST VELOCITATIS IN DESCENDENDO PROPRIE, ET PONDERIS, EODEM ORDINE SUMPTA PROPORTIO; DESCENSUS AUTEM, ET CONTRARII MOTUS, PROPORTIO EADEM SED PERMUTATA.

Commentum huius propositionis: Dicitur proprie, ut excludantur omnes velocitates quoquomodo preter naturam acquisite. Prima pars patet, quia cum velocitatis proprie precisa causa sit pondus, patet quod ad multiplicationem ponderis sequitur velocitatis multiplicatio. Secunda pars patet, quia eadem est proportio descensus et ascensus, sed contrarie sumitur proportio hic et ibi, propter quod dicitur permutata. Sicut enim se habet in descensu pondus, ita se habet aliud pondus in ascensu, quia eiusdem proportionis est distantia gravis in descendendo a puncto in circulo superiori, sicut ascensus in inferiori; eadem igitur est proportio, sed permutata. Oportet enim, quanto illud istud excedit, tanto istud illo excedi; et per consequens, quanto illud quod est gravius descendit, tanto levius motu contrario illud sequitur.

P.02 Secunda propositio: CUM FUERIT EQUILIBRIS POSITIO EQUALIS, EQUIS PONDERIBUS APPENSIS, AB EQUALITATE NON DISCEDET; ET SI AB EQUIDISTANTIA SEPARETUR, AD EQUALITATIS SITUM REVERTETUR.

Commentum: Primum patet, quia sunt eque gravia. Secundum patet per quartam suppositionem. Vocatur autem ad illud situs idem, circulus idem, ut patet per predicta.

P.03 Tertia propositio: CUM FUERINT APPENSORUM PONDERA EQUALIA, NON FACIET MOTUM IN EQUILIBRI APPENDICULORUM INEQUALITAS.

Commentum: Non debet hic sumi inequalitas appendiculorum pro pondere, sed pro longitudine. Probatur sic: Si fiat motus in una parte, igitur pars alia est minus gravis, per suppositionem secundam; sed positum est prius, appensorum esse pondera equalia; ergo.

P.04 Quarta propositio: QUODLIBET PONDUS, IN QUAMCUMQUE PARTEM AB EQUALITATE DISCEDAT, SECUNDUM SITUM FIT LEVIUS.

Commentum: Manifestum est hoc per suppositionem quartam.

P.05 Quinta propositio: SI FUERINT BRACHIA LIBRE INEQUALIA, EQUALIBUS PONDERIBUS APPENSIS, EX PARTE LONGIORIS FIET MOTUS.

Commentum: Brachia inequalia longitudine, pondere vero non. Probatur sic: Ex parte longioris describitur circulus maior, et sic patet, per suppositionem tertiam, quod pondus secundum situm est gravius.

P.06 Sexta propositio: CUM UNIUS PONDERIS SINT APPENSA, ET A CENTRO MOTUS INEQUALITER DISTENT, ET SI REMOTIUS SECUNDUM DISTANTIAM PROPINQUIUS ACCESSERIT AD DIRECTIONEM, ALIO NON MOTO, SECUNDUM SITUM ILLO LEVIUS FIET.

Commentum: Centrum motus dicitur hic punctus in brachio libre circa quem brachia libre vertuntur. Si igitur unum pondus ponderat in brachio plus distanti a puncto illo, isto alio pendente in alio brachio, et sint eque gravia, si tunc remotius appropinquat ad equidistantiam moto appendiculo ad situm equalem, quod prius in remotiori parte fuit eque grave, nunc est levius; quia nunc a se ipso quam prius est levius, quia obliquior est descensus. Est enim semicirculus minor, quem nunc facit.

P.07 Septima propositio: EQUIS PONDERIBUS IN EQUILIBRI APPENSIS, SI EQUALIA SINT APPENSA, ALTERUM AUTEM CIRCUMVOLUBILE ET ALTERUM SECUNDUM RECTUM ANGULUM FIXUM, QUOD IN CIRCUMVOLUBILI APPENDITUR GRAVIUS ERIT SECUNDUM SITUM.

Commentum: Circumvolubile dicitur, quando perpendiculum potest habere declinationem plus largam quam brachia libre, ut fit quando in circulo pendet. Secundum angulum rectum fixum dicitur, quando nullam contingit esse declinationem appendiculorum nisi secundum brachium, et est in situ equalitatis inter brachium et appendiculum angulus rectus. Probatur sic: Sint appensa equalia, ut vult positio, in pondere licet non in longitudine. Tunc illud quod est circumvolubile maiorem circulum constituit in casu, quia plus declinat propter circumvolutionem; et sic pondus ibi gravius est secundum situm cum eius descensus sit rectior.

Ista propositio fuit inventa ex quodam experimento facto ad probationem propositionis secunde. Cum enim aliquis voluit experiri an ita esset, posuit in equilibri pondera equalia cuius appendentia erant filo composita; ideo motum habuerunt a brachiis alienum etiam, propter appendiculoram flexas. Incognitis experimentam fallax, quare experiens veritatis irrisor esset. Accepto tamen casu quod secundum equidistantiam a medio motus, propter appendicula, ex terminis brachiorum linee sic describuntur, utrumque intelligit quod prius nescivit- quod est, quia preter mutationes brachiorum alii non essent flexus; ex hoc enim conclusit secundum rectos angulos idem contingere, cum motus brachiorum similiter contingit.

P.08 Octava propositio: SI FUERINT BRACHIA LIBRE PROPORTIONALIA PONDERIBUS APPENSORUM, ITA UT IN BREVIORI GRAVIUS APPENDATUR, EQUE GRAVIA ERUNT SECUNDUM SITUM APPENSA.

Commentum: Si pondus gravius tantum valeat in termino breviori, quantam brachium libre longius in suo loco, et similiter pondus minus in breviori tantum, dico sic valent secundum situm; quia non erant sic secundum naturam, necessario erunt pondera secundum situm equalia, quia pondus et brachium hic valet per oppositum totum reliquum, quapropter neutrum pondus declinat, sicut patet propositione prima huius.

P.09 Nona propositio: SI DUO OBLONGA UNIUS GROSSITIEI PER TOTUM SIMILIA PONDERE ET QUANTITATE EQUALIA APPENDANTUR, ITA UT ALTERUM ERIGATUR ET ALTERUM ORTHOGONALITER DEPENDEAT, ITA ETIAM UT TERMINI DEPENDENTIS ET MEDII ALTERIUS EADEM SIT A CENTRO DISTANTIA, SECUNDUM HUNC SITUM EQUE GRAVIA FIENT.

Commentum: Unum pondus secet brachium transversans eius longitudinem sicut crux; aliud pondus dependeat descensu verso, et sit terminus illius in equali distantia a centro motus cum medio alterius, quia sicut illius extremum plus a centro distat, ita istius medium. Probatur: quia sicut gravitas naturalis est equalis utrobique, per positum, similiter et violentia, quia semicirculi sunt equales, ergo eque gravia secundum situm sunt appensa.

P.1O Decima propositio: SI FUERIT CANONIUM SYMMETRUM MAGNITUDINE ET SUBSTANTIE EIUSDEM, DIVIDATURQUE IN DUAS PARTES INEQUALES, ET SUSPENDATUR IN TERMINO MINORIS PORTIONIS PONDUS QUOD FACIAT CANONIUM PARALLELUM EPIPEDO HORIZONTIS, PROPORTIO PONDERIS ILLIUS AD SUPERHABUNDANTIAM PONDERIS MAIORIS PORTIONIS CANONII AD MINOREM, EST SICUT PROPORTIO TOTIUS LONGITUDINIS CANONII AD DUPLAM LONGITUDINEM MINORIS PORTIONIS.

Commentum: Canonium hic idem est quod brachium libre, quia est regula. Symmetrum est proportionabile- id est brachium equale brachio. Magnitudine et substantie eiusdem, id est, in quantitate et pondere. Et parallelum est equidistans epypedo, id est, superficiei. Probatur sic: Sit equilibra cuius brachia sint eque longa et omnino equalia, et in omni parte eque grossum sit utrumque, et eque grave. Sit gratia exempli longitudo uniuscuiusque sex palmorum, et tollantur post hoc de uno quattuor palmi. Manifestum itaque quoniam brachium longius est gravius triplici gravitate, sicut etiam longius gravius dicitur naturaliter; quia brevius habet tantum duos palmos. Sicut palmi, petra pro ponderositate cuiuslibet. Appendatur igitur pondus sex petrarum ad terminum brevioris partis. Et arguitur sic: Illud pondus facit canonium parallelum epipedo orizontis, sicut patet; quia cum linea recta perpendicularis erecta fuerit a superficie plana orizontis ad canonium constituit angulos rectos, manifestum est, propositione septima primi Euclidis, canonium fore parallelum epipedo orizontis. Sed si altera pars esset gravior alia, eam sequeretur aliud canonium motu contrario, ut patet suppositione sexta; ergo eque graves sunt partes alterutrius secundum situm. Quod si sic est, tunc si aliquid addatur ponderi, tunc minor erit canonii inclinatio. Sicut illa propositio probatur geometrice, ita possunt omnes propositiones premisse probari per proportionem illarum linearum et angulorum suorum constructorum.

P.11 Undecima propositio: SI FUERIT PROPORTIO PONDERIS IN TERMINO MINORIS PORTIONIS SUSPENSI AD SUPERHABUNDANTIAM PONDERIS MAIORIS PORTIONIS AD MINOREM, SICUT PROPORTIO LONGITUDINIS TOTIUS CANONII AD DUPLAM LONGITUDINEM MINORIS PORTIONIS, ERIT CANONIUM PARALLELUM EPIPEDO ORIZONTIS.

Commentum: Prius probatum est quod ad equidistantiam canonii a superficie orizontis oportet esse pondus iam dictum. Ex quibus sequitur conversa, scilicet quod talis equidistantia semper fit tali pondere, quia si non sit equidistantia, sequitur quod que equantur pondere non equantur. Prius enim ostendebam brachio longiori pondus in situ coequari vel correspondere; igitur, per suppositionem sextam, neque brachium pondus neque pondus brachium sequitur motu contrario.

P.12 Duodecima propositio: ATQUE EX HIS MANIFESTUM EST QUONIAM SI FUERIT CANONIUM SYMMETRUM MAGNITUDINE ET SUBSTANTIE EIUSDEM, NOTUM LONGITUDINE ET PONDERE, ET DIVIDATUR IN DUAS PARTES INEQUALES DATAS, TANTUM POSSIBILE ERIT NOBIS INVENIRE PONDUS QUOD, CUM SUSPENSUM FUERIT A TERMINO MINORIS PORTIONIS, FACIET CANONIUM PARALLELUM EPIPEDO ORIZONTIS.

Ista propositio satis patet ex predictis.

P.13 Decimatertia propositio: SI FUERIT CANONIUM DATUM LONGITUDINE, SPISSITUDINE ET GRAVITATE, ET DIVIDATUR IN DUAS PARTES INEQUALES, FUERITQUE SUSPENSUM A TERMINO MINORIS PORTIONIS PONDUS DATUM QUOD FACIET CANONIUM PARALLELUM EPIPEDO ORIZONTIS, LONGITUDO UTRIUSCUIUSQUE PORTIONIS DATA ERIT.

Commentum: Probatur sic: Longitudine totius canonii nota, et pondere noto, pone pedem circini in centro medii motus, et constitue circulum super minorem portionem que secabit, per diffinitionem circuli, partem equalem de brachio longiori. Parti autem relique equatur portio ablata a termino ubi pendet pondus, quia ex hac exceditur brachium brachio. Unde habetur quesitum.

Explicit tractatus de ponderibus magistri Jordanis.