FEDERICI
COMMANDINI
VRBINATISLIBER DE CENTRO
GRAVITATIS
SOLIDORVM.
CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X.
BONONIAE,
Ex Officina Alexandri Benacii.
M D LXV.
ALEXANDRO FARNESIO
CARDINALI AMPLISSIMO.
ET OPTIMO.
Cvm multæ res in mathematicis
di&longs;ciplinis nequaquam &longs;atis ad
huc explicatæ &longs;int, tum perdif
ficilis, & perob&longs;cura quæ&longs;tio
e&longs;t de centro grauitatis corpo
rum &longs;olidorum; quæ, & ad co
gno&longs;cendum pulcherrima e&longs;t,
& ad multa, quæ à mathematicis proponuntur, præ
clare intelligenda maximum affert adiumentum. de
qua neminem ex mathematicis, neque no&longs;tra, neque
patrum no&longs;trorum memoria &longs;criptum reliqui&longs;&longs;e &longs;ci
mus. & quamuis in earum monumentis literarum
nulla reperiantur, ex quibus in hanc &longs;ententiam addu
ci po&longs;&longs;umus, vt exi&longs;timemus hanc rem ab
rime tractatam e&longs;&longs;e; tamen ne&longs;cio quo fato adhuc
in eiu&longs;modi librorum ignoratione ver&longs;amur. Archi
medes quidem
cuius in&longs;criptio e&longs;t,
norum copio&longs;i&longs;sime, atque acuti&longs;sime con&longs;crip&longs;it: &
in co explicando Sed de cognitione
non mul
tos abhinc annos MARC
manitas, libros ciu&longs;dem Archimedis de ijs, quæ ve
huntur in aqua, latine redditos dono dedit. hos cum
ego, ut aliorum &longs;tudia incitarem,
mentariis
tari non po&longs;&longs;e, quin Archimedes vel de hac materia
&longs;crip&longs;i&longs;&longs;et, vel aliorum mathematicorum &longs;cripta per
legi&longs;&longs;et. nam in iis tum alia nonnulla, tum maxime
illam propo&longs;itionem, ut cuidentem, & aliàs proba
tam a&longs;&longs;umit,
dis rectanguli axem ita diuidere, vt pars, quæ ad verti
cem terminatur, alterius partis, quæ ad ba&longs;im dupla
&longs;it. Verum hæc ad cam partem mathematicarum
di&longs;ciplinarum præcipue refertur, in qua de centro
grauitatis corporum &longs;olidorum tractatur. non e&longs;t au
tem con&longs;entaneum Archimedem illum admirabilem
virum hanc propo&longs;itionem &longs;ibi argumentis con
firmandam exi&longs;timaturum non fui&longs;&longs;e, ni&longs;i eam vel
aliis in locis probaui&longs;&longs;et, vel ab aliis probatam e&longs;&longs;e
comperi&longs;&longs;et. quamobrem nequid in iis libris intel
ligendis de&longs;iderari po&longs;&longs;et, &longs;tatui hanc etiam partem
vel à veteribus prætermi&longs;&longs;am, vel tractatam quidem,
fed in tenebris iacentem, non intactam relinquere;
atque ex a&longs;sidua mathematicorum, præ&longs;ertim Archi
medis lectione, quæ mihi in mentem venerunt, ea in
medium afferre; ut centri grauitatis corporum &longs;oli
dorum, &longs;i non perfectam, at certe aliquam noti-Qucm meum laborem
maticis&longs;olum, verum iis etiam, qui naturæ ob&longs;curi
tate delectantur,
enim
que
neque id vlli mirandum videri debet.
vt enim in cor
poribus no&longs;tris omnia membra, ex quibus certa quæ
dam officia na&longs;cuntur, diuino quodam ordine inter
&longs;e implicata, & colligata &longs;unt: in
la con&longs;piratio, quam
ita tres illæ Philo&longs;ophiæ (ut Ari&longs;totelis verbo vtar)
quæ veritatem &longs;olam propo&longs;itam habent, licet qui
bu&longs;dam qua&longs;i finibus &longs;uis regantur: tamen
quæque per &longs;e ip&longs;am quodammodo imperfecta e&longs;t:
neque altera &longs;ine alterius auxilio plene comprehen
di pote&longs;t. complures præterca mathematicorum no
di ante hac explicatu difficillimi nullo negotio expe
diti e&longs;&longs;ent: atque (ut vno verbo complectar) ni&longs;i
mea vaide amo, tractationem hanc meam &longs;tudio&longs;is
non mediocrem vtilitatem, & magnam volupta
tem allaturam e&longs;&longs;e mihi per&longs;ua&longs;i. cum autem ad hoc
&longs;cribendum aggre&longs;&longs;us e&longs;sem, allatus e&longs;t ad me liber
Franci&longs;ci Maurolici Me&longs;&longs;anen&longs;is, in quo vir ille do
cti&longs;simus, & in iis di&longs;ciplinis exercitati&longs;simus af
firmabat &longs;e de centro grauitatis corporum &longs;olido
rum cocum hoc intellexi&longs;&longs;em, &longs;u&longs;tinui
me pauli&longs;per: tacitus'que expectaui, dum opus cla-
in lucem proferretur: mihi enim exploratis&longs;imum
erat: Franci&longs;cum Maurolicum multo doctius, &
exqui&longs;itius hoc di&longs;ciplinarum genus &longs;criptis &longs;uis tra
diturum. &longs;ed cum id tardius fieret, hoc e&longs;t, ut ego
interpretor, diligentius, mihi diutius hac &longs;criptione
non &longs;uper&longs;edendum e&longs;&longs;e duxi, præ&longs;ertim cum iam li
bri Archimedis de iis, quæ uehuntur in aqua, opera
mea illu&longs;trati typis nec me alia cau&longs;
&longs;a impuli&longs;&longs;et, ut de centro grauitatis corporum &longs;oli
dorum &longs;criberem, ni&longs;i ut hac etiam ratione lux eis
quàm maxime fieri po&longs;let afferretur.
faciendum exi&longs;timaui, quòd in &longs;pem ueniebam fore,
ut cum ego ex omnibus mathematicis primus, hanc
materiam explicandam &longs;u&longs;cepi&longs;&longs;em; &longs;i quid errati for
te à me commi&longs;&longs;um e&longs;&longs;et, boni uiri potius id meæ de
&longs;tudio&longs;is hominibus bene
arrogantiæ a&longs;criberent. re&longs;tabat ut con&longs;iderarem, cui
potis&longs;imum ex principibus uiris contemplationem
hanc, nunc primum memoriæ, ac literis proditam de
dicarem. harum mearum cogitationum &longs;umma fa
cta, exi&longs;timaui nemini conuenientius de centro graui
tatis corporum opus dicari oportere, quàm ALE
XANDRO FARNESIO grauis&longs;imo, ac prudentis&longs;i
mo Cardinali, quo in uiro &longs;umma fortuna &longs;emper
&longs;umma uirtute certauit. quid enim maxime in te ad
mirati debeant homines, ob&longs;curum e&longs;t; u&longs;um'ne re-
bui&longs;ti, &
norificenti&longs;simarum legationum; an excellentiam
in omni genere literarum, qui vix
homines iam confirmata ætate &longs;ummo &longs;tudio,
turnisque
comprehendi&longs;ti: an con&longs;ilium, & &longs;apientiam in re
gendis, &
&longs;ententiæ in &longs;ancti&longs;simo Reip. Chr&longs;tianæ con&longs;ilio di
ctæ, potius diuina oracula, quàm &longs;ententiæ habitæ
&longs;unt, & habentur. prætermitto liberalitatem, & mu
nificentiam tuam, quam in &longs;tudio&longs;i&longs;simo quoque ho
ne&longs;tando quotidie magis o&longs;tendis, ne videar auribus
tuis potius, quàm veritati &longs;eruire. quamuis à te in tot
præclaros viros tanta beneficia collata &longs;unt, &
runtur
nihil iucundius, quàm eximia tua liberalitate homi
nes ad amplexandam virtutem, licet currentes incita
re. nihil dico de ceteris virtutibus tuis, quæ tantæ
&longs;unt, quantæ ne cogitatione quidem comprehendi
po&longs;&longs;unt. Quamobrem hac præcipue de cau&longs;&longs;a te hu
ius meæ lucubrationis patronum e&longs;&longs;e volui, quam ea,
qua &longs;oles, humanitate accipies. te enim &longs;emper ob
diuinas virtutes tuas colui, & ob&longs;eruaui:
hi fuit optatius; quàm tibi per&longs;pectum e&longs;&longs;e meum
erga te animum; cœ
lum igitur digito attingam, &longs;i po&longs;t graui&longs;simas oc-
impertiri temporis non grauaberis:
tibi &longs;emper addicti erunt, numerare. Vale.
Federicus Commandinus.
FEDERICI COMMANDINI
VRBINATIS LIBER DE CENTRO
GRAVITATIS SOLIDORVM.
DIFFINITIONES.
Centrvm grauitatis, Pappus
Alexandrinus in octauo ma
thematicarum collectionum
libro ita diffiniuit.
matos
on
fero/menon, nai\ fula/ssei to/n i/x a/r
sin, on\ mn\ peritrep o/menon i/nt
Dicimus autem centrum grauitatis uniu&longs;cu
iu&longs;que corporis punctum quoddam intra po&longs;i
tum, à quo &longs;i graue appen&longs;um mente concipia
tur, dum fertur quie&longs;cit; & &longs;eruat eam, quam in
principio habebat po&longs;itionem: neque in ip&longs;a la
tione circumuertitur.
Po&longs;&longs;umus etiam hoc modo diffinire.
Centrum grauitatis uniu&longs;cuiu&longs;que &longs;olidæ figu
ræ e&longs;t punctum illud intra po&longs;itum, circa quod
undique partes æqualium momentorum con&longs;i
&longs;tunt. &longs;i enim per tale centrum ducatur planum
figuram quomodocunque &longs;ecans &longs;emper in par
Pri&longs;matis, cylindri, & portionis cylindri axem
appello rectam lineam, quæ oppo&longs;itorum plano
rum centra grauitatis coniungit.
Pyramidis, coni, & portionis coni axem dico li
neam, quæ à uertice ad centrum grauitatis ba&longs;is
perducitur.
Si pyramis, conus, portio coni, uel conoidis &longs;e
cetur plano ba&longs;i æquidi&longs;tante, pars, quæ e&longs;t ad ba
&longs;im, fru&longs;tum pyramidis, coni, portionis coni, uel
conoidis dicetur; quorum plana æquidi&longs;tantia,
quæ opponuntur &longs;imilia &longs;unt, & inæqualia: axes
uero &longs;unt axium figurarum partes, quæ in ip&longs;is
comprehenduntur.
PETITIONES.
Solidarum figurarum fimilium centra grauita
tis &longs;imiliter &longs;unt po&longs;ita.
Solidis figuris &longs;imilibus, & æqualibus inter &longs;e
aptatis, centra quoque grauitatis ip&longs;arum inter &longs;e
aptata crunt.
THEOREMA I. PROPOSITIO I.
Omnis figuræ rectilineæ in circulo de&longs;criptæ,
quæ æqualibus lateribus, & angulis contine
trum.
Sit primo triangulum æquilaterum a b c in circulo de
&longs;criptum: & diui&longs;a a c bi&longs;ariam in d, ducatur b d. erit in li
nea b d centrum grauitatis
primi libri Archimedis de centro grauitatis planorum. Et
quoniam linea a b e&longs;t æqualis
lineæ b c; & a d ip&longs;i d c;
b d utrique communis: trian
gulum a b d æquale erit trian
gulo c b d: & anguli angulis æ
quales, qui æqualibus lateri
bus &longs;ubtenduntur. ergo angu
li ad d quòd
cum linea b d &longs;ecet a e bifa
riam, & ad angulos rectos; in
ip&longs;a b d e&longs;t centrum circuli.
quare in eadem b d linea erit
centrum grauitatis trianguli, & circuli centrum. Similiter
diui&longs;a a b bi&longs;ariam in e, & ducta c e, o&longs;tendetur in ip&longs;a
que centrum contineri. ergo ea erunt in puncto, in quo li
neæ b d, c e conueniunt. trianguli igitur a b c centrum gra
uitatis e&longs;t idem, quod circuli centrum.
Sit quadratum a b c d in cir
culo de&longs;criptum: & ducantur
a c, b d, quæ conueniant in e. er
go punctum e e&longs;t centrum gra
uitatis quadrati, ex decima eiu&longs;
dem libri Archimedis. Sed cum
omnes anguli ad a b c d recti
&longs;int; erit a b c femicirculus:
neæ a c, b d diametri circuli: idem igitur e&longs;t centrum
grauitatis quadrati, & circuli centrum.
Sit pentagonum æquilaterum, & æquiangulum in circu
lo de&longs;criptum a b c d e. & iun
cta b d,
ducatur c f, & producatur ad
circuli circumferentiam in g;
quæ lineam a e in h &longs;ecet: de
indeiungantur a c, c c. Eodem
modo, quo &longs;upra demon&longs;tra
bimus angulum b c f æqualem
e&longs;&longs;e. angulo d c f; & angulos
ad f utro&longs;que rectos: & idcir
co lineam c f g per circuli cen
trum tran&longs;ire. Quoniam igi
tur latera c b, b a, & c d, d e æqualia &longs;unt; & æquales anguli
c b a, c d e: erit ba&longs;is c a ba&longs;i: c e, & angulus b c a angulo
d c e æqualis. ergo & reliquus a c h, reliquo e c h.
e&longs;t au
tem c h utrique triangulo a c h, e c h communis. quare
ba&longs;is a h æqualis e&longs;t ba&longs;i h c: & anguli, qui ad h recti:
recti, qui ad f. ergo lineæ a e, b d inter &longs;e &longs;e æquidi&longs;tant.
Itaque cum trapezij a b d e latera b d, a e æquidi&longs;tantia à li
nea fh bifariam diuidantur; centrum grauitatis ip&longs;ius erit
in linea fh, ex ultima eiu&longs;dem libri Archimedis. Sed trian
guli b c d centrum grauitatis e&longs;t in linea c f. ergo in eadem
linea c h e&longs;t centrum grauitatis trapezij a b d e, & trian
guli b c d: hoc e&longs;t pentagoni ip&longs;ius centrum: & centrum
circuli. Rur&longs;us &longs;i iuncta a d,
tur e k l: demon&longs;trabimus in ip&longs;a utrumque centrum in
e&longs;&longs;e. Sequitur ergo, ut punctum, in quo lineæ c g, e l con
ueniunt, idem &longs;it centrum circuli, & centrum grauitatis
pentagoni.
medis.
Sit hexagonum a b c d e f æquilaterum, & æquiangulum
in circulo de&longs;ignatum:
u&longs;que circumferentiam; quæ &longs;ecet a e in h. Similiter conclu
demus c g per centrum circuli tran&longs;ire: & bifariam &longs;ecate
lineam a e; Cumigitur c g per centrum circuli tran&longs;eat; & ad
f perueniat nect&longs;&longs;e e&longs;t: quòd c d e f &longs;it dimidium circumfe
rentiæ circuli. Quare in eadem
diametro c f erunt centra gra
uitatis triangulorum b c d,
a f e, & quadrilateri a b d e, ex
quibus con&longs;tat hexagonum a b
c d e f. per&longs;picuum e&longs;tigitur in
ip&longs;a c f e&longs;&longs;e circuli centrum, &
centrum grauitatis hexagoni. Rur&longs;us ducta altera diamctro
a d, ei&longs;dem rationibus o&longs;tende
mus in ip&longs;a utrumque
ine&longs;&longs;e. Centrum ergo grauita
tis hexagoni, & centrum circuli idem erit.
m
9.
Sit heptagonum a b c d e f g æquilaterum atque æquian
gulum in circulo de&longs;criptum:
& iungantur c e, b f, a g: di
ui&longs;a autem c e bifariam in
cto h: & iuncta d h produca
tur in k. non aliter demon
&longs;trabimus in linea d k e&longs;&longs;e cen
trum circuli, & centrum gra
uitatis trianguli c d e, & tra
peziorum b c e f, a b f g, hoc
e&longs;t centrum totius heptago
ni: & rur&longs;us eadem centra in
alia diametro c l &longs;imiliter du
cta contineri. Quare & centrum grauitatis heptagoni, &
centrum circuli in idem punctum conueniunt. Eodem mo
culo de&longs;cribuntur, probabimus
& centrum circuli idem e&longs;&longs;e. quod quidem demon&longs;trare
oportebat.
Ex quibus apparet cuiuslibet figuræ rectilincæ
in circulo plane de&longs;criptæ centrum grauitatis
e&longs;&longs;e, quod & circuli centrum.
Figuram in circulo plane de&longs;criptam appella
mus, cuiu&longs;modi e&longs;t ea, quæ in duodecimo elemen
torum libro, propo&longs;itione &longs;ecunda de&longs;cribitur. ex æqualibus enim lateribus, & angulis con&longs;tare
per&longs;picuum e&longs;t.
THEOREMA II, PROPOSITIO II.
Omnis figuræ rectilineæ in ellip&longs;i plane de&longs;cri
ptæ centrum grauitatis e&longs;t idem, quod ellip&longs;is
centrum.
Quo modo figura rectilinea in ellip&longs;i plane de&longs;cribatur,
docuimus in commentarijs in quintam propo&longs;itionem li
bri Archimedis de conoidibus, & &longs;phæroidibus.
Sit ellip&longs;is a b c d, cuius maior axis a c, minor b d:
ganturque
ctis e f g h. à centro autem, quod &longs;it k ductæ lineæ k e, k f,
k g, k h u&longs;que ad &longs;ectionem in puncta l m n o protrahan
tur: & iungantur l m, m n, n o, o l, ita ut a c &longs;ecet li
neas l o, m n, in z
erunt l k, k n linea una,
& lineæ b a, c d æquidi&longs;tabunt lineæ m o: & b c, a d ip&longs;i
l n. rur&longs;us l o, m n axi b d æquidi&longs;tabunt: & l m,
Quoniam enim triangulorum a b k, a d k, latus
b k e&longs;t æquale lateri k d, & a k utrique commune;
ad k recti. ba&longs;is a b ba&longs;i a d; & reliqui anguli reliquis an
gulis æquales erunt. eadem quoqueratione o&longs;tendetur b c
æqualis c d; & a b ip&longs;i
b c. quare omnes a b,
b c, c d, d a &longs;unt æqua
les. & quoniam anguli
ad a æquales &longs;unt angu
lis ad c; erunt anguli b
a c, a c d coalterni inter
&longs;e æquales;
a c b. ergo c d ip&longs;i b a;
& a d ip&longs;i b c æquidi
&longs;tat. Atuero cum lineæ
a b, c d inter &longs;e æquidi
&longs;tantes bifariam &longs;ecen
tur in punctis e g; erit li
nea l e k g n diameter &longs;e
ctionis, & linea una, ex
demon&longs;tratis in uige&longs;i
maoctaua &longs;ecundi coni
corum. Et eadem ratione linea una m f k h o.
Sunt
b c inter &longs;e &longs;e æquales, & æquidi&longs;tantes. quare & earum di
midiæ a h, b f;
lineæ æquales, & æquidi&longs;tantes erunt.
c d diametro m o: & pariter a d, b c ip&longs;i l n æquidi&longs;tare o
&longs;tendemus. Si igitur
portio ellip&longs;is ad portionem a d c moueri, cum primum b
applicuerit ad d,
b a lineæ a d; & b c ip&longs;i c d congruet: punctum uero e ca
det in h; f in g: & linea k e in lineam k h: & k f in k g. qua
re & e l in h o, et f m in g n. Atip&longs;a l z in z o; et m
cadet. congruet igitur triangulum l k z triangulo o k z: et
m quòd cum etram recti
&longs;int, qui ad k; æquidi&longs;tabunt lineæ l o, m n axi b d. & ita
denion&longs;trabuntur l m, o n ip&longs;i a c æquidi&longs;tare. Rurfus &longs;i
iungantur a l, l b, b m, m c, c n, n d, d o, o a: & bitariam di
uidantur: à centro autem k ad diui&longs;iones ductæ lineæ pro
trahantur u&longs;que ad &longs;ectionem in puncta p q r s t u x y: & po
ftremo p y, q x, r u, s t, q r, p s, y t, x u coniungantur. Simili
ter o&longs;tendemus lineas
p y, q x, r u, s t axi b d æ
quidi&longs;tantes e&longs;&longs;e: & q r,
p s, y t, x u æquidi&longs;tan
tesip&longs;i a c. Itaque dico
harum figurarum in el
lip&longs;i de&longs;criptarum cen
trum grauitatis e&longs;&longs;e
ctum
lip&longs;is centrum. quadri
lateri enim a b c d cen
trum e&longs;t k, ex decima e
iu&longs;dem libri Archime
dis, quippe
nes diametri
Sed in figura a l b m c n
do, quoniam trianguli
a l b centrum grauitatis
e&longs;t in linea l e:
zij o m c d in k g: & trianguli c n d in ip&longs;a g n: erit magnitu
dinis ex his omnibus con&longs;tantis, uidelicet totius figuræ cen
trum grauitatis in linea l n: & o b eandem cau&longs;&longs;am in linea
o m. e&longs;t enim trianguli a o d centrum in linea o h: trapezij
a l n d in h k: trapezij l b c n in k f: & trianguli b m c in fm.
cum ergo figuræ a l b m c n d o centrum grauitatis &longs;it in li
nea l n, & in linea o m; erit centrum ip&longs;ius punctum k, in Po&longs;tremo in figura
a p l q b r m s c t n u d x o y centrum grauitatis trian
guli p a y, & trapezii p l o y e&longs;t in linea a z: trapeziorum
uero l q x o, q b d x centrum e&longs;t in linea z k: &
b r u d, r m n u in k
li s c t in quare magnitudinis ex his compo&longs;itæ
in linea a c con&longs;i&longs;tit. Rur&longs;us trianguli q b r, & trapezii q l
m r centrum e&longs;t in linea b
a y t c, y o n t in linea
x d u centrum in totius ergo magnitudinis centrum
e&longs;t in linea b d. ex quo &longs;equitur, centrum grauitatis figuræ
a p l q b r m s c t n u d x o y e&longs;&longs;e
b d commune, quæ omnia demon&longs;trare oportebat.
medis.
THEOREMA III. PROPOSITIO III.
Cuiuslibet portio
nis circuli, & ellip&longs;is,
quæ dimidia non &longs;it
maior, centrum graui
tatis in portionis dia
metro con&longs;i&longs;tit.
H O C eodem pror&longs;us
modo demon&longs;trabitur,
quo in libro de centro gra
uitatis planorum ab Ar
chimede
in portione
linea, & rectanguli coni &longs;e
ctione grauitatis
e&longs;&longs;e in diametro portio
nis. Etita demon&longs;trari po
ctione, &longs;eu hyperbola continetur.
THEOREMA IIII. PROPOSITIO IIII.
IN circulo & ellip&longs;i idem e&longs;t figuræ & graui
tatis centrum.
SIT circulus, uel ellip&longs;is, cuius centrum a.
Dico a gra
uitatis quoque centrum e&longs;&longs;e. Si enim fieri pote&longs;t, &longs;it b cen
trum grauitatis: & iuncta a b extra figuram in c produca
tur: quam uero proportionem habet linea c a ad a b, ha
beat circulus a ad alium circulum, in quo d; uel ellip&longs;is ad
aliam ellip&longs;im: & in circulo, uel ellip&longs;i &longs;igura rectilinea pla
ne de&longs;cribatur adco, ut tandem relinquantur portiones
quædam minores circulo, uel ellip&longs;i d; quæ figura &longs;it e f g
h k l m n. Illud uero in circulo fieri po&longs;&longs;e ex duodecimo
elementorum libro, propo&longs;itione &longs;ecunda manife&longs;te con
ftat; at in ellip&longs;i nos demon&longs;tra
uinms in commentariis in quin
tam propo&longs;itionem Archimedis
de conoidibus, & &longs;phæroidibus.
erit igitur a centrum grauitatis
ip&longs;ius figuræ, quod proxime
dimus. Itaque quoniam circulus
a ad circulum d, uel ellip&longs;is a ad
ellip&longs;im d eandem
habet, quam linea c a ad a b:
portiones uero &longs;unt minores cir
culo uel ellip&longs;i d: habebit circu
lus, uel ellip&longs;is ad portiones ma
iorem proportionem, quàm c a
ad a b: & diuidendo figura recti
linea e f g h k l m n ad portiones
habebit maiorem
quam c b ad b a. fiat o b ad b a,
ut figura rectilinea ad portio
nes. cum igitur à circulo, uel el
lip&longs;i, cuius grauitatis centrum
e&longs;t b, auferatur figura rectilinea
e f g h k l m n, cuius centrum a;
reliquæ magnitudinis ex portio
nibus compo&longs;itæ centrum graui
tatis erit in linea a b producta,
& in puncto o, extra figuram po
&longs;ito. quod quidem fieri nullo mo
do po&longs;&longs;e per&longs;picuum e&longs;t. &longs;equi
tur ergo, ut circuli & ellip&longs;is cen
trum grauitatis &longs;it punctum a,
idem quod figuræ centrum.
apud
panum.
m
ALITER.
Sit circulus, uel ellip&longs;is a b c d,
cuius diameter d b, & centrum e:
nea a c, &longs;ecans ip&longs;am d b ad rectos angulos. erunt a d c,
a b c circuli, uel ellip&longs;is dimidiæ portiones. Itaque quo
niam por
uitatis e&longs;t
in diame
tro d e: &
portionis
a b c cen
trum e&longs;t
ip&longs;a e b: to
tius circu
li, uel ellip&longs;is grauitatis centrum erit in diametro d b.
Sit autem portionis a d c
erit g por
tionis a b c centrum. nam &longs;i hæ portiones, quæ æquales
& &longs;imiles &longs;unt, inter &longs;e &longs;e aptentur, ita ut b e cadat in d e,
& punctum b in d cadet, & g in f: figuris autem æquali
bus, & &longs;imilibus inter &longs;e aptatis, centra quoque grauitatis
ip&longs;arum inter &longs;e aptata crunt, ex quinta petitione Archi
medis in libro de centro grauitatis planorum. Quare cum
portionis a d c centrum grauitatis &longs;it f: & portionis
a b c centrum g: magnitudinis; quæ ex utri&longs;que efficitur:
hoc e&longs;t circuli uel ellip&longs;is grauitatis centrum in medio li
neæ f g, quod e&longs;t e, con&longs;iftet, ex quarta propo&longs;itione eiu&longs;
dem libri Archimedis. ergo circuli, uel ellip&longs;is centrum
grauitatis e&longs;t idem, quod figuræ centrum. atque illud e&longs;t,
quod demon&longs;trare oportebat.
Ex quibus &longs;equitur portionis circuli, uel ellip
&longs;is, quæ dimidia maior &longs;it, centrum grauitatis in
diametro quoque ip&longs;ius con&longs;i&longs;tere.
Sit enim maior portio a b c, cu
Quoniam igitur circuli uel ellip&longs;is
a e c b grauitatis centrum e&longs;t in diametro b e, & portio
nis a e c centrum in linea e d: reliquæ portionis, uidelicet
a b c centrum grauitatis in ip&longs;a b d con&longs;i&longs;tat nece&longs;&longs;e e&longs;t, ex
octaua propo&longs;itione eiu&longs;dem.
THEOREMA V. PROPOSITIO V.
SI pri&longs;ma &longs;ecetur plano oppo&longs;itis planis æqui
di&longs;tante, &longs;ectio erit figura æqualis & &longs;imilis ei,
quæ e&longs;t oppo&longs;itorum planorum, centrum graui
tatis in axe habens.
Sit pri&longs;ina, in quo plana oppo&longs;ita &longs;int triangula a b c,
d e f; axis g h: & &longs;ecetur plano iam dictis planis
te; quod faciat &longs;ectionem k l m; & axi in
Dico k l m trian gulum æquale e&longs;&longs;e, & fimile triangulis a b c
d e f; atque eius grauitatis centrum e&longs;&longs;e punctum n. Quo
niam enim plana a b c
K l m æquidi&longs;tantia
tur a plano a e; rectæ li
neæ a b, K l, quæ &longs;unt ip
&longs;orum
nes inter &longs;e &longs;e æquidi
&longs;tant. Sed æquidi&longs;tant
a d, b e; cum a e &longs;it para
lelogrammum, ex pri&longs;
matis diffinitione. ergo
& al
erit; & propterea linea
k l, ip&longs;i a b æqualis. Si
militer demon&longs;trabitur
l m æquidi&longs;tans, & æqua
lineis &longs;e &longs;e tangentibus a b, b c æquidi&longs;tant; nec &longs;unt in e o
dem plano: angulus k l m æqualis e&longs;t angulo a b c: & ita an
gulus l m k, angulo b c a, & m k lip&longs;i c a b æqualis prob abi
tur. triangulum ergo k l m e&longs;t æquale, & &longs;imile triang ulo
a b c. quare & triangulo d e f.
Ducatur linea c g o, & per ip
&longs;am, & per c f ducatur planum &longs;ecans pri&longs;ma; cuius & paral
lelogram
fq per h, & m p per n. nam cum plana æquidi&longs;tantia &longs;ecen
tur à plano c q, communes eorum &longs;ectiones c g o, m p, f q
&longs;ibi ip&longs;is æquidi&longs;tabunt. Sed & æquidi&longs;tant a b, k l, d e.
an
guli ergo a o c, k p m, d q f inter &longs;e æquales &longs;unt: & &longs;unt
æquales qui ad puncta a k d con&longs;tituuntur. quare & reliqui
reliquis æquales; & triangula a c o, K m p, d f q inter &longs;e &longs;imi
lia erunt. Vtigitur c a ad a o, ita fd ad d q: & permutando
ut c a ad f d, ita a o ad d ergo &
a o ip&longs;i d
demon&longs;trabitur. Itaque &longs;i triangula, a b c, d e f æqualia &
&longs;imilia inter &longs;e
cadet linea f q in lineam
c g o. Sed &
uitatis h in g
det.
f q per h: & planum per
c o & c f
g h ducetur:
neam m p
&longs;ire nece&longs;&longs;e erit. Quo
niam ergo fh, c g æqua
les &longs;unt, &
neæ, quæ ip&longs;as
c m f, g n h, o p q æquaergo
o n, g m, & linea m n æqualis c g; & n p ip&longs;i g o. aptatis igi
tur k l m, a b c
in c o, & punctum n in g cadet. Quòd
uitatis trianguli a b c, & n trianguli k l m grauitatis cen
trum erit id, quod demon&longs;trandum relinquebatur. Simili
ratione idem contingere demon&longs;trabimus in aliis pri&longs;ma
tibus, &longs;iue quadrilatera, &longs;iue plurilatera habeant plana,
quæ opponuntur.
ci
cimi
cimi
titionem
Archime
dis.
COROLLARIVM.
Exiam demon&longs;tratis per&longs;picue apparet, cuius
Iibet pri&longs;matis axem, parallelogrammorum lat eri
bus, quæ ab oppo&longs;itis planis
THE OREMA VI. PROPOSITIO VI.
Cuiuslibet pri&longs;matis centrum grauitatis e&longs;t in
plano, quod oppo&longs;itis planis æquidi&longs;tans, reli
quorum planorum latera bifariam diuidit.
Sit pri&longs;ma, in quo plana, quæ opponuntur &longs;int trian
gula a c e, b d f: & parallelogrammorum latera a b, c d,
e f bifariam
tem planum ducatur; cuius &longs;ectio figura g h K. erit linea
g h æquidi&longs;tans lineis a c, b d & h k ip&longs;is c e, d f. quare ex
decimaquinta undecimi elementorum, planum illud pla
nis a c e, b d f æquidi&longs;tabit, & faciet &longs;ectionem figu
ram ip&longs;is æqualem, & &longs;imilem, ut proxime demon&longs;tra
uimus. Dico centrum grauitatis pri&longs;matis e&longs;&longs;e in plano
g h k. Si enim fieri pote&longs;t, &longs;it eius centrum l: & ducatur
l m u&longs;que ad planum g h k, quæ ip&longs;i a b æquidi&longs;tet.
&longs;a, relinquetur
Vtraque uero linearum a g, g b diuidatur in partes æqua
les ip&longs;i n g: & per puncta diui&longs;ionum plana oppo&longs;itis pla
nis æquidi&longs;tantia ducantur. erunt &longs;ectiones figuræ æqua
les, ac &longs;imiles ip&longs;is a c e, b d f: & totum pri&longs;ma diui&longs;um erit
in pri&longs;mata æqualia, & &longs;imilia: quæ cum inter &longs;e
& grauitatis centra &longs;ibi ip&longs;is congruentia,
habebunt. Itaq:
&longs;unt magnitudi
nes
les ip&longs;i n h, & nu
mero pares, qua
rum centra gra
uitatis in
cta linea con&longs;ti
tuuntur: duæ ue
ro mediæ æqua
les &longs;unt: & quæ ex
utraque parte i
p&longs;arum &longs;imili-
ter æquales: & æ
quales rectæ li
neæ, quæ inter
grauitatis centra
interiiciuntur.
quare ex corolla
rio quintæ pro
po&longs;itionis primi
libri Archimedis
d e centro graui
tatis planorum; magnitudinis ex his omnibus compo&longs;itæ
centrum grauitatis e&longs;t in medio lineæ, quæ magnitudi
num mediarum centra coniungit. at qui non ita res ha
Con&longs;tat igitur centrum granitatis pri&longs;matis e&longs;&longs;e in plano
g h k, quod nos demon&longs;trandum propo&longs;uimus. At&longs;i op
po&longs;ita plana in pri&longs;mate &longs;int quadrilatera, uel plurilatera,
eadem erit in omnibus demon&longs;tratio.
THEOREMA VII. PROPOSITIO VII.
Cuiuslibet cylindri, & cuiuslibet cylindri por
tionis centrum grauitatis e&longs;t in plano, quod ba&longs;i
bus æquidi&longs;tans, parallelogrammi per axem late
ra bifariam &longs;ecat.
SIT cylindrus, uel cylindri portio a c: & plano per a
xem ducto &longs;ecetur; cuius fectio &longs;it parallelogrammum ab
c d: & bifariam diui&longs;is a d, b c parallelogrammi lateribus,
per diui&longs;ionum puncta e f planum ba&longs;i æquidi&longs;tans duca
tur; quod faciet &longs;ectionem, in cylindro quidem circulum
æqualem iis, qui &longs;unt in ba&longs;ibus, ut demon&longs;trauit Serenus
in libro cylindricorum, propo &longs;itione quin ta: in cylindr
uero portione ellip&longs;im æqualem, & &longs;imilem eis, quæ &longs;unt
in oppo&longs;itis planis, quod nos
demon&longs;trauimus in commen
tariis in librum Archimedis
de conoidibus, & &longs;phæroidi
bus. Dico centrum grauita
tis cylindri, uel cylindri por
tionis e&longs;&longs;e in plano e f. Si
fieri pote&longs;t, fit centrum g: &
ducatur g h ip&longs;i a d æquidi
&longs;tans, u&longs;que ad e f planum.
Itaque linea a e continenter
diui&longs;a bifariam, erit tandem
pars aliqua ip&longs;ius k e, minor
g h. Diuidantur ergo lineæ
a e, e d in partes æquales ip&longs;i
k e: & per diui&longs;iones plana ba
&longs;ibus æquidi&longs;tantia
eruntiam &longs;ectiones, figuræ æ
quales, & &longs;imiles eis, quæ &longs;unt
in ba&longs;ibus: atque erit cylindrus in cylindros diui&longs;us: & cy
lindri portio in portiones æquales, & &longs;imiles ip&longs;i k f. reli
qua &longs;imiliter, ut &longs;uperius in pri&longs;mate concludentur.
THEOREMA VIII. PROPOSITIO VIII.
Cuiuslibet pri&longs;matis, & cuiuslibet cylindri, uel
cylindri portionis grauitatis centrum in medio
ip&longs;ius axis con&longs;i&longs;tit.
Sit primum a f pri&longs;ma æquidi&longs;tantibus planis
quod &longs;olidum parallelepipedum appellatur: & oppo&longs;ito
rum planorum c f, a h, d a, f g latera bifariam diuidantur in
punctis k l m n o p q r s t u x: & per diui&longs;iones ducantur
plana k n, o r, s x. communes autem eorum planorum &longs;e
ctiones &longs;int lineæ y z,
erit ex decima eiu&longs;dem libri Archimedis parallelogrammi
c f centrum grauitatis punctum y; parallelogrammi a h
parallclogrammi d h,
parallclogrammi c g
dium uniu&longs;cuiu&longs;que axis, ui
delicet eius lineæ quæ oppo
&longs;itorum
iungit. Dico
grauitatis ip&longs;ius &longs;olidi. e&longs;t
enim, ut demon&longs;trauimus,
&longs;olidi a f centrum grauitatis
in plano K n; quod oppo&longs;i
tis planis a d, g f æquidi&longs;tans
reliquorum planorum late
ra bifariam diuidit: & &longs;imili
ratione idem centrum e&longs;t in plano o r, æquidi&longs;tante planis
a e, b f oppo&longs;itis. ergo in communi ip&longs;orum &longs;ectione: ui
delicet in linea y z. Sed e&longs;t etiam in plano t u, quod
y z &longs;ecatin
punctum
planorum oppo&longs;itorum centra coniungunt.
Sit aliud prima a f; & in eo plana, quæ opponuntur, tri
angula a b c, d e f:
lateribus a d, b e, c f in punctis g h k, per diui&longs;iones
ducatur, quod oppo&longs;itis planis æquidi&longs;tans faciet
triangulum g h x æquale, & &longs;imile ip&longs;is a b c, d e f. Rur&longs;us
diuidatur a b bi&longs;ariam in l: & iuncta c l per ip&longs;am, & per
c K f planum ducatur pri&longs;ma &longs;ecans, cuius, &
mi a e communis &longs;ectio &longs;it l m n. diuidet punctum m li
neam g h bifariam; & ita n diuidet lineam d e: quoniam
triangula a c l, g
demon&longs;trauimus. Iam ex iis, quæ tradita &longs;unt, con&longs;tat cen
trum greuitatis pri&longs;matis in plano g h Dico
ip&longs;um e&longs;&longs;e in linea k m. Si enim fieri potc&longs;t, &longs;it o centrum;
Itaquc li
nea h m
quædam q m, minor o p. deinde h m, m g diuidantur in
partes æquales ip&longs;i m q: & per diui&longs;iones lineæ ip&longs;i m K
æquidi&longs;tantes ducantur. puncta uero, in quibus hæ trian
gulorum latera &longs;ecant, coniungantur ductis lineis r s, t u,
x y; quæ ba&longs;i g h æquidi&longs;tabunt. Quoniam enim lineæ g z,
h
ita erit m h, ad h Sed ut m z ad z g, ita k r ad r g: & ut m
ad s h. quare ut k r ad r g, ita
æquidi&longs;tant igitur
inter &longs;e &longs;e r s, g h. eadem quoque ratione demon&longs;trabimus
Et quoniam triangula, quæ
fiunt à lineis K y, y u, u s, s h æqualiz &longs;unt inter &longs;e, & &longs;imilia
triangulo K m h: habebit triangulum K m h ad
K
&longs;ed K h po&longs;ita e&longs;t quadrupla ip&longs;ius k y.
ergo triangulum
k m h ad triangulum K
quam &longs;exdecim ad
u s, s
e&longs;t quam h K ad k y: & &longs;imiliter eandem habere demon&longs;tra
bitur trian
gulum k m g
ad quatuor
x, x
r z g. quare
totum trian
gulum K g h
ad omnia tri
angula g z r,
r
K, K
u s, s
erit, ut h k ad
k y, hoc e&longs;t
ut h m ad m
triangulis a b c, d e f de&longs;cribantur figuræ &longs;imiles ei, quæ de
&longs;cripta e&longs;t in g h K triangulo: & per lineas &longs;ibi re&longs;ponden
tes plana ducantur: totum pri&longs;ma a f diui&longs;um erit in tria
&longs;olida parallelepipeda y
les & &longs;imiles ip&longs;is parallelogrammis y
pri&longs;mata g z r, r
item ba&longs;es æquales, & &longs;imiles &longs;unt dictis triangulis; altitu
linea
nea
&longs;itorum centra coniungant. ergo magnitudinis ex his &longs;oli
dis compo&longs;itæ centrum grauitatis e&longs;t in linea
ip&longs;i m k æquidi&longs;tans, quæ cum triangu
lum igitur g h k ad omnia triangula g z r, r
k
ad m
telligantur, quou&longs;que coeant; erit ob linearum q y, m k æ
quidi&longs;tantiam, ut h q ad q m, ita
do, ut h m ad m q, ita
quàm
nem, quàm ad quare triangulum ctiam g h
iam dicta triangula maiorem &longs;ed ut
tum
y u, u s, s
ta, eandem inter &longs;e proportionem habent, quam ba&longs;es; ut
ex trige&longs;ima&longs;ecunda undecimi elementorum con&longs;tat. &longs;unt
autem &longs;olida parallelepipeda pri&longs;matum triangulares ba
&longs;es habentium dupla: &longs;equitur, ut etiam huiu&longs;modi pri&longs;
mata inter &longs;e &longs;int, &longs;icut eorum ba&longs;es. ergo totum pri&longs;ma ad
omnia pri&longs;mata maiorem proportionem habet, quam
ad
mnia pri&longs;mata proportionem habent maiorem, quàm
ad o fiat
omnia pri&longs;mata. Itaque cum à pri&longs;mate a f, cuius
grauitatis e&longs;t o, auferatur magnitudo ex &longs;olidis parallelepi
pedis y
&longs;it
con&longs;tat, grauitatis centrum erit in linea ergo punctum
erit magnitudinis
r
te&longs;t. e&longs;t enim ex diffinitione centr um grauitatis &longs;olidæ figu
ræ intra ip&longs;am po&longs;itum, non extra. quare relinquitur, ut
trum grauitatis pri&longs;matis &longs;it in linea K m. Rur&longs;us b c bifa
riam in diuidatur: & ducta a
a g d plan um ducatur; quod pri&longs;ma &longs;ecet:
lelogrammo b f &longs;ectionem
quoque c f bifariam: & erit p lani eius, & trianguli g h K
communis &longs;ectio g u; quòd
po&longs;itum &longs;i t. Similiter demon&longs;trabimus centrum grauita
tis pri&longs;m atis in ip&longs;a g u ine&longs;&longs;e. &longs;it autem planorum c f n l,
a d
axis erit, cum tran&longs;eat per centra grauitatis triangulorum
a b c, g h ergo centrum
grauitatis pri&longs;matis a f e&longs;t punctum
. q
&longs;exti
utnti.
cin
apu
pan
Sit pri&longs;ma a g, cuius oppo&longs;ita plana &longs;int quadrilatera
a b c d, e f g h:
ui&longs;iones planum ducatur; quod &longs;ectionem faciat quadrila
terum K l m n. Deinde iuncta a c per lineas a c, a e ducatur
planum
triangulares ba&longs;es habentia a b c e f g, a d c e h g. Sint
triangulorum a b c, e f g gra
uitatis centra o p: & triangu
lorum a d c, e h g centra q r:
no k l m n occurrant in pun
ctis s t. erit ex iis, quæ demon
&longs;trauimus, punctum s grauita
tis centrum trianguli
ip&longs;ius pri&longs;matis a b c e f g: pun
ctum uero t centrum grauita
tis trianguli K n m, & pri&longs;ma
tis a d c, e h g. iunctis igitur
o q, p r, s t, erit in linea o q
trum grauitatis quadrilateri
a b c d, quod &longs;it u: & in linea
p r
&longs;it autem x. denique iungatur
u x, quæ &longs;ecet lineam &longs; t in y. &longs;e
cabit enim cum &longs;int in eodem
plano:
Dico idem punctum y centrum quoque gra uitatis e&longs;&longs;e to
tius pri&longs;matis. Quoniam enim quadrilateri k l m n graui
tatis centrum e&longs;t y: linea s y ad y t ean dem proportionem
habebit, quam triangulum
Archimedis de centro grauitatis planorum. Vt autem
gulum
triangulum a b c, æqualia enim &longs;unt, ita pri&longs;ma a d c e h g quare linea s y ad y t eandem propor
tionem habet, quam pri&longs;ma a d c e h g ad pri&longs;ma a b c e f g.
Sed pri&longs;matis a b c e f g centrum grauitatis e&longs;t s: & pri&longs;ma
tis a d c e h g centrum t. magnitudinis igitur ex his compo
&longs;itæ hoc e&longs;t totius pri&longs;matis a g centrum grauitatis e&longs;t pun
ctum y; medium &longs;cilicet axis u x, qui oppo&longs;itorum plano
rum centra coniungit.
Rur&longs;us &longs;it pri&longs;ma ba&longs;im habens pentagonum a b c d e:
& quod ei opponitur &longs;it f g h K l: &longs;ec
d k, e l bi&longs;ariam: & per diui&longs;iones ducto plano, &longs;ectio &longs;it
planum ducatur,
ma a k in duo pri&longs;mata; in pri&longs;
ma &longs;cilicet al, cuius plana op
po&longs;ita &longs;int triangula a b e f g l:
& in prima b k cuius plana op
po&longs;ita &longs;int quadrilatera b c d e
g h k l. Sint autem triangulo
rum a b e, f g l centra grauita
tis puncta r &longs;: & b c d e, g h k l
quadrilaterorum centra t u:
tes plano m n o p q in punctis
x y. & itidem
x y. erit in lincar t
uitatis pentagoni a b c d e;
quod &longs;it z: & in linea &longs;u cen
trum pentagoni f g h
tem
cto plano in
punctum x e&longs;t centrum graui
tatis trianguli m n q, ac pri&longs;
matis a l: & y grauitatis centrum quadrilateri n o p q, ac
pri&longs;matis b k. quare y centrum erit pentagoni m n o p
&longs;e centrum. Simili ratione & in aliis pri&longs;matibus illud
idem facile demon&longs;trabitur. Quo autem pacto in omni
figura rectilinea centrum grauitatis inueniatur, docuimus
in commentariis in &longs;extam propo&longs;itionem Archimedis de
quadratura parabolæ.
Sit cylindrus, uel cylindri portio c e cuius axis a b: &longs;ece
turq, plano per axem ducto; quod &longs;ectionem faciat paral
lelogrammum c d e f: & diui&longs;is c f, d e bifariam in punctis
g h, per ea ducatur planum ba&longs;i æquidi&longs;tans. erit &longs;ectio g h
circulus, uel ellip&longs;is, centrum habens in axe; quod &longs;it K at
que erunt ex iis, quæ demon&longs;trauimus, centra grauitatis
planorum oppo&longs;itorum puncta a b: & plani g h ip&longs;um k in
quo quidem plano e&longs;t centrum grauitatis cylindri, uel cy
lindri portionis. Dico punctum K cylindri quoque, uel cy
lindri portionis grauitatis centrum e&longs;&longs;e. Si enim fieri po
te&longs;t, &longs;it l centrum:
ducatur. quam ucro proportionem habet linea m K ad k l
& in cit culo, uel ellip&longs;i plane de&longs;cribatur rectilinea figura,
ita ut
&longs;it o p g q r s h t:
nis c d, f e, per lineas &longs;ibi ip&longs;is re&longs;pondentes plana
Itaque cylindrus, uel cylindri portio diuiditur in pri&longs;ma,
cuius quidem ba&longs;is e&longs;t figura rectilinea iam dicta, centrum
que grauitatis punctuni K: & in multa &longs;olida, qaæ pro ba&longs;i
bus habent relictas portiones, quas nos &longs;olidas portiones
appellabimus. cum igitur portiones &longs;int minores &longs;pacio
u, circulus, uel ellip&longs;is g h ad portiones maiorem propor
tionem habebit, quàm linea m k ad K l. fiat n
circulus uel ellip&longs;is g h ad ip&longs;as portiones. Sed ut circulus
uel ellip&longs;is g h ad figuram rectilincam in ip&longs;a de&longs;cri
ptam, ita e&longs;t cylindrus uel cylindri portio c c ad pri&longs;ma,
quod rectilineam figuram pro ba&longs;i habet, & altitudinem
æqualem; id, quod infra demon&longs;trabitur. crgo per conuer
&longs;ionem rationis, ut circulus, uel ellip&longs;is g h ad portioncs re
lictas, ita cylindrus, uel cylindri portio c e ad &longs;olidas por
tiones, quate cylindrus uel cylindri portio ad &longs;olidas por
tiones eandem proportionem habet, quam linea n
& diuidendo pri&longs;ma, cuius ba&longs;is e&longs;t rectilinea figura ad &longs;o
lidas portiones eandem proportionem habet, quam n l ad
l k & quoniam a cylindro uel cylindri portione, cuius gra
uitatis centrum e&longs;t l, aufertur pri&longs;ma ba&longs;im habens rectili
neam
dinis ex &longs;olidis portionibus
in linea k l protracta, & in puncto n; quod e&longs;t relin
quitur ergo, ut
tionis &longs;it quæ omnia
At uero cylindrum, uel cylindri
ad pri&longs;ma, cuius ba&longs;is e&longs;t rectilinea figura in &longs;pa
cio g h de&longs;cripta, & altitudo æqualis; eandem ha
figuram, hoc modo demon&longs;trabimus.
Intelligatur circulus, uel ellip&longs;is x æqualis figuræ rectili
neæ in g h &longs;pacio de&longs;criptæ. & ab x con&longs;tituatur conus, uel
coni portio,
lindri portio c e. Sit deinde rectilinea figura, in qua y eade,
quæ in &longs;pacio g h de&longs;cripta e&longs;t: & ab hac pyramis æqucalta
con&longs;tituatur. Dico
qualemni&longs;i enim &longs;it æqualis, uel maior, uel minor crit.
Sit primum maior, et exuperet &longs;olido z.
Itaque in circu
lo, uel ellip&longs;i x de&longs;cribatur figura rectilinea; & in ea pyra
mis candem, quam conus, uel coni portio altitudinem ha
bens, ita ut portiones relictæ minores &longs;int &longs;olido z, quem
admodum docetur in duodecimo libro elementorum pro
po&longs;itione undecima. erit pyramis x adhuc pyramide y ma
ior. & quoniam piramides æque altæ inter &longs;e &longs;unt, &longs;icuti ba
&longs;es; pyramis x ad piramidem y eandem proportionem ha
bet, quàm figura rectilinea x ad figuram y. Sed figura recti
linea x cum &longs;it minor circulo, uel cllip&longs;i, e&longs;t etiam minor fi
gura rectilinca y. ergo pyramis x pyramide y minor erit.
Sed & maior; quod ficri
At &longs;i conus, uel coni por
tio x ponatur minor pyramide y: &longs;it alter conus æque al
tus, uel altera coni portio X ip&longs;i pyramidi y æqualis. crit
eius ba&longs;is circulus, uel ellip&longs;is maior circulo, uel ellip&longs;i x,
quorum exce&longs;&longs;us &longs;it &longs;pacium
p&longs;i X figura rectilinea de&longs;cribatur, ita ut portiones relictæ
&longs;int
culo, uel ellip&longs;i x, hoc e&longs;t figura rectilinea y. & pyramis in
ca con&longs;tituta minor cono, uel coni portione X, hoc e&longs;t mi
nor pyramide y. e&longs;t ergo ut X figura rectilinea ad figuram
rectilineam y, ita pyramis X ad pyramidem y. quare cum
figura rectilinea X &longs;it maior figura y: erit & pyramis X py
ramide y maior. &longs;ed erat minor; quod rur&longs;us fieri non po
te&longs;t. non e&longs;t igitur conus, uel coni portio x neque maior,
neque minor pyramide y. ergo ip&longs;i nece&longs;&longs;ario e&longs;t æqualis.
Itaque quoniam ut conus ad conum, uel coni portio ad co
ni portionem, ita e&longs;t cylindrus ad cylindrum, uel cylin
dri portio ad cylindri portionem: & ut pyramis ad pyra
midem, ita pri&longs;ma ad pri&longs;ma, cum eadem &longs;it ba&longs;is, & æqua
lis altitudo; crit cylindrus uel cylindri portio x pri&longs;ma
ti y æqualis.
drus, uel cylindri portio c e ad cylindrum, uel cylindri por
tionem x. Con&longs;tat igitur cylindrum uel cylindri
c e, ad pri&longs;ma y, quippe cuius ba&longs;is e&longs;t figura rectilinea in
&longs;pacio g h de&longs;cripta, eandem proportionem habere, quam
&longs;pacium g h habet ad &longs;pacium x, hoc e&longs;t ad dictam figuram.
quod demon&longs;trandum fuerat.
m.
THEOREMA IX. PROPOSITIO IX.
Si pyramis &longs;ecetur plano ba&longs;i æquidi&longs;tante; &longs;e
ctio erit figura &longs;imilis ei, quæ e&longs;t ba&longs;is, centrum
grauitatis in axe habens.
SIT pyramis, cuius ba&longs;is triangulum a b c; axis d c: &
&longs;ecetur plano ba&longs;i æquidi&longs;tante; quod
a b c &longs;imile; cuius grauitatis centrum e&longs;t K.
duo plana æquidi&longs;tantia a b c, f g h &longs;ecantur à plano a b d;
communes corum &longs;ectiones a b, f g æquidi&longs;tantes erunt: &
cadem ratione æquidi&longs;tantes ip&longs;æ b c, g h: & c a, h f. Quòd
cum duæ lineæ f g, g h, duabus a b, b c æquidi&longs;tent, nec
fintin eodem plano; angulus ad g æqualis e&longs;t angulo ad
b. & &longs;imiliter angulus ad h angulo ad c:
qui ad a e&longs;t æqualis. triangulum igitur f g h &longs;imile e&longs;t tri
angulo a b c. Atuero punctum
tis trianguli f g h hoc modo o&longs;tendemus. Ducantur pla
na per axem, & per lineas d a, d b, d c: erunt communes &longs;e
ctiones f K, a e æquidi&longs;tantes:
quare angulus
e&longs;t æqualis. Eadem ratione
anguli ad g angulis ad b: &
anguli ad h iis, qui ad c æ
quales erunt. ergo puncta
e K in triangulis a b c, f g h
&longs;imiliter &longs;unt po&longs;ita, per &longs;e
xtam po&longs;itionem Archime
dis in libro de centro graui
tatis planorum. Sed cum e
&longs;it centrum grauitatis trian
guli a b c, erit ex undecima
propo&longs;itione eiu&longs;dem libri,
& K trianguli f g h grauita
tis centrum. id quod demon&longs;trare oportebat.
Non aliter
in ceteris pyramidibus, quod propo&longs;itum e&longs;t demon&longs;tra
PROBLEMA I. PROPOSITIO X.
DATA qualibet pyramide, fieri pote&longs;t, ut fi
gura &longs;olida in ip&longs;a in &longs;cribatur, & altera
batur
bentibus
magnitudine, quæ minor &longs;it
gnitudine propo&longs;ita.
Sit pyramis, cuius ba&longs;is
ba&longs;im habeat, & axem eun
dem. Itaque hoc pri&longs;ma
te continenter &longs;ecto bifa
riam, plano ba&longs;i
te,
ma quoddam minus pro
po&longs;ita magnitudine: quod
quidem ba&longs;im eandem ha
beat, quam pyramis, & a
xem e f. diuidatur d e in
partes æquales ip&longs;i e f in
punctis g h
diui&longs;iones plana
quæ ba&longs;ibus æquidi&longs;tent,
erunt &longs;ectiones, triangula
ip&longs;i a b c &longs;imilia, ut proxi
me o&longs;tendimus. ab uno
quoque
gulorum duo pri&longs;mata
&longs;truantur; unum quidem
ad partes e; alterum ad in pyramide igitur in&longs;cripta erit quædam figura,
ex pri&longs;matibus æqualem altitudinem habentibus
ad partes e: & altera circum&longs;cripta ad partes d. Sed unum
quodque eorum pri&longs;matum, quæ in figura in&longs;cripta conti
nentur, æquale e&longs;t pri&longs;mati, quod ab eodem fit triangulo in
figura circumícripta: nam pri&longs;ma p q pri&longs;mati p o e&longs;t æ
quale; pri&longs;ma s t æquale pri&longs;mati s r; pri&longs;ma x y pri&longs;mati
x u; pri&longs;ma
ma re
linquitur ergo, ut circum&longs;cripta figura exuperet
pri&longs;mate, quod ba&longs;im habet a b c triangulum, & axem e f.
Illud uero minus e&longs;t &longs;olida magnitudine propo&longs;ita.
ratione in&longs;cribetur, & circum&longs;cribetur &longs;olida figura in py
ramide, quæ quadrilateram, uel
PROBLEMA II. PROPOSITIO XI.
DATO cono, fieri pote&longs;t, ut figura &longs;olida in
&longs;cribatur, & altera circum&longs;cribatur ex cylindris
æqualem habentibus altitudinem, ita ut circum
&longs;cripta &longs;uperet in&longs;criptam, magnitudine, quæ &longs;o
lida magnitudine propo&longs;ita &longs;it minor.
SIT conus, cuius axis b d: & &longs;ecetur plano per axem
ducto, 'ut&longs;ectio &longs;it triangulum a b c:
drus, qui ba&longs;im eandem, & eundem axem habeat. Hocigi
tur cylindro continenter bifariam &longs;ecto, relinquetur cylin
drus minor &longs;olida magnitudine propo&longs;ita. Sit autem is cy
lindrus, qui ba&longs;im habet circulum circa diametrum a c, &
axem d e. Itaque diuidatur b d in partes æquales ip&longs;i d e
in punctis f g h K l m: & per ea ducantur plana conum &longs;e
cantia; quæ ba&longs;i æquidi&longs;tent. erunt &longs;ectiones circuli, cen
train axi habentes, ut in primo libro conicorum, propo&longs;i-Si igitur à &longs;ingu
lis horum circulorum, duo cylindri fiant; unus quidem ad
ba&longs;is partes; alter ad partes uerticis: in&longs;cripta erit in co
no &longs;olida quædam figura, & altera circum&longs;cripta ex cylin
dris æqualem altitudinem habentibus con&longs;tans; quorum
unu&longs;qui&longs;que, qui in
figura in&longs;cripta con
tinetur æqualis e&longs;t ei,
qui ab eodem fit cir
culo in figura
&longs;criptaItaque cylin
drus o p æqualis e&longs;t
cylindro o n; cylin
drus r s
cylindrus u x cylin
dro u t e&longs;t æqualis;
& alii aliis &longs;imiliter.
quare con&longs;tat
&longs;criptam
perare in&longs;criptam cy
lindro, cuius ba&longs;is e&longs;t
circulus circa diametrum a c, & axis d e. atque hic e&longs;t mi
nor &longs;olida magnitudine propo&longs;ita.
PROBLEMA III. PROPOSITIO XII.
DATA coni portione, pote&longs;t &longs;olida quædam
figura in&longs;cribi, & altera circum&longs;cribi ex cylindri
portionibus æqualem altitudinem habentibus;
ita ut circum&longs;cripta in&longs;criptam exuperet, magni
tudine, quæ minor fit &longs;olida magnitudine pro
po&longs;ita.
Figuram ciu&longs;modi, & in&longs;cribemus, &
ut in cono dictum e&longs;t.
PROBLEMA IIII. PROPOSITIO XIII.
DATA &longs;phæræ portione, quæ dimidia &longs;phæ
ra maior non &longs;it, pote&longs;t &longs;olida quædam portio in
&longs;cribi & altera circum&longs;cribi ex cylindris æqualem
altitudinem habentibus, ita ut circum&longs;cripta in
&longs;criptam excedat magnitudine, quæ &longs;olida ma
gnitudine propo&longs;ita &longs;it minor.
HOC etiam codem pror&longs;us modo &longs;iet: atque ut ab
Archimedc traditum e&longs;t in conoidum, & &longs;phæroidum por
tionibus, propo&longs;itione ulge&longs;imaprima libri de conoidi
bus, & &longs;phæroidibus.
THEOREMA X. PROPOSITIO XIIII.
Cuiuslibet pyramidis, & cuiuslibet coni, uel
coni portionis, centrum grauitatis in axe
SIT pyramis, cuius ba&longs;is triangulum a b c: & axis d e.
Dico in linea d e ip&longs;ius grauitatis centrum ine&longs;&longs;e.
Si enim
fieri pote&longs;t, &longs;it centrum f: & ab f ducatur ad ba&longs;im pyrami
dis linea f g, axi æquidi&longs;tans:
guli a b c producatur in h. quam uero proportionem ha
bet linea h e ad e g, habeat pyramis ad aliud &longs;olidum, in
quo K:
cum&longs;cribatur ex pri&longs;matibus æqualem habentibus altitu
dinem, ita ut circum&longs;cripta in&longs;criptam exuperet magnitu
dine, quæ &longs;olido k &longs;it minor. Et quoniam in pyramide pla
num ba&longs;i æquidi&longs;tans ductum &longs;ectionem facit figuram &longs;i
milem ei, quæ e&longs;t ba&longs;is;
tem: erit pri&longs;matis s t grauitatis
matis u x centrum in linea q p, pri&longs;inatis y z in linea p o;
pri&longs;matis
matis quare to-
dri portionibus, &longs;icuti dictum e&longs;t, ita ut exce&longs;&longs;us, quo &longs;igu
ra circum&longs;cripta in&longs;criptam &longs;uperat, &longs;it &longs;olido g minor.
Itaque centrum grauitatis cylindri, uel cylindri portionit
q r e&longs;t in linea p o; cylindri, uel cylindri portionis s t cen
trum in linea o n; centrum u x in linea n m; y z in m b;
in l k; ergo figu
ræ in&longs;criptæ centrum e&longs;t in linea p d. Sit autem
cta
rit axi æquidi&longs;tans, conueniat in
ad d f: & conus, &longs;eu coni portio ad exce&longs;&longs;um, quo circum
&longs;cripta figura in&longs;criptam &longs;uperat, habebit maiorem pro
portionem, quàm ergo ad partem exce&longs;&longs;us, quæ
intra ip&longs;ius &longs;uperficiem comprehenditur, multo m aiorem
proportionem habebit. habeat eam, quam
erit
tem, ut
cuius grauitatis centrum e&longs;t e, au&longs;ertur figura in&longs;cripta,
cuius centrum
te exce&longs;&longs;us, quæ intra coni, uel coni portionis &longs;uper&longs;iciem
continetur, centrum grauitatis erit in linea e protracta,
atque in puncto t. quod c&longs;t ab&longs;urdum.
grauitatis coni, uel coni portionis, e&longs;&longs;e in axc b d: quod de
mon&longs;trandum propo&longs;uimus.
THEOREMA XI. PROPOSITIO XV.
Cuiuslibet portionis &longs;phæræ uel &longs;phæroidis,
quæ dimidia maior non &longs;it:item&qacute;; cuiuslibet por
tionis conoidis, uel ab&longs;ci&longs;&longs;æ plano ad axem recto,
uel non recto, centrum grauitatis in axe con
&longs;i&longs;tit.
Demon&longs;tratio &longs;imilis erit ei, quam &longs;upra in cono, uel co
ni portione attulimus, ne toties eadem fru&longs;tra iterentur.
THEOREMA XII. PROPOSITIO XVI.
In &longs;phæra, & &longs;phæroidc idem e&longs;t grauitatis, &
figuræ centrum.
Secetur &longs;phæra, uel &longs;phæroides piano per axem ducto;
quod &longs;ectionem &longs;aciat circulum, uel cllip&longs;im a b c d, cuius
diameter, & &longs;phæræ, uel &longs;phæroidis axis d b; & centrum e.
Dico e grauitatis etiam centrum e&longs;&longs;e.
&longs;ecetur enim altero
plano per e, ad planum &longs;ecans recto, cuius &longs;ectio &longs;it circu
lus cir ca diametrum a ç. erunt a d c, a b c dimidiæ portio
nes &longs;phæræ, uel &longs;phæroidis. & quoniam portionis a d c gra
uitatis centrum e&longs;i in linead, & centrum portionis a b c in
ip&longs;a b c; totius &longs;phæræ, uel &longs;phæroidis grauitatis centrum
in a
tatis ponatur e&longs;&longs;c f & fiatip&longs;i f e æqualis e g.
tionis a b c centrum crit. &longs;olidis cnim figuris &longs;imilibus &
æqntra g.
auitatis ip&longs;arum in
ter ex quo fit, ut magnitudinis, quæ
ex utilique
uitatis centrum &longs;it in medio lincæ f g uid liSphæ
ræ igitur, uel &longs;phæroidis grauitatis centrum e&longs;tidem, quod
centrum figuræ.
tition
medis.
Ex demon&longs;tratis per&longs;picue apparet, portioni
&longs;phæræ uel &longs;phæroidis, quæ dimidia maier e&longs;t,
trum grauitatis in axe con&longs;i&longs;tere.
Data cnim
qualibet maio
ri
ræ, uel &longs;phæroi
dis grauitatis
centrum e&longs;t in
axe; e&longs;t autem
& in axe cen
trum portio
nis minoris:
reliquæ portionis uidelicet maioris centrum in axe nece&longs;
&longs;ario con&longs;i&longs;tet.
THEOREMA XIII. PROPOSITIO XVII.
Cuiuslibet pyramidis
gularem ba&longs;im
uitatis centrum e&longs;t in pun
cto, in quo ip&longs;ius axes con
ueniunt.
Sit pyramis, cuius ba&longs;is trian
gulum a b c, axis d e:
guli b d c grauitatis centrum f:
& iungatur a &longs;. crit & a faxis eiu&longs;
dem pyramidis ex tertia diffini
tione huius. Itaque quoniam centrum grauitatis e&longs;t in
axe d e; e&longs;t autem & in axe a f; &qgrave;uod proxime demon&longs;traui
g. in quo &longs;cilicet ip&longs;i axes conueniunt.
THEOREMA XIIII. PROPOSITIO XVIII.
SI &longs;olidum parallelepipedum &longs;ecetur plano
ba&longs;ibus æquidi&longs;tante; erir &longs;olidum ad &longs;olidum,
&longs;icut altitudo ad altitudinem, uel &longs;icut axis ad
axem.
Sit &longs;olidum parallelepipe
dum a b c d e f g h, cuius axis
k l:
æquidi&longs;tante, quod faciat
&longs;ectionem m n o p; & axi in Dico
&longs;olidum g m ad &longs;olidum m c
eam proportionem habere,
quam altitudo &longs;olidi g m ha
bet ad &longs;olidi m c altitudi
nem; uel quam axis
axem q l. Si enim axis K l ad
ba&longs;is planum &longs;it perpendicu
laris, & linea g c, quæ ex quin
ta huius ip&longs;i k l æquidi&longs;tat,
perpendicularis erit ad
planum, & &longs;olidi altitudi
nem dimetietur. Itaque &longs;o
lidum gm ad &longs;olidum m c
eam proportionem habet,
quam parallelogram
ad parallelo grammum n c,
hoce&longs;t quam linea g o, quæ
axis k q ad q l axem. Si uero axis k l non &longs;it perpendicularis
ad planum ba&longs;is; ducatur a puncto
pendicularis &longs;imiliter
mon&longs;trabimus
ad axem q l. Sed ut K q ad q l, ita
nem s r; nam lineæ K l, K r à planis æquidi&longs;tantibus in ea&longs;
dem proportiones &longs;ecantur. ergo &longs;olidum g m ad &longs;olidum
m c
dinemquod
cin
THEOREMA XV. PROPOSITIO XIX.
Solida parallelepipeda in eadem ba&longs;i, uel in
æqualibus ba&longs;ibus con&longs;tituta eam inter &longs;e propor
tionem habent, quam altitudines: & &longs;i axes ip&longs;o
rum cum ba&longs;ibus æquales angulos contineant,
eam quoque, quam axes proportionem
Sint &longs;olida parallelepipeda in
a b e f: & &longs;it &longs;olidi a b c d altitudo minor: producatur au
tem planum c d adeo, ut&longs;olidum a b e f &longs;ecet; cuius &longs;ectio
&longs;it gh.
da a b c d, a b g h
in eadem ba&longs;i,
& æquali altitu
dine inter &longs;e æ
qualia.
igitur &longs;olidum
a b e f &longs;ecatur
plano ba&longs;ibus
&longs;olidum g h e f
adip&longs;um a b g h
que &longs;olidum a b g h, hoc e&longs;t &longs;olidum a b c d ip&longs;i æquale, ad
&longs;olidum a b e f, ut altitudo &longs;olidi a b c d ad &longs;olidi a b e f al
titudinem.
cim
Sint &longs;olida parallelcpipeda a b, c d in æqualibus ba&longs;ibus
con&longs;tituta:
d f; quæ quidem maior &longs;it, quàm b e. Dico &longs;olidum a b ad
&longs;olidum c d eandem habere proportionem, quam b e ad
d f. ab&longs;cindatur enim à linea d f æqualis ip&longs;i b e, quæ &longs;it g f:
& per g ducatur planum &longs;ecans &longs;olidum c d; quod ba&longs;ibus
æquidi&longs;tet, K. crunt &longs;olida a b, c
alta inter
&longs;e æqualia
les ba&longs;es
habeant.
Sed
h d ad &longs;oli
dum c K
e&longs;t, ut alti
tudo d g
ad g
tudinem
catur enim &longs;olidum c d plano ba&longs;i
bus æquidi&longs;tante: & rur&longs;us
nende
ad &longs;olidum c d, ut g f ad f d. ergo
&longs;olidum a b, quod e&longs;t æquale ip&longs;i
c
nem habet, quam altitudo g f, hoc
e&longs;t b e ad d f altitudinem.
cimi
Sint deinde &longs;olida parallelepipe
da a b, a c in eadem ba&longs;i; quorum
axes d e, &longs; e cum ip&longs;a æquales angu Dico &longs;olidum a b ad &longs;olidum a c e idem ha
bere proportionem, quam axis d e ad axem e f. Si enini
axes in eadem recta linea fuerint con&longs;tituti, bæc dao lo'i
da, in unum, atque idem &longs;olidum conuenient. quare
iis, quæ proxime tradita &longs;unt, habebit &longs;olidum a b ad &longs;o
lidum a c eandem proportionem, quam axis d e ad e f
axem. Si uero axes non &longs;int in eadem recta linea, demittan
tur a punctis d, &longs; perpendiculares ad ba&longs;is planum, d g, fh:
& jungantur e g, e h. Quoniam igitur axes cum ba&longs;ibus
æquales angulos continent, erit d e g angulus æqualis an
gulo f e h: & &longs;unt
anguli ad g h re
cti, quare & re
liquus e d g æqua
lis erit reliquo
e fh: & triangu
lum d e g
loer
go g d ad d e e&longs;t',
ut h f ad fe: & per
mutando g d ad
h f, ut d e ad c f.
Sed &longs;olidum a b
ad &longs;olidum a c
candem propor
tionem habet,
quam d g altitu
do ad
f h. ergo &
dem
axis d e a l e
Po&longs;tremo &longs;int
&longs;olidi paral le pi
peda a b, c d in
gulos faciant. Dico &longs;olidum a b
e f ad axem g h: nam &longs;i axes ad planum ba&longs;is recti &longs;int, il
lud per&longs;picue con&longs;tat: quoniam eadem linea, & axem & &longs;oli
di altitudinem determinabit. Si uero &longs;int inclinati, à pun
ctis e g ad &longs;ubiectum planum perpendiculares ducantur
e k, g l: & iungantur fk, h l. rur&longs;us quoniam axes cum ba
&longs;ibus æquales faciunt angulos, eodem modo demon&longs;trabi
tur, triangulum e f K triangulo g h l &longs;imile e&longs;&longs;e: & e
ut e f ad g h. Solidum autem a b ad &longs;olidum c d e&longs;t, ut
e K ad g l. ergo & ut axis e f ad axem g h.
quæ omnia de
mon&longs;trarc oportebat.
Ex iis quæ demon&longs;trata &longs;unt, facile con&longs;tare
pote&longs;t, pri&longs;mata omnia & pyramides, quæ trian
gulares ba&longs;es habent, &longs;iue in ei&longs;dem, &longs;iue in æqua
libus ba&longs;ibus con&longs;tituantur, eandem proportio
nem habere, quam altitudines: & &longs;i axes cum ba
&longs;ibus æquales angulos contineant, &longs;imiliter ean
dem, quam axes, habere proportionem: &longs;unt
enim &longs;olida parallelepipeda pri&longs;matum triangula
res ba&longs;es
cimi.
cimi.
THEOREMA XVI. PROPOSITIO XX.
Pri&longs;mata omnia & pyramides, quæ in ei&longs;dem,
uel æqualibus ba&longs;ibus con&longs;tituuntur, eam inter
&longs;e proportionem habent, quam altitudines: & &longs;i
axes cum ba&longs;ibus faciant angulos æquales, eam
etiam, quam axes habent proportionem.
Sint duo pri&longs;mata a e, a f, quorum eadem ba&longs;is quadri
latera a b c d:
a f altitudo f h. Dico pri&longs;ma a e ad pri&longs;ma a f eam habere
proportionem, quam e g ad f h. iungatur enim a c: & in
unoquoque pri&longs;mate duo pri&longs;mata intelligantur, quorum
ba&longs;es &longs;int triangu
la a b c, a c d. habe
bunt duo pri&longs;ma
te in eadem ba&longs;i
a b c con&longs;tituta,
proportionem
dem, quam ip&longs;o
rum altitudines e
g, f h, ex iam de
mon&longs;tratis. & &longs;i
militer alia duo,
quæ &longs;unt in ba&longs;i a
c d. quare totum pri&longs;ma a e ad pri&longs;ma a f eandem propor
tionem habebit, quam altitudo e g ad f h altitudinem.
Quòd cum pri&longs;mata &longs;int pyramidum tripla, & ip&longs;æ pyrami
des, quarum eadem e&longs;t ba&longs;is quadrilatera, & altitudo pri&longs;
matum altitudini æqualis, eam inter &longs;e proportionem ha
bebunt, quam altitudines.
Si uero pri&longs;mata ba&longs;es æquales habeant,
duo eiu&longs;modi pri&longs;mata a e, f l: & &longs;it ba&longs;is pri&longs;matis a e qua
drilaterum a b c d; & pri&longs;matis f l quadrilaterum f g h k.
Dico pri&longs;ma a e ad pri&longs;ma f l ita e&longs;&longs;e, ut altitudo illius ad
huius altitudinem. nam &longs;i altitudo &longs;it eadem,
duæ pyramides a b c d e, f g h k l. quæ
cum æquales ba&longs;es, & altitudinem eandem habeant. quare
& pri&longs;mata a e, f l, quæ &longs;unt
lia &longs;int nece&longs;&longs;e e&longs;t. ex quibus per&longs;picue con&longs;tat
Si uero altitudo pri&longs;matis f l &longs;it maior, à pri&longs;mate f l ab
&longs;cindatur pri&longs;ma fm, quod æque altum &longs;it,
erunt eædem ra
tione pri&longs;mata a
e, f m inter &longs;e æ
qualia. quare &longs;i
militer demon
&longs;trabitur pri&longs;ma
f m ad pri&longs;ma f l
eandem habere
proportionem,
quam pri&longs;matis
f m altitudo ad
altitudinem ip
&longs;ius f l. ergo & pri&longs;ma a e ad pri&longs;ma f l eandem propor
tionem habebit, quam altitudo ad altitudinem. &longs;equitur
igitur ut & pyramides, quæ in æqualibus ba&longs;ibus
tur, eandem inter &longs;e &longs;e, quam altitudines, proportionem
habeant.
cimi
Sint deinde pri&longs;mata a e, a f in eadem ba&longs;i a b c d;
axes cum ba&longs;ibus æquales angulos contineant: & &longs;it pri&longs;Dico pri&longs;ma
a e ad pri&longs;ma a f eam proportionem habere, quam g h ad
h l. ducantur à punctis g l perpendiculares ad ba&longs;is pla
num g K, l m: & iungantur k h,
h m. Itaque quoniam anguli g h
k, l h m &longs;unt æquales, &longs;imiliter ut
&longs;upra demon&longs;trabimus, triangu
la g h K, l h m &longs;imilia e&longs;&longs;e; & ut g
K ad l m, ita g h ad h l. habet au
tem pri&longs;ma a e ad pri&longs;ma a f ean
dem proportionem, quam altitu
do g K ad altitudinem l m, &longs;icuti
demon&longs;tratum e&longs;t. ergo & can
dem habebit, quam g h, ad h l. py
ramis igitur a b c d g ad pyrami
dem a b c d l eandem proportio
nem habebit, quam axis g h ad h l axem.
Denique &longs;int pri&longs;mata a e,
c d, k l m n con&longs;tituta; quorum axes cum ba&longs;ibus æquales
faciant angulos:
pri&longs;matis autem k o axis p q, & altitudo p r. Dico pri&longs;ma
a e ad pri&longs;ma
ad p r. &longs;ed pri&longs;ma a e ad ip&longs;um
ergo
& ut f g axis ad axem p
ad
dem
eandem ha
beat pro
portion&etilde;, quod
Simili ra
tione in a
liis pri&longs;ma
tibus & py
ramidibus eadem demon&longs;trabuntur.
THEOREMA XVII. PROPOSITIO XXI.
Pri&longs;mata omnia, & pyramides inter &longs;e propor
tionem habent compo&longs;itam ex proportione ba
&longs;ium, & proportione altitudinum.
Sint duo pri&longs;mata a e, g m:
drilaterum a b c d, & altitudo e f: pri&longs;matis uero g m ba
&longs;is quadrilaterum g h K l, & altitudo m n. Dico pri&longs;ma a e
ad pri&longs;ma g m proportionem habere compo&longs;itam ex pro
portione ba&longs;is a b c d ad ba&longs;im g h k l, & ex proportione
altitudinis e f, ad altitudinem m n.
Sint enim primum e f, m n æquales: & ut ba&longs;is a b c d
ad ba&longs;im g h
ut autem e f ad m n, ita linea p ad lineam
p q inter &longs;e æquales. Itaque pri&longs;ma a e ad pri&longs;ma g m
&longs;i enim intelligantur duæ pyramides a b c d e, g h k l m, ha
bebunt hæ inter &longs;e proportionem eandem, quam ip&longs;ar um
ba&longs;es ex &longs;exta duodecimi elementorum. Sed ut ba&longs;is a b c d
ad g h K l ba&longs;im, ita linea o ad lineam p; hoc e&longs;t ad lineam q
ei æqualem. ergo pri&longs;ma a e ad pri&longs;ma g m e&longs;t, ut linea o
ad lineam
portione o ad p, & ex proportione p ad
a e ad pri&longs;ma g m, & idcirco pyramis a b c d e, ad pyrami
dem g h K l m proportionem habet ex ei&longs;dem proportio
nibus compo&longs;itam, uidelicet ex proportione ba&longs;is a b c d
ad ba&longs;im g h K l, & ex proportione altitudinis e f ad m n al
titudinem. Quòd &longs;i lineæ e f, m n inæquales ponantur, &longs;it
e f minor: & ut e f ad m n, ita fiat linea p ad lineam u: de
inde ab ip&longs;a m n ab&longs;cindatur r n æqualis e f: & per r duca
tur planum, quod oppo&longs;itis planis æquidi&longs;tans faciat &longs;e
ctionem s t. erit pri&longs;ma a e, ad pri&longs;ma g t, ut ba&longs;is a b c d
ad ba&longs;im g h k l; hoc e&longs;t ut o ad p: ut autem pri&longs;ma g t ad
pri&longs;ma g m, ita altitudo r n; hoc e&longs;te f ad altitudine m n;
uidelicet linea p ad lineam u. ergo ex æquali pri&longs;ma a e ad
pri&longs;ma g m e&longs;t, ut linea o ad ip&longs;am u. Sed proportio o ad
u
ad ba&longs;im g h
nis e f ad altitudinem m n. pri&longs;ma igitur a e ad pri&longs;ma g m
& proportione altitudinum. Quare & pyramis, cuius ba
&longs;is e&longs;t quadrilaterum a b c d, & altitudo e f ad pyramidem,
cuius ba&longs;is quadrilaterum g h K l, & altitudo m n, compo&longs;i
tam habet proportionem ex proportione ba&longs;ium a b c d,
g h k l, & ex proportione altitudinum e f, m n. quod qui
dem demon&longs;tra&longs;&longs;e oportebat.
Ex iam demon&longs;tratis per&longs;picuum e&longs;t, pri&longs;ma
ta omnia, & pyramides, in quibus axes cum ba&longs;i
bus æquales angulos continent, proportionem
habere compo&longs;itam ex ba&longs;ium proportione, &
proportione axium. demon&longs;ttatum e&longs;t enim, a
xes inter &longs;e eandem proportionem habere, quam
ip&longs;æ altitudines.
THEOREMA XVIII. PROPOSITIO XXII.
CVIVSLIBEt pyramidis, & cuiuslibet coni,
ditur, ut pars, quæ terminatur ad uerticem reli
quæ partis, quæ ad ba&longs;im, &longs;it tripla.
Sit pyramis, cuius ba&longs;is triangulum a b c; axis d e; & gra
uitatis centrum K. Dico lineam d k ip&longs;ius K e triplam e&longs;&longs;e.
trianguli enim b d c centrum grauitatis &longs;it punctum f;
guli a d c
b g, c h. Quoniam igitur
nient omnes in
Itaque animo concipiamus hanc pyramidem diui&longs;am in
quatuor pyramides, quarum ba&longs;es &longs;int ip&longs;a pyramidis
triangula; &
ctum k quæ quidem py
ramides inter &longs;e æquales
&longs;unt, ut
Ducatur
d c, d e planum
&longs;it ip&longs;ius, & ba&longs;is a b c
munis &longs;ectio recta linea
c e l:
guli
erit linea al æqualis ip&longs;i
l b: nam centrum graui
tatis trianguli con&longs;i&longs;tit
in linea, quæ ab angulo
ad dimidiam ba&longs;im per
ducitur, ex tertia deci
ma Archimedis. quare
triangulum a c l æquale
e&longs;t triangulo b c l: & propterea pyramis, cuius ba&longs;is trian
gulum a c l, uer tex d, e&longs;t æqualis pyramidi, cuius ba&longs;is b c l
triangulum, & idem uertex. pyramides enim, quæ ab
ba&longs;es. eadem ratione pyramis a c l k pyramidi b c l
ramis a d l k ip&longs;i b d l Itaque &longs;i a py
ramide a c l d auferantur pyramides a c l k, a d l k: & à pyra
mide b c l d
quuntur erunt æqualia. æqualis igitur e&longs;t pyramis a c d
pyramidi b c d K. Rur&longs;us &longs;i per lineas a d, d e ducatur pla
num quod pyramidem &longs;ccet:
&longs;ectio a e m: &longs;imiliter o&longs;tendetur pyramis a b d K æqualis
pyramidi a c d k. ducto denique alio plano per lineas c a,
a f: ut eius, & trianguli c d b communis &longs;ectio &longs;it c fn, py
ramis a b c k pyramidi a c d
ergo tres pyramides b c d k, a b d k, a b c k uni, & eidem py
ramidi a c d k &longs;int æquales, omnes inter &longs;e &longs;e æquales
Sed ut pyramis a b c d ad pyramidem a b c
axem
pyramides in eadem ba&longs;i, & axes cum ba&longs;ibus æquales con
tinent angulos, quòd in eadem recta linea con&longs;tituantur.
quare diuidendo, ut tres pyramides a c d k, b c d K, a b d K
ad pyramidem a b c K, ita d k ad K e. con&longs;tat igitur lineam
d K ip&longs;ius K e triplam e&longs;&longs;e. &longs;ed & a
b K ip&longs;ius K g: & c quod eodem modo
demon&longs;trabimus.
cim
Sit pyramis, cuius ba&longs;is quadrilaterum a b c d; axis e f:
& diuidatur e fin g, ita ut e g ip&longs;ius g f &longs;it tripla. Dico cen
trum grauitatis pyramidis e&longs;&longs;e punctum g. ducatur enim
linea b d diuidens ba&longs;im in duo triangula a b d, b c d: ex
quibus
&longs;itque pyramidis a b d e axis e h; & pyramidis b c d e axis
e K: & iungatur h K, quæ per f tran&longs;ibit: e&longs;t enim in ip&longs;a h K
centrum grauitatis magnitudinis compo&longs;itæ ex triangulis
a b d, b c d, hoc e&longs;t ip&longs;ius quadrilateri. Itaque centrum gra
uitatis pyramidis a b d e &longs;it punctum l: & pyramidis b c d e
&longs;it m. ducta igitur l m ip&longs;i h m lineæ æquidi&longs;tabit.
nam el ad
cet triplam. quare lineal m ip&longs;am e f &longs;ecabit in punctog:
etenim e g ad g f e&longs;t, ut el adlh. præterea quoniam h k, l m
æquidi&longs;tant, erunt triangula h e f, l e g &longs;imilia:
&longs;e &longs;imilia fe
gm. ergo uth fadl g, ita f
ad f K, ital g ad gm. &longs;ed cum h &longs;it centrum trianguli a b d;
&
centrum: erit ex 8. Archimedis de centro grauitatis plano
rum h fad f
autem bcd triangulum ad triangulum a b d, ita pyramis
b c d e ad pyramidem a b d e. ergo
linea lg ad gm erit, ut pyramis
b c d e ad ex quo
&longs;equitur, ut totius pyramidis
a b c d e punctum g &longs;it grauitatis
centrum. Rur&longs;us &longs;it pyramis ba
&longs;im habens pentagonum a b c d e:
& axem f g:
cto h, ita ut fh ad h g triplam habe
at proportionem. Dico h grauita
tis
iungatur enim e b:
pyramis, cuius uertex f, & ba&longs;is
triangulum a b e: & alia pyramis
intelligatur eundem uerticem ha
bens, & ba&longs;im b c d e
&longs;it autem pyramidis a b e faxis f
& grauitatis centrum l: & pyrami
dis b c d e faxis f m, & centrum gra
quæ per puncta g h tran&longs;ibunt.
Rur&longs;us eodemmodo, quo &longs;up ra,
demon&longs;trabimus lineas K g m, l h n &longs;ibiip&longs;is æquidi&longs;tare:
centrum, & ita in alils.
Sit conus, uel coni portio axem habens b d: &longs;eceturque
plano per axem, quod &longs;ectionem faciat triangulum a b c:
& b d axis diuidatur in c, ita ut be ip&longs;ius ed &longs;it tripla.
Dico punctum e coni, uel coni portionis, grauitatis
e&longs;&longs;e centrum. Sienim fieri pote&longs;t, &longs;itcentrum f: & pro
ducatur e f extra figuram in g. quam uero proportionem
habet g e ad e f, habeat ba&longs;is coni, uelconi portionis, hoc
e&longs;t circulus, uel ellip&longs;is circa diametrum ac ad aliud &longs;pa
cium, in quo h. Itaque in circulo, uel ellip&longs;i plane de&longs;cri
batur rectilinea figura a x l m c n o p, ita ut quæ
tur
mis ba&longs;im habens rectilineam figuram a K l m c n o p, &
axem b d; cuius quidem grauitatis centrum erit punctum
e, utiam demon&longs;trauimus. Et quoniam portiones &longs;unt
minores &longs;pacio h, circulus, uel ellip&longs;is ad portiones ma
iorem proportionem habet, quam g e ad e f. &longs;ed ut circu
lus, uel ellip&longs;is ad figuram rectilineam &longs;ibi in&longs;criptam, ita
conus, uel coni portio ad pyramidem, quæ figuram rectili
neam pro ba&longs;i habet; & altitudinem æqualem: etenim &longs;u
pra demon&longs;tratum e&longs;t, ita e&longs;&longs;e cylindrum, uel cylindri por
tionem ad pri&longs;ma, cuius ba&longs;is rectilinea figura, & æqua
lis altitudo. ergo per conuer&longs;ionem rationis, ut circulus,
uel ellip&longs;is ad portiones, ita conus, uel coni portio ad por
tiones &longs;olidas. quare conus uel coni portio ad portiones
&longs;olidas maiorem habet proportionem, quam g e ad e f: &
diuidendo, pyramis ad portiones &longs;olidas maiorem pro
portionem habet, quam g f ad f e. fiatigitur q f ad f e
ut pyramis ad dictas portiones. Itaque quoniam a cono
uel coni portione, cuius grauitatis centrum e&longs;t f, aufer
tur pyramis, cuius centrum e; reliquæ magnitudinis,
quæ ex &longs;olidis portionibus con&longs;tat, centrum grauitatis
erit in linea e f protracta, & in puncto
non pote&longs;t: e&longs;t enim centrum grauitatis intra. Con&longs;tat
igitur coni, uel coni portionis grauitatis centrum e&longs;&longs;e pun
ctum e. quæ omnia demon&longs;trare oportebat.
THEOREMA XIX. PROPOSITIO XXIII.
QVODLIBET fru&longs;tum à pyramide, quæ
triangularem ba&longs;im habeat, ab&longs;ci&longs;&longs;um, diuiditur
in tres pyramides proportionales, in ea proportio
ne, quæ e&longs;t lateris maioris ba&longs;is ad latus minoris
ip&longs;i re&longs;pondens.
Hoc demon&longs;trauit Leonardus Pi&longs;anus in libro, qui de
praxi geometriæ in&longs;cribitur. Sed quoniam is adhuc im
pre&longs;&longs;us non e&longs;t, nos ip&longs;ius demon&longs;trationem breuiter
per&longs;tringemus, rem ip&longs;am &longs;ecuti, non uerba. Sit fru
&longs;tum pyramidis a b c d e f, cuius maior ba&longs;is triangulum
a b c, minor d e f: & iunctis ae, cc, cd, per, line
as a e, e c ducatur planum &longs;ecans fru&longs;tum: itemque per
lineas e c, c d; & per cd, da alia plana ducantur, quæ
diuident fru&longs;tum in trcs pyramides a b c e, a d c e, d e f c.
teris a b adlatus d e, itaut earum maior &longs;it a b c e, me
dia a d c e, & minor d e f c. Quoniam enim lineæ d e,
a b æquidi&longs;tant; & interip&longs;as &longs;unt triangula a b e, a d e;
erit triangulum a b e
ad triangulum a b e,
utlinea a b ad lineam
d e. ut autem triangu
lum a b e ad triangu
lum a b e, ita pyramis
a b e c ad pyramidem
a d e c: habent enim
altitudinem eandem,
quæ e&longs;tà puncto c ad
planum, in quo qua
drilaterum a b e d. er
go ut a b ad d e, ita pyramis a b e c ad pyramidem a d e c.
Rur&longs;us quoniam æquidi&longs;tantes &longs;unt a c, d f; erit eadem
ratione pyramis a d c e ad pyramidem c d fe, ut ac ad
d f. Sed ut a c a l d f, ita a b ad d e, quoniam triangula
a b c, d e f &longs;imilia &longs;unt, ex nona huius. quare ut pyramis
a b c e ad pyramidem a b c e, ita pyramis a d c e ad ip&longs;an
d e f c. fru&longs;tum igitur a b c d e f diuiditur in tres pyramides
proportionales in ea proportione, quæ e&longs;t lateris a b ad d e
latus, & earum maior e&longs;t c a b e, media a d c e, & minor
d e f c. quod demon&longs;trare oportebat.
mi.
PROBLEMA V. PROPOSITIO XXIIII.
QVODLIBET fru&longs;tum pyramidis, uel coni,
uel coni portionis, plano ba&longs;i æquidi&longs;tanti ita &longs;e
care, ut &longs;ectio &longs;it proportionalis inter maiorem,
& minorem ba&longs;im.
SIT fru&longs;tum pyramidis a e, cuius maior ba&longs;is triangu
lum a b c, minor d e f: & oporteat ip&longs;um plano, quod ba&longs;i
æquidi&longs;tet, ita &longs;ecare, ut &longs;ectio &longs;it proportionalis inter
gula a b c, d e f. Inueniatur inter lineas a b, d e media pro
portionalis, quæ &longs;it b g: & à puncto g erigatur g h æquidi
&longs;tans b e,
ba&longs;ibus æquidi&longs;tans, cuius &longs;ectio &longs;it triangulum h k l. Dico
triangulum h K l proportionale e&longs;&longs;e inter triangula a b c,
d e f, hoc e&longs;t triangulum a b c ad
triangulum h K l eandem habere
proportionem, quam
h K l ad ip&longs;um d e f.
lineæ a b, h K æquidi&longs;tantium pla
norum &longs;ectiones inter &longs;e æquidi
&longs;tant: atque æquidi&longs;tant b k, gh:
linea h k ip&longs;i g b e&longs;t æqualis: & pro
pterea proportionalis inter a b,
d e. quare ut a b ad h K, ita e&longs;t h
ad de. fiat ut h k ad d e, ita d e
ad aliam lineam, in qua &longs;it m. erit
ex æquali ut a b ad d e, ita h k ad
m. Et quoniam triangula a b c,
h K l, d e f &longs;imilia &longs;unt;
a b c ad triangulum h
nea a b ad lineam d e:
autem h ergo triangulum
a b c ad triangulum h k l eandem proportionem habet,
quam triangulum h K l ad ip&longs;um d e f. Eodem modo in a
liis fru&longs;tis pyramidis idem demon&longs;trabitur.
cim
coin
Sit fru&longs;tum coni, uel coni portionis a d: & &longs;ecetur plano
per axem, cuius &longs;ectio &longs;it a b c d, ita ut maior ip&longs;ius ba&longs;is &longs;it
circulus, uel ellip&longs;is circa diametrum a b; minor circa c d.
Rur&longs;us inter lineas a b, c d inueniatur proportionalis b e:
& ab e ducta e f æquidi&longs;tante b d, quæ lineam c a in f &longs;ecet,
culus, uel ellip&longs;is circa diametrum f g. Dico &longs;ectionem a b
ad &longs;ectionem f g eandem proportionem habere, quam f g
ad ip&longs;am c d. Simili enim ratione, qua &longs;upra, demon&longs;trabi
tur quadratum a b ad quadratum f g ita e&longs;&longs;e, ut
f g ad c d quadratum. Sed circuli inter &longs;e eandem propor
tionem habent, quam diametrorum quadrata. ellip&longs;es au
tem circa a b, f g, c d, quæ &longs;imiles &longs;unt, ut o&longs;tendimus in
mentariis
& &longs;phæroidibus, eam
ta diametrorum, quæ eiu&longs;dem rationis &longs;unt, ex corollaio
&longs;eptimæ propo&longs;itionis eiu&longs;dem li
bri. ellip&longs;es enim nunc appello ip
&longs;a &longs;pacia ellip&longs;ibus contenta. ergo
circulus, uel ellip&longs;is a b ad
uel ellip&longs;im f g eam proportionem
habet, quam circulus, uel ellip&longs;is
f g ad circulum uel ellip&longs;im c d.
quod quidem faciendum propo
&longs;uimus.
THEOREMA XX. PROPOSITIO XXV.
QVODLIBET fru&longs;tum pyramidis, uel coni,
uel coni portionis ad pyramidem, uel conum, uel
coni portionem, cuius ba&longs;is eadem e&longs;t, & æqualis
altitudo, eandem
que ba&longs;es, maior, & minor &longs;imul &longs;umptæ vnà
ca, quæ inter ip&longs;as &longs;it proportionalis, ad ba&longs;im ma
iorem.
SIT
cuius maior ba&longs;is a b, minor c d. & &longs;ecetur altero plano
ba&longs;i æquidi&longs;tante, ita ut &longs;ectio e f &longs;it proportionalis inter
ba&longs;es a b, c d. con&longs;tituatur
ni portio a g b, cuius ba&longs;is &longs;it eadem, quæ ba&longs;is maior fru
&longs;ti, & altitudo æqualis. Di
co fru&longs;tum a d ad pyrami
dem, uel conum, uel coni
portionem a g b eandem
utræque ba&longs;es, a b, c d unà
cum e f ad ba&longs;im a b. e&longs;t
enim fru&longs;tum a d æquale
pyramidi, uel cono, uel co
ni portioni, cuius ba&longs;is ex
tribus ba&longs;ibus a b, e f, c d
con&longs;tat; & altitudo ip&longs;ius
altitudini e&longs;t æqualis: quod mox o&longs;tendemus. Sed pyrami
des, coni, uel coni
quæ &longs;unt æquali altitudine,
proportionem habent, &longs;icu
ti demon&longs;tratum e&longs;t, partim
ab Euclide in duodecimo li
bro elementorum, partim à
nobis in
decimam
chimedis de conoidibus, &
&longs;phæroidibus. quare pyra
mis, uel conus, uel coni por
tio, cuius ba&longs;is e&longs;t tribus illis
ba&longs;ibus æqualis ad a g b eam
habet proportionem, quam
ba&longs;es a b, e f, c d ad a b ba&longs;im. Fru&longs;tum igitur a d ad a g b
portionem habet, quam ba&longs;es a b, c d unà cum e f ad ba
&longs;im a b. quod demon&longs;trare uolebamus.
decin
Fru&longs;tum uero a d æquale e&longs;&longs;e pyramidi, uel co
no, uel coni portioni, cuius ba&longs;is con&longs;tat ex ba&longs;i
bus a b, c d, e f, & altitudo fru&longs;ti altitudini e&longs;t æ
qualis, hoc modo o&longs;tendemus.
Sit fru&longs;tum pyramidis a b c d e f, cuius maior ba&longs;is trian
gulum a b c; minor d e f: & &longs;ecetur plano ba&longs;ibus æquidi
&longs;tante, quod &longs;ectionem faciat triangulum g h
gula a b c, d e f proportionale. Iam ex iis, quæ demon&longs;trata
&longs;unt in 23. huius, patet fru&longs;tum a b c d e f diuidi in tres pyra
mides proportionales; & earum maiorem e&longs;&longs;e
a b c d ergo pyramis à triangulo g h k
con&longs;tituta, quæ altitudinem habeat fru&longs;ti altitudini æqua
lem, proportionalis e&longs;t inter pyramides a b c d, d e f b: &
idcirco fru&longs;tum a b c d e f tribus dictis pyramidibus æqua
le erit. Itaque &longs;i intelligatur alia pyra
mis æque alta, quæ ba&longs;im habeat ex tri
bus ba&longs;ibus a b c, d e f, g h k con&longs;tan
tem; per&longs;picuum e&longs;t ip&longs;am ei&longs;dem py
ramidibus, & propterea ip&longs;i fru&longs;to æ
qualem e&longs;&longs;e.
Rur&longs;us &longs;it fru&longs;tum pyramidis a g, cu
ius maior ba&longs;is quadrilaterum a b c d,
minor e f g h: & &longs;ecetur plano ba&longs;i
bus æquidi&longs;tante, ita ut fiat &longs;ectio qua
drilaterum K l m n, quod &longs;it proportio
nale inter quadrilatera a b c d, e f g h. Dico pyramidem,
cuius ba&longs;is &longs;it æqualis tribus quadrilateris a b c d, k l m n,
e f g h, & altitudo æqualis altitudini fru&longs;ti, ip&longs;i fru&longs;to a g
æqualem e&longs;&longs;e. Ducatur enim planum per lincas f b, h d,
bentia, uidelicet in fru&longs;tum a b d e f h, & in
erit triangulum
e f h: & triangulum l m n proportionale inter b c d, f g h.
&longs;ed pyramis æque alta, cuius ba&longs;is con&longs;tat ex tribus trian
gulis a b d, k l n, e f h, demon&longs;trata
e&longs;t fru&longs;to a b d c f h æqualis. & &longs;i
militer pyramis, cuius ba&longs;is con
&longs;tat ex triangulis b c d, l m n, f g h
æqualis fru&longs;to b c d f g h: compo
nuntur autem tria quadrilatera a
b c d, k l m n, e f g h è &longs;ex triangu
lis iam dictis. pyramis igitur ba
&longs;im habens æqualem tribus qua
drilateris, & altitudinem eandem
ip&longs;i fru&longs;to a g e&longs;t æqualis. Eodem
modo illud
eiu&longs;modi fru&longs;tis.
Sit fru&longs;tum coni, uel coni portionis a d; cuius maior ba
&longs;is circulus, uel ellip&longs;is circa diametrum a b; minor circa
c d: & &longs;ecetur plano, quod ba&longs;ibus æquidi&longs;tet,
ctionem circulum, uel ellip&longs;im circa diametrum e f, ita ut
inter circulos, uel ellip&longs;es a b, c d &longs;it proportionalis. Dico
conum, uel coni portionem, cuius ba&longs;is e&longs;t æqualis tribus
circulis, uel tribus ellip&longs;ibus a b, e f, c d; & altitudo eadem,
quæ fru&longs;ti a d, ip&longs;i fru&longs;to æqualem e&longs;&longs;e. producatur enim
fru&longs;ti &longs;uperficies quou&longs;que coeat in unum punctum, quod
&longs;it g: & coni, uel coni portionis a g b axis &longs;it g h, occurrens
planis a b, e f, c d in punctis h k l: circa circulum uero de
&longs;cribatur quadratum m n o p, & circa ellip&longs;im
m n o p, quod ex ip&longs;ius diametris con&longs;tat:
g n, g o, g p, ex eodem uertice intelligatur pyramis ba&longs;im
habens dictum quadratum, uel rectangulum: & plana in
quibus &longs;unt circuli, uel ellip&longs;es e f, c d u&longs;que ad eius latera Quoniam igitur pyramis &longs;ecatur planis ba&longs;i
æquidi&longs;tantibus, &longs;ectiones &longs;imiles erunt: atque erunt qua
drata, uel rectangula circa circulos, uel ellip&longs;es de&longs;cripta,
quemadmodum & in ip&longs;a ba&longs;i. Sed cum circuli inter &longs;e
proportionem habeant, quam diametrorum quadrata:
con&longs;tantia: & &longs;it circulus, uel ellip&longs;is circa diametrum e f
proportionalis inter circulos, uel ellip&longs;es a b, c d; erit re
ctangulum e f etiam inter rectangula a b, c d proportio
nale: per rectangulum enim nunc breuitatis cau&longs;a
&longs;um quadratum intelligemus. quare ex iis, quæ proxime
dicta &longs;unt, pyramis ba&longs;im habens æqualem dictis rectangu
lis, & altitudinem eandem, quam fru&longs;tum a d, ip&longs;i fru&longs;to à
pyramide ab&longs;ci&longs;&longs;o æqualis probabitur. ut autem rectangu
lum c d ad
circulum, uel ellip&longs;im:
e f, ad e f rectangulum, ita circuli, uel ellip&longs;es e d, e f, ad e f:
& ut rectangulum e f ad rectangulum a b, ita circulus, uel
ellip&longs;is e f ad a b circulum, uel ellip&longs;im. ergo ex æquali, &
componendo, ut In
telligatur pyramis q ba&longs;im habens æqualem tribus rectan
gulis a b, e f, c d; & altitudinem
intelligatur ctiam conus, uel coni portio q, eadem altitudi
ne, cuius ba&longs;is &longs;it tribus circulis, uel tribus ellip&longs;ibus a b,
e f, c d æqualis. po&longs;tremo intelligatur pyramis a l b, cuius.
ba&longs;is &longs;it rectangulum m n o p, & altitudo eadem, quæ fru
&longs;ti: itemq, intelligatur conus, uel coni portio a l b, cuius
ba&longs;is circulus, uel ellip&longs;is circa diametrum a b, & eadem al
titudo. utigitur rectangula a b, e f, c d ad rectangulum a b,
ita pyramis q ad pyramidem a l b; & ut circuli, uel ellip
&longs;es a b, e f, c d ad a b circulum, uel ellip&longs;im, ita conus, uel co
ni portio q ad conum, uel coni portionem a l b. conus
igitur, uel coni portio q ad conum, uel coni portionem
a l b e&longs;t, ut pyramis q ad pyramidem a l b. &longs;ed pyramis
a l b ad pyramidem a g b e&longs;t, ut altitudo ad altitudinem, ex
20. huius: & ita e&longs;t conus, uel coni portio al b ad conum,
uel coni portionem a g b ex 14. duodccimi elementorum,
& ex iis, quæ nos demon&longs;trauimus in commentariis in un
decimam de conoidibus, & &longs;phæroidibus, propo&longs;itione
quarta. pyramis autem a g b ad pyramidem c g d propor
tionem habet compo&longs;itam ex proportione ba&longs;ium & pro
portione altitudinum, ex uige&longs;ima prima huius: & &longs;imili
ter conus, uel coni portio a g b ad conum, uel coni portio
nem c g d proportionem habet
portíonibus, per ea, quæ in dictis commentariis demon
&longs;trauimus, propo&longs;itione quinta, & &longs;exta: altitudo enim in
utri&longs;que eadem e&longs;t, & ba&longs;es inter &longs;e &longs;e eandem habent pro
portionem. ergo ut pyramis a g b ad pyramidem c g d, ita
e&longs;t conus, uel coni portio a g b ad a g d conum, uel coni
portionem: & per
ad
a g b ad fru&longs;tum a d. ex æquali igitur, ut pyramis q ad fru
&longs;tum à pyramide ab&longs;ci&longs;&longs;um, ita conus uel coni portio q ad Sed pyramis q æqualis e&longs;t fru&longs;to à pyramide
ab&longs;ci&longs;&longs;o, ut demon&longs;trauimus. ergo & conus, uel coni por
tio q, cuius ba&longs;is ex tribus circulis, uel ellip&longs;ibus a b, e f, c d
con&longs;tat, & altitudo eadem, quæ fru&longs;ti: ip&longs;i fru&longs;to a d e&longs;t æ
qualis. atque illud e&longs;t, quod demon&longs;trare oportebat.
cnni.
noidibus
& &longs;phæ
roidibus
decimi
THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXVI.
CVIVSLIBET fru&longs;ti à pyramide, uel cono,
uel coni portione ab&longs;cis&longs;i, centrum grauitatis e&longs;t
in axe, ita ut eo primum in duas portiones diui
&longs;o, portio &longs;uperior, quæ minorem ba&longs;im attingit
ad portionem reliquam eam habeat proportio
nem, quam duplum lateris, uel diametri maioris
ba&longs;is, vnà cum latere, uel diametro minoris, ip&longs;i
re&longs;pondente, habet ad duplum lateris, uel diame
tri minoris ba&longs;is vnà
ioris: deinde à puncto diui&longs;ionis quarta parte &longs;u
perioris portionis in ip&longs;a &longs;umpta: & rur&longs;us ab in
ferioris portionis termino, qui e&longs;t ad ba&longs;im maio
rem, &longs;umpta quarta parte totius axis: centrum &longs;it
in linea, quæ his finibus continetur, atque in eo li
neæ puncto, quo &longs;ic diuiditur, ut tota linea ad par
tem propinquiorem minori ba&longs;i,
tionem habeat, quam fru&longs;tum ad
conum, uel coni portionem, cuius ba&longs;is &longs;it ea
dem, quæ ba&longs;is maior, & altitudo fru&longs;ti altitudini
æqualis.
Sit fru&longs;tum a e a pyramide, quæ triangularem ba&longs;im ha
beat ab&longs;ci&longs;&longs;um: cuius maior ba&longs;is triangulum a b c, minor
d e f; & axis g h. ducto autem plano per axem & per
d a, quod &longs;ectionem faciat d a
K l lineas b c, e f bifariam &longs;ecabunt. nam cum g h &longs;it axis
fru&longs;ti: erit h centrum grauitatis trianguli a b c: & g
centrum trianguli d e f: cen
trum uero cuiuslibet triangu
li e&longs;t in recta linea, quæ ab an
gulo ip&longs;ius ad
ducitur ex decimatertia primi
libri Archimedis de
uitatis planorum. quare
trum
e&longs;t in linea K l, quod &longs;it m: & à
puncto m ad axem ducta m n
ip&longs;i a k, uel d l æquidi&longs;tante;
erit axis g h diui&longs;us in portio
nes g n, n h, quas diximus: ean
dem enim proportionem ha
bet g n ad n h,
At l m ad m K habet eam,
duplum lateris maioris ba&longs;is
b c una cum latere minoris e f
ad duplum lateris e f unà cum
latere b c, ex ultima eiu&longs;dem
libri Archimedis. Itaque à li
nea n g ab&longs;cindatur, quarta
pars, quæ fit n p: & ab axe h g ab&longs;cindatur itidem
quarta pars h o: & quam proportionem habet fru&longs;tum ad
pyramidem, cuius maior ba&longs;is e&longs;t triangulum a b c, & alti
tudo ip&longs;i æqualis; habeat o p ad p
tatis fru&longs;ti e&longs;&longs;e in linea p o, & in puncto
e&longs;&longs;e in linea g h manife&longs;te con&longs;tat. protractis enim fru&longs;ti pla
midis a b c r, & pyramidis d e f r grauitatis centrum in li
nca r h. ergo & reliquæ magnitudinis, uidelicet fru&longs;ti cen
trum in eadem linea nece&longs;lario comperietur. Iungantur
d b, d c, d h, d m: & per lineas d b, d c ducto altero plano
intelligatur fru&longs;tum in duas pyramides diui&longs;um: in pyra
midem quidem, cuius ba&longs;is e&longs;t triangulum a b c, uertex d:
& in eam, cuius idem uertex, & ba&longs;is trapezium b c f e. erit
igitur pyramidis a b c d axis d h, & pyramidis b c f e d axis
d m: atque erunt tres axes gh, d h, d m in eodem plano
d a K l. ducatur præterea per o linea &longs;t ip&longs;i a K
quæ lineam d h in u &longs;ecet: per p uero ducatur x y æquidi
&longs;tans eidem, &longs;ecansque d m in
z: & iungatur z u, quæ &longs;ecet
g h in
erunt
punctum; ut inferius appare
bit. Quoniam igitur linea u o
æquidi&longs;tat ip&longs;i d g, erit d u ad
u h, ut g o ad o h. Sed g o tri
pla e&longs;t o h. quare & d u ip&longs;ius
u h e&longs;t tripla: & ideo pyrami
dis a b c d centrum grauitatis
erit punctum u. Rur&longs;us quo
niam z y ip&longs;i d l æquidi&longs;tat, d z
ad z m e&longs;t, ut l y ad y m: e&longs;tque
l y ad y m, ut g p ad p n. ergo
d z ad z m e&longs;t, ut g p ad p n.
Quòd cum g p &longs;it tripla p n;
erit etiam d z ip&longs;ius z m tri
pla. atque ob eandem cau&longs;
&longs;am punctuniz e&longs;t
uitatis pyramidis b c f e d. iun
ctaigitur z u, in ea erit
&longs;tat; hoc e&longs;t ip&longs;ius fru&longs;ti. Sed fru&longs;ti centrum e&longs;t etiam in a
xe g h. ergo in puncto
Itaque u
b c f e d ad pyramidem a b c d. & componendo u z ad z
eam habet, quam fru&longs;tum ad pyramidem a b c d. Vtuero
u z ad z
u o
a b c d. &longs;ed ita erat o p ad p
q ex quibus &longs;equitur lineam.
z u &longs;ecare o p in q: & propterea
uitatis centrum e&longs;&longs;e.
hu
ius.
iu&longs;dem
Archime
dis.
primi
libri Ar
chunedis
de
gr
tis plano
tu
Sit fru&longs;tum a g à pyramide, quæ quadrangularem ba&longs;im
habeat ab&longs;ci&longs;&longs;um, cuius maior ba&longs;is a b c d, minor e f g h,
& axis diuidatur autem
tionem habet duplum lateris a b unà cum latere e f ad du
plum lateris e f unà cum a b; habeat k m ad m l. deinde à
& rur&longs;us ab l &longs;umatur quarta pars totius axis l k, quæ &longs;it
l o. po&longs;tremo fiat o n ad n p, ut fru&longs;tum a g ad
cuius ba&longs;is &longs;it eadem, quæ fru&longs;ti, & altitudo æqualis. Dico
punctum p fru&longs;ti a g grauitatis centrum e&longs;&longs;e. ducantur
enim a c, e g: & intelligantur duo fru&longs;ta triangulares ba
&longs;es habentia, quorum alterum l f ex ba&longs;ibus a b c, e f g
&longs;tet
q r; in quo grauitatis centrum s: fru&longs;ti uero l h axis t u, &
x grauitatis centrum: deinde iungantur u r, t q, x s. tran&longs;i
bit u r per l: quoniam l e&longs;t centrum grauitatis quadran
guli a b c d: & puncta r u grauitatis centra triangulorum
a b c, a c d; in quæ quadrangulum ip&longs;um diuiditur. eadem
quoque ratione t q per punctum k tran&longs;ibit. At uero pro
portiones, ex quibus fru&longs;torum grauitatis centra inquiri
mus, eædem &longs;unt in toto fru&longs;to a g, & in fru&longs;tis l f, l h. Sunt
enim per octauam huius quadrilatera a b c d, e f g h &longs;imilia:
coque
portionem &longs;eruant. Vt igitur duplum lateris a b unà
cum latere e f ad duplum lateris e f unà cum a b, ita e&longs;t
duplum a d late
ris una cum late
re e h ad duplum
e h unà cum a d:
& ita in aliis.
Rur&longs;us fru&longs;tum
a g ad
cuius eadem e&longs;t
ba&longs;is, & æqualis
altitudo eandem
bet, quam
l f ad
quæ e&longs;t
&longs;i, & æquali alti
tudine: & &longs;imili
ter quam l h fru
&longs;tum ad pyrami
dem, quæ ex
dem
altitudine con
&longs;tat. nam &longs;i inter
ip&longs;as ba&longs;es me
diæ proportio
nales con&longs;tituan
tur, tres ba&longs;es &longs;imul &longs;umptæ ad maiorem ba&longs;im in om
nibus codem modo &longs;e habebunt. Vnde fit, ut axes K l,
q r, t u à punctis p s x in eandem proportionem &longs;ecen
tur. ergo linea x s per p tran&longs;ibit: & lineæ r u, s x, q t in
ter &longs;e æquidi&longs;tantes erunt. Itaque cum fru&longs;ti a g latera pro
gala u y l, x y p, t y k inter &longs;e &longs;imilia: & &longs;imilia etiam triangu
la l y r, p y s, k y
x p, ad p s:
quam u l ad l r. Sed ut u l ad l
triangulum a c d: & ut t k ad K q, ita triangulum e f g ad
triangulum e g h. Vt autem triangulum a b c ad triangu
lum a c d, ita pyramis a b c y ad pyramidem a c d y. & ut
triangulum e f g ad triangulum e g h, ita pyramis e f g y
ad pyramidem e g h y; ergo ut pyramis a b c y ad
a c d y, ita pyramis e f g y ad pyramidem e g h y. reliquum
igitur
ad pyramidem a c d y, hoc e&longs;t ut u l ad l r, & ut x p ad p s.
Quòd cum fru&longs;ti l f centrum grauitatis &longs;its: & fru&longs;ti l h &longs;it
centrum x: con&longs;tat punctum p totius fru&longs;ti a g grauitatis
e&longs;&longs;e centrum. Eodem modo fret demon&longs;tratio etiam in
aliis pyramidibus.
&longs;exti.
medis.
Sit fru&longs;tum a d à cono, uel coni portione ab&longs;ci&longs;&longs;um, eu
ius maior ba&longs;is circulus, uel ellip&longs;is circa diametrum a b;
minor circa diametrum c d: & axis e f. diuidatur
in g, ita ut e g ad g f eandem proportionem habeat, quam
duplum diametri a b unà cum diametro e d ad duplum c d
unà cum a b.
quarta pars totius f e axis. Rur&longs;us quam proportionem
habet fru&longs;tum a d ad conum, uel coni portionem, in
ba&longs;i, & æquali altitudine, habeat linea K h ad h l. Dico pun
ctum l fru&longs;ti a d grauitatis centrum e&longs;&longs;e. Si enini fieri po
te&longs;t, &longs;it m centrum:
& ut n l ad l m, ita fiat circulus, uel ellip&longs;is circa
a b ad aliud &longs;pacium, in quo &longs;it o. Itaque in circulo, uel
ellip&longs;i circa diametrum a b rectilinea figura plane de&longs;cri
batur, ita ut quæ relinquuntur portiones &longs;int o &longs;pacio mi
nores: & intelligatur pyramis a p b, ba&longs;im habens rectili
neam figuram in circulo, uel ellip&longs;i a b de&longs;criptam: à qua erit ex iis quæ proxime
tradidimus, fru&longs;ti pyramidis a d ceutrum grauitatis l. Quo
niam igitur portiones &longs;pacio o minores &longs;unt; habebit cir
culus, uel ellip&longs;is a b ad
portiones dictas
proportionem, quàm n l
ad l m. &longs;ed ut circulus, uel
ellip&longs;is a b ad portiones,
ita a p b conus, uel coni
portio ad &longs;olidas portio
nes, id quod &longs;upra demon
&longs;tratum e&longs;t: & ut circulus
uel ellip&longs;is c d ad portio
nes, quæ ip &longs;i in&longs;unt, ita co
nus, uel coni portio c p d
ad &longs;olidas ip&longs;ius portio
nes. Quòd cum figuræ in
circulis, uel ellip&longs;ibus a b
c d de&longs;criptæ &longs;imiles &longs;int,
erit proportio circuli, uel
ellip&longs;is a b ad &longs;uas portio
nes,
ellip&longs;is c d ad &longs;uas. ergo
conus, uel coni portio a p
b ad portiones &longs;olidas
dem
quam conus, uel coni por
tio c p d ad &longs;olidas ip&longs;ius
portiones. reliquum igi
tur coni, uel coni portionis
portiones &longs;olidas in ip&longs;o contentas eandem
habet, quam conus, uel coni portio a p b ad &longs;olidas portio
nes: hoc e&longs;t eandem, quam circulus, uel ellip&longs;is a b ad por
tiones planas. quare fru&longs;tum coni, uel coni portionis a d
n l ad l m: & diuidendo fru&longs;tum pyramidis ad dictas por
tiones maiorem proportionem habet, quàm n m ad m l.
fiat igitur ut fru&longs;tum pyramidis ad portiones, ita q m ad
m l. Itaque quoniam à fru&longs;to coni, uel coni portionis a d,
cuius grauitatis centrum e&longs;tm, au&longs;ertur fru&longs;tum pyrami
dis habens centrum l; erit reliquæ magnitudinis, quæ ex
portionibus &longs;olidis con&longs;tat; grauitatis
producta, atque in puncto q, extra figuram po&longs;ito: quod
fieri nullo modo pote&longs;t. relinquitur ergo, ut punctum l &longs;it
fru&longs;ti a d grauitatis centrum. quz omnia demon&longs;tranda
proponebantur.
THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXVII.
OMNIVM &longs;olidorum in &longs;phæra de&longs;cripto
rum, quæ æqualibus, & &longs;imilibus ba&longs;ibus conti
nentur, centrum grauitatis e&longs;t idem, quod &longs;phæ
ræ centrum.
Solida eiu&longs;modi corpora regularia appellare &longs;olent, de
quibus agitur in tribus ultimis libris elementorum: &longs;unt
autem numero quinque, tetrahedrum, uel pyramis, hexa
hedrum, uel cubus, octahedrum, dodecahedrum, & ico&longs;a
hedrum.
Sit primo a b c d pyramis
ræ centrum &longs;it e. Dico e pyramidis a b c d grauitatis e&longs;&longs;e
centrum. Si enim iuncta d c producatur ad ba&longs;im a b c in
f; exiis, quæ demon&longs;trauit Campanus in quartodecimo li
bro elementorum, propo&longs;itione decima quinta, & decima
feptima, erit f centrum circuli circa triangulum a b c de
fcripti: atque erit e f &longs;exta pars ip&longs;ius &longs;phæræ axis. quare
ex prima huius con&longs;tat trianguli a b c grauitatis centrum
e&longs;&longs;e punctum f: & idcirco lineam d f e&longs;&longs;e pyramidis axem.
At cum e f &longs;it &longs;exta pars axis
&longs;phæræ, crit d e tripla e f. ergo
punctum e e&longs;t grauitatis cen
trum ip&longs;ius pyramidis: quod
in uige&longs;ima &longs;ecunda huius de
mon&longs;tratum &longs;uit. Sed e e&longs;t cen
trum &longs;phæræ. Sequitur igitur,
ut centrum grauitatis pyrami
dis in &longs;phæra de&longs;criptæ idem
&longs;it, quod ip&longs;ius &longs;phæræ cen
trum.
Sit cubus in &longs;phæra de&longs;criptus a b, & oppo&longs;itorum pla
norum lateribus bifariam diui&longs;is, per puncta diui&longs;ionum
plana ducantur, ut communis ip&longs;orum &longs;ectio &longs;it rectali
nea c d. Itaque &longs;i ducatur a b, &longs;olidi &longs;cilicet diameter, lineæ
a b, c d ex trige&longs;iman onaun decimi&longs;e&longs;e bifariam &longs;ecabunt.
&longs;ecent autem in puncto e. erit,
e
id quod demon&longs;tratum e&longs;t in
octaua huius. Sed quoniam ab
e&longs;t &longs;phæræ diametro æqualis,
ut in decima quinta propo&longs;i
tione tertii decimilibri
torum o&longs;tenditur: punctum e
&longs;phæræ quoque centrum erit.
Cubi igitur in &longs;phæra de&longs;cri
pti grauitatis centrum idem
e&longs;t, quod centrum ip&longs;ius &longs;phæræ.
Sit octahedrum a b c d e f, in &longs;phæra de&longs;criptum, cuius
&longs;phæræ centrum &longs;itg. Dico punctum g ip&longs;ius octahedri
grauitatis centrum e&longs;&longs;e. Con&longs;tat enim ex iis, quæ demon
&longs;trata &longs;unt à Campano in quinto decimo libro elemento
rum, propo&longs;itione &longs;extadecima eiu&longs;modi &longs;olidum diuidi
in duas pyramides æquales, & &longs;imiles; uidelicet in pyrami
in pyramidem, cuius
g f &longs;emidiametri &longs;phæræ, & linea una.
ræ centrum, erit etiam centrum circuli, qui circa
a b c d de&longs;cribitur: & propterea eiu&longs;dem quadrati grauita
tis centrum: quod in prima propo&longs;itione huius demon
&longs;tratum e&longs;t. quare pyramidis a b c d e axis erit e g: & pyra
midis a b c d f axis f g. Itaque &longs;ith centrum grauitatis py
ramidis a b c d e, & pyramidis a b c d f centrum &longs;it
&longs;picuum e&longs;t ex uige&longs;ima &longs;ecunda propo&longs;itione huius,
c h triplam e&longs;&longs;e h g:
h quadruplam. &
ratione f g
ip&longs;ius g
g, g f &longs;int æquales, & h
g, g
les erunt. ergo ex quar
ta propo&longs;itione primi
libri Archimedis de
tro
totius octahedri, quod
ex dictis pyramidibus
con&longs;tat, centrum graui
tatis erit punctum g idem, quod ip&longs;ius &longs;phæræ centrum.
Sit ico&longs;ahedrum a d de&longs;criptum in &longs;phæra, cuius
&longs;it g. Dico g ip&longs;ius ico&longs;ahedri grauitatis e&longs;&longs;e centrum.
Si
enim ab angulo a per g ducatur recta linea u&longs;que ad &longs;phæ
ræ &longs;uperficiem; con&longs;tat ex &longs;exta decima propo&longs;itione libri
tertii decimi elementorum, cadere eam in angulum ip&longs;i a
oppo&longs;itum. cadat in d:
angulum a b c: & iunctæ b g, c g producantur, & cadant in
angulos e f, ip&longs;is b c oppo&longs;itos. Itaque per triangula
a b c
do&longs;ii: unus quidem circa triangulum a b c de&longs;criptus: al
ter uero circa d e f: & quoniam triangula a b c, d e f æqua
lia &longs;unt, & &longs;imilia; erunt ex prima, & &longs;ecunda propo&longs;itione
duodecimi libri clementorum, circuli quoque inter &longs;e &longs;e
æquales. po&longs;tremo a centro g ad circulum a b c perpendi
cularis ducatur g h; & alia perpendicularis ducatur ad cir
culum d e f, quæ &longs;it g k; & iungantur a h, d
e&longs;t ex corollario primæ &longs;phæricorum Theodo&longs;ii, punctum
h centrum e&longs;&longs;e circuli a b c, & Quo
niam igitur triangulorum g a h, g d K latus a g e&longs;t æquale la
teri g d; &longs;unt enim à centro &longs;phæræ ad &longs;uperficiem: atque
e&longs;t a h æquale d k: & ex &longs;exta propo&longs;itione libri primi &longs;phæ
ricorum Theodo&longs;ii g h ip&longs;i g K: triangulum g a h æquale
erit, & &longs;imile g d
gulo d g
ctis. crgo & ip&longs;i h g d, d g
& idcirco h g, g cum autem
h &longs;it
anguli a b c grauitatis cen
in prima propo&longs;itione hu
ius tradita &longs;unt. quare g h
erit pyramidis a b c g axis.
& ob eandem cau&longs;&longs;am g k
axis pyramidis d e f g. lta
que centrum grauitatls py
ramidis a b c g &longs;it
l, & pyramidis d e f g &longs;it m.
Simillter ut &longs;upra demon
&longs;trabimus m g, g linter &longs;e æquales e&longs;&longs;e, & punctum g graui
tatis centrum magnitudinis, quæ ex utri&longs;que pyramidibus
con&longs;tat. eodem modo demon&longs;trabitur, quarumcunque
duarum pyramidum, quæ opponuntur, grauitatis Sequitur ergo utico&longs;ahedri centrum gra
uitatis &longs;it idem, quod ip&longs;ius &longs;phæræ centrum.
Sit dodecahedrum a f in &longs;phæra de&longs;ignatum, &longs;itque &longs;phæ
ræ centrum m. Dico m centrum e&longs;&longs;e grauitatis ip&longs;ius do
decahedri. Sit enim pentagonum a b c d e una ex duode
cim ba&longs;ibus &longs;olidi a f: & iuncta a m producatur ad &longs;phæræ
&longs;uperficiem. cadet in angulum ip&longs;i a oppo&longs;itum; quod col
ligitur ex decima &longs;eptima propo&longs;iticne tertiidecimi libri
clementorum. cadat in f.
at &longs;i ab aliis angulis b c d e per
trum itidem lineæ ducantur ad &longs;uperficiem &longs;phæræ in pun
cta g h
ba&longs;i opponitur. tran&longs;eant ergo per pentagona a b c d e,
f g h K l plana &longs;phæram &longs;ecantia, quæ facient &longs;ectiones cir
culos æquales inter &longs;e &longs;e: po&longs;tea ducantur ex centro &longs;phæræ
m perpendiculares ad pla
na dictorum
circulum quidem a b c d e
perpendicularis m n: & ad
circulum f g h K l ip&longs;a m o,
erunt puncta n o
centra: & lineæ m n, m o in
ter &longs;e æquales: quòd circu
li æquales &longs;int. Eodem mo
do, quo &longs;upra, demon&longs;trabi
mus lineas m n, m o in
atque eandem lineam con
uenire. ergo cum puncta n o &longs;int centra circulorum, con
&longs;tat ex prima huius &
ponatur a b c d e m pyramidis grauitatis centrum p: & py
ramidis f g h erunt p m, m q æqua
les, & punctum m grauitatis centrum magnitudinis, quæ
ex ip&longs;is pyramidibus con&longs;tat.
rumlibet pyramidum, quæ è regione opponuntur, patetigitur totius dodecahe
dri, centrum grauitatis
prehendentis centrum. quæ quidem omnia demon&longs;tra&longs;&longs;e
oportebat.
pri
mæ &longs;phæ
ricorum
Theod.
phærico
rum.
PROBLEMA VI. PROPOSITIO XXVIII.
DATA qualibet portione conoidis rectangu
li, ab&longs;ci&longs;&longs;a plano ad axem recto, uel non recto; fie
ri pote&longs;t, ut portio &longs;olida in&longs;cribatur, uel circum
&longs;cribatur ex cylindris, uel cylindri portionibus,
æqualem habentibus altitudinem, ita ut recta li
nea, quæ inter centrum grauitatis portionis, &
figuræ in&longs;criptæ, uel circum&longs;criptæ interiicitur,
&longs;it minor qualibet recta linea propo&longs;ita.
Sit portio conoidis rectanguli a b c, cuius axis b d,
uitatisquequam ue
ro proportionem habet linea b e ad lineam g, eandem ha
beat portio conoidis ad &longs;olidum h: & circum&longs;cribatur por
tioni figura, &longs;icuti dictum e&longs;t, ita ut portiones reliquæ &longs;int
&longs;olido h minores: cuius quidem figuræ centrum grauitatis
&longs;it punctum
&longs;ita. ni&longs;i enim &longs;it minor, uel æqualis, uel maior erit.
& quo
niam figura circum&longs;cripta ad reliquas portiones maiorem
proportionem habet, quàm portio conoidis ad &longs;olidum h;
hoc e&longs;t maiorem, quàm b c ad g: & b e ad g non minorem
habet proportionem, quàm ad k e, propterea quod k e non
ponitur minor ip&longs;a g: habcbit figura circum&longs;cripta ad por
tiones reliquas maiorem proportionem quàm b e ad e k:
& diuidendo portio conoidis ad reliquas portiones habe
bit maiorem, quàm b quare &longs;i fiat ut portio co
tionem cadet.
igitur à figura circum
&longs;cripta, cuius grauitatis
centrum e&longs;t k, aufertur
portio conoidis, cuius
centrum e.
ad K e eam proportio
nem, quam portio co
noidis ad reliquas por
tiones; erit punctum l
extra portionem
centrum magnitudinis
ex reliquis portionibus compo&longs;itæ. illud autem fieri nullo
modo pote&longs;t. quare con&longs;tat lineam k e ip&longs;a g linea propo&longs;i
ta minorem e&longs;&longs;e.
ex tradi
tione
l
Rur&longs;us in&longs;cribatur portioni figura, uidelicet cylindr us
m n, ut &longs;it ip&longs;ius altitudo
æqualis dimidio axis b d:
& quam proportionem
habet b e ad g, habeat m n
cylindrus ad &longs;olidum o.
in&longs;cribatur deinde eidem
alia figura, ita ut portio
nes reliquæ &longs;int &longs;olido o
minores: & centrum gra
uitatis figuræ &longs;it p. Dico
lineam p e ip&longs;a g
e&longs;&longs;e. &longs;i enim n
nor, codem, quo &longs;upra modo demon&longs;trabimus figuram in
&longs;criptam ad reliquas portiones maiorem proportionem
habere, quàm b e ad e p. & &longs;i fiat alia linea l e ad e p, ut e&longs;t
figura in&longs;cripta ad reliquas portiones,
uitatis centrum e auferatur in&longs;cripta figura, centrum ha
bens p: & &longs;itl e ad e p, ut figura in&longs;cripta ad portiones reli
quas: erit magnitudinis, quæ ex reliquis portionibus con
&longs;tat, centrum grauitatis punctum l, extra portionem ca
dens. quod ficrinequit.
ergo linca p e minor e&longs;tip&longs;a g li
nea propo&longs;ita.
Ex quibus per&longs;picuum e&longs;t centrum grauitatis
figuræ in&longs;criptæ, & circum&longs;criptæ eo magis acce
dere ad portionis centrum, quo pluribus cylin
dris, uel cylindri portionibus con&longs;tet:
rain&longs;cripta maior, & circum&longs;cripta minor. &
quanquam continenter ad portionis
pius admoueatur: nunquam tamen ad ip&longs;um per
ueniet. &longs;equeretur enim figuram in&longs;criptam,
&longs;olum portioni, &longs;ed etiam circum&longs;criptæ figuræ
æqualem e&longs;&longs;e. quod e&longs;t ab&longs;urdum.
THEOREMA XXIII. PROPOSITIO XXIX.
CVIVSLIBET portionis conoidis rectangu
li axis à
terminatur ad uerticem, reliquæ partis, quæ ad ba
&longs;im &longs;it dupla.
SIT portio conoidis rectanguli uel ab&longs;ci&longs;&longs;a plano ad
axem recto, uel non recto: & &longs;ecta ip&longs;a altero plano per ax
&longs;it &longs;uperficici &longs;ectio a b crectanguli coni &longs;ectio, uel parabo
le; plani ab&longs;cindentis portionem &longs;ectio &longs;it recta linea a c:
axis portionis, & &longs;ectionis diameter b d. Sumatur autem
in linea b d punctum e, ita ut b e &longs;itip&longs;ius e d dupla. Dico
e portionis a b
c grauitatis e&longs;&longs;e
centrum. Diui
datur enim b d
bifariam in m:
& rur&longs;us d m, m
b bifariam diui
dantur in pun
ctis n, o:
baturque
ni figura &longs;olida,
& altera circum
&longs;cribatur ex cy
lindris æqualem
altitudinem ha
bentibus, ut&longs;u
perius
Sit autem pri
mum figura in
&longs;cripta
f g: &
pta
a h, K
punctum n erit
centrum graui
tatis figuræ in
fcriptæ,
&longs;cilicet ip&longs;ius d
m axis:
erit centrum cy
lindri ah: & cy
lindri
o, axis b m me
dium. quare &longs;i li
neam o n ita di
ui&longs;c
ut
tionem
lindrus a h ad
cylindrum
habeat linea o p
ad p n: centrum
grauitatis toti
us figuræ
&longs;criptæ
ctum p. Sed cy
lindri, qui &longs;unt
æquali altitudi
ne, eandem in
ter &longs;e &longs;e, quam
ba&longs;es propor—
tionem habent:
ad b m, ita
dratum
ad
&longs;ius K m, ex uige
&longs;ima primi libri
quadratum a c
ad
g: hoc e&longs;t circu
lus circa diame
trum a c ad cir
culum circa dia
metrum k g. du
pla e&longs;t autem li
nca d b lineæ crgo circulus a c circuli k g: & idcirco cylindrus
a h cylindri k. l duplus erit.
quare & linea o p dupla
ip&longs;ius p n. Deinde in&longs;cripta & circum&longs;cripta portioni
alia figura, ita ut in&longs;cripta con&longs;tituatur ex tribus cylin
dris q r, s g, t u: circum&longs;cripta uero ex quatuor a x, y z,
K
ita ut
ad cylindrum
dratum
magnitudinis compo&longs;itæ ex cylindris
m b &longs;it dupla b o, erit & præterea quo
niam cylindri y z centrum grauitatis e&longs;t
&longs;ain
drus y z ad duos cylindros K
dinis, quæ ex dictis tribus cylindris con&longs;tat. cylindrus
tem
ad 1: & ad cylindrum k
quare y z
&
propterea linea
centrum grauitatis e&longs;t punctum
in
lindros y z, k
totius figuræ Sed cylindrus a x ad ip&longs;um y z
e&longs;t ut linea d b ad b n: hoc e&longs;t ut 4 ad 3: & duo cylindri k
q lcylindrus igitur a x ad tres
iam dictos cylindros e&longs;t ut 2 ad 3. Sed
rum partium, &
tium quatuor:
trium. quare &longs;equitur ut punctum
&longs;criptæ &longs;it centrum. Itaque fiat
bifariam diuidatur in
ra o&longs;tendetur centrum magnitudinis compo&longs;itæ ex cylin-
dris s g, tu e&longs;&longs;e
punctum
totius figuræ in
&longs;criptæ, quæ
&longs;tat
q r, &longs; g, t u e&longs;&longs;e
centrum. Sunt
enim hi cylindri
æquales & &longs;imi
les cylindris y z,
K
circum&longs;criptæ.
ut b e ad e d, ita
e&longs;t o p ad p n;
triu&longs;que e&longs;t du
pla: erit compo
nendo, ut b d ad
d e, ita o n ad n
p; & permutan
do, ut b d ad o
n, ita d e ad n p.
Sed b d dupla
e&longs;t o n. ergo &
e d ip&longs;ius n p du
pla erit. quòd &longs;i
e d bifariam di
uidatur
qualis n p: &
&longs;ublata e n, quæ
e&longs;t
trique e cum autem b e &longs;it dupla
e d, & o p dupla p n, hoc e&longs;tip&longs;ius e
cet b o unà cum p e ip&longs;ius reliqui e&longs;tque
b o dupla ergo p e, hoc e&longs;t n
&longs;ed d n
dupla e&longs;t n &longs;unt au
tem d qua
re con&longs;tat n p ip&longs;ius p e duplam e&longs;&longs;e. & idcirco p e ip&longs;i e n
æqualem. Rur&longs;us cum &longs;it
etiam reliqua Eadem quoque ratione
ergo ut
m quare & o
præ
terea reliquaigitur
liquæ m atque erat
ergo m
quales &longs;unt: & ita æquales m
m
ter &longs;e &longs;int æquales. Sed ut
ad d
les ergo d
Sed etiam æ
quales n reliqua igitur
n quare dempta p
n e, relinquitur p e æqualis e
&longs;ecundo loco de&longs;criptarum a primis centris p n æquali in
teruallo recedunt. quòd &longs;i rur&longs;us aliæ figuræ de&longs;cribantur,
codem modo demon&longs;trabimus earum centra æqualiter ab
his recedere, & ad portionis conoidis centrum propius ad
moueri. Ex quibus con&longs;tat lineam
portionis diuidi in partes æquales. Si enim fieri pote&longs;t, non
&longs;it centrum in puncto e, quod e&longs;t lineæ
quædam figura in&longs;cribi pos&longs;it, ita utlinea, quæ inter cen
trum grauitatis portionis, & in&longs;criptæ figuræ interiicitur,
qualibet linea propo&longs;ita &longs;it minor, quod proxime demon
&longs;trauimus: perueniet tandem
figura æquali interuallo ad portionis centrum accedit, ubi
primum
portionis centrum &longs;e applicabit. quod fieri nullo modo
po&longs;&longs;e per&longs;picuum e&longs;t. non aliter idem ab&longs;urdum &longs;equetur,
fi ponamus centrum portionis recedere à medio ad par
tes
quod portionis ergo punctum e centrum erit gra
uitatis portionis a b c. quod demon&longs;trare oportebat.
conicor
Quod autem &longs;upra
dis recta per figuras, quæ ex cylindris æqualem altitudi
dinem habentibus con&longs;tant, idem &longs;imiliter demon&longs;trabi
mus per figuras ex cylindri portionibus con
portione, quæ plano non ad axem recto ab&longs;cinditur. ut
enim tradidimus in commentariis in undecimam propo&longs;i
tionem libri Archimedis de conoidibus & &longs;phæroidibus.
portiones cylindri, quæ æquali &longs;unt altitudine eam inter &longs;e
&longs;e proportionem habent, quam ip&longs;arum ba&longs;es: ba&longs;es
quæ &longs;unt ellip&longs;es &longs;imiles eandem proportionem habere,
quam quadrata diametrorum eiu&longs;dem rationis, ex corol
lario &longs;eptlmæ propo&longs;itionis libri de conoidibus, & &longs;phæ
roidibus, manife&longs;te apparet.
de conoi
dibus &
&longs;phæroi
dibus.
THEOREMA XXIIII. PROPOSITIO XXX.
Sr à portione conoidis rectanguli alia portio
ab&longs;cindatur, plano ba&longs;i æquidi&longs;tante; habebit
portio tota ad eam, quæ ab&longs;ci&longs;&longs;a e&longs;t, duplam pro
portion em eius, quæ e&longs;t ba&longs;is maioris portionis
ad ba&longs;i m minoris, uel quæ axis maioris ad axem
minoris.
ABSCINDATVR à portione conoidis rectanguli
a b c alia portio e b f, plano ba&longs;i æquidi&longs;tante: & eadem
portio &longs;ecetur alio plano per axem; ut &longs;uperficiei &longs;ectio &longs;it
parabole a b c:
lincæ a c, e f: axis autem portionis, & &longs;ectionis diameter
b d; quam linea e fin puncto g &longs;ecet. Dico portionem co
noidis a b c ad portionem e b f duplam proportionem ha
bere eius, quæ e&longs;t ba&longs;is a c ad ba&longs;im e f; uel axis d b ad b
axem. Intelligantur enim duo coni, &longs;eu coni portiones
a b c, e b f,
lem habentes altitudinem. & quoniam a b c portio conoi
dis fe&longs;quialtera e&longs;t coni, &longs;eu portionis coni a b c; & portio
e b f coni feu portionis coni e b f e&longs;t &longs;e&longs;quialtera, quod de
mon&longs;trauit Archimedes in propo&longs;itionibus 23, & 24 libri
de conoidibus, & &longs;phæroidibus: erit conoidis portio ad
conoidis portionem, ut conus ad conum, uel ut coni por
tio ad coni portionem. Sed conns, nel coni portio a b c ad
conum, uel coni portionem e b f compo&longs;itam proportio
nem habet ex proportione ba&longs;is a c ad ba&longs;im e f, & ex pro
portione altitudinis coni, uel coni portionis a b c ad alti
tudinem ipfius e b f, ut nos demon&longs;trauimus in com men
tariis in undecimam propo&longs;itionem eiu&longs;dem libri A rchi
medis: altitudo autem ad altitudinem c&longs;t, ut axis ad axem.
quod quidem in conis rectis per&longs;picuum e&longs;t, in &longs;calenis ue
Ducatur à puncto b ad planum ba
&longs;is a c perpendicularis linea b h, quæ ip&longs;am e fin K &longs;ecet.
erit b h altitudo coni, uel coni portionis a b c: & b K altitu
do efg. Quod cum lineæ a c, e f inter &longs;e æquidi&longs;tent, &longs;unt
enim planorum æquidi&longs;tantium &longs;ectiones: habebit d b ad
b g proportionem eandem, quam h b ad b
tio conoidis a b c ad portionem e f g proportionem habet
compo&longs;itam ex proportione ba&longs;is a c ad ba&longs;im e f; & ex
proportione d b axis ad axem b g. Sed circulus, uel
ellip&longs;is circa diametrum a c ad circulum, uel ellip&longs;im
circa e f, e&longs;t ut quadratum a c ad quadratum e f; hoc e&longs;t ut & quadratum a d ad quadra
tum e g e&longs;t, ut linea d b ad lineam b g. circulus igitur, uel el
lip&longs;is circa diametrum a c ad
hoc e&longs;t ba&longs;is ad ba&longs;im eandem proportion
d b axis ad axem b g. ex quibus &longs;equitur por
ad portionem e b f habere proportionem duplam eius,
quæ e&longs;t ba&longs;is a c ad ba&longs;im e f: uel axis d b ad b g axem. quod
demon&longs;trandum proponebatur.
cim
cimi
noidibus
& &longs;phæ
roidibus
quinti
THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXXI.
Cuiuslibet fru&longs;ti à portione rectanguli conoi
dis ab&longs;cis&longs;i, centrum grauitatis e&longs;t in axe, ita ut
demptis primum à quadrato, quod fit ex diame
tro maioris ba&longs;is, tertia ip&longs;ius parte, & duabus
tertiis quadrati, quod fit ex diamerro ba&longs;is mino
ris: deinde à tertia parte quadrati maioris ba&longs;is
rur&longs;us dempta portione, ad quam reliquum qua
drati ba&longs;is maioris unà cum dicta portione
proportionem habeat eius, quæ e&longs;t quadrati ma
eo axis puncto, quo ita diuiditur ut pars, quæ mi
norem ba&longs;im attingit ad alteram partem eandem
proportionem habeat, quam dempto quadrato
minoris ba&longs;is à duabus tertiis quadrati maioris,
habet id, quod reliquum e&longs;t unà cum portione à
tertia quadrati maioris parte dempta, ad
eiu&longs;dem tertiæ portionem.
SIT fru&longs;tum à portione rectanguli conoidis ab&longs;ci&longs;&longs;um
a b c d, cuius maior ba&longs;is circulus, uel ellip&longs;is circa diame
trum b c, minor circa diametrum a d; & axis e f. de&longs;criba
tur
no per axem ducto &longs;ecetur; ut &longs;uperficiei &longs;ectio &longs;it parabo
le b g c, cuius diameter, & axis portionis g f: deinde g f diui
datur in puncto h, ita ut g h &longs;it dupla h f: & rur&longs;us g e in ean
dem proportionem diuidatur:
ex iis, quæ proxime demon&longs;trauimus, con&longs;tat centrum gra
uitatis portionis b g c e&longs;&longs;e h punctum: & portionis a g c
punctum k. &longs;umpto igitur infra h puncto l, ita ut
tionem a g d; erit punctum l eius fru&longs;ti grauitatis
quam portio conoidis b gc ad a g d portionem.
niam quadratum b f ad quadratum a e, hoc e&longs;t quadratum
b c ad quadratum a d e&longs;t, ut linea fg ad ge: erunt duæ ter
tiæ quadrati b c ad duas tertias quadrati a d, uth g ad g k:
& &longs;i à duabus tertiis quadrati b c demptæ fuerint duæ ter
tiæ quadrati a d: erit
tertias quadrati a d, ut h k ad k g. Rur&longs;us duæ tertiæ quadra
ti a d ad duas tertias quadrati b c &longs;unt, ut k g ad g h: & duæ
tertiæ quadrati b c ad ergo
ex æquali id, quod relinquitur ex duabus tertiis quadrati
b c, demptis ab ip&longs;is quadrati a d duabus tertiis, ad
partem quadrati b c, ut k h ad h f: & ad portionem
tertiæ partis, ad quam unà cum ip&longs;a portione, duplam pro
portionem habeat eius, quæ e&longs;t quadrati b c ad
a d, ut K l ad l h. habet enim K l ad l h eandem proportio
nem, quam conoidis portio b g c ad portionem a g d: por
tio autem b g c ad portionem a g d duplam proportionem
habet eius, quæ e&longs;t ba&longs;is b c ad ba&longs;im a d: hoc e&longs;t quadrati
b c ad quadratum a d; ut proxime demon&longs;tratum e&longs;t. quare
dempto a d quadrato à duabus tertiis quadrati b c, erit id,
quod relinquitur unà cum dicta portione tertiæ partis ad
reliquam eiu&longs;dem portionem, ut e l ad l f. Cum igitur cen
trum grauitatis fru&longs;ti a b c d &longs;it l, à quo axis e f in eam,
diximus, proportionem diuidatur; con&longs;tat
quod demon&longs;trandum propo&longs;uimus.
corum.
FINIS LIBRI DE CENTRO
GRAVITATIS SOLIDORVM.
Impre&longs;&longs;.
Bononiæ cum licentia Superiorum,