HIERONYMI
CARDANI MEDIO
LANENSIS, CIVISQV'E BONO
NIENSIS, PHILOSOPHI, MEDICI ET
Mathematici clari&longs;simi,
OPVS NOVVM DE
PROPORTIONIBVS NVMERORVM, MO
TVVM, PONDERVM, SONORVM, ALIARVMQV'E RERVM
men&longs;urandarum, non &longs;olùm Geometrico more &longs;tabilitum, &longs;ed etiam
uarijs experimentis & ob&longs;eruationibus rerum in natura, &longs;olerti
demon&longs;tratione illu&longs;tratum, ad multiplices u&longs;us ac
commodatum, & in Vlibros dige&longs;tum.
PRAETEREA.
ARTIS MAGNÆ, SIVE DE REGVLIS
ALGEBRAICIS, LIBER VNVS, ABSTRVSISSIMVS
& inexhau&longs;tus plane totius Arithmeticæ the&longs;aurus, ab
authore recens multis in locis recogni
tus & auctus.
ITEM.
DE ALIZA REGVLA LIBER, HOC EST, ALGEBRAICAE
logi&longs;ticæ &longs;uæ, numeros recondita numerandi &longs;ubtilitate, &longs;ecundum Geo
metricas quantitates inquirentis, nece&longs;&longs;aria Coronis,
nunc demum in lucem edita.
O
utile & nece&longs;&longs;arium.
Cum Cæ&longs;.
Maie&longs;t.
Gratia & Priuilegio.
BASILEÆ.
IN LIBRVM DE
PROPORTIONIBVS HIERONYMI
CARDANI MEDIOLANENSIS, CIVISQV'E
Bononien&longs;is, Medici, Præfatio ad M. A. Amulium
Venetum Card. Illu&longs;tri&longs;simum.
Bene Dictum e&longs;t meo iudicio à Platone M.
A. Amuli optime, beatas fore Re&longs;pub.
&longs;i uel
illarum domini &longs;apientiæ amatores e&longs;&longs;ent,
aut qui &longs;apientiæ e&longs;&longs;ent amatores domina
rentur, hoc ip&longs;um clarè intelligens, &longs;tudio &longs;a
pientiæ nihil e&longs;&longs;e utilius humano generi:
quo &longs;imul & pietas, & iu&longs;titia, & mutuus
amor hominum inter &longs;e & eorum commo
da continerentur. Nempe hi&longs;ce quatuor tota no&longs;tra felicitas com
prehenditur. Si quidem pietate in Deos nihil ni&longs;i &longs;anctum, & pu
rum, & illu&longs;tre &longs;apimus: hoc ip&longs;o primum quod &longs;upra nos e&longs;t, intel
ligimus, Deos ueneramur, gratias agimus, timor cum ueneratione
no&longs;tros animos &longs;ubit, & de futura uita cogitamus, hæc ip&longs;a morta
lia &longs;i non negligentes &longs;altem paruifacientes. Iu&longs;titiam autem adeò
nece&longs;&longs;ariam humano generi e&longs;&longs;e &longs;cimus, ut &longs;ine illa neque e&longs;&longs;e, nedum
benè e&longs;&longs;e po&longs;símus, ut neque latronum cœtus ab&longs;que ea diu &longs;tare po&longs;
&longs;int. Porrò quid dicam de concordia, & mutua hominum beneuo
lentia, in quibus omnis uit&ecedil; human&ecedil; dulcedo repo&longs;ita e&longs;t: nec quis
&longs;u&longs;tineat uiuere, qui &longs;e omnibus odio&longs;um e&longs;&longs;e &longs;entiat. His ip&longs;is fi
lios in &longs;pem alimus, parentes fouemus, fratres tuemur, & adiuua
mus, amicis opitulamur, cum hominibus hilarem & iucundam ui
tam ducimus. Si quis &longs;erpentem in lecto haberet, nunquam &longs;om
num caperet: ita nihil mole&longs;tius e&longs;t in hac uita, quam e&longs;&longs;e cum quo
nolis, & priuari con&longs;uetudine eorum cum quibus maximè uiuere
cupias. Quid enim habent Principes præcipuum cum tota illa po
tentia quam habent, ni&longs;i hoc unum, quod &longs;uis quos amant bene fa
cere po&longs;sint: nam reliqua omnia exerceri, uenari, edere, bibere, dor
mire, iter agere, loca amæna inui&longs;ere multis alijs conce&longs;&longs;um e&longs;t, ma
ioreque commodo qui in uita priuata degunt. Si ergo principatum
cum tot laboribus, curis, periculis, & meritò omnes appetunt: nec
e&longs;t in eo quicquam præcipuum præter hoc, cui dubium e&longs;t quin
hoc non &longs;it &longs;ummum huius uitæ hominibus bonum? propter cu
ius uel dubiam &longs;pem eorum, quæ habent obliti mortales pericli
tantur. Succedunt inde tot commoda, non &longs;olum utilia, &longs;ed pleraque
cùm libris contineantur, meritò optimus qui&longs;que librorum bono
rum perpetuitati atque in columitati fauere debet. C.
Caligulam exe
cramur &longs;olum ob id quod Vergilij, & T. Liuij &longs;cripta delere cogi
tauerit. Quid facturi e&longs;&longs;emus, &longs;i feci&longs;&longs;et quod cogitauerat?
E&longs;t in &longs;a
pientum monumentis bonum &longs;ine malo, mens &longs;ine corporea labe:
Virtutes ab&longs;que uitijs, gratiæ & iucunditas &longs;ine &longs;orde, & immundi
tia, uoluptas &longs;ine dolore, conuer&longs;atio ab&longs;que tædio, delitiæ ab&longs;que mi&longs;e
ria nuda, omnia bona præ&longs;tant, atque laudabilia ab omnibus morta
litatis exuuijs libera, tantum commodi afferunt libri. Sed & in eo
rum electione ac &longs;tudijs modus, ac medio critas quædam &longs;eruanda
e&longs;t, quæ &longs;i quis neglexerit non leui incommodo afficietur: eam an
tiqui rationem alij proportionem appellarunt, non equidem etiam
in pertritis tam
ob&longs;curam e&longs;&longs;e fatentur, ego difficillimam puto undique, & magis for
&longs;an ubi non exi&longs;timamus. Vnde plures decidere uidemus magnis
cum auxilijs, & euidenti &longs;pe: quid aliud e&longs;t in cau&longs;a quàm ignota
men&longs;ura rerum? quam tamen plerique tenere &longs;e putant.
Ergo, cùm
&longs;ummum bonum in hac men&longs;ura &longs;itum e&longs;&longs;e cernerem, ut clarè o&longs;ten
dunt mu&longs;icæ uoces, quæ non ni&longs;i indiuiduo (ut ita dicam) &longs;pacio
&longs;eu loco &longs;tare po&longs;&longs;unt, ita & in figuris picturarum & &longs;tatuarum, &
diebus decretorijs, & negocijs ciuilibus oper&ecedil;precium me factu
rum exi&longs;timaui, &longs;i omnia hæc quæ latè patebant breuiter in unum
redegi&longs;&longs;em,
aliàs do cui, breuibus tractationibus, & plura continerentur, & faci
lius docerentur. Cum uerò bona fortuna quædam effeci&longs;&longs;et, ut tibi
libellum dedica&longs;&longs;em de Prouidentia ex con&longs;titutione temporum,
longe meliore occa&longs;ione nominis tui typographi obliti &longs;int, indi
gnum fore putaui, ut non ærea (quemadmodum cum Glauco Dio
medes) cum aureis commutarem. Itaque infinitis licet circumuentus
negocijs totus huic operæ in cubui, atque adeò ut præter &longs;pem unius
anni penè &longs;pacio liber ab&longs;olueretur. Qui cum tibi (ut dixi) iam iurè
deberetur, eò tamen magis dedicandum putaui, quod non ego &longs;o
lum quanquam id maximè, &longs;ed communis con&longs;en&longs;us ho
minum exi&longs;timet, te &longs;ingulari uirtute omnibus
&longs;tudio&longs;is plurimum fauere,
Vale.
TABVLA PRO
POSITIONVM DE
PROPORTIONIBVS.
FINIS.
HIERONYMI CAR
DANI MEDIOLANENSIS, CI
VI'SQVE BONONIENSIS, MEDICI
de Proportionibus, &longs;eu Ope
ris Perfecti
LIBER QVINTVS.
Prima diffinitio.
Proportio ab Euclide &longs;ic de&longs;cribitur, Quòd
&longs;it duarum quantitatum eiu&longs;dem generis,
quod ad magnitudinem attinet, compara
tio certa.
Secunda diffinitio.
Proportiones per &longs;imilitudinem
cùm quantitas quantitati
generis, cui fingitur æqualis e&longs;&longs;e pote&longs;tate.
Velut &longs;i a b fingatur monas in comparatione
ad b c erit rectangulum a c æquale lineæ b c.
Tertia diffinitio.
Proportio æqualis proportioni e&longs;t, cùm eodem modo termini
&longs;e habent inuicem in utraque
Quarta diffinitio.
Proportiones &longs;ecundum genus notæ dicuntur, cùm nouimus,
quòd &longs;int maiores, aut minores. Nam cùm æquales &longs;unt, &longs;imul ne
ceffe e&longs;t, ut cogno&longs;camus genus, & &longs;peciem.
Quinta diffinitio.
Datum po&longs;itione e&longs;t: quod nece&longs;&longs;ariò ex po&longs;itis certam habet
quantitatem.
Sexta diffinitio.
Datum &longs;impliciter dicitur, quod ex propo&longs;itis cogno&longs;ci pote&longs;t,
quantum &longs;it.
Septima diffinitio.
Proportiones pote&longs;tate
Hæ autem &longs;unt aliquando eiu&longs;dem generis, cum primis ut nu
meri: aliquandò alterius, ut linearum & &longs;uperficierum, angulorum,
& arcuum: aliquando eiu&longs;dem generis, & diuen&longs;arum &longs;pecierum,
ut arcuum per &longs;inus, qua utuntur A&longs;tronomi.
Octaua diffinitio.
Proportio homonyma dicitur duarum quantitatum diuer&longs;i ge
neris, &longs;ed alterius a b altero dependentium, uelut motus ad temDicimus enim motum tardum, uel uelocem in comparatione
ad tempus.
Nona diffinitio.
Proportionum aliæ dicuntur rhete, aliæ alogæ, rhetæ quæ &longs;unt
ut numeri ad numerum, alogæ quæ non &longs;unt numeri ad numerum.
Decima diffinitio
Proportio rhete alia æqualis, alia multiplex, uel &longs;ubmultiplex:
alia unius partis exce&longs;&longs;us, aut defectus, alia plurium, quam &longs;uper
partientem, aut &longs;upartientem uocant.
Vndecima diffinitio.
Cum diui&longs;o denominatore per numeratorem exit quantitas alo
ga, proportio dicitur aloga: &longs;i autem numerus integer, aut pars nu
meri nota dicitur rhete.
Duodecima diffinitio.
Proportionem in proportionem duci e&longs;t, quoties recto ordine
tres quantitates in ei&longs;dem collo
titates a b c dicetur proportio a ad c producta ex pro
portione a ad b & b ad c, & &longs;imiliter proportio c ad
a producitur ex proportione b ad a, & c ad b.
Tertiadecima diffinitio.
Proportionem per proportionem diuidi e&longs;t, quoties ad eandem
quantitatem duæ quantitates comparantur, tunc illarum propor
tio e&longs;t, quæ prodit una per alteram diui&longs;a.
Sint proportiones a & b ad c & interponatur b inter a & c, dico
proportionem a ad c diui&longs;am per proportionem a ad b, & prodire
proportionem b ad c, con&longs;tat ex conuer&longs;a præcedentis.
Quartadecima diffinitio.
Additio proportionum intelligitur quotiens duarum quanti
tatum ad unam tertiam, proportiones per aggregatum ip&longs;arum
quantitatum ad eandem coniunguntur.
Velut &longs;i comparentur a b & b c ad d, inde tota
a c ad d dicemus proportionem, ac ad d e&longs;&longs;e con
ad Hoc & duo &longs;equentes &longs;icut & du&ecedil;
&longs;trabitur e&longs;&longs;e. nunc &longs;olum quomodo
Quintadecima diffinitio.
Detractionem proportionis à proportione intelligimus fieri
per
dem quantitatem.
Velut in exemplo &longs;uperiore detracta proportione b c ad d ex
& probatur
ex conuer&longs;ione præcedentis.
Sextadecima diffinitio.
Extractio radicum alicuius proportionis fit per extractionem
radicum quantitatum illius iuxta unam, & eandem rationem.
Velut quadratæ, uel cubæ, uel pronicæ, uel uniner&longs;alis, uel alte
rius modi.
Decima&longs;eptima diffinitio.
Cùm fuerint duæ proportiones &longs;imiles in tribus terminis con
tinuatæ, dicetur proportio primæ quantitatis ad tertiam ueluti
primæ ad &longs;ecundam duplicata. Et &longs;i &longs;int tres proportiones &longs;imiles
in quatuor terminis, dicetur proportio primæ quantitatis ad quar
tam triplicatà ei, quæ e&longs;t primæ ad &longs;ecundam,
Decimaoctaua diffinitio.
Confu&longs;a proportio dicitur &longs;implicis, aut compo&longs;itæ quantitatis
ad compo&longs;itam in comparatione ad proportiones ad partes.
Decimanona diffinitio.
Quantitates qu&ecedil; in continua &longs;unt proportione Analogæ
Dictum e&longs;t hoc ad fugiendum nomen barbarum, etiam ut bre
uiter tamen po&longs;&longs;emus &longs;ententiam explicare.
Vige&longs;ima diffinitio.
Reflexa proportio dicitur cum trium quantitatum aggregatum
primæ, & tertiæ &longs;e habet ad &longs;ecundam uelut &longs;ecunda ad tertiam,
Vige&longs;ima prima diffinitio.
Trium quantitatum analogarum aliæ quidem Geometricæ,
cùm proportio &longs;imilis e&longs;t: Aliæ Arithmeticæ, cum fuerit æqualis
exce&longs;&longs;us hucindè: Aliæ mu&longs;icæ cum fuerit proportio primæ ad ter
tiam multiplex, aut &longs;implex, aut compo&longs;ita exce&longs;&longs;us quæ &longs;implici
iuncta &longs;it ad multiplicis perfectionem: eadem autem &longs;it proportio
exce&longs;&longs;us primæ, & &longs;ecundæ ad exce&longs;&longs;um &longs;ecundæ &longs;upra tertiam.
Velut proportio 6. 4. 3. dupla e&longs;t utrinque, & 6. 3. 2 tripla.
& 28. 24.
21. & 45. 40. 36. Geometrica uerò & arithmetica facilius continuan
tur in quotquot quantitatibus, &longs;ed & mu&longs;ica uelut 12. 8. 6. 4. 3. &
proportio 8 ad 5 mu&longs;ica e&longs;t: quia proportio 5 ad 4 mu&longs;ica e&longs;t, &
bene &longs;onans, igitur con&longs;titutis 8. 5. 4. cum 8 ad 4 benè &longs;onet, & 5
ad 4, & 4 &longs;it extrema non media inde 8. & 5 benè nam in me
dijs
Vige&longs;ima &longs;ecunda diffinitio.
Quantitates quæ &longs;imilem habent proportionem non continua
tam, omiologæ appellantur.
Vige&longs;ima tertia diffinitio.
Prima operatione con&longs;i&longs;tere dicuntur proportiones, cùm inter
primo conflatas quantitates con&longs;titerint.
PRIMA Animi communis &longs;ententia.
Omnis Proportio e&longs;t, aut æqualitatis, aut maior inæqualis,
aut minor.
Secunda animi communis &longs;ententia.
Quilibet numerus tantus dicitur, quanta e&longs;t illius proportio ad
monadem.
Dicimus enim quatuor, quod monadem quater contineat.
Et
duo cum dimidio cùm monadem bis & &longs;emis contineat.
Tertia animi communis &longs;ententia.
Proportionem defectus, &longs;eu detractæ quantitatis ad defectum
e&longs;&longs;e po&longs;&longs;e, ut quantitatis ad quantitatem dicuntur communes ani
mi &longs;entcntiæ, quæ ex intellectu &longs;olo terminorum, quod ueræ &longs;int,
cogno&longs;cuntur. Si ergo defectus e&longs;t quantitas, & quantitas eiu&longs;dem
&longs;peciei, quia detrahitur, & defectus non e&longs;t &longs;implicitur, &longs;ed detra
cto ergo per quartam petitionem: uel primam diffinitionem erit
proportio interillas. Sunt enim ambæ detractæ.
Quarta animi communis &longs;ententia.
Inter quantitatem, & defectum minorem quantitate, cuius e&longs;t de
fectus, e&longs;t proportio, quatenus e&longs;t quantitas. Sit a b linea, & detra
cta quantitas b c, non maior a b & d &longs;it alia quæuis quantitas eiu&longs;
tio quatenus b c e&longs;t quantitas, quia &longs;unt eiu&longs;
dem generis ideo &longs;unt in aliqua proportione
per primam diffinitionem. Sed ut b c e&longs;t defectus, nulla e&longs;t propor
tio: quia quanto b c augetur, tanto augetur proportio d ad b c, &
hoc e&longs;t contra demon&longs;trata ab Euclide.
Quinta animi communis &longs;ententia.
Cum proportio producitur ex proportionibus quælibet illa
rum dicetur producta diui&longs;a per alteram.
Sexta animi communis &longs;ententia.
Æqualium quantitatum &longs;eu proportionum ad tertiam compa
rabilium eadem e&longs;t proportio atque uici&longs;sim. Hæc et&longs;i demon&longs;tre
tur ab Euclide, e&longs;t tamen hic generalior: & &longs;atis per &longs;e nota. Vt &longs;it
propior animi communi &longs;ententiæ, quàm rei demon&longs;trandæ.
Septima animi communis &longs;ententia.
Ad quod quantitas proportionem habet infinitam, id in genere
illius quantitatis non comprehenditur.
Nam proportio e&longs;t duarum quantitatum eiu&longs;dem generis com
paratio certa: at hæc comparatio certa non e&longs;t: non igitur quantita
tes ambæ &longs;unt, aut non eiu&longs;dem generis.
PRIMA Petitio.
Si fuerit primi ad &longs;ecundum, ut tertij ad quartum, & ex primo in
&longs;ecundum producatur æquale, aut maius, aut minus primo, uel
&longs;ecundo, producetur eodem modo ex tertio in quartum &ecedil;quale aut
maius, aut minus tertio, uel quarto eadem ratione & ordine.
Secunda petitio.
Proportiones po&longs;&longs;unt duci, diuidi, iungi, & auferri, & &longs;umi radix
in eis cuiu&longs;cunque generis, atque earum quantitatis, ut libet, po&longs;&longs;e
tran&longs;ponere.
Tertia petitio.
Proportionis cuiu&longs;uis nomen à denominatore &longs;uprà &longs;cripto, &
numeratore infrà &longs;cripto &longs;umitur.
Quarta petitio.
Diui&longs;a quauis quantitate per aliam eiu&longs;dem generis, quod exit
proportio dicitur.
Quinta petitio.
Qu&ecedil;libet proportio e&longs;t uel inter duas quantitates, uel per unam
&longs;ignificatur.
Nam per tertiam petitionem &longs;i &longs;int duæ quantitates, quæ non hæ
beant unius rationem, nomen &longs;umit proportio à duobus numeris,
&longs;in autem &longs;it altera monas, erit per &longs;ecundam animi communem &longs;en
tentiam, proportio numerus ip&longs;e Ideò patet, quod dicitur.
Sexta petitio.
Propo&longs;ita proportione quacunque, & monade quantitatem inue
nire, quæ &longs;e habeat ad monadem in proportione propo&longs;ita.
Nam cùm per quartam petitionem diui&longs;a quantitate per quan
titatem exeat proportio, & numerus ad
portio, ideo &longs;umpta monade &longs;ecundum illum numerum, ille nume
rus e&longs;t quantitas quæ&longs;ita.
Septima petitio.
Quamlibet quantitatem per aliam eiu&longs;dem generis diuidere
po&longs;&longs;e.
Octaua petitio.
Proportionem in proportionem ducere po&longs;&longs;e: quamuis &longs;int in
ter quantitates diuer&longs;i generis.
Quod dicitur de multiplicatione intelligendum e&longs;t de alijs ope
rationibus &longs;uprà enumeratis.
Nona petitio.
Monadem &longs;emper &longs;umere in quo cunque genere po&longs;&longs;e propo&longs;i
ta proportione.
Nam licet diuidere per &longs;eptimam petitionem quantitatem per
quantitatem proportionis: & quod exit, e&longs;t proportio per quar
tam petitionem, & per &longs;ecundam animi communem &longs;ententiam
illa proportio e&longs;t numero æqualis: ergo diui&longs;a proportione, per &longs;i
milem numerum &longs;tatuetur monas.
Decima petitio.
In quouis genere quantitatum &longs;umere po&longs;&longs;e quantitatem, quæ
&longs;e habeat ad monadem in proportione data. Similem huic propo
nit Euclides in lineis generaliter: nos autem contrà generaliter in
omnibus quantitatibus, &longs;ed de monade tantum.
&longs;exti
Monadem in quancunque quantitatem ductam æquale ip&longs;i pro
ducere. Similiter & proportionem æqualem.
Nam cum aliqua quantitas augeat ducta aliqua minuat, nece&longs;&longs;e
e&longs;t aliquam e&longs;&longs;e, quæ nec augeat, nec minuat, & hæc e&longs;t monas. Idem dico de diui&longs;ione.
Aequalitas etiam ducta, uel diuidens non
mutat proportionem: nec quantitatem ip&longs;am, igitur monas æqua
litatem refert. Quod etiam e&longs;t per&longs;picuum ex &longs;upradictis.
mi
&longs;ententia.
Duodecima petitio.
Cum fuerint quatuor quantitates & ad primam, & tertiam æquè
multiplicibus a&longs;&longs;umptis, item que ad &longs;ecundam & quartam, & &longs;i mul
tiplex primæ maius e&longs;t multiplici &longs;ecundæ, multiplex tertiæ &longs;it ma
ius multiplici quartæ, & &longs;i minus minus, & &longs;i æquale æquale, idque
&longs;emper quouis modo a&longs;&longs;umptis his proportionibus ad primam &
tertiam, & ad &longs;ecundam & quartam erit proportio primæ ad &longs;ecun
dam, ut tertiæ ad quartam. Hæc etiam a&longs;&longs;umitur ab Euclide.
Et per
hanc intelligimus etiam conuer&longs;am.
diff.
Tertiadecima petitio.
Quantitates æquales, atque proportiones in qua&longs;uis quanti
tates ductæ eandem &longs;eruant rationem. Euclides hanc demon&longs;trat,
nos autem ad uitandum tædium petimus concedi, &longs;ub qua in
cluduntur diui&longs;io etiam additio, detractio, laterum omnium in
uentio.
ti
Quartadecima petitio.
Cùm termini alicuius quantitatis eandem &longs;eruant rationem in
omnibus, & firmi &longs;unt ac &longs;tabiles eiu&longs;dem rationis comparatione
contentæ partes æqualem &longs;eruant exce&longs;&longs;um, &longs;eu proportionem.
PROPOSITIO prima.
Proportionem in proportionem duci e&longs;t &longs;uperiores nume
ros atque inferiores inuicem ducere.
Sit proportio lineæ a ad lineam b, ut anguli cad angulum d, &longs;ta
tuatur e monas in genere a
b, & fiat fad e, ut cad d, & du
catur a in f & b in e, & pro
ducantur g & h. Quia ergo
fe&longs;t proportio ip&longs;a, erit g ad
a ut c ad d, &longs;ed h e&longs;t æqualis
b, igitur a ad h ut ad b. Du
cta ergo dicetur proportio a
ad b in proportionem c ad d
ducendo terminos proportionis, &longs;eu quantitatis recta &longs;cilicet &longs;u
periores cum &longs;uperioribus, & inferiores cum inferioribus. Nam &longs;i
rur&longs;um con&longs;tituantur fad e ut a ad b cùm f &longs;it proportio, & k ad f ut
c ad d, erit k ad e, ut g ad h, k autem fit ex ductu proportionis a ad b,
quæ e&longs;t fin proportionem c ad d, liquet igitur propo&longs;itum.
mi &longs;entent.
Propo&longs;itio
Proportio extremorum producitur ex intermedijs.
Sint a b c quantitates dico proportio
nem a ad c, produci ex proportione a ad b
& b ad c, &longs;tatuantur totidem à monade d e
f, erúntque ex demon&longs;trantis ab Euclide in
quinto
ne, ftatuatur ergo d prima quantitas e &longs;e
cunda & tertia f quarta. eritqúe per præce
dentem proportio productorum ex d in e
& &longs;it g, & in f & &longs;it h, producta ex propor
tionibus d ad e & e ad f, quare ex propor
tionibus a ad b & b ad e, &longs;ed ex dictis cum
e &longs;it eadem, erit proportio d ad f, ut g ad h & proportio, d ad f per
æquam proportionem ab Euclide demon&longs;tratam, ut a ad c, igitur
proportio a ad c producitur ex proportionibus a ad b & b ad c, &
e&longs;t proportio ip&longs;a a ad c d numerus, ut o&longs;ten&longs;um e&longs;t.
P
Ex hoc &longs;equitur, quòd cùm fuerit quantitas tertia monas ex pro
portionibus inuicem ductis producetur prima quantitas.
Ex hoc &longs;equitur, quòd conuer&longs;a proportio producitur ex con
uer&longs;is proportionibus.
Propo&longs;itio tertia.
Si proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis
producatur, ip&longs;a uerò proportio inter duas alias quantitates fue
proportionis.
H&ecedil;c propo&longs;itio ut præcedens &
ptæ &longs;unt, & ab eo demon&longs;trantur. Sit ergo proportio a ad b, pro
ducta ex proportione c ad d & e ad f, con&longs;tat
quòd cum &longs;int &longs;ex quantitates, quòd fieri pote
runt quindecim coniugationes, quas po&longs;ui à la
tere facilitatis gratia, quibus re&longs;pondent totidem
conuer&longs;æ: erunt ergo triginta. Singulæ autem ha
rum produci po&longs;&longs;unt duodecim modis: ductis
duodecim in triginta, fiunt trecenti &longs;exaginta mo
di. Et hoc e&longs;t clarum per&longs;e, modo
quod &longs;inguli horum modorum po&longs;sint produ
ci duodecim modis, & capiamus ab primam qu&ecedil;
pote&longs;t produci ex c d & e f: Item ambabus con
uer&longs;is d c & fe: & rur&longs;us altera recta altera con
uer&longs;a: & hoc bifariam c d & f e, & d c & e f, &longs;unt er
go iam quatuor modi. Totidem ex c e & d f, toti
demque ex c f & d e, igitur erunt duodecim mo
di, quibus produci po&longs;&longs;e intelligitur propor
tio a ad b.
Propo&longs;itio quarta.
Si fuerit proportio primi ad &longs;ecundum produ
cta ex proportionibus tertij ad quartum, & quin
ti ad &longs;extum, producetur etiam ex proportione
tertij ad &longs;extum, & quinti ad quartum.
Sit proportio a b producta ex proportioni
bus c ad d, & e ad f, dico quod etiam erit produ
cta ex proportionibus c ad f, & e ad d, di&longs;ponan
tur ut in figura & fiat ex c in e g, & ex d in fh, ergo
per primam harum g ad h ut a ad b, &longs;ed per præ
&longs;uppo&longs;ita in &longs;ecunda productione etiam prode
unt g & h, igitur per primam propo&longs;itionem ha
rum a ad b proportio producitur ex proportionibus c ad f tertiæ
&longs;cilicet ad &longs;extam, & e ad d quint&ecedil; ad quartam, quod fuit
Propo&longs;itio quinta.
Si fuerit proportio primi ad &longs;ecundum producta ex proportio
ne tertij ad quartum, & quinta ad &longs;extum: erit proportio tertij ad
&longs;extum producta ex proportionibus primi ad &longs;ecundum, & quar
ti ad quintum.
Sit proportio a ad b producta ex proportio
nibus c ad d, & e ad f, dico quod proportio c ad
f producitur ex proportione a ad b & d ad e. In
terponam d e inter c & f, eritque ex &longs;ecunda pro
po&longs;itione repetita proportio c ad f producta ex
tribus proportionibus c ad d, d ad e, e ad f, &longs;ed
proportiones c ad d, & e ad f producunt pro
portionem a ad b, igitur proportio c ad f produ
citur ex proportionibus a ad b, & e ad f.
Propo&longs;itio &longs;exta.
Ex trecentis &longs;exaginta modis producenda
rum proportionum triginta &longs;ex tantum e&longs;&longs;e ne
ce&longs;&longs;arios.
Per quartam enim proportio a ad b produ
citur bifariam, & ex c ad d, & e ad f, & ex c ad f, &
e ad d. & perpræ cedentem c ad f producitur ex
a ad b, & d ad e, & per quartam rur&longs;us ex a ad e,
& d ad b. Et per præcedentem rut&longs;us a ad e ex c
ad f & b ad d, igitur per quartam eadem produ
cetur ex c ad d & b ad f. Quare per præceden
tem c ad f ex a ad e, & d ad b, & ita di&longs;ponemus
hos modos in tabula. Vides etiam
aliquos modos non produci, ut pri
mi ad quartum nec ad &longs;extum, & li
quet, quòd cùm &longs;int quindecim o
mnes modi qui produci po&longs;&longs;e intelli
guntur, & nouem tantum producan
tur &longs;ex e&longs;&longs;e, qui non producuntur, quos
&longs;eor&longs;um in tabula coniunxi. Et con
&longs;tat etiam, quod totidem conuer&longs;i &longs;ci
licet decem octo
bus diximus, ut &longs;int omnes triginta
&longs;ex, qui con&longs;tat ex duabus propo&longs;i
tionibus præmi&longs;sis, & hac tertia,
adiungemus &longs;cilicet, quòd propor
tio primi ad tertium producatur ex
proportionibus
& quinti ad Hoc enim ex præ
cedentibus non liquet: benè liquet
permutatis ordinibus, quod &longs;i pro
portio primi ad tertium producitur,
tio primi ad Nam tertium, & quin
tum, item que quartum,
& &longs;extum non
runt
tario. Ergo interpo&longs;i
to e inter a, & c per &longs;e
cundam propo&longs;itio
nem proportio a ad c
producitur ex proportionibus a ad
e, & e ad c, ut ex demon&longs;tratis in præ
&longs;enti proportio a ad c producitur ex
c ad f & b ad d. Proportio ergo a ad
c producitur ex proportionibus e
ad c & c ad f & b ad d, at e ad c & c ad
f producunt eam, quæ e&longs;t e ad f per Igitur pro
portio a ad c producitur ex propor
tionibus b ad d &longs;ecundi ad quartum,
& e ad f quinti ad &longs;extum. Hæc Al
chindus in &longs;uo libello: &longs;ed licet inge
nio &longs;a ualde: parum
gnam
po&longs;tquam Heber has &longs;ex quantita
tes traduxit ad quatuor, pror&longs;us hæc
&longs;cientia ulli u&longs;ui e&longs;&longs;e de&longs;ijt.
producuntur
pri. ad quartu
pri. ad &longs;extum
&longs;ec. ad
&longs;ec. ad
tert. ad quint.
quart.
ad &longs;ext.
Propo&longs;itio &longs;eptima.
In modis qui nece&longs;&longs;ariò produ
cuntur ex duabus proportionibus,
cum du&ecedil; quantitates ex illis, qu&ecedil; mo
dos conficiunt, æquales fuerint: pro
portio producta ad quatuor quanti
tates omiologas reducetur.
Sint &longs;ex quantitates a b c d e f, &
producatur proportio a ad b ex pro
portione c ad d, & e ad f, tu &longs;cis, quòd
modi recepti &longs;unt prima cum &longs;ecunda, tertia uel quinta, & &longs;ecunda
cum quarta, & &longs;exta, & tertia &longs;imiliter cum ei&longs;dem, & quinta eodem
modo cum ei&longs;dem: &longs;i igitur du&ecedil; quantitates ex his, qu&ecedil; faciunt pro
portio ad quatuor quantitates omologas, &longs;cilicer abiectis amba
bus æqualibus. Sit gratia exempli prima æqualis quintæ: & quia
in octauo modo proportio
portione primi ad quintum, & &longs;exti ad tertium, ergo per expo&longs;ita
proportio &longs;ecundi ad quartum, ut &longs;exti ad tertium, & ita permutan
do, & conuertendo &longs;ecundi ad &longs;extum, ut quarti ad tertium, & tertij
ad quartum, ut &longs;exti ad &longs;ecundum.
petitione.
Propo&longs;itio octaua.
Si duarum
rioribus multiplicentur, atque coniungantur: erit proportio aggre
gati ad productum ex inferioribus inuicem proportio ex primis
proportionibus compo&longs;ita.
Sit proportio una a ad b, alia c ad d, ducatur b in
c, fiatque e & a in d, & fiat f, iunganturque e & f & fiat h,
& ducatur b in d et fiat g: dico
po&longs;itam e&longs;&longs;e ex proportione a ad b, & c ad d. Quia
enim ex b in c fit e, & ex b in d fit g, erit proportio e
ad g, ut c ad d, & &longs;imiliter, quia ex d in a fit f, & ex d in b fit g, erit f ad
g ut a ad b. Sed e & f componunt h, igitur proportio h ad g e&longs;t com
po&longs;ita ex proportionibus e & f ad g, igitur per communem animi
&longs;ententiam, & diffinitionem compo&longs;itæ proportionis, proportio h
ad g compo&longs;ita e&longs;t ex proportionibus a ad b, & c ad d, quod e&longs;t
propo&longs;itum.
tione.
nitionem.
Propo&longs;itio nona.
Si duarum proportionum &longs;uperiores numeri alternatim cum
inferioribus multiplicentur, minusque productum ex maiore detra
hatur, erit re&longs;idui ad productum ex inferioribus proportio uelut
illa, quæ relinquitur detracta minore proportione ex maiore.
Hæc eodem modo probatur, ut præcedens, ni&longs;i quod h fit de
tracto è minore: gratia exempli ex f, & ita ex diffinitione patet pro
po&longs;itum.
152.
Propo&longs;itio decima.
Si fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio uelut al
terius partis ad
titatis eiu&longs;dem generis ad &longs;ecundam compo&longs;ita proportio ex pro
portionibus eiu&longs;dem quantitatis a&longs;&longs;umptæ ad utran que partem pri
mæ quantitatis &longs;eor&longs;um.
Sit a b quantitas diui&longs;a in c, & &longs;i cut a b ad a c,
ita b c ad d: eritque iterum permutando a b ad b c,
ut a c ad d, & &longs;umatur quædam quantitas e eiu&longs;
po&longs;ita ex proportionibus e ad a c, & e ad b c. Po&longs;ita ergo e tan<08> &longs;u
periore numero, & a c & c b inferioribus, erit ex octaua propo&longs;itio
ne huius proportio productorum ex e in a c, & coniunctorum, &
ex con&longs;equenti per primam &longs;ecundi Elementorum producti ex e in
a b ad productum ex a c in c b compo&longs;ita ex proportionibus e ad
a c, & e ad c b: at quod fit ex a c in c b, e&longs;t æquale ei quod fit ex a b in
d, eo quòd a b, a c, c b & d &longs;unt omiologæ per decimam&longs;extam &longs;exti
ex d in a b e&longs;t compo&longs;ita ex proportionibus e ad a c, & e ad e b: At
proportio producti ex e in a b ad productum ex d in a b, e&longs;t uelut e
ad d. per &longs;uppo&longs;ita igitur proportio e ad d e&longs;t compo&longs;ita ex propor
tionibus e ad a c, & e ad b c, quod fuit demon&longs;trandum.
Propo&longs;itio undecima.
Proportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad ag
gregatum duarum æqualium quantitatum e&longs;t compo&longs;ita ex pro
portionibus primis, & diui&longs;a per duplam.
Sit proportio a ad c, & b ad d, & &longs;int c & d
æquales, dico quòd proportio a b ad c d e&longs;t
compo&longs;ita ex proportionibus a ad c, & b ad
d diui&longs;o compo&longs;ito per duplam. Quia enim
c & d &longs;unt æquales, erit b ad c, ut b ad d, qua
re ex diffinitione cùm proportio a b ad c d
&longs;it compo&longs;ita ex proportionibus a ad c, & b
ad c, erit etiam compo&longs;ita ex dictis ex propo&longs;itione a ad c, & b ad d,
&longs;tatuatur ergo e æqualis c d media inter a b & c. Et erit per &longs;ecun
dam propo&longs;itionem proportio aggregati a b ad c producta ex
proportione aggregati a b ad c, & e ad c, igitur proportio a b ad e
erit proportio a b ad c, diui&longs;a per proportionem e ad c, &longs;ed e ad c e&longs;t
dupla: igitur proportio a b ad c d e&longs;t proportio a b ad c diui&longs;a per
duplam.
com. &longs;ententia.
Acom.
&longs;en
tentiam.
Propo&longs;itio duodecima.
Propo&longs;itis duabus proportionibus unam alteri iungere ab&longs;que
multiplicatione.
10. P
Sint propo&longs;itæ proportiones a ad c &
b ad d, & a&longs;&longs;umo e ad c, iuxta ea quæ Eu
clides demon&longs;trauit, ut b ad d, erit igitur
proportio a e ad c, compo&longs;ita ex proportionibus a ad c, & e ad c,
&longs;ed proportio e ad c e&longs;t, ut b ad d, igitur proportio a e ad c compo
&longs;ita e&longs;t ex proportionibus a ad c, & b ad d.
com.
tentia.
Aliter ex b in c fiat fex a in d, g ex c in d h coniunctum ex f g, k.
Quia ergo ex c in b fit f, ex c in d h, erit f ad h,
ut b ad d, igitur ut e ad c, &longs;ed a ad c, ut g ad h igi
tur a e ad c, ut k ad h, &longs;ed k ad h cómponitur ex
proportionibus a ad c, & b ad d. Ex octaua ha
rum igitur proportio a c ad c compo&longs;ita e&longs;t ex
ei&longs;dem. For&longs;an quis dicat hanc eandem e&longs;&longs;e
octauæ &longs;ed
paratur ad productum, in hac ad unam ex
quantitatibus.
Ex hoc &longs;equitur quòd: Quælibet duæ quantitates quarum ag
gregatum e&longs;tidem ad eam quantitatem, componunt eandem pro
portionem.
Propo&longs;itio tertiadecima.
Proportio confu&longs;a aggregati primæ & tertiæ quatuor quantita
tum omiologarum ad
po&longs;ita ex ei&longs;dem diui&longs;a per duplam.
Sint a ad b, ut c ad d, dico, quòd erit confu&longs;a
proportio a c aggregati ad
po&longs;itæ ex his proportionibus diui&longs;æ per du
plam æqualis. Erit enim aggregati ex a c ad aggregatum ex b d, ue
lut a ad b per 18 quinti Elementorum. Sed proportiones a ad b,
& c ad d componunt proportionem producti a in d, & c in b per
octauam harum, ad
e&longs;t æquale producto ex b in c per decimam&longs;extam &longs;exti Elemento
rum, & proportio producti ex b in c ad productum ex b in d e&longs;t ue
lut c ad d, quare ut aggregati a c ad aggregatum b d, igitur propor
tio compo&longs;ita ex a ad b, & c ad d, e&longs;t uelut confu&longs;a bis &longs;umpta. Igi
tur confu&longs;a e&longs;t uelut compo&longs;ita diui&longs;a per duplam per modum un
decimæ huius.
Propo&longs;itio quartadecima.
Proportiones confu&longs;æ, & coniunctæ in tribus quantitatibus in
uicem commutantur.
Sint tres quantitates, dico, quod proportio c
ad a b confu&longs;a e&longs;t, conuer&longs;a coniunctæ a & b ad
c. Nam per dicta proportio a b ad c efficit con
iunctam ex a b ad c: &longs;ed c ad a b conuer&longs;a e&longs;t eius, quæ e&longs;t a b ad c, &
proportio c ad a b e&longs;t confu&longs;a eius, quæ e&longs;t c ad a & b. Igitur pro
portio confu&longs;a in tribus quantitatibus e&longs;t contraria coniunctæ in
ei&longs;dem.
Ex quauis ergo illarum data, data erit & reliqua.
Propo&longs;itio quintadecima.
Si fuerint quatuor quantitas-proportio confu&longs;a aggregati pri
mæ & tertiæ ad aggregatum &longs;ecundæ, & quartæ erit ut monadis
addito prouentu, qui fit diui&longs;a differentia differentiarum primæ &
&longs;ecundæ, atque quartæ & tertiæ per aggregatum tertiæ, & quartæ ad
ip&longs;am monadem.
Sint quatuor quantitates a b, c, d, e f, &
&longs;it a b maior cin a h, & e fmaior d in f g, &
differentia f g & a h &longs;it a k: dico proportio
nem a b, & d confu&longs;am ad c & e f, e&longs;&longs;e ut mo
nadis addito prouentu, uel detracto a k diui&longs;æ per aggregatum c.
& e f ad ip&longs;am monadem, & manife&longs;tum e&longs;t, quòd pote&longs;t continge
re pluribus modis: Primus ut a b &longs;it maior c & e f minor d, & tunc
differentiæ coniungentur, & prouentus, addetur monadi. Idem fa
ciendum erit &longs;i a b &longs;it maior c, & e f &longs;it minor d, &longs;ed exce&longs;&longs;us &longs;uperet
defectum. At &longs;i uel a b &longs;it minor c, & e f maior d, uel ita minor, ut c
exce&longs;&longs;us &longs;upra b a &longs;it maior defectu, detrahemus prouentum à mo
nade. Alia cautio e&longs;t quòd &longs;i fuerint utrinque exce&longs;&longs;us, aut defectus,
minuemus minorem de maiore: &longs;i autem unus &longs;it exce&longs;&longs;us alter de
fectus, iungemus illos, & po&longs;t diuidemus. uno ergo demon&longs;trato
ut pote primo intelligentur reliqui. Quia ergo b h e&longs;t æqualis c &
e g æqualis d & h k æqualis g f, erit ex communi animi &longs;ententia ag
gregatum ex d & k b æquale aggregato ex c & e f, igitur per dicta
proportio aggregati ad aggregatum e&longs;t unum. at uerò diui&longs;a k a
per c & e f fit quantum diui&longs;a eadem per b k, & d, &longs;ed diui&longs;a k a per b
k, & d iunctas, exit proportio a k ad aggregatum b k & d: igitur di
ui&longs;a a k per aggregatum e f & c, exibit eadem proportio, igitur a b
& d ad aggregatum c & e f e&longs;t coninncta ex monade & proportio
ne a k ad aggregatum c & e f, quod erat demon&longs;trandum.
Ex hoc patet quod proportionum confu&longs;io
fit iunctis denominatoribus numeratoris: mul
tiplicatio multiplicatis: additio multiplicatis
decu&longs;&longs;atim in numeratores ad productum ex
denominatoribus, ut in exemplis.
Propo&longs;itio &longs;extadecima.
Omnium quatuor quantitatum propo&longs;ita
prima, quæ non minorem habet proportionem
ad &longs;uam corre&longs;pondentem, quàm alia ad aliam
erit proportio confu&longs;a illarum, ut pro
ducti ex aggregato primæ & tertiæ in
dam in ip&longs;am quartam.
Hæc magis reducit confu&longs;am proportionem ad notitiam, quàm,
præcedens, quia reducit ad proportionem
e&longs;t &longs;implici&longs;sima, &longs;iue per multiplicationem quantitatum fiat, duæ
&longs;unt tantum multiplicationes, &longs;iue per eundem terminum &longs;ufficit
alium addere. Summatur ergo a b, c, d & e, & non &longs;it maior propor
tio d ad e, quàm a b ad c, & &longs;tatuatur tunc prima a b, &longs;ecunda c, ter
tia d, quarta e, & po&longs;tquam non e&longs;t minor ratio a b ad c, quàm d ad
e, &longs;umatur a f ad c, ut d ad e. licet enim hoc facere.
Dico quod pro
portio confufa a b & d ad c & e e&longs;t uelut producti ex aggregato a b
& d in d ad productum ex aggregato a f & d in e. Statuatur aggre
gatum a b & d linea a d prima quantitas, & aggregatum a f & d,
a d &longs;ecunda quantitas, & d tertia,
& c quarta, & ex a b in d fiat g, ex
a d in e fiat h, erit ergo per pri
mam propo&longs;itionem g ad h pro
ducta ex proportionibus a b d ad
a f d, & d ad c. Sed proportio a f d
ad aggregatum c e, e&longs;t uelut d ad
e. Proportio uerò a b d ad a f d, &
a f d ad e c producunt proportio
nem a b d ad c & e per &longs;ecundam propo&longs;itionem, harum igitur con
&longs;u&longs;a a b ad c, & d ad e, & e&longs;t proportio a b d ad c & e, producuntur
ex proportionibus a b d ad a f d, & d ad e. Ergo proportio g ad h
e&longs;t confu&longs;a ex a b ad e, & d ad e, quod erat demon&longs;trandum.
Propo&longs;itio decima&longs;eptima.
Omnes du&ecedil; proportiones conuer&longs;æ producunt æqualem pro
portionem.
Sint duæ proportiones a ad b & b ad a conuer&longs;a,
dico, quòd producunt proportionem æqualem. fiat
enim b ad c, ut b ad a, erit igitur a æqualis c & b c con
uer&longs;a eius quæ e&longs;t a ad b, &longs;ed per &longs;ecundam harum
proportiones a ad b, & b ad c producunt propor
tionem a ad c, igitur proportiones etiam a ad b & b ad a produ
cunt eandem.
mi
&longs;ententiam.
Propo&longs;itio decimaoctaua.
Si fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multi
plici præter ultimam: proportio uerò penultimæ ad ultimam qua
lis re&longs;idui primæ ad &longs;ecundam, erit primæ ad aggregatum reliqua
rum uelut penultimæ ad ultimam.
Sint quantitates a b c d in continua proportione multiplici, &longs;ed
d ad e &longs;it uelut re&longs;idui a & b ad b, dico proportionem a ad b c d e
e&longs;&longs;e ut d ad e. Quia enim e&longs;t gnomonis e ad quadratum d, ut d ad e
ex &longs;uppo&longs;ito erit per coniunctam proportionem c & d ad d & e, ut
d ad e, &longs;ed e gnomo cum quadrato d efficit qua
dratum e, igitur ut c quadrati ad d & eiuncta, ita
d ad e. Rur&longs;us, quia b quadrati ad c quadratum,
ut c ad d erit gnomonis b ad quadratum c, ut
gnomonis c ad quadratum d, & ita d ad e, igitur
gnomonum b c cum quadrato d ad aggrega
tum c d e quadratorum, ut d ad e, &longs;ed c gno
mo cum d quadrato perficit c quadratum,
& c quadratum cum gnomone b perficit
quadratum b, igitur proportio quadrati b
ad quadrata c d e, ut d quadrati a d e. Et ita
repetendo de quotuis quantitatibus in infi
nitum u&longs;que. Hæc proponitur ab Archimede in libro de quadrato
æquali parabolæ, & minus generaliter & pluribus demon&longs;tratur. Ego tamen quia e&longs;t generalis, de&longs;cribam illam per corrolarium: ad
damque aliud quod ex hoc &longs;equitur.
quinti
ti
ti
Si fuerint quotlibet
&longs;it autem penultima ad ultimam qualis re&longs;idui primæ & &longs;ecundæ
ad &longs;ecundam, erit proportio primæ ad aggregatum omnium alia
rum ueluti penultimæ ad ultimam.
Hæc enim e&longs;t euidens, quia conuenit ei demon&longs;tratio propo&longs;ita.
exemplo autem in numeris à latere
po&longs;ito uides declarationem. nam
proportio 16 ad 32 e&longs;t uelut 27 re&longs;i
dui primæ & &longs;ecundæ ad ip&longs;am &longs;e
cundam &longs;cilicet ad 54.
Ex hoc patet etiam quòd a&longs;&longs;umptis omnibus, &longs;ub multiplicibus
analogiæ u&longs;que in infinitum prima quantitas e&longs;t multiplex aggre
gati omnium reliquarum numero 1 m: quo prima e&longs;t multiplex
&longs;ecundæ.
Si fuerint quotlibet quantitates in &longs;uper particulari proportio
ne analogæ, erit proportio primæ ad aggregatum omnium in infi
nitum iuxta proportionem multiplicem conuer&longs;am illius partis.
Velut collectæ in &longs;e&longs;quialtera duplæ in &longs;exquitertia triplæ in
&longs;exqui&longs;eptima &longs;eptuplæ. Vt capio 512 448 392 343, & ita deinceps
u&longs;que in infinitum aggregatum omnium earum erit 3584. Septu
erit 54 duplum 27 primæ in eo ordine.
SCHOLIVM.
Ex quo patet genus demon&longs;trandi nouun & pulchrum: nam
&longs;upponatur 54, aggregatum duplum 27, primæ igitur addito 27
ad 54, cum &longs;it dimidium, & addito 13 1/2, dimidio 27 ad 27, nam ex
&longs;uppo&longs;ito quantitas &longs;equens e&longs;t &longs;exquialtera ad 27, igitur 81 e&longs;t du
plum ad 40 1/2. Igitur conuertendo e&longs;t proportio aggregati prioris
ad 27 e&longs;t dupla, ergo aggregatum e&longs;t 54.
ti
Ex hoc patet eandem generaliter quod proportio maioris quan
titatis ad aggregatum reliquarum analogarum e&longs;t, uelut eius quod
prouenit diui&longs;o quadrato maioris termini per differentiam eius, &
&longs;equentis maioris in eadem proportione ad ip&longs;um maiorem.
Exemplum &longs;it proportio augens 25 & 35 duarum quintarum, uo
lo &longs;cire quantum &longs;it aggregatum omnium citra 25, maximam acci
pio 35, ulteriorem ad 25, cuius differentia a 25 e&longs;t 10, cum quo diui
do 625 quadratum, exit 62 1/2 aggregatum quantitatum. Et facile po
re&longs;t demon&longs;trari. Si quis dicat in qua proportione &longs;unt infinitæ
quantitates analogæ cum 12, quæiunctæ efficiunt 10, iunge 10 cum
12 fit 22, duc 22 in 12 fit 264, diuide 264 per 10, exit 26 2/3, & in ea pro
portione
60, & 132 diuide per 12, exeunt 11 & 5, & ita eruntin proportione 11
ad 5 experiaris, & inuenies, & demon&longs;tratur ex prioribus.
Propo&longs;itio decimanona.
Si fu erint aliquot quantitates arithmeticæ omiologæ, quarum
exce&longs;&longs;us &longs;it æqualis minimè, omnibus autem deficientibus &longs;upple
menta ad &ecedil;qualitatem maximè adiungantur, erunt quadrata omni
um quantitatum æqualium adiecto rur&longs;us quadrato primæ cum
eo quod fit ex minima primi ordinis in
titatum eiu&longs;dem tripla aggregato quadra
torum omnium quantitatum primi ordinis
pariter acceptis.
Sint aliquot quantitates a b c d e f g h in
continua proportione. Arithmetica di&longs;po&longs;it&ecedil;
ita ut minima
renti&ecedil; quantitatum
d, et ita de alijs, addantur
gulis harum, quæ &longs;int i k l m n o p, ita ut
fiant &ecedil;quales
à maiori. E&longs;tque
quatuor partes æquales, &longs;i quinque in quinque, &longs;i decem in decem, eara
tione ut ultima
e&longs;t finis &longs;ecundæ partis, antepenultima ubi e&longs;t finis tertiæ, & &longs;ic de
alijs. Vocabo ergo primas
titates primi ordinis, &longs;ed quantitates æquales quæ
titatib. primi ordinis, & fupplementis, appellabo quantitates &longs;ecun
di ordinis: ex quo patet quòd prima
quia non e&longs;t diui&longs;a, reliquæ omnes differunt, quantitates uerò quas
adiunxi nominabo
ordinum: ut &longs;i
ptem, & &longs;i quantitates
quia inter &longs;upplementa Erunt er
go &longs;upplementa i k l m n o p, quætanto erunt maiora quanto quan
titates primi ordinis &longs;unt minores, & contrà tanto maiora, quanto quantitates
nis Hæcuolui pluribus
agere, ut dilucidior e&longs;&longs;et propo&longs;itio. quæ licet
confu&longs;a ualde propter multitudinem Dico
ergo &qring;d aggregatum
mo quadrato bis repetito, &longs;eu uno addito
in aggregatum quantitatum primi ordinis e&longs;t
quadratis omnibus
plo facilius innote&longs;cat, &longs;int
quorum quadrata &longs;int 64. 49. 36. 25. 16. & 9.4 & 1. quæ iuncta
204, dico quod &longs;i &longs;umamus quadrata omnium
ordinis, quæ &longs;unt octies 64, & eis addiderimus unum
his, ut fiant nouies 64, & erunt 556, &longs;imul iuncta & eis addamus, &qring;d
fit ex 1 quantitate minima primi ordinis in 36 aggregatum quanti
tatum omnium primi ordinis, & e&longs;t tale
612, quod tale 612 e&longs;t triplum 204, aggregati
dinis unius demon&longs;tratio h&ecedil;c e&longs;t. Quia ex quarta &longs;ecundi Element.
Euclidis &longs;ingula quadrata
&longs;tant ex quatuor partibus quarum du&ecedil; &longs;unt quadrata partium, reli
quæ duæ &longs;unt producta ex partibus
lis 1, & p &ecedil;qualis b, quia &longs;upplementa
tatibus, & ita c æqualis o & k æqualis g & d, æqualis n & l, æqualis
f, e
&longs;ecundi ordinis hab entibus
titatibus quod quadrata partium
quantitatum: ueluti capio b i &longs;ecundam & h p ultimam,
æqualis i. Ergo quatuor quadrata b i & h p &longs;unt dupla quadratis b
& h, & ita
parantur: &longs;ed in e m quia e&longs;t &longs;ola una quantitas, i&longs;tud e&longs;t etiam cla
rius, quia quadrata e & m &longs;unt dupla quadrato e &longs;oli eo, quod & m
&longs;unt æquales. Igitur per demon&longs;trata ab Euclide erit proportio o
mnium quadratorum b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, ad quadrata b c d e
f g h, pariter accepta proportio dupla. atuerò addito quadrato a
quadratis b c d e f g h, & erunt quadrata omnium quantitatum, &
quadratis b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, duplo quadrati a &longs;cilicet &longs;emel,
quia a e&longs;t ex &longs;ecundo ordine quantitatum, & &longs;emel, quia hoc fuit a&longs;
&longs;umptum in Problemate. Sequitur ut quadrata omnia
&longs;ecundi ordinis, prout &longs;unt diui&longs;a in partes addito quadrato a, &longs;int
dupla quadratis primarum quantítatum, &longs;imul pariter acceptis. Re
liquum e&longs;t modo ut o&longs;tendamus dupla
eo quod fit ex minima quantitate, &longs;cilicet h in aggregatum ip&longs;arum
quantitatum primi ordinis e&longs;&longs;e æquale quadratis,
dem primi ordinis pariter acceptis. Con&longs;tatigitur, quod duplum i
in b e&longs;t æquale duplo h in ip&longs;um b, quia h & i &longs;unt æquales, & du
plum k in ip&longs;um c, e&longs;t æquale quadruplo h in idem c, quia k e&longs;t du
pla h, & &longs;imiliter duplum l in ip&longs;um d e&longs;t æquale &longs;excuplo, h in d,
quia l e&longs;t tripla h, & ita procedendo erunt illa dupla producta æ
qualia productis ex h in ip&longs;as quantitates toties &longs;umptis quantus
e&longs;t numerus, qui prouenit duplicato numero, &longs;ecundum
tinetur in illo &longs;upplemento, exemplum uolo duplum producti lin
d bis, &longs;cio quòd &longs;upplementum l continet h ter, duplicabo tria & fi
ent &longs;ex, Quo con
&longs;tituto, cum &longs;uppo&longs;itum &longs;it producta illa duplicata cum producto h
in aggregatum primarum
rum quantitatum, igitur addemus
titates productis illis prioribus, & fiet productum h in a &longs;emel, in b
ter, in c quinquies, in d &longs;epties, in e nouies, in f undecies, in g trede
cies, & in h quindecies æquale duplo producti uniu&longs;cuiu&longs;que quan
titatis in &longs;uum &longs;upplementum cum producto h in
rum quantitarum, at quadratum a e&longs;t &ecedil;quale producto ex h in eam,
qu&ecedil; talem habet proportionem ad ip&longs;um a,
h per demon&longs;trata ab Euclide, & pariter de quadrato b, quod e&longs;t &ecedil;
quale ei quod fit ex h in eam quæ toties continet b, quotiens b con
tinet h, & ita quadratum c æquale e&longs;t ei, quod continetur &longs;ub h, &
habente proportionem ad b eandem, quam b ad h, & &longs;imiliter de
quadrato c & omnibus reliquis, u&longs;que ad h ip&longs;um. Gratia ergo exem
cundas, quia quotus e&longs;t numerus quantitatum, totus e&longs;t numerus
&longs;ecundum quem a continet h, & &longs;imiliter quotus e&longs;t numerus quan
títatum incipiendo à b, & quotus e&longs;t numerus quantitatum incipi
endo à c, toties b uel c
nium quantitatum &longs;imul iuncta &longs;unt æqualia productis ex h in &longs;in
gulas illarum toties &longs;umptis, quoties illæ
numerus illius quantitatis, incipiendo ab h, & Rur&longs;us dico, quod productum multiplicis cuiuslibet
minimam, &longs;eu quadratum eiu&longs;dem quantitatis &ecedil;quale e&longs;t producto
eiu&longs;dem quantitatis, & dupli omnium &longs;equentium primi ordinis in
ip&longs;am minimam quantitatem, uelut quadratum a e&longs;t æquale produ
cto ex h in a, & in duplum b c d e f g h, hoc
his quantitatibus, quia &longs;i quadratum a e&longs;t æquale producto h in o
mnes quantitates &longs;ecundi ordinis, & omnes quantitates &longs;ecundi or
dinis &longs;imul &longs;umptæ &longs;unt &ecedil;quales ip&longs;i a, & duplo
dinis, quia tales quantitates &longs;unt æquales &longs;uis &longs;upplementis uici&longs;
&longs;im, ut h cum i, k cum g, f cum l, e
quantitates primi ordinis &longs;unt dimidium quantitatum &longs;ecundi or
dinis, ergo duplum quantitatum primi ordinis e&longs;t dimidium quan
titatum &longs;ecundi ordinis, uerùm de b dico idem accidere, quia qua
dratum b e&longs;t &ecedil;quale producto ex h in b, & in duplum reliquarum à
b, &longs;cilicet duplum c d e f g h, & hoc e&longs;t o&longs;tendere, quod i&longs;t&ecedil; quantita
tes &longs;unt dimidium totidem quantitatum æqualium b, nam c e&longs;t mi
nor b in h, & &longs;upplementum p quod e&longs;t æquale ip&longs;i b, &longs;i tota h p fiat
æqualis ip&longs;i b, ut pote h q erit ip&longs;a q dempta h æqualis ip&longs;i c, ergo
quantitates primi ordinis &longs;emper &longs;unt æquales &longs;upplementis non
ueris, &longs;ed prioris quantitatis a&longs;&longs;umptæ, &longs;eu in comparatione ad il
lam, quadratum igitur b e&longs;t æquale producto ex h in b, & in duplum
c d e f g h, & &longs;imiliter per eadem, quadratum c e&longs;t æquale producto
ex h in c, & in duplum d e f g h, & &longs;ic de alijs. Habemus ergo, quod
quadrata a b c d e f g h &longs;imul iuncta &longs;unt æqualia producto ex h in
a, & in duplum reliquarum, & ex h in b, & in duplum reliquarum
&longs;equentium, & producto ex h in c &longs;emel, & in duplum &longs;equentium
u&longs;que ad h, & ita de reliquis. hoc enim e&longs;t, quod nuper demon&longs;traui
mus. Antea quo que
l, e in m, f in n, g in o, h in p,
erat &ecedil;quale productis ex h in a &longs;emel, & in b ter, & in c quinquies, in
d &longs;epties, in e nouies, in fundecies, in g tredecies, in &longs;eip&longs;am h quin
decies, detractis ergo p
& ex h in b c d e f g h bis
riter conduplicatis &longs;uis &longs;equentibus ex altera, quod fit ex h in b &longs;e
mel, in c ter, in d quinquies, in e &longs;epties, in f nouies, in g undecies,
in h tredecies, detractis ergo rur&longs;us quod fit ex h in b &longs;emel, & ex
h in c d e f g h bis relinquetur, quod fit ex h in c, & duplo &longs;equen
tium, & d & duplo &longs;equentium, & e & aliarum pariter: & ex alia
parte, quod fit ex h in c &longs;emel, & in d ter, & in e quinquies, in f &longs;e
pties, in g nouies, in h undecies. Ab his rur&longs;us detractis, quòd fit
ex h in c &longs;emel, & in &longs;equentes bis, relinquetur h in d &longs;emel cum &longs;uis
&longs;equentibus bis, & in e &longs;emel cum &longs;uis &longs;equentibus & in f, & in g &
in h pariter, & ex alia parte, quod fit ex h in d &longs;emel, in e ter, f quin
quies, g &longs;epties, h nouies, ab his rur&longs;us detraho, quod fit ex h in d
&longs;emel, & in &longs;equentes bis, relinquetur ex una parte, quod fit ex h
in e f g h cum duplo &longs;equentium ex alia, quod fit ex h in e &longs;e
mel, f ter, g quinquies, h &longs;epties, & &longs;imiliter ab his detractis, quod
fit ex h in e &longs;emel, & bis in &longs;equentes, relinquetur ex una par
te; quod fit ex h in f &longs;emel, & in g h bis, & in g &longs;emel, & in h bis,
& in h &longs;emel, & ex alia, quod fit ex h in f &longs;emel, in g ter, in h quin
quies. Iterum detractis, quod fit ex h in f &longs;emel, & in g h bis com
muniter relin quetur, quod fit ex h in g &longs;emel, & in h bis, & in h &longs;e
mel, & ex alia parte quod fit ex h in g &longs;emel, & ex h in h ter. Sed
i&longs;ta, quæ relicta &longs;unt iam, &longs;unt manife&longs;tè æqualia, ergo etiam pri
ma aggregata ab initio fuere æqualia, ergo & æqualia illis qua
drata a b c d e f g h his, quæ fiunt, ex h in ea&longs;dem quantita
tes cum duplo producti b in i, cin k, d in l, e in m, f in n, g in o,
h in p, &longs;ed iam his quadratis a b c d e f g h demon&longs;trata &longs;unt e&longs;&longs;e du
pla quadrata h p, g o, f n, e m, d l, c k, b i, cum duplo quadra
ti a, ergo quadrata omnium quantitatum &longs;ecundi ordinis cum
quadrato a rur&longs;us repetito, & producto h in aggregatum quanti
tatum primi ordinis &longs;unt tripla quadratis quantitatum primi ordi
nis pariter acceptis, quod fuit propo&longs;itum, & fuit Archimedis in li
bro de lineis &longs;piralibus, & ego adieci hic propter modum demon
&longs;trandi, qui e&longs;t eleganti&longs;simus, & procedit ex principijs arithmeti
cis, & diuer&longs;is à communibus, & ideo non reuoluitur, ut &longs;olentre
liquæ quæ&longs;tiones.
P
P
Propo&longs;itio uige&longs;ima.
Cùm fuerint quatuor quantitates, fueritque &longs;ecunda æqualis ter
tiæ, aut primæ æqualis quartæ, erit proportio primæ ad quartam,
aut tertiæ ad &longs;ecundam producta ex proportionibus primæ ad &longs;e
cundam, & tertiæ ad quartam.
Cùm enim quantitates hæ non fuerint &ecedil;quales,
portione primæ ad &longs;ecundam, &longs;ecund&ecedil; ad tertiam, & terti&ecedil; ad quar
tam: ergo non ex &longs;olis proportionibus primæ ad &longs;ecundam, & ter
tiæ ad quartam, & &longs;imiliter ex prima harum proportio prim&ecedil; ad &longs;e
cundam, & tertiæ ad quartam producunt proportionem producti
primæ in &longs;ecundam ad productum tertiæ in quartam. Et in multi
plicatione proportio, quæ &longs;olet e&longs;&longs;e inter producta illa, & e&longs;t qua&longs;i
duplicata e&longs;t inter ip&longs;as quantitates. Sint igitur quantitates a b c d,
& &longs;it b æqualis c, ponantur ergo recto ordine a b c d, eritque propor
tio a ad d producta ex proportioni
bus a ad b, b ad c, & c ad d, producan
tur igitur ex proportionibus a ad b, c
ad d. proportio c ad f, erit igitur pro
portio e ad f, &longs;i multiplicetur per pro
portionem b ad c eadem quæ prius, &
producta iam e&longs;t eadem ei, quæ e&longs;t a
ad d, ergo proportio a ad d erit producta ex proportionibus a ad
b, c ad d per primam propo&longs;itionem. Quod uerò diximus de pri
ma & quarta &longs;i &longs;int æquales, manife&longs;tum e&longs;t, quòd res redit ad idem
&longs;olum tran&longs;mutato ordine, ut tertia, & quarta præmittantur prim&ecedil;,
& &longs;ecundæ. Hæcigitur propo&longs;itio nihil aliud innuit, quàm quod
in hoc ca&longs;u productio, quæ&longs;olet fieri ex tribus proportionibus fiat
ex duabus tantum.
Propo&longs;itio uige&longs;imaprima.
Cùm decu&longs;&longs;atim ducta fuerit prima in quartam, & &longs;ecunda in ter
tiam; productumque primæ in quartam diui&longs;um fuerit per produ
ctum &longs;ecundæ in tertiam erit proportio primæ ad &longs;ecundam diui
&longs;a per proportionem tertiæ ad quartam. Et &longs;imiliter interpo&longs;ita
omiologa.
Primum exponamus &longs;ecundam partem, &longs;it
proportio a ad b, quam uolo diuidere per
proportionem c ad d, facio e ad b, ut c ad d, erit
ergo per
ducta ex proportione a ad e, & e ad b, quare ex a ad e, & c ad d, ergo
diui&longs;a proportione a ad b per proportionem c ad d exit proportio
a ad e, & hic e&longs;t &longs;ecundus modus. Primus autem modus ducatur a
in d & fiat f, & b in c & fiat g, dico proportione f ad g e&longs;&longs;e prouen
tum proportionis a ad b, diuide per proportionem c ad d, ducatur
igitur c in f & fiat h, & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c
in f, & f producitur ex a in d, ergo h producetur ex producto c in d,
in a, & &longs;imiliter quia k producitur ex d in g, & g producitur ex b in erit a ad b ut h ad k, igitur ex prima harum cum ex c in f producatur
h, & ex d in g k, & dicatur produci proportio h ad k ex proportio
ne c ad d, & f ad g, & proportio h ad k &longs;it eadem, quæ a ad b, ergo
proportio a ad b producitur ex c ad d, & f ad g, ergo diui&longs;a propor
tione a ad b prodibit proportio f ad g, quod fuit propo&longs;itum.
Propo&longs;itio uige&longs;ima&longs;ecunda.
Cùm fuerit proportio primæ ad &longs;ecundam maior, quàm tertiæ
ad quartam, erit confu&longs;a ex his maior quàm tertiæ ad quartam, mi
nor autem quàm primæ ad &longs;ecundam.
Sit proportio a ad b maior quàm c
ad d, dico, quod confu&longs;a ex a c ad b d
e&longs;t maior, quàm c ad d, et minor quàm
a ad b, ut enim c ad d ita fiat e ad b, erit que per tertiamdecimam ha
rum e c ad b d confu&longs;a minor quàm a c ad b d, nam e e&longs;t minor a,
quia proportionem habent minorem ad b quam a eo quòd e ha
bet proportionem ad b, quam c ad d, quæ
a ad b, ut &longs;uppo&longs;itum e&longs;t, igitur e c ad b d minor, quàm a b ad c d, e b
autem ad c d e&longs;t, ut demon&longs;tratum e&longs;t qualis c ad d, ergo c ad d mi
nor, quàm confu&longs;a a b ad c d, quod e&longs;t &longs;ecundum per idem proba
bitur, & primum po&longs;ita f ad d, ut a ad b, eritque a maior c, igitur ma
ior proportio a f ad b d, quàm a c ad b d, &longs;ed a f ad b d, ut a ad b per
candem tertiamdecimam huius ergo proportio confu&longs;a a b ad c d
e&longs;t minor, quàm a ad b.
Propo&longs;itio uige&longs;imatertia.
Omnis motus naturalis ad locum &longs;uum e&longs;t: ideo per rectam li
neam fit.
Motus naturalis e&longs;t, ut con&longs;eruetur corpus, & conueniat locus
corpori, igitur fit ad &longs;uum locum. Locus autem dicitur in compara
tione ad uniuer&longs;um. ideo omnis motus naturalis e&longs;t à centro mun
di &longs;ur&longs;um, uel ad centrum deor&longs;um. Et quia quanto natura celerius
&longs;uum finem pote&longs;t a&longs;&longs;equi (quia finis bonus e&longs;t aliter non illum ap
peteret) eum quærit, cùm &longs;it &longs;apienti&longs;simæ uitæ mini&longs;tra: at linea re
cta breui&longs;sima e&longs;t Euclide te&longs;te à puncto ad punctum, igitur omnis
motus naturalis e&longs;t &longs;ur&longs;um aut deor&longs;um per rectam lineam.
primi
Propo&longs;itio uige&longs;imaquarta.
Omnis motus circularis uoluntarius e&longs;t.
Sit motus in circulo &longs;eu per circulum in orbe cuius &longs;it centrum,
&longs;it c mundi centrum: igitur ex diffinitione circuli tantum di&longs;tabit a,
quantum b ab ip&longs;o c: &longs;ed in motu naturali per pr&ecedil;cedentem nece&longs;&longs;e
e&longs;t, ut recta feratur ad c, uel recedat, igitur motus a e&longs;t uoluntarius,
non naturalis. nam &longs;i uiolentus e&longs;&longs;et, non
e&longs;&longs;et perpetuus. Omnia ergo a&longs;tra feruntur
circa centrum mundi. Sit modo rota e f g, di
co enon moueri motu circulari nam linea
e
trum non circa centrum. Indicio etiamid
e&longs;t: quòd &longs;i in e ponatur fru&longs;tum aliquod
in&longs;igne plumbi in motu ad g per f de&longs;cen
det raptim: at dum ex g in e magna cum dif
ficultate, igitur motus hic non e&longs;t naturalis,
nec circularis. nihil etiam hoc modo &longs;ponte mouetur.
Sed cum non
moueatur per rectam naturaliter, nec æquidi&longs;tans à centro per cir
culum relinquitur, ut moueatur motu uiolento, aut mi&longs;to, &longs;ed non
ex uoluntario, cum nullo modo moueatur æquidi&longs;tans à centro,
&longs;ed &longs;emper ab e lineæ ad centrum fiant breuiores, liquet e&longs;&longs;e mo
tum uiolentum: aut mi&longs;tum ex naturali, & uiolento.
Propo&longs;itio uige&longs;imaquinta.
Tres &longs;unt motus omnino &longs;implices naturalis, uoluntarius &
uiolentus.
Tres &longs;unt modi, quibus po&longs;&longs;unt moueri in comparatione ad cen
trum &longs;cilicet uel recta cum centro, uel æquidi&longs;tando à centro, uel
neutro modo, igitur tres motus. Rur&longs;us uel à principio interiore
non intelligente, & e&longs;t naturalis, uel intelligente & e&longs;t uoluntarius:
uel exteriore & e&longs;t uiolentus. Hæc autem diui&longs;io e&longs;t &longs;olum propria
non prima. Nam e&longs;t uiolentus in recta ad centrum: ideo omnis, qui
non e&longs;t in recta ad centrum, nec æquidi&longs;tat, uiolentus e&longs;t: non ta
men omnis uiolentus e&longs;t extra rectam. Attractio autem, quæ fit ob
raritatem corporum, &longs;eu, ut dicunt, à uacuo, uiolenta e&longs;t non natu
ralis ni&longs;i ratione finis, non agentis. Sunt enim quatuor genera mo
tus uiolenti ab Ari&longs;totele po&longs;ita, uectio, tractio, pul&longs;io, & uolutio:
quanquam his non opus &longs;it in demon&longs;tratiua &longs;cientia.
uolutionem ex tractione, & pul&longs;ione apud illum con&longs;i&longs;tere.
cap.
Propo&longs;itio uige&longs;ima.
Motus ergo compo&longs;iti quatuor nece&longs;&longs;ariò &longs;unt &longs;pecies.
Si tantum &longs;unt tres &longs;pecies &longs;implicium, con&longs;tat ratione arithme
tica quatuor e&longs;&longs;e compo&longs;itorum. Di&longs;quiramus ergo an &longs;int natura
liter tot &longs;pecies, for&longs;an enim repugnabit aliquis alicui. Porrò uidea
mus primò, quot &longs;int uiolentorum &longs;pecies: Prima erit cum non &longs;e
cundum rectam lineam fuerit: nec à centro æquidi&longs;tantem. Secun
da cum fuerit &longs;ecundum rectam, &longs;ed non ad centrum. Tertia cum
fuerit in recta ad centrum, &longs;ed contrario modo, uelut terræ &longs;ur&longs;um.
cipio naturali. Velut cum quis proij cit lapidem rectà in terram è
turri uiolentius, quàm ille &longs;ua grauitate de&longs;cen&longs;urus e&longs;&longs;et. Hic igi
tur motus e&longs;t compo&longs;itus ex naturali, & uiolento. Animalium au
tem motus uoluntarius e&longs;t, cum &longs;it à principio interiore cogno&longs;cen
te: & &longs;it quatenus à principio in linea circulari æqualiter di&longs;tante à
centro: &longs;ed quia ob&longs;tat grauitas, ideò mi&longs;tus e&longs;t ex naturali, & uo
luntario. Sed circularis, & uiolentus &longs;oli e&longs;&longs;e non po&longs;&longs;unt: nam uio
lentus e&longs;t nece&longs;&longs;ariò in corpore graui aut leui: &longs;ed omne corpus gra
ue aut leue, cùm mouetur, naturaliter mouetur &longs;altem in fine: & per
totum motum, motu ócculto, qui maximè in hoc libro dignus e&longs;t
con&longs;ideratione, igitur motus uoluntarius, & uiolentus non po&longs;
&longs;unt e&longs;&longs;e &longs;imul &longs;oli. Eruntergo &longs;ecundum naturam tantùm tres &longs;pe
cies. Velut cùm quis &longs;candit, aut&longs;alit: E&longs;t enim motus naturalis &longs;al
tem in fine, & uoluntarius, & uiolentus. Si quis autem uelit uiolen
tum cum uoluntario copulare dicemus con&longs;tare eam compo&longs;itio
nem in initio &longs;aliendi. Motum autem occultum uocamus grauita
tem aut leuitatem.
Propo&longs;itio uige&longs;ima&longs;eptima.
Motus uoluntarius e&longs;t in loco: naturalis ad locum: uiolentus
exloco.
Hæc e&longs;t tertia differentia primarum &longs;pecierum motuum uolun
tarius fit manente corpore toto in eodem loco, ideo proprius e&longs;t
cœlo, corpora autem animalium in eodem loco feruntur: quia in
eodem orbe nata redire ad proprium locum. Et ideò, ut dixi, e&longs;t mo
tus mi&longs;tus ex naturali, & uoluntario, qui &longs;i per &longs;e fieret, non fatiga
ret mobile, cùm ex utroque principio ab interiore ui procedat. Sed
quia fit per mu&longs;culos, qui trahuntur: hic autem motus e&longs;t uiolen
tus, ideò per con&longs;equentiam fatigat. Qui uerò naturalis, e&longs;t ut re
deat corpus ad &longs;uum locum, igitur naturalis e&longs;t ad locum. Sed
uiolenti finis e&longs;t, ut protrudatur ex loco in quo e&longs;t, non habens cer
tum finem. licet enim qui trahit, ad &longs;uum locum trabat, non tamen
ad locum mobilis.
Propo&longs;itio uige&longs;imaoctaua.
Motus quilibet naturalis aut uiolentus in aliquo medio fit.
Cùm uacuum non detur, & omnis motus naturalis &longs;it ad locum,
et uiolentus ex loco per præcedentem, igitur cùm non &longs;it in medio,
uacuum erit in aliquo corpore, uelut aere, aqua, igne, ligno.
Propo&longs;itio uige&longs;imanona.
Omnis motus uoluntarius æqualis e&longs;t &longs;emper: &longs;impliciter etiam
quilibet alius motus.
Motus uoluntarius non habet, quòd fatiget, & &longs;umma perfectio
e&longs;t æqualitas, & natura quæ mouet non debilitatur, igitur perpe
tuo per&longs;euerat æqualis. neque enim e&longs;t, ut dixi, per medium corpus.
Naturalis quoque, & uiolentus cum ratione proportionis mouentis
&longs;upra mobile per&longs;e non uarientur, & ab &ecedil;quali proportione &ecedil;qua
lis uelo citas proueniat, igitur natura tales motus &longs;unt &ecedil;quales, nam
in utroque mouens, mouet &longs;ecundum ultimam &longs;uam uim.
Propo&longs;itio trige&longs;ima.
In omni corpore mobili in medio, partes medij re&longs;i&longs;tunt obuiæ,
aliæ impellunt.
Sit mobile a cui partes &longs;ubiaceant directæ b, & &longs;it graue.
Et pa
tet ne diuidatur b re&longs;i&longs;tere, cum autem &longs;uperauerit, partes b de&longs;cen
dunt ante a, & trahunt partes c & d adh&ecedil;rentes &longs;ecum, atque ita e c d f
adiuuant ad de&longs;cen&longs;um partes etiam laterales
g & h cum a tran&longs;it in b, ne detur uacuum, tran
&longs;eunt in k uelo ci motu, ergo propellunt a maio
reimpetu inferius.
Ex quo patet, quod in omni motu naturali,
uel uiolento fit augumentum uelocitatis ab initio &longs;altem u&longs;que
ad aliquid.
Et ideò etiam bellicæ machinæ cuiu&longs;cunque generis certam exi
gunt di&longs;tantiam, ut uiolentius feriant.
Propo&longs;itio trige&longs;imaprima.
Omnis motus naturalis in æquali medio ualidior e&longs;t in fine,
quàm in principio: uiolentus contrà.
Cùm enim ex præcedenti augeantur &longs;emper ob medium, & cau
fa, quæ mouet, &longs;it perpetua, & à principio æterno, quod per dictæ
æqualiter mouet, igitur motus ille fiet uelo cior in fine quàm in alia
parte temporis. In uiolento autem, cùm perueniat ad finem de&longs;init
uis illa nece&longs;&longs;ariò, quæ mouet, & &longs;uperatur à ui naturali, quæ mo
uet in contrarium, igitur antequam ce&longs;&longs;et motus fiet tardi&longs;simus
in fine.
Ex quo patet, quòd motus quadrifariam mi&longs;ti dicuntur, aut &longs;pe
cie, ut cùm quis iacit lapidem è turri: uel ex occulto naturali, & uio
lento manife&longs;to: uelut cùm quis iacit lapidem, & de&longs;cendit po&longs;tmo
dum ex b in c motu utroque manife&longs;to, &longs;ed ex a
in b motu uiolento manife&longs;to, & naturali oc
culto: uel ratione medij, & hoc modo omnis
motus naturalis etiam non &longs;olum uiolentus e&longs;t
mi&longs;tus ex proportione uirtutis mouentis, cum motu medij, ad me
dium ip&longs;um, uel &longs;i uiolentus &longs;it ex proportione uirtutis mouentis, Quarto ex motibus
imperfectis natura &longs;ua, & non e&longs;t uera mi&longs;tio, & hoc apparet in mo
tibus uoluntarijs animalium, qui non &longs;unt neque æquales, neque perfe
ctè circa medium: &longs;ed &longs;unt potius &longs;imiles uoluntarijs. Etideo de
mon&longs;trationes illæ Ari&longs;totelis quoad u&longs;um nihil iuuant nos.
Propo&longs;itio trige&longs;ima&longs;ecunda.
Omne mobile naturaliter motum, &longs;eu uiolenter uelo cius moue
tur in medio rariore, quàm den&longs;iore. Maior quoque e&longs;t proportio fi
nis motus in corpore rariore ad finem motus in corpore den&longs;iore,
quàm principij. In uiolento autem celeriùs perueniet ad finem mo
tus in corpore den&longs;iore.
A mobile moueatur in b medio rariore, & in c den&longs;io
re, igitur b minus re&longs;i&longs;tit, quàm c & magis adiuuat, quia
uelociùs mouetur: igitur duplici de cau&longs;a a mouebitur
uelociùs in b quàm in c: & quia per corrolarium trige&longs;i
mæ, & præcedentis proportio finis (ubi æqualiter moueantur) ad
&longs;ua principia maior erit in d, quàm in e: ergo per
pano po&longs;ita d prima, b &longs;ecunda, e tertia, c quarta, maior erit propor
tio d ad e, quàm b ad c quod fuit propo&longs;itum in naturali.
Propo&longs;itio trige&longs;imatertia.
Omnia duo mobilia æqualis undique magnitudinis, quæ æquali
in tempore æqualia &longs;patia pertran&longs;eunt in diuer&longs;is &longs;ub&longs;tantia me
dijs, nece&longs;&longs;e e&longs;t, ut &longs;it ponderis ad pondus, quemadmodum medij
ad medium, proportio duplicata.
Sint duo mobilia a & b magnitudine, & forma omnino paria,
& &longs;int media c & d, exempli gratia: & pertran&longs;eant æquale &longs;patium
in utroque in eodem tempore, e dico proportionem ponderis b ad
pondus a e&longs;&longs;e duplicatam ei quæ e&longs;t raritatis c ad raritatem d. Quia
enim feruntur æqualiter, nam in æquali tem
pore, &longs;eu eodem æqualia &longs;patia pertran&longs;e
unt, erit proportio potentiæ a cum &longs;uo auxi
lio ad id, quod re&longs;i&longs;tit ex c ut b cum &longs;uo au
xilio ad id, quod re&longs;i&longs;tit ex d, permutando igi
tur d ad c, ut b ad a, &longs;ed c ad d proportio rari
tatis duplicat actionem, tum minus re&longs;i&longs;ten
do, tum adiuuando motum a, igitur proportio differentiæ motus
e&longs;t duplicata proportioni raritatis: &longs;ed proportio motus e&longs;t æqua
lis proportioni ponderis uici&longs;sim per uige&longs;imam&longs;extam &longs;exti Ele
mentorum b ad a, igitur proportio b ad a ponderis e&longs;t duplicata ei,
quæ e&longs;t raritatis c ad raritatem d.
SCHOLIVM PRIMVM.
Ne tamen &longs;ine exemplo intelligas hanc duplicatam rationem,
proponatur craritas quatuor, d unum, a pondus duodecim libra
rum, tunc c re&longs;i&longs;tit &longs;olum ex quarta parte, & effi
cit a quadruplo maioris actionis, &longs;cilicet ut qua
draginta octo, tota igitur proportio, qua mo
uebitur a in c, erit centum nonaginta duorum, & hoc diuidemus
per d, quod e&longs;t unum, exibit Pro
portio igitur b ad a e&longs;t &longs;exde cupla, & hæc e&longs;t duplicata quadruplæ
raritatis c ad raritatem d.
Quòd &longs;i quis neget tantundem augere c actionem a, quanto mi
nus re&longs;i&longs;tit, &longs;ed aut magis aut minus, & &longs;it proportio b ad a dupli
cata ip&longs;i f, dico fe&longs;&longs;e proportionem c ad d, nam proportio b ad a
e&longs;t uelut actionis c ad d per decimam&longs;extam &longs;exti Elementorum,
ergo ex auxilio c in proportionem a ad c fit proportio b ad a, &longs;ed ex
fin &longs;e fit proportio b ad a ex diffinitione proportionis duplicatæ. Sed ex duabus proportionibus a ad c, & actionis ex c ad a produ
citur proportio b ad a, igitur per
rum proportio c ad d e&longs;t media inter proportiones a ad c, & actio
nis a in c, quare æqualis f, igitur proportio b ad a duplicata ei, quæ
e&longs;t c ad d quod erat demon&longs;trandum.
SCHOLIVM SECVNDVM.
Si autem media fuerint diuer&longs;arum rationum, ut aqua, & aër non
demon&longs;trat argumentum, quia pondera inter &longs;e non &longs;eruant ratio
nem. Nam lignum centum librarum ex &longs;alicis arbore, non magis
de&longs;cendit, quàm lignum libræ unius. Ideò nec in comparatione ad
medium aëris.
Propo&longs;itio trige&longs;imaquarta.
Proportio corporis cubi ad &longs;uam &longs;uperficiem quadratam, e&longs;t ue
lut eiu&longs;dem &longs;uperficiei ad latus, eiu&longs;dem uerò ad monadem.
Sit cubus a b c eius quadrata, &longs;uperficies a
c, latus a b, monas d, dico eas e&longs;&longs;e inuicem
analogas. Quia enim proportio a b c ad a c
e&longs;t, ut quoties a&longs;&longs;umitur a c in a b c, & toties
ctiam a&longs;&longs;umitur a b in a c ex diffinitione Eucli
dis &longs;ecundo Elementorum, &longs;i ergo monas e&longs;t
in continua proportione, habeo intentum: &longs;i
non ponatur e media inter a e & d, erit ergo
per decimam noni Elementorum elatus a c,
ergo æqualis a b, igitur cum a c, e & d &longs;int analogæ, erunt & a b c,
a b, & d analogæ, quod fuit demon&longs;trandum.
C
Propo&longs;itio trige&longs;imaquinta.
Vocum magnitudines excre&longs;cunt in acumine non in grauitate,
finis autem e&longs;t in utroque extremo, propter hoc minima facta uaria
tione in hypate acutæ uix ferunt.
Quoniam facta uariatione in hypate, quæ e&longs;t
in Diapa&longs;on, uel bis Díapa&longs;on maiore interual
lo di&longs;tat, uelut ex a in b in grauiore, maius e&longs;t in
teruallum ex c in d, igitur maior e&longs;t b d, quàm a c
ergo &longs;ingulæ uoces inter b & d magis di&longs;tant,
quàm inter a & c, & quanto magis appropin
quant ad d, igitur d maius e&longs;t quàm b. Ergo magnitudo e&longs;t ratione
acuitatis, non grauitatis, cum &longs;uppo&longs;uerimus d e&longs;&longs;e acutiorem b &
cip&longs;o a. O&longs;tenditur etiam idem quia uox grauis fit ex priuatione
motus &longs;icut acuta ex uehementia. Motus autem e&longs;t res, quies,
priuatio.
Secundum &longs;ic: nam remi&longs;sio mota non feriet aurem, ideò &longs;onum
non pariet ob nimiam tarditatem. At in uelo ci&longs;simo motu oportet
uel fidem uel arteriam contrahi, & non contrahitur ni&longs;i per mu&longs;cu
los, igitur contentio illa finem habet. Si autem non &longs;it nece&longs;&longs;arium
habere, uel ualde procul po&longs;sit extendi contentio, ut in machinis
igneis &longs;trepitus fit maximus, nam motus, ut motus e&longs;t etiam in aëre
nullum finem per &longs;e habet ni&longs;i ratione in&longs;trumenti, ergo &longs;trepitus
tantus e&longs;&longs;e pote&longs;t, ut fermè ob&longs;urde&longs;cant, qui audierint, ut ferunt de
Nili cataractis.
Tertium &longs;ic &longs;it a b humi
lior uox, quæ excre&longs;cat &longs;e
mitonio minore &longs;olum in
c, & &longs;it d e dupla ad ab &longs;e
cundum naturam, ut in uo
cibus medijs fiet, ut &longs;i e debeat excre&longs;cere &longs;emitonio minore per de
cimamnonam quinti
creuerit ad diapa&longs;on quadrupla: pueri autem uox, quæ iam diapa
&longs;on altior e&longs;t d e, erit bis diapa&longs;on, & ideò quadrupla b c, &longs;ed in acu
tioribus erit dupla, nullus enim puer e&longs;t adeo fractæ uocis, qui&longs;u
pra humillimam non a&longs;cendat per diapa&longs;on, igitur interuallum uo
cum erit octuplum a d, b c, &longs;ed communiter a&longs;cen dunt ad bis diapa
&longs;on, igitur interuallum unius uocis etiam cum &longs;emitonio propor
tionem habentis e&longs;t æquale fermè toti a b, cum autem in diapa&longs;on
&longs;int duodecim &longs;emitonia, & duo comata, manife&longs;tum e&longs;t, quod ex
ten&longs;io illa erit maxima in Etideò
minimum in crementum in humilioribus uocibus, ubi quis coga
tur, à quibu&longs;dam non omnino feratur.
SCHOLIVM.
Ob hoc natura fecit, ut non quemadmodum in fidibus uoces ex
breuitate intenderentur, &longs;ed ex con&longs;trictione ligulæ, ut dicunt, &longs;u
per a&longs;peram arteriam uox ad diapa&longs;on acueretur addito impetu
proportione, ut ex con&longs;trictione, & impetu
portio. Hoc autem manife&longs;tè experimur in elymis in quibus nullæ
pror&longs;us facta mutatione in&longs;trumenti con&longs;tantibus digitis omni
bus præter pollicem &longs;ini&longs;træ uocem exacuimus ad diapa&longs;on, inde
etiam ad bis diapa&longs;on: &longs;icut declarauimus in commentarijs Epi
demiorum.
Propo&longs;itio trige&longs;ima&longs;exta.
Si proportio per proportionem minorem æquali ducatur, pro
portio minor producetur. Vnde manife&longs;tum e&longs;t duas proportio
nes minores æqualitate inuicem ductas proportionem minorem
unaquaque illarum producere.
Proportio a b ad c, quali&longs;cunque &longs;it, duca
tur in proportionem minorem æqualitate
fad g, dico quod producta proportio erit
minor ea, quæ e&longs;t a b ad c fiat d ad a b, ut f
ad g, et erit per &longs;ecundam huius d ad c pro
ducta ex proportionibus a b ad c, & f g. Itemque per decimamquar
tam quinti
d ad c. igitur quàm proportio a b ad c in proportionem f ad g. Sit
autem utraque minor æqualitate ea, quæ a b ad c, & ea quæ f ad g, di
co productam unaquaque earum e&longs;&longs;e minorem. Quod enim (manen
tibus his, quæ dicta &longs;unt) minor &longs;it d ad c, quam a b ad c ex prima
parte o&longs;ten&longs;um e&longs;t. Quòd uerò etiam minor &longs;it d ad c, quàm d ad
a b, & ex con&longs;equenti quàm f ad g demon&longs;tratur &longs;ic. Quia enim mi
nor e&longs;t a b ad c, æqualitate erit a b minor c, fiat ergo h æqualis a b,
erit ergo d ad h, ut d ad a b per &longs;eptimam quinti Elementorum, at d
ad c minor quàm d ad h per octauam eiu&longs;dem, igitur minor d ad c,
quàm d ad a b, igitur patet propo&longs;itum.
Propo&longs;itio trige&longs;ima&longs;eptima.
Si plures homines, quorum nulli per &longs;e nauim mouere po&longs;sint,
aut pondus ferre &longs;imul iuncti eam moueant, aut pondus ferant,
erunt illæ proportiones coniunctæ non productæ.
Cùm enim primus non po&longs;sit mouere nec &longs;ecundus, erunt pro
portiones minores æqualitate, Ideò per &longs;ecundam partem præce
dentis multo minus mouerent duo, quàm unus. Et &longs;i quatuor mo
produceretur, fieret minor, ergo minus mouerent quinque quàm
quatuor ex ij&longs;dem, quod e&longs;t ab&longs;urdum.
Propo&longs;itio trige&longs;imao ctaua.
Omne corpus tantùm re&longs;i&longs;tit motui contrario &longs;uo naturali quan
cum mouetur occulto motu quie&longs;cendo.
Sit a corpus quie&longs;cens in pauimento b, & mouetur in eo occul
to motu uer&longs;us centrum, ut &longs;uprà ui&longs;um e&longs;t, contra
rius illi &longs;it motus ad c, &longs;i ergo a quie&longs;ceret in c moue
retur ad b occulto motu certa ui, ergo eadem re&longs;titit,
ne traheretur ad c. Manife&longs;tum e&longs;t autem, quod hic
motus occultus e&longs;t minor manife&longs;to.
26. P
po&longs;.
Ex hoc patet cur naues & currus ab initio tardè & difficulter mo
ueantur, ubi moueri cœperint motus augetur: quoniam re&longs;i&longs;tunt
per motum occultum naturalem qui maximus e&longs;t dum quie&longs;cunt,
ut etiam do cebat philo&longs;ophus in mechanicis, nam motus ille natu
ralis e&longs;t, & ideò contrarius uiolento: Ergo cum iam mouetur uio
lenter minus, mouetur naturaliter, igitur minus re&longs;i&longs;tit. Declarabi
tur enim infrà quòd omne quod mouetur duobus motibus tanto
minus uno mouetur quanto magis altero.
Propo&longs;itio trige&longs;imanona.
Ab æquali aut minore ui, quàm &longs;it
Sit a quod re&longs;i&longs;tat, ne &longs;ur&longs;um trahatur per decem, dico, quod
&longs;ur&longs;um trahetur neque à decem, neque minore: nam &longs;i impedimen
tum non e&longs;&longs;et, moueretur infra ut decem, ergo &longs;i traheretur &longs;ur&longs;um
per decem tantum moueretur &longs;ur&longs;um,
&longs;ceret. Si uerò à minore moueretur à maiore ui deor&longs;um, quam &longs;ur
&longs;um, ergo deor&longs;um &longs;impliciter non &longs;ur&longs;um.
Propo&longs;itio quadrage&longs;ima.
Omne corpus &longs;phæricum tangens planum in puncto mouetur
ad latus per quancunque uim, quæ medium diuidere pote&longs;t.
Sit corpus ad unguem &longs;phæricum a tan
gens planum b in puncto c (e&longs;t enim hoc
nece&longs;&longs;arium ex demon&longs;tratis ab Euclide in
decima&longs;exta Propo&longs;itione tertij Elemento
rum) dico, quod mouebitur à ui, quæ pote&longs;t
&longs;cindere aërem. Nam cum non a&longs;cendat, nec
de&longs;cendat, &longs;ed qua&longs;i in circulo ad centrum
mundi moueatur, pondus non affert. Neque
ratione magnitudinis contactus, cum &longs;it in
puncto &longs;olo, igitur remanet &longs;olum aëris impedimentum.
Ex hoc liquet, quod oportet b planum e&longs;&longs;e ex duri&longs;sima mate
ria, quæ nullo modo cedat, aliter tanget plu&longs;quàm in puncto.
Vix fieri pote&longs;t, utin elementaribus &longs;phæra tangat planum in
puncto. Vel quia planum non erit exactè rectum, uel non durum,
ut pror&longs;us non cedat, uel non ad æquilibrium po&longs;itum, uel &longs;phæra
non erit exactè rotunda.
Propo&longs;itio quadrage&longs;imaprima.
Si fuerint duæ quantitates &longs;umaturque totius aggregatum maio
ris & minoris, quoties aggregatum minoris, & maioris, erit pro
portio confu&longs;a maioris aggregati ad minus, minor quàm multipli
cis maioris ad multiplex minoris.
Sint duæ magnitudines a & b, & &longs;it a maior
b, & &longs;umatur exempli gratia a quater cum b &longs;e
mel, & b quater cum a &longs;emel, dico, quod propor
tio (quam confu&longs;am e&longs;&longs;e liquet) aggregati primi ad &longs;ecundum, e&longs;t
minor quàm quadrupla. Con&longs;tat enim quod proportio quadru
pli a ad a e&longs;t maior, quam b ad quadruplum b, cum una &longs;it quadru
pla, alia &longs;ub quadrupla, igitur per uige&longs;imam&longs;ecundam huius ag
gregati quadrupli a cum b &longs;emel, ad quadruplum b cum a &longs;emel mi
nor, quàm quadrupli a ad a, & maior quàm b ad quadruplum b, &
e&longs;t pro intellectu Archimedis.
A
deran.
P
Propo&longs;itio quadrage&longs;ima&longs;ecunda.
Trahentium nauim, ut ferentium pondera proportiones in &longs;e in
uicem, quomodo ducere oporteat con&longs;iderare.
Hoc quomodo non po&longs;sit fieri &longs;uprà docuimus, nunc etiam ge
neraliter dicam, cum con&longs;i&longs;tant hæc in duobus terminis, productio
uerò præ&longs;upponit quatuor terminos, ut in prima propo&longs;itione, aut
&longs;altem tres, atque in his medius habet rationem mouentis, & moti,
ergo cum in huiu&longs;modi
unus &longs;it mouens, & motum proportio non poterit produci. Illud
etiam patet exemplo, nam &longs;i e&longs;&longs;et lapis, aut nauis ob&longs;i&longs;tens ut &longs;ex, &
e&longs;&longs;ent homines uiribus &longs;inguli, ut quatuor cum dimidio, tres mo
uerent in proportione dupla &longs;exquiquarta perdicta &longs;uperius eo
dem loco, at &longs;i proportio duci po&longs;&longs;et aliquorum hominum nume
rus po&longs;&longs;et mouere in duplicata proportione ad unguem &longs;cilicet
5 1/16 ut e&longs;&longs;et uix hominum collectorum 30 3/8 at nullus e&longs;t numerus ho
minum qui collectus faciat hunc numerum, nam &longs;ex homines ex
plentnumerum 27, & &longs;eptem 31 1/2, & ideò non pote&longs;t duci propor
tio. Et ideò maximus e&longs;t error dicendo decem homines mouent na
uim proportione tripla, ergo triginta alij additis illis &longs;imiles robo
re mouebunt à proportione uiginti &longs;eptupla &longs;cilicet ducta nonuSed &longs;umpta proportione alio modo producitur.
Ve
lut &longs;i dicam, homines decem mouent nauim, aut
portione tripla, igitur quadraginta homines idem facient propor
tione duodecupla &longs;cilicet quadrupla in triplam ducta. Cum ergo
addo triginta homines, qui mouent in proportione nonupla, non
oportet ducere nonuplam in triplam, &longs;ed totum numerum accipe
re, & quam proportionem habet ad partem, tandem habet uis mo
uens ad uim Vnde &longs;i duo moueant in proportione &longs;ex
quialtera, & &longs;ex in proportione quadrupla cum dimidia, & iungan
tur, ut fiant octo, non oportebit ducere &longs;exquialteram, in quadru
plam &longs;exquialteram, &longs;ed cum octo ad duo &longs;it in proportione qua
drupla, &longs;umemus quadruplam ad &longs;exquialteram, qu&ecedil; erit &longs;excupla,
& octo mouebunt, aut pondus gerentin proportione &longs;excupla.
Propo&longs;itio quadrage&longs;imatertia.
Productionem ad additionem retrahere.
Sit proportio a ad b dupla pote&longs;tate li
cet &longs;int quinque homines, & &longs;int quindecim
homines c, & habebunt ad b &longs;excuplam
proportionem per præcedentem. Iuncta
ergo a, & c per octauam huius
b proportione octupla, dico, quod &longs;i du
xeris i.
qua
druplam in proportionem a ad b, quæ e&longs;t dupla, proueniet eadem
octupla. Nam quia in coniunctione &longs;ufficit iungere c cum a, & &longs;u
mitur &longs;ecundum proportionem a ad b, igitur cum proportio a ad
b co mparata ad proportionem c & a ad b &longs;it, &longs;icut proportio c & a
ad a, & proportio c & a ad a &longs;it, &longs;icut proportio c ad a, & a ad a, &
proportio a ad a habet rationem unius, igitur proportio aggregati
c a ad b e&longs;t producta ex proportione c ad a plus monade in propor
tionem a ad b, quod erat demon&longs;trandum.
Propo&longs;itio quadrage&longs;imaquarta.
Si fuerit proportio motoris ad id, quod e&longs;t maximum non mo
uens & &longs;patium, & tempus, nota erit etiam reliquorum nota.
Sæpe contingit, ut quinque homines moueant nauim, & &longs;patium
ad tempus notum, & etiam cognitum maximum, quod mouere
non pote&longs;t. Sit ergo a numerus hominum, b na
uis, c maximum, quod non mouere pote&longs;t, d
tempus, e &longs;patium, f motor alius &longs;iue numerus
hominum notus, & g tempus, dico, quod h &longs;patium notum erit, &longs;eu Quoniam ergo notum e&longs;t a & c, quia e&longs;t æquale
b, igitur proportio a ad b nota e&longs;t: &longs;ed iuxta illam a mouet b in d
tempore per e &longs;patium, igitur per præcedentem, ut f ad a ita &longs;patij
ad e in d tempore. Sed per eadem ut temporis d ad &longs;patium illud,
ita g ad h, ergo cum nota &longs;int d e f g erit etiam h, & ita conuertendo.
Propo&longs;itio quadrage&longs;imaquinta.
Rationem &longs;tateræ o&longs;tendere.
Archimedes nititur huic fundamento, quod pondera, quæ pro
portionem mutuam habent, ut di&longs;tantiæ à libella a, quæ &longs;u&longs;pen
duntur, æqualiter ponderant, &longs;it ergo libella a b, & &longs;u&longs;pen&longs;a in a cen
trum mundi c, ad quod dirigitur pondus, & liquet, quod ip&longs;um
non &longs;e inclin abit ex uige&longs;imatertia propo&longs;itione. Si ergo ponantur
lo co lineæ b d in e & f, & &longs;it proportio e b
ad b f, ut g ad h, dico, quòd erit æquili
brium, per eandem enim h mouebitur in k,
&longs;cilicet ut perueniat in rectam a d, &longs;i enim
non e&longs;&longs;et |&longs;u&longs;pen&longs;um h, moueretur in re
cta e h per eandem, quia ergo retinetur, mo
uetur per obliquam h k, & &longs;umatur in pro
pin quum punctum in b e, & n in æquali di
&longs;tantia in e f, quia ergo e b totum mouetur
eadem ui in &longs;ingulis partibus, quia a pon
dere h, & in h mouetur per h k in m per m
p, ergo qualis e&longs;t proportio magnitudinis h k ad m p, talis e&longs;t uis
in m p ad uim in h k, & ita in b erit penè infinita: quia quanta ui ex
tenditur ex h in k tanta puncta b, &longs;e circumuertit ergo propor
tio hypomochlij ad &longs;patium, uelut roboris ad robur, at eadem n o
ad h k, e&longs;t enim n o æqualis m p, & n b, & b m æquales, ut uerò g ad
h, ita e b ad b f: ergo ut e b ad b f, ita uirium n o ad h k, ut igitur g ad
h, ita uirium m p ad h k: ut etiam g l ad n o, ita uirium f b ad n b. nam idem pondus &longs;cilicet g mouet totam b f, igitur ut g &longs;e habet
ad n o, ita h ad m p, &longs;ed m p & n o &longs;unt æquales, ergo tanta e&longs;t uis g
in f, quanta h in e.
ti
Ex quo patet, quod hypomo chlion moueretur infinita ui, &longs;i po&longs;
&longs;et e&longs;&longs;e punctus: &longs;ed quia in extrema &longs;uperficie cylindri, ideò pote&longs;t
aliqua ui retineri.
Et &longs;i quis po&longs;&longs;et capere ha&longs;tam in extremo puncto, non po&longs;&longs;et
eam mouere, etiam quod haberet robur infinitum, quia ab æquali
non fit motus per trige&longs;imamnonam propo&longs;itionem.
Et libella nihil retinet ni&longs;i quantum e&longs;t pondus eius quod cu
bet motum, etiam &longs;i e&longs;&longs;et infinitum, ni&longs;i quatenus non uult recede
re ex directo centri mundi: & ut grauat hypomochlion faciens im
pre&longs;sionem.
Et &longs;i terra tota e&longs;&longs;et appen&longs;a polo, moueretur magna ui: quoni
am uis eadem e&longs;t in polo, quæ in circulo toto æquinoctij.
Etrota, quanto uelocius mouetur in ambitu, tanto mi
norem habet uim: &longs;ed propter aërem, qui &longs;ecum circum
fertur, mouetur magno impetu, & magnas facit læ&longs;iones. Ideò hoc in cono non accidit.
Ex quo patet ratio eleuandi pondera magna per tra
bem, ut à latere uides.
Propo&longs;itio quadrage&longs;ima&longs;exta.
An &longs;it aliqua proportio, & qualis inter animam, & ui
tas, & &longs;ua corpora con&longs;iderare.
Declarauimus motum cœli e&longs;&longs;e uoluntarium, ob&longs;equente cœ
lo per uirtutem in eo infu&longs;am. In animalibus autem, & præcipuè
in homine notius e&longs;t hoc experientibus nobis in ip&longs;is: &longs;ed motus
hic, ut dixi &longs;upra, mi&longs;tus e&longs;t, ille uerò cœle&longs;tis ignotior e&longs;t. Certum
tamen e&longs;t plenè ob&longs;equi cœlum uitæ, nec pror&longs;us repugnare. So
let Ari&longs;toteli imponi, quòd &longs;i adderetur a&longs;trum cœlo, quòd cœlum
aut quie&longs;ceret, aut tardius moueretur: quod e&longs;t, ac &longs;i diceremus,
quòd homo paruus &longs;i fieret maior, non e&longs;&longs;et adeò agilis, tanquam
motus ille e&longs;&longs;et ab externa cau&longs;a. Imò perinde e&longs;&longs;et, ac&longs;i quis dice
ret, quod lapides magni minus uelociter de&longs;cenderent, quam par
ui. Quin potius ut lapis magnus uelociùs mouetur: quàm par
uus naturali motu, & tardius præternaturali, ita cœlum motu uo
luntario, &longs;i ita dici po&longs;&longs;et æqualius & maiore cum efficacia, quan
to den&longs;ius. Et ita &longs;i Ari&longs;toteles illud dixi&longs;&longs;et, o&longs;tendi&longs;&longs;et magnam
imperitiam. Ideò quale iudicium debemus facere de Alexandro, &
Aueroe, qui hoc ei tribuunt.
piam. De Animalibus for&longs;an po&longs;&longs;et hoc dici,
mus, motus ille mi&longs;tus e&longs;t. Remanet ergo difficultas,
tus i&longs;te non à proportione fit, quare non e&longs;t infinitus? & dico quae in
animalibus tres &longs;unt cau&longs;æ, una, quia e&longs;t mi&longs;tus, & habet repugnan
tiam: &longs;ecunda, quia e&longs;t de loco ad locum, motus autem cœli e&longs;t in lo
co: tertia e&longs;t communis etiam cœlo, et e&longs;t, Natura enim diuina non appetit mouere
Quid e&longs;t ergo
proportio,
ideo illud e&longs;t E&longs;t
In natura
tatis bonum ip&longs;um. Et ideo hæc proportio
In anima
libus autem non e&longs;t uis illa ni&longs;i, cum proportione, quia primum in
&longs;trumentum, quod recipit, & e&longs;t &longs;piritus uim habet determinatam,
cum &longs;it uirtus in materia: ideo
ne, uelut lumen in medio in &longs;e non habet proportionem ni&longs;i ad lu
cem, &longs;ed ut e&longs;t in illo, pote&longs;t e&longs;&longs;e remi&longs;&longs;um, Quæ
ritur ergo quantitas illius? &longs;i dicas, quòd e&longs;t à luce: quæro quanti
tas lucis, unde &longs;it? for&longs;an dicendum, quòd uelutin motibus, quanto
den&longs;iora &longs;unt corpora tanto Nam
calor in materia augetur iuxta illius quantitatem: idem in luce, &
reliquis. Dico ergo proportionem e&longs;&longs;e infinitam: nam &longs;i corpus e&longs;
&longs;et infinitum & optimè di&longs;po&longs;itum infinita ui moueretur & agili
tate, ut enim maius e&longs;t eo maiores uires habet.
2.
Propo&longs;itio quadrage&longs;ima&longs;eptima.
Si duo mobilia æqualiter in eodem circulo iuxta proprios mo
tus moueantur, productum temporis circuituum inuicem erit æ
quale producto differentiæ temporum circuitus ductæ in tempus
coniunctionis primæ.
Sint duo mobilia a & b in eodem pun
cto, quæ æqualiter uer&longs;us eandem partem
moueantur æqualibus in temporibus, inui
cem tamen in æqualiter, ita quod a in f & b
in g temporibus ab&longs;oluant circulum, & ho
rum differentia &longs;it h. Dum itaque a perficit
circulum b perueniat in c, igitur c d b e&longs;t dif
ferentia, quæ &longs;uperanda e&longs;t, & proportio
circuli ad b c ut g ad f, quare reliqui ad reli
quum, ut re&longs;idui ad re&longs;iduum, &longs;cilicet circu
li ad c d b, ut g ad h, & b c ad c d b ut f ad h, coniungantur igitur in k
tempore, eruntque k f g h omiologa, ut productum ex circulo in b c
diui&longs;o per certam quantitatem & cum circulo & b c & c d b diffe
rentia, & &longs;it &longs;productum exfin g, dico quod diui&longs;a &longs; per h exibit k
tempus coniunctionis primæ, &longs;it itaque d locus coniunctionis, dico
igitur quod differentia &longs;patij pertran&longs;iti a b, a & a, b in reditu ex con
iunctione prima ad d e&longs;t unus circulus completus, non enim po&longs;
&longs;unt e&longs;&longs;e plures, nam &longs;equeretur, quòd a aliquando pertran&longs;i&longs;&longs;et b,
et &longs;ic non e&longs;&longs;et prima coniunctio, nec pote&longs;t e&longs;&longs;e minus, nam &longs;ic cum
a & b &longs;int in d ultra perfectas circulationes uterque eorum pertran
&longs;iuit arcum b c, igitur nullo modo differentia pote&longs;t e&longs;&longs;e minor cir
culo, neque maior, ut declaratum e&longs;t, igitur e&longs;t unus circulus ad unHoc declarato ponatur m &longs;patium compofitum ex circulis
pertran&longs;itis a b a cum &longs;patio b d, etenim &longs;patium, quod pertran&longs;it
b a coniunctione in a, ad coniunctionem primam in d, & erit ex de
mon&longs;tratis horum differentia circulus qui uocetur o, & &longs;it p &longs;pa
tium, quod pertran&longs;it b in tempore eodem, in quo a pertran&longs;it o, &
&longs;it q differentia o, & p qu&ecedil; in circulo e&longs;t c d l b, quia igitur in eodem
tempore a pertran&longs;it m & b, n, erit m ad n, ut a ad b, & eadem ratio
ne a ad b, ut o ad p, igitur ex undecima quinti Euclidis m ad n, ut o
ad p, quare cum o &longs;it differentia m & n, & q, differentia o & p erit ex
decimanona quinti Euclidis, m ad o, ut o ad q, & ita circulus e&longs;t ana
logus inter &longs;patium pertran&longs;itum à motore uelociori, & inter diffe
rentiam &longs;patij quæ accidit, dum uelocior motor pertran&longs;it circu
lum, id e&longs;t quòd circulus a c d e&longs;t analogus inter c d l b, & circulos
pertran&longs;itos a b a cum portione b d. Reuertor igitur ad propo&longs;i
tum, cum &longs;it m ad o, ut o ad q, & m ad o, ut n ad p, ex &longs;extadecima
quinti Euclidis, erit ex undecima eiu&longs;dem n ad p, ut o ad q, quare ex
&longs;extadecima &longs;exti Elementorum ducto o, id e&longs;t circulo, &longs;eu maiore
numero in p &longs;patium pertran&longs;itum a b, &longs;eu ducto fin g, & diui&longs;o per
q differentiam &longs;patiorum, &longs;eu per h exibit n, &longs;eu &longs;patium quod
pertran&longs;it b ab una coniunctione ad aliam quod erat demon
&longs;trandum.
Ex hoc patet, quod proportio temporis coniunctionis ad tem
pus tardioris motus circuitionis e&longs;t ueluti temporis circuitus uelo
cioris motoris ad differentiam temporis motus tardioris, & uelo
cioris motoris in uno circuitu.
Propo&longs;itio quadrage&longs;imao ctaua.
Si tria mobilia ex eodem puncto di&longs;cedant, fuerintque duorum, ac
duorum coniunctiones in temporibus commen&longs;is illa tria mobi
lia denuò coniungentur in tempore producto ex denominatore di
ui&longs;ionis temporis maioris per minus in minus, aut numeratore
in maius.
Sint tria mobilia a, quod circuat in duobus annis b in quinque,
c in &longs;eptem. Dico quod primum redibunt in numero producto ex
&longs;eptem quinque & duobus, qui &longs;unt numeri primi, & erit ille nume
rus &longs;eptuaginta annorum. Nam in &longs;eptuaginta annis a perficiet tri
gintaquinque reuolutiones b quatuordecim, c decem: ergo
per perfectos circuitus ad idem punctum. O&longs;tendo modo quod
non ante: nam &longs;i &longs;ic: &longs;it, ut in trigintaquinque annis igitur b & c per
ficient perfectos circuitus, ergo
non redibit, quoniam eius circuitus non numerat trigintaquinque
aliter non fui&longs;&longs;et &longs;eptuaginta minimus numeratus ab a b c, cum
go a non perficiet circuitus, ergo non redibit ad primum
non erit iunctus cum b & c. Quod &longs;i dicas a b c coniungi in decem
&longs;eptem annis numero non numerato ab ali
quo illorum temporum, auferantur perfe
ctæ circulationes, &
ex a, duæ quintæ ex b, tres &longs;eptimæ ex c, igi
tur oportebit ut hæ portiones &longs;int æqua
les, ut po&longs;t perfectas circulationes in idem
punctum,
ualebunt, quare proportio 7 ad 3 & 5 ad 2
& 2 ad 1, e&longs;t una, quare permutando 3 ad 2
ut 7 ad 5, &longs;ed 7 & 5 &longs;unt contra &longs;e primi, ergo in &longs;ua proportione mi
nimi per dicta in &longs;eptimo Elementorum: ergo tria, & duo non &longs;unt
in eadem proportione. Rur&longs;us dicantur conuenire in annis qua
tuordecim cum dimidio, ergo in uiginti nouem conuenient ite
rum: ergo per &longs;ecundam partem erit &longs;eptem ad unum, ut duo ad
unum, igitur permutando unius ad unum, ut &longs;eptem ad duo, &longs;ed
unum e&longs;t æquale uni, ergo duo erunt æqualia &longs;eptem. Rur&longs;us dica
mus, quod in tempore annorum <02> quadrata decem &longs;imiliter aufe
ram integras reuolutiones, quas potero, & erunt <02> 2 1/2 m: 1, & <02> 2/5 &
<02> 10/49 æqualia. Hic uides infinita &longs;equi in conuenientia, quæ longum
e&longs;&longs;et numerare, nam &longs;eptem e&longs;&longs;et æquale quinque, & proportio reci&longs;i
ad potentia rethe, ut numeri ad numerum. Igitur non conueniunt
ante &longs;eptuaginta annos.
Ex hoc &longs;equitur, quòd nullibi conuenient præterquàm in eo
dem puncto, &longs;cilicet in quo ab initio coniuncti fuerunt.
2.
Sequitur denuo ex propo&longs;itione ip&longs;a repetita, & primo corrola
rio, quod nullibi alibi conuenient quàm in dato primo puncto, in
quo coniuncti fuerant ab initio etiam u&longs;que in æternum.
Sit rur&longs;us ut a circuat in annis duobus cum dimidio, b in tribus
cum tertia parte, cin quatuor cum quarta parte ducam per &longs;uos
denominatores, & erit ut a in quinque annis. b in decem, c in decem
&longs;eptem circuant, & redeant ad idem punctum, & quia quin que nu
merat decem, & decem, & decem&longs;eptem &longs;unt numeri inuicem pri
mi, ducam decem in decem&longs;eptem fiunt centum &longs;eptuaginta. Con
&longs;tat igitur c quadragíes, b quinquagies &longs;emel, a &longs;exagies octies cir
cumuerti, & redire ad idem punctum: ergo rur&longs;us coibunt po&longs;t tot
annos in eo, dico modo, quod non ante: nam &longs;i non &longs;it, ut in trigin
ta tribus annis. gratia exempli, aufero
que, & relinquentur &longs;exdecim tria & tria, & rur&longs;us ex &longs;exde cim tres
13, & 2 1/2 ad 1/2 & 3 1/3 ad 3 eadem, & ita 17/13, 5/2 & 10/9 eadem &longs;i iam &longs;upponi/>
mus 17 & 10 e&longs;&longs;e primos inuicem, ut in &longs;ecunda demon&longs;tratione./>Igitur &longs;equuntur eadem corrolaria, quæ dicta &longs;unt.
Propo&longs;itio quadrage&longs;imanona.
Propo&longs;ito mobilis in circulo circuitus tempore, dataque ratione
di&longs;tantiæ ab illo mobilis circuitum inuenire, quod ex eodem pun
cto di&longs;cedens cum alio mobili in dato puncto conueniat &longs;ub quo
cunque numero circuituum tempus quoque coniunctionis.
Sit in circuli peripheria a
cuat æquali motu (hoc enim &longs;emper intel
ligitur) in b tempore: & &longs;it datus punctus c
in quo di&longs;cedens e mobile ex coniunctio
ne cum a po&longs;t certos circuitus proprios,
aut etiam. &longs;ine ulla circuitione perfecta de
beat conuenire. Volo &longs;cire tempus circui
tionis e: & etiam tempus coniunctionis. Sit ergo primum ut ab&longs;que circuitione ulla e, a debeat comprehen
dere e in c po&longs;t numerum circuitionum ip&longs;ius a, qui &longs;it f. nam &longs;i a o c
currit e in prima circuitione ip&longs;ius e, igitur a mouetur uelocius
quàm e, cum ergo debeat attingere ip&longs;um e, nece&longs;&longs;e e&longs;t ut a pertran
&longs;eat prius per punctum ex quo di&longs;ce&longs;sit antequam redeat ad con
iunctionem e: ergo perficiet &longs;altem unam circuitionem. Ducemus
ergo f in b, & fiet g tempus circuitus aut circuituum a, & quia &longs;pa
tium a c datum e&longs;t, &longs;it b temporis circuitus a ad h, uelut circuli to
tius ad a c, & iungatur g cum h & fiat k. Fiat quoque, ut monadis
ad h, ita l ad monadem, & ducatur l in k, & fiat m: dico m e&longs;&longs;e tem
pus circuitus e. Con&longs;tat enim ex &longs;uppo&longs;ito, quod k e&longs;t tempus to
tum in quo a peruenit po&longs;t b circuitiones in c, &longs;i ergo e moueretur
per m tempus totum ex &longs;uppo&longs;ito perficeret circuitum, at quia cir
cuitus ad a c, ut monadis ad h, igitur etiam ut l ad monadem, ergo
proportio circuitus ad a c, ut m ad monadem: ergo &longs;i in m tran&longs;it to
tum circuitum in monade tran&longs;it a c: &longs;ed monas ducta in k facit k,
igitur e in tempore k perueniet in c, quod erat demon&longs;trandum. Proponatur modo tempus reuolutionum e ip&longs;um d: eodem mo
do agemus ducendo fin b fit g, addatur h & fiat k, diuidatur k per
aggregatum d & a e, & exeat m, (idem enim e&longs;t diuidere per aggre
gatum d & h, & multiplicare per l) dico ergo ut in demon&longs;tratione
priore, quod m e&longs;t tempus circuitus e. Nam cum k &longs;it tempus, in
quo a po&longs;t circuitus f peruenit ad c, ergo diui&longs;o ip&longs;o toto tempore
pus unius reuolutionis.
Exemplum primi in repaulò ob&longs;curiore: &longs;it f 4 & b 2 1/2 & a c 4/5, du
cemus 4 in 2 1/2 fit 10, adde 4/5 6 quod e&longs;t 2 fit 12, diuide per 4/5 &longs;eu mul
tiplica per 5/4 quod idem e&longs;t, fit 15 circuitus e, in quatuor ergo circui
tibus, & 4/5 qui &longs;unt duo decim anni perueniet a ad c, & in duodecim
annis e perueniet ad c, nam 12 &longs;unt 4/5 ip&longs;ius 15. Similiter in &longs;ecundo
ca&longs;u &longs;it f 4 ut prius b 2 1/3 a c 1/7, ducemus 4 in 2 1/3 fit 9 1/3, addemusque h
portionem b qualis a c e&longs;t totius circuitus, id e&longs;t 1/7, e&longs;t autem 1/7 2 1/3, 1/3
fient 9 1/3, &longs;imiliter ponatur d 5, & quia a c e&longs;t 1/7 erunt 36/7, diuide ergo
9 2/3 id e&longs;t 29/3 per 36/7 exeunt 203/108 tempus reuolutionis e. Quin que ergo
reuolutiones e erunt 1015/108 addita &longs;eptima parte, quæ e&longs;t 29/108 fient 2044/108
&longs;eu 261/27, & &longs;unt anni 9 18/27 &longs;eu 9 2/3, ergo in tanto tempore a faciet qua
tuor circuitus, & &longs;eptimam partem, & e quinque circuitus, & &longs;e
ptimam.
Ex hoc patet, quod non coniungentur in alio loco, neque alio tem
pore ante prædictum tempus.
Propo&longs;itio quinquage&longs;ima.
Omnes circuituum portiones in eiu&longs;dem temporibus
Sint in circulo a b c d e f g: a & b iuncta, & in primo congre&longs;&longs;u
iungantur in c, in &longs;ecundo in d, in tertio in e, in quarto in f, in quinto
in g, in &longs;exto in h, in &longs;eptimo in k, in octauo in l. Et &longs;ic deinceps
tempora
&longs;us æquales etiam a c, c d, d e, e f, f g, g h, h k,
k l. Et &longs;i aggregatum a &longs;cilicet circulorum,
& portionis fuerit commen&longs;um circulo, &
ita de b erunt omnia
& etiam inter &longs;e. Et &longs;i inter &longs;e aggregata, uel
portiones erunt, & eodem modo reliqua. Et quoniam circuli circulis commen&longs;i &longs;unt:
&longs;i portiones erunt inuicem commen&longs;æ
& toti circuitus cum partibus commen&longs;i, &
&longs;i non commen&longs;i, neque erunt inter &longs;e, neque ad circulum. Et &longs;i totum
&longs;patium cum circuitibus erit unius generis, erunt duplicata, & tri
plicata, & quadruplicata eiu&longs;dem generis: quare cum &longs;patia ip&longs;a
detractis circuitibus uelut rhete habeant naturam reci&longs;i, & &longs;patia
ip&longs;a tota &longs;int eiu&longs;dem generis, erunt &longs;patia, quæ relinquuntur eiu&longs;
dem generis. Erunt tamen incommen&longs;a nece&longs;&longs;ariò, &longs;i partes fuerint
incommen&longs;æ toti. Ponatur a c incommen&longs;a toti circulo dico, quod
a k Quia enim a c
e&longs;t incommen&longs;a circulo, & k a cum toto circulo &longs;emel e&longs;t commenigitur cum circulus, & a k diuidantur in cir
culum et a k, & circulus &longs;it incommen&longs;us circulo, cum a k erit aggre. gatum ex circulo, & a k incommen&longs;um ip&longs;i a k, & a k pariter incom
men&longs;a circulo. Rur&longs;us quia a k e&longs;t incommen&longs;a circulo cum a k, &
circulus cum a k &longs;it multiplex ad a c, erit a k incommen&longs;a a c, quare
erit c k incommen&longs;a a k & a c, & circulo ad dita a k. Si ergo a c &longs;it
commen&longs;a circulo, erunt omnes portiones e genere numeri, & &longs;i
potentia rhete erunt omnes, uel potentia rhete, uel circulis detra
ctis, ut a k & a l reci&longs;a: & a c &longs;it potentia &longs;ecunda rhete, id e&longs;t radix cu
bica erunt omnes c d, d e, e f, potentia &longs;ecunda rhete, et radices cubi
cæ numeri, &longs;eu latera corporum rhete, a k uero & a l, & huiu&longs;modi
in infinitum reci&longs;a potentia rhete.
mi
Ex hoc patet, quod cum circulus po&longs;sit diuidi in infinita gene
ra quantitatum, quæ non &longs;unt inuicem commen&longs;æ cumque coniun
ctiones hæ &longs;emper in eodem genere maneant, quod infinita pun
cta, & infinitis in &longs;peciebus quantitatum remanebunt in quibus a
& b in perpetuum nunquam conuenient. Velut &longs;i coniunctio pri
ma fiat in <02> cu. 1/2 alicuius circuli, nunquam conuenient, neque in me
dietate, neque in quarta parte, nec octaua, nec tertia, nec &longs;exta, nec no
na, nec quinta, nec decima, & &longs;ic de &longs;ingulis in genere commen&longs;a
rum toti circulo. Neque in <02> quadrata 1/2 uel 1/3 uel 1/5 neque <02> 1/6 uel 1/20,
neque in <02> 3 m: 1, nec 2 m: <02> 3 nec in <02> <02> 2 aut 3 aut 7 nec in <02> rela
ta alicuius numeri, nec in 2 m: <02> <02> cub. 3 nec 2 m: <02> cub.
4, & &longs;ic
de alijs.
mam uige&longs;i
mi
Propo&longs;itio quinquage&longs;imaprima.
Operationes dictas exemplo declarare.
Supponamus in circulo prædicto a c <02> 7 con&longs;tat, quod e&longs;&longs;e non
pote&longs;t, quia <02> 7 e&longs;t maior monade, ideo toto circulo, quare non po
terit e&longs;&longs;e pars circuli, &longs;ed referetur ad
circulus &longs;it 10. &longs;emper ergo diuidemus <02> 7, &longs;eu eam portionem per
10 quantitatem circuli & exibit <02> 7/100, & hæc erit portio circuli, & ita
&longs;i portio &longs;it <02> cub. 16, diuidemus <02> cub.
16 per 10 exibit <02> cu 2/125, &
ita de alijs.
Sed cum ex repetitione cre&longs;cat portio illa, donec exuperet mo
nadem, aut aliquem quemuis numerum detracta monade aut nu
mero circuituum habebit rationem reci&longs;i. Velut <02> 7/100 quater &longs;um
pta efficit <02> 112/100. Et hoc e&longs;t potentia rhete, &longs;ed &longs;i quis auferat mona
dem fiet <02> 112/100 m: 1, & hoc e&longs;t reci&longs;um 1, &longs;cilicet 1 p: <02> v: 23/25 m: <02> 28/25, &longs;ed ta
men uerè e&longs;t linea media.
Quod uerò non contingat coniungi in alio loco, neque tem
pore &longs;it, ut a b iungantur in c, & &longs;it reuolutio a triplex integra, & b
pars circuitus, & a circuitus tres anni, & quia circuitus b &longs;unt fex
cum tertia, diuidemus decem per 6 1/3 exit
1 11/29, dico quod non prius, neque in alio
puncto. Si enim primùm in eodem pun
cto, &, gratia exempli, in quatuor annis
congruit enim, & b dicamus quod per
egerit duas reuolutiones cum tertia, hoc
enim e&longs;t nece&longs;&longs;arium, &longs;i debet perueni
re ad c, & erunt anni tres, & 23/19, non ergo
anni quatuor. Cum enim tempora di
uer&longs;a diuiduntur per numeros haben
tes proportionem erunt, qui prodeunt
numeri in eadem ratione. Diui&longs;o ergo
10 per 1 11/19 exit 6 2/3, & diui&longs;o 4 per 1 11/19 exit
2 8/15, igitur 6 1/3 ad 2 8/15, ut 10 ad 4, igitur 8/25
non pote&longs;t e&longs;&longs;e æquale 1/3. Si enim per
præcedentem repetuntur, ergo non po&longs;
&longs;unt redire, doneciterum coniung antur in ip&longs;o a. Si enim aliter &longs;it
ut ex e, igitur e c e&longs;t æqualis a c pars toti, quod contingere non po
te&longs;t. Sin uerò coniunctio fiat in d, igitur per præcedentem d e e&longs;t
pars a c &longs;ubmultiplex quomodolibet, quare non fuerunt a&longs;&longs;um
pti primi numeri. Veluti in exemplo con&longs;tituimus, quod a, & b
conueniunt in c in decem annis, & a c e&longs;t tertia pars circuitus: er
go in triginta annis conueniunt in a, & in quadraginta rur&longs;us in c.
&longs;i ergo quis a&longs;&longs;ump&longs;i&longs;&longs;et quadraginta annos ab initio pro con
gre&longs;&longs;u, & diui&longs;i&longs;&longs;et per 1 12/19 exiret 25 1/3, & &longs;i per 3 exiret 13 1/3, & mani
fe&longs;tum e&longs;t, quod uterque numerus pote&longs;t diuidi per eundem nu
merum, utpote 4 & exit numerus cum eadem parte &longs;cilicet 6 1/3 &
3 1/3 ergo conuenient ante, non ergo a&longs;&longs;ump&longs;i&longs;ti minimos in ea pro
portione. Illi autem nequaquam amplius diuidi non po&longs;&longs;unt eo
dem modo.
Propo&longs;itio quinquage&longs;ima&longs;ecunda.
Tria mobilia coniuncta in eodem puncto, quorum duo, & duo
conueniant in partibus in commen&longs;is inter &longs;e, in perpetuum in nul
lo unquam puncto conuenient.
Sint a b c iuncta, & primo iungantur a & b, iterum in d & b, &
c in e, & &longs;int a d, a e inconimen&longs;æ, dico quòd a b c nunquam con
uenient in aliquo puncto, &longs;eu primo, &longs;eu alio à prim o: &longs;i non con
ueniant in f, erunt ergo in g tempore re
uolutiones integræ, & portio a f in&longs;uper. Et quia hæ con&longs;tituuntur per congre&longs;&longs;us
b cum a, & &longs;unt &longs;patia a d, & b cum c, &
&longs;unt &longs;patia e f, igitur &longs;patium a f erit ex ge
nere quantitatis a d, & a e per quinqua
ge&longs;imam, harum ergo erunt commen&longs;æ:
quod e&longs;t contra &longs;uppo&longs;itum. Et harum
propo&longs;itionum principium e&longs;t traditum
à Campano Nouarien&longs;i Euclidis expo&longs;itore, in quodam libello
non edito qui diligentia patris mei Facij ad me peruenit.
Propo&longs;itio quinquage&longs;imatertia.
Sit orbis a b cuius cen
centrum c, manubrium c
d f e, &longs;eu uero tangat circu
lum g, &longs;eu more gemmas
&longs;culpentium aligetur al
teri orbi funiculo a l b, &
&longs;it in uertice axis k m or
biculus &longs;olidus aut &longs;emi
circulari forma m, dico
quod proportio motus a
b ad motum m e&longs;t produ
cta ex duabus proportio
nibus c n
& &longs;emidimetientis m ad k
o, quare ut rectanguli c n
in dimidium dimetientis
m ad quadratum o, ut enim a b ad ol orbem, id e&longs;t
c n ad o k, quoniam o l mouetur toties in una circuitione a b, quo
ties
tinetur in c n toties in una circuitione a b o l circumuertitur, &longs;ed
quoties circumuertitur ol, toties etiam m, quia uterque mouetur eo
dem circuitu k m axis, ergo quoties m circumducitur in circuitu a
b toties o k continetur in c n, ergo &longs;i fiat comparatio &longs;emidiametri
m ad c n, erit product a proportio circuitus a b ad circuitum m ex
proportione c n ad o k, et &longs;emidimetientis m ad
proportio numeri circuitus unius p
& &longs;emidimetiente m ad quadratum k o, quod erat
Manife&longs;tum e&longs;t autem ex ip&longs;a &longs;ola con&longs;titutione, quod &longs;i a b mo
&longs;ini&longs;tro in dextrum, & uterque circulorum g & k in &longs;uperiore parte,
& in inferiore mouebitur contrario motu, &longs;cilicet in &longs;uperiore à &longs;ini
&longs;tro in dextrum, & inferiore à dextro in &longs;ini&longs;trum, illi uerò duo or
bes &longs;imili motu mouebuntur tam in parte &longs;uperiore, quàm inferio
re, & proportio motuum eorum inter &longs;e erit uelut dimetientium
corundem.
Rur&longs;us cum a b circumuertatur cum manubrio c d f e, tanto uelo
cius circumuertetur, & in ea proportione, qua d f continetur in c n,
& in eodem tempore, in quo manubrium circumuertitur in eodem
axis circumuertitur, & orbis, ut dictum e&longs;t, ergo in eodem tempo
re, in quo axis circumuertitur in eodem orbis: ergo tanto tardius
uidebitur moueri axis ip&longs;o orbe, quanta e&longs;t proportio minoris in
æqualitatis ip&longs;ius axis, &longs;eu ambitus, &longs;eu &longs;emidimetientis ad ambi
tum, &longs;eu &longs;emidimetientem orbis.
Propo&longs;itio quinquage&longs;imaquarta.
Proportio circuli ad &longs;uum diametrum per
ta pars peripheriæ. Rur&longs;usque eiu&longs;dem circuli ad peripheriam diame
tri quarta pars.
Quoniam enim &longs;uperficies circuli, ut ab
Archimede demon&longs;tratum e&longs;t, fit ex dimi
dio diametri in
eadem fiat ex tota peripheria in
tem diametri, & ex tota diametro in quar
tam ergo proportio are&ecedil;
circuli ad diametrum per &longs;imilitudinem
e&longs;t quarta pars peripheri&ecedil;, & proportio are&ecedil;
ad
ti
Propo&longs;itio quinquage&longs;imaquinta.
Proportionem medicamentorum per ordines &longs;uppo&longs;ita æquali
proportione in ordinibus per quantitates, & proportiones de
mon&longs;trare.
Galenus libro quinto de Simplicibus medicamentis, quem &longs;e
quuti &longs;unt alij medici, ponit quatuor ordines
ta qualitates calidi, frigidi, &longs;icci, & humidi, & primus e&longs;t cum
camentum
&longs;ynthium, & oriza: &longs;ecundus e&longs;t, cum &longs;entitur, &longs;ed non lædit, ut nux
myri&longs;tica, &longs;aluia, ozimum: tertius e&longs;t cum &longs;entitur, & lædit, &longs;ed
non de&longs;truit, neque corrumpit corpus, uelut a&longs;&longs;arum apium &longs;ta
phi&longs;agria, cappares, myrrha, ruta: quartus e&longs;t, cum de&longs;truit ue
lut pyretrum, piper, euphorbium cæpe aggre&longs;te, & &longs;inapis, cina
tertij gradus, & hoc opus comparatur ad corpus &longs;icut dicit Gale
nus, & Serapio non ad linguam, ut medici no&longs;tri temporis interpre
tantur. Ex quo patet, quod aliqua medicina poterit e&longs;&longs;e quarti ordl
nis, & non lædere linguam in gu&longs;tu, & alia tertij ordinis, quæ non
&longs;olum lædet linguam, &longs;ed &longs;en&longs;um eius corrumpet, et de&longs;truet, quod
contingit propter &longs;ub&longs;tantiam tenuem cra&longs;&longs;æ mi&longs;tam cum &longs;iccitate
pari ip&longs;i calori. Sed non oportet h&ecedil;c nunc tractar, enon &longs;olum quia
non &longs;it locus, &longs;ed etiam quòd con&longs;u&longs;a &longs;it per &longs;eip&longs;a materia ab&longs;que
eo, quod difficultatem difficultati addamus, &longs;olum ergo eas dubita
tiones adiungemus, quas
tem, neque &longs;uperfugere, neque declinare po&longs;&longs;umus. Nam de &longs;icco,
& humido, cum &longs;int longè minoris actionis, quàm calidum, & fri
gidum, & præcipuè humidum, non uideo quomodo po&longs;sit Gale
nus &longs;tatuere medicinam humidam tertij gradus, nedum quarti,
cum non po&longs;sit inueniri medicina, quæ de&longs;truat corpus no&longs;trum
propter humidam qualitatem. Et licet Serapio po&longs;uerit gingiber
& enulam & zelim in tertio ordine calidorum & humidorum: &
inter frigidas, & humidas in tertio portulacam, aizoum, & uirgam
pa&longs;toris, & fungos. Primum non au&longs;us e&longs;t ponere medicinas ullas
calidas, aut frigidas in quarto ordine, qu&ecedil; &longs;int humidæ. &longs;ecundum,
quando dicit medicinas calídas, aut frigidas, atque humídas in ter
tio ordine, intelligit &longs;olum de qualitate actiua &longs;cilicet caliditate, uel
frigiditate, & non de humida qualitate, quod o&longs;tendit de gingibe
re, & enula, dicens, quod &longs;unt calidæ in tertio ordine, & humidæ
humido crudo, non au&longs;us addere ordinem, quia non uídit ratio
nem, qua po&longs;&longs;ent dici humidæ in tertio. Et clarius in capite de zei
len, quem &longs;tatuerat inter medicinas calidas, & humidas in tertio, di
cit quod e&longs;t calida in tertio, & humida in primo, ergo non intelligit
per medicinas calidas & humidas in tertio ordine, quod &longs;int humi
dæ in tertio ordine. Clarius etiam de frigidis & humidis, nam por
tula cam dicit e&longs;&longs;e frigidam in tertio, humidam in &longs;ecundo, & quod
maius, e&longs;t cum collo ca&longs;&longs;et aizoum inter medicinas frigidas, & hu
midas in tertio ordine, dicit, quod e&longs;t frigidum in tertio ordine, ad
ijcit, quod e&longs;t &longs;iccum parum, & de uirga pa&longs;toris nihil dicit de hu
mido, &longs;ed dicit, quod a&longs;tringit, ex quo concludo, quod &longs;ecun
dum mentem Serapionis nulla e&longs;t medicina humidior portulaca,
etiam uidetur innuere de fungis, &longs;atis e&longs;t quod non excedunt &longs;ecun
dum ordinem in humido neque calida neque frigida, &longs;ed frigida &longs;unt
humidiora, ut fungi, & portulaca, quia frigiditas in generatione
humidum magis admittit, quàm caliditas, & calida magis hu
humido, & &longs;icco e&longs;t generalis apud Serapionem, quod non intelli
gitur ordo in pa&longs;siuis, ni&longs;i &longs;pecialiter exprimatur, nam de &longs;iccitate
non nego, quin inueniantur medicinæ &longs;iccæ in tertio, & for&longs;an in
quarto ordine, &longs;ed de hac Galeni o&longs;citantia, quæ in illo peculiaris
e&longs;t dum uult &longs;equi &longs;uas methodos &longs;ine alio di&longs;crimine, medicis con
&longs;i derandum relinquo.
ult.
337. &
338.
Secunda difficultas e&longs;t maior, & magis pertinet ad nos, & e&longs;t,
quòd non declarauit an i&longs;ti ordines inter &longs;e
&longs;eruarent, an omnino nullam, &longs;i enim nulla proportio &longs;eruatur, fieri
nullo modo pote&longs;t, ut per cognitionem temperaturæ &longs;implicium
medicamentorum cogno&longs;camus temperaturam compo&longs;itorum ex
illis ratione ulla, &longs;ed oportebit &longs;olum experiri. Sed &longs;i ordines &longs;er
uant proportionem, adhuc relinquitur dubium, an illa proportio
&longs;it Arithmetica, uel Geometrica, uel Mu&longs;ica, & nihil mirum e&longs;&longs;et,
quod e&longs;&longs;et Mu&longs;ica, ut aliâs docuimus, ubitractauimus de differen
tia inter &longs;en&longs;um auditus, et ui&longs;us. Sed quia de hac nullus medicus ui
detur intellexi&longs;&longs;e, omittam hanc tractationem. Et quanquàm Gale
nus po&longs;sit uideri non exi&longs;tima&longs;&longs;e, quòd hi ordines non &longs;eruent
proportionem ullam, quia non au&longs;us e&longs;t tractare de temperamen
to medicamentorum compo&longs;itorum per rationem temperamen
ti &longs;implicium, nihilominus &longs;uppo&longs;ito quod ita e&longs;&longs;et, quod &longs;eruetur
altera proportionum, uolo o&longs;tendere rationem componendi in
utraque proportione & Arithmetica, & Geometrica. Ex quo &longs;e
quitur, quod Aueroes quàm o&longs;citanter tractauerit in quinto &longs;uo
rum collectaneorum de hoc, & non di&longs;tinguit, neque docet pri
mum an &longs;it aliqua proportio, deinde &longs;i qua &longs;it, cuius generis &longs;it, &
cum in re tam clara pugnet pror&longs;us, ut cœcus ictus maximos eden
do, &longs;ed in ca&longs;&longs;um plero&longs;que, quàm malè agant qui ei in arduis tan
tum tribuunt fidei, & authoritatis, &longs;ed hæc e&longs;t infelicitas no&longs;tra, &
ira Deorum. Suppo&longs;ito ergo quod primò ordines di&longs;tinguantur
per proportionem arithmeticam, &longs;it &longs;uperficies a b pro quantitate,
& a &longs;it calida in primo gradu, & b in ter
tio, erit ergo perinde ac &longs;i duo corpora
e&longs;&longs;ent unum altitudinis unius cum ba&longs;i
quadrilatera rectangula a, aliud altitu
dinis trium, ba&longs;i autem quadrilatera &longs;u
perficie rectangula b, hoc igitur erit to
tum mi&longs;tum, & quia quantitas medicamenti non mutatur quæ e&longs;t
a, b, ergo talia corpora æquantur uni corpori, cuius ba&longs;is e&longs;t a b,
cum ergo talia corpora producantur ex a in unum, & b in tria, ergo
tius medicamenti, iuxta quod con&longs;tituitur regula prima libri artis
medendi paruæ huiu&longs;modi, & reliquæ, traduxi autem illas ad hunc
locuin, “quia pendent ex demon&longs;tratione hac: “duc numerum ordi
nis &longs;ingulorum medicamentorum in numerum quantitatis, &longs;imilia
iunge, di&longs;similia detrahe, quod fit, diuide per aggregatum, quanti
tatum, exibit numerus ordinis compo&longs;iti. Sic mi&longs;cendo calidum in
&longs;ecundo ordine cum duplo pondere temperati conflabit calidum
in be&longs;&longs;e. Secunda &longs;i ex pluribus diuer&longs;arum, qualitatum, & ordi
num temperatum efficere uelis, duc quæ &longs;unt eiu&longs;dem qualitatis in
&longs;uas quantitates, & iunge, quod fit, diuide per numerum or dinis
medicamenti contrarij, exibit quantitas illius, &longs;ub qua &longs;i iungatur,
fiet medicamentum temperatum. Tertia cum nolueris ex tempera
to, & alio cuiu&longs;cunque ordinis medicamen conficere ordinis re
mi&longs;sionis, detrahe numerum ordinis eius, quod conficere uis ex nu
mero ordinis eius, quod habes, & cum re&longs;iduo diuide numerum
medicaminis, quod conficere uis, quod exit e&longs;t numerus quantita
tis medicamenti non temperati in comparatione ad temperatum.”
Ex his potes propo&longs;itis quibu&longs;cunque medicamentis conficere
antidotum &longs;ub quo cunque ordine remi&longs;siore potenti&longs;simo ex il
lis. Quarta in compo&longs;itione, quæ non fermente&longs;cit calida, calidis
iuncta &longs;emper opus augent, ut mel cum pipere. Quæ autem &longs;ub mi
nore quantitate exhibentur non &longs;ub remi&longs;siore ordine agant, &longs;ed
uel facilius impediuntur, uel minorem corporis partem, uel leuius
immutant.
Quod &longs;i &longs;tatuamus proportionem e&longs;&longs;e Geometricam, modus
erit idem in omnibus, & quo ad numerum etiam in primo, & &longs;ecun
do ordine, quia in proportione dupla Geometrica &longs;ecundus ordo
tantundem di&longs;tat à primo, quantum primus ab æqualitate, quia
unum & duo &longs;eruant proportionem, & æqualem di&longs;tantiam, &longs;ed in
cæteris ordinibus non ita erit, quia qui e&longs;&longs;et trium in Arithmetica,
&longs;cilicet totius ordo e&longs;t, quatuor in Geometrica, & quartus ordo,
qui e&longs;&longs;et quatuor in Arithmetica, e&longs;&longs;et octo in Geometrica, ideo
&longs;cribemus ordines hoc modo, & operabimur cum
numeris loco ordinum, exemplum ergo primum
&longs;it medicina calida in tertio ordine quatuor uncia
rum, & medicina frigida in
unciarum, duco quatuor in tria, &longs;i proportio &longs;it Arithmetica, fit
duodecim, duco duo in duo fit quatuor, detraho quatuor in duo
decim, quia omnis medicina tantum retondit de contrario, &longs;eu mi
nuit relin quuntur octo &longs;cilicet caliditatis, diuido per &longs;ex ag
pio &longs;ecundi ordinis. Secundum exemplum &longs;int eædem medicinæ,
& &longs;it proportio Geometrica, ducemus ergo quatuor in quatuor, &
fiunt &longs;exdecim, & duo in duo fiunt quatuor, detrahe quatuor ex &longs;ex
decim, & remanent duodecim, diuide per &longs;ex, ut prius, exeunt duo,
ergo erit calida in fine &longs;ecund i gradus uides ergo di&longs;crimen. rur&longs;us
&longs;int ambæ medicinæ calidæ, & ducemus, ut prius in tertio exem
plo, ubi proportio &longs;it Arithmetica iungendo duodecim cum qua
tuor, & fient &longs;exdecim, diuide per &longs;ex, exeunt duo, & duæ tertiæ, er
go erit calida in medio tertij gradus, rur&longs;us in quarto exemplo iun
gemus &longs;edecim cum quatuor, & fient uiginti, diuide per &longs;ex exi
bunt tria & tertia, & ita erit in medio tertij gradus, ut prius, &longs;ed &longs;i
ille quatuor unciæ e&longs;&longs;ent calidæ in quarto gradu, & illæ duæ unciæ
in &longs;ecundo gradu, ut prius ducendo quatuor in quatuor fiunt &longs;ex
decim, & duo in duo fiunt quatuor, iunge, & fient uiginti, diuide
per &longs;ex exeunt tria cum tertia, ergo erit calida in principio quarti
gradus &longs;ecundum proportionem Arithmeticam, &longs;ed &longs;ecundum
Geometricam duc quatuor in octo, fiunt triginta duo, adde qua
tuor ut prius, &longs;cilicet productum duorum in duo fiunt triginta &longs;ex,
diuide per &longs;ex, exeunt &longs;ex, & quia &longs;ex ad quatuor maiorem habent
proportionem, quàm octo ad &longs;ex ideo hæc medicina erit calida ul
tra medium quarti gradus, iam ergo uides rationem, & differen
tiam horum.
Quod &longs;i quis dicat, an debeat attendi Geometrica proportio in
medicamentis, an Arithmetica, re&longs;pondeo, quòd ueri&longs;imilius e&longs;t de
Arithmetica, quia illa proportio etiam quod &longs;it minor quatuor ad
trium, quàm trium ad duo, & multò minor quàm duo ad unum ni
hilominus longè plus operatur, quia tertius ordo iam incipit e&longs;&longs;e
præter naturam, & uidemus, quod læ&longs;io facta in uulnerato, etiam
quòd &longs;it quadruplo minor, plus nocet longè, quàm in &longs;ano qua
druplo maior: quia termini præter naturam &longs;unt ualdè angu&longs;ti in
comparatione ad latitudinem naturalem, &longs;icut etiam uidemus in
tendendis chordis &longs;corpionum, quod ultima pars e&longs;t breuis & ta
men homini tantam difficultatem adijcit. Notandum e&longs;t etiam,
quòd ob hoc diui&longs;erunt ordines in tres partes, uelut gingiber e&longs;t
calidum in fine tertij ordinis, origanum in medio, cinamomum in
principio, & ita euphorbium e&longs;t calidum in principio quarti gra
dus, &longs;ed in fine principij piper, in principio principij aqua &longs;epara
tionis in medio quarti ordinis, &longs;ed oleum chalcanthi factum ea ar
te, ut exurat paleas, &longs;icut ignis e&longs;t calidum in fine quarti ordinis, &
ita &longs;ufficiet diuidere propter eandem cau&longs;am primum, & &longs;ecun
e&longs;t æqualis, uel etiam for&longs;an maior, &longs;ed ratione uarietatis operatio
nis quæ minus &longs;entitur, & maximè in primo ordine.
Propo&longs;itio quinquage&longs;ima&longs;exta.
Proportio cuiu&longs;uis binomij ad &longs;uum reci&longs;um, uel ei commen
&longs;um e&longs;t duplicata ei, quæ ad numeri latus.
Cum enim proportionis medium &longs;it latus numeri eo quod ex bi
nomio in reci&longs;um &longs;uum fit numerus ex his, quæ demon&longs;trata &longs;unt
generaliter in tertio Arithmeticæ de omnibus binomijs cum &longs;uis
reci&longs;is, uel in quadratis lateribus erit <02> numeri media proportione
inter binomium, & &longs;uum reci&longs;um, igitur cum proportio producto
rum ex binomio in commen&longs;a reci&longs;o &longs;it, ut commen&longs;orum ad reci
&longs;a crunt omnia producta ex binomio in commen&longs;a reci&longs;o &longs;uo <02> nu
meri, igitur proportio binomij ad reci&longs;um &longs;uum, & omnia com
men&longs;a illi, e&longs;t duplicata ei quæ ad <02> numeri.
po&longs;. lib.
de
A
ti
eiu&longs;dem.
mi
Propo&longs;itio quinquage&longs;ima&longs;eptima.
Motus rationem ad pondus inuenire.
O&longs;ten&longs;um e&longs;t antea, quod motus naturalis uelocior fit in fine, ac
magis augetur ob aëris motum, ubi uerò hæret e&longs;t ac &longs;i quie&longs;cat. Eadem autem e&longs;t ratio in motis uiolenter, & naturaliter dum &ecedil;qua
li impetu feruntur. Sed &longs;ubitò po&longs;t etiam, quod motus æqualiter
augerentur minus tamen cre&longs;cit proportio uiolenti &longs;cilicet ob im
pedimentum naturale. Sed &longs;i uis mouens fuerit
adeò ualida ut proportio incrementi ex aëre &longs;it
maior, quàm impedimentum, & in crementum al
terius mobilis naturaliter moti, motus ille uelo
cior fiet naturali, ut in &longs;phæris ferreis ex machina
igne excu&longs;sis, quod ergo attinet ad præ&longs;entem
motum ratio e&longs;t eadem. Quicun que ergo motus
minoris grauis cogit de&longs;cendere lancem ex ad
uer&longs;o proportionem habet eandem ad &longs;uum mo
bile quam habet graue æquiponderans. Sit ergo
ut a ex b, c, d, e, eleuet eodem ordine pondera e, f,
g, h, erit ergo ponderum h, g, f, e, ad &longs;e inuicem, & ad a qualis mo
tuum ob di&longs;tantiam intentorum. Experimentum ergo docet, quòd
dimidium ponderis æquilibrium facit ex palmo minoris dimidio
motum manife&longs;tum, & ex palmo quarta pars ponderis, ergo &longs;e ha
bent prope portionem.
Propo&longs;itio quinquage&longs;imaoctaua.
Qu&ecedil; ex alto de&longs;cendunt cur non eandem pro di&longs;tantia motus ra
tionem in libero aëre &longs;eruent con&longs;iderare.
Aër in &longs;ublimiore eius regione &longs;emper naturali motu fertur ex
Oriente in Occidentem, &longs;ed & infra uerum minus manife&longs;tè. At ca
&longs;u plerun que contingit, ut moueatur longè uehementius, &longs;eu ad ean
dem partem, &longs;eu aliam. Qui uerò naturalis e&longs;t, debilis
e&longs;t, quoniam in tenui ualde &longs;ub&longs;tantia e&longs;t: nec
&longs;ed in&longs;tar motus aquæ maris fluit ac refluit: aliter ne
ce&longs;&longs;e e&longs;&longs;et, ut &longs;ingulis horis per mille milliaria procede
ret, ut &longs;ic ne que latere po&longs;&longs;et, quarndoquidem fortuiti mo
tus, qui &longs;unt multo tardiores non latentnos. Nam tardiores illos
e&longs;&longs;e
in homine prope temperamentum: &longs;i igitur motus naturalis aëris
e&longs;&longs;et continuus, in hora aër procederet ob ambitum terræ millies
mille pa&longs;&longs;us,
nullum uentum aut procellam &longs;uperare quinquaginta pa&longs;&longs;us, cum
etiam continuus e&longs;&longs;e nunquam &longs;oleat, imò ne po&longs;sit quidem, ita que
cum hic multo tardior etiam in &longs;ublimi, dum e&longs;t, nos latere non
queat, multo minus po&longs;&longs;et naturalis latere, &longs;i adeò uelox & in ea
dem parte Præterea tantus impetus nun
quam à minore motu, aut cau&longs;a &longs;uperaretur, adeò ut &longs;emper flatum
aëris orientalem &longs;entiremus. Quotidie etiam aduenire ad nos aë
rem ex Illyrico, Macedonia, My&longs;ia, Ponto, Bythínia, Capado cia, Sy
ria, Babylonia, Hyrcanomarí, Bactrianis, Sacís, Scythis, ac Seris, to
to præterea Oceano orientali tam ua&longs;to, & Gallica noua, terra que flo
rida non &longs;olum res e&longs;t admirabilis', & incredibilis, &longs;ed etiam aliena
à &longs;en&longs;u, & ab his, quæ eueniunt. A'&longs;en&longs;u quidem, quoniam nebul&ecedil;,
quæ in aëre mouentur, primùm non in eandem partem &longs;emper mo
uentur: nun quam autem adeò celeriter: at &longs;i aër &longs;ic circumuoluere
tur, mouerentur & illa, qu&ecedil; in eo continentur, quotidieque aërem ex
periremur & nubilo&longs;um, & madidum propter mare. Nechis, quæ
eueniunt hoc &longs;atis re&longs;pondet, nec nobis id contingeret, ut &longs;i pe&longs;ti
aliqua in regione no&longs;tra directa &longs;æuiret, ut aër &longs;ingulis diebus la
be ea infectus ad nos deferretur. Moueri uerò aërem &longs;emper mani
fe&longs;ti&longs;simum e&longs;t tum experimento, tum ratione: ratione &longs;iquidem,
quod aqua & cœlum naturaliter perpetuò mouentur, quare etiam
aër. Experimento, quòd ubi hiant o&longs;tia, & ianuæ, ibi perpetuus &longs;en
titur flatus. Ergo &longs;i a pondus de&longs;cendat in c, ex alto fertur rectà, &longs;ed
&longs;i ex &longs;ublimi transferetur in b, & indirecta, & ad latus, unde ex
hoc &longs;equitur.
Propo&longs;itio quin quage&longs;imanona.
Omne mobile motum duobus motibus non ad idem tendenti
bus, utro que &longs;eor&longs;um tardius mouetur &longs;imili motu.
Sit a mobile, quod moueatur per a b c impul&longs;u uenti aut uiolen
to cum naturali coniuncto: & &longs;it terminus naturalis e,
& uiolenti d: uter que in directo c, dico, quod tardius per
ueniet ad c quam d, uel e. De e manife&longs;tum e&longs;t, quoniam
motus aëris, qui intendit motum a, diuíditur in partem,
quæ iuuat motum ad d, & partem, quæ mouetur ad e,
igitur fit minor adiectio. Et etiam quia a c e&longs;t longior
a e ex diffinitione rectæ: quare tardius perueniet ad c quàm ad e du
plici ratione. Dico etiam, quod tardius ad c quàm d.
Quia enim
uis, quæ fert ad d repugnat ei, quæ fert ad e, & uis, quæ fert ad e, re
pugnat ei quæ fert ad d, igitur tardius perueniet ad c, quàm d. Nec
potes dicere, quòd uis, quæ fert ad c adiuuet ad motum è regione
d, nam cum unus motus non po&longs;sit perfici &longs;ine altero, igitur quan
tum motus ad eretar dabit motum ad d, tanto motus a c erit tardí
or ab&longs;olutè motu ad d. Verum etiam e&longs;t, quod c e breuior erit a d,
quia motus ad e &longs;emper contrahit motum ad d naturalis uiolen
rum ob cau&longs;am dictam. Vtrùm uerò motus ad c ab&longs;olutè &longs;it tardi
or, quàm ad d, non &longs;uppo&longs;ito, quod c e &longs;it æqualis a d, &longs;ed minor,
nunc non e&longs;t locus determinandi.
Ex hoc patet, quod motus æquidi&longs;tantis mobilis, finis e&longs;t mini
mus omnium: quoniam mobile qua&longs;i quie&longs;cit in illo. Velut &longs;i a mo
ueatur ad b, inde deflectat ad c minimus motus erit in b, ubi incipit
naturalis: nam cum incipiat, erit debili&longs;simus, quia non
e&longs;t motus actu: uiolentus autem æqualis e&longs;t naturali,
dum minimus e&longs;t: ergo cum ex di&longs;tantia medij palmi
duplicetur, naturalis erit motus in b minimus, ni&longs;i b c
e&longs;&longs;et minor dimidio palmi. Et etiam quòd e&longs;&longs;et minor, quia ut di
ctum e&longs;t, uter que &longs;imul iunctus e&longs;t æqualis uni eorum non impedito
uel minor.
Propo&longs;itio &longs;exage&longs;ima.
Omne mobile motu naturali de&longs;cendens parte, de&longs;cendit gra
uiore &longs;ecundum grauitatis centrum.
Sit a mobile, grauitatis centrum b, cuius pars ei pro
ximior &longs;it c a, dico quod de&longs;cendat motu naturali c a,
parte tangendo terram, quia enim totum a non pote&longs;t
de&longs;cendere ad centrum de&longs;cendit b, quia eadem e&longs;t na
tura partis, & totius: totius autem terræ natura e&longs;t ut
centrum, totius &longs;it centrum grauitatis, quare b breuiore uia fertur
ad centrum, ergo per c d proximiorem partem ip&longs;i b. Sed pars pro
ximior nece&longs;&longs;ariò e&longs;t grauior, quia centrum e&longs;t in medio grauita
rem partem.
Ex hoc &longs;equitur, quòd graue habens partes inæquales, &longs;eu &longs;ub
&longs;tantia, &longs;cu forma, &longs;i ita excutiatur, ut pars grauior
tet, ut circumuoluatur.
Propo&longs;itio &longs;exage&longs;imaprima.
Proportionem ictus ad pondus rei, & di&longs;tantiam generaliter
con&longs;iderare.
Dictum e&longs;t &longs;uperius de proportione de&longs;cen&longs;us ad grauitatem:
& quòd &longs;i graue de&longs;cendat ex alto impeditur à motu aëris: & quòd
res, quæ mouetur duobus motibus non ad idem tendentibus tar
dius mouetur, quam motus &longs;it unu&longs;qui&longs;que. Demùm quòd graue
de&longs;cendens circumuoluitur, &longs;i pars grauior non &longs;it, deor&longs;um: & an
tea ubi egimus de proportione motus ad grauitatem, quod h&ecedil;cin
telligenda &longs;unt prout po&longs;&longs;unt intelligi de motu etiam uiolento. Cum ergo uideamus duo hæc, quod res acuta frangit caput, &longs;i ex
alto incidat, &longs;ed non concutit, lata concutit, &longs;ed non diuidit, premit
tamen carnem &longs;ubiectam: nec hoc accidit merito ponderis: nam ut
ui&longs;um e&longs;t &longs;emilibra lapidis, uel ferri cadens ex alto contundit caput,
& uulnerat, & non eleuat in æquilibrio, ut potè ex alto cadens loco
per &longs;patium octo palmorum pondus &longs;exdecim librarum, & a pon
dere &longs;exdecim librarum homo non læditur, nec uulneratur, ergo id
accidit ex alia cau&longs;a, & e&longs;t, quod aër interceptus inter graue, & cor
pus no&longs;trum non pote&longs;t dilabi tam citò, ergo ne corpus penetret,
cogitur ingredi locum, cui e&longs;t obuius, at que ita concutere, & diuide
re. Ex quibus &longs;equuntur omnia hæc.
Primùm &longs;i quod incidit, molle fuerit, non uulneratur caput, uel
pars &longs;ubiecta, quia re&longs;ilit in corpus molle: nec à molli, quia retundi
tur, pote&longs;t uulnerari: ergo nullo modo. Sed neque adeò concutit,
quia aër rediens, & receptus in molli corpore pro parte, non uer
berat locum.
Secundum in omni colli&longs;ione &longs;eu duri, &longs;eu mollis, &longs;ed magis du
ri, dilabuntur partes aëris ad latera, ideo quod partes mediæ pre
muntur. Et quanto motus e&longs;t tardior.
Tertium in motu uelo ci fit maior ictus & læ&longs;io, & maiora omnia
quam proproportione motus: quoniam ob uelo
git aëris. Et ideò fiunt grauia uulnera ex modico incremento uelo
citatis motus.
Quartum res latæ, duræ concutiunt, & non uulnerant ni&longs;i &longs;int
cum magno impetu, aut ualde graues: acutæ autem uulnerant, &longs;ed
non concutiunt, ni&longs;i parti acutæ lata &longs;uccedat.
Quintum, corpora dura magis læduntur à latis, quia &longs;cindun
tur, mollia autem à tenuibus, quia diuiduntur: nam mollitie excipi
unt aërem, & ita à latis non adeò patiuntur, & etiam, quoniam nec
franguntur, nec &longs;ponte &longs;cinduntur.
Sextum, etiam in duris penetrat aliquid aëris, aliter tota frange
rentur. Con&longs;tat etiam omnem lapidem marmoreum, aut &longs;iliceum
e&longs;&longs;e poro&longs;um, ut dicunt. Et etiam quia recipitur in mollioribus, er
go etiam in durioribus & in duri&longs;simis: quod &longs;i non recipiant ut ui
trum, & gemmæ tota franguntur. Hoc etiam uidetur &longs;en&longs;i&longs;&longs;e Philo
&longs;ophus, qui uult, quòd res franguntur ob poros.
Propo&longs;itio &longs;exage&longs;ima&longs;ecunda.
Proportionem motoris in plano ad motorem, qui eleuat pon
dus iuxta id, quod mouet inuenire.
Con&longs;titutum e&longs;t inuenire proportionem uirium, quæ eleuant
pondus ad uires, quæ ip&longs;um in plano leui trahere po&longs;
&longs;unt. Vires enim, quæ eleuant pondus a &longs;unt eædem
puta b, quæ uero trahunt c, &longs;ed hæ po&longs;&longs;unt uariari, nam
quanto uinculum altius, aut decliuis locus magis, aut
a&longs;pera &longs;uperficies &longs;eu ponderis &longs;eu plani, tanto difficilius trahitur,
& maiores expo&longs;cit uires: hoc enim experimento deprehenditur. Duæ uerò po&longs;tremæ cau&longs;æ etiam per &longs;e per&longs;picuæ &longs;unt, nec demon
&longs;tratione indigent: ni&longs;i quod &longs;i planum &longs;it duri&longs;simum, ac leui&longs;si
mum, quod e&longs;t a&longs;perum facilius trahitur, quia minore &longs;ui parte pla
num tangit. Nos præterea &longs;upponimus planum æquale undique
leue durum, & corpus undique &longs;ibi &longs;imile, id e&longs;t cubi formam refe
rens, & uinculum in imo: Demon&longs;trare igitur expedit primum,
quòd in hoc ca&longs;u b e&longs;t duplum ad c. Quia enim cum a eleuatur b ui
res &longs;uperant motum ob&longs;curum &longs;eu occultum, &longs;eu pondus a, & &longs;i
permitteretur &longs;ine eo, quod &longs;u&longs;tineret, de&longs;cenderet iuxta pondus
&longs;uum, quod &longs;it d: nititur ergo per pondus d, at quia trahendo duci
tur circa medium, nam plana &longs;uperficies parum differt à rotunda
terræ ob terræ magnitudinem, media erit repugnantia: in eo enim
quod mouetur, grauitatem habet d in eo, quod
lam habet grauitatem, mediam ergo retinet grauitatem, quare ut b
ad d, ita c ad dimidium, grauitatis a, at b e&longs;t primum, quod pote&longs;t
mouere d, igitur c e&longs;t primum, quod pote&longs;t mouere dimidium a, ut
ergo dimidium a ad d, ita c ad b, e&longs;t igitur c dimidium b.
Propo&longs;itio &longs;exage&longs;imatertia.
Omne graue quanto proximius alligatum plano, tanto faci
lius trahitur.
Sit graue a b c alligatum funibus in d ef, dico,
quòd facilius trahetur per fe quàm c b & e b, quàm
d a, quia &longs;i debet trahi ex a uel b, aut cadet, aut uis ex
a & b communicabitur c, igitur erit minor quàm in
c, & hoc naturaliter. Mathematica autem ratione quoniam ex a tra
hetur c, qua&longs;i per lineam d c: at attractio recta e&longs;t ualidior obliqua
igitur attractio c per d e&longs;t debilior, quàm per f. Rur&longs;us &longs;i e trahitur
per d cùm a peruenerit in d, erit perinde ac, &longs;i attractum e&longs;&longs;et per li
neam c d, &longs;ed linea c d mouet duobus motibus, uno ad &longs;uperiora, al
tero ad latus, ergo lentius ad f per d c quàm f c, quod erat demon
&longs;trandum.
Propo&longs;itio &longs;exage&longs;imaquarta.
Omne mobile quanto latius tanto tardius mouetur in plano.
Demon&longs;tratum e&longs;t &longs;uperius quòd &longs;i mobile &longs;it &longs;ph&ecedil;ricum, & tan
gat planum in puncto, quòd mouetur per quancunque uim aptam
diuidere medium. Quia ergo &longs;i tangat in puncto facillime moue
tur, &longs;i in linea paulò difficilius, &longs;i per &longs;uperficiem adhuc difficilius,
igitur cum fiat attritio in motu quanto latius e&longs;t mobile eo diffici
lius mouetur. Sit ergo mobile a b, quod moueatur uer&longs;us c, & quia
pars b &longs;eu dimidium mouetur iuxta rationem me
dietatis, & pars a eodem modo, ergo conduplicata
difficultate, quia medietas b impedit medietatem, a
quanto latius e&longs;t, & longius a b, tanto difficilius
mouetur. Et hoc intelligitur de corporibus ualde
latis propter dicta &longs;uperius.
Propo&longs;itio &longs;exage&longs;imaquinta.
Proportionem duorum mobilium inter &longs;e cum auxilio medij
inuenire.
Graue de&longs;cendit naturaliter quatuor cau&longs;is: prima e&longs;t ponderis
magnitudo, unde quod grauius e&longs;t celerius de&longs;cendit. Secundò ob
paruam medij repugnantiam, ideo quanto medium e&longs;t rarius &
mobile tenuius, tanto celerius de&longs;cendit: contrà uerò tardius. Ter
tiò ob impetum aëris &longs;ub &longs;equentis: & ideo mobile quòd ex eadem
materia con&longs;tat, &longs;emper de&longs;cendit parte acutiore &longs;uprapo&longs;ita, ne aër
cogatur celerius ferri: & quanto diutius de&longs;cendit, tanto magis in
tenditur motus, at que augetur, ut &longs;uprà de claratum e&longs;t. Quarta cau&longs;a
e&longs;t, quod non impediatur ab aëre tran&longs;uerfim moto, et à latere: ideo
leuia mobilia & magna non &longs;olum lentius de&longs;cendunt, quoniam
paruam uim habeant, & magnam repugnantiam, &longs;ed quia tran&longs;uer
&longs;im impul&longs;a minus mouentur motu recto, ut &longs;upra ui&longs;um e&longs;t. Por
quare cum medium &longs;upponatur eiu&longs;dem generis, & figura non
eiu&longs;modi, nec leuitas, ut pror&longs;us non impellat, nedum ut moueat la
tus: figura quo que eadem ambobus relinquetur proportio motus
ad motum producta ex proportionibus incrementi in proportio
nem ponderum, & iam habuimus proportionem incrementi ex
motu aëris, ergo proportio unius motus producti ad alteram no
ta erit.
Propo&longs;itio &longs;exage&longs;ima&longs;exta.
Proportionem laterum eptagoni, & &longs;ubten&longs;arum con&longs;iderare,
& quæ à reflexa proportione pendent.
Sit eptagonus a b d f g e c, & &longs;ubten&longs;æ b
c, & f e duobus lateribus, tribus autem d c
d e, & erunt (quia intelligitur eptagono æ
quilatero, & æquiangulo) b c & e finuicem
æquales: & item d c, & d e æquales: & &longs;i du
cerentur b e & c f inuicem æquales: & ad a c
& d g: quare cum angulus cb d con&longs;i&longs;tatin
arcu c e g f d, & angulus b d c in arcu b a c,
& angulus b c d in arcu b d; & &longs;it arcus c e g
f d duplus arcus b a c, quia c e g f d &longs;ubtendit quatuor latera epta
goni, & arcus b a c duo, & ita arcus etiam b a c duplus arcui b d
erit angulus d b e duplus angulo c d b, & angulus c d b duplus an
gulo b c d, quare per demon&longs;trata à nobis proportio laterum b d,
b c, c d, e&longs;t reflexa, igitur proportio d b & b c, ad d c, ut d e ad b c, &
rur&longs;us proportio b d & d e ad b e, ut b e ad b d. Quare &longs;uppo&longs;ita
d b 1, b c 1 po&longs;itione, erit d c latus 1 quad. p: 1 po&longs;itione.
Proportio
uerò, ut dictum e&longs;t b d & d c ad b c, id e&longs;t p: <02> 1 quad. p: 1 pos, ad 1
pos e&longs;t, ut b c ad b d, id e&longs;t 1 pos ad 1, igitur 1 p: <02> v: 1 quad. p: 1 pos
æquatur quadrato b c, quod e&longs;t 1 quad. igitur 1 quad.
m: 1 æquatur
<02> v: 1 quad. p: 1 pos quare 1 quad.
quad.
m: 2, quad.
p: 1 æquatur 1
quad. p: 1 pos.
Additis igitur communiter quatuor quadratis fient
1 quad. quad.
p: 2 quad.
p: 1 æqualia 5 quad.
p: 1 pos.
Et reducitur ad
1 cu. æqualem 1 3/4 pos p: 7/8.
&longs;exti
Aliter &longs;tante &longs;uppo&longs;itione ut Ludouicus Ferrarius ex demon
&longs;tratis à Ptolemæo quadratum b c, & e&longs;t 1 quad e&longs;t æquale produ
cto ex b d in c e, quod e&longs;t 1, & a b in d c, igitur detracto 1, produ
cto b d in c e ex 1 quad. quadrato c b, relinquitur productum ex
a b in c d 1 quad. m: 1, ergo diui&longs;o co per a b, quæ e&longs;t 1, relinquitur
c d 1 quad. m: 1 huius uerò quadratum per
quad.
m: 2 quad.
p: 1 e&longs;t æquale 1 producto b d in c e, & producto b
cin d e detracto 1 communi, relin quetur productum ex b c in d e 1
quad. quad.
m: 2 quad.
igitur diui&longs;o 1 quad.
quad.
m: 2 quad.
per 1
pos, exit 1 cu. m: 2 pos æqualia d e, & d e e&longs;t æqualis d c, ut ab initio
demon&longs;trauimus, & d c fuit 1 quad. m: 1, igitur 1 cu.
m: 2 æquantur 1
quad. m: 1, igitur 1 cu.
p: 1 æquantur 1 quad.
p: 2 pos.
Aliter ut Pacciolus, concurrant latera eptagoni b d, c e in a, & du
cantur perpendiculares a f, d g & c d, & &longs;it c e i ca 1 pos, & quia ut
a e ad a c, ita d e ad b c, erit ergo b c (1 posp: 1)/(1 pos) quare b f (1/2 pos 1/2,)/(2 pos) &
quia d h e&longs;t dimidium d e, erit d h, & g f
1/2, cum ergo b f &longs;it (1/2 pos p: 1/2)/pos erit ergo di
ui&longs;a 1/2 pos per 1 pos, & exit 1/2, b f 1/2p: 1/2/pos
igitur detracta g f relinquetur g b 1/2/(1 pos).
& eius quadratum 1/4/(1 quad). igitur cum qua
dratum b d &longs;it 1, erit quadratum g d 1 m:
2/4/(2 quad)g c autem e&longs;t compo&longs;ita ex e f, quæ
e&longs;t 1/2p: 1/2/(1 pos) & f g quæ e&longs;t 1/2, erit igitur c
g 1 p: 1/2/(1 pos), &
compo&longs;itum ex quadratis c g & g d erit 2 p: 1/pos c a uerò e&longs;t æqua
lis c d, quia, ut demon&longs;tratum e&longs;t angulus d c e e&longs;t &longs;eptima pars
duorum rectorum, & angulus b c e ei duplus, quare cum c f a &longs;it re
ctus erit ex trige&longs;ima&longs;ecunda primi Elementorum f a c tres &longs;epti
mæ unius recti, ergo d a c 6/7 unius recti, d c a uerò 2/7 unius recti, quia
e&longs;t &longs;eptima pars duorum rectorum, ígitur a d c e&longs;t 6/7 unius recti: igi
tur c d e&longs;t æqualis c a, ergo quadratum quadrato: igitur 1 quad. p: 2
pos p: 1, æquatur 2 p: 1/(1 pos) igitur 1 quad. p: 2 pos, æquantur 1 p: 1/(1 pos).
Quare 1 cub. p: 2 quad.
æquatur 1 pos p: 1.
Sit etiam angulus a duplus b, & b c dupla
b a: & erit per eadem proportio a c, & a b
ad c b, ut c b ad c a. Ponamus ergo ab 1, erit
b c 2, & a c 1 pos, & a c, a b 1 pos p: 1, & du
cta in a c fit 1 quad. p: 1 pos, & hoc e&longs;t æquale 4 quadrato b c per re
flexæ proportionis diffinitionem. Igitur a c e&longs;t <02> 4 1/4 m: 1/2, & ita
de alijs.
Propo&longs;itio &longs;exage&longs;ima&longs;eptima.
Si fuerint aliquot quantitates ab una quantitate, aliæque totidem
alterius, ut &longs;ecundæ ad &longs;ecundam duplicata, & quartæ ad quartam
triplicata, quintæ ad quintam quadruplicata, at que &longs;ic de alijs.
Sint quantitates b c d e f, ab a in continua proportio
ne, & aliæ totidem g h k l m, dico quod proportio h c e&longs;t
duplicata ei, quæ e&longs;t g ad b, & k ad d triplicata, & l ad e
quadruplicata, & &longs;ic deinceps, &longs;umatur enim unum, & ab
co o p q r s in proportione b ad a, & tuxyz in propor
tione g ad a, erit igitur p quadratum o, & u quadratum t,
& q cubus o, & x cubus t, & ita de alijs: ergo proportio
n ad p duplicata ei, quæ t ad o, & x ad q triplicata ei, quæt
ad o, & pote&longs;t etiam demon&longs;trari generaliter ultra qua
dratum, & cubum: nam &longs;i ducatur t in o, fiat que
portio enim ad
ut t ad o, igitur per diffinitionem proportionis duplicatæ
po&longs;itam in quinto libro ab Euclide u ad p duplicata ei,
quæ t ad o, & &longs;imiliter ex t in p fit
q Quia ergo propor
tio q ad
o, & ita de reliquis, cum ergo proportio p ad o &longs;it, ut e ad b, & o ad
n, ut b ad a, & n ad t, ut a ad g, & t ad u, ut g ad h, &longs;equitur ut &longs;it t ad a,
ut g ad b, & u ad p, ut h ad c, igitur cum &longs;it ut u ad p duplicata ei, qu&ecedil;
e&longs;t t ad o erit h ad e, duplicata ei quæ e&longs;t g ad b, & ita de reliquis, &
no&ngrave; refert, &longs;eu dicas u ad p duplicatam ei, quæ e&longs;t t ad o, &longs;eu dicas p
ad u duplicatam ei, quæ e&longs;t o ad t. Aliter & euidentius in duabus
&longs;oleo demon&longs;trare: cum enim &longs;it e & h duplicata ei quæ e&longs;t b & g
ad a, ut &longs;upra, & quadrati b ad quadratum a, & quadrati g ad qua
dratum a duplicata his quæ b & g ad a erunt b & g quadratorum
ad quadratum a, uelut c & h ad a. Et conuertendo qua
drati a ad quadratum g, ut a ad h, con&longs;tituantur ergo
hic & erit quadrati b ad
drati b ad quadratum g, ut b ad g proportio duplicata
igitur e ad h, ut b ad g duplicata.
quinti
Propo&longs;itio &longs;exage&longs;imaoctaua, collectorum ab Euclide
& Archimede.
Omnis cylindrus cono habenti ba&longs;im, & altitudinem eandem
triplus e&longs;t. Omnis cylindrus &longs;phæræ habenti eundem magnum
circulum, & altitudinem &longs;exquialter e&longs;t. Omnis &longs;phæra dupla e&longs;t
cono, cuius ba&longs;is e&longs;t eius circulus magnus, & altitudo eadem, quæ
&longs;phæræ ip&longs;ius. Omnis &longs;uperficies &longs;phæræ quadrupla e&longs;t maiori
&longs;uo circulo. Superficies portionis &longs;phæræ e&longs;t æqualis circulo, cu
Quilibet &longs;ector &longs;phæræ æqualis e&longs;t cono, cuius ba&longs;is e&longs;t circu
lus æqualis &longs;uperficiei eiu&longs;dem portionis, altitudo uerò &longs;phæræ &longs;e
midiameter. Proportio &longs;phæræ ad &longs;ectorem datum, e&longs;t duplica
ta ei, qu&ecedil; e&longs;t dimetientis ad lineam, quæ à uertice portionis ad lim
bum. Cum enim &longs;phæra &longs;it æqualis cono, cuius ba&longs;is e&longs;t maior cir
culus, altitudo uerò dupla dimetienti per tertiam harum, quæ hic
proponuntur: erit &longs;phæra æqualis cono ba&longs;im habenti circulum,
cuius &longs;emidiameter &longs;it æqualis diametro &longs;phæræ, altitudo uerò &longs;e
midiameter &longs;phæræ. At per &longs;extam harum &longs;ector &longs;phæræ e&longs;t æqua
lis cono habenti altitudinem &longs;cmidiametrum &longs;phær&ecedil;, ba&longs;im autem
ip&longs;am portionis &longs;uperficiem: igitur proportio &longs;phæræ ad &longs;ecto
rem, uelut circuli cuius diameter e&longs;t dupla dimetienti &longs;phæræ ad
círculum æqualem &longs;uperficiei portionis: at &longs;uperficies portionis
per quintam harum e&longs;t æqualis circulo, cuius &longs;emidiameter e&longs;t li
nea à uertice portionis ad limbum eiu&longs;dem: ergo proportio &longs;phæ
ræ ad &longs;uum &longs;ectorem e&longs;t uelut circuli, cuius dimetiens e&longs;t duplus di
metienti &longs;phæræ, aut &longs;emidimetiens e&longs;t æqualis dimetienti &longs;phæræ
ad circulum, cuius &longs;emidimetiens e&longs;t linea à uertice portionis ad
limbum. Sed proportio talium circulorum e&longs;t duplicata propor
tioni &longs;emidimetientium, igitur proportio &longs;phæræ ad &longs;uum &longs;ecto
rem e&longs;t ueluti dimetientis &longs;phæræ ad lineam, quæ á uertice portio
nis ad limbum duplicata. Cuicunque portioni &longs;phæræ conus ille
habetur æqualis, qui ba&longs;im hab eat eandem cum portione, altitudi
nem uerò lineam rectam, quæ ad altitudinem portionis eandem
habeat proportionem, quam &longs;emidiametros &longs;phæræ unà cum alti
tudine reliquæ portionis habet ad eandem reliquæ portionis alti
tudinem. Earum &longs;phæræ portionum, quæ æqualibus &longs;uperfi
ciebus continentur medietas &longs;phæræ maxima exi&longs;tit. Proportio
&longs;uperficiei &longs;phæræ plano diui&longs;æ ad reliquæ portionis &longs;uperficiem,
& re&longs;idui &longs;ectoris ad &longs;ectorem, e&longs;t uelut quadratorum duarum li
nearum quæ à uerticulis &longs;ectionum ad communem &longs;uperficiem
plani portiones &longs;ecantis de&longs;cendunt: nam &longs;ectorem &longs;phæræ, dico
corpus compo&longs;itum ex portione, & cono illo. Ille idem etiam defi
nit Ellip&longs;im coni a cuti anguli &longs;ectionem, quam dicit etiam fieri &longs;e
cto cylindro per planum non ad angulos rectos &longs;tante &longs;uper cylin
dri axem. Ab hac igitur coni acuti anguli &longs;ectione &longs;eu ellip&longs;i cir
cumacta figura &longs;phæroides corpus quod ba&longs;im rotundam habet,
uocat: id que duplex ob longum, quod fit diametro longiore quie
&longs;cente, & prolatum quod fit quie&longs;cente breuiore: &longs;icut reliquam &longs;ci
licet parabolen aut hyperbolen, quia inferius non e&longs;t terminata,
cumacta fit conoidale, quia planam habet ba&longs;im. Si ergo in ea
dem rectanguli coni &longs;ectione à plano portiones æquales habentes
diametros ab&longs;cindantur, illæ portiones erunt æquales. Et triangu
li in ei&longs;dem portionibus in&longs;cripti æquales erunt. Diametrum uo
cat in
&longs;tantes per æqualia diuidit. Omnis circuli cuius diameter e&longs;t ma
ior diameter ellip&longs;is proportio ad ellip&longs;im e&longs;t uelut directè diame
tri ellip&longs;is ad diametrum tran&longs;uer&longs;am. Ex quo patet quod pro
portio cuiuslibet circuli ad ellip&longs;im e&longs;t uelut quadrati &longs;uæ diame
tri ad rectangulum recta, & tran&longs;uer&longs;a diametro ellip&longs;is compre
hen&longs;um. Ex hoc rur&longs;us &longs;equitur quod ellip&longs;is ad ellip&longs;im, ut re
ctanguli ex diametris unius ad rectangulum ex diametris alterius.
Si conoides & &longs;phæroides &longs;ecet plano æquidi&longs;tanti axi fiet &longs;e
ctio conoidalis &longs;imilis ei à qua conoides &longs;eu &longs;phæroides de&longs;cri
ptum e&longs;t. Sin autem &longs;upra axem plano ad perpendiculum erecto
&longs;ectio circulus erit. Et &longs;i &longs;ecentur obliquè fiet ellip&longs;is, modo omnia
latera comprehendat. Omnis portio conoidalis rectanguli, quam
planum &longs;ecat, &longs;exquialtera e&longs;t, cono qui ba&longs;im & axem eandem ha
bet. Ex quo patet, quod &longs;i portio conoidalis rectanguli & &longs;phæ
ræ medietas eandem ba&longs;im habeant & axem eundem, medietas
&longs;phæræ &longs;exquitertia erit conoidali portioni. Et &longs;i eiu&longs;dem rectan
guli conoidalis portiones ab&longs;cin dantur erit portionum propor
tio uelut quadratorum axium. Cuiuslibet &longs;phæroidis pars pla
no per centrum ab&longs;ci&longs;&longs;a dupla e&longs;t cono ba&longs;im & axem eadem ha
benti. Si autem non &longs;uper centrum erit proportio earum ad co
num ba&longs;im, & axem eandem habentem uelut coniunctæ ex axe al
terius partis & dimidio axis &longs;phæroidis ad axem alterius partis.
Demum proportio partis conoidis obtu&longs;i anguli plano ab&longs;ci&longs;
&longs;æ ad conum, ba&longs;im & axem eadem habentem e&longs;t ueluti lineæ, com
po&longs;itæ ex axe portionis & triplo adiectæ ad compo&longs;itum ex axe
portionis & duplo eiu&longs;dem adiectæ. Adiectam uocat hyperbolis
tran&longs;uer&longs;am. Omnis cylindrus cono triplus e&longs;t habenti eandem
ba&longs;im & altitudinem. Omnes cylindri coni &longs;phæræ &longs;unt in pro
portione corporum &longs;imilium planis &longs;uperficiebus contentarum.
Propo&longs;itio &longs;exage&longs;imanona, collectorum ex quatuor libris
Apollonij Pergei &
Si fuerit linea bifariam diui&longs;a, eique in longum alia addita, & rur
&longs;us alia detracta, fueritque totius cum addita ad eam, quæ addita e&longs;t
ueluti re&longs;idui ad detractam erit lineæ com
po&longs;itæ ex addita, & dimidia ad dimidiam Rur&longs;usque li
neæ compo&longs;itæ ex dimidio & re&longs;iduo dimidiæ ac detractæ ad li
neam compo&longs;itam ex addita & detracta ut re&longs;idui dimidiæ, & de
tractæ ad partem detractam. Et rur&longs;us totius compo&longs;itæ ad com
po&longs;itam ex dimidia & addita, uelut compo&longs;itæ ex addita, & diffe
rentia ad ip&longs;am additam. Velut &longs;it propo&longs;ita a b per æqualia diui&longs;a
in c, addita b d, & detracta b e, &longs;it proportio a d ad d b, ut a e ad e b,
dico e&longs;&longs;e, ut c d ad cb, ita ab ad c e. Et ut a e ad e d ut c e ad e b.
Etite
rum ut a d ad c d uelut e d ad d b. In parabole proportio partium
diametri ad uerticem terminantium duplicata e&longs;t proportioni li
nearum ab ei&longs;dem punctis ordinatim ductarum ad ip&longs;am &longs;ectio
nem. In hyperbole autem & ellip&longs;i & circuli circumferentia erit
quadratorum linearum ordinatim ductarum inter &longs;e uelut rectan
gulorum partium diametri ad eadem puncta terminantium. Et in
ei&longs;dem &longs;i à puncto peripheriæ contingens ad diametrum ducatur,
& ab eodem ordinata, erit ut partis diametri intercept&ecedil; inter extre
mum, & ordinatam ad partem inter ordinatam & peripheriam, ue
lut interceptæ inter extremum & contingentem ad interceptam
exterius inter finem contingentis & peripheriam. Et in ei&longs;dem
quadratum &longs;emidiametri æquale e&longs;&longs;e rectangulo ex intercepta in
ter centrum & ca&longs;um contingentis in inter ceptam inter centrum &
ca&longs;um ordinatæ à loco contactus productæ. Si parabolen recta
linea contingens ad diametrum perueniat, &longs;umptoque puncto alio
in &longs;ectione æquidi&longs;tans ab eo ducatur contingenti: & ab utroque
etiam ad diametrum ordinatæ, demum à uertice æquidi&longs;tans illis,
& à priore puncto diametro æquidi&longs;tans donec concurrant, erit
triangulus ex ordinata, & æquidi&longs;tante à &longs;ecundo puncto, & dia
metri parte contentus rectangulo ex prima ordinata & parte dia
metri inter uerticem & &longs;ecundam ordinatam contento æqualis.
Si in parabole contingente ad diametrum ducta ex alio puncto
ei æquidi&longs;tans ducatur ex ip&longs;a &longs;ectione, ubi iterum &longs;ecat &longs;ectionem/>
intercepta per æqualia diuidetur linea à puncto contingentis dia
metro æquidi&longs;tanti ducta. Idem uerò fermè continget ducta li
nea à centro in locum contactus, &longs;ecabit enim omnes contingenti
æquidi&longs;tantes in hyperbole, ellip&longs;i at que circulo. E&longs;t autem omne
centrum in medio diametri: diameter autem in circulo & ellip&longs;i il
las per æqualia diuidit intus enim e&longs;t: in contrapo&longs;itis inter uerti
cem, & uerticem po&longs;ita e&longs;t exterius utriu&longs;que contingenti ad per
pendiculum in&longs;i&longs;tens. In hyperbole autem exterius etiam adiacet,
ut in contrapo&longs;itis eadem & tran&longs;uer&longs;a uo catur: cuius terminus e&longs;t
punctus concur&longs;us cum latere trianguli, qui conum per axem diui
po&longs;&longs;unt, Recta appellabitur. Datarecta linea po&longs;itione, aliaque ma
gnitudine data & angülo parabolen, & hyperbolen, & ellip&longs;im,
& contrapo&longs;itas circa datam po&longs;itione tanquàm diametrum de
&longs;cribere tanquàm cono erecto, ut angulus ad uerticem &longs;ectionis
comprehen&longs;us &longs;it, & per rectam rectangulum æquale comprehen
datur quadrato datæ lineæ magnitudine. Si linea in duas partes
diuidatur, eique utrinque æquales lineæ adiun
gantur erit rectangulum ex partibus totius æ
quale rectangulis partium prioris lineæ, & ex
priore linea cum una adiecta in eam, quæ adiecta e&longs;t. Si hyperbo
len recta linea in uertice contingat, & utrinque ab&longs;cindatur, quan
tum e&longs;t, quod pote&longs;t in quartam partem rectanguli ex diametro
tran&longs;uer&longs;a hyperbolis, quæ exterius adiacetin eam, quæ recta dici
tur, ad quam, quæ ordinatim ducuntur, &longs;unt æquidi&longs;tantes lineæ,
quæ à &longs;ectionis centro ad terminos contingentis ducuntur &longs;emper
ip&longs;i &longs;ectioni magis appropinquabunt, nec unquam conuenient: &
ob id a&longs;ymptoton appellantur. Nec ullæ aliæ intra
inueniri poterunt. Vnde etiam intra
cemur hyperbolen cuius anguli latera &longs;int a&longs;ymptota. A&longs;ymptotis
duabus propo&longs;itis uni hyperboli, in finitas alías eidem a&longs;ymptotas
inuenire. Duabus rectis a&longs;ymptotis infinitas &longs;ubijci po&longs;&longs;e hyperbo
les illis rectis, & inter &longs;e a&longs;ymptotas. Cum in duabus &longs;uperficie
bus æquidi&longs;tantibus duo circuli æquales, quorum linea per cen
tra non e&longs;t ad perpendiculum earum infinitis planis &longs;ecantur, fiunt
in ip&longs;is lineæ à peripheria in peripheriam rectæ quæ corpus cylin
dricum claudunt quod &longs;calenus cylindrus appellatur: longè alius
ab eo, qui fit recto cylindro per duo plana æquidi&longs;tantia, &longs;ed non
ad perpendiculum po&longs;ita di&longs;&longs;ecto. nam eius extremæ &longs;uperficies
non circuli, &longs;ed ellip&longs;es &longs;unt. Si &longs;calenus cylindrus plano non æ
quidi&longs;tanti ba&longs;i, &longs;ed ita ut angulos interiores æquales faciat angu
lis ba&longs;is &longs;ectio circulus erit: uo caturque hæc&longs;ectio &longs;ubcontraria: nec
ulla præter hanc & ba&longs;i æquidi&longs;tantem &longs;ectio circulus e&longs;&longs;e pote&longs;t:
&longs;ed &longs;unt ellip&longs;es. Super eundem circulum, & &longs;ub eadem altitudi
ne ellip&longs;es &longs;imiles in cono & cylindro e&longs;&longs;e po&longs;&longs;unt, quæ ab eodem
plano fiant, docetque uel ba&longs;i uel cono uel cylindro, aut cono pro
po&longs;ito reliqua facere, quod e&longs;t ualde admirabile: cum ellip&longs;is cylin
drica &longs;emper æqualis &longs;it in utraque parte à diametro tran&longs;uer&longs;a
utrinque æqualiter di&longs;tante, conica uerò minor nece&longs;&longs;ariò &longs;it in &longs;u
periore parte uer&longs;us coni uerticem latior in inferiore, ubi partes a
diametro tran&longs;uer&longs;a æqualiter di&longs;teterint: ip&longs;&ecedil; autem non &longs;olum &longs;i
miles, &longs;ed unam per&longs;æpe in utri&longs; que e&longs;&longs;e uult. Sed & hoc Archime
des dicere uidetur: lineæ ductæ à uertice coni&longs;caleni ad perpendi
culum &longs;uper ba&longs;es &longs;ingulas omnium triangulorum per axem/> coni
tran&longs;euntium in peripheriam unius circuli cadunt.
Propo&longs;itio &longs;eptuage&longs;ima.
Si fuerint tres quantitates in continua proportione, aliæque toti
dem in continua proportione, poterunt con&longs;tituere tres quantita
tes in æquali differentia peruer&longs;im copulatæ.
Velut &longs;int a b c primi ordi
nis, & d ef &longs;ecundi, & &longs;it 28,
b 4, c 2, & d 2 1/4, e 1 1/2, f 1, tunc
iunctis a & e fit 9 1/2, & b & d b
1/4, & e cum f 3, at 3 & 6 1/4 & 9 1/2
æqualiter di&longs;tant, nam diffe
rentia e&longs;t 3 1/4. At &longs;i iungatur
cum e, & b cum f, & c cum d
idem poterit contingere: ut in
figura uides, nam a e e&longs;t 8 1/2,
p: <02> 1 1/4, & b f 7, & c d 5 1/2, m: <02> 1 1/4, & differentia b f ab utro que com
po&longs;ito, e&longs;t 1 1/2 p: <02> 1 1/4, qua excedit & exceditur. Dico modo, qua&longs;i
ex ordine coniungantur quale&longs;cun que proportiones fuerint, modo
non &longs;int ambæ æqualitatis 1, ut b iungatur cum c, & reliquæ ut li
bet, uelut a cum d, & c cum f, uel a cum f, & e cum d, nunquam fient
æquales exce&longs;&longs;us, nam de primo e&longs;t clarum: nam &longs;i a cum diun
gatur, & ambæ fuerint maximæ, maior e&longs;t differentia a ad b, quàm
b ad c, & maior etiam d ad e quàm e ad f, ideo maior erit differentia
a & d ad b e quàm b e ad c f, quod erat probandum. Eodem modo
&longs;ed laborio&longs;ius demon&longs;tratur reliquus modus &longs;cilicet, quod con
iunctio a f ad b e e&longs;t maior aut minor quàm b e ad c d, ex hoc&longs;e
quuntur corrolaria.
Primum, tres æquales quantitates non po&longs;&longs;unt diuidi in tres, &
tres quantitates in continua proportione ordinatè, ut dixi, ni&longs;i u
triu&longs;que ordinis tres, ac tres inuicem &longs;int æquales.
Secundum, tres quantitates in æquali exce&longs;&longs;u ordinate, ut dixi,
non po&longs;&longs;unt diuidi in tres, & tres quantitates, quæ &longs;int in eadem
proportione quantumcun que proportiones illæ duorum ordinum
fint diuer &longs;æ.
Tertium, tres quantitates, quæ &longs;intin eadem proportione non
po&longs;&longs;unt diuidi ordinate in tres ac tres, quæ &longs;int in continua propor
tione ni&longs;i &longs;int ambæ proportiones eædem cum proportione ip&longs;a
rum quantitatum.
Propo&longs;itio &longs;eptuage&longs;imaprima.
Proportionem leuitatis ponderis per uirgam torcularem attra
cti ad rectam &longs;u&longs;penfionem inuenire.
Sit torcularis uirga, cuius &longs;piræ a b per circui
tum &longs;int centuplæ ad altitudinem a b, & axis d c
&longs;emidiametro b c centupla, & quoniam per &longs;upe
rius a&longs;&longs;umpta, qualis e&longs;t proportio &longs;patij ad &longs;pa
tium, talis leuitatis ad
dens per a b leuius quam per b
&longs;imiliter cum circuitus b c, & d c &longs;int in eodem tem
pore, & circuitus d c, &longs;it centuplus ad &longs;piralem b c
per demon&longs;trata ab Euclide, ergo e erit centuplo
leuius circum ductum per d quàm b, &longs;ed per b circumductum cen
tuplo leuius e&longs;t, quàm per rectam, igitur e ponderat folum particu
lam ex decem millibus recti ponderis.
Propo&longs;itio &longs;eptuage&longs;ima&longs;ecunda.
Proportionem ponderis &longs;ph&ecedil;ræ pendentis ad a&longs;cendentem per
accliue planum inuenire
Sit &longs;phæra æqualis ponderig in pun
cto b, quæ debeat trahi &longs;uper b c accli
ue planum b e ad perpendiculum pla
ni b f. Quia ergo in b e mouetur a, qua
uis modica ui per dicta &longs;uperius, erit per
communem animi &longs;ententiam uis, quæ
mouebit a per e b nulla: per dicta uerò
a mouebitur ad f &longs;emper, a con&longs;tanti ui
æquali g, & per b c a con&longs;tanti ui æqua
li k, &longs;icut per b d a con&longs;tanti æquali h, ergo per ultimam petitio
nem, cum termini &longs;eruent, quo ad partes eandem rationem &longs;in
guli per &longs;e, & motus per b e &longs;it a nulla ui, erit proportio g ad k, ue
lut proportio uis, quæ mouet per b f ad uim, quæ mouet per
b c, & uelut anguli per e b f recti ad angulum e b c, & ita uis,
quæ mouet a per b f, & e&longs;t, ut dictum e&longs;t, g ad uim, quæ mouet
per b d, & e&longs;t h ex &longs;uppo&longs;ito, ut c b f ad e b d, igitur proportio dif
ficultatis motus a per b d ad idem a per b c, e&longs;t uelut h ad k, quod
erat demon&longs;trandum.
Propo&longs;itio &longs;eptuage&longs;imatertia.
Proportionem ponderum attractorum penes figuram in pla
no inuenire.
Sint duo pondera æqualia in plano a & b, & &longs;it
a &longs;uperficies qua planum tangit dupla b &longs;uperfi
ciei, qua planum tangit: dico quod &longs;i trahantur ab
imo, quod erunt æqualia: &longs;u&longs;pendantur, & erunt
æqualia ex &longs;uppo&longs;ito, &longs;ed a quie&longs;cens in plano e&longs;t
dimidium a &longs;u&longs;pen&longs;i, & b quie&longs;cens in plano e&longs;t di
midium b &longs;u&longs;pen&longs;i ex demon&longs;tratis &longs;uperius, igi
tur per communem animi &longs;ententiam a & b in pla
no &longs;unt æqualia.
Ex hoc manife&longs;tum e&longs;t, quod proportio uirium trahentium pon
dera in plano eadem e&longs;t, quæ ip&longs;orum ponderum dum &longs;u&longs;pendun
tur. Vbiplanum æquale &longs;it, & &longs;olidum.
Propo&longs;itio &longs;eptuage&longs;imaquarta.
Proportionem concutientis ad concu&longs;&longs;um &longs;tabili inuenire.
Intelligo concutiens e&longs;&longs;e &longs;olidum, quod non frangitur, idque gra
uitate, & impetu concutere, nam de duritie &longs;upponitur, & grauitas,
ut demon&longs;trabitur in corrolario e&longs;t iuxta &longs;uperficiem inferiorem
ponderi comparatam. Cum ergo motus concu&longs;sionis magnitudo
con&longs;tet ex grauitate, impetu & figura, concu&longs;si autem ex pondere
& connexione: multiplicatis inuicem partibus productorum pro
portio, erit proportio concu&longs;sionis: ut &longs;it grauitas decem, impetus
quadraginta: pondus icti centum connexio ut duo, ducemus qua
dragintain decem, & fient quadringenta, et duo in centum, fient du
centa, igitur concu&longs;sio erit dupla.
Cum fuerit figura rotunda, concu&longs;sio erit integra in puncto:
quia &longs;phæra iacens in plano totum pondus in punctum cogit.
Si autem planum e&longs;t, quod ijcitur, proportio totius ad totum e&longs;t
minor, quàm partis ad partem pro ratione quantitatis latitudinis.
&longs;ed maior ratione aëris comprehen&longs;i, de quo infrà.
Cum proportio minor fuerit &longs;tabile, non poterit in &longs;olido plano
moueri: aliter fieret motus à debiliore, & per præcedentem etiam
po&longs;&longs;et pari ratione eleuari.
Cumque &longs;tabile non mouetur, & omne agens agat aliquid nece&longs;&longs;e
e&longs;t, ut &longs;tabilis partes cedant, aut di&longs;&longs;oluantur. Quanto ergo magis
cedit, tanto minus di&longs;&longs;oluitur.
Cau&longs;æ igitur quæ alleuiant ictum, ne di&longs;&longs;oluatur, &longs;unt &longs;eptem le
uitas ictus, ponderis, fractura, mollities eius, quodicitur, mollities
eius, quod excipit ictum, motus eiu&longs;dem, & figura lata, & inæqua
lis. Durities ergo, quatenus fracturæ opponitur, aliud e&longs;t, quam ut
molliciei: & utra que e&longs;t cau&longs;a, quæ augetictum, ut reliquæ
oppo&longs;itæ minuunt, dicemus autem de his inferius.
Propo&longs;itio &longs;eptuage&longs;imaquints.
Proportionem immoti in aqua ad immotum in terra in excipien
do ictum inuenire.
Sit pondus a in terra æquale b eiu&longs;dem naturæ magnitudinis fi
guræ, & eodem in &longs;itu, quod &longs;it in aqua porrò a, &longs;i e&longs;&longs;et affixum ter
ræ oportet, ut conuellatur, aut di&longs;&longs;oluatur aut frangatur. Et clarum
e&longs;t, quod totum ictum excipit. Si uerò
affixum non &longs;it, euertitur, & tanto mino
rem partem excipit ictus, quanto faci
lior e&longs;t ad euer&longs;ionem. Vnde nata fabu
la de quercu, quæ cum immobilis e&longs;&longs;et,
& &longs;taret uento euer&longs;a e&longs;t, arundo flecten
do &longs;e, cecidit quidem, &longs;ed non e&longs;t eradi
cata. Sermo igitur e&longs;t de b in&longs;identi aqu&ecedil;
in comparatione ad a, quando excipit
plenum ictum. Cum ergo b tangitur, ex
cipit plenum ictum illo in&longs;tanti, &longs;ed quia
non excipitur ictus cedente materia, &
antequam materia cedat b mouetur loco, quia in&longs;idet aquæ, ergo
non excipit ictum. Proponatur ergo, quod moueatur b per c&longs;pa
tium in d tempore, & &longs;it, ut idem b ab e ui trahatur per idem &longs;pa
tium in eodem tempore ex loco directo ad eandem partem: qua
lis ergo proportio e ad b, & aërem, qui cum eo re&longs;i&longs;tit, talis propor
tio ictus f grauis puta in a ad ictum Y in b. Quia per demon&longs;tra
ta &longs;uperius proportio f ad a producitur ex proportionibus e ad b,
& a ad e, ergo diui&longs;a proportione f ad a per proportionem c ad b
exibit proportio ictus Y in a ad ictum Y in b quod erat demon
&longs;trandum.
Ex hoc patet, quod b quanto mollius, leuius, & &longs;trictius in imo,
& in tenuiore aqua, eo minus lædetur. Et quanto ictus lentior fue
rit etiam quod &longs;it grauius Y.
Propo&longs;itio &longs;eptuage&longs;ima&longs;exta.
Proportionem duorum mobilium &longs;ibi inuicem concurrentium
per rectam inuenire.
Iam cognito, quod mobilia, quæ loco mouentur per præceden
tes, &longs;ed omnino quie&longs;cunt integros excipiuntictus: alia quidem,
quæ concurrunt, non omnino re&longs;iliunt, alia uero re&longs;iliunt, & quæ
re&longs;iliunt minores excipiuntictus, &longs;equitur ut diuer&longs;a &longs;it compara
tio: nam erunt, quæ &longs;tando excipient ictus, & hæc integros ut mu
ri, & quæ concurrendo, nec re&longs;iliendo, ut equi cur&longs;u incitati: & quæ
&longs;tando, &longs;ed re&longs;iliendo, ut naues &longs;tantes: & quæ concurrendo, re&longs;i
liendo qúe ut naues uentis, & triremes ab impul&longs;u: bifariam ergo
contingit intelligi, quod proponitur. Sed in utroque etiam &longs;en&longs;u
uarietas e&longs;t: nam ut concurrit pars altera celerius, ita etiam magis
concutitur. Et ideo &longs;it, ut proportio ictùs &longs;it in comparatione ad
grauitatem duplá, & concurrant æqualiter, & &longs;int æquè grauia, &
neutrum re&longs;iliat, erunt in proportione quadrupla, & eodem mo
do &longs;i utrunque re&longs;iliat. At &longs;i diuer&longs;o impetu ferantur, ut dixi, tria
erunt præcipuè con&longs;ideranda grauitas &longs;eu pondus, impetus, & an
re&longs;iliat. Quanto enim grauiora fuerint, & maiore impetu agen
tur, & non re&longs;ilierint eo maiorem ictum recipient: quanto leuio
ra, & minore impetu, & magis re&longs;ilierint, minus lædentur. Sed &
in debilitando ictum con&longs;iderare oportet tria, quod re&longs;iliat, quod
diffugiat, quod circumuertatur: re&longs;iliunt naues, &longs;i ro&longs;tris concur
rant pleno ictu: &longs;i uerò non pleno ictu concurrant, &longs;ed diffugiant
hoc experimento compertum e&longs;t minimum e&longs;&longs;e ictum: &longs;i ro&longs;tro
tran&longs;uer&longs;um nauis feriatur medium, e&longs;t hoc.
Sit ergo ut a b nauis tangat ro&longs;tro b c &longs;ic ut
diffugiat, erit hypomochlium c, & &longs;i tangat
e f hypomochlium e&longs;t in d dupla, ergo e&longs;t c b
ip&longs;i d e, igitur ictus duplo minor excipitur à
c b quàm ef. E&longs;t etiam tempus longè maius,
quo excipit ictum ef, quàm b c: &longs;tatim enim di&longs;cedit b c occurrit que
alijs partibus, in c f autem impingit, & angulus a d c e&longs;t longè ma
ior recto, quàm a b f: ob hæc igitur longè maior e&longs;t ictus c f quàm
b c: uocant autem hoc declinationem.
Propo&longs;itio &longs;eptuage&longs;ima&longs;eptima.
Proportionem motus obliqui ad motum rectum in nauibus
inuenire.
Cùm uentus fertur ad puppim rectà, naui&longs;qúe gubernaculum di
tunc motus e&longs;t ueloci&longs;simus: fingamus autem, quod omnia ad
idem tendant præter uentum, qui non directus &longs;it ad puppim, &longs;ed
à latere, ut uides, & temo &longs;itin contrarium tantundem directus, &
&longs;upponamus pro nune, quod uelum &longs;it &longs;olum in anteriore parte
nauis, nam &longs;ecus e&longs;&longs;et nimis magna differentia,
quod nauis una ageretur tribus malis alia una:
Quæritur igitur proportio motus b c ad mo
tum d e: fiat ergo c f æqualis e g, ita ut f angulus
rectus &longs;it, & manife&longs;tum e&longs;t, quod h c maior e&longs;t
c f, cum ergo angulus f rectus &longs;it, quanto maior
erit angulus h c f, tanto maior erit proportio h c
ad c f, quod e&longs;t primum a, ińde noto angulo h c f
per ea, quæ tradita &longs;unt ab A&longs;trologis de &longs;inu &
arcu erit nota proportio c h ad c f, ideo ad e g
fiat ergo c k æqualis c h, igitur c k erit maior e g, &longs;i ergo perambula
bit æqualiter c, ut c h, erit temporis motus e g ad motum e f, ut c k
ad c f, igitur cum nota &longs;it c k, e&longs;t enim æqualis c h, erit temporis ad
tempus proportio nota. Quod autem in æquali tempore mouebi
tur nauis per c k & h c patet ex a&longs;&longs;umpto inferius declarando.
Propo&longs;itio &longs;eptuage&longs;imaoctaua.
Propo&longs;itionem nauis ad triremes quotuis concurrentes de
mon&longs;trare.
Sit nauis deferens pondus decuplo maius triremi, & con&longs;tat,
quod impul&longs;u æquabitur decem triremibus, ubi flante uento e
puppi æqualiter feratur in aduer&longs;um, quantum triremes ui homi
num. Sed quoniam triremes impediuntur à uento licet &longs;ine uelis
&longs;int, habent enim & ip&longs;&ecedil; malum, & uelum, &longs;ed exigua comparatio
ne nauium, ideo ictus ille multo ualidior e&longs;t ex demon&longs;tratis. Cum
uero uis illa &longs;imul &longs;it, liquet, 'quòd hoc in ca&longs;u ni&longs;i machinæ ob&longs;ta
rent una nauis mille po&longs;&longs;et obruere triremes di&longs;iunctas per tantum
&longs;patium inter &longs;e, quantum e&longs;t id, in quo nauis pote&longs;tuenti impul
&longs;um recipere. At impedimentorum maximum &longs;unt machinæ, quæ
in nauim collimant à lateribus, cum triremes quaquâ uer&longs;um &longs;e a
g ant, & ob id proram &longs;olam exponunt ictibus, in quam difficile
e&longs;t collimare, & &longs;i tangatur pars ea robu&longs;tior e&longs;t, nec periculum
euer&longs;ionis adeò in currit, ut à lateribus: nec enim adeò angu&longs;ta e&longs;t a
prora ad puppim nauis, quam à latere ad latus: his tot cau&longs;is mi
nus e&longs;t obnoxia machinis triremis, quám nauis. Sed & alia cau&longs;a
e&longs;t, quoniam nece&longs;&longs;e e&longs;t ut ob angulum laterum ad proram Secundum impe
dimentum e&longs;t à uento, &longs;i ualde obliquus &longs;it, nam ad rectum impul
&longs;um, multum debilitatur: aut &longs;i incon&longs;tans &longs;it, uiribusque remittatur. Tertium uerò &longs;i triremes inuicem connexæ &longs;int, ac &longs;e tangant, in
quas nauis dirigitur. Sed & hoc infrà demon&longs;trabitur nauim, ut le
uior fuerit facilius elabi, &longs;ed ut pondere magis onerata grauiores
ictus inferre: ob hoc triremem inuenerunt mediam maximi u&longs;us Galeonum uulgò uocant.
Propo&longs;itio &longs;eptuage&longs;imanona.
Proportionem medicamentorum purgantium inuicem de
clarare.
Scio, quàm multa concurrant, etiam per &longs;e ad purgationem mul
titudo humorum præparatio locus propinquus, &longs;ed nobis &longs;er
mo e&longs;t pari&longs;ub conditione, ut &longs;it dimidia uncia Ca&longs;siæ nigræ in tri
bus uicibus expurget libram humorum, & uelim &longs;cire ab una un
cia, quoties expurgabitur, & quantum. Dico, quod in &longs;camonio, &
agarico hæc ratio deprehendi pote&longs;t: in his autem medicamentis,
quæ magis leniunt, quàm à proprietate educant, ut e&longs;t ca&longs;sia nigra,
ratio hæc non ualet, quoniam feces quando que pro maiore par
te educuntur, ita ut etiam multiplicato medicamento de&longs;it, quod
educatur. Et quamuis humores iuxta proportionem trahat, cum
tamen feces proportionem non &longs;eruent, &longs;equitur: ut aggregati ad
aggregatum proportio non &longs;eruetur. At non e&longs;t facile po&longs;tmo
dum interno&longs;cere feces ab humoribus, quocirca uidetur propor
tio illa confundi. Quod &longs;i medicamentum leniens, fiat ob quanti
tatem purgans humores, ut de multa ca&longs;sia nigra, tuncnon pote&longs;t
a&longs;signari illa comparatio ni&longs;i ut e&longs;t medicamentum purgans. Et &longs;it
gratia exempli, primum ut grana &longs;ex &longs;camonij purgent aliquem
ter, & uncias decem bilis, dico iuxta rationem &longs;uprapo&longs;itam, quod
grana duodecim purgabunt iuxta proportionem duplam &longs;exqui
alteram, &longs;i duo grana nil purgant, &longs;ed commouent. æqualia enim
&longs;unt: ut quatuor &longs;int dupla, & &longs;ex tripla, & mouent ter, quia &longs;exqui
alteram habent proportionem ad exce&longs;&longs;um, igitur duodecim du
plam, & &longs;exquialteram ad quatuor, nam decem ad quatuor e&longs;t du
pla &longs;exquialtera, & purgabit &longs;epties cum nixu libras duas fer
me bilis. Vt comparatio fiat exce&longs;&longs;us ad uim, quæ re&longs;i&longs;tit eodem
modo. In ca&longs;sia ergo nigra &longs;i uncia
& duæ unciæ purgant ter, & libram unam bilis, tres unciæ duplam
duplum purgabunt, & duplo magis, id e&longs;t præter feces libras
duas bilis in &longs;ex uicibus.
Propo&longs;itio octuage&longs;ima.
Proportionem motus &longs;ecundum obliquum ad rectum in &longs;pa
tio declarare.
Hæc uídetur &longs;imilis &longs;uperiori cuidam propo&longs;itioni, &longs;ed tamen in
hoc differt, quoniam in c a &longs;upponimus nauim moueri, ut concu
tiat, hic autem iuxta motum &longs;olum: ut proponamus b nauim ferri
uer&longs;us a uento recto ex b in a: &longs;it autem uentus ex
cin a mouens nauim ex b in a: nòn enim moue
bit ut quidam putant in ratione c a ad b a: ut &longs;i ca
&longs;it &longs;exquiquarta ad b a, ut æquali impetu ex b &
c flante uento moueretur tardius per c a, quam
per b a, quia æqualiter ex &longs;uppo&longs;ito: ergo tanto
tardius c fertur in a, quam b in idem quanto lon
gior e&longs;t c a, b a igitur &longs;i b perueniet in a in qua
tuor diebus c perueniet in idem a in quinque
diebus. Hoc enim e&longs;t per &longs;e manife&longs;tum: &longs;ed non quærimus id, &longs;ed
ut uento c a æquali per c a ei, qui e&longs;t b a per b a, ubi b moueatur uen
to c a per b a, quanto tardius mouebitur. Mouebitur.
n.
tardius ad
a per b a, quam per c a, at per c a tardius, quam ex b in a per æqua
lem uim, ergo multo tardius ex b in a per c a uentum, quam per uen
tum ex b in a. Quærimus ergo compo&longs;itionem horum, ut &longs;it c
nauis, quæ debeat transferri ad a per uentum ex b, & &longs;equitur,
quod tardius, quam ex c per uentum ex c in a, & tardius ex b per
uentum ex cin a. Ergo malus, qui in prora e&longs;t conuoluto eo, qui
e&longs;t in puppi, ut etiam Ari&longs;toteles docet tantundem nititur ad re
ctum ex cin æquidi&longs;tantem locum ab a quantum c di&longs;tat ab con
tra temo, qui in puppi e&longs;t dirigitur ad h, & &longs;i ualidius &longs;it uentus e
tiam adiuuante temonem, &longs;eu contra nitente, quantum licet mo
bili pondere nauis ad id latus, premitur enim nauis, qua&longs;i &longs;ubmer
gi debeat, uento in aduer&longs;um premente, ut &longs;i uentus repente huic
contrarius exoriatur, Cum ergo uen
tus ex b feratur, æquidi&longs;tans c h, & c feratur per temonem in k, & ab
oppo&longs;itis æqualis actio &longs;equatur, imò tota impeditur, ex c in h fere
tur iuxta proportionem anguli, quem con&longs;tituit h c cum a c ad to
um rectum, Si igitur ex c in a debuit ferri in duodecim horis ob
cti pars, feretur ex c uer&longs;us a ad quantitatem b a in quatuorde
cim horis: igitur rur&longs;us quanta e&longs;t proportio c a ad b a tan
tum e&longs;t temporis, in quo fertur ex c ad a ad quatuordecim horas
per uentum b a.
Propo&longs;itio octuage&longs;imaprima.
Qualis &longs;it angulus, per quem pote&longs;t moueri nauis ad rectum
explorare.
Cum in præcedenti propo&longs;itione o&longs;ten&longs;um &longs;it angulum k c a
oportere e&longs;&longs;e æqualem angulo h c a, ut feratur, c in a uento c h, nec
tamen pror&longs;us, &longs;ed temo magis inflectit uer&longs;us k quam uentus co
git uer&longs;us h: &longs;icut contra maiori ui uentus dirigit ad h, quàm temo
ad k, ut nece&longs;&longs;e &longs;it nauim flecti ad k pondere, ideo &longs;i uentus e&longs;&longs;et
tran&longs;uer&longs;us periclitaretur, nece&longs;&longs;e e&longs;t, ut per omnes uentos, qui fe
runt ab ea, quæ ad perpendiculum &longs;uper c a, & &longs;unt quatuordecim:
&longs;ed quoniam, ut dixi, pondere adiuuante uis uenti minor fit, nece&longs;
&longs;e e&longs;t, ut per uentos debiliores feratur magis ab extremis, qui pro
pe perpendiculum &longs;unt: ita ut numerus omnium &longs;it, cum leui&longs;simi
fuerint, quatuordecim, cum uiolenti&longs;simi, tres tantum proprius, &
qui di&longs;tant trige&longs;ima&longs;ecunda parte totius circuli, id e&longs;t partibus un
decimi, cum quarta reliqui undecim, medij &longs;unt: ut tanto plures a&longs;
&longs;umi po&longs;sint à Nauclero, quanto molliores &longs;unt uenti, tanto pau
ciores, quo uiolentiores. Tutius autem fuerit in ualidis uentis diri
gere nauim per uentum proximiorem, quam per ip&longs;ummet, qui re
ctè tendit ad locum. Veluti tendat nauis ex a in b, uentus tendat in
cualidior, cumque magnus fuerit angulus c a b, ut potè dodrans to
tius recti, ut e&longs;&longs;et temo dirigendus ad &longs;extum uentum altrin&longs;ecus di
rigemus &longs;olum ad quintum, ut feratur in d, & hoc erit tanto cele
rius, & celerius feratur per a d & d b, quàm &longs;i nauis recta lata e&longs;&longs;et
ex a in b. in&longs;uper tutius.
Propo&longs;itio octuage&longs;ima&longs;ecunda.
Proportionem uelorum indagare.
Vela tribus in locis di&longs;poni &longs;olent dolo b, quod in prora con
&longs;tituitur, & in malo, qui ponitur in medio ratione, quæ inferius
o&longs;tendetur, &longs;ed non ad unguem, quia cum malus in anteriorem
partem à uento impellatur, &longs;i e&longs;&longs;et in medio, &longs;emper præmeretur
nauis in anteriorem partem, ex quo duo magna incommoda &longs;eque
rentur: primùm ut periculum &longs;ubiret, ne inuer&longs;a in anteriorem parSecundum ne pre&longs;&longs;a in parte anteriore dif
ficilius aquas di&longs;&longs;ecaret, & ob id longe tardiu, moueretur. Pro
pter hæc duo incommoda igitur malus etiam &longs;i unicus e&longs;&longs;et
(quod uulgati&longs;simum maloribus no&longs;tris |fuit) in parte magis
proræ proxima locabatur à gubernatoribus, ut e&longs;&longs;et qua&longs;i in trien
te à ro&longs;tro in be&longs;&longs;e à puppi: Rarum fuit, & memorabile, quod nunc
pa&longs;sim habet olim Antigoni
po&longs;tremum Epidromus ut ip&longs;a uoce intelligamus non fui&longs;&longs;e ue
lum in malo ip&longs;o medio, &longs;ed in puppi con&longs;titutum. Cau&longs;a Dolonis
inferius exponetur: quod autem e&longs;&longs;et paruum, & omnium mini
mum, ut nauis &longs;acile ab eo inuerteretur. Vnde etiam nunc minus
minime habent tam quantitate, quam etiam altitudine, quod uo
cant Trinehetum, &longs;olum enim &longs;u&longs;tinet nauim, quæ à uentis, uel un
dis mergi &longs;olet: ab undis ubi humilior e&longs;t, à uentis à lateribus, et an
teriore parte. Vnde humile, & exiguum uelum efficit, ut nauis ante
riore parte leuis, nec mergatur prona à uentis, nec aquas ea exci
piat, nec tamen impelli pote&longs;t nauis in &longs;copulos, nec euerti ob cau
&longs;as dictas: ob quæ in magnis tempe&longs;tatibus hoc ip&longs;o duntaxat uti
&longs;olent. Quod et&longs;i nimium &longs;æuierint, etiam illud demittunt, & &longs;i
fieri pote&longs;t, etiam malum ip&longs;am quamuis &longs;ine uelo &longs;it. Sed plerun
que circumuolutam, & implicatam &longs;olet antennam annexam, at
que &longs;u&longs;pen&longs;am habere. Sed & ne nauis pror&longs;um obruatur, quo
niam ea pars omnem uentorum uim excipere &longs;olet, & ut leui&longs;sima
&longs;it ijdem Gubernatores puppim multa arena, lapillis qúe onerant. Ergo uelocitas nauis à uentorum impetu, eorumqúe rectitudi
ne à uelorum magnitudine, & loco humiliore, aut &longs;ublimiore ha
betur: tum nauis leuitate, & forma. Quæ enim non merguntur ut
gatas appellat) qua&longs;i aquas innatantes cur&longs;u &longs;unt ueloci&longs;simæ. Et
longiores latis. Po&longs;t has &longs;unt, quæ carinam habent tenuem, ut fa
cile aquas diuidant. Vltimo loco, quæ qua&longs;i mediæ, ante quidem
tenues, pò&longs;t latiores ad uelocem cur&longs;um, & ferendum onera aptæ,
& humiles altis: & leui ex ligno. Sed nos de uelorum uarieta
te loquimur, non ea', quæ ad malos pertinet. Con&longs;tat enim me
dio loco plus mouere, quam in extremis, ut infrà docebi
mus. Antiquo enim tempore opus non fuit malorum mul
titudine, quoniam &longs;yderibus uias dirigebant ob id non ad
amu&longs;sim, quoniam linea dirigi non poterat maximè ob mo
tus obliquitatem in circulo ui&longs;us: ideò mali multi confu
&longs;ionem in cur&longs;u, & impedimentum in naui, maiu&longs;qúe pericu
lum attuli&longs;&longs;ent. At nunc inuenta pyxide, & lapidis Her
qua&longs;i cra&longs;&longs;a minerua depictum, & pote&longs;tate deformatum, ad amu&longs;
&longs;im contrahant. Motus ergo magnitudo non &longs;impliciter con&longs;tat,
&longs;ed comparatione &longs;uper&longs;iciei ueli ad uelum longitudine quidem,
ac latitudine conflata per multiplicationem. Altitudinis quo que ut
infrà exponetur. Ex quorum omnium ductu, qua&longs;i cubica, uel tri
plicata ratione, ut &longs;uperius o&longs;ten&longs;um e&longs;t, ratio uelocitatis motus na
uium conflatur.
Propo&longs;itio octuage&longs;imatertia.
Proportionem rece&longs;&longs;us à recta uia ad obliquitatem inue&longs;tigare.
Sit nauis in a itura in b (uentus rectus ad c, medius ad e) per
liquum
per a d, & &longs;int ad perpendiculum b e, b d quas con&longs;tat e&longs;&longs;e breui&longs;si
mas earum, quæ ad a c & ad a d. Queritur igitur quando uelocius
ferretur ad b, an cum per a c, c b, an cum per a d, d b,
an cum per a b &longs;impliciter. Et con&longs;tat quod a d & d b
longiores &longs;unt a b, i&longs;tud enim demon&longs;tratum e&longs;t ab
Euclide in primo Elementorum, dico modo a c, &
c b e&longs;&longs;e longiores a d & d b, nam quadrata a d & d b
& a c & c b &longs;unt æqualia quadrato a b per dicta ibi
dem, & ideo quadrata a c & c b &ecedil;qualia quadratis a d
& d b, &longs;ed a d e&longs;t longior a c, quia ducta c d angulus
d c a e&longs;t obtu&longs;us, igitur ad maiorem a c per decimam
nonam primi Elementorum: quare per communem
animi &longs;ententiam quadratum a d maius e&longs;t quadrato a c, quarerur
&longs;us per communem animi &longs;ententiam quadratum c b maius e&longs;t
quadrato d b. Cum ergo quadrata a d & d b æqualia &longs;int quadra
tis a c & c b, & a d &longs;it maior a c & c b maior d b, &longs;equitur per nonam
&longs;ecundi Elementorum, quod a c & c d &longs;int maiores a d & d b pari
ter acceptis. Si ergo maior fuerit exce&longs;&longs;us quàm proportio motus
per temonem cohibiti, ut &longs;upra ui&longs;um e&longs;t, tardius mouebitur per
a d, d b quàm a b per a c, c b quàm per a d, d b, &longs;ed &longs;i contrà maior &longs;it
proportio motus cohibiti à temone ad motum liberum quàm ex
ce&longs;&longs;us ad exce&longs;&longs;um uelocius mouebitur per a d d b, quàm per a b,
& per a c quàm per a b. Accedit huc e incommodo longioris uiæ,
quod uento a c non poterit ferri nauis ex c d in b, quoniam antea
ægre ferebatur: & nunc ægrius per c b quàm a b, plus enim di&longs;tat
uentus a c ab itinere c a quàm à uento a b, ut ui&longs;um e&longs;t &longs;uperius, igi
tur multo melius e&longs;t (ni quid ob&longs;tet) ire per a b quàm per
uiam: ni&longs;i &longs;tationes &longs;int in c d, uel periculum immineat in a b. Vbi ta
men uenti &longs;ecundarent, tantum e&longs;t uirium in recto cur&longs;u, & æquali
c b in b quam per ip&longs;am a b, quod fuit propo&longs;itum declarare.
Propo&longs;itio octuage&longs;imaquarta.
Di&longs;tantiam centri terræ à centro mundi per motum lapidis Her
culei declarare.
Non me later Ari&longs;totelem exi&longs;timare centrum mundi e&longs;&longs;e cen
trum terræ illudque proba&longs;&longs;e, quod tamen ex demon&longs;tratione no&longs;tra
mathematica apparet nunc&longs;ubijciam, & quid ad illius rationes di
cendum &longs;it, aliâs etiam dicendum erit: nam liber hic, ut mathemati
ca decet, e&longs;&longs;e debet ab omnibus contentionibus ab&longs;olutus. Con
&longs;tat &longs;anè non e&longs;&longs;e propriam uim lapidis illius, ut qui non &longs;it circum
&longs;criptus &longs;ed fru&longs;tulum quoduis id pote&longs;t, neque per &longs;e, &longs;ed in ferro &
pendulo, nec fieri pote&longs;t, ut &longs;it illius
&longs;ed qua&longs;i perfectæ portionis cuiu&longs;dam generis terræ, quæ ab&longs;olu
ta &longs;it, cuius indicium e&longs;t illius copia, neque enim ullibi non inuenitur,
& ubi ferrum effoditur, ut in Ilua In&longs;ula Tyrrheno mari, e&longs;t ergo fer
ri uis terræ maritæ, quæ perfecta in &longs;uo ge
nere, ubi uim fœcundam acceperit à ma&longs;cu
lo &longs;cilicet Herculeo lapide, quærit primum
ut de&longs;cendat, ubi hoc non po&longs;sit
rit, ut quie&longs;cere po&longs;sit. Vt ergo quie&longs;cat à
motu cœli qui e&longs;t ab Oriente in Occiden
tem iuxta axis cœli &longs;itum &longs;e dirigit, quod
ille &longs;olus quie&longs;cat in &longs;uo motu, uel &longs;altem
tardi&longs;simè moueatur: indicio e&longs;t quod &longs;i
extra &longs;itum illum acus ferrea imbuta eo lapide ponatur, &longs;tatim tre
mit uchementer, adeò ut nec momento ullo con&longs;i&longs;tat, &longs;ed mi&longs;erè &
grauiter torqueri uideatur, non ergo quod &longs;entiat polorum locum
qui tantum abe&longs;t ab illa, ut nec ab homine perito mathematicarum,
&longs;ed quod uix illa cœli &longs;entiatur circa centrum mundi. Cuius indi
cio e&longs;t Oceani maris, aquarum fluxus & refluxus. Duos ergo ha
bet motus terra perfecta, &longs;eu ferrum lapide Herculeo
ordinatos imperfectum perfecto: perfectus e&longs;t, ut de&longs;cendat ad cen
trum terræ, ut ibi quie&longs;cat: imperfectum, cum à perfecto prohibe
tur, ut quie&longs;cat &longs;altem extra centrum cum in clinatione ad centrum,
et hoc fiet &longs;i &longs;ecundum longitudinem acus dirigatur per axem mun
di, cum &longs;itu tamen de&longs;cen&longs;ui ad terræ centrum proximiore, ut &longs;æpi
us &longs;uperius declarauimus, dum de motu grauium & præcipuè li
bræ, & centro grauitatis loqueremur. Quibus demon&longs;tratis tum
experimento tum ratione à Fortunio Affaytato Cremonen&longs;i Me
dico, cum per hæc po&longs;tmodum cogeretur fateri acum ad polum
uem partibus, &longs;eu decima parte unius recti in centro terræ, quæ e&longs;t
quadrage&longs;ima totius ambitus cœli. Statuatur centrum mundia, &
b a c axis, &longs;ecundum quam mouetur motu diurno, ital a dextra exit
oriens, k a &longs;ini&longs;tra occidens, & &longs;tatuatur d centrum terræ, &longs;eu &longs;uprà
&longs;eu infrà, non tamen in linea b c, &longs;ed uel &longs;uprà in dextra parte, uel in
frà in &longs;ini&longs;tra, ita ut ducta linea per illud punctum arcus b g &longs;it no
uem partium. Con&longs;tituta ergo acu in e puncto, ubilinea h ad g &longs;ecat
peripheriam terr&ecedil; dico, quod acus dirigetur per h g, & non per b c,
nam acus mouetur ad centrum per eam, & in eo &longs;itu tota dirigitur,
quia omnes partes grauis con&longs;entiunt in motu principij grauitatis
ad centrum, hoc enim demon&longs;tratum: nixus ergo e&longs;t ut moueatur
per c d, & in eo nixu qui e&longs;t quies cu&longs;to dit lineam axis, quæ e&longs;t a b,
ut quie&longs;cat, ergo non quie&longs;cet, ni&longs;i in linea d g, quod erat demon
&longs;trandum. Quæ autem &longs;equuntur ex his corrolaria omnia concor
dant cum experimentis. Ergo hic &longs;ermo e&longs;t demon&longs;tratiuus, ut e
nim bene dixit Auerroes: Sermo demon&longs;tratiuus &longs;atisfacit omni
bus problematibus quæ Ex
hoc ergo patet, quod angulus di&longs;tantia d ab a in latitudine e&longs;t de ci
ma pars recti, et quod quanto magis di&longs;tatin longitudine centrum
terræ à centro mundi, tanto etiam minus di&longs;tatin latitudine. Hæc
enim &longs;unt demon&longs;trata clarè in mathematicis. Vnde fieri po&longs;&longs;et
quod hæc quantitas di&longs;tantiæ e&longs;&longs;et res, per quam exigua etiam &longs;i
non e&longs;&longs;et maior quatuor digitis &longs;ufficeret, modo etiam per ualde
paruum &longs;patium di&longs;taret ab eodem in longitudine. De cau&longs;a au
tem huius differentiæ aliâs dicendum erit, hiclo cus non e&longs;t, &longs;ed &longs;uf
ficit &longs;cire quod ita &longs;it, quod &longs;i mobilis &longs;it punctus d, clarum e&longs;t ali
quando futurum ut minus di&longs;tet g à b, aliquando ut &longs;it idem. Et
quali&longs;cunque motus &longs;it, nece&longs;&longs;e e&longs;t eam di&longs;tantiam uariari.
Propo&longs;itio octuage&longs;imaquinta.
Proportio ponderis unius grauis ad aliud &longs;ub eadem men&longs;ura
e&longs;t, ueluti eiu&longs;dem ad differentiam ponderis ua&longs;is repleti ex altero
graui, & ex ambobus detracto priore.
Sit aurum a, & liquor b, quæ repleant uas c, &
pondus amborum &longs;it librarum quadraginta, &
uas repletum liquore &longs;olo &longs;it librarum xxix, au
rum autem &longs;it ponderis librarum xij, igitur reli
quum erit ponderis xxviij, differentia ergo ua
&longs;is pleni, & non pleni liquore e&longs;t libra una, pon
dus auri e&longs;t librarum duodecim: dico quod au
ri pondus e&longs;t duode cuplum ponderi liquoris, &
retur quod pondus liquoris e&longs;&longs;et xxvij, & quia plenum uas &longs;uppo
nitur e&longs;&longs;e librarum xxix, e&longs;&longs;et differentia libræij, at auri pondus e&longs;t
libræ xij, igitur proportio ponderis auri ad liquorem e&longs;&longs;et &longs;excu
pla. Nam &longs;i uas plenum liquore ex &longs;uppo&longs;ito e&longs;t librarum xxix, &
cum auro xl, gratia exempli, & auri pondus e&longs;t xij, igitur liquoris
pondus e&longs;t xxviij librarum: &longs;ed cum liquor &longs;it corpus &longs;imilium par
tium, igitur loci ad lo cum, ut ponderis ad pondus, ergo dum ade&longs;t
aurum, liquor occupat xxviij partes cxxxix, totius ua&longs;is igitur au
rum continet unam partem tantum, & cum aurum pondus habeat
librarum xij, & liquor unius: quia totum uas cxxxix librarum dum
e&longs;t plenum, & e&longs;t diui&longs;um in xxix partes, igitur pondus unius par
tis liquoris e&longs;t una libra, igitur pondus auri e&longs;t duode cuplum ad
pondus liquoris quod fuit propo&longs;itum.
Ex quo &longs;equitur quòd &longs;i ducatur pondus illud partis per pon
dus repleti ua&longs;is ex alio graui, & productum diuidatur per differen
tiam illam, prodibit pondus ua&longs;is repleti liquore graui.
Exemplum, &longs;i pondus auri fuerit librarum xij, pondus ua&longs;is re
pleti liquore xxix librarum, pondus auri & liquoris replentium
uas xxxix librarum, ducemus xij in xxix fit cccxlviij, diuido perij
differentiam xxvij ponderis ua&longs;is, repleti ex ambobus detracto au
ri pondere, & xxix ponderis ua&longs;is repleti liquore exit clxxiiij, & tan
tum auri uas illud continebit, nam cum duæ partes quas occupa
bat aurum e&longs;&longs;ent ponderis librarum xij, totum quod erat partium
xxix, continebit decies & quater cum dimidio illud aurum xij, aut
ductum in xiiij cum dimidio, efficit cclxxiiij ut prius.
EXEMPLVM.
Quia ergo in &longs;uperiore propo&longs;itione docui, quod ferrum e&longs;t ue
ra terra: uolui &longs;cire qualis e&longs;&longs;et proportio ferri ad aquam. Accepi ur
ceum cuius aqua dum plenus e&longs;&longs;et ponderis, fuit unciarum &longs;ex, &
&longs;eptuncis unciæ, & &longs;eptuncis duodecimæ partis unciæ & pondus
ferri unciæ &longs;eptem, & triens unciæ & triens duodecimæ partis un
ciæ: & ua&longs;is aqu&ecedil; & ferro eodem repleti unciæ tredecim, & duode
cima & &longs;eptunx duode cimæ partis unciæ. Detrahemus ergo vij &
trientem & trientem duodecimæ. i.
7 & 64/144 pondus ferri ex 13 19/144, &
relinquentur 5 99/144, detrahe ex 6 81/144, pondere aquæ totius ua&longs;is relin
quuntur 17/18, diuide 7 64/144 per 17/18 exit proportio ponderis ferri ad pon
dus aquæ 7 15/17. Ethoc e&longs;t proximum ei quod dixit Philo&longs;ophus de
proportione ponderis terræ & aquæ.
Ex hoc patet &longs;olutio problematis cuiu&longs;dam propo&longs;iti aliasque mi
nus bene &longs;oluti cùm cau&longs;am habeat manife&longs;ti&longs;simam, &longs;cilicet quod
funditur, non quod quicquam ab&longs;umatur in metallo, &longs;ed cau&longs;a e&longs;t
quod cum aurum &longs;it duplum pondere ferro, erit ex demon&longs;tratis
&longs;ex decuplum ad pondus aquæ. Igitur cum &longs;it proportio ponderis
auri ad differentiam &longs;patij eadem, &longs;i &longs;it uas aquæ ponderis libræ
unius & mediæ, erit pondus totum xxiij unciarum, igitur aqua de
ficiet &longs;olum ex decimaoctaua parte &longs;eu cre&longs;cet ex impo&longs;itione auri,
&longs;ed illa pars in tumore aquæ ab&longs;umitur,
dum aureos imponimus plana &longs;olum &longs;it, &longs;ed quia non ex
quauis rotunditate defluit, aliter in urceo tam exiguo
non po&longs;&longs;et apparere rotunda: quod enim rotunditas to
tius terræ, quæ etiam planam o&longs;tendit totam unam re
gionem ad rotun ditatem quæ apparet in exiguo urceo
aquæ. E&longs;t igitur rotunditas illa potius ob lentorem aqu&ecedil; qui auge
tur à lentore argenti, & etiam magis auri, cum &longs;en&longs;u digitorum per
cipiatur.
Ex hoc apparet ratio quomodo Archimedes potuerit deprehen
dere coronam à Hierone propo&longs;itam quantum auri & argenti con
tineret. Sit ergo uas a b aqua
cum libra auri &longs;it ponderis unciarum quadraginta unius, & cum li
bra argenti ponderis unciarum quadraginta cum dimidio, igitur
erit auri pondus ad aquæ pondus duodecuplum, argenti autem
ad idem octuplum, quare auri ad Ponamus ergo quod corona impo&longs;ita ex auro & argento &longs;olo fa
bricata (hoc enim &longs;upponere oportet) fuerit un ciarum &longs;exaginta,
pondus autem aquæ content&ecedil; cum corona in ua&longs;e unciarum uigin
tiquatuor cum dimidio, &longs;cilicet totum octuaginta quatuor cum di
midia, erit ergo proportio ponderis coronæ ad pondus aquæ, ut
cxx ad xi, aurum igitur e&longs;t proportione duodecuplum, argentum
autem octuplum, corona ut cxx ad xi. Con&longs;tituantur &longs;ub ei&longs;dem ra
tionibus ducen do lxxxviij. cxx.
cxxxij.
hoc e&longs;t ac &longs;i dicamus, accipe
partes ex cxxxij & lxxxviij, tot ut faciant integrum & componant
cxx. Et ideò reduces ad minores numeros, &longs;cilicet xxxiij.
xxij.
et xxx.
& operaberis per regulam de con&longs;olatione monetarum, quas po
nemus infrà, & fient auri partes octo & argen
ti partes iij, nam cum duxeris iij in octo pon
dus argenti fiet xxiiij, & cum duxeris viij in
xij, pondus auri fiet xcvi, igitur totum pon
dus erit cxx, diuidendum per xi, aggregatum
partium auri & argenti, ita uero uncia ad unciam, ut tota corona mi
&longs;ta ad coronam puram auri & argenti.
Ex hoc etiam patet modus
inuicem per &longs;olam aquam, uelut auri ad plumbum, ad lapides uel
æs, aut æris ad lapidem & &longs;imilia, ut in præcedenti operatione de
prehendi&longs;ti: nam cum &longs;it nota proportio auri ad aquam & æris uel
lapidis ad eandem, erit auri ad æs uel lapidem nota.
Et &longs;imiliter &longs;ciemus per hoc accipere partes diuer&longs;orum, qu&ecedil; iun
ctæ faciant con&longs;titutum pondus. Velut uolo facere ma&longs;&longs;am ex mel
le & aqua, quæ impleat uas, quod mellis contineat
quindecim, aquæ duodecim, uolo ut contentum &longs;it
ponderis quatuorde cim, operabor, ut in
nibus
uides in operatione à latere.
Propo&longs;itio octuage&longs;ima&longs;exta.
Si circuli in æquales, &longs;eu in &longs;phæra, &longs;eu in plano &longs;e &longs;ecuerint nun
quam oppo&longs;itos angulos æquales habent.
Capiantur tres quartæ cir culorum magnorum a b, a c, b c, & alia
b d ad rectos angulos
parallelus, erit ergo e f æqualis e g, & f e æqualis f g, &longs;ed ba&longs;is c g e&longs;t
quarta circuli, & ba&longs;is c b dimidium quartæ
circuli eo quod tota b a e&longs;t quarta circuli, igi
tur per modum 25 primi Elementorum quæ
tenet, erit angulus c f g maior oppo&longs;ito c f b. Hoc autem tenet in eiu&longs;dem rationis &longs;uperfi
ciebus, quales &longs;unt hæ, quæ &longs;unt &longs;uperficies eiu&longs;dem &longs;ph&ecedil;ræ. po&longs;&longs;et
etiam demon&longs;trari per modum quartæ primi Elementorum. Et eti
am con&longs;tituta &longs;phæra e f g, cuius hic circulus e&longs;&longs;et maior circulus, &
non tangeret ni&longs;i in illa linea &longs;phæra maiorem, & utrin que &longs;ecaret eo
dem circulo. Et etiam per cordas & trigonos rectilineos, auxilio
Ex hoc &longs;equitur auxilio regulæ dialecticæ,
quod in omnibus parallelis a c d & e f g cum b c circulo
maiore, & per aliam regulam dialecticam in omnibus cira
culis inæqualibus inter &longs;e ad æquales angulos &longs;ecanti
bus & ex tertia demum regula dialectica, &longs;equitur in o
mnibus circulis in æqualibus &longs;e &longs;ecantibus ad quemuis
angulum in &longs;phæræ &longs;uperficie. Sunt autem hæ regulæ mediæ inter
axiomata & demon&longs;trata. Et ex logica propria illi arti.
In plano au
tem &longs;patium d b c minus e&longs;t a b c, &longs;ed &longs;patium c b d e&longs;t unum, ergo
per communem animi &longs;ententiam &longs;patium a b d, maius e&longs;t &longs;patio
c b c, quod fuit probandum.
tij
Propo&longs;itio octuage&longs;ima&longs;eptima.
Proportionem cra&longs;sitiei aquæ ad aërem in comparatione ad ra
dios demon&longs;trare.
Sit in aheno a b c d in imo e dena
rius argenteus cera affixus uel cla
uo, quem uideat ex h impo&longs;ita aqua
clara u&longs;que ad f, uideat ex k, igitur per
aquam deflectitur à perpendiculo
per angulum k f n, & in l, per angu
lum l g o cre&longs;cente aqua demum in
labro m a p, & &longs;it e annexus, & tabu
la h k l m &longs;it affixa &longs;olo uel pondere
firma foraminibus obliquis infrà
&longs;pectantibus, & per a a&longs;picientibus extremitatem e. Po&longs;&longs;umus ergo
imaginari primum, quòd omnes inclinationes &longs;int à perpendicu
lari, dum exit aqua, & ita denarius uideretur, uel in &longs;uperficie aquæ
in directo e, uel in recta ex oculo in imo, quorum neutrum uerum
e&longs;t. Secundus modus e&longs;t, ut radius delatus e a flectatur ad k uell, &
hoc non quia in a non e&longs;t mutatio medij. Tertius e&longs;t, ut linea ex ocu
lo ducta perueniat per punctum a ad &longs;uperficiem aquæ, & ex ea
per directum ad denarium, & tunc quia oculus iudicat &longs;e uidere
per rectam, ideo iudicabit &longs;e uidere per l a g in q, eo quod &longs;emper in
directo loci in quo e&longs;t e. At quoniam non ex qua cunque di&longs;tantia ui
detur e, &longs;ed ex longinquiore loco, ubi uas fuerit humilius quod li
neæ ad a ex oculo, quanto a fuerit humilius, tanto propius ip&longs;i e
procedunt. Et uer&longs;a uice lineæ ex e ad a, quanto e e&longs;t humilius ad
quencunque locum inflectuntur, tanto inferius Ergo cum fue
rint ad æquilibrium h, magis di&longs;tabunt ab e, & ita e magis procul
uidebitur. Cau&longs;a ergo triplex e&longs;t humilitas, uel altitudo ua&longs;is: humi
litas uel altitudo aquæ: & labri ua&longs;is altitudo. Sed han crelinquere
po&longs;&longs;umus. Difficultas ergo experimenti etiam rectè facti e&longs;t, quo
niam po&longs;ito ua&longs;e n c d &longs;olum, ut altitudo &longs;it tantum n e, procul ma
gis uidebitur e, quàm &longs;i uas &longs;it a b c d, & totum plenum. Vbi autem
uas fit a b c d, magis procul uidebitur e cum &longs;uerit totum plenum,
quam cum fuerit plena &longs;ola pars n c d. Sic difficile e&longs;t con&longs;iderare
an altitudo aquæ faciat ad ui&longs;ionem procul, cum in humiliore, &longs;ed
di&longs;sipari ua&longs;e longius uideatur in pauca, quia labrum non ob&longs;tat:
in eodem autem longius in pluri aqua, quia labrum etiam non ob
&longs;tat, &longs;ed alia ratione. Vt ergo uideamus hoc experimentum, capie
tudinis & latitudinis, & collo cabimus ita ut p n radius æquidi&longs;tet
f e, & collo cabimus tabulas cum foraminibus, ut prius, & g f p q
in æquilibrio, in de uidebimus, an q p &longs;it æqualis aut breuior, nam
longior e&longs;&longs;e non pote&longs;t, quoniam inflectitur a minore aqua, ideo
angulus p h q non pote&longs;t e&longs;&longs;e maior f a g, &longs;uppo&longs;ita p h æquali a f:
quod &longs;i non e&longs;&longs;et, &longs;ufficeret, ut q & p e&longs;&longs;ent in æquilibrio uno, & f g
alio. Sed ueritas e&longs;t quod à maiore aqua maior fit reflexio: tum
quia in his, quæ &longs;unt &longs;ecundum naturam corpoream, & &longs;ub&longs;tan
tiam den&longs;am, aut tenuem uarietas quantitatis uariat uires: tum
quia uidemus, quod in altiore aqua denarius uidetur magis cum
fundo elatus. Igitur his cognitis experimentum fiat cum ua&longs;e ple
no. Et (ut dixi) con&longs;iderabimus proportionem anguli f a g ad far,
&longs;eu f e c quæ &longs;anè e&longs;t no tabilis: adeò ut &longs;it maior proportio aquæ ad
aërem comparatione grauium quàm lucis.
Ex his cogno&longs;cemus comparatione eiu&longs;dem aquæ tenuitatem
aëris unius regionis in comparatione ad aërem alterius: nam ubi
remotius uidebitur denarius, ibi aër erit tenuior.
Et per idem in eadem regione comparationem aquarum.
Nam
cum &longs;it idem aër, & uas, ac reliqua paria, ubi magis procul uidebi
tur denarius, aqua erit cra&longs;sior ideò deterior.
Se quitur etiam quòd omnes res propiores in aqua uidentur,
quam &longs;int, & ideò maiores: & ob id etiam omnis aqua profundior
e&longs;t, quam uideatur. Vtingredi per&longs;æpè &longs;it periculo&longs;um.
Propo&longs;itio octuage&longs;imaoctaua.
De in&longs;trumento
momentorum.
In&longs;trumentum Acolingen, quo momenta temporum deprehen
dantur fabricare.
Et quoniam motus naturales fiunt in tempore: & dicuntur ue
lociores, uel ob &longs;patium loci magnum, quod &longs;uperatur, uel ob tem
poris breuitatem in uelo ci&longs;simis motibus, quod ad &longs;patia attinet,
facilius digno&longs;cuntur uelociores, quoniam &longs;patium maius & ma
net, ut men&longs;urari commodè po&longs;sit: &longs;ed quòd ad tempus, quanto tar
diores, quoniam in uelo cibus quantitas temporis e&longs;t exigua: & e
tiam tempus ip&longs;um perpetuò diffluit: ideò difficillimè deprehen di
pote&longs;t. Huius cau&longs;a exco gitauimus in&longs;trumentum, quod uo caui
mus Acolingen: quod con&longs;tat tribus rotis: prima e&longs;t pedum duo
decim diametri, in ambitu autem habet denticulos ccclx æqua
les, & æqualiter inter &longs;e di&longs;tantes, huius peripheriæ funis cum pon
deribus in&longs;eritur, ita ut cum alijs duabus rotis renitentibus in una
hora circumagatur æqualiter. Duodecim ex his denticulis curru
lis duode cim denticulorum axis &longs;ecundæ rotæ in&longs;eritur: &longs;ic ut cum
rota magna duode cim conuer&longs;a fuerit partibus, &longs;ecunda rota cu
ius axis &longs;it pedum duorum, &longs;cilicet &longs;excuplo maior circumuerta
tur. Huius minoris ambitus diui&longs;us &longs;it in cxx partes æquales, &
unicuique parti denticulus in&longs;ertus &longs;it: ita hæc rota tricies in una
hora conuertetur. Singulis uerò denticulis currulis axis rotæ ha
bentis denticulos quatuor in&longs;eratur, ita ut dum &longs;ecunda rota uer
titur &longs;emel minima circumuertatur tricies: nam pro &longs;ingulis qua
tuor denticulis, quibus media rota cir cumagetur, minima tota cir
cumuertetur, ideoqúe nongenties in una hora. Hæc minima ro
tula be&longs;&longs;em pedis in dimetiente habebit, ut &longs;it &longs;exta pars illius, in
ambitu autem diui&longs;a erit in xl partes, ut cum circumuer&longs;a fue
rit nongenties in una hora pertran&longs;ierit partes xxxvi. Et cum
pul&longs;us hominis communis &longs;int in hora <23>, uel circa nouem partes
ex his rot&ecedil; minoris perficient circiter unam pul&longs;ationem ex dia&longs;to
le & &longs;i&longs;tole, &longs;eu ex di&longs;tentione & contractione perfectam: ut partis
unius conuer&longs;io fiat in nona parte, uel circa unius pul&longs;ationis pul
&longs;us humani: & hoc e&longs;t minimum fermè, quod ab humano &longs;en
&longs;u percipi po&longs;sit. Erit etiam proportio rotarum eadem tam in dia
metris, quàm circuitibus &longs;cilicet &longs;excupla, neque motus diffor
mis, quoniam maior tanto tardius mouebitur, quanto quod ue
locius mouetur etiam minus erit, tamen proportio uelo citatis ma
ioris ad minorem in æqualibus &longs;patijs uigintiquin cupla, ut ma
ioris ad mediam quintupla, nam cum &longs;it &longs;excupla in ambitu,
& tricies moueatur uelocius comparatione totius, &longs;equitur, ut
proportio &longs;patij, quod &longs;uperabit media ad &longs;patium, quod &longs;u
perabit maior in ei&longs;dem temporibus, erit quintupla, &longs;emper ad un
guem. Et ita mediæ ad minorem quintupla, & ideò maioris ad
pcriculo&longs;a, ut in rotis moletrinis, & &longs;it diui&longs;a per medium iuxta
proportionem, cum &longs;it tanto uelo cior minor media, quanto media
maiore. Rur&longs;us proportio partium maioris ad mediæ partes tripla
e&longs;t &longs;cilicet ccclx ad cxx, & mediæ ad
portio e&longs;t &longs;excupla, iterum igitur partes maioris ad mediam, & me
diæ ad minorem erunt in dupla proportione, utrobique, & e&longs;t pul
chrum. Ideò partes etiam minimæ rotæ erunt &longs;atis magnæ: nam
cum diameter &longs;it bes pedis, ambitus peripheriæ erit duorum pe
dum. 1. unciarum uigintiquatuor: igitur diui&longs;a peripheria in xl par
ter, unaquæ que pars erit maior dimidia uncia.
SCHOLIVM.
Et cum defuerit in&longs;trumentum, utemur men&longs;ura expul&longs;u homi
nis de&longs;umpta, &longs;ed non e&longs;t adeò exacta. Accedit aliud commodum,
quòd cum in una hora circumuertantur partes xxxvi, id e&longs;t triginta
&longs;ex mille: & octauus orbis circumuertatur in totidem annis, tot
erunt momenta ex his in una hora, quot anni in uno circuitu &longs;tella
rum fixarum. Vtintelligamus, quàm breui tran&longs;it una hora apud
nos, ita apud Deum, utita dicam (nam nulla in infinito proportio)
unus annus magnus, & reditus rerum omnium. Comparata etiam
rota minima ad rotam moletrini &longs;ic &longs;e habet, quòd cùm modica ad
e&longs;t, uer&longs;atur rota in una pul&longs;atione: cum &longs;atis abundans quinquies,
aut &longs;exies cum immodica duo decies.
Ex hoc &longs;equitur, quod homo &longs;i moueretur uelo citate motus ro
tæ moletrinæ in &longs;ex eb domadibus perueniret ad &longs;ydus Lunæ, nam
rotarum earum, quibus ferrum acuitur &longs;emidimetiens communi
ter e&longs;t bes unius pa&longs;&longs;us, ideò dimetiens pa&longs;&longs;us cum triente: ambi
tus ergo quatuor pa&longs;&longs;us, & xxi pars, colligamus nunc integra, in
uno ictu pul&longs;us circumagitur decies, id e&longs;t pa&longs;&longs;us xl, in hora &longs;unt
<23> pul&longs;ationes: in hora igitur &longs;patium pertran&longs;itum e&longs;t cxl pa&longs;&longs;uum
in M. horis, ergo erunt clx M. pa&longs;&longs;uum addita parte xxi, erunt clxviij
M. pa&longs;&longs;uum, & tantum di&longs;tat luna à terra: & M. horæ &longs;unt dies penè
xlij, eb domadæ &longs;cilicet &longs;ex.
Propo&longs;itio octuage&longs;imanona.
Proportionem den&longs;itatis aquæ ad aërem per pondera inuenire.
Contingit hoc multis modis: primum acceptis duabus &longs;phæru
lis æqualibus ex cry&longs;tali&longs;ub&longs;tantia unaque demi&longs;&longs;a ab alti&longs;sima turri,
& men&longs;urato ictu per in&longs;trumentum præcedens, & &longs;ub totidem
momentis alia demi&longs;&longs;a in aquam, in de &longs;ub eodem tempore dimen
&longs;a altitudine, erit proportio &longs;patij ad &longs;patium, ut den&longs;itatis aquæ, ad
den&longs;itatem aëris. Item emi&longs;&longs;a &longs;phærula per in&longs;trumentum in aërem,
in de in aquam: & fumpta proportione. Et uidimus &longs;corpionem,
qui
& dimidium adeò, ut proportio fuerit, ut quinquaginta ad unum:
ideò e&longs;t fallax experimentum in uiolento motu: nam cum emitte
batur in aquam erat propè, & ob id in &longs;ummo robore: cùm in aë
rem, emittitur &longs;en&longs;im uis. De hoc ergo loquar.
Et erumpentia ob id magis quàm è terra, et minus quàm ex aëre:
diuiditur enim aqua cum graue petit fundum, & aqua feruet: & e&longs;t
mirabilius, quàm utile.
Propo&longs;itio nonage&longs;ima.
Rationem impetus uiolenti extra mi&longs;si ponderis ad æqualita
tem reducere.
Sit uiolentum a quod moueatur per b c d e, e &longs;patium, & quia
uiolentum contrà nititur naturali, cadat ergo in planum in e: &longs;unt
ergo tria con&longs;ideran da, primum quod, ut dixi aliâs, motus uiolen
tus pro certa di&longs;tantia augetur, & cau&longs;am ibireddidi, ut potè u&longs;que
ad c, &longs;ed hoc e&longs;&longs;et difficile cognitu. Secundum, quod ubi in cipit de
cre&longs;cere, &longs;emper magis ac magis decre&longs;cit propter naturalem ni
xum contra operantem. Tertium quod ubi de&longs;cendere in cipit, ibi
e&longs;t æqualis uis uiolentum motum agens cum naturali. Certum e&longs;t
etiam quod motus æqualis intelligitur erecta ad perpendiculum
e f, donec occurrat a d: & diui&longs;a tota b f per tempus, locus ergo, in
quo mouetur per tantum &longs;patium, dicitur locus motus æqualis:
co k con&longs;i&longs;tere propiorem f, quàm b, etiam&longs;i æqualiter mouere
tur. Primum quòd in tota g f declinat, & totus motus e&longs;t lentior,
quàm in tota b g, & tamen tardatur tantundem, ergo per commu
nem animi &longs;ententiam, k e&longs;t propior f, quàm b. Secundò, quia per
&longs;ecundum &longs;uppo &longs;itum motus a uer&longs;us f, continuè fit lentior, igitur
per communem animi &longs;ententiam multò longius e&longs;t tempus mo
tus a k, quam f, & tanto maius &longs;patium. Tertiò, quia motus ex b uer
&longs;us caugetur, & &longs;i e&longs;&longs;et æqualis adhuc multò e&longs;&longs;et breuior k f quam
a k, igitur multò magis hoc modo, & triplicata ratione. Si ergo b k
e&longs;&longs;et &longs;exquiquarta &longs;olum ip&longs;i k f,
erit b k dupla: fermè ex triplicata
ratione ip&longs;i k f, & iuxta eundem
modum ponemus mediam uim
xlvi pa&longs;sibus à &longs;corpione a quam
& hoc modo erit propèid quod e&longs;t.
SCHOLIVM.
Dubitat autem Philo&longs;ophus in mechanicis quæ nam uis &longs;it, qu&ecedil;
moueat lapidem iam excu&longs;&longs;um? & dubium non e&longs;t quin ex parte &longs;it
aër motus tum ratione, quia mouetur ergo mouet, tum experimen
to, ut in fulminibus, & his quæ uento impelluntur, ut hypophy&longs;is,
&longs;ed in &longs;corpionibus & arcubus & pilis id non &longs;ufficere uidetur. Ita
que uelut & caliditas & frigiditas in corporibus natura contrarijs
aliquandiu manent, & agunt ita & uiolentos motus, idque Alexan
der & Simplicius uolunt. Inditio &longs;unt quòd mota & emi&longs;&longs;a ex lon
gioribus machinis quan quam non aërem continentibus, nec in
anibus tamen, longius eijciunt &longs;agittas & mi&longs;silia, quoniam uis
illa firmius imprimitur, uelut etiam de lapidibus & ferro, quod di
utius in igne moram traxit, aut continuè follibus ignitum e&longs;t, nam
etiam tanto tardius refrigeratur unum quod que horum, & alia urit
& accendit calore illo externo, quanquam natura frigidum &longs;it: di
cemus autem & de hoc &longs;uo loco.
Propo&longs;itio nonage&longs;imaprima.
Proportionem grauis cubi, & &longs;phærici æqualium in accliui, &
de&longs;cen&longs;us eorum demon&longs;trare.
Hic non pauca &longs;unt
quòd hoc intelligi pote&longs;t, uel de motibus at
tractionis, uel impul&longs;ionis, uel inuer&longs;ionis. Secundum quod omne, quod impellitur &longs;uperiùs, tantundem gra
uat attractum, quantum ad de&longs;cen&longs;um, &longs;i &longs;it rotundum, nam qua
drata, Quia tamen
omnia difficiliùs de&longs;cendunt &longs;phæricis, & facilius quàm in plano,
ubi ponderant ni&longs;i per dimidium grauitatis, ideò proportio hæc
con&longs;tat ex proportione anguli de&longs;cen&longs;us ad totum rectum, & ma
gnitudine &longs;uperficiei, qua incumbit ad pondus comparata. Omne
enim graue, quanto grauius tam ad quietem, quàm ad motum na
turalem potentius e&longs;t: hoc enim per&longs;picuum e&longs;t, quia quieti natu
rali motus uiolentus, & motui naturali quies uiolenta opponitur:
quia ergo maiore ui opus e&longs;t ad motum præter naturam, ergo &longs;e
cundum naturam etiam maiore ui quie&longs;cit. A&longs;&longs;ump&longs;imus ergo cu
bum, ut magis notum. Sphæra igitur in omni decliui de&longs;cendit,
quia ut dictum e&longs;t, nil habet quod re&longs;i&longs;tat ad motum: & ip&longs;a gra
uior e&longs;t in decliui, quàm in plano, quia c pun
ctus cadit ultra e, ergo punctus contactus, &
centrum grauitatis, & centrum mundi, non &longs;unt
in una linea. Si enim b c contangeretur, e&longs;&longs;et b c
plana. Si uerò tangit, angulus e&longs;t maior angulo
contactus, ergo cum nece&longs;&longs;arium &longs;it, æquidi&longs;ta
re aliter non e&longs;&longs;et &longs;phæricum, oportet, ut eleue
tur ex parte c, & de&longs;cendat uer&longs;us b, & ideò ut
continuetur motus. Si uerò &longs;it in linea conta
ctus b c f, & æquidi&longs;tet non erit, ut dixi punctus
contactus in linea centrorum, &longs;ed in a c, cum &longs;uppo&longs;itum &longs;it lineam
a d e&longs;&longs;e lineam centrorum: maior e&longs;t ergo portio g c e, quàm re&longs;i
duum, ergo de&longs;cendet in b. Cubus uerò non de&longs;cendet, ni&longs;i cum di
midium d addito, quod inter cipitur inter lineam mediam, & quæ à
centro mundi ad punctum medium contactus u&longs;que quò perueniat
ad oppo&longs;itam partem, eam habuerit proportionem ad idem me
dium eadem portione detracta, quem iuncta proportioni an guli
declinationis ad re&longs;iduum recti dimidiam proportionem efficiat. Eademque ratio aliorum planorum.
Dico præterea quòd motus
&longs;phæræ, & etiam corporum rectarum &longs;uperficierum in de&longs;cen&longs;u
alius e&longs;t æqualis, & alius inæqualis, & qua&longs;i à latere, uelut &longs;i angu
lus unus prolabatur, ac fiat circumuolutio: cum ergo facilius fiat
hoc, & maximè &longs;i non retineatur æqualiter, & difficile &longs;it in medio
retinere, propterea prolap&longs;us hi melius
quàm in medio, non &longs;olum ob hanc æqualitatem, & complexum
meliorem, &longs;ed
ciliùs cohibentur, &
aut ui Et ideo uin cula in rami cibus duplicia dextra, & &longs;ini
&longs;tra &longs;cilicet in
&longs;olum in medio nectantur.
Ex hoc etiam &longs;equitur,
quod cùm omne graue
&longs;pontè &longs;emper appropin
quet centro mundi, & a &longs;i
moueretur per planum e,
magis remoueretur à cen
tro mundi, ut per e c per ea
quæ diximus, & quoniam
linea ex centro mundi ad
c longior e&longs;t, quàm ad e,
multò pote&longs;t enim e&longs;&longs;e, ut
in proportione diametri
quadrati ad latus eius, &
ctiam maior. ergo poterit
e&longs;&longs;e adeò parum decliuis
linea c d, ut c punctus ma
gis di&longs;ter à centro mundi,
quàm d, & tamen feretur
ex d in c motu naturali, ut demon&longs;tratum e&longs;t, ergo per purum mo
tum naturalem poterit a remoueri à centro mundi. Hoc uolui pro
ponere, ut intelligeres in plano uero c e non moueri a &longs;ponte, quia
c nece&longs;&longs;ariò altior e&longs;t d: &longs;i ergo mouebitur, non erit c e recta, &longs;ed
pars proportionis circuli &longs;uperficiei terræ, quæ &longs;en&longs;u à recta di&longs;tin
gui non poterit. Hoc ergo e&longs;t primum, ex quo &longs;equitur.
Quod aliquid poterit uideri decliue, in quo non de&longs;cendet imò
erit, ut potè &longs;i aliqua linea obliqua e&longs;&longs;et inter c e, & f e, illa e&longs;&longs;et decli
uis &longs;pecie, & re, & tamen graue in illa non de&longs;cenderet, quia à cen
tro mundi magis remoueretur: hoc tamen e&longs;t perdifficile factu, &
maximè in parua di&longs;tantia, uel etiam unius miliaris. Atque hæc
in leuigatis.
Propo&longs;itio nonage&longs;ima&longs;ecunda.
Propprtionem ponderis æqualis iuxta longitu dinis compara
tionem demon&longs;trare.
Hoc e&longs;t, quod Archimedes reliquit
intactum, cum e&longs;&longs;et maximè nece&longs;&longs;a
rium, & o&longs;tendit magis ab&longs;tru&longs;a, &longs;ed
pace illius dixerim minus utilia. Cum
ergo &longs;ump&longs;i&longs;&longs;em uirgam b f ponderis
unciarum xxiij, fui&longs;&longs;et b a uige&longs;imaquarta pars, b f fuit pondus æ
quilibrij in b appen&longs;um librarum uiginti&longs;ex cum dimidia: fuit igi
tur proportio ponderis e f ad pondus f b, ut tredecim ferme ad Et rur&longs;us feci a b quintam partem a f, & fuit a b unciarum
quatuor, & pondus quod æquauit librarum quatuor, ideò du
plum ad pondus b f, &longs;icut c f ad c b: con&longs;tat enim quòd pondus ap
pen&longs;um e&longs;t æquale ponderi cf. Et rur&longs;us po&longs;ui b a quartam partem
b f, & fuit pondus, quod æquauit in b duæ libræ: ex quo manife
&longs;tum e&longs;t, quòd proportio c f ad c b e&longs;t &longs;emper uelut ponderis c f ad
totam b f. Et hoc e&longs;t, ac &longs;i dicamus, quòd proportio ponderis c f ad
totam e&longs;t confu&longs;a ex proportione e f ad c b, & c f, quod e&longs;t 1 p. Id
etiam declaratum e&longs;t in primo de Subtilitate. Proponatur ergo
lemma, iam &longs;ic proportio ponderis cf ad pondus b c, e&longs;t primum
ut longitu dinis cf, &longs;i e&longs;&longs;et &longs;u&longs;pen&longs;a in medio ad longitudinem b c,
quia &longs;upponuntur proportione &longs;imiles &longs;uis longitudinibus ma
gnitudines, & pondera. At c f &longs;u&longs;pen&longs;a in c, tanto e&longs;t grauior pon
dere proprio, quanto proportionis longitudinis cf ad cb quadra
tum, quia in &longs;e ducitur proportio: igitur proportio ponderis c f in
loco &longs;uo ad b c pondus e&longs;t confu&longs;a ex proportione longitudinis
cf ad c b, & quadratis eiu&longs;dem proportionis longitudinis cf ad c
b. Sed quadratum proportionis longitudinis cf ad cb e&longs;t æquale
producto proportionis longitudinis c f in ip&longs;am c f, propterea
quòd ex proportione longitudinis cf ad cb in ip&longs;am c b fit c f, igi
tur proportio ponderis c f ad pondus c b e&longs;t confu&longs;a ex propor
tione ponderis c f ad pondus c b, & proportione ponderis cf alicu
ius &longs;e habentis ad pondus cf, ut cf longitudo ad longitudinem
c b, igitur proportio ponderis cf ad pondus b f, ut cf ad c b in lon
gitudine, quod erat probandum.
Propo&longs;itio nonage&longs;imatertia.
Propter quid in concu&longs;sione etiam leui nauis loco moueatur
o&longs;tendere. Vnde manife&longs;tum e&longs;t, duas naues &longs;ibi inuicem occur&longs;an
tes retrocedere, & quantum retrocedant ambæ.
Proponatur, quod proportio motus grauis in a d graue in aqua
&longs;it, uelut proportio ponderis attracti in terra ad den&longs;itatem aquæ
cum profunditate, nam ubi pondus &longs;upernataret aquæ, quia aqua
e&longs;t rotunda, e&longs;t ac &longs;i tangeret in puncto. Quare per demon&longs;trata &longs;u
periùs mouebitur à quacunque ui, ergo nixus contrarius aduenit ob
profunditatem, & aquæ den&longs;itatem, &longs;ed quanto aqua den&longs;ior e&longs;t,
tanto minus nauis de&longs;cendit, & quanto minus den&longs;a, tanto magis:
ergo pari modo fermè redduntur mobiles, & in aqua dulci & &longs;al&longs;a,
ubi naues &longs;int &longs;imiles forma, pondere, magnitudine. Quia crgo ne
ce&longs;&longs;e e&longs;t tabulam nauis e&longs;&longs;e duriorem, quam aqua ad re&longs;i&longs;tendum,
ergo pars maior ictus mouebit primo nauim, quam tabulam pe
netret, cum ergo quod facilius e&longs;t, præcedat, difficilius ergo naues
rios
ce&longs;&longs;e e&longs;t, ut intercedat quies media, & in quiete ab ictu, ut ui&longs;um e&longs;t
&longs;uperius, oportet, ut quod excipit ictum uelloco moueatur, uel ce
dat, & ictus penetret, uel aër non conden&longs;etur ob tarditatem ultra
metam, nec retro cedere pote&longs;t ex &longs;uppo&longs;ito, & ictus e&longs;t magnus,
clarum e&longs;t, quod oportet, ut cedat, & &longs;i durum &longs;it confringatur. Proportio ergo rece&longs;&longs;us ad ictum e&longs;t ut temporis, & magnitudinis
partis, quæ cedit, & retro ce&longs;&longs;us po&longs;ito ictu tanquam monade.
Propo&longs;itio nonage&longs;imaquarta.
Si quantitas aliqua nota atque proportio erit producta quantitas
nota &longs;imiliter. Et &longs;i duæ proportiones notæ fuerint, erit producta
ex his atque diui&longs;a, coniunctaque, atque detracta nota. Et &longs;i fuerit totius
ad partem proportio nota erit, & ad aliam partem nota, & alterius
partis ad alteram uno minor. Et &longs;i fuerit partis ad partem, erit ad to
tum monade minor atque nota. Et &longs;i fuerit unius quantitatis ad duas
quantitates proportio nota, erit & confu&longs;a ex eis nota. Et &longs;i fuerint
trium quantitatum omiologarum, aut quatuor analogarum, o
mnes præter unam cognitæ erunt, & illa alia cognita.
Sit quantitas a b & ducta in d proportionem,
producat b c: dico quod duobus quibuslibet ex
his cognitis, erit cognitum tertium: nam cogni
tum quodlibet dicitur in comparatione ad &longs;impliciter cognitum,
quod e&longs;t unum per &longs;e omnibus cognitum. Ob id Arithmetica e&longs;t
prima omnium di&longs;ciplinarum, quia habet principium cognitum,
& id, quod e&longs;t, ad principium comparatum cognitum in illius com
paratione: neque aliter cognitum dici pote&longs;t. Quia ergo d cognita
e&longs;t, erunt monades, & partes cognitæ in ea: aliter non e&longs;&longs;et cognita
b a, igitur cum cognita &longs;it, erit cognita per &longs;ingulas monades, quan
ta &longs;it. Et &longs;i diceres quòd b a non e&longs;t cognita per partem monadis:
dico quod pars monadis non e&longs;t incognita, quia cum monades
&longs;unt cognitæ, e&longs;&longs;et d incognita. Omnes enim, quod componitur ex
cognito & incognito, e&longs;t incognitum, quia cognitum &longs;olum ratio
ne partis cognitæ. Si ergo pars monadis e&longs;t cognita, erit pars a b
quælibet prout ex monade componitur &longs;impliciter cognita. Su
pere&longs;t, ut &longs;olum pars partis: & dico quod illa etiam e&longs;t cognita:
quia &longs;i pars ab e&longs;&longs;et, monas e&longs;&longs;et cognita: e&longs;&longs;et enim pars ip&longs;a.
animi com
muni &longs;enter
tia.
Sed &longs;i &longs;it pars, erit &longs;umpta &longs;ecundum partem monadis ip&longs;ius,
ideò erit cognita iuxta nomen, uelut dimidium e&longs;t dimidium mo
nadis, dimi dium tertiæ partis monadis e&longs;t cognitum, quia tertia
pars e&longs;t cognita, & &longs;cimus, quanta pars a&longs;&longs;umatur illius. Ergo &longs;i a b,
Per hæc eadem pro
bantur quatuor &longs;equentes partes eodem modo. Sexta &longs;ic: &longs;it pro
portio a c ad c b, nota igitur in comparatione ad monadem, &longs;ed pro
portio a c ad c b b a e&longs;t monas, igitur proportio a c ad a b nota e&longs;t,
quoniam aliter non po&longs;&longs;et dici proportio a c ad b c nota. Aliter, &longs;it
proportio a c ad c b e nota, ex &longs;uppo&longs;ito igitur conuer&longs;a nota quæ
&longs;it f ex f, igitur in a c fit b c ex g in a c, fiat a b ergo ex a c in f g fit a, cigi
tur f g e&longs;t monas, f autem nota e&longs;t, igitur in comparatione ad mona
dem, ergo re&longs;iduum g notum. Cum uerò proportio a c ad c b com
ponatur ex proportione a b b c ad b c, & proportio b c ad b c &longs;it
monas, & proportio a c ad b c nota, erit proportio a b ad b c cogni
ta, & monade minor proportione a c ad b c. Per idem octaua pars
demon&longs;trabitur. Inde &longs;it proportio a ad b, & ad c no
ta, erit ergo b, & c ad a nota, quare b c ad a nota, &longs;ed
hæc e&longs;t conuer&longs;a ad b c confu&longs;a, igitur proportio a
ad b confu&longs;a nota e&longs;t. Vltimum &longs;it, &longs;int a b c omiologæ, & &longs;int a & b
notæ duo, quod c nota e&longs;t, nam a b, &longs;i notæ &longs;unt, nota e&longs;t proportio
earum. Ergo & proportio b ad c ergo per primam partem huius
cum &longs;it b nota, exit & c. Et &longs;i ponantur a c notæ, dico, quòd b nota
erit: nam proportio a c ad c nota e&longs;t, quæ &longs;it d, igitur d ad monadem
ut a ad c, ergo latus notum erit, quod ductum in c producit b, b igi
tur nota. Et &longs;imiliter in analogis &longs;int a b c notæ: & ideò erit propor
tio a ad b nota ergo c ad d. cumque c nota &longs;it, ergo per primam par
tem huius erit d nota, quod fuit demon&longs;trandum.
&longs;trat.
P
12. P
P
&longs;ententia.
Propo&longs;itio nonage&longs;imaquinta.
Cuiu&longs;uis trigoni rectanguli, aut cuius duo anguli &longs;int in dupla
proportione, aut qui circulo in&longs;criptus &longs;it cognita quantitate uni
us lateris in comparatione ad dimetientem &longs;i proportio
terum cognita fuerit, erunt omnia eius latera cognita.
Non de cognitione propinqua
Heber tractatum e&longs;t, &longs;ed de exacta, de qua &longs;uperius egi nunc &longs;ermo
e&longs;t: &longs;it igitur primum a b c trigonus orthogonius: & &longs;it a rectus, &
proportio
erunt: nam &longs;it proportio, gratia exempli,
a b ad b c, erit ergo quadrati a b ad qua
dratum b c cognita, quia duplicata: at
quadrata a b, & a c perficiunt quadratum
b c, igitur proportio quadrati a b ad a c et
e&longs;t 1 p: cognita erit, quare & a b ad a c, &
e&longs;t primum. Exemplum, ponatur b c dupla a b, erit a b quadratum
&longs;ub quadruplum quadrato a b quare &longs;ubtriplum quadrato a cigi
duplus angulo c quali&longs;cunque &longs;it, erit per demon&longs;trata &longs;uperius pro
portio a b b c ad a c, ut a c ad a b, &longs;i igitur nota &longs;it proportio a c ad
a b, erit nota proportio a b b c ad a b per præcedentem. Ergo per
eandem omnia nota &longs;cilicet b c ad b a, & b c ad c a. Et &longs;i e&longs;&longs;et nota
proportio a b ad b c, dico, quod e&longs;&longs;ent nota omnia, nam nota e&longs;&longs;et
a b, & b c, & quod fit ex a b in ip&longs;um aggregatum. Sed hoc e&longs;t æ
quale quadrato a c, igitur notum e&longs;t quadratum a c ergo a c: igitur
proportio a b b c ad a c, & a c ad a b. Vt &longs;i a b e&longs;&longs;et 4 b c 5, e&longs;&longs;et a b b c
9 ducta in a b, quæ e&longs;t, fit 36, cuius latus e&longs;t b a c &longs;cilicet. Et &longs;i e&longs;&longs;et
trigonus aliquis in cir culo, cuius proportio duorum laterum &longs;it co
gnita ad dimetientem relata, &longs;equitur per demon&longs;trata &longs;upe
rius, quod etiam tertium latus erit cognitum in comparatione ad
eadem, & ideo etiam proportio illorum laterum ad unguem co
gnita erit.
mi
ti
P
Multa præterea cognita e&longs;&longs;ent in hoc genere, quæ nunc præter
mitto, quia non &longs;unt ad finem nece&longs;&longs;aria. Alia præterea per diligen
tem inqui&longs;itionem maioris artis quàm alias edidimus. tum uerò
etiam per nouas demon&longs;trationes.
Propo&longs;itio nonage&longs;ima&longs;exta.
Cum in per&longs;picuum den&longs;um radij lumino&longs;i in ciderint, quatuor
fiunt luminis genera.
Sit &longs;ol a, & per&longs;picuum den&longs;um, exempli gratia, ut ampula
magna aqua plena b c d, & &longs;i &longs;it rotunda accendit ignem ex ad
uer&longs;o ut in e. Dico ergo in b c d e&longs;&longs;e quatuor genera luminis.
Pri
mum quod e&longs;t ualidius, & rectà tran&longs;it, ualidius enim e&longs;t, quod
tran&longs;it quàm quod tran&longs;ire non pote&longs;t, & etiam quia, ut dixi,
ignem accen dit. Secundum e&longs;t quod colligitur in ampula, & dein
de &longs;pargitur
quàm quod non penetrat, aut &longs;i penetrat, non &longs;pargitur, & hoc dif
funditur circa uas, necreflectitur rectè, &longs;ed qua&longs;i intro colligitur, &
diuer&longs;a ratione diffunditur, e&longs;t tamen imbecillius primo, ut dictum
e&longs;t. Tertium genus e&longs;t, quod illuminat intus ingrediendo, &longs;ed non
&longs;pargitur, & hoc e&longs;t debilius &longs;ecundo, quia Quar
tum e&longs;t, quod non ingreditur omnino, &longs;ed refle
ctitur, i&longs;tud e&longs;t ab&longs;que dubio imbecillimum, quo
niam penetrare non pote&longs;t. Et licet in &longs;peculis
concauis radius reflexus uideatur e&longs;&longs;e ualidior,
&longs;tatim enim accendit ignem, hoc non contin
git, ni&longs;i quia in &longs;peculo cauo radij omnes col
combibuntur, ut ita dicam &longs;ed omnes Ex quo colligitur
quin cuplex ordo radiorum iuxta rationem uirium, primus e&longs;t refle
quos &longs;unt radij, qui tran&longs;eunt per per&longs;picuum maximè rotundum,
qui & ip&longs;i generant ignem, & debiliorem primo, deinde reliqui
tres &longs;equentes &longs;upradicti. Sextus e&longs;t radiorum, qui reflectuntur à
rebus non nitidis, ut à muris, & tabulis, nam omnia dura reflectunt
& etiam mollium pleraque, & hæc reflexio e&longs;t fermè infinita, & ob id
cubicula etiam in angulis illuminantur.
Ex hoc &longs;equitur, quòd Luna remittit lumen, non reflectit, nam
&longs;ecus non illuminaret to tum orbem, &longs;ed &longs;olum portionem oppo
&longs;itam Soli, & hoc etiam rarò, ergo combibitur, & illu&longs;trat circun
circa ubique.
In &longs;tellis lumen Solis pertran&longs;it aliter, &longs;i reflecteretur, non illumi
naret nos, aut apparerent, uelut cometæ, quia pars una e&longs;&longs;et clarior
reliqua, & &longs;i conbiberent lumen, non uiderentur æquè claræ, cum
Sol e&longs;&longs;et propinquus, aut remotus.
Luna tota intus illuminatur à Sole, quoniam &longs;i ante coniun
ctionem illuminatur à &longs;ini&longs;tra parte, & combibit lumen per cor
rolarium primum, & po&longs;t coniunctionem illuminatur à dex
tra, & combibit pariter lumen, ergo e&longs;t tota naturæ per&longs;picuæ, &longs;ed
uidetur ob&longs;cura ex aduer&longs;o, propterea quòd radij ualidiores refle
xi illu&longs;trant illam ex parte Solis, diffugiunt à contraria, quod ma
nife&longs;tè apparet in ampula expo&longs;ita Soli. Pars enim clarior uer&longs;us
Solem uidetur, quam ex aduer&longs;o, hoc autem longè magis in Luna
ob di&longs;tantiam.
In omni Solis eclip&longs;i fit colectio radiorum ad a&longs;pectum, &
ideo in regione illa, in qua centrum Solis integitur à centro Lunæ,
& ubicunque fit, fit in cendium per tertium corrolarium. Hoc autem
fit &longs;emper in quauis coniunctione, & dum Luna &longs;ilet in regione ae
ris, &longs;ed terris non &longs;e cundùm centrum, uerùm ad latitudinem, & ad
Orientem ante coniunctionem cum Sole, & ad Occidentem po&longs;t:
&longs;ed centra non &longs;unt in linea ui&longs;us.
Ex hoc &longs;equitur, quod oportet &longs;ub&longs;tantiam Lunæ e&longs;&longs;e ualde cla
ram, cum uideamus ab ampula tam paruum lumen diffundi, & ra
rum, à Luna uerò in uniuer&longs;um orbem, & tam copio&longs;um, ut nece&longs;
&longs;arium &longs;it &longs;ub&longs;tantiam Lunæ e&longs;&longs;e den&longs;am, & lucidam ualde.
SCHOLIVM.
Et &longs;i quis dicat, quòd &longs;i in cendium illud fieri po&longs;&longs;et in hora ecli
p&longs;is, &longs;equeretur, quòd ut in ampula in medio Lunæ uideretur maPropterea dico, quòd uel ac
eidit, quia homo non pote&longs;t ea hora intueri Solem, & etiam e&longs;t im
peditus à radijs circum&longs;tantibus, cuius indicio e&longs;t, quod in &longs;pe
culo po&longs;ito in aqua, &longs;imile uidetur &longs;tellulæ in centro Lun&ecedil;: & hic e&longs;t
&longs;plen dor Solis collectus in centro Lunæ. po&longs;&longs;et etiam dici, quòd
Luna circa medium propter maculam non admitteret lumen, & ita
e&longs;&longs;et inæqualium partium.
Propo&longs;itio nonage&longs;ima&longs;eptima.
Motum inuer&longs;ionis in figuris in comparatione ad motum &longs;phæ
ræ in plano inue&longs;tigare.
Voco motum inuer&longs;ionis, qui &longs;imilis e&longs;t motui &longs;phæræ, &longs;cili
cet circumuertendo graue à uertice, & manife&longs;tum e&longs;t, quòd in
quacunque figura, qua graue in&longs;idet plano per punctum ue
lut ouata ip&longs;um mouetur à quauis ui, &longs;ed &longs;i in&longs;ideat per &longs;uperfi
ciem, quanto maior e&longs;t, & humilior, tanto difficilius mouetur,
ideò in corpore uiginti ba&longs;ium, quòd inter regularia uocata, plu
res habet, &longs;uperficies pro ratione æqualis ponderis, motus erit
longe facilior. Alia cau&longs;a e&longs;t inæqualitas partium, unde quæ ro
tunda &longs;unt, quia prominent, facile mouentur, & cum partes me
diæ in&longs;i&longs;tant plano, quanto minores erunt tanto facilius moue
buntur ratione ponderis. Vnde patet, quòd corpora ouata faci
lius mouentur, etiam quàm &longs;phærica, habent enim partem me
diam minorem, & paria &longs;unt ratione ince&longs;&longs;us plani, &longs;ed aëris mul
titudine tardius, quoniam enim &longs;phæra &longs;ub æquali ambitu plus
continet corporis, ergo ouatum æquale &longs;phæræ habet maio
rem ambitum ip&longs;a &longs;phæra. Hæc autem à Theone partim de
mon&longs;trata &longs;unt, partim ab Archimede, & partim à nobis, ergo
motus ouati e&longs;t fermè æqualis motui &longs;phæræ, & tardior e&longs;t con
citatus, quàm &longs;phæræ, quia à ma
iore excipitur aëre, & partes exte
riores non ita incumbunt in me
dium &longs;ecundum longitudinem. Cu
bus uero tardior e&longs;t propter æqua
litatem, & latitudinem &longs;uperficiei in
ferioris, omnium
pter has cau&longs;as conus ambligonius,
& quanto magis fuerit, ratio uero
eleuationis e&longs;t, ut &longs;it cubus b c, cuius
medium grauitatis &longs;it b &longs;uper pla
lineam c f ip&longs;i plano, & proportio grauitatis totius &longs;u&longs;pen&longs;i in com
paratione ad grauitatem eius, qui inuertit, e&longs;t, uelut proportio par
tis terminatæ ad lineam c f uer&longs;us eum, qui eleuat ad partem, quæ
ultra e&longs;t, cum uerò hæ partes notæ &longs;int iuxta perpendiculum ex
centro grauitatis, manife&longs;tum e&longs;t, quod &longs;ciemus pondus corporis
a b cf, dum inuertitur in quo cunque &longs;itu ad pondus eius, dum &longs;u
&longs;penditur, & clarum e&longs;t, quòd cùm centrum, & medium grauitatis
fuerint in una linea per c f, tunc nulla erit grauitas.
Propo&longs;itio nonage&longs;imaoctaua.
Proportionem ponderum æqualium per differentiam angulo
rum inuenire.
Sit a b, quæ &longs;i appen&longs;a e&longs;&longs;et ad æquidi
&longs;tantem terræ &longs;uperficiei, nulla ui po&longs;&longs;et ele
uari, inflectatur ergo ad c punctum, omi&longs;&longs;a
c g, & manife&longs;tum e&longs;t, quod &longs;i b c in&longs;i&longs;teret
ad perpendiculum, ponderaret a c &longs;i e&longs;&longs;et in
æquilibrio, ponatur ergo accliuis in c d per
notum angulum. Quia igitur b c ad c a no
ta e&longs;t, erit dicta &longs;uperiùs notum pondus
b h, po&longs;ita h c æquali c a, quare totius a b,
& iam fuit e k notum, & punctus d notus:
hoc enim infrà demon&longs;trabitur, qualis igitur proportio lineæ
tran&longs;uer&longs;æ dl ad lineam de&longs;cendentem d m, talis differentiæ pon
derum c m, & c e, id e&longs;t partis ad partem. hæc autem inferiùs de
mon&longs;trabuntur. Neque enim ab&longs;urdum e&longs;t in materijs mi&longs;tis, ali
quando uti nondum demon&longs;tratis cum fuerint mathematica, quia
obtinent principij rationem, quod etiam facit Archimedes. Ma
nife&longs;tum e&longs;t autem, quod in angulo m c d recti dimidio, propor
tio media erit. Sed hoc bifariam contingere pote&longs;t &longs;cilicet, ut &longs;it
media, per quantitatem, & per proportionem, e&longs;t autem media, ut
demon&longs;trabitur infrà &longs;ecundum proportionem l d ad l e, propo
natur ergo c e b, erit latus quadrati <02> 72, igitur latus octogoni e&longs;t
<02> v: 72 m: <02> 2592, & latus re&longs;idui <02> v: 72 p: <02> 2592. quadrata er
go partium ba&longs;is differunt in <02> 10368. Quare partes ba&longs;is &longs;unt
6 p: <02> 18, & 6 m: <02> 18 &longs;cilicet l e, l d autem e&longs;t <02> 18, igitur differen
tia, & proportio e&longs;t, qualis <02> 18 ad 6 m: <02> 18 fermê, ut 17 ad 7, & ta
lis e&longs;t proportio ponderis c d ad pondus c e ratione in crementi,
&longs;eu differentiæ. Vt &longs;i pondus in c e e&longs;&longs;et decem librarum in c in
ratione e&longs;&longs;et uiginti octo cum tertia.
45. P
P
Propo&longs;itio nonage&longs;imanona.
Proportionem grauitatum per multitudinem &longs;uppo&longs;itorum or
bium o&longs;tendere.
Omne, quod mouetur, mouetur &longs;ecundum naturam ponderis,
quæ in attractione, ut demon&longs;tratum e&longs;t, æqualis e&longs;t dimidio &longs;u
&longs;pen&longs;i, cum ergo diuidatur in multiplices partes motus uniu&longs;cuiu&longs;
que, e&longs;t &longs;ecundum dimidium illius partis, ut, &longs;i &longs;int &longs;ex rotæ in cur
ru det, quod uehitur, &longs;it pondus &longs;exaginta librarum, unaquæ que
rota habet pondus quinque librarum, &longs;cilicet diui&longs;o triginta per
&longs;ex, & quia quod cunque mouetur &longs;phæricè non habet pondus,
ni&longs;i quantum premitur axis, ideò pondus &longs;exaginta librarum in
uehendo red ditur læ&longs;us, quanto proportio producta minor e&longs;t
additione. Exemplum, &longs;it deductum pondus &longs;exaginta librarum
per &longs;ex rotas ad uigintiquatuor, quia &longs;i rotæ po&longs;&longs;ent circumduci,
ut in inuer&longs;ione dictum e&longs;t, & e&longs;&longs;ent æquales, & in &longs;olido æquali,
ac duro, nulla ui mouerentur, &longs;ed qua&longs;i per &longs;e, ergo &longs;uppo&longs;ito pon
dere uiginti quatuor librarum a&longs;&longs;umemus unamquamque partem,
& ducemus eam in &longs;eip&longs;am, &longs;cilicet detraham quintam partem ex
toto 30, fit 24, duc 30 in &longs;e, fit 900, duc 24 in &longs;e, fit 576, proportio ut
25 ad 16, at diui&longs;o 30 in &longs;ex partes, fit 5, detrahe quintam partem, fit
4, duc in &longs;e, fit 16, duc in &longs;ex, fit 96, igitur proportio 900 ad 96 e&longs;t ut
25 ad 2 2/3, quod ergo erat 16 factum e&longs;t 2 2/3, proportio ergo de
cre&longs;centis maior e&longs;t diui&longs;o per plura. Sed plerunque additis ro
tis cre&longs;cit pondus nihilo &longs;ecius, redditur etiam leuius. Sed & de
hoc in &longs;equenti.
Propo&longs;itio cente&longs;ima.
Proportionem grauitatis ponderum attractorum per trochlea
rum numerum inue&longs;tigare.
Ari&longs;toteles in Mechanicis cen&longs;et cau&longs;am leuitatis trochlearum
e&longs;&longs;e in pondere eleuando, quòd pondera auxilio uectium facilius
mouentur, quàm manibus. Rotulæ uerò in trochleis uectes &longs;unt,
& axis mi&longs;ta hypomochlij, ergo facilius pondus trahitur per u
nam rotulam, quàm &longs;i manu traheretur, at uerò per duas tres,
unde tris pa&longs;&longs;us longe facilius, & etiam facilius per quinque, unde
pentas pa&longs;&longs;us, nam quinque orbiculis, qua&longs;i totidem uectibus
diui&longs;um pondus manife&longs;tè fit leuius, & ut dictum e&longs;t, tanquam
totidem uectibus pondus eleuatur, e&longs;tqúe proportio produ
a&longs;&longs;umit laboris, po&longs;terior uerò uectis maiorem partem &longs;ibi ponde
ris &longs;eruat, uelut in &longs;uccula etiam iugum traiectum per plures colo
pes facilius uertitur. Et &longs;i quis dicat nónne totum pondus in&longs;idet
prim&ecedil; trochleæ per trochleam, intelligo nunc &longs;olùm rotulam cum
ip&longs;o axe, &longs;eu axiculo (ut dicunt) non autem in proprio &longs;ignificato,
in quo etiam funis traiectus, & in&longs;idens rotulæ, &longs;eu rotulis, nam
una trochlea plures continere'pote&longs;t orbiculos, & axes. Licet ergo
pondus in&longs;ideat primæ trochleæ, &longs;eu rotulæ, in eo tamen, quod tra
hitur, diuiditur', licet non æqualiter dico, præter id funis motum
intendi. nam motus actionem auget, & ideò quanto longior, eo fa
cilius mouet ob con cu&longs;sionem, demum quia leuis e&longs;t rotula circa
axem, ut plus uecte po&longs;sit.
Q
Propo&longs;itio cente&longs;imaprima.
Proportionem precij gemmarum ex tribus in eodem genere co
gnitis inuenire.
Solent gemmarij uendere adamantem ponderis unius grani
uno coronato, duorum autem granorum tribus coronatis, qua
tuor autem, gratia exempli, quadraginta coronatis, qu&ecedil;ritur quan
tum ualebit adamas octo granorum, quoniam ergo proportio
non &longs;eruatur. E&longs;t enim in pondere utraque dupla, in precio autem
ex prima habetur tripla, ex &longs;ecunda habetur proportio maior,
quàm tredecim ad unum, propterea utendum e&longs;t proportione
propinquiori, &longs;i &longs;atis faceret. gratia exempli, in prima ad ditione fuit
unum granum, & acqui&longs;iuit proportionem triplam, in &longs;ecunda fue
runt duo grana, &longs;i ergo acqui&longs;i&longs;&longs;et &longs;olum &longs;excuplam proportio
nem, haberemus intentum. Propterea in i&longs;to ca&longs;u oportet demon
&longs;trare forma Geometrica, &longs;uppo&longs;ito, quòd &longs;it figura recta ex uno la
tere a b, ita ut angulus, uel minimus capiat b c æqualem a b, & ex
æquali b a c addito fiat b d tripla b c, & ex angulo b a e duplo b a d,
fiat b c d e quadragintupla a b, & iuxta rationem erit in infinitum. Siue &longs;it parabole, &longs;iue hiperbole, &longs;eu &longs;it alia coincidentium.
SCHOLIVM.
Et nota, quòd &longs;i res hæc e&longs;&longs;et naturalis, o&longs;tenderet infinitum in
rebus ex regula dialectica, &longs;ed quia ex
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;ecunda.
Proportionem motuum inuer&longs;ionis, & attractionis in plano
inuenire.
Et &longs;it, ut aliquid inuertatur, declaratum autem e&longs;t &longs;uprà, quid &longs;it
inuer&longs;io, & quàm diuer&longs;a &longs;it rur&longs;us, & quòd attractio e&longs;t dimidium
ponderis eleuati. Cum ergo con&longs;tet in inuer&longs;ione, quanta &longs;it pro
portio ponderis &longs;u&longs;pen&longs;i ad pondus inuer&longs;um, & pondus &longs;u&longs;pen&longs;i
&longs;it duplum ponderi attracti, &longs;equitur, ut diuifa proportione ponde
ris &longs;u&longs;pen&longs;i ad pondus inuer&longs;um per medium cogno&longs;catur propor
tio attractionis ad inuer&longs;ionem.
Ex hoc &longs;equitur, quod aliquod pondus trahi pote&longs;t, quod non
pote&longs;t inuerti, hoc autem indigetlonga declaratione, quam doce
bimus inferiùs: & tamen attigit hocrarò.
Propo&longs;itio cente&longs;imatertia.
Proportionem eorundem in accliui demon&longs;trare.
Dupliciter pote&longs;t intelligi, uel de&longs;cendendo, uel a&longs;cendendo.
Sed ego nunc loquor de a&longs;cen&longs;u, contraria ratione intelliges de
de&longs;cen&longs;u, & circa inuer&longs;ionem demon&longs;trata e&longs;t proportio eius
iuxta angulum a&longs;cen&longs;us, & &longs;imiliter declarabitur de proportione
attractionis iuxta eundem angulum a&longs;cen&longs;us, & nuper declarata
e&longs;t proportio inuer&longs;ionis in plano ad attractionem, ex quibus &longs;e
quitur per ea, quæ dicam inferius, quòd proportio cuiu&longs;uis mobi
lis inuer&longs;i ad attractum &longs;ub quibu&longs;cun que angulis nota erit.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquarta.
Proportionem motus attractionis in decliui ad motum in pla
no determinare.
Si ab accliue, &longs;eu decliue in quo d ad attra
hendum, cuius nota e&longs;t ex &longs;uperioribus dif
ficultas in plano ratione figuræ con&longs;tante, er
go ea quæritur proportio a&longs;cen&longs;us, & quo
niam terminus ad perpendiculum e&longs;t dupla
proportio, & iam grauitas in plano e&longs;t dimidium, ideò quicquid
acquiritur in eleuatione e&longs;t in comparatione ad illud dimidium,
cum ergo attractio &longs;ecundum eandem proportionem augeatur, er
go &longs;emper maior difficultas augebitur, ergo ab initio minimum Exempli gratia &longs;it, ut graue d
in plano &longs;it, ut quin que, & &longs;u&longs;pen&longs;um decem, ergo in medio angulo
erit penè &longs;eptem, &longs;ed &longs;eptem minus longe
cem ad &longs;eptem, ergo in &longs;ecunda parte plus longè augebitur difficul
tas attractionis &longs;upra difficultatem in medio angulo accliui, quam
in prima parte à plano ad medium accliue, & quoniam planum in
plano de&longs;cendit, tanto uehementius, quanto difficilius attrahitur,
ergo planum in decliui &longs;ublimi longe maiore impetu feretur infrà
quam &longs;it proportio anguli ad angulum. Exempli gratia, planum in
medio angulo, &longs;i incipiat de&longs;cendere in dodrante multo lentius,
quàm pro dimidio uirium de&longs;cen&longs;us totius anguli, imò initium de
&longs;cen&longs;us e&longs;t à medio recti ad unguem, ubi omnia plana &longs;int, & duri&longs;
&longs;ima, & cau&longs;a huius e&longs;t, quia omne graue tendit ad centrum, quòd
maior pars ip&longs;ius grauis e&longs;t ultra medium grauitatis in decliui
humiliore.
64. P
Propo&longs;itio cente&longs;imaquinta.
Proportionem ferentium pondus in pertica inuenire.
Hæc proponitur etiam à Philo&longs;o
pho, & ponatur ab, & &longs;i pondus &longs;it in
medio d grauat æqualiter utrunque,
nam in hoc con&longs;entit experimentum
cum ratione, at uerò &longs;i ponatur in cita,
ut b c &longs;it tripla b a uiderentur a & b, tanquam hypomochlia, & pon
dus ip&longs;um b, ut grauior e&longs;&longs;et cb, quam c a. Ari&longs;toteles, &longs;eu author
ille hoc uidens bifariam re&longs;pondet: primum quòd hoc e&longs;t inuer
&longs;um in&longs;trumentum, cum in cæteris motor &longs;it ex aduer&longs;o hypomo
chlij, hic in ip&longs;o, ge&longs;tans enim mouet & hypomochlij in&longs;tar e&longs;t hu
merus. At hoc uerum non e&longs;t: quod mouet enim e&longs;t pondus, & e&longs;t
in c: nam a, & contingit moueri: quia &longs;i &longs;tarent, idem &longs;equeretur. Se
cunda re&longs;pon&longs;io e&longs;t, quod utrun que premit &longs;cilicet ferentes & pon
dus, & quòd qui longior e&longs;t ab hypomochlio facilius mouet, &
redit ad idem fermè: nam in c con&longs;tituitur, quod moueri debet, ca
pita uectium &longs;unt a, & b: motus autem e&longs;t ip&longs;um &longs;u&longs;tinere pondus. At hoc non uidetur, quoniam ratio, qua uectis longior facilius mo
uet, e&longs;t ambitus magnitudo, ob quam motus redditur tardior, &
ideo leuior: igitur non e&longs;t hoc uerum de motu occulto, &longs;icut e&longs;t gra
uis prementis, &longs;ed circumducente, cum in occulto uelut in &longs;tatera
contrarium accidere do cuerimus aliâs. Quidam dixere b premere
c uer&longs;us a, a contrà uer&longs;us b, & ideò grauari magis a àb, quàm b ab
a, quia maiorem uim habet b e, quàm a c. I&longs;tud fal&longs;um e&longs;t bifariam.
Primum, quia & &longs;i a, & b &longs;int in æquilibrio, ut nec unus in alterum
e&longs;t. Et etiam quia non e&longs;t uerum, quòd qui longius in cumbit, ma
iorem uim inferat. Propterea dicendum e&longs;t, quòd qui ex commu
nibus propria nituntur demon&longs;trare, omnes corrumpunt di&longs;cipli
nas. Nihil deterius e&longs;t his mon&longs;tris.
Nam et&longs;i hæc ratio uera e&longs;&longs;et:
non tamen reddit cau&longs;am, quia non e&longs;t ex proprijs principijs. Dico
ergo, quod &longs;i c de&longs;cendat in e, per perpendiculum de&longs;cendet, igitur
d b e&longs;t longior d a, quare angulus e a b maior e b a: igitur pondus c
plus de&longs;cendit comparatione a, quàm b, ergo plus grauat cip&longs;um a
quàm b, &longs;eu ex cau&longs;a, quod magis premat, &longs;eu ex effectu, quòd ma
gis de&longs;ce&longs;&longs;erit. Cau&longs;a ergo erroris e&longs;t, quod &longs;i ponatur angulus f b a
æqualis angulo f a b, & ponatur b f &ecedil;qualis b c, tun c in eodem tem
pore, in quo tran&longs;it dimidium c in e, tran&longs;ibit aliud dimidium c in f. quia &longs;eparat&ecedil; partes grauiores &longs;unt in c b, quàm c a, propter di&longs;tan
tiam ab hypomochlio, &longs;ed tunc uelo cius mouentur, & angulus fit
&ecedil;qualis. Sed quando pondus e&longs;t unum, & c de&longs;cendit ad e, cum de
&longs;cendat inæquali tempore, & peragat maiorem angulum compa
ratione a, quam b, &longs;equitur, ut uelo cius moueatur comparatione a
quàm b. Ergo &longs;i non mouetur, cum omnis potentia &longs;it &longs;imilis actui,
tum quia ab eo producitur, & effectus e&longs;t &longs;imilis cau&longs;æ: tum quia
e&longs;t initium actus, igitur etiam quod a b non in clinetur, nec de&longs;cen
dat, grauius erit pondus, comparatione a quàm b, quod erat de
mon&longs;trandum.
M
Ex hoc &longs;equitur, quòd aliqua iuncta erunt grauiora re&longs;pectu u
nius, quæ erunt mutato ordine diui&longs;a leuiora. Quoniam diui&longs;a,
quæ longius di&longs;tant æqualem, aut maiorem angulum faciunt, iun
cta minorem.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;exta.
Quales proportiones angulorum doceant laterum proportio
nes. At que uici&longs;sim determinare.
Sit circulus a b c, cuius dimetiens, nota b d &longs;it b, erit ergo latus
exagoni a b dimidium b d, id e&longs;t 3. igitur
cum angulus a &longs;it rectus, erit a d <02> 27 latus
trianguli. Et latus quadrati per eandem <02>
18. Vt latus exagoni &longs;it <02> 9. Quadrati <02> 18
Trianguli <02> 27, & ita pote&longs;tate &longs;e habent
hæc ut 1. 2. 3. Et &longs;unt nota. Et quia latus d e c
agoni e&longs;t <02> 11 1/4 m, 1 1/2. & ip&longs;um erit notum. Quare latus pentagoni e&longs;t <02> v 22 1/2 m: <02>
101 1/4 notum. Et iam notum fuit latus epta
goni. Habebimus igitur latera Trianguli
&longs;ubten&longs;orum duobus ex his. Sit, gratia exempli, a b 3 & b c <02> 11 1/4m:
1 1/2, ut prius, & ponatur b d diameter, erit ad <02> 27 & c d <02> v 22 1/2 m:
<02> 101 1/4, quam ducemus in a b, & fiet <02> v 202 1/2 m: <02> 8201 1/4. Duce
mus itidem <02> 27 a d in b c <02> 11 1/4 m: 1 1/2 fiet <02> 303 3/4m: <02> 60 3/4, hoc to
tum diuide per 66, quæ e&longs;t b: fiet a c <02> 8 7/16 m: <02> 1 11/16 p: <02> v: 5 45/72 m: <02>
6 1701/5184. Nec credas te errare, quoniam latus pentagoni e&longs;&longs;et, ac &longs;i an
gulus b rectus e&longs;&longs;et: &longs;ed quia e&longs;t obtu&longs;us, ideo a c e&longs;t alia linea, &
maior latere pentagoni. Et &longs;imiliter &longs;i a b, & a c notæ e&longs;&longs;ent, utpo
te a b 3, ut prius a c 5 dico, quòd b c nota e&longs;t: nam a d erit <02> 27, &
quia ex b d in a c fit 30, fiet ex b c in a d pos <02> 27, et ex a b in c d <02> 324
m: 9 quad. igitur 30 m: pos <02> 27 æquantur <02> 324 m: 9 quad.
quare
900 p: 27 quad. m: pos <02> 97200
igitur 576
p: 16 quad. &ecedil;quantur pos <02> 97200. Quadratum igitur p: 36 &ecedil;quan
tur pos <02> 379 11/16, erit ergo b c <02> v: <02> 94 59/64 p: <02> 58 59/64 & &longs;imiliter &longs;i a c
&longs;it nota, puta 4 erit a b &longs;ubten&longs;a dimidio arcus a c nota. Erit enim a e
2 ergo d e 3 p: <02> 5 et b e 3 m: <02> 5,
modo diuidendo, iungendo, & detrahendo habebimus ex quatu
or illis &longs;implicibus trianguli quadrati. Pentagoni, & eptagoni in
numeras linearum magnitudines in circulo. Et &longs;imiliter quouis mo
do, ut dictum e&longs;t, in quauis figura æquilatera, utpote &longs;uppo&longs;ito
quod de&longs;criptum &longs;it nonangulum in
circulo æquilaterum, quod etiam erit
æquiangulum, & &longs;it arcus a b duplus
arcui a c, erit angulus a c b duplus an
gulo a b c, & angulus b a c in portione
b d e c &longs;excuplus a b c, & triplus a c b. Erit ergo per demon&longs;trata proportio
b a ad a c, uelut a c, & c b, ad a b: pro
portio autem a b arcus ad a c, ex &longs;up
po&longs;ito maior e&longs;t proportione rectæ a b ad a c, igitur etiam propor
tione a c & c b ad a b, ergo duo latera trianguli ad tertium minorem
habent proportionem, quam arcus ad arcum, quanto rectæ ad re
ctam minor e&longs;t. Sit rur&longs;us in triangulo b e d quomodolibet modo
&longs;it angulus b d e quadruplus angulo b e d, & diuidatur d per &ecedil;qua
lia ducta d f, erit igitur proportio f d, d e ad f e, ut e f ad f d, &longs;ed e f ad
f b ut d e ad d b. igitur proportio b d, d e ad f b
tionibus e f ad f d, & e d ad d b. Proportio igitur b d, d e ad f b, ut
producti ex e f in e d ad productum ex d fin d b. Rur&longs;us ponamus,
quod in quadrangulo a b c d primæ figuræ &longs;it a b 4 b c 3 c d 5 ad 6
dico, quòd &longs;pacium contentum erit notum. Ductis rectis a c & b d
quia in ea&dacute;em portione circuli a d, & anguli a d e &ecedil;quales, quia con
tra &longs;e po&longs;iti. igitur trianguli a b e, & c d e &longs;imiles, & proportio d c ad
a b, ut c e ad b e, c d autem fuit 5 a b 4, igitur &longs;i b e ponatur 4 pos c e
erit 5 pos. Per ea&longs;dem, & eodem modo a d ad b c ut d e ad e c. igitur
po&longs;ita c e 5 pos erit e d 10 pos, tota igitur d b 14 pos. Et quoniam ea
dem proportio a e ad e b per eadem, & e b fuit 4 pos: igitur a e e&longs;t 8
pos, quare a e 13. po&longs;t productum igitur ex a c in d b, e&longs;t 182 quad. & hoc æquatur productis a b in c d, quod e&longs;t 20, & b c in a d quod
e&longs;t 18, totum igitur e&longs;t 38, igitur res e&longs;t <02> 19/91. Quare not&ecedil; erunt lineæ
b e, e d, a e, & e c, &longs;ed &longs;ufficit, ut cognita &longs;it a c, uel b d. Per regulam
enim triangulorum erunt notæ areæ a b c, & a d e, quare tota &longs;uper
ficies a b c d. Et e&longs;t inuentum Scipionis Ferri Bononien&longs;is de quo
aliâs. Pote&longs;t etiam inuenta a c uel b d haberi &longs;uperficies facilius
per catheros.
ment.
S
E
ti
tij
mi
mi
Sit modo obtu&longs;i angulus a b c, & nota latera &longs;ingula, & angu
lus a b c, & producantur latera ad perpendicu
lum, ut &longs;int d & e recti, & quia anguli ad a &longs;unt
æquales, erunt anguli e b a, & d e a &longs;emper æ
quales. Et hoc idem contingit in acuti angulis
triangulis intus, & e&longs;t utile mechanicum: &
quia a b c notus e&longs;t, & d notus, erunt anguli tri
goni d b c noti: & &longs;i fuerit angulus a notus,
noti, & ideo anguli e b a, & d c a: & &longs;emper notum, quod fit ex b a
in a d, uel c a in a e, &longs;unt enim &ecedil;qualia inter &longs;e: etiam notæ ad & a c,
quoniam duplum horum e&longs;t exce&longs;&longs;us quadrati b c &longs;uper quadrata
a b, & a c. Quod uerò proponiturà Monteregio de cognitione an
gulorum in triangulis non e&longs;t intelligendum, ut uerba &longs;ignificant,
&longs;ed &longs;olum de cognitione quoad u&longs;um tabularum.
mi
cundi
Et iterum ponamus, quòd proportio a c c b ad a b &longs;it qualis a b
ad a c, dico quòd angulus c duplus e&longs;t angulo b. Si non ducatur c d
faciens angulum d c b duplum b, erit igitur pro
portio d c c b ad d b, ut d b ad d c. Maior e&longs;t
d c, quàm a c, aut æqualis, aut minor, &longs;i æqualis,
igitur maior proportio d c c b ad b d quàm b a,
igitur maior proportio b d ad d c quam b a ad a c
ad a c & æquales &longs;unt igitur b d maior d a pars toto, quod e&longs;&longs;e non
pote&longs;t. Si uerò d c ponatur maior a c, magis ex hoc &longs;equitur b d ma
iorem e&longs;&longs;e b a. Quod &longs;i minor &longs;it d c quàm a c.
Ex demon&longs;tratio
ne ip&longs;ius reflexæ proportionis patet hoc contingere non po&longs;&longs;e. Et &longs;imiliter patet conuer&longs;as in reliquis etiam ueras e&longs;&longs;e, non &longs;olum
one & detractione. Et e&longs;t ex &longs;ubtili&longs;simis operationibus, quæ ho
mini in hoc genere eueniant.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;eptima.
Si in circulo duo diametri ad rectum angulum &longs;e &longs;ecauer int: ali&ecedil;
uerò ad perpendiculum ex diametro exierint ad circumferentiam,
&longs;ingulæ &longs;upra diametrum erunt maiores portionibus reliquis dia
metri &longs;uperioribus, infra autem minores. Dimidium autem porti
onis &longs;uperioris re&longs;iduum ad centrum maius &longs;agitta habebit. In ali
qua præterea portionis &longs;uperioris parte, quæ uer&longs;us diam etrum
tran&longs;uer&longs;um po&longs;ita e&longs;t, maior e&longs;t differe ntia partis diametri ei cor
re&longs;pondentis, quam lineæ tran&longs;uer&longs;æ.
Sint du&ecedil; diametri a b, c d ad perpendi
culum &longs;ecantes &longs;e in centro, &
&longs;upr f g k h, & infra m l ad perpendicu
lum &longs;upra a b: dico f g e&longs;&longs;e maiorem f a,
& k h k a, & contrà minorem m l, quàm
m a. Per octauam enim &longs;exti, quod fit ex
b f in f a æquale e&longs;t
maior f g, quia b f e&longs;t maior c b, & ideo
e c g f, ergo f g maior e&longs;t f a, m l
multo igitur minor m a, quod e&longs;t primum. Suppo&longs;ito etiam, quòd
a g arcus &longs;it dimidium a c, dico a f
g æquale e&longs;t quadratis f e, & f g, &
& e g e&longs;t &ecedil;qualis lateri exagoni, & a g latus octogoni, igitur e g ma
ior g a, & duo quadrata e f & f g maiora duobus quadratis f g &
f a, detracto igitur communi f g quadrato, patet propo&longs;itum.
tij
E
mi
15.
E
Cum rur&longs;us ex prima parte huius line&ecedil; f g & k h &longs;int maiores f a,
& k a & ea &longs;it æqualis e c, nece&longs;&longs;e e&longs;t ut iuxta punctum c augeatur
magis linea in ea, quam &longs;it differentia lineæ tran&longs;uer&longs;æ ad lineam
tran&longs;uer&longs;am per communem animi &longs;ententiam, quod e&longs;t tertium.
tij
Propo&longs;itio cente&longs;imaoctaua.
Punctum &ecedil;qualitatis differenti&ecedil; de&longs;cen&longs;us, & remotionis à cen
tro inuenire.
Per præcedentem moto puncto a uer&longs;us c &longs;emper u&longs; que ad e, c ma
gis di&longs;tat
maior e&longs;t n a, & per eandem dum appropinquat ad c cum e c fiat
&ecedil;qualis ea, maius fit in crementum in a e, quàm re&longs;pectu lineæ tran&longs;
uer&longs;alis. Volo ergo inuenire punctum hoc in quo fit mutatio: &
diuido arcum ac per æqualia in f, & dico illum e&longs;&longs;e punctum quæ
&longs;itum: accepto quouis puncto in e f, puta k, duco g o h p &ecedil;quidi&longs;tan
tes a b, & c d: erunt que anguli q & n recti
& anguli f e a, & f e c &ecedil;quales, igitur uter
que dimidium recti: igitur per dicta in
primo Elementorum Euclidis e n &ecedil;qua
lis n k, igitur c q æqualis e n, quare h p
æqualis g o, &longs;ed quod fit ex o k in k g e&longs;t
æquale ei, quod fit ex p k in k h, igitur
k h e&longs;t æqualis k g ex eisdem o&longs;tendi
tur f l m k quadratum e&longs;&longs;e. Quia ergo
k h e&longs;t æqualis k g, & k l æqualis k m, erit l g æqualis m h. Er
go de&longs;cendendo ex g in f, quantum f l &longs;uperat l g, tantum de&longs;cen
dendo ex f in h, f m &longs;uperat m h per communem animi &longs;ententi
am. At f m e&longs;t de&longs;cen&longs;us f in linea a e, & m h di&longs;tantia, quæ acqui
ritur in linea f r, n m enim e&longs;t æqualis f r, igitur n h excedit f r in
h m, & ita a n excedit a r in n r &ecedil;quali f m. Quantum ergo in g f,
l f excedit l g, tantum in de&longs;cen&longs;u ex f in h, f m, quæ refert g l, ex
cedit h m, quæ refert f l. Arcus autem f g e&longs;t æqualis arcui f h,
quod
darum illorum quadrata &longs;unt inuicem æqualia, quia lineæ f m, &
f l item que m h & l g &longs;unt æquales, & anguli m, & l recti. Igitur cum
ad quod uis punctum in linea e f &longs;emper linea de&longs;cen&longs;us in parte
inferiore e&longs;t maior linea di&longs;tantiæ tanto, quanto per æqualem ar
cum in &longs;uperiore linea di&longs;tantiæ e&longs;t maior linea, de&longs;cen&longs;us &longs;equitur
per regulam Dialecticam quod punctus f, e&longs;t punctus &ecedil;qualitatis. Per idem diceremus in quarta parte inferiore.
mi
tij
& 6.
mi
E
mi
tij
Propo&longs;itio cente&longs;imanona.
Rationem libræ expendere.
Cum libra moueatur, uelut rota circa axem, quia trutina manet,
ideò &longs;i pondus ponatur, dum iugum fuerit in linea a b nihil mo
uebitur, quia appetitus de&longs;cen&longs;us ex puncto a maximus e&longs;t, & ni
hil iuuat motum extra naturam, idem dico de graui po&longs;ito inuerti
ce b a. Nam duo &longs;unt motus in rota, & in libra unus, per quem
dum fertur per arcum a f, gratia exempli de&longs;cendit, quantum e&longs;t
a r, quæ e&longs;t minor dimidio e r, & ideò minor e r, quæ e&longs;t maior di
midio, ut demon&longs;tratum e&longs;t, & etiam minor r f, quæ æqualis e&longs;t r e
per demon&longs;trata rur&longs;us: & hic e&longs;t naturalis ut palam e&longs;t: alter præ
ter
bus: cun que hic &longs;it ad latus e&longs;t etiam
a centro, nam e f e&longs;t longior c r, &longs;i ergo r ferretur in f, moueretur à
centro, & contra naturam. Dum ergo fertur ex a in f, multo lentius
plurimum de&longs;cendit. Ex h ad b autem celerrimè, quoniam de&longs;cen
dit, & appropinquat lineæ a b, ut uter que motus &longs;it naturalis. Non
ergo mouetur pr&ecedil;ter naturam ni&longs;i quatenus longius recedit à linea
a b, unde in inferiore parte mouetur ad eandem, ideò de parte c b
tota per&longs;picua e&longs;t ratio, cur facillimè de&longs;cendat, &longs;imiliter & tota,
hoc enim e&longs;t demon&longs;tratum. Similiter & quare difficillimè feratur
ex b u&longs; que ad p, & ultra p u&longs; que ad directum r f: at de motu ex a in f,
quod debeat ferri, quia plus remouetur, quam de&longs;cendat, nulla e&longs;t
ratio: ut nec cur ex oppo&longs;ito f ad a difficilem &longs;e præ&longs;tet: & hoc e&longs;t,
quia tertiam rationem etiam ip&longs;e Ari&longs;toteles, & qui eum &longs;equuti
&longs;unt, prætermi&longs;it. Ea autem e&longs;t, quod dum fertur ad g, uel f etiam li
cet non de&longs;cendat magis, quàm remoueatur, ex a
ad centrum terræ tamen magis appropinquat. Quia enim e a e&longs;t &ecedil;qualis e c, quoniam prodeunt
à centro circuli eiu&longs;dem, & b e, & e c &longs;unt maio
res b c, ideò b a erit maior b c, e&longs;t autem b cen
trum mundi, ergo a motum ad c, appropin qua
uit ip&longs;i b
ti.
mi
Dico etiam quod libra ex chalybe tenui&longs;simo,
& quanto
10 exactior, quoniam lances illæ minori exce&longs;&longs;u
mouentur, quia plus di&longs;tant ab hypomochlio. Sit ergo libra, cuius iugum a b trutin a c: lances d & e, alia libra,
cuius lances h, & k, & l m longiores, iugum f g. Con&longs;tat, quod
qualis proportio f g ad a b, talis ambitus, ad ambitum: motus er
go &longs;i &longs;it æqualis utrarumque, igitur a tanto minore proportione
ergo æqualiter moueantur, &longs;i &longs;it dupla &longs;exquiquarta in d cum lan
ce ad e uacuam, erit in h &longs;exquialtera, & mouebit æquali tempore. Ergo iuxta hoc fient libræ, quæ examinabunt decimam, & uige&longs;i
mam partem grani, quod e&longs;t nece&longs;&longs;arium in precio&longs;is rebus, & me
dicamentis potentibus, & longè magis in mechanicis experimen
tis, & maximè quæ ad demon&longs;trationem pertinent magnitudinis
&longs;uperficierum, & con&longs;tat res in tribus, in longitudine, f g iungi, in le
uitate materiæ illius, & lancium, nam tanto maior redditur propor
tio ponderis exigui, & in firmitate iugi ac rectitudine. ideò debet
fieri ex chalybe purgato, durato ac tenui&longs;simo, natura que leui, & ut c
&longs;it in medio, & mobilis f g.
Con&longs;iderandum e&longs;t demum an f l & g m &longs;int grauiores f h, &
g k. Vt enim grauiores extiterint minus facilè mouentur.
Viden
tur autem mihi, qui de his con&longs;crip&longs;erunt perperam contemp&longs;i&longs;&longs;e
hoc, con&longs;tat enim, quòd dum l de&longs;cendit, remouetur a b n c tru
tina, & m, quæ a&longs;cendit contra appropinquat. Videtur autem hoc
bifariam contra naturam: nam ut diximus pondus applicat &longs;e ad
rectam n c, quia uer&longs;us centrum, & etiam quia facit angulum ob
tu&longs;um, cum deberet, ut ab initio &longs;altem con&longs;tituere cum iugo re
ctum. Et de m nihil mirum e&longs;t, cum acutum, ut &longs;e ad lineam, quæ ad
centrum retrahat. Huiu&longs;modi præterij&longs;&longs;e Ari&longs;totelem, demiror,
quæ nimis fuerunt in con&longs;picuo, ut dubitem ne non &longs;uus &longs;it ille li
ber, qui eius penè nihil &longs;apiat præter ob&longs;curitatem. Tentan
dum e&longs;t igitur horum cau&longs;as a&longs;signare. nam quæ huiu&longs;modi po
te&longs;t e&longs;&longs;e doctrina ni&longs;i perfecta fuerit, in omnibus etenim nece&longs;&longs;e e&longs;t
aut omnia &longs;cire, aut ignorare. In hoc igitur dico, quod h f, &longs;eu l f,
&longs;emper æquidi&longs;tant n c trutinæ, ergo cum angulus f c n in clina
to iugo fiat obtu&longs;us de&longs;cendente pondere, & n c g a&longs;cendente pon
dere fiat acutus, ergo angulus l f c tantundem fiet obtu&longs;ior, & m g c
acutior, quanto anguli ad c tales &longs;unt. Et cau&longs;a e&longs;t quia n c ratio
ne ponderis e&longs;t directa ad centrum, ergo oportet, ut pondera l, uel
h, & m, uel k, &longs;i debent tendere ad centrum, ut f l, & g m æquidi
&longs;tent n c, ni&longs;i quantum e&longs;t pro di&longs;tantia f, à puncto c, & g a b eodem,
quæ comparata ad Circa hæc
tumuis exigua &longs;ufficit ad motus
uitate, & alijs. Et quae graue, quod expers e&longs;t &longs;en&longs;us, debeat &longs;equi ratio
nem Geometricam uix &longs;apientibus
per&longs;picua:
grauis &longs;it extra Ergo &longs;ola in clinatio ad hoc ut
nea E&longs;t ergo principium in &longs;ei
p&longs;o. In appen&longs;is &longs;imiliter.
Trutina enim, & finis iugi, & grauis
trum
& &longs;ola di&longs;tantia intercedat. & hoc e&longs;t primum.
Quia ergo
ex materia &longs;olida, mouetur ratione, quæ dicta e&longs;t, lances autem
oportet cum filis appen&longs;i &longs;int, ut puncta f & h, uell, & g k, uel g m
&longs;int in una linea cum centro terræ. Et quia l magis di&longs;tat a b f quam
h, & m a g magis, quam k, & oportet faciant eandem inclinatio
nem, quia anguli trutinæ cum iugó &longs;unt ijdem, & linea cl e&longs;t ma
ior c h, & c m, quàm c k in quouis &longs;itu, ergo &longs;patium, quod ambitur,
e&longs;t maius ergo per d e mon&longs;trata &longs;uperius l e&longs;t grauius h etiam
præter uinculorum additionem, & m grauius k. Quanto igi
tur longiores &longs;unt funiculi à libræ extremitate &longs;eu iugi, tanto gra
uius redditur pondus, quod tamen multi putant e&longs;&longs;e fal&longs;um: nec
aliquid referre, quòd &longs;it longum, aut breue &longs;u&longs;tentaculum.
Propo&longs;itio cente&longs;imadecima.
Si duæ &longs;phæræ ex eadem materia de&longs;cendant in
re eodem temporis momento ad planum ueniunt.
Supponitur quod ex eodem loco.
Sermo enim
ab&longs;urda &longs;ub interpretatione nunquam ni&longs;i ab inui
dio&longs;o, uel imperito intelligi debet. Sit ergo a tripla
ad b, &longs;phærula ad &longs;phærulam ex plumbo ambæ fer
ro uel lapide eiu&longs;dem generis, dico, quòd inæquali
tempore peruenient ad planum c d. Nam a propor
tionem habet ad b, ut uiginti&longs;eptem ad unum. pro
portio autem &longs;patij a ad &longs;patium b nonupla e&longs;t, &
proportio den&longs;itatis aëris ad aërem e&longs;t tripla, propterea quod den
&longs;itas illa multiplicatur propter impetus magnitudinem. nam &longs;i ro
bur, ut decem percutiat baculo lato, ut quatuor ictus erit maior du
plo, quàm &longs;it robur, ut quinque percutiat baculo, ut duo: propter
den&longs;itatem ergo maiorem aëris in a, quam in b: & quoniam &longs;i &longs;ub
maiore impetu mouetur
erit comparanda longitudini à centro a ad longitudinem a centro
b, quæ e&longs;t tripla. Si ergo &longs;ubtripla e&longs;t ratio motus b ad a, quod
ad medium attinet, tripla autem propter uelo citatem di&longs;ce&longs;&longs;us aë
ris à medio grauitatis, quod e&longs;t in &longs;uperficie e regione centri graui
tatis in linea ad centrum mundi, ut dictum e&longs;t in præcedenti: mani
fe&longs;tum e&longs;t, quod a, & b inæquali tempore peruenient ad &longs;ubie
ctum planum, & æquidi&longs;tans centris eorum. Similiter & in aqua:
quanto e&longs;t &longs;emidiameter a longior &longs;emidiametro b, liquet ex hoc,
quod æquali uelo citate de&longs;cendunt, &longs;ed ob uelo citatem motus in
aëre latet di&longs;crimen anticipationis contactus &longs;oli a ante b, qui di
gno&longs;citur in aqua, ex quo patet exactam e&longs;&longs;e æqualitatem. Sed re&longs;i
liunt &longs;emel in aqua ambæ, cum pluries in aëre a &longs;olo, quare etiam in
aqua perturbatur cognitio in parum accuratis, at que &longs;en&longs;u præditis,
&longs;icut etiam in ca&longs;u, ne altera alteram perueniat, utra que comprehen&longs;a
duobus digitis, altera alteram tangente, & u&longs;que ad centrum in
aquam demi&longs;sis &longs;imul digitis dilatatis dimittendæ &longs;unt.
Propo&longs;itio cente&longs;imaundecima.
Cur ex medio tela ualidiorem ictum, & naues in &longs;calmo à remo,
ac malo recipiant inde ex puppi explorare.
Ari&longs;toteles uidetur in Mechanicis, & qui eum &longs;equuti &longs;unt, ui
dentur rem nauticam quòd ad remos attinet, referre in longitu
dinem partis, quæ &longs;calmum tanquàm hypomochlium interiacet
& manum: ea enim circa medium nauis cum illa ibi &longs;it latior ma
ior e&longs;t. Sed & qui lembos ducunt, & in puppe magis di&longs;tant à
&longs;calmo & in prora, quàm in medio nauis, nec tamen uelo cius il
lam agunt: non quòd ratio illa fal&longs;a &longs;it, &longs;ed quia uelo cius ferun
tur etiam ob aliam cau&longs;am, quàm &longs;it hæc, & magis uniuer&longs;alem. Primum igitur &longs;umamus, quod &longs;uperiùs demon&longs;tratum e&longs;t &longs;cili
cet, quòd ubi pondus aliquod æquale undique tanquam in li
bra &longs;u&longs;pen&longs;um fuerit, proportio ponderis partium inæqualium
ad duas partes æquales, e&longs;t confu&longs;a ex proportione longitudi
nis earundem, & quadrato eiu&longs;dem proportionis. Sit ergo diui
&longs;a a b in c, & fiat c e æqualis c a: proportio igitur ponderis b e ad
pondus e a e&longs;t compo&longs;ita ex proportione b e ad e a, & quadrato
eius at po&longs;ita agi
na d g in medio a b, proportio ponderis b e
ad pondus ea e&longs;t, ueluti longitudinis b e
ad e a, igitur proportio
cum agina e&longs;t extra medium in c, e&longs;t tanto
maior proportione b c ad ea, quantum e&longs;t quadratum illius pro
portionis, ergo b e pondus maius e&longs;t, cum agina e&longs;t in c, quàm in d. igitur per
erit pondus a b minus &longs;emper cum agina e&longs;t in d, <08> in ullo alio lo
co a b. Ergo pondus a b apprehen&longs;um in d
maiore proportione, <08> in ullo alio loco. Ha&longs;tile ergo in medio ap
prehen&longs;um maiore ui mouebitur, quàm in ulla alia parte. Et &longs;i gra
cra&longs;sius, uel grauius propius cu&longs;pidi. Semper igitur ob hanc cau
&longs;am mota ex medio grauitatis, &longs;eu uelo, &longs;eu ramo, &longs;eu manu uelo
cius mouentur, quàm ex alijs partibus. In remo etiam pote&longs;t acce
dere illud commodum, cuius meminit Ari&longs;tcteles. Propter hoc igi
tur, qui malum in naui collo carunt tantùm unum, in medio fermè
eum collocarunt, ut antiqui: & qui duos aut tres, maiorem cra&longs;sio
rem &longs;cilicet, & altiorem in medio con&longs;tituerunt.
ti
Propo&longs;itio cente&longs;imaduodecima.
Cur ex imo leuia longius ferantur declarare.
Iam uerò
paratione ad medium, &longs;ed extremorum inuicem, mi&longs;&longs;a enim ab imo
uelo cius feruntur, quàm à medio non &longs;olum manu, &longs;ed &longs;corpioni
bus, & arcubus. Videmus & hoc ob&longs;eruare pueros uirgam lon
gius iacentes non ex medio, &longs;ed imo apprehen&longs;am, quoniam pars
ip&longs;a anterior, & quæ manu apprehen&longs;a e&longs;t, uehementi impetu emit
titur: & ut recipit impetum magis æqualem, longius fertur, nam
quod emittitur proportionem habet ad &longs;patium. Cum ergo appre
hen&longs;a in medio uirga &longs;olum medietate anteriore impetum recipiat
per &longs;e, ob id minus fertur: at impetus &longs;equitur proportionem, ut ui
&longs;um e&longs;t, quæ e&longs;t circa medium ob leuitatem ponderis. In leuibus
ergo maius &longs;patium &longs;uperabunt emi&longs;&longs;a ex imo, quoniam propor
tio &longs;patij eadem e&longs;t ad duplum, & ad dimidium. igitur ex imo fer
me duplum etiam &longs;patij &longs;uperabit: non tamen omnino quia maio
rem, ut dixi proportionem habet ad id, quod ex medio comprehen
&longs;um e&longs;t. At in leuibus non e&longs;t nece&longs;&longs;arium, ut ex medio apprehen
dantur, quoniam etiam cum incremento illo ponderis iam leuia
&longs;unt: plus ergo facit longitudo eius, quod eiaculatur, quàm impe
tus, cuius demon&longs;tratio e&longs;t hæc. Sit uirga
a b apprehen&longs;a in medio ponderis unciæ
mediæ, & in a d, ut &longs;it d a palmus, & uige&longs;i
ma pars totius a b, erit ergo re&longs;iduum ad duplum, a d nonuplum,
& a b tota unciarum quin que cum dimidia, &longs;i igitur grauetur, quia in
&longs;itu recto e&longs;t mediæ unciæ, in æquidi&longs;tanti terræ, quin que unciarum
cum dimidio, erit in &longs;itu dimidij recti unciarum trium. E&longs;t igitur
proportio &longs;excupla, &longs;i apprehendatur in medio, & ad æquidi&longs;tan
tem, ad apprehen&longs;am in imo, & ad angulum medium: at emi&longs;&longs;a ex
a d habet totum aërem a b circumdantem impul&longs;um ex c b &longs;olum
dimidium reliqua pars ui trahitur, ergo proportio &longs;patij a b, erit
&longs;exdecupla fermè &longs;patio b c, quoniam e&longs;t triplicata corporis ad cor
pus eius, quæ e&longs;t longitudinis ad longitudinem, & quadruplicata Et iam minus fere
batur quinta parte, ideo longius eiaculabitur triplo ex a, quàm ex
c. Nec tamen maiore impetu, quia obliquè fertur, & quæ obliquè
aëre enim circumambiente perturbantur, & in incertum trudun
tur. Quæ ergo grauia &longs;unt ex medio emi&longs;&longs;a, & ad æquidi&longs;tantem
longius feruntur, & maiore cum impetu, quia magis directè: leuia
autem longius ex imo, &longs;ed minore cum impetu, &longs;i aliqua cau&longs;a à re
cto, & æquidi&longs;tante declinauerint. At &longs;i à &longs;uprema parte, & iuxta
cu&longs;pidem, neque procul feruntur, neque cum impetu ob cau&longs;as di
ctas. Eadem quoque ratio e&longs;t omnium machinarum: ideò oblon
g&ecedil;longius eiaculantur, quoniam proportionem &longs;eruant ad cana
iem. Sed de hoc inferius agetur.
Propo&longs;itio cente&longs;imatertia decima.
Cur uirga longius mittatur à puero, quàm à uiro inue&longs;tigare.
Diligentia, & u&longs;us puerilis efficit, ut uirga feratur &longs;ecundum me
dium rectianguli: uir autem non con&longs;tanter iacit, & &longs;ecundum re
ctum, at rectus ince&longs;&longs;us in leuibus, quia ab aëre in obliquum defle
ctitur uirga ob longitudinem efficit, ut inflectatur infrà celerius, &
de&longs;inat citius motus, ac finiatur. Tertia cau&longs;a e&longs;t, quòd leui&longs;sima
non adeò recipiunt impetum ut grauia: nam leui&longs;simam & exigu
am ligni portionem maximo nixu uix excutiemus è manu. Cau&longs;a
ergo e&longs;t: quoniam uim, oportet, ut habeat, quod contra naturam
mouetur, ut naturaliter moueri po&longs;sit, quæcun que igitur naturaliter
exiguum habent motum, ut pluma, palea, fe&longs;tucæ nulla ratione ue
hementer contra naturam agi po&longs;&longs;unt. Quædam ergo à pueris lon
gius
niam ad angulum latiorem magis feruntur, quàm &longs;it rectus, quæ
dam quoniam leui&longs;sima &longs;unt. Sed &longs;i leuiora non feruntur ualido
motu uiolento, cur tamen à pueris iacta longius Ratio e&longs;t,
quoniam maior uis deficiente obiecto magis fatigatur, atque ideò
minus mouet. Propter hæc igitur omnia non &longs;olùm in pueris, &longs;ed
in machinis, quæ accommodata &longs;unt, melius impelluntur, aclon
gius feruntur, quàm leui&longs;sima. nam nec palea &longs;corpione iacta tam
procul, quàm &longs;agitta fertur, cum proportio maior &longs;it, tamen ad pa
leam, quàm ad &longs;agittam. Inde fit, ut quemadmodum Turca ille lite
ras &longs;ui Prin cipis, cum timeret ad no&longs;tros propius accedere, lapidi al
ligatas longius emi&longs;it. Cau&longs;am autem huius docet Ari&longs;toteles in
Mechanicis dum quærit cur, & grauia & leuia ualde longe proijci
nequeunt: nam grauia nimis, moueri
ualde ad rem mouere non ualent. Ob hæc utra que ex his paruo cum
Sed & leuia ferun
tur hac illac, ut non po&longs;sint retinere impetum prioris uiolentiæ: in
natum enim e&longs;t, ut duorum motuum &longs;imul in eadem re uigentium,
cum illa proprio impetu feratur, unus alterum impediat: nam &longs;i ro
ta uehatur circulariter acta, non tamen ce&longs;&longs;abit, aut iminuetur impe
tus circulationis. Multa ergo in huiu&longs;modi anomalis motibus con
&longs;ideranda &longs;unt, ut illorum impetum robur, aclocum definiamus.
Ex hoc liquet, cur plumbeæ &longs;phærulæ longius ferantur à tor
mento emi&longs;&longs;æ, quàm ligneæ, etiam &longs;i non fran gantur.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquartadecima.
Cir cularis motus differentias quatuor e&longs;&longs;e, earum qúe rationem
contemplari.
In motu circulari aut axis
Vtro que
autem modo uel mouetur ab axe, uel circumferentia, igitur con&longs;tat
quatuor e&longs;&longs;e motuum differentias: quas cum tres proponat author
libri Mechanicarum, aut Ari&longs;totelem illum e&longs;&longs;e, credendum non
e&longs;t, aut illum &longs;tupidum dicere nece&longs;&longs;e e&longs;t, nam modum diuidendi
eum latui&longs;&longs;e quis putet. cum rota igitur aut &longs;phæra in plano cir
cumagitur, motus e&longs;t ex circumferentia prægrediente axe: ut pa
lam e&longs;t: motis enim loco nobis mouentur omnia, quæ &longs;unt in no
bis. Cum uerò rotæ &longs;ub curru &longs;unt, progreditur axis earum, & rota
ob id cum quie&longs;cere nequeat, quia facilius circumuertitur, quàm
trahatur, procedit, & hic e&longs;t &longs;ecundus modus, quo rota ex circumfe
rentia mouetur, & ex axe initium e&longs;t motus. At uerò in rota molari,
& quibus gladij exacuuntur, cum loco non moueantur, motus e&longs;t
ex axe: axis enim rotam circumagit, non rota axem, quie&longs;cit tamen
in eodem loco rota, & axis &longs;cilicet, quia non progreditur, &longs;ed in lo
co mouetur: atque hic e&longs;t tertius modus. Demum &longs;uccula putei, &
ip&longs;a mouetur circulari motu, & trochleæ etiam, neque enim progre
diuntur: &longs;ed non ex axe mouentur, uerùm &longs;uccula per coloppes cir
cumducitur, & tro chlea per funes, axis que in &longs;uccula mouetur, in tro
chleis autem quie&longs;cit pror&longs;us: dico mouetur, id e&longs;t circumducitur,
non quod progrediatur: ut non &longs;olum &longs;int quatuor modi, &longs;ed po
tius quin que, nam & demon&longs;tratione o&longs;tenduntur, & experimento
do cente deprehenduntur. Horum omnium liberrimus e&longs;t, primus
ex cir cumferentia progrediente toto, &longs;eu attracto &longs;eu impul&longs;o & ue
loci&longs;simus, cuius cau&longs;am &longs;uprà o&longs;tendimus. Proximus huic e&longs;t mo
tus rotarum per axem, quoniam axis premit rotam interius &longs;o
lam, & labitur: ideo que quod & axis, & rota intus &longs;int leui&longs;sima, pro
de&longs;t plurimum: & aurigæ axungia inungunt, & nomen ab eo traxit Et quae rota magna &longs;it: quoniam cum
tur in æquali tempore & magna, & parua trahitur: utra que uerò una
conuer&longs;ione tantam
ria. Quod &longs;i plures &longs;int rotæ celerius feruntur, quia axis minus tan
to Et &longs;i rectus &longs;it axis, & bene rotundus, & foramen ro
tundum, & latius, & è duri&longs;simo ligno, ut non po&longs;sit in clinari: &
rota ip&longs;a in ambitu æqualis, omnia hæc faciunt ad motus uelo cita
tem, unde Homerus.
Id e&longs;t, ue&longs;tigia per cu&longs;sit pedibus, ante que illa puluis pedibus ex
cu&longs;&longs;us (ue&longs;tigia &longs;cilicet relinquentibus) ingrederetur. Principalis
autem cau&longs;a uelo citatis e&longs;t agens, uelut equi. Sed inter
& priorem medius e&longs;t Scitalæ uocatæ, nam ut in primo axis proci
dit & rotundum à &longs;uperficie circumagitur, licet axis etiam circum
ducatur, ut axis, & rota, aut &longs;phæra duplici motu moueantur, fci
licet antror&longs;um, & circumcirca, in rota currus duo ijdem motus
&longs;int, axis quo que antror&longs;um moueatur, &longs;ed non circumagatur: unde
impeditior e&longs;t hic motus: ita in Scytala utrun que utro que motu mo
uetur, & circumcirca, & antror&longs;um, at que id commune e&longs;t, cum pri
mo ita axis mouet rotas, non rotæ axem, quòd &longs;ecundo motui ro
tarum in curru proprium e&longs;t, ut tantum degenerent à primo motu,
quanto leuius uertuntur, quàm in &longs;ecundo motu. Trahitur ergo
iugum in &longs;citala, uelut in rotis currus,
&longs;ed e&longs;t annexum rotis non in curri
bus. Propterea in primo motu trahi
tur, uel impellitur à &longs;uperficie: in &longs;e
cundo a b axe, &longs;ed non affixo rotis, unde ægrè trahuntur in &longs;cyta
la ab axe affixo rot&ecedil;. Quare leuius quàm in curru, difficilius quàm
in rota uel &longs;phæra à &longs;uperficie extima circumacta. Quartus modus
e&longs;t, ut dixi, circumuecta rota ab axe, quum non progreditur, ut in
moletrinis, & rotis, quibus ferrum exacuitur. E&longs;t enim hic &longs;imilior
primo, quia contrarius, in primo enim procedit rota, & uertitur à
circumferentia, hic quie&longs;cit rota, & mouetur ab axe. Proximus huic
e&longs;t, qui fit in &longs;ucculis ob firmitatem axis: nam axis e&longs;t coniunctus
rotæ. Vltimus e&longs;t trochlearum, qui & difficillimus: &longs;it enim à cir
cunferentia, & axis di&longs;iunctus e&longs;t à trochlea: quod ad dit difficulta
tem. Sed & trochlea caret colloppibus.
Ergo uerum e&longs;t, quod o
mnia rotunda facilius circumaguntur, &longs;ed uaria ratione: nam plus
mota &longs;uper aliquo plano, ut in plau&longs;tris & &longs;cytalis: minus in &longs;uccu
lis, & rotis acuentibus ferrum, & molis: nam & &longs;i rotun ditatem iu
uet ob æqualitatem ad conuer&longs;ionem, non tamen in his e&longs;t ad eò Vtilitas ergo prima e&longs;t, cum circumuertitur in plano, uelut
in rotis &longs;cytalis, & &longs;phæris. Secunda quæ minor e&longs;t, cum à &longs;uperfi
cie circumuertitur, ut in trochleis. Tertia cum à coloppis, quæ mi
nima e&longs;t omnium, ut in &longs;ucculis. Motus autem cœli non e&longs;t ex tri
plici primo genere, cum &longs;it in loco, & non ad locum, neque ut rotæ
molaris: nam ille e&longs;t ex axe: necut in tro chlea: nam in ea axis quie&longs;
citip&longs;um autem cœlum circa axem non uertitur, &longs;ed cum axe, &longs;i ta
men in&longs;ecabilis linea circumagi pote&longs;t dici. Relinquitur ergo, ut
Cœli motus propior &longs;it motui &longs;ucculæ, quàm alij motui. Differt
ab eo in hoc, quod in &longs;uccula mouetur axis ab orbe: at in cœlo
ut non mouetur ab axe, ita nec axis ab orbe: cun que &longs;it motus &longs;im
plici&longs;simus, in alio genere collocandus e&longs;t: quando quidem in illo
nulla pars po&longs;sit dici primo, quod
Propo&longs;itio cente&longs;imaquinta decima.
Proportionem motuum impul&longs;ionis, & attractionis inter'&longs;e ab
eadem ui declarare.
Con&longs;tat, quòd attractio cum fune longiore ualidior e&longs;t, quam
cum manibus, quoniam e&longs;t cum motu quodam: motus autem au
get actionem, ideo attractio ualidior e&longs;t hac de cau&longs;a, &longs;ed & impul
&longs;io cum baculo ualidior e&longs;t, quam cum manibus, quoniam licet col
ligere omnes uires in illo baculo, & ip&longs;um applicare loco, unde fa
cilius impelli pote&longs;t. Velut &longs;phæra ex medio latere: nam ibi magis
colliguntur uires, & ad impellendum facilius e&longs;t, quodcun que leui
us e&longs;t. Pars autem magis remota à centro grauitatis e&longs;t leuior, his
duabus cau&longs;is, &longs;phæra ex medio latere facilius ac magis impellitur. Sed nos &longs;upponimus nunc applicationem æqualem e&longs;&longs;e, nam &longs;e
cus ad impellendum facilius e&longs;t applicare totum corpus, quàm at
tractionem. Pectore enim magna ui impellimus, nihil e&longs;t compar,
quo trahere po&longs;simus. Sed, ut dixi, &longs;it baculus applicatus alicui la
pidi ea parte, qua facilius pote&longs;t impelli & trahi, & quæritur, quæ
maior &longs;it uis, an attrahendi? & dico quòd homo, uel conatur trahe
re toto corpore, & impellere, at que hoc modo magis trahit, quàm
impellet, quoniam corporis pondus melius adhibetur in tractione
quàm impul&longs;u: uel citra corporis pondus, &longs;ed &longs;ola ui membrorum:
& tunc magis impellit, quoniam impul&longs;us fit corpore prono in
teriorem
in attractione in partem po&longs;teriorem. Sed ubi nulla &longs;it diuer&longs;itas
neque horum, neque figurarum æqualis uis æqualem efficit motum:
quia impul&longs;us impellentis comparatione e&longs;t attractio re&longs;pectu al
terius. Verùm non e&longs;t eadem uis nec propè par impellendi, at que
attrahendi hominibus, cum attractio fiat per mu&longs;culos ad origi
tum à natura delegatum inuenio, nam ad exten&longs;ionem mu&longs;culi &longs;a
nè ex aduer&longs;o &longs;unt fabricati: cum ergo duo &longs;int tantum motus mu
&longs;culorum ten&longs;io, dum
dum membrum quie&longs;cit in naturali nullus erit locus impul&longs;ioni,
ni&longs;i ex con&longs;equentia non per &longs;e, quamobrem multo infirmiorem il
lum attractione in brachijs e&longs;&longs;e, nece&longs;&longs;e e&longs;t.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;extadecima.
Cur machinæ ablongæ igneæ longius emittant &longs;phæram ex
plorare.
Quoniam ratio &longs;uperius adducta, neque in his, neque in hypophy
&longs;is (uocant cerbatanas) non pote&longs;t &longs;atisfacere, cum tamen idem &longs;e
quatur in his, ut in illis uidetur, qua&longs;i uis e&longs;&longs;e in &longs;phærula &longs;ic emi&longs;
&longs;a, & non in aëre, quemadmodum dicebamus, coniuncto e&longs;&longs;e. Ex
quo nece&longs;&longs;e e&longs;&longs;et, ut quod longius ferretur, etiam ualidiores ictus
inferret, hoc autem
non ita &longs;e habet, &longs;ed
ictus magnitud o
ex robore machi
narum tam ignea
rum, quam &longs;corpio
num pendet, nam
&longs;it a &longs;corpio ma
gnus, &longs;ed tenuis, ex
hòc palam e&longs;t lon
gius mittere &longs;agit
tam, quòd à parua,
& breui, quantun
uis cra&longs;&longs;a non lon
ge mittitur: at uerò
quod b cra&longs;&longs;us & paruus maiore cum impetu mittat o&longs;tenditur
nam ea pondera &longs;agittæ mouet, quæ non pote&longs;t mouere a, igitur b
ualidiore robore mouet, quam a. Prætera illud o&longs;ten dit iugum fu
nis arcus cra&longs;siora duriora, quæ maioribus uiribus
a, qui à puero tendi poterit. Non e&longs;t ergo eadem ratio mittendi
longius, & ualidiore cum robore. Eadem ergo cum ratio &longs;it in
machinis igneis, cra&longs;siores enim, & latiores ac breuiores magis
concutiunt, quam longiores tenuiores minoris &longs;phæræ capaces:
non &longs;olum ob mag nitudinem &longs;phæræ magis illæ concutiunt, &longs;ed,
ut dixi, ob maiorem impetus uim: cau&longs;a ergo e&longs;t manife&longs;ta in his,
&longs;ed non cau&longs;a, qua longius ferantur in longiore canali. Sed uide
Con&longs;tituatur can alis a b
lońgior, & c d breuior, ut &longs;it &longs;exqui alter a b ad c d, & &longs;it rur&longs;us
&longs;phærulæ locus e in longiore,
&longs;exqui alter in di&longs;tantia a b, qua
lis e&longs;t in f a d, & erit per dicta
ab Euclide in quinto, ac &longs;exqui
altera c f. Po&longs;&longs;emus igitur di
cere, quod uelut ab hypomo
chlio longiore &longs;patio circuma
gitur pondus: ita & a b c, & f. Sed rur&longs;us incidimus in id, ut
maiore impetu feratur e quàm f. Ideo &longs;i concedatur maiore ferri ex
e, quam ex f non &longs;equitur, ut celerius, aut maiore impetu. Percutit
puer pugno quanta ui pote&longs;t ac celerrimè, uir robu&longs;tus lentè, & mi
nore impetu, &longs;ed tamen ictus longè maior e&longs;t. E&longs;t enim ictus robur
non à uelo citate &longs;olum, &longs;ed maiore ex ponderis grauitate, quæ &longs;ola
premit, urget, & frangit etiam &longs;ine motu. Solum ergo id re&longs;tat du
bium, cur &longs;i grauius e&longs;t, moueatur eodem ferm é impetu: nam quo
maiore impetu fertur, eo longius fertur, non tamen magis ferit, con
cutit, aut qua&longs;&longs;at, &longs;ed grauitas ad hoc plus facit impetu. Palea maxi
mo impetu demi&longs;&longs;a non ferit, non ledit, & celerius de&longs;cendit, fer
rum &longs;ola grauitate actum, imò etiam temperato ictu lædit graui
ter, qua&longs;&longs;at, & frangit: itaque f maiore indiget quantitate pyrij pulue
ris, quàm e: &longs;iquidem tertia parte ponderis &longs;uæ &longs;phæræ: at maius
e&longs;t pondus f quam e, ergo maius pondus pulueris f quàm e, ergo
maior uehementia ictus, &longs;iquidem ea &longs;equitur, robur cau&longs;æ mouen
tis &longs;im pliciter: ut concludamus longitudinem ictus &longs;equi propor
tionem motoris ad motum, &longs;ed uehementia robur motoris: nam &longs;i
ex portione mouet æquale pondus maiore cum impetu mouet,
quoniam maior e&longs;t proportio: &longs;i minore igitur pondus maius e&longs;t,
&, ut dixi plus facit magnitudo ponderis cum leui ictu, quàm ma
gnitudo ictus cum leui pondere. Quæ ergo feruntur per longio
res canales maiore impetu feruntur, & &longs;ocietatem
per longius
motus confirmata e&longs;t, & proportio eius, quòd mouet, maior e&longs;t ad id,
quod
tione Quod
Propo&longs;itio cente&longs;imadecima&longs;eptima.
In cuniculis maior e&longs;t uis pulueris copio&longs;ioris ampliore in &longs;pa
tio, quàm paucioris in minore iuxta proportionem eandem.
Sit &longs;patium f d &longs;exqui tertium b e, puluis quo que in f d &longs;patio &longs;i
militer &longs;exqui tertius pulueri b e pondere, & manife&longs;tum e&longs;t, quod
dum conuertitur in ignem quali&longs;cun que &longs;it proportio (modo eadem
ignis ad puluerem) erit ignis in f d pariter &longs;exqui tertius igni in b e,
dico quòd &longs;i cra&longs;sities f d &longs;it etiam &longs;exqui tertia cra&longs;sitiei b e, quod
poterit frangi, & moueri f d quie&longs;cente b e. Vnde idem in cuniculis
ut magnus cuniculus cum multo puluere po&longs;sit mouere montem
paruus cum puluere proportione re&longs;pondente priori non po&longs;sit. Nam cùm æqualia &longs;int omnia iuxta que rationem eandem, nece&longs;&longs;e e&longs;t
ut pro ratione extendantur, at in paruo &longs;patio minor fit den&longs;itas c&ecedil;
tera paria &longs;unt, ergo à paruo &longs;patio non tantus fit impetus, quantus
à magno. Impetus etiam proportionem habet ad
iunctionem, à maiore igitur impetu plura, & maiora mouentur, &
conuelluntur, quam à minore, ob hæc igitur minores cuniculi &longs;uc
cutiunt, maiores euertunt, maximi exturbant, & proij ciunt. Nam
qui &longs;uccutiunt, ubi pondus, aut coniunctio maior &longs;it, quàm ut di
&longs;trahere po&longs;sint, conden&longs;ant partes proximiores, & rimas faciunt,
per quas exhalat ignis aut omnino extinguitur, aut conden&longs;atur. At ergo in bellicis machinis, minus dilatat puluis, cum fuerit in lon
go canali, ob id ergo maiore impetu feruntur per illas, quàm per
breuiores, etiam quòd minor &longs;it puluis, minor &longs;it ignis. Experimen
tum facies in canali, ubi &longs;ambuci medulla pro globulo flatu impel
lente expellitur ab&longs; que periculo: nam quanto minor fuerit canalis
ambitu ac longior eo maiore impetu pellitur. For&longs;an qui&longs;piam nos
meritò poterit uideri
nitio&longs;a humano generi do ceam. Quibus re&longs;pondeo, me nihil do cu
i&longs;&longs;e, quod ín humani generis detrimentum cedat, huiu&longs;mo di que pr&ecedil;
cepta iam ob&longs;cura&longs;&longs;e, ut ne quid mali accidere po&longs;&longs;et hominibus ex
his:
ip&longs;imodi artis
tur. Vt cum ad copiam, ad magnitudinem, ad coacta imperia mi&longs;e
rorum re&longs;picio, nihil plus po&longs;sit addi. Omnia enim hucu&longs; que
ad potentiorum in crementa. An ergo &longs;uccurrere afflictis, ob&longs;e&longs;sis,
cinctis, æquare
cebit? Ab initio fuimus omnes liberi: excogitata fuit regni ratio ad
commodum hominum, ea uer&longs;a e&longs;t per uim in Subtili
ergo ratione
mis, ut dixi, qu&ecedil; ad cuniculos ad
ictus ad
fertur, nota &longs;unt improbis illis artificibus, nec no&longs;trum e&longs;t &longs;pectare,
cur id licuerit, po&longs;tquam Deus hanc uiolentiam e&longs;&longs;e uoluit. Multa
damnamus,
bus,
ca multis, & exigua magnis. In c&ecedil;teris ob&longs;curare ita decet cuncta,
obe&longs;&longs;e po&longs;&longs;unt, aut quouis modo puerti ad malos u&longs;us
cta
tis uiri.
Propo&longs;itio cente&longs;imadecimaoctaua.
Quanta proportione decedat ictus in obliquum parietem ab eo,
qui e&longs;t ad perpendiculum declarare.
Sit paries b d e, ex a
e&longs;&longs;et in c d
ualidi&longs;simus, &longs;in uero in f g abraderet, & Quæritur ergo ex b d e muro
qualis excipietur? erit ergo proportio anguli c d a ad
ueluti ictus a d in d c ad
nem,
acutior,
d a nonuplus ip&longs;i dimidio, & ad Si ergo
ictus &qring;d tres, cuius demon&longs;tratio h&ecedil;c e&longs;t. Supponamus
b d c ad ictibus centupla erit in d c ad
millecupla: nam
ad perpendiculum <08> in b d e
erit ergo
cundo ictu decuplo magis
centuplo magis ictibus c d turris, <08> b e, & ita in
tribus: ex
ex decë c d Imo ut
e&longs;t multo minus repetita ratione multiplicis. Ob id in arce
lanen&longs;i
uallo que
res. Fiat ergo murus cuius proportio a d c ad b d a &longs;it &longs;ex
quitertia, erit que angulus b d c
natis,
gnitudinis, at que duritiei, ac adeò benè coniunctus fer
reis cathenis, ac &longs;tolonibus, ut po&longs;sit re&longs;i&longs;tere
rentium
quin quaginta:
ta, ut in numeris uides, efficiat quinquies replicatis nouem
ictibus, fiet proportio decupla quinquies producta, qu&ecedil; e&longs;t cen
ergo peruenit ad quinquaginta ictus rectos nece&longs;&longs;e erit, ut
recta &longs;i e&longs;&longs;et quin quaginta &longs;olùm potui&longs;&longs;et &longs;u&longs;tinere. Quæ ergo hu
mana potentia &longs;ufficeret. In arce Medio
in illis extuberationibus lapideis. Sed quoniam hic occurritur per
inclinationem machinarum, ideò de hoc
Propo&longs;itio cente&longs;imadecimanona.
Quantum ictus machin&ecedil; procliuis ad
Huiu&longs;ce cau&longs;a
a b <08> d e duplici cau&longs;a, &
ignis, &
&longs;uperior in b retineat Sed caui
tas fiat maior in inferiore parte: cuius
quiliber facere pote&longs;t Huic ergo &longs;olertiæ,
tormenta iubet altius collocare ob&longs;tat
ictus ex decliui &longs;itu periculo&longs;ior e&longs;t pro machina, & ma
ximè &qring;d retro impellit, quae ex retro ce&longs;&longs;a, po&longs;t <08> exone
rata e&longs;t,
rium
tiplicatione Habet &
dum &longs;itus muri accliuis
&longs;u&longs;tinet: adeò ut omnib.
diculo, et &ecedil;quidi&longs;tanti ad Venetus.
S. aliter Patauij cauit,
uidetur que, quae &longs;apienti&longs;simus &longs;it, & eandem &longs;equatur ubi que normam,
po&longs;t <08> in
ta, ac pro fundi&longs;sima aqua que perenni muniuit, &
po&longs;&longs;et euerti, à lateribus uerò humiles, ac cra&longs;si&longs;simas turres, ut nul
la ui po&longs;&longs;ent dirui, eas que tormentis bellicis, undi que latera lu&longs;trantib. reple&longs;&longs;et, illud diligenti&longs;sime cauit, ne murus humilior e&longs;&longs;et aduer&longs;a
ripa, &longs;ed ad
&longs;is &longs;ph&ecedil;rulæ non tangerent
&longs;uum, excedat
in ambitu e&longs;t uno ictu oculi cogno&longs;ci po&longs;sit, & aggeris angulus ma
ior &longs;it uno pa&longs;&longs;u,
utictus in Eam ob cau&longs;am
lum, aut planta, uel colliculus e&longs;&longs;et cir
cum circa
periculo h&ecedil;c urbs, ne tota &ecedil;dificijs euer
&longs;is concidat.
dicit, ut in Nouo ca&longs;tro in Melit&ecedil; In&longs;ul&ecedil;
arce S. Elmi appellata plu&longs; <08> mille icti
bus in &longs;ingulos dies imo M D obtundere Eum que impetum producere ad quindecim dies, & ui
ginti tum etiam longius, ut facilè domos omnes euertat, homines
occidat: &longs;i qui &longs;uper&longs;unt tot in commodis obruuntur uigilijs, fame,
&longs;iti, puluere, ut inutiles red dantur. Ideò huic
aggeribus intra mœnia erectis, in quos uis
emoritur. Sed dices, cur ergo non pro muris erigere eos præ&longs;tat, &
minore &longs;umptu &longs;atis? quoniam &longs;ubruuntur à fo&longs;&longs;oribus facillimè, &longs;i
ad illos peruenire po&longs;sit ho&longs;tis. Ideò intra m œnia utili&longs;simi &longs;unt, pro
mœnijs parum pro&longs;unt. Quod uerò ad te&longs;tudines attinet, &longs;ub qui
bus
tior prohibent omnino iniuriam, qu&ecedil; ab his imminet. Cæterum hu
iu&longs;modi cum in longum
uijs, frigoribus omnino
&longs;ufficere po&longs;sit. Rhodus, Alba regia, Melita, Ca&longs;trum
tium, &longs;i diferri potui&longs;&longs;ent tempora, non ce&longs;si&longs;&longs;ent uictori quantum
uis &longs;uperbo. Vicit pertinacia, audacia que &longs;umma,
capere Mul
tæ machinæ, & pauci homines prædæ ob&longs;e&longs;&longs;orum expo&longs;itæ &longs;unt:
pauc&ecedil;, & pauci homines ob&longs;idebuntur potius, quam ob&longs;idebunt. Exercitus magnus di&longs;&longs;oluitur, & &longs;emetip&longs;um con&longs;umit, &longs;i nulla fiat
acce&longs;sio aut exigua quomodo &longs;tabit: &longs;i magna auxilia omnia cor
rumpuntur. Contrà ob&longs;e&longs;sis auxilia &longs;i ueniant lu&longs;trata, & munita, et
omnibus nece&longs;&longs;arijs ornata uiri integri
pore, armati contra inermes, alacres contra torpidos &longs;uperueniunt. Ob id præcipuum e&longs;t auxilium pr&ecedil;ter h&ecedil;c his, qui oppugnantur co
pia militum, qui per initia nun <08> quie&longs;cant diu noctu que,
duo tubicines per&longs;æpe Serio
&longs;unt: mira euenire &longs;olent in his in&longs;peratis, ac audacibus eruptionib. per&longs;&ecedil;pe
Ita
uel omnino à cepto de&longs;inat ho&longs;tis, aut
tius <08> nam
gn&ecedil; uires &longs;uo arbitrio
potiri locis Etenim
tra
litur
euer&longs;io ab imo per machinas, cuniculi, &longs;eu &longs;uffo&longs;sio, urbis euer&longs;io, &longs;eu
pter
&longs;&ecedil;: nihil. n.
re&longs;i&longs;tit immen&longs;&ecedil; illi pote&longs;tati, & crudelitati
eru
Et longum e&longs;t opus &longs;iue per paucos, &longs;iue per multos quis ef
ficere conetur: ut non minus exigat temporis, quàm ob&longs;idio: nam
multitudine unus alterum impedit, & mortui uiuos, ut omnino res
&longs;it non &longs;peranda ni&longs;i aduer&longs;us inerti&longs;simos. Pontes euertunt machi
næ, ignes que. Sed ubi etiam muros obtinuerint ob rotunditatem in
illis con&longs;i&longs;tere non po&longs;&longs;unt. Inde à defen&longs;oribus propul&longs;antur &longs;ari&longs;
&longs;is, telis, ignibus, tran&longs;uer&longs;is trabibus, machinis: illudque accedit com
modi, ut quanto plures eo facilius excutiantur. Dixi non debere
uereri maxima etiam præterid, quoniam & i&longs;t&ecedil; ip&longs;&ecedil; tanto &longs;anguine
acqui&longs;it&ecedil; tanto deorum & hominum iniuria modica &longs;cintilla ignis
&longs;ine munitionibus, exercitibus, &longs;iue machinis, ab&longs;que terræ
neIn illam mi&longs;eram lachry
mam patris &longs;cintilla ignis inferni, cùm Deo placuerit,
quod
unius filij, uix uno lu&longs;tro toto di&longs;&longs;oluitur. Hanc
etiam genio &longs;ecum ex utero detulit Alexander Magnus. In alijs alij
genium &longs;ortiti &longs;unt, alij Ex imperio A&longs;&longs;y
riorum per luxum Sardanapalus: ex Medorum per
ges: ex Di
ces, h&ecedil;c quid ad proportionem? Imò uelut machina ad
librata pauculo illo puluere Pyrio
ni ignis &longs;emini magni tyranni indita euertit at que di&longs;&longs;oluit totum re
gnum &longs;ine machinis, ut dixi, uel exercitibus ullis, & quod maius e&longs;t
remedio nullo. Sed puerulo indito luxus, ignauiæ, crudelitatis at que
&longs;tultiti&ecedil; fontibus, mirabile dictu &longs;anè, & ad proportionem diuino
rum Sed redeamus ad in&longs;titutum: Video
enim, quid po&longs;sit obijci, &longs;cilicet muros cra&longs;&longs;os, et altiores tueri
& ædificia illius po&longs;&longs;e ab&longs;que aggeris erectione, & &longs;i
etiam nihilominus imo magis, quod e&longs;t terram, u&longs;que
ratione manet, quia concuti non po&longs;sit à machinis: nec ho&longs;tes id cu
raturos, &longs;perantes hoc Verùm ni fallor, ut paruis arcibus à tanta ui tormentorum nullum
e&longs;t
geri confidant, nam & pauci homines tanto labori non &longs;ufficerent,
& agger cum fo&longs;&longs;a effo&longs;&longs;a &longs;cilicet terra defen&longs;ores nimis in
cogeret. At in urbibus contra eueniet: muris enim erectis altius ma
chinæ lapidum fru&longs;tis hominem
te ob coniunctionem inferior concutitur, & in de
ut uidimus Papi&ecedil;, quo
aditus ad &longs;ubruendum reliquas partes
ingre&longs;&longs;um ho&longs;tibus exhibent. Tum uerò magis, quod non confi
dunt animo
breui tempore ex&longs;truere, & etiam intelligunt, antequam erigatur,
patere à lateribus introitum ho&longs;tibus.
Propo&longs;itio cente&longs;imauige&longs;ima.
Proportionem partium nauis ad eundem obliquum uentum
explorare.
Sint mali in naui a b c, ad b e, c fuentus è regione g h k etiam ad
perpendiculum feratur, ut anguli g d a, h e b, k f c &longs;int æquales, dico
tamen diuer&longs;o modo affici: nam cum premitur a uer&longs;us l, c premi
tur uer&longs;us f: at &longs;i prematur cuer&longs;us n a, premitur uer&longs;us d, at &longs;i pre
matur b uer&longs;us m, & a uer
&longs;us l, &longs;ed non quantum ex
g d, & cuer&longs;us n, &longs;ed non
quantum ex k f, ab eodem
ergo uento contrarij mo
tus efficiuntur ex uelorum
diuer&longs;itate, etenim per uen
tum d feretur ad meridiem
nauis, & per uelum f ad Se
ptentrionem etiam didu
cto auxilio e l a ui, quanto
magis cum illo: & &longs;i uen
tus excipiatur in f uelo,
non iuuabit clauus, & &longs;i in
d dirigetur, & temperabitur motus, & &longs;i in e medio modo. Ergo &longs;i
uentus feratur rectè iuuabit, ut dici &longs;olet omnibus, & plenis uelis
excipere, &longs;i ex obliquo demittere antennam puppis, &longs;in autem ual
de obliqu us &longs;it, &longs;olo proræ uelo utemur. Si ualidior quàm oportet
humiliore. Atque hæc po&longs;tmodum &longs;unt diligenter numeranda, ac
metienda: nunc &longs;ufficiat cau&longs;am reddidi&longs;&longs;e, & admonui&longs;&longs;e diuer&longs;i
tatis motuum, quæ ex uelis contingit: nam eò fertur nauis, quò
prora dirigitur. Ergo cum puppis tanto feratur uer&longs;us meridiem
a b, quanto prora uer&longs;us meridiem a d, & quanto puppis fertur uer
&longs;us
fertur uer&longs;us meridiem a d, tanto uer&longs;us boream a b f, &longs;ed &longs;itus claui
pote&longs;t multo plus in comparatione ueli d, quam f &longs;cilicet, quia di
&longs;tantia a b a e&longs;t o a, & di&longs;tantia e c e&longs;t o c, tanto plus ergo pote&longs;t cla
ui &longs;itus in comparatione ad uelum d, quam f, quanta e&longs;t proportio
d, quam f, ergo uelum d minus agit nauim, quam f. Sed ut extrema
&longs;e habent, ita medium eorum comparatione, igitur malus b e uali
dior e&longs;t, multo d a, & infirmior c f. Verùm, ut dixi, ob &longs;itum &longs;impli
citer ualidius e&longs;t, uelum e quam f, & etiam quia, ut dixi, altior &
era&longs;sior &longs;olet e&longs;&longs;e, ideo multo ualidior tribus his cau&longs;is, quàm e f:
adde quartam quòd uelum habet maius, antiquo tempore uoca
tum acatius. At ut etiam docui c b non e&longs;t in medio, nec æquidi&longs;tat
ab a d & c f, &longs;ed in clinatur ad proram ideoque imbecillior: cum ergo
&longs;it æqualium, & paulo maiorum uirium, quàm c f, & tutior, & me
lius agatur per
pterea b e mali, & ueli maximus e&longs;t u&longs;us: adeò mali nomen per an
tonoma&longs;iam de ip&longs;o &longs;impliciter intelligatur.
Propo&longs;itio cente&longs;imauige&longs;imaprima.
Flabelli uires, at que naturam declarare.
Sit flabellum a b c appen&longs;um, ut &longs;olet, in a, & moueatur motu
qua&longs;i circa axem p a q in parte inferiore, & aër comprehen&longs;us &longs;ub
b h k, & &longs;patium &longs;it 1 m figuræ nauicularis, quæ con&longs;tat e&longs;&longs;e par
tem cylindri inanis ex formatione ab Euclide &longs;cripta: nam &longs;i pro
poneretur p a q ad perpendiculum &longs;uper&longs;tans plano, fieret circum
ducta a b c &longs;uperficie, quæ e&longs;&longs;et lata &longs;uperius, &longs;icut etiam inferius
cylindrus: at &longs;uperius a b tenuis e&longs;t, & angu&longs;ta, ergo fiet pars cy
lindri inanis: quia non circunuoluitur, donecredeat. Ergo per di
cta &longs;uperius &longs;ectio illius p r q s per axem e&longs;t pars cuiu&longs;dam elly
p&longs;is. Et &longs;ectio quæuis planæ &longs;uperficiei æquidi&longs;tans a b cuelut tu,
item que æquidi&longs;tans axi p a q e&longs;t &longs;uperficies rectangula, quarum
una e&longs;t &longs;imilis, & æqualis b h k, e&longs;t in una &longs;uperficie cum axe p a q
alia uerò e&longs;t æquidi&longs;tans eidem axi maior aut minor æquidi&longs;tanti
um, & ip&longs;a laterum, at que rectangula ac &longs;i cylindrus &longs;tans axi plano
æquidi&longs;tanti &longs;ecaretur iuxta longitudinem &longs;eu altitudinem &longs;uam:
& manife&longs;tum e&longs;t, quod i&longs;ta duo plana, & eorum &longs;uperficies &longs;ecant
&longs;e mutuò ad rectos angulos.
Quibus con&longs;titutis, qui &longs;tabunt iuxta l, & m longitudines aëris
moti, & loci, per quem tran&longs;it flabellum, &longs;entient magnum uentum,
quoniam cum corpus m x l ab extremis partibus &longs;it elatius a b ex
tremis, &longs;tantes, & alti tangentur à uento agitato. Si uero &longs;edeant, aer
primum non attinget illos, ut etiam quia &longs;ur&longs;um pellitur non per
ueniet ad illos, imò diffugiet, ergo non refrigerabuntur. Qui uerò
à lateribus l x m
et ab illis, cum autem fuerit in x, erit in loco humiliori, & mouebi
contactu, neque motu, qui
fiet per æquidi&longs;tantem f,
& g non poterunt refrige
rari. Sed &longs;i humili loco &longs;e
deant, quoniam aër de&longs;cen
dit, ex l & m uer&longs;us x, &
etiam, quia erunt proximi
h k,
gerabunturQui
frigerabuntur
lulum in reditibus propin
quis, & neque &longs;tantes,
&longs;edentes
tur h k. Rur&longs;us &longs;i b h k fue
rit grauior eodem, ut de
&longs;cendat tanto impetu,
to
pote ex ligno tenui nucis,
tunc multo magis refrige
rabit, & procul,
ualidiorem, &longs;ed quoniam
celerius occur&longs;antes &longs;ibi
contrarijs motibus, ac
hementibus
tium aëris, & ideo in ambitum impelletur, & undique cubiculum
refrigerabit, quod non faciet maius longè flabellum lento motu
agitatum, aut ex materia leui. Idem multo magis contingeret, ubi
duo e&longs;&longs;ent flabella laquearibus appen&longs;a, quæ ad perpendiculum
flabella rotunda e&longs;&longs;ent, tunc maiorem ambitum aëris occuparent,
& uelocius deficientibus angulis mouebuntur.
Propo&longs;itio cente&longs;imauige&longs;ima&longs;ecunda.
Contemptus circa &longs;olis rationem in umbris declarare.
Con&longs;tat primùm &longs;olem, & excentro, & toto eius ambitu illumi
nare hanc primùm diuer&longs;itatem, quæ aliquando tota diametro
computata dimidium unius partis totius cœli excedit: &longs;cioterici
negligunt, ut exiguam. Secundò etiam diuer&longs;itatis illius, qua mo
dò à terra uer&longs;us ab&longs;idem defertur, modò ad terram de&longs;cendere to
tidem uariata altitudine, non parum nullam habent rationem, &longs;eu
&longs;eu quòd incertum adhuc &longs;it, an id uerè &longs;oli accidat. Tertium e&longs;t fi
nis umbræ ip&longs;ius gnomonis, qui incertus e&longs;t, ut pars non contem
nenda in dubium uertatur, quoniam &longs;en&longs;im ex ob&longs;curo in illumi
natum feratur, attamen contemnitur etiam. Quartum quòd cum
&longs;ol moueatur in &longs;pira, fingitur qua&longs;i in parallelo æquinoctiali circu
lo circumagatur ab his, qui horologia de&longs;cribunt. Quintum quòd
cum inæqualiter in orbe &longs;uo moueatur quanuis exigua &longs;it hæc dif
ferentia, æqualiter Sextum e&longs;t, quòd
dies æquales &longs;upponuntur, qui tamen tum ex ratione partis pera
gratæ, tum ratione a&longs;cen&longs;us
qualitas Sed & h&ecedil;c ut
prior ratione magis,
&qring;d oritur ex ui&longs;us circulo &longs;eu horizonte, & circulo tran&longs;eunte p cen
tum e&longs;t &longs;emidiameter terr&ecedil;,
&longs;tis, &longs;ed e&longs;t in&longs;en&longs;ilis quantitatis.
mone umbra, & radijs &longs;olis latera non mutant lineas, quæ à &longs;ole ad
centrum terræ deueniunt, nec quòd maius e&longs;t, radius &longs;olis ad uerti
cem hominis breuior habetur femidimetiente. Hæc
otericorumVerum quatuor
tantùm altitudinem poli regionis locum &longs;olis in eclyptica locum
&longs;olis in circulo æquinoctialis, uel æquinoctiali parallelo, ex qui
bus tribus fit altitudo &longs;olis, una in circulo &longs;cilicet uerticali ab hori
zonte, & differentia lineæ meridianæ à linea uer&longs;us polum, quam
o&longs;tendit lapis Herculeus, de qua dictum e&longs;t &longs;uperius.
Propo&longs;itio cente&longs;imauige&longs;imatertia.
Cognita ratione umbr&ecedil; ad gno
monem &longs;inum, & arcum altitudi
nis ab horizonte quouis tempo
re digno&longs;cere.
Sit circulus magnus, in quo &longs;ol
a f g &longs;uper&longs;tans ad perpendicu
lum circulo ui&longs;us f e g, quos mani
fe&longs;tum e&longs;t tran&longs;ire per idem cen
trum mundi c, quia magni &longs;unt, &
&longs;it c d erecta ad perpendiculum
&longs;uper f g, nam perinde e&longs;t per &longs;e
ptimum contemptum, ac &longs;i &longs;uper
ficies horizontis tran&longs;eat per terr&ecedil; centrum, & pedes per octauum,
ideo proportio e c ad c d umbræ ad gnomonem, ut b e ad b a, ergo
octauum contemptum e&longs;t dimetiens circuli, ergo a b &longs;inus notus,
& arcus f a, quod e&longs;t primum cognitum. Et hic quidem circulus
uerticalis dicitur, quia per illum tran&longs;it, aliter non e&longs;&longs;et ad perpen
diculum horizonti.
po&longs;.
Ex hoc &longs;equitur, quod altitudines &longs;olis æquales omnes in uno
&longs;unt circulo horizonti parallelo. Et &longs;i &longs;ol fuerit in uno circulo ho
rizonti parallelo, altitudines &longs;olis, & umbræ magnitudines æqua
les erunt.
Sol ni&longs;i bis in una die pote&longs;t e&longs;&longs;e in circulo horizonti parallelo,
&longs;emel ante meridiem, & &longs;emel po&longs;t, tantundem ab eodem di&longs;tans.
Cum ergo ita &longs;it, nece&longs;&longs;e e&longs;t umbras æquales, & circulum hori
zonti
bus, præterquam cum in punctis fuerit æqualis ab &ecedil;quinoctiali, &
in eandem partem declinationis, & hoc bis
pro quolibet circulo parallelo, &longs;icut in eodem die etiam bis
ut dictum e&longs;t.
Nam exempli gratia, cum &longs;ol e&longs;t in initio Capricorni, & in Cœli
medio, minima e&longs;t umbra eius diei, & totius anni. Cum ergo fuerit
ante meridiem, uel po&longs;t, erit umbra maior ex &longs;uppo&longs;ito &longs;ecudo um
bra meridiei: at ei æqualis poterit e&longs;&longs;e umbra meridiei alterius diei
ex primo &longs;uppo&longs;ito, ergo umbræ æquales diuer&longs;orum dierum fi
unt &longs;ub diuer&longs;o &longs;itu &longs;olis, quo æd circulum meridiei, quod erat de
mon&longs;trandum.
Ex hoc &longs;equitur, quod horarum determinatio fit &longs;ecundum line
am in æqualem obliquam, quæ toti anno &longs;eruiat, ut æqualium um
brarum determinatio hararum & partium eius numerum.
Ex quo colligitur modus faciendi gnomonem, &longs;eu per umbras
rectas, &longs;eu per uer&longs;as, qui docebit toto anno non
menta
Propo&longs;itio cente&longs;imauige&longs;imaquarta.
Proportionem umbræ uer&longs;æ e&longs;&longs;e ad gnomonem, uelut gnomo
nis ad umbram uer&longs;am.
Vmbra uer&longs;a dicitur, quoties gnomo in pariete ad perpendicu
lum figitur, &longs;ic ut gnomo æquidi&longs;tet circulo horizontis. Sit ergo
paries c k ad perpendiculum f g, & h k a d gnomo ad perpendicu
lum parietis & &longs;ol, ut prius in a, & &longs;it primo k h tantæ longitudinis
ut umbræ locus &longs;it
trin que æqualis, & propterea triangulus k h d &longs;imilis d c e. Sit modo
gnomo maior m l ip&longs;o h k & c l maior c k &longs;eu æqualis, & quam an
guli k & l recti &longs;unt, & anguli l m n, & k h d æqualis, quia a n, & a c
anguli &longs;imiles, igitur proportio l m gnomonis ad l n umbram
ut k h gnomonis ad k d umbram, &longs;ed k h, ad k d, ut c e umbræ ad c d
gnomonem: igitur proportio l m gnomonis ad l n
bræ c e ad c d gnomonem, quod fuit demon&longs;trandum.
mi
E
Ex hoc primùm patet & pr&ecedil;cedenti, quod cognita proportione
umbr&ecedil; uer&longs;&ecedil; ad gnomonem cogno&longs;citur &longs;inus &longs;olis, & arcus altitu
dinis in circulo magno, & e&longs;t altitudo ab horizontis parte, quæ
proximior e&longs;t loco &longs;olis, ut demon&longs;tratum à nobis in Geometricis.
Se quitur etiam, quòd cùm umbra fuerit æqualis gnomoni, &longs;eu
recta, &longs;eu uer&longs;a &longs;olis, uel Lunæ, uel &longs;tellæ, altitudo erit partium qua
draginta quin que: nam anguli d & e, uel d & h erunt æquales: igitur
arcus f a medietas quartæ ideò partium xlv. Et &longs;i gnomo fuerit ma
ior umbra uer&longs;a, uel minor recta, erit arcus f a minor xlv partibus, &longs;i
contrà maior. Et hoc ubique terrarum.
Et ubi non po&longs;sit tantundem
eleuari, ut quando &longs;ol e&longs;t &longs;ub circulo capricorni, nunquam nobis
gnomo æquabitur umbræ rectæ &longs;ed &longs;emper erit minor, & &longs;emper
maior umbra uer&longs;a pari ratione.
E
&longs;exti
E
Propo&longs;itio cente&longs;imauige&longs;imaquinta.
Proportionem dimetientis, & peripheri&ecedil; cuiuslibet circuli paral
leli æquinoctiali per cognitam partem magni circuli demon&longs;trare.
Hæc erat tam clara, ut hic locum non mereretur: tam nece&longs;&longs;aria
huic propo&longs;ito, ut non potuerit omitti. Sit ergo Aequinoctij circu
lus a b portio circuli magni nota, a c parallelus circulus, &ecedil;quinoctij
circulo c d, erit igitur &longs;inus c d notus. Et ideò
ergo & pars utraque b d d a nota. Quare detracta a d ex d b relin qui
tur d g æqualis f c diametro paralleli a&longs;signari. Quare proportio
a b ad e f nota ex obiter &longs;uprà demon&longs;tratis, & pariter ambi
tus circuli a b ad ambitum circuli c d, e&longs;t enim ut dimetientis ad di
metientem.
& 8. & 17.
di
P
Propo&longs;itio cente&longs;imauige&longs;ima&longs;exta.
Circuli horarij naturam declarare.
Circulus horarius e&longs;t circulus magnus
tran&longs;iens per
&longs;ydus, de quo agitur, & per polos mundi,
ideò differt à circulo priore altitudinis So
lis, quia ille &longs;tat ad perpendiculum &longs;uper
horizontem, ni&longs;i cum tangitur uice meridi
ani, uterque tamen tran&longs;it per
ac &longs;olis. Hic etiam ad &longs;imiles partes æqui
noctij circulum, & omnes parallelos &longs;ecat.
ante, & po&longs;t numerant. Ideò
putatæ &longs;unt
ubiuis &longs;it, &longs;ol modò regiones æqualiter di&longs;tent à fortunatis, &longs;eu &longs;int
in eadem longitudine.
Propo&longs;itio cente&longs;imauige&longs;ima&longs;eptima.
Data Poli altitudine ortus amplitudinem demon&longs;trare.
Sit horizon a d b æquinoctij circulus
a k f eclyptica c g, & punctus ortus in ea g. & c initium arietis, & g b amplitudo ortiua
& c e, c f quartæ circulorum, ut &longs;it e f maxi
ma &longs;olis declinatio, & polus mundi borea
lis l, quia igitur l d nota e&longs;t ex &longs;uppo&longs;ito, &
l k quadrans erit k h
circuli notum. Quia uerò æquinoctium, &
Meridianus &longs;ecant &longs;e ad angulos rectos, &
b a æquidi&longs;tat ab utro que polo, erit b polus
h d, quare b k, quarta circuli, & angulus k
rectus. Igitur &longs;umus in di&longs;po&longs;itione tabula
rum primi mobilis, ergo etiam oppo&longs;itus
triangulus, qui ei e&longs;t æqualis, & &ecedil;quiangu
lus in eadem di&longs;po&longs;itione b m d, quare cum
data &longs;it g n declinatio
Propo&longs;itio cente&longs;imauige&longs;imaoctaua.
Nota amplitudine ortus cuiu&longs;que
Sit in eadem figura nota g b, uolo illius
Cum
ergo g n &longs;it declinatio, erit pars arcus Meridiani horarij per polos
tran&longs;euntis, compleatur ergo l g n o, & quia g n nota e&longs;t, quia de
clinatio puncti dati, & g b nota ex &longs;uppo&longs;ito, & f angulus rectus,
quia e f e&longs;t portio meridiani, erit b n nota differentia a&longs;cen&longs;ionis a
quarta circuli k b,
lelus &longs;imilis e&longs;t k n, & in eo
niet ad p. Po&longs;&longs;umus etiam &longs;ine inuentione arcus ortus amplitudi
nis per triangulum k m d ex notitia g n cogno&longs;cere eandem n b.
Ex his duabus &longs;equitur
Propo&longs;itio cente&longs;imauige&longs;imanona.
Data altitudine &longs;olis in quacunque regione quacunque die di&longs;tan
tiam &longs;olis à Meridiano cogno&longs;cere.
Sit Horizon a b c d æquinoctij circulus b e d.
Meridianus a e c
Polus mundi Borealis f uertex, g,
ticalis circulus p h l u&longs;que ad Horizontem, & circulus parallelus æ
quinoctij circulo h m, &longs;it ergo h l altitudo &longs;olis nota, igitur h g nota
erit re&longs;iduum quart&ecedil; circuli, & &longs;imiliter h k
nota, quia declinatio puncti dati in eclypti
ca e&longs;t n nota dies, & locus &longs;olis ex &longs;uppo&longs;i
to ergo nota fh
ta e&longs;t
li ex &longs;uppo&longs;ito, ergo re&longs;iduum quadrantis
f g, ergo triangulus f g h notorum laterum
ergo notus angulus f, ergo arcus k e di&longs;tan
tia &longs;umpta in æquinoctij circulo puncti h,
cui &longs;imilis e&longs;t arcus h m ex parallelo h m, nam quando k perueniet
in e h perueniet in m, & in æquali tempore, qua diui&longs;a per quinde
cim gradus, habebimus horas
& minuta horarum dando quibuslibet gradibus quatuor minuta
horæ, & quibuslibet minutis graduum quatuor &longs;ecunda horæ, &
ita habebimus tempus exacti&longs;simum à Meridie in quacunque regi
one, & in quacunque hora diei.
P
M
Propo&longs;itio cente&longs;imatrige&longs;ima.
Data regionis altitudine, & loco &longs;olis proportionem gnomo
nis tam ad umbram rectam, quam uer&longs;am, uel etiam in cylindro de
terminare.
H&ecedil;c e&longs;t propo&longs;itio illa pulcherrima, quam tot ambagibus tradi
dere antiqui cum &longs;uis analematibus, & &longs;cioteris, nec tamen demon
&longs;trationem, nec rationem exactam in&longs;trumenortum con&longs;tructio
nem, qua po&longs;&longs;emus per umbras rectas uer&longs;as, & cylindricas &longs;cire ad
unguem, qualis hora, & minutum, & &longs;ecundum diei e&longs;&longs;et quocun
que anni tempore. Plerique autem tam laborio&longs;è id conati &longs;unt de
mon&longs;trare, ut &longs;tudio&longs;os deterruerint ab opere: res autem ip&longs;a facil
lima e&longs;t. Propo&longs;ita ergo Poli exacta altitudine &longs;olis in Meridie
declinatione addita uel detracta, habebis re&longs;iduum eius ad qua
drantem f g, & &longs;imiliter habebis ex declinatione nota loci &longs;olis de
tracta à quadrante f h & iuxta horam tuam, & minutum multi
plicatum per quindecim arcum k e quare angulum f, ex quo arcum
g h, quare re&longs;iduum h l, igitur punctum umbr&ecedil; rect&ecedil;, uel uer&longs;&ecedil; ip&longs;i
us gnomonis ad unguem, & ita con&longs;titues horologium exacti&longs;si
mum &longs;ecundum ea, quæ dixi in Corrolarijs &longs;upradictis, & quia ho
rizon a b c d &longs;ecat æquinoctialem in
anguli b h g, & k h l &ecedil;quales. Igitur po&longs;ito g ortu puncti eclypti
cæ, erit g b ortus amplitudo nota, & ideò angulus b h g, & k h l
notus, & ita extendemus per totum annum. Cum uerò fuerit g ele
uatus erit, ut
gulus fiet in eodem circulo, quia gnomo e&longs;t etiam in illius &longs;uperfi
cie. Ergo angulus erit æqualis angulo, quem faceret &longs;ol, &longs;i oriretur
in puncto horizontis, quem &longs;ecat circulus
uerticalis &longs;ub ea altitudine: &longs;ed his e&longs;t no
tus: nam in priore figura g h f e&longs;t notus ea
& k rectus, e&longs;t enim f polus b d, & h k decli
natio nota ergo k n, & h n notæ. At e k, &
g h fuere notæ. Ergo e n, & g n, quare re&longs;i
duæ n l & n b notæ. E&longs;t autem angulus l
rectus. ergo ortus amplitudo punctil nota
&longs;cilicet arcus l b, ergo in præ&longs;enti figura angulus m h b, ergo k h l. igitur poterimus &longs;tatuere angulos umbrarum, & iam po&longs;&longs;umus
determinare magnitudinem: ergo punctum ad
libet hora, & parte horæ &longs;ingulis diebus in quacunque regione datæ
altitudinis poli uer&longs;a, & rects. In cylindrica autem eodem modo &longs;i
cut in uer&longs;a, e&longs;t enim &longs;pecies umbr&ecedil; uer&longs;&ecedil;, ni&longs;i quod analema ob ob
liquitatem cylindri melius aptatur, rotundum &longs;cilicet cum
de
teregij de
T
P
C
P
mi
Propo&longs;itio cente&longs;imatrige&longs;imaprima.
Si lineæ alicui dupla alterius
Sit a b linea, cui adiecta &longs;it b c, & rur&longs;us ad b c c d
dico, quod proportio a c ad a b e&longs;t maior, quàm a d ad a c. Propor
tio enim c d ad c a minor e&longs;t, quàm ad a b per octauam quinti E
lementorum. Ergo minor d c ad c a quàm c b ad a b, quia b c & c d
&longs;unt æquales, ideò
ad a b:
tio d a ad a c minor, quam c a ad a b, quod erat demon&longs;trandum.
ti
Propo&longs;itio cente&longs;imatrige&longs;ima&longs;ecunda.
Si ad duas lineas, quarum una alteri dupla &longs;it eadem linea adda
tur erit aggregati ex minore, & a d adiecta ad ip&longs;am
proportio quam aggregati ex maiore, & adiecta ad ip&longs;am maio
rem duplicata.
Sint duæ line&ecedil; a b, & c d.
& &longs;it c d dupla ad a b, ad datur
b e, & uo cetur iuncta c d, d f dico,
quod proportio e a ad a b, e&longs;t mi
nor duplicata f c ad c d, adij cia
tur d f æqualis g f, quia ergo g d
e&longs;t dupla ad f d, ideo ad e b c d autem e&longs;t du pla ad a b, tota igitur quare ut g c ad g d ut e a ad e b
euer&longs;am ut e a ad a b, ita g c ad c d, ut g c ad c d
f e, & f c ad c d, igitur e a ad c b componitur ex ei&longs;dem. Proportio
autem g c ad f c e&longs;t minor, quam f c ad c d, igitur minor quàm du
plicata f c ad c d. con&longs;tat uerò ex ei&longs;dem, quod proportio c a ad a b
maior e&longs;t duplicata g c ad f c.
Propo&longs;itio cente&longs;imatrige&longs;imatertia.
Si fuerint duæ quantitates, quarum una alteri dupla &longs;it: minua
tur à minore quædam
ris ad Si uerò minori addatur et à maiore detrahatur, erit aggregati ad mi
nore m minor proportio quàm maioris ad re&longs;iduum duplicata.
Sit a b dupla c d, & addatur quæ
dam ad b a, qu&ecedil; &longs;it a g, eadem detraha
tur ex c d & &longs;it c h, dico, quod propor
tio e d ad d h maior e&longs;t, quam duplica
ta g b ad a b, & rur&longs;us &longs;i quædam ad c & minuatur ex a b utpotè
c f addatur c d, & a e minuatur ex a b, erit proportio f d ad c d mi
nor duplicata a b ad g e.
gulæ c h, igitur a l dupla e&longs;t e h & a b fuit dupla a d, c d igitur ut in
priore con&longs;titutioné præcedentis a b ad l b, ut c d ad h d & a b ad
b l maior, quam duplicata a b ad b k ut minor quàm k b ad b l. hoc
enim demon&longs;tratum e&longs;t in fine, igitur c d ad h d maior, quàm du
plicata a k ad k b, &longs;ed a k ad k b maior e&longs;t per uige&longs;imam tertiam, hu
ius &longs;cilicet per demon&longs;trationem illius, quàm g b ad b a, igitur mul
to maior c d ad d h, quàm duplicata g b ad b a, quod e&longs;t primum.
Secundum &longs;ic per eadem, addito enim duplo f c ip&longs;i
a b ut in &longs;ecunda figura, & &longs;int a m, & m n erit f d ad c d,
ut n a ad a b, quare cum n a ad a b &longs;it minor duplicata per
præcedentem in b ad a b, & a b ad e b &longs;it maior, ut demon
&longs;tratum e&longs;t in uige&longs;ima tertia huius, quàm m b ad a b, erit
f d ad d c multo minor duplicata a b ad b e, quod e&longs;t &longs;e
cundum.
Propo&longs;itio cente&longs;imatrige&longs;imaquarta.
Si rectangula &longs;uperficies &longs;it cuius pars tertia quadrata &longs;it, corpus
quod ex latere quadratæ in re&longs;iduum &longs;uperficiei con&longs;tat maius e&longs;t
quouis corpore ex eadem &longs;uperficies aliter diui&longs;a con&longs;tituto.
Sit rectangulum a c cuius tertia pars c e &longs;it quadrata, dico quod
corpus, quod
rit ex latere partis &longs;uperficiei a b in reliquam Si non diuidatur
uel &longs;upra uel infra, & primo in f erit
rum per primam &longs;exti Elementorum: at
per præcedentem maior e&longs;t proportio
e d ad d f, quàm a f ad a e, duplicata igi
tur maior e&longs;t proportio e d ad eam, qu&ecedil;
pote&longs;t &longs;uper f c &longs;uperficiem, quam f a ad
a e, igitur maior, quàm a k ad a b ex pri
ma &longs;exti Elementorum: igitur per trige
&longs;imam quartam undecimi. Parallelipe
dum ex e d in a b maius e&longs;t parallelipedo ex ea, quæ pote&longs;t in f c &longs;u
perficiem in ip&longs;am &longs;uperficiem a k. Si uerò diui&longs;io facta fuerit in g,
con&longs;tat ex præcedenti, quod minor e&longs;t proportio g e ad e d, quàm
&longs;it duplicata e a ad a d a g, eam igitur minor proportio eius lineæ,
quæ pote&longs;t in g e &longs;uperficiem ad e d quam a b ad a h, igitur paralle
lipedum ex e d in a b e&longs;t maius parallelipedo ex ea, quæ pote&longs;t g c
in a h cum &longs;it a b ad a h, ut dictum e&longs;t, uelut a e ad a g.
Manife&longs;tum e&longs;t autem, quòd tale corpus e&longs;t æquale duplo cubi
lateris partis tertiæ quadratæ.
Propo&longs;itio cente&longs;imatrige&longs;imaquinta.
Si linea in duas partes, quarum una &longs;it alteri dupla, diuidatur
erit, quod fit ex tertia parte in quadratum re&longs;idui parallelipedum
maius omni parallelipedo, quod ex diui&longs;ione eiu&longs;dem lineæ crea
ri po&longs;sit.
Sit a c dupla b c, & &longs;it quadratum ad ip&longs;ius a c, dico parallelipe
dum ex b c in a d maius e&longs;&longs;e quouis alio ex
diui&longs;ione lineæ a b &longs;imiliter creato. Secetur
primo in e, & fiat quadratum a f, eritque per
uige&longs;imam quintam. Huius proportio c b
ad b c maior duplicata a e ad a c, quare ma
ior, quam a f ad a d per uige&longs;imam &longs;exti Ele
mentorum, igitur per trige&longs;imam quartam
undecimi, Parallelipedum ex b c in a d maius e&longs;t parallelipedo e b
in a f, quod e&longs;t demon&longs;trandum. Si uerò diui&longs;io cadat in g, fiat qua
dratum a h, et erit per uige&longs;imamtertiam huius proportio g c ad c b
minor, quam duplicata c a ad a g: igitur minor, quàm a d ad a h, igi
tur per eandem parallelipedum ex c b in a d maius e&longs;t parallelipe
do ex g b in a h.
Ex hoc liquet quòd parallelipedum illud erit quadruplum cu
bo minoris partis, & dimidium cubi maioris.
Propo&longs;itio cente&longs;imatrige&longs;ima&longs;exta.
Denominationes in infinitum extendere.
Inquit Euclides, &longs;i fuerint quotlibet quantitates ab uno in conti
nua proportione, erit tertius numerus quadratus, & omnes alij &longs;e
quentes uno intermi&longs;&longs;o. Tertia igitur in comparatione ad &longs;ecun
dam etiam, quod non &longs;it numerus, e&longs;t quadratum: e&longs;t enim tertia
ab uno quadratum &longs;ecundæ, quæ e&longs;t proportio. Detracto igitur
uno omnes quantitates lo co pari &longs;unt quadratæ: ut &longs;cias ergo cu
ius &longs;unt quadratæ diuide per medium, & erit quadratum illius, er
go quadrage&longs;ima erit quadratum uige&longs;imæ, & uige&longs;ima decimæ,
& decima quintæ, & uige&longs;ima&longs;exta tertiæ decimæ, & ita de alijs. Iuxta hoc dicemus, quod &longs;ecunda erit
tum quadrati, & octaua Et &longs;extadeci
ma quad quad quad quad. & ita trige&longs;ima &longs;ecunda quad quad quad
quad quad. Quod autem quad.
e&longs;t quarta in ordine, ideo & octa
ua & duodecima & decima&longs;exta, & &longs;ic de alijs &longs;unt quadrata qua
drati, & &longs;icut quarta e&longs;t quadratum quadrati primæ, ita octaua &longs;e
cundæ, & duodecima tertiæ, & &longs;extadecima quartæ, & uige&longs;ima
quintæ, & ita &longs;emper diuidendo per quatuor.
po&longs;.
Secunda regula dicebat ibidem Euclides, &longs;i fuerint quotlibet
quantitates ab uno in continua proportione quartus, ab uno erit
cubus &longs;upple &longs;ecundæ, & ita duobus &longs;emper intermi&longs;sis, uno igi
tur ip&longs;o relicto quolibet loco ternario, ut tertia, &longs;exta, nona, duode
cima &longs;unt cubi, & cubi eius quantitatis, qu&ecedil; exit diui&longs;o numero per
tria, uelut tertia primæ, &longs;exta &longs;ecundæ, nona terti&ecedil;, duo decima quar
tæ: & ita tertia erit cubus nona cubus cubi, & uige&longs;ima&longs;eptima cu
bus cubi cubi &longs;cilicet primæ. Et trige&longs;imanona e&longs;t cubus ter
tiæ decimæ.
po&longs;.
Tertia regula quarta quantitas, ut ui&longs;um e&longs;t: e&longs;t quad quad.
Et
quinta e&longs;t relatum primum, quia 5 e&longs;t numerus primus, & 7 e&longs;t re
latum &longs;ecundum, quia e&longs;t &longs;ecundus numerus primus: & undecima
tertium: & tertiadecima quartum: & decima&longs;eptima quintum: &
decimanona &longs;extum: & uige&longs;imatertia &longs;eptimum & uige&longs;ima quin
ta, quia e&longs;t primus numerus præter quam ad quintam, ideò e&longs;t rela
tum quintæ, quæ e&longs;t relatum primum primæ, omnes ergo numeri
primi &longs;unt relata, alij omnes &longs;unt ex natura cubi uel quadrati. Sed
relata &longs;unt inter &longs;e omnia diuer&longs;orum generum ni&longs;i
tum, quod e&longs;t relatum primum primi relati, & quadrage&longs;imumno
num e&longs;t relatum &longs;ecundum relati &longs;ecundi. Et ita cente&longs;imum uige&longs;i
mum primum e&longs;t relatum tertium tertij relati, reliqua, ut dixi, me
dia inter hæc &longs;unt &longs;ui generis.
Quarta regula propo&longs;ita quantitate ab uno in continua propor
tione, &longs;i uis &longs;cire cuius naturæ &longs;it detracto uno con&longs;idera, an po&longs;sit
diuidi per duo, e&longs;t quadratum medietatis, & ita procedes diuiden
do u&longs;que ad numerum primum, qui uel e&longs;t 2, & erit ex genere quad
quad. uel 3, & erit ex genere quadratorum cuborum, & &longs;imiliter &longs;i
&longs;it 9, erit ex genere quadratorum cubi cubi. Et &longs;i proueniat alius nu
merus primus, ut 5. 7. 11. 13. erit quadratum relati illius ordinis. Et &longs;i
non pote&longs;t diuidi numerus quantitatum per 2 uide, &longs;i po&longs;sit diuidi
per 3, tunc erit cubus illius quantitatis, & &longs;i illa quantitas, quæ pro
uenit ex diui&longs;ione: fuerit 3, uel potuerit diuidi per 3, erit cubus, uel
cubus cubi, & ita deinceps. Si uerò &longs;it alius numerus primus, ut 5.
7. 11. erit cubus relati. Et ita &longs;i
genere relati. Et tunc &longs;i po&longs;sit diuidi per alium numerum, ut 35, erit
relatum ex eo genere. Vtpotè trige&longs;imaquinta quantitas e&longs;t rela
tum &longs;ecundum relati primi, &longs;eu relatum primum relati &longs;ecundi. Nam quoties quantitas pote&longs;t diuidi per duos numeros, dicetur
&longs;ub utro que uici&longs;sim, ut duodecima pote&longs;t diuidi per 4 & 3, ideò di
cetur cubus quad quad. uel quad quad.
cub.
& per 2 & 6, & dicetur
quadratum cubi quadrati, & quadratum cubicum quadrati ip&longs;ius
proportionis, ad quam omnia referri debent.
Quinta regula ex præcedenti pendet, & e&longs;t, quod denomina
tiones, & proportiones uici&longs;sim commutantur: uelut 256 e&longs;t quad
quad quad, & inter quad quad quad, & quad quad &longs;unt quatuor ter
mini ip&longs;o computato, & inter quad quad, & quod ui&longs;i duo, ergo
quad quad quad continet plures proportiones, & proportiones
duplicatæ non con&longs;tituunt quad: nam 64 continet duas duplas
ad 16, non tamen e&longs;t quadratum 16, ideo oportet diligenter ani
maduertere.
Sexta regula &longs;imiliter ex dictis pendet, & e&longs;t, quòd gratia exem
pli relatum primum comparatum ad primum terminum e&longs;t &longs;exta
quantitas, cum autem comparatur ad rem, iam præ&longs;upponit pro
portionem. Exemplum relatum primum proportionis 21/20 e&longs;t 4084101/3200000
& e&longs;t aliquanto maior &longs;exquiquarta, & &longs;i colligas terminos 100.
105. 110 1/4 115 61/80 121 861/1600 127 19681/32000. Tu uides quòd &longs;unt &longs;ex termini in
utra que computando primum, &longs;ed in 21/20 &longs;unt duo termini, & in qua
drato tres, & in quadrato quadrati per præcedentem, adduntur
duo & ultimus &longs;cilicet &longs;extus fit ex relato ip&longs;o. Ergo ultra propor
tionem &longs;unt tantum quatuor termini.
Septima regula ad effugiendum omnes errores tu &longs;cis, quòd
4096 quadratum 64 e&longs;t &longs;extus a 64, ad quem habet proportionem
quadrati, & 64 e&longs;t &longs;imiliter &longs;extus ab uno illo &longs;cilicet non compu
& &longs;it &longs;extus ab eo, eo computato 4096 autem à 64 &longs;it &longs;eptimus, ta
men non e&longs;t eadem ratio, quia 64 non e&longs;t quadratum 2.
Propo&longs;itio cente&longs;imatrige&longs;ima&longs;eptima.
Rationem numerorum ex progre&longs;sione declarare.
Michaël Stifelius rationem pulcherrimam tradidit ad inuentio
nem numerorum, qui uo cantur multiplicandi, & componitur hoc
modo. Ex prima componitur 1 & 2, faciunt 3. 1. 2. 3 faciunt 6. 1. 2. 3. 4
faciunt 10, & ita prima tabula con&longs;tituit &longs;ecundam recta &longs;erie nu
merorum iunctis o
mnibus ab uno. Ter
tia fit ex &longs;ecunda &
tertia, primò a&longs;&longs;umi
tur 10 in tertia, ut in
&longs;ecunda, & ex 10 &longs;e
cundæ, & 10 tertiæ
fit 20, & ex 15 &longs;ecun
dæ, & 20 tertiæ fit
35, & ex 21 &longs;ecundæ,
& 35 tertiæ fit 56, &
ex 28, & 56 fit 84. Et
quanta fit ex tertia,
& ex &longs;eip&longs;a. primum
a&longs;&longs;umendo 35 ex ter
tia, & ponitur pro
primo numero quartæ, & ex 35 tertiæ, & 35 quartæ fit 70 numerus
&longs;ecundæ quartæ: & ita ex 56 & 70 fit 126, & ex 84, & 126. 210. & ita
quinta ex quarta & &longs;eip&longs;a, & &longs;ic in infinitum.
A
Regula ergo e&longs;t, quòd binarius &longs;eruit <02> quadratæ, & quia nihil
e&longs;t in eius directo, &longs;olus ip&longs;e &longs;eruiet <02> quadratæ. Ternarius autem
cubicæ, & quia in eius directo e&longs;t alter ternarius, ille etiam &longs;eruiet
<02> cubicæ. Quaternarius autem &longs;eruiet quadrato quadrati, & &longs;ena
rius, qui e&longs;t in illius directo. Ergo quinarius &longs;eruiet <02> relat&ecedil; prim&ecedil;,
& duo &longs;equentes numeri &longs;cilicet 10 & 10, & eo dem modo &longs;enarius
numeri duo &longs;equentes 15 & 20 &longs;eruient cubo quadrati, & ita etiam
&longs;eptenarius cum tribus &longs;equentibus numeris 21. 35 & 35 &longs;eruient
rel. &longs;ecundi radici, & ita deinceps in infinitum.
Propo&longs;itio cente&longs;imatrige&longs;imaoctaua.
Modos u&longs;us horum numerorum declarare.
In quouis numero denominationis oportet tot addere o, quo
&longs;emper minuere unam o, uelut quia quadrata <02> e&longs;t prima ad 2 ad
demus o, & fiet 20, nec alium qu&ecedil;remus numerum. Sed quia cubi
ca e&longs;t &longs;ecundo loco, habebit prima nota 00, & fiet 300, & &longs;ecundum
3 unam 0, & fiet 30, & in quadrato quadrati addemus 000 primo,
& 00 &longs;ecundo, & o tertio, & ita hab ebimus 4000. 600. 40. &longs;ed quia
in tabula non e&longs;t 4 ultimum, addemus &longs;imilem primo &longs;emper. In
relato primo, ergo habebimus 50000. 1000. 1000. 50. & in cubo
quadrati 600000. 150000. 20000. 1500. 60. Manife&longs;tum e&longs;t, quòd
his uice uer&longs;a a&longs;&longs;ump&longs;imus 15 & 6 &longs;imiles prioribus addendo &longs;em
per ut dixi o minus, donec ad unam peruenerit. Et ita in relato &longs;e
cundo 7000000. 2100000. 350000. 35000. 2100. 70. & ita dein ceps.
Propo&longs;itio cente&longs;imatrige&longs;imanona.
Radices omnes à propo&longs;itis numeris extrahere.
Propo&longs;itis quibu&longs;uis numeris utpotè 916132832, uolo detrahere
<02> relatam primam, primum habebo in tabula de&longs;cripta relata pri
ma numerorum &longs;implicium u&longs;que ad 10 uelut in exemplo. Dein de
&longs;ub&longs;cribam pun
ctum &longs;ub prima
nota à dextra, &
quia e&longs;t quarta in
ordine hoc, &longs;eu quinta denominatio &longs;ecun
dum no&longs;trum, omittam quatuor notas in
ter medias, & &longs;ub&longs;cribam punctum aliud,
& ita facerem &longs;i e&longs;&longs;ent plures quàm decem
notæ: relinquitur ergo ad
à &longs;ini&longs;tra 9161, cuius qu&ecedil;ro <02> relatam pri
mam in tabula, quam inuenio e&longs;&longs;e 6, nam
7776 eius relatum primum e&longs;t
proximius ex minoribus ad 9161,
detraho igitur 7776, ex numero
propo&longs;itio relinquitur. Dein de
póno 6 & quadratum eius, & cub. & quadratum
quadrati, quia, ut dixi, e&longs;t quarta denominatio a
pud illum, & è regione numeros præcedentes in
uentos relati primi ex præcedenti propo&longs;itione: & duco &longs;ingulos
cum &longs;uis collateralibus, ut uides etiam in figura, et cum ultimo pro
ducto, &longs;cilicet 64800000 diuido 138532832 exit 2, huius accipio o
mnes numeros ad relatum primum u&longs;que ut uides, & pono minores
è regione maiorum, utpotè 2 è regione 1296 & 50000, & 4 è regio
& duco 6 in 50 fit 300, duco in 16 fit 4800, duco 36 in 1000 fit
36000, duco 36 in 8 fit 288000, duco etiam 216 in 10000 & fit
2160000, & duco hos per 4 fit 86400000, duco rur&longs;us 1296 in
50000 fit 64800000, duco in 2 fit 129600000. Demum addo 32 re
latum primum 2, & fit &longs;umma omnium 138532832, & ita habemus
radicem relatam primam dictinumeri e&longs;&longs;e 62. Et &longs;i numerus produ
ctus fui&longs;&longs;et maior oportui&longs;&longs;et accipere proximo minorem. Inde per
regulam &longs;equentem addere minutias.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquadrage&longs;ima.
Radices per numeros fractos determinare.
Duplex e&longs;t modus, ut etiam docui in arithmeticis, &longs;cilicet ut pro
radice quadrata addatur duo o, & pro cuba tria, & pro quadrata
quadrata quatuor, & pro relata prima quinque, & ita deinceps, &
pr&ecedil; decimis &longs;emel, pro cente&longs;imis bis, pro mille&longs;imis ter, pro millia
ribus &longs;eu partibus earum quater, pro cente&longs;imis mille&longs;imis quin
quies, pro mille&longs;imis mille&longs;imarum &longs;exies, & ita deinceps deinde
per præcedentem detrahere radicem, & erit ualde exacta. Exemplo
non utar, ni&longs;i quòd &longs;i uelles radicem relatam 16 ad mille&longs;imas, acci
cipies radicem relatam numeri à latere propo&longs;iti, & ita de alijs
1600000, 00000, 00000, & &longs;i uelles <02> cub. 5 1/5 per mille&longs;imas, pri
mo addes ter 000, & fiet 3000000000, inde &longs;ume 1/5 1000000000,
qui e&longs;t 200000000, & adde ad 5000000000, fit 2500000000,
& hoc quia unum refert numerum 1000000000 ex &longs;uppo&longs;ito & 1/5
e&longs;t 1/5 unius.
Secundus modus e&longs;t, ut accipias proximè maiorem, & multipli
ca in &longs;e, & detrahe numerum propo&longs;itum, & re&longs;iduum diuide per
duplum radicis primo inuentæ, &longs;i fuerit quadrata, & per triplum
quadrati eiu&longs;dem &longs;i fuerit cubica, & per quadruplum cubi, &longs;i fuerit
quadrata quadrata, & per quin cuplum quadrati quadrati, & quod
exit detrahes ex priore radice, & rur&longs;us quod relinquitur, multipli
ca in &longs;e, & eodem modo agendo quod &longs;upere&longs;t à numero propo&longs;i
to, diuide per duplum radicis prioris, &longs;i &longs;it radix quadrata, uel per
triplum quadrati &longs;i &longs;it cubica, & quod exit rur&longs;us detrahe, & ita a
gendo, peruenies ad exacti&longs;simam radicem, exemplum uolo radi
cem quadratam 5 proxima maior e&longs;t 3, quadratum 9, differentia 4,
diuide per 6 duplum 3 exit 2/3, detrahe ex 3 fit 2 1/3, quadratum e&longs;t 49/9
quod e&longs;t 5 4/9, rur&longs;us diuido 4/9 differentiam 5 4/9 & 5 per 4 2/3 duplum
radicis primæ exit 2/21, detrahe ex 2 1/3, relinquitur 2 5/21, radix &longs;atis pro
pinqua, nam eius quadratum e&longs;t 5 4/441, in cubica &longs;imiliter uolo <02>
cu. 5, proxima maior e&longs;t 2, cubus 8, differentia 3, diuide per triplum
differentia e&longs;t 23/64 diuide per triplum quadrati 1 3/4 quòd e&longs;t 9 3/16 exit
23/588 detrahe ex 1 3/4
hunc exce&longs;&longs;um &longs;i placet per triplum quadrati 1 107/147 & e&longs;t fermè 9 exit
56050/3176523 qua&longs;i detrahe ex 1 107/147 relinquuntur 323159/453789.
Tertius modus e&longs;t &longs;ubtilior, tu &longs;cis, &qring;d duo decima denominatio
e&longs;t quadrata &longs;ext&ecedil;, & quadrata quad, tertiæ, & cuba quarti, quarta
autem e&longs;t inter
portione: ergo inuenta <02> numeri propo&longs;iti & <02> radicis inuentæ
duas quantitates, quod facile erit &longs;en&longs;im procedendo, & habebo <02>
cu. quæ&longs;itam, &longs;cilicet minorem ex duabus intermedijs.
Et &longs;imiliter
pro relata prima, capiam &longs;exaginta denominationes, & &longs;cis, quòd
quintadecima e&longs;t <02> <02> &longs;exage&longs;im&ecedil;, & decima e&longs;t <02> cu. <02> &longs;exage&longs;im&ecedil;,
& duodecima <02> relata prima &longs;exage&longs;imæ per eandem inuenta, er
go <02> numeri propo&longs;iti tanquam ille &longs;it &longs;exage&longs;ima denominatio,
inueniam illius radicis inuentæ <02> quadratam, & cubicam, &
quia duodecima quantitas quæ e&longs;t <02> relata prima numeri e&longs;t
&longs;ecunda, quatuor intermediarum inter ponam inter <02> quadra
tum, quadratum, & cubicam quadratam quatuor numeros in
continua proportione, & &longs;ecundus ex minoribus erit <02> relata
prima numeri propo&longs;iti. Exemplum cubicæ uolo <02> cu: 5 habui <02>
quadratam eius 2 5/21 &longs;ed uolo proximiorem diuidendo 4/441 per 4,
quod e&longs;t fermè duplum 2 5/21 exit 1/441 detraho ex 2 5/21 relinquitur ualde
proxima <02> 5. 2 104/441 huius igitur radix quadrata, primo inuenta e&longs;t 1 1/2
&longs;ecunda proximior e&longs;t 1 41/84 reduco ad eandem denominationem fi
ent 284/9261 2 416/1764 & 1 861/1764 inter 3944, & 2625, inueniemus duos nume
ros in continua proportione, ut uides, & erit &longs;ecunda quantitas
3006/7641, quod e&longs;t 167/98 proximum ad 1 5/7, <02> cubica. 5.
ut liquet. Pro relata prima ergo ponamus, ut ue
lim <02> relatam
&longs;imiliter <02> cu: 5 fuit 1 69/98 igitur reducam ad unam denominationem,
& inueniam quatuor numeros in
& &longs;ecundus po&longs;t minimum ex illis erit <02> relata prima propinqui&longs;
&longs;ima 25. Quomodo uerò inueniantur facillimè illi termini, do
cui in &longs;exto libro operis perfecti.
Quarta regula e&longs;t utilior, licet minus uideatur nobilis, & e&longs;t &longs;un
data in hoc, quod &longs;i a b &longs;it maior c & eis ad dantur b e, & d f æqua
les dico, quod erit minor proportio a c ad c f, quam a b ad c d, & ex
con&longs;equenti per Dico ergo quod maior e&longs;t proportio a b
ad c d, quàm a e ad e f, fiat d g ad quam &longs;it b c ut
a b ad c d, eritque a e ad c g ut a b ad c d, minor au
tem e&longs;t a e ad c f, quam ad c g, igitur minor a e ad
c f quàm a b ad c d quod fuit propo&longs;itum. Simili
ter &longs;i fuerint duæ quantitates, a b & c d, quarum a b &longs;it maiore, c d
autem eadem e minor, dico, quòd dimidium aggregati a b & c d
maiorem habebit proportionem ad e, quàm c d & minor, nam iun
cta b f æquali d e ad a b, ita ut f g &longs;it dimidium totius a f, qùia ergo
f g e&longs;t dimidium f a & fb e&longs;t minor dimidio
f a cum &longs;it minor b a, & &longs;imiliter f g e&longs;t mi
nor a b, quia a b e&longs;t maior dimidio a f, quia
e&longs;t maior b f, ergo proportio g f ad c e&longs;t ma
ior quam b f ad e, ita quam c d ad e, & mi
nor quàm a b ad e, quod fuit propo&longs;itum. Quo ui&longs;o uolo <02> 1000
quadratam, & quòd de quadrata dico, dico etiam de alijs radici
bus & erit ex &longs;ecunda regula harum 31 39/62 & quadratum erit 1000
1521/3844. Iuxta ergo primam partem regulæ 31 38/61 erit minus, & in ueritate
in eo, quod fit ducendo, ut uides, & hoc e&longs;t pro
ximum ad 1
quod e&longs;t fermè 63 1/4 in 1/160 fient 63/160
1521/3844 hoc modo, diuide 3844 per 160 exit 24 /40
diuide 1521 per 24, exit 63 3/8, habes igitur quod
1521/3844 &longs;unt 63/160, igitur detracto 63/160 ex 63/160 nihil relinquitur, & erit <02> exa
cta ualde 1000 hoc 31 38/61 cuius quadratum 1000 41/3421 uides breuita
tem, & propinquitatem in producto differentia e&longs;t 1/100 aut parum
maius quod ad radicem comparatum cum debeat diuidi per du
plum eius erit paulo maius 1/6300. Vnde facilior e&longs;t, & breuior hæc
uia quàm per 00 ad ditus. Rur&longs;us uolo aliquid
pinquitate ita facio. Con&longs;idero quòd 31 38/61 e&longs;t maius 1/6300 radice, di
uido 6300 per 62 exit 103 fermè, neque enim curo in hoc fractiones,
multiplico ergo 103 in 38/61 & habeo 3914/6283 hic denominator e&longs;t proxi
mus 6300, aufero ergo 1 ex 3914, habebo ualde proximam <02> 1000,
31 3913/6283 cuius quadratum e&longs;t 1000 minus 1/1048 hoc ut dixi diui&longs;um
per duplum <02> quod e&longs;t 63 e&longs;t omnino in&longs;en&longs;ile in radice.
quinti
P
ti
Quinta regula e&longs;t omnium pulcherrima, & e&longs;t communis omni
bus & fractis & integris & omnibus generibus radicum, & &longs;it ex
emplum, uolo <02> radicis &longs;upra&longs;criptæ &longs;cilicet 31 3913/6283 multiplico 31
in 6283, & fit 194793, cui addo 3913, fit 198686 manife&longs;tum e&longs;t igi
tur, quod 198686/6283 æquiualet 31 3913/6283 hoc facto, quod e&longs;t commune om
meratorem, qui e&longs;t 194686 per denominatorem, qui e&longs;t 6283, & &longs;i
uoluero radicem cubicam, multiplicabo eundem numeratorem
per quadratum denominatoris, & &longs;i uoluero radicem radicis, mul
tiplicabo per cubum, multiplicabo per quadratum quadratum
6283, & ita de alijs una diminutione minore, & eius qui prouenit
numeri <02> &longs;uprapo&longs;ita denominatori erit <02> eiu&longs;modi, quam &longs;u&longs;ce
pi&longs;ti, uelut in exemplo fuit numerus 198686/6283 quia ergo uolo <02> quad. multiplico 198686 in 6283, & fit 1248344138, huius accipio <02>
quad. quæ e&longs;t 35332, hæc autem e&longs;t diuidenda per 6283, & exeunt
5 3917/12566, ecce uides radicem exactam admodum, & facilem. Volo rur
&longs;us <02> quadrat. 5 3917/12566, multiplico 12566 per 5 & fit 62830, cui addo
3917, & fit 66747, cui &longs;uppono 12566 denominatorem, fient ergo
66747/12566, manife&longs;tum e&longs;t igitur quòd hoc æquiualet 5 3917/12566, &longs;i igitur mul
tiplicarem denominatorem per denominatorem & numeratorem,
quod proueniret, e&longs;&longs;et æquale eidem numero, ergo <02> eius e&longs;&longs;et ea
dem cum <02> prioris, &longs;ed <02> denominatoris e&longs;&longs;et prior numerus, er
go &longs;ufficiet extrahere <02> producti ex denominatore in numerato
rem, & ita productum erit ex denominatore in numeratorem
838742802, cuius <02> e&longs;t 28961, hæc igitur diui&longs;a per 12566 o&longs;ten
dit <02> 2 3892/12566. In hac autem quadrata e&longs;t alius modus &longs;ine multiplica
tione, &longs;ed non e&longs;t communis alijs, ubi &longs;tatueris denominatorem
pro denominatore <02>, utpote 12566, & numeratorem 66747, con
&longs;titues medium &longs;en&longs;im augendo.
Rur&longs;us uolo <02> relatam 2 3829/12566 reduco ad denominatorem, & fit
ut prius 28961/12566, duco igitur 12566 ad quad. quad.
&longs;ed &longs;ufficiet in hoc
ca&longs;u deducere ad minores denominationes, utpotè diuide 28961
per 12566 exit 2 3829/12566 multiplico per 566 fit 1104 5862/12566, hoc detrahe
ex 28961 habebis 27856/12000, diuide igitur per 1000 habebis 12 & 27 107/125
at 108/126 &longs;unt 6/7, igitur habes 12 pro denominatore, & 27 6/7 pro nume
ratore, quare erunt numeri 195/84, erit ergo per hanc regulam, ut ducas
84 ad quad. quadrati, & fit 49787136, duc in 195 fit 9708491520,
cuius <02> relata prima e&longs;t 99, igitur <02> relata prima 2 3829/12566 e&longs;t 1 15/84 pau
lo maior, id e&longs;t 1 13/70. Et nota quod &longs;i denominator haberet <02> illius
generis, quam quæris, &longs;ufficeret inuenire radicem eiu&longs;dem generis
ab&longs;que alia numerorum multiplicatione.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquadrage&longs;imaprima. (deducere.
Numeros fractos ad minores in
Cum plerunque numeri fracti hab cantur per radices, ut aliquan
do maiores &longs;int, aut minores eo fit, ut po&longs;sint reduci ad mino
res numeros, ut melius intelligi po&longs;sint & facilius tractari, &
uolo certa ratione ad minores diui&longs;iones deducere. Deduco pri
mò totum ad fractiones ducendo 2 in 12566, & addendo 3829, &
fit 26961/12566, multiplico 12566 per 9, quia proportio unius ad alterum
e&longs;t fermè, ut 9 ad 4, & fit 113094, multiplico 4 in 28961 fit 115844,
hoc igitur e&longs;t maius, igitur proportio 28961 ad 12566 e&longs;t maior
quàm 9 ad 4, detraho igitur 12566 ex 28961, relinquitur 16395, de
traho 113094 ex 115844, relinquitur 2750, diuido 2750 per 16395
exit 55/328 addo 2 denominatori fit 55/330, quod e&longs;t 1/6, nami&longs;tæ additiones
paruæ præter quòd parum uariant quantitatem etiam dum ad ex
amen reducuntur, nihil impediunt, detrahe igitur 1/6 à 9/4, & ducendo
per 6, & detrahendo 53/23, duco igitur primos numeros &longs;cilicet 28961/12566
mutuo in 53/23, fiunt 665998, & 666107, ita uides, quod proportio
53 ad 23 e&longs;t paulo minor, quàm 28961 ad 12566, & æquiualent 27/23
& 2 3829/12566.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquadrage&longs;ima&longs;ecunda.
Denominationum incrementa ex extrema cognita inuenire, &
conuer&longs;o modo.
annis. Qu&ecedil;ro
mitterentur maximi errores. Et in ea multi &longs;unt modi, & omnes fal
&longs;i præter hanc uiam nulla e&longs;t uera, adde quòd uellent multi per &longs;or
tem inuentam &longs;oluere augendo per &longs;ingulos annos, quod adeò
difficile e&longs;&longs;et, & penè foret impo&longs;sibile. Ideò diuides 40000 per 40
numerum &longs;ortis exit 1000, igitur in 40 annis unum fit mille, &longs;unt
ergo 40 denominationes ab uno, quarum quadrage&longs;ima e&longs;t 1000,
igitur uige&longs;ima e&longs;t <02> 1000 |&longs;cilicet |31 3913/6283, igitur decima e&longs;t <02> eius
5 3917/12566 huius radix, erit quinta quantitas 2 7/23, cuius <02> relata prima,
erit proportio 1 13/70, cuius quadratum e&longs;t 1 1889/4900 &longs;eu
1 67/165 pro &longs;ecunda quantitate, duces ergo primam,
quæ e&longs;t 83/70 in quintam, quæ e&longs;t reducta ad mino
res fractiones facilitatis cau&longs;a 53/23, & habebis &longs;ex
tam quantitatem 2 118/161, duco etiam quintam quan
titatem &longs;cilicet 53/23 in &longs;ecundam quæ e&longs;t 232/165, & fit &longs;e
ptimi anni quantitas, duco igitur &longs;eptem anno
rum numerum, qui e&longs;t 3 14/61 in 31 38/61 fit 102 992/6283. At in
&longs;ex annis additis ad uiginti, fit tanto minus, quan
to 31 38/61 ductum in differentiam &longs;eptem, & &longs;ex an
norum quæ e&longs;t 60/121, fit ergo 15 35/492. Quia ergo an
&longs;cilicet multiplicando per 12 numerum men&longs;ium 2 992/6283 fit 25 5621/6283 di
uide 25 5621/6283 per 15 35/492, exit men&longs;is unus, & dies 21, detrahe ex 27 an
nis, remanent anni 26, men&longs;es 10, dies 9, in quo tempore habuit
4000 aureos coronatos. V&longs;ura autem fuit ut ui&longs;um 13/70, igitur per re
gulam trium duc 13 in 100 fit 1300, diuide 1300 per 70 exit 18 4/7 &
tanta fuit pro centum. Et cum computaueris in tribus annis, acqui
rit modico plus be&longs;&longs;e eius, quod habet. Et ita in 13 annis, & parua
illa parte perueniet ad decuplum eius, quod habet, &longs;cilicet 4000 au
reorum, & habebit aureos 40000, ut propo&longs;itum e&longs;t.
P
SCHOLIVM.
In propo&longs;ita proportione numero que terminorum rediuiuam u
&longs;uram inuenire.
Sit gratia exempli, in &longs;ex annis u&longs;ura rediuiua uige&longs;imæ, erit
qúe proportio 21/20, cuius numeratorem &longs;exies ducam in &longs;e primum
bis fit 441: ergo ducto 441 in &longs;e fit qúe 194481 ductum in 441
fit 85766121 &longs;exies ductum 21, quinquies autem ducam 20 deno
minatorem in &longs;e fit bis 400, ter 8000,
quinquies ergo 3200000, diuide nume
ratorem per denominatorem abiectis
quinque notis erit 26 2566121/3200000. Quæ propor
tio e&longs;t proxima 26 4/5 ad 20, & ita ut 134 ad
100. Et &longs;i pigeret tædij autlaboris po&longs;&longs;es
pro xij annis, ducere 134 in &longs;e, & fit 17956
diuide per 100 eadem ratione, exit 179 14/25
& ita 100 in xij annis, fit tantundem. Et
ita pro xviij & xx annis.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquadrage&longs;imatertia.
Si linea in duas partes diuidatur, corpora, quæ fiunt ex una par
te in alterius quadratum mutuò æqualia &longs;unt corpori, quod fit ex
tota linea in &longs;uperficiem unius partis in alteram.
Sit a c diui&longs;a in a b, b c quadratum a b &longs;it
a d,
ex a b in b e, a f dico quòd corpora ex a b in
b e, & b c in a d æqualia &longs;unt corpori ex a c
in a f. Quia enim corpus ex a c in a f con&longs;tat
ex a b in a f, & b c in a f, per primam &longs;ecun
di Elementorum. corpus autem ex a b in a f
e&longs;t æquale corpori ex b c in a d, & corpus
ex b c in a f e&longs;t æquale corpori ex a b in b c
igitur con&longs;tat propo&longs;itum.
eius demon
&longs;trationem.
P
decimi
Propo&longs;itio cente&longs;imaquadrage&longs;imaquarta.
Duplum cubi medietatis maius e&longs;t aggregato corporum mutu
orum cuiuslibet diui&longs;ionis, quantum e&longs;t, quod fit ex tota in quadra
tum differentiæ.
Sit a b diui&longs;a per æqualia in c, & per inæqua
lia in d, dico, quòd duplum cubi a c e&longs;t maius ag
gregato corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadratum
a cin eo quod fit ex a b in quadratum c d, nam per
plum cubi a c e&longs;t æquale corpori ex a b in quadratum a c: aggrega
tum quo que corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadra
tum a d e&longs;t &ecedil;quale ei, quod fit ex a b in
dratum
tiæ, igitur duplum cubi a c excedit aggregatum
in corpore ex a b in quadratum c d differenti&ecedil;, quod e&longs;t
di
Propo&longs;itio cente&longs;imaquadrage&longs;imaquinta.
Si line a in duas partes diuidatur quadrata ambarum partium
detracto eo quod fit ex una partein alteram, &ecedil;qualia &longs;unt producto
unius in alteram cum quadrato differentiæ.
Sit linea a c diui&longs;a in b, & &longs;it differentia a b,
b c, b d, dico quod quadrata a b & b c detracto
eo quod fit ex a b in b c, æqualia &longs;unt producto a b in b c cum qua
drato b d. Quoniam.
n.
quadrata a b, b c æqualia quadratis a d d b
b c & productis ex a d in d b bis & quod fit ex a b in b c æquale e&longs;t
ei quod fit ex a d in &longs;e cum eo quod fit ex a d in d b, quia a d e&longs;t &ecedil;qua
lis b cideo quadrata a b & b c detracto eo quod fit ex a b in b c &longs;unt
æqualia quadratis a d d b, & producto a d in d b &longs;emel: a c quadra
tum a d cum producto a d in d b e&longs;t æquale producto a b in a d, &
ex con&longs;equenti in b c, igitur re&longs;iduum quadratorum a b & b c de
tracto producti a b in b c e&longs;t æquale a b in b c cum quadrato b d
quod fuit propo&longs;itum.
di
di
Propo&longs;itio cente&longs;imaquadrage&longs;ima&longs;exta.
Corpus quod fit ex linea diui&longs;a in &longs;uperficiem &ecedil;qual em quadra
tis ambarum partium detracta &longs;uperficie unius partis in
æquale aggregato cuborum
Sic a b diui&longs;a in e quadrata partium e f &
b d detrahatur ex e f, f g æqualis a d, dico cor
pus ex a b in &longs;uperficies b d, d g æquale e&longs;
&longs;e cubis a c & c b pariter acceptis, quia. n.
ex a b in b d fiunt duo corpora cubus
b d & corpus ex a d in quadratum d b hoc
autem e&longs;t æquale corpori ex b cin a d quia
corporibus quæ fiunt ex a c, c b in &longs;uperficiem d g at cubus a c con
tinet duo corpora qu&ecedil; fiunt & a c in d g & g f, igitur cubus a c &longs;upe
rat productum ex a b in d g in producto ex a c in f g & &longs;uperatur ab
eo in producto ex b c in d g, &longs;uperabatur etiam, ut ui&longs;um e&longs;t, cubus
b c à producto b a in d b in producto b cin c f, igitur cubi a c c b &longs;u
perantur à producto a b in ad in producto b cinc f & in d g, quare
in producto b c in f e: &longs;i quidem f e & f g &longs;unt æqualia ex &longs;uppo&longs;ito
&longs;uperant autem in producto ex c b in e f, igitur tantum e&longs;t in in quo
&longs;uperantur quantum e&longs;t id in quo &longs;uperant: ergo &longs;unt æqualia.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquadrage&longs;ima&longs;eptima.
Propo&longs;ita linea diui&longs;a duas ei lineas adijcere, ut proportio addita
rum &longs;ingularum & partium &longs;imul iunctarum ad additas &longs;it mutua.
Sit linea a b diui&longs;a in c uolo eius
partibus addere lineas, ut propo&longs;i
tum e&longs;t, &longs;tatuo mediam c d inter a e &
c b quæ &longs;it c d, & facio ut c d ad c a ita
c a ad a e, & ut d c ad c b ita c b ad b f, quia ergo d e media e&longs;t inter
a c & c b, & ut ea ad a cita d c a c b ad c f erunt omnes in continua
proportione, quare proportio e c ad c a ut c f ad b f & e c ad ea ut
c f ad c b quod e&longs;t propo&longs;itum.
ti
ti
Propo&longs;itio cen te&longs;ima quadra ge&longs;imaoctaua.
Propo&longs;itis tribus lineis primam &longs;ic diuidere, ut adiectis duabus
alijs lineis &longs;ecundum rationem mutuam &longs;ingularum &longs;ingulis ag
gregatum ex una adiectarum & parte ad aggregatum ex alia parte
& adiecta &longs;e habeat, ut &longs;ecunda ad tertiam.
Sit a, b, c, d, propo&longs;itæ line&ecedil;,
uolo diuidere a b ita in e ut
&longs;umpta &longs;ecundum proportio
nem alicuius quantitatis, puta
g ad a e &longs;ic b f ad e b & ut g ad
e b &longs;ic g a ad a e ut &longs;it propor
tio g e ad e f ut c ad d. Sint ergo
omnia
gulum ex a e in e b, cum ergo
g a contineat a e ut g continet e b, g autem continet e b &longs;ecundum
a e, igitur g a continet a e &longs;ecundum a c, ergo ex diffinitione qua
drati a g e&longs;t quadratum a e. Pari ratione b f e&longs;t quadratum b e.
pro
portio igitur g e ad e f cum &longs;it ut c ad e ex &longs;uppo&longs;ito erit ut ip&longs;i pro
portioni addamus, & detrahamus ex duplo a b & dimidium re&longs;i
dui ducamus in &longs;e, & addamus aggregato quadrati a b cum ip&longs;a
&longs;io nota, & e&longs;t ut dicamusu: olo diuidere datam lineam, ut quantita
tes adiectæ &longs;ub mutua proportione ad unam tertiam cum parti
bus obtineantinter &longs;e proportionem datam.
di
Propo&longs;itio cente&longs;imaquadrage&longs;imanona.
Datam lineam &longs;ic diuidere, ut proportio quadratorum ad du
plum unius partis in alteram &longs;it, ut line&ecedil; datæ ad lineam datam.
Sit data a b quam uolo diuidere, ut proponitur &longs;ub proportio
ne c d ad e, diuido a b bifariam in f, & ab&longs;cindo
g d æqualem d e, & inter c g
pono proportione, & ut h ad c g ita a f medietatis a b ad fk. Omnia
i&longs;ta &longs;unt noti&longs;sima ex primo & &longs;exto ElementoSi ergo ab&longs;cindantur fk ex fa, dico
quod proportio quadratorum l k & k a ad du
plum rectanguli a k in k b e&longs;t ut c d ad d e. Quia. n.
c e ad c g dupli
cata e&longs;t ei qu&ecedil; e&longs;t h ad c g, duplicata e&longs;t
re ut quadrati a f ad fk, ita c e ad c g, igitur di&longs;iungendo c g ad g e ut
re&longs;idui quadrati k f ad re&longs;iduum quadrati a f, quare c g ad g d ut
quadrati k f ad dimidium re&longs;idui quadrati a f, igitur coniunctim c d
ad d g ut quadrati k f & dimidij re&longs;idui quadrati a f ad ip&longs;um dimi
dium re&longs;idui. At uerò cum g d &longs;it æqualis d e, erit c d ad d e ut qua
drati k f cum dimidio re&longs;idui &longs;æpius dicti ad ip&longs;um dimidium re&longs;i
dui. Igitur etiam ut dupli quadrati k f cum re&longs;iduo ad
enim omnia duplicata. At
le quadratis a f & f k, igitur quadratorum a f & f k ad differentiam
eo rum proportio e&longs;t ut c d ad d e, igitur dupli quadratorum a f &
f k ad duplum differentiæ quadratorum a f & fk ut c d ad d e. Ve
rum duplum quadratorum a f & f k æquatur quadratis b k & k a.
Et duplum differentiæ quadratorum a f & fk e&longs;t &ecedil;quale duplo pro
ducti b k in k a, igitur proportio quadratorum k b & k a ad
producti k b in k a e&longs;t ueluti c d ad d e, quod e&longs;t propo&longs;itum.
di
di
Propo&longs;itio cente&longs;imaquinquage&longs;ima.
Propo&longs;itis duabus lineis
utrique adiungere, ut &longs;it maioris ad additam pro
portio, uelut quadratorum minoris & adiectæ
ad duplum unius in alteram.
Hæc e&longs;t qua&longs;i conuer&longs;a
Sit a ma
ior, & b c minor, & fiat b d dupla b c, &longs;uper
erigatur b f æqualis a; & &longs;it rectangulum d f &
de&longs;cribatur quadratum b c quod &longs;it b g re&longs;idu&ecedil;
&longs;uperficiei ad d f latus &longs;it h, dico h e&longs;&longs;e lineam quæ&longs;itam. Superficies
perficies f d, tota æquatur quadratis h & b c, igitur quadrata h & b
c dupla &longs;unt &longs;uperficiei a in b c, quod uerò fit ex a in duplum b c &longs;e
habet ad id quod fit ex h in duplum b c, ut a ad h, cum per eandem
lineam ducantur, igitur quod fit ex a in duplum b c, & &longs;unt quadra
ta h & b c, &longs;e habent ad duplum h in b c, ut a ad h, quod fuit de
mon&longs;trandum.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquinquage&longs;imaprima.
Proportio differentiæ quadratorum partium, cuiu&longs;uis lineæ ad
quadratum differentiæ
Sit a b diui&longs;a in puncto c, & fiat c d æqualis
c b, manife&longs;tum e&longs;t quod differentia partium
e&longs;t a d, dico proportionem differentiæ quadra
torum a c & c b ad quadratum a d differentiæ partium e&longs;&longs;e ut a b ad
a d. Quoniam differentia quadratorum a c & c b e&longs;t, quod fit ex a d
in d c bis cum quadrato a d, & ideò quod fit ex a d in d b cum qua
drato a d, & ideò quod fit ex tota a b in a d. Igitur differentia qua
drato a c & c b e&longs;t quod fit ex a b in a d, quare cum quadratum a d
fiat ex a d in a d, erit proportio a b ad a d, uelut differentiæ quadra
torum a c & b c ad quadratum a d differentiæ partium. Quod fuit
propo&longs;itum.
di
di
E
Propo&longs;itio cente&longs;imaquinquage&longs;ima&longs;ecunda.
Si linea in duas partes æquales duas que in æquales diuidatur, fue
ritque proportio aggregati ex maiore & dimidio ad ip&longs;am maiorem
uelut ex minore, & aliqua linea ad ip&longs;am minorem, & rur&longs;us aggre
gati ex minore dimidio ad ip&longs;am minorem, uelut aggregati ex ma
iore & alia addita ad ip&longs;am maiorem, erit proportio dimidij'ad par
tem unam inæqualem, uelut alterius partis inæqualis ad &longs;uam ad
ditam mutuò, & etiam proportio ad ditarum inuicem, uelut pro
portio partium inæqualium duplicata, & rur&longs;us ip&longs;um dimidium
lineæ a&longs;&longs;umptæ medium erit proportione inter additas. Demum
proportio dimidij cum ad dita maiore ad dimidium cum addita mi
nore, uelut maioris partis ad minorem.
Sit propo&longs;ita a b diui&longs;a per
æqualia in c per inæqualia in
d, & &longs;it ut addantur a g & b f,
ita ut proportio c a, & a d ad a d &longs;it ueluti f d ad d b, & c b & b d ad
b d, uelut g d ad d a, & hæc e&longs;t quarta
& Cylindro: quia ergo a c & a d ad a d, ut f d ad d b erit a c ad a d,
fb ad b d. Et &longs;imiliter quia e&longs;t c b & b d ad b d, uelut g d ad d a erit
Quia ergo c a e&longs;t æ
qualis c b, erit c a ad b d, uelut g a ad a d, & iam fuit a d ad c a, ut b d
ad f b, per conuer&longs;am igitur a d ad b d, ut g a ad a d, & ut b d ad fb,
interpo&longs;itis ergo a d & d b inter a g & b f cum compo&longs;ita &longs;it pro
portio a g ad b f ex proportione a g ad a d, & ad d b, & d b
ad b f, & proportio a d ad d b, &longs;it æqualis proportioni
a g ad a d, & d b ad b f, igitur proportio a g ad b f. Per de
mon&longs;trata ab Alchindo e&longs;t duplicata proportioni a d ad
d b quod e&longs;t &longs;ecundum. Rur&longs;us quia ex primo demon
&longs;trato, uel eius conuer&longs;o proportio a d ad a c e&longs;t uelut b d
ad b f, & d b ad a c, ut a d ad a g, proportiones ergo
a d & d b ad a c componunt proportionem produ
ducti a d in d b, quod &longs;it h ad quadratum a c quod &longs;it
k, & &longs;imiliter proportio b d ad b f & a d ad a g com
ponunt proportionem producti ex b d in a d, quod
&longs;itl ad productum b f in a g, quod &longs;it m, per demon&longs;trata ab Eucli
de in &longs;exto Elementorum, igitur proportio h ad k ut l ad m, &longs;ed h &
l &longs;unt æquales, quia producuntur ex ei&longs;dem, igitur per demon&longs;tra
ta in quinto Elementorum Euclidis, k e&longs;t æquale m, ergo a c e&longs;t me
dia pro portione inter b f & g a, quod e&longs;t tertium. Quia uerò ex pri
mo demon&longs;trato e&longs;t fb ad b d, ut a c ad a d, & c b ad idem b d, ut g a
ad idem a d erit coniungendo fb & b c ad b d, ut coniun
gendo g a & a c ad a d, &longs;ed fb & b c componunt f c & g a,
& a c componunt g c, igitur ut f c ad b d, ita g c ad a d, er
go permutando g c ad f c, ut a d ad b d, quod e&longs;t quartum.
P
Cum ergo punctum d fuerit datum, licet inuenire a g & b f, faci
lè, ut Archimedes præ&longs;up ponit proportionem g d ad d f datam &
quærit eam, quæ e&longs;t a d ad d b, & peruenitur ad res numero triplo
quadrati dimidij lineæ a&longs;&longs;umptæ æquales cubo & numero, qui &longs;it
ex duplo cubi dimidij in 1 m: ip&longs;a proportione, & quod produci
tur diui&longs;o per 1 p: ip&longs;a proportione. Veluti po&longs;ita a b 10, & propor
tione quam uolo g d ad d f &longs;excupla, duco 5 dimidium 10 in &longs;e fit 25,
& triplico, fit 75 numerus rerum. Inde duco 5 idem dimidium ad
cubum fit 125, duplico fit 250, duco in 5, qui e&longs;t 1 m: proportione fit
1250, diuido per 7, qui e&longs;t 1 p: proportione exit 178 4/7 numerus, qui
cum cubo æquatur 75 rebus. Cum ergo con&longs;tituta fuerit diui&longs;io in
c, non recipit proportionem g d ad f d quam uolueris, &longs;ed &longs;equitur
una &longs;ola ad Sed non e&longs;t ita.
Et
&longs;ed non inue &longs;tigat eam, imò o&longs;tendit eam ex a&longs;&longs;umptis. At Euto ci
us o&longs;ten dit ambas, Ex hoc pa
tet cur Dio cles a&longs;&longs;ump&longs;erit lineam unam, quæ e&longs;t a c, quæ &longs;e ha
bet ad a d, & d b, ut uici&longs;sim a d, & d b ad additas, quod e&longs;t pri
mum demon&longs;tratum. Sic enim omittit primum quod proponit Ar
chimedes, & a&longs;&longs;umit quod proximum e&longs;t: & ideò Archimedes non
pro bat, nec præ&longs;upponit, quod à Diocle probatur, &longs;cilicet datum
e&longs;&longs;e punctum d in linea a b, &longs;ed &longs;olum in linea g f, ideò cogitur pro
bare &longs;ecundum quod demon&longs;tratur ab Eutocio, & à nobis demon
&longs;tratum e&longs;t &longs;uprà. Archimedes
uo cat b f, quæ e&longs;t æqualis b c medietati: aliam a&longs;&longs;umit quam uocat
b h, cuius proportio ad b d e&longs;t &longs;icut quadrati ad a d quadratum a b. Con&longs;tat ergo quod proportio g d ad d f e&longs;t data.
Et &longs;imiliter f g ad
g d, & e&longs;t 1 præ proportione data. Vnde notandum quod datum
dicitur, &longs;impliciter cognitum alio modo, dicitur datum po&longs;itione,
quod e&longs;t certum & tale, uelut &longs;i quis dicat, diuide 10 in duos nume
ros quadratos: hoc non e&longs;t datum, pote&longs;t enim diuidi pluribus mo
dis. At &longs;i dicas ut una pars &longs;it alterius
untur partes, dicitur datum po&longs;itione. Ergo datum po&longs;itione e&longs;t du
plex, uel ut ratio nota &longs;it, non autem quantitas, ut &longs;i dicam a b e&longs;t du
pla ad b c, utra que dicitur nota po&longs;itione, quo
niam ne&longs;cio quanta &longs;it a b. Vel &longs;i quantitas e&longs;t
nota proportio ignota &longs;it, ut &longs;i a c &longs;it 10, & &longs;it,
ut b c &longs;it <02> relata, a b erit punctus b, & proportio a b ad b c data po
&longs;itione, non tamen nota. Et &longs;i dicas igitur omnia, quæ habent deter
minationem erunt data po&longs;itione? Dico quod non, quia oportet,
ut illa determinatio comprehendatur &longs;ub una ratione, eaque &longs;altem
generaliter co gnita.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquinquage&longs;imatertia.
Vim quan cun que manus multiplicare.
Cum enim radimus aut trahimus manife&longs;tum e&longs;t,
quod ambabus manibus uis conduplicatur, & ma
ior redditur, quanta e&longs;t proportio totius ad exce&longs;
&longs;um: uelut &longs;it a quod mouetur ab una manu uiribus
ut b, quæ &longs;unt exce&longs;&longs;us b d &longs;upra a, cum ergo propor
tio c b d ad a &longs;it compo&longs;ita ex proportionibus c &
b d ad a manife&longs;tum e&longs;t, quod erit producta ex pro
portione c b d ad b d, & b d ad a, &longs;ed e b d e&longs;t dupla
ad b d, quia e e&longs;t æqualis, cigitur proportio c b d ad
a e&longs;t maior multo quàm duorum exce&longs;&longs;uum, qui mo
uerent in proportione dupla: uelut &longs;i adderemus f
b d
b cum d moueat a in proportione b d ad a & f cum d mouebit a in
proportione eadem qua b d, ergo per uiam additionis duplo ue
locius, quàm dupla proportione, uerùm dupla comparatione ad
proportionem b d ad a, non autem duplicata &longs;ed dupla, ut dixi, qu&ecedil;
erit maior quàm dupla per Ergo &longs;i addatur al
ter homo, erit dupla ad illam duplam, ueluti addendo æqualem d b
f e, adeò ut &longs;i proportio d b f e e&longs;&longs;et quintupla, mouerent illi duo in
proportione decupla. Sed annexo baculo aut lima aut &longs;erra annu
lo h, ita ut circunuolui po&longs;sit h æquabit uires non &longs;olum d b f e &longs;ed
multorum hominum. igitur multo plus aget homo ambabus ma
nibus radendo aut &longs;ecando cum g, quàm quadrupla proportione
unius manus, & hocincrementum e&longs;t non &longs;olum magnæ
utilitatis, &longs;ed ualde
operum grauiorum. Et huiu&longs;modi conduplicatio e&longs;t ratio
limæ quam &longs;urdam uocamus.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquadrage&longs;imaquarta.
Si line&ecedil; dat&ecedil; alia linea adiungatur, ab extremitatibus autem pri
oris line&ecedil; duæ rectæ in unum punctum con currant proportionem
habentes quam media inter totam & adiectam, ad adiectam erit
punctus concur&longs;us à puncto extremo lineæ adiectæ di&longs;tans per li
neam mediam. Quòd &longs;i ab extremo alicuius lineæ æqualis mediæ
&longs;eu peripheria circuli cuius &longs;emidiameter &longs;it media linea duæ lineæ
ad prædicta puncta producantur, ip&longs;&ecedil; erunt in proportione medi&ecedil;
ad adiectam.
H&ecedil;c propo&longs;itio e&longs;t admirabilis: & etiam de&longs;crip&longs;i, ut multa &longs;ecre
ta Dialecticæ potius
congrueret. Ideò potius &longs;cholij cau&longs;a po&longs;ita e&longs;t quam ip&longs;ius tracta
tionis: ut
&longs;picere oporteat.
& proportio c ad d, & fiat d e ad c, ut c ad d, & a b ad e ut b f ad d, &
ut g ad c, eritque g media inter a f & f b, quod licet &longs;olum &longs;upponatur
ab Appollonio,
cta e&longs;t Concurrant ergo ex a & b du&ecedil; line&ecedil; in aliquod
punctum, putat h ut &longs;it a h ad h b uelut c ad d, dico quod &longs;i ducat
h f quod ip&longs;a erit æqualis g, ducatur b l æquidi&longs;tans a h, & quia
ex &longs;uppo&longs;ito a h ad h b, ut g ad b f, erit b h ad h a, ut b f ad g, & quia
trianguli a h f & b l f &longs;unt &longs;imiles erit proportio a h ad b l, ueluti a f
ad fb, igitur per &ecedil;quam proportionem b e h ad b l, ut a f ad g, &longs;ed ut
a f ad g ita g ad b f ex &longs;uppo&longs;ito: & ut a f ad g, it a h a ad h b, ex &longs;uppo
angulo h b l, ergo triangulus a h b e&longs;t
&longs;imilis triangulo h b l, quare angulus
b h l e&longs;t &ecedil;qualis angulo h a f, igitur du
orum triangulorum f a h, & fb h duo
anguli unius a & f &longs;unt æquales duo
bus angulis, alterius igitur propor
tio a f ad fh re&longs;picientium angulos &ecedil;
quales ut a h ad h b re&longs;picientium an
gulum f, &longs;ed a h ad h b ut c ad d, ex &longs;up
po&longs;ito igitur a f ad f h, ut c ad d, &longs;ed ut c ad d ita a f ad g, ex &longs;uppo&longs;ito
ergo h f e&longs;t æqualis g.
mi, &
ti
ti
E
mi, &
ti
ti
Cum ergo h&ecedil;c demon&longs;tratio &longs;it ex &longs;en&longs;u in uno puncto h, ideò ad
quælibet puncta traduci pote&longs;t, quæ potero imaginari, & ita pri
ma uo cabitur &longs;en&longs;us,
do non a&longs;&longs;umimus aliquid, quod &longs;it proprium alicui puncto, ni&longs;i
proportionem h a ad h b &longs;imilem e&longs;&longs;e c ad d, ideo hoc pertinet ad
intellectum, & e&longs;t tertium. Etidem dico &longs;i k e&longs;&longs;et ultra h quod po
te&longs;t contingere. modò k a ad k b &longs;it ut c ad d & k f &longs;it &ecedil;qualis g idem
&longs;equetur, & comprehenditur &longs;ub tertio & pertinet ad intellectum,
& quoniam demon&longs;tratur quod punctum k ubicun que &longs;umatur, e&longs;t
in &ecedil;quali
pheria circuli, & hoc pote&longs;t e&longs;&longs;e in infinitis locis &longs;impliciter & extra
infinitum nihil e&longs;t, igitur &longs;ub hoc continetur conuer&longs;um &longs;cilicet,
quod a quolibet puncto circuli ductis lineis ad a & b ip&longs;&ecedil; erunt in
proportione c ad d. Et ita ab&longs;que principijs Geometricis concluditur
propo&longs;itio Geometrica & hoc e&longs;t
tellectus humani. Et pote&longs;t demon&longs;trari Geometricè duobus uer
bis. Quia. n.
li erit media inter a f & f b, quare cum angulus f &longs;it communis, erit
proportio a h ad h b, laterum re&longs;picientium angulum f in utroque
triangulo, uelut h f lateris in maiori ad f b latus in minori, quare
cum ex &longs;uppo&longs;ito h f ad fb &longs;it ut c ad d, erit a ad b, ut c ad d. Et uides
Apollonium, & Pappium quanta &longs;uperflua adij ciant in hac &longs;ecun
da parte demon&longs;trationis, quæ e&longs;t prima apud illos, & ducunt
lineam non nece&longs;&longs;ariam ex puncto b ad latus fh. Vt
rique non tantum potuerint Geometria & ingenio, quæ ferunt excel
lenti&longs;sima in illis, quantum nos ex Dialectica
tes. e&longs;t enim &longs;ingulare hoc exemplum.
E
ti
I
nicor.
in
Ex hoc
&longs;iretque per m & n e&longs;&longs;et a m ad m b & a n ad b n, ut a h ad h b.
SCHOLIVM
Ex hoc pater qualiter ex uera demon&longs;tratione &longs;en&longs;u o&longs;ten&longs;a per
uenimus ad quotquot imaginando, inde intellectu abiectis condi
tionibus non nece&longs;&longs;arijs facimus infinitum & uniuer&longs;ale. Demum
&longs;ine artis &longs;pe cialis auxilio o&longs;tendimus Iheorema uniuer&longs;ale (quod
etiam poterat o&longs;tendi Geometricè, &longs;ed longè pulchrius e&longs;t, ac &longs;ubli
mius per
per &longs;implicem
puncto peripheri&ecedil; circuli, cuius &longs;emidiameter e&longs;t media proportio
ne inter totam exten&longs;am à centro u&longs;que exterius, & partem quæ' e&longs;t à
centro ad punctum de&longs;criptum &longs;ub proportione continua
linearum lineæ ductæ ex eo ad punctum exterius, & punctum de
&longs;criptum &longs;unt in proportione datarum linearum.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquinquage&longs;imaquinta.
Primùm oportet &longs;cire e&longs;&longs;e tres naturales
numerorum &longs;eries, primam Euclidis iuxta
quamuis
tius & quintus, & ita uno &longs;emper intermi&longs;
&longs;o &longs;unt quadrati. Primus quo que.
1. unum &
quartus & &longs;eptimus & ita duobus intermi&longs;sis &longs;unt cubi. In &longs;ecun
do ordine e&longs;t naturalis &longs;eries numerorum, ex qua colligitur alia, &
ex illa bini quilibet &longs;e &longs;equentes con&longs;tituunt numerum In tertia numeri impares, qui &longs;emper collati efficiunt quadratum.
Sit ergo propo&longs;itus numerus cui uelim
addere quadratum numerum, ut fiat qua
dratus totus, accipe numerum quadratum
minorem illo quem uis, & detrahe à propo
&longs;ito numero &longs;eu quadrato &longs;eu non re&longs;idu
um, diuide per duplum <02> quadrati quod
detraxi&longs;ti, &qring;d exit duc in &longs;e fiet quadratus numerus, idem que additus
numero propo&longs;ito, faciet quadratum. Velut capio 16 qui e&longs;t qua
dratus, aufero 9 quadratum
plum <02> 9, exit 1 1/6 quadratum eius e&longs;t 1 13/36 qui additus ad 16 facit 17 13/36
Ex hoc patet propo&longs;ito quouis numero
di infinitos numeros quadratos qui
SCHOLIVM.
Po&longs;&longs;em adducere demon&longs;trationes omnium
tur res longa Exemplum &longs;ecundum capio modò 14 qui non e&longs;t quadratus, aufe
ro 9, remanet 5, diuido per 6 duplum <02> 9 exit 5/6
rentia duorum quadratorum, &longs;cilicet 25/36 & 14 25/36.
Ex hoc habebis duo quadrata in datis terminis quæ different
dato numero, & e&longs;t pulchrum. Velut uolo duo quadrata quæ dif
ferant in 2, & <02> minoris &longs;it inter 1 & 2, tunc capies per regulam i
p&longs;am 2, & auferes
per duplum radicis efficiat
dratum, aufero ex 2, relinquitur 1 5/9 diuido per duplum 2/13 radicis 4/9 &
e&longs;t 1 1/3 & exit 1 1/6, & hic e&longs;t minor numerus cuius quadratum e&longs;t 1 13/36
cui &longs;i addantur 2, fient 3 13/36 numerus quadratus 1 5/6.
Cum autem uolueris duo quadrata quæ differant in 100, tunc
per regulam datam &longs;i auferes 1, peruenires ad numeros magnos &
fractos, & ideo melius e&longs;t quia numerus e&longs;t par, ut detrahas nume
rum parem quadratum, ita quod re&longs;iduum po&longs;sit diuidi per
radicis, ut in hoc non detraho neque quia remanet impar, nec 16 quia
84
24, cuius quadratum &qring;d e&longs;t 576 addito 100 facit 676
Et ita ex 433 non auferam &longs;ed 9, quia relinquetur 24 qui pote&longs;t diui
di per &longs;e, duplum <02> 9 & exit 4 cuius
Secunda regula, cum uolueris propo&longs;ito uno numero quadra
to illum diuidere infinitis modis in duos numeros quadratos, cape
quemuis numerum quadratum per primum exemplum regul&ecedil; pri
mæ, & cum eo diuide numerum propo&longs;itum, & qui proueniet erit
quadratus,
meri quia multipli catio fit per
meros qui &longs;unt partes diui&longs;oris. Velut uolo facere de 4 duas partes
qu&ecedil; &longs;int
bus
tos
per 169. Tertia regula cum unus numerus additus
primo & detractis à
numerus coniunctus cum differentia illorum nume
rorum & detractus à primo & additus &longs;ecundo facit
eo&longs;dem numeros quadratos, ueluti capio 10 primum
3 &longs;ecundum 6 additus ad 10 & detractus à 7 efficit 6
& 1 quadratos dico quod iunctus 16 cum 3 differen
tia 10 & 7 fit 9, qui detractus à 10 & additus ad 7 effi
cit 1 & 16 numeros quadratos priores.
SCHOLIVM
Sunt & alij modi plures faciendi huiu&longs;modi, &longs;ed
nerales, & nihilo minus &longs;unt magis confu&longs;i, & non aliquid plus.
Quarta regula,
qui bifa
uelut 10 ex 25, & 25 & 49 & 1,
& diui&longs;us in
d &longs;it portio minor eiu&longs;modi, ut adiecta illi
cir
drato &ecedil;qualia duob. Maio
ra c d
minoribus &longs;upplementis c d
drato &ecedil;qualia h g Ergo propo&longs;ito numero, putà 3 ducam in &longs;e
fit 9,
1 numerus
numerus, alter <02> 1. 1. 1, & 5. Et &longs;imi
liter capio 6 36
4. 32 differentia 4, numerus
2, ideo
6 &longs;unt 200,
10
eius 81 du
6. 72 differentia 9 numerus
unus 450,
15, qui con&longs;tat ex 9 & 6. Et
ita capio 11 cuius e&longs;t 121,
6 e&longs;t 72 differentia, 72 & 21 e&longs;t
49 numerus 7,
ris e&longs;t unus numerus, alter e&longs;t 7 17, qui con&longs;tat ex 11 & 6. Quinta regula, per hoc inueniemus infini
tos numeros
unum
&longs;unt dupli ad qui proueniet erit
&longs;cilicet 16/289, duc in numeros
dratos
& hi iuncti
e&longs;t diui&longs;us numerus. Et ita poteris diuidere 32 in infinitos alios
Sexta regula, ponamus modò &qring;d uelim diuidere 10,
duob. 9 & 1, & non
ita &qring;d &longs;it diui&longs;us in alios
duos: fit 250/25, at 250
ex duob. quad.
<08> 225/25 & 25/25, &longs;cilicet 169/25 & 81/25, id e&longs;t 6 19/25 & 3 6/25, qui &longs;unt
2 3/5 & 1 4/5, & ita uolo diuidere 13 in duo alia
25 & fit 325/25, qui nece&longs;&longs;ario com
ponentes 13, & <02> &longs;unt 3 2/5 & 1 1/5, & in his opus e&longs;t in du&longs;tria, &longs;cilicet ut ut proueniant numeri illi
&longs;iti ex Vt uerò uideamus
dere 6 in duos numeros
pares, & &longs;ic
dius numerus &longs;unt & ali&ecedil; rationes, &longs;ed neque unus po&longs;&longs;et e&longs;&longs;e inte
ger, & alius fractus, n.
6 numerus integer:
&longs;int duo fracti: &longs;ed in numeris fractis deductis ad minimas deno
minationes
ces, ergo oportet &qring;d hoc &longs;it in illis, & quia iuncti debent facere inte
gros 6, nece&longs;&longs;e e&longs;t ut denominator &longs;it unus, &
meratores &longs;imul iuncti &longs;int
&ecedil;quipollere 6, ergo ille denominator & numeratores am
bo &longs;int & &longs;int
merumqui ductus in 6, faciat
aut
ueluti totius ad 6, &longs;ed totu continet 6 in quia ex 6 in
fit
ergo ex medietate in idem fit medietas, &longs;ed medietas e&longs;t nume
rus ergo 3 e&longs;&longs;et numerus
&qring;d e&longs;t fal&longs;um, oportet
ri illi &longs;int inæ quales, & ut 6 diuidatur in duas partes in&ecedil;quales, hoc numeris
nam &longs;i e&longs;&longs;et impar,
ille erit
tum
numeri quia denominator utriu&longs;que partis ex &longs;uppo&longs;ito e&longs;t nume
rus
ri
6, quia numerus productus
citur
4, exit nece&longs;&longs;ario idem 3. Pro colligendo ergo numeros omnes, qui
ges, & diuides per 6, &
& numeri
minatoribus Vt uerò cogno&longs;cas, ex quibus po&longs;
&longs;it componi primum ex imparibus, non oportet a&longs;&longs;umere ni&longs;i 135,
quia 7 diui&longs;um per 6 relin quit 1, & 9 diui&longs;um per 6, relinquit 3, & 35
diui&longs;um per 6 relinquit 5. ergo non pote&longs;t componi numerus im
par, qui diuidatur per 6, ut &longs;up er&longs;it impar alius quàm 1. 3. 5. &longs;ed 1 & 3
& 5, & 5 componunt 4 & 1, & 1 & 3 & 5 componunt 2, &longs;cilicet abie
cto 6, ergo tales numeri
tur in 3, ut 9 & 81, qui faciunt 90, uel in 1 & 5, &longs;ed nullus numerus
quadratus diui&longs;us per 6 terminatur in 5, quia 1 ductum in &longs;e produ
cit 1, & 3 pro ducit 3, & 5 pro ducit 1, ut 5 in 5 facit 25, & 11 in 11 produ
de 5, & compo&longs;itis à 5, nam diui&longs;o 5 in 3 & 2, quadratum eius
nitur
quadrato 3, quòd e&longs;t 9, in quo &longs;upere&longs;t 3, & ex quadrato 2 quod e&longs;t
4, &longs;ed iunctis 4 & 3, & abiecto 6 &longs;upere&longs;t 1, ergo 5 in 5
&longs;o producto relin quitur 1. Et &longs;imiliter capio 17, et
5 quadratum, ergo 17 componitur ex quadrato 12, in quo nihil &longs;u
pere&longs;t, & duplo 5 in 12, in quo
& ex quadrato 5, in quo &longs;upere&longs;t 1, ergo in nullo numero
ex 5 & 6, uel compo&longs;itis ex 6, poterit produci numerus, qui diui&longs;us
per 6 relin quat 5, igitur neque talis numerus potérit
bus quadratis, in quib. &longs;uper&longs;it 5 & 1, quia nullus e&longs;t, in quo &longs;uper
&longs;it 5 facta diui&longs;ione per 6. Ex quo colligitur una regula: quod &longs;i quis
dicat multiplicaui 27 in &longs;e, et diui&longs;i per 13, uellem &longs;cire quid &longs;upere&longs;t,
dico quod &longs;ine multiplicatione et diui&longs;ione poteris hoc &longs;cire ex de
mon&longs;tratione dicta, diuide ergo 27 per 13, & relin quitur 1, duc in &longs;e
fit 1: dices ergo, quod &longs;upererit 1, & ita &longs;i ducerem 28 in &longs;e, & diuide
rem per 11, dico quod &longs;upererit 3, nam diui&longs;o 28 per 11, relin quitur
6, duc in 6 fit 36, diuide per 11, relin quitur 3, ut dictum e&longs;t, & tantum
ad propo&longs;itum, pater quod ex duobus tantum numeris imparibus
quadratis pote&longs;t conflari ille numerus,
relin quunt 3. Sed de paribus uel &longs;upere&longs;t 2 uel 4 uel nihil, &longs;ed
tum
ex duobus numeris, in quibus &longs;uper&longs;int 2, neque in quibus &longs;uper&longs;int
4, neque in quibus &longs;uper&longs;int in uno 2, in altero 4
quibus &longs;emper &longs;upererit 4, & iuncta faciunt 8, in &qring;&longs;upere&longs;t 2,
re
rum
4, quia in aggregato
tur quod ille numerus componetur ex duobus quadratis, uel impa
ribus, quorum latera diui&longs;a per 6 relinquunt 3, uel ex duobus pari
bus, quorum latera diui&longs;a per 6 nihil relinquant. Oportet igitur
inuenire duos tales numeros quadratos numerorum imparium, in
quibus &longs;uper&longs;it 3, &longs;i diuidantur per 6, aut parium in quibus nihil &longs;u
per&longs;it, quorum aggregato diui&longs;o per 6 prodeat numerus
di
His ui&longs;is dico, quod con&longs;tat radices talium numerorum opor
tere e&longs;&longs;e in imparibus per additionem 6 incipiendo à 3, ut &longs;int
3. 9. 15. 21. 27. 33. 39. 45. 51. & &longs;ic deinceps: in paribus au
tem per additionem eiu&longs;dem 6 incipiendo à 6, uelut 6. 12.
18. 24. 30. 36. 42. 48. 54. 60. Dico ergo quod diui
&longs;o numero illo compo&longs;ito per 6 in imparibus exibit numerus,
Quia
225, qui
&longs;upere&longs;t 3, & &longs;imiliter capio 6 & 12,
6. Et hoc quia
ergo aggregato diui&longs;o per 6 &qring;d prodit,
Et in imparibus quo dlibet
numerus impar
prodibit, uel erit
ret 6, ergo tres
& qui prodit per
lorum.
dratorumAt hoc e&longs;&longs;e
qui
quod e&longs;t contra &longs;uppo&longs;itum, quare nullo modo 6 pote&longs;t diuidi in
duos numeros quadratos, neque integros, neque fractos, quod erat
demon&longs;trandum. Habes igitur ex hoc demon&longs;trationem quando
ptimi
Propo&longs;itio cente&longs;imaquinquage&longs;ima&longs;exta.
Horologiorum tempus multiplicare.
Contingit quando que &qring;d
pus breue e&longs;t, uolumus
duob. modis po&longs;&longs;umus,
lior e&longs;t &longs;ed perpetuus, & longè nobilior, nam
grauitas ponderis uer&longs;atilis efficit
diorem
re Sit ergo rota a b uer&longs;ati
lis, quæ certam men&longs;uram exigit pro quacunque funis parte corre&longs;peron
dentis uni denti ex centum, in quos di&longs;tincta &longs;it, curriculum
quinque
rur&longs;us ad
ea Iam
uerò tempus illud poterit duplicari ac triplicari iuxta
poris uer&longs;atilis:
dius
plendam
reuolutio indicis tanto tardior erit, ut
indicem &longs;equuntur horarum demon&longs;trationes celerius aut eodem
modo ferantur. Ponamus ergo po&longs;t<08> eadem e&longs;t ratio celerioris &
æqué uelocis, ponderis
ris, aut æqualiter cir cumducti in dicis, celerioris
deris, quod ad nullam Sit ergo ut pon
dus uelim tardius de&longs;cendere, rotam
quod ex tempore mobili &longs;eu uer&longs;atili (& e&longs;t ferrum, quod in &longs;um
mo horologij citra ultraque
læ) id fieri non pote&longs;t: nam quantum tardabitur rota tertia &longs;ecunda
& prima, atque ob id de&longs;cen&longs;us ponderum, tantum remorabitur rota
prima quæ indicem o&longs;tendit, ergo tantum index tardabitur quan
rum
ratur, &
Secundus modus e&longs;t, ut rota una totum tempus cum indice in ui
gintiquatuor horis circumuoluatur, & currulis in quo funis minor
fiat: nece&longs;&longs;e e&longs;t
ter decies, &
niam tempus & dentes men&longs;uræ re&longs;pondent: igitur &longs;ub ei&longs;dem cir
cuitibus numero eodemque tempore minus ex fune
ruli paruo <08> magno: quare mutatione indiget currulis, aut ut funis
circumuoluens rotam curriculum habeat
horas, in qua pauciores &longs;int dentes: nam in eodem tempore, & cir
cuitu paucioribus uicibus circumuoluitur rota funis quæ grauita
te temporis, & multitudine
&longs;eruabit Sed in hoc nece&longs;&longs;e e&longs;t gra
uius efficere pondus, aut leuius
niam
Tertius modus facilior e&longs;t, & magis com
d quæ funem
firmiter &longs;int
nis una parte tro chle&ecedil; appen&longs;us in k,
ad inferiorem aliam tro chleam lin&longs;eraturque
ibi orbiculo &longs;uo, & redeat à dextra &longs;uperius
at
ad
ip&longs;um, &
ibique de&longs;cendens connectatur tro chleæ in inferiori in o, cuius imæ
parti annectatur pondus remorans in imo annexum parte tro ch
leæp. Cum ergo trahitur n tro chlea, trahitur funis adeò ut pon
dus m, tandem a&longs;cendat cum tro chleal prope k: quia ergo in duo
decim horis pondus m de&longs;cenderet per k l funem reuolutionibus
circa d rotam dicamus uiginti, ergo &longs;i debet de&longs;cendere à k ad l, per
funem duplicatam k l cum ip&longs;am nece&longs;&longs;e &longs;it obequitantem d reuo
lutionibus quadraginta circumuolui d, nam tota o h n d m g l k lon
gè maior e&longs;t duplo k l, nece&longs;&longs;e e&longs;t m de&longs;cendere tardius quàm in du
plo temporis, quo de&longs;cenderet per rectum funem k l, quod erat de
mon&longs;trandum. Et hanc appendicem uidi apud Cæ&longs;arem Odonum
Apulum medicum, uirum elegantem lepidique ingenij. Memento
uerò quod ubi orbiculi non cederent funi, uel quia duriores in cir
cumuolutione, uel quia latius exciperent illum reduplicato fune
circa illos omnin o circumducuntur, &longs;ed difficilius ideò egent gra
uiori pondere.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquinquage&longs;ima&longs;eptima.
Horologiorum molarium rationem o&longs;tendere.
Sunt horum duo genera primum, & anti
quius licet multo po&longs;terius eo quod pon
deribus ducitur, quod funiculo ex inte&longs;ti
nis ouium &longs;eu fidibus liræ agitur. Sit igitur
axis f k erectus &longs;uper plano, cui per longum
coniuncta mola multiplicis &longs;piræ in fine, cu
ius cannectatur ferreo circulo, qui habeatur lo co cap&longs;ulæ b c, quæ
circumuolui po&longs;sit: huic
cto g, &longs;it autem e h in modum pyramidis &longs;en&longs;im in acutum, &longs;ed non
ualde per
&longs;iculo, & uertatur h e, colligens funiculum tractum in &longs;pira uer&longs;us
apicem: unde funiculus circumuoluet b g d,
ergo molam, & con&longs;trin get uiolenter
quæ circumuolui pote&longs;t a b e ad h: & cum trahitur in d eremittitur,
non pote&longs;t mola &longs;tatim retrahere reluctantibus denticulis h l rotæ,
& alijs quæ implicantur curriculo m, a igitur mola con&longs;tructa uio
lenter mouet b g d, cap&longs;ulam motu contrario à c in d & in g & in b,
quare funis d e trahitur, & trahit e h illum circumuoluendo contra
rio motu priori, is mouet denticulo rotam h l, illa per curriculum in
aliam Hic ade&longs;t cap&longs;ula, & quod circumuertitur à claue non e&longs;t axis mol&ecedil;
&longs;ed extra molam, &longs;cilicet e h. Et quoniam hac ratione quanto mola a
ctura auxilium præ&longs;tatur, ut funis in inferiore parte
res orbes, & è regione tanto uehementius uertat e h: & ita uis quæ
remittitur ob molæ laxitatem, augetur tantundem ob &longs;itum & ma
gnitudinem &longs;pirarum ut di&longs;tantiorum &longs;ua extremitate ab hypomo
chlio, quod e&longs;t axis coni e h, &longs;eu in&longs;tar axis.
Alterum genus horologiorum cum mola &longs;ine fune loco cap&longs;ul&ecedil;
habet
agitur uiolenter, non e&longs;t extra molam, &longs;ed ei annexa e&longs;t mola intus,
exterius
exterior, &longs;ed non Vbi mola quan
tum decet con&longs;tricta e&longs;t &longs;ublato clauo &longs;tatim &longs;ecum trahit rotam, &
illa Sed
in hoc idem e&longs;t in commodum &longs;ine remedio
quod fuit in priore. Vbi enim cœperit laxa
ri mola tanto tardius progrediuntur rotæ
atque index. Veluti axis a b cui &longs;ecun dum lon
gitudinem molæ caput interius annexum
e&longs;t altero circulo rotæ in c d curriculum rotæ e, implexum rotæ f
clauus rotam retinens, donec circumducto a b mola con&longs;tringa
tur, & latus eius trahat rotam ex c. Inde &longs;ublato clauo circulus, &longs;eu
rota trahitur ex c in g, & in famola, quæ etiam &longs;ecundum eandem
partem circumuoluta e&longs;t: igitur d circumagetur à rota & reliqua. Sed ut dixi con&longs;tructio hæc non &longs;atisfacit.
Aliam ergo oportuit excogitare qu&ecedil; huiu&longs;modi e&longs;t.
Sub axe a b,
qui cir cumuertitur ad molam contrahendam rotam, collocant par
uam quæ e&longs;t, ut ita dicam, pars axis ima cui in&longs;eruntur dentes in am
bitu ea ratione, ut dum mola ten ditur, premant denticulos interio
res, atque ita elabitur, totiesque circumducitur manente g f, donec
colligatur mola, quæ non ut in priore reliquo extremo ulli rotæ
affixa e&longs;t, &longs;ed columnæ in continenti
opercula horologij. Cum ergo mola
tenta retrahat axem a b contrario mo
tu, & ille rotam mobilem, quæ cum
non po&longs;sit regredi propter auer&longs;os
dentes, mouet rotam f g contrario mo
tu, quæ circumacta per denticulos &longs;u
os curriculum agit, & reliqua omnia
nece&longs;&longs;aria. Cur autem cum laxatur mo
la, & uertit lentius c e rotam coniun
ctam, ideoque g f, & reliqua omnia
fit cra&longs;sior, & durior adeoque robu&longs;ta, & rotæ leues, ac tempus dum
laxata fuerit munus &longs;uum iu&longs;to in tempore obeant: quare nece&longs;&longs;e
e&longs;t, ut ab initio uehementius agat, & celerius rotam cum axe qui tra
hitur à mola. Ergo excogitarunt aliud genus retinaculi forma co
chleæ quod ab initio moratur
quanto magis mola explicatur eo minus retinet
ut uehementer retineat uehementem concitationem medio criter
moderatam, &longs;egniter lentam, nullo modo iu&longs;tam: ita fit, ut &longs;emper
fermè æqualiter moueatur. Difficile e&longs;t tamen ad unguem &longs;eruare
moderationem, & æqualitatem, & magis etiam in his horologijs,
quæ uno circuitu molæ tempus
efficere molam, quæ longo tempore duret, cum intenta ualde cele
rius moueat rotas, & ob id breui ab&longs;oluat circuitum, mollior au
tem citò remittatur. Et ob id longior & non adeò
dura melior e&longs;t. Ratio autem cochleæ ita &longs;e habet.
Circa axem molæ d deducitur cochlea a b c, quæ
dum laxatur mola cochlea mouetur ex b in c, at que
ita pariter laxatur uis cochleæ retinentis axem.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquinquage&longs;imaoctaua.
Rationem indicis mobilis cum rota horarum numerus per ictus
indicatur explicare.
Hoc fieri pote&longs;t in &longs;ingulo genere horologij trium
Propterea &longs;ufficiat de uno o&longs;tendi&longs;&longs;e.
Sed & in &longs;ingulo genere &longs;unt
multi modi, unius tamen reddidi&longs;&longs;e Hoc
tuor habet difficultates: prima ut horarum ictus conueniant cum
indice: &longs;ecunda ut conuer&longs;o indice conuertatur, & rota ictuum: ter
tia ut ictuum numerus cum numero indicis conueniat. Vnde mul
ta &longs;unt horologia, in quibus ictus unus &longs;olum auditur &longs;ingulis ho
ris, atque hic modus facilis e&longs;t: quarta cur in horum pleri&longs; que &longs;i non
pul&longs;ata &longs;tatim hora
retineri pote&longs;t, donec pondus illud de&longs;cenderit. Ergo primi & ter
tij ratio hæc habeatur, cum rota qu&ecedil; indicis rotam circumagit, per
uenerit ad horæ finem, denticulo &longs;oluit aliam, eleuans obicem, illa
mouetur à pondere proprio alio, &longs;cilicet ab illo quod tempus agit:
aut &longs;i &longs;it horologium molæ à mola alia propria, quæ malleos cir
cumacta perpetuò mouet, atque motura e&longs;&longs;et &longs;emper, donec pondus
ad terram de&longs;cenderet: uerum dum mouetur de&longs;cendit ferrum pro
quouis ictu quod in rotæ limbum incidit, & donec inciderit in eam
partem quæ lenis e&longs;t dilabitur, nec retinetur, & ita eleuatur rur&longs;us,
pondus non amplius de&longs;cendit, rota &longs;i&longs;titur, malleus manet immo
bilis: &longs;patia ergo quæ &longs;unt inter cauitates &longs;unt &longs;ecundum magnitu
dinem proportionis numerórum
cim, uel ad uiginti
quatuor terminan
tium. Ita quod, gra
tia exempli, &longs;it iam
in cauitate a duode
cim&ecedil; horæ uncus, di
uidam circulum to
tum in duas partes
æquales, quia in &longs;in
gulis medietatibus
propo&longs;itum e&longs;t, duo
decim facere cauita
tes pro unco retinen
do. Et quia in una
quaque medietate o
portet, ut pul&longs;ent ho
ræ lxxviij, & præterea &longs;int ibi &longs;ex &longs;patia cauitatum, quarum &longs;ingulæ
contineant, gratia exempli, duo &longs;patia unius ictus, ut certius retinea
tur uncus,
dietatem circuli utranque in nonaginta partes æquales in cipiendo
ab a, & dabimus b primæ hor&ecedil; quod &longs;patium e&longs;t unius tantum par
tis ex nonaginta, po&longs;t de&longs;cribemus c cauitatem duarum partium,
ita ubi ictum unum dederit uncus, retinebitur in c, pò&longs;t accipiemus
duo &longs;patia, & &longs;int &longs;ignificata d litera, po&longs;t qu&ecedil; faciemus cauitatem e:
& ita uncus bis cadet in d, & pul&longs;abunt duo ictus, & pò&longs;t retinebi
tur uncus in e. Et po&longs;t accipiam &longs;patium trium partium, quod &longs;it f,
& po&longs;t de&longs;cribam cauitatem g duarum partium, atque ita procedam
u&longs;que ad duodecim.
Ex quo manife&longs;tum e&longs;t pondus quod agit rotam uolæ non de
&longs;cendere, ni&longs;i dum horæ pul&longs;ant, &longs;ecus quie&longs;cere.
Secundum, quòd de&longs;cendit illud pondus plus & minus, iuxta
proportionem numeri horarum, ita quod quando pul&longs;abit una ho
ra parum ualde de&longs;cendet, cum &longs;ex horæ &longs;excuplo magis, cum duo
decim adhuc longè magis, id e&longs;t duplo plus quàm cum pul&longs;ant
&longs;ex horæ.
Secunda con&longs;tructio hanc habetrationem: Cum n rota indicis
coniuncta fuerit rotæ, quæ transfert malleum, nece&longs;&longs;e e&longs;t ut unà fe
frequens e&longs;t, &longs;cilicet cur aut quomodo &longs;i diui&longs;æ &longs;unt ut cir
indice non transferatur rota mallei,
dicis in idem incidat, ut horæ quæ pul&longs;u declarantur ad unguem
& in ei&longs;dem &longs;ectionibus
Ver`m quia multis modis contingit ordinem horologiorum
peruerti: in &longs;imilibus quidem &longs;i hora indicis &longs;imul & pul&longs;us unà
circumferuntur, &longs;ed tardius ambo index traducitur ad locum debi
tum, inde ponderi aliquid additur. Si uerò antè proce&longs;&longs;erit quam.
Sol in dicet ablato pondere, &longs;ines tempus fluere u&longs;que ad indicis lo
cum &longs;ine motu horologij, pondus quoque ip&longs;um minues. At &longs;i pon
dus pul&longs;us in terram deuenerit uel propè, expecta donec &longs;uper li
nea index fuerit, inde trahe, neque. n.
excurret: nam &longs;i dum index e&longs;t in
medio horæ aut propè, traxeris pondus pul&longs;us, non de&longs;inet de&longs;cen
dere, pul&longs;abuntqúe horæ donec ad terram pondus deuenerit,
quòd &longs;i iam in errorem incideris pul&longs;entque hor&ecedil; & de&longs;cendat, pon
dus, &longs;en&longs;im deducito indicem, cum. n.
ad finem hor&ecedil; peruenerit ini
tiumque &longs;equentis, quoniam ferrum in interuallum deuenerit rota &
pondus firmabitur. Inde &longs;ublato
index mon&longs;trat peruenerit, reddes pondus horologio. Si ergo ho
ram pul&longs;u
gulam
uero toties repetes immoto in dies & &longs;ublato, &longs;i uereris ne extra
teruallum
hora pul&longs;et quæ cum indice conuenit, &longs;tatimque pondus quo horæ
pul&longs;ant &longs;ur&longs;um retrahes. His quinque regulis u&longs;um di&longs;ces &longs;imilium
horologiorum, unumquodque autem proprias habet: &longs;ed duæ pri
mæ omni horologiæ &longs;atisfaciunt. Quòd &longs;i hæ non &longs;atisfa ciunt iam
horologium laborat: tum uerò illud di&longs;&longs;oluere oportet & deterge
re & inungere, iuuat autem uel cap&longs;ula uel linteo perpetuo pul
uerem ab illo arcere. Quòd &longs;i nec &longs;ic re&longs;tituitur nece&longs;&longs;e e&longs;t di&longs;&longs;ol
uere & antea con&longs;iderare impedimentum, pò&longs;t denticulum qui la
borat, plerunque. n.
aliquem inuenies huius modi, quem lima aut alia
ratione re&longs;titues, &longs;emper autém hi fermè re&longs;tituuntur: at qui mola
aguntur præter rotarum & axium & indicum labores, molæ etiam
inæqualitati & defectibus &longs;ubiciuntur, qui &longs;i nimis uelo citer agunt
rotas cum difficultate re&longs;tituuntur moderationi, &longs;i lentius rarò uel
nunquam emendantur, uix etiam noua inducta mola.
Propo&longs;itio cente&longs;imaquinquage&longs;imanona.
Nullus angulus rectilineus æqualis e&longs;&longs;e pote&longs;t alicui angulo con
tento recta & circuli portione.
Sit angulus a & circulus b c, dico non po&longs;&longs;e aliquem angulum
contentum recta & circuli portione e&longs;&longs;e illi
æqualem. &longs;i enim e&longs;&longs;e po&longs;sit, &longs;it c b e.
duca
tur recta b d faciens rectilineum d b c &ecedil;qua
lem a, erit igitur d b c &ecedil;qualis e b c per com
munem animi &longs;ententiam, &longs;eu ergo b d ca
dat intra circulum &longs;eu extra, erit pars &ecedil;qua
lis toti quod e&longs;&longs;e non pote&longs;t. Sed neque po
te&longs;t cadere recta &longs;uper b e. namid e&longs;t contra demon&longs;trata ab Eucli
de. At &longs;i &longs;it angulus c b e exterior &longs;imiliter producta b d, &longs;eu intus,
&longs;eu extrà cadat, pars erit æqualis toti quod e&longs;&longs;e non pote&longs;t.
mi
Ex hoc patet quod nullus angulus peripheria circuli & recta
tentus pote&longs;t e&longs;&longs;e æqualis recto, quia rectus etiam rectilineus e&longs;t.
Et rur&longs;us nullus angulus peripheria &
recta contentus à recta linea per æqualia
diuidi pote&longs;t, patet quia una pars e&longs;&longs;et an
gulus rectilineus, alia contentus recta & pe
ripheria: i&longs;ti
quare nec prior potuit per æqualia diuidi.
Ex hoc etiam patet quod &longs;pacium con
nam dimidium e&longs;&longs;et æquale dimidio, quod e&longs;t contra demon&longs;trata.
LEMMA PRIMVM.
Inter duos circulos qui &longs;e diuidant infinitæ lineæ duci po&longs;&longs;unt.
Inter circulos autem qui &longs;e tangant, rectalinea duci non pote&longs;t.
Sint duo circuli a b & a c, qui &longs;e diuidant
in a, & ducatur ex centro inferioris d a &
a d, & ad d a cathetus a e, dico quòd a e di
uidet angulum b a c ducatur ex centro &longs;u
perioris a c b quod &longs;it f, fa cui cathetus a g,
quia ergo e a cadit infra a g, & inter a g &
a b non pote&longs;t duci recta, igitur e a cadit in
tra a c b circulum. Rur&longs;us tangant &longs;e circuli
c d & c e, & ducatur a b per centra
applicabit ad c, ex c ducatur cathetus c f &
cta quauis linea infra c f, cadet intra
c e. Non ergo poterit cadere inter c d & c e.
mi
tij
tij
LEMMA SECVNDVM.
Dato angulo contento duabus peripherijs
&longs;e &longs;e cantium æqualem rectilineum illi fabricare.
Sit angulus a b c duabus peripherijs æqualium circulorum con
tentus, uolo ei æqualem rectilineum fabricare, ducantur b d & b e
æquales, ut pote facto b centro eritque angulus d b a æqualis angu
lo e b c, addito utrique communi d b e ex peri
pheria & recta, fiet angulus d b e ex rectis
æqualis a b c ex peripherijs, quod crat de
mon&longs;trandum.
8.
Ex hoc patet quod reliqua duo &longs;pacia
non po&longs;&longs;unt e&longs;&longs;e æqualia rectilineo. Nam
&longs;patium b a c demon&longs;tratum e&longs;t æquale e&longs;
&longs;e rectilineo, & b ad non e&longs;t æquale rectili
neo,
angulo rectilineo, nam &longs;i &longs;ic &longs;it b a c &ecedil;quale
f g h & c a d h g k,
toti f g k &qring;d e&longs;t contra
b a e quia b a c & d a e &longs;unt
per &longs;e, & Totum
ctis ergo
lia
demon&longs;trata hic, nec b a e,
ambo &longs;patia b a e & c a d &longs;unt
ergo æqualia f g k, erit ergo ex communi animi &longs;ententia &longs;patium f
g h æquale &longs;pacio c a d, quod e&longs;t contra primam partem corrolarij.
LEMMA TERTIVM.
mi
Inter duas rectas lineas &longs;e tangentes circuli dati peripheriam
ducere. Sit circulus datus a b rectilineus
angulus c d e, uolo illum diuidere circuli
periferia data b f, duco perpendicularem
d g ex, d &longs;uper d c, & facio g d æqualem a b
& duco circulum per d qui &longs;it d h qui cadet
infra d c & ob id etiam &longs;upra d e, igitur di
uidet angulum c d e, quare cum circulus d h &longs;it æqualis circulo b f
patet propo&longs;itum.
tij
Ex hoc patet quod infinitis modis pote&longs;t diuidi angulus c d e
peripheria b f, nam diui&longs;o per rectam c d e linea d k per &ecedil;qualia & di
ui&longs;o k d e per præ&longs;entem peripheria b f, patet propo&longs;itum quoniam
angulus c d e pote&longs;tin infinitum recta diuidi, & ita &longs;emper per peri
pheriam, unde patet propo&longs;itum.
tertij
E
SCHOLIVM.
Atque hæc omnia &longs;equuntur de mente Euclidis, quæ tamen ui
dentur difficillima creditu, quoniam anguli rectilinei, et ex periphe
ius & minus & nunquam detur &ecedil;quale, uidetur ab&longs;urdum ne dum
admirabile. Et maximè quod etiam anguli ex peripheria & recta
&longs;unt diuer&longs;orum generum inter &longs;e & infinitorum. Pr&ecedil;terea i&longs;tud re
pugnare uidetur ip&longs;imet Euclidi, dicenti duabus magnitu dinibus
propo&longs;itis inæqualibus, &longs;i de maiore earum plus dimidio detraha
tur, atque iterum de re&longs;iduo maius dimidio, & rur&longs;us de eo quod re
linquitur plus dimidio, nece&longs;&longs;e erit ut tandem minor minore quan
titas relinquatur. Neque illud argumentum uidetur concludere an
gulus contactus, ex recta, & circuli circumferentia non pote&longs;t recta
diuidi, & rectilineus pote&longs;t diuidi, ergo rectilin eus &longs;emper e&longs;t ma
ior angulo contactus, quia hoc contingit in angulo contactus pro
pter modum anguli, non paruitatem: &longs;i cut etiam non ualet de figu
ra a lunari, & quadrangulo b. nam pote&longs;t b diuidi
ab angulo ad angulum recta & a non pote&longs;t, &
tamen a maius e&longs;t quam b, cum contineat ip&longs;am. Proponantur ergo duo circuli a d e & a f g qui &longs;e contingant in a, &
corum centra &longs;int b & c & ducantur rectæ a f d & a g e & con&longs;tat
&qring;d portiones a d & a f &longs;imiles &longs;unt,
itemque a e & a g, ducta enim a b c
per centra circulorum ex contactu
tran&longs;ibit per illa: quare anguli h a g
& h a e &longs;untijdem & &longs;imiliter h a f
& h a d ijdem, portiones ergo af &
a d itemque a g & a e &longs;imiles &longs;unt: an
gulus igitur g a e ex peripherijs &
e a d ex rectis &longs;unt ijdem in puncto
a: &longs;ed quod ad ba&longs;sim maior e&longs;t ba
&longs;is g e quam e d: hoc enim &longs;uppono
quod per &longs;e e&longs;t manife&longs;tum toties Quia ergo &longs;unt du&ecedil; ma
gnitudines, quarum ter mini &longs;unt ijdem ex una parte, &longs;cilicet pun
ctum a, ex alia autem unus e&longs;t maior altero, &longs;cilicet g e quam e f &
a d e peripheria e&longs;t maior recta a g e. Ergo per regulam dialecti
cam &longs;i &longs;ub eadem proportione procederent, maius e&longs;&longs;et &longs;patium
&longs;emper inter peripherias quàm rectas. igitur angulus peripheria
rum e&longs;t maior angulo à rectis contento. Cum angulus non &longs;it
ni&longs;i quidam habitus propinquitatis linearum, &longs;ed angulus con
tactus ex recta & peripheria maior e&longs;t contento ex peripherijs cum
habeat rationem totius ad partem, igitur angulus contactus e&longs;t
maior dato angulo rectilineo.
tij
tertij
mi
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;exage&longs;ima.
Propo&longs;ita linea tribus que in ea &longs;ignis punctum inuenire, ex que
ductæ tres lineæ ad &longs;igna &longs;int in proportionibus datis.
Sit data linea a b c in qua puncta dicta & datæ tres line&ecedil; d e f, uo
lo inuenire punctum, puta g ex quo ductæ tres
lineæ ad a b c puncta &longs;int in proportione a g ad
g b, ut d ad e & g b ad g c, ut e ad f. Per pr&ecedil;ceden
tia inuenio circulum ex cuius peripheria omni
bus ex punctis ductæ lineæ ad a b &longs;int in pro
portione d ad e, & per idem circulum ex cuius
peripheria quælibet lineæ ductæ ad b c puncta
&longs;int in proportione c ad f, &longs;i igitur i&longs;ti duo circu
li &longs;e &longs;ecabunt in aliquo puncto puta g: liquet
quod lineæ ductæ ex g ad a b c, erunt in propor
tione d e f.
Ex quo liquet quod &longs;i uoluero ducere ad tria puncta data, tres
lineas in continua proportione data d ad e, &longs;ubijciam tertiam uel in
terponam, &longs;i uoluero mediam. Et &longs;i uellem, ut e&longs;&longs;et a g ad g b dupli
cata ei quæ e&longs;t g b ad b c, & uellem quòd proportio d ad a d f data
e&longs;&longs;et, oporteret inuenire duas medias proportione inter d & f, in de
operari cum una earum per modum propo&longs;itum. Differt corrola
rium hoc à propo&longs;itione in hoc, quod in propo&longs;itione non quæri
mus ni&longs;i proportionem g a ad g b & g b ad b c, non g a ad g c, neque
comparationem proportionum: at in corrolario quærimus tres
proportiones g a g b & g c, & comparationem proportionum in
ter &longs;e, &longs;cilicet æqualitatem.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;exage&longs;imaprima.
Si fuerint duo trianguli quorum ba&longs;es in eadem linea &longs;int con
&longs;tituti & æquales & ad unum punctum terminati, & latus unum
commune inter reliqua quantita
te medium, nece&longs;&longs;e e&longs;t angulum à
maioribus lineis contentum mi
norem e&longs;&longs;e.
Sint duo trianguli a b c, a c d,
quales proponuntur, & &longs;it a d ma
ior a b dico angulum d a c e&longs;&longs;e mi
norem. Si non fiat angulus d a c æ
qualis ex alia parte, & oportet &longs;i non &longs;it minorut uel cadat a d &longs;u
per a b & ducta a d ad &ecedil;qualitatem cadet infra b, ducta ergo d c erit
trigonus a d c maior a b c, quod e&longs;&longs;e non pote&longs;t cum &longs;int æquales.
infra, cum totum &longs;it maius parte erit a d e, ut prius maior a b c quod
e&longs;t contra Euclidem. Reliquum e&longs;t ut d c cadat &longs;upra b c: hoc au
tem e&longs;&longs;e non pote&longs;t, nam cum &longs;uppo&longs;uerimus a b e&longs;&longs;e minorem a c
erit angulus a c b minor angulo a b c, quare a c b e&longs;t minor recto, &
ideò a c d maior recto, at a c d æqualis e&longs;t a c d, alteri igitur a c d e&longs;t
maior recto a c b minor, erit ergo pars maior toto.
mi
mi
mi
dem.
dem.
dem.
LEMMA.
His demon&longs;tratis quis dicere po&longs;&longs;et ex &longs;uperius expo&longs;itis quod
angulus rectilineus &longs;emper e&longs;&longs;etmaior angulo contactus? quia an
gulus contactus non pote&longs;t diuidi ni&longs;i obliqua linea, recti lineus
autem tam obliqua quam recta. Propter hoc exponantur circuli
tres &longs;e tangentes a b, a c, a d hac rati
one ut a b, b c, c d &longs;int æquales, erunt
enim centra omnia in linea conta
ctus, & ducatur a e f g recta quomo
dolibet: & erunt ductis lineis b c,
c f, d g anguli e f g recti, quare om
nes trigoni a b e, a c f, a d g, &longs;imiles
& ideo a e, e f, f g æquales, atque por
tiones a g, a f, a e, iuxta proportio
nem circulorum, quare a g, erit &longs;ex
quialtera a f & a f dupla a e, igitur
per præcedentem maior erit angu
lus e a f, quam f a g, & a d a ex recta
& peripheria quam e a f, igitur augendo eadem ratione cum perue
niamus ad angulum b a g qui fermè e&longs;t recto æqualis cum deficiat
&longs;olo angulo contactus, liquet angulum e a g e&longs;&longs;e longè maiorem
multis rectilineis. I&longs;tud po&longs;&longs;et etiam demon&longs;trari uia Archimedis
diuidendo arcus g a in h & f a in k bifariam ducendo que lineas re
ctas g h & fk & ita diuidendo h a in 1, & k a in m bifariam, & ducen
do rectas atque ita &longs;emper appropinquando puncto a. Concludo er
go quod angulus
rectilineis. Cau&longs;a autem erroris e&longs;t quod multi exi&longs;timarunt corro
larium illud e&longs;&longs;e Euclidis cum non &longs;it. Nam Euclidi &longs;ufficit hoc
quòd angulus contactus Eo uerò quod &longs;it minor omnibus re
ctilineis angulis non utitur, ideò etiam &longs;i
quanto minus: cum uerum non &longs;it, ideò fuit
quod recta linea diuidi po&longs;&longs;et, quod apertè ut dixi fal&longs;um e&longs;t.
P
tij
tij
mi
E
tertij
dentem.
SCHOLIVM.
Ratio autem quòd omnis angulus contactus indiuiduus &longs;it, &longs;eu
duorum circulorum, &longs;eu circuli cum recta e&longs;t, quoniam cum fuerint
duæ rationes contrariæ, & una perpetuò minuitur, alia manet ne
ce&longs;&longs;e e&longs;t, ut tandem, quæ minuitur, &longs;uperetur ab ea quæ manet: cum
ergo circuli curuitas maneat, & angulus tendat in punctum perpe
tua diminutione nece&longs;&longs;e e&longs;t, ut curuitas circuli impediat diui&longs;io
nem rectè: &longs;ed hoc habet duplicem obicem. Primum, quia nullus
angulus ex circumferentia & recta po&longs;&longs;et diuidi: hoc autem fal&longs;um
e&longs;t manife&longs;tè, cum &longs;olus ille qui fit ex contactu lineæ, quæ non di
uidit circulum, diuidi non po&longs;sit. Secundò, quod angulus conta
ctus duorum circulorum &longs;e exterius tangentium multo minus
po&longs;&longs;et diuidi angulo contactus interioris duorum circulorum,
quod tamen fal&longs;um e&longs;t: & hoc animaduertit Campanus no&longs;ter, uir
acutus. Dico ergo quòd in his qui &longs;e tangunt exterius, non fit diui
&longs;io ni&longs;i &longs;emel: & quamuis inclinentur mutuò, tamen in concur&longs;u
non aptantur, ut cum obuiat rectæ aut cauæ parti circuli quia ne
ce&longs;&longs;e e&longs;t, ut accedat, in alio autem di&longs;cedat: indicio e&longs;t quod circu
los &longs;e exterius tangentes, in puncto facilè de&longs;cribes, interius uix fie
ri pote&longs;t, &longs;ed uidentur coniuncti
per longum interuallum. Ad aliud
dico, quòd ille angulus ex recta &
peripheria conuexa circuli propter
di&longs;ce&longs;&longs;um &longs;eruat maiorem inclina
tionem in quocunque puncto, quàm
&longs;it acce&longs;&longs;us conuexæ partis exterio
ris circuli.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;exage&longs;ima
&longs;ecunda.
Proportionem duorum orbium
quorum diametrorum
tis, & concauæ proportiones datæ
&longs;int, inue&longs;tigare.
Sint duo orbes a b c d & e f g h,
& &longs;it proportio a d ad b c, data & e
h ad f g, data & rur&longs;us a d ad e h, di
co orbis proportionem a b c d ad Quia. n.
propor
tio a d &longs;phær&ecedil; ad b c e&longs;t ueluti ad di
metientis ad b c quare orbis ad ad
Quare &longs;phæræ b c ad f g &longs;phæram. atnota e&longs;t proportio f g ad e h
dimetientium igitur & &longs;phærarum: igitur nota e&longs;t f g &longs;phæræ ad or
bem e h, igitur cum nota &longs;it proportio orbis ad a d &longs;phæram b c, &
b c &longs;phæræ ad f g &longs;phæram, & f g &longs;phæræ ad orbem e h, erit propor
tio orbis a d ad orbem e h nota, quod e&longs;t propo&longs;itum.
decimi
&
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;exage&longs;imatertia.
Proportionem uirium &longs;tellarum per motus &longs;uos indagare.
Mouentur &longs;tellæ omnes ab Oriente in Occidentem die una, qui
motus fit à prima mente, quæ mouet: ideò quod ad hoc attinet non
e&longs;t diuer&longs;itas: uerùm in motibus ab Occidente in Orientem
proprij, oportet con&longs;iderare tempus, in quo
gnitudinem ambitus, & inde magnitudinem orbis, qui circumagi
tur, & horum trium facta comparatione digno&longs;citur robur uirium
&longs;tellarum & uitarum quæ mouent eas. Ponatur ergo, ut uelim pro
portionem uit&ecedil; Saturni ad uitam Lunæ: erit ergo (ut docet Alphra
ganus) Luna, cum e&longs;t in longitudine propiore, altitudinem habens
109000 M.P. & cum e&longs;t in longitudine longiore 208500, tota igitur
dimetiens 417000 M.P. mane 218000 M.P. Igitur proportio &longs;olida
rum &longs;phærarum e&longs;t uelut 72511713 ad 10360232, remanebit ergo
proportio orbis ad &longs;phæram elementorum, ut 62151481 ad
10360232, & e&longs;t &longs;excuplum fermè. Rur&longs;us proportio dimetientis al
titudinis Saturni ad contentum e&longs;t uelut 2011 ad 1440, & e&longs;t propè
201 ad 114, quare 67 ad 38, quare &longs;phærarum ut 300000 ad 55000
ferme. Igitur ferè ut 60 ad 11. Rur&longs;us proportio dimetientis &longs;phæ
ræ Saturni ad dimetientem &longs;phæræ Lunæ e&longs;t propè 313, & &longs;phæra
rum &longs;olidarum 306 317 10. Perinde e&longs;t. Quia ergo proportio &longs;phæ
ræ Saturni ad &longs;phæram Lunæ e&longs;t 30631710, & orbis Lunæ e&longs;t 5/6
&longs;olum &longs;phæræ &longs;uæ diuidemus 30631710 per 5/6, & exibit proportio
&longs;phæræ Saturni ad orbem Lunæ 36758052, at quia proportio &longs;o
lidæ &longs;phæræ Saturni ad contentum e&longs;t ut 60 ad 11, erit &longs;phæræ ad
orbem, ut 60 ad 49 re&longs;iduum, diuidam ergo 36758052 per 60, exe
unt 612634, & ducam per 49, id e&longs;t per 100, fit 61263400, & diuiden
do per 2, exit 30631700, detraho 612634, relinquitur proportio or
bis Saturni ad orbem Lunæ 30019066.
Iam uerò circuitus Saturni ad circulum Lunæ, proportio e&longs;t 313,
ut ui&longs;um e&longs;t, Lunæ autem tempus per &longs;ex ductum e&longs;t 164 dies, Sa
turni 177 anni propemodum, qui &longs;unt dies 64649 diuide, duc
ergo 313 in 164, fiunt 51332. Idem ergo peragrat Luna in
51332 diebus, quod Saturnus in 64649, & e&longs;t quo ad hoc agi
bem 30019066, &longs;ed lentiùs quinta parte, detrahe illam fiet robur Sa
turni in comparatione ad Lunam 24015253.
E&longs;t tamen Luna multo agilior ob propinquitatem, & ob uarie
tatem luminis, & magnitudinem &longs;uperficiei. Et etiam quod maius
e&longs;t ob id quod defert ad nos uires omnium &longs;yderum, nihilominus
quo ad uires uix e&longs;t comparatio.
SCHOLIVM.
Multum autem differt hæc propo&longs;itio à &longs;uperiore, nam in illa
quæ&longs;iuimus uim uitarum ex proportione ad &longs;ua corpora, quæ
quodammodo e&longs;t quodammodo, non hic autem exponimus uim
uitarum ex earum operatione. Propterea &longs;ubij ciemus breuiter alti
tudinem proportiones in minore longitudine & maiori
Stellarum fixarum propior 20110 longior non habetur.
Et hæ
men&longs;uræ &longs;unt in comparatione ad &longs;emidiametrum terræ. Et iuxta
id quod potuit &longs;e cundum rationem haberi: nam demon&longs;tratio &longs;ola
e&longs;t de altitudinibus Solis & Lunæ, & eorum magnitudinibus à
Ptolemæo in magna compo&longs;itione.
14. 15.
16.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;exage&longs;imaquarta.
Syderum proportionem in magnitudine o&longs;tendere.
Stellarum autem fixarum in&longs;ignium unaquæque etiam minima, &longs;i
credendum e&longs;t Alphragano, e&longs;t centies maior tota terra, unde ca
nem nece&longs;&longs;e e&longs;t centies mille maiorem e&longs;&longs;e, e&longs;t enim in eadem altitu
dine, & dimetiens decuplus dimetienti &longs;tellarum &longs;ecundæ magni
tudinis, quas ille in&longs;ignes uocat: aliter Saturnus non tantus e&longs;&longs;e
po&longs;&longs;et, cum &longs;it minimus a&longs;pectu.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;exage&longs;imaquinta.
Propo&longs;itionem motuum omnium
Videtur Sol qua&longs;i Rex in Cœlo, nam omnes orbes cum illius
motu conueniunt, & uideturres admiratione digna his, qui non
nouerunt, quanta &longs;it concordia omnium rerum, de qua infrà dice
mus. Ergo Luna primum hoc habet, ut linea æqualis motu Solis
&longs;emper media &longs;it inter lineam æqualis motus Lun&ecedil; & loci maximè
inæqualitatis motus eius, ubi &longs;cilicet tardi&longs;simè mouetur, Veneris
autem & Mercurij ut motus æquales idem &longs;emper &longs;int cum motu
æquali, & locus cumloco ip&longs;ius Solis ad unguem præterid quod
infrà dicemus. Trium uerò
Prolem&ecedil;o In omnire&longs;titutione cuiu&longs;
libet planet&ecedil; &longs;uperioris numerus
mero
tis pariter acceptis. Velut Saturnus in annis quinquaginta nouem
die una & horis decem octo quinquage&longs;ies &longs;epties per motum in&ecedil;
qualem ad
te in&longs;uper una & quadraginta quin que minutijs, quæ re&longs;pondent di
ei uni, & horis decem octo ex motu Solis, & ita bis Saturnus reuol
uitur &longs;ecundum motum æqualitatis & quinquage&longs;ies &longs;epties per
motum inæqualem & &longs;imiliter. Iupiter in annis 70, diebus trecen
tis &longs;exaginta, horis quatuor, &longs;exaginta quinque reuolutiones in&ecedil;qua
les perficiet & &longs;ex &ecedil;quales, deficientibus ex &ecedil;qualibus quatuor par
tibus & dextante quod e&longs;t
bus, & dextante diei ad perfectionem &longs;cilicet annorum &longs;eptuaginta
atque unius. Martis quo que &longs;tella in annis &longs;eptuaginta nouem, & die
bus tribus & horis fermè quatuor triginta nouem facit inæquali
tatis reuolutiones: æqualitatis autem quadraginta duas, & in&longs;uper
partes tres cum &longs;extante, quas manife&longs;tum e&longs;t peragrari à Sole in
diebus tribus atque horis quatuor. Veneris quo que &longs;ydus in octo an
nis deficientibus diebus duobus & quadrante, inæqualitatis quin
que perficit reuolutiones, æqualitatis autem tantundem ad un
quantum Sol deficiente eadem parte &longs;eu diebus duobus & qua
drante. Mercurij quo que &longs;tella in quadraginta &longs;ex annis & una die
& hora una fermè quadraginta &longs;ex fermè perficit reuolutiones æ
qualis motus & in&longs;uper gradum unum cum portione re&longs;pondenti
portioni temporis, id e&longs;t, horæ fermè uni: in æqualitatis autem cen
&longs;um quadraginta quin que. Atque h&ecedil;c &longs;unt manife&longs;ti&longs;sima et ut dixi ad
miranda &longs;unt, præterea alia minus generalia, aut minus manife&longs;ta
aut non tanti momenti quæ con&longs;ultò prætermitto, non e&longs;t. n.
locus
hic do cendi artes &longs;ingulas &longs;ed &longs;olum ea tra ctandi quæ ad argumen Igitur ut ad rem redeam.
Solis cum octauo Orbe ea
ratio e&longs;t, ut linea quam ille permeat eadem &longs;it quam qu&ecedil; fix&ecedil; &longs;tellæ,
non. n.
ad eandem di&longs;tantiam & mente conceptam ab æquinoctijs
de&longs;cendentem ac æquidi&longs;tantem mouetur, &longs;ed ad eam &longs;ecundum
quam &longs;tell&ecedil; fix&ecedil; in octauo orbe mouentur in comparatione ad ecli
pticam &longs;uperioris orbis. Porrò de his atque huiu&longs;modi in Paralipo
menis diximus, ubi etiam docuimus quomodo &longs;ecundum duos cir
culos, qui &longs;olum circa &longs;uum centrum mouentur, punctus datus per
petuò in recta linea feratur.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;exage&longs;ima&longs;exta.
Proportiones mu&longs;icas &longs;uperpartientes in eas quæ particula una
tantum abundant reducere.
Ptolem&ecedil;i hoc inuentum fuit, ut & multa alia pr&ecedil;clara: itaque &longs;ta
tuendum e&longs;t, primum uoces &ecedil;quales non concentum efficere, quia
diuer&longs;æ non &longs;unt, qu&ecedil; autem diuer&longs;&ecedil; &longs;unt, nihilominus proportio
ne con&longs;tant &longs;implici&longs;sima & multiplici, tales optimam efficiunt ar
moniam. Eiu&longs;modi &longs;unt quæ in dupla &longs;unt proportione, uocatur
autem diapa&longs;on. 1. qua&longs;i omnia comprehendens non à numero uo
cum uelut diapente & diate&longs;&longs;aron à quatuor & quin que uo cibus. In
diapa&longs;o. n.
omnia
1. omnes uo
Pò&longs;t &longs;unt quæ in
unde bis diapa&longs;on, po&longs;t quæ in tripla, nam propior e&longs;t monadi &longs;eu &ecedil;
qualitati: &longs;ed non adeò &longs;implex ut bis diapa&longs;on. Vocant
diapa&longs;on diapente: inde huma
nis habetur:
cupla, &longs;eu bis diapa&longs;on diapente. Quintupla
&longs;ed de hac inferius dicemus, atque de multiplicib. dicta &longs;unto.
Sed de
nunc agendum. Clarum e&longs;t.
n.
has e&longs;&longs;e &longs;implici&longs;simas.
Cum ergo du
pla proportio non magis po&longs;sit diuidi æqualibus interuallis atque
&longs;implicibus proportionibus quàm in &longs;exquialteram & &longs;exquiter
tiam, uelutinter 4 & 2 interpo&longs;ito 3. nam proportio 3 ad 2 e&longs;t &longs;ex
quialtera, & 4 ad 3 &longs;exquitertia: nec melius pote&longs;t diuidi, at &longs;exqui
alteram & &longs;exquitertiam quantumuis magnis numeris diuidere
non licebat melius aut commodius quam per &longs;exquioctauas: uelu
ti &longs;umpto numero 64 cui duplus e&longs;t 128, inter medius 96 qui cum
64 &longs;exquialteram facit proportionem, quæ &longs;uaui&longs;sima e&longs;t omni
um deductis multiplicibus, uo caturque diapente. At quæ e&longs;t 128 ad
96 &longs;exquitertia e&longs;t minu&longs;que benè &longs;onat per &longs;e, &longs;ed in acutioribus uo
cibus &longs;olum cum alijs benè &longs;onat, uelut cum diapente, perficiens
diapa&longs;on, interuallum, ergo inter 96 & 64 diui&longs;um per &longs;exquio cta
id accidebat in
& multominus 96 ad 81, quare ui&longs;um e&longs;t Ptolem&ecedil;o ut &longs;ubtracta mona
de Rur&longs;us proportio 128 ad 64
80 ad 64,
pro ditono ut At 128 cum 80 e&longs;t in
proportione &longs;uperpartiente tres quintas, Regula
e&longs;t quae ubi con&longs;onantia uo
nans, S&ecedil;pe.
n.
fit ut ex duab.
con&longs;onantibus di&longs;&longs;onans
& 40, at inter 48 & 40 e&longs;t &longs;emiditonus ut
80, nam inter 45 & 40 e&longs;t proportio &longs;exquioctaua, inter 48
quiquinta decima,
partiens tertias &longs;eu &longs;olida Iam er
go uidemus detractione aut additione &longs;exquio ctuage&longs;imæ, concinnas
reddi uulgatiores armonias:
rur&longs;us
nade ad octo po&longs;itæ &longs;unt. Vides præterea
reddatur. Diate&longs;&longs;aron
uidi pote&longs;t, &longs;i &longs;ecus diuidatur <08> in
&
&longs;cilicet in duo
dius
pote&longs;t. Cum ergo octo ad
quippe nimis remota e&longs;t h&ecedil;c proportio à &longs;en
&longs;u humano:
que proportio Sed dubitabis
meritò, quia
riam
miditonum
infirmari regula illa, quae con&longs;onantia diui&longs;a &longs;i una pars
po&longs;sit e&longs;&longs;e di&longs;&longs;onans,
ron, ut dixi, numerari inter ambiguas coniugationes, quatenus
fe e&longs;t, di&longs;&longs;onans e&longs;t: at que &longs;ic in
quatenus
ditono aut &longs;emiditono &longs;uprà efficiat
benè &longs;onantes. At quintupla proportio ut ab initio propo&longs;itum e&longs;t,
bis diapa&longs;on, & &longs;exquiquarta, ut planè Omnes igitur decem, &
genere ditoni, & &longs;exquiquartæ, &longs;ed paulo minus benè
ip&longs;e. Igitur
Verum
ut o&longs;ten&longs;um e&longs;t & decima&longs;eptima,
benè &longs;onat, h&ecedil;c
&longs;uperquadripartiens quintas. Diapa&longs;on quo que cum &longs;exta maiore & mi
nore eandem habentrationem quam 16 ad 5, & 10 ad 3, triplam utranque,
&longs;ed altera &longs;exquiquinta, altera &longs;exquitertia: bis diapa&longs;on uerò
ut uiginti ad tria, & 32 ad quin que &longs;excupla utraque: &longs;ed altera &longs;uperbipar
tiens tertias, altera quintas.
lum concinnam magis e&longs;&longs;e & &longs;uauem &longs;ed omnem
rum Quòd uerò in cau&longs;a fuit ut toni & &longs;emitonia
in u&longs;u e&longs;&longs;ent, id e&longs;t, quoniam in
nem in Ideò
tonos & &longs;emitonia
ri u&longs;u a&longs;&longs;equi coguntur. At uerò poterat & per &longs;exqui&longs;extam diuidi dia
te&longs;&longs;aron, ut inter triginta &longs;ex & quadraginta nouem interpo&longs;itis 42, ue
rùm triplex
non &longs;eruaretur, &longs;ed incidebat in cacophoniam, addita quadrage&longs;ima o
ctaua parte: deficiente
tione &longs;exquitertia: ut inter 49 & 64 loco 48 & 64, uelut
36, additaigitur monade in termino medio utrin que fit di&longs;&longs;onantia. Se
cundum inconueniens, e&longs;t quae &longs;ic diuidente non &longs;eruabatur ratio &longs;exqui
quartæ & &longs;exquiquintæ &longs;eu ditoni & &longs;emiditoni, quæ uoces benè &longs;o
nant. Tertium inconueniens erat, quòd hæcratio diuidendi diapentes
minimè &longs;atisfaciebat, uelutinter 324 & 216. Interponere enim nece&longs;&longs;e
erat 252 & 294, unde incongrua rur&longs;us erat diui&longs;io. His tot cau&longs;is cum
proportiones maiores non fatisfacerent ut &longs;exqui quinta quæ diate&longs;&longs;a
ron nullo modo æqualiter diuidere pote&longs;t, & in diapente deficit &longs;exqui
uige&longs;imaquarta, ut inter 25 & 36, coacti &longs;unt cum nec &longs;exqui&longs;exta nec
&longs;exqui&longs;eptima idoneæ e&longs;&longs;ent ad &longs;exquio ctauam confugere.
E&longs;t & alia diui&longs;io toni in &longs;emitonia,
& 16, media uox e&longs;t 17 &longs;emitonium maius inter 17 & 16, &longs;ed minus inter
18 & 17,
toniumPtole
m&ecedil;us hoc negaret, quia &longs;exquiquinta &longs;eu &longs;emiditonus
gro, qui e&longs;t inter 90 & 80, & &longs;emitonio
96 & 90, & e&longs;t &longs;exquiquinta decima:
pterea dicemus cau&longs;am e&longs;&longs;e quae po&longs;ito &longs;emiditono inter 81 & 96, id e&longs;t,
27 & 32 &longs;ublato tono, id e&longs;t, 234 & 216, remanebit 13 differentia 256 ad
243, &longs;eu qualis e&longs;t 96 ad 91 & 1/8 quæ e&longs;t ut 768 ad 729 et redit ad
nus &longs;emitonio minore. &longs;ecundum
inter 135, & 120, & &longs;emitonio maiore inter 128 & 120 remanebit &longs;emito
nium minus fermè inter 19 & 18, id e&longs;t, 133 & 126, qu&ecedil; proportio differt
à 135 & 138. Si quis autem bene animaduertat, &longs;exquioctuage&longs;ima illa
adimitur, ex tono & additur &longs;emitonio minori, & hæc e&longs;t cau&longs;a quòd
&longs;emitonium maius Ptolemæi &longs;it concinnum, quia additur tonis imper
fectis. Dimidium autem &longs;emitonij minoris e&longs;t inter 36 & 35, & uocatur
nus diuiditur in duas die&longs;es, minorem, quæ e&longs;t inter 72 & 71, & maio
rem, qu&ecedil; e&longs;t inter 71 & 70, & ideò manet difficultas quomodo intenta
uoce per die&longs;im fiat melior con&longs;onantia? nam de remi&longs;sione po&longs;&longs;emus
dicere quòd accipitur loco &longs;exquio ctuage&longs;imæ: &longs;ed in &longs;exquioctuage
&longs;ima remittitur de tono &longs;ecundum mentem Ptolemæi, in die&longs;i intendi
tur &longs;emitonium minus, &longs;icut o&longs;tendit experimentum, &longs;ed for&longs;an conue
niunt quia intentio &longs;emitonij minoris deducit &longs;emiditonum ad &longs;exqui
quintam: e&longs;t enim differentia &longs;emitonij minoris intenti hoc modo ad
&longs;emitonium minus, ut 136 ad 135: &longs;ed hoc e&longs;t longè minus &longs;exquioctua
ge&longs;ima, unum &longs;at e&longs;t, hanc e&longs;&longs;e ultimam diui&longs;ionem toni in octo par
tes, & ut in diatonico toni dominantur, ita in chromatico &longs;emitonia in
enarmonico die&longs;es, &longs;ed die&longs;es fugitando (utita dicam) ac aures uelli
cando, mirum in modum oblectant audientes: uelut toni &longs;tando, un
de etiam nomen, &longs;emitonia medium modum obtinent.
Tertium genus proportionis (omitto modò
binarij, ternarij, quinarij, qui ultimus e&longs;t eorum quos &longs;en&longs;us recipiat,
nam &longs;eptenarius propinquior e&longs;t binarij diui&longs;ioni ob octonarium, &
modos illos &longs;atis notos Doricum, Lydium & Phrigium, ac eiu&longs;modi)
e&longs;t Ptolemæi: rur&longs;us qui cum uideret de&longs;pectam futuram mu&longs;icæ con
templationem, conatus e&longs;t illius aliquod &longs;ingulare emolumentum
o&longs;tendere, quemadmodum fecit & in libro de Prædictionibus, exi&longs;ti
mans ni illos compo&longs;ui&longs;&longs;et ueluti pr&ecedil;mium o&longs;tendentes tanti laboris
quantus nece&longs;&longs;arius uideretur ad intellectum librorum Magnæ com
po&longs;itionis, futurum e&longs;&longs;e, ut hi negligerentur, ergo & hoc in mu&longs;icæ li
bris o&longs;tendere molitus e&longs;t, &longs;cilicet, præclarum e&longs;&longs;e
plationis
—Non omnia po&longs;&longs;umus omnes.
Virum enim hunc &longs;upra omnem humani ingenij
mus: &longs;ed hanc partem quam hic agit, adeò infeliciter tractat, ut malim
credere Etenim
quid turpius &longs;apienti homini <08> imitari uulgares illos?
&longs;eptem mundi miracula, nimis certè in
uti Sed quo
niam con&longs;tat omnia quæ in mundo &longs;unt ordine coniuncta e&longs;&longs;e, & ne
ce&longs;sitate uinciri, ideò cùm finis ip&longs;e uerus &longs;it, non tam debemus Ptole
mæum damnare, quae non probauerit, quàm laudare, quod
ratione &longs;it a&longs;&longs;ectus. Sæpe enim accidit huiu&longs;modi uiris adeò pr&ecedil;&longs;tan
tibus ut ueritas detegatur, quam cùm illi, ut mos e&longs;t
bus adornare nituntur, tran&longs;gredientes metam muneris, in ab&longs;urda &
ineptias Ergo id modò declarare aggrediar, &longs;upponens quae ue
rum e&longs;t, &longs;cilicet hanc mu&longs;icam
& ab illis originem ducere. Verùm dubium e&longs;t, an &longs;oni propter nume
ros iucundi &longs;int, an propter aliud? & &longs;i propter aliud, cur ergo numeri
ad hoc &longs;unt nece&longs;&longs;arij? & cur ob&longs;eruare eos oportet ne ab illorum ordi
ne di&longs;iungi po&longs;sint? Hoc
ratum e&longs;t, &longs;cilicet delectare nos, quæ percipiuntur quæque ratione facta
uidentur,
ctant nos, quoniam natur&ecedil; ordine nos con&longs;tamus. Illud difficilius lon
gè &qring;d
cto harmonia cum rebus cœle&longs;tibus aut humanis For&longs;an
& illud ab re non e&longs;&longs;et intelligere, cur nullum animal pr&ecedil;ter hominem
capax &longs;it harmoniæ? an for&longs;an
& ob id &longs;olus gaudet ratione? ordinata
maximè, numerus autem quid aliud e&longs;t quàm ordinis
go. Porrò hæc accipienda &longs;unt ex his quæ &longs;en&longs;ibus deprehenduntur,
qualia &longs;unt quae animus mouetur & uarios affectus in duit iuxta harmo
niæ diuer&longs;itatem lætiti&ecedil;, tri&longs;titi&ecedil;, impetus, remi&longs;sionis, timoris, &longs;pei, ira
cundiæ, & commi&longs;erationis. Nos enim maximè octo affectus mouent
mu&longs;icæ modulationes. Secundum quid autem mouent?
uel quia con
&longs;onæ aut di&longs;&longs;onæ, uel quia concitat&ecedil; aut tardæ, uel quod maius e&longs;t quae
tendant in acutum ad alacritatem, uel in grauem de&longs;inant & remi&longs;&longs;um
&longs;onum ad
dorum. Illud &longs;anè non ob&longs;curum e&longs;t,
tanguntur licet plurimum delectent, aut etiam lædant, anima mouetur
ad affectus, licet, ut dixi, magis homo delectetur, aut tri&longs;titia afficiatur
quemadmodum ex &longs;onorum uaria natura, quod etiam in mor&longs;is à Ta
rantula (arane&ecedil; genus e&longs;t) deprehenditur. Quinimò nec à luce nec à co
loribus aut pictura, ni&longs;i ut hæc ad memoriam
ad hilaritatem aut tri&longs;titiam uel iram, uel commi&longs;erationem mouemur. Vnde
po&longs;&longs;ent obliui&longs;ci, at longè plures
rent,
uel imagines po&longs;&longs;unt adeò mouere animi affectus, uel &longs;onus. Nam
duo in uniuer&longs;um ex ui&longs;u ad animi affectus mouendos habentur, tene
bræ ad tri&longs;titiam & metum, pictura regionum
tem, &longs;ed
non habemus. Videtur ergo ob hæc &longs;onus ip&longs;e magis animæ intimus
<08> ullum aliud &longs;en&longs;ile. Quod &longs;i odoratus e&longs;t in
&longs;us in pupilla oculi, gu&longs;tus in linguæ neruis, ueri&longs;imile e&longs;t magis inti
mum e&longs;&longs;e auditum, &longs;cilicet in cerebro ip&longs;o, atque ob id magis ab illo mo
ueri animam. Neque
&longs;tri pars non e&longs;t: neque à tympano, cùm &longs;uperflua fui&longs;&longs;et cauitas interior
omnis: neque enim inter pupillam & cerebrum pars ulla cernitur ad ui
&longs;um adiuuandum idonea: &longs;ed &longs;olus &longs;ufficit con&longs;en&longs;us pupill&ecedil; cum cere
bro: nam ad nos per &longs;piritus deffertur imago, non
nec in uno tempore fieret, &longs;ed ueluti è
& eodem tempore reflectitur imago, ut à primo ita &longs;en&longs;us ui&longs;us ex pu
pilla in cerebro & in corde & anima &longs;imul relucet. At ergo non potuit
in tympano uel neruo den&longs;iore fieri auditus, &longs;ed in cerebro ip&longs;o, ob &qring;d
magis moueret affectus. Sed & magis incorporeus e&longs;t &longs;onus, ut qui
in&longs;trumentum proprium non afficiat, ni&longs;i cum immoderatus fuerit, at
omnis color, omnis lux oculum afficit, ac, ut ita dicam, tingit, neque &longs;uc
ce&longs;siones illas ob id adeò minutas oculus percipere pote&longs;t ut auris,
&longs;ed coinquinatur, ut ita dicam, priorum obiectorum reliquijs atque ima
ginibus. Vt in uniuer&longs;um con&longs;tet puriorem e&longs;&longs;e auditus &longs;en&longs;um etiam
animæ no&longs;træ propiorem quàm ui&longs;um.
Quibus con&longs;titutis uidendum e&longs;t, quomodo &longs;onus permutet affe
ctus: hoc autem
&longs;ed quoniam aut corporis eam partem, quæ e&longs;t animæ in&longs;trumentum,
id e&longs;t, &longs;piritum, aut animæ
nexa e&longs;t. Vt enim corpus de&longs;erit aut impeditur à corporis commercio
corpus immoritur: hoc præ&longs;entiens animus, fiunt illa duo præuia ad
mortem timor & tri&longs;titia. Vt contrà, lætitia non e&longs;t ni&longs;i communicatio
animæ corpori, & quatenus communicatur &longs;olum de uita cogitat, atque
ob id qua&longs;i immortalis, qui lætatur obliui&longs;citur mortis. Ergo anim&ecedil; ra
tio illa erit, quæ ut cogno&longs;cit perfectè exhilaratur dulcedine uo cum, &
hoc fit in diapa&longs;on. Vt uerò imperfectè diapente, ut imperfectius dia
te&longs;&longs;aron, at cum ex diate&longs;&longs;aro & diapente perficitur diapa&longs;on, accidit ei
arcam
perfecta colligit: ex quintæ enim & quartæ &longs;en&longs;u Videamus ergo an aliquid &longs;it
&longs;imile in animæ facultatibus, nec exterioribus
atque interioribus fiat intelligentia. Et &longs;en&longs;us
tia
unius & rationis reliquarumque Iam uerò habemus exactam
cogno&longs;cit. Nunc ulterius procedamus et uideamus, an&longs;it aliqua
iunctio inter illas, nam &longs;imilitudo et&longs;i &longs;it una originis cau&longs;a, non tamen
&longs;ola digna e&longs;t ut à Philo&longs;opho
lis uinculi. Non e&longs;t ut
turSed &longs;i quis hoc
uelit, magis ad rationem proprietatis re&longs;piciat, &longs;uauitas in chromatico,
&longs;ubtilitas in Enarmonico, &longs;tabilitas in diatonico: Vt
mentem uerè referri po&longs;sit,
turalemque facultatem. Sed, ut dixi, iam propius accedamus,
nus, ut Doricus ad alacritatem pertinet, ad pugnam, ad uim anim&ecedil; ira
&longs;cibilis: Phrygius ad Sed
uenta aut di&longs;tributa aptemus ordini natur&ecedil;, &longs;ed ut res rebus. Diximus
quatuor e&longs;&longs;e
&longs;ionis. Et
an hi&longs;oli affectus &longs;int maximi, quippe dee&longs;&longs;e Et mihi dubium non e&longs;t quin hi potenti&longs;simi &longs;int
Sed metus
Proprium enim perturbationum e&longs;t excedere rationem: at metus mor
tis, ppri&ecedil; aut de filio, non e&longs;t à ratione alienús, nec excedit metas, modò
inanis non &longs;it aut fal&longs;us, ob hoc metum excludemus ab hoc negocio:
tum maximè ob id quod nulla mu&longs;ica e&longs;t quæ
opus &longs;it in eo, qui &longs;it cum ratione coniunctus. Indicio e&longs;t quae potius
excudit abrupta mu&longs;ica, &longs;icut & omnia alia quæ perturbant rationem,
ueluti Amorem igitur & odium
excitat mu&longs;ica, quia amor & odium alicuius &longs;unt amor & odium, mu&longs;i
ca Et commi&longs;eratio, licet &longs;it
Didonis aut Phillidis, tamen e&longs;t generaliter mi&longs;erentis. Qu&ecedil;ramus er
go rur&longs;us qui &longs;int affectus generales animi. Et &longs;anè
atque tri&longs;titia: impetus & remi&longs;sio: &longs;&ecedil;uitia ac mi&longs;ericordia & audacia.
tria ferme
tu perturbato animi &longs;unt eiecta ratione. Ob id
cundia Quapropter & ita
at ra
tio Hæc autem, ut ita dicam, nulla e&longs;t mu&longs;ica.
Sed neque mu&longs;ica ulla tri&longs;titiam gignit, cum ut dixi, tri&longs;titia nil aliud &longs;it <08>
mortis imago, mu&longs;ica Vnde
philus mu&longs;icus
&longs;ingulare e&longs;&longs;e exemplum in humana uita refert Plinius. Relin quitur igi
tur tandem, ut mu&longs;ica maximè moueat tres affectus lætitiam, remi&longs;sio
nem & mi&longs;ericordiam. Et quod ex his po&longs;tmodum ad labores in&longs;urga
mus intentius, hoc non e&longs;t ex mu&longs;ic&ecedil; ui aut facultate, &longs;ed
ad illa alia cau&longs;is. Neque ergo
tionibus uoluntarijs mu&longs;icæ
atque e&longs;&longs;entia. Veluti intentionis et remi&longs;sionis, a&longs;peritatis atque &longs;uauitatis
celeritatis ac tarditatis;
tionis: hæ enim differenti&ecedil; præcipu&ecedil; &longs;unt uo cum, uel etiam te&longs;te Ari&longs;to
tele. Verùm
affectuum, Sed non e&longs;t æqualis ratio, quoniam natura no&longs;tra ad
raliter inclinata e&longs;t, ad intentionem non ita, &longs;ed per uim
dio uoluptatis, aut cum anima purior e&longs;t à corporis impedimentis. Et
ob id ad &longs;tudia nil aptius e&longs;t pura &longs;obrietate: nihil ineptius crapula atque
temulentia. At l&ecedil;titi&ecedil; cau&longs;&ecedil; &longs;unt, &
in &longs;uauem,
aut dolore aut alio Vnde
in l&ecedil;titia &longs;olent homines exclamare. At ad
omnia remitti oportet ex magna in parua, adeoque deficientem ex a&longs;pera
in leuem, ex ueloci in tardam, ex di&longs;&longs;ona in con&longs;onantem. Antiqui ergo
(ut author e&longs;t Cælius Rhodiginius) Dorico ad temperantiam & mode
rationem utebantur, &longs;cilicet quòd non haberet præcipites lap&longs;us, neque
arduas intentiones: Phrygio ad impetum & bellicum ardorem, &longs;cilicet
per a&longs;peras intentiones: Lydio ad fletus & lamentationes per ca&longs;us &
remi&longs;siones longas ac &longs;uaues: ideo funeribus peculiaris: Mixolydio ad
commi&longs;erationem, ut defectiones interponantur & breues abruptæque
remi&longs;siones, iuuantque in hoc plurimum & &longs;en&longs;us uerborum, familiaris
hic tragædijs: Aeolicus qui & Ionicus tranquillitatis animi author e&longs;t
&longs;o mnumque conciliat: Dorico non ab&longs;imilis &longs;ed &longs;uauior & mollior: ideò
chromatici generis. Qu&ecedil; uerò ad cœli motus referuntur, diapa&longs;on qui
dem refertur ad motum diurnum, nam maximo con&longs;tat, & exacti&longs;simo
interuallo, unusque e&longs;t in omnibus & iucundi&longs;simus & omnia continet,
uelut & diurnus motus. Proprius autem tàm erraticis quàm fixis, qui
etiam æqualitati propinquior e&longs;t, & ad maiorem di&longs;tantiam &longs;cilicet de
clinationis &longs;igniferi ab æquinoctij circulo ad diapente refertur. Rur&longs;us
diate&longs;&longs;aron quòd minimo
&longs;e quidem qua&longs;i non nece&longs;&longs;ario ad motum in latitudinem Ex horum itaque duorum
admodum et ex diate&longs;&longs;aro & diapente conformatur diapa&longs;on, pulchra
con&longs;truitur exortus & occa&longs;us &longs;yderum ratio, quæ primo motu
dibilibus.
Porrò de participatione diapente, quam non
&longs;trumentis
&longs;eu n.
nunc uo
caruerunt anti
qui)
in ditonis & &longs;emiditonis &longs;extaque utraque. Vt
&longs;uauiores Exempli
gratia, &longs;int fides expo&longs;it&ecedil; octo, & ut
ad 80, id e&longs;t ut 8 ad 5, c facta e&longs;t remi&longs;sior octoge&longs;ima, quare
81 diapente habeat ad 121
octuage&longs;ima parte 120, quare intentior diapente. Atin diapa&longs;o
omnia ad
dita &longs;unt. Sed h&ecedil;c tractatio proprium
mis curio&longs;i illa huc traducere. quemadmodum, & ut uellemus
Philo&longs;ophiam naturalem,
ducere Melius &longs;anè fui&longs;&longs;et &longs;ubtilioribus rationibus
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;exage&longs;ima&longs;eptima.
Proportionem mu&longs;icam ad &longs;apores & odores coaptare.
Melius feci&longs;&longs;et Ptolem&ecedil;us, &longs;i
et picturas,
ad machinas, poterat
quaginta annis Et quan<08> Latinè &longs;crip&longs;erit, non
tam turpè erat latina legi&longs;&longs;e, aut
ne&longs;ciui&longs;&longs;e nece&longs;&longs;aria pulchraque inuenta aliorum clarorum uirorum, &
quod deterius erat, Ergo
ut ad rem ueniam: mu&longs;ica proportio bifariam
pliciter, & ex comparatione, & &longs;impliciter quidem &longs;umma &longs;uauitas ad
diapa&longs;on refertur: e&longs;t enim &longs;uaui&longs;simus concen&longs;us in &longs;aporibus, ergo
dulce ei
nere. At pinguis, qualis in carnibus & ouis benè pr&ecedil;paratis ad
refertur, e&longs;t enim & ip&longs;e &longs;uaui&longs;simus po&longs;t dulce, at que in &longs;uo genere perfe
ctus, diate&longs;&longs;aron uerò optimè &longs;al&longs;o Hic enim per &longs;e improbus
e&longs;t & in&longs;uauis, &longs;icut etiam &longs;apor &longs;al&longs;us e&longs;t, diate&longs;&longs;aron
perficit diapa&longs;on, & cum diapa&longs;o inutile e&longs;t, et di&longs;cordat, ita &longs;apor &longs;al&longs;us
cum pingui &longs;ummam delectationem affert: cum dulci adeò parum con
gruit, ut melius &longs;ocietur Ergo &longs;al
&longs;us &longs;apor cum diate&longs;&longs;aro ad
pido, & a&longs;tringens cum ditono conueniunt ad unguem, nam uterque
illepidus, & cum dulci conuenit, ita &longs;emiditonus & ditonus cum diapa
&longs;um, & inter &longs;e &longs;unt qua&longs;i &longs;imiles quod ditono accidit & &longs;emidito
no, &longs;ed & neuter horum cum pingui conuenit, neque ditonus aut &longs;e
miditonus cum diapente congruit, di&longs;cordat enim h&ecedil;c compo&longs;itio
non parum. Rur&longs;us & in hoc &longs;imiles &longs;unt quod diate&longs;&longs;aron cum di
tono & &longs;emiditono plurimum conuenit, ita & in&longs;ipidum, & a&longs;trin
gens cum &longs;al&longs;o bellè Diate&longs;&longs;aron enim cum ditono &longs;ex
tam efficit maiorem, & cum &longs;emiditono minorem qu&ecedil; utrique con&longs;o
nant, non tamen plus &longs;uaues per &longs;e &longs;unt, quòd dulci & pingui care
ant, ut nec &longs;exta maior aut minor, &qring;d neque diapa&longs;on perficiant neque
diapente: Acris
mutuo conueniunt cum in&longs;ipido acris, & cum a&longs;tringente acidus,
quemadmodum & &longs;exta maior cum &longs;emiditono, & minor cum di
tono copulatur perficientes diapa&longs;on: &longs;ed minus &longs;uauem, quia ab
e&longs;t diapente ibi, quia abe&longs;t pingue: au&longs;terum uero cum acri mode
rato conuenit, propterea bene uterque cum in&longs;ipido iungitur, unde
illud Epigrammatici:
Vt &longs;apiant fatuæ fabrorum prandia betæ,
O quam &longs;æpe petet uina piperque coquus.
Piper enim acre e&longs;t, & uinum au&longs;terum e&longs;t.
Et iu&longs;ta querela Cicero
nis in Epi&longs;tolis familiaribus, qui à maluis fatetur &longs;e uictum, ut deci
derit in lienteriam: conueniunt ambo hi &longs;apores
uelut & utraque &longs;exta maior & minor cum diapa&longs;on & diapente, at
neuter cum &longs;al&longs;o, nam neque diate&longs;&longs;aron cum &longs;extamaiore uel mino
re iungi pote&longs;t. Amarus autem &longs;apor tono per&longs;imilis e&longs;t, di&longs;&longs;onus
enim per &longs;e e&longs;t &longs;emper, & amarus per&longs;e odio&longs;us tonus origo e&longs;t o
mnium
tes, &longs;eu acidi, &longs;eu acres prius amari &longs;unt: tonus præterea nulla cum
con&longs;onantia peius coit quàm cum diapa&longs;o, ita neque amarus &longs;apor
infelicius iungnur quàm cum dulci, amarus quo que &longs;apor cum nul
lo magis conuenit
cit diapente dulci&longs;simam con&longs;onantiam, ut multi oliuas benè&longs;al&longs;as
prætulerint fa&longs;ianis: tantum conuenit &longs;al&longs;o cum amaro, amarus,
quo que &longs;apor leuis non abhorret à pingui, deteriorem
to efficit, ut intortis ex ab&longs;ynthio ouis & ca&longs;eo, atque in uitibus in
quibus coma ab&longs;ynthij in cocta fuit parum, degenerat tamen &longs;apor
ille à pingui: ita tono addito ad diapente fit &longs;exta maior, non adeò
&longs;uauis ut diapente, attamen Similiter &longs;i tonus
addatur ad &longs;emiditonum aut ad ditonum ex altero fit diate&longs;&longs;aron,
qui non concordat ex reliquo tritonus omnium a&longs;perrimus. Ergo
cum idem fiat coniuncto amaro cum in&longs;ipido, ac deterius
te&longs;t. Manife&longs;tum e&longs;tigitur optimè conuenire hano &longs;aporum diui
&longs;ionem cum mu&longs;ica proportione.
Cumque &longs;apores ex &longs;eptem planetis pendent manife&longs;tè, Saturnus
Iupiter pingue
mandum, uires que Venus habet dulce: de
mon&longs;tratione hoc non indiget. Mars &longs;al&longs;um &
tus e&longs;t, Luna in&longs;ipidum.
Mercurius
& humida Luna, & Mercurius
giditatem declinet,
&longs;tellarum, ut &longs;uprà docuimus. Huiu&longs;modi ergo ratione con&longs;iderata
Luna ad
ad &longs;extam maiorem, Mars ad
Iupiter ad diapente, Venus ad diapa&longs;on, unde plena illius dona uul
garis felicitatis opum honoris amoris & uoluptatis, po&longs;t quem e&longs;t
Iupiter, ut &longs;ine his duobus omnino nulla po&longs;sit e&longs;&longs;e felicitas.
Sed & in circulo &longs;igniferi aliquam mu&longs;ica proportio habebit ra
tionem: diapa&longs;on
tem, & dimidij ad quadrantem, & trientis ad
totius circuli ad be&longs;&longs;em, & dodrantis ad
entem, &
drantem, & be&longs;sis ad
&longs;olo
tione Ptolem&ecedil;us omi&longs;erit unam
tuor in diapa&longs;on & diapente, tres tantum numerauit. Reliquas
quatuor per integra &longs;igna numerare licebit, ad
ctuum deducere non po&longs;&longs;umus, propterea efficaciam quandam ha
bent etiam &longs;ignorum mutationes, &longs;ed harmoniam non perficiunt,
nam & &longs;i &longs;umamus &longs;exquiquartam & &longs;exquiquintam, ut in his &longs;ex
quialteram, &longs;eu diapente con&longs;tituamus, aut tria aut &longs;ex &longs;igna acci
pere oportebit: utrunque fuerit, reliqua pars ad diate&longs;&longs;aron pertinere
minimè pote&longs;t: quamobrem conuenientius e&longs;&longs;et meo iudicio, ut to
tus circulus non ad diapa&longs;on, uelut Ptolemæus, referretur, &longs;ed po
tius ad diapa&longs;on diapente: ita enim con&longs;titutis quatuor, quinque,
&longs;ex, duo decimque numeris, con&longs;taret tota ratio harmonica, diui&longs;o e
tiam diapente in ditonum & &longs;emiditonum. &longs;ed de hoc &longs;atis.
Reuertamur ad &longs;apores, in quibus diximus aliam e&longs;&longs;e rationem
mu&longs;icam iuxta
riorem, medius uerò ad deteriorem &longs;exquitertia, optimus ad me
dium &longs;exquialtera, &longs;apor ille optimus erit. Et primum quidem id
in pingui tanquàm medio dulcique & &longs;al&longs;o experiamur, &longs;imiliter in
&longs;al&longs;o, acri, atque in&longs;ipido.
e&longs;t in&longs;ipidus, quia per &longs;e ferri pote&longs;t, &longs;al&longs;us autem medius, acris de
terrimus, &longs;uperabit ergo in&longs;ipidus &longs;al&longs;um &longs;exquialtera, acrem du
pla proportione, &longs;al&longs;us acrem &longs;exquitertia. Rur&longs;us dulcem copule
mus cum acri, & cum in&longs;ipido aut cum acido, & in&longs;ipido præ&longs;tabit,
ut dulcis dupla, aut quadrupla, aut octupla proportione in&longs;ipi
dum &longs;uperet, id e&longs;t, per diapa&longs;on, uel bis diapa&longs;on, aut ter diapa
&longs;on: acidum uero in&longs;ipidum &longs;exquitertia &longs;uperabit. Alia rur&longs;us ra
tio in coniunctionibus &longs;aporum ad &longs;en&longs;um uniu&longs;cuiu&longs;que referenda
e&longs;t, in quo enim e&longs;t &longs;umma uoluptas comparatione ad illum, hic &longs;ta
tuemus diapa&longs;on, optimumque con&longs;tituemus &longs;aporem, dimidium il
lius quod ad uires attinet ex minus iucundo &longs;exquitertium, ad il
lum minus iucundum ex medio. Exempli gratia, proponamus ut
alicui au&longs;tera maximè iucunda &longs;int (nam &longs;al&longs;a nemini, quòd nullum
animal præter hominem, imò ne plantæ quidem ni&longs;i admodum
paucæ, & &longs;ui generis &longs;al&longs;o alantur, iucunda e&longs;&longs;e po&longs;&longs;unt: cum &longs;al&longs;um
amari pars &longs;it, eoque deterius quod acutum &longs;it&longs;al&longs;um, unde in &longs;ale
nullum animal na&longs;citur: in ab&longs;ynthio, quanquàm ualde amaro, exi
guum mu&longs;carum genus, nigrum tota æ&longs;tate oritur, & in ruta uer
miculi) is ergo au&longs;teri, quantum &longs;atis erit&longs;umet, dulcis
dij. gratia exempli (nam optima ad extremum oppo&longs;itum uix tran
&longs;ire queunt) be&longs;&longs;em accipito huius, gratia exempli, tanquàm deter
rimi a&longs;tringentis dodrantem, ut &longs;it dulcis ad a&longs;tringentem dupla
proportio. Sic ergo con&longs;tituetur iuxta naturam propriam mu&longs;ica
proportione &longs;apor iucundi&longs;simus.
Idem quo que in odoribus & eadem ratione, &longs;ed ex &longs;aporibus hoc
cum intellectum &longs;it, fru&longs;tra fuerit con&longs;umere tempus, eadem enim
in omnibus ad &longs;ciendum proportionem intelligenda erunt.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;exage&longs;imaoctaua.
Picturarum proportiones explicare.
E&longs;t pictura imago rei corporeæ quanquàm, & per illam, & acti
ones, & cogitationes, &longs;ed non ni&longs;i ut per corpora &longs;ignificantur: ut
ergo corpora ip&longs;a referamus. coloribus opus e&longs;t, nam corpora, co
lorata &longs;unt, &longs;ecundò ip&longs;a rerum natura &longs;cientiaque illarum, unde pi
ctorem multi&longs;cium e&longs;&longs;e nece&longs;&longs;e e&longs;t. tertium e&longs;t, ut minimas earum
differentias explicare norit. quartum, ut affectiones, uelut in ira
in clinationem quandam, flexionem cruris atque &longs;imilia. quintum e&longs;t
lux coloribus
qui, quando quidem hæc u&longs;u magis & con&longs;ideratione, quàm ratio
ne con&longs;tent proportioneúe, nec &longs;int adeò admiranda ut neque &longs;im
plex magnitudo Tria ergo ui
dentur e&longs;&longs;e præcipua quorum nunc ratio habenda e&longs;&longs;et, ut &longs;int in
totum nouem, &longs;ed unum ex his relinquemus, tum quia alienum ab
hac con&longs;ideratione, tum quia alibi pertractatum atque etiam ab alijs,
neque adeò admiratione dignum &longs;cilicet magnitudo picturarum re
&longs;pondens magnitudini corporum iuxta &longs;itus differentiam, nam
qu&ecedil; altiores &longs;unt paulo latiores atque in &longs;uperiori magis parte quam
in inferiore, multò autem longiores e&longs;&longs;e oportet, &longs;ic & quæ à latere
erunt eadem ratione iuxta a&longs;pectus ingredientium rationem. Ve
rum hoc ut dixi omittamus, & de duplici miraculo in pictura lo
quamur, &longs;cilicet di&longs;tantia magna quam in parua tabella referimus,
et corporeitate quam in plano repr&ecedil;&longs;entamus. Horum autem duo
rum aliqua communia &longs;unt aliqua propria. Dicemus ergo
de corpore ita pingendo, ut palàm extra tabulam prominere uide
atur. Hoc autem primum ex forma &longs;umitur, nam &longs;i corpus in plano
&longs;it nece&longs;&longs;e e&longs;t, ut partes illius quædam pror&longs;us ab&longs;condantur, par
tes aliæ non pror&longs;us, aliæ pror&longs;us &longs;int in con&longs;picuo. Ergo pictu
ram talem fingere oportebit, quæ partes &longs;ingulas pro ratione o&longs;ten
dat aut occultet.
&longs;umm&ecedil; partes lucid&ecedil; & claræ aclumine qua&longs;i dealbatæ: media, me
dia quadam ratione ut in columnis, tantumque pote&longs;t hæc ratio, ut
uel &longs;ola picturas fallere nos faciat corpora eas e&longs;&longs;e putantes. Opor
tet autem imum e&longs;&longs;e ad unguem &longs;imile in colore colori anguli loci
& &longs;ummum parti quæ &longs;e oculis maximè &longs;ubiectam præbet & cla
ram: media uerò qualia ex umbris ob&longs;curari &longs;olent. Tertia ratio e&longs;t
pro modo partium iuxta
in c d ex e oculo: depingemus in c d iuxta obli
quitatem &longs;uam, quia cum c d uideatur per line
as e a c & e b d, & eleuatum in &longs;itu a b, nece&longs;&longs;e e&longs;t
ut uideatur in &longs;itu a b, ergo eleuatum à c d. E&longs;t
& alia con&longs;ideratio proportionis ad proxima
remotaque, grati a exempli, &longs;i homo e&longs;&longs;et po&longs;t co
lumnam a b, lateret eius pars, quæ e&longs;t propinquior parieti c d, ergo
&longs;i depinxerimus hominis partes tantum dextram, reliquum &longs;ub um
bra, cogitur oculus iudicare columnam eleuatam a pariete. De
mum omnia hæc ita &longs;unt &longs;ubijcienda oculis, & per minimas diffe
ijcienda, tum proprio, tum aliorum non artis in expertium, ut res
pror&longs;us ab&longs;oluta uideatur, atque in hoc multum refert multiplices
partes &longs;ecundum longitudinem coloribus di&longs;tinguere ad hoc a
ptis, qui &longs;unt ob&longs;curus, &longs;ub ob&longs;curus, cinereus, qualis &longs;ilicis candi
dus &longs;ine luce, demum etiam aliquid nigri adijciendum, nam diui&longs;io
&longs;ecundum longitudinem multum impedit, hanc repræ&longs;entationem
iuuant, & extrema benè coaptata, uelut &longs;capi imi, & capitula & &longs;u
premi,
plinthi, echini, hypotrachelia, a&longs;tagali, apophyges. Quæ etiam in
parte inferiore
re, & &longs;tylobata, et alia tœnia &longs;umma diligentia, & cum eleuatione ac
magnitudine ultra columnæ limites extendantur. Sicin &longs;tylobata
ratio diapente con&longs;tat, cui &longs;olet addi utrinque &longs;exta pars pro coro
nice, manife&longs;tum e&longs;t autem, quod in ea con&longs;tat mu&longs;ica ratio diapa
&longs;on ex diapente & diate&longs;&longs;aro, compo&longs;iti nam duæ &longs;extæ partes, alte
ra utrinque adiecta tertiam conficiunt ut &longs;it diate&longs;&longs;aron &longs;uprà diapen
te. In regionibus autem & &longs;patijs depingendis eadem fermè &longs;eruan
da &longs;unt duobus tamen adiectis,
pars,
cœlo determinanda e&longs;t (ni&longs;i nox fingatur) nam cœlum longi&longs;simè
à nobis di&longs;tat, ita nubes coloribus proprijs, & montes cum niui
bus, & &longs;patia uelut fluminis alueus, mare, lacus, atque hæc omnia
per colores di&longs;tantiæ finguntur, uelut fluminis pars propior clara
& lympida, & colore aqueo cernitur remota ob&longs;cura, quæ maxi
mè procul abe&longs;t nigra. Sed maxima e&longs;t confirmatio in compara
tionibus: ut &longs;i arbores propè magnæ &longs;int, & homines & animalia,
in remotiore autem parte minimi, ac qua&longs;i puncti magnitudinem
referentes, atque ut in his mu&longs;ica non geometrica aut arithmeti
ca proportio &longs;eruetur. Equidem &longs;i quis iudicio hæc con&longs;equa
tur, ac diligentia quæ &longs;cribi non po&longs;&longs;unt, &longs;ed contemplatione ha
bentur, &longs;en&longs;u quoque, quem experimentum docet, necip&longs;um man
dare literis, licet ex rationibus tamen, quas hic docemus intelli
get parum differre repræ&longs;entationem à re ip&longs;a corporea. Sed de
his hactenus, quæ &longs;i diligentius quis per&longs;equi uelit &longs;ine
artis experientia, plus adimet perfectioni rei,
quam adijciet. Hoc enim aliâs
declarauimus.
D
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;exage&longs;imanona.
Proportionem mu&longs;icam in in&longs;trumentis declarare iuxta compo
&longs;itionis rationem.
Tria &longs;unt in&longs;trumentorum genera, in quibus maximè relucet ra
tio compo&longs;itionis mu&longs;icæ quæ à nobis nunc &longs;unt demon&longs;tranda,
&longs;cilicet machinæ bellic&ecedil;, ut catapultæ & bali&longs;t&ecedil; & &longs;corpiones, & hy
draulica in&longs;trumenta ad modulationes parata, quæ antiquo tem
pore maximè in u&longs;u fuerunt nunc de&longs;ita, de quibus Vitruuius agit
in decimo libro. Tertium e&longs;t æneorum in&longs;trumentorum, quorum
etiam u&longs;us de&longs;ijt in &longs;cœnicis theatris, ad intendendam uocem cum
modulatione, ut etiam clamor audientium & uulgi cum uoluptate
excipiatur, de quo idem in quinto libro egit. Sed nil melius quàm
uerba ip&longs;ius explicare de hoc tractantis, &longs;unt autem hæc. “Mu&longs;icen
autem &longs;ciat oportet, uti canonicam rationem & mathematicam no
tam habeat: præterea bali&longs;tarum, catapultarum, &longs;corpionum tem
peraturas po&longs;sit rectè facere. In capitulis enim dextra ac &longs;ini&longs;tra
&longs;unt foramina homotonorum, per qu&ecedil; tenduntur ergatis aut &longs;ucu
lis & uectibus è neruo torti funes, qui non præcluduntur, nec præ
ligantur ni&longs;i &longs;onitus ad artificis aures certos & &ecedil;quales fuerint. Bra
chia enim quæ in eas tentiones includuntur cum exten duntur æ
qualiter & parter utraque plagam emittere debent. Quod &longs;i non ho
motona fuerint, impedient directam telorum mi&longs;sionem. Item the
atris ua&longs;a ærea, qu&ecedil; in cellis &longs;ub gradib. mathematica ratione
cantur
&longs;icas &longs;iue concentus
& diapente & diapa&longs;on, uti uox &longs;cœnici &longs;onitus
&longs;itionibus, tactu
ad Hydraulicas quo que machinas & cæ
tera efficere nemo
poterit. Capiamus ergo primum illud &qring;d e&longs;t manife&longs;tius, &longs;cilicet de
hydraulicis organis quorum meminit Suetonius in Nerone: Reli
quam diei partem per organa hydraulica noui & ignoti generis cir
cunduxit, o&longs;tenden&longs;que &longs;ingula de ratione ac difficultate cuiu&longs;que di&longs;
&longs;erens iam &longs;e prolaturum, ut con&longs;tet illa fui&longs;&longs;e magni opificij quæ
no&longs;tra &ecedil;tate de&longs;iere.” Re&longs;tat unicum & ualde leue
æneæ uelligneæ re&longs;onantis. Certum e&longs;t
&longs;ceri aquæ, ut dulcior & mollior non &longs;olum euadat, &longs;ed etiam acuti
or ac modulatior. Eadem autem ratio maris: &longs;ed cum aquæ corpus
moueatur, uidetur difficile &longs;eruare proportionem. ea prima diffi
cultas. &longs;ecunda e&longs;t, quod cùm aqua moueatur, uix ficri po&longs;&longs;e uide
tur ut totum &longs;eruet uocis integrum tenorem. tertia ob illius con
Propterea nil mirum e&longs;t &longs;i Nexo de his &longs;ubtiliter di
&longs;putauit, mirum fuit quod in tanta animi perturbatione ni&longs;i ad
amentia, ut illi putant, referatur. Sed quidiam amplius uagor, extat
compendio&longs;a ratio con&longs;tructionis illius apud eundem Vitruuium
ubi Philander ex Atheneo &longs;onus hydradis &longs;uauis admodum atque
iucundus auditu e&longs;t: ita ut omnes concinnitate capti conuerterent,
fuitque Alexendrin&ecedil; urbis inuentum authore Cte&longs;ibio ton&longs;ore, e&longs;t
autem magnæ Clep&longs;ydræ in&longs;trumentum non ab&longs;imile, &longs;unt enim
fi&longs;tulæ in aquam contortæ, quæ, cùm aqua à iuuene quopiam per
cutitur, axinis per organum tran&longs;euntibus inflantur,
qúeE&longs;t autem arærotundæ hoc in&longs;trumentum
per&longs;imile inuentumque Ptolemæi &longs;ecundi Euergit&ecedil; temporibus, de
quo eundem Cte&longs;ibium &longs;crip&longs;i&longs;&longs;e ferunt. Fiebant autem ex ære &
ba&longs;is eligno cum regulis dextra ac &longs;ini&longs;tra &longs;calari regula compactis,
aqua autem in &ecedil;rea arca continebatur. Facilè autem e&longs;t per hæc reli
qua inuenire: nam epi&longs;tomijs includebatur aër atque re&longs;erabatur, &
modus erat per uectes: non tamen octo
numerum in&longs;trumentum id &longs;uperabat organa no&longs;tra ut lo cupleti
ora ita a&longs;periora. Liquet ergo &longs;i fabrilis omnis ars ad Architectum
pertinet, illum etiam hacratione oportere e&longs;&longs;e peritum mu&longs;icæ.
18.
cap.
16.
24.
“De Va&longs;is uerò æneis theatri quod melius e&longs;t quàm ut eundem
authorem con&longs;ulamus, dicentem ua&longs;a &ecedil;rea pro ratione magnitudi
nis theatri ita fabricentur, ut cum
inter &longs;e diate&longs;&longs;aron diapent, ex ordine addit diapa&longs;on, po&longs;tea inter
&longs;edes theatri con&longs;titutis cellis ratione mu&longs;ica ibi collo centur: ita uti
nullum parietem tangant circaque habeant locum
capite &longs;patium, ponantque inuer&longs;a & hab eant in parte qu&ecedil; &longs;pectat ad
&longs;cenam &longs;uppo&longs;itos cuneos ne minus alios &longs;emipede, contraque eas
cellas relinquantur apertur&ecedil; inferiorum graduum cubilibus lon
g&ecedil; pedes duos altæ &longs;emipedem. Et &longs;i non erit ampla magnitudine
theatrum, media altitudinis tran&longs;uer&longs;aregio de&longs;ignetur, & in ea tre
decim cellæ duo decim æqualib.
interuallis di&longs;tantes
uti ea echea quæ &longs;upra &longs;cripta &longs;unt, ad neten hyperboleon &longs;onan
tia in cellis quæ &longs;untin cornibus extremis utraque parte prima col
locentur, &longs;ecunda ab extremis diate&longs;&longs;aron ad
tertia diate&longs;&longs;aron ad neten parame&longs;on, quarta ad neten &longs;ynemme
non, quinta diate&longs;&longs;aron ad me&longs;en, &longs;exta diate&longs;&longs;aron ad hypaten me
&longs;en in medio unum diate&longs;&longs;aron ad hypaten hypaton. Quæ fequun
tur & ad intelligentiam prædictorum melius ex Gulielmo Philan
dro emendata &longs;ic tran&longs;cribemus: Eas regiones in tredecim cellas
diuidit æqualibus interuallis: id e&longs;t, cellas paribus uici&longs;sim inter
tamen non u&longs;us, &longs;ed partitionis & re&longs;pon&longs;us cau&longs;a fit in media pr&ecedil;
cinctione. In ima præcinctione ponuntur ua&longs;a qu&ecedil; habent harmo
ni&ecedil; In
bent netes hyperboleon. Sub&longs;equuntur utrinque quæ &longs;unt ad neten
diezeugmenon interuallo con&longs;onantia diate&longs;&longs;aron. In tertijs cel
lis &longs;unt quæ ad neten parame&longs;en interuallo item diate&longs;&longs;aron, quæ
&longs;unt in quartis tono &longs;olummodo di&longs;tant & &longs;unt netes &longs;ynemenon. In quintis cellis &longs;unt ad me&longs;en interuallo diate&longs;&longs;aron.
In &longs;extis cellis
ad hypaten me&longs;on, In media cella &longs;unt ad hy
paten hypaton interuallo diate&longs;&longs;aron. In media præcinctione &longs;unt
ua&longs;a chromatos, collocantur autem in cornibus ua&longs;a quæ &longs;unt ad
paraneten hyperbolem. In &longs;ecundis cellis ad paraneten diezeugme
pente. In quartis ad lichanon me&longs;on interuallo diate&longs;&longs;aron.
In quin
tis ad lichanon hypaton, In &longs;extis ad parame&longs;en &qring;d
&longs;patium ad paraneten hyperboleon e&longs;t diapente ad paraneten hy
nemenon diate&longs;&longs;aron. In chromatis media cella nulla &longs;unt ua&longs;a,
quod à lichano hypaton ad proslambanomenon, aut ad aliam o
mnino decem & octo uocum nulla &longs;it con&longs;onantia, &longs;unt enim hæ
mitonia tantum duo & tonus. In tertia præcinctione collocantur
ua&longs;a diatoni. Etin cornibus quidem ea quæ &longs;unt ad paraneten, hy
perboleon. In &longs;ecundis cellis ad paraneten diezeugmenon.
&longs;patio
diate&longs;&longs;aron. In tertijs ad paraneten hynemenon diapente.
In quar
tis ad lichanon me&longs;on diate&longs;&longs;aron. In quintis ad lichanon hypaton
diate&longs;&longs;aron. In &longs;extis quæ ad proslambanomenon diate&longs;&longs;aron &longs;pa
tio. In media quæ &longs;unt ad me&longs;en, quod ea ad proslambanomenon
habet con&longs;onantiam diapa&longs;on, & ad lychanon hypaton diapente.”
Hæc autem ex &longs;igura patent in opere de Subtilitate de&longs;cripta.
Porrò quod ad machinas attinet.
Sit catapulta, cuius rudens a b
quam oportet trahere, &longs;i emittere debeat lapi
dem, aut &longs;corpio &longs;agittam ad aliquod &longs;ignum
puta c, cum ergo &longs;onus c a & c b homotenus fue
rit, non &longs;olum æqualiter pertractæ erunt c a &
c b, &longs;ed etiam æquales: nam &longs;i æquales e&longs;&longs;ent, &
in&ecedil;qualiter tractæ, aut in&ecedil;quales & inæqualiter
tract&ecedil; At &longs;i in
&ecedil;quales &
notæ quæ &longs;trepitum edit duplicem, & effigiem
oculis
&longs;am dirigitur
de his agit.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;eptuage&longs;ima.
Coniugationes cuiu&longs;uis numeri breuiter inuenire.
Sint gratia exempli
guli, & hoc
po&longs;&longs;unt e&longs;&longs;e omnes &longs;imul, & hoc uno modo tantum, & po&longs;&longs;unt e&longs;&longs;e
duo, & hoc pote&longs;t uariari
octo, & manife&longs;tum e&longs;t, quod
draginta quinque, nam cum erunt octo, duo
po&longs;&longs;unt 45 modis, ergo & illi octo ad Et &longs;i
militer tres quot modis uariantur tot modis
quatuor tot&longs;ex: quinque autem quia &longs;unt dimidium decem, pluribus
modis uariantur. Etideò pro ordine huius detrahes
undecim uiri pones decem, &longs;i decem pones
ralem &longs;eriem numerorum, utinfrà uides uno &longs;emper termino defi
ciente: & expriore ordine, ubi uidebis &longs;emper
ros: ut 3. 6. in de &longs;ub 6. 10. & 20 àlatere, & &longs;ub 20 35. & à latere 70 du
plum 35, & &longs;ub
70 126, & à late
re 252, & hoc pro
cognitione &qring;d
rectè &longs;is opera
tus. Secundò a
nimaduertes
quentes
fieri ex recta li
nea priorum, ue
lut &longs;extus ordo e&longs;t 7. 28. 84. 210. 462. ita incipiendo in primo ordi
ne à 7, & tendendo ad dextram, inuenies illos eo&longs;dem numeros ad
unguem, & ita in &longs;eptimo ordine 8. 36. 120. 330. à &longs;ini&longs;tra inuento 8
in primo ordine, & procedendo ad dextram, inuenies 36. 120. &
330. Tertium e&longs;t quod numeri ultimi à medio &longs;unt ijdem, ut 462 &
462. 330 & 330. 165 & 165. 55 & 55. 11 & 11. Et &longs;eor&longs;um, ut dixi, rema
net 1. Oportetigitur colligere numeros angulares, ut à latere ui
des, & fit 2047 numerus coniugationum, tot enim modis po&longs;&longs;unt
uariari. Et &longs;i e&longs;&longs;ent decem tantum, ut ab initio propo&longs;ui, primus or
do finitur ad 10, &longs;ecundus ad 45, tertius ad 120, quartus ad 210, quin
tus ad 252, &longs;extus redit ad 210, &longs;eptimus ad 120, octauus ad 45, no
nus ad 10, decimus ad 1. Etita colligeretur &longs;umma ex extremis nu
meris angularibus 1023. Et tot erunt coniugationes. Hic uides quia
numerus 10 e&longs;t par, et quod adempta monade, relinquitur 9, qui e&longs;t
impar quòd medius qui pertinet ad quintum ordinem e&longs;t maxi
ut intelligeres rationes colligendi &longs;ingulos ordines &longs;eor
&longs;um. Quod ergo attinet ad collectionem maximi numeri,
primus ordo &longs;eruit &longs;emper ultimo
& &longs;ecundus penultimo, & tertius antepenultimo, & ita de
alijs, nam &longs;i &longs;ecundus uariatur 55 modis, &'pen
ultimus uariabitur 55 modis. Et &longs;i tertius uaria
tur 165 modis, antepenultimus uariatur 165 mo
dis. Et ita de alijs.
Hæc autem ratio &longs;atisfacit multum, & e&longs;t ne
ce&longs;&longs;aria in temperiebus corporis humani. Vt in
&longs;ecundo, De dentibus. Et etiam ut quælibet di
&longs;ciplina quàm breui&longs;simè tradi po&longs;sit, ut gratia
exempli, medicina tota in una pagina, dico me
dicina
& Latinorum, & etiam longè plus: nam &longs;i tradatur uigintiquatuor
regulis fimplicibus, & ex illis fiant coniugationes 16777215, mani
fe&longs;tum e&longs;t quod erunt regulæ omnes hæ multo plures, quàm con
tineantur in omnibus libris Græcorum, & Arabum, & Latino
rum, qui extant. Et tamen per&longs;picuum e&longs;t, uigintiquatuor regulas
una pagina commodi&longs;simè contineri. Et hoc aliâs docui, quan
quàm credam me erra&longs;&longs;e in &longs;upputatione, nam locum inuenire non
potui. Vnum e&longs;t id certum, quòd hæc ratio quàm nunc explicabo,
e&longs;t uera & demon&longs;tratiua, & facillima.
Cum enim &longs;uperior &longs;it uera & demon&longs;tratiua, non e&longs;t tamen fa
cilis, & præcipuè in magnis numeris. Et ideò inueni hanc, quæ (ut
dixi) facillima e&longs;t: adde numero propo&longs;ito monadem, in de confla
ri inuenias numerum à monade in eodem ordine, & ab eo detra
cta monade habes numerum coniugationum. Exemplum, &longs;i &longs;int
10 adde 1 fit 11. Vndecimus ergo numerus in proportione dupla
e&longs;t 1024, detrahe 1 & relinquantur 1023 numerus coniugationum,
ut in priore &longs;upputatione. Item &longs;i &longs;int 11 numeri adde 1 fit 12, duo de
cimus ergo numerus in proportione dupla e&longs;t 2048, detrahe 1 re
lin quuntur 2047, coniugationes 11, ut prius in &longs;uprà &longs;cripto exem
plo. Et ita pro uiginti quatuor regulis adde 1 fit 25, uige&longs;imus quin
cus igitur numerus in ordine duplæ proportionis à monade e&longs;t
16777216, ergo detracta monade relin quitur numerus (ut dixi) re
gularum & coniugationum uigintiquatuor regularum, quæ ta
men non &longs;int contrariæ inuicem: nam tunc e&longs;&longs;ent pauciores. Et
quia in i&longs;tis numeris duplicandis po&longs;&longs;es facile incidere in errorem,
diuide ultimum per 16, & &longs;i nihil &longs;upere&longs;t, rectè proce&longs;sit opus: &longs;in Vtau
tem habeas numeros &longs;ingulorum or
dinum, in quauis multitudine, deduci
to numerum ordinis à primo, & diui
de per numerum ordinis ip&longs;ius reli
quum, & illud quod prouenit, duci
to in numerum maximum præceden
tis ordinis, & habebis numerum quæ
&longs;itum. Velut &longs;i &longs;int undecim, uolo &longs;ci
re breuiter numeros, qui fiunt ex ua
riatione trium. Primum deduco pro
&longs;ecundo ordine 1 ex 11 fit 10, diuido per
2 numerum ordinis, exit 5, duco in 11 fit
55 numerus &longs;ecundi ordinis. Inde detra
ho 2, qui e&longs;t numerus differentiæ ordi
nis tertij à primo ex 11, relinquitur 9, di
uido 9 per 3
co 3 in 55 numerum &longs;ecundi fit 165, nu
merus tertij ordinis. Similiter uolo nu
merum uariationum quatuor, deduco
3 differentiam 4 à primo ordine ab 11,
relinquitur 8. diuido 8 per 4 numerum ordinis, exit 2, duc 2 in 195
fit 330. numerus quarti ordinis. Similiter pro quinto detraho 4 dif
ferentiam à primo ordine, relinquitur 7, diuido per 5 numerum or
dinis exit 1 2/5, duco in 330 numerum præcedentis ordinis, fit 462
numerus quinti ordinis.
Ex hoc colligitur manife&longs;tè modus conuertendi proportionem
arithmeticam in proportionem mi&longs;tam: dico mi&longs;tam, quia opor
tet addere monadem in priore numero: dein de quia numerum
terminorum oportet &longs;umere iuxta numerum a&longs;signatum, &longs;cilicet
addita monade: demum, quia oportet detrahere monadem ip&longs;am. E&longs;t tamen &longs;umpta à proportione Geometrica ut liquet, &longs;cilicet con
tinua dup la.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;eptuage&longs;imaprima.
Propo&longs;itis duobus quibuslibet numeris, quotuis alios, &longs;eu in
continuum, &longs;eu medios in continua proportione arithmetica, geo
metrica & mu&longs;ica inuenire.
Hæc tota propo&longs;itio pendet ex intellectu diffinitionis earum.
Sint ergo propo&longs;iti duo numeri 2 & 3, & uelim tertium in conti
nua proportione arithmetica, duplico quemuis, ut pote 3 fit 6, deItem uolo quar
tum, duplico 4 fit 8, detraho 3 remanet 5 quartus numerus: item
uolo minorem 3 & 2, duplico 2 fit 4, detraho 3 remanet 1, &longs;i autem
uellem minorem uno, non po&longs;&longs;et, quia e&longs;&longs;et nihil, &longs;ed cre&longs;cendo
pote&longs;t extendi in infinitum, ita capio 2, & <02> 10, duplico <02> 10, fit <02>
40, detraho 2, remanet <02> 40 m: 2, & ita &longs;i uolo quartum numerum,
duplico <02> 40 m: 2 fit <02> 160 m: 4, detrahe <02> 10 ex <02> 160 m: 4, re
manet <02> 90 m:4, & ita 2 <02> 10 <02> 40 m: 2, & <02> 90 m: 4, &longs;unt in con
tinua proportione arithmetica, & ita pote&longs;t extendi in infini
tum. Sed &longs;i uellem unum, aut duos, aut tres terminos, uel quouis
medio 5 arithmeticæ, diuido differentiam per 1 p:numero termi
norum, & partes addo minori numero. Exemplum, uolo tres nu
meros medios inter 2 & 7 in continua proportione arithmeti
ca, detraho 2 à 7 remanet 5, diuido 5 per 1 p: quam 3, id e&longs;t per 4,
exit 1 1/4, adde ergo 1 1/4 ad 2 fit 3 1/4 primus terminus, cui adde iterum
1 1/4 fit 4 1/2 &longs;ecundus terminus, cui adde iterum 1 1/4 fit 5 3/4 tertius
numerus: fient ergo quinque termini, hoc modo in continua pro
portione arithmetica 23 1/4 4 1/2 5 3/4 & 7. Rur&longs;us uolo totidem, uolo
inter 2 & <02> 32, detraho 2 ex <02> 32 remanet <02> 32 m: 2, diuido per 4,
qui e&longs;t 1 p: numero terminorum, exit <02> 2 m: 1/2, addo ergo <02> 2 m:
1/2 ad 2 fit 1 1/2, p: <02> 2 primus terminus, cui iterum addo <02> 2 m: 1/2 fit
<02> 8 p:1, &longs;ecundus terminus, cui etiam addo <02> 2 m: 1/2 fit <02> 18 m:
1/2, & ita habes tres terminos medios in continua proportione
arithmetica inter 2 & <02> 32, & ita &longs;i uelles quatuor terminos, diui
deres differentiam per 5, & &longs;i uelles quinque, diuideres per &longs;ex. &
ita de alijs quibu&longs;cunque.
Pro Geometrica proponantur, gratia exempli, 2 & 4, &longs;i uelim in
continua proportione tertium, duco 4 in &longs;emet fit 16, diuido per 2
exit 8. & &longs;i uelles quartum duc 8 in &longs;e fit 64, diuide per 4 exit 16
quartus terminus, & ita in infinitum, & &longs;i uelles minorem 2, duc 2
in &longs;e fit 4, diuide 4 per 4 exit 1 tertius terminus, & ita &longs;i uelles mino
rem. duc 1 in &longs;e fit 1, diuide per 2 exit 1/2 quartus terminus, & ita ha
bes quo&longs;uis terminos, & e&longs;t &longs;imilis arithmeticæ hæc operatio, &longs;ed
in arithmetica duplicamus unum terminum, & detrahimus alium:
in geometrica multiplicamus unum terminum ad productum, &
diuidimus per alium. Et &longs;i uelim terminum in continua proportio
ne 2 & <02> 10, duco eodem modo <02> 10 in &longs;e fit 10, diuido per 2 fit 5
tertius terminus, & uelim quartum, duco 5 in &longs;e fit 25, diuido per <02>
10 exit <02> 62 1/2 quartus terminus.
Et &longs;i uelles plures terminos medios in proportione geometrica, de
ducito maius extremum in &longs;e
cubica producti e&longs;t &longs;ecundus terminus, idem facio de minore in
&longs;e in de in maiorem, & accipio <02> cu. Exemplum, uolo duos termi
nos inter 2 & 3, duco 3 in &longs;e fit 9, duco 2 in 9 fit 18, capio <02> cu. 18. hic
e&longs;t unus terminus, & ita duco 2 in &longs;e fit 4, duco in 3 fit 12, capio <02> cu. 12 pro &longs;ecundo termino.
Et &longs;i uolo tres terminos, duco 3 in 3 fit 9, du
co 3 in 9 fit 27, duco 2 in 27 fit 54, & <02> <02> 54 e&longs;t primus terminus. Item duco 2 in 2 fit 4, duco 3 in 3 fit 9, duco 4 in 9 fit 36, & <02> <02> 36, id
e&longs;t, <02> 36 e&longs;t &longs;ecundus terminus, &longs;imiliter duco 2 ad &longs;uum cubum fit
8, duco 3 in 8 fit 24, & <02> <02> 24, e&longs;t tertius terminus. Similiter uolo
quatuor terminos medios, duco 3 in 3 fit 9, duco 9 in 9 fit 81, duco 2
in 81 fit 162, & <02> relata prima 162, e&longs;t primus terminus, item duco 2
in 2 fit 4, & 4 in 4 fit 16, & 3 in 16 fit 48, & <02> relata prima 48 erit
quartus terminus, item ducendo 3 ad cubum fit 27, & 2 ad quadra
tum, & fit 4, & 4 in 27 fit 108, & <02> relata prima 108, erit &longs;ecundus
terminus, & &longs;imiliter ducendo 2 ad cubum fit 8, & 3 ad quadratum
fit 9, & 9 in 8 fit 72, & <02> relata prima 72 e&longs;t tertius terminus. Habe
bis ergo terminos in continua proportione 2, id e&longs;t, <02> relata pri
ma 32, <02> relata prima 48, <02> relata prima 72, <02> relata prima 108, <02>
relata prima 172, & <02> relata prima 243, quod e&longs;t 3, & ita de alijs in
infinitum.
At pro mu&longs;ica, &longs;i &longs;int exhibiti duo numeri minores utpotè 2 & 3,
uelim tertium terminum, diuido 2 per 1 differentiam exit 2, detraho
1 pro regula remanet 1, diuido 3 maiorem terminum per 1 exit 3, ad
de 3 ad 3, fit 6 maior terminus. Similiter capio 3 & 4, diuide 3 mino
rem terminum per 1 differentiam exit 3, detrahe 1 pro regula, relin
quitur 2, diuide 4 terminum medium per 2 exit 2, adde ad 4 fit 6 ma
ior terminus. Stiphelius autem erat in &longs;ua regula, nam &longs;ic 12 4 & 3
e&longs;&longs;entin continua proportione mu&longs;ica ex &longs;ua regula. Dico ergo,
quod &longs;i proponantur 5 & 7, & uelim mu&longs;icam proportionem con
tinuare, detraho 5 de 7 relinquitur 2, diuido 5 per 2 exit 2 1/2, detra
he 1 pro regula remanet 1 1/2, diuide 7 per 1 1/2 exit 4 & 2/3, adde ad 7
fit 11 2/3, reduc ad integra multiplicando omnia per 3, habebis
35, 21, & 15, in continua proportione mu&longs;ica, nam 35 ad 15 e&longs;t ut 7
ad 3, & 14 ad 6, e&longs;t ut 7 ad 3, e&longs;t autem 14 differentia 21 & 35, & 6 dif
ferentia 21 & 15, & ita po&longs;&longs;es continuare inueniendo quartum,
quintum, &longs;extum, in infinitum. Rur&longs;us &longs;int propo&longs;iti duo termini
maiores, uelut 6 & 4, detrahe 4 à 6 exit 2, diuide 6 per 2 exit 3, ad
de 1 pro regula fit 4, diuide 4 minorem terminum per 4 exit 1, de
trahe 1 ex 4, relinquitur 3 minor terminus, & ita propo&longs;itis 6 & 3
gula fit 3, diuide 3 per 3 exit 1, detrahe ex 3 relinquitur 2 minor ter
minus, & ita potes inuenire quotuis. Gratia exempli, habeo 3 & 2
maiores, capio 1 differentiam, per quam diuido 3 exit 3, addo 1
fit 4, diuido 2 minorem terminum per 4 exit 1/2, detrahe 1/2 ex
2, relinquuntur 1 1/2, erunt ergo 32 & 1 1/2, 1. 6. 4. 3. duplican
do 2, ut prius in continua proportione mu&longs;ica, quia ergo 632
&longs;unt in continua proportione mu&longs;ica, & 32, & 1 1/2 &longs;unt in con
tinua proportione mu&longs;ica, erunt duplicando 3. 4. 6. 12. in con
tinua proportione mu&longs;ica. Rur&longs;us &longs;int propo&longs;iti maior, & mi
nor terminus, ut 6 & 2, diuides maiorem per minorem exit 3,
cui addes 1 fit 4, diuide 4 differentiam 6 à 2 per 4 iam inuentum
exiti, adde ad 2 fit 3 medius terminus, &longs;imiliter inter 6 & 3, uolo me
dium terminum in proportione mu&longs;ica, detraho 3 à 6, relinquitur
3, &longs;imiliter diuido 6 maiorem terminum per 3 minorem terminum,
exit 2, addo 1 pro regula fit 3, diuido 3 differentiam iam &longs;eruatam
per hoc 3 iam inuentum exit 1, addo ad 3 minorem terminum fit 4,
medius terminus, &longs;ic uolo inter 4 & 6 medium terminum in con
tinua proportione mu&longs;ica, diuido 6 per 4: exit 1 1/2, addo ei pro re
gula fit 2 1/2, diuide 2 differentiam 4 & 6 per 2 1/2 exit 4/5, adde ad 4
fit 4 4/5 terminus medius, duc omnes in 5, habebis integros nume
ros 30, 24 & 20, & &longs;unt pulcherrimæ regulæ, quia po&longs;&longs;es diui
dere 24 & 20 interponendo medium, id e&longs;t capiendo 6 & 5, diui
de 6 per 5 exit 1 1/5, adde 1 pro regula fit 2 1/5, diuide 1 differentiam
per 2 1/5 exit 5/11, adde ad 5 fient termini 5 5/11 & 6, reduc ad integra fi
ent 55. 60. 66. & quia 30. 24. & 20, etiam erant in continua propor
tione, & 30 ad 20, erat &longs;exquialter, ideò capiam &longs;exquialterum ad
55, & e&longs;t 82 1/2, erunt ergo 82 1/2 66. 60. & 55. in continua proportio
ne mu&longs;ica, ergo duplicando 165 132 120 & 110, erunt in continua
proportione.
Adnotat Stiphelius, quod cum fuerint tres termini in continua
proportione geometrica, & inter primum & tertium interpo&longs;itus
fuerit terminus in continua proportione arithmetica, quod ibi
erit proportio mu&longs;ica, & dat exemplum de 12. 9. 8 & 6, &longs;ed ita e&longs;t in
telligendum, ut a&longs;&longs;umpta proportione arithmetica, ut potè 12 9 &
6, in de ut e&longs;t 9 ad 6, ita fiat 12 ad 8, tunc i&longs;ti tres termini 128 & 6 e
runt in continua proportione mu&longs;ica. Et hoc e&longs;t pulchrum, &longs;i ita in
telligatur, &longs;cilicet ex proportione Geometrica & Arithmetica con
&longs;tituere proportionem mu&longs;icam.
Ex hoc patet &qring;d in
duo termini fuerint numeri, tertius erit numerus, & in Geometrica
idem erit, &longs;i medius & extremus fuerint numeri, erit alter extremus
numerus, &longs;ed tamen &longs;i unus euariet, omnes poterunt e&longs;&longs;e diuer&longs;i.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;eptuage&longs;ima&longs;ecunda.
Proportiones Stiphelij de&longs;cribere.
Con&longs;iderauit Michael Stiphelius quod &longs;ump&longs;it à
dam inueniri proportiones tribus numeris con&longs;titutis, quæ in nul
lo trium primorum generum continerentur, &longs;ed quædam tamen
geometricis aliæ mu&longs;icis a&longs;similarentur, prima ergo Geometrica
rum e&longs;t, quoties proportio &longs;ecundæ ad primam fuerit, uelut diffe
rentiæ &longs;ecundæ & primæ ad differentiam &longs;ecundæ & tertiæ. Velut
capio 2, 4, 5, proportio 4 ad 2 e&longs;t dupla talis e&longs;t 2 differentiæ 4 & 2
ad 1 differentiam 5 & 4, nam in uera proportione Geometrica fit
conuer&longs;o modo, quia proportio &longs;ecundæ ad primam e&longs;t, uelut dif
ferenti&ecedil; tertiæ & &longs;ecundæ ad differentiam &longs;ecundæ à prima ut in 4.
6. & 9 proportio 6 ad 4 e&longs;t uelut 3 differentiæ 9 ad 6 ad 2 differen
tiam 6 & 4.
portio tertij ad &longs;ecundum e&longs;t uelut differentiæ primi & &longs;ecundi ad
differentiam &longs;ecundi & tertij: Velut capio 1, 4, 6, proportio 6 ad 4
tertij &longs;cilicet, & &longs;ecundum e&longs;t uelut 3 differentiæ 4 & 1, ad 2, differen
tiam 6 & 4, & hæc &longs;imiliter differt à Geometrica uera in eo quo in
Geometrica uera oporteret, ut proportio tertij ad &longs;ecundum e&longs;&longs;et
ut differentia tertij & &longs;ecundi ad differentiam &longs;ecundi & primi. Dif
fert à priore, quoniam in illa differentiæ &longs;eruant eundem ordinem,
quanuis transferantur in hac uerò fit conuer&longs;us modus.
Tertia e&longs;t ut &longs;it proportio differentiæ primæ & tertiæ ad diffe
rentiam primæ & &longs;ecundæ, uelut &longs;ecundæ ad primam, in Geometri
ca autem e&longs;&longs;et &longs;icut aggregati &longs;ecundæ & primæ ad ip&longs;am primam,
tales ergo quantitates erunt uelut 4, 6, 7, nam proportio 6 ad 4 e&longs;t
uelut 3 differentiæ 4 & 7 ad 2 differentiam 4 & 6.
Quarta proportio &longs;imilis Geometricæ e&longs;t cum fuerit proportio
differentiæ primæ & tertiæ ad differentiam tertiæ & &longs;ecund&ecedil;, uelut
&longs;ecundæ ad primam, uelut in 2, 3, 5 proportio differentiæ 5 & 2 quæ
e&longs;t 3 ad differentiam &longs;ecundæ & tertiæ, quæ e&longs;t 2 e&longs;t uelut 3 quantita
tis &longs;ecundæ ad 2 quantitatem primam.
Prima
&longs;umitur: Vt &longs;it proportio primæ ad tertiam uelut differentiæ &longs;ecun
dæ & tertiæ ad differentiam &longs;ecundæ & primæ, ueluti capio 6 pri
mam 5 &longs;ecundum 3 tertiam proportio 6 ad 3 e&longs;t dupla &longs;icut 2 diffeManife
&longs;tum e&longs;t autem quod in uera harmonica proportio differentiarum
e&longs;t primæ & &longs;ecundæ ad illam quæ &longs;ecundæ & tertiæ.
Secunda notha harmonica e&longs;t, ut &longs;it propor
tio primæ ad tertiam, uelut differentiæ primæ à
tertia ad differentiam &longs;ecundæ à tertia, ponatur
25, prima 21, &longs;ecunda 15, tertia proportio 25 ad 15
e&longs;t uelut 10 differentiæ prim&ecedil; à tertia ad b differen
tiam &longs;ecundæ à tertia.
Tertia e&longs;t &longs;imilis priori, ni&longs;i quod &longs;umitur dif
ferentia primæ à &longs;ecunda pro ultimo termino. Ex
emplum, 25 primus terminus, 19 &longs;ecundus, 15 ter
tius, proportio 25 ad 15 e&longs;t uelut 10 differentiæ pri
mæ a tertia ad b, differentiam primæ à &longs;ecunda. Has proportiones quanquàm exiguæ utilitatis, proponere uo
lui, ut excogitatis aliquibus demon&longs;trationibus, uelut &longs;uperius
diximus, pulchra theoremata & problemata tradi po&longs;&longs;ent.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;eptuage&longs;imatertia.
Circulum &longs;uper centro &longs;uo mouere æqualiter, ita quòd omnia
illius puncta per rectam lineam moueantur ultro citro que.
Sit a centrum circuli b c, & æqualis ei
circulus d e, centrum eius b in circumfe
rentia circuli b c, fixum ita ut ibi mouea
tur ad motum circuli b c: & moueatur b
uer&longs;us c æqualiter, & e contrario motu
etiam regulariter, & duplo uelocius ex e
uer&longs;us d, dico omnia puncta d e moue
ri in linea recta, & primum capio pun
ctum d, quod &longs;it in linea recta centro
rum: & moueatur b ad c, & &longs;i circulus d e
e&longs;&longs;et immobilis, palam e&longs;t quòd pun
ctum d cum &longs;it in una linea a b, cum b
perueniret in c, d e&longs;&longs;et in linea a c, putà in
h &longs;ecundum quantitatem, ergo b d ex
centro c, de&longs;cribo circuli portionem h k,
duco etiam c k, erit ergo angulus h c k
duplus a, quare arcus h k duplus b c,
nam con&longs;i&longs;tunt in centris circulorum æ
qualium: igitur cum ex h motu conuer&longs;o, & duplo ueloci in codem
tempore feratur d perueniet in k, & ita &longs;ecundum rectam lineam
erit motum eadem ratione ex d in k, quod erat demon&longs;trandum.
tij
Ex hoc patet quòd quando b
erit in c peracta quarta circuli, ut in
&longs;ecunda figura erit per motum l e
in a: nam cum d a &longs;it dupla c b, igi
tur in eodem tempore l perueniet
ad a, in quo b perueniet ad c.
Dico etiam, quod
ueniet ad fin prima figura, d perue
niet ad g, quia permeabit totum cir
culum, & a b d &longs;unt in una recta li
nea. Et cum b perueniet ad m in &longs;e
cunda figura, d rur&longs;us perueniet ad a centrum.
Ex hoc patet, quòd punctum d permeabit lineam rectam æqua
lem duplo diametri unius circuli, id e&longs;t, quantum e&longs;t linea a g in pri
ma figura.
Sequitur etiam, quòd d punctum meabit et remeabit per rectam
lineam ag, peragendo bis eam in uno circuitu circuli b c, &longs;eu duo
bus circuitibus d e.
O&longs;ten damus modo, quod pun
ctum d extra lineam centrorum, &longs;ci
licet in linea d c a f tran&longs;ibit per
ctam
ducatur c d u&longs;que ad k, ita ut c k &longs;it
æqualis c a, erit ergo punctus d pri
mæ figuræ m è regione k tertiæ, &
dum c mouetur ad e, d perueniat
ad g, erit ergo e g æqualis ea, & &longs;e
cet circulus g h rectam a d in h, &
ducatur c h. Et erit ut prius angu
lus h e g duplus h a g, ergo arcus
g h duplus e c, ergo g remeauit in
h in tempore quo c feretur in e,
quare d de&longs;cendit per rectam in h.
Dico rur&longs;us, quòd quanto ma
gis d erit propinquum lineæ d g,
tanto minus de&longs;cendet in recta,
quanto magis propinquum longi
tudinibus medijs,
uebitur, adeò ut in &longs;ecunda figura
apparet motum ex d in g, non de&longs;cendit ni&longs;i per d n, & motum ex g
in l de&longs;cendit ex n in a centrum fixum. De&longs;cendat ergo ex e in h & h
Quia n m & n l
&longs;unt minores quarta circuli, & maiores &longs;unt f e & fl, & angulus an
gulo non minor, patet propo&longs;itum. Ita ergo motus, ut appropin
quant
Et hoc inuentum fuit Ludouici Ferrarij, cuius meminimus in Ar
te magna, & nos ei &longs;ub texuimus ex no&longs;tra inuentione, cuius ille de
mon&longs;trationem inuenire nequiuit.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;eptuage&longs;imaquarta.
Progre&longs;&longs;us & regre&longs;&longs;us tam &longs;ine latitudine, quàm cum latitudi
ne in planetis per &longs;olos concentricos circulos æqualiter motos de
mon&longs;trare.
Sit eclyptica a b c d, & arcus regre&longs;&longs;us b c in partes
quatuor æquales diui&longs;us, & de&longs;cribantur circuli duo b
h & e k &longs;uper e & f, & &longs;upponatur orbis &longs;uperior &longs;ub
eclyptica tamen, cuius polus in f, qui circumagatur in du
plo temporis retroce&longs;&longs;us planetæ, & in di&longs;tantia circuli
e k &longs;ub puncto e eclypticæ, polus alterius orbis concen
trici inferioris, qui circumagatur in tempore retro ce&longs;&longs;us
planetæ, & planeta &longs;it in puncto 6, liquet ergo quòd pla
neta ille in uno circuitu e k circuli permeabit b c & re
meabit, & &longs;emper erit &longs;ub ip&longs;a eclyptica. Sed enim eclyptica habet
rationem rectæ lineæ, ut quiuis circulus maximus. Et &longs;i quis relu
ctetur fingamus rectam &longs;ubten&longs;am arcui b c, & aliam po&longs;tmodum
æquidi&longs;tantem in eadem &longs;uperficie, & in orbe inferiore, & tunc pa
tebit liquidò propo&longs;itum. Sed &longs;i uelim latitudinem de&longs;cribam, ma
ximam latitudinem à puncto b, & ducam circulum magnum per
punctum illud: reliqua ut prius, ad unguem: nihil enim refert quod
ad demon&longs;trationem præcedentis attinet, &longs;eu a d ponatur eclypti
ca, &longs;eu alius circulus magnus.
Ex hoc patet cau&longs;a cur retroce&longs;&longs;us in initio, & in fine &longs;int exigui,
in medio &longs;int magni imò maximi, & quomodo perpetuò uarietur
latitudo in tempore retro ce&longs;&longs;us, & ratio omnium, & &longs;imiliter de in
crementis & uelocitate motus.
Ex hoc &longs;equitur, quod cum erratica fuerit in centro &longs;eu polo f, &
tunc mouetur uelo ci&longs;símè, quòd tamen erit in oppo&longs;ito &longs;olis, &
tunc etiam ibi erit ip&longs;e polus, quare alter erit cum ip&longs;o &longs;ole.
Et quia dum motus e&longs;t ueloci&longs;simi &longs;ecundum ordinem &longs;igno
rum, tunc erratica &longs;uperior e&longs;t &longs;oli iuncta, e&longs;tque in polo, oportet ut
polus fmoueatur &longs;ecundum ordinem &longs;ignorum, adeò ut cum &longs;ol
peruenerit ad illius oppo&longs;itum, orbis &longs;uperior dimidium perfecerit Ergo orbis &longs;uperior tanto tar
diùs mouetur &longs;ole, quantum e&longs;t id quod peragit polus &longs;ine æquali
motu in orbe &longs;ignorum, per motum circunducentis orbis &longs;uperio
ris in tempore dimidij circuitus. Inferior ergo cum moueatur du
plo uelociùs &longs;uperiore, ut dictum e&longs;t, igitur duplo uelo cius &longs;ole, ni
&longs;i quantum e&longs;t duplum motus poli &longs;uperioris per motum orbis
circunducentis.
SCHOLIVM I.
Intelligo autem per arcum retro ce&longs;&longs;us non &longs;olum illum quo pla
neta retrocedit, nam hic e&longs;t longè minor arcu proce&longs;&longs;us, &longs;ed in quo
motus in æqualis e&longs;t minor æquali, palam autem e&longs;t hunc fore æ
qualem arcui uelocioris motus quàm &longs;it motus æqualis.
SCHOLIVM II.
Cum ergo, dum erratica e&longs;t in polo orbis &longs;uperioris, ibi quie&longs;cat
motu eius, motu autem inferioris orbis ueloci&longs;simè moueatur &longs;eu
progrediendo &longs;eu regrediendo motuque cir culari, & tamen per re
ctam lineam, igitur uideretur quòd motus circularis partes po&longs;&longs;et
tran&longs;ire in rectum. Re&longs;pondeo quòd &longs;ufficit &longs;ola inclinatio ob ma
gnitudinem anguli: nam dum &longs;ydus transfertur extra centrum mo
tu orbis inferioris, mouetur uelociter quo ad angulum motu orbis
&longs;uperioris.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;eptuage&longs;imaquinta.
Cau&longs;am uarietatis diametrorum ex &longs;uppo&longs;itis concentricis de
mon&longs;trare.
In tribus &longs;uperioribus planetis & quibu&longs;cunque &longs;tellis octaui or
bis manife&longs;tum e&longs;t, quòd pars quæ re&longs;picit nos quantò remotior
fuerit à Sole, Manife&longs;tum e&longs;t etiam & expe
rimento & ratione, quòd illud quod magis lucet, & e&longs;t
à Sole in nocte, maius uidetur, &longs;icut etiam de facibus nocturnis. Et
rur&longs;us, quod &longs;ub &longs;tantia orbium circa loca quæ habentur pro polis
e&longs;t den&longs;ior, & quod res in medio den&longs;o apparent maiores, &longs;icut de
pi&longs;cibus in aqua, denarijs & baculis. Demon&longs;tratum
cedenti, quod quando &longs;tella fuerit in polo orbis &longs;uperioris, quòd
tunc maximè retrocedit, & ideò cum in tempore maximi retro ce&longs;
&longs;us &longs;it in oppo&longs;ito Solis
multo maiores duabus ex cau&longs;is e&longs;&longs;e uidentur, & iuxta proportio
nem propinquitatis ad Solem commutant quantitatem & tanto
minores apparent, quia non po&longs;&longs;unt, commutare
na propter æqualitatem &longs;ub&longs;tanti&ecedil; & luminis proprij copiam, qu&ecedil;
non &longs;init di&longs;cerni uarietatem figur&ecedil;. In Luna autem &longs;ecus e&longs;t, nam in
ob id non apparet maior, imò minor aut mediæ quantitatis in op
po&longs;ito Solis, &longs;ed maxima in longitudinibus medijs, quoniam ibi
&longs;unt poli motus uarietatis ut dictum e&longs;t, qu&ecedil; habet locum retro ce&longs;
&longs;us, &longs;ed ob motus paruitatem Luna non pote&longs;t retrocedere, uerùm
&longs;olùm motus tardatur. Nam licet den&longs;itas &longs;it in cœlo &longs;uperiore &
motus uelox nihilominus efficit imaginem maiorem, &longs;icut apparet
de pi&longs;ce in magna aqua in medio, & in parua in imo, nam in parua
uidetur longè maior quàm in magna, licet &longs;it in æquali di&longs;tantia. In
Venere autem & Mercurio eadem e&longs;t ratio di&longs;tantiæ à Sole ut di
ctum e&longs;t in præcedenti. Cum ergo &longs;ub Sole multum moueantur
motu differentiæ uel &longs;ecundum &longs;ucce&longs;sionem, uel contra &longs;ucce&longs;
&longs;ionem in medijs longitudinibus, parum tunc uidentur e&longs;&longs;e mino
res, quia &longs;unt remotiores à polo orbis &longs;uperioris. Quod autem pro
pinqui coniunctioni Solis, & ueloces uideantur minores, i&longs;tud
contingit ob primam cau&longs;am, quia minus illuminantur, ea parte
quæ ad nos uergit. Re&longs;tat ergo &longs;olum o&longs;tendere cur propinqui
Soli & in retroce&longs;&longs;u
enim remoti à polo orbis &longs;uperioris & propinqui Soli, cau&longs;a e&longs;t
quoniam apparent &longs;olùm in crepu&longs;culis quando &longs;unt &longs;ic di&longs;po&longs;iti,
& tunc aër e&longs;t cra&longs;sior. Quæ cau&longs;a facit, ut neque dum ueloci&longs;simi
&longs;unt &longs;emper parui uideantur, ideò non pote&longs;t con&longs;titui certa ratio. imò i&longs;ta deducta &longs;unt potius ex fundamento fal&longs;o illius figmen
ti, quam ex &longs;en&longs;u (ita enim argumentantur) retro cedunt, ergo &longs;unt
propinquiores terræ, ergo uidentur maiores, & ita fingunt &longs;en
&longs;u &longs;ehabere quod fal&longs;a ratione o&longs;tendere uidentur. quodque i&longs;tud
&longs;it uerum, patet quia nullum
Aegypti pote&longs;t o&longs;tendere differentiam minorem &longs;exminutis, &
hic e&longs;t fermè diameter Mercurij, nec tanta e&longs;t differentia in Venere. Reliquum e&longs;t ut &longs;atisfa ciamus obiectioni quam faciunt de diuer
&longs;itate magnitudinis Lunæ propter eclip&longs;im, nam uidetur e&longs;&longs;e ali
quando maior, & aliquando minor in æquali di&longs;tantia à &longs;ectione
capitis & caudæ draconis, adeò ut non uideatur po&longs;&longs;e a&longs;signari. di
co ergo huius cau&longs;am e&longs;&longs;e umbram ip&longs;ius Lunæ dubiam, &longs;icut eti
am in crepu&longs;culis, quoniam Sol in diuer&longs;o &longs;itu facit diuer&longs;am um
bram comparatione oculi no&longs;tri, maior e&longs;t enim in hyeme quàm
in æ&longs;tate, & quæ e&longs;t propior nobis quàm quæ procul, & quæ e&longs;t in
meridie quàm iuxta Ortum uel Occa&longs;um, & ideò tam parua diffe
rentia & incerta, & quæ aliquando uariat, nullo modo uitiare po
te&longs;t rationem motuum æternorum.
Propo&longs;itio cente&longs;ima&longs;eptuage&longs;ima&longs;exta.
Rationem centri grauitatis declarare.
Duplicem rationem
&longs;u&longs;pen&longs;orum ponderum: alteram &longs;upernatantium aquæ, in qua
rum utraque &longs;ubtilitatis certè e&longs;t quantum dignum e&longs;t authore illo
ingenio &longs;i&longs;simo, &longs;icut etiam in elica linea, fructus autem non pro ra
tione laboris, neque enim ab ætate illa u&longs;que nunc inuentus e&longs;t qui&longs;
quam, qui potuerit docere, nec ille idem quæ nam utilitas ex huiu&longs;
modi contemplatione haberetur, propterea totum hoc una propo
&longs;itione conclu&longs;imus.
Dico igitur quòd
dratis aut quadrilateris parallelis e&longs;t, ubi&longs;e inter&longs;ecant duæ diame
tri. Et quod in triangulis e&longs;t punctus in quo concurrant tres lineæ,
duct&ecedil; ab angulis ad latera illa per æqualia &longs;ecando. In quadrilatero
autem trapezio centrum grauitatis e&longs;t in puncto lineæ, quæ &longs;ecat
ambo latera oppo&longs;ita per æqualia, ita ut proportio partis eius li
neæ, quæ intercipitur à minore æquidi&longs;tantium, ad partem quæ in
tercipitur à maiore æquidi&longs;tantium, &longs;it ueluti dupli maioris æqui
di&longs;tantium cum minore ad duplum minoris æquidi&longs;tantium cum
maiore. Cuiu&longs;cunque portionis à recta linea, & rectanguli coni &longs;ecti
one comprehen&longs;æ, centrum grauitatis diuidit diametrum portio
nis, ita ut pars eius ad uerticem terminata, &longs;it ad partem eam &longs;exqui
altera, quæ ad ba&longs;im portionis terminatur. Cuiuslibet fru&longs;ti à &longs;ecti
one rectanguli coni ablati, centrum grauitatis e&longs;t in linea recta, qu&ecedil;
fru&longs;ti exi&longs;tit diametros: qua in quinque partes æquas diui&longs;a, cen
trum in quinta eius media exi&longs;tit, atque in eo eius puncto quo ip&longs;a
quinta &longs;ic diuiditur, ut portio eius propinquior minori ba&longs;i fru
&longs;ti ad reliquam eius portionem eam habeat proportionem, quam
habet &longs;olidum, cuius ba&longs;is &longs;it quadratum lineæ illius quæ fru&longs;ti ba
&longs;is maior extiterit.. Altitudo ueró i&longs;tis utri&longs;que &longs;imul æqualis lineæ
quæ dupla &longs;it minoris ba&longs;is fru&longs;ti, & ba&longs;i maiori eiu&longs;dem, ad &longs;oli
dum quod ba&longs;im habeat quadratum ba&longs;is minoris fru&longs;ti, altitudi
nem uero i&longs;tis utri&longs;que &longs;imul æqualem lineæ quæ dupla &longs;it maioris
ba&longs;is, & ba&longs;i minori. Et hæc de prima, multa qúe alia pulchra de
clarat Federicus Comandinus, in &longs;uo libro de Centro grauitatis, ut
pote. Quod cuiuslibet portionis conoidis rectanguli axis à cen
tro grauitatis ita diuiditur ut pars, quæ determinatur ad uerticem
reliquæ, quæ ad ba&longs;im terminatur dupla &longs;it, & longè &longs;ubtiliora qu&ecedil;
quilibet uidere poterit apud illum.
SCHOLIVM.
Partes omnes con&longs;entiunt in grauitatem medij, quoniam una
aliam non uult centro mundi fieri propiorem.
De &longs;ecunda præcipua &longs;unt, quod &longs;i magnitudo aliqua humido
leuior ea in grauitate proportionem habebit ad humidum &ecedil;qualis
molis, quam pars magnitudinis demer&longs;a ad totam magnitudinem,
& hoc intelligitur quando magnitudo illa fuerit è genere &longs;olido
rum rectorum & rectangulorum. Secunda e&longs;t, quòd quæ &longs;imilia
&longs;unt &longs;uperficiebus, ita ut axem habeant in medio, &longs;ecundum &longs;itum
axis merguntur & prominent, & &longs;i aliter mergantur, redeunt. Ter
tia, quod qu&ecedil; angu&longs;tiora &longs;unt, ab oppo&longs;ita parte uerò latiora, incli
nantur ad partem acutiorem, quia &longs;ic facilius de&longs;cendunt. Quarta
e&longs;t, de corporibus non æqualibus, ip&longs;a enim nece&longs;&longs;e e&longs;t, ut ab hac &longs;e
inflectant, & ratio horum diuer&longs;a e&longs;t iuxta rationem proportionis
partium quæ merguntur adinuicem. Quinta e&longs;t, quòd mer&longs;a in hu
mido, quanto minus mer&longs;a fuerint, tanto facilius & eo frequenti
us commutantur.
Propo&longs;itio cente&longs;ima &longs;eptuage&longs;ima&longs;eptima.
Si proportio aliqua ex duabus proportionibus eiu&longs;dem quanti
tatis ad alias duas componatur: erit proportio illarum duarum ea
dem proportioni producti ex proportione in primam duarum
quantitatum detracta priore illa quantitate, quæ ad duas compara
tur, ad eandem priorem quantitatem.
Sit proportio a ad compo&longs;ita ex proportionibus c
ad d & c ad e, dico quòd proportio d ad e e&longs;t, ut produ
cti ex proportione in d detracto c ad ip&longs;um c. Et nos
&longs;uperius expo&longs;uimus conuer&longs;am huius. Erit enim per
ex c in d, & e ad productum d in e: at productum d in e & in propor
tionem, e&longs;t idem quod productum proportionis in d in ip&longs;um e: igi
tur cum in uno &longs;it productum e in c, & d in c, in alio productum a b
in d in de in e, quæ &longs;unt æqualia, detracto producto e in c ex produ
cto proportionis in d & inde in e, relinquetur, productum c in d æ
quale producto a b .i. proportionis in productum d in e, detracto
numero c in e: igitur ducto c in d, & diui&longs;o per productum a b in d
numero c, exibit e, igitur cum illud productum fiat ex d, &longs;cilicetin c,
& ex e in productum proportionis in d dempto numero c, erit pro
portio d ad e, uelut producti ex d in proportionem, detracto e ad
ip&longs;um c, uelut c &longs;it 12, d 4, e 6, a b erit 5 proportio d ad e, uelut d in a b,
id e&longs;t 20, detracto c, & e&longs;t 8 ad c 12.
Ex demon&longs;tratione &longs;equitur, quod qualis e&longs;t proportio e ad a b,
talis e&longs;t producti d in e, ad aggregatum eorum. Si quis ergo dicat,
habeo 10, & uolo inuenire duas quantitates, quarum differentia &longs;it
1, & proportio 10, ad eas componat quintuplam, dices quintupla
e&longs;t dimidium 10, igitur in uenias duas quantitates, quarum differen
tia &longs;it 1, & proportio producti unius in alteram ad aggregatum &longs;it
dupla. Et hoc e&longs;t manife&longs;tum.
Propo&longs;itio cente&longs;ima &longs;eptuage&longs;imaoctaua.
Proportionem mi&longs;tionis metallorum, maximè auri & argenti
declarare.
Dubium non e&longs;t, quod mi&longs;tio non cogno&longs;catur ducto ponde
re totius in partem auri uel argenti, & productis collectis diui&longs;o
aggregato per aggregatum ponderis, idqúe e&longs;t per &longs;e manife
&longs;tum, nam qualis e&longs;t proportio partis ad partem, talis e&longs;t totius ad
totum.
Sed e&longs;t genus mi&longs;tionis, quod uocant con&longs;olationem.
Veluti,
uolo ex argento perfectionis decem & &longs;eptem, & quinque, confla
re argenti ma&longs;&longs;am centum librarum perfectionis nouem, ita agen
dum e&longs;t. Detrahe 9 à 10, & omni maiori 10, relinqui
tur 1, hoc &longs;uppone 7 & 5, item detrahe 7 & 5, & omne
minus 9 à 9, relinquitur 2 & 4, iunge omnia re&longs;idua
fient 8, nam 4. 2. 11. Dicemus ergo quod 8 unci&ecedil; per
fectionis nouem componentur ex 6 uncijs perfe
ctionis decem & una &longs;eptem alia quinque. Po&longs;t di
ces, &longs;i unciæ octo fiant 100, &longs;ex & una, & una, quot fient, eruntque un
ciæ aut libræ, aut ut uo cant marchæ perfectionis decem, & duo de
cim cum dimidia, ac duodecim cum dimidia perfectionis, ut &longs;e
ptem & ut quinque: licebit etiam propo&longs;itis terminis pluribus ex
repetita operatione idem facere, ueluti &longs;int ma&longs;&longs;æ perfectionis 10.
7. 5. & 2. uolo ma&longs;&longs;am perfectionis ut 8. Tu &longs;cis quod ex 10. 7 & 5.
fit ma&longs;&longs;a perfectionis nouem data lege &longs;ub 6. 1 & 1. nunc habeo iam
perfectam ut 9, aliam ut 2, detraho 2 ex 8, relinquitur 6 & 8, x 9 re
linquitur 1, iunge fient 7, erunt ergo &longs;eptem unciæ, in
quibus &longs;ex erunt perfectionis, ut 9 & 1 perfectionis ut
2, & totum erit perfectionis ut octo. Duc ergo, ut ex
plores ueritatem, 6 in 9 fit 54, duc 2 in 1 fit 2, iunge fit 56
diuide per 7 exit 8 perfectio quæ&longs;ita.
Per idem intelliges detractionem ex ma&longs;&longs;a argenti perfectionis
7, detraxi quartam partem perfectionis 10, uolo &longs;cire do drantem
portionem h, &longs;umatur rur&longs;us
de ip&longs;ius a b pars &longs;ecundum h,
& n o ip&longs;ius k l, &longs;ecundum ean
dem proportionem. Et rur&longs;us
&longs;umatur e f æqualis d b, & o p
æqualis n l, ut &longs;int portiones
b c & l m &longs;ecundum proportionem h, & &longs;umatur f g ip&longs;ius a c, &longs;ecun
dum proportionem h, & p q ip&longs;ius k o, &longs;ecundum eandum propor
tionem, & ita procedendo &longs;emper, dico quod erit a g re&longs;idui ad k q
re&longs;iduum, ut a b ad k l. Quia enim a b ad b c, ut k l ad l m ex &longs;uppo&longs;i
to, erit a b ad b d, ut k l ad l n: e&longs;t etiam a b ad d e, ut k l ad n o ex &longs;up
po&longs;ito, igitur a b ad b c, ut k l ad l o. Igitur a b ad a c, ut k l ad k o.
Rur
&longs;us quia b c ad e f, ut l m ad o p, erit a b ad e f, ut k l ad o p, at fuit a b
ad a e, ut k l ad k o & a e ad g f, ut k o ad p q, igitur a b ad' g f, ut k l ad
q p. Quare a b ad g e, ut k l ad q o.
Iterum ergo a b ad b g, ut k l ad
l
erat demon&longs;trandum.
22.
dem.
22
ti
dem.
Ex hoc patet, quod et&longs;i proportio non maneat eadem in parti
bus totius, & partis modo &longs;it eadem in totis ad partes a&longs;&longs;umptas, et
in partibus ad partes a&longs;&longs;umptas, nihilominus &longs;equitur idem.
Sequitur rur&longs;us, quod et&longs;i proportio eadem non maneat quan
titatum a&longs;&longs;umptarum ad partes quæ &longs;umuntur, nec etiam partium
modo &longs;emper pars, quæ a&longs;&longs;umitur &longs;it totius pars, & alia partis idem
ueratur.
Velut &longs;i prima uice capiam b d partem b c, ut l n partem l m &longs;e
cundum h proportionem, & deinde capiam d e partem a b & n o
partem k l &longs;ecundum proportionem r, quæ &longs;it alia ab h, & &longs;ecunda
uice capiam e f partem b c, & o p partem l m &longs;ecundum proportio
nem h, quæ &longs;it alia ab h & r. Et capiam f g partem a e & p q partem
k o, &longs;ecundum eandem proportionem, &longs;ed tamen quæ non &longs;it ali
qua prædictarum, &longs;cilicet h r s, &longs;ed diuer&longs;a ab eis, & uocetur t, dico
quod nihilominus erit proportio a g ad k q, ut a b ad k l, quæ pa
tent ex ui demon&longs;trationum, in quibus nil plus a&longs;&longs;umitur ad de
mon&longs;trandum, quàm id quod proponitur in corrolarijs.
Ex hoc etiam &longs;equitur, quod &longs;ecundum quem numerum prima
quantitas ab&longs;umetur, &longs;ecundum eundem ab&longs;umetur & &longs;ecunda.
Velut &longs;i prima quantitas ab&longs;umatur ad unguem in quinta detra
ctione, etiam &longs;ecunda k l in quinta detractione ad unguem ab&longs;ume
tur, quod patet per demon&longs;trata, nam re&longs;idua &longs;emper &longs;unt eædem
partes ip&longs;arum quantitatum.
Quarto &longs;equitur, quod &longs;i detractio fuerit facta eodem modo, &
fuerit proportio totius ad totum, ut re&longs;idui ad re&longs;iduum, erunt par
tes a&longs;&longs;umptæ &longs;imiles.
Velut &longs;i fuerit facta detractio iuxta propo&longs;itionem, aut primum
uel &longs;ecundum corrolarium, & fuerit proportio a g ad k g, ut a b ad
k l, erit a b ad b c, ut k l ad l m.
Sequitur etiam, quod &longs;i fuerit a&longs;&longs;umpta proportio
tium eadem, & facta fuerit detractio in omnibus præter unam iux
ta dicta, & fuerit totius ad totum, ut re&longs;idui ad re&longs;iduum, erit ut illa
etiam reliqua detractio, &longs;eu ad tota, &longs;eu ad partes &longs;it facta, &longs;ecundum
eandem proportionem.
Velut &longs;i &longs;it proportio a b ad k l, ut a g ad k g, & rur&longs;us ut b c ad
l m, & a&longs;&longs;umptæ &longs;int proportiones eædem &longs;emper totius, & totius
ad partes, & re&longs;iduorum ad partes, etiam & b c & l m ad partes, eti
am excepta una &longs;eu quantitatum a b & k l, &longs;eu re&longs;iduorum ut a c &
k o, &longs;eu partium ut b c & l m ad partes, dico quod hæ partes etiam
erunt a&longs;&longs;umptæ &longs;ecundum eandem proportionem ad ip&longs;as magni
tudines, uel partes primas uel re&longs;idua.
Sed & id &longs;equitur ex his, quod cuiu&longs;cunque &longs;eu totius &longs;eu partis
&longs;eu utriu&longs;que pars maior a&longs;&longs;umetur, erit maior proportio totius ad
totum quàm re&longs;idui ad re&longs;iduum.
Hæc demon&longs;trantur à Campano, nam &longs;i &longs;it maior proportio a b
ad a g, quam k l ad k g, erit maior a b ad k l quàm a g ad k g.
Sequitur rur&longs;us, quod in eadem con&longs;titutione cuiu&longs;cunque ma
ior pars ab&longs;umetur, ea quantitas minori numero, uel numeri parte
ab&longs;umetur.
Nam &longs;i minor erit continuo proportio a b ad a e, quàm k l ad k
o, & a e ad e g, quàm k o ad o g, erit longe minor a b ad b g quàm k l
ad l g, igitur longe maior a b ad a g quam k l ad k g. Igitur a g citius
ab&longs;umetur quam k g.
Propo&longs;itio cente&longs;imaoctuage&longs;ima.
Si aliqua quantitas in duas partes diuidatur, fueritque alicuius,
quantitatis ad partes illas compo&longs;ita proportio eiu&longs;dem quan
titatis ad partes alias quantitatis diui&longs;a aliter proportio eadem
componi.
Sit a b proportio ad partes c d quæ &longs;int c e, & c d componens f,
dico quod non poterit c d aliàs diuidi, ut proportio a b ad illas
componat eandem proportionem f. Aliter &longs;it diui&longs;a in g, & erit mi
igitur proportio a b ad c d maioris exce&longs;&longs;us ad proportionem a b
ad c g, quàm &longs;it proportio a b ad g d, ma
ior proportione a b ad c e, propterea quod
g e communis differentia maiorem habet
proportionem ad e d quam g c, igitur ma
ius e&longs;t aggregatum proportionum a b ad
c e, & e d,
Propo&longs;itio cente&longs;imaoctuage&longs;imaprima.
Cum fuerit aliqua proportio compo&longs;ita ex proportionibus pri
mæ ad &longs;ecundam & tertiam, & rur&longs;us quartæ ad quintam & &longs;ex
tam, ita &longs;e habebit proportio &longs;ecundæ ad tertiam proportionem
quintæ ad &longs;extam, uelut producti ex proportione in &longs;ecundam de
tracta prima ad primam ad productum ex proportione in quin
tam, detracta quarta ad quartam.
Sit pro portio g compo&longs;ita ex proportionibus a
ad b & c, & proportionibus d ad e & f, dico quod
quemadmodum b ad c, ad proportionem e ad f, ita
producti ex g in b, detracto a ad a ad productum ex
g in e, detracto d ad d. E&longs;t enim, ut demon&longs;tratum
e&longs;t b ad c, ut productum ex g in b, detracto a ab a & e ad f, ut pro
ducti ex g in e, detracto d ad d, igitur cum æqualium &longs;int eædem
comparationes, erit ut proportionis b ad c ad proportionem e ad
f, ita producti ex g in b, detracto a ad a, ad productum e&longs;t g in e, de
tracto d ad d.
Quare erit proportio b ad c ad proportionem e ad f, uelut re&longs;i
dui b detracto quod prouenit, diui&longs;o a per proportionem a ad pro
portionem re&longs;idui e detracto quod prouenit diui&longs;o d per propor
tionem ad ip&longs;um d.
Propo&longs;itio cente&longs;ima octuage&longs;ima&longs;ecunda.
Propo&longs;ita differentia proportionum partium &longs;imilium ad par
tes a&longs;&longs;umptas propo&longs;itaque proportione totius ad re&longs;idua eandem
differentiam proportionum totius ad reliquum re&longs;idui inuenire.
Sint datæ partes b c & e f, &longs;imiles in compa
ratione ad a b & d e, & data re&longs;idua a g & d h
in
proportionis f e ad c l, ad proportionem
c b ad b k, dico quod data e&longs;t differentia proportionis a b ad g k
ad proportionem d e & f h. Nam quia proportio f e ad c l, ad pro
l e contineat a b ad b k, ut f e ad e l, c b ad b k, &longs;ed a b ad a d, ut d c ad
d h, igitur a b ad b d, ut d e ad c h. Sunt ergo duæ quantitates a b &
d c, quæ eandem habent compo&longs;itam proportionem ad g k & k b,
& h l & l e, quare per præcedentem proportionis h l ad l e, ad pro
portinem g k ad k b, ut h l detracto prouentu d e, diui&longs;i per propor
tionem ad d e ad proportionem g k, detracto prouentu a b, diui&longs;i
per eandem proportionem ad ip&longs;um a b. Si igitur nota e&longs;t l e & h l,
erit nota proportio re&longs;idui h l detracto prouentu d e diui&longs;i per pro
portionem, quare nota detractio g k detracto prouentu a b diui&longs;i
per eandem proportionem ad a b. E&longs;t autem a b nota, & propor
tio nota, & ideo prouentus, & cum &longs;it proportio nota, erit ergo
re&longs;iduum notum, cui addito prouentu fit tota g k nota, quod fuit
demon&longs;trandum.
Propo&longs;itio cente&longs;ima octuage&longs;imatertia.
Spatium uitæ naturalis per &longs;patium uitæ fortuitum declarare.
Cum con&longs;tet homines ca&longs;u uiuere ægrotantes primum &longs;æpe:
deinde uiuentes in aëre malo, & ip&longs;um intempe&longs;tiuis horis &longs;ub
euntes tri&longs;titijs, curis, uigilia, uenere, laboribus perperam &longs;e excru
ciantes,
oporteat, & intempe&longs;tiuè, & malè præparato, & uario &longs;e replentes,
atque &longs;ic alij ad &longs;exage&longs;imum, alij ad &longs;eptuage&longs;imum, rari octuage
&longs;imo, rariores nonage&longs;imo uel cente&longs;imo anno ita
ca&longs;u, neque ui aut morbo, &longs;ed potius qua&longs;i naturali quadam morte
ab&longs;umpti intereant: de quibus tantum e&longs;t &longs;ermo. Atque ut exem
plo commodiore utamur, capiamus annum octoge&longs;imum, qui e&longs;t
terminus communis uitæ humanæ, non &longs;olum no&longs;tra ætate, &longs;ed an
tiquo tempore etiam fuit, ut Dauid te&longs;tatur in P&longs;almis, in Cantico
Moy&longs;is: antea autem &longs;i quis moriatur, non naturali morte, &longs;ed ui
morbi ab&longs;umptus exi&longs;timatur. Certum e&longs;t, quod &longs;i homo recta ra
tione uiueret, quod aliquanto diutius uitam extenderet, neque enim
negare po&longs;&longs;umus, cum in magnis exce&longs;sibus maximè &longs;ectionis ue
næ & curarum, quin homo euidentur uitam breuiorem efficiat:
quod ergo euidenti&longs;simum e&longs;t in magnis exce&longs;sibus, in paruis ean
dem habet uim licet occultiorem. Errorem autem in uita hunc ade&longs;
&longs;e perpetuum, qui&longs;que intelligit qui no&longs;tras actiones pen&longs;itare uelit,
cum &longs;altem malam &longs;equamur con&longs;uetudinem: iam ergo proponan
tur iuxta dicta du&ecedil; line&ecedil; a b uit&ecedil; naturalis exqui&longs;it&ecedil; recte longior &
&longs;tat e&longs;&longs;e breuiorem aliquanto. Et proponatur error quadrage&longs;imæ
partis in ip&longs;a uita, quamuis &longs;it longe maior: quotu&longs;qui&longs;que enim e&longs;t
qui non &longs;altem edat bibatque quadrage&longs;ima parte, plu&longs;quàm opor
teat in comparatione ad naturam, id e&longs;t, ut natura fatigatur quadra
ge&longs;ima illa parte amplius quàm debeat: idem dico de laboribus, cu
ris, uigilijs, uenere. Sed hoc non e&longs;t generale: habetque multas exce
ptiones inuicem pugnantes, ut tandem concludam non concoqui
plenè po&longs;&longs;e, & ob id impurum manere, unde citò di&longs;&longs;oluitur, & ca
lorem etiam naturalem extinguit: atque etiam ob id, tum quia debi
tos labores, & multo minus ad perfectam ætatem perferre
&longs;unt, den&longs;ari nequit & pingue&longs;cere, ut duplici cau&longs;a multo celerius
re&longs;oluatur, una etiam calorem extinguat. Sit ergo a e talis pars a b,
qualis c f, c d. Cum ergo a b con&longs;umi
tur in octuaginta annis, &longs;emper &longs;eruat
æqualiter ab&longs;umitur: quia portiones
illæ æquales &longs;unt in minore inuicem &longs;icut in maiore, & inæquales
&longs;eruant eandem proportionem, &longs;umatur ergo a b annorum cclvij. men&longs;ium v. & ab&longs;umatur &longs;emper quantitas æqualis octuage&longs;ima
a e, & quadrage&longs;ima a b & re&longs;iduorum.
E
Vt corrigas tabulam, &longs;cito quod numerus quadrage&longs;imæ cum
&longs;uperiore annorum numero à leua componit numerum quadrage
&longs;imæ &longs;uperioris &longs;impliciter, aut abiectis quadragenarijs. Velut è
regione trige&longs;imi anni, &longs;unt anni nonagintanouem, quad. 17 è
directo anni 29, &longs;unt anni 103, quad. 0. ad de 17 quad.
ad 103 fit 120,
abijce 40 ter, nil &longs;upere&longs;t, & ita nulla e&longs;t quadragenaria è regione
29 & 103.
Rur&longs;us cum deuenimus ad annos 79, &longs;uper&longs;unt &longs;olum 28 qua
dragenariæ, & e&longs;t minus anno, &longs;ed hoc fieri ob fractiones & nume
rorum partes, & etiam &longs;i e&longs;&longs;et aliquis error, e&longs;&longs;et magis ad augen
dum numerum annorum 257, men&longs;ium &longs;ex quàm ad diminutio
nem, ideo non curaui de exacta ueritate.
Præterea ex hac tabella digno&longs;cis, quod in ultimis annis parum
pote&longs;t produci uita in comparatione ad primos, ueluti in 60 anno
&longs;uper&longs;unt anni 20, ex uita ordinaria, ex exacta paulo plures quàm
25, &longs;cilicet 25 cum dimidio. Ergo à 60 anno non poterit per quam
uis cu&longs;todiam homo producere uitam plus annis quinque cum di
midio. Et &longs;i dicas tunc cu&longs;todia maximè opus e&longs;t, & magis quàm
unquam, re&longs;pondeo quod uerum e&longs;t, &longs;ed non ad producendum ui
tam, &longs;ed ne in morbum incidas: nam ex quocunque morbo homo ab
ea ætate perit, cum habeat adeò imbecilles uires. Ex hoc patet,
quod Alexius Cornarius, patritius Venetus, cum incœpi&longs;&longs;et cu&longs;to
diam anno 36, cum po&longs;&longs;et uiuere 44 annis, iuxta rationem uit&ecedil; com
munis, potuit producere eam annis 79, igitur annis 25 plu&longs;quàm ui
xi&longs;&longs;et uita communi etiam quòd fui&longs;&longs;et &longs;anus.
Si ergo aliquis &longs;it uicturus centum annis uita communi adde
mus eodem modo trige&longs;imamnonam partem, id e&longs;t quadrage&longs;i
mam partem, & quadrage&longs;imam quadrage&longs;imæ huic numero, &
unum amplius, & habebimus numerum ut infrà.
Et ex hac tabula digno&longs;cemus quantum qui&longs;que po&longs;sit uiuere,
quouis tempore ætatis &longs;uæ, illud intelligendo quod non e&longs;t eadem
men&longs;ura omnibus, ut neque uitæ ordinariæ, nec magnitudinis cor
porum, nec ingeniorum, nec eiu&longs;modi in aliquibus uita decre&longs;cit
per uige&longs;imam partem, hic &longs;cilicet qui inordinatè uiuunt, alijs uix &longs;e
xage&longs;ima, quan<08> pauci&longs;simis. Hic ergo numerus maximè concor
dat cum experimentis duobus,
&longs;tra, &longs;cilicet Ioannis de
de temporibus, annis 400. Et ambo fuerunt milites Caroli Ma
gni, nam non potuerunt omnino pro&longs;picere uitæ rationi exqui&longs;i
ti&longs;simæ.
tius in uitæ genus, ab&longs;tinent enim carnibus, ouis, ca&longs;eo & uino, u
tunturque fructibus tantum, & uiuebant &longs;ine &longs;olicitudine ulla & cu
ris. Vnde rectè in&longs;inuatum e&longs;t etiam ultra hi&longs;toriam, quod Adam
e&longs;&longs;et perpetuò uicturus, &longs;i non degu&longs;ta&longs;&longs;et fructum arboris boni &
mali, id e&longs;t, quod mors nobis obrepit ob, &longs;olicitudines & curas. A
uenzoar autem cum uixerit multis cum curis, & fuerit in carcere
Hali, & ab eo per iniuriam uexatus, & natus in malo aëre, &longs;ola ratio
ne uictus produxit uitam ad annos 135, ut te&longs;tatur Auerroes, quid
euenturum erat, &longs;i in bono aëre educatus nihil graue, & adeò diu
turnum expertus fui&longs;&longs;et:
Pro u&longs;u autem huius & &longs;uperioris tabulæ, &longs;i quis proponat iu
uenem ex &longs;tirpe eorum, qui uiuunt &longs;exaginta annis, iam natum de
cem & &longs;eptem annos, uelimusque &longs;cire quantum uiuere po&longs;sit, uide è
regione 20 annorum in primo ordine, & habes annos 139. Quad.
18. & ab hoc numera 17 annos, & habebis annos 37 è regione,
quorum &longs;unt anni 76. Quad. 35, id e&longs;t, men&longs;es 10, dies 15. uel iunge
17, numerum annorum exactorum, & 20 numerum annorum defi
cientium ab 80, fiunt anni 33, ut prius, è quorum regione habet an
nos 76. quad. 35.
At &longs;cio multos qui parum con&longs;yderatè hæc legunt, obiecturos,
primum quod neque mihi, neque ulli alij potui, uel ad centum uel ad
nonaginta annos
eiu&longs;modi, naturaliter e&longs;&longs;et ut in pluribus: at uix inuenire licet
qui exce&longs;&longs;erit cente&longs;imumuige&longs;imum annum. Et maximè cum &longs;cri
ptum &longs;it: Non &longs;piritum meum in carne ultra centum uiginti annos,
& loquitur Deus. Videtur etiam nece&longs;&longs;e hoc uolenti, cupere totam
uitam &longs;ub incerto fine, & non uacare, nec negotijs nec uoluptati,
quæ &longs;unt duo illa præcipua, quibus uita no&longs;tra con&longs;tat, & maximè
amittere bona, adeò &longs;ecura ob tam leuem & inanem &longs;pem. Ab&longs;ur
dum etiam e&longs;&longs;e hoc quod latuerit tot præclaros medicos atque phi
lo&longs;ophos, quorum nullus de hoc &longs;ermonem fecit. Hæc & huiu&longs;mo
di &longs;unt qu&ecedil; mihi obij ci po&longs;&longs;e &longs;entio. At rogo quid admirabilius e&longs;t,
an &longs;olem e&longs;&longs;e plus centies et &longs;exagies terra ac mari, an homines tam
diu po&longs;&longs;e producere uitam? Et plures imperito hoc quam illud cre
dituri &longs;unt: & tamen res illa ita &longs;e habet, nec apud &longs;apientes dubia
e&longs;t: nedum incredibilis. Similiter quòd corpus adeò tenue, debeat
adeò celeriter circumferri, ut in uno ictu pul&longs;us debeat peragere
&longs;patium bis mille quingentorum millium pa&longs;&longs;uum, & tamen & il
lud demon&longs;trari pote&longs;t euidenti&longs;simè. Ergo ut ad obiecta re&longs;pon
deam &longs;erò mihi hoc inuenire
quibu&longs;dam &longs;ufficiat educatio ab initio, &longs;ed requiritur &longs;ucce&longs;sio,
qualis fuit olim per multas ætates, &longs;ic progenerantur gigantes &
homines ad miraculum u&longs;que, docui etiam exacta media ætate, hoc
uix fieri po&longs;&longs;e. Contingunt præterea multa impedimenta.
Sufficit
nobis &longs;cire quid &longs;it in natura hominis, non quæro modò quomo
do faciendum: nec e&longs;t præ&longs;entis in&longs;tituti, quin etiam ueri&longs;imile e&longs;t
ad hoc e&longs;&longs;e uiam quandam compendio&longs;iorem, quæ minimè la
tuerit antiquos, maximè Hebræos. Et for&longs;an etiam hoc no&longs;tro tem
pore haberi po&longs;&longs;et quamuis lateat. Vnum e&longs;t certum, oportere ab
initio uitæ (qui uiam hanc exqui&longs;itam, quam hic trado, &longs;equi uo
luerit) con&longs;tituere formam uictus, & tum maximè contractam,
quoniam (ut ui&longs;um e&longs;t in tabula) ex minimo errore, & breui tempo
re plurimum temporis uitæ perit. Oportet autem multa ade&longs;&longs;e, cor
pus moderatè &longs;anum, & medio criter &longs;altem con&longs;titutum, in&longs;tituto
rem &longs;apientem, obedientiam pueri, & per omnes ætates cum pati
entia &longs;umma commoda diuitiarum, & bonum aërem & fortunam
blandientem no&longs;tro propo&longs;ito, ne quis ca&longs;us in tanto tempore ad
uer&longs;us nos impediat, ob tot & tanta quæ nece&longs;&longs;aria &longs;unt, & a&longs;siduè,
ideo res hæc fabulo&longs;a ui&longs;a e&longs;t ad hanc u&longs;que diem, tum maximè quod
nemo eam docuerat. De dicto Moy&longs;is non laboro, cum &longs;imus me
dici ac philo&longs;ophi non theologi. Quin etiam po&longs;t hæc uixit Abra
hamus annis clxxv, I&longs;aacus autem clxxx, Iacobus cxlvij, &longs;ed non la
boro de his, uerùm relinquo illa &longs;apientibus: melius e&longs;t ergo ut de
mon&longs;trationem adducam huius, cum experimento etiam coniun
ctam. Con&longs;tat enim quod humidum pingue euane&longs;cit per ætates,
&longs;eu à calore innato, &longs;eu ab aëre con&longs;umatur, & quod humidum pin
gue purum, ac den&longs;um tardè ab&longs;umitur, &longs;icut apparet experimen
to de oleo & &longs;epo &longs;alitis, quæ durant longiori tempore, quam &longs;i nil
tale admi&longs;tum habeant hæc pinguia, &longs;imiliter aqua quadruplo ce
lerius, imo longe uelocius ab&longs;umitur oleo in ua&longs;e feruente. Et ita
de pinguedinibus uariorum animalium de ligno iunipero, quod
referunt durare in annum, cur alia non po&longs;sint ad &longs;ex dies. Cer
tum etiam e&longs;t, quod coctio conden&longs;et, & e&longs;t Philo&longs;ophi in quar
to Metheororum. Si ergo coctio perfecta fiat, & puri&longs;simum hu
midum re&longs;tauretur, dubium non e&longs;t, quin homo po&longs;sit uiuere &longs;ex
cuplo plus aut
minum, tunc acquiritur perfectio
demus de auro, &qring;d pror&longs;us
mitur: adeò ut liceat dicere, for&longs;an non e&longs;&longs;e contra rationem, quod
detur humidum, quod nunquàm à calore naturali ab&longs;umitur, quia
lor ni&longs;i ab exteriore igne, &longs;ed in humido no&longs;tro e&longs;t calor intus, & &longs;e
cundum &longs;ub&longs;tantiam, ut &longs;altem habeamus experimentum longi&longs;
&longs;imæ uitæ & humidi quod uix à calore, & non ni&longs;i multis in &longs;eculis
ab&longs;umatur. Atque hæc (ne incurramus irri&longs;ionem Galeni) de Phi
lo&longs;opho qui pollicebatur perpetuitatem uitæ, quanquam non ob
id refugiam hoc, ut negem po&longs;&longs;e hominis uitam e&longs;&longs;e perpetuam,
quod Galenus
mus omnia &longs;ublunaria interire, quòd &longs;ciamus omne compo&longs;itum
debere di&longs;&longs;olui, quoniam compo&longs;itio &longs;it accidens, & accidens e&longs;t
medium inter ea quæ &longs;unt & non &longs;unt: loquor de huiu&longs;modi acci
dentibus quæ adueniunt. Demum, quoniam calor ille &longs;it in ip&longs;o hu
mido: ideo cum h&ecedil;c non animaduerterit Galenus, potius fuit uates
in irridendo, quàm &longs;apiens, ut authoritate eius moueri debeamus. Hanc coctionem non animaduerterunt medici, &longs;ed &longs;olam illam bo
nam qu&ecedil; e&longs;t cau&longs;a &longs;anitatis, quæ &longs;tat cum uigilia, labore & ciborum
multitudine, cùm illa exacta non &longs;tet ni&longs;i cum optimis & paucis
ualde cibis, quiete ac &longs;omno. Et ideo &longs;unt &longs;ex genera coctionum, di
co quod ad perfectionem attinet corrupta, imperfecta, imperfecta
morbo&longs;a, imperfecta quæ emendari pote&longs;t, has omnes uitare do
cent medici: bona quæ e&longs;t cum longa &longs;anitate, cui medici &longs;tudent:
ualde bona quam per umbram qua&longs;i
nec per &longs;omnium quidem uiderunt, quæ &longs;ola e&longs;t cau&longs;a tantæ lon
gitudinis uitæ, cum tamen nunquam fuerit uel admodum parum
interrupta. Hoc autem inter cætera o&longs;tendit experimentum de ele
phantis, quos Ari&longs;toteles ducentis annis uiuere con&longs;tanter affir
mat, alius dixit e&longs;&longs;e trecentis. Vt con&longs;tet iam in natura animalium
& in genere caloris habentis magnum motum, & &longs;ub&longs;tantiam te
nuem hoc inueniri po&longs;&longs;e, ut excludamus plantas de
gi&longs;sima &longs;atis con&longs;tat, &longs;ed quia caret motu euidenti calor in illis, &
&longs;ub&longs;tantia e&longs;t cra&longs;&longs;a animalium comparatione, non laboro. At de
elephanto omnes confitentur quòd &longs;it omnium ingenio &longs;i&longs;simum,
adeò ut multi homines illo indu&longs;tria & cognitione inferiores e&longs;&longs;e
uideantur. Neque etiam ueri&longs;imile e&longs;t quod natura hominem fecerit
hac in parte illo inferiorem, præ&longs;ertim cum de nullo alio animali
apud Ari&longs;totelem dubium &longs;it, & ubi modo aliquod dubium e&longs;&longs;et
propter querelam Theophra&longs;ti, & illud quod &longs;olet prædicari de
ceruis, tanto magis ueri&longs;imile e&longs;t indignum fui&longs;&longs;e hominem conce
dere tot animalibus in diuturnitate uitæ. Quam obrem cum hæc
tractatio ad libros de tuenda Sanitate &longs;pectaret, homines ad eos re
leego, nam ob id illos con&longs;crip&longs;i quòd uiderem Galenum nec hoc
nes inter&longs;erui&longs;&longs;e. Verùm etiam, quoniam eam tractationem diuul
&longs;it, ut alia cogamus quærere in libris de Alimentis, alia, de cibis bo
ni & mali &longs;ucci: tum uerò & tractatio ip&longs;a eduliorum e&longs;t imperfe
cta, & multa etiam deficiunt circa genera: in quo e&longs;t ex cu&longs;andus ob
uarietatem regionis & ætatis. Dee&longs;t præterea maxima pars, quæ
nec ibi nec alibi habetur, &longs;cilieet, de ciborum præparatione. Quod
etiam hæc latuerint tot præclaros uiros, quid mirum? cum Hippo
crates uixerit &longs;eculo illo agre&longs;ti, in quo non e&longs;t mirandum, quod ali
quid, pauca quædam & ab&longs;tru&longs;a omi&longs;erit, &longs;ed quod tam multa tam
bene inuenerit, ut fuerit, &longs;icut de Pindaro dicitur, imò longè uerius
quam de Pindaro inimitabilis. De Galeno quid mirum, qui non
ni&longs;i ueterum &longs;cripta collegit, atque utinam De Ari&longs;totele
is multa inuenit &longs;uo Marte, & Theophra&longs;tus longè plura. De alijs,
dico tam medicis quàm philo&longs;ophis, hoc e&longs;t, quod queror, quod
in &longs;patio pene duorum millium annorum, non hoc quod ualde re
conditum erat, &longs;ed nec leue ullum experimentum, uel naturæ arca
num, uel uitæ &longs;alutare auxilium inuenerit. Sed litigant de nugis &
rebus inutilibus, & etiam qu&ecedil; &longs;ciri
magna impietate. Quod uerò nece&longs;&longs;e &longs;it amittere uoluptatem, &
negocia prætermittere uolenti hanc uitam longam adipi&longs;ci, quæ
po&longs;tmodum etiam ualde in certa e&longs;t: dico quod quantum ad uolu
ptates & negocia, non e&longs;&longs;e nece&longs;&longs;e, &longs;ed &longs;olum &longs;uperfluas res, & dam
no&longs;as & irritas, quas etiam philo&longs;ophi & ciuitatum in&longs;titutores, &
morum cen&longs;ores docent debere uitari, etiam nullo propo&longs;ito emo
lumento, at reliqua
&longs;ed etiam iucunda. De incerto fine, quid e&longs;t certum apud homines,
ni&longs;i hoc nihil certum e&longs;&longs;e? Verum tamen &longs;i quis re&longs;piciat ad præ
mium tam &longs;ingulare e&longs;t, & nobile atque utile, ut non lu&longs;erit operam
immeritò, quicunque cum &longs;pe tam illu&longs;tris commodi, & tam exigua
iactura rerum, ac minore periculo &longs;e huic aleæ experiundæ commi
&longs;erit. Cum, &longs;i quis hoc ip&longs;um adipi&longs;catur, uerè dici po&longs;sit &longs;ummum
bonum adeptum e&longs;&longs;e: Non &longs;olum compos factus diuturnitatis ui
tæ, &longs;ed cum illa tot uoluptatum, quæ in longo tempore percipiun
tur &longs;cientiæ tot rerum, quas non ni&longs;i temporis longitudo o&longs;tende
re pote&longs;t, tot denique ca&longs;us uidere tum opum in crementum, quod
qua&longs;i certi&longs;simum e&longs;t in longa ætate & u&longs;u &longs;apientia & authoritate
plena, adeò ut fermè nece&longs;&longs;e &longs;it ad principatus &longs;peciem deuenire,
qui tamdiu uixerit, tum gloria ip&longs;a in comparabili. Hæc autem ma
xime accidere nece&longs;&longs;e e&longs;t, quod ut ui&longs;um e&longs;t, quanto longior fuerit
ætas eo firmiores
quòd &longs;i cum hoc &longs;obolis felicitas accedat, non ob&longs;curum e&longs;t huiu&longs;
modi po&longs;&longs;e dici ultimam hominis felicitatem apud eos, qui huma
nas res aliquid e&longs;&longs;e putant. Accidunt autem hæc &longs;ponte in &longs;eculo
rum renouationibus, cum humanum genus con&longs;umitur, &longs;eu qui &longs;u
per&longs;unt ob robur, &longs;eu ex terra geniti, ut dubitat Ari&longs;toteles. Ha&longs;en
credit, tum ob aëris puritatem, & maximè quòd alterutro modo
ex calidis regionibus & &longs;ublimibus locis homines reparari nece&longs;
&longs;e &longs;it, tamen etiam ob uictus &longs;implicitatem, cum in altera &longs;uper&longs;int
&longs;oli pi&longs;ces, in altera ne hi quidem, ut in Arcanis demon&longs;tratum e&longs;t. Atque etiam ob curarum ab&longs;entiam: &longs;iquidem homines illi gau
dent, reges ex agricolis haud dubiè terrarum facti, ac qua&longs;i &longs;ecu
ri mole&longs;tiarum ad hanc ætatem perueniunt longa &longs;patia tempo
ris, & propagandæ &longs;obolis habentes, ut felici&longs;simè uiuant, re&longs;tituti
ex optimis quibu&longs;cunque aureæ illi ætati, non &longs;olum ob uitæ &longs;yn
ceritatem atque &longs;plendorem, &longs;ed etiam longitudinem &longs;ic appella
tæ. Quæ finem habuit dum &longs;atis (uti cœperunt) à Saturno in u&longs;um
traductis: unde etiam falcis in&longs;igne accepit. Eadem tamen ætate
pauci&longs;simi ex infinitis diutius quam no&longs;tra uiuere cœperunt, cæte
ri omnes minus quam nunc, quòd neque ue&longs;titus corporum ab in
undatione parta, neque aëris puritas à &longs;qualoribus maneret, & edu
lia multo pauciora e&longs;&longs;ent hominibus & incondita.
ca.
Propo&longs;itio cente&longs;imaoctuage&longs;imaquarta.
Quæcunque grauia in uorticibus aquarum merguntur, in me
dio uorticis primum uer&longs;a mergantur.
Hanc proponit Ari&longs;toteles, &longs;ed non quantum nece&longs;&longs;arium e&longs;t
explicauit, unius enim quæ&longs;iti, id e&longs;t, primi multiplicem rationem
reddit. Sed neque illam perfectè, quod amborum cau&longs;a una &longs;it, ac
coniuncta, &longs;ic ergo uortex, cuius extremus
circulus a b centrum in aquæ &longs;uperficie c
capacitas uorticis d e, ut aqua feratur per
&longs;patium d e f g, h k in maiore circulo na
uis, aut aliud graue, quod natura &longs;ua non
e&longs;&longs;et de&longs;cen&longs;urum (ut fal&longs;ò exponitur de
lapide, nam lapis, nec reuoluitur, nec fer
tur ad d e circulum intimum, &longs;ed præoccu
pat ex grauitate &longs;ua fertur in imum) dico
&qring;d h k prius circumuoluetur, in de trahetur
ad d e, & ubi fuerit ibi
&longs;it nece&longs;&longs;ariò peruenet ad c antequam de&longs;cendat. Cum ergo aqua
Sed & quia de
&longs;cendit per d e f g, & magis ex centro e, ideo omnes partes circumui
cinæ trahuntur ad d e, & ad e centrum &longs;uperficiei uorticis, tanquàm
ad centrum, ut de&longs;cendant, atque id primum. Cunque
partim propria grauitate, partim
ma, quod natura &longs;ua
tractionis, qu&ecedil;
us perueniat ad c quàm de&longs;cendat, quia contra
&longs;cendit ui Cum uerò pars quæ in directo c e&longs;t, uelo ci&longs;simè
de&longs;cendat, conantur omnes partes aqu&ecedil;, qu&ecedil; circa &longs;unt de&longs;cendere,
et
habentinitium in e, circulus autem
tur moueri circulariter. Sed cum in circulo partes à
uelo cius mouebuntur, uelocius in elica a b quàm l m, & l m quàm
n o. Et ob has duas cau&longs;as mouebuntur uelocius partes quæ &longs;unt
circa c, quàm di&longs;tantes ab n.
&longs;uperius quod unus motus in
Cum ergo h k &longs;it in &longs;pacio a b
l m & aqua
qui uidetur circularis, nam mouetur motu eius à quo Mo
uetur etiam ad d e, quoniam pars illa e&longs;t humilior, nam &longs;emper de
&longs;cendit, omne
tim ad quem, ideo partim iam aqua illa cum de&longs;cendat humilior e&longs;t
locus, igitur nauis ad Tertio, quia latus k impelli
tur, in maiore circulo, ideo maiore impetu
quàm h, quare
tur,
lariter
tis
bitur ad d e & motu circulari aut participe
eius. Quarta cau&longs;a e&longs;t, quoniam h cupit
&longs;cendereergo ferri, ubi minus impe
diatur à motu
circulo, de qua a b, qa a b
ues fuerint in ambitu uorticis
isque motus e&longs;t
toru & Cur
uel g, <08> ad e uel c inde ex illis ad d uel g, præ&longs;ertim
quæ de&longs;cendit per e d & c g maiore impetu de&longs;cendit quàm per ad
uel a g ut demon&longs;tratum e&longs;t, ergo non poterit quæ e&longs;t in e d uel e g
loco dimoueri, nec cedere aquæ per obliquam lineam de&longs;cendenti.
Propo&longs;itio cente&longs;imaoctuage&longs;imaquinta.
Cur homo &longs;edens quanto altius &longs;edet, & quanto magis crura ad
femora & femora ad pectus reclinata habet, facilius con&longs;urgat, cum
tamen hæc oppo&longs;ito modo inuicem &longs;e habeant, declarare.
Huius &longs;ecundam partem Ari&longs;toteles in Mechanicis propo&longs;uit,
&longs;ed neque &longs;ub adiecta dubitatione, &longs;edens n
altius a b pectus, b c femur, c d crus eiu&longs;
dem uel æqualis, pectus g h, femur h k, crus
k l longior b f quam h n facit, ut facilius &longs;ur
gat a b c d quàm g h k l, & tamen anguli
a b c & b c d &longs;unt maiores g h k & h k l, qui
nimo cum uolumus &longs;urgere, contrahimus c d & k l propè & è re
gione a b, igitur patetratio &longs;ecundi, propior n e&longs;t c d ip&longs;i a b quanto
angulus a b c minor e&longs;t, cui æqualis e&longs;t b c d. Cum ergo quanto pro
pior e&longs;t c d ip&longs;i a b eo facilius &longs;urgat, quoniam particeps magis di
&longs;po&longs;itionis per quam &longs;urgit, propior autem quo anguli &longs;unt acuti
ores, ideo facilius exurgit homo, quo contractiora &longs;unt crura, & an
guli femorum ad crura & pectus minora. Hucusque Ari&longs;toteles &
bene.
Sed cur rur&longs;us contractiora dum &longs;unt crura, homo facilius exur
git? Proponantur c f contracta ad perpendiculum, & in clinetur b a
in o ut fiant b o & f e equidi&longs;tantes, ita enim commodius &longs;urgimus:
nec aliter qui &longs;unt imbecilliores: quia ergo b e&longs;t in directo f, ideo
mu&longs;culi femoris inferiores ob crus, & &longs;uperiores ob pectus &longs;unt
magis ten&longs;i & anteriores cruris itidem, ideo maiore ui trahunt par
ticulam. Vnde manente fixo f & capite etiam & pectore grauitate
&longs;ua adiuuantibus, facilius homo exurgit quam ad latos angulos
cum contractio, ut dixi, mu&longs;culorum et inclinatio partium &longs;uperio
rum fiat maior.
Rur&longs;us pro prima parte problematis, dico quòd quanto altior
e&longs;t b f tanto facilius exurgit, nam &longs;upponatur angu
lus reflixionis a h e æqualis a h c, & b c k æqualis h k f,
igitur cum b f &longs;it breuior b f, erit h k breuior b c & f k,
f c. quare b c femur, & f c crus erunt uiolentius exten
&longs;a quàm in &longs;itu h k, k f ergo, mu&longs;culi fa cilius erigent
&longs;edentem altiore loco quàm humiliore, quod erat de
mon&longs;trandum.
Propo&longs;itio cente&longs;imaoctuage&longs;ima&longs;exta.
Si fuerit proportio primæ & &longs;ecund æ quantitatis ad tertiam, ut
primæ & quartæ ad quintam, fueritqúe quarta &longs;ecunda maior, erit
proportio quart&ecedil; ad quintam maior quàm &longs;ecundæ ad tertiam. Quod &longs;i fuerit maior quart&ecedil; ad quintam, quàm &longs;ecund&ecedil; ad tertiam,
nece&longs;&longs;e e&longs;tquartam &longs;ecunda e&longs;&longs;e maiorem.
Sit proportio a & b ad c, ut a & d ad e, &longs;itque d maior b, dico maio
rem e&longs;&longs;e
&longs;i maior &longs;it proportio d ad c quàm b ad c, dico d
e&longs;&longs;e maiorem b. Quoniam enim e&longs;t d e&longs;t maior
b ad d e&longs;t maior a b per
tiam, igitur cum &longs;it proportio a d ad e ut a b ad c,
erit e maior c, igitur minor proportio a ad e quam a ad c, at propor
tio totius a d ad e e&longs;t æqualis proportioni a b ad e, igitur ex com
muni animi &longs;ententia maior proportio d ad e, quam b ad c. Rur&longs;us,
&longs;i maior e&longs;t proportio d ad e quàm b ad c, igitur per communem
animi &longs;ententiam maior e&longs;t a ad e quàm a ad c, igitur e maior quàm
c, &longs;ed d maiorem habet proportionem ad e quàm b ad c, igitur d
maiorem quàm b.
ti
dem.
&longs;æpius repe
titam.
Propo&longs;itio cente&longs;imaoctuage&longs;ima&longs;eptima.
Si ei&longs;dem uiribus & eadem proportione cum auxilio ponderis
tertij, quartum pondus moueatur quibus &longs;ecundum auxilio primi,
nece&longs;&longs;e e&longs;t quartum pondus tardiùs & maiore cum difficultate
moueri quàm &longs;ecundum.
Maneat prior figura, & &longs;int uires a quæ cum pondere b moue
ant c pondus, et cum d pondere eadem uires &longs;ub eadem proportio
ne moueant e, &longs;it autem pondus d maius quàm b, dico e tardius &
difficilius moueri quàm c. Nam ex præcedente e erit maius quàm
c, & proportio d ad e maior quàm b ad c, & proportio a ad e minor
quàm ad c, tum ergo propter uectem magis pre&longs;&longs;um, tum quia d
non mouet e, ni&longs;i motum ab a, nece&longs;&longs;e e&longs;t ut tardius & maiore cum
difficultate admoueat e quo a b mouet c. Et ideo eo perueniri po
terit ab&longs;que dubio, ut a b moueat uelociter e & a d, nullo mouente. Quia hoc accidit cùm d non mouet c ni&longs;i quia motum ab a.
Propo&longs;itio cente&longs;imaoctuage&longs;imaoctaua.
Si uires aliquæ moueant cum ponderibus aliqua pondera, ut
compo&longs;ita proportio &longs;it eadem proportioni uirium & duorum
ponderum mouentium aggregatum æquale duorum ponderum,
ubi maior fuerit partium inæqualitas, ibi erit maior difficultas.
Sint uires a, & aggregatum ponderum b c & d e æqualia, & a
cum f & g moueat b & c &longs;ub proportionibus componentibus ean
uendo d & a, & k mouendo e, & &longs;it maior diffe
rentia ponderis e ad d quàm c ad b, dico quod
maiore
b & e. Nam
c & b, & d e & b c &longs;int æqualia, erit e maius c, igi
tur e difficilius mouebitur ab a & k quàm c ab a
& g. Itidem quia e tanto maius e&longs;t c, quanto b
maius e&longs;t d, & proportio a k ad e & a h ad d, conficiunt proportio
nem a g ad c & a f ad b, erit ut motus d e &longs;int tardiores & difficilio
res motibus b c, per regulam dialecticam, nam difficultas motus e
&longs;upra difficultatem motus c, e&longs;t maior quam difficultas motus b
&longs;upra difficultatem motus d, igitur difficultas motus d & e, maior
e&longs;t difficultate motus b & e, quod erat demon&longs;trandum.
dentem.
Propo&longs;itio cente&longs;imaoctuage&longs;imanona.
Si pondus minus ad longitudinem maiorem &longs;ub æquali pro
portione coaptetur, facilius deor&longs;um trahetur quàm quod maius
e&longs;t & propius.
Sit &longs;itula aquæ f annexa tigno
in e & ad minuendum pondus
ad datur ex aduer&longs;o elongius &longs;eu
uincatur pondus a, dico quod
grauitatem addatur b proprius
in e, nam quia b &ecedil;quiponderat in
d ut a in e, & homo trahens ex e
plus pote&longs;t quàm ex d, igitur fa
cilius trahet ex e quam d. Et
niam
to magis di&longs;tat à medio, licet mo
ueat magis, ergo inclinatum ad
medium, cum ergo moueatur
uelocius ex e quam d, & &longs;emper
uelocius de&longs;cendendo in com
paratione a g h, igitur &longs;emper
magis & magis uelociter ex e
quàm d ut &longs;it duplex incrementum & comparatione c e ad c d &
de&longs;cen&longs;us ad de&longs;cen&longs;um in utroque & &longs;imiliter in reditu, quia facilius
impelletur &longs;ur&longs;um e quàm d per primam rationem.
Propo&longs;itio cente&longs;imanonage&longs;ima.
Si fuerit primum graue minus &longs;ecundo, & &longs;ecundum minus ter
tio, proportio autem primi ad &longs;ecundum multo maior quàm &longs;ecun
dus &longs;ecundo, utip&longs;um &
bus, & primo uel &longs;ecundo quam antea.
Sit a
b ad c, uires d, & d cum a moueat b & cum b mo
ueat c, dico quòd poterit addi pondus ad b ut d
cum a moueat b, & d cum b moueat e maiore fa
cilitate componendo proportiones quam antea: Cum enim fuerit
proportio d b ad c minima,
plus refert difficultas c moti a b d: igitur cum addito pondere di
midio quod a &longs;uperat b omnino uincat a d ip&longs;um b, cum eo quod
additum e&longs;t, & tanto minor &longs;it difficultas motus c a b d cum ponde
re addito, &longs;equitur ut minor &longs;it difficultas motus b cum pondere
addito a b a d, & motus c à b cum pondere addito & d quàm b & e
ab a & b cum uiribus d.
Ex hoc patet quod qui interpretati &longs;unt Ari&longs;totelem, cum non
po&longs;sit nec intelligi nec demon&longs;trari, fucum fecerunt legentibus: ni
hilominus hoc illis debemus, quod &longs;i Phrynis non fui&longs;&longs;et, Timo
theus non fui&longs;&longs;et, nam ni&longs;i illi quod &longs;ciuerunt protuli&longs;&longs;ent in medi
um, ego for&longs;an aut illa non intellexi&longs;&longs;em aut neglexi&longs;&longs;em. Itaque & re
liquas habes à nobis expo&longs;itas licet non adeò diligenter, & mo
dum huiu&longs;modi exponendi. Subij ciemus autem et hanc, ut obiect&ecedil;
quæ&longs;tioni, quantum nerui &longs;it (&longs;i pœnitus quis res &longs;equi uelit, non
addictus nimis authoritati ueterum ut pedem figere uelit, ubi illi
res uix tactas reliquerunt) in telligamus.
SCHOLIVM.
Vocatur autem hæc proportio auxiliaris.
Cunque fuerit &ecedil;qualis d
& a ad b ut d & b ad e, dicetur auxiliaris æqualis.
Propo&longs;itio cente&longs;imanonage&longs;imaprima.
Cum fuerint duo pondera & uires duxeri&longs;que aggre gatum ex ui
ribus & minore pondere in maius, addiderisque in&longs;uper
productum dimidij uirium in &longs;e latus aggregati detracto dimidio
uirium, dicetur pondus auxiliare æqualis proportionis.
Sint pondera b minus, c maius, & ducatur aggre
gatum ex a uiribus & b minore pondere in e, & ei
addatur quadratum dimidij a, dico quod radix &longs;eu
latus huius detracto dimidio a e&longs;t pondus auxiliare
æquale, &longs;it productum a b in e &longs;uperficies & quadra
tum dimidij a &longs;it e, ita quod tota d e &longs;it &longs;uperficies
quadrata, cuius latus &longs;it f g: f h autem dimidium a di
co h g e&longs;&longs;e pondus auxiliare æquale. Quia enim f g
dratum fh e&longs;t &ecedil;quale e &longs;uperficiei, erit quadratum h g minus &longs;uper
ficie d in duplo g h in h f, quare productum a b in cerit &ecedil;quale qua
drato g h in &longs;e & a, nam duplo g h in h f & iam duplum g h in h f e&longs;t
&ecedil;quale producto g h in a, quia a e&longs;t duplum h f, igitur qualis e&longs;t pro
portio a b ad g h, talis g h & a ad c, igitur per definitionem datam
g h & quantitas grauitatis auxiliaris æquale.
E
ti
Ex hoc manife&longs;tum e&longs;t, quod &longs;i fuerit datum pondus tertium au
xiliare, quod &longs;ciemus quantum addendum uel detrahendum ut fi
at pondus auxiliare æquale, nam inuenta g h &longs;i fuerit k maior adde
mus quod deficit, & &longs;i minor quàm k detrahemus ex k quod e&longs;t
&longs;uperfluum.
Et rur&longs;us inuenta g h ut perficiamus pondus &ecedil;quale, augebimus
aliquanti&longs;per, ut fiat æqualis ad unguem difficultas in motu: iuxta
doctrinam &longs;uperiùs d atam.
Propo&longs;itio cente&longs;imanonage&longs;ima&longs;ecunda.
Si ex medio diametri linea ad perpendiculum erigatur ad circu
li peripheriam: ex eo puncto
tus ad circumferentiam u&longs;que, &longs;eu extra ad diametrum, erit proportio
totius lineæ ad totam, uelut mutuò partis ad partem.
Ex media diametro a c. 1.
& ex d lineæ d a d e d h, dico d e ad d a, ut d a ad d f, & d h ad d a ut
d a ad d g, & d e ad d h ut d g ad d f. Quia n quod fit ex d em e f, æ
quale e&longs;t ei quod ex e c in e a, quod uerò ex e c in e a cum quadrato
b d &longs;eu b a &ecedil;quale e&longs;t quadrato b e, igitur ex
e d in e f cum quadrato d b æquale qua
drato b e, ex d e igitur in e f cum quadratis
d b & b a æquale quadrato d e. Quadratis
autem a b & b d æquale quadratum d e:
igitur ex d e in e f cum quadrato d a æqua
le quadrato d e. At quadratum d e æquale
e&longs;t his quæ ex d e in e f, & f d igitur detra
cto communi ex d e in e f, erit quadratum d
e æquale ei quod ex d e in d f, igitur d e ad
d a, ut d a ad d f. Similiter quod fit ex h d in
d g, æquale e&longs;t ei quod fit ex h g in g d cum
quadrato d g, at quod fit ex h g in g d e&longs;t æquale ei quod fit ex c g in
g a, erit quod fit ex c g in g a cum quadrato d g &ecedil;quale ei quod fit ex
d h in d g. Quadratum autem d g e&longs;t æquale quadratis d b, b g igi
tur d h in d g æquale e&longs;t ei quod fit ex g a in c g cum quadratis b d
b g, at quod fit ex a g in g c cum quadrato b g e&longs;t æquale quadrato
&ecedil;qualia quadrato a d, igitur quadratum a d e&longs;t &ecedil;quale ei quod fit ex
h d in d g, quare proportio h d ad d a ut d a ad a g. Quia ergo pro
portio d e ad d a ut d a ad d f, & d h ad d a ut d a ad d g, erit d e ad d h
ut d g ad d f.
tij
di
mi
di
ti
di
tij
mi
di
ti
17.
E
Vnde manife&longs;tum e&longs;t omnes has lineas in &longs;uam interiorem par
tem ductas rectangulum con&longs;tituere &ecedil;quale quadrato quod circu
lo eidem in&longs;cribitur.
Propo&longs;itio cente&longs;imanonage&longs;imatertia.
Rationem ponderis triplicem explicare.
Superius declaratum e&longs;t quòd id quod quie&longs;cit, habet motum
occultum. Quærit autem Ari&longs;toteles cur &longs;ecuris pondere pre&longs;&longs;a
diuidit lignum, minore uerò &longs;ed moto &longs;ed modo diuidit? Diximus
motum ine&longs;&longs;e qui perpetuo augetur, indicium e&longs;t, quod &longs;i ex a de
&longs;cendat,
autem occultum
dium ex medijs locis. Omitto modo de motu aucto per
uim humanam, de quo uidetur quærere Ari&longs;toteles, quili
bet enim aër addit &longs;uper motum iam acqui&longs;itum & fit hoc
argumentum centies ac millies maius, quoniam m e&longs;t qui
diuidit, pondus autem non ponetrat. Sicut ergo cuneus
magis diuidit lignum quam claua, ita quod mouetur &longs;ine
proportione (ut ita dicam) non &longs;olum ob
e&longs;t ut uehementer diuidat lignum aut lapidem &longs;ubiectum,
& non in proportione di&longs;tanti&ecedil;. Sicut &longs;i pondus in forma
&longs;ecuris, & ip&longs;a &longs;ecuris diuidit longe magis ligna quam cla
uis maioris ponderis & maiore ui de&longs;cendens: ita pondus motum
quam immotum. Hoc adeò per&longs;picuam habet cau&longs;&longs;am, ut quanto
plura uerba addererentur, eo redderetur res difficilior. Habet ergo
propriam &longs;olum grauitatem & motum occultum. C&ecedil;terum e&longs;t ter
tium, genus
lut f quod dico e&longs;&longs;e maius & minus occultum quam &longs;i ia
ceret in plano, quoniam &longs;icut tuber & cauitas in qua iacet
&longs;imul tempore &longs;unt, natura tamen tuber e&longs;t prius cauitate,
ita pondus appen&longs;um prius e&longs;t, contrà nixum uinculi na
tura & quodammodo tempore, &longs;emper enim grauat, & illud &longs;em
per re&longs;i&longs;tit &longs;upra illius grauitatem: Sed pondus quod e&longs;t in plano
occultam omnino habet actionem bifariamque di&longs;ting uitur a pon
dere &longs;u&longs;pen&longs;o: Primum quòd pondus quod quie&longs;cit & contra in
tendi principium &longs;imul non &longs;olum &longs;unt tempore &longs;ed etiam natu
ra. Sed in appen&longs;o, ut dixi, pondus prius grauat quam uincu
Secundò, quia pondus in plano non inchoat
motum &longs;ed pendens inchoat, ideo quòd e&longs;t in plano habet pror
&longs;us occultum, quod pendet non: & &longs;i &longs;it lignum eiu&longs;dem molis &
duritiei cui appen&longs;um &longs;it f & cui in&longs;ideat, magis atteretur id cui ap
penditur, & prius<08> cui in&longs;idet. Cæterúm quod
ad grauitatem attinet æqualia &longs;unt, nam aër in
utroque pellit deor&longs;um, ac magis quod quie&longs;cit
in plano: &longs;olum enim planum re&longs;i&longs;tit, in pendu
lo onere etiam aer &longs;uppo&longs;itus, quo fit ut quod
pendet, minus graue &longs;it. Sed æqualia uidentur.
M
Propo&longs;itio cente&longs;imanonage&longs;imaquarta.
Proportionem ponderis longioris in medio &longs;u&longs;pen&longs;i ad breuius.
illi æquale & in medio &longs;u&longs;pen&longs;um, declarare.
Hanc generaliter propo&longs;uit Ari&longs;toteles in Mechanicis,
pondera in medio
grauius erit a b quam d e. Et hoc e&longs;t
certum quia a & b extrema plus di
&longs;tant ab hypomochlio. Sit igitur g h re&longs;ecta æqualis hiccinde d e,
pondus e&longs;t æquale a b, erit g h minus pondere d e in k, igitur per
communem animi &longs;ententiam k e&longs;t æquale uerò ponderi a g & h b,
igitur cum a g & h b plus ponderent in &longs;itu &longs;uo quam in &longs;itu d e,
patet propo&longs;itum quoad Ari&longs;totelem attinet, &longs;cilicet quod a b e&longs;t
grauior d e.
Vt modò o&longs;tendam proportionem, erit proportio h b ad g h ut
ponderis h b ad totum
deris a g ad totum a h, a h autem e&longs;t æqualis g b & a g æqualis h b
ex communi animi
&longs;unt æquales & in eodem &longs;itu: igitur a g, h b ad g h, ut ponderum
a g h b ad pondus g b. Et ita patet