Baldi, Bernardino In mechanica Aristotelis problemata exercitationes 1621 Mainz la baldi_mecha_01_la_1621 007.xml

BERNARDINIBALDI VRBINATIS GVASTALLÆ AB­BATIS IN

MECHANICA ARISTOTELIS PROBLEMATA EXERCITATIONES:

ADIECTA SVCCINCTA NAR­ratione de autoris vita & &longs;criptis.

NTIAE.

Typis & Sumptibus Viduæ Ioannis Albini.

NOBILISSIMO AC GENE­ROSO DOMINOD. ADAMO PHILIP­PO BARONI A CRON­BERG, EQVITI, SACRÆ CÆSA­REÆ MAIESTATIS, ET SERENISSIMI Principis Archiducis Alberti Camerario intimo & c. Domino meo gratio&longs;i&longs;&longs;imo.

Opportune &longs;ub hoc ip&longs;um tem­pus, quo in Belgium ad Scre­ni&longs;&longs;imos Principes iter ador­nat. Nobili&longs;&longs;ima & Genero&longs;a Dom. V.^{ra}, prodit no&longs;tris for­mis in publicum editus Com­mentarius Bernardini Baldi Vrbinatis Gua­&longs;tallæ Abbatis in Ari&longs;totelis Mechanica. Is virin omni &longs;cientiæ genere, at maxime inMa­thematicis di&longs;ciplinis fuit ver&longs;ati&longs;&longs;imus, quod multa ab eo præclare &longs;crip ta te&longs;tantur opera, ex quibus paucula edita, reliqua vero &longs;pera­mus &longs;uo temporein publicam luce produ­cenda. Cum vero nemini&longs;it ob&longs;curum Nobi­li&longs;&longs;imæ ac Genero&longs;æ Dom. V.^{ræ} id &longs;emper extiti&longs;&longs;e familiari&longs;&longs;imum, vttum dome&longs;ticum otium, tum maxime peregtinationes, quibus totam pæne Europam &longs;umma cum laude circum&longs;crip&longs;it, tum variarum linguarum per­fecto v&longs;u, tum Mathematicarum di&longs;ciplina­rum notitia & exercitio redderet iucundiores, nulla me tenet dubitatio quin & Baldum Vr­binatem no&longs;tris typis loquentem in hoc iti­nere, quod à Deo felici&longs;&longs;imum Nobili&longs;&longs;imæ ac Genero&longs;æ Dom. V.^{ræ} precor, in &longs;uum comi­tatum ac tutelam beneuolo animo &longs;it admi&longs;­&longs;ura. Id rogo humillime &longs;imulque precor, vt. hanc meam typographiam plurimis iam re­tro annis de inclytæ familiæ Cronbergicæ tu­tela gloriantem, &longs;uo fauore pro&longs;equatur, vi­duæque afflictæ fortunis beneuole ad&longs;piret. Sic Deus Nobili&longs;&longs;. & Genero&longs;am Dom. V.^{ram} illu&longs;tret omnibus bonis, eamque R.^{mo} & Ill.^{mo} Principiac Domino meo Clementi&longs;&longs;imo, D. Ioanni Suicardo Archiepi&longs;copo Mogunti­no Principi Electori ac per Germaniam Ar-chicancellario &c. patruo &longs;uo optati&longs;&longs;imo &longs;aluo florentique redhibeat &longs;aluum &longs;imili­ter florentem ac incolumem. Moguntiæ è typographeio Viduæ Albinianæ, honori No­bili&longs;&longs;imæ ac Genero&longs;æ Dom. Ve&longs;træ perpe­tuum dicato. Anno 1621.26.Martij.

PRAEFATIO.

Diligenter legenti mihi quæ&longs;tiones il­las, in quibus ea quæ ad Mecha­nicam facultatem pertinent, expli­cantur, multa in mentem venie­bant; & primum quidem eorum, quæibi dispu­tantur, vtilitatem, &longs;ubtilitatem, copiam admi­rabar: Tum ex animo dolebam, aureum hunc li­bellum propènegligi, & ab iis qui pulcherrimis hi&longs;ce &longs;tudiis dant operam, assiduè præ manibus non haberi: Multas autem Auctori ip&longs;i haben­das referendasque e&longs;&longs;e gratias, qui tam egregiam, vtilem & probèin&longs;tructam &longs;upellectilem Archi­tectis, Mechanicis, & omnibus ferè Artificibus &longs;uppeditauerit. Ari&longs;totelis nomini a&longs;cribitur Commentarius, licet nonnulli, &longs;itne Philo&longs;ophi illius præclarissimi & acutissimi labor, an non, adfirmare &longs;ubdubitauerint. Ari&longs;totelis tamen e&longs;&longs;e omnes ferè meliores con&longs;entiunt: Idque tum ex phra&longs;i, & explicatione, quæ Ari&longs;totelem &longs;a­piunt, tum iudicio &longs;ubtilitatis & rationum, qui-bus quæ&longs;tiones ip&longs;æ ingenio&longs;issimè diluuntur. Vi­detur autem mihi, rem accuratius exploranti, &longs;a­tis veri&longs;imile (nullum enim habeo opinionis hu­ius a&longs;&longs;ertorem,) &longs;ectionem e&longs;&longs;e hanc, & partem quandam eius operis nobilissimi, quod idem au­ctor De Problematibus edidit, & hanc, ne&longs;cio quam ob cau&longs;am; ni&longs;i fortè quod tractatio merè Phy&longs;icanon&longs;it, àreliquo corpore di&longs;tractam at­que reuul&longs;am. Id certè quod ad rem facit, probè nouimus, Diogenem Laërtium inter cætera Ari­&longs;totelici ingenij monumenta Mechanica quoque adnumera&longs;&longs;e. Quibus con&longs;ideratis magnopere &longs;ubit mirari, cur ij qui po&longs;t Ari&longs;totelem floruêre atque vixere, Mechanici, Archimedes, Athenæus, Heron, Pappus, & cæteri, nullam huius libelli fe­cerint commemorationem: & &longs;anè debuerunt; neque enim à vero est dissimile, ip&longs;os per hunc ali­quatenus profeci&longs;&longs;e. Verum enimuero cum inge­nuiilli fuerint homines, & nullatenus obtrecta­tores, credendum potius est, Comment ariolum i­&longs;tud, eorum æuo, paucis cognitum, alicubi in Bi­bliothecis latui&longs;&longs;e: etenim cætera quoque Ari&longs;tote­lis &longs;cripta, po&longs;t vetu&longs;tailla tempora, ante Ale­xandrum Aphrodi&longs;ien&longs;em, àmultis fui&longs;&longs;e igno-rata non dubitamus. Habemus &longs;iquidem, Stra­bone te&longs;te, lib. 13. Ari&longs;totelis, & Theophra&longs;ti bi­bliothecam, po&longs;t ip&longs;ius Theophra&longs;ti dece&longs;&longs;um, ad Neleum quendam Scep&longs;ium, Cori&longs;cifilium, qui eius fuerat auditor, perueni&longs;&longs;e; po&longs;t hæc libros, blattis olim, & humore corruptos, Apelliconi Te­io venditos, & ab eo Athenas translatos, tum Athenis captis in Syllæ pote&longs;tatem deacni&longs;&longs;e, eo&longs;­que tandem à Sylla acceptos, Tyrannionem Grammaticum, vt potuit meliùs emendatos, promulga&longs;&longs;e. Exquibus colligimus, mirum non e&longs;&longs;e, Archimedi, Heroni, & alijs qui ante Syllam vixêre, fui&longs;&longs;e incognitos. quicquid&longs;it, illud cer­tumest, Ari&longs;totelem eorum omnium quide Me­chanicis commentaria edidere, e&longs;&longs;e longè vetu­&longs;tissimum. Pappus enim Heroneiunior, Athe­næus Archimediæqualis, vterque enim &longs;ub Mar­cello, cui Athenæus &longs;uum de bellicis Machinis libellum dedicauit. Archimedes verò circa CXL. Olympiadem floruit, quamobrem po&longs;t Ari&longs;tote­lem Olympiadas XL. hoc est, annos ferè CLX. I&longs;thæc autem con&longs;iderantibus, facile e&longs;t cogno&longs;ce­refacultatis huius nobilitatem, atque dignit atem; quippe quod &longs;ummus Philo&longs;ophus non modo eam probauerit, &longs;cd etiam &longs;uis acutissimis lucubra­tionibus illu&longs;trauerit. Hanc porro tractationem &longs;ubiecto quidem Phy&longs;icam e&longs;&longs;e, demon&longs;tratio­nibus verò Geometricam, ip&longs;emet nos docuit Ari&longs;toteles, cuius etiam naturæ &longs;unt Per&longs;pecti­ua, Specularia, Mu&longs;ica, & cæteræ eiu&longs;dem modi facultates, quas quidem &longs;ubalternas Peri­patetici appellant. Vitruuius Architecturæ membrum, vt ita dicam, & portionem quan­dam facit, ait enim Architecturæ partes e&longs;&longs;e tres, Ædificationem, Gnomonicam, Machinatio­nem. Estautem Architectur â quideminferior, paret enim Architecto Mechanicus; attamen &longs;i cæteras artes &longs;pectes, Architectonica; hæc enim omnesferè &longs;edentariæ, &longs;ellulariæue, quas banau­&longs;as Græci appellant, ordine &longs;ubijciuntur, & &longs;a­nè latissimos i&longs;ihæc habet fines; præcipuè autem circa eam ver&longs;atur cognitionem, eamque inter cæterasferè principem, quam dixere Centrobari­cam, quæ quidem ad Centri grauitatem, eiu&longs;que &longs;peculationem pertinet: quà in &longs;pecie inter vete­res primum &longs;ibi vindicauit locum Archimedes, mox Heron, deinde Pappus; inter neotericos au-tem Commandinus, qui librum de Centro gra­uitatis &longs;olidorum &longs;crip&longs;it, & po&longs;t eum G. Vbal­dus è Marchion. Montis, qui non modò ab­&longs;olutissimum Mechanicorum librum cum maxi­ma ingenij &longs;ui laude con&longs;crip&longs;it, &longs;ed & Paraphra­&longs;in in librum Æqueponderantium Archimedis egregiè concinnauit Centrobaricam hanc, igno­tam fui&longs;&longs;e Ari&longs;toteli, &longs;ætis patet. nunquam enim in Mechanicis demon&longs;trationibus, quod tamen est potissimum, grauitatis centrum nominat, e­iu&longs;ue naturam atque vim &longs;peculatur. Diuidi­tur autem Mechanice tota, te&longs;te Herone apud Pappum libro octauo, in Rationalem, hoc est, Theoricam & Chirurgicam, id est, manu ope­ratricem, quam Praxim aptè dicere valemus. Rationalis, &longs;peculationi & demon&longs;trationibus, ex Geometricis, Arithmeticis & Phy&longs;icis rationi­bus, dat operam; Chirurgica vero materiam tractat, & &longs;e&longs;ein varias artes diffundit, Æra­riam, Lignariam, Sculptoriam, Pictoriam, Æ­dificatoriam, Machinariam & Thaumaturgi­cam, cæterasque eiu&longs;modi. Machinatoriæ au­tem &longs;unt partes Manganaria, qua ingentiætransferuntur pondera, tum ip&longs;a Poliorcetica, quæ bellicas Machinas ad vrbium expugnatio­nes, quod velip&longs;o nomine profitetur, ædificat. At­qui hac dere plura &longs;cribere &longs;uper&longs;edemus, ne a­ctum agamus: quis quis enim minutè magis hæc cogno&longs;cere de&longs;iderat, is Pappum adeat libro cita­to, & Guidum Vbaldumin Præfatione quam &longs;uo Mechanicorum Operi præpo&longs;uit. Vt autem ad Ari&longs;totelis, de quo egimus, libellum reuerta­mur, pauci &longs;unt qui ei ante nos &longs;tilum & operam commodauerint: Leonicenus Latinum fecit & figuris tum breuissimis, & parui &longs;ane ponderis, marginalibus adnotatiunculis, in&longs;truxit. Po&longs;t hunc Alexander Picolomineus luculentissima Paræphra&longs;i illu&longs;trauit. Modo, vt audio, Simon Sticinus Hollanden&longs;is quædam edidit, quæ ad nos minime peruenêre. Nos demum, omnium, tum &longs;cientia, & ingenio, tum ætate, po&longs;tremi huic operi manum admouimus; Con&longs;iderantes enim Ari&longs;totelem aliis fecerint Mechanici, demon&longs;tra&longs;&longs;e, morem huiu&longs;ce facultatis &longs;tudio&longs;is ge&longs;turos nos fore arbitrati&longs;umus, &longs;i ea&longs;dem illas quæ&longs;tionesMechanicis, hocest, Archimedeis probationi­bus confirmaremus; dum per latissimos faculta­tis huius campos vægantes, alias quoque i&longs;tis af­fines dubitationes introducentes &longs;olueremus. quicquidauten&longs;ecerimus profecerimu&longs;ue, Lector optime, boni con&longs;ule, & quia fax per manus tra­ditur, tu interim de me accipe, vt alijs tradas.

DE VITA ET SCRI­PTIS BERNARDINI BALDI VRBINATIS

EX LITERIS FABRITII SCHAR­loncini ad Illu&longs;trissimum & Reuerendissimum Dominum Lælium Ruinum Epi&longs;copum Bal­neoregien&longs;em ex-Nuntium Apo&longs;tolicum ad Poloniæ Regem & c.

Natus e&longs;t Bern. Baldus Vrbini nobilibus pa­rentibus po&longs;tridie Non. Iunij anno MDLIII. Genus traxit, quod me &longs;æpè ab eomemini audire, à familia Cantagallina, quæ inter Peru&longs;inas illu&longs;tris: hocautem cognomen, Baldi accepto, vtin varietate temporum fit, Abauus reliquit, à teneris vnguiculis pietatem erga Deum præ&longs;etulit; nam vt mater eius narrabat, &longs;anctorum imagi­nes & Altariola non cum lætitia &longs;olum, &longs;ed cum venera­tione anniculus intuebatur. Præceptoribus in adole&longs;cen­tia v&longs;us fuit laudati&longs;&longs;imis Io. And. Palatio, & Io. Antonio Turoneo, qui altero doctior, & Paulo Manutio maxime carus ob latinæ & græcæ linguæ peritiam propè &longs;ingula­rem: ad illorum autem &longs;edulitatem tantum animi ardo­rem attulit, tantam ingenij ac iudicij vim, vt non tantum æqualis &longs;ed omnium vicerit expectationem. Puer adhuc Aratiapparitiones Italico carmmered didit. Parens hac filij laude & gloria motus anno 1573. eum ad maiorem in­genij cultum cape&longs;&longs;endum Patauium mi&longs;it. Hîcin Ema­nuelis Margunij familiaritatem &longs;tatim venit, cui porro fuit in amotibus. Homeri Iliad. illo Doctore & interpre­te diligentius quam feci&longs;&longs;et antea, euoluit. priuato autem &longs;tudio Anacreonti, Pindaro, Æ&longs;chyli, Euripidi, Sophocli operam dedit, &longs;ed præ cæteris Thcocriti Bucolica triuit, ad quod &longs;criptionis genus natura magis ferri videbatur: centenos græci alicuius poëtæver&longs;us memoriter tenebat, &longs;æpeque habebat in ore, in oratoribus græcis ver&longs;andis laborem &longs;ealiquem &longs;entire, in poëtis nullum. Scrip&longs;it Pa­tauij libellum de Tormentis Bellicis, & eorum inuentori­bus, & cum in Tran&longs;alpinorum amicitias incidi&longs;&longs;et, &longs;ibi ducebat dedecori ip&longs;os &longs;ua lingua loquentes non intelli­gere. quare incredibili celeritate Gallicam & Germani­cam didicit. Pe&longs;tilentia ex co Gymna&longs;io exactus in Pa­triam redijt, vbi quin quennium integrum Federico Con­mandino affixus omnes Mathe&longs;eos partes perdidicit, cui viro in delinean dis figuris ad Euclidis, Pappi, & Heronis monumenta manum commodauit: ex eiu&longs;dem obitu do­lorem vix con&longs;olabilem &longs;u&longs;tinuit, &longs;u&longs;ceptoque eius vitam &longs;cribendi con&longs;ilio, &longs;ubinde ad omnium Mathematicorum vitas con&longs;cribendas animum adplicuit, quod & duode­cim annorum &longs;patio præ&longs;titit felici&longs;&longs;imè. cum vero Ma­thematicarum di&longs;ciplinarum amore torqueretur, ami&longs;&longs;o Commandino Præceptore, amicum nactus fuit præ&longs;tan­ti&longs;&longs;imum & &longs;ymmy&longs;tam Guidum Vbaldum è Marchioni­bus Montis, in cuius &longs;e con&longs;uetudinem daret: quantum profeci&longs;&longs;et, o&longs;tendunt ij commentarij quos anno 1582. in Ari&longs;t. Mechanica &longs;crip&longs;it. Vt po&longs;tea à grauioribus &longs;tudijs ad amœniora animum abduceret, de re nautica poëma I­talicè onfecit. quo ab&longs;oluto Paradoxa multa Mathema­tica explicauit. Fama de Baldi virtutibus di&longs;&longs;ipata Ferran­dus Gonzaga Molfetræ Princeps & Gua&longs;tallæ Dominus cœpit deillo in &longs;uam familiam a&longs;ci&longs;cendo cogitare, vt qui ij&longs;dem caperetur artibus, quibus excellere Baldus inci-piebat: Itaque opera Curtij Arditij honorifice fuit in au­lam euocatus, dum vitam non aulicam viueret totus in litteras abditus precibus Ve&longs;pa&longs;iani Gonzagæ Sablonetæ Ducis ad explanandos Vitruuij libros adactus fuit. quare tunc natus de Verborum Vitruuianorum &longs;ignificatione com­mentarius; in quo minime miran dum &longs;i minuta quæ dam pro&longs;equutus fuit, quæ viro magno minus e&longs;&longs;e digna vi­deantur:illi enim Principi morem ge&longs;&longs;it. &longs;cio dixi&longs;&longs;e ali­quando Adrianum Romanum è Polonia reuer&longs;um, vbi Vitruuium Palatino cuidam explicauerat, &longs;i commen­tarium Baldi in Polonia adhibere potui&longs;&longs;em, aurum quod mecum attuli emunxi&longs;&longs;em, quia &longs;atis feci&longs;&longs;em muneri la­borenullo. Cum Ferrando hero &longs;uo obueni&longs;&longs;et nece&longs;&longs;i­tas Hi&longs;panias adeundi, illud iter &longs;ine Baldo facere &longs;e po&longs;­&longs;e non putabat, non tam vt haberet, qui erudito cloquio viæ tæ dium leuaret, quam cui po&longs;&longs;et arcana committere, atque adeo à quo iuuaretur con&longs;ilio. Vix viæ &longs;e dederant cum Baldus grauem in morbum delap&longs;us itinere cogitur de&longs;i&longs;tere: Mediolanum proinde diuertit, vbi à S. Carolo Borromæo & benignè exceptus, & tamdiu detentus do­nec valetudinem recuperaret. Gua&longs;tallam po&longs;tea &longs;e re­cepit, vbi cum ab&longs;ente Domino liberiori otio fruerctur, libros &longs;ex de Aula eruditi&longs;&longs;imos methodo analytica con­&longs;crip&longs;it. alios non commemoro, quod cum otium erit, o­mnium &longs;yllabum dabo. Anno 1586. ip&longs;o nihil po&longs;tulante eligitur Gua&longs;tallæ Abbas, à quo tempore Iuri Can. Con­cilijs, & SS.Patribustotum &longs;e dedit. Hebreæ & Chaldææ linguarum di&longs;cendarum triennium po&longs;uit. Anno 1593. no­uæ Gnomonices libros quinque compo&longs;uit. in&longs;equenti Chaldæam Onkeli paraphra&longs;in in Pentateuchum vertit & commentarios adiunxit; quo exantlato labore in Iob ex Heb. fonte paraphra&longs;in texuit, quam & &longs;cholijs illu­&longs;trauit. Tabulam Etru&longs;cam Eugubinam interptetatus fuit:in ca autem diuinatione, vt aiebat, &longs;ubci&longs;iuas vnius men&longs;is horas con&longs;ump&longs;it. De Firmamento & aquis egre­gie &longs;crip&longs;it. Oeconomiam Tropologicam in S.Matthæum Card. Baronius, qui non alia Baldi vidit, vehementer pro­babat. Romæ dum viueret, fere ne&longs;ciuit quid gereretur in Aulis: Arabicæ enim linguæ cum Io. Bapti&longs;ta Raimon­do diligenti&longs;&longs;ime &longs;tuduit, & arcana indu&longs;tria Slauonicæ, quam perfecte callebat. Ex Arabico vertit Hortum Geo­graphicum Anonymi, quem ante &longs;excentos annos flo­rui&longs;&longs;e arbitrabatur. Hunc vero extru&longs;i&longs;&longs;et, vtalios Baldi libros, Marcus Vel&longs;erus IIvir Aug. &longs;i eo paulo longior huius lucis v&longs;ura contigi&longs;&longs;et. Compo&longs;uit & Dictionarium Arabicum. atque cum beati&longs;&longs;imam illam vbertatem in­genij a&longs;&longs;idue diffundi nece&longs;&longs;e e&longs;&longs;et, anno 1603. orbem vni­uer&longs;um de&longs;eribere aggre&longs;&longs;us fuit; atque ita quidem, vt tam quæ ad Hi&longs;toriam, quam quæ ad Geographiam per­tinerent complecteretur: Neque illu&longs;trare &longs;olum voluit quæ nouerunt antiqui, quemadmodum vi&longs;um Ortelio, &longs;ed vel oppidula omnia & pagos, de quibus aliquain po­&longs;tremis &longs;criptoribus mentio. & profecto totum opus ad vmbilicum perduxit: non dige&longs;&longs;it tamen vniuer&longs;um. qua­tuor aut ni fallor quinque tantum Tomi fuerunt ordine Alphabetico di&longs;po&longs;iti:&longs;upere&longs;&longs;ent &longs;eptem aut octo di&longs;po­nendi, quantum ex chartarum & fa&longs;ciculorum moe con­ijcere licet. Anno 1617. quarto Idus Octob. po&longs;teaquam dies 40. vehementi de&longs;tillatione vexatus fui&longs;&longs;et, &longs;piritum Deo reddidit Sacramentis Eccle&longs;iæ omnibus rite muni­tus. Statura procerus fuit, facie oblonga & acribus oculis, colore &longs;ubfu&longs;co. Membrorum ei fuit decens habitudo, & compactum corpus. Diebus fe&longs;tis omnlbus &longs;acrum facie­bat, ieiunabat bis in hebdomada, eleemo&longs;yni&longs;que paupe­res &longs;ubleuabat. In&longs;tudijs &longs;ica&longs;&longs;iduus fuit, vt &longs;æpe & legeret & comederet. S.Augu&longs;tini libros de Ciuitate Dei ter in-ter prandium euoluit. Statim à noctis meridie dum ei vi­res firmiores e&longs;&longs;ent ad lucubrandum &longs;urgebat. à prandio Euclidem Arabice editum, vel libellum aliquem germa­nicum aut gallicum in manus &longs;umebat. Suauitate morum & mode&longs;tia, etiam &longs;i ceteræ dotes abfui&longs;&longs;ent, quemlibet ad amorem &longs;ui allicere potui&longs;&longs;et. Sermo modicus ei fuit, itemque cultus. Nullos vnquam honores petijt, qui à Clem. 8. ampli&longs;&longs;imi promi&longs;&longs;i fuerant; nullum emolumen­tum quæ&longs;iuit &longs;uo ceniu contentus. facile parcendum e&longs;&longs;e dicebat, ijs maxime qui in re leui impegi&longs;&longs;ent, quoniam &longs;i quos cen&longs;emus optimos, nudos con&longs;piceremus, nullum eorum non iudicaremus multis dignum verberibus. Bi­bliothecam habuit non locupletem, &longs;ed &longs;electis in&longs;tructam codicibus. Verum ire per &longs;ingula longum e&longs;&longs;et. Satis mihi de incomparabili Baldi doctrina, & &longs;umma innocentia, ô rarum connubium, pauca dixi&longs;&longs;e, quæ for&longs;itan ad imitan­dum nimis multa.

SYLLABVS LIBRORVM

omnium B.Abb.Baldi.

Arati apparitiones è gr.in Ital. vertit.

De Tormentis Bellicis & eorum Inuentoribus lib. Heronis automata vertit.

Vitas omnium Mathematicorum &longs;crip&longs;it, & trib. in Tom. 2.1.P^{s}.à Thalete ad Chri&longs;tum.2.à Chri&longs;to ad &longs;ua tem­pora.

Earumdem vitarum Epitomen Chronologicum confecit.

In Ari&longs;tot. Mechan. Commentar.

De Renautica Poëmation.

Paradoxorum Mathematicorum liber.

De&longs;criptio Palatij Ducum Vrbinarum quod e&longs;t Vrbini.

Poema cui titulus, Lamus.

Carmina pia, quæ in&longs;cribuntur, Anni Corona.

De Verborum Vitruuianorum &longs;ignificatione.

Carmina varia & eclogæ mixtæ.

Apologi centum, quos &longs;crip&longs;it æmulatus Leonem Bapt. Albertum.

De Humanitate Dialogus qui in&longs;cribitur Go&longs;elinus.

Compatatio Vitæ Mona&longs;ticæ cum &longs;eculari.

De Aula libri &longs;ex.

De felicitate Principis Dialogus.

De Dignitate Dial.

Carmina Romana.

Mo&longs;æi fabulam vertit.

De Italici carminis natura Dial. qui in&longs;cribitur Ta&longs;&longs;us.

De vniuer&longs;ali Diluuio poemation.

Nouæ Gnomonices lib. quin que.

Hieremiæ Threnos vertit, & ex Heb. fonte annotat. ad­iecit.

Poemation in&longs;eriptum, Deiphobe, quod &longs;erip&longs;it æmula­tus Lycophonem in Ca&longs;&longs;andra.

Scala cœle&longs;tis.1.Sermones pij & carmina.

Onkeli paraphra&longs;in Chaldæam in Pentateuchum ver­tit & vberes commentarios adiecit.

In Iob Paraphra&longs;is latina ex fonte Heb. additis Scholijs.

De &longs;camillis imparibus Vitruuij.

De firmamento & aquis.

Quincti Calabri Paralipomena vertit.

Tabulæ Etru&longs;cæ Eugubinæ Interpretatio.

Oeconomía Tropologicain S.Matthæum.

Vrbini encomium.

Horti geographici ex Arab. ver&longs;io.

Aduer&longs;us Aulam Carmina.

Luciani de mi&longs;erijs.Aulicorum ver&longs;io.

Oratio ad Romæ con&longs;eruatores pro antiquitatum eius Vrbis cu&longs;todia.

Vniuer&longs;i orbis geographica & Hi&longs;torica de&longs;criptio con­texta ex &longs;eptingentis & eo amplius &longs;criptoribus.

Fede ici Vrbini Ducis Vita.

Guidi Vbaldi Vibini Ducis Vita.

Epigrammaton & Odarum libri tres.

Aliorum Carminum liber.

Sententiarum moralium liber.

Dictionarium Arabicum.

Pro Procopio contra Flauium Blondum.

Horographium vniucr&longs;ale.

Epigrammata alia.

Heronis lib. de Balli&longs;tis conuer&longs;io.

Exercitationes in Ari&longs;totelis Mechan.

Templi Ezechielis noua de&longs;criptio.

Antiquitatum Gua&longs;tallen&longs;ium liber.

Hi&longs;toriæ &longs;cribendæ leges.

Etalia quædam.

IN MECHANICA ARISTOTE­LIS PROBLEMATAEXERCITATIONES.

Mechanices de&longs;criptio, natura, finis.

MECHANICE, facultas quædam e&longs;t, quæ naturalimateriâ, Geometricisque; demon­&longs;trationibus v&longs;a, ex centrobaricâ, & eorum quæ ad vectem & libram rediguntur, &longs;pe­culatione; humanæ con&longs;ulens nece&longs;&longs;itati, commoditatiqueue, &longs;uapte vi, Naturam i­p&longs;am vel &longs;ecundans, vel &longs;uperans, varia, caqueue mirabilia operatur. Hac diffinitione de&longs;criptionéue brcuiter ca fe­rè omnia complexi &longs;umus, quæ fu&longs;i&longs;&longs;imè ab Ari&longs;totele, Pappo, Guido Vbaldo, & alijs hac de re tradita fuêre.

Mechanices Obiectum.

Con&longs;ideratautem Mechanicus Graue & Leue.

Graue duplex, Naturâ, Violentiâ.

Graue Naturâ dicitur, quod in&longs;ita propen&longs;ione in centrum mundifertnr. Graue autem Violentiâ, quod im­pre&longs;&longs;o extrin&longs;ecus pondere ab impellente pellitur.

Leue contrà, quòd Naturâ à centro fertur.

Gæterùm quicquid graue e&longs;t, &longs;ecundum punctum e&longs;t, quod Grauitatis centrum dicitur, & hoc duplex, vt duplex e&longs;t grauitas, Naturæ, Violentiæ.

Grauitatis centrum in triplici magnitudine con&longs;i­deraripote&longs;t, lineari, planà, &longs;olidâ.

De centro grauitatis linearum nemo &longs;crip&longs;it, &longs;impli­ci&longs;&longs;imi enim illud e&longs;t contemplationis.

De centro grauitatis linearum egregiè tractauit Ar­chimedes in libro Æ queponderantium, & de quadratu­ra Parabole, tum in co quem de his quæ vehuntur in­&longs;crip&longs;it.

De centro grauitatis &longs;olidorum ipíemet olim &longs;cri­p&longs;erat Archimedes, &longs;ed ea quæ protulit, temporis iniuriâ deperdita, fuâ diligentiâ re&longs;tituit Iedericus Commandi­nus.

E&longs;&longs;e autem & Leuitatis centrum in rerum natura, palam e&longs;t. Punctum enim illud e&longs;t, &longs;ecundum quod lcuia rectà à centro &longs;ur&longs;um feruntur. Huius autem non memi­nêre Mechanici, propterea quod aut nihil, aut parum ad eorum rem faciat.

Porro Grauitatis centrum ita definit Heron, & qui ab Herone Pappus 1.8. Collectionum Mathematicarum.

Centrum grauitatis vniu&longs;cuiu&longs;que corporis e&longs;t pun­ctum quod dam intra po&longs;itum, à quo &longs;i graue, mente ap­pen&longs;um concipiatur, dum fertur, quie&longs;cit, & &longs;eruat eam quam in principio habuit po&longs;itionem; neque in ip&longs;a latio­ne circumuertitur. Commandinus verò in lib. de centro grauitatis &longs;olidorum hoc pacto: Centrum grauitatis v­niu&longs;cuiu&longs;que &longs;olidæ figuræ, e&longs;t punctum illud intra po&longs;i­tum, circa quod vndique partes æqualium momentorum ad&longs;i&longs;tunt. Sienim per tale centrum ducatur planum, fi­guram quomodolibet &longs;ecans, in partes æ què ponderantes eam diuidit. Nos verò quàm breui&longs;&longs;imè dicimus: Centrum grauitatis, vniu&longs;cuiu&longs;que magnitudinis punctum e&longs;&longs;e intra extraue magnitudinem po&longs;itum, per quod &longs;i plano linea punctoue diuidatur, in partes &longs;ecatur æqueponderantes.

Diximus, Magnitudinis vtlineæ, plani &longs;olidique; cen­trum complecteremur. Eritigitur, vt in præ&longs;enti figura, li­neæ quidem centrum A, plani B, &longs;olidi verò C. quod &longs;i ob­ijciat qui&longs;piam, lineam & &longs;uperficiem nullam habere gra­uitatem; is &longs;ciat, neque corpora Mathematica grauitatem habere, Mechanicum verò funes, ha&longs;tas, vectes pro lineis &longs;umere; tabulas verò, & eiu&longs;modi plana ad &longs;uperficierum naturam referre.

Diximus in&longs;uper, intra extraue. Aliquando enim grauitatis centrum extra molem corporis cuius corporis centrum e&longs;t, cadit, vtin &longs;equenti figura.

E&longs;to corpus aliquod &longs;uperficiesue ABCDE, ducatur linea CF, diuidens figuras in partes hinc inde æqueponderantes ABC, EDC. Ducatur & GH. diuídens item in partes æ­queponderantes GCH, & GAB, EDH. &longs;ecentautem &longs;eip&longs;as in I. eritigitur centrum I extra figuræ terminos & molem ip&longs;am. Attamen licet hoc verum &longs;it, intra e&longs;&longs;e dici pote&longs;t, quippe quod imaginario quodam, & vtita dicam, virtuali ambitu ACDA contineatur.

Dicebamus, duplex e&longs;&longs;e grauitatis centrum, Natu­râ, Violentià: affirmamus modò, hæc re quidem vnum e&longs;­&longs;e, & ratione &longs;olum, non autem reip&longs;a ac &longs;i duo e&longs;&longs;ent con­&longs;iderari.

E&longs;to enim grauitatis na­turalis centrum B, corporis A, &longs;ecundum quod dimi&longs;&longs;um, &longs;ua­pte naturâ cadet in C, &longs;i verò corpus violenter impellatur in D, aliud acquiret centrum gra­uitatis ex violentia &longs;ecundum quam fertur, motum, in D, idem autem &longs;untre, nempe vnum B, duo autem &longs;i violentia & natura &longs;eor&longs;um con&longs;ideren­tur.

Hæc centra, duo motus &longs;equuntur, rectus vterque, Naturalis videlicet, & Violentus. Tertius ex his mixtus, & is quidem non rectus, &longs;ed curuus.

Proijciatur enim violen­ter corpus graue A &longs;uperante igitur violentia, rectà feretur in B; ea autem elangue&longs;cente paullatim per curuam & mi­xtam lineam &longs;ecetur in C, qua­tenus enim ad anteriora fer­tur, violentia e&longs;t; quatenus ve­rò ad inferiores partes, naturæ. Vbi verò peruenit in C, violentiâ ce&longs;&longs;ante, naturâ verò manente, rectà deor&longs;um fertur DCD.

Cæteiùm hæc centra, hiqueue motus, naturalis nem­pe, & violentus diuer&longs;imode &longs;e habent adinuicem. Sie­nim graue corpus externâ vi adhibita, centrum mundi ver&longs;us impellatur, adiuuabunt &longs;e inuicem Natura, Vio­lentia, Si autem contra, altera alteri re&longs;i&longs;ter, in motibus autem ad latus, eo magis pugnabunt, quo magis ab infe­rioribus ad &longs;uperiora fiet motus.

Mechanices præcipua in&longs;trumenta.

Hic ira con&longs;titutis dicimus, in&longs;trumenta, quibusad varias operationes Mechanici vtuntur, e&longs;&longs;e inter &longs;e qui­dem diuer&longs;a, multiplicia, & &longs;i varietatem &longs;pectes, penè in­numerabilia; quod quamuis verum&longs;it, ea omnia Ari&longs;tote­les ad vectem re ducit, & libram: quod etiam G. Vbaldus in libris Mechanicoiumfecit. Cæterum qui po&longs;t Ari&longs;to­telem floruere Mechanici, omnia ad quinque, quas ap­pellant, Potentias, redegêre. Sunt autem ex Herone, Pap­po, Guido Vbaldo, qui eos &longs;ecutus e&longs;t, Vectis, Trochlea, Axis in Peritrochio, Cuneus, Cochlèa. Videtur autem i­p&longs;e G. Vbaldus &longs;extam addere, nempe Libram, de qua & primus ip&longs;e Mechanicorum tractatum in &longs;tituit. Verum enimuero idem ferè &longs;unt Vectis & Libra, ni&longs;i forte quod Libra tunc dicitur, cum brachia &longs;unt æ qualia. Vectis vero quomodocun que ea &longs;e habeant; quinque harum Poten­tiarum imagines ita ob oculos ponimus. Vectis A. Trochlea B, Axisin Peritrochio C. Cuneus D. Cochlea vero E.

Porro, Cuneum ad libram reducere conatur Ari­&longs;toteles, quod facit & G. Vbaldus, qui cò refert & Co­chleam, quippe quod nihil aliud &longs;it Cochlea, quàm Cu­neus Cylindro inuolutus. Nos autem duas tantùm Po­tentias ad vectem reduci po&longs;&longs;e arbitramur, Trochleam nempe, & Axem in Peritrochio. Nequaquam autem Cu­neum & Cochleam. quod latiùs quidem o&longs;tendemus, cùm de Cuneo erit nobis &longs;ermo peculiaris.

De Vecte & Libra &longs;ecundum Ari­&longs;totelem.

Ari&longs;toteles in ip&longs;o Mechanicorum ingre&longs;&longs;uita &longs;cri­bit, Mirum videri ab exigua virtute magnum pondus mo-ueri, addito nimirum ponderi pondere, &longs;iquidem & vectis e&longs;t pondus. Duplex ergo illi admiratio, &longs;cilicet quòd exi­gua potentia moucat ingens pondus, idqueue etiam addito vectis ip&longs;ius pondere, fiat. Hoc &longs;ecundum adieci&longs;&longs;e vide­tur, amplificationis alicuius gratiâ. Erenim quatenus ad rem pertinet, &longs;i mouendis ponderibus vectis ip&longs;ius pondus compares, nullius ferè e&longs;&longs;e momenti proculdu­bio affirmaueris. Sed & illud quoque notandum, aliquan­do vectis pondus mouenti auxilium ferre, quod fit vbi fulcimento inter potentiam mouentem, & pondus ip&longs;um collocato, vectis pars quæ à fulcimento ad potentiam e&longs;t, premitur. Tunc enim, vt dicebamus, vectis pondere &longs;uo potentiam adiuuat. Contra verò accidit, cum pondus i­p&longs;um inter fulcimentum e&longs;t & potentiam vel potentia i­p&longs;a inter fulcimentum & pondus. tunc cnim vectis vnâ cum pondere attollitur. quæ licet vera &longs;int, non tamen in­de &longs;e quitur, vectis pondus, quicquam quod curandum &longs;it, in operatione efficere, aut impedire.

Porrò vectem ita finire po&longs;&longs;umus, longitudinem e&longs;­&longs;e quandam inflexibilem, quæ fulcimento dato, datâ po­tentiâ datum pondus mouetur.

Ip&longs;a quoque Libra, vt diximus, vectis e&longs;t: eius autem naturæ, vt&longs;emper fulcimentum medium obtineat locum inter pondus & pondus. Statera autem merus e&longs;t vectis, &longs;i &longs;par&longs;um pro fulcimento; appendiculum verò currens pro potentia mouente deputaueris.

De Circulo eiusque natura Ari&longs;totelis doctri­na examinata.

Ari&longs;toteles, quicquid mirum in Mechanicis opera­tur, id totum admirabili circuli naturæ e&longs;&longs;e tribuen dum arbitratur. Ait autem, ab&longs;urdum nullatenus e&longs;&longs;e, &longs;i ex re mirabili mirandum quippiam oriatur. In circulo autem quatuorinueniri qualitates admiratione dignas. Primam, quod ex contrarijs con&longs;tituatur, mouente videlicet & moto. Secundam, quòd contraria in eius circumferentia inueniantur, quippe quæ cum vnica linea &longs;it, concaua &longs;i­mul e&longs;t & conuexa. Tettiam, quod contrarijs feratur mo­tionibus, antror&longs;um nimirum, retror&longs;um, &longs;ur&longs;um, atque deor&longs;um. Quartam, quod vnicâ exi&longs;tente &longs;emidiametro, nullum in ca punctum &longs;umi po&longs;&longs;it, æqualis alteri, in latio­ne, velocitatis. Sit enim circulus AB, cuius centrum C, &longs;emidiameter AC, &longs;umatur autem in ea punctum D, i­temqueue punctum E. Erit itaque in ip&longs;a circulatione D tardius E, ip&longs;um verò E tardius A, & ita citius id feretur &longs;emper, quod remotius à mouente termino accipitur.

Hæc ex illo, quibus ne vltro a&longs;­&longs;en&longs;um præbeamus non vnica de cau­&longs;a cohibemur. Dicimus igitur, videri nobis, circulum non ex contrarijs con­&longs;titui, puta ex manente & moto, &longs;ed ex moto &longs;impliciter. Nulla e&longs;t enim &longs;e­midiametri pars, quæ non moueatur. Punctum autem, quod &longs;tat, &longs;emidia­metri pars nulla e&longs;t. Et &longs;anè cur moto &longs;emidiamentro fiat circulus, non ideo accidit, quod alterum extremum &longs;tet, alterum verò moueatur:led ideo quòd &longs;e­midiameter perpetuò eandem &longs;eruct longitudinem. Elli­p&longs;is &longs;anè centrum habet, &longs;ed ab eo ad circumferentiam quatuor tantùm &longs;emidiametri quomodolibet &longs;umpti du­cuntur æ quales. Si quis igitur &longs;emidiametrum daret pro­portione cre&longs;centem & decre&longs;centem, &longs;tante altero ex­tremoru Ellip&longs;is de&longs;criberetur. Præterea & &longs;piralis li­nea, quæ mixta e&longs;t, altero &longs;emidiametri extremo manen­te, altero vero moto producitur. Legem itaque circulo prælcribit, non quidem quòd hæc extremitas &longs;ter, illa ve­rò moueatur, &longs;ed quod &longs;ua circulatione &longs;em per &longs;emidia­meter eandem &longs;eruet longitudinem, quod vel ex ip&longs;a cir­culi definitionc colligitur.

Ad &longs;ecundum miraculum, &longs;cilicet, quòd in circulo circum ferentia, quæ vacua linea e&longs;t, concaua &longs;imul&longs;it, & conuexa. Diceret qui&longs;piam id, &longs;i modò mirabile e&longs;t non circulari tantum, &longs;ed cui ibet curuæ lineæ primo compe­tere, etenim & Elhp&longs;is & Hyperbole, & Parabolc, & &longs;pi­ra, tum Cy&longs;&longs;ois, Conchois, & infinitæ aliæ irregulares concauæ &longs;imul &longs;unt & conuexæ. Sed & hæcin &longs;uperficie­bus quoque de&longs;iderantur.

Ad tertium, quod contrarijs feratur lationibus, an­tror&longs;um, retror&longs;um, &longs;ur&longs;um & deor&longs;um. Dicimus, facilè &longs;olui, Nullus enim, re bene per&longs;pectâ, affirmauerit circu­lum contrarijs lationibus moueri.

E&longs;to enim circulus ABCD, circa centrum E; ponamus ro­tari, & A ver&longs;us B, exempli gra­tiâ, antror&longs;um, mouebitur autem & B ver&longs;us C, & C ver&longs;us D, tum D ver&longs;us A. Non puto quenquam dicturum, circulum hunc an­tror&longs;um codem tempore, & re­tror&longs;um ferri nec &longs;ur&longs;um aut de­or&longs;um, &longs;i enim qui&longs;piam per eius circuli circumferentiani ambularet, is certè centrum ip&longs;um &longs;emper ad dexteram haberet, vel ad &longs;ini&longs;tram, &longs;i ad dexteram, antror&longs;um ibit, &longs;i ad &longs;ini&longs;tram, tetror&longs;um. Sed nec &longs;ur&longs;um vel deor&longs;um, e&longs;t manife&longs;tum. Nihil autem prohibet eundem motum va­rio re&longs;pectu contrarium dici po&longs;&longs;e, id tamen profectò fie­rinequaquam pote&longs;t, nempe A moueriver&longs;us B, hoc e&longs;t, antro r&longs;um, & eandem codem tempore ver&longs;us B, id e&longs;t, re­tror&longs;um; repugnat enim naturæ.

De quarto circuli miraculo, ibi erit nobis &longs;ermo, vbi ca perpenderimus primò, quæ Philo&longs;ophus de Circuli productione di&longs;&longs;erens in medium profert. Sunt autem e­iu&longs;modi:

Circulum quidem duplici notione produci, Natu­rali videlicet altera, & altera quæ e&longs;t præter naturam, & ideo circularem lineam in ter mixtas computari.

Motus mixtus ait, vel proportione &longs;eruata fit, aut non; Si proportione &longs;eruatâ, rectam lineam; ea verò non &longs;eruata, circularem lineam produci.

E&longs;to enim rectangu­lum ABCD, cuius late­ra in datâ &longs;int proportio­ne, AD cum AB. Mo­ueatur A, duplici motu, Altero quidem tendens in B, altero vero ad mo­tum lineæ AB, feratur ver&longs;us D, &longs;eruata inte­rim laterum proportione. Itaque ponatur ex motu ab A ver&longs;us B, perueni&longs;&longs;e in E, ex motu autem quo proportio­naliter fertur cum linea AB, facta ip&longs;a AB, in FH, perue­ni&longs;&longs;e in G, & EG connectatur. Eritigitur Parallelogram­mum AEGF, Parallelogrammo ABCD proportiona­le &longs;imile, & circa eandem diametrum AGC. Semperigi­tur punctum A &longs;i duabus lationibus feratur, laterum pro­portione &longs;eruata, lineam producet rectam, diametrum nempe AGC. Et hoc &longs;anè nullam habet dubitationem, ex ijs quæ docet Euclides 1. 6. prop. 24.

His ita demon&longs;tratis hac vti videtur Philo&longs;ophus argumentatione: Si mixtus motus proportione &longs;emotâ, rectam producir, &longs;i nun quam &longs;emota, efficiet circulum; &longs;i enim modo &longs;eruaretur, modo non, partim recta partim non recta produceretur. Ingenio&longs;a quidem argumenta­tio, ni vitium contineret. non enim mixtus motus, qui nun quam &longs;eruatâ proportione fit, &longs;emper ci, culum pro­ducit, &longs;ed & Elli &longs;im pote&longs;t, & quamlibet aliam lineam, cuius nulla pars &longs;it recta. Hanc difficultatem vidit Pico­lomineus in &longs;ua Paraphra&longs;i, & eam &longs;oluere conatus e&longs;t, &longs;ed quàm bene, aliorum e&longs;to dicium. Cæterùm fal&longs;um e&longs;t, a&longs;&longs;erere circulum ex mixto motu nun quam &longs;eruatâ proportione produci. &longs;eruat enim a&longs;&longs;iduè mixtus motus quo producitur (&longs;i cum mixto motu producere velimus) aliquam proportionem, &longs;ed non eandem.

E&longs;to enim recta AB, cui ad rectos angulos AC. Moueatur autem A, ver­&longs;us C per lineam AC, & eodem tempo­re linea AC, ver&longs;us B, ita tamen, vt &longs;em­per ip&longs;i AB, &longs;it perpendicularis. feratur autem eâ lege, vt quam proportionem habet motus lineæ AC ver&longs;us B, ad mo­tum puncti A ve, &longs;us C, eandem habeat ip&longs;e motus ab A ver&longs;us C, ad re&longs;iduum lineæ AB, demptâ nempe ea parte quam peragrauit linea AC mota ver&longs;us B. Sit autem, cum AC &longs;uo motu peruenerit in D, punctum A, &longs;imiliter &longs;uo motu per eam latum perue­nitle in E erit ergo ex mixto motu, non quidem in D, nec in E, &longs;ed in F, eritque punctum F in circum ferentia circu­li, cuius e&longs;t diameter ip&longs;a linea AB, quod quidem demon­&longs;tratur ex conuer&longs;a propo&longs;. 13. lib. 6. Elem. E&longs;t enim AE hoce&longs;t DF media proportionalis inter EF, hoc e&longs;t, AD, & DB. Iterum &longs;i &longs;iat motus AC in GH, ad motum H per lineam AC, v&longs;que in C, vt &longs;e habet proportio AG ad GH & GH ad GB, erit ex motu mixto A in H, nempe in eiu&longs;dem circuli circum ferentia AFHB. ex quibus ha­bemus, circulum ex mixto motu fieri po&longs;&longs;e proportioni­bus quidem mediarum &longs;eruatis, &longs;ed nun quam ij&longs;dem.

Vera hæc pro culdubio &longs;unt; nihilominus, veluti ad rectam producendam mixtus motus non e&longs;t nece&longs;&longs;arius, licet mixto motu produci po&longs;&longs;it, ita ne que ad circularem, & ideo verum non e&longs;&longs;e quod a&longs;&longs;erebat Philo&longs;ophus, cir­culum ex mixto motu proportione nun quam &longs;eruatâ ne­ce&longs;&longs;ariò produci.

Conatur po&longs;t hæc Ari&longs;toteles rationem afferre, cur circuli partes, quò propiores centro fuerint, eo &longs;int tar­diores. Ait autem; &longs;i duobus ab eadem potentia latis hoc quidem plus repellatur, illud verò minus, æquum e&longs;t tar­diùs id moueri quod plus repellitur, eo quod minus. De­trahi autem plus lineam, cuius extremum prepius e&longs;t cen­tro illa quæ &longs;uum habet terminum à centro remotiorem.

E&longs;to, inquit, circulus BCDE & alter in eo minor MNOP circa idem centrum A. Ducanturque; Diametrima­ioris quidem CD, EB, mino­ris verò MO, NP. Itaque vbi AB circulata eò peruenerit vnde e&longs;t gre&longs;&longs;a, ip&longs;a quoque AM eo vnde moueri cœpe­rat, perueniet. Tardiùs autem fertur AM, quam AD, pro­pterea quòd AM à centro magis retrahatur quàm ip&longs;a AB. Ducatur igitur ALF & à puncto L, ip&longs;i AB perpendicularis L q, cadens in mino-ri circulo, & rur&longs;us ab codem L ip&longs;i AB, parailela duca­tur LS, Ab S verò eidem perpendicularis ST, & ab F i­tem FX. Sunt ergo q L, ST, quidem æquales, nempeillæ, per qua, &longs;ecundum naturam, mouentur puncta BM. Mo­tu verò retractionis ad centrum, hoc e&longs;t, præter naturam, plus motum e&longs;t M quàm B. Maior enim e&longs;t M q, ip&longs;a BT, quod, ceu notum, &longs;uppo&longs;uit Ari&longs;toteles. nos autem inf. à demon&longs;trabimus. Si igitur fiat vt motus præter naturam ad motum præter naturam, ita motus &longs;ecundum naturam, ad motum &longs;ecundum naturam, punctum B; cum M fuerit in L, non eritin S, &longs;ed in F. tunc enim, vt e&longs;t FX motus &longs;e­cundùm naturam ad XB, præter naturam, ita e&longs;t q L &longs;e­cundum naturam ad q M præter naturam; &longs;ed BF maior e&longs;t ML, ergo proportione &longs;eruatâ, velociùs mouetur B quàm M circa idem centrum A. Hæc autem &longs;umma e&longs;t eorum quæ præfert Ari&longs;toteles. Cæterùm nos parallelo­grammum, quod in figura eius habetur prætermi&longs;imus, quippe quod nihil ad eam quæ affertur, demon&longs;tratio­nem faciat.

Modò quod pollicebamur, nempe minorem e&longs;&longs;e BT, quàm q M, ita demon&longs;tramus. quoniam ST. ex prop. 13. 1. 6. media proportionalis e&longs;t inter BT & TE, erit qua­dratum TS æquale parallelogrammo &longs;eu rectangulo BT, TE, item, quoniam q L media proportionalis e&longs;t inter M q, & q O. erit quadratum q L æquale rectangulo M q, q O, æqualia ergo &longs;unt rectangula BTE, M q O, itaque reciprocalatera habent proportionalia. quare, vt TE, ad q O, ita M q ad TB, &longs;ed TE maior e&longs;t ip&longs;a q O, quippe quòd pars &longs;it q O ip&longs;ius TE, maior ergo & M q ip&longs;a TB, quod o&longs;tendendum fuerat.

Cæterùm &longs;ubtilia & ingenio&longs;a i&longs;thæc e&longs;&longs;e non nega­mus, & longè faciliori & explicatiori modo veritas hæc demon&longs;trari pote&longs;t, reiectis nem peillis, &longs;ecundùm, & prae­ter naturam motibus, qui quidem in &longs;implici circulo nece&longs;­&longs;ario non cadunt: caderent autem forta&longs;&longs;e, &longs;i de circulo res e&longs;&longs;et à ponderibus circumlatis ex &longs;tabili centro de&longs;eri­pto, qua de re agit G. Vbaldus in Mechanicis ttactatu de libra. tunc enim dici pote&longs;t, pondus quod aliâs rectà ad mundi centrum tenderet, à circuli centro in circulatio­ne retrahi, &longs;ed hæc ad circuli naturam, quatenus circulus e&longs;t, ne quaquam &longs;pectant.

E&longs;to igitur circum ferentia AFBH, cuius centrum C, dia­meter ACB, &longs;emidiameter AC. &longs;umatur in AC punctum quod­libet, D, & centro C, &longs;patio CD, circumferentia de&longs;cribatur DGEI. Dico punctum A velo­cius moueri puncto D eâdem circulatione rotato. etenim vt diameter ad diametrum, & &longs;emidiameter ad &longs;emidiame­trum, ita circumferentia ad circumferentiam: igitur vt AC ad CD, ita circumferentia AFHB ad circumferen­tiam DGEI. At mota linea CA circa centrum C mo­uetur &longs;imul & CD, eodem igitur tempore rotationem complent puncta AD, maius ergo &longs;patium eodem tem­pore metitur A, ip&longs;a D, quare velocior. Ita igitur &longs;e ha­bet velocitas ad velocitatem, vt circumferentia ad cir­cumferentiam, & diameter ad diametrum, quare id quod mouetur in puncto à centro remotiori, velocius illo mo­uetur quod ab eo di&longs;tat minus, quod fuerat demon&longs;trandum.

QVÆSTIONES MECHANICÆ.

QVÆSTIO I.

Cur maiores libræ exactiores &longs;int mi­noribus?

Prioríbus, ceu fundamentis quibu&longs;dam iactis, oppor­tunè ad quæ&longs;tiones proponendas, eas queue diluendas &longs;e confert Ari&longs;toteles. Porro in propo&longs;ita quæ&longs;tione vide­tur prima fi onte cau&longs;&longs;am quæri de re quæ non e&longs;t: etenim quis affirmauerit vnquam, lances quibus Apothecarij & Macellarij vtuntur, magnas eas quidem, illis exactiores e&longs;&longs;e quibus Gemmatij, atque Argentarij &longs;iliquis, & &longs;eru­pulis minuti&longs;&longs;ima appendunt, quæ tamen perexiguæ &longs;unt, & &longs;i illis comparentur minimæ? Veruntamen, ita pror&longs;us res habet, vt a&longs;&longs;erit Ari&longs;toteles. Non enim propterea quòd illæ magnæ &longs;int, hæ verò exiguæ, hæ &longs;unt illis exa­ctiores; &longs;ed quoniam magnæ, rudes &longs;unt, minores verò ex­qui&longs;ita diligentia elaboratæ, & à materiæ pertina cia libe­riores. Cæteris ergo paribus, exactiores e&longs;&longs;e maiores, ex Philo&longs;ophimente, ita docebimus.

E&longs;to libra maior AB, cuius fulcimentum C. Minor verò libra DE, circa idem fulcimentum C, vnà cum maiori, ima­ginatione, conuer&longs;a. Ap­ponatur queduis pon­dus maiori libræ in A, de clinetque; exempli gratiâ in F, erit queue minor libra in G, in eadem enim linea &longs;unt CGF. Vnaque igitur ex eodem centro C portionem circuli de&longs;cribet GD, AF, eritqueue ACF &longs;ector circuli, cuius diameter AB, &longs;ed DCG &longs;e­ctor circuli, cuius diameter DE. Itaque vt diameter ad diametrum, ita portio ad portionem: maior autem dia­meter AB diametro DE: maior ergo portio AF, portio­ne DG. quod autem maius e&longs;t, minus obtutum fallit, ex­qui&longs;itius itaque tractum ex maiori AB quàm ex ip&longs;a mi­nori DE cogno &longs;cemus, quod fuerat o&longs;tendendum.

Cæterùm hac eadem de cau&longs;&longs;a, A&longs;tronomica in­&longs;trumenta, puta A&longs;trolabia, Armillæ, & alia eiu&longs;modi, quo ampliora eò ex qui&longs;itiora, & certiora probantur.

E&longs;to enim A­&longs;trolabium magnum, cuius diameter AB, paruum autem CD, circa idem centrum E. Ducatur à centro recta EF tangens ma­iorem circulum in F, minorem verò &longs;ecans in G, vt igitur GD ad to­tum circulum GCD, ita FB. ad totum cir­culum FAB, vt ergò GD ad FB, ita gradus &longs;ignati in GD, ad eos qui &longs;ignantur in BF, maiores ergo &longs;unt qui in FB, & minutarum partium capaciores. Hinc itaque apparet, in&longs;trumenta quælibet quò maiora fuerint, eò e&longs;&longs;e & exqui&longs;itiora, quod propo&longs;uerat Ari&longs;toteles, in hac quæ&longs;tione de Libra.

Quod autem addit de fraudibus Purpurariorum, inquiens; quamobrem machinánturij qui purpuram ven­dunt, vt pendendo defraudent, dum ad medium, &longs;partum, non ponentes; tum plumbum in alterutram libræ partem infundentes; aut ligni quod ad radicem vergebat, in eam quam deferri volunt partem con&longs;tituentes, aut &longs;i nodum habucrit, ligni enim grauior ea e&longs;t pars, in qua e&longs;t radix, nodus verò radix quæ dam e&longs;t. Hinc quæri po&longs;&longs;et:

Vtrum libræ quæ ponderibus vacuæ æquilibrant, omni pror&longs;us careant fraude?

Videri cuipiam po&longs;&longs;et, libras, quæ ponderibus va­cuæ, æquilibrant, omm pror&longs;us fraude carere, verunta­men ita non e&longs;t, quod diligentiùs (res enim magni mo­menti e&longs;t) di&longs;quiremus.

E&longs;to enim libra AB, ita diui&longs;a in C, vt AC &longs;it partium IS, CB ve­rò carundem &longs;it 10. apponatur parti A lanx ponderans 10, parti vero B lanx ponderans 15. ex permutata i­gitur proportione libra &longs;u&longs;pen&longs;a in C, aequè ponderabit; &longs;i autem appo­natur lanci B &longs;acoma vnciarum 6, & in lance A con&longs;titua­tur purpura, quæ ita &longs;e habeat ad vncias 6, vt 10 ad 15, ite­rum æqueponderabit, &longs;ed vt 10 ad 15, ita 4 ad 6. Purpura­rius ergo fraudulentus, ponens in lance A vncias purpuræ 4, facto æquilibrio petet pretium vnciarum 6, & ita em­ptorem decipiet, quod &longs;anè innuerat, non autem demon­&longs;trauerat Ari&longs;toteles. Hæc autem faciliora fient ex ijs, quæ in &longs;equentibus quæ &longs;tionibus, vbi de vecte agetur, ex­plicabuntur.

Detegitur autem fraus, &longs;i alternatim &longs;acoma in pon­derando, modo huic, modò illi lanci apponatur. Si enim in lance A con&longs;tituatur &longs;acoma, in B verò purpura non fit æquilibrium.

QVÆSTIO II.

Cur, &longs;i &longs;ur &longs;um libræ fulcimentum &longs;it, appo&longs;ito ad alteram partem pondere, de &longs;cendat libra, & eo amoto, iterum a&longs;cendat, & ad æqui­librium reuertatur. Si verò deor &longs;um fulcimentum fuerit, de­pre&longs;&longs;a ad æquilibrium non reuertatur?

Bimembrem proponit Philo&longs;ophus quæ&longs;tionem, quam trimembrem debuit, triplici &longs;i quidem loco fulcimen­tum aptari pote&longs;t, &longs;uperiori, medio, inferiori. Nos de o­mnibus ver ba faciemus.

Prima Quæ&longs;tionis pars.

De Libra &longs;ur &longs;um fulcimentum habente.

Ari&longs;toteles primam quæ&longs;tionis partem ita &longs;oluit: An quia &longs;ur&longs;um parte quidem exi&longs;tente, plus libræ extra per­pend culum &longs;it? Spartum enim perpendiculum e&longs;t: quare nece&longs;&longs; e&longs;t deor&longs;um ferriid quod plus e&longs;t, donec a&longs;cendat qua bifariam libram diuidit ad ip&longs;um perpendiculum, cum onus in cum bat ad libræ partem &longs;ur&longs;us raptam.

Sit libra recta (hoc e&longs;t, in æquilibrio con&longs;tituta) BC, &longs;partum autem AD, fulcimentum autem D, de&longs;uper: &longs;parto au­tem deor&longs;um proie­cto ad M perpendicu­laris erit vbi ADM. Si igitur in ip&longs;o B po­natur onus, erit B qui­dem vbi E, C autem vbi H, quamobrem ea quæ bifariam libram &longs;ecat, primo quidem erit DM, ip&longs;ius perpendiculi; in cun­bente autem onere, erit DG. quare libræ ip&longs;ius EH, quod extra perpendiculum, e&longs;t AM, vbi e&longs;t q P maius e&longs;t dimi­dio. Si igitur amoueatur onus ab E, nece&longs;&longs;e e&longs;t deor&longs;um ferri H, minus e&longs;t enim E: &longs;iquidem igitur habuerit &longs;par­tum &longs;ur&longs;um, propter hoc a&longs;cendit libra.

Pe&longs;&longs;imè omnes &longs;chema hoc lineârunt, ita vt difficil­limum &longs;it auctoris inde &longs;en&longs;um a&longs;&longs;equi. Nos autem cla­rius rem ob oculos ponimus. Id ergo &longs;ibi vult Ari&longs;toteles, propterea quòd pars iugi HDG maior e&longs;t parte ED q, eam eleuatam nece&longs;&longs;e e&longs;t de&longs;cendere, & iterum à perpen­diculari ADM bifariam diui&longs;am ad æquilibrium reuer­ti, Po&longs;&longs;umus nos idem &longs;impliciori figura demon&longs;trare.

E&longs;to libra AB, bi­fariam, diui&longs;a in G, fulcimentum verò &longs;ur­&longs;um vbi D, prodca­tur perpendicularis DC in E. Stante igi­tur libra AB, in æqui­librio æqualis e&longs;t pars CH, ip&longs;i parti CB apponatur pondus in B. Declinabit igitur libra mota circa centrum D, fiat autem in FG, &longs;ecetqueue perpendicularem in I. Punctum vero C eodem motu cir­ca idem centrum D erit in H. amoueatur pondus appo&longs;i­tum: Dico libram à &longs;itu FG declinaturam & iterum re­uer&longs;uram in &longs;itum pri&longs;tinum ACB. quoniam enim parti GH, quæ æqualis e&longs;t parti HF, additur pars IH, quæ à perpendiculari e&longs;t v&longs;que ad H, ip&longs;i verò HF eadem pars detrahitur, erit IF minor GI. Superabiturita que IF à GI, de&longs;cendetque FI, a&longs;cendet verò IF, donec iterum li­bra ín partes æquales, vt antea, diuidatur in C, &longs;iat que æ­quilibrium.

Hæc Philo&longs;ophi demon &longs;tratio e&longs;t vera illa quidem, &longs;ed non ex Mechanicis principijs, hoc e&longs;t, ex centri graui­tatis &longs;pe culatione; nos igitur clariùs rem exponemus, his quæ &longs;equuntur con&longs;ideratis.

Si pondus circa &longs;tabile centrum conuertatur, dimi&longs;­&longs;um non &longs;tabit, ni&longs;i &longs;ecundum grauitatis centrum fuerit in perpendiculari, quæ per centrum, circa quod conuer­titur, ad mundi centrum cadit. Stabit autem in ea per­pendiculari in duobus punctis, altero à centro mundi remoti&longs;&longs;imo; altero verò cidem quantum licuerit pro­ximo.

E&longs;to corpus A, cuius graui­tatis centrum B, nixum lineae in­flexibili BC, cum qua liberè conuertatur circa centrum C. Ducatur autem per mundi cen­trum perpendicularis BCD. Sit igitur primò pondus A &longs;ecun­dum gracilis B centrum, in per­pendiculari ip&longs;a &longs;upra centrum C, puta in B. Moueatur & de&longs;cen­dat in E. Po&longs;t hæc verò in F, hoc e&longs;t iterum in ip&longs;a perpendiculari infra centrum C. De&longs;cribet er­go circulum ex centro C, nem­pe BEF &longs;ecantem perpendicu­larem in duobus punctis oppo­&longs;itis BF, dico, pondus libe è di-mi&longs;&longs;um in duobus tantum punctis &longs;uapte naturâ perman­&longs;urum, BF, in B, primò, quoniam cum corpus ip&longs;um A à perpendiculari, quæ &longs;upei ficiei loco intelligitur ABCD per centrum grauitatis diuidatur, in partes diuiditur æ­queponderantes, quare in neutram partem inclinabit. Stabit igitur erectum, lineæ ip&longs;i fultum, inflexibili BC, quæ nititur puncto C. In E verò non &longs;tabit, quippe quod eo &longs;itu centrum ip&longs;um grauitatis &longs;it extra perpendicula­rem, & ideo extra fulcimentum &longs;tabile C. In F verò ite­rum &longs;tabit, pendens à centro C, propterea quòd & ibi ab eadem perpendiculari diuidatur per grauitatis centrum in partes æqueponderantes. E&longs;t igitur re&longs;pectu B, ip&longs;um punctum C, ful cimentum deor&longs;um, re&longs;pectu verò F, ful­cimentum &longs;ur&longs;um. At quia linea DFCB, à centro mundi, quod e&longs;t extra circulum, BEF, circulum ip&longs;um per cen­trum C &longs;ecat, erit pars eius DF quidem breui&longs;&longs;ima, ip&longs;a verò DB longi&longs;&longs;ima, ex propo&longs;. 8. lib. 3. Elem. Pondus igi­tur A conuer&longs;um &longs;eu liberè motum circa centrum C, in duobus tantum locis perpendicularis lineæ &longs;tabit remo­ti&longs;&longs;imo altero, vt e&longs;t B, altero verò cidem quamproximo, vt e&longs;t F.

Hoc idem egregiè demon&longs;trauit G. Vbald. in &longs;uis Mechanicis, Tractatu de Libra prop.1.

Ad hæc autem dubitare quis po&longs;&longs;et, cur experientiâ docente, pondera quæ infra fulcimentum habent, vt lan­cea &longs;ari&longs;&longs;aue ad planum horizontis perpendiculariter e­recta, licet eo ca&longs;u grauitatis centrum in ip&longs;a perpendicu­lari con&longs;tituatur, non &longs;tet quidem, &longs;ed altrin&longs;ecus ca­dat?

Sit enim horizontis planum AB, cui in puncto C perpendiculariter ere­cta &longs;tatuatur &longs;ari&longs;&longs;a DC, cuius grauitatis centrum E, in ip&longs;a perpendiculari. Stabit ergo, ex præmi&longs;&longs;is, & certè &longs;tare debuit, &longs;ta­retqueue, ni vitium ob&longs;taret materiæ; non &longs;tat autem, quia difficillimum e&longs;t gra­uitatis centrum, &longs;uapte naturâ indiui&longs;ibile, ita ad amu&longs;&longs;im &longs;i&longs;tere, vt in neutram partem à perpendiculari declinet. Hæc igitur ex ijs &longs;peculationibus e&longs;t, quæ ad praxim, ma­teriæ vitio impediente, aut vix aut nun quam rediguntur.

Hinc autem ea quæ&longs;tio &longs;oluitur, Cur ij qui &longs;ari&longs;&longs;am erectam digito &longs;ummo &longs;u&longs;tinere conantur, non &longs;tent qui­dem, &longs;ed digiti motu, &longs;ari&longs;&longs;æ motum &longs;equantur.

Id certè agit, qui nutantis &longs;ari&longs;&longs;æ, digito, motum &longs;e­quitur; vt in ip&longs;o motu digitum a&longs;&longs;iduè centro grauitatis &longs;ari&longs;&longs;æ &longs;upponat, vnde &longs;it vt nun quam extra fulcimentum permanens, nun quam cadat.

Similis huic alia quo que dubitatio &longs;oluitur: Nempe, Cur turbines, quibus pueri ludunt, dum quidem rotan­tur, &longs;tent erecti, rotationevero ce&longs;&longs;ante, cadant.

E&longs;to enim Turbo AB, cu­ius grauitatis centrum C, planum horizontis DE, linea Horizonti perpendicularis ABC, tran&longs;iens per centrum grauitatis C, &longs;it au­tem fulcimentum in B. Itaque cum centrum grauitatis C &longs;it in ip&longs;a perpendiculari, &longs;tabit ex demon-&longs;tratis, at ex vitio materiæ non &longs;tabit. Modò, vt a&longs;&longs;olet, ra­pido motu rotetur. Dico, Turbinem, motu &longs;eu rotatione durante &longs;tare. ea autem paullatim elangue&longs;cente ín ca­&longs;um vergere; ce&longs;&longs;ante verò penitus cadere. fit enim ex in­æqualitate materiæ, vel operis ruditate, vel aliâ quauis ex cau&longs;&longs;a, grauitatis centrum non e&longs;&longs;e in C, &longs;ed exempli gratiâ vbi F, notentur autem hinc inde Turbinis latera notis GH. Vtique cum F extra perpendicularem fuerit, cadet Turbo ad partem G; at id ne &longs;iat, efficitur velocita­te motus, quo centrum F transfertur in contrariam par­tem, vbi I. non autem cadit ver&longs;us H, quoniam eadem ve­locitate iterum transfertur in F, quamobrem cum huius­cemodi centri a&longs;&longs;idua circa perpendicularem fiat trans­latio, ad nullam partem Turbo cadere pote&longs;t; elangue­&longs;cente verò motu rotans, paullatim in cipit inclinari, do­nec eo penitus ce&longs;&longs;ante, ad eam partem cadit, ad quam à per pendiculari grauitatis centrum vergit. De&longs;cribit au­tem in rotatione grauitatis centrum, quod in medio non e&longs;t paruum circulum, per cuius centrum ip&longs;a perpendi­culais pertingit.

Modò redeuntes ad libram, cuius ful cimentum e&longs;t &longs;ur&longs;um, alio principio, nempe Mechanico, cur depre&longs;&longs;a ad æqualitatem reuertatur, demon&longs;trabimus.

Sit igitur, vt &longs;u­periùs, libra AB, cu­ius centrum grauita­tis C, fulcimentum, verò &longs;ur&longs;um, in D li­bræ quidem in C per­pendiculariter con­iunctum. Perpendi­cularis verò quæ per fulcimentum, & gra­uitatis centrum tran&longs;­iens ad mundi cen­trum tendit DLE. &longs;tante igitur librâ in &longs;ua æqualitate, e­rit centrum grauitatis C in ip&longs;a perpendiculari infra qui­dem fulcimentum D. Loco verò, mundi centro quàm proximo. Pondus po&longs;t hæc apponatur in B, Declinabit au­tem pars CB, in HF, eleuatâ interim parte AC, in GH. Mota igitur libra tota, circa fulcimentum D mouebitur circa idem centrum, & grauitatis centrum C, de&longs;cribens portionem circuli CH, fi etque; C in H, & quoniam H, hoc e&longs;t C, extra per pendicularem fit, amoto pondere, ex lan­ce B, cuius pre&longs;&longs;ione libra declinauerat, centrum grauita­tis per eandem circulì portionem HC, ad perpendicula­rem de&longs;cendet, donec iterum in ea quie&longs;cat, quo ca&longs;u li­bra AB ad æquilibrium reuertetur: quod fuerat demon­&longs;trandum.

His ita declaratis, o&longs;tendemus, (quod nullus ante nos animaduertit) harum librarum, quæ fulcimentum habent &longs;ur&longs;um, eam e&longs;&longs;e naturam, vt non à quouis ponde­re appo&longs;ito moueantur, vel penitus declinent.

Ij&longs;dem enim &longs;tantibus, addatur quoduis pondus lan­ci B; Itaque &longs;i tale fuerit quod &longs;uperet re&longs;i&longs;tentiam, quam illi facit centrum grauitatis contra naturam elatum in H mouebitur quædam libra. Sin autem tam parui momenti &longs;it, vt eam re&longs;i&longs;tentiam non vincat, &longs;tante circa locum in­fimum centro C, non mouebitur aut &longs;altem parum, ip&longs;a libra.

Hinc colligimus &longs;ieri po&longs;&longs;e, libras illas, quæ non quouis, quantumuis paruo pondere declinant, cas fulci-mentum habere &longs;ur&longs;um.

His ad dimus, cæteris paribus, re&longs;i&longs;tentiam eò e&longs;&longs;e maiorem, quo minus grauitatis centrum di&longs;tat à fulci­mento &longs;ur&longs;um, circa quod ip&longs;a libra aduertitur.

E&longs;to libra AB, cuius gra­uitatis centrum C, & primò quidem eius ful cimentum &longs;ur&longs;um &longs;it vbi D, itaque &longs;i ap­po&longs;ito pondere de clinauerit libra ad partes B, punctum C, dum a&longs;cendet de&longs;cribet portionem circuli CE. fulciatur iterum &longs;ur&longs;um puncto F, & iterum declinet ad partes B, & iterum punctum C, dum a&longs;cendet, circuli portionem de&longs;cribet CG. E&longs;t autem minor angulus contactus ACE, angulo ACG, magis er­go &longs;ur&longs;um, hoc e&longs;t, ad naturam &longs;ui feretur C, per CG, ex centro F, quàm per CE, ex centro D, quod fuerat de­mon&longs;trandum.

Hæc autem re&longs;i&longs;tentia ex eodem fulcimento & eo­dem pondere eo faciliùs &longs;uperabitur, quo longius bra­chium libræ fuerit.

E&longs;to enim iterum libra AB, cuius fulcimentum D, centrum grauitatis C, &longs;it & alia libra, cuius brachia bre­uiora EF, idem habens centrum C, & eidem puncto &longs;u­&longs;pen&longs;a D. Dico igitur, eodem pondere appo&longs;ito, faciliùs

declinaturam libram ad partes B, quàm &longs;i idem ap­poneretur in F. Demit­tatur enim, à puncto B horizonti perpendicula­ris BG, & ab F item per­pendicularis FH, Tum iuncta DB, centro D, eo­dem vero &longs;patio DB, circuli portio de&longs;cribatur BI, item iuncta DF eodem centro D, &longs;patio DF, portio circuli de­&longs;cribatu: FK. e&longs;t autem maior DB ip&longs;a DF ex propo&longs;. 21. lib. 1. Elem. quare maioris circuli portio e&longs;t BI quàm FK. Obliquior autem, hoc e&longs;t, à perpendiculariremotior e&longs;t motus per FK quàm per BI. maior &longs;i quidem e&longs;t angu­lus KFH angulo IBG. quod nos ita probamus. Ducatur perpendicularis ip&longs;i DF linea LF contingens circulum FK in F, item ip&longs;i DB, perpendicularis MB, contingens circulum BI in B, & quia angulus contingentiæ maioris circuli minor e&longs;t angulo contingentiæ minoris, erit KFL maior IBM, Recti autem &longs;unt DFL, DBM, minor ergo DFK re&longs;idua ip&longs;o DBI re&longs;iduo. Maior autem DFC ex iam citata propo&longs;. quam DBC, erit igitur re&longs;iduum CFK, multo minus re&longs;iduo FBI, &longs;ed recti &longs;unt CFH, FBG, ex quibus &longs;i detrahantur CFK, FBI, erit re&longs;iduum KFH, maius re&longs;iduo IBG, plus ergo retra hitur à perpendicula­ri podus de&longs;cendens per FK quàm per BI, minus igitur præalebit re&longs;i&longs;tentiæ in C pondus appen&longs;um in F, quàm &longs;i appendatur in B. quod fuerat demon&longs;trandum.

Po&longs;&longs;mus & idem quoque aliter o&longs;tendere.

Sint enim &longs;eor&longs;um duæ libræ, maior AB, mïnor EF, quàm commune grauitatis centrum C, fulcimentum ve­rò &longs;ur&longs;um D. Producatur perpendicularis DC, in G & fiat CG æqualis CB, CH verò æqualis CF. Sunt igitur duo

vectes DG, DH, quo­rum quidem commu­ne fulcimentum D, pondus verò C, poten­tiæ vbi HG. Sunt au­tem hi vectes cius na­turæ, in quibus pondus e&longs;t inter fulcimentum & potentiam, itaque vt &longs;e habet DC, ad DG, ita potentia in G ad pondus in C, item vt DC ad DH ita potentia in H ad idem pondus C, &longs;ed minor e&longs;t propo&longs;itio DC, ad DG quàm DC ad DH. minor ergo potentia requiritur in G, hoc e&longs;t, in B, quàm in H, hoc e&longs;t in F. Data igitur ponderis æqualitate faciliùs &longs;uperabitur re&longs;i&longs;tentia C in B, quàm in F: quod o&longs;tendendum fuerat.

Ad huius libræ naturam illæ quoque rediguntur, quarum iugum non rectum quidem, &longs;ed curuum, vel ex rectis &longs;ur&longs;um in angulum ad fulcimentum detinentibus, nec refert vtrum curuitas &longs;it circuli portio quælibet, aut ellip&longs;is &longs;ecundum alterum diametrorum; quod ita de­mon&longs;tramus.

E&longs;to libra, cuius iugum curuum angulatumue ABC, cuius fulcimentum B, æqua­lia autem brachia AB, BC, & pondera item vtrinque ap­pen&longs;a æqualia. Demittatur ex puncto B ad mundi cen­trum perpendicularis BD. Stante igitur libra ABC in æquilibrio, erit eius graui­tatis centrum in ip&longs;a perpendiculari BD, puta in E. Ap­ponatur pondus in C, declinabit autem libra, &longs;it autem iuxta po&longs;itionem FBG. Centrum igitur grauitatis E per portionem EH, erit in H. A&longs;cendit ergo centrum graui­tatis in H, hoc e&longs;t, &longs;ur&longs;um, id e&longs;t, contra cius naturam; a­moto igitur pondere ex C, grauitatis centrum extra per­pendicularem con&longs;titutum rur&longs;us de&longs;cendet, & iterum libra ABC ad æquilibrium reuertetur. Hoc idem egre­giè o&longs;tendit G. Vbald. in tractatu de libra, propo&longs;. 4.

Hinc ratio pendet earum imaguncularum, quas ex contu&longs;a papyro ligneaue leui materia compingunt, per­queue manus earum ambas, ferreum filum trajicientes, v­trinque plumbea appendunt pondera æqualia, ea quidem lege, vt centrum grauitatis infra pedes imaguncula &longs;ta­tuatur. Tunc enim exten &longs;o filo imponentes ceu funam­bulos per illud, vltrò citroque; decurrere faciunt, imagun­cula interim erecta & in neutram partem cadente, quod vt figurâ clarius fiat;

E&longs;to imaguncu­la AB, per cuius ma­nus traij ciatur filum ferreum curuum cum æ qualibus ponderi­bus hinc inde appen­&longs;is CD. Nitatur au­tem pedibus filo HI in B, &longs;itque; totìus ma­chinæ grauitatis cen­trum E, &longs;itque per­pendicularis per gra­uitatis centrum tran&longs;i­ens AB E. Itaque in­clinata imaguncula, & conuer&longs;a circa punctum B, &longs;i de-clinet ad partes I, centrum grauitatis eleuabitur in F. Si verò ad partes H eleuabitur in G. quare cum FG loca &longs;intremotiora à mundi centro, quàm &longs;it E, non &longs;tabit gra­uitatis centrum in punctis FG, &longs;ed ad infimum locum re­uertecur, hoc e&longs;t, in ip&longs;a perpendiculari in E, & imagun­cula ad perpendiculum ip&longs;i HBE filo, hoc e&longs;t, ip&longs;i hori­zonti reuertetur.

Hinc etiam Arictum, T e&longs;tudinun queue demolito­riatum Machinarum vis pendet, nempe ex ratione libra­rum, quæ fulcimentum habent &longs;ur&longs;um.

E&longs;to enim Aries AB funi appen&longs;us CD, cu­ius grauitatis centrum, D, perpendicularis verò quæ ad mundi centrum ip&longs;a CDE. Stante igitur in æquilibrio machina, centrum grauitatis erit in ip&longs;a perpendiculari. Applicetur alicubi po­tentia retropellens, eleuabitur igitur centrum grauitatis per circuli portionem DF, cuius &longs;emidiameter e&longs;t CD, &longs;i etqueue iuxta po&longs;itionem CF. Aries verò in GFH. Di­mi&longs;&longs;a itaque Machina centrum F vtpote graue, non &longs;tabit, &longs;ed &longs;uapte naturâ reuertetur in D. Quadruplici autem de cau&longs;&longs;a motus Arietis violenti&longs;&longs;imus e&longs;t ex vi naturalis ponderis, quo deor&longs;um fertur, tum velocitate naturalis motus in de&longs;cendendo auctæ, tum ex vi pote tiæ impel­lentis, & naturalem motum adiuuantis, tum ex velocita­te ex motu violento deor&longs;um & antror&longs;um impellente acqui&longs;itâ. Id etiam addimus, eo validiores fore ictus, quò grauior fuerit Machina, & maius &longs;patium, quo retrotra­hitur, grauitate ip&longs;a & &longs;patio tum virium vnione operationem mirum in modum adiuuantibus.

Hæc nos de Libra &longs;ur&longs;um fulcimentum habente, dí­cta voluimus, nunc de ea, cuius fulcimentum deor&longs;um, e&longs;t, verba faciemus.

Altera quæ&longs;tionis pars:

De Libra cuius fulcimentum deor&longs;um e&longs;t.

Si deor&longs;um fuerit, inquit Ari&longs;toteles, id quod &longs;ub­&longs;tat, contrarium facit illi quæ &longs;ur&longs;um habet, nempe ad æ­quilibrium non reuertitur. Plus enim, ait, dimidio fit li­bræ, quæ deor&longs;um e&longs;t pars, quàm quod perpendiculum &longs;ecet, quapropter non a&longs;cendit. eleuata enim pars leuior e&longs;t.

Hæc ille, qui &longs;chemate quo que rem aperit, at eo a­pud interpretes, & Picolomineum Paraphra&longs;tem, ita men­dosè lineato, vt inde ob&longs;curitas lucis loco, legentibus of­fundatur. Nos, quod & &longs;uprà quo que fecimus, no&longs;tra fi­gurâ, &longs;ole ip&longs;o clariorem, ex Ari&longs;to telis ip&longs;ius mente rem totam efficiemus.

Sit libra recta, (hoc e&longs;t, in æquilibrio con­&longs;tituta) vbi NG. Per­pendiculum autem (id e&longs;t, perpendicularis quæ ad mundi centrum) KLM. Bifariam igitur &longs;ecatur NG. impo&longs;ito po&longs;thæc onere in ip&longs;o N, erit quidem N, vbi O. ip&longs;um autem G vbi R. KL autem vbi LP. quare maius e&longs;t KO, quam LR, ip&longs;a parte PKL. Amoto igitur onere nece&longs;&longs;e e&longs;t manere. Incumbit enim onus ex­ce&longs;&longs;us medietatis eius, vbi e&longs;t F. Sen&longs;us e&longs;t igitur, idcirco partem iugi KLO inclinatam, ad æquilibrium non re­uerti, propterea quòd maior &longs;it ip&longs;a KLO pars quæ tra­hit, ip&longs;a RKL, quæ trahitur & eleuatur.

Pote&longs;t hoc idem longè &longs;impliciori themate demon­&longs;trari. E&longs;to enim libra AB, cuius centrum C, fulcimen­tum vero deor&longs;um D, Per­pendicularis per centrum & fulcimentum tran&longs;iens EF. Apponatur pondus in B, de­clinabitque; puta ad GH, cen­trum verò C, ex &longs;tabili fulci­mento D, circuli portionem de&longs;cribet CI, libra autem &longs;ecabit EF perpendicularem in K. Æquales autem &longs;unt IG, IH, at ex parte HI de&longs;umpta e&longs;t KI, addita queue ip&longs;i IG, maior e&longs;t ergo tota KG, torâ KH. Non igitur KH habet KG, &longs;ed libra, ni&longs;i impedita fuerit, cum centro C de&longs;cendente per in M, ad ip&longs;am perpendicularem dela­ta, ad in feriorem partem, mutatis vicibus quie&longs;cet, facto nempe fulcimento &longs;ur&longs;um, fietque; horizonti æque di&longs;tans iuxta po&longs;itionem LMN.

Demon&longs;tratio quidem e&longs;t hæc, &longs;ed non ex proprijs prin­cipijs Mechanicis, nempe ex ratione centi grauitatis petitâ. Ii&longs;dem enim &longs;tantibus, cum centrum grauitatis C fiat extra perpendicularem, de&longs;cendens ad I, nun quam reuert tur in C, a&longs;cen deret enim; &longs;ed &longs;i liberè circa centrum D con­uerteretur, de&longs;cendens vt dictum e&longs;t per circulum CIM pondus B, fieret in L, A vero in N adepta po&longs;itione LMN.

Cur autem huius libræ, quæ aliàs inutilis e&longs;t, memi­nerit Philo&longs;ophus, ea videtur cau&longs;&longs;a, quòd inde vectis vir­tutem eliciat, vt &longs;uo loco videbimus. Id autem valde mi­rum, hominem acuti&longs;&longs;imum nihil pror&longs;us de ea libra egi&longs;­&longs;e, quæ fulcimentum nec &longs;ur&longs;um habet, nec deor&longs;um, &longs;ed in ip&longs;o exqui&longs;itè medio, ita vt centrum grauitatis in ip&longs;o­met fulcimento con&longs;i&longs;tat. Nos igitur de hac quod operæ pretium fuerit, & ad rem, qua de agimus, vtile, in medium proferemus.

De libra cuius fulcimentum est in medio.

Dicimus itaque, libram, cuius fulcimentum nec &longs;ur­&longs;um e&longs;t, nec deor&longs;um, &longs;ed pror&longs;us in medio, nempe in ip&longs;o grauitatis centro, vbi brachia & pondera vtrinque appo­&longs;ita fuerint æqualia, &longs;i ab æquilibrio mouentur, quomo­docunque po&longs;ita, &longs;tare nec ab eo, quem adepta e&longs;t, &longs;itu di­moueri.

Quæ&longs;tionem hanc perperam tractârunt recentio­res quidam, Hieron. Cardanus, Nicolaus Tartalea, & alij nonnulli, qui Iordani Nemoracij a&longs;&longs;ertiones &longs;unt &longs;ecuti, quorum demon&longs;trationes vel paralogi&longs;mos potiùs egre­giè confutauit in libr. Mechanicor. Tractatu de libra pro­po&longs;. 4. Guid. Vbald. ad cuius probati&longs;&longs;ima &longs;cripta Lecto­rem ablegamus. fu&longs;i&longs;&longs;imè enim ibi hac de re & ab&longs;oluti&longs;&longs;i­mè agit. Nos autem quidem paucis ea, quæ ad hanc co­gnitionem pertinent, explicabimus.

E&longs;to enim libra AB, cuius brachia æqualia, & centrum grauitatis in C, brachijs verò AC, CB æqualibus, æ­qualia pondera hinc inde apponantur. Tum fulcimento in medio, hoc e&longs;t, vbi grauitatis centrum C applicato per centrum ip&longs;um C ducatur perpendicularis, quæ ad mundi centrum, DCE, &longs;itque primum libra æ­quedi&longs;tans horizonti, con&longs;tituta. Tum ex altera parte pre&longs;&longs;a moueatur & fiat iuxta po&longs;itionem FCG. Dico eam dimi&longs;&longs;am permanere, etenim cum grauitatis centrum &longs;it in ip&longs;a perpendiculari, in neutram partem verget, &longs;ed nec vergere pote&longs;t, quippe quod non circa fulcimentum ceu centrum motus, moueatur grauitatis centrum, &longs;ed in ip&longs;o &longs;it ful cimento; &longs;itum ergo non mutat. Præterea cum per­pendicularis DCE per grauitatis centrum ducatur, cor­pus ip&longs;um ex ponderibus & libra con&longs;tans ab ea in partes çque ponderantes &longs;ecatur, & ideo ex centri grauitatis dif­finitione, quam protulit Pappus, corpus ip&longs;um centro grauitatis appen&longs;um, dum fertur quie&longs;cit, & &longs;eruat eam, quam à principio habuit po&longs;ition. Et &longs;anè &longs;i partes quo­modo libet librâ per grauitatis centrum diuisâ, &longs;untæ­queponderantes nec trahent inuicem, nec trahentur, &longs;ta­bit ergo libra, & quam adepta fuerat po&longs;itionem, eam &longs;er­uabit. Id tamen non negamus, difficile e&longs;&longs;e libras eiu&longs;ce­modi ex materia fabricare, quippe quod non omnia quæ vera &longs;unt, & euidenti&longs;&longs;imis demon&longs;trationibus patent, commodè ad praxim, ex artis & materiæ imperfectione, reducuntur.

Cæterùm harum librarum ea e&longs;t virtus, vt vel mini­mo pondere altrin&longs;ecus appo&longs;ito, declinet; quod illis quæ centrum &longs;u &longs;um habent, non euenire, demon&longs;trauimus.

Circa hæc po&longs;&longs;et cuipiam oriri Dubium, num chor­dulæ, quibus lances appenduntur, variationem aliquam circa ea quæ demon&longs;trata &longs;unt, inducere valeant.

Dicimus nullam inde fieri: E&longs;to enim libra AB, cu­ius centrum & fulcimentum C, ab cuius extremitate A dependeat, funiculus AD, ab alia verò B, funiculus BE,

quibus appen&longs;æ &longs;int æ­qualis ponderis lances DE. Moueatur libra, fiatque in ICH, funi­culi verò in lancibus in IK, HL. &longs;ecet autem fu­niculus IK libram AB, in M, LH verò produ­catur & eandem &longs;ecer in N. quoniam igitur IC, æqualis e&longs;t CH, pa­rallelæ autem KI, LN æquales erunt alterni anguli MIC, NHC, &longs;ed & anguli ad verticem ICH, BCH æquales &longs;unt, quare triangulum IMC, æquale triangulo HNC, & latera lateribus, quæ æqualibus angulis &longs;ubtenduntur. Æqualis e&longs;t igitur linea MC lineæ NC. Itaque &longs;i ponde­ra lancesue, KL mente concipiantur appen&longs;æ in punctis MN, ex brachiorum & ponderum æqualitate æquepon­derabunt. quod fuerat demon&longs;trandum.

QVÆSTIO III.

Cur exiguæ vires (quod etiam à principio dixerat) vecte magna mouent pondera, vectes in&longs;uper onus accipientes, cum facilius &longs;it, minorem mouere grauitatem, minor est au­tem &longs;ine vecte?

Ari&longs;toteles ita quæ&longs;tionem proponit, vt eam Rheto­rico quodam fuco admirabiliorem fciat. Soluit au­tem hoc pacto, inquiens, fieri po&longs;&longs;e eam e&longs;&longs;e cau&longs;&longs;am, quod vectis &longs;it libra, eius nempe generis quod fulcimentum ha­bet deor&longs;um, atque id circo in ip&longs;a pre&longs;&longs;ione in partes in­æquales vectem diuidi.

Figura quam ex­hibet, vix ferè quid &longs;i­bi velit explicat. Nos ad eius mentem aliam proponemus eamque longè clariorem.

E&longs;to vectis AB, cuius fulcimentum, deor&longs;um in C, pon­dus D, potentia ex vecte, pondus &longs;u&longs;tinens E. Perpendi­cularis per fulcimentum FCG. Itaque quoniam poten­tia in E non &longs;uperat pondus D, nec ab eo &longs;uperatur, &longs;tat vectis cum potentia Horizonti æquidi&longs;tans, hoc e&longs;t, in æ­quilibrio, vectis autem in puncto C diuiditur in partes æ­queponderantes. Modo præualeat potentia ponderi, & vectem deprimat, fiat autem in LCH, erit igitur B, in L, A in H, D in K, & CF, quæ vectem in partes æque ponde­rantes diuidebat, in CI. Iam igitur non æqueponderant partes, &longs;i quidem pars vectis FCI, aufertur parti HCI, & adiungitur parti ICL, quæ ideo &longs;it pondero&longs;ior, vnde & potentia ad ponderis eleuationem adiuuatur. Eadem i­gitur vtitur hic demon&longs;tratione, quam in explicando ef­fectu libræ, cuius fulcimentum deor&longs;um e&longs;t, adhibuerat. Nec alia de cau&longs;&longs;a, vt &longs;uprà notauimus, videtur eius libræ in &longs;uperiori quæ&longs;tione, con&longs;iderationem introduxi&longs;&longs;e. Et &longs;anè verum e&longs;t quod concludit, Veruntamen minimi e&longs;t momenti ad tantam vim parua illa adiectio, quæ parti ve­ctis depre&longs;&longs;æ in ip&longs;a depre&longs;&longs;ione adiungitur. Aliunde igi­tur tantæ rei cau&longs;&longs;a e&longs;t petenda, quod & nos deinceps fa­ciemus. Videtur autem ip&longs;e quoque Ari&longs;toteles non &longs;ibi pror&longs;us in a&longs;&longs;ignata ratione &longs;atis feci&longs;&longs;e, & ideo &longs;ubiungit: quoniam ab æquali pondere celerius mouetur maior ca­rum quæ à centro &longs;unt duo verò pondera; quod mouet & quod mouetur, quod igitur motum pondus ad mouens longitudo patitur ad longitudinem, &longs;emper autem quan­tum ab hypomochlio (id e&longs;t, fulcimento) di&longs;tabit magis, tanto facilius mouebit. Cau&longs;&longs;a autem , quæ retro com­memorata e&longs;t, quoniam quæ plus à centro di&longs;tat maiorem de&longs;cribit circulum. quare ab eadem potentia plus &longs;upera­biturid quod mouetur, quæ plus à fulcimento di&longs;&longs;at. H&ucedil;c ille, qui a&longs;&longs;erit duo pondera in vecte con&longs;iderari, Pondus nempe motum, & mouentem Potentiam (hanc enim pon­deris habere vim atque rationem certum e&longs;t) Vires autem potentiam acquirere ex brachij longitudine, & ex inde con&longs;equenti velocitate, quo enim brachia longiora, eo in extremitate velociora, atque idcirco ita &longs;e habere mo­tum pondus ad potentiam mouentem, vt brachij longi­tudo ad brachij longitudinem: brachia autem vocamus, partes illas vectis, quæ à fulcimento ad vtranque vectis extremitatem pertingunt, & ideo quantum à fulcimento potentia di&longs;tabit magis, eo faciliùs pondus mouebit.

Vera vtique & explorati&longs;&longs;ima hæc a&longs;&longs;ertio e&longs;t. Ve­runtamen, cau&longs;&longs;am huiu&longs;ce mirabilis effectus, e&longs;&longs;e velo­citatem, quæ brachij longitudinem con&longs;equitur, non af­firmamus. quæ enim velocitas in re &longs;tante? Stant autem vectis, & libra dum manent in æquilibrio, & nihilo &longs;ecius parua potentia ingens &longs;u&longs;tinet pondus.

Dicet ad hæc qui&longs;piam, velocitatem in longiori bra­chio &longs;i non actu, &longs;altem potentiâ e&longs;&longs;e maiorem. At quæ&longs;o quid in re quæ e&longs;t actu, momenti habet potentia? actu e­nim &longs;u&longs;tinet, &longs;u&longs;tinens. Con&longs;equìtur, (id vtique fatemur) nece&longs;&longs;ariò velocitas maior motu brachij maioris; non ta­men cau&longs;&longs;a e&longs;t cur vis loco vbi velocitas maior &longs;it, appo&longs;i­ta magis moueat. Sanè ex velocitate, dum mouentur, pon­dus acquirere corpora, tum proiecta, tum cadentia cer­tum e&longs;t, quod etiam in quæ&longs;tione 19. cum Philo&longs;opho con-&longs;i derabimus. Sed hoc ex velocitate & motu &longs;it, quæ &longs;unt actu. At brachia in ip&longs;o æquilibrio &longs;u&longs;tinent actu quidem, &longs;ed non mouentur. Cæterum videtur A riftoteles id &longs;ub­odora&longs;&longs;e, quod po&longs;tea Archimedes, Mechanicorum prin­ceps, in propo&longs;. 6. primi Æqueponderantium explicitè protulit & probauit: nempe in æquilibrio ita e&longs;&longs;e pondus ad pondus, vt brachium ad brachium, ratione permutata.

E&longs;to enim vectis AB, quomodolibet fulcimento diui&longs;us in C. appendatur autem in A, pondus D, in B verò pondus E, ita &longs;e habens ad pondus D, vtip&longs;a AC ad CB. Stabit igitur ve­ctis, & neutram in partem verget, erit enim centrum gra­uitatis in C, diui&longs;o nempe ibi vecte in partes æque ponde­rantes. Hoc po&longs;t Archimedem, & in&longs;ignes illos veteres Mechanicos præclari&longs;&longs;imè demon&longs;trauit G. Vbaldus in Mechanicis, Tractatu de Libra propo&longs;. 6. nec non de Ve­cte propo&longs;. 4.

Cæterùm vt aliquid interim, quod no&longs;trum &longs;it, affe­ramus, liceat nobis egregios illos viros interrogare, quæ­nam mirabilis eius effectionis &longs;it cau&longs;&longs;a? Dicent permu­tatam proportionem. Teneo, at nondum acquie&longs;co: pe­tam enim, Cur ea rationis permutatio mirabilem illum effectum pariat. Hoc quod illi non do cent, puto nos, i­gnorantiæ &longs;omno &longs;epultos, &longs;omnia&longs;&longs;e.

Æqualitatem &longs;tatus e&longs;&longs;e cau&longs;&longs;am, nemo, vt puto, inficiabitur. res e&longs;t enim per &longs;e clara. E&longs;to &longs;i­quidem linea quæpiam AB, applicetur extremitati A po­tentia quæ dam quæ lineam ad &longs;e trahat ad partes nempe A, Tum in B quædam alia potentia ip&longs;i quæ in A potentiae, æqualis, quæ lin eam trahat &longs;imili modo ad partes B. Datâ igitur harum potentiarum æqualitate, linea AB, nec ad partes A, nec ad partes B transferetur, &longs;ed pror&longs;us immo­bilis &longs;tabit.

His ita con&longs;titutis, Dico vecte quomodolibet diui&longs;o, ponderibu&longs;que vtrinque appo&longs;itis, permutatâ propor­tione &longs;ibi inuicem re&longs;pondentibus, rem e&longs;&longs;e redactam ad æqualitatem, & inde &longs;tatum fieri, hoc e&longs;t, æquilibrium.

E&longs;to enim vectis AB, quo modo libet diui&longs;us in C, & ip&longs;i quidem C fulcimentum &longs;upponatur. Appendantur quo que vtrinque pondera ex ratione brachiorum AC, CB, &longs;ibi inuicem permutatim re&longs;pondentia, &longs;intque; DE. Dico vectem ex æqualitate, in neutram partem inclina­turum, &longs;ed perman&longs;urum in æquilibrio. quoniam enim Pon­dus D idem pote&longs;t quod brachium CB, addatur in dire­ctum ip&longs;i AC, recta AF æqualis ip&longs;i CB, item quoniam Pondus E id pote&longs;t quod brachium AC, rectæ CB ad­datur in directum BG, ip&longs;i AC æqualis. Igitur cum par­tes CA, AF totius FC, æquales &longs;int partibus CB, BG, totius CG, erit totum FC, toti CG æquale. Diui&longs;us ita-que erit vectis FG in partes æquales FC, CG in puncto fulcimenti C. Et quoniam æquale in æquale non agit, &longs;tabit vectis & in neutram partem inclinabit. Rur&longs;um quoniam ad partem FC, duæ &longs;unt brachiorum potentiæ FA, HC, appendantur puncto F, duo pondera H, I, ip&longs;is DE æqualia, item puncto G, alia duo pondera ij&longs;dem DE æqualia KL, iterum æqueponderabit, quippe quod æ­qualibus brachijs FCCG æqualia appen&longs;a &longs;int pondera HI KL. Cur igitur &longs;eruata permutatim brachiorum & ponderum proportione fiat æquilibrium, ex his quæ de­mon&longs;trauimus, clarè patet.

Sed forte dicet qui&longs;piam, &longs;i brachia, pondera &longs;unt, vel ponderibus æquipollentia, &longs;u&longs;tinenti duplicabitur pondus.

E&longs;to enim vectis AB, ita diui&longs;us in C, vt pars maior CB minori AC &longs;it in proportione quintu­pla. Appendatur autem in A pondus D, quintuplum ponderi E appen&longs;o in B. Si igitur brachio AC, quod e&longs;t vnum, ad datur pondus D, quod e&longs;t quinque, fi ent &longs;ex, item &longs;i brachio CB, quod e&longs;t quinque, addatur pondus E, quod e&longs;t vnum, fient &longs;ex. Fulcimentum igitur &longs;u&longs;tinebit duodecim, quod e&longs;t ab­&longs;urdum ex ijs quæ clarè demon&longs;trauit G. Vbald. in Me­chan. tractatu de Libra propo&longs;. 5. His re&longs;pondemus, bra­chia quidem operari non pondere, &longs;ed potentiâ, quæ vis quædam e&longs;t, non autem pondus. Et&longs;i & illud verum &longs;it, da­to vecte pondero&longs;o, fulcimentum rum ponderum appen­&longs;orum, tum vectis ip&longs;ius pondus &longs;u&longs;tinere.

Iacta huiu&longs;cemodi, quam diximus, æqualitate, &longs;e-quitur nece&longs;&longs;ariò, centrum grauitatis ip&longs;ius vectis cum appen&longs;is ponderibus, ac &longs;i vnum idemqueue e&longs;&longs;et corpus cadere in perpen diculari quæ per centrum ip&longs;um & ful­cimentum tran&longs;iens ad mundi centrum pertingit.

QVÆSTIO IV.

Quærit hic Ari&longs;toteles, cur ij qui in nauis medio &longs;unt remiges ma­ximè nauem moueant?

Ait, ideo forta&longs;&longs;e fieri, quòd remus vectis &longs;it, fulcimen­tum verò &longs;calmus, &longs;tat enim. Pondus autem marei­p&longs;um, quod à remo propellitur, mouens verò ip&longs;um remi­gem, &longs;emper autem plus mouere ponderis quimouet, quo magis di&longs;tatà fulcimento. Ita enim maiorem fieri quæ ex centro; Scalmum verò centrum e&longs;&longs;e. Cæterùmin medio nauis plurimum remi intus e&longs;&longs;e. Ibi enim nauem e&longs;&longs;e lati&longs;&longs;imam. Moueri autem nauim, quoniam appellen­te mariremo, extremum illius quod intus e&longs;t anterius pro­mouctur, cuius motum nauis &longs;equitur, cui &longs;calmus alliga­tur. Vbiautem plurimum maris diuidit remus, eo maximè nece&longs;&longs;e e&longs;&longs;e propelli. Plurimum autem diuidi vbi plurima pars remi à &longs;calmo e&longs;t. Rem facilem, eo quod verbis potu­erit, &longs;chemate non declarauit, nos autem apponemus.

E&longs;to enim nauis AB, mare CD, remorum alter, quiad proram EF, cu­ius &longs;calmus G, alter verò in medio na­uis, HI, circa &longs;calmum K. Ait igitur, remos e&longs;&longs;e vectes, &longs;calmos verò fulci­menta, pondus quod remo, ceu vecte, mouetur mare ip&longs;um. Itaque quoniam nauis lata e&longs;t in medio vbi Scalmus K maior pars KH intra nauim e&longs;t, minor verò KI, extra. Contra autem remiad proram, nempe EF pars minor EG intra nauim, pars verò maior GF extra nauim e&longs;t. Pondus autem cò faciliùs mouctur, quo maior e&longs;t vectis pars, quæ à fulcimento e&longs;t ad mouentem potentiam.

Acutè &longs;anè Philo&longs;ophus. Ego autem &longs;i per mode&longs;tiam liceret, dicerem, non quidem e&longs;&longs;e fulcimentum &longs;calmum, &longs;ed mare ip&longs;um, pondus vero nauim, ad locum &longs;calmi, nen­pe inter mouentem potentiam, & fulcimentum po&longs;itum, etenim & eo pacto po&longs;&longs;umus vti vecte, quod ob&longs;eruat & demon&longs;trat G. Vbaldus tractatu de vecte propo&longs;. 2. Erunt igitur in de&longs;cripta figura puncta FI, quæ in mari&longs;unt, ful­cimenta, quibus remorum extrema in ip&longs;aim pul&longs;ione ni­tuntur, pondera verò &longs;eu pondus pluribus vectibus & po­tentijs impul&longs;um nauis ip&longs;a, quæ &longs;calmis e&longs;t annexa. Re&longs;i­&longs;tente igitur mari, cedente autem impul&longs;ionibus &longs;calmo, nauis eo transfertur, quo &longs;calmi ab ip&longs;a potentia mouen­te in anteriorem partem pelluntur. quoniam autem vt FG ad FE ita potentia mouens in E ad pondus motum in G. item vt IK ad IH ita potentia mouens in H ad pon­dus motum in K, maior autem e&longs;t proportio FG ad FE quàm proportio IK ad IH. Maiori indiget potentia vt pellatur pondus in G quàm pondus in K.

Hæc certè vti diximus ita &longs;e habent. Philo&longs;ophi au­tem ratio tunc procederet, &longs;i &longs;tante naui immobili, vt fit vbi à Remoræ occulta vi aut ab alio impedimento reti­netur, remiges in ip&longs;o remigandi actu mare pul&longs;arent, Tunc enim verè &longs;calmus fieret fulcimentum, mare autem pondus, remex verò ip&longs;e mouens.

Addimus, fal&longs;um videri quod a&longs;&longs;erit Ari&longs;toteles, nempeillos qui in media naui &longs;unt, remiges, maximè na­uim mouere; facilius, melius dixi&longs;&longs;et. Si enim maximè, quod ait, denorat, maximo &longs;patio, & velocius pror&longs;us fal­&longs;um, etenim tardius mouent & minori &longs;patio, quod nos i­ta demon&longs;tramus.

E&longs;to enim Remus AB qui marí fulcitur in B, Scal­mus remi qui ad proram pup­pimue C, qui in media naui D, maior autem remi pars e&longs;t à &longs;calmo Dad A quami­p&longs;ius C 2d A, Pellantur remi & &longs;tante ceu centro BA, in E. eodem igitur tempore C eritin F, & D in G, &longs;ed maiue&longs;t &longs;patium CF &longs;patio DG, Ergo vnica impul&longs;ione, plus mouit &longs;calmum, hoc e&longs;t, nauim, potentia ad puppim pro­ramue remigans, quàm ea quæ operatur in media naui vt &longs;entire vidbatur (&longs;i modo is e&longs;t eius &longs;en&longs;us) Ari&longs;toteles. Nece&longs;&longs;arium igitur e&longs;t, quodait, maximè intelligendum, faciliùs, Veritatem hanc cogno&longs;centes Triremium præ­fecti robu&longs;tiores quidem remiges ad proram & puppim, inualidiores vcrò circa mediam triremem collocant.

QVÆSTIO V.

Dubitatur, Cur paruum exi&longs;tens gubernaculum, & in extremo nauigio tantas habeat vires, vt ab exiguo temone, & ab hominis vnius viribus alioqui modicè vtentis magnæ nauigiorum moueantur moles?

AN, inquit, quoniam gubernaculum vectis e&longs;t, onus autem mare, Gubernator vero mouens e&longs;t? Non au­tem &longs;ecundùm latitudinem veluti remus, mare accipit gubernaculum; non enim in ante nauigium mouet, &longs;edi­p&longs;um commotum mare accipiens inclinat obliquè. quo­niam enim pondus e&longs;t mare contrario innixum modo na­uem inclinat. fulcimentum enimin contrarium ver&longs;atur, mare vetò interius, & illud exterius. illud autem &longs;equitur nauis quæ illi e&longs;t alligata & remus quidem &longs;ecundum la­titudinem onus propellens & ab eodem repul&longs;us in re-ctum propellit, Gubernaculum verò, vt obliquum iacet hinc inde in obliquum motionem facit. in extremo autem, non in medio iacet, quoniam mouenti fa cillimum e&longs;t mo­tum moucre: prima enim pars celerrimè fertur, & quo­niam, quemadmodum in ijs quæ feruntur in fine deficit latio, &longs;ic ip&longs;ius continui in finem, imbecillima e&longs;t latio. Imbecillima autem ad expellendum e&longs;t facilis. Propter hæc igitur in puppi gubernaculum ponitur, nec minus, quoniam paruaibi motione facta, multo maior fit in vlti­mo, quia æqualis angulus &longs;emper maiorem ad&longs;pectat, tan­to queue magis, quanto maiores fuerint illæ, quæ continent. Exijs ctiam manife&longs;tum e&longs;t, quam ob cau&longs;&longs;am magis in contrarium procedit nauigium, quam remi ip&longs;ius palmu­la, eadem enim magnitudo ij&longs;dem mota viribus in aëre plus quàm in aqua progreditur. Hæc Philo&longs;ophus, qui haudquaquam ex more &longs;uo, quod duobus ferè poterat, &longs;excentis verbis expo&longs;uit. Licebat enimid tantum dicere, Gubernaculum (ita vocatid totum quod gubernaculo & temone con&longs;tat) e&longs;&longs;e ceuremum, quo nauis non antror­&longs;um, &longs;ed obliquè & ad latus mouetur. quamobrem omnia ferè quæ de Temone dicenda fuerant, de remo loquens proponit. Aitautem.

Sit remus AB, &longs;calmus vero C, remi in nauigio principium A, palmula autem, quæ in mari B. Si igi­tur A, vbi D transla­tum e&longs;t, non erit B v­bi E. æqualis enim, BE ip&longs;i AD, æquale igitur translatum erit, &longs;ed erat minus. eritigitur vbi F, mi­nor enim BF, ip&longs;a AD, quareip&longs;o GF ip&longs;a DG. Hæc demon&longs;tratio licet vera videatur, rei ta men, de qua e&longs;t &longs;ermo, minimè aptatur. Si enim aptaretur in ip&longs;ius remi motu, cum palmula e&longs;&longs;et in F, &longs;calmus ficret in G, excur­reretergo vel &longs;calmus per remum, vel remus per &longs;calmum, facta nempe ciu&longs;modi translatione de C in G, & &longs;ic intra nauim modo e&longs;&longs;et pars remi DC, modò verò GD, quod tamen non &longs;ieri ipsâ experientia docemur. Illud quoque fal&longs;um e&longs;t, nauim ip&longs;am tantum moueri in aëre, quantum e&longs;t &longs;patium AD, hoc e&longs;t, remi extremum quod e&longs;t in naui, &longs;iquidem &longs;calmi motu, non autem manubrij remi, nauis agatur. Aliter igitur res &longs;e habet, & forte hoc pacto.

Sit remus AB, cuíus manubrium A, palmula B, &longs;calmus C. Pellatur an­tror&longs;us A, fiatque; in D, tunc &longs;i æqualiter mouerentur manubrium & palmula, i­p&longs;a palmula ficret in G, at minus mouetur: fiet ergo in E. ip&longs;e verò &longs;calmus C translatus erit in F, motaque; erit nauis à C in F, non autem ab A in D. P o&longs;uitautem Ari&longs;toteles &longs;calmum ad medium remi, &longs;ed non ad medium collocari &longs;olet, maior enim pars in mare propendet puta HB, quo ca&longs;u translationis &longs;pa­tium fit maius, nempe ab H in I. fit autem motus &longs;calmi ex centris qui &longs;unt in &longs;patio ip&longs;o BE, quatenus autem ad te­monem pertinet, quem remum ait, obliquè puppim ip&longs;am propellentem, ita &longs;e res habet.

E&longs;to nauis carina AB, prora A, puppis B, Temonis ala BC, gubernaculum BD, cardo verò fulcimentumue B; factaitaque impul&longs;ione obliquâ gubernaculi à D in E, minor fiet motus in mari à C in F, eritqueue temo vbi EGF,

cardo verò vbi G, translata igitur e­rit eo motu, puppis ip&longs;a à B in G. facta itaque paruâ motione puppis ex B in G, prora ip&longs;a quæ longè di&longs;tat à pup­pi B maiori &longs;patio &longs;uperato translata erit in H facta proræ in contrariam partem ab ea quæ facta e&longs;t guberna­culi motione. Porrò quod & in præ­cedente quæ&longs;tione adnotauimus, lon­gè meliùs procedet demon&longs;tratio &longs;i fulcimentum mare intelligatur, quàm &longs;calmus, neque enim mare ceu pon­dus, &longs;ed &longs;calmus ip&longs;e Temonisuecardo, ponderum in&longs;tar transferuntur.

Cæterùm in hac &longs;peculatione liceat nobis aliquan­tulum à Philo&longs;opho di&longs;&longs;entire. Certè &longs;i breuitas Temo­nis, è puppi eminentis, re&longs;pectu longitudinis totius nauis con&longs;ideretur, & parua motio, quæ temone guberna culo­ue moto fit, nullius ferè momenti erit ad eam quæ in pro. ra fit translationem. aliter ergo &longs;e rem habere non dubi­tamus, & quæ&longs;tionis &longs;olutionem aliunde petendam. Na­uinon currentenullum ferè, aut qui vix curandus &longs;it ex gubernaculi conuer&longs;ione nauis ad dextram &longs;ini&longs;tramue motum fieri. at eâ currente maximum, experientiâ doce­mur. Obliqui igitur motus qui validèin puppi &longs;it, cau&longs;&longs;a e&longs;t non quidem ex conuer&longs;ione temonis percu&longs;&longs;io maris, &longs;ed mare ip&longs;um, cuius fluctus naui currente obliquam te­monis alam ad eam partem quæ mari obuertitur, impel­lentes temonem cum puppiad contrariam partem vali­di&longs;&longs;imè transferunt.

E&longs;to nauis carina AB, prora B, puppis A, Temo AC, gubernaculum AD; Itaque currentenaui, Temone in­terim & guberna culo in eadem carinæ linea exi&longs;tentibus,

Temo quidem mare &longs;ecat, nulla fa­ctâ in puppi, nauis ad &longs;ini&longs;tram dex­tramue translatione. Si verò mouea­tur gubernaculum à D in E, co moto mouebitur aliquantulum & puppis ad partes E, quod voluit Ari&longs;toteles. Sedminimi, vt diximus, ea res ad tan­tum effectum e&longs;t momenti. Temone autem in obliquum con&longs;tituto vt AF, naui interim, ventorum aut remorum vi pul&longs;a proram ver&longs;us currente te­monis latus à fluctibus obliquam par­tem alamue in ip&longs;o cur&longs;u ferientibus, in contrariam partem transfertur, ad eam nempe, ad quam ip&longs;um gubernaculum vergit. facta i­gitur nauis ceu circa centrum centraue quæ in carina in­ter puppim proramue con&longs;i derantur A, fertur in G, prora verò in H. ex quibus manife&longs;tè apparet, duo ad nauis ex temone in puppi conuer&longs;ione motionem e&longs;&longs;e ne ce&longs;&longs;aria; Temonis nempe obliquationem, & nauis cur&longs;um, quorum &longs;i alterum &longs;ine altero adhibeatur, nullam fieri quæ alicu­ius momenti &longs;it, nauis conuer&longs;ionem. Illud quoque nota­mus, carinam in nauis conuer&longs;ione vectis in&longs;tar &longs;e habere, cuius pars mota ad puppim, & mouens potentia e&longs;t; fulci­mentum verò circa proram, potentia autem mouens ma­reip&longs;um, temonem in nauis cur&longs;u oblique feriens. Vnde colligimus naues, quo longiores &longs;unt in mouente ad Te­monem adhibita maiori facilitate ad dextram &longs;ini&longs;tram­ue propelli: quod &longs;anè ip&longs;emet con&longs;iderauit Ari&longs;toteles, quì idcirco inquir, in extremo, non autem in medio temo­nem poni eo quod mouenti facilimum &longs;it ab extremo motum mouere.

Ex hac no&longs;trâ &longs;peculatione ratio habetur eius ma-chinationis, quâ in magnis fluminibus, ceu Pado, Abdua & &longs;imilibus, Portitores, equos, currus, viatore&longs;que; ip&longs;os, è ripa in ripam transferunt. Pulcherrima enim res e&longs;t, & nobis per&longs;pecti&longs;&longs;ima, qui Gua&longs;tallâ re&longs;identiæ olim no­&longs;træ oppido ad Padum, Mantuam pergentes &longs;æpi&longs;&longs;imè ad Ca&longs;trum Brgi Iu&longs;is ea qua diximus machinatione lati&longs;­&longs;imum eiu&longs;dem Padi aluum tran&longs;ie cimus. Habet autem &longs;e hoc pacto.

E&longs;to fluminis citerior ripa AB, vlterior CD. Pon­tones duo tabulis &longs;trati, & v­nà firmiter juncti EF, Temo inter eorum puppes extans GH, locus in ripa &longs;tabilis A, funis, quo pontones, & ma­china tota continetur AI. fluuij decur&longs;us ver&longs;us BD, &longs;tantibus itaque pontonibus ad ripam citeriorem AB, Te­mone in neutram partem pul­&longs;o, cum aqua decurrens eum re&longs;i&longs;tentem non inueniat, &longs;cinditur quidem ab eo, &longs;ed non propellit, eo autem con­uer&longs;o & in GK con&longs;tituto, a­la eius GK ab aqua defluente propul&longs;a machinam &longs;ecum trahit ver&longs;us ripam CD, factâ motione circa centrum &longs;eu &longs;tabilem locum A, otio&longs;is interim portitoribus, donec per circuli portionem ML deuenerit ad vlteriorem ripam in L. Vnde iterum temone in contrariam partem conuer&longs;o, aquâ &longs;imiliter temonem propellente, per eandem circuli portionem ad ripam citeriorem reuertitur, à qua paullo antè di&longs;ce&longs;&longs;erat. Ex quibus apparet, motus cau&longs;&longs;am non e&longs;&longs;e &longs;olam cam, quæ ab ala temonis fit, aquæ percu&longs;&longs;ionem, vt &longs;en&longs;erat Ari&longs;toteles, &longs;ed currentis a quæ temonis alam ferientis impul&longs;ionm: nihil autem referre, vtrum &longs;tante naui a qua currat, vel câ currente a qua &longs;tet, vt in mari fit, idem enim vtroque modo temo patitur. Vt autem machi­næ huius & totius negotij &longs;pecies facilius animo concipia­tur, &longs;chema hoc &longs;tudio &longs;orum oculis &longs;ubijciemus.

Lembi nauiculæueideo appo&longs;itæ &longs;unt, vt oblongum funem &longs;u&longs;tineant; id etenim nî fieret, aquæ immer&longs;us a­quam &longs;cindens machinæ motum impediret, ideo etiam apponuntur, ne funis madens celeriter maceretur & pu­tre&longs;cat.

Huic &longs;peculationi affinis e&longs;t ea, velorum eorum, quæ obliquè ventum, excipientia frumentarijs molis dant motum, item verticillorum ex papyro, quibus con­tra ventum currentes per lu&longs;um pueri vtuntur. vnicum enim horum emnium principium, & eadem, ratio.

Diximus enim, Temonem currente naui, lateraliter conuer&longs;um obuios fluctus ex cipientem puppim ip&longs;am ob­liquè in alteram partem transferre. Porrò ea vela, de qui­bus loquimur, ventorum flatibus obliquè oppo&longs;ita can­dem ob cau&longs;&longs;am circulariter agitantur, quodvt figurâ eui­dentius fiat,

E&longs;to velum AB, brachio CE obliquè affixum, ita vt angulus ACE maior &longs;it an­gulo BCE, ventus obliquè velum feriens FG. Itaque quo­niam ventus in velum obli. quum incidit, elabitur velum, & circa centrum E vnà cum brachio circumuertitur, in cuius locum &longs;uccedit velum HI, ex qua a&longs;&longs;idua velorum &longs;ucce&longs;&longs;ione, brachiorum & a­xis cui adhærent, rotatio fit perpetua. Sed enim de Te­mone agentes non e&longs;t interim cur de caudis auium pi&longs;ci­umque taceamus, in&longs;tar enim remonum &longs;unt à Naturai­p&longs;a opportunis animalium partibus, po&longs;tremis videlicet, appo&longs;iti, quanquam nec&longs;olum Temonis v&longs;um præ&longs;tent, vt videbimus.

E&longs;to pi&longs;cis AB, cuius caput A, cauda verò CB. Hac igitur neutram in partem reflexâ, pi&longs;cis pinnarum motu rectâ in anteriorem partem progreditur. Si autem nece&longs;­&longs;e ei fuerit ad dextram &longs;ini&longs;tramqueue conuerti non pote­rit, ni&longs;i cauda ip&longs;a iuuetur. Omnis enim motus progre&longs;&longs;i­uus quiete indiget, nec ab&longs;que &longs;tabili fulcimento progredi

pote&longs;t, quod in libris de ani­malium ince&longs;&longs;u docet ip&longs;e­met Philo&longs;ophus. Sit igitur, pi&longs;cem conuerti velle, & fie­ri capite in D, deflectet illi­co caudam in E, caque; aquam ceu &longs;tabile quippiam feriens eiqueue quodmmodo fultus, reliquum corpus CA refle­ctet in D, &longs;i autem conuerti velit in F, caudam defle ctet in G, & eadem ratione cte­tur in F. Sed & Temonis quoque v&longs;um præ&longs;tat natatili­bus & volatilibus cauda. Sit enim rectus pi&longs;cis, hoc e&longs;t, re­ctâ pergens IKL, caudam obliquet in KM itaque ex a­quæ in ip&longs;o motu colli&longs;ione, eius po&longs;teriora pellentur vbi INO. Hæc itaque nos de Temone, quatenus ad hanc quæ&longs;tionem pertinet, con&longs;idera&longs;&longs;e &longs;it &longs;atis.

QVÆSTIO VI.

Dubitatur, Cur quanto Antenna &longs;ublimior fuerit, ÿ&longs;dem velis, & vento eodem celeriùs ferantur nauigia?

Soluit Philo&longs;ophus, inquiens: An quia malus quidem &longs;it vectis, fulcimentum verò mali &longs;edes, in qua colloca­tur, pondus autem quod moueri debet, ip&longs;um nauigium: mouens verò is, qui vela tendit &longs;piritus? Si igitur quanto remotior fuerit fulcimentum facilius eadem potentia, & citiùs idem mouet pondus, altius certè &longs;ublatâ antennâ, velum à mali &longs;ede, quae fulcimentum e&longs;t remotius faciens, id efficiet. Hæc ille. quæ &longs;ic figurâ explicamus.

E&longs;to nauis AB, malus CD, mali &longs;edes D, locus antennæ &longs;ublimior C, depre&longs;&longs;ior E: ita­que quoniam CD vectis e&longs;t, quo mouens remotior fuerit à fulcimento D, co citiùs & vio­lentiùs pellet, velocius ergo nauis mouebitur antenna in C, quàm in E, con&longs;tituta.

Plau&longs;ibilia &longs;unt hæc, at certè per veritatem ip&longs;am, non vera. Rogo, Si fulcimentum dum vectis mouetur, cen­trum e&longs;t, centrum vtique motus erit D. &longs;pirante igitur va­lidè vento inclinabitur malus, fietque; vbi FGD, quæ qui­dem in clinatio vio lentius fiet, vento pellentein F q uàm in G, vtpote puncto à fulcimento remotiore. Impul&longs;o ma­lo, duo nece&longs;&longs;ariò con&longs;equentur, vel enim ad ip&longs;am &longs;edem D. frangetur vel puppis ip&longs;a circa D punctum conuer&longs;a, vt mali &longs;e quatur motum eleuabitur. Prora verò &longs;ubmer­getur facta naui in HDI. Quod &longs;i qui&longs;piam funem ad ma­li &longs;ummitatem annexam ad ip&longs;am puppim alligauerit in B, impe dietur &longs;anè mali in clinatio ad partes F, & ideo nul­la vis pror&longs;us fiet in D ex vectis ratione. Attamen nihilo &longs;ecius, quo &longs;ublimior fuerit antenna, eo faciliùs à &longs;pirante vento puppis eleuabitur. quatenus igitur malus vectis e&longs;t, hoc tantum quod dicimus operatur. Quod &longs;i contrà obiectum fuerit, experientiam docere, quo &longs;ublimior an­tenna fuerit, eo citiùs nauigium, &longs;piritu flante moueri. Re&longs;pon&longs;io facilis, nempe, mirum non e&longs;&longs;e, &longs;i mali pars &longs;ub­limior validius à vento feriatur. Videmus enim, & turres quo &longs;ublimiores fuerint, eo magis à ventorum impetuo&longs;is flatibus infe&longs;tari, quod &longs;anè ad vectis longitudinem refer­re, e&longs;&longs;et ridiculum. Cætcrùm quod ad puppis faciliorem eleuationem ex mali ip&longs;ius altitudine pertinet, ad vectis contemplationem reducimus. e&longs;t enim quæ dam vectium &longs;pecies ab alijs non con&longs;iderata, cuius brachia in angu­lum de&longs;inunt, vtip&longs;e angulus in operatione &longs;it fulcimen­tum.

E&longs;to enim vectis, de quo agimus, ABC, cuius brachia AB, BC. iuncta ad angulum B, &longs;itqueue B in operatione fulc mentum. Nec quicquam refert quatenus ad v&longs;um pertinet, vtrum an­gulus ip&longs;e rectus &longs;it, acutus vel obtu­&longs;us. &longs;it autem modò rectus. Ponaturi­gitur pondus aliquod in C, tum po­tentia quædam applicetur in A, quae i­p&longs;am vectis extremitatem A propel­lat in D. erit igitur AB in DB & an­gulo &longs;eruato BC in BE. Pondus igi­tur cum parte vectis BC eleuabitur in E. In hoc autem vectis genere attenditur proportio quam habet AB ad BC. Si enim potentia quæ applicatur in A ita &longs;e habet ad pondus in C vt CB, ip&longs;i BA, fiet æ quilibrium. Si maior autem fuerit proportio potentiæ in A, ad pondus in C, ea quam habet AB ad BC, &longs;uperatâ ponderis re&longs;i&longs;tentiâ fiet motus. Res autem haud aliter &longs;e habet, ac &longs;i producta in F, fieret BF æqualis BC. Tunc enim vectis ad rectitudi­nem, &longs;eruatâ proportione, redigeretur, & ita potentia in A, fulcimento B operaretur in F, vt operabatur in C.

Ad huius vectis naturam referuntur fabrorum mal­lei, quibus clauos reuellunt, forcipes item quæ tenaci mor&longs;u clauorum capita vmbellasue apprendentes, vio­lenterè tabulis extrahunt. In malleo itaque &longs;ubtili, vt in figura videre e&longs;t, AB vectis e&longs;t pars quæ à fulcimento ad potentiam; ac verò quæ à fulcimento ad pondus, ponderi

&longs;iquidem æquiparatur re&longs;i­&longs;tentia quae fit in C. I dem ob­&longs;eruamus in forcipe, in quo duo quidem brachia AD, CB, quatenus ad appren&longs;io­nem pertinet, fulcimentum, habent in ip&longs;o centro &longs;eu ver­rebra, & ideo quo longiores fuerint, eo tenaciùs appre­hendunt & retinent. quate­nus autem ad extractionem, facit, pro vnico forceps totus habetur vecte, cuius quidem pars à potentia ad fulcimentum AB. quæ verò à fulcimen­to ad hoc e&longs;t clauum ip&longs;um qui reuellitur AC. Violenti&longs;­&longs;imè autem extrahunt forcipes, propterea quod maxima &longs;it proportio longitudinis brachij BA, ad eam quæ e&longs;t ab A ad C.

His igitur hoc pacto examinatis, ad nauim & malum reuertentes, dicimus, tunc facillimam fieri puppis eleua­tionem, proræ verò demer&longs;ionem, cum maxima fuerit proportio, quam habet altitudo mali, ad eam nauis partem quæ à malo ad ip&longs;am puppis extremitatem, pertingit. Quamobrem prudentes nauium fabri, vt huic difficultati occurrant, malum non in medio quidem nauis, &longs;ed in ter­tia ferè parte longitudinis quæ à prora e&longs;t, puppim ver&longs;us con&longs;tituunt.

E&longs;to enim nauis AB; cuius malus CD: prora A: puppis B; ven­to igitur velum impellente, malum ad partem contrariam vergit, pu­ta in FD. At quoniam cache&longs;ium funi ad puppim vnitur in B, nauim, hoc e&longs;t, ip&longs;am puppim trahatne­ce&longs;&longs;e e&longs;t. non pote&longs;t autem; quoniam &longs;uburræ grauitas & onera, quæ naui impo&longs;ita inter D. & B. grauitatis centrum circa punctum E con&longs;tituunt, quod quidem vi ventorum inclinante malo ab E, in G eleuaretur, quo igitur minor fuerit proportio CD ad DE & maius pondus ip&longs;um cu­ius grauitatis centrum in E minus præualebit potentia pellens in C ad eleutionem partis nauigij, quæ à mali &longs;e­de ad puppim intercedit, An igitur malus &longs;it vectis, pesve­rò fulcimentum, pondus autem quodvecte mouetur, ipsum nauigium, vt placuit Ari&longs;toteli, & qua item ratione malus in nauim vt vectis operetur, exijs quae dicta &longs;unt, facilè pa­tet.

QVÆSTIO VII.

Quaritur, Cur quando ex puppi nauigare voluerint, non flante ex puppi vento, veli quidem partem, quæ ad gubernatorem vergit, con&longs;tringunt; illam verò quæ proram ver&longs;us e&longs;t, pedem facientes, relaxant?

Mirabilis huius effectionis cau&longs;&longs;am explicat Ari&longs;tote­les. inquit enim, An quia retrahere quidem multo exi&longs;tente vento gubernaculum non pote&longs;t, pauco autem pote&longs;t, quem con&longs;tringunt? propellit igitur quidem ip&longs;e ventus, in puppim verò illum con&longs;tituit gubernaculum, retrahens, & mare compellens: &longs;imul & nautæ ip&longs;i cum vento contendunt; in contrariam enim &longs;e reclinant par­tem. Hæc ille.

Cuius &longs;en&longs;um breuitate &longs;ubob&longs;curum, mirâ facilita­te explicat Picolomineus. Nos autem vt rem lucidiorem faciamus, &longs;chema, quod necip&longs;e fecit, nec Philo&longs;ophus, proponemus.

E&longs;to nauis A B, cuius prora A, puppis verò D, guber­naculum CB, temonis ala BD, veli &longs;inus EF, velum vero ita con&longs;titutum, vt directè ex puppi flantem ventum exci-

piat. Hoc vbi euenerit, naui­gium, rectâ è puppi mouetur in proram; Si autem ventus la­teraliter &longs;pirat, puta à parte G ver&longs;us H & nihilo &longs;ecius na­uigium, ac &longs;i ventus ex pup­pi e&longs;&longs;et antror&longs;um propelle­re volunt, velum quidem obli­quant partem cius infimam, pedem nempe, quæ e&longs;t in F contrahentes, Cornu verò antennæ vbi E, proram ver&longs;us laxantes ventumque; ip&longs;um obliquè ex cipientesid efficiunt, vt ventus minus violenter feriat, & minori &longs;ui parte velum impleat, & quoniam ventus velum pellit in partem con­trariam, nempe in H, ip&longs;ivt vento re&longs;i&longs;tant conuer&longs;o gu­bernaculo ex C in L, & temone BD, in BM compellunt proram ad partem à qua ventu ip&longs;e &longs;pirat. Sit igitur inter ventum & temonem pugna, illo proram in dextram, hoc verò eandem in &longs;ini&longs;tram pellente, itaque cum neuter præ­ualeat, nece&longs;&longs;ario nauis mediam viam, quæ inter vtramque e&longs;t, &longs;uo cur&longs;u tenet. Nautæ autem ideo in partem nauis AEB, quæ ver&longs;us ventum e&longs;t, &longs;e conferunt, vt vento æqui­librium faciant, ne &longs;cilicetnaui in contrariam partem pel­lente &longs;piritu, eam demergat. Cæterùm quod nec Ari&longs;to­teles nec Picolomineus animaduerterunt, velum obli­què con&longs;titutum à vento in anteriora impellitur eandem ob cau&longs;&longs;am, quam retulimus, vbi de temone & velis, qui­bus farin ariæ molæ conuertuntur, verba faceremus. Quod autem addit Picolomineus rem ad vectem reduci po&longs;&longs;e, non e&longs;t cur &longs;ub &longs;ilentio prætereamus. Ventus, in quit, pon­deris gubernaculum mouentis vicem obtinet; centrum verò (fulcimentum intelligit) in medio nauis e&longs;t, quod ta-men ad proram vergit, vt faciliùs ip&longs;i vento re&longs;i&longs;tere po&longs;­&longs;it. Tunc enim in rectum mouebitur nauis, cum &longs;ibi inui­cem æ quatæ vires, qua&longs;i libramentum con&longs;tituerint. Hæc ille, cuius &longs;en&longs;um figurâ propo&longs;itâ facilè aperiemus.

E&longs;to carina AB, cuius prora A, puppis, B temo BC, ventus verò obliquè feriens H. Conuer&longs;us ita­que temo vt in BC vndarum vi cur­rente naui repul&longs;us &longs;it in EF ten­dens ver&longs;us I, quo ca&longs;u prora con­uertitur in D, nempe contra ventum qui &longs;pirat ex H. fit autem conuer­&longs;io circa punctum G, quod fulcimenti locum obtinet. Ven­tus verò ad contrariam partem proram impellit, repugnans Temonis violentiæ contra ip&longs;am proram dirigentis. E&longs;t i­gitur AB, &longs;eu DE carina, in&longs;tar vectis, cuius fulcimentum G, vis mouens mare quo temo EF repellitur, pondus ve­ro, ventus premens in D; quo igitur remotior erittemo à fulcimento G, D autem vbi pondus ei vicinius, eo magis temo venti vim&longs;uperabit. Hæc Picolominei ratio, quam explicauimus, &longs;anè ingenio&longs;a e&longs;t, verum enimuero, quo­niam fulcimentum &longs;ui naturâ &longs;tare debet, hic verò nullam habeat &longs;tabilitatem, difficultatem patitur.

QVÆSTIO VIII.

Quæritur, Cur ex figuris omnibus rotundæ faciliùs moueantur?

Trifariam, in quit Ari&longs;toteles, circulum rotari contin­git; Aut &longs;ecundum ab&longs;idem centro &longs;imul moto, quem­admodum plau&longs;tri vertitur rota; aut circa manens cen­trum, velutitrochleæ puteorum, &longs;tante centro: Aut in pa­uimento manente centro, &longs;icuti figuli rota conuertitur. Cau&longs;&longs;am verò explicans, ait, celerrima eiu&longs;modi corpora e&longs;&longs;e, eo quod paruâ &longs;ui parte planum contingunt, vti cir­culus &longs;e cundum punctum, item quoniam non offen&longs;ant: Non offen&longs;andi vero e&longs;&longs;e cau&longs;&longs;am, quod &longs;emotum à terra habeant angulum. Item propterea quod corpus, cui fiunt obuiam, &longs;ecundum pu&longs;illum tangunt. Rectilineo autem aliter euenire, quippe quod rectitudine &longs;uâ, multum pla­ni contingat. Ad hæc, quo nutat pondus eo mouentem mouere.

Hæc ferè Philo&longs;ophus, cuius rationes ad eum &longs;olum­modo circularem motum faciunt, qui fit &longs;e cundum ab&longs;i­dem, vt in carrorum rotis v&longs;u venit, nec aptantur rotis fi­gulorum trochlei&longs;queue, cuiu&longs;modi &longs;unt illæ, quæ &longs;upra puteos appenduntur. Nos igitur, ad Ari&longs;totelis mentem, primam rotationis &longs;peciem, quæ e&longs;t &longs;ecundum ab&longs;idem, examinabimus.

E&longs;to rota &longs;phæ­raue AB, cuius cen­trum C; Horizontis planum DE; conta­ctus circuli in plano B. perpem dicularis ho­rizonti à puncto con­tactus B ip&longs;a BCA, tran&longs;iens per centrum C, partes rotæ circa perpendicularem AFB, AGB, angulus contactus GBE. Primo itaque id con&longs;tat, circulum in puncto planum, &longs;eu lineam contingere. At quoniam, vt Mechanici, de circulis roti&longs;queue &longs;eu &longs;phæris agimus materialibus, rectè Philo&longs;o­phus non in puncto planum præ cisè tangere dixit, &longs;ed &longs;e­cundum partem &longs;ui minimam. Angulum porro, quem à terra &longs;emotum dicit, ip&longs;e angulus e&longs;t contingentiae. cleua­tur enim ex B in G. Si autem corpus quodpiam in plano fuerit, puta HI in puncto illud tanget ci culus ei occur­rens, exempli gratiâ in K. Hæc igitur accidunt circulari figuræ. In lateratis autem &longs;ecus fit, quippe quænec in pun­cto &longs;eu &longs;ecundum paruam &longs;ui partem, planum tangunt, nec &longs;emotum vt circulus à plano habent angulum, nec impingentes offen diculum in puncto tangunt. Cæterùm poti&longs;&longs;imam facilitatis motus in rotatione quæ fit &longs;ecun­dum ab&longs;idem, e&longs;&longs;e cau&longs;&longs;am dixit, nempe quò nutat pon­dus cò à mouente impelli ac moueri. Primò igitu circu­laris &longs;phæricaue figura in æquilibrio &longs;tat; æquales enim &longs;unt partes quæ circa perpendicularem: ceu &longs;unt AFB, AGB. &longs;i enim impul&longs;us fiat ex parte F, pars oppo&longs;ita nuta­bit, & propendet in patem G, & &longs;uo nutu motuque; &longs;ecum trahet partem AFB, fietqueue progre&longs;&longs;us. Si enim ducatur FCG diameter, ip&longs;i horizonti æ que di&longs;tans, erit veluti li­bra, cuius pondera vtrinque AFB, AGB, brachia verò æqualia CF, CG. Potentia autem quâ trahitur pellitur­ue ad in&longs;tar ponderis &longs;e habet, quo addito partium alteri, facto queue rece&longs;&longs;u ab æquilibrio, &longs;equetur motus. Putauêre quidam, vt refert Philo&longs;ophus, circularem lineam, ita per­peti motu ver&longs;atumiri, vt manentia, propte contrarium nixum, manent, neque enim circulus in plano contrarium nixum habet, cum &longs;it, veluti dicebamus, in æquilibrio & facilis in vtramuis partem moueri. Veruntamen perpe­tuum e&longs;&longs;e non po&longs;&longs;e horum corporum motum, ea e&longs;t cau&longs;­&longs;a, quod violentum accidat naturæ, & ideo non durabile. Ad hæc, addit Philo&longs;ophus, Maiores circulos ad minores nutum habere quendam; & nutum maioris ad minoris nu­tum, &longs;e habere vt angulos ad angulos, & diametrum ad dia­metrum. Angulos autem hî c&longs;ectores ip&longs;os vocat; oportet enim circulos tum maiores tum minores circa idein cen­trum e&longs;&longs;e con&longs;titutos. Hæc autem non ab&longs;imili ab eo quod &longs;uprà po&longs;uimus &longs;chemate explicantur.

E&longs;to enim circulus AB circa centrum, C, Horizontis planum DE, tangens circulum in B, linea verò perpendicu­laris per centrum BCA. Sit autem circa idem cen­trum C, minor circulus FG, ducatur queue CH &longs;e­cu minorem circulum in I, tangens verò maiorem in H, con&longs;tituen&longs;queue cum AC linea angulum ACH, duos an­gulos, ex Ari&longs;totelis mente comprehendentem, hoc e&longs;t, duos &longs;ectores ACH, FCI. quoniam igitur &longs;ector &longs;eu an­gulus ACH, &longs;uo &longs;patio &longs;uperat angulum &longs;eu &longs;ectorem FGI, facilè ex nutu quem maior &longs;upra minorem habet, maior ip&longs;e mìnorem mouet. Videtur autem tacitè Philo­&longs;ophus hæc ad vectis naturam referre, cuius altera extre­mitatum in centro &longs;it, altera verò in ab &longs;ide, & ita &longs;e habe­renutum maioris &longs;upra minorem, vt vectis ad vectem, hoc e&longs;t, &longs;emidameter ad &longs;emidiametrum, &longs;eu &longs;ector ad &longs;ecto­rem, quos quidem &longs;ectores, vt vidimus, angulos appellat. Hæc autem quæ de nutu refert, licet &longs;ubtilia &longs;int, vera e&longs;­&longs;e non videntur. Si enim in figura producatur ad oppo&longs;i­tam partem &longs;emidiameter HC in K &longs;ecans minorem cir­culum in L, duos alios &longs;ectores angulosue habebimus, nen­pe KCB, LCG, ip&longs;is ACHFCI æ quales. Itaque quan­tum adiuuat motum anguli ACH maioris nutus, in de­&longs;cendendo ad partes B, tantundem retardat anguli item maioris KCB, contra nutus (vtita appellem) in a&longs;cenden­do ad partes A. & &longs;anè quatenus ad reinaturam pertinet & ad ip&longs;um æquilibrium, non differunt maiores circuli à minoribus, nec &longs;unt maiores minoribus mobiliores, imo ex ali quaratione minores videntur fore ad motum faci­liores, tum quia data materiæ æqualitate &longs;unt leuiores, tum etiam quod maior e&longs;t angulus contactus ad planuin circum ferentiae minoris quàm maioris circuli, vt in &longs;ubie­

cta figura angulus ABC maior e&longs;t angulo DBC, in materiali i­gitur circulo rotaue maiore &longs;ui parte tanget planum DB circu­lus, ip&longs;o AB. quicquid tamen fit, mobiliores &longs;unt maiores circuli non quidem ex natura circuli, quæ tam in maioribus quàm in ip&longs;is minoribus e&longs;t par, &longs;ed alijs de cau&longs;&longs;is, quas &longs;uo loco examin abimus.

Cæterùm vt aliquid de motu qui &longs;e cundum ab&longs;idem fit, ex no&longs;tro penu promamus, Dicimus, Circulos, rota&longs;ue, quæ hoc pacto mouentur, vel per horizontis planum mo­ueri, vel per accliue, aut decliue. Siautem perhorizontis planum, ideo facilem e&longs;&longs;e motum, quòd nunquam, cæte­ris paribus, centrum grauitatis ip&longs;ius corporis à centro mundi, in ip&longs;a rotatione, fiat remotius.

E&longs;to enim planum, horizontis AB, cui circu­lus in&longs;i&longs;tat AD, circa cen­trum C, diui&longs;us per centrum ip&longs;um à perpendiculari ACD; Ducatur autem per centrum C recta linea ho­rizonti æquidi&longs;tans, ECFG: dum diuidatur circulus vt­unque in partes AH, HF, FI, ID, & CI, CH iungan­tur. Po&longs;thæc intelligatur circulum &longs;ecundum ab&longs;idem moueri ad partes G, erit igitur aliquando punctum H, rangens horizontis planum, tangat autem in K, tum F in L, I in N. D verò in O. Ducanturqueue KP, LQ, NR, OS ip&longs;i AC parallelæ horizonti autem perpen diculares. Centrum ergo circuli, quod idem & grauitatis e&longs;t centrum, feretur per rectam CPQRS, &longs;unt enim KP, LQ, NR, OS ip&longs;i AC &longs;emidiam etro æquales, nunquam igitur cen­trum ip&longs;um C in circuli rotatione ab horizontis plano e­leuabitur, nec à mundi centro fietremotius.

Hoc autem longè aliter cæteris figuris contingit, quarum motus ideo in æ qualis, quòd non &longs;em per in rota­tione centium grauitatis eandem &longs;eruet à mundi centro di&longs;tantiam.

E&longs;to enim Ellip&longs;is ABCD, cuius centrum E, diameter longior BED, breuior AEC, Horizontis planum, FCG. locus contactus C perpendicularis à contactu per centrum i­p&longs;a CEA diuidens El­lip&longs;im in partes æquales, & æqueponderantes ABC, ADC. Sumantur in quadrante CD, puncta HI, tum EH, HI iungantur, eritautem EH longior ip&longs;a EC, tum EI, ip&longs;a EH & ED, p&longs;a EI. Rotetur ellip&longs;is &longs;ecun dum ab&longs;i­dem, fiet igitur punctum H in K, & à puncto K horizonti perpendicularis erigatur KL, quæ fiat æ qualis EH. P o&longs;t hæc punctum I eritin M, & ab M perpen dicularis, æqua­lis EI. rui&longs;us D fiat in O, & ip&longs;i ED, æqualis perpendicu­laris OP. Mota igitur ellip&longs;ià C in K, haud ita difficilis e­rit motus, quippe quod haud multum EH &longs;uperet EC, at difficilior erit translatio in M, difficillima verò in O. Valde enim à &longs;itu E, ibi attollitur grauitatis centrum, a&longs;cen­dens nempe vbi P. Videmus igitur ex his eandem poten­tiam in mouendo ellip&longs;im, haud pariter &longs;e habere, vt in mouendo circulum. ibi enim centrum grauitatis fertur per æquidi&longs;tantem horizonti, hic verò modò attollitur, modò deprimitur, quod &longs;anè mole&longs;tiam & difficultatem facit. Sed idem alijs figuris contingere, & maximè latera­tis, ita docebimus.

E&longs;to enim triangulum æquilaterum ABC, cuius grauitatis centrum E hori­zontis planum BD. Demit­tatur à vertice A perpendi­cularis horizonti AF tran&longs;­ibit autem per centrum E, & bifariam diuidet ba&longs;im BC in F. Sunt autem trianguli ABF, ACF, æquales & æqueponderantes. angulus verò AFC rectus. lungatur EC, erit igitur maior EC, ip&longs;a EF. Rotetur iraque trian­gulum circa punctum C, fiatque; EC horizonti perpendi­cularis, &longs;itqueue GH, & per E horizonti parallela ducatur EK, moto igitur triangulo, centrum grauitatis E transla­tum erit in H, &longs;ed KC æqualis e&longs;t EF, minor autem ip&longs;a CH, eleuatur ergo centrum grauitatis ab Ein H, nempe &longs;upra K, totum &longs;patium KH. ex qua eleuatione fit in mo­tu difficultas. Idem pror&longs;us eadem demon&longs;tratione o&longs;ten­deretur fieri in quadrato & alijs lateratis figuris. Curigi­tur in plano horizontis facillimè circularia, difficile autem laterata & quæ inæquales habent &longs;emidiametros, mo­ueantur, ex dictis clarè patet.

Ad hanc quæ&longs;tionem illud quoque facit, cur per de­cliue planum grauiora corpora, & rotunda maximè; ma­gno impetu dimi&longs;&longs;a, delabantur.

E&longs;to enim rota &longs;phæraue aut Cylindrus CD, cuius centrum E, tangens decliue planum AB in D, quæritur cur dimi&longs;&longs;a hæc magno impetu deferantur ad partes B, Ducatur per grauitatis centrum E ad horizontem, BK perpendicularis FEL &longs;ecans decliue planum in G, cir­cum ferentiam verò in H. opponitur autem EG angulo recto EDG, maior ergo EG ip&longs;a ED, hoc e&longs;t, EH, inter

circumferentiam igitur & pla­num decliue, &longs;patium interce­dit HG. Ducatur item DI ip&longs;i FG æquidi&longs;tans. non tran&longs;ibit igitur per centrum E. minor e­rit igitur diametro CD, quare circulum in partes inæquales &longs;ecabit, & non per grauitatis centrum, quod idem cum ma­gnitudinis &longs;eu figuræ centro &longs;upponitur. Dimi&longs;&longs;a igitur rota, contingit quidem planum decliue in puncto D. At centrum grauitatis premit &longs;e cun dam per lineam perpen­dicularem FG, non &longs;u&longs;tentatur autem in H, quippe quod inter planum & circum ferentiam intercedat &longs;patium HG, nec H locum habeat cui innitatur, corpus autem ita per lineam DI e&longs;t diui&longs;um, vt longè maior &longs;it pars IFCHD ip&longs;a DI, & centrum in ea parte eadat quæ non fulcitur. i. taque &longs;uopte nutu, cum extra ful cimentum &longs;it D & per­pendicularem DI ad inferiores partes rapidè rotans de­labitur. Ducatur autem perpen dicularis GL, parallela MN, & quoniam BN breuior e&longs;t BL, erit MN ip&longs;a GL breuior. E&longs;t igitur punctum M mundi centro propius quàm D & G, quare eò non impedita rota ip&longs;a &longs;uo nutu feretur, nec&longs;tabit donec in fimum locum vbi quie&longs;catnan. ci&longs;catur. Po&longs;&longs;umus etiam Rota &longs;phæraue in plano decliui collocata, datam potentiam inuenire, quæ extremitati diametri ad eam partem quavergit applicata ip&longs;am rotam &longs;phæramue impediatne delabatur.

E&longs;to planum in clinatum AB, cui Rota &longs;phæraue in&longs;i­&longs;tat tangatque; illud in C. Rota verò ip&longs;a &longs;phæraue DC, cu­ius centrum E, diameter ve­rò DEC ip&longs;i BA ad punctum contactus C, perpendicula­ris. Ducatur per C ip&longs;i hori­zonti perpendiculatis FCG circulum &longs;ecans in G tum per E ip&longs;i CG perpendicularis, ip&longs;i verò BF horizonti æ qui­di&longs;tans HEI ceu vectis, cuius fulcimentum I re&longs;pondens ip&longs;i C, pondus verò in E, vbi grauitatis e&longs;t centrum. Ap­plicata igitur potentia in H erit pondus inter fulcimen­tum & potentiam, quare vt IE ad IH ita potentla &longs;u&longs;ti­nens in H ad pondus in E, quod demon&longs;trandum fuerat.

Quippiam &longs;imile o&longs;ten dit Pappus 1. 8. prop. 9. alijs tamen &longs;uppo&longs;itis & con&longs;ideratis. Dico præterea, ij&longs;dem &longs;tantibus angulum ECI æqualem e&longs;&longs;e angulo inclinatio­nis CBF. Producatur HI concurrens cum ip&longs;a AB in K, concurret autem propterea, quod CIK rectus &longs;it, ICA minorrecto, & quoniam HK parallela e&longs;t horizonti BF alterni anguli IKC, CBF, æquales erunt. Similes autem &longs;unt ECI, ECK, trianguli, e&longs;tqueue ECI angulus æqualis angulo EKC, hoc e&longs;t, ip&longs;i CBF. vnde &longs;equitur, quo mi­nor fuerit inclinationis angulus, eo facilius rotam &longs;phæ­ramue in piano inclinato &longs;u&longs;tineri. quo enim minor fuerit angulus ECI, eo minus latus EI & minor proportio EI ad IH, & ideo minor potentia &longs;u&longs;tinens requiratur in H. Cæterùm accliue & decliue planum nihil differunt ni&longs;i re&longs;pectu.

His ita con&longs;ideratis, admonet nos locus, vt pulcher­rimam dubitationem diluamus. Quæritur, Cur maiores rotae impingentes, facilius offendicula &longs;uperent quàm mi­nores. Neque enim &longs;atisfacere videtur quod ait Ari&longs;tote­les, ex contactu in puncto eo anguli à plano eleuatione id fieri, alijs ergo principijs dubitatio &longs;oluitur.

E&longs;to rota quidem maior AB, circa centrum C minor vero DB circa centrum, E, tangentes horizontis planum in B. Diameter maioris AB, minoris DB, offen diculum, horizonti perpendiculare FG. Ducatur per F horizonti parallela FK &longs;ecans minoris rotæ peripheriam in H, dia­metrum verò AB in K, & à puncto H ad planum horizon­tis perpendicularis demittatur HI: erit autem HI æqua­lis ip&longs;i offendiculo FG, & iungantur BH, BF. Itaque quo­niam BH ab extremo B cadit in triangulum KFB, erit KHB angulus maior angulo KFB. Parallelæ autem &longs;unt KF, BG, pares ergo anguli KHB, HBG, pares item KFB, FBG, Maior ergo HBI, ip&longs;o FBC. At minoris rotæ gra­uitatis centrum mouetur &longs;ecundum lineam BH, maius verò &longs;ecun dum literam BF, difficilius ergo mouebitur, & &longs;uperabit offen diculum minorrota, quàm maior: quod fuerat demon&longs;trandum.

Po&longs;&longs;umus idem o&longs;tendere magis mechanicè, hoc e&longs;t, tem ad vectem reducendo. E&longs;to horizontis planum AB, rota maior CD planum tangens in D. rotæ verò ma­ioris centrum E. Rota verò minor FD, tangens itidem planum in D. rotæ autem centrum G, offendiculi verò re­ctitudo DH. Ducatur per H ip&longs;i AB horizonti æquidi­&longs;tans HI &longs;ecans minorem circulum in K, maiorem verò

in I. Ducantur etiam dia­metri maioris quidem LEM, minoris NGO, Tum à puncto K perpen­dicularis ducatur ad GO, ip&longs;a KP, item à pun­cto I ad EM perpendi­cularis Ique Dico EQ ad QL, minorem habere proportionem quam GP, ad PN. Connectatur GK, & ei per E parallela ducatur ER, &longs;ecans maiorem circulum in R, & ab Rip&longs;i EM perpen dicularis ducatur RS. quoniam igitur ER parallela e&longs;t ip&longs;i GK, erit GER angulus HGK angulo æqualis. Recti autem &longs;unt HGP, GES reliqui ergo KGP, RES ad inuicem &longs;unt æquales. Sed & ESR, GPK recti &longs;unt, quare ERSGKP anguli æquales &longs;unt, & trianguli GPKESR, per pr. diff. 1.6. &longs;imiles. Vtergo GK hoc e&longs;t GN ad GP, ita ER hoc e&longs;t EL ad ES. Componendo igi­tur vt NP ad PG, ita LS ad SE. quamobrem &longs;i fulcimen­tum e&longs;&longs;etin S, pondus in E, potentia in L, idem &longs;ieret ac fiat fulcimento in P, pondere in G, potentia verò in N con&longs;ti­tuta. & id quidem &longs;i eiu&longs;dem ponderis vtraque rota &longs;up­ponatur. Rur&longs;us quoniam vt DK ad totum circulum DF, ita DR ad totum DC. Minor e&longs;t autem proportio DI ad totum circulum DC, ergo minor e&longs;t DI ip&longs;a DR. Maior ergo MI ip&longs;a MR, maior ergo QI ip&longs;a SR, propius ergo centro E e&longs;t Q ip&longs;o puncto S, minor e&longs;t igitur proportio EG ad LQ quàm ES ad SL. Minor ergo potentia requi­ritur in L ad &longs;u&longs;tinendum pondus E ex fulcimento Q hoc e&longs;t I, quàm requiratur in N ad &longs;u&longs;tinendum pondus G ex fulcimento P, hoc e&longs;t K. Minor ergo potentia requiritur ad transferendam maiorem retam CD vltra offendicu­lum IV, hoc e&longs;t, DH, quàm requiratur ad trans ferendam minorem vltra offendiculum KT, hoc e&longs;t HD, quod fue­rat o&longs;ten dendum.

Ad hæc, quæri pote&longs;t, quo pacto plau&longs;trorum rotæ in ip&longs;a plau&longs;tri conuer&longs;ione &longs;e habeant, nempe quæ &longs;it li­neailla curua, quam in conuer&longs;ione de&longs;cribunt.

E&longs;to rotarum in plano orbita, dum plau­&longs;trum rectâ procedit AB, CD, Sunt autem i­p&longs;æ lineæ, quod o&longs;ten­demus po&longs;tea, æquedi­&longs;tantes. Sit itaque pun­ctum. B illud in quod rota quæ per AB &longs;er­tur, eò delata planum tangit. D verò alterius rotæ at que plani contactus. Igitur dum plau&longs;tri fit conuer&longs;io, punctum D conuer&longs;ionis fit centrum. Stat enim interim rota & circa lineam conuer­titur, quæ å puncto contactus D per rotæ centrum ducta horizontis plano e&longs;t perpendicularis. ea autem &longs;tante, ro­ta quæ in B circa centrum D &longs;emicirculum pertran&longs;it DEF, vbi autem rota B, peruenerit in F, plau&longs;tro iam in oppo&longs;i­tam partem conuer&longs;o, rota quæ e&longs;t in D per lineam DC, quæ verò in F per rectam FG mouetur, plau&longs;triqueue fit re­gre&longs;&longs;us. Et quoniam vel D in ip&longs;a conuer&longs;ione &longs;tat omnino nec quicquam progreditur, vt in prima figura, vel non &longs;tat vt in &longs;ecunda, quo ca&longs;u portionem parui circuli de&longs;cribit, ip&longs;i maiori circulo & exteriori concentricam. Vnde col­ligimus, Plau&longs;trorum conuer&longs;iones flexionequeue &longs;emper circa centrum, & con centricorum circulorum portiones fieri, Hinc etiam di&longs;cimus, cur veteres, vt ex antiquis co­gno&longs;cimus ve&longs;tigijs, circos in quibus cur&longs;us quadrigarum fiebant ea forma quæ apparet, efformauerint. Hoc etiam theorema probamus.

Cylindros, quorum ba&longs;es axi &longs;unt perpendiculares, dum in æquato plano conuoluuntur, rectâ incedere & per parallelas, quarum di&longs;tantia axis &longs;eu latoris longitudi­ne præfinitur.

E&longs;to enim Cylin­drus ABCD, cuius a­xis GH, horizontis pla­no in&longs;i&longs;tens &longs;ecundum latus AB, cui latus op­po&longs;itum & aequale CD. Moueatur Cylindrus rotans, donec latus CD, in plano &longs;it vbi EF. De&longs;cribat autem circuli CB lineam BF. Circulo verò AD lineam AE. Dico eas rectas e&longs;&longs;e, & parallelas. Si enim &longs;uperficies ba&longs;ium DA, CB, extendan­tur ita vt horizontis planum &longs;ecent, illud &longs;eca bunt iuxta lineas AE BF, recta ergo e&longs;t vtraque. Sed & parallelas e&longs;&longs;e ad inuicem ita o&longs;tendimus. quoniam &longs;emicirculus AD, æqualis e&longs;t &longs;emicirculo BC, erit linea AE, æqualis lineæ BF, &longs;ed & AB, æqualis e&longs;t ip&longs;i DC, quare & ip&longs;i EF. Oppo­&longs;ita igitur quadrilateri figura ABFE latera æqualia &longs;unt, quare EF æquedi&longs;tat ip&longs;i AB, tum AE ip&longs;i BF, quod fue­rat demon&longs;trandum.

Probabimus etiam &longs;i cylindri ba&longs;es axi perpendicu­lares non fuerint, & ideo ellip&longs;es in ip&longs;a rotatione perpla­num, parallelas quidem de&longs;cribere, &longs;ed non rectas.

E&longs;to enim Cylindrus ABCD, cuius ba&longs;es ellip&longs;es inuicem æquedi&longs;tantes, quarum axes longiores AB, CD, Commu­nis autem &longs;ectio cylindri & plani ad axem & horizontem planum perpendicularis EHF. Diuidatur autem &longs;emicir-culus EHF in partes æquales quatuor FI, IH, HG, GE.

Tum per diui&longs;ionum puncta lateri parallelae, rectæ ducan­tur KGL, MHN, OIP, quæ quidem cum ba&longs;es AMB, DNC parallelæ &longs;int, eruntinuicem æ quales, cumqueue circum­ferentia EHF æquales, eosqueue rectos angulos con&longs;tituent. Ducatur po&longs;t hæc &longs;eor&longs;um recta QR, & eidem perpendi­cularis ST eam &longs;ecans in V. applicetur autem rectæ ST æqualis Cylindri lateri BC, ip&longs;a hz. ita tamen vt punctum E congruat puncto V, &longs;itqueue Vh æqualis EB, Vzverò æ­qualis EC. Tum fiant VX, XY, YZ, Za æ quales ip&longs;is EG, GH, HI, IF, & per puncta X, Y, Z, a & paralleli ip&longs;i ST du­cantur o a p, n *z c, l g m, k x q, tum & his ex altera parte re­&longs;pondentes parallelæ per puncta b, g, d, e. Sit autem o a æ­qualis AF, a <11> æqualis FD, item e <10>, æqualis EC, e s æqualis EB, &longs;ed & n *z aequalis OI, *z c ip&longs;i P, lyi &longs;i MH, y m verò ip&longs;i HN, tum k x ip&longs;i KG. & x q, ip&longs;i GL & ip&longs;is æquales & aequa­liter po&longs;itæ ad partes R, aliæ paralle læ aptentur per b, g, d, c, quibusita di&longs;po&longs;itis per puncta o, n, l, k, h, item per p, c, m, q, z. ducantur lineæ oh, pz, curuæ quidern & codem pacto a­liæ curuæ illis re&longs;pondentes h <10>, zs, Erunt igitur o, h, <10>, p, z, s, parallelæ quidem eo quod lincae quæ inter ip&longs;as du­cuntur, parallelæ &longs;int & æquales, non tamen rectæ illæ, &longs;ed curuæ. Moto igitur Cylindro circulus EHF rectam de&longs;cribetae, ellip&longs;is verò AMB, curuam ohr, ellip&longs;is au­rem DNC, ip&longs;am curuam pzs. In hoc autem Cylindri mo­tuillud mirabile, velociores nempe, in ip&longs;a rotatione e&longs;&longs;e ellip&longs;es ip&longs;o circulo EHF. Ducatur enim rectao<10> quæ oc­currat ip&longs;i VS in S, & oh iungatur, fietqueue triangulum ohS. c&longs;t autem, angulus o S h rectus, maior erg. oh i­p&longs;a o S, &longs;ed recta o S æqualis e&longs;t ip&longs;ian, hoc e&longs;t, &longs;emicircu­lo FHE. multo maior e&longs;t autem curua, o, n, l, k, h, ip&longs;a recta oh, &longs;ed eodem tempore quo &longs;emicirculus EHF conficit in rotatione &longs;patium a V, eodem dimidia ellip&longs;is BMA me­titur curuam onlkh. velocior igitur e&longs;t ellip&longs;is ip&longs;o cir­culo.

Hæc quo que &longs;peculatio ad motum qui &longs;ecundum ab&longs;idem fit, manife&longs;tè pertinet. Coni, quorum ba&longs;es cir­culi &longs;unt, &longs;i in plano &longs;ecundum latus rotentur, ba&longs;i circu­lum de&longs;cribunt, cuius centrum immobile coni ip&longs;ius e&longs;t vertex, &longs;emidiameter verò ip&longs;um latus.

E&longs;to conus ABC cu­ius vertex C ba&longs;is AB, axis DC, ba&longs;is verò centrum, D, latus quo planum tan­git BC, &longs;ecatur itaque Co­nus per latus BC & axem DE à plano horizonti per­pendiculari, cuius & coni communis &longs;ectio e&longs;t ABC triangulum, & quoniam coni grauitatis centrum e&longs;t in axe ip&longs;o, conus in partes æque ponderantes &longs;ecatur AEBC, AFBC, &longs;tat ergo conus &longs;ibimet æquilibris. Si autem à po­tentia quadam moueatur, puta ab A ver&longs;us F, trahitur &longs;e­micirculus BEA, à &longs;emicirculo AFB, & ita fit rotatio. Ita­que &longs;i imaginemur, in finitos v&longs;que ad verticem parallelos ba&longs;i cir culos, eorum &longs;emicirculi in ip&longs;o motu & trahent & trahentur; at cum ad verticem circuli de&longs;inant, nec ibi &longs;e­micirculi &longs;int qui trahant & trahantur, motus rotationis pror&longs;us ce&longs;lat & vertex ip&longs;e immobilis fit rotationis cen­trum. Quoniam igitur lateris BC, punctum C &longs;tat, B verò circa ip&longs;um mouetur, in ip&longs;o motu circulus de&longs;cribitur BHIK, cuius &longs;emidiameter BC, & eodem pacto alij cir­culi in cono, qui ba&longs;i HEBF &longs;unt æquedi&longs;tantes, circulos in plano circa idem centrum de&longs;cribent, vt facile videre e&longs;t in obiecto &longs;chemate. Huic &longs;imilem demon &longs;trationem affert Heron in libello Automatum, quem nos Tyrones adhuc vernacule è Græco translatum, Vene tijs prælo &longs;ubiecimus.

Porrò &longs;i conus rotundus pro ba&longs;i ellip&longs;im habeat, &longs;ectionem videlicet per planum axi non perpendiculare, in ip&longs;a rotatione, &longs;tante vertice, ellip&longs;is ba&longs;is, ellip&longs;im de­&longs;cribit in plano, cuius maior diameter à puncto quod co­nivertex e&longs;t, ita diuiditur, vt diametri pars maior æqualis &longs;it lateri maximo; minor verò æqualis lateri minimo. Sed hæc ad aliam pertinent &longs;peculationem.

His itaque de moturotundorum, qui circa ab&longs;idem fit, con&longs;ideratis, reliquum e&longs;&longs;et de motu trochlearum, qui circa centrum &longs;it, opportunè agere, &longs;ed cùm in &longs;equenti quæ&longs;tione de hoc &longs;ermonem faciat Philo&longs;ophus, ad ea quæ ibi di&longs;puta buntur, lectorem ablegamus.

Modò de tertia motus &longs;pecie nobis erit &longs;ermo; in qua quidem &longs;pecienonnulla perpendemus, quæ omi&longs;it A­ri&longs;toteles. Agitur autem hîc de rotundorum corporum motu, qui fit çirca axem horizonti perpendicularem, axis altera extremitate in codem horizontis plano manente, vti videre e&longs;t in ip&longs;is figulorum rotis.

Hanc motus &longs;peciem in extrema quæ&longs;tionis parte cum duabus alijs &longs;peciebus comparans ait, cam quæ in obliquo fit motionem (ita enim hanc, de qua agimus, ap­pellat) ip&longs;am impellere mouentem, hoc e&longs;t, nullum ex&longs;e ad motum propen&longs;ionem habere, nutumue, & omnia illi e&longs;&longs;e à motore, &longs;ecundum verò eam motionem, quæ &longs;upra diametrum e&longs;t, &longs;e ip&longs;um mouere circulum. Dixerat enim, ea referens quæ &longs;uperiùs circa principium de circulo ver­ba faciens, examinauerat, circulum ex duabus fieri latio­nibus, altera præter, altera verò &longs;ecundum naturam, & ideo hanc &longs;emper nutum habere, & ceu continuo motam ab eo moueri quimouet. Videtur autem clarè profiteri, ideo difficiliorem e&longs;&longs;e huius terriæ &longs;peciei motum, eo quòd nutu areat proprio & tm ab alieno, vt ita di­cam, motore, moueatur.

Veruntamen motum hunc facilitate alijs illis duo­bus nequaquam cedere, facilè ex &longs;equentibus o&longs;tende­mus.

Primo, quia pondus totum rotati corporis, ex graui­tatis centro quodin ip&longs;o axe e&longs;t à plano cuinititur, &longs;u&longs;ti­netur: minima quidem &longs;ui parte axe ip&longs;o tangente planum vndefit, nullam ferè dum rotatur corpus, circa centrum vbi nititur, frictionem partium fieri. Præterea grauitatis centrum &longs;emper &longs;tat, nec minimum quidem in ip&longs;a rota­tione attollitur, quod &longs;anè cum naturæ &longs;it repugnans, dif­ficultatem facit. Ad hæc circa axem ita libratur rota, vt quantumuis exigua potentia alteri parti applicetur, alte­ra illico &longs;uperata moueatur. Licet enim propliè ea tantum corpora æquilibrare dicantur, quæ ob ponderis hinc in de æqualitatem horizonti fiunt æquidi&longs;tantes, nihilominus & hic aliquam e&longs;&longs;e æquilibrij &longs;imilitudinem patebit.

E&longs;to enim rota ABCD, cuius axis horizonti perpendi­cularis FEG tran&longs;iens per cen­trum E, tangens autem planum in puncto G. Ducatur diame­ter BED, Itaque &longs;i per diame­trum BED, & axem FEG cor­pus diuidatur, eo quòd centrum grauitatis in axe inueniatur, corpus ip&longs;um in duas partes tum mole tum pondere æquales &longs;ecabitur, nempe BAD, BCD. Nullaigitur adhibita vi extranea &longs;tabit corpus in quodam, vt diximus, æquilibrio. At alteri partium potentiâ quauis licet exigua appo&longs;itâ, puta in C, præualebit pars BCD, & partem BAD vel impellet vel rapiet, alterâ interim eius motui ob&longs;equente. Potentia igitur quæ in C, nullam rem quæ impediat inueniens, veloci&longs;&longs;imè rotam mouet, quod eo faciliùs velocius queue fit, quo magis rota e&longs;t in motu, e­ius verò diameter maior & potentia mouens à centro re­motior, & &longs;anè motus facilitatem inde cogno&longs;cimus, quòd ip&longs;o impul&longs;ore ab impul&longs;u ce&longs;&longs;ante, diuti&longs;è rota im­pre&longs;&longs;um motum &longs;eruet, nec ni&longs;i po&longs;t longam rotationem omnino quie&longs;cat.

Cæterùm quia &longs;icco, vtaiunt, pede Ari&longs;toteles quæ ad hunc motum pertinent pertran&longs;ijt, nos quædam quæ ad hanc rem faciunt, diligentiùs expendemus.

Quærimus igitur primò; Cur ea quæ hoc pacto ro­tantur, in ip&longs;a rotatione locum non mutent, ni&longs;i extrin&longs;eca aliqua id fiat ex cau&longs;&longs;a.

E&longs;to enim rota aut aliud quippiam rotundum ccu Turbines &longs;unt, quibus pueri ludunt, quod circa axem ho­

rizonti perpendicularem mo­ueatur, ABCD, cuius centrum E, Diameter AEC. Modò circa centrum E in finiti imagin entur circuli, alij alijs minores v&longs;que ad centrum ip&longs;um, vti &longs;unt FGH; ibi enim circuli e&longs;&longs;e de&longs;inunt, vbi nullum amplius e&longs;t &longs;patium. Applicetur itaque potentia in B, quæ rotam v. geat ver&longs;us A. codem igitur tempore & in&longs;imul A ver&longs;us D, D ver&longs;us C, & Cver&longs;us B mouebitur. quantum enim &longs;emicirculorum à parte CBA tran&longs;it vltra diametrum AEC, tantundem &longs;emicir culorum, qui &longs;unt ad partem ADC, tran&longs;ibit ad partes CBA. At vbi de&longs;ierit motus, ibi de&longs;init rotatio; vbi autem de&longs;init &longs;patium, de&longs;init motus, &longs;ed vbi de&longs;inunt cir­culi, de&longs;init &longs;patium, quare in centro cum non &longs;int circuli, nec &longs;patium ibi de&longs;init motus. nulla enim ade&longs;t ratio, cur ip&longs;um corpus alio à loco in quo e&longs;t, ex rotatione transfe­ratur. Statergo rotans, quod fuerat demon&longs;trandum. E&longs;t autem hæc demon&longs;tratio ei &longs;imilis, quam &longs;uprà retuli­mus de coni in plano circa verticem rotatione, quam ab Herone in Automatis excogitatam diximus.

Addimus in hoc rotationis genere corpus in ip&longs;o­motu fieri leuius, idqueue eo magis, quo rotatio velocior. Cau&longs;&longs;a e&longs;t, quod lateralis motus eum motum aliqualiter impedit, qui ex naturali grauitate fit ad centrum, idcirco experientiâ docemur, leui&longs;&longs;imos e&longs;&longs;e turbines, quibus pu­eri ludunt, &longs;i manus teneantur palmâ, dum citi&longs;&longs;ima rota­tione mouentur.

Ad hæc alia proponitur, & &longs;oluitur quæ&longs;tio, Cur ro­tunda corpora huic motionis generi &longs;int aptiora.

Explorati&longs;&longs;imum e&longs;t, corporum, quæ ita mouentur, partes eo e&longs;&longs;e velociores, quo magis à centro, circa quod mouentur, fuerint remotiores. maius enim eodem tem­pore &longs;patium pertran&longs;eunt. quo igitur figura ijs partibus, quæ longius à centro ab&longs;unt, abundauerit magis, eo faci­lius, & velocius in circulum rotata mouebitur. Modò o­&longs;tendemus, circularem cæteras omnes ea qua diximus partium à centro remoti&longs;&longs;imarum copiâ abundare.

E&longs;to triangulum puta æqui­laterum, ABC circa centrum D. Ducantur Catheti per centrum ab oppo&longs;itis angulis ad oppo&longs;ita late­ra ADG, BDF, CDE, erunt autem lateribus perpendiculares. quoniam igitur latera AD, DB, DC, rectis angulis &longs;ubtenduntur, maiora erunt lateribus DE, DF, DG. tres igitur lineæ in hoc triangulo &longs;unt longi&longs;&longs;imæ DA; DB, DC. tres verò breui&longs;&longs;imæ DE, DG, DF, quamobrem rotato &longs;uper centrum D triangulo, tres tantum partes eius ABC velo­ci&longs;&longs;imæ erunt, tres verò tardi&longs;&longs;imæ E, G, F. Minus igitur a­pta e&longs;t motui huic triangularis figura, quam quadrata, in qua partes à centro remoti&longs;&longs;imè, & ideo veloci&longs;&longs;imè &longs;unt quatuor. Itaque quo agis laterata figura angulis abunda­bit, eo magis erit ad hunc, & cæteros omnes circulares motus aptior. At circulus infinitas, vt ita dicam, partes à centro remoti&longs;&longs;imas habet, itaque nulla figura e&longs;t circu­lari, in ip&longs;a rotatione, commodior atque velocior. Alia quoque de cau&longs;&longs;a id fit, quod dum circularis figura mo­uetur, nullis eminentibus angulis aërem verberet circun­&longs;tantem, ex qua verberatione motus impeditus &longs;it tardior. Quæri etiam pote&longs;t, Num axe in clinato, rotæ motus ali­qualiter impediatur? Nos negatiuam partem amplecti­mur.

E&longs;to enim tota ABCD, cuius cen­trum E axis inclin itus, circa quem conuertitur EGF. Duobus aute pun­ctis fulcitur GF. Sit autem tum gra­uius tum figuræ centrum E, Perpen­dicularis vero per inferius fulcimen­tum tran&longs;iens HFI. Conuer&longs;a igitur rota, grauitatis centrum &longs;tabit nec à &longs;uo &longs;itu &longs;ur&longs;um deor&longs;umue mouebi­tur. E&longs;t autem axis FEG, ceu vectis in quo pondus in E, potentiæ &longs;u&longs;tinentes GF; non enim hic vt in axe perpendiculari pondus totum ab inferiori fulci­mento &longs;u&longs;tinetur. quo igitur minor erit proportio FE ad FG, eo minori in digebit potentiâ is qui pondus &longs;u&longs;tinet in G. Et hæc &longs;anè ita &longs;e habent, grauitatis çentro in axe ip&longs;o con&longs;tituto, &longs;i enim extra fuerit motus impeditur & moto­re ce&longs;&longs;ante citò quie&longs;cit. E&longs;to enim grauitatis centrum in K. Dum igitur circa axem fit motus, centrum circulatum aliquando erit in L; Secetautem rotæ diameter AC per­pendicularem Hl in M. Porrò à punctis LK ad ip&longs;am per­pendicularem ducantur ad rectos angulos lineæ LN, KO. Maior e&longs;t autem MK ip&longs;a ML, maior ergo MO, ip&longs;a MN. magis igitur à mundi centro di&longs;tat punctum N puncto O. Centrum ergo grauitatis K &longs;i liberè dimittatur, requie&longs;cet in K & contranaturam transferetur in L. Ce&longs;&longs;ante igitur violentiâ & præualentenaturâ citò rota &longs;uâ &longs;ponte quie­&longs;cet, quod fuerat o&longs;tendendum.

QVÆSTIO IX.

Quæritur, Cur ea quæ per maiores cir culos tolluntur, & trahuntur faciliùs, & celeriùs moueri contingat, veluti maioribus tro­chleis, & &longs;cytalis &longs;imiliter?

Re&longs;pondet ad hæc Philo&longs;ophus, forteid cuenire, quo-niam quanto maior fucrit illa quæ à centro e&longs;t, in æquali tempore maius mouetur &longs;patium. quamobrem æquali exi&longs;tente onere idem faciet. Ita enim dixerat de librarum natura, & differentijs agens, maiores minoribus exactio­res e&longs;&longs;e. Circulos verò jibras, in quibus centrum &longs;partum, &longs;emidiametri hinc in de æqualia brachia.

Quod vltimo loco affirmauit, trochleas e&longs;&longs;e in&longs;tar librarum, verum e&longs;t. Quo d autem dixit, faciliùs & cele­rius mouere maiores libras ijs quæ minores &longs;unt, &longs;i &longs;inipli­citer intelligatur, fal&longs;um, quippe quod facilitas motus, in tractorijs machinis velocitati &longs;it contraria, quod demon­&longs;trauit Guid. Vbald. in tractatu de Trochlea in 2. Corol­lario propo&longs;itione vltima.

Ad id autem quod dixit, quo maiorens fuerint tro­chleæ, eo faciliùs mouere, non e&longs;t, vt dicebamus, &longs;impli­citer verum, quod facilè o&longs;tendemus.

Efto enim trochlea AB circa centrum C, appen&longs;a in puncto D, perpendicularis quæ ad mundi centrum DCE, pondera æqualia vtrinque appen&longs;a FG. E&longs;to item alia Trochlea, eaque; maior HI, circa centrum K appen&longs;a in L, perpen dicularis, quæ ad mundi centrum LKM, æqualia pondera vtrinque appen&longs;a N, O. Dico maiorem Hl ip&longs;a minori DE facilius pondera non mouere, eo quòd &longs;it ma­ior, illa verò difficiliùs, propterea quòd &longs;it minor. Etcnim, quoniam vtraque trochlea per centrum grauitatis à per­pendiculari diui ditur, erunt partes DAE, DBE, æque pon­derantes. Eadem ratione ip&longs;æ quoque LHM, LM æquè ponderabunt. Itaque &longs;i quantumuis pu&longs;illa pondera ad­das, vtrique earum ad alteram partem tolletur æquilibrium, nec minus requiritur pondus vt recedat ab æquilibrio Trochlea minor, quàm maior. Vnico autem verbo con­cludi pote&longs;t di&longs;putatio, tam in minori quàm in maiori, bra­chia &longs;iqui dem bifariam diuiduntur, ergo in vtri&longs;que eadem brachiorum proportio, & eadem ponderum ratio.

Explorati&longs;&longs;ima &longs;unt hæc. Veruntamen cùm res ip&longs;a doceat, verum e&longs;&longs;e quod &longs;cribit Ari&longs;toteles, huius effe­ctus cau&longs;&longs;a aliunde à nobis, nempe à mechanicis princi­pijs, e&longs;t mutuanda. Dico igitur, Axium, circa quos tro­chleæ rotæue conuertuntur ad rotas ip&longs;as, varias habere proportiones. O&longs;tendemus autem rotam illam, trochleam­ue faciliùs moueri, & mouere pondera, quo rotæ diame­ter ad axis diametrum maiorem habuerit proportionem, & ideo fieri po&longs;&longs;e rotam maiorem ad &longs;uum axem minorem habere proportionem quam rotam minorem ad &longs;uum.

E&longs;to enim trochlea AB cir­ca centrum C, cuius diameter DCE &longs;it in ip&longs;a quæ ad mundi centrum perpen­diculari: &longs;it au­tem appen&longs;a in D. Alia &longs;imiliter ei æqualis &longs;it trochlea F G circa centrum H, cuius diameter IHK, conueniens cum perpen diculari quæ ad mundi centrum. appendatur autem in I. Habeant autem & axes, circa quos conuertan­tur. Hi&longs;i æquales fuerint, proportione non mutatâ idem operabuntur. Modò ponanturinæquales, &longs;itqueue axis ro­tç AB, cra&longs;&longs;ior axe rotæ FG, &longs;itqueue cra&longs;&longs;ioris quidem &longs;emi­diameter CL, &longs;ubtilioris autem HM. Dico per tro chleam FG facilius attolli pondera æqualia quàm per AB, licet altera tro chlearum alteri &longs;it æqualis. Quoniam enim me­chanica corpora &longs;ine materia & pondere non &longs;unt, onera appen&longs;a & trochlearum ip&longs;arum grauitas ex &longs;uperiori par­te prement axes, vbi puncta L, M, quæres, &longs;ecutâ in uicem corporum &longs;olidorum fricatione, motum ip&longs;um trochlea­rum difficiliorem & a&longs;periorem facit. Succedit igitur im­pedimentum loco ponderis. Duos igitur habemus vectes DC, IH, quorum fulcimenta contra ip&longs;a C, H. Pondera verò inter fulcimenta & potentiasin L, M. Intelligantur autem potentiæ applicatæ punctis DI. Igitur ex natura e­iu&longs;modi vectis, in quo pondus inter fulcimentum e&longs;t & potentiam erit vt CL, ad CD, ita potentia in D ad pondus, hoc e&longs;t, re&longs;i&longs;tentiam fricationis, quæ fit in L. Sed maior e&longs;t proportio CL ad CD quàm HM ad HI. Maior igitur ad &longs;uperandum idem &longs;eu æquale impedimentum poten­tia requiritur in D, qum in I. Itaque cum vis tota in rota­rum & axium, diametrorum proportione con&longs;i&longs;tat, fieri pote&longs;t, quod dicebamus, minorem trochleam dari, quæ maiorem habeat proportionem ad &longs;uum axem, quàm, maior ad &longs;uum, quo ca&longs;u minor rota facilius imp edimen­tum, quod diximus, ip&longs;a maiori rota &longs;eu trochlea &longs;upera­bit. Veruntamen quoniam ex materia fiunt tum axes tum rotæ, nec rei natura patitur axes &longs;ubtiles, & imbecilles magna pondera &longs;u&longs;tinere po&longs;&longs;e, idcirco cra&longs;&longs;iores fiunt, quç cra&longs;&longs;itudo cum proportione magis à magnarum rotarum diametris &longs;uperetur; fit hinc maiores rotas datâ axium pa-ritate facilius impedimentum &longs;uperare quàm minores, & hoc videtur &longs;en&longs;i&longs;&longs;e Philo&longs;ophus in ip&longs;a quæ&longs;tionis huius propo&longs;itione, Hinc aurigæ vulgo axungiâ (quæ inde no­men trahit) axium a&longs;peritates mitigant, vt minor in rotan. do, ex fricatione fiat re&longs;i&longs;tentia. Concludimus igitur, fa­cillimè trochleam illam pondus trahere, quæ cum maxi­ma &longs;it, axem habet minimum, cumqueue axungiâ aliaue vn­ctuo &longs;a materia perfu&longs;um. De manubrijs, quæ rotarum a­xibus aptantur, nemo ferè verba fecit; nos igitur de his a­liquid; &longs;iquidem res ad &longs;peculationem, qua de agimus, nen­pe Mechanicam pertinet.

Manubria vectes &longs;unt, & ad vectium naturam redu­cuntur, corum &longs;cilicet, in quibus fulcimentum e&longs;tinter pondus & potentiam. In his autem attenditur proportio, quam habet manubrij longitudo ad ip&longs;um axis &longs;emidia­metrum, eo enim faciliùs mouent, quo eorum longitudo ad axium &longs;emidia metros proportionem, habuerit ma­iorem. Duabus autem partibus con&longs;tant, alterâ, quæ ab axe ad angulum; quæ verè vectis e&longs;t; alterâ, cui manusi­p&longs;a admouetur, ex qua res tota manubrium dicitur. Fiunt autem manubria hæc vt plurimum amouibilia, &longs;unt tamen ceu rotarum ip&longs;arum partes, & rotis ip&longs;is commodè affi­gerentur, ni&longs;i in rotatione à tran&longs;uer&longs;arijs, quibus rotæ &longs;u­&longs;tinentur, impedimentum fieret.

E&longs;to enim rota AB, cu­ius axis E, terebretur autem in F, ibiqueue paxillus affigatur FK. Sit & alia rota CD, cu­ius axis G, manubrium axi appo&longs;itum GHI. Sint autem rotæ æquales & axes æqua­les. Sint etiam æqualia ip&longs;a &longs;patia EF, GH, hoc e&longs;t, ma-nubrij GHI longitudo. Dico, câdem facilitate moueri AB rotam à potentia in FK, quâ mouetur CB, à potentia po­&longs;ita in HI, datis ip&longs;i nempe potentijs æqualibus. Produca­tur enim IH, v&longs;que ad rotæ CD latus in L, & LG ducatur, & FE in rota AB iungatur. Erunt igitur FE LG inter &longs;e æ­quales. Sunt autem eorum circulorum &longs;emidiametri, qui à punctis FL, in ip&longs;a rotatione de&longs;cribuntur. Ita igitur &longs;e habebit potentia applicata in L ad diametrum &longs;emidia­metrumue axis rotæ CD, vt &longs;e habet potentia applicata in F, ad diametrum &longs;emidiame trumue axis E rotæ AB, &longs;ed &longs;patia &longs;unt æqualia & potentiæ æquales, quare nihil re­fert, vtrum manubrium lateria ffigatur, vel axi à latere ro­tæ &longs;eparatum applicetur.

Duplex autem e&longs;t ma­nubriorum forma; altera e­nim rectis partibus con&longs;tat, altera verò curua e&longs;t tota, &longs;ed rectis vtimur vt mani­bus apprendamus, curuis verò vt locum illis appona­mus, & pedis pre&longs;&longs;ione ceu in molis lapideis, quibus gladij acuuntur, fieri a&longs;&longs;olet, conuertantnr. Cur autem manubria hæc curua fiant, ea videtur ratio, ne videlicet manubrij capite &longs;upra centrum in linea quæ per centrum tran&longs;it, con&longs;tituto, factâ interim pre&longs;&longs;ione motus à centro, ad quod directè fieret pre&longs;&longs;io, impediretur. Curuitas autem facilitatem quan dam habet, ex qua factâ modicâ flexione axis caput, dum premitur ab ip&longs;a perpendiculari linea le­niter abducitur. quæ cum ce&longs;&longs;ent in manubrijs quæ manu aguntur, ideo alia forma, nempe ex rectis partibus pa&longs;&longs;im fiunt. E&longs;to igiturillud quod ex rectis partibus AB, curuum verò CD, linea verò, &longs;ecundum quam pede fit pre&longs;&longs;io CDE. Hæc itaque de manubrijs &longs;eu vectibus nos con&longs;i­dera&longs;&longs;e &longs;it &longs;atis.

Quæriinterim po&longs;&longs;et, Cur duabus datis rotis æqua­lis magnitudinis in æqualis ponderis, circa æquales axes con&longs;titutis leuior faciliùs moueatur & citiùs quie&longs;cat; grauior verò di&longs;ficilius moucatur & tardiùs ce&longs;&longs;et à mo­tu, ea videtur ratio, quod grauior re&longs;i&longs;tens magis cum &longs;u­peratur impre&longs;&longs;am vim &longs;u&longs;cipit, & diutiùs retinet, quod ce&longs;&longs;at in leuiore.

QVÆSTIO X.

Dubitat Ari&longs;toteles, Cur faciliùs, quando &longs;ine pondere est, mouca­tur libra, quàm cum pondus habet. Simili modo rota, & eiu&longs;modi­quidpiam, quod grauius quidem est, item quod maius & grauius minori, & leutori?

Breuiter autem &longs;oluit, ait enim, An quia non &longs;olum in contrarium quod graue e&longs;t, &longs;ed in obliquam etiam dif­ficulter mouetur? In contrarium enim ei ad quod vergit onus mouere difficile e&longs;t, quo autem vergit, e&longs;t facile. In obliquum autem haudqua quam vergit. Nos quod ip&longs;e non fecit figurâ ip&longs;a appo&longs;itâ rem clariorem faciemus.

Efto libra AB, cuius ful­cimentum C, pondera vtrin­que appen&longs;a AB, quorum v­trumque ponderet 10. Item libra DE, cuius fulcimentum F pondere vero appen&longs;a D, E, ip&longs;is A, B, dimidio leuiora, nen­pe S. Addatur ponderi B pon­dus G, & ponderi E pondus H, quorum &longs;imiliter vtrumque ponderet S, nutabunt igitur libræ ponderibus appo&longs;itis, & BG &longs;ecetur in K, EH verò in N, grauius e&longs;t autem GB, e&longs;t enim IS, ip&longs;o EH, quod e&longs;t 10. Difficiliùs autem de&longs;cen­det BG, quàm EH. hoc autem ex doctrina Ari&longs;totelis, quia non &longs;olum in contrarium quod graue e&longs;t, &longs;ed in obli­quum etiam difficulter mouetur, in contrarium enim ei ad quod vergit onus mouere difficile e&longs;t, quò autem ver­git facilè in obliquum autem puta per lineas BK, EN non vergit onus. Difficiliùs ergo in obliquum mouebitur pon­dus BG ip&longs;o pondere EH. vtrumque autem in de&longs;cen&longs;u retrahitur nempe à perpendicularibus BI, EM & retra­ctionis quidem anguli &longs;unt æquales & æquales ip&longs;æ retra­ctioncs. Sedgrauius e&longs;t pondus GB. quod autem grauius e&longs;t, violentius de&longs;cendit eo quod e&longs;t leuius. maiori igitur ni­&longs;u atque impetu cum cætera paria &longs;int, de&longs;cendet pondus BG, ip&longs;o EH, quod è diametro Ari&longs;totelis a&longs;&longs;ertioni e&longs;t contrarium. ex alijs igitur principijs veritas ip&longs;a e&longs;t eruen­da. Dicimus autem id ex proportionum fieri inæqualita­te; quia enim is ad 10. proportionem habet &longs;e&longs;quialteram, 10. verò ad 5. duplam, maiorem proportionem habet EH ad oppo&longs;itum pondus D, quàm BG ad pondus A, facilius ergo trahet libra DE lcuior pondus D, quàm ip&longs;a AB, gra­uior pondus A, quod vtique fuerat o&longs;tendendum. Alia quoque cau&longs;&longs;a & hæc accidentalis ad hunc effectum pa­riendum concurrit, axium nempe ad fulcimenta, in qui­bus rotantur, fricatio. quo enim maius e&longs;t pondus cæteris paribus, quod nos in præ cedente quæ&longs;tione demon&longs;tra­uimus, eò maiìor fit ip&longs;a collifio.

Porrò huius quoque &longs;peculationis e&longs;t, Cur æqualia & &longs;imilia corpora in æqualibus &longs;imilibu&longs;queue bafibus con&longs;ti­tuta eodem &longs;imiliqueue plano fulta, ponderibus tamen in­æqualia, non eâdem facilitate euertantur, &longs;ed horum gra­uiora difficilius.

Sit enim Pri&longs;ma &longs;eu Cylindrus ABCD, cuius grauitatis centrum E in plano Cl, ba&longs;i fultus CD. Sit & alter Cylindrus FGHI, cuius grauitatis centrum K fultus ba&longs;i HI æqualis quidem & &longs;imilis ip&longs;i AD. Sit autem grauior FGHI, ip&longs;o ABCD. Dico, pari potentiâ vtrumque impellente, facilius euer&longs;um iri Cy­lindrum AD, ip&longs;o Fl. Ducantur EC, KH, & æquales po­tentiæ applicentur punctis BG, pellentes Cylindros ad partes AF. Euer&longs;io autem non fiet donec facta corporis conuer&longs;ione circa puncta CH, grauitatis centra E, K trans­ferunturin L, M, in ip&longs;is &longs;cilicet perpendicularibus ACFH. Demit tantur EN, KO, perpendiculares ip&longs;is CD, HF. Et quoniam CNE, HOK anguli recti &longs;unt, erunt EC KH i­p&longs;is EN, KO, maiores, quare & LC, MH ip&longs;is EN KO, ma­iores atto lluntur ergo in ip&longs;a cuer&longs;ione, grauitatum cen­tra E in L, K in M. At quod grauius e&longs;t, difficilius contra &longs;ui naturam mouetur, ideo difficilius euertetur corpus FI, ip&longs;o AD, quod fuerat demon&longs;trandum.

QVÆSTIO XI.

Dubitat Philo&longs;ophus, Cur &longs;uper &longs;cytalas facilius portentur onera quàm &longs;uper currus, cum tamen ij magnas habeant rotas, illæ verò pu&longs;illas?

Optimè re&longs;pondet dubitationi. An, in quiens, quoniam in &longs;cytalis nulla e&longs;t offen&longs;atio; in curribus verò axis e&longs;t, ad quem offen&longs;ant. De&longs;uper enim illum premunt, & à lateribus. quod autem e&longs;t in &longs;cytalis ad i&longs;thæc duo mo­uetur & inferiori &longs;ub&longs;trato &longs;patio, & onere &longs;uperimpo&longs;i-to, in vtri&longs;que enim ijs euoluitur locis circulus, & motus impellitur. Tam appo&longs;itè paucis verbis veritatem expli­cauit, vt ferè quicquid in&longs;uper ad datur, &longs;uperuacaneum videri po&longs;&longs;it. quicquid tamen &longs;it, ad maiorem claritatem aliquantulum in hac ip&longs;a quæ&longs;tione immorabimur.

Rotatas &longs;cytalas proponit hîc Ari&longs;toteles. Coniun­ctasautem e&longs;&longs;e rotas ip&longs;is &longs;cytalis e&longs;t intelligen dum, nem­pe, vt &longs;imul rotæ cum &longs;cytalis conuertantur. Secus enim axium & Rotarum fieret offen&longs;atio, cuius offen&longs;ationis vim & effectum cum nouerit Ari&longs;toteles, vel hoc ip&longs;o lo­co te&longs;te, mirum e&longs;t, nihil de ea egi&longs;&longs;e quæ&longs;tione 9. vbi nos hac de re fu&longs;i&longs;&longs;imè tractauimus.

Cæterùm quod de rotatis &longs;cytalis &longs;cribit Philo&longs;o­phus, notandum, à Pappo quidem lib. 8. & à no&longs;tris Me­chanicis pa&longs;&longs;im ab&longs;que rotis Cylindrica &longs;implici videli­cet, & tereti formâ ad v&longs;um adhiberi. E&longs;to igitur Ari­

&longs;totelis quidem &longs;cytala AB, Pappi verò &longs;eu vul­garis, & communis CD. His non modò lapicidæ pa&longs;&longs;im, &longs;ed & nautæ na­uiumqueue fabri &longs;ubdu­cendis & mari inducen­dis nauibus vtuntur, quod varare dicunt vernaculè, Hi­&longs;panico, vt arbitror, vocabulo. ca enim natio teres lignum baculumue appellat Varam.

Quæriautem po&longs;&longs;et, vtra harum formatum &longs;it vti­lior atque commodior? Nos rotatas laudamus magis in plano duroqueue &longs;olo, minus enim tangunt & minus offen­&longs;ant; in molliori autem & minus duro proponimus non rotatas, &longs;iquidem rotæ &longs;ui naturâ pondere pre&longs;&longs;æ &longs;olum, facillimè &longs;cindunt & ab&longs;orbentur.

Quatenus autem ad v&longs;um pertinet. E&longs;to horizontis

planum AB, &longs;cytalae duaeCD, EF, Pondus verò eis impo&longs;itum G, tan­gens ip&longs;as in punctis CE, &longs;cytalæ autem planum in punctis D, F, Pellatur à potentia quapiam pon­dus Gad anteriora, nen­pe ad partes E. rotabuntur igitur &longs;cytalæ & pars quædam &longs;cytalæ D, in qua &longs;it contactus a&longs;cendet in I, C verò de­&longs;cendetin H, nulla re motum impediente, quippe quòd nulla ponderis &longs;cytalarum, & plani ad inuicem fiat offen­&longs;atio. Præterea cum &longs;cytalarum centra ab horizontis pla­no æqualiter di&longs;tent, pondus quidem horizonti æquidi­&longs;tanter mouetur, & ideo cius centrum grauitatis nequa­quam, in motu qui &longs;it, eleuatur.

Cæterùm materiæ imperfectione remota nihil re­fert ad facilitatem, vtrum maioris minorisue diametri &longs;int&longs;cytalæ, vt ea po&longs;ita eo quod maiores circuli faciliùs offendicula &longs;uperent, quod demon&longs;tratum e&longs;t in quæ&longs;tio­ne 8. eo vtiliores &longs;unt &longs;cytalæ, quo cra&longs;&longs;iores. Quatenus autem ad plau&longs;tri naturam &longs;pectat, cuius ad &longs;cytalas Phi­lo&longs;ophus fecit comparationem, vt o&longs;ten da mus difficilius ex eo moueri pondera.

E&longs;to plau&longs;tri rota KL, cuius centrum M, a­xis verò NO circa quem rotaip&longs;a conuertiturKL. Funis quo rota ex axis centro M trahitur MP, pondus vero QR. Quo­niam igitur pondus axem premit in N, axis autem rotæ modiolum in O, & codem, tempore potentia quæ trahitin P, axem admouet modio­lo in parte V. duplex itaque fit ex fricatione &longs;eu offen&longs;a­tione impedimentum, in fra nempe, vbi O, & ad latus vbi V. quæ quidem offen&longs;iones currus motum reddunt diffi­ciliorem, quæ quidem difficultas eo maior erit, quo ma­ior fuerit pondus axem premens, & minor proportio &longs;e­midiametri rotæ KM, ad axis &longs;emidiametrum MO. Cur igitur &longs;cytalis facilius pondera transferantur quam plau­&longs;tris, apertè ex dictis ad Ari&longs;to telis mentem demon&longs;tra­uimus.

Cætetùm quod ip&longs;e reticuit, ns dicemus, nempe validi&longs;&longs;imè enormia pondera per &longs;cytalas moueri, &longs;i &longs;cy­talis ip&longs;is vectes adiungantur. Et &longs;anè motus erit tar di&longs;&longs;i­mus, veruntamen tar ditas ip&longs;a facilitate, quæ in de fit, v­berrimè compen&longs;atur.

E&longs;to igitur horizontis planum AB, &longs;cytalæ CD, fo­ramina in &longs;cytalis EFGH, vectes foraminibus in&longs;erti IE, KF, LG, MH. Pondus vero &longs;cytalis impo&longs;itum N. Appli­catis igìtur quatuor potentijs extremitatibus vectium I, K, L, M, ij&longs;que in anteriora propul&longs;is, fiet &longs;cytalarum rota-tio, & ponderis N translatio ad anteriores partes B. E&longs;to item &longs;eor&longs;um &longs;cytala PR, cuius centrum Q, vectis eidem per centrum in&longs;ertus O, P, Q, R. facto igitur vectis motu O P Q R fiet ex O; centro autem Q circuli quadrans O T. exi&longs;tente igitur O in T erit P in S. facta quartæ partisip&longs;ius &longs;cytalæ rotatione. Et quoniam ex eodem centro &longs;unt qua­drantes PSOT. erit vt OQ ad QP. ita quadrans OT, ad quadrantem PS. Maxima autem e&longs;t proportio OQ, ad QP. Maxima igitur proportio OT ad PS. Ex magno igitur motu O ad T, paruus &longs;it &longs;cytalæ motus à P in S. tardius i­gitur progreditur &longs;cytala, quæ longioribus vectibus rota­tur, vis tamen maxima, quippe quod vt &longs;o habet QP, hoc e&longs;t, QR ad QO, ita potentia in O ad pondus quod premit in P vel in V. Facillimè itaque pondera vectibus & &longs;cyta­lis per horizontis planum transferri, exi&longs;tis patet.

QVAESTIO XII.

Quæritur, Cur Mi&longs;&longs;ilia longius funda mittantur quam manu, præ&longs;ertim cum proijcienti fundæ pondus addatur lapidis &longs;eu mi&longs;&longs;i­lis ponderi: & minus mi&longs;&longs;ili, manu proiecto, com­prehendatur?

Soluit Philo&longs;ophus, inquiens, fortè ita fieri, quòd fun­ditor mi&longs;&longs;ile proijciatiam ex funda commotum, &longs;iqui­dem fundam circulo &longs;ubinderotans, iaculatur, ex manu autem à quiete e&longs;t initium. Oinnia autem cum in motu &longs;unt, quàm cum quie&longs;cunt, facilius mouentur. Addit præ­terea, An & ob eam cau&longs;&longs;am e&longs;t, &longs;ed nec minus etiam, quia in fundç v&longs;a manus quidem fit centrum, funda verò quod à centro exit? quantò igitur productius fuerit quod à cen­tro e&longs;t, tanto citiùs mouetur; iactus autem, qui manu fit, fundæ re&longs;pectu breuior e&longs;t.

Hæc Philo&longs;ophus. Et &longs;anè perquàm appo&longs;itè, itaque illi pror&longs;us a&longs;&longs;entirer, ni&longs;i pro comperto haberem, in lactu qui fundâ fit, non e&longs;&longs;e manum ip&longs;am motus centium, &longs;ed potius partem illam brachij, quæ humero iungitur, & id­co motum eo fieri velociotem, quo longior e&longs;t linea quæ ab humero ad &longs;ummitatem fundæ e&longs;t, ea quæ ab humero ad manum ip&longs;am. Illud quo que mirabilc e&longs;t, quod non ob&longs;etuat Ari&longs;toteles, nempe à funditoribus in ip&longs;o eiacu­landi actu, tardam fieri circa caput fundæ rotationem. Quamobrem con&longs;iderandum e&longs;t, quo pacto fiat à tardi­tate velocitas. Re&longs;pondemus, velocitatem acquiri non ex &longs;implici, quæ circa funditoris caput &longs;it, rotatione, &longs;ed ex co impetu qui fit in ip&longs;a lapidis emi&longs;&longs;ione, qui quidem im­petus &longs;i ante vel po&longs;t illud tempus fiat, quod à funditore captatur, ca&longs;&longs;a pror&longs;us & inualida fit ip&longs;a iaculatio.

E&longs;to funda AB, manus B, brachium BC. Vt igitur&longs;e habet CH, ad CB, ita veloci­tas AD ad velocitatem, BE; Vidimus nos pueros, arundi­ni ad caput &longs;ci&longs;&longs;æ, paruos la­pides in&longs;erentes, arundinem­queue manu rotantes longi&longs;&longs;i­mè lapides ip&longs;os proijcere; A­rundo FG, lapis F, manus G, brachium GH.

QVÆSTIO XIII.

Quæritur, Cur circa idemiugum, maiores collopes (vectes &longs;unt, quos alij &longs;cytalas appellant, vt Pappus & Heron) faciliùs quàm mi­nores mouentur: & item &longs;uculæ, quæ graciliores &longs;unt eadem vi quam cra&longs;&longs;iores?

Ideo hoc fieri po&longs;&longs;e docet Philo&longs;ophus, quòd tamiugum quam &longs;ucula centrum &longs;it, prominenres autem collopum longitudines eæ lineæ quæ &longs;unt à centro. Celeriùs autem moueri & plus ab eadem vi quæ maiorum &longs;unt circulorum quàm quæ minorum. quippe quod ab ea dem vi plus tran&longs;­feratur illud extremum quod longius à centro di&longs;tat. In gracilioribus verò &longs;uculis datâ collopum paritate plus e&longs;­&longs;e id quod à ligno di&longs;tat.

E&longs;to iugum &longs;ucu­laue maior, AB circa centrum C, minor verò circa idem centrum DE. Collops autem AF, pon­dus quod per iugum at­tollitur G. A it igitur A­ri&longs;toteles, &longs;uculas, iu­gaue AB, DE ceu cen­tra e&longs;&longs;e, à quibus extat colops AB, ex maiori quidem, totâ &longs;ui parte BF, ex minori autem EF. quo igitur, ait, longior fuerit collops extans, eo maior, & deo velocior ad partem F per maiorem circulum FH, fiet collopis motus & pon­deris eleuatio, at maior e&longs;t collops EF ip&longs;o BF, facil. us er­go mouebitur pondus per &longs;uculam DE, ex collope EF, ab cadem vi, quam per &longs;uculam AB, & collopem BF.

Hæc &longs;en&longs;i&longs;&longs;e videtur Ari&longs;to teles, qui cra&longs;&longs;a, vt aiunt, Minerua rem pulchram & &longs;ubtilem e&longs;t pro&longs;equutus. Di­cimus igitur primò, in&longs;trumentum illud quod Latini &longs;u­culam, id e&longs;t, &longs;ero&longs;ulam, à &longs;tridore arbitror qui in conuer­&longs;ione fit, appellauere, Græci verò o)/non, id e&longs;t, A &longs;inum, quip­pe quod ceu A &longs;inus pondera &longs;u&longs;tineat portetque. Hanc eandem Machinam veteres Mechanici vocauere Axem in Peritrochio, cuius nos imaginem, è Pàppo in 8. Col­lect. Mathematicarum de&longs;umptam in ip&longs;o huius no&longs;trio­peris initio, inter quinque Potentias propo&longs;uimus. Huius vim inter antiquos diligenti&longs;&longs;ime examinauêre Heron, & ip&longs;emet Pappus, inter iuniores verò Guilibaldus co Tra­ctatu quem hac de Potentia Mechanicis &longs;uis in&longs;eruit. Summa e&longs;t, hanc Machinam ad vectem reduci. Nec ve­rum e&longs;t quod &longs;cribit Ari&longs;to teles, iugum &longs;uculamue cen­tra e&longs;&longs;e, hæc enim centrum habent, quod in figura &longs;upe­rius po&longs;ita notatur &longs;igno C. igitur vt &longs;e habet FC, ad CA, ita pondus G ad potentiam in F; e&longs;t autem maior propor­tio FC ad CD, quàm FC, ad CA. faciliùs ergo mouebit potentia quæ in F, pondus in D, quàm eadem potentia F, pondus in A, hoc e&longs;t, G. Huius naturæ &longs;unt quo que Erga­tæ, quas machinas no&longs;tr, Græco luxato vocabulo Arga­nos appellant. Suculæ enim reuera &longs;unt, po&longs;itione tantum ab eis differentes, non enim plano horizontis ergatæ æ­quidi&longs;tant, ceu &longs;uculæ & Axis in Peritrochio, &longs;ed eidem fiunt perpendiculares. Cæterùm facilitatem à velocitate non oriri &longs;uperius demon&longs;trauimus.

QVAESTIO XIV.

Proponitur dubitatio, Cur eiu&longs;dem magnitudinis lignum facilius genu frangatur &longs;i qui&longs;piam æque diductis manibus extrema com­prehendens fregerit, quàm &longs;i iuxta genu. Et &longs;i terræ applicans pede &longs;uperpo&longs;ito manu hinc inde diducta confregerit quàm propè.

Soluitur à Philo&longs;opho paucis verbis, An quia ibi genu centrum e&longs;t, hic verò ip&longs;e pe? quanto autem remotius à centro fuerit, facilius mouetur quodcunque: Moueri autem quod frangitur nece&longs;&longs;e e&longs;t.

E&longs;to lignum quod frangi debet AB, genu vel pedis locus C, manuum latè diductarum &longs;itus DE, minus didu­ctarum FG; ltaque quoniam DE magis à centro C di&longs;tant quàm FG, velocius mouebuntur puncta DE ip&longs;is FG, er­go inde facilius fiet fractio quam ex FG. Hæc ille ex &longs;uis

principijs. Nos dili­gentius, &longs;i fieri poterit, effectus huius cau&longs;&longs;am per&longs;crutemur. E&longs;to igi­tur in &longs;ecunda figura lignum oblongum AB, cuius medium C, linea ducatur CD perpen­dicularis ip&longs;i AB. Ad­moueatur genu puncto C, manus verò diuari­centur in AB, facta i­gitur vtrinque impre&longs;­&longs;ione, lignum non fran­getur, ni&longs;i partium in CD coniunctarum &longs;eparatio fiat, &longs;itqueue altera in E, altera verò in F, fractum ergo erit lignum, & centro C immobili permanente, partes facto angulo GCH erunt in GC, HC: Modò lignum &longs;uæ integritati re­&longs;tituetur, & denuò admoto genu puncto C, manus didu­cantur in I, K, quæ lo ca viciniora &longs;intip&longs;i C, quam AB, Di­co hinc difficilius fractionem fieri quam ex AB. Con&longs;ide­ramus enim in integro ligno AB, duos vectes ACD, BCD, quorum anguli concurrunt in commune fulcimentum C, Sunt autem vectes angulati, & eius naturæ, quam exami­nauimus in quæ&longs;tiones. E&longs;t igitur re&longs;i&longs;tentia, qua ligni partes vniuntur in D, loco ponderis: &longs;uperanda hæc e&longs;t, vt ligni fiat fractio. Dico id facilius ce&longs;&longs;urum, &longs;i fiat ex pun­ctis A, B, remotioribus quam ex IK, ip&longs;i puncto C propio­ribus: etenim vt AC, ad CD, itare&longs;i&longs;tentia quæ fit in Dad potentiam in A, item vt &longs;e habet IC ad CD, ita re&longs;i&longs;tentia in Dad potentiam in I, &longs;ed minor e&longs;t proportio IC ad CD, quam AC ad CD. ergo facilius potentia quæ e&longs;t in A, re­&longs;i&longs;tentiam &longs;uperabit, quæ e&longs;t in D, quam ea quæ e&longs;t in I, quod fuerat demon&longs;trandum. Idem autem intelligendum e&longs;t de parte CB; eadem enim e&longs;t ratio. Curigitur longio­ra & graciliora ligna facilè frangantur, ex i&longs;tis clare patet: nempe quia maxima e&longs;t proportio longitudinis ad cra&longs;&longs;i­tudinem, cuius quidem cra&longs;&longs;itudinis &longs;patium loco partis illius in vecte &longs;uccedit, quæ pertingit à fulcimento ad pon­dus, hoc e&longs;t, ad ip&longs;am re&longs;i&longs;tentiam. Sed nos hac eadem de re nonnulla in declaranda quæ&longs;tione 16. perpendemus.

QVAESTIO XV.

Proponitur inueftigandum, Cur litterales crocæ (glareas dicunt Latini, velcalculos, quos vmbilicos appellat Cicero lib. 2. de Orat.) rotundâ&longs;int figurâ, cum aliquando ex magnis &longs;int la­pidibus te&longs;tisue?

A It Philo&longs;ophus, ideo forta&longs;&longs;e fieri, quòd ca quæ à me­dio magis recedunt, in motionibus, celerius feran­tur; me dium e&longs;&longs;e centrum, interuallum vero quæ à cen­tro, &longs;emper autem maiorem ab æ quali motione maiorem de&longs;cribere circulum; quod autem maius in æquali tem­pore &longs;patium tran&longs;it, celerius ferri; quæ autem celerius ex æquali feruntur &longs;patio vehementius impetere, quæ autem impetunt, impeti magis, & ideo quæ magis à centro di­&longs;tant, nece&longs;&longs;e e&longs;&longs;e confringi, quod cum glareæ &longs;eu croc æ patiantur, nece&longs;&longs;ariò rotundas fieri. Hactenus ille, & &longs;anè pobabiliter. Verum enimuerò aliter &longs;eres habere vide­tur: &longs;iquidem enim à rotatione ex maiori à centro di&longs;tan­tia id fieret, maiores quidem glareæ crocæue e&longs;&longs;ent ro­tundiores, at nos non maximas modò, &longs;ed & minimas, ea&longs;que magis angulis carere, & ad rotunditatem accede­re videmus. Præterea non moueri eas circa centrum pa­lam e&longs;t, imò vt varia &longs;unt figura, ita varijs quo que motio­nibus, ex agitatione moueri. Id &longs;anè explorati&longs;&longs;imum e&longs;t, angulos omnes, & emin entias quaslibet in corporibus e&longs;­&longs;e infirmiores, offen&longs;ionibus enim expo&longs;itæ &longs;unt, necre&longs;i­&longs;ten di habent facultatem. Itaque in attritione quæ fit in eorum agitatione perpetua, eminentiæ contunduntur, & &longs;uperficies ip&longs;a paullatim leuigatur.

E&longs;to angulatus lapis ABCD. Dum igitur perpeti motione atque a&longs;&longs;iduâ ver&longs;atione agitatur, fer­turqueue, eminentiæ anguliqueue, vt­pote debiles & imbecilli, conte­runtur, & inde figura fit quædam irregularis, ad primam quidem la­pidis formam accedens, leuis tamen & quouis angulo carens, qualis e&longs;t E remotis ABCD, an­gularibus eminentijs.

Hanc eandem ob cau&longs;&longs;am, &longs;culptores antequam mar­moribusvltimum læuorem inducant, dentato malleo pri­mum quidem vtuntur, tum demum eminentiores parti­culas radula facilè amouentes &longs;uperficiem ip&longs;am læuem & adæquatam reddunt.

Hinc etiam no&longs;trates Architecti, in arcium propu­gnaculis efformandis a cutos angulos deuitant, vtpote de­biliores, & magis offen&longs;ionibus obnoxios. quod nec Vi­truuium latuit, qui ideo lib. 1. cap. 5. ita &longs;cribit: Turres itaquerotundæ aut polygoniæ &longs;unt faciendæ, quadrat as enim machinæ celerius di&longs;&longs;ipant; & angulos, Arietes tundendo frangunt, inro­tundationibus autem, vti cuneos ad centrum adigendo lædere non po&longs;&longs;unt. Hæc ille. Cur autem no&longs;tri rotundas figuras alias vtiles reijciant, ab ijs petendum qui in ea facultate ver­&longs;antur. Porrò quod ad hanc eandem &longs;peculationem facit, videmus, antiquas &longs;tatuas, vt &longs;æpius auribus, na&longs;o, digitis, manibu&longs;ue atque pedibus carere, quippe quod imbecillæ &longs;int partes, & facilè quouis occur&longs;u mutilentur. Quæo-ma cùm vera &longs;int, nemo, vt arbitror, dixerit, ab&longs;olutè, quod voluit Ari&longs;toteles, id ex rotatione velociori & par­tium à centro remotione, fieri.

QVAESTIO XVI.

Dubitatur, quare, quò longiora &longs;unt ligna, tanto imbecilliora fiant, & &longs;itolluntur, inflectuntur magis: tamet&longs;i quod breue est ceu bi­cubit umfuerit, tenue, quod verò cubitorum cen­tum cra&longs;&longs;um?

Ex &longs;uis principijs &longs;oluit Ari&longs;toteles. Inquit enim: An quia & vectis & ont s & hypomochlium, id e&longs;t, fulci­mentum in leuando, fit ip&longs;a ligni proceritas? Prior namque illius pars ceu hypomochlium fit, quod verò in extremo e&longs;t, pondus: quamobrem quanto exten&longs;ius fuerit id quod à fulcimento e&longs;t, in flecti nece&longs;&longs;e e&longs;t magis; quo enim plus à fulcimento di&longs;tat, eo magis incuruarinece&longs;&longs;e e&longs;t. Ne­ce&longs;&longs;ariò igitur extrema vectis eleuantur. Si igitur flexilis fuerit vectis, ip&longs;um inflectimagis cum extollitur nece&longs;&longs;e e&longs;t, quod longis accidit lignis, in breuibus autem quod vl­timum e&longs;t, quie&longs;centi hypomochlio depropè fit. Hæc &longs;ubiectâ figurâ ob oculos ponimus.

E&longs;to longum ac fle­xile lignum AB, manu ele­uetur in A, fle ctetur itaque in B, & declinabit in C. et­enim manus quæ &longs;u&longs;tin et in A, fulcimenti loco &longs;uccedit: longitudo vero AB ponde­ris vices refert, at que vectis, quare quo longius abfuerit à fulcimento, id e&longs;t, manu extremum B, eo magis flectetur; &longs;i autem lignum breuius fuerit, nempe terminatum in D, nequaquam fle ctetur, eò quòd eius extremum D minus à fulcimento quod e&longs;t in A &longs;it remotum. Hæc igitur e&longs;t mens Ari&longs;totelis, cuius quidem &longs;ententiam non damnamus; quippiam tamen addimus. Dicimus autem materiam, quatenus ad hanc contemplationem &longs;pectat, in duplici e&longs;&longs;e differentia. aut enim rarefactionis & con&longs;tipationis e&longs;t incapax, vt in chalybe videmus, nitro, metallo, mar­more, aut capax quidem, & hæc duplex: Vel enim natura nata e&longs;t ad rectitudinem quandam, vt ar borum flagella virgæque, aut non item, ceu &longs;tannum, plumbum, & cæte­ra eiu&longs;modi.

E&longs;to primò vitreum corpus gracile, procerum, teres AB, manu capiaturin A, itaque pondere ip&longs;ius cor­poris præualente ad partes B, quia in C puncto, quod circa medium e&longs;t, ex parte &longs;uperiori non fit rarefactio, nec in in feriori con&longs;tipatio, nec interim datur penetra­tio corporum, fit fractio à &longs;uperiori parte, & pars CB à reliqua parte AC, auul&longs;a & &longs;eparata cadit in D, &longs;uccedit autem ip&longs;a &longs;eparatio rarefa­ctioni. Porrò quod materias ha&longs;ce non flexibiles diximus, &longs;ed frangibiles, non ideo negamus vel &longs;en&longs;u docente, ali­quam inijs fieri flexionem. Si autem lignea fuerit mate­ria, caque; flexibilis, vt EF, &longs;i manu eleuetur in E, præualen­te pondere in F flectetur vbi G. ibi enim à parte &longs;uperiori fitrarefactio, ab in feriori verò con&longs;tipatio, & pars GF de­clinabitin H, quæ declinatio eò v&longs;que procedet, quo ra­refactio & con&longs;tipatio competens naturæ illius materiæ, quæ flectitur ad &longs;ummam inten&longs;ionem deuenerint; tunc &longs;ivis maior ingruerit, frangetur omnino: &longs;i &longs;ecus factaibi re&longs;i&longs;tentia, vbi rarefactio fit & con&longs;tipatio pe&longs;t inclina­tionem &longs;ur&longs;um ferctur pars in clinata & nutans, tum in contrariam partem tendens reflectetur, vt videre e&longs;t in virga IN. Declinans enim in KL, repellente ea quæ infra K fit materiæ conden&longs;atione, impetu ex de&longs;cen&longs;u a cqui­&longs;ito facta reflexione a&longs;cendit in KM, donec paullatim cir­ca pri&longs;tinam rectitudinem reuertatur, & hic quidem mo­tus vibratio dicitur, agitatioue. Si autem virga plumbea fuerit, naturâ non factâ ad rectitudinem, puta OP, pro­prio vincente pondere, ad partes declinabit QS, fietque; in QR rarefacta, nempe &longs;uperiori parte ea con&longs;tipata infe­riori in Q, nec reflectetur, quippe quòd eius natura con­den&longs;ationem & rarefactionem commodè patiatur, nec facta &longs;it ad rectitudinem.

Porrò tripliciter fieri pote&longs;t horum oblongorum corporum eleuatio, nempe vel extremorum alteio, aut &longs;i ambobus, &longs;i vtrinque &longs;u&longs;pen datur, vel alicubi inter extre­ma. De priori modo iam egimus. Modò &longs;u&longs;pendatur in medio vt AB, in C. eo igitur ca&longs;u cum fulcimentum &longs;it in C, vtrinque fit flexio in D, & E, & id quidem &longs;i materia fle­xionem patitur: &longs;in minus, fractio fit in C. Si autem ab ex­

tremis fiat &longs;u&longs;pen&longs;io, vt in AB, tunc ceu duo vectes fient, quorum fulcimenta in extremis AB. Pondera au­tem communia in medio vbi Cremoti&longs;&longs;ima enim ea pars e&longs;t ab extremis AB. Cedente
igitur materia &longs;uomet pon­deri, &longs;iquidein in flexibilis fu­erit, frangetur, & fiet partium &longs;eparatio in C, duoque in de corpora AD, BE. Si autem fle­xionis capax, vt AB in po&longs;tre­ma figura, facta ex contrario, nempe in in feriori parte cir­ca C rarefactione, in &longs;uperiori verò conden&longs;atione, pon­dere præualente curuabitur, fietque; lignum quidue aliud huiu&longs;modi, vt ADB, nec amplius pondere &longs;uapte naturâ inferiùs vergente ad rectitudinem reuertetur.

Cæterùm cur oblonga & graciliora corpora facilius illis, quæ contrario &longs;e habent modo, frangantur, ex me­chanicis principijs in quæ&longs;tione 14. apertè demon&longs;traui­mus. Modò vt ex hac contemplatione, quæ aliàs inutilis videtur, aliquam vtilitatem capiamus, & ex his quæ con­templabimur, Architecti prudentiotes fiant, i&longs;thæcip&longs;a, de quibus agimus, ad rem ædificatoriam commodè apta­bimus. Transferamus igitur cogitationem ad eam trabium comp gem, quæ ad tecta &longs;u&longs;tinenda ex tran&longs;uer&longs;ario ar­rectarioque; &longs;it, & duobus cauterijs, quam no&longs;trià Latinis detorto vocabulo Bi&longs;cauterium dicunt. Per&longs;crutabimur enim, vnde illi tanta ad &longs;u&longs;tin endum vis, & quæ compa­gem hanc con&longs;equantur pa&longs;&longs;iones. quamuis enim fabri meræ praxi, quod vtile e&longs;t efficiant, nos meliorum inge­niorum gratiâ, rei ip&longs;ius cau&longs;&longs;as diligenter examinatas in medium proferemus; nec de hac re tantùm agemus, &longs;ed de Cameris quoque, fornicibus eorumqueue vitijs & virtu­tibus quatenus ad Mechanicum pertinet, &longs;ermonem ha­bebimus. Quærimus primo, cur perpendiculariter erectaetrabes &longs;uperimpo&longs;ita pondera validi&longs;&longs;ime &longs;u&longs;tineant? Et &longs;ane hoc omnes norunt, &longs;ed non per cau&longs;&longs;as.

E&longs;to horizontis planum, illudqueue &longs;olidi&longs;&longs;imum, & impenetrabile AB, trabs eidem ad perpendiculum erecta CD fulta ba&longs;i vbi C grauitatis centrum F. pondus &longs;uper­impo&longs;itum FG, cuius grauitatis centrum H: Sint autem H & E in eadem perpendiculari, quæ ad mun di centrum HEC. Itaque eo quod tum penderis tum trabis centra grauitent in perpendiculari, illa verò fulciatur in C, to-

tius ponderis moles recumbet in C: non de&longs;cendet autem in I, propterea quod &longs;upponatur i­p&longs;um planum AB, impenetrabi­le. Igitur vt pondus H de&longs;cen­dat in C, alterum duorum e&longs;t nece&longs;&longs;arium, nempe vel trabem &longs;ubiectam comminui, aut eius partes &longs;e&longs;e penetrare, & plura corpora e&longs;&longs;e in eodem loco, pu­ta KC, quorum hoc &longs;ecun dum naturæ penitus repugnat, illud vero primum, penè impo&longs;&longs;ibile. Diuidatur enim trabs in partes æquales tres, lineis KL, ip&longs;a igitur KC infima &longs;u&longs;ti­net mediam KL, hæc verò &longs;upremam LD, hæc autem pon­dus, ip&longs;um &longs;uperpo&longs;itum in H. Seigitur &longs;u&longs;tinent partes. Sed illud totum partibus con&longs;tat. ergo pondus totum à trabe tota, hoc e&longs;t, à &longs;e toto &longs;u&longs;tinetur.

Præterea in præcedenti quæ&longs;tione mon&longs;trauimus tunc facilem e&longs;&longs;e gracilis & oblongi ligni fractionem, cum maxima e&longs;t longitudinis ad cra&longs;&longs;itudinem proportio. Hîc verò contrà accidit, etenim MD pars vectis quæ à fulci­mento e&longs;t ad potentiam minimam habet proportionem ad rectam DC, quæ à fulcimento ad locum fractionis ex­tenditur, vbi C, quod vt euidentius pateat,

E&longs;to &longs;eor&longs;umtrabs AB, cuius medium C. Sit autem pondus D impo&longs;itum pun­cto C. facilè igitur frange­tur lignum AB, propterea quòd maxima &longs;it proportio AC ad CE; re&longs;i&longs;tentia verò fiat in E, addatur vniatu que; ligno AB lignum FH. Cra&longs;&longs;ius igitur e&longs;t totum AL, ip&longs;o A, & ideo minor proportio AC ad CG quàm AC, ad CE. Addatur adhuc & IM. Longè itaque difficilius fran­getur in K propterea quòd longè minor &longs;it proportio AC ad CK quàm ciuidem ad CE & CG. His igitur con&longs;ide­ratis, & demon&longs;tratis concludimus, impo&longs;libile e&longs;&longs;e ere­ctam trabem ponderi cedere, & frangi.

Dicet autem qui&longs;piam, haec&longs;i vera &longs;unt, quo gracilius fuerit fulcrum, eo validiùs &longs;u&longs;tinebit, & frangetur minus, quod oppido fal&longs;um e&longs;t. Re&longs;pondemus, id non ex propor­tionum naturâ, &longs;ed ex materiæ ip&longs;ius infirmitate fieri. Ita quoque invecte non materiam, quatenus ad vim pertinet, &longs;ed proportiones partium con&longs;ideramus. Vtiumqueigi­turrequiritur ad fulcti validitatem proportio longitudi­nis ad cra&longs;&longs;itudinem debita, & materiæ ip&longs;ius robur & fortitudo. Præterea, quoniam pondus, cuifulcrum re&longs;i­&longs;tit, vel ex natura premit, vel ex violentia, illud quidem per lincam perpen dicularem, quæ ad mundi centrum, hoc autem lateraliter & diuer&longs;imodè, varia fit fulcrorum di&longs;­po&longs;itio. Cuius rei &longs;umma hæce&longs;t, vt &longs;emper contra impe­tum &longs;upponantur.

E&longs;to enim horizontis planum AB, eidem perpendiculares CADB, ítaque &longs;i naturaliter pondus pre­matex C, fulcrum &longs;upponetur AE. Siautem ex F ip&longs;um GE, &longs;i verò ex H, &longs;upponaturiuxta BE. Si verò &longs;e­cundum I ponderi opponatur KE. Hæc nos de arrectarijs fulcrisue; nunc de tran&longs;uer&longs;arijs, & inclinatis agemus, & primum de tran&longs;uer&longs;arijs, quatenus ad tectorum trabeationes &longs;pe­ctat.

E&longs;to tran&longs;uer&longs;aria trabs AB, muris vtrinque fulta CD,

cuius grauitatis centrum E, in perpendiculari FEG, quæ quidem ad mundi centrum vergit. Itaque eo­dem tendente grauitatis contro, &longs;i pondus quod premit in E, non præua­leat vnioni partium ip&longs;ius materiæ quæ e&longs;t in E, re&longs;i&longs;tet trabs &longs;uomet ponderi, nec frangetur. Si autem vel in firmitate materiæ, aut vitio, vel maxima exiftente proportione AF ad FE, fractio fiet in E, & &longs;ecutâ partium &longs;epaiatione duæ fient vtrin que trabes AH, Bl, quorum grauitatis centra KL. Erunt igitur duo vectes AE, BE, quorum fulcimenta MN, quamobrem &longs;i proportio EM ad MH ita præualeat, vt pondus quod e &longs;t in E, &longs;uperet pondus muri O &longs;uperimpo&longs;iti, & item muri P, corruent quidem trabes, & murorum fiet hinc inde di&longs;­&longs;ipatio. Si autem non præualuerit ea, quam diximus, pro­portio, &longs;u&longs;pen&longs;æ remanebunt vtrin que trabes vt AHBI.

Huic difficultati egregiè occurrunt Architecti, ali­quando autem hoc modo:

E&longs;to tran&longs;uer&longs;aria trabs &longs;uâ gracilitate, alia­ue de cau&longs;&longs;a imbecilla AB, muri quibus vtrinque &longs;u&longs;tinetur CD, Trabis i­p&longs;ius grauitatis centrum G. Itaque adpactis trabi lignis EF, caprcolos ad­dunt muro vtrinque ful­tos CE, DF, corum capita adpactis lignis admouentes EF, &longs;ed & tunc validi&longs;&longs;ima fit colligatio, &longs;i inter E & F capreo­lorum capita integrum lignum trabi &longs;upponatur EF. Ra­tio autem validitatis patet; premente enim grauitatis cen­tro in G, fulcra hinc inde &longs;uccurrunt CE, DF, quæ cum &longs;e­ip&longs;is fieri non valeant breuiora, ne corpori detur penetra­tio, re&longs;i&longs;tunt & robu&longs;ti&longs;&longs;imè ip&longs;i ponderi &longs;uperimpo&longs;ito contranituntur. Videntur autem in hoc opere duo con­&longs;iderari vectes, GH, GB, quorum fulcimenta EF, potentia premens vtrinque G. Pondera autem parietum partes ca­pitibus trabis impo&longs;itæ in A & B. Quoniam igitur parua e&longs;t proportio GE ad EH, parua potentia premens in G, maximè autem pondus in A, fieri non pote&longs;t trabem fran­gi aut muros vtrin que di&longs;&longs;ipare in AB. Po&longs;&longs;unt etiam to­tius trabis tres partes con&longs;iderari AE, EF, FB, quarum ful­cimenta quatuor A, E, F, B, Diui&longs;o igitur pondere & mul­tiplicatis fulcimentis impo&longs;&longs;ibile e&longs;t trabem conuelli & vitium facere.

Sed & tectorum contignationes imbecillaque; tran&longs;­uer&longs;aria Mechanici corroborare &longs;olent, additis nempe arrectaria trabe atque cauterijs.

E&longs;to enim tran&longs;­uer&longs;aria trabs AB parietibus vtrinque fulta I, K, arrectarium CD. Cauterij vtrin­que AD, BD, ita tran&longs;uer&longs;ariæ trabi in AB, & arrectario in D in&longs;erti, vt ne­quaquam inde ela­bi valeant. Tum ferrea fa&longs;cia EF mediam tran&longs;uer&longs;ariam trabem AB, à parte inferiori ip&longs;i arrectario connectens, Debet autem arrectarij pes vbi C, aliquantulum à tran&longs;­uer&longs;aria trabe di&longs;tare, ne deor&longs;um ex pondere vergente paululum arrectario ip&longs;am tran&longs;uer&longs;ariam premat. His i-gitur ita con&longs;titutis pondus quidem tran&longs;uer&longs;ariæ trabis, quod &longs;uapte naturâ premit in medio vbi C, ferrea fa&longs;cia, arrectariæ trabi affixa di&longs;tinetur, Arrectariam cauterij &longs;u­&longs;tinent, hos verò tran&longs;uer&longs;ariæ capita AB, quibus indun­tur. Tota igitur eiu&longs;cemodi operis vis in eo con&longs;i&longs;tit, vt probè cauterij tran&longs;uersariæ & arrectariæ trabi in&longs;eran­tur. fixis enim cauteriorum pedibus in AB, non de&longs;cendent à partibus &longs;eu capitibus D, ijs verò &longs;tantibus &longs;tabit & arre­ctarium, quo inde &longs;u&longs;pen&longs;o tran&longs;uer&longs;aria trabs ei ex ferrea fa&longs;cia alligata nequaquam pendebit. Stabit ergo compa­ges tota & &longs;uapte vi robu&longs;ti&longs;&longs;imè connexa totius tecti pondus &longs;u&longs;tinebit.

Quoniam autem v&longs;u venire &longs;olet, cauterios nimia longitudine debiles, aliquando tum proprio tum extra­neo cedentes ponderi deor&longs;um vergentes pandare, Ar­chitecti capreolis hinc inde &longs;uppo&longs;itis, ceu fulcris, huic medentur infirmitati.

Sint enim cauterij debiles hinc inde AB, AC, media trabs arre­ctaria, quam Monachum dicimus AD. Cauterio­rum mediæ partes E, F, in punctis igitur EF, vtpote maximè ab extremis di&longs;tanti­bus debiles cauterij val de laborant. Itaque &longs;uppo&longs;itis v­trin que arrectariolis EH, Fl, eorum capitibus E, F, duos cauteriolos &longs;ibi ip&longs;is ad pedem arrectarij in D, re&longs;i&longs;tentes apponunt. quibus ita con&longs;titutis nec E, nec F ad partes H, I, de&longs;cendere valent. Capiatur enim inter EH, quoduis punctum G, & BG, DG, connectantur, erunt autem BG, DG ip&longs;is BE ED breuiores ex 21. primi elem. Tuncigitur punctum E fiet in G cum BE, ED fient in BG, DG, quod non cedentibus B, D, & &longs;ibi ip&longs;is breuioribus factis parti-bus BE, ED, pror&longs;us e&longs;t impo&longs;&longs;ibile. &longs;tabuntigitur in co­rum rectitudine cauterij AB, AC, nec pandabunt, quod fieri querebatur.

Hîc autem damnandi veniunt ij, quitran&longs;uer&longs;ariæ quidem trabis capitibus cauteriorum pedes non in&longs;erunt, &longs;ed ea vice tran&longs;uer&longs;ariolo quodam medios cauterios v­trin que connectunt ad in&longs;tar elementi A, quam compa­gem, capram, appellant. Sint enim cauterij hinc inde AB, AC, quorum medias partes connectit tran&longs;uer&longs;ariolum, DE. Dico igitur colligationem i&longs;tam magnopere impro­bandam. Sunt enim AB, AC vectes, quorum commune fulcimentum A, potentiæ hinc inde diuaricantes B, C, pondera inter fulcimentum & potentias DE. quoniami­gitur vt DH ad AB, ita potentia in B, ad pondus in D, par­ua quidem potentia, pondus in D di&longs;trahet & &longs;uperabit: facillimaque; in de fiet tran&longs;uer&longs;ariolì à capreolis ip&longs;is vtrin­que reuul&longs;io: Et quoniam centrum quidem e&longs;t A, fact, in D, E, parua diuaricatione, maxima fit in BC, vtpote parti­bus ab ip&longs;o centro A quam remotis. Calcitrant igitur li­beri prope cauteriorum pedes, & muros ip&longs;os &longs;ummos, non &longs;ine magno operis totius vitio, &longs;ua calcitratione pro­pellunt.

Hæc nos de trabeationibus, modò ad fornicum ca­merarumque; naturam &longs;tilum transferemus; id enim &longs;uadet vtilitas, imo & nece&longs;&longs;itas ip&longs;a. Pauci enim ante nos hæc tractarunt, & &longs;anè his probè non cognitis aut neglectis, Architecti fabriqueue ingentes per&longs;æpe incurrunt, & inex­plicabiles difficultates. Dicimus igitur primò, coctiles la­teres, & non cuneatos lapides ad rectam lineam di&longs;po&longs;i. tos, non &longs;tare.

Sint enim muri vtrinque AC, BD. Ducatur hori­zonti æquidi&longs;tans CD, iuxta quam lateres lapide&longs;ue non cuneati, &longs;eriatim collocentur EF. Dicimus amoto arma­

mento, hoc e&longs;t, pro­hibente ip&longs;o lateres ruere. Producantur enim AC in G, BD verò in H, cum ip&longs;is CG, DH, æquales fiant CI, DK, & recta IK iungatur, crit igi­tur GD &longs;patium ip&longs;i CK &longs;patio &longs;imile qui­dem & æquale, quod cùm ita &longs;it, nihil prohibet quin tota laterum GD moles in &longs;patium CK transferatur, & corruat.

Si autem cunei ip&longs;i latere&longs;ue, cuneatim di&longs;po&longs;iti, ita &longs;int vt ad vnum centrum tendant, licet ad rectam lineam collocentur, non delabentur, &longs;ed &longs;tabunt; quod ita o&longs;ten­demus.

Sint cunci latere&longs;ue cuneatim di&longs;po&longs;iti ABCD, tendentes ad centrum, &longs;eu commune punctum E, Du­cantur CAE, DBE, &longs;intqueue muri vtrinque ponderire&longs;i­&longs;tentes CL, DM, Demitta­tur perpendicularis, quæ ad mundi centrum FGE &longs;ecans AB, in G. Tum fiat GK aequa­lis GF & per K ip &longs;i AGB parallela ducatur, HKI claudens &longs;patium AHIB. Quoniam igitur vt EC, ad EA, ita CD ad AB per 4. propo&longs;. lib. 6. maior erit CD ip&longs;a AB, & eâdem de cau&longs;&longs;a maior AB, ip&longs;a HI, & idcirco maius ABDC &longs;pa­tium, &longs;patio AHIB. Non igitur pote&longs;t linea CD, fieri in AB, neque AB, in HI, neque &longs;patium totum CABD, tran&longs;­ferri in &longs;patium AHIB non data (quod naturæ ip&longs;i repu­gnat) corporum penetratione. Stabunt ergo cunei, quod fuerat demon&longs;trandum.

Verumenimuero, debilis hæc &longs;tructura e&longs;t, & eo de­bilior, quo vani latitudo fucrit maior, cuneorum verò al­titudo minor. Idem enim patitur quod epi&longs;tylia in &longs;pecie Aræos&longs;tyla, quæ, vt&longs;cribit Vitruuius lib. 3. c. 2. propter in­teruallorum magnitudinem franguntur. Id quoque ha­bet vitij, quod cunei ita di&longs;po&longs;iti &longs;uo pondere in cumbas vtrinque violenti&longs;&longs;imè pellant. Vtilis tamen e&longs;&longs;c pote&longs;t ad portarum & fene&longs;trarum, quæ in medijs muris &longs;unt, & mediocri vano aperiuntur, &longs;uperliminaria.

Si verò ad minorem circuli portionem curuetur Ca­mera, vtilior quidem erit &longs;tructura ea ip&longs;a, de qua locuti &longs;umus; non tamen omninò &longs;ine vitio.

E&longs;to fornix ex minori circuli portione AB, cuius in­cumbæ AF, BH muris fultæ AC, BD. Con&longs;tet autem vel ex lapidibus cuneatis, vel ex coctilibus lateribus ad E cen­trum tendentibus. Sitque; for­nicis linea exterior FGH, in­terior AIB. Ducantur EA, ED, & producantur in M, N. Quoniam igitur vt EM ad EA, ita MGN ad AIB, maior e­rit MGN lineaip&longs;a AIB, quamobrem fieri non pote&longs;t vt aptetur lineæ AIB, & in eius locum de&longs;cendat. Stabit igi­tur, in cumbis vtrinque non cedentibus. Validè autem &longs;peciem hanc, loca quibus incumbit, propellere, ita o­&longs;tendemus.

Producatur in eadem figura CA in K, & DB in L. Partes igitur quæ muris ad perpendiculum fulciuntur, &longs;unt AKF, BLH, minimæ illæ quidem, maxima verò pars e&longs;t extra fulcimenta, nempetota AKLB quæ idcircó &longs;uo­pte pondere deor&longs;um vergens & in incumbas vtrinque pel­lens aperitur, & facillimè vitium facit. Eiu&longs;dem ferè na­turæ ea &longs;pecies e&longs;t, quæ vel ex media, vel ex minori ellip&longs;is &longs;ecundum maiorem diametrum fit &longs;egmento. Vtilior ta­men hæc e&longs;t, præcipuè circa incumbas, propterea quod partes habeat erectiores, & circulari illa de qua egimus, magis fultas. circa medium autem pote&longs;t videri debilior, quippe quod ellip&longs;isibi circulo curuetur minus.

Ea verò forma, qua mirum in modum delectati &longs;unt Barbari, qui declinante imperio Italiam inua&longs;erunt, & bonam emendati&longs;&longs;imamqueue antiquorum ædificandi ra­tionem deturparunt, ex duobus con&longs;tat circuli portioni­bus, quamobrem Albertus lib. 3. ho&longs;ce arcus, compo&longs;itos, appellat. Circinantur autem hoc pacto, diui&longs;a nempe &longs;ubten&longs;a, in partes tres, ea&longs;que æquales, ponitur circini pes in altero diui&longs;ionum puncto & pars circuli de&longs;cribi­tur, mox in altero puncto circini pede collocato alia cir­culi portio lineatur, quibus arcus ip&longs;e integratur. Appel­lant autem tertium acutum, eo quod ex &longs;ubten&longs;a in tres partes diui&longs;a, arcus non fiatrotundus, &longs;ed in acutum an­gulum ex duabus circuli portionibus de&longs;inens.

Sint igitur muri AC, BD, in quibus v­trinque incumbæ KA, BI. Ducatur itaque &longs;ub­ten&longs;a horizonti æquidi­&longs;tans AP, quæ in tres æ­quales partes diuidatur punctis E, F, tum centris EF, circulorum portio­nes de&longs;cribantur hinc AG, HK, inde verò BG, IH, ex quibus arcus totus integratur. Vtilis hæc quidem &longs;pecies e&longs;t, licet inuenu&longs;ta, propterea quod haud violen­ter incumbas vtrinque repellat, & in &longs;ummo magnis &longs;u&longs;ti­nendis oneribus &longs;it apta. Producantur CH in N, DB verò in O, &longs;itqueue centrum grauitatis AG in L, partis vero BG in M. Quoniam igitur centra hæc ob elatam portionum con&longs;titutionem quam proxima lineis AN, BO, fulcimen­torum fiunt, maximè &longs;u&longs;tinentur, & deor&longs;um potius quam lateraliter in cumbas ip&longs;as premunt. Si quid tamen habent vitij, illud e&longs;t quod grauitatis centra momentum haben­tia ad interiorem partem ver&longs;us PQ vim faciant, & nifi partes magno &longs;uperimpo&longs;ito pondere comprimantur, partes quæ &longs;unt circa HG, &longs;ur&longs;um pellentes aliquali &longs;ibi rectitudine comparata corruunt, facta nempe circa L, M, coniunctarum partium &longs;eparatione.

His hoc pacto explicatis de &longs;emicirculari fornice a­gemus, quæ cæteris omnibus vtilior e&longs;t, & longè pulcher­rima, quamobrem Antiquis Architectis omnibus inpri­mis admodum familiaris:

E&longs;to vanum ABCD, muris v­trinque clau&longs;um. Ducatur per sun­mitates murorum horizonti æqui­di&longs;tans recta AD, hac bifariam &longs;e­cta in E, eodem centro E, &longs;patio verò EA &longs;emicir­culus de&longs;cribatur AFD, concaua nempeip&longs;ius for-nicis pars; tum eodem centro, &longs;patio verò EG, circinetur GHI eiu&longs;dem fornicis pars conuexa. Po&longs;t hæc productis lineis BH, CD, in OP, &longs;ecetur fornix tota in tres æquales partes AGKM, MNLK, NDIL, & KME, LNE iungantur, &longs;int autem partium ip&longs;arum grauitatis centra QRS. E&longs;t autem R in ip&longs;a perpendiculari HE. Quoniam igitut partium AGKM, DILN, quæ vtrinque &longs;unt grauitatis cen­tra QS, in ip&longs;is &longs;unt fulcimentorum lineis OH PD, &longs;uâ &longs;ponte fulcimentis eas &longs;u&longs;tinentibus partes ip&longs;æ &longs;tabunt. Pars autem media KMNL deor&longs;um vergente perip&longs;am HE lineam grauitatis centro, &longs;i parumper vel incumbæ vel partes vtrinque AGKM, DILN cedant, vtpote quæ à fulcimentis e&longs;t remoti&longs;&longs;ima, magno impetu &longs;uopte pon­dere deor&longs;um feretur. quæ igitur in his &longs;emicircularibus fornicibus partes &longs;tabiliores &longs;int, quæ verò ca&longs;ibus obno­xiæ, ex his quæ diximus, clarè patet.

Cæterùm cur incumbis manentibus fornix &longs;tet, ea cau&longs;&longs;a e&longs;t, quod partes exteriores GK, KL, LI, maiores &longs;int in ferioribus & oppo&longs;itis AM, MN, NG; quod &longs;uprà de­mon&longs;trauimus.

Si quid autem vitij in hac &longs;pecie e&longs;t, illud quidem e&longs;t, quod &longs;ummapars KMNL deor&longs;um vergens magnâ vi partes, quæ vtrinque &longs;unt, repellat, ex qua re &longs;olidarum partium fit &longs;olutio, & inde ruina.

Huic difficultati vt occurrerent peritiores Archite­cti, plura excogitârunt remedia. Primum enim parietes hinc inde ita &longs;olidos, cra&longs;&longs;os & firmos faciunt, vt &longs;uapte vi re&longs;i&longs;tentes dimoueri loco nequeant, vel para&longs;tatas addunt vtin figura TX, VY. Præterea & ferrea claui ex incumba in incumbam ducta & vtrinque firmata contrarias partes validi&longs;&longs;imè connectunt, quæ calcitrantes (ita enim lo­quuntur no&longs;trates Architecti,) fornicis pedes cohibent, & &longs;olidum ne &longs;oluatur impediunt. qua in &longs;pecie dubitan dum e&longs;&longs;et, an optimo loco &longs;it a &longs;it clauis, quæ per centrum? Et &longs;anè videtur, quippe quod circa incumbas impetus fiat maior. Ego autem vtiliusibi poni arbitror, vbi punctaque 5. hoc e&longs;t, in medio tertiarum illarum partium, quæ vtrin­que incumbis in&longs;i&longs;tunt, propterea quod primus impul&longs;us ex media parte quæ impendet, ibi fiat. Rarò tamen boni Architecti eo loco aptare &longs;olent, eo quòd eiu&longs;modi cla­ues vel pulcherrimis ædificijs minuant gratiam. Vnde fit vt nunquam &longs;atis laudetur Lucianus ille Benuerardus Lauranen&longs;is Dalmata, qui nullibi apparentes eas po&longs;uit in admirabili illa Vrbini Aula, quam Federico Feltrio, fe­lici&longs;&longs;imo æquè & inuicti&longs;&longs;imo Duci, ædificauit.

Tertio denique modo huic infirmitati me dentur, vt videre e&longs;t in &longs;equenti figura, in qua vanum ADBC, mu­ri vtrinque AF, BH, fornix verò FGH. Itaque dum muros

ex&longs;truunt, arre­ctarias trabes, ro­bore aliaue mate­ria firmi&longs;&longs;ima, illis in&longs;erunt, quales &longs;unt IFK LHM, ea proceritate vt futuri fornicis &longs;u­perent &longs;ummita­tem. Con&longs;umma­to enim fornice, nondum tamen, exarmato, tran&longs;­uer&longs;ariam trabem à &longs;ummo fornicis dor&longs;o parumper eminentem in punctis I, L, arrectarijs trabibus validi&longs;&longs;i­mis clauibus connectunt, tum punctis NP, Oq, capreolos tran&longs;uer&longs;ario, & arrectarijs ferreis, clauis affigunt. Qui­bus ita concinnatis, facta fornicis validâ pre&longs;&longs;ione in G, in cumbi&longs;queue F, H, ad exteriora repul&longs;is, AB &longs;patium non fit maius. Repul&longs;is enim in cumbis & muros propelli ne­ce&longs;&longs;e e&longs;t, & cum muris ip&longs;as in&longs;ertas trabes, IK, LM. At va­ricari non po&longs;&longs;unt, nî &longs;ecum trahant puncta PQ, quod fie­ri non pote&longs;t, propterea quod in punctis N, O, validè di&longs;­tineantur. Itaque &longs;patio AB non dilatato nulla fit ip&longs;ius fornicis di&longs;&longs;olutio, quod vtique à principio ceu propo&longs;i­tus finis quærebatur. Sed dicet qui&longs;piam, Nonne pende­bit tran&longs;uer&longs;aria trabs in ip&longs;a di&longs;tractione arrectariorum, pre&longs;&longs;a in punctis N, O? aut parum dicimus, aut nihil. Cum enim PQ proxima &longs;int punctis FH, quæ cum arrectarijs à muro di&longs;tinentur, magna in ijs fit vtrobique re&longs;i&longs;tentia.

Rebus igitur ita &longs;e habentibus cum ob&longs;erua&longs;&longs;ent Ar­chitecti, ob enormitatem ponderis fornices in tertia illa

parte quæ &longs;umma e&longs;t laborare, quantum ter­tijs vtrinque partibus &longs;oliditatis addunt, tan­tundem ex illa parte &longs;uprema demere &longs;olent, vt videre e&longs;t in &longs;ubie­cta figura, in qua par­tes A, B, &longs;olidæ & cra&longs;­&longs;iores, quibus hærent partes, quæ CE, DG cra&longs;&longs;æ quidem & illæ, tum vero &longs;umma EFG, alijs &longs;ubtilior. Minus igitur grauante ponde­re in F, minor fit ad in cumbas pre&longs;&longs;io, aut &longs;i qua fit, à partium ACE, BDG &longs;oliditate haud inualidè &longs;u&longs;tinetur.

Cæterùm admonet nos locus, vt aliquid de forni­cum di&longs;&longs;olutionibus in medium afferamus: cau&longs;&longs;is enim morborum cognitis, facilius periti medici adhibere &longs;o­lent remedia.

E&longs;to enim &longs;emicircula­ris fornix ABC, cuius cen­trum E, perpendicularis ve­rò quæ per centrum DBE, &longs;e­micirculi ABC, diameter AEC, incumbæ vtrinque A, C. Itaque &longs;i nulla fiat incumba­rum repul&longs;io, &longs;tabit fornix; &longs;i verò fiat, ruinam facict.

Pellanturitaque ad exteriores partes, vt in &longs;ecunda

figura, H in F, & C in G, ex qua pul&longs;ione cum ma­ius fiat &longs;patium quod in­tegro fornice impleba­tur, iam di&longs;tractis vtrinque fornicis partibus non im­pletur, Diuiditur igitur locus maior factus in tres partes, quarum hincinde duas replent fornicis partes, tertiam verò quæ media e&longs;t, re­plet in&longs;ertus, ne vacuum detur, aër, vt in figura videre e&longs;t, in qua &longs;olutæ vtrinque fornicis partes HIKF, PMNG, aër autem medius &longs;patium replens IKMN. Diuidantur &longs;in­guli quadrantes FK, GN, in partes tres, quarum duæ &longs;int hincinde FQ, GR, & à centris, quæ &longs;eparatis quadranti­bus facta &longs;untin ST, rectæ ducantur SQV. TRX. Quo­niam igitur tertiæ partes vtrinque VIKQ MNRX pro­pria grauitate depre&longs;&longs;æ, nullum quo &longs;u&longs;tineantur fulci­mentum habent, corruent quidem. Ducantur autem re­ctæ QI, RM, con&longs;tituentes cum ip&longs;is QV, RX pares an­gulos VQI MRX. Itaque centris QR partes QIRM ad inferiores partes deuoluentur, fientqueue QI, RM, vbi QZ, RZ. Siautem QI, RM perpendicularibus quæ à punctis QR ad perpendicularem DE ducuntur, fuerint maiores conuenient alicubi in ip&longs;a perpendiculari, & altera alte­ram &longs;u&longs;tinebit; &longs;i autem æquales tangent &longs;e & nihilomi­nus fiet ruina, &longs;i minores nec &longs;e inuicem tangent, & nullà re prohibente deor&longs;um corruent. tangant tautem &longs;e in pun­cto Z. quo pacto igitur fornices incumbis cedentibus in medio aperti, di&longs;&longs;oluantur & ruinam faciant, ex i&longs;tis patet.

Ex demon&longs;tratis qua&longs;i ex con&longs;ectario habemus for­nices quo fuerint cra&longs;&longs;iores dato pari incumbarum &longs;ece&longs;­&longs;u, ruinæ minus e&longs;&longs;e obnoxios quàm tenuiores, hoc e&longs;t, maiori aperitione indigere ad ruinam cra&longs;&longs;iores quam te­nuiores, quod licet ex iam dictis re&longs;ultet, nos tamen cla­rius ex &longs;ubiecto &longs;chemate demon&longs;trabimus.

E&longs;to enim cra&longs;&longs;ioris fornicis pars quidem ABCD, tenuioris EFCD circa idem centrum R. Ducatur au­tem RM, &longs;ecans CD in G. EF in H AB, in M. Centro igitur G fiet euer&longs;io portio­num fornicum, MD, HD, Ducantur GA, GE & producta AD in N ip&longs;i AN perpen­dicularis ducatur GN. quoniam igitur GE cadit in trian­gulo AGN erit ex 21. propo&longs;. lib. 1. elem. GA, maior GE. Corruente igitur maioris fornicis portione MD, recta GA centro G punctum A de&longs;cribet portionem AI, mino­ris interim ex GE, de&longs;cribente EL, at cadenti angulo A occurrit in perpendiculari IK in puncto I angulus oppo­&longs;itæ portionis, O, ip&longs;i autem E cadenti per EL non occur­ret punctum P, cadens per Pq eo quod neutrum eorum pertingat ad perpendicularem IK. Tenuioris ergo forni­cis partes è &longs;uis locis auul&longs;æ ex eadem aperitione ruinam facient, quod non contingit partibus cra&longs;&longs;ioris. quod &longs;a­nè fuerat de clarandum.

Quæritur adhuc, quare grauiores fornices in &longs;um­mis ædificijs non &longs;ine vitio fiant?

E&longs;to ædificium ABGH, cuius vtrinque muri ABCD, EFGH, maiorum &longs;ummitates AD, EH, mediæ murorum partes KL, fornicum &longs;ummus quidem DIE, medius verò

KML. Dico, magis cedere pul­&longs;os muros &longs;ummos circa DE, quam in medio circa KL. Sunt enim muri BA, GH ceu vectes quidam, quorum extremis par­tibus à fulcimentis BG remo­ti&longs;&longs;imis potentia admouetur, hoc e&longs;t, ip&longs;ius fornicis DIE ad DE in cumbans repul&longs;io; lon­gior e&longs;t autem pars à fulcimen­to ad potentiam AB, ip&longs;a BK. Data igitur paritate potentia­rum plus operabitur ea quæ in D, illa quæ K. facilius crgo re­pellentur muri in DE quàm in KL. Alia quo que ratio intercedit, &longs;iquidem pondus muri &longs;uperioris ADK, premens inferiorem murum KBC, cum &longs;ua grauitate firmiorem, & pul&longs;ionibus minus obnoxium reddit. Difficilius enim propellitur id quod graue e&longs;t quam quod leue, vt nos quæ&longs;tione 10. demon&longs;trauimus.

QVÆSTIO XVII.

Quærit Ari&longs;toteles, Cur paruo exi&longs;tente cuneo magna &longs;cindantur pondera & corporum moles, validaque, fiat impre&longs;&longs;io?

In parua re magnum negotium. Etenim quæ&longs;tio hæc clari&longs;&longs;imorum virorum ingenia magnopere fatigauit. Ex quibus Ari&longs;toteles inter veteres, Guid. Vbald. inter re­centiores ad vectis naturam (ne quid in Mechanicis ad vectem non reduci putaretur) cuneum ip&longs;um trahere co­

nati &longs;unt. Nos autem pro veritate certantes, &longs;i in horum &longs;ententiam vltrò non tran&longs;ierimus, multa venia digni à non iniquo iudice exi&longs;timabimur. A­ri&longs;totelis mentem clarè & fusè explicat G. V­bald. in Mechan. vbi de Cuneo peculiariter a­git.

E&longs;to igitur &longs;cindendum quippiam ABCD, Cuneus EFG, cuius pars HFI &longs;ci&longs;&longs;uræ in&longs;erta HI, facta igitur vali­da percu&longs;&longs;ione in EG, fiet vt cum EG fuerit in NO, H &longs;it v­bi N, A vbi P, itemque I vbi O, D verò vbi Q & facta erit &longs;ci&longs;&longs;io NSO, toti nempe cuneo EFG, æqualis. Vultigitur Ari&longs;toteles, duos in cunco vectes con&longs;iderari EF, GF, quo­rum alterius, nempe EF, fulcimentum &longs;it in H, pondus ve­ro in F; alterius autem, hoc e&longs;t, GF fulcimentum quidem &longs;it in I, pondus verò itidem &longs;it in F. His nequaquam con­&longs;entiens G. Vbald. aliam viam ingreditur. Ait enim EHF vectes quidem e&longs;&longs;e, quorum commune fulcimentum F, potentias verò mouentes in EG. Pondera vtrinque inter fulcimenta & potentias, vbi HI, idemque; e&longs;&longs;e ac &longs;i EF, GF, eor&longs;um à cuneo con&longs;iderati in puncto F, adinuicem fulti atque di&longs;tracti pondera pellerent H in NP, I verò in O, que Verumenimuerò quoniam cunei angulus non muta­tur, nec vertex ip&longs;e centri vllum pror&longs;us præbet v&longs;um, nec eius latera vtrinque di&longs;tracta ad contrarias partes didu­cuntur, vectes in cuneo hoc pacto con&longs;iderare videtur à veritate alienum. Ari&longs;totelis autem &longs;olutionem fal&longs;am e&longs;­&longs;e, clarè patet. quo pacto enim F pellet ex fulcimento Hi­p&longs;am ligni partem OS, & idem F ex fulcimento I pellet oppo&longs;itam partem NS, &longs;i inuicem contendentes extremæ vectium partes in F, altera alteri ne quicquam operentur, e&longs;t impedimento? Et &longs;anè opinionis fal&longs;itas inde patet, quòd videamus materiæ partes &longs;ci&longs;&longs;as, in ip&longs;o &longs;ei&longs;&longs;ionis a­ctu facta di&longs;tractione à cunei vertice nequaquam tangi. At eiu&longs;modi operationes per contactum fieri nulli e&longs;t i­gnotum. Solutio igitur i&longs;ta mco iudicio, tanto Philo&longs;o­pho pror&longs;us videtur indigna.

Porrò G. Vbald. ijs quæ de diuaricatis vectibus in medium adduxerat non acquie&longs;cens alias quærit cau&longs;&longs;as, cur cuneus minoris anguli validiùs &longs;cindat. Idque; ex quo­dam lemmate demon&longs;trare conatur, figura autem eius ita ferè &longs;e habet.

E&longs;to cuneus ABC, item alius DEF. Demon­&longs;trauit igitur ex a&longs;&longs;um­pto, quo acutior fuerit angulus BIM, eo facilius pondera moueri, & ideo facilius ceu vecte AB moueri pondus I quàm vecte DE pondus que In­geniosè quidem. At ma­gnam hæc apud me habent difficultatem. Si e­nim ita &longs;e habet AB, ad BI, vt DE, ad EQ (ip&longs;æ enim DE, EQ &longs;upponuntur æquales) ergo eadem æquali&longs;ue poten­tia æqualiter mouebit pondera I & que quod ip&longs;i eiu&longs;dem demon&longs;trationi pror&longs;us concludit contrarium. Nec meo quidem iudicio id &longs;equi videtur, propterea quod ex Pap­po ea quæ in planis inclinatis mouentur, redigantur ad li­bram. Ratio enim valde e&longs;t diuer&longs;a, &longs;iquidem pondera quæ in planis inclinatis mouentur, certa habent fulci­menta & determinatas tum brachiorum tum ponderum proportiones, quæ omnia in cuneo, nec quidem mente concipi po&longs;&longs;e, clarè patet.

His igitur difficultatibus con&longs;ideratis, Nos cunei vim, ad alia e&longs;&longs;e principia referendam pro comperto ha­bemus. Ordimur igitur hoc pacto. Cuneo quidem res di­uidi certum e&longs;t. Cæ terùm quæ natura diuidere apta &longs;unt, tria &longs;unt, punctum, linea, &longs;uperficies, Puncto enim linea, lineâ &longs;uperficies, &longs;uperficie autem corpus ip&longs;um diuidi­tur. quæ omnia à Mathematico ab&longs;que materia con&longs;ide­rantur. De diui&longs;ione autem quæ fit ex puncto, nihil agit Mechanicus, qui corporibus quidem vtitur, ad cuius na­turam non trahitur punctum, cuius partes &longs;unt nullæ. At non lineis & &longs;uperficiebus modò corpora diuiduntur, &longs;ed etiam corporibus, quod verum e&longs;t, at ea corpora ad linea­rum & &longs;uperficierum naturam quodammodo aptari faci­lè docebimus. Dicimus igitur, duplicem e&longs;&longs;e Cuneorum &longs;peciem, linearem vnam, &longs;uperficialem alteram. linearem appello, quæ ad lineæ naturam magnopere accedit. Tales &longs;unt orbiculares illæ cu&longs;pides, quibus ad perforandum v­timur, & ideo vernaculè Pantirolos vocamus. Acus item &longs;utorij, & cætera quæ nen &longs;ecus ac linea in punctum de&longs;i­nunt, & imaginaiam quandam lineam ceu axem in eo puncto de&longs;inenem continent. Ad lineam quo que refe­runtur lateratæ cu&longs;pides oblongæ, & &longs;ubtiles ceu&longs;ubulæ, claui, en&longs;es, pugiones, & his &longs;imilia, quæ cum adacta vali­dam faciant partium &longs;eparationem ad cunei naturam non referre magnæ videretur dementiæ. Ettunc quantoma­gis corpora hæc ad linearem naturam accedunt, eo ma­gis penetrant. Sed & hocidem in rebus non ab arte, &longs;ed ab ip&longs;anatura productis facile e&longs;t cogno&longs;cere. Quis enim non experitur, quàm validè culex, infirmi&longs;&longs;imum animal, & ea paruitate qua e&longs;t, hominum & cæterorum animalium, cutes aculeata probo&longs;cide penetret? Id vtique non alia de cau&longs;&longs;a fit, quod ad imaginariæ lineæ &longs;ubtilitatem quam, proximè accedat. Ve&longs;pæ quoque, Apes, Scorpiones a­culeis i&longs;tis ceu linearibus cuneis vtuntur. Nec refert, vt diximus, vt um laterati &longs;int, ceu &longs;ubulæ, & claui, vel ro­tundi & vtrum plura paucioraue latera habeant, dummo­do in punctum & aculeatam aciem de&longs;inant. Altera por­ro cuneorum &longs;pecies &longs;uperficiei naturam &longs;apit, acie &longs;iqui­dem in lineam de&longs;init, quæ &longs;uperficiei e&longs;t terminus, quam. obrem huc ea omnia referuntur, quæ acie ipsâ &longs;cindunt, ceu &longs;unt cunei propriè dicti, de quibus hoc loco e&longs;t &longs;er­mo, cultra, en&longs;es, a&longs;ciæ, &longs;ecures, &longs;calpra lata, & cætera e­in&longs;modi, quibus corpora acie &longs;cinduntur. Quidam his ad­dunt &longs;erras, quibus haud pror&longs;us a&longs;&longs;entimur. Etenim alia ratione diuidunt, &longs;icut & limæ &longs;olent, deterendo enim, non &longs;cindendo ferri, ligni, & marmorum duritiem diuidunt & domant. His igitur con&longs;ideratis, &longs;i daretur ex materia qua­piam in frangibili cuneus, qui maximè ad &longs;uperfi ciei natu­ram accederet, vel paruo labore tenaci&longs;&longs;ima ligna validi&longs;­&longs;imè &longs;cinderet, & ideo optimè res gladijs illis diuiditur, qui magis ad &longs;uperficiei naturam accedunt. Ex quibus o­mnibus, nî fallimur, clarè patet, curacutiores angulo cu­nei obtu&longs;ioribus facilius &longs;cindant, quæ quidem ratio lon­gè ab ea di&longs;tat, ex qua cæteri ferè omnes Cuneum ad ve­ctis naturam referre hactenus contenderunt.

Cæterùm vtramque eorum quos diximus, cuneorum &longs;peciem &longs;olerti&longs;&longs;ima cognouit Natura, & ideo quoniam res vel contu&longs;ione vel perforatione, vel &longs;ecatione con&longs;i­ciuntur, triplicem dentium qualitatem dentatis animali-

bus dedit, Molares, qui & Maxillares ap­pellantur, quibus cibus contunditur, Canini, quibus fit perforatio, Anterio­res, quibus cibus &longs;cinditur, quos ideo temnikou\s, id e&longs;t, &longs;ecan­tes appellant Graeci.

Molares KK, CaniniL, L, Temni­ci &longs;eu &longs;ecantes M. Cuneus orbicularis lineari&longs;queue AB, in quo axis linea e&longs;t, ad cuius naturam accedit AB cuneus &longs;uperficialis CD, accedens ad &longs;uperficiei naturam, quam vitro imaginamur EFGD, in aciem cunei de&longs;inentem, GD, Lateratus lineari&longs;que cuneus, clauus HI.

Cunei autem omnes dupliciter &longs;unt efficaces, vel e­nim malleo, vt in ijs fit, quibus lìgna &longs;cin duntur & &longs;calpris fieri &longs;olet, adiguntur, vel impul&longs;u & pre&longs;&longs;ione, vt in gla­dijs fit, pugionibus, cælatorum &longs;calpris, &longs;ubulis, & cæteris eiu&longs;modi. Quidam etiam &longs;unt, qui licet mallei ictu non adigantur, malleum coniunctum habent, ceu &longs;unt &longs;ecu­res, ligones, A&longs;ciæ, & his &longs;imilia, quæ ex percu&longs;&longs;ione &longs;e­metip&longs;a &longs;cindendis rebus in&longs;erunt & validè penetrant. De vi autem & efficacia ictus &longs;eu percu&longs;&longs;ionis hic &longs;uper­&longs;ed emus aliquid, ea de re, in &longs;equenti quæ&longs;tione verba fa­cturi.

Multa hîc addere potui&longs;&longs;emus ad Cochleam &longs;pe­ctantia, quippe quòd Cochlea cuneus &longs;it Cylindro inuo­lutus, qui quidem ad mallei, &longs;ed vectis virtute &longs;ibi adiun­ctâ, validi&longs;&longs;imè operatur, & &longs;excentis in&longs;eruit v&longs;ibus. Ve­runtamen cùm de hac &longs;pecie egregiè di&longs;&longs;erat G. Vbaldus, con&longs;ultò hanc di&longs;putationem omittimus; idque hac quo­que de cau&longs;&longs;a, quod nihil de cochlea, ac &longs;i eam non noui&longs;­&longs;et, locutus &longs;it Ari&longs;toteles.

Po&longs;&longs;umus autem in actu &longs;ci&longs;&longs;ionis, quæ cuneo fit, a­liâ tamen ratione vectem con&longs;iderare, nempe non in cu­neo quidem, &longs;ed in ip&longs;a re quæ &longs;cinditur.

E&longs;to enim quip­piam &longs;ci&longs;&longs;ile ABCD, cui alteri extremita­tum, puta BD, cuneus adigatur EFG, fiatque &longs;ci&longs;&longs;io per longitudi­nem &longs;ecundum lineam EH. facta igitur ex cunei ingre&longs;&longs;u partium &longs;eparatione B, expelletur in I, D ve­rò in K. fient igitur materiæ &longs;ci&longs;&longs;æ partes AIBH, CKDH, ceu duo vectes, quorum hinc inde in corpore ip&longs;o fulci­menta L, M potentiæ vtrinque dilatantes BD, pondus ve­rò materiæ re&longs;i&longs;tentia, in &longs;eparationis loco vbi N. Duca­tur NL, quanto itaque BN maiorem habebit proportio­nem ad LN, eo faciliùs re&longs;i&longs;tentia quæ in N, &longs;uperabitur. Mutatur autem a&longs;&longs;iduè in ip&longs;a &longs;ci&longs;&longs;ione fulcimentum, & cum fulcimento ip&longs;a proportio. Pertingente enim &longs;ci&longs;&longs;ione in O, fulcimentum fit in P. quo ca&longs;u &longs;ci&longs;&longs;ura e&longs;t facilior, quip­pe quod maiorem habeat proportionem BO ad OP, quam BN ad NL. Hoc autem experiuntur materiarij, qui primis ictibus, &longs;ecuriculâ nondum probè adactâ, & nondum fa­ctâ notabili &longs;ci&longs;&longs;ione difficultatem &longs;entiunt, mox factaiam &longs;eparatione faoillima paullatim fit materiæ totius &longs;epara­tio. Hocidem & nos ab&longs;que cunei v&longs;u experimur, cum ba­culum aut quippiam tale manibus diductis &longs;cin dimus. à principio enim difficultatem &longs;entimus, deinde ex ea quam diximus proportionc &longs;ci&longs;&longs;io ip&longs;a fit apprime facilis. Vti-mur etiam vecte cuneato ad &longs;cindendum & aperiendum: adacto enim &longs;ci&longs;&longs;uræ cuneo, idqueue manu malleoue, tum ab altera extremitate pre&longs;&longs;o, valida fit ex vectis vi continui

corporis &longs;eparatio. Ma­teria &longs;ci&longs;&longs;ilis AB &longs;calprum ceu vectis cuneatus CD, cuius fulcimentum, E, pondus verò vbi C, po­tentia vbi D, quo ca&longs;u quo maior e&longs;t proportio DE ad EC, eo e&longs;t ip&longs;a &longs;ci&longs;&longs;io leuior & facilior.

QV AESTIO XVIII.

Quærit hic Ari&longs;toteles, Cur per Trochleas ab exiguapotentia in­gentia moueantur pondera?

De Trochlea Pappus, & veteres: inter recentiores e­gregiè admodum, vt omnia examinauit in Mechani­cis G. Vbaldus. Nos tamen interim po&longs;t clari&longs;&longs;imos illos viros aliquid quod nouitatem & &longs;ubtilitatem &longs;apiat, de no&longs;tro penu promemus. Et &longs;anè inuentis quidem addere res e&longs;t fa cilis, at quod inuentis addas inuenire haud adeo facile. Sed nos primum Philo&longs;ophi ip&longs;ius dicta ad trutinam reuocemus. Ita autem quæ&longs;tionem proponit; Cur &longs;i qui&longs;­piam Trochleas componens duas, in &longs;ignis duobus, ad &longs;e inuicem iunctis contrario ad Trochleas modo circulo fu­nem circumduxerit, cuius alterum quidem caput tigno­rum appendatur alteri, alterum verò Trochleis &longs;it innixum & à funis initio trahere cœperit, magna trahit pondera, li­cet imbecillium fuerit virium?

Ob&longs;euri&longs;&longs;ima expo&longs;itio, & nî res e&longs;&longs;et vulgò per &longs;e nota, dequeue ea Vitruuius & Mechanici non egi&longs;&longs;ent, diffi­cile vtique e&longs;&longs;et ex eius verbis &longs;en&longs;um a&longs;&longs;equi.

Tigna &longs;anè voca&longs;&longs;e videtur ea ligna, quæ à Vitruuio Rechami dicuntur, in quibus nempe ip&longs;i in&longs;eruntur orbi­culi. Et&longs;i de tignis eiu&longs;mo di aliud quippiam &longs;entire videa­tur Picolomineus. Græea lectio pro tignis habet cu/la, id e&longs;t, ligna; item vbi Leoniceni ver&longs;io legit, ad &longs;e inuicem iunctis, textus habet snmai/nousin e(autoi_s e)ranti/ws, hoc e&longs;t, in­uicem ex oppo&longs;ito concurrunt. Certè locum totum ita redderem: Cur &longs;i quis duas Trochleas fecerit, in duobus lignis &longs;ibi ex oppo&longs;ito concurrentibus, ei&longs;queue Trochleis circumpo&longs;uerit funem, cuius alterum caput alteri ligno­rum &longs;it annexum, alterum verò Trochleis cohæreat, vel apponatur. Si quis alterum funis principium trahat, ma­gna trahat pondera, et&longs;i trahens potentia &longs;it exigua? Nos verbis figuram, & figurâ verba ip&longs;a elucidabimus.

Sint duo ligna ex oppo&longs;ito concurrentia, in quibus Trochleæ, hoc e&longs;t, orbiculi AB, fu­nis ductarius DABC, cuius alterum caput re­ligatum e&longs;t ligno trochleæ A, vbi e&longs;t C. Tro­chlea A loco &longs;tabili commendata, vbi E. Pon­dus alteri ligno Trochleæ appen&longs;um F. Tra­cto itaque fune DABC, eleuatur & trahitur pondus F. Ex quibus clarè patet, Philo&longs;ophum propo&longs;ui&longs;&longs;e Trochleam duobus tantum orbi­culis munitam, quod vtique &longs;atis erat ad ex­plicationem. Inquit autem, faciliùs vecte quam manu pondus moueri. Trochleam vero (id e&longs;t, orbiculum; ita enim e&longs;t intelligendum) e&longs;­&longs;e vectem, aut vectis virtute operari. Ita autem videtur argumentari. Si vnicâ Trochleâ plus trahitur quàm manu, multo faci ius & velocius id fiet duobus, quibus plus, vt ip&longs;e ait, quàm in duplici velocitate pon­dus leuabitur. Summa dictorum e&longs;t, ex multiplicatione orbiculorum pondus ip&longs;um imminui, & minori difficul-tate leuari, quod &longs;anè verum e&longs;t. Nos tamen nonnulla con­&longs;iderabimus. quod ait, vecte facilius moueri pondera quam manu, &longs;emper non e&longs;t verum. Si enim vectis pars quæ à fulcimento ad manum breuior fuerit illâ, quæ à fulcimento ad pondus difficilius vecte pondus mouebi­tur quam manu. Idem quoque accidet, &longs;i eo modo vecte vtamur, quem ob&longs;eruat Guidus Vbald. Tract. de Vecte prop. 3. Po&longs;ita nempe inter fulcimentum & pondus &longs;u&longs;ti­nente potentiâ. Præterea quod a&longs;&longs;eruit Ari&longs;toteles, Tro­chleas ad vectem reduci, verum quidem e&longs;t, &longs;ed aptius di­xi&longs;&longs;et ad libram, etenim vectis vtcunque à ful cimento di­uiditur. Libra verò quod & orbiculis ex centro accidit, &longs;emper bifariam. Ad hæc videtur ille ad orbiculorum multiplicitatem Trochlearum vim referre. Si enim, ait, vnicâ Trochleâ pondus facile trahitur, id multo validius pluribus fiet. Veruntamen non ab&longs;olutè ex orbiculorum multiplicationeid fieriita o&longs;tendemus.

Sint duæ op­po&longs;itæ lineae rectae, vtpote trabes AB, CD, inuicem æqui­di&longs;tantes & ip&longs;æ &longs;tabiles: &longs;uperiori tres appendantur orbiculi ex punctis E, F, G, nempe ML, PQ, TV. inferiori autem duobus pun­ctis IH, nempe NO, RS. Erunti­gitur invniuer&longs;um quinque, indatur pereos funis ductarius KLMNOP QRSTVX, ex cuius extremitate pendeat pondus X, Trahatur funis in K. Dico ex multiplicatione orbiculorum, trahentipondus nequaquam minui. Sint autem orbicu­lorum diametri, LM, NO, PQ, RS, TV, applicetur poten­tîa in S. Erit igitur ad hoc vt &longs;u&longs;tineat æqualis ponderi X, orbiculi enim TV &longs;emidiametri &longs;unt æquales. Transfe­ratur potentia in q, & ita deinceps donec perueniatur in K, vbi funis ip&longs;ius e&longs;t principium, Idem e&longs;t igitur &longs;eruata &longs;em­per &longs;emidiametrorum æqualitate ac &longs;i potentia quæ e&longs;t in K, applicata intelligatur in T vel in V. vbicunque enim collocetur, ponderi erit æqualis. Nihil igitur rebus ita di&longs;po&longs;itis, orbiculorum multiplicatio ad facilitatem ope­ratur. Alia itaque ratio quærenda e&longs;t, quam non &longs;atis ex­plica&longs;&longs;e videtur Ari&longs;toteles. Probabimus autem, nullam ex &longs;uperioribus orbiculis fieri ponderum imminutionem, &longs;ed totam vim in inferioribus con&longs;i&longs;tere. At nos interim quippiam quod ad rem faciat, proponamus.

E&longs;to punctum A, cuirectæ ap­pendantur lineæ BAC, diui&longs;æ qui­dem in A, &longs;it autem lineæ BA caput B, ip&longs;ius verò CA caput C. Modò intelligantur vnitæ in A, &longs;itqueue vni­ca linea à puncto A ceu funiculus dependens BAC; Appendatur capi­ti B pondus B. Capiti vero C, pondus C, inter &longs;e æqualia. Potentia igitur in A, duo &longs;u&longs;tinebit pondera BC. Pondera verò ex æqualitate æque­ponderabunt. Quod &longs;i B potentia dicatur &longs;u&longs;tinens pondus C, aut C potentia &longs;u&longs;tinens pondus D, vel duæ potentiæ inter &longs;e æquales, nihil refert. Vtcunque enim id &longs;it, fiet æquilibrium. Habemus igitur ex i&longs;tis ad &longs;u&longs;tinendum pondus ex &longs;uperiori parte appen&longs;um potentiam requiri ip&longs;i ponderi æqualem. Ani­mo po&longs;thæc concipiatur alia recta linea DEF, cuius inte­gra longitudo &longs;i exten deretur, e&longs;&longs;et DE, EF. Appendatur in E pondus E æ quale alteri ponderum B vel, C, &longs;int autem duæ potentiæ pondus E &longs;u&longs;tinentes D, F. Vtraque igitur dimidium &longs;u&longs;tinebit ponderis E, &longs;ed potentia quæ &longs;u&longs;ti­nebat pondus B, in C erat ip&longs;i B æqualis, vbi appen&longs;io pon­deris erat in &longs;uperiori parte in A, hîc autem, vbi appen&longs;io e&longs;t in parte in feriori, vtraque potentia dimidium &longs;u&longs;tinet appen&longs;i ponderis. Videmus igitur illam appen&longs;ionem quidem pondus nullatenus imminuere, hanc verò pon­dus ip&longs;um, bifariam diui&longs;um, &longs;u&longs;tinentibus potentijs im­partiri. Hæ cin lineis, Mathematicâ v&longs;i ab&longs;tractione, con­&longs;iderauimus, nunc verò eadem mechanicè perpenda­mus.

Sit igitur punctum A, vt in &longs;e quenti figu­ra clauus paxil­lu&longs;ue, cui appen­&longs;us funiculus BAC, & funicu­li capitibus pon­dera BC, &longs;it quo­que anulus D, per quem traìe­ctus funiculus EDF. Anulo au­tem coniunctum pondus G. His igiturita con&longs;titutis, eadem demon&longs;tra­buntur quæ &longs;uperius, nempe oportere vt fiat æquilibrium B, C, e&longs;&longs;e æqualia, tum potentias, quæ &longs;unt in EF pondus G inter eas diui&longs;um &longs;u&longs;tinere. Porrò volentes Mechanici funiculos circa paxillum, & anulum ad attollenda & de­primenda pondera mouere incommodè illis vtique &longs;uc­cedebat, clauo & anulo motum difficilem facientibus. Quamobrem vt difficultati occurrerent, ad locum claui clauo ip&longs;i orbiculum circumpo&longs;uerunt, & anuli itidem loco orbiculum aptauerunt. Hæc autem agentes reii­p&longs;ius naturam non mutauerunt, &longs;ed &longs;ibi, vt diximus, ex or­biculis maximam commoditatem atque facilitatem com­parârunt.

Ex his principîjs tota Trochlearum ratio pendet, quæ tamen alia quoque con&longs;ideratione in idem tenden­te examinari pote&longs;t, quod quidem fecere veteres, & ip&longs;e, qui veteres optim è imitatus e&longs;t, Guid. Vbaldus.

Vidimus vtique nos, à potentia quæ e&longs;t in B, pondus par &longs;u&longs;tineri in C, Potentiam autem quæ e&longs;t in E dimidium &longs;u&longs;tinere ponderis quod e&longs;t in G. Nos igiturij&longs;dem in&longs;i­&longs;tentes adiecta libra, vecteue, bifariam diui&longs;o rem ip&longs;am ex &longs;ubiecto diagrammate lucidiorem faciemus.

E&longs;to linea quædam &longs;tabilis ceu trabs horizonti æ­quedi&longs;tans AB, cui in A funiculus annectatur AC, cuius extremum C vecti cuidam alligetur CD, in medio diui&longs;o vbi E, tum alteri vectis eiu&longs;dem extremitati D, funiculus nectatur DG, & à puncto E pondus appendatur F. puta li­brarum mille, Tum puncto G in medio vectis HI, funis re­ligetur DG, & ex altero vectis extremo alligato fune HK commendetur lo co &longs;tabili in K, & ab alio capite vectis vbi Iad medium vectis MN, vbi L, funis annectatur lL, tum ex vectis capite M, funis commendetur MO, loco &longs;tabili in O, & alteri capiti N, funis, NP, qui alligetur medio ve­cti QR in P, & ex Q, funis QS. Commendetur loco &longs;tabili in S, & alteri vectis extremo R funis alligetur RT, cui quidem potentia &longs;u&longs;tinens applicetur in T. Dico igitur,

rebus ita di&longs;po&longs;itis, potentiam in T ita &longs;e habere ad pondus F, vt vnum ad &longs;ex de­cim, hoc e&longs;t, in pro­portione e&longs;&longs;e &longs;ub­&longs;exdecupla. Sunt autem, hic vectes quatuor in feriorum cubiculorum, loco, CD, HI, MN, QR, qucrum, centra E, G, L, P. quoniam e­nim A hoc e&longs;t, C, v­nà cum potentia G, hoc e&longs;t, D, &longs;u&longs;tinet pondus F alterum, ponderis dimidium &longs;u&longs;tinebit C, alterum vero D. erunt igitur vtrinque librae quin­gentæ. Tum potentia in K, hoc e&longs;t, in H, vna cum poten­tia in L, hoc e&longs;t, in I &longs;u&longs;tinebunt quingenta. Quare vtraque ducenta quin quaginta, &longs;ed hoc totum bifariam diuiditur inter potentias, O, id e&longs;t, M, & P, id e&longs;t H. erunt igitur v­trinque centum viginti quinque. Ea autem &longs;umma iterum bifariam diuìditur, hoc e&longs;t, inter potentias S, id e&longs;t, Q & T, id e&longs;t, R, quare vtraque &longs;u&longs;tinet &longs;exaginta duo cum di­midio. Sed numerus i&longs;te ad Millenarium ita &longs;e habet vt v­num ad &longs;exdecim. Hinc colligimus, pondus totum inter loca &longs;tabilia diuidi, nempe A, K, O, S, & ip&longs;am potentiam quæ &longs;u&longs;tinet in T, & locis ip&longs;is &longs;tabilibus quindecim par­tes integri ponderis, potentia verò T &longs;extam decimam tantùm commendari. Itaque &longs;i ex puncto V appendere­tur AB, in X potentia, quæ in X &longs;u&longs;tineret mille, minus &longs;exaginta duo cum dimidio, quod quidem à potentia in T &longs;u&longs;tinetur; quod &longs;i alius adderetur orbiculus, & fierent quinque, potentia in T &longs;u&longs;tiner et trige&longs;imam &longs;ecundam partem integri ponderis, hoce&longs;t, dimidium librarum &longs;e­vaginta duarum cum dimidio, nempe triginta & vnam cum quarta parte, &longs;i item textus adderetur, potentia in T &longs;exage&longs;imam partem &longs;u&longs;tineret integri ponderis, hoc e&longs;t, libras quindecim & libræ vnius. Vnde patet clarè pon­deris diminutionem fieri ex orbiculis inferioribus, non autem ex&longs;uperioribus, &longs;uperiores autem addi non nece&longs;­&longs;itatis quidem, &longs;ed commoditatis gratiâ: neque enim ab&longs;­que &longs;uperioribus vnico ductario fune fieri po&longs;&longs;et attractio & ponderis ip&longs;ius eleuatio. Hactenus igitur nobis i&longs;thæc de Trochleæ natura & vi po&longs;t alios, con&longs;idera&longs;&longs;e &longs;it &longs;atis.

QVÆSTIO XIX.

Dubitat Philo&longs;ophus, Cur &longs;i quis &longs;uper lignum magnam imponat &longs;ecurim, de&longs;uperque magnum adijciat pondus, ligni quippiam quod curandum &longs;it, non diuidit; &longs;i verò &longs;ecurim extollens percutiat, illud &longs;cindit, cum alioquin multo minus habeat ponder is id quod percutit, quam illud quod&longs;uperiacet & premit?

Poterat Ari&longs;toteles, nî fallimur, rem breuius & vniuer­&longs;alius proponere. Scilicet cur motus ponderi addat pondus & efficacius ex motu quam ex immoto pondere mota res operetur. Soluitautem. An, inquiens, ideo fit, quia omnia cum motu fiunt, & graue ip&longs;um grauitatis ma­gis a&longs;&longs;umit motum, dum mouetur quam dum quie&longs;cit? Incumbens igitur connatam graui motionem non moue­tur, motum verò & &longs;ecundum hanc mouetur & &longs;ecun-dum eam quæ e&longs;t percutientis? Hæc præclarè quidem, cæ­tera autem, quæ de cuneoiterat, nempe ad vectem eiuslo­perationem referri &longs;uperius confutauimus. Porrò effe­ctus huius, de quo agitur, di&longs;putatio illuc &longs;pectat, videli­cet ad cadentium atque proiectorum naturam. Ad maio­rem autem rei euidentiam hæc addimus.

E&longs;to libra AB, cu­ius centrum C, libra­ta æqualibus ponde­ribus DE, apponatur ponderi E pondus F, item ponderi D pon­dus G ip&longs;i ponderi F æquale, æquilibrabit itidem, Modò non apponatur &longs;impliciter pondus G &longs;ex ex H in lancem A dimittatur, tunc &longs;anè non æquilibrabit, &longs;ed libram deprimet. Duo enim in pondere dimi&longs;&longs;o con­&longs;iderantur pondera; naturale &longs;cilicet, & quod motu ip&longs;i moto, ponderi e&longs;t acqui&longs;itum. Itaque quo motus fuerit maior, puta &longs;i cadat ex I, grauitas ex maiori motu fiet ma­ior. quod vtique efficacius fieret &longs;i pondus G non dimit­tetur modo remoto prohibente, &longs;ed proijceretur. Tunc enim tria concurrerent, grauitas naturalis, grauitas ac­qui&longs;ita ex naturali motu, & ea quæ naturali adij citur ex violentia. Pondus igitur &longs;ecuri impo&longs;itum & &longs;ecuris ip&longs;ius naturalis grauitas naturali tantum grauitate operantur, & ideo minus efficaciter. Huc autem ea ferè pertinent quæ nos à principio de duobus centris retulimus, natura­lis nempe grauitatis, & acqui&longs;itæ.

Cæterùm cur mallei & &longs;ecuris ictus &longs;it violenti&longs;&longs;i­mus, ideo fit quod non ex vnico neque duplici, &longs;ed ex tri­plici grauitate operetur. E&longs;to enim &longs;ecuris A, cuius manu­brium AB, brachium vero &longs;ecuri vtentis BC, erit igitur C

locus vbi humero brachium iungi­tur, motus ip&longs;ius centrum, attollit autem &longs;ecurim is qui percutit, & re­tro ad &longs;capulas re­ducens totis viri­bus ex centro C &longs;ecurim vibrat, portionem circuli de&longs;cribens ADE ictumqueue faciens in E. Vires igitur acquirit &longs;ecuris, tum ex naturali grauita­te, cadens ex D, in E, tum ex proprio pondere, tum etiam ex violentia eidem à percutiente impre&longs;&longs;a. Fiunt autem motus tam naturalis quàm violentus eo validiores, quo maius e&longs;t &longs;patium, quo res mota mouetur, idqueue praecipuè cum violentia ip&longs;am &longs;ecundat naturam. Itaque maior fit ictus in E quàm in F, & in F maior quàm in D. Item violen­tius feriret percutiens, &longs;imanubrium e&longs;&longs;et longius, puta BG. Tunc enim maior e&longs;&longs;et circulus GH, & motus tum prolixior, tum velocior. quo igitur longiora habet bra­chia is qui &longs;ecuri malleoue vtitur, data virium paritate, ex eadem ratione validius percellit. E&longs;t autem &longs;ecuris, vel malleus cuneatus, vel cuneus malleatus manubrio in&longs;er­tus. An autem operetur efficacius cuneus malleo percu&longs;­&longs;us, aut cum manubrio motus, vt fit in &longs;ecuri, data aciei & ponderis æqualitate, difficile e&longs;t determinare. Certè va­lidius, & certius fieri &longs;ci&longs;&longs;ionem ex cuneo & malleo, ea ra­tio e&longs;t, quod cuneus adactus, nec inde remotus eam inte rim &longs;eruat, quam antea fecerat partium &longs;eparationem, quod quidem &longs;ecuri non accidit, quæ adacta ad nouam percu&longs;&longs;ionem faciendam extrahitur.

Hoc etiam con&longs;ideramus, &longs;ecuris in circulo motum, ex A in D, e&longs;&longs;e videndum, id e&longs;t, non &longs;ecundum naturam, &longs;ur&longs;um enim fertur quod e&longs;t graue, ex D verq in F mixtum: magis autem ad naturalem accedere qui fit ex F in E. Tar­dior ergo ex A in D, velocior ex D, in F, veloci&longs;&longs;imus ex F in E; quæ dam quæ ad hanc rem faciunt, egregiè con&longs;ide­rat Guid, Vbald. in calce Tractatus, De Cuneo; ip&longs;um con&longs;ule.

Ad hæc &longs;uccurrit nobis pulcherrima quæ&longs;tio. Du­bitari enim pote&longs;t, vtrumictus ex en&longs;e e&longs;ficacior &longs;it à par­te quæ e&longs;t circa aciem, aut circa medium en&longs;em, vel pro­pe manubrium capulumue; etenim hinc inde &longs;unt ra­tiones.

E&longs;to quidem en&longs;is AB, cuius capulus A, &longs;piculum ve rò B, centrum grauitatis C, pars capulo proxima D. Libra­to itaque gladio tres fiunt circulorum portiones BE, CF, DG, quæritur quo loco ictus &longs;it validior, nempe in E, in F, velin G. Videtur validiorem futurum in E, quippe quod ex maiori &longs;emidiametro AB, maioris &longs;it circuli portio BE, & ideo velociormotus ex B in E. Contra efficaciorem futurum apparet in F, propterea quod ibi ex centro C to­tius fiat grauitatis impre&longs;&longs;io, fieri autem validi&longs;&longs;imum in G, licet ibi motus &longs;it tardior inde videtur, quod &longs;icon&longs;ide­retur en&longs;is vt vectis, cuius fulcim entum e&longs;t A, potentia premens in B, ponderis vero loco re&longs;i&longs;tentia rei quæ per­cutitur in D. Maior e&longs;t autem proportio BA, ad AD, quam BA ad AC, & ideo violentior fiet pre&longs;&longs;io ex ictu in D, quam in C. Hi&longs;ce hoc pacto con&longs;ideratis, putarem ictum effica­ciorem fieri in F ex medio C, quam ex extremis & oppo­&longs;itis partibus EG. Licet enim in B velocitas &longs;it maior, dee&longs;t ibi pondus. Si enim en&longs;is iterum vt vectis con&longs;ideretur, e­runt AB. duo fulcimenta &longs;u&longs;tinentía pondus in C, vbi gra­uitatis e&longs;t centrum. Si igitur paria fuerint &longs;patia BC, CA,

in B erit dìmidium ponderis C, quantum ergo velocitate præ­ualetictus in B, tantum ponderis amittit. D verò plus quidem de pondere participat, &longs;ed velocitatis habet minimum, in C verò velocitas e&longs;t medio­cris, tota tamen ip&longs;ius ex grauitatis centro ponderis fit impre&longs;­&longs;io.

Quidam, quod huc pertinet, vt ex acie ip&longs;a quæ lon­gius à capulo abe&longs;t, violenti&longs;&longs;imum facerent ictum, Ar­gentum viuum, quod &longs;ui naturâ graui&longs;&longs;imum quidem e&longs;t & mobili&longs;&longs;imum in canali à manubrio ad verticem exca­uato infundunt, quo in gladij de&longs;cen&longs;u ad verticem velo­ci&longs;&longs;imè delato illuc transfert grauitatem totam, quare tum velocitate tum grauitate concurrentibus ictus fit violenti&longs;&longs;imus & longè validi&longs;&longs;imus.

QVAESTIO XX.

Dubitatur, Cur &longs;tatera qua carnes ponderantur, paruo appendicu­lo, magna trutinet onera, cum alioqui tota, dimidiata exi&longs;tat libra, altera vero parte &longs;ola&longs;it &longs;tatera?

Soluit Philo&longs;ophus, inquiens, &longs;tateram &longs;imul, & vectem e&longs;&longs;e & libram, ip&longs;ius verò libræ centra &longs;eu fulcimenta e&longs;&longs;e ibi vbi fit &longs;u&longs;pen&longs;io. Pondera verò hinc in de in lance & appendiculo, loco &longs;cilicet æquipondij, appendiculo &longs;uccedente. Reducit autem demon&longs;trationem ad ea quæ &longs;tatuit ip&longs;e Mechanica principia; nem pe ad circulum & circuli virtutem. Ait igitur, appendiculum licet parui pon­deris &longs;it, ideo maiori ponderi virtute æquari, quod lon­gius à centro, hoc e&longs;t, ab ip&longs;o fulcimento &longs;i&longs;tatur. quic­quid tamen &longs;it, &longs;tateram e&longs;&longs;e vectem, res e&longs;t explorati&longs;­&longs;ima.

E&longs;to igitur &longs;tatera AB, cuius appendiculum cur­rens F, fulcimentum cen­trumue C, lanx quæ cate­na &longs;u&longs;penditur E &longs;patium à loco fulcimenti ad ap­pendiculum CF. quod ve­rò à fulcimento ad cate­nam, ex qua lanx appen­ditur AC. Intelligatur autem & aliud fulcimentum D, &longs;it­queue maius &longs;pacium AD, quam AC. Porrò ita &longs;e habeat pondus in E ad appendiculi F pondus, vt CF &longs;patium, ad &longs;patium AC, quo ca&longs;u &longs;eruata, permutatim, ponderum & brachiorum proportione, fiet ae quilibrium. Si autem pon­deribus ita con&longs;titutis iterum &longs;u&longs;pendatur in D, non fiet æquilibrium, propterea quod minor &longs;it proportio DF ad DA, ea quæ e&longs;t FC ad CA. Minor ergo e&longs;t proportio FD ad DA, quam ponderis E ad pondus F, & idcirco facta &longs;u&longs;pen&longs;ione præualebit pondus E ponderi F. Ita que vt it e­rum fiat æquilibrium, nece&longs;&longs;e e&longs;t iterum proportiones bra­chiorum &longs;eu &longs;patiorum proportionibus ponderum æqua­re. Transferatur igitur (lancis interim immoto pondeie) ip&longs;um appendiculum in B, fiatque vt FC ad CA, ita BD ad DA. Stabitautem iterum &longs;tatera ad eam redacta quam diximus brachiorum & ponderum permutatam propor­tionem.

Nos &longs;tateris vtimur ex duplici fulcimento, altero propiori, altero à lance &longs;eu loco, vbi lanx appenditur, re­motiori, illa grauiora appendimus pondera, & non per vncias & libras, &longs;ed per libras tantum & &longs;elibra ponde­ramus; & hoc &longs;tateræ latus eo quod minus minutè &longs;it di­ui&longs;um; vulgo no&longs;trates Gro&longs;&longs;um, hoc e&longs;t, rude & cra&longs;&longs;um appellant. Aliud verò, cum fulcimentum e&longs;t loco appen­&longs;ionis lancis vicinius, & per libras, &longs;elibras & vncias diui­ditur, quo quidem minora appendimus pondera, cò quod exqui&longs;itiorem contineat diui&longs;ionem, &longs;ubtile dicunt. Rectè igitur dicebat Philo&longs;ophus, in &longs;tatera plures e&longs;&longs;e libras, quanquam & ea quoque de cau&longs;&longs;a dici po&longs;&longs;it, quod, quot &longs;unt appendiculi, è locoin locum translationes, totidem ex proportionum variatione fiant libræ. Et hoc quidem &longs;en&longs;i&longs;&longs;e videtur Ari&longs;toteles.

Po&longs;&longs;emus & alio modo &longs;tatera vti, nempe &longs;tabili appendiculo, mo­bili autem fulcimento. E&longs;to enim &longs;tatera AB, cuius lanx C appen&longs;a in A, appendiculum verò &longs;tabile D, appen&longs;um in B, Apponatur ip&longs;i l&acedil;nci C, pondus E. Vnicum ergo fiet corpus CEABD con&longs;tans ex lance, libra & ponderibus. Habet ergo hoc totum gra­uitatis &longs;uæ centrum, quod quidem vbi &longs;it e&longs;t ignotum. Ex illo autem inuento &longs;i corpus totum appendatur, partes æ­queponderabunt. Appendatur autem, puta in G, &longs;it autem grauitatis centrum in H. Quoniam igitur He&longs;t extra ful­cimentum G, declinabit &longs;tateræ pars GA, centro G per circuli portionem Hl, à centro grauitatis in ip&longs;a de&longs;cen­&longs;ione de&longs;criptam. Siautem grauitatis centrum fuerit vbi K, eo quodibi quoque &longs;it extra fulcimentum G, de&longs;cen­detpars GB, de&longs;cribente interim grauitatis centro K, cir­culi portionem KL. ltaque &longs;i &longs;tateram totam eum ponde­ribus trahamus pellamu&longs;que vltro citroque;, immoto appen­diculo eritaliquando fulcimentum in ea linea perpendi­culari velloco ip&longs;o, vbi e&longs;t grauitatis centrum, quo ca&longs;u &longs;tatera&longs;tabit, & tuncita erit diui&longs;a, vt fiat brachiorum & ponderum eadem ratio, ordine permutato. Hicautem modus ideo non e&longs;t in v&longs;u, quod mole&longs;tum &longs;it libram &longs;eu &longs;tateram cum ponderibus vltro citroqueue transferre, quæ difficultas commodè appendiculi mobilitate vitatur.

QVAESTIO XXI.

Quæritur, Cur facilius dentes extrahunt Chirurgi, denti forcipis onere adiecto, quam &longs;i&longs;ola manu vtantur?

Re&longs;pondet Philo&longs;ophus, An quia ex manu, magis quam ex dentiforcipe lubrius elabitur dens? An ferro id po­tius accidit quam digitis, quoniam vndique dentem non comprehendunt, quod mollis facit digitorum caro; ad­hæret enim & complectitur magis. Hæc &longs;ecunda ratio videtur primam de&longs;truere, & contrarium pror&longs;us &longs;enten­tiæ, quæ in problemate proponitur, a&longs;&longs;erere. Si Græca ad verbum reddas ita habent: An magis ip&longs;a manu labile e&longs;t ferrum, & ip&longs;um vndique (dentemnempe) non comple­ctitur, caro autem digitorum cum mollis &longs;it, adhæret ma­gis, & vndique congruit. Certè vt &longs;ententia non &longs;it con­traria propo&longs;itioni, Græca ver&longs;io ita videtur concinnan­da: Vel magis è m nbitur, mollis enim e&longs;t digitorum caro, ferrum autem circumplectitur, & haeret magis. quic­quid &longs;it, Græcam lectionem contrarium ei quod quæri-tur, affirmare certum e&longs;t. Picolomineus, Ideo, inquit, di­gitorum caro mollis minus aptè extrahit, quod dentem totum comprehendere non pote&longs;t, quod ferrum ob &longs;uam durítiem & con&longs;tantiam commodi&longs;&longs;imè facit. Sen&longs;um ex mente reddidit, quod ex verbis non poterat. Subiungit denique Ari&longs;toteles, An quia dentiforcipes &longs;int duo con­trarij vectes vnicum habentes fulcimentum, ip&longs;am &longs;cili­cet in &longs;trumenti partium connexionem. Hoc igitur ad ex­tractionem vtuntur^{**}, vt facilius moueant. Figuram hoc pactto proponit Philo&longs;ophus.

E&longs;to dentiforcipis alterum quidem extremum vbi A, alte­rum autem quod extrahit B, ve­ctis vbi ADF, alter vectis, vbi BCE, fulcimentum verò CGD connexio vbi G. Densautem pondus: vtroque igitur ve­cte B, & F &longs;imul comprehendentes mouent, Hæc ille. At­tamen rem ip&longs;am &longs;ubtilius con&longs;iderantibus aliter videtur habere, ac ip&longs;e a&longs;&longs;erat. Et&longs;anè dentisforcipis brachia ve­ctes e&longs;&longs;e, quorum commune fulcimentum e&longs;t in ip&longs;o cen­tro vbi vertebra, nemo negauerit. Dentem autem e&longs;&longs;e pondus, ego quidem ab&longs;olute non dixerim. Pondus autem hîcproprie e&longs;t ip&longs;a dentis durities, cuius re&longs;i&longs;tentia eo fa­cilius &longs;uperatur, quo maior e&longs;t proportio brachiorum à manu ad vertebram, ad partem illam quæ à vertebra e&longs;t ad dentem. At dentis ex con&longs;trictione fractio nihil facit pror&longs;us ad extractionem: id tamen operatur brachio­rum longitudine dentiforceps, quod valide ex vectium oppo&longs;itorum vi dentes con&longs;tringit & extra ctioni commo­dum reddit & facilem. Neque enim totus Dentiforceps hic ceu vectis vnicus operatur, quod fit in forcipibus quas Tenaleas vocamus, quibus è tabulis claui reuelluntur, qua de re nos quae&longs;tione 6. verba fecimus. Quo pacto autem dentis ex Dentiforcipe extractio ad vectem reducatur, &longs;ubtilius e&longs;t perpendendum, neque enim res e&longs;t in propa­tulo.

Dicimus igitur, tum dentem ip&longs;um, tum dentifor­cipem vectes e&longs;&longs;e, varia tamen ratione & &longs;atis &longs;ane diuer­&longs;a. Dens enim fit vectis eius nempe naturæ quæ fulcimen­tum habet in angulo, quo ca&longs;u ip&longs;ius Dentiforcipis partium, quibus Dens apprehenditur, ea quæ longior e&longs;t poten­tiæ mouentis loco &longs;uccedit, breuior vero fulcimentum facit, Dentis vero re&longs;i&longs;tentia ponderis vices refert.

E&longs;to enim dens qui­dem A, cuius diameter BC, longitudo v&longs;que ad extremas radices CD, pars dentiforcipis breui­or CG, longior BG. Fit ergo vectis BCD, habens &longs;ulcimentum in C. Den­teigitur apprehen&longs;o in BC, & manu dentiforcipe ceu ve­cte ad inferiora compre&longs;&longs;o C, fit fulcimentum centrum­ue. Stante enim puncto C, trahente autem potentia quæ e&longs;t in B, fit motus ip&longs;ius B, per circuli portionem BE, radi­cis vero D, fit motus per DF, & inde ip&longs;ius dentis extra­ctio facilis. Quibus con&longs;ideratis vt rem ad proportiones quatenus fieri pote&longs;t reducamus, dicimus, quo maior fu­erit proportio BC, ad CD, hoc e&longs;t, partis vectis, quæ à ful­cimento ad potentiam ad eam quæ à fulcimento e&longs;t ad pondus, eo facilius fieri dentis auul&longs;ionem, quod vtique demon&longs;trandum fuerat.

Porro quod in calce quæ&longs;tionis addit Philo&longs;ophus, Dentes commotos facilius manu extrahi quam in&longs;tru­mento, nulla ratione probat. Ego autem arbitror, huc pertinere ea verba, quæ &longs;uperius habentur, videlicet fer­rum quidem non vndique dentem comprehendere, quod mollisfacit digitorum caro, quæ id circo adhæret & om­plectitur magis. An autem ita &longs;it, alij videant, nobis enim digito rem o&longs;tendi&longs;&longs;e fuerit &longs;atis.

QVÆSTIO XXII.

Hîc quærit Ari&longs;toteles, Cur nuces ab&longs;que ictu facile confringuntur in&longs;trumentis quæ ad eum faciunt v&longs;um, & hoc licet multum aufe­ratur virium, ce&longs;&longs;ante motu & violentia, quod accidit dum mal­leo confringuntur. Addit præterea, citius fieri confractionem graui, & duro in&longs;trumento ferreo vide­licet quàm ligneo.

Soluit, inquiens, id fieri quod in&longs;trumentum duobus vectibus con&longs;tet, coëuntibus in connexione &longs;eu verte­bra, & idcirco eo violentius fieri confractionem, quo mi­nus e&longs;t &longs;patium à nuce, quæ frangitur, ad vertebram. ma­ius verò quod à vertebra ad extremitates, quæ confrin­gentis manu comprimuntur. Ait igitur, & id quam oppo­fite, vim ex vectibus ictus loco &longs;uccedere & idem operari.

E&longs;to igitur in &longs;trumentum, de quo agimus CDBF, ex duo­bus vectibus con&longs;tans, quorum alter CAF, alter vero DAB ver­tebra &longs;eu connexio A locus v­bi nux frangitur K, manubria vero BF. quo igitur prolixiores erunt AB, AF, breuiores vero ACAD, violentius fiet con­fractio. Erit autem nucis re&longs;i&longs;tentia loco ponderis A, ful­cimentum BF loco potentiæ. Itaque nî maior &longs;it propor­tio potentiæ ad re&longs;i&longs;tentiam, quam brachij à potentia ad ful cimentum ad eam partem quæ à fulcimento e&longs;t ad nu­cem, non fiet confractio. eo autem magis &longs;up erabit, quo maior fuerit pars vectis quæ à potentia ad fulcimentum.

Quod autem addit Ari&longs;toteles, eo maiorem fieri vectium eleuationem, hoc e&longs;t, in&longs;trumenti aperitionem, quo magis nux quæ frangitur, fuerit propior fulcimento, hoc e&longs;t, ip&longs;i vertebræ, facile o&longs;tenditur ex conuer&longs;a 21. propo&longs;. lib. 1. Elem. &longs;i enim ab extremitatibus vnius line æ ad ea&longs;dem partes con&longs;tituantur duæ line æ maiores con­currentes in angulo, & ab ij&longs;dem extremitatibus duæ a­liæ minores, quæ intra triangulum à maioribus con&longs;titu­tum cadant, maiorem angulum continebunt. At talis e&longs;t angulus qui fit in in &longs;trumento, cum partes vectis à verte­bra ad nucem fuerint breuiores. magìs ergo dilatantur vectes, & magis dilatati magis comprimuntur, magis au­tem compre&longs;li validius frangunt, quod dixerat Ari&longs;to­teles.

Cæterum & illud quod &longs;cribit, ex grauiori & durio­ri materia in&longs;trumentum citius fractionem facere, quam ex leuiori & minus dura, ex parte quidem materiæ verum e&longs;t, nec pertinet ad proportionem, quæ &longs;ane in huiu&longs;modim in&longs;trumentis formæ ferè habent rationem. Nos hi&longs;ce in­&longs;trumentisnon vtimur. Sunt autem &longs;imilia in&longs;trumentis illis, quibus figuli cretaceas pilas ad chirobali&longs;tarum v&longs;um facere & efformare con&longs;ueuerunt.

QVÆSTIO XXIII.

Pvlcherrimam proponit hoc loco Philo&longs;ophus con­templationem, eamque ad mixtos motus pertinentem. Mixtorum autem motuum &longs;peculationem antiquis Me­chanicis fui&longs;&longs;e tum vtilem tum etiam familiarem, norunt ij qui norunt quæ de lineis &longs;piralibus Helici&longs;ue, cy&longs;&longs;oidi­bus, conchoidibus & alijs eiu&longs;cemo di &longs;cripta & contem­plata reperiuntur, quibus tum ad duarum mediarum pro­portionalium inuentionem, tum ad circuli quadratio­nem vti&longs;olent. Quod autem hîc quærit Ari&longs;toteles, ita &longs;e habet.

Cur &longs;i duo extrema in Rhombo punct a duabus ferantur lationibus, haudquaquam æqualem vtrumque eorum pertran&longs;it rectam, &longs;ed multo plus alteram? Item cur quod &longs;uper latus fertur, minus per­tran&longs;eat quam ip&longs;um latus. Illudenim diametrum pertran&longs;ire certum est, hoc vero maius lat us, licet hoc vnica, illud au­tem duabus feratur lationibus?

Difficile hoc intellectu prima fronte, & &longs;ane admi­rabile, itaque in tentam con templationem requirit. Nos primo cum Ari&longs;totele, rem totam explicabimus, tum ali­quid forta&longs;&longs;e non pœnitendum no&longs;tro de promptuario proferemus.

E&longs;to itaque Rhombus ABCD, cuius latera AB, BD, DC, CA, diame­trorum maior AD, minor BC, &longs;ecan­tes &longs;e inuicem in puncto &longs;eu figuræ centro K. Sunt autem ex ip&longs;ius Rhom­binatura latera æqualia & parallela, Angulorum vero qui maiori diame­tro opponuntur, recto maiores, qui vero minori minores. His igitur con­&longs;ideratis, intelligatur punctum A mo­ueri peculiari & &longs;im plici motu, per li­neam AB, ab A ver&longs;us B, & eodem ten­pore moueri totam lineam AB, ver&longs;us lineam DC, hac ta­men lege, vt &longs;emper eidem DC feratur parallela, & eius alterum extremorum feratur per AC, alterum vero per BD, Intelligatur etiam punctum B moueri eodem tem­pore proprio motu, eoque &longs;implici, per eandem rectam BA, ver&longs;us A, & cum eadem, vt dictum e&longs;t, mota; ferri ver-&longs;us CD. Erunt autem &longs;emper AB puncta in eadem linea quæ mouetur, &longs;ibi inuicem ex contrarijs partibus occur­rentia. Itaque cum ex duobus motibus &longs;emper propor­tionalibus, hoc e&longs;t, laterum proportione &longs;eruata, recta producatur, vt demon&longs;tratum e&longs;t à principio, vbi produ­ctio circuli ex Philo&longs;ophi mente e&longs;t declarata, vtraque pun­cta quæ ean dem laterum proportionem &longs;eruantia mouen­tur, rectas lineas producent A quidem AD, B autem ip&longs;am BC. Feraturigitur A, tum mixto tum &longs;implici motu per diametrum AD. B vero quoque tum mixto, tum proprio per diametrum BC, &longs;upponitur autem motus omnes &longs;im­plices, tum punctorum, tum etiam line ae, à qua puncta ip&longs;a feruntur, æquali velocitate fieri. Illud igitur mirabile e&longs;t, cuius etiam ratio quæritur, quo pacto eodem tempore ea­dem que velocitate latum A quidem totam percurrat AD maiorem, B vero totam BC, eamque longe minorem? Porro nece&longs;&longs;e fuit rem in Rhombo &longs;peculari, non autem in quadrato & altera parte longiori rectangulo, in quibus diametri (quod Rhombo non accidit) &longs;unt æquales. Ima­ginemur igitur A, proprio motu percurri&longs;&longs;e &longs;patium AE, nempe ip&longs;ius AB line æ dimidium. Erit igitur in E, item li­neam totam AB eodem tempore pertran&longs;i&longs;&longs;e dimidia op­po&longs;itarum linearum, ACBD, & e&longs;&longs;e translatam, vbi FKG. Quoniam igitur æquali celeritate lineæ AB extremitas A, translata e&longs;t in F & A, punctum per eam motum in E, e­rit &longs;patium AE, æquale &longs;patio AF. Ductis igitur lineis FKG, EKH lateribus AB, AC æquidi&longs;tantibus, erit figura AEKF. Rhombus &longs;imilis quidem Rhombo ABCD, recta igitur FK æqualis erit oppo&longs;itæ AE. quare A punctum translatum erit ex mixto motu in K. Eodem pacto quoniam punctum B. eadem velocitate mouetur ver&longs;us A, & linea AB ver&longs;us CD, cum B fuerit in E extremum line æ motæ BA, nempe B eritin G. æquales ergo &longs;unt BE, BG & Rhom­bus EBGK, circa diametrum BKC ip&longs;i Rhombo ABCD &longs;imilis, & ideo GK æqualis oppo&longs;itæ BE & BG æqualis EK. Cum ergo B confecerit &longs;patium BE, erit ex mixto motu in K, &longs;uperato nempe &longs;patio BK, idque eodem tem­pore quo A percurrerat totum &longs;patium AK. Ex æquali i­gitur &longs;implicium motuum velocitate, in æqualia &longs;patia AB puncta pertran&longs;ierunt, quæ res miraculo, cuius dilu­tio quæritur, præbet occa&longs;ionem.

Porro quod de dimidijs diametris demon&longs;tratum e&longs;t, po&longs;&longs;umus & de totis eadem ratione concludere, quip­pe quod eadem &longs;it proportio partium ad partes, quæ to­tius ad totum. Hæc igitur prima e&longs;t pars propo&longs;itæ quæ­&longs;tionis. Secunda vero dubitatio ita habet; Nempe mirum videri punctum B, cum peruenerit in C, extremum lineæ BA, videlicet ip&longs;um B, translatum e&longs;&longs;e in D, licet æquali­ter moueantur linea BA, per lineam BD, & punctum B per lineam BA. &longs;itque BC ip&longs;a BD maior. Primam dubitatio­nem hoc pacto &longs;oluit Philo&longs;ophus; A fertur tum proprio, tum alieno motu, hoc e&longs;t, line æ AB ver&longs;us oppo&longs;itam par­tem CD, Itaque cum vterque motus deor&longs;um vergat, mo­tus fit velocior. Contra vero B proprio quidem motu fer­tur ver&longs;us A, hoc e&longs;t, &longs;ur&longs;um, alieno vero, hoc e&longs;t, line æ BA ver&longs;us D, hoc e&longs;t, deor&longs;um, qui motus cum inuicem aduer­&longs;entur, motus ip&longs;e fit tardior, non igitur e&longs;t mirum, A eo­dem tempore maius &longs;patium pertran&longs;ire quam B.

Hæc &longs;olutio non modo vera videtur, &longs;ed mirabilis & ip&longs;omet Philo&longs;opho digni&longs;&longs;ima, cui quidem temerarium iudicaremus contradicere, nîin genere ver&longs;aremur, in quo non probabilia quæruntur, &longs;ed demon&longs;trata, &longs;ed ve­ra. Futilem igitur e&longs;&longs;e rationem hanc ip&longs;ius Ari&longs;totelis pace, hoc pacto o&longs;tendemus.

E&longs;to quadratum ABCD, cuius diametri ACBD &longs;e­cantes &longs;e&longs;e in E, moueatur eodem pacto BA, ver&longs;us CD,

item A, ver&longs;us B, & B ver&longs;us A, ita­que punctum A tum proprio tum alieno, hoc e&longs;t lineæ illud deferen­tis motu deor&longs;um trudet, hoc e&longs;t, ver&longs;us CD. Motus ergo velocior erit motu puncti B, quod lationi­bus fertur ferè contrarijs, hoc e&longs;t, ex B ver&longs;us A &longs;ur&longs;um, cum linea autem BA ver&longs;us C deor&longs;um. Ve­locius tamen non mouetur, quip­pe quod æquali tempore æquale &longs;patium vtrum que punctum conficiat. Stante igitur cau&longs;­&longs;a &longs;equi debui&longs;&longs;et effectus; non &longs;equitur autem, Ari&longs;tote­lis igitur cau&longs;&longs;a non e&longs;t cau&longs;&longs;a. Rhombo quoque inuer&longs;o idem clarius o&longs;tendemus hoc pacto: Sit Rhombus ABCD,
cuius diametri AC, BD &longs;ecan­tes &longs;e&longs;e in E. Mota igitur linea AB ver&longs;us CD, nempe deor&longs;um & A quoque deor&longs;um ver&longs;us B, contra vero B quidem &longs;ur­&longs;um ver&longs;us A, deor&longs;um vero ver&longs;us C, erit B tardior A, &longs;ed contrarium fit, quippe quod longior &longs;it BD, per quam mouetur B ip&longs;a AC, per quam mouetur A.

His igitur non &longs;atisfacientibus veriorem &longs;i per im­becillitatem no&longs;tram licuerit, huius effectus cau&longs;&longs;am in­ue&longs;tigabimus. Rationibus igitur & veritate contra aucto­ritatem & probabilitatem e&longs;t nobis pugnandum: quod & intrepide faciemus.

Dicimus igitur, in quouis parallelogrammo &longs;itillud qua dratum aut altera parte longius, vel idem Rhombus Rhomboi&longs;ue &longs;emper mixtos motus proportione &longs;eruata fieri per diametros. Cæterum díametrorum ad latera proportiones e&longs;&longs;e varias (quadratis exceptis, in quibus ea­dem e&longs;t &longs;emper) explorati&longs;&longs;imum. Illud quoque certum e&longs;t, in rectangulis nunquam dari po&longs;&longs;e diametros lateri­bus vtcunque captis æquales, &longs;emper enim diametri re­ctis angulis &longs;ubtruduntur. In Rhombis vero & Rhombo­idibus diametrorum ad latera proportiones variant. Dari enim po&longs;&longs;unt diametri lateribus longiores item æquales, & lateribus quoque ip&longs;is breuiores.

Itaque diametrorum & laterum varia adinuicem ratione &longs;e habentibus, attentis proportionibus, mixtorum & &longs;implicium motuum diuer&longs;a fiet, & varia comparatio. in quadratis motus mixtus, qui per diametros &longs;emper ve­locior erit &longs;implici qui per latera, Idem quoque in altera parte longiori, in quo mixti quidem motus per diametros erunt velociores, &longs;implices vero qui per latera, tardiores quidem, &longs;ed ex illis tardior qui per latus breuius. In Rhom­bis autem mixtus motus qui fit per diametros inæqualis. Velocior enim qui per longiorem diametrum, tardior quiperbreuiorem. Itaque &longs;implices motus punctorum per latera ad eum qui fit per diametrosinon eodem pacto &longs;e habent. Porro cum Rhomboides variæ &longs;int diametrorum ad latera habitudines, varia quoque dari pote&longs;t propor­tio. aliquando enim diametri dari po&longs;&longs;unt lateribus maio­res quando que, alter eorum minor. Si autem Rhombus in duos &longs;oluatur triangulos, alter diametrorum datur æqua­lis æqualibus lateribus æquicrurium triangulorum; itaque in i&longs;tis mixti motus per diametros aequeveloces erunt &longs;im­plicibus, qui per latera longiora, velociores autem illis qui per latera breuiora. His igitur hoc pacto non perfun­ctoriè con&longs;ideratis, facile ex proprijs cau&longs;&longs;is, nî fallimu, hocce Ari&longs;totelicum & mirabile Problema &longs;oluitur.

E&longs;to enim Rhombus ABDC, cuius diameter longior AD maior &longs;it tum lateribus, tum etiam altera dia­metro BC. &longs;ecent autem &longs;e inuicem diametri in E. Ducatur queue ip&longs;is AB, CD, parallela FG &longs;ecans longiorem diametrum AD, in H, breuiorem ve­ro BC in I. & per I ip&longs;is BD AC paral­lela ducatur KIL, Cum ergo B mixto motu per diametrum BC erit in I & A per diametrum AD, mixto &longs;imili­ter motu erit in H, & quia motus mi­xti fiunt per diametros, vt dictum e&longs;t, vt &longs;e habet AD ad BC, ita AE ad EB, per 15. propol. 5. elem. item vt AE ad EB, ita per 4. propo&longs;. 6. AH ad BI. e&longs;t enim IH ip&longs;i AB parallela. Longior e&longs;t autem AH ip&longs;a BI, quip­pe quod AE longior &longs;it ip&longs;a EB. motus igitur mixtus pun­cti A per diametrum AD v&longs;que ad H velocior e&longs;t motu B, per diametrum BC v&longs;quead I. Mota igitur linea AB mo­uebuntur communia eius & diametrorum BC, AD pun­cta, quibus &longs;ecantur &longs;emper diametrorum proportione &longs;eruata. Quibus ita &longs;e habentibus, nil mirum e&longs;t punctum A motum per AD velociorem e&longs;&longs;e mixto motu puncti B, quod per minorem diametrum fertur BC. quod fuerat demon&longs;trandum. quatenus vero ad &longs;ecundam problema­tis partem pertinet, dicimus Propo&longs;itionem non e&longs;&longs;e vni­uer&longs;alem. Si enim Rhombus detur, ex duobus æquilateris triangulis con&longs;tans, breuior diameter lateribus erit aequa­lis, quare non mouebitur citius motu &longs;implici punctum per latus ac faciat mixto per minorem diametrum, quod vt mirum propo&longs;uerat A ri&longs;toteles. Si autem latus ip&longs;um breuiori diametro &longs;it longius, nec mirum quoque erit &longs;im­plici motu moucri velocius quam mixto, quippe quod, vt dictum e&longs;t, motus i&longs;ti à proportionibus linearum, per quas mouentur, legem velocitatis atque tarditatis accipiant. Hæc igitur nos circa hoc mirabile Ari&longs;totelicum proble­ma con&longs;iderare &longs;it &longs;atis.

QVÆSTIO XXIV.

Mirabilem aliam quæ&longs;tionem proponit Ari&longs;toteles, quæ itidem ad mixtos motus pertinet.

Dubitatio est, quam ob cau&longs;&longs;am maior circulus æqualem minori circulo circumuoluitur lineam, quando circa idem centrum fue­rint po&longs;iti. Seor&longs;um autem reuoluti quemadmodum alterius ma­gnitudo ad alterius magnitudinem &longs;e habet, ita & illorum adin­uicem &longs;iunt line æ? Præterea vno etiam & eodem vtri&longs;que exi&longs;ten­te centro. Aliquando quidem tanta &longs;it linea, quam conuoluuntur, quantum minor per &longs;e conuoluitur circulus, quandoque vero quan­tum maior.

Hæc ille, qui vt prober maiorem circulum in &longs;ua ro­tatione maiorem lineam pertran&longs;ire, minorem vero mi­norem; ait &longs;en&longs;u cogno&longs;ci angulum maioris circuli, id e&longs;t, eius qui maiorem habet circumferentiam, e&longs;&longs;e maiorem, eius vero qui minorem, minorem. Ita autem &longs;e habere cir­cumferentias vt &longs;e habent anguli, & eandem proportionem habere per quas tum maior, tum minor circulus circum­uoluuntur. Ad quorum clariorem intelligentiam ea re­uocare oportet in memoriam, quæ dixit de maiorum cir­culorum ad minores circulos nutu. Hic enim, quod ibi quoque fecerat, &longs;ectorem ip&longs;um angulum appellauit, an­gulum vero maiorem maioris circuli &longs;ectorem, & mino­rem angulum minoris ip&longs;ius circuli &longs;ectorem dixit. Clau­dit igitur dicens: quoniam circumferentiæ &longs;e habent vt anguli, hoc e&longs;t, vt &longs;ectores, maior erit circumferentia ma­ioris circuli, & ex con&longs;equenti maior linea, per quam cir-cumuoluitur, ea per quam minor. Demon&longs;trationem ve­ro ex &longs;en&longs;u petijt. Satautem erat &longs;i dixi&longs;&longs;et, ita &longs;e habere circum ferentias vt &longs;e habent diametri &longs;eu &longs;emidiametri, & ideo lineas in rotatione de&longs;criptas inuicem &longs;e habere vt diametros. Ob&longs;curiu&longs;culè, hæc &longs;ua figura o&longs;tendit Ari&longs;to­teles. Nos igitur claritatem amantibus, no&longs;tram aliquan­to, nî fallimur, clariorem, proponemus.

E&longs;to circulus maior ABCD, mi­nor FGHI, circa i­dem, & commune centrum E. Circum­uoluatur maior ad partes D. Sint autem diametri, maioris quidem AEC, BED, minoris verò FEH, GEI, fitque CD, quadrans maioris, HI vero minoris circuli. Moto igitur maiori circulo &longs;ecun­dum ab&longs;idem, cum D fuerit in K erit CK ip&longs;i CD æqualis, fietque; DE ex puncto K perpendicularis ip&longs;i CK, eritque vbi KO, & quia punctum I e&longs;t in linea DE, erit I facta quadran­tis rotatione in linea KO vbi L, centrum vero E in ip&longs;a KO, vbi O. Reuoluto igitur quadrante maioris, & confe­cto &longs;patio CK minoris circuli quadrans HI conficiet &longs;pa­tium HL, quod ip&longs;i CK &longs;patio e&longs;t æquale. quod autem in quadrantibus fit, in totis etiam fit circulis. Motus igitur minor circulus circa centrum E, vnica rotatione æquauit &longs;patium rotationis maioris circuli. Mirabile itaque e&longs;t mi­norem circulum eodem tempore & circa idem centrum circumuolutum, lineam pertran&longs;i&longs;&longs;e æqualem circum fe­rentiæ maioris circuli. Nec &longs;ecius admirationem facitro­tato minori circulo, maiorem vna circumuolutum lineam metiri circumferentiæ minoris circuli æqualem. Rotetur enim minoris circuli quadrans HI per rectam HL. erit i­gitur punctum I vbi M, æquali exi&longs;tente recta HM, ip&longs;i curuæ HI. Tuncautem facto motu centrum E erit vbi P, exi&longs;tente EP, ip&longs;i HM æquali, demittatur autem ex P per M, ip&longs;is HL CK perpendicularis PMN. Et quoniam in eadem linea &longs;unt DIE, vbi E fuerit in Pleritin M, & D in N. quamobrem rotata quarta minori circuli parte, ma­ioris interim circuli quadrans confecit &longs;patium CN æ­quale ip&longs;i HM, hoc minus circuli quadranti HI, quod vti­que e&longs;t admirabile.

Porro cau&longs;&longs;am effectus huius mirifici diligenter quæ­rit Philo&longs;ophus, & inuenram accurate explicat. Occur­rit autem primo ab&longs;urdæ cuidam opinioni. Diceret enim qui&longs;piam, ideo tardius moueri maiorem circulum, ad mo­tum minoris, quod interim dum minor moucretur, aliquas inter rotan dum moras interponeret, minor vero ad mo­tum maioris &longs;patia aliqua tran&longs;iliret, & ita &longs;patiorum fieri ad æquationem. Porro demon&longs;trationem aggre&longs;&longs;urus haec a&longs;&longs;umit principia. Eandem aequalemue potentiam, aliquam magnitudinem tardius quidem mouere, aliquam vero celerius. quod autem natum e&longs;t aptum moueri, tardius moueri, &longs;i &longs;imul cum non apto nato moueri, moueatur, quam &longs;i &longs;eparatim moueretur, celerius autem &longs;i non &longs;imul

cum eo moueatur. E&longs;to enim corpus A leue quidem & aptum natum moueri&longs;ur&longs;um, cui connectatur B, aptum natum moueri deor­&longs;um, Si quis igitur mouere conetur corpus A &longs;ur&longs;um difficilius mouebit, & tardius iunctum nempeip&longs;i B, quam &longs;i ab ip&longs;o e&longs;&longs;et &longs;eiunctum. Praeterea quod non&longs;uo, &longs;ed alieno motu mo­uetur, impo&longs;&longs;ibile e&longs;&longs;e plus eo moueri qui mouet, &longs;iquidem non &longs;uo, &longs;ed alieno motu mouctur. Mo­to igitur &longs;uo motu maiori circulo, minor non &longs;uo mouc­tur, &longs;ed motu maioris circuli^{1}, & ideo non plus mouetur quam ille moueatur, mouetur autem maiori &longs;patio quam ex &longs;e moueretur, propterea quod maior &longs;it maioris circu­li, à quo &longs;imul defertur, circumferentia. Item &longs;i minor &longs;uo motu circumuoluatur, maiorem feret &longs;ecum, & ideo non plus in &longs;ua rotatione mouebitur maior, quam ip&longs;e minor circulus moueatur. Summa rei haec e&longs;t, alterum ferriab al­tero & latum ad ferentis &longs;patium moueri. Licet enim al­tero moto, alter interim moueatur, nihilrefert. E&longs;t enim ac &longs;i is qui fertur, nullam habeat motionem, aut &longs;i eam ha­beat, ip&longs;a nequaquam vtatur. quod non fit &longs;i vterque &longs;e­paratim circa proprium centrum moueatur, tunc enim magnus magnum, paruus vero paruum &longs;patium conficit. Hinc decipi ait Ari&longs;toteles illum, qui putat vtrum que cir­culum per &longs;e &longs;u peridem centrum in rotatione moueri, li­cet enim videatur, re vera non e&longs;t. Id enim vtique certum e&longs;t, cum à maiori circulo minor fertur, circa maioris cen­trum motum fieri. Si vero maior à minori feratur circa mi­noris circuli centrum motum fieri. Hæc ferè Philo&longs;ophi e&longs;t mens, cuius &longs;olutionem e&longs;&longs;e certi&longs;&longs;imam, & ex veris cau&longs;&longs;is non dubitamus.

Hinc ad aliam eamqueue certam a&longs;&longs;ertionem tran&longs;i­mus. Dicimus enim, nullam materialem rotam circa axem eidem affixum, dum rotatur, po&longs;&longs;e eundem locum &longs;eruare, ni&longs;i cauum fiat, quod axem ip&longs;um recipiat, in tran&longs;uer&longs;a­rijs quibus rota &longs;u&longs;tinetur & progre&longs;&longs;iuum axis motum impediat.

E&longs;to enim rota ABCD, cuius centrum E, diametri AEC, BED, e&longs;to alia minor rota GH, item minor KL, tum minor NO, & adhuc minor QR, circaidem centrum E. Rotetur itaque &longs;ecundum ab&longs;idem integri quadrantis

&longs;patium CD, eritque D, in F, item &longs;i ex rota GH, ex quadrante HT, erit T in I. Ex a­lijs item minoribus in M, P, S. erit itaque lon­gi&longs;&longs;imum &longs;patium CF, breui&longs;&longs;imum vero RS, Mota igitur rota cir­ca circulum &longs;eu axem, QR, maior rota &longs;pa. tio mouebitur RS, quod &longs;i intra QR, circa centrum E alij infiniti imaginen­tur circuli, quo propio es centro fuerint, eo maioris rotæ progre&longs;&longs;us erit minor, donec ad centrum deueniatur, vbi cum non &longs;it circulus, nullus fiet progre&longs;&longs;iuus motus, &longs;ed circa ip&longs;um centrum nulla facta loci mutatione rotabi­tur. At cum nulla materialis rota circa lineam punctumue imaginarium conuerti po&longs;&longs;it, ideo axi ferreo alteriu&longs;ue materiæ circa quem & cum quo circumuoluatur rota, ca­uum &longs;emirotundum incidere oportet, in quo in&longs;ertus axis dum conuertitur à loco in quo conuertitur, non recedat.

QVÆSTIO XXV.

Quæritur, Cur lectulorum &longs;pondas &longs;ecundum duplam faciant pro­portionem, hanc quidem &longs;ex pedum, vel paulo ampliorem, illam verotrium. Item cur vectes funesue non &longs;ecundum diametrum extendantur?

Primam quæ&longs;tionis partem ita diluit Philo&longs;ophus, for­ta&longs;&longs;e tantæ fieri &longs;olitos magnitudinis lectulos vt corpo­ribus &longs;int proportionem habentes, & ideo fieri &longs;ecundum &longs;pondas dupli longitu dine nempe cubitorum quatuor, latitudine vero duorum.

No&longs;trates alia vtuntur proportione, &longs;e&longs;quialtera, vi­delicet, quam Græci Hemioliam dicunt, communiter e­nim pedes quatuor latos faciunt plus minu&longs;ue, longos ve­ro circiter &longs;ex. quodideo fit vt in eis duo corpora commo­dius cubare po&longs;&longs;int. Lecturi autem, de quibus loquitur Philo&longs;ophus, ad vnum tantummodo &longs;u&longs;tinendum facti videntur, quicquid tamen &longs;it, nullam ferè habet res ex hac parte dubitationem.

Secunda quæ&longs;tionis &longs;ectio ea erat, Curnon &longs;ecundum diametros funes extendantur? Re&longs;tium funiumue in le­ctulis muniendis v&longs;us non e&longs;t apud nos. etenim feretra tantum, &longs;eu &longs;andapilas, quibus defunctorum corpora ef­feruntur, funibus ad ea &longs;u&longs;tinen da inteximus.

Cæterum lectos tabulis &longs;eu a&longs;&longs;eribus &longs;ternimus, qui­bus &longs;accos paleis plenos imponimus, &longs;accisvero culcitras, & tormenta, ne tabularum durities cubantes offendat. Atqui in re facili multum labora&longs;&longs;e videtur Ari&longs;toteles, tum etiam ob&longs;cure & inuolute nimis quæ&longs;tionem tracta&longs;­&longs;e. Difficilem enim apud eum habet hæc explicationem, tum ea quam diximus de cau&longs;&longs;a, tum etiam quod Græca lectio & Latina ver&longs;io corrupta, vt apparet, præ manibus habeantur. Sane vt veritatem hocloco vindicaret in lu­cem, egregie laborauit Picolomineus nec parum profe­cit. Cæterum curre&longs;tes non &longs;ecundum diametrum extru­dantur, triplicem affert Philo&longs;ophus rationem. Prima e&longs;t vt &longs;pondarum ligna, minus di&longs;trahantur. Secunda, vt pon­dus inde commodius &longs;u&longs;tineatur. Tertia, vt in ip&longs;a textura minus re&longs;tium funiumue ab&longs;umatur.

Ad primam, cur exten&longs;is diametraliter funibus &longs;pon­dæ ip&longs;æ di&longs;trahantur di&longs;cindanturue, necillenecalij do­cent. Ego autem demon&longs;trarem hoc pacto.

E&longs;to &longs;ponda ABCD, cuius longitudo AB, cra&longs;&longs;itudo AC, in ea foramen vtrin que pertinens EF, re&longs;tis per fora-

men inditus GFE, &longs;itque Epars &longs;eu ca­put exterius, quodnodo in E di&longs;tine­tur. Sit autem &longs;pondæ lignum iuxta longitudinem vt natura a&longs;&longs;olet &longs;ci&longs;&longs;ile. Vis quædam, funeita extento applice­tur in G, quae funem ip&longs;um ad &longs;e violen­ter trahat. non di&longs;cindetur idcirco &longs;ponda eo quod non diametraliter fu­nis extendatur. Modo facta capitis G translatione in H, trahatur valide fu­nis, fiet autem pre&longs;&longs;io valida in F. ibi e­nìm impedimentum facit angulus, ne funisip&longs;a dum tra­hitur, rectitudinem a&longs;&longs;equatur. Itaque vi præualente, li­gno vero &longs;ci&longs;&longs;ili, minus re&longs;i&longs;tente, funis, a&longs;&longs;ecuta rectitudi­ne, fiet in HIE &longs;ci&longs;&longs;a &longs;ponda ad quantitatem trianguli FIE, quod fuerat demon&longs;trandum.

Cur autem funes ab angulo in angulum exten&longs;æ mi­nus commode pondus &longs;u&longs;tineant, &longs;atis patet. quo enim fu­nis longior, eodebilior, & pre&longs;&longs;io quæ in medio fit, ea vide­licet parte quæ ab extremis e&longs;t remoti&longs;&longs;ima, magis funem fatigat. Longiores autem funes &longs;unt quæ diametraliter extenduntur.

Quatenus ad tertiam rationem pertinet, hoc pacto funes intexit Philo&longs;oph^{9}. E&longs;to lectu­lus cum &longs;uis &longs;pondis AB CD, cuius &longs;ponda AD, &longs;it pedum &longs;ex, AB vero trium, Diuidatur AD bi­faríam in E & BC in F. item AE in tres AG, GH, HE & in totidem ED, nempe EL, LM, MD. Similiter medietas al­terius &longs;pondæ BF in tres partes di&longs;tinguatur BN, NO, OF, & FC &longs;imiliterin tres FI, IK, KC, tum altero funis capite in ducto per foramen A, ibique probe firmato, indatur per F, inde per I, po&longs;tca per GHK CE, & in E probe alligetur: Erunt igitur funis quatuor partes æquales AF, IG, HK, EC, quibus adijciuntur particulæ cadentes extra, quæ &longs;unt FI, GH, KC. Po&longs;t hæc alterius funis principium per foramen traij citur, quod e&longs;t in angulo B. Deinde per E, in­de per L, N, O, M, D, F & in F probe vincitur, & nodo fa­cto ob&longs;irmatur. Erunt igitur aliæ quatuor alterius funis partes, tum inter&longs;e, tum etiam &longs;upradictis æquales, nem­pe BE, NL, OM, FD, quibus ilæ pa iter adijciuntur par­ticulæ, quæ caduat extra, videlicet EL, NO, MD. quoniam igitur quadratis ex BA, AE æquale e&longs;t quadratum BE, erit BE quadratum 18. cuius latus radixue 4 1/3 quam proxime. Sunt autem huius longitud n s funes æquales octo. Ea­rum igitur &longs;imul &longs;umptarum longitudo erit pedum 34 2/3 vel circiter, quibus &longs;i ad dantur pedes &longs;ex funium qui cadunt extra, erit re&longs;tis totius longitudo expan&longs;a pedum 40 2/3 plus minu&longs;ue. Picolomineus vero ait 34 2/3, omi&longs;it enim particu­las illas&longs;ex, quæ, vt diximus, cadunt extra. Idem rationem funium diametraliter exten&longs;arum in idem, ait e&longs;&longs;e longi­tudinis pedum 40 1/2. Hic autem eas quoque particulas præ­termittit, quæ extra cadunt. Itaque his additis clare pa­tet, plus re&longs;tium in&longs;umi diametraliterip&longs;is, quam latera­liter exten&longs;is. Cæterum ratio, qua Philo&longs;ophus hæc pro­bare conatur, adeo e&longs;t mutila, inuoluta, ob&longs;cura, vt Delio pror&longs;us, vt aiunt, indigeat natatore. Huius loci in ex plica­bilem difficultatem, vidit Picolomineus, qui idcirco at­te&longs;tatus e&longs;t, interpretes in hac exponenda fui&longs;&longs;e halluci­natos. Certe Græca lectio ver&longs;ione ip&longs;a Latina non e&longs;t clarior. Nos interim ne inutilem ferè &longs;peculationem ni­mia diligentia, eaque forta&longs;&longs;e fru&longs;tranea pro&longs;equamur, a­lijs difficultatem hanc di&longs;&longs;oluendam aut ceu Gordij no­dum gladio &longs;cindendo relinquemus. Sed interim &longs;ubit mirari, cur veteres vtiliori modo prætermi&longs;&longs;o, inutilioiem fuerint amplexati. Poterant enim reticulatim hoc per li­neas lateribus æ quidi&longs;tantes intexere.

E&longs;to enim lectulus eiu&longs;dem dimen&longs;ionis ABCD, in cuius latere AD &longs;int foramina quin­que E, F, G, H, I, totidem in latere oppo&longs;ito QP, ONM. Duo vero in la­tere breuiori AB, nempe RS, & toti dem in oppo&longs;ito KL incipiatur exten&longs;io à fora­mine E, per QP, F, GON, HIM & in M funis obfirmetur, tum alterius funis caput in datur &longs;i lib et per K, & inde per S, R, L & in L con&longs;tringatur. Sunt autem omnes EQ, FP, GO, NN, IM, pedum quindecim, quibus &longs;i addantur KS, RL, &longs;inguli pedum &longs;ex erunt pedum xxvii. quibus adiectis particulis extra cadentibus QP, FG, ON, HI, & RS, erit integra &longs;umma pedum xxxii. Vide igitur quantum hinc minus in&longs;umatur re&longs;tium quam eo modo, quem proba­uit, & ceu vtiliorem propo&longs;uit Ari&longs;toteles. Præterea vali­di&longs;&longs;imum e&longs;t hoc texturæ opus nec ex eo fit vera &longs;ponda­rum di&longs;tractio &longs;ci&longs;&longs;ioue, quibus haud parum obnoxia e&longs;t ea ratio, quam præfertip&longs;e Philo&longs;ophus. Concludimusi­gitur, aut nos eius verba & &longs;en&longs;um non intellexi&longs;&longs;e, aut veteresip&longs;os, quorum v&longs;um ip&longs;e explicat, rei, quam nos proponimus, naturam & commoditatem (quod ta­men vix credibile e&longs;t) igno­rare.

QVÆSTIO XXVI.

Proponitur à Philo &longs;opho examinandum, Cur difficilius&longs;it, langa ligna ab extremo &longs;uper humeros ferre, quam &longs;ecundum me­dium, æquali exi&longs;tente pondere?

Dvo hîc con&longs;iderat, vibrationem, & pondus. Ait enim primo fieri po&longs;&longs;c, procera ligna vibratione impedien­te, difficilius ferri. Quærerer autem qui&longs;piam, (ip&longs;e enim id reticet) curvibratio hæc ferenti &longs;it nocua. Nos itaque id expliçare conabimur.

E&longs;to igitur lignum oblongum, flexile, & vt ita dicam, vibrabile AB, imponatur hume­ro eique hæreat in C, manu vero &longs;u&longs;tineatur facta compre&longs;&longs;ione in B. Nuteti­gitur & vibretur, in ip&longs;a vibratione, ad partem A. Sit au­tem centrum grauitatis eius D, Lignum igitur in ip&longs;a vi­bratione de&longs;cendet &longs;ua pre&longs;&longs;us grauitate in E, tum facta ligni con&longs;tipatione in ea parte quæ e&longs;t inferius inter C & D, & inde re&longs;i&longs;tentia, codem fere impetu quo de&longs;cende­rat, repul&longs;um per D, nec enim in &longs;ua rectitudine &longs;tabit, a­&longs;cendet in F, facta iterum materiæ con&longs;ti patione inter C & F. Mouebitur igitur lignum &longs;ua grauitate, motu fre­quenti&longs;&longs;imo, &longs;ur&longs;um deor&longs;um, & is interim qui lignum hu­mero fert, procedit antror&longs;um, impedit igitur motus i&longs;te, qui fit &longs;ur&longs;um deor&longs;um lationem, quæ fit ad anteriora; La­torem ip&longs;um quodammodo retrahens. Siautem medio ligno &longs;upponatur humerus, eo quod vibratio &longs;it minor. breuiores enim partes &longs;unt, quæ à medío ad extrema mi­nus à vibratione remorabitur ferens.

Quoniam autem non &longs;ola vibratio in hoc lationis modo, nempe ex ligni extremitate difficultatem facit, ait Philo&longs;ophus, forte id fieri, quoniam licet nihil inflecta­tur, neque multam habeat longitu dinem, difficilius tamen &longs;it ad ferendum ab extremo, eo quod facilius eleuetur ex medio quam ab extremis, & ideo &longs;ic ferre &longs;it facilius. Cur autem ex medio facilius eleuetur, cau&longs;&longs;am e&longs;&longs;e ait, quod eleuato medio ligno extrema &longs;e&longs;e inuicem &longs;u&longs;pen­dant, & altera pars alteram bene &longs;ubleuet. Medium enim fieri velut centrum, vbi is &longs;upponit humerum qui cleuat aut fert. Extremorum autem interim altero depre&longs;&longs;o al­terum &longs;u&longs;tolli. Nos interim Mechanicis principijs, quod ip&longs;e non fecit, rem clariorem efficiemus.

E&longs;to enim oblongum lignum AB, cui humerus &longs;up­ponatur in B, manus vero premendo &longs;u&longs;tinens in B. &longs;it au­tem ligni pars maxima AC, minima CB, inaioris autem ad minorem proportio exempli gratia &longs;it &longs;excupla. Ad hoc i­gitur vt fiat æquilibrium inter potentiam &longs;u&longs;tinentem in B, & pondus comprimens in A, ita &longs;e habere oportet po­tentiam in B, ad pondus in A, vt &longs;e habet pars ligni AC ad

partem CD. E&longs;to igitur pon­dus in A, puta librarum &longs;ex. Erit igitur potentia quæ in B ad hoc vt &longs;u&longs;tineat librarum triginta &longs;ex, quas &longs;i addas pon­deri in A, fiet humerus in C &longs;u&longs;tinens pondus librarum quadraginta duo. Siautem humerus medio ligno, hoc e&longs;t, in D &longs;upponatur, ad hoc vt fiat æquilibrium, nece&longs;&longs;e erit potentiam in B e&longs;&longs;e æqua­lem ponderi in A, quod e&longs;t &longs;ex, quare humerus &longs;u&longs;tinebit duodecim. Vnde patet, longe difficilius portari lignum ex C extremo, quam ex D medio; quod Mechanice fue­rat demon&longs;tran dum.

Po&longs;&longs;umus & aliter idem o&longs;tendere. Intelligatur e­nim ij&longs;dem &longs;uppo&longs;itis, vectem quidem e&longs;&longs;e AB, cuius ful-cimentum quidem B, pondus A, potentia &longs;u&longs;tinens in C, nempe inter fulcimentum & pondus. Res igitur ad eum vectis v&longs;um reducitur, de quo G. Vbaldus tractatu de Ve­cte, propo&longs;. 3. Quare vtille o&longs;ten dit, ita &longs;e habere oporter potentiam &longs;u&longs;tinentem ad pondus, vttotus vectis ad par­tem eius quæ à potentia ad fulcimentum. Ita igitur &longs;e ha­bebit pre&longs;&longs;io, quæ fit in C ad pondus in A, vt totus vectis AB ad partem eius CB, quæ à potentia ad fulcimentum. Erit igitur potentia &longs;eptupla ponderi, & ideo &longs;u&longs;tinebit pondus librarum quadraginta duarum. quod fuerat o­&longs;tendendum.

Hinc alia quæ&longs;tio huic affinis &longs;oluitur, Cur ha&longs;ta &longs;a­ri&longs;&longs;aue &longs;olo iacens manu ad alteram extremitatum ap­pren&longs;a di&longs;ficillime extollatur?

E&longs;to igitur &longs;ari&longs;&longs;a ha­&longs;taue iacens AB, cuius ex­tremitati A manus ad &longs;u­&longs;tollendum applicetur, &longs;it autem pars quæ digitis capitur AC, quæritur cur pars re­liqua CB difficillime &longs;u&longs;tollatur? Facile dubitatio ex præ­demon&longs;tratis &longs;oluitur. E&longs;t enim C fulcimentum, &longs;upponi­tur enim loco, pugno ad &longs;u&longs;tollendum clau&longs;o, digitus in­dex, potentia autem premens in A, vt &longs;uperet grauitatem CB, e&longs;t manus ip&longs;ius carpus, hoc e&longs;t illa manus ip&longs;ius pars, qua pondus facta &longs;uppre&longs;&longs;ione &longs;u&longs;tollitur. E&longs;tigitur AB vectis, cuius fulcimentum C, pondus B, potentia A, Itaque quoniam maxima e&longs;t proportio BA ad AC, maximam e&longs;­&longs;e oportet potentiam pondus &longs;u&longs;tollentem in C.

Huc etiam illud pertinet, Cur ha&longs;ta &longs;olo iacente, &longs;i alterum extremorum manu &longs;u&longs;tollatur, alterum vero ve­lo ci&longs;&longs;ime &longs;ur&longs;um vibretur, & eodem tempore manus ha­&longs;tæ &longs;ic vibratæ &longs;upponatur, haud magna difficultate ha&longs;tæ ad perpendiculum fit erectio.

Sit enim ha&longs;ta AB, quæ manu ex B capta eleuetur in C, & fiat in AC, tum facta ex C partis A veloci vibratione, ip&longs;a extremitas A transferatur in D, &longs;itque vbi CD, tum velo­imanus depre&longs;&longs;ione extremi­tas C transferatur in E, fiatque EF horizonti perpendicuiaris; quod vbi factum fuerit, erunt in eadem linea quæ ad centrum mundi, manus ip&longs;a quæ &longs;u&longs;tinet, & grauitatis ip&longs;ius centrum G, quare manus ip&longs;a facta vibratione tantum portat, quantum præci&longs;e ip&longs;ius e&longs;t ha&longs;tæ pondus.

QVAESTIO XXVII.

Dubitatur, Cur &longs;i valde procerum fuerit idem pondus, difficilius &longs;uper humeros ge&longs;tatur, etiam&longs;i medium qui&longs;piam illud fe­rat quam &longs;i breuius &longs;it?

Qvæ&longs;tio hæc &longs;uperiori e&longs;t affinis. Ait autem Philo&longs;o­phus, cau&longs;&longs;am non e&longs;&longs;eid, quod in præcedenti quæ­&longs;tione dixerat, &longs;ed vibrationem: quo enim longiora &longs;unt ligna, eo magis eorum extrema vibrantur, debiliora enim &longs;unt & à medio remotiora, quare &longs;uopte pondere facilius nutant. Siautem breuiora &longs;int ea cau&longs;&longs;a ce&longs;&longs;ante minor fit aut nulla vibratio, quare breuiora feruntur facilius. Dupliciter autem vibratione ip&longs;a, portans offenditur, tum ex cau&longs;&longs;a quam in &longs;uperiori quæ&longs;tione con&longs;ideraui­mus, nempe quod motus &longs;ur&longs;um deor&longs;um a&longs;&longs;iduus, pro­gredientis motum impediat, tum etiam quod duplici pre&longs;&longs;ione grauetur ferentis humerus, quod Philo&longs;ophus non animaduertit.

Sit enim oblongum lignum AB, quod humero me-

dio loco &longs;u&longs;tineatur in C. nutabunt ergo extrema AB, à centro C, valde remota, cadent autem &longs;imul A m D, & B in E trahere &longs;ecum conantes medium C, quare is qui in C &longs;u&longs;tinet, non modo ligni &longs;u&longs;tinet pondus ex grauita­tis centro quod e&longs;t in C, &longs;ed impetum quoque in ip&longs;a ex­tremorum depre&longs;&longs;ione acqui&longs;itum ex ipia violentia. Illud autem &longs;ubtiliter con&longs;ideramus, portantem ex vibratione per inter ualla deprimi & &longs;ubleuari. fiat enim vibratum li­gnum ex contrario motu, vbi FCG. alleuiabit igitur eo ca&longs;u portantem, &longs;iquidem impetus ex motu ip&longs;o acqui&longs;i­tus, medium C trahat ad &longs;uperiora. Itaque cum e&longs;t in DCE portans plus &longs;u&longs;tinet in ACD, æquale, in FCG minus, quod vtique demon&longs;trandum fuerat. E&longs;t autem quæ&longs;tio hæc illi familiaris, quam 16. loco explicauimus.

QVAESTIO XXVIII.

Quæritur, Cur iuxta puteos celonia faciunt eo quo vi&longs;untur mo­do? Ligno enim plumbi adiungunt pondus, cum alioquin vas ip&longs;um & plenum & vacuum pon­dus habeat.

Re&longs;pondet optime Philo&longs;ophus, hauriendi opus duo­bus temporibus diuidi, nempe dum vas ip&longs;um vacuum demittitur, dum que extrahitur plenum: Contingere au­tem, vacuum facile demitti, plenum autem difficulter ex­trahi. Expedire nihilominus tardius, hoc e&longs;t difficilius di­mitti vt fa cilius extrahatur, plumbo nempe coadiuuante, & &longs;ane Philo&longs;ophi &longs;olutio e&longs;t lucidi&longs;&longs;ima. Nos autem luci ip&longs;i lucem aliquam adhuc afferre conabimur.

E&longs;to Celomum (Latine Tolenonem appellant) ABC, cuius arrectarium BD, tran&longs;uer&longs;um lignum AC, quod

conuertitur, circa punctum &longs;eu fulcimentum B, pondus, plum­bumue, vbi A, &longs;itula E, funi ap­pen&longs;a CE. Dico rebus ita con­&longs;titutis difficilem quidem e&longs;&longs;e vacuæ &longs;itulæ demi&longs;&longs;ion em, fa­cile vero eiu&longs;dem extractio­nem. Vectis diui&longs;i, &longs;itulæ, ac ponderis, ad hoc vt fiat æ quili­brium, ca debet e&longs;&longs;e propor­tio, vt quema dmodum &longs;e habet AB ad BC, ita &longs;e habeat plenæ &longs;itulæ pondus E ad ip&longs;um pondus A, &longs;uperabit ergo pondus in A &longs;itulam vacuam in E nec fiet æquilibrium, i­taque vt vacua &longs;itula demittatur, tanta vis adhibenda c&longs;t quantum e&longs;t ip&longs;ius aquæ, qua &longs;itulaimpltur pondus, quæ vis dum apponitur difficilem, vt dicebamus, efficit &longs;itulæ vacuæ demi&longs;&longs;ionem. Plena vero &longs;itula &longs;it æquilibrium, vn­de quantumuis pu&longs;illa vi adhibita, &longs;itula extrahitur, qua&longs;i ex &longs;emetip&longs;a ponderis appen&longs;i virtute a&longs;cendens. Quan­tum igitur pondus dum vacua demittitur impedit, tan­tundem plena dum extrahitur, adiuuat. Quae cum ita &longs;int, &longs;i paria &longs;unt difficultas in demittendo, & facilitas in ex­trahendo, quæ ratio hoc in negotio vtilitatis? Sane &longs;itula vacua, manu per funem facile demittitur, plena vero dif­ficile extrahitur, v&longs;u autem Celonij res permutantur. Cor­poris enim proprij pondere, dum premit, adiuuatur de­mittens, qui per funem &longs;implicem extrahendo, ab eodem proprij corporis pondere impediebatur. quod quidem ex corporis pondere, auxilium, ingentem parit in extrahen­do commoditatem.

Quippiam &longs;imile accidit, aquas è puteis extrahen­tibus v&longs;u trochleæ. Sit enim trochlea puteo imminens ABCD, cuius centrum E &longs;u&longs;pen&longs;a quidem in A, funis, cui &longs;itula &longs;u&longs;penditur FCABG, &longs;itula vero G. E&longs;t igitur dia­meter CED, in&longs;tar libræ, quare vt fiat æquilibrium nece&longs;­&longs;e e&longs;t capiti funis F, potentiam applicare, quæ &longs;it æqualis

pondere &longs;itulæ aqua plenæ, itaque extra­hens proprijs viribus corporins pondus ad­ijciens facile &longs;itulam aqua plenam extra­hit, ex qua re magna extrahentibus fit commoditas. Patet autem diuer&longs;o modo extrahentes iuuare Celonium. & Tro­chleam, ibi enim corporis mole adiuuatur demittens vacuam, hic vero qui extrahit plenam aqua &longs;itulam.

Cæterum Celonij partem BC, qui à fulcimento ad funem longe maiorem e&longs;­&longs;e oportet, ip&longs;a AB, vt &longs;itula in profundum po&longs;&longs;it demitti, quamobremita &longs;e debethabere pondus in A, ad pondus &longs;itulæ plenæ, vt&longs;e habet brachium &longs;eu pars BC, ad par­tem BA. Tunc enim ex permutata proportione efficitur æquilibrium.

Illud addimus, nouum non ae&longs;&longs;e Architectis Mecha­nici&longs;que, tum hominum tum animalium vt commodius machinas moueant, adhibere pondera corporum. Nec e­nim alia ratione mouentur Rotæ illæ, quas ob hanc cau&longs;­&longs;am ambulatorias vocant; quarum v&longs;us ad Mangana, ad extrahendas è puteis aquas, & ad farinarias quoque mo­las agitandas a dhibetur.

Porro Tollenonem bellicam Machinam à Celonio tum forma tum pote&longs;tate nihil differre, videre e&longs;t a pud veteres Mechanicos, Heronem Byzantium, & alios. apud neotericos vero hac de re agunt Daniel Barbarus in Vi­truuium, & Iu&longs;tus Lip&longs;ius in librum quem de bellicis machinis edidit, eleganti&longs;&longs;i­mum.

QVAESTIO XXIX.

Dubitatur, Cur quando &longs;uper ligno, aut huiu&longs;modi quopiam, duo portauerint homines, idem pondus non æqualiter premun­tur, &longs;edille magis cui vicinius fuerit pondus?

Soluit Ari&longs;toteles, inquiens, lignum e&longs;&longs;e vectem, pon­dus vero fulcimentum; res quæ mouetur is qui ponde­ri e&longs;t proximior: mouens vero qui remotior. Itaque quo magis remotus e&longs;t à pondere, hoc e&longs;t, à fulcimento is qui mouet, eo violentius is premitur qui altera vectis parte eaque breuiori, mouetur.

E&longs;to lignum AB, pondus C appen&longs;um in E, vicinius ex­tremo B quam ip&longs;i A, &longs;it autem portantium alter quidem AF, alter vero BG, Imaginemur itaquelocum E à pondere ita figi & deprimi, vt&longs;ur&longs;um qui­dem ferri nequaquam po&longs;&longs;it, circa vero punctum E, ceu circa centrum fulcimentum­ne ip&longs;um vectem conuerti. Lignum ergo AB vectis: mo­uens potentia A, pars vectis à potentia ad fulcimentum AE pars eiu&longs;dem quæ à fulcimento ad rem motam EB, & quoniam quanto longior e&longs;t pars vectis EA ip&longs;a EB, eo fa­cilius potentia quæ e&longs;t in A, operatur in id quod e&longs;t in B, &longs;i res ad proportiones redigatur, erit potentia in A, ad id quod mouetur &longs;eu premitur in B, vt pars vectis EB ad par­tem EA, &longs;ed maior e&longs;t AE ip&longs;a EB, ergo maiorem partem &longs;u&longs;tinet ponderis, & plus premitur is qui in E, & qui mo­uet in A. Hæc fere Philo&longs;ophi e&longs;t &longs;ententia: Picolomi­neus vero Paraphra&longs;tes appo&longs;ite duos vectes in vnico li-gno con&longs;iderat, alterum AB, alterum BA, in primo A e&longs;t mouens B, motum in &longs;ecundo B, mouens A vero motum in quibus vectibus &longs;emper idem & commune fulcimen­tum E. Et quoniam in propo&longs;ito diagrammate breuior e&longs;t pars vectis EB, quæ que à mouente ad fulcimentum, parte illa quæ ab eodem fulcìmento ad rem motam, minus o­peratur B in A, quam A in B, & ideo qui in B mouetur plus premitur, contra vero quia maior e&longs;t pars EA ip&longs;a parte EB, magis operatur qui in A in ip&longs;um B, quam econtra. Et &longs;ane con&longs;ideratio hæc &longs;ubtilis e&longs;t & ingenio&longs;a, & quæ &longs;i recte intelligatur, quatenus ad proportiones & effectum ip&longs;um demon&longs;trandum pertinet, à veritate ip&longs;a non ab­horret, Quicquid tamen &longs;it, Mechanice magis hoc pacto quæ&longs;tio diluetur. Dicimus enim, pondus quidem vere e&longs;­&longs;e pondus, non autem fulcimentum, vt &longs;ibi fingebat Ari­&longs;toteles: lignum vero vectem, duo autem qui pondus &longs;u­&longs;tinent pro duplici fulcimento haberi, vtri&longs;que enim ve­ctis cum appen&longs;o pondere innititur. Pote&longs;t etiam alter eorum pro porentia mouente, alter vero pro fulcimen­to, & &longs;ic vici&longs;&longs;im. E&longs;t autem, quomodocunqueres accipia­tur, pondus inter fulcimentum. & potentiam. Quare ex ijs quæ demon&longs;trauit G. Vbald. de hoc vectis genere lo­quens, vt &longs;e habet AE pars ad AB vectem totum, ita po­tentia quæ &longs;u&longs;tinet in B, ad pondus appen&longs;um in E, & vt BE ad BA ita potentia quæ &longs;u&longs;tinet in A ad pondus quod in E. At minor e&longs;t proportio BE, ad BA, quam AE ad AB, quare magis &longs;uperatur pondus in E à potentia quæ in A, quam à potentia quæ in B, & ideo plus ponderis &longs;u&longs;tinet ferens in B, quam ferens in A, quod fuerat demon&longs;tran­dum.

Hinc colligimus, pondere in medio vecte appen&longs;o ferentes æqualiter &longs;u&longs;tinere, propterea quod totius vectis ad partes ip&longs;as proportio &longs;it eadem, vel æqualis.

Pulchre autem dubitari pote&longs;t, an idem pror&longs;us con­tingat, &longs;i alterum eorum qui &longs;u&longs;tinent, &longs;it &longs;tatura quidem procerior, alter vero humilior.

Sit enim vectis AB, in cuius medio pondus H libere appen­&longs;um ex C, alter portantium pro­cerior AD, humilior vero BE. &longs;it autem horizontis planum DE, demittatur à puncto Cad horizon­tem perpendicularis, ip&longs;is vero AD, BE, æquidi&longs;tans CF. Tran&longs;i­bit autem per ip&longs;ius ponderis, grauitatis centrum H. Dicoigi­tur, nil referre quatenus ad pondus &longs;u&longs;tinendum perti­net, vtrum portantes &longs;int &longs;tatura pares velne. Ducatur e­nim horizonti æquidi&longs;tans GB, &longs;ecans perpendicularem CF in I. Quoniam igitur AG æquidi&longs;tans e&longs;t ip&longs;i CI erit vt AC ad CB per 4. &longs;exti elem, ita GI ad IB. Sunt ergo GI, IB inter &longs;e æquales. Intelligatur itaque pondus H, &longs;olutum à puncto C appen&longs;um e&longs;&longs;e libere ex puncto I, hoce&longs;t, ex medio vectis GB, æqualiter ergo diui&longs;um erit pondus in­ter portantes, licet alter procerior, alter vero &longs;tatura pu­milior, quod fuerat demon&longs;trandum.

Si autem pondus ita vecti alligatum &longs;it vt libere non pendeat, vecte ex vna parte eleuato, ex altera vero de­pre&longs;&longs;o, grauitatis centrum ad eam partem verget quæ magis ab horizonte attollitur, & ad eam ip&longs;am partem vectis à pondere ad &longs;u&longs;tinentem fit breuior.

E&longs;to enim vectis AB, cuius medium C, pondus vecti in C alligatum CFG, cuius grauitatis centrum H eorum qui portant procerior AB, humilior BE, horizontis planum DE. Demittatur per centrum H horizonti perpendicu­laris IHK, &longs;ecans vectem quidem in I, horizontis vero pla-

num in K. Po&longs;t hæc intelligatur pon­dus &longs;olutum quidem à puncto C, ap­pen&longs;um vero ex puncto I. Stabitigitur ex definitione centri grauitatis nec &longs;i­tu &longs;uo mouebitur. Dico autem par­tem AI ip&longs;a IB e&longs;&longs;e breuiorem, hoc e&longs;t, punctum I cadere inter C & A. Si e­nim non cadat, vel cadet in C, aut in­ter C & B, cadat autem &longs;i fieri pote&longs;t in C. Eritigitur CHK horizonti perpendicularis, &longs;ed ei­dem perpendicularis AD. Eruntigitur BCK BAD anguli inter &longs;e æquales, &longs;ed ip&longs;i BAD angulo æqualis e&longs;t CIH, quare & BCH ip&longs;i CIH æ qualis erit. Producto igitur la­tere IC trianguli ICH erit exterior angulus æqualis inte­riori ex oppo&longs;ito, quod e&longs;t ab&longs;urdum. non ergo I cadet in C. Eadem autem ratione mon&longs;trabitur non cadereinter CB, cadet ergo inter CA, & ideo minor AI ip&longs;a IB. Itaque vt &longs;e habet BI ad BA, ita potentia in A ad pondus in I, &longs;ed maiorem proportionem habet BI ad BA, quam IA ad AB. Ergo minor potentia requiretur in B quam in A, & &longs;ane pars IB re&longs;pondet potentiæ &longs;u&longs;tinenti in A, at IA potentiæ &longs;u&longs;tinenti in B, minor e&longs;t autem AI ip&longs;a IB, ergo maior po­tentia requiritur in B, quam in A, quod fuerat demon­&longs;trandum.

Hocitem concludetur, &longs;i portantes &longs;tatura quidem pares fuerint, &longs;ed per planum ambulent horizonti accliue aut decliue. Si enim pon dus libere pendeat, vectis partium proportio non mutabitur; &longs;r autem libere non pendeat, is magis laborabit qui in a&longs;cen&longs;u præibit, minus vero qui in de&longs;cen&longs;u.

Hinc quoque Carrucarum ratio pendet, quæ dupli­ci manubrio vnica rota vulgo &longs;unt in v&longs;u, pro vecte enim habentur, cuius fulcimentum ad contactum plani & ro­tæ; potentiæ vero ad extremitatem duplicis manubrij. Reducitur enim ad idem genus vectis, in quo pondus in­ter fulcimentum e&longs;t & potentiam. quo igitur minor fue­rit proportio partis vectis quæ à centro grauitatis ad i­p&longs;um fulcimentum, ad totum vectem eo facilius pondus eleuabitur.

Cur autem difficilime hæ per accliue horizonti pla­num pellantur, duplici fit de cau&longs;&longs;a, tum quia grauitatis centrum ad ip&longs;um portantem &longs;eu pellentem vergit, & id­co pars quæ a fulcimento ad centrum grauitatis ponderis fit maior, tum etiam quoniam ip&longs;um graue contra &longs;ui na­turam &longs;ur&longs;us pellitur ferturque.

Quærere ad hæc qui&longs;piam po&longs;&longs;et, Cur Baiuli ma­gna ferentes pondera, curui in cedant? Dixeritautem ali­quis, ponderis grauitate eos deprimentis id fieri. Nos au­tem duplici item de cau&longs;&longs;aid fieri putamus, tum ea quam con&longs;iderauimus, tum etiam alia, nempevt grauitatis cen­trum ip&longs;ius ponderis quod &longs;u&longs;tinent, in perpendiculari collocent, ne &longs;i extra ponatur is qui fert à centro extra fulcimentum po&longs;ito, ad eam partem ad quam vergit tra­hatur, & pondere ip&longs;o opprimatur.

Eadem de cau&longs;&longs;a fit quoque vt ij qui magna ponde­ra &longs;ini&longs;tro ferunt humero, in dextram partem inclinentur, qui vero dextro, contrario modo &longs;e habeant, æquatur e­nim pondus eo pacto, & grauitatis centrum in ip&longs;a per­pendiculari collocatur.

QVÆSTIO XXX.

Cur a&longs;&longs;urgentes omnes fœmori tibiam ad acutum angulum con&longs;ti­tuamus & pectori thoraciue &longs;imiliter fœmur, quod nî fiat haudquaquam &longs;urgere poterunt?

Ait Philo&longs;ophus, forte id fieri, quod æqualitas &longs;it o­mnino quietis cau&longs;&longs;a, rectum vero angulum quietis angulum e&longs;&longs;e, & &longs;tationem facere, nec alia de cau&longs;&longs;a &longs;tan­tem ip&longs;i terræ e&longs;&longs;e perpendicularem, & ideo caput & pe­des in eadem linea habere, &longs;edentem vero non item. Tunc autem à &longs;e&longs;&longs;ione &longs;urrectionem fieri, cum caput & pedes in vna linea collocantur, quod &longs;ane fit cum pectus & crura acutum cum ip&longs;o fœmore angulum faciunt.

E&longs;to enim &longs;tans AB hori­zonti IBK perpendicularis, cù­ius caput A, pedes vero B, &longs;edcat modo &longs;itque eius cum capite Thorax CD, fœmur DE, crura EF, &longs;intque CDE, DEF anguli recti, quibus ita con&longs;titutis non &longs;unt in eadem linea caput C & pedes F. Surgere itaque non po­terit &longs;edens, propterea quod partes omnes corporìs non &longs;int horizonti perpendiculares. Ad hocautem vt &longs;urrectio fiat, nece&longs;&longs;e e&longs;t vt &longs;edens retrahat quidem pedes in H, & pectore in clinato acutum cum fœ­more angulum con&longs;tituat GDE, quo ca&longs;u fient in eadem recta linea, eaque horizonti perpendiculari caput in G, & pedes in H, ex cuius &longs;itus natura commoda fiet ab ip&longs;o &longs;edente &longs;urrectio. Hæc fere, licet alijs ab eo verbis expli­cata, ip&longs;ius e&longs;t Philo&longs;ophi &longs;ententia; quæ licet vera &longs;it, non tamen ex proprijs, hoc e&longs;t, Mechanicis principijs e&longs;t peti­ta. quod quidem nos facere conabimur.

Dicimus autem primo, &longs;edentem non ideo quie&longs;ce­re, vt&longs;entit Ari&longs;toteles, quod rectus angulus quietis &longs;it cau&longs;&longs;a, &longs;ed propterea quod eius thoracis tum etiam fœ­morum pondus ab ip&longs;a &longs;ede &longs;u&longs;tineantur; crura vero & pedes ideo non laborent, quod partim &longs;u&longs;pen&longs;a &longs;int, par­tim &longs;olo ip&longs;i innitantur. Quare cum corpus totum nec &longs;e &longs;u&longs;tineat, nec à pedibus &longs;u&longs;tineatur, fit quies & la&longs;&longs;itudi­nis alleuatio. Natura autem ideo commodam hominibus &longs;e&longs;&longs;ionem facere volui&longs;&longs;e inde apparet, quod clunes, qui­bus tota &longs;uperior pars, & grauior nititur, carno&longs;am fece­rit, & ceruicalis cuiu&longs;dam in&longs;tar mollem & facilem. Sed nos ad quæ&longs;tionem.

E&longs;to enim &longs;tans AB, cuius caput A, Thorax AC, fœmora CD, crura DB, pe­des vero B, centrum vero grauitatis in i­p&longs;o Thorace E. Modo &longs;edeat, &longs;itque ca­put in F, Thorax FG, fœmora GH, crura HI, pedes I, grauitatis vero centrum vbi K. Producatur recta FG in L, &longs;itque FL horizonti perpendicularis. Centrum er­go grauitatis K fulcitur puncto G, hoc e&longs;t, puncto L, in quo po&longs;teriores pedes ip&longs;ius &longs;edis &longs;olo hærent. efficit autem &longs;edens duos rectos angulos FGH, GHI. Rebus igitur ita di&longs;po&longs;itis &longs;eruatis rectis angulis, non fiet &longs;urre­ctio, & id quidem non ideo quod, vt ait Philo&longs;ophus, æ­qualitas & rectitudo angulorum quietis &longs;it cau&longs;&longs;a, &longs;ed propterea quod centro grauitatis extra pedum fulcimen­tum con&longs;tituto, non habet centrum &longs;tabilem locum cui in actu &longs;urrectionis hæreat, & fulciatur, vnde fit vt &longs;i &longs;edenti &longs;ubtrahatur &longs;edes remoto prohibente, &longs;edens pror&longs;us cor­ruat. Modo retrahat qui &longs;edet crura, & pedes ponat in M, à puncto autem M, horizonti perpendicularis erigatur MN. erit ergo fulcimentum in M, &longs;ed adhuc &longs;urgere non poterit, centro grauitatis adhuc extra lineam MN, quæ per fulcimentum e&longs;t, con&longs;tituto. Reclinetur autem pe­ctus ad anteriora, & cum fœmore acutum angulum faciat &longs;itque vbi GO, erit igitur grauitatis centrum vbi P, hoc e&longs;t, in ip&longs;a perpendiculari NM, fretigitur inde commoda &longs;urrectio, propterea quod in eadem linea facta &longs;int, graui­tatis centrum P, & fulcimentum ip&longs;um M. Acutum vero angulum in &longs;urrectione nece&longs;&longs;arium e&longs;&longs;e clare patet, non autem effus ip&longs;ius e&longs;&longs;e cau&longs;&longs;am, vt videtur &longs;en&longs;i&longs;&longs;e Ari­&longs;toteles; nii dicamus, cau&longs;&longs;am e&longs;&longs;e cau&longs;&longs;æ, &longs;iquidem acuti qui fiunt anguli centrum & pedes in eadem linea collo­cant, quicquid tamen &longs;it, nos ideo &longs;urrectionem fieri dici­mus, quod immutatis angulis centrum grauitatis &longs;upra fulcimentum, fulcimento vero &longs;ub ip&longs;o grauitatis centro collocetur, & hæc e&longs;t cau&longs;&longs;a proxima. Hæc nos ad Ari&longs;to­telem. Modo qua&longs;dam alias quæ&longs;tiones, necinutiles &longs;ed & eas non iniucundas quoque proponemus.

Primum igitur quærimus, Curhominum & cætero­rum animalium, quæ aliquando erecto corpore incedunt, pedes non quidem breues &longs;int & rotundi, &longs;ed longiores potius, & in inferiorem partem porrecti? Item cur magis ad digitos quam ad cal caneum porrigantur?

E&longs;to homo animalue quodpiam &longs;tans AB, cuius pes CD, pedis pars quæ ad digitos BC. quae vero ad cal caneum BD fœmoris ver­tebra E, centrum vero grauitatis ip&longs;ius cor­poris F. Primum igitur &longs;tatuendum e&longs;t, ho­minem & cætera fere animalia à Natura fa­cta e&longs;&longs;e vt ad anteriora moueantur, & ideo o­mnes fere quod in &longs;enioribus manife&longs;te ap­paret, ad anteriora ex ip&longs;a corporis di&longs;po&longs;i­tione vergant. Itaque dum qui &longs;tat horizon­ti pror&longs;us e&longs;t perpendicularis, grauitatis centrum F in ip&longs;a perpendiculari con&longs;tituitur quæ ad mundi centrum AB, & ideo corporis moles pondu&longs;que fulcitur puncto B. Mo­do fiat ex vertebra E thoracis AE, inclinatio in anteriora, in GE & grauitatis centrum D diluetur in H, & per H per­pendicularis demittatur HI, non erit ** extra pedis ful­cimentum BC. Stabit ergo qui ita in clinatur, nec corruet: &longs;i autem a dhuc propendeat magis, fiatque in KE, centro grauitatis con&longs;tituto in M, ducatur per M perpendicula­ris ML, quare quoniam linea ML extra pedis fulcimen­tum cadit, corruet qui co pacto inclinatur nec &longs;u&longs;tinebi­tur. Cur igitur natura animalibus quae erecto corpore am­balant, pedes in anteriora porrectos fecerit, hinc clare patet.

Hinc etiam ceu con&longs;ectarium habemus, cur homi­nes &longs;i impellantur, magis ad ca&longs;um in po&longs;teriora quam in anteriora &longs;int proni. Necnon etiam cur &longs;imiæ, vr&longs;i, & &longs;i quæ cætera eiu&longs;modi animalia diutius erecto corpore ambulare nequeant, nempe ideo quod eorum corporum moles valde in anteriora propendeat, necita commodo, vt humanis cuenit corporibus, pedum ip&longs;orum ba&longs;ibus fulciantur.

Quærereitem haud importune po&longs;&longs;umus, Curgral­latores non &longs;tent erecti, ni&longs;i a&longs;&longs;idue moueantur? Solutio facilis. grallæ etenim duobus tantum punctis &longs;olum tan­gunt, nec porrecti beneficio, quod ambulantibus accidit, vti po&longs;&longs;unt. quamobrem grauitatis centrum fit extra ful­cimentum, & ideo coguntur grallatores a&longs;&longs;iduo motu grauitatis centro fulcimentum &longs;upponere, quod dum fit, à ca&longs;u prohibentur.

Pote&longs;t autem id quod fulcitur, tripliciter fulciri, nen­peaut puncto, aut linea, aut &longs;uperficie.

Quod puncto fulcitur, nulla reimpediente ad quam­uis partem cadere pote&longs;t, centrum &longs;iquidem, motus, pun­ctum e&longs;t.

Quod linea fulcitur ad duas tantum partes, ea&longs;que oppo&longs;itas, habet ca&longs;um. &longs;itillud &longs;uperficies, corpu&longs;ue in latus con&longs;titutum.

E&longs;to horizontis pla­num ABCD, cui ad re­ctos angulos in&longs;i&longs;tat &longs;u­perficies EFGH, &longs;ecun­dum latus FG. Sit autem ip&longs;ius &longs;uperficiei grauita­tis centrum I. à quo ad horizontis planum per­pendicularis demittatur IK. Cadet autem in lineam FG. per propo&longs;. 38. vndecimi elem. & anguli IKG IKF recti e­runt. Itaque &longs;uperficie EFGH circa lineam FKG ceu cir­ca axem mota punctum I peripheriam de&longs;cribet LIM, & &longs;iquidem cadat ad partes CD, grauitatis centrum erit vbi M. Si vero ad partes AB, fiet vbi L. Sunt autem LKM pun­cta in recta LKM, quæ quidem communis &longs;ectio e&longs;t plani horizontis, & plani per IKLM, tran&longs;euntis.

Idem quoque de cor­pore dicimus in latus col­locato. E&longs;to enim cubus LO, cuius grauitatis cen­trum R, latus vero quo ful­citur, NO, Si enim ita col­locetur, vt interna &longs;uperfi­cies LNOQ ad rectos an­gulos horizonti &longs;it con&longs;ti­tuta, demi&longs;&longs;a perpendicu­laris à puncto R, ca det in S, in ip&longs;a linea NSO. Cadente i­gitur corpore fiet motus circa lineam NO, centro graui­tatis interim peripheriam TRV. de&longs;cribente.

Hinc animaduertere licet, Cur prouidi&longs;&longs;ima Natu­ranulli animantium vnicum dederit pedem, &longs;ed aut qua­ternos, aut &longs;altem binos, & binos quidem ip&longs;os virtute quaternos, &longs;iquidem in quolibet animantium bipedum pede duo &longs;altem puncta con&longs;iderantur, quibus ip&longs;um ani. mal fulcitur.

Sint enim humani pedis ve­&longs;tigia A, B, C, D, in vtroque igitur duo puncta con&longs;iderantur, A, B, C, D, illa quidem ad digitos, hæc autem ad calcaneum. lem quo­que in auium pedibus ob&longs;erua­tur, ex quibus concludimus, bi­pedum omnium fulcimentum e&longs;­&longs;e quadruplex. Porro quadrupe­dia eo quod tota coporis mole ad in feriora vergant, quatuor ful­cimenta, eaque di&longs;tincta, & commode ab inuicem remo­ta eademmet Natura præparauit.

Eadem quoque in artificialibus con&longs;ideramus. Sit enim vas quo dpiam ABC, cuius pes vnicus, i&longs;que rotun­dus BC, grauitatis vero centrum D. Quoniam igitur in pedis ip&longs;ius peripheria, infinita puncta intelligantur, dici quo dammodo pote&longs;t vas ip&longs;um infinitis fere punctis, licet

pesvnicus &longs;it, &longs;u&longs;tineri. Non­nulla autem corpora artifi­cialia. quatuor pedibus &longs;u­&longs;tinentur, vt men&longs;æ quædam, nonnulla etiam tribus, vt tripodes, qui nomen ab ip&longs;o pedum numero &longs;ortiuntur. Sit enim triangulum EFG, cuius centrum grauitatis H, nitatur autem tribus pun­ctis I, K, L, &longs;tabit igitur. Si autem duobus tantum; non &longs;tabit. ducta enim IK &longs;i pun­ctis tantum IK innitatur, con&longs;tituto grauitatis centro extra fulcimentum IK, verget cedens ver&longs;s partes, L, Si autem innitatur punctis IL, cadet ad partes K. Sivero ip&longs;is KL, cadet ad partes I.Ex quibus apparet, inanimata cor­pora aut vnico pede plurium virtutem habente, aut &longs;al­tem tribus actu, vt &longs;u&longs;tineantur, indigere.

Hinc etiam patet, cur &longs;enes, imbecilles, curui, & pe­dibus capti, baculi baculorumue fulcimento egeant, ete­nim cum hi debiles &longs;int, & in anteriorem partem magno­pere propen deant, ne grauitatis centrum extra fulcimen­tum fiat, baculo vel baculis indigent, quibus centrum i­p&longs;um ful ciatur.

Cæterum cur duplici genu ingeniculati difficile in eo &longs;itu perman eant, ea cau&longs;&longs;a e&longs;t, quod grauitatis centrum in thorace con&longs;titutum, duobus genibus fulciatur, eo&longs;­que premat. quæ quidem genua eo quod natura apta na­ta non &longs;int, veluti pedes, ad &longs;u&longs;tinendam corporis molem laborant, idque eo magis, quod cum o&longs;&longs;ea &longs;int, cutem in­ter o&longs;&longs;ium & plani duritiem con&longs;titutam, accidit arctari, & ideo dolorem & mole&longs;tiam ingeniculatis facere.

Siautem vnico tantum genu qui&longs;piam nitatur, dif­ficultatem &longs;entiet longe minorem. Triplici enim fulci­

mento eo ca&longs;u ingeniculatus fulcitur. Sit enim ingenicula­tus ABCDE, cuius grauitatis centrum F. dextrum vero ge­nu, cuinititur D, &longs;ini&longs;trum ve­ro, quod eleuatur B. Tribus ergo fulcimentis ingenicula­tus vt diximus, &longs;u&longs;tinetur, CDE. Diuiditur itaque pondus in tres partes, & ideo &longs;ingulæ minus fatigantur. Magis ta­men laborat punctum D, vtpote illud, cui ad perpendicu­lum F grauitatis centrum innititur.

Vtique illud quoque mirabile e&longs;t, Aues dormientes vnico tantum pede fulciri, & quod magis mirum e&longs;t, dor­mientes po&longs;&longs;e, quod vel ip&longs;is vigilantibus e&longs;t difficile. Cur id Natura docente faciant, eam puto e&longs;&longs;e cau&longs;&longs;am, quod dum dormiunt, caput &longs;ini&longs;træ alæ, vt naturali calore iu­uentur, &longs;upponunt, quapropter ad eam partem declinan­tes, vt interim æquilibrium faciant, pedem &longs;ubleuant, & eo ca&longs;u ceu inutilem retrahunt atque &longs;u&longs;pendunt: addita item alia cau&longs;&longs;a, nempe vt pedem ip&longs;um dormientes nati­uo calore confoueant.

Quæritur etam, Curij qui inclinantur, vt rem quam­piam à &longs;olo &longs;u&longs;tollant, alterum crurium ad anteriora, nen­pever&longs;us manum ip&longs;am, quam porrigunt, extendant?

E&longs;to enim qui&longs;piam ABCD, cuius crura BC, BD, grauitatis centrum E, vclitautem quippiam à &longs;olo tollere quod &longs;it in F. &longs;it per­pendicularis, quæ pergrauitatis centrum GEH. Dum igitur ad anteriora ínclinatur, centrum a­mouet à perpendiculari, quam­obrem docente Natura, crus BC ad centrum ip&longs;um fulciendum. ad anteriora, hoc e&longs;t, ver&longs;us rem &longs;u&longs;tollendam porrigitur.

Huius quoque &longs;peculationis e&longs;t inue&longs;tigare, Cur quadrupedia dum gradiuntur, pedes diametraliter mo­ueant. Cuius rei verba fecit ip&longs;e quoque Philo&longs;ophus lib. de animalium in ce&longs;&longs;u cap. 12. Nos autem ad maiorem de­clarationem, quodip&longs;e Phy&longs;icis principijs fecit, mecha­nicis demon&longs;trabimus.

Sint duæ in plano parallelæ AB, CD, in quibus qua­drupedis pedes E, F, B, D, quorum EF, anteriores, BD vero po&longs;teriores. iungantur BDEF, eritque EBDF parallelo­grammum altera parte longius, cuius diametri ducantur

ED, BF, &longs;ecantes &longs;e&longs;e in G, vbi & grauitatis centrum. Moto igitur po&longs;teriori &longs;ini&longs;tro pe­de B in K, &longs;i anteriorem E, eodem tempore moueret in I, &longs;tantibus interim DF, ceu ful­cimentis, centrum Gextra fulcimenta &longs;ieret ad partes BE. Caderet igitur ad partes BE. Si autem eodem tempore moueret dextros eo­dem pacto centrum extra fulcimenta po&longs;i­tum caderet ad partes ip&longs;as DF. Si autem moto pede B in K, & eodem tempore F in L, & D in H, E, in I, centrum erit in diametris HI, KL, hoc e&longs;t, vbi M, fultum quidem ab ip&longs;is pedibus K, L, H, I. Hoc igitur pacto transfertur vici&longs;&longs;im cum grauitatis centro &longs;i­mul translatis fulcimentis &longs;e&longs;e diametraliter re&longs;ponden­tibus; quod vtique demon&longs;trandum fuerat.

Sane & bipedia quoque alternatim gradiendo gra­uitatis centrum transferunt. Dum enim dextrum crus e­leuatur, centrum &longs;ini&longs;tro fulcitur, & econtra.

Naturalia i&longs;thæc &longs;unt; in artificialibus autem quæri po&longs;&longs;et, Cur Architecti, Arcium muros non ad perpendi­culum erectos, &longs;ed intror&longs;um inclinatos con&longs;tituant?

Vtique hoc faciunt, vt minus &longs;int ad ruinam proni. E&longs;to enim murus ad interiorem partem ver­gens ABCD, Cuius grauitatis cen­trum E ba&longs;is BC erigatur à puncto B horizonti perpendicularis BF, & ad eundem à centro grauitatis E demittatur EM, tum BE iungatur. Po&longs;t hæc à puncto BG angulum. cum linea horizontis BK faciens recto maiorem. Ita que murus hoc pacto con&longs;titutus ad interiorem partem &longs;uo pondere vergit, cadere autem non pote&longs;t, vel quod viuæ rupi, cui forte hæret, fulciatur, vel anti&longs;tatis, quos no­&longs;trates &longs;perones & contra fortes appellant, innitatur. Sed nec in anteriora corruet, quandoquidem ruinam factu­ras, nece&longs;&longs;e e&longs;t vt grauitatis centrum &longs;ecum trahat in per­pendiculari BF, & demum in eam quæ vltra perpendicu­larem e&longs;t BG, facta nempe circa B, ceu circa centrum, con­uer&longs;ione. Moueatur autem & ex &longs;emidiametro BE cen­tro B portio circuli de&longs;cribatur EH, quæ &longs;ecet BG in H, & BF in I; Et quia EM &longs;emidiametro BK perpendicularis per B, centrum non tran&longs;it, erit EM ip&longs;a BK, hoc e&longs;t, BI breior. Ab&longs;cindatur ex BI, ip&longs;i EM æqualis LB. Eritigi­tur punctum L infra punctum I, hoc e&longs;t, ip&longs;o I, mundi cen­tro propius. Nece&longs;&longs;e igitur erit ad hoc vt murus corruat, centrum grauitatis E facta circa B, conuer&longs;ione aliquan­do fieri in I, vt demum transferri po&longs;&longs;it in H, &longs;ed I remo­tius e&longs;t à mundi centro ip&longs;is E, L, a&longs;cendet igitur graue contra &longs;ui naturam ex E in I, at hoc e&longs;t impo&longs;&longs;ibile; quod fuerat demon&longs;tran dum.

Ex his ij&longs;dem principijs alia &longs;oluitur quæ&longs;tio, Cur &longs;cilicet Campanaria turris quæ Pi&longs;is vi&longs;itu, nec non alia Bononiæ in foro prope A &longs;ellorum turrim, quam à nobili olim Cari&longs;endorum familia ex&longs;tructam, Cari&longs;endam vo­cant, cuius meminit & Dantes Poeta &longs;ummus in &longs;ua Co­mœdia. Propendet autem hæc in latus, & ita propendet vt perpendicularis, quæ à &longs;ummo inclinatæ partis in &longs;o­lum demittitur, longe cadat ab ip&longs;a, cui nititur, ba&longs;i, quod &longs;ane mirabile videtur, muros nempe, in ruinam pronos, ruinam non facere.

E&longs;to enim turris ABCD, ba&longs;i fulta BC, horizontis planum BCF latera AB, DC, centrum vero grauitatis to­tius molis E. Propendeat autem ad partes DC ex angulo DCF. Ita autem con&longs;tituta intelligatur vt perpendicula­ris ab A, in planum horizontis demi&longs;&longs;a per grauitatis cen-

trum E extra ba&longs;im BC, non cadat, cadat autem in C. Quoniam igitur ABCD moles per E grauitatis cen­trum diuiditur, in partes &longs;ecatur æ­queponderantes, &longs;ed & centrum. grauitatis extra fulcimentum non cadit, quare nec pars ACD, trahet partem ABC, nec centrum extra fulcimentum po&longs;itum locum petet centro mundi viciniorem. Cur igitur Cari&longs;enda &longs;tet, & e­gregia illa turris campanaria quæ Pi&longs;is prope &longs;ummum Templum marmoribus præclare ex&longs;tructa videtur, licet ruinam minentur, &longs;tent æternum, nec cadant, ex his quæ con&longs;iderauimus, liquido patet.

QVAESTIO XXXI

Cur facilius moueatur commotum quam manens, veluti currus commotos citius agitant, quam moueri incipientes?

Hoc quæritur.

Problema hoc e&longs;t mere Phy&longs;icum; verumtamen quo­niam ad localem motum pertinet, de quo ip&longs;e quoque Mechanicus agit, Hi&longs;ce quæ&longs;tionibus contemplatio hæc inter&longs;eritur. Soluit autem Ari&longs;toteles inquiens, id forta&longs;­&longs;e ea de cau&longs;&longs;a fieri, quod difficillimum &longs;it pondus moue­re, quod in contrarium mouetur. Demit enim quippiam de motoris potentia re&longs;i&longs;tens, licet mouens ip&longs;o moto &longs;it longe potentius atque velocius. nece&longs;&longs;e enim e&longs;&longs;e id tar­dius moueri quod repellitur. Hæc verba licet de ea po­tentia dicta videantur, quæ rem motam in contrariam. partem repellit, nihilominus illi quoque aptantur quæ rem immobilem à principio mouere conatur. e&longs;t enim re­&longs;i&longs;tentia rei quæ à &longs;tatu ad motum transfertur ceu quidam contrarius motus. Contra autem accidit illi quirem mo­tam mouet in ip&longs;o motu: eo enim ca&longs;u mouens ab ip&longs;o rei motu magnopere iuuatur, cooperatur enim motus moto­ri, in ip&longs;am rem motam operanti. Auget autem res mota quodammodo mouentis potentiam. quod enim à mouen­te pateretur, ex &longs;e ip&longs;a agit res quæ mouetur.

E&longs;to horizontis pla­num AB, cui moles quæ­dam in&longs;i&longs;tat, CD. Modo potentia quædam appli­cetur vbi E, quæ molem in anteriora propellat, id e&longs;t, ver&longs;us B. Primumigitur, quoniam à quiete ad motum fit tran&longs;itus, te&longs;i&longs;tit &longs;ua quiere corpus graue, potentiæ im­pellenti, &longs;uperata demum re&longs;i&longs;tentia moles quæ moueri cœpit, fertur in F & mouetur, quare potentia quæ à prin­cipio re&longs;i&longs;tentiam rei non motæ &longs;uperauerat, pellendo rem motam pergens facilius pellit: Duo enim &longs;unt quo­dammodo motores, mouens videlicet ip&longs;e, & motus quo res mota mouetur. facilius ergo pelletur ex F in G, quam ex D in F, & ex G in B, quam ex F in G, & eo motus fiet in progre&longs;&longs;u facilior atque in ip&longs;a velocitate velocior, quo magis in ip&longs;a motione mouetur.

Hinc &longs;oluitur ea quæ&longs;tio apud Phy&longs;icos difficillima, Cur nempe in motu naturali velocitas v&longs;que augeatur; etenim ibi Naturamouens e&longs;t, atque eadem in&longs;eparabilis à remota, vrgetigitur a&longs;&longs;idue, à principio quidem tar dius, po&longs;t hæc autem ea quam diximus, de cau&longs;&longs;a v&longs;que & v&longs;que velocius. Motus ergo fit in motu, qui motus cum &longs;emper à motore, & motu ip&longs;o augeatur, cre&longs;cit ex progre&longs;&longs;u in im­men&longs;um. Certe cau&longs;&longs;am velocitatis auctæ eam e&longs;&longs;e, quod potentia mouens rem motam in motu ip&longs;o moueat, nemo vtarbitror, inficias ibit, acquirit enim corpus motum pon-dero&longs;itatem quan dam accidentalem, quæ cum ex motu perinde augeatur, ip&longs;um motum faciliorem, eoque velo­ciorem facit. Di&longs;putat hæc & Simplicius lib. 7. Phy&longs;ic. c. 11. Ari&longs;totelis de Natura libros exponens.

QVAESTIO XXXII.

Quæritur hic, Cur caquæproijciuntur, ce&longs;&longs;ent à latione?

Hocitidem problema e&longs;t mere Phy&longs;icum. Ad quod ea pertinent quæ à Philo&longs;opho tractantur libro Natu­ralium 8. & lib. 1. de Cœlo. Tres autem affert &longs;ubdubitan­do rationes, An quia impellens de&longs;init potentia, vel pro­pter retractionem, vel propter rei proiectæ in clinationem, quando ea valentior fuerit quam proijcientis vires?

Quicquid dicat Philo&longs;ophus, id vtique explorati&longs;­&longs;imum e&longs;t. Proicctaideo à motu ce&longs;&longs;are, propterea quod impre&longs;&longs;io, cuius impetu & virtute feruntur, non &longs;it proie­ctus quidem naturalis, &longs;ed mere accidentalis & violenta, at nullum accidentale & violentum quodque, non natu­rale e&longs;t, perpetuum e&longs;t. Ce&longs;&longs;at ergo accidentalis illa im­pre&longs;&longs;io, eaque paullatim ce&longs;&longs;ante proiecti motus elan­gue&longs;cit, donec quietem pror&longs;us adipi&longs;catur. Illud quoque notamus, quod à multis vidimus non ob&longs;eruatum, nempe violentum mom violentia præualente non differre à naturali, & ideo tardiorem e&longs;&longs;e à principio po&longs;t hæc, in i­p&longs;o motu fieri velociotem, remittente demum paullatim impre&longs;&longs;a violentia, tardiorem, donec impetus, & cum im­petu motus euane&longs;cat, & resip&longs;a mota quietem adipi&longs;ca­tur. Vnde etiam experientia docemur, ictum ex proiectis violentius fieri, &longs;i fiat paullo remotior à principio, & tunc demum e&longs;&longs;e innocenti&longs;&longs;imum, cum ibi fit, vbi proie ctum ex motu plene acqui&longs;ito, &longs;ummam adeptum e&longs;t velocita­tem. Hin evidemus, vel pueros ip&longs;os, docente Natura cum nuces, vel aliud quippiam, parieti alli&longs;um frangere conan­tur, à pariete moderato aliquo &longs;patio recedere. Si autem eos interroges, curid faciant, re&longs;pondebunt, vtinde ictus valentius fiat atque efficacius. Eleganter ex Simplicij & Alexandri Aphrodi&longs;ien&longs;is doctrina, quæ lucidi&longs;&longs;ima e&longs;t, quæ&longs;tionem hanc in &longs;ua Paraphra&longs;i explicat Picolomi­neus.

QVAESTIO XXXIII.

Dubitatur, Cur proiecta moueantur, licet impellens à proiectis &longs;e­paretur; vel vt verbis Philo&longs;ophi vtar, Cur quippiam non pecu­liarem &longs;ibi fertur lationem impul&longs;ore alioquin non con&longs;equente?

Soluit, inquiens, an videlicet, quoniam primum, id e&longs;t, impellens ip&longs;e, id efficit vt alterum, nempe proiectum ip&longs;um impellat, illud vero (hoc e&longs;t proiectum) alterum impellat, hoc e&longs;t, aërem ip&longs;um mediumue, quod à proie­cto repelletur. Ce&longs;&longs;are autem motum, cum res eo deue­nit, vt motus eidem à proijciente impre&longs;&longs;us, non po&longs;&longs;it amplius rem proiectam mouere, & itidem rem ip&longs;am, aë­rem videlicet non po&longs;&longs;it amplius repellere. Vel etiam quando ip&longs;ius lati grauitas nutu &longs;uo declinat magis quam impellentis in ante &longs;it potentia. Vtique res per &longs;e &longs;atis cla­ra. etenim motus impre&longs;&longs;us a ccidentalis e&longs;t, quod vero la­tioni violentæ re&longs;i&longs;tit principium, naturale, & ab ip&longs;o mo­to in&longs;eparabile, vincente igitur quod natura e&longs;t, paulla­tim remittitur quod ex accidenti e&longs;t, & indeproiecti fit quies. E&longs;t autem & hoc quoque Problema pure phy&longs;icum, & &longs;uperiori, de quo immediate egimus, perquam familia­re, quamobrem ex ij&longs;dem pror&longs;us &longs;oluitur principijs.

QVÆSTIO XXXIV.

Cur neque parua multum, neque magna nimis longe proijci queunt, &longs;ed proportionem quandam habere oportet proiecta ip&longs;a ad eius vires qui proijcit?

Pvlchre dubitationem diluit, inquiens, An quia nece&longs;­&longs;e e&longs;t quod proijcitur, & impellitur contraniti ei vnde impellitur. Quod autem magnitudine &longs;ua nihil cedit, aut imbecillitate nihil contranititur, non efficit proiectionem neque impul&longs;ionem. quod enim multo impellentis exce­dit vires, haud quaquam cedit. Quod vero e&longs;t multo im­becillius, nihil contranititur, & impre&longs;&longs;ionem non &longs;u&longs;ci­pit. Aliam quoque adiungit rationem, videlicet, Tantum ferriid quod fertur quantum aëris mouerit ad profundum (hoce&longs;t, ad eam partem aëris remotiorem, ad quam fer­tur) etenim proiectum à principio dum fertur aërem pel­lit, non pellit autem &longs;i nihil mouetur. Accidit igitur vt concludit Philo&longs;ophus, proiectai&longs;thæc contrarijs ex cau­&longs;is minus moueri. quod enim valde paruum e&longs;t nihil mo­uet imbecillitate &longs;ua impediente. quod vero valde ma­gnum e&longs;t, ex contraria cau&longs;&longs;a nihil mouet, nempe quod ob magnitudinem &longs;uam nihil moueatur. Vnde fit pro­portionem inter proiectum & proijcientem e&longs;&longs;e inprimis ad motum, necei&longs;&longs;ariam. Hæc eadem præclare in &longs;ua Pa­raphra&longs;i explicat Picolomineus.

Huic nos, de proiectis quæ&longs;tioni, hæc addimus.

Cur proiecta corpora non &longs;ibimet ip&longs;is &longs;ecun dum, partes æ quegrauia, &longs;i fuerint irregularis figuræ in ip&longs;o mo­tu, &longs;ecundum grauiorem partem antror&longs;us inuiolento, & deor&longs;um in naturali ferantur, & dum in latione conuer­tuntur, &longs;onitum edant.

E&longs;to pila ABCD, cuius centrum E concinnata ex di&longs;pari materia leui, nempe BCD, & graui ABD. non ergo

erit centrum grauitatis & cen­trum molis, &longs;it autem grauita­tis centrum F. De&longs;cendat cor­pus prohibente remoto per rectam AG. Et quoniam gra­uiora deor&longs;um tendunt ma­gis, &longs;i à principio motus gra­uior pars fuerit &longs;upra in ip&longs;o de&longs;cen&longs;u conuertet ir pila, & &longs;itum non &longs;eruabit donec &longs;u­perior pars ea quæ grauior, deor&longs;um fiat, vt videre e&longs;t in pila HIK, cuius centrum e&longs;t G. pars grauior HIK. Si au­tem eadem pila, laterali motu violenter feratur ver&longs;us N, ad eam quoque partem conuertetur pars grauior. fa­cto enim molis &longs;eu magnitudinis centro vbi L, grauior pars fiet in MNO; quæ cunque igitur &longs;unt corporaita con­&longs;tituta, vt in illis non &longs;it idem molis & grauitatis centrum in ip&longs;a latione conuertentur, & corum pars grauior an­tror&longs;us fiet. Sonitus porro in ip&longs;o motu editi ea e&longs;t cau&longs;&longs;a, quod irregulare corpus à principio incipit conuerti, & in ip&longs;a conuer&longs;ione dum fertur aërem verberat, & ab eodem vici&longs;&longs;im reuerberatur, ex qua reuerberatione fit corporis rotatio dum fertur, & ip&longs;e &longs;onitus, quem Græci roiconRhœzum appellant.

Ad hanc quoque &longs;peculationem pertinet, Cur lapi­des ad &longs;uperfi ciem aquæ proiecti non &longs;tatim demergan­tur, &longs;ed aliquot vicibus a quæ &longs;uperficiem radentes, abea, dem re&longs;iliant.

E&longs;to aquæ &longs;uper&longs;icies AB, lapis proiectus C, tangens aquæ &longs;uperficiem in D, & inde re&longs;iliens in E, mox iterum eandem tangens in F, & re&longs;iliens in G, donec violento mo­tu ce&longs;&longs;ante demergatur. Vtique lapis C, proiectus in D,

ni&longs;i medio den&longs;iori, aqua vi­delicet, repelleretur, pene­traret per D, in H. At eo re&longs;i­&longs;tente, & adhuc vigente im­petu, fertur in E ad angulos fere pares. Dico autem fere, &longs;iquidem maior e&longs;t ADC ip&longs;o EDF, propterea quod vis non &longs;it eadem, &longs;ed minor ea quæ ex D pellit in E. Durante igitur impetu quo pellitur antror&longs;um, fiuntip&longs;æ re&longs;ilitio­nes, & eo ce&longs;&longs;ante, re&longs;ilitiones ce&longs;&longs;ant, & lapis &longs;uapte gra­uitate demergitur.

Huc quoque &longs;pectat, Cur pila lu&longs;oria in horizontis planum proiecta ad pares re&longs;iliat, angulos nempe rectos?

E&longs;to horizontis planum AB, in quod à puncto C per lineam perpendicularem CE cadat proijciaturue pila DE, cuius grauitatis centrum F. Tangit autem planum in pun­cto E. Perpendicularis ergo EC, circulum DE per centrum &longs;ecat, hoc e&longs;t, in partes æ qua­les & æqueponderantes, &longs;ed dum pila cadit proijciturue, agit in planum horizontis, vbi E, & in eodem puncto re. petitur, quare cum cadens & agens diuidatur in partes æ­quales & æqueponderantes & item repatiens & re&longs;iliens diuidatur item in partes æquales & æquepondetantes, ita re&longs;ilit repatiendo, vti egerat in cadendo, hoc e&longs;t; ad angu­los pares; quod fuerat demon&longs;trandum. Modo &longs;it planum aliquod ita ad horizontem inclinatum, vt GH, & in illud cadat proijciaturue eadem pila. Dico eam ab eodem in­clinato plano ad pares angulos re&longs;ilire non tamen rectos. Vtique pila cadens, planum non tanget in E. e&longs;&longs;et enim GH, vbi AB, Tangat autem in I, & à centro F ad contin­gentiæ punctum I, recta ducatur FI. Erit igitur FI (prop. 18. lib. 3. elem.) ip&longs;i GH plano perpendicularis. Ducatur item peri, ip&longs;i EC, parallela IK, &longs;ecans pilæ circumferen­tiam in K. Agit ergo & repatitur pila in puncto Inon æ. qualiter inæquales. etenim &longs;unt partes KDLEI, & IK, eo quod IK &longs;ecet circulum non per centrum. repellitur ergo in repatiendo non æ qualiter, &longs;ed iuxta inæqualitatem ea­rundem partium. Ducatur autem recta in circulo LI æ­qualis ip&longs;i IK. Eritigitur LEI, æ qualis IK, & tota KDLI æ­qualis toti IKDL. Vtigitur actio e&longs;t per de&longs;cen&longs;um iuxta rectam KI, ita e&longs;t repa&longs;&longs;io per a&longs;cen&longs;um ex IL. Dico autem angulos KIH, LIG e&longs;&longs;e æquales & &longs;ingulos recto minores. Connectantur FL, FK. Quoniam igitur IK portio æqualis e&longs;t portioni IEL, & recta LI æqualis rectæ IK, & LF æqua­lis ip&longs;i FK, & FI communis, triangulum LFI, æquale e&longs;t triangulo IFK. Quare & angulus FIL aequalis angulo FIK, &longs;ed GIF, HIF recti &longs;unt, ergo re&longs;idui LIG, KIH æquales &longs;untinter &longs;e comparati, & recto minores; quod fuerat o­&longs;tendendum.

Hinc colligimus, quo magis planum ab æquidi&longs;tan­tia horizontis rece&longs;&longs;erit, eo pilam in eo proiectam in par­tes in æqualiores diuidi & ad minores ip&longs;i plano angulos re&longs;ilire. Nihil autem refert, vtrum planum, in quod pila cadit, ad horizontem &longs;it inclinatum, vel eodem horizonti æquedi&longs;tante pila non ad perpendiculas, &longs;ed iuxta aliquem angulum in illud proijciatur. Hæc &longs;ane ita ex demon&longs;tra­tione fieri o &longs;tenduntur. Veruntamen quoniam proiecta pila materialis e&longs;t, & ideonecæqualis, nec æqueponde­rans & &longs;ua grauitate re&longs;i&longs;tens, non ad pares ex amu&longs;&longs;i re&longs;i­lit angulos, &longs;ed minores aliquantulum in re&longs;ilitione, re. mittente nimirum vi in ip&longs;a reactione. Et &longs;ane fierinon pote&longs;t, pilam à plano re&longs;ilientem eo peruenire vnde à principio di&longs;ce&longs;&longs;erat; Id enim &longs;i daretur, æterna quoque pilæ ip&longs;ius daretur re&longs;ilitio, & paullatim vi & impetu re­mittente per parua interualla motus e&longs;&longs;et, donec res quæ mouebatur, omnino quie&longs;cat.

QVÆSTIO XXXV.

Quærit hoc vltimo Problemate Ari&longs;toteles, Cur eaquæin vorti­co&longs;is feruntur aquis, ad medium tandem agan­tur omnia?

Tribus rationibus &longs;oluit; quarum prima e&longs;t: Quicquid fertur, magnitudinem habet, cuius extrema in duo­bus &longs;unt circulis, hoc in minori, illud in maiori. Et quo­niam maior velocior e&longs;t, magnitudo media, non æquali­ter fertur, &longs;ed à maiori quidem pellitur, à minori vero re­trahitur, vnde transuer&longs;us fit magnitudinis motus, & ip&longs;a magnitudo ad interiorem propellitur circulum, itaque eodem pacto, è maiori in minorem propul&longs;a in centrum. tantum fertur, & ibi quie&longs;cit.

E&longs;to vortex AB, cuius cen­trum C, magnitudo quæ fer­tur AD, maior circulus AFB, minor DHEG. Velocitas igi­tur in A maior e&longs;t velocitate quæ in D, magnitudinis ergo extremum A, velocius rapitur in A quam eiu&longs;dem extremum inferius D, in D. Velocitas igi­tur maioris circuli pellit Aver­&longs;us F. tarditas vero minoris cir­culi D retrahitad partes G. conuertitur itaque magnitu­do inter pellentem & retrahentem circulum, donec ex­tremitas A in circulo minori fuerit vbi H, D vero vbi I, & ita deinceps eadem ratione vbi KL, donec paullatim fe­raturin centrum C, facto nempe à maiori in minorem cir­culum tran&longs;itu.

Secunda ratio ita habet, quia quod fertur, &longs;imili &longs;e habet modo ad omnes circulos propter centrum, hoc e&longs;t, in quouis circulo, qui circa idem centrum fertur. Omnes autem circuli mouentur, centrum vero &longs;tat, nece&longs;&longs;e e&longs;t à motu tandem id quod mouetur ad quietis locum, hoc e&longs;t, in centrum ip&longs;um peruenire.

Tertia, quoniam circulorum, qui in vorticibus fiunt, velocitas, & ideo impetus non e&longs;t æqualis, &longs;ed &longs;emper ex­terior e&longs;t interiore velocior & violentior, Æqualis autem &longs;emperin mota magnitudine, grauitas, diuer&longs;imode &longs;e habet ad circulos, à quibus mouetur, & ideo modo vin­citur, modo vincit: vincitur autem à velocioribus circulis, vincit autem tardiores. Ita que quoniam &longs;ua grauitate re­&longs;i&longs;tens, maioris circuli motum pror&longs;us non &longs;equitur, ad tardiorem reijcitur, hoc e&longs;t, interiorem, & &longs;ic deinceps, donec tandem centrum ip&longs;um nanci&longs;catur, in quo nec &longs;u­perans, nec &longs;uperata quie&longs;cit.

Hæ &longs;unt rationes, licet ob&longs;curi&longs;&longs;ime propo&longs;itæ, qui­bus, vt diximus, vtitur Ari&longs;toteles. acutæ &longs;ane illæ quidem, attamen haudqua quam vltro admittendæ.

Primo enim fal&longs;um videtur, quod a&longs;&longs;erit, vortices circulos e&longs;&longs;e, & circaidem centrum fieri atque rotari. Spi­ræ enim potius &longs;unt, quæ ab exteriori parte remotioreque incipientes &longs;piraliter circumuolutæ, ad intimam tandem partem, quæ media e&longs;t & centri vices gerit, deueniunt. qua veritate cognita, omnis pror&longs;us difficultas tollitur, Cum enim ea quæ feruntur, ab aqua ferantur, aqua vero feratur &longs;piraliter, ea quoque &longs;piraliter ferri, e&longs;t nece&longs;&longs;a-rium. Hæc autem clariora erunt &longs;i quo pacto vortices fiant, qui&longs;piam con&longs;iderauerit.

E&longs;to fluminis cuiu&longs;piam curua eademque profunda ripa ABCD. Aquæ vero moles rapida EFDC, quæ quidem co quod magno impe­tu deferatur in C, ripæ ip&longs;ius naturam &longs;equens turbinatim circum uoluitur, egre&longs;&longs;a autem extra locum &longs;euripam B rotationis principium &longs;ecundans, in &longs;eip&longs;am &longs;piraliter contorquetur, & vorticem efficit GHFIK, cuius quidem centrum e&longs;t vbi K.

Alia quoque de cau&longs;&longs;a, ex quie&longs;cente nimirum, & mota aqua fiunt &longs;piræ vorticesue. E&longs;to enim fluminis ripa

ABC, &longs;inum efficiens, qui a quam ex ripæ ip&longs;ius obiectu contineat quie­&longs;centem, Cur&longs;us vero fluminis liber & rectus, &longs;it inter lineas AC, DE. Itaque dum aqua AC rapide fertur ad partes A, quie&longs;centem ABC iuxta lineam. CA lateraliter propellit, & cius qui­dem partem quam tangit, &longs;ecum ra­pit, puta ex F in G. Delata igitur aqua & currente ex F ver&longs;us G quie&longs;cens lateraliter eidem &longs;e&longs;e aliqualiter op­ponit, & currentem repellit ex Gin H. Cœpto itaque &longs;pirali motu aqua circumuoluitur &longs;ecun dum lineam GHK, do­necperueniatad centrum I, vbi circumuolutæ aquæ par­tes &longs;e&longs;e inuicem tangunt. Porro vortices i&longs;ti &longs;piræue, quod nos per Padum, Abduam, & magna flumina nauigantes ob&longs;eruauimus, non eodem permanent loco, &longs;ed rapientis aquæ motum &longs;ecundantes, paullatim in currentem aquam delati euane&longs;cunt, fiunt etiam eiu&longs;cemodi vortices nau­tis quidem valde formidabiles etiam in mari, de quibus Poëta libro Æneidos primo.

— a&longs;t illam ter fluctus ibidem Torquet agens circum, & rapidus vorat æquore vortex.

Sed & idem quoque de vorticibus, qui in fluminibus fiunt libro 7.

— hunc inter fluuio Tiberinus amœno Vorticibus rapidis, & multa flauus arena In mare prorumpit.

Fiunt autem in mari partim occultis de cau&longs;&longs;is, partim etiam ex violentia aquarum &longs;ibi inuicem obuiantium a­gitatione. Sed nos hi&longs;ce explicatis commode ad ea quæ dixerat Ari&longs;toteles, reuertemur.

Dicimus igitur, priman eius rationem haud magni videri ponderis, &longs;iquidem non per circulos actu di&longs;tinctos aqua circumfertur, &longs;ed ip&longs;amet &longs;ua mole tota &longs;imul.

E&longs;to enim vortex AB, cu­ius centrum C, &longs;emidiameter CA, fiatautem rotatio totius a­quæ CA ad partes D, in linea autem AC, &longs;it corpus aliquod a­quæ rotatione circumlatum AE, inter circulos maiorem ADB, minorem EFG. velocius autem mouetur ADB, ip&longs;o EFG, citius ergo fertur pars &longs;uperior ip&longs;ius corporis vbi A, quam inferior vbi E. At id nec A repellit, nec E retrahit, &longs;iquidem eodem tempore quo A permeauit circulum ADB, codem & E per­currit circulum EFG. Itaque A reuer&longs;o in A & E, punctum reuer&longs;um erit in E, nulla facta corporis E quoad &longs;itum, muratione quod voluit Ari&longs;toteles.

Ad &longs;ecundam vero dicimus, non ideo quod omnes circuli æqualiter circa centrum &longs;erantur, ni&longs;i alia quæpiam extranea vis interce&longs;&longs;erit, quæ ea ab exterioribus circulis pellens agat in medium.

Tertia quoque ratio la­borare videtur.

E&longs;to enim vortex AB, cuius centrum C, &longs;it autem corpus aliquod E, cuius na­tura apta &longs;it totationi aliqua­tenus re&longs;i&longs;tere. Quoniam i­gitur eius re&longs;i&longs;tentia aliquan­tulum ab aqua rapiente &longs;u­peratur in ip&longs;a rotatione, par­tim aquae impetum &longs;equetur, partim &longs;uapte natura retardabitur. Quamobrem aqua quæ e&longs;t in A, translata in H, corpus ip&longs;um non erit in H, &longs;ed in G. Tardius igitur corpus quam aqua ip&longs;a, rotatio­nem complebit, non tamen propterea, ni&longs;i alia quæ piam ad&longs;it cau&longs;&longs;a, feretur in medium.

Cæterum horum vorticum effectum & cau&longs;&longs;am ob­&longs;eruare licet, &longs;i va&longs;e quopiam aqua pleno aquam ip&longs;am baculo manuue circulariter agitauerimus, fiet enim vor­tex, & &longs;i quippiam quod leue &longs;it, in aquam motam proie­cerimus, ea quam diximus de cau&longs;&longs;a in motum ip&longs;um, hoc e&longs;t, vorticis &longs;piræue, centrum feretur.

Hæc nos, vt vera proponimus, & forta&longs;&longs;e decipimur. Certe Philo&longs;opho tantæ auctoritatis contradicere, ma­gnæ videtur audaciæ, aut potius in&longs;aniæ. Quicquid ta­men &longs;it, pro pulcherrima veritate labora&longs;&longs;e, à parte aliqua laudis non fuerit pror&longs;us, vt arbitror, alienum.

APPENDIX.

Modum inueniendarum duarum mediarum propor­tionalium non tantum vtilem e&longs;&longs;e, &longs;ed pror&longs;us nece&longs;­&longs;arium, illi norunt, qui in Mechanicis di&longs;ciplinis vel parum fuerint ver&longs;ati. Nulla enim alia ratio e&longs;t, qua corporeae ma­gnitudines &longs;eruata figura & &longs;imilitudine augeri propor­tionaliter imminuiue po&longs;&longs;int. Quamobrem factum e&longs;t vt in his inueniendis tum vetu&longs;ti&longs;&longs;imo tum etiam in feriori æ­uo, clari&longs;&longs;imi Viri magnopere laborauerint. Plato etenim, Eudoxus (cuius modum repudiauit Eutocius) Heron A­lexandrinus, Philon Byzantius, Apollonius, clari&longs;&longs;imi Geometræ, Diocles, Pappus, Sporus, Menæchmus, Ar­chytas Tarentinus, Platoni æqualls: Erato&longs;thenes, & Ni­comedes ad has inueniendas varias rationes excogitarunt, quorum omnium modos, & in&longs;trumenta, demon&longs;tratio­ne&longs;que diligenti&longs;&longs;ime collegit, & in illos Commentarios con­iecit idemmet Eutocius, quos eleganti&longs;&longs;imos in Archime­dis libros de Sphæra & Cylin dro &longs;crip&longs;it. Nos autem ijs o­mnibus accurate per&longs;pectis, & diligenti&longs;&longs;ime ponderatis, inuenimus eos fere omnes tentando negotium ab&longs;olue­re, quod &longs;ane laborio&longs;um valde e&longs;t & operantibus permo­le&longs;tum. Itaque cum modum praximue inueni&longs;&longs;emus, ex qua is qui operatur tuti&longs;&longs;ime & facillime ad quæ &longs;itas ip&longs;as medias manu ducitur, hunc pulcherrimæ huius facultatis &longs;tudio &longs;is inuidere nefarium iudicaurmus. Quod &longs;i qui&longs;piam dixerit, Balli&longs;tarum, Catapultarum, Scorpionum, & cæ­terarum eiu&longs;cemodi Machinarum v&longs;um, olim apud nos de&longs;ij&longs;&longs;e, & ideo Problema hoc videri &longs;uperuacaneum, Re­&longs;pondemus, nulla alia ratione æneorum tormentorum pi­las augeri imminuiue &longs;eruata ponderis ratione po&longs;&longs;e, in­numeraque e&longs;&longs;e, quæ vt rite perficiantur, hæc penitus in­digent &longs;peculatione. Nos rem Mechanicis vtilem, Me. chanicis no&longs;tris Exercitationibus annectere, haud im­portunum iudicauimus. Sed tempus e&longs;t, vt his breuiter præfatis, ad rem ip&longs;am explicandam commode accedamus.

Datis duabus proportionalibus prima, & quarta duas inter eas medias in continua proportione inuenire.

Esto prima datarum AB, quarta BC, inter quas &longs;ecundam & tertiam oportetinuenire. Ducatur recta DE, cui à puncto F, vtcunque &longs;umpto, perpendicularis demittatur FG, Tum ab F ver&longs;us D duplicetur quarta BC, &longs;itque FH, deinde ab H ip&longs;i FG parallela demittatur HI, & ab HF ab&longs;cindatur HK, ip&longs;ius BC quartæ medietati æqualis. Po&longs;thæc puncto K &longs;patio autem medietati, primæ data­rum æquali, in linea HI notetur punctum L, & ip&longs;i HL fiat æqualis FM, & KM iungatur. His ita con&longs;titutis pare­tur &longs;eor&longs;um &longs;cheda regulaue quæpiam NO, in cuius late­re accipiatur OP, æqualis medietati primæ datarum &longs;eu ip&longs;i KL. Tum regulæ latus aptetur puncto L, extremum vero O, feratur a&longs;&longs;idue per rectam EK, ver&longs;us K, nunquam

interim regulæ latere ON amoto à puncto L, idque do­nec punctum P, obuians incidat in lineam KM, puta vbi Qextremum vero O inueniatur in R, notato igitur in li­nea EK puncto R habebitur, quod quærebatur. Erunti­gitur AB prima, RK &longs;ecunda, QL tertia, BC quarta.

Hæc praxis ij&longs;dem prin cipijs demon&longs;tratur, quibus &longs;uam ex Conchoide o&longs;tendit Nicomedes. Conficit ille in&longs;trumentum, ex quo de&longs;cribit Conchoidem, ex qua po&longs;t­ea duas medias venatur. Nos autem nec in&longs;trumentum con&longs;truimus nec Conchoidem de&longs;cribimus, & duabus fe­re lineis rem ab&longs;oluimus, vt nemo fere non dixerit, hoci­&longs;tud quod docemus, à Nicomedea praxi e&longs;&longs;e pror&longs;us a­lienum.

Sed nos, vt eius, quam o&longs;tendimus, operationis de­mon&longs;tratio habeatur; ip&longs;ius Nicomedis ex Pappi libro 3. propo&longs;. 5. de&longs;umptam in medio afferemus, quippe quod i&longs;thæc ea quam in &longs;uis in Archimedem commentarijs re­fert Eutocius, &longs;it lucidior.

Datis duabus rectis lineis CD, DA; duæ mediæ in continua proportione hoc modo a&longs;&longs;umuntur.

Compleatur ABCD parallelogrammum, & vtraque ip&longs;arum AB, BC, bifariam &longs;ecetur in punctis L, E, iuncta­que LD producatur; & occurrat productæ CB, in G, ip&longs;i vero BC ad rectos angulos ducatur EF, & CF iungatur, quæ &longs;it æqualis AL. Iungatur præterea FG & ip&longs;i paralle­la &longs;it CH, eritque angulus KCH, æqualis angulo CGF. Tum à dato puncto F ducatur FHK, quae faciat KH æqua­lem ip&longs;i AL vel CF. Hoc enim per lineam Conchoidem fieri po&longs;&longs;e o&longs;tendit Nicomedes, & iuncta KD producatur, occurratque ip&longs;i BA, productæ in puncto M. Dico vt DC ad CK ita CK ad MA & MA ad AD. Quoniam enim BC bifariam &longs;ecta e&longs;t in E, & ip&longs;i adijcitur CK. Rectangulum BKC per 6. &longs;ecundi: vna cum quadrato ex CE, æquale e&longs;t

quadrato ex EK. commune apponatur ex EF quadratum, ergo rectangulum BKC vna cum quadrato CF æquale e&longs;t quadratis ex KE, EF, hoce&longs;t, quadrato ex FK. Et quo­niam vt MA ad AB, ita e&longs;t MD ad DK, vt autem MD ad DK per 2. &longs;exti, ita BC ad CK erit vt MA ad AB, ita BC ad CK. Atque e&longs;t ip&longs;ius AB dimidi AL, & ip&longs;ius BC, du­pla CG, e&longs;t igitur vt MA ad AL, ita GC ad CK. Sed vt GC ad CK, ita FH ad HK propter lineas parallelas GF, CH. quare & componendo vt ML, ad LA, ita FK ad KH, &longs;ed AL ponitur æqualis HK, quoniam & ip&longs;i CF, ergo & ML per 9. lib. 5. æqualis erit FK, & quadratum ex ML, æquale quadrato ex FK. e&longs;t autem quadrato ex ML, æquale re­ctangulum BMA vna cum quadrato ex AL & quadrato ex Fk æquale o&longs;ten&longs;um e&longs;t rectangulum BkC vna cum. quadrato ex CF, quorum quidem quadratum ex AL æ­quale e&longs;t quadrato ex CF, ponitur enim AL, ip&longs;i CF æ­qualis, ergo reliquum BMA rectangulum æquale e&longs;t reli­quo BkC. Vtigitur MB ad Bk, ita Ck ad MA. Sed vt MD ad Bk, ita DC ad Ck. quare vt DC ad Ck, ita e&longs;t Ck ad MA. vt autem MD ad Bk, ita MA, ad AD. Ergo vt DC, prima, ad Ck &longs;ecundam, ita Ck &longs;ecunda ad MA tertiam, & MA tertia ad AD quartam, quod fuerat demon&longs;tran­dum. Hæc Pappus. Quod autem in no&longs;tra Praxi diximus, QL e&longs;&longs;etertiam, earatio e&longs;t, quod LR vt in prima figura e&longs;t, &longs;it æqualis ip&longs;i LM &longs;ecundæ figuræ, in demon&longs;tratio­ne Pappi, ex quibus demptis QR & LA, quæ &longs;unt æqua­les, reliqua QL primæ figuræ æqualis e&longs;t AM &longs;ecundæ fi­guræ, hoc e&longs;t, ip&longs;i tertiæ proportionali: E&longs;t igitur, vt in pri­ma figura dicebamus, AB prima, kR &longs;ecunda, QL tertia, BC quarta.

Vides igitur tu quilegis, nos ex Nicomedis demon­&longs;tratione (quatenus ad praxin pertinet) &longs;uperflua re&longs;eca&longs;­&longs;e, & ab&longs;que Conchoidis in&longs;trumento lineaue rem ip&longs;am confeci&longs;&longs;e, idque non rentantes, vtalij, &longs;ed progre­dientes, & qua&longs;i manuductos quæ&longs;i­tum inue&longs;tiga&longs;&longs;e.

FINIS.