HIERONYMI CARDANI MEDIO LANENSIS, CIVISQV'E BONO- NIENSIS, PHILOSOPHI, MEDICI ET Mathematici clari$simi, OPVS NOVVM DE PROPORTIONIBVS NVMERORVM, MO TVVM, PONDERVM, SONORVM, ALIARVMQV'E RERVM men$urandarum, non $olùm Geometrico more $tabilitum, $ed etiam uarijs experimentis & ob$eruationibus rerum in natura, $olerti demon$tratione illu$tratum, ad multiplices u$us ac- commodatum, & in Vlibros dige$tum. PRAETEREA. ARTIS MAGNÆ, SIVE DE REGVLIS ALGEBRAICIS, LIBER VNVS, ABSTRVSISSIMVS & inexhau$tus plane totius Arithmeticæ the$aurus, ab authore recens multis in locis recogni- tus & auctus. ITEM. DE ALIZA REGVLA LIBER, HOC EST, ALGEBRAICAE logi$ticæ $uæ, numeros recondita numerandi $ubtilitate, $ecundum Geo- metricas quantitates inquirentis, nece$$aria Coronis, nunc demum in lucem edita. Opus Phy$icis & Mathematicis imprimis utile & nece$$arium. Cum Cæ$. Maie$t. Gratia & Priuilegio. BASILEÆ. IN LIBRVM DE PROPORTIONIBVS HIERONYMI CARDANI MEDIOLANENSIS, CIVISQV'E Bononien$is, Medici, Præfatio ad M. A. Amulium Venetum Card. Illu$tri$simum.

Bene Dictum e$tmeo iudicio à Platone M. A. Amuli optime, beatas fore Re$pub. $i uel illarum domini $apientiæ amatores e$$ent, aut qui $apientiæ e$$ent amatores domina- rentur, hocip$um clarè intelligens, $tudio $a pientiæ nihil e$$e utilius humano generi: quo $imul & pietas, & iu$titia, & mutuus amor hominum inter $e & eorum commo- da continerentur. Nempe hi$ce quatuor tota no$tra felicitas com- prehenditur. Si quidem pietate in Deos nihil ni$i $anctum, & pu- rum, & illu$tre $apimus: hocip$o primum quod $upra nos e$t, intel- ligimus, Deos ueneramur, gratias agimus, timor cum ueneratione no$tros animos $ubit, & de futura uita cogitamus, hæc ip$a morta- lia $i non negligentes $altem paruifacientes. Iu$titiam autem adeò nece$$ariam humano generi e$$e $cimus, ut $ine illa ne<01> e$$e, nedum benè e$$e po$símus, ut ne<01> latronum cœtus ab$<01> ea diu $tare po$- $int. Porrò quid dicam de concordia, & mutua hominum beneuo- lentia, in quibus omnis uit&ecedil; human&ecedil; dulcedo repo$ita e$t: nec quis $u$tineat uiuere, qui $e omnibus odio$um e$$e $entiat. His ip$is fi- lios in $pem alimus, parentes fouemus, fratres tuemur, & adiuua- mus, amicis opitulamur, cum hominibus hilarem & iucundam ui- tam ducimus. Si quis $erpentem in lecto haberet, nunquam $om- num caperet: ita nihil mole$tius e$t in hac uita, quam e$$e cum quo nolis, & priuari con$uetudine eorum cum quibus maximè uiuere cupias. Quid enim habent Principes præcipuum cum tota illa po- tentia quam habent, ni$i hoc unum, quod $uis quos amant bene fa- cere po$sint: nam reliqua omnia exerceri, uenari, edere, bibere, dor- mire, iter agere, loca amæna inui$ere multis alijs conce$$um e$t, ma- iore<03> commodo qui in uita priuata degunt. Si ergo principatum cum totlaboribus, curis, periculis, & meritò omnes appetunt: nec e$t in eo quicquam præcipuum præter hoc, cui dubium e$t quin hocnon $it $ummum huius uitæ hominibus bonum? propter cu- ius uel dubiam $pem eorum, quæ habent obliti mortales pericli- tantur. Succedunt inde tot commoda, non $olum utilia, $ed plera<01> <*> 2 etiam etiam nece$$aria, quæ nos $apientia docet: huiu$modi ergo omnia cùm libris contineantur, meritò optimus qui$que librorum bono- rum perpetuitati at<01> in columitati fauere debet. C. Caligulam exe- cramur $olum ob id quod Vergilij, & T. Liuij $cripta delere cogi- tauerit. Quid facturi e$$emus, $i feci$$et quod cogitauerat? E$t in $a- pientum monumentis bonum $ine malo, mens $ine corporea labe: Virtutes ab$<01> uitijs, gratiæ & iucunditas $ine $orde, & immundi- tia, uoluptas $ine dolore, conuer$atio ab$<01> tædio, delitiæ ab$<01> mi$e ria nuda, omnia bona præ$tant, at<01> laudabilia ab omnibus morta- litatis exuuijs libera, tantum commodi afferunt libri. Sed & in eo- rum electione ac $tudijs modus, ac medio critas quædam $eruanda e$t, quæ $i quis neglexerit non leui incommodo afficietur: eam an- tiqui rationem alij proportionem appellarunt, non equidem etiam in pertritis tam facillimã, ut rentur homines: nam in alijs rebus per- ob$curam e$$e fatentur, ego difficillimam puto undi<01>, & magis for $an ubi non exi$timamus. Vnde plures decidere uidemus magnis cum auxilijs, & euidenti $pe: quid aliud e$t in cau$a quàm ignota men$ura rerum? quam tamen plerique tenere $e putant. Ergo, cùm $ummum bonum in hac men$ura $itum e$$e cernerem, ut clarè o$ten dunt mu$icæ uoces, quæ non ni$i indiuiduo (ut ita dicam) $pacio $eu loco $tare po$$unt, ita & in figuris picturarum & $tatuarum, & diebus decretorijs, & negocijs ciuilibus oper&ecedil;precium me factu- rum exi$timaui, $i omnia hæc quæ latè patebant breuiter in unum redegi$$em, nõ tantum ne lectorem tædio afficerem, quàm ut quòd aliàs do cui, breuibus tractationibus, & plura continerentur, & faci lius docerentur. Cum uerò bona fortuna quædam effeci$$et, ut tibi libellum dedica$$em de Prouidentia ex con$titutione temporum, longe meliore occa$ione nominis tui typographi obliti $int, indi- gnum fore putaui, ut non ærea (quemadmodum cum Glauco Dio medes) cum aureis commutarem. Ita<01> infinitis licet circumuentus negocijs totus huic operæ in cubui, at<01> adeò ut præter $pem unius anni penè $pacio liber ab$olueretur. Qui cum tibi (ut dixi) iam iurè deberetur, eò tamen magis dedican dum putaui, quod non ego $o- lum quanquam id maximè, $ed communis con$en$us ho- minum exi$timet, te $ingulari uirtute omnibus $tudio$is plurimum fauere, Vale.

TABVLA TABVLA PRO- POSITIONVM DE PROPORTIONIBVS. I.Proportionem in proportionem duci, e$t $uperiores numeros at<01> inferiores inuicem ducere.pagina 6II.Proportio extremorum producitur ex intermedijs.7III.Si proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis producatur, ip$a uerò proportio inter duas alias quantitates fuerit con$tituta: con$urgent trecen- ti $exaginta modi productionis proportionis.7IIII.Si fuerit proportio primi ad $ecundum, producta ex proportionibus tertij ad quartum, & quinti ad $extum, producetur etiam ex proportione tertij ad $extum, & quinti ad quartum.8V.Si fuerit proportio primi ad $ecundum, producta ex proportione tertij ad quartum, & quinti ad $extum: erit proportio tertij ad $extum, producta ex proportionibus primi ad $ecur dum, & quarti ad quintum.8VI.Ex trecentis $exaginta modis producendarum proportionum triginta $ex tantum e$$e nece$$arios.9VII.In modis qui nece$$ariò producuntur ex duabus proportionibus, cum duæ quantitates ex illis quæ modos conficiunt, æquales fuerint: proportio producta ad quatuor quanti- tates omiologas reducetur.10VIII.Si duarum proportionum $uperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicen- tur at<01> coniungantur, erit proportio aggregati ad productum ex inferioribus in- uicem proportio, ex primis proportionibus compo$ita.11IX.Si duarum proportionum $uperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicen- tur, minus<03> productum ex maiore detrahatur, erit re$idui ad productum ex in$e- rioribus proportio uelut illa, quæ relinquitur detracta minore proportione ex ma- iore.11X.Si fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio, uelut alterius partis ad $ecun- dam quantitatem, erit proportio cuiu$uis quantitatis eiu$dem generis ad $ecundam compo$ita proportio, ex proportionibus eiu$dem quantitatis, a$$umptæ ad utranque partem primæ quantitatis $eor$um.11XI.Proportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad aggregatum duarum æqua- lium quantitatũ e$t, compo$ita ex proportionibus primis, & diui$a per duplam.12XII.Propo$itis duabus proportionibus unam alteri iungere ab$<01> multiplicatione.12XIII.Proportio confu$a aggregata primæ & tertiæ quatuor quantitatum omiologarum ad aggregatum $ecundæ & quartæ, e$t uelut compo$ita ex ei$dem diui$a per du- plam.13XIIII.Proportiones confu$æ & coniunctæ in tribus quantitatibus inuicem commutantur.13XV.Si fuerint quatuor quantitates proportio confu$a, aggregati primæ & tertiæ, ad aggre- gatum $ecundæ & quartæ, erit ut monadis addito prouentu, qui fit diui$a differentia, differentiarum primæ & $ecundæ, at<01> quartæ & tertiæ, per aggregatum tertiæ & quartæ ad ip$am monadem.14XVI.Omnium quatuor quantitatum propo$ita prima, quæ non minorem habet proportio- nem ad $uam corre$pondentem quàm alia ad aliam, erit proportio confu$a illarum,<*> 3 ut pro- ut producti ex aggregato primæ & tertiæ, in tertiam ad productum ex iggre gato tertiæ & omiotatæ ad $ecundam in ip$am quartam.14XVII.Omnes duæ proportiones conuer$æ producunt æqualem proportionem.15XVIII.Si fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multiplici præter, ultimã proportio uerò penultimæ ad ultimam, qualis re$idui primæ ad $ecundam, erit primæ ad aggregatum reliquarum, uelut penultimæ ad ultimam.15XIX.Si fuerint aliquot quantitates arithmeticæ omiologæ, quarum exce$$us $it æqualis minimè, omnibus autem deficientibus $upplementa ad æqualitatem maximè adiungantur, erunt quadrata omnium quantitatum æqualium, adiecto rur$us quadrato primæ cum eo quod fit ex minima primi ordinis in aggregatum o- mnium quantitatum eiu$dem, tripla aggregato quadratorum omnium quanti tatum primi ordinis pariter acceptis.17XX.Cum fuerint quatuor quantitates, fuerit<03> $ecũda æqualis tertiæ, aut prima æqualis quartæ, erit proportio primæ ad quartam, aut tertiæ ad $ecundam, producta ex proportionibus primæ ad $ecundam & tertiæ ad quartam.21XXI.Cum decu$$atim ducta fuerit prima in quartam, & $ecunda in tertiam, produ- ctum<03> primæ in quartam, diui$um fu<*>rit per productum $ecundæ in tertiam, erit proportio primæ ad $ecundam, diui$a per proportíonem tertiæ ad quar- tam. Et $imiliter interpo$ita omiologa.22XXII.Cum fuerit proportio primæ ad $ecundam maior quàm tertiæ ad quartam, erit confu$a ex his maior quàm tertiæ ad quartam, minor autem quàm primæ ad $ecundam.23XXIII.Omnis motus naturalis ad locum $uum e$t: ideò per rectam lineam fit.23XXIIII.Omnis motus circularis uoluntarius e$t.23XXV.Tres $unt motus omnino $implices naturalis, uoluntarius, & uiolentus.24XXVI.Motus ergo compo$iti quatuor nece$$ariò $unt $pecies.24XXVII.Motus uoluntarius e$t in loco: naturalis ad locum: uiolentus ex loco.25XXVIII.Motus quilibet uoluntarius aut uiolentus in aliquo medio fit.25XXIX.Omnis motus uoluntarius æqualis e$t $emper: $impliciter etiam quilibet alius mo- tus.25XXX.In omni corpore mobili in medio partes medij re$i$tunt obuiæ, aliæ impel- lunt.26XXXI.Omnis motus naturalis in æquali medio ualidior e$t in fine quàm in principio. Violentus contrà.26XXXII.Omne mobile naturaliter motum $eu uiolenter uelocius mouetur in medio rariore quàm den$iore. Maior quo<01> e$t proportio finis motus in corpore rariore ad finem motus in corpore den$iore quàm principij. In uiolento autem celerius perueniret ad finem motus in corpore den$iore.27XXXIII.Omnia duo mobilia æqualis undi<01> magnitudinis quæ æquali in tempore æqualia $pacia pertran$eunt in diuer$is $ub$tantia medijs nece$$e e$t, ut $it ponderis ad pondus, quem ad modum medij ad medium proportio duplicata.27XXXIIII.Proportio corporis cubi ad $uam $uperficiem quadratam, e$t uelut eiu$dem $uperfi ciei, ad latus eiu$dem uerò ad monadem.28XXXV.Vocum magnitudines excre$cunt in acumine, non in grauitate, finis autem e$t in utroque extremo. Propter hoc minima facta uariatione in hypate acutæ uix ferunt.29XXXVI.Si proportio per proportionem minorem æquali ducatur, proportio minor pro-ducetur. ducetur. Vnde manife$tum e$t duas proportiones minores æqualitate inuice<*> du ctas proportionem minorem unaqua<01> illarum producere.30XXXVII.Si plures homines, quorum per $e nauim mouere poßint, aut pondus ferre $imul iuncti eam moueant, aut pondus ferant, erunt illæ proportiones coniunctæ non productæ.30XXXVIII.Omne corpus tantum re$i$tit motui contrario $uo natúrali, quantum mouetur oc- culto motu quie$cendo.31XXXIX.Ab æquali aut minore ui quàm $it impedimentum non fit motus.31XL.Omne corpus $pb æricum tangens planum in puncto mouetur ad latus per quam- cun<01> uim, quæ medium diuidere pote$t.31XLI.Si fuerint duæ quantitates $umatur<03> toties aggregatũ maioris & minoris, quo- ties aggregatum minoris & maioris, erit proportio confu$a maioris aggregati ad minus, minor quam multiplicis maioris ad multiplex minoris.32XLII.Trahentium nauim, aut ferentium pondera proportiones in $e inuicem, quomodo ducere oporteat con$iderare.32XLIII.Productionem ad additionem retrabere.33XLIIII.Si fuerit proportio motoris ad id quod e$t maximum non mouens, & $pacium & tempus, nota erit etiam reliquorum nota.33XLV.Rationem $tateræ o$tendere.34XLVI.An $it aliqua proportio & qualis inter animam & uitas, & $ua corpora con$ide- rare.35XLVII.Si duo mobilia æqualister in eodem circulo iuxta proprios motus moueantur, pro- ductum temporis circuituum inuicem, erit æquale producto differentiæ tempo rum circuitus ductæ in tempus coniunctionis primæ.36XLVIII.Si tria mobilia ex eodem puncto di$cedant, fuerint<03> duorum ac duorum coniun- ctiones in temporibus commen$is, illa tria mobilia denuo coniungentur in tem pore producto ex denominatore diui$ionis temporis maioris per minus in mi- nus aut numeratore in maius.37XLIX.Propofitio mobilis in circulo circuitus tempore data<03> ratione di$tantiæ ab illo mo bilis circuitum inuenire, quod ex eod&etilde; puncto di$cedens cũalio mobili in dato puncto cõueniat $ub quocũ<01> numero circuituũ t&etilde;pus quo<01> cõiunctionis.39L.Omnes circuituum portiones in ei$dem temporibus repetuntur.40LI.Operationes dictas exemplo declarare.41LII.Tria mobilia coniuncta in eod&etilde; puncto, quorum duo & duo conueniant in partib. incommen$is inter $e, in perpetuum in nullo unquam puncto conuenient.42LIII.Circulorum $e in aduer$um mouentium proportionem declarare.43LIIII.Proportio circuli ad $uum diametrum per $imilitudinem e$t quarta pars periphe- riæ. Rur$us<03> eiu$dem circuli ad peripheriam diametri quarta pars.44LV.Proportionem medicamentorum per ordines $up po$ita æquali proportione in or- dinibus per quantitates & proportiones demon$trare.44LVI.Proportio cuiu$uis binomij ad $uum reci$um, uel ei commen$um e$t duplicata ei quæ ad numeri latus.49LVII.Motus rationem ad pondus inuenire.49LVIII.Quæ ex alto de$cendunt, cur non eandem pro di$tantia motus rationem in libero aëre $eruent con$iderare.49LIX.Omne mobile motum duobus motibus non ad idem tendentibus utro<01> $eor$um tar dius mouetur $imili motu.50LX.Omne mobile motu naturali de$cendentis parte, de$cendit grauiore $ecundum gra-<*> 4 uitatis uitatis centrum.51LXI.Proportionum ictus ad pondus rei & di$tantiam generaliter con$iderare.52LXII.Proportionem motoris in plano ad motorem, qui eleuat pondus iuxta id quod mouet, inuenire.53LXIII.Omne graue quanto proximius alligatum plano, tantò facilius trabitur.53LXIIII.Omne mobile quantò latius tanto tardius moustur in plano.54LXV.Proportionem duorum mobilium inter $e cum auxilio medij inuenire.54LXVI.Proportionem laterum eptagoni, & $ubten$arum con$iderare, & quæ à reflexa proportione pendent.55LXVII.Si fuerint aliquot quantitates ab una quantitate aliæ<03> totidem ab eadem analo- gæ, erit proportio tertiæ unius ordinis ad tertiam alterius, ut $ecundæ ad $e- cundum duplicata, & quartæ ad quartam triplicata, quintæ ad quintam quadruplicata, at<01> $ic de alijs.57LXVIII.Propo$itio collectorum ab Euclide & Archimede.57LXIX.Propo$itio collectorum ex quatuor libris Apollonij Pergei & Q. Sereni.59LXX.Si fuerint tres quantitates <*> ontinua proportione, aliæ<03> totidem in continua proportione poterunt con$tituere tres quantitates in æquali differentia per- uer$im copulatæ.62LXXI.Proportionem leuitatis ponderis per uirgam torcularem attracti ad rectam $u- $pen$ionem inuenire.63LXXII.Proportionem ponderis $phæræ pendentis ad a$cendentem per accliue planum inuenire.63LXXIII.Proportionem ponderum attractorum penes figuram in plano inuenire.64LXXIIII.Proportionem concutientis ad concu$$um in$tabili inuenire.64LXXV.Proportion&etilde; immoti in aqua, ad immotũ in terra in excipiendo ictũ inuenire.65LXXVI.Proportionem duorũ mobilium $ibi inuic&etilde; concurrentiũ per rectã inuenire.66LXXVII.Proportionem motus obliqui ad motum rectum in nauibus inuenire.66LXXVIII.Proportionem nauis ad triremes quotuis concurrentes demon$trare.67LXXIX.Proportionem medicamentorum purgantium inuicem declarare68LXXX.Proportionem motus $ecundum obliquum ad rectum in $pacio declarare.69LXXXI.Quualis $it angulus, per quem pote$t moueri nauis ad rectum explorare.70LXXXII.Proportionem uelorum indagare.70LXXXIII.Proportionem rece$$us à recta uia ad obliquitatem inue$tigare.72LXXXIIII.Di$tantiã centri terræ à centro mundi per motum lapidis Herculei declarare.73LXXXV.Proportio ponderis unius grauis ad aliud $ub eadem men$ura e$t ueluti eiu$dem ad differentiam ponderis ua$is repleti ex altero graui, & ex ambobus de- tracto priore.74LXXXVI.Si circuli in æ quales $eu in $phæra $eu in plano $e $ecuerint, nunquàm oppo$itos angulos æquales habent.77LXXXVII.Proportiones craßitiei aquæ ad a&etilde;r&etilde; in cõparatione ad radios demon$trare.78LXXXVIII.In$trumentũ Acolingen, quo momenta temporum deprehendãtur fabricare.79LXXXIX.Proportionem den$itatis aquæ ad aërem per pondera inuenire.82XC.Rationem impetus uiolenti extra mißi ponderis ad æqualitatem reducere.82XCI.Proportionem grauis cubi, & $phærici æqualium in accliui, & de$cen$us eorum demon$trare.83XCII.Proportion&etilde; ponderis æqualis iuxta longitudinis cõparation&etilde; demon$trare.85XCIII.Propter qd in cõcußione etiã leui nauis loco moueatar o$t&etilde;dere. Vnde manifi $iũ e$t duas naues $ibi inuic&etilde; occur$antes retrocedere, & quãtũ retrocedãt ambæ.86Si XCIIII.Si quãtitas aliqua nota at<01> proportio erit producta, quãtitas nota $imiliter. Et $i duæ proportiones notæ fuerint, erit producta ex his at<01> diui$a coniuncta<03> at<01> detra- cta nota. Et $i fuerit totius ad partem proportio nota, erit et ad aliam partem nota: & alterius partis ad alterã uno minor. Et $i fuerit partis ad partem, erit ad to<*>um monade minor at<01> nota. Et $i fuerit unius quãtitatis ad duas quãtitates proportio nota, erit & cõfu$a ex eis nota. Et $i fuerint trium quantitatum omiologarum, aut quatuor analogarum omnes præter unam cognitæ, erunt | & illa alia cognita.87XCV.Cuiu$uis trigoni rectanguli, aut cuius duo auguli $int in dupla proportione, aut qui circulo in$criptus $it cognita quantitate unius lateris in comparatione ad dimetien t&etilde;, $i proportio duorum laterum cognita fuerit, erũt omnia eius latera cognita.88XCVI.Cum in per$picuũ den$um radij lumino$i inciderint, quatuor fiunt luminis genera.89XCVII.Motũ inuer$ionis in figuris in cõparatione ad motũ $phæræ in plano inue$tigare.91XCVIII.Proportionem ponderum æqualium per differentiam angulorum inuenire.92XCIX.Proportionem grauitatum per multitudin<*> $uppo$itorum orbium o$tendere.93C.Proportion&etilde; grauitatis ponderũ attractorum per trochlearũ numerũ inue$tigare.93CI.Proportionem precij gemmarum ex tribus in eodem genere cognitis inuenire.94CII.Proportionem motuum inuer$ionis, & attractionis in plano inuenire.95CIII.Proportionem eorundem in accliui demon$trare.95CIIII.Proportionem motus attractionis in decliui ad motum in plano determinare.95CV.Proportionem ferentium pondus in pertica inuenire.96CVI.Quales proportiones angulorum doceant laterum proportiones. At<01> uicißim deter- minare.97CVII.Si in circulo duæ diametri ad rectum angulum $e $ecauerint: aliæ uerò ad perpendicu- lum ex diametro exicrint ad circum ferentiam, $ingulæ $upra diametrum erunt ma iores portionibus reliquis diametri $uperioribus, infra autem minores. Dimidium autem portionis $uperioris re$iduum ad centrum maius $agitta habebit. In aliqua præterea portionis $uperioris parte, quæ uer$us diametrum tran$uer$um po$ita e$t, maior e$t differentia partis diametri ei corre$põdentis, &qtilde; line æ tran$uer$æ.100CVIII.Punctum æqualitatis differentiæ de$cen$us & remotionis à centro inuenire.100CIX.Rationem libræ expendere.101CX.Si duæ $phæræ ex eadem materia de$cendant in aëre, eodem temporis momento ad planum ueniunt.104CXI.Cur ex medio tela ualidiorem ictum, & naues in $calmo à remo ac malo recipiant in- de ex puppi explorare.105CXII.Cur ex imo leuia longiùs ferantur declarare,106CXIII.Cur uirga longius mittatur à puero quam à uiro inueftigare.107CXIIII.Circularis motus differentias quatuor e$$e, earum<03> rationem contemplari.108CXV.Proportionem motuum impul$ionis, & attractionis inter $e, ab eadem ui decla- rare.110CXVI.Cur machinæ oblongæ igneæ longius emittant $phæram explorare.111CXVII.In curriculis maior e$t uis pulueris copio$ioris ampliore in $pacio, quàm paucioris in minore iuxta proportionem eandem.112CXVIII.Quanta proportione decedat ictus in obliquum parietem ab eo qui e$t ad perpendi- culum declarare.114CXIX.Quantum ictus machinæ procliuis ad angulum minuatur explorare.115CXXProportionem partium nauis ad eundem obliquum uentum explorare.118CXXI.Flabelli uires at<01> naturam declarare.219CXXII.Contemptus circa Solis rationem in umbris declarare.120<*> 5 Cognita CXXIII.Cognita ratione umbræ ad gnomonem $inum, & arcum altitudinis ab horizon- te, quouis tempore digno$cere.121CXXIIII.Proportionem umbræ uer$æ e$$e ad gnomonem, uelut gnomonis ad umbram uer$am.122CXXV.Proportionem dimetientis, & peripheriæ cuiuslibet circuli paralleli æquino- ctiali per cognitam partem magni circuli demon$trare.123CXXVI.Circuli horarij naturam declarare.123CXXVII.Data poli altitudine ortus amplitudinem demonftrare.124CXXVIII.Nota amplitudine ortus, cuiu$<01> puncti arcum $emidiurnum inuenire.124CXXIX.Data altitudine Solis in quacun<01> regione, quacun<01> die di$tantiam Solis à meri- diano cogno$cere.124CXXX.Data regionis altitudine, & loco Solis proportionem gnomonis, tam ad um- bram rectam quàm uer$am, uel etiam in cylindro determinare.125CXXXI.Si lineæ alicui duplum alterius adiungatur, erit proportio d<*>arum ad primam maior quàm dupli cum prima ad primam cum una adiecta.126CXXXII.Si ad duas lineas quarum una alteri dupla $it eadem linea addatur, erit aggrega- ti ex minore, & adiecta ad ip$am minorem, minor proportio quàm aggre- gati ex maiore, & adiecta ad ip$am maiorem duplicata.126CXXXIII.Si fuerint duæ quantitates, quarũ una alteri dupla $it: minuatur à minore quæ- dam quantitas, ead&etilde;<03> maiori addatur, erit minoris ad re$iduum maior pro- portio, quàm aggregati ad maiorem duplicata. Si uerò minori addatur, & à maiore detrabatur, erit aggregati ad minorem minor proportio quàm maioris ad re$iduum duplicata.127CXXXIIII.Si rectangula $uperficies $it, cuius pars tertia quadrata $it corpus, quod ex la- tere quadratæ in re$iduum $uperficiei con$tat, maius e$t quouis corpore ex eadem $uperficies, aliter diui$a con$tituto.127CXXXV.Si linea in duas partes, quarum una fit alteri dupla diuidatur, erit quod fit ex tertia parte in quadratum re$idui parallelipedum maius omni pararalleli- pedo, quod ex diui$ione eiu$dem lineæ creari poßit.128CXXXVI.Denominationes in infinitum extendere.129CXXXVII.Rationem numerorum ex progreßione declarare.131CXXXVIII.Modos u$us horum numerorum declarare.131CXXXIX.Radices omnes à propo$itis numeris extrahere.132CXL.Radices per numeros fractos determinare.133CXLI.Numeros fractos ad minores in ea i&etilde; proportione ualde propinqud deducere136CXLII.Denominationũ in crem&etilde;ta ex extrema cognita inuenire. Et cõuer$o modo.137CXLIII.Si linea in duas partes diuidatur, corpora quæ fiunt ex una parte in alterius quadratum mutuo æqualia $unt corpori, quod fit ex tota linea in $uperfi- ciem unius partis in alteram.138CXLIIII.Duplum cubi medietatis maius e$t aggregato corporum mutuorum, cuiuslibet diui$ionis quantum e$t, quod fit ex tota in quadratum differentiæ.139CXLV.Si linea in duas partes diuidatur quadrata ambarum partium detracto eo, quod fit ex una parte in alteram, æqualia $unt producto unius in alteram cum quadrato differentiæ.139CXLVI.Corpus quod fit ex linea diui$a in $uperficiem æqualem quadratis ambarum par tium detracta $uperficie unius partis in alteram, e$t æquale aggregato cubo- rum ambarum partium.139CXLVII.Propo$ita linea diui$a duas ei line as adijcere, ut proportio additarũ $ingularium& partium & partium $imul iunctarum ad additas $it mutua.148CXLVIII.Propo$itis tribus lineis primam $ic diuidere, ut adiectis duabus alijs lineis, $ecun- dum ration&etilde; mutuam $ingularum $ingulis, aggregatũ ex una adiectarũ, & par te ad aggregatũ ex alia parte, & adiecta $e habeat, ut $ecunda ad tertiã.140CXLIX.Datam lineam $ic diuidere, ut proportio quadratorum ad dupium unius partis in alteram $it, ut lineæ datæ ad lineam datam.141CL.Propo$itis duabus lineis, lineam communem utri<01> adiungere, ut $it maioris ad ad- ditam proportio, uelut quadratorum minoris, & adiectæ ad duplum unius in alteram.141CLI.Proportio differentiæ quadratorum partium cuiu$uis lineæ, ad quadratum diffe- rentiæ illarum e$t, uelut totius lineæ ad differentiam.142CLII.Si linea in duas partes æquales, duas<03> inæquales diuidatur, fuerit<03> proportio ag- gregati ex maiore, & dimidio ad ip$am maiorem, uelut ex minore, & ali- qua linea ad ip$am minorem, & rur$us aggregati ex minore, & dimidio ad ip$am minorem, uelut aggregati ex maiore, & alia addita ad ip$am maiorem, erit proportio dimidij ad partem unam inæqualem, uelut alterius partis inæ- qualis ad $uam additam mutuò, & etiam proportio additarum inuicem, uelut proportio partiũ inæqualiũ duplicata, & rur$us ip$um dimidiũ lineæ a$$um- ptæ mediũ, erit proportione inter additas. Demũ proportio dimidij cũ addita maiore ad dimidiũ, cum addita minore, uelut maioris partis ad minor&etilde;.142CLIII.Vim quamcun<01> manus multiplicare.144CLIIII.Si lineæ datæ alia linea adiungatur, ab extremitatibus autem prioris lineæ duæ rectæ in unum punctum concurrant proportionem habentes, quam mediam inter tota m & adiectam, & adiectam erit punctus, concur$us à puncto extre- mo lineæ adiectæ di$tans per lineam mediam. Quod $i ab extremo alicuius li- neæ æqua'is mediæ, $eu peripheria circuli, cuius $emidiameter $it media linea duæ lineæ ad prædicta puncta producantur, ip$æ erunt in proportione mediæ ad adiectam.145CLV.Quadr atorum numerum proportionem & inuentionem con$iderare.147CLVI.Horologiorum tempus multiplicare.152CLVII.Horologiorum molarium rationem o$tendere.154CLVIII.Rationem indicis mobilis cum rota, qua horarum numerus per ictus indicatur ex- plicare.156CLIX.Nullus angulus rectilineus æqualis e$$e pote$t alicui angulo contento recta, & cir culi portione.158CLX.Propo$ita linea tribus<03> in ea $ignis punctum inuenire, ex quo ductæ tres lineæ ad $igna $int in proportionibus datis.162CLXI.Si fuerint duo trianguli, quorum ba$es in eadem linea $int con$tituti, & æquales ad unum punctum terminati, & latus unum commune inter reliqua quantita- te medium nece$$e e$t angulum à maioribus lineis contentũ minorem e$$e.162CLXII.Proportionem duorum orbium, quorum diametrorum conuexæ partis, & conca- uæ proportiones datæ $int inue$tigare.164CLXIII.Proportionem uirium $tellarum per motus $uos indagare.165CLXIIII.Syderum proportionem in magnitudine o$tendere.166CLXV.Proportionem motuum omnium $tellarum ad Solem con$iderare.167CLXVI.Proportiones mu$icas $uperpartientes in eas, quæ particulá una tantum abundant reducere.168Proportio- CLXVII.Proportionem mu$icam ad $apores & odores coaptare.176CLXVIII.Picturarum proportiones explicare.179CLXIX.Proportionem mu$icam in in$trumentis declarare iuxta compo$itionis ra- tionem.182CLXX.Coniugationes cuiu$uis numeri breuiter inuenire.185CLXXI.Propo$itis duobus quibuslibet numeris, quotuis alios $eu in continuum $eu medios in continua proportione arithmetica, geometrica & mu$ica in- uenire.187CLXXII.Proportiones Stiphelij de$cribere.191CLXXIII.Circulum $uper centro $uo mouere æqualiter, ita quod omnia illius puncta per rectam lineam moueantur ultro citro<01>.192CLXXIIII.Progre$$us & regre$$us, tam $ine latitudine quàm cum latitudine in planetis per $olos concentricos circulos æqualiter motos demon$trare.194CLXXV.Cau$am uarietatis diametrorum ex $uppo$itis concentricis demon$tra- re.195CLXXVI.Rationem centri grauitatis declarare.197CLXXVII.Si proportio aliqua ex duabus proportionibus eiu$dem quantitatis ad alias duas componatur, erit proportio illarum duarum eadem proportioni producti ex proportione in primam duarum quantitatum, detracta prio- re illa quantitate, quæ ad duas comparatur, ad eandem priorem quanti- tatem.198CLXXVIII.Proportionem mi$tionis metallorum, maximè auri & argenti declara- re.199CLXXIX.Si duobus totis duæ portiones $imiles ab$cindantur ab ei$dem denuò, & ab- $cißis portionibus partes eædem auferantur, denuo<03> ac denuò quoties libuerit à portionibus, & ù re$iduis ip$arum quantitatum partes eædem auferantur, erit re$iduí ad re$iduum, ueluti totius ad totum.200CLXXX.Si aliqua quantitas in duas partes diuidatur, fuerit<03> alicuius quantitatis ad partes illas compo$ita proportio, non poterit eiu$dem quantitatis ad par- tes alias quantitatis diui$a, aliter proportio eadem componi.202CLXXXI.Cum fuerit aliqua proportio, compo$ita ex proportionibus primæ ad $ecun- dam & tertiam, & rur$us quartæ ad quintam & $extam: ita $e habebit proportio $ecundæ ad tertiam, ad proportionem quintæ ad $extam, uelut producti ex proportione in $ecundam detracta prima ad primam ad pro- ductum ex proportione in quintam, detracta quarta ad quartam.203CLXXXII.Propo$ita differentia proportionum partium $imilium ad partes a$$umptas, propo$ita<03> proportione totius ad re$idua eadem, differentiam propor- tionum totius ad reliquum re$idui inuenire.203CLXXXIII.Spacium uitæ naturalis per $pacium uitæ fortuitum declarare.204CLXXXIIII.Quæcun<01> grauia in uorticibus aquarum, merguntur, in medio uorticis, pri- mum uer$a mergantur.211CLXXXV.Cur homo $edens quanto altius $edet, & quanto magis crura ad fœmora, & fœmora ad pectus reclinata habet, facilius con$urgat, cum tamen hæc op- po$ito modo inuicem $e habeant, declarare.213CLXXXVI.Si fuerit proportio primæ & $ecundæ quantitatis ad tertiam, ut primæ & quartæ ad quintam, fuerit<03> quarta $ecunda maior, erit proportio quar- tæ ad quintam maior quàm $ecundæ ad tertiam. Quod $i fuerit maiorquartæ quartæ ad quintam quàm $ecundæ ad tertiam, nece$$e e$t quartam $ecunda e$$e maiorem.214CLXXXVII.Si ei$dem uiribus & ‘eadem’ proportione cum auxilio ponderis tertij quar- tum pondus moueatur quibus $ecundum, auxilio primi nece$$e e$t quartũ pon dus tardius & maiore cum difficultate moueri quàm $ecundum.214CLXXXVIII.Si uires aliquæ moueant cum ponderibus aliqua pondera, ut compo$ita pro- portio $it eadem proportioni uirium & duorum ponderum mouentium ag- gregatum æquale duorum ponderum, ubi maior fuerit partium in æqual<*>as, ibi erit maior difficultas.214CLXXXIX.Si pondus minus ad longitudinem minorem $ub æquali proportione coapte- tar, facilius deor$um trahetur quàm quod maius e$t & propius.215CXC.Si fuerit primum graue minus $ecundo, & $ecundum minus tertio, proportio autem primi ad $ecundum multo maior quàm $ecundi ad tertium, po$ibile erit propo$itis uiribus ei$dem addere pondus $ecũdo, ut ip$um & tertium mouea- tur faciliùs ab ei$dem uiribus, & primo uel $ecundo quàm antea.215CXCL.Cum fuerint duo pondera & uires, duxeris<03> aggregatum ex uiribus & mi- nore pondere in maius, addideris<03> in$uper quantum e$t productum dimidij ui rium in $e latus aggregati detracto dimidio uirium, dice<*> pondus auxiliare æqualis proportionis.215CXCII.Si ex medio diametri linea ad perpendiculum erigatur ad circuli peripheri- am, ex eo puncto autem quotlibet lineæ ducantur $eu intus ad circun ferentia<*> u$<01>, $eu extra ad diametrum, erit proportio totius lineæ ad totam uelut mu- tuo partis ad partem.217CXCIII.Rationem ponderis triplicem explicare.218CXCIIII.Proportionem ponderis longioris in medio $u$pen$i, ad breuius illi æquale & in medio $u$pen$um declarare.219CXCV.Si lectus fiat dupla longitudine ad latitudinem, melius $uffulcietur re$tibus ex medio ad angulos & eius æquidi$tantibus quàm $ecundum longitudinem & latitudinem.220CXCVI.Si duo circuli $uper eodem centro eodem motu trans feruntur, æquale $pacium $uperant.221CXCVII.Cur lances ad locum $uum $u$pen$i redeant, impendentes nõ, demõ$trare.224CXCVIII.Cur $olidum quod cubus uocatur Pyramide $tabilius $it o$tendere.225CXCIX.Rationem remorum nauim impellentium inuenire.227CC.Cur temo cum paruus $it, magnam nauim agere pote$t, & cur cùm uarietas $it in prora, ip$e con$tituatur in puppi. Et cum transuer$im ab aqua prematur rectà nauim dirigat.228CCI.Si duæ lineæ non $ecantes circuli peripheriam in unum punctum ex ea coe- ant exterius, nece$$e e$t illas peripheria contenta e$$e maiores.229CCII.Rationem $trepitus o$tendere.232CCIII.Cur $cytalis onera portentur faciliùs, explorare.233CCIIII.Cur pluribus trochleis, pondera facilius eleuentur o$tendere.233CCV.Super uerbis Platonis de fine Reipublicæ.234CCVI.Rhombi paßiones qua$dam declarare.235CCVII.Proportionem agentium naturalium in tran$mutatione con$iderare.238CCVIII.Mota res à centro grauitatis per prior&etilde; motum, in reditu uelocius mouetur quam $i quieuerit.238Si CCIX.Si $uperficies rectangula in duas partes æquales diui$a intelligatur, quæ am- bæ quadratæ $int, item<03> in duas inæquales, erit parallelipedum ex latere mediæ partis in totam $uperficiem maius aggregato parallelipedorum ex partibus inæqualibus in latera alterius partis mutuo, in eo, quod fit ex dif ferentia lateris minoris partis à mediæ latere in differentiam maioris par- tis $uperficiei à media $uperficie bis, & ex differentia amborum laterum inæqualium iunctorum ad ambo latera, æqualia iuncta in minorem par- tem $uperficiei.241CCX.Si duæ lineæ ad æquales angulos ab eodem puncto peripheriæ circuli refle- ctantur, nece$$e e$t angulos cum dimetiente factos æquales e$$e. Vnde ma- nife$tum e$t, protractam diametrum angulum $uppo$itum per æqualia di- uidere.242CCXI.Si duæ lineæ ex duobus punctis peripheriam contingentes, in eandem par- tem protrahantur, $emper magis di$tabunt inuicem ea ex parte, & nun- quam concurrent.243CCXII.Si ab eodem puncto ad circuli peripheriam lineæ quotuis ducantur, tres inue- nire lineas, quæ non in alium punctum reflectentur.244CCXIII.Propo$ito circulo, at<01> in eius peripheria puncto $ignato, lineas contingentes ultra cítra<01>, & eam ab ip$omet deducere.245CCXIIII.Si extra circulum duo puncta æqualiter à centro di$tantia $ignentur, erit pun- ctum reflexionis æqualis in medio arcus intercepti inter lineas, quæ à cen tro ducuntur ad illa puncta. Si uerò unum centro proximius fuerit altero, punctum æqualitatis in peripheria tantò longius, uer$us breuiorem line- am, quantò punctum aliud à centro magis di$teterit.245CCXV.Punctum reflexionis punctorum inæqualiter di$tantium à centro, æqualiter di$tat à lineis, ductis à centro ad puncta æqualiter di$tantia alterutrin- que.246CCXVI.Si fuerint circuli duo inæquales, & extra utrunqúe punctum ad illud ex mi- nore reflexè per magnam partem minoris à maiore perueuire pote- runt.247CCXVII.Oculus uidet partem $uperficiei Lunæ illuminatam à Sole per radios reflexos à Solis corpore: nec tamen pote$t uidere imaginem ip$ius in Luna tan quam in $peculo.248CCXVIII.Rationem maculæ Lunæ indagare.248CCXIX.Rationem eorum quæ apparent circa Solem $peculo in aqua po$ito decla- rare.150CCXX.Cau$am cur Sol æ$tiuis diebus exoriens umbram ad meridiem, cum in meridie ad boream mittat, explorare.252CCXXI.Magnitudo Lunæ & cæterorum a$trorum digno$citur ex proportione alio- rum ad eam iuxta di$tantiam: ip$ius uerò iuxta rationem pupillæ ad Lu- nam di$tantiæ ratione.354CCXXII.Quantitates quæ æquales e$$e non po$$unt in eodem genere, maius tamen & minus recipiunt, $unt in proportione pote$tatis.255CCXXIII.Quantitates quæ actu æquales e$$e non po$$unt, in nulla proportione actu e$$e po$$unt.256CCXXIIII.Neque temporis totius, ut imaginamur, ip$um e$$e infinitum, neque æui ui- tarum proportio ulla e$t ad tempus, quod pote$tate e$t, utpotè diemuel uel men$em.256CCXXV.Proportio media non e$t ex ratione agentis, $ed patientis.256CCXXVI.Proportio $ublimis non con$i$tit in magnitudine, $ed ordine, iuxta quem diffe- rentia e$t eius quod e$t ante & po$t.257CCXXVII.Vitæ iuxta numerum perfectionum in comparatione ad cogitationem no- $tram proportionem quand am habent.259CCXXVIII.Proportionem $cientiæ futurorum & cæterorum occultorum con$idera- re.260CCXXIX.Incorporea omnia unum $unt, ne<01> numerus e$t eorum.261CCXXX.Proportio incorporeorum a$cendentium $emper maior e$t.262CCXXXI.Tres e$$e mundos at<01> inter ip$os nullam e$$e proportionem: nec numero cos definiri.263CCXXXII.Omnis motus naturalis quanto uelocior e$t tanto propior e$t & magis $imil limus quieti.264CCXXXIII.Quod e$t in mundo incorporeo æternum e$t, beatum, $ecurum, immutabile $ecundum locum, $olum iuxta e$$entiam fit: iuxta quod uelut à leui $u- $urro aquæ & aura æ$tiua demulcetur.270
FINIS.

1

HIERONYMI CAR DANI MEDIOLANENSIS, CI- VI'SQVE BONONIENSIS, MEDICI- de Proportionibus, $eu Ope- ris Perfecti LIBER QVINTVS.

Prima diffinitio.

Proportio ab Euclide $ic de$cribitur, Quòd $it duarum quantitatum eiu$dem generis, quod ad magnitudinem attinet, compara- tio certa.

Secunda diffinitio.

Proportiones per $imilitudinem dicũtur, cùm quantitas quantitati compara&ttilde; alterius generis, cui fingitur æqualis e$$e pote$tate.<*>

Velut $i a b fingatur monas in comparatione ad b c erit rectangulum a c æquale lineæ b c.

Tertia diffinitio.

Proportio æqualis proportioni e$t, cùm eodem modo termini $e habent inuicem in utra<01>

Quarta diffinitio.

Proportiones $ecundum genus notæ dicuntur, cùm nouimus, quòd $int maiores, aut minores. Nam cùm æquales $unt, $imul ne- ceffe e$t, ut cogno$camus genus, & $peciem.

Quinta diffinitio.

Datum po$itione e$t: quod nece$$ariò ex po$itis certam habet quantitatem.

Sexta diffinitio.

Datum $impliciter dicitur, quod ex propo$itis cogno$ci pote$t, quantum $it.

Septima diffinitio.

Proportiones pote$tate dicun&ttilde;, quæ$ub comparatione aliarum quantitatũ nece$$ariam habentium cõnexionem $olũ cogno$cun&ttilde;.

Hæ autem $unt aliquando eiu$dem generis, cum primis ut nu- meri: aliquandò alterius, ut linearum & $uperficierum, angulorum, & arcuum: aliquando eiu$dem generis, & diuen$arum $pecierum, ut arcuum per $inus, qua utuntur A$tronomi.

Octaua diffinitio.

Proportio homonyma dicitur duarum quantitatum diuer$i ge- Cor^{m}. neris, $ed alterius a b altero dependentium, uelut motus ad tem- A pus.

2

pus. Dicimus enim motum tardum, uel uelocem in comparatione ad tempus.

Nona diffinitio.

Proportionum aliæ dicuntur rhete, aliæ alogæ, rhetæ quæ $unt ut numeri ad numerum, alogæ quæ non $unt numeri ad numerum.

Decima diffinitio

Proportio rhete alia æqualis, alia multiplex, uel $ubmultiplex: alia unius partis exce$$us, aut defectus, alia plurium, quam $uper- partientem, aut $upartientem uocant.

Vndecima diffinitio.

Cum diui$o denominatore per numeratorem exit quantitas alo ga, proportio dicitur aloga: $i autem numerus integer, aut pars nu- meri nota dicitur rhete.

Duodecima diffinitio.

Proportionem in proportionem duci e$t, quoties recto ordine tres quantitates in ei$dem collo can&ttilde;: ut $int tres quan titates a b c dicetur proportio a ad c producta ex pro portione a ad b & b ad c, & $imiliter proportio c ad a producitur ex proportione b ad a, & c ad b.

Tertiadecima diffinitio.

Proportionem per proportionem diuidi e$t, quoties ad eandem quantitatem duæ quantitates comparantur, tunc illarum propor- tio e$t, quæ prodit una per alteram diui$a.

Sint proportiones a & b ad c & interponatur b inter a & c, dico proportionem a ad c diui$am per proportionem a ad b, & prodire proportionem b ad c, con$tat ex conuer$a præcedentis.

Quartadecima diffinitio.

Additio proportionum intelligitur quotiens duarum quanti- tatum ad unam tertiam, proportiones per aggregatum ip$arum quantitatum ad eandem coniunguntur.

Velut $i comparentur a b & b c ad d, inde tota a c ad d dicemus proportionem, ac ad d e$$e con iunctã ex duabus <04>portionibus a b ad d & b c ad eand&etilde; d. Hoc & duo $equentes $icut & du&ecedil; anteced&etilde;tes demon- $trabitur e$$e. nunc $olum quomodo intelligendũ $it proponimus.

Quintadecima diffinitio.

Detractionem proportionis à proportione intelligimus fieri per detraction&etilde; minoris quantitatis à maiore, comparatam ad ean- dem quantitatem.

Velut in exemplo $uperiore detracta proportione b c ad d ex propor-

3

proportione a c ad d, relinquetur proportio a b ad d. & probatur ex conuer$ione præcedentis.

Sextadecima diffinitio.

Extractio radicum alicuius proportionis fit per extractionem radicum quantitatum illius iuxta unam, & eandem rationem.

Velut quadratæ, uel cubæ, uel pronicæ, uel uniner$alis, uel alte- rius modi.

Decima$eptima diffinitio.

Cùm fuerint duæ proportiones $imiles in tribus terminis con- tinuatæ, dicetur proportio primæ quantitatis ad tertiam ueluti primæ ad $ecundam duplicata. Et $i $int tres proportiones $imiles in quatuor terminis, dicetur proportio primæ quantitatis ad quar- tam triplicatà ei, quæ e$t primæ ad $ecundam,

Decimaoctaua diffinitio.

Confu$a proportio dicitur $implicis, aut compo$itæ quantitatis ad compo$itam in comparatione ad proportiones ad partes.

Decimanona diffinitio.

Quantitates qu&ecedil; in continua $unt <04>portione Analogæ uocan&ttilde;.

Dictum e$t hoc ad fugiendum nomen barbarum, etiam ut bre- uiter tamen po$$emus $ententiam explicare.

Vige$ima diffinitio.

Reflexa proportio dicitur cum trium quantitatum aggregatum primæ, & tertiæ $e habet ad $ecundam uelut $ecunda ad tertiam,

Vige$ima prima diffinitio.

Trium quantitatum analogarum aliæ quidem Geometricæ, cùm proportio $imilis e$t: Aliæ Arithmeticæ, cum fuerit æqualis exce$$us hucindè: Aliæ mu$icæ cum fuerit proportio primæ ad ter tiam multiplex, aut $implex, aut compo$ita exce$$us quæ $implici iuncta $it ad multiplicis perfectionem: eadem autem $it proportio exce$$us primæ, & $ecundæ ad exce$$um $ecundæ $upra tertiam.

Velut proportio 6. 4. 3. dupla e$t utrin<01>, & 6. 3. 2 tripla. & 28. 24. 21. & 45. 40. 36. Geometrica uerò & arithmetica facilius continuan- tur in quotquot quantitatibus, $ed & mu$ica uelut 12. 8. 6. 4. 3. & proportio 8 ad 5 mu$ica e$t: quia proportio 5 ad 4 mu$ica e$t, & bene $onans, igitur con$titutis 8. 5. 4. cum 8 ad 4 benè $onet, & 5 ad 4, & 4 $it extrema non media inde 8. & 5 benè $onãt. nam in me- dijs nõ e$t uerũ, ut in 9. 6. 4 bis diapente, & 16. 12. 9 bis diate$$aron.

Vige$ima $ecunda diffinitio.

Quantitates quæ $imilem habent proportionem non continua- tam, omiologæ appellantur.

Vige$ima tertia diffinitio.

Prima operatione con$i$tere dicuntur proportiones, cùm inter primo conflatas quantitates con$titerint.

A 2 PRI-

4

PRIMA Animi communis $ententia.

Omnis Proportio e$t, aut æqualitatis, aut maior inæqualis, aut minor.

Secunda animi communis $ententia.

Quilibet numerus tantus dicitur, quanta e$t illius proportio ad monadem.

Dicimus enim quatuor, quod monadem quater contineat. Et duo cum dimidio cùm monadem bis & $emis contineat.

Tertia animi communis $ententia.

Proportionem defectus, $eu detractæ quantitatis ad defectum e$$e po$$e, ut quantitatis ad quantitatem dicuntur communes ani- mi $entcntiæ, quæ ex intellectu $olo terminorum, quod ueræ $int, cogno$cuntur. Si ergo defectus e$t quantitas, & quantitas eiu$dem $peciei, quia detrahitur, & defectus non e$t $implicitur, $ed detra- cto ergo per quartam petitionem: uel primam diffinitionem erit proportio interillas. Sunt enim ambæ detractæ.

Quarta animi communis $ententia.

Inter quantitatem, & defectum minorem quantitate, cuius e$t de fectus, e$t proportio, quatenus e$t quantitas. Sit a b linea, & detra- cta quantitas b c, non maior a b & d $it alia quæuis quantitas eiu$- d&etilde; generis, dico quòd inter d & b c e$t propor- tio quatenus b c e$t quantitas, quia $unt eiu$- dem generis ideo $unt in aliqua proportione per primam diffinitionem. Sed ut b c e$t defectus, nulla e$t propor- tio: quia quanto b c augetur, tanto augetur proportio d ad b c, & hoc e$t contra demon$trata ab Euclide.

Quinta animi communis $ententia.

Cum proportio producitur ex proportionibus quælibet illa- rum dicetur producta diui$a per alteram.

Sexta animi communis $ententia.

Æqualium quantitatum $eu proportionum ad tertiam compa- rabilium eadem e$t proportio at<01> uici$sim. Hæc et$i demon$tre- tur ab Euclide, e$t tamen hic generalior: & $atis per $e nota. Vt $it propior animi communi $ententiæ, quàm rei demon$trandæ.

Septima animi communis $ententia.

Ad quod quantitas proportionem habet infinitam, id in genere illius quantitatis non comprehenditur.

Nam proportio e$t duarum quantitatum eiu$dem generis com- paratio certa: at hæc comparatio certa non e$t: non igitur quantita- tes ambæ $unt, aut non eiu$dem generis.

PRI-

5

PRIMA Petitio.

Si fuerit primi ad $ecundum, ut tertij ad quartum, & ex primo in $ecundum producatur æquale, aut maius, aut minus primo, uel $ecundo, producetur eodem modo ex tertio in quartum &ecedil;quale aut maius, aut minus tertio, uel quarto eadem ratione & ordine.

Secunda petitio.

Proportiones po$$unt duci, diuidi, iungi, & auferri, & $umi radix in eis cuiu$cunque generis, atque earum quantitatis, ut libet, po$$e tran$ponere.

Tertia petitio.

Proportionis cuiu$uis nomen à denominatore $uprà $cripto, & numeratore infrà $cripto $umitur.

Quarta petitio.

Diui$a quauis quantitate per aliam eiu$dem generis, quod exit proportio dicitur.

Quinta petitio.

Qu&ecedil;libet proportio e$t uel inter duas quantitates, uel per unam $ignificatur.

Nam per tertiam petitionem $i $int duæ quantitates, quæ non hæ beant unius rationem, nomen $umit proportio à duobus numeris, $in autem $it altera monas, erit per $ecundam animi communem $en tentiam, proportio numerus ip$e Ideò patet, quod dicitur.

Sexta petitio.

Propo$ita proportione quacun<01>, & monade quantitatem inue nire, quæ $e habeat ad monadem in proportione propo$ita.

Nam cùm per quartam petitionem diui$a quantitate per quan- titatem exeat proportio, & numerus ad monad&etilde; $e habeat, ut pro- portio, ideo $umpta monade $ecundum illum numerum, ille nume rus e$t quantitas quæ$ita.

Septima petitio.

Quamlibet quantitatem per aliam eiu$dem generis diuidere po$$e.

Octaua petitio.

Proportionem in proportionem ducere po$$e: quamuis $int in- ter quantitates diuer$i generis.

Quod dicitur de multiplicatione intelligendum e$t de alijs ope- rationibus $uprà enumeratis.

Nona petitio.

Monadem $emper $umere in quo cunque genere po$$e propo$i- ta proportione.

A 3 Nam

6

Nam licet diuidere per $eptimam petitionem quantitatem per quantitatem proportionis: & quod exit, e$t proportio per quar- tam petitionem, & per $ecundam animi communem $ententiam illa proportio e$t numero æqualis: ergo diui$a proportione, per $i- milem numerum $tatuetur monas.

Decima petitio.

In quouis genere quantitatum $umere po$$e quantitatem, quæ Duodecima $exti Elem. $e habeat ad monadem in proportione data. Similem huic propo- nit Euclides in lineis generaliter: nos autem contrà generaliter in omnibus quantitatibus, $ed de monade tantum.

Vndecima petitio.

Monadem in quancun<01> quantitatem ductam æquale ip$i pro- ducere. Similiter & proportionem æqualem.

Nam cum aliqua quantitas augeat ducta aliqua minuat, nece$$e e$t aliquam e$$e, quæ nec augeat, nec minuat, & hæc e$t monas. Idem dico de diui$ione. Aequalitas etiam ducta, uel diuidens non Secunda ani mi cõmunis $ententia. mutat proportionem: nec quantitatem ip$am, igitur monas æqua- litatem refert. Quod etiam e$t per$picuum ex $upradictis.

Duodecima petitio.

Cum fuerint quatuor quantitates & ad primam, & tertiam æquè multiplicibus a$$umptis, item <03> ad $ecundam & quartam, & $i mul- tiplex primæ maius e$t multiplici $ecundæ, multiplex tertiæ $it ma- ius multiplici quartæ, & $i minus minus, & $i æquale æquale, id<03> $emper quouis modo a$$umptis his proportionibus ad primam & tertiam, & ad $ecundam & quartam erit proportio primæ ad $ecun dam, ut tertiæ ad quartam. Hæc etiam a$$umitur ab Euclide. Et per Quinto Ele. diff. 6. hanc intelligimus etiam conuer$am.

Tertiadecima petitio.

Quantitates æquales, atque proportiones in qua$uis quanti- tates ductæ eandem $eruant rationem. Euclides hanc demon$trat, nos autem ad uitandum tædium petimus concedi, $ub qua in- Quarta quin ti Elem. cluduntur diui$io etiam additio, detractio, laterum omnium in- uentio.

Quartadecima petitio.

Cùm termini alicuius quantitatis eandem $eruant rationem in omnibus, & firmi $unt ac $tabiles eiu$dem rationis comparatione contentæ partes æqualem $eruant exce$$um, $eu proportionem.

PROPOSITIO prima.

Proportionem in proportionem duci e$t $uperiores nume- ros atque inferiores inuicem ducere.

Sit

7

Sit proportio lineæ a ad lineam b, ut anguli cad angulum d, $ta- Cor^{m}. tuatur e monas in genere a b, & fiat fad e, ut cad d, & du Per 9. Petit. catur<*>a in f & b in e, & pro- ducantur g & h. Quia ergo Per 10. Pet. fe$t proportio ip$a, erit g ad Per 8. Petit. a ut c ad d, $ed h e$t æqualis b, igitur a ad h ut ad b. Du- cta ergo dicetur proportio a Per 2. Ani- <*>i $entent. ad b in proportionem c ad d ducendo terminos proportionis, $eu quantitatis recta $cilicet $u- periores cum $uperioribus, & inferiores cum inferioribus. Nam $i Per 11. Pet. rur$um con$tituantur fad e ut a ad b cùm f $it proportio, & k ad f ut Per 8. Petit. c ad d, erit k ad e, ut g ad h, k autem fit ex ductu proportionis a ad b, quæ e$t fin proportionem c ad d, liquet igitur propo$itum.

Propo$itio $ecũnda.

Proportio extremorum producitur ex intermedijs.

Cor^{m}.

Sint a b c quantitates dico proportio- nem a ad c, produci ex proportione a ad b Per 6. & 9. Petit. & b ad c, $tatuantur totidem à monade d e f, erúntque ex demon$trantis ab Euclide in quinto Elem&etilde;torum in eadem proportio- ne, ftatuatur ergo d prima quantitas e $e- cunda & tertia f quarta. eritqúe per præce- Per 13. Pet. dentem proportio productorum ex d in e & $it g, & in f & $it h, producta ex propor- tionibus d ad e & e ad f, quare ex propor- tionibus a ad b & b ad e, $ed ex dictis cum e $it eadem, erit proportio d ad f, ut g ad h & proportio, d ad f per æquam proportionem ab Euclide demon$tratam, ut a ad c, igitur Per 13. Pet. proportio a ad c producitur ex proportionibus a ad b & b ad c, & e$t proportio ip$a a ad c d numerus, ut o$ten$um e$t.

Ex hoc $equitur, quòd cùm fuerit quantitas tertia monas ex pro- Cor^{m}. 2. portionibus inuicem ductis producetur prima quantitas.

Cor^{m}. 3

Ex hoc $equitur, quòd conuer$a proportio producitur ex con- uer$is proportionibus.

Propo$itio tertia.

Si proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis producatur, ip$a uerò proportio inter duas alias quantitates fue- A 4 rit

8

rit con$tituta: con$urgent trecenti $exaginta modi productionis proportionis.

Cor^{m}.

H&ecedil;c propo$itio ut præcedens & $equ&etilde;tes tres ab Alchindo $um- ptæ $unt, & ab eo demon$trantur. Sit ergo proportio a ad b, pro- ab------cd------ef------
ducta ex proportione c ad d & e ad f, con$tat quòd cum $int $ex quantitates, quòd fieri pote- runt quindecim coniugationes, quas po$ui à la- tere facilitatis gratia, quibus re$pondent totidem a bb aa cc aa dd aa ee aa ff ab cc bb dd bb ee bb ff bc dd cc ee cc ff cd ee dd ff de ff edirec.conuer.
conuer$æ: erunt ergo triginta. Singulæ autem ha rum produci po$$unt duodecim modis: ductis duodecim in triginta, fiunt trecenti $exaginta mo di. Et hoc e$t clarum per$e, modo demõ$tremus, quod $inguli horum modorum po$sint produ- ci duodecim modis, & capiamus ab primam qu&ecedil; pote$t produci ex c d & e f: Item ambabus con- uer$is d c & fe: & rur$us altera recta altera con- uer$a: & hoc bifariam c d & f e, & d c & e f, $unt er- go iam quatuor modi. Totidem ex c e & d f, toti- dem<03> ex c f & d e, igitur erunt duodecim mo- di, quibus produci po$$e intelligitur propor- tio a ad b.

Propo$itio quarta.

Si fuerit proportio primi ad $ecundum produ- cta ex proportionibus tertij ad quartum, & quin ti ad $extum, producetur etiam ex proportione tertij ad $extum, & quinti ad quartum.

Sit proportio a b producta ex proportioni- abcegdfh---------cegfdh
bus c ad d, & e ad f, dico quod etiam erit produ- Per 8. petit. cta ex proportionibus c ad f, & e ad d, di$ponan- tur ut in figura & fiat ex c in e g, & ex d in fh, ergo In 13. petit. per primam harum g ad h ut a ad b, $ed per præ- $uppo$ita in $ecunda productione etiam prode- unt g & h, igitur per primam propo$itionem ha- rum a ad b proportio producitur ex proportionibus c ad f tertiæ $cilicet ad $extam, & e ad d quint&ecedil; ad quartam, quod fuit propo$itũ.

Propo$itio quinta.

Si fuerit proportio primi ad $ecundum producta ex proportio- ne tertij ad quartum, & quinta ad $extum: erit proportio tertij ad $extum producta ex proportionibus primi ad $ecundum, & quar- ti ad quintum.

Sit

9

Sit proportio a ad b producta ex proportio- Cor^{m}. ab------ce------df------
nibus c ad d, & e ad f, dico quod proportio c ad f producitur ex proportione a ad b & d ad e. In- terponam d e inter c & f, erit<03> ex $ecunda pro- po$itione repetita proportio c ad f producta ex tribus proportionibus c ad d, d ad e, e ad f, $ed proportiones c ad d, & e ad f producunt pro- portionem a ad b, igitur proportio c ad f produ citur ex proportionibus a ad b, & e ad f.

c-----d-----e-----f-----

Propo$itio $exta.

Ex trecentis $exaginta modis producenda- rum proportionum triginta $ex tantum e$$e ne- ce$$arios.

cp------ad------be------

Per quartam enim proportio a ad b produ- Cor^{m}. citur bifariam, & ex c ad d, & e ad f, & ex c ad f, & e ad d. & perpræ cedentem c ad f producitur ex a ad b, & d ad e, & per quartam rur$us ex a ad e, & d ad b. Et per præcedentem rut$us a ad e ex c ad f & b ad d, igitur per quartam eadem produ- cetur ex c ad d & b ad f. Quare per præceden- tem c ad f ex a ad e, & d ad b, & ita di$ponemus hos modos in tabula. Vides etiam Primi ad $ecundum.1tertij ad quartũ, & quinti ad $extum.2tertij ad $extum, & qu<*>nti ad quartum.Primi ad tertium.3$ecundi ad quartum, &quinti ad $extum.4$ecundi ad $extum, &quinti ad quartum.Primi ad quintum.5$ecundi ad $extũ, & ter-tij ad quartum.6$ecundi ad quartum, &tertij ad $extum.Secundi ad quartum.7primi ad tertium, & $exti ad quintum.8primi ad quintum, et $exti ad tertium.Secundi ad $extum.9primi ad quintũ, & quarti ad tertium.10primi ad tertiũ, & quar-ti ad quintum.Tertij ad quartum.11primi ad $ecundum, &$exti ad quintum.12primi ad quintum, & $exti ad $ecundum.Tertij ad $extum.13primi ad $ecundum, &quarti ad quintum.14primi ad quintum, &quarti ad $ecundum.Quarti ad quintum.15$ecundi ad primum, &tertij ad $extum.16$ecundi ad $extum, & tertij ad primum.Quinti ad $extum.17primi ad $ecundum, &quarti ad tertium.18primi ad tertiũ, & quar-ti ad $ecundum.
aliquos modos non produci, ut pri- mi ad quartum nec ad $extum, & li- quet, quòd cùm $int quindecim o- mnes modi qui produci po$$e intelli- guntur, & nouem tantum producan- tur $ex e$$e, qui non <04>ducuntur, quos $eor$um in tabula coniunxi. Et con- $tat etiam, quod totidem conuer$i $ci- licet decem octo producũtur, de qui- bus diximus, ut $int omnes triginta $ex, qui con$tat ex duabus propo$i- tionibus præmi$sis, & hac tertia, quã adiungemus $cilicet, quòd propor- tio primi ad tertium producatur ex proportionibus $ecũdi ad quartum, & quinti ad $extũ. Hoc enim ex præ- cedentibus non liquet: benè liquet permutatis ordinibus, quod $i pro- portio primi ad tertium producitur, quod

10

quod etiam propor- Modi qui nõ producuntur pri. ad quartu pri. ad $extum $ec. ad tertiũ $ec. ad quintũ tert. ad quint. quart. ad $ext. tio primi ad quintũ. Nam tertium, & quin tum, item <03> quartum, & $extum non diffe- rũt ni$i ordine uolun tario. Ergo interpo$i- to e inter a, & c per $e- cundam propo$itio- nem proportio a ad c producitur ex proportionibus a ad e, & e ad c, ut ex demon$tratis in præ- $enti proportio a ad c producitur ex c ad f & b ad d. Proportio ergo a ad c producitur ex proportionibus e ad c & c ad f & b ad d, at e ad c & c ad f producunt eam, quæ e$t e ad f per $ecũdam propo$itionem. Igitur pro- portio a ad c producitur ex propor- tionibus b ad d $ecundi ad quartum, & e ad f quinti ad $extum. Hæc Al- chindus in $uo libello: $ed licet inge- nio $a ualde: parum tam&etilde; utilia olim erãt nece$$aria ad intelligendum ma- gnam cõpo$itionem Ptolem&ecedil;i, nunc po$tquam Heber has $ex quantita- tes traduxit ad quatuor, pror$us hæc $cientia ulli u$ui e$$e de$ijt.

ae ca ee cc bef dcf

Propo$itio $eptima.

In modis qui nece$$ariò produ- cuntur ex duabus proportionibus, cum du&ecedil; quantitates ex illis, qu&ecedil; mo dos conficiunt, æquales fuerint: pro- ab------ce------df------
portio producta ad quatuor quanti- tates omiologas reducetur.

Cor^{m}.

Sint $ex quantitates a b c d e f, & producatur <04>portio a ad b ex pro- portione c ad d, & e ad f, tu $cis, quòd modi recepti $unt prima cum $ecunda, tertia uel quinta, & $ecunda cum quarta, & $exta, & tertia $imiliter cum ei$dem, & quinta eodem modo cum ei$dem: $i igitur du&ecedil; quantitates ex his, qu&ecedil; faciunt pro- portionem

11

portionem productam inter $e fuerint æquales reducetur hæc pro- portio ad quatuor quantitates omologas, $cilicer abiectis amba- bus æqualibus. Sit gratia exempli prima æqualis quintæ: & quia in octauo modo proportio $ecũdi ad quartum producitur ex pro- portione primi ad quintum, & $exti ad tertium, ergo per expo$ita proportio $ecundi ad quartum, ut $exti ad tertium, & ita permutan- do, & conuertendo $ecundi ad $extum, ut quarti ad tertium, & tertij Vndecima petitione. ad quartum, ut $exti ad $ecundum.

Propo$itio octaua.

Si duarum proportionũ $uperiores numeri alternatim cum infe rioribus multiplicentur, at<01> coniungantur: erit proportio aggre- gati ad productum ex inferioribus inuicem proportio ex primis proportionibus compo$ita.

Sit proportio una a ad b, alia c ad d, ducatur b in Cor^{m}. c, fiat<03> e & a in d, & fiat f, iungantur<03> e & f & fiat h, & ducatur b in d et fiat g: dico proportion&etilde; h g com- po$itam e$$e ex proportione a ad b, & c ad d. Quia Ex 13 peti- tione. enim ex b in c fit e, & ex b in d fit g, erit proportio e ad g, ut c ad d, & $imiliter, quia ex d in a fit f, & ex d in b fit g, erit f ad g ut a ad b. Sed e & f componunt h, igitur proportio h ad g e$t com po$ita ex proportionibus e & f ad g, igitur per communem animi $ententiam, & diffinitionem compo$itæ proportionis, proportio h Per 14 diffi nitionem. ad g compo$ita e$t ex proportionibus a ad b, & c ad d, quod e$t propo$itum.

Propo$itio nona.

Si duarum proportionum $uperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicentur, minus<03> productum ex maiore detra- hatur, erit re$idui ad productum ex inferioribus proportio uelut illa, quæ relinquitur detracta minore proportione ex maiore.

Hæc eodem modo probatur, ut præcedens, ni$i quod h fit de- Cor_{m}. 152. tracto è minore: gratia exempli ex f, & ita ex diffinitione patet pro- po$itum.

Propo$itio decima.

Si fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio uelut al terius partis ad $ecũdam quantitatem erit proportio cuiu$uis quan titatis eiu$dem generis ad $ecundam compo$ita proportio ex pro- portionibus eiu$dem quantitatis a$$umptæ ad utran <01> partem pri- mæ quantitatis $eor$um.

Cor^{m}.

Sit a b quantitas diui$a in c, & $i cut a b ad a c, ita b c ad d: erit<03> iterum permutando a b ad b c, ut a c ad d, & $umatur quædam quantitas e eiu$- dem

12

dem tamen generis, cum illis dico quòd proportio e ad d e$t com- po$ita ex proportionibus e ad a c, & e ad b c. Po$ita ergo e tan<08> $u- periore numero, & a c & c b inferioribus, erit ex octaua propo$itio- ne huius proportio productorum ex e in a c, & coniunctorum, & ex con$equenti per primam $ecundi Elementorum producti ex e in a b ad productum ex a c in c b compo$ita ex proportionibus e ad a c, & e ad c b: at quod fit ex a c in c b, e$t æquale ei quod fit ex a b in d, eo quòd a b, a c, c b & d $unt omiologæ per decimam$extam $exti Elem&etilde;torum: Proportio igitur producti ex e in a b ad productum ex d in a b e$t compo$ita ex proportionibus e ad a c, & e ad e b: At proportio producti ex e in a b ad productum ex d in a b, e$t uelut e 13. Petit. ad d. per $uppo$ita igitur proportio e ad d e$t compo$ita ex propor tionibus e ad a c, & e ad b c, quod fuit demon$trandum.

Propo$itio undecima.

Proportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad ag- gregatum duarum æqualium quantitatum e$t compo$ita ex pro- portionibus primis, & diui$a per duplam.

Cor^{m}.

Sit proportio a ad c, & b ad d, & $int c & d æquales, dico quòd proportio a b ad c d e$t compo$ita ex proportionibus a ad c, & b ad d diui$o compo$ito per duplam. Quia enim Ex $exta Anim. com. $ententia. c & d $unt æquales, erit b ad c, ut b ad d, qua- re ex diffinitione cùm proportio a b ad c d Decimaquarta $it compo$ita ex proportionibus a ad c, & b ad c, erit etiam compo$ita ex dictis ex propo$itione a ad c, & b ad d, 13. Petit. $tatuatur ergo e æqualis c d media inter a b & c. Et erit per $ecun- dam propo$itionem proportio aggregati a b ad c producta ex Per 2. Petit. proportione aggregati a b ad c, & e ad c, igitur proportio a b ad e erit proportio a b ad c, diui$a per proportionem e ad c, $ed e ad c e$t Per quintam Anim. com. $en tentiam. dupla: igitur proportio a b ad c d e$t proportio a b ad c diui$a per duplam.

Propo$itio duodecima.

Propo$itis duabus proportionibus unam alteri iungere ab$que multiplicatione.

Cor^{m}. 10. Petit.

Sint propo$itæ proportiones a ad c & b ad d, & a$$umo e ad c, iuxta ea quæ Eu- clides demon$trauit, ut b ad d, erit igitur Ex generali com. Anim. $en tentia. proportio a e ad c, compo$ita ex proportionibus a ad c, & e ad c, $ed proportio e ad c e$t, ut b ad d, igitur proportio a e ad c compo- $ita e$t ex proportionibus a ad c, & b ad d.

Aliter ex b in c fiat fex a in d, g ex c in d h coniunctum ex f g, k.

Quia

13

Quia ergo ex c in b fit f, ex c in d h, erit f ad h, ut b ad d, igitur ut e ad c, $ed a ad c, ut g ad h igi Per 13. Pet. tur a e ad c, ut k ad h, $ed k ad h cómponitur ex proportionibus a ad c, & b ad d. Ex octaua ha rum igitur proportio a c ad c compo$ita e$t ex ei$dem. For$an quis dicat hanc eandem e$$e octauæ $ed nõ e$t, in illa enim proportio com- paratur ad productum, in hac ad unam ex quantitatibus.

Ex hoc $equitur quòd: Quælibet duæ quantitates quarum ag- Cor^{m}. gregatum e$tidem ad eam quantitatem, componunt eandem pro- portionem.

Propo$itio tertiadecima.

Proportio confu$a aggregati primæ & tertiæ quatuor quantita- tum omiologarum ad aggregatũ $ecundæ & quartæ, e$t uelut com po$ita ex ei$dem diui$a per duplam.

Cor^{m}.

Sint a ad b, ut c ad d, dico, quòd erit confu$a ac----------bd------
proportio a c aggregati ad aggregatũ b d, com po$itæ ex his proportionibus diui$æ per du- plam æqualis. Erit enim aggregati ex a c ad aggregatum ex b d, ue- lut a ad b per 18 quinti Elementorum. Sed proportiones a ad b, & c ad d componunt proportionem producti a in d, & c in b per octauam harum, ad productũ ex b in d, productum uerò ex a in d e$t æquale producto ex b in c per decimam$extam $exti Elemento- rum, & proportio producti ex b in c ad productum ex b in d e$t ue lut c ad d, quare ut aggregati a c ad aggregatum b d, igitur propor- tio compo$ita ex a ad b, & c ad d, e$t uelut confu$a bis $umpta. Igi- tur confu$a e$t uelut compo$ita diui$a per duplam per modum un- decimæ huius.

Propo$itio quartadecima.

Proportiones confu$æ, & coniunctæ in tribus quantitatibus in- uicem commutantur.

Sint tres quantitates, dico, quod proportio c Cor^{m}. ad a b confu$a e$t, conuer$a coniunctæ a & b ad 14. diff. c. Nam per dicta proportio a b ad c efficit con- iunctam ex a b ad c: $ed c ad a b conuer$a e$t eius, quæ e$t a b ad c, & proportio c ad a b e$t confu$a eius, quæ e$t c ad a & b. Igitur pro- portio confu$a in tribus quantitatibus e$t contraria coniunctæ in ei$dem.

Ex quauis ergo illarum data, data erit & reliqua.

Per 18. diff. B Propo$itio

14

Propo$itio quintadecima.

Si fuerint quatuor quantitas-proportio confu$a aggregati pri- mæ & tertiæ ad aggregatum $ecundæ, & quartæ erit ut monadis addito prouentu, qui fit diui$a differentia differentiarum primæ & $ecundæ, at<01> quartæ & tertiæ per aggregatum tertiæ, & quartæ ad ip$am monadem.

Sint quatuor quantitates a b, c, d, e f, & Cor^{m}. $it a b maior cin a h, & e fmaior d in f g, & differentia f g & a h $it a k: dico proportio- nem a b, & d confu$am ad c & e f, e$$e ut mo nadis addito prouentu, uel detracto a k diui$æ per aggregatum c. & e f ad ip$am monadem, & manife$tum e$t, quòd pote$t continge- re pluribus modis: Primus ut a b $it maior c & e f minor d, & tunc differentiæ coniungentur, & prouentus, addetur monadi. Idem fa- ciendum erit $i a b $it maior c, & e f $it minor d, $ed exce$$us $uperet defectum. At $i uel a b $it minor c, & e f maior d, uel ita minor, ut c exce$$us $upra b a $it maior defectu, detrahemus prouentum à mo- nade. Alia cautio e$t quòd $i fuerint utrinque exce$$us, aut defectus, minuemus minorem de maiore: $i autem unus $it exce$$us alter de- fectus, iungemus illos, & po$t diuidemus. uno ergo demon$trato ut pote primo intelligentur reliqui. Quia ergo b h e$t æqualis c & e g æqualis d & h k æqualis g f, erit ex communi animi $ententia ag gregatum ex d & k b æquale aggregato ex c & e f, igitur per dicta proportio aggregati ad aggregatum e$t unum. at uerò diui$a k a per c & e f fit quantum diui$a eadem per b k, & d, $ed diui$a k a per b k, & d iunctas, exit proportio a k ad aggregatum b k & d: igitur di- ui$a a k per aggregatum e f & c, exibit eadem proportio, igitur a b & d ad aggregatum c & e f e$t coninncta ex monade & proportio- ne a k ad aggregatum c & e f, quod erat demon$trandum.

Ex hoc patet quod proportionum confu$io Cor^{m}. fit iunctis denominatoribus numeratoris: mul- tiplicatio multiplicatis: additio multiplicatis decu$$atim in numeratores ad productum ex denominatoribus, ut in exemplis.

Propo$itio $extadecima.

Omnium quatuor quantitatum propo$ita prima, quæ non minorem habet proportionem ad $uam corre$pondentem, quàm alia ad aliam erit proportio confu$a illarum, ut pro- ducti ex aggregato primæ & tertiæ in tertiam,

15

tertiam, ad productum ex aggregato tertiæ & omiotatæ ad $ecun- dam in ip$am quartam.

Hæc magis reducit confu$am proportionem ad notitiam, quàm, præcedens, quia reducit ad proportionem productã, qu&ecedil; operatio e$t $implici$sima, $iue per multiplicationem quantitatum fiat, duæ $unt tantum multiplicationes, $iue per eundem terminum $ufficit alium addere. Summatur ergo a b, c, d & e, & non $it maior propor- tio d ad e, quàm a b ad c, & $tatuatur tunc prima a b, $ecunda c, ter- tia d, quarta e, & po$tquam non e$t minor ratio a b ad c, quàm d ad e, $umatur a f ad c, ut d ad e. licet enim hoc facere. Dico quod pro- portio confufa a b & d ad c & e e$t uelut producti ex aggregato a b & d in d ad productum ex aggregato a f & d in e. Statuatur aggre- Per 10. Pet. gatum a b & d linea a d prima quantitas, & aggregatum a f & d, a d $ecunda quantitas, & d tertia, & c quarta, & ex a b in d fiat g, ex a d in e fiat h, erit ergo per pri- mam propo$itionem g ad h pro- Per 13. Pet. ducta ex proportionibus a b d ad a f d, & d ad c. Sed proportio a f d ad aggregatum c e, e$t uelut d ad e. Proportio uerò a b d ad a f d, & a f d ad e c producunt proportio- nem a b d ad c & e per $ecundam propo$itionem, harum igitur con- $u$a a b ad c, & d ad e, & e$t proportio a b d ad c & e, producuntur ex proportionibus a b d ad a f d, & d ad e. Ergo proportio g ad h e$t confu$a ex a b ad e, & d ad e, quod erat demon$trandum.

Propo$itio decima$eptima.

Omnes du&ecedil; proportiones conuer$æ producunt æqualem pro- portionem.

a-----b---c----

Sint duæ proportiones a ad b & b ad a conuer$a, Cor^{m}. dico, quòd producunt proportionem æqualem. fiat enim b ad c, ut b ad a, erit igitur a æqualis c & b c con Per 6. Ani- mi commun&etilde; $ententiam. uer$a eius quæ e$t a ad b, $ed per $ecundam harum proportiones a ad b, & b ad c producunt propor- tionem a ad c, igitur proportiones etiam a ad b & b ad a produ- cunt eandem.

Propo$itio decimaoctaua.

Si fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multi- plici præter ultimam: proportio uerò penultimæ ad ultimam qua- lis re$idui primæ ad $ecundam, erit primæ ad aggregatum reliqua- rum uelut penultimæ ad ultimam.

B 2 Sint

16

Cor^{m}.

Sint quantitates a b c d in continua proportione multiplici, $ed d ad e $it uelut re$idui a & b ad b, dico proportionem a ad b c d e e$$e ut d ad e. Quia enim e$t gnomonis e ad quadratum d, ut d ad e ex $uppo$ito erit per coniunctam proportionem c & d ad d & e, u<*> 13. Propo$. quinti Elem. d ad e, $ed e gnomo cum quadrato d efficit qua- dratum e, igitur ut c quadrati ad d & eiuncta, ita d ad e. Rur$us, quia b quadrati ad c quadratum, Per 19. quin ti Elem. ut c ad d erit gnomonis b ad quadratum c, ut gnomonis c ad quadratum d, & ita d ad e, igitur Per 12. quin ti Element. gnomonum b c cum quadrato d ad aggrega- tum c d e quadratorum, ut d ad e, $ed c gno- mo cum d quadrato perficit c quadratum, & c quadratum cum gnomone b perficit quadratum b, igitur proportio quadrati b ad quadrata c d e, ut d quadrati a d e. Et ita repetendo de quotuis quantitatibus in infi nitum u$<01>. Hæc proponitur ab Archimede in libro de quadrato æquali parabolæ, & minus generaliter & pluribus demon$tratur. Ego tamen quia e$t generalis, de$cribam illam per corrolarium: ad- dam<03> aliud quod ex hoc $equitur.

Cor^{m}. 1.

Si fuerint quotlibet quãtitates omnes analogæ præter ultimam, $it autem penultima ad ultimam qualis re$idui primæ & $ecundæ ad $ecundam, erit proportio primæ ad aggregatum omnium alia- rum ueluti penultimæ ad ultimam.

Cor^{m}.

Hæc enim e$t euidens, quia conuenit ei demon$tratio propo$ita. exemplo autem in numeris à latere po$ito uides declarationem. nam proportio 16 ad 32 e$t uelut 27 re$i dui primæ & $ecundæ ad ip$am $e- cundam $cilicet ad 54.

Cor^{m}. 2.

Ex hoc patet etiam quòd a$$umptis omnibus, $ub multiplicibus analogiæ u$que in infinitum prima quantitas e$t multiplex aggre- gati omnium reliquarum numero 1 m: quo prima e$t multiplex $ecundæ.

Cor^{m}. 3.

Si fuerint quotlibet quantitates in $uper particulari proportio- ne analogæ, erit proportio primæ ad aggregatum omnium in infi- nitum iuxta proportionem multiplicem conuer$am illius partis.

Cor^{m}.

Velut collectæ in $e$quialtera duplæ in $exquitertia triplæ in $exqui$eptima $eptuplæ. Vt capio 512 448 392 343, & ita deinceps u$que in infinitum aggregatum omnium earum erit 3584. Septu- plum

17

plum 512, & aggregatum 18. 12. 8. 5 2/3, & ita deinceps in $<*>xquialtera erit 54 duplum 27 primæ in eo ordine.

SCHOLIVM.

Ex quo patet genus demon$trandi nouun & pulchrum: nam $upponatur 54, aggregatum duplum 27, primæ igitur addito 27 ad 54, cum $it dimidium, & addito 13 1/2, dimidio 27 ad 27, nam ex $uppo$ito quantitas $equens e$t $exquialtera ad 27, igitur 81 e$t du- Per 18. quin ti Elem. plum ad 40 1/2. Igitur conuertendo e$t proportio aggregati prioris ad 27 e$t dupla, ergo aggregatum e$t 54.

Cor^{m}. 4.

Ex hoc patet eandem generaliter quod proportio maioris quan titatis ad aggregatum reliquarum analogarum e$t, uelut eius quod prouenit diui$o quadrato maioris termini per differentiam eius, & $equentis maioris in eadem proportione ad ip$um maiorem.

Co^{m}.

Exemplum $it proportio augens 25 & 35 duarum quintarum, uo lo $cire quantum $it aggregatum omnium citra 25, maximam acci- pio 35, ulteriorem ad 25, cuius differentia a 25 e$t 10, cum quo diui- do 625 quadratum, exit 62 1/2 aggregatum quantitatum. Et facile po- Quæftio. re$t demon$trari. Si quis dicat in qua proportione $unt infinitæ quantitates analogæ cum 12, quæiunctæ efficiunt 10, iunge 10 cum 12 fit 22, duc 22 in 12 fit 264, diuide 264 per 10, exit 26 2/3, & in ea pro- portione erũt illæ quantitates, in qua $unt 26 2/3 ad 12: duc per 5 fiunt 60, & 132 diuide per 12, exeunt 11 & 5, & ita eruntin proportione 11 ad 5 experiaris, & inuenies, & demon$tratur ex prioribus.

Propo$itio decimanona.

Si fu erint aliquot quantitates arithmeticæ omiologæ, quarum exce$$us $it æqualis minimè, omnibus autem deficientibus $upple- menta ad &ecedil;qualitatem maximè adiungantur, erunt quadrata omni- um quantitatum æqualium adiecto rur$us quadrato primæ cum eo quod fit ex minima primi ordinis in aggregatũ omnium quan- titatum eiu$dem tripla aggregato quadra- torum omnium quantitatum primi ordinis Co^{m}. pariter acceptis.

Sint aliquot quantitates a b c d e f g h in continua <04>portione. Arithmetica di$po$it&ecedil; ita ut minima earũ qu&ecedil; $it h, $it &ecedil;qualis diffe- renti&ecedil; quantitatum $ecundũ ordinem di$po $itarũ, uelut differentia a & b, & b & c, & c & d, et ita de alijs, addantur aũt $upplem&etilde;ta $in gulis harum, quæ $int i k l m n o p, ita ut o&etilde;s fiant &ecedil;quales cũ $uis $upplementis ip$i line&ecedil; à maiori. E$t<03> id&etilde; ac $i e$$ent aliquot quanti B 3 tates

18

tates, & diuideren&ttilde; $ingul&ecedil; $ecundũ numerum illarũ, $i quatuor in quatuor partes æquales, $i quin<01> in quin<01>, $i decem in decem, eara tione ut ultima diuidere&ttilde;, ubi e$t finis primæ partis, penultima ubi e$t finis $ecundæ partis, antepenultima ubi e$t finis tertiæ, & $ic de alijs. Vocabo ergo primas quãtitates <04>po$itas a b c d e f g h quan- titates primi ordinis, $ed quantitates æquales quæ con$tãt ex quan titatib. primi ordinis, & fupplementis, appellabo quantitates $ecun di ordinis: ex quo patet quòd prima quãtitas erit ex utro <01> ordine, quia non e$t diui$a, reliquæ omnes differunt, quantitates uerò quas adiunxi nominabo $upplem&etilde;ta, & $unt una minus quã quantitates ordinum: ut $i quãtitates ordinum $int octo, erunt $upplementa $e- ptem, & $i quantitates ordinũ, e$$ent $eptem e$$ent $upplem&etilde;ta $ex, quia inter $upplementa nõ adnumera&ttilde; quantitas indiui$a. Erunt er go $upplementa i k l m n o p, quætanto erunt maiora quanto quan titates primi ordinis $unt minores, & contrà tanto maiora, quanto quãtitates primi ordinis $unt maiores. quantitates aũt $ecundi ordi nis appellabun&ttilde; a, b i, ck, dl, em, fn, go, & hp. Hæcuolui pluribus agere, ut dilucidior e$$et <04>po$itio. quæ licet nõ $it difficilis, e$t tam&etilde; confu$a ualde propter multitudinem quantitatũ & ordinum. Dico ergo &qring;d aggregatum quadratorũ quantitatum $ecundi ordinis pri mo quadrato bis repetito, $eu uno addito cũ eo quod fit ex minima in aggregatum quantitatum primi ordinis e$t triplũ aggregato ex quadratis omnibus quantitatũ eiu$d&etilde; primi ordinis, & utres exem plo facilius innote$cat, $int quãtitates primi ordinis 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. quorum quadrata $int 64. 49. 36. 25. 16. & 9.4 & 1. quæ iuncta faciũt 204, dico quod $i $umamus quadrata omnium quãtitatum $ecundi ordinis, quæ $unt octies 64, & eis addiderimus unum quadratũ ex his, ut fiant nouies 64, & erunt 556, $imul iuncta & eis addamus, &qring;d fit ex 1 quantitate minima primi ordinis in 36 aggregatum quanti- tatum omnium primi ordinis, & e$t tale productũ 36, ut fiat totum 612, quod tale 612 e$t triplum 204, aggregati quadratorũ primi or- dinis unius demon$tratio h&ecedil;c e$t. Quia ex quarta $ecundi Element. Euclidis $ingula quadrata quantitatũ diui$arũ $ecundi ordinis con $tant ex quatuor partibus quarum du&ecedil; $unt quadrata partium, reli- quæ duæ $unt producta ex partibus inuic&etilde; bis, & quia h fuit æqua- lis 1, & p &ecedil;qualis b, quia $upplementa fuerũt&ecedil;qualia mutuò quanti tatibus, & ita c æqualis o & k æqualis g & d, æqualis n & l, æqualis f, e aũt &ecedil;qualis m. Sequi&ttilde; ergo quod $umptis duabus quantitatibus $ecundi ordinis hab entibus $upplem&etilde;ta mutuò æqualia ip$is quan titatibus quod quadrata partium erũt dupla quadratis primarum quantitatum: ueluti capio b i $ecundam & h p ultimam, quarũ qua- drata

19

drata partium $unt quadrata b & i, & h & p, $ed b e$t æqualis p, & h æqualis i. Ergo quatuor quadrata b i & h p $unt dupla quadratis b & h, & ita concludã de omnibus ubi duæ quantitates duabus com parantur: $ed in e m quia e$t $ola una quantitas, i$tud e$t etiam cla- rius, quia quadrata e & m $unt dupla quadrato e $oli eo, quod & m In 5. El<*> Prop. 12. $unt æquales. Igitur per demon$trata ab Euclide erit proportio o- mnium quadratorum b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, ad quadrata b c d e f g h, pariter accepta proportio dupla. atuerò addito quadrato a quadratis b c d e f g h, & erunt quadrata omnium quantitatum, & quadratis b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, duplo qu<*>drati a $cilicet $emel, quia a e$t ex $ecundo ordine quantitatum, & $emel, quia hoc fuit a$- $umptum in Problemate. Sequitur ut quadrata omnia quãtitatum $ecundi ordinis, prout $unt diui$a in partes addito quadrato a, $int dupla quadratis primarum quantítatum, $imul pariter acceptis. Re liquum e$t modo ut o$tendamus dupla illorũ productorum, cum eo quod fit ex minima quantitate, $cilicet h in aggregatum ip$arum quantitatum primi ordinis e$$e æquale quadratis, quantitatũ eiu$- dem primi ordinis pariter acceptis. Con$tatigitur, quod duplum <*> in b e$t æquale duplo h in ip$um b, quia h & i $unt æquales, & du- plum k in ip$um c, e$t æquale quadruplo h in idem c, quia k e$t du- pla h, & $imiliter duplum l in ip$um d e$t æquale $excuplo, h in d, quia l e$t tripla h, & ita procedendo erunt illa dupla producta æ- qualia productis ex h in ip$as quantitates toties $umptis quantus e$t numerus, qui prouenit duplicato numero, $ecundum qu&etilde; h con tinetur in illo $upplemento, exemplum uolo duplum producti lin d bis, $cio quòd $upplementum l continet h ter, duplicabo tria & fi- ent $ex, igi&ttilde; duplũ lin d æquale e$t $excuplo h in ip$um d. Quo con- $tituto, cum $uppo$itum $it producta illa duplicata cum <04>ducto h in aggregatum primarum quãtitatum e$$e æqualia quadratis ip$a- rum quantitatum, igitur addemus productũ ex h in $ingulas quan- titates productis illis prioribus, & fiet productum h in a $emel, in b ter, in c quinquies, in d $epties, in e nouies, in f undecies, in g trede- cies, & in h quindecies æquale duplo producti uniu$cuiu$<01> quan- titatis in $uum $upplementum cum producto h in aggregatũ ip$a- rum quantitarum, at quadratum a e$t &ecedil;quale producto ex h in eam, qu&ecedil; talem habet proportionem ad ip$um a, qual&etilde; habet a ad ip$um Lib. 6. El<*>. Prop. 17. h per demon$trata ab Euclide, & pariter de quadrato b, quod e$t &ecedil;- quale ei quod fit ex h in eam quæ toties continet b, quotiens b con tinet h, & ita quadratum c æquale e$t ei, quod continetur $ub h, & habente proportionem ad b eandem, quam b ad h, & $imiliter de quadrato c & omnibus reliquis, u$<01> ad h ip$um. Gratia ergo exem B 4 pli

20

pli quadratum a, erit æquale producto ex h in omnes quatitates $e- cundas, quia quotus e$t numerus quantitatum, totus e$t numerus $ecundum quem a continet h, & $imiliter quotus e$t numerus quan títatum incipiendo à b, & quotus e$t numerus quantitatum incipi- endo à c, toties b uel c contin&etilde;t h, & ita de alijs, quadrata ergo om- nium quantitatum $imul iuncta $unt æqualia productis ex h in $in- gulas illarum toties $umptis, quoties illæ cõtinent h, $eu quotus e$t numerus illius quantitatis, incipiendo ab h, & numerãdo uer$us a. Rur$us dico, quod productum multiplicis cuiuslibet quãtitatis in minimam, $eu quadratum eiu$dem quantitatis &ecedil;quale e$t producto eiu$dem quantitatis, & dupli omnium $equentium primi ordinis in ip$am minimam quantitatem, uelut quadratum a e$t æquale produ cto ex h in a, & in duplum b c d e f g h, hoc aut&etilde; facile e$t probare in his quantitatibus, quia $i quadratum a e$t æquale producto h in o- mnes quantitates $ecundi ordinis, & omnes quantitates $ecundi or dinis $imul $umptæ $unt &ecedil;quales ip$i a, & duplo reliquarũ primi or dinis, quia tales quantitates $unt æquales $uis $upplementis uici$- $im, ut h cum i, k cum g, f cum l, e cũ m, ergo tam $upplementa, quàm quantitates primi ordinis $unt dimidium quantitatum $ecundi or- dinis, ergo duplum quantitatum primi ordinis e$t dimidium quan titatum $ecundi ordinis, uerùm de b dico idem accidere, quia qua- dratum b e$t &ecedil;quale producto ex h in b, & in duplum reliquarum à b, $cilicet duplum c d e f g h, & hoc e$t o$tendere, quod i$t&ecedil; quantita tes $unt dimidium totidem quantitatum æqualium b, nam c e$t mi- nor b in h, & $upplementum p quod e$t æquale ip$i b, $i tota h p fiat æqualis ip$i b, ut pote h q erit ip$a q dempta h æqualis ip$i c, ergo quantitates primi ordinis $emper $unt æquales $upplementis non ueris, $ed prioris quantitatis a$$umptæ, $eu in comparatione ad il- lam, quadratum igitur b e$t æquale <04>ducto ex h in b, & in duplum c d e f g h, & $imiliter per eadem, quadratum c e$t æquale producto ex h in c, & in duplum d e f g h, & $ic de alijs. Habemus ergo, quod quadrata a b c d e f g h $imul iuncta $unt æqualia producto ex h in a, & in duplum reliquarum, & ex h in b, & in duplum reliquarum $equentium, & producto ex h in c $emel, & in duplum $equentium u$<01> ad h, & ita de reliquis. hoc enim e$t, quod nuper demon$traui- mus. Antea quo <01> demõ$tratum e$t, quod duplum b in i, c in k, d in l, e in m, f in n, g in o, h in p, cũ producto h in aggregatũ a b c d e f g h erat &ecedil;quale productis ex h in a $emel, & in b ter, & in c quinquies, in d $epties, in e nouies, in fundecies, in g tredecies, in $eip$am h quin- decies, detractis ergo p ordin&etilde;, &qring;d fit ex h in a ab utro <01> aggregato, & ex h in b c d e f g h bis relinque&ttilde; ex una parte, <09> fit ex h in b $emel cum

21

cum $uis duplicatis $equentibus, & in c, & in d, & in reliquis pa- riter conduplicatis $uis $equentibus ex altera, quod fit ex h in b $e- mel, in c ter, in d quinquies, in e $epties, in f nouies, in g undecies, in h tredecies, detractis ergo rur$us quod fit ex h in b $emel, & ex h in c d e f g h bis relinquetur, quod fit ex h in c, & duplo $equen- tium, & d & duplo $equentium, & e & aliarum pariter: & ex alia parte, quod fit ex h in c $emel, & in d ter, & in e quinquies, in f $e- pties, in g nouies, in h undecies. Ab his rur$us detractis, quòd fit ex h in c $emel, & in $equentes bis, relinquetur h in d $emel cum $uis $equentibus bis, & in e $emel cum $uis $equentibus & in f, & in g & in h pariter, & ex alia parte, quod fit ex h in d $emel, in e ter, f quin- quies, g $epties, h nouies, ab his rur$us detraho, quod fit ex h in d $emel, & in $equentes bis, relinquetur ex una parte, quod fit ex h in e f g h cum duplo $equentium ex alia, quod fit ex h in e $e- mel, f ter, g quinquies, h $epties, & $imiliter ab his detractis, quod fit ex h in e $emel, & bis in $equentes, relinquetur ex una par- te; quod fit ex h in f $emel, & in g h bis, & in g $emel, & in h bis, & in h $emel, & ex alia, quod fit ex h in f $emel, in g ter, in h quin- quies. Iterum detractis, quod fit ex h in f $emel, & in g h bis com- muniter relin quetur, quod fit ex h in g $emel, & in h bis, & in h $e- mel, & ex alia parte quod fit ex h in g $emel, & ex h in h ter. Sed i$ta, quæ relicta $unt iam, $unt manife$tè æqualia, ergo etiam pri- ma aggregata ab initio fuere æqualia, ergo & æqualia illis qua- drata a b c d e f g h his, quæ fiunt, ex h in ea$dem quantita- tes cum duplo producti b in i, cin k, d in l, e in m, f in n, g in o, h in p, $ed iam his quadratis a b c d e f g h demon$trata $unt e$$e du- pla quadrata h p, g o, f n, e m, d l, c k, b i, cum duplo quadra- ti a, ergo quadrata omnium quantitatum $ecundi ordinis cum quadrato a rur$us repetito, & producto h in aggregatum quanti- tatum primi ordinis $unt tripla quadratis quantitatum primi ordi- nis pariter acceptis, quod fuit propo$itum, & fuit Archimedis in li bro de lineis $piralibus, & ego adieci hic propter modum demon $trandi, qui e$t eleganti$simus, & procedit ex principijs arithmeti- cis, & diuer$is à communibus, & ideo non reuoluitur, ut $olentre- liquæ quæ$tiones.

Propo$itio uige$ima.

Cùm fuerint quatuor quantitates, fuerit<03> $ecunda æqualis ter- tiæ, aut primæ æqualis quartæ, erit proportio primæ ad quartam, aut tertiæ ad $ecundam producta ex proportionibus primæ ad $e- cundam, & tertiæ ad quartam.

Cor^{m}.

Cùm enim quantitates hæ non fuerint &ecedil;quales, cõ$tat per $ecun- dam

22

dam harum, quod proportio primæ ad quartã producitur ex pro- portione primæ ad $ecundam, $ecund&ecedil; ad tertiam, & terti&ecedil; ad quar tam: ergo non ex $olis proportionibus primæ ad $ecundam, & ter- tiæ ad quartam, & $imiliter ex prima harum proportio prim&ecedil; ad $e- cundam, & tertiæ ad quartam producunt proportionem producti primæ in $ecundam ad productum tertiæ in quartam. Et in multi- plicatione proportio, quæ $olet e$$e inter producta illa, & e$t qua$i duplicata e$t inter ip$as quantitates. Sint igitur quantitates a b c d, & $it b æqualis c, ponantur ergo recto ordine a b c d, erit<03> propor tio a ad d producta ex proportioni- bus a ad b, b ad c, & c ad d, producan- tur igitur ex proportionibus a ad b, c ad d. proportio c ad f, erit igitur pro- portio e ad f, $i multiplicetur per pro- portionem b ad c eadem quæ prius, & Per 16. Pet. producta iam e$t eadem ei, quæ e$t a ad d, ergo proportio a ad d erit producta ex proportionibus a ad b, c ad d per primam propo$itionem. Quod uerò diximus de pri- ma & quarta $i $int æquales, manife$tum e$t, quòd res redit ad idem $olum tran$mutato ordine, ut tertia, & quarta præmittantur prim&ecedil;, & $ecundæ. Hæcigitur propo$itio nihil aliud innuit, quàm quod in hoc ca$u productio, quæ$olet fieri ex tribus proportionibus fiat ex duabus tantum.

Propo$itio uige$imaprima.

Cùm decu$$atim ducta fuerit prima in quartam, & $ecunda in ter tiam; productum<03> primæ in quartam diui$um fuerit per produ- ctum $ecundæ in tertiam erit proportio primæ ad $ecundam diui- $a per proportionem tertiæ ad quartam. Et $imiliter interpo$ita omiologa.

Cor^{m}.

Primum exponamus $ecundam partem, $it proportio a ad b, quam uolo diuidere per proportionem c ad d, facio e ad b, ut c ad d, erit Per 10. Pet. ergo per $ecũdam harum proportio ad b pro- ducta ex proportione a ad e, & e ad b, quare ex a ad e, & c ad d, ergo diui$a proportione a ad b per proportionem c ad d exit proportio a ad e, & hic e$t $ecundus modus. Primus autem modus ducatur a in d & fiat f, & b in c & fiat g, dico proportione f ad g e$$e prouen- tum proportionis a ad b, diuide per proportionem c ad d, ducatur igitur c in f & fiat h, & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c in f, & f producitur ex a in d, ergo h producetur ex producto c in d, in a, & $imiliter quia k producitur ex d in g, & g producitur ex b in c, ergo

23

c, ergo k producetur ex c d in b, ergo ex c d in a fit h, ex c d in b fit k. erit a ad b ut h ad k, igitur ex prima harum cum ex c in f producatur h, & ex d in g k, & dicatur produci proportio h ad k ex proportio- ne c ad d, & f ad g, & proportio h ad k $it eadem, quæ a ad b, ergo proportio a ad b producitur ex c ad d, & f ad g, ergo diui$a propor- tione a ad b prodibit proportio f ad g, quod fuit propo$itum.

Propo$itio uige$ima$ecunda.

Cùm fuerit proportio primæ ad $ecundam maior, quàm tertiæ ad quartam, erit confu$a ex his maior quàm tertiæ ad quartam, mi- nor autem quàm primæ ad $ecundam.

Sit proportio a ad b maior quàm c Co^{m}. ad d, dico, quod confu$a ex a c ad b d e$t maior, quàm c ad d, et minor quàm a ad b, ut enim c ad d ita fiat e ad b, erit <03> per tertiamdecimam ha- Per 10. Pet. rum e c ad b d confu$a minor quàm a c ad b d, nam e e$t minor a, quia proportionem habent minorem ad b quam a eo quòd e ha- bet proportionem ad b, quam c ad d, quæ aut&etilde; c ad d minor, quám a ad b, ut $uppo$itum e$t, igitur e c ad b d minor, quàm a b ad c d, e b autem ad c d e$t, ut demon$tratum e$t qualis c ad d, ergo c ad d mi- nor, quàm confu$a a b ad c d, quod e$t $ecundum per idem proba- bitur, & primum po$ita f ad d, ut a ad b, erit<03> a maior c, igitur ma- ior proportio a f ad b d, quàm a c ad b d, $ed a f ad b d, ut a ad b per candem tertiamdecimam huius ergo proportio confu$a a b ad c d e$t minor, quàm a ad b.

Propo$itio uige$imatertia.

Omnis motus naturalis ad locum $uum e$t: ideo per rectam li- neam fit.

Co^{m}.

Motus naturalis e$t, ut con$eruetur corpus, & conueniat locus corpori, igitur fit ad $uum locum. Locus autem dicitur in compara tione ad uniuer$um. ideo omnis motus naturalis e$t à centro mun- di $ur$um, uel ad centrum deor$um. Et quia quanto natura celerius $uum finem pote$t a$$equi (quia finis bonus e$t aliter non illum ap- peteret) eum quærit, cùm $it $apienti$simæ uitæ mini$tra: at linea re- Di$t. tertia primi Elem. cta breui$sima e$t Euclide te$te à puncto ad punctum, igitur omnis motus naturalis e$t $ur$um aut deor$um per rectam lineam.

Propo$itio uige$imaquarta.

Omnis motus circularis uoluntarius e$t.

Sit motus in circulo $eu per circulum in orbe cuius $it centrum, $it c mundi centrum: igitur ex diffinitione circuli tantum di$tabit a, quantum b ab ip$o c: $ed in motu naturali per pr&ecedil;cedentem nece$$e e$t, ut recta feratur ad c, uel recedat, igitur motus a e$t uoluntarius, non

24

non naturalis. nam $i uiolentus e$$et, non e$$et perpetuus. Omnia ergo a$tra feruntur circa centrum mundi. Sit modo rota e f g, di co enon moueri motu circulari nam linea e clõgior e$t g c, ergo recta mouetur ad cen trum non circa centrum. Indicio etiamid e$t: quòd $i in e ponatur fru$tum aliquod in$igne plumbi in motu ad g per f de$cen- det raptim: at dum ex g in e magna cum dif- ficultate, igitur motus hic non e$t naturalis, nec circularis. nihil etiam hoc modo $ponte mouetur. Sed cum non moueatur per rectam naturaliter, nec æquidi$tans à centro per cir- culum relinquitur, ut moueatur motu uiolento, aut mi$to, $ed non ex uoluntario, cum nullo modo moueatur æquidi$tans à centro, $ed $emper ab e lineæ ad centrum fiant breuiores, liquet e$$e mo- tum uiolentum: aut mi$tum ex naturali, & uiolento.

Propo$itio uige$imaquinta.

Tres $unt motus omnino $implices naturalis, uoluntarius & uiolentus.

Cor^{m}.

Tres $unt modi, quibus po$$unt moueri in comparatione ad cen trum $cilicet uel recta cum centro, uel æquidi$tando à centro, uel neutro modo, igitur tres motus. Rur$us uel à principio interiore non intelligente, & e$t naturalis, uel intelligente & e$t uoluntarius: uel exteriore & e$t uiolentus. Hæc autem diui$io e$t $olum propria non prima. Nam e$t uiolentus in recta ad centrum: ideo omnis, qui non e$t in recta ad centrum, nec æquidi$tat, uiolentus e$t: non ta- men omnis uiolentus e$t extra rectam. Attractio autem, quæ fit ob raritatem corporum, $eu, ut dicunt, à uacuo, uiolenta e$t non natu- ralis ni$i ratione finis, non agentis. Sunt enim quatuor genera mo- 7. Phy$. cap. 2. tus uiolenti ab Ari$totele po$ita, uectio, tractio, pul$io, & uolutio: quanquam his non opus $it in demon$tratiua $cientia. cõ$tat enim uolutionem ex tractione, & pul$ione apud illum con$i$tere.

Propo$itio uige$ima.

Motus ergo compo$iti quatuor nece$$ariò $unt $pecies.

Si tantum $unt tres $pecies $implicium, con$tat ratione arithme- tica quatuor e$$e compo$itorum. Di$quiramus ergo an $int natura- liter tot $pecies, for$an enim repugnabit aliquis alicui. Porrò uidea- mus primò, quot $int uiolentorum $pecies: Prima erit cum non $e- cundum rectam lineam fuerit: nec à centro æquidi$tantem. Secun- da cum fuerit $ecundum rectam, $ed non ad centrum. Tertia cum fuerit in recta ad centrum, $ed contrario modo, uelut terræ $ur$um. Quarta

25

Quarta cùm in recta ad centrum, $ecundum naturam, $ed nõ à prin cipio naturali. Velut cum quis proij cit lapidem rectà in terram è turri uiolentius, quàm ille $ua grauitate de$cen$urus e$$et. Hic igi- tur motus e$t compo$itus ex naturali, & uiolento. Animalium au- tem motus uoluntarius e$t, cum $it à principio interiore cogno$cen te: & $it quatenus à principio in linea circulari æqualiter di$tante à centro: $ed quia ob$tat grauitas, ideò mi$tus e$t ex naturali, & uo- luntario. Sed circularis, & uiolentus $oli e$$e non po$$unt: nam uio lentus e$t nece$$ariò in corpore graui aut leui: $ed omne corpus gra ue aut leue, cùm mouetur, naturaliter mouetur $altem in fine: & per totum motum, motu ócculto, qui maximè in hoc libro dignus e$t con$ideratione, igitur motus uoluntarius, & uiolentus non po$- $unt e$$e $imul $oli. Eruntergo $ecundum naturam tantùm tres $pe- cies. Velut cùm quis $candit, aut$alit: E$t enim motus naturalis $al- tem in fine, & uoluntarius, & uiolentus. Si quis autem uelit uiolen- tum cum uoluntario copulare dicemus con$tare eam compo$itio- nem in initio $aliendi. Motum autem occultum uocamus grauita- tem aut leuitatem.

Propo$itio uige$ima$eptima.

Motus uoluntarius e$t in loco: naturalis ad locum: uiolentus exloco.

Hæc e$t tertia differentia primarum $pecierum motuum uolun- tarius fit manente corpore toto in eodem loco, ideo proprius e$t cœlo, corpora autem animalium in eodem loco feruntur: quia in eodem orbe nata redire ad proprium locum. Et ideò, ut dixi, e$t mo tus mi$tus ex naturali, & uoluntario, qui $i per $e fieret, non fatiga- ret mobile, cùm ex utro<01> principio ab interiore ui procedat. Sed quia fit per mu$culos, qui trahuntur: hic autem motus e$t uiolen- tus, ideò per con$equentiam fatigat. Qui uerò naturalis, e$t ut re- deat corpus ad $uum locum, igitur naturalis e$t ad locum. Sed uiolenti finis e$t, ut protrudatur ex loco in quo e$t, non habens cer- tum finem. licet enim qui trahit, ad $uum locum trabat, non tamen ad locum mobilis.

Propo$itio uige$imaoctaua.

Motus quilibet naturalis aut uiolentus in aliquo medio fit.

Co^{m}.

Cùm uacuum non detur, & omnis motus naturalis $it ad locum, et uiolentus ex loco per præcedentem, igitur cùm non $it in medio, uacuum erit in aliquo corpore, uelut aere, aqua, igne, ligno.

Propo$itio uige$imanona.

Omnis motus uoluntarius æqualis e$t $emper: $impliciter etiam quilibet alius motus.

C Motus

26

Com.

Motus uoluntarius non habet, quòd fatiget, & $umma perfectio e$t æqualitas, & natura quæ mouet non debilitatur, igitur perpe- tuo per$euerat æqualis. ne<01> enim e$t, ut dixi, per medium corpus. Naturalis quo<01>, & uiolentus cum ratione proportionis mouentis $upra mobile per$e non uarientur, & ab &ecedil;quali proportione &ecedil;qua- lis uelo citas proueniat, igitur natura tales motus $unt &ecedil;quales, nam in utro<01> mouens, mouet $ecundum ultimam $uam uim.

Propo$itio trige$ima.

In omni corpore mobili in medio, partes medij re$i$tunt obuiæ, aliæ impellunt.

Co^{m}.

Sit mobile a cui partes $ubiaceant directæ b, & $it graue. Et pa- tet ne diuidatur b re$i$tere, cum autem $uperauerit, partes b de$cen- dunt ante a, & trahunt partes c & d adh&ecedil;rentes $ecum, at<01> ita e c d f adiuuant ad de$cen$um partes etiam laterales g & h cum a tran$it in b, ne detur uacuum, tran- $eunt in k uelo ci motu, ergo propellunt a maio reimpetu inferius.

Cor^{m}.

Ex quo patet, quod in omni motu naturali, uel uiolento fit augumentum uelocitatis ab initio $altem u$que ad aliquid.

Co^{m}.

Et ideò etiam bellicæ machinæ cuiu$cun<01> generis certam exi- gunt di$tantiam, ut uiolentius feriant.

Propo$itio trige$imaprima.

Omnis motus naturalis in æquali medio ualidior e$t in fine, quàm in principio: uiolentus contrà.

Co^{m}.

Cùm enim ex præcedenti augeantur $emper ob medium, & cau- fa, quæ mouet, $it perpetua, & à principio æterno, quod per dictæ æqualiter mouet, igitur motus ille fiet uelo cior in fine quàm in alia parte temporis. In uiolento autem, cùm perueniat ad finem de$init <*> 29. Propo$. uis illa nece$$ariò, quæ mouet, & $uperatur à ui naturali, quæ mo- uet in contrarium, igitur antequam ce$$et motus fiet tardi$simus in fine.

Ex quo patet, quòd motus quadrifariam mi$ti dicuntur, aut $pe- Cor^{m}. cie, ut cùm quis iacit lapidem è turri: uel ex occulto naturali, & uio- lento manife$to: uelut cùm quis iacit lapidem, & de$cendit po$tmo dum ex b in c motu utroque manife$to, $ed ex a in b motu uiolento manife$to, & naturali oc- culto: uel ratione medij, & hoc modo omnis motus naturalis etiam non $olum uiolentus e$t mi$tus ex proportione uirtutis mouentis, cum motu medij, ad me- dium ip$um, uel $i uiolentus $it ex proportione uirtutis mouentis, & medij

27

& medij ad mobile, ac medium, quod re$i$tit. Quarto ex motibus imperfectis natura $ua, & non e$t uera mi$tio, & hoc apparet in mo- tibus uoluntarijs animalium, qui non $unt ne<01> æquales, ne<01> perfe ctè circa medium: $ed $unt potius $imiles uoluntarijs. Etideo de- mon$trationes illæ Ari$totelis quoad u$um nihil iuuant nos.

Propo$itio trige$ima$ecunda.

Omne mobile naturaliter motum, $eu uiolenter uelo cius moue- tur in medio rariore, quàm den$iore. Maior quo<01> e$t proportio fi- nis motus in corpore rariore ad finem motus in corpore den$iore, quàm principij. In uiolento autem celeriùs perueniet ad finem mo tus in corpore den$iore.

A mobile moueatur in b medio rariore, & in c den$io- Co^{m}. re, igitur b minus re$i$tit, quàm c & magis adiuuat, quia uelociùs mouetur: igitur duplici de cau$a a mouebitur uelociùs in b quàm in c: & quia per corrolarium trige$i- mæ, & præcedentis proportio finis (ubi æqualiter moueantur) ad $ua principia maior erit in d, quàm in e: ergo per demõ$trata à Cam pano po$ita d prima, b $ecunda, e tertia, c quarta, maior erit propor- tio d ad e, quàm b ad c quod fuit propo$itum in naturali.

Propo$itio trige$imatertia.

Omnia duo mobilia æqualis undi<01> magnitudinis, quæ æquali in tempore æqualia $patia pertran$eunt in diuer$is $ub$tantia me- dijs, nece$$e e$t, ut $it ponderis ad pondus, quemadmodum medij ad medium, proportio duplicata.

Co^{m}.

Sint duo mobilia a & b magnitudine, & forma omnino paria, & $int media c & d, exempli gratia: & pertran$eant æquale $patium in utro<01> in eodem tempore, e dico proportionem ponderis b ad pondus a e$$e duplicatam ei quæ e$t raritatis c ad raritatem d. Quia enim feruntur æqualiter, nam in æquali tem- pore, $eu eodem æqualia $patia pertran$e- unt, erit proportio potentiæ a cum $uo auxi- lio ad id, quod re$i$tit ex c ut b cum $uo au- xilio ad id, quod re$i$tit ex d, permutando igi tur d ad c, ut b ad a, $ed c ad d proportio rari- tatis duplicat actionem, tum minus re$i$ten- do, tum adiuuando motum a, igitur proportio differentiæ motus e$t duplicata proportioni raritatis: $ed proportio motus e$t æqua- lis proportioni ponderis uici$sim per uige$imam$extam $exti Ele- mentorum b ad a, igitur proportio b ad a ponderis e$t duplicata ei, quæ e$t raritatis c ad raritatem d.

C 2 SCHO-

28

SCHOLIVM PRIMVM.

Ne tamen $ine exemplo intelligas hanc duplicatam rationem, proponatur craritas quatuor, d unum, a pondus duodecim libra- rum, tunc c re$i$tit $olum ex quarta parte, & effi- cit a quadruplo maioris actionis, $cilicet ut qua- draginta octo, tota igitur proportio, qua mo- uebitur a in c, erit centum nonaginta duorum, & hoc diuidemus per d, quod e$t unum, exibit põdus b centum nonaginta duo. Pro- portio igitur b ad a e$t $exde cupla, & hæc e$t duplicata quadruplæ raritatis c ad raritatem d.

Quòd $i quis neget tantundem augere c actionem a, quanto mi- nus re$i$tit, $ed aut magis aut minus, & $it proportio b ad a dupli- cata ip$i f, dico fe$$e proportionem c ad d, nam proportio b ad a e$t uelut actionis c ad d per decimam$extam $exti Elementorum, ergo ex auxilio c in proportionem a ad c fit proportio b ad a, $ed ex fin $e fit proportio b ad a ex diffinitione proportionis duplicatæ. Sed ex duabus proportionibus a ad c, & actionis ex c ad a produ- citur proportio b ad a, igitur per decimam$eptimã $exti Elemento- rum proportio c ad d e$t media inter proportiones a ad c, & actio- nis a in c, quare æqualis f, igitur proportio b ad a duplicata ei, quæ e$t c ad d quod erat demon$trandum.

SCHOLIVM SECVNDVM.

Si autem media fuerint diuer$arum rationum, ut aqua, & aër non demon$trat argumentum, quia pondera inter $e non $eruant ratio- nem. Nam lignum centum librarum ex $alicis arbore, non magis de$cendit, quàm lignum libræ unius. Ideò nec in comparatione ad medium aëris.

Propo$itio trige$imaquarta.

Proportio corporis cubi ad $uam $uperficiem quadratam, e$t ue- lut eiu$dem $uperficiei ad latus, eiu$dem uerò ad monadem.

Co^{m}.

Sit cubus a b c eius quadrata, $uperficies a c, latus a b, monas d, dico eas e$$e inuicem analogas. Quia enim proportio a b c ad a c e$t, ut quoties a$$umitur a c in a b c, & toties ctiam a$$umitur a b in a c ex diffinitione Eucli Prima ex Campano. dis $ecundo Elementorum, $i ergo monas e$t in continua proportione, habeo intentum: $i non ponatur e media inter a e & d, erit ergo per decimam noni Elementorum elatus a c, ergo æqualis a b, igitur cum a c, e & d $int analogæ, erunt & a b c, a b, & d analogæ, quod fuit demon$trandum.

Propo $itio

29

Propo$itio trige$imaquinta.

Vocum magnitudines excre$cunt in acumine non in grauitate, finis autem e$t in utro<01> extremo, propter hoc minima facta uaria- tione in hypate acutæ uix ferunt.

Com.

Quoniam facta uariatione in hypate, quæ e$t in Diapa$on, uel bis Díapa$on maiore interual- lo di$tat, uelut ex a in b in grauiore, maius e$t in- teruallum ex c in d, igitur maior e$t b d, quàm a c ergo $ingulæ uoces inter b & d magis di$tant, quàm inter a & c, & quanto magis appropin- quant ad d, igitur d maius e$t quàm b. Ergo magnitudo e$t ratione acuitatis, non grauitatis, cum $uppo$uerimus d e$$e acutiorem b & cip$o a. O$tenditur etiam idem quia uox grauis fit ex priuatione motus $icut acuta ex uehementia. Motus autem e$t res, quies, priuatio.

Secundum $ic: nam remi$sio mota non feriet aurem, ideò $onum non pariet ob nimiam tarditatem. At in uelo ci$simo motu oportet uel fidem uel arteriam contrahi, & non contrahitur ni$i per mu$cu- los, igitur contentio illa finem habet. Si autem non $it nece$$arium habere, uel ualde procul po$sit extendi contentio, ut in machinis igneis $trepitus fit maximus, nam motus, ut motus e$t etiam in aëre nullum finem per $e habet ni$i ratione in$trumenti, ergo $trepitus tantus e$$e pote$t, ut fermè ob$urde$cant, qui audierint, ut ferunt de Nili cataractis.

Tertium $ic $it a b humi- lior uox, quæ excre$cat $e- mitonio minore $olum in c, & $it d e dupla ad ab $e- cundum naturam, ut in uo- cibus medijs fiet, ut $i e debeat excre$cere $emitonio minore per de- cimamnonam quinti Elem&etilde;torum fe dupla c b, & in acutis ubi ex- creuerit ad diapa$on quadrupla: pueri autem uox, quæ iam diapa- $on altior e$t d e, erit bis diapa$on, & ideò quadrupla b c, $ed in acu- tioribus erit dupla, nullus enim puer e$t adeo fractæ uocis, qui$u- pra humillimam non a$cendat per diapa$on, igitur interuallum uo- cum erit octuplum a d, b c, $ed communiter a$cen dunt ad bis diapa $on, igitur interuallum unius uocis etiam cum $emitonio propor- tionem habentis e$t æquale fermè toti a b, cum autem in diapa$on $int duodecim $emitonia, & duo comata, manife$tum e$t, quod ex- ten$io illa erit maxima in cõparatíone grauioris uo cis a b. Etideò minimum in crementum in humilioribus uocibus, ubi quis coga- C 3 tur

30

tur a$cendere, maximum e$$e uidetur, adeò ut ægrè à pluribus fera- tur, à quibu$dam non omnino feratur.

SCHOLIVM.

Ob hoc natura fecit, ut non quemadmodum in fidibus uoces ex breuitate intenderentur, $ed ex con$trictione ligulæ, ut dicunt, $u- per a$peram arteriam uox ad diapa$on acueretur addito impetu proportione, ut ex con$trictione, & impetu cõ$urgeret dupla pro- portio. Hoc autem manife$tè experimur in elymis in quibus nullæ pror$us facta mutatione in$trumenti con$tantibus digitis omni- bus præter pollicem $ini$træ uocem exacuimus ad diapa$on, inde etiam ad bis diapa$on: $icut declarauimus in commentarijs Epi- demiorum.

Propo$itio trige$ima$exta.

Si proportio per proportionem minorem æquali ducatur, pro- portio minor producetur. Vnde manife$tum e$t duas proportio- nes minores æqualitate inuicem ductas proportionem minorem unaqua<01> illarum producere.

Co^{m}.

Proportio a b ad c, quali$cun<01> $it, duca- tur in proportionem minorem æqualitate fad g, dico quod producta proportio erit minor ea, quæ e$t a b ad c fiat d ad a b, ut f ad g, et erit per $ecundam huius d ad c pro- ducta ex proportionibus a b ad c, & f g. Item<03> per decimamquar- Per 1 <*>. Pet. tam quinti Elementorũ erit d minor a b, igitur maior a b ad c, quàm d ad c. igitur quàm proportio a b ad c in proportionem f ad g. Sit autem utra<01> minor æqualitate ea, quæ a b ad c, & ea quæ f ad g, di- co productam unaqua<01> earum e$$e minorem. Quod enim (manen tibus his, quæ dicta $unt) minor $it d ad c, quam a b ad c ex prima parte o$ten$um e$t. Quòd uerò etiam minor $it d ad c, quàm d ad a b, & ex con$equenti quàm f ad g demon$tratur $ic. Quia enim mi- nor e$t a b ad c, æqualitate erit a b minor c, fiat ergo h æqualis a b, erit ergo d ad h, ut d ad a b per $eptimam quinti Elementorum, at d ad c minor quàm d ad h per octauam eiu$dem, igitur minor d ad c, quàm d ad a b, igitur patet propo$itum.

Propo$itio trige$ima$eptima.

Si plures homines, quorum nulli per $e nauim mouere po$sint, aut pondus ferre $imul iuncti eam moueant, aut pondus ferant, erunt illæ proportiones coniunctæ non productæ.

Co^{m}.

Cùm enim primus non po$sit mouere nec $ecundus, erunt pro- portiones minores æqualitate, Ideò per $ecundam partem præce- dentis multo minus mouerent duo, quàm unus. Et $i quatuor mo- ucrent

31

uerent unus<03> per $e mouere non po$$et, adderetur $i proportio produceretur, fieret minor, ergo minus mouerent quinque quàm quatuor ex ij$dem, quod e$t ab$urdum.

Propo$itio trige$imao ctaua.

Omne corpus tantùm re$i$tit motui contrario $uo naturali quan cum mouetur occulto motu quie$cendo.

Com.

Sit a corpus quie$cens in pauimento b, & mouetur in eo occul- In commen. 26. Propo$. to motu uer$us centrum, ut $uprà ui$um e$t, contra- rius illi $it motus ad c, $i ergo a quie$ceret in c moue- retur ad b occulto motu certa ui, ergo eadem re$titit, ne traheretur ad c. Manife$tum e$t autem, quod hic Per 30. Pro po$. motus occultus e$t minor manife$to.

Cor^{m}.

Ex hoc patet cur naues & currus ab initio tardè & difficulter mo ueantur, ubi moueri cœperint motus augetur: quoniam re$i$tunt Que$t. 31. per motum occultum naturalem qui maximus e$t dum quie$cunt, ut etiam do cebat philo$ophus in mechanicis, nam motus ille natu- ralis e$t, & ideò contrarius uiolento: Ergo cum iam mouetur uio- lenter minus, mouetur naturaliter, igitur minus re$i$tit. Declarabi- tur enim infrà quòd omne quod mouetur duobus motibus tanto Propo$. 59. minus uno mouetur quanto magis altero.

Propo$itio trige$imanona.

Ab æquali aut minore ui, quàm $it impedimentũ, non fit motus.

Sit a quod re$i$tat, ne $ur$um trahatur per decem, dico, quod nõ Co^{m}. $ur$um trahetur neque à decem, neque minore: nam $i impedimen- tum non e$$et, moueretur infra ut decem, ergo $i traheretur $ur$um per decem tantum moueretur $ur$um, quantũ deor$um, ergo quie- $ceret. Si uerò à minore moueretur à maiore ui deor$um, quam $ur- $um, ergo deor$um $impliciter non $ur$um.

Propo$itio quadrage$ima.

Omne corpus $phæricum tangens planum in puncto mouetur ad latus per quancun<01> uim, quæ medium diuidere pote$t.

Sit corpus ad unguem $phæricum a tan- Co^{m}. gens planum b in puncto c (e$t enim hoc nece$$arium ex demon$tratis ab Euclide in decima$exta Propo$itione tertij Elemento- rum) dico, quod mouebitur à ui, quæ pote$t $cindere aërem. Nam cum non a$cendat, nec de$cendat, $ed qua$i in circulo ad centrum mundi moueatur, pondus non affert. Ne<01> ratione magnitudinis contactus, cum $it in puncto $olo, igitur remanet $olum aëris impedimentum.

C 4 Exhoc

32

Cor^{m}. 1.

Ex hoc liquet, quod oportet b planum e$$e ex duri$sima mate- ria, quæ nullo modo cedat, aliter tanget plu$quàm in puncto.

Cor^{m}. 2.

Vix fieri pote$t, utin elementaribus $phæra tangat planum in puncto. Vel quia planum non erit exactè rectum, uel non durum, ut pror$us non cedat, uel non ad æquilibrium po$itum, uel $phæra non erit exactè rotunda.

Propo$itio quadrage$imaprima.

Si fuerint duæ quantitates $umatur<03> totius aggregatum maio- ris & minoris, quoties aggregatum minoris, & maioris, erit pro- portio confu$a maioris aggregati ad minus, minor quàm multipli- cis maioris ad multiplex minoris.

Co^{m}.

Sint duæ magnitudines a & b, & $it a maior b, & $umatur exempli gratia a quater cum b $e- mel, & b quater cum a $emel, dico, quod propor tio (quam confu$am e$$e liquet) aggregati primi ad $ecundum, e$t Ex 18. diff. minor quàm quadrupla. Con$tat enim quod proportio quadru- pli a ad a e$t maior, quam b ad quadruplum b, cum una $it quadru- pla, alia $ub quadrupla, igitur per uige$imam$ecundam huius ag- gregati quadrupli a cum b $emel, ad quadruplum b cum a $emel mi In 2. lib. de Atqui pon- deran. Propo$. 10. nor, quàm quadrupli a ad a, & maior quàm b ad quadruplum b, & e$t pro intellectu Archimedis.

Propo$itio quadrage$ima$ecunda.

Trahentium nauim, ut ferentium pondera proportiones in $e in- uicem, quomodo ducere oporteat con$iderare.

Co^{m}.

Hoc quomodo non po$sit fieri $uprà docuimus, nunc etiam ge- Propo$. 37. neraliter dicam, cum con$i$tant hæc in duobus terminis, productio uerò præ$upponit quatuor terminos, ut in prima propo$itione, aut $altem tres, atque in his medius habet rationem mouentis, & moti, ergo cum in huiu$modi nõ $int quatuor termini, nec tres, è quibus unus $it mouens, & motum proportio non poterit produci. Illud etiam patet exemplo, nam $i e$$et lapis, aut nauis ob$i$tens ut $ex, & e$$ent homines uiribus $inguli, ut quatuor cum dimidio, tres mo- uerent in proportione dupla $exquiquarta perdicta $uperius eo- dem loco, at $i proportio duci po$$et aliquorum hominum nume- rus po$$et mouere in duplicata proportione ad unguem $cilicet 5 1/16 ut e$$et uix hominum collectorum 30 3/8 at nullus e$t numerus ho minum qui collectus faciat hunc numerum, nam $ex homines ex- plentnumerum 27, & $eptem 31 1/2, & ideò non pote$t duci propor- tio. Et ideò maximus e$t error dicendo decem homines mouent na uim proportione tripla, ergo triginta alij additis illis $imiles robo- re mouebunt à proportione uiginti $eptupla $cilicet ducta nonu- pla

33

pla in triplam. Sed $umpta proportione alio modo producitur. Ve lut $i dicam, homines decem mouent nauim, aut ferũt pondus pro- portione tripla, igitur quadraginta homines idem facient propor- tione duodecupla $cilicet quadrupla in triplam ducta. Cum ergo addo triginta homines, qui mouent in proportione nonupla, non oportet ducere nonuplam in triplam, $ed totum numerum accipe- re, & quam proportionem habet ad partem, tandem habet uis mo- uens ad uim mou&etilde;tem. Vnde $i duo moueant in proportione $ex- quialtera, & $ex in proportione quadrupla cum dimidia, & iungan tur, ut fiant octo, non oportebit ducere $exquialteram, in quadru- plam $exquialteram, $ed cum octo ad duo $it in proportione qua- drupla, $umemus quadruplam ad $exquialteram, qu&ecedil; erit $excupla, & octo mouebunt, aut pondus gerentin proportione $excupla.

Propo$itio quadrage$imatertia.

Productionem ad additionem retrahere.

Co^{m}.

Sit proportio a ad b dupla pote$tate li- cet $int quin<01> homines, & $int quindecim homines c, & habebunt ad b $excuplam proportionem per præcedentem. Iuncta ergo a, & c per octauam huius mouebũt b proportione octupla, dico, quod $i du- xeris proportion&etilde; c ad a plus uno. i. qua- druplam in proportionem a ad b, quæ e$t dupla, proueniet eadem octupla. Nam quia in coniunctione $ufficit iungere c cum a, & $u- mitur $ecundum proportionem a ad b, igitur cum proportio a ad b co mparata ad proportionem c & a ad b $it, $icut proportio c & a ad a, & proportio c & a ad a $it, $icut proportio c ad a, & a ad a, & proportio a ad a habet rationem unius, igitur proportio aggregati c a ad b e$t producta ex proportione c ad a plus monade in propor tionem a ad b, quod erat demon$trandum.

Propo$itio quadrage$imaquarta.

Si fuerit proportio motoris ad id, quod e$t maximum non mo- uens & $patium, & tempus, nota erit etiam reliquorum nota.

Sæpe contingit, ut quin<01> homines moueant nauim, & $patium ad tempus notum, & etiam cognitum maximum, quod mouere non pote$t. Sit ergo a numerus hominum, b na- uis, c maximum, quod non mouere pote$t, d tempus, e $patium, f motor alius $iue numerus hominum notus, & g tempus, dico, quod h $patium notum erit, $eu notũ g tempus, & h $patium, dico, quod erit f motor, $eu numerus hominum

34

hominum notus. Quoniam ergo notum e$t a & c, quia e$t æquale b, igitur proportio a ad b nota e$t: $ed iuxta illam a mouet b in d tempore per e $patium, igitur per præcedentem, ut f ad a ita $patij ad e in d tempore. Sed per eadem ut temporis d ad $patium illud, ita g ad h, ergo cum nota $int d e f g erit etiam h, & ita conuertendo.

Propo$itio quadrage$imaquinta.

Rationem $tateræ o$tendere.

Co^{m}.

Archimedes nititur huic fundamento, quod pondera, quæ pro- portionem mutuam habent, ut di$tantiæ à libella a, quæ $u$pen- duntur, æqualiter ponderant, $it ergo libella a b, & $u$pen$a in a cen trum mundi c, ad quod dirigitur pondus, & liquet, quod ip$um non $e inclin abit ex uige$imatertia propo$itione. Si ergo ponantur lo co lineæ b d in e & f, & $it proportio e b ad b f, ut g ad h, dico, quòd erit æquili- brium, per eandem enim h mouebitur in k, $cilicet ut perueniat in rectam a d, $i enim non e$$et |$u$pen$um h, moueretur in re- cta e h per eandem, quia ergo retinetur, mo- uetur per obliquam h k, & $umatur in pro- pin quum punctum in b e, & n in æquali di- $tantia in e f, quia ergo e b totum mouetur eadem ui in $ingulis partibus, quia a pon- dere h, & in h mouetur per h k in m per m p, ergo qualis e$t proportio magnitudinis h k ad m p, talis e$t uis in m p ad uim in h k, & ita in b erit penè infinita: quia quanta ui ex- tenditur ex h in k tanta puncta b, $e circumuertit ergo propor- tio hypomochlij ad $patium, uelut roboris ad robur, at eadem n o ad h k, e$t enim n o æqualis m p, & n b, & b m æquales, ut uerò g ad h, ita e b ad b f: ergo ut e b ad b f, ita uirium n o ad h k, ut igitur g ad h, ita uirium m p ad h k: ut etiam g l ad n o, ita uirium f b ad n b. nam idem pondus $cilicet g mouet totam b f, igitur ut g $e habet Per 9. quin- ti Elem. ad n o, ita h ad m p, $ed m p & n o $unt æquales, ergo tanta e$t uis g in f, quanta h in e.

Cor^{m}. 1.

Ex quo patet, quod hypomo chlion moueretur infinita ui, $i po$- $et e$$e punctus: $ed quia in extrema $uperficie cylindri, ideò pote$t aliqua ui retineri.

Cor^{m}. 2.

Et $i quis po$$et capere ha$tam in extremo puncto, non po$$et eam mouere, etiam quod haberet robur infinitum, quia ab æquali non fit motus per trige$imamnonam propo$itionem.

Cor^{m}. 3.

Et libella nihil retinet ni$i quantum e$t pondus eius quod cu- pit

35

pit ad centrum peruenire, & pondus ei appen$um non prohi- bet motum, etiam $i e$$et infinitum, ni$i quatenus non uult recede- re ex directo centri mundi: & ut grauat hypomochlion faciens im- pre$sionem.

Cor^{m}. 4.

Et $i terra tota e$$et appen$a polo, moueretur magna ui: quoni- am uis eadem e$t in polo, quæ in circulo toto æquinoctij.

Cor^{m}. 5.

Etrota, quanto uelocius mouetur in ambitu, tanto mi norem habet uim: $ed propter aërem, qui $ecum circum- fertur, mouetur magno impetu, & magnas facit læ$iones. Ideò hoc in cono non accidit.

Cor^{m}. 6.

Ex quo patet ratio eleuandi pondera magna per tra- bem, ut à latere uides.

Propo$itio quadrage$ima$exta.

An $it aliqua proportio, & qualis inter animam, & ui- tas, & $ua corpora con$iderare.

Co^{m}.

Declarauimus motum cœli e$$e uoluntarium, ob$equente cœ- lo per uirtutem in eo infu$am. In animalibus autem, & præcipuè in homine notius e$t hoc experientibus nobis in ip$is: $ed motus hic, ut dixi $upra, mi$tus e$t, ille uerò cœle$tis ignotior e$t. Certum Propo$. 27. tamen e$t plenè ob$equi cœlum uitæ, nec pror$us repugnare. So- let Ari$toteli imponi, quòd $i adderetur a$trum cœlo, quòd cœlum aut quie$ceret, aut tardius moueretur: quod e$t, ac $i diceremus, quòd homo paruus $i fieret maior, non e$$et adeò agilis, tanquam motus ille e$$et ab externa cau$a. Imò perinde e$$et, ac$i quis dice- ret, quod lapides magni minus uelociter de$cenderent, quam par- ui. Quin potius ut lapis magnus uelociùs mouetur: quàm par- uus naturali motu, & tardius præternaturali, ita cœlum motu uo- luntario, $i ita dici po$$et æqualius & maiore cum efficacia, quan- to den$ius. Et ita $i Ari$toteles illud dixi$$et, o$tendi$$et magnam imperitiam. Ideò quale iudicium debemus facere de Alexandro, & Tex. 71. 2. de C<*>. Aueroe, qui hoc ei tribuunt. legi&ttilde; enim in textu Arabico tale quip- piam. De Animalibus for$an po$$et hoc dici, quoniã, ut $uprà dixi- mus, motus ille mi$tus e$t. Remanet ergo difficultas, quoniã $i mo- tus i$te non à proportione fit, quare non e$t infinitus? & dico <09> in animalibus tres $unt cau$æ, una, quia e$t mi$tus, & habet repugnan tiam: $ecunda, quia e$t de loco ad locum, motus autem cœli e$t in lo co: tertia e$t communis etiam cœlo, et e$t, quoniã non e$t ratio finis. Natura enim diuina non appetit mouere tã celeriter. Quid e$t ergo <04>portio, cũ $it ultimũ uoluntatis uit&ecedil;, ut obtemperet primæ cau$æ, ideo illud e$t ultimũ, &qring; mouet. E$t aũt idem uelle, & po$$e. In natura enim

36

enim cœli e$t ille appetitus, cuius prin cipium e$t uita: & eíus uolun tatis bonum ip$um. Et ideo hæc proportio nõ diuiditur. In anima- libus autem non e$t uis illa ni$i, cum proportione, quia primum in- $trumentum, quod recipit, & e$t $piritus uim habet determinatam, cum $it uirtus in materia: ideo nõ mouet ni$i cum certa proportio- ne, uelut lumen in medio in $e non habet proportionem ni$i ad lu- cem, $ed ut e$t in illo, pote$t e$$e remi$$um, ob$curũ & hebes. Quæ- ritur ergo quantitas illius? $i dicas, quòd e$t à luce: quæro quanti- tas lucis, unde $it? for$an dicendum, quòd uelutin motibus, quanto den$iora $unt corpora tanto mouen&ttilde; maiore nixu, & robore. Nam calor in materia augetur iuxta illius quantitatem: idem in luce, & reliquis. Dico ergo proportionem e$$e infinitam: nam $i corpus e$- $et infinitum & optimè di$po$itum infinita ui moueretur & agili- tate, ut enim maius e$t eo maiores uires habet.

Propo$itio quadrage$ima$eptima.

Si duo mobilia æqualiter in eodem circulo iuxta proprios mo- tus moueantur, productum temporis circuituum inuicem erit æ- quale producto differentiæ temporum circuitus ductæ in tempus coniunctionis primæ.

Co^{m}.

Sint duo mobilia a & b in eodem pun- cto, quæ æqualiter uer$us candem partem moueantur æqualibus in temporibus, inui cem tamen in æqualiter, ita quod a in f & b in g temporibus ab$oluant circulum, & ho rum differentia $it h. Dum ita que a perficit circulum b perueniat in c, igitur c d b e$t dif ferentia, quæ $uperanda e$t, & proportio circuli ad b c ut g ad f, quare reliqui ad reli- quum, ut re$idui ad re$iduum, $cilicet circu- li ad c d b, ut g ad h, & b c ad c d b ut f ad h, coniungantur igitur in k tempore, erunt<03> k f g h omiologa, ut productum ex circulo in b c diui$o per certam quantitatem & cum circulo & b c & c d b diffe- rentia, & $it $productum exfin g, dico quod diui$a $ per h exibit k tempus coniunctionis primæ, $it ita<01> d locus coniunctionis, dico igitur quod differentia $patij pertran$iti a b, a & a, b in reditu ex con iunctione prima ad d e$t unus circulus completus, non enim po$- $unt e$$e plures, nam $equeretur, quòd a aliquando pertran$i$$et b, et $ic non e$$et prima coniunctio, nec pote$t e$$e minus, nam $ic cum a & b $int in d ultra perfectas circulationes uterque eorum pertran $iuit arcum b c, igitur nullo modo differentia pote$t e$$e minor cir- culo, neque maior, ut declaratum e$t, igitur e$t unus circulus ad un- guem

37

guem. Hoc declarato ponatur m $patium compofitum ex circulis pertran$itis a b a cum $patio b d, etenim $patium, quod pertran$it b a coniunctione in a, ad coniunctionem primam in d, & erit ex de- mon$tratis horum differentia circulus qui uocetur o, & $it p $pa- tium, quod pertran$it b in tempore eodem, in quo a pertran$it o, & $it q differentia o, & p qu&ecedil; in circulo e$t c d l b, quia igitur in eodem tempore a pertran$it m & b, n, erit m ad n, ut a ad b, & eadem ratio- ne a ad b, ut o ad p, igitur ex undecima quinti Euclidis m ad n, ut o ad p, quare cum o $it differentia m & n, & q, differentia o & p erit ex decimanona quinti Euclidis, m ad o, ut o ad q, & ita circulus e$t ana logus inter $patium pertran$itum à motore uelociori, & inter diffe- rentiam $patij quæ accidit, dum uelocior motor pertran$it circu- lum, id e$t quòd circulus a c d e$t analogus inter c d l b, & circulos pertran$itos a b a cum portione b d. Reuertor igitur ad propo$i- tum, cum $it m ad o, ut o ad q, & m ad o, ut n ad p, ex $extadecima quinti Euclidis, erit ex undecima eiu$dem n ad p, ut o ad q, quare ex $extadecima $exti Elementorum ducto o, id e$t circulo, $eu maiore numero in p $patium pertran$itum a b, $eu ducto fin g, & diui$o per q differentiam $patiorum, $eu per h exibit n, $eu $patium quod pertran$it b ab una coniunctione ad aliam quod erat demon- $trandum.

Co^{m}.

Ex hoc patet, quod proportio temporis coniunctionis ad tem- pus tardioris motus circuitionis e$t ueluti temporis circuitus uelo cioris motoris ad differentiam temporis motus tardioris, & uelo- cioris motoris in uno circuitu.

Propo$itio quadrage$imao ctaua.

Si tria mobilia ex eodem puncto di$cedant, fuerint<03> duorum, ac duorum coniunctiones in temporibus commen$is illa tria mobi- lia denuò coniungentur in tempore producto ex denominatore di ui$ionis temporis maioris per minus in minus, aut numeratore in maius.

Co^{m}.

Sint tria mobilia a, quod circuat in duobus annis b in quinque, c in $eptem. Dico quod primum redibunt in numero producto ex $eptem quin<01> & duobus, qui $unt numeri primi, & erit ille nume- rus $eptuaginta annorum. Nam in $eptuaginta annis a perficiet tri- gintaquin<01> reuolutiones b quatuordecim, c decem: ergo redibũt per perfectos circuitus ad idem punctum. O$tendo modo quod non ante: nam $i $ic: $it, ut in trigintaquinque annis igitur b & c per- ficient perfectos circuitus, ergo redibũt ad idem punctum, a autem non redibit, quoniam eius circuitus non numerat trigintaquin<01> aliter non fui$$et $eptuaginta minimus numeratus ab a b c, cum D ergo

38

ergo iam $upponatur numerari a b & c non numerabitur a b a, er- go a non perficiet circuitus, ergo non redibit ad primum locũ, ergo non erit iunctus cum b & c. Quod $i dicas a b c coniungi in decem $eptem annis numero non numerato ab ali quo illorum temporum, auferantur perfe- ctæ circulationes, & remanebũt dimidium ex a, duæ quintæ ex b, tres $eptimæ ex c, igi- tur oportebit ut hæ portiones $int æqua- les, ut po$t perfectas circulationes in idem punctum, cõueniant, ergo 1/2 & 2/5 & 3/7 æqui- ualebunt, quare proportio 7 ad 3 & 5 ad 2 & 2 ad 1, e$t una, quare permutando 3 ad 2 ut 7 ad 5, $ed 7 & 5 $unt contra $e primi, ergo in $ua proportione mi nimi per dicta in $eptimo Elementorum: ergo tria, & duo non $unt in eadem proportione. Rur$us dicantur conuenire in annis qua- Propo$. 23 tuordecim cum dimidio, ergo in uiginti nouem conuenient ite- rum: ergo per $ecundam partem erit $eptem ad unum, ut duo ad unum, igitur permutando unius ad unum, ut $eptem ad duo, $ed unum e$t æquale uni, ergo duo erunt æqualia $eptem. Rur$us dica- mus, quod in tempore annorum <02> quadrata decem $imiliter aufe- ram integras reuolutiones, quas potero, & erunt <02> 2 1/2 m: 1, & <02> 2/5 & <02> 10/49 æqualia. Hic uides infinita $equi in conuenientia, quæ longum e$$et numerare, nam $eptem e$$et æquale quin<01>, & proportio reci$i ad potentia rethe, ut numeri ad numerum. Igitur non conueniunt ante $eptuaginta annos.

Cor^{m}. 1.

Ex hoc $equitur, quòd nullibi conuenient præterquàm in eo- dem puncto, $cilicet in quo ab initio coniuncti fuerunt.

Corm. 2.

Sequitur denuo ex propo$itione ip$a repetita, & primo corrola- rio, quod nullibi alibi conuenient quàm in dato primo puncto, in quo coniuncti fuerant ab initio etiam u$<01> in æternum.

Sit rur$us ut a circuat in annis duobus cum dimidio, b in tribus cum tertia parte, cin quatuor cum quarta parte ducam per $uos denominatores, & erit ut a in quin<01> annis. b in decem, c in decem- $eptem circuant, & redeant ad idem punctum, & quia quin que nu- merat decem, & decem, & decem$eptem $unt numeri inuicem pri- mi, ducam decem in decem$eptem fiunt centum $eptuaginta. Con- $tat igitur c quadragíes, b quinquagies $emel, a $exagies octies cir- cumuerti, & redire ad idem punctum: ergo rur$us coibunt po$t tot annos in eo, dico modo, quod non ante: nam $i non $it, ut in trigin- ta tribus annis. gratia exempli, aufero decem$ept&etilde;, decem, & quin- que, & relinquentur $exdecim tria & tria, & rur$us ex $exde cim tres cir cuitus

39

cir cuitus c, & relinquentur 3 3/4 $equetur igitur, ut $it proportio 17 ad 13, & 2 1/2 ad 1/2 & 3 1/3 ad 3 eadem, & ita 17/13, 5/2 & 10/9 eadem $i iam $uppo<*>- mus 17 & 10 e$$e primos inuicem, ut in $ecunda demon$tratione<*> Igitur $equuntur eadem corrolaria, quæ dicta $unt.

Propo$itio quadrage$imanona.

Propo$ito mobilis in circulo circuitus tempore, data<03> ratione di$tantiæ ab illo mobilis circuitum inuenire, quod ex eodem pun- cto di$cedens cum alio mobili in dato puncto conueniat $ub quo- cun<01> numero circuituum tempus quo<01> coniunctionis.

Co^{m}.

Sit in circuli peripheria a pũctus, qui cir cuat æquali motu (hocenim $emper intel- ligitur) in b tempore: & $it datus punctus c in quo di$cedens e mobile ex coniunctio- ne cum a po$t certos circuitus proprios, aut etiam. $ine ulla circuitione perfecta de- beat conuenire. Volo $cire tempus circui- tionis e: & etiam tempus coniunctionis. Sit ergo primum ut ab$<01> circuitione ulla e, a debeat comprehen- dere e in c po$t numerum circuitionum ip$ius a, qui $it f. nam $i a o c currit e in prima circuitione ip$ius e, igitur a mouetur uelocius quàm e, cum ergo debeat attingere ip$um e, nece$$e e$t ut a pertran- $eat prius per punctum ex quo di$ce$sit antequam redeat ad con- iunctionem e: ergo perficiet $altem unam circuitionem. Ducemus ergo f in b, & fiet g tempus circuitus aut circuituum a, & quia $pa- tium a c datum e$t, $it b temporis circuitus a ad h, uelut circuli to- Per 10. Pet. tius ad a c, & iungatur g cum h & fiat k. Fiat quoque, ut monadis ad h, ita l ad monadem, & ducatur l in k, & fiat m: dico m e$$e tem- pus circuitus e. Con$tat enim ex $uppo$ito, quod k e$t tempus to- tum in quo a peruenit po$t b circuitiones in c, $i ergo e moueretur per m tempus totum ex $uppo$ito perficeret circuitum, at quia cir- cuitus ad a c, ut monadis ad h, igitur etiam ut l ad monadem, ergo proportio circuitus ad a c, ut m ad monadem: ergo $i in m tran$it to tum circuitum in monade tran$it a c: $ed monas ducta in k facit k, igitur e in tempore k perueniet in c, quod erat demon$trandum. Proponatur modo tempus reuolutionum e ip$um d: eodem mo- Per 11. Pet. do agemus ducendo fin b fit g, addatur h & fiat k, diuidatur k per aggregatum d & a e, & exeat m, (idem enim e$t diuidere per aggre- gatum d & h, & multiplicare per l) dico ergo ut in demon$tratione priore, quod m e$t tempus circuitus e. Nam cum k $it tempus, in quo a po$t circuitus f peruenit ad c, ergo diui$o ip$o toto tempore D 2 per

40

per numerum reuolutionum d, & partem reuolutionis exibit tem- pus unius reuolutionis.

Exemplum primi in repaulò ob$curiore: $it f 4 & b 2 1/2 & a c 4/5, du cemus 4 in 2 1/2 fit 10, adde 4/5 6 quod e$t 2 fit 12, diuide per 4/5 $eu mul- tiplica per 5/4 quod idem e$t, fit 15 circuitus e, in quatuor ergo circui- tibus, & 4/5 qui $unt duo decim anni perueniet a ad c, & in duodecim annis e perueniet ad c, nam 12 $unt 4/5 ip$ius 15. Similiter in $ecundo ca$u $it f 4 ut prius b 2 1/3 a c 1/7, ducemus 4 in 2 1/3 fit 9 1/3, addemus<03> h portionem b qualis a c e$t totius circuitus, id e$t 1/7, e$t autem 1/7 2 1/3, 1/3 fient 9 1/3, $imiliter ponatur d 5, & quia a c e$t 1/7 erunt 36/7, diuide ergo 9 2/3 id e$t 29/3 per 36/7 exeunt 203/108 tempus reuolutionis e. Quin que ergo reuolutiones e erunt 1015/108 addita $eptima parte, quæ e$t 29/108 fient 2044/108 $eu 261/27, & $unt anni 9 18/27 $eu 9 2/3, ergo in tanto tempore a faciet qua- tuor circuitus, & $eptimam partem, & e quinque circuitus, & $e- ptimam.

C<*>^{m}.

Ex hoc patet, quod non coniungentur in alio loco, ne<01> alio tem pore ante prædictum tempus.

Propo$itio quinquage$ima.

Omnes circuituum portiones in eiu$dem temporibus repetun&ttilde;.

Sint in circulo a b c d e f g: a & b iuncta, & in primo congre$$u iungantur in c, in $ecundo in d, in tertio in e, in quarto in f, in quinto in g, in $exto in h, in $eptimo in k, in octauo in l. Et $ic deinceps cũ<03> tempora $int æqualia, erunt & circuitus totidem numero, & exce$- $us æquales etiam a c, c d, d e, e f, f g, g h, h k, k l. Et $i aggregatum a $cilicet circulorum, & portionis fuerit commen$um circulo, & ita de b erunt omnia cõmen$a ad circulum, Per Cor^{m}. præcedentis. & etiam inter $e. Et $i inter $e aggregata, uel portiones erunt, & eodem modo reliqua. Et quoniam circuli circulis commen$i $unt: $i portiones erunt inuicem commen$æ erũt, & toti circuitus cum partibus commen$i, & $i non commen$i, neque erunt inter $e, ne<01> ad circulum. Et $i totum $patium cum circuitibus erit unius generis, erunt duplicata, & tri- plicata, & quadruplicata eiu$dem generis: quare cum $patia ip$a detractis circuitibus uelut rhete habeant naturam reci$i, & $patia ip$a tota $int eiu$dem generis, erunt $patia, quæ relinquuntur eiu$- dem generis. Erunt tamen incommen$a nece$$ariò, $i partes fuerint incommen$æ toti. Ponatur a c incommen$a toti circulo dico, quod a k etiã e$t incommen$a toti circulo: & etiã a k, & k c. Quia enim a c e$t incommen$a circulo, & k a cum toto circulo $emel e$t commen- $a a c

41

$a a c, quia multiplex ei. igitur cum circulus, & a k diuidantur in cir- Per 14. deci mi Element. culum et a k, & circulus $it incommen$us circulo, cum a k erit aggre. gatum ex circulo, & a k incommen$um ip$i a k, & a k pariter incom Per 17. eiu$dem. men$a circulo. Rur$us quia a k e$t incommen$a circulo cum a k, & circulus cum a k $it multiplex ad a c, erit a k incommen$a a c, quare Per 14. rur$us. erit c k incommen$a a k & a c, & circulo ad dita a k. Si ergo a c $it commen$a circulo, erunt omnes portiones e genere numeri, & $i Per 17. rur$us. potentia rhete erunt omnes, uel potentia rhete, uel circulis detra- ctis, ut a k & a l reci$a: & a c $it potentia $ecunda rhete, id e$t radix cu bica erunt omnes c d, d e, e f, potentia $ecunda rhete, et radices cubi- cæ numeri, $eu latera corporum rhete, a k uero & a l, & huiu$modi in infinitum reci$a potentia rhete.

Cor^{m}.

Ex hoc patet, quod cum circulus po$sit diuidi in infinita gene- Per penulti- mam uige$i- mi Element. ra quantitatum, quæ non $unt inuicem commen$æ cum<03> coniun- ctiones hæ $emper in eodem genere maneant, quod infinita pun- cta, & infinitis in $peciebus quantitatum remanebunt in quibus a & b in perpetuum nunquam conuenient. Velut $i coniunctio pri- ma fiat in <02> cu. 1/2 alicuius circuli, nunquam conuenient, ne<01> in me- dietate, ne<01> in quarta parte, nec octaua, nec tertia, nec $exta, nec no- na, nec quinta, nec decima, & $ic de $ingulis in genere commen$a- rum toti circulo. Neque in <02> quadrata 1/2 uel 1/3 uel 1/5 ne<01> <02> 1/6 uel 1/20, ne<01> in <02> 3 m: 1, nec 2 m: <02> 3 nec in <02> <02> 2 aut 3 aut 7 nec in <02> rela- ta alicuius numeri, nec in 2 m: <02> <02> cub. 3 nec 2 m: <02> cub. 4, & $ic de alijs.

Propo$itio quinquage$imaprima.

Operationes dictas exemplo declarare.

Cor^{m}.

Supponamus in circulo prædicto a c <02> 7 con$tat, quod e$$e non pote$t, quia <02> 7 e$t maior monade, ideo toto circulo, quare non po terit e$$e pars circuli, $ed referetur ad quantitat&etilde; certam, uelut quod circulus $it 10. $emper ergo diuidemus <02> 7, $eu eam portionem per 10 quantitatem circuli & exibit <02> 7/100, & hæc erit portio circuli, & ita $i portio $it <02> cub. 16, diuidemus <02> cub. 16 per 10 exibit <02> cu 2/125, & ita de alijs.

Sed cum ex repetitione cre$cat portio illa, donec exuperet mo- nadem, aut aliquem quemuis numerum detracta monade aut nu- mero circuituum habebit rationem reci$i. Velut <02> 7/100 quater $um- pta efficit <02> 112/100. Et hoc e$t potentia rhete, $ed $i quis auferat mona- dem fiet <02> 112/100 m: 1, & hoc e$t reci$um 1, $cilicet 1 p: <02> v: 23/25 m: <02> 28/25, $ed ta men uerè e$t linea media.

Quod uerò non contingat coniungi in alio loco, neque tem- pore $it, ut a b iungantur in c, & $it reuolutio a triplex integra, & b D 3 $excuplex,

42

$excuplex, & tempus totum decem annorum: ita ut a c $it tertia pars circuitus, & a circuitus tres anni, & quia circuitus b funt fex cum tertia, diuidemus decem per 6 1/3 exit 1 11/29, dico quod non prius, neque in alio puncto. Si enim primùm in eodem pun- cto, &, gratia exempli, in quatuor annis congruit enim, & b dicamus quod per- egerit duas reuolutiones cum tertia, hoc enim e$t nece$$arium, $i debet perueni- re ad c, & erunt anni tres, & 23/19, non ergo anni quatuor. Cum enim tempora di- uer$a diuiduntur per numeros haben- tes proportionem erunt, qui prodeunt DecemQuatuor33 1/31 11/192/(<*>/2<*>)1 11/196 1/3
numeri in eadem ratione. Diui$o ergo 10 per 1 11/19 exit 6 2/3, & diui$o 4 per 1 11/19 exit 2 8/15, igitur 6 1/3 ad 2 8/15, ut 10 ad 4, igitur 8/25 non pote$t e$$e æquale 1/3. Si enim per præcedentem repetuntur, ergo non po$- $unt redire, doneciterum coniung antur in ip$o a. Si enim aliter $it ut ex e, igitur e c e$t æqualis a c pars toti, quod contingere non po- te$t. Sin uerò coniunctio fiat in d, igitur per præcedentem d e e$t pars a c $ubmultiplex quomodolibet, quare non fuerunt a$$um- pti primi numeri. Veluti in exemplo con$tituimus, quod a, & b conueniunt in c in decem annis, & a c e$t tertia pars circuitus: er- go in triginta annis conueniunt in a, & in quadraginta rur$us in c. $i ergo quis a$$ump$i$$et quadraginta annos ab initio pro con- gre$$u, & diui$i$$et per 1 12/19 exiret 25 1/3, & $i per 3 exiret 13 1/3, & mani- fe$tum e$t, quod uterque numerus pote$t diuidi per eundem nu- merum, utpote 4 & exit numerus cum eadem parte $cilicet 6 1/3 & 3 1/3 ergo conuenient ante, non ergo a$$ump$i$ti minimos in ea pro- portione. Illi autem nequaquam amplius diuidi non po$$unt eo- dem modo.

Propo$itio quinquage$ima$ecunda.

Tria mobilia coniuncta in eodem puncto, quorum duo, & duo conueniant in partibus in commen$is inter $e, in perpetuum in nul- lo unquam puncto conuenient.

Co^{m}.

Sint a b c iuncta, & primo iungantur a & b, iterum in d & b, & c in e, & $int a d, a e inconimen$æ, dico quòd a b c nunquam con- uenient in aliquo puncto, $eu primo, $eu alio à prim o: $i non con- ueniant

43

ueniant in f, erunt ergo in g tempore re- uolutiones integræ, & portio a f in$uper. Et quia hæ con$tituuntur per congre$$us b cum a, & $unt $patia a d, & b cum c, & $unt $patia e f, igitur $patium a f erit ex ge- nere quantitatis a d, & a e per quinqua- ge$imam, harum ergo erunt commen$æ: quod e$t contra $uppo$itum. Et harum propo$itionum principium e$t traditum à Campano Nouarien$i Euclidis expo$itore, in quodam libello non edito qui diligentia patris mei Facij ad me peruenit.

Propo$itio quinquage$imatertia.

Circulorũ $e in aduer$um mouentium proportionem declarare.

Co^{m}.

Sit orbis a b cuius cen- centrum c, manubrium c d f e, $eu uero tangat circu lum g, $eu more gemmas $culpentium aligetur al- teri orbi funiculo a l b, & $it in uertice axis k m or- biculus $olidus aut $emi- circulari forma m, dico quod proportio motus a b ad motum m e$t produ cta ex duabus proportio- nibus c n $emidimeti&etilde;tis, & $emidimetientis m ad k o, quare ut rectanguli c n in dimidium dimetientis m ad quadratum o, ut enim a b ad ol orbem, id e$t peripheriarũ ita c n ad o k, quoniam o l mouetur toties in una circuitione a b, quo- ties peripheriã o l contine&ttilde; in peripheria a b, ergo quoties o k con- tinetur in c n toties in una circuitione a b o l circumuertitur, $ed quoties circumuertitur ol, toties etiam m, quia uter<01> mouetur eo- dem circuitu k m axis, ergo quoties m circumducitur in circuitu a b toties o k continetur in c n, ergo $i fiat comparatio $emidiametri m ad c n, erit product a proportio circuitus a b ad circuitum m ex <04>portione c n ad o k, et $emidimetientis m ad id&etilde; o k, ergo per 26 <04>portio numeri circuitus unius p alterũ e$t, ut rectanguli $ub c n, & $emidimetiente m ad quadratum k o, quod erat demon$trandũ.

Manife$tum e$t autem ex ip$a $ola con$titutione, quod $i a b mo- Cor^{m}. 1. D 4 uetur

44

uetur $ur$um à dextro in $ini$trum in inferiore parte, mouebitur à $ini$tro in dextrum, & uter<01> circulorum g & k in $uperiore parte, & in inferiore mouebitur contrario motu, $cilicet in $uperiore à $ini $tro in dextrum, & inferiore à dextro in $ini$trum, illi uerò duo or- bes $imili motu mouebuntur tam in parte $uperiore, quàm inferio- re, & proportio motuum eorum inter $e erit uelut dimetientium corundem.

Cor^{m}. 2.

Rur$us cum a b circumuertatur cum manubrio c d f e, tanto uelo cius circumuertetur, & in ea proportione, qua d f continetur in c n, & in eodem tempore, in quo manubrium circumuertitur in eodem axis circumuertitur, & orbis, ut dictum e$t, ergo in eodem tempo- re, in quo axis circumuertitur in eodem orbis: ergo tanto tardius uidebitur moueri axis ip$o orbe, quanta e$t proportio minoris in æqualitatis ip$ius axis, $eu ambitus, $eu $emidimetientis ad ambi- tum, $eu $emidimetientem orbis.

Propo$itio quinquage$imaquarta.

Proportio circuli ad $uum diametrum per $imilitudin&etilde; e$t quar- ta pars peripheriæ. Rur$us<03> eiu$dem circuli ad peripheriam diame tri quarta pars.

Co^{m}.

Quoniam enim $uperficies circuli, ut ab Archimede demon$tratum e$t, fit ex dimi- Per 16. $ex ti Element. dio diametri in dimidiũ peripheriæ erit, ut eadem fiat ex tota peripheria in quartã par tem diametri, & ex tota diametro in quar- tam part&etilde; peripheri&ecedil;. ergo proportio are&ecedil; circuli ad diametrum per $imilitudinem Per 2. diff. e$t quarta pars peripheri&ecedil;, & <04>portio are&ecedil; ad peripheriã e$t quarta pars dimetientis, quod erat probandum.

Propo$itio quinquage$imaquinta.

Proportionem medicamentorum per ordines $uppo$ita æquali proportione in ordinibus per quantitates, & proportiones de- mon$trare.

Co^{m}.

Galenus libro quinto de Simplicibus medicamentis, quem $e- Cap. ult. quuti $unt alij medici, ponit quatuor ordines medicamentorũ iux- ta qualitates calidi, frigidi, $icci, & humidi, & primus e$t cum medi- camentũ non $entitur quale $it licet operetur, uelut cam&ecedil;melon, ab- $ynthium, & oriza: $ecundus e$t, cum $entitur, $ed non lædit, ut nux myri$tica, $aluia, ozimum: tertius e$t cum $entitur, & lædit, $ed non de$truit, neque corrumpit corpus, uelut a$$arum apium $ta- phi$agria, cappares, myrrha, ruta: quartus e$t, cum de$truit ue- lut pyretrum, piper, euphorbium cæpe aggre$te, & $inapis, cina- momum

45

momum autem, & gingiber numerantur inter medicinas calídas tertij gradus, & hoc opus comparatur ad corpus $icut dicit Gale- nus, & Serapio non ad linguam, ut medici no$tri temporis interpre tantur. Ex quo patet, quod aliqua medicina poterit e$$e quarti ordl nis, & non lædere linguam in gu$tu, & alia tertij ordinis, quæ non $olum lædet linguam, $ed $en$um eius corrumpet, et de$truet, quod contingit propter $ub$tantiam tenuem cra$$æ mi$tam cum $iccitate pari ip$i calori. Sed non oportet h&ecedil;c nunc tractar, enon $olum quia non $it locus, $ed etiam quòd con$u$a $it per $eip$a materia ab$que eo, quod difficultatem difficultati addamus, $olum ergo eas dubita tiones adiungemus, quas uol&etilde;tes declarare propo$itionem præ$en tem, neque $uperfugere, neque declinare po$$umus. Nam de $icco, & humido, cum $int longè minoris actionis, quàm calidum, & fri- gidum, & præcipuè humidum, non uideo quomodo po$sit Gale- nus $tatuere medicinam humidam tertij gradus, nedum quarti, cum non po$sit inueniri medicina, quæ de$truat corpus no$trum propter humidam qualitatem. Et licet Serapio po$uerit gingiber Cap. 336. 337. & 338. & enulam & zelim in tertio ordine calidorum & humidorum: & inter frigidas, & humidas in tertio portulacam, aizoum, & uirgam pa$toris, & fungos. Primum non au$us e$t ponere medicinas ullas calidas, aut frigidas in quarto ordine, qu&ecedil; $int humidæ. $ecundum, quando dicit medicinas calídas, aut frigidas, atque humídas in ter- tio ordine, intelligit $olum de qualitate actiua $cilicet caliditate, uel frigiditate, & non de humida qualitate, quod o$tendit de gingibe- re, & enula, dicens, quod $unt calidæ in tertio ordine, & humidæ humido crudo, non au$us addere ordinem, quia non uídit ratio- nem, qua po$$ent dici humidæ in tertio. Et clarius in capite de zei- len, quem $tatuerat inter medicinas calidas, & humidas in tertio, di cit quod e$t calida in tertio, & humida in primo, ergo non intelligit per medicinas calidas & humidas in tertio ordine, quod $int humi- dæ in tertio ordine. Clarius etiam de frigidis & humidis, nam por- tula cam dicit e$$e frigidam in tertio, humidam in $ecundo, & quod maius, e$t cum collo ca$$et aizoum inter medicinas frigidas, & hu- midas in tertio ordine, dicit, quod e$t frigidum in tertio ordine, ad- ijcit, quod e$t $iccum parum, & de uirga pa$toris nihil dicit de hu- mido, $ed dicit, quod a$tringit, ex quo concludo, quod $ecun- dum mentem Serapionis nulla e$t medicina humidior portulaca, etiam uidetur innuere de fungis, $atis e$t quod non excedunt $ecun dum ordinem in humido ne<01> calida neque frigida, $ed frigida $unt humidiora, ut fungi, & portulaca, quia frigiditas in generatione humidum magis admittit, quàm caliditas, & calida magis hu- mectant,

46

mectant, quia magis penetrat uis medicamenti, & hæc regula de humido, & $icco e$t generalis apud Serapionem, quod non intelli- gitur ordo in pa$siuis, ni$i $pecialiter exprimatur, nam de $iccitate non nego, quin inueniantur medicinæ $iccæ in tertio, & for$an in quarto ordine, $ed de hac Galeni o$citantia, quæ in illo peculiaris e$t dum uult $equi $uas methodos $ine alio di$crimine, medicis con $i derandum relinquo.

Secunda difficultas e$t maior, & magis pertinet ad nos, & e$t, quòd non declarauit an i$ti ordines inter $e aliquã proportionem $eruarent, an omnino nullam, $i enim nulla proportio $eruatur, fieri nullo modo pote$t, ut per cognitionem temperaturæ $implicium medicamentorum cogno $camus temperaturam compo$itorum ex illis ratione ulla, $ed oportebit $olum experiri. Sed $i ordines $er- uant proportionem, adhuc relinquitur dubium, an illa proportio $it Arithmetica, uel Geometrica, uel Mu$ica, & nihil mirum e$$et, quod e$$et Mu$ica, ut aliâs docuimus, ubitractauimus de differen- tia inter $en$um auditus, et ui$us. Sed quia de hac nullus medicus ui detur intellexi$$e, omittam hanc tractationem. Et quanquàm Gale- nus po$sit uideri non exi$tima$$e, quòd hi ordines non $eruent proportionem ullam, quia non au$us e$t tractare de temperamen- to medicamentorum compo$itorum per rationem temperamen- ti $implicium, nihilominus $uppo$ito quod ita e$$et, quod $eruetur altera proportionum, uolo o$tendere rationem componendi in utraque proportione & Arithmetica, & Geometrica. Ex quo $e- quitur, quod Aueroes quàm o$citanter tractauerit in quinto $uo- rum collectaneorum de hoc, & non di$tinguit, neque docet pri- mum an $it aliqua proportio, deinde $i qua $it, cuius generis $it, & cum in re tam clara pugnet pror$us, ut cœcus ictus maximos eden- do, $ed in ca$$um plero$que, quàm malè agant qui ei in arduis tan- tum tribuunt fidei, & authoritatis, $ed hæc e$t infelicitas no$tra, & ira Deorum. Suppo$ito ergo quod primò ordines di$tinguantur per proportionem arithmeticam, $it $uperficies a b pro quantitate, & a $it calida in primo gradu, & b in ter- tio, erit ergo perinde ac $i duo corpora e$$ent unum altitudinis unius cum ba$i quadrilatera rectangula a, aliud altitu- dinis trium, ba$i autem quadrilatera $u- perficie rectangula b, hoc igitur erit to- tum mi$tum, & quia quantitas medicamenti non mutatur quæ e$t a, b, ergo talia corpora æquantur uni corpori, cuius ba$is e$t a b, cum ergo talia corpora producantur ex a in unum, & b in tria, ergo diui$o

47

diui$o aggregato per a b prodibit altitudo, $eu ordo qualitatis to- tius medicamenti, iuxta quod con$tituitur regula prima libri artis medendi paruæ huiu$modi, & reliquæ, traduxi autem illas ad hunc locuin, “quia pendent ex demon$tratione hac: “duc numerum ordi- nis $ingulorum medicamentorum in numerum quantitatis, $imilia iunge, di$similia detrahe, quod fit, diuide per aggregatum, quanti- tatum, exibit numerus ordinis compo$iti. Sic mi$cendo calidum in $ecundo ordine cum duplo pondere temperati conflabit calidum in be$$e. Secunda $i ex pluribus diuer$arum, qualitatum, & ordi- num temperatum efficere uelis, duc quæ $unt eiu$dem qualitatis in $uas quantitates, & iunge, quod fit, diuide per numerum or dinis medicamenti contrarij, exibit quantitas illius, $ub qua $i iungatur, fiet medicamentum temperatum. Tertia cum nolueris ex tempera- to, & alio cuiu$cunque ordinis medicamen conficere ordinis re- mi$sionis, detrahe numerum ordinis eius, quod conficere uis ex nu mero ordinis eius, quod habes, & cum re$iduo diuide numerum medicaminis, quod conficere uis, quod exit e$t numerus quantita- tis medicamenti non temperati in comparatione ad temperatum.” Ex his potes propo$itis quibu$cunque medicamentis conficere antidotum $ub quo cunque ordine remi$siore potenti$simo ex il- lis. Quarta in compo$itione, quæ non fermente$cit calida, calidis iuncta $emper opus augent, ut mel cum pipere. Quæ autem $ub mi nore quantitate exhibentur non $ub remi$siore ordine agant, $ed uel facilius impediuntur, uel minorem corporis partem, uel leuius immutant.

Quod $i $tatuamus proportionem e$$e Geometricam, modus erit idem in omnibus, & quo ad numerum etiam in primo, & $ecun do ordine, quia in proportione dupla Geometrica $ecundus ordo tantundem di$tat à primo, quantum primus ab æqualitate, quia unum & duo $eruant proportionem, & æqualem di$tantiam, $ed in cæteris ordinibus non ita erit, quia qui e$$et trium in Arithmetica, $cilicet totius ordo e$t, quatuor in Geometrica, & quartus ordo, qui e$$et quatuor in Arithmetica, e$$et octo in Geometrica, ideo $cribemus ordines hoc modo, & operabimur cum numeris loco ordinum, exemplum ergo primum $it medicina calida in tertio ordine quatuor uncia- rum, & medicina frigida in $ecũdo ordine duarum unciarum, duco quatuor in tria, $i proportio $it Arithmetica, fit duodecim, duco duo in duo fit quatuor, detraho quatuor in duo- decim, quia omnis medicina tantum retondit de contrario, $eu mi- nuit relin quuntur octo $cilicet caliditatis, diuido per $ex ag- gregatum

48

gregatum unciarum exit unum, & tertia, ergo erit calida in princi- pio $ecundi ordinis. Secundum exemplum $int eædem medicinæ, & $it proportio Geometrica, ducemus ergo quatuor in quatuor, & fiunt $exdecim, & duo in duo fiunt quatuor, detrahe quatuor ex $ex decim, & remanent duodecim, diuide per $ex, ut prius, exeunt duo, ergo erit calida in fine $ecund i gradus uides ergo di$crimen. rur$us $int ambæ medicinæ calidæ, & ducemus, ut prius in tertio exem- plo, ubi proportio $it Arithmetica iungendo duodecim cum qua- tuor, & fient $exdecim, diuide per $ex, exeunt duo, & duæ tertiæ, er- go erit calida in medio tertij gradus, rur$us in quarto exemplo iun gemus $edecim cum quatuor, & fient uiginti, diuide per $ex exi- bunt tria & tertia, & ita erit in medio tertij gradus, ut prius, $ed $i ille quatuor unciæ e$$ent calidæ in quarto gradu, & illæ duæ unciæ in $ecundo gradu, ut prius ducendo quatuor in quatuor fiunt $ex- decim, & duo in duo fiunt quatuor, iunge, & fient uiginti, diuide per $ex exeunt tria cum tertia, ergo erit calida in principio quarti gradus $ecundum proportionem Arithmeticam, $ed $ecundum Geometricam duc quatuor in octo, fiunt triginta duo, adde qua- tuor ut prius, $cilicet productum duorum in duo fiunt triginta $ex, diuide per $ex, exeunt $ex, & quia $ex ad quatuor maiorem habent proportionem, quàm octo ad $ex ideo hæc medicina erit calida ul- tra medium quarti gradus, iam ergo uides rationem, & differen- tiam horum.

Quod $i quis dicat, an debeat attendi Geometrica proportio in medicamentis, an Arithmetica, re$pondeo, quòd ueri$imilius e$t de Arithmetica, quia illa proportio etiam quod $it minor quatuor ad trium, quàm trium ad duo, & multò minor quàm duo ad unum ni- hilominus longè plus operatur, quia tertius ordo iam incipit e$$e præter naturam, & uidemus, quod læ$io facta in uulnerato, etiam quòd $it quadruplo minor, plus nocet longè, quàm in $ano qua- druplo maior: quia termini præter naturam $unt ualdè angu$ti in comparatione ad latitudinem naturalem, $icut etiam uidemus in- tendendis chordis $corpionum, quod ultima pars e$t breuis & ta- men homini tantam difficultatem adijcit. Notandum e$t etiam, quòd ob hoc diui$erunt ordines in tres partes, uelut gingiber e$t calidum in fine tertij ordinis, origanum in medio, cinamomum in principio, & ita euphorbium e$t calidum in principio quarti gra- dus, $ed in fine principij piper, in prin cipio principij aqua $epara- tionis in medio quarti ordinis, $ed oleum chalcanthi factum ea ar- te, ut exurat paleas, $icut ignis e$t calidum in fine quarti ordinis, & ita $ufficiet diuidere propter eandem cau$am primum, & $ecun- dum

49

dum ordinem in duas tantum partes non ratione latitudinis, quæ e$t æqualis, uel etiam for$an maior, $ed ratione uarietatis operatio- nis quæ minus $entitur, & maximè in primo ordine.

Propo$itio quinquage$ima$exta.

Proportio cuiu$uis binomij ad $uum reci$um, uel ei commen- $um e$t duplicata ei, quæ ad numeri latus.

Com.

Cum enim proportionis medium $itlatus numeri eo quod ex bi nomio in reci$um $uum fit numerus ex his, quæ demon$trata $unt generaliter in tertio Arithmeticæ de omnibus binomijs cum $uis Per 6. Pro- po$. lib. de Aliza. reci$is, uel in quadratis lateribus erit <02> numeri media proportione inter binomium, & $uum reci$um, igitur cum proportio producto- rum ex binomio in commen$a reci$o $it, ut commen$orum ad reci- Per 17. $ex ti Element. $a crunt omnia producta ex binomio in commen$a reci$o $uo <02> nu Per 17. $eptimi eiu$dem. meri, igitur proportio binomij ad reci$um $uum, & omnia com- men$a illi, e$t duplicata ei quæ ad <02> numeri.

Per 6. deci- mi Element:

Propo$itio quinquage$ima$eptima.

Motus rationem ad pondus inuenire.

Co^{m}.

O$ten$um e$t antea, quod motus naturalis uelocior fit in fine, ac magis augetur ob aëris motum, ubi uerò hæret e$t ac $i quie$cat. Eadem autem e$t ratio in motis uiolenter, & naturaliter dum &ecedil;qua- li impetu feruntur. Sed $ubitò po$t etiam, quod motus æqualiter augerentur minus tamen cre$cit proportio uiolenti $cilicet ob im- pedimentum naturale. Sed $i uis mouens fuerit adeò ualida ut proportio incrementi ex aëre $it maior, quàm impedimentum, & in crementum al terius mobilis naturaliter moti, motus ille uelo- cior fiet naturali, ut in $phæris ferreis ex machina igne excu$sis, quod ergo attinet ad præ$entem motum ratio e$t eadem. Quicun que ergo motus minoris grauis cogit de$cendere lancem ex ad- uer$o proportionem habet eandem ad $uum mo bile quam habet graue æquiponderans. Sit ergo ut a ex b, c, d, e, eleuet eodem ordine pondera e, f, g, h, erit ergo ponderum h, g, f, e, ad $e inuicem, & ad a qualis mo- tuum ob di$tantiam intentorum. Experimentum ergo docet, quòd dimidium ponderis æquilibrium facit ex palmo minoris dimidio motum manife$tum, & ex palmo quarta pars ponderis, ergo $e ha- bent prope portionem.

Propo$itio quinquage$imaoctaua.

Qu&ecedil; ex alto de$cendunt cur non eandem pro di$tantia motus ra tionem in libero aëre $eruent con$iderare.

E Aër

50

Aër in $ublimiore eius regione $emper naturali motu fertur ex Oriente in Occidentem, $ed & infra uerum minus manife$tè. At ca- $u plerun <01> contingit, ut moueatur longè uehementius, $eu ad ean- dem partem, $eu aliam. Qui uerò naturalis e$t, debilis e$t, quoniam in tenui ualde $ub$tantia e$t: nec cõtinuus $ed in$tar motus aquæ maris fluit ac refluit: aliter ne- ce$$e e$$et, ut $ingulis horis per mille milliaria procede- ret, ut $ic ne <01> latere po$$et, quarndoquidem fortuiti mo tus, qui $unt multo tardiores non latentnos. Nam tardiores illos e$$e cõ$tat, cum in hora $int pul$us arteriarum, quatuor millia ictuũ in homine prope temperamentum: $i igitur motus naturalis aëe;ris e$$et continuus, in hora aër procederet ob ambitum terræ millies mille pa$$us, igi&ttilde; in ictu pul$us $uperaret pa$$us 250. At experimur nullum uentum aut procellam $uperare quinquaginta pa$$us, cum etiam continuus e$$e nunquam $oleat, imò ne po$sit quidem, ita <01> cum hic multo tardior etiam in $ublimi, dum e$t, nos latere non queat, multo minus po$$et naturalis latere, $i adeò uelox & in ea- dem parte a&etilde;ris e$$et at <01> continuus. Præterea tantus impetus nun- quam à minore motu, aut cau$a $uperaretur, adeò ut $emper flatum aëris orientalem $entiremus. Quotidie etiam aduenire ad nos aë- rem ex Illyrico, Macedonia, My$ia, Ponto, Bythínia, Capado cia, Sy ria, Babylonia, Hyrcanomarí, Bactrianis, Sacís, Scythis, ac Seris, to- to præterea Oceano orientali tam ua$to, & Gallica noua, terra <03> flo rida non $olum res e$t admirabilis', & incredibilis, $ed etiam aliena à $en$u, & ab his, quæ eueniunt. A'$en$u quidem, quoniam nebul&ecedil;, quæ in aëre mouentur, primùm non in eandem partem $emper mo uentur: nun quam autem adeò celeriter: at $i aër $ic circumuoluere- tur, mouerentur & illa, qu&ecedil; in eo continentur, quotidie<03> aërem ex- periremur & nubilo$um, & madidum propter mare. Nechis, quæ eueniunt hoc $atis re$pondet, nec nobis id contingeret, ut $i pe$ti- aliqua in regione no$tra directa $æuiret, ut aër $ingulis diebus la- be ea infectus ad nos deferretur. Moueri uerò aërem $emper mani- fe$ti$simum e$t tum experimento, tum ratione: ratione $iquidem, quod aqua & cœlum naturaliter perpetuò mouentur, quare etiam aër. Experimento, quòd ubi hiant o$tia, & ianuæ, ibi perpetuus $en- titur flatus. Ergo $i a pondus de$cendat in c, ex alto fertur rectà, $ed $i ex $ublimi transferetur in b, & indirecta, & ad latus, unde ex hoc $equitur.

Propo$itio quin quage$imanona.

Com.

Omne mobile motum duobus motibus non ad idem tendenti- bus, utro <01> $eor$um tardius mouetur $imili motu.

Sit a

51

Sit a mobile, quod moueatur per a b c impul$u uenti aut uiolen- Co^{m}. to cum naturali coniuncto: & $it terminus naturalis e, Per 20. bu-ius. & uiolenti d: uter <01> in directo c, dico, quod tardius per- ueniet ad c quam d, uel e. De e manife$tum e$t, quoniam motus aëris, qui intendit motum a, diuíditur in partem, quæ iuuat motum ad d, & partem, quæ mouetur ad e, igitur fit minor adiectio. Et etiam quia a c e$t longior a e ex diffinitione rectæ: quare tardius perueniet ad c quàm ad e du plici ratione. Dico etiam, quod tardius ad c quàm d. Quia enim uis, quæ fert ad d repugnat ei, quæ fert ad e, & uis, quæ fert ad e, re- pugnat ei quæ fert ad d, igitur tardius perueniet ad c, quàm d. Nec potes dicere, quòd uis, quæ fert ad c adiuuet ad motum è regione d, nam cum unus motus non po$sit perfici $ine altero, igitur quan- tum motus ad eretar dabit motum ad d, tanto motus a c erit tardí- or ab$olutè motu ad d. Verum etiam e$t, quod c e breuior erit a d, quia motus ad e $emper contrahit motum ad d naturalis uiolen- rum ob cau$am dictam. Vtrùm uerò motus ad c ab$olutè $it tardi- or, quàm ad d, non $uppo$ito, quod c e $it æqualis a d, $ed minor, nunc non e$t locus determinandi.

Ex hoc patet, quod motus æquidi$tantis mobilis, finis e$t mini- Co^{m}. mus omnium: quoniam mobile qua$i quie$cit in illo. Velut $i a mo ueatur ad b, inde deflectat ad c minimus motus erit in b, ubi incipit naturalis: nam cum incipiat, erit debili$simus, quia non e$t motus actu: uiolentus autem æqualis e$t naturali, dum minimus e$t: ergo cum ex di$tantia medij palmi duplicetur, naturalis erit motus in b minimus, ni$i b c Per 57. bu-ius. e$$et minor dimidio palmi. Et etiam quòd e$$et minor, quia ut di- ctum e$t, uter <01> $imul iunctus e$t æqualis uni eorum non impedito uel minor.

Propo$itio $exage$ima.

Omne mobile motu naturali de$cendens parte, de$cendit gra- uiore $ecundum grauitatis centrum.

Sit a mobile, grauitatis centrum b, cuius pars ei pro- Co^{m}. ximior $it c a, dico quod de$cendat motu naturali c a, parte tangendo terram, quia enim totum a non pote$t de$cendere ad centrum de$cendit b, quia eadem e$t na- tura partis, & totius: totius autem terræ natura e$t ut centrum, totius $it centrum grauitatis, quare b breuiore uia fertur Per 23. bu-ius. ad centrum, ergo per c d proximiorem partem ip$i b. Sed pars pro- ximior nece$$ariò e$t grauior, quia centrum e$t in medio grauita- E 2 tis,

52

tis, ergo omne mobile de$cendit motu naturali per $ui grauio- rem partem.

Cor^{m}.

Ex hoc $equitur, quòd graue habens partes inæquales, $eu $ub- $tantia, $cu forma, $i ita excutiatur, ut pars grauior nõ $it, infrà opor- tet, ut circumuoluatur.

Propo$itio $exage$imaprima.

Proportionem ictus ad pondus rei, & di$tantiam generaliter con$iderare.

Co^{m}.

Dictum e$t $uperius de proportione de$cenfus ad grauitatem: Propo$. 57. & quòd $i graue de$cendat ex alto impeditur à motu aëris: & quòd Propo$. 58. res, quæ mouetur duobus motibus non ad idem tendentibus tar- Propo$. 59. dius mouetur, quam motus $it unu$qui$que. Demùm quòd graue Propo$. 60. de$cendens circumuoluitur, $i pars grauior non $it, deor$um: & an- tea ubi egimus de proportione motus ad grauitatem, quod h&ecedil;cin- telligenda $unt prout po$$unt intelligi de motu etiam uiolento. Cum ergo uideamus duo hæc, quodres acuta frangit caput, $i ex alto incidat, $ed non concutit, lata concutit, $ed non diuidit, premit tamen carnem $ubiectam: nec hoc accidit merito ponderis: nam ut ui$um e$t $emilibra lapidis, uel ferri cadens ex alto contundit caput, & uulnerat, & non eleuat in æquilibrio, ut potè ex alto cadens loco per $patium octo palmorum pondus $exdecim librarum, & a pon- dere $exdecim librarum homo non læditur, nec uulneratur, ergo id accidit ex alia cau$a, & e$t, quod aër interceptus inter graue, & cor- pus no$trum non pote$t dilabi tam citò, ergo ne corpus penetret, cogitur ingredi locum, cui e$t obuius, at <01> ita concutere, & diuide- re. Ex quibus $equuntur omnia hæc.

Cor^{m}.

Primùm $i quod incidit, molle fuerit, non uulneratur caput, uel pars $ubiecta, quia re$ilit in corpus molle: nec à molli, quia retundi- tur, pote$t uulnerari: ergo nullo modo. Sed neque adeò concutit, quia aër rediens, & receptus in molli corpore pro parte, non uer- berat locum.

Cor^{m}.

Secundum in omni colli$ione $eu duri, $eu mollis, $ed magis du- ri, dilabuntur partes aëris ad latera, ideo quod partes mediæ pre- muntur. Et quanto motus e$t tardior.

Cor^{m}.

Tertium in motu uelo ci fit maior ictus & læ$io, & maiora omnia quam proproportione motus: quoniam ob uelo citat&etilde; minus diffu git aëris. Et ideò fiunt grauia uulnera ex modico incremento uelo- citatis motus.

Cor^{m}.

Quartum res latæ, duræ concutiunt, & non uulnerant ni$i $int cum magno impetu, aut ualde graues: acutæ autem uulnerant, $ed non concutiunt, ni$i parti acutæ lata $uccedat.

Quintum

53

Quintum, corpora dura magis læduntur à latis, quia $cindun- Cor^{m}. tur, mollia autem à tenuibus, quia diuiduntur: nam mollitie excipi- unt aërem, & ita à latis non adeò patiuntur, & etiam, quoniam nec franguntur, nec $ponte $cinduntur.

Sextum, etiam in duris penetrat aliquid aëris, aliter tota frange- Cor^{m}. rentur. Con$tat etiam omnem lapidem marmoreum, aut $iliceum e$$e poro$um, ut dicunt. Et etiam quia recipitur in mollioribus, er- go etiam in durioribus & in duri$simis: quod $i non recipiant ut ui trum, & gemmæ tota franguntur. Hoc etiam uidetur $en$i$$e Philo $ophus, qui uult, quòd res franguntur ob poros.

Propo$itio $exage$ima$ecunda.

Proportionem motoris in plano ad motorem, qui eleuat pon- dus iuxta id, quod mouet inuenire.

Con$titutum e$t inuenire proportionem uirium, quæ eleuant Co^{m}. pondus ad uires, quæ ip$um in plano leui trahere po$- $unt. Vires enim, quæ eleuant pondus a $unt eædem puta b, quæ uero trahunt c, $ed hæ po$$unt uariari, nam quanto uinculum altius, aut decliuis locus magis, aut a$pera $uperficies $eu ponderis $eu plani, tanto difficilius trahitur, & maiores expo$cit uires: hoc enim experimento deprehenditur. Duæ uerò po$tremæ cau$æ etiam per $e per$picuæ $unt, nec demon $tratione indigent: ni$i quod $i planum $it duri$simum, ac leui$si- mum, quod e$t a$perum facilius trahitur, quia minore $ui parte pla- num tangit. Nos præterea $upponimus planum æquale undique leue durum, & corpus undique $ibi $imile, id e$t cubi formam refe- rens, & uinculum in imo: Demon$trare igitur expedit primum, quòd in hoc ca$u b e$t duplum ad c. Quia enim cum a eleuatur b ui res $uperant motum ob$curum $eu occultum, $eu pondus a, & $i permitteretur $ine eo, quod $u$tineret, de$cenderet iuxta pondus $uum, quod $it d: nititur ergo per pondus d, at quia trahendo duci- tur circa medium, nam plana $uperficies parum differt à rotunda terræ ob terræ magnitudinem, media erit repugnantia: in eo enim quod mouetur, grauitatem habet d in eo, quod nõ remouetur nul- lam habet grauitatem, mediam ergo retinet grauitatem, quare ut b ad d, ita c ad dimidium, grauitatis a, at b e$t primum, quod pote$t mouere d, igitur c e$t primum, quod pote$t mouere dimidium a, ut ergo dimidium a ad d, ita c ad b, e$t igitur c dimidium b.

Propo$itio $exage$imatertia.

Omne graue quanto proximius alligatum plano, tanto faci- lius trahitur.

E 3 Sit

54

Co^{m}.

Sit graue a b c alligatum funibus in d ef, dico, quòd facilius trahetur per fe quàm c b & e b, quàm d a, quia $i debet trahi ex a uel b, aut cadet, aut uis ex a & b communicabitur c, igitur erit minor quàm in c, & hoc naturaliter. Mathematica autem ratione quoniam ex a tra- hetur c, qua$i per lineam d c: at attractio recta e$t ualidior obliqua- igitur attractio c per d e$t debilior, quàm per f. Rur$us $i e trahitur per d cùm a peruenerit in d, erit perinde ac, $i attractum e$$et per li- neam c d, $ed linea c d mouet duobus motibus, uno ad $uperiora, al Per 59. bu-ius. tero ad latus, ergo lentius ad f per d c quàm f c, quod erat demon- $trandum.

Propo$itio $exage$imaquarta.

Omne mobile quanto latius tanto tardius mouetur in plano.

Co^{m}.

Demon$tratum e$t $uperius quòd $i mobile $it $ph&ecedil;ricum, & tan Propo$. 40. gat planum in puncto, quòd mouetur per quancunque uim aptam diuidere medium. Quia ergo $i tangat in puncto facillime moue- tur, $i in linea paulò difficilius, $i per $uperficiem adhuc difficilius, igitur cum fiat attritio in motu quanto latius e$t mobile eo diffici- lius mouetur. Sit ergo mobile a b, quod moueatur uer$us c, & quia pars b $eu dimidium mouetur iuxta rationem me- dietatis, & pars a eodem modo, ergo conduplicata difficultate, quia medietas b impedit medietatem, a quanto latius e$t, & longius a b, tanto difficilius Propo$. 62 mouetur. Et hoc intelligitur de corporibus ualde latis propter dicta $uperius.

Propo$itio $exage$imaquinta.

Proportionem duorum mobilium inter $e cum auxilio medij inuenire.

Co^{m}.

Graue de$cendit naturaliter quatuor cau$is: prima e$t ponderis magnitudo, unde quod grauius e$t celerius de$cendit. Secundò ob paruam medij repugnantiam, ideo quanto medium e$t rarius & mobile tenuius, tanto celerius de$cendit: contrà uerò tardius. Ter- tiò ob impetum aëris $ub $equentis: & ideo mobile quòd ex eadem Propo$. 30. materia con$tat, $emper de$cendit parte acutiore $uprapo$ita, ne aër cogatur celerius ferri: & quanto diutius de$cendit, tanto magis in- tenditur motus, at <01> augetur, ut $uprà de claratum e$t. Quarta cau$a e$t, quod non impediatur ab aëre tran$uerfim moto, et à latere: ideo leuia mobilia & magna non $olum lentius de$cendunt, quoniam Propo$. 59. paruam uim habeant, & magnam repugnantiam, $ed quia tran$uer Propo$. 62. $im impul$a minus mouentur motu recto, ut $upra ui$um e$t. Por- rò pro-

55

rò proportio ratione de$cen$us aucta, declarata e$t paulo antè, quare cum medium $upponatur eiu$dem generis, & figura non eiu$modi, nec leuitas, ut pror$us non impellat, nedum ut moueat la tus: figura quo que eadem ambobus relinquetur proportio motus ad motum producta ex proportionibus incrementi in proportio- Per 42. ha-rum. nem ponderum, & iam habuimus proportionem incrementi ex In 61. ha-rum. motu aëris, ergo proportio unius motus producti ad alteram no- ta erit.

Propo$itio $exage$ima$exta.

Proportionem laterum eptagoni, & $ubten$arum con$iderare, & quæ à reflexa proportione pendent.

Com.

Sit eptagonus a b d f g e c, & $ubten$æ b c, & f e duobus lateribus, tribus autem d c d e, & erunt (quia intelligitur eptagono æ- quilatero, & æquiangulo) b c & e finuicem æquales: & item d c, & d e æquales: & $i du- cerentur b e & c f inuicem æquales: & ad a c & d g: quare cum angulus cb d con$i$tatin Per 28. & 29. tertij Elem. arcu c e g f d, & angulus b d c in arcu b a c, & angulus b c d in arcu b d; & $it arcus c e g f d duplus arcus b a c, quia c e g f d $ubtendit quatuor latera epta- goni, & arcus b a c duo, & ita arcus etiam b a c duplus arcui b d erit angulus d b e duplus angulo c d b, & angulus c d b duplus an- Per ult. $exti Elem. gulo b c d, quare per demon$trata à nobis proportio laterum b d, b c, c d, e$t reflexa, igitur proportio d b & b c, ad d c, ut d e ad b c, & De Suh. lib. 16. rur$us proportio b d & d e ad b e, ut b e ad b d. Quare $uppo$ita d b 1, b c 1 po$itione, erit d c latus 1 quad. p: 1 po$itione. Proportio Per 20. diff. uerò, ut dictum e$t b d & d c ad b c, id e$t p: <02> 1 quad. p: 1 pos, ad 1 pos e$t, ut b c ad b d, id e$t 1 pos ad 1, igitur 1 p: <02> v: 1 quad. p: 1 pos æquatur quadrato b c, quod e$t 1 quad. igitur 1 quad. m: 1 æquatur <02> v: 1 quad. p: 1 pos quare 1 quad. quad. m: 2, quad. p: 1 æquatur 1 quad. p: 1 pos. Additis igitur communiter quatuor quadratis fient 1 quad. quad. p: 2 quad. p: 1 æqualia 5 quad. p: 1 pos. Et reducitur ad 1 cu. æqualem 1 3/4 pos p: 7/8.

Aliter $tante $uppo$itione ut Ludouicus Ferrarius ex demon- $tratis à Ptolemæo quadratum b c, & e$t 1 quad e$t æquale produ- cto ex b d in c e, quod e$t 1, & a b in d c, igitur detracto 1, produ- cto b d in c e ex 1 quad. quadrato c b, relinquitur productum ex a b in c d 1 quad. m: 1, ergo diui$o co per a b, quæ e$t 1, relinquitur c d 1 quad. m: 1 huius uerò quadratum per ead&etilde; demon$trata à Pto- E 4 lemæo,

56

lemæo, &ecedil;quale e$t rectangulis ex b c in de, & b d in c e, igitur 1 quad. quad. m: 2 quad. p: 1 e$t æquale 1 producto b d in c e, & producto b cin d e detracto 1 communi, relin quetur productum ex b c in d e 1 quad. quad. m: 2 quad. igitur diui$o 1 quad. quad. m: 2 quad. per 1 pos, exit 1 cu. m: 2 pos æqualia d e, & d e e$t æqualis d c, ut ab initio demon$trauimus, & d c fuit 1 quad. m: 1, igitur 1 cu. m: 2 æquantur 1 quad. m: 1, igitur 1 cu. p: 1 æquantur 1 quad. p: 2 pos.

Aliter ut Pacciolus, concurrant latera eptagoni b d, c e in a, & du cantur perpendiculares a f, d g & c d, & $it c e i ca 1 pos, & quia ut Per 42. pri mi Element. a e ad a c, ita d e ad b c, erit ergo b c (1 posp: 1)/(1 pos) quare b f (1/2 pos 1/2,)/(2 pos) & quia d h e$t dimidium d e, erit d h, & g f 1/2, cum ergo b f $it (1/2 pos p: 1/2)/pos erit ergo di- ui$a 1/2 pos per 1 pos, & exit 1/2, b f 1/2p: 1/2/pos igitur detracta g f relinquetur g b 1/2/(1 pos). & eius quadratum 1/4/(1 quad). igitur cum qua- dratum b d $it 1, erit quadratum g d 1 m: 2/4/(2 quad)g c autem e$t compo$ita ex e f, quæ e$t 1/2p: 1/2/(1 pos) & f g quæ e$t 1/2, erit igitur c g 1 p: 1/2/(1 pos), & quadratũ eius 1 p: 1/pos e$t 1/4/(1 quad.) quare &qtilde;dratũ e d &qring;d e$t Per 32. pri mi Element. compo$itum ex quadratis c g & g d erit 2 p: 1/pos c a uerò e$t æqua- lis c d, quia, ut demon$tratum e$t angulus d c e e$t $eptima pars duorum rectorum, & angulus b c e ei duplus, quare cum c f a $it re- ctus erit ex trige$ima$ecunda primi Elementorum f a c tres $epti- mæ unius recti, ergo d a c 6/7 unius recti, d c a uerò 2/7 unius recti, quia Per $extam eiu$dem. e$t $eptima pars duorum rectorum, ígitur a d c e$t 6/7 unius recti: igi- tur c d e$t æqualis c a, ergo quadratum quadrato: igitur 1 quad. p: 2 pos p: 1, æquatur 2 p: 1/(1 pos) igitur 1 quad. p: 2 pos, æquantur 1 p: 1/(1 pos). Quare 1 cub. p: 2 quad. æquatur 1 pos p: 1. Sit etiam angulus a duplus b, & b c dupla b a: & erit per eadem proportio a c, & a b ad c b, ut c b ad c a. Ponamus ergo ab 1, erit b c 2, & a c 1 pos, & a c, a b 1 pos p: 1, & du- cta in a c fit 1 quad. p: 1 pos, & hoc e$t æquale 4 quadrato b c per re- flexæ proportionis diffinitionem. Igitur a c e$t <02> 4 1/4 m: 1/2, & ita de alijs.

Propo$itio $exage$ima$eptima.

Si fuerint aliquot quantitates ab una quantitate, aliæ<03> totidem ab eadem

57

ab eadem analo gæ, erit proportio tertiæ unius ordinis ad tertiam alterius, ut $ecundæ ad $ecundam duplicata, & quartæ ad quartam triplicata, quintæ ad quintam quadruplicata, at <01> $ic de alijs.

Co_{m}.

Sint quantitates b c d e f, ab a in continua proportio- abgchdkelfmnotpauqb gxzysz
ne, & aliæ totidem g h k l m, dico quod proportio h c e$t duplicata ei, quæ e$t g ad b, & k ad d triplicata, & l ad e quadruplicata, & $ic deinceps, $umatur enim unum, & ab Per 8. non<*> Ele. & 22. & 23. octa ui. co o p q r s in proportione b ad a, & tuxyz in propor- tione g ad a, erit igitur p quadratum o, & u quadratum t, & q cubus o, & x cubus t, & ita de alijs: ergo proportio Vide per 23. Petit. n ad p duplicata ei, quæ t ad o, & x ad q triplicata ei, quæt ad o, & pote$t etiam demon$trari generaliter ultra qua- Per 23. $ex ti Elem. & 33. undeci-mi. dratum, & cubum: nam $i ducatur t in o, fiat <03> a erit, pro- portio enim ad a eadem quæ t ad o, & proportio a ad p, ut t ad o, igitur per diffinitionem proportionis duplicatæ Per 17. $e-ptimi Elem. po$itam in quinto libro ab Euclide u ad p duplicata ei, quæ t ad o, & $imiliter ex t in p fit b ex o in u, g erunt<03> Diff. 10. q b g x in continua proportione per eandem. Quia ergo propor- tio q ad b e$t ut o ad t, patet, quod x ad q e$t triplicata ei, quæ e$t t ad o, & ita de reliquis, cum ergo proportio p ad o $it, ut e ad b, & o ad Per 24. quinti Elem. n, ut b ad a, & n ad t, ut a ad g, & t ad u, ut g ad h, $equitur ut $it t ad a, ut g ad b, & u ad p, ut h ad c, igitur cum $it ut u ad p duplicata ei, qu&ecedil; e$t t ad o erit h ad e, duplicata ei quæ e$t g ad b, & ita de reliquis, & no&ngrave; refert, $eu dicas u ad p duplicatam ei, quæ e$t t ad o, $eu dicas p Per 10 diff. quinti Elem. ad u duplicatam ei, quæ e$t o ad t. Aliter & euidentius in duabus $oleo demon$trare: cum enim $it e & h duplicata ei quæ e$t b & g ad a, ut $upra, & quadrati b ad quadratum a, & quadrati g ad qua- Per 20. $ex ti Element. dratum a duplicata his quæ b & g ad a erunt b & g quadratorum ad quadratum a, uelut c & h ad a. Et conuertendo qua- &qtilde;d.be&qtilde;d.aa&qtilde;d.gh
drati a ad quadratum g, ut a ad h, con$tituantur ergo hic & erit quadrati b ad quadratũ g, ita c ad h: $ed qua- drati b ad quadratum g, ut b ad g proportio duplicata igitur e ad h, ut b ad g duplicata.

Propo$itio $exage$imaoctaua, collectorum ab Euclide & Archimede.

Omnis cylindrus cono habenti ba$im, & altitudinem eandem 1 triplus e$t. Omnis cylindrus $phæræ habenti eundem magnum 2 circulum, & altitudinem $exquialter e$t. Omnis $phæra dupla e$t 3 cono, cuius ba$is e$t eius circulus magnus, & altitudo eadem, quæ $phæræ ip$ius. Omnis $uperficies $phæræ quadrupla e$t maiori 4 $uo circulo. Superficies portionis $phæræ e$t æqualis circulo, cu 5 ius

58

ius $emidiameter e$t linea ducta à uertice portionis ad finem illius.

Quilibet $ector $phæræ æqualis e$t cono, cuius ba$is e$t circu- lus æqualis $uperficiei eiu$dem portionis, altitudo uerò $phæræ $e- midiameter. Proportio $phæræ ad $ectorem datum, e$t duplica- ta ei, qu&ecedil; e$t dimetientis ad lineam, quæ à uertice portionis ad lim- bum. Cum enim $phæra $it æqualis cono, cuius ba$is e$t maior cir- culus, altitudo uerò dupla dimetienti per tertiam harum, quæ hic Per 14. & 15. duodeci mi Ele. Eucl. proponuntur: erit $phæra æqualis cono ba$im habenti circulum, cuius $emidiameter $it æqualis diametro $phæræ, altitudo uerò $e- midiameter $phæræ. At per $extam harum $ector $phæræ e$t æqua- lis cono habenti altitudinem $cmidiametrum $phær&ecedil;, ba$im autem Per 11. duo decimi Ele. ip$am portionis $uperficiem: igitur proportio $phæræ ad $ecto- rem, uelut circuli cuius diameter e$t dupla dimetienti $phæræ ad círculum æqualem $uperficiei portionis: at $uperficies portionis per quintam harum e$t æqualis circulo, cuius $emidiameter e$t li- nea à uertice portionis ad limbum eiu$dem: ergo proportio $phæ- ræ ad $uum $ectorem e$t uelut circuli, cuius dimetiens e$t duplus di metienti $phæræ, aut $emidimetiens e$t æqualis dimetienti $phæræ ad circulum, cuius $emidimetiens e$t linea à uertice portionis ad limbum. Sed proportio talium circulorum e$t duplicata propor- Per 2. duode cimi, & 20. $exti Elem. tioni $emidimetientium, igitur proportio $phæræ ad $uum $ecto- rem e$t ueluti dimetientis $phæræ ad lineam, quæ á uertice portio- 8 nis ad limbum duplicata. Cuicunque portioni $phæræ conus ille habetur æqualis, qui ba$im hab eat eandem cum portione, altitudi- nem uerò lineam rectam, quæ ad altitudinem portionis eandem habeat proportionem, quam $emidiametros $phæræ unà cum alti- tudine reliquæ portionis habet ad eandem reliquæ portionis alti- 9 tudinem. Earum $phæræ portionum, quæ æqualibus $uperfi- 10 ciebus continentur medietas $phæræ maxima exi$tit. Proportio $uperficiei $phæræ plano diui$æ ad reliquæ portionis $uperficiem, & re$idui $ectoris ad $ectorem, e$t uelut quadratorum duarum li- nearum quæ à uerticulis $ectionum ad communem $uperficiem plani portiones $ecantis de$cendunt: nam $ectorem $phæræ, dico Per 22. quinti Elem. corpus compo$itum ex portione, & cono illo. Ille idem etiam defi- nit Ellip$im coni a cuti anguli $ectionem, quam dicit etiam fieri $e- Per 20. $ex ti Elem. cto cylindro per planum non ad angulos rectos $tante $uper cylin- dri axem. Ab hac igitur coni acuti anguli $ectione $eu ellip$i cir- Per 11. quinti Elem. cumacta figura $phæroides corpus quod ba$im rotundam habet, uocat: id <01> duplex ob longum, quod fit diametro longiore quie- $cente, & prolatum quod fit quie$cente breuiore: $icut reliquam $ci licet parabolen aut hyperbolen, quia inferius non e$t terminata, in cono

59

in cono rectangulo uocat rectanguli coni $ectionem: ex qua cir- cumacta fit conoidale, quia planam habet ba$im. Si ergo in ea- 11 dem rectanguli coni $ectione à plano portiones æquales habentes diametros ab$cindantur, illæ portiones erunt æquales. Et triangu- li in ei$dem portionibus in$cripti æquales erunt. Diametrum uo- cat in quacunqũe portione lineam, quæ omnes lineas ba$i æquidi- $tantes per æqualia diuidit. Omnis circuli cuius diameter e$t ma 12 ior diameter ellip$is proportio ad ellip$im e$t uelut directè diame- tri ellip$is ad diametrum tran$uer$am. Ex quo patet quod pro- 13 portio cuiuslibet circuli ad ellip$im e$t uelut quadrati $uæ diame- tri ad rectangulum recta, & tran$uer$a diametro ellip$is compre- hen$um. Ex hoc rur$us $equitur quod ellip$is ad ellip$im, ut re- 14 ctanguli ex diametris unius ad rectangulum ex diametris alterius.

Si conoides & $phæroides $ecet plano æquidi$tanti axi fiet $e- 15 ctio conoidalis $imilis ei à qua conoides $eu $phæroides de$cri- ptum e$t. Sin autem $upra axem plano ad perpendiculum erecto $ectio circulus erit. Et $i $ecentur obliquè fiet ellip$is, modo omnia latera comprehendat. Omnis portio conoidalis rectanguli, quam 16 planum $ecat, $exquialtera e$t, cono qui ba$im & axem eandem ha- bet. Ex quo patet, quod $i portio conoidalis rectanguli & $phæ- 17 ræ medietas eandem ba$im habeant & axem eundem, medietas $phæræ $exquitertia erit conoidali portioni. Et $i eiu$dem rectan 18 guli conoidalis portiones ab$cin dantur erit portionum propor- tio uelut quadratorum axium. Cuiuslibet $phæroidis pars pla- 19 no per centrum ab$ci$$a dupla e$t cono ba$im & axem eadem ha- benti. Si autem non $uper centrum erit proportio earum ad co- 20 num ba$im, & axem eandem habentem uelut coniunctæ ex axe al- terius partis & dimidio axis $phæroidis ad axem alterius partis.

Demum proportio partis conoidis obtu$i anguli plano ab$ci$- 21 $æ ad conum, ba$im & axem eadem habentem e$t ueluti lineæ, com po$itæ ex axe portionis & triplo adiectæ ad compo$itum ex axe portionis & duplo eiu$dem adiectæ. Adiectam uocat hyperbolis tran$uer$am. Omnis cylindrus cono triplus e$t habenti eandem 22 ba$im & altitudinem. Omnes cylindri coni $phæræ $unt in pro- 23 portione corporum $imilium planis $uperficiebus contentarum.

Propo$itio $exage$imanona, collectorum ex quatuor libris Apollonij Pergei & Q. Sereni.

Si fuerit linea bifariam diui$a, ei<03> in longum alia addita, & rur- 1 $us alia detracta, fuerit<03> totius cum addita ad eam, quæ addita e$t ueluti re$idui ad detractam erit lineæ com- po$itæ ex addita, & dimidia ad dimidiam ip$am

60

ip$am uelut dimidiæ ad differentiam eius, & detractæ. Rur$us<03> li- neæ compo$itæ ex dimidio & re$iduo dimidiæ ac detractæ ad li- neam compo$itam ex addita & detracta ut re$idui dimidiæ, & de- tractæ ad partem detractam. Et rur$us totius compo$itæ ad com- po$itam ex dimidia & addita, uelut compo$itæ ex addita, & diffe- rentia ad ip$am additam. Velut $it propo$ita a b per æqualia diui$a in c, addita b d, & detracta b e, $it proportio a d ad d b, ut a e ad e b, dico e$$e, ut c d ad cb, ita ab ad c e. Et ut a e ad e d ut c e ad e b. Etite- 2 rum ut a d ad c d uelut e d ad d b. In parabole proportio partium diametri ad uerticem terminantium duplicata e$t proportioni li- nearum ab ei$dem punctis ordinatim ductarum ad ip$am $ectio- 3 nem. In hyperbole autem & ellip$i & circuli circumferentia erit quadratorum linearum ordinatim ductarum inter $e uelut rectan- 4 gulorum partium diametri ad eadem puncta terminantium. Et in ei$dem $i à puncto peripheriæ contingens ad diametrum ducatur, & ab eodem ordinata, erit ut partis diametri intercept&ecedil; inter extre- mum, & ordinatam ad partem inter ordinatam & peripheriam, ue- lut interceptæ inter extremum & contingentem ad interceptam 5 exterius inter finem contingentis & peripheriam. Et in ei$dem quadratum $emidiametri æquale e$$e rectangulo ex intercepta in- ter centrum & ca$um contingentis in inter ceptam inter centrum & 6 ca$um ordinatæ à loco contactus productæ. Si parabolen recta linea contingens ad diametrum perueniat, $umpto<03> puncto alio in $ectione æquidi$tans ab eo ducatur contingenti: & ab utroque etiam ad diametrum ordinatæ, demum à uertice æquidi$tans illis, & à priore puncto diametro æquidi$tans donec concurrant, erit triangulus ex ordinata, & æquidi$tante à $ecundo puncto, & dia- metri parte contentus rectangulo ex prima ordinata & parte dia- metri inter uerticem & $ecundam ordinatam contento æqualis.

7

Si in parabole contingente ad diametrum ducta ex alio puncto ei æquidi$tans ducatur ex ip$a $ectione, ubi iterum $ecat $ectione<*> intercepta per æqualia diuidetur linea à puncto contingentis dia- 8 metro æquidi$tanti ducta. Idem uerò fermè continget ducta li- nea à centro in locum contactus, $ecabit enim omnes contingenti 9 æquidi$tantes in hyperbole, ellip$i at <01> circulo. E$t autem omne centrum in medio diametri: diameter autem in circulo & ellip$i il- las per æqualia diuidit intus enim e$t: in contrapo$itis inter uerti- cem, & uerticem po$ita e$t exterius utriu$que contingenti ad per- pendiculum in$i$tens. In hyperbole autem exterius etiam adiacet, ut in contrapo$itis eadem & tran$uer$a uo catur: cuius terminus e$t punctus concur$us cum latere trianguli, qui conum per axem diui- dit:

61

dit: linea uerò tangens uerticem hyperbolis ad quam ordinatæ 10 po$$unt, Recta appellabitur. Datarecta linea po$itione, alia<03> ma gnitudine data & angülo parabolen, & hyperbolen, & ellip$im, & contrapo$itas circa datam po$itione tanquàm diametrum de- $cribere tanquàm cono erecto, ut angulus ad uerticem $ectionis comprehen$us $it, & per rectam rectangulum æquale comprehen- datur quadrato datæ lineæ magnitudine. Si linea in duas partes 11 diuidatur, ei<03> utrinque æquales lineæ adiun- gantur erit rectangulum ex partibus totius æ- quale rectangulis partium prioris lineæ, & ex priore linea cum una adiecta in eam, quæ adiecta e$t. Si hyperbo 12 len recta linea in uertice contingat, & utrinque ab$cindatur, quan- tum e$t, quod pote$t in quartam partem rectanguli ex diametro tran$uer$a hyperbolis, quæ exterius adiacetin eam, quæ recta dici- tur, ad quam, quæ ordinatim ducuntur, $unt æquidi$tantes lineæ, quæ à $ectionis centro ad terminos contingentis ducuntur $emper ip$i $ectioni magis appropinquabunt, nec unquam conuenient: & ob id a$ymptoton appellantur. Nec ullæ aliæ intra angulũ illum 13 inueniri poterunt. Vnde etiam intra datũ angulum de$cribere do- cemur hyperbolen cuius anguli latera $int a$ymptota. A$ymptotis 14 duabus propo$itis uni hyperboli, in finitas alías eidem a$ymptotas inuenire. Duabus rectis a$ymptotis infinitas $ubijci po$$e hyperbo les illis rectis, & inter $e a$ymptotas. Cum in duabus $uperficie- 15 bus æquidi$tantibus duo circuli æquales, quorum linea per cen- tra non e$t ad perpendiculum earum infinitis planis $ecantur, fiunt in ip$is lineæ à peripheria in peripheriam rectæ quæ corpus cylin- dricum claudunt quod $calenus cylindrus appellatur: longè alius ab eo, qui fit recto cylindro per duo plana æquidi$tantia, $ed non ad perpendiculum po$ita di$$ecto. nam eius extremæ $uperficies non circuli, $ed ellip$es $unt. Si $calenus cylindrus plano non æ- 16 quidi$tanti ba$i, $ed ita ut angulos interiores æquales faciat angu- lis ba$is $ectio circulus erit: uo catur<03> hæc$ectio $ubcontraria: nec ulla præter hanc & ba$i æquidi$tantem $ectio circulus e$$e pote$t: $ed $unt ellip$es. Super eundem circulum, & $ub eadem altitudi- 17 ne ellip$es $imiles in cono & cylindro e$$e po$$unt, quæ ab eodem plano fiant, docet<03> uel ba$i uel cono uel cylindro, aut cono pro- po$ito reliqua facere, quod e$t ualde admirabile: cum ellip$is cylin- drica $emper æqualis $it in utraque parte à diametro tran$uer$a utrinque æqualiter di$tante, conica uerò minor nece$$ariò $it in $u- periore parte uer$us coni uerticem latior in inferiore, ubi partes a diametro tran$uer$a æqualiter di$teterint: ip$&ecedil; autem non $olum $i- F miles,

62

18 miles, $ed unam per$æpe in utri$ <01> e$$e uult. Sed & hoc Archime- des dicere uidetur: lineæ ductæ à uertice coni$caleni ad perpendi- culum $uper ba$es $ingulas omnium triangulorum per axe<*> coni tran$euntium in peripheriam unius circuli cadunt.

Propo$itio $eptuage$ima.

Si fuerint tres quantitates in continua proportione, aliæ<03> toti- dem in continua proportione, poterunt con$tituere tres quantita- tes in æquali differentia peruer$im copulatæ.

Com.

Velut $int a b c primi ordi- nis, & d ef $ecundi, & $it 28, 16 b 4, c 2, & d 2 1/4, e 1 1/2, f 1, tunc iunctis a & e fit 9 1/2, & b & d b 1/4, & e cum f 3, at 3 & 6 1/4 & 9 1/2 æqualiter di$tant, nam diffe- rentia e$t 3 1/4. At $i iungatur cum e, & b cum f, & c cum d idem poterit contingere: ut in figura uides, nam a e e$t 8 1/2, p: <02> 1 1/<*>4, & b f 7, & c d 5 1/2, m: <02> 1 1/4, & differentia b f ab utro <01> com- po$ito, e$t 1 1/2 p: <02> 1 1/4, qua excedit & exceditur. Dico modo, qua$i ex ordine coniungantur quale$cun <01> proportiones fuerint, modo non $int ambæ æqualitatis 1, ut b iungatur cum c, & reliquæ ut li- bet, uelut a cum d, & c cum f, uel a cum f, & e cum d, nunquam fient 17 æquales exce$$us, nam de primo e$t clarum: nam $i a cum diun- gatur, & ambæ fuerint maximæ, maior e$t differentia a ad b, quàm b ad c, & maior etiam d ad e quàm e ad f, ideo maior erit differentia a & d ad b e quàm b e ad c f, quod erat probandum. Eodem modo $ed laborio$ius demon$tratur reliquus modus $cilicet, quod con- iunctio a f ad b e e$t maior aut minor quàm b e ad c d, ex hoc$e- quuntur corrolaria.

Primum, tres æquales quantitates non po$$unt diuidi in tres, & tres quantitates in continua proportione ordinatè, ut dixi, ni$i u- triu$que ordinis tres, ac tres inuicem $int æquales.

Secundum, tres quantitates in æquali exce$$u ordinate, ut dixi, non po$$unt diuidi in tres, & tres quantitates, quæ $int in eadem proportione quantumcun <01> proportiones illæ duorum ordinum fint diuer $æ.

Tertium, tres quantitates, quæ $intin eadem proportione non po$$unt diuidi ordinate in tres ac tres, quæ $int in continua propor tione ni$i $int ambæ proportiones eædem cum proportione ip$a- rum quantitatum.

Propo$itio

63

Propo$itio $eptuage$imaprima.

Proportionem leuitatis ponderis per uirgam torcularem attra- cti ad rectam $u$penfionem inuenire.

Sit torcularis uirga, cuius $piræ a b per circui- Com. tum $int centuplæ ad altitudinem a b, & axis d c Propo$. 45. $emidiametro b c centupla, & quoniam per $upe- rius a$$umpta, qualis e$t proportio $patij ad $pa- tium, talis leuitatis ad leuitat&etilde;, igi&ttilde; e pondus a$cen dens per a b leuius quam per b crectã centuplo, et $imiliter cum circuitus b c, & d c $int in eodem tem pore, & circuitus d c, $it centuplus ad $piralem b c per demon$trata ab Euclide, ergo e erit centuplo leuius circum ductum per d quàm b, $ed per b circumductum cen- tuplo leuius e$t, quàm per rectam, igitur e ponderat folum particu- lam ex decem millibus recti ponderis.

Propo$itio $eptuage$ima$ecunda.

Proportionem ponde<*>is $ph&ecedil;ræ pendentis ad a$cendentem per accliue planum inueni<*>

Sit $phæra æqualis ponderig in pun- Com. cto b, quæ debeat trahi $uper b c accli- ue planum b e ad perpendiculum pla- Propo$. 40. 7 ni b f. Quia ergo in b e mouetur a, qua- uis modica ui per dicta $uperius, erit per communem animi $ententiam uis, quæ mouebit a per e b nulla: per dicta uerò a mouebitur ad f $emper, a con$tanti ui æquali g, & per b c a con$tanti ui æqua- li k, $icut per b d a con$tanti æquali h, ergo per ultimam petitio- nem, cum termini $eruent, quo ad partes eandem rationem $in- guli per $e, & motus per b e $it a nulla ui, erit proportio g ad k, ue- lut proportio uis, quæ mouet per b f ad uim, quæ mouet per b c, & uelut anguli per e b f recti ad angulum e b c, & ita uis, quæ mouet a per b f, & e$t, ut dictum e$t, g ad uim, quæ mouet per b d, & e$t h ex $uppo$ito, ut c b f ad e b d, igitur proportio dif- ficultatis motus a per b d ad idem a per b c, e$t uelut h ad k, quod erat demon$trandum.

F 2 Propo$itio

64

Propo$itio $eptuage$imatertia.

Proportionem ponderum attractorum penes figuram in pla- no inuenire.

Co^{m}.

Sint duo pondera æqualia in plano a & b, & $it a $uperficies qua planum tangit dupla b $uperfi- ciei, qua planum tangit: dico quod $i trahantur ab imo, quod erunt æqualia: $u$pendantur, & erunt æqualia ex $uppo$ito, $ed a quie$cens in plano e$t dimidium a $u$pen$i, & b quie$cens in plano e$t di midium b $u$pen$i ex demon$tratis $uperius, igi- tur per communem animi $ententiam a & b in pla- no $unt æqualia.

Cor^{m}.

Ex hoc manife$tum e$t, quod proportio uirium trahentium pon dera in plano eadem e$t, quæ ip$orum ponderum dum $u$pendun- tur. Vbiplanum æquale $it, & $olidum.

Propo$. 62.

Propo$itio $eptuage$imaquarta.

Proportionem concutientis ad concu$$um $tabili inuenire.

Co^{m}.

Intelligo concutiens e$$e $olidum, quod non frangitur, id<03> gra- uitate, & impetu concutere, nam de duritie $upponitur, & grauitas, ut demon$trabitur in corrolario e$t iuxta $uperficiem inferiorem ponderi comparatam. Cum ergo motus concu$sionis magnitudo con$tet ex grauitate, impetu & figura, concu$si autem ex pondere & connexione: multiplicatis inuicem partibus productorum pro- portio, erit proportio concu$sionis: ut $it grauitas decem, impetus quadraginta: pondus icti centum connexio ut duo, ducemus qua- dragintain decem, & fient quadringenta, et duo in centum, fient du centa, igitur concu$sio erit dupla.

Cor^{m}. 1.

Cum fuerit figura rotunda, concu$sio erit integra in puncto: quia $phæra iacens in plano totum pondus in punctum cogit.

Cor^{m}. 2.

Si autem planum e$t, quod ijcitur, proportio totius ad totum e$t minor, quàm partis ad partem pro ratione quantitatis latitudinis. Propo$. 84. $ed maior ratione aëris comprehen$i, de quo infrà.

Cor^{m}. 3.

Cum proportio minor fuerit $tabile, non poterit in $olido plano moueri: aliter fieret motus à debiliore, & per præcedentem etiam po$$et pari ratione eleuari.

Cor^{m}. 4.

Cum<03> $tabile non mouetur, & omne agens agat aliquid nece$$e e$t, ut $tabilis partes cedant, aut di$$oluantur. Quanto ergo magis cedit, tanto minus di$$oluitur.

Cau$æ

65

Cau$æ igitur quæ alleuiant ictum, ne di$$oluatur, $unt $eptem le- Cor^{m}. 9. uitas ictus, ponderis, fractura, mollities eius, quodicitur, mollities eius, quod excipit ictum, motus eiu$dem, & figura lata, & inæqua- lis. Durities ergo, quatenus fracturæ opponitur, aliud e$t, quam ut molliciei: & utra <01> e$t cau$a, quæ augetictum, ut reliquæ oppo$itæ minuunt, dicemus autem de his inferius.

Propo$itio $eptuage$imaquints.

Proportionem immoti in aqua ad immotum in terra in excipien do ictum inuenire.

Sit pondus a in terra æquale b eiu$dem naturæ magnitudinis fi- Co^{m}. guræ, & eodem in $itu, quod $it in aqua porrò a, $i e$$et affixum ter- ræ oportet, ut conuellatur, aut di$$oluatur aut frangatur. Et clarum e$t, quod totum ictum excipit. Si uerò affixum non $it, euertitur, & tanto mino- rem partem excipit ictus, quanto faci- lior e$t ad euer$ionem. Vnde nata fabu- la de quercu, quæ cum immobilis e$$et, & $taret uento euer$a e$t, arundo flecten- do $e, cecidit quidem, $ed non e$t eradi- cata. Sermo igitur e$t de b in$identi aqu&ecedil; in comparatione ad a, quando excipit plenum ictum. Cum ergo b tangitur, ex- cipit plenum ictum illo in$tanti, $ed quia non excipitur ictus cedente materia, & antequam materia cedat b mouetur loco, quia in$idet aquæ, ergo non excipit ictum. Proponatur ergo, quod moueatur b per c$pa- tium in d tempore, & $it, ut idem b ab e ui trahatur per idem $pa- tium in eodem tempore ex loco directo ad eandem partem: qua- lis ergo proportio e ad b, & aërem, qui cum eo re$i$tit, talis propor- tio ictus f grauis puta in a ad ictum Y in b. Quia per demon$tra- Propo$. 2. ta $uperius proportio f ad a producitur ex proportionibus e ad b, Per 42. & 43. Propo$. & a ad e, ergo diui$a proportione f ad a per proportionem c ad b exibit proportio ictus Y in a ad ictum Y in b quod erat demon- $trandum.

Ex hoc patet, quod b quanto mollius, leuius, & $trictius in imo, Cor^{m}. & in tenuiore aqua, eo minus lædetur. Et quanto ictus lentior fue- rit etiam quod $it grauius Y.

F 3 Propo$itio

66

Propo$itio $eptuage$ima$exta.

Proportionem duorum mobilium $ibi inuicem concurrentium per rectam inuenire.

Co^{m}.

Iam cognito, quod mobilia, quæ loco mouentur per præceden- tes, $ed omnino quie$cunt integros excipiuntictus: alia quidem, quæ concurrunt, non omnino re$iliunt, alia uero re$iliunt, & quæ re$iliunt minores excipiuntictus, $equitur ut diuer$a $it compara- tio: nam erunt, quæ $tando excipient ictus, & hæc integros ut mu- ri, & quæ concurrendo, nec re$iliendo, ut equi cur$u incitati: & quæ $tando, $ed re$iliendo, ut naues $tantes: & quæ concurrendo, re$i- liendo qúe ut naues uentis, & triremes ab impul$u: bifariam ergo contingit intelligi, quod proponitur. Sed in utroque etiam $en$u uarietas e$t: nam ut concurrit pars altera celerius, ita etiam magis concutitur. Et ideo $it, ut proportio ictùs $it in comparatione ad grauitatem duplá, & concurrant æqualiter, & $int æquè grauia, & neutrum re$iliat, erunt in proportione quadrupla, & eodem mo- do $i utrunque re$iliat. At $i diuer$o impetu ferantur, ut dixi, tria erunt præcipuè con$ideranda grauitas $eu pondus, impetus, & an re$iliat. Quanto enim grauiora fuerint, & maiore impetu agen- tur, & non re$ilierint eo maiorem ictum recipient: quanto leuio- ra, & minore impetu, & magis re$ilierint, minus lædentur. Sed & in debilitando ictum con$iderare oportet tria, quod re$iliat, quod diffugiat, quod circumuertatur: re$iliunt naues, $i ro$tris concur- rant pleno ictu: $i uerò non pleno ictu concurrant, $ed diffugiant hoc experimento compertum e$t minimum e$$e ictum: $i ro$tro tran$uer$um nauis feriatur medium, e$t hoc.

Sit ergo ut a b nauis tangat ro$tro b c $ic ut diffugiat, erit hypomochlium c, & $i tangat e f hypomochlium e$t in d dupla, ergo e$t c b ip$i d e, igitur ictus duplo minor excipitur à c b quàm ef. E$t etiam tempus longè maius, quo excipit ictum ef, quàm b c: $tatim enim di$cedit b c occurrit <03> alijs partibus, in c f autem impingit, & angulus a d c e$t longè ma- ior recto, quàm a b f: ob hæc igitur longè maior e$t ictus c f quàm b c: uocant autem hoc declinationem.

Propo$itio $eptuage$ima$eptima.

Proportionem motus obliqui ad motum rectum in nauibus inuenire.

Co^{m}.

Cùm uentus fertur ad puppim rectà, naui$qúe gubernaculum di rigitur,

67

rigitur, tendunturqúe uela ac expanduntur $umma in parte mali, tunc motus e$t ueloci$simus: fingamus autem, quod omnia ad idem tendant præter uentum, qui non directus $it ad puppim, $ed à latere, ut uides, & temo $itin contrarium tantundem directus, & $upponamus pro nune, quod uelum $it $olum in anteriore parte nauis, nam $ecus e$$et nimis magna differentia, quod nauis una ageretur tribus malis alia una: Quæritur igitur proportio motus b c ad mo- tum d e: fiat ergo c f æqualis e g, ita ut f angulus rectus $it, & manife$tum e$t, quod h c maior e$t c f, cum ergo angulus f rectus $it, quanto maior erit angulus h c f, tanto maior erit proportio h c ad c f, quod e$t primum a, ińde noto angulo h c f per ea, quæ tradita $unt ab A$trologis de $inu & arcu erit nota proportio c h ad c f, ideo ad e g fiat ergo c k æqualis c h, igitur c k erit maior e g, $i ergo perambula- bit æqualiter c, ut c h, erit temporis motus e g ad motum e f, ut c k ad c f, igitur cum nota $it c k, e$t enim æqualis c h, erit temporis ad tempus proportio nota. Quod autem in æquali tempore mouebi- tur nauis per c k & h c patet ex a$$umpto inferius declarando.

Propo$. 99.

Propo$itio $eptuage$imaoctaua.

Propo$itionem nauis ad triremes quotuis concurrentes de- mon$trare.

Sit nauis deferens pondus decuplo maius triremi, & con$tat, Co^{m}. quod impul$u æquabitur decem triremibus, ubi flante uento e puppi æqualiter feratur in aduer$um, quantum triremes ui homi- num. Sed quoniam triremes impediuntur à uento licet $ine uelis $int, habent enim & ip$&ecedil; malum, & uelum, $ed exigua comparatio- Propo$. 74. ne nauium, ideo ictus ille multo ualidior e$t ex demon$tratis. Cum uero uis illa $imul $it, liquet, 'quòd hoc in ca$u ni$i machinæ ob$ta- rent una nauis mille po$$et obruere triremes di$iunctas per tantum $patium inter $e, quantum e$t id, in quo nauis pote$tuenti impul- $um recipere. At impedimentorum maximum $unt machinæ, quæ in nauim collimant à lateribus, cum triremes quaquâ uer$um $e a- g ant, & ob id proram $olam exponunt ictibus, in quam difficile e$t collimare, & $i tangatur pars ea robu$tior e$t, nec periculum euer$ionis adeò in currit, ut à lateribus: nec enim adeò angu$ta e$t a prora ad puppim nauis, quam à latere ad latus: his tot cau$is mi- nus e$t obnoxia machinis triremis, quám nauis. Sed & alia cau$a e$t, quoniam nece$$e e$t ut ob angulum laterum ad proram F 4 ictus

68

ictus dilabatur $&ecedil;pius $olum traiecta $uperficie. Secundum impe- dimentum e$t à uento, $i ualde obliquus $it, nam ad rectum impul- $um, multum debilitatur: aut $i incon$tans $it, uiribus<03> remittatur. Tertium uerò $i triremes inuicem connexæ $int, ac $e tangant, in quas nauis dirigitur. Sed & hoc infrà demon$trabitur nauim, ut le- Prop. 109. uior fuerit facilius elabi, $ed ut pondere magis onerata grauiores ictus inferre: ob hoc triremem inuenerunt mediam maximi u$us a)mfh/rh<19>. Galeonum uulgò uocant.

Propo$itio $eptuage$imanona.

Proportionem medicamentorum purgantium inuicem de- clarare.

Co^{m}.

Scio, quàm multa concurrant, etiam per $e ad purgationem mul titudo humorum præparatio locus propinquus, $ed nobis $er- mo e$t pari$ub conditione, ut $it dimidia uncia Ca$siæ nigræ in tri- bus uicibus expurget libram humorum, & uelim $cire ab una un- cia, quoties expurgabitur, & quantum. Dico, quod in $camonio, & agarico hæc ratio deprehendi pote$t: in his autem medicamentis, quæ magis leniunt, quàm à proprietate educant, ut e$t ca$sia nigra, ratio hæc non ualet, quoniam feces quando que pro maiore par- te educuntur, ita ut etiam multiplicato medicamento de$it, quod educatur. Et quamuis humores iuxta proportionem trahat, cum tamen feces proportionem non $eruent, $equitur: ut aggregati ad Ex conuer$a 18. quint. aggregatum proportio non $eruetur. At non e$t facile po$tmo- dum interno$cere feces ab humoribus, quocirca uidetur propor- tio illa confundi. Quod $i medicamentum leniens, fiat ob quanti- tatem purgans humores, ut de multa ca$sia nigra, tuncnon pote$t a$signari illa comparatio ni$i ut e$t medicamentum purgans. Et $it gratia exempli, primum ut grana $ex $camonij purgent aliquem ter, & uncias decem bilis, dico iuxta rationem $uprapo$itam, quod Propo$. 37. grana duodecim purgabunt iuxta proportionem duplam $exqui- alteram, $i duo grana nil purgant, $ed commouent. æqualia enim Propo$. 42. $unt: ut quatuor $int dupla, & $ex tripla, & mouent ter, quia $exqui- alteram habent proportionem ad exce$$um, igitur duodecim du- plam, & $exquialteram ad quatuor, nam decem ad quatuor e$t du- pla $exquialtera, & purgabit $epties cum nixu libras duas fer- me bilis. Vt comparatio fiat exce$$us ad uim, quæ re$i$tit eodem modo. In ca$sia ergo nigra $i uncia unanõ purga, $ed lenit tantum, & duæ unciæ purgant ter, & libram unam bilis, tres unciæ duplam habent

69

habent proportionem iuxta exce$$um ad unam, exce$$us igitur duplum purgabunt, & duplo magis, id e$t præter feces libras duas bilis in $ex uicibus.

Propo$itio octuage$ima.

Proportionem motus $ecundum obliquum ad rectum in $pa- tio declarare.

Hæc uídetur $imilis $uperiori cuidam propo$itioni, $ed tamen in Co^{m}. hoc differt, quoniam in c a $upponimus nauim moueri, ut concu- tiat, hic autem iuxta motum $olum: ut proponamus b nauim ferri uer$us a uento recto ex b in a: $it autem uentus ex cin a mouens nauim ex b in a: nòn enim moue- bit ut quidam putant in ratione c a ad b a: ut $i ca $it $exquiquarta ad b a, ut æquali impetu ex b & c flante uento moueretur tardius per c a, quam per b a, quia æqualiter ex $uppo$ito: ergo tanto tardius c fertur in a, quam b in idem quanto lon- gior e$t c a, b a igitur $i b perueniet in a in qua- tuor diebus c perueniet in idem a in quinque diebus. Hoc enim e$t per $e manife$tum: $ed non quærimus id, $ed ut uento c a æquali per c a ei, qui e$t b a per b a, ubi b moueatur uen to c a per b a, quanto tardius mouebitur. Mouebitur. n. tardius ad a per b a, quam per c a, at per c a tardius, quam ex b in a per æqua- lem uim, ergo multo tardius ex b in a per c a uentum, quam per uen tum ex b in a. Quærimus ergo compo$itionem horum, ut $it c nauis, quæ debeat transferri ad a per uentum ex b, & $equitur, quod tardius, quam ex c per uentum ex c in a, & tardius ex b per uentum ex cin a. Ergo malus, qui in prora e$t conuoluto eo, qui e$t in puppi, ut etiam Ari$toteles docet tantundem nititur ad re- Quæ$t. 7. Mechanica. ctum ex cin æquidi$tantem locum ab a quantum c di$tat ab con- tra temo, qui in puppi e$t dirigitur ad h, & $i ualidius $it uentus e- tiam adiuuante temonem, $eu contra nitente, quantum licet mo- bili pondere nauis ad id latus, premitur enim nauis, qua$i $ubmer- gi debeat, uento in aduer$um premente, ut $i uentus repente huic contrarius exoriatur, periculũ $ubeat, ne obruatur. Cum ergo uen- tus ex b feratur, æquidi$tans c h, & c feratur per temonem in k, & ab oppo$itis æqualis actio $equatur, imò tota impeditur, ex c in h fere- tur iuxta proportionem anguli, quem con$tituit h c cum a c ad to- um rectum, Si igitur ex c in a debuit ferri in duodecim horis ob uim

70

uim uenti, & uiæ longitudinem, angulus uerò h c a $it $exta re- cti pars, feretur ex c uer$us a ad quantitatem b a in quatuorde- cim horis: igitur rur$us quanta e$t proportio c a ad b a tan- tum e$t temporis, in quo fertur ex c ad a ad quatuordecim horas per uentum b a.

Propo$itio octuage$imaprima.

Qualis $it angulus, per quem pote$t moueri nauis ad rectum explorare.

Co^{m}.

Cum in præcedenti propo$itione o$ten$um $it angulum k c a oportere e$$e æqualem angulo h c a, ut feratur, c in a uento c h, nec tamen pror$us, $ed temo magis inflectit uer$us k quam uentus co- git uer$us h: $icut contra maiori ui uentus dirigit ad h, quàm temo ad k, ut nece$$e $it nauim flecti ad k pondere, ideo $i uentus e$$et tran$uer$us periclitaretur, nece$$e e$t, ut per omnes uentos, qui fe- runt ab ea, quæ ad perpendiculum $uper c a, & $unt quatuordecim: $ed quoniam, ut dixi, pondere adiuuante uis uenti minor fit, nece$- $e e$t, ut per uentos debiliores feratur magis ab extremis, qui pro- pe perpendiculum $unt: ita ut numerus omnium $it, cum leui$simi fuerint, quatuordecim, cum uiolenti$simi, tres tantum proprius, & qui di$tant trige$ima$ecunda parte totius circuli, id e$t partibus un decimi, cum quarta reliqui undecim, medij $unt: ut tanto plures a$- $umi po$sint à Nauclero, quanto molliores $unt uenti, tanto pau- ciores, quo uiolentiores. Tutius autem fuerit in ualidis uentis diri- gere nauim per uentum proximiorem, quam per ip$ummet, qui re- Propo$. 83 ctè tendit ad locum. Veluti tendat nauis ex a in b, uentus tendat in cualidior, cum<03> magnus fuerit angulus c a b, ut potè dodrans to- tius recti, ut e$$et temo dirigendus ad $extum uentum altrin$ecus di rigemus $olum ad quintum, ut feratur in d, & hoc erit tanto cele- rius, & celerius feratur per a d & d b, quàm $i nauis recta lata e$$et ex a in b. in$uper tutius.

Propo$itio octuage$ima$ecunda.

Proportionem uelorum indagare.

Co^{m}.

Vela tribus in locis di$poni $olent dolo b, quod in prora con- $tituitur, & in malo, qui ponitur in medio ratione, quæ inferius o$tendetur, $ed non ad unguem, quia cum malus in anteriorem partem à uento impellatur, $i e$$et in medio, $emper præmeretur nauis in anteriorem partem, ex quo duo magna incommoda $eque rentur: primùm ut periculum $ubiret, ne inuer$a in anteriorem par- tem

71

tem $ubmergeretur. Secundum ne pre$$a in parte anteriore dif- ficilius aquas di$$ecaret, & ob id longe tardiu, moueretur. Pro- pter hæc duo incommoda igitur malus etiam $i unicus e$$et (quod uulgati$simum maloribus no$tris |fuit) in parte magis proræ proxima locabatur à gubernatoribus, ut e$$et qua$i in trien te à ro$tro in be$$e à puppi: Rarum fuit, & memorabile, quod nunc pa$sim habet olim Antigoni triame/<15>& 1, uelorum trium: quorum po$tremum Epidromus ut ip$a uoce intelligamus non fui$$e ue- lum in malo ip$o medio, $ed in puppi con$titutum. Cau$a Dolonis inferius exponetur: quod autem e$$et paruum, & omnium mini- mum, ut nauis $acile ab eo inuerteretur. Vnde etiam nunc minus minime habent tam quantitate, quam etiam altitudine, quod uo- cant Trinehetum, $olum enim $u$tinet nauim, quæ à uentis, uel un- dis mergi $olet: ab undis ubi humilior e$t, à uentis à lateribus, et an- teriore parte. Vnde humile, & exiguum uelum efficit, ut nauis ante- riore parte leuis, nec mergatur prona à uentis, nec aquas ea exci- piat, nec tamen impelli pote$t nauis in $copulos, nec euerti ob cau- $as dictas: ob quæ in magnis tempe$tatibus hoc ip$o duntaxat uti $olent. Quod et$i nimium $æuierint, etiam illud demittunt, & $i fieri pote$t, etiam malum ip$am quamuis $ine uelo $it. Sed plerun- que circumuolutam, & implicatam $olet antennam annexam, at- que $u$pen$am habere. Sed & ne nauis pror$um obruatur, quo- niam ea pars omnem uentorum uim excipere $olet, & ut leui$sima $it ijdem Gubernatores puppim multa arena, lapillis qúe onerant. Ergo uelocitas nauis à uentorum impetu, eorumqúe rectitudi- ne à uelorum magnitudine, & loco humiliore, aut $ublimiore ha- betur: tum nauis leuitate, & forma. Quæ enim non merguntur ut droma/des ($ic enim uocat Ari$tophanes) eas, quas nunc uulgus fre- gatas appellat) qua$i aquas innatantes cur$u $unt ueloci$simæ. Et longiores latis. Po$t has $unt, quæ carinam habent tenuem, ut fa- cile aquas diuidant. Vltimo loco, quæ qua$i mediæ, ante quidem tenues, pò$t latiores ad uelocem cur$um, & ferendum onera aptæ, & humiles altis: & leui ex ligno. Sed nos de uelorum uarieta- te loquimur, non ea', quæ ad malos pertinet. Con$tat enim me- dio loco plus mouere, quam in extremis, ut infrà docebi- mus. Antiquo enim tempore opus non fuit malorum mul- titudine, quoniam $yderibus uias dirigebant ob id non ad amu$sim, quoniam linea dirigi non poterat maximè ob mo- tus obliquitatem in circulo ui$us: ideò mali multi confu- $ionem in cur$u, & impedimentum in naui, maiu$qúe pericu- lum attuli$$ent. At nunc inuenta pyxide, & lapidis Her- culei

72

culei auxilio pluribus locis uela di$po$ita melius dirigunt iter, ut qua$i cra$$a minerua depictum, & pote$tate deformatum, ad amu$- $im contrahant. Motus ergo magnitudo non $impliciter con$tat, $ed comparatione $uper$iciei ueli ad uelum longitudine quidem, Propo$. 86. ac latitudine conflata per multiplicationem. Altitudinis quo <01> ut Propo$. 42. infrà exponetur. Ex quorum omnium ductu, qua$i cubica, uel tri- plicata ratione, ut $uperius o$ten$um e$t, ratio uelocitatis motus na uium conflatur.

Propo$itio octuage$imatertia.

Proportionem rece$$us à recta uia ad obliquitatem inue$tigare.

Co^{m}.

Sit nauis in a itura in b (uentus rectus ad c, medius ad e) per ob- liquũ, cum ergo tardius moueatur per a e quàm a c & per a b, quam per a d, & $int ad perpendiculum b e, b d quas con$tat e$$e breui$si- mas earum, quæ ad a c & ad a d. Queritur igitur quando uelocius ferretur ad b, an cum per a c, c b, an cum per a d, d b, an cum per a b $impliciter. Et con$tat quod a d & d b longiores $unt a b, i$tud enim demon$tratum e$t ab Euclide in primo Elementorum, dico modo a c, & Propo$. 20. c b e$$e longiores a d & d b, nam quadrata a d & d b & a c & c b $unt æqualia quadrato a b per dicta ibi- Propo$. 47. dem, & ideo quadrata a c & c b &ecedil;qualia quadratis a d & d b, $ed a d e$t longior a c, quia ducta c d angulus d c a e$t obtu$us, igitur ad maiorem a c per decimam nonam primi Elementorum: quare per communem animi $ententiam quadratum a d maius e$t quadrato a c, quarerur- $us per communem animi $ententiam quadratum c b maius e$t quadrato d b. Cum ergo quadrata a d & d b æqualia $int quadra- tis a c & c b, & a d $it maior a c & c b maior d b, $equitur per nonam $ecundi Elementorum, quod a c & c d $int maiores a d & d b pari- ter acceptis. Si ergo maior fuerit exce$$us quàm proportio motus per temonem cohibiti, ut $upra ui$um e$t, tardius mouebitur per a d, d b quàm a b per a c, c b quàm per a d, d b, $ed $i contrà maior $it proportio motus cohibiti à temone ad motum liberum quàm ex- Propo$. 80. ce$$us ad exce$$um uelocius mouebitur per a d d b, quàm per a b, & per a c quàm per a b. Accedit huc e incommodo longioris uiæ, quod uento a c non poterit ferri nauis ex c d in b, quoniam antea ægre ferebatur: & nunc ægrius per c b quàm a b, plus enim di$tat uentus a c ab itinere c a quàm à uento a b, ut ui$um e$t $uperius, igi- tur multo melius e$t (ni quid ob$tet) ire per a b quàm per ullã aliam Per 81. Propo$. uiam: ni$i $tationes $int in c d, uel periculum immineat in a b. Vbi ta men uenti $ecundarent, tantum e$t uirium in recto cur$u, & æquali uelocitate

73

uelocitate ferretur citius ex a in b per a d d b, & etiam citius per a c, c b in b quam per ip$am a b, quod fuit propo$itum declarare.

Propo$itio octuage$imaquarta.

Di$tantiam centri terræ à centro mundi per motum lapidis Her culei declarare.

Co_{m}.

Non me later Ari$totelem exi$timare centrum mundi e$$e cen- trum terræ illud<03> proba$$e, quod tamen ex demon$tratione no$tra mathematica apparet nunc$ubijciam, & quid ad illius rationes di- cendum $it, aliâs etiam dicendum erit: nam liber hic, ut mathemati- ca decet, e$$e debet ab omnibus contentionibus ab$olutus. Con- $tat $anè non e$$e propriam uim lapidis illius, ut qui non $it circum- $criptus $ed fru$tulum quoduis id pote$t, ne<01> per $e, $ed in ferro & pendulo, nec fieri pote$t, ut $it illius tãquam $peciei unius lapidum, $ed qua$i perfectæ portionis cuiu$dam generis terræ, quæ ab$olu- ta $it, cuius indicium e$t illius copia, ne<01> enim ullibi non inuenitur, & ubi ferrum effoditur, ut in Ilua In$ula Tyrrheno mari, e$t ergo fer ri uis terræ maritæ, quæ perfecta in $uo ge- nere, ubi uim fœcundam acceperit à ma$cu- lo $cilicet Herculeo lapide, quærit primum ut de$cendat, ubi hoc non po$sit $alt&etilde; quæ- rit, ut quie$cere po$sit. Vt ergo quie$cat à motu cœli qui e$t ab Oriente in Occiden- tem iuxta axis cœli $itum $e dirigit, quod ille $olus quie$cat in $uo motu, uel $altem tardi$simè moueatur: indicio e$t quod $i extra $itum illum acus ferrea imbuta eo lapide ponatur, $tatim tre- mit uchementer, adeò ut nec momento ullo con$i$tat, $ed mi$erè & grauiter torqueri uideatur, non ergo quod $entiat polorum locum qui tantum abe$t ab illa, ut nec ab homine perito mathematicarum, $ed quod uix illa cœli $entiatur circa centrum mundi. Cuius indi- cio e$t Oceani maris, aquarum fluxus & refluxus. Duos ergo ha- bet motus terra perfecta, $eu ferrum lapide Herculeo imbutũ $ub- ordinatos imperfectum perfecto: perfectus e$t, ut de$cendat ad cen trum terræ, ut ibi quie$cat: imperfectum, cum à perfecto prohibe- tur, ut quie$cat $altem extra centrum cum in clinatione ad centrum, et hoc fiet $i $ecundum longitudinem acus dirigatur per axem mun di, cum $itu tamen de$cen$ui ad terræ centrum proximiore, ut $æpi- us $uperius declarauimus, dum de motu grauium & præcipuè li- bræ, & centro grauitatis loqueremur. Quibus demon$tratis tum experimento tum ratione à Fortunio Affaytato Cremonen$i Me- dico, cum per hæc po$tmodum cogeretur fateri acum ad polum G tendere,

74

tendere, cum tamen tendat à dextro latere $cilicet ab Oriente no- uem partibus, $eu decima parte unius recti in centro terræ, quæ e$t quadrage$ima totius ambitus cœli. Statuatur centrum mundia, & b a c axis, $ecundum quam mouetur motu diurno, ital a dextra exit oriens, k a $ini$tra occidens, & $tatuatur d centrum terræ, $eu $uprà $eu infrà, non tamen in linea b c, $ed uel $uprà in dextra parte, uel in- frà in $ini$tra, ita ut ducta linea per illud punctum arcus b g $it no- uem partium. Con$tituta ergo acu in e puncto, ubilinea h ad g $ecat peripheriam terr&ecedil; dico, quod acus dirigetur per h g, & non per b c, nam acus mouetur ad centrum per eam, & in eo $itu tota dirigitur, quia omnes partes grauis con$entiunt in motu principij grauitatis ad centrum, hoc enim demon$tratum: nixus ergo e$t ut moueatur per c d, & in eo nixu qui e$t quies cu$to dit lineam axis, quæ e$t a b, ut quie$cat, ergo non quie$cet, ni$i in linea d g, quod erat demon- $trandum. Quæ autem $equuntur ex his corrolaria omnia concor- dant cum experimentis. Ergo hic $ermo e$t demon$tratiuus, ut e- nim bene dixit Auerroes: Sermo demon$tratiuus $atisfacit omni- bus problematibus quæ cõtingunt circa principale quæ$itum. Ex hoc ergo patet, quod angulus di$tantia d ab a in latitudine e$t de ci- ma pars recti, et quod quanto magis di$tatin longitudine centrum terræ à centro mundi, tanto etiam minus di$tatin latitudine. Hæc enim $unt demon$trata clarè in mathematicis. Vnde fieri po$$et quod hæc quantitas di$tantiæ e$$et res, per quam exigua etiam $i non e$$et maior quatuor digitis $ufficeret, modo etiam per ualde paruum $patium di$taret ab eodem in longitudine. De cau$a au- tem huius differentiæ aliâs dicendum erit, hiclo cus non e$t, $ed $uf- ficit $cire quod ita $it, quod $i mobilis $it punctus d, clarum e$t ali- quando futurum ut minus di$tet g à b, aliquando ut $it idem. Et quali$cun<01> motus $it, nece$$e e$t eam di$tantiam uariari.

Propo$itio octuage$imaquinta.

Proportio ponderis unius grauis ad aliud $ub eadem men$ura e$t, ueluti eiu$dem ad differentiam ponderis ua$is repleti ex altero graui, & ex ambobus detracto priore.

Co^{m}.

Sit aurum a, & liquor b, quæ repleant uas c, & pondus amborum $it librarum quadraginta, & uas repletum liquore $olo $it librarum xxix, au- rum autem $it ponderis librarum xij, igitur reli- quum erit ponderis xxviij, differentia ergo ua- $is pleni, & non pleni liquore e$t libra una, pon- dus auri e$t librarum duodecim: dico quod au- ri pondus e$t duode cuplum ponderi liquoris, & $i fui$$et

75

$i fui$$et pondus amborum libræ xxxix, manentibus reliquis, $eque retur quod pondus liquoris e$$et xxvij, & quia plenum uas $uppo- nitur e$$e librarum xxix, e$$et differentia libræij, at auri pondus e$t libræ xij, igitur proportio ponderis auri ad liquorem e$$et $excu- pla. Nam $i uas plenum liquore ex $uppo$ito e$t librarum xxix, & cum auro xl, gratia exempli, & auri pondus e$t xij, igitur liquoris pondus e$t xxviij librarum: $ed cum liquor $it corpus $imilium par- tium, igitur loci ad lo cum, ut ponderis ad pondus, ergo dum ade$t aurum, liquor occupat xxviij partes cxxxix, totius ua$is igitur au- rum continet unam partem tantum, & cum aurum pondus habeat librarum xij, & liquor unius: quia totum uas cxxxix librarum dum e$t plenum, & e$t diui$um in xxix partes, igitur pondus unius par- tis liquoris e$t una libra, igitur pondus auri e$t duode cuplum ad pondus liquoris quod fuit propo$itum.

Cor^{m}. 1.

Ex quo $equitur quòd $i ducatur pondus illud partis per pon- dus repleti ua$is ex alio graui, & productum diuidatur per differen tiam illam, prodibit pondus ua$is repleti liquore graui.

Co^{m}.

Exemplum, $i pondus auri fuerit librarum xij, pondus ua$is re- pleti liquore xxix librarum, pondus auri & liquoris replentium uas xxxix librarum, ducemus xij in xxix fit cccxlviij, diuido perij differentiam xxvij ponderis ua$is, repleti ex ambobus detracto au- ri pondere, & xxix ponderis ua$is repleti liquore exit clxxiiij, & tan tum auri uas illud continebit, nam cum duæ partes quas occupa- bat aurum e$$ent ponderis librarum xij, totum quod erat partium xxix, continebit decies & quater cum dimidio illud aurum xij, aut ductum in xiiij cum dimidio, efficit cclxxiiij ut prius.

EXEMPLVM.

Quia ergo in $uperiore propo$itione docui, quod ferrum e$t ue- ra terra: uolui $cire qualis e$$et proportio ferri ad aquam. Accepi ur ceum cuius aqua dum plenus e$$et ponderis, fuit unciarum $ex, & $eptuncis unciæ, & $eptuncis duodecimæ partis unciæ & pondus ferri unciæ $eptem, & triens unciæ & triens duodecimæ partis un- ciæ: & ua$is aqu&ecedil; & ferro eodem repleti unciæ tredecim, & duode- cima & $eptunx duode cimæ partis unciæ. Detrahemus ergo vij & trientem & trientem duodecimæ. i. 7 & 64/144 pondus ferri ex 13 19/144, & relinquentur 5 99/144, detrahe ex 6 81/144, pondere aquæ totius ua$is relin quuntur 17/18, diuide 7 64/144 per 17/18 exit proportio ponderis ferri ad pon dus aquæ 7 15/17. Ethoc e$t proximum ei quod dixit Philo$ophus de proportione ponderis terræ & aquæ.

Cor^{m}. 2.

Ex hoc patet $olutio problematis cuiu$dam propo$iti alias<03> mi nus bene $oluti cùm cau$am habeat manife$ti$simam, $cilicet quod G 2 wa$e

76

ua$e aqua pleno impo$itis $en$im centum aureis coronatis nihil ef- funditur, non quod quicquam ab$umatur in metallo, $ed cau$a e$t quod cum aurum $it duplum pondere ferro, erit ex demon$tratis $ex decuplum ad pondus aquæ. Igitur cum $it proportio ponderis auri ad differentiam $patij eadem, $i $it uas aquæ ponderis libræ unius & mediæ, erit pondus totum xxiij unciarum, igitur aqua de- ficiet $olum ex decimaoctaua parte $eu cre$cet ex impo$itione auri, $ed illa pars in tumore aquæ ab$umitur, nõ $olum, quia dum aureos imponimus plana $olum $it, $ed quia non ex quauis rotunditate defluit, aliter in urceo tam exiguo non po$$et apparere rotunda: quod enim rotunditas to- tius terræ, quæ etiam planam o$tendit totam unam re- gionem ad rotun ditatem quæ apparet in exiguo urceo aquæ. E$t igitur rotunditas illa potius ob lentorem aqu&ecedil; qui auge- tur à lentore argenti, & etiam magis auri, cum $en$u digitorum per- cipiatur.

Cor^{m}. 3.

Ex hoc apparet ratio quomodo Archimedes potuerit deprehen dere coronam à Hierone propo$itam quantum auri & argenti con tineret. Sit ergo uas a b aqua plenũ ponderis un ciarum triginta, & cum libra auri $it ponderis unciarum quadraginta unius, & cum li- bra argenti ponderis unciarum quadraginta cum dimidio, igitur erit auri pondus ad aquæ pondus duodecuplum, argenti autem ad idem octuplum, quare auri ad arg&etilde;tum pondus $exquialterum. Ponamus ergo quod corona impo$ita ex auro & argento $olo fa- bricata (hoc enim $upponere oportet) fuerit un ciarum $exaginta, pondus autem aquæ content&ecedil; cum corona in ua$e unciarum uigin tiquatuor cum dimidio, $cilicet totum octuaginta quatuor cum di- midia, erit ergo proportio ponderis coronæ ad pondus aquæ, ut cxx ad xi, aurum igitur e$t proportione duodecuplum, argentum autem octuplum, corona ut cxx ad xi. Con$tituantur $ub ei$dem ra- tionibus ducen do lxxxviij. cxx. cxxxij. hoc e$t ac $i dicamus, accipe partes ex cxxxij & lxxxviij, tot ut faciant integrum & componant cxx. Et ideò reduces ad minores numeros, $cilicet xxxiij. xxij. et xxx. Propo$. 178. & operaberis per regulam de con$olatione monetarum, quas po- nemus infrà, & fient auri partes octo & argen ti partes iij, nam cum duxeris iij in octo pon- dus argenti fiet xxiiij, & cum duxeris viij in xij, pondus auri fiet xcvi, igitur totum pon- dus erit cxx, diuidendum per xi, aggregatum partium auri & argenti, ita uero uncia ad unciam, ut tota corona mi $ta ad coronam puram auri & argenti.

Ex hoc

77

Ex hoc etiam patet modus cogno$c&etilde;di proportionem grauium Cor^{m}. 4. inuicem per $olam aquam, uelut auri ad plumbum, ad lapides uel æs, aut æris ad lapidem & $imilia, ut in præcedenti operatione de- prehendi$ti: nam cum $it nota proportio auri ad aquam & æris uel lapidis ad eandem, erit auri ad æs uel lapidem nota.

Et $imiliter $ciemus per hoc accipere partes diuer$orum, qu&ecedil; iun Cor^{m}. 5. ctæ faciant con$titutum pondus. Velut uolo facere ma$$am ex mel- le & aqua, quæ impleat uas, quod mellis contineat quindecim, aquæ duodecim, uolo ut contentum $it ponderis quatuorde cim, operabor, ut in cõ$olatio- nibus, ponam duas partes mellis & unam aquæ, ut uides in operatione à latere.

Propo$itio octuage$ima$exta.

Si circuli in æquales, $eu in $phæra, $eu in plano $e $ecuerint nun- quam oppo$itos angulos æquales habent.

Capiantur tres quartæ cir culorum magnorum a b, a c, b c, & alia Co^{m}. b d ad rectos angulos erũt<03> uici$sim poli, & ducatur per medium parallelus, erit ergo e f æqualis e g, & f e æqualis f g, $ed ba$is c g e$t quarta circuli, & ba$is c b dimidium quartæ circuli eo quod tota b a e$t quarta circuli, igi- tur per modum 25 primi Elementorum quæ tenet, erit angulus c f g maior oppo$ito c f b. Hoc autem tenet in eiu$dem rationis $uperfi- ciebus, quales $unt hæ, quæ $unt $uperficies eiu$dem $ph&ecedil;ræ. po$$et etiam demon$trari per modum quartæ primi Elementorum. Et eti- am con$tituta $phæra e f g, cuius hic circulus e$$et maior circulus, & non tangeret ni$i in illa linea $phæra maiorem, & utrin <01> $ecaret eo- dem circulo. Et etiam per cordas & trigonos rectilineos, auxilio tam&etilde; regulæ dialecticæ. Ex hoc $equitur auxilio regulæ dialecticæ, quod in omnibus parallelis a c d & e f g cum b c circulo maiore, & per aliam regulam dialecticam in omnibus cira culis inæqualibus inter $e ad æquales angulos $ecanti- bus & ex tertia demum regula dialectica, $equitur in o- mnibus circulis in æqualibus $e $ecantibus ad quemuis angulum in $phæræ $uperficie. Sunt autem hæ regulæ mediæ inter axiomata & demon$trata. Et ex logica propria illi arti. In plano au- Per 13. terd tij Element. tem $patium d b c minus e$t a b c, $ed $patium c b d e$t unum, ergo per communem animi $ententiam $patium a b d, maius e$t $patio c b c, quod fuit probandum.

G 3 Propo$itio

78

Propo$itio octuage$ima$eptima.

Proportionem cra$sitiei aquæ ad aërem in comparatione ad ra- dios demon$trare.

Co^{m}.

Sit in aheno a b c d in imo e dena rius argenteus cera affixus uel cla- uo, quem uideat ex h impo$ita aqua clara u$<01> ad f, uideat ex k, igitur per aquam deflectitur à perpendiculo per angulum k f n, & in l, per angu- lum l g o cre$cente aqua demum in labro m a p, & $it e annexus, & tabu la h k l m $it affixa $olo uel pondere firma foraminibus obliquis infrà $pectantibus, & per a a$picientibus extremitatem e. Po$$umus ergo imaginari primum, quòd omnes inclinationes $int à perpendicu- lari, dum exit aqua, & ita denarius uideretur, uel in $uperficie aquæ in directo e, uel in recta ex oculo in imo, quorum neutrum uerum e$t. Secundus modus e$t, ut radius delatus e a flectatur ad k uell, & hoc non quia in a non e$t mutatio medij. Tertius e$t, ut linea ex ocu lo ducta perueniat per punctum a ad $uperficiem aquæ, & ex ea per directum ad denarium, & tunc quia oculus iudicat $e uidere per rectam, ideo iudicabit $e uidere per l a g in q, eo quod $emper in directo loci in quo e$t e. At quoniam non ex qua cun<01> di$tantia ui- detur e, $ed ex longinquiore loco, ubi uas fuerit humilius quod li- neæ ad a ex oculo, quanto a fuerit humilius, tanto propius ip$i e procedunt. Et uer$a uice lineæ ex e ad a, quanto e e$t humilius ad quencun<01> locum inflectuntur, tanto inferius cadũt. Ergo cum fue rint ad æquilibrium h, magis di$tabunt ab e, & ita e magis procul uidebitur. Cau$a ergo triplex e$t humilitas, uel altitudo ua$is: humi litas uel altitudo aquæ: & labri ua$is altitudo. Sed han crelinquere po$$umus. Difficultas ergo experimenti etiam rectè facti e$t, quo- niam po$ito ua$e n c d $olum, ut altitudo $it tantum n e, procul ma- gis uidebitur e, quàm $i uas $it a b c d, & totum plenum. Vbi autem uas fit a b c d, magis procul uidebitur e cum $uerit totum plenum, quam cum fuerit plena $ola pars n c d. Sic difficile e$t con$iderare an altitudo aquæ faciat ad ui$ionem procul, cum in humiliore, $ed di$sipari ua$e longius uideatur in pauca, quia labrum non ob$tat: in eodem autem longius in pluri aqua, quia labrum etiam non ob- $tat, $ed alia ratione. Vt ergo uideamus hoc experimentum, capie- mus

79

mus duo ua$a a b c d duplum h k l m $ub eadem proportione alti- tudinis & latitudinis, & collo cabimus ita ut p n radius æquidi$tet f e, & collo cabimus tabulas cum foraminibus, ut prius, & g f p q in æquilibrio, in de uidebimus, an q p $it æqualis aut breuior, nam longior e$$e non pote$t, quoniam inflectitur a minore aqua, ideo angulus p h q non pote$t e$$e maior f a g, $uppo$ita p h æquali a f: quod $i non e$$et, $ufficeret, ut q & p e$$ent in æquilibrio uno, & f g alio. Sed ueritas e$t quod à maiore aqua maior fit reflexio: tum quia in his, quæ $unt $ecundum naturam corpoream, & $ub$tan- tiam den$am, aut tenuem uarietas quantitatis uariat uires: tum quia uidemus, quod in altiore aqua denarius uidetur magis cum fundo elatus. Igitur his cognitis experimentum fiat cum ua$e ple- no. Et (ut dixi) con$iderabimus proportionem anguli f a g ad far, $eu f e c quæ $anè e$t no tabilis: adeò ut $it maior proportio aquæ ad aërem comparatione grauium quàm lucis.

Cor^{m}. 1.

Ex his cogno$cemus comparatione eiu$dem aquæ tenuitatem aëris unius regionis in comparatione ad aërem alterius: nam ubi remotius uidebitur denarius, ibi aër erit tenuior.

Cor_{m}. 2.

Et per idem in eadem regione comparationem aquarum. Nam cum $it idem aër, & uas, ac reliqua paria, ubi magis procul uidebi- tur denarius, aqua erit cra$sior ideò deterior.

Cor^{m}. 3.

Se quitur etiam quòd omnes res propiores in aqua uidentur, quam $int, & ideò maiores: & ob id etiam omnis aqua profundior e$t, quam uideatur. Vtingredi per$æpè $it periculo$um.

Propo$itio octuage$imaoctaua. De in$trumento momentorum.

In$trumentum Acolingen, quo momenta temporum deprehen dantur fabricare.

G 4 Et

80

Com.

Et quoniam motus naturales fiunt in tempore: & dicuntur ue- lociores, uel ob $patium loci magnum, quod $uperatur, uel ob tem poris breuitatem in uelo ci$simis motibus, quod ad $patia attinet, facilius digno$cuntur uelociores, quoniam $patium maius & ma- net, ut men$urari commodè po$sit: $ed quòd ad tempus, quanto tar diores, quoniam in uelo cibus quantitas temporis e$t exigua: & e- tiam tempus ip$um perpetuò diffluit: ideò difficillimè deprehen di pote$t. Huius cau$a exco gitauimus in$trumentum, quod uo caui- mus Acolingen: quod con$tat tribus rotis: prima e$t pedum duo- decim diametri, in ambitu autem habet denticulos ccclx æqua- les, & æqualiter inter $e di$tantes, huius peripheriæ funis cum pon- deribus in$eritur, ita ut cum alijs duabus rotis renitentibus in una hora circumagatur æqualiter. Duodecim ex his denticulis curru- lis duode cim denticulorum axis $ecundæ rotæ in$eritur: $ic ut cum rota magna duode cim conuer$a fuerit partibus, $ecunda rota cu- ius axis $it pedum duorum, $cilicet $excuplo maior circumuerta- tur. Huius minoris ambitus diui$us $it in cxx partes æquales, & unicuique parti denticulus in$ertus $it: ita hæc rota tricies in una hora conuertetur. Singulis uerò denticulis currulis axis rotæ ha- bentis denticulos quatuor in$eratur, ita ut dum $ecunda rota uer- titur $emel minima circumuertatur tricies: nam pro $ingulis qua- tuor denticulis, quibus media rota cir cumagetur, minima tota cir- cumuertetur, ideoqúe nongenties in una hora. Hæc minima ro- tula be$$em pedis in dimetiente habebit, ut $it $exta pars illius, in ambitu autem diui$a erit in xl partes, ut cum circumuer$a fue- rit nongenties in una hora pertran$ierit partes xxxvi. Et cum pul$us hominis communis $int in hora <23>, uel circa nouem partes ex his rot&ecedil; minoris perficient circiter unam pul$ationem ex dia$to- le & $i$tole, $eu ex di$tentione & contractione perfectam: ut partis unius conuer$io fiat in nona parte, uel circa unius pul$ationis pul- $us humani: & hoc e$t minimum fermè, quod ab humano $en- $u percipi po$sit. Erit etiam proportio rotarum eadem tam in dia- metris, quàm circuitibus $cilicet $excupla, neque motus diffor- mis, quoniam maior tanto tardius mouebitur, quanto quod ue- locius mouetur etiam minus erit, tamen proportio uelo citatis ma- ioris ad minorem in æqualibus $patijs uigintiquin cupla, ut ma- ioris ad mediam quintupla, nam cum $it $excupla in ambitu, & tricies moueatur uelocius comparatione totius, $equitur, ut proportio $patij, quod $uperabit media ad $patium, quod $u- perabit maior in ei$dem temporibus, erit quintupla, $emper ad un- guem. Et ita mediæ ad minorem quintupla, & ideò maioris ad minorem

81

minorem uelo citas uiginti quincupla, ut non $it difformis, neque pcriculo$a, ut in rotis moletrinis, & $it diui$a per medium iuxta proportionem, cum $it tanto uelo cior minor media, quanto media maiore. Rur$us proportio partium maioris ad mediæ partes tripla e$t $cilicet ccclx ad cxx, & mediæ ad minor&etilde; tripla cxx ad xl, & pro- portio e$t $excupla, iterum igitur partes maioris ad mediam, & me- diæ ad minorem erunt in dupla proportione, utrobi<01>, & e$t pul- chrum. Ideò partes etiam minimæ rotæ erunt $atis magnæ: nam cum diameter $it bes pedis, ambitus peripheriæ erit duorum pe- dum. 1. unciarum uigintiquatuor: igitur diui$a peripheria in xl par- ter, unaquæ <01> pars erit maior dimidia uncia.

SCHOLIVM.

Et cum defuerit in$trumentum, utemur men$ura expul$u homi- nis de$umpta, $ed non e$t adeò exacta. Accedit aliud commodum, quòd cum in una hora circumuertantur partes xxxvi, id e$t triginta $ex mille: & octauus orbis circumuertatur in totidem annis, tot erunt momenta ex his in una hora, quot anni in uno circuitu $tella- rum fixarum. Vtintelligamus, quàm breui tran$it una hora apud nos, ita apud Deum, utita dicam (nam nulla in infinito proportio) unus annus magnus, & reditus rerum omnium. Comparata etiam rota minima ad rotam moletrini $ic $e habet, quòd cùm modica ad- e$t, uer$atur rota in una pul$atione: cum $atis abundans quinquies, aut $exies cum immodica duo decies.

Ex hoc

82

Cor^{m}.

Ex hoc $equitur, quod homo $i moueretur uelo citate motus ro- tæ moletrinæ in $ex eb domadibus perueniret ad $ydus Lunæ, nam rotarum earum, quibus ferrum acuitur $emidimetiens communi- ter e$t bes unius pa$$us, ideò dimetiens pa$$us cum triente: ambi- tus ergo quatuor pa$$us, & xxi pars, colligamus nunc integra, in uno ictu pul$us circumagitur decies, id e$t pa$$us xl, in hora $unt <23> pul$ationes: in hora igitur $patium pertran$itum e$t cxl pa$$uum in M. horis, ergo erunt clx M. pa$$uum addita parte xxi, erunt clxviij M. pa$$uum, & tantum di$tat luna à terra: & M. horæ $unt dies penè xlij, eb domadæ $cilicet $ex.

Propo$itio octuage$imanona.

Proportionem den$itatis aquæ ad aërem per pondera inuenire.

Co^{m}.

Contingit hoc multis modis: primum acceptis duabus $phæru- lis æqualibus ex cry$tali$ub$tantia una<03> demi$$a ab alti$sima turri, & men$urato ictu per in$trumentum præcedens, & $ub totidem momentis alia demi$$a in aquam, in de $ub eodem tempore dimen- $a altitudine, erit proportio $patij ad $patium, ut den$itatis aquæ, ad den$itatem aëris. Item emi$$a $phærula per in$trumentum in aërem, in de in aquam: & fumpta proportione. Et uidimus $corpionem, qui $phærulã creteam emittebat pedibus lxx, & in aqua per unum & dimidium adeò, ut proportio fuerit, ut quinquaginta ad unum: ideò e$t fallax experimentum in uiolento motu: nam cum emitte- batur in aquam erat propè, & ob id in $ummo robore: cùm in aë- rem, emittitur $en$im uis. De hoc ergo loquar.

Co^{m}.

Et erumpentia ob id magis quàm è terra, et minus quàm ex aëre: diuiditur enim aqua cum graue petit fundum, & aqua feruet: & e$t mirabilius, quàm utile.

Propo$itio nonage$ima.

Rationem impetus uiolenti extra mi$si ponderis ad æqualita- tem reducere.

Co^{m}.

Sit uiolentum a quod moueatur per b c d e, e $patium, & quia uiolentum contrà nititur naturali, cadat ergo in planum in e: $unt ergo tria con$ideran da, primum quod, ut dixi aliâs, motus uiolen- tus pro certa di$tantia augetur, & cau$am ibireddidi, ut potè u$que ad c, $ed hoc e$$et difficile cognitu. Secundum, quod ubi in cipit de- cre$cere, $emper magis ac magis decre$cit propter naturalem ni- xum contra operantem. Tertium quod ubi de$cendere in cipit, ibi e$t æqualis uis uiolentum motum agens cum naturali. Certum e$t etiam quod motus æqualis intelligitur erecta ad perpendiculum e f, donec occurrat a d: & diui$a tota b f per tempus, locus ergo, in quo mouetur per tantum $patium, dicitur locus motus æqualis: qui

83

qui $it gratia exempli g h, cuius medium proportione $it k, di- co k con$i$tere propiorem f, quàm b, etiam$i æqualiter mouere- tur. Primum quòd in tota g f declinat, & totus motus e$t lentior, quàm in tota b g, & tamen tardatur tantundem, ergo per commu- nem animi $ententiam, k e$t propior f, quàm b. Secundò, quia per $ecundum $uppo $itum motus a uer$us f, continuè fit lentior, igitur per communem animi $ententiam multò longius e$t tempus mo- tus a k, quam f, & tanto maius $patium. Tertiò, quia motus ex b uer $us caugetur, & $i e$$et æqualis adhuc multò e$$et breuior k f quam a k, igitur multò magis hoc modo, & triplicata ratione. Si ergo b k e$$et $exquiquarta $olum ip$i k f, erit b k dupla: fermè ex triplicata ratione ip$i k f, & iuxta eundem modum ponemus mediam uim xlvi pa$sibus à $corpione a quam & hoc modo erit propèid quod e$t.

SCHOLIVM.

Dubitat autem Philo$ophus in mechanicis quæ nam uis $it, qu&ecedil; moueat lapidem iam excu$$um? & dubium non e$t quin ex parte $it aër motus tum ratione, quia mouetur ergo mouet, tum experimen to, ut in fulminibus, & his quæ uento impelluntur, ut hypophy$is, $ed in $corpionibus & arcubus & pilis id non $ufficere uidetur. Ita- que uelut & caliditas & frigiditas in corporibus natura contrarijs aliquandiu manent, & agunt ita & uiolentos motus, id<03> Alexan- der & Simplicius uolunt. Inditio $unt quòd mota & emi$$a ex lon- gioribus machinis quan quam non aërem continentibus, nec in- anibus tamen, longius eijciunt $agittas & mi$silia, quoniam uis illa firmius imprimitur, uelut etiam de lapidibus & ferro, quod di- utius in igne moram traxit, aut continuè follibus ignitum e$t, nam etiam tanto tardius refrigeratur unum quod que horum, & alia urit & accendit calore illo externo, quanquam natura frigidum $it: di- cemus autem & de hoc $uo loco.

Propo$itio nonage$imaprima.

Proportionem grauis cubi, & $phærici æqualium in accliui, & de$cen$us eorum demon$trare.

Hic non pauca $unt cõ$ideranda: Primum quòd hoc intelligi pote$t, uel de motibus at- tractionis, uel impul$ionis, uel inuer$ionis. Secundum quod omne, quod impellitur $uperiùs, tantundem gra- uat attractum, quantum ad de$cen$um, $i $it rotundum, nam qua- drata, etiã alia non de$cendunt $ponte in decliui, & $i $it locus ualdè decliuis,

84

decliuis, tanto minus de$cendunt, quanto $unt latiora. Quia tamen omnia difficiliùs de$cendunt $phæricis, & facilius quàm in plano, ubi ponderant ni$i per dimidium grauitatis, ideò proportio hæc con$tat ex proportione anguli de$cen$us ad totum rectum, & ma- gnitudine $uperficiei, qua incumbit ad pondus comparata. Omne enim graue, quanto grauius tam ad quietem, quàm ad motum na- turalem potentius e$t: hoc enim per$picuum e$t, quia quieti natu- rali motus uiolentus, & motui naturali quies uiolenta opponitur: quia ergo maiore ui opus e$t ad motum præter naturam, ergo $e- cundum naturam etiam maiore ui quie$cit. A$$ump$imus ergo cu- bum, ut magis notum. Sphæra igitur in omni decliui de$cendit, quia ut dictum e$t, nil habet quod re$i$tat ad motum: & ip$a gra- uior e$t in decliui, quàm in plano, quia c pun- ctus cadit ultra e, ergo punctus contactus, & centrum grauitatis, & centrum mundi, non $unt in una linea. Si enim b c contangeretur, e$$et b c plana. Si uerò tangit, angulus e$t maior angulo contactus, ergo cum nece$$arium $it, æquidi$ta- re aliter non e$$et $phæricum, oportet, ut eleue- tur ex parte c, & de$cendat uer$us b, & ideò ut continuetur motus. Si uerò $it in linea conta- ctus b c f, & æquidi$tet non erit, ut dixi punctus contactus in linea centrorum, $ed in a c, cum $uppo$itum $it lineam a d e$$e lineam centrorum: maior e$t ergo portio g c e, quàm re$i- duum, ergo de$cendet in b. Cubus uerò non de$cendet, ni$i cum di- midium d addito, quod inter cipitur inter lineam mediam, & quæ à centro mundi ad punctum medium contactus u$<01> quò perueniat ad oppo$itam partem, eam habuerit proportionem ad idem me- dium eadem portione detracta, quem iuncta proportioni an guli declinationis ad re$iduum recti dimidiam proportionem efficiat. Eadem<03> ratio aliorum planorum. Dico præterea quòd motus $phæræ, & etiam corporum rectarum $uperficierum in de$cen$u alius e$t æqualis, & alius inæqualis, & qua$i à latere, uelut $i angu- lus unus prolabatur, ac fiat circumuolutio: cum ergo facilius fiat hoc, & maximè $i non retineatur æqualiter, & difficile $it in medio retinere, propterea prolap$us hi melius retin&etilde;tur duobus uinculis, quàm in medio, non $olum ob hanc æqualitatem, & complexum meliorem, $ed etiã, quod omnes motus, omnes ponderum nixus fa ciliùs cohibentur, & deducun&ttilde; diui$i in partes, <08> $i toti contin ean&ttilde;, aut ui trahãtur. Et ideo uin cula in rami cibus duplicia dextra, & $ini $tra $cilicet in ead&etilde; parte tamë longe $unt meliora etiam ferreis, quæ $olum in medio nectantur.

Ex hoc

85

Cor^{m}. 1.

Ex hoc etiam $equitur, quod cùm omne graue $pontè $emper appropin- quet centro mundi, & a $i moueretur per planum e, magis remoueretur à cen- tro mundi, ut per e c per ea quæ diximus, & quoniam linea ex centro mundi ad c longior e$t, quàm ad e, multò pote$t enim e$$e, ut in proportione diametri quadrati ad latus eius, & ctiam maior. ergo poterit e$$e adeò parum decliuis linea c d, ut c punctus ma- gis di$ter à centro mundi, quàm d, & tamen feretur ex d in c motu naturali, ut demon$tratum e$t, ergo per purum mo- tum naturalem poterit a remoueri à centro mundi. Hoc uolui pro- ponere, ut intelligeres in plano uero c e non moueri a $ponte, quia c nece$$ariò altior e$t d: $i ergo mouebitur, non erit c e recta, $ed pars proportionis circuli $uperficiei terræ, quæ $en$u à recta di$tin- gui non poterit. Hoc ergo e$t primum, ex quo $equitur.

Cor^{m}. 2.

Quod aliquid poterit uideri decliue, in quo non de$cendet imò erit, ut potè $i aliqua linea obliqua e$$et inter c e, & f e, illa e$$et decli- uis $pecie, & re, & tamen graue in illa non de$cenderet, quia à cen- tro mundi magis remoueretur: hoc tamen e$t perdifficile factu, & maximè in parua di$tantia, uel etiam unius miliaris. Atque hæc in leuigatis.

Propo$itio nonage$ima$ecunda.

Propprtionem ponderis æqualis iuxta longitu dinis compara- tionem demon$trare.

Hoc e$t, quod Archimedes reliquit Com. intactum, cum e$$et maximè nece$$a- rium, & o$tendit magis ab$tru$a, $ed pace illius dixerim minus utilia. Cum ergo $ump$i$$em uirgam b f ponderis unciarum xxiij, fui$$et b a uige$imaquarta pars, b f fuit pondus æ- quilibrij in b appen$um librarum uiginti$ex cum dimidia: fuit igi- tur proportio ponderis e f ad pondus f b, ut tredecim ferme ad H unum.

86

unum. Et rur$us feci a b quintam partem a f, & fuit a b unciarum quatuor, & pondus quod æquauit librarum quatuor, ideò du- plum ad pondus b f, $icut c f ad c b: con$tat enim quòd pondus ap- pen$um e$t æquale ponderi cf. Et rur$us po$ui b a quartam partem b f, & fuit pondus, quod æquauit in b duæ libræ: ex quo manife- $tum e$t, quòd proportio c f ad c b e$t $emper uelut ponderis c f ad totam b f. Et hoc e$t, ac $i dicamus, quòd proportio ponderis c f ad totam e$t confu$a ex proportione e f ad c b, & c f, quod e$t 1 p. Id Ex 18. diff. etiam declaratum e$t in primo de Subtilitate. Proponatur ergo lemma, iam $ic proportio ponderis cf ad pondus b c, e$t primum ut longitu dinis cf, $i e$$et $u$pen$a in medio ad longitudinem b c, quia $upponuntur proportione $imiles $uis longitudinibus ma- gnitudines, & pondera. At c f $u$pen$a in c, tanto e$t grauior pon- dere proprio, quanto proportionis longitudinis cf ad cb quadra- tum, quia in $e ducitur proportio: igitur proportio ponderis c f in loco $uo ad b c pondus e$t confu$a ex proportione longitudinis cf ad c b, & quadratis eiu$dem proportionis longitudinis cf ad c b. Sed quadratum proportionis longitudinis cf ad cb e$t æquale producto proportionis longitudinis c f in ip$am c f, propterea quòd ex proportione longitudinis cf ad cb in ip$am c b fit c f, igi- tur proportio ponderis c f ad pondus c b e$t confu$a ex propor- tione ponderis c f ad pondus c b, & proportione ponderis cf alicu ius $e habentis ad pondus cf, ut cf longitudo ad longitudinem c b, igitur proportio ponderis cf ad pondus b f, ut cf ad c b in lon- gitudine, quod erat probandum.

Propo$itio nonage$imatertia.

Propter quid in concu$sione etiam leui nauis loco moueatur o$tendere. Vnde manife$tum e$t, duas naues $ibi inuicem occur$an tes retrocedere, & quantum retrocedant ambæ.

Co^{m}.

Proponatur, quod proportio motus grauis in a d graue in aqua $it, uelut proportio ponderis attracti in terra ad den$itatem aquæ cum profunditate, nam ubi pondus $upernataret aquæ, quia aqua e$t rotunda, e$t ac $i tangeret in puncto. Quare per demon$trata $u- periùs mouebitur à quacun<01> ui, ergo nixus contrarius aduenit ob Propo$. 40. profunditatem, & aquæ den$itatem, $ed quanto aqua den$ior e$t, tanto minus nauis de$cendit, & quanto minus den$a, tanto magis: ergo pari modo fermè redduntur mobiles, & in aqua dulci & $al$a, ubi naues $int $imiles forma, pondere, magnitudine. Quia crgo ne- ce$$e e$t tabulam nauis e$$e duriorem, quam aqua ad re$i$tendum, ergo pars maior ictus mouebit primo nauim, quam tabulam pe- netret, cum ergo quod facilius e$t, præcedat, difficilius ergo naues utrin<01>

87

utrin<01> mouebuntur, & quia inter duos quo$cun<01> motus contra- rios nõ e$$eos, ut utar uocabulo Auerrois quinto Phy$icorum, ne- ce$$e e$t, ut intercedat quies media, & in quiete ab ictu, ut ui$um e$t $uperius, oportet, ut quod excipit ictum uelloco moueatur, uel ce- Propo$. 74. dat, & ictus penetret, uel aër non conden$etur ob tarditatem ultra metam, nec retro cedere pote$t ex $uppo$ito, & ictus e$t magnus, clarum e$t, quod oportet, ut cedat, & $i durum $it confringatur. Proportio ergo rece$$us ad ictum e$t ut temporis, & magnitudinis partis, quæ cedit, & retro ce$$us po$ito ictu tanquam monade.

Propo$itio nonage$imaquarta.

Si quantitas aliqua nota at<01> proportio erit producta quantitas nota $imiliter. Et $i duæ proportiones notæ fuerint, erit producta ex his at<01> diui$a, coniuncta<03>, at<01> detracta nota. Et $i fuerit totius ad partem proportio nota erit, & ad aliam partem nota, & alterius partis ad alteram uno minor. Et $i fuerit partis ad partem, erit ad to tum monade minor at<01> nota. Et $i fuerit unius quantitatis ad duas quantitates proportio nota, erit & confu$a ex eis nota. Et $i fuerint trium quantitatum omiologarum, aut quatuor analogarum, o- mnes præter unam cognitæ erunt, & illa alia cognita.

Sit quantitas a b & ducta in d proportionem, Com. producat b c: dico quod duobus quibuslibet ex his cognitis, erit cognitum tertium: nam cogni- tum quodlibet dicitur in comparatione ad $impliciter cognitum, quod e$t unum per $e omnibus cognitum. Ob id Arithmetica e$t prima omnium di$ciplinarum, quia habet principium cognitum, & id, quod e$t, ad principium comparatum cognitum in illius com paratione: ne<01> aliter cognitum dici pote$t. Quia ergo d cognita e$t, erunt monades, & partes cognitæ in ea: aliter non e$$et cognita b a, igitur cum cognita $it, erit cognita per $ingulas monades, quan ta $it. Et $i diceres quòd b a non e$t cognita per partem monadis: dico quod pars monadis non e$t incognita, quia cum monades $unt cognitæ, e$$et d incognita. Omnes enim, quod componitur ex cognito & incognito, e$t incognitum, quia cognitum $olum ratio- ne partis cognitæ. Si ergo pars monadis e$t cognita, erit pars a b quælibet prout ex monade componitur $impliciter cognita. Su- Ex $ecunda animi com- muni $enter tia. pere$t, ut $olum pars partis: & dico quod illa etiam e$t cognita: quia $i pars ab e$$et, monas e$$et cognita: e$$et enim pars ip$a.

Sed $i $it pars, erit $umpta $ecundum partem monadis ip$ius, ideò erit cognita iuxta nomen, uelut dimidium e$t dimidium mo- nadis, dimi dium tertiæ partis monadis e$t cognitum, quia tertia pars e$t cognita, & $cimus, quanta pars a$$umatur illius. Ergo $i a b, H 2 & d

88

& d cognitæ $unt erit & b c, quod e$t primum. Per hæc eadem pro- bantur quatuor $equentes partes eodem modo. Sexta $ic: $it pro- portio a c ad c b, nota igitur in comparatione ad monadem, $ed pro portio a c ad c b b a e$t monas, igitur proportio a c ad a b nota e$t, quoniam aliter non po$$et dici proportio a c ad b c nota. Aliter, $it proportio a c ad c b e nota, ex $uppo$ito igitur conuer$a nota quæ $it f ex f, igitur in a c fit b c ex g in a c, fiat a b ergo ex a c in f g fit a, cigi tur f g e$t monas, f autem nota e$t, igitur in comparatione ad mona- Per demon- $trat. 12. Propo$. dem, ergo re$iduum g notum. Cum uerò proportio a c ad c b com- ponatur ex proportione a b b c ad b c, & proportio b c ad b c $it monas, & proportio a c ad b c nota, erit proportio a b ad b c cogni Per 11. Pet. ta, & monade minor proportione a c ad b c. Per idem octaua pars demon$trabitur. Inde $it proportio a ad b, & ad c no- ta, erit ergo b, & c ad a nota, quare b c ad a nota, $ed Ex demon$t. 12. Propo$. hæc e$t conuer$a ad b c confu$a, igitur proportio a ad b confu$a nota e$t. Vltimum $it, $int a b c omiologæ, & $int a & b Per 14. Propo$. notæ duo, quod c nota e$t, nam a b, $i notæ $unt, nota e$t proportio earum. Ergo & proportio b ad c ergo per primam partem huius Per 3. Petit. cum $it b nota, exit & c. Et $i ponantur a c notæ, dico, quòd b nota erit: nam proportio a c ad c nota e$t, quæ $it d, igitur d ad monadem ut a ad c, ergo latus notum erit, quod ductum in c producit b, b igi- Ex 2. Animi $ententia. tur nota. Et $imiliter in analogis $int a b c notæ: & ideò erit propor- tio a ad b nota ergo c ad d. cum<03> c nota $it, ergo per primam par- tem huius erit d nota, quod fuit demon$trandum.

Propo$itio nonage$imaquinta.

Cuiu$uis trigoni rectanguli, aut cuius duo anguli $int in dupla proportione, aut qui circulo in$criptus $it cognita quantitate uni- us lateris in comparatione ad dimetientem $i proportio duorũ la- terum cognita fuerit, erunt omnia eius latera cognita.

Co^{m}.

Non de cognitione <04>pinqua a$tronomorũ, de qua abundè ab Heber tractatum e$t, $ed de exacta, de qua $uperius egi nunc $ermo Propo$. 97. e$t: $it igitur primum a b c trigonus orthogonius: & $it a rectus, & <04>portio duorũ laterum cognita, dico, quod omnia latera cognita Per 47. pri mi Element. erunt: nam $it proportio, gratia exempli, a b ad b c, erit ergo quadrati a b ad qua- dratum b c cognita, quia duplicata: at quadrata a b, & a c perficiunt quadratum b c, igitur proportio quadrati a b ad a c et e$t 1 p: cognita erit, quare & a b ad a c, & eod&etilde; modo a c ad b c: quod e$t primum. Exemplum, ponatur b c dupla a b, erit a b quadratum $ub quadruplum quadrato a b quare $ubtriplum quadrato a cigi- tur $i

89

tur $i a b ponatur 1 b c erit 2, & a c <02> 3. Rur$us ponatur angulus b duplus angulo c quali$cun<01> $it, erit per demon$trata $uperius pro- portio a b b c ad a c, ut a c ad a b, $i igitur nota $it proportio a c ad a b, erit nota proportio a b b c ad a b per præcedentem. Ergo per eandem omnia nota $cilicet b c ad b a, & b c ad c a. Et $i e$$et nota proportio a b ad b c, dico, quod e$$ent nota omnia, nam nota e$$et a b, & b c, & quod fit ex a b in ip$um aggregatum. Sed hoc e$t æ- Per 17. $ex ti Elem. Propo$. 17. quale quadrato a c, igitur notum e$t quadratum a c ergo a c: igitur <04>portio a b b c ad a c, & a c ad a b. Vt $i a b e$$et 4 b c 5, e$$et a b b c 9 ducta in a b, quæ e$t, fit 36, cuius latus e$t b a c $cilicet. Et $i e$$et trigonus aliquis in cir culo, cuius proportio duorum laterum $it co gnita ad dimetientem relata, $equitur per demon$trata $upe- rius, quod etiam tertium latus erit cognitum in comparatione ad eadem, & ideo etiam proportio illorum laterum ad unguem co- gnita erit.

Multa præterea cognita e$$ent in hoc genere, quæ nunc præter- Cor^{m}. mitto, quia non $unt ad finem nece$$aria. Alia præterea per diligen- tem inqui$itionem maioris artis quàm alias edidimus. tum uerò etiam per nouas demon$trationes.

Propo$itio nonage$ima$exta.

Cum in per$picuum den$um radij lumino$i in ciderint, quatuor fiunt luminis genera.

Co^{m}.

Sit $ol a, & per$picuum den$um, exempli gratia, ut ampula magna aqua plena b c d, & $i $it rotunda accendit ignem ex ad- uer$o ut in e. Dico ergo in b c d e$$e quatuor genera luminis. Pri- mum quod e$t ualidius, & rectà tran$it, ualidius enim e$t, quod tran$it quàm quod tran$ire non pote$t, & etiam quia, ut dixi, ignem accen dit. Secundum e$t quod colligitur in ampula, & dein- de $pargitur circũcircà, nam id ualidius e$t, quia penetrat, & re$ilit quàm quod non penetrat, aut $i penetrat, non $pargitur, & hoc dif- funditur circa uas, necreflectitur rectè, $ed qua$i intro colligitur, & diuer$a ratione diffunditur, e$t tamen imbecillius primo, ut dictum e$t. Tertium genus e$t, quod illuminat intus ingrediendo, $ed non $pargitur, & hoc e$t debilius $ecundo, quia nõ pote$t $pargi. Quar- tum e$t, quod non ingreditur omnino, $ed refle- ctitur, i$tud e$t ab$<01> dubio imbecillimum, quo- niam penetrare non pote$t. Et licet in $peculis concauis radius reflexus uideatur e$$e ualidior, $tatim enim accendit ignem, hoc non contin- git, ni$i quia in $peculo cauo radij omnes col- H 3 liguntur

90

ligun&ttilde; ob opacũ, quod à tergo e$t, ne<01> $pargun&ttilde;, ne<01> tran$eũt, ne<01> combibuntur, ut ita dicam $ed omnes reflectũtur. Ex quo colligitur quin cuplex ordo radiorum iuxta rationem uirium, primus e$t refle xorũ à $peculo cõcauo, & hi $unt pot&etilde;ti$simi ob ration&etilde; dictã, po$t quos $unt radij, qui tran$eunt per per$picuum maximè rotundum, qui & ip$i generant ignem, & debiliorem primo, deinde reliqui tres $equentes $upradicti. Sextus e$t radiorum, qui reflectuntur à rebus non nitidis, ut à muris, & tabulis, nam omnia dura reflectunt & etiam mollium plera<01>, & hæc reflexio e$t fermè infinita, & ob id cubicula etiam in angulis illuminantur.

Cor^{m}. 1.

Ex hoc $equitur, quòd Luna remittit lumen, non reflectit, nam $ecus non illuminaret to tum orbem, $ed $olum portionem oppo- $itam Soli, & hoc etiam rarò, ergo combibitur, & illu$trat circun- circa ubi<01>.

Cor^{m}. 2.

In $tellis lumen Solis pertran$it aliter, $i reflecteretur, non illumi- naret nos, aut apparerent, uelut cometæ, quia pars una e$$et clarior reliqua, & $i conbiberent lumen, non uiderentur æquè claræ, cum Sol e$$et propinquus, aut remotus.

Cor^{m}. 3.

Luna tota intus illuminatur à Sole, quoniam $i ante coniun- ctionem illuminatur à $ini$tra parte, & combibit lumen per cor- rolarium primum, & po$t coniunctionem illuminatur à dex- tra, & combibit pariter lumen, ergo e$t tota naturæ per$picuæ, $ed uidetur ob$cura ex aduer$o, propterea quòd radij ualidiores refle- xi illu$trant illam ex parte Solis, diffugiunt à contraria, quod ma- nife$tè apparet in ampula expo$ita Soli. Pars enim clarior uer$us Solem uidetur, quam ex aduer$o, hoc autem longè magis in Luna ob di$tantiam.

Cor^{m}. 4.

In omni Solis eclip$i fit colectio radiorum ad a$pectum, & ideo in regione illa, in qua centrum Solis integitur à centro Lunæ, & ubicun<01> fit, fit in cendium per tertium corrolarium. Hoc autem fit $emper in quauis coniunctione, & dum Luna $ilet in regione ae- ris, $ed terris non $e cundùm centrum, uerùm ad latitudinem, & ad Orientem ante coniunctionem cum Sole, & ad Occidentem po$t: $ed centra non $unt in linea ui$us.

Cor^{m}. 5.

Ex hoc $equitur, quod oportet $ub$tantiam Lunæ e$$e ualde cla- ram, cum uideamus ab ampula tam paruum lumen diffundi, & ra- rum, à Luna uerò in uniuer$um orbem, & tam copio$um, ut nece$- $arium $it $ub$tantiam Lunæ e$$e den$am, & lucidam ualde.

SCHOLIVM.

Et $i quis dicat, quòd $i in cendium illud fieri po$$et in hora ecli- p$is, $equeretur, quòd ut in ampula in medio Lunæ uideretur ma- gnus

91

gnus $plendor, referens corpus Solis. Propterea dico, quòd uel ac- eidit, quia homo non pote$t ea hora intueri Solem, & etiam e$t im- peditus à radijs circum$tantibus, cuius indicio e$t, quod in $pe- culo po$ito in aqua, $imile uidetur $tellulæ in centro Lun&ecedil;: & hic e$t $plen dor Solis collectus in centro Lunæ. po$$et etiam dici, quòd Luna circa medium propter maculam non admitteret lumen, & ita e$$et inæqualium partium.

Propo$itio nonage$ima$eptima.

Motum inuer$ionis in figuris in comparatione ad motum $phæ ræ in plano inue$tigare.

Com.

Voco motum inuer$ionis, qui $imilis e$t motui $phæræ, $cili- cet circumuertendo graue à uertice, & manife$tum e$t, quòd in quacunque figura, qua graue in$idet plano per punctum ue- Per 40. lut ouata ip$um mouetur à quauis ui, $ed $i in$ideat per $uperfi- ciem, quanto maior e$t, & humilior, tanto difficilius mouetur, ideò in corpore uiginti ba$ium, quòd inter regularia uocata, plu- res habet, $uperficies pro ratione æqualis ponderis, motus erit longe facilior. Alia cau$a e$t inæqualitas partium, unde quæ ro- tunda $unt, quia prominent, facile mouentur, & cum partes me- diæ in$i$tant plano, quanto minores erunt tanto facilius moue- buntur ratione ponderis. Vnde patet, quòd corpora ouata faci- lius mouentur, etiam quàm $phærica, habent enim partem me- diam minorem, & paria $unt ratione ince$$us plani, $ed aëris mul- titudine tardius, quoniam enim $phæra $ub æquali ambitu plus continet corporis, ergo ouatum æquale $phæræ habet maio- rem ambitum ip$a $phæra. Hæc autem à Theone partim de- mon$trata $unt, partim ab Archimede, & partim à nobis, ergo motus ouati e$t fermè æqualis motui $phæræ, & tardior e$t con- citatus, quàm $phæræ, quia à ma- iore excipitur aëre, & partes exte- riores non ita incumbunt in me- dium $ecundum longitudinem. Cu- bus uero tardior e$t propter æqua- litatem, & latitudinem $uperficiei in- ferioris, omnium aut&etilde; minime pro- pter has cau$as conus ambligonius, & quanto magis fuerit, ratio uero eleuationis e$t, ut $it cubus b c, cuius medium grauitatis $it b $uper pla- H 4 no de,

92

no de, & eleuetur ex a, & manife$tum e$t, quod in$idebit per totam lineam c f ip$i plano, & proportio grauitatis totius $u$pen$i in com paratione ad grauitatem eius, qui inuertit, e$t, uelut proportio par- tis terminatæ ad lineam c f uer$us eum, qui eleuat ad partem, quæ ultra e$t, cum uerò hæ partes notæ $int iuxta perpendiculum ex centro grauitatis, manife$tum e$t, quod $ciemus pondus corporis a b cf, dum inuertitur in quo cunque $itu ad pondus eius, dum $u- $penditur, & clarum e$t, quòd cùm centrum, & medium grauitatis fuerint in una linea per c f, tunc nulla erit grauitas.

Propo$itio nonage$imaoctaua.

Proportionem ponderum æqualium per differentiam angulo- rum inuenire.

Co^{m}.

Sit a b, quæ $i appen$a e$$et ad æquidi- $tantem terræ $uperficiei, nulla ui po$$et ele Per Cor^{m}. 2. 45. Propo$. uari, inflectatur ergo ad c punctum, omi$$a c g, & manife$tum e$t, quod $i b c in$i$teret Per 86. Propo$. ad perpendiculum, ponderaret a c $i e$$et in æquilibrio, ponatur ergo accliuis in c d per notum angulum. Quia igitur b c ad c a no- ta e$t, erit dicta $uperiùs notum pondus b h, po$ita h c æquali c a, quare totius a b, & iam fuit e k notum, & punctus d notus: hoc enim infrà demon$trabitur, qualis igitur proportio lineæ Propo$. 99. tran$uer$æ dl ad lineam de$cendentem d m, talis differentiæ pon- derum c m, & c e, id e$t partis ad partem. hæc autem inferiùs de- mon$trabuntur. Neque enim ab$urdum e$t in materijs mi$tis, ali- Propo$. 97. quando uti nondum demon$tratis cum fuerint mathematica, quia obtinent principij rationem, quod etiam facit Archimedes. Ma- nife$tum e$t autem, quod in angulo m c d recti dimidio, propor- tio media erit. Sed hoc bifariam contingere pote$t $cilicet, ut $it media, per quantitatem, & per proportionem, e$t autem media, ut Propo$. 98. demon$trabitur infrà $ecundum proportionem l d ad l e, propo- natur ergo c e b, erit latus quadrati <02> 72, igitur latus octogoni e$t <02> v: 72 m: <02> 2592, & latus re$idui <02> v: 72 p: <02> 2592. quadrata er- go partium ba$is differunt in <02> 10368. Quare partes ba$is $unt 6 p: <02> 18, & 6 m: <02> 18 $cilicet l e, l d autem e$t <02> 18, igitur differen- tia, & proportio e$t, qualis <02> 18 ad 6 m: <02> 18 fermê, ut 17 ad 7, & ta- lis e$t proportio ponderis c d ad pondus c e ratione in crementi, $eu differentiæ. Vt $i pondus in c e e$$et decem librarum in c in quadra-

93

quadraginta erit in c d triginta unius cum quarta, $ed proportionis ratione e$$et uiginti octo cum tertia.

Propo$itio nonage$imanona.

Proportionem grauitatum per multitudinem $uppo$itorum or bium o$tendere.

Co^{m}.

Omne, quod mouetur, mouetur $ecundum naturam ponderis, quæ in attractione, ut demon$tratum e$t, æqualis e$t dimidio $u- $pen$i, cum ergo diuidatur in multiplices partes motus uniu$cuiu$- que, e$t $ecundum dimidium illius partis, ut, $i $int $ex rotæ in cur- ru det, quod uehitur, $it pondus $exaginta librarum, unaquæ que Per 40. rota habet pondus quinque librarum, $cilicet diui$o triginta per $ex, & quia quod cunque mouetur $phæricè non habet pondus, ni$i quantum premitur axis, ideò pondus $exaginta librarum in uehendo red ditur læ$us, quanto proportio producta minor e$t additione. Exemplum, $it deductum pondus $exaginta librarum per $ex rotas ad uigintiquatuor, quia $i rotæ po$$ent circumduci, ut in inuer$ione dictum e$t, & e$$ent æquales, & in $olido æquali, ac duro, nulla ui mouerentur, $ed qua$i per $e, ergo $uppo$ito pon- dere uiginti quatuor librarum a$$umemus unamquam<01> partem, & ducemus eam in $eip$am, $cilicet detraham quintam partem ex toto 30, fit 24, duc 30 in $e, fit 900, duc 24 in $e, fit 576, proportio ut 25 ad 16, at diui$o 30 in $ex partes, fit 5, detrahe quintam partem, fit 4, duc in $e, fit 16, duc in $ex, fit 96, igitur proportio 900 ad 96 e$t ut 25 ad 2 2/3, quod ergo erat 16 factum e$t 2 2/3, proportio ergo de- cre$centis maior e$t diui$o per plura. Sed plerunque additis ro- tis cre$cit pondus nihilo $ecius, redditur etiam leuius. Sed & de hoc in $equenti.

Propo$itio cente$ima.

Proportionem grauitatis ponderum attractorum per trochlea- rum numerum inue$tigare.

Com.

Ari$toteles in Mechanicis cen$et cau$am leuitatis trochlearum In Mechan. Quæ$t. 18. e$$e in pondere eleuando, quòd pondera auxilio uectium facilius mouentur, quàm manibus. Rotulæ uerò in trochleis uectes $unt, & axis mi$ta hypomochlij, ergo facilius pondus trahitur per u- nam rotulam, quàm $i manu traheretur, at uerò per duas tres, unde tris pa$$us longe facilius, & etiam facilius per quinque, unde pentas pa$$us, nam quinque orbiculis, qua$i totidem uectibus diui$um pondus manife$tè fit leuius, & ut dictum e$t, tanquam totidem uectibus pondus eleuatur, e$tqúe proportio produ- cta,

94

cta, $emper<03> prior hypomochlij locum habet, ueruntamen minus a$$umit laboris, po$terior uerò uectis maiorem partem $ibi ponde- ris $eruat, uelut in $uccula etiam iugum traiectum per plures colo- pes facilius uertitur. Et $i quis dicat nónne totum pondus in$idet prim&ecedil; trochleæ per trochleam, intelligo nunc $olùm rotulam cum ip$o axe, $eu axiculo (ut dicunt) non autem in proprio $ignificato, in quo etiam funis traiectus, & in$idens rotulæ, $eu rotulis, nam una trochlea plures continere'pote$t orbiculos, & axes. Licet ergo pondus in$ideat primæ trochleæ, $eu rotulæ, in eo tamen, quod tra hitur, diuiditur', licet non æqualiter dico, præter id funis motum intendi. nam motus actionem auget, & ideò quanto longior, eo fa- cilius mouet ob con cu$sionem, demum quia leuis e$t rotula circa axem, ut plus uecte po$sit.

Propo$itio cente$imaprima.

Proportionem precij gemmarum ex tribus in eodem genere co gnitis inuenire.

Co^{m}.

Solent gemmarij uendere adamantem ponderis unius grani uno coronato, duorum autem granorum tribus coronatis, qua- tuor autem, gratia exempli, quadraginta coronatis, qu&ecedil;ritur quan- tum ualebit adamas octo granorum, quoniam ergo proportio non $eruatur. E$t enim in pondere utraque dupla, in precio autem ex prima habetur tripla, ex $ecunda habetur proportio maior, quàm tredecim ad unum, propterea utendum e$t proportione propinquiori, $i $atis faceret. gratia exempli, in prima ad ditione fuit unum granum, & acqui$iuit proportionem triplam, in $ecunda fue runt duo grana, $i ergo acqui$i$$et $olum $excuplam proportio- nem, haberemus intentum. Propterea in i$to ca$u oportet demon- $trare forma Geometrica, $uppo$ito, quòd $it figura recta ex uno la tere a b, ita ut angulus, uel minimus capiat b c æqualem a b, & ex æquali b a c addito fiat b d tripla b c, & ex angulo b a e duplo b a d, fiat b c d e quadragintupla a b, & iuxta rationem erit in infinitum. Siue $it parabole, $iue hiperbole, $eu $it alia coincidentium.

SCHOLIVM

95

SCHOLIVM.

Et nota, quòd $i res hæc e$$et naturalis, o$tenderet infinitum in rebus ex regula dialectica, $ed quia ex uolũtaria, nullas habet uires.

Propo$itio cente$ima$ecunda.

Proportionem motuum inuer$ionis, & attractionis in plano inuenire.

Et $it, ut aliquid inuertatur, declaratum autem e$t $uprà, quid $it Co_{m}. inuer$io, & quàm diuer$a $it rur$us, & quòd attractio e$t dimidium Propo$. 89. ponderis eleuati. Cum ergo con$tet in inuer$ione, quanta $it pro- portio ponderis $u$pen$i ad pondus inuer$um, & pondus $u$pen$i Propo$. 62. $it duplum ponderi attracti, $equitur, ut diuifa proportione ponde ris $u$pen$i ad pondus inuer$um per medium cogno$catur propor tio attractionis ad inuer$ionem.

Ex hoc $equitur, quod aliquod pondus trahi pote$t, quod non Cor^{m}. pote$t inuerti, hoc autem indigetlonga declaratione, quam doce- bimus inferiùs: & tamen attigit hocrarò.

Propo$itio cente$imatertia.

Proportionem eorundem in accliui demon$trare.

Dupliciter pote$t intelligi, uel de$cendendo, uel a$cendendo. Co^{m}. Propo$. 72. Sed ego nunc loquor de a$cen$u, contraria ratione intelliges de de$cen$u, & circa inuer$ionem demon$trata e$t proportio eius iuxta angulum a$cen$us, & $imiliter declarabitur de proportione In $equenti. attractionis iuxta eundem angulum a$cen$us, & nuper declarata e$t proportio inuer$ionis in plano ad attractionem, ex quibus $e- quitur per ea, quæ dicam inferius, quòd proportio cuiu$uis mobi- lis inuer$i ad attractum $ub quibu$cun <01> angulis nota erit.

Propo$itio cente$imaquarta.

Proportionem motus attractionis in decliui ad motum in pla- no determinare.

Si ab accliue, $eu decliue in quo d ad attra- Co^{m}. Ex 62. & 64. Propo$. hendum, cuius nota e$t ex $uperioribus dif- ficultas in plano ratione figuræ con$tante, er- go ea quæritur proportio a$cen$us, & quo- niam terminus ad perpendiculum e$t dupla proportio, & iam grauitas in plano e$t dimidium, ideò quicquid acquiritur in eleuatione e$t in comparatione ad illud dimidium, cum ergo attractio $ecundum eandem proportionem augeatur, er- go $emper maior difficultas augebitur, ergo ab initio minimum erit

96

erit di$crimen ab attractione in plano. Exempli gratia $it, ut graue d in plano $it, ut quin <01>, & $u$pen$um decem, ergo in medio angulo erit penè $eptem, $ed $eptem minus longe di$tãt à quin <01>, quàm de- cem ad $eptem, ergo in $ecunda parte plus longè augebitur difficul tas attractionis $upra difficultatem in medio angulo accliui, quam in prima parte à plano ad medium accliue, & quoniam planum in plano de$cendit, tanto uehementius, quanto difficilius attrahitur, ergo planum in decliui $ublimi longe maiore impetu feretur infrà quam $it proportio anguli ad angulum. Exempli gratia, planum in medio angulo, $i incipiat de$cendere in dodrante multo lentius, quàm pro dimidio uirium de$cen$us totius anguli, imò initium de- $cen$us e$t à medio recti ad unguem, ubi omnia plana $int, & duri$- $ima, & cau$a huius e$t, quia omne graue tendit ad centrum, quòd maior pars ip$ius grauis e$t ultra medium grauitatis in decliui humiliore.

Propo$itio cente$imaquinta.

Proportionem ferentium pondus in pertica inuenire.

Hæc proponitur etiam à Philo$o- Co^{m}. pho, & ponatur ab, & $i pondus $it in Qus$t. 59. Mechanic. medio d grauat æqualiter utrunque, nam in hoc con$entit experimentum cum ratione, at uerò $i ponatur in cita, ut b c $it tripla b a uiderentur a & b, tanquam hypomochlia, & pon Propo$. 45. dus ip$um b, ut grauior e$$et cb, quam c a. Ari$toteles, $eu author ille hoc uidens bifariam re$pondet: primum quòd hoc e$t inuer- Prop. 103. $um in$trumentum, cum in cæteris motor $it ex aduer$o hypomo- chlij, hic in ip$o, ge$tans enim mouet & hypomochlij in$tar e$t hu- merus. At hoc uerum non e$t: quod mouet enim e$t pondus, & e$t in c: nam a, & contingit moueri: quia $i $tarent, idem $equeretur. Se- cunda re$pon$io e$t, quod utrun <01> premit $cilicet ferentes & pon- dus, & quòd qui longior e$t ab hypomochlio facilius mouet, & redit ad idem fermè: nam in c con$tituitur, quod moueri debet, ca- pita uectium $unt a, & b: motus autem e$t ip$um $u$tinere pondus. At hoc non uidetur, quoniam ratio, qua uectis longior facilius mo uet, e$t ambitus magnitudo, ob quam motus redditur tardior, & ideo leuior: igitur non e$t hoc uerum de motu occulto, $icut e$t gra uis prementis, $ed circumducente, cum in occulto uelut in $tatera contrarium accidere do cuerimus aliâs. Quidam dixere b premere c uer$us a, a contrà uer$us b, & ideò grauari magis a àb, quàm b ab a, quia maiorem uim habet b e, quàm a c. I$tud fal$um e$t bifariam. Primum, quia & $i a, & b $int in æquilibrio, ut nec unus in alterum in cumbat,

97

in cumbat, necimpellat, $ed tantum $u$tineat nihilo$ecius res uera e$t. Et etiam quia non e$t uerum, quòd qui longius in cumbit, ma- iorem uim inferat. Propterea dicendum e$t, quòd qui ex commu- nibus propria nituntur demon$trare, omnes corrumpunt di$cipli- nas. Nihil deterius e$t his mon$tris. Nam et$i hæc ratio uera e$$et: non tamen reddit cau$am, quia non e$t ex proprijs principijs. Dico ergo, quod $i c de$cendat in e, per perpendiculum de$cendet, igitur d b e$t longior d a, quare angulus e a b maior e b a: igitur pondus c plus de$cendit comparatione a, quàm b, ergo plus grauat cip$um a quàm b, $eu ex cau$a, quod magis premat, $eu ex effectu, quòd ma- gis de$ce$$erit. Cau$a ergo erroris e$t, quod $i ponatur angulus f b a æqualis angulo f a b, & ponatur b f &ecedil;qualis b c, tun c in eodem tem- pore, in quo tran$it dimidium c in e, tran$ibit aliud dimidium c in f. quia $eparat&ecedil; partes grauiores $unt in c b, quàm c a, propter di$tan- tiam ab hypomochlio, $ed tunc uelo cius mouentur, & angulus fit &ecedil;qualis. Sed quando pondus e$t unum, & c de$cendit ad e, cum de- $cendat inæquali tempore, & peragat maiorem angulum compa- ratione a, quam b, $equitur, ut uelo cius moueatur comparatione a quàm b. Ergo $i non mouetur, cum omnis potentia $it $imilis actui, tum quia ab eo producitur, & effectus e$t $imilis cau$æ: tum quia e$t initium actus, igitur etiam quod a b non in clinetur, nec de$cen- dat, grauius erit pondus, comparatione a quàm b, quod erat de- mon$trandum.

Ex hoc $equitur, quòd aliqua iuncta erunt grauiora re$pectu u- nius, quæ erunt mutato ordine diui$a leuiora. Quoniam diui$a, quæ longius di$tant æqualem, aut maiorem angulum faciunt, iun- cta minorem.

Propo$itio cente$ima$exta.

Quales proportiones angulorum doceant laterum proportio- nes. At <01> uici$sim determinare.

Sit circulus a b c, cuius dimetiens, nota b d $it b, erit ergo latus Co_{m}. exagoni a b dimidium b d, id e$t 3. igitur cum angulus a $it rectus, erit a d <02> 27 latus trianguli. Et latus quadrati per eandem <02> 18. Vt latus exagoni $it <02> 9. Quadrati <02> 18 Trianguli <02> 27, & ita pote$tate $e habent hæc ut 1. 2. 3. Et $unt nota. Et quia latus d e c agoni e$t <02> 11 1/4 m, 1 1/2. & ip$um erit notum. Quare latus pentagoni e$t <02> v 22 1/2 m: <02> 101 1/4 notum. Et iam notum fuit latus epta- goni. Habebimus igitur latera Trianguli I qua-

98

quadrati pentagoni, & eptagoni æquilaterorum nota: & etiam $ubten$orum duobus ex his. Sit, gratia exempli, a b 3 & b c <02> 11 1/4m: 1 1/2, ut prius, & ponatur b d diameter, erit ad <02> 27 & c d <02> v 22 1/2 m: <02> 101 1/4, quam ducemus in a b, & fiet <02> v 202 1/2 m: <02> 8201 1/4. Duce- mus itidem <02> 27 a d in b c <02> 11 1/4 m: 1 1/2 fiet <02> 303 3/4m: <02> 60 3/4, hoc to- tum diuide per 66, quæ e$t b: fiet a c <02> 8 7/16 m: <02> 1 11/16 p: <02> v: 5 45/72 m: <02> 6 1701/5184. Nec credas te errare, quoniam latus pentagoni e$$et, ac $i an- gulus b rectus e$$et: $ed quia e$t obtu$us, ideo a c e$t alia linea, & maior latere pentagoni. Et $imiliter $i a b, & a c notæ e$$ent, utpo- Per 52. Ele ment. te a b 3, ut prius a c 5 dico, quòd b c nota e$t: nam a d erit <02> 27, & quia ex b d in a c fit 30, fiet ex b c in a d pos <02> 27, et ex a b in c d <02> 324 m: 9 quad. igitur 30 m: pos <02> 27 æquantur <02> 324 m: 9 quad. quare 900 p: 27 quad. m: pos <02> 97200 æquãtur 324 m: 9 quad. igitur 576 p: 16 quad. &ecedil;quantur pos <02> 97200. Quadratum igitur p: 36 &ecedil;quan- tur pos <02> 379 11/16, erit ergo b c <02> v: <02> 94 59/64 p: <02> 58 59/64 & $imiliter $i a c $it nota, puta 4 erit a b $ubten$a dimidio arcus a c nota. Erit enim a e 2 ergo d e 3 p: <02> 5 et b e 3 m: <02> 5, igi&ttilde; a b <02> v: 18 m, <02> 180. Igitur hoc modo diuidendo, iungendo, & detrahendo habebimus ex quatu- or illis $implicibus trianguli quadrati. Pentagoni, & eptagoni in numeras linearum magnitudines in circulo. Et $imiliter quouis mo do, ut dictum e$t, in quauis figura æquilatera, utpote $uppo$ito quod de$criptum $it nonangulum in circulo æquilaterum, quod etiam erit æquiangulum, & $it arcus a b duplus arcui a c, erit angulus a c b duplus an- gulo a b c, & angulus b a c in portione b d e c $excuplus a b c, & triplus a c b. Erit ergo per demon$trata proportio In 16. de Subtil. b a ad a c, uelut a c, & c b, ad a b: pro- portio autem a b arcus ad a c, ex $up- po$ito maior e$t proportione rectæ a b ad a c, igitur etiam propor- tione a c & c b ad a b, ergo duo latera trianguli ad tertium minorem habent proportionem, quam arcus ad arcum, quanto rectæ ad re- ctam minor e$t. Sit rur$us in triangulo b e d quomodolibet modo $it angulus b d e quadruplus angulo b e d, & diuidatur d per &ecedil;qua- lia ducta d f, erit igitur proportio f d, d e ad f e, ut e f ad f d, $ed e f ad Per 3. $exti EElem. f b ut d e ad d b. igitur proportio b d, d e ad f b cõpo$ita ex propor- tionibus e f ad f d, & e d ad d b. Proportio igitur b d, d e ad f b, ut producti ex e f in e d ad productum ex d fin d b. Rur$us ponamus, Per 23. $ex ti Elem. quod in quadrangulo a b c d primæ figuræ $it a b 4 b c 3 c d 5 ad 6 dico, quòd $pacium contentum erit notum. Ductis rectis a c & b d quomo-

99

quomodolibet, ut $e $ecent in e, erunt anguli d c a, & d b a æquales, Per 21. ter tij Elem. quia in ea&dacute;em portione circuli a d, & anguli a d e &ecedil;quales, quia con tra $e po$iti. igitur trianguli a b e, & c d e $imiles, & proportio d c ad Per 15. pri mi Element. a b, ut c e ad b e, c d autem fuit 5 a b 4, igitur $i b e ponatur 4 pos c e erit 5 pos. Per ea$dem, & eodem modo a d ad b c ut d e ad e c. igitur po$ita c e 5 pos erit e d 10 pos, tota igitur d b 14 pos. Et quoniam ea- Per 32. pri mi Elem. dem proportio a e ad e b per eadem, & e b fuit 4 pos: igitur a e e$t 8 pos, quare a e 13. po$t productum igitur ex a c in d b, e$t 182 quad. & hoc æquatur productis a b in c d, quod e$t 20, & b c in a d quod e$t 18, totum igitur e$t 38, igitur res e$t <02> 19/91. Quare not&ecedil; erunt lineæ b e, e d, a e, & e c, $ed $ufficit, ut cognita $it a c, uel b d. Per regulam enim triangulorum erunt notæ areæ a b c, & a d e, quare tota $uper- ficies a b c d. Et e$t inuentum Scipionis Ferri Bononien$is de quo aliâs. Pote$t etiam inuenta a c uel b d haberi $uperficies facilius per catheros.

Sit modo obtu$i angulus a b c, & nota latera $ingula, & angu- lus a b c, & producantur latera ad perpendicu- lum, ut $int d & e recti, & quia anguli ad a $unt æquales, erunt anguli e b a, & d e a $emper æ- Per 32. pri mi Elem. quales. Et hoc idem contingit in acuti angulis triangulis intus, & e$t utile mechanicum: & quia a b c notus e$t, & d notus, erunt anguli tri goni d b c noti: & $i fuerit angulus a notus, erũt anguli d a c & e a b noti, & ideo anguli e b a, & d c a: & $emper notum, quod fit ex b a in a d, uel c a in a e, $unt enim &ecedil;qualia inter $e: etiam notæ ad & a c, quoniam duplum horum e$t exce$$us quadrati b c $uper quadrata a b, & a c. Quod uerò proponiturà Monteregio de cognitione an- gulorum in triangulis non e$t intelligendum, ut uerba $ignificant, Per 12. $e- cundi Elem. $ed $olum de cognitione quoad u$um tabularum.

Et iterum ponamus, quòd proportio a c c b ad a b $it qualis a b ad a c, dico quòd angulus c duplus e$t angulo b. Si non ducatur c d faciens angulum d c b duplum b, erit igitur pro- portio d c c b ad d b, ut d b ad d c. Maior e$t aut&etilde; d c, quàm a c, aut æqualis, aut minor, $i æqualis, igitur maior proportio d c c b ad b d quàm b a, igitur maior <04>portio b d ad d c quam b a ad a c ad a c & æquales $unt igitur b d maior d a pars toto, quod e$$e non pote$t. Si uerò d c ponatur maior a c, magis ex hoc $equitur b d ma- iorem e$$e b a. Quod $i minor $it d c quàm a c. Ex demon$tratio- ne ip$ius reflexæ proportionis patet hoc contingere non po$$e. Et $imiliter patet conuer$as in reliquis etiam ueras e$$e, non $olum I 2 in

100

in proportionibus noti$simis angulorum $ed etiam in coniuncti- one & detractione. Et e$t ex $ubtili$simis operationibus, quæ ho- mini in hoc genere eueniant.

Propo$itio cente$ima$eptima.

Si in circulo duo diametri ad rectum angulum $e $ecauer int: ali&ecedil; uerò ad perpendiculum ex diametro exierint ad circumferentiam, $ingulæ $upra diametrum erunt maiores portionibus reliquis dia- metri $uperioribus, infra autem minores. Dimidium autem porti- onis $uperioris re$iduum ad centrum maius $agitta habebit. In ali- qua præterea portionis $uperioris parte, quæ uer$us diam etrum tran$uer$um po$ita e$t, maior e$t differe ntia partis diametri ei cor- re$pondentis, quam lineæ tran$uer$æ.

Sint du&ecedil; diametri a b, c d ad perpendi culum $ecantes $e in centro, & ducũtur $upr f g k h, & infra m l ad perpendicu- lum $upra a b: dico f g e$$e maiorem f a, & k h k a, & contrà minorem m l, quàm m a. Per octauam enim $exti, quod fit ex Per 31. ter- tij Element. b f in f a æquale e$t &qtilde;drato f g, $ed b f e$t maior f g, quia b f e$t maior c b, & ideo e c g f, ergo f g maior e$t f a, m l aũt minor e$t per ead&etilde; e c, quare e a, multo igitur minor m a, quod e$t primum. Suppo$ito etiam, quòd Per 7. tertij Elem. Cor^{m}. a g arcus $it dimidium a c, dico a f minor&etilde; e$$e f e, nam quadratum e 1. eiu$dem. g æquale e$t quadratis f e, & f g, & quadratũ a g quadratis f g & f a & e g e$t &ecedil;qualis lateri exagoni, & a g latus octogoni, igitur e g ma- Per 47. pri mi Elem. ior g a, & duo quadrata e f & f g maiora duobus quadratis f g & f a, detracto igitur communi f g quadrato, patet propo$itum.

Per Cor^{m}. 15. quarti Elem.

Cum rur$us ex prima parte huius line&ecedil; f g & k h $int maiores f a, & k a & ea $it æqualis e c, nece$$e e$t ut iuxta punctum c augeatur Per 28. ter- tij Elem. magis linea in ea, quam $it differentia lineæ tran$uer$æ ad lineam tran$uer$am per communem animi $ententiam, quod e$t tertium.

Propo$itio cente$imaoctaua.

Punctum &ecedil;qualitatis differenti&ecedil; de$cen$us, & remotionis à cen- tro inuenire.

Per præcedentem moto puncto a uer$us c $emper u$ <01> ad e, c ma Co^{m}. gis di$tat pũctum a linea a e, quàm à puncto a uer$us, quia linea n h maior e$t n a, & per eandem dum appropinquat ad c cum e c fiat &ecedil;qualis ea, maius fit in crementum in a e, quàm re$pectu lineæ tran$- uer$alis. Volo ergo inuenire punctum hoc in quo fit mutatio: & diuido arcum ac per æqualia in f, & dico illum e$$e punctum quæ- $itum: accepto quouis puncto in e f, puta k, duco g o h p &ecedil;quidi$tan tes

101

tes a b, & c d: erunt <03> anguli q & n recti Per 29. pri mi Elem. & anguli f e a, & f e c &ecedil;quales, igitur uter Per 23. ter tij Elem. que dimidium recti: igitur per dicta in primo Elementorum Euclidis e n &ecedil;qua Propo$. 32. & 6. lis n k, igitur c q æqualis e n, quare h p æqualis g o, $ed quod fit ex o k in k g e$t Per 34. pri mi Elem. æquale ei, quod fit ex p k in k h, igitur Per 7. tertij Element. k h e$t æqualis k g ex eisdem o$tendi- tur f l m k quadratum e$$e. Quia ergo k h e$t æqualis k g, & k l æqualis k m, erit l g æqualis m h. Er- go de$cendendo ex g in f, quantum f l $uperat l g, tantum de$cen- dendo ex f in h, f m $uperat m h per communem animi $ententi- am. At f m e$t de$cen$us f in linea a e, & m h di$tantia, quæ acqui- ritur in linea f r, n m enim e$t æqualis f r, igitur n h excedit f r in h m, & ita a n excedit a r in n r &ecedil;quali f m. Quantum ergo in g f, l f excedit l g, tantum in de$cen$u ex f in h, f m, quæ refert g l, ex- cedit h m, quæ refert f l. Arcus autem f g e$t æqualis arcui f h, quod cũ po$$em o$tendere pluribus modis $atis con$tat, quia chor Per 47. pri mi Elem. darum illorum quadrata $unt inuicem æqualia, quia lineæ f m, & Per 47. ter- tij Elem. f l item <01> m h & l g $unt æquales, & anguli m, & l recti. Igitur cum ad quod uis punctum in linea e f $emper linea de$cen$us in parte inferiore e$t maior linea di$tantiæ tanto, quanto per æqualem ar- cum in $uperiore linea di$tantiæ e$t maior linea, de$cen$us $equitur per regulam Dialecticam quod punctus f, e$t punctus &ecedil;qualitatis. Per idem diceremus in quarta parte inferiore.

Propo$itio cente$imanona.

Rationem libræ expendere.

Cum libra moueatur, uelut rota circa axem, quia trutina manet, ideò $i pondus ponatur, dum iugum fuerit in linea a b nihil mo- uebitur, quia appetitus de$cen$us ex puncto a maximus e$t, & ni- hil iuuat motum extra naturam, idem dico de graui po$ito inuerti- ce b a. Nam duo $unt motus in rota, & in libra unus, per quem dum fertur per arcum a f, gratia exempli de$cendit, quantum e$t Propo$. 98. a r, quæ e$t minor dimidio e r, & ideò minor e r, quæ e$t maior di- midio, ut demon$tratum e$t, & etiam minor r f, quæ æqualis e$t r e In præceden ti. per demon$trata rur$us: & hic e$t naturalis ut palam e$t: alter præ- ter naturã, & e$t ferri ad latus, quoniam hoc e$t propriũ immortali- bus: cun <01> hic $it ad latus e$t etiam cõtra naturam, quia magis di$tat a centro, nam e f e$t longior c r, $i ergo r ferretur in f, moueretur à centro, & contra naturam. Dum ergo fertur ex a in f, multo lentius I 3 fertur

102

fertur, quàm ex f in c: uelo cius autem ex c u$que ad medium: nam plurimum de$cendit. Ex h ad b autem celerrimè, quoniam de$cen- dit, & appropinquat lineæ a b, ut uter <01> motus $it naturalis. Non ergo mouetur pr&ecedil;ter naturam ni$i quatenus longius recedit à linea a b, unde in inferiore parte mouetur ad eandem, ideò de parte c b tota per$picua e$t ratio, cur facillimè de$cendat, $imiliter & tota, hoc enim e$t demon$tratum. Similiter & quare difficillimè feratur ex b u$ <01> ad p, & ultra p u$ <01> ad directum r f: at de motu ex a in f, quod debeat ferri, quia plus remouetur, quam de$cendat, nulla e$t ratio: ut nec cur ex oppo$ito f ad a difficilem $e præ$tet: & hoc e$t, quia tertiam rationem etiam ip$e Ari$toteles, & qui eum $equuti $unt, prætermi$it. Ea autem e$t, quod dum fertur ad g, uel f etiam li- cet non de$cendat magis, quàm remoueatur, ex a ad centrum terræ tamen magis appropinquat. Quia enim e a e$t &ecedil;qualis e c, quoniam prodeunt à centro circuli eiu$dem, & b e, & e c $unt maio- res b c, ideò b a erit maior b c, e$t autem b cen- Per 17. pri mi Elem. trum mundi, ergo a motum ad c, appropin qua- uit ip$i b

Dico etiam quod libra ex chalybe tenui$simo, & quanto leuiorũ concharum, & longioris iugi 10 exactior, quoniam lances illæ minori exce$$u mouentur, quia plus di$tant ab hypomochlio. Sit ergo libra, cuius iugum a b trutin a c: lances d & e, alia libra, cuius lances h, & k, & l m longiores, iugum f g. Con$tat, quod qualis proportio f g ad a b, talis ambitus, ad ambitum: motus er- go $i $it æqualis utrarumque, igitur a tanto minore proportione moue-

103

mouebitur in h, quam in d, uelut $it proportio f g ad a b dupla, ut ergo æqualiter moueantur, $i $it dupla $exquiquarta in d cum lan- ce ad e uacuam, erit in h $exquialtera, & mouebit æquali tempore. Ergo iuxta hoc fient libræ, quæ examinabunt decimam, & uige$i- mam partem grani, quod e$t nece$$arium in precio$is rebus, & me- dicamentis potentibus, & longè magis in mechanicis experimen- tis, & maximè quæ ad demon$trationem pertinent magnitudinis $uperficierum, & con$tat res in tribus, in longitudine, f g iungi, in le uitate materiæ illius, & lancium, nam tanto maior redditur propor tio ponderis exigui, & in firmitate iugi ac rectitudine. ideò debet fieri ex chalybe purgato, durato ac tenui$simo, natura <03> leui, & ut c $it in medio, & mobilis f g.

Con$iderandum e$t demum an f l & g m $int grauiores f h, & g k. Vt enim grauiores extiterint minus facilè mouentur. Viden- tur autem mihi, qui de his con$crip$erunt perperam contemp$i$$e hoc, con$tat enim, quòd dum l de$cendit, remouetur a b n c tru- tina, & m, quæ a$cendit contra appropinquat. Videtur autem hoc bifariam contra naturam: nam ut diximus pondus applicat $e ad rectam n c, quia uer$us centrum, & etiam quia facit angulum ob- tu$um, cum deberet, ut ab initio $altem con$tituere cum iugo re- ctum. Et de m nihil mirum e$t, cum acutum, ut $e ad lineam, quæ ad centrum retrahat. Huiu$modi præterij$$e Ari$totelem, demiror, quæ nimis fuerunt in con$picuo, ut dubitem ne non $uus $it ille li- ber, qui eius penè nihil $apiat præter ob$curitatem. Tentan- dum e$t igitur horum cau$as a$signare. nam quæ huiu$modi po- te$t e$$e doctrina ni$i perfecta fuerit, in omnibus etenim nece$$e e$t aut omnia $cire, aut ignorare. In hoc igitur dico, quod h f, $eu l f, $emper æquidi$tant n c trutinæ, ergo cum angulus f c n in clina- to iugo fiat obtu$us de$cendente pondere, & n c g a$cendente pon- dere fiat acutus, ergo angulus l f c tantundem fiet obtu$ior, & m g c acutior, quanto anguli ad c tales $unt. Et cau$a e$t quia n c ratio- ne ponderis e$t directa ad centrum, ergo oportet, ut pondera l, uel h, & m, uel k, $i debent tendere ad centrum, ut f l, & g m æquidi- $tent n c, ni$i quantum e$t pro di$tantia f, à puncto c, & g a b eodem, quæ comparata ad centrũ terr&ecedil;, $eu mundi, e$t in$en$ibilis omnino. Circa hæc notandũ i$tud mirabile fcilicet, quod ratio motus, quan- tumuis exigua $ufficit ad motus modũ, licet uelo citas p&etilde;deat ex gra uitate, & alijs. Et <09> graue, quod expers e$t $en$us, debeat $equi ratio nem Geometricam uix $apientibus cognitã, cau$a tamen una e$t, & per$picua: nã omne graue e$t in linea à centro mũdi: $i aũt medium grauis $it extra lineã, uertitur ad illam, qu&ecedil; e$t in eo, nam centrũ $em I 4 per

104

per e$t in ead&etilde;. Ergo $ola in clinatio ad hoc ut mediũ grauis $it in li- nea centrorũ grauitatis & terræ, $ufficit. E$t ergo principium in $ei- p$o. In appen$is $imiliter. Trutina enim, & finis iugi, & grauis cen- trũ mundi centrũ $unt in ead&etilde; linea, ut e$$e po$$unt, cum exigua illa & $ola di$tantia intercedat. & hoc e$t primum. Quia ergo iugũ e$t ex materia $olida, mouetur ratione, quæ dicta e$t, lances autem oportet cum filis appen$i $int, ut puncta f & h, uell, & g k, uel g m $int in una linea cum centro terræ. Et quia l magis di$tat a b f quam h, & m a g magis, quam k, & oportet faciant eandem inclinatio- nem, quia anguli trutinæ cum iugó $unt ijdem, & linea cl e$t ma- ior c h, & c m, quàm c k in quouis $itu, ergo $patium, quod ambitur, e$t maius ergo per d e mon$trata $uperius l e$t grauius h etiam præter uinculorum additionem, & m grauius k. Quanto igi- tur longiores $unt funiculi à libræ extremitate $eu iugi, tanto gra- uius redditur pondus, quod tamen multi putant e$$e fal$um: nec aliquid referre, quòd $it longum, aut breue $u$tentaculum.

Propo$itio cente$imadecima.

Si duæ $phæræ ex eadem materia de$cendant in a&etilde; re eodem temporis momento ad planum ueniunt.

Co^{m}.

Supponitur quod ex eodem loco. Sermo enim ab$urda $ub interpretatione nunquam ni$i ab inui- dio$o, uel imperito intelligi debet. Sit ergo a tripla ad b, $phærula ad $phærulam ex plumbo ambæ fer- ro uel lapide eiu$dem generis, dico, quòd inæquali tempore peruenient ad planum c d. Nam a propor- tionem habet ad b, ut uiginti$eptem ad unum. pro- portio autem $patij a ad $patium b nonupla e$t, & proportio den$itatis aëris ad aërem e$t tripla, propterea quod den- $itas illa multiplicatur propter impetus magnitudinem. nam $i ro- bur, ut decem percutiat baculo lato, ut quatuor ictus erit maior du- plo, quàm $it robur, ut quinque percutiat baculo, ut duo: propter den$itatem ergo maiorem aëris in a, quam in b: & quoniam $i $ub maiore impetu mouetur a&etilde;r $ub a, quam $ub b, igitur proportio erit comparanda longitudini à centro a ad longitudinem a centro b, quæ e$t tripla. Si ergo $ubtripla e$t ratio motus b ad a, quod ad medium attinet, tripla autem propter uelo citatem di$ce$$us aë- ris à medio grauitatis, quod e$t in $uperficie e regione centri graui- tatis in linea ad centrum mundi, ut dictum e$t in præcedenti: mani- fe$tum e$t, quod a, & b inæquali tempore peruenient ad $ubie- ctum planum, & æquidi$tans centris eorum. Similiter & in aqua: cum

105

cum uerò uideatur in illa tanto celerius a de$cendere, quàm b, quanto e$t $emidiameter a longior $emidiametro b, liquet ex hoc, quod æquali uelo citate de$cendunt, $ed ob uelo citatem motus in aëre latet di$crimen anticipationis contactus $oli a ante b, qui di- gno$citur in aqua, ex quo patet exactam e$$e æqualitatem. Sed re$i- liunt $emel in aqua ambæ, cum pluries in aëre a $olo, quare etiam in aqua perturbatur cognitio in parum accuratis, at <01> $en$u præditis, $icut etiam in ca$u, ne altera alteram perueniat, utra <01> comprehen$a duobus digitis, altera alteram tangente, & u$que ad centrum in aquam demi$sis $imul digitis dilatatis dimittendæ $unt.

Propo$itio cente$imaundecima.

Cur ex medio tela ualidiorem ictum, & naues in $calmo à remo, ac malo recipiant inde ex puppi explorare.

Ari$toteles uidetur in Mechanicis, & qui eum $equuti $unt, ui- Co^{m}. dentur rem nauticam quòd ad remos attinet, referre in longitu- dinem partis, quæ $calmum tanquàm hypomochlium interiacet & manum: ea enim circa medium nauis cum illa ibi $it latior ma- ior e$t. Sed & qui lembos ducunt, & in puppe magis di$tant à $calmo & in prora, quàm in medio nauis, nec tamen uelo cius il- lam agunt: non quòd ratio illa fal$a $it, $ed quia uelo cius ferun- tur etiam ob aliam cau$am, quàm $it hæc, & magis uniuer$alem. Primum igitur $umamus, quod $uperiùs demon$tratum e$t $cili- Propo$. 86. cet, quòd ubi pondus aliquod æquale undique tanquam in li- bra $u$pen$um fuerit, proportio ponderis partium inæqualium ad duas partes æquales, e$t confu$a ex proportione longitudi- nis earundem, & quadrato eiu$dem proportionis. Sit ergo diui- $a a b in c, & fiat c e æqualis c a: proportio igitur ponderis b e ad pondus e a e$t compo$ita ex proportione b e ad e a, & quadrato eius $ecũdum longitudinem. at po$ita agi na d g in medio a b, <04>portio ponderis b e ad pondus ea e$t, ueluti longitudinis b e ad e a, igitur proportio põderis b e ad e a, cum agina e$t extra medium in c, e$t tanto maior proportione b c ad ea, quantum e$t quadratum illius pro- Per 10. quinti Elem. portionis, ergo b e pondus maius e$t, cum agina e$t in c, quàm in d. igitur per commun&etilde; animi $ententiã addito communi pondere a e, erit pondus a b minus $emper cum agina e$t in d, <08> in ullo alio lo- co a b. Ergo pondus a b apprehen$um in d mouebi&ttilde; a b æquali ui Per 8. quin- ti Elem. maiore proportione, <08> in ullo alio loco. Ha$tile ergo in medio ap- prehen$um maiore ui mouebitur, quàm in ulla alia parte. Et $i gra- cilius

106

cilius $it in anteriore parte propinquius comprehen$um calci, & $i cra$sius, uel grauius propius cu$pidi. Semper igitur ob hanc cau- $am mota ex medio grauitatis, $eu uelo, $eu ramo, $eu manu uelo- cius mouentur, quàm ex alijs partibus. In remo etiam pote$t acce- dere illud commodum, cuius meminit Ari$tcteles. Propter hoc igi tur, qui malum in naui collo carunt tantùm unum, in medio fermè eum collocarunt, ut antiqui: & qui duos aut tres, maiorem cra$sio- Propo$. 82. rem $cilicet, & altiorem in medio con$tituerunt.

Propo$itio cente$imaduodecima.

Cur ex imo leuia longius ferantur declarare.

Iam uerò cõ$ideremus, quòd propo$itum e$t, non $olum in com- Co^{m}. paratione ad medium, $ed extremorum inuicem, mi$$a enim ab imo uelo cius feruntur, quàm à medio non $olum manu, $ed $corpioni- bus, & arcubus. Videmus & hoc ob$eruare pueros uirgam lon- gius iacentes non ex medio, $ed imo apprehen$am, quoniam pars ip$a anterior, & quæ manu apprehen$a e$t, uehementi impetu emit- titur: & ut recipit impetum magis æqualem, longius fertur, nam quod emittitur proportionem habet ad $patium. Cum ergo appre hen$a in medio uirga $olum medietate anteriore impetum recipiat per $e, ob id minus fertur: at impetus $equitur proportionem, ut ui- $um e$t, quæ e$t circa medium ob leuitatem ponderis. In leuibus ergo maius $patium $uperabunt emi$$a ex imo, quoniam propor- tio $patij eadem e$t ad duplum, & ad dimidium. igitur ex imo fer- me duplum etiam $patij $uperabit: non tamen omnino quia maio- rem, ut dixi proportionem habet ad id, quod ex medio comprehen $um e$t. At in leuibus non e$t nece$$arium, ut ex medio apprehen- dantur, quoniam etiam cum incremento illo ponderis iam leuia $unt: plus ergo facit longitudo eius, quod eiaculatur, quàm impe- tus, cuius demon$tratio e$t hæc. Sit uirga a b apprehen$a in medio ponderis unciæ mediæ, & in a d, ut $it d a palmus, & uige$i- ma pars totius a b, erit ergo re$iduum ad duplum, a d nonuplum, Per 86. & a b tota unciarum quin <01> cum dimidia, $i igitur grauetur, quia in $itu recto e$t mediæ unciæ, in æquidi$tanti terræ, quin <01> unciarum cum dimidio, erit in $itu dimidij recti unciarum trium. E$t igitur proportio $excupla, $i apprehendatur in medio, & ad æquidi$tan- tem, ad apprehen$am in imo, & ad angulum medium: at emi$$a ex Per 89. a d habet totum aërem a b circumdantem impul$um ex c b $olum dimidium reliqua pars ui trahitur, ergo proportio $patij a b, erit $exdecupla fermè $patio b c, quoniam e$t triplicata corporis ad cor pus eius, quæ e$t longitudinis ad longitudinem, & quadruplicata re$pectu

107

re$pectu aëris a c, qui re$i$tit apprehen$a a b in c. Et iam minus fere- batur quinta parte, ideo longius eiaculabitur triplo ex a, quàm ex c. Nec tamen maiore impetu, quia obliquè fertur, & quæ obliquè feriũt, minore cum impetu feriunt: at <01> eo magis $i leuia fuerint: ab aëre enim circumambiente perturbantur, & in incertum trudun- tur. Quæ ergo grauia $unt ex medio emi$$a, & ad æquidi$tantem longius feruntur, & maiore cum impetu, quia magis directè: leuia autem longius ex imo, $ed minore cum impetu, $i aliqua cau$a à re- cto, & æquidi$tante declinauerint. At $i à $uprema parte, & iuxta cu$pidem, neque procul feruntur, neque cum impetu ob cau$as di- ctas. Eadem quoque ratio e$t omnium machinarum: ideò oblon- g&ecedil;longius eiaculantur, quoniam proportionem $eruant ad cana- Prop. 107. iem. Sed de hoc inferius agetur.

Propo$itio cente$imatertia decima.

Cur uirga longius mittatur à puero, quàm à uiro inue$tigare.

Co_{m}.

Diligentia, & u$us puerilis efficit, ut uirga feratur $ecundum me- dium rectianguli: uir autem non con$tanter iacit, & $ecundum re- ctum, at rectus ince$$us in leuibus, quia ab aëre in obliquum defle- ctitur uirga ob longitudinem efficit, ut inflectatur infrà celerius, & de$inat citius motus, ac finiatur. Tertia cau$a e$t, quòd leui$sima non adeò recipiunt impetum ut grauia: nam leui$simam & exigu- am ligni portionem maximo nixu uix excutiemus è manu. Cau$a ergo e$t: quoniam uim, oportet, ut habeat, quod contra naturam mouetur, ut naturaliter moueri po$sit, quæcun <01> igitur naturaliter exiguum habent motum, ut pluma, palea, fe$tucæ nulla ratione ue- hementer contra naturam agi po$$unt. Quædam ergo à pueris lon gius iaciũtur ob $olam peritiam, & exercitationem, quædam quo- niam ad angulum latiorem magis feruntur, quàm $it rectus, quæ- dam quoniam leui$sima $unt. Sed $i leuiora non feruntur ualido motu uiolento, cur tamen à pueris iacta longius ferũtur? Ratio e$t, quoniam maior uis deficiente obiecto magis fatigatur, atque ideò minus mouet. Propter hæc igitur omnia non $olùm in pueris, $ed in machinis, quæ accommodata $unt, melius impelluntur, aclon- gius feruntur, quàm leui$sima. nam nec palea $corpione iacta tam procul, quàm $agitta fertur, cum proportio maior $it, tamen ad pa- leam, quàm ad $agittam. Inde fit, ut quemadmodum Turca ille lite- ras $ui Prin cipis, cum timeret ad no$tros propius accedere, lapidi al ligatas longius emi$it. Cau$am autem huius docet Ari$toteles in Mechanicis dum quærit cur, & grauia & leuia ualde longe proijci nequeunt: nam grauia nimis, moueri nõ facilè po$$unt: leuia etiam ualde ad rem mouere non ualent. Ob hæc utra <01> ex his paruo cum impetu

108

impetu emittuntur, tamet$i uehementer nitaris. Sed & leuia ferun- tur hac illac, ut non po$sint retinere impetum prioris uiolentiæ: in- natum enim e$t, ut duorum motuum $imul in eadem re uigentium, cum illa proprio impetu feratur, unus alterum impediat: nam $i ro- ta uehatur circulariter acta, non tamen ce$$abit, aut iminuetur impe tus circulationis. Multa ergo in huiu$modi anomalis motibus con $ideranda $unt, ut illorum impetum robur, aclocum definiamus.

Ex hoc liquet, cur plumbeæ $phærulæ longius ferantur à tor- Cor^{m}. mento emi$$æ, quàm ligneæ, etiam $i non fran gantur.

Propo$itio cente$imaquartadecima.

Cir cularis motus differentias quatuor e$$e, earum qúe rationem contemplari.

In motu circulari aut axis progredi&ttilde;, aut $uo loco manet. Vtro <01> Co^{m}. autem modo uel mouetur ab axe, uel circumferentia, igitur con$tat quatuor e$$e motuum differentias: quas cum tres proponat author libri Mechanicarum, aut Ari$totelem illum e$$e, credendum non e$t, aut illum $tupidum dicere nece$$e e$t, nam modum diuidendi eum latui$$e quis putet. cum rota igitur aut $phæra in plano cir- cumagitur, motus e$t ex circumferentia prægrediente axe: ut pa- lam e$t: motis enim loco nobis mouentur omnia, quæ $unt in no- bis. Cum uerò rotæ $ub curru $unt, progreditur axis earum, & rota ob id cum quie$cere nequeat, quia facilius circumuertitur, quàm trahatur, procedit, & hic e$t $ecundus modus, quo rota ex circumfe rentia mouetur, & ex axe initium e$t motus. At uerò in rota molari, & quibus gladij exacuuntur, cum loco non moueantur, motus e$t ex axe: axis enim rotam circumagit, non rota axem, quie$cit tamen in eodem loco rota, & axis $cilicet, quia non progreditur, $ed in lo- co mouetur: atque hic e$t tertius modus. Demum $uccula putei, & ip$a mouetur circulari motu, & trochleæ etiam, ne<01> enim progre- diuntur: $ed non ex axe mouentur, uerùm $uccula per coloppes cir cumducitur, & tro chlea per funes, axis <03> in $uccula mouetur, in tro chleis autem quie$cit pror$us: dico mouetur, id e$t circumducitur, non quod progrediatur: ut non $olum $int quatuor modi, $ed po- tius quin <01>, nam & demon$tratione o$tenduntur, & experimento do cente deprehenduntur. Horum omnium liberrimus e$t, primus ex cir cumferentia progrediente toto, $eu attracto $eu impul$o & ue loci$simus, cuius cau$am $uprà o$tendimus. Proximus huic e$t mo- Propo$. 40. tus rotarum per axem, quoniam axis premit rotam interius $o- lam, & labitur: ideo <03> quod & axis, & rota intus $int leui$sima, pro- de$t plurimum: & aurigæ axungia inungunt, & nomen ab eo traxit axungia.

109

axungia. Et <09> rota magna $it: quoniam cum nõ rota, $ed axis traha- tur in æquali tempore & magna, & parua trahitur: utra <01> uerò una conuer$ione tantam lineã rectam $uperat, quanta e$t rotæ periphe- ria. Quod $i plures $int rotæ celerius feruntur, quia axis minus tan- to rotã premit. Et $i rectus $it axis, & bene rotundus, & foramen ro tundum, & latius, & è duri$simo ligno, ut non po$sit in clinari: & rota ip$a in ambitu æqualis, omnia hæc faciunt ad motus uelo cita- tem, unde Homerus.

Iliad. 23.

<*> xnia tu/<13>e w_o/de<17>i w_a/r & ko/ni<19> a)|mfi xuqu_nai.

Id e$t, ue$tigia per cu$sit pedibus, ante <03> illa puluis pedibus ex- cu$$us (ue$tigia $cilicet relinquentibus) ingrederetur. Principalis autem cau$a uelo citatis e$t agens, uelut equi. Sed inter hũc motum & priorem medius e$t Scitalæ uocatæ, nam ut in primo axis proci- dit & rotundum à $uperficie circumagitur, licet axis etiam circum- ducatur, ut axis, & rota, aut $phæra duplici motu moueantur, fci- licet antror$um, & circumcirca, in rota currus duo ijdem motus $int, axis quo <01> antror$um moueatur, $ed non circumagatur: unde impeditior e$t hic motus: ita in Scytala utrun <01> utro <01> motu mo- uetur, & circumcirca, & antror$um, at <01> id commune e$t, cum pri- mo ita axis mouet rotas, non rotæ axem, quòd $ecundo motui ro- tarum in curru proprium e$t, ut tantum degenerent à primo motu, quanto leuius uertuntur, quàm in $ecundo motu. Trahitur ergo iugum in $citala, uelut in rotis currus, $ed e$t annexum rotis non in curri- bus. Propterea in primo motu trahi- tur, uel impellitur à $uperficie: in $e- cundo a b axe, $ed non affixo rotis, unde ægrè trahuntur in $cyta- la ab axe affixo rot&ecedil;. Quare leuius quàm in curru, difficilius quàm in rota uel $phæra à $uperficie extima circumacta. Quartus modus e$t, ut dixi, circumuecta rota ab axe, quum non progreditur, ut in moletrinis, & rotis, quibus ferrum exacuitur. E$t enim hic $imilior primo, quia contrarius, in primo enim procedit rota, & uertitur à circumferentia, hic quie$cit rota, & mouetur ab axe. Proximus huic e$t, qui fit in $ucculis ob firmitatem axis: nam axis e$t coniunctus rotæ. Vltimus e$t trochlearum, qui & difficillimus: $it enim à cir- cunferentia, & axis di$iunctus e$t à trochlea: quod ad dit difficulta- tem. Sed & trochlea caret colloppibus. Ergo uerum e$t, quod o- mnia rotunda facilius circumaguntur, $ed uaria ratione: nam plus mota $uper aliquo plano, ut in plau$tris & $cytalis: minus in $uccu- lis, & rotis acuentibus ferrum, & molis: nam & $i rotun ditatem iu- uet ob æqualitatem ad conuer$ionem, non tamen in his e$t ad eò K utilis.

110

utilis. Vtilitas ergo prima e$t, cum circumuertitur in plano, uelut in rotis $cytalis, & $phæris. Secunda quæ minor e$t, cum à $uperfi- cie circumuertitur, ut in trochleis. Tertia cum à coloppis, quæ mi- nima e$t omnium, ut in $ucculis. Motus autem cœli non e$t ex tri- plici primo genere, cum $it in loco, & non ad locum, ne<01> ut rotæ molaris: nam ille e$t ex axe: necut in tro chlea: nam in ea axis quie$- citip$um autem cœlum circa axem non uertitur, $ed cum axe, $i ta- men in$ecabilis linea circumagi pote$t dici. Relinquitur ergo, ut Cœli motus propior $it motui $ucculæ, quàm alij motui. Differt ab eo in hoc, quod in $uccula mouetur axis ab orbe: at in cœlo ut non mouetur ab axe, ita nec axis ab orbe: cun <01> $it motus $im- plici$simus, in alio genere collocandus e$t: quando quidem in illo nulla pars po$sit dici primo, quod nece$$ariũ e$t in uno quo <01> horũ.

Propo$itio cente$imaquinta decima.

Proportionem motuum impul$ionis, & attractionis inter'$e ab eadem ui declarare.

Con$tat, quòd attractio cum fune longiore ualidior e$t, quam Co^{m}. cum manibus, quoniam e$t cum motu quodam: motus autem au- get actionem, ideo attractio ualidior e$t hac de cau$a, $ed & impul- $io cum baculo ualidior e$t, quam cum manibus, quoniam licet col ligere omnes uires in illo baculo, & ip$um applicare loco, unde fa- cilius impelli pote$t. Velut $phæra ex medio latere: nam ibi magis colliguntur uires, & ad impellendum facilius e$t, quodcun <01> leui- us e$t. Pars autem magis remota à centro grauitatis e$t leuior, his duabus cau$is, $phæra ex medio latere facilius ac magis impellitur. Sed nos $upponimus nunc applicationem æqualem e$$e, nam $e- cus ad impellendum facilius e$t applicare totum corpus, quàm at- tractionem. Pectore enim magna ui impellimus, nihil e$t compar, quo trahere po$simus. Sed, ut dixi, $it baculus applicatus alicui la- pidi ea parte, qua facilius pote$t impelli & trahi, & quæritur, quæ maior $it uis, an attrahendi? & dico quòd homo, uel conatur trahe- re toto corpore, & impellere, at <01> hoc modo magis trahit, quàm impellet, quoniam corporis pondus melius adhibetur in tractione quàm impul$u: uel citra corporis pondus, $ed $ola ui membrorum: & tunc magis impellit, quoniam impul$us fit corpore prono in an- terior&etilde; partem, quæ in clinatio, & motus e$t naturalis magis, quàm in attractione in partem po$teriorem. Sed ubi nulla $it diuer$itas ne<01> horum, ne<01> figurarum æqualis uis æqualem efficit motum: quia impul$us impellentis comparatione e$t attractio re$pectu al- terius. Verùm non e$t eadem uis nec propè par impellendi, at que attrahendi hominibus, cum attractio fiat per mu$culos ad origi- nem

111

nem $uam naturaliter $e retrahentibus impul$ui nullum in$trumen tum à natura delegatum inuenio, nam ad exten$ionem mu$culi $a- nè ex aduer$o $unt fabricati: cum ergo duo $int tantum motus mu- $culorum ten$io, dum retrahũtur ad principium $uum, & remi$sio, dum membrum quie$cit in naturali nullus erit locus impul$ioni, ni$i ex con$equentia non per $e, quamobrem multo infirmiorem il- lum attractione in brachijs e$$e, nece$$e e$t.

Propo$itio cente$ima$extadecima.

Cur machinæ ablongæ igneæ longius emittant $phæram ex- plorare.

Co^{m}.

Quoniam ratio $uperius adducta, ne<01> in his, ne<01> in hypophy- Prop. 103. $is (uocant cerbatanas) non pote$t $atisfacere, cum tamen idem $e- quatur in his, ut in illis uidetur, qua$i uis e$$e in $phærula $ic emi$- $a, & non in aëre, quemadmodum dicebamus, coniuncto e$$e. Ex quo nece$$e e$$et, ut quod longius ferretur, etiam ualidiores ictus inferret, hoc autem non ita $e habet, $ed ictus magnitud o ex robore machi- narum tam ignea- rum, quam $corpio num pendet, nam $it a $corpio ma- gnus, $ed tenuis, ex hòc palam e$t lon- gius mittere $agit- tam, quòd à parua, & breui, quantun- uis cra$$a non lon- ge mittitur: at uerò quod b cra$$us & paruus maiore cum impetu mittat o$tenditur nam ea pondera $agittæ mouet, quæ non pote$t mouere a, igitur b ualidiore robore mouet, quam a. Prætera illud o$ten dit iugum fu- nis arcus cra$siora duriora, quæ maioribus uiribus indig&etilde;t, quam a, qui à puero tendi poterit. Non e$t ergo eadem ratio mittendi longius, & ualidiore cum robore. Eadem ergo cum ratio $it in machinis igneis, cra$siores enim, & latiores ac breuiores magis concutiunt, quam longiores tenuiores minoris $phæræ capaces: non $olum ob mag nitudinem $phæræ magis illæ concutiunt, $ed, ut dixi, ob maiorem impetus uim: cau$a ergo e$t manife$ta in his, $ed non cau$a, qua longius ferantur in longiore canali. Sed uide- K 2 tur

112

tur una, eadem <01> e$$e ratio in utri$que. Con$tituatur can alis a b lońgior, & c d breuior, ut $it $exqui alter a b ad c d, & $it rur$us $phærulæ locus e in longiore, $exqui alter in di$tantia a b, qua lis e$t in f a d, & erit per dicta ab Euclide in quinto, ac $exqui altera c f. Po$$emus igitur di- cere, quod uelut ab hypomo- chlio longiore $patio circuma- gitur pondus: ita & a b c, & f. Sed rur$us incidimus in id, ut maiore impetu feratur e quàm f. Ideo $i concedatur maiore ferri ex e, quam ex f non $equitur, ut celerius, aut maiore impetu. Percutit puer pugno quanta ui pote$t ac celerrimè, uir robu$tus lentè, & mi- nore impetu, $ed tamen ictus longè maior e$t. E$t enim ictus robur non à uelo citate $olum, $ed maiore ex ponderis grauitate, quæ $ola premit, urget, & frangit etiam $ine motu. Solum ergo id re$tat du- bium, cur $i grauius e$t, moueatur eodem ferm é impetu: nam quo maiore impetu fertur, eo longius fertur, non tamen magis ferit, con cutit, aut qua$$at, $ed grauitas ad hoc plus facit impetu. Palea maxi- mo impetu demi$$a non ferit, non ledit, & celerius de$cendit, fer- rum $ola grauitate actum, imò etiam temperato ictu lædit graui- ter, qua$$at, & frangit: ita <01> f maiore indiget quantitate pyrij pulue- ris, quàm e: $iquidem tertia parte ponderis $uæ $phæræ: at maius e$t pondus f quam e, ergo maius pondus pulueris f quàm e, ergo maior uehementia ictus, $iquidem ea $equitur, robur cau$æ mouen tis $im pliciter: ut concludamus longitudinem ictus $equi propor- tionem motoris ad motum, $ed uehementia robur motoris: nam $i ex portione mouet æquale pondus maiore cum impetu mouet, quoniam maior e$t proportio: $i minore igitur pondus maius e$t, &, ut dixi plus facit magnitudo ponderis cum leui ictu, quàm ma- gnitudo ictus cum leui pondere. Quæ ergo feruntur per longio- res canales maiore impetu feruntur, & $ocietatem hab&etilde;t aëris moti per longius $patiũ, ut tardius remittatur, quia longiore tempore uĩs motus confirmata e$t, & <04>portio eius, quòd mouet, maior e$t ad id, quod moue&ttilde;, quia minus extenditur, at uerò f motũ minore <04>por- tione ictũ facit maior&etilde;, <04>a, ut dixi, tãto grauius, e$t quod ferit. Quod aut&etilde; minus ext&etilde;datur machina a b quam c d, nũc o$t&etilde;dere oporter.

Propo$itio cente$imadecima$eptima.

In cuniculis maior e$t uis pulueris copio$ioris ampliore in $pa- tio, quàm paucioris in minore iuxta proportionem eandem.

Sit

113

Sit $patium f d $exqui tertium b e, puluis quo <01> in f d $patio $i- Co_{m}. militer $exqui tertius pulueri b e pondere, & manife$tum e$t, quod dum conuertitur in ignem quali$cun <01> $it proportio (modo eadem ignis ad puluerem) erit ignis in f d pariter $exqui tertius igni in b e, dico quòd $i cra$sities f d $it etiam $exqui tertia cra$sitiei b e, quod poterit frangi, & moueri f d quie$cente b e. Vnde idem in cuniculis ut magnus cuniculus cum multo puluere po$sit mouere montem paruus cum puluere proportione re$pondente priori non po$sit. Nam cùm æqualia $int omnia iuxta <03> rationem eandem, nece$$e e$t ut pro ratione extendantur, at in paruo $patio minor fit den$itas c&ecedil;- tera paria $unt, ergo à paruo $patio non tantus fit impetus, quantus à magno. Impetus etiam proportionem habet ad põdus, & ad con- iunctionem, à maiore igitur impetu plura, & maiora mouentur, & conuelluntur, quam à minore, ob hæc igitur minores cuniculi $uc- cutiunt, maiores euertunt, maximi exturbant, & proij ciunt. Nam qui $uccutiunt, ubi pondus, aut coniunctio maior $it, quàm ut di- $trahere po$sint, conden$ant partes proximiores, & rimas faciunt, per quas exhalat ignis aut omnino extinguitur, aut conden$atur. At ergo in bellicis machinis, minus dilatat puluis, cum fuerit in lon go canali, ob id ergo maiore impetu feruntur per illas, quàm per breuiores, etiam quòd minor $it puluis, minor $it ignis. Experimen tum facies in canali, ubi $ambuci medulla pro globulo flatu impel- lente expellitur ab$ <01> periculo: nam quanto minor fuerit canalis ambitu ac longior eo maiore impetu pellitur. For$an qui$piam nos meritò poterit uideri repreh&etilde;di$$e, quòd inanis gloriæ $tudio per- nitio$a humano generi do ceam. Quibus re$pondeo, me nihil do cu i$$e, quod ín humani generis detrimentum cedat, huiu$mo di <01> pr&ecedil;- cepta iam ob$cura$$e, ut ne quid mali accidere po$$et hominibus ex his: nã quòd ad ea, quæ declarata, $unt, cau$as $olùm retuli, effectus ip$imodi artis nimiũ feruntur, ac nimio plu$quam uell&etilde; in telligun- tur. Vt cum ad copiam, ad magnitudinem, ad coacta imperia mi$e- rorum re$picio, nihil plus po$sit addi. Omnia enim hucu$ <01> $pectãt ad potentiorum in crementa. An ergo $uccurrere afflictis, ob$e$sis, cinctis, æquare condition&etilde;, liberare à $eruitute etiam rebelles nõ li- cebit? Ab initio fuimus omnes liberi: excogitata fuit regni ratio ad commodum hominum, ea uer$a e$t per uim in Tyrannid&etilde;. Subtili ergo ratione occurrendũ e$t imbecillioribus: nã reliqua omnia ni- mis, ut dixi, qu&ecedil; ad cuniculos ad magnitudin&etilde; machinarũ ad rectos ictus ad libram&etilde;ta ad longitudinem $pacij, per quos globus ille de- fertur, nota $unt improbis illis artificibus, nec no$trum e$t $pectare, cur id licuerit, po$tquam Deus hanc uiolentiam e$$e uoluit. Multa damnamus, &qtilde; Deus e$$e uult: boni uiri e$t nõ ni$i opitulari homini- bus, etiã malis modo bonis futuri nõ $int impedim&etilde;to: quamobr&etilde; K 3 ea

114

ea tradenda $unt, quæ oppre$sis $int auxilio: ea $unt, qu&ecedil; $ubtilibus con$tãt rationibus, et multiplicata amittũt uim ut qua$i pr&ecedil;$t&etilde;t pau ca multis, & exigua magnis. In c&ecedil;teris ob$curare ita decet cuncta, &qtilde; obe$$e po$$unt, aut quouis modo puerti ad malos u$us queãt, ut di- cta nõ dicta e$$e put&etilde;t, hoc e$t officiũ nõ $olum <04>bi, $ed etiã pruden tis uiri.

Propo$itio cente$imadecimaoctaua.

Quanta <04>portione decedat ictus in obliquum parietem ab eo, qui e$t ad perpendiculum declarare.

Sit paries b d e, ex a fera&ttilde; in dictus, qui $i Co^{m}. e$$et in c d pariet&etilde; e$$e ad perpendiculum, & ualidi$simus, $in uero in f g abraderet, & nõ cõqua$$aret. Quæritur ergo ex b d e muro qualis excipietur? erit ergo proportio anguli c d a ad angulũ b d a, ueluti ictus a d in d c ad ictũ in b d, manife$tũ e$t aũt $equi <04>portio- nem, quoniã maxima uarietate cõ$tat dum ex angulo b d a acuto fit acutior, quoniã $i b d c $it &qtilde;druplus b d a erit re$iduus ad dimidiũ b d a nonuplus ip$i dimidio, & ad quartã part&etilde; habebit <04>portionem decemnou&etilde; ad unũ. Si ergo etiã in id&etilde; tenderent, nõ efficerent mille ictus &qring;d tres, cuius demon$tratio h&ecedil;c e$t. Supponamus <04>portion&etilde; b d c ad &qtilde;rtam part&etilde; a d b ad dito re$iduo ad b d c e$$e $olũ decuplã: tũc ex duob. ictibus centupla erit in d c ad eã, qu&ecedil; in b e, etiã tribus millecupla: nam cõqua$$ata turri in primo ictu, id d decuplo magis ad perpendiculum <08> in b d e $uma&ttilde; decima pars in ambitu d, & illa erit ergo tã di$$oluta, & infirma ex $uppo$ito, <08> e$t tota b e: $ed ex $e cundo ictu decuplo magis cõqua$$abi&ttilde; illa pars, <08> b e ergo tota d c centuplo magis qua$$abi&ttilde; ex duob. ictibus c d turris, <08> b e, & ita in tribus: ex dec&etilde; millibus ergo ictibus etiã ad amu$sim directis, cũ ta m&etilde;id uix fieri po$sit in tãta multitudine nõ plus cõminue&ttilde; b d e, <08> ex decë c d &ptilde;ter quã exiguũ quippiã in $uperficie. Imo ut declaratũ e$t multo minus repetita ratione multiplicis. Ob id in arce Medio- lan&etilde;$i exterius lapidibus uiuis in rotundũ diducta $uperficie inter- uallo <03> &qtilde; drato hunc in modũ munit&ecedil; $unt altiores tur res. Fiat ergo murus cuius <04>portio a d c ad b d a $it $ex quitertia, erit <03> angulus b d c dodrãs recti, & parũ incli natis, $iquid&etilde; b d c erit quarta pars recti, & $it tant&ecedil; ma- gnitudinis, at <01> duritiei, ac adeò benè coniunctus fer- 729972129617282304307240965461 1/37281 7/9
reis cathenis, ac $tolonibus, ut po$sit re$i$tere machinarũ fe- rentiũ $ph&ecedil;rã librarũ ducentarum (quæ $anè maximæ $unt) quin quaginta: tũc cum <04>portio $exquitertia nouies repeti- ta, ut in numeris uides, efficiat quinquies replicatis nouem ictibus, fiet <04>portio decupla quinquies <04>ducta, qu&ecedil; e$t cen tũ millium ad unũ in quadraginta quin <01> ictibus. Antequã ergo peruenit ad quinquaginta ictus rectos nece$$e erit, ut multo

115

multo plures centum millibus ictus excipiat ante <08> euertatur, quæ recta $i e$$et quin quaginta $olùm potui$$et $u$tinere. Quæ ergo hu mana potentia $ufficeret. In arce Medio lan&etilde;$i uidimus uix attactas in illis extuberationibus lapideis. Sed quoniam hic occurritur per inclinationem machinarum, ideò de hoc $ermon&etilde; $um habiturus.

Propo$itio cente$imadecimanona.

Quantum ictus machin&ecedil; procliuis ad angulũ minua&ttilde; explorare.

Huiu$ce cau$a excogitarũt, ut ictus ad perpendiculũ dirigere&ttilde;, & Co^{m}. quanquã angulus d e f $it &ecedil;quali angulo a b c, longè tñ maior e$t uis a b <08> d e duplici cau$a, & quoniã a b e$t $ecundũ nat uram impetus ignis, & etiã eorũ, qu&ecedil; emittun&ttilde; in altum: & &qring;d pars $uperior in b retineat ictũ, in e non retineat. Sed caui tas fiat maior in inferiore parte: cuius experim&etilde;tum quiliber facere pote$t cũ ha$ta. Huic ergo $olertiæ, &qtilde; tormenta iubet altius collocare ob$tat primũ, quod ictus ex decliui $itu periculo$ior e$t <04> machina, & ma ximè &qring;d retro impellit, <09> ex retro ce$$a, po$t <08> exone rata e$t, digno$ci&ttilde;, & ad collimandũ decedit parte ui- riũ $uarum, &qring;d et$i paruũ $it in ductu tñ, & ictuũ mul tiplicatione magnũ affert di$crimen. Habet & cõmo dum $itus muri accliuis terrã $uppo$itã ad perpendiculum, &qtilde; ictum $u$tinet: adeò ut omnib. inuic&etilde; collectis, perinde $it ac $i ex perpen- diculo, et &ecedil;quidi$tanti ad $olũ feria&ttilde;. Venetus. S. aliter Patauij cauit, uidetur <03>, <09> $apienti$simus $it, & eandem $equatur ubi <01> normam, po$t <08> in rotundã figuram totũ urbis ambitum formauit, & fo$$a la ta, ac <04> fundi$sima aqua <03> perenni muniuit, & $ummã muri partem rotundã in hunc modũ effecit cauã <03> interius undi <01>, ne cuniculis po$$et euerti, à lateribus uerò humiles, ac cra$si$simas turres, ut nul la ui po$$ent dirui, eas <03> tormentis bellicis, undi <01> latera lu$trantib. reple$$et, illud diligenti$sime cauit, ne murus humilior e$$et aduer$a ripa, $ed ad libellã tamen depre$$us, ut etiã machinis in terram exten $is $ph&ecedil;rulæ non tangerent murũ: nam cũ fo$$a $it quadraginta pa$- $uum, excedat aũt murus exterior&etilde; aggerem uno pa$$u, ut quicquid in ambitu e$t uno ictu oculi cogno$ci po$sit, & aggeris angulus ma ior $it uno pa$$u, tũ magis adiecta cra$sitie machin&ecedil; fieri non pote$t, utictus in murũ dirigatur. Eam ob cau$am etiã cauit, ne &ecedil;dificiũ ul- lum, aut planta, uel colliculus e$$et cir- cum circa urb&etilde; ad tria M. P. laborat hoc periculo h&ecedil;c urbs, ne tota &ecedil;dificijs euer- $is concidat. Turcarũ enim Princeps di- dicit, ut in Nouo ca$tro in Melit&ecedil; In$ul&ecedil; arce S. Elmi appellata plu$ <08> mille icti- bus in $ingulos dies imo M D obtundere K 4 munitio-

116

munitiones. Eum <03> impetum producere ad quindecim dies, & ui- ginti tum etiam longius, ut facilè domos omnes euertat, homines occidat: $i qui $uper$unt tot in commodis obruuntur uigilijs, fame, $iti, puluere, ut inutiles red dantur. Ideò huic incõmodo occurrunt aggeribus intra mœnia erectis, in quos uis torm&etilde;torum igneorum emoritur. Sed dices, cur ergo non pro muris erigere eos præ$tat, & minore $umptu $atis? quoniam $ubruuntur à fo$$oribus facillimè, $<*> ad illos peruenire po$sit ho$tis. Ideò intra m œnia utili$simi $unt, <04> mœnijs parum pro$unt. Quod uerò ad te$tudines attinet, $ub qui- bus lat&etilde;t fo$$ores machinæ laterales, & à fronte & ignes, & aqua al- tior <04>hibent omnino iniuriam, qu&ecedil; ab his imminet. Cæterum hu- iu$modi cum in longum differun&ttilde; morbis, illuuie, incõmodis, plu- uijs, frigoribus omnino di$$oluũtur, ut nulla multitudo huic operi $ufficere po$sit. Rhodus, Alba regia, Melita, Ca$trum nouũ, Byzan tium, $i diferri potui$$ent tempora, non ce$si$$ent uictori quantum- uis $uperbo. Vicit pertinacia, audacia <03> $umma, Corcyrã, Viennam capere nõ potuit, quoniam in longũ trahebatur oppugnatio. Mul tæ machinæ, & pauci homines prædæ ob$e$$orum expo$itæ $unt: pauc&ecedil;, & pauci homines ob$idebuntur potius, quam ob$idebunt. Exercitus magnus di$$oluitur, & $emetip$um con$umit, $i nulla fiat acce$sio aut exigua quomodo $tabit: $i magna auxilia omnia cor- rumpuntur. Contrà ob$e$sis auxilia $i ueniant lu$trata, & munita, et omnibus nece$$arijs ornata uiri integri cõtra fatigatos, & fe$$os cor pore, armati contra inermes, alacres contra torpidos $uperueniunt. Ob id præcipuum e$t auxilium pr&ecedil;ter h&ecedil;c his, qui oppugnantur co pia militum, qui per initia nun <08> quie$cant diu noctu <03>, uerũ noctu duo tubicines per$æpe exercitũ in$omn&etilde; in armis tota nocte cõtine bũt. Serio aũt die pugnare, & noctu cũ minimè id $perãt, & fatigati $unt: mira euenire $olent in his in$peratis, ac audacibus eruptionib. per$&ecedil;pe etiã omnino $upra fid&etilde;. Ita nõ conquie$cere oportet donec, uel omnino à cepto de$inat ho$tis, aut locũ occupet $ibi relictũ po- tius <08> qu&etilde; elegerit. nam experimentũ frequens do cuit, ubi illæ ma gn&ecedil; uires $uo arbitrio locũ, qu&etilde; elegerũt obtinere potuerint, tand&etilde; potiri locis quãtumuis munitis in hoc &qring;d diximus cõtra oppona&ttilde;. Etenim $ept&etilde; modis cũ urbes, at <01> arces capian&ttilde;, quorũ duo $unt ex tra &ptilde;$ent&etilde; con$ideration&etilde; ob$idio, &qtilde; magnitudine ambitus loci tol- li&ttilde;, & <04>ditio, &qtilde; cu$to dũ uigilãtia, cuniculi, euer$io $uperioris muri, euer$io ab imo <10> machinas, cuniculi, $eu $uffo$sio, urbis euer$io, $eu &ecedil;dificiorũ: & &qtilde;uo cant aggre$sio, $eu oppugnatio <10> $calas, & crates cũ $agittarijs: his omnib. $atisfactũ puto, pr&ecedil;ter <08> oppugnationi <04>- pter humilitat&etilde; murorũ: nã lignis opplen&ttilde;, at <01> fa$ciculis, terra <03> fo$ $&ecedil;: nihil. n. re$i$tit immen$&ecedil; illi pote$tati, & crudelitati $&ecedil;ui$simorũ ty rãnorũ. Verũ, ut dixi, terra noctu effodi&ttilde;, ligna artificio$is ignib. eru untur.

117

untur. Et longum e$t opus $iue per paucos, $iue per multos quis ef- ficere conetur: ut non minus exigat temporis, quàm ob$idio: nam multitudine unus alterum impedit, & mortui uiuos, ut omnino res $it non $peranda ni$i aduer$us inerti$simos. Pontes euertunt machi næ, ignes <03>. Sed ubi etiam muros obtinuerint ob rotunditatem in illis con$i$tere non po$$unt. Inde à defen$oribus propul$antur $ari$- $is, telis, ignibus, tran$uer$is trabibus, machinis: illud<03> accedit com modi, ut quanto plures eo facilius excutiantur. Dixi non debere uereri maxima etiam præterid, quoniam & i$t&ecedil; ip$&ecedil; tanto $anguine acqui$it&ecedil; tanto deorum & hominum iniuria modica $cintilla ignis $ine munitionibus, exercitibus, $iue machinis, ab$<01> terræ cõcu$sio- ne, aut inundatione, uel pe$te euertuntur. In illam mi$eram lachry- mam patris $cintilla ignis inferni, cùm Deo placuerit, mitti&ttilde;, ex qua, quod coalitũ e$t, multis $eculis imperium luxu, crudelitate, $tultitia unius filij, uix uno lu$tro toto di$$oluitur. Hanc $cintillã cum felici etiam genio $ecum ex utero detulit Alexander Magnus. In alijs alij genium $ortiti $unt, alij $cintillã detulere ab Orco. Ex imperio A$$y riorum per luxum Sardanapalus: ex Medorum per $cintillã A$tya- ges: ex Per$arũ per $tultitiam Darius: ex Romanorũ Honorius. Di ces, h&ecedil;c quid ad <04>portionem? Imò uelut machina ad perpendiculũ librata pauculo illo puluere Pyrio urb&etilde; euertit, ita $cintilla illa infer ni ignis $emini magni tyranni indita euertit at <01> di$$oluit totum re- gnum $ine machinis, ut dixi, uel exercitibus ullis, & quod maius e$t remedio nullo. Sed puerulo indito luxus, ignauiæ, crudelitatis at <01> $tultiti&ecedil; fontibus, mirabile dictu $anè, & ad proportionem diuino- rum in$trumentorũ pertinens. Sed redeamus ad in$titutum: Video enim, quid po$sit obijci, $cilicet muros cra$$os, et altiores tueri urb&etilde; & ædificia illius po$$e ab$<01> aggeris erectione, & $i diruan&ttilde; manere etiam nihilominus imo magis, quod e$t terram, u$<01> quoniã eadem ratione manet, quia concuti non po$sit à machinis: nec ho$tes id cu raturos, $perantes hoc $olũ $ufficere, &qring;d mœnia $olo æquen&ttilde;, at <01> id factũ e$t Mediolani, & in arce eius, tũ Papi&ecedil; & in Cremonen$i arce. Verùm ni fallor, ut paruis arcibus à tanta ui tormentorum nullum e$t præ$idiũ, aut $alutis $pes, ita ne<01> cõuenit, ut muris humilibus ag geri confidant, nam & pauci homines tanto labori non $ufficerent, & agger cum fo$$a effo$$a $cilicet terra defen$ores nimis in angu$tũ cogeret. At in urbibus contra eueniet: muris enim erectis altius ma chinæ lapidum fru$tis hominem occid&etilde;t: an percu$$a $uperiore par te ob coniunctionem inferior concutitur, & in de totũ $imul cadit, ut uidimus Papi&ecedil;, quo cad&etilde;te, & fo$$a impletur, & t<05>kole/tois facilior aditus ad $ubruendum reliquas partes pr&ecedil;be&ttilde;: imò percul$i defen- $ores

118

$ores $æpe muneris $ui obliui$cuntur, de$erta<03> ea parte liberum ingre$$um ho$tibus exhibent. Tum uerò magis, quod non confi- dunt animo nõ ad id parato, po$$e aggerem $ufficientem, & in tam breui tempore ex$truere, & etiam intelligunt, antequam erigatur, patere à lateribus introitum ho$tibus.

Propo$itio cente$imauige$ima.

Proportionem partium nauis ad eundem obliquum uentum explorare.

Co^{m}.

Sint mali in naui a b c, ad b e, c fuentus è regione g h k etiam ad perpendiculum feratur, ut anguli g d a, h e b, k f c $int æquales, dico tamen diuer$o modo affici: nam cum premitur a uer$us l, c premi- tur uer$us f: at $i prematur cuer$us n a, premitur uer$us d, at $i pre- matur b uer$us m, & a uer- $us l, $ed non quantum ex g d, & cuer$us n, $ed non quantum ex k f, ab eodem ergo uento contrarij mo- tus efficiuntur ex uelorum diuer$itate, etenim per uen tum d feretur ad meridiem nauis, & per uelum f ad Se ptentrionem etiam didu- cto auxilio e l a ui, quanto magis cum illo: & $i uen- tus excipiatur in f uelo, non iuuabit clauus, & $i in d dirigetur, & temperabitur motus, & $i in e medio modo. Ergo $i uentus feratur rectè iuuabit, ut dici $olet omnibus, & plenis uelis excipere, $i ex obliquo demittere antennam puppis, $in autem ual- de obliqu us $it, $olo proræ uelo utemur. Si ualidior quàm oportet humiliore. Atque hæc po$tmodum $unt diligenter numeranda, ac metienda: nunc $ufficiat cau$am reddidi$$e, & admonui$$e diuer$i- tatis motuum, quæ ex uelis contingit: nam eò fertur nauis, quò prora dirigitur. Ergo cum puppis tanto feratur uer$us meridiem a b, quanto prora uer$us meridiem a d, & quanto puppis fertur uer $us meridi&etilde;, tanto prora fertur uer$us boream, igitur quanto prora fertur uer$us meridiem a d, tanto uer$us boream a b f, $ed $itus claui pote$t multo plus in comparatione ueli d, quam f $cilicet, quia di- $tantia a b a e$t o a, & di$tantia e c e$t o c, tanto plus ergo pote$t cla- ui $itus in comparatione ad uelum d, quam f, quanta e$t proportio o a, ad

119

o a, ad o c, igitur clauus e$t longè potentior in comparatione ueli d, quam f, ergo uelum d minus agit nauim, quam f. Sed ut extrema $e habent, ita medium eorum comparatione, igitur malus b e uali- dior e$t, multo d a, & infirmior c f. Verùm, ut dixi, ob $itum $impli- citer ualidius e$t, uelum e quam f, & etiam quia, ut dixi, altior & era$sior $olet e$$e, ideo multo ualidior tribus his cau$is, quàm e f: adde quartam quòd uelum habet maius, antiquo tempore uoca- tum acatius. At ut etiam docui c b non e$t in medio, nec æquidi$tat ab a d & c f, $ed in clinatur ad proram ideo<03> imbecillior: cum ergo $it æqualium, & paulo maiorum uirium, quàm c f, & tutior, & me- lius agatur per clauũ quàm c f, & $it a d nimis iu$to imbecillis, pro- pterea b e mali, & ueli maximus e$t u$us: adeò mali nomen per an- tonoma$iam de ip$o $impliciter intelligatur.

Propo$itio cente$imauige$imaprima.

Flabelli uires, at <01> naturam declarare.

Sit flabellum a b c appen$um, ut $olet, in a, & moueatur motu Com. qua$i circa axem p a q in parte inferiore, & aër comprehen$us $ub b h k, & $patium $it 1 m figuræ nauicularis, quæ con$tat e$$e par- tem cylindri inanis ex formatione ab Euclide $cripta: nam $i pro- poneretur p a q ad perpendiculum $uper$tans plano, fieret circum- ducta a b c $uperficie, quæ e$$et lata $uperius, $icut etiam inferius Lib. 11. diff. 21. cylindrus: at $uperius a b tenuis e$t, & angu$ta, ergo fiet pars cy- lindri inanis: quia non circunuoluitur, donecredeat. Ergo per di- cta $uperius $ectio illius p r q s per axem e$t pars cuiu$dam elly- Propo$. 6<*> p$is. Et $ectio quæuis planæ $uperficiei æquidi$tans a b cuelut tu, item <01> æquidi$tans axi p a q e$t $uperficies rectangula, quarum una e$t $imilis, & æqualis b h k, e$t in una $uperficie cum axe p a q alia uerò e$t æquidi$tans eidem axi maior aut minor æquidi$tanti- um, & ip$a laterum, at <01> rectangula ac $i cylindrus $tans axi plano æquidi$tanti $ecaretur iuxta longitudinem $eu altitudinem $uam: & manife$tum e$t, quod i$ta duo plana, & eorum $uperficies $ecant $e mutuò ad rectos angulos.

Quibus con$titutis, qui $tabunt iuxta l, & m longitudines aëris moti, & loci, per quem tran$it flabellum, $entient magnum uentum, quoniam cum corpus m x l ab extremis partibus $it elatius a b ex- tremis, $tantes, & alti tangentur à uento agitato. Si uero $edeant, aer primum non attinget illos, ut etiam quia $ur$um pellitur non per- ueniet ad illos, imò diffugiet, ergo non refrigerabuntur. Qui uerò à lateribus l x m $tabũt hiccinde, uelut in f g, $i $teterint, nõ refrigeræ bũtur, quia quãdo flabellum erit in l, uel m aer de$cendet, ergo fugi et ab illis, cum autem fuerit in x, erit in loco humiliori, & mouebi- tur

120

tur diuer$a ratione, quippe ab f in h, & non ad latera, ergo ne que contactu, neque motu, qui fiet per æquidi$tantem f, & g non poterunt refrige- rari. Sed $i humili loco $e- deant, quoniam aër de$cen dit, ex l & m uer$us x, & etiam, quia erunt proximi h k, quãdo fuerit in x, refri- gerabun&ttilde; ualde. Qui aut&etilde; erũt iuxta h & k minus re- frigerabun&ttilde; utri$<01>, $ed pau lulum in reditibus propin quis, & ne<01> $tantes, ne<01> $ed&etilde;tes, $ed $i altius attolla- tur h k. Rur$us $i b h k fue- rit grauior eodem, ut de- $cendat tanto impetu, quã- to a$cendit attractum, ut pote ex ligno tenui nucis, tunc multo magis refrige- rabit, & procul, nõ ob uim ualidiorem, $ed quoniam celerius occur$antes $ibi contrarijs motibus, ac ue- hem&etilde;tibus fiet colli$io par tium aëris, & ideo in ambitum impelletur, & undique cubiculum refrigerabit, quod non faciet maius longè flabellum lento motu agitatum, aut ex materia leui. Idem multo magis contingeret, ubi duo e$$ent flabella laquearibus appen$a, quæ ad perpendiculum a&etilde;rem mouerent, $eu quod $uperficies eo modo $e haberent: & $i flabella rotunda e$$ent, tunc maiorem ambitum aëris occuparent, & uelocius deficientibus angulis mouebuntur.

Propo$itio cente$imauige$ima$ecunda.

Contemptus circa $olis rationem in umbris declarare.

Con$tat primùm $olem, & excentro, & toto eius ambitu illumi- nare hanc primùm diuer$itatem, quæ aliquando tota diametro computata dimidium unius partis totius cœli excedit: $cioterici negligunt, ut exiguam. Secundò etiam diuer$itatis illius, qua mo- dò à terra uer$us ab$idem defertur, modò ad terram de$cendere to- tidem uariata altitudine, non parum nullam habent rationem, $eu quòd

121

quòd tanta ne $it, ut euidentem in gnomonibus faciat uarietatem, $eu quòd incertum adhuc $it, an id uerè $oli accidat. Tertium e$t fi- nis umbræ ip$ius gnomonis, qui incertus e$t, ut pars non contem- nenda in dubium uertatur, quoniam $en$im ex ob$curo in illumi- natum feratur, attamen contemnitur etiam. Quartum quòd cum $ol moueatur in $pira, fingitur qua$i in parallelo æquinoctiali circu lo circumagatur ab his, qui horologia de$cribunt. Quintum quòd cum inæqualiter in orbe $uo moueatur quanuis exigua $it hæc dif- ferentia, æqualiter tam&etilde; moueri præ$upponitur. Sextum e$t, quòd dies æquales $upponuntur, qui tamen tum ex ratione partis pera- gratæ, tum ratione a$cen$us eiu$d&etilde; $unt inæquales, & tam&etilde; hæc in- qualitas etiã in horarũ computatione prætermittitur. Sed & h&ecedil;c ut prior ratione magis, quã $en$u deprehendi&ttilde;. Septimũ e$t di$crimen, &qring;d oritur ex ui$us circulo $eu horizonte, & circulo tran$eunte p cen trũ mundi, nam horizon uere tãto minor e$t circulo magno, quan- tum e$t $emidiameter terr&ecedil;, cõparatus ad $emidiametrũ orbis cœle $tis, $ed e$t in$en$ilis quantitatis. Octauũ e$t, quod trianguli ex gno- mone umbra, & radijs $olis latera non mutant lineas, quæ à $ole ad centrum terræ deueniunt, nec quòd maius e$t, radius $olis ad uerti- cem hominis breuior habetur femidimetiente. Hæc igi&ttilde; omnia $ci- otericorũ opifices non ob$eruant, $ed negligunt. Verum quatuor tantùm altitudinem poli regionis locum $olis in eclyptica locum $olis in circulo æquinoctialis, uel æquinoctiali parallelo, ex qui- bus tribus fit altitudo $olis, una in circulo $cilicet uerticali ab hori- zonte, & differentia lineæ meridianæ à linea uer$us polum, quam Propo$. 84. o$tendit lapis Herculeus, de qua dictum e$t $uperius.

Propo$itio cente$imauige$imatertia.

Cognita ratione umbr&ecedil; ad gno monem $inum, & arcum altitudi- nis ab horizonte quouis tempo- re digno$cere.

Sit circulus magnus, in quo $ol Co_{m}. a f g $uper$tans ad perpendicu- lum circulo ui$us f e g, quos mani fe$tum e$t tran$ire per idem cen- trum mundi c, quia magni $unt, & $it c d erecta ad perpendiculum $uper f g, nam perinde e$t per $e- ptimum contemptum, ac $i $uper- Præced. Pro po$. ficies horizontis tran$eat per terr&ecedil; centrum, & pedes per octauum, Prop. 113. ideo proportio e c ad c d umbræ ad gnomonem, ut b e ad b a, ergo L per

122

per demon$trata b a cognita in comparatione a d e a, e a autem per octauum contemptum e$t dimetiens circuli, ergo a b $inus notus, & arcus f a, quod e$t primum cognitum. Et hic quidem circulus uerticalis dicitur, quia per illum tran$it, aliter non e$$et ad perpen- diculum horizonti.

Cor^{m}. 1.

Ex hoc $equitur, quod altitudines $olis æquales omnes in uno $unt circulo horizonti parallelo. Et $i $ol fuerit in uno circulo ho- rizonti parallelo, altitudines $olis, & umbræ magnitudines æqua- les erunt.

Cor^{m}. 2.

Sol ni$i bis in una die pote$t e$$e in circulo horizonti parallelo, $emel ante meridiem, & $emel po$t, tantundem ab eodem di$tans.

Cor^{m}. 3.

Cum ergo ita $it, nece$$e e$t umbras æquales, & circulum hori- zonti parallelũ fieri $ub in æqualibus horis in diuer$is $emper die- bus, præterquam cum in punctis fuerit æqualis ab &ecedil;quinoctiali, & in eandem partem declinationis, & hoc bis cõtingit $olum in anno pro quolibet circulo parallelo, $icut in eodem die etiam bis tãtum, ut dictum e$t.

Co^{m}.

Nam exempli gratia, cum $ol e$t in initio Capricorni, & in Cœli medio, minima e$t umbra eius diei, & totius anni. Cum ergo fuerit ante meridiem, uel po$t, erit umbra maior ex $uppo$ito $ecudo um- bra meridiei: at ei æqualis poterit e$$e umbra meridiei alterius diei ex primo $uppo$ito, ergo umbræ æquales diuer$orum dierum fi- unt $ub diuer$o $itu $olis, quo æd circulum meridiei, quod erat de- mon$trandum.

Cor^{m}. 4.

Ex hoc $equitur, quod horarum determinatio fit $ecundum line- am in æqualem obliquam, quæ toti anno $eruiat, ut æqualium um- brarum determinatio hararum & partium eius numerum.

Cor^{m}. 5.

Ex quo colligitur modus faciendi gnomonem, $eu per umbras rectas, $eu per uer$as, qui docebit toto anno non $olũ horas, $ed mo menta pul$uũ, de quibus dictũ e$t quod MMMDC horam perficiũt.

Propo$itio cente$imauige$imaquarta.

Proportionem umbræ uer$æ e$$e ad gnomonem, uelut gnomo- nis ad umbram uer$am.

Co^{m}.

Vmbra uer$a dicitur, quoties gnomo in pariete ad perpendicu- lum figitur, $ic ut gnomo æquidi$tet circulo horizontis. Sit ergo paries c k ad perpendiculum f g, & h k a d gnomo ad perpendicu- lum parietis & $ol, ut prius in a, & $it primo k h tantæ longitudinis Per 15. pri mi Elem. ut umbræ locus $it pũctus d, ut $it radius a h d e, erit<03> angulus d u- trin <01> æqualis, & propterea triangulus k h d $imilis d c e. Sit modo Per 4. $exti Elem. gnomo maior m l ip$o h k & c l maior c k $eu æqualis, & quam an- guli k & l recti $unt, & anguli l m n, & k h d æqualis, quia a n, & a c $unt

123

$unt æquidi$tantes per octauum contemptum, erunt per dicta tri- anguli $imiles, igitur proportio l m gnomonis ad l n umbram ut k h gnomonis ad k d umbram, $ed k h, ad k d, ut c e umbræ ad c d gnomonem: igitur proportio l m gnomonis ad l n umbrã, ut um- bræ c e ad c d gnomonem, quod fuit demon$trandum.

Ex hoc primùm patet & pr&ecedil;cedenti, quod cognita proportione Cor^{m}. 1. umbr&ecedil; uer$&ecedil; ad gnomonem cogno$citur $inus $olis, & arcus altitu- dinis in circulo magno, & e$t altitudo ab horizontis parte, quæ proximior e$t loco $olis, ut demon$tratum à nobis in Geometricis.

Se quitur etiam, quòd cùm umbra fuerit æqualis gnomoni, $eu Cor^{m}. 2. recta, $eu uer$a $olis, uel Lunæ, uel $tellæ, altitudo erit partium qua- draginta quin <01>: nam anguli d & e, uel d & h erunt æquales: igitur arcus f a medietas quartæ ideò partium xlv. Et $i gnomo fuerit ma- ior umbra uer$a, uel minor recta, erit arcus f a minor xlv partibus, $i contrà maior. Et hoc ubi<01> terrarum. Et ubi non po$sit tantundem eleuari, ut quando $ol e$t $ub circulo capricorni, nunquam nobis Per 5. primi Element. gnomo æquabitur umbræ rectæ $ed $emper erit minor, & $emper Per ult. $exti Elem. maior umbra uer$a pari ratione.

Propo$itio cente$imauige$imaquinta.

Proportionem dimetientis, & peripheri&ecedil; cuiuslibet circuli paral leli æquinoctiali per cognitam partem magni circuli demon$trare.

Hæc erat tam clara, ut hic locum non mereretur: tam nece$$aria Co^{m}. huic propo$ito, ut non potuerit omitti. Sit ergo Aequinoctij circu- lus a b portio circuli magni nota, a c parallelus circulus, &ecedil;quinoctij circulo c d, erit igitur $inus c d notus. Et ideò quadratũ c d notum, Per 3. tertij, & 8. & 17. $exti Elem. ergo & pars utra<01> b d d a nota. Quare detracta a d ex d b relin qui- tur d g æqualis f c diametro paralleli a$signari. Quare proportio Per 5. $ecu<*> di Elem. a b ad e f nota ex obiter $uprà demon$tratis, & pariter ambi- tus circuli a b ad ambitum circuli c d, e$t enim ut dimetientis ad di- Per 113. Propo$. metientem.

Propo$itio cente$imauige$ima$exta.

Circuli horarij naturam declarare.

Co^{m}.

Circulus horarius e$t circulus magnus tran$iens per $ol&etilde;, aut lunam, aut quoduis $ydus, de quo agitur, & per polos mundi, ideò differt à circulo priore altitudinis So- lis, quia ille $tat ad perpendiculum $uper horizontem, ni$i cum tangitur uice meridi- ani, uter<01> tamen tran$it per centrũ mundi, ac $olis. Hic etiam ad $imiles partes æqui- noctij circulum, & omnes parallelos $ecat. L 2 Et

124

Et principalis e$t meridianus, ideò ab illo A$trologi horas utrin<01> ante, & po$t numerant. Ideò clarũ e$t, quòd horæ à meridie com- putatæ $unt cõmunes, habitantibus $ub quauis altitudine poli, & ubiuis $it, $ol modò regiones æqualiter di$tent à fortunatis, $eu $int in eadem longitudine.

Propo$itio cente$imauige$ima$eptima.

Data Poli altitudine ortus amplitudinem demon$trare.

Co^{m}.

Sit horizon a d b æquinoctij circulus a k f eclyptica c g, & punctus ortus in ea g. & c initium arietis, & g b amplitudo ortiua & c e, c f quartæ circulorum, ut $it e f maxi- ma $olis declinatio, & polus mundi borea- lis l, quia igitur l d nota e$t ex $uppo$ito, & l k quadrans erit k h re$iduũ ad dimidium circuli notum. Quia uerò æquinoctium, & Meridianus $ecant $e ad angulos rectos, & b a æquidi$tat ab utro <01> polo, erit b polus h d, quare b k, quarta circuli, & angulus k rectus. Igitur $umus in di$po$itione tabula- rum primi mobilis, ergo etiam oppo$itus triangulus, qui ei e$t æqualis, & &ecedil;quiangu- lus in eadem di$po$itione b m d, quare cum data $it g n declinatio pũcti g dati, datus erit, & arcus g b quæ$itus.

Propo$itio cente$imauige$imaoctaua.

Nota amplitudine ortus cuiu$<01> pũcti arcũ $emidiurnũ inuenire.

Co^{m}.

Sit in eadem figura nota g b, uolo illius arcũ $emidiurnum. Cum ergo g n $it declinatio, erit pars arcus Meridiani horarij per polos tran$euntis, compleatur ergo l g n o, & quia g n nota e$t, quia de- clinatio puncti dati, & g b nota ex $uppo$ito, & f angulus rectus, quia e f e$t portio meridiani, erit b n nota differentia a$cen$ionis a quarta circuli k b, igi&ttilde; tota k n arcus $emidiurnus. Quoniã g p paral lelus $imilis e$t k n, & in eo reuolui&ttilde; Sol: ergo quando enim perue- niet ad p. Po$$umus etiam $ine inuentione arcus ortus amplitudi- nis per triangulum k m d ex notitia g n cogno$cere eandem n b.

Cor^{m}.

Ex his duabus $equitur cõuer$a $cilicet, <09> data magnitudine diei cuiu$cũ<01> in quauis regione nota erit poli altitudo eiu$d&etilde; regionis.

Propo$itio cente$imauige$imanona.

Data altitudine $olis in quacun<01> regione quacun<01> die di$tan- tiam $olis à Meridiano cogno$cere.

Co^{m}.

Sit Horizon a b c d æquinoctij circulus b e d. Meridianus a e c Polus mundi Borealis f uertex, g, pũctus in eclyptica h ducatur ex polo

125

polo mundi circulus horarius f h k ad æquinoctij circulum, & uer- ticalis circulus p h l u$<01> ad Horizontem, & circulus parallelus æ- quinoctij circulo h m, $it ergo h l altitudo $olis nota, igitur h g nota Per 123. Propo$. erit re$iduum quart&ecedil; circuli, & $imiliter h k nota, quia declinatio puncti dati in eclypti ca e$t n nota dies, & locus $olis ex $uppo$i- to ergo nota fh re$iduũ quart&ecedil; circuli no- ta e$t etiã g e, quæ e$t &ecedil;qualis altitudini po- li ex $uppo$ito, ergo re$iduum quadrantis f g, ergo triangulus f g h notorum laterum ergo notus angulus f, ergo arcus k e di$tan Propo$. 34. lib. 4. tia $umpta in æquinoctij circulo puncti h, cui $imilis e$t arcus h m ex parallelo h m, nam quando k perueniet De Triang. Monteregij. in e h perueniet in m, & in æquali tempore, qua diui$a per quinde- cim gradus, habebimus horas di$tãti&ecedil; $olis à Meridie ante, uel po$t, & minuta horarum dando quibuslibet gradibus quatuor minuta horæ, & quibuslibet minutis graduum quatuor $ecunda horæ, & ita habebimus tempus exacti$simum à Meridie in quacun<01> regi- one, & in quacun<01> hora diei.

Propo$itio cente$imatrige$ima.

Data regionis altitudine, & loco $olis proportionem gnomo- nis tam ad umbram rectam, quam uer$am, uel etiam in cylindro de- terminare.

H&ecedil;c e$t propo$itio illa pulcherrima, quam tot ambagibus tradi- Co^{m}. dere antiqui cum $uis analematibus, & $cioteris, nec tamen demon $trationem, nec rationem exactam in$trumenortum con$tructio- nem, qua po$$emus per umbras rectas uer$as, & cylindricas $cire ad unguem, qualis hora, & minutum, & $ecundum diei e$$et quocun- que anni tempore. Pleri<01> autem tam laborio$è id conati $unt de- mon$trare, ut $tudio$os deterruerint ab opere: res autem ip$a facil- lima e$t. Propo$ita ergo Poli exacta altitudine $olis in Meridie declinatione addita uel detracta, habebis re$iduum eius ad qua- drantem f g, & $imiliter habebis ex declinatione nota loci $olis de- tracta à quadrante f h & iuxta horam tuam, & minutum multi- Per 28. li. 4. loan. de Mon teregij de Triang. plicatum per quindecim arcum k e quare angulum f, ex quo arcum g h, quare re$iduum h l, igitur punctum umbr&ecedil; rect&ecedil;, uel uer$&ecedil; ip$i- us gnomonis ad unguem, & ita con$titues horologium exacti$si- mum $ecundum ea, quæ dixi in Corrolarijs $upradictis, & quia ho- Per 123. uel 124. Propo$. rizon a b c d $ecat æquinoctialem in c&etilde;tro terræ ducta g h k, erunt anguli b h g, & k h l &ecedil;quales. Igitur po$ito g ortu puncti eclypti- cæ, erit g b ortus amplitudo nota, & ideò angulus b h g, & k h l L 3 notus,

126

Prop. 123. Corol. 1. notus, & ita extendemus per totum annum. Cum uerò fuerit g ele- uatus erit, ut demõ$tratum e$t, in circulo magno uerticali, ergo an- gulus fiet in eodem circulo, quia gnomo e$t etiam in illius $uperfi- cie. Ergo angulus erit æqualis angulo, quem faceret $ol, $i oriretur Per 127. Propo$. in puncto horizontis, quem $ecat circulus uerticalis $ub ea altitudine: $ed his e$t no- tus: nam in priore figura g h f e$t notus ea- Per 15. pri mi Elem. d&etilde; ratione, qua f, & ideò ei oppo$itus k h n, & k rectus, e$t enim f polus b d, & h k decli natio nota ergo k n, & h n notæ. At e k, & g h fuere notæ. Ergo e n, & g n, quare re$i- duæ n l & n b notæ. E$t autem angulus l rectus. ergo ortus amplitudo punctil nota $cilicet arcus l b, ergo in præ$enti figura angulus m h b, ergo k h l. igitur poterimus $tatuere angulos umbrarum, & iam po$$umus determinare magnitudinem: ergo punctum ad ungu&etilde; umbr&ecedil; qua- libet hora, & parte horæ $ingulis diebus in quacun<01> regione datæ altitudinis poli uer$a, & rects. In cylindrica autem eodem modo $i- cut in uer$a, e$t enim $pecies umbr&ecedil; uer$&ecedil;, ni$i quod analema ob ob- liquitatem cylindri melius aptatur, rotundum $cilicet cum rotũdo.

Propo$itio cente$imatrige$imaprima.

Si lineæ alicui dupla alterius adiunga&ttilde;, erit <04>portio duarum ad primã maior, quam dupli, cum prima ad primam cum una adiecta.

Sit a b linea, cui adiecta $it b c, & rur$us ad b c c d æ&qacute;ualis b c dico, quod proportio a c ad a b e$t maior, quàm a d ad a c. Propor Com. tio enim c d ad c a minor e$t, quàm ad a b per octauam quinti E- lementorum. Ergo minor d c ad c a quàm c b ad a b, quia b c & c d $unt æquales, ideò æqual&etilde; habent proportion&etilde; ad a b: igi&ttilde; coniungendo per 28. Quinti propor tio d a ad a c minor, quam c a ad a b, quod erat demon$trandum.

Per 7. quin- ti Elem.

Propo$itio cente$imatrige$ima$ecunda.

Si ad duas lineas, quarum una alteri dupla $it eadem linea adda- tur erit aggregati ex minore, & a d adiecta ad ip$am minor&etilde; minor proportio quam aggregati ex maiore, & adiecta ad ip$am maio- rem duplicata.

Com.

Sint duæ line&ecedil; a b, & c d. & $it c d dupla ad a b, ad datur cõmunis b e, & uo cetur iuncta c d, d f dico, quod proportio e a ad a b, e$t mi- nor duplicata f c ad c d, adij cia- tur d f æqualis g f, quia ergo g d e$t dupla ad f d, ideo ad e b c d autem e$t du pla ad a b, tota igitur g c

127

g c duplatoti e a. quare ut g c ad g d ut e a ad e b permutãdo, & per euer$am ut e a ad a b, ita g c ad c d, ut g c ad c d cõponitur ex g e ad f e, & f c ad c d, igitur e a ad c b componitur ex ei$dem. Proportio autem g c ad f c e$t minor, quam f c ad c d, igitur minor quàm du- plicata f c ad c d. con$tat uerò ex ei$dem, quod proportio c a ad a b maior e$t duplicata g c ad f c.

Propo$itio cente$imatrige$imatertia.

Si fuerint duæ quantitates, quarum una alteri dupla $it: minua- tur à minore quædam quãtitas eadem<01> maiori addatur, erit mino- ris ad re$iduũ maior <04>portio, quã aggregati ad maior&etilde; duplicata. Si uerò minori addatur et à maiore detrahatur, erit aggregati ad mi nore m minor proportio quàm maioris ad re$iduum duplicata.

Com.

Sit a b dupla c d, & addatur quæ- dam ad b a, qu&ecedil; $it a g, eadem detraha- tur ex c d & $it c h, dico, quod propor- tio e d ad d h maior e$t, quam duplica- ta g b ad a b, & rur$us $i quædam ad c & minuatur ex a b utpotè c f addatur c d, & a e minuatur ex a b, erit proportio f d ad c d mi- nor duplicata a b ad g e. Primũ $ic re$ecentur a n & k l æquales $in- gulæ c h, igitur a l dupla e$t e h & a b fuit dupla a d, c d igitur ut in priore con$titutioné præcedentis a b ad l b, ut c d ad h d & a b ad b l maior, quam duplicata a b ad b k ut minor quàm k b ad b l. hoc enim demon$tratum e$t in fine, igitur c d ad h d maior, quàm du- plicata a k ad k b, $ed a k ad k b maior e$t per uige$imam tertiam, hu- ius $cilicet per demon$trationem illius, quàm g b ad b a, igitur mul- to maior c d ad d h, quàm duplicata g b ad b a, quod e$t primum.

Secundum $ic per eadem, addito enim duplo f c ip$i a b ut in $ecunda figura, & $int a m, & m n erit f d ad c d, ut n a ad a b, quare cum n a ad a b $it minor duplicata per præcedentem in b ad a b, & a b ad e b $it maior, ut demon $tratum e$t in uige$ima tertia huius, quàm m b ad a b, erit f d ad d c multo minor duplicata a b ad b e, quod e$t $e- cundum.

Propo$itio cente$imatrige$imaquarta.

Si rectangula $uperficies $it cuius pars tertia quadrata $it, corpus quod ex latere quadratæ in re$iduum $uperficiei con$tat maius e$t quouis corpore ex eadem $uperficies aliter diui$a con$tituto.

Sit rectangulum a c cuius tertia pars c e $it quadrata, dico quod Co^{m}. corpus, quod cõ$tat ex e d in a b e$t maius omni corpore, quod fue rit ex latere partis $uperficiei a b in reliquam part&etilde;. Si non diuidatur uel $upra uel infra, & primo in f erit aut&etilde; <04>portio e d ad d f, ut e c ad L 4 e k,

128

e k, & f a ad a e, ut $uperficierum ip$a- rum per primam $exti Elementorum: at per præcedentem maior e$t proportio e d ad d f, quàm a f ad a e, duplicata igi- tur maior e$t proportio e d ad eam, qu&ecedil; pote$t $uper f c $uperficiem, quam f a ad a e, igitur maior, quàm a k ad a b ex pri- ma $exti Elementorum: igitur per trige $imam quartam undecimi. Parallelipe- dum ex e d in a b maius e$t parallelipedo ex ea, quæ pote$t in f c $u- perficiem in ip$am $uperficiem a k. Si uerò diui$io facta fuerit in g, con$tat ex præcedenti, quod minor e$t proportio g e ad e d, quàm $it duplicata e a ad a d a g, eam igitur minor proportio eius lineæ, quæ pote$t in g e $uperficiem ad e d quam a b ad a h, igitur paralle- lipedum ex e d in a b e$t maius parallelipedo ex ea, quæ pote$t g c in a h cum $it a b ad a h, ut dictum e$t, uelut a e ad a g.

Cor^{m}.

Manife$tum e$t autem, quòd tale corpus e$t æquale duplo cubi lateris partis tertiæ quadratæ.

Propo$itio cente$imatrige$imaquinta.

Si linea in duas partes, quarum una $it alteri dupla, diuidatur erit, quod fit ex tertia parte in quadratum re$idui parallelipedum maius omni parallelipedo, quod ex diui$ione eiu$dem lineæ crea- ri po$sit.

Co^{m}.

Sit a c dupla b c, & $it quadratum ad ip$ius a c, dico parallelipe- dum ex b c in a d maius e$$e quouis alio ex diui$ione lineæ a b $imiliter creato. Secetur primo in e, & fiat quadratum a f, erit<03> per uige$imam quintam. Huius proportio c b ad b c maior duplicata a e ad a c, quare ma- ior, quam a f ad a d per uige$imam $exti Ele mentorum, igitur per trige$imam quartam undecimi, Parallelipedum ex b c in a d maius e$t parallelipedo e b in a f, quod e$t demon$trandum. Si uerò diui$io cadat in g, fiat qua- dratum a h, et erit per uige$imamtertiam huius proportio g c ad c b minor, quam duplicata c a ad a g: igitur minor, quàm a d ad a h, igi- tur per eandem parallelipedum ex c b in a d maius e$t parallelipe- do ex g b in a h.

Cor^{m}.

Ex hoc liquet quòd parallelipedum illud erit quadruplum cu- bo minoris partis, & dimidium cubi maioris.

Propo$itio

129

Propo$itio cente$imatrige$ima$exta.

Denominationes in infinitum extendere.

Inquit Euclides, $i fuerint quotlibet quantitates ab uno in conti- Co^{m}. Lib. 9. Pro po$. 8. nua proportione, erit tertius numerus quadratus, & omnes alij $e- quentes uno intermi$$o. Tertia igitur in comparatione ad $ecun- dam etiam, quod non $it numerus, e$t quadratum: e$t enim tertia ab uno quadratum $ecundæ, quæ e$t proportio. Detracto igitur uno omnes quantitates lo co pari $unt quadratæ: ut $cias ergo cu- ius $unt quadratæ diuide per medium, & erit quadratum illius, er- go quadrage$ima erit quadratum uige$imæ, & uige$ima decimæ, & decima quintæ, & uige$ima$exta tertiæ decimæ, & ita de alijs. Iuxta hoc dicemus, quod $ecunda erit quadratũ, & quarta quadra- tum quadrati, & octaua quadratũ quadrati quadrati. Et $extadeci- ma quad quad quad quad. & ita trige$ima $ecunda quad quad quad quad quad. Quod autem quad. e$t quarta in ordine, ideo & octa- ua & duodecima & decima$exta, & $ic de alijs $unt quadrata qua- drati, & $icut quarta e$t quadratum quadrati primæ, ita octaua $e- cundæ, & duodecima tertiæ, & $extadecima quartæ, & uige$ima quintæ, & ita $emper diuidendo per quatuor.

Secunda regula dicebat ibidem Euclides, $i fuerint quotlibet Lib. 9. Pro- po$. 8. quantitates ab uno in continua proportione quartus, ab uno erit cubus $upple $ecundæ, & ita duobus $emper intermi$sis, uno igi- tur ip$o relicto quolibet loco ternario, ut tertia, $exta, nona, duode- cima $unt cubi, & cubi eius quantitatis, qu&ecedil; exit diui$o numero per tria, uelut tertia primæ, $exta $ecundæ, nona terti&ecedil;, duo decima quar tæ: & ita tertia erit cubus nona cubus cubi, & uige$ima$eptima cu- bus cubi cubi $cilicet primæ. Et trige$imanona e$t cubus ter- tiæ decimæ.

Tertia regula quarta quantitas, ut ui$um e$t: e$t quad quad. Et quinta e$t relatum primum, quia 5 e$t numerus primus, & 7 e$t re- latum $ecundum, quia e$t $ecundus numerus primus: & undecima tertium: & tertiadecima quartum: & decima$eptima quintum: & decimanona $extum: & uige$imatertia $eptimum & uige$ima quin- ta, quia e$t primus numerus præter quam ad quintam, ideò e$t rela- tum quintæ, quæ e$t relatum primum primæ, omnes ergo numeri primi $unt relata, alij omnes $unt ex natura cubi uel quadrati. Sed relata $unt inter $e omnia diuer$orum generum ni$i uige$imũ quin- tum, quod e$t relatum primum primi relati, & quadrage$imumno- num e$t relatum $ecundum relati $ecundi. Et ita cente$imum uige$i- mum primum e$t relatum tertium tertij relati, reliqua, ut dixi, me- dia inter hæc $unt $ui generis.

Quarta

130

Quarta regula propo$ita quantitate ab uno in continua propor tione, $i uis $cire cuius naturæ $it detracto uno con$idera, an po$sit diuidi per duo, e$t quadratum medietatis, & ita procedes diuiden- do u$<01> ad numerum primum, qui uel e$t 2, & erit ex genere quad quad. uel 3, & erit ex genere quadratorum cuborum, & $imiliter $i $it 9, erit ex genere quadratorum cubi cubi. Et $i proueniat alius nu merus primus, ut 5. 7. 11. 13. erit quadratum relati illius ordinis. Et $i non pote$t diuidi numerus quantitatum per 2 uide, $i po$sit diuidi per 3, tunc erit cubus illius quantitatis, & $i illa quantitas, quæ pro- uenit ex diui$ione: fuerit 3, uel potuerit diuidi per 3, erit cubus, uel cubus cubi, & ita deinceps. Si uerò $it alius numerus primus, ut 5. 7. 11. erit cubus relati. Et ita $i nõ po$sit diuidi per 2, nec per 3, erit ex genere relati. Et tunc $i po$sit diuidi per alium numerum, ut 35, erit relatum ex eo genere. Vtpotè trige$imaquinta quantitas e$t rela- tum $ecundum relati primi, $eu relatum primum relati $ecundi. Nam quoties quantitas pote$t diuidi per duos numeros, dicetur $ub utro <01> uici$sim, ut duodecima pote$t diuidi per 4 & 3, ideò di- cetur cubus quad quad. uel quad quad. cub. & per 2 & 6, & dicetur quadratum cubi quadrati, & quadratum cubicum quadrati ip$ius proportionis, ad quam omnia referri debent.

Quinta regula ex præcedenti pendet, & e$t, quod denomina- tiones, & proportiones uici$sim commutantur: uelut 256 e$t quad quad quad, & inter quad quad quad, & quad quad $unt quatuor ter mini ip$o computato, & inter quad quad, & quod ui$i duo, ergo quad quad quad continet plures proportiones, & proportiones duplicatæ non con$tituunt quad: nam 64 continet duas duplas ad 16, non tamen e$t quadratum 16, ideo oportet diligenter ani- maduertere.

Sexta regula $imiliter ex dictis pendet, & e$t, quòd gratia exem- pli relatum primum comparatum ad primum terminum e$t $exta quantitas, cum autem comparatur ad rem, iam præ$upponit pro- portionem. Exemplum relatum primum proportionis 21/20 e$t 4084101/3200000 & e$t aliquanto maior $exquiquarta, & $i colligas terminos 100. 105. 110 1/4 115 61/80 121 861/1600 127 19681/32000. Tu uides quòd $unt $ex termini in utra <01> computando primum, $ed in 21/20 $unt duo termini, & in qua- drato tres, & in quadrato quadrati per præcedentem, adduntur duo & ultimus $cilicet $extus fit ex relato ip$o. Ergo ultra propor- tionem $unt tantum quatuor termini.

Septima regula ad effugiendum omnes errores tu $cis, quòd 4096 quadratum 64 e$t $extus a 64, ad quem habet proportionem quadrati, & 64 e$t $imiliter $extus ab uno illo $cilicet non compu- tato,

131

tato, & ita 64 habet rationem unius, & licet comparetur ad 2 rem, & $it $extus ab eo, eo computato 4096 autem à 64 $it $eptimus, ta- men non e$t eadem ratio, quia 64 non e$t quadratum 2.

Propo$itio cente$imatrige$ima$eptima.

Rationem numerorum ex progre$sione declarare.

Michaël Stifelius rationem pulcherrimam tradidit ad inuentio- Co_{m}. Primæ $uæ Arith. nem numerorum, qui uo cantur multiplicandi, & componitur hoc modo. Ex prima componitur 1 & 2, faciunt 3. 1. 2. 3 faciunt 6. 1. 2. 3. 4 faciunt 10, & ita prima tabula con$tituit $ecundam recta $erie nu- merorum iunctis o- mnibus ab uno. Ter 123456781233465101061520721353582856709368412612610451202102521155165330462462126622049579292413782867151297171617161491364100120023003343215105455136530035005643564351612056018204368800811440128701713668023806188123761944824310
tia fit ex $ecunda & tertia, primò a$$umi tur 10 in tertia, ut in $ecunda, & ex 10 $e- cundæ, & 10 tertiæ fit 20, & ex 15 $ecun- dæ, & 20 tertiæ fit 35, & ex 21 $ecundæ, & 35 tertiæ fit 56, & ex 28, & 56 fit 84. Et quanta fit ex tertia, & ex $eip$a. primum a$$umendo 35 ex ter tia, & ponitur pro primo numero quartæ, & ex 35 tertiæ, & 35 quartæ fit 70 numerus $ecundæ quartæ: & ita ex 56 & 70 fit 126, & ex 84, & 126. 210. & ita quinta ex quarta & $eip$a, & $ic in infinitum.

Regula ergo e$t, quòd binarius $eruit <02> quadratæ, & quia nihil e$t in eius directo, $olus ip$e $eruiet <02> quadratæ. Ternarius autem cubicæ, & quia in eius directo e$t alter ternarius, ille etiam $eruiet <02> cubicæ. Quaternarius autem $eruiet quadrato quadrati, & $ena- rius, qui e$t in illius directo. Ergo quinarius $eruiet <02> relat&ecedil; prim&ecedil;, & duo $equentes numeri $cilicet 10 & 10, & eo dem modo $enarius numeri duo $equentes 15 & 20 $eruient cubo quadrati, & ita etiam $eptenarius cum tribus $equentibus numeris 21. 35 & 35 $eruient rel. $ecundi radici, & ita deinceps in infinitum.

Propo$itio cente$imatrige$imaoctaua.

Modos u$us horum numerorum declarare.

In quouis numero denominationis oportet tot addere o, quo- Co^{m}. tus e$t

132

tus e$t ordo, & facere tot numeros $equentes; quotus e$t ordo, & $emper minuere unam o, uelut quia quadrata <02> e$t prima ad 2 ad- demus o, & fiet 20, nec alium qu&ecedil;remus numerum. Sed quia cubi- ca e$t $ecundo loco, habebit prima nota 00, & fiet 300, & $ecundum 3 unam 0, & fiet 30, & in quadrato quadrati addemus 000 primo, & 00 $ecundo, & o tertio, & ita hab ebimus 4000. 600. 40. $ed quia in tabula non e$t 4 ultimum, addemus $imilem primo $emper. In relato primo, ergo habebimus 50000. 1000. 1000. 50. & in cubo quadrati 600000. 150000. 20000. 1500. 60. Manife$tum e$t, quòd his uice uer$a a$$ump$imus 15 & 6 $imiles prioribus addendo $em- per ut dixi o minus, donec ad unam peruenerit. Et ita in relato $e- cundo 7000000. 2100000. 350000. 35000. 2100. 70. & ita dein ceps.

Propo$itio cente$imatrige$imanona.

Radices omnes à propo$itis numeris extrahere.

Co^{m}.

Propo$itis quibu$uis numeris utpotè 916132832, uolo detrahere <02> relatam primam, primum habebo in tabula de$cripta relata pri- ma numerorum $implicium u$que ad 10 uelut in exemplo. Dein de $ub$cribam pun- ctum $ub prima nota à dextra, & quia e$t quarta in ordine hoc, $eu quinta denominatio $ecun- dum no$trum, omittam quatuor notas in- ter medias, & $ub$cribam punctum aliud, & ita facerem $i e$$ent plures quàm decem notæ: relinquitur ergo ad pũctum primum à $ini$tra 9161, cuius qu&ecedil;ro <02> relatam pri- mam in tabula, quam inuenio e$$e 6, nam 7776 eius relatum primum e$t <04>ximius ex minoribus ad 9161, detraho igitur 7776, ex numero propo$itio relinquitur. Dein de póno 6 & quadratum eius, & cub. & quadratum quadrati, quia, ut dixi, e$t quarta denominatio a- pud illum, & è regione numeros præcedentes in- uentos relati primi ex præcedenti propo$itione: & duco $ingulos cum $uis collateralibus, ut uides etiam in figura, et cum ultimo pro- ducto, $cilicet 64800000 diuido 138532832 exit 2, huius accipio o- mnes numeros ad relatum primum u$<01> ut uides, & pono minores è regione maiorum, utpotè 2 è regione 1296 & 50000, & 4 è regio- ne

133

ne 216 & 10000, & 8 è regione 36 & 10000, & 16 è regione 6, & 50, & duco 6 in 50 fit 300, duco in 16 fit 4800, duco 36 in 1000 fit 36000, duco 36 in 8 fit 288000, duco etiam 216 in 10000 & fit 2160000, & duco hos per 4 fit 86400000, duco rur$us 1296 in 50000 fit 64800000, duco in 2 fit 129600000. Demum addo 32 re- latum primum 2, & fit $umma omnium 138532832, & ita habemus radicem relatam primam dictinumeri e$$e 62. Et $i numerus produ ctus fui$$et maior oportui$$et accipere proximo minorem. Inde per regulam $equentem addere minutias.

Propo$itio cente$imaquadrage$ima.

Radices per numeros fractos determinare.

Duplex e$t modus, ut etiam docui in arithmeticis, $cilicet ut pro Com. radice quadrata addatur duo o, & pro cuba tria, & pro quadrata quadrata quatuor, & pro relata prima quinque, & ita deinceps, & pr&ecedil; decimis $emel, pro cente$imis bis, pro mille$imis ter, pro millia- ribus $eu partibus earum quater, pro cente$imis mille$imis quin- quies, pro mille$imis mille$imarum $exies, & ita deinceps deinde per præcedentem detrahere radicem, & erit ualde exacta. Exemplo non utar, ni$i quòd $i uelles radicem relatam 16 ad mille$imas, acci- cipies radicem relatam numeri à latere propo$iti, & ita de alijs 1600000, 00000, 00000, & $i uelles <02> cub. 5 1/5 per mille$imas, pri mo addes ter 000, & fiet 3000000000, inde $ume 1/5 1000000000, qui e$t 200000000, & adde ad 5000000000, fit 2500000000, & hoc quia unum refert numerum 1000000000 ex $uppo$ito & 1/5 e$t 1/5 unius.

Secundus modus e$t, ut accipias proximè maiorem, & multipli- ca in $e, & detrahe numerum propo$itum, & re$iduum diuide per duplum radicis primo inuentæ, $i fuerit quadrata, & per triplum quadrati eiu$dem $i fuerit cubica, & per quadruplum cubi, $i fuerit quadrata quadrata, & per quin cuplum quadrati quadrati, & quod exit detrahes ex priore radice, & rur$us quod relinquitur, multipli- ca in $e, & eodem modo agendo quod $upere$t à numero propo$i- to, diuide per duplum radicis prioris, $i $it radix quadrata, uel per triplum quadrati $i $it cubica, & quod exit rur$us detrahe, & ita a- gendo, peruenies ad exacti$simam radicem, exemplum uolo radi- cem quadratam 5 proxima maior e$t 3, quadratum 9, differentia 4, diuide per 6 duplum 3 exit 2/3, detrahe ex 3 fit 2 1/3, quadratum e$t 49/9 quod e$t 5 4/9, rur$us diuido 4/9 differentiam 5 4/9 & 5 per 4 2/3 duplum radicis primæ exit 2/21, detrahe ex 2 1/3, relinquitur 2 5/21, radix $atis pro- pinqua, nam eius quadratum e$t 5 4/441, in cubica $imiliter uolo <02> cu. 5, proxima maior e$t 2, cubus 8, differentia 3, diuide per triplum M quadrati

134

quadrati 2 quod e$t 12 exit 1/4 detrahe ex 2 fit 1 3/4 cuius cubus e$t 5 23/64 differentia e$t 23/64 diuide per triplum quadrati 1 3/4 quòd e$t 9 3/16 exit 23/588 detrahe ex 1 3/4 relinquũtur 1 107/147 cuius cubus e$t 5 504449/3176523 Ita diuides hunc exce$$um $i placet per triplum quadrati 1 107/147 & e$t fermè 9 exit 56050/3176523 qua$i detrahe ex 1 107/147 relinquuntur 323159/453789.

Tertius modus e$t $ubtilior, tu $cis, &qring;d duo decima denominatio e$t quadrata $ext&ecedil;, & quadrata quad, tertiæ, & cuba quarti, quarta autem e$t inter tertiã & $extam $ecunda quantitas in continua pro- portione: ergo inuenta <02> numeri propo$iti & <02> radicis inuentæ reducã ad unam denominationem, et inter numeratores collo cabo duas quantitates, quod facile erit $en$im procedendo, & habebo <02> cu. quæ$itam, $cilicet minorem ex duabus intermedijs. Et $imiliter pro relata prima, capiam $exaginta denominationes, & $cis, quòd quintadecima e$t <02> <02> $exage$im&ecedil;, & decima e$t <02> cu. <02> $exage$im&ecedil;, & duodecima <02> relata prima $exage$imæ per eandem inuenta, er- go <02> numeri propo$iti tanquam ille $it $exage$ima denominatio, inueniam illius radicis inuentæ <02> quadratam, & cubicam, & quia duodecima quantitas quæ e$t <02> relata prima numeri e$t $ecunda, quatuor intermediarum inter ponam inter <02> quadra- tum, quadratum, & cubicam quadratam quatuor numeros in continua proportione, & $ecundus ex minoribus erit <02> relata prima numeri propo$iti. Exemplum cubicæ uolo <02> cu: 5 habui <02> quadratam eius 2 5/21 $ed uolo proximiorem diuidendo 4/441 per 4, quod e$t fermè duplum 2 5/21 exit 1/441 detraho ex 2 5/21 relinquitur ualde proxima <02> 5. 2 104/441 huius igitur radix quadrata, primo inuenta e$t 1 1/2 $ecunda proximior e$t 1 41/84 reduco ad eandem denominationem fi- ent 284/9261 2 416/1764 & 1 861/1764 inter 3944, & 2625, inueniemus duos nume- ros in continua proportione, ut uides, & erit $ecunda quantitas 3006/7641, quod e$t 167/98 proximum ad 1 5/7, <02> cubica. 5. nã eius cubus e$t 5. 13/343 at exacti$sima e$t ergo 1 69/98. ut liquet. Pro relata prima ergo ponamus, ut ue- lim <02> relatam primã 25, accipio 5 <02> 25 cuius <02> e$t, ut ui$um e$t, 2 104/441 $imiliter <02> cu: 5 fuit 1 69/98 igitur reducam ad unam denominationem, & inueniam quatuor numeros in cõtinua proportione inter illos, & $ecundus po$t minimum ex illis erit <02> relata prima propinqui$- $ima 25. Quomodo uerò inueniantur facillimè illi termini, do- cui in $exto libro operis perfecti.

Quarta regula e$t utilior, licet minus uideatur nobilis, & e$t $un- data in hoc, quod $i a b $it maior c & eis ad dantur b e, & d f æqua- les dico, quod erit minor proportio a c ad c f, quam a b ad c d, & ex con$equenti per uiã fracti maior pars unius erit c fip$ius a e, quàm c d

135

c d ip$ius a f ex Euclide. Dico ergo quod maior e$t proportio a b ad c d, quàm a e ad e f, fiat d g ad quam $it b c ut 8. Propo$. quinti Elem. Per 18. quinti Elem. a b ad c d, erit<01> a e ad c g ut a b ad c d, minor au- tem e$t a e ad c f, quam ad c g, igitur minor a e ad c f quàm a b ad c d quod fuit propo$itum. Simili ter $i fuerint duæ quantitates, a b & c d, quarum a b $it maiore, c d autem eadem e minor, dico, quòd dimidium aggregati a b & c d maiorem habebit proportionem ad e, quàm c d & minor, nam iun- cta b f æquali d e ad a b, ita ut f g $it dimidium totius a f, qùia ergo f g e$t dimidium f a & fb e$t minor dimidio Per 11. quinti Elem. amplificatã. f a cum $it minor b a, & $imiliter f g e$t mi- nor a b, quia a b e$t maior dimidio a f, quia e$t maior b f, ergo proportio g f ad c e$t ma ior quam b f ad e, ita quam c d ad e, & mi- Per 8. quin- ti Elem. nor quàm a b ad e, quod fuit propo$itum. Quo ui$o uolo <02> 1000 quadratam, & quòd de quadrata dico, dico etiam de alijs radici- bus & erit ex $ecunda regula harum 31 39/62 & quadratum erit 1000 1521/3844. Iuxta ergo primam partem regulæ 31 38/61 erit minus, & in ueritate in eo, quod fit ducendo, ut uides, & hoc e$t pro- ximum ad 1<*>/160, multiplico igitur duplum 31 39/62, quod e$t fermè 63 1/4 in 1/160 fient 63/160 detrahe ex 1521/3844 hoc modo, diuide 3844 per 160 exit 24 <*>/40 diuide 1521 per 24, exit 63 3/8, habes igitur quod 1521/3844 $unt 63/160, igitur detracto 63/160 ex 63/160 nihil relinquitur, & erit <02> exa- cta ualde 1000 hoc 31 38/61 cuius quadratum 1000 41/3421 uides breuita tem, & propinquitatem in producto differentia e$t 1/100 aut parum maius quod ad radicem comparatum cum debeat diuidi per du- plum eius erit paulo maius 1/6300. Vnde facilior e$t, & breuior hæc uia quàm per 00 ad ditus. Rur$us uolo aliquid adi&mtilde;ere & cum pro pinquitate ita facio. Con$idero quòd 31 38/61 e$t maius 1/6300 radice, di- uido 6300 per 62 exit 103 fermè, ne<01> enim curo in hoc fractiones, multiplico ergo 103 in 38/61 & habeo 3914/6283 hic denominator e$t proxi- mus 6300, aufero ergo 1 ex 3914, habebo ualde proximam <02> 1000, 31 3913/6283 cuius quadratum e$t 1000 minus 1/1048 hoc ut dixi diui$um per duplum <02> quod e$t 63 e$t omnino in$en$ile in radice.

Quinta regula e$t omnium pulcherrima, & e$t communis omni bus & fractis & integris & omnibus generibus radicum, & $it ex- emplum, uolo <02> radicis $upra$criptæ $cilicet 31 3913/6283 multiplico 31 in 6283, & fit 194793, cui addo 3913, fit 198686 manife$tum e$t igi- tur, quod 198686/6283 æquiualet 31 3913/6283 hoc facto, quod e$t commune om- M 2 nibus

136

nibus radicibus extrahendis pro radice quadrata, multiplicabo nù meratorem, qui e$t 194686 per denominatorem, qui e$t 6283, & $i uoluero radicem cubicam, multiplicabo eundem numeratorem per quadratum denominatoris, & $i uoluero radicem radicis, mul- tiplicabo per cubum, multiplicabo per quadratum quadratum 6283, & ita de alijs una diminutione minore, & eius qui prouenit numeri <02> $uprapo$ita denominatori erit <02> eiu$modi, quam $u$ce- pi$ti, uelut in exemplo fuit numerus 198686/6283 quia ergo uolo <02> quad. multiplico 198686 in 6283, & fit 1248344138, huius accipio <02> quad. quæ e$t 35332, hæc autem e$t diuidenda per 6283, & exeunt 5 3917/12566, ecce uides radicem exactam admodum, & facilem. Volo rur- $us <02> quadrat. 5 3917/12566, multiplico 12566 per 5 & fit 62830, cui addo 3917, & fit 66747, cui $uppono 12566 denominatorem, fient ergo 66747/12566, manife$tum e$t igitur quòd hoc æquiualet 5 3917/12566, $i igitur mul tiplicarem denominatorem per denominatorem & numeratorem, quod proueniret, e$$et æquale eidem numero, ergo <02> eius e$$et ea- dem cum <02> prioris, $ed <02> denominatoris e$$et prior numerus, er- go $ufficiet extrahere <02> producti ex denominatore in numerato- rem, & ita productum erit ex denominatore in numeratorem 838742802, cuius <02> e$t 28961, hæc igitur diui$a per 12566 o$ten- dit <02> 2 3892/12566. In hac autem quadrata e$t alius modus $ine multiplica- tione, $ed non e$t communis alijs, ubi $tatueris denominatorem pro denominatore <02>, utpote 12566, & numeratorem 66747, con- $titues medium $en$im augendo.

Rur$us uolo <02> relatam 2 3829/12566 reduco ad denominatorem, & fit ut prius 28961/12566, duco igitur 12566 ad quad. quad. $ed $ufficiet in hoc ca$u deducere ad minores denominationes, utpotè diuide 28961 per 12566 exit 2 3829/12566 multiplico per 566 fit 1104 5862/12566, hoc detrahe ex 28961 habebis 27856/12000, diuide igitur per 1000 habebis 12 & 27 107/125 at 108/126 $unt 6/7, igitur habes 12 pro denominatore, & 27 6/7 pro nume- ratore, quare erunt numeri 195/84, erit ergo per hanc regulam, ut ducas 84 ad quad. quadrati, & fit 49787136, duc in 195 fit 9708491520, cuius <02> relata prima e$t 99, igitur <02> relata prima 2 3829/12566 e$t 1 15/84 pau- lo maior, id e$t 1 13/70. Et nota quod $i denominator haberet <02> illius generis, quam quæris, $ufficeret inuenire radicem eiu$dem generis ab$<01> alia numerorum multiplicatione.

Propo$itio cente$imaquadrage$imaprima. (deducere.

Numeros fractos ad minores in ead&etilde; <04>portione ualde <04>pinqua

Cum plerun<01> numeri fracti hab cantur per radices, ut aliquan- Co_{m}. do maiores $int, aut minores eo fit, ut po$sint reduci ad mino- res numeros, ut melius intelligi po$sint & facilius tractari, & cum

137

cum hoc $it exactior illa pars exemplum, ergo habeo 2 3829/12566, quem uolo certa ratione ad minores diui$iones deducere. Deduco pri- mò totum ad fractiones ducendo 2 in 12566, & addendo 3829, & fit 26961/12566, multiplico 12566 per 9, quia proportio unius ad alterum e$t fermè, ut 9 ad 4, & fit 113094, multiplico 4 in 28961 fit 115844, hoc igitur e$t maius, igitur proportio 28961 ad 12566 e$t maior quàm 9 ad 4, detraho igitur 12566 ex 28961, relinquitur 16395, de- traho 113094 ex 115844, relinquitur 2750, diuido 2750 per 16395 exit 55/328 addo 2 denominatori fit 55/330, quod e$t 1/6, nami$tæ additiones paruæ præter quòd parum uariant quantitatem etiam dum ad ex- amen reducuntur, nihil impediunt, detrahe igitur 1/6 à 9/4, & ducendo per 6, & detrahendo 53/23, duco igitur primos numeros $cilicet 28961/12566 mutuo in 53/23, fiunt 665998, & 666107, ita uides, quod proportio 53 ad 23 e$t paulo minor, quàm 28961 ad 12566, & æquiualent 27/2<*> & 2 3829/12566.

Propo$itio cente$imaquadrage$ima$ecunda.

Denominationum incrementa ex extrema cognita inuenire, & conuer$o modo.

Quidã per u$uram rediuiuã fecit 40000 coronatos ex 40 in 40 Co^{m}. annis. Qu&ecedil;ro qutãa fuerit u$ura, & quãdo habuit 1000 coronatos, quidã uellent $oluere per regulam trium quantitatum, in qua com- mitterentur maximi errores. Et in ea multi $unt modi, & omnes fal- $i præter hanc uiam nulla e$t uera, adde quòd uellent multi per $or- tem inuentam $oluere augendo per $ingulos annos, quod adeò difficile e$$et, & penè foret impo$sibile. Ideò diuides 40000 per 40 numerum $ortis exit 1000, igitur in 40 annis unum fit mille, $unt ergo 40 denominationes ab uno, quarum quadrage$ima e$t 1000, igitur uige$ima e$t <02> 1000 |$cilicet |31 3913/6283, igitur decima e$t <02> eius Per 136. Propo$. 5 3917/12566 huius radix, erit quinta quantitas 2 7/23, cuius <02> relata prima, AnniAurei11 13/7021 67/16552 7/2362 118/16173 14/61105 3917/125662031 38/61401000
erit proportio 1 13/70, cuius quadratum e$t 1 1889/4900 $eu 1 67/165 pro $ecunda quantitate, duces ergo primam, quæ e$t 83/70 in quintam, quæ e$t reducta ad mino- res fractiones facilitatis cau$a 53/23, & habebis $ex- tam quantitatem 2 118/161, duco etiam quintam quan- titatem $cilicet 53/23 in $ecundam quæ e$t 232/165, & fit $e- ptimi anni quantitas, duco igitur $eptem anno- rum numerum, qui e$t 3 14/61 in 31 38/61 fit 102 992/6283. At in $ex annis additis ad uiginti, fit tanto minus, quan- to 31 38/61 ductum in differentiam $eptem, & $ex an- norum quæ e$t 60/121, fit ergo 15 35/492. Quia ergo an- M 3 nuatim

138

nuatim $olum u$ura adij citur $orti, $ufficiet diuidere 2 992/6283 per 15 35/492 $cilicet multiplicando per 12 numerum men$ium 2 992/6283 fit 25 5621/6283 di- uide 25 5621/6283 per 15 35/492, exit men$is unus, & dies 21, detrahe ex 27 an- nis, remanent anni 26, men$es 10, dies 9, in quo tempore habuit 4000 aureos coronatos. V$ura autem fuit ut ui$um 13/70, igitur per re- gulam trium duc 13 in 100 fit 1300, diuide 1300 per 70 exit 18 4/7<*> & tanta fuit pro centum. Et cum computaueris in tribus annis, acqui- rit modico plus be$$e eius, quod habet. Et ita in 13 annis, & parua illa parte perueniet ad decuplum eius, quod habet, $cilicet 4000 au reorum, & habebit aureos 40000, ut propo$itum e$t.

SCHOLIVM.

In propo$ita proportione numero <03> terminorum rediuiuam u- $uram inuenire.

Sit gratia exempli, in $ex annis u$ura rediuiua uige$imæ, erit- qúe proportio 21/20, cuius numeratorem $exies ducam in $e primum bis fit 441: ergo ducto 441 in $e fit qúe 194481 ductum in 441 fit 85766121 $exies ductum 21, quinquies autem ducam 20 deno- minatorem in $e fit bis 400, ter 8000, quinquies ergo 3200000, diuide nume- ratorem per denominatorem abiectis quin<01> notis erit 26 2566121/3200000. Quæ propor tio e$t proxima 26 4/5 ad 20, & ita ut 134 ad 100. Et $i pigeret tædij autlaboris po$$es pro xij annis, ducere 134 in $e, & fit 17956 diuide per 100 eadem ratione, exit 179 14/25 & ita 100 in xij annis, fit tantundem. Et ita pro xviij & xx annis.

Propo$itio cente$imaquadrage$imatertia.

Si linea in duas partes diuidatur, corpora, quæ fiunt ex una par- te in alterius quadratum mutuò æqualia $unt corpori, quod fit ex tota linea in $uperficiem unius partis in alteram.

Co^{m}.

Sit a c diui$a in a b, b c quadratum a b $it a d, quadratũ b c, $it b e parallelogrammũ ex a b in b e, a f dico quòd corpora ex a b in b e, & b c in a d æqualia $unt corpori ex a c in a f. Quia enim corpus ex a c in a f con$tat ex a b in a f, & b c in a f, per primam $ecun- Id e$t per eius demon- $trationem. Per 29. un decimi Elem. di Elementorum. corpus autem ex a b in a f e$t æquale corpori ex b c in a d, & corpus ex b c in a f e$t æquale corpori ex a b in b c igitur con$tat propo$itum.

Propo-

139

Propo$itio cente$imaquadrage$imaquarta.

Duplum cubi medietatis maius e$t aggregato corporum mutu- orum cuiuslibet diui$ionis, quantum e$t, quod fit ex tota in quadra tum differentiæ.

Co<*>

Sit a b diui$a per æqualia in c, & per inæqua- lia in d, dico, quòd duplum cubi a c e$t maius ag gregato corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadratum a cin eo quod fit ex a b in quadratum c d, nam per præcedent&etilde; du- plum cubi a c e$t æquale corpori ex a b in quadratum a c: aggrega- tum quo que corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadra- tum a d e$t &ecedil;quale ei, quod fit ex a b in rectangulũ ex a d in d b. qua- dratũ aut&etilde; a c e$t maius rectangulo a d in d b quadrato c d differen tiæ, igitur duplum cubi a c excedit aggregatum corporũ mutuorũ in corpore ex a b in quadratum c d differenti&ecedil;, quod e$t propo$itũ.

Per 5. $ecun di Element.

Propo$itio cente$imaquadrage$imaquinta.

Si line a in duas partes diuidatur quadrata ambarum partium detracto eo quod fit ex una partein alteram, &ecedil;qualia $unt producto unius in alteram cum quadrato differentiæ.

Co^{m}.

Sit linea a c diui$a in b, & $it differentia a b, b c, b d, dico quod quadrata a b & b c detracto eo quod fit ex a b in b c, æqualia $unt producto a b in b c cum qua- drato b d. Quoniam. n. quadrata a b, b c æqualia quadratis a d d b b c & productis ex a d in d b bis & quod fit ex a b in b c æquale e$t ei quod fit ex a d in $e cum eo quod fit ex a d in d b, quia a d e$t &ecedil;qua Per 4. $ecun di Elem. lis b cideo quadrata a b & b c detracto eo quod fit ex a b in b c $unt æqualia quadratis a d d b, & producto a d in d b $emel: a c quadra- Per 1. $ecun di Elem. tum a d cum producto a d in d b e$t æquale producto a b in a d, & ex con$equenti in b c, igitur re$iduum quadratorum a b & b c de- tracto producti a b in b c e$t æquale a b in b c cum quadrato b d quod fuit propo$itum.

Propo$itio cente$imaquadrage$ima$exta.

Corpus quod fit ex linea diui$a in $uperficiem &ecedil;qual em quadra- tis ambarum partium detracta $uperficie unius pa<*>tis in alterã, e$t æquale aggregato cuborum ambarũ partiũ.

Sic a b diui$a in e quadrata partium e f & Com. b d detrahatur ex e f, f g æqualis a d, dico cor pus ex a b in $uperficies b d, d g æquale e$- $e cubis a c & c b pariter acceptis, quia. n. ex a b in b d fiunt duo corpora cubus b d & corpus ex a d in quadratum d b hoc autem e$t æquale corpori ex b cin a d quia M 4 fiunt

140

fíunt ex æqualibus lineis: at corpus quod fit ex a b in d g æquale e$t corporibus quæ fiunt ex a c, c b in $uperficiem d g at cubus a c con- tinet duo corpora qu&ecedil; fiunt & a c in d g & g f, igitur cubus a c $upe- rat productum ex a b in d g in producto ex a c in f g & $uperatur ab eo in producto ex b c in d g, $uperabatur etiam, ut ui$um e$t, cubus b c à producto b a in d b in producto b cin c f, igitur cubi a c c b $u- perantur à producto a b in ad in producto b cinc f & in d g, quare in producto b c in f e: $i quidem f e & f g $unt æqualia ex $uppo$ito $uperant autem in producto ex c b in e f, igitur tantum e$t in in quo $uperantur quantum e$t id in quo $uperant: ergo $unt æqualia.

Propo$itio cente$imaquadrage$ima$eptima.

Propo$ita linea diui$a duas ei lineas adijcere, ut proportio addita- rum $ingularum & partium $imul iunctarum ad additas $it mutua.

Co^{m}.

Sit linea a b diui$a in c uolo eius partibus addere lineas, ut propo$i- Per 13. $ex ti Elem. tum e$t, $tatuo mediam c d inter a e & Per 11. $ex ti Element. c b quæ $it c d, & facio ut c d ad c a ita c a ad a e, & ut d c ad c b ita c b ad b f, quia ergo d e media e$t inter Per 11. quinti Elem. a c & c b, & ut ea ad a cita d c a c b ad c f erunt omnes in continua Per 18. quinti Elem. proportione, quare proportio e c ad c a ut c f ad b f & e c ad ea ut c f ad c b quod e$t propo$itum.

Propo$itio cen te$ima quadra ge$imaoctaua.

Propo$itis tribus lineis primam $ic diuidere, ut adiectis duabus alijs lineis $ecundum rationem mutuam $ingularum $ingulis ag- gregatum ex una adiectarum & parte ad aggregatum ex alia parte & adiecta $e habeat, ut $ecunda ad tertiam.

Com.

Sit a, b, c, d, propo$itæ line&ecedil;, uolo diuidere a b ita in e ut $umpta $ecundum proportio- nem alicuius quantitatis, puta g ad a e $ic b f ad e b & ut g ad e b $ic g a ad a e ut $it propor- tio g e ad e f ut c ad d. Sint ergo omnia cõ$tituta & $it g rectan- gulum ex a e in e b, cum ergo g a contineat a e ut g continet e b, g autem continet e b $ecundum a e, igitur g a continet a e $ecundum a c, ergo ex diffinitione qua- Per 1. $ecuu di Element. drati a g e$t quadratum a e. Pari ratione b f e$t quadratum b e. pro- portio igitur g e ad e f cum $it ut c ad e ex $uppo$ito erit ut ip$i pro- portioni addamus, & detrahamus ex duplo a b & dimidium re$i- dui ducamus in $e, & addamus aggregato quadrati a b cum ip$a a b,

141

a b, & latus eius detracto dimidio re$idui erit b clinea, quare diui- $io nota, & e$t ut dicamusu: olo diuidere datam lineam, ut quantita- tes adiectæ $ub mutua proportione ad unam tertiam cum parti- bus obtineantinter $e proportionem datam.

Propo$itio cente$imaquadrage$imanona.

Datam lineam $ic diuidere, ut proportio quadratorum ad du- plum unius partis in alteram $it, ut line&ecedil; datæ ad lineam datam.

Sit data a b quam uolo diuidere, ut proponitur $ub proportio- Co^{m}. ne c d ad e, diuido a b bifariam in f, & ab$cindo g d æqualem d e, & inter c g re$iduũ & c e inter- pono <04>portione, & ut h ad c g ita a f medietatis a b ad fk. Omnia i$ta $unt noti$sima ex primo & $exto Elemento- rũ Euclidis. Si ergo ab$cindantur fk ex fa, dico quod proportio quadratorum l k & k a ad du- plum rectanguli a k in k b e$t ut c d ad d e. Quia. n. c e ad c g dupli- cata e$t ei qu&ecedil; e$t h ad c g, duplicata e$t etiã ei quæ e$t f a ad fk, qua- re ut quadrati a f ad fk, ita c e ad c g, igitur di$iungendo c g ad g e ut re$idui quadrati k f ad re$iduum quadrati a f, quare c g ad g d ut quadrati k f ad dimidium re$idui quadrati a f, igitur coniunctim c d ad d g ut quadrati k f & dimidij re$idui quadrati a f ad ip$um dimi- dium re$idui. At uerò cum g d $it æqualis d e, erit c d ad d e ut qua- drati k f cum dimidio re$idui $æpius dicti ad ip$um dimidium re$i- dui. Igitur etiam ut dupli quadrati k f cum re$iduo ad re$iduũ, $unt enim omnia duplicata. At duplũ quadrati k f cũ re$iduo e$t æqua- le quadratis a f & f k, igitur quadratorum a f & f k ad differentiam eo rum proportio e$t ut c d ad d e, igitur dupli quadratorum a f & f k ad duplum differentiæ quadratorum a f & fk ut c d ad d e. Ve- Per 9. $ecun di Elem. rum duplum quadratorum a f & f k æquatur quadratis b k & k a. Per 5. $ecun di Elem. Et duplum differentiæ quadratorum a f & fk e$t &ecedil;quale duplo pro ducti b k in k a, igitur proportio quadratorum k b & k a ad duplũ producti k b in k a e$t ueluti c d ad d e, quod e$t propo$itum.

Propo$itio cente$imaquinquage$ima.

Propo$itis duabus lineis lineã communem utri<01> adiungere, ut $it maioris ad additam pro- portio, uelut quadratorum minoris & adiectæ ad duplum unius in alteram.

Hæc e$t qua$i conuer$a præced&etilde;tis. Sit a ma- Com. ior, & b c minor, & fiat b d dupla b c, $uper quã erigatur b f æqualis a; & $it rectangulum d f & de$cribatur quadratum b c quod $it b g re$idu&ecedil; $uperficiei ad d f latus $it h, dico h e$$e lineam quæ$itam. Superficies enm

142

enim d f cum fiat ex a in duplum b c, dupla erit $uperficiei a in b c, $u perficies f d, tota æquatur quadratis h & b c, igitur quadrata h & b c dupla $unt $uperficiei a in b c, quod uerò fit ex a in duplum b c $e habet ad id quod fit ex h in duplum b c, ut a ad h, cum per eandem lineam ducantur, igitur quod fit ex a in duplum b c, & $unt quadra- ta h & b c, $e habent ad duplum h in b c, ut a ad h, quod fuit de- mon$trandum.

Propo$itio cente$imaquinquage$imaprima.

Proportio differentiæ quadratorum partium, cuiu$uis lineæ ad quadratum differentiæ illarũ e$t uelut to tius line&ecedil; ad differentiam.

Co^{m}.

Sit a b diui$a in puncto c, & fiat c d æqualis c b, manife$tum e$t quod differentia partium e$t a d, dico proportionem differentiæ quadra torum a c & c b ad quadratum a d differentiæ partium e$$e ut a b ad Per 4. $ecun di Elem. a d. Quoniam differentia quadratorum a c & c b e$t, quod fit ex a d in d c bis cum quadrato a d, & ideò quod fit ex a d in d b cum qua- drato a d, & ideò quod fit ex tota a b in a d. Igitur differentia qua- Per 3. $ecun di Elem. drato a c & c b e$t quod fit ex a b in a d, quare cum quadratum a d fiat ex a d in a d, erit proportio a b ad a d, uelut differentiæ quadra- Per 1. $exti Elem. torum a c & b c ad quadratum a d differentiæ partium. Quod fuit propo$itum.

Propo$itio cente$imaquinquage$ima$ecunda.

Si linea in duas partes æquales duas <03> in æquales diuidatur, fue- rit<03> proportio aggregati ex maiore & dimidio ad ip$am maiorem uelut ex minore, & aliqua linea ad ip$am minorem, & rur$us aggre- gati ex minore dimidio ad ip$am minorem, uelut aggregati ex ma- iore & alia addita ad ip$am maiorem, erit proportio dimidij'ad par tem unam inæqualem, uelut alterius partis inæqualis ad $uam ad- ditam mutuò, & etiam proportio ad ditarum inuicem, uelut pro- portio partium inæqualium duplicata, & rur$us ip$um dimidium lineæ a$$umptæ medium erit proportione inter additas. Demum proportio dimidij cum ad dita maiore ad dimidium cum addita mi nore, uelut maioris partis ad minorem.

Co^{m}.

Sit propo$ita a b diui$a per æqualia in c per inæqualia in d, & $it ut addantur a g & b f, ita ut proportio c a, & a d ad a d $it ueluti f d ad d b, & c b & b d ad b d, uelut g d ad d a, & hæc e$t quarta $ecũdi Archimedis de $ph&ecedil;ra, & Cylindro: quia ergo a c & a d ad a d, ut f d ad d b erit a c ad a d, fb ad b d. Et $imiliter quia e$t c b & b d ad b d, uelut g d ad d a erit c b ad

143

c b ad b d, uelut g a ad a d, & hoc e$t primum. Quia ergo c a e$t æ- qualis c b, erit c a ad b d, uelut g a ad a d, & iam fuit a d ad c a, ut b d ad f b, per conuer$am igitur a d ad b d, ut g a ad a d, & ut b d ad fb, interpo$itis ergo a d & d b inter a g & b f cum compo$ita $it pro- portio a g ad b f ex proportione a g ad a d, & ad d b, & d b ad b f, & proportio a d ad d b, $it æqualis proportioni a g ad a d, & d b ad b f, igitur proportio a g ad b f. Per de- mon$trata ab Alchindo e$t duplicata proportioni a d ad d b quod e$t $ecundum. Rur$us quia ex primo demon- $trato, uel eius conuer$o proportio a d ad a c e$t uelut b d ad b f, & d b ad a c, ut a d ad a g, proportiones ergo a d & d b ad a c componunt proportionem produ- ducti a d in d b, quod $it h ad quadratum a c quod $it k, & $imiliter proportio b d ad b f & a d ad a g com- ponunt proportionem producti ex b d in a d, quod $itl ad productum b f in a g, quod $it m, per demon$trata ab Eucli- de in $exto Elementorum, igitur proportio h ad k ut l ad m, $ed h & In Prop. 23 Propo$. 9. l $unt æquales, quia producuntur ex ei$dem, igitur per demon$tra- ta in quinto Elementorum Euclidis, k e$t æquale m, ergo a c e$t me- dia pro portione inter b f & g a, quod e$t tertium. Quia uerò ex pri- mo demon$trato e$t fb ad b d, ut a c ad a d, & c b ad idem b d, ut g a ad idem a d erit coniungendo fb & b c ad b d, ut coniun- gendo g a & a c ad a d, $ed fb & b c componunt f c & g a, & a c componunt g c, igitur ut f c ad b d, ita g c ad a d, er- go permutando g c ad f c, ut a d ad b d, quod e$t quartum.

Cum ergo punctum d fuerit datum, licet inuenire a g & b f, faci- lè, ut Archimedes præ$up ponit proportionem g d ad d f datam & quærit eam, quæ e$t a d ad d b, & peruenitur ad res numero triplo quadrati dimidij lineæ a$$umptæ æquales cubo & numero, qui $it ex duplo cubi dimidij in 1 m: ip$a proportione, & quod produci- tur diui$o per 1 p: ip$a proportione. Veluti po$ita a b 10, & propor- tione quam uolo g d ad d f $excupla, duco 5 dimidium 10 in $e fit 25, & triplico, fit 75 numerus rerum. Inde duco 5 idem dimidium ad cubum fit 125, duplico fit 250, duco in 5, qui e$t 1 m: proportione fit 1250, diuido per 7, qui e$t 1 p: proportione exit 178 4/7 numerus, qui cum cubo æquatur 75 rebus. Cum ergo con$tituta fuerit diui$io in c, non recipit proportionem g d ad f d quam uolueris, $ed $equitur una $ola ad illã, & e$t mirabile, quoniam line&ecedil; uidentur $umi liberè. Sed non e$t ita. Et etiã quia Archimedes uide&ttilde; a$$umere aliã lineam, $ed non inue $tigat eam, imò o$tendit eam ex a$$umptis. At Euto ci- us o$ten dit ambas, unã ex propria inuentione, aliam ex Diocle, $ed una

144

una e$t $uperflua, quia ut dixi, una $e quitur ad aliam. Ex hoc pa- tet cur Dio cles a$$ump$erit lineam unam, quæ e$t a c, quæ $e ha- bet ad a d, & d b, ut uici$sim a d, & d b ad additas, quod e$t pri- mum demon$tratum. Sic enim omittit primum quod proponit Ar chimedes, & a$$umit quod proximum e$t: & ideò Archimedes non pro bat, nec præ$upponit, quod à Diocle probatur, $cilicet datum e$$e punctum d in linea a b, $ed $olum in linea g f, ideò cogitur pro- bare $ecundum quod demon$tratur ab Eutocio, & à nobis demon $tratum e$t $uprà. Archimedes aũt a$$umit lineã extra circulum, quã uo cat b f, quæ e$t æqualis b c medietati: aliam a$$umit quam uocat b h, cuius proportio ad b d e$t $icut quadrati ad a d quadratum a b. Con$tat ergo quod proportio g d ad d f e$t data. Et $imiliter f g ad g d, & e$t 1 præ proportione data. Vnde notandum quod datum dicitur, $impliciter cognitum alio modo, dicitur datum po$itione, quod e$t certum & tale, uelut $i quis dicat, diuide 10 in duos nume- ros quadratos: hoc non e$t datum, pote$t enim diuidi pluribus mo dis. At $i dicas ut una pars $it alterius quadratũ, i$tud antequàm $ci untur partes, dicitur datum po$itione. Ergo datum po$itione e$t du plex, uel ut ratio nota $it, non autem quantitas, ut $i dicam a b e$t du pla ad b c, utra <01> dicitur nota po$itione, quo- niam ne$cio quanta $it a b. Vel $i quantitas e$t nota proportio ignota $it, ut $i a c $it 10, & $it, ut b c $it <02> relata, a b erit punctus b, & proportio a b ad b c data po $itione, non tamen nota. Et $i dicas igitur omnia, quæ habent deter minationem erunt data po$itione? Dico quod non, quia oportet, ut illa determinatio comprehendatur $ub una ratione, ea<03> $altem generaliter co gnita.

Propo$itio cente$imaquinquage$imatertia.

Vim quan cun <01> manus multiplicare.

Co^{m}.

Cum enim radimus aut trahimus manife$tum e$t, Per 37. quod ambabus manibus uis conduplicatur, & ma- ior redditur, quanta e$t proportio totius ad exce$- $um: uelut $it a quod mouetur ab una manu uiribus ut b, quæ $unt exce$$us b d $upra a, cum ergo propor tio c b d ad a $it compo$ita ex proportionibus c & b d ad a manife$tum e$t, quod erit producta ex pro- portione c b d ad b d, & b d ad a, $ed e b d e$t dupla ad b d, quia e e$t æqualis, cigitur proportio c b d ad Per 2. a e$t maior multo quàm duorum exce$$uum, qui mo uerent in proportione dupla: uelut $i adderemus f ad d b

145

ad d b æqualem b, multo maior e$t ex communi animi $ententia e f b d quã f b d, quia e continet f, & quantum e$t d in$uper: cum ergo b cum d moueat a in proportione b d ad a & f cum d mouebit a in proportione eadem qua b d, ergo per uiam additionis duplo ue- locius, quàm dupla proportione, uerùm dupla comparatione ad proportionem b d ad a, non autem duplicata $ed dupla, ut dixi, qu&ecedil; erit maior quàm dupla per addition&etilde; exce$$us. Ergo $i addatur al- ter homo, erit dupla ad illam duplam, ueluti addendo æqualem d b f e, adeò ut $i proportio d b f e e$$et quintupla, mouerent illi duo in proportione decupla. Sed annexo baculo aut lima aut $erra annu- lo h, ita ut circunuolui po$sit h æquabit uires non $olum d b f e $ed multorum hominum. igitur multo plus aget homo ambabus ma- nibus radendo aut $ecando cum g, quàm quadrupla proportione unius manus, & hocincrementum e$t non $olum magnæ utilitatis, $ed ualde accõmodatum in actionibus artificum operum grauiorum. Et huiu$modi conduplicatio e$t ratio limæ quam $urdam uocamus.

Propo$itio cente$imaquadrage$imaquarta.

Si line&ecedil; dat&ecedil; alia linea adiungatur, ab extremitatibus autem pri- oris line&ecedil; duæ rectæ in unum punctum con currant proportionem habentes quam media inter totam & adiectam, ad adiectam erit punctus concur$us à puncto extremo lineæ adiectæ di$tans per li- neam mediam. Quòd $i ab extremo alicuius lineæ æqualis mediæ $eu peripheria circuli cuius $emidiameter $it media linea duæ lineæ ad prædicta puncta producantur, ip$&ecedil; erunt in proportione medi&ecedil; ad adiectam.

Com.

H&ecedil;c propo$itio e$t admirabilis: & etiam de$crip$i, ut multa $ecre- ta Dialecticæ potius aperiren&ttilde; quam quod huic propo$ito multũ congrueret. Ideò potius $cholij cau$a po$ita e$t quam ip$ius tracta- tionis: ut modũ demon$trandi magis quam id, &qring;d demon$tra&ttilde;, re- $picere oporteat. Con$titua&ttilde; ergo (per uiam problematis) linea a b & proportio c ad d, & fiat d e ad c, ut c ad d, & a b ad e ut b f ad d, & ut g ad c, erit<03> g media inter a f & f b, quod licet $olum $upponatur ab Appollonio, tam&etilde; facilè demon$tratur & à Commandino adie- cta e$t demõ $tratio. Concurrant ergo ex a & b du&ecedil; line&ecedil; in aliquod Per 29. pri mi, & 4. $ex ti Elem. punctum, putat h ut $it a h ad h b uelut c ad d, dico quod $i ducat h f quod ip$a erit æqualis g, ducatur b l æquidi$tans a h, & quia Per 22. quinti Elem. ex $uppo$ito a h ad h b, ut g ad b f, erit b h ad h a, ut b f ad g, & quia trianguli a h f & b l f $unt $imiles erit proportio a h ad b l, ueluti a f Per 11. quin ti Element. ad fb, igitur per &ecedil;quam proportionem b e h ad b l, ut a f ad g, $ed ut Per 6. $exti Elem. a f ad g ita g ad b f ex $uppo$ito: & ut a f ad g, it a h a ad h b, ex $uppo N $ito

146

$ito igitur ut a h ad h b ita h b ad b l, $ed angulus a h b e$t æqualis angulo h b l, ergo triangulus a h b e$t $imilis triangulo h b l, quare angulus b h l e$t &ecedil;qualis angulo h a f, igitur du orum triangulorum f a h, & fb h duo Per 32. pri mi, & 4. $ex ti Element. anguli unius a & f $unt æquales duo- bus angulis, alterius igitur propor- tio a f ad fh re$picientium angulos &ecedil;- Per 11. quinti Elem. quales ut a h ad h b re$picientium an- Per 7. quin- ti Elem. gulum f, $ed a h ad h b ut c ad d, ex $up po$ito igitur a f ad f h, ut c ad d, $ed ut c ad d ita a f ad g, ex $uppo$ito ergo h f e$t æqualis g.

Cor^{m}. 1.

Cum ergo h&ecedil;c demon$tratio $it ex $en$u in uno puncto h, ideò ad quælibet puncta traduci pote$t, quæ potero imaginari, & ita pri- ma uo cabitur $en$us, $ecũda imaginandi: Et quoniã in demon$tran- do non a$$umimus aliquid, quod $it proprium alicui puncto, ni$i proportionem h a ad h b $imilem e$$e c ad d, ideo hoc pertinet ad intellectum, & e$t tertium. Etidem dico $i k e$$et ultra h quod po- te$t contingere. modò k a ad k b $it ut c ad d & k f $it &ecedil;qualis g idem $equetur, & comprehenditur $ub tertio & pertinet ad intellectum, & quoniam demon$tratur quod punctum k ubicun <01> $umatur, e$t in &ecedil;quali di$tãtia à puncto f$cilicet per g lineam, erit $emper in peri- pheria circuli, & hoc pote$t e$$e in infinitis locis $impliciter & extra infinitum nihil e$t, igitur $ub hoc continetur conuer$um $cilicet, quod a quolibet puncto circuli ductis lineis ad a & b ip$&ecedil; erunt in <04>portione c ad d. Et ita ab$<01> principijs Geometricis concluditur <04>po$itio Geometrica & hoc e$t w_erila/mp<15>si<19> & fermè $ummum in- tellectus humani. Et pote$t demon$trari Geometricè duobus uer- bis. Quia. n. f$upponi&ttilde; æqualis g eo quòd h e$t in peripheria circu- li erit media inter a f & f b, quare cum angulus f $it communis, erit proportio a h ad h b, laterum re$picientium angulum f in utroque Per 6. $exti Elem. triangulo, uelut h f lateris in maiori ad f b latus in minori, quare Per 4. eiu$d&etilde; cum ex $uppo$ito h f ad fb $it ut c ad d, erit a ad b, ut c ad d. Et uides Apollonium, & Pappium quanta $uperflua adij ciant in hac $ecun- Per 11. $ex ti Elem. In primo Co nicor. Apol. in Præfat. da parte demon$trationis, quæ e$t prima apud illos, & ducunt unã lineam non nece$$ariam ex puncto b ad latus fh. Vt antiquorũ ple ri<01> non tantum potuerint Geometria & ingenio, quæ ferunt excel lenti$sima in illis, quantum nos ex Dialectica w_e?ila/mp<15>si<19> inducen tes. e$t enim $ingulare hoc exemplum.

Cor^{m}. 2.

Ex hoc etiã patet quod $i circulus duceretur $ecundum f k tran- $iret<03> per m & n e$$et a m ad m b & a n ad b n, ut a h ad h b.

S C H O-

147

SCHOLIVM

Ex hoc pater qualiter ex uera demon$tratione $en$u o$ten$a per- uenimus ad quotquot imaginando, inde intellectu abiectis condi- tionibus non nece$$arijs facimus infinitum & uniuer$ale. Demum $ine artis $pe cialis auxilio o$tendimus Iheorema uniuer$ale (quod etiam poterat o$tendi Geometricè, $ed longè pulchrius e$t, ac $ubli- mius per w_erilamp<15>si<19>, qa hocip$o infinita alia do cemus generaliter per $implicem compreh&etilde;$ionem o$tendere) $cilicet quod à quouis puncto peripheri&ecedil; circuli, cuius $emidiameter e$t media proportio- ne inter totam exten$am à centro u$<01> exterius, & partem quæ' e$t à centro ad punctum de$criptum $ub proportione continua datarũ linearum lineæ ductæ ex eo ad punctum exterius, & punctum de- $criptum $unt in proportione datarum linearum.

Propo$itio cente$imaquinquage$imaquinta.

Quadratorũ numerorũ <04>portionem & inuention&etilde; cõ$iderare.

Primùm oportet $cire e$$e tres naturales numerorum $eries, primam Euclidis iuxta Exemplũ 1. quamuis proportion&etilde;, in qua unum & ter- tius & quintus, & ita uno $emper intermi$- $o $unt quadrati. Primus quo <01>. 1. unum & quartus & $eptimus & ita duobus intermi$sis $unt cubi. In $ecun- do ordine e$t naturalis $eries numerorum, ex qua colligitur alia, & ex illa bini quilibet $e $equentes con$tituunt numerum quadratũ. In tertia numeri impares, qui $emper collati efficiunt quadratum.

Sit ergo propo$itus numerus cui uelim addere quadratum numerum, ut fiat qua- Exemplũ 2. dratus totus, accipe numerum quadratum minorem illo quem uis, & detrahe à propo $ito numero $eu quadrato $eu non re$idu- Exemplũ 3. um, diuide per duplum <02> quadrati quod <*>axi$ti, &qring;d exit duc in $e fiet quadratus numerus, idem <03> additus <*>umero propo$ito, faciet quadratum. Velut capio 16 qui e$t qua- dratus, aufero 9 quadratum minor&etilde; relin quitur 7, diuido per 6 du- plum <02> 9, exit 1 1/6 quadratum eius e$t 1 13/36 qui additus ad 16 facit 17 13/36 quadratũ cuius <02> e$t 4 1/6.

Ex hoc patet <04>po$ito quouis numero &qtilde;drato modus inuenien- Cor^{m}. 1. di infinitos numeros quadratos qui cũ illo iuncti facient quadratũ.

SCHOLIVM.

Po$$em adducere demon$trationes omnium horũ, $ed reddere- tur res longa cũ $int manife$t&ecedil; ex $eptimo octauo & nono Euclidis. Exemplum $ecundum capio modò 14 qui non e$t quadratus, aufe- ro 9, remanet 5, diuido per 6 duplum <02> 9 exit 5/6 quadratũ eius e$t 25/36 N 2 hic

148

hic additus ad 14 con$tituit 14 25/36 quadratum 3 5/6. Et ita 14 e$t diffe- rentia duorum quadratorum, $cilicet 25/36 & 14 25/36.

Cor^{m}. 2.

Ex hoc habebis duo quadrata in datis terminis quæ different dato numero, & e$t pulchrum. Velut uolo duo quadrata quæ dif- ferant in 2, & <02> minoris $it inter 1 & 2, tunc capies per regulam i- p$am 2, & auferes numerũ quadratum ita quòd re$iduum diui$um per duplum radicis efficiat numerũ inter 1 & 2. Veluti capio 4/9 qua- dratum, aufero ex 2, relinquitur 1 5/9 diuido per duplum 2/13 radicis 4/9 & e$t 1 1/3 & exit 1 1/6, & hic e$t minor numerus cuius quadratum e$t 1 13/36 cui $i addantur 2, fient 3 13/36 numerus quadratus 1 5/6.

Cor_{m}. 3.

Cum autem uolueris duo quadrata quæ differant in 100, tunc per regulam datam $i auferes 1, peruenires ad numeros magnos & fractos, & ideo melius e$t quia numerus e$t par, ut detrahas nume- rum parem quadratum, ita quod re$iduum po$sit diuidi per duplũ radicis, ut in hoc non detraho ne<01> quia remanet impar, nec 16 quia 84 re$iduũ non põt diuidi per 8 ita ut exeat integer numerus, ergo detrahã 4 & relinque&ttilde; 96, diuido per duplũ radicis quod e$t 4 exit 24, cuius quadratum &qring;d e$t 576 addito 100 facit 676 quadratũ 26. Et ita ex 433 non auferam $ed 9, quia relinquetur 24 qui pote$t diui- di per $e, duplum <02> 9 & exit 4 cuius quadratũ e$t 16, addito 33 fit 49.

Secunda regula, cum uolueris propo$ito uno numero quadra- to illum diuidere infinitis modis in duos numeros quadratos, cape quemuis numerum quadratum per primum exemplum regul&ecedil; pri mæ, & cum eo diuide numerum propo$itum, & qui proueniet erit quadratus, hũc ergo duces in partes numeri quadrati qu&ecedil; $unt nu- meri &qtilde;drati, & fient duo quadrati numeri, & illi compon&etilde;t numerũ quadratũ prior&etilde; quem diui$i$ti. quia multipli catio fit per eo$d&etilde; nu- meros qui $unt partes diui$oris. Velut uolo facere de 4 duas partes qu&ecedil; $int &qtilde;drati numeri, capio numerũ &qtilde;dratũ qui cõpona&ttilde; ex duo- bus &qtilde;dratis, uelut 25, diuido 4 per 25 exit 4/25 hũc duco <10> 9 & 16 &qtilde;dra- tos numeros cõponentes 25 fiũt 1 11/25 & 2 14/25 &qtilde;drati 1 2/5 & 1 3/5 Et hi &qtilde;drati cõponunt 4. Et ita po$$es diuidere infinitis modis, puta per 17 13/36 & per 169. Tertia regula cum unus numerus additus primo & detractis à $ecũdo facit ambo quadrata, id&etilde; numerus coniunctus cum differentia illorum nume- rorum & detractus à primo & additus $ecundo facit eo$dem numeros quadratos, ueluti capio 10 primum 3 $ecundum 6 additus ad 10 & detractus à 7 efficit 6 & 1 quadratos dico quod iunctus 16 cum 3 differen- tia 10 & 7 fit 9, qui detractus à 10 & additus ad 7 effi- cit 1 & 16 numeros quadratos priores.

SCHO-

149

SCHOLIVM

Sunt & alij modi plures faciendi huiu$modi, $ed nõ $unt ad eò ge nerales, & nihilo minus $unt magis confu$i, & non aliquid plus.

Quarta regula, cũ uolueris numerũ aliquem non quad. qui bifa riã compona&ttilde; ex duob. &qtilde;d. uelut 10 ex 25, & 25 & 49 & 1, & $uma&ttilde; a b numerus quad. diui$us in $upplem&etilde;ta, ita <09> c d $it portio minor eiu$modi, ut adiecta illi æ&qtilde;li c d gnomo cir cũ$criptus c k l cũ f&qtilde;drato, $it &ecedil;&qtilde;lis a b &qtilde;drato, detractis igi&ttilde; c e & e d, æ&qtilde;libus erunt duo $upplem&etilde;ta c k l cũf qua- drato &ecedil;qualia duob. $upplem&etilde;tis a b cũ &qtilde;drato h g. Maio- ra aũt $upplem&etilde;ta excedũt minora in duplo quad. c d igi&ttilde; detractis minoribus $upplementis cõmunibus, erit duplũ quad. c d cũ f qua- drato &ecedil;qualia h g &qtilde;drato. Ergo <04>po$ito numero, putà 3 ducam in $e fit 9, ducã 2 minor&etilde; in $e fit 4, duplicabo fit 8, detraho ex 9, relinqui&ttilde; 1 numerus &qtilde;dratus, igi&ttilde; dicã &qring;d 3 cũ duplo 2, & erit totũ 7, e$t unus numerus, alter <02> 1. 1. 1, & horũ &qtilde;d. cõponunt 50, duplũ &qtilde;d. 5. Et $imi liter capio 6 &qtilde;d. 36 duplũ &qtilde;d. 4. 32 differentia 4, numerus &qtilde;d. 2, ideo 6 cũ duplo 4, & e$t 14, e$t unus numerus, alter 2, quorũ &qtilde;d. $unt 200, dimidiũ e$t 100 &qtilde;d. 10 cõpo$iti ex 6 & 4. Et ita capio 9, &qtilde;d. eius 81 du plũ &qtilde;d. 6. 72 differentia 9 numerus &qtilde;d. igi&ttilde; cum duplo 6, & e$t 21, e$t unus illorũ, alter 3 &qtilde;d. 450, duplũ 225 &qtilde;d. 15, qui con$tat ex 9 & 6. Et ita capio 11 &qtilde;d. cuius e$t 121, duplũ &qtilde;d. 6 e$t 72 differentia, 72 & 21 e$t 49 numerus &qtilde;d. 7, igi&ttilde; 23 qui con$tat ex 11, & duplo 6 numeri mino ris e$t unus numerus, alter e$t 7 &qtilde;d. quorũ $unt 578. duplũ 289, &qtilde;d. 17, qui con$tat ex 11 & 6. Quinta regula, per hoc inueniemus infini tos numeros &qtilde;d. cõponentes 32, nam cũ 32 $it duplus &qtilde;d. diuidã <10> unum aggregatũ ex inuentis puta 578, & quia ambo ex $uppo$ito $unt dupli ad &qtilde;d. qui <04>ueniet erit &qtilde;d. $cilicet 16/289, duc in numeros &qtilde;- dratos qui componunt 578, & $unt 529 & 49, & fient 2 206/289 & 29 83/289, & hi iuncti fiũt 32, quia $unt multiplicatæ partes numeri, per quem e$t <*>iui$us numerus. Et ita poteris diuidere 32 in infinitos alios &qtilde;d.

Sexta regula, ponamus modò &qring;d uelim diuidere 10, cõpo$itũ ex duob. &qtilde;d. 9 & 1, & non duplũ numero &qtilde;d. ita &qring;d $it diui$us in alios duos: ducã 10 in 25 cõpo$itũ ex duob. &qtilde;d. fit 250/25, at 250 cõponi&ttilde; aliter ex duob. quad. <08> 225/25 & 25/25, $cilicet 169/25 & 81/25, id e$t 6 19/25 & 3 6/25, qui $unt &qtilde;d. 2 3/5 & 1 4/5, & ita uolo diuidere 13 in duo alia &qtilde;drata <08> 9 & 4, duco 13 in 25 & fit 325/25, qui nece$$ario cõponi&ttilde; ex 225/25 & 100/25, $ed ego uolo &qring;d cõpo na&ttilde; aliter, uelut ex 289/25 & 63/25, & ita ex 11 14/25 & 1 11/25, qui $unt numeri &qtilde;d. com ponentes 13, & <02> $unt 3 2/5 & 1 1/5, & in his opus e$t in du$tria, $cilicet ut multiplice&ttilde; per numeros &qtilde;d. ut <04>ueniant numeri illi bifariã compo $iti ex &qtilde;dratis. Vt uerò uideamus re$iduũ, <04>ponamus <09> uelim diui dere 6 in duos numeros &qtilde;d, primũ $cire debes &qring;d non po$$unt e$$e N 3 integri

150

integri exratione dicta, quia oporteret ut e$$ent ambo impares aut pares, & $ic differr&etilde;t numero pari, ergo oporteret ut e$$et unus me- dius numerus &qtilde;d. $unt & ali&ecedil; rationes, $ed ne<01> unus po$$et e$$e inte ger, & alius fractus, nõ e$$et. n. 6 numerus integer: relinqui&ttilde; ergo ut $int duo fracti: $ed in numeris fractis &qtilde;d. deductis ad minimas deno minationes operũ, ut tam denominator <08> numerator habeat radi- ces, ergo oportet &qring;d hoc $it in illis, & quia iuncti debent facere inte- gros 6, nece$$e e$t ut denominator $it unus, & id&etilde; in utro<01>, et &qring;d nu meratores $imul iuncti $int $excuplũ denominatoris, $i fracti deb&etilde;t &ecedil;quipollere 6, ergo ille denominator cũ $it &qtilde;d. & numeratores am- bo $int &qtilde;d. & $int $excuplũ denominatoris, oportebit inuenire nu- merũ &qtilde;d. qui ductus in 6, faciat numerũ qui cõponi&ttilde; ex duob. &qtilde;d. aut cõponi&ttilde; &ecedil;qualiter, ergo <04>portio medietatis ad medietat&etilde; 6, e$t ueluti totius ad 6, $ed totu continet 6 in &qtilde;d. quia ex 6 in &qtilde;d. fit totũ, ergo ex medietate in &qtilde;d. idem fit medietas, $ed medietas e$t nume- rus &qtilde;d. ergo 3 e$$et numerus &qtilde;d. &qring;d e$t fal$um, oportet igi&ttilde; ut nume ri illi $int inæ quales, & ut 6 diuidatur in duas partes in&ecedil;quales, hoc aũt fit diuidendo quemlibet numerũ parem, qui cõponi&ttilde; ex duob. numeris &qtilde;d. nam $i e$$et impar, nõ po$$et <04>dire numerus integer, & cũ <04>uenerit numerus &qtilde;d. ille erit qu&etilde; qu&ecedil;rimus, nã diui$o 6 per to- tum illũ numerum, inde &qring;d <04>uenit multiplicato per numeros &qtilde;d, cõponentes illum numerũ <04>ductum, <04>ducun&ttilde; partes 6, quæ erũt numeri &qtilde;d. quia denominator utriu$<01> partis ex $uppo$ito e$t nume rus &qtilde;dratus, qui multipli catus e$t per 6, & numeratores $unt nume ri &qtilde;drati, qui cõponebant numerũ productũ, et tales partes &ecedil;quan&ttilde; 6, quia numerus <04>ductus componi&ttilde; ex numeratoribus, & produ- ci&ttilde; tale cõpo$itum ex 6 in denominator&etilde;, & hic e$t diui$us per deno minator&etilde;, ergo <04>uenit 6, $i e&mtilde; multiplicato 3 in 4 fit 12, diui$o 12 per 4, exit nece$$ario idem 3. Pro colligendo ergo numeros omnes, qui cõponuntur ex &qtilde;dratis, <04>pones tibi $eriem &qtilde;d. omniũ, & inde iun- ges, & diuides per 6, & cũ prodierit &qtilde;dratus, inueni&ttilde; denominator, & numeri cõponentes ip$um erunt numeratores, et $uppo$iti deno minatoribus cõ$tituent partes. Vt uerò cogno$cas, ex quibus po$- $it componi primum ex imparibus, non oportet a$$umere ni$i 135, quia 7 diui$um per 6 relin quit 1, & 9 diui$um per 6, relinquit 3, & 35 diui$um per 6 relinquit 5. ergo non pote$t componi numerus im- par, qui diuidatur per 6, ut $up er$it impar alius quàm 1. 3. 5. $ed 1 & 3 & 5, & 5 componunt 4 & 1, & 1 & 3 & 5 componunt 2, $cilicet abie- cto 6, ergo tales numeri &qtilde;drati $i $int impares, uel ambo terminan- tur in 3, ut 9 & 81, qui faciunt 90, uel in 1 & 5, $ed nullus numerus quadratus diui$us per 6 terminatur in 5, quia 1 ductum in $e produ- cit 1, & 3 pro ducit 3, & 5 pro ducit 1, ut 5 in 5 facit 25, & 11 in 11 produ- cit

151

cit 121, quibus diui$is per 6 $upere$t 1. Quod etiam $ic demon$tratur de 5, & compo$itis à 5, nam diui$o 5 in 3 & 2, quadratum eius cõpo- nitur ex duplo 3 in 2, in quo nihil $upere$t, $i diuidatur per 6, & ex quadrato 3, quòd e$t 9, in quo $upere$t 3, & ex quadrato 2 quod e$t Per 4. $ecun di Elem. 4, $ed iunctis 4 & 3, & abiecto 6 $upere$t 1, ergo 5 in 5 ductũ, & diui $o producto relin quitur 1. Et $imiliter capio 17, et componi&ttilde; ex 12 & 5 quadratum, ergo 17 componitur ex quadrato 12, in quo nihil $u- pere$t, & duplo 5 in 12, in quo etiã nihil $upere$t, $i diuidatur per 6: & ex quadrato 5, in quo $upere$t 1, ergo in nullo numero cõpo$ito ex 5 & 6, uel compo$itis ex 6, poterit produci numerus, qui diui$us per 6 relin quat 5, igitur ne<01> talis numerus potérit cõponi ex duo- bus quadratis, in quib. $uper$it 5 & 1, quia nullus e$t, in quo $uper- $it 5 facta diui$ione per 6. Ex quo colligitur una regula: quod $i quis dicat multiplicaui 27 in $e, et diui$i per 13, uellem $cire quid $upere$t, dico quod $ine multiplicatione et diui$ione poteris hoc $cire ex de- mon$tratione dicta, diuide ergo 27 per 13, & relin quitur 1, duc in $e fit 1: dices ergo, quod $upererit 1, & ita $i ducerem 28 in $e, & diuide- rem per 11, dico quod $upererit 3, nam diui$o 28 per 11, relin quitur 6, duc in 6 fit 36, diuide per 11, relin quitur 3, ut dictum e$t, & tantum relinqui&ttilde; ducto 28 in $e & fit 784, & diui$o per 11. Reuertendo ergo ad propo$itum, pater quod ex duobus tantum numeris imparibus quadratis pote$t conflari ille numerus, quorũ radices diui$æ per 6 relin quunt 3. Sed de paribus uel $upere$t 2 uel 4 uel nihil, $ed &qtilde;dra- tum 2 e$t 4, & &qtilde;dratum 4 diui$um per 6 etiam relinquit 4, ergo ne<01> ex duobus numeris, in quibus $uper$int 2, ne<01> in quibus $uper$int 4, ne<01> in quibus $uper$int in uno 2, in altero 4 poterũt quadrata, in quibus $emper $upererit 4, & iuncta faciunt 8, in &qring;$upere$t 2, cõ fla- re numerũ dictũ $eu quæ$itũ, qui po$sit diuidi <10> 6: ne<01> ex &qtilde;d. duo- rũ num&etilde;rorũ, in quorũ altero nihil $uper$it in reliquo $uper$it 2 uel 4, quia in aggregato &qtilde;dratorũ $emper $upererit 4. Ergo relinqui- tur quod ille numerus componetur ex duobus quadratis, uel impa ribus, quorum latera diui$a per 6 relinquunt 3, uel ex duobus pari- bus, quorum latera diui$a per 6 nihil relinquant. Oportet igitur inuenire duos tales numeros quadratos numerorum imparium, in quibus $uper$it 3, $i diuidantur per 6, aut parium in quibus nihil $u- per$it, quorum aggregato diui$o per 6 prodeat numerus &qtilde;dratus'.

His ui$is dico, quod con$tat radices talium numerorum opor- tere e$$e in imparibus per additionem 6 incipiendo à 3, ut $int 3. 9. 15. 21. 27. 33. 39. 45. 51. & $ic deinceps: in paribus au- tem per additionem eiu$dem 6 incipiendo à 6, uelut 6. 12. 18. 24. 30. 36. 42. 48. 54. 60. Dico ergo quod diui- $o numero illo compo$ito per 6 in imparibus exibit numerus, N 4 qui

152

qui diui$us per 6 $upererit 3, & in paribus qui poterit diuidi per 6. Quia componun&ttilde; ex huiu$modi: uelut 3 in $e facit 9, & 25 in $e facit 225, qui iũcti faciũt 234, diui$o 235 per 6 exit 39, qui iterũ diui$us <10> 6 $upere$t 3, & $imiliter capio 6 & 12, quorũ &qtilde;drata $unt 36 & 144, & aggregatũ 180, qui diui$us per 6 exit 30, qui iterũ pote$t diuidi per 6. Et hoc quia quilibetillorũ pote$t diuidi per &qtilde;dratũ 6 in paribus, ergo aggregato diui$o per 6 &qring;d prodit, iterũ poterit diuidi per 6. Et in imparibus quo dlibet &qtilde;dratorũ exuperat $upra $enarios in 3, igi&ttilde; aggregatũ diui$um in 2 pariet numerũ qui diui$us per 3, exibit numerus impar cõpo$itus ex $enarijs & 3. Illud ergo quadratũ, &qring;d <04>dibit, uel erit cõpo$itum ex $enarijs, uel $upererit 3. Sed cũ 3 nume ret 6, ergo tres &qtilde;drati numeri $cilicet duo, qui cõponunt numerũ, Per 29. $e- ptimi Elem. & qui <04>dit per diui$ion&etilde; 6, erunt cõpo$iti inter $e, ergo & radices il lorum. Igi&ttilde; radix numeri &qtilde;drati, qui <04>uenit diui$o aggregato qua- dratorũ per 6 e$t ex eod&etilde; ordine impariũ, $i impares numeri &qtilde;drati fuerũt, aut pariũ $i pares. At hoc e$$e nõ pote$t, nã fracti illi numeri, qui erũt radices, nõ erũt minimi, $ed diui$i per 3 o$tendent minores, quod e$t contra $uppo$itum, quare nullo modo 6 pote$t diuidi in duos numeros quadratos, ne<01> integros, neque fractos, quod erat demon$trandum. Habes igitur ex hoc demon$trationem quando nõ po$sit diuidi, & quado po$sit, quod po$sit, & quomodo $imul.

Propo$itio cente$imaquinquage$ima$exta.

Horologiorum tempus multiplicare.

Co^{m}.

Contingit quando <01> &qring;d horologiorũ tem pus breue e$t, uolumus aũt maius efficere: id duob. modis po$$umus, quorũ unus diffici- lior e$t $ed perpetuus, & longè nobilior, nam grauitas ponderis uer$atilis efficit quid&etilde; tar- dior&etilde;, $ed di fficilius mobil&etilde;, & ob id grauio- re põdere in digent&etilde;. Sit ergo rota a b uer$ati- lis, quæ certam men$uram exigit <04> quacun<01> funis parte corre$<10>on dentis uni denti ex centum, in quos di$tincta $it, curriculum aũt c d quin<01> dentiũ, per &qring;drota $exaginta dentes hab&etilde;s circumuolua&ttilde; in cõuer$ione, igi&ttilde; prim&ecedil; rot&ecedil; uities circumfere&ttilde;, $ecũda d&etilde;tes<03> M. CC. rur$us ad hãc $ecundã tertia necta&ttilde; cum curriculo $ex dentiũ, at<01> in ea d&etilde;tes $eptuaginta duo, ut in una cõuer$ione $int xiiij cccc, dentes igi&ttilde; tot dentes in una cõuer$ione prim&ecedil; rot&ecedil; circumuoluentur. Iam uerò tempus illud poterit duplicari ac triplicari iuxta tarditat&etilde; tem poris uer$atilis: quãto igi&ttilde; pondero$ius fuerit illud t&etilde;pus, tanto tar- dius mouebi&ttilde;, pauciores <03> circumuolutiones nece$$ari&ecedil; erũt ad ex- pl&etilde;dam unam di&etilde;: id e$t horas 24, $ed hoc in cõmodi accedet, quòd reuolutio indicis tanto tardior erit, ut nõ iu$tè o$ten dat horas: pro- po$itum

153

po$itum igitur e$t, ut pondera tardius ferantur, index aũt, & qu&ecedil; ad indicem $equuntur horarum demon$trationes celerius aut eodem modo ferantur. Ponamus ergo po$t<08> eadem e$t ratio celerioris & æqué uelocis, ponderis aũt tardius de$cendentis, aut cõtrà tardio- ris, aut æqualiter cir cumducti in dicis, celerioris aũt de$cen$us pon- deris, quod ad nullam utilitat&etilde; profuturum uideo. Sit ergo ut pon dus uelim tardius de$cendere, rotam aũt &ecedil;qualiter circumferri, dico quod ex tempore mobili $eu uer$atili (& e$t ferrum, quod in $um- mo horologij citra ultra<03> fer&ttilde; tam in horologijs ponderum <08> mo læ) id fieri non pote$t: nam quantum tardabitur rota tertia $ecunda & prima, at<01> ob id de$cen$us ponderum, tantum remorabitur rota prima quæ indicem o$tendit, ergo tantum index tardabitur quan- rum põdera, & ut uno uerbo dicam, cùm ead&etilde; rota index circumfe- ratur, & põdus de$cendat, quantũ unum tardatur tantum & aliud.

Secundus modus e$t, ut rota una totum tempus cum indice in ui gintiquatuor horis circumuoluatur, & currulis in quo funis minor fiat: nece$$e e$t igi&ttilde;, ut circumuoluta rota aut $emel aut bis, &ttilde;er, qua- ter decies, & circumuolua&ttilde; pleno cir cuitu index, et $ine errore: quo- niam tempus & dentes men$uræ re$pondent: igitur $ub ei$dem cir- cuitibus numero eodem<03> tempore minus ex fune de$cend&etilde;t in cur ruli paruo <08> magno: quare mutatione indiget currulis, aut ut funis circumuoluens rotam curriculum habeat annexũ rotæ o$ten denti horas, in qua pauciores $int dentes: nam in eodem tempore, & cir- cuitu paucioribus uicibus circumuoluitur rota funis quæ grauita- te temporis, & multitudine dentiũ certam $eruabit men$urã. Sed in hoc nece$$e e$t gra uius efficere pondus, aut leuius t&etilde;pus quo- niã funis debilius circumuertit rotã: minus tñ tardè <08> $it <04> paruitatis circuitus ratione.

Tertius modus facilior e$t, & magis com p&etilde;dio$us: Sit horologium a b c, in quo rota d quæ funem cõtinet ba$is horologij e f, cui firmiter $int app&etilde;$&ecedil; du&ecedil; trochle&ecedil; g & h, & fu nis una parte tro chle&ecedil; appen$us in k, duca&ttilde; ad inferiorem aliam tro chleam lin$eratur<03> ibi orbiculo $uo, & redeat à dextra $uperius in$era&ttilde;<03> orbiculo $uperioris tro chle&ecedil;, dedu ca&ttilde;<03> uer$us $ini$trã: at<01> ibi de$cend&etilde;s habe at põdus tractorium in m, deduca&ttilde;<03> $upra ad rotã horologij d, et cir cumuolutus exeat ip$um, & de$c&etilde;dat ad tro chleãn, $ub <03> ea circumuolutus iterũ a$cen dat

154

dat à dextra parte, et circumuoluatur h co chle&ecedil; rediens ad $ini$tram ibi<03> de$cendens connectatur tro chleæ in inferiori in o, cuius imæ parti annectatur pondus remorans in imo annexum parte tro ch- leæp. Cum ergo trahitur n tro chlea, trahitur funis adeò ut pon- dus m, tandem a$cendat cum tro chleal prope k: quia ergo in duo- decim horis pondus m de$cenderet per k l funem reuolutionibus circa d rotam dicamus uiginti, ergo $i debet de$cendere à k ad l, per funem duplicatam k l cum ip$am nece$$e $it obequitantem d reuo- lutionibus quadraginta circumuolui d, nam tota o h n d m g l k lon gè maior e$t duplo k l, nece$$e e$t m de$cendere tardius quàm in du plo temporis, quo de$cenderet per rectum funem k l, quod erat de- mon$trandum. Et hanc appendicem uidi apud Cæ$arem Odonum Apulum medicum, uirum elegantem lepidi<03> ingenij. Memento uerò quod ubi orbiculi non cederent funi, uel quia duriores in cir- cumuolutione, uel quia latius exciperent illum reduplicato fune circa illos omnin o circumducuntur, $ed difficilius ideò egent gra- uiori pondere.

Propo$itio cente$imaquinquage$ima$eptima.

Horologiorum molarium rationem o$tendere.

Co^{m}.

Sunt horum duo genera primum, & anti quius licet multo po$terius eo quod pon- deribus ducitur, quod funiculo ex inte$ti- nis ouium $eu fidibus liræ agitur. Sit igitur axis f k erectus $uper plano, cui per longum coniuncta mola multiplicis $piræ in fine, cu ius cannectatur ferreo circulo, qui habeatur lo co cap$ulæ b c, quæ circumuolui po$sit: huic circũductus funis d e multipliciter in pun cto g, $it autem e h in modum pyramidis $en$im in acutum, $ed non ualde per $pirã exculptam de$inentis, cui rota in uertice in$erta den $iculo, & uertatur h e, colligens funiculum tractum in $pira uer$us apicem: unde funiculus circumuoluet b g d, cap$ulã uer$us c, traher ergo molam, & con$trin get uiolenter quãtum fert longitudo funis quæ circumuolui pote$t a b e ad h: & cum trahitur in d eremittitur, non pote$t mola $tatim retrahere reluctantibus denticulis h l rotæ, & alijs quæ implicantur curriculo m, a igitur mola con$tructa uio- lenter mouet b g d, cap$ulam motu contrario à c in d & in g & in b, quare funis d e trahitur, & trahit e h illum circumuoluendo contra- rio motu priori, is mouet denticulo rotam h l, illa per curriculum in aliam rotã, & $ic deinceps donec tempus moueatur, & rota indicis. Hic ade$t cap$ula, & quod circumuertitur à claue non e$t axis mol&ecedil; $ed extra molam, $cilicet e h. Et quoniam hac ratione quanto mola a magis

155

magis explicabi&ttilde;, tanto lentius trahet, & uertet e h, ideò hoc ex $tru ctura auxilium præ$tatur, ut funis in inferiore parte cõplexus latio- res orbes, & è regione tanto uehementius uertat e h: & ita uis quæ remittitur ob molæ laxitatem, augetur tantundem ob $itum & ma- gnitudinem $pirarum ut di$tantiorum $ua extremitate ab hypomo chlio, quod e$t axis coni e h, $eu in$tar axis.

Alterum genus horologiorum cum mola $ine fune loco cap$ul&ecedil; habet rotã plano $ub $tratam, plenam denticulis axis, quo circum- agitur uiolenter, non e$t extra molam, $ed ei annexa e$t mola intus, exterius aũt rot&ecedil;; ergo circumducto axe mol&ecedil; uim patitur circulus exterior, $ed non moue&ttilde;, quoniam clauo impedi&ttilde;. Vbi mola quan- tum decet con$tricta e$t $ublato clauo $tatim $ecum trahit rotam, & illa curriculũ rotas <03> alias, & tempus agitur, & index uertitur. Sed in hoc idem e$t in commodum $ine remedio quod fuit in priore. Vbi enim cœperit laxa- ri mola tanto tardius progrediuntur rotæ at<01> index. Veluti axis a b cui $ecun dum lon gitudinem molæ caput interius annexum e$t altero circulo rotæ in c d curriculum rotæ e, implexum rotæ f clauus rotam retinens, donec circumducto a b mola con$tringa- tur, & latus eius trahat rotam ex c. Inde $ublato clauo circulus, $eu rota trahitur ex c in g, & in famola, quæ etiam $ecundum eandem partem circumuoluta e$t: igitur d circumagetur à rota & reliqua. Sed ut dixi con$tructio hæc non $atisfacit.

Aliam ergo oportuit excogitare qu&ecedil; huiu$modi e$t. Sub axe a b, qui cir cumuertitur ad molam contrahendam rotam, collocant par uam quæ e$t, ut ita dicam, pars axis ima cui in$eruntur dentes in am bitu ea ratione, ut dum mola ten ditur, premant denticulos interio- res, atque ita elabitur, toties<03> circumducitur manente g f, donec colligatur mola, quæ non ut in priore reliquo extremo ulli rotæ affixa e$t, $ed columnæ in continenti opercula horologij. Cum ergo mola tenta retrahat axem a b contrario mo- tu, & ille rotam mobilem, quæ cum non po$sit regredi propter auer$os dentes, mouet rotam f g contrario mo tu, quæ circumacta per denticulos $u- os curriculum agit, & reliqua omnia nece$$aria. Cur autem cum laxatur mo la, & uertit lentius c e rotam coniun- ctam, ideo<03> g f, & reliqua omnia nõ tardetur tempus, & circumuo- lutio

156

lutio indicis cau$a e$t alia longè quàm in priore, nam mola longior fit cra$sior, & durior adeo<03> robu$ta, & rotæ leues, ac tempus dum laxata fuerit munus $uum iu$to in tempore obeant: quare nece$$e e$t, ut ab initio uehementius agat, & celerius rotam cum axe qui <*> hitur à mola. Ergo excogitarunt aliud genus retinaculi forma <*>o- chleæ quod ab initio moratur uehem&etilde;ter axem ne circumagatur, et quanto magis mola explicatur eo minus retinet impetũ illius <*>deo ut uehementer retineat uehementem concitationem medio criter moderatam, $egniter lentam, nullo modo iu$tam: ita fit, ut $emper fermè æqualiter moueatur. Difficile e$t tamen ad unguem $eruare moderationem, & æqualitatem, & magis etiam in his horologijs, quæ uno circuitu molæ tempus lõgius exigunt: at difficilius etiam efficere molam, quæ longo tempore duret, cum intenta ualde cele- rius moueat rotas, & ob id breui ab$oluat circuitum, mollior au- tem citò remittatur. Et ob id longior & non adeò dura melior e$t. Ratio autem cochleæ ita $e habet. Circa axem molæ d deducitur cochlea a b c, quæ dum laxatur mola cochlea mouetur ex b in c, at <01> ita pariter laxatur uis cochleæ retinentis axem.

Propo$itio cente$imaquinquage$imaoctaua.

Rationem indicis mobilis cum rota horarum numerus per ictus indicatur explicare.

Co_{m}.

Hoc fieri pote$t in $ingulo genere horologij trium de$criptorũ. Propterea $ufficiat de uno o$tendi$$e. Sed & in $ingulo genere $unt multi modi, unius tamen reddidi$$e ration&etilde; $ufficiat. Hoc aũt qua- tuor habet difficultates: prima ut horarum ictus conueniant cum indice: $ecunda ut conuer$o indice conuertatur, & rota ictuum: ter tia ut ictuum numerus cum numero indicis conueniat. Vnde mul- ta $unt horologia, in quibus ictus unus $olum auditur $ingulis ho- ris, at<01> hic modus facilis e$t: quarta cur in horum pleri$ que $i non pul$ata $tatim hora transfera&ttilde;ur index, non ce$$at pul$atio: imò nec retineri pote$t, donec pondus illud de$cenderit. Ergo primi & ter- tij ratio hæc habeatur, cum rota qu&ecedil; indicis rotam circumagit, per- uenerit ad horæ finem, denticulo $oluit aliam, eleuans obicem, illa mouetur à pondere proprio alio, $cilicet ab illo quod tempus agit: aut $i $it horologium molæ à mola alia propria, quæ malleos cir- cumacta perpetuò mouet, at<01> motura e$$et $emper, donec pondus ad terram de$cenderet: uerum dum mouetur de$cendit ferrum pro quouis ictu quod in rotæ limbum incidit, & donec inciderit in eam partem quæ lenis e$t dilabitur, nec retinetur, & ita eleuatur rur$us, at uerò

157

at uero cum in concauam partem incidit retineri nece$$e e$t: at<01> ita pondus non amplius de$cendit, rota $i$titur, malleus manet immo- bilis: $patia ergo quæ $unt inter cauitates $unt $ecundum magnitu- dinem proportionis numerórum horarũ, uel ad $ex, uel ad duode- cim, uel ad uiginti- quatuor terminan- tium. Ita quod, gra- tia exempli, $it iam in cauitate a duode- cim&ecedil; horæ uncus, di uidam circulum to- tum in duas partes æquales, quia in $in gulis medietatibus propo$itum e$t, duo decim facere cauita- tes <04> unco retinen- do. Et quia in una- qua<01> medietate o- portet, ut pul$ent ho ræ lxxviij, & præterea $int ibi $ex $patia cauitatum, quarum $ingulæ contineant, gratia exempli, duo $patia unius ictus, ut certius retinea tur uncus, erũt igitur $patia omnia nonaginta: diuidemus ergo me- dietatem circuli utran<01> in nonaginta partes æquales in cipiendo ab a, & dabimus b primæ hor&ecedil; quod $patium e$t unius tantum par tis ex nonaginta, po$t de$cribemus c cauitatem duarum partium, ita ubi ictum unum dederit uncus, retinebitur in c, pò$t accipiemus duo $patia, & $int $ignificata d litera, po$t qu&ecedil; faciemus cauitatem e: & ita uncus bis cadet in d, & pul$abunt duo ictus, & pò$t retinebi- tur uncus in e. Et po$t accipiam $patium trium partium, quod $it f, & po$t de$cribam cauitatem g duarum partium, at<01> ita procedam u$<01> ad duodecim.

Ex quo manife$tum e$t pondus quod agit rotam uolæ non de- Cor^{m}. 1. $cendere, ni$i dum horæ pul$ant, $ecus quie$cere.

Secundum, quòd de$cendit illud pondus plus & minus, iuxta Cor^{m}. 2. proportionem numeri horarum, ita quod quando pul$abit una ho ra parum ualde de$cendet, cum $ex horæ $excuplo magis, cum duo- decim adhuc longè magis, id e$t duplo plus quàm cum pul$ant $ex horæ.

Secunda con$tructio hanc habetrationem: Cum n rota indicis coniuncta fuerit rotæ, quæ transfert malleum, nece$$e e$t ut unà fe- O rantur:

158

rantur: quinimò illud magis mirum de quo illi non mirantur quia frequens e$t, $cilicet cur aut quomodo $i diui$æ $unt ut cir çũducto indice non transferatur rota mallei, põdere tamen uer$ata rota in- dicis in idem incidat, ut horæ quæ pul$u declarantur ad unguem & in ei$dem $ectionibus cõueniant cum horis quas index o$ten dit.

Ver`m quia multis modis contingit ordinem horologiorum peruerti: in $imilibus quidem $i hora indicis $imul & pul$us unà circumferuntur, $ed tardius ambo index traducitur ad locum debi- tum, inde ponderi aliquid additur. Si uerò antè proce$$erit quam. Sol in dicet ablato pondere, $ines tempus fluere u$<01> ad indicis lo- cum $ine motu horologij, pondus quo<01> ip$um minues. At $i pon- dus pul$us in terram deuenerit uel propè, expecta donec $uper li- nea index fuerit, inde trahe, ne<01>. n. excurret: nam $i dum index e$t in medio horæ aut propè, traxeris pondus pul$us, non de$inet de$cen dere, pul$abuntqúe horæ donec ad terram pondus deuenerit, quòd $i iam in errorem incideris pul$ent<03> hor&ecedil; & de$cendat, pon- dus, $en$im deducito indicem, cum. n. ad finem hor&ecedil; peruenerit ini- tium<03> $equentis, quoniam ferrum in interuallum deuenerit rota & pondus firmabitur. Inde $ublato põdere donec Sol ad horã quam index mon$trat peruenerit, reddes pondus horologio. Si ergo ho- ram pul$u eand&etilde; declarat quam index, bene e$t, $i non, paululũ uir- gulã eleua qu&ecedil; e$t iuxta fores horologij pul$abit<03> $equens hora, id uero toties repetes immoto in dies & $ublato, $i uereris ne extra in- teruallũ ferrum feratur, & ob id excurrat rota pul$us horarũ, donec hora pul$et quæ cum indice conuenit, $tatim<03> pondus quo horæ pul$ant $ur$um retrahes. His quinque regulis u$um di$ces $imilium horologiorum, unumquod<01> autem proprias habet: $ed duæ pri- mæ omni horologiæ $atisfaciunt. Quòd $i hæ non $atisfa ciunt iam horologium laborat: tum uerò illud di$$oluere oportet & deterge- re & inungere, iuuat autem uel cap$ula uel linteo perpetuo pul- uerem ab illo arcere. Quòd $i nec $ic re$tituitur nece$$e e$t di$$ol- uere & antea con$iderare impedimentum, pò$t denticulum qui la- borat, plerun<01>. n. aliquem inuenies huius modi, quem lima aut alia ratione re$titues, $emper autém hi fermè re$tituuntur: at qui mola aguntur præter rotarum & axium & indicum labores, molæ etiam inæqualitati & defectibus $ubiciuntur, qui $i nimis uelo citer agunt rotas cum difficultate re$tituuntur moderationi, $i lentius rarò uel nunquam emendantur, uix etiam noua inducta mola.

Propo$itio cente$imaquinquage$imanona.

Nullus angulus rectilineus æqualis e$$e pote$t alicui angulo con tento recta & circuli portione.

Sit

159

Sit angulus a & circulus b c, dico non po$$e aliquem angulum Co_{m}. contentum recta & circuli portione e$$e illi æqualem. $i enim e$$e po$sit, $it c b e. duca- tur recta b d faciens rectilineum d b c &ecedil;qua Per 23. pri mi Elem. lem a, erit igitur d b c &ecedil;qualis e b c per com- munem animi $ententiam, $eu ergo b d ca- dat intra circulum $eu extra, erit pars &ecedil;qua- lis toti quod e$$e non pote$t. Sed ne<01> po- te$t cadere recta $uper b e. namid e$t contra demon$trata ab Eucli- 23. Elem. de. At $i $it angulus c b e exterior $imiliter producta b d, $eu intus, $eu extrà cadat, pars erit æqualis toti quod e$$e non pote$t.

Ex hoc patet quod nullus angulus peripheria circuli & recta cõ- Cor^{m}. 1. tentus pote$t e$$e æqualis recto, quia rectus etiam rectilineus e$t.

Et rur$us nullus angulus peripheria & Cor^{m}. 2. recta contentus à recta linea per æqualia diuidi pote$t, patet quia una pars e$$et an- gulus rectilineus, alia contentus recta & pe ripheria: i$ti aut&etilde; non po$$unt e$$e æquales, quare nec prior potuit per æqualia diuidi.

Ex hoc etiam patet quod $pacium con- Cor^{m}. 3. tentũ à peripheria circuli nulli angulo rectilineo &ecedil;quale e$$e pote$t. nam dimidium e$$et æquale dimidio, quod e$t contra demon$trata.

LEMMA PRIMVM.

Inter duos circulos qui $e diuidant infinitæ lineæ duci po$$unt. Inter circulos autem qui $e tangant, rectalinea duci non pote$t.

Co^{m}.

Sint duo circuli a b & a c, qui $e diuidant Per 11. pri mi Elem. in a, & ducatur ex centro inferioris d a & a d, & ad d a cathetus a e, dico quòd a e di- uidet angulum b a c ducatur ex centro $u- Per 15. ter tij Elem. perioris a c b quod $it f, fa cui cathetus a g, quia ergo e a cadit infra a g, & inter a g & Per 11. ter- tij Element. a b non pote$t duci recta, igitur e a cadit in- tra a c b circulum. Rur$us tangant $e circuli c d & c e, & ducatur a b per centra eorũ qu&ecedil; applicabit ad c, ex c ducatur cathetus c f & quoniã c f contangit circulũ c e, ligitur, du- cta quauis linea infra c f, cadet intra circulũ c e. Non ergo poterit cadere inter c d & c e.

LEMMA SECVNDVM.

Dato angulo contento duabus peripherijs æqualiũ circulorum $e $e cantium æqualem rectilineum illi fabricare.

O 2 Sit

160

Sit angulus a b c duabus peripherijs æqualium circulorum con Co^{m}. tentus, uolo ei æqualem rectilineum fabricare, ducantur b d & b e Per modum 8. primi El. æquales, ut pote facto b centro erit<01> angulus d b a æqualis angu- lo e b c, addito utri<01> communi d b e ex peri pheria & recta, fiet angulus d b e ex rectis æqualis a b c ex peripherijs, quod crat de- mon$trandum.

Ex hoc patet quod reliqua duo $pacia Cor^{m}. 4. non po$$unt e$$e æqualia rectilineo. Nam $patium b a c demon$tratum e$t æquale e$- $e rectilineo, & b ad non e$t æquale rectili- neo, igi&ttilde; $patiũ c a d non pote$t e$$e æquale angulo rectilineo, nam $i $ic $it b a c &ecedil;quale f g h & c a d h g k, igi&ttilde; totũ, b a d erit &ecedil;quale Per 3. Cor^{m}. præ$entis. toti f g k &qring;d e$t contra $uppo$itũ, ideò ne<01> b a e quia b a c & d a e $unt æ&qtilde;lia rectilineis <10> $e, & etiã pariter accepta. Totum aũt $patiũ a e$t &ecedil;&qtilde;le quatuor, re- ctis ergo re$iduũ, $cilicet $patia c a d & b a c pariter accepta $unt &ecedil;&qtilde;- lia rectilineis $patijs, $ed $patiũ e a d non e$t æ&qtilde;le rectilineo, ergo <10> demon$trata hic, nec b a e, nã $i $it, $it ergo b a e æquale h g k & quia ambo $patia b a e & c a d $unt æ&qtilde;lia rectilineo ex demon$tratis, $it ergo æqualia f g k, erit ergo ex communi animi $ententia $patium f g h æquale $pacio c a d, quod e$t contra primam partem corrolarij.

LEMMA TERTIVM. Per 11. pri mi Element.

Inter duas rectas lineas $e tangentes circuli dati peripheriam Per 3. eiu$d&etilde; ducere. Sit circulus datus a b rectilineus angulus c d e, uolo illum diuidere circuli periferia data b f, duco perpendicularem d g ex, d $uper d c, & facio g d æqualem a b Per 15. ter tij Elem. & duco circulum per d qui $it d h qui cadet infra d c & ob id etiam $upra d e, igitur di- uidet angulum c d e, quare cum circulus d h $it æqualis circulo b f Cor^{m}. 6. patet propo$itum.

Ex hoc patet quod infinitis modis pote$t diuidi angulus c d e Per 1. diff. tertij eiu$d&etilde;. peripheria b f, nam diui$o per rectam c d e linea d k per &ecedil;qualia & di Per 9. primi Elem. ui$o k d e per præ$entem peripheria b f, patet propo$itum quoniam angulus c d e pote$tin infinitum recta diuidi, & ita $emper per peri- pheriam, unde patet propo$itum.

SCHOLIVM.

At<01> hæc omnia $equuntur de mente Euclidis, quæ tamen ui- dentur difficillima creditu, quoniam anguli rectilinei, et ex periphe ria

161

ria & recta $unt ex genere quantitatis continuæ, & quòd detur ma- ius & minus & nunquam detur &ecedil;quale, uidetur ab$urdum ne dum admirabile. Et maximè quod etiam anguli ex peripheria & recta $unt diuer$orum generum inter $e & infinitorum. Pr&ecedil;terea i$tud re- pugnare uidetur ip$imet Euclidi, dicenti duabus magnitu dinibus 1. Propo$. 10. Elem. propo$itis inæqualibus, $i de maiore earum plus dimidio detraha- tur, at<01> iterum de re$iduo maius dimidio, & rur$us de eo quod re- linquitur plus dimidio, nece$$e erit ut tandem minor minore quan- titas relinquatur. Ne<01> illud argumentum uidetur concludere an- gulus contactus, ex recta, & circuli circumferentia non pote$t recta diuidi, & rectilineus pote$t diuidi, ergo rectilin eus $emper e$t ma- ior angulo contactus, quia hoc contingit in angulo contactus pro pter modum anguli, non paruitatem: $i cut etiam non ualet de figu- ra a lunari, & quadrangulo b. nam pote$t b diuidi ab angulo ad angulum recta & a non pote$t, & tamen a maius e$t quam b, cum contineat ip$am. Proponantur ergo duo circuli a d e & a f g qui $e contingant in a, & corum centra $int b & c & ducantur rectæ a f d & a g e & con$tat &qring;d portiones a d & a f $imiles $unt, itemque a e & a g, ducta enim a b c Per 11. ter tij Element. per centra circulorum ex contactu tran$ibit per illa: quare anguli h a g & h a e $untijdem & $imiliter h a f & h a d ijdem, portiones ergo af & a d item<03> a g & a e $imiles $unt: an- gulus igitur g a e ex peripherijs & Ex 10. diff. tertij Elem. e a d ex rectis $unt ijdem in puncto a: $ed quod ad ba$sim maior e$t ba- $is g e quam e d: hoc enim $uppono quod per $e e$t manife$tum toties diuid&etilde;do arcum d e ut fiat minor recta g e. Quia ergo $unt du&ecedil; ma- gnitudines, quarum ter mini $unt ijdem ex una parte, $cilicet pun- ctum a, ex alia autem unus e$t maior altero, $cilicet g e quam e f & Per 1. deci- mi Elem. a d e peripheria e$t maior recta a g e. Ergo per regulam dialecti- cam $i $ub eadem proportione procederent, maius e$$et $patium $emper inter peripherias quàm rectas. igitur angulus peripheria- rum e$t maior angulo à rectis contento. Cum angulus non $it ni$i quidam habitus propinquitatis linearum, $ed angulus con- tactus ex recta & peripheria maior e$t contento ex peripherijs cum habeat rationem totius ad partem, igitur angulus contactus e$t maior dato angulo rectilineo.

O 3 Propo-

162

Propo$itio cente$ima$exage$ima.

Propo$ita linea tribus <03> in ea $ignis punctum inuenire, ex que ductæ tres lineæ ad $igna $int in proportionibus datis.

Co^{m}.

Sit data linea a b c in qua puncta dicta & datæ tres line&ecedil; d e f, uo- lo inuenire punctum, puta g ex quo ductæ tres lineæ ad a b c puncta $int in proportione a g ad Per 154. g b, ut d ad e & g b ad g c, ut e ad f. Per pr&ecedil;ceden tia inuenio circulum ex cuius peripheria omni- bus ex punctis ductæ lineæ ad a b $int in pro- portione d ad e, & per idem circulum ex cuius peripheria quælibet lineæ ductæ ad b c puncta $int in proportione c ad f, $i igitur i$ti duo circu- li $e $ecabunt in aliquo puncto puta g: liquet quod lineæ ductæ ex g ad a b c, erunt in propor tione d e f.

Cor^{m}_{m}.

Ex quo liquet quod $i uoluero ducere ad tria puncta data, tres lineas in continua proportione data d ad e, $ubijciam tertiam uel in terponam, $i uoluero mediam. Et $i uellem, ut e$$et a g ad g b dupli- cata ei quæ e$t g b ad b c, & uellem quòd proportio d ad a d f data e$$et, oporteret inuenire duas medias proportione inter d & f, in de operari cum una earum per modum propo$itum. Differt corrola- rium hoc à propo$itione in hoc, quod in propo$itione non quæri- mus ni$i proportionem g a ad g b & g b ad b c, non g a ad g c, ne<01> comparationem proportionum: at in corrolario quærimus tres proportiones g a g b & g c, & comparationem proportionum in- ter $e, $cilicet æqualitatem.

Propo$itio cente$ima$exage$imaprima.

Si fuerint duo trianguli quorum ba$es in eadem linea $int con- $tituti & æquales & ad unum punctum terminati, & latus unum commune inter reliqua quantita- te medium, nece$$e e$t angulum à maioribus lineis contentum mi- norem e$$e.

Sint duo trianguli a b c, a c d, Co^{m}. quales proponuntur, & $it a d ma- Per 23. pri mi Element. ior a b dico angulum d a c e$$e mi- norem. Si non fiat angulus d a c æ- qualis ex alia parte, & oportet $i non $it minorut uel cadat a d $u- Per 38. pri mi Elem. per a b & ducta a d ad &ecedil;qualitatem cadet infra b, ducta ergo d c erit trigonus a d c maior a b c, quod e$$e non pote$t cum $int æquales. Si

163

Si autem a d cadat extra a b ducatur d e: quæ $i cadat $upra b c uel infra, cum totum $it maius parte erit a d e, ut prius maior a b c quod Per 18. pri mi Elem. e$t contra Euclidem. Reliquum e$t ut d c cadat $upra b c: hoc au- Per 23. eiu$ dem. tem e$$e non pote$t, nam cum $uppo$uerimus a b e$$e minorem a c erit angulus a c b minor angulo a b c, quare a c b e$t minor recto, & Per 13. eiu$ dem. ideò a c d maior recto, at a c d æqualis e$t a c d, alteri igitur a c d e$t Per 4. eiu$- dem. maior recto a c b minor, erit ergo pars maior toto.

LEMMA.

His demon$tratis quis dicere po$$et ex $uperius expo$itis quod Lemmate 3. Prop. 159. angulus rectilineus $emper e$$etmaior angulo contactus? quia an- gulus contactus non pote$t diuidi ni$i obliqua linea, recti lineus autem tam obliqua quam recta. Propter hoc exponantur circuli tres $e tangentes a b, a c, a d hac rati- one ut a b, b c, c d $int æquales, erunt Per 11. ter tij Elem. enim centra omnia in linea conta- ctus, & ducatur a e f g recta quomo Per 31. ter tij Element. dolibet: & erunt ductis lineis b c, Per 32. pri- mi Elem. c f, d g anguli e f g recti, quare om- nes trigoni a b e, a c f, a d g, $imiles Per 4. $exti Elem. & ideo a e, e f, f g æquales, at<01> por- tiones a g, a f, a e, iuxta proportio- nem circulorum, quare a g, erit $ex- quialtera a f & a f dupla a e, igitur Per 10. diff- tertij Elem. per præcedentem maior erit angu- lus e a f, quam f a g, & a d a ex recta Per præce- dentem. & peripheria quam e a f, igitur augendo eadem ratione cum perue- niamus ad angulum b a g qui fermè e$t recto æqualis cum deficiat $olo angulo contactus, liquet angulum e a g e$$e longè maiorem multis rectilineis. I$tud po$$et etiam demon$trari uia Archimedis diuidendo arcus g a in h & f a in k bifariam ducendo <03> lineas re- ctas g h & fk & ita diuidendo h a in 1, & k a in m bifariam, & ducen- do rectas at<01> ita $emper appropinquando puncto a. Concludo er- go quod angulus cõtactus ex recta & peripheria e$t maior multis rectilineis. Cau$a autem erroris e$t quod multi exi$timarunt corro- larium illud e$$e Euclidis cum non $it. Nam Euclidi $ufficit hoc quòd angulus contactus nõ po$sit recta diuidi, nam eo utitur po$t modũ in demon$trationibus. Eo uerò quod $it minor omnibus re- ctilineis angulis non utitur, ideò etiam $i uerũ fui$$et nõ ad didi$$et: quanto minus: cum uerum non $it, ideò fuit adiectũ ab aliquo qui id&etilde; fore credidit nõ po$$e diuidi rectalinea & e$$e minus quocun<01> quod recta linea diuidi po$$et, quod apertè ut dixi fal$um e$t.

O 4 SCHO

164

SCHOLIVM.

Ratio autem quòd omnis angulus contactus indiuiduus $it, $eu duorum circulorum, $eu circuli cum recta e$t, quoniam cum fuerint duæ rationes contrariæ, & una perpetuò minuitur, alia manet ne- ce$$e e$t, ut tandem, quæ minuitur, $uperetur ab ea quæ manet: cum ergo circuli curuitas maneat, & angulus tendat in punctum perpe- tua diminutione nece$$e e$t, ut curuitas circuli impediat diui$io- nem rectè: $ed hoc habet duplicem obicem. Primum, quia nullus angulus ex circumferentia & recta po$$et diuidi: hoc autem fal$um e$t manife$tè, cum $olus ille qui fit ex contactu lineæ, quæ non di- uidit circulum, diuidi non po$sit. Secundò, quod angulus conta- ctus duorum circulorum $e exterius tangentium multo minus po$$et diuidi angulo contactus interioris duorum circulorum, quod tamen fal$um e$t: & hoc animaduertit Campanus no$ter, uir acutus. Dico ergo quòd in his qui $e tangunt exterius, non fit diui- $io ni$i $emel: & quamuis inclinentur mutuò, tamen in concur$u non aptantur, ut cum obuiat rectæ aut cauæ parti circuli quia ne- ce$$e e$t, ut accedat, in alio autem di$cedat: indicio e$t quod circu- los $e exterius tangentes, in puncto facilè de$cribes, interius uix fie- ri pote$t, $ed uidentur coniuncti per longum interuallum. Ad aliud dico, quòd ille angulus ex recta & peripheria conuexa circuli propter di$ce$$um $eruat maiorem inclina- tionem in quocun<01> puncto, quàm $it acce$$us conuexæ partis exterio- ris circuli.

Propo$itio cente$ima$exage$ima $ecunda.

Proportionem duorum orbium quorum diametrorum cõuexæ par tis, & concauæ proportiones datæ $int, inue$tigare.

Sint duo orbes a b c d & e f g h, Co^{m}. & $it proportio a d ad b c, data & e h ad f g, data & rur$us a d ad e h, di- co orbis proportionem a b c d ad orb&etilde; e f g h e$$e datã. Quia. n. <04>por tio a d $phær&ecedil; ad b c e$t ueluti ad di metientis ad b c dimetient&etilde; triplicata, ideò cũ nota $it a d ad b c di Per 18. duo decimi Elem. metientiũ, erit nota etiã a d $phæræ ad b c $ph&ecedil;rã. quare orbis ad ad $ph&ecedil;rã b c. nota e$t etiã <04>portio b c dimeti&etilde;tis ad a d & ad a d e h & c h ad

165

e h ad f g, igitur b c proportio dimetientis ad f g dimetientem nota. Per 22. quinti Elem. & Alizam. Quare $phæræ b c ad f g $phæram. atnota e$t proportio f g ad e h dimetientium igitur & $phærarum: igitur nota e$t f g $phæræ ad or bem e h, igitur cum nota $it proportio orbis ad a d $phæram b c, & b c $phæræ ad f g $phæram, & f g $phæræ ad orbem e h, erit propor tio orbis a d ad orbem e h nota, quod e$t propo$itum.

Propo$itio cente$ima$exage$imatertia.

Proportionem uirium $tellarum per motus $uos indagare.

Mouentur $tellæ omnes ab Oriente in Occidentem die una, qui Co^{m}. motus fit à prima mente, quæ mouet: ideò quod ad hoc attinet non e$t diuer$itas: uerùm in motibus ab Occidente in Orientem cũ $int proprij, oportet con$iderare tempus, in quo circumuertũtur, & ma gnitudinem ambitus, & inde magnitudinem orbis, qui circumagi- tur, & horum trium facta comparatione digno$citur robur uirium $tellarum & uitarum quæ mouent eas. Ponatur ergo, ut uelim pro- portionem uit&ecedil; Saturni ad uitam Lunæ: erit ergo (ut docet Alphra Diff. 21. ganus) Luna, cum e$t in longitudine propiore, altitudinem habens 109000 M.P. & cum e$t in longitudine longiore 208500, tota igitur dimetiens 417000 M.P. mane 218000 M.P. Igitur proportio $olida- rum $phærarum e$t uelut 72511713 ad 10360232, remanebit ergo proportio orbis ad $phæram elementorum, ut 62151481 ad 10360232, & e$t $excuplum fermè. Rur$us proportio dimetientis al- titudinis Saturni ad contentum e$t uelut 2011 ad 1440, & e$t propè 201 ad 114, quare 67 ad 38, quare $phærarum ut 300000 ad 55000 ferme. Igitur ferè ut 60 ad 11. Rur$us proportio dimetientis $phæ- ræ Saturni ad dimetientem $phæræ Lunæ e$t propè 313, & $phæra- rum $olidarum 306 317 10. Perinde e$t. Quia ergo proportio $phæ- ræ Saturni ad $phæram Lunæ e$t 30631710, & orbis Lunæ e$t 5/6 $olum $phæræ $uæ diuidemus 30631710 per 5/6, & exibit proportio $phæræ Saturni ad orbem Lunæ 36758052, at quia proportio $o- lidæ $phæræ Saturni ad contentum e$t ut 60 ad 11, erit $phæræ ad orbem, ut 60 ad 49 re$iduum, diuidam ergo 36758052 per 60, exe- unt 612634, & ducam per 49, id e$t per 100, fit 61263400, & diuiden do per 2, exit 30631700, detraho 612634, relinquitur proportio or- bis Saturni ad orbem Lunæ 30019066.

Iam uerò circuitus Saturni ad circulum Lunæ, proportio e$t 313, ut ui$um e$t, Lunæ autem tempus per $ex ductum e$t 164 dies, Sa- turni 177 anni propemodum, qui $unt dies 64649 diuide, duc ergo 313 in 164, fiunt 51332. Idem ergo peragrat Luna in 51332 diebus, quod Saturnus in 64649, & e$t quo ad hoc agi- lior,

166

lior, ut ita dicam, quarta parte: at Saturnus, ut dictum e$t, mouet or- bem 30019066, $ed lentiùs quinta parte, detrahe illam fiet robur Sa turni in comparatione ad Lunam 24015253.

E$t tamen Luna multo agilior ob propinquitatem, & ob uarie- tatem luminis, & magnitudinem $uperficiei. Et etiam quod maius e$t ob id quod defert ad nos uires omnium $yderum, nihilominus quo ad uires uix e$t comparatio.

SCHOLIVM. 46

Multum autem differt hæc propo$itio à $uperiore, nam in illa quæ$iuimus uim uitarum ex proportione ad $ua corpora, quæ quodammodo e$t quodammodo, non hic autem exponimus uim uitarum ex earum operatione. Propterea $ubij ciemus breuiter alti- tudinem proportiones in minore longitudine & maiori

Lunain minore altitudine51in maiore64Mercurijin minore64in maiore167Venerisin minore167in maiore1120Solisin minore1120in maiore1220Martisin minore1220in maiore8876Iouisin minore8876in maiore14405Saturniin minore14405in maiore20110

Stellarum fixarum propior 20110 longior non habetur. Et hæ men$uræ $unt in comparatione ad $emidiametrum terræ. Et iuxta id quod potuit $e cundum rationem haberi: nam demon$tratio $ola e$t de altitudinibus Solis & Lunæ, & eorum magnitudinibus à Lib. 5. cap. 14. 15. & 16. Ptolemæo in magna compo$itione.

Propo$itio cente$ima$exage$imaquarta.

Syderum proportionem in magnitudine o$tendere.

Luna ad terram comparata1/39Mercurij corpus1/22000Veneris1/29Solis corpus166Martis15/8Iouis95Saturni91

Stellarum autem fixarum in$ignium unaquæ<01> etiam minima, $i Diff. 22. credendum e$t Alphragano, e$t centies maior tota terra, unde ca- nem nece$$e e$t centies mille maiorem e$$e, e$t enim in eadem altitu|| dine, & dimetiens decuplus dimetienti $tellarum $ecundæ magni- tudinis, quas ille in$ignes uocat: aliter Saturnus non tantus e$$e po$$et, cum $it minimus a$pectu.

Propo$itio

167

Propo$itio cente$ima$exage$imaquinta.

Propo$itionem motuum omnium $tellarũ ad $olem con$iderare.

Videtur Sol qua$i Rex in Cœlo, nam omnes orbes cum illius Co^{m}. motu conueniunt, & uideturres admiratione digna his, qui non nouerunt, quanta $it concordia omnium rerum, de qua infrà dice- mus. Ergo Luna primum hoc habet, ut linea æqualis motu Solis $emper media $it inter lineam æqualis motus Lun&ecedil; & loci maximè inæqualitatis motus eius, ubi $cilicet tardi$simè mouetur, Veneris autem & Mercurij ut motus æquales idem $emper $int cum motu æquali, & locus cumloco ip$ius Solis ad unguem præterid quod infrà dicemus. Trium uerò $uperiorũ ratio $ic cõ$tat ad Solem ut à Prolem&ecedil;o ob$eruatũ e$t ex Hipparcho. In omnire$titutione cuiu$- libet planet&ecedil; $uperioris numerus reuolutionũ Solis &ecedil;qualis e$t nu- mero re$titutionũ planet&ecedil; $ecundũ motũ æqualitatis & in&ecedil;qualita tis pariter acceptis. Velut Saturnus in annis quinquaginta nouem die una & horis decem octo quinquage$ies $epties per motum in&ecedil;- qualem ad ungu&etilde;, per æqualem autem duabus reuolutionibus par te in$uper una & quadraginta quin <01> minutijs, quæ re$pondent di- ei uni, & horis decem octo ex motu Solis, & ita bis Saturnus reuol uitur $ecundum motum æqualitatis & quinquage$ies $epties per motum inæqualem & $imiliter. Iupiter in annis 70, diebus trecen- tis $exaginta, horis quatuor, $exaginta quin<01> reuolutiones in&ecedil;qua les perficiet & $ex &ecedil;quales, deficientibus ex &ecedil;qualibus quatuor par- tibus & dextante quod e$t quãtum peragraret Solin quatuor die- bus, & dextante diei ad perfectionem $cilicet annorum $eptuaginta at<01> unius. Martis quo <01> $tella in annis $eptuaginta nouem, & die- bus tribus & horis fermè quatuor triginta nouem facit inæquali- tatis reuolutiones: æqualitatis autem quadraginta duas, & in$uper partes tres cum $extante, quas manife$tum e$t peragrari à Sole in diebus tribus at<01> horis quatuor. Veneris quo <01> $ydus in octo an- nis deficientibus diebus duobus & quadrante, inæqualitatis quin- que perficit reuolutiones, æqualitatis autem tantundem ad un gu&etilde; quantum Sol deficiente eadem parte $eu diebus duobus & qua- drante. Mercurij quo <01> $tella in quadraginta $ex annis & una die & hora una fermè quadraginta $ex fermè perficit reuolutiones æ- qualis motus & in$uper gradum unum cum portione re$pondenti portioni temporis, id e$t, horæ fermè uni: in æqualitatis autem cen- $um quadraginta quin <01>. At<01> h&ecedil;c $unt manife$ti$sima et ut dixi ad- miranda $unt, præterea alia minus generalia, aut minus manife$ta aut non tanti momenti quæ con$ultò prætermitto, non e$t. n. locus hic do cendi artes $ingulas $ed $olum ea tra ctandi quæ ad argumen tum

168

tum pertinent. Igitur ut ad rem redeam. Solis cum octauo Orbe ea ratio e$t, ut linea quam ille permeat eadem $it quam qu&ecedil; fix&ecedil; $tellæ, non. n. ad eandem di$tantiam & mente conceptam ab æquinoctijs de$cendentem ac æquidi$tantem mouetur, $ed ad eam $ecundum quam $tell&ecedil; fix&ecedil; in octauo orbe mouentur in comparatione ad ecli- pticam $uperioris orbis. Porrò de his at<01> huiu$modi in Paralipo- menis diximus, ubi etiam docuimus quomodo $ecundum duos cir Lib. 14. cap. 7. culos, qui $olum circa $uum centrum mouentur, punctus datus per petuò in recta linea feratur.

Propo$itio cente$ima$exage$ima$exta.

Proportiones mu$icas $uperpartientes in eas quæ particula una tantum abundant reducere.

Co_{m}.

Ptolem&ecedil;i hoc inuentum fuit, ut & multa alia pr&ecedil;clara: ita<01> $ta- tuendum e$t, primum uoces &ecedil;quales non concentum efficere, quia diuer$æ non $unt, qu&ecedil; autem diuer$&ecedil; $unt, nihilominus proportio- ne con$tant $implici$sima & multiplici, tales optimam efficiunt ar- moniam. Eiu$modi $unt quæ in dupla $unt proportione, uocatur autem diapa$on. 1. qua$i omnia comprehendens non à numero uo- cum uelut diapente & diate$$aron à quatuor & quin <01> uo cibus. In diapa$o. n. omnia cõprehendi uidentur. 1. omnes uo cũ differentiæ, quanquã ex octo tantũ uo cibus con$tet. Pò$t $unt quæ in &qtilde;drupla, unde bis diapa$on, po$t quæ in tripla, nam <04>pior e$t monadi $eu &ecedil;- qualitati: $ed non adeò $implex ut bis diapa$on. Vocant aũt hanc diapa$on diapente: inde $ub$equi&ttilde; octupla qu&ecedil; uix in uocib. huma- nis habetur: frequ&etilde;s in in$trumentis, uo ca&ttilde;<03> tris diapa$on inde $ex- cupla, $eu bis diapa$on diapente. Quintupla aũt minus cõcors e$t: $ed de hac inferius dicemus, at<01> de multiplicib. dicta $unto. Sed de cõ centu ex particula $uperaddita $exquialtera $exquitertia at<01> alijs nunc agendum. Clarum e$t. n. has e$$e $implici$simas. Cum ergo du pla proportio non magis po$sit diuidi æqualibus interuallis at<01> $implicibus proportionibus quàm in $exquialteram & $exquiter- tiam, uelutinter 4 & 2 interpo$ito 3. nam proportio 3 ad 2 e$t $ex- quialtera, & 4 ad 3 $exquitertia: nec melius pote$t diuidi, at $exqui- alteram & $exquitertiam quantumuis magnis numeris diuidere non licebat melius aut commodius quam per $exquioctauas: uelu- ti $umpto numero 64 cui duplus e$t 128, inter medius 96 qui cum 64 $exquialteram facit proportionem, quæ $uaui$sima e$t omni- um deductis multiplicibus, uo catur<03> diapente. At quæ e$t 128 ad 96 $exquitertia e$t minu$<01> benè $onat per $e, $ed in acutioribus uo- cibus $olum cum alijs benè $onat, uelut cum diapente, perficiens diapa$on, interuallum, ergo inter 96 & 64 diui$um per $exquio cta- uas

169

uas <04>ducit 72 et 81, nã 72 ad 64 e$t $exquio ctauũ, $icut 81 ad 72. uerùm id accidebat in cõmodi <09> 81 ad 64 nullã habet <04>portion&etilde; commodã, & multominus 96 ad 81, quare ui$um e$t Ptolem&ecedil;o ut $ubtracta mona de fier&etilde;t termini 64, 72, 80, & 96, <04>portio aũt 80 ad 64 cõ$tituit $exqui quartã at<01> ditonũ, <04>portio quo <01> 96 ad 72 $exquitertiã $emiditonũ <03>. Rur$us <04>portio 128 ad 64 cõponi&ttilde; ex <04>portionib. 80 ad 64, &qtilde; habe&ttilde; <04> ditono ut dictũ e$t, & e$t $exquiquarta <04>portio. At 128 cum 80 e$t in <04>portione $uperpartiente tres quintas, &qtilde; iterũ e$t con$ona. Regula e&mtilde; e$t <09> ubi con$onantia uo cũ diuida&ttilde; in duas partes, quarũ una $it con$o nans, reliquã etiã e$$e con$onant&etilde;, at nõ cõuerti&ttilde;. S&ecedil;pe. n. fit ut ex duab. con$onantibus di$$onans cõpo$itio oria&ttilde;, uelut ex duplici diap&etilde;te, aut diap&etilde;te cũ ditono, $ed ut ad <04>po$itũ reuertar, alia diapa$on e$t inter 80 & 40, at inter 48 & 40 e$t $emiditonus ut o$t&etilde;$um e$t, uelut inter 96 & 80, nam inter 45 & 40 e$t <04>portio $exquioctaua, inter 48 aũt & 45 $ex- quiquinta decima, igi&ttilde; ex regula data <04>portio 80 ad 48 &qtilde; e$t $uperbi- partiens tertias $eu $olida cũ be$$e $eu $exta maior erit cõ$onans. Iam er go uidemus detractione aut additione $exquio ctuage$imæ, concinnas reddi uulgatiores armonias: tertiã utran <01> maior&etilde; $cilicet & minor&etilde;, ac rur$us $extã maior&etilde; at<01> minore &qtilde; in minoribus numeris $cilicet à mo- nade ad octo po$itæ $unt. Vides præterea $emiditonũ in $exquiquinta Diapa$on21Bis diapa$on41Diapa$on diapente31Tris diapa$on81Bis diapa$on diap&etilde;te61Hæmiolia32Hæmitritæa43Ditonus54Semiditonus65Sexta minor85Sexta maior53Bis diapa$on ditonus51
cõ$tare: adeò ut à $enario infra nihil inutile reddatur. Diate$$aron aũt cum primum di uidi pote$t, $i $ecus diuidatur <08> in ditonũ & $emitoniũ, aut in $emiditonum & tonũ, $cilicet in duo tantũ interualla, non cõmo- dius quã inter octo & $eptem & $ex diuidi pote$t. Cum ergo octo ad $ept&etilde; di$$ona $it, quippe nimis remota e$t h&ecedil;c <04>portio à $en $u humano: quamobr&etilde; ex regula data, ne- que proportio $ept&etilde; ad $ex. Sed dubitabis meritò, quia cũ diate$$aron diuidatur bifa- riã, in ditonũ & $emitoniũ, ac rur$us in $e- miditonũ & tonũ, quarum altera cõ$onans e$t, reliqua nõ. Vide&ttilde; ergo infirmari regula illa, <09> con$onantia diui$a $i una pars cõ$onet, alia non po$sit e$$e di$$onans, nã con$tat coniũ & $emitoniũ tam per $e quam in cõpo$itione di$$onare: & nõ parũ $ed acerbè. Verũ re$pondeo diate$$a ron, ut dixi, numerari inter ambiguas coniugationes, quatenus e&mtilde; per fe e$t, di$$onans e$t: at <01> $ic in con$onant&etilde; & di$$onantem diuidi pote$t: quatenus aũt pars e$t diapa$on cõ$onans in acutis: quan <08> etiã adiecta ditono aut $emiditono $uprà efficiat $extã maiorem aut minor&etilde; parum benè $onantes. At quintupla <04>portio ut ab initio <04>po$itum e$t, cõ$tat bis diapa$on, & $exquiquarta, ut planè manife$tũ e$t: $exquiquarta aũt P ditonus:

170

ditonus: bis diapa$on aũt quindecim uo cibus. Omnes igitur decem, & $ept&etilde; uoces, &qtilde; $exdecim interuallis di$tinguun&ttilde;, con$onantes $unt: & ex genere ditoni, & $exquiquartæ, $ed paulo minus benè $onãt <08> ditonus ip$e. Igitur quintuplã multiplicem ad $ex quiquartã reduximus. Verum ut o$ten$um e$t & decima$eptima, &qtilde; bis diapa$on cõ$tat, & $emiditono benè $onat, h&ecedil;c aũt inter non aginta $ex & uiginti: quadrupla igi&ttilde; e$t & $uperquadripartiens quintas. Diapa$on quo <01> cum $exta maiore & mi nore eandem habentrationem quam 16 ad 5, & 10 ad 3, triplam utran<01>, $ed altera $exquiquinta, altera $exquitertia: bis diapa$on uerò cũ ei$dem ut uiginti ad tria, & 32 ad quin <01> $excupla utra<01>: $ed altera $uperbipar- tiens tertias, altera quintas. Manife$tũ e$t igitur hanc diui$ionem nõ $o- lum concinnam magis e$$e & $uauem $ed omnem tonorũ & $emitonio- rum nece$sitat&etilde; effugere. Quòd uerò in cau$a fuit ut toni & $emitonia in u$u e$$ent, id e$t, quoniam in di$c&etilde;do nece$$e e$t eandem $eruari ratio- nem in crementorũ, ne <01> arithmeticam $ed geometricã. Ideò a$c&etilde;$us per tonos & $emitonia cõmodus fuit, nam duplicem $olũ differentiam pue ri u$u a$$equi coguntur. At uerò poterat & per $exqui$extam diuidi dia te$$aron, ut inter triginta $ex & quadraginta nouem interpo$itis 42, ue- rùm triplex $equeba&ttilde; in cõueniens: primum ut diate$$aron ad amu$sim non $eruaretur, $ed incidebat in cacophoniam, addita quadrage$ima o- ctaua parte: deficiente aũt in duabus $exqui$eptimis numeris $eu <04>por tione $exquitertia: ut inter 49 & 64 loco 48 & 64, uelut etiã inter 48 ad 36, additaigitur monade in termino medio utrin <01> fit di$$onantia. Se- cundum inconueniens, e$t <09> $ic diuidente non $eruabatur ratio $exqui- quartæ & $exquiquintæ $eu ditoni & $emiditoni, quæ uoces benè $o- nant. Tertium inconueniens erat, quòd hæcratio diuidendi diapentes minimè $atisfaciebat, uelutinter 324 & 216. Interponere enim nece$$e erat 252 & 294, unde incongrua rur$us erat diui$io. His tot cau$is cum proportiones maiores non fatisfacerent ut $exqui quinta quæ diate$$a- ron nullo modo æqualiter diuidere pote$t, & in diapente deficit $exqui uige$imaquarta, ut inter 25 & 36, coacti $unt cum nec $exqui$exta nec $exqui$eptima idoneæ e$$ent ad $exquio ctauam confugere.

E$t & alia diui$io toni in $emitonia, &qtilde; e$t uaria pon&etilde;do tonũ inter 18 & 16, media uox e$t 17 $emitonium maius inter 17 & 16, $ed minus inter 18 & 17, quorũ differentia e$t 1/288. Hic $ubit admiratio quomodo $emi- toniũ minus apte&ttilde; tam gratè in $ymphonijs, maius aũt nequaquã. Ptole m&ecedil;us hoc negaret, quia $exquiquinta $eu $emiditonus cõ$tat tono inte- gro, qui e$t inter 90 & 80, & $emitonio plu$quã maiore quod e$t inter 96 & 90, & e$t $exquiquinta decima: &qtilde; maior e$t tono maiore 1/255. Pro- pterea dicemus cau$am e$$e <09> po$ito $emiditono inter 81 & 96, id e$t, 27 & 32 $ublato tono, id e$t, 234 & 216, remanebit 13 differentia 256 ad 243, $eu qualis e$t 96 ad 91 & 1/8 quæ e$t ut 768 ad 729 et redit ad id&etilde;, $cili cer,

171

cet, ut 256 ad 243, 13 autem e$t paulo plus decimanona, ergo multo mi- nus $emitonio minore. $ecundum m&etilde;tem ergo Ptolemæi, po$ito tono inter 135, & 120, & $emitonio maiore inter 128 & 120 remanebit $emito- nium minus fermè inter 19 & 18, id e$t, 133 & 126, qu&ecedil; proportio differt à 135 & 138. Si quis autem bene animaduertat, $exquioctuage$ima illa adimitur, ex tono & additur $emitonio minori, & hæc e$t cau$a quòd $emitonium maius Ptolemæi $it concinnum, quia additur tonis imper fectis. Dimidium autem $emitonij minoris e$t inter 36 & 35, & uocatur cõma: & e$t minus & maius: maius e$t inter 35 & 34, rur$us cõma mi- nus diuiditur in duas die$es, minorem, quæ e$t inter 72 & 71, & maio- rem, qu&ecedil; e$t inter 71 & 70, & ideò manet difficultas quomodo intenta uoce per die$im fiat melior con$onantia? nam de remi$sione po$$emus dicere quòd accipitur loco $exquio ctuage$imæ: $ed in $exquioctuage- $ima remittitur de tono $ecundum mentem Ptolemæi, in die$i intendi- tur $emitonium minus, $icut o$tendit experimentum, $ed for$an conue niunt quia intentio $emitonij minoris deducit $emiditonum ad $exqui quintam: e$t enim differentia $emitonij minoris intenti hoc modo ad $emitonium minus, ut 136 ad 135: $ed hoc e$t longè minus $exquioctua ge$ima, unum $at e$t, hanc e$$e ultimam diui$ionem toni in octo par- tes, & ut in diatonico toni dominantur, ita in chromatico $emitonia in enarmonico die$es, $ed die$es fugitando (utita dicam) ac aures uelli- cando, mirum in modum oblectant audientes: uelut toni $tando, un- de etiam nomen, $emitonia medium modum obtinent.

Tertium genus proportionis (omitto modò diui$ion&etilde; temporum binarij, ternarij, quinarij, qui ultimus e$t eorum quos $en$us recipiat, nam $eptenarius propinquior e$t binarij diui$ioni ob octonarium, & modos illos $atis notos Doricum, Lydium & Phrigium, ac eiu$modi) e$t Ptolemæi: rur$us qui cum uideret de$pectam futuram mu$icæ con- templationem, conatus e$t illius aliquod $ingulare emolumentum o$tendere, quemadmodum fecit & in libro de Prædictionibus, exi$ti- mans ni illos compo$ui$$et ueluti pr&ecedil;mium o$tendentes tanti laboris quantus nece$$arius uideretur ad intellectum librorum Magnæ com- po$itionis, futurum e$$e, ut hi negligerentur, ergo & hoc in mu$icæ li- bris o$tendere molitus e$t, $cilicet, præclarum e$$e aliqu&etilde; huius cõtem- plationis finem, quod utinã non feci$$et, ne illud uerè de eo dici po$$et:

—Non omnia po$$umus omnes.

Virum enim hunc $upra omnem humani ingenij metã fui$$e nõ nega- mus: $ed hanc partem quam hic agit, adeò infeliciter tractat, ut malim credere totũ illum tertium librũ fui$$e ab aliquo alio adiectũ. Etenim quid turpius $apienti homini <08> imitari uulgares illos? $ept&etilde; planetæ, $eptem mundi miracula, $ept&etilde; artes liberales: quid enim $imilitudo nu P 1 meri

172

meri iuuare pote$t, aut quàm afferre utilitatem? nimis certè in dignũ e$t uti argum&etilde;to à $imilitudine $umpto: tum maximè adeò leui. Sed quo- niam con$tat omnia quæ in mundo $unt ordine coniuncta e$$e, & ne- ce$sitate uinciri, ideò cùm finis ip$e uerus $it, non tam debemus Ptole- mæum damnare, <09> non probauerit, quàm laudare, quod ueritat&etilde; $ine ratione $it a$$ectus. Sæpe enim accidit huiu$modi uiris adeò pr&ecedil;$tan- tibus ut ueritas detegatur, quam cùm illi, ut mos e$t hominũ, rationi- bus adornare nituntur, tran$gredientes metam muneris, in ab$urda & ineptias incidũt. Ergo id modò declarare aggrediar, $upponens <09> ue- rum e$t, $cilicet hanc mu$icam concinnitat&etilde; cum diuinis connexã e$$e, & ab illis originem ducere. Verùm dubium e$t, an $oni propter nume ros iucundi $int, an propter aliud? & $i propter aliud, cur ergo numeri ad hoc $unt nece$$arij? & cur ob$eruare eos oportet ne ab illorum ordi ne di$iungi po$sint? Hoc aũt perfacilè intelligi&ttilde;, & à nobis aliâs decla- ratum e$t, $cilicet delectare nos, quæ percipiuntur quæ<03> ratione facta uidentur, quoniã in his naturæ uis relucet & imago uniuer$i, ergo dele ctant nos, quoniam natur&ecedil; ordine nos con$tamus. Illud difficilius lon gè &qring;d tam&etilde; diligenti ob$eruatione dignũ uidetur, $cilicet, quonam pa cto harmonia cum rebus cœle$tibus aut humanis cõiuncta $it. For$an & illud ab re non e$$et intelligere, cur nullum animal pr&ecedil;ter hominem capax $it harmoniæ? an for$an quoniã $olus homo ratione participet, & ob id $olus gaudet ratione? ordinata aũt ratione cõ$tant aut $ola aut maximè, numerus autem quid aliud e$t quàm ordinis $eparatorũ ima- go. Porrò hæc accipienda $unt ex his quæ $en$ibus deprehenduntur, qualia $unt <09> animus mouetur & uarios affectus in duit iuxta harmo- niæ diuer$itatem lætiti&ecedil;, tri$titi&ecedil;, impetus, remi$sionis, timoris, $pei, ira- cundiæ, & commi$erationis. Nos enim maximè octo affectus mouent mu$icæ modulationes. Secundum quid autem mouent? uel quia con- $onæ aut di$$onæ, uel quia concitat&ecedil; aut tardæ, uel quod maius e$t <09> tendant in acutum ad alacritatem, uel in grauem de$inant & remi$$um $onum ad cõmi$erationem, & lachrymas, aut etiam ex modo tetrachor dorum. Illud $anè non ob$curum e$t, animã cum $ono maximè e$$e con iunctã, nam ne<01> odoribus ut odores $unt, ne<01> $aporibus, aut his quæ tanguntur licet plurimum delectent, aut etiam lædant, anima mouetur ad affectus, licet, ut dixi, magis homo delectetur, aut tri$titia afficiatur quemadmodum ex $onorum uaria natura, quod etiam in mor$is à Ta rantula (arane&ecedil; genus e$t) deprehenditur. Quinimò nec à luce nec à co loribus aut pictura, ni$i ut hæc ad memoriam reuocãt ea, propter quæ ad hilaritatem aut tri$titiam uel iram, uel commi$erationem mouemur. Vnde quo$dã reges ferunt iniurias acceptas iu$si$$e depingi in aula ne po$$ent obliui$ci, at longè plures curarũt, ut potius eorũ facta egregia pinge-

173

pingerentur continuata per memoriam uoluptate, quam dum illa àge rent, cõceperant: nihilominus, ne<01> color ip$e, nec lux aut $pectaculum uel imagines po$$unt adeò mouere animi affectus, uel $onus. Nam duo in uniuer$um ex ui$u ad animi affectus mouendos habentur, tene bræ ad tri$titiam & metum, pictura regionum amœnarũ ad iucundita tem, $ed irã quæ moueant picturæ alacritatemúe aut cõmi$erationem, non habemus. Videtur ergo ob hæc $onus ip$e magis animæ intimus <08> ullum aliud $en$ile. Quod $i odoratus e$t in app&etilde;dicibus cerebri, ui $us in pupilla oculi, gu$tus in linguæ neruis, ueri$imile e$t magis inti- mum e$$e auditum, $cilicet in cerebro ip$o, at<01> ob id magis ab illo mo- ueri animam. Ne<01> e&mtilde; in a&etilde;re concepto à concauitatibus auris, qui no $tri pars non e$t: ne<01> à tympano, cùm $uperflua fui$$et cauitas interior omnis: ne<01> enim inter pupillam & cerebrum pars ulla cernitur ad ui- $um adiuuandum idonea: $ed $olus $ufficit con$en$us pupill&ecedil; cum cere bro: nam ad nos per $piritus deffertur imago, non e&mtilde; ui$us e$$et unus, nec in uno tempore fieret, $ed ueluti è $ecũdo $peculo & decimo $imul, & eodem tempore reflectitur imago, ut à primo ita $en$us ui$us ex pu- pilla in cerebro & in corde & anima $imul relucet. At ergo non potuit in tympano uel neruo den$iore fieri auditus, $ed in cerebro ip$o, ob &qring;d magis moueret affectus. Sed & magis incorporeus e$t $onus, ut qui in$trumentum proprium non afficiat, ni$i cum immoderatus fuerit, at omnis color, omnis lux oculum afficit, ac, ut ita dicam, tingit, ne<01> $uc- ce$siones illas ob id adeò minutas oculus percipere pote$t ut auris, $ed coinquinatur, ut ita dicam, priorum obiectorum reliquijs at<01> ima ginibus. Vt in uniuer$um con$tet puriorem e$$e auditus $en$um etiam animæ no$træ propiorem quàm ui$um.

Quibus con$titutis uidendum e$t, quomodo $onus permutet affe- ctus: hoc autem nõ quia animam, quæ immortalis e$t & immateriaria, $ed quoniam aut corporis eam partem, quæ e$t animæ in$trumentum, id e$t, $piritum, aut animæ principal&etilde; coniunctionem qua corpori an- nexa e$t. Vt enim corpus de$erit aut impeditur à corporis commercio corpus immoritur: hoc præ$entiens animus, fiunt illa duo præuia ad mortem timor & tri$titia. Vt contrà, lætitia non e$t ni$i communicatio animæ corpori, & quatenus communicatur $olum de uita cogitat, at<01> ob id qua$i immortalis, qui lætatur obliui$citur mortis. Ergo anim&ecedil; ra tio illa erit, quæ ut cogno$cit perfectè exhilaratur dulcedine uo cum, & hoc fit in diapa$on. Vt uerò imperfectè diapente, ut imperfectius dia- te$$aron, at cum ex diate$$aro & diapente perficitur diapa$on, accidit ei id&etilde;, quod quær&etilde;ti gemmas in matrice dum inuenit, & ei qui ex tabulis arcam cõficit, & puero cũ adole$cit, & generaliter ei qui ex imperfectis perfecta colligit: ex quintæ enim & quartæ $en$u imperfectarũ con$o- P <*> nantiarum

174

nantiarum percipit perfectam diapa$on. Videamus ergo an aliquid $it $imile in animæ facultatibus, nec dubiũ e$t quin ex $en$ib. exterioribus at<01> interioribus fiat intelligentia. Et $en$us quid&etilde; exteriores $exquiter tia cõ$tant: e$t enim illorũ imperfecta cognitio: maior longè memori&ecedil; unius & rationis reliquarum<03> facultatũ, ex quibus intellig&etilde;tia oritur. Iam uerò habemus exactam $imilitudin&etilde; facultatum anim&ecedil; human&ecedil;, &qtilde; cogno$cit. Nunc ulterius <04>cedamus et uideamus, an$it aliqua etiã con iunctio inter illas, nam $imilitudo et$i $it una originis cau$a, non tamen $ola digna e$t ut à Philo$opho numere&ttilde; inter cau$as ordinis & natura- lis uinculi. Non e$t ut tetrachordorũ genera ad partes anim&ecedil; cõparen- tur, cũ $int uoluntaria diui$ione, non natura con$tituta. Sed $i quis hoc uelit, magis ad rationem <04>prietatis re$piciat, $uauitas in chromatico, $ubtilitas in Enarmonico, $tabilitas in diatonico: Vt Enarmonicũ ad mentem uerè referri po$sit, chromaticũ ad $en$us: diatonicũ ad uitã na turalem<03> facultatem. Sed, ut dixi, iam <04>pius accedamus, cõcitatior $o nus, ut Doricus ad alacritatem pertinet, ad pugnam, ad uim anim&ecedil; ira- $cibilis: Phrygius ad uoluptat&etilde;, Lydius ad intelligentiam remi$sione corporeorũ affectuum. Sed nõ qu&ecedil;rere decet aut laborare, ut malè in- uenta aut di$tributa aptemus ordini natur&ecedil;, $ed ut res rebus. Diximus quatuor e$$e differ&etilde;tias nobiliorũ affectuũ animi, $cilicet, timoris, $pei, iracũdi&ecedil; $eu $&ecedil;uiti&ecedil; & cõmi$erationis, l&ecedil;titi&ecedil;, tri$titi&ecedil;, impetus ac remi$- $ionis. Et uide&ttilde; mu$ica nec hoc &ecedil;qualiter monere, $ed primũ uideamus an hi$oli affectus $int maximi, quippe dee$$e uiden&ttilde; amor at<01> odium. Et mihi dubium non e$t quin hi potenti$simi $int omniũ præter metũ. Sed metus cũ cau$a, affectus propriè nõ e$t, $ed potius $cientia quædã. Proprium enim perturbationum e$t excedere rationem: at metus mor tis, ppri&ecedil; aut de filio, non e$t à ratione alienús, nec excedit metas, modò inanis non $it aut fal$us, ob hoc metum excludemus ab hoc negocio: tum maximè ob id quod nulla mu$ica e$t quæ metũ excitet cùm ea, nõ opus $it in eo, qui $it cum ratione coniunctus. Indicio e$t <09> potius illũ excudit abrupta mu$ica, $icut & omnia alia quæ perturbant rationem, ueluti $olanũ & madrangora at<01> cicuta. Amorem igitur & odium nõ excitat mu$ica, quia amor & odium alicuius $unt amor & odium, mu$i ca aũt generales $olum mouet animi affectus. Et commi$eratio, licet $it Didonis aut Phillidis, tamen e$t generaliter mi$erentis. Qu&ecedil;ramus er- go rur$us qui $int affectus generales animi. Et $anè uiden&ttilde; e$$e lætitia at<01> tri$titia: impetus & remi$sio: $&ecedil;uitia ac mi$ericordia & audacia. Sũt tria ferme cõiũcta $imul impetus & $æuitia at<01> audacia, quoniã cũ mo tu <10>turbato animi $unt eiecta ratione. Ob id unũquod <01> horũ ab ira- cundia deriua&ttilde;. Quapropter & ita ration&etilde; expellit aut $uppeditat. at ra tio perturba&ttilde;, aut ab immodicis $onis, aut in cõptis et magnas mutatio nes

175

nes habentibus at<01> a$peris. Hæc autem, ut ita dicam, nulla e$t mu$ica. Sed ne<01> mu$ica ulla tri$titiam gignit, cum ut dixi, tri$titia nil aliud $it <08> mortis imago, mu$ica aũt uitam fouet. Vnde nõ immeritò fertur Xeno philus mu$icus centũ quin<01> annis $ine aliquo incõmodo uixi$$e, quod $ingulare e$$e exemplum in humana uita refert Plinius. Relin quitur igi tur tandem, ut mu$ica maximè moueat tres affectus lætitiam, remi$sio- nem & mi$ericordiam. Et quod ex his po$tmodum ad labores in$urga- mus intentius, hoc non e$t ex mu$ic&ecedil; ui aut facultate, $ed cõ$equentibus ad illa alia cau$is. Ne<01> ergo horũ cau$as ex diui$ionibus at<01> di$tribu- tionibus uoluntarijs mu$icæ cõ$iderare oportet, $ed ex ip$a rerũ natura at<01> e$$entia. Veluti intentionis et remi$sionis, a$peritatis at<01> $uauitatis celeritatis ac tarditatis; cõ$onantium aut di$$onantium uo cũ at <01> muta- tionis: hæ enim differenti&ecedil; præcipu&ecedil; $unt uo cum, uel etiam te$te Ari$to tele. Verùm nõ ob$curum e$t: quemadmodum remi$siones fiant animi In lib. de Au dibilibus. affectuum, cũ remittuntur uoces aut intendantur ad earũ intentionem. Sed non e$t æqualis ratio, quoniam natura no$tra ad remi$sion&etilde; natu- raliter inclinata e$t, ad intentionem non ita, $ed per uim quandã aut me- dio uoluptatis, aut cum anima purior e$t à corporis impedimentis. Et ob id ad $tudia nil aptius e$t pura $obrietate: nihil ineptius crapula at<01> temulentia. At l&ecedil;titi&ecedil; cau$&ecedil; $unt, & cõ cordia uo cũ, & mutatio ex a$pera in $uauem, nõ $ecus ac eius qui euadit è paupertate uel è mole$tia aliqua aut dolore aut alio incõmodo, tum inten$io uo cũ ac liber $onus. Vnde in l&ecedil;titia $olent homines exclamare. At ad cõmi$erationem mouendam omnia remitti oportet ex magna in parua, adeo<03> deficientem ex a$pera in leuem, ex ueloci in tardam, ex di$$ona in con$onantem. Antiqui ergo (ut author e$t Cælius Rhodiginius) Dorico ad temperantiam & mode Lib. 9. ca. 3. rationem utebantur, $cilicet quòd non haberet præcipites lap$us, ne<01> arduas intentiones: Phrygio ad impetum & bellicum ardorem, $cilicet per a$peras intentiones: Lydio ad fletus & lamentationes per ca$us & remi$siones longas ac $uaues: ideo funeribus peculiaris: Mixolydio ad commi$erationem, ut defectiones interponantur & breues abruptæ<03> remi$siones, iuuant<03> in hoc plurimum & $en$us uerborum, familiaris hic tragædijs: Aeolicus qui & Ionicus tranquillitatis animi author e$t $o mnum<03> conciliat: Dorico non ab$imilis $ed $uauior & mollior: ideò chromatici generis. Qu&ecedil; uerò ad cœli motus referuntur, diapa$on qui- dem refertur ad motum diurnum, nam maximo con$tat, & exacti$simo interuallo, unus<03> e$t in omnibus & iucundi$simus & omnia continet, uelut & diurnus motus. Proprius autem tàm erraticis quàm fixis, qui etiam æqualitati propinquior e$t, & ad maiorem di$tantiam $cilicet de- clinationis $igniferi ab æquinoctij circulo ad diapente refertur. Rur$us diate$$aron quòd minimo cõ$tat interuallo ac maximè inæquali, & per $e quidem qua$i non nece$$ario ad motum in latitudinem refer&ttilde;, is enim exiguus

176

exiguus e$t & inæqualis. Ex horum ita<01> duorum cõpo$itione quem- admodum et ex diate$$aro & diapente conformatur diapa$on, pulchra con$truitur exortus & occa$us $yderum ratio, quæ primo motu cõ$tat.

Porrò de participatione diapente, quam non $olũ u$urpamus in in- $trum&etilde;tis fi$tularum organis dictis: $ed etiã in fidibus monachordorũ $eu clauichordorũ (ita. n. nunc uo can&ttilde; in$trum&etilde;ta quib. caruerunt anti- qui) nõ alia e$tratio, quàm &qtilde; dicta e$t con$tituendarũ con$onantiarum in ditonis & $emiditonis $exta<03> utra<01>. Vt e&mtilde; quatuor con$onantiæ $uauiores efficeren&ttilde;, nece$$e fuit unã, $cilicet diapent&etilde; uariari. Exempli gratia, $int fides expo$it&ecedil; octo, & ut con$titua&ttilde; proportio h ad c, ut 128 autbrecmidfae$olfregmihfa
ad 80, id e$t ut 8 ad 5, c facta e$t remi$sior octoge$ima, quare cũ 81 diapente habeat ad 121 cũ dimidio, erit ad 80 maior 1 1/2, id e$t octuage$ima parte 120, quare intentior diapente. Atin diapa$o omnia ad id&etilde; redeunt: horũ etiam cau$a $emitonia nigra illa ad- dita $unt. Sed h&ecedil;c tractatio <04>prium locũ exigeret, $ecus e$$et ni- mis curio$i illa huc traducere. quemadmodum, & ut uellemus Philo$ophiam naturalem, moral&etilde;, & mathematicã ad mu$icã tra ducere <04>portion&etilde;. Melius $anè fui$$et $ubtilioribus rationibus hãc m&etilde;$uris motuũ a$trorũ <04>ut cõueniũt (quantũ fieri potuit) apta$$e.

Propo$itio cente$ima$exage$ima$eptima.

Proportionem mu$icam ad $apores & odores coaptare.

Co^{m}.

Melius feci$$et Ptolem&ecedil;us, $i hãc <04>portionem ad $apores & odores et picturas, quemadmodũ inuenimus nos, applica$$et, uel ut Vitruuius ad machinas, poterat e&mtilde; hoc $cire, cum Vitruuius plu$<08> centum quin- quaginta annis Ptolem&ecedil;ũ antece$$erit. Et quan<08> Latinè $crip$erit, non tam turpè erat latina legi$$e, aut cõuer$a ab alio quopiam intellexi$$e, <08> ne$ciui$$e nece$$aria pulchra<03> inuenta aliorum clarorum uirorum, & quod deterius erat, rerũ memorabilium loco fabulas $ubtexui$$e. Ergo ut ad rem ueniam: mu$ica proportio bifariam inueni&ttilde; in $aporibus: $im- pliciter, & ex comparatione, & $impliciter quidem $umma $uauitas ad diapa$on refertur: e$t enim $uaui$simus concen$us in $aporibus, ergo dulce ei re$põdet, ut $implex, quid enim $uauius e$$e pote$t in utro <01> ge nere. At pinguis, qualis in carnibus & ouis benè pr&ecedil;paratis ad diap&etilde;te refertur, e$t enim & ip$e $uaui$simus po$t dulce, at <01> in $uo genere perfe ctus, diate$$aron uerò optimè $al$o cõuenit. Hic enim per $e improbus e$t & in$uauis, $icut etiam $apor $al$us e$t, diate$$aron aũt cum diapente perficit diapa$on, & cum diapa$o inutile e$t, et di$cordat, ita $apor $al$us cum pingui $ummam delectationem affert: cum dulci adeò parum con gruit, ut melius $ocietur cũ amaro, uelut in oliuis benè $al$is. Ergo $al- $us $apor cum diate$$aro ad ungu&etilde; congruit rur$us $emiditonus cũ in$i pido, & a$tringens cum ditono conueniunt ad unguem, nam uter<01> nõ illepidus, & cum dulci conuenit, ita $emiditonus & ditonus cum diapa $o con-

177

$o conueniunt, uterque etiam horum $aporum parum mouet$en- $um, & inter $e $unt qua$i $imiles quod ditono accidit & $emidito- no, $ed & neuter horum cum pingui conuenit, ne<01> ditonus aut $e- miditonus cum diapente congruit, di$cordat enim h&ecedil;c compo$itio non parum. Rur$us & in hoc $imiles $unt quod diate$$aron cum di- tono & $emiditono plurimum conuenit, ita & in$ipidum, & a$trin- gens cum $al$o bellè cõueniunt. Diate$$aron enim cum ditono $ex- tam efficit maiorem, & cum $emiditono minorem qu&ecedil; utri<01> con$o nant, non tamen plus $uaues per $e $unt, quòd dulci & pingui care- ant, ut nec $exta maior aut minor, &qring;d ne<01> diapa$on perficiant ne<01> diapente: Acris aut&etilde; $apor $exta maiori $imilis e$t, acidus minori: mutuo conueniunt cum in$ipido acris, & cum a$tringente acidus, quemadmodum & $exta maior cum $emiditono, & minor cum di- tono copulatur perficientes diapa$on: $ed minus $uauem, quia ab- e$t diapente ibi, quia abe$t pingue: au$terum uero cum acri mode- rato conuenit, propterea bene uter<01> cum in$ipido iungitur, unde illud Epigrammatici:

Vt $apiant fatuæ fabrorum prandia betæ, O quam $æpe petet uina piper<03> coquus.

Piper enim acre e$t, & uinum au$terum e$t. Et iu$ta querela Cicero- nis in Epi$tolis familiaribus, qui à maluis fatetur $e uictum, ut deci- derit in lienteriam: conueniunt ambo hi $apores cũ dulci & pingui, uelut & utraque $exta maior & minor cum diapa$on & diapente, at neuter cum $al$o, nam ne<01> diate$$aron cum $extamaiore uel mino- re iungi pote$t. Amarus autem $apor tono per$imilis e$t, di$$onus enim per $e e$t $emper, & amarus per$e odio$us tonus origo e$t o- mnium con$onantiarũ, ita omnes fructus, $eu dulces $eu a$tringen- tes, $eu acidi, $eu acres prius amari $unt: tonus præterea nulla cum con$onantia peius coit quàm cum diapa$o, ita ne<01> amarus $apor infelicius iungnur quàm cum dulci, amarus quo <01> $apor cum nul- lo magis conuenit quã cum $al$o, ita tonus additus diate$$aro, perfi cit diapente dulci$simam con$onantiam, ut multi oliuas benè$al$as prætulerint fa$ianis: tantum conuenit $al$o cum amaro, amarus, quo <01> $apor leuis non abhorret à pingui, deteriorem tam&etilde; aliquan to efficit, ut intortis ex ab$ynthio ouis & ca$eo, atque in uitibus in quibus coma ab$ynthij in cocta fuit parum, degenerat tamen $apor ille à pingui: ita tono addito ad diapente fit $exta maior, non adeò $uauis ut diapente, attamen nõ pror$us in$uauis. Similiter $i tonus addatur ad $emiditonum aut ad ditonum ex altero fit diate$$aron, qui non concordat ex reliquo tritonus omnium a$perrimus. Ergo cum idem fiat coniuncto amaro cum in$ipido, ac deterius cũ a$trin- P 2 gente,

178

gente, uelut in acerbis glandibus, quibus nihil tri$tius gu$tari po- te$t. Manife$tum e$tigitur optimè conuenire hano $aporum diui- $ionem cum mu$ica proportione.

Cum<03> $apores ex $eptem planetis pendent manife$tè, Saturnus e&mtilde; habet a$tringens, quoniam frigidus e$t & $iccus. Iupiter pingue cõtraria ratione, & quoniã hic $uauis e$t, ille tri$tis, acre & au$terum cõueniunt$oli, apparet<01> in eis uis maxima ad $piritũ uitalem cõfir mandum, uires <03> o&etilde;s adauget, uelut & Sol. Venus habet dulce: de- mon$tratione hoc non indiget. Mars $al$um & cũ peruer$è di$po$i- tus e$t, amarũ. Luna in$ipidum. Mercurius acidũ, etenim frigida e$t & humida Luna, & Mercurius tenuitat&etilde; quan dam habet cũ tempe ram&etilde;to moderato, cuiu$modi fermè e$t acidus $apor, quan<08> ad fri- giditatem declinet, parũ enim habet uiriũ Mercurius &qring;d minima $it $tellarum, ut $uprà docuimus. Huiu$modi ergo ratione con$iderata Luna ad $emiditonũ pertinebit Mercurius ad $extã minorem, Sol ad $extam maiorem, Mars ad tetrachordũ, Saturnus ad ditonum, Iupiter ad diapente, Venus ad diapa$on, unde plena illius dona uul garis felicitatis opum honoris amoris & uoluptatis, po$t quem e$t Iupiter, ut $ine his duobus omnino nulla po$sit e$$e felicitas.

Sed & in circulo $igniferi aliquam mu$ica proportio habebit ra- tionem: diapa$on e&mtilde; erit & totius ad dimidium, & be$sis ad trien- tem, & dimidij ad quadrantem, & trientis ad $extant&etilde;, diapente aũt totius circuli ad be$$em, & dodrantis ad dimidiũ, & dimidij ad tri- entem, & quadrãtis ad $extant&etilde;, diate$$aron aũt totius circuli ad do drantem, & be$sis ad dimidiũ, & trientis ad quadrãtem: ita<01> in hoc $olo cũ Ptolem&ecedil;o concordamus, in reliquis duobus ne$cio qua ra- tione Ptolem&ecedil;us omi$erit unam cõiugationem, nam cũ e$$ent qua- tuor in diapa$on & diapente, tres tantum numerauit. Reliquas aũt quatuor per integra $igna numerare licebit, ad ration&etilde;, tamen a$pe- ctuum deducere non po$$umus, propterea efficaciam quandam ha bent etiam $ignorum mutationes, $ed harmoniam non perficiunt, nam & $i $umamus $exquiquartam & $exquiquintam, ut in his $ex- quialteram, $eu diapente con$tituamus, aut tria aut $ex $igna acci- pere oportebit: utrun<01> fuerit, reliqua pars ad diate$$aron pertinere minimè pote$t: quamobrem conuenientius e$$et meo iudicio, ut to tus circulus non ad diapa$on, uelut Ptolemæus, referretur, $ed po- tius ad diapa$on diapente: ita enim con$titutis quatuor, quinque, $ex, duo decim<03> numeris, con$taret tota ratio harmonica, diui$o e- tiam diapente in ditonum & $emiditonum. $ed de hoc $atis.

Reuertamur ad $apores, in quibus diximus aliam e$$e rationem mu$icam iuxta cõpo$itionem: cum enim inter $apores qui quoui$- modo

179

modo conueniunt, dupla fuerit optimi $aporis proportío ad dete- riorem, medius uerò ad deteriorem $exquitertia, optimus ad me- dium $exquialtera, $apor ille optimus erit. Et primum quidem id in pingui tanquàm medio dulci<03> & $al$o experiamur, $imiliter in $al$o, acri, at<01> in$ipido. Manife$tũ e$t enim quod horum optimus e$t in$ipidus, quia per $e ferri pote$t, $al$us autem medius, acris de- terrimus, $uperabit ergo in$ipidus $al$um $exquialtera, acrem du- pla proportione, $al$us acrem $exquitertia. Rur$us dulcem copule- mus cum acri, & cum in$ipido aut cum acido, & in$ipido præ$tabit, ut dulcis dupla, aut quadrupla, aut octupla proportione in$ipi- dum $uperet, id e$t, per diapa$on, uel bis diapa$on, aut ter diapa- $on: acidum uero in$ipidum $exquitertia $uperabit. Alia rur$us ra- tio in coniunctionibus $aporum ad $en$um uniu$cuiu$<01> referenda e$t, in quo enim e$t $umma uoluptas comparatione ad illum, hic $ta tuemus diapa$on, optimum<03> con$tituemus $aporem, dimidium il lius quod ad uires attinet ex minus iucundo $exquitertium, ad il- lum minus iucundum ex medio. Exempli gratia, proponamus ut alicui au$tera maximè iucunda $int (nam $al$a nemini, quòd nullum animal præter hominem, imò ne plantæ quidem ni$i admodum paucæ, & $ui generis $al$o alantur, iucunda e$$e po$$unt: cum $al$um amari pars $it, eo<03> deterius quod acutum $it$al$um, unde in $ale nullum animal na$citur: in ab$ynthio, quanquàm ualde amaro, exi- guum mu$carum genus, nigrum tota æ$tate oritur, & in ruta uer- miculi) is ergo au$teri, quantum $atis erit$umet, dulcis tãquàm me- dij. gratia exempli (nam optima ad extremum oppo$itum uix tran- $ire queunt) be$$em accipito huius, gratia exempli, tanquàm deter- rimi a$tringentis dodrantem, ut $it dulcis ad a$tringentem dupla proportio. Sic ergo con$tituetur iuxta naturam propriam mu$ica proportione $apor iucundi$simus.

Idem quo <01> in odoribus & eadem ratione, $ed ex $aporibus hoc cum intellectum $it, fru$tra fuerit con$umere tempus, eadem enim in omnibus ad $ciendum proportionem intelligenda erunt.

Propo$itio cente$ima$exage$imaoctaua.

Picturarum proportiones explicare.

E$t pictura imago rei corporeæ quanquàm, & per illam, & acti- Co^{m}. ones, & cogitationes, $ed non ni$i ut per corpora $ignificantur: ut ergo corpora ip$a referamus. coloribus opus e$t, nam corpora, co- lorata $unt, $ecundò ip$a rerum natura $cientia<03> illarum, unde pi- ctorem multi$cium e$$e nece$$e e$t. tertium e$t, ut minimas earum differentias explicare norit. quartum, ut affectiones, uelut in ira- P 3 to rubo-

180

to ruborem, ciliorum cõtractionem, tumorem faciei in ambulante in clinationem quandam, flexionem cruris at<01> $imilia. quintum e$t lux coloribus exhib&etilde;da, $ed de horum nullo propo$itum e$t hic lo- qui, quando quidem hæc u$u magis & con$ideratione, quàm ratio- ne con$tent proportioneúe, nec $int adeò admiranda ut neque $im- plex magnitudo quã$exto loco reponere po$$umus. Tria ergo ui- dentur e$$e præcipua quorum nunc ratio habenda e$$et, ut $int in totum nouem, $ed unum ex his relinquemus, tum quia alienum ab hac con$ideratione, tum quia alibi pertractatum at<01> etiam ab alijs, ne<01> adeò admiratione dignum $cilicet magnitudo picturarum re- $pondens magnitudini corporum iuxta $itus differentiam, nam qu&ecedil; altiores $unt paulo latiores at<01> in $uperiori magis parte quam in inferiore, multò autem longiores e$$e oportet, $ic & quæ à latere erunt eadem ratione iuxta a$pectus ingredientium rationem. Ve- rum hoc ut dixi omittamus, & de duplici miraculo in pictura lo- quamur, $cilicet di$tantia magna quam in parua tabella referimus, et corporeitate quam in plano repr&ecedil;$entamus. Horum autem duo- rum aliqua communia $unt aliqua propria. Dicemus ergo primũ de corpore ita pingendo, ut palàm extra tabulam prominere uide atur. Hoc autem primum ex forma $umitur, nam $i corpus in plano $it nece$$e e$t, ut partes illius quædam pror$us ab$condantur, par- tes aliæ non pror$us, aliæ pror$us $int in con$picuo. Ergo pictu- ram talem fingere oportebit, quæ partes $ingulas pro ratione o$ten dat aut occultet. Secũda ratio e$t quodima corporis ob$cura $unt, $umm&ecedil; partes lucid&ecedil; & claræ aclumine qua$i dealbatæ: media, me- dia quadam ratione ut in columnis, tantum<03> pote$t hæc ratio, ut uel $ola picturas fallere nos faciat corpora eas e$$e putantes. Opor- tet autem imum e$$e ad unguem $imile in colore colori anguli loci & $ummum parti quæ $e oculis maximè $ubiectam præbet & cla- ram: media uerò qualia ex umbris ob$curari $olent. Tertia ratio e$t pro modo partium iuxta obliquitat&etilde; a$pectus: nam in$picienti a b in c d ex e oculo: depingemus in c d iuxta obli- quitatem $uam, quia cum c d uideatur per line- as e a c & e b d, & eleuatum in $itu a b, nece$$e e$t ut uideatur in $itu a b, ergo eleuatum à c d. E$t & alia con$ideratio proportionis ad proxima remota<03>, grati a exempli, $i homo e$$et po$t co- lumnam a b, lateret eius pars, quæ e$t propinquior parieti c d, ergo $i depinxerimus hominis partes tantum dextram, reliquum $ub um bra, cogitur oculus iudicare columnam eleuatam a pariete. De- mum omnia hæc ita $unt $ubijcienda oculis, & per minimas diffe- rentias

181

rentias & animaduer$iones ita dijudicanda, at<01> experimento $ub- ijcienda, tum proprio, tum aliorum non artis in expertium, ut re<*> pror$us ab$oluta uideatur, atque in hoc multum refert multiplices partes $ecundum longitudinem coloribus di$tinguere ad hoc a- ptis, qui $unt ob$curus, $ub ob$curus, cinereus, qualis $ilicis candi- dus $ine luce, demum etiam aliquid nigri adijciendum, nam diui$io $ecundum longitudinem multum impedit, hanc repræ$entationem iuuant, & extrema benè coaptata, uelut $capi imi, & capitula & $u- premi, tũ trabeationes ex materia coronæ, zofoni, tœnia, epi$tylia, plinthi, echini, hypotrachelia, a$tagali, apophyges. Quæ etiam in parte inferiore cũ $pira $eu ba$i & limbo & toro & plintho inferio- re, & $tylobata, et alia tœnia $umma diligentia, & cum eleuatione ac magnitudine ultra columnæ limites extendantur. Sicin $tylobata ratio diapente con$tat, cui $olet addi utrinque $exta pars pro coro- nice, manife$tum e$t autem, quod in ea con$tat mu$ica ratio diapa- $on ex diapente & diate$$aro, compo$iti nam duæ $extæ partes, alte ra utrin<01> adiecta tertiam conficiunt ut $it diate$$aron $uprà diapen te. In regionibus autem & $patijs depingendis eadem fermè $eruan da $unt duobus tamen adiectis, quorũ unum e$t ut longinqui$sima pars, nõ per nigrum aut ob$curum, $ed cœruleum color&etilde;, qualis in cœlo determinanda e$t (ni$i nox fingatur) nam cœlum longi$simè à nobis di$tat, ita nubes coloribus proprijs, & montes cum niui- bus, & $patia uelut fluminis alueus, mare, lacus, atque hæc omnia per colores di$tantiæ finguntur, uelut fluminis pars propior clara & lympida, & colore aqueo cernitur remota ob$cura, quæ maxi- mè procul abe$t nigra. Sed maxima e$t confirmatio in compara- tionibus: ut $i arbores propè magnæ $int, & homines & animalia, in remotiore autem parte minimi, ac qua$i puncti magnitudinem referentes, atque ut in his mu$ica non geometrica aut arithmeti- ca proportio $eruetur. Equidem $i quis iudicio hæc con$equa- tur, ac diligentia quæ $cribi non po$$unt, $ed contemplatione ha- bentur, $en$u quoque, quem experimentum docet, necip$um man- dare literis, licet ex rationibus tamen, quas hic docemus intelli- get parum differre repræ$entationem à re ip$a corporea. Sed de his hactenus, quæ $i diligentius quis per$equi uelit $ine artis experientia, plus adimet perfectioni rei, quam adijciet. Hoc enim aliâs In prima Dislcfficæ. declarauimus.

P 4 Propo$itio

182

Propo$itio cente$ima$exage$imanona.

Proportionem mu$icam in in$trumentis declarare iuxta compo $itionis rationem.

Co^{m}.

Tria $unt in$trumentorum genera, in quibus maximè relucet ra- tio compo$itionis mu$icæ quæ à nobis nunc $unt demon$tranda, $cilicet machinæ bellic&ecedil;, ut catapultæ & bali$t&ecedil; & $corpiones, & hy draulica in$trumenta ad modulationes parata, quæ antiquo tem- pore maximè in u$u fuerunt nunc de$ita, de quibus Vitruuius agit Cap. 15. ad 18. & in cap. 13. in decimo libro. Tertium e$t æneorum in$trumentorum, quorum etiam u$us de$ijt in $cœnicis theatris, ad intendendam uocem cum modulatione, ut etiam clamor audientium & uulgi cum uoluptate Cap. 5. excipiatur, de quo idem in quinto libro egit. Sed nil melius quàm uerba ip$ius explicare de hoc tractantis, $unt autem hæc. “Mu$icen autem $ciat oportet, uti canonicam rationem & mathematicam no- tam habeat: præterea bali$tarum, catapultarum, $corpionum tem- peraturas po$sit rectè facere. In capitulis enim dextra ac $ini$tra $unt foramina homotonorum, per qu&ecedil; tenduntur ergatis aut $ucu- lis & uectibus è neruo torti funes, qui non præcluduntur, nec præ- ligantur ni$i $onitus ad artificis aures certos & &ecedil;quales fuerint. Bra- chia enim quæ in eas tentiones includuntur cum exten duntur æ- qualiter & parter utra<01> plagam emittere debent. Quod $i non ho- motona fuerint, impedient directam telorum mi$sionem. Item the- atris ua$a ærea, qu&ecedil; in cellis $ub gradib. mathematica ratione collo- can&ttilde;, & $onitũ di$crimina, qu&ecedil; Gr&ecedil;ci <*>x<05>_a uocãt, ad $ymphonias mu $icas $iue concentus componun&ttilde;, diui$a in circinatione diate$$aron & diapente & diapa$on, uti uox $cœnici $onitus cõueniens in di$po $itionibus, tactu cũ o$tenderit aucta cũ increm&etilde;to clarior et $uauior ad $pectatorũ perueniat aures. Hydraulicas quo <01> machinas & cæ- tera &qtilde; $unt $imilia his organis $ine mu$icis rationib. efficere nemo poterit. Capiamus ergo primum illud &qring;d e$t manife$tius, $cilicet de hydraulicis organis quorum meminit Suetonius in Nerone: Reli- quam diei partem per organa hydraulica noui & ignoti generis cir cunduxit, o$tenden$<01> $ingula de ratione ac difficultate cuiu$<03> di$- $erens iam $e prolaturum, ut con$tet illa fui$$e magni opificij quæ no$tra &ecedil;tate de$iere.” Re$tat unicum & ualde leue exemplũ auiculæ æneæ uelligneæ re$onantis. Certum e$t a&etilde;re effici $onum, $ed ita mi $ceri aquæ, ut dulcior & mollior non $olum euadat, $ed etiam acuti- or ac modulatior. Eadem autem ratio maris: $ed cum aquæ corpus moueatur, uidetur difficile $eruare proportionem. ea prima diffi- cultas. $ecunda e$t, quod cùm aqua moueatur, uix ficri po$$e uide- tur ut totum $eruet uocis integrum tenorem. tertia ob illius con- $umptio-

183

$umptionem. Propterea nil mirum e$t $i Nexo de his $ubtiliter di- $putauit, mirum fuit quod in tanta animi perturbatione ni$i ad amentia, ut illi putant, referatur. Sed quidiam amplius uagor, extat Lib, 10. cd, 16. compendio$a ratio con$tructionis illius apud eundem Vitruuium ubi Philander ex Atheneo $onus hydradis $uauis admodum at<01> Lib. 4. cap. 24. iucundus auditu e$t: ita ut omnes concinnitate capti conuerterent, fuit<03> Alexendrin&ecedil; urbis inuentum authore Cte$ibio ton$ore, e$t autem magnæ Clep$ydræ in$trumentum non ab$imile, $unt enim fi$tulæ in aquam contortæ, quæ, cùm aqua à iuuene quopiam per- cutitur, axinis per organum tran$euntibus inflantur, periucũdum- qúe $onum emittunt. E$t autem arærotundæ hoc in$trumentum per$imile inuentum<03> Ptolemæi $ecundi Euergit&ecedil; temporibus, de quo eundem Cte$ibium $crip$i$$e ferunt. Fiebant autem ex ære & ba$is eligno cum regulis dextra ac $ini$tra $calari regula compactis, aqua autem in &ecedil;rea arca continebatur. Facilè autem e$t per hæc reli qua inuenire: nam epi$tomijs includebatur aër at<01> re$erabatur, & modus erat per uectes: non tamen octo fi$tularũ & exin de uocum numerum in$trumentum id $uperabat organa no$tra ut lo cupleti- ora ita a$periora. Liquet ergo $i fabrilis omnis ars ad Architectum pertinet, illum etiam hacratione oportere e$$e peritum mu$icæ.

Lib. 5. ca. 5.

“De Va$is uerò æneis theatri quod melius e$t quàm ut eundem authorem con$ulamus, dicentem ua$a &ecedil;rea pro ratione magnitudi- nis theatri ita fabricentur, ut cum tangũtur, $onitum facere po$sint inter $e diate$$aron diapent, ex ordine addit diapa$on, po$tea inter $edes theatri con$titutis cellis ratione mu$ica ibi collo centur: ita uti nullum parietem tangant circa<03> habeant locum uacuũ et à $ummo capite $patium, ponant<03> inuer$a & hab eant in parte qu&ecedil; $pectat ad $cenam $uppo$itos cuneos ne minus alios $emipede, contra<03> eas cellas relinquantur apertur&ecedil; inferiorum graduum cubilibus lon- g&ecedil; pedes duos altæ $emipedem. Et $i non erit ampla magnitudine theatrum, media altitudinis tran$uer$aregio de$ignetur, & in ea tre decim cellæ duo decim æqualib. interuallis di$tantes confornicen&ttilde; uti ea echea quæ $upra $cripta $unt, ad neten hyperboleon $onan- tia in cellis quæ $untin cornibus extremis utra<01> parte prima col- locentur, $ecunda ab extremis diate$$aron ad net&etilde; diezeugmenon, tertia diate$$aron ad neten parame$on, quarta ad neten $ynemme- non, quinta diate$$aron ad me$en, $exta diate$$aron ad hypaten me- $en in medio unum diate$$aron ad hypaten hypaton. Quæ fequun- tur & ad intelligentiam prædictorum melius ex Gulielmo Philan- dro emendata $ic tran$cribemus: Eas regiones in tredecim cellas diuidit æqualibus interuallis: id e$t, cellas paribus uici$sim inter- $ticijs

178

$ticijs di$po$itas di$tribuit $ex hinc at<01> hinc & unam mediam, quæ tamen non u$us, $ed partitionis & re$pon$us cau$a fit in media pr&ecedil;- cinctione. In ima præcinctione ponuntur ua$a qu&ecedil; habent harmo- ni&ecedil; ration&etilde;, hoc modo. In cornuũ cellis collocantur quæ $onitũ ha- bent netes hyperboleon. Sub$equuntur utrin<01> quæ $unt ad neten diezeugmenon interuallo con$onantia diate$$aron. In tertijs cel- lis $unt quæ ad neten parame$en interuallo item diate$$aron, quæ $unt in quartis tono $olummodo di$tant & $unt netes $ynemenon. In quintis cellis $unt ad me$en interuallo diate$$aron. In $extis cellis ad hypaten me$on, it&etilde; diate$$aron $patio. In media cella $unt ad hy paten hypaton interuallo diate$$aron. In media præcinctione $unt ua$a chromatos, collocantur autem in cornibus ua$a quæ $unt ad paraneten hyperbolem. In $ecundis cellis ad paraneten diezeugme nõ $patio diate$$aron, in tertijs ad paraneten hynemenon $patio dia pente. In quartis ad lichanon me$on interuallo diate$$aron. In quin tis ad lichanon hypaton, it&etilde; diate$$aron. In $extis ad parame$en &qring;d $patium ad paraneten hyperboleon e$t diapente ad paraneten hy- nemenon diate$$aron. In chromatis media cella nulla $unt ua$a, quod à lichano hypaton ad proslambanomenon, aut ad aliam o- mnino decem & octo uocum nulla $it con$onantia, $unt enim hæ- mitonia tantum duo & tonus. In tertia præcinctione collocantur ua$a diatoni. Etin cornibus quidem ea quæ $unt ad paraneten, hy- perboleon. In $ecundis cellis ad paraneten diezeugmenon. $patio diate$$aron. In tertijs ad paraneten hynemenon diapente. In quar- tis ad lichanon me$on diate$$aron. In quintis ad lichanon hypaton diate$$aron. In $extis quæ ad proslambanomenon diate$$aron $pa- tio. In media quæ $unt ad me$en, quod ea ad proslambanomenon habet con$onantiam diapa$on, & ad lychanon hypaton diapente.” Lib. 16. Hæc autem ex $igura patent in opere de Subtilitate de$cripta.

Porrò quod ad machinas attinet. Sit catapulta, cuius rudens a b quam oportet trahere, $i emittere debeat lapi- dem, aut $corpio $agittam ad aliquod $ignum puta c, cum ergo $onus c a & c b homotenus fue rit, non $olum æqualiter pertractæ erunt c a & c b, $ed etiam æquales: nam $i æquales e$$ent, & in&ecedil;qualiter tractæ, aut in&ecedil;quales & inæqualiter tract&ecedil; $onũ diuer$um redd&etilde;t euidenter. At $i in- &ecedil;quales & &ecedil;qual&etilde; $onum reddant, erit tñ ut fidis notæ quæ $trepitum edit duplicem, & effigiem oculis multiplic&etilde;, unde $agitta in partem aduer- $am dirigitur rud&etilde;tis intentioris, at<01> hæc ex Vitruuio eodem dum de his agit.

Propo$itio

185

Propo$itio cente$ima$eptuage$ima.

Coniugationes cuiu$uis numeri breuiter inuenire.

Sint gratia exempli dec&etilde; homines, & patet quod po$$ent e$$e $in Co. ^{m} guli, & hoc dec&etilde; modis, quia $unt dec&etilde;, ut Petrus & Ioannes: item, po$$unt e$$e omnes $imul, & hoc uno modo tantum, & po$$unt e$$e duo, & hoc pote$t uariari &qtilde; draginta quin<01> modis: & po$$unt e$$e octo, & manife$tum e$t, quod totid&etilde; modis uariantur, $cilicet qua- draginta quin<01>, nam cum erunt octo, duo quirelinquũtur, uariari po$$unt 45 modis, ergo & illi octo ad ungu&etilde; totidem modis. Et $i- militer tres quot modis uariantur tot modis $ept&etilde;, & quot modis quatuor tot$ex: quin<01> autem quia $unt dimidium decem, pluribus modis uariantur. Etideò pro ordine huius detrahes unũ, ut $i $int undecim uiri pones decem, $i decem pones nou&etilde;, & colliges natu- ralem $eriem numerorum, utinfrà uides uno $emper termino defi- ciente: & expriore ordine, ubi uidebis $emper etiã duplicari nume- ros: ut 3. 6. in de $ub 6. 10. & 20 àlatere, & $ub 20 35. & à latere 70 du- plum 35, & $ub 12345678910111111111111123456789101136101521283645554102035568412016551535701262103306215612625246272884210462836120330945165105511
70 126, & à late- re 252, & hoc <04> cognitione &qring;d rectè $is opera- tus. Secundò a- nimaduertes $e- qu&etilde;tes ordines fieri ex recta li- nea priorum, ue lut $extus ordo e$t 7. 28. 84. 210. 462. ita incipiendo in primo ordi- ne à 7, & tendendo ad dextram, inuenies illos eo$dem numeros ad unguem, & ita in $eptimo ordine 8. 36. 120. 330. à $ini$tra inuento 8 in primo ordine, & procedendo ad dextram, inuenies 36. 120. & 330. Tertium e$t quod numeri ultimi à medio $unt ijdem, ut 462 & 462. 330 & 330. 165 & 165. 55 & 55. 11 & 11. Et $eor$um, ut dixi, rema- net 1. Oportetigitur colligere numeros angulares, ut à latere ui- des, & fit 2047 numerus coniugationum, tot enim modis po$$unt uariari. Et $i e$$ent decem tantum, ut ab initio propo$ui, primus or- do finitur ad 10, $ecundus ad 45, tertius ad 120, quartus ad 210, quin tus ad 252, $extus redit ad 210, $eptimus ad 120, octauus ad 45, no- nus ad 10, decimus ad 1. Etita colligeretur $umma ex extremis nu- meris angularibus 1023. Et tot erunt coniugationes. Hic uides quia numerus 10 e$t par, et quod adempta monade, relinquitur 9, qui e$t impar quòd medius qui pertinet ad quintum ordinem e$t maxi- Q mus,

186

mus, & e$t 252, & e$t coniugatio quinarij: hoc uolui dixi$$e, 115516533046246233016555111----2047
ut intelligeres rationes colligendi $ingulos ordines $eor- $um. Quod ergo attinet ad collectionem maximi numeri, primus ordo $eruit $emper ultimo relinqu&etilde;do monadem, & $ecundus penultimo, & tertius antepenultimo, & ita de alijs, nam $i $ecundus uariatur 55 modis, &'pen- ultimus uariabitur 55 modis. Et $i tertius uaria- tur 165 modis, antepenultimus uariatur 165 mo dis. Et ita de alijs.

104512021025221012045101----1023
Cor^{m}. 1.

Hæc autem ratio $atisfacit multum, & e$t ne- ce$$aria in temperiebus corporis humani. Vt in $ecundo, De dentibus. Et etiam ut quælibet di- $ciplina quàm breui$simè tradi po$sit, ut gratia exempli, medicina tota in una pagina, dico me- dicina nõ $olum Græcorum, $ed etiam Arabum & Latinorum, & etiam longè plus: nam $i tradatur uigintiquatuor regulis fimplicibus, & ex illis fiant coniugationes 16777215, mani fe$tum e$t quod erunt regulæ omnes hæ multo plures, quàm con- tineantur in omnibus libris Græcorum, & Arabum, & Latino- rum, qui extant. Et tamen per$picuum e$t, uigintiquatuor regulas una pagina commodi$simè contineri. Et hoc aliâs docui, quan- quàm credam me erra$$e in $upputatione, nam locum inuenire non potui. Vnum e$t id certum, quòd hæc ratio quàm nunc explicabo, e$t uera & demon$tratiua, & facillima.

Cum enim $uperior $it uera & demon$tratiua, non e$t tamen fa- cilis, & præcipuè in magnis numeris. Et ideò inueni hanc, quæ (ut dixi) facillima e$t: adde numero propo$ito monadem, in de confla- ri inuenias numerum à monade in eodem ordine, & ab eo detra- cta monade habes numerum coniugationum. Exemplum, $i $int 10 adde 1 fit 11. Vndecimus ergo numerus in proportione dupla e$t 1024, detrahe 1 & relinquantur 1023 numerus coniugationum, ut in priore $upputatione. Item $i $int 11 numeri adde 1 fit 12, duo de- cimus ergo numerus in proportione dupla e$t 2048, detrahe 1 re- lin quuntur 2047, coniugationes 11, ut prius in $uprà $cripto exem- plo. Et ita pro uiginti quatuor regulis adde 1 fit 25, uige$imus quin- cus igitur numerus in ordine duplæ proportionis à monade e$t 16777216, ergo detracta monade relin quitur numerus (ut dixi) re- gularum & coniugationum uigintiquatuor regularum, quæ ta- men non $int contrariæ inuicem: nam tunc e$$ent pauciores. Et quia in i$tis numeris duplicandis po$$es facile incidere in errorem, diuide ultimum per 16, & $i nihil $upere$t, rectè proce$sit opus: $in autem

187

autem aliquid $uper$it, aberra$ti. Vtau- 1122344851663276481289256105121110241220481340961481921516384163276817655361813107219262144205242882110485762220971522341943042483886082516777216
tem habeas numeros $ingulorum or- dinum, in quauis multitudine, deduci- to numerum ordinis à primo, & diui- de per numerum ordinis ip$ius reli- quum, & illud quod prouenit, duci- to in numerum maximum præceden- tis ordinis, & habebis numerum quæ- $itum. Velut $i $int undecim, uolo $ci- re breuiter numeros, qui fiunt ex ua- riatione trium. Primum deduco pro $ecundo ordine 1 ex 11 fit 10, diuido per 2 numerum ordinis, exit 5, duco in 11 fit 55 numerus $ecundi ordinis. Inde detra ho 2, qui e$t numerus differentiæ ordi- nis tertij à primo ex 11, relinquitur 9, di- uido 9 per 3 numerũ ordinis exit 3, du- co 3 in 55 numerum $ecundi fit 165, nu- merus tertij ordinis. Similiter uolo nu merum uariationum quatuor, deduco 3 differentiam 4 à primo ordine ab 11, relinquitur 8. diuido 8 per 4 numerum ordinis, exit 2, duc 2 in 195 fit 330. numerus quarti ordinis. Similiter pro quinto detraho 4 dif- ferentiam à primo ordine, relinquitur 7, diuido per 5 numerum or- dinis exit 1 2/5, duco in 330 numerum præcedentis ordinis, fit 462 numerus quinti ordinis.

Ex hoc colligitur manife$tè modus conuertendi proportionem Cor^{m}. 2. arithmeticam in proportionem mi$tam: dico mi$tam, quia opor- tet addere monadem in priore numero: dein de quia numerum terminorum oportet $umere iuxta numerum a$signatum, $cilicet addita monade: demum, quia oportet detrahere monadem ip$am. E$t tamen $umpta à proportione Geometrica ut liquet, $cilicet con- tinua dup la.

Propo$itio cente$ima$eptuage$imaprima.

Propo$itis duobus quibuslibet numeris, quotuis alios, $eu in continuum, $eu medios in continua proportione arithmetica, geo- metrica & mu$ica inuenire.

Hæc tota propo$itio pendet ex intellectu diffinitionis earum. Co_{m}. Sint ergo propo$iti duo numeri 2 & 3, & uelim tertium in conti- Diff, 20. nua proportione arithmetica, duplico quemuis, ut pote 3 fit 6, de- Q 2 traho

188

traho 2, reliquum remanet 4 tertius numerus. Item uolo quar- tum, duplico 4 fit 8, detraho 3 remanet 5 quartus numerus: item uolo minorem 3 & 2, duplico 2 fit 4, detraho 3 remanet 1, $i autem uellem minorem uno, non po$$et, quia e$$et nihil, $ed cre$cendo pote$t extendi in infinitum, ita capio 2, & <02> 10, duplico <02> 10, fit <02> 40, detraho 2, remanet <02> 40 m: 2, & ita $i uolo quartum numerum, duplico <02> 40 m: 2 fit <02> 160 m: 4, detrahe <02> 10 ex <02> 160 m: 4, re- manet <02> 90 m:4, & ita 2 <02> 10 <02> 40 m: 2, & <02> 90 m: 4, $unt in con- tinua proportione arithmetica, & ita pote$t extendi in infini- tum. Sed $i uellem unum, aut duos, aut tres terminos, uel quouis medio 5 arithmeticæ, diuido differentiam per 1 p:numero termi- norum, & partes addo minori numero. Exemplum, uolo tres nu- meros medios inter 2 & 7 in continua proportione arithmeti- ca, detraho 2 à 7 remanet 5, diuido 5 per 1 p: quam 3, id e$t per 4, exit 1 1/4, adde ergo 1 1/4 ad 2 fit 3 1/4 primus terminus, cui adde iterum 1 1/4 fit 4 1/2 $ecundus terminus, cui adde iterum 1 1/4 fit 5 3/4 tertius numerus: fient ergo quinque termini, hoc modo in continua pro- portione arithmetica 23 1/4 4 1/2 5 3/4 & 7. Rur$us uolo totidem, uolo inter 2 & <02> 32, detraho 2 ex <02> 32 remanet <02> 32 m: 2, diuido per 4, qui e$t 1 p: numero terminorum, exit <02> 2 m: 1/2, addo ergo <02> 2 m: 1/2 ad 2 fit 1 1/2, p: <02> 2 primus terminus, cui iterum addo <02> 2 m: 1/2 fit <02> 8 p:1, $ecundus terminus, cui etiam addo <02> 2 m: 1/2 fit <02> 18 m: 1/2, & ita habes tres terminos medios in continua proportione arithmetica inter 2 & <02> 32, & ita $i uelles quatuor terminos, diui- deres differentiam per 5, & $i uelles quinque, diuideres per $ex. & ita de alijs quibu$cunque.

Pro Geometrica proponantur, gratia exempli, 2 & 4, $i uelim in continua proportione tertium, duco 4 in $emet fit 16, diuido per 2 exit 8. & $i uelles quartum duc 8 in $e fit 64, diuide per 4 exit 16 quartus terminus, & ita in infinitum, & $i uelles minorem 2, duc 2 in $e fit 4, diuide 4 per 4 exit 1 tertius terminus, & ita $i uelles mino- rem. duc 1 in $e fit 1, diuide per 2 exit 1/2 quartus terminus, & ita ha- bes quo$uis terminos, & e$t $imilis arithmeticæ hæc operatio, $ed in arithmetica duplicamus unum terminum, & detrahimus alium: in geometrica multiplicamus unum terminum ad productum, & diuidimus per alium. Et $i uelim terminum in continua proportio- ne 2 & <02> 10, duco eodem modo <02> 10 in $e fit 10, diuido per 2 fit 5 tertius terminus, & uelim quartum, duco 5 in $e fit 25, diuido per <02> 10 exit <02> 62 1/2 quartus terminus.

Et $i uelles plures terminos medios in <04>portione geometrica, de ducito maius extremum in $e $ecundũ denomination&etilde; inferior&etilde;, id e$t, $i

189

e$t, $i uolo duos terminos $emel, & dein de in minorem, & <02> cubica producti e$t $ecundus terminus, idem facio de minore in $e in de in maiorem, & accipio <02> cu. Exemplum, uolo duos termi- nos inter 2 & 3, duco 3 in $e fit 9, duco 2 in 9 fit 18, capio <02> cu. 18. hic e$t unus terminus, & ita duco 2 in $e fit 4, duco in 3 fit 12, capio <02> cu. 12 pro $ecundo termino. Et $i uolo tres terminos, duco 3 in 3 fit 9, du co 3 in 9 fit 27, duco 2 in 27 fit 54, & <02> <02> 54 e$t primus terminus. Item duco 2 in 2 fit 4, duco 3 in 3 fit 9, duco 4 in 9 fit 36, & <02> <02> 36, id e$t, <02> 36 e$t $ecundus terminus, $imiliter duco 2 ad $uum cubum fit 8, duco 3 in 8 fit 24, & <02> <02> 24, e$t tertius terminus. Similiter uolo quatuor terminos medios, duco 3 in 3 fit 9, duco 9 in 9 fit 81, duco 2 in 81 fit 162, & <02> relata prima 162, e$t primus terminus, item duco 2 in 2 fit 4, & 4 in 4 fit 16, & 3 in 16 fit 48, & <02> relata prima 48 erit quartus terminus, item ducendo 3 ad cubum fit 27, & 2 ad quadra- tum, & fit 4, & 4 in 27 fit 108, & <02> relata prima 108, erit $ecundus terminus, & $imiliter ducendo 2 ad cubum fit 8, & 3 ad quadratum fit 9, & 9 in 8 fit 72, & <02> relata prima 72 e$t tertius terminus. Habe- bis ergo terminos in continua proportione 2, id e$t, <02> relata pri- ma 32, <02> relata prima 48, <02> relata prima 72, <02> relata prima 108, <02> relata prima 172, & <02> relata prima 243, quod e$t 3, & ita de alijs in infinitum.

At pro mu$ica, $i $int exhibiti duo numeri minores utpotè 2 & 3, uelim tertium terminum, diuido 2 per 1 differentiam exit 2, detraho 1 pro regula remanet 1, diuido 3 maiorem terminum per 1 exit 3, ad- de 3 ad 3, fit 6 maior terminus. Similiter capio 3 & 4, diuide 3 mino- rem terminum per 1 differentiam exit 3, detrahe 1 pro regula, relin- quitur 2, diuide 4 terminum medium per 2 exit 2, adde ad 4 fit 6 ma ior terminus. Stiphelius autem erat in $ua regula, nam $ic 12 4 & 3 e$$entin continua proportione mu$ica ex $ua regula. Dico ergo, quod $i proponantur 5 & 7, & uelim mu$icam proportionem con- tinuare, detraho 5 de 7 relinquitur 2, diuido 5 per 2 exit 2 1/2, detra- he 1 pro regula remanet 1 1/2, diuide 7 per 1 1/2 exit 4 & 2/3, adde ad 7 fit 11 2/3, reduc ad integra multiplicando omnia per 3, habebis 35, 21, & 15, in continua proportione mu$ica, nam 35 ad 15 e$t ut 7 ad 3, & 14 ad 6, e$t ut 7 ad 3, e$t autem 14 differentia 21 & 35, & 6 dif- ferentia 21 & 15, & ita po$$es continuare inueniendo quartum, quintum, $extum, in infinitum. Rur$us $int propo$iti duo termini maiores, uelut 6 & 4, detrahe 4 à 6 exit 2, diuide 6 per 2 exit 3, ad- de 1 pro regula fit 4, diuide 4 minorem terminum per 4 exit 1, de- trahe 1 ex 4, relinquitur 3 minor terminus, & ita propo$itis 6 & 3 Q 3 differentia

190

differentia e$t 3, diuide 6 per 3 differentiam exit 2, adde 1 pro re- gula fit 3, diuide 3 per 3 exit 1, detrahe ex 3 relinquitur 2 minor ter- minus, & ita potes inuenire quotuis. Gratia exempli, habeo 3 & 2 maiores, capio 1 differentiam, per quam diuido 3 exit 3, addo 1 fit 4, diuido 2 minorem terminum per 4 exit 1/2, detrahe 1/2 ex 2, relinquuntur 1 1/2, erunt ergo 32 & 1 1/2, 1. 6. 4. 3. duplican- do 2, ut prius in continua proportione mu$ica, quia ergo 632 $unt in continua proportione mu$ica, & 32, & 1 1/2 $unt in con- tinua proportione mu$ica, erunt duplicando 3. 4. 6. 12. in con- tinua proportione mu$ica. Rur$us $int propo$iti maior, & mi- nor terminus, ut 6 & 2, diuides maiorem per minorem exit 3, cui addes 1 fit 4, diuide 4 differentiam 6 à 2 per 4 iam inuentum exiti, adde ad 2 fit 3 medius terminus, $imiliter inter 6 & 3, uolo me- dium terminum in proportione mu$ica, detraho 3 à 6, relinquitur 3, $imiliter diuido 6 maiorem terminum per 3 minorem terminum, exit 2, addo 1 pro regula fit 3, diuido 3 differentiam iam $eruatam per hoc 3 iam inuentum exit 1, addo ad 3 minorem terminum fit 4, medius terminus, $ic uolo inter 4 & 6 medium terminum in con- tinua proportione mu$ica, diuido 6 per 4: exit 1 1/2, addo ei pro re- gula fit 2 1/2, diuide 2 differentiam 4 & 6 per 2 1/2 exit 4/5, adde ad 4 fit 4 4/5 terminus medius, duc omnes in 5, habebis integros nume- ros 30, 24 & 20, & $unt pulcherrimæ regulæ, quia po$$es diui- dere 24 & 20 interponendo medium, id e$t capiendo 6 & 5, diui- de 6 per 5 exit 1 1/5, adde 1 pro regula fit 2 1/5, diuide 1 differentiam per 2 1/5 exit 5/11, adde ad 5 fient termini 5 5/11 & 6, reduc ad integra fi- ent 55. 60. 66. & quia 30. 24. & 20, etiam erant in continua propor- tione, & 30 ad 20, erat $exquialter, ideò capiam $exquialterum ad 55, & e$t 82 1/2, erunt ergo 82 1/2 66. 60. & 55. in continua proportio- ne mu$ica, ergo duplicando 165 132 120 & 110, erunt in continua proportione.

Adnotat Stiphelius, quod cum fuerint tres termini in continua proportione geometrica, & inter primum & tertium interpo$itus fuerit terminus in continua proportione arithmetica, quod ibi erit proportio mu$ica, & dat exemplum de 12. 9. 8 & 6, $ed ita e$t in- telligendum, ut a$$umpta proportione arithmetica, ut potè 12 9 & 6, in de ut e$t 9 ad 6, ita fiat 12 ad 8, tunc i$ti tres termini 128 & 6 e- runt in continua proportione mu$ica. Et hoc e$t pulchrum, $i ita in- telligatur, $cilicet ex proportione Geometrica & Arithmetica con- $tituere proportionem mu$icam.

Ex hoc

185

Ex hoc patet &qring;d in proportion&etilde; Arithmetica & mu$ica $emper, $i Cor^{m}. duo termini fuerint numeri, tertius erit numerus, & in Geometrica idem erit, $i medius & extremus fuerint numeri, erit alter extremus numerus, $ed tamen $i unus euariet, omnes poterunt e$$e diuer$i.

Propo$itio cente$ima$eptuage$ima$ecunda.

Proportiones Stiphelij de$cribere.

Con$iderauit Michael Stiphelius quod $ump$it à Bo&etilde;tio, qua$- Co^{m}. dam inueniri proportiones tribus numeris con$titutis, quæ in nul- lo trium primorum generum continerentur, $ed quædam tamen geometricis aliæ mu$icis a$similarentur, prima ergo Geometrica- rum e$t, quoties proportio $ecundæ ad primam fuerit, uelut diffe- rentiæ $ecundæ & primæ ad differentiam $ecundæ & tertiæ. Velut 2 1 capio 2, 4, 5, proportio 4 ad 2 e$t dupla talis e$t 2 differentiæ 4 & 2 2 4 5 ad 1 differentiam 5 & 4, nam in uera proportione Geometrica fit conuer$o modo, quia proportio $ecundæ ad primam e$t, uelut dif- ferenti&ecedil; tertiæ & $ecundæ ad differentiam $ecundæ à prima ut in 4. 6. & 9 proportio 6 ad 4 e$t uelut 3 differentiæ 9 ad 6 ad 2 differen- tiam 6 & 4.

Secũda proportio quam ille appellat po$teriorem, e$t in qua pro portio tertij ad $ecundum e$t uelut differentiæ primi & $ecundi ad differentiam $ecundi & tertij: Velut capio 1, 4, 6, proportio 6 ad 4 3 2 tertij $cilicet, & $ecundum e$t uelut 3 differentiæ 4 & 1, ad 2, differen- 1 4 6 tiam 6 & 4, & hæc $imiliter differt à Geometrica uera in eo quo in Geometrica uera oporteret, ut proportio tertij ad $ecundum e$$et ut differentia tertij & $ecundi ad differentiam $ecundi & primi. Dif- fert à priore, quoniam in illa differentiæ $eruant eundem ordinem, quanuis transferantur in hac uerò fit conuer$us modus.

Tertia e$t ut $it proportio differentiæ primæ & tertiæ ad diffe- rentiam primæ & $ecundæ, uelut $ecundæ ad primam, in Geometri ca autem e$$et $icut aggregati $ecundæ & primæ ad ip$am primam, tales ergo quantitates erunt uelut 4, 6, 7, nam proportio 6 ad 4 e$t 3 uelut 3 differentiæ 4 & 7 ad 2 differentiam 4 & 6.

4 6 7 2

Quarta proportio $imilis Geometricæ e$t cum fuerit proportio differentiæ primæ & tertiæ ad differentiam tertiæ & $ecund&ecedil;, uelut $ecundæ ad primam, uelut in 2, 3, 5 proportio differentiæ 5 & 2 quæ 3 2 3 5 e$t 3 ad differentiam $ecundæ & tertiæ, quæ e$t 2 e$t uelut 3 quantita 2 tis $ecundæ ad 2 quantitatem primam.

Prima aut&etilde; harmonicarũ quæ notha e$t nec legitima, hoc modo $umitur: Vt $it proportio primæ ad tertiam uelut differentiæ $ecun 1 2 dæ & tertiæ ad differentiam $ecundæ & primæ, ueluti capio 6 pri- 6 5 3 mam 5 $ecundum 3 tertiam proportio 6 ad 3 e$t dupla $icut 2 diffe- Q 4 rentiæ

186

rentiæ $ecundæ à tertia ad 1 differentiam $ecundæ à prima. Manife- $tum e$t autem quod in uera harmonica proportio differentiarum e$t primæ & $ecundæ ad illam quæ $ecundæ & tertiæ.

Secunda notha harmonica e$t, ut $it propor- tio primæ ad tertiam, uelut differentiæ primæ à tertia ad differentiam $ecundæ à tertia, ponatur 25, prima 21, $ecunda 15, tertia proportio 25 ad 15 e$t uelut 10 differentiæ prim&ecedil; à tertia ad b differen tiam $ecundæ à tertia.

Tertia e$t $imilis priori, ni$i quod $umitur dif- ferentia primæ à $ecunda pro ultimo termino. Ex- emplum, 25 primus terminus, 19 $ecundus, 15 ter- tius, proportio 25 ad 15 e$t uelut 10 differentiæ pri- mæ a tertia ad b, differentiam primæ à $ecunda. Has proportiones quanquàm exiguæ utilitatis, proponere uo- lui, ut excogitatis aliquibus demon$trationibus, uelut $uperius diximus, pulchra theoremata & problemata tradi po$$ent.

Propo$itio cente$ima$eptuage$imatertia.

Circulum $uper centro $uo mouere æqualiter, ita quòd omnia illius puncta per rectam lineam moueantur ultro citro <01>.

Co^{m}.

Sit a centrum circuli b c, & æqualis ei circulus d e, centrum eius b in circumfe- rentia circuli b c, fixum ita ut ibi mouea- tur ad motum circuli b c: & moueatur b uer$us c æqualiter, & e contrario motu etiam regulariter, & duplo uelocius ex e uer$us d, dico omnia puncta d e moue- ri in linea recta, & primum capio pun- ctum d, quod $it in linea recta centro- rum: & moueatur b ad c, & $i circulus d e e$$et immobilis, palam e$t quòd pun- ctum d cum $it in una linea a b, cum b perueniret in c, d e$$et in linea a c, putà in h $ecundum quantitatem, ergo b d ex Per 20. ter tij Elem. centro c, de$cribo circuli portionem h k, duco etiam c k, erit ergo angulus h c k duplus a, quare arcus h k duplus b c, nam con$i$tunt in centris circulorum æ- qualium: igitur cum ex h motu conuer$o, & duplo ueloci in codem tempore feratur d perueniet in k, & ita $ecundum rectam lineam erit motum eadem ratione ex d in k, quod erat demon$trandum.

Ex hoc

187

Ex hoc patet quòd quando b Cor_{m}. 1. erit in c peracta quarta circuli, ut in $ecunda figura erit per motum l e in a: nam cum d a $it dupla c b, igi- tur in eodem tempore l perueniet ad a, in quo b perueniet ad c.

Dico etiam, quod quãdo b per- Cor_{m}. 2. ueniet ad fin prima figura, d perue- niet ad g, quia permeabit totum cir culum, & a b d $unt in una recta li- nea. Et cum b perueniet ad m in $e- cunda figura, d rur$us perueniet ad a centrum.

Ex hoc patet, quòd punctum d permeabit lineam rectam æqua- Cor^{m}. 3. lem duplo diametri unius circuli, id e$t, quantum e$t linea a g in pri ma figura.

Sequitur etiam, quòd d punctum meabit et remeabit per rectam Cor^{m}. 4. lineam ag, peragendo bis eam in uno circuitu circuli b c, $eu duo- bus circuitibus d e.

O$ten damus modo, quod pun ctum d extra lineam centrorum, $ci licet in linea d c a f tran$ibit per re- ctã eandem, ut in tertia figura pro- ducatur c d u$<01> ad k, ita ut c k $it æqualis c a, erit ergo punctus d pri mæ figuræ m è regione k tertiæ, & dum c mouetur ad e, d perueniat ad g, erit ergo e g æqualis ea, & $e- cet circulus g h rectam a d in h, & ducatur c h. Et erit ut prius angu- lus h e g duplus h a g, ergo arcus g h duplus e c, ergo g remeauit in h in tempore quo c feretur in e, quare d de$cendit per rectam in h.

Dico rur$us, quòd quanto ma- gis d erit propinquum lineæ d g, tanto minus de$cendet in recta, quanto magis propinquum longi tudinibus medijs, tãto celerius mo uebitur, adeò ut in $ecunda figura apparet motum ex d in g, non de$cendit ni$i per d n, & motum ex g in l de$cendit ex n in a centrum fixum. De$cendat ergo ex e in h & h Q 4 in k

188

in k per arcus æquales, & ducantur arcus h l & k m. Quia n m & n l $unt minores quarta circuli, & maiores $unt f e & fl, & angulus an- gulo non minor, patet propo$itum. Ita ergo motus, ut appropin- quant pũctis medijs $unt uelo ciores, & in æquali di$tãtia æquales.

Et hoc inuentum fuit Ludouici Ferrarij, cuius meminimus in Ar te magna, & nos ei $ub texuimus ex no$tra inuentione, cuius ille de- mon$trationem inuenire nequiuit.

Propo$itio cente$ima$eptuage$imaquarta.

Progre$$us & regre$$us tam $ine latitudine, quàm cum latitudi- ne in planetis per $olos concentricos circulos æqualiter motos de- mon$trare.

Co^{m}.

Sit eclyptica a b c d, & arcus regre$$us b c in partes quatuor æquales diui$us, & de$cribantur circuli duo b h & e k $uper e & f, & $upponatur orbis $uperior $ub eclyptica tamen, cuius polus in f, qui circumagatur in du plo temporis retroce$$us planetæ, & in di$tantia circuli e k $ub puncto e eclypticæ, polus alterius orbis concen- trici inferioris, qui circumagatur in tempore retro ce$$us planetæ, & planeta $it in puncto 6, liquet ergo quòd pla neta ille in uno circuitu e k circuli permeabit b c & re- meabit, & $emper erit $ub ip$a eclyptica. Sed enim eclyptica habet rationem rectæ lineæ, ut quiuis circulus maximus. Et $i quis relu- ctetur fingamus rectam $ubten$am arcui b c, & aliam po$tmodum æquidi$tantem in eadem $uperficie, & in orbe inferiore, & tunc pa- tebit liquidò propo$itum. Sed $i uelim latitudinem de$cribam, ma- ximam latitudinem à puncto b, & ducam circulum magnum per punctum illud: reliqua ut prius, ad unguem: nihil enim refert quod ad demon$trationem præcedentis attinet, $eu a d ponatur eclypti- ca, $eu alius circulus magnus.

Cor^{m}. 1.

Ex hoc patet cau$a cur retroce$$us in initio, & in fine $int exigui, in medio $int magni imò maximi, & quomodo perpetuò uarietur latitudo in tempore retro ce$$us, & ratio omnium, & $imiliter de in- crementis & uelocitate motus.

Cor^{m}. 2.

Ex hoc $equitur, quod cum erratica fuerit in centro $eu polo f, & tunc mouetur uelo ci$símè, quòd tamen erit in oppo$ito $olis, & tunc etiam ibi erit ip$e polus, quare alter erit cum ip$o $ole.

Cor_{m}. 3.

Et quia dum motus e$t ueloci$simi $ecundum ordinem $igno- rum, tunc erratica $uperior e$t $oli iuncta, e$t<03> in polo, oportet ut polus fmoueatur $ecundum ordinem $ignorum, adeò ut cum $ol peruenerit ad illius oppo$itum, orbis $uperior dimidium perfecerit circuitus

195

cir cuitus, inferior autem integrum. Ergo orbis $uperior tanto tar- diùs mouetur $ole, quantum e$t id quod peragit polus $ine æquali motu in orbe $ignorum, per motum circunducentis orbis $uperio- ris in tempore dimidij circuitus. Inferior ergo cum moueatur du- plo uelociùs $uperiore, ut dictum e$t, igitur duplo uelo cius $ole, ni- $i quantum e$t duplum motus poli $uperioris per motum orbis circunducentis.

SCHOLIVM I.

Intelligo autem per arcum retro ce$$us non $olum illum quo pla- neta retrocedit, nam hic e$t longè minor arcu proce$$us, $ed in quo motus in æqualis e$t minor æquali, palam autem e$t hunc fore æ- qualem arcui uelocioris motus quàm $it motus æqualis.

SCHOLIVM II.

Cum ergo, dum erratica e$t in polo orbis $uperioris, ibi quie$cat motu eius, motu autem inferioris orbis ueloci$simè moueatur $eu progrediendo $eu regrediendo motu<03> cir culari, & tamen per re- ctam lineam, igitur uideretur quòd motus circularis partes po$$et tran$ire in rectum. Re$pondeo quòd $ufficit $ola inclinatio ob ma- gnitudinem anguli: nam dum $ydus transfertur extra centrum mo- tu orbis inferioris, mouetur uelociter quo ad angulum motu orbis $uperioris.

Propo$itio cente$ima$eptuage$imaquinta.

Cau$am uarietatis diametrorum ex $uppo$itis concentricis de- mon$trare.

In tribus $uperioribus planetis & quibu$cun<03> $tellis octaui or- Co^{m}. bis manife$tum e$t, quòd pars quæ re$picit nos quantò remotior fuerit à Sole, tãto magis illuminatur. Manife$tum e$t etiam & expe- rimento & ratione, quòd illud quod magis lucet, & e$t illuminatũ à Sole in nocte, maius uidetur, $icut etiam de facibus nocturnis. Et rur$us, quod $ub $tantia orbium circa loca quæ habentur pro polis e$t den$ior, & quod res in medio den$o apparent maiores, $icut de pi$cibus in aqua, denarijs & baculis. Demon$tratum aũt e$t in præ- cedenti, quod quando $tella fuerit in polo orbis $uperioris, quòd tunc maximè retrocedit, & ideò cum in tempore maximi retro ce$- $us $it in oppo$ito Solis dũ tres $uperiores $unt in oppo$itu Solis, multo maiores duabus ex cau$is e$$e uidentur, & iuxta proportio- nem propinquitatis ad Solem commutant quantitatem & tanto minores apparent, quia non po$$unt, commutare formã, uelut Lu- na propter æqualitatem $ub$tanti&ecedil; & luminis proprij copiam, qu&ecedil; non $init di$cerni uarietatem figur&ecedil;. In Luna autem $ecus e$t, nam in ip$a

196

ip$a di$cernitur ob paucitatem luminis proprij figuræ uarietas, & ob id non apparet maior, imò minor aut mediæ quantitatis in op- po$ito Solis, $ed maxima in longitudinibus medijs, quoniam ibi $unt poli motus uarietatis ut dictum e$t, qu&ecedil; habet locum retro ce$- $us, $ed ob motus paruitatem Luna non pote$t retrocedere, uerùm $olùm motus tardatur. Nam licet den$itas $it in cœlo $uperiore & motus uelox nihilominus efficit imaginem maiorem, $icut apparet de pi$ce in magna aqua in medio, & in parua in imo, nam in parua uidetur longè maior quàm in magna, licet $it in æquali di$tantia. In Venere autem & Mercurio eadem e$t ratio di$tantiæ à Sole ut di- ctum e$t in præcedenti. Cum ergo $ub Sole multum moueantur motu differentiæ uel $ecundum $ucce$sionem, uel contra $ucce$- $ionem in medijs longitudinibus, parum tunc uidentur e$$e mino- res, quia $unt remotiores à polo orbis $uperioris. Quod autem pro pinqui coniunctioni Solis, & ueloces uideantur minores, i$tud contingit ob primam cau$am, quia minus illuminantur, ea parte quæ ad nos uergit. Re$tat ergo $olum o$tendere cur propinqui Soli & in retroce$$u uideãtur maiores, cùm utra<01> ratio ob$tet, $unt enim remoti à polo orbis $uperioris & propinqui Soli, cau$a e$t quoniam apparent $olùm in crepu$culis quando $unt $ic di$po$iti, & tunc aër e$t cra$sior. Quæ cau$a facit, ut neque dum ueloci$simi $unt $emper parui uideantur, ideò non pote$t con$titui certa ratio. imò i$ta deducta $unt potius ex fundamento fal$o illius figmen- ti, quam ex $en$u (ita enim argumentantur) retro cedunt, ergo $unt propinquiores terræ, ergo uidentur maiores, & ita fingunt $en- $u $ehabere quod fal$a ratione o$tendere uidentur. quod<03> i$tud $it uerum, patet quia nullum in$trum&etilde;tum etiam in aëre clari$simo Aegypti pote$t o$tendere differentiam minorem $exminutis, & hic e$t fermè diameter Mercurij, nec tanta e$t differentia in Venere. Reliquum e$t ut $atisfa ciamus obiectioni quam faciunt de diuer- $itate magnitudinis Lunæ propter eclip$im, nam uidetur e$$e ali- quando maior, & aliquando minor in æquali di$tantia à $ectione capitis & caudæ draconis, adeò ut non uideatur po$$e a$signari. di co ergo huius cau$am e$$e umbram ip$ius Lunæ dubiam, $icut eti- am in crepu$culis, quoniam Sol in diuer$o $itu facit diuer$am um- bram comparatione oculi no$tri, maior e$t enim in hyeme quàm in æ$tate, & quæ e$t propior nobis quàm quæ procul, & quæ e$t in meridie quàm iuxta Ortum uel Occa$um, & ideò tam parua diffe- rentia & incerta, & quæ aliquando uariat, nullo modo uitiare po- te$t rationem motuum æternorum.

Propo$i-

197

Propo$itio cente$ima$eptuage$ima$exta.

Rationem centri grauitatis declarare.

Duplicem rationem c&etilde;tri grauitatis inuenit Archimedes, unam Co^{m}. $u$pen$orum ponderum: alteram $upernatantium aquæ, in qua- rum utra<01> $ubtilitatis certè e$t quantum dignum e$t authore illo ingenio $i$simo, $icut etiam in elica linea, fructus autem non pro ra- tione laboris, ne<01> enim ab ætate illa u$que nunc inuentus e$t qui$- quam, qui potuerit docere, nec ille idem quæ nam utilitas ex huiu$- modi contemplatione haberetur, propterea totum hoc una propo $itione conclu$imus.

Dico igitur quòd c&etilde;trum grauitatis in appen$is æqualibus qua- dratis aut quadrilateris parallelis e$t, ubi$e inter$ecant duæ diame- tri. Et quod in triangulis e$t punctus in quo concurrant tres lineæ, duct&ecedil; ab angulis ad latera illa per æqualia $ecando. In quadrilatero autem trapezio centrum grauitatis e$t in puncto lineæ, quæ $ecat ambo latera oppo$ita per æqualia, ita ut proportio partis eius li- neæ, quæ intercipitur à minore æquidi$tantium, ad partem quæ in- tercipitur à maiore æquidi$tantium, $it ueluti dupli maioris æqui- di$tantium cum minore ad duplum minoris æquidi$tantium cum maiore. Cuiu$cun<03> portionis à recta linea, & rectanguli coni $ecti- one comprehen$æ, centrum grauitatis diuidit diametrum portio- nis, ita ut pars eius ad uerticem terminata, $it ad partem eam $exqui- altera, quæ ad ba$im portionis terminatur. Cuiuslibet fru$ti à $ecti- one rectanguli coni ablati, centrum grauitatis e$t in linea recta, qu&ecedil; fru$ti exi$tit diametros: qua in quinque partes æquas diui$a, cen- trum in quinta eius media exi$tit, atque in eo eius puncto quo ip$a quinta $ic diuiditur, ut portio eius propinquior minori ba$i fru- $ti ad reliquam eius portionem eam habeat proportionem, quam habet $olidum, cuius ba$is $it quadratum lineæ illius quæ fru$ti ba- $is maior extiterit.. Altitudo ueró i$tis utri$que $imul æqualis lineæ quæ dupla $it minoris ba$is fru$ti, & ba$i maiori eiu$dem, ad $oli- dum quod ba$im habeat quadratum ba$is minoris fru$ti, altitudi- nem uero i$tis utri$<01> $imul æqualem lineæ quæ dupla $it maioris ba$is, & ba$i minori. Et hæc de prima, multa qúe alia pulchra de- clarat Federicus Comandinus, in $uo libro de Centro grauitatis, ut pote. Quod cuiuslibet portionis conoidis rectanguli axis à cen- tro grauitatis ita diuiditur ut pars, quæ determinatur ad uerticem reliquæ, quæ ad ba$im terminatur dupla $it, & longè $ubtiliora qu&ecedil; quilibet uidere poterit apud illum.

SCHOLIVM.

198

SCHOLIVM.

Partes omnes con$entiunt in grauitatem medij, quoniam una aliam non uult centro mundi fieri propiorem.

De $ecunda præcipua $unt, quod $i magnitudo aliqua humido leuior ea in grauitate proportionem habebit ad humidum &ecedil;qualis molis, quam pars magnitudinis demer$a ad totam magnitudinem, & hoc intelligitur quando magnitudo illa fuerit è genere $olido- rum rectorum & rectangulorum. Secunda e$t, quòd quæ $imilia $unt $uperficiebus, ita ut axem habeant in medio, $ecundum $itum axis merguntur & prominent, & $i aliter mergantur, redeunt. Ter- tia, quod qu&ecedil; angu$tiora $unt, ab oppo$ita parte uerò latiora, incli- nantur ad partem acutiorem, quia $ic facilius de$cendunt. Quarta e$t, de corporibus non æqualibus, ip$a enim nece$$e e$t, ut ab hac $e inflectant, & ratio horum diuer$a e$t iuxta rationem proportionis partium quæ merguntur adinuicem. Quinta e$t, quòd mer$a in hu- mido, quanto minus mer$a fuerint, tanto facilius & eo frequenti- us commutantur.

Propo$itio cente$ima $eptuage$ima$eptima.

Si proportio aliqua ex duabus proportionibus eiu$dem quanti tatis ad alias duas componatur: erit proportio illarum duarum ea- dem proportioni producti ex proportione in primam duarum quantitatum detracta priore illa quantitate, quæ ad duas compara tur, ad eandem priorem quantitatem.

Sit proportio a ad compo$ita ex proportionibus c Co^{m}. ad d & c ad e, dico quòd proportio d ad e e$t, ut produ- cti ex proportione in d detracto c ad ip$um c. Et nos $uperius expo$uimus conuer$am huius. Erit enim per $ecundã demon$trationem illius proportio a ad b, uelut producti ex c in d, & e ad productum d in e: at productum d in e & in propor tionem, e$t idem quod productum proportionis in d in ip$um e: igi tur cum in uno $it productum e in c, & d in c, in alio productum a b in d in de in e, quæ $unt æqualia, detracto producto e in c ex produ- cto proportionis in d & inde in e, relinquetur, productum c in d æ- quale producto a b .i. proportionis in productum d in e, detracto numero c in e: igitur ducto c in d, & diui$o per productum a b in d numero c, exibit e, igitur cum illud productum fiat ex d, $cilicetin c, & ex e in productum proportionis in d dempto numero c, erit pro portio d ad e, uelut producti ex d in proportionem, detracto e ad ip$um c, uelut c $it 12, d 4, e 6, a b erit 5 proportio d ad e, uelut d in a b, id e$t 20, detracto c, & e$t 8 ad c 12.

Ex

199

Ex demon$tratione $equitur, quod qualis e$t proportio e ad a b, Corm. talis e$t producti d in e, ad aggregatum eorum. Si quis ergo dicat, habeo 10, & uolo inuenire duas quantitates, quarum differentia $it 1, & proportio 10, ad eas componat quintuplam, dices quintupla e$t dimidium 10, igitur in uenias duas quantitates, quarum differen tia $it 1, & proportio producti unius in alteram ad aggregatum $it dupla. Et hoc e$t manife$tum.

Propo$itio cente$ima $eptuage$imaoctaua.

Proportionem mi$tionis metallorum, maximè auri & argenti declarare.

Dubium non e$t, quod mi$tio non cogno$catur ducto ponde- Co^{m}. re totius in partem auri uel argenti, & productis collectis diui$o aggregato per aggregatum ponderis, idqúe e$t per $e manife- $tum, nam qualis e$t proportio partis ad partem, talis e$t totius ad totum.

Sed e$t genus mi$tionis, quod uocant con$olationem. Veluti, uolo ex argento perfectionis decem & $eptem, & quinque, confla- re argenti ma$$am centum librarum perfectionis nouem, ita agen- dum e$t. Detrahe 9 à 10, & omni maiori 10, relinqui- tur 1, hoc $uppone 7 & 5, item detrahe 7 & 5, & omne minus 9 à 9, relinquitur 2 & 4, iunge omnia re$idua fient 8, nam 4. 2. 11. Dicemus ergo quod 8 unci&ecedil; per- fectionis nouem componentur ex 6 uncijs perfe- ctionis decem & una $eptem alia quinque. Po$t di- ces, $i unciæ octo fiant 100, $ex & una, & una, quot fient, erunt<03> un- ciæ aut libræ, aut ut uo cant marchæ perfectionis decem, & duo de- cim cum dimidia, ac duodecim cum dimidia perfectionis, ut $e- ptem & ut quinque: licebit etiam propo$itis terminis pluribus ex repetita operatione idem facere, ueluti $int ma$$æ perfectionis 10. 7. 5. & 2. uolo ma$$am perfectionis ut 8. Tu $cis quod ex 10. 7 & 5. fit ma$$a perfectionis nouem data lege $ub 6. 1 & 1. nunc habeo iam perfectam ut 9, aliam ut 2, detraho 2 ex 8, relinquitur 6 & 8, x 9 re- linquitur 1, iunge fient 7, erunt ergo $eptem unciæ, in quibus $ex erunt perfectionis, ut 9 & 1 perfectionis ut 2, & totum erit perfectionis ut octo. Duc ergo, ut ex- plores ueritatem, 6 in 9 fit 54, duc 2 in 1 fit 2, iunge fit 56 diuide per 7 exit 8 perfectio quæ$ita.

Per idem intelliges detractionem ex ma$$a argenti perfectionis 7, detraxi quartam partem perfectionis 10, uolo $cire do drantem qualis

201

militer l n ip$ius l m, iuxta pro- portionem h, $umatur rur$us Per 22. quinti Elem. de ip$ius a b pars $ecundum h, Per 18. quinti Elem. & n o ip$ius k l, $ecundum ean dem proportionem. Et rur$us Per 19. & 22. eiu$dem. $umatur e f æqualis d b, & o p Per 22. eiu$- dem. æqualis n l, ut $int portiones b c & l m $ecundum proportionem h, & $umatur f g ip$ius a c, $ecun Per eandem. dum proportionem h, & p q ip$ius k o, $ecundum eandum propor- Per 19. & 22 eiu$dem. tionem, & ita procedendo $emper, dico quod erit a g re$idui ad k q Per ea$dem. re$iduum, ut a b ad k l. Quia enim a b ad b c, ut k l ad l m ex $uppo$i- Per 19 quin- ti Elem. to, erit a b ad b d, ut k l ad l n: e$t etiam a b ad d e, ut k l ad n o ex $up- po$ito, igitur a b ad b c, ut k l ad l o. Igitur a b ad a c, ut k l ad k o. Rur Per 16. eiu$- dem. $us quia b c ad e f, ut l m ad o p, erit a b ad e f, ut k l ad o p, at fuit a b ad a e, ut k l ad k o & a e ad g f, ut k o ad p q, igitur a b ad' g f, ut k l ad q p. Quare a b ad g e, ut k l ad q o. Iterum ergo a b ad b g, ut k l ad l q. Ergo a b ad a g, ut k l ad k q. Igitur a b ad k l, ut a g ad k q, quod erat demon$trandum.

Ex hoc patet, quod et$i proportio non maneat eadem in parti- Cor^{m}. 1. bus totius, & partis modo $it eadem in totis ad partes a$$umptas, et in partibus ad partes a$$umptas, nihilominus $equitur idem.

Sequitur rur$us, quod et$i proportio eadem non maneat quan- Cor^{m}. 2. titatum a$$umptarum ad partes quæ $umuntur, nec etiam partium modo $emper pars, quæ a$$umitur $it totius pars, & alia partis idem ueratur.

Velut $i prima uice capiam b d partem b c, ut l n partem l m $e- Com. cundum h proportionem, & deinde capiam d e partem a b & n o partem k l $ecundum proportionem r, quæ $it alia ab h, & $ecunda uice capiam e f partem b c, & o p partem l m $ecundum proportio- nem h, quæ $it alia ab h & r. Et capiam f g partem a e & p q partem k o, $ecundum eandem proportionem, $ed tamen quæ non $it ali- qua prædictarum, $cilicet h r s, $ed diuer$a ab eis, & uocetur t, dico quod nihilominus erit proportio a g ad k q, ut a b ad k l, quæ pa- tent ex ui demon$trationum, in quibus nil plus a$$umitur ad de- mon$trandum, quàm id quod proponitur in corrolarijs.

Ex hoc etiam $equitur, quod $ecundum quem numerum prima Cor^{m}. .3. quantitas ab$umetur, $ecundum eundem ab$umetur & $ecunda.

Velut $i prima quantitas ab$umatur ad unguem in quinta detra- Co^{m}. ctione, etiam $ecunda k l in quinta detractione ad unguem ab$ume tur, quod patet per demon$trata, nam re$idua $emper $unt eædem partes ip$arum quantitatum.

R Quarto

202

Quarto $equitur, quod $i detractio fuerit facta eodem modo, & Cor^{m}. 4. fuerit proportio totius ad totum, ut re$idui ad re$iduum, erunt par tes a$$umptæ $imiles.

Velut $i fuerit facta detractio iuxta propo$itionem, aut primum Co^{m}. uel $ecundum corrolarium, & fuerit proportio a g ad k g, ut a b ad k l, erit a b ad b c, ut k l ad l m.

Sequitur etiam, quod $i fuerit a$$umpta proportio primarũ par- Cor^{m}. 5. tium eadem, & facta fuerit detractio in omnibus præter unam iux- ta dicta, & fuerit totius ad totum, ut re$idui ad re$iduum, erit ut illa etiam reliqua detractio, $eu ad tota, $eu ad partes $it facta, $ecundum eandem proportionem.

Velut $i $it proportio a b ad k l, ut a g ad k g, & rur$us ut b c ad Co^{m}. l m, & a$$umptæ $int proportiones eædem $emper totius, & totius ad partes, & re$iduorum ad partes, etiam & b c & l m ad partes, eti- am excepta una $eu quantitatum a b & k l, $eu re$iduorum ut a c & k o, $eu partium ut b c & l m ad partes, dico quod hæ partes etiam erunt a$$umptæ $ecundum eandem proportionem ad ip$as magni- tudines, uel partes primas uel re$idua.

Sed & id $equitur ex his, quod cuiu$cunque $eu totius $eu partis Cor^{m}. 6. $eu utriu$que pars maior a$$umetur, erit maior proportio totius ad totum quàm re$idui ad re$iduum.

Hæc demon$trantur à Campano, nam $i $it maior proportio a b Co^{m}. ad a g, quam k l ad k g, erit maior a b ad k l quàm a g ad k g.

Rup. 16. quinti Elem.

Sequitur rur$us, quod in eadem con$titutione cuiu$cunque ma- Cor^{m}. 7. ior pars ab$umetur, ea quantitas minori numero, uel numeri parte ab$umetur.

Nam $i minor erit continuo proportio a b ad a e, quàm k l ad k Co^{m}. o, & a e ad e g, quàm k o ad o g, erit longe minor a b ad b g quàm k l ad l g, igitur longe maior a b ad a g quam k l ad k g. Igitur a g citius ab$umetur quam k g.

Propo$itio cente$imaoctuage$ima.

Si aliqua quantitas in duas partes diuidatur, fueritque alicuius, quantitatis ad partes illas compo$ita proportio eiu$dem quan- titatis ad partes alias quantitatis diui$a aliter proportio eadem componi.

Co^{m}.

Sit a b proportio ad partes c d quæ $int c e, & c d componens f, dic<*> quod non poterit c d aliàs diuidi, ut proportio a b ad illas componat candem proportionem f. Aliter $it diui$a in g, & erit mi- nor c g,

203

nor c g, minor aut maior c d minore, capiam ergo c d minorem, erit igitur proportio a b ad c d maioris exce$$us ad proportionem a b ad c g, quàm $it proportio a b ad g d, ma- ior proportione a b ad c e, propterea quod g e communis differentia maiorem habet proportionem ad e d quam g c, igitur ma- ius e$t aggregatum proportionum a b ad c e, & e d, quã eiu$dem a b ad c g & g d, quod erat demon$trandum.

Propo$itio cente$imaoctuage$imaprima.

Cum fuerit aliqua proportio compo$ita ex proportionibus pri- mæ ad $ecundam & tertiam, & rur$us quartæ ad quintam & $ex- tam, ita $e habebit proportio $ecundæ ad tertiam proportionem quintæ ad $extam, uelut producti ex proportione in $ecundam de- tracta prima ad primam ad productum ex proportione in quin- tam, detracta quarta ad quartam.

Sit pro portio g compo$ita ex proportionibus a ad b & c, & proportionibus d ad e & f, dico quod quemadmodum b ad c, ad proportionem e ad f, ita producti ex g in b, detracto a ad a ad productum ex g in e, detracto d ad d. E$t enim, ut demon$tratum e$t b ad c, ut productum ex g in b, detracto a ab a & e ad f, ut pro- ducti ex g in e, detracto d ad d, igitur cum æqualium $int eædem comparationes, erit ut proportionis b ad c ad proportionem e ad f, ita producti ex g in b, detracto a ad a, ad productum e$t g in e, de- tracto d ad d.

Quare erit proportio b ad c ad proportionem e ad f, uelut re$i- dui b detracto quod prouenit, diui$o a per proportionem a ad pro portionem re$idui e detracto quod prouenit diui$o d per propor- tionem ad ip$um d.

Propo$itio cente$ima octuage$ima$ecunda.

Propo$ita differentia proportionum partium $imilium ad par- tes a$$umptas propo$ita<03> proportione totius ad re$idua eandem differentiam proportionum totius ad reliquum re$idui inuenire.

Sint datæ partes b c & e f, $imiles in compa- ratione ad a b & d e, & data re$idua a g & d h in cõparatione a b & d e, $imilia in differentia proportionis f e ad c l, ad proportionem c b ad b k, dico quod data e$t differentia proportionis a b ad g k ad proportionem d e & f h. Nam quia proportio f e ad c l, ad pro- R 2 portionem

204

portionem b e ad c k data e$t, & c f ad e d, ut b c ad b a, erit ut a c ad l e contineat a b ad b k, ut f e ad e l, c b ad b k, $ed a b ad a d, ut d c ad d h, igitur a b ad b d, ut d e ad c h. Sunt ergo duæ quantitates a b & d c, quæ eandem habent compo$itam proportionem ad g k & k b, & h l & l e, quare per præcedentem proportionis h l ad l e, ad pro- portinem g k ad k b, ut h l detracto prouentu d e, diui$i per propor tionem ad d e ad proportionem g k, detracto prouentu a b, diui$i per eandem proportionem ad ip$um a b. Si igitur nota e$t l e & h l, erit nota proportio re$idui h l detracto prouentu d e diui$i per pro- portionem, quare nota detractio g k detracto prouentu a b diui$i per eandem proportionem ad a b. E$t autem a b nota, & propor- tio nota, & ideo prouentus, & cum $it proportio nota, erit ergo re$iduum notum, cui addito prouentu fit tota g k nota, quod fuit demon$trandum.

Propo$itio cente$ima octuage$imatertia.

Spatium uitæ naturalis per $patium uitæ fortuitum declarare.

Cum con$tet homines ca$u uiuere ægrotantes primum $æpe: Co^{m}. deinde uiuentes in aëre malo, & ip$um intempe$tiuis horis $ub- euntes tri$titijs, curis, uigilia, uenere, laboribus perperam $e excru- ciantes, tũ uerò immodico cibo & potu, & prauo, & $æpius, quàm oporteat, & intempe$tiuè, & malè præparato, & uario $e replentes, atque $ic alij ad $exage$imum, alij ad $eptuage$imum, rari octuage- $imo, rariores nonage$imo uel cente$imo anno ita moriun&ttilde;, ut non ca$u, neque ui aut morbo, $ed potius qua$i naturali quadam morte ab$umpti intereant: de quibus tantum e$t $ermo. Atque ut exem- plo commodiore utamur, capiamus annum octoge$imum, qui e$t terminus communis uitæ humanæ, non $olum no$tra ætate, $ed an- tiquo tempore etiam fuit, ut Dauid te$tatur in P$almis, in Cantico Moy$is: antea autem $i quis moriatur, non naturali morte, $ed ui morbi ab$umptus exi$timatur. Certum e$t, quod $i homo recta ra- tione uiueret, quod aliquanto diutius uitam extenderet, ne<01> enim negare po$$umus, cum in magnis exce$sibus maximè $ectionis ue- næ & curarum, quin homo euidentur uitam breuiorem efficiat: quod ergo euidenti$simum e$t in magnis exce$sibus, in paruis ean- dem habet uim licet occultiorem. Errorem autem in uita hunc ade$- $e perpetuum, qui$<01> intelligit qui no$tras actiones pen$itare uelit, cum $altem malam $equamur con$uetudinem: iam ergo proponan- tur iuxta dicta du&ecedil; line&ecedil; a b uit&ecedil; naturalis exqui$it&ecedil; recte longior & c d uitæ

205

c d uitæ quam is uicturus e$t, id e$t, annorum octuaginta, quam cõ- Prop. 179. Et in cor. 1. & 2. $tat e$$e breuiorem aliquanto. Et proponatur error quadrage$imæ partis in ip$a uita, quamuis $it longe maior: quotu$qui$<01> enim e$t qui non $altem edat bibat<03> quadrage$ima parte, plu$quàm opor- teat in comparatione ad naturam, id e$t, ut natura fatigatur quadra ge$ima illa parte amplius quàm debeat: idem dico de laboribus, cu ris, uigilijs, uenere. Sed hoc non e$t generale: habet<03> multas exce- ptiones inuicem pugnantes, ut tandem concludam non concoqui plenè po$$e, & ob id impurum manere, unde citò di$$oluitur, & ca- lorem etiam naturalem extinguit: at<01> etiam ob id, tum quia debi- tos labores, & multo minus ad perfectam ætatem perferre nõ po$- $unt, den$ari nequit & pingue$cere, ut duplici cau$a multo celerius re$oluatur, una etiam calorem extinguat. Sit ergo a e talis pars a b, qualis c f, c d. Cum ergo a b con$umi- tur in octuaginta annis, $emper $eruat proportion&etilde; cum uita contracta, quæ æqualiter ab$umitur: quia portiones illæ æquales $unt in minore inuicem $icut in maiore, & inæquales $eruant eandem proportionem, $umatur ergo a b annorum cclvij. men$ium v. & ab$umatur $emper quantitas æqualis octuage$ima a e, & quadrage$ima a b & re$iduorum.

An.An.Quad.An.An.Quad.An.An.Quad.An.An.Quad.An.An.Quad.An.An.Quad.2572014168322810625416527543666813231250015163242910304263255341069121022423016158213099174360195632167010383235281715323319538445805730247192842283318148303292234555225828347281952225191442338911465375927673711621523201391834862475034602519746472098211350358236484824612334754388203022130253679344946166222117633491963723126153776355044106320297723110191124122938740514266419978129111851025118739716524046517307902812179252611494068155338466161380001317462711015671437

Vt corrigas tabulam, $cito quod numerus quadrage$imæ cum $uperiore annorum numero à leua componit numerum quadrage $imæ $uperioris $impliciter, aut abiectis quadragenarijs. Velut è regione trige$imi anni, $unt anni nonagintanouem, quad. 17 è directo anni 29, $unt anni 103, quad. 0. ad de 17 quad. ad 103 fit 120, abijce 40 ter, nil $upere$t, & ita nulla e$t quadragenaria è regione 29 & 103.

S Rur$us

206

Rur$us cum deuenimus ad annos 79, $uper$unt $olum 28 qua- dragenariæ, & e$t minus anno, $ed hoc fieri ob fractiones & nume- rorum partes, & etiam $i e$$et aliquis error, e$$et magis ad augen- dum numerum annorum 257, men$ium $ex quàm ad diminutio- nem, ideo non curaui de exacta ueritate.

Præterea ex hac tabella digno$cis, quod in ultimis annis parum pote$t produci uita in comparatione ad primos, ueluti in 60 anno $uper$unt anni 20, ex uita ordinaria, ex exacta paulo plures quàm 25, $cilicet 25 cum dimidio. Ergo à 60 anno non poterit per quam- uis cu$todiam homo producere uitam plus annis quin<01> cum di- midio. Et $i dicas tunc cu$todia maximè opus e$t, & magis quàm unquam, re$pondeo quod uerum e$t, $ed non ad producendum ui- tam, $ed ne in morbum incidas: nam ex quocun<01> morbo homo ab ea ætate perit, cum habeat adeò imbecilles uires. Ex hoc patet, quod Alexius Cornarius, patritius Venetus, cum incœpi$$et cu$to diam anno 36, cum po$$et uiuere 44 annis, iuxta rationem uit&ecedil; com munis, potuit producere eam annis 79, igitur annis 25 plu$quàm ui xi$$et uita communi etiam quòd fui$$et $anus.

Si ergo aliquis $it uicturus centum annis uita communi adde- mus eodem modo trige$imamnonam partem, id e$t quadrage$i- mam partem, & quadrage$imam quadrage$imæ huic numero, & unum amplius, & habebimus numerum ut infrà.

An.An.Quad.An.An.Quad.An.An.Quad.25720873143394383118126538832334953943822723489333596405683280329034226974162784289091352169842813852971692362169944011863060933722710045222

Et ex hac tabula digno$cemus quantum qui$que po$sit uiuere, quouis tempore ætatis $uæ, illud intelligendo quod non e$t eadem men$ura omnibus, ut neque uitæ ordinariæ, nec magnitudinis cor porum, nec ingeniorum, nec eiu$modi in aliquibus uita decre$cit per uige$imam partem, hic $cilicet qui inordinatè uiuunt, alijs uix $e xage$ima, quan<08> pauci$simis. Hic ergo numerus maximè concor- dat cum experimentis duobus, &qtilde; apparuerunt parũ ante t&etilde;pora no $tra, $cilicet Ioannis de t&etilde;poribus, qui uixit annis 361, & Richardus de temporibus, annis 400. Et ambo fuerunt milites Caroli Ma- gni, nam non potuerunt omnino pro$picere uitæ rationi exqui$i- ti$simæ. Referũt etiam in India no$tris t&etilde;poribus uiuere ad centum quinquaginta

207

quinquaginta annos, cuius cau$am transferunt in aërem: ego po- tius in uitæ genus, ab$tinent enim carnibus, ouis, ca$eo & uino, u- tuntur<03> fructibus tantum, & uiuebant $ine $olicitudine ulla & cu- ris. Vnde rectè in$inuatum e$t etiam ultra hi$toriam, quod Adam e$$et perpetuò uicturus, $i non degu$ta$$et fructum arboris boni & mali, id e$t, quod mors nobis obrepit ob, $olicitudines & curas. A- uenzoar autem cum uixerit multis cum curis, & fuerit in carcere Hali, & ab eo per iniuriam uexatus, & natus in malo aëre, $ola ratio- ne uictus produxit uitam ad annos 135, ut te$tatur Auerroes, quid euenturum erat, $i in bono aëre educatus nihil graue, & adeò diu- turnum expertus fui$$et:

Pro u$u autem huius & $uperioris tabulæ, $i quis proponat iu- uenem ex $tirpe eorum, qui uiuunt $exaginta annis, iam natum de- cem & $eptem annos, uelimus<03> $cire quantum uiuere po$sit, uide è regione 20 annorum in primo ordine, & habes annos 139. Quad. 18. & ab hoc numera 17 annos, & habebis annos 37 è regione, quorum $unt anni 76. Quad. 35, id e$t, men$es 10, dies 15. uel iunge 17, numerum annorum exactorum, & 20 numerum annorum defi- cientium ab 80, fiunt anni 33, ut prius, è quorum regione habet an- nos 76. quad. 35.

At $cio multos qui parum con$yderatè hæc legunt, obiecturos, primum quod ne<01> mihi, neque ulli alij potui, uel ad centum uel ad nonaginta annos uitã producere. Secundũ, &qring;d $i uita humana e$$et eiu$modi, naturaliter e$$et ut in pluribus: at uix inuenire licet aliqu&etilde; qui exce$$erit cente$imumuige$imum annum. Et maximè cum $cri- ptum $it: Non $piritum meum in carne ultra centum uiginti annos, & loquitur Deus. Videtur etiam nece$$e hoc uolenti, cupere totam uitam $ub incerto fine, & non uacare, nec negotijs nec uoluptati, quæ $unt duo illa præcipua, quibus uita no$tra con$tat, & maximè amittere bona, adeò $ecura ob tam leuem & inanem $pem. Ab$ur- dum etiam e$$e hoc quod latuerit tot præclaros medicos at<01> phi- lo$ophos, quorum nullus de hoc $ermonem fecit. Hæc & huiu$mo di $unt qu&ecedil; mihi obij ci po$$e $entio. At rogo quid admirabilius e$t, an $olem e$$e plus centies et $exagies terra ac mari, an homines tam- diu po$$e producere uitam? Et plures imperito hoc quam illud cre dituri $unt: & tamen res illa ita $e habet, nec apud $apientes dubia e$t: nedum incredibilis. Similiter quòd corpus adeò tenue, debeat adeò celeriter circumferri, ut in uno ictu pul$us debeat peragere $patium bis mille quingentorum millium pa$$uum, & tamen & il- lud demon$trari pote$t euidenti$simè. Ergo ut ad obiecta re$pon- deam $erò mihi hoc inuenire cõtigit, infeliciter natus, peius educa- S 2 tus, &

208

tus & imbecilli corpore ac natura, quod aliâs dixi, nec for$an in quibu$dam $ufficiat educatio ab initio, $ed requiritur $ucce$sio, qualis fuit olim per multas ætates, $ic progenerantur gigantes & homines ad miraculum u$que, docui etiam exacta media ætate, hoc uix fieri po$$e. Contingunt præterea multa impedimenta. Sufficit nobis $cire quid $it in natura hominis, non quæro modò quomo- do faciendum: nec e$t præ$entis in$tituti, quin etiam ueri$imile e$t ad hoc e$$e uiam quandam compendio$iorem, quæ minimè la- tuerit antiquos, maximè Hebræos. Et for$an etiam hoc no$tro tem- pore haberi po$$et quamuis lateat. Vnum e$t certum, oportere ab initio uitæ (qui uiam hanc exqui$itam, quam hic trado, $equi uo- luerit) con$tituere formam uictus, & tum maximè contractam, quoniam (ut ui$um e$t in tabula) ex minimo errore, & breui tempo re plurimum temporis uitæ perit. Oportet autem multa ade$$e, cor pus moderatè $anum, & medio criter $altem con$titutum, in$tituto- rem $apientem, obedientiam pueri, & per omnes ætates cum pati- entia $umma commoda diuitiarum, & bonum aërem & fortunam blandientem no$tro propo$ito, ne quis ca$us in tanto tempore ad- uer$us nos impediat, ob tot & tanta quæ nece$$aria $unt, & a$siduè, ideo res hæc fabulo$a ui$a e$t ad hanc u$<01> diem, tum maximè quod nemo eam docuerat. De dicto Moy$is non laboro, cum $imus me- dici ac philo$ophi non theologi. Quin etiam po$t hæc uixit Abra- Gen. ca. 25. hamus annis clxxv, I$aacus autem clxxx, Iacobus cxlvij, $ed non la- Cap. 35. boro de his, uerùm relinquo illa $apientibus: melius e$t ergo ut de- Cap. 47. mon$trationem adducam huius, cum experimento etiam coniun- ctam. Con$tat enim quod humidum pingue euane$cit per ætates, $eu à calore innato, $eu ab aëre con$umatur, & quod humidum pin- gue purum, ac den$um tardè ab$umitur, $icut apparet experimen- to de oleo & $epo $alitis, quæ durant longiori tempore, quam $i nil tale admi$tum habeant hæc pinguia, $imiliter aqua quadruplo ce- lerius, imo longe uelocius ab$umitur oleo in ua$e feruente. Et ita de pinguedinibus uariorum animalium de ligno iunipero, quod referunt durare in annum, cur alia non po$sint ad $ex dies. Cer- tum etiam e$t, quod coctio conden$et, & e$t Philo$ophi in quar- to Metheororum. Si ergo coctio perfecta fiat, & puri$simum hu- midum re$tauretur, dubium non e$t, quin homo po$sit uiuere $ex- cuplo plus aut etiã octuplo: quia cùm res peruenit ad quendã ter- minum, tunc acquiritur perfectio qu&ecedil;dã ultra omn&etilde; fidem, $icut ui- demus de auro, &qring;d pror$us etiã longo tempore ab ignibus nõ ab$u mitur: adeò ut liceat dicere, for$an non e$$e contra rationem, quod detur humidum, quod nunquàm à calore naturali ab$umitur, quia non

209

non e$t par ratio de auro & humido humano, nam in auro nõ e$t ca lor ni$i ab exteriore igne, $ed in humido no$tro e$t calor intus, & $e- cundum $ub$tantiam, ut $altem habeamus experimentum longi$- $imæ uitæ & humidi quod uix à calore, & non ni$i multis in $eculis ab$umatur. Atque hæc (ne incurramus irri$ionem Galeni) de Phi- lo$opho qui pollicebatur perpetuitatem uitæ, quanquam non ob id refugiam hoc, ut negem po$$e hominis uitam e$$e perpetuam, quod Galenus Philo$ophũ hoc dicentem irri$erit, $ed quòd uidea- mus omnia $ublunaria interire, quòd $ciamus omne compo$itum debere di$$olui, quoniam compo$itio $it accidens, & accidens e$t medium inter ea quæ $unt & non $unt: loquor de huiu$modi acci- dentibus quæ adueniunt. Demum, quoniam calor ille $it in ip$o hu mido: ideo cum h&ecedil;c non animaduerterit Galenus, potius fuit uates in irridendo, quàm $apiens, ut authoritate eius moueri debeamus. Hanc coctionem non animaduerterunt medici, $ed $olam illam bo- nam qu&ecedil; e$t cau$a $anitatis, quæ $tat cum uigilia, labore & ciborum multitudine, cùm illa exacta non $tet ni$i cum optimis & paucis ualde cibis, quiete ac $omno. Et ideo $unt $ex genera coctionum, di- co quod ad perfectionem attinet corrupta, imperfecta, imperfecta morbo$a, imperfecta quæ emendari pote$t, has omnes uitare do- cent medici: bona quæ e$t cum longa $anitate, cui medici $tudent: ualde bona quam per umbram qua$i cognouerũt, & exacta quam nec per $omnium quidem uiderunt, quæ $ola e$t cau$a tantæ lon- gitudinis uitæ, cum tamen nunquam fuerit uel admodum parum interrupta. Hoc autem inter cætera o$tendit experimentum de ele- phantis, quos Ari$toteles ducentis annis uiuere con$tanter affir- mat, alius dixit e$$e trecentis. Vt con$tet iam in natura animalium & in genere caloris habentis magnum motum, & $ub$tantiam te- nuem hoc inueniri po$$e, ut excludamus plantas de quarũ uita lon- gi$sima $atis con$tat, $ed quia caret motu euidenti calor in illis, & $ub$tantia e$t cra$$a animalium comparatione, non laboro. At de elephanto omnes confitentur quòd $it omnium ingenio $i$simum, adeò ut multi homines illo indu$tria & cognitione inferiores e$$e uideantur. Ne<01> etiam ueri$imile e$t quod natura hominem fecerit hac in parte illo inferiorem, præ$ertim cum de nullo alio animali apud Ari$totelem dubium $it, & ubi modo aliquod dubium e$$et propter querelam Theophra$ti, & illud quod $olet prædicari de ceruis, tanto magis ueri$imile e$t indignum fui$$e hominem conce- dere tot animalibus in diuturnitate uitæ. Quam obrem cum hæc tractatio ad libros de tuenda Sanitate $pectaret, homines ad eos re- <*>ego, nam ob id illos con$crip$i quòd uiderem Galenum nec hoc S 3 uidi$$e

210

uidi$$e nec multa alia, $ed eorum loco longas & inutiles di$putatio- nes inter$erui$$e. Verùm etiam, quoniam eam tractationem diuul- $it, ut alia cogamus quærere in libris de Alimentis, alia, de cibis bo- ni & mali $ucci: tum uerò & tractatio ip$a eduliorum e$t imperfe- cta, & multa etiam deficiunt circa genera: in quo e$t ex cu$andus ob uarietatem regionis & ætatis. Dee$t præterea maxima pars, quæ nec ibi nec alibi habetur, $cilieet, de ciborum præparatione. Quod etiam hæc latuerint tot præclaros uiros, quid mirum? cum Hippo- crates uixerit $eculo illo agre$ti, in quo non e$t mirandum, quod ali quid, pauca quædam & ab$tru$a omi$erit, $ed quod tam multa tam bene inuenerit, ut fuerit, $icut de Pindaro dicitur, imò longè uerius quam de Pindaro inimitabilis. De Galeno quid mirum, qui non ni$i ueterum $cripta collegit, at<01> utinam $alt&etilde; bene. De Ari$totele is multa inuenit $uo Marte, & Theophra$tus longè plura. De alijs, dico tam medicis quàm philo$ophis, hoc e$t, quod queror, quod in $patio pene duorum millium annorum, non hoc quod ualde re- conditum erat, $ed nec leue ullum experimentum, uel naturæ arca- num, uel uitæ $alutare auxilium inuenerit. Sed litigant de nugis & rebus inutilibus, & etiam qu&ecedil; $ciri nõ po$$unt, ac plerun<01> non $ine magna impietate. Quod uerò nece$$e $it amittere uoluptatem, & negocia prætermittere uolenti hanc uitam longam adipi$ci, quæ po$tmodum etiam ualde in certa e$t: dico quod quantum ad uolu- ptates & negocia, non e$$e nece$$e, $ed $olum $uperfluas res, & dam no$as & irritas, quas etiam philo$ophi & ciuitatum in$titutores, & morum cen$ores docent debere uitari, etiam nullo propo$ito emo- lumento, at reliqua cõ$uetudo efficit nõ $olum grata & tolerabilia, $ed etiam iucunda. De incerto fine, quid e$t certum apud homines, ni$i hoc nihil certum e$$e? Verum tamen $i quis re$piciat ad præ- mium tam $ingulare e$t, & nobile atque utile, ut non lu$erit operam immeritò, quicun<01> cum $pe tam illu$tris commodi, & tam exigua iactura rerum, ac minore periculo $e huic aleæ experiundæ commi- $erit. Cum, $i quis hoc ip$um adipi$catur, uerè dici po$sit $ummum bonum adeptum e$$e: Non $olum compos factus diuturnitatis ui- tæ, $ed cum illa tot uoluptatum, quæ in longo tempore percipiun- tur $cientiæ tot rerum, quas non ni$i temporis longitudo o$tende- re pote$t, tot denique ca$us uidere tum opum in crementum, quod qua$i certi$simum e$t in longa ætate & u$u $apientia & authoritate plena, adeò ut fermè nece$$e $it ad principatus $peciem deuenire, qui tamdiu uixerit, tum gloria ip$a in comparabili. Hæc autem ma- xime accidere nece$$e e$t, quod ut ui$um e$t, quanto longior fuerit ætas eo firmiores etiã $unt illius partes quæ ad mortis tempus ap- propinquant

211

propinquant pari ratione, ut ex tabella prima deprehendere licet, quòd $i cum hoc $obolis felicitas accedat, non ob$curum e$t huiu$- modi po$$e dici ultimam hominis felicitatem apud eos, qui huma- nas res aliquid e$$e putant. Accidunt autem hæc $ponte in $eculo- rum renouationibus, cum humanum genus con$umitur, $eu qui $u per$unt ob robur, $eu ex terra geniti, ut dubitat Ari$toteles. Ha$en credit, tum ob aëris puritatem, & maximè quòd alterutro modo ex calidis regionibus & $ublimibus locis homines reparari nece$- $e $it, tamen etiam ob uictus $implicitatem, cum in altera $uper$int $oli pi$ces, in altera ne hi quidem, ut in Arcanis demon$tratum e$t. Atque etiam ob curarum ab$entiam: $iquidem homines illi gau- dent, reges ex agricolis haud dubiè terrarum facti, ac qua$i $ecu- ri mole$tiarum ad hanc ætatem perueniunt longa $patia tempo- ris, & propagandæ $obolis habentes, ut felici$simè uiuant, re$tituti ex optimis quibu$cunque aureæ illi ætati, non $olum ob uitæ $yn- ceritatem atque $plendorem, $ed etiam longitudinem $ic appella- tæ. Quæ finem habuit dum $atis (uti cœperunt) à Saturno in u$um traductis: unde etiam falcis in$igne accepit. Eadem tamen ætate pauci$simi ex infinitis diutius quam no$tra uiuere cœperunt, cæte- ri omnes minus quam nunc, quòd neque ue$titus corporum ab in- undatione parta, neque aëris puritas à $qualoribus maneret, & edu lia multo pauciora e$$ent hominibus & incondita.

Propo$itio cente$imaoctuage$imaquarta.

Quæcunque grauia in uorticibus aquarum merguntur, in me- dio uorticis primum uer$a mergantur.

Hanc proponit Ari$toteles, $ed non quantum nece$$arium e$t Com. explicauit, unius enim quæ$iti, id e$t, primi multiplicem rationem reddit. Sed neque illam perfectè, quod amborum cau$a una $it, ac coniuncta, $ic ergo uortex, cuius extremus circulus a b centrum in aquæ $uperficie c capacitas uorticis d e, ut aqua feratur per $patium d e f g, h k in maiore circulo na- uis, aut aliud graue, quod natura $ua non e$$et de$cen$urum (ut fal$ò exponitur de lapide, nam lapis, nec reuoluitur, nec fer- tur ad d e circulum intimum, $ed præoccu- pat ex grauitate $ua fertur in imum) dico &qring;d h k prius circumuoluetur, in de trahetur ad d e, & ubi fuerit ibi de$c&etilde;det, $ed $i leuius $it nece$$ariò peruenet ad c antequam de$cendat. Cum ergo aqua S 4 grauis

212

grauis $it tota, fertur ad circulum d e, ut de$cendat. Sed & quia de- $cendit per d e f g, & magis ex centro e, ideo omnes partes circumui cinæ trahuntur ad d e, & ad e centrum $uperficiei uorticis, tanquàm ad centrum, ut de$cendant, at<01> id primum. Cun<03> lignũ de$cendat partim <04>pria grauitate, partim attractũ, $i fuerit leue corpus, ut plu- ma, quod natura $ua nõ de$cendat, nece$$e e$t ut de$c&etilde;dat $ola ui at- tractionis, qu&ecedil; nõ e$t tanta in toto d e quãta in e, igi&ttilde; oportet ut pri- us perueniat ad c quàm de$cendat, quia contra naturã propriã de- $cendit ui attractũ. Cum uerò pars quæ in directo c e$t, uelo ci$simè de$cendat, conantur omnes partes aqu&ecedil;, qu&ecedil; circa $unt de$cendere, et cũ nõ po$sint $imul peruenire, mouentur ad illud linea, dico quia habentinitium in e, circulus autem nullũ habet initiũ, igitur uiden- tur moueri circulariter. Sed cum in circulo partes à c&etilde;tro mouean&ttilde;, uelo cius mouebuntur, uelocius in elica a b quàm l m, & l m quàm n o. Et ob has duas cau$as mouebuntur uelocius partes quæ $unt circa c, quàm di$tantes ab eod&etilde;, tum quia in medio, tũ quia tardius mouen&ttilde; motu elice. Declaratũ e$t. n. $uperius quod unus motus in eod&etilde; mobili aliũ impedit & retardat. Cum ergo h k $it in $pacio a b l m & aqua rapia&ttilde; motu, dico ad d e mouebit ad d e, & motu dico qui uidetur circularis, nam mouetur motu eius à quo $u$tine&ttilde;. Mo- uetur etiam ad d e, quoniam pars illa e$t humilior, nam $emper de- $cendit, omne aũt quod mouetur partim e$t in termino, à quo, par- tim ad quem, ideo partim iam aqua illa cum de$cendat humilior e$t locus, igitur nauis ad illũ locum feretur. Tertio, quia latus k impelli tur, in maiore circulo, ideo maiore impetu quàm h, quare de$c&etilde;det & circulo mouebi- tur, nã $i h quie$ceret palã e$t, &qring;d nauis circu lariter mouere&ttilde;, $ed h fungitur uice quie$c&etilde;- tis, quia tardius moue&ttilde; quã k, igi&ttilde; k moue- bitur ad d e & motu circulari aut participe eius. Quarta cau$a e$t, quoniam h cupit de- $c&etilde;dere, ut graue. ergo ferri, ubi minus impe diatur à motu uiol&etilde;to, at minus impedi&ttilde; in circulo, de qua a b, qa a b cũ maioris $it ambitus a qua in co ulterius fer&ttilde; quã in d e, ob hæc oĩa & in mari & fluminibus ac lacubus cũ na ues fuerint in ambitu uorticis iã rapiun&ttilde; ad illũ, & circulari motu: is<03> motus e$t indiciũ $ubmer$ionis, quoniã indicat aquã, ibi propè de$c&etilde;dere rectà uer$us c&etilde;trũ, & ob id prud&etilde;tes naut&ecedil; magna ui uen toru & remorũ $&ecedil;pe $eruãt $e, pr&ecedil;o ccupãtes motũ elicũ recto motu. Cur aũt aqua &qtilde; e$t in a, non potius fera&ttilde; per obliquam lineam ad d uel g, <08> ad e uel c inde ex illis ad d uel g, præ$ertim cũ ad$it breuior a e &

213

a e & e d et a g breuior a e et c (ut docet Euclides) cau$a e$t quia aqua quæ de$cendit per e d & c g maiore impetu de$cendit quàm per ad uel a g ut demon$tratum e$t, ergo non poterit quæ e$t in e d uel e g loco dimoueri, nec cedere aquæ per obliquam lineam de$cendenti.

Propo$itio cente$imaoctuage$imaquinta.

Cur homo $edens quanto altius $edet, & quanto magis crura ad femora & femora ad pectus reclinata habet, facilius con$urgat, cum tamen hæc oppo$ito modo inuicem $e habeant, declarare.

Huius $ecundam partem Ari$toteles in Mechanicis propo$uit, Co^{m}. $ed neque $ub adiecta dubitatione, $edens n altius a b pectus, b c femur, c d crus eiu$- dem uel æqualis, pectus g h, femur h k, crus k l longior b f quam h n facit, ut facilius $ur- gat a b c d quàm g h k l, & tamen anguli a b c & b c d $unt maiores g h k & h k l, qui- nimo cum uolumus $urgere, contrahimus c d & k l propè & è re- gione a b, igitur patetratio $ecundi, propior n e$t c d ip$i a b quanto angulus a b c minor e$t, cui æqualis e$t b c d. Cum ergo quanto pro pior e$t c d ip$i a b eo facilius $urgat, quoniam particeps magis di- $po$itionis per quam $urgit, propior autem quo anguli $unt acuti- ores, ideo facilius exurgit homo, quo contractiora $unt crura, & an guli femorum ad crura & pectus minora. Hucus<03> Ari$toteles & bene.

Sed cur rur$us contractiora dum $unt crura, homo facilius exur- git? Proponantur c f contracta ad perpendiculum, & in clinetur b a in o ut fiant b o & f e equidi$tantes, ita enim commodius $urgimus: nec aliter qui $unt imbecilliores: quia ergo b e$t in directo f, ideo mu$culi femoris inferiores ob crus, & $uperiores ob pectus $unt magis ten$i & anteriores cruris itidem, ideo maiore ui trahunt par ticulam. Vnde manente fixo f & capite etiam & pectore grauitate $ua adiuuantibus, facilius homo exurgit quam ad latos angulos cum contractio, ut dixi, mu$culorum et inclinatio partium $uperio- rum fiat maior.

Rur$us pro prima parte problematis, dico quòd quanto altior e$t b f tanto facilius exurgit, nam $upponatur angu- lus reflixionis a h e æqualis a h c, & b c k æqualis h k f, igitur cum b f $it breuior b f, erit h k breuior b c & f k, f c. quare b c femur, & f c crus erunt uiolentius exten- $a quàm in $itu h k, k f ergo, mu$culi fa cilius erigent $edentem altiore loco quàm humiliore, quod erat de- mon$trandum.

Propo-

214

Propo$itio cente$imaoctuage$ima$exta.

Si fuerit proportio primæ & $ecund æ quantitatis ad tertiam, ut primæ & quartæ ad quintam, fueritqúe quarta $ecunda maior, erit proportio quart&ecedil; ad quintam maior quàm $ecundæ ad tertiam. Quod $i fuerit maior quart&ecedil; ad quintam, quàm $ecund&ecedil; ad tertiam, nece$$e e$tquartam $ecunda e$$e maiorem.

Sit proportio a & b ad c, ut a & d ad e, $it<03> d maior b, dico maio- Co^{m}. rem e$$e proportion&etilde; d ad e quàm b ad e, quod $i maior $it proportio d ad c quàm b ad c, dico d e$$e maiorem b. Quoniam enim e$t d e$t maior b ad d e$t maior a b per commun&etilde; animi $enten- tiam, igitur cum $it proportio a d ad e ut a b ad c, erit e maior c, igitur minor proportio a ad e quam a ad c, at propor- Per 14. quin ti Elem. tio totius a d ad e e$t æqualis proportioni a b ad e, igitur ex com- Per 8. eiu$- dem. muni animi $ententia maior proportio d ad e, quam b ad c. Rur$us, $i maior e$t proportio d ad e quàm b ad c, igitur per communem animi $ententiam maior e$t a ad e quàm a ad c, igitur e maior quàm Per 10. quinti Elem. c, $ed d maiorem habet proportionem ad e quàm b ad c, igitur d Per eadem $æpius repe- titam. maiorem quàm b.

Propo$itio cente$imaoctuage$ima$eptima.

Si ei$dem uiribus & eadem proportione cum auxilio ponderis tertij, quartum pondus moueatur quibus $ecundum auxilio primi, nece$$e e$t quartum pondus tardiùs & maiore cum difficultate moueri quàm $ecundum.

Co^{m}.

Maneat prior figura, & $int uires a quæ cum pondere b moue- ant c pondus, et cum d pondere eadem uires $ub eadem proportio- ne moueant e, $it autem pondus d maius quàm b, dico e tardius & difficilius moueri quàm c. Nam ex præcedente e erit maius quàm c, & proportio d ad e maior quàm b ad c, & proportio a ad e minor quàm ad c, tum ergo propter uectem magis pre$$um, tum quia d non mouet e, ni$i motum ab a, nece$$e e$t ut tardius & maiore cum difficultate admoueat e quo a b mouet c. Et ideo eo perueniri po- terit ab$que dubio, ut a b moueat uelociter e & a d, nullo mouente. Quia hoc accidit cùm d non mouet c ni$i quia motum ab a.

Propo$itio cente$imaoctuage$imaoctaua.

Si uires aliquæ moueant cum ponderibus aliqua pondera, ut compo$ita proportio $it eadem proportioni uirium & duorum ponderum mouentium aggregatum æquale duorum ponderum, ubi maior fuerit partium inæqualitas, ibi erit maior difficultas.

Sint uires a, & aggregatum ponderum b c & d e æqualia, & a Co^{m}. cum f & g moueat b & c $ub proportionibus componentibus ean- dem

215

dem proportionem, quam componunt proportiones a & h mo- uendo d & a, & k mouendo e, & $it maior diffe- rentia ponderis e ad d quàm c ad b, dico quod maiore cũ difficultate mouebuntur d & e quàm b & e. Nam cũ differentia e & d $it maior quàm Per præce- dentem. c & b, & d e & b c $int æqualia, erit e maius c, igi- tur e difficilius mouebitur ab a & k quàm c ab a & g. Itidem quia e tanto maius e$t c, quanto b maius e$t d, & proportio a k ad e & a h ad d, conficiunt proportio- nem a g ad c & a f ad b, erit ut motus d e $int tardiores & difficilio- res motibus b c, per regulam dialecticam, nam difficultas motus e $upra difficultatem motus c, e$t maior quam difficultas motus b $upra difficultatem motus d, igitur difficultas motus d & e, maior e$t difficultate motus b & e, quod erat demon$trandum.

Propo$itio cente$imaoctuage$imanona.

Si pondus minus ad longitudinem maiorem $ub æquali pro- portione coaptetur, facilius deor$um trahetur quàm quod maius e$t & propius.

Sit $itula aquæ f annexa tigno Co^{m}. in e & ad minuendum pondus ad datur ex aduer$o elongius $eu uincatur pondus a, dico quod cõmo dius erit quàm $i &ecedil;quale ad grauitatem addatur b proprius in e, nam quia b &ecedil;quiponderat in d ut a in e, & homo trahens ex e plus pote$t quàm ex d, igitur fa- cilius trahet ex e quam d. Et quo- niã graue minus ponderat quan to magis di$tat à medio, licet mo- ueat magis, ergo inclinatum ad Per 45. medium, cum ergo moueatur Propo$. uelocius ex e quam d, & $emper Prop. 109. uelocius de$cendendo in com- paratione a g h, igitur $emper magis & magis uelociter ex e quàm d ut $it duplex incrementum & comparatione c e ad c d & de$cen$us ad de$cen$um in utro<01> & $imiliter in reditu, quia facilius impelletur $ur$um e quàm d per primam rationem.

Propo$itio cente$imanonage$ima.

Si fuerit primum graue minus $ecundo, & $ecundum minus ter- tio, proportio autem primi ad $ecundum multo maior quàm $ecun di ad

216

di ad tertium, po$sibile erit propo$itis uiribus ei$dem addere pon- dus $ecundo, utip$um & tertiũ moueantur facilius ab ei$dem uiri- bus, & primo uel $ecundo quam antea.

Sit a põdus minus, c maius, proportio a ad b multo maior quàm b ad c, uires d, & d cum a moueat b & cum b mo ueat c, dico quòd poterit addi pondus ad b ut d cum a moueat b, & d cum b moueat e maiore fa- cilitate componendo proportiones quam antea: Cum enim fuerit proportio d b ad c minima, quãtumcun<03> moueatur b facilè ab a d Per 188. plus refert difficultas c moti a b d: igitur cum addito pondere di- Per 187. midio quod a $uperat b omnino uincat a d ip$um b, cum eo quod additum e$t, & tanto minor $it difficultas motus c a b d cum ponde re addito, $equitur ut minor $it difficultas motus b cum pondere addito a b a d, & motus c à b cum pondere addito & d quàm b & e ab a & b cum uiribus d.

Quæ$t. 28

Ex hoc patet quod qui interpretati $unt Ari$totelem, cum non po$sit nec intelligi nec demon$trari, fucum fecerunt legentibus: ni- hilominus hoc illis debemus, quod $i Phrynis non fui$$et, Timo- theus non fui$$et, nam ni$i illi quod $ciuerunt protuli$$ent in medi- um, ego for$an aut illa non intellexi$$em aut neglexi$$em. Ita<01> & re- liquas habes à nobis expo$itas licet non adeò diligenter, & mo- dum huiu$modi exponendi. Subij ciemus autem et hanc, ut obiect&ecedil; quæ$tioni, quantum nerui $it ($i pœnitus quis res $equi uelit, non addictus nimis authoritati ueterum ut pedem figere uelit, ubi illi res uix tactas reliquerunt) in telligamus.

SCHOLIVM.

Vocatur autem hæc proportio auxiliaris. Cun<01> fuerit &ecedil;qualis d & a ad b ut d & b ad e, dicetur auxiliaris æqualis.

Propo$itio cente$imanonage$imaprima.

Cum fuerint duo pondera & uires duxeri$<03> aggre gatum ex ui- ribus & minore pondere in maius, addideris<03> in$uper quãtum e$t productum dimidij uirium in $e latus aggregati detracto dimidio uirium, dicetur pondus auxiliare æqualis proportionis.

Co^{m}.

Sint pondera b minus, c maius, & ducatur aggre- gatum ex a uiribus & b minore pondere in e, & ei addatur quadratum dimidij a, dico quod radix $eu- latus huius detracto dimidio a e$t pondus auxiliare æquale, $it productum a b in e $uperficies & quadra- tum dimidij a $it e, ita quod tota d e $it $uperficies quadrata, cuius latus $it f g: f h autem dimidium a di- co h g e$$e pondus auxiliare æquale. Quia enim f g quadra-

217

quadratum e$t æquale quadratis g h, h f & duplo g h in h f, & qua- Per 4. primi. Elem. dratum fh e$t &ecedil;quale e $uperficiei, erit quadratum h g minus $uper- ficie d in duplo g h in h f, quare productum a b in cerit &ecedil;quale qua- drato g h in $e & a, nam duplo g h in h f & iam duplum g h in h f e$t &ecedil;quale producto g h in a, quia a e$t duplum h f, igitur qualis e$t pro Per 16. $ex ti Elem. portio a b ad g h, talis g h & a ad c, igitur per definitionem datam g h & quantitas grauitatis auxiliaris æquale.

Ex hoc manife$tum e$t, quod $i fuerit datum pondus tertium au- Cor^{m}. 1. xiliare, quod $ciemus quantum addendum uel detrahendum ut fi- at pondus auxiliare æquale, nam inuenta g h $i fuerit k maior adde- mus quod deficit, & $i minor quàm k detrahemus ex k quod e$t $uperfluum.

Et rur$us inuenta g h ut perficiamus pondus &ecedil;quale, augebimus Cor^{m}. 2. aliquanti$per, ut fiat æqualis ad unguem difficultas in motu: iuxta Prop. 187. doctrinam $uperiùs d atam.

Propo$itio cente$imanonage$ima$ecunda.

Si ex medio diametri linea ad perpendiculum erigatur ad circu- li peripheriam: ex eo puncto aut&etilde; quotlibet lineæ ducantur $eu in- tus ad circumferentiam u$<01>, $eu extra ad diametrum, erit proportio totius lineæ ad totam, uelut mutuò partis ad partem.

Ex media diametro a c. 1. c&etilde;tro b, ducatur ad perpendiculum b d, Co^{m}. & ex d lineæ d a d e d h, dico d e ad d a, ut d a ad d f, & d h ad d a ut d a ad d g, & d e ad d h ut d g ad d f. Quia n quod fit ex d em e f, æ- quale e$t ei quod ex e c in e a, quod uerò ex e c in e a cum quadrato Per 36. ter- tij Elem. b d $eu b a &ecedil;quale e$t quadrato b e, igitur ex e d in e f cum quadrato d b æquale qua- Per 6. $ecun di Elem. drato b e, ex d e igitur in e f cum quadratis Per 47. pri- mi Elem. d b & b a æquale quadrato d e. Quadratis Per tandem. autem a b & b d æquale quadratum d e: Per 2. $ecun di Elem. igitur ex d e in e f cum quadrato d a æqua- Per 17. $ex- ti Elem. le quadrato d e. At quadratum d e æquale e$t his quæ ex d e in e f, & f d igitur detra- Per 2. $ecun di Elem. cto communi ex d e in e f, erit quadratum d e æquale ei quod ex d e in d f, igitur d e ad Per 35. ter tij Elem. d a, ut d a ad d f. Similiter quod fit ex h d in Per 47. pri mi Elem. d g, æquale e$t ei quod fit ex h g in g d cum quadrato d g, at quod fit ex h g in g d e$t æquale ei quod fit ex c g in g a, erit quod fit ex c g in g a cum quadrato d g &ecedil;quale ei quod fit ex d h in d g. Quadratum autem d g e$t æquale quadratis d b, b g igi- Per 5. $ecun di Elem. tur d h in d g æquale e$t ei quod fit ex g a in c g cum quadratis b d b g, at quod fit ex a g in g c cum quadrato b g e$t æquale quadrato T b a

218

b a igitur quod fit ex d h in d g e$t &ecedil;quale quadratis d b, b a qu&ecedil; $unt &ecedil;qualia quadrato a d, igitur quadratum a d e$t &ecedil;quale ei quod fit ex Per 17. $ex ti Elem. h d in d g, quare proportio h d ad d a ut d a ad a g. Quia ergo pro- Per 16. & 17. $exti Element. portio d e ad d a ut d a ad d f, & d h ad d a ut d a ad d g, erit d e ad d h ut d g ad d f.

Vnde manife$tum e$t omnes has lineas in $uam interiorem par- Cor^{m}. tem ductas rectangulum con$tituere &ecedil;quale quadrato quod circu- lo eidem in$cribitur.

Propo$itio cente$imanonage$imatertia.

Rationem ponderis triplicem explicare.

Co^{m}.

Superius declaratum e$t quòd id quod quie$cit, habet motum Propo$. 26. & 38. occultum. Quærit autem Ari$toteles cur $ecuris pondere pre$$a nõ diuidit lignum, minore uerò $ed moto $ed modo diuidit? Diximus Quæ$t. 19. Mechan. motum ine$$e qui perpetuo augetur, indicium e$t, quod $i ex a de- $cendat, maior&etilde; facit ictum, quoniam plurimus aër coadiuuat, ex d autem occultum $olũ, et eum qui fit ratione grauitatis, me- dium ex medijs locis. Omitto modo de motu aucto per uim humanam, de quo uidetur quærere Ari$toteles, quili- bet enim aër addit $uper motum iam acqui$itum & fit hoc argumentum centies ac millies maius, quoniam m e$t qui diuidit, pondus autem non ponetrat. Sicut ergo cuneus magis diuidit lignum quam claua, ita quod mouetur $ine proportione (ut ita dicam) non $olum ob impetũ nece$$e e$t ut uehementer diuidat lignum aut lapidem $ubiectum, & non in proportione di$tanti&ecedil;. Sicut $i pondus in forma $ecuris, & ip$a $ecuris diuidit longe magis ligna quam cla- uis maioris ponderis & maiore ui de$cendens: ita pondus motum quam immotum. Hoc adeò per$picuam habet cau$$am, ut quanto plura uerba addererentur, eo redderetur res difficilior. Habet ergo propriam $olum grauitatem & motum occultum. C&ecedil;terum e$t ter- tium, genus mediũ, cum idem pondus appen$um e$t, ue- lut f quod dico e$$e maius & minus occultum quam $i ia- ceret in plano, quoniam $icut tuber & cauitas in qua iacet $imul tempore $unt, natura tamen tuber e$t prius cauitate, ita pondus appen$um prius e$t, contrà nixum uinculi na- tura & quodammodo tempore, $emper enim grauat, & illud $em- per re$i$tit $upra illius grauitatem: Sed pondus quod e$t in plano occultam omnino habet actionem bifariam<03> di$ting uitur a pon- dere $u$pen$o: Primum quòd pondus quod quie$cit & contra in- tendi principium $imul non $olum $unt tempore $ed etiam natu- ra. Sed in appen$o, ut dixi, pondus prius grauat quam uincu- Ium

219

lum contranitatur. Secundò, quia pondus in plano non inchoat motum $ed pendens inchoat, ideo quòd e$t in plano habet pror- $us occultum, quod pendet non: & $i $it lignum eiu$dem molis & duritiei cui appen$um $it f & cui in$ideat, magis atteretur id cui ap- penditur, & prius<08> cui in$idet. Cæterúm quod ad grauitatem attinet æqualia $unt, nam aër in utroque pellit deor$um, ac magis quod quie$cit in plano: $olum enim planum re$i$tit, in pendu- lo onere etiam aer $uppo$itus, quo fit ut quod pendet, minus graue $it. Sed æqualia uidentur.

Propo$itio cente$imanonage$imaquarta.

Proportionem ponderis longioris in medio $u$pen$i ad breuius. illi æquale & in medio $u$pen$um, declarare.

Quæ$t. 27.

Hanc generaliter propo$uit Ari$toteles in Mechanicis, o$tendi&ttilde; e&mtilde; quod $i a b in e, & d e in f æqualia pondera in medio $u$pendãtur, quod grauius erit a b quam d e. Et hoc e$t certum quia a & b extrema plus di- $tant ab hypomochlio. Sit igitur g h re$ecta æqualis hiccinde d e, pondus e$t æquale a b, erit g h minus pondere d e in k, igitur per communem animi $ententiam k e$t æquale uerò ponderi a g & h b, igitur cum a g & h b plus ponderent in $itu $uo quam in $itu d e, patet propo$itum quoad Ari$totelem attinet, $cilicet quod a b e$t grauior d e.

Vt modò o$tendam proportionem, erit proportio h b ad g h ut ponderis h b ad totum põdus g b, eadem ratione a g ad g h ut pon- Per 92. hu- ius. deris a g ad totum a h, a h autem e$t æqualis g b & a g æqualis h b ex communi animi $ent&etilde;tia, & pondus a h &ecedil;quale ponderi b g, quia $unt æquales & in eodem $itu: igitur a g, h b ad g h, ut ponderum a g h b ad pondus g b. Et ita patet quod quanto longior e$t a b in comparatione ad d e, tanto a g & h b in comparatione ad g h, igitur tanto maior proportio ponderum a g h b ad pondus a h. rur$us e$t tanto maius quanto a b e$t longior per demõ$trata in prima parte, igitur multo maius e$t pondus a g h b, quanto longior a b in com- paratione ad d e.

Exemplũ $it ponderis a b 12 ponderis lõgitudinis pedũ quatuor, d e pondus 12 longitudinis duorũ pedum, eruntigi&ttilde; a g, g e, c h, h b unius pedis $ingul&ecedil;. Et quia a g & b h $unt dimidiũ g h erunt ambæ pariter æquales g h & ideo pondus a g h b æqualia g b ponderi, $ed pondus g b e$t librarum nouem, quia g b e$t dodratus a b, igi- tur tota a b e$t ponderis quindecim, nam g h e$t ponderis $ex, e$t er- go pondus a b quadrante maius d e.

T 2 Propo-

220

Propo$itio cente$imanonage$imaquinta.

Si lectus fiat dupla longitudine ad latitudinem melius $uffulcie- tur re$tibus ex medio ad angulos, & eis æquidi$tantibus quam $e- cundum longitudinem & latitudinem.

Co^{m}.

H&ecedil;c proponitur à Philo$opho in mechanicis, & dico quod $i a b Quæ$t. 25. $it dupla a c, & a b a g dupla, & diuidantur a b a c & a b a g in quotuis partes &ecedil;quales inuicem, nam $upponitur a b &ecedil;qualis a b & a c æqua- lis a g, & ducantur rectæ lineæ decu$$atim & ad rectos angulos, & $ecundũ id $tatuantur re$tes, quod decu$$a- tim po$itæ utiliores erũt, omitto quod de- centius ob $patiorum minorem differenti- am. Adducam $olùm tres Philo$ophi ratio- nes: prima, quoniam ligna non adeò facilè finduntur nec incuruantur tran$uer$im tra- cta, ut recta & $ecundum longitudinem, Et ideò longè plus durabit a b g d quã a b c d, & cum $pondis rectoribus, & ideò etiam cum re$tibus magis intentis: & erit firmior & pulchrior. Secunda ratio e$t, quod cum re$tes in $ecunda con$titutione æquales inuicem $int, in prima quæ $ecundum latitudinem dupl&ecedil;, qu&ecedil; longiores erunt magis laxabun- tur tran$uer$alibus, & ita turpiores & incommodæ breui redden- tur, & in $ecunda con$titutione &ecedil;qualiter $u$tinebunt pondus & re- uolutionem cubantis, tum ob æqualitatem longitudinis inter $e, tum ob $itum $imilem inter $e, tum ad humanum decubitum di$si- mil&etilde;, nam (ut o$ten$um e$t) in præcedenti magis grauat pondus in extremis quam in medio, & magis laxantur ob id quæ $unt $ecun- dum eundem fitum. Et hanc cau$$am expo$itores non intellexe- runt multi, multo minus tertiam, in qua faciunt demon$trationem Geometricam & computantrem numeris. Deinde non animaduer tunt quod in $ecunda figura a$$umunt quin<01> lineas, cum in prima tantum a$$ump$i$$ent quatuor. Peius omnibus e$t quod demon- $tratio hæc cum de tran$uer$is ad magis tran$uer$as lineas $it non e$t ad propo$itum Ari$totelis, qui in duabus primis rationibus tran$uer$as comparauit his, quæ à latere ad latus & à capite ad ca- put deducuntur, ita ubi trifariam decepti $unt, ibi maximè glori- antur. Mi$erum nunc philo$ophandi genus: uolunt<03> $upercilium e$$e loco doctrinæ. Sint igitur lineæ ductæ ut uides, dico omnes pariter acceptas in prima figura, e$$e longiores omnibus pariter ac- <*> 34. pri <*> Elem. ceptis in $ecunda figura, quod intendit demõ $trare Ari$toteles. O- $ten$o ergo de duabus, idem $uppo$ito numero equali de omnibus con$tat.

221

con$tat. Demon$trandum e$t ergo a b & g q'maiores e$$e a<24> & <24>b, nam ag & g<24> $unt æquales & <24>d & db ex $uppo$ito, quare a<24> & <24>b æquales $unt pote$tate quadrato, ab igitur ambæ iunctæ lineæ me- Per 47. pri- mi & 4. $e- cundi Elem. diæ inter duplum ab & ip$am ab, quadratum enim a<24> & <24>b coniun- ctarum e$t duplum quadratis uniu$cuius<03> earum pariter acceptis, Per 17. $exti Elem. uelut & quadratum mediæ inter duplum ab & ip$am ab, at quadra- tum coniunctæ ex a b & a c e$t æquale duplo quadrati a b cum qua Per 4. $ecun di Elem. drato a c, igitur $uperat duplum quadrati a b in quadrato a c, $ed Per eandem. quod pote$t in duplum quadrati ab e$t aggregatum a<24> & <24>b, igitur a b & a d $unt longiores iunctæ a<24> & zb quia po$$unt eo plus quan- Per eandem. tum e$t quadratum a c.

Propo$itio cente$imanonage$ima$exta.

Si duo circuli $uper eodem centro eodem motu transferuntur, æquale $patiu m $uperant.

Sint duo circuli a b, c d $uper eodem centro e qui transferantur Co_{m}. $uper axe per $patiũ c g dum re$oluitur c d, tum ergo a erit in f, quia c d contingit pla- num c g, igitur e c e$t ad perp&etilde;diculum c g, Per 18. ter tij Elem. ergo punctum a e$t in f & a f æqualis c g, Per 34. pri- mi Elem. igitur a b circulus $olum reuolutus e$t $e- mel, & tantum perambulauit $pacij quan- tum e d & æquali uelo citate, cùm tamen $eor$um $it proportio $pa- tij ad $patiũ ut circuli ad circulum. Hæc e$t $ubtili$sima quæ$tionũ Quæ$t. 25. propo$itarũ ab Ari$to tele in mechanicis, quam $ic quidam $oluunt. Supponunt duo: primũ $i quid ab aliquo mouetur nihil conferens ad illum motum, ex$e ip$o per tan tum mouebitur $patiũ, per quan- tum ab illo mo- tore mouebitur: Secundum, ead&etilde; potentia in eod&etilde; tempore diuer$o modo duo mobi lia mouebit &ecedil;qua lia, cum unũ mo- tui a$$entietur aliud nõ. quod $i hæc mobilia $eiuncta fui$$ent, quod aptitudinem haberet $eiunctũ uelo cius moueretur, quàm dum con iunctum e$t. Cum ergo inquiunt circulus c d moueatur ab a b cir- culo, nec conferat quic<08> ad motum, ideo tantum tran$ibit $pacium T 3 c d

222

c d quantum a b per primum $uppo$itum. Sed quoniam propofi- to circulo alio non circa idem centrum, utpote k l reuoluetur & perueniet ad h ex demon$tratis. Re$ponde&ttilde; ad hoc, quod idem e$t, quia unus circulus tantum per $e mouetur circa centrum, reliqui omnes non per$e circa centrum, $ed ab alio circulo primo mouen- tur, ideò nihil refert $eu $int circa idem centrum $eu circa aliud, hoc enim fortuitum e$t. Ideo ad argumentum re$pondent cauillo$am e$$e hãc di$putationem, cum $upponatidem ambobus circulis per $e centrum e$$e. Sed non e$t per$e, uerùm per accid&etilde;s. Attamen de- miror de huiu$modi $olutione. Primum quod ip$emet. Ari$toteles de hoc nos docuit in primo Po$teriorum dicens. Non e$t igitur ex uno in aliud genus tran$c&etilde;dentem demon$trare, ut Geometricum Arithmetica. Et Auerro&etilde;s in Commento magno inquit, ea uerba exponens. Fieri non pote$t, ut demon$tratio transferatur de arte in artem. Et ibidem docet, quod neque ut ambæ præmi$- $æ $int communes, neque etiam maior tantum, $icut exponebat Al- pharabices. Verùm dicit, $olum licet in artibus, quæ $unt in com- paratione generis ad $peciem, ut $it conclu$io ueluti phy$ica ma- ior propo$itio, in $ubiecta $cientia ueluti medicina. Vnde cõcludit Philo$ophus. Propter hoc Geometri&ecedil; non licet demon$trare quod contrariorum una e$t $cientia: $ed ne<01> quod duo cubi cubus, ne<01> alij $cientiæ quod alterius: ni$i in his quæ ita inter $e habent ut alte- ra $ub altera $it, ueluti per$pectiua ad Geometricam, & harmonica ad Arithmeticã. Et po$t docet quod etiam non licet demon$trare ex communibus: hæc igitur ratio e$t ex alienis genere at<01> communi- bus. Quid, quòd non $oluit difficultatem qu&ecedil; mathematica tota e$t & innititur manife$tis principijs. Debuit enim o$ten dere quomo- do tardius moueatur circulus maior ip$o minore: hoc enim e$t ne- ce$$e $i eodem tempore debent æqualia $patia pertran$ire. Accipia- mus ergo quod manife$tum e$t, $cilicet uectionem e$$e hanc in qua e centrum perpetuò per æquidi$tantem lineam fertur in m, nullum autem circulum progre$$us centri e$$e cau$am ni$i ut rota mouet currum & currus axem, reuolutio ergo notæ efficit ut $patium c g pertran$eat nota, & ideo motus ille circularis non e$t, quia circula- ris motus fit manente centro, $ed e$t circulus progrediens uelut & punctum e: at in circulo, hoc e$t di$crimen quòd puncta, uariantur centrum autem non. Dico ergo ut melius intelligas quòd talis mo- tus e$t uelut famulorum fabrorum qui rotam circunducant domũ impellentes, talis enim motus, e$t rectus, & e$t impul$ionis non au- tem circularis. Et ideò omnia puncta æqualiter mouentur, & per æquale $patium, accidit autem ut hic motus fiat circunuertendo, $icut

223

$icut etiam $i traheretur fune. Et $i quis obijciat quod hæc re$pon- $io e$t eadem cum illa qu&ecedil; tribuitur Ari$toteli, dico quod non, quia in illa $upponuntur duo fal$a, unum quod principium motus ali- quando $it in c d, aliquando in a b, quod pro $ecunda parte fal$um e$t: nam nunquàm principium pote$t e$$e in a b, nam $i intelliga- mus de modo motus, non mouetur nec a b nec c d motu circulari, quoniam (ut dixi) motus e$t uectio, $eu tractio, non circularis. Sin autem de cau$a motus rotæ illa e$t in circulo $emper maximo, $cili- cet c d & non a b. Et cau$a erroris horum fuit duplex: cum enim $ci- rent hanc rationem, dubitarunt an circulus c d motus e$$et potius cau$a motus circuli a b, an contrà, ideò protulerunt ambos, $icut illi quibus $ublata e$t res aliqua, ut non errent, dicunt hic, uel hic $ubri- puit rem meam. Secunda fuit, quia ne$ciuerunt di$tinguere inter motum per circulum & motum circularem, cum $it magnum di$cri men: motus enim rotæ e$t per circulum, quia per circumferentiam eius, quæ e$t circulus, non autem circularis. Et$i $uperius appella- uerim circularem, cum di$tinxi in triplicem motum $ph&ecedil;r&ecedil; circum- uolutionem, tunc non curaui de uerbis, quia uerba tum non erant cau$a erroris.

Ex hoc patet unum, quod e$t difficilius, $cilicet quia certum e$t, Cor^{m}. quòd tam c d quàm a b mouentur $uper rectas, & ita ut $ingula puncta c d tangant $ingula puncta c g, & a b $ingula puncta a f, & tamen c d circumferentia, aut non e$t æqualis rectæ c g, aut circum- ferentia a b non e$t æqualis rectæ a f, aliter $i ambæ circumferentiæ ambabus rectis e$$ent æquales, cum rectæ $int æquales, ut demon- $tratum e$t, e$$ent circumferentiæ etiam a b & c d, æquales maior minori, quod e$t impo$sibile. Non ergo ualet argumentum, i$te cir culus circumfertur $uper rectam aliquam, ita ut cum redit ad idem punctum rectam perambulauit ad unguem, ergo illius peripheria e$t æqualis illi rectæ.

Melius ergo fui$$et huius reddere rationem, in quo e$t tota dif- Co^{m}. ficultas, nam illa (ut dixi) de motu circulari nulla e$t, $i quis tam pe- nitus intro$piciat. Sit igitur ut rotæ axis c, tran$eat in f, & quia e a & f g æquales $unt a centro ad circumferentiam, & a g æquidi$tans b c, erit per demon$trata punctum g in linea fh, & ponamus quod punctum fuerit m, quod translatum, & retro reuolutum peruene- rit ad h, & $ecet e m a b circulum in n, dico quod n e$t punctum g, in quo etiam e$t animaduertendum de $tupore horum $cribentium, nec aduertentium quod puncta circulorum a b & c d retro cedunt, uer$us a & c, & non uer$us o & p, & hoc e$t quod decipit illos. T 4 Quia

224

Quia ergo m e$t h & e f, igi&ttilde; cum n $it in linea e m, erit in linea f h, $ed n e$t etiã in circulo a b, igitur cũ nullũ $it punctũ aliud in li- nea fh, et circulo g q, <08> g e$t n cõmu- nis $ectio, igitur n peruenit in g. Vi- des ergo quod m retroce$sit per angulum m g h, n autem antece$sit per angulum n g f, qui e$t æqualis angulo m g h. Ex quo liquet cau$a dictorum, & quod non intellexerunt quæ$tionis fundamentum cum ferantur $ingula puncta in una reuolutione æqualiter cum centro motu re- cto: & motu circumuolutionis $unt immobilia, quia tantum retro- cedunt in una medietate, quantum procedunt in alia.

Propo$itio cente$imanon age$ima$eptima.

Curlances ad locũ $uũ $u$p&etilde;$i redeãt impend&etilde;tes nõ, demõ$trare.

Co_{m}.

Aliâs cum uiderem apud Ari$totelem & eius expo$itores hoc Que$t. 7. Mechan. problema non $um au$us, quia ex proprijs non mihi occurrebat demon$tratio, rationem reddere, at confecta dialectica $tatim appa ruit modus. Sit ergo libra a b appen$a ex trutina c d, & $it per pon- dus educta loco e f, & $ublato reuertitur ad locum priorem: Et rur$us eadem $i immineat g d $u$ten taculo nõ mouetur: igitur palam e$t quod in trutina d e gra- uior e$t quã d fin$i$tens g d, nõ e$t adeo grauis, aut omnino non grauior. Ne<01> pote$t id accidere quod in primo ca$u angulus e d c acutus, $it in $ecundo obtu $us, nam $i ob angulum e d c acutum de$c&etilde;dit in primo ca$u e, in $e- cundo ca$u de$cendet f, quia pariter f d g acutus e$t, & æqualis e d c, hoc autem non contingit. Mira ne dicam $tultitia an audacia eorũ, qui nihil intelligentes au$i $unt, hæc pertractare, $perantes in tot $e- culis nullum futurum, qui ignorantiam $uam & impo$tura depre- hendat, dicunt enim quod in primo ca$u producta quadam recta ad perpendiculum, & quæ $it h k maiorem reddi d e quàm d f, ne <01> quomodo id fiat o$tendunt, & $i (ut dixi) maior $it quã d fin primo ca$u maior d f quam d e in $ecũdo ca$u: ergo $i in primo ca$u d e de- $cendit, in $ecundo de$cendet magis d f, at hoc non accidit $ed $tat. Oportet

225

Oportet igitur hoc e$$e principium ex Dialectica, quod o$tend at e grauiorem e$$e f in primo ca$u, in $ecundo non e$$e grauiorem, aut leuiorem, ut ne<01> ad angulum refugere po$simus. Ergo $upponere oportet quæ manife$ta $unt, e e$$e grauiorem f, aliter enim non de- $cenderet: non prohiberi autem in primo ca$u motum prohiberi in $ecundo, aliter uel grauior fieret f, uel maneret eadem grauitas: $i- quidem maneret grauitas, nec impediretur de$cendere e in $e- cundo ca$u, ut in primo, at non de$cendit. Si grauitas mutaretur, igi tur f de$cenderet $ecundo ca$u magis quam in primo. Quod $i di- cas non tanto fieri grauiorem, igitur f magis depre$$a de$cendet $altem, at nunquam de$cendit, igitur grauior e$t $emper e quàm f, $ed in $ecundo ca$u impeditur motus non in primo. Cau$a grauita- tis e$t, quoniam d e$t centrum grauitatis, quia medium. igitur cum Propo$. 45. c & d con$pirent contra f, nece$$e e$t e de$cendere per $uperius de- mon$trata, igitur e de$cendet in primo ca$u, quia grauius e$t ut do- cui nec impeditum. At in $ecundo ca$u e & d $unt grauiora, $ed d e$t impeditum, quia non habet motum, ni$i occultum in$idet enim Prop. 193. g d, igitur tantum ponderat e quam f, ergo pror$us non mouebun- tur, facit & ad hoc quòd quæuis latitudo d, $u$tentaculi prohibet motum, at dee$$e uix pote$t. Vides ergo illos nugas palam agere. Primum dee$t illis dialectica, deinde ingenium acre, deinde quod maius e$t, uolunt confe$tim tran$ire ex principijs ad remota theore- mata, quod fieri non pote$t.

Propo$itio cente$imanonage$imaoctaua.

Cur $olidum quod cubus uoca&ttilde;, pyramide $tabilius $it, o$tendere.

LEMMA PRIMVM.

Si intra circulum triangulus æquilaterus de$cribatur, & ab uno angulorum per centrum rectà ducatur, angulum per æqualia diui- det, & trianguli latus, & ad angulos rectos ei in$i$tet, ip$a uerò quæ ex centro per æqualia uici$sim à trianguli latere diuidetur.

Co<*>.

Sit a b c æquilaterus circulo in$criptus, Per 8. pri- mi Elem. cuius centrum d, ducatur<03> ad e f rectà per centrum, & ducantur d b & d c, erit<03> ex hoc Per 26. ter- tij Elem. triangulus a b d &ecedil;quilaterus triangulo a c d, Per 28. eiu$ dem. quare angulus b a d æqualis c a d, igitur ar- cus b e æqualis c e, igitur arcus b e e$t $exta Per Corm. 15. quarti Elem. pars circuli, quare b e recta latus exagoni, quare b e erit æqualis d e, igitur cum anguli Per 4. primi Elem. a d f $int utrin <01> recti, crit d f æqualis f e, ita<01> Per 47. p <*> i Elem. f d, tertia pars fa & fb dimidium a b quia b c. LEMMA

226

LEMMA SECVNDVM.

Quadratum lateris trianguli æquilateri $e habet ad illius $uperfi ciem, ut latus eius ad mediam lineam inter latus dodrantis, & qua- drantis proportione duplicata.

Co^{m}.

Quadratum a b e$t æquale quadratis a f, fb, & quadruplum qua Per 27. pri mi Element. drato b f, igitur quadratum a f e$t do drans quadrati a b. Quod ue- rò fit ex a fin f b e$t medium proportione inter quadrata a f, f b, re- Per 1. $ex<*>i Elem. ctangulum igitur ex a fin fb, e$t ex lateribus dodrantis a f, & qua- Per eandem & 11. quin ti Elem. drantis b f quadrati a b, quare cum mediæ inter a f & fb æquale fa- ciat quadratum rectangulo a fin fb, erit proportio quadrati a b ad quadratum mediæ inter a f, fb, ut lateris trianguli ad mediam inter Per 17. & 20. $exti El. latera dodrantis, & quadrantis quadrati lateris ip$ius duplicata: re- Per 41. pri- mi Elem. ctangulum autem a fin fb e$t æquale triangulo a b c, igitur propor tio quadrati a b ad triangulum a b c e$t uelut lateris a b ad mediam inter latera dodrantis & quadrantis duplicata.

LEMMA TERTIVM.

Propo$itio quadrati cubi $phæræ inclu$i ad triangulum pyrami dis eidem $phæræ inclu$æ, e$t uelut lateris pyramidis $eu trianguli eius ad cathetum $uum.

Co^{m}.

Proponatur enim $phæræ diameter g, & latus pyramidis b a, & Per Cor^{m}. 13. decimi- tertij Elem. latus cubi b h, quæ corpora illi $phæræ includuntur: igitur g erit pote$tate $exquialtera ad a b, & tripla ad b h, igitur b a e$t pote$tate Per Cor^{m}. 15. decimi- tertij Elem. dupla ad b h, quod igitur fit ex b a in dimidium $uum, e$t æquale quadrato b h, igitur b h e$t media inter b a & b f, b f enim e$t dimi- dium b a, ut probatum e$t. Quadratum igitur a b $e habet ad trian- Per 17. $ex ti Elem. Lemmate 1. gulum a b c, ut a b ad mediam inter a f & fb duplicata: Quadratum quo<01> a b $e habet ad quadratum h b, ut a b ad mediam inter a b & b f, duplicata igitur proportio quadrati b h ad triangulum a b c, e$t Per 67. uelut lateris a b ad cathetum a f.

LEMMA QVARTVM.

Proportio lateris pyramidis ad axem illius e$t pote$tate $ex- quialtera.

Co^{m}.

Intelligatur ba$is pyramidis triangulus a b c, & conus pyrami- Per 47. pri mi Elem. Lemmate 1. dis k, & quæ per centrum $phæræ tran$it ex cono k d, cum<03> k d a angulus rectus $it, erit quadratum k a æquale quadratis k d, d a, at d a e$t dupla d f, ut probatum e$t, igitur pote$tate $exquitertia f b, k a uerò e$t quadrupla pote$tate fb, quia fb e$t dimidium k a, igitur k a e$t tripla pote$tate a d, igitur k a pote$tate $exquialtera k d, quod erat demon$trandum.

Cor^{m}.

Ex hoc patet quod proportio axis pyramidis ad latus cubi ea- dem $phæra circum$criptorum e$t pote$tate $exquitertia.

Quia

227

Co^{m}.

Quia enim k a e$t pote$tate dupla ad b b, & $e$quialtera pote$ta te ad k d, nece$$e e$t ut k d $it $exquitertia pote$tate ad b h.

LEMMA QVINTVM.

Pri$ma altitudinem habens pyramidis & triangulum eiu$dem ba$im, æquale e$t cubo eidem $phæræ in$cripto.

Co_{m}.

Cum enim proportio quadrati b h ad triangulum a b c $it uelut Per 3 lem- ma. Lemmate 2. a b ad a f, a b autem ad a f $it $ex quitertia pote$tate ex demon$tratis, erit quadratum b h ad triangulum a b c $ex quitertium pote$tate: at cubi b h altitudo e$t ip$a b h, pri$matis autem a b c altitudo e$t k d, k d autem potentia $exquitertia ad b h, igitur pri$ma a b c e$t &ecedil;quale cubo b h, quod fuit propo$itum.

Ex hoc $equitur, quod cum pri$ma $it triplum $uæ pyramidi, ut Cor^{m}. ab Euclide habetur, quod cubus e$t triplus pyramidi, quam eadem Per Cor^{m}. lemmatis 4. $phæra circum$cribit.

Per 34. un- decimi Elem.

Nunc uenio ad demon$trationem propo$itionis, & dico quod corpus difficile e$t ad motum, uel ob magnitudinem ba$is, cui in$i- Ex 7. duode cimi Elem. det, uel ob pondus, uel ob formam: nam corpus quod forma e$t Co^{m}. contracta, difficilè mouetur, ut pyramis, contrà, quod prominet à la teribus, facile reuoluitur, ut corpus duodecim ba$ium pentagona- rum, & uiginti triangularum: ergo cubi $edes e$t maior quàm $ua pyramis, & pondus triplo maius, & etiam non prominet cubus, ideò pro re $tabili po$itum e$t corpus eiu$modi. Eo quod ob gra- uitatem etiam, ut dixi, $it $tabilius pyramide eiu$dem $ph&ecedil;r&ecedil;. Quod $i etiam a$$umeres pyramidem, cuius ba$is e$$et æqualis quadrato cubi, ip$a $e haberet ad pyramidem $phæræ in grauitate, uelut latus trianguli ad $uum cathetum, & ideo proportio ponderis cubi ad pyramidem e$$et, uelut tredecim ad quin<01> fermè: ergo ratione pon deris e$$et longè $tabilior cubus ip$a pyramide. At in alijs corpori- bus, quæ rationalia uocantur, non e$t tanta proportio ponderis, & ba$is e$t minor & forma prominet.

Propo$itio cente$imanonage$imanona.

Rationem remorum nauim impellentium inuenire.

Co^{m}.

Sit a remi extremum, quod manu apprehenditur, b $calmus cui remus in$idet: c extremum aliud latius remi, quod uocant pal- mam, transferatur nixu manus, & motu corporis a in d, ut c per- Per 15. pri- mi Elem. ueniat in e, $unt enim æquales a b, d b, b c, b e etiam & angu- li a d b contrapo$iti, quare trianguli a b d & c b e $imiles, igitur primum quanto maior propo$itio c b ad b a, tanto maior propor- Per 4. $exti Elem. tio c ad a d, & ita ex æquali motu longius transferetur remus, $eu palma. Secundum, cum motus a d fiat nixu brachiorum & corpo- ris, quanto magis transfertur corpus eo minus opus erit brachio- rum

228

rum nixu, & ita minus laborabunt. Et Prop. 188. quo minus laborabunt brachia, plus corpus laborabit. Etideò, ut declara- tum e$t $uprà, minor labor erit cum æ- qualiter ambo laborabunt. Tertium, quo minor erit proportio c b ad b a, eo maius $patium pertran$ibit remex, qui mouet ex a in d, $ed tanto facilius Propo$. 71. mouebit, quia labor motus b c minue- tur, ut $uprà ui$um e$t per longitudinem a b & d b, ut $uprà demon $trauimus. Quartum, cùm remus tran$ierit quoddam $patium iuxta robur, puta ex c in e, nece$$e e$t ut eleuetur $uper aquam, tum quia impediret motum pro gre$$us nauis, tum ut transferatur ante: aliter $i transferretur ante $ub aqua difficilius multo, quam per aë- rem transferretur, & retroageret tantundem nauim, quantum an- tea retroactam impulit. His per $e notis dico, quòd translato remo ex c in e, nece$$e e$t nauim contrà transferri ex f in g: nam quia impe dimentum ex aqua tran$itur c in e, maius e$t quam nauis $uper a- quam, & remus debet transferri ex a in d, & non pote$t transferri ni$i uel $tante naui, & translato c in e, uel $tante a b c remo, & tran$- lata naui: & tunc nece$$e e$t, ut e pro grediatur ad h, ita de$$ecabit a- quam ch, ergo difficultas manet eadem fermè, ex his fit motus com po$itus, ut palma non redeat u$<01> ad e, $ed maneat remus minus in- clinatus, & qua$i ad perpendiculum in h. Et manife$tum e$t, &qring;d erit motus compo$itus ex retro ce$$u remi & pro ce$$u nauis. Qui etiam remiges circa medium $unt minus laborarent, $i remus æqualiter promineret extra $calmum, $ed magis laborant, quia proportio e$t eadem, & a b e$t longior, & cra$sior remus, ut minus flectatur ob longitudinem, aliter $i e$$et æqualis cra$situdinis, & multo longior flecteretur aut frangeretur, ideò robu$tiores remiges ponuntur in medio triremis. Iuuatur præterea motus nauis pror$um ex percu$- $ione remi, & impetu iam aqui$ito cum nixu remi in aduer$um $u- peruenie<*>. Rur$us cum nauis transferatur eodem tempore antè quò a progreditur ad d, manife$tum e$t quòd magna pars e$t ex motu nauis, non nixu corporis aut uirium: & ita quod celerius mo uetur ex c in h, ab initio dum nauis quie$cit, aut tardius mouetur, tardius autem dum nauis progreditur.

Propo$itio ducente$ima.

Cur temo cũ paruus $it magnam nauim agere pote$t: & cur cum uarietas $it in prora, ip$e con$tituatur in puppi. Et cum tran$uer$im ab aqua prematur, rectà nauim dirigat?

Dixi

229

Dixi quod in hipomochlio parua uarietas fit in motu: igitur à Co^{m}. leui cau$a magnum nauigium impellitur aut uariatur. Cum enim a trãsfertur ad b, fit minima uarietas in e, igitur a parua poterit tran$- ferri, tum uero quod debuit trãsferri ad c, tran sfertur ad d, nam motus ip$e ab alia cau$a fit, uelut u&etilde;to aut remis, ita non e$t difficultas ni$i propter motum aquæ, $cilicet ut tabula $cindat illam. Ad hoc autem contulit illud quod intra nauim prominet ut uectis rationem habeat, & ob id facilius uerti.

Similiter uarietas in puppi exigua e$t cau$a magnæ uarietatis in prora, quod autem pote$t fieri paucioribus & faciliori modo id debet fieri, hac igitur cau$a in pup- pi temonem con$tituere oportet $eu guberna culum.

Cum autem impellatur à mari, nece$$e e$t, ut à latere excipiat aquam ita ut tantum pendeat in unam partem, quantum nauis in aduer$am, nam $i nauis non penderet, gubernaculum rectè dirige- ret<*> Vt ergo ex duobus obliquis unũ rectum con$titui tur, ita ex naui & gubernaculo, nam $int a b & c b & im- pellatur ad d, impelletur per mediam lineam b e & non per a b neque c b, igitur oportet temonem pendere ex ad uer$o inclinationis nauis. E$t etiam alia ratio, quoniam nauis $ecurior redditur, nam quemadmodum quod in medio e$t, facilius impellitur tran$uer$im, quàm quod pendet in contrarium, ita & in gubernaculo. E$t & id ob nece$sitatem, quoni- am motus aquæ plerumque e$t in partem, uelut & uentus ad la- tus eius $itus, $ecundum quem moueri debet nauis. Sicut igitur & uela & malus inclinantur, ut motum directum efficiant, quia aliò dirigitur nauis quam qui mouet uentus, ita de temone compara- tione aquæ.

Propo$itio ducente$imaprima.

Si duæ lineæ non $ecantes circuli peripheriam in unũ punctũ, ex ea coëant, exterius nece$$e e$t illas peripheria cõtenta e$$e maiores.

LEMMA PRIMVM.

Si fuerit proportio primi ad $ecundum maior quàm tertij ad quartum, erit primi ad tertium maior quàm $ecundi ad quartum.

Co^{m}.

Quamuis hoc demon$tretur à Campano, quia Per 10. quin ti Elem. tamen facile e$t hic adijcietur. Sit igitur maior a ad b quam c ad d, dico maiorem e$$e a ad c quam Per 16. eiu$ dem. b ad d, quia enim maior e$t a ad b quam c ad d fiat e ad b ut c ad e Per 8. eiu$- dem. erit<03> e minu$quam a, eigitur ad c ut b ad d $ed maior a ad c quam e ad e igitur maior a ad c quam b ad d.

Per 11. eiu$ dem. V LEM-

230

LEMMA SECVNDVM.

Si fuerint quatuor quanti- Per 8. quin- ti Elem. par tes ambas. tates, quarum exce$$us primæ $upra $ecundam, fit minor ex- ce$$u terti&ecedil; $upra quartam, $it<03> prima non minor tertia, erit propor Per 10. quin ti Elem. tio primæ ad $ecundam minor quàm tertiæ ad quartam.

Co^{m}.

Sit exce$$us a $upra b c, g b minor exce$$u d $upra e f qui $it h e, di- Per 19. eiu$ dem. co quod proportio a ad b c e$t minor proportione d ad e f. Quia enim a e$t maior d, & b g minor h e, erit maior proportio a ad b g Per 8. eiu$- dem. quàm d ad h e, igitur fiat a ad g k ut d ad h e, erit ergo g k maior g b Per 11. quin ti Elem. quare k e minor b c ex communi animi $ententia, e$t autem a ad k c ut d ad e f, minor autem a ad c b quàm ad k c, igitur minor a ad b c quam d ad e f.

Si intra circulum æquicurium, & $uper eandem ba$im figura æ- quilatera & æquiangula cõ$tituatur, erũt omnia illius latera pariter accepta minora duobus trianguli lateribus.

Co^{m}.

Sit ut proponitur, & producantur b d & c e quæ concurrent intra triangulum, quia anguli d b c & e c b $upponuntur &ecedil;quales, & ducta d e producantur d fl, & e g l quæ con- curr&etilde;t intra triangulum k d e ut propter ean- dem cau$am, igitur a b & a c $unt maiores k b & k c, ergo maiores k d, d b, & k e, e c quia $unt eædem. Duct&ecedil; quo que de $imili modo k d & d e, $unt maiores l d & l e, igitur l f, f d & l g, g e, igitur a b & a c maiores $unt b d, d f, f l c e e g g l pariter acceptis. Rur$us ducta f g: f l & l g maiores $unt m f & m g, igitur a b & a c $unt maiores omni- bus lateribus figuræ in$criptæ.

Cor^{m}. 1.

Ex hoc patet quod latera polygoniæ fi- guræ &ecedil;quilateræ & æquiangulæ in$cript&ecedil; portioni circuli $unt minora lateribus tra- pezij circun$cripti eidem peripheriæ.

Sit ergo trapezium a g h b circa periphe Co^{m}. riã a b, & in ea in$cripta figura polygonia æquilatera & æquiangula a c, d f b. Et quia trapezium e$t figura cuius oppo$ita duo latera $unt &ecedil;qualia, & duo anguli $upra ba $im æquales: item<03> duo in $ummitate inui cem &ecedil;quales, tãget in medio peripheriam Per 4. pri- mi, & 16. tertij Elem. quod patet ductis lineis ex centro ad ex- trema trapezij. Et ideo etiam punctũ medium polygoniæ, quare ex hoc

231

hoc leminate duo latera g d & g a deducta ad æquicrurium, erunt maiora lateribus polygoni&ecedil;, & $imiliter duo latera h d maiora late- ribus polygoniæ inclu$æ, ergo latera trapezij erunt maiora omni- bus lateribus polygoniæ inclu$æ.

Co^{m}.

Ex hoc habetur demon$tratio propo$itionis: $int duæ lineæ a b & a c quæ comprehendant portionem cir- culi b c, dico eas e$$e maiores b c portione, $i enim a b & a c $unt æquales diui$o arcu b c per æqualia in f, ducam contingentem Per 2. & 1. primi Elem. h f k, $i non faciant trian gulum æquicruri- um b c d $uper b c, & cuius ambo latera pa riter accepta $int æqualia a b & a c. Et du- cam contingentem & habebo trapezium Per 5. eiu$- dem. h b, c k. Quare $i peripheria circuli b c e$t minor d b & d c pariter acceptis, habeo intentũ, $i non toties diuidã peripheriam per æqualia ut fiat figura polygonia $uper b c æquila- tera & æquiangula, cuius differentia a peripheria $it minor differen tia d b & d c à trapezio b h, k c, id e$t, tribus eius lateribus, nam cum d h & d k $int maiores h k, con$tat quod d b & d e $unt maiores h b, & k c & h k igitur $it differentia illa l, & differ&etilde;tia peripheri&ecedil; à lineis polyg oniæ minorl: igitur cum peripheria $it æqualis aut maior d b & d c, & differentia a lateribus polygoniæ minor quàm d b & d c, a b, h b, h k, k c, erit minor proportio peripheriæ ad latera poly- Per 20. pri- mi Elem. goniæ quàm d b & d c ad tria latera trapezij, quare minor propor- Per 2 lemma. tio peripheriæ ad d b & d c quàm laterum polygoniæ ad tria latera Per 1 lemma. trapezij, $ed latera polygoniæ $unt minora tribus laterib. trapezij, Per Cor^{m}. 3 lemmatis. igitur peripheria b c e$t minor d b & d e, quod erat demon$trandũ.

SCHOLIVM.

Hanc propo$itionem non $crip$i quòd e$$et magni momenti, $ed propter modum probandi, $i enim re$picis ex uno oppo$ito $cilicet quod peripheria circuli $it maior trianguli lateribus, o$tendo de- mon$tratione non ducente ad inconueniens, $ed $implici quod ip$a peripheria e$t minor trianguli lateribus, & hoc nunquam fuit factũ ab aliquo, imò uidetur plane impo$sibile. Et e$t res admirabilior quæ inuenta $it ab orbe condito, $cilicet o$tendere aliquid ex $uo oppo$ito, demon$tratione non ducente ad impo$sibile & ita, ut nõ po$sit demon$trari ea demõ $tratione ni$i per illud $uppo$itũ quod e$t contrarium conclu$ioni, uelut $i quis demon$traret quòd So- crates e$t albus quia e$t niger, & non po$$et demon$trare aliter, & ideo e$t longè maius Chry$ippeo Syllogi$mo.

Cor^{m}. 2.

Ex hoc patet quod pars lineæ exterioris quæ tangit circulum V 2 inter-

232

intercepta à linea ex centro longior e$t peripheria, $imiliter in- tercepta.

Co^{m}.

Sit portio circuli a e, & linea a b intercepta à linea c b ex centro, dico ab e$$e longiorem a e, ducatur b e æqualis a b, ad Per 8. tertij Element. circumferentiam, quæ illi obuiabit, ducantur<03> c a, c e Per 8. primi Elem. erit<03> angulus e c b æqualis a c b, igitur arcus a d, æ- qualis d c, quare a d erit dimidiũ a e, & a b dimidium Per|26. ter- tij Elem. a b, b e, facta enim fuit b e æqualis a b, cum ergo per præ$entem duæ lineæ a b, b e, $int maiores a e, igitur per commu- nem animi $ententiam a b maior a d.

Propo$itio ducente$ima$ecunda.

Rationem $trepitus o$tendere.

Co^{m}.

Fit $trepitus ob multitudinem aëris percu$si, uelut cum tabulis percutimus: & cauitatum cau$a, unde ligna & tabulæ leues magis $trepunt, & illud Virgilij:

—Sonitum<03> dedere cauernæ.

Tum uerò ob ictus impetum, impetus aut&etilde; partim uelocitatis cau- $a, partim angu$tiæ loci. Fulmen edit tonitru in quo & caua nebula excipit aërem, & multum impetu<03> maximo delatum, ob$trepũt au tem metalla magis quam ligna eo quòd magis ob continuitat&etilde; par tes moueantur. Indicio e$t, quod intenta ut æs & tenuia maior&etilde; $tre pitum edunt: & dum $onant tremunt, aurum autem parum $onat, quoniam den$i$simum e$t, et minus intentum arg&etilde;tum, minus den $um, & magis intentum, quod autem intentum e$t totum $imul mo uetur, & ob id $tridet: lignum aut&etilde; & tabula $onat, non quia ut me- tallum percutiat aërem, $ed quia in eo aër percutitur. Cra$$um aut&etilde; metallum & lignum non adeò $onant: metallum quoniam non mo uet aërem, non enim mouetur: lignum quoniam non mouetur, nec in eo qui e$t inclu$us aër, aër autem facilè mouetur, & ob id in ligno cauo, etiam$i cra$$um $it, $trepitus magnus editur. Ergo et$i tenue $it metallum, quod infixum e$t tabul&ecedil;, re$onat multum: nõ quia mo ueatur, $ed quoniam a&etilde;rem in tabula cõ cutit. Ne<01> enim tabula per $e $ola, quæ etiam nimis tunderetur $onum edere magnum pote$t quoniam cedit: Oportet aut&etilde; non cedere quod re$onat, ne<01> metal- lum $i cra$$um, $ed hebetem $onũ etiam tabul&ecedil; infixum reddit, quo- niam ne<01> moueri pote$t infixum & cra$$um, nec cauerno$um e$t, & tamen excipit ictum, ne lignum re$onet. Velox autem ictus nõ acu- tum $onũ reddit, & $i cum impetu $it: indicio e$t tonitru & machin&ecedil; bellicæ igne&ecedil;, contrà angu$ta fi$tula acutũ $onum reddit, etiã remi$- $è inflata. Igitur aër $oni cau$a e$t $ecundum motũ, ubi ergo multus aër & magnus motus ibi $onus magnus. Multus quidem aut in ca- uerno$o

233

uerno$o corpore, qui graui$simũ edit $onũ interclu$us, ut etiã in uo cibus, aut quia à magno corpore $tridulus efficitur, aut inter duo corpora, qui grauitate medius e$t. Impetu uerò effici&ttilde; inten$us non magnus, nam tonitrus <04>cul audimus noni$tum quamuis celerri- mum, acutum uerò ob angu$tiam loci. At<01> h&ecedil; cau$&ecedil; $unt $onorum.

Propo$itio ducente$imatertia.

Cur $cytalis onera portentur facilius, explorare.

Demiror nõ exactè cau$am manife$ti$simã Co_{m}. Ari$totelem non a$$ecutũ fui$$e, aut potius ad Prop. 114. nos corruptã $cripturam perueni$$e: nam qui expo nũt multo minus intelligũt. Sit ergo cur rus humilis $cytalis iucumb&etilde;s a b c. Diximus aut&etilde; $uprà quid e$$et $cytala & currus rotis, &qtilde; $untlonge maiores $cytalis e f g h, demõ$tran dũ e$t $cytalã, quamuis minoris ambitus ma- gis mouere <08> rotam, cũ ergo de una demon- $trauerimus, de oĩbus erit intelligendũ. Quia ergo $cytala k l m habet hypomo chlion in k et m, & põdus premit in l, igi&ttilde; rota uer$atilis mo Propo$. 71 uebi&ttilde; tanto facilius <04>cedendo, quanta e$t lõ gitudo l m & l k, $ed & rotul&ecedil; ill&ecedil; uer$abũt hypomochlion, &qring;d e$t l cõparatione k & m col- lopum, igi&ttilde; facilius multo uer$abi&ttilde; currus à $cytalis <08> rotis. Et hoc e$t quod dixit Philo$ophus. In utri$<01>. n. his reuolui&ttilde; circulus et mo tus impelli&ttilde;, intelligit mutuã commutation&etilde; hypomochlij cum col lopibus, nam ut trahãtur rotul&ecedil; &qtilde; $unt hypomochlij loco, collopes terminan&ttilde; in medio: ut aũt uerta&ttilde; axis, qui & hypomochlion in me- dio collopũ initium $int rotulæ. Ex quo $equi&ttilde;, &qring;d quanto lõgiores erunt l k l t & l m, tanto facilius mouebun&ttilde; currus, at quanto humi- liores, modò non obruantur in terra, quoniam tardius mouentur, quæ minorem habent circuitum, quæ autem tardius mouentur, fa cilius mouentur, ut $uprà $æpius demon$tratum e$t: Ob has ergo duas cau$as pondera facilius feruntur curribus cum $cytalis, quàm cum rotis magnis modò terra non obruantur.

Propo$itio ducente$imaquarta.

Cur pluribus trochleis pondera facilius eleuentur o$ten dere.

Dictum e$t $atis de hoc in lib. de Subtilitate, at nunc quod ad de- Co^{m}. mon$trationem attinet eorũ $ubij ciam. Quia. n. $ingul&ecedil; rotul&ecedil; diffi culter mouen&ttilde;, igitur nece$$e e$t $ingulas participes e$$e grauitatis, igitur & totam grauitat&etilde; e$$e diui$am: quare ut in pr&ecedil;ced&etilde;ti facilius moueri. Habent & rotul&ecedil; ip$&ecedil; centrum $eu axem hypomochlij, $eu Propo$. 71. fulcimenti loco, ambitum aũt iuxta $emidiam etrum, uelut collopes V 3 $eu

234

$eu uectes, quare tanto facilius mouebuntur quanto maiores erũt, & ut plures. Vna enim alterius loco fungitur uectis. Trochlea qui- dem e$t, ut uides, in$trumentum longum $uprà angu$tius, $ed non, cra$$um, in quo plures orbiculi $olent collo cari, unde $æpe numero trochleæ nomine intelligimus orbiculos ei in clu$os, circa quos fu- nis uo catur, ut in tro chleis & orbiculi & funes in cluduntur. Succu- lis etiam $olent capita funium trahi: ut uectis auxilio imò nonnun- quàm rotarum facilius pondera eleuantur.

8. de Repub.

Propo$itio ducente$ima quinta, $uper uerbis Platonis, de fine Reipub.

“E$t autem ei quod diuinitus generandum e$t circuitus, quem nu merus cõtinet perfectus. Humanæ uerò, in quo primum argumen tationes $uperantes, ut $uperatæ tres di$tantiæ: quatuor autem ter- minos accipientes, $imilium & di$similium, ab undantiũ & deficien tium cuncta corre$pondentia, & rationem habentia inuicem effece runt. Quorum $exquitertium fundamentum quinario iunctũ duas efficit harmonias ter aucta quidem: æqualem æqualiter centum to ties, quandam autem æqualem quidem, longitudine aũt $ingulum quidem numerorum à diametris ration&etilde; habentibus quinarij indi gentibus uno $ingulis: non habentibus rationem aũt duobus, cen- tum autem cuborum ternarij. Totus autem hic numerus geometri cus talem authoritatem habet ad potiorem deteriorem<03> genera- tion&etilde;. Quem locum Ari$toteles ita declarat. Quorum $exquiter- tium fundamentum quinario coniunctum duas exhibet harmo- nias, inqui&etilde;s, quãdo numerus diagrammatis huius efficia&ttilde; $olidus.”

Quin Polyt. Cap. 12.

*gusqmh\<19> fundam&etilde;tum interpretatus $um, quod radix pro latere in hac materia accipi po$$et. Par e$t ut in diuina generatione numerus Co^{m}. accipere&ttilde; perfectus: ut intelligat generationem confe$tim $equi cor ruptionem: nam $ermo e$t de corruptione, corrumpitur aũt unum- quod<03> ut aliud generetur, malum enim e$t ob bonum, non contrà. Liquet autem ex Euclide talem numerum e$$e octies mille centũ ui- ginti octo. Et hic e$t finis omniũ urbium diuinus, cuius quadruplũ uelut in cœli re$titutionibus, ac continuato ordine $olet ob$eruari, e$t propè annus magnus: ueri$imile e$t enim tãto tempore cõfundi decima, $cilicet totius circuitus parte. Humanæ uerò intelligit qua- 8121827
tuor à monade numeros, aut in quauis ratione principium li- neam $uperficiem corpus, ut unũ, duo, quatuor, octo pariter octo: duo decim decem octo uiginti $ept&etilde;: inter hæc $unt tria $patia, & octo cum uiginti $eptem $unt di$similia & deficien- tia: maiora e&mtilde; $unt $uis partibus à quibus numerantur. Contrà de- cemocto & duodecim $unt $imilia at<01> ab undãtia, & corre$ponden tem

235

tem habent rationem inuicem. Hæc Ari$toteles omittit, ut ad in- troductionem, non rem pertinentia, uelut & finem tanquàm ex præcedentibus notum. Vnde uerba Ari$totelis $unt ad unguem eadem uerbis Platonis, $cilicet: “Quorum $exquitertium funda- mentum quinario iunctum duas efficit harmonias: loco autem ter aucta quidem, $cribit Ari$toteles: efficiatur $olidus, id e$t cubus, ut in quadratum $uum ducatur: loco autem uerborum æqualem æ- qualiter centum centies, u$que illuc à diametris rationem habenti- bus quinarij ponit numerum diagrammatis.” E$t autem diagram- ma, quod Plato uocat diametrum, cum numerus pote$t fermè du- plum numeri alterius, ut 3 duplum 2, & 7 duplum 5, & 17 duplum 12, & $emper numerus hic dimetiens, excedit duplum alterius uno, quod ex his patet, quæ ab Euclide demon$trata $unt in decimo li- bro. Quare $i debet e$$e quadratum eius monade maius duplo, al- terius quadrati, & duplum|alterius quadrati e$t par, igitur addi- ta monade erit impar, ergo latus eius dimetiens impar $emper: la- tera autem ip$a quadratorum, quæ duplicantur aliquando pa- ria $unt ut 2, & tunc quadratum dimetientis e$t unum plus duplo ut 9 e$t maius 8 monade, $i uerò latera imparia $int, erit quadratum dimetientis uno minus duplo, ut 49 quadratum 7 e$t minus uno 50, duplo 25, quadrati 5. Ex quo patet agnatio, ut ita dicam in- ter 7 & 5.

Cum ergo dicit, quorum $exquitertia e$t, ac $i diceret, ex horum numerorum $erie $umemus $eptenarium principium epitrite, & di- metientem 5, quos $imul iungemus.

Propo$itio ducente$ima$exta.

Rhombi pa$siones qua$dam declarare.

Sit a d recta diui$a in k per æqualia, cui $u- Co_{m}. per$tent k b & k c ad perpendiculum inter $e æquales, & $ingulæ earũ minores k a & k d, Per 4. primi Elem. & perficia&ttilde; figura quadrilatera a b d c, cuius latera erunt omnia æqualia inuicem, & angu li a & d oppo$iti, & b & c oppo$iti etiam inui cem &ecedil;quales. Sed b & c maiores erunt a & d: Per 25. pri- mi Elem. & ideo talem figuram appellauit Ari$toteles rhombum à pi$cis $i- militudine in medio latioris quã in extremis, cuius tam&etilde; longitudo latitudine maior e$t. Dicit ergo Ari$toteles, &qring;d $i rhombus ip$e cir- Quæ$t. 23<*> Mech. cumuoluatur, ita ut b tran$iret per b a c, & a per a c d, a maius $pa- tium tran$iret ex recta, $cilicet a k d quàm b, quod tran$iret b k c. Et ad hoc a$$umit, quòd cum angulus c $it maior a, igitur duæ lineæ a c d $unt minus curuæ quam duæ b a c, igitur b a c habent ratio- V 4 nem

236

nem currui, & a c d recti. Ergo $i in æquali t&etilde;poris $patio b, $uperet b a c & a, a c d, magis per rectam feretur a quàm b, $ed quod rectum e$t maius occupat $patium: igitur uelocius fertur a in d compara- tione habita ad a d quàm b in c, comparatione habita ad b c.

Pro intellectu reliquorum ab eo dictorum, & quorundam mira- bilium, proponatur alius rhombus illi &ecedil;qualis, in tabula pictus deli neatis lateribus & diametris, qui fit l m o n, & diametri l p o & m p n, & ab$cindatur hic ex $uperficie, & $uperponatur ita, ut puncta l m o n ordinatim cadant, & aptentur pũctis a b d c, & p aptetur ip$i k. Et tunc $i rhombus l o totus moueretur, nece$$e e$t, ut moueatur $e- cundum latus aliquod, ut pote l m, & &ecedil;quidi$tans a b, igitur dicetur moueri $uper latus aliquod, $cilicet a c: at<01> hic e$t mo tus, quem Ari$toteles uocat motũ a b $uper latus a c. Si aũt fingamus quie$cere latus aliquod l o, uel pars lateris, non po$$et omnino moueri in $uperficie a d rhombi: et ita nõ perinde e$$et ac $i a d rhombus mo ueretur, quod tamen $upponit Ari$toteles. Ne<01> etiã $i quie$ceret punctum aliud quam p haberet ratio- nem motus regularis, quod ab illo $upponitur: reli- quum e$t igitur, ut rhombus l o moueatur uice rhombi a d $eruan- do centrum, id e$t punctum p in puncto k. Dicamus ergo primum de motu compo$ito Ari$totelis, & pò$t de no$tro.

Moueatur l m $uper a c, æquidi$tans $emper a b, ut $eruet $itum quem habebat ita, quod extremũ lineæ l m $it $emper in linea a c, & l punctum quod gerit uicem a, de$cendat tantum in linea l m, quan- tum l extremum in linea a c: dicit Philo$ophus, quod a $eu l $emper de$cendet in linea a d, & erit in e a. Supponatur <09> latus l m fit f g, & erit l n, f t, ducatur aũt ex r puncto $ectionis diametri, & lateris l m li Per 24. $exti Elem. near q, æquidi$tans a f, igi&ttilde; rhombus a q r f e$t $imilis rhombo toti a b d c, & <04>portio a f ad fr, ut a c ad c d, $ed a c e$t &ecedil;qualis c d, igi&ttilde; a f e$t æqualis f r, $ed l de$cendit in l m, quantũ e$t a f ex $uppo$ito, igi&ttilde; punctũ l $emper erit in linea a d. Po$t deficiunt quædam uerba: ob quæ nemo intellexit $ententiam Philo$ophi, & tam&etilde; au$i $unt impo nere lectoribus, tan<08> intellexi$$ent, tres $imul errores admittendo, $cilicet Ari$totelem ob propriam ignorantiam, ut $tultum accu$an- do, qui fal$a dicat, & demon$trare nitatur: produnt $eip$os cum $ua impudentia. Et lectoribus imponere conantur, debet ergo $ic legi (“b in ip$a b c diametro latum, ubi latus b d moueatur in late- re b a, & b æqualiter uer$us d in b d, æqualis enim e$t ip$a b e”) Tunc enim con$tat ut hic dixi, m moueri per b c rectam ut l per a d: Dicit ergo cũ b d mouea&ttilde; in b a, tran$it unico motu totã b a, & pun ctum

237

ctũ tamen b, quod moue&ttilde; duobus motibus, non pertran$it ni$i b c, quæ pote$t e$$e minor b a: nam cõ$tat quod quãdo m erit in a, o erit in e, & quia m de$cendit in o, in eodem tempore, ergo o erit in c, & trã$iuit $emper per rectam b c: igitur m e$t minus motũ duobus mo tibus quàm m l unico tantũ. Et quia aliquis dicere potui$$et non e$t mirum, quod m $it minus motum duobus motibus quàm l m latus unico tantum: quia m mouetur motu contrario motui lateris: nam latus m o mouetur in latere b a a$cendendo, et punctum m uer$us o in ip$o m o de$cendendo. Dicit Philo$ophus, hoc e$t mirum, quia cum idem contingat in motu l, cuius latus mouetur per a c, & l per l m recedendo in partem contrariam, nihilominus uelocius motum e$t l, quàm latus l m, quia a d e$t longior a c. Ex quo patet, <09> qu&ecedil;$tio Philo$ophi e$t una tantum, & non duæ. Et e$t cur motum duobus motibus in rhombo, in uno mouetur uelocius latere tantum moto uno motu, in alio tardius? Et quia aliquis dicere po$$et, &qring;d b c po$- $et e$$e lõgior a c: Dicit Philo$ophus, uerum e$t, $ed ego po$$um in- uenire talem rhombum, qui etiam habeat a clongiorem, & tunc ni- hilominus $equi&ttilde; quod dico. Aliud aũt, quod docet ex hac demon- $tratione, e$t <09> ex duobus motibus rectis diuer$is pote$t fieri unus motus rectus diuer$us: igitur idem punctum, puta formica poteric $imul, & $emel moueri duobus motibus rectis diuer$is. Et hoc e$t, quia primus motus e$t rectus $olum $ecundum formam, & non $e- cundum materiam: & alter $ecundus, $cilicet mi$tus e$t $ecundum materiam & non $ecundum formam per rectam.

Ex hoc $equi&ttilde; aliud magis mirũ, et e$t iuxta no$trũ motum rhom bi l o in rhombo a d, fixo centro p in centro k, & mouea&ttilde; quomodo libet, l, dico quod l f $emper æqualis erit a f, quia e&mtilde; k l & k a $unt æ- quales, cũ e$$ent una linea ante motum ducta, l a erit angulus k l a, æqualis angulo k a l, $ed angulus k a c Per 5. pri- mi Elem. e$t æqualis angulo k l m, cum angulus k l m e$$et id&etilde; angulo k a b, & angulus k a b e$t æ&qtilde;lis angulo k a c, Per 34. pri- mi Elem. igitur angulus k l m e$t æqualis angulo k a c, igi&ttilde; re$i duus fl a e$t æqualis re$iduo f a l, quare f a æqualis Per 6. primi Elem. fl. Si igitur quantum procedit latus m l in a c, tãtum de$cendat punctum in linea l m punctum perpetuo, erit in linea a c, & per eam mouebitur. Vnde $equitur quod

Quod punctũ l mouebi&ttilde; duob. motib. uno recto in linea, $cilicet Cor^{m}. 1. l m, & altero circulari. $. circa centrũ k, & tñ mouebi&ttilde; uerè motu re- cto t&mtilde; in alia linea, $cilicet a c, & hoc e$t primũ admirabile. Aliud e$t

Quod punctũ l mouebi&ttilde; duobus motibus, & per ip$os mouebi&ttilde; Cor^{m}. 2. ad ungu&etilde; uno motu &ecedil;quali uni eorũ, ita &qring;d alius motus nihil addet nec

238

necminuet. Patet quia mouebitur, gratia exempli, primo motu ex l in f, & pò$t motu circulari, & uerè erit motum ex a in f, qui motus e$t æqualis motui priori propriò, & $olo ex l in f.

Propo$itio ducente$ima$eptima.

Proportionem agentium naturalium in tran$mutatione con- $yderare.

Co^{m}.

Sit latitudo a b ad conuer$ionem terræ in aurum me- dium perfectionis a b $it c, & medium a c d b, cuius dimi- dium $it e b. Et fiat commutatio a c in f g, tempore dimi- dium f g, g h in g h deberet peruenire ad perfectionem d, quoniam ratio a c ad c d, ut f g ad g h. At uerò dum tran$i- ret terra ad perfectionem c tota re$i$tebat, iam adepta per- fectione a c non re$i$tit, ni$i pro medietate, at proportio cu iuslibet quantitatis ad dimidium alterius producitur ex proportione eadem & dupla, dupla igitur e$t proportio agentis ad imperfectionem a c ei quæ e$t ad a b, igitur in di midio temporis g h acquiret perfectionem c d, & $it g k di midium g h, erit ergo tempus totum fk, in quo acquiret a d. At ratio hæc con$tare non pote$t, nam $i diuidatur $p a tium a b in trientes fient trientes duo, & quarta pars in perfectione a d: $ed iam multo citius acquiret quam in fk tempore, quod e$t di- midium & octaua pars. Sed hoc non cogit, quoniam partes primæ $unt $emper contumaciores, & ut di$ponuntur fiunt magis obedi- entes, non iuxta proportionem $impliciter, $ed ut $unt in materia, & ideò hæc actio e$t $imilior proportioni exce$$us, & e$t Arithme- tica quam capacitatis $cilicet Geometricæ.

Cor^{m}.

Ex hoc patet, quod res quæ ad $ummam maturitatem perueni- unt, maximè acquirũt perfectionem in exiguo tempore, ut gemm&ecedil;, aurum, infans. Ergo oportet maximè iuxta finem cauere, ne detur occa$io ulla accelerandi partum.

Propo$itio ducente$imaoctaua.

Mota res à centro grauitatis per priorem motum in reditu uelo- cius mouetur, quam $i quieuerit.

Co^{m}.

Sit a b c lectus pen$ilis, in quo ho mo aut patera, in qua aqua uel ui- nũ, & $it c&etilde;trum grauitatis d, quod nece$$ariò e$t in linea loci, cui anne xus e$t lectus a g, & in patera lo ci medij manus continentis pateram cũ centro quæ $it a g, quibus $tan- tibus o$tendendum e$t primo.

LEM-

239

LEMMA PRIMVM.

Omne graue motũ à centro grauitatis, re$tituto ad eundem $itum pondere mobili aut inmobili, continente ultra centrum grauitatis naturalis uiolenter fertur.

Seu $it pondus per $e non fluctuans in pen$ili lecto, $eu humor in Co^{m}. patera, quum põdus moueatur $olum ratione una, $cilicet lecti pen- $ilis homo uel plumbum, humor autem aqua uel uinum bifariam & ratione pateræ $i mobilis $it in a laxa manu, & etiam per humo- rem ip$um redeuntem ad locum $uũ: adeò quòd $i e$$et & immobi- lis patera, humor $altem reflueret propria inundatione ad locum $uum centri grauitatis, licet in patera e$$et immobilis locus grauita- tis uelocius & maiore cum impetu, adeò ut tran$eat uer$us e, cũ fu erit motus primus ex e in f, et re$titutio ex fin e: $eu in immobili pon dere mobilis continenti, ut in lecto pen$ili: $eu in immobili conti- nente, $cilicet po$tquàm ad locum $uum re$titutum fuerit per uim retenta patera à manu iuxta $itum priorem in a, mobili autem con- tento, id e$t, humore, multo autem magis contento, & continente mobilibus. Vt $i patera & humor ip$e $imul moueãtur, nam & pate ra tran$gredietur locum $uum, & humor duplici motu $uperau- Propo$. 3 o<*> ctus tran$gredietur motum naturalem. Cum enim a d e$t remotum a g, & e$t in f, mouetur maiore impetu, quam $it pro ratione pon- deris, ut demon$tratum e$t, igitur tran$ibit ad e, cum ergo redeat ad g motu naturali, nece$$e e$t ut motus uiolentus $it ualidior ea parte naturalis, qua d re$i$tit, dum e$t in g, ne dimoueatur à g, $i igi- tur tractum ad c, $uperauit uim qua manet in g, in eo quod moue- tur ad f, igitur in reditu mouebitur tantum ultra g uer$us e, quan- tum e$t acqui$itum ex ui tran$itus ultra g uer$us f, quanto ergo ma- ior e$t arcus e d, tanto maior e$t d f, & quanto maior e$t arcus d f, tanto maior d h.

Ex quo patet, quod quanto magis remouetur d à g, tanto maio- Cor^{m}. <*> re impetu fertur uer$us extremum aliud & ultra medium.

LEMMA SECVNDVM.

Omne pondus appen$um e$t graue comparatione medij graui- tatis, ad hoc ut ab eo remoueatur, quantum e$t pro ratione anguli ex quo appen$um e$t.

Sit d appen$um in a & in b, & $it angulus c b d, triplus angu- Co_{m}. lo c a d, dico quod tripla e$t uis quæ transfert d in c ex b, ei quæ transfert ex a, quoniam enim mixtus e$t in b & a, igitur a d æqua- Per 16. pri mi Elem. lia $patia æquales uires exigentur: igitur uirium proportio ut angulorum, at quanto maior e$t a d in proportione ab b d tanto maior e$t proportio anguli c b d ad angulũ c a d, igitur quanto ma- ior

240

ior e$t a d tanto facilius remouet &ecedil;quali $pa Per <*>lt. $ex- <*> Elem. tio d uer$us e. Et licet remoueantur ab ip$o d, $emper eadem proportio manebit, ma- Per 11. quin <*> Elem. nente eadem longitudine b d & a d, nam Per 16. eiu$ <*>. proportio d f ad d c, e$t uelut f b d ad c b d, & ut d f ad d e, ita f a d ad c a d, quare fb d ad c b d, uelut f a d ad c a d, quare fb d ad f a d, ut c b d ad c a d, quod fuit pro- po$itum.

LEMMA TERTIVM.

Grauitatem ponderis appen$i aut fluidi in comparatione ad remotionem à centro grauitatis inuenire.

Co^{m}.

Nam cum d trahetur per planum ut $u$pen$um, & non tractum Per 16. hu- <*>. a d, erit dimidium ponderis appen$i, igitur ex lemmate $ecundo, pa tebit proportio laboris in remouendo d à loco proprio in quan- cun<01> partem & di$tantiam, & in quouis loco $it appen$um.

Ex hoc $equitur, quod poterit annulus tam altè appendi, utiuxta Cor^{m}. 2. proportionem angulí & leuitatem propriam cum filo tenui$simo, & ut fuerit latus, & po$itus è regione oris, ut ex $ermone circum- agatur quaqua uer$us, & percutiat labra ua$is aqua pleni fermè, ut uideatur plane re$pon$a dare.

LEMMA QVARTVM.

Quanto magis remotum fuerit pondus ex eodem centro à recta linea, tanto maiore impetu agetur, ut ultra locum medium feratur non æquali, $ed producta proportione.

Sit a b, & ut dictum e$t, non e$t ei pondus, ni$i quatenus remoue- Co^{m}. tur a recta, & in c $ummam habeat grauitatem, & d $it medium b c, dico ergo quod multo maiore impetu feretur ex cin b quam ex d, nam cum c $it $umma grauitas, erit $al- tem dupla grauitati d, $ed d grauitas e$t penè infinita, ut demon$tratum e$t in comparatione ad b, ut iuxta $itum remotionis à linea b, cum ergo proportio $in- Lemmate 2. gularum partium c d ad $ingulas d b medietate b c di$tantes $it ma- ior dupla augendo, erit proportio c d ad d b, uelut pro- po$ita h k dupla g f, & h e dupla e f, e k h ad e g f quadru- pla, igitur & eo maior quo acqui$itus e$t impetus ex de- mon$tratis, quare proportio motus & impetus ex c in Per 30. hu ius. b, e$t multo maior impetu ex d in b quadrupla pro- portione.

Ex his

241

Ex his omnibus concluditur propo$itum in prima figura, & e$t Co^{m}. quod $i b c inclinetur uer$us e, mouebitur a d, certo impetu uer$us e. Et quia $i prius b c inclinatum fuerit in f, redit a d, dum b c reuer- titur ad proprium $itum ultra lineam a d g u$que ad h per primum lemma. Et cum b c inclinatur ad b f peruenit, quantum b c inclina- ta ad f, $cilicet ad e, igitur ex motibus b c in f & in e tanto plus mo- uetur d ultra e, quantum e$t productum d e in d h, ‘ideo multo plus quam $i $olum motum fui$$et d ex recta a g, etiam quod non moue- retur b c. Multo plus ergo moto etiam b c, ut diximus.

Propo$itio ducente$imanona.

Si $uperficies rectangula in duas partes æquales diui$a intelli- gatur, quæ amb&ecedil; quadratæ $int, item<03> in duas inæquales, erit pa- rallelipedum ex latere mediæ partis in totum $uperficiem maius ag gregato parallelipedorum ex par- tibus inæqualibus, in latera alte- rius partis mutuo in eo, quod fit ex differentia lateris minoris par- tis a mediæ latere in differentiam maioris partis $uperficiei à media $uperficie bis, & ex differentia am- borum laterum inæqualium iun- ctorum ad ambo latera æqualia iuncta in minorem partem $uperficiei.

Proponatur a g diui$a in duo quadrata æqualia a h, h b, & late- Co^{m}. ra erunt a c, c b, & in duo inæqualia a d d g, quarum latera $int b c, a f, dico quod parallelipeda a c in c g, & c b in c k, & $unt æqualia pa rallelipedo ex a c in a g, excedunt 1 a f in a hf c in a h bis2 a f in h df e in d k3 a f in d k4 f c in d k5 c e in d k1 a f in a h4 f c in d k2 a f in d h5 c e in d k3 a f in d k
parallelipeda ex a f in d g, & b c in d k, in duplo f c in d h, cum eo quod fit ex f e in d k $emel. Quia ergo parallelipedum ex a e in a g e$t æquale parallelipedis a f & f c in a h, h d, h k, quare parallelipe- dis a f in a h, h d, d k, & f c in d k, & c e in d k, & f e in d k, & f e in d h bis. Ad parallelipedum a fin d g, e$t æquale parallelipedis a fin a h, h d. Et parallelipedum b e in d k, parall elipedis a f, f e, c e in d k. Detractis $imilibus relinquetur f c in d l, l e, e h bis, quod e$t f c in d h bis, cum eo quod fit ex e f in d k $i- mul, quod e$t propo$itum.

X SCHO-

242

SCHOLIVM.

Dico etiam, quòd duæ lineæ b e & af $unt minores duabus a c, c b $imul iunctis, nam quia d b, e b, c b, $unt in eadem proportione, & d b e$t maior e b, erit maior differentia d b ad e b, quam e b ad Per conuer- $am qua$i 8. quinti Elem. c b, igitur maior d e quam e c, quare e c e$t minor medietate d c, & ideo multo minor medietate a c. Et $imiliter, quia a c e$t maior af, & a c, a f, a d $unt in continua proportione, maior erit c f quam fd, & ideò con$tat quamuis longum e$$et, $i quis uellet demon- $trare perfectè, quod b e & a fiunctæ $unt minores tota a b $eu du- plo a c.

Exemplum, $int h b & h a 25, & a e, c b 5, producta mutua 250, $itqúe g d 49, & erit b e 7, $it autem d k 1, & erit a f 1, quia ergo a f e$t 1, a e 5, erit f c 4, & quia e b e$t 7, & b c 5, erit e c 2, quare etiam ef2, productum ergo ex e b in d k e$t 7, & ex a f in d g 49, totum ag- gregatum 56, differentia a 250, e$t 194, qui $it ex duplo fc, quod e$t 8 in d h, quæ e$t 24, & fit 192, & exfe, quæ e$t 2, in d k, quæ e$t 1, & fit: quod additum ad 192 facit 194. Similiter capio 450, cuius di- midium e$t 225, c g & c k 225, & c a & c b 15 $ingulæ. Et ponatur d g 441, eritqúe e b 21, & d k 9, & erit a f 3, igitur cum b e $it 21, & b c 15, erit c e 6, a f uerò e$t 3, igitur f e e$t 6. Producta mu- tua æqualia 6750, inæqualia 1521, differentia 5238, quia er- go f c e$t 12, duplum eius e$t 24, ductum in d h, quæ e$t 216, nam d k ex $uppo$ito e$t 9, fiet ergo 5184, cui $i addam, quod fit ex f e, quæ e$t 6, in d k, quæ e$t 9, fitqúe 54, erit totum 5238, quod erat propo$itum.

Cor^{m}.

Ex hac demon$tratione liquet, quod $i linea in duas partes æ- quales diuidatur, & duas inæquales, quòd parallelipeda æqua- lium $ectionum pariter accepta excedent parallelipeda inæqua- lium $ectionum, $imul iuncta in eo quod fit ex tota linea in quadra- tum differentiæ partium æqualium ab inæ qualibus.

Propo$itio ducente$imadecima.

Si duæ lineæ ad æquales angulos ab eodem puncto peripheriæ circulirefle ctantur, nece$$e e$t angulos cum dimetiente factos æ- quales e$$e. Vnde manife$tum e$t protractam diametrum angu- lum $uppo$itum per æqualia diuidere.

Co^{m}.

Re$iliat radius d b c ad æquales angulos, ut fert natura rerum dum

243

dum à plano re$ilit (licet refragante Plutarcho) ita ut anguli c b e, & d b f $int æquales, dico angulos ibidem d b a, & c b a æquales e$$e: & quod $i trahatur latus a b u$<01> ad g, quod anguli d b g & c b g etiam erunt &ecedil;quales. Primum patet, quia an- guli a b e & a b c & a b f æquales $unt, $unt enim re$i- dui ad angulos contactus eiu$dem circuli & rectæ, igi tur additis æqualibus ex $uppo$ito c b e, d b f erunt Per 16. ter tij Elem. per communem animi $ententiam a b c & a b d æqua- les. Secundum, cum $int a b c & a b d æquales, & duo anguli a b c, c b g æquales duobus rectis: item<03> a b d, d b g duobus rectis æquales: Et omnes recti inuicem æquales ex Per 13. pri- mi Elem. petitione Euclidis erunt per communem animi $ententiam, æqua- les re$idui quo<01> c b g & d b g.

Ex hoc patet, eam quæ re$ilit lineam $emper ultra lineam à cen- Cor^{m}. 1. tro ad punctum, ex quo re$ilit ductam ferri.

Con$tat quia linea ex centro diuidit angulum per æqualia, ergo Co^{m}. cadit media inter illa quæ incidit, & quæ re$ilit.

Ex hac etiam patet, quòd con$tituto angulo in cen- Corm. 2. tro a b c, & ducta linea a d à puncto a, $ciemus quo re$i- $ilit in linea b c: ducta enim c d, faciemus angulum c d e Per 23. pri mi Elem. æqualem a b c, & erit angulus a d g æqualis angulo e d h, igitur d e re$ilit ex a b a d linea.

Propo$itio ducente$imaun decima.

Si duæ lineæ ex duobus punctis peripheriam contingentes in eandem partem protrahantur, $emper magis di$tabunt inuicem ea ex parte, & nunquam concurrent.

Duæ $emidiametri a b, a c ex terminis earum Co^{m}. duæ contingentes b f, c e, dico quod quanto magis protrahentur in partem e f, tantò magis di$tabunt, nunquàm concurrent: Nam angu- lus a c g rectus e$t: angulus uerò c a d, $i $it re- Per 29. pri- mi Elem. ctus e g, nun<08> concurret cum a d, æquidi$ta- bit enim ei: $in aut $it maior recto aut ex altera Per 13. pri- mi Elem. parte erit minor, & ita concurret, ergo in alte- Per 6. & 4. $exti Elem. ram partem ductæ nunquàm concurrent, $ed perpetuo magis di- $tabunt. Si ergo minorrecto $it angulus c a b, igitur e c ex eadem Per 5. petit. Euclid. parte concurret cum a d: concurrat ergo in g: & quia e g cadit ex- Per 6. ter- tij Elem. tra circulum, igitur diuidet b f, quæ tangit circulum. Sit ergo ut di- X 2 uidat

244

uidat in h, igitur h e & h f cùm angulum con$tituant, quanto magis protrahentur eo magis di$tabunt, nec unquam concurrent.

Propo$itio ducente$imaduodecima.

Si ab eodem puncto ad circuli peripheriam, lineæ quotuis du- cantur, tres inuenire lineas, quæ nõ in alium punctum reflectentur.

Co^{m}.

Quouis con$tituto puncto ueluti a extra circu lum b c d, dico po$$e trahi tres lineas ad ip$am cir- culi peripheriam, uelut a b, a c, a d, quæ ad alium punctum non reflectentur. Ducantur ergo a e ad Per 17. ter- tij Elem. centrum, & a b & a d ad contingentes illius peri- pheriam, quas con$tat non reflecti $ed progredi, Per 61. ter tij Elem. a c autem reflectitur in $eip$am per demon$trata Prop. 210. $uperius, igitur con$tat propo$itum.

Corm. 1.

Ex hoc patet, quod omnia puncta $ub linea contingente po$$unt reflecti ad ip$um per arcum interceptum à contingente, & ea quæ ad centrum.

Co^{m}.

Id e$t, quod omnia puncta infra lineam a b f ductam quantum- libet po$$unt reflecti per arcum b c ad punctum a æqualibus an- gulis. Quoniam ex a per c b reflectuntur ad quælibet puncta infra a b f, eo quòd termini $unt punctum a, per ea quæ $unt hic demon- $trata, & a b f, ip$a ergo $i extrema in extremis, media in medijs con- tinentur per regulam illam Dialecticam: igitur omnia puncta $ub a b f etiam in infinitum producta continentur in reflexione à pun- cto a per arcum b c.

Cor^{m}. 2.

Et rur$us, $i à circulo ad circulum extremæ ducantur, nec illæ re- flectentur, $ed tran$ibunt: mediæ autem omnes reflecti poterunt à quouis puncto.

Quia $i a b $it Sol, c d Luna, Sole minor extremum in utro<01> lumina- ri a c, b d quæ contingant utrunque circulum, quod facile fiat, ductis a c & b d ex punctis non oppo$itis, æ- quidi$tarent enim, $ed iuxta quan- titatem dimetientis minoris. Erit er- go ut h e non reflectantur, aliæ o- mnes mediæ reflectentur per demon$trata à quolibet puncto, ergo idem de totis circulis & punctis.

SCHOLIVM.

Propo$itis duobus circulis lineam ambos cõtingentem ducere.

Propo$itorum

245

Propo$itorum circulorum a & b centra iungam recta a b, $uper Co_{m}. quam ut $emidiametrum de$cribo circulum b c, & ex puncto a ad Per 11. primi Element. perpendiculum a d, ex quo ab$cindo æqualem $emidiametro b e li- Per 3. pri- mi Elem. neam d f, ex f duco a d perpendi- culum f g, ex g in a duco a g, & æ- qualem angulo g a d, b a h ab$cin do h k &ecedil;qual&etilde; d f $eu b e, duco aũt Per 23. pri- mi Elem. b e, ut $it æquidi$tãs h k, duco h e, Per 31. pri mi Elem. quã dico contangere utrun<01> cir- culũ b k: <04>duco b k, & quia duæ lineæ b a & a k $unt &ecedil;quales duo- bus lineis a g & a f, duæ enim prodeunt ab eodem centro, reli- quæ $unt re$idua æqualium d f & h k, & angulus b a k æqualis Per 4. primi Elem. g a f, ex $uppo$ito erit angulus g f a æqualis angulo b k a, g f a au- tem rectus fuit, quia g f ad perpendiculum erecta fuit, itaque b k a rectus e$t, & ideo b k h rectus, quare cũ b e & k h $int æquales, & æ- Per 13. pri- mi Elem. quidi$tantes, erit angulus e oppo$itus b h k rectus, igitur duo angu li e b k & e h k duobus rectis æquales, quare cum $int æquales inui Per 33. pri- mi Elem. cem, quia oppo$iti in parallelogrammo uterque eorum rectus erit. Per 32. pri mi Elem. Recti ergo $unt anguli e & h, & lineæ b e & a h ex centris circulo- rum, & angulos Illos con$tituit lineæ e h, igitur e h contangit u- Per 16. ter- tij Elem. trunque circulum.

Propo$itio ducente$imatertiadecima.

Propo$ito circulo at<01> in eius peripheria puncto $ignato lineas contingentes ultra citra<01>, & etiam ab ip$omet deducere.

Sit circulus b c d, & in eius peripheria c Com. punctum de$criptum, & $umatur b d por- tio minor quadrante, in qua punctum c, & ducantur a b, a c, & ducantur b e, c f, d g, ad Per 11. pri- mi El<*>m. perpendiculum, & con$tat propo$itum, & quod nunquam ex eadem parte conuenient Per 221. ex eadem parte ex demon$tratis $uprà.

Propo$itio ducente$ima quartadecima.

Si extra circulum duo puncta &ecedil;qualiter à centro di$tantia $ignen tur, erit punctum reflexionis æqualis, in medio arcus intercepti in- ter lineas, quæ à centro ducuntur ad illa puncta. Si uerò unum cen tro proximius fuerit altero punctum æqualitatis in peripheria, tan to longius uer$us breuiorem lineam, quanto punctum aliud à cen- tro magis di$teterit.

X 3 Sint

246

Co_{m}.

Sint puncta b c, æqualiter di$tantia à cen Per 21. ter- tij Elem. tro a circuli d e, & reflectantur c f, b f, dico f Per 4. primi Elem. e$$e in medio arcus d e: producta enim f a, erunt anguli d a f & e a f æquales: $upponi- tur enim primũ f e$$e in medio: igitur cum a b & a c $int æquales, & a f communis, erit a f c æqualis a f b, igitur reflectentur æqua- liter: ergo $i &ecedil;qualiter reflectentur, ex f re- flectentur, ut ex $ecunda parte: quare ex medio.

Per 210. Propo$.

Sumatur rur$us punctum g, remotius ab a quam b, dico quòd reflexio erit in arcu f e. Nam non in e, quoniam fic g e d e$$et æqualis b e k, cui rur$us e$t æ- qualis b e d, ergo g e d æqualis b e d, pars toti. Sed ne<01> ultra e, nam multo magis pars æqualis e$$et toti aut maior etiam. Sed ne<01> ex f, nam eadem ratione pars e$$et maior toto. Neque in toto arcu f d: nam $it punctum l, & ducantur al, g f, igitur g l a maior g f a, g f a au tem maior e f a, igitur g l a maior c f a, &ecedil;qualis ex $uppo$ito b f a, b f a Per 21. pri mi Elem. rur$us maior b l a: multo igitur maior g l a quam b l a, non ergo re- flexio æqualis e$$e pote$t. Cum ergo reflexio fiat, & non ex arcu d f, Per 1 Cor_{m}. præcedentis. nec puncto f, nec e, nec ultra e, nec extra d, erit nece$$arium, ut fiat ex puncto in arcu e f.

Cor^{m}. 1.

Ex hoc patet, quod linea a puncto ducta, quo longius fertur, eo etiam longius re$ilit.

Co^{m}.

Cum enim a c b maior $it a d b, & angulus e c b Per 21. tertij Elem. æqualis a c b & f d b æqualis a d b, erunt duo an- guli a c b & e c b, maiores a d b & f d b, quare reliquus f d a maior a c e, igitur'd f re$ilit latius quam c e.

Cor^{m}. 2.

Ex hoc patet, quod tales lineæ quæ re$iliunt nunquam concurrent.

Co^{m}.

Scilicet c e & d f nam con$tat ducta c d, angulos e c d f & d e, ma- Per conuer- $am 5. petit. E uclid. iores e$$e duobus rectis, ergo non concurrentin partem e f.

Propo$itio ducente$imaquintadecima.

Punctum reflexionis punctorum inæqualiter di$tantium à cen- tro, æqualiter di$tat à lineis ductis à centro ad puncta, æqualiter di $tantia alterutrin<01>.

Co^{m}.

Sint g h a & b h a æquales, & ab$cindatur h f æqualis h b, & pro- ducatur h b u$que a d c, ut $it h c æqualis h g, & producantur f a & c a, quæ

247

c a, quæ $ecent peripheriam in d & e, dico quod punctum h e$t medium inter e & l, item inter d & Per 210. k. Nam cum h f & h b $int æquales ex $uppo$ito, Per 4. pri- mi Elem. & anguli b h a & g h a æquales, & linea h a com- Per 26. ter- tij Elem. munis, erit angulus b a h æqualis f a h, igitur ar- cus h l æqualis arcui h e. Similiter angulus g h a e$t æqualis e h a & c h æqualis h g ex$uppo$ito, & a h communis, igitur ut $uprà angulus c a h æqua- lis g a h, igitur per eandem arcus h k æqualis arcui h d, quare h punctum in medio d & k, & in medio etiam e & l, quod e$t probandum.

Propo$itio ducente$ima$extadecima.

Si fuerint circuli duo inæquales, & extra utrun<01> punctum a d il- lud ex minore reflexè per magnam partem minoris à maiore perue nire poterunt.

Sint duo circuli, maior a b, mi- Co^{m}. nor c d, & punctũ g, extra utrun- que, dico quod a d g ex c d pote- rũt reflexè produci a b in c d, quia enim ex a b quibu$uis punctis po$$unt duci lineæ reflexè ex c d, & ideo cum puncta in a b uarient reflexionem ex c d, aliter pars e$- $et æqualis toti, patet intentum.

Ex hoc patet, quod oculus in Cor_{m}. 1. quauis parte terræ con$titutus, in qua Lunam uidere po$sit, poterit eam uidere per radios reflexos à Sole.

Ex hoc rur$us patet, quod eod&etilde; modo oculus poterit uidere $u- Cor_{m}. 2. perficiei Lun&ecedil; illuminat&ecedil; part&etilde; p radios reflexos à Solis corpore.

Hoc patet, quoniam $i circuli Solis $inguli, qui illuminant Lunã Co^{m}. o$tendunt per primum corrolarium huius part&etilde; circuli Lunæ per radios Solis reflexos ab ip$a Luna, putà $ecundum portionem cir- culi e f, igitur cum liceat in Sole accipere magnam partem $uperfi- ciei eius, quæ Lunam illuminat, in qua continentur infinitæ por- tiones circulorum, & hæ $ingulæ mittunt radios reflexos ex Luna ad punctum g, igitur g uidebit portionem $uperficiei Lunæ $ecun- dum longitudinem e f per radios Solares à Luna reflexos: quod e$t propo$itum.

X 4 Propo$itio

248

Propo$itio ducente$imadecima$eptima.

Oculus uidet partem $uperficiei Lunæ illuminatam à Sole per radios reflexos à Solis corpore: nec tamen pote$t uidere imaginem ip$ius in Luna tanquam in $peculo.

Co^{m}.

Quoniam per illos, ut demõ$tratum e$t, pote$t uidere, & illi $unt In præceden ti. robu$tiores, ergo per illos uidet, omnis enim operatio tribuitur di- gniori cau$æ & potentiori. Item, quoniam uidemus Lunam in no- cte immittere radios per fene$tram uelut Sol: irradiare autem non e$t ni$i habentis tantum lumen ex $e, ut hoc po$sit facere, aut ut $par gantur, aut ut reflectantur: ex $e tantum non habet ut adparet hora deliquij: ne<01> $pargit, $ic enim non impediret Solem hora deliquij, Solis ergo reflectis. Ergo uidemus per radios reflexos. Non tam&etilde; per eam uidemus Solem, ut in $peculo obiecto, quoniam Luna pri mũ lucet proprio lumine, & rubro $icut pruna, quod autem debet fungi uice $peculi, oportet ut careat colore, & $it uelut aqua, & ut $it purum. Deinde, quia Sol e$t maior Luna, ideò uidetur ut paries in $peculo, uidetur enim non res reflexa, $ed quod ip$um $peculum $it paries, & ita Sol uidetur, ut totum quoddam, & non pote$t obid cogno$ci. Et etiam magnitudo luminis per quam oculus non po- te$t di$tinguere Lunam ab imagine Solis: nam ea his quæ per$pe- culum uidentur, oportet duo cogno$cere, $peculum, & rem quæ ui detur, $ed magnitudo luminis prohibet $peculum uideri, ergo non poterit uideri aliud tanquam in $peculo, $ed $olum $peculum cum lumine tanquam res una. Et ita de Luna. Acce dit magnitudo di- $tantiæ: nam in $uperflua di$tantia non cogno$citur $uperficies $pe- culi, $ed $olum rei obiectæ imago, & illa habetur pro $uperficie $pe- culi, ergo oculus non di$tinguit inter $peculum, & rem ui$am, ideò non uidet tan quam è $peculo. Ex quo $equitur, quod Luna iudica- bitur longiùs abe$$e quàm ab$it, quia quod uidemus ex ea e$t So- lis imago, quæ longius multo abe$t à nobis ip$a Lunæ $uperficie. Cum ergo $int quatuor cau$æ, quarum unaquæ<01> impedire po$$et, quominus Sol non uideatur in Luna tanquàm in $peculo, quanto magis cùm omnes ad$int in Luna, & $imul concurrant.

Propo$itio ducente$imadecimao ctaua.

Rationem maculæ Lunæ indagare.

Co^{m}.

Supponamus primum quæ $unt manife$ta, inde addamus quæ $unt ueri$imilia ualde, po$t ueri$imiliora ex dubijs, ubi ratio utrin<01> pugnare uidetur, demum dicemus de quæ$ito. Manife$tum e$t igi- tur, quod Luna di$tat à nobis circiter <20> X MP. dimetiens igitur or bis Lunæ e$t circiter CCC<18><18> MP. igitur ambitus <21>MP. igitur in hora circuit

249

circuit circiter XLII MP. Ergo in ictu in$en$ili penè, id e$t, tempore ictus pul$us infantis laborantibus acuti$sima febre II MP. quoniam quinque tales ictus continentur penè in ictu uno uiri temperatæ naturæ, & <23> ictus pul$us fermè uiri temperati complent $patium horæ. Igitur Luna mouetur rapidi$simo motu & $imili motui ful- guris. Ex quo patet quod e$t corpus expers grauitatis & perfe- ctum, quare nec mi$tum, nec uitiatum.

E$t etiam rotunda, tamet$i enim ob di$tantiam maximam po$- $et uideri rotunda, etiam quod non e$$et, ueri$imile tamen e$t, cum umbram talem efficiat in deliquio Solis, & cum exit è tenebris ter- ræ, tum quia perfecta e$t quod $it rotũda, aut prope rotunditatem, $ed quod e$t perfectum & diuinum (quia $eruat æqualitatem, hoc enim demon$tratum e$t, quod æquale $olum reperitur in diuinis quod ad motum attinet) exactè tale e$t, igitur Luna e$t exactè ro- tunda in circuitu $ecundum $uperficiem orbis. Ergo etiam unde- qua<01> & $ecundum profunditatem: nam in commutatione nõ po$- $et latere inæqualitas. Et etiam non e$t ueri$imile ullo modo, quod corpus perfectum & diuinum $it informe. E$$et autem nece$$ario eiu$modi, $i e$$et exactè rotunda $ecundum longitudinem & latitu- dinem, & $ecundum profunditatem alterius figuræ. Veri$imilius e$t ergo, Lunam e$$e ut ignem qu&etilde;dam den$um per $elucidum, $ed inæqualiter lumino$um, non $olum ob $ub$tantiæ den$itatem, $ed copiam luminis & puritatem, quæ impuritas non illi accidit, quia mi$ta, $ed quoniam e$t inæqualium partium partium rararum ac den- $arum & mediarum. Ne<01> $olum collu$tratur à lumine ex his quæ diximus, tum etiam quia collu$trata non lucent procul, ut neque montes, qui plurimum ab$unt, quamuis non tale procul ut Luna, imò nec nix qu&ecedil; illis in$idet, $ed nix e$t multo cãdidior per $e quàm Luna, quam con$tat lumine Solis de$titutam e$$e rubrã, ergo Luna relucet radijs Solaribus eli$is uelut à $peculo. Et $i quis in orbe Lu- næ e$$et media die $erena, non uideret terram lumino$am, quæ mul to maior e$t Luna, & paulo plus à Sole di$tat, & quando <01> illi pro- pior e$t quàm Luna. Macula autem Lunæ e$t qualis depingitur cum ore, oculis & na$o, $ed quod magis $pectatur e$t os ip$um: adeò ut Plutarchus non de macula Lunæ, $ed de ore Lu- næ in$crip$erit. Non uerti autem Lunam, ex hoc probat Tex. 49. Philo$ophus $ecundo de Cœlo. Igi&ttilde; ab Oriente in Occi- dent&etilde; uerti $ub, & $uprà nece$$e e$t. Scilicet ut oculi infrà os $upra appareat. Videtur autem magis in plenilunio ob differentiã luminis, & tota quoniam pars uer$us nos etiam tota illu$tratur. Et ex illo loco apparet, quod Auerroes ne$ciuit Geo- metriam,

250

metriam, ficut $emper fuit mos Philo$ophorum cõtentio$orum, ut nil $ciant, $ed $olum garrire. audierat hoc ab aliquo malo Geome- tra, & repo$uitin $uos libros: nam nos, ut $uprà uidi$ti, demon$tra- uimus oppo$itum. Quod uerò $it macula illa ex umbra terræ, ue- rum non e$t, quoniam una e$$et & non diui$a, & occuparet totam il lius faciem: nec e$t uerum quod mutaret $itum, quia $uperficies ter- ræ e$t nonupla $uperficiei Lunæ. Sicut terræ $uperficies e$t minor trige$ima parte $uperficiei Solis. Nec $pargitur lumen Solis in Lu- na, nam $ic e$$et ambitus ut uia lactea: cum autem Luna delin- quit in Oriente, e$t glauca & purpurea, cum in cœli medio rubra, cum in Occidente nigra uidetur, nam ab utra<01> parte tenebris ope- ritur: ex Oriente ab umbra terræ, ab Occidente ab ob$curitate loci. In medijs locis medijs coloribus, quos A$trologi terraticis tribu- unt: hoc autem quandiu tota delituerit, quod tempus horam uix implere pot e$t. Ergo partes peruiæ non remittunt lumen, ideò ob- $curæ apparent, quod in uitreis $peculis à quorum partibus plum- bum excidit: nam nigræ illæ apparent, reliquæ $plendidæ, obid $y- dera aliquando per illam relucent, & aliquando non. Et Solaris eclyp$is tempore, non lux tota Solis perit: at<01> ideo ut uidemus, & uariant colores eo tempore, non tam&etilde; collu$trat $plendidè Sol ob 2. Apoteles Ptolem. cra$sitiem Lunaris corporis hæc inferiora, tum etiam ob diuer$ita- tem partium, & ad $itum. Nam $i Sol $it ad $itum a b, tran$ibunt mul ti radij, $i c d pauci$simi aut nulli, $ed ut ubi tenuior e$t Luna in ambitu, & Solis radij den$iores tran$eunt, & $ydera pellucent contrarijs cau$is minus, ut iuxta medium nequaquàm. At Lunæ maculam radij effi- ciunt, etiam $i tota $ubtus opaca e$$et, cum peruia uel tantillum fuerit in $uperficie, ut uenis opus non $it. Etiuxta hoc macula illa, ut liquet, ad perfectio- nem corporis Lunæ pertinet magis quam pars $plendida, quam- uis prima cogitatione oppo$itum uideatur. E$t enim duplex perfe- ctionis genus in cœle$tibus corporibus, & ob den$itatem cum re- mittit, & ob per$picuitatem cum à Sole, ut uniuer$ali quo dam prin ci pio illuminatur.

Propo$itio ducente$imadecimanona.

Ratio nem eorum quæ apparent circa Solem $peculo in aqua po $ito declarare.

Co^{m}.

Sit peluis a b aqua plena: $peculum in ea c d e f quadratum, aut perfecte, aut oblongum $u bmer$um in ea: Sol primum $olus in g o culus

251

oculus ex aduer$o in h, ita ut ad æquales angulos po$sit uide- re Sol&etilde; in k, dico &qring;d depre$$o oculo in m, uidebit alium Solem maiorem uer$us mar ginem aduer$um in l, & longè $plendidio- rem: quia enim radij reflectũtur ex k, ut ro bu$ti & à medio den $iore ad rarius, qui non inflecten&ttilde;, erunt pauci, & ideò Sol in k minor apparebit, et languidior: maior au tem pars deflectetur à perp&etilde;diculari ad m, igitur Sol apparebit ma- ior & ualidior longè $plendentibus radijs, adeò ut uix ferri po$sit. Sed quoniam angulus ex $uppo$ito m l $ maior e$t h k e, igitur cum oculus iudicet $e uidere a d æquales angulos, uidebitur g depre$- $ior & propior labro in t, $icut n m e$t infra h, ita t infra g, quare etiã ut angulus m l $ $it æqualis angulo t l f, nece$$e e$t ut l $it ultra k: ali- ter t uideretur qua$i tangere aquam. In hora autem deliquij Solis, uelut hodie v. Idus Aprilis hora $exta diei, cũ diligenti$simi $tatue- rint medium eclip$is in quinta, & $uppo$ita fuerit ob$curatio à Io- anne Stadio partium nouem cum be$$e, & tempus horæ unius & m: 26, fuit tamen maior & longior: quoniam luminaria fuerũt pro- piora una parte caudæ Draconis, quam ip$e po$uerit in tabulis, & hoc quia $upponit &ecedil;quinoctium tardius diebus duobus quã apud Alphon$um: & for$an $ufficiebat una dies, $cilicet ut e$$et die deci- ma Martij horis decemocto à meridie: nam tunc omnia re$pon- dent ob$eruationi: in qua apparuerunt quatuor Lunæ: & quidem ab initio fuerunt duæ orientaliores è regione, $cilicet o p, & una o c cidentalior n, & tantum di$tabat n a k quantum o: Et clarum erat quòd p erat, $icut $ecunda iris parua & non candida, $ed rubra pur- pureo mi$ta, quoniam ex reflexu o oriebatur: apparebat autem a la tere illo, quoniam Luna dextram partem obtegebat, ideo illa erat minus lumino$a, & uerus Sol erat in k, modò Lunæ, modò Solis imaginem referens ubi tran$i$$et eclip$is medium, non amplius tres illæ Lunæ apparuerunt à dextra & à $ini$tra, $ed una ultra nos in q

252

in q, & duæ uer$us nos in r & n & quæ erat in F, erat $imiliter parua & purpurea rubra<03>, & mutato $peculo uariebatur $i- tus q & r u, id e$t, ut modo e$- $ent qua$i in medio laterum e & f, quando que tran$uer$æ. Et hoc contigit ob mutation&etilde; lo- ci k propter $peculi uariation&etilde;.

Cau$a e$t, quoniam Luna cũ permeet Solem non è regione recta lineæ oppo$itæ no$tro ui $ui, & $olum mom&etilde;to, & in lon gis temporũ interuallis po$sit obtegere illum. Sit ergo ut Sol obtegatur à Luna medijs par- tibus, & $int radij extremi in $peculo: a c & a d, igitur erunt tanquam duo Soles, $ed uter<01> illorum geminatur, ideò fiunt tres: medius enim ob Lunæ per$picuitatem integer, appa- ret, ideò modò $ub forma So- lis, modò Lunæ laterones am- bo $ub forma Lunæ: ideò erũt tres, quib. ad dita Luna p, quæ e$t reflexa a $ecunda, fient qua- tuor. At dices cur non fit refle- xus $ecundum directum oculi, ut Lunæ appareant ultra citra- que Solem? Dico quod Luna diuidente orbem reflexus fit ad latera, quia radij tran$uer$im ferun- tur: cum autem non diuiditur fit pror$um & retror$um. Sed cur di- ces Lunari forma? quoniam partes Solis quæ uigent, eiu$mo di for- ma apparent, Iconem uides à latere.

Propo$itio ducente$imauige$ima.

Cau$am cur Sol æ$tiuis diebus exoriens umbram ad meridiem, cum in meridie ad boream mittat, explorare.

Co^{m}.

Dico quod ubicunque terrarum in no$tro hemi$pherio, Sol ubi fuerit in Oriente $eu Occidente uidebitur, cum $ub circulo æquino ctij fuerit èregione, nobis etiã $i homo $ub arctico circulo habitet, & ita

253

& ita re$picienti ad polum umbra erit à dextra in $ini$tram, dum o- ritur & à $ini$tra in dextram dum occidit. Et quod dum erit in me- ridie umbra uerget ad Septentrionem. Tertiò dico, quòd in his qui habitant uer$us Septentrionem à tropico cancri umbra in Me- ridie, quo cun<01> tempore anni borealis erit. Quarto, quòd ij$dem toto dimidio anni ab æquinoctio uerno ad autumnale, umbræ o- riente & occidente Sole $unt meridianæ tran$uer$æ: & muri re$pi- cientes boream illuminantur. Sit finitor a b c d in regione boreali, cuius uertex e & f polus, eleuatio poli $upra finitorem a f, æquino- ctij circulus b q d, cui parallelus borealior Solis uia per cancri ini- tium, g h l m n, circulus magnus per uerticem, & inter$ectiones æ- quinoctij, & finitoris b h e m d, Meridiei $emicirculus $uperior a f e l q c. Cum ergo uertex regionis $it in e, & circulus magnus b h d tran$iens per uerticem, tran$eat per centrum terræ ex diffinitione circuli magni, & linea à uertice grauium habitantium $ub uertice e, tendat ad centrum terræ ex de- mon$tratis ab Ari$totele, & $up po$itis ab A$trologis, &qring;d gra- uia omnia tendunt ad centrum terræ, erit quodlibet graue$eu murus $eu homo, $eu per ulti- mam petition&etilde;, $eu per demon- Fropo$. 1 $trata in undecimo ab Euclide murus, & homo quiuis inco- laregionis in $uperficie circuli uerticalis b e d. Igitur dum Sol e$t in b uel d, umbræ erũt à dex tro in $ini$trum, uel contrario modo, & ita Sol uidebitur e$$e è regione nobis: & murus faciet um bram oriental&etilde; uel occidentalem. Et hoc e$t primum. Et quoniam cum Sol erit in Meridie, tum erit in q, igitur erit umbra ad Septen- trionem, cum e $it loco gnomonis & murus. Et hoc e$t $ecun dum. Tertium etiam patet, quia Sol nun quam tran$ibit punctũ l in Me- ridie uer$us boream, $ed regio $upponitur borealior l, igitur tempo re meridiei umbra $emper hic borealis erit. Et quoniam b h e m d $ecat parallelos, qui $unt in Septentrione ut puta tropicum in h & m, igitur oriente Sole, & occidente rur$us per totum arcum g h & m n, uidebitur borealior quàm in b uel d parte arcus magni in- tercepti inter arcum magnum tran$euntem per uerticem & locum Solis, ubi $ecat finitorem & puncta b, & d: & ita erunt umbræ Me- ridionales toto hoc tempore, & hoc e$t quartum.

Y Ex quo

254

Cor^{m}. 1.

Ex quo $equitur, quod in hoc toto tempore ueris & æ$tatis, cùm Sol in Meridie uideatur e$$e po$t tergum, & in Meridie, & dum ori tur à parte Septentrionis. Ergo ab ortu Solis ad Meridiem uidebi- tur ferri motu diurno, linea obliqua à Sept&etilde;trione in Meridiem: & à Meridie ad Occa$um, alia obliqua linea à Meridie in Septentrio- nem: ut in figura, ut $i Sol $it in a in Oriente, b in Meridie, cin Occi- dente, & uertex nobis in e.

Cor^{m}. 2.

Sequitur etiam, quòd $i tempore æ$tatis po$$emus in media nocte uidere Solem, in cœli medio uideretur, tantundem uer$us bo ream declinare, quantum in Meridie ad Me ridi&etilde;. Et hoc quia circulus æquinoctij b q d, tanto borealior e$t in parte inferiore circulo per uerticem, quanto in $uperiori e$t au$tra- lior: quoniam circuli magni $e $ecant per æ- qualia. Et $i hoc e$t uerum de Sole $ub æqui- noctij circulo, quãto magis erit uerum de Sole $ub tropico æ$tiuo?

Cor^{m}. 3.

Ex præcedenti patet, &qring;d Sol in media nocte borealior uideretur $ub æquinoctij circulo tanto, quãto uidetur au$tralior $eip$o, dum e$t $ub tropico cancri, quia circuli $e $ecant ad angulos oppo$itos æquales: igitur $i uerticis circulus maiorem facit angulum $uperio- rem cum æquinoctij quam tro Per funilem 15. Propo$. pri- mi Elem. pici borealis circulo, igitur & inferiorem: homo autem & ui- $us iudicat au$trale & boreale iuxta in clinationem circuli du cti per locũ Solis ad circulum ductum per locum uerticis.

Propo$itio CCXXL

Magnitudo Lunæ & cæte- rorum a$trorũ digno$citur ex proportione aliorum ad eam iuxta di$tantiam: ip$ius uerò iuxta rationem pupill&ecedil; ad Lu- nam di$tantiæ ratione.

Co^{m}.

Sit pupilla a b, quæ in circu- lo l m, po$ita in eodem centro, comprehendat portionem no tam l m, ideo clau$o oculo alte- ro eandem portionem uidebit totius cœli, ut liquet ex demon $tratis

255

$tratis in Elementis Euclidis, igitur nota l m nota erit pupillæ, & ideo g h quanta $it portio cœli, quia k e$t etiam qua$i centrum cœ- li Lunæ, $it ergo Luna c d, erit<03> tanta portio g h notæ, quanta e f pars pupillæ, per quam uidetur ip$ius a b: e f autem $imiliter e$t no- ta in n o, igitur & c d in comparatione ad totum cir culum. Quia ue- ro g h e$t nota, & in Sole con$picitur arcus notus æqualis, ergo erit nota diuer$itas a$pectu ob di$tantiam no$tram à terræ centro, qua- re altitudo Lunæ nota, & eius magnitudo, eius enim ad $emidiame trum oculi, ut c d ad ef. Hoc autem e$t cra$$a Minerua additum, ut quis intelligat difficiliora e$$e quæ cra$$a uidentur, quàm quæ ela- borata. huiu$modi autem diuina, de quibus mox dicendum erit.

SECVNDA PARS DESVPER

Principia.

DIFFINITIO PRIMA.

Proportio imperfecta $eu pote$tate e$t duarum quantitatũ, quæ $ic $e habent, ut nullæ duæ aliæ in eodem genere inueniri queant.

DIFFINITIO SECVNDA.

Proportio media e$t comparatio rei non habentis quantitatem, quæ tamen mutari po$sit ad rem, quæ quantitatem habeat.

DIFFINITIO TERTIA.

Proportio $ublimis $eu ordo dicitur duarum $ub$tantiarum, qu&ecedil; quantitatem non habeant, comparatio.

PETITIO PRIMA.

Infinitum quod imaginem habet quãtitatis, quantitatem autem non habet, ne<01> e$t quantitas.

PETITIO SECVNDA.

Repugnans e$t $uper quod nulla e$t potentia.

PETITIO TERTIA.

Non po$$e $uper ea quæ repugnãt, nullam declarat imperfectio- nem, ne<01> infinitum non e$$e negat.

PETITIO QVARTA.

Infinitum infinito maius e$$e non pote$t.

Propo$itio ducente$imauige$ima$ecunda.

Quantitates quæ æquales e$$e nõ po$$unt in eodem genere, ma- ius tamen & minus recipiunt, $unt in proportione pote$tatis.

Sint propo$iti duo anguli, gratia exempli, a rectilineus, b uerò in Com. circumfer&etilde;tia circuli, qui pote$t e$$e maior, & minor rectilineo pro- po$ito, & nunquàm pote$t e$$e æqualis, ut declaratum e$t $uprà, di- co proportionem b ad a e$$e pote$tate, nam ut ui$um e$t, pote$t e$$e maior & minor, & e$t maius & minus uerè, & ideò $unt in eodem genere, & uterque e$t continua quantitas, igitur in tran$itu nece$$e e$t, ut $int æquales aliquando $ed non actu, hoc enim repugnat, igi- tur pote$tate.

Y 2 Propo$itio

256

Propo$itio ducente$imauige$imatertia.

Quantitates quæ actu æquales e$$e non po$$unt, in nulla pro- portione actu e$$e po$$unt.

Co^{m}.

Sint duæ quantitates quæ æquales e$$e non po$sint, ut in priore exemplo a & b, dico quod non po$$unt e$$e in aliqua proportione in actu, aliter $int in proportione c, & ducatur cin b, fiat d, erunt er- go d & a æquales, quod e$t contra $uppo$itum, nam $upponitur quod nulla quantitas ex genere b $it æqualis a, $ed d e$t ex genere Per 9. quin- ti Elem. b & æquale a, & ideo $uppo$itum non manet, igitur a & b non $unt in aliqua proportione in actu.

Propo$itio ducente$imauige$imaquarta.

Ne<01> temporis totius ut imaginamur ip$um e$$e infinitum, ne<01> æui uitarum proportio ulla e$t ad tempus quod pote$tate e$t, ut po tè diem uel men$em.

Com.

Tempus ip$um ut infinitũ e$t, aut in actu e$t, aut refert quippiam in actu, pars autem temporis $olùm e$t pote$tate, quia nullum tem- pus in actu e$t, ne<01> annus, ne<01> men$is, ne<01> dies, ne<01> hora aut mo- mentum, $ed $i totum tempus non e$$et actu, nihil e$$et actu, ne<01> to tum ne<01> partes. Igitur totũ tempus, uel aliquid loco eius e$t actu, partes autem pote$tate, $ed ut ui$um proportio infiniti nulla e$t, & ad rem quæ actu non e$t, igitur tempus nullam habet proportio- nem ad annos, ne<01> men$es uel dies. Quare qui dicunt, quod mille anni $unt unus dies, in philo$ophia errant, $ecus apud Apo$tolum, ubi de diuinitate agitur. Ergo anni $unt longũ tempus, & dies bre- ue, quia dicuntur in comparatione inter $e, & non $ecundum pro- portionem ad infinitum. Quia $it infinitum a, & d uæ quantitates b maior, & c minor, uel ergo proportio a ad b c, e$t una uel diuer$a, $i Per 9. quin- ti Elem. una, ergo b c erunt æquales, $i maior e$t ad c quam ad b, ergo infi- nitum e$t maius infinito, ergo non e$t infinitum, quod e$t con- 4. Petit. tra petita.

Propo$itio ducente$imauige$imaquinta.

Proportio media non e$t ex ratione agentis $ed patientis.

Proponatur a quantitas, qu&ecedil; debeat mutari ab uir- Com. tute quæ non fit in materia, & palam e$t quod non po terit permutari in in$tanti, quia $imul e$$et, & non e$$et ergo repugnaret, ne<01> etiam pote$t non e$$e, ut demon$tratum e$t in Hyperchen, quia repugnant nece$$ario & e$$entiæ Dei, ne<01> mo- uetur à certa proportione, quia b caret omni quantitate, ergo ni- Per 3. Petit. hil o$tendit uim ip$ius b e$$e finitam, quod ergo moueatur tardè ce leriter

257

leriter paruum magnum, i$tud contingit totum ex conditionibus a, id e$t, materiæ & quantitatis: uelut, gratia exempli, $i a e$$et in ua- $culo palmi, non po$$et implere iugerum, & hoc nõ o$tendit ullam imperfectionem in b. Et $icut homines omnes $unt in carcere huius mundi, & tamen uidentur e$$e $ibiliberi, & appellant $olũ illos e$$e in carcere qui $unt in erga$tulo, ita omnis materia, & omnis quan- titas habet conditiones, per quas (ut ita dicã) con$tringitur, & repu gnat eas mutari, & ideò uitã agunt $ine ulla proportione. Quod ue rò dictum e$t, $upra dictum fuit, per exemplum dictum e$t, nõ quia ita $it, finge ergo quod in aliquo pariete, non $it albitudo, ni$i unius gradus, illa non operabitur ni$i per unum gradũ, etiam $i calx e$$et infinitè alba, & $imiliter de luce Solis, ergo omnes mentes mouent $ine proportione, & non po$$unt dici finitæ uel infinitæ, quia ip$æ $unt expertes omnis quantitatis, imò omnis relationis ad quantita tem, & hoc e$t quod latuit multos, & maximè propter dictum Phi- lo$ophi, e$t ergo omnis operatio iuxta id quod e$t in materia, & non quod una mens maiores habeat uires, alia cum non $it in eis, ne<01> maius ne<01> minus.

Propo$itio ducente$imauige$ima$exta.

Proportio $ublimis non con$i$tit in magnitudine, $ed ordine iuxta quem differentia e$t eius quod e$t ante & po$t.

Non enim pote$t e$$e comparatio iuxta magnitudines motas, Co^{m}. quoniam uel $unt corpora cœle$tia, uel elementaria, elem&etilde;taria e$$e non po$$unt, quia illa cum $int corruptioni obnoxia, id e$t, tran$mu tationi, $ecundum qualitatem nõ po$$unt e$$e $ubiecta in corporca- rum $ub$tantiarum, ne<01> à primis $ub$tantijs moueri, ne<01> etiam ex- cipere primò lumen $uum, $ed mouentur per uim influxam à cœle- $tibus corporibus, ne<01> etiam per motum corporum cœle$tiũ, nam illa non mouentur $ecundum proportionem mentis ad corpus, $ed iuxta rationem finis, à qua circum$cribuntur, & ideo quod Satur- nus moueatur uelo ciore motu, quàm Iuppiter ab Oriente in Occi- dentem, hoc non e$t, quia uitæ quæ mouet Saturnum fit robu$tior uita qu&ecedil; mouet Iouem, cum $int una & eadem: uel $i dicas quod $int diuer$æ uita Saturni, non tamen e$t ualidior in comparatione ad $uum cœlum, uita Iouis non moueret celerius Saturnum ab Occi- dente in Orientem, quàm uita Iouis Iouem, quod e$t fal$um, $ed ta- lis motus uelo citas e$t ratione finis, quia oportet ut pariter mouea- tur eo motu, & quia cœlum Saturni e$t maius, ideo celerius moue- tur quam Iouis, & hoc ratione corporis mobilis, & nõ ratione pro- portionis ad corpus. Dico etiam, quod non habent poteftatem aliam, per quam $ubeant proportionem, nam qu&ecedil;ritur cuius com- Y 3 paratione

258

paratione illa proportio oriatur, nam non ad corpora, quia neque ad cœle$tia, ne<01> mortalia, ut dictum e$t, ni$i fin gamus alia corpora, quod e$t ab$urdum, ne<01> etiam ratione incorporeorum, nam non po$$unt de$truere $e inuicem, quia inferior non pote$t tollere $upe- riorem, ne<01> multo minus pote$t uelle. Hoc e$t enim nefas cogita- re, neque $uperior inferiorem, quam producit quam amat: & ideo dico, quod $unt in proportione $ublimium, id e$t, ordine perfectio- nis, qui con$i$tit in propinquitate ad primam cau$am. exemplum, Sol e$t longe perfectior $ua luce, quæ e$t ei propria, quia Sol e$t $ub$tantia, & lux e$t proprium, & lux Solis e$t multo perfectior lu- mine, cum $it (ut dixi) lux proprium & in Sole, tanquam in $ubie- cto, lumen autem extra & accidens. Nec tamen dicendum e$t, quod Sol $it potentior luce, aut lux lumine, idem dico de anima & facul- tatibus eius, & functionibus, inter quas nulla cadit proportio per- fectionis, tamen differentia con$picua e$t, & ideo poterit impediri functio, & non facultas, et facultas tolli remanente anima. For$an di ces, quod i$t&ecedil; non $unt $ub$tantiæ, & ideò oporteret, ut omnia in- corporea Deo $olo excepto e$$ent accidentia, dico quod in incor- poreis non e$t $icut in anima, quæ e$t iuncta corpori, ne<01> ut in So- le quod e$t corpus, $ed tanta e$t perfectio producti incorporei, quod ip$um e$t $ub$tantia. Et ratio e$t quia $ub$tantia differt ab ac- cidente uel ratione corporis, ut aqua à frigiditate, & hoc non e$t in incorporeis, ut manife$tum e$t, uel quia unum $it $ubiectum alte- rius, & ideò $ub$tantia, ut e$t principium comparationis, & in $e ip$a dicitur $ub$tantia, & ut comparatur ad extra & ad operatio- nem $uam, cuius e$t principium dicitur facultas: uelut uita cœle- $tis $ub$tantia e$t, ut uerò cœlum pulchritudine illius delectatum mouetur ad ob$equium, dicitur facultas in illa uita, & non e$t ni$i $ub$tantia, tamen ip$ius uitæ adeo ut $ola ratione differant. Tertia differentia e$t, quia $ub$tantia non e$t in $ubiecto, $ed facultas e$t in $ubiecto, uerùm in incorporeis, ut dixi, non differunt ni$i $ola ra- tione, uelut pater & homo, nam pater nece$$ariò e$t homo, & e$t $ub$tantia, ut ad aliud comparatur. Quarta differentia e$t ratione propriæ naturæ quæ non dependet, nam $ub$tantia non pendet $icut accidens & facultas, uerùm ubi genita fuit non amplius pen- det: re$pondeo, quod in incorporeis producitur, & non repugnet productio $ub$tantiæ, quia $i non repugnat generatio hominis, quod $it $ub $tantia, multo minus etiam incorporeorum. Relinqui- tur ut obijcias, quoniam $ub$tantiæ incorporeæ $emper fiunt, er- go nunquam $unt ueræ $ub$tantiæ: ad hoc re$pon dendum e$t per interemptionem, nam de uera re$pon$ione non e$t hic locus, quod cadem

259

cadem ratione qua producuntur uitæ, producuntur etiam cœli, at cœlum nihilominus e$t uerè $ub$tantia, & magis i$tis mortalibus, ergo uel talis productio non e$t perpetua, uel, ut uerius dicam, e$t $impliciter productio circum$cripta ab omni tempore præ$enti, præterito & futuro. Quare erit magis uera productio quam $ub- $tantiæ mortalis, ideo contingit hic error ex di$similitudine eo- rum quæ maximè $imilia e$$e uidentur, nam cùm accidentia pro- ducantur in tribus temporibus, & incorporea in nullo, $ub$tantia autem mortales $olum in uno tempore, ideò productio incorpo- reorum uidetur e$$e $imilis productioni accidentium, cum tamen productio $ub$tantiæ mortalis $it uerè media inter illas, nam $ub- $tantia mortalis producitur in uno tempore, accidens in omni $ub$tantia immortalis in nullo, nece$$e e$t autem extrema magis differre inter $e quàm à media, igitur $ub$tantiæ in corporeæ ordi- ne & perfectione differunt, non tamen proportionem habent. Et $i quis dicát, quod ultima $ub$tantia e$$et &ecedil;què potens, ut Deus: re- $pondeo quod non e$t uerum, quia uel loqueris de perfectione, & ita demon$tratum e$t, quod Deus e$t ip$a perfectio, ultima $ub- $tantia e$t imperfecti$sima: uel loqueris de magnitudine, & ita non $unt æquales prima & ultima $ub$tantia, quia non po$$unt com- parari, $icut lumen non pote$t comparari lumini, quod $it dul- cius uel amarius, grauius uel leuius, maius enim & minus, & æ- quales $unt differenti&ecedil; quantitatum, uitæ autem non habent quan- titatem operationis, quia, ut dixi, e$t ab$oluti$sima ratione finis, ne- que potentiam ad aliquid, quia $unt in æterno actu, & hoc $ecun- dum philo$ophos, & iuxta rationem numinis naturalis, nam $e- cus religio & fides tenent, quia $upponunt mundum e$$e creatum, & $ic potentia differentiæ ab actu, quia Deus nunc creauit, & antea non creauerat, & tamen poterat creare.

Ex hoc patet, quod nulla $ub$tantia incorporea e$t finita nec infi Cor^{m}. nita, nec exten$a nec contracta, quia omnia i$ta pertinent ad quan- titatem, quarum ill&ecedil; omnino $unt expertes.

Propo$itio ducente$imauige$ima$eptima.

Vitæ iuxta numerum perfectionum in comparatione ad cogita- tionem no$tram proportionem quandam habent.

Velut Deus e$t per $e primo ab$olutum, & cau$a omnium bo- Com. norum, & e$$e, $apientia uerò quæ generatur à primo bono, non e$t cau$a omnium bonorum, quia $ic produceret primum bonum, & produceretur e$t tamen per $e primo & ab$olutum bonum, Y 4 amor

260

amor autem e$t cau$a omnium bonorum po$teriorum, & ab$olu- tum, & per $e $ed non primò, & ita de uita quæ regit mundum, ip$a non e$t ab$oluta, ne<01> per $e primò, $ed $olum cau$a omnium bono- rum, e$t tamen ab$oluta in ordine bonorũ, quæ retinuit, & hoc mo- do dicimus e$$e plures per$onas in diuinis plures mentes, & $ub- $tantias incorporeas.

Propo$itio ducente$imauige$imaoctaua.

Proportionem $cientiæ futurorum & cæterorum occultorum con$iderare.

Septem licet $int modi futura & occulta prægno$cendi, qu&ecedil;dam Co^{m}. tamen $unt communia omnibus, quædam multis: uaria quoque e$t ratio horum, alia enim e$t proportio $ciendi, at<01> hæc duplex, uel ex ratione intelligendi quæ ortum habet ex comparatione animæ ad magnitudinem & difficultatem eorum, quæ cogno$cũtur, qu&ecedil;dam ad modum quo iudicãtur. Alia rur$us e$t ratio proportionis modi ad animam ip$am, ut qui$que propior fuerit ip$i aut remotior, alia demum e$t differentiæ $ignorũ aut cau$arum, ergo ut à propinqui- tate initium ducam, $eptem uidentur e$$e ordines, qui etiam ad per- fectionem dijudicandi pertinent. Primus e$t eorum quæ agimus quibus prudentia dominatur, atque hic admodum certus e$t, ut in negotijs publicis priuatis <03> uidemus, e$t aut&etilde; duplex, ciuilis & mili taris. Secundus e$t naturalium, e$t autem maximè euidens in tribus medicina, agricultura & nauigatione. Tertius e$t eorum quæ $unt $ecundum naturam, $ed non per cau$as, uelut a$trologia & phy$io- gnomia. Eius aũt tres $unt partes phy$iognomia, metopo$copia & chiromantia, nam<01> a$trologia et$i per cau$as $it, magis tamen per $igna o$tendere uidetur, nam quod Iuppiter in a$cendente bonos præbeat mores, cur magis hoc in loco uel illo, magna e$t quæ$tio. Quartus e$t con$en$us omnium nobi$cum at<01> fatale uin culum, in quo genere ponuntur fulgrum ca$us, exta, & augurium & hygro- mantia. In quinto modo ponuntur ea quæ cum anima no$tra con- $en$um habent, eiu$mo di $unt uitæ aut genij aut eroes. Sextus uerò e$t ex origine, uelut $unt Prophetæ & uates Sybillæ<03>, quorum uis alia in $eip$is, ut prophetarum, alia uaporis ut Delphici oraculi, alia aqu&ecedil; uelut in Colophonio oraculo. Vltimum e$t præ$tanti$simum idem<03> remoti$simũ, quod à Deo per preces cõ$equimur. In omni- bus ergo his iuuat præ$tantia modi non au$picium, & exta paruam habent $ignificationem, quæ uero à Deo maximam, alia enim e$t proportio agentis, ut Dei alia modi agendi, uelut quæ per cau$as fit melior quàm quæ per $igna, alia impre$sionis lucis aut efficacis, alia coniunctionis naturæ nobi$cum. Quod uerò ad nos attinet, aliud

261

aliud e$t ex peritia artis, aliud ex iudicio acri, aliud ex diligentia. Differentia autem cogno$cendi $unt multorum aut paucorum ex- actæ, uel non exactæ, $ecuræ aut dubiæ, at<01> horum omnium cau$a e$t magnitudo proportionis, aut in origine ad $ignificandũ, aut in anima ad intellig&etilde;dum. At<01> originis, ut dixi, multiplex e$t ratio, $ci licet modi uel cau$æ uel efficaciæ, cùm uerò hæc omnia in unum conuenerint, certi$sima & exacti$sima fiet diuinatio, cum pauca & minus ualida, ut pote di$cur$us & iudicium dubia, debilis & pauc o rum. Quæ uerò nugantur Porphyrius & Iamblicus de his, omni- no fabulis $imilia $unt, uidetur<03> Iamblicus Porphyrio indixi$$e bellum, $ed cum ignauo ho$te, ip$e longe deterior.

Propo$itio ducente$imauige$imanona.

Incorporea omnia unum $unt, ne<01> numerus e$t eorum.

Videbitur ab initio paradoxum, $ed ubi & modum & demon- Co^{m}. $trationem ip$am deprehenderis, intelliges ita e$$e iuxta luminis na turalis rationem, tum uerò maximè, cum id adiecero non prohibe- re me, quin ut partes in homine numerentur. Sed aliud e$t partes in homine dinumerare, quæ numero ip$o non di$tinguuntur, $ed $i plures homines $eor$um de earum numero interroges $inguli di- uer$a, nec exiguõ interuallo differentia re$pondebunt, $ed unus de- cem puta, alius centum, alius innumerabiles pronunciabit. Quin etiam qui$<01> qua ratione uelis illas di$tinguere interrogabit, at non $ic de numero gregis pauidum, aut de pecunijs, in quibus nemo ab altero di$$entiet, ni$i cum in numerando errorem admi$erit. Igitur dico non e$$e numerum in incorporeis, nam finitus erit uel infini- tus: $i infinitus, numerus non erit, quoniam primum nullus Deus erit nulla prima $ub$tantia: nam quomodo Deus erit aut Domi- nus infinitorum, aut primus ubi non e$t ultimum? Sed ne<01> nume- rus aliquis certus earum e$$e pote$t, cum primum non magis hic quàm ille: ne<01> enim definiuntur ullo termino, $eu centum, $eu mil- le aut millies mille: nec cum $ubij ciantur quantitati continuæ pote- runt $ubijci numero, uel alteri cuipiam accidenti. Sed omnia $unt unum, ita tamen quod perfectius e$t at<01> imperfectius diffu$um ab ip$o infinito, cuius in extremo cohærent mentes no$træ & animæ, & cœlum, quæ communicatæ inferioribus atque corporibus illa agunt, mutant & $eruant. Ip$um quàm ultimum e$$e, e$t in mundo, quod e$t corpus, & eius pars præ cipua cœlum deinde reliqua. Omnia<03> mouentur & transferuntur immobili primo principio, quod cum illis coniunctũ e$t: nam reliqua incorporea ab ip$o pro- $luunt. E$t & ratio Ari$totelis in tertio decimo Theologicorum $er Sup. 5. monum, Deus non e$t unus numeri ratione, $ed ita ut non $it plura, igitur

262

igitur in mundo toto incorporeo non e$t numerus. Si enim Deus e$$et unus numero, non po$$et e$$e ens commune, & uniuer$im am- plectens cuncta, & accidens contineret, quæ omnia $unt fal$a, ab$ur da, nefaria & impia, licet tamen (ut dixi) menti humanæ quæ omnia reducit ad $imilitudinem $en$ilium, à quibus originem traxit $uæ operationis fingere numeros, $icut in partibus hominis, aut cœli, aut aeris iuxta $itum, aut magnitudinem. E$t etiam alius modus iuxta quem Ari$toteles numerauit mentes quæ mouent corpora cœle$tia, quod ab$urdum non e$t, uelut $i quis numeret digitos, in pul$ante chelim, erunt quatuor aut $ex, non tamen e$t numerus ille uerè plurium, cum ad unum hominem referuntur. Et cum $it mun- <*>. 7. cap. 4. dus hic imago $uperioris, ut ille dicebat, & inferior pote$tate conti- neat infinitas partes, infinitas ordinis ratione $uperior continebit. Sed non infinitas numero. Exempli gratia, proponamus quod So lis uis dirigatur ad nos u$<01> impedita per nebulas, ut nõnunquam contingit: erit ergo perfectio una, $ed ordinata omnium radiorum: adeò quod $i infinita ua$a applicarentur aqua plena infinitæ ratio- nes iridis apparerent, quæ omnes continerentur pote$tate in radijs illis ratione comparationis ad ua$a & irides, per $e autem, ut $unt perfectiones e$$ent in actu.

Propo$itio ducente$imatrige$ima.

Proportio incorporeorum a$cendentium $emper maior e$t.

Co^{m}.

Cum proportio illa $it qua$i $imilis decori, & ideo mu$icæ geo- Prop. 171. metrica maior e$t in maioribus ac magnitudinibus, ut $uprà docui- mus. Sed non e$t ne<01> geometrica, ne<01> arithmetica, nec mu$ica, nec per recen$um, e$$ent enim quantitates quæ compararen&ttilde;: unaqu&ecedil;<03> enim harum inter quantitates con$tituta: at illa e$t ut producentis ad productum. Et non comparantur quoad æternitatem, quia ut aliâs declaraui, omnis $ub$tantia e$t æterna: quanto magis incor- porea. Quia ergo primum per præced&etilde;tem habet rationem totius, & e$t infinitum, $ecundũ ea parte qua recedit, quia primum non e$t, plus di$tat a primo quam à tertio, igitur de$cendendo u$que ad pri- ma elementa. Sed obijcies de qualitatibus & accidentibus: dico quod habent mediũ e$$e, licet tempore infinito uin cantur à $ub$tan tijs, ill&ecedil; tamen etiam uin cuntur & ab$<01> participatione perfectionis illius cum accid&etilde;tia participent e$$entia & tempore, & $i quis dicat, cur ergo Sol & lupiter nõ $unt locati in $upremis orbibus, cum $int nobiliores & maiores & potentiores cæteris erraticis: dieo quòd fuit ob mundum inferiorem, quoniam $i fui$$ent altiores mundus inferior frigore corrumperetur, quando quidem uel $ic frigore pre- mantur, in hyeme etiam $ub torrida plaga, & $ub polis ac iuxta eos $emper.

263

$emper. Et orbes $uperiores nõ indigebant lumine Solis, quod ap- paret in nocte $erena, cum etiam adeò à nobis di$tent. Vnde $i cani- cula e$$et in cœlo Lunæ, plus luminis afferret centuplo quàm Lu- na, cùm di$tantia $it quingentupla di$tantiæ Lunæ à terra. Et $i Sol e$$et factus adeo maior, ut in orbe Saturni con$i$tens calefaceret ter ram æqualiter, ut non exureretur in æ$tate, hyeme nece$$e e$$et, ut ni mium gela$ceret. Sin autem æquale e$$et frigus in hyeme, exurere- tur terra per æ$tatem, quando quidem nec $ic illam pati po$sint, qui in torrida plaga habitant. Et $i Sol e$$et ubi e$t Luna, & eo minor non illuminarentur orbes $uperiores. Ideo no bilitas non e$t in or- bibus ob altitudinem, $ed ob $ub$tantiam incorpoream quæ illi do minatur. Et e$t in loco congruenti toti corpus, uita autem non e$t in loco.

LEMMA.

Et proponantur a & b in proportione dupla alti- tudinum & magnitudinum, & cõparentur ad d, erit ergo angulus a d c maior b d c, quare $i $unt æquales uires in a b, refrigerabitur magis d ab a quam b, & ita patet utra<01> pars dicti in fine propo$itionis.

Propo$itio ducente$imatrige$imaprima.

Tres e$$e mundos, atque inter ip$os nullam e$$e proportionem: nec numero eos definiri.

Cum palam $it e$$e corporeum mundum ut elementa, & incor- Co^{m}. poreum ut Dei, & medium e$$e nece$$e e$t uitarum & hominum ac cœle$tium, quòd primum $en$u patet, ut cœli, hominum & anima- lium, at<01> plantarum, & ratione etiam, quoniam extrema contraria nõ propriè medio copulantur, ut incorporeum ac corporeum. Di- co igitur nullam e$$e inter hos proportionem at<01> numerum face- re: nam de numero con$tat, quoniam non $unt tres, quia $int in ordi ne numerorum, $ed ut principium, medium, finis, & perfectum, per- fectius, perfecti$simum: $cilicet po$itiuum, comparatiuum & $uper- latiuum. Et quoniam $unt extrema cum medio, ideò $unt in propor tione $ublimi etiam & non propria. Quod $i e$$ent maximè mun- di uitalis ad corpora, $ed corpora nõ mouentur ni$i iuxta finem ui- tæ, & non uim: ip$a enim $i po$$et habere uoluntatem infinitam mo ueret in in$tanti: quia corpora non reluctantur animabus $uis, $ed quantus e$t actus in animabus & uitis, tanta e$t pot&etilde;tia ad unguem in corporibus, ergo non contingit proportio in mundo uitarum uera ni$i illa $ublimis. Ne<01> enim finita e$t quæ nullis circum$cribi- tur terminis, ne<01> infinita quo finitam pr&ecedil;$upponit, $ed neque inter mundum & incorporeum & uitarum cùm mentes non moueant, uitæ

264

uitæ moueant: & quod mouet nece$$ariò mouet, & quod non po- te$t mouere, quoniam omnia æterna $unt: & in &ecedil;ternis idem e$t e$$e ac po$$e: igitur inter mundum incorporeum & uitarum nulla e$t proportio uera, $ed $olum $ublimis, nec numerus: ni$i ut à nobis fin gitur. Velut $i dicamus in tabula, & in negocio e$t principium me- dium finis, & hæc po$$unt dici tria quatenus di$tinguuntur: $ed nõ ob hoc dicendum e$t tabulam, aut negocium habere tres partes, multo minus e$$e tria negocia aut tres tabulas.

Propo$itio ducente$imatrige$ima$ecunda.

Omnis motus naturalis, quanto uelocior e$t, tanto propior e$t, & magis $imillimus quieti.

Hæc propo$itio primo intuitu uidetur e$$e fal$a, quoniam cùm Co^{m}. motus $it contrarius quieti, & efficiat actiones quieti contrarias, quantò uelo cior erit tanto remotior à natura quietis & magis di$si milis, propterea intelligere oportet primum, in quo $en$u uerba $int accipienda, nam hæc propo$itio, & authoritate, & $en$u & du- plici ratione euidenti manife$ta e$t. Oportet igitur primũ $cire quo ad locum attinet tria e$$e di$crimina: quietem in eodem: tran$itum ad alium per medium: & tran$itum ad alium $ine medio. Duorum primorũ exempla noti$sima $unt, tertij e$t hoc, $i urceus aqua ple- nus exponatur Soli, & efficiatur iridis imago in tab ula: inde $ubla- ta tabula eadem iris appareat in muro, erit tran$itus $ine media, quia quod $it eadem dubium non e$t, ijdem radij & idem corpus $pecu- lare, quod uerò tran$eat $ine medio, primũ $en$us docet, $ecundum ratio, quia fit in in$tanti, ut Secundo de Anima. Rur$us Sol illu$tret Tex. 121. urceum aqua plenum: appareat ex hoc iris in muro, interponatur aliquid, & transferatur urceus, apparebit iris alia loco, & non tran- $iuit per medium, uidetur idem de intellectu, & ui imaginandi, qui- bus ex Germania tran$eo in Indiam $ubitò: & eodem modo ex ani- ma $alicis, in hac planta fit tran$itus in proximam ne<01> per medium, quod etiam uidemus in igne & ellychnio proximo, & id $æpe acci- dit tum præ$ertim cum nuper extinctum fuerit.

Iam ergo id $upponamus, quod etiam ad rem parum facit, $ed ad intelligentiam $atis, uideamus <03>, quare $it quod motus opponatur quieti, & manife$tũ e$t, quod differentia loci e$t cau$a, nam in quiete res manet in eodem loco, in motu tran$it ad alium locum, & quan- tò medium e$t maius, tantò motus e$t manife$tior, unde $equitur, quod in his quæ ualde lentè mouentur, illa uidentur quie$cere, & po$t aliquot tempus deprehendimus mota fui$$e, nunquàm tamen moueri, $icut in Sole, Luna, $tellis, unde illa opinio Philo$ophorũ exi$timantium omnia $emper moueri, nõ omnino pote$t tam bene reprobari,

265

reprobari, quia licet $en$us nõ cogno$cat moueri, cogno$cit tamen mota e$$e, & id $ufficit: multa ergo cogno$cuntur mota e$$e quæ nõ cogno$cuntur moueri, uelut lapis grauis $uper$tans terræ, quem ui demus po$t annum de$cendi$$e per duos digitos, & tamen $emper uidetur quie$cere. Igitur cum in pari tempore qu&ecedil; uelo citer mouen tur plus $patij $uperent, maius etiam relinquunt medium inter lo- cum, & locum, & ob id magis remota $unt à quiete, & magis illi cõ- traria: hæc igitur e$t ratio cur quæ uelo cius moueantur, minus quie ti $imilia aut proxima exi$timentur. Dico ergo, quod illa quæ natu- raliter uelo ci$simè mouentur, $unt magis $imilia & magis proxima ip$is quie$centibus quàm quæ tardè: cum enim omnis motus natu ralis nece$$ariò etiã $it regularis, ut qui à uirtute Dei fiat, erit uel per lineam obliquam aut rectã. Quoniam uerò multarũ recta e$t per- fecti$sima, & obliquarum circularis, erit omnis motus naturalis cir cularis aut rectus: dico ergo quòd in utro<01> uerũ e$t quod dicitur. Et primũ in circulari ille motus e$t propinquior quieti, in quo par- tes $unt propinquiores $uo loco, $ed $i ueloci$simus $it motus, nun- quàm ita $unt extra $uum locum, qui enim in pote$tate $int proxi- mæ ei: ergo partes ill&ecedil; inde $e habent ac $i quiefcerent. Secunda ra- tio, quia quod uelo ci$simè moue&ttilde;, ab$<01> dubio tanto tempore quie $cit in $uo loco quantò quod tardè: exemplum. Luna in triginta an nis quie$cit in principio arietis quadring&etilde;teis per $ex horas, id e$t, centum diebus in quadringentis uicibus, Saturnus c&etilde;tum diebus $ed $emel tantum: ergo tantum Luna quie$cit, quantum Saturnus, cõparatione ad idem tempus addita pari ratione in alijs partibus, $ed cum uelo cius moueatur Luna quàm Saturnus minus quie$ce- re uidebitur Luna in alijs partibus quàm Saturnus, & tantundem in principio arietis Luna ut Saturnus, ergo cum Luna tantundem in principio arietis quie$cat, quantum Saturnus in triginta annis, & in alijs partibus minus quàm Saturnus, igitur ab$olutè Luna plus quie$cit in principio arietis, quàm Saturnus dato tempore æquali triginta annorũ. Et formatur demon$tratio hoc modo: Luna quan do e$t in loco ip$o, puta in principio arietis, ibidem e$t actu, & quie $cit per tantundem temporis quantũ Saturnus, & in omnibus alijs locis data paritate, e$t $emper propior ip$i principio arietis pote$ta te quam Saturnus, igitur Luna plus quie$cit in principio arietis quam Saturnus, quia dum ibidem $unt æqualiter quie$cũt, & dum $unt extra, Luna $emper e$t propior & pote$tate magis in illo loco, igitur Luna magis quie$cit in principio arietis quàm Saturnus. Pr&ecedil; terea, $i Luna & Saturnus mouerentur in æquali tempore, & Luna in paruo circulo, & Saturnus in magno, dubium non e$$et, quin Z Luna

266

Luna non diceretur magis quie$cere in $uo loco, & diutius quàm Saturnus, nam Luna $emper e$$et propelocum $uum, & Saturnus per$æpe uideretur procul. Sed $i moueantur in eodem circulo, & Luna moueatur uelo ci$simè, Saturnus tardè: perinde erit, ac $i Lu- na moueatur in paruo circulo, & Saturnus in magno, ergo quod uelo ci$simè mouetur e$t proximius quieti quàm quod tardè. Illud etiam idem manife$tius erit in extremis, nam quod minimo $patio mouetur propemodum non mouetur. Sicut, $i quid circa centrum moueatur, adeò ut ip$um tangat, non dicetur moueri, $ed quie$cere ibi, $ed quod uelo ci$sime mouetur, $emper uer$atur circa idem, quia nunquam multum abe$t, quia ibi non quie$cit, igitur quod uelo ci$- $imè mouetur motu naturali circular$ e$t proximius quieti quam quod tardè. Demum, $i aliquid moueretur in finita uelo citate motu circulari, $emper e$$et in eodem $itu $ecundum partes & immobile, igitur quod infinita uelo citate mouetur, & quie$cit. Ergo quod ue- lo ci$simè mouetur cum magis di$tet ab oppo$ito eius, quod infini- ta tarditate mouetur, quàm quod tardè, magis etiam appropinqua bit pote$tate in efficaci infinitæ uelo citati quàm quod tardè, igitur quod uelo ci$simè mouetur propius e$t quie$centi quam quod tar- dè. Demon$tratum e$t enim in Dialecticis, argumentum o$tendere ab eo quod e$t $impliciter tale ad id &qring;d natura illi quo quo modo tale e$t & cõuer$o modo. O$tendo modò quod $imillimus: quoniã illud e$t $imilius quieti in quo quod fertur non pote$t digno$ci di- $tantia à priore loco, $ed in uelo ci$simè motis hæc di$tantia non po te$t digno$ci, igitur uelo ci$simè mota uidentur planè quie$cere, quod idem patet duobus experimentis manife$tis. Primum $i quis uideat rotas quibus acuuntur gladij moueri u$<01> ad certam uelo ci- tatem, augeri uidetur motus ille, uerùm cum adeo cõcitatus fuerit, ut $en$us non po$sit di$cernere, ne<01> comprehendere illam uelo ci- tatem, & rota non fuerit mota ab axe, ita ut titubet nec fuerit ulla in- æqualitas, uidebitur omnino quie$cere, & ita oculus dijudicat, & longè magis dijudicaret, ubi ad tantam motus perueniret uelo cita tem, ut nullo modo initium à fine di$tingui po$$et, $icut e$t in motu cœli, qui comparatus ad quemuis motum uelo ci$simum artificio factum, in$en$ilem habet proportionem ob magnitudinem, & ideo talis motus cœle$tis e$t $imillimus quieti. Secundum experim&etilde;tum e$t, $i e$$ent duo homines habitantes Bononiæ, quorum unus iret Mutinam, paulatim quie$cendo in quolibet loco per unam diem, adeò ut in unoquo<01> anno maneret Mutinæ, & prope per $ex men $es, & prope Bononiam per $ex alios men$es in diuer$is locis, & una die tantum Bononiæ: alius uerò iret Mutinam $ingulo die, & per

267

per omnia loca $icut hirundo uolans quater & quater rediret Bo- noniam, nemini dubium e$t, quod hic $ecundus uideretur magis quie$cere Bononiæ quàm primus, & hoc quia in anno quilibet eo- rum quie$ceret per unam diem Bononiæ, & in hoc e$$ent æquales, $ed $ecundus uideretur frequentius Bononiæ quàm primus, & eti- am e$$et pote$tate propior illi, adeò utliceret cuilibet illum conue- nire qualibet die magis quam primum: ergo duabus de cau$is ui- deretur $ecundus magis quie$cere Bononiæ quam primus, & in ter tia æqualiter.

Modò dico de recto motu, quoniam quanto celerius fertur per medium ad $uum locum, tanto minus temporis in$umit, ergo diu- tius quie$cit in loco, minus e$t etiam tempus per quod mouetur in comparatione ad quietem & $impliciter, ergo in motu recto pro- pius e$t quieti, quod uelo ci$simè mouetur, pr&ecedil;terea inter duas quie tes motus uelo ci$simus e$t imperceptibilis. Ergo motus uelo ci$si- mus e$t $imilior quieti quàm minus uelox. Accedit manife$ti$simè illud quod ab initio diximus, $cilicet, quia motus uelo ci$simus e$t medius inter motum tardum & $ubitam mutationem, hoc enim e$t manife$ti$simum, adeò ut dubitemus in motibus uelo ci$simis, an mobile tran$ierit per medium, e$t enim primùm motus lentus, qui fit ex tran$itu in longo tempore, & uelo ci$simus in paruo, & muta- tio $ine tempore. Rur$us con$tituamus alium ordinem quietis mo- tus, & $ubitæ mutationis: & ex dictis $ubita mutatio e$t propior quieti quã motus: quo- Subit. Mut. Motus uelo ci$. Motus Tar. Quies $ubita Mut. Motus niam $i motus e$$et me- dius inter quietem & $ubitam mutationem, non e$$et, ut dictum e$t, $ubita mutatio quæ- dam quies: nam in $ubita mutatione non pertran$itur medium: in quiete non pertran$itur medium, in motu pertran$itur medium, igi tur quies e$t propior $ubitæ mutationi quàm motui. Sed $ubita mu tatio e$t propior motui uelo ci$simo quàm tardo, igitur quies e$t propior motui uelo ci$simo quam tardo.

Videtur & hoc $en$us manife$tè o$tendere, quoniam cum lapis de$cendit $umma cum uelo citate, adeò ut non percipiatur, uidetur quie$cere, & non motus e$$e, & hæc fuit $ententia multorum nobi- liorum antiquorum, & propterea oportet ut o$tendamus difficul- tates, quæ contingunt in his.

Dico igitur, quod motus naturales $unt duorum generum, ut di ctũ e$t, $cilicet rectus & circularis: & motus differt à quiete in duo- bus, in eo quod mutat locum, et in eo quod tran$it per medium mo tus, ergo rectus ueloci$simus in eo quod tran$it per medium ma- Z 2 gis

268

gis di$tat à quiete in eo quod plus de medio $uperat quàm tardus, & e$t propinquior quieti in eo quod celerius quie$cit. At motus cir cularis ueloci$simus e$t propior quieti in tran$itu medij, & in redi- tu ad locum priorem: de reditu ad locum priorem clarum e$t per $e: de tran$itu medij, dico quod cum in prima medietate magis remo- ueatur à medio quam motus tardus, & in $ecunda medietate tan- tundem, uelocius redeat. Ergo in $ecũda medietate e$t $emper pro- ximior motus uelo ci$simus ip$i quieti, $ed in prima medietate &qring;d mouetur motu ueloci$simo propius e$t $ecundæ medietati $emper quam quod mouetur tardo motu, igitur quod mouetur ueloci$si- mè circulariter e$t propius quie$centi, quam quod mouetur tardè. Et hoc e$t quia in &ecedil;ternis motus e$t quies, & ideo habent quandam $imilitudinem iuxta perfection&etilde; $uam, $icut $i e$$ent in circulo hoc modo. Mutatio ergo cõue- nit in corporeis qu&ecedil; pend&etilde;t à corpore, $icut lumini: qua- tenus enim $unt ex corpo- reo, occupãt diuer$um locũ, quatenus e$t in corporei id, agit $ine tran$itu per mediũ & in in$tanti, ergo in corpo- rea $impliciter mutationem recipiunt, non in tempore ne<01> in loco. Videtur aut&etilde; uelo ci$simũ dupliciter etiã nobis iuxta $en$um, id<03> e$t in quo $en$us medij tran$itum non percipit, & natura quod e$t pri- mi mobilis. At dubitare quis pote$t circa hoc, nam proprium mo- tus e$t tangentia concutere, quietis autem minime: concutit autem maximè quod uelo ci$simè mouetur, ob hoc arbitrati $unt homi- nes quod uelo ci$simus motus multò plus di$taret à natura quietis quam tardus, $ed hoc e$t quia non eadem e$t ratio uiolenti & natu- ralis: uiolenta enim non redeunt in $eip$a, nec habent rationem cir- cularis, $ed potius recti & infiniti, & ideò in his quæ mouentur mo tu recto naturali cadit uiolentia, non autem in his quæ mouentur motu circulari naturali: cõ cu$sio ergo e$t in motu uiolento, & qua- li$cun<01> motus uiolentus, quanto magis augetur tantò magis re- cedit à contrario, tantò magis remouetur à natura contrarij, & ha- bet actiones contrarias ualidiores.

E$t etiam aliud penè $imile argumentum in figuris ip$is, circulus enim unica linea continetur, nulla tamen figura ab ea magis natura remota

269

remota e$t triangulo: $iquidem circulus capaci$simus e$t, triangu- lus omnium rectilin earũ minimè capax: ut contrà polygoni&ecedil;, quan to plurium $unt laterum eo capaciores $unt, adeò ut octagona qua- drangula, & quæ e$t $exdecim laterum æqualium, & æquiangula- rium plus contineat octagona, & forma etiam $it $imilior circulo, adeò ut cum excreuerit in multiplicem numerum rectangula figu- ra huiu$modi, $cilicet æquilatera, & æquiangula omnino $en$um fallat, uideatur<03> pror$us circulus. Et tam&etilde; figura plurium laterum, quãto plurium laterum fuerit rem otior e$t à natura circuli, qui una tantum linea continetur: plus enim di$tat centum ab uno quàm de- cem, & mille quàm centum. Cau$a igitur e$t, quia (ut dixi) etiam in naturalibus omnis natura rerum e$t, ut qua$i clanculum redeat in $eip$am: nam circularis figura per triangulum ex rectis multum à natura $ua recedit & ambitu & $imilitudine: eadem per figuras qu&ecedil; ex pluribus rectis con$tant ad $ui $imilitudinem redit, nunquàm ta men explet eandem naturam perfectè, cùm nulla poligonya figura pro circulo exacto $it: ita uidetur in naturalibus ad id&etilde; redire, quod e$t pote$tate $olum quadam generali di$simile: actu uerò non idem ad unguem. Sed obijcies de motu quòd $i tempus fiat breuius, ma- gnitudo autem con$tet, erit (ut diximus) quod mouetur $imile quie $centi: at ubi tempus idem $it, $ed magnitudo perpetuò augeatur, non idem ut in cœlo: ueri$imile e$t enim quicquid e$t quod moue- tur ulterius quam id quod cernitur nihilominus in uiginti quatu- or horis, non autem celerius moueri: propterea cùm $patium tem- poris prolixum $it, non uidebitur quie$cere. Nec ob$tat quòd qui$- piam proportionem obijciat, $i quidem multo minus uidebuntur propiora centro quie$cere, nam<01> illa tardius ex confe$$o mouen- tur, at quod tardius mouetur, ut dictum e$t, moueri magis uidetur, ideò proportionem illam ad aliud mobile referre oporteret, cum nullum tale $it. Dicimus ergo quòd apud illas non uidetur motus tardus, quia comprehendunt motum ante tempus, nobis aut&etilde; hæc accidunt, quia comprehen dimus tempus ante motum. Et etiã quia circa polos qua$i quie$cit, & quod non pote$t aliquid comprehen- di, $imul moueri & quie$cere, ut do cebimus. Et etiam quia motus e$t ab illis, $icut in nobis cum mouemur: nõ enim ut mouemur nos moueri deprehendimus, $ed ut moti ideò in his, non quod appa- ret, $ed quod e$t $pectare oportet: at ita e$t ut quæ uelociter ualde mouentur, perinde $unt qua$i ac $i quie$cerent, adeò ut motus $i in in$tanti fieret e$$et quies, & quies in incorporeis e$t motus, non in tempore. Videntur etiam a$tra quie$cere nobis, quoniam (ut dixi) lineæ a e & b e non po$$unt uideri moueri in e, oculus autem iudi- Z 3 cat

270

cat moueri debere in e, non ex c in d, ubi e$t amplum $patium terræ comprehen$um, ergo a e quie$cere uidetur in e, igitur & in a. Quòd autem uideatur in e quie$cere, patet, quia quod mo tum uideri debet, oportet ut in in$en$ili tempore $patium $en- $ile pertran$ierit: in$en$ile au- tem tempus e$t minus motu ue loci$simo pul$us, hic autem ma ius exigit t&etilde;pus cente$ima par- te cente$imæ partis hor&ecedil;, igitur diei ducente$ima quadrage$ima mille$imæ partis, & in hoc oportet ut pertran$eat $en$ile $patium, quod e$t quinquage$ima parte ulnæ $altem maius. Ergo $i fiat in$trumentum quing&etilde;tarum ulnarum am bitus, &qring;d in uigintiquatuor horis circumuoluatur, adeò lentè mo- uebitur, ut quie$cere uideatur: tum uerò magis ob id quod dixi, quoniam in centro quie$cere uidebitur, ergo in peripheria, ubi di- $tantia deprehendi po$sit. Ergo nulla machina quæ uideatur mo- ueri, con$titui pote$t, quæ in horis XXIIII cir cumuertatur: quia non tam magna fieri pote$t, ut $patium à centro ad cir cumferentiam ocu lo non po$sit deprehendi.

Et hoc uoluimus declarare ut intelligamus, quæ $unt nece$$aria ad mundum incorporeum.

Propo$itio ducente$imatrige$imatertia.

Quod e$t in mundo incorporeo æternum, e$t beatum, $ecurum immutabile $ecundum locum $olum iuxta e$$entiam fit, iuxta quod uelut à leui $u$urro aquæ & aura æ$tiua demulcetur.

Quod e$t ibi non e$t pars nec totum, e$$et enim quantum, aut nu Co^{m}. mero di$cretum, nec mutationem loci aut temporis habet, cum in nullo eorum $it, ideò nec habere pote$t, nec amittere, non e$t ibi infi nitum, cuius nullus finis $it, $ed dum emanat à priore $ecundum or- dinem e$t $umma uoluptas, qualis in his qui ad cognitionem & feli citatem deueniũt. Qu&ecedil; in illis cum æterna $it & $ecura, recipit quan dam uariationem, in qua delectatur, uelut mortalia ex cõtrarijs cau $is naturæ contrarijs affectibus: & hoc e$t perpetuò nouum, quia $emper pendet & recipit. Et ob id e$t unum & actu $empiterno, quod uerò e$t extra, e$t potentia, ideò infinitum, quod imaginatur anima, quia in ordinatum priore ordine, qui e$t ante limit&etilde; omnem, ne<01> enim dubium e$t, quin infinitum non $it cau$a, ut non po$sit e$$e

271

e$$e ordo ille $ecundus: $ed nos loquimur de primo. Et ideò anima no$tra ob materiæ coniunctionem appetit ordinem, & lætatur in eo ut inueniat finem in rebus, uelut in multis proprietatibus nume rorum e$t manife$tum. Potentia enim e$t cau$a imaginandi infini- tum, quia $emper ultra aliquid e$$e po$$e putamus, e$t igitur poten- tia actus imperfectus. Anima ergo no$tra conuer$a e$t à Deo, res po$t $e in quibus inuenit potentia imperfectionem a)tacian pericu- lum & infinitum ad de$perationem tandem, quod quilibet uidere poterit, qui $e à diuinis auerterit: quantò enim plura habet, plura de$unt. Multiplic&etilde;tur filij, opes, honores, nil ni$i laborem & anxie- tatem aucta inuenies. Quomodo autem quod infinitum non e$t, infinitam faciat potentiam? uides in repræ$entatione Solis qu&ecedil; infi nita e$$et, $i cœlum e$$et infinitum. Dubitatione autem dignum e$- $et, an $i cœlum infinitum e$$et ubi<01> Sol illuminaret: $eu quia quæ- $itum nullum $it, ui$it de eo quod non e$t, nihil autem non e$$e po- te$t, aut quod non po$$et, quoniam uirtus corporea e$t. Corporeo autem omni finem ad e$$e nece$$e e$t. Hanc nouitatem ergo alij tri- pudium, alij mu$icam & $onum cœle$tem interpretati $unt.

Manife$tum e$t igitur $ub$tantiam incorporei mundi, e$$e in Cor^{m}. quadam mutatione perpetua ordinis, & $ine motu, tempore & lo- co: unde amor & uoluptas mutua, & totum unum, $icut anima cum cogno$cit Deum, & cum cogno$cit cœlum de$cendit, & fit alia or- dine. Et hæc beatitudo in mundo illo e$t tanta, ut in com- parabilis $it no$træ, quæ e$t umbra eius, etiam quando e$t & pura, etiam $i e$$et per- petua. Igitur hic finis no- $ter Diuin&ecedil; naturæ & libri.

LIBRI DE PROPORTIONI- BVS FINIS.