![[BACK]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/back.gif){kind=icon}
Return to torri_opere_090_la.xml
CVS log ![[TXT]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/text.gif){kind=icon}
![[DIR]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/dir.gif){kind=icon}
Up to [CVSROOT] / texts / archimedes / xmlMain History Search Repository tree
| Return to torri_opere_090_la.xml
CVS log | Up to [CVSROOT] / texts / archimedes / xml |
| File: [CVSROOT] / texts / archimedes / xml / torri_opere_090_la.xml
(download) - view tree Revision 1.1, Fri Sep 26 15:46:22 2003 UTC (9 years, 7 months ago) by bcfuchs Branch: MAIN renamed from torri_opere_01_la.xml |
<!DOCTYPE archimedes SYSTEM "../dtd/archimedes.dtd"> <archimedes> <info> <author>Torricelli, Evangelista </author> <title>Opere</title> <date>1912</date> <place>Firenze</place> <translator></translator> <lang>la</lang> <cvs_file>torri_opere_090_la.xml</cvs_file> <locator>090.xml</locator> </info> <text> <front/> <body> <chap> <pb/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>OPERE <lb/>DI <lb/>EVANGELISTA TORRICELLI<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>EDITE IN OCCASIONE DEL III CENTENARIO DELLA NASCITA<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>COL CONCORSO DEL COMUNE DI FAENZA<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>DA<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>GINO LORIA E GIUSEPPE VASSURA<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>VOLUME I: GEOMETRIA <lb/>PUBBLICATO PER CURA DI GINO LORIA<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>PARTE I. <lb/>CON IL RITRATTO DI E. TORRICELLI E 373 FIGURE<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/><emph type="italics"/>FAENZA<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>STABILIMENTO TIPO-LITOGRAFICO G. MONTANARI<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>AMMINISTRATO DALL'ORFANOTROFIO MASCHI<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>1919.<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/><emph type="italics"/>Riservati tutti i diritti accordati dalla Legge <lb/>in Italia c all'Estero.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>INDICE<emph.end type="center"/><lb/> </s></p> <pb/> <table> <row><cell>Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>Pag.</cell><cell>I—XXXVIII</cell></row> <row><cell>DE SPHAERA ET SOLIDIS SPHAERALIBUS LIBRI DUO.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> Dedica . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>1— 2</cell></row> <row><cell> Proemium . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>3— 10</cell></row> <row><cell> Liber primus . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>11— 44</cell></row> <row><cell> ” secundus . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>45— 87</cell></row> <row><cell>DE DIMENSIONE PARABOLAE.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> Dedica . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>91— 92</cell></row> <row><cell> Ad lectorem proemium . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>93— 98</cell></row> <row><cell> Suppositiones et definitiones . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>98—101</cell></row> <row><cell> Quadratura parabolae pluribus modis per duplicem</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> positionem, more antiquorum absoluta . . . .</cell><cell>”</cell><cell>102—162</cell></row> <row><cell> Appendix — De dimensione cycloidis . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>163—169</cell></row> <row><cell> Scholium — De cycloidibus aliarum specierum . .</cell><cell>”</cell><cell>170—172</cell></row> <row><cell>DE SOLIDO ACUTO HYPERBOLICUM PROBLEMA ALTERUM . .</cell><cell>”</cell><cell>173—190</cell></row> <row><cell>DE SOLIDO HYPERBOLICO ACUTO PROBLEMA SECUNDUM . .</cell><cell>”</cell><cell>191—221</cell></row> <row><cell> Appendix — De dimensione cochleae . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>223—230</cell></row> <row><cell>APPENDICE AL LEMMA XX DELLA MEMORIA “ DE DIMENSIONE</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> PARABOLAE ” . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>231—238</cell></row> <row><cell>DE TACTIONIBUS . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>239—290</cell></row> <row><cell> Nota dell'editore . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>291—292</cell></row> <row><cell>DE PROPORTIONIBUS LIBER.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> Ad amicum lectorem proemium in quo de defini-</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> tionibus geometricis . . . . . . , . . . .</cell><cell>”</cell><cell>295—305</cell></row> <row><cell> Definitiones . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>305 </cell></row> <row><cell> Suppositiones et axiomata . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>306 </cell></row> <row><cell> (Teoremi) . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>307—318</cell></row> <row><cell> Appendix . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>319—327</cell></row> <row><cell>DE PLANIS VARIA . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>329—345</cell></row> <row><cell>DE SOLIDIS VARIA . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>347—363</cell></row> <row><cell>DE CIRCULO ET ADSCRIPTIS . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>365—375</cell></row> <row><cell>DE COMPARAT. PERIMETRORUM CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE</cell><cell>”</cell><cell>377—386</cell></row> <row><cell>DE AEQUALIT. PERIMETRORUM CYLINDRI CONI AC SPHAERAE</cell><cell>”</cell><cell>387—407</cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>INTRODUZIONE.<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/><emph type="italics"/>INTRODUZIONE<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>I. — <emph type="italics"/>Ad uno svolto della storia.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quantunque non siasi ancora stabilito perfetto accordo <lb/>fra i competenti intorno all'anno in cui, nella storia civile <lb/>e politica, debbasi collocare l'inizio dell'èra moderna, pure <lb/>l'evo medio si suole da tutti gli storici chiudere nell'ul­<lb/>timo decennio del secolo XV o nel secondo del successivo. <lb/>L'analoga questione relativa alla storia delle matematiche, <lb/>per quanto ci consta, non venne sinora posta, almeno in <lb/>modo esplicito. Ma, ove lo fosse stata, non sarebbe certa­<lb/>mente stato malagevole l'accordarsi nello scegliere la data <lb/>1650 come inizio dell'ultima delle grandi divisioni della <lb/>storia delle scienze esatte; chè allora appunto i germi fe­<lb/>condi deposti da DESCARTES e FERMAT cominciarono a <lb/>produrre l'aritmetizzazione della geometria, cioè il grande <lb/>fenomeno che servì ad imprimerle una fisonomia del tutto <lb/>nuova ed era destinato a rinnovare tutta la scienza del­<lb/>l'estensione figurata; inoltre, allora si trovavano in istato <lb/>d'imminente fioritura le idee ed i metodi chiamati ad as­<lb/>sicurare sistematica unità alle indagini relative alla misura <lb/>della superficie e dei solidi a contorni arbitrari; allora <lb/>finalmente avevano intrapresa la loro gloriosa corsa nel <lb/>mondo i principi fondamentali posti alla dottrina dei moti <lb/>e delle forze dall'immortale autore dei <emph type="italics"/>Discorsi e dimo­<lb/>strazioni matematiche intorno a due nuove scienze.<emph.end type="italics"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>Ora la matematica della rinascenza — al pari di lam­<lb/>pada che, nell'istante in cui sta per spegnersi, diffonde <pb pagenum="IV"/>all'intorno uno sprazzo di fulgidissima luce — presenta in <lb/>Italia un epilogo oltre ogni dire brillante in un perso­<lb/>naggio di primo ordine, degno continuatore delle tradizioni <lb/>scientifiche che, nella patria nostra, sia pure con lunghe <lb/>deplorevoli lacune, si perpetuarono durante l'enorme pe­<lb/>riodo storico che corre da ARCHIMEDE a GALILEO: è EVAN­<lb/>GELISTA TORRICELLI, la cui altissima rinomanza presso i <lb/>contemporanei è attestata dall'anagramma </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/><emph type="italics"/>En virescit Galileus alter<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/>che un suo anonimo ammiratore compose con le lettere che <lb/>ne formano il nome . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>II. — <emph type="italics"/>Alunnato e noviziato di E. Torricelli.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>Colui a cui la sorte affidò il nobile còmpito di conso­<lb/>lare gli ultimi giorni della travagliata esistenza di GALILEO <lb/>GALILEI, vide la luce il 15 ottobre 1608; sebbene nessun <lb/>documento lo dichiari esplicitamente, pure è pressochè <lb/>certo che egli nacque in Faenza , perchè suo padre GA­<lb/>SPARE, apparteneva ad una famiglia, di modeste condizioni <pb pagenum="V"/>di fortuna , la quale, a partire dalla metà del secolo XV <lb/>ebbe costante dimora in quella città ed ivi si spense sullo <lb/>scorcio del secolo XVII. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">I suoi studi in umanità furono compiuti sotto la guida <lb/>amorosa e sapiente di uno zio paterno, ALESSANDRO (che <lb/>assunse il nome di JACOPO quando entrò nell'ordine ca­<lb/>maldolese e che morì quasi novantenne priore del mona­<lb/>stero di S. Giovanni della città natìa ); invece nelle <lb/>scienze, in particolare nelle matematiche, fu istruito dai <lb/>Padri Gesuiti. Ed in tali discipline diede prove lampanti <lb/>di tali spiccate attitudini che il suo ottimo zio persuase <lb/>la famiglia ad inviarlo a Roma allo scopo di perfezionarlo <lb/>sotto la direzione oculata di uno dei luminari del tempo, <lb/>BENEDETTO CASTELLI, il celebre discepolo di GALILEO che, <lb/>a partire dal marzo 1626, era lustro e decoro della Corte di <lb/>papa URBANO VIII. Ciò accadeva verso la metà dell'anno <lb/>1627. Subendo la benefica influenza di tanto istitutore, il <lb/>TORRICELLI fece progressi talmente rapidi e sorprendenti <lb/>che ben presto potè affermarsi pensatore originale con la <lb/>memoria, oggi notissima, <emph type="italics"/>Sul moto dei corpi naturalmente <lb/>discendenti<emph.end type="italics"/> , la quale d'un tratto lo collocò senza con­<lb/>trasto in prima linea fra gli alunni del celebre matema­<lb/>tico . </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Nelle mani di P. BENEDETTO CASTELLI questa me­<lb/>moria servì come mezzo per assicurare al diletto alunno <lb/>una situazione economica e sociale onorevole, lucrosa, <pb pagenum="VI"/>stabile . Narra infatti VINCENZO VIVIANI per il tramite <lb/>di LODOVICO SERENAI quanto segue : </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Questo Padre (cioè il CASTELLI) nell'aprile del 1641 <lb/>venendo di Roma per Pisa a Firenze per passare a Ve­<lb/>nezia al suo Capitolo generale, portò con sè manoscritto <lb/>il trattatello del Moto composto allora dal Torricelli sui <lb/>principi del medesimo Galileo, al quem il predetto Abate <lb/>fece sentire il contenuto e la diversità di maniera che in <lb/>varie cose aveva quegli tenuta per ampliare quella nuova <lb/>scienza meravigliosa del Galileo, di cui commiserando il <lb/>predetto Abate la cecità e scorgendo insieme il pericolo <lb/>in che, per la di lui grave età travagliata ancora da tante <lb/>indisposizioni, si stava di perdere per la di lui morte, il <lb/>residuo delle sue speculazioni non pubblicate che aveva <lb/>in sè e che gli rimanevano ancora da porre sulla carta, <lb/>glielo propose in ajuto; e il Galileo che dall'opera sopra <lb/>detta e dalle relazioni che di quella date gli aveva il Pa­<lb/>dre, già ne aveva formato gran concetto, volontierissimo <lb/>lo accettò per ajuto e per compagno e restò col Padre <lb/>Castelli che al suo ritorno a Roma poteva trattar d'in­<lb/>viarglielo, come seguì. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>“ Giunse dunque il Torricelli alla Villa d'Arcetri (dove <lb/>abitava Galileo) verso la fine del settembre del medesimo <lb/>anno ed immantinente incominciò Galileo a comuni­<lb/>cargli nei discorsi che quegli teneva tutto giorno, ciò che <lb/>gli rimaneva delle proprie fatiche e meditazioni, le quali <lb/>aveva stabilite di includere e distribuire in due giornate in <pb pagenum="VII"/>dialogo da aggiungersi alle altre quattro dell'opera pochi <lb/>anni prima stampata sopra le sue due nuove scienze della <lb/>Meccanica e del Moto locale e la prima di quelle due con­<lb/>tener doveva l'esplicazione d'alcune delle cose già dette <lb/>nelle prime quattro, e la soluzione di vari problemi natu­<lb/>rali suoi e d'Aristotile, esaminati e purgati da alcune fal­<lb/>lacie prese dal Filosofo e particolarmente nel Trattato <lb/>“ de incessu animalium ”. La seconda doveva comprendere <lb/>il racconto di varie esperienze antiche del Galileo da lui <lb/>fatte per l'investigazione della forza infinita della percossa <lb/>di cui stimava il medesimo Galileo di avere dopo lunghe <lb/>vigilie ed applicazioni arrivati i veri principi e fondamenti <lb/>da poter sopra di essi fabbricare una terza nuova scienza <lb/>e con progresso geometrico dimostrare proprietà stupende <lb/>e fuori della comune immaginazione. Ma iniqua sorte invi­<lb/>diando agli uomini così grandi acquisti nelle scienze, volle <lb/>che (appena dato principio il Torricelli a distendere la <lb/>quinta giornata) in capo a poco più di tre mesi dopo la <lb/>congiunzione in terra di quei due grandi luminari, si estin­<lb/>guesse il Maggiore conceduto alle vite umane da Dio, <lb/>sommo Sole, per dimostrar loro nei Cieli e nella Natura <lb/>novità ammirande e verità peregrine state occulte a tutta <lb/>l'Antichità ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>III. — <emph type="italics"/>Il periodo fiorentino.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Come è notorio la morte di GALILEO seguì il 6 gen­<lb/>naio 1641. </foreign></s></p> <p type="main"> <s> “ Per sì funesto accidente non così presto aspetta­<lb/>tosi dal Torricelli rimaneva qua egli come smarrito; ma <lb/>la gloriosa memoria del Ser. Gran Duca Ferdinando II sti­<lb/>molata dalla sua nativa inclinazione a promuovere e pro­<lb/>teggere le buone lettere e le matematiche in particolare, <lb/>prese subito a risarcire in parte così gran perdita di simil <pb pagenum="VIII"/>soggetto statogli rappresentato dal Sen. Andrea Arrighetti <lb/>a relazione del medesimo Galileo di altissima aspettazione. <lb/>E mentre questi preparavasi a licenziarsi per tornarsene <lb/>a Roma fu fatto aspettare d'ordine del G. Duca che allora <lb/>trovavasi a Pisa e dichiarato successore ad un Galileo cioè <lb/>matematico di S. A. e per lui fu rinnovata l'antica ma per <lb/>lungo tempo dimessa lettura di matematiche in questo <lb/>Studio ” . </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In conseguenza di questa provvida ed illuminata deli­<lb/>berazione il Nostro, sorpassati di poco i trentadue anni, <lb/>vedeva assicurata a sè stessa una posizione pienamente <lb/>soddisfacente, perchè, in qualità di matematico dello studio <lb/>fiorentino, gli era assegnato lo stipendio annuo di scudi 200, <lb/>ed inoltre il governo toscano gli concesse gratuito alloggio <lb/>in un quartiere dell'antico palazzo dei Medici che divenne <lb/>poi palazzo Riccardi (oggi sede della prefettura); più <lb/>tardi, e precisamente in data 2 gennaio 1644, gli fu con­<lb/>ferita anche l'ufficio di lettore di fortificazioni militari <lb/>nella fiorentina Accademia del Disegno con l'annuo emo­<lb/>lumento di scudi 40 . </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Non pago di avere liberato il grande faentino da ogni <lb/>sorta di preoccupazioni materiali, il Granduca di Toscana lo <lb/>colmò di altri benefici, il primo e forse più importante dei <lb/>quali (almeno dal punto di vista dei supremi interessi della <lb/>scienza), è quello di avere spontaneamente assunta tutte le <lb/>spese per la stampa e le figure dell'unica opera geometrica <lb/>che a lui fu concesso di presentare al pubblico , quel- <pb pagenum="IX"/>l'opera che ebbe virtù di estendere ai lontani l'altissima <lb/>stima che il Torricelli si era acquistata da parte delle per­<lb/>sone che ebbe la fortuna di avvicinarlo. </s></p> <p type="main"> <s>Col suo trasferimento a Firenze comincia per il TOR­<lb/>RICELLI il periodo più felice della sua esistenza, quello in <lb/>cui potè consacrarsi serenamente e con maggiore intensità <lb/>alla ricerca scientifica ed in cui si affollarono più nume­<lb/>rose alla sua mente le idee originali . Libero da qual- <pb pagenum="X"/>siasi preoccupazione materiale, essendo bello della persona, <lb/>gentile di maniera ed amante dell'onesto conversare, non <lb/>tardò a stringere rapporti di amicizia con le personalità <lb/>più spiccate viventi allora in Firenze (basti ricordare il <lb/>celebre pittore SALVATORE ROSA ed il dotto ellenista <lb/>CARLO DATI); anzi dai regolari convegni che egli tenne <lb/>con questi valentuomini trasse origine l'Accademia dei <lb/>“ Percossi ”, in seno alla quale forse egli fece conoscere <lb/>le <emph type="italics"/>Commedie<emph.end type="italics"/> che vuolsi scrivesse ed ove recitò, con <lb/>plauso generale, quell'<emph type="italics"/>Encomio del secol d'oro<emph.end type="italics"/> destinato a <lb/>prendere posto più tardi nella collezione delle sue <emph type="italics"/>Lezioni <lb/>accademiche<emph.end type="italics"/> . D'altronde l'Accademia della Crusca, onde <lb/>rendere solenne omaggio alla sua perizia nel maneggio <lb/>della patria lingua, volle annoverarlo fra i propri membri <lb/>ed egli, entrando a far parte di quel celebre sodalizio, ri­<lb/>volse ai nuovi colleghi un ringraziamento che venne pure <lb/>accolto nella medesima raccolta . </s></p> <pb pagenum="XI"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le più fruttifere indagini da lui condotte a termine nel <lb/>regno delle scienze matematiche e fisiche durante il pro­<lb/>prio soggiorno alla Corte di Toscana diedero alcuni risul­<lb/>tati a cui fu ben presto concesso un posto eminente nei <lb/>fasti della scienza; fra questi meritano uno speciale ri­<lb/>cordo i seguenti: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">1. Le mirabili qualità da lui avvertite nella cicloide <lb/>ed in parecchie altre classi di curve piane; </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">2. La classica esperienza col mercurio e la con­<lb/>seguente invenzione del barometro ; </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">3. I procedimenti da lui ideati ed applicati per <lb/>costruire certi speciali microscopi e per ripulire le lenti <lb/>destinate ai telescopi . </foreign></s></p> <pb pagenum="XII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Esse valsero a diffondere rapidamente la rinomanza del <lb/>Torricelli, non soltanto al di là delle mura di Firenze, ma <lb/>eziandio oltre i confini d'Italia. In pari tempo però fecero <lb/>pullulare detrattori invidiosi che vollero, alcuni diminuire <lb/>il valore dei suoi ritrovati, altri contestargli i diritti di prio­<lb/>rità che egli con piena ragione accampava sopra di essi. <lb/>Da tale ingiustificata ostilità egli fu spinto a scrivere quel <lb/><emph type="italics"/>Racconto d'alcuni problemi ecc.<emph.end type="italics"/> che oggi rappresenta, dal <lb/>punto di vista umano, una delle più interessanti pagine, <lb/>delle sue <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> ; da ciò più tardi un suo amico, CARLO <lb/>DATI, consigliato e spalleggiato dal fedelissimo esecutore <lb/>testamentario LODOVICO SERENAI, fu indotto a pubblicare <lb/>nel 1663, sotto forma di lettera pseudonima, tutti i docu­<lb/>menti atti ad illustrare e completamente chiarire alcune <lb/>controversie originate da invenzioni del Nostro e che sono <lb/>fra le più celebri che siano registrate nella storia delle <lb/>scienze positive . </foreign></s></p> <pb pagenum="XIII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>IV. — <emph type="italics"/>La morte.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ebbero tali incresciose discussioni il potere di minare <lb/>la fibra robusta del TORRICELLI e di avvicinare la fine <lb/>di un'esistenza che sembrava rigogliosa? Il corpo umano <lb/>è un organismo talmente complicato e misterioso, i rap­<lb/>porti fra il fisico ed il morale sono tuttora avvolti in così <lb/>fitta oscurità, che qualunque risposta a questa inquietante <lb/>domanda dovrebbe giudicarsi imprudente ed infondata; <lb/>onde noi, dopo di avere richiamata l'attenzione dei lettori <lb/>sopra le frequenti infermità sofferte dal TORRICELLI anche <lb/>prima che gli invidiosi cominciassero a latrargli alle cal­<lb/>cagna , ci limiteremo a riferire i fenomeni che contras­<lb/>segnarono la sua ultima malattia, quali vengono descritti <lb/>da un testimonio oculare, meritevole di fede assoluta e <lb/>completa. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In data 14 ottobre 1647 scriveva LODOVICO SERENAI a <lb/>FRANCESCO fratello di EVANGELISTA TORRICELLI : </foreign></s></p> <p type="main"> <s>“ Si trova in letto malato il sig. Vangelista fratello di <lb/>V. S. con febbre che per otto giorni non è stata stimata <lb/>di gran pericolo, ma hiersera aggravò, e dopo essersi que­<lb/>sta mattina confessato con grandissimo sentimento e haver <lb/>fatto testamento, e discorso di tutte le cose sue con gran­<lb/>dissimo senno sino alle 21 ore incirca, ha poi sull'accen­<lb/>sione della febbre dato in delirio, e delirò furioso a segno <lb/>che non si può ajutare con medicamenti senza gran diffi­<lb/>cultà, e si teme d'incontrarla ancora nel cibarlo. Con la <lb/>commodità del primo riposo che conceda il delirio sarà <lb/>pronto il Parocc.<emph type="sup"/>no<emph.end type="sup"/> col Santissimo Viatico, e non si man­<lb/>cherà di vigilanza per ogni rimedio spirituale; siccome <pb pagenum="XIV"/>attorno al corpo s'è fatto, e si farà tutto il possibile: e <lb/>acciocchè V. S. possa crederlo sappia che oltre alla servitù <lb/>sua ordinaria ci assiste quasi del continuo il sig. Dottor <lb/>Buonajuti suo medico e amico carissimo, io me ne parto <lb/>soltanto tanto quanto vo à desinare, e a cena con mia <lb/>moglie habitando vicinissimo, e due astanti mandatici dal <lb/>Ser.<emph type="sup"/>mo<emph.end type="sup"/> Gran Duca non se ne partono punto. In compagnia <lb/>del sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Bonajuti viene alla cura il sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Dottore Scafucci <lb/>medico di S. A. S. la quale somministra regali di delizie e <lb/>di medicamenti preziosi della sua fonderia. Finalmente la <lb/>servitù e gli ajuti sono da principi e meritamente essendo <lb/>egli un Principe della sua professione ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma tutte queste cure, per quanto assidue, amorose, sa­<lb/>pienti, non sortirono il desiderato effetto, chè nulla pote­<lb/>rono contro il delirio che si rinnovava in modo sempre più <lb/>allarmante; ed il SERENAI addì 25 ottobre 1647 era co­<lb/>stretto a riprendere la penna per informare FRANCESCO <lb/>TORRICELLI dell'avvenuta catastrofe : </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Quel che più ”, egli scriveva, “ anzi infinitamente mi <lb/>duole è che io devo a dare a V. E. l'infelice nuova della <lb/>morte del sig. Vangelista seguita questa mattina due ore <lb/>incirca avanti giorno con pianto universale della Città, e <lb/>sentimento straordinario del Gran Duca ”, </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">aggiungendo che </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ il corpo si è depositato nelle Volte della Chiesa Princi­<lb/>palissima di San Lorenzo questa sera, e gli si farà qualche <lb/>inscrizione per memoria, e per consolazione nostra, e di <lb/>lor parenti ”. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tale epigrafe fu del seguente tenore : </foreign></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EVANGELISTA TORRICELLIUS <lb/>FAVENTINUS <lb/>MAGNI DUCI ETRURIAE MATHEMATICUS <lb/>ET PHILOSOPHUS <lb/>OBIIT VIII KAL. NOVEMBRIS ANNO SALUTIS <lb/>M DC XLVII <lb/>AETATIS SUAE XXXIX;<emph.end type="center"/> <pb pagenum="XV"/>disgraziatamente questa non fu sufficiente a far distinguere <lb/>per sempre le ossa del grande pensatore da quelle dei suoi <lb/>oscuri vicini ; infatti le ricerche dei suoi resti mortali, <lb/>eseguite per ordine della civica Amministrazione di Fi­<lb/>renze in occasione del III Centenario della sua nascita, <lb/>non soltanto non condussero ad alcun risultato, ma gui­<lb/>darono alla sconsolante conclusione di trovarsi di fronte <lb/>ad un problema che la scienza è nella impossibilità di scio­<lb/>gliere . </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>V. — <emph type="italics"/>Le disposizioni testamentarie.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Durante la tregua che il 14 ottobre 1647 si verificò nel <lb/>delirio che riuscì fatale ad EVANGELISTA TORRICELLI fu <lb/>concesso all'eminente scienziato di dettare, all'incompara­<lb/>bile suo amico SERENAI, alcune disposizioni relative ai suoi <lb/>averi e di dare forma legale alle sue ultime volontà . <lb/>Mentre per noi ben poco interesse presenta il sapere in <lb/>qual modo egli abbia diviso le proprie sostanze, possiedono <lb/>la massima importanza le disposizioni relative alla sorte <lb/>futura dei lavori scientifici a cui la morte inattesa gli <lb/>vietò di dare forma ed assetto definitivi; giova pertanto <lb/>riferirle: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel testamento si legge quanto segue: </foreign></s></p> <p type="main"> <s>“ Item ordina al sopradetto Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Lodovico suo esecu­<lb/>tore che quanto prima, seguita sua morte, trasmetta e <lb/>mandi a spese della sua eredità al M. R. P. fra Bonaven­<lb/>tura Cavalieri Matematico dello Studio di Bologna tutti <lb/>i suoi scritti, studii e fatiche di Geometria quali aveva <lb/>disegnato di pubblicare alla stampa, essendo già ordinate <lb/>con le dimostrazioni promesse, acciocchè detto Padre fra <pb pagenum="XVI"/>Bonaventura ne pubblichi quella quantita che a esso libe­<lb/>ramente parrà o piacerà, et il restante li mandi a Roma <lb/>al Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Michelangelo Ricci gentiluomo splendidissimo et <lb/>amicissimo di detto Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Testatore et intendentissimo di <lb/>queste scienze, acciò li metta insieme e li pubblichi, come <lb/>meglio ha significate et ordinate in vece al medesimo <lb/>Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> esecutore. Fra le quali scritture di Geometria detto <lb/>Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Testatore intende che restino comprese lettere e ri­<lb/>sposte passate fra lui e i Matematici di Francia ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">D'accordo ed a complemento di tali ordini stanno al­<lb/>cuni <emph type="italics"/>Ricordi<emph.end type="italics"/> dettati al Serenai, ove fra l'altro è avver­<lb/>tito che </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ nell'ultima parte del Proemio del libro delle Propor­<lb/>zioni vi è il Compendio e Indice delle mie altre opere, di <lb/>quelle che io stimava ” </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">e riguardo al segreto per la fabbricazione dei vetri <lb/>è detto: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Dettogli: che vuol ella fare del suo segreto delli oc­<lb/>chiali? Il negozio e segreto dei vetri non occorre neanche <lb/>mettercelo , perchè io farò che questa mattina sia in <lb/>mano al Gran Duca serrato: ma ha fatto male S. A. a <lb/>non mi far lavorare in sua presenza, perchè avrebbe ve­<lb/>duto e imparato meglio; e non troverà chi lo faccia. Le <lb/>forme di vetri fatte da me con grandissima diligenza, che <lb/>S. A. non ne troverà, le lascio alla stessa Altezza S.; e <lb/>perchè mi costano molti denari, avendole fatte fare in <lb/>Galleria, dove sempre ho pagato e date mance larghissime, <lb/>desidero che S. A. se ne mostri benigno con i poveri miei <lb/>fratelli per quanto le parrà che elle vaglino ”. </foreign></s></p> <pb pagenum="XVII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>VI. — <emph type="italics"/>Alla ricerca di un editore.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La consegna al Gran Duca di tutto il materiale ottico <lb/>relitto dal Torricelli venne eseguita dal SERENAI la sera <lb/>stessa del 27 ottobre 1647; in che cosa consistesse risulta <lb/>da un particolareggiato Elenco degli oggetti rimessi al <lb/>Sovrano, del quale esiste tuttora una copia . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Esaurita questa parte, la più agevole, della missione <lb/>affidatagli dal compianto amico, il SERENAI si volse sen­<lb/>z'indugio a preparare la stampa degli scritti lasciati inediti <lb/>dal TORRICELLI, tanto più fervorosamente avendo avuta <lb/>l'assicurazione da parte del Gran Duca Ferdinando II che <lb/>egli stesso avrebbe sostenute le spese della stampa. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le trattative col CAVALIERI si può dire che finirono <lb/>prima di venire iniziate; chè, avendo il SERENAI scritto <lb/>al geometra degli indivisibili sino dal 26 ottobre 1647 per <lb/>partecipargli la morte del TORRICELLI , ne ebbe risposta <lb/>di mano di un confratello, fra PLACIDO GHIRLANDI , <lb/>nella quale è detto che le condizioni di salute del CAVA­<lb/>LIERI, da cattive che erano da molto tempo, si erano fatte <lb/>allarmanti: nè in tale apprezzamento vi era alcuna esage­<lb/>razione, chè il giorno 30 del seguente novembre il CAVA­<lb/>LIERI passava a miglior vita. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Il SERENAI volse allora il proprio pensiero a MICHE­<lb/>LANGELO RICCI e, per assicurarsi la sua collaborazione, <lb/>pregò il MAGIOTTI (con lettere del 30 novembre e del 21 <lb/>dicembre 1647 ) di assumere la parte di intermediario; <lb/>il MAGIOTTI non rimase sordo alla preghiera dell'amico <lb/>(come risulta dalle risposte inviate il 15 dicembre 1647 <lb/>ed il 10 gennaio 1648 ), ma con esito ben poco soddi­<lb/>sfacente. Tentò allora il SERENAI un assalto diretto alla <pb pagenum="XVIII"/>troppo ben difesa fortezza , ma, con dolore dovette ri­<lb/>conoscere ben presto che questa era inespugnabile: ciò è <lb/>attestato nel modo più chiaro dal seguente brano di let­<lb/>tera inviata dal RICCI al SERENAI addì 11 aprile 1648 : </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Quel fervore, col quale gli anni passati intrapresi lo <lb/>studio delle Matematiche, incominciò ad intiepidirsi alcuni <lb/>mesi prima che morisse la buona memoria del Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Tor­<lb/>ricelli, e dopo la sua morte è di maniera diminuito che <lb/>sento più tosto repugnanza che diletto nell'applicarmivi. <lb/>Questo però non sarebbe sufficiente a ritardarmi da quel­<lb/>l'impresa, alla quale mi aveva destinato il Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Vangelista, <lb/>in riguardo forse di lasciare in sua morte un memorabile <lb/>onore nella persona d'un suo discepolo, e servitore affe­<lb/>zionat.<emph type="sup"/>mo<emph.end type="sup"/>, cioè dichiarandomi abile alla revisione delle sue <lb/>degniss.<emph type="sup"/>me<emph.end type="sup"/> speculazioni: ma per il peso accresciutomi sù <lb/>le spalle per la morte di mio Zio, seguita sotto il 15 di <lb/>Gennaro, e per la grande età di mio Padre, restando sotto <lb/>la mia direzione quasi in tutto gli affari di mia casa; sono <lb/>talm.<emph type="sup"/>te<emph.end type="sup"/> occupato che nella varietà d'altri pensieri non <lb/>hanno luogo i concetti Geometrici, che richiedono per se <lb/>stessi tutto l'ingegno, e la fantasia. Dirò di vantaggio che <lb/>nei tre mesi decorsi dell'anno corrente sono stato quasi <lb/>sempre indisposto, et inetto alle fatiche della mente; per <lb/>le quali cose parmi di avere tanta ragione, e scusa che <lb/>V. S. possa rendersi persuasa della difficoltà grandiss.<emph type="sup"/>ma<emph.end type="sup"/>, <lb/>che forse potrebbesi e con altro titolo chiamare impossi­<lb/>bilità, la quale mi fa ricusare la carica di ripulir le opere <lb/>del Sig. Torricelli ”. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Dolente per questo nuovo insuccesso, ma non scorag­<lb/>giato, parve al SERENAI che il MAGIOTTI fosse persona <lb/>indicatissima per assumere l'ufficio a cui il TORRICELLI <lb/>aveva destinati il CAVALIERI ed il RICCI e si cullò nella <lb/>dolce illusione di potere giungere a persuaderlo ad addos­<lb/>sarselo in occasione di una visita che quel valentuomo <lb/>aveva in animo di fare ad un proprio fratello residente in <pb pagenum="XIX"/>Firenze ; ma, per ragioni che ignoriamo, anche il MA­<lb/>GIOTTI declinò l'onorevole ma gravosissimo incarico. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il seguito delle spinose trattative è narrato dal SERENAI <lb/>con le seguenti parole : </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Mancandomi pertanto così gran capitale di questi <lb/>due matematici e sapendo che tra i veri e buoni Amici <lb/>che si acquistasse quì il Torricelli il primo era stato Vin­<lb/>cenzo Viviani, in quel tempo che vivevano amendue in­<lb/>sieme ospiti e commensali del medesimo Galileo e avendo <lb/>veduto poi con quanto amore e con qual reciproca fami­<lb/>gliarità si praticassero continuamente; ricorsi a questo <lb/>pregandolo contentarsi di faticare sopra le opere geome­<lb/>triche lasciate in confuso e imperfette dall'Amico nostro, <lb/>ma egli per lungo tempo ricusò sempre, dicendo non co­<lb/>noscersi abile a tanta impresa e quando ne fusse stato <lb/>non aver tempo da impiegarvelo stante le sue occupazioni <lb/>domestiche e negli affari pubblici e in servigio di S. A. che <lb/>già un tempo gli impedirono di proseguire i suoi propri <lb/>studi nonchè applicare agli altri, soggiungendomi altri <lb/>vari motivi che lo dissuadevano dall'intraprendere questo <lb/>lavoro. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>“ Infine dopo reiterati assalti cedè alle istanze mie e <lb/>di altri Amici accettando il travagliare sopra tali mano­<lb/>scritti in quei tempi che gli fossero restati liberi e quieti <lb/>come diceva richiedersi per lui in simili speculazioni; ma <lb/>però mi protestò apertamente che volentieri per far cosa <lb/>grata a me e servire alla memoria del comune amico ac­<lb/>consentiva di faticarci, ma che siccome ciò faceva senza <lb/>alcun fine e speranza nè di guadagno nè di premio nè di <lb/>lode, così voleva almeno assicurarsi di non esporre abben­<lb/>chè minimo sospetto la sua lealtà, e che però si dichiarava <lb/>di non voler mai nelle sue mani alcun benchè piccolo fo­<lb/>gliuzzo degli Originali del Torricelli, con tutto che nume­<lb/>rati, nè assai nè poco maneggiarli per tempo alcuno, ma <pb pagenum="XX"/>che voleva solamente le copie puntuali con le figure foglio <lb/>per foglio come appresso di me si trovavano. A proposi­<lb/>zione tanto rispettosa e discreta non seppi che replicare, <lb/>anzi questa m'insinuò di fare le copie domandate di mia <lb/>mano propria, come veramente con mia fatica incredibile <lb/>io lo feci di tutti gli originali matematici imitando giu­<lb/>stamente, anzi dipingendo tutte le figure, non tanto le ben <lb/>fatte quanto le guaste e cassate, e ogni parola dello scritto <lb/>ancorchè cancellata ” . </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando si tenga presente che molti manoscritti del <lb/>TORRICELLI consistevano di semplici appunti da lui rapida­<lb/>mente presi nel corso delle sue ricerche, mentre altri rap­<lb/>presentano prime stesure di lavori, alle quali erano indi­<lb/>spensabili molteplici miglioramenti di sostanza e di forma, <lb/>e che il SERENAI era un giureconsulto di grande reputa­<lb/>zione , ma affatto digiuno di studi matematici, si vedrà <lb/>chiaramente che la fatica a cui egli spontaneamente si <lb/>sobbarcava (e che occupò tutti i suoi ozi durante quattro <lb/>lunghi anni ) è la più eroica prova di amore per la <lb/>scienza e di disinteressata amicizia per un illustre defunto <lb/>che si trovi registrata nella storia. Tante pene avrebbero <lb/>ben meritato l'unico guiderdone che il SERENAI ne atten­<lb/>deva, quello cioè di vedere esaudito l'ardente voto formu­<lb/>lato dal TORRICELLI sul suo letto di morte; ma anche esso <lb/>fu negato da una sorte implacabilmente avversa! </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Non è da credersi che il VIVIANI di deliberato proposito <lb/>sia venuto meno all'impegno che aveva assunto; la rac- <pb pagenum="XXI"/>colta fiorentina consacrata ai “ <emph type="italics"/>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"/> ” sta a <lb/>provare quante ore di lavoro egli abbia speso a riordinare, <lb/>compilare, commentare, trascrivere le opere del diletto <lb/>commilitone ; ma sia che fosse distratto da indagini <lb/>sue proprie o quasi totalmente assorbito dalle altre cariche <lb/>affidategli, sia che le frequenti malattie gli vietassero con­<lb/>tinuità di lavoro o che preferisse dedicare alla memoria del <lb/>suo venerato maestro GALILEO il meglio delle sue forze, sia <lb/>finalmente che, anche in questa contingenza, non gli riu­<lb/>scisse di vincere la proverbiale incontentabilità che lo in­<lb/>duceva a correggere, rifare, trascrivere un numero stermi­<lb/>nato di volte tutto ciò che uscivagli dalla penna, fatto sta <lb/>che egli scese nella tomba prima che l'augurata edizione <lb/>si avviasse verso un lontano indizio di attuazione . </s></p> <pb pagenum="XXII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ed il SERENAI, probabilmente avvedendosi della cattiva <lb/>piega che stava prendendo l'impresa a cui aveva dedicata <lb/>la vita e sentendo approssimarsi la propria fine, nel testa­<lb/>mento dettato il 26 settembre 1674 disponeva che tutti <lb/>i manoscritti torricelliani fossero consegnati ad AGOSTINO <lb/>NELLI e, in caso di morte di costui, a RIDOLFO PAGANELLI, <lb/>oppure, nell'ipotesi che anche questi premorisse al testa­<lb/>tore, a CARLO DATI, in ogni caso a disposizione del VI­<lb/>VIANI in servizio della progettata edizione: uscita questa <lb/>in luce tutte quelle carte dovevano essere (come da tempo <lb/>aveva consigliato il VIVIANI) consegnato al Gran Duca <lb/>regnante per venire depositato nella Libreria medicea di <lb/>S. Lorenzo. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il 28 febbraio 1685 il SERENAI cessava di vivere ed il <lb/>VIVIANI lo seguiva nel sepolcro addì 22 settembre 1703. <lb/>In conseguenza le speranze nutrite a lungo e con buon <lb/>fondamento, che tutte le scoperte fatte dal TORRICELLI <lb/>venissero poste a disposizione degli studiosi, a maggior <lb/>gloria di lui ed a vantaggio della scienza, erano, almeno <lb/>pel il momento, irreparabilmente deluse; per colmo di scia­<lb/>gura anche le provvide disposizioni prese dal SERENAI <lb/>onde assicurare la perfetta conservazione dei manoscritti, <lb/>non sortirono il desiderato effetto, come ci apprestiamo a <lb/>narrare brevemente . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>VII. — <emph type="italics"/>Vicissitudini subite dai manoscritti torricelliani.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>Morto AGOSTINO NELLI, il figliuol suo GIOVANNI BAT­<lb/>TISTA, discepolo ed amico del VIVIANI, indusse questi ad <lb/>assumere la custodia di tutti i manoscritti che il SERENAI <lb/>aveva ricevuti in deposito fiduciario dal suo compianto <lb/>amico. Tale adesione non può non recare grande mera- <pb pagenum="XXIII"/>viglia a chi ricordi l'invincibile riluttanza che il VIVIANI <lb/>aveva da giovane sentita e manifestata di assumere la <lb/>grave responsabilità di un siffatto deposito. Ma ancor più <lb/>stupefacente è il fatto che egli, sentendo approssimarsi la <lb/>grande ombra, mentre diede precise disposizioni a tutela <lb/>delle ricchissime collezioni di libri e di quadri dei quali <lb/>era legittimo proprietario, non fece alcun cenno del tesoro <lb/>di cui un capriccio della sorte (sempre nemica al TORRI­<lb/>CELLI) avevalo fatto depositario. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa negligenza imperdonabile, e che non riusciamo <lb/>a non chiamare colpevole, visti i deplorevoli effetti che <lb/>ebbe, proietta sopra la figura morale del VIVIANI una <lb/>luce ancor più tetra di quanto sia il mancato impegno di <lb/>pubblicare gli scritti inediti del suo commensale di gio­<lb/>ventù. In conseguenza di quella dimenticanza (che vo­<lb/>gliamo giudicare pura e semplice conseguenza di senile <lb/>amnesia) i manoscritti torricelliani passarono, insieme ad <lb/>altre carte, in eredità, come mobili, all'abate JACOPO PAN­<lb/>ZANINI (nipote del VIVIANI e lettore di matematica nello <lb/>studio fiorentino) e, morto costui (1733), ai suoi nipoti <lb/>CARLO ed ANGELO, i quali nell'incapacità di comprenderne <lb/>il valore, un brutto giorno, per fare spazio in armadi so­<lb/>verchiamente ingombri di biancheria, ne vendettero una <lb/>parte ad un pizzicagnolo. “ Le vie di Dio son molte ” di­<lb/>remo con ALESSANDRO MANZONI; giacchè fortuna volle che <lb/>quel negoziante, ignaro dei più elementari precetti del­<lb/>l'igiene, si servisse di un autografo del Galilei per avvol­<lb/>gere una piccola quantità di mortadella da lui venduta a <lb/>G. B. CLEMENTE NELLI; questi riconobbe subito la scrit­<lb/>tura del celebre scienziato e, per il tramite di quel pizzi­<lb/>cagnolo, si pose in relazione con i PANZANINI e riuscì ad <lb/>acquistare in blocco tutto il materiale scientifico del quale <lb/>essi a torto, benchè senza alcuna colpa, si consideravano <lb/>legittimi proprietari. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Ora dal paragone dell'inventario redatto dal NELLI di <lb/>tutti gli scritti del TORRICELLI da lui comperati con <pb pagenum="XXIV"/>l'<emph type="italics"/>Elenco delle Opere inedite<emph.end type="italics"/> del TORRICELLI compilato dal <lb/>SERENAI con l'aiuto del VIVIANI risulta (fatto incredi­<lb/>bile, ma pur vero) che, durante le traversie subìte da quei <lb/>manoscritti, se pure essi subirono qualche perdita, si tratta <lb/>di cosa pressochè insignificante. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Giunto in possesso di tanto tesoro pensò il NELLI di <lb/>mostrarsi meritevole dell'insperata fortuna toccatagli col <lb/>portare a compimento la desideratissima edizione delle <lb/><emph type="italics"/>Opere inedite<emph.end type="italics"/> del TORRICELLI; mise anche mano ai lavori <lb/>preparatori, ma sgraziatamente non potè toccare l'ago­<lb/>gnata mèta. Però, quando ebbe a perdere la speranza di <lb/>raggiungerla, provvide a che quel tesoro non fosse una <lb/>nuova volta esposto ad essere disperso; a tale scopo, nel <lb/>testamento da lui dettato il 14 dicembre 1793, impose ai <lb/>propri eredi che, qualora pensassero di alienarlo, prima di <lb/>trattare la vendita con privati, lo offrissero al Gran Duca <lb/>di Toscana; ora le meno floride condizioni finanziarie della <lb/>famiglia NELLI avendo consigliata tale vendita, nell'ot­<lb/>tobre del 1818 Ferdinando III, che deteneva allora lo <lb/>scettro, esercitando il diritto di prelazione che eragli stato <lb/>fortunatamente conferito, entrò in possesso di quella ine­<lb/>stimabile suppellettile scientifica, corrispondendo alla fa­<lb/>miglia NELLI la somma di zecchini 1046, nella quale le <lb/>opere del TORRICELLI venivano valutate 80 zecchini. Così <lb/>finalmente gli scritti del sommo faentino toccavano un <lb/>porto sicuro! Essi, nel 1861, passarono dalla Biblioteca <lb/>Palatina alla Nazionale di Firenze, e, con gli altri scritti <lb/>dell'epoca, diedero origine alla collezione dei “ <emph type="italics"/>Discepoli di <lb/>Galileo<emph.end type="italics"/> ” da noi tante volte ricordata e che, per avventura, <lb/>è la più importante del genere che esista nel mondo . </foreign></s></p> <pb pagenum="XXV"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>VIII. — <emph type="italics"/>Pubblicazioni parziali di lavori torricelliani.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma nel frattempo alcuni scritti nel Nostro avevano <lb/>vista la luce in differenti epoche ed in varie occasioni. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Anzitutto, sino dal 1674 il VIVIANI, col consenso del <lb/>SERENAI , pubblicava tre teoremi dell'opuscolo <emph type="italics"/>De pro­<lb/>porlionibus<emph.end type="italics"/> nel corpo della nota sua opera <emph type="italics"/>Quinto Libro <lb/>degli Elementi di Euclide ovvero Scienza universale delle <lb/>Proporzioni spiegata con la dottrina del Galileo<emph.end type="italics"/> (Firenze). </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Inoltre nel 1715 — come abbiamo già avuto occasione <lb/>di accennare — uscivano stampate le <emph type="italics"/>Lezioni accademiche,<emph.end type="italics"/><lb/>per merito di TOMMASO BUONAVENTURI, il benemerito eru­<lb/>dito che, col concorso di GUIDO GRANDI, BENEDETTO BRE­<lb/>SCIANI e GIUSEPPE AVERANI curò la prima edizione fio­<lb/>rentina delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di GALILEO: non è forse fuor di luogo <lb/>di rilevare, a scanso di equivoci, che per condurre a ter­<lb/>mine questa importante pubblicazione il BUONAVENTURI <lb/>si giovò di materiali passati direttamente dalle mani del <lb/>SERENAI alla Libreria di palazzo Pitti. Gli stessi docu­<lb/>menti resero possibile che le scritture del Nostro <emph type="italics"/>Sopra <lb/>la bonificazione della Valle di Chiana<emph.end type="italics"/> fossero nel 1768 in­<lb/>seriti nel T. IV della celebre <emph type="italics"/>Raccolta d'autori che trattano <lb/>del moto delle acque<emph.end type="italics"/> e che dieci anni più tardi, giun­<lb/>gesse in dominio del pubblico, come Appendice alla bio­<lb/>grafia del Torricelli scritta da A. FABBRONI, il <emph type="italics"/>Racconto <lb/>d'alcune proposizioni proposte e passate scambievolmente tra <lb/>matematici di Francia e me dall'anno 1640, in qua<emph.end type="italics"/> . Nè <pb pagenum="XXVI"/>è da credersi che alla pubblicazione integrale delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/><lb/>del TORRICELLI si fosse in quell'epoca del tutto rinunziato; <lb/>giacchè da una lettera scritta da P. FRISI appunto al <lb/>FABBRONI il 3 settembre 1774 si apprende che allora <lb/>vi volgeva la mente un certo GIANNINI (forse il noto ma­<lb/>tematico toscano PIETRO GIANNINI); ma, come ignoriamo <lb/>i particolari di questo progetto, ci sono ignote le ragioni <lb/>per le quali esso venne abbandonato. </s></p> <p type="main"> <s>Nessun nuovo piano dello stesso genere venne escogi­<lb/>tato, per quanto ci consta, durante il secolo XIX. Però, <lb/>inaugurandosi nel 1864 un monumento marmoreo al TOR­<lb/>RICELLI nella nativa Faenza, furono da G. GHINASSI pub­<lb/>blicate, asssieme ad altri documenti, alcuni elementi inte­<lb/>ressanti del suo carteggio scientifico . All'inesauribile <lb/>munificenza di BALDASSARRE BUONCOMPAGNI si deve la <lb/>pubblicazione, avvenuta undici anni dopo, di altre impor­<lb/>tanti sezioni del medesimo carteggio . Ancora: una <pb pagenum="XXVII"/>lettera del Torricelli si trova in una pubblicazione di <lb/>C. HENRY e nel corso degli anni 1891-98 moltissimi <lb/>squarci delle <emph type="italics"/>Opere inedite<emph.end type="italics"/> del TORRICELLI furono inseriti <lb/>dal CAVERNI nei primi cinque volumi della sua <emph type="italics"/>Storia del <lb/>metodo sperimentale in Italia,<emph.end type="italics"/> opera che (non è fuor di luogo <lb/>notarlo) conviene usare con somma cautela, chè troppo <lb/>spesso il desiderio di denigrare Galileo offusca nell'autore <lb/>la serenità del giudizio e l'onestà storica . Finalmente <lb/>allo spirare del secolo scorso giungevano in dominio del <lb/>pubblico gli studi del TORRICELLI sulla spirale logarit­<lb/>mica , importante saggio delle sue ricerche sopra “ de <lb/>lineis novis ”, a cui egli attribuiva tanta importanza. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ne va dimenticato e taciuto che le indagini amoro­<lb/>samente condotte sopra le opere già edite guidarono a <lb/>rivendicare al TORRICELLI la scoperta del metodo delle <lb/>tangenti che porta il nome del ROBERVAL e la gloria <lb/>di avere scoperta la prima curva esattamente rettifica­<lb/>bile . Da ultimo l'importanza dei risultati da lui otte­<lb/>nuti studiando il celebre problema di FERMAT “ ricerca <lb/>del punto nel piano di un triangolo per cui è minima la <lb/>somma delle distanze dai vertici ” consigliarono a chia­<lb/>mare <emph type="italics"/>circonferenze di Torricelli<emph.end type="italics"/> quelle che servono a risol­<lb/>verlo e <emph type="italics"/>punto di Torricelli<emph.end type="italics"/> quello che ne rappresenta <lb/>la soluzione . </foreign></s></p> <pb pagenum="XXVIII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>IX. — <emph type="italics"/>Risorge il progetto d'un'edizione completa.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questi vari fatti, mentre ragionevolmente alimentavano <lb/>la speranza che altre gemme fossero tuttora sepolte nei <lb/>manoscritti lasciati dal sommo faentino, sembravano im­<lb/>porre all'Italia risorta un duplice preciso dovere, senti­<lb/>mentale e scientifico, cioè di soddisfare l'ardente voto <lb/>espresso sul letto di morte da uno dei più illustri fra i <lb/>suoi figli e di porre a disposizione di tutti i documenti <lb/>autentici, atti a costituire i “ considerando ” della sentenza <lb/>in ultima istanza relativa alle spinose questioni di pro­<lb/>prietà e priorità che egli aveva dovuto sostenere con ma­<lb/>tematici ultramontani del tempo suo. La convinzione del­<lb/>l'imprescindibilità di siffatto dovere spinse chi scrive ad <lb/>esporre per esteso in occasione del Congresso internazio­<lb/>nale di scienze storiche che ebbe luogo a Roma nella <lb/>prima decade dell'aprile 1903 i vari ordini di ragioni che <lb/>consigliano, e fors'anche impongono, alla patria nostra, il <lb/>còmpito di continuare nella via in cui essa si pose provve­<lb/>dendo ad una edizione nazionale, veramente degna, delle <lb/><emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di GALILEO, col decretare le stesse postume onore <lb/>a colui che ebbe a succedergli nella cattedra dello Studio <lb/>fiorentino . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa proposta riscossa l'unanime adesione dei pre­<lb/>senti (fra i quali si trovava P. TANNERY, l'illustre storico <lb/>francese che così efficacemente contribuì al buon esito della <lb/>pubblicazione delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di FERMAT e di DESCARTES), i <lb/>quali, nella seduta del 6 aprile 1903 concordi votarono il <lb/>seguente ordine del giorno: </foreign></s></p> <p type="main"> <s>“ La Sezione VIII del Congresso internazionale di <lb/>scienze storiche (Roma, 1903) fa voti che il governo di <lb/>S. M. il Re d'Italia affidi alla R. Accademia dei Lincei <lb/>il còmpito di esaminare le opere manoscritte di Evange­<lb/>lista Torricelli nell'intento di determinare quali fra esse <pb pagenum="XXIX"/>siano meritevoli di stampa; e di presiedere alla pubblica­<lb/>zione completa di tutte le opere di lui già edite e di quelle <lb/>inedite, giudicatene degne, senza escludere il suo carteg­<lb/>gio scientifico, completando così il lavoro intrapreso con <lb/>la edizione nazionale delle opere del Galilei ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nell'intento di rendere possibile l'esaudimento di tal <lb/>voto senza alcun momentaneo aggravio per il bilancio <lb/>dello Stato, il nostro Ministero della pubblica istruzione, <lb/>in principio dell'anno scolastico 1904-05, trasferì da Como <lb/>a Firenze GIOVANNI VAILATI, onde egli dedicasse tutte <lb/>le ore lasciategli libere dall'insegnamento della matema­<lb/>tica in quell'Istituto tecnico all'esame preliminare dei <lb/>manoscritti torricelliani esistenti in quella Biblioteca Na­<lb/>zionale. Ci è ignoto sino a quale punto il sempre rim­<lb/>pianto studioso spingesse la sua opera investigatrice; ma <lb/>questa venne ben presto bruscamente interrotta quando, <lb/>instituita con R. Decreto 19 novembre 1905 la ben nota <lb/><emph type="italics"/>Commissione per l'ordinamento degli studi secondari in <lb/>Italia,<emph.end type="italics"/> il VAILATI fu chiamato a farne parte; onore da lui <lb/>ben meritato, ma che a ragione pareva racchiudere la mi­<lb/>naccia di un rinvio “ sine die ” dell'esecuzione della de­<lb/>siderata edizione. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si approssimava intanto il III Centenario della nascita <lb/>del grande scienziato; e GIUSEPPE VASSURA, nel mentre <lb/>a nome del Municipio di Faenza invitava la Società Ita­<lb/>liana di fisica a tenere nel 1908 il suo Congresso a Fa­<lb/>enza, chiedeva venisse emesso un nuovo voto a favore <lb/>della pubblicazione delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> del TORRICELLI; tale lo­<lb/>devole iniziativa trovò favorevole accoglienza e, nella se­<lb/>duta del 27 aprile 1906, dopo elevata discussione, venne <lb/>ad unanimità presa la seguente deliberazione: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Il Congresso della Società Italiana di fisica tenutosi <lb/>in Roma nel 1906 sollecita il governo a dare appoggi ma­<lb/>teriali e morali affinchè le opere di Evangelista Torricelli <lb/>vengano sollecitamente pubblicate ”. </foreign></s></p> <pb pagenum="XXX"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma neppure questa nuova autorevole esortazione fu <lb/>sufficiente a convincere il nostro governo che l'invocata <lb/>pubblicazione costituiva un debito di gratitudine verso chi <lb/>aveva onorata la patria conservandole, per qualche tempo <lb/>dopo la morte di GALILEO, un primato che gli stranieri <lb/>avevano dovuto riconoscere all'Italia. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>X. — <emph type="italics"/>La presente edizione.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">A far ciò volse il pensiero il Comune di Faenza in <lb/>occasione del III Centenario della nascita dell'inventor <lb/>del barometro, affidando l'incarico di condurre a termine <lb/>la nobile e meritoria impresa a GIUSEPPE VASSURA . <lb/>Con quali criteri egli abbia deciso di adempiere il mandato <lb/>ricevuto venne da lui stesso esposto in due pubblicazioni <lb/>che da tempo si trovano a disposizione degli studiosi . <lb/>A noi basta rilevare quì che a lui appartiene la riparti­<lb/>zione di tutto il materiale da pubblicarsi in tre volumi, <lb/>il I destinato ad accogliere tutte le <emph type="italics"/>Opere geometriche<emph.end type="italics"/> già <lb/>edite od in istato da potere venire utilmente pubblicate; <lb/>il II alle <emph type="italics"/>Lezioni accademiche,<emph.end type="italics"/> la <emph type="italics"/>Meccanica<emph.end type="italics"/> e <emph type="italics"/>Scritti vari;<emph.end type="italics"/><lb/>il III riserbato al <emph type="italics"/>Carteggio scientifico.<emph.end type="italics"/> E poichè in circa <lb/>quattro anni di assiduo lavoro egli portò a compimento i <lb/>volumi II e III così era generale la fiducia che si fosse <lb/>finalmente scoperta la via capace di porgere la sospirata <lb/>soluzione della secolare questione. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Se non che, allontanatosi il VASSURA dalla sua città <lb/>natale sullo scorcio dell'anno 1912, sorse inatteso e spa­<lb/>ventoso ostacolo contro il compimento dell'iniziata edi­<lb/>zione. Nell'intento di sormontarlo il Comune di Faenza — <lb/>dietro suggerimento dello stesso VASSURA — rivolse a <pb pagenum="XXXI"/>me l'invito terribilmente onorevole di curare la pubblica­<lb/>zione del Volume delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> del TORRICELLI dedicato <lb/>alla Geometria, cioè, in complesso, di tutti i suoi lavori <lb/>inediti. La gravità di tale missione e l'assoluta impossi­<lb/>bilità da parte mia di allontanarmi per lungo tempo dalla <lb/>mia consueta residenza, ove mi trattengono sempre im­<lb/>prescindibili doveri d'ufficio, mi lasciarono lungamente in <lb/>dubbio intorno alla deliberazione da prendere. Finalmente, <lb/>da un lato il desiderio di contribuire all'esaudimento di <lb/>un desiderio che era espressione di un grande interesse <lb/>scientifico e nazionale; e dall'altro l'avere il VASSURA <lb/>poste a mia disposizione le copie eseguite sotto la sua <lb/>direzione dei lavori torricelliani conservati a Firenze e <lb/>di altri importanti documenti relativi ed il fatto che io <lb/>trovai nel dott. C. MOCARINI, dell'Archivio di Stato di <lb/>Firenze, persona capace e disposta a collazionare ed even­<lb/>tualmente completare le copie anzidette, finirono col vin­<lb/>cere la mia troppo giustificata esitazione. Ed ora, superate <lb/>le difficoltà di ogni genere che intralciarono più e più <lb/>volte la regolarità del mio procedere (difficoltà che l'im­<lb/>mane guerra delle nazioni in parte creò ed in parte acuì) <lb/>mi è dato chiudere la mia fatica presentando al pubblico, <lb/>in unione al VASSURA, le <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di E. TORRICELLI, non <lb/>prima però di avere brevemente esposti i criteri da me <lb/>prescelti nella mia azione di editore . </s></p> <pb pagenum="XXXII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>XI. — <emph type="italics"/>La presente edizione.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>Le esigenze imposte ad una riproduzione per mezzo <lb/>della stampa di opere scientifiche sono di natura ben di­<lb/>verse da quelle a cui deve soddisfare un lavoro analogo <lb/>di carattere letterario. Mentre in questo si richiede una <lb/>riproduzione diplomatica degli originali, che ne rispetti <lb/>persino la punteggiatura e l'ortografia, ad un'edizione di <lb/>scritti scientifici si domanda soltanto che vengano religio­<lb/>samente conservati e fedelmente riprodotti le idee ed i <lb/>metodi. In conseguenza di ciò noi ci siamo astenuti dal <lb/>consegnare al tipografo quei frammenti torricelliani che <lb/>sono manifestazioni tangibili di pensieri che balenarono <lb/>dinnanzi alla mente dell'autore ed a cui egli non diede più <lb/>seguito, sia per averli poi ravvisati per “ fatica buttata <lb/>via ” , sia per mancanza di tempo. È il sistema che già <lb/>adottarono, ad esempio, gli editori di LAGRANGE, che di­<lb/>chiararono di seguire coloro a cui fu affidato il gran­<lb/>dioso compito di preparare la pubblicazione definitiva degli <lb/>scritti di LEIBNIZ e che, per ragioni ben note a tutti <lb/>i competenti, verrà abbandonato soltanto riguardo agli <lb/>scritti di LEONARDO DA VINCI. Perciò la presente edizione <lb/>è, nelle nostre intenzioni, <emph type="italics"/>completa<emph.end type="italics"/> ma non <emph type="italics"/>totale,<emph.end type="italics"/> confor­<lb/>memente, d'altronde, ai voti formulati dal TORRICELLI nel <lb/>momento in cui preparavasi al viaggio senza ritorno, ed <lb/>alle intenzioni di tutti coloro che, prima di noi, si accin- <pb pagenum="XXXIII"/>sero a soddisfarli. Ciò, naturalmente, non esclude in alcun <lb/>modo che altri più oculato, possa trovare nei manoscritti <lb/>che si salvarono dalla minacciata dispersione, materiali <lb/>per aggiunte ai volumi che noi oggi sottoponiamo al giu­<lb/>dizio del pubblico; onde questi non hanno alcuna pretesa <lb/>di far cessare il commovente pellegrinaggio di cui da circa <lb/>un secolo è oggetto l'inesauribile raccolta dei “ <emph type="italics"/>Discepoli <lb/>di Galileo<emph.end type="italics"/> ”. </s></p> <p type="main"> <s>I fogli relitti dal TORRICELLI furono investigati con <lb/>amorosa profondità — già lo abbiamo detto e più d'una <lb/>volta — dal SERENAI e dal VIVIANI, i quali li ordinarono, <lb/>onde fare di quelli che trattano argomenti affini un tutto <lb/>omogeneo e degli altri un artistico mosaico . Ora delle <lb/>loro fatiche altamente meritorie noi abbiamo tratto il <lb/>massimo profitto, non soltanto nell'egoistico intento di al­<lb/>leviare il còmpito nostro, ma perchè quei due valentuo­<lb/>mini vanno considerati come i più coscienziosi depositari <lb/>ed i più fedeli interpreti del pensiero torricelliano. Però, <lb/>anche dopo tale indiscutibile perfezionamento subìto da <lb/>tutti quei lavori, essi raggiunsero soltanto in piccolissima <lb/>parte l'esattezza di forma che si esige da qualsia scritto <lb/>scientifico ; doveva l'editore permettersi di correggere <lb/>di suo arbitrio le inesattezze riscontrate e di colmare le la- <pb pagenum="XXXIV"/>cune da lui notate? A nostro avviso <emph type="italics"/>no;<emph.end type="italics"/> giacchè un siffatto <lb/>poco rispettoso ed arbitrario sistema avrebbe reso difficile, <lb/>e fors'anche impossibile, al lettore di avere dinnanzi una <lb/>fedele immagine del pensiero torricelliano; è nostra con­<lb/>vinzione che il VIVIANI aveva vagheggiato di eseguire que­<lb/>st'opera complementare, ma che poi l'abbandonò forse per <lb/>scrupoli ben giustificati; e probabilmente la vana ricerca <lb/>di un'altra procedura che consentisse di offrire al pubblico <lb/>le produzioni del suo venerato amico sotto aspetto del tutto <lb/>soddisfacente fu la cagione che spinse lui — che tanto <lb/>spesso e volontieri sacrificava alla Dea Procrastinazione — <lb/>a rinviare di giorno in giorno l'adempimento dell'impegno <lb/>assunto col SERENAI. Il procedimento indarno cercato dal­<lb/>l'ultimo discepolo di GALILEO è forse quello a cui ai dì <lb/>nostri si appigliarono gli editori delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> dell'HUYGENS, <lb/>i quali, riguardo agli scritti inediti del sommo Olandese, <lb/>adottarono il sistema della riproduzione diplomatica, ac­<lb/>compagnata da esaurienti commenti, sotto forma di note <lb/>a piè di pagina; è il sistema che noi pure avremmo pre­<lb/>ferito ove l'edizione delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di TORRICELLI, al pari di <lb/>quella di quel celebre scienziato, fosse stata assunta da un <lb/>sodalizio scientifico avente esistenza illimitata nel tempo; <lb/>ma, data invece l'enormità del lavoro consistente nel com­<lb/>pletare e commentare tutti gli scritti inediti del TORRI­<lb/>CELLI e data la brevità della vita umana, scegliendolo non <lb/>si sarebbe probabilmente ottenuto altro risultato che di <lb/>aggiungere un nuovo nome alla lunga teoria di persone <lb/>che tentarono indarno di porre in circolazione i frutti delle <lb/>elucubrazioni geometriche del celebre faentino. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per tali ragioni noi limitammo l'opera nostra ad insi­<lb/>gnificanti ritocchi superficiali, a qualche sobria dilucida­<lb/>zione a piè di pagina ed al sostituire gli schizzi nervosa­<lb/>mente tracciati dall'autore con figure effettivamente capaci <lb/>di chiarire i ragionamenti esposti . </foreign></s></p> <pb pagenum="XXXV"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Coloro che prima di noi si accinsero a pubblicare gli <lb/>scritti di cui ci occupiamo si proposero di presentarli al <lb/>pubblico in modo da formare un tutto ben ordinato: pro­<lb/>blema certo importante e bellissimo, ma che, secondo noi, <lb/>lo stesso autore non sarebbe stato in grado di risolvere. <lb/>Infatti si tratta, non di materiali destinati a costituire <lb/>un'opera unica, ma sibbene di svariatissime ricerche, rag­<lb/>gruppantisi intorno ad alcuni centri; ond'è nostro con­<lb/>vincimento che il TORRICELLI se ne sarebbe servito per <lb/>scrivere parecchie memorie staccate. “ Rebus sic stanti­<lb/>bus ” per porre un po' d'ordine a quei materiali non si <lb/>poteva pensare che ad un ordinamento o cronologico, o <lb/>in base agli argomenti trattati, o tenendo conto dei me­<lb/>todi di ricerca usati. Ora: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">1. Alla cronologia è impossibile ricorrere, chè i fogli <lb/>lasciati dal Nostro matematico non portano date e d'al­<lb/>tronde le sue lettere provano che, nel sessennio della sua <lb/>più intensa produttività (1641-1647), egli si occupava di <lb/>studi differenti, alternando le indagini di pura geometria <lb/>con esperienze di fisica e trovando riposo nelle operazioni <lb/>manuali che lo resero celebre nella pulitura dei vetri con <lb/>le ricerche baricentriche. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">2. Alla materia si fa appello con scarso profitto, chè <lb/>parecchi soggetti furono da lui trattati da punti di vista <lb/>differenti. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">3. Quanto al metodo d'indagine, pure essendo sempre <lb/>geometrico, talora è prettamente archimedeo, talora in­<lb/>vece è ispirato alle idee del CAVALIERI; ora il comporre <lb/>una Sezione con i lavori scritti in istile antico ed una con <lb/>gli altri, avrebbe avuto come conseguenza un'evidente e <lb/>deplorevole violazione dell'ordine in cui si svolse il pen­<lb/>siero dell'eminente scienziato. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Per tutte queste ragioni noi abbiamo rinunciato ad un <lb/>rigoroso ordinamento di tutta la materia. Dopo la ripro­<lb/>duzione della parte non meccanica dell'<emph type="italics"/>Opera geometrica<emph.end type="italics"/> — <lb/>l'unica che egli potè presentare al pubblico — ponemmo un <lb/>brevissimo squarcio che ne costituisce un complemento, poi <lb/>gli scritti che, trattando nuovi problemi di contatti circo­<lb/>lari, della teoria delle proporzioni e di svariate questioni di <pb pagenum="XXXVI"/>planimetria e stereometria, porgono aggiunte alla geome­<lb/>tria elementare degli antichi. Altrettanto può dirsi di una <lb/>ricca miscellanea di teoremi semplicemente enunciati ed in <lb/>gran parte desunti dalla precedente raccolta. Seguono ad <lb/>essa alcune pagine che rivelano i dubbi che, nel TORRICELLI <lb/>od in altri, sorsero contro la geometria dell'infinito, la <lb/>quale rigogliosamente fioriva intorno al 1650, e che si ritro­<lb/>vano in altro suo scritto sugli indivisibili. S'incontrano poi <lb/>le ricerche baricentriche o stereometriche relative a por­<lb/>zioni di quàdriche rotonde. Riunimmo finalmente le impor­<lb/>tanti scritture relative a curve speciali le quali — secondo <lb/>gl'intendimenti manifestati dall'autore nell'esordio alla me­<lb/>moria <emph type="italics"/>De proportionibus<emph.end type="italics"/> — dovevano essere ingredienti di <lb/>un'opera di lunga lena da intitolarsi <emph type="italics"/>De lineis novis.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Con l'eleggere ed adottare siffatta distribuzione delle <lb/>materie noi non pretendiamo di avere divinate le inten­<lb/>zioni del TORRICELLI (dato e non concesso che egli ne <lb/>avesse di definitive); ci lusinghiamo, però, di non avere <lb/>resa impossibile la ricostruzione della genesi del suo pen­<lb/>siero scientifico. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>XII. — <emph type="italics"/>A che cosa miri la presente pubblicazione.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>Nel licenziare il frutto delle nostre lunghe fatiche ci <lb/>si affaccia spontaneamente la tormentosa domanda quale <lb/>sarà l'accoglienza che esso sarà per ricevere da parte del <lb/>pubblico matematico. Ora ci sembra fuor di questione che <lb/>la presente pubblicazione costituiva da parte dell'Italia un <lb/>preciso dovere verso uno dei più illustri suoi figli “ onde <lb/>assicurare contro i danni inevitabili del tempo quelle pa­<lb/>gine venerande, cui troppo spesso invidiano gli inchiostri <lb/>seicenteschi, veramente edaci della loro carta ” . Ad <lb/>essa però non può certamente venir fatta l'accoglienza <lb/>festosa che il TORRICELLI giustamente sperava quando, <lb/>nella tregua del delirio, raccomandava agli amici i suoi <lb/>lavori tuttora inediti. Gli è che nei tre secoli ormai de­<lb/>corsi dal giorno in cui egli scese nella tomba l'ambiente <pb pagenum="XXXVII"/>matematico si è totalmente e radicalmente mutato. I pro­<lb/>cedimenti di cui egli si serviva sono quelli foggiati da un <lb/>contemporaneo di PLATONE, EUDOSSO DA CNIDO, svolti ed <lb/>applicati da ARCHIMEDE e trasfigurati dal CAVALIERI; anzi <lb/>il TORRICELLI seppe servirsene con tanta abilità e disinvol­<lb/>tura che ben a ragione questi valentuomini avrebbero po­<lb/>tuto additarlo alla universale estimazione dicendo: “ Ecco <lb/>colui che </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/><emph type="italics"/>Mostrò ciò che potea la lingua nostra<emph.end type="italics"/> ”.<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>A quei vetusti procedimenti egli si attenne con fedeltà <lb/>ancora più rigorosa di quanto abbia fatto il suo contem­<lb/>poraneo HUYGENS (matematico che giova citare pei nume­<lb/>rosi punti di contatto che presenta col Nostro ); giacchè <lb/>mentre questi prestò di quando in quando facile orecchio <lb/>alla giovane algebra che allora presentavasi circonfusa di <lb/>promettenti lusinghe, il TORRICELLI austeramente respinse <lb/>ogni sorta d'inviti per quanto seducenti, onde nella storia <lb/>della matematica egli ci si presenta siccome l'ultimo dei <lb/>puristi . Per effetto di tali spiccate caratteristiche men­<lb/>tali Egli era destinato ad annoverare in vita molti ammi­<lb/>ratori e alcuni seguaci, ma fatalmente doveva essere ben <lb/>presto lasciato in completo abbandono. Perciò, se è indu­<lb/>bitato che questo fenomeno si sarebbe manifestato pochi <lb/>decennii dopo la scomparsa del TORRICELLI — cioè dopo il <lb/>trionfo delle idee di DESCARTES e FERMAT, di LEIBNIZ e <pb pagenum="XXXVIII"/>NEWTON — non è forse matematicamente certo che esso <lb/>apparirà sotto forma ancora più generale in un'epoca, come <lb/>l'attuale, che segue il secolo di LAGRANGE ed EULERO, non­<lb/>chè quello in cui, per opera della pleiade di matematici <lb/>iniziatasi con ABEL e CAUCHY e chiusa con WEIERSTRASS e <lb/>POINCARÉ, l'analisi matematica raggiunse un'altezza, un'e­<lb/>stensione, un'energia che sarebbe stato follia sperare?... </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perciò — sarebbe vano negarlo — la presente pub­<lb/>blicazione, al pari delle analoghe che la precedettero in <lb/>Italia ed all'Estero, possiede un carattere, non pratico, <lb/>ma eminentemente storico; ad essa è affidata la nobile <lb/>missione di porgere al futuro storico della matematica gli <lb/>elementi, di cui sino ad oggi si lamentava l'assenza, per <lb/>lumeggiare in tutti i suoi più reposti meati il grande pe­<lb/>riodo che prelude l'apparizione del calcolo infinitesimale e <lb/>per determinare il posto che spetta ai discepoli di GALILEO <lb/>fra i precursori dei sommi di cui vanno giustamente su­<lb/>perbe l'Inghilterra e la Germania. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tuttavia, come i più recenti mezzi di locomozione non <lb/>fecero scomparire del tutto i dilettanti di podismo, i quali <lb/>a ragione sostengono come la rapidità vieti la contempla­<lb/>zione dei particolari, così è certo che, anche in avvenire, <lb/>s'incontrerà sempre qualche studioso che, abbandonando <lb/>le formole e le funzioni generalissime della cui contem­<lb/>plazione si compiace l'analisi moderna, ritornerà allo studio <lb/>diretto, cinematico e geometrico, delle figure; ebbene tale <lb/>presunto e desiderato investigatore, dopo di avere suc­<lb/>chiato il più vital nutrimento dalle opere lasciateci dalla <lb/>classica Antichità o fiorite al caldo sole della Rinàscita, <lb/>trarrà inestimabili vantaggi dalle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di EVANGELISTA <lb/>TORRICELLI che la Patria riconoscente, assolvendo un de­<lb/>bito che su di essa gravava da secoli, pone oggi a dispo­<lb/>sizione degli studiosi di tutto il mondo. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"/>Genova, aprile 1919.<emph.end type="italics"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">GINO LORIA. </foreign></s></p> <!-- Italian ends here --> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE SPHAERA <lb/>ET SOLIDIS SPHAERALIBUS<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>LIBRI DUO.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>IN QUIBUS ARCHIMEDIS DOCTRINA <lb/>DE SPHAERA ET CYLINDRO DENUO COMPONITUR, <lb/>LATIÙS PROMOVETUR, <lb/>ET IN OMNI SPECIE SOLIDORUM, QUAE VEL CIRCA, <lb/>VEL INTRA SPHAERAM, <lb/>EX CONVERSIONE POLIGONORUM REGULARIUM <lb/>GIGNI POSSINT, UNIVERSALIUS PROPAGATUR.<emph.end type="center"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Serenissimo Magno Duci Etruriae<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>FERDINANDO II<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Erubescerem profectò, Serenissime Magne Dux, oblaturus <lb/>libellum hunc Serenissimae Celsitudini Tuae, nisi haberem <lb/>maxima Archimedis, et Galilei nomina, quae praetendere <lb/>possim audaciae meae: Exigua enim sunt opuscula haec, et <lb/>de rebus aetate nostra neglectis, nempe Geometricis. Attamen, <lb/>nisi fallor, duo maxima Geometriae opera promovebunt, cum <lb/>veterem De Sphaera, et Cylindro, novamque De Motu scien­<lb/>tiam exequantur. Sed ego frustra Geometriam excuso apud <lb/>eum Principem, cui non solum haereditaria, sed etiam in­<lb/>genita est Mathematicarum disciplinarum protectio. Serenis­<lb/>simus enim Cosmus II Pater Tuus stipendijs celeberrimo <lb/>Galileo oblatis; deinde Ser. C. Tua, beneficijs maximis in <lb/>huiusmodi scientiae cultores collocatis, optime demonstravit <lb/>intelligere, quanti momenti sint Mathematicae scientiae, vel <lb/>in disponendis exercituum aciebus, vel in muniendis, exor­<lb/>nandisque urbibus, utroque tempore belli, pacisque. Cum <lb/>enim (ut de Mechanica facultate sileam) totum penè civile <lb/>commercium pondere, numero, et mensura administretur, <lb/>quis non videat omne hominum negotium in Mathematicis <lb/>esse? quae tria quantitatis genera cum in Scholis nostris<emph.end type="italics"/> <pb/><emph type="italics"/>quotidie agitentur, illi profectò maximè utiles Reip. habe­<lb/>buntur, qui in huiusmodi studijs versati, exercitatique erunt. <lb/>Libellorum itaque non inutilium causa penitus mala non <lb/>erit quatenùs Geometrici sunt. Utinam mala non sit eo no­<lb/>mine quòd sunt mei: Propterea humilitèr oro, ut illos <expan abbr="qua-lescumq;">qua­<lb/>lescumque</expan> sint, Tibi tamen debitos, Tuaque munificentia editos, <lb/>S. C. Tua suscipere dignetur eo vultu, quo me quoque sup­<lb/>plicem suscepit, atque ea humanitate, quae cum tanti Prin­<lb/>cipis maiestate coniuncta, amorem elicit etiam ab ignotis. <lb/>Faveat Deus omnibus votis Tuis, et S. C. Tuam, <expan abbr="imperiumq;">imperiumque</expan> <lb/>diu tueatur, et augeat.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Sereniss. C. Tuae<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Humillimus servus<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Evangelista Torricellius.<emph.end type="italics"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROEMIUM<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Inter omnia opera ad Mathematicas disciplinas perti­<lb/>nentia, iure optimo Principem sibi locum vindicare vi­<lb/>dentur Archimedis inventa; quae quidem ipso subtilitatis <lb/>miraculo terrent animos. Verùm inter omnes libros egregij <lb/>Authoris longè eminet ille, qui De Sphaera, et Cylindro <lb/>inscribitur: neque enim posteritatis tantùm consensu, sed <lb/>etiam ipsius Scriptoris iudicio primas tenet. Certè hunc <lb/>ipse in titulum sepulcri elegit, <expan abbr="dignumq;">dignumque</expan> prae caeteris iu­<lb/>dicavit, qui tanti viri tumulum exornaret, ostenderetque. <lb/>Hunc tamen si quis attentiùs considerare, et perpendere <lb/>velit, magnum quidem inventum fateatur necesse est, sed <lb/>fortasse non absolutum. Loquor equidem de primo tantùm <lb/>libro, in quo partem operis Theorematicam, et omnem <lb/>doctrinae inventionem exequitur: quo veluti iacto funda­<lb/>mento, in secunda parte postea, quasi coronidis loco, pro­<lb/>blemata quaedam tamquam corollaria ad eam rem spe­<lb/>ctantia ipse subnectit. Titulus libri est De Sphaera, et <lb/>Cylindro; quae quidem verba apud nos idem sonant, ac <lb/>si dixisset De Sphaera, atque unico solido sphaerali; sed <lb/>sphaeralia solida, quorum unum est cylindrus, multitudine <lb/>sunt infinita, ut mox patebit. Ergo absolutior fortasse con­<lb/>templatio videri potuisset, si eximius Author proportionem, <lb/>non tantùm eam, quae est inter sphaeram, unicumque <lb/>ex sphaeralibus solidis perquisisset, verumetiam omnem <lb/>aliam rationem, quae inter sphaeram ipsam, et <expan abbr="unumquodq;">unumquodque</expan> <lb/>ex infinitis sphaeralibus solidis inter cedit, ostendendam <pb pagenum="6"/>sibi assumpsisset. Hoc itaque propositum erit, et institu­<lb/>tum meum in praesenti libello. Doctrinam non solum de <lb/>Sphaera, et Cylindro, sed de sphaera, et sphaeralibus so­<lb/>lidis omnibus prosequemur: <expan abbr="Mutatisq;">Mutatisque</expan> plerumque Archi­<lb/>medaeis fundamentis, universaliori demonstratione illam <lb/>complecti conabimur, atque in omni specie solidorum, vel <lb/>intrà, vel circà sphaeram descriptorum, propagabimus. </s></p> <p type="main"> <s>Ex libro Archimedis De Sphaera et Cylindro duo haec <lb/>colliguntur spectantia ad illa solida, quae nos sphaeralia <lb/>appellamus: Primum, quòd sphaera dupla est inscripti sibi <lb/>rombi solidi aequilateri; quod quidem unum est ex solidis <lb/>sphaeralibus, genitum ex revolutione quadrati inscripti, et <lb/>circa diagonalem conversi. Alterum; quòd cylindrus ad <lb/>inscriptam sibi sphaeram est sesquialter. quod quidem et <lb/>unum ex solidis sphaeralibus est, genitum ex conversione <lb/>quadrati circumscripti, et circa ipsius catetum revoluti. <lb/>Stantibus his, contemplatione dignum mihi videbatur uni­<lb/>versalius aliquod problema huiusmodi. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Dato poligono quocunque regulari sivè intrà, sivè circà circulum <lb/>descripto, et sive circa diagonalem, sive circa catetum revoluto; pro­<lb/>portionem dicere, quam factum ex polygono solidum habeat, ad factam <lb/>ex circulo sphaeram.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Penitus autem ex voto successit instituta contemplatio. <lb/>Nam inventa proportione, sex ista inferiùs adnotata Theo­<lb/>remata ita se habere comperi, quemadmodum hìc subij­<lb/>ciuntur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Prima solidorum sphaeralium species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intrà circulum descriptum fuerit poligonum regulare <lb/>habens latera numero parià, et conver­<lb/> <arrow.to.target n="fig1"></arrow.to.target><lb/>tatur figura circa catetum B. Quaeri­<lb/>tur ratio sphaerae ad factum soli­<lb/>dum. </s></p> <figure id="fig1"></figure> <p type="main"> <s>Continuetur ratio radij poligoni ad <lb/>catetum eiusdem, nempe A ad B in <lb/>quatuor terminis A, B, C, D. Erit que <lb/>sphaera ad solidum inscriptum, ut diameter sphaerae, hoc <lb/>est ut dupla ipsius A, ad <expan abbr="utramq;">utramque</expan> simul B, et D. </s></p> <pb pagenum="7"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Secunda species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intra circulum descriptum fuerit po­<lb/> <arrow.to.target n="fig2"></arrow.to.target><lb/>ligonum regulare habens latera numero <lb/>paria, et cunvertatur figura circà diagona­<lb/>lem AB. Quaeritur ratio sphaerae ad fa­<lb/>ctum sphaerale solidum. </s></p> <figure id="fig2"></figure> <p type="main"> <s>Ostenditur. Sphaeram esse ad solidum, </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg1"></arrow.to.target><lb/>ut quadratum AB ad quadratum cateti AC. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg1"></margin.target>Theor. 7 <lb/>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Tertia species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intrà circulum describatur poligonum regulare ha­<lb/>bens latera numero imparia, et con­<lb/> <arrow.to.target n="fig3"></arrow.to.target><lb/>vertatur figura circa catetum B. <lb/>Quaeritur ratio sphaerae ad factum <lb/>sphaerale solidum. </s></p> <figure id="fig3"></figure> <p type="main"> <s>Continuetur ratio radij A ad ca­<lb/>tetum B in quatuor terminis A, B, <lb/>C, D. <expan abbr="Eritq;">Eritque</expan> sphaera ad solidum, ut quadrupla ipsius A <lb/> <arrow.to.target n="marg2"></arrow.to.target><lb/>ad B semel, C bis, et D semel <expan abbr="simulq;">simulque</expan> sumptas. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg2"></margin.target>Theor. 19. <lb/>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Quarta species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligo­<lb/> <arrow.to.target n="fig4"></arrow.to.target><lb/>num regulare, habens latera numero paria, <lb/>et convertatur figura circa catetum C. <lb/>Quaeritur ratio solidi ad sphaeram. </s></p> <figure id="fig4"></figure> <p type="main"> <s>Ostenditur solidum esse ad inscriptam <lb/>sibi sphaeram, ut duo simul quadrata, <lb/> <arrow.to.target n="marg3"></arrow.to.target><lb/>quorum unum fit ex radio D alterum ex cateto C, ad <lb/>duplum quadrati C. </s></p> <pb pagenum="8"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg3"></margin.target>Theor. 18. <lb/>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Quinta species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum <lb/> <arrow.to.target n="fig5"></arrow.to.target><lb/>regulare habens latera numero paria; et <lb/>convertatur figura circa diagonalem A. <lb/>Quaeritur ratio solidi ad sphaeram. <lb/> <arrow.to.target n="marg4"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg4"></margin.target>Theor. 6. <lb/>Lib. 2.</s></p> <figure id="fig5"></figure> <p type="main"> <s>Ostenditur solidum ad inscriptam sibi <lb/>sphaeram esse ut radius A ad catetum B <lb/>hoc est ut axis solidi ad axem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Sexta, et ultima species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum regulare ha­<lb/>bens latera numero imparia, et con­<lb/> <arrow.to.target n="fig6"></arrow.to.target><lb/>vertatur figura circa B catetum. <lb/>Quaeritur ratio solidi ad sphaeram. </s></p> <figure id="fig6"></figure> <p type="main"> <s>Continuetur ratio radij A ad ca­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg5"></arrow.to.target><lb/>tetum poligoni B, in tribus terminis <lb/>A, B, C. Eritque solidum ad sphae­<lb/>ram, ut A semel, B bis, et C semel <lb/>simulque sumptae, ad quadruplam ipsius C. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg5"></margin.target>Theor. 18. <lb/>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s>Solidorum itaq: sphaeralium species omninò sex emer­<lb/>gunt, et <expan abbr="uniuscuiusq;">uniuscuiusque</expan> speciei ratio ad suam sphaeram in­<lb/>notescit. Possent fortasse videri tres tantum solidorum <lb/>species, si solida absolutè, ac sine suis sphaeris conside­<lb/>rentur. Verum si illa ad sphaeram referantur, statim re­<lb/>latio variatur, et proportio alia consurgit, prout cognata <lb/>solidis ipsis sphaera inscripta fuerit, vel circumscripta. </s></p> <p type="main"> <s>Quibus demonstratis, varia pro Corollarijs Theoremata <lb/>statim emergebant; cuiusmodi sunt. Datis ex praedicta­<lb/>rum sex specierum solidis duobus quibuscunque, alterius <lb/>ad alterum rationem notam facere. </s></p> <p type="main"> <s>Conum aequilaterum circa sphaeram descriptum, esse <lb/>ad ipsam sphaeram ut 9 ad 4. Nempe duplum sesqui quar­<lb/>tum. Propterea si circa eandem sphaeram conus, <expan abbr="cylin-drusq;">cylin­<lb/>drusque</expan> aequilateri descripti sint, tria solida, nempe conum, <lb/>cylindrum, et sphaeram fore inter se in continua propor­<lb/>tione sesquialtera. </s></p> <pb pagenum="9"/> <p type="main"> <s>Sphaeram ad conum aequilaterum sibi inscriptum esse <lb/>ut 32 ad 9. </s></p> <p type="main"> <s>Sphaeram ad inscriptum cylindrum aequilaterum ine­<lb/>fabilem rationem habere, nempe ut diameter quadrati ali­<lb/>cuius ad 3/4 lateris eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Rombum solidum aequilaterum sphaerae circumscri­<lb/>ptum ad eandem sphaeram incomensuràbilem esse, nempe <lb/>ut diameter quadrati alicuius ad latus eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Sphaerale solidum exagonale circa catetum revolutum <lb/>esse ad inscriptam sibi sphaeram sesquisextum. </s></p> <p type="main"> <s>Sphaeram autem ad exagonale solidum sibi inscriptum, <lb/>et circà diagonalem revolutum, esse sesquitertiam. </s></p> <p type="main"> <s>Et alia huiusmodi, quae quidem altiùs perscrutanti in­<lb/>numera patebunt. Interim satis superque mihi erit aliqua <lb/>apposuisse, quae propria claritate ultrò se se offerunt etiam <lb/>aspernanti. Horum maxima pars Corollaria esse poterant <lb/>praecedentium sex Theorematum; attamen illa demonstra­<lb/>bimus ex sola etiam Euclidis doctrina, sine ope illorum <lb/>quae de sphaeralibus praemiseramus; Ut videre est ad <lb/>Propositiones 30 et 9 <expan abbr="seqq.">seqque</expan> in secundo libro. Caeterum <lb/>huiùs contemplationis occasionem, mox etiam et scriptionis <lb/>incitamentum praebuit mihi acutissimus librorum Archi­<lb/>medis scrutator Antonius Nardus Aretinus: huic enim re­<lb/>fero, atque ipsius eruditis colloquijs, si quid verè Geome­<lb/>tricum in hac scriptura exciderit mihi. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò pleraque mala erunt, et fortasse omnia, hoc <lb/>unum culpàndus erit ornatissimus vir, et genere, doctrinà, <lb/><expan abbr="moribusq;">moribusque</expan> conspicuus Andreas Arrighettus Florentinus, <lb/>qui post magna in me collata beneficia, editionem mali <lb/>libri non suasit, sed iussit. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DEFINITIONES.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>1. Cuiuscunque poligoni regularis latera habentis nu­<lb/>mero paria, <emph type="italics"/>Diagonalem<emph.end type="italics"/> voco lineam, quae per oppositos <lb/>flgurae angulos ducitur. <emph type="italics"/>Catetum<emph.end type="italics"/> verò voco lineam, quae <lb/>puncta media laterum oppositorum connectit: sive earum­<lb/>dem semisses. Cuiuscunque verò poligoni regularis latera <pb pagenum="10"/>habentis numero imparia, <emph type="italics"/>catetum<emph.end type="italics"/> voco lineam, quae ab <lb/>uno angulo per centrum figurae extenditur. </s></p> <p type="main"> <s>2. Si poligonum quodcunque regulare convertatur, <lb/>sivè circa diagonalem, sive circa catetum, donec ad eum <lb/>locum redeat unde caepit moveri, solidum illud quod ex <lb/>revolutione circumscribitur, <emph type="italics"/>sphaerale solidum<emph.end type="italics"/> appellare <lb/>visum est. Parilaterum quidem si poligonum habuerit la­<lb/>tera numero paria, Imparilaterum verò, quando poligonum <lb/>latera numero imparia habebit. </s></p> <p type="main"> <s>Si cylindrus, sive conus, vel etiam coni frustum plano <lb/>per axem ducto sectum sit: communem secantis plani, et <lb/>curvae superficiei sectionem vocabimus latus cylindri, sive <lb/>coni, sive frusti conici. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Suppositiones.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Supponimus. cuiuscunque prismatis circà cylindrum ae­<lb/>quealtum descripti, superficiem maiorem esse cylindri <lb/>ipsius superficie. Cylindricam verò superficiem maiorem <lb/>esse superficie prismatis inscripti, basim habentis regula­<lb/>rem. exceptis semper basibus. Item pyramidis circa conum <lb/>descriptae superficiem maiorem esse ipsius coni superficie; <lb/>Inscriptae verò pyramidis et regularem basim habentis, <lb/>supponimus superficiem minorem esse conica superficie. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstrantur haec apud Archimedem propos. 9, 10, <lb/>11, 12 lib. I de Sph. et Cyl. Si quis verò ea tamquam <lb/>nota admittere velit, totum libellum nostrum percurrere <lb/>poterit. </s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE SOLIDIS SPHAERALIBUS<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>LIBER PRIMUS<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si Cylindri recti superficies secetur plano oppositis ba­<lb/>sibus parallelo; erunt segmenta superficiei cylindricae in­<lb/>ter se, ut segmenta axis, sive lateris cylindri, homologe <lb/>sumpta. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus ABCD, <expan abbr="seceturq;">seceturque</expan> plano <lb/> <arrow.to.target n="fig7"></arrow.to.target><lb/>EF oppositis basibus parallelo; Dico cylindricam <lb/>superficiem AEFD, ad cylindricam EBCF, esse <lb/>ut axis ad axem, sive ut latus AE, ad latus EB. </s></p> <figure id="fig7"></figure> <p type="main"> <s>Producatur utrimque in infinitum cylindrus, <lb/>et accipiatur recta EG multiplex ipsius EA, iuxtà <lb/>quamlibet multiplicitatem, sectaque EG in partes <lb/>ipsi EA aequales, agantur per puncta divisio­<lb/>num H, I, G; plana oppositis basibus parallela. <lb/>Eritque tam multiplex recta GE ipsius EA: quàm <lb/>multiplex est cylindrica superficies EL, super­<lb/>ficiei ED. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur etiam recta EM multiplex ipsius EB, iuxta <lb/>quamlibet multiplicationem; <expan abbr="similiq.">similique</expan> peracta constructione <lb/>ut supra; erit tam multiplex recta EM rectae EB, quàm <lb/>multiplex est cylindrica superficies EN, superficiei EC. </s></p> <pb pagenum="12"/> <p type="main"> <s>Manifestum ergo est, quod si recta EG maior fuerit, <lb/>sive minor, vel aequalis, rectae EM: tunc etiam cylindrica <lb/>superficies EL, maior erit, sive minor, vel aequalis super­<lb/>ficiei EN: et hoc semper: Propterea erit, ut AE ad EB, <lb/>ita superficies AEFD, ad superficiem EBCF. Quod erat <lb/>demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quodcunque prisma rectum, habens basim <lb/>poligonam regularem, habensque altitudinem aequalem <lb/>quartae parti cateti suae basis; erit perimeter prismatis <lb/>aequalis poligono suae basis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto poligonum regulare <lb/> <arrow.to.target n="fig8"></arrow.to.target><lb/>ABCDEF, super quo conci­<lb/>piatur prisma rectum, habens <lb/>pro altitudine AL quartam <lb/>partem cateti IH. Dico peri­<lb/>metrum prismatis, constan­<lb/>tem ex figuris rectangulis aequalibus quarum una sit LB, <lb/>aequalem esse poligono suae basis. </s></p> <figure id="fig8"></figure> <p type="main"> <s>Ducantur enim diagonales AOD, BOE, et erectà per­<lb/>pendiculari IM, iungantur AM, BM; </s></p> <p type="main"> <s>Cum ergo IH ponatur quadrupla ipsius IM, erit IO <lb/>dupla ipsius IM; et ideo triangulum AOB duplum trian­<lb/>guli AMB eandem basim habentis; sed etiam rectangulum <lb/>LB duplum est trianguli AMB; propterea rectangulum LB <lb/>aequale erit triangulo AOB; et sic de reliquis rectangulis, <lb/>reliquisque triangulis: Quare totus prismatis perimeter, <lb/>constans ex figuris rectangulis, aequalis est poligono suae <lb/>basis. Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Constat ergo, quod si altitudo prismatis maior, minorvè fuerit, quàm <lb/>quarta pars cateti suae basis, erit perimeter prismatis maior, minorvè <lb/>quàm poligonum suae basis.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="13"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit cylindrus rectus, cuius altitudo aequalis sit <lb/>quartae parti diametri suae basis; erit cylindrica super­<lb/>ficies aequalis circulo suae basis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus, cu­<lb/> <arrow.to.target n="fig9"></arrow.to.target><lb/>ius basis circulus circa dia­<lb/>metrum AB descriptus; alti­<lb/>tudo verò AC, aequalis sit <lb/>quartae parti diametri AB. </s></p> <figure id="fig9"></figure> <p type="main"> <s>Dico cylindricam superfi­<lb/>ciem aequalem esse circulo <lb/>suae basis AB. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim aequalis non est; erit circulus vel maior, vel <lb/>minor cylindricà superficie. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primùm circulus maior quàm cylindri superficies; <lb/>et supposità differentia G, describatur intrà circulum ali­<lb/>quod poligonum ADEB, quod quidem deficiat à circulo <lb/>minori defectu, quàm sit spatium G; et ideo erit poligo­<lb/>num inscriptum adhuc maius quàm cylindrica superficies <lb/>(quomodo fiat hoc constat ex Commentarijs in Archime­<lb/>dem, et ex XII Euclidis:) Tum supra poligonum ADEB <lb/>concipiatur prisma rectum eiusdem cum cylindro alti­<lb/>tudinis. </s></p> <p type="main"> <s>Cùm ergò altitudo prismatis eadem sit ac cylindri, <lb/> <arrow.to.target n="marg6"></arrow.to.target><lb/>nempe quarta pars rectae AB, erit altitudo prismatis maior <lb/>quàm quarta pars cateti suae basis poligonae, et ideo pe­<lb/>rimeter prismatis maior erit quàm poligonum suae basis, <lb/>et multo maior, quàm cylindrica superficies (factum enim <lb/>est poligonum maius cylin­<lb/> <arrow.to.target n="fig10"></arrow.to.target><lb/>drica superficie). Quod est <lb/>absurdum: est enim contra <lb/>praemissas suppositiones. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg6"></margin.target>ex. Corollar. <lb/>praeced.</s></p> <figure id="fig10"></figure> <p type="main"> <s>Ponatur deinde circulus <lb/>minor quàm cylindrica su­<lb/>perficies: et supposità diffe­<lb/>rentia G, describatur circa <lb/>circulum aliquod poligonum regulare DEFG, quod excedat <pb pagenum="14"/>circulum spatio minori quàm sit C (quomodo hoc fiat con­<lb/>stat apud Commentarios in Archim. et in XII Euclidis.) <lb/><expan abbr="eritq;">eritque</expan> etiam poligonum minus quàm cylindrica superficies. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur suprà poligonum erigi prisma eiusdem al­<lb/>titudinis cum cylindro; eritque altitudo prismatis quarta <lb/>pars cateti suae basis poligonae. (cum prismatis altitudo <lb/>eadem sit atq: cylindri; cylindri autem altitudo est quarta <lb/>pars rectae AB, quae aequalis est cateto poligoni, quod <lb/>est basis prismatis). <lb/> <arrow.to.target n="marg7"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg7"></margin.target>per 2. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Ideo perimeter prismatis aequalis erit poligono suae <lb/>basis; et propterea minor quàm cylindrica superficies. <lb/>Quod est contra praemissas suppositiones. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò superficies cylindrica aequalis circulo suae <lb/>basis. Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cylindri recti superficies ad circulum suae basis est ut <lb/>latus cylindri ad quartam partem diametri eiusdem basis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus, cuius rectangulum <lb/> <arrow.to.target n="fig11"></arrow.to.target><lb/>per axem sit ABCD; <expan abbr="sumptaq;">sumptaque</expan> BE, quae <lb/>quarta pars sit ipsius BC; Dico cylindricam <lb/>superficiem ABCD ad circulum suae basis <lb/>esse, ut AB ad BE. </s></p> <figure id="fig11"></figure> <p type="main"> <s>Producatur cylindrus versus F, sectàque <lb/>BF aequali ipsi BE, erit per praecedentem, <lb/>cylindrica superficies FC aequalis circulo suae basis BC. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg8"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg8"></margin.target>per 1. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam: cylindrica superficies BD, ad cylindricam super­<lb/>ficiem FC est ut AB ad BF; superficies verò FC ad cir­<lb/>culum BC (ob aequalitatem) est ut FB ad BE; Ergo ex <lb/>aequo erit cylindrica superficies BD ad circulum BC, ut <lb/>AB ad BE, nempe ut latus cylindri ad 1/4 diametri basis <lb/>eiusdem. Quod erat ostendendum. </s></p> <pb pagenum="15"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cylindri recti superficies ad circulum quemlibet, est ut <lb/>rectangulum per axem cylindri ad quadratum semidia­<lb/>metri ipsius circuli. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus cuius re­<lb/> <arrow.to.target n="fig12"></arrow.to.target><lb/>ctangulum per axem sit AB, et <lb/>centrum basis H. Ponatur autem <lb/>circulus quilibet cuius semidia­<lb/>meter CD. Dico cylindricam su­<lb/>perficiem ad circulum ex CD, esse <lb/>ut rectangulum AB ad quadra­<lb/>tum CD. </s></p> <figure id="fig12"></figure> <p type="main"> <s>Fiat ex AE (quae quidem 4 pars sit rectae AL) qua­<lb/>dratum FE, producaturque EG. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò cylindrica superficies AB ad circulum suae </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg9"></arrow.to.target><lb/>basis, ut IA ad AE, hoc est ut IA ad AF, hoc est ut re­<lb/>ctangulum IE ad quadratum FE; sive, sumptis quadruplis, <lb/> <arrow.to.target n="marg10"></arrow.to.target><lb/>ut rectangulum AB ad quadratum ex AH. Circulus verò <lb/>basis AL ad circulum ex CD, est ut quadratum ex AH <lb/>ad quadratum ex CD; ergò ex aequo erit cylindrica su­<lb/> <arrow.to.target n="marg11"></arrow.to.target><lb/>perficies ad circulum ex CD, ut rectangulum per axem <lb/>ad quadratum CD. Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg9"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg10"></margin.target>Prim. 6.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg11"></margin.target>2. duodecimi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Pro Corollario erit Propositio XIII lib. I Archim. de Sphaera et <lb/>Cylindro. Constat enim quòd si CD media fuerit proportionalis inter <lb/>IA, AL; quadratum ex CD aequale erit rectangulo AB et propterea, <lb/>ex demonstratis, cylindricam superficiem AIBL aequalem esse circulo ex <lb/>CD necesse est.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cylindrorum superficies inter se sunt ut eorumdem re­<lb/>ctangula per axem homologè sumpta. </s></p> <p type="main"> <s>Sint cylindri recti quorum rectangula per axem sint <pb pagenum="16"/>AB, CD. Dico cylindricam superficiem AB, ad cylindricam <lb/>CD esse, ut rectangulum AB ad rectangulum CD. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur pro circulo quolibet, <lb/> <arrow.to.target n="fig13"></arrow.to.target><lb/>circulus circa diametrum AE. <lb/> <arrow.to.target n="marg12"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg12"></margin.target>per praeced.</s></p> <figure id="fig13"></figure> <p type="main"> <s>Erit ergò cylindrica superficies <lb/>AB ad circulum quemlibet AE, ut <lb/>rectang. AB ad quadratum AF. Cir­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg13"></arrow.to.target><lb/>culus verò ex AF ad cylindricam <lb/>superficiem CD est ut quadratum ex <lb/>AF ad rectangulum CD; ergo ex <lb/>aequo cylindrica superficies AB ad cylindricam CD, est <lb/>ut rectangulum AB ad rectang. CD. Quod erat osten­<lb/>dendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg13"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si recta pyramis basim habuerit poligonam regularem­<lb/>que erit basis pyramidis ad reliquam ipsius superficiem, ut <lb/>semicatetus basis ad catetum superficiei. </s></p> <p type="main"> <s>Esto pyramis recta, cuius ba­<lb/> <arrow.to.target n="fig14"></arrow.to.target><lb/>sis poligonum regulare AFED. <lb/>vertex verò G, et centrum basis <lb/>sit I. Secto deinde uno latere bi­<lb/>fariam in H, <expan abbr="iunctisq;">iunctisque</expan> GH, IH, <lb/>erit GH catetus superficiei pyra­<lb/>midis; IH vero semicatetus basis; <lb/>quandoquidem omnia triangula in superficie sunt aequi­<lb/>cruria, et aequalia inter se; quod etiam verum est et <lb/>in basi. </s></p> <figure id="fig14"></figure> <p type="main"> <s>Dico basim ad superficiem esse ut IH ad HG. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum enim AIF, ad triangulum AGF (cum sint <lb/>in eadem basi) est ut IH, ad HG, ergo etiam ipsorum <lb/> <arrow.to.target n="marg14"></arrow.to.target><lb/>aequemultiplicia, nempe basis, et superficies pyramidis, in <lb/>eadem ratione erunt, nempe ut IH ad HG. Quod erat <lb/>ostendendum. </s></p> <pb pagenum="17"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg14"></margin.target>15. quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Coni recti basis ad reliquam conicam superficiem, est <lb/>ut semidiameter basis ad latus coni. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conus rectus, cuius <lb/> <arrow.to.target n="fig15"></arrow.to.target><lb/>basis AB, vertex verò C, axis <lb/>CD. </s></p> <figure id="fig15"></figure> <p type="main"> <s>Dico circulum basis, ad re­<lb/>liquam conicam superficiem, <lb/>esse ut DA, ad AC. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim ita non est; erit <lb/>circulus AB vel maior, vel <lb/>min. quam oportet esse, ut ad conicam superficiem sit <lb/>quemadmodum DA ad AC. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primùm maior; et ponatur tantò maior quantum <lb/>est spatium E. Inscribatur in circulo poligonum deficiens <lb/>à circulo, minori defectu quàm spatium E; <expan abbr="habebitq;">habebitque</expan> hu­<lb/>iusmodi poligonum ad conicam superficiem adhuc maiorem <lb/>rationem, quàm DA ad AC. Secto deinde uno poligoni <lb/>latere AF bifariam in H, iungantur DH, CH; et super <lb/>poligono concipiatur pyramis quae verticem habeat in C; <lb/>seceturque DI aequalis ipsi DH, et ducatur IL paralella <lb/>ad BC, <expan abbr="iungaturq.">iungaturque</expan> IC. </s></p> <p type="main"> <s>Cum <expan abbr="itaq.">itaque</expan> poligonum ad conicam superficiem maiorem <lb/>habeat rationem quàm DA ad AC; multò maiorem ratio­<lb/>nem habebit ad superficiem suae pyramidis, quàm DA ad <lb/>AC, vel DB ad BC. Sed poligonum ad superficiem pyra­<lb/>midis, per praècedentem, est ut DH ad HC; habebit ergo <lb/>DH ad HC, sive DI ad IC, multò maiorem rationem quàm <lb/>DB ad BC, vel quàm DI ad IL. Et propterea IC minor <lb/>esset quam IL absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Nam quadratum IC aequale est duobus quadratis ID, <lb/>DC; cum quadratum IL aequale sit tantùm duobus ID, DL. <lb/>Ponatur deinde circulus basis AB minor quàm oportet esse <lb/>ut ad conicam superficiem sit quemadmodum recta DA <lb/>ad AC, sitque tantò minor quantum est spatium E. Cir­<lb/>cumscribatur circulo AB poligonum aliquod excedens <lb/>circulum minori excessu quàm sit spatium E. <expan abbr="Habebitq.">Habebitque</expan> <pb pagenum="18"/>poligonum ad conicam superficiem, adhuc minorem ratio­<lb/> <arrow.to.target n="marg15"></arrow.to.target><lb/>nem quàm DA ad AC; ergò poligonum ad perimetrum <lb/>suae pyramidis multò mino­<lb/> <arrow.to.target n="fig16"></arrow.to.target><lb/>rem rationem habebit quàm <lb/>DA ad AC. Sed poligonum <lb/>ad perimetrum suae pyra­<lb/>midis est ut DF ad FC; <lb/>propterea DF ad FC, multò <lb/>minorem rationem habebit <lb/>quàm DA ad AC; quod est <lb/>impossibile. Aequales etenim sunt tam DF, DA, inter se, <lb/>quàm FC, AC, inter se. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg15"></margin.target>per 7. huius.</s></p> <figure id="fig16"></figure> <p type="main"> <s>Erit itaque basis coni recti àd reliquam superficiem, ut <lb/>DA ad AC. Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet quòd curva superficies coni, aequalis est circulo cuidam, <lb/>cuius semidiameter med. prop. sit inter CA, AD nempe, inter latus, et <lb/>semidiametrum basis coni. Nam sumpta media inter CA, AD erit cir­<lb/>culus qui fit ex media, ad circulum qui fit ex AD ut CA ad AD. Sed <lb/> <arrow.to.target n="marg16"></arrow.to.target><lb/>etiam curva coni superficies, ad circulum ex AD est ut CA ad AD. <lb/>Ergo aequalis est curva coni superficies, circulo, cuius semidiameter <lb/>media proportionalis sit inter CA, AD.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg16"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cuiuslibet coni recti superficies, ad superficiem <expan abbr="cuius-cunq;">cuius­<lb/>cunque</expan> cylindri recti demptis basibus, est ut rectangulum <lb/>sub latere, et semidiametro basis coni, ad rectangulum <lb/>per axem cylindri. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conus ABC, cuius basis AC, axis <lb/> <arrow.to.target n="fig17"></arrow.to.target><lb/>vero BH; et cylindrus cuius rectangulum <lb/>per axem sit DE. Dico conicam super­<lb/>ficiem ad cylindricam esse, ut rectan­<lb/>gulum BAH, ad rectangulum DE. <lb/> <arrow.to.target n="marg17"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg17"></margin.target>per 8. huius.</s></p> <figure id="fig17"></figure> <p type="main"> <s>Nàm conica superficies ad circulum suae basis est ut <lb/>AB, àd AH, sive ut rectangulum BAH ad quadratum AH </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg18"></arrow.to.target><lb/>circulus autem ex AH, ad cylindricam superficiem DE, <lb/>est ut quadratum AH, ad rectangulum DE. Propterea, ex <pb pagenum="19"/>aequo, erit conica superficies ABC ad cylindricam DE, <lb/>ut rectangulum BAH ad rectangulum DE. Quod erat <lb/>ostendendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg18"></margin.target>per 5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Conicae superficies, demptis basibus, inter se sunt ut <lb/>rectangula sub lateribus conorum, et sub semidiametris <lb/>basium compraehensa. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo coni recti ABC, DEF <lb/> <arrow.to.target n="fig18"></arrow.to.target><lb/>quorum axes BG, EH. Dico curvam <lb/>coni ABC superficiem, ad curvam su­<lb/>perficiem coni DEF esse ut rectan­<lb/>gulum BAG, ad rectangulum EDH <lb/>quae nimirum sub lateribus conorum, <lb/>et semidiametris basium compraehen­<lb/>duntur. </s></p> <figure id="fig18"></figure> <p type="main"> <s>Conica enim superficies ABC, ad circulum AC, est ut <lb/>recta BA ad AG, sive ut rectangulum BAG; ad quadra­<lb/> <arrow.to.target n="marg19"></arrow.to.target><lb/>tum AG. Circulus verò AC ad DF circulum, est ut qua­<lb/>dratum AG, ad DH; denique circulus DF ad conicam <lb/>superficiem DEF, est ut quadratum DH, ad rectangulum <lb/> <arrow.to.target n="marg20"></arrow.to.target><lb/>EDH ergò ex aequo curva coni superficies ABC ad cur­<lb/>vam DEF, erit ut rectangulum BAG, ad rectangulum <lb/>EDH. Quod erat ostendendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg19"></margin.target>per 8. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg20"></margin.target>per 8. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit ABCD frustum coni recti, abscissum planis ad axem erectis <lb/>(hoc enim modo semper intelligemus frusta <lb/> <arrow.to.target n="fig19"></arrow.to.target><lb/>conica) secenturque latera AB, DC bifariam in <lb/>punctis E, et H <expan abbr="iungaturq;">iungaturque</expan> EH. Dico rectam <lb/>EH componi ex utràque BL, AI, nempe ex <lb/>semidiametris basium oppositarum frusti <lb/>conici. </s></p> <figure id="fig19"></figure> <p type="main"> <s>Iungantur BD, EI, LH; Et quoniam AI, ID aequales sunt; item AE, <lb/>EB, aequales: erunt parallelae EI, BD et ideo in parallelogrammo <lb/> <arrow.to.target n="marg21"></arrow.to.target><lb/>aequalia erunt latera ID, EM. Ob eandem causam aequalia sunt BL, <lb/>MH. Ergo tota EH aequalis erit ipsis ID, BL simul sumptis. Quod <lb/>erat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="20"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg21"></margin.target>per 2. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Definitiones.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Vocabimus imposterum brevitatis causa lineam EH medians Aritme­<lb/>ticam frusti conici. </s></p> <p type="main"> <s>Rectangulum verò sub EH et AB latere frusti conici, dicemus <emph type="italics"/>rectan­<lb/>gulum proprium frusti conici.<emph.end type="italics"/><gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Curva superficies frusti conici, planis ad axem erectis <lb/>abscissi, ad conicam quamlibet superficiem, est ut rectan­<lb/>gulum proprium frusti, ad rectangulum sub latere, et se­<lb/>midiametro basis ipsius coni. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto frustum conicum <lb/>ABCD abscissum planis ad <lb/>axem erectis, sitque conus <lb/>quilibet EFG, cuius axis FH. <lb/>Dico curvam frusti AC su­<lb/>perficiem, ad curvam coni <lb/>EFG superficiem, esse, ut <lb/>rectangulum sub AB, et sub utraque AL, BI contentum, <lb/>ad rectangulum FEH. </s></p> <p type="main"> <s>Compleatur conus AMD cuius datum erat frustum, fa­<lb/>ctoque angulo MAN recto, et secta AN aequali ipsi AL <lb/>compleatur rectangulum AP. Ducto deinde diametro MN, <lb/>et facta BO parallela ad AN erit BO aequalis ipsi BI <lb/>compleatur etiam figura <expan abbr="Bq.">Bque</expan> <lb/> <arrow.to.target n="marg22"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg22"></margin.target>per 10. <lb/>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam superficies curva coni AMD ad superficiem cur­<lb/>vam coni BMC est ut rectangulum LAM ad rectangulum <lb/>IBM; nempe ut rectangulum AP ad <expan abbr="Bq;">Bque</expan> et dividendo, <lb/>erit curva frusti conici ABCD superficies, ad superficiem <lb/>coni BMC, ut gnomon AOP, ad rectangulum BQ hoc est <lb/>ut rectangulum sub AB; et utraque AN, BO, sive AL, BI, <lb/>ad rectangulum IBM. Curva verò superficies coni BMC <lb/>ad curvam coni EFG, est ut rectangul. IBM ad rect. FEH <lb/>ergò ex aequo curva frusti conici ABCD superficies ad <lb/>curvam coni EFG superficiem est ut rectan. contentum <lb/>sub AB, et utraque AL, BI ad rectangulum FEH. </s></p> <pb pagenum="21"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Patet ergò quod frusti conici ABCD superficies sine basibus ad su­<lb/>perficiem coni EFG est ut rectangulum proprium frusti ad rectangulum <lb/>FEH. Rectangulum autem proprium frusti comprehenditur sub recta AB, <lb/>et sub <expan abbr="utraq;">utraque</expan> AL, BI, sive potiùs sub AB, et media Aritmetica, quam <lb/>demonstravimus aequalem utrisque AL, BI.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cuiuscunque frusti conici superficies ad superficiem cy­<lb/>lindri recti, est ut rectangulum proprium frusti ad rectan­<lb/>gulum per axem cylindri. </s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum conicum ABCD, et cylindrus cuius rectan­<lb/>gulum per axem sit EF. Secetur AB bifariam in H, et <lb/> <arrow.to.target n="fig20"></arrow.to.target><lb/>agatur media Aritmetica HI aequidistanter ad BC. Dico <lb/>conicam frusti superficiem, ad cylindricam EF, esse ut <lb/>rectangulum sub HI, et AB, ad rectangulum EF. </s></p> <figure id="fig20"></figure> <p type="main"> <s>Accipiatur conus quilibet LMN, cuius axis MO. <expan abbr="Eritq;">Eritque</expan> <lb/>curva frusti superficies ad conicam curvam LMN, ut re­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg23"></arrow.to.target><lb/>ctangulum sub AB, HI, ad rectangulum MLO; sed curva <lb/>coni LMN ad curvam cylindri EF superficiem, est ut re­<lb/>ctangulum MLO, ad rectangulum EF; ergo ex aequo curva <lb/>frusti conici superficies, ad curvam superficiem cylindri, <lb/>est ut rectangulum sub AB, et HI, nempe ut rectangulum <lb/>proprium frusti, ad rectangulum EF per axem cylindri. <lb/>Quod erat ostendendum. </s></p> <pb pagenum="22"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg23"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Curva superficies <expan abbr="cuiuscunq;">cuiuscunque</expan> frusti conici ABCD ae­<lb/>qualis demonstratur circulo cuidam, cuius quidem circuli <lb/>semidiameter E media proportio­<lb/> <arrow.to.target n="fig21"></arrow.to.target><lb/>nalis sit inter latus AB frusti co­<lb/>nici, et inter FH mediam Aritme­<lb/>ticam eiusdem frusti. </s></p> <figure id="fig21"></figure> <p type="main"> <s>Esto quadratum E aequale <lb/>rectangulo sub BA, FH sumatur­<lb/>que cylindrus quilibet IL; et erit <lb/> <arrow.to.target n="marg24"></arrow.to.target><lb/>curva frusti conici superficies ad <lb/>curvam cylindricam IL, ut rectan­<lb/> <arrow.to.target n="marg25"></arrow.to.target><lb/>gulum sub BA, FH ad rectangulum IL; sive ut quadratum <lb/>E ad rectangulum IL; hoc est ut circulus ex radio E, ad <lb/>curvam cylindricam IL. Aequales ergò sunt inter se curva <lb/>superficies frusti conici AC, et circulus ex radio E factus. <lb/>Quae quidem Archimedis Propositio est 16 libri primi de <lb/>Sph. et cyl. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg24"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg25"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum tetigerit recta quaepiam linea aequalitèr <lb/><expan abbr="utrimq;">utrimque</expan> producta, et convertatur circulus circa quemlibet <lb/>sui axem (dummodo axis tangentem non secet) erit conici <lb/>frusti superficies, quae à tangente linea describitur, ae­<lb/>qualis superficiei cylindri eandem altitudinem cum frusto <lb/>conico habentis, et circa eandem sphaeram descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus ADBC, quem duae <lb/> <arrow.to.target n="fig22"></arrow.to.target><lb/>diametri AB, CD secent ad angulos <lb/>rectos. Duas insuper tangentes ha­<lb/>beat alteram DG in extremitate dia­<lb/>metri CD, alteram verò ubicunque <lb/>in I, et aequalitèr producantur hinc <lb/>inde ILIM; dumodo axem AB pro­<lb/>ductum non secent. Agantur deinde <lb/>per L, et per M parallelae ad CD, <lb/>rectae LE, MF tum figura convertatur circa axem AB. <pb pagenum="23"/>Tangens GH describet cylindricam quandam superficiem <lb/>cuius rectangulum per axem erit EFHG: Tangens verò <lb/>LM designabit frustum conicae superficiei; <expan abbr="deniq;">denique</expan> circulus <lb/>ipse sphaeram circumscribet. Dico cylindricam superficiem <lb/>à linea GH descriptam, et conicam superficiem à linea LM <lb/>factam aequales esse inter se. </s></p> <figure id="fig22"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur IP media Aritmetica conici frusti; et agatur <lb/>IR per centrum <expan abbr="q;">que</expan> <expan abbr="eritq;">eritque</expan> IR perpendicularis ad LM: Du­<lb/>catur etiam MT perpendicularis ad EG. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam duo anguli TMI, TLM uni recto sunt ae­<lb/>quales, nempe ipsi LIQ, demptis alternis TLM, LIS, erunt <lb/>aequales reliqui TML, SIQ ideoque triangula TML, SIQ, <lb/>cum rectangul. sint, similia erunt; Ergò ut TM ad ML <lb/>ita SI ad IQ hoc est (sumptis duplis) PI ad IR: et ideo <lb/>rectangulum sub TM, IR (quod quidem est rectangulum <lb/>EFHG) aequale erit rectangulo sub ML, IP, quod proprium <lb/>vocamus frusti conici. Proptereà per praecedentem ae­<lb/>qualis erit superficies conici frusti, quae à linea ML descri­<lb/>bitur, superficiei cylindri EFHG, eandem altitudinem cum <lb/>ipso frusto habentis, et circà eandem sphaeram ADBC <lb/>descriptibilis. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum tetigerit recta linea aequalitèr <expan abbr="utrinq;">utrinque</expan> pro­<lb/>ducta, et convertatur circulus circa axem, qui cum tangente <lb/>conveniat in extremitate ipsius tangentis, erit superficies <lb/>coni, quae à tangente describitur, aequalis superficiei cy­<lb/>lindri, eandem cum cono altitudinem <lb/> <arrow.to.target n="fig23"></arrow.to.target><lb/>habentis, et circà eandem sphaeram <lb/>descriptibilis. </s></p> <figure id="fig23"></figure> <p type="main"> <s>Positis ijsdem ut in praecedentis <lb/>propositionis constructione; si linea <lb/>ML incidat in axem BL productum, <lb/><expan abbr="sintq;">sintque</expan> aequales utrinque IL, IM, tunc <lb/>describet ipsa ML conicam superfi­<lb/>ciem, Dico conicam huiusmodi su­<lb/>perflciem aequalem esse superficiei cylindri EFHG eandem <pb pagenum="24"/>altitudinem habentis cum ipso cono, et circa eandem <lb/>sphaeram descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat enim angulus LMT rectus, et cum LM dupla po­<lb/>natur ipsius LI, erit MT dupla ipsius IR, hoc est aequalis <lb/>diametro sphaerae, sive ipsi FH cum autem, per quartam <lb/>sexti, sit ut ML ad LN, ita TM ad MN erit rectangulum <lb/>LMN aequale rectangulo sub TM, LN, hoc est rectangulo <lb/>sub FH, LN, quod quidem per axem est cylindri EFHG. <lb/> <arrow.to.target n="marg26"></arrow.to.target><lb/>Aequalis ergo est superficies coni OLM, superficiei cy­<lb/>lindri EFHG. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg26"></margin.target>9. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, sive à quaternario mensurentur, sive tantum <lb/>à binario, et convertatur figura circa diagonalem, erit uni­<lb/>versa superficies facti sphaeralis solidi, aequalis superficiei <lb/>cylindri circa eandem sphaeram descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto poligonum ABCDEF parilaterum, sive à quater­<lb/>nario numerus laterum mensuretur, ut in prima figura, <lb/> <arrow.to.target n="fig24"></arrow.to.target><lb/>sive tantum à binario, ut in secunda; et convertatur figura <lb/>circa axem AD, nempe circa diagonalem poligoni. Dico <lb/>universam superficiem facti solidi sphaeralis aequalem esse <lb/>superficiei cylindri GHIL eandem altitudinem habentis <lb/>cum ipso solido, et circa eandem sphaeram descriptibilis. <lb/> <arrow.to.target n="marg27"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg27"></margin.target>per praeced.</s></p> <figure id="fig24"></figure> <p type="main"> <s>Superficies enim coni BAF aequalis est superficiei cy­<lb/>lindri ML; Superficies autem frusti conici, quae inter plana <lb/>BF, CE intercipitur, aequalis est superficiei cylindri inter </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg28"></arrow.to.target><lb/>eadem plana intercepti: et sic de singulis partibus super­<lb/>ficierum, quae solidum sphaerale circumsepiunt; Ergò <pb pagenum="25"/>omnes simul superficies ambientes sphaerale solidum ae­<lb/>quales erunt superficiei cylindri GHIL. Quod erat osten­<lb/>dendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg28"></margin.target>3. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum duae diametri AB, CD, ad angulos rectos secuerint, <lb/><expan abbr="eundemq;">eundemque</expan> circulum duae aequales rectae lineae <lb/> <arrow.to.target n="fig25"></arrow.to.target><lb/>AF, BG tetigerint in extremitatibus axis AB. Tum <lb/>figura circà axem AB convertatur, describent AF, <lb/>BG duos circulos aequales, cum ipsae aequales <lb/>sint. Oportet segmentum cylindri circà eandem <lb/>sphaeram descriptibilis reperire, cuius superficies <lb/>aequalis sit duobus simul circulis ex AF, BG dc­<lb/>scriptis. </s></p> <figure id="fig25"></figure> <p type="main"> <s>Fiat angulus HGI rectus, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> BI altitudo <lb/>quaesiti cylindri. Nam propter angulum rectum <lb/>HGI, erit rectangulum HBI aequale quadrato BG; <lb/>et rectangulnm ABI hoc est rectangulum LM duplum erit quadrati BG. <lb/>Propterea superficies cylindri LM dupla erit circuli ex BG descripti, et <lb/> <arrow.to.target n="marg29"></arrow.to.target><lb/>ideo aequalis ambobus circulis ex BG, AF simul sumptis. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg29"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, sive â quaternario mensurentur, sive tantum <lb/>à binario, et convertatur figura circa catetum, erit uni­<lb/>versa superficies facti sphaeralis solidi, aequalis superficiei <lb/>cylindri circa eandem sphaeram descriptibilis, altitudinem <lb/>verò habentis aequalem lineae compositae ex diametro <lb/>sphaerae, et ex tertia proportionalium, si fiat ut sphaerae <lb/>semidiameter ad semilatus poligoni, ita semilatus ad aliam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus ABCD, quem secent duae diametri AC, <lb/> <arrow.to.target n="fig26"></arrow.to.target><lb/>BD ad angul. rectos, et circa ipsum sit poligona figura <pb pagenum="26"/>habens latera numero paria, sivè à quaternario mensu­<lb/>rentur, ut in prima figura; sive tantùm à binario, ut in <lb/>secunda: Tum convertatur figura circa catetum AC, hoc <lb/>est circa lineam connectentem bisectiones laterum oppo­<lb/>sitorum; Ex revolutione poligoni solidum sphaerale descri­<lb/>betur contentum sub circularibus, conicisque superficiebus, <lb/>et una cylindrica, ut in prima figura, sive circularibus, et <lb/>conicis tantùm, ut in secunda. Fiat deinde ut IC ad CL, <lb/>ita CL ad CM, quod facile erit si fiat angulus ILM rectus; <lb/>et per M agatur planum NO erectum ad axem. Dico uni­<lb/>versam superficiem solidi sphaeralis aequalem esse super­<lb/>ficiei cylindri ENOH. </s></p> <figure id="fig26"></figure> <p type="main"> <s>Hoc autem patet ex praemissis; Nam tota sphaeralis <lb/>solidi superficies, demptis circulis oppositis, aequalis est <lb/> <arrow.to.target n="marg30"></arrow.to.target><lb/>superficiei cylindricae inter plana EH, FG compraehensae. <lb/>Duo verò circuli oppositi quorum centra A, et C aequales <lb/>sunt (per praecedens lemma) superficiei cylindricae inter <lb/>duo plana FG, NO contentae. Propterea universa simul <lb/>sphaeralis solidi superficies aequalis erit superficiei cylindri <lb/>ENOH circa eandem sphaeram descripti, et altitudinem <lb/>habentis AM, quae componitur ex diametro sphaerae AC, <lb/>et ex recta CM, quae quidem tertia proportionalis est ad <lb/>semidiametrum IC, et semilatus, CL. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg30"></margin.target>deducitur ex <lb/>13. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum ABCD duae diametri AC, BD secent ad angulos rectos; <lb/>recta autem linea CE eundem contingat in extre­<lb/> <arrow.to.target n="fig27"></arrow.to.target><lb/>mitate axis AC et convertatur figura circa AC; <lb/>ipsa CE circulum describet. Oportet segmentum <lb/>cylindri circa eandem sphaeram descripti reperire, <lb/>cuius superficies aequalis sit circulo ex CE de­<lb/>scripto. </s></p> <figure id="fig27"></figure> <p type="main"> <s>Fiat angulus AEH rectus, ductoque plano per H <lb/>ad axem erecto. Dico cylindricam superficiem MILN <lb/>aequari circulo ex CE. Est enim ob angulum <lb/>rectum AEH, rectangulum ACH, hoc est rectan­<lb/> <arrow.to.target n="marg31"></arrow.to.target><lb/>gulum ML, aequale quadrato CE. Proptereà superficies cylindri MILN <lb/>aequalis erit circulo ex CE. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="27"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg31"></margin.target>per 5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur figura circà catetum poli­<lb/>goni: erit universa superficies facti sphaeralis solidi aequalis <lb/>superficiei cylindri circà eandem sphaeram descriptibilis, <lb/>altitudinem verò habentis aequalem lineae compositae ex <lb/>cateto poligoni, et ex tertia proportionalium, si fiat ut dia­<lb/>meter circuli ad semilatus poligoni, ità semilatus ad aliam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus ABCD, circa quem <lb/> <arrow.to.target n="fig28"></arrow.to.target><lb/>sit poligonum EFGHI habens latera <lb/>numero imparia; et convertatur figura <lb/>circa catetum EC, nempe circa lineam, <lb/>quae ab uno angulo E perducitur ad <lb/>bisectionem lateris oppositi; <expan abbr="orieturq;">orieturque</expan> <lb/>solidum sphaerale contentum sub co­<lb/>nicis superficiebus, unicoque circulo. </s></p> <figure id="fig28"></figure> <p type="main"> <s>Facto deinde angulo recto AHL, <lb/><expan abbr="ductoq;">ductoque</expan> per L plano MN ad axem erecto. Dico universam <lb/>solidi superficiem aequalem esse superficiei cylindri OMNP. <lb/> <arrow.to.target n="marg32"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg32"></margin.target>13. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Nam superficies solidi sphaeralis, dempto circulo ex CH <lb/>descripto, aequatur superficiei cylindri inter plana OP, QR <lb/>contenti: circulus autem ex CH factus aequalis est (prae­<lb/>cedens lemma) superficiei cylindri inter plana QR, MN <lb/>contenti: Propterea universa solidi superficies aequalis erit <lb/>superficiei cylindri OMNP qui quidem circa eandem sphae­<lb/>ram cum ipso solido describitur, altitudinem verò habet <lb/>lineam EL, quae componitur ex cateto EC, et ex linea <lb/>CL, quae tertia proportionalis est, si fiat ut AC diameter <lb/>sphaerae, ad CH semilatus poligoni, ita CH ad aliam. <lb/>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Hemisphaerij superficies aequalis est superficiei curvae <lb/>cylindri eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto hemisphaerium ABC, et circa ipsum cylindrus <lb/>eiusdem altitudinis, ADEC. </s></p> <pb pagenum="28"/> <p type="main"> <s>Dico superficiem hemisphaerij aequalem esse super­<lb/>ficiei cylindri ADEC. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim non est aequalis, vel maior erit, vel minor. <lb/>Ponatur primùm sphaerica super­<lb/> <arrow.to.target n="fig29"></arrow.to.target><lb/>ficies maior: fiatque ut cylindri <lb/>superficies ad superficiem hemi­<lb/>spherij, quae maior ponitur, ita <lb/>recta AD ad AG: <expan abbr="intelligaturq;">intelligaturque</expan> <lb/>cylindrus productus usque ad GF. <lb/>Secetur deinde arcus AB bifa­<lb/>riam, <expan abbr="iterumq;">iterumque</expan> portiones eius bifariam, et hoc semper, <lb/>donec poligoni circà semicirculum ABC descripti semilatus <lb/>VL minus sit quam recta DG (quod fieri posse constat ex <lb/>prima Decimi; semilatera enim poligonorum circulo cir­<lb/>cumscriptorum ex continua arcuum bisectione semper mi­<lb/>nuuntur plusquam pro medietate, ut ab alijs ostensum <lb/>est). Factum ergò sit; et esto poligonum HILMN, conver­<lb/>sàque figura circa axem LO, fiat ex poligono, semisolidum <lb/>sphaerale sub conicis superficiebus compraehensum. Cum <lb/>itaque recta DG maior sit quam semilatus LV, multo <lb/>maior eadem erit quàm LB, et propterea planum PQ pro­<lb/>ductum per L intra puncta D et G cadet. </s></p> <figure id="fig29"></figure> <p type="main"> <s>Iam quia superficies cylindri AE ad superficiem hemis­<lb/>phaerij est ut AD ad AG, hoc est ut cylindrica super­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg33"></arrow.to.target><lb/>ficies AE ad cylindricam AF, erit cylindrica superficies AF <lb/>aequalis sphaericae. Propterea, si sphaerica superficies ae­<lb/> <arrow.to.target n="marg34"></arrow.to.target><lb/>qualis sit cylindricae AF maior erit quam cylindrica AQ, <lb/>hoc est quam conicae omnes HILMN, <expan abbr="multoq;">multoque</expan> maior quam <lb/>omnes ASILMRC. quod est absurdum. Est enim contrà <lb/>principium ab Archimede praemissum. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg33"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg34"></margin.target>ex 15. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus conicam quae describitur à linea HS maiorem esse <lb/>quàm illa superficies, quae describitur à linea AS quod patet ex 12 <lb/>huius. Rectangulum enim proprium conicae superficiei multò maius est <lb/>quam rectangulum per axem cylindricae, quando quidem sub maioribus <lb/>lateribus continetur.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur iam sphaerica ABC minor quam cylindrica <lb/>ADEC. Fiat ut superficies cylindrica ADEC ad sphaeri­<lb/>cam, quae ponitur minor; ita recta AF ad FL. Fiatque <pb pagenum="29"/>ex FL semidiametro aliud hemisphaerium LNI, priori <lb/>concentricum, et circà ipsum intelligatur cylindrus LHMI: <lb/>Inscribatur etiam intrà se micirculum ABC figura laterum <lb/> <arrow.to.target n="fig30"></arrow.to.target><lb/>aequalium, ita ut latera ipsius non tangant semicirculum <lb/>LNI (quod fieri posse constat ex Euclide). <expan abbr="Describaturq;">Describaturque</expan> <lb/>alius semicirculus semidiametro FO, qui contingat singula <lb/>latera factae figurae, et convertatur universa figura circa <lb/>FB ita ut fiat semisolidum sphaerale AVBTC conicis <lb/>superficiebus circumseptum; ex semicirculo autem FO <lb/>fiat aliud hemisphaerium, circà quod concipiatur cylin­<lb/>drus RQSP. </s></p> <figure id="fig30"></figure> <p type="main"> <s>Iam sic; superficies cylindri ADEC ad superficiem he­<lb/>misphaerij est, per constructionem, ut AF ad FL, hoc est <lb/>ut AC ad LI, hoc est ut rectangulum AE ad rectangulum <lb/> <arrow.to.target n="marg35"></arrow.to.target><lb/>LM, hoc est ut cylindrica AE ad cylindricam LM. Quare <lb/>sphaerica superficies aequalis erit cylindricae LM, et pro­<lb/>pterea minor quàm cylindrica RS, hoc est quàm omnes <lb/> <arrow.to.target n="marg36"></arrow.to.target><lb/>conicae AVBTC, absurdum sphaerica enim superficies <lb/>ABC maior est quàm omnes conicae AVBTC. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg35"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg36"></margin.target>ab 15. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Hemisphaerij ergò superficies aequalis erit superficiei <lb/>cylindri eandem ipsi basim, <expan abbr="eandemq;">eandemque</expan> altitudinem habentis. <lb/>Cum demonstratum sit neque maiorem esse, neque mi­<lb/>norem. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cuiuscunque minoris portionis Sphaerae superficies ae­<lb/>qualis est curvae superficiei cylindri circà integram sphae­<lb/>ram descripti, et eandem altitudinem cum ipsa portione <lb/>habentis. <pb pagenum="30"/> <arrow.to.target n="marg37"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg37"></margin.target>15. quinti.</s></p> <p type="main"> <s>Esto minor sphaerae <lb/> <arrow.to.target n="fig31"></arrow.to.target><lb/>portio ABC, et portio cy­<lb/>lindri FDEG; circa inte­<lb/>gram sphaeram descripti, <lb/>eandem tamen altitudi­<lb/>nem HB cum ipsa por­<lb/>tione sphaerica habentis. <lb/>Dico sphaericam superfi­<lb/>ciem ABC aequalem esse superficiei cylindri FDEG. </s></p> <figure id="fig31"></figure> <p type="main"> <s>Si enim non est aequalis, vel maior erit vel minor. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur primum maior; et ipsi sphaericae superficiei <lb/>ABC construatur aequalis (ut in praecedenti) cylindrica <lb/>FLMG: secto deinde arcu AB bifariam, et portïones eius <lb/>iterum bifariam, et sic semper, circumscribatur arcui ABC <lb/>figura multorum laterum INOPQ, terminata ad diametros, <lb/>quae ducuntur per puncta A et C. Sitque per praedictam <lb/>bisectionem arcuum, semilatus RO minus quàm recta DL, <lb/>ut propterea planum ST, ductum per O, cadat intra puncta <lb/>D, et L. Quemadmodum in praecedenti etc. Convertatur <lb/>deinde figura universa circà OH, et ex conversione figurae <lb/>INOPQ nascetur portio solidi sphaeralis sub conicis super­<lb/>ficiebus contenta. </s></p> <p type="main"> <s>Iam sic. Quia sphaerica superficies ABC aequalis est <lb/>per constructionem cylindricae FLMG, maior eadem erit <lb/>quàm cylindrica FSTG, et multò maior quàm omnes co­<lb/>nicae INOPQ, <expan abbr="multoq;">multoque</expan> etiam maior quàm omnes conicae <lb/>AVNOPXC. Quod est absurdum, et contrà principia Ar­<lb/>chimedis. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus cylindricam superficiem FSTG maiorem esse omnibus <lb/>conicis <expan abbr="INOPq.">INOPque</expan> Hoc enim patet. Nam ex 13, 14 et 15 huius colligi <lb/>potest, conicas INOPQ aequales esse superficiei cylindricae contentae <lb/>inter planum ST, et planum quod duceretur per puncta <expan abbr="Iq.">Ique</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus etiam, ductà tangente AV conicam superficiem, quae <lb/>fit à linea IV, maiorem esse quàm illa quae fit linea AV. Quod quidem <lb/>demonstratur apud Archimedem ad Propositionem 37 de Sphaera et <lb/>Cylindro. Sed et ex nostris deduci potest. Nam rectangulum proprium <lb/>superficiei, quae fit à linea IV, maius est quàm rectangulum proprium <lb/>illius quae fit à linea AV. Continetur enim sub lineis maioribus.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="31"/> <p type="main"> <s>Ponatur deinde sphaerica superficies portionis ABC <lb/>min. quam cylindrica FDEG. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Fiat ut cylindrica FDEG ad sphaericam superficiem <lb/>ABC, quae minor ponitur, ita FH ad HM et centro T <lb/>semidiametro autem HM fiat hemisphaerium OQP, circa <lb/>quod intelligatur cylindrus OLNP. Intra arcum autem <lb/>ABC figura inscribatur multorum laterum AVBXC per <lb/>continuam bisectionem arcuum ita ut latera ipsius non <lb/>tangant semicirculum OQP, et convertatur universa figura <lb/>circa axem BT. Intelligatur autem radio TZ (quae recta <lb/>perpendicularis sit ad unum latus figurae inscriptae) de­<lb/>scribi sphaeram, quae tangat singula figurae AVBXC la­<lb/>tera, et circa huiusmodi sphaeram descriptus concipiatur <lb/>suus cylindrus <foreign lang="greek">gbed. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Iam sic. cylindrica superficies FDEG per constructio­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg38"></arrow.to.target><lb/>nem est ad sphaericam ABC, ut FH ad HM, hoc est ut <lb/>FG ad MI hoc est ut rectangulum FE ad rectangulum MN, <lb/> <arrow.to.target n="marg39"></arrow.to.target><lb/>hoc est ut eadem cylindrica FE, ad cylindricam MN. Erit <lb/>ideò sphaerica superficies ABC aequalis cylindricae MN <lb/> <arrow.to.target n="marg40"></arrow.to.target><lb/>nempè minor cylindrica <foreign lang="greek">qe</foreign> hoc est minor omnib. conicis <lb/>AVBXC; quod est absurdum. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg38"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg39"></margin.target>ex 6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg40"></margin.target>explicatur <lb/>infra.</s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus cylindricam superficiem <foreign lang="greek">qe</foreign> aequalem esse omnib. co­<lb/> <arrow.to.target n="marg41"></arrow.to.target><lb/>nicis AVBXC. Quod patet ex demonstratis. Sunt enim tam cylindrus <foreign lang="greek">qe</foreign>, <lb/>quàm omnes illae conicae eiusdem altitudinis HB; et circà eandem <lb/>sphaeram <foreign lang="greek">gd</foreign> describuntur.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg41"></margin.target>15. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Constat ergò superficiem ABC aequalem esse cylin­<lb/>dricae DFGE cum demonstratum sit neque maiorem esse, <lb/>neque minorem. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="32"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium I.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Ex prima duarum praemissarum Propositionum pa­<lb/> <arrow.to.target n="fig32"></arrow.to.target><lb/>tet superficiem integram sphaerae, aequalem esse su­<lb/>perficiei cylindri sibi circumscripti, et eiusdem cum <lb/>ipsa sphaera altitudinis. </s></p> <figure id="fig32"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim haemisphaerium ABC superficiem habeat <lb/>aequalem superficiei cylindri AEHC, et item hemispae­<lb/>rium alterum ADC, superficiem habeat aequalem super­<lb/>ficiei cylindri AFGC, erit coniunctim tota sphaerae superficies aequalis <lb/>superficiei cylindri FEHG; exceptis semper basibus.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium II.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Manifestum etiam est ex ultima propositione, super­<lb/> <arrow.to.target n="fig33"></arrow.to.target><lb/>ficiem maioris sphaerae portionis, aequalem esse su­<lb/>perficiei cylindri eandem cum portione altitudinem <lb/>habentis, et circà eandem sphaeram descriptibilis. <lb/> <arrow.to.target n="marg42"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg42"></margin.target>Corollar. <lb/>praeced.</s></p> <figure id="fig33"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim integra sphaerae superficies aequalis sit <lb/>superficiei cylindri IDGL, et demonstratum sit super­<lb/>ficiem segmenti minoris ABC aequalem esse superficiei <lb/>cylindri EDGF, erit reliqua superficies sphaerae AHC, aequalis reliquae <lb/>superficiei EILF. Quod oportebat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Superficies sphaerae quadrupla est maximi circuli in <lb/>eadem sphaera descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit sphaera ABCD cuius diameter AC; et <lb/> <arrow.to.target n="fig34"></arrow.to.target><lb/>circà ipsam intelligatur cylindrus eiusdem <lb/>altitudinis FEHG. </s></p> <figure id="fig34"></figure> <p type="main"> <s>Dico superficiem sphaerae quadruplam <lb/>esse maximi circuli in ea descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Superficies enim cylindri FEHG sine ba­<lb/>sibus, est ad circulum suae basis circa FG, sive circa AC </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg43"></arrow.to.target><lb/>descriptum, ut EF ad quar. partem ipsius FG, hoc est ut <lb/>FG ad quar. partem ipsius FG; hoc est quadrupla. Pro­<lb/> <arrow.to.target n="marg44"></arrow.to.target><lb/>pterea etiam superficies sphaerae, quae cylindricae est <lb/>aequalis, quadrupla erit circuli circa AC descripti, qui in <lb/>sphaera maximus est. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="33"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg43"></margin.target>4. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg44"></margin.target>ex prim. <lb/>Corollar. <lb/>praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Aliter.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Sphaerica superficies ABCD aequalis est cylindricae FEHG; cylin­<lb/>drica verò FEHG ad circulum, cuius semidiameter sit AC, est ut re­<lb/>ctangulum per axem EG, ad quadratum ex semidiametro AC, nempe <lb/> <arrow.to.target n="marg45"></arrow.to.target><lb/>ad quadratum EG; et ideò aequalis: propterea etiam sphaerica super­<lb/>ficies aequalis erit circulo cuius semidiameter sit AC; ergò quadrupla <lb/>erit circuli cuius diameter sit AC. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg45"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><expan abbr="Cuiuscunq;">Cuiuscunque</expan> portionis sphaerae superficies aequalis est <lb/>circulo, cuius semidiameter aequalis sit lineae quae ex <lb/>polo portionis perducitur ad circulum, qui in eiusdem por­<lb/>tionis basi est. </s></p> <p type="main"> <s>Esto sphaerae portio sive minor sive maior ABC. cuius <lb/>ex polo ducta sit recta AB. Dico superficiem portionis <lb/> <arrow.to.target n="fig35"></arrow.to.target><lb/>aequalem esse circulo qui fit ex AB tamquam semidia­<lb/>metro. </s></p> <figure id="fig35"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim quadratum AB aequale sit rectangulo DBE <lb/>ob circulum, aequale erit et rectangulo GFIH, quod idem <lb/>est ac rectangulum DBE. Propterea circulus ex AB ae­<lb/>qualis erit superficiei cylindri, cui per axem sit rectang. <lb/> <arrow.to.target n="marg46"></arrow.to.target><lb/>GFIH, et ideo aequalis etiam superficiei sphaericae por­<lb/>tionis ABC. Quod etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg46"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Tria haec Theoremata, quae sequuntur, ex Archimede desumpta <lb/>sunt; quod quidem fecimus ne lector Archimedem adire cogeretur, sed <lb/>universam hanc doctrinam in hoc libello haberet.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="34"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sint duo coni recti ABC, DEF. <expan abbr="Sitq;">Sitque</expan> curvae coni ABC <lb/>superficiei aequalis circulus DF; nempe basis alterius <lb/>coni DEF; rectae verò IH, quae <lb/> <arrow.to.target n="fig36"></arrow.to.target><lb/>ex centro I ducitur perpendicu­<lb/>lariter ad latus AB, aequalis sit <lb/>altitudo EL: Dico conos ABC, <lb/>DEF esse aequales. </s></p> <figure id="fig36"></figure> <p type="main"> <s>Nam altitudo BI ad altitudi­<lb/> <arrow.to.target n="marg47"></arrow.to.target><lb/>nem EL est ut BI ad IH (ob aequalitem) sive ut BA, <lb/>ad AI, nempe ut curva superficies ABC ad basim AC; <lb/>sive ut basis DF ad basim AC reciprocè. Quare aequales <lb/>erunt coni ABC, DEF. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg47"></margin.target>per 4. sexti. <lb/>8. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet quòd si conus aliquis, puta DOF basim quidem habeat <lb/>DF aequalem curvae superficiei ABC, altitudinem verò OL non aequa­<lb/>lem perpendiculari IH; Ita fore conum ABC ad conum DOF, ut est IH <lb/>ad OL. Nam conus DEF ad conum DOF est ut EL ad LO. Ergo (sum­<lb/>ptis antecedentium aequalibus) conus ABC ad conum DOF, erit ut IH <lb/>àd OL.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit rombus solidus ABCD, ex duobus conis rectis <lb/>compositus; <expan abbr="Sitq;">Sitque</expan> conus EFG habens basim EG aequalem <lb/>superficiei curvae alterius conorum rombi, puta, BAD; al­<lb/>titudinem verò FH aequalem <lb/> <arrow.to.target n="fig37"></arrow.to.target><lb/>rectae CL, quae quidem ex ver­<lb/>tice reliqui coni BCD ducitur <lb/>perpendiculariter in latus AB <lb/>productum alterius coni BAD. <lb/>Dico rombum solidum ABCD <lb/>aequalem esse cono EFG. </s></p> <figure id="fig37"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur IN perpendicularis ad AB. Iam, conus BCD, <lb/>ad conum BAD, est ut CI ad IA; et componendo, rombus <pb pagenum="35"/>ABCD ad conum BAD est ut CA ad AI; sive ut CL, <lb/>ad IN. Conus verò BAD ad conum EFG est ut IN ad FH: <lb/>ergo ex aequo rombus ABCD ad conum EFG est ut CL <lb/> <arrow.to.target n="marg48"></arrow.to.target><lb/>ad FH. Ergo aequalis. Quod erat, etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg48"></margin.target>per Cor. <lb/>praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit conus sive rombus solidus ABCD sectus plano <lb/>EF ad basim parallelo. Intelligaturque ex integro solido <lb/>ABCD ablatus rombus solidus EBFD. Dico reliquum so­<lb/> <arrow.to.target n="fig38"></arrow.to.target><lb/>lidum ex cavatum AEDFC quod superest, equale esse <lb/>cono cuidam M, cuius basis M sit aequalis frusto curvae <lb/>superficiei conicae AEFC inter plana EF, AC, interceptae, <lb/>altitudo verò M sit aequalis perpendiculari DI, quae à <lb/>vertice ablati rombi D ducitur in latus BA. </s></p> <figure id="fig38"></figure> <p type="main"> <s>Intelligantur tres coni aequealti L, M, N quorum uni­<lb/>cuique altitudo sit aequalis rectae DI; basis verò coni L <lb/>sit aequalis curvae superficiei coni EBF at basis M ae­<lb/>qualis sit segmento conicae superficiei inter plana EF, AC <lb/>intercepto: coni tandem N basis aequalis sit utrisque simul <lb/>praedictis basibus; sive (quod idem est) integrae superficiei <lb/>curvae coni ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est quod integrum solidum ABCD aequale <lb/>erit cono N (per alterutram praecedentium duarum Pro­<lb/>pos.) sed etiam duo coni L et M simul sumpti aequales <lb/> <arrow.to.target n="marg49"></arrow.to.target><lb/>sunt eidem cono N ergo integrum solidum ABCD aequale <lb/>erit duobus conis L et M simul sumptis. Demptis itaque, <pb pagenum="36"/>rombo EBFD, et cono L, qui per praecedentem sunt ae­<lb/>quales, reliquum solidum excavatum AEDFC aequale erit <lb/>reliquo cono M. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg49"></margin.target>ex 24. <lb/>Quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ex cylindro auferatur conus eandem ipsi basim, et <lb/>eandem altitudinem habens, erit reliquum excavatum so­<lb/>lidum, quod ex cylindro superest, aequale cono cuidam, <lb/>cuius basis aequalis sit superficiei curvae cylindri, altitudo <lb/>verò aequalis semidiametro basis ipsius cylindri. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus, cuius rectangu­<lb/> <arrow.to.target n="fig39"></arrow.to.target><lb/>lum per axem sit ABCD et ex ipso <lb/>auferatur conus BEC, ut dictum est. <lb/>Sumatur autem alius conus FIL, <lb/>cuius basis FL aequalis sit superficiei curvae cylindri, al­<lb/>titudo aequalis rectae NB hoc est semidiametro basis cy­<lb/>lindri. Dico reliquum ex cylindro solidum, dempto cono <lb/>BEC, aequale esse cono FIL. </s></p> <figure id="fig39"></figure> <p type="main"> <s>Secetur BN bifariam in O. Conus ergo FIL ad conum <lb/>BEC, rationem habet compositam ex ratione altitudinum <lb/>HI ad BA, hoc est NB ad BA, et ex ratione basium, hoc <lb/> <arrow.to.target n="marg50"></arrow.to.target><lb/>est basis quae circa FL ad basim quae circa BC, sive quod <lb/>idem est, superficiei cylindricae ad basim propriam quae <lb/>circa BC, hoc est, lineae AB ad BO. Erit ergò conus FIL <lb/>ad conum BEC, ut NB ad BO, nempe duplus: solidum <lb/>etiam cylindricum excavatum, dempto cono BEC, duplum <lb/>est eiusdem coni BEC. Propterea solidum cylindricum <lb/>excavatum aequale erit cono FIL, cuius basis aequatur <lb/>superficiei cylindri, altitudo verò aequalis est semidiametro <lb/>basis cylindri. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg50"></margin.target>4. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ex cono conus auferatur eandem habens basim alti­<lb/>tudinem verò minorem, erit excavatum solidum conicum, <lb/>quod relinquitur, aequale cono cuidam, cuius quidem basis <lb/>aequalis sit curvae superficiei totius prioris coni, alti- <pb pagenum="37"/>tudo verò aequalis perpendiculari, quae ex vertice ablati <lb/>coni demittitur in latus maioris coni. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conus rectus ABC ex quo auferatur conus ADC, <lb/>uti dictum est. Ponatur autem <lb/> <arrow.to.target n="fig40"></arrow.to.target><lb/>conus EFG, habens basim EG, <lb/>aequalem curvae superficiei coni <lb/>ABC; altitudinem verò HF ae­<lb/>qualem rectae DI, quae per­<lb/>pendicularitèr à vertice ablati <lb/>coni cadit in latus AB. Dico solidum conicum excavatum <lb/>ADCB, dempto cono ADC, aequale esse cono EFG. </s></p> <figure id="fig40"></figure> <p type="main"> <s>Nam cum triangula BLA, BID, rectangula sint, ha­<lb/>beantque angulum communem ABL, similia erunt. Sed <lb/>conus EFG ad conum ADC rationem habet compositam <lb/>ex ratione basium, nempe circuli circa EG, sive superficiei <lb/>curvae coni ABC, ad circulum circa AC, hoc est rectae <lb/> <arrow.to.target n="marg51"></arrow.to.target><lb/>BA ad AL; sive BD ad DI, et ex ratione altitudinum, <lb/> <arrow.to.target n="marg52"></arrow.to.target><lb/>nempe HF ad DL, sive DI ad DL. Conus ergo EFG, ad <lb/>conum ADC erit ut linea BD ad LD. Sed conus ABC <lb/>ad conum ADC est ut BL ad LD, et dividendo, etiam <lb/>solidum excavatum ADCB ad conum ADC est ut linea <lb/>BD ad DL. Propterea constat solidum excavatum ADCB <lb/>aequale esse cono EFG. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg51"></margin.target>8. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg52"></margin.target>4. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ab eadem magnitudine AB duae magnitudines inae­<lb/> <arrow.to.target n="fig41"></arrow.to.target><lb/>quales auferantur AC, maior, et AD minor, <expan abbr="fueritq;">fueritque</expan> DC, nempe <lb/>differentia inter ablatas, aequalis differentiae sive excessui, <lb/>quo maius residuum BD superat quandam magnitudinem E. <lb/>Dico ipsam E minori residuo CB aequalem esse. </s></p> <figure id="fig41"></figure> <p type="main"> <s>Patet hoc. Cum enim maius residuum DB superet magni­<lb/>tudinem E excessu DC; si excessu abijciatur, erit reliqua CB <lb/>aequalis magnitudini E. Propterea magnitudo E aequalis est <lb/>minori residuo. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXVII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ex conico frusto conus auferatur, qui pro basi ha­<lb/>beat maiorem frusti basim, altitudinem verò eandem cum <lb/>frusto; Erit reliquum excavatum solidum aequale cono <pb pagenum="38"/>cuidam, qui basim habeat aequalem superficiei curvae <lb/>frusti, altitudinem verò aequalem perpendiculari quae du­<lb/>citur ex vertice ablati coni in latus alterum conici frusti. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conicum frustum ABCD, <lb/> <arrow.to.target n="fig42"></arrow.to.target><lb/>cuius maior basis sit circulus <lb/>circa BC. Et ex ipso auferatur <lb/>conus BEC, cuius basis sit idem <lb/>circulus circa BC; altitudo verò <lb/>FE eadem cum frusto. Dico re­<lb/>liquum solidum excavatum dem­<lb/>pto cono BEC, aequale esse cono <lb/>cuidam, cuius basis aequalis sit <lb/>curvae superficiei conici frusti ABCD altitudo vero sit <lb/>linea EH quae nimirùm ex E vertice ablati coni cadit <lb/>perpendicularitèr in AB latus conici frusti. </s></p> <figure id="fig42"></figure> <p type="main"> <s>Inscribatur alius conus AFD habens basim circà AD, <lb/>et verticem in F. Ducaturque AI parallela ad EF, eritque <lb/>tota IC aequalis utrique simul semidiametro basium, nempe <lb/>ipsi EA, <expan abbr="ipsiq;">ipsique</expan> FB. Fiat deinde circa FB semicirculus FOB, <lb/>in quo applicetur BO aequalis ipsi FI, sive ipsi EA; <expan abbr="eritq;">eritque</expan> <lb/>circulus ex semidiametro FO differentia inter duos circu­<lb/>los, quorum semidiametri sint, FB, BQ, sive FB, et EA; <lb/>nempe differentia inter bases oppositas conici frusti, hoc <lb/>est inter bases conorum BEC, AFD, et propterea conus <lb/>cuius basis sit circulus ex FO semidiametro, altitudo verò <lb/>FE, differentia erit, sive excessus, quo maior conus BEC <lb/>superat minorem AFD. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur recta quaedam L, cuius quadratum aequale <lb/>sit rectangulo ex AB in IC, eritque circulus, qui fit ex L <lb/> <arrow.to.target n="marg53"></arrow.to.target><lb/>semidiametro, aequalis conicae superficiei frusti ABCD. <lb/>Demittatur denique ax F recta FM perpendicularis ad AB, <lb/>et ex E recta EN parall. ipsi HM, eritque facta figura <lb/>EHMN parallelogrammum rectangulum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg53"></margin.target>per Cor. <lb/>prop. 15. hu­<lb/>ius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam cum propter parallelas HM, RN, sint aequales an­<lb/>guli BAD, NED, demptis rectis IAD, FED, erunt reliqui <lb/>BAI, NEF aequales; et ideò triangula BAI, NEF, cum <lb/>rectos habeant angulos ad I et N aequiangula erunt. <lb/> <arrow.to.target n="marg54"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg54"></margin.target>5. secundi.</s></p> <p type="main"> <s>Cum autem rectangulum BIC simul cum quadrato FI <lb/>aequale sit quadrato FB, vel quadratis FO, OB, demptis <pb pagenum="39"/>aequalibus BO, FI erit reliquum rectangulum BIC qua­<lb/>drato FO aequale. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur iam conus AFD detrahi ex conico frusto <lb/>ABCD, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> reliquum excavatum solidum dempto prae­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg55"></arrow.to.target><lb/>dicto cono, aequale cono cuidam cuius basis semidiameter <lb/>sit L, altitudo verò FM. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg55"></margin.target>24. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam: quoniam ob similitudinem triangulorum, est NF <lb/>ad FE, ut BI ad BA, hoc est (sumpta communi altitudine) <lb/>ut rectangulum BIC ad rectangulum BA in IC, hoc est, <lb/>sumptis aequalibus, ut quadratum FO ad quadratum ex L <lb/>reciprocè, aequales erunt coni reciproci quorum alter alti­<lb/>tudinem habeat FE, et semidiametrum basis FO; alter <lb/>verò altitudinem habeat FN, et semidiametrum basis L. <lb/>Sed conus ille qui altitudinem habeat FE, et radium basis <lb/>FO, est excessus inter ablatas magnitudines, nempe inter <lb/>conos BEC, AFD; Conus verò ille qui altitudinem habet <lb/>FN, et radium basis L, est excessus quo maius residuum <lb/>totius magnitudinis (nempe conus cuius altitudo FM, et <lb/> <arrow.to.target n="marg56"></arrow.to.target><lb/>radius basis L) superat quandam aliam magnitudinem, <lb/>nempe conum, cuius altitudo NM, sive EH, radius autem <lb/>basis L; erit itaque haec magnitudo, per Lemma praemis­<lb/>sum, aequalis minori residuo; ergò conus praedictus, cuius <lb/>altitudo EH, et basis circulus ex L aequalis superficiei <lb/>conici frusti, aequalis erit minori residuo, hoc est reliquo <lb/>conici frusti ABCD dempto cono BEC. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg56"></margin.target>24. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Aliter.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Sed conemur idem ostendere minus laboriosa demonstratione; si <lb/>possibile erit ex difficultate materiae, et veriùs ex tenuitate ingenij. </s></p> <p type="main"> <s>Sit conicum frustum ABCD cuius <lb/> <arrow.to.target n="fig43"></arrow.to.target><lb/>maior basis BC, et ex ipso auferatur <lb/>conus BEC, altitudinem habens eandem <lb/>cum frusto, et pro basi, maiorem ipsius <lb/>frusti basim. Compleatur conus BGC, <lb/>cuius datum erat frustum, ductaque EH <lb/> <arrow.to.target n="marg57"></arrow.to.target><lb/>ad angulos rectos ipsi BG, ponatur IL <lb/>media proportionalis inter GB, BF, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> <lb/>circulus ex IL semidiametro descriptus, <lb/>aequalis superficiei coni BGC fiat circa IL semicirculus IML, in quo <lb/>aptetur IM media proportionalis inter GA, AE, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> circulus ex semi- <pb pagenum="40"/> <arrow.to.target n="marg58"></arrow.to.target><lb/>diametro IM factus aequalis superficiei coni AGD; Reliquus circulus <lb/>ex semidiametro ML factus, aequalis erit superficiei conicae frusti <lb/>ABCD. (si enim ab aequalibus aequalia demas reliqua sunt aequalia). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg57"></margin.target>per Cor. 8. <lb/>huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg58"></margin.target>per Cor. 8. <lb/>huius.</s></p> <figure id="fig43"></figure> <p type="main"> <s>Dico reliquum solidum frusti conici ABCD, ablato cono BEC, aequale <lb/>esse cono cuidam, cuius altitudo sit EH; basis verò aequalis super­<lb/>ficiei conicae ispsius frusti; hoc est circulus ex semidiametro ML de­<lb/>scriptus. </s></p> <p type="main"> <s>Cum .n. duo circuli ex radijs IM, LM facti aequales sint circulo ex IL <lb/>descripto si altitudo unicuique eadem assumatur EH, erunt duo coni <lb/>simul (quorum altitudo communis EH, bases vero circuli ex radijs <lb/> <arrow.to.target n="marg59"></arrow.to.target><lb/>IM, LM) aequales cono, cuius altitudo eadem EH, basis verò circulus <lb/>ex IL; iste vero conus aequalis est solido conico BECG, dempto cono <lb/>BEC, ergo duo illi coni aequales erunt solido BECG. Proptereà ablatis <lb/>utrinque aequalibus conis, nempè cono, cuius basis ex IM est, altitudo <lb/>EH, et cono AGD (sunt enim aequales per 22 huius) remanebunt ae­<lb/>qualia, solidum nempe excavatum frusti ABCD, detracto cono BEC, et <lb/>conus cuius altitudo EH, basis circulus ex LM radio factus, qui quidem <lb/>aequalis est superficiei conicae frusti ABCD. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg59"></margin.target>26. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Definitio.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ex cylindro cylindrus auferatur aequealtus, et circa eundum axem <lb/>descriptus, solidum excavatum quod relinquitur, Tubum cylindricum <lb/>appellabimus.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cylindrus ad tubum cylindricum aequealtum, est ut <lb/>quadratum semidiametri basis cylindri ad rectangulum <lb/>basis ipsius tubi cylindrici. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus AB cuius axis <lb/> <arrow.to.target n="fig44"></arrow.to.target><lb/>CD. Tubus verò cylindricus EF <lb/>(dempto nimirum cylindro GH) <lb/>aequealtus sit cum cylindro AB. <lb/>Dico cylindrum AB a tubum EF esse ut quadratum AC <lb/>semidiametri basis cylindri, ad rectangulnm EGI, nempe <lb/>ad rectangulum basis tubi, hoc est quod fit à differentia <lb/>EG et ab aggregato GI semidiametrorum basis ipsius tubi. </s></p> <figure id="fig44"></figure> <p type="main"> <s>Nam cylindrus integer EF ad cylindrum GH, est ut <lb/>quadratum EL ad LG quadratum. Et dividendo, Tubus <lb/>cylindricus EF ad cylindrum GH est ut rectangulum EGI <lb/>ad quadratum GL. Sed cylindrus GH ad AB cylindrum <lb/>est ut quadratum GL ad quadratum BC. Ergo ex aequo <pb pagenum="41"/>erit tubus cylindricus EF ad cylindrum AB ut rectan­<lb/>gulum EGI ad quadratum AC. Convertendo igitur patet <lb/>quod propositum erat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXIX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Datae figurae solidae rotundae figuram inscribere, al­<lb/>teramque circumscribere ex cylindris aequealtis, ita ut de­<lb/>scriptarum differentia minor sit quolibet dato solido. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus ABCD, cuius <lb/> <arrow.to.target n="fig45"></arrow.to.target><lb/>axis EF: <expan abbr="datoq;">datoque</expan> intra cylindrum <lb/>solido AED circa eundem axem <lb/>EF revoluto, sive hemisphaerium, <lb/>sive conus, vel conoides sit, oportet <lb/>ipsi solido AED duas figuras ex <lb/>cylindris aequealtis compositas, al­<lb/>teram quidem inscribere, alteram verò circumscribere ita <lb/>ut circumscripta superet inscriptam minori excessu quam <lb/>sit quodlibet datum solidum K. </s></p> <figure id="fig45"></figure> <p type="main"> <s>Secetur bifariam cylindrus AC plano HG ad axem EF <lb/>erecto; <expan abbr="iterumq;">iterumque</expan> cylindrus HD bifariam secetur plano IL; <lb/>et hoc fiat semper donec cylindrus aliquis puta AL minor <lb/>remaneat quàm solidum K. Tunc diviso toto cylindro AC <lb/>in cylindros aequealtos ac ipse AL, oriantur in solido AED <lb/>sectiones MN, OP, QR. Concipiamus super <expan abbr="unoquoq;">unoquoque</expan> cir­<lb/>culorum MN, OP, QR, duos cylindros, alterum quidem <lb/>versus E, alterum autem versus partes F conversum. <lb/><expan abbr="Eruntq;">Eruntque</expan> omnes simul cylindri qui verticem habent versus <lb/>F, aequales omnibus simul cylindris verticem versus E <lb/>habentibus (cum singuli singulis aequales sint). Ergo si <lb/>omnibus cylindris qui verticem habent versus E, addas <lb/>cylindrum AL, superabit iam figura circa solidum AED <lb/>descripta, figuram eidem inscriptam, differentia AL; Nempe <lb/>minori excessu quàm sit solidum K. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet quòd data figura solida, sive hemispherium sit, sive <lb/>conus, sive conoides etc. ipsi duae figurae solidae ex cylindris aeque­<lb/>altis compositae altera inscribi potest, altera vero circumscribi; ità ut <pb pagenum="42"/>differentia inter datam solidam figuram, et descriptarum alterutram, <lb/>minor sit quolibet dato solido K. </s></p> <p type="main"> <s>Differentia enim inter figuram datam et alteram descriptarum minor <lb/><expan abbr="utiq;">utique</expan> erit quam differentia inter descriptas (est enim pars eiusdem) ergo <lb/>multò minor quàm solidum K.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera quadrupla est coni cuiusdam, qui quidem conus <lb/>basim habeat aequalem maximo sphaerae circulo, altitu­<lb/>dinem vero eiusdem sphaerae semidiametro aequalem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus cuius centrum A; quadratum ipsi cir­<lb/>cumscriptum sit BCDE; iunctisque EA, AD. convertatur <lb/> <arrow.to.target n="fig46"></arrow.to.target><lb/>figura circa axem FG ita ut à quadrato fiat cylindrus, à <lb/>sphaera circulus; à triangulo EAD, conus EAD. </s></p> <figure id="fig46"></figure> <p type="main"> <s>Dico sphaeram quadruplam esse coni EAD. Nisi enim <lb/>quadrupla sit, non erit haemisphaerium aequale solido, <lb/>quod describitur à triangulo EHA circa axem FG converso <lb/>(cum hoc solidum duplum sit coni EAD). Erit <expan abbr="itaq;">itaque</expan> he­<lb/>misphaerium vel maius, vel minus solido trianguli EHA. <lb/> <arrow.to.target n="marg60"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg60"></margin.target>per 29. <lb/>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Esto primùm maius, si potest esse; sitque excessus <lb/>aequalis solido K. Inscribatur in hemisphaerio figura ex <lb/>cylindris aequealtis constans ita ut ab hemisphaerio de­<lb/>ficiat minori defectu quam sit solidum K. Et erit flgura <lb/>inscripta adhuc maior quàm solidum trianguli EHA. Se­<lb/>cetur etiam axis AG in tot partes aequales in quot sectus <lb/>erit AF. <expan abbr="Ductisq;">Ductisque</expan> per puncta sectionum planis ad axem <lb/>erectis, intelligatur in solido trianguli EHA inscripta figura <lb/>ex tubis cylindricis aequealtis constans, quorum unus sit, <lb/>cuius sectio est rectangulum HO. </s></p> <pb pagenum="43"/> <p type="main"> <s>Iam cylindrus IL ad tubum cylindricum HO, est ut <lb/>quadratum IP ad rectangulum MON. Sed quadratum IP </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg61"></arrow.to.target><lb/>aequale est rectangulo FPG, nempe ipsi MON (nam FP <lb/>aequalis est rectae BR, sivè ME, sive MO, et reliqua PG <lb/>reliquae ON) ergo cylindrus IL aequalis est tubo cylin­<lb/>drico HO. Hoc modo procedendo ostenduntur omnes cy­<lb/>lindri in haemispherio aequales omnibus tubis in solido <lb/>trianguli EHA. Quare figura in hemisphaerio inscripta ex <lb/>cylindris constans, aequalis erit figurae in solido trianguli <lb/>EHA descriptae ex tubis cylindricis compositae. Sed figura <lb/>in hemisphaerio descripta maior erat integro solido trian­<lb/>guli EHA. Ergò necesse est quod figura inscripta in so­<lb/>lido EHA eodem solido maior sit pars suo toto. Quod <lb/>esse non potest. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg61"></margin.target>per 28. <lb/>huius</s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde, si fieri potest, hemisphaerium minus solido <lb/>trianguli EHA; <expan abbr="sitq;">sitque</expan> defectus aequalis solido K. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Circumscribatur ipsi hemisphaerio figura solida ex cy­<lb/> <arrow.to.target n="marg62"></arrow.to.target><lb/>lindris aequealtis constans, ita ut excessus figurae super <lb/>hemisphaerium minus sit solido K. Tunc enim circum­<lb/>scripta figura adhuc minor erit solido trianguli EHA. Con­<lb/>cipiamus deinde solido trianguli EHA aliquam figuram <lb/>esse circumscriptam constantem ex tubis cylindricis aeque­<lb/>altis ac cylindri ex quibus constat figura haemisphaerio <lb/>circumscripta. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg62"></margin.target>per 29 <lb/>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam primus cylindrus HV figurae circa hemisphaerium <lb/>descriptae, aequalis est primo tubo cylindrico figurae cir­<lb/>cumscriptae solido trianguli EHA; nam et iste tubus, cy­<lb/>lindrus est HF. </s></p> <p type="main"> <s>Secundus cylindrus GI ad secundum tubum LM, est <lb/> <arrow.to.target n="marg63"></arrow.to.target><lb/>ut quadratum GN ad rectangulum LTF, nempe aequalis <pb pagenum="44"/>(quadratum enim GN, aequale est rectangulo ONP, sive <lb/>LTF, nam recta ON rectae BQ, sive LE, sive LT, aequalis <lb/>est, et reliqua NP reliquae TF). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg63"></margin.target>per 28. <lb/>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Ergo omnes simul cylindri figurae circa hemisphaerium <lb/>descriptae, hoc est eadem figura, aequalis erit omnibus <lb/>simul tubis cylindricis circa solidum trianguli EHA de­<lb/>scriptis, cum singuli singulis aequales sint. Sed figura circa <lb/>hemisphaerium descripta minor erat solido trianguli EHA. <lb/>Necesse igitur est quòd solidum trianguli EHA maius sit, <lb/>quam figura sibi circumscripta pars suo toto. Quod esse <lb/>non potest. </s></p> <p type="main"> <s>Hemisphaerim igitur neque maius, neque minus erit <lb/>solido trianguli EHA, sed ipsi aequale, solidum verò trian­<lb/>guli EHA duplum est coni EAD, ergò hemisphaerium <lb/>duplum erit coni EAD. Sphaera verò eiusdem quadrupla <lb/>erit, Quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet sphaeram subsesquialteram esse cylindri, cuius basis <lb/>aequalis sit maximo sphaera circulo, altitudo verò diametro sphaerae <lb/>aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Nam sph. ostenditur esse ad conum EAD ut 4, ad unum, conus <lb/>vero EAD ad cylindrum EBCD est ut unum ad 6 ergo ex aequo sphaera <lb/>ad cylindrum EBCD erit ut 4 ad 6. Nempe subsesquialtera.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE SOLIDIS SPHAERALIBUS<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>LIBER SECUNDUS<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Conus quilibet circa sphaeram descriptus, aequalis est <lb/>cono cuidam, qui basim habeat aequalem universae super­<lb/>ficiei circumscripti coni accepta etiam basi, altitudinem <lb/>verò aequalem radio sphaerae; </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa sphaeram, cuius cen­<lb/> <arrow.to.target n="fig47"></arrow.to.target><lb/>trum A, descriptus conus BCD, <lb/>(qui videlicet sphaeram tangat et <lb/>lateribus, et basi) <expan abbr="Ponaturq;">Ponaturque</expan> alius <lb/>conus EFG, qui basim habeat EG <lb/>aequalem tum curvae superficiei, <lb/>tum etiam basi coni BCD, altitudinem verò HF habeat <lb/>aequalem radio sphaerae AL. </s></p> <figure id="fig47"></figure> <p type="main"> <s>Dico conos BCD, EFG aequales esse. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum enim conicum excavatum quod fit ex revolu­<lb/>tione trianguli CBA circa axem IC, aequale est cono <lb/> <arrow.to.target n="marg64"></arrow.to.target><lb/>cuidam, qui basim habeat aequalem curvae superficiei <lb/>conicae BCD, altitudinem verò aequalem perpendiculari <lb/>AL, nempe radio sphaerae: Talis ergò conus unà cum <lb/>cono BAD (cum habeant eandem altitudinem) aequales <lb/>erunt cono EFG; Quandoquidem conus EFG basim habet <pb pagenum="46"/><expan abbr="utriq;">utrique</expan> simul basi aequalem, altitudinem verò alterutrae <lb/>aequalem. Proptereà et conus BCD, qui duobus praedictis <lb/>conis aequatur, aequalis erit cono EFG. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg64"></margin.target>26. p. partis</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Aliter.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/> <arrow.to.target n="marg65"></arrow.to.target><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg65"></margin.target>per 3. sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Ducatur IM aequidistans ipsi AL et quoniam angulus CBI divi­<lb/>ditur bifariam à linea BA, erit ut CB ad BI, ita CA ad AI. <lb/> <arrow.to.target n="marg66"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg66"></margin.target>8. prim. <lb/>partis.</s></p> <p type="main"> <s>Superficies ergò coni BCD sine basi, ad circulum suae basis est <lb/>ut CB ad BI, nempe ut CA ad AI, et componendo, et <lb/> <arrow.to.target n="fig48"></arrow.to.target><lb/>per conversionem rationis, erit universa superficies coni <lb/>BCD cum basi, ad superficiem eiusdem coni sine basi, <lb/>ut IC ad CA, hoc est ut IM ad AL. </s></p> <figure id="fig48"></figure> <p type="main"> <s>Propterea si reciprocè adhibeantur bases, et altitu­<lb/>dines, erit conus cuius altitudo AL, basis verò aequalis <lb/>universae superficiei coni BCD cum basi, aequalis cono <lb/>cuius altitudo sit IM, basis verò curva tantum superficies <lb/>conica BCD, hoc est cono BCD (aequales enim sunt, conus cuius altitudo <lb/>IM, basis verò conica superficies BCD; et conus BCD per 22 huius).<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Conus quilibet circa sphaeram descriptus, est ad sphae­<lb/>ram, ut coni ipsius universa superficies accepta etiam basi, <lb/>ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa sphaeram ABC de­<lb/> <arrow.to.target n="fig49"></arrow.to.target><lb/>scriptus conus DEF; Dico huius­<lb/>modi conum esse ad sphaeram, <lb/>ut coni superficies una cum basi, <lb/>ad superficiem sphaerae. </s></p> <figure id="fig49"></figure> <p type="main"> <s>Ponatur conus HIL ut in prae­<lb/>cedenti, cuius basis aequalis sit integro perimetro coni <lb/>DEF una cum basi, altitudo verò PI aequalis radio <lb/>sphaerae OC, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> conus HIL aequalis cono DEF. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg67"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg67"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s>Agatur per centrum O planum MN ad axem erectum, <lb/>et in hemisphaerio MCN concipiatur conus MCN. </s></p> <p type="main"> <s>Iam conus DEF ad conum HIL (ob aequalitatem) est <lb/>ut totus perimeter coni DEFD ad basim HL, conus autem <lb/>HIL ad conum MCN, (cum eandem habeant altitudinem) </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg68"></arrow.to.target><lb/>est ut basis HL ad basim MN, conus denique MCN ad <lb/>sphaeram, est ut basis MN ad superficiem sphaerae (nempe <pb pagenum="47"/>in ratione sub quadrupla) quare ex aequo erit conus DEF <lb/>ad sphaeram, ut universus perimeter coni DEF ad super­<lb/>ficiem sphaerae. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg68"></margin.target>20. et 30. p. <lb/>partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Conus quilibet circa sphaeram descriptus, est ad sphae­<lb/>ram, ut rectangulum contentum sub latere et semibasi <lb/>coni tamquàm una linea, et sub semibasi, ad quadratum <lb/>diametri sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa sphaeram, cuius diameter <lb/> <arrow.to.target n="fig50"></arrow.to.target><lb/>DE, descriptus conus quilibet ABC. Dico <lb/>conum ad sphaeram esse ut rectangulum <lb/>sub BAD tamquàm unà linea, et sub AD <lb/>compraehensum, ad quadratum DE. </s></p> <figure id="fig50"></figure> <p type="main"> <s>Curva enim superficies coni ABC ad <lb/> <arrow.to.target n="marg69"></arrow.to.target><lb/>circulum suae basis est ut BA ad AD, <lb/>et componendo erit totus coni perimeter ad eundem cir­<lb/>culum basis ut BA, AD simul ad AD; hoc est ut rectan­<lb/>gulum sub linea BAD, et sub AD ad quadratum AD; <lb/>circulus verò basis coni, ad circulum circa DE, est ut qua­<lb/>dratum AD ad quadratum DF, circulus denique circa DE <lb/>ad sphaerae superficiem, est ut quadratum DF ad quadra­<lb/>tum DE, ergò ex aequo universus coni ABCA perimeter <lb/>ad superficiem sphaerae (hoc est conus ipse ad sphaeram <lb/>per praecedentem) erit ut rectangulum sub recta linea <lb/>BAD, et sub AD, ad quadratum DE. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg69"></margin.target>8. p. pars.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Pro Corollario potest ostendi conum aequilaterum ad inscriptam <lb/>sphaeram, esse ut 9 ad 4. Posito enim latere AC 6 erit rectangulum <lb/>sub latere cum semibasi, et semibasi 27 quadratum verò BD 27 et qua­<lb/>dratum DE 12 ergo conus ad sphaeram erit ut 27 ad 12 sive ut 9 ad 4.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Possent hic Theoremata non pauca proponi circa solidorum circum­<lb/>scriptionem, et inscriptionem: qualia sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Si circa sphaeram prisma concipiatur, quod singulis suis parallelo­<lb/>grammis sphaeram contingat; sitque eiusdem altitudinis; Erit prisma <pb pagenum="48"/>ad sphaeram, ut perimeter basis prismatis ad duas tertias periphaeriae <lb/>maximi circuli sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò non eiusdem sit altitudinis; ratio prismatis ad sphaeram <lb/>componetur ex praedicta, et ex ratione altitudinum; altitudo autem <lb/>sphaerae diameter est. </s></p> <p type="main"> <s>Si cylindro circumscribatur prisma, quod singulis suis parallelo­<lb/>grammis superficiem cylindri contingat; <expan abbr="sintq;">sintque</expan> eiusdem altitudinis. <lb/>Erit prisma ad cylindrum, ut basis ad basim: nempe, ut perimeter <lb/>basis prismatis, ad periphaeriam basis cylindri: idem verum est de <lb/>cono, et pyramidibus circumscriptis. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò prisma, et cylindrus non eiusdem altitudinis fuerint; ratio <lb/>componetur ex ratione perimetri ad periphaeriam, et altitudinis ad <lb/>altitudinem. </s></p> <p type="main"> <s>Si intra cylindrum inscribatur prisma eiusdem altitudinis, habens <lb/>basim poligonam, regularem, et parilateram; Erit cylindrus ad prisma, <lb/>ut periphaeria basis cylindri ad perimetrum poligoni regularis in eo­<lb/>dem circulo descripti, quod habeat latera multitudine sub dupla po­<lb/>ligoni basis prismatis. Quae vera sunt etiam de cono, et pyramidibus <lb/>inscriptis. </s></p> <p type="main"> <s>Quando verò basis prismatis imparilatera fuerit, sive regularis, sive <lb/>irregularis: Erit cylindrus ad inscriptum prisma, ut periphaeria basis <lb/>cylindri ad omnes sinus arcuum à lateribus basis prismatis subten­<lb/>sorum. Dummodo nullus arcus semicirculo maior sit. Quando verò arcus <lb/>aliquis semicirculo maior sit; et quando figurarum altitudo non sit <lb/>eadem, et alia huiusmodi, onnia demonstrari possunt facili quidem <lb/>negotio; sed institutum nostrum est non omnem solidorum inscriptio­<lb/>nem, et circumscriptionem prosequi; sed illam, tantum, quae circa <lb/>sphaeram est, vel intra ipsam; Propterea ad inceptum revertamur.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, sive à quaternario, sive à binario mensurata, <lb/>et revolvatur figura circa diagonalem, erit factum sphae­<lb/>rale solidum aequale cono cuidam qui basim habeat ae­<lb/>qualem superficiei solidi, altitudinem verò semidiametro <lb/>sphaerae aequalem. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hoc autem quandò numerus laterum mensuratur à quaternario <lb/>demonstratum fuit ab Archimede Prop. 29 sive mavis 25 lib. p. de <lb/>Sph. et Cylin. Quando verò laterum numerus etiam à binario tantnm <lb/>mensuratur, ostendemus sic, eritque demonstratio (exceptis quae de <lb/>ultimo solido cylindrico dicentur) eadem cum ea quam affert Archi­<lb/>medes.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="49"/> <p type="main"> <s>Esto poligonum ABCDEFG habens latera à binario <lb/>tantum mensurata, ut in prima figura. Ergò semipoligo­<lb/> <arrow.to.target n="fig51"></arrow.to.target><lb/>num ABCDEF habebit latera numero imparia, latusque <lb/>unum tanget circulum in puncto T, <expan abbr="atq;">atque</expan> ideo cylindricam <lb/>superficiem in conversione describet. Intelligatur conus <lb/>MNO, cuius basis sit circulus MO aequalis universae su­<lb/>perficiei solidi sphaeralis, altitudo verò PN, aequalis sit <lb/>radio sphaerae. Dico sphaerale solidum aequale esse cono <lb/>MNO. </s></p> <figure id="fig51"></figure> <p type="main"> <s>Rombus enim solidus factus in conversione figurae à <lb/>triangulo ABQ, aequalis est cono cuidam cuius basis ae­<lb/> <arrow.to.target n="marg70"></arrow.to.target><lb/>qualis sit conicae superficiei descriptae à linea AB, alti­<lb/>tudo verò sit radius QR. Solidum autem excavatum factum <lb/>in conversione à triangulo BCQ, aequatur cono cuidam <lb/> <arrow.to.target n="marg71"></arrow.to.target><lb/>cuius basis aequalis sit conicae superficiei descriptae à <lb/>linea BC altitudo verò aequalis radio sphaerae QS et sic <lb/>semper procedatur. Ultimum denique solidum cylindricum <lb/> <arrow.to.target n="marg72"></arrow.to.target><lb/>excavatum descriptum à triangulo CTQ, aequale est cono <lb/>cuidam, cuius basis aequalis sit superflciei cylindricae à <lb/>linea CT factae, altitudo verò aequalis sit semidiametro <lb/>cylindri, QT; Et sic de solidis circa alterum hemisphae­<lb/>rium TFV descriptis. Ergo universum sphaerale solidum, <lb/>aequale erit omnibus praedictis conis simul sumptic: ijsdem <lb/>autem omnibus praedictis conis aequalis est conus MNO <lb/>(cum basim habeat omnibus simul illorum basibus aequa­<lb/>lem, nempe superficiei solidi sphaeralis, altitudinem verò <lb/>unicuique illorum aequalem, nempe radio sphaerae). Pro­<lb/>pterea praedictum solidum sphaerale aequale erit cono <lb/>MNO. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="50"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg70"></margin.target>23. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg71"></margin.target>24. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg72"></margin.target>25. p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circa diagonalem: ha­<lb/>bebit factum sphaerale solidum ad sphaeram suam eam <lb/>rationem, quam universa solidi sphaeralis superficies habet <lb/>ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentis Propositionis constructione; Esto <lb/>sphaerale solidum cuius diagonalis, atque axis sit AB, cen­<lb/>trum autem sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad <lb/> <arrow.to.target n="fig52"></arrow.to.target><lb/>inscriptam sibi sphaeram esse, ut superficies solidi ad su­<lb/>perficiem sphaerae. </s></p> <figure id="fig52"></figure> <p type="main"> <s>Inscribatur n. in hemisphaerio conus DEF, et ponatur <lb/>conus GIH cuius basis GH aequalis sit universae super­<lb/>ficiei solidi sphaeralis ut in praecedenti altitudo verò LI <lb/>aequalis radio sphaerae, et erit per praecedentem sphaerale <lb/>solidum aequale cono GIH. </s></p> <p type="main"> <s>Propter aequalitatem ergò, erit sphaerale solidum ad <lb/>conum GIH ut superficies universa sphaeralis solidi ad ba­<lb/>sim coni GIH; conus autem GIH ad conum DEF (ob <lb/>aequalem altitudinem) est ut basis circa GH ad basim <lb/>circa DF; conus denique DEF ad sphaeram, est ut ba­<lb/>sis circa DF ad superficiem sphaerae (nempe in ratione <lb/>subquadrupla). Propterea erit ex aequo sphaerale solidum <lb/>ad inscriptam sibi sphaeram ut universa sphaeralis solidi <lb/>superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="51"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circa diagonalem, erit <lb/>factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram ut <lb/>axis solidi ad axem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium constructione; esto sphaerale <lb/>solidum, cuius diagonalis, atque axis sit AB centrum verò <lb/>sphaerae sit C, et diameter HI. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram <lb/>esse ut AB ad HI. </s></p> <p type="main"> <s>Circumscribatur n: circa sphaeram cylindrus NLMO <lb/>agantur que per extremitates axis A, B, plana ad axem <lb/>erecta DG, EF per extremitates verò diametri HI plana <lb/>LM, NO. </s></p> <p type="main"> <s>Erit, per praecedentem, sphaerale solidum ad sphaeram <lb/> <arrow.to.target n="marg73"></arrow.to.target><lb/>ut superficies sphaeralis solidi ad superficiem sphaerae; <lb/>hoc est, (sumptis aequalibus) ut superficies cylindri DEFG, <lb/> <arrow.to.target n="marg74"></arrow.to.target><lb/>ad superficiem cylindri LNOM, hoc est ut AB ad HI. <lb/>Quare sphaerale solidum ad sphaeram est ut axis solidi <lb/> <arrow.to.target n="marg75"></arrow.to.target><lb/>ad diametrum sphaerae. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg73"></margin.target>per 15. <lb/>p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg74"></margin.target>18. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg75"></margin.target>prima <lb/>p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intra circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circa diagonalem, erit <lb/>sphaera ad inscriptum sibi sphaerale solidum, ut quadra­<lb/>tum diametri sphaerae, ad quadratum cateti poligoni. </s></p> <p type="main"> <s>Sit n. circ. cuius cent. A, et diamet. BC poligonum <lb/>regulare, cuius diagonalis sit linea BC, et convertatur <pb pagenum="52"/>figura circa BC. Dico sphaeram circumscriptam ad in­<lb/>clusum sphaerale solidum, esse ut qua­<lb/> <arrow.to.target n="fig53"></arrow.to.target><lb/>dratum AC, ad quadratum cateti po­<lb/>ligoni AD. Ducatur enim DE ex D <lb/>perpendicularis ad BC, et EF perpen­<lb/> <arrow.to.target n="marg76"></arrow.to.target><lb/>dicularis ad AD, <expan abbr="eruntq;">eruntque</expan> in continua <lb/>proportione quatuor rectae AC, AD, <lb/>AE, AF. Concipiatur etiam radio AD <lb/>aliam sphaeram describi, quae singulas <lb/>conicas superficies solidi sphaeralis <lb/>continget; necnon cylindricam, si quam huiusmodi sphae­<lb/>rale solidum habebit. <lb/> <arrow.to.target n="marg77"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg76"></margin.target>4. sexti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg77"></margin.target>ultima duo­<lb/>decimi.</s></p> <figure id="fig53"></figure> <p type="main"> <s>Erit itaque sphaera maior ad sphaeram minorem, ut <lb/>CA ad AF; minor verò sphaera ad sphaerale solidum, <lb/>quod sibi circumscribitur (per praecedentem) est ut DA <lb/>ad AC, hoc est, ut AF ad AE; Proptereà ex aequo erit <lb/>circumscripta sphaera maior, ad inscriptum solidum sphae­<lb/>rale, ut CA ad AE; nempe ut quadratum CA ad quadra­<lb/>tum AD. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa sphaerale solidum, natum ex revolutione poli­<lb/>goni circà diagonalem revoluti, sphaera circumscribatur, <lb/>et altera inscribatur. Habebit circumscripta sphaera ad <lb/>solidum, duplicatam rationem illius, quam habet solidum <lb/>ad inscriptam sphaeram. </s></p> <p type="main"> <s>Repetita figura Propositionis praecedentis; cum sit cir­<lb/>cumscripta sphaera ad solidum ut quadratum CA ad qua­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg78"></arrow.to.target><lb/>dratum AD; solidum verò ad inscriptam sibi minorem <lb/>sphaeram, ut CA ad AD; patet rationem circumscriptae <lb/>sphaerae ad solidum sphaerale duplicatam esse illius quam <lb/>solidum hahet ac insctiptam sphaeram. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg78"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa sphaerale solidum, natum ex revolutione <lb/>poligoni circà diagonalem revoluti, sphaera circumscri­<lb/>batur, et altera inscribatur: Erit superficies solidi sphae- <pb pagenum="53"/>ralis media proportionalis inter superficies duarum sphae­<lb/>rarum. </s></p> <p type="main"> <s>Manente figura, et constructione <lb/> <arrow.to.target n="fig54"></arrow.to.target><lb/>praecedentium propositionum. Dico tres <lb/>superficies, nempe maioris sphaerae, so­<lb/>lidi sphaeralis, <expan abbr="minorisq;">minorisque</expan> inscriptae <lb/>sphaerae, esse inter se in continua pro­<lb/>portione. </s></p> <figure id="fig54"></figure> <p type="main"> <s>Superficies enim circumscriptae <lb/>sphaerae est ad superficiem inscriptae, <lb/>ut quadratum CA ad quadratum AD; <lb/>superficies autem solidi ad superficiem eiusdem inscriptae <lb/>sphaerae, est ut recta CA ad rectam AD: Ergò tres su­<lb/> <arrow.to.target n="marg79"></arrow.to.target><lb/>perficies praedictae sunt in continua proportione; et qui­<lb/>dem perimeter sphaeralis solidi medius proportionalis est. <lb/>inter superficies duarum sphaerarum. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg79"></margin.target>Ostenditur <lb/>in 6. huius</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, sive à quaternario, sive tantum à binario <lb/>mensurata; et convertatur figura circa catetum; Erit fa­<lb/>ctum sphaerale solidum aequale cono cuidam, cuius quidem <lb/>basis aequalis sit universae superficiei solidi sphaeralis, al­<lb/>titudo verò aequalis radio sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum figura poligona aequilatera ABC­<lb/>DEH habens latera numero paria, et convertatur figura <lb/> <arrow.to.target n="fig55"></arrow.to.target><lb/>circa catetum IL, <expan abbr="orieturq;">orieturque</expan> solidum contentum sub co­<lb/>nicis, circularibus, et una cylindrica superficie, quando <pb pagenum="54"/>numerus laterum à quaternario mensuratur; quandò verò <lb/>à binario tantum, tunc erit solidum sphaerale sub co­<lb/>nicis, et circularibus tantum superficiebus compraehensum. <lb/>Dico <expan abbr="utrumq;">utrumque</expan> sphaerale solidum aequale esse cono cuidam <lb/>MNO, qui basim habeat aequalem universae solidi sphae­<lb/>ralis superficiei, altitudinem verò PN aequalem radio <lb/>sphaerae. </s></p> <figure id="fig55"></figure> <p type="main"> <s>Hoc ostendetur similiter ut propositione 4 factum est. <lb/>Nam conus qui fit à triangulo IAQ in conversione circa <lb/>axem IL, aequatur cono qui basim habeat aequalem cir­<lb/>culo qui fit ex radio IA, altitudinem verò aequalem radio <lb/>sphaerae QI, quia idem prorsus est. Solidum autem exca­<lb/> <arrow.to.target n="marg80"></arrow.to.target><lb/>vatum, quod fit à triangulo ABQ, aequale probatur cono <lb/>cuidam, cuius basis aequalis sit conicae superficiei factae <lb/>à linea AB, altitudo verò sit QR radius sphaerae. Ultimum <lb/>denique cylindricum solidum excavatum, factum à trian­<lb/>gulo BQS (quando poligoni latera à quaternario mensu­<lb/> <arrow.to.target n="marg81"></arrow.to.target><lb/>rantur, aliàs cylindricum solidum nullum est) aequatur <lb/>cono cuius basis aequalis sit cylindricae superficiei factae <lb/>à linea BS altitudo verò sit QS; et sic de altero hemi­<lb/>sphaerio. Proptereà universum sphaerale solidum aequale <lb/>erit omnibus praedictis conis simul sumptis; et ideo ae­<lb/>quale erit etiam cono MNO, qui omnibus illis simul <lb/>sumptis aequivalet; (quandoquidem basim habet omnibus <lb/>simul illorum basibus aequalem ex suppositione; altitudi­<lb/>nem verò unicuique illorum aequalem, nempe radium <lb/>sphaerae). Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg80"></margin.target>24. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg81"></margin.target>25. p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero pario, et convertatur figura circa catetum, habebit <lb/>factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram <lb/>eam rationem, quam universa solidi sphaeralis superficies <lb/>habet ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentis propositionis constructione, esto <lb/>sphaerale solidum cuius catetus, et axis sit AB; centrum <lb/>autem sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad inscri- <pb pagenum="55"/>ptam sibi sphaeram esse ut universa ipsius solidi super­<lb/>ficies ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur enim in hemisphaerio conus DAE, et in­<lb/>telligatur alius conus FGH, cuius basis FH aequalis sit <lb/> <arrow.to.target n="fig56"></arrow.to.target><lb/>universae superficiei solidi sphaeralis, altitudo verò IG <lb/>aequalis radio sphaerae; et erit per praecedentem sphae­<lb/>rale solidum aequale cono FGH. </s></p> <figure id="fig56"></figure> <p type="main"> <s>Propter aequalitatem ergo, erit sphaerale solidum ad <lb/>conum FGH, ut superficies universa sphaeralis solidi, <lb/>ad basim coni FGH, conus autem FGH, ad conum DAE <lb/>(ob aequalem altitudinem) est ut basis circa FH, ad basim <lb/>circa DE; denique conus DAE, ad sphaeram, est ut <lb/>basis circa DE ad superficiem sphaerae (nempe in ratione <lb/>subquadrupla): Propterea erit ex aequo sphaerale solidum <lb/>ad inscriptam sibi sphaeram, ut universa sphaeralis solidi <lb/>superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circa catetum; Ha­<lb/>bebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphae­<lb/>ram, eam rationem, quam habet composita recta linea ex <lb/>diametro sphaerae, et ex tertia proportionali (si fiat ut <lb/>semidiameter sphaerae ad semilatus poligoni, ita semilatus <lb/>ad aliam), ad diametrum sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium propositionum constructione, <lb/>esto sphaerale solidum cuius catetus, et axis sit AB; cen­<lb/>trum autem sphaerae sit C. Fiat angulus CDE rectus, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> <pb pagenum="56"/>BE tertia proportionalis ad semidiametrum CB, et semi­<lb/>latus poligoni BD. Dico sphaerale solidum ad inscriptam <lb/> <arrow.to.target n="fig57"></arrow.to.target><lb/>sibi sphaeram esse ut EA ad AB; nempe ut composita <lb/>ex diametro sphaerae AB, et tertia proportionali BE, ad <lb/>diametrum sphaerae AB. Concipiatur circa sphaeram de­<lb/>scriptus cylindrus FLMI, et per puncta A; B; E produ­<lb/>cantur plana FI, LM, GH, ad axem erecta. </s></p> <figure id="fig57"></figure> <p type="main"> <s>Erit ergo, per praecedentem, sphaerale solidum ad in­<lb/>scriptam sibi sphaeram, ut superficies solidi ad superficiem <lb/> <arrow.to.target n="marg82"></arrow.to.target><lb/>sphaerae; hoc est, sumptis aequalibus, ut superficies cy­<lb/>lindri FGHI ad superficiem cylindri FLMI; hoc est ut <lb/> <arrow.to.target n="marg83"></arrow.to.target><lb/>linea AE ad AB. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg82"></margin.target>16. pri. <lb/>partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg83"></margin.target>18. p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circa catetum; erit <lb/>factum sphaerale solidum ad suam sphaeram, ut duo qua­<lb/>drata, nempe ut quadratum diagonalis, et quadratum cateti <lb/>simul, ad duplum quadrati eiusdem cateti. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum, cuius centrum A, descriptum po­<lb/> <arrow.to.target n="fig58"></arrow.to.target><lb/>ligonum habens latera numero paria, et convertatur figura <lb/>circa catetum BC: <expan abbr="factoq;">factoque</expan> angulo recto ADE, erit (per <pb pagenum="57"/>praecedentem) solidum sphaerale ad suam sphaeram ut <lb/>EB ad BC. Dico insuper solidum sphaerale ad suam sphae­<lb/>ram esse, ut quadratum ex AD, simul cum quadrato ex <lb/>AC, ad duplum quadrati ex AC. </s></p> <figure id="fig58"></figure> <p type="main"> <s>Nam EA ad AC est ut quadratum DA ad quadratum <lb/>AC; et componendo, erunt EA, et AC simul, hoc est <lb/>tota EB, ad AC, ut duo quadrata DA, AC simul ad qua­<lb/>dratum AC; sumptisque consequentium duplis, erit EB <lb/> <arrow.to.target n="marg84"></arrow.to.target><lb/>ad BC (hoc est solidum sphaerale ad sphaeram) ut duo <lb/>quadrata DA, AC simul, ad duplum quadrati ex AC. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg84"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intrà circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circà catetum; erit <lb/>sphaera ad inscriptum sibi solidum, ut integra diameter <lb/>sphaerae, ad secundam simul, et quartam proportionalium, <lb/>in ratione semidiametri sphaerae ad semicatetum poligoni. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in circulo cuius diameter AB <lb/> <arrow.to.target n="fig59"></arrow.to.target><lb/>poligonum habens latera numero pa­<lb/>ria, et convertatur figura circa cate­<lb/>tum CD: Ducanturque perpendicu­<lb/>lares DF ad rectam HE, et FI ad <lb/>HD; et erunt quatuor lineae EH, HD, <lb/>HF, HI, in continua ratione semidia­<lb/>metri HE ad semicatetum HD. Dico <lb/>sphaeram ad inscriptum solidum esse, <lb/>ut dupla HE ad <expan abbr="utramq;">utramque</expan> simul DH, HI. Vel ut integra <lb/>diameter sphaerae ad CI. </s></p> <figure id="fig59"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur alia sphaera intra solidum inscripta. Erit <lb/>ergo exterior sphaera ad interiorem, ut EH ad HI, sive <lb/> <arrow.to.target n="marg85"></arrow.to.target><lb/>ut dupla EH ad duplam HI; interior verò sphaera ad <lb/>solidum sphaerale est, ut duo quadrata ex HD, ad duo <lb/>quadrata HD, HE, hoc est ut duo quadrata ex HI, ad <lb/> <arrow.to.target n="marg86"></arrow.to.target><lb/>duo quadrata ex HI, HF, hoc est (ut infrà ostendemus) <lb/>ut dupla HI ad HI, HD; Propterea erit ex aequo sphaera <lb/>exterior ad inscriptum sibi sphaerale solidum, ut dupla <lb/>HE, hoc est integra diameter sphaerae, ad HI, et HD <pb pagenum="58"/>simul; quae quidem sunt secunda, et quarta in ratione <lb/>semidiam. sphaerae ad semicatetum poligoni. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg85"></margin.target>Ultima duo­<lb/>decimi.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg86"></margin.target>per praec.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Quod autem assumptum est ostendemus.<emph.end type="italics"/> Dico ut duo <lb/>quadrata ex HI ad duo quadrata simul HI, HF ita esse <lb/>duplam HI ad HI, HD. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ob angulum rectum HFD, erit ut quadratum FH <lb/>ad quadratum HI, ita recta DH ad HI, et componendo, <lb/>sumptisque consequentium duplis, erit ut quadrata FH, <lb/>HI, ad duo quadrata ex HI, ita duae rectae DH, HI, ad <lb/>duplam HI. Convertendo ergò, erunt duo quadrata ex HI, <lb/>ad duo quadrata HI, HF ut dupla HI, ad HI, HD simul. <lb/>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­<lb/>goni, erit factum sphaerale solidum aequale cono cuidam, <lb/>cuius basis aequalis sit universae superficiei solidi, altitudo <lb/>verò radio sphaerae sit aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circuli centrum A, polig. <lb/> <arrow.to.target n="fig60"></arrow.to.target><lb/>verò perimeter BCDEFGH. Et sint <lb/>latera eius numero imparia; conver­<lb/>taturque figura circa catetum BI, ut <lb/>oriatur solidum sphaerale contentum <lb/>sub conicis superficiebus unicoque <lb/>circulo circa diametrum EF descri­<lb/>pto. Ponatur iam conus LMN, qui <lb/>basim habeat aequalem universae su­<lb/>perficiei sphaeralis solidi, altitudinem <lb/>verò OM aequalem radio sphaerae <lb/>AI. Dico solidum sphaerale aequale esse cono LMN. </s></p> <figure id="fig60"></figure> <p type="main"> <s>Agatur per centrum sphaerae planum PQ ad axem <lb/>erectum, quod transuersè, secabit aliquod latus poligoni, <lb/>puta CD. </s></p> <p type="main"> <s>Erit iam rombus solidus, factus à conversione triang. <lb/> <arrow.to.target n="marg87"></arrow.to.target><lb/>BCA, aequalis cono, qui basim habeat aequalem conicae <lb/>superficiei factae à linea BC; altitudinem autem aequalem <lb/>radio sphaerae AR. Solidum verò conicum excavatum <pb pagenum="59"/>quod fit ex giro trianguli CPA, aequale erit cono, qui <lb/> <arrow.to.target n="marg88"></arrow.to.target><lb/>basim habeat aequalem superficiei, quae fit à linea CP <lb/>altitudinem verò aequalem radio sphaerae AS. Solidum <lb/>quoque excavatum, factum ex revolutione trianguli PDA, <lb/> <arrow.to.target n="marg89"></arrow.to.target><lb/>aequatur cono, qui basim habeat aequalem superficiei co­<lb/>nicae quae fit à motu lineae PD, altitudinem autem ae­<lb/>qualem radio shpaerae AS. Eadem prorsum eodem modo <lb/>dicuntur de solido conico excavato, facto à triangulo DAE; <lb/>et de ultimo cono facto à revolutione trianguli EIA. Pro­<lb/>pterea totum sphaerale solidum aequale erit omnibus prae­<lb/>dictis conis simul sumptis, vel cono LMN, qui omnibus <lb/>illis praedictis aequivalet: (habet enim basim omnibus si­<lb/>mul illorum basibus aequalem, altitudinem verò aequalem <lb/><expan abbr="unicuiq;">unicuique</expan> illorum). Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg87"></margin.target>23. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg88"></margin.target>24. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg89"></margin.target>27. p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Attulimus in hac Propositione Theor. 23, 24 et 27 p. partis; Nam <lb/>ex gyro trianguli BCA oritur rombus solidus ut in 23 p. partis. Ex <lb/>gyro trianguli CPA oritur solidum quoddam excavatum, quale relin­<lb/>quitur si ex cono auferatur rombus solidus: ut in 24 p. partis. Denique <lb/>ex conversione trianguli DPA oritur solidum quoddam excavatum ha­<lb/>bens basim circularem PQ: quale relinquitur si ex frusto conico conus <lb/>auferatur habens basim eandem cum maiore basi frusti conici, altitu­<lb/>dinem quoque eandem ut in Prop. 27 p. partis.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur <lb/> <arrow.to.target n="fig61"></arrow.to.target><lb/>figura circa catetum; habebit fa­<lb/>ctum sphaerale solidum ad inscri­<lb/>ptam sibi sphaeram, eam rationem <lb/>quam universa sphaeralis solidi su­<lb/>perficies habet, ad superficiem <lb/>sphaerae. </s></p> <figure id="fig61"></figure> <p type="main"> <s>Manente praecedentis proposi­<lb/>tionis constructione, sit sphaerale <lb/>solidum cuius catetus, sive axis sit <lb/>AB, centrum verò sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum <pb pagenum="60"/>ad inscriptam sibi sphaeram esse, ut ipsius solidi integra <lb/>superficies ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur in hemisphaerio conus DEF; et intelligatur <lb/>conus GHI cuius basis GI aequalis sit universae superfi­<lb/>ciei solidi sphaeralis, altitudo verò LH aequalis sit radio <lb/>sphaerae, et erit per praecedentem, sphaerale solidum <lb/>aequale cono GHI. </s></p> <p type="main"> <s>Propter aequalitatem ergò, erit sphaerale solidum ad <lb/>conum GHI, ut superficies universa sphaeralis solidi, ad <lb/>basim coni GHI; conus autem GHI ad conum DEF (ob <lb/>aequalem altitudinem) est ut basis circa GI, ad basim <lb/>circa DF conus denique DEF, ad sphaeram est, ut ba­<lb/>sis circa DF ad superficiem sphaerae (nempe in ratione <lb/>subquadrupla). Proptereà erit ex aequo, sphaerale solidum <lb/>ad inscriptam sibi sphaeram, ut universa sphaeralis solidi <lb/>superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­<lb/>goni, habebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi <lb/>sphaeram eam rationem, quam habet linea composita ex <lb/>cateto poligoni et tertia proportionalium (si fiat, ut dia­<lb/>meter sphaerae ad semilatus poligoni, ita semilatus ad <lb/>aliam), ad diametrum sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium constructione, <lb/> <arrow.to.target n="fig62"></arrow.to.target><lb/>sit sphaerale solidum cuius catetus, at­<lb/>que axis sit AB, centrum verò sphaerae <lb/>C, et diameter DB. Fiat angulus rectus <lb/>DEF, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> BF tertia proportionalium, <lb/>posita diametro DB pro prima, et semi­<lb/>latere poligoni BE pro secunda. Dico <lb/>sphaerale solidum ad inscriptam sibi <lb/>sphaeram esse ut tota AF ad DB. </s></p> <figure id="fig62"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur circa sphaeram cylindrus MNOP, et per <lb/>puncta A, D, B, F, plana agantur ad axem erecta. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergo, per praecedentem, sphaerale solidum ad in­<lb/>scriptam sibi sphaeram, ut superficies sphaeralis solidi <pb pagenum="61"/>ad superficiem sphaerae; hoc est, sumptis aequalibus, <lb/> <arrow.to.target n="marg90"></arrow.to.target><lb/>ut superficies cylindri GHIL ad superficiem cylindri <lb/>MNOP; hoc est ut recta AF ad BD per primam p. par­<lb/>tis. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg90"></margin.target>per 17. et 18. <lb/>p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­<lb/>goni; habebit factum sphaerale solidum ad sphaeram eam <lb/>rationem quam habent quatuor simul termini nempe, ma­<lb/>ximus, <expan abbr="minimusq;">minimusque</expan> cum duobus medijs; ad quatuor minimos; <lb/>(quandò ratio rectae GB ad GD continuata fuerit in tri­<lb/>bus terminis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus cuius diameter AB, cen­<lb/> <arrow.to.target n="fig63"></arrow.to.target><lb/>trum verò G, <expan abbr="ipsiq;">ipsique</expan> circumscribatur poli­<lb/>gonum habens latera numero imparia, <lb/>cuius catetus sit GB, et convertatur fi­<lb/>gura circa CB; Factoque angulo GDF <lb/>recto, erit ratio rectae GB ad GD con­<lb/>tinuata in tribus terminis GB, GD, GF; <lb/>uti propositum est. Dico solidum ad <lb/>sphaeram esse, ut GF, GB, simul cum GD bis sumpta, ad <lb/>ipsam GB quater sumptam. </s></p> <figure id="fig63"></figure> <p type="main"> <s>Fiat alius angulus ADE rectus; <expan abbr="eritq;">eritque</expan> solidum ad <lb/>sphaeram per praecedentem, ut CE ad diametrum sphaerae <lb/>AB, hoc est ut EG, GD simul, ad diametrum sphaerae (sunt <lb/>enim aequales GC, GD) hoc est ut dupla EG, et dupla GD <lb/> <arrow.to.target n="marg91"></arrow.to.target><lb/>ad duas diametros, hoc est ut FG, GB cum dupla GD, ad <lb/>quatuor semidiametros GB. Quod erat demon. etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg91"></margin.target>ostenditur <lb/>infra.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Quod autem assumptum fuit, ostendemus sic.<emph.end type="italics"/> Dico ipsam <lb/>EG bis sumptam, aequalem esse duabus FG, GB. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam ob angulum rectum, rectangula ABE, GBF, <lb/>aequalia sunt eidem quadrato BD, aequalia erunt et inter <lb/>se; ideoque latera eorum reciproca, nempe ut AB ad BG <lb/>subduplam, ita erit FB ad BE subduplam; aequales ergo <lb/>sunt FE, EB et tres rectae GF, GE, GB sunt in propor­<lb/>tione Aritmetica; ideo EG bis sumpta aequalis erit duabus <lb/>FG, GB. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="62"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intra circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­<lb/>goni, erit sphaera inscriptum sibi sphaerale solidum, ut <lb/>sunt quatuor simul maximi termini, ad maiorem reliquo­<lb/>rum semel, et medium bis, et minorem semel sumptum <lb/>(quando proportio CD ad CE continuata erit in quatuor <lb/>terminis). </s></p> <p type="main"> <s>Sit circulus cuius diameter AI, cen­<lb/> <arrow.to.target n="fig64"></arrow.to.target><lb/>trum verò C, et inscribatur poligonum <lb/>habens latera numero imparia; tum con­<lb/>vertatur figura circa catetum AD. Fiant­<lb/>que anguli CEB et CBF recti, eritque <lb/>ratio CD ad CE continuata in quatuor <lb/>terminis CD, CE, CB, CF. Dico sphaeram <lb/>ad inscriptum sibi solidum sphaerale <lb/>esse, ut CF quater sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD <lb/>semel, simulque sumptas. </s></p> <figure id="fig64"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur alia sphaera cuius semidiameter CD: in­<lb/> <arrow.to.target n="marg92"></arrow.to.target><lb/>scripta in solido. Erit ergo maior sphaera ad minorem ut <lb/>cubus EC ad cubum CD vel recta FC ad CD, vel ut FC <lb/>quater, ad CD quater; sphaera verò minor inscripta, est <lb/>ad solidum sphaerale, (per praecedentem) ut CD quater <lb/>sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD semel: Propterea <lb/>erit ex aequo, maior, sive circumscripta sphaera, ad suum <lb/>sphaerale solidum, ut CF quater sumpta, ad CB semel, CE <lb/>bis, et CD semel sumptas. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg92"></margin.target>Ultima duo­<lb/>decimi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hactenus sex praecipua Theoremata de solidis sphaeralibus demon­<lb/>strata sunt. Sequuntur nunc quaedam scitu non iniucunda, et ad do­<lb/>ctrinam spectantia.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="63"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intra sphaeram descriptum sit sphaerale solidum pa­<lb/>rilaterum, <expan abbr="circaq;">circaque</expan> diagonalem revolutum: erit sphaera ad <lb/>excessum, quo ipsa solidum superat, in duplicata ratione <lb/>diametri sphaerae ad latus poligoni. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in circulo cuius centrum A de­<lb/> <arrow.to.target n="fig65"></arrow.to.target><lb/>scriptum poligonum habens latera numero <lb/>paria, et convertatur circa diagonalem BC. <lb/>Dico sphaeram ad excessum, quo ipsa so­<lb/>lidum superat, esse ut quadratum BC ap <lb/>quadratum CD. </s></p> <figure id="fig65"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur AE ex centro perpendicularis <lb/>ad latus CD, et producatur. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam per demonstrata, est ut sphaera ad solidum <lb/> <arrow.to.target n="marg93"></arrow.to.target><lb/>sphaerale ita quadratum FA ad quadratum AE, erit per <lb/>conversionem rationis sphaera ad excessum, ut quadratum <lb/>FA ad differentiam quadratorum FA, AE, hoc est ad re­<lb/>ctangulum FEG, sive ad quadratum EC. Constat ergò <lb/>sphaeram ad excessum quo ipsa superat inscriptum sphae­<lb/>rale solidum esse ut quadratum FA ad quadratum EC, <lb/>sive ut quadratum BC ad quadratum CD. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg93"></margin.target>7 huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si in eadem sphaera duo solida parilatera, et circa dia­<lb/>gonalem revoluta, concipiantur, erit differentia unius à <lb/>sphaera, ad differentiam alterius a sphaera, homologè in <lb/>duplicata ratione laterum. </s></p> <p type="main"> <s>Sint in circulo cuius diameter AB duo <lb/> <arrow.to.target n="fig66"></arrow.to.target><lb/>semipoligona ACB, ADB; et convertatur <lb/>figura circà diagonalem AB. Dico diffe­<lb/>rentiam inter sphaeram, et sphaerale soli­<lb/>dum ACB, ad differentiam inter sphaeram <lb/>et sphaerale solidum ADB, esse ut qua­<lb/>dratum CB ad quadratum BD. </s></p> <figure id="fig66"></figure> <p type="main"> <s>Demonstratum enim est differentiam ACB, esse ad <lb/> <arrow.to.target n="marg94"></arrow.to.target><lb/>sphaeram, ut quadratum BC, ad quadratum AB, sed sphaera <pb pagenum="64"/> <arrow.to.target n="marg95"></arrow.to.target><lb/>ad differentiam ADB, est ut quadratum AB ad quadratum <lb/>BD, ergo ex aequo erit differentia ACB ad differentiam <lb/>ADB ut quadratum BC ad quadratum BD. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg94"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg95"></margin.target>per eandem.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si eidem sphaerae duo solida parilatera, et similia, <lb/>circaque diagonalem revoluta, alterum circumscribatur, <lb/>alterum verò inscribatur; superficies sphaerae media pro­<lb/>portionalis erit inter superficies <lb/> <arrow.to.target n="fig67"></arrow.to.target><lb/>duorum solidorum. </s></p> <figure id="fig67"></figure> <p type="main"> <s>Sit circulus, cuius diameter AB <lb/>atque ipsi duo poligona, alterum <lb/>circumscribatur, alterum verò in­<lb/>scribatur, <expan abbr="habeatq;">habeatque</expan> <expan abbr="utrumq;">utrumque</expan> latera <lb/>numero paria, et sit numerus late­<lb/>rum unius aequalis numero laterum <lb/>alterius, ut sphaeralia solida similia <lb/>evadant. Tum convertatur figura <lb/>circa diagonalem CD. </s></p> <p type="main"> <s>Dico superficiem factae sphaerae mediam proportio­<lb/>nalem esse inter superficies factorum solidorum. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur ex centro G recta GL ad contactus M et L, <lb/>et radio GM fiat sphaera IMH. </s></p> <p type="main"> <s>Iam superficies solidi AF ad superficiem sphaerae IM <lb/>intra ipsum inscriptae est ut solidum AF ad sphaeram <lb/>IM, per 5. huius, nempe ut axis AG ad GM, per 6. huius, <lb/>hoc est ut rectangulum AGM ad quadratum GM; Super­<lb/>ficies verò sphaerae IM ad superficiem sphaerae ALF est <lb/>ut quadratum GM ad quadratum GA. Ergò ex aequo su­<lb/>perficies solidi AF ad superficiem sphaerae AL erit ut <lb/>rectangulum AGM ad quadratum GA, nempe ut recta MG <lb/>ad GA vel ut recta LG ad GC. Sed superficies sphaerae <lb/>ALF ad superficiem solidi CE est ut LG ad GC (quod <lb/>probatur eodem modo ut factum fuit supra) ergo in con­<lb/>tinua proportione sunt superficies universa solidi AMF, <lb/>superficies sphaerae ALF et superficies solidi CE. Quod <lb/>erat etc. </s></p> <pb pagenum="65"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet etiam quod si eidem solido sphaerali parilatero circa <lb/>diagonalem revoluto duae sphaerae, altera circumscribatur, altera verò <lb/>inscribatur, tres superficies in continua proportione erunt inter se.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sphaeralia solida parilatera circa diagonalem revoluta, <lb/>et eidem sphaerae, vel aequalibus sphaeris circumscripta, <lb/>inter se sunt ut axes. </s></p> <p type="main"> <s>Sint circa circulum cuius centrum A <lb/> <arrow.to.target n="fig68"></arrow.to.target><lb/>duo poligona dissimilia, quorum latera nu­<lb/>mero paria sint, et convertantur circa dia­<lb/>gonalem. <expan abbr="Sitq;">Sitque</expan> alterius factorum solidorum <lb/>BFC, axis BC; alterius verò nempe DGE, <lb/>esto axis DE. Dico solidum BFC, ad so­<lb/>lidum DGE esse ut BC ad DE. </s></p> <figure id="fig68"></figure> <p type="main"> <s>Hoc autem patet. Quoniam solidum <lb/>BFC ad sphaeram est ut BC ad diametrum HI; sphaera <lb/> <arrow.to.target n="marg96"></arrow.to.target><lb/>vero ad alterum solidum DGE est ut diameter HI ad <lb/> <arrow.to.target n="marg97"></arrow.to.target><lb/>axem DE, erit ex aequo, solidum BFC ad solidum DGE, <lb/>ut BC ad DE. Quod erat etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg96"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg97"></margin.target>ex eod.</s></p> <p type="main"> <s>Hinc facile ostendi potest excessum, quo solidum BFC superat <lb/>sphaeram, ad excessum quo solidum DGE superat eandem sphaeram, <lb/>esse ut BH, ad HD. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim solidum BFC ad sphaeram sit ut BA ad AH, erit divi­<lb/> <arrow.to.target n="marg98"></arrow.to.target><lb/>dendo excessus BFC ad sphaeram, ut BH ad HA. Eadem ratione <lb/>sphaera ad excessum DGE erit, ut HA ad HD; ergo ex aequo, excessus <lb/>BFC ad excessum DCE, supra sphaeram erit ut BH, ad HD. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg98"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Solida sphaeralia parilatera, eidem, vel aequalibus <lb/>sphaeris inscripta, et circa diagonalem revoluta, sunt inter <lb/>se in duplicata ratione catetorum. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribantur in circulo cuius diameter AC duo semi­<lb/>poligona ABC, ADC, et convertatur figura circa diago- <pb pagenum="66"/>nalem AC, ut describantur duo solida sphaeralia ut im­<lb/>peratum est. </s></p> <p type="main"> <s>Dico solidum sphaerale factum ex <lb/> <arrow.to.target n="fig69"></arrow.to.target><lb/>poligono ABC, ad solidum sphaerale <lb/>factum ex poligono ADC, esse ut qua­<lb/>dratum cateti IE, ad quadratum ca­<lb/>teti IH. <lb/> <arrow.to.target n="marg99"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg99"></margin.target>7. huius.</s></p> <figure id="fig69"></figure> <p type="main"> <s>Solidum enim ex ABC ad sphae­<lb/>ram, est ut quadratum IE ad quadra­<lb/>tum IC; sphaera autem ad solidum ADC, est ut qua­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg100"></arrow.to.target><lb/>dratum IC ad quadratum IH; ergo ex aequo solidum <lb/>ABC ad solidum ADC erit, ut quadratum IE ad quadra­<lb/>tum IH. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg100"></margin.target>per eandem.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intra aequales, vel eandem sphaeram, cuius dia­<lb/>meter AB, descripta fuerint duo solida sphaeralia parila­<lb/>tera, quorum duo latera sint BC, BD; demittanturque ex <lb/>punctis C, D, perpendiculares CE, DF ad diametrum; erit <lb/>solidum cuius latus BC, ad solidum cuius latus BD, ut <lb/>AE ad AF. </s></p> <p type="main"> <s>Ducantur enim ex centro I ad latera <lb/> <arrow.to.target n="fig70"></arrow.to.target><lb/>BC, BD perpendiculares IG, IH. </s></p> <figure id="fig70"></figure> <p type="main"> <s>Recta EA ad rectam AB, est ut qua­<lb/>dratum AC ad quadratum AB (ob angu­<lb/>lum in semicirculo rectum ACB) recta <lb/>autem BA ad AF, est ut quadratum AB, <lb/>ad quadratum AD, ergo ex aequo recta <lb/>EA ad rectam AF, est ut quadratum AC <lb/>ad quadratum AD, hoc est ut quadratum IG ad quadra­<lb/> <arrow.to.target n="marg101"></arrow.to.target><lb/>tum IH, hoc est ut solidum cuius latus est BC ad solidum <lb/>cuius latus est BD. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg101"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intra sphaeram cuius diameter AB descriptum sit <lb/>solidum sphaerale parilaterum, et circa diagonalem revo­<lb/>lutum; demittaturque ab extremitate lateris BC quod dia- <pb pagenum="67"/>metrum contingit, recta CD perpendicularis ad diametrum <lb/>circuli AB, erit conus cuius basis circulus AFCBE al­<lb/> <arrow.to.target n="fig71"></arrow.to.target><lb/>titudo verò sit AD, subduplus solidi <lb/>sphaeralis; conus verò, cuius eadem sit <lb/>basis, et altitudo DB, erit subduplus <lb/>differentiae, quae inter sphaeram, et so­<lb/>lidum sphaerale est. </s></p> <figure id="fig71"></figure> <p type="main"> <s>Sphaera enim ad inscriptum solidum <lb/>est ut quadratum diametri ad quadra­<lb/> <arrow.to.target n="marg102"></arrow.to.target><lb/>tum cateti AC (est enim AC ob angu­<lb/>lum rectum ACB, aequalis cateto poligoni), hoc est ut BA <lb/>recta ad rectam AD. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg102"></margin.target>7. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam quia conus, cuius basis AFCBE altitudo verò sit <lb/>AB; aequalis est haemisphaerio in eadem basi constituto; <lb/> <arrow.to.target n="marg103"></arrow.to.target><lb/>erit dictus conus, hoc est hemisphaerium, ad conum cuius <lb/>basis eadem AFCBE, altitudo verò AD, ut AB ad AD. <lb/>Sed hemisphaerium etiam ad semisolidum est ut AB ad <lb/>AD; ut ostendimus supra. Propterea conus cuius basis <lb/>circulus AFCBE, altitudo autem AD, erit aequalis semi­<lb/>solido sphaerali, sive subduplus solidi sphaeralis. Quod etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg103"></margin.target>ex 30. <lb/>p. partis.</s></p> <p type="main"> <s>Similiter inferetur, conum cuius basis eadem AFCBE, altitudo verò <lb/>DB, subduplum esse excessus illius, quo sphaera solidum superat.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Demonstramus etiam singula illa solida rotunda annularia, quae <lb/>describuntur in revolutione figurae à bilineis mixtis, quale unum est <lb/>FC, et solidum sphaerale circundant; aequalia esse singulis sphaeroidi­<lb/>bus, quarum <expan abbr="uniuscuiusq;">uniuscuiusque</expan> maximus circulus sit circa diametrum FC. <lb/>Axis verò aequalis sit portioni rectae ex AB quae intercipitur inter <lb/>duas perpendiculares ad ipsam AB ductas ex punctis F et C et sic de <lb/>reliquis. Sed hoc alibi.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXVII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si eidem circulo duo poligona parilatera alterum cir­<lb/>cumscribatur, alterum verò inscribatur; et convertatur <lb/>circumscriptum quidem circa catetum, inscriptum verò <lb/>circa diagonalem: erit differentia inter circumscriptum et <lb/>sphaeram, ad differentiam inter sphaeram et inscriptum, <pb pagenum="68"/>ut quadratum lateris circumscripti ad duplum quadrati <lb/>lateris inscripti. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circuli diameter AB, latus verò <lb/> <arrow.to.target n="fig72"></arrow.to.target><lb/>poligoni circumscripti CD et inscripti AE. <lb/>Dico excessum, quo maius solidum sphae­<lb/>ram superat, ad excessum, quo sphaera <lb/>superat minus esse ut quadratum CD ad <lb/>duo quadrata ex AE. <lb/> <arrow.to.target n="marg104"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg104"></margin.target>13. huius.</s></p> <figure id="fig72"></figure> <p type="main"> <s>Solidum enim circumscriptum est ad <lb/>sphaeram ut duo quadrata CI, IA ad duplum quadrati ex <lb/>IA; ergo dividendo, erit excessus solidi supra sphaeram, <lb/>ad ipsam sphaeram, ut quadratum CA ad duplum quadrati <lb/>ex IA, sive ut quadr. CD, ad duplum quadr. ex AB. <lb/>Sphaera autem ad excessum, quo ipsa superat minus so­<lb/>lidum, est ut quadratum AB ad quadratum AE, vel ut duo </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg105"></arrow.to.target><lb/>quadrata ex AB ad duo quadrata ex AE. Propterea ex <lb/>aequo excessus solidi maioris supra sphaeram, ad excessum <lb/>sphaerae supra minus solidum, erit ut quadratum ex CD <lb/>ad duo quadrata ex AE. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg105"></margin.target>20. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Quodlibet sphaerale solidum circa diagonalem revolu­<lb/>tum (cuius latera numero quidem paria sint, sed nullo <lb/>modo à quaternario mensurentur, ut sunt 6, 10, 14, 18, <lb/>22 etc.) inscripti sibi rombi solidi duplum est. </s></p> <p type="main"> <s>Sit solidum quale dictum est ABC <lb/> <arrow.to.target n="fig73"></arrow.to.target><lb/>DEFG circa axem sive diagonalem DI <lb/>revolutum. Manifestum est quod duo <lb/>latera opposita BL, FM contingent <lb/>sphaeram in extremitatibus A, G, dia­<lb/>metri AG, quae quidem perpendicu­<lb/>laris sit ad DI; quandoquidem laterum <lb/>numerus à binario tantum mensuratur, <lb/>non autem à quaternario. </s></p> <figure id="fig73"></figure> <p type="main"> <s>Inscribantur iam duo coni; nempe ADG in semisolido, <lb/>habens altitudinem HD; conus verò AIG in hemisphaerio. <lb/> <arrow.to.target n="marg106"></arrow.to.target><lb/>Erit igitur semisolidum ABCDEFG ad hemisphaerium ut <lb/>axis ad axem, nempe ut DH ad HI, hoc est ut conus ADG <pb pagenum="69"/>ad conum AIG (cum sint in eadem basi); et permutando <lb/>semisolidum ad suum conum ADG, erit ut hemisphaerium <lb/>ad suum conum AIG; quare duplum erit. Propterea omne <lb/>solidum, quale dictum est duplum erit inscripti sibi rombi <lb/>solidi. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg106"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si hemisphaerium ABC, et conus quicumque rectus DBE eandem <lb/>altitudinem habuerint FB; erit hemisphaerium ad praedictum conum <lb/> <arrow.to.target n="fig74"></arrow.to.target><lb/>ut duplum basis hemisphaerij ad basim eius­<lb/>dem coni. </s></p> <figure id="fig74"></figure> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur: Et inscribatur in hemi­<lb/>sphaerio conus ABC. Erit ergo conus ABC ad <lb/>conum DBE ut basis AC ad basim DE; <expan abbr="sum-ptisq;">sum­<lb/>ptisque</expan> antecedentium duplis, erit hemisphaerium ABC ad conum DBE <lb/>ut duplum basis AC ipsius hemisphaerij, ad DE basim coni. Quod <lb/>erat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXIX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Quodlibet sphaerale solidum circa diagonalem revolu­<lb/>tum, cuius latera à quaternario mensurentur, ad inscri­<lb/>ptum sibi rombum solidum, est ut superficies inscriptae <lb/>sibi sphaerae, ad semisuperficiem circumscriptae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit solidum quale dictum est AB <lb/> <arrow.to.target n="fig75"></arrow.to.target><lb/>CDE cui inscribatur semirombus, <lb/>hoc est conus ACE; ad altitudinem <lb/>verò hemisphaerij sit conus AFE, in <lb/>basi AE. <lb/> <arrow.to.target n="marg107"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg107"></margin.target>6. huius.</s></p> <figure id="fig75"></figure> <p type="main"> <s>Erit ergo semisolidum ad hemis­<lb/>phaerium ut axis ad axem, hoc est <lb/>ut CG ad GF, sive ut conus ACE, <lb/>ad conum AFE (sunt enim in eadem <lb/>basi) et permutando erit semisolidum ad suum conum <lb/>AGE, ut hemisphaerium ad alterum conum AFE, hoc est <lb/>per lemma praemissum, ut duo circuli ex HI, ad circulum <lb/>ex AE, vel sumptis duplis, ut quatuor circuli ex HI, ad <lb/>duos circulos ex AE; hoc est ut superficies inscriptae intra <lb/>solidum sphaerae, ad semisuperficiem circumscriptae. Pro- <pb pagenum="70"/>pterea etiam dupla eandem rationem habebunt, hoc est <lb/>totum sphaerale solidum ad inscriptum sibi rombum soli­<lb/>dum erit ut dictum est. Quod etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Poterat etiam concludi; solidum sphaerale praedictum esse ad in­<lb/>scriptum sibi rombum, ut inscriptus in poligono circulus ad semicir­<lb/>culum circumscriptum; vel ut quadratum cateti GH ad semiquadratum <lb/>diagonalis GA eiusdem poligoni.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si in triangulo aequilatero inscriptus fuerit circulus. Erit circulus <lb/> <arrow.to.target n="fig76"></arrow.to.target><lb/>alter cuius diameter sit latus trianguli, triplus in­<lb/>scripti circuli. </s></p> <figure id="fig76"></figure> <p type="main"> <s>Inscribatur circulus ABC in triang. aequilatero <lb/>DEF. Sitque G punctum, centrum et circuli, et trian­<lb/>guli; propterea DG dupla ipsius GC, hoc est ipsius <lb/>GA. Ergo quadr. DG quadruplum est quadrati ex GA <lb/>et quadratum DA triplum erit eiusdem GA; Quare <lb/>etiam circulus cuius semidiameter sit DA triplus erit circuli cuius semi­<lb/>diameter sit CA. Quod erat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum descriptum fuerit triangulum aequi­<lb/>laterum et revolvatur figura, erit factus conus acquilaterus <lb/>ad inscriptam sibi sphaeram ut 9 ad 4. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum ABC triangulum <lb/> <arrow.to.target n="fig77"></arrow.to.target><lb/>aequilaterum DEF, et convertatur figura. <lb/>Dico factum conum aequilaterum esse <lb/>ad inscriptam sphaeram in proportione <lb/>dupla sesquiquarta, nempe ut 9 ad 4. </s></p> <figure id="fig77"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur in hemisphaerio GAI co­<lb/>nus GAI. Erit iam per lemma praecedens <lb/>circulus cuius diameter DF triplus circuli cuius diameter <lb/>GI; sed conus DEF ad conum GAI rationem habet com­<lb/>positam ex ratione altitudinum EA ad AL; quae tripla <lb/>est: Et ex ratione basium, nempe circuli DF ad circulum <lb/>GI quae similiter tripla est: quare conus DEF ad conum <lb/>GAI erit ut 9 ad unum, <expan abbr="sumptisq;">sumptisque</expan> consequentium qua­<lb/>druplis, erit conus DEF ad sphaeram sibi inscriptam, ut <lb/>9 ad 4. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="71"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXXI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa eandem sphaeram descripti sint conus, et cy­<lb/>lindrus, ambo aequilateri; erunt tria solida, nempe conus, <lb/>cylindrus, et sphaera in continua proportione sesquialtera. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc autem patet. Posita enim sphaera ut 4 erit (per <lb/>Corollarium Prop. 30 p. partis) cylindrus ut 6; conus <lb/>autem ostensus est in praecedenti esse ut 9. Quare tria <lb/>solida erunt inter se in continua proportione sesquialtera. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXXII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera ad inscriptum sibi conum aequilaterum est in <lb/>ratione numeri 32 at 9. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in circulo cuius centrum A in­<lb/> <arrow.to.target n="fig78"></arrow.to.target><lb/>scriptum triangulum aequilaterum CBD <lb/>et convertatur figura circa CH. Dico <lb/>sphaeram esse ad factum conum aequi­<lb/>laterum sibi inscriptum ut 32 ad 9. </s></p> <figure id="fig78"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur diameter EF ad angulos <lb/>rectos ipsi CH, et concipiatur in he­<lb/>misphaerio conus ECF: Punctam A erit centrum tum cir­<lb/>culi, tum etiam trianguli aequilateri BCD, propterea CH <lb/>sesquialtera erit ipsius CA. </s></p> <p type="main"> <s>Sed cum etiam ICL sit triangulum aequilaterum, erit <lb/>CA potentià tripla ipsius AI, ergò et circulus ex CA, sive <lb/>ex AE triplus erit circuli ex AI; <expan abbr="ideoq;">ideoque</expan> conus ECF, triplus <lb/>coni ICL videlicet ut 24 ad 8. Conus autem ICL ad conum <lb/>BCD ob similitudinem, est ut cubus AC ad cubum CH, <lb/>nimirum ut 8 ad 27. Quare ex aequo erit conus ECF ad <lb/>conum BCD ut 24 ad 27. Reductaque ratione ad minimos <lb/>terminos, erit conus ECF ad conum BCD ut 8 ad 9. Sumptis <lb/>igitur antecedentium quadruplis sphaera ad inscriptum sibi <lb/>conum aequilaterum erit ut 32 ad 9. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="72"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXXIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Rombus solidus aequilaterus circa sphaeram descriptus <lb/>est ad ipsam sphaeram ut diameter quadrati ad latus <lb/>eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto quadratum ABCD circa cir­<lb/> <arrow.to.target n="fig79"></arrow.to.target><lb/>culum cuius centrum E; et volvatur <lb/>figura circa diagonalem BD; Dico rom­<lb/>bum solidum aequilaterum factum ex <lb/>revolutione, esse ad sphaeram ut dia­<lb/>meter quadrati ad latus eiusdem. </s></p> <figure id="fig79"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur in hemisphaerio conus <lb/>FGH, cuius basis FH, altitudo EG, et <lb/>ducatur IM. </s></p> <p type="main"> <s>Erit iam conus ABC cuius basis AC, similis cono FGH, <lb/>uterque enim rectus et rectangulus est. Ergo conus ABC <lb/>ad conum FGH erit ut cubus BE ad cubum EG, nempe <lb/>ut recta BE ad EL (sunt enim EB, EG, EI, EL in continua <lb/>ratione) sumptis autem consequentium duplis, erit conus <lb/>ABC ad hemisphaerium, ut BE ad EG, et propterea totus <lb/>rombus solidus ad totam sphaeram sibi inscriptam erit ut <lb/>BE ad EG, hoc est ut diameter alicuius quadrati ad latus <lb/>eiusdem. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXXIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera ad inscriptum sibi cylindrum aequilaterum est <lb/>ut diameter quadrati ad 3 quart. lateris eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Describatur intra circulum cuius <lb/> <arrow.to.target n="fig80"></arrow.to.target><lb/>centrum A quadratum BCDE, et vol­<lb/>vatur figura circa catetum AG. Dico <lb/>sphaeram ad cylindrum BCDE, esse ut <lb/>diameter alicuius quadrati ad 3 quart. <lb/>lateris eiusdem. </s></p> <figure id="fig80"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur circa sphaeram alter <lb/>cylindrus aequilaterus FILM et pro­<lb/>ducta AM iungantur AD, GO. Erunt ob similitudinem <lb/>triangulorum, in continua ratione FA, AD, AG, AP; Et <pb pagenum="73"/>quia cylindri sunt similes, nempe aequilateri, erit cylindrus <lb/>IFML ad cylindrum BCDE ut cubus FM ad cubum CD, <lb/>hoc est ut cubus FD ad cubum DG, sive ut cubus FA ad <lb/>AD, hoc est ut recta FA ad quartam AP. Sumptisque <lb/>antecedentium subsequialteris, erit sphaera ad cylindrum <lb/>BCDE ut duae tert. ipsius FA ad AP; hoc est ut tota FA <lb/>ad sesqaialteram ipsius AP; sive (quod idem est) ut FA ad <lb/>3 quart. rectae AD. Constat ergo sphaeram ad inscriptum <lb/>sibi cylindrum aequilaterum esse ut FA ad 3 quar. ipsius <lb/>AD; hoc est ut diameter alicuius quadrati ad 3 quar. la­<lb/>teris eiusdem. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXXV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Solidum exagonale, hoc est sphaerale solidum genitum <lb/>ab exagono circa catetum revoluto, septuplum est coni <lb/>eandem sibi basim, et altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto exagonum aequilaterum, et <lb/> <arrow.to.target n="fig81"></arrow.to.target><lb/>aequiangulum ACDEFB et converta­<lb/>tur circa catetum HI; <expan abbr="inscribaturq;">inscribaturque</expan> <lb/>conus AIB. Dico exagonale solidum <lb/>factum ex revolutione, septuplum esse <lb/>coni AIB. </s></p> <figure id="fig81"></figure> <p type="main"> <s>Producantur CA, FB donec concur­<lb/>rant in aliquo puncto L, eruntque ob <lb/>exagonum, quatuor triangula aequila­<lb/>tera OCA, OAB, OBF, ABL, aequalia <lb/>inter se. Concipiatur ergo conus CLF perfectus; eritque <lb/>conus AIB duplus coni ALB, quandoquidem eandem habet <lb/>basim AB, sed altitudinem habet HI duplam ipsius HL. </s></p> <p type="main"> <s>Iam conus CLF ad conum ALB, erit ob similitudinem, <lb/>ut cubus CL ad cubum LA, nempe ut 8 ad 1; et dividendo <lb/>semisolidum CABF erit ad conum ALB, ut septem ad <lb/>unum. Propterea etiam dupla eandem rationem habebunt, <lb/>hoc est solidum exagonale integrum septuplum erit coni <lb/>AIB. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="74"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXXVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur exagonum, et revolvatur <lb/>figura circa catetum; erit sphaera sextupla coni, qui ean­<lb/>dem basim, et eandem altitudinem cum solido habeat. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum cuius centrum I <lb/> <arrow.to.target n="fig82"></arrow.to.target><lb/>exagonum ABCDEF, et convertatur <lb/>circa catetum GH; inscribaturque in <lb/>facto solido exagonali conus AHF, qui <lb/>basim habeat circulum circa AF, alti­<lb/>tudinem verò GH eandem cum solido. <lb/>Dico sphaeram sextuplam esse coni <lb/>AHF. </s></p> <figure id="fig82"></figure> <p type="main"> <s>Concipiantur duo alij coni; nempe LHM in hemi­<lb/>sphaerio, et AIF super basi AF constitutus ad cen­<lb/>trum I. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò propter exagonum, triangulum AIF aequila­<lb/>terum, et ideo ipsa IG tripla erit potentià ipsius GA. <lb/>Constat igitur quod circulus cuius diameter LM (dupla <lb/>scilicet ipsius IG) triplus erit circuli cuius diameter AF, <lb/>et propterea conus LHM triplus erit coni AIF. Sphaera <lb/>autem duo decupla erit coni AIF, et ideo sextupla coni <lb/>AHF. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXXVII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur exagonum, et volvatur <lb/>figura circa catetum; erit factum solidum ad factam sphae­<lb/>ram sesquisextum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum cuius centrum I <lb/> <arrow.to.target n="fig83"></arrow.to.target><lb/>exagonum ABCDEF et convertatur fi­<lb/>gura circa catetum GH. Dico solidum <lb/>sphaerale factum, esse ad sphaeram <lb/>ut 7 ad 6. </s></p> <figure id="fig83"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur enim in solido conus <lb/>AHF, ut in duabus praecedentibus pro­<lb/>positionibus. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergo (per 35 huius) solidum exagonale ad conum <pb pagenum="75"/>AHF ut 7 ad unum, conus autem AHF ad sphaeram est </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg108"></arrow.to.target><lb/>ut 1 ad 6; quare ex aequo erit solidum ad sphaeram ut 7 <lb/>ad 6. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg108"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Linea diagonalis exagoni potentià sesquitertia est cateti eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Sit exagonum ABC cuius centrum D. Dico <lb/> <arrow.to.target n="fig84"></arrow.to.target><lb/>diagonalem AC potentià esse sesquitertiam ca­<lb/>teti EF. </s></p> <figure id="fig84"></figure> <p type="main"> <s>Hoc autem patet. Nam ducta DB erit ABD <lb/>triangulam aequilaterum, ob exagonum; et AD la­<lb/>tus erit potentià sesquitertium perpendicularis <lb/>DE; ergò sumptis lineis duplis, etiam AC sesqui­<lb/>tertia erit potentià ipsius EF. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXXVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera inscripti sibi solidi exagonalis circa diagonalem <lb/>revoluti, sesquitertia est. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in circulo cuius centrum A de­<lb/> <arrow.to.target n="fig85"></arrow.to.target><lb/>scriptum exagonum BCDEFG; <expan abbr="iunctisq;">iunctisque</expan> <lb/>DH, DL, DM, DI, convertatur figura <lb/>circa diagonalem DG. Dico sphaeram <lb/>inscripti solidi exagonalis sesquitertiam <lb/>esse. Circulus enim, cuius diameter HI, <lb/>sesquitertius est circuli cuius diameter <lb/>LM (per lemma praecedens) ergo conus <lb/>HDI sesquitertius est coni LDM, sumptisque quadruplis, <lb/>erit sphaera sesquitertia solidi exagonalis. Quod erat etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <figure id="fig85"></figure> <p type="main"> <s>Assumptum fuit solidum exagonale quadruplum esse coni LDM hoc <lb/>enim patet ex propositione 28 huius.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXXIX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si idem exagonum dupliciter revolvatur, nempe circa <lb/>catetum, et circa diagonalem; Erit solidum circa catetum <lb/>revolutum, ad solidum circa diagonalem, in subduplicata <lb/>ratione numerorum 49 ad 48. Nempe ut radix <expan abbr="q.">que</expan> num. 49 <lb/>ad radicem <expan abbr="q.">que</expan> num. 48. </s></p> <pb pagenum="76"/> <p type="main"> <s>Esto exagonum aequiangulum, et aequilaterum ABC <lb/>DEF, quod <expan abbr="utroq;">utroque</expan> modo concipiatur revolutum, nempe <lb/>circa catetum HI et circa diagonalem <lb/>DA; ut inde fiant duo solida sphaeralia <lb/> <arrow.to.target n="fig86"></arrow.to.target><lb/>inter se diversa specie; et intra <expan abbr="utrunq;">utrunque</expan> <lb/>intelligatur sphaera inscripta. Manife­<lb/>stum iam est (per lemma Propositionis <lb/>praecedentis) diagonalem AD potentià <lb/>sesquitertiam esse cateti HI. Si ergo <lb/>ponatur HI rationalis 6 erit AD radix <lb/>quadrata nu meri 48. </s></p> <figure id="fig86"></figure> <p type="main"> <s>Manentibus his. Solidum circa catetum revolutum, ad <lb/> <arrow.to.target n="marg109"></arrow.to.target><lb/>inscriptam sphaer. est ut 7 ad 6; Sphaera autem ad soli­<lb/>dum revolutum circa diagonalem est ut HI, ad AD, nempe <lb/> <arrow.to.target n="marg110"></arrow.to.target><lb/>ut 6 ad rad. <expan abbr="q.">que</expan> num. 48. Quare ex aequo erit, solidum circa <lb/>catetum, ad solidum circa diagonalem ut 7 ad radicem <lb/>quadratam numeri 48. Nempe in subduplicata ratione nu­<lb/>merorum 49, 48. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg109"></margin.target>37. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg110"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si hemisphaerium altitudinem habuerit subduplam alicuius coni: <lb/>erit hemisphaerium ad conum praedictum, ut basis <lb/>ad basim. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Habeat haemisphaerium ABC altitudinem HB <lb/>subduplam altitudinis HE coni DEF. Dico hemis­<lb/>phaerium ad conum DEF, esse ut circulus AC ad <lb/>circulum DF. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiantur enim duo alij coni ABC in he­<lb/>misphaerio, et DBF super basi DF. Erit ergò co­<lb/>nus ABC ad conum DBF, ut basis AC ad basim <lb/>DF; <expan abbr="sumptisq;">sumptisque</expan> duplis, erit hemisphaerium ad conum DEF ut basis AC <lb/>ad basim DF. Quod erat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XL.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Solidum parilaterum circa catetum revolutun ad in­<lb/>scriptum sibi conum, rationem habet quam AB ad BC; <lb/>facto scilicet angulo DEB recto. </s></p> <p type="main"> <s>Esto poligonum FGHILE habens latera numero paria, <lb/>descriptum circa circulum cuius centrum D et conver- <pb pagenum="77"/>tatur figura circa catetum CA, <expan abbr="fiatq;">fiatque</expan> angulus DEB rectus. <lb/>Dico solidum ad inscriptum sibi conum <lb/> <arrow.to.target n="fig87"></arrow.to.target><lb/>FAE, esse ut AB ad BC. </s></p> <figure id="fig87"></figure> <p type="main"> <s>Erit enim solidum ad sphaeram ut <lb/> <arrow.to.target n="marg111"></arrow.to.target><lb/>BA ad AC, <expan abbr="sumptisq;">sumptisque</expan> consequentium <lb/>dimidijs, erit solidum ad hemisphae­<lb/>rium ut BA ad DC, sed (per lemma <lb/>praece dens) hemisphaerium est ad <lb/>conum FAE, ut circulus ex DC ad <lb/>circulum ex CE; sive ut recta DC ad CB; ergò ex aequo <lb/>erit sphaerale solidum ad inscriptum sibi conum FAE, ut <lb/>AB ad BC. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg111"></margin.target>12. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XLI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Conus inscriptus in solido circa catetum revoluto, ae­<lb/>qualis est excessui quo solidum inscriptam sibi sphaeram <lb/>superat. </s></p> <p type="main"> <s>Manente figura et constructione praecedentis. Dico si <lb/>sphaera auferatur à solido FGHILE, quòd residuum, quod <lb/>superest, ablata sphaera, aequale erit cono FAE. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim sphaerale solidum ad sphaeram ut BA ad AC; <lb/> <arrow.to.target n="marg112"></arrow.to.target><lb/>et per conversionem rationis, solidum ad illud residuun <lb/>erit ut AB ad BC. Sed (per praecedentem) solidum ad in­<lb/>scriptum sibi conum est ut AB ad BC. Aequalis est ergò <lb/>conus FAE, in solido sphaerali inscriptus, omnibus simul <lb/>solidulis annularibus quae circa sphaeram sunt; sive diffe­<lb/>rentiae, quae est inter solidum inscriptamque in solido <lb/>sphaeram. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg112"></margin.target>12. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XLII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Hemisphaerium ad excessum quo sua sphaera supe­<lb/>ratur à solido sphaerali circa catetum revoluto, duplicatam <lb/>rationem habet diametri sphaerae ad latus poligoni, ex <lb/>cuius revolutione solidum genitum fuerat. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium figura, et constructione. Dico <lb/>hemisphaerium, ad differentiam inter solidum, et inclusam <lb/>sphaeram, esse ut quadratum AC, ad quadratum FE. <pb pagenum="78"/> <arrow.to.target n="marg113"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg113"></margin.target>12. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Est enim sphaera ad solidum circumscriptum ut CA <lb/>ad AB; et dividendo, sphaera ad differentiam inter sphae­<lb/>ram et solidum, erit ut AC ad CB; sumptisque antece­<lb/>dentium dimidijs, erit hemisphaerium ad praedictam dif­<lb/>ferentiam, ut DC ad CB, hoc est ut quadratum DC ad <lb/>quadratum CE; vel ut quadratum AC ad quadratum FE. <lb/>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Aliter.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera ad solidum est ut duo quadrata ex CD ad duo simul qua­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg114"></arrow.to.target><lb/>drata CD, DE. Ergo dividendo erit sphaera ad differentiam inter ipsam <lb/>et solidum ut duo quadrata ex CD ad quadratum CE <expan abbr="sumptisq;">sumptisque</expan> ante­<lb/>cedentium dimidijs, erit hemisphaerium ad differentiam inter sphaeram <lb/>et solidum, ut quadratum DC ad quadr. CE, sive ut quadratum AC ad <lb/>quadratum FE. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg114"></margin.target>13. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Constat etiam hemisphaerium ad conum FAE inscriptum in sphaerali <lb/>solido, esse in duplicata ratione AC ad FE, nempe axis coni ad dia­<lb/>metrum basis eiusdem. Quandoquidem conus FAE demonstratus est ae­<lb/>qualis differentiae inter solidum sphaerale <expan abbr="inscriptamq;">inscriptamque</expan> sibi sphaeram.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XLIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si exagono regulari simile exagonum inscribatur, ita <lb/>ut inscripti anguli puncta media circumscriptorum laterum <lb/>contingant, et convertatur figura circà catetum maioris <lb/>exagoni, erit solidum exagonale circumscriptum ad inscri­<lb/>ptum ut 14 ad 9. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur: Convertaturque figura <lb/> <arrow.to.target n="fig88"></arrow.to.target><lb/>circà AB; <expan abbr="circaq;">circaque</expan> AB diametrum conci­<lb/>piatur sphaera, quae quidem maiori po­<lb/>ligono inscripta erit, minori verò circum­<lb/>scripta. <lb/> <arrow.to.target n="marg115"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg115"></margin.target>per 37. <lb/>huius.</s></p> <figure id="fig88"></figure> <p type="main"> <s>Erit <expan abbr="itaq;">itaque</expan> solidum maius ad sphaeram <lb/>ut 7 ad 6 nempe ut 14 ad 12; sphaera </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg116"></arrow.to.target><lb/>verò ad minus solidum erit ut 12 ad 9. Ergò ex aequo <lb/>solidum maius ad minus erit ut 14 ad 9. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="79"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg116"></margin.target>38. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XLIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Solidum sphaerale factum ex revolutione alicuius poli­<lb/>goni circa diagonalem, ad solidum ex revolutione eiusdem <lb/>poligoni circà catetum; est ut rectangulum sub diagonali, <lb/>et cateto, bis sumptum, ad duo simul quadrata, quorum <lb/>alterum ex diagonali fit, alterum autem ex cateto. </s></p> <p type="main"> <s>Esto poligonum regulare quodcumque, <lb/> <arrow.to.target n="fig89"></arrow.to.target><lb/>habens latera numero paria, cuius diago­<lb/>nalis sit AB, catetus verò CD. Et conci­<lb/>piatur poligonum converti duplici axe; <lb/>nempe primùm circà diagonalem AB; et <lb/>iterum circa catetum CD. Dico solidum <lb/>ex diagonali ad solidum ex cateto esse, <lb/>ut rectangulum BED bis sumptum, ad <lb/>quadrata ex BE, et ex ED: sive ut eorum quadrupla. </s></p> <figure id="fig89"></figure> <p type="main"> <s>Fiat angulus EBH rectus, seceturq: bifariam DH in I; <lb/><expan abbr="eritq.">eritque</expan> EI media Aritmetica inter ED, EH: Iam solidum ex <lb/> <arrow.to.target n="marg117"></arrow.to.target><lb/>diagonali ad inscriptam sibi sphaeram est, ut AB, ad CD; <lb/>sphaera verò ad solidum ex cateto, est ut CD, ad CH; ergò <lb/> <arrow.to.target n="marg118"></arrow.to.target><lb/>ex aequo solidum ex diagon. ad solidum ex cateto, erit ut <lb/>AB ad CH, sive ut EB ad EI, (sunt enim semisses rectarum <lb/>AB, CH). Cum autem BE media Geometrica sit inter HE, <lb/>ED; ipsa verò EI media Aritmetica sit inter easd. erit so­<lb/>lidum ex diagonali ad solidum ex cateto ut media Geomet. <lb/>ad mediam Aritmet. inter rectas HE, ED. Sed ratio rectae <lb/>HE ad ED, ead. est ac quadr. BE ad quadr. ED: propterea <lb/>erit solidum ex diagonali ad solidum ex cateto, ut spatium <lb/>medium proportionale Geometricum ad spatium medium <lb/>Aritmeticum inter quadrata BE, ED. Spatium autem me­<lb/>dium Geometricum inter quadrata BE, ED est rectangu­<lb/>lum BED; medium verò Aritmeticum est quadratum ED, <lb/>cum semisse quadrati DB. Ergo solidnm ex diagonali ad <lb/>solidum ex cateto erit ut rectangulum BED; ad quadra­<lb/>tum ED cum semisse quadrati DB; Vel (sumptis duplis) ut <lb/>rectangulum BED, bis sumptum, ad quadratum ED bis, <lb/>cum integro quadrato DB. Sive ut rectangulum BED bis <lb/>sumptum, ad quadrata BE, ED. Quod erat etc. <pb pagenum="80"/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg117"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg118"></margin.target>12. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus rectangulum BED, medium proportionale esse inter <lb/>quadrata BE, ED. Hoc enim patet in propositis quibuscunque rectis <lb/>duabus lineis. </s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus etiam quadratum ED cum semisse quadrati DB, esse <lb/>medium Aritmeticum inter qnadrata BE, ED. Quod patet quadratum <lb/>enim BE superat quadratum ED quadrato BD.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hic pro Corollario demonstrari potest, solidum ex diagonali factum <lb/>semper minus esse solido, quod fit ex cateto; quando idem poligonum <lb/>convertatur circa diagonalem, et circa catetum. Demonstratur hoc <lb/>modo. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam rectangulum BED bis sumptum, minus est duobus qua­<lb/>dratis BE, ED (sunt enim in continua ratione quadratum EB, rectan­<lb/>gulum DEB, et quadratum ED, <expan abbr="ideoq;">ideoque</expan> dupla mediae, minor est duabus <lb/>extremis magnitudinibus). Et est ut rectangulum BED bis sumptum <lb/>ad quadr. BE, ED simul, ità solidum ex diagonali ad solidum ex ca­<lb/>teto; Erit solidum ex diagonali minus quam solidum ex cateto. Quod <lb/>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si quis autem quaerat, quo excessu solidum ex cateto superet soli­<lb/>dum ex diagonali. Hoc modo illum proportione notum habebit. </s></p> <p type="main"> <s>Faciat ut duo quadrata BE, ED simul, ad quadratum quod fit ex <lb/>differentia rectarum BE, ED, ità maius solidum ad aliud: Et habebit <lb/>excessum quo maius solidum superat minus.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XLV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intra poligonum regulare parilaterum inscribatur <lb/>simile poligonum, ità ut anguli inscripti bisectiones late­<lb/>rum circumscripti contingant; <expan abbr="convertaturq;">convertaturque</expan> figura circa <lb/>catetum maioris poligoni: Erit maius <lb/>solidum sphaerale ad minus, ut sunt <lb/> <arrow.to.target n="fig90"></arrow.to.target><lb/>duo simul quadrata duarum diagona­<lb/>lium, ad duo quadrata minoris cateti. </s></p> <figure id="fig90"></figure> <p type="main"> <s>Esto poligonum parilaterum ABC etc. <lb/>intra quod inscribatur simile poligonum <lb/>AIC etc. uti dictum est. <expan abbr="Convertaturq;">Convertaturque</expan> <lb/>figura circa AC catetum maioris poligoni. <lb/>Dico solidum sphaerale ABC, ad solidum AIC esse ut duo <lb/>quadrata simul duarum diagonalium, nempe BD, DC ad <pb pagenum="81"/>duo quadrata minoris cateti DI. Circumscribatur solido <lb/>AIC sua sphaera, quae alteri solido inscripta erit. </s></p> <p type="main"> <s>Iam solidum ABC ad inscriptam sphaeram, est ut duo <lb/>quadrata simul BD, DC ad duplum quadrati DC (per 13 <lb/>huius). Sphaera verò ad inscriptum solidum est, ut duplum <lb/>quadrati DC ad duplum quadrati DI (per 7 huius). Ergo <lb/>ex aequo maius solidum sphaerale ad minus erit ut duo <lb/>simul quadrata BD, DC ad duplum quadrati DI. Quod <lb/>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XLVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Iisdem positis: si convertatur figura circa diagonalem <lb/>maioris poligoni GC. Erit maius solidum ad minus, ut in­<lb/>teger axis AC maioris solidi, ad utramque simul, nempe <lb/>semicatetum DG minoris, et quartam proportionalium GF; <lb/>si fiat ut semidiagonalis minoris ad semicatetum; ita se­<lb/>micatetus ad tertiam, et tertia ad quartam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum quale positum est <lb/> <arrow.to.target n="fig91"></arrow.to.target><lb/>ABCH cui inscriptum sit solidum <lb/>IBD uti dictum est. Ducatur, DE <lb/>perpendicularis ad GB, et EF ad GC; <lb/><expan abbr="eruntq;">eruntque</expan> in continua proportione CG, <lb/>GB, GD, GE, GF ob angulos rectos. </s></p> <figure id="fig91"></figure> <p type="main"> <s>Iam solidum maius ad sphaeram <lb/>est ut AC ad HB (per 6 huius) sphaera <lb/>autem ad solidum minus est ut HB <lb/>ad utramque simul DG, GF (per 14 <lb/>huius). Quare ex aequo solidum maius <lb/>ad minus erit ut AC ad utramque simul DG, GF nempe <lb/>quod propositum fuerat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Quando solida praedicta ab exagono genita fuerint: demonstratur <lb/>quod posita recta AC 32, DG et GF notae sunt. nempe DG 12 et GF 9. <lb/>Ergo in hoc casu solidum maius ad minus esset ut 32 ad 21. </s></p> <p type="main"> <s>Superest nunc ut solida sphaeralia absolutè considerata inter se <lb/>conferamus, et hoc quot modis fieri poterit: quemadmodum in proémio <lb/>operis nos esse facturos promiseramus.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="82"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XLVII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Solida sphaeralia parilatera circa diagonalem revoluta, <lb/>inter se sunt ut parallelepipeda basi quadr. cateti, altitu­<lb/>dine vero diagonali eorumdem. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo solida sphaeralia pari­<lb/> <arrow.to.target n="fig92"></arrow.to.target><lb/>latera circa diagonales AC, DF re­<lb/>voluta. <expan abbr="Sintq;">Sintque</expan> HI, LV perpendicu­<lb/>lares ad latera CB, FE. Dico solidum <lb/>sphaerale ABC ad solidum DEF esse <lb/>ut parallelepipedum basi quadrato <lb/>HI altitudine verò HC, ad parallelep. basi quadrato LV, <lb/>altitudine LF. </s></p> <figure id="fig92"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur utrique circumscripta sphaera sua. Tunc <lb/> <arrow.to.target n="marg119"></arrow.to.target><lb/>enim solidum ABC ad sphaeram suam erit ut quadratum <lb/>IH ad quadratum HC, sive (sumpta communi altitudine <lb/>CH) ut parallelepipedum basi quadrato IH, altitudine HC, <lb/>ad cubum HC. Sphaera autem ABC ad sphaeram DEF, <lb/>est ut cubus HC ad cubum LF. At sphaera DEF, (ut nuper <lb/>in altera ostendebamus) ad solidum suum DEF est ut <lb/>cubus LF, ad parallelepipedum basi quadato LV, altitu­<lb/>dine LF: ergo ex aequo erit solidum ABC, ad solidum <lb/>sphaerale DEF, ut parallelepipedum basi quadrato HI, al­<lb/>titudine HC; ad parallelepipedum basi quadrato LV, alti­<lb/>tudine LF. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg119"></margin.target>7. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Idem concludetur etiam si concipiantur sphaera iuxta 6 huius intra <lb/>data solida inscriptae; sive altera tantum inscripta, altera verò cir­<lb/>cumscripta iuxsta 6 et 7 huius sicut experienti patebit.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XLVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Solida sphaeralia parilatera circa catetum revoluta inter <lb/>se sunt, ut parallelepipeda basi quadrato diagonalis, alti­<lb/>tudine verò quae sit aequalis cateto, et quartae proportio­<lb/>nalium, si fiat ut diagonalis ad catetum, ita catetus ad <lb/>tertiam, et ita tertia ad quartam. </s></p> <pb pagenum="83"/> <p type="main"> <s>Sint duo solida sphaeralia circa catetos B, et D revo­<lb/>luta. Continue turque ratio A ad B in quatuor terminis <lb/>A, B, E, F. Item ratio diagonalis C <lb/> <arrow.to.target n="fig93"></arrow.to.target><lb/>ad catetum D continuetur in quatuor <lb/>terminis C, D, H, I. Dico, primum <lb/>solidum ad secundum esse ut paral­<lb/>lelepipedum basi quadrato A, altitu­<lb/>dine verò B et F; ad parallepipedum <lb/>basi quadrato C altitudine verò D <lb/>et I. </s></p> <figure id="fig93"></figure> <p type="main"> <s>Nam primum solidum ad sphae­<lb/>ram suam est ut B et F simul ad A bis sumptam: <expan abbr="acce-ptaq;">acce­<lb/>ptaque</expan> communi basi quadrato A; erit solidum primum ad <lb/>sphaeram suam, ut parallelepipedum basi quadrato A, alti­<lb/>tudine verò B et F simul, ad duos cubos A. Sphaera <lb/>autem prima ad secundam sphaeram est ut duo cubi A <lb/>ad duos cubos C. Sphaera tandem secunda ad solidum <lb/>suum, est ut duo cubi C, ad parallelepipedum basi qua­<lb/>drato C altitudine verò D, et I simul (quod ostenditur ut <lb/>nuper factum est in prima sphaera) ergo ex aequo primum <lb/>solidum sphaerale ad secundum, erit ut parallelepipedum <lb/>basi quadrato A, altitudine B et F simul, ad parallele­<lb/>pipedum basi quadrato C altitudine verò D et I simul. <lb/>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Idem concludi potest si sphaerae concipiantur intra ipsa solida <lb/>inscriptae iuxta Propositionem 13 huius; sive altera inscripta, altera <lb/>verò circumscripta iuxta 13 et 14 huius. Quando verò termini propor­<lb/>tionis alij evadant à propositis, ut in hac, et in sequentibus, scias <lb/>proportionem semper eandem esse, in quibuscunque tandem terminis <lb/>eveniat.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IL.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Solida sphaeralia imparilatera sunt inter se ut paralle­<lb/>lepipeda, basi quadrato perpendicularis, quae ex centro <lb/>poligoni ducitur in latus eiusdem, altitudine verò aequali <lb/>praedictae perpendiculari, una cum dupla eius, quae ex <pb pagenum="84"/>centro ad angulum poligoni ducitur, et cum tertia propor­<lb/>tionalium ad duas praedictas. </s></p> <p type="main"> <s>Sint solida sphaeralia imparilatera, circa catetos B, et <lb/>D revoluta. Continuetur ratio per­<lb/> <arrow.to.target n="fig94"></arrow.to.target><lb/>pendicularis B ad radium poligoni <lb/>A in tribus terminis B, A, E. Item <lb/>ratio D ad C in tribus terminis <lb/>D, C, I, continuata sit. Dico soli­<lb/>dum primum ad secundum esse ut <lb/>parallelepipedum basi quadrato B, <lb/>altitudine verò aequali B semel, <lb/>A bis, et E semel, <expan abbr="simulq;">simulque</expan> sum­<lb/>ptis, ad parallelepipedum basi <lb/>quadr. D altitudine verò aequali D semel, C bis, et I <lb/>semel <expan abbr="simulq;">simulque</expan> sumptis. </s></p> <figure id="fig94"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur in <expan abbr="utroq;">utroque</expan> solido sphaerali sua sphaera in­<lb/>scripta, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> solidum primum ad sphaeram suam ut B <lb/> <arrow.to.target n="marg120"></arrow.to.target><lb/>et E simul cum dupla ipsius A ad quadruplam B sumpta­<lb/>que communi basi quadrato B erit solidum primum ad <lb/>sphaeram suam ut parallelepipedum basi quadrato B alti­<lb/>tudine verò B et E cum dupla A ad quatuor cubos B. <lb/>Sphaera autem prima ad secundam est, ut quatuor cubi <lb/>B ad quatuor cubos D; Sphaera tandem secunda ad so­<lb/>lidum suum est, ut quatuor cubi D ad parallelepipedum <lb/>basi quadrato D altitudine D et I cum dupla ipsius C <lb/>(quod ostenditur ut nuper factum est) ergo ex aequo patet <lb/>quod propositum fuerat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg120"></margin.target>38 huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO L.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Solidum sphaerale parilaterum diagonalem revolutum, <lb/>ac solidum sphaerale parilaterum circa catetum revolu­<lb/>tum, est ut parallelepipedum basi quadrato cateti, alti­<lb/>tudine diagonalis bis sumptum, ad parallelepipedum basi <lb/>quadrato cateti simul diagonalisque, altitudine verò ca­<lb/>teti. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo solida sphaeralia, quorum alterum circa dia­<lb/>gonalem A sit revolutum, alterum verò circa catetum C. <pb pagenum="85"/>Dico solidum primum circa diagonalem, ad solidum se­<lb/>cundum circa catetum, esse ut parallelepipedum basi <lb/> <arrow.to.target n="fig95"></arrow.to.target><lb/>quadr. B altitudine A bis sumptum, ad parallelepipedum <lb/>basi aequali quadratis C, D, altitudine verò C. </s></p> <figure id="fig95"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur in utroque solido inscripta sua sphaera. Et <lb/> <arrow.to.target n="marg121"></arrow.to.target><lb/>erit solidum primum ad sphaeram suam, ut recta A, ad B; <lb/><expan abbr="sumptaq;">sumptaque</expan> eadem basi quadrato B; erit solidum primum ad <lb/>sphaeram suam, ut parallelepipedum basi quadrato B alti­<lb/>tudine verò A, ad cubum B sive ut duplum dicti parallele­<lb/>pipedi ad duos cubos B. Sphaera verò prima ad secundam <lb/>est, ut duo cubi B, ad duos cubos C. Sphaera tandem se­<lb/> <arrow.to.target n="marg122"></arrow.to.target><lb/>cunda ad solidum suum est, ut duo quadrata ex C, ad duo <lb/>quadrata C, et D; sumptaque communi altitudine C, est, <lb/>ut duo cubi C, ad parallelepipedum basi aequali quadratis <lb/>C et D altitudine verò C. Propterea ex aequo patet quod <lb/>propositum erat. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg121"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg122"></margin.target>13. huius</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO LI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Solidum sphaerale parilaterum circa diagonalem revo­<lb/>lutum, ad solidum sphaerale imparilaterum est, ut paralle­<lb/>lepipedum basi quadrato cateti, altitudine diagonali quater <lb/>sumptum; ad parallelepipedum basi quadrato rectae illius <lb/>quae ex centro poligoni imparila­<lb/> <arrow.to.target n="fig96"></arrow.to.target><lb/>teri perpendiculariter ducitur in <lb/>latus eiusdem; altitudine verò ae­<lb/>quali praedictae perpendiculari, <lb/>una cum dupla illius quae ex cen­<lb/>tro ad angulum ducitur, et cum <lb/>tertia proportionalium ad duas <lb/>praedictas. </s></p> <figure id="fig96"></figure> <p type="main"> <s>Sint duo solida sphaeralia, nempe primum parilaterum <lb/>circa diagonalem A conversum, alterum verò imparilate- <pb pagenum="86"/>rum circa catetum C revolutum. Continuetur ratio C ad <lb/>D in trib. terminis C, D, E. Dico primum solidum ad se­<lb/>cundum esse, ut parallelepipedum basi quadrato B, altitu­<lb/>dine A quater sumptum, ad parallelepipedum basi qua­<lb/>drato C, altitudine verò aequali rectis C, et E cum dupla <lb/>D simul sumptis. </s></p> <p type="main"> <s>Nam solidum primum ad sphaeram suam est, ut recta <lb/>A ad B; sive sumpta communi basi quadrato B; ut pa­<lb/>rallelepipedum basi quadrato B altitudine A, ad cubum B; <lb/>Vel ut parallelepipedum praedictum quater sumptum, ad <lb/>cubum B quater sumptum sphaera verò prima ad secun­<lb/>dam est ut quatuor cubi B ad quatuor cubos C. Sphaera <lb/>denique secunda ad solidum suum (ut ostensum est in 49 <lb/>huius) est ut quatuor cubi C, ad parallelepipedum basi <lb/>quadrato C, altitudine verò aequali rectis C et E cum <lb/>dupla D simul sumptis. Propterea ex aequo patet quod <lb/>propositum erat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO LII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Solidum sphaerale parilaterum circa catetum revolu­<lb/>tum, ad solidum sph. imparilaterum, est ut parallelepipe­<lb/>dum basi aequali quadratis diagonalis et cateti altitudine <lb/>cateti bis sumptum, ad parallelepipedum basi quadrato <lb/>lineae quae ex centro ducitur perpendiculariter in latus <lb/>poligoni imparilateri, altitudine verò aequali praedictae <lb/>lineae, una cum illa quae ex centro ad unum angulum per­<lb/>ducitur, et cum tertia proportionalium ad duas praedictas. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo solida sphaeralia; al­<lb/> <arrow.to.target n="fig97"></arrow.to.target><lb/>terum parilaterum circa catetum <lb/>A revolutum; alterum imparilate­<lb/>rum circa C conversum. Et ratio <lb/>C ad D, continuetur in tribus ter­<lb/>minis C, D, E. Dico primum soli­<lb/>dum ad secundum esse, ut paral­<lb/>lelepipedum basi aequali quadratis <lb/>B et A, altitudine verò A, bis <lb/>sumptum; ad parallelepipedum basi quadrato C, altitudine <lb/>verò aequali C, et E, cum dupla ipsius D. </s></p> <pb pagenum="87"/> <figure id="fig97"></figure> <p type="main"> <s>Nam solidum primum ad sphaeram suam est, ut duo <lb/>quadrata B et A, ad duplum quadrati A sive sumpta com­<lb/>muni altitudine A ut parallelepipedum basi aequali qua­<lb/>dratis B et A, altitudine A ad duos cubos A. Vel ut di­<lb/>ctum parallelepipedum bis sumptum, ad quatuor cubos A. <lb/>Sphaera autem prima ad secundam, est ut quatuor cubi A <lb/>ad quatuor cubos C. Sphaera denique secunda ad solidum <lb/>suum est ut quatuor cubi C, ad parallelepipedum basi <lb/>quadrato C altitudine aequali C et E, cum dupla D (ut <lb/>ostensum fuit in Propos. 49 huius). Ergo ex aequo patet <lb/>quod propositum fuerat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>FINE DE'LIBRI <lb/>“ DE SPHAERA ET SOLIDIS SPHAERALIBUS ” <emph.end type="center"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE DIMENSIONE PARABOLAE<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>SOLIDIQUE HYPERBOLICI <lb/>PROBLEMATA DUO: <lb/>ANTIQUUM ALTERUM<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>IN QUO QUADRATURA PARABOLAE XX MODIS ABSOLVITUR, <lb/>PARTIM GEOMETRICIS, MECANICISQUE; PARTIM EX <lb/>INDIVISIBILIUM GEOMETRIA DEDUCTIS <lb/>RATIONIBUS: <lb/>NOVUM ALTERUM <lb/>IN QUO MIRABILIS CUIUSDAM SOLIDI AB HYPERBOLA GENITI, <lb/>ACCIDENTIA NONNULLA DEMONSTRANTUR.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>CUM APPENDICE <lb/>DE DIMENSIONE SPATIJ CYCLOIDALIS, ET COCHLEAE.<emph.end type="center"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Ad Serenissimum Principem<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>LEOPOLDUM<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>ab Etruria<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Difficile reor, Serenissime Princeps Leopolde, ferrea hac <lb/>aetate libros conscribere; difficiliùs dedicare: quandoquidem <lb/>bonarum Artium studia ubique in bella degenerant, et Re­<lb/>gnantes viri non exigunt ingeniorum vires, sed corporum.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Etrusca tamen Regia, non minus foecunda virtutum, <lb/>quàm Principum, mundum edocet, eandem esse Minervam <lb/>et Bellonam, unumque Apollinem qui arcum simul amat, et <lb/>citharam. Serenissima enim Celsitudo Tua (ut reliquos omit­<lb/>tam) litterarum, et scientiarum omne genus perinde foret, <lb/>colitque, ac si mundus alta pace frueretur, pulsisque Furijs <lb/>solae Musae dominarentur. Verùm alia me maior difficultas <lb/>terret, dum ego tenuitatis meae conscius mecum ipse cogito, <lb/>libellum hunc ad eum Principem ire, qui illum non solum <lb/>protegere potest, sed etiam iudicare. Quicquid est, non acre <lb/>iudicium Sereniss. Celsitudinis Tuae, sed incomparabilem <lb/>humanitatem invoco, illam inquam humanitatem, quae nuper <lb/>amplissima in me beneficia contulit, e humi iacentem erexit <lb/>fortunam meam. Audiat preces meas Dominus Regnantium,<emph.end type="italics"/> <pb/><emph type="italics"/>talemque Principem diu custodiat: siquidem divinitatis in­<lb/>terest huiusmodi viros prosperari, ut aeterna Providentia <lb/>magis elucescat, et coniunctam aliquando cum potestate sa­<lb/>pientiam in terris demonstrare valeamus.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Sereniss. Celsitud. Tuae<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Humillimus, et obsequentiss. servus<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Evangelista Torricellius.<emph.end type="italics"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>AD LECTOREM <lb/>PROEMIUM<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Nullus in un universo Mathematicarum disciplinarum <lb/>Theatro fortasse tritior pulvis reperitur, quàm parabolae <lb/>quadratura. </s></p> <p type="main"> <s>Quarè ergò (inquis amice lector) circà tritum argu­<lb/>mentum tàm diù desudasti? libenter equidem excipio obie­<lb/>ctiones tuas; sed utinam ultimus desudaverim. Quam ta­<lb/>men veniam mihi negas, scias eandem plurimis, et egregiè <lb/>laudatis Scriptoribus te denegare. Obiectum enim de pa­<lb/>rabolae quadratura, quod nostra hac aetate confiteor mihi <lb/>nimis iam inveterasse, crediderim neque novum fuisse Ca­<lb/>valerio, Galileo, Lucae Valerio, et alijs. Quin immò ipsum <lb/>Archimedem accusat, quicumque improbat lucubrationes <lb/>circà subiectum vetus institutas. Audiamus ipsum in proë­<lb/>mio quadraturae parabolae, ubi scribens Dositheo inquit. <lb/><gap desc="SM"/>Eorum enim, qui antehac Geometriae operam dederunt, nonnulli id <lb/>investigare, et memoriae mandare studuerunt, circulo dato, vel circuli <lb/>portione quacunque, spactium rectilineum aequale illi posse inveniri. <lb/>Item spatium à coni totius rectanguli sectione compraehensum et <lb/>lineâ rectà, ad quadrati formam et mensuram reducere conati sunt; <lb/>sumentes non facilè concessibilia fundamenta.<gap desc="/SM"/> Quibus verbis diser­<lb/>tissime fatetur Geometrarum Princeps argumentum libro­<lb/>rum De dimensione circuli, e de quadratura parabolae, <lb/>neque suum fuisse, neque novum. Sed si quis attentè con­<lb/>sideret Proëmialem epistolam, libro de lineis spiralibus <lb/>praefixam, intelliget praecipua Archimedis Theoremata, <pb pagenum="94"/>aliorum inventa fuisse, et magna ex parte Cononis. Maxi­<lb/>mae enim Propositiones librorum <gap desc="SM"/>De Sphaera et Cylindro; De <lb/>conoidibus et sphaeroidibus, et De lineis spiralibus<gap desc="/SM"/> (qui libri inter <lb/>opera Archimedis principem locum tenent (Cononis sunt: <lb/><gap desc="SM"/>Qui<gap desc="/SM"/> (ut inquit auctor) <gap desc="SM"/>non satis temporis ad haec excogitanda <lb/>sortitus, vitam permutavit, et ipsa reliquit inexplicata; cum illa inve­<lb/>nisset, et alia quamplurima perquisisset, ac multum adeò Geometricas <lb/>facultates ampliasset.<gap desc="/SM"/> Si ergò licuit admirabili, ac propè di­<lb/>vino Auctori, circa aliorum inventa laborare; quis negabit <lb/>ignoscendum ingeniolo meo mutuata theoremata contem­<lb/>planti? Sed esto quod conclusio antiqua sit; argumenta <lb/>certè, quibus illa confirmabitur, ut plurimum nova erunt, <lb/>et inaudita: immo cum ad alteram partem libelli accede­<lb/>mus, in quà de solido acuto hyperbolico dicendum est, non <lb/>solum ipsum Theorema inexcogitatum, et ut ita dicam pa­<lb/>radoxicum erit, sed etiam demonstrandi ratio inusitata, et <lb/>penitus nova. Verùm (inquis) reliqui scriptores, qui huius­<lb/>modi quadraturam aggressi sunt, vel singulas, vel ad sum­<lb/>mum binas prodiderunt; neque tamen mediocrem laudem <lb/>consequuti sunt. Fateor; sed nec ego libellum hunc ex <lb/>professo institui, composuique: immo quod et alijs, mihi <lb/>quoque accidit; singulas hasce quadraturas diversis tem­<lb/>poribus inveni, quas in unum collectas nunc demum vo­<lb/>lentibus simul exhibeo. Tu tamen exclamas; heu nimis <lb/>est: quotus enim quisque reperietur tam famelicus Geo­<lb/>metra, qui legat penè vicies repetitam propositionem, cum <lb/>numero lemmatum ferè duplo? Huic sanè obiectioni libet <lb/>contradicere. Cum enim libellus in Propositiones, ut plu­<lb/>rimum non coherentes digestus sit; sed ita dispositas ut <lb/>ubicunque libuerit initium facere possis, et finem, dicam <lb/>cum Martiale </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>. . . tibi carta plicetur <lb/>Altera; divisum sic breve fiet opus.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si vero mavis probare consilium eorum qui unam, aut <lb/>alteram tantum quadraturam edidere; quis prohibet? Et <lb/>in hoc legere potes unam, aut alteram; si tamen hoc quo­<lb/>que; nimis videbitur, nullam. Utilitatem exigis? concedo; <lb/>et in hanc partem libellum excusare non ausim. attamen <pb pagenum="95"/>non deerit fortasse aliquis qui penitus inutilem non existi­<lb/>met, cum Geometricus sit. Sola enim Geometria inter li­<lb/>berales dixiplinas acritèr exacuit ingenium, idoneumque <lb/>reddit ad civitates exornandas in pace, et in bello defen­<lb/>dendas; coeteris enim paribus, ingenium quod exercitatum <lb/>sit in Geometrica palestra, peculiare quoddam, et virile <lb/>robur habere solet: praestabitque semper, et antecellet, <lb/>circà studia Architecturae, rei bellicae, nauticaeque sive <lb/>mavis circà Aritmeticam, artemque metiendi, unde totum <lb/>civile commercium dependet, regiturque. Quinetiam circà <lb/>ministeria fluviorum, et aquarum stagnantium, unde non <lb/>nisi magna percipiuntur sive damna, sive beneficia; pro <lb/>ut bene, vel male intellecta fuerit huiusmodi rerum na­<lb/>tura. Sed esto quòd inutilis penitus habeatur libellus; sive <lb/>quia Reipubl. nihil interest parabolae quadraturae; sive <lb/>quia multis ab hinc saeculis excogitata fuerat, et demon­<lb/>strata. Huic verò obiectioni respondeat Reverendiss. D. Be­<lb/>nedictus Castellius Magister meus. Ipse enim dicet, quòd <lb/>si Principes terrae, solam illam vulgarem, et apparentem <lb/>utilitatem in Artibus magni facerent, exigerentque, da­<lb/>mnandi penitus essent sculptores, Celatoresque egregij <lb/>eijcendi civitatibus Pictores, Musici, Citharaedi, Poëtae, <lb/>atque id genus alij. Contrà verò ditandi essent, atque opi­<lb/>bus, officijsque omnibus demerendi pistores, quorum utili­<lb/>tati nulla alia par est; caupones, sutores et quicunque <lb/>artem colunt vitae hominum summoperè utilem. Quinetiam <lb/>si utilitas sola attendatur, damnandus erit vini usus, et <lb/>detestanda cultura vinearum. At in summo praetio ha­<lb/>benda aqua, cuius utilitates tàm facilè est numerare, quàm <lb/>difficile sit ijs non indigere. </s></p> <p type="main"> <s>Utcumque ea res se se habeat, veniamus ad obiectiones <lb/>quae circà artis fundamenta versantur. Indignor equidem <lb/>Lucam Valerium, verè nostri saeculi Archimedem, cum <lb/>optimam causam suscepisset, pessimà defensione usum <lb/>fuisse. Solent ab eruditis culpari figurarum Geometricarum <lb/>dimensiones, quae Mecanicis fundamentis innixae stabiliun­<lb/>tur, tam quàm duplex falsum supponant: alterum, <gap desc="SM"/>quòd <lb/>superficies gravitatem non habentes, habere tamen concipiuntur:<gap desc="/SM"/> alte­<lb/>rùm verò, <gap desc="SM"/>quòd fila quae magnitudines ad libram suspendunt aequi- <pb pagenum="96"/>distantis supponuntur, cum tamen in centro terrae concurrere debeant.<gap desc="/SM"/><lb/>Ego verò in ea sum sententia, vel nullam ex his supposi­<lb/>tionibus esse falsam, vel reliqua omnia principia Geome­<lb/>triae falsa existere eodem modo. Falsum enim est, quòd <lb/>circulus habeat centrum, sphaera superficiem, conus soli­<lb/>ditatem. Loquor de figuris abstractis quales Geometria <lb/>considerare solet; non autem de fisicis et concretis. Ne­<lb/>cesse igitur erit fateri quòd circuli centrum, superficies <lb/>spherae, soliditas coni, et reliqua huiusmodi non contro­<lb/>versa, nullam aliam habeant existentiam, praeter illam <lb/>quam accipiunt per definitionem, et per intellectum. Eodem <lb/>prorsus modus gravitatis est in figuris Geometricis, quo­<lb/>modo in ijsdem est centrum, perimeter, superficics, soli­<lb/>ditas, etc. Laudarem igitur in Mecanicis contemplationibus <lb/>nova definitione figuras generare; hoc, aut alio non ab <lb/>simili modo. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Quadratum est quadrilaterum, quod, cum aequilaterum, et aequian­<lb/>gulum sit, singula ipsius punta momentum habent procedendi versus <lb/>aliquam mundi plagam per lineas inter se parallelas.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Huiusmodi enim definitio omnem demeret occasionem <lb/>dubitandi, illis, qui Mecanica Archimedis opera, secundum <lb/>ipsius mentem non accipiunt. Sed hucusque dictum sit <lb/>pro obliteranda primae falsitatis nota, quòd figurae Geo­<lb/>metricae graves sint. </s></p> <p type="main"> <s>Venio nunc ad secundum (ut aliqui existimant) falsum. <lb/>Principiò, vulgatissima est etiam apud gravissimos viros <lb/>obiectio illa, videlicet. <gap desc="SM"/>Archimedem supposuisse aliquod falsum, <lb/>dum fila magnitudinum ex librà pendentium consideravit tanquam <lb/>inter se parallela, cum tamen re vera in ipso terrae centro concurrere <lb/>debeant.<gap desc="/SM"/> Ego verò, (quod pace clarissimorum virorum di­<lb/>ctum sit) crediderim fundamentum Mecanicum longè alia <lb/>ratione esse considerandum. Concedo si Fisicae magnitu­<lb/>dines ad libram liberè suspendantur, quòd fila materialia <lb/>suspensionum convergentia erunt; quandoquidem singula <lb/>ad centrum terrae respiciunt. Verum tamen si eadem libra, <lb/>licet corporea, consideretur non in superficie terrae, sed <lb/>in altissimis regionibus ultrâ orbem solis; tum fila (dum­<lb/>modo adhuc ad terrae centrum respiciant) multò minùs <lb/>convergentia inter se erunt; sed quasi aequidistantia. Con- <pb pagenum="97"/>cipiamus iam ipsam libram Mecanicam ultra stellatam li­<lb/>bram firmamenti in infinitam distantiam esse provectam; <lb/>quis non intelligit fila suspensionum iam non ampliùs con­<lb/>vergentia, sed exacte parallela fore? Quando ego considero <lb/>libram, figuras Geometricas ponderantem, non concipio <lb/>illam esse inter cartas librorum, in quibus depicta conspi­<lb/>citur; neque suppons punctum, ad quod magnitudines <lb/>ipsius tendunt, esse centrum terrae; sed libram fingo in <lb/>infinitum remotam esse ab eo puncto, ad quod ipsius gravia <lb/>contendunt. Si posteà ibi conclusero triangulum aliquod <lb/>triplum esse cuiusdam spatij; retrahatur imaginatione ipsa <lb/>libra ad nostras regiones; concedo quòd retractâ librâ de­<lb/>struetur aequidistantia filorum suspensionis, sed non ideò <lb/>destruetur proportio iam demonstrata figuraram. Peculiare <lb/>quoddam beneficium habet Geometra, cum ipse abstra­<lb/>ctionis ope, omnes operationes suas mediante intellectu <lb/>exequatur. Quis igitur mihi hoc negaverit, si libeat con­<lb/>siderare figuras appensas ad libram, quae quidem libra <lb/>ultra mundi confinium in infinitam distantiam remota <lb/>supponatur? Vel quis proibebit considerare libram in su­<lb/>perficie terrae constitutam, cuius tamen abstracta ma­<lb/>gnitudines tendant, non ad medium terrae punctum, sed <lb/>ad centrum caniculae, sive stellae polaris? Triangula et <lb/>parabolae, immò etiam spherae, cilindrique Geometrici, <lb/>cum nullam per se habeant motus differentiam, non magis <lb/>ad ipsius terrae, quam ad Saturni centrum contendunt. <lb/>Destruit ergò beneficium suum quisquis flguras illas, tam­<lb/>quam ad unicum terrae centrum tendentes, contempla­<lb/>tur. Cur denique non licebit mihi considerare puncta cu­<lb/>iuscunque figurae eiusmodi virtute praedita, ut singula <lb/>versus eandem mundi plagam per lineas inter se parallelas <lb/>aequali momento contendant? His ita suppositis, quae vera <lb/>sunt, quemadmodum sunt verae passiones figurarum, quae <lb/>in definitionibus adhibentur, vera etiam erunt quaecunque <lb/>Theoremata per Mecanicas rationes ab ipsis astrahentibus <lb/>fuerint considerata, neque per falsas positiones demonstra­<lb/>buntur. Tunc itaque falsum dici poterit fundamentum <lb/>Mecanicum, nempe fila librae parallela esse, quando ma­<lb/>gnitudines ad libram appensae fisicae sint, realesque, et <pb pagenum="98"/>ad terrae centrum conspirantes. Non autem falsum erit, <lb/>quando magnitudines (sive abstractae, sive concretae sint) <lb/>non ad centrum terrae, neque ad aliud punctum propin­<lb/>quum librae respiciant; sed ad aliquod punctum infinitè <lb/>distans connitantur. </s></p> <p type="main"> <s>Coeterum, brevitatis, et facilitatis gratià à vocabulis <lb/>consuetis non discedemus; punctumque illud ad quod ma­<lb/>gnitudines librae contendere supponuntur, Centrum terrae <lb/>nominabimus, Planum verò illud, quod erectum est ad <lb/>lineam connectentem praedictum punctum cum centro li­<lb/>brae, Horizontem de more appellabimus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>SUPPOSITIONES, ET DEFINITIONES.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>I.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur eam esse centri gravitatis naturam, ut magnitudo liberè <lb/>suspensa ex quolibet sui puncto nunquam quiescat nisi cum centrum <lb/>gravitatis ad infimum suae sphaerae punctum pervenerit.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Concipiamus figuram ABC, <lb/> <arrow.to.target n="fig98"></arrow.to.target><lb/>suspensam ex sui puncto D, <lb/>mediante filo ED; liberè; hoc <lb/>est, ita ut in quamcumque <lb/>partem converti possit. Sit <lb/>centrum gravitatis F. pona­<lb/>musque rectam EDG. perpen­<lb/>dicularem esse ad horizontem. </s></p> <figure id="fig98"></figure> <p type="main"> <s>Certum est, donec cen­<lb/>trum F fuerit extrà perpen­<lb/>diculum EG, figuram ipsam <lb/>nnnquam mansuram esse. Quando verò punctum F. fuerit <lb/>in perpendiculo suspensionis EG, tunc figura omninò quie­<lb/>scet. Centrum enim gravitatis ipsius nusquàm poterit am­<lb/>pliùs inferius descendere: Quin immò si figura moveretur, <lb/>centrum ipsum ascenderet, quod esse non potest. Si quis <lb/>enim centro E, intervallo EDF. tamquam unà recta linea, <lb/>sphaeram concipiat esse descriptam; ipsa erit sphaera, in <pb pagenum="99"/>cuius superficie feretur punctum F, quando EDF. extensa <lb/>fuerit, et ad rectitudinem redacta. Certumque est infimum <lb/>punctum huiusmodi sphaerae esse in perpendiculo EG. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>II.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Aequiponderare sibi ipsi figura dicetur, quae ab aliquo sui puncto <lb/>liberè suspensa maneat, et ad nullam sui partem inclinetur.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>III.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Aequiponderat sibi ipsi figura, quando (cum liberè suspensa sit) in <lb/>ipso suspensionis perpendiculo centrum gravitatis reperitur. Si enim <lb/>adhuc moveretur, centrum gravitatis ascenderet. Quod est impossibile.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>IV.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis tunc reperitur in ipso suspensionis perpendiculo, <lb/>quando figura liberè suspensa sibi ipsi aequiponderat. Alias enim figura <lb/>quiesceret, et centrum gravitatis ipsius posset adhuc inferiús descen­<lb/>dere. Quod est absurdum.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>V.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Centralitér ad illum librae punctum appendi figura dicetur, in quod <lb/>cadit perpendiculum, ex centro gravitatis figurae productum.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto enim libra AB, cuius ful­<lb/> <arrow.to.target n="fig99"></arrow.to.target><lb/>crum sit C, et ad ipsam appensa <lb/>sit figura CEB, ita ut totum la­<lb/>tus CB cohereat, et sit veluti ad <lb/>ipsam libram conglutinatum. Esto <lb/>centrum gravitatis figurae pun­<lb/>ctum D, et ex D agatur perpendiculum DF ad horizontem <lb/>erectum. </s></p> <figure id="fig99"></figure> <p type="main"> <s>Iam figura CEB dicetur, et considerabitur, tamquam <lb/>appensa centralitêr ad punctum F. Constat enim ex prae­<lb/>dictis, quòd si figurae latus CB solvatur undique à brachio <lb/>librae, solumque remaneat filum connexionis DF, nihilo <lb/>tamen minus figura adhuc manebit ut prius manebat, ean­<lb/>demque servabit versus libram positionem, quam antea <lb/>habebat. Vide Arch. Prop. 6. De Quadratura parabolae. </s></p> <pb pagenum="100"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>VI.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Aequalia gravia ex aequalibus distantijs aequiponderant, sive libra <lb/>ad horizontem parallela fuerit, sive inclinata. Et gravia eandem reci­<lb/>procè rationem habentia, quam distantiae, aequiponderant, sive libra <lb/>sit ad horizontem parallela, sive inclinata.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Haec sine alia explicatione praemitti poterant; quan­<lb/>doquidem in doctrina aequiponderantium nunquam suppo­<lb/>nitur libra horizonti aequidistans: Attamen quia ostendi <lb/>possunt, non omittendam censeo demonstrationem; prae­<lb/>sertim cum nonnulli ex libra materiali male fabricata, <lb/>errorem susceperint, et intellectum admiserint. </s></p> <p type="main"> <s>Esto inclinata libra <lb/> <arrow.to.target n="fig100"></arrow.to.target><lb/>AC, suspensa ex puncto <lb/>B ad filum BD. Sintque <lb/>magnitudines BFC, et G. <lb/>centraliter appensae ex <lb/>punctis E, et A. Et po­<lb/>natur esse, ut magnitudo <lb/>BFG, ad magnitudinem <lb/>G, ita reciprocè distantia <lb/>AB ad BE. Dico libram <lb/>AC, quamvis inclinata, <lb/>magnitudinesque ab ipsa pendentes, penitùs conquiexere, <lb/>et aequiponderare. </s></p> <figure id="fig100"></figure> <p type="main"> <s>Producantur enim perpendicula GAH, LEI, per centra <lb/>gravitatis figurarum G, et L, transeuntia, ducaturque ho­<lb/>rizontalis libra CH, quae item appensa sit ad filum MD. <lb/>Quoniam igitur est per suppositionem, ut magnitudo BFC, <lb/>ad magnitudinem G, ita reciprocè AB ad BE; sive (ob <lb/>parallelas) HM ad MI; aequiponderabunt maguitudines <lb/>BFC, et G, ad libram horizontalem HC appensae. Ergo <lb/>commune centrum gravitatis erit omninò in perpendiculo <lb/>DF. Propterea magnitudines aequiponderabunt etiam dum <lb/>ad libram AC suspenduntur: aliàs, si moverentur, com­<lb/>mune centrum gravitatis ipsarum, quod demonstratum est <lb/>esse in perpendiculo DF, ascenderet. Quod est impossibile. </s></p> <p type="main"> <s>Haec autem breviùs concludentur hoc modo. Conne­<lb/>ctantur (in eadem figura) centra gravitatis ductâ rectâ GL. </s></p> <pb pagenum="101"/> <p type="main"> <s>Quoniam magnitudo <lb/> <arrow.to.target n="fig101"></arrow.to.target><lb/>BFC ad magnitudinem <lb/>G, est ut AB ad BE, <lb/>sive (ob parallelas) ut <lb/>GN ad NL, erit N cen­<lb/>trum commune gravitatis <lb/>magnitudinum appensa­<lb/>rum. Si ergo libra AC <lb/>non quiesceret, centrum <lb/>gravitatis N, ascenderet. <lb/>Cum enim sit in perpendiculo DF, moveri non potest quin <lb/>ascendat. </s></p> <figure id="fig101"></figure> <p type="main"> <s>Non me latet auctorum controversiam, circà libram <lb/>inclinatam, an redeat, maneatvè supponere centra magni­<lb/>tudinum in ipsa libra esse collocata. Nos tamen, quia in <lb/>hoc libello, semper considerabimus magnitudines infrà <lb/>ipsam libram appensas, maluimus rei nostrae servire, quàm <lb/>aliorum controversiae demonstrationem accomodare. </s></p> <p type="main"> <s>Coeterum passiones parabolae quas in operis progressu <lb/>supponemus tamquam notas, vel ipsius Apollonij erunt, vel <lb/>Archimedis, vel saltem ex Apollonio ipso facili negotio <lb/>deducentur, cuiusmodi sunt hae, quae sequuntur. </s></p> <p type="main"> <s>Si Parabola rectam lineam tangentem habuerit, à qui­<lb/>buslibet autem punctis ipsius tangentis rectae lineae usque <lb/>ad parabolam demittantur aequidistantes diametro, erunt <lb/>demissae inter se longitudine ut sunt portiones tangentis <lb/>potentià inter se. Deducitur enim hoc ex 20. prim. Conic. <lb/>Nam rectae illae demissae portionibus diametri respon­<lb/>dent; at partes ipsius tangentis, ordinatim applicatis ae­<lb/>quales sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Item, si intrà parabolam à punctis quibuslibet rectae <lb/>illius ordinatim ductae, quae basis parabolae dicitur, rectae <lb/>lineae erigantur diametro parallelae. Erunt erectae inter <lb/>se ut sunt rectangula facta à portionibus basis, quae ab <lb/>ipsis erectis abscinduntur. Hoc enim et a Cavalerio, et a <lb/>nobis in secundo libro de motu ostenditur. </s></p> <pb pagenum="102"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>QUADRATURA PARABOLAE.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PLURIBUS MODIS PER DUPLICEM POSITIONEM, <lb/>MORE ANTIQUORUM ABSOLUTA.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma Primum.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola duas tangentes habuerit, altera ex termino basis, alte­<lb/>ram verò ex vertice: tangens, quae ad basim est, bifariam secabitur <lb/>ab illa, quae per verticem ducitur.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius dia­<lb/> <arrow.to.target n="fig102"></arrow.to.target><lb/>meter BI, ordinatim verò appli­<lb/>cata (sive basis) sit AC; tangens <lb/>ex termino basis sit CD; per ver­<lb/>ticem verò tangens BE. Dico <lb/>ipsam CD bifariàm secari in pun­<lb/>cto E. <lb/> <arrow.to.target n="marg123"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg123"></margin.target>35 primi <lb/>Conic.</s></p> <figure id="fig102"></figure> <p type="main"> <s>Cum. N. CD sit tangens, DI diameter, erunt aequales <lb/>inter se DB. BI. Et quia AC ordinatim applicata est ad </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg124"></arrow.to.target><lb/>diametrum BI, ipsa verò BE tangit in puncto B, erunt pa­<lb/>rallelae AC, BE. Et ideo erit ut DB ad BI, ita DE ad EC. <lb/> <arrow.to.target n="marg125"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg124"></margin.target>per 32. eiusd.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg125"></margin.target>per 2 sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Quare aequales erunt etiam DE, EC, Quod erat osten­<lb/>dendum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma II.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola duas tangentes habuerit ex basis terminis; recta linea <lb/>quae ab occursu duarum tangentium ducitur diametro parallela, pro­<lb/>positae parabolae liameter erit.<gap desc="/SM"/></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius ex <lb/>punctis A et C, duae tangentes <lb/>sint AD, CD, concurrentes in D. <lb/>Ex puncto autem D recta duca­<lb/>tur DE diametro parallela. Dico <lb/>ipsam DE propositae parabolae <lb/>diametrum esse. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg126"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg126"></margin.target>per 35 2. Co­<lb/>nicorum.</s></p> <p type="main"> <s>Sit enim, si possibile est. dia­<lb/>meter FG. Erunt ergò ob tangentem AF aequales inter <pb pagenum="103"/>se diametri portiones FB, BG. Iterum ob tangentem CI, <lb/>aequales erunt IB, BG. Et ideò aequales erunt inter se <lb/>ipsae FB, BI: totum et pars. quod fieri non potest. </s></p> <p type="main"> <s>Non est ergò alia diameter praeter ipsam DE. Quod <lb/>erat ostendendum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma III.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tres tangentes habuerit; duas ad basim, et tertiam per <lb/>verticem; erit triangulum sub tangentibus compraehensum octuplum <lb/>trianguli, quod oritur ex ductu quartae tangentis per verticem alte­<lb/>rutrae semiparabolae.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius basis AC, diameter BD; duae <lb/>tangentes ad basim AE, CE. Tangens per verticem sit FBG. <lb/>Demittatur ex F,concursu tangentium AF, GF, recta FI, </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg127"></arrow.to.target><lb/>diametro parallela; eritque <lb/> <arrow.to.target n="fig103"></arrow.to.target><lb/>FI, diameter parabolae AIB. <lb/>Ducatur denique LM, tan­<lb/>gens semiparabolam AIB <lb/>per verticem I. Dico trian­<lb/>gulum FEG, sub tangenti­<lb/>bus compraehensum, octu­<lb/>plum esse trianguli LFM, <lb/>quod nascitur ex ductu <lb/>quartae tangentis LM per <lb/>verticem I portionis AIB. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg127"></margin.target>per lem. <lb/>praeced.</s></p> <figure id="fig103"></figure> <p type="main"> <s>Iungatur AB basis parabolae AIB, eruntque parallelae <lb/>AB, LM; et cum sint aequales FL, LA, ob tangentem AF, <lb/>erit AF dupla ipsius FL; ideoque triangulum AFB quadru­<lb/> <arrow.to.target n="marg128"></arrow.to.target><lb/>plum trianguli sibi slmilis LFM. Ergò etiàm FBE quadru­<lb/> <arrow.to.target n="marg129"></arrow.to.target><lb/>plum trianguli LFM (sunt enim per lem. primum aequales <lb/>bases AF, FE) Propterea totum triangulum FEG octuplum <lb/>erit trianguli LFM. Quod erat ostendendum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg128"></margin.target>per 32, <lb/>1. Cor.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg129"></margin.target>per lem. <lb/>primum.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium Primum.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Ergò triangulum FEG, factum à primis tribus tangen­<lb/>tibus, octuplum ostendetur eodem modo etiam trianguli <lb/>NGP. et propterea semper quadruplum erit duorum simul <pb pagenum="104"/>triangulorum LFM, NGP; quae post ipsum (ductà utrinque <lb/>alia tangente) oriuntur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium secundum.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Manifestum etiam est triangulum FEG sub tangentibus <lb/>contentum, auferre plusquàm dimidium ex trilineo mixto <lb/>ABCE: siquidem triangulum FEG, dimidium est duorum <lb/>simul triangulorum EBA, EBC. Ergo erit plusquàm dimi­<lb/>dium trilinei mixti ABCE. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc sequitur quòd possibile sit intrà figuram mixtam <lb/> <arrow.to.target n="marg130"></arrow.to.target><lb/>ABCGF. figuram rectilineam inscribere per continuum du­<lb/>ctum tangentium; quae quidem figura inscripta deficiat à <lb/>figura mixta, defectu minori quàm sit quaelibet data ma­<lb/>gnitudo. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg130"></margin.target>per primam <lb/>decimi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma IV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola duas tangentes habuerit ad basim: deinde per vertices <lb/>factarum portionum aliae tangentes ex ordine ducantur; et hoc fiat <lb/>quotiescunque libuerit; figura a tangentibus circumsepta, si ex vertice <lb/>parabolae suspendatur (posità diametro ad horizontem perpendiculari) <lb/>aequiponderabit.<gap desc="/SM"/></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola A <lb/>BC, cuius diameter <lb/>BD, et duae tangen­<lb/>tes ad basim sint AE, <lb/>CE; per verticem <lb/>verò B tangens sit <lb/>FBG. Deinde, demis­<lb/>sis (ut in praecedenti <lb/>lemmate) diametris <lb/>FH, GI, per vertices <lb/>portionum AHB, BI <lb/>C, tangentes ducan­<lb/>tur LM, NO. </s></p> <p type="main"> <s>Iterumque per vertices reliquarum quatuor portionum <lb/>tangentes ducantur PQ, RS, TU, XZ; et sic semper donec <lb/>lituerit; Dico figuram; sive potiùs duas figuras rectilineas <pb pagenum="105"/>a tangentibus PQRSFP, TUXZGT; circumseptas, ex pun­<lb/>cto B aequiponderare: statuta priùs diametro BD ad ho­<lb/>rizontem perpendiculari. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur itaque BD diameter parabolae ad horizontem <lb/>perpendicularis; et rectam FG, (quamcunque inclinationem <lb/>sortiatur) concipiamus esse libram, cuius fulcrum sit in B. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam igitur applicata AB bifariam secatur à dia­<lb/>metro FH in puncto Y; suntque AB, LM, parallelae, erit <lb/>etiam LM secta bifariam in H; et ideò duorum triangu­<lb/>lorum LFM, NGO, centra gravitatis sunt in FH, GI; sunt­<lb/>que FH, GI ad horizontem perpendiculares, ideò appensa <lb/>centralitèr erunt dicta triangula ad libram FG. ex punctis <lb/>F et G. Aequiponderabuntque ex distantijs aequalibus <lb/>BF, BG. Cum ipsa quoque triangula sint aequalia; nempe <lb/> <arrow.to.target n="marg131"></arrow.to.target><lb/>sub octupla eiusdem trianguli F e G. Eadem prorsus ra­<lb/>tione posità librà LM, duo triangula PLQ, RMS appensa <lb/>erunt ex punctis et M; aequiponderabuntque ex puncto H, <lb/>et ideo appensa erunt ex puncto F. (quandoquidem filum <lb/>suspensionis FH perpendiculare est ad horizontem). Duo <lb/>verò triangula TNU, XOZ, praedictis aequalia (cum sint <lb/>singula suboctupla aequalium LFM, NGO.) ponderabunt <lb/> <arrow.to.target n="marg132"></arrow.to.target><lb/>simul ambo ex puncto G. Ergo quatuor simul praedicta <lb/>triangula aequiponderabunt ex puncto B, nempe medio <lb/>totius librae FG: Eodem modo concludemus reliqua trian­<lb/>gula, quotcunque sint, ex puncto B aequiponderare. Uni­<lb/>versa ergo figura à tangentibus circumsepta ex puncto B <lb/>aequiponderabit. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg131"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg132"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium I.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc pro corollario animadvertemus centrum gravitatis <lb/>praedictae figurae, à tangentibus compraehensae, esse in <lb/>diametro parabolae. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim figura praedicta aequiponderet ex puncto B, <lb/>erit centrum gravitatis illius in linea quae ex puncto B du­<lb/>citur perpendicularis ad horizontem; quapropter erit in <lb/>BD diametro parabolae. </s></p> <pb pagenum="106"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium II.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Colligemus etiam centrum gravitatis omnium trilineo­<lb/>rum mixtorum, quae sub linea parabolica ABC, et sub <lb/>omnibus tangentibus APQRSTUXZC, compraehenduntur, <lb/>semper in diametro parabolae existere. Patebit autem hoc <lb/> <arrow.to.target n="marg133"></arrow.to.target><lb/>modo. Centrum trapetij AFGC, est in diametro; centrum <lb/>etiam parabolae est in diametro; ergò centrum reliquae <lb/> <arrow.to.target n="marg134"></arrow.to.target><lb/>figurae mixtae erit in diametro. Si ergo centrum huiu­<lb/>smodi figurae est in diametro, centrum etiam figurae à <lb/> <arrow.to.target n="marg135"></arrow.to.target><lb/>tangentibus circumseptae demonstratum est esse in dia­<lb/>metro; propterea centrum omnium simul trilineorum, quae <lb/>continentur sub tangentibus et linea parabolica, erit in <lb/>diametro per 8. prim. Aequipond. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg133"></margin.target>15 primi ae­<lb/>quiponder.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg134"></margin.target>4 secundi <lb/>eiusd.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg135"></margin.target>8 primi <lb/>eiusd.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma V.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola duas tangentes habuerit alteram per verticem, alteram <lb/>verò ad basim, et ex altera parte basis habeat parallelam diametro; <lb/>figura snb tribus praedictis rectis lineis, et curvà parabolicà comprae­<lb/>hensa, aequiponderabit ex puncto tangentis verticalis, in quo ea sic <lb/>dividitur, ut per ad reliquam tangentem terminata, dupla sit illius <lb/>quae ad parallelam diametro terminatur.<gap desc="/SM"/></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola A <lb/>BC, cuius tangens ad <lb/>basim sit CD; per <lb/>verticem verò FBG; <lb/>et AG sit parallela <lb/>diametro. Secetur de­<lb/>inde FG in E, ita ut <lb/>FE dupla sit reliquae <lb/>EG. Dico figuram <lb/>ABCFG (statutà dia­<lb/>metro ad horiz. per­<lb/>pendiculari) aequin­<lb/>derare ex puncto C. <lb/>Concipiamus enim <lb/>diametr. parabolae esse horizonti perpendicularem (hoc <pb pagenum="107"/>autem modo semper intelligendum est) quamcunque tan­<lb/>dem inclinationem sortiatur libra GF. Et ducta tangente <lb/>AD (quae omnino transibit per E, ut infrà ostendemus) in­<lb/>telligatur GF. libram esse, cuius fulcrum est E; ex qua <lb/>pendent ab una parte triangulum AGE; ab alterà verò, <lb/>figura mixta ABCFE. Quae quidem figurae si inter se non <lb/>aequiponderant, ponamus alteram ipsarum praeponderare. <lb/>Esto igitur; et praeponderet ABCFE, tanto excessu quan­<lb/>tum est spatium K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur intrà ipsam alia figura à tangentibus <lb/>HILMNOPQFEH, terminata, ita ut reliquae portiunculae <lb/>sub dictis tangentibus et curva parabolica contentae, si­<lb/>mul minores sint spatio K (quod fieri posse constat ex <lb/>Corollario secundo Lemmatis Tertij). Praeponderabit igitur <lb/>adhuc figura sub tangentibus compraehensa; quandoqui­<lb/>dem pars ablata minor est excessu K, et in eodem pun­<lb/>cto B ponderat simul cum tota magnitudine; tam enim <lb/>ablatae, quàm totius, centrum gravitatis est in diametro, <lb/>ut ostendimus ad Corollarium Secundum Lemmatis Quarti. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur iàm GR quarta pars totius GA; ducaturque <lb/>ER. Sumatur etiam CL dupla reliquae LG; et ex pun­<lb/>cto L centralitèr suspensum erit quodlibet triangulum ha­<lb/> <arrow.to.target n="marg136"></arrow.to.target><lb/>bens verticem in E puncto, et basim in recta GA, quae <lb/>ad horizontem recta ponitur. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg136"></margin.target>Vide <lb/>Archim. De <lb/>Quadratura <lb/>Parab. Pro­<lb/>pos. 6. 8. 10 <lb/>et 12.</s></p> <p type="main"> <s>Iam sic: duo triangula ZEX, UFT, ad triangulum EDF <lb/>sunt ut duo ad 8, et ad triangul. EBD ut 2. ad 4. et ad <lb/>aequale AGE. ut 2. ad 4. ergò ad triangulum ARE. erunt <lb/> <arrow.to.target n="marg137"></arrow.to.target><lb/>ut 2 ad 3, nempe ut LE ad EG, hoc est ut LE ad EB <lb/>reciprocè. Quare in libra LB duo praedicta triangula ZEX, <lb/> <arrow.to.target n="marg138"></arrow.to.target><lb/>UFT aequiponderant triangulo ARE ex puncto E. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg137"></margin.target>per Corol. <lb/>prim.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg138"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iterum GS quarta pars totius GR, et iunga­<lb/>tur ES. Cum ergo GRE sit quarta pars ipsius GAE, vel <lb/>ipsius EDB, erit GRE octava pars totius EDF. Quapro­<lb/>pter aequale erit GRE, alterutro ipsorum ZEX, UFT. Sed <lb/>quoniam HZI est octava pars ipsius ZEX, erunt quatuor <lb/>simul triangula HZI, LXM, NUO, <expan abbr="PTq.">PTque</expan> (quoniam aequalia <lb/>sunt inter se) ad triangulum ZEX ut 4. ad 8; sive ut 2. <lb/> <arrow.to.target n="marg139"></arrow.to.target><lb/>ad 4: et propterea etiam ad triangulum GRE, erunt ut <lb/>2. ad 4; ad ipsum verò SRE erunt ut 2. ad 3, nempe LE <pb pagenum="108"/>ad EB. Aequiponderant igitur ex puncto E hinc triangu­<lb/>lum SRE, et inde quatuor praedicta triangula HZI, LXM, <lb/>NUO, <expan abbr="PTq.">PTque</expan> Eodem prorsus modo, si sub quatuor his <lb/>triang. alia fuerint in residuis portiunculis triang. ex or­<lb/>dine descripta, ostendentur aequiponderare ex eodem pun­<lb/>cto E, cum quodam triang. cuius vertex sit E, basis vero <lb/>contineat 3. quar. ipsius GS etc. Sed in nostro casu, cum <lb/>demonstratum sit prima duo triangula ZEX, UFT, aequi­<lb/>ponderare triangulo ARE. Reliqua item quatuor triangula, <lb/>quorum unum est HZI. aequiponderare triangulo SRE; <lb/>Aequiponderabit tota simul figura ex praedictis triangulis <lb/>composita, triangulo AES, ex puncto E. Sed demonstra­<lb/>tum fuit, eandem figuram praeponderare triangulo AEG; <lb/>necesse igitur est ut triangulum AEG minus sit trian­<lb/>gulo AES; totum sua parte; Quod est impossibile. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg139"></margin.target>Ex <lb/>lemmate 3.</s></p> <p type="main"> <s>Si vero ponamus praeponderare triangulum AEG figu­<lb/>rae ABCFE. Esto; et sit excessus, quo praeponderat, spa­<lb/>tium K. Accipiatnr GRE quarta pars trianguli AGE: et <lb/>iterum accipiatur GSE, quarta pars trianguli GRE; et hoc <lb/> <arrow.to.target n="marg140"></arrow.to.target><lb/>semper fiat, donec veniatur ad aliquod triangulum GSE, <lb/>quod minus sit spatio K. Tunc enim triangulum ASE <lb/>adhuc praeponderabit figurae ABCFE. Sed eodem modo, <lb/>ut super demonstrabimus triangulum ipsum ASE aequi­<lb/>ponderare alicui figurae rectilineae inscriptae intra figu­<lb/>ram mixtam ABCFE. Necesse ergo iterum erit ut inscripta <lb/>figura rectilinea maior sit quàm figura mixta ABCFE, cui <lb/>ipsa inscribitur; pars suo toto. Quod est absurdum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg140"></margin.target>possibile est <lb/>per 1, De­<lb/>cimi.</s></p> <p type="main"> <s>Aequiponderat ergo ex puncto E universa figura AB <lb/>CFG, quae sub curva parabolica, duabusqne tangentibus, <lb/>et linea ipsi diametro parallela continetur. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quod assumptum est ita ostendemus: Nempe tangentem <lb/>AD transire per punctum E: hoc est, ita secare rectam <lb/>FG, ut pars FE, dupla sit reliquae EG. Secet enim AD <lb/>tangens rectam FG utcunque in E. Iam; cum parallelae <lb/>sint AG, BD, et aequales AE, ED; erunt aequales etiam <lb/>GE, EB, Sed aequales sunt FB, BE, ergo FE dupla est <lb/>ipsius EG. Ideo AD transit per illud E punctum, quod <lb/>ab initio dixeramus. </s></p> <pb pagenum="109"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO PRIMA<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Quaelibet parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et <lb/>eandem altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius dia­<lb/> <arrow.to.target n="fig104"></arrow.to.target><lb/>meter BD, iungaturque AB, BC, Dico <lb/>parabolam sesquitertiam esse trian­<lb/>guli ABC, eandem cum ipsa basim, <lb/>et eandem altitudinem habentis, Du­<lb/>cantur tangentes AE, CF, ad ba­<lb/>sim: FH verò per verticem B; et AH sit ipsi diametro parallela. <lb/>concipiamusque parabolae diametrum erectam esse ad horizontem. <lb/>Iam secta HE in I, ita ut EI dupla sit ipsius IH, erit triangulum <lb/>HAE centralitèr appensum ad punctum I (habet enim centrum gra­<lb/>vitatis in recta quae ex I ducitur parallela ad HA, et propterea ad <lb/>horizontem perpendiculari). Erit insuper figura mixta ABCFE centra­<lb/> <arrow.to.target n="marg141"></arrow.to.target><lb/>liter appensa ad punctum B. (quandoquidem habet centrum gravitatis <lb/>in diametro BD ad horizontem perpendiculari). Sed universa magni­<lb/> <arrow.to.target n="marg142"></arrow.to.target><lb/>tudo, composita ex dicto triangulo HAE, dictaque figura mixta, aequi­<lb/> <arrow.to.target n="marg143"></arrow.to.target><lb/>ponderat ex puncto E; erit ergo triangulum HAE ad figuram mixtam <lb/>ABCFE, ut reciprocè BE ad EI, nempe ut 3. ad 2. Propterca trapezium <lb/>AEFC sextuplum dicti trianguli, erit ad figuram mixtam ABCFE, ut <lb/> <arrow.to.target n="marg144"></arrow.to.target><lb/>18. ad 2. et per conversionem rationis, ad parabolam erit ut 18, ad 16. <lb/>Qualium ergo partium parabula est 16, earum trapezium AEFC est 18. <lb/>et triangulum ABC 12. Quare parabola ad triangulum ABC erit ut 16, <lb/> <arrow.to.target n="marg145"></arrow.to.target><lb/>ad 12 nempe sesquitertia. Quod erat ostendendum.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg141"></margin.target>Vide <lb/>Coroll, 1.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg142"></margin.target>Lemmat. 4.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg143"></margin.target>Lemm. <lb/>praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg144"></margin.target>ostendetur <lb/>inf.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg145"></margin.target>ostenditur <lb/>inf.</s></p> <figure id="fig104"></figure> <p type="main"> <s>Quod trapezium AEFC sextuplum sit trianguli HAE, <lb/>patet. Nam parallelogrammum HD, duplum est trianguli <lb/>HAB et propterea quadruplum trianguli HAE. ergò tra­<lb/>pezium AEBD triplum erit trianguli HAE. totum verò <lb/>trapezium AEFC. sextuplum dicti trianguli HAE. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem trapezium AEFC sextuplum sit trianguli <lb/>HAE, erit sextuplum etiam trianguli EAB; et ideo tri­<lb/>plum duorum EAB, BCF, Nempe ut 18. nd 6. Per con­<lb/>versionem verò rationis, erit ad triangulum ABC ut 18. <lb/>ad 12. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="110"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma VI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si duae parabolae utraqne duas tangentes ad basim habuerit; erunt <lb/>inter se trilinea mixta sub tangentibus, et curvis parabolicis contenta, <lb/>ut sunt ipsa triangula sub tangentibus compraehensa.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Sint duae parabolae ABC, DEF. quarum utraqne duas <lb/>tangentes ad basim habeat AG, GC prioris, et DH, FH, <lb/>posterioris parabolae. Dico trilineum mixtum ABCG, ad <lb/> <arrow.to.target n="fig105"></arrow.to.target><lb/>trilineum mixtum DEFH, esse ut triangulum AGC, ad <lb/>triangulum DHF. </s></p> <figure id="fig105"></figure> <p type="main"> <s>Si enim non est ita: habebit alterum ex trilineis, puta <lb/>ABCG, ad reliquum, maiorem rationem quàm triangulum <lb/>AGC, ad DHF. Esto spatium K excessus, quo trilineum <lb/>ABCG, maius est quàm ut sit in ratione triangulorum. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur per verticem B tangens IL; demissisque ex <lb/> <arrow.to.target n="marg146"></arrow.to.target><lb/>punctis I, et L lineis diametro parallelis (quae diametri <lb/>semiparabolarum erunt) ducantur tangentes OM, NP: et <lb/>ex punctis O; M; N, P, demittantur aliae diametri ut <lb/>supra; ducanturque aliae tangentes: et hoc semper fiat, <lb/>quousque reliquae simul omnes portiunculae, quae sub <lb/>tangentibus, et curva parabolica continentur; minores sint <lb/> <arrow.to.target n="marg147"></arrow.to.target><lb/>spatio K. Tunc. N. universa figura tangentibus circum­<lb/> <arrow.to.target n="marg148"></arrow.to.target><lb/>septa, et in trilineo mixto ABCG inscripta, habebit adhuc <lb/>ad trilineum DEFH, rationem maiorem, quam triang. AGC, <lb/>ad triang. DHF. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg146"></margin.target>Lem. 2.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg147"></margin.target>Coroll I.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg148"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur iam etiam in altero trilineo mixto DEFH. <pb pagenum="111"/>figurae totidem laterum; ductis nimirùm tangentibus to­<lb/>ties, quoties ductae fuerint in priori trilineo. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam verò est, ut triangulum IGL ad triangulum <lb/>QRH, ita duo simul triangula OIM, NLP, ad duo simul <lb/>UQS, TRZ. (sunt enim partes cum pariter multiplicibus in <lb/> <arrow.to.target n="marg149"></arrow.to.target><lb/>eadem ratione). Et ut duo simul triangula OIM, NLP, ad <lb/>duo UQS, TRZ, ita quatuor triangula quae sunt infra <lb/>puncta O, M, N, P, ad quatuor illa quae sunt sob pun­<lb/>ctis U, S, T, Z; ob eandem causam etc. Erunt etiam omnia <lb/> <arrow.to.target n="marg150"></arrow.to.target><lb/>antecedentia simul (nempe figura inscripta in priori trilineo <lb/>mixto), ad omnia consequentia simul (nempe ad figuram <lb/>inscriptam in posteriori trilineo mixto) ut unum ad unum; <lb/>nempe ut IGL, ad QHR. Sive sumptis eorum quadruplis, <lb/>ut AGC ad DHF. Sedeadem inscripta figura habebat ad <lb/>trilineum DEFH maiorem rationem quam sit trianguli <lb/>AGC ad DHF. Minus ergo erit trilineum mixtum DEFH, <lb/> <arrow.to.target n="marg151"></arrow.to.target><lb/>quam figura sibi in scripta; totum sua parte. Quod est <lb/>impossibile. Trilinea ergo sub tangentibus, et curvà para­<lb/>bolica compraehensa, sunt inter se ut triangula sub ijsdem <lb/>tangentibus et basibus contenta. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg149"></margin.target>25 quinti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg150"></margin.target>12 quinti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg151"></margin.target>X quinti</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola ABC, cuius <lb/> <arrow.to.target n="fig106"></arrow.to.target><lb/>diameter BD; et sit inscriptum <lb/>triangulum ABC. Dico parabo­<lb/>lam sesquitertiam esse trian­<lb/>guli ABC. </s></p> <figure id="fig106"></figure> <p type="main"> <s>Ducantur duae tangentes <lb/>ad basim, quae sint AE, CE. <lb/>et FG tangat per verticem B. <lb/>Demissis deinde FI, GH dia­<lb/>metro parallelis, ut sint dia­<lb/> <arrow.to.target n="marg152"></arrow.to.target><lb/>metri portionum AIB, BHC; <lb/>ducantur per I et H tangentes <lb/>LM, NO. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg152"></margin.target>2 Lem.</s></p> <p type="main"> <s>Erit ergo per Lemma praecedens, trilineum ABCE, ad trilineum <lb/>AIBF, ut est triangulum AEC, ad ABF. sive ad FBE. Idem verò trili­<lb/>neum ABCE ad aliud trilineum BHCG, erit ut idem triangulum AEC, <pb pagenum="112"/>ad triangulnm BGC; hoc est ad BGE, Coniunctim ergo, erit trilineum <lb/> <arrow.to.target n="marg153"></arrow.to.target><lb/>ABCE ad duo trilinea AIBF, BHCG, ut triangulam AEC ad triangulum <lb/>FEG, nempe ut 4, ad unum, et dividendo, erit triangulum FEG ad duo <lb/>trilinea AIBF, BHCG, ut 3, ad unum. Trapezium autem AFCG, ad eadem <lb/>trilinea erit ut 9. ad unum; et per conversionem rationis, ad parabolam <lb/>erit ut 9. ad 8. et ad triangulum ABC ut 9. ad 6, Qualium ergò factium <lb/>parabola est 8, talium triangulum ABC est 6. Constat ergo parabolam <lb/>inscripti sibi trianguli sesquitertiam esse. Quod erat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg153"></margin.target>24 quinti</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma VII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si in parabola inscribatur triangulum: eandem habens cum parabola <lb/>basim, eandemque altitudinem. Inscribantur etiam pariter et in reliquis <lb/>portionibus duo alia triangula: Erit triangulum primò inscriptum, octu­<lb/>plum alterutri posteriùs inscripti trianguli.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Demonstratur hoc lemma ab Archimede prop. 21. De <lb/>Quadratura parabolae. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma VIII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si in parabola evidenter inscribatur figura ex triangulis constans. <lb/>Tam bina ipsius triangula (si prout sibi mutuò respondent ita sumantur) <lb/>quàm etiam tota inscripta figura aequiponderabit ex puncto medio <lb/>basis ipsius parabolae.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuios diameter sit BD; et inscripta <lb/>statuatur figura, ita ut diameter ad horizontem sit perpen­<lb/> <arrow.to.target n="fig107"></arrow.to.target><lb/>dicularis. Sectà deinde utraque AD, DC bifariam in EF; <lb/>iterunque sectis partibus bifariam in G, H, I, L. etc. </s></p> <figure id="fig107"></figure> <p type="main"> <s>Ducantur GM, EN, HO, IP, FQ, LR, etc. Parallelae ad <lb/>diametrum. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribaturque in parabola figura AMNOBPQRC. (quae <lb/>dicitur evidentèr inscribi). Dico triangula quae figuram <pb pagenum="113"/>inscriptam componunt, si bina, et prout sibi mutuò respon­<lb/>dent ita sumantur, aequiponderare ex puncto D. Praeterea <lb/>universam figuram inscriptam, ex ipsis triangulis compo­<lb/>sitam, ab eodem puncto D, aequiponderare. </s></p> <p type="main"> <s>Sumantur enim duo triangula sibi mutuo respondentia, <lb/>puta NOB, BPQ, quae inter se aequalia erunt; cum trian­<lb/> <arrow.to.target n="marg154"></arrow.to.target><lb/>gula ANB, BQC suboctupla. sint eiusdem trianguli ABC; <lb/>ipsa vero NOB, BPQ, suboctupla sint aequalium triangu­<lb/>lorum ANB, BQC. Habebunt insuper centra gravitatis in <lb/>rectis OS, PT, quae quidem ab angulis O, P, ducuntur ad <lb/> <arrow.to.target n="marg155"></arrow.to.target><lb/>puncta media basium, NB, BQ, Cum verò OSH, PTI, rcctae <lb/>ad horizontem positae sint perpendiculares, erunt praedicta <lb/>triangula NOB, BPQ, centralitèr appensa ex punctis H, <lb/> <arrow.to.target n="marg156"></arrow.to.target><lb/>et I. Quamòbrem ab aequalibus distantijs HD, DI, aequi­<lb/> <arrow.to.target n="marg157"></arrow.to.target><lb/>ponderabunt. Et sic de reliquis figurae triangulis. Quod <lb/>erat primò propositum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg154"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg155"></margin.target>13 primi ae­<lb/>quiponder.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg156"></margin.target>4. secundi <lb/>eiusd.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg157"></margin.target>8. primi <lb/>eiusd.</s></p> <p type="main"> <s>Figura autem universa evidentèr inscripta componitur <lb/>ex partibus aequiponderantibus à puncto D; quarè etiam <lb/>ipsa ex D puncto aequiponderabit. Quod erat ostenden­<lb/>dum, etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma IX.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Positis ijsdem. Si à parabola dematur universa figura evidentêr in­<lb/>scripta, etiàm omnia segmenta parabolica, quae circumrelinquuntur, <lb/>ex puncto D. aequiponderabunt.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Repetita enim eadem figura demonstratum est figuram <lb/>inscriptam aequiponderare ex puncto D. Ergo figura in­<lb/>scripta centrum gravitatis habet in perpendiculo horizon­<lb/>tali DB. (per 4. suppositionem) sed etiam parabola cen­<lb/>trum gravitatis habet in diametro DB, (per 4. secundi <lb/>aequiponderantium) ergo centrum omnium reliquorum se­<lb/>gmentorum erit in diametro DB. Quare ex puncto D. <lb/>aequiponderabunt. per 3. suppositionem. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium;<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Constat etiam eodem prorsus argumento, reliquum figu­<lb/>rae evidentèr inscriptae, detracto priùs triangulo ABC, <pb pagenum="114"/>aequiponderare ex puncto D. Item reliquum parabolae, <lb/>dempto triangulo ABC, aequiponderare ex D. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma X.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ex parabola auferatur dimidium trianguli inscripti, tota reliqua <lb/>figura mixta aequiponderabit ex puncto basis reliqui trianguli, in quo <lb/>sic ea dividitur, ut pars ad curvam terminata quadrupla sit illius, quae <lb/>terminatur ad diametrum;<gap desc="/SM"/></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola <lb/>ABC inversa; eius­<lb/>que diameter BD <lb/>ita statuatur ut <lb/>ad horizontem sit <lb/>perpendicularis; <lb/>Detractoque semi­<lb/>triangulo inscripto <lb/>DBC; secetur AD <lb/>basis reliqui semitrianguli, in quinque partes aequales; <lb/>quarum una sit DE. Dico huiusmodi figuram ex puncto E <lb/>suspensam, aequiponderare. </s></p> <p type="main"> <s>Nisi enim aequiponderet; cum recta AD sit libra, cuius <lb/>fulcrum est in E, et magnitudo AFBGC, constans ex dua­<lb/> <arrow.to.target n="marg158"></arrow.to.target><lb/>bus portionibus parabolicis, appensa sit ad punctum D, <lb/>secundum centrum gravitatis ipsius: Reliquum autem <lb/>triangulum ABD altera magnitudo appensa sit ad pun­<lb/>ctum H (sumpta DH tertia parte totius DA); Altera ex <lb/>his duabus magnitudinibus praeponderare necesse erit. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg158"></margin.target>Coroll. <lb/>Lem. 9.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus primò praeponderare duas portiones AFB, <lb/>BGC; et sit excessus quo praeponderant aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur evidentèr intrà duas portiones parabolicas <lb/>figura multilatera, ita ut omnia simul segmenta parabolica <lb/>circumrelicta minora sint spatio K. Tunc enim praeponde­<lb/>rabit adhuc figura inscripta multilatera AIFLBMGNCBA. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur DO quarta pars totius DB; et ductà AO, <lb/>non solum triangulum ABO, aequiponderabit sibi ipsi ex <lb/>puncto H; sed etiam quodcumque aliud triangulum ha­<lb/>bens verticem in A et basim in recta DB, sibi ipsi aequi­<lb/>ponderabit ex puncto eodem H. </s></p> <pb pagenum="115"/> <p type="main"> <s>Iam sic: Qualium partium AD est 15, DH est 5 et DE <lb/>est 3. Ergo DE ad EH erit ut 3. ad 2. Cum autem demon­<lb/> <arrow.to.target n="marg159"></arrow.to.target><lb/>stratum sit duo triangula AFB, BGC, aequiponderare ex <lb/>puncto D; triangulum verò BOA, ex puncto H; et cum <lb/>duo praedicta triangula sint ad totum triangulum ABD <lb/>ut duo ad 4.; erunt eadem ad triangulum ABO, ut 2. ad 3.; <lb/> <arrow.to.target n="marg160"></arrow.to.target><lb/>nempe ut HE ad ED reciprocè. Quamobrem duo illa trian­<lb/>gula AFB, HGC, cum triangulo ABO, aequiponderabunt <lb/> <arrow.to.target n="marg161"></arrow.to.target><lb/>suspensa ex puncto E. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg159"></margin.target>Lem. 2</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg160"></margin.target>ex Lem. 7.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg161"></margin.target>6. Aequi­<lb/>pond.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur deinde DP quarta pars ipsius DO; ducaturque <lb/>AP. Iam; quia duo triangula FLB, BMG aequiponderant <lb/>ex D itemque duo AIF, GNC, aequiponderant ab eodem <lb/> <arrow.to.target n="marg162"></arrow.to.target><lb/>puncto D; omnia simul praedicta quatuor triangula aequi­<lb/>ponderabunt ex puncto D; Quatuor autem praedicta trian­<lb/>gula ad triangulum AFB sunt ut duo ad 4. Sunt autem <lb/>AFB, AOD, subquadrupla eiusdem trianguli ABD, et pro­<lb/> <arrow.to.target n="marg163"></arrow.to.target><lb/>pterea ad triangulum AOP, erunt ut 2. ad 3. nempe ut <lb/>HE ad ED, reciprocè. Aequiponderant ergo quatuor illa <lb/> <arrow.to.target n="marg164"></arrow.to.target><lb/>triangula cum triangulo AOP, ex puncto E. Ergo universa <lb/>simul figura evidenter inscripta AIFIB MGNCBA aequi­<lb/>ponderat triangulo ABP. Sed eadem praeponderabat trian­<lb/>gulo ABD, Minus ergò est triangulum ABD quam triangu­<lb/>lum ABP. totum sua parte: quod est impossibile. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg162"></margin.target>Lem. 8.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg163"></margin.target>ex Lem. 7.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg164"></margin.target>6. Aequi­<lb/>pond.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus deinde praeponderare triangulum ABD; et <lb/>sit excessus quo praeponderat aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur AOD quarta pars totius trianguli ABD; <lb/>iterumque sumatur APD quarta pars trianguli AOD; et <lb/>hoc semper fiat donec veniatur ad aliquod triangulum, <lb/>puta APD, quod minus sit spatio K. Tunc enim reliquum <lb/>ABP adhuc praeponderabit duabus portionibus parabolicis <lb/>AFB, BGC. Sed idem triangulum ostendetur (eodem pror­<lb/>sus modo ut supra) aequiponderare alicui figurae intrà <lb/>parabolicas portiones inscriptae; necesse igitur erit quòd <lb/>portiones parabolicae minores sint quàm figura illa sibi <lb/>inscripta; totum sua parte. Quod est impossibile. Aequi­<lb/>ponderant ergo parabola inversa (dempto semitriangulo <lb/>inscripto) ex puncto quod dictum est, Quod erat osten­<lb/>dend. etc. </s></p> <pb pagenum="116"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc inferre possumus, quòd si ex puncto E, recta <lb/>ducetur diametro aequidistans, centrum praedictae figurae <lb/>erit in producta. Siquidem figura ex puncto E aequipon­<lb/>derat, et linea ex E ducta aequidistans diametro, est ad <lb/>horizontem perpendicularis. Posset etiam demonstrari, nisi <lb/>extrà rem esset, centrum praedictae figurae dictam paral­<lb/>lelam ita secare, ut pars quae terminatur ad curvam sit <lb/>ad reliquam ut 11 ad 12. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem sibi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, ex qua demptum <lb/> <arrow.to.target n="fig108"></arrow.to.target><lb/>sit dimidium trianguli inscripti: Sum­<lb/>ptaque DH, quae sit tertia pars totius <lb/>DA et DE quinta pars eiusdem; si pa <lb/>rabola huiusmodi statuatur inversa, ita <lb/>ut diameter sit horizonti perpendicu­<lb/> <arrow.to.target n="marg165"></arrow.to.target><lb/>laris, aequiponderabit figura ex puncto <lb/>E, Sed triangulum ABD appensum est <lb/>secundum centrum gravitatis ad punctum H librae HD. Duae autem <lb/>parabolicae portiones residuae appensae sunt secundum centrum gra­<lb/>vitatis ad punctum D; Ergo triangulum ABD, ad duas reliquas por­<lb/>tiones erit ut DE ad EH, reciprocè, nempe ut 3. ad 2: Sumptis <lb/>autem antecedentium duplis erit totum inscriptum triangulum ad reli­<lb/>quas portiones ut 6. ad 2. Convertendo igitur, et componendo, erit <lb/>ipsa parabola ad inscriptum sibi triangulum ut 8, ad 6 Nempe sexqui­<lb/>tertia. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg165"></margin.target>praeced. <lb/>Lem.</s></p> <figure id="fig108"></figure> <p type="main"> <s>Libet hic demonstrare Lemma Lucae Valerij, nostro <lb/>tamen modo, diversisque penitùs Mechanicae principijs. <lb/>Ipse enim utitur propositione illa, quà ante demonstra­<lb/>verat centrum gravitatis hemispherij. Nos autem simili <lb/>ratione, ac in praecedentibus, demonstrabimus et Lemma, <lb/>et ipsam Valerij conclusionem. </s></p> <pb pagenum="117"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Omnis semiparabola aequiponderat ex puncto basis, in quo sic ea divi­<lb/>ditur ut pars ad curvam terminata sit ad reliquam ut quinque ad tria:<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto semiparabola ABC, cuius <lb/> <arrow.to.target n="fig109"></arrow.to.target><lb/>diameter AB statuatur ad horizon­<lb/>tem perpendicularis: Sectà deinde <lb/>AC in F, ita ut CF ad FA, sit <lb/>ut 5. ad 3. velut 15. ad 9. Dico <lb/>figuram ex puncto F suspensam <lb/>aequiponderare. </s></p> <figure id="fig109"></figure> <p type="main"> <s>Secetur iterùm AC bifariàm <lb/>in D, et demissà DE parallela <lb/>diametro, erit ipsa DE diameter <lb/>parabolae BEC. Sumatur iam AI tertia pars totius AC. <lb/>Qualium igitur partium AC est 24. talium AD est 12. <lb/>AF 9. et AI 8, Ergo DF tres, et FI una. Iam si figura <lb/>non aequiponderat ex puncto F; Cum ID sit libra quae­<lb/>dam cuius fulcrum est F, et ad punctum I appensum sit <lb/> <arrow.to.target n="marg166"></arrow.to.target><lb/>triangulum ABC; ex puncto verò D appensa sit parabola <lb/>BEC; altera ex his figuris praeponderabit. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg166"></margin.target>ex supp. <lb/>quinta.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus primò praeponderare parabolam BEC, sit ex­<lb/>cessus quo praeponderat aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur evidentèr intra parabolam BEC figura re­<lb/>ctilinea, ita ut omnes simul residuae portiunculae quibus <lb/>parabola excedit inscriptam sibi figuram, minores sint <lb/>spatio K. Manifestum est, quod inscriptà evidentèr figura <lb/>adhuc praeponderabit triangulo ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur AHC quarta pars totius trianguli ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem DE sit ad horizontem perpendicularis, et <lb/> <arrow.to.target n="marg167"></arrow.to.target><lb/>triangulum BEC habeat centrum gravitatis in recta GE; <lb/>erit dlctum triangulum appensum ad D. Triangulum verò <lb/>BHC appensum ad punctum I; quandoquidem AI tertia <lb/>pars est totius AC, ipsa vero AB perpendicularis ad hori­<lb/>zontem constituta est, Quoniàm autem BEC ad ABC est <lb/>ut unum ad 4., erit idem BEC ad HBC ut unum ad 3. <lb/> <arrow.to.target n="marg168"></arrow.to.target><lb/>nempe reciprocè ut IF ad FD, Aequiponderant ergo ex <lb/>puncto F, triangula BEC et HBC. </s></p> <pb pagenum="118"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg167"></margin.target>13 primi ae­<lb/>quipond.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg168"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iterum ALC quarta pars trianguli AHC; Et <lb/>quoniam duo triangula BME, ENC aequiponderant ex G <lb/> <arrow.to.target n="marg169"></arrow.to.target><lb/>(uti demonstratum est) aequiponderabunt etiam suspensa <lb/>ex D. Cum autèm duo dicta triangula BMC, ENC, sint ad <lb/> <arrow.to.target n="marg170"></arrow.to.target><lb/>triangulum BEC, sive ad ipsi aequale AHC, ut unum ad 4.; <lb/>erunt ad LHC, ut unum ad 3; nempe reciprocè ut IF <lb/>ad FD. Aequiponderant ergo ex puncto F. duo triangula <lb/>BME, ENC, cum triangulo LHC. Figura ergò universa <lb/>evidentèr inscripta intrà parabolam BEC. aequiponderat <lb/>ex puncto F. cum triangulo LBC. Sed eadem praeponde­<lb/>rabat triangulo ABC. Necesse igitur est quòd triangulum <lb/>ABC minus sit triangulo LBC. totum sua parte. Quod est <lb/>absurdum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg169"></margin.target>Lem. 8.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg170"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus deinde praeponderare triangulum ABC, et <lb/>sit excessus quo praeponderat aequalis spatio K. Sumatur <lb/>AHC quarta pars totius trianguli ABC. Iterùm sumatur <lb/>ALC quarta pars trianguli AHC, Et hoc semper fiat donec <lb/>ventum fuerit ad aliquod triangulum, puta ALC, minus <lb/>spatio K. Tunc enim triangulum LBC adhuc praeponde­<lb/>rabit parabolae BEC. Sed eodem modo, quo supra, demon­<lb/>strabimus dictum triangulum LBC aequiponderare cuidam <lb/>figurae evidentèr inscriptae intrà parabolam BEC. Unde <lb/>sequeretur ipsam parabolam BEC minorem esse aliqua <lb/>figurà sibi inscriptà; totum videlicet sua parte. Quod est <lb/>absurdum. Aequiponderat ergo semiparabola, uti dictum <lb/>est constituta, et ex puncto F suspensa. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet, quòd (cum semiparabola aequiponderet ex <lb/>puncto F.) si ab F demittatur recta ad horizontem per­<lb/> <arrow.to.target n="marg171"></arrow.to.target><lb/>pendicularis, in hac demissà erit centrum gravitatis semi­<lb/>parabolae; aliàs enim non aequiponderaret ex F. Verùm <lb/>quoniam etiam diameter parabolae ad horizontem perpen­<lb/>dicularis constituta est, concludemus; quòd recta quae ex <lb/>puncto F ducitur diametro aequidistans, transit per cen­<lb/>trum semiparabolae. </s></p> <pb pagenum="119"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg171"></margin.target>Suppositio 4.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter <lb/> <arrow.to.target n="fig110"></arrow.to.target><lb/>BD, triangulum verò inscriptum sit ABC, <lb/>Dico parabolam dicti trianguli esse ses­<lb/>quitertiam. </s></p> <figure id="fig110"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur, qualium partium tota DC <lb/>est 24. talium DE 8.; DF 9; et DG, 12. <lb/>Eritque earundem EF una, et FG tres, Ductis verò EH, FI, GL, dia­<lb/> <arrow.to.target n="marg172"></arrow.to.target><lb/>metro parallelis, erit in EH centrum trianguli BDC; in FI centrum <lb/>semiparabolae DBMC, et in GL centrum portionis BMC, <lb/> <arrow.to.target n="marg173"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg172"></margin.target>13 primi ae­<lb/>quip.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg173"></margin.target>Lem. <lb/>praeced.</s></p> <p type="main"> <s>Ponatur centrum trianguli esse punctum quodcumque H. Item cen­<lb/>trum semiparabolae esse punctum quodcumque I (quamquàm huius­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg174"></arrow.to.target><lb/>modi puncta extrà ipsas figuras ubicunque libuerit sumantur, tamen <lb/>vero semper eodem modo inferemus.) iunctà deinde HI, et productà, in <lb/> <arrow.to.target n="marg175"></arrow.to.target><lb/>ipsa HI erit centrum portionis parabolicae BMC; quod cum sit etiam <lb/>in recta GM producta, necessariò erit in communi concursu L. Para­<lb/>bola ergò BMC ad triangulum DBC erit reciprocè ut HI ad IL, hoc <lb/>est, ut EF ad FG, nempe ut unum ad 3. Componendo ergo, sumptisque <lb/>duplis, erit tota parabola ad totum triangulum ut 4. ad 3. Nempe <lb/>sesquitertia. Quod erat propositum etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg174"></margin.target>4. sec. <lb/>aequip.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg175"></margin.target>8. primi ae­<lb/>quip.</s></p> <p type="main"> <s>Poterat haec demonstratio produci etiam hoc modo, <lb/>praemisso hoc Lemmate. </s></p> <p type="main"> <s>Si parabola ad extremum basis lineam habuerit dia­<lb/>metro parallelam, ed diametri quadruplam, ductoque tertio <lb/>latere, compleatur triangulum. </s></p> <p type="main"> <s>Universa haec figura aequiponderabit ex puncto tertij <lb/>lateris, in quo sic dividitur ut pars ad <lb/> <arrow.to.target n="fig111"></arrow.to.target><lb/>curvam terminata sit ad reliquam ut <lb/>5. ad 3. </s></p> <figure id="fig111"></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter <lb/>DB statuatur ad horizontem perpen­<lb/>dicularis; considereturque ipsa para­<lb/>bola inversa: Tum ad alterutrum basis <lb/>AC estremum, puta ad punctum A, <lb/>adiungatur recta AE, diametro aequi­<lb/>distans, et ipsius diametri quadrupla. <lb/>Ducto deinde tertio latere EC trian­<lb/>guli EAC, secetur in F, ita ut CF. ad FE sit ut 5. ad 3. <pb pagenum="120"/> <arrow.to.target n="marg176"></arrow.to.target><lb/>Dico huiusmodi figuram ex puncto F aequiponderare. Quo­<lb/>niam enim CE ordinatim applicatur ad diametrum AE; <lb/>erit tota figura EABC semiparabola. Ergo ijsdem ra­<lb/>tionibus, eodemque progressu quo usi sumus in Lem­<lb/>mate II ostendemus totam figuram aequiponderare ex F. <lb/>Sumatur iam EI octo earum partium, qualium tota EC <lb/>est 24. et EL 12. et EF 9, Eritque IF earundem una, et <lb/>FL 3. Ergo cum parabola ABC pendeat ex puncto L, ap­<lb/>pensa ad ipsum secundum centrum gravitatis; triangulum <lb/>verò AEC ex puncto I; erit parabola ABC ad triangu­<lb/> <arrow.to.target n="marg177"></arrow.to.target><lb/>lum AEC ut reciprocè IF ad FL, nempe ut unum ad 3.; <lb/>sive ut 4. ad 12. et propterea ad triangulum ABC ut 4. <lb/>ad 3. etc. Est enim ABC quarta pars ipsius ACE etc. <lb/>Constat ergo parabolam sesquitertiam esse inscripti sibi <lb/>trianguli. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg176"></margin.target>Ostendetur <lb/>infra.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg177"></margin.target>ob commu­<lb/>nem basim <lb/>AC altitu­<lb/>dinem verò <lb/>in ratione <lb/>quadrupla.</s></p> <p type="main"> <s>Quod assumptum est, nempe rectam CE ordinatim ap­<lb/>plicari ad diametrum AE, ostendemus hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim non est ordinatim applicata CE, applicetur or­<lb/>dinatim CM; eritque MABC semiparabola; et quia sunt <lb/> <arrow.to.target n="marg178"></arrow.to.target><lb/>aequales AD, DC, erit MC secta bifariam in N. Ergo MA <lb/>sesquitertia est ipsius NB; sed etiam EA ob constructio­<lb/> <arrow.to.target n="marg179"></arrow.to.target><lb/>nem sesquitertia est ipsius LB; ergo et reliqua EM sesqui­<lb/>tertia est reliquae LN; et EC sesquitertia ipsius CL, quod <lb/>est impossibile. Est enim dupla, non autem sesquitertia. <lb/>Quare nulla alia praeter CE ex puncto C ordinatim ap­<lb/>plicari potest ad diametrum AE. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg178"></margin.target>ob semipara­<lb/>bolam.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg179"></margin.target>19 quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, eandemque <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, <lb/> <arrow.to.target n="fig112"></arrow.to.target><lb/>cuius diameter BD, trian­<lb/>gulum inscriptum ABC; <lb/>Dico parabolam esse ses­<lb/>quitertiam trianguli AB <lb/>C. tibi inscripti. </s></p> <figure id="fig112"></figure> <p type="main"> <s>Si enim ita non est, <lb/>neque triangulum ABC <lb/>erit triplum duarum si- <pb pagenum="121"/>mul reliquarum portionum AEB, BFC. Sed erit vel magis quàm triplum, <lb/>sive minus quàm triplum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primò minus quam triplum, eruntque duae reliquae portiones <lb/>magis quàm tertià pars trianguli ABC. Estò excessus aequalis spatio K, <lb/>et inscribantur intrà portiones primùm trian gula AEB, BFC; iterumque <lb/>in reliquis portiuncolis quatuor triangula AGE, EHB, BIF, FLC; deinde <lb/>octo etc. et hoc semper donec excessus portionum supra inscriptas <lb/>evidentèr figuras sit minor spatio K. Tunc. <emph type="italics"/>n<emph.end type="italics"/> erunt inscriptae figurae <lb/>adhuc maiores quàm tertia pars trianguli ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iam triangulum ABM quarta pars totius trianguli ABC. <lb/> <arrow.to.target n="marg180"></arrow.to.target><lb/>Et quoniam ABC quadruplum est tam trianguli ABM, quam triangu­<lb/>lorum AEB, BFC simul sumptorum, aequale erit triangulum ABM, duo­<lb/>bus simul triangulis AEB, BFC; et propterea triangulum MBC triplum <lb/>erit duorum simul triangulorum AEB, BFC. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg180"></margin.target>ex Lem. 7.</s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur iterùm triangulum ABN quarta pars totius trianguli ABM. <lb/>Cum ergò ABM quadruplum sit ipsius ABN; et duo AEB, BFC, qua­<lb/> <arrow.to.target n="marg181"></arrow.to.target><lb/>drupla sint quatuor simul subsequentium triangulorum AGE, EHB, BIF, <lb/>FLC; cumque antecedentia sint aequalia, aequalia erunt etiam conse­<lb/>quentia; et propterea cum triangulum NBM triplum sit trianguli ABN, <lb/>triplum etiam erit idem triangulum NBM. quatuor simul triaugulorum, <lb/>AGE, EHB, BIF, FLC. Et ut unum ad unum ita omnia simul ad omnia. <lb/> <arrow.to.target n="marg182"></arrow.to.target><lb/>Quare totum simul triangulum NBC, triplum erit figurarum evidentèr <lb/>intra portiones inscriptarum. Sed triangulum ABC minus erat quam <lb/>triplum earundem; Ergo ABC minus est quàm NBC totum sua parte. <lb/>Quod est absurdum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg181"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg182"></margin.target>12 Quinti.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus deinde triangulum ABC esse plus quam triplum duarum <lb/>simul reliquarum portionum. Esto; et excessui, quo est magis quàm <lb/>triplum, aequale sit spatium K. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur ABM quarta pars totius trianguli ABC. Iterum sumatur <lb/>ABN quarta pars ipsius ABM. Et hoc semper fiat donec veniatur ad <lb/>aliquod triangulum, puta ABN, quod minus sit spatio K. Eritque adhuc <lb/>triangulum NBC magis quam triplum duarum portionum. Sed eàdem <lb/>prorsus ratione, et ordine quo supra, ostendemus triangulum NBC <lb/>triplum esse cuiusdam figurae intrà portiones evidentèr inscriptae; <lb/>necesse igitur erit quòd portiones ipsae minores sint quàm figurae <lb/>intrà ipsas descriptae: Totum sua parte. quod est impossibile. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum ergo ABC duarum reliquarum portionum triplum est; <lb/>et componendo; et per conversionem rationis parabola ad suum <lb/>triangulum erit ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. Quod erat proposi­<lb/>tum etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="122"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tres tangentes habuerit, duas ad basim, tertiam verò <lb/>per verticem: Erit triangulum sub tangentibus compraehensum, reli­<lb/>quae figurae (demptà parabolà) triplum.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter BD; tangentes ad <lb/>basim AE, CE; per verticem verò FBG. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Dico triangulum FEG, sub tangentibus compraehensum <lb/>reliquae figurae mixtae ABCGF (dempta scilicet parabola) <lb/>triplum esse. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim non est triplum, erit certè vel magis, vel <lb/>minùs quàm triplum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primò minùs quàm triplum; eritque reliqua figura <lb/>mixta ABCGF, magis quàm tertia pars trianguli FEG. <lb/>Sit excessus K. Ducanturque per vertices abscissarum <lb/>portionum tangentes HI, LM; Iterumque per vertices sub­<lb/>sequentium portionum, tangentes agantur NO, PQ, RS, TU. <lb/>et hoc semper; donec excessus figurae mixtae ABCGF, <lb/>supra figuram ex triangulis constantem NOPQRSTUGF, <lb/>minus aliquando relinquatur quàm spatium K. Tunc enim <lb/>erit adhuc figura ex triangulis inscripta maior quàm tertia <lb/>pars trianguli FEG. </s></p> <pb pagenum="123"/> <p type="main"> <s>Accipiatur triangulum FEI quarta pars trianguli FEG; <lb/>eritque triangulum FEI aequale duobus simul triangulis <lb/>HFI, LGM: (cum tam ista duo, quàm illud solum, sub­<lb/> <arrow.to.target n="marg183"></arrow.to.target><lb/>quadrupla sint eiusdem trianguli FEG) Ergò triangul. IEG <lb/>triplum erit duorum simul triangulorum HFI, LGM. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg183"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iterùm triangulum FEX quarta pars ipsius <lb/>FEI. Cumque sit FEI quadruplum trianguli FEX, duo <lb/>verò triangula HFI, LGM quadrupla sint quatuor simul <lb/>triangulorum NHO, PIQ, RLS, TMU, et antecedentia ae­<lb/> <arrow.to.target n="marg184"></arrow.to.target><lb/>qualia; etiam consequentia aequalia erunt; eritque trian­<lb/>gulum FEX aequale quatuor praedictis triangulis NHO, <lb/>PIQ, RLS, TMU; et propterea XEI triplum erit eorumdem <lb/>quatuor triangulorum. Cumque sit ut unum ad unum, ita <lb/> <arrow.to.target n="marg185"></arrow.to.target><lb/>omnia ad omnia: erit totum simul triangulum XEG tri­<lb/>plum universae figurae rectilineae intrà figuram mixtam <lb/>inscriptae. Sed eiusdem figurae inscriptae triangulum FEG <lb/>minus erat quam triplum; necesse igitur est ut triangu­<lb/>lum FEG minus sit quàm ipsum XEG totum videlicet sua <lb/>parte. Quod est impossibile. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg184"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg185"></margin.target>12 Quinti.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus deinde triangulum FEG esse plus quàm tri­<lb/>plum reliquae figurae mixtae demptà parabolà. </s></p> <p type="main"> <s>Esto et sit excessus aequalis spatio K. accinietur trian­<lb/>gulum FEI quarta pars totius FEG: et iterum sumatur <lb/>triangulum FEX quarta pars trianguli FEI: et hoc fiat <lb/>semper donec veniatur ad aliquod triangulum, puta FEX, <lb/>quod minus sit spatio K. Eritque triangulum XEG adhuc <lb/>maius quàm triplum reliquae figurae mixtae ABCGF. Sed <lb/>eadem penitùs ratione, atque ordine ut supra, ostendemus <lb/>triangulum XEG esse triplum cuiusdam figurae intrà figu­<lb/>ram mixtam ABCGF. descriptae. Necesse ergò erit, ut <lb/>figura mixta ABCGF minor sit quam aliqua figura sibi <lb/>inscripta; totum sua parte. Quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Si ergò parabola tres tangentes habuerit, ut positum <lb/>est, erit triangulum sub tangentibus contentum, reliquae <lb/>figurae, dempta parabola, triplum. Quod erat proposi­<lb/>tum etc. </s></p> <pb pagenum="124"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertiâ est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter <lb/> <arrow.to.target n="fig113"></arrow.to.target><lb/>BD; duae tangentes AE, CE ad basim, <lb/>et tertia FBG per verticem. Dico para­<lb/>bolam sesquitertiam esse inscripti sibi <lb/>trianguli ABC. </s></p> <figure id="fig113"></figure> <p type="main"> <s>Triangulum enim FEG ad duo tri­<lb/>linea mixta AFB, BGC per praecedens <lb/>Lemma, est ut 3. ad nnum. Ergò trape­<lb/>zium. AFGC (cum triplum sit trianguli <lb/>FEG) ad duo eadem trilinea mixta erit ut 9. ad unum. Et ad para­<lb/>bolam erit (per conversionem rationis) ut 9. ad 8. et ad triangulum <lb/>ABC, erit ut 9. ad 6. Qualium ergo partium parabola est octo, talium <lb/>triangulum ABC est 6; Quare parabola ad inscriptum sibi triangulum <lb/>est ut 8. ad 6. nempe sesquitertia. Quod erat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XIII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tres tangentes habuerit; duas ad basim, tertiam verò <lb/>per verticem, et ex universa figura dempta sit parabola, dimidiumque <lb/>trianguli sub tangentibus contenti. Reliqua figura aequiponderabit ex <lb/>quodam puncto, quod ita integram tangentem lateralem dividit ut pars <lb/>quae ad contactum curvae terminatur sit ad reliquam ut 9. ad unum.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola A <lb/> <arrow.to.target n="fig114"></arrow.to.target><lb/>BC cuius diameter <lb/>BD concipiatur ad <lb/>horizontem perpendi­<lb/>cularis; sintque duae <lb/>tangentes ad basim <lb/>AE, CD verticalis <lb/>verò tangens EBF. <lb/>Sectà deinde laterali <lb/>CD in H, ita ut CH <lb/>ad HD sit ut 9. ad <lb/>unum; Dico figuram <lb/>huiusmodi (demptà <lb/>parabolà, et semi­<lb/>triangulo verticali EBD) aequiponderare ex puncto H. </s></p> <pb pagenum="125"/> <figure id="fig114"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur DI quinque partium earum, quarum DF est <lb/>15. sive quarum DH est 3. Eritque DH ad HI ut 3. ad 2. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem BD sit ad horizontem perpendicularis, por­<lb/>tiones mixtae ABE, BCF, appensae erunt secundum cen­<lb/>trum gravitatis ad punctum B, sive ad punctum D. Trian­<lb/>gulum verò BDF ob eandem causam, et eodem modo <lb/>pendebit centraliter ex puncto I (quandoquidem FI dupla <lb/>est ipsius ID; et ipsa DB ad horizontem perpendicularis). <lb/>Iam si istae magnitudines non aequiponderant ex H pun­<lb/>cto librae DI, altera ipsarum praeponderabit. Esto; et <lb/>praeponderent primò duae portiones mixtae ABE, BCF. <lb/>Sitque excessus quo praeponderant aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur intrà mixtas portiones figura ex tangenti­<lb/>bus, ut iam saepè factnm est. Donec excessus portionum <lb/>suprà figuram rectilineam inscriptam minur sit spatio K. <lb/>Tunc enim figura inscripta adhuc praeponderabit trian­<lb/>gulo BDF. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur triangulum DFG quarta pars totius trian­<lb/>guli DFB; eritque triangulum DFG aequale triangulo <lb/>NFO (cum ambo sint subquadrupla eiusdem trianguli DFB) <lb/> <arrow.to.target n="marg186"></arrow.to.target><lb/>et propterea triangulum DFG ad duo triangula TEM, <lb/>NFO, erit ut unum ad 2. ergò BFG ad duo triangula <lb/>LEM, NFO, erit ut 3. ad 2. nempe reciprocè ut DH ad HI. <lb/>Triangulum igitur BGF, et duo triangula LEM, NFO, ex <lb/>puncto H aequiponderant iuvicem. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg186"></margin.target>ex Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iterùm DFP quarta pars totius DFG, eritque <lb/>DFP aequale duobus simul triangulis quae sunt infrà pun­<lb/>cta N et O. (Sunt enim quartae partes aequalium trian­<lb/> <arrow.to.target n="marg187"></arrow.to.target><lb/>gulorum DFG, NFO). Propterea triangulum DFP ad qua­<lb/>tuor simul triangula L, M, N, O, erit ut unum ad 2. Sed <lb/>triangulum PFG, ad eadem quatuor triangula erit ut 3. <lb/>ad 2. nempe reciprocè ut DH ad HI. Aequiponderat igitur <lb/>triangulum PFG, cum quatuor dictis triangulis L, M, N, O, <lb/>ex puncto H. Quamobrem universa figura inter portiones <lb/>inscripta aequiponderabit cum triangulo BPF ex puncto H. <lb/>Sed eadem praeponderabat triangulo BDF. Necesse igitur <lb/>est ut triangulum BDF minus sit quam triangulum BPF, <lb/>totum sua parte. Quod esse non potest. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg187"></margin.target>ex Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus deinde praeponderare triangulum BDF dua- <pb pagenum="126"/>bus simul portionibus mixtis ABE, BCF; et ponatur ex­<lb/>cessus quo praeponderat aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur triangulum DFG quarta pars ipsius DFB. <lb/>et iterum sumatur DFP quarta pars ipsius DFG, et sic <lb/>semper donec veniatur ad aliquod triangulum, puta DFP <lb/>minus spatio K. Tunc enim reliquum triangulum adhuc <lb/>praeponderabit portionibus mixtis ABE, BCF. Sed osten­<lb/>demus eodem penitus argumento, atque ordine ut supra <lb/>idem triangulum PFB praeponderare alicui figurae intrà <lb/>portiones ABE, BCF, descriptae. Necesse ergo erit quòd <lb/>ipsae duae portiones mixtae minores sint quàm aliqua sibi <lb/>inscripta figura; totum sua parte; quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Constat ergo quod propositum fuerat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia et trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto, ut in praecedenti Lemmate para­<lb/> <arrow.to.target n="fig115"></arrow.to.target><lb/>bola ABC. cum duabus tangentibus late­<lb/>ralibus, sive ad basis AE, CD; atque EBF <lb/>per verticem. Concipiaturque diameter ad <lb/>horizontem perpendicularis; et ablatà pa­<lb/>rabola dectractoque dimidio verticalis <lb/>trianguli; accipiatur DI tertia pars to­<lb/>tius DF, et sit DH sesquialtera ipsius HI. <lb/>Aequiponderant ergo (per lemma praece­<lb/>dens) ex puncto H librae DI, duae ma­<lb/>gnitudines. Nempe hinc duae portiones ABCFE appensae ad pun­<lb/>ctum D; inde verò triangulum BDF appensum ad punctum I. </s></p> <figure id="fig115"></figure> <p type="main"> <s>Quamobrem DBF ad ABCFE, erit ut reciprocè DH ad HI, nempe <lb/>ut 3. ad 2. Sumptisque antecedentium duplis, erit totum verticale trian­<lb/>gulum EDF ad reliquam figuram mixtam triplum, Propterea (ut in <lb/>Propositione sexta demonstratum est) parabola inscripti sibi trianguli <lb/>sesquitertia erit. Quod erat propositum demonstrare.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XIV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si duorum conorum latera trianguli per axem secta fuerint in partes <lb/>aequales numero, et magnitudine, ductisque per puncta sectionum <lb/>planis basi parallelis, super sectionum circulis intelligantur cylindri <pb pagenum="127"/>aeque alti intrà conos descripti: Erit ut primus conus ad secundum, <lb/>ita omnes cylindri primi coni, ad omnes cylindros secundi coni.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Sint duorum conorum trian­<lb/> <arrow.to.target n="fig116"></arrow.to.target><lb/>gula per axem ABC, DEF, et <lb/>duo eorum latera, puta AB, <lb/>DE, secentur in partes numero <lb/>aequales; nempe in totidem <lb/>partes dividatur tàm AB, quàm <lb/>DE; sintque partes lateris AB <lb/>aequales inter se, et partes <lb/>DE item aequales inter se. Ductis deinde per singula <lb/>sectionum puncta planis GH, IL, etc. basi AC paral­<lb/>lelis: item planis MN, OP, etc. basi DF parallelis; <lb/>Concipiantur cylindri AH, GL, etc. eiusdem altitudinis <lb/>intrà conum ABC descripti; itemque in altero cono <lb/>alij cylindri aequealti intelligantur; Dico esse ut conus <lb/>ABC ad conum DEF, ita omnes cylindros coni ABC <lb/>ad omnes cylindros coni ABC ad omnes cylindros coni <lb/>DEF. </s></p> <figure id="fig116"></figure> <p type="main"> <s>Concipiantur duo coni GAH, MDN; quorum vertices <lb/>sint A et D, bases verò circuli GH, MN. </s></p> <p type="main"> <s>Iàm; Cylindrus AH ad conum GAH est ut cylindrus <lb/>DN ad conum MDN. (nempe in ratione tripla) conus verò <lb/>GAH ad conum GBH in eadem basi est ut AG ad GB; <lb/>sive (propter divisionem in constructione adhibitam) ut DM <lb/>ad ME, hoc est ut conus MDN ad conum MEN. Conus <lb/>denique GBH ad conum similem ABC est ut cubus GB <lb/>ad cubum BA; sivè (propter constructionem) ut cubus ME <lb/>ad cubum ED, nempe ut conus MEN ad conum similem <lb/>DEF. Quarè ex aequo cylindrus AH ad conum ABC, erit <lb/>ut cylindrus DN ad conum DEF. Et permutando cylin­<lb/>drus AH ad cylindrum DN erit ut conus ABC ad co­<lb/>num DEF. </s></p> <p type="main"> <s>Ulterius. Cylindrus etiam GL ad cylindrum MP. eodem <lb/>penitus modo demonstratur esse ut conus GBH ad conum <lb/>MEN, sive ut conus ABC ad conum DEF; et hoc modo <lb/>semper. Proptereà ut unus cylindrus AH ad unum DN, <lb/> <arrow.to.target n="marg188"></arrow.to.target><lb/>ità quilibet antecedentium ad quemlibet consequentium, <lb/> <arrow.to.target n="marg189"></arrow.to.target><lb/>ergò ut unus ad unum, nempe ut conus ABC ad conum <pb pagenum="128"/>DEF, ità omnes simul cylindri coni ABC, ad omnes simul <lb/>cylindros coni ABC, ad omnes simul cylindros coni DEF. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg188"></margin.target>11 Quinti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg189"></margin.target>12 Quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Dato trilineo mixto, sub lineà parabolica, eiusque tangente, et alià <lb/>rectà diametro parallela compraehenso; possibile est in dato trilineo <lb/>figuram inscribere constantem ex parallelogrammis aequealtis, quae <lb/>figura deficiat à trilineo mixto minori differentià quàm sit quaecnmque <lb/>data magnitudo.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto linea parabolica <lb/> <arrow.to.target n="fig117"></arrow.to.target><lb/>ABC, cuius tangens CD, <lb/>et diametro aequidistans <lb/>sit AD. Dico intrà trili­<lb/>neum mixtum ABCD. <lb/>describi posse figuram <lb/>constantem ex paralle­<lb/>logrammis aequealtis, <lb/>quae figura deficiat à <lb/>trilineo mixto, minori <lb/>defectu quàm sit spa­<lb/>tium quodcumque da­<lb/>tum K. </s></p> <figure id="fig117"></figure> <p type="main"> <s>Secetur enim DC bi­<lb/>fariam in X; iterumque <lb/>partes bifariàm dividan­<lb/>tur in H et in P; sem­<lb/>perque hoc fiat donec <lb/>veniatur ad sectionem <lb/>aliquam, puta DE, eius­<lb/>modi ut parallelogram. ADE, minus sit spatio K. (Quod <lb/>autem hoc fieri possit, patet. Si enim compleatur paralle­<lb/>logrammum ADC, ex ipso per continuam bisectionem <lb/>semper detrahitur dimidium; ergò tandem remanebit AE <lb/>minus quolibet dato spatio). Ducantur deinde ex punctis <lb/>sectionum rectae EF, HG, etc. aequidistantes ipsi DA; <lb/>per puncta autem I, B, etc. ubi parallelae secant para­<lb/>bolam, ducantur LG, MN, etc. aequidistantes tangenti CD. <lb/>Et factum erit quod oportebat. </s></p> <pb pagenum="129"/> <p type="main"> <s>Parallelogrammum enim CO, aequale est ipsi OP, et <lb/> <arrow.to.target n="marg190"></arrow.to.target><lb/>addito communi OI, erunt duo CO, OR, aequalia ipsi RQ, <lb/>sive ipsi RS: additoque communi RT, erunt tria CO, OR, <lb/>RT, aequalia ipsi TP, hoc est ipsi TX, additoque com­<lb/>muni TZ et sic semper procedendo erunt denique omnia <lb/>simul parallelogramma CORTZYBIA aequalia ipsi paral­<lb/>lelogrammo AE. nempe minora spatio K. Multò igitur <lb/>minor erit defectus figurae inscriptae ex parallelogrammis <lb/>aequealtis compositae, à trilineo mixto ABCD, quàm sit <lb/>propositum spatium K. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg190"></margin.target>36 Primi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc notabimus quod eodem prorsus modo, eàdemque <lb/>operatione, figura etiam circumscribitur dato trilineo mixto, <lb/>constans ex parallelogrammis aequealtis, ita ut excessus <lb/>figurae circumscriptae suprà ipsum trilineum, minor sit <lb/>quocumque spatio dato K. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XVI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tangentem habuerit: et insuper duas rectas diametro <lb/>parallelas, quae duo trilinea abscindant sub tangente, et lineà para­<lb/>bolica compraehensa; Erit figura ex parallelogrammis aequealtis con­<lb/>stans in maiori trilineo descripta, ad figuram eiusdem speciei in minori <lb/>trilineo descriptam, ut cubus maioris tangentis ad cubum minoris.<gap desc="/SM"/></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius tangens CD; et diametro <lb/>parallela sit utraque DA, EF; ut fiant duo trilinea mixta <pb pagenum="130"/>ABCD maius, et FBCE minus. Dico, si in utroque tri­<lb/>lineo inscribatur figura constans ex parallelogrammis ae­<lb/>qualibus utrimque numero, (ut in praecedenti lemmate <lb/>expositum est) figuram trilinei ABCD, ad figuram trilinei <lb/>FBCE, esse ut cubus DC ad cubum CE. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiamus, (ad evitandam linearum multitudinem, et <lb/>confusionem) triangulum GEC cum sua portione parabolae <lb/>intercepta FBC, transferri, et esse idem quod positum est <lb/>sub signis HIL. trilineumque FBCE esse idem cum tri­<lb/>lineo MNLI. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur iam in utroque trilineo ABCD, et MNLI, <lb/>(quod quidem repraesentat ipsum FBCE translatum) figura <lb/>constans ex parallelogrammis aequealtis; et sit idem nu­<lb/>merus parallelogrammorum in utroque trilineorum. Intel­<lb/>ligatur etiam conus, cuius vertex C, sive L; et diameter <lb/>basis sit, hinc quidem AD, inde verò HI. Sintque in sin­<lb/>gulis coni segmentis cylindri aequealti OP, QR etc. <lb/> <arrow.to.target n="marg191"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg191"></margin.target>1. Sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Iam parallelogrammum BP ad SD, est ut recta BR <lb/>ad SP, hoc est ut quadratum RC ad CP; hoc est ut qua­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg192"></arrow.to.target><lb/>dratum RT ad quadratum PU: hoc est ut cylindrus QR ad <lb/>cylindrum OP. Eodem modo erit parallelogrammum XR <lb/>ad SD, ut cylindrus YR ad UD. Ergo erunt duo simul <lb/> <arrow.to.target n="marg193"></arrow.to.target><lb/>parallelogramma BP, XR, ad SD; ut duo simul cylindri <lb/>TP, YR, ad cylindrum UD. Procedendo itaque semper hoc <lb/>modo, et denique componendo, erit tota inscripta figura <lb/>ex parallelogrammis constans in trilineo ABCD, ad paral­<lb/>lelogrammum SD, ut omnes simul cylindri qui in cono <lb/>ACD, ad cylindrum UD. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg192"></margin.target>ob parabo­<lb/>lam.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg193"></margin.target>24. Quinti.</s></p> <p type="main"> <s>Amplius; parallelogrammum SD ad NI compositam <lb/>habet rationem, ex ratione rectae SP ad NZ, sive qua­<lb/>drati PC ad ZI (sunt enim duae figurae, sed circa ean­<lb/>dem parabolam translatam) sive quadrati PU ad ZK; et <lb/>ex ratione rectae DP ad IZ. Est ergò parallelogrammum <lb/>SD ad NI ut cylindrus UD ad KI, Denique parallelo­<lb/> <arrow.to.target n="marg194"></arrow.to.target><lb/>grammum NI ad totam figuram inscriptam intrà trilineum <lb/>MNLI, est ut cylindrus KI ad omnes cylindros inscriptos <lb/>intrà conum HLI, Propterea ex aequo erit figura ex pa­<lb/>rallelogrammis constans inscripta in maiori trilineo ABCD, <lb/>ad figuram ex parallelogrammis inscriptam in minori tri- <pb pagenum="131"/>lineo MNLI, ut omnes cylindri in cono ACD ad omnes <lb/>cylindros in cono HLI. Nempe ut conus ACD ad conum <lb/> <arrow.to.target n="marg195"></arrow.to.target><lb/>HLI, hoc est ad conum GCE (qui idem est). Nempe ut <lb/>cubus DC ad cubum CE. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg194"></margin.target>ostendetur <lb/>eodem mo­<lb/>do ut in al­<lb/>tera figura.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg195"></margin.target>Lemma. 14.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XVII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tangentem habuerit, et insuper duas diametro paral­<lb/>lelas rectas lineas, quae duo trilinea mixta abscindant; erunt inter se <lb/>abscissa reilinea ut cubi suarum tangentium.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius <lb/> <arrow.to.target n="fig118"></arrow.to.target><lb/>tangens CD: et diametro paral­<lb/>lela sit utraque DA, EB. Dico <lb/>trilineum mixtum ABCD ad tri­<lb/>lineum mixtum BCE, esse ut <lb/>cubus tangentis DC, ad cubum <lb/>tangentis CE. </s></p> <figure id="fig118"></figure> <p type="main"> <s>Si enim ita non est, sit alte­<lb/>rum illorum, si possibile est, <lb/>maius quam ut habeat dictam <lb/>proportionem ad reliquum; et <lb/>ponamus illud esse ABCD, maius <lb/>quàm quod esse deberet ex­<lb/>cessu K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur intrà trilineum ABCD figura ex parallelo­<lb/>grammis aequealtis constans; ita ut à trilineo deficiat mi­<lb/>nori defectu quàm sit spatium K (haec autem fieri posse <lb/> <arrow.to.target n="marg196"></arrow.to.target><lb/>ostendimus). Habebitque adhuc figura inscripta ad reli­<lb/>quum trilineum BCE maiorem rationem quàm cubus DC <lb/>ad cubum CE. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg196"></margin.target>Lem. 15.</s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur intrà alterum trilineum BCE figura eiusdem <lb/>speciei, et eiusdem numeri parallelogrammorum cùm de­<lb/>scripta intra trilineum ABCD. Erit ergò figura inscripta <lb/>trilineo ABCD ad figuram inscriptam trilineo BCE ut cu­<lb/> <arrow.to.target n="marg197"></arrow.to.target><lb/>bus DC ad cubum CE. Sed eadem figura inscripta trilineo <lb/>ABCD ad trilineum BCE habet maiorem rationem quàm <lb/>cubus DC ad CE. Minus ergo est trilineum BCE quàm <lb/>inscripta sibi figura. totum sua parte. Quod est impossi­<lb/>bile. Constat ergo propositum. </s></p> <pb pagenum="132"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg197"></margin.target>Lemma <lb/>praecedens.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter <lb/> <arrow.to.target n="fig119"></arrow.to.target><lb/>BE, tangentes verò AF, CF, productae <lb/>eousque donec occurrant ipsis AD, CH, <lb/>diametro parallelis. Iungaturque rectae <lb/>lineae AB, BC. (licet in figura omissae <lb/> <arrow.to.target n="marg198"></arrow.to.target><lb/>sint). Dico parabolam trianguli ABC esse <lb/>sesquitertiam. <lb/> <arrow.to.target n="marg199"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg198"></margin.target>Lem. praece­<lb/>dens</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg199"></margin.target>2. Sexti</s></p> <figure id="fig119"></figure> <p type="main"> <s>Erit enim ABCD ad trilineum BCF, <lb/>ut cubus DC ad cubum CF, nempe ut <lb/>octo ad unum. (cum enim sit ut AE ad <lb/>EC, ita DF ad FC, erit DF aequalis ipsi <lb/>FC, cubusque DC octuplus cubi CF). Item trilineum CBAH ad trilineum <lb/>BAF est ut octo ad unum. Coniuctim ergò erunt duo trilinea ABCD, <lb/>CBAH, ad spatium ABCF. ut octo ad unum. Et dividendo bis, erunt <lb/>duo triangula AFD, CFH, ad spatium ABCF, ut 6. ad unum. Quamobrem <lb/>triangulum AFD, sive AFC ad spatium ABCF, erit ut 3, ad unum; et <lb/>ad parabolam erit ut 3. ad 2. vel ut 6. ad 4. Propterea parabola erit ad <lb/>triangulum ABC ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. Quod erat propositum <lb/>demonstrare etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XVIII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit ut prima magnitudo ad secundam, ita tertia ad quartam; <lb/>Et hoc quotiescumque libuerit. Fuerintque omnes primae inter se, item <lb/>omnes tertiae magnitudines inter se aequales. Erunt omnes primae <lb/>simul ad omnes secundas, ut sunt omnes tertiae simul ad omnes quar­<lb/>tas magnitudines.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto ut A prima ad B secundam, <lb/> <arrow.to.target n="fig120"></arrow.to.target><lb/>ita C tertia ad D quartam. Et iterum <lb/>ut E prima ad F secundam, ita G <lb/>tertia ad H quartam; et sic quotie­<lb/>scunque libuerit. Sintque omnes pri­<lb/>mae A, E, I, etc. item omnes tertiae <lb/>C, G, M, etc. inter se aequales. </s></p> <figure id="fig120"></figure> <p type="main"> <s>Dico omnes primas simul ad omnes <lb/>secundas simul, ita esse ut sunt omnes <lb/>simul tertiae, ad omnes quartas ma­<lb/>gnitudines. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam enim convertendo est ut B <pb pagenum="133"/>ad A ita D ad C. Item ut F ad E; sive ad aequalem A, <lb/>ita H ad G, sive ad C; erunt simul BF ad A, ut sunt DH <lb/>slmul ad C. Hoc modo procedendo, ostendemus omnes </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg200"></arrow.to.target><lb/>secundas simul esse ad A, ut sunt omnes quartae simul <lb/>ad ipsam C. Ipsa verò A ad omnes est ut C ad omnes <lb/>tertias (sunt enim aeque submultiplices). Ergo ex aequo <lb/> <arrow.to.target n="marg201"></arrow.to.target><lb/>omnes secundae ad omnes primas, sunt ut omnes quartae <lb/>simul ad omnes tertias. Convertendo igitur constat quod <lb/>erat propositum demonstrare. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg200"></margin.target>24. Quinti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg201"></margin.target>15. Quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XIX.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tangentem habuerit ad basim; ex alia verò parte rectam <lb/>diametro parallelam. Erit triangulum sub tangente, et parallela dia­<lb/>metro, ipsaque basi compraehensum, ipsius parabolae triplum.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, <lb/> <arrow.to.target n="fig121"></arrow.to.target><lb/>cuius tangens CD, paral­<lb/>lela diametro sit AD; <lb/>Dico triangulum ADC <lb/>esse parabolae ipsius AB <lb/>C, triplum. </s></p> <figure id="fig121"></figure> <p type="main"> <s>Si enim non est tri­<lb/>plum parabolae, per con­<lb/>versionem rationis, non <lb/>erit sesquialterum trilinei <lb/>ABCD; et propterea (du­<lb/>plicato antecedente) to­<lb/>tum parallelogrammum AE non erit triplum trilinei ABCD. </s></p> <p type="main"> <s>Trilineum ergo ABCD erit vel plus, vel minus quam <lb/>tertia pars parallelogrammi AE. Ponatur primùm <emph type="italics"/>s<emph.end type="italics"/>sse plus <lb/>quàm tertia pars, et sit excessui aequale spatium K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur intrà trilineum ABCD, figura constans ex <lb/>parallelogrammis aequealtis, deficiensque ab ipso trilineo <lb/>minori defectu quàm sit ipsum spatium K. Et inscripta <lb/>iam sit eiusmodi figura. Erit ergò adhuc figura inscripta <lb/>plus quàm tertia pars parallelogrammi AE. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur circa rectam AD, circulus, qui sit basis <lb/>cuiusdam coni verticem habentis in puncto C. et super <lb/>eàdem basi intelligatur cylindrus AE eiusdem altitudinis <pb pagenum="134"/>cum ipso cono; sectusque sit tam conus quàm cylindrus <lb/>planis basi parallelis per singulas rectas FG, HI, LM, etc. <lb/>ductis. Concipiantur etiam intrà conum ACD cylindri ae­<lb/>quealti PO, OI, etc. <lb/> <arrow.to.target n="marg202"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg202"></margin.target>1. Sexti. <lb/>ob parabo­<lb/>lam.</s></p> <p type="main"> <s>Iam sic; parallelogrammum AF ad ND, est ut recta <lb/>DA ad ON: nempe ut quadratum DC ad quadratum CO; <lb/>sive, ut quadratum DA ad quadratum OG, nempe, ut cy­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg203"></arrow.to.target><lb/>lindrus AF ad cylindrum PO, Et sic, semper. Suntque <lb/>omnes primae magnitudines aequales parallelogrammo AF, <lb/>et ideo aequales inter se; omnes autem tertiae magnitu­<lb/>dines aequales cylindro AF, atque ideo inter se. Erunt ergo <lb/>omnes primae simul, hoc est parallelogrammum AQ, ad <lb/>omnes secundas simul, nempe ad figuram inscriptam in <lb/>trilineo ABCD, ut sunt omnes tertiae simul, nempe cylin­<lb/>drus AQ, ad omnes quartas simul, hoc est ad omnes cy­<lb/>lindros intrà conum ACD descriptos. Convertendo igitur; <lb/>erit figura trilineo inscripta ad parallelogrammum AQ <lb/>ut omnes cylindri intra conum ACD ad cylindrum <expan abbr="Aq.">Aque</expan> <lb/>Parallelogrammum verò AQ ad parallelogrammum AE <lb/>est ut DQ ad DE, hoc est ut cylindrus AQ ad cylindrum <lb/>AE. Propterea ex aequo, figura inscripta in trilineo ad <lb/>totum parallelogrammum AE, erit ut omnes cylindri in <lb/>cono inscripti ad cylindrum AE. Sed figura inscripta <lb/>in trilineo (ex iam dictis) plus quàm tertia pars paral­<lb/>lelogrammi AE, ergò omnes cylindri in cono descripti <lb/>erunt plusquam tertia pars cylindri AE, nempe maiores <lb/>quàm conus ACD. pars videlicet suo toto. Quod est im­<lb/>possibile. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg203"></margin.target>ob similitud. <lb/>triang.</s></p> <p type="main"> <s>Sed ponamus nunc trilineum ABCD esse minus quam <lb/>tertia pars parallelogrammi AE; sitque defectus aequalis <lb/> <arrow.to.target n="marg204"></arrow.to.target><lb/>spatio K. Circumscribatur trilineo ABCD figura constans <lb/>ex parallelogrammis aequealtis excedensque minori ex­<lb/>cessu quàm sit spatium K; et erit figura circumscripta <lb/>adhuc minor quàm tertia pars parallelogrammi AE. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg204"></margin.target>Coroll. <lb/>Lem. 15.</s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur iterum circa rectam AD circulus pro basi <lb/>coni, qui verticem habeat C; itemque pro basi cylindri <lb/>ACED eiusdem altitudinis cum ipso cono ACD. </s></p> <p type="main"> <s>Intelligatur insuper circa conum descripta figura solida <lb/>constans ex cylindris aequealtis AQ, GI, etc. </s></p> <pb pagenum="135"/> <p type="main"> <s>Iam parallelogram­<lb/> <arrow.to.target n="fig122"></arrow.to.target><lb/>mum AF ad paralle­<lb/>logrammum AQ (ob <lb/>aequalitatem) est ut <lb/>cylindrus ADFG ad <lb/>cylindrum ADQR. Am­<lb/>plius. Parallelogram­<lb/>mum GH ad paralle­<lb/>logrammum LI est ut <lb/> <arrow.to.target n="marg205"></arrow.to.target><lb/>GF, sive AD ad <expan abbr="Lq;">Lque</expan> <lb/>nempe ut quadratum <lb/>DC ad quadratum CQ, <lb/>sive ut quadratum DA, <lb/>vel FG, ad quadratum <expan abbr="Gq;">Gque</expan> nempe ut cylindrus GH ad <lb/>cylindrum GI. etc. et hoc modo semper. Suntque omnes <lb/>singillatim primae magnitudines aequales parallelogrammo <lb/>AF, et ideò inter se: item omnes tertiae aequales cylindro <lb/>AF, et ob id inter se; ergo erunt omnes primae simul, hoc <lb/>est parallelogrammum AE, ad omnes secundas simul, <lb/>hoc est ad figuram trilineo circumscriptam, ut omnes ter­<lb/>tiae simul, nempe cylindrus AE, ad omnes quartas simul, <lb/>nempe ad cylindros conum ACD circumscribentes. Con­<lb/>vertendo igitur, erit figura circumscripta trilineo, ad pa­<lb/>rallelogrammum AE, ut omnes cylindri circumscribentes <lb/>conum ad cylindrum AE. Sed figura trilineo circumscripta <lb/>minor est quàm tertia pars parallelogrammi AE; ergo <lb/>etiam omnes cylindri circumscribentes conum, minores <lb/>erunt quàm tertia pars cylindri AE; nempe minores cono <lb/>ACD. Totum sua parte: quod esse non potest. Triangulum <lb/>ergo ADC ipsius parabolae omninò triplum erit. Quod pro­<lb/>positum fuerat. </s></p> <pb pagenum="136"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg205"></margin.target>1. sexti. <lb/>ob parabo­<lb/>lam. <lb/>ob similitud. <lb/>triangul.</s></p> <figure id="fig122"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter EB, <lb/> <arrow.to.target n="fig123"></arrow.to.target><lb/>triangulum inscriptum sit ABC. Dico para­<lb/>bolam trianguli ABC esse sesquitertiam; </s></p> <figure id="fig123"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur enim tangens CD, et sit recta <lb/>AD diametro aequidistans: </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò per praecedens lemma, triangu­<lb/>lum ACD parabolae triplum; et propterea <lb/>erit parabola partes quatuor earum, quarum <lb/>triangulum ADC est duodecim, nempe qualium <lb/>triangulum ABC est tres. (triangulum enim <lb/>ABC aequale est triangulo EFC, cum utrum­<lb/>que duplum sit trianguli EBC, ergo triangu­<lb/>lum ABC quarta pars erit totius ADC). Constat ergo parabolam ad <lb/>inscriptum sibi triangulum esse ut 4. ad 3. Nempe sesquitertiam. <lb/>Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem sibi basim, et eandem <lb/>alritudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius dia­<lb/> <arrow.to.target n="fig124"></arrow.to.target><lb/>meter BD. Dico parabolam ABC <lb/>inscripti sibi trianguli esse sesqui­<lb/>tertiam. </s></p> <figure id="fig124"></figure> <p type="main"> <s>Compleatur parallelogrammum <lb/>ADBE, et nisi parabola sesquitertia <lb/>sit trianguli sibi inscripti, neque <lb/>(sumptis dimidijs) semiparabola A <lb/>BD, sesquitertia erit trianguli ABD; <lb/>neque eadem semiparabola ABD <lb/>erit 2. tertii parallelogrammi ED, <lb/>sed vel plus vel minus quam 2. tertii <lb/>eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto primùm si fieri potest semiparabola ABD magìs quàm 2. tert. <lb/>parallelogrammi ED; et ponatur excessus aequalis spatio K. Ipsique <lb/>semiparabolae figura inscribatur constans ex parallelogrammis ae­<lb/>qualtis (more apud Geometras usitato, prout factum est Lemmate XV.) <lb/>ita ut differentia inter figuram inscriptam; et ipsam semiparabolam <lb/>minor sit spatio K. Tunc enim inscripta figura adhuc maior erit quàm <lb/>2. tert. parallelogrammi ADBE. </s></p> <pb pagenum="137"/> <p type="main"> <s>Ducatur circa diametrum AC semicirculus AXC, completoque re­<lb/>ctangulo, sive quadrato AFXD. ducantur GL, HM, IO, perpendiculares <lb/>ad AC, et compleantur rectangula DL, GM, HO; Tum intelligatur figura <lb/>AFXD circumverti circa axem AD; ita ut quadrans ADX, hemisphae­<lb/>rium describat, quadratum verò AFXD, cylindrum; et rectangula in <lb/>quadrante inscripta totidem cylindros faciant in ipso hemisphaerio <lb/>compraehensos. </s></p> <p type="main"> <s>Iam parallelogrammum BG ad PD, est ut BD ad GP, sive ut re­<lb/>ctangulum CDA ad rectangulum CGA; sive ut quadratum XD ad qua­<lb/>dratum LG; sive ut cylindrus XG ad LD. Et hoc modo semper. Suntque <lb/>omnes primae magnitudines aequales parallelogrammo BG, et omnes <lb/>tertiae aequales cylindro XG. Ergo erunt omnes primae simul, hoc est <lb/> <arrow.to.target n="marg206"></arrow.to.target><lb/>parallelogrammum TD, ad omnes secundas simul, nempe ad figuram <lb/>inscriptam in semiparabola, ut sunt omnes tertiae simul, nempe cylin­<lb/>drus VD, ad omnes quartas simul, hoc est ad omnes cylindros in he­<lb/>misphaerio inscriptos. Parallelogrammum verò TD ad ED est ut cy­<lb/>lindrus VD ad FD, ergo ex aequo, erit parallelogrammum ED ad <lb/>figuram in semiparabola inscriptam ut cylindrus FD ad omnes cylindros <lb/>in ipso hemisphaerio compraehensos. Sed parallelogrammum ED minus <lb/>est quam sesqnialterum figurae intra semiparabolam inscriptae; Ergò <lb/>cylindrus FD minor erit quàm sesquialter omnium cylindrorum in he­<lb/>misphaerio descriptorum. Quod est absurdum. Scimus enim dictum <lb/>cylindrum hemisphaerij esse sesquialterum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg206"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde (si fieri potest) semiparabola minus quàm 2. tert. ipsius <lb/>parallelogrammi ED. Ponaturque defectus aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Tum ipsi semiparabolae figura quaedam circumscribatur, constans <lb/>ex parallelogrammis aequealtis (more solit, ut factum est in Lem­<lb/>mate XV. eiusque Corollario) ita ut differentia inter circumscriptam <lb/>figuram ipsamque semiparabolam minor sit spatio K. Tunc enim ma­<lb/>nifestum est, quòd figura circumscripta adhuc minor erit quàm 2. tert. <lb/>parallelogrammi ED. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa diametrum AC se­<lb/> <arrow.to.target n="fig125"></arrow.to.target><lb/>micirculus, ut in escriptione prae­<lb/>cedentis constructionis, completo­<lb/>que quadrato AOFD, perficiantur <lb/>reliqua rectangula FL, GM, HN, <lb/>IA. circa quadrantem descripta. <lb/>Tum revolvatur figura AF circa <lb/>axem AD, ita ut solida generen­<lb/>tur iam dicta; nempe hemisphae­<lb/>rium ex quadrante, cylindrus ex <lb/>quadrato AF; totidemque cylin­<lb/>dri quot rectangula erunt ipsi <lb/>quadranti circumscripta. Iàm pa­<lb/>rallelogrammum BL ad se ipsum <lb/>est ut cylindrus factus ex FL ad se ipsum. Amplius. Parallelogram- <pb pagenum="138"/>mum QM ad PM; est ut QL ad LP; sive BD ad LP, sive ut rectang. <lb/>CDA ad CLA, sive ut quadratum FD ad LG, sive ut quadratum RL <lb/>ad LG; nempe ut cylindrus factus ex RM ad cylindrum ex GM: et hoc <lb/>modo semper. </s></p> <figure id="fig125"></figure> <p type="main"> <s>Suntque omnes primae magnitudines aequales parallelogrammo BL, <lb/> <arrow.to.target n="marg207"></arrow.to.target><lb/>omnesque tertiae aequales cylindro facto ex FL. Ergo erunt omnes <lb/>primae simul nempe parallelogrammum AB ad omnes simul secundas, <lb/>nempe ad figuram semiparabolae circumscriptam, ut sunt omnes ter­<lb/>tiae simul; nempe cylindrus ex OD factus, ad omnes quartas, nempe <lb/>ad cylindros hemisphaerio ciscumscriptos. Sed parallelogrammum ED <lb/>magis est quàm sesquialterum figurae circumscriptae ad semipara­<lb/>bolam, ergo cylindrus ex OD magis quàm sesquialter erit ad omnes <lb/>cylindros hemisphaerio circumscriptos. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg207"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s>Quod est absurdum: Scimus enim cylindrum hemisphaerio circum­<lb/>scriptum ipsius hemispherii esse sesquialterum. Patet itaque paralle­<lb/>logr. ED sesquialternm esse ad semiparabolam ABD; et ideo semiparab. <lb/>sesquitertia trianguli ABD.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>QUADRATURA PARABOLAE<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PER NOVAM INDIVISIBILIUM GEOMETRIAM<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PLURIBUS MODIS ABSOLUTA<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Hactenus de dimensione parabolae more antiquorum <lb/>dictum sit; Reliquum est ut eandem parabolae mensuram <lb/>nova quedam, sed mirabili ratione aggrediamur; ope sci­<lb/>licet Geometriae Indivisibilium, et hoc diversis modis: <lb/>Suppositis enim praecipui Theorematib. antiquorum tàm <lb/>Euclidis, quàm Archimedis, licet de rebus inter se diver­<lb/>sissimis sint, mirum est ex unoquoque eorum quadraturam <lb/>parabolae facili negotio elici posse; et vice versa. quasi <lb/>ea sit commune quoddam vinculum veritatis. Posito enim <lb/>quòd cylindrus inscripti sibi coni triplus sit, hinc sequitur <lb/>parabolam inscripti sibi triangoli esse sesquitertiam: Si <lb/>verò mavis praemittere cylindrum inscriptae sibi sphaerae <lb/>esse sesquialterum, continuò parabolae quadratura infertur. <lb/>Eadem concluditur supposita demonstratione, quae probat <lb/>centrum gravitatis coni positum esse in axe, ita ut pars <lb/>quae ad verticem est, reliquae sit tripla. Parabola non <lb/>minus quadratur etiam supponendo spatium à linea spirali <lb/>in prima revolutione descripta, et à recta quae initium <lb/>est revolutionis, compraehensum, subtriplum esse primi <lb/>circuli. Contrà verò: supposità parabolae quadratura, prae­<lb/>dicta omnia Theoremata facilè demonstrari possunt. Quod <lb/>autem haec indivisibilium Geometria novum penitus in- <pb pagenum="140"/>ventum sit, equidem non ausim affirmare. Crediderim po­<lb/>tius veteres Geometras hoc metodo usos in inventione <lb/>Theorematum difficillimorum, quamquam in demonstratio­<lb/>nibus aliam viam magis probaverint, sive ad occultandum <lb/>artis arcanum, sive ne ulla invidis detractoribus profer­<lb/>retur occasio contradicendi. Quicquid est, certum est hanc <lb/>Geometriam mirum esse pro inventione compendium, et <lb/>innumera quasi imperscrutabilia Theoremata, brevibus, di­<lb/>rectis, affirmativisque demonstrationibus confirmare; quod <lb/>per doctrinam antiquorum fieri minimè potest. Haec enim <lb/>est in Mathematicis spinetis via verè Regia, quàm primus <lb/>omnium aperuit, et ad pubblicum bonum complanavit mi­<lb/>rabilium inventorum machinator Cavalerius. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius tangens CD, <lb/> <arrow.to.target n="fig126"></arrow.to.target><lb/>et diametro aequidistans sit AD. Perficiatur <lb/>parallelogrammum AE; et circa diametrum <lb/>AD intelligatur circulus, qui sit basis coni <lb/>cuiusdam verticem habentis in puncto C, et <lb/>item sit basis cylindri alicuius ACED eiusdem <lb/>altitudinis cum dicto cono. </s></p> <figure id="fig126"></figure> <p type="main"> <s>Ducantur iam quaelibet recta FG paral­<lb/>lela ad AD, et per ipsum intelligatur tran­<lb/> <arrow.to.target n="marg208"></arrow.to.target><lb/>sire planum parallelum circulo AD. Erit ergò <lb/>FG ad IB ut recta DA ad IB hoc est ut <lb/>quadratum DC ad quadratum CI, sive ut <lb/>quadratum DA ad IG, sive ut circulus DA ad circulum IG, nempe ut <lb/>circulus FG ad eundem IG. Et hoc semper; suntque omnes primae ma­<lb/>gnitudines aequales rectae DA. Et ideò inter se; omnes etiam tertiae <lb/>aequales circulo DA et ob id inter se; ergo per Lemma 18 erunt <lb/>omnes primae simul, nempe parallelogrammum AE, ad omnes secundas <lb/>simul, nempe ad trilineum ABCD, ut sunt omnes tertiae simul, nempe <lb/>cylindrus AE, ad omnes quartas simul hoc est ad conum ACD. Est <lb/>igitur parallelogrammum AE triplum trilinei ABCD. Sumptoque di­<lb/>midio, erit triangulum ACD sesquialterum trilinei ABCD; et per con- <pb pagenum="141"/>versionem rationis, erit triangulum ACD triplum ipsius parabolae. <lb/>Propterea, ex demonstratione propositionis 9. erit parabola inscripti <lb/>sibi trianguli sesquitertia. Quod erat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg208"></margin.target>ob parabo­<lb/>lam. <lb/>ob similitud. <lb/>triang.</s></p> <p type="main"> <s>Alia quoque ratione parabolam quadrabimus, demon­<lb/>stratis priùs, quà fieri poterit brevitate, indivisibilium prin­<lb/>cipijs. Declinabimus autem ab immenso Cavalerianae Geo­<lb/>metriae oceano, minori audacia radentes terram. Qui volet, <lb/>haec omnia videre poterit (in fonte dicam, an in pelago?) <lb/>circa medium secundi libri Geometriae indivisibilium Ca­<lb/>valerij. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XX.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Quadrata omnium partium cuiuscunque rectae lineae subtripla sunt <lb/>totidem quadratorum totius.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto quaelibet recta linea AB. Dico omnia simul qua­<lb/>drata omnium partium rectae AB esse subtripla totidem <lb/>quadratorum eiusdem rectae lineae AB. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat enim quadratum ACDB, ductàque <lb/> <arrow.to.target n="fig127"></arrow.to.target><lb/>diametro AD, convertatur figura circa axem <lb/>AB donec in eum locum redeat unde cepit <lb/>moveri. Manifestum est, quod à quadrato <lb/>cylindrus CH describetur, à triangulo verò <lb/>ABD conus DAH, qui verticem habebit in A. <lb/>Ducatur iam quaelibet EF parallela ipsi CA, <lb/>eritque AF, sive FG, (sunt enim aequales) <lb/>una ex infinitis partibus totius AB. </s></p> <figure id="fig127"></figure> <p type="main"> <s>Iam; quadratum totius AB, ad quadratum partis AF, <lb/>est, ob aequalitatem, ut quadratum EF ad FG, nempe ut <lb/>circulus diametro EL factus, ad circulum diametro GI. <lb/> <arrow.to.target n="marg209"></arrow.to.target><lb/>Et sic erit semper. Suntque primae magnitudines sin­<lb/>gulae aequales quadrato AB, et tertiae semper aequales <lb/>circulo DH. Ergo omnes primae simul, hoc est tot qua­<lb/> <arrow.to.target n="marg210"></arrow.to.target><lb/>drata lineae AB, quot ipsa habet partes, ad omnia quadrata <lb/>partium, erunt ut omnes tertiae simul, hoc est ut cyliudrus <lb/>CH, ad omnes quartas simul, nempe ad conum DAH. Sunt <lb/>ergò tot quadrata alicuius lineae quot ipsa habet partes, <lb/>ad omnia quadrata partium ipsius ut cylindrus CH ad <lb/>conum DAH, nempe tripla. Et convertendo constat pro­<lb/>positum quod demonstrandum fuerat etc. </s></p> <pb pagenum="142"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg209"></margin.target>2. duodecimi.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg210"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Omnia rectangula, quae continentur sub aliqua recta linea cum <lb/>singulis suis partibus, et reliquis partibus sub sesquialtera sunt totidem <lb/>quadratorum eiusdem rectae lineae.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Assumpta praecedentis Lemmatis figura, acceptum sit <lb/>in recta AB quodlibet punctum F. Rectangulum sub BAF <lb/>tanquàm una recta linea, et sub FB. contentum, erit unum <lb/>ex omnibus praedictis rectangulis, (unum enim latus com­<lb/>ponitur ex tota AB, cum parte AF; alterum verò est FB, <lb/>nimirum reliqua pars). Rectangulum autem praedictum, <lb/>sub BAF tamquam una recta et sub FB contentum, idem <lb/>est, ob aequalitatem laterum, ac rectangulum EIL. Et hoc <lb/>semper verum erit hoc modo, ubicunque sit punctum F. <lb/>Sed omnia rectangula sub rectis interceptis in trapezio <lb/>CAHD (qualium una est EI) et sub reliquis, qualium una <lb/>est IL; una cum omnibus quadratis intermediarum sectio­<lb/>num (qualium una est FI) aequantur (propter V secundi <lb/>elementorum) omnibus quadratis dimidiarum, qualium una <lb/>est FL. Omnia verò quadrata intermediarum sectionum, <lb/> <arrow.to.target n="marg211"></arrow.to.target><lb/>(qualium una est FI) ad omnia quadrata dimidiarum (qua­<lb/>lium una est FL) sunt ut unum ad 3. Si ergo demantur <lb/>omnia quadrata intermediarum, remanebunt omnia rectan­<lb/>gula, quorum unum est EIL, sive omnia rectangula con­<lb/>tenta sub AB cum singulis suis partibus, et reliquis par­<lb/>tibus, subsesquialtera omnium quadratorum, quae fiunt à <lb/>dimidiis, sive totidem quadratorum totius AB. Quod fuerut <lb/>ostendendum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg211"></margin.target>Lem. <lb/>praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertiam est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter <lb/> <arrow.to.target n="fig128"></arrow.to.target><lb/>BE, et circa parabolam sit parallelo­<lb/>grammum DC. Ducatur quaelibet FG <lb/>diametro parallela; eritque FG. ad GI, <lb/>ut BE ad GI, sive ut rectangulum CEA, <lb/>ad CGA, hoc est ut quadratum CE ad rectangulum CGA. Et hoc modo <pb pagenum="143"/>semper; suntque primae magnitudines aequales semper rectae BE; ter­<lb/>tiae autem semper aequales quadrato CE. Ergo omnes primae simul, <lb/>hoc est parallelogrammum AB, ad omnes secundas simul, nempe ad <lb/> <arrow.to.target n="marg212"></arrow.to.target><lb/>semiparabolam AIBE; erunt ut omnes simul tertiae, videlicet tot <lb/>quadrata lineae CE quot ipsa habet partes, ad omnes quartas simul, <lb/>nempe ad omnia rectangula sub CE cum singulis suis partibus, et <lb/>sub reliquis partibus. Ergo (ex praecedenti Lemmate) parallelogram­<lb/>mum AB er<emph type="italics"/>i<emph.end type="italics"/>t ipsius semiparabolae sesquialterum; Totumque paralle­<lb/>logrammum DC erit totius parabolae sesquialterum, nempe ut 6. ad <lb/>4. Propterea parabola ad inscriptum sibi triangulum (quod quidem <lb/>parallelogrammi DC sub duplum est) erit ut 4. ad 3. Nempe sesqui­<lb/>tertia. Quod erat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg212"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <figure id="fig128"></figure> <p type="main"> <s>Possumus sine molestia illorum lemmatum, parabo­<lb/>lam quadrare eadem argumento, diversis tamen principijs, <lb/>nempe per suppositionem proportionis, quam cylindrus ha­<lb/>bet ad sphaeram sibi inscriptam; quae quidem proportio <lb/>sesquialtera est, ut ostenditur ex Archimede; libro primo <lb/>de Sphaera et Cylindro. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, circa quam sit pa­<lb/> <arrow.to.target n="fig129"></arrow.to.target><lb/>rallelogrammum AD; et circa diametrum <lb/>AC fiat semicirculus, circa quem sit rectan­<lb/>gulum AE. Tum manente axe AC, intelli­<lb/>gatur circumverti ipsum semicirculum, ita <lb/>ut ex ipsius revolutione Sphaera circum­<lb/>scribatur: ex conversione verò rèctang. AE <lb/>cylindrus nascatur. </s></p> <figure id="fig129"></figure> <p type="main"> <s>Sumpto iam quolibet puncto G. ducatur <lb/>recta GF parallea diametro HB; et per idem punctum G agatur pla­<lb/>num GL erectum ad axem AC. </s></p> <p type="main"> <s>Erit recta FG ad GI, ut BH ad GI (ob aequalitatem) hoc est rectan­<lb/>gulum GHA, ad rectangulum CGA, sive ut quadratum HN ad quadra­<lb/>tum GM (ob circulum) sive ut quadratum GL ad quadratum GM; nempe <lb/>ut circulus ex semidiametro GL in cylindro, ad circulum ex semidia­<lb/>metro GM in sphaera. Et hoc semper, ubicunque sumatur punctum G. <lb/>Sunt autem aequales inter se tàm omnes primae, quàm omnes tertiae <lb/>magnitudines. Ergò omnes primae, nempe parallelogrammum AD ad <lb/> <arrow.to.target n="marg213"></arrow.to.target><lb/>omnes secundas, nempe ad parabolam ABC, erunt ut omnes tertiae, <lb/>hoc est cylindrus, ad omnes simul quartas, videlicet ad sphaeram. Sed <pb pagenum="144"/>cylindrus ad sphaeram est sesquialter; ergò parallelogrammum etiam <lb/>AD parabolae sesquialterum erit: et ipsa parabola inscripti sibi trian­<lb/>guli sesquitertia; ut in praecedenti conclusum est. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg213"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si magnitudines quotcunque ad libram appensae fuerint ex quibus­<lb/>cunque punctis: totidemque magnitudines alterius ordinìs ex iisdem <lb/>punctis pendeant, pariter cum praedictis magnitudinibus proportionales. <lb/>Erit unum idemque librae punctum centrum aequilibrij utriusque or­<lb/>dinum magnitudinum.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Sint ad libram AB magni­<lb/> <arrow.to.target n="fig130"></arrow.to.target><lb/>tudines primi ordinis quotcun­<lb/>que C,D,E,F, ex quibuscunque <lb/>punctis appensae. Totidemque <lb/>magnitudines G, H, I, L, se­<lb/>cundi ordinis pendeant ex ijsdem punctis; et sint pro­<lb/>portionales: nempe: Ut C ad D, ita sit G ad H. Iterum <lb/>ut C ad E, ita sit G ad I. etc. Dico idem punctum librae <lb/>esse centrum commune aequilibrij utriusque ordinis ma­<lb/>gnitudinum suspensarum. </s></p> <figure id="fig130"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim sit ut C ad D, ita G ad H, ex eodem puncto <lb/>aequiponderabunt, tam duae magnitudines C et D, quam <lb/>duae G et H. </s></p> <p type="main"> <s>Ampliùs. Cum sit ut C ad D, ita G ad H, erit conver­<lb/>tendo et componendo DC ad C, ut HG ad G. C autem <lb/>ad E est ut G ad I; ergò ex aequo CD simul ad E erit <lb/>ut GH simul ad I. Quare magnitudines CD, et E, ex eodem <lb/>puncto aequiponderabunt, ex quo aequiponderant duae <lb/>GH et I. </s></p> <p type="main"> <s>Ulterius. Cum autem per iam dicta, sit ut CD ad E, <lb/>ita GH ad I, erit componendo CDE ad E, ut GHI ad I. <lb/>Sed E ad C est ut I ad G; et C ad F, ut G ad L. </s></p> <p type="main"> <s>Quare ex aequo CDE simul ad F, erit ut GHI simul <lb/>ad L. Ergo duae magnitudines CDE et F. habebunt idem <lb/>punctum aequilibrij, quod habent duae magnitudines GHI <lb/>et L. Et sic etiam si sint plures magnitudines, usque in <lb/>infinitum, quod erat propositum etc. </s></p> <pb pagenum="145"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXIII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tangentem habuerit ad basim, ex altera verò parte <lb/>lineam diametro parallelam. Trilineum compraehensum sub curvà pa­<lb/>rabolicà, sub tangente, et sub parallela praedictà, aequiponderabit ex <lb/>puncto tangentis ubi ea sic dividitur, ut pars ad contactum terminata <lb/>reliquae sit tripla.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius tangens <lb/> <arrow.to.target n="fig131"></arrow.to.target><lb/>ad basim sit CD; aequidistans diametro <lb/>sit AD. Dico trilineum mixtum ABCD <lb/>aequiponderare ex puncto tangentis CD, <lb/>ubi ea dividitur ut pars versus conta­<lb/>ctum C, reliquae sit tripla. </s></p> <figure id="fig131"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur figura ita ut DA ad ho­<lb/>rizontem sit perpendicularis; et circa <lb/>diametrum DA intelligatur circulus, <lb/>qui sit basis coni verticem habentis in puncto C. Sumpto <lb/>iam quolibet puncto E, ducatur EF aequidistans ipsi DA; <lb/>et per ipsam transeat planum parallelum basi coni. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò recta DA ad EB, ut quadratum DC ad CE; <lb/> <arrow.to.target n="marg214"></arrow.to.target><lb/>sive ut quadratum DA ad EF, hoc est ut circulus DA <lb/>ad EF. Et hoc semper, tubicunque sit punctum E. Ergò <lb/>cum ad libram DC pendeant ab ijsdem punctis magnitu­<lb/>dines duorum ordinum proportionales ut in praecedenti <lb/>lemmate imperatum est, habebunt omnes magnitudines <lb/>simul primi ordinis (hoc est omnes lineae trilinei ABCD, <lb/>sive ipsum trilineum) idem punctum aequilibrij, quod ha­<lb/>bent omnes magnitudines simul secundi ordinis (hoc est <lb/>omnes circuli coni ACD, sive idem conus). Conus autem <lb/>aequiponderat ex puncto quod secat CD ita ut pars ad C <lb/>reliquae sit tripla, quandoquidem recta DA est ad ho­<lb/>rizontem perpendicularis; ergo etiam trilineum ABCD <lb/>aequiponderabit ex eodem puncto. Quod erat proposi­<lb/>tum etc. </s></p> <pb pagenum="146"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg214"></margin.target>ob parabo­<lb/>lam.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter DE <lb/> <arrow.to.target n="fig132"></arrow.to.target><lb/>intelligatur ad horizontem perpendicularis; <lb/>sintque CF et AD tangentes; ipsa vero AF <lb/>diametro aequidistans. Sumatur deinde FH <lb/>quarta pars totius FC; et ex puncto H (per <lb/>lemma praecedens) aequiponderabit trilineum <lb/>mixtum ABCF. Accipiatur etiam FI tertia pars <lb/>totius FC, et ex I aequiponderabit totum trian­<lb/>gulum AFC. Parabola vero, cum babeat cen­<lb/>trum in diametro, aequiponderat ex D. Ergo <lb/>trilineum ABCF ad ipsam parabolam erit re­<lb/>ciprocè ut DI ad IH, nempe duplum (qualium <lb/>enim partium FC est 12. talium ipsa FD est 6. <lb/>FI verò 4. et FH 3. et ideó DI 2. et IH una). Propterea componendo <lb/>erit totum triangulum AFC, parabolae triplum. Reliquum quadraturae <lb/>absolvitur ut in Propositione IX. factum est. Quod erat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <figure id="fig132"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Aliter.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Positis ijsdem, ut suprà, sumatur FH, quarta pars to­<lb/>tius FC, aequiponderabitque ex puncto H trilineum mi­<lb/>xtum ABCF. Sumatur etiam FI, ter­<lb/> <arrow.to.target n="fig133"></arrow.to.target><lb/>tia pars ipsius FD; tunc enim aequi­<lb/>ponderabit ex puncto I triangulum <lb/>FDA. </s></p> <figure id="fig133"></figure> <p type="main"> <s>Trilineum verò mixtum ABCD ae­<lb/>quiponderat ex puncto D. (nam trian­<lb/>gulum totum ADC aequiponderat ex <lb/>puncto D; parabola etiam ablata ex <lb/>eodem puncto D aequiponderat, ergò <lb/>etiam reliquum trilineum ABCD ex <lb/>puncto D aequiponderare necesse est). <lb/>Erit itaque triangulum FDA ad trilineum ABCD ut reci­<lb/>procè DH ad HI, nempe ut 3. ad unum; et per conver­<lb/>sionem rationis triangulum ADC ad parabolam erit ut 3. <lb/>ad 2. sive ut 6. ad 4. Quarè parabola ad triangulum ABC <pb pagenum="147"/>est ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. Quod erat propositum <lb/>demonstrare etc. </s></p> <p type="main"> <s>Alijs etiam principijs parabolae quadraturam aggredia­<lb/>mur, praemissa sequenti progressionum Geometricarum <lb/>speculatione. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXIV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si duae rectae lineae invicem concurrant, et inter ipsas descriptum <lb/>sit quoddam flexilineum constans ex lineis alternatim parallelis; erunt <lb/>omnes lineae quae inter se parallelae sunt, in continua proportione.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Concurrant invicem due <lb/> <arrow.to.target n="fig134"></arrow.to.target><lb/>rectae lineae AB, CB in pun­<lb/>cto B; et inter ipsas descri­<lb/>ptum sit flexilineum CADE <lb/>FG. etc. ita ut CA, DE, FG, <lb/>etc. sint inter se parallelae; item AD, EF, et reliquae <lb/>vicisim sumptae inter se parallelae sint. Dico AC, ED, GF, <lb/>esse in continua proportione. </s></p> <figure id="fig134"></figure> <p type="main"> <s>Est enim, ob parallelas, ut AC ad ED, ita AB ad BE, <lb/>sive DB ad BF, hoc est ED ad GF. Constat ergò quod <lb/> <arrow.to.target n="marg215"></arrow.to.target><lb/>propositum fuerat. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg215"></margin.target>2. et 4. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Positis duabus rectis lineis invicem concurrentibus, ut suprà; si <lb/>inter ipsas fuerint duae parallelae AC, DE, et iunctà CD, continuatum <lb/>intelligatur flexilineum ACDE in infinitum usque ad pnnctum concur­<lb/>sus B. Dico in huiusmodi flexilineo esse omnes, et singulos ad unguem <lb/>terminos qui sunt in progressione proportionis AC ad DE, in infinitum <lb/>continuatae.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur F aequalis ipsi <lb/> <arrow.to.target n="fig135"></arrow.to.target><lb/>AC, et G aequalis ipsi DE: <lb/>Et concipiatur propositio F <lb/>ad G continuata in infinitis <lb/>suis terminis FH. </s></p> <figure id="fig135"></figure> <p type="main"> <s>Iam si possibile est, ali­<lb/>quem, sive aliquos terminos <lb/>esse in progressione FH, qui non reperiantur in flexilineo. <pb pagenum="148"/>Esto: et sit maximus terminus I, illorum, qui cum sint <lb/>in progressione FH, non sunt in flexilineo. Erit ergò ter­<lb/>minus I ipsi praecedens, in flexilineo. Sit ille MN. Et quo­<lb/>niam L ad I est ut F ad G, sive ut AC ad DE, sive ut <lb/>NM ad PO proximè sequentem, suntque aequales L, et NM; <lb/>erunt aequales etiam I et PO. Terminus ergo I qui pone­<lb/>batur non esse in flexilineo, in eodem repertus est. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem penitus modo demonstrabimus nullum terminum <lb/>esse in flexilineo, qui non sit etiam in progressione FH. <lb/>etc. Concludemus igitur esse in flexilineo omnes precisè <lb/>terminos proportionis AC ad DE in infinitum continuatae, <lb/>cum demonstratum sit nullum in flexilineo terminum de­<lb/>siderari qui sit in progressione FH; neque ullum supera­<lb/>bundare, qui non reperiatur etiam ia progressione FH. etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXVI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Suppositis infinitis rectis lineis continua proportione maioris inae­<lb/>qualitatis, rectam lineam, quae praedictis omnibus sit aequalis reperire.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Ponantur primae duae lineae datae progressionis esse <lb/>A, B: quib. ponantur aequales; CD maiori A, et EF mi­<lb/>nori B. Sintque CD, EF parallelae; et iungantur DF, CE, <lb/>quae necessariò concurrent. Concurrant. itaque in puncto <lb/>G, et ductà CF, ipsi aequidistans sit GL. </s></p> <p type="main"> <s>Dico rectam DL aequalem <lb/> <arrow.to.target n="fig136"></arrow.to.target><lb/>esse omnibus infinitis termi­<lb/>nis progressionis ABM simul <lb/>sumptis. </s></p> <figure id="fig136"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur enim conti­<lb/>nuatum flexilineum DCFE <lb/>etc. in infinitum, usque ad <lb/>punctum G, eruntque in ipso <lb/>omnes lineae, sive termini <lb/>datae progressionis ABM. </s></p> <p type="main"> <s>Producantur iam HE, NI, <lb/>et reliquae ipsis parallelae <lb/> <arrow.to.target n="marg216"></arrow.to.target><lb/>usque ad DL. Eritque EF. <lb/>aequalis ipsi CP, et HI ae­<lb/>qualis ipsi <expan abbr="Pq;">Pque</expan> et NO ipsi QR; <pb pagenum="149"/>et sic de singulis. Qualibet enim linea quae sit in flexilineo, <lb/>habebit suam portiunculam respondentem in rectà DL, sibi <lb/>aequalem; donec flexilineum pervenerit ad ultimum pun­<lb/>ctum G: Tunc autem neque de flexilineo, neque de linea <lb/>DL quidquam supererit; sed tam ipsum flexilineum, quàm <lb/>etiam recta DL penitus absumpta erit: Est enim ipsa GL, <lb/>quae ab ultimo flexilinei puncto G ducitur, ultima omnium <lb/>parallelarum, quae producuntur usque ad DL. Ergò omnes <lb/>simul lineae flexilinei, quarum prima est CD, alternatim <lb/>sumptae (hoc est omnes lineae poogressionis ABM) ae­<lb/>quales sunt omnib. portiunculis rectae DL simul sumptis; <lb/>hoc est ipsi DL. Quod erat ostendendum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg216"></margin.target>34. primi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXVII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Suppositis infinitis magnitudinibus in continua proportione Geome­<lb/>trica maioris inaequalitatis, erit prima magnitudo media proportionalis <lb/>inter primam differentiam et inter aggregatum omnium.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Assumptà enim praecedenti <lb/> <arrow.to.target n="fig137"></arrow.to.target><lb/> <arrow.to.target n="marg217"></arrow.to.target><lb/>constructione, ducatur FU aequi­<lb/>distans ipsi GC: et erit DU prima <lb/>differentia. Sed DU ad primam <lb/>magnitudinem DC est ut FD ad <lb/>DG, hoc est ut DC ad DL aggre­<lb/>gatum omnium. Quod erat demo­<lb/>strandum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg217"></margin.target>4. Sexti.</s></p> <figure id="fig137"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Hoc esse verum etiam in numeris, et cuiuscunque ge­<lb/>neris magnitudinibus non dubitabimus affirmare. Afferre­<lb/>mus etiam universaliorem demonstrationem, praecipuè cum <lb/>admodum brevis sit. Huius veritatis conclusis cum à nobis <lb/>obiter celeberrimo Cavalerio collata fuisset, ipse etiam <lb/>idem Theorema sequenti demonstratione, quae à nobis <lb/>iam in prima inventione adhibita fuerat, confirmavit. </s></p> <p type="main"> <s>Praemittitur hoc. Quod si fuerint quotcunque magni­<lb/>tudines sive finitae numero, sive infinitae, quarum ante- <pb pagenum="150"/>cedens semper sequente maior sit, erit prima omnium <lb/>magnitudo aequalis omnibus differentijs simul cum ipsa <lb/>minima magnitudine sumptis. </s></p> <p type="main"> <s>Notum est hoc apud Geometras, demonstraturque ut à <lb/>nobis factum est in Lemmate 15. Ubi ostendimus parallelo­<lb/>grammum AE aequale esse omnibus differentis inter se­<lb/>quentia parallelogramma, et minimo parallelogrammo OC. </s></p> <p type="main"> <s>Supponantur iam infinitae numero magnitudines in con­<lb/>tinua proportione Geometrica maioris inaequalitatis; ma­<lb/>nifestnm est quod minima omnium magnitudo vel non <lb/>erit, vel punctum erit. Ergo in hoccasu erit prima magni­<lb/>tudo aequalis omnibus tantum differentijs. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem ponantur magnitudines in continua pro­<lb/>portione Geometrica, erunt etiam differentiae in eadem <lb/>ratione proportionales; et ideo (factà conversione) erit ut <lb/>prima differentia ad primam magnitudinem, ita secunda <lb/>differentia ad secundam magnitudinem, et sic semper. <lb/>Propterea ut una ad unam, ita collectim erunt omnes ad <lb/>omnes. Nempe ut prima differentia ad primam magnitu­<lb/>dinem, ita erunt omnes simul differentiae (hoc est ipsa <lb/>prima magnitudo) ad omnes magnitudines simul. </s></p> <p type="main"> <s>Constat ergò primam magnitudinem mediam propor­<lb/>tionalem esse inter primam differentiam, et aggregatum <lb/>omnium </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC in quà inscriptum <lb/> <arrow.to.target n="fig138"></arrow.to.target><lb/>sit triangulum ABC. Dico parabolam <lb/>trianguli ABC esse sesquitertiam. </s></p> <figure id="fig138"></figure> <p type="main"> <s>Inscribantur enim etiam in reliquis <lb/>portioniaus ADB, BEC, duo triangula <lb/> <arrow.to.target n="marg218"></arrow.to.target><lb/>ADB, BEC. Eritque triangulum ABC, quadruplum duorum simul trian­<lb/> <arrow.to.target n="marg219"></arrow.to.target><lb/>gulorum ADB, BEC. Concipiantur etiam in reliquis quatuor portiun­<lb/>culis AD, DB, BE, EC, inscripta quatuor triangula; eruntque duo simul <lb/>triangula ADB, BEC, quadrupla praedictorum simul quatuor subsequen­<lb/>tium triangulorum; et hoc modo semper. Parabola igitur nihil aliud <lb/>est quàm aggregatum quoddam infinitarum numero magnitudinum in <lb/>proportione quadrupla, quarum prima est triangulum ABC, secunda <pb pagenum="151"/>verò constat ex duobus triangulis ADB, BEC. Propterea prima magni­<lb/>tudo ABC media proportionalis erit inter primam differentiam, et ag­<lb/>gregatum omnium, nempe parabolam. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg218"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg219"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="main"> <s>Ponatur itaque triangulum ABC esse ut 4. et ideo duo simul trian­<lb/>gula ADB, BEC erunt ut unum: eritque prima differentia (nimirum <lb/>inter 4. et unum) ut 3. Ergo aggregatum omnium infinitarum magni­<lb/>tudinum, nempe ipsa parabola, erit (per lemma 27) ad primam ma­<lb/>gnitudinem, hoc est ad inscriptum triangulum ABC, ut prima ipsa <lb/>magnitudo ad primam differentiam; videlicet ut 4. ad 3. nempe sesqui­<lb/>tertia. Quod erat propositum demonstrare etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Aliter.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter DB, tangentes ad <lb/>basim AD, CD, per verticem verò EF. Inscribantur autem <lb/>in reliquis trilineis ABE, BCF, <lb/> <arrow.to.target n="fig139"></arrow.to.target><lb/>duo triangula GEH, IFL, (ut im­<lb/>peratum fuit pro constructione <lb/>Lemmatis tertij et Quarti). Item <lb/>in reliquis quatuor trilineis mixtis, <lb/>quatuor triangula concipiantur; <lb/>et hoc modo semper. Eritque uni­<lb/>versum trilineum ABCD, nihil aliud quàm aggregatum <lb/>quoddam infinitarum multitudine magnitudinum in propor­<lb/>tione quadrupla, quarum prima est triangulum EDF, se­<lb/> <arrow.to.target n="marg220"></arrow.to.target><lb/>cunda verò constat ex duobus triangulis GEH, IFL; tertia <lb/> <arrow.to.target n="marg221"></arrow.to.target><lb/>verò ex quatuor sequentibus etc. Propterea aggregatum <lb/>omnium, nempe trilineum mixtum ABCD, ad primam ma­<lb/>gnitudinem, nempe ad triangulum EDF, erit ut ipsa prima <lb/>magnitudo ad primam differentiam, videlicet ut 4. ad 3. <lb/> <arrow.to.target n="marg222"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg220"></margin.target>Corol. I.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg221"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg222"></margin.target>Lem. 27.</s></p> <figure id="fig139"></figure> <p type="main"> <s>Cum itaque trilineum ABCD ad triangulum EDF, sit <lb/>ut 4. ad tria erit idem trilineum ad triangulum ADC, ut 4. <lb/>ad 12. et ideo parabola ad triangulum ADC erit ut 8. ad <lb/>12. et ad inscriptum sibi triangulum ut 8. ad 6. Nempe <lb/>sesquitertia. Quod erat demonstrandum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXVIII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint infinitae numero rectae lineae AB, CD, EF, etc. in con­<lb/>tinua proportione Geometrica maioris inaequalitatis: altera autem po­<lb/>natur progressio BG, DH, FI, etc. ita ut sit quaemadmodum AB prima <lb/>ad BG primam, ità CD secunda ad DH secundam: et ita tertia EF ad <pb pagenum="152"/>tertiam FI, et sic semper. Dico universum aggregatum progressionis <lb/>AB, CD, EF, etc. ad aggregatum progressionis BG, DH, FI, esse ut <lb/>AB ad BG.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg223"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg223"></margin.target>iuxta <lb/>Lem. 25.</s></p> <p type="main"> <s>Intelligantur omnes termini <lb/> <arrow.to.target n="fig140"></arrow.to.target><lb/>duarum progressionum esse in fle­<lb/>xilineis etc. iunctisque AD, GD, <lb/>ducatur OL parallela ipsi AD, et <lb/>OM parallela ipsi DG, Eritque BL <lb/>aequalis omnibus infinitis terminis </s></p> <figure id="fig140"></figure> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg224"></arrow.to.target><lb/>AB, CD, EF, etc. ipsa vero OM, <lb/>aequalis omnibus infinitis terminis <lb/>reliquae progressionis BG, DH, FI. <lb/> <arrow.to.target n="marg225"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg224"></margin.target>Lemma. 26.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg225"></margin.target>4. Sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Iam: ut LB ad BA, ita est OB <lb/>ad BD, hoc est MB ad BG. Per­<lb/>mutando igitur, aggregatum LB <lb/>ad aggregatum BM, est ut AB ad <lb/>BG; nempe ut una magnitudo ad <lb/>unam. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc Theorema poterat supponi tamquam demonstra­<lb/>tum in propositione 12. Libri V. Euclidis: unum enim <lb/>atque idem est cum Theoremate dictae propositionis: Ve­<lb/>rùm, quoniam ferè omnes opinantur Euclidem ibi suppo­<lb/>nere multitudinem magnitudinum finitam, voluimus auxilio <lb/>flexilineorum uti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola ABC, cuius diameter <lb/> <arrow.to.target n="fig141"></arrow.to.target><lb/>DE, tangentes ad basim AD, CD; per <lb/>verticem verò FBG. triangulum in­<lb/>scriptum ABC. Dico parabolam trian­<lb/>guli ABC esse sesquitertiam. </s></p> <figure id="fig141"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim ipsa EB aequalis sit </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg226"></arrow.to.target><lb/>ipsi BD, recta verò AC dupla rectae <lb/>FG; erit inscriptum triangulum ABC <lb/>duplum trianguli FDG sub tangen­<lb/>tibus compraehensi. Et hoc semper <lb/>verum est etiam circa reliquas portiones parabolicas AIB, BOC; (est <lb/>enim AIB parabola, cuius tangentes ad basim sunt AF. BF, ideoque <pb pagenum="153"/>triangulum iscriptum AIB duplum erit trianguli tangentium LFM. <lb/>Idemque verum etiam est ex alterà parte: Ergo duo simul triangula <lb/>AIB, BOC, dupla sunt duorum simul LFM, NGP.) ergò cum sint duae <lb/>progressiones utraque in proportione continuata magnitudinum infini­<lb/>tarum multitudine, (altera nempe iurà parabolam, cuius primus ter­<lb/>minus est triangulum ABC, secundus verò, duo triangula simul AIB, <lb/>BOC etc. altera verò progressio extra parabolam, cuius nempe primus <lb/>terminus est triangulum FDG; secundus autem duo simul triangula <lb/>LFM, NGP, etc.) suntque singuli termini progressionis, quae intrà pa­<lb/>rabolam est, dupli singulorum terminorum progressionis quae extrà <lb/>est: erit ergo aggregatum universum primae progressionis duplum <lb/> <arrow.to.target n="marg227"></arrow.to.target><lb/>totius aggregati secundae progressionis; Nempe ipsa parabola dupla <lb/>erit trilinei mixti ABCD. Componendo igitur, et per conversionem <lb/>rationis, erit triangulum ADC ipsius parabolae sesquialterum, nempe <lb/>ut 6. ad 4. ideoque parabola ad triangulum ABC erit ut 4. ad 8. vide­<lb/>licet sesquitertia. Quod erat ostendendum etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg226"></margin.target>ob <lb/>parabolam.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg227"></margin.target>Lem. 23.</s></p> <p type="main"> <s>Parabolae quadratura haberi potest sumptis alijs prin­<lb/>cipijs, ope tamen indivisibilium. Supponimus quae Archi­<lb/>medes demonstravit in libro de lineis Spiralibus ad Pro­<lb/>positiones 14. et 25. Praemisso Lemmate huiusmodi. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXIX.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit ut prima magnitudo ad secundam, ita <lb/> <arrow.to.target n="fig142"></arrow.to.target><lb/>tertia ad quartam, et hoc quotiescunque libuerit: <lb/>fuerintque omnes primae, item et omnes tertiae <lb/>eodem modo proportionales; Erunt omnes primae <lb/>simul ad omnes secundas, ut sunt omnes tertiae <lb/>simul ad omnes quartas.<gap desc="/SM"/></s></p> <figure id="fig142"></figure> <p type="main"> <s>Sit A prima ad B secundam, ut C tertia <lb/>ad D quartam; et E ad F ut G ad H; et <lb/>hoc quotiescunque libuerit. Sintque omnes <lb/>primae, A, E, I, etc. et omnes tertiae C, <lb/>G, M, etc. proportionales ex ordine; Nempe <lb/>ut A ad E, ita sit C ad G. Amplius: ut <lb/>A ad I, ita sit C ad M, etc. et sic semper. <lb/>Dico omnes primas simul A, E, I, etc. ad <lb/>omnes secundas simul B, F, L, etc. esse <lb/>ut sunt omnes tertiae simul C, G, M, etc. <lb/>ad omnes quartas simul D, H, N, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiantur O, P, <expan abbr="q;">que</expan> singulae aequales <lb/>primae primarum, hoc est ipsi A; et sint <pb pagenum="154"/>totidem quot sunt, omnes primae A, E, I, etc. Item su­<lb/>mantur R, S, T; totidem quot sunt, omes tertiae; et sint <lb/>singulae R, S, T, aequales primae tertiarum nempe ipsi C. </s></p> <p type="main"> <s>Iam ob aequalitatem erit ut O ad A, ita R ad C. <lb/>Amplius: Cum P sit aequalis ipsi A, et S ipsi C, erit <lb/>(propter suppositionem) ut P ad E, ita S ad G. et hoc sem­<lb/> <arrow.to.target n="marg228"></arrow.to.target><lb/>per. suntque omnes O, P, Q aequales, itemque omnes R, S, <lb/>T, aequales, ergo erunt omnes simul O, P, Q, etc. ad omnes <lb/>A, E, I, etc. ut omnes R, S, T, simul, ad omnes C, G, M. <lb/>Denique convertendo, omnes A, E, I, ad omnes O, P, Q, <lb/>erunt ut omnes C, G, M, ad omnes R, S, T. Quod memento. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg228"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s>Quoniam verò ut O ad A, ita R ad C: et ut A ad B, <lb/>ita C ad D: erit ex aequo O ad B, ut R ad D: Eadem <lb/>penitus ratione concludemus ex aequo esse ut P ad F, <lb/> <arrow.to.target n="marg229"></arrow.to.target><lb/>ita ES ad H: et sic de coeteris. Erunt ergò omnes simul <lb/>O, P, Q, etc. ad omnes B, F, L, etc. ut sunt omnes simul R, <lb/>S, T, etc. ad omnes D, H, N, etc. Quare ex aequo erunt <lb/>omnes A, E, I, etc. ad omnes B, F, L, etc. ut omnes C, G, <lb/>M, etc. ad omnes D, H, N, etc. Quod erat ostendendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg229"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVII.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem <lb/>ipsi basim, et eandem altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola ABC, cuius tangens sit AE; dia­<lb/>metro vero aequidistans sit CE; et ducatur quae­<lb/>libet FD, pa­<lb/> <arrow.to.target n="fig143"></arrow.to.target><lb/>rallela ipsi CE, <lb/>Eritque EC ad <lb/> <arrow.to.target n="marg230"></arrow.to.target><lb/>FB. Longitudi­<lb/>ne, ut EA ad <lb/>AF, sive EC <lb/>ad FD poten­<lb/>tia. Propterea <lb/>erunt in conti­<lb/>nua proportio­<lb/>ne. EC, FD, FB. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg230"></margin.target>ob <lb/>parabolam.</s></p> <figure id="fig143"></figure> <p type="main"> <s>Fiant dein­<lb/>de centro A. <lb/>intervallis AC, <lb/>AD, duo circuli; <lb/>et ponatur elicis initium ex semidiametro AC. Sitque ipsa elix AGC. </s></p> <pb pagenum="155"/> <p type="main"> <s>Erit itaque DF ad FB, ut CE ad DF; sive ut CA ad AD, hoc est <lb/> <arrow.to.target n="marg231"></arrow.to.target><lb/>ut CA ad AG, sive ut peripheria tota CLHC, ad arcum CLH; hoc est <lb/>ut periphaeria tota DPGD, ad arcum DPG. Atque hoc erit semper, <lb/>ubicunque sumatur punctum D. Suntque omnes primae, item omnes <lb/>tertiae magnitudines, eo modo quo debent proportionales, (ut infrà <lb/>ostendemus). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg231"></margin.target>14. spira­<lb/>liùm.</s></p> <p type="main"> <s>Quare omnes primae simul, nempe triangulum AEC, ad omnes se­<lb/>cundas simul nempe ad trilineum mixtum ABCE, erit ut omnes tertiae <lb/> <arrow.to.target n="marg232"></arrow.to.target><lb/>simul, nempe ut circulus CLH, ad omnes quartas simul, hoc est ad <lb/>reliquum ipsius circuli, dempto helicis spatio CAGC. Circulus autem <lb/>CLH, dicti spatij dempto helicis spatio, sesquialter est; ergò etiam <lb/> <arrow.to.target n="marg233"></arrow.to.target><lb/>triangulnm ACE sesquialterum erit trilinei mixti ABCE: et per con­<lb/>versionem rationis, triangulum ACE, triplum erit parabolae ABC. Re­<lb/>liquum quadraturae absolvetur ut in 9. Propositione factum est.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg232"></margin.target>Lemma <lb/>praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg233"></margin.target>25. de lineis <lb/>spiralibus.</s></p> <p type="main"> <s>Quod autem assumptum fuit, nunc ostendemus; scilicet <lb/>quod omnes primae, omnesque tertiae magnitudines sint <lb/>proportionales eo modo, ut requiritur in lemmate prae­<lb/>cedenti. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur in praemissa figura, quaelibet MO, aequidi­<lb/>stans ipsi FD; et ponamus ipsam FD esse primam pri­<lb/>marum; ipsam verò periphaeriam DPG, primam tertiarum. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò DF ad OM, ut DA ad AO, sive ut periphaeria <lb/>DPG ad periphaeriam cuius semidiameter est AO, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Et sic semper. Quod oportebat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Parabolam etiam quadrabimus intentata adhuc via; <lb/>nimirum quaesito eius centro gravitatis à priori ope in­<lb/>divisibilium. Supponimus autem lemma, quod Archimedes <lb/>ostendit in secundo Aequiponderantium. Hoc est parabo­<lb/>larum centra gravitatis, in eadem proportione suos dia­<lb/>metros secare. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXX.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis parabolae diametrum ita dividit, ut pars ad <lb/>verticem terminata, reliquae sit sesquialtera.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto conus quilibet ABC, cuius basis AMC, axis BD, <lb/>triangulum verò per axem sit ABC; et sectus sit conus <lb/>plano EFG, ut iubetur in XI Propositione libri primi Co­<lb/>nicorum. Eritque sectio quae vocatur parabola, illiusque <pb pagenum="156"/>diameter erit FH, Esto iam <lb/> <arrow.to.target n="fig144"></arrow.to.target><lb/>centrum gravitatis parabolae <lb/>EFG, quodvis punctum, puta I. <lb/>Ostendendum est rectam FI <lb/>sesquialteram esse ipsius IH. </s></p> <figure id="fig144"></figure> <p type="main"> <s>Agatur per punctum I recta <lb/>AIL; seceturque conus alio <lb/>plano MNO, ipsi EFG parall. <lb/>eritque sectio MNO parabola, <lb/>et eius centrum gravitatis erit <lb/>P (est enim ob parallelas ut <lb/>FI ad IH, ita NP ad PR; sed I <lb/>ponitur centrum gravitatis pa­<lb/>rabolae EFG; ergo per proposit. 7. lib. secundi aequipon­<lb/>derantium P centrum gravitatis erit parabolae MNO). Et <lb/>sic semper, ubicunque sit planum MNO. Omnium ergò <lb/>singillatim parabolarum quae sunt in cono ABC, centra <lb/>gravitatis reperiuntur in recta AL: Quare etiam commune <lb/>centrum gravitatis omnium earumdem simul praedictarum <lb/>parabolarum erit in recta AL. Omnes autem parabolae, <lb/>atque ipse conus idem sunt; ergò centrum coni est in recta <lb/>AL; quod cum sit etiam in axe BD: erit centrum coni in <lb/>communi concursu S, ideòque BS erit ipsius SD tripla. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur ex centro basis recta DQ, aequidistans ipsi <lb/> <arrow.to.target n="marg234"></arrow.to.target><lb/>AL; eruntque aequales CQ, QL. Cum autem ob centrum <lb/>coni ipsa BS tripla sit ipsius SD, erit etiam BL, tripla <lb/> <arrow.to.target n="marg235"></arrow.to.target><lb/>ipsius LQ: et ideo BL sesquialtera ipsius LC: Quare etiam <lb/>FI sesquialtera erit ipsius IH. Quod erat propositum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg234"></margin.target>ob 2. sexti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg235"></margin.target>2. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVIII.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sexquitertia est trianguli eamdem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius dia­<lb/> <arrow.to.target n="fig145"></arrow.to.target><lb/>meter BD: inscriptum verò trian­<lb/>gulum ABC. Dico parabolam sesqui­<lb/>tertiam esse trianguli ABC. </s></p> <figure id="fig145"></figure> <p type="main"> <s>Secentur bifariam AD, DC in <lb/>punctis E, et F: ductaeque EG, FH, <lb/>diametro aequidistantes, ipsae dia­<lb/>metri erunt portionum AGB, BHC. <pb pagenum="157"/>Sint centra gravitatis dictarum portionum O, et N; eruntque utraque <lb/> <arrow.to.target n="marg236"></arrow.to.target><lb/>GO, HN, sesquialtera reliquae OI, NL. Iungatur ON, et in ipsa ON erit <lb/>centrum commune gravitatis duarum portionum: sed est etiam in BD <lb/> <arrow.to.target n="marg237"></arrow.to.target><lb/>(nàm in BD est tam centrum totius parabolae, quam etiam trianguli <lb/>ABC). Quare punctum P. centrum erit portionum AGB, BHC. Ponatur <lb/>BD partium 60. eritque GE (cum sit subsesquitertia ipsius BD) par­<lb/>tium 45. ipsa IE 30. et ipsa EO, hoc est DP. 36. Sit <expan abbr="q.">que</expan> centrum gravi­<lb/> <arrow.to.target n="marg238"></arrow.to.target><lb/>tatis trianguli ABC. Eritque <expan abbr="Dq.">Dque</expan> 20. Sit R centrum parabolae eritque <lb/>RD 24. Erit ergo PR, 12. et RQ, 4. Sed ut PR ad RQ ita reciprocè <lb/>triangulum ABC ad duas portiones AGB, BHC. Quarè triangulum ABC <lb/>ad duas portiones AGB, BHC erit ut 12. ad 4. nempe ut 3. ad unum; <lb/>Componendòque et per conversionem rationis, erit parabola ABC ad <lb/>inscriptum sibi triangulum ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. Quod erat <lb/>propositum etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg236"></margin.target>Lem <lb/>praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg237"></margin.target>8. primi <lb/>aequip.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg238"></margin.target>Lem. <lb/>praeced.</s></p> <p type="main"> <s>Nova adhuc ratione quadraturam parabolae invademus <lb/>sumpto sequenti lemmate, quod quidem è Schola Cavale­<lb/>riana prodijsse relatum est. Inserviebat enim mensurae <lb/>cuiusdam solidi ab ipsa parabola circà ordinatim appli­<lb/>catam revolutae, geniti. Est autem Lemma huiusmodi, <lb/><emph type="italics"/>Authore Io. Antonio Roccha praestanti Geometra.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXXI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si figura plana super alìquà sui rectà lineà figuram ipsam secante <lb/>libretur, erunt momenta segmentorum figurae, ut sunt solida rotunda <lb/>ab ipsis segmentis, circa secantem lineam revolutis, descripta.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto figura plana quaelibet ACDBFE, quam secet recta <lb/>linea AB: et concipiatur figura librari super rectà AB. <lb/>Dico momentum segmenti ACDB, ad momentum segmenti <lb/>AEFB. esse ut solidum rotundum genitum ex revolutione <lb/>segmenti ACDB circa axem AB, ad solidum rotundum ge­<lb/>nitum ex conversione reliqui segmenti <lb/> <arrow.to.target n="fig146"></arrow.to.target><lb/>circa eundem axem revoluti. </s></p> <figure id="fig146"></figure> <p type="main"> <s>Sumptis enim duobus quibuscun­<lb/>que pnnctis H, et I. in recta AB: <lb/>ducantur per H et per I, rectae CE, <lb/>DF. perpendiculares ad ipsam AB: <lb/>secenturque, bifariam segmenta DH, <lb/>HF, in punctis L et M. </s></p> <p type="main"> <s>Habebit ergo momentum rectae <lb/>DH ad momentum rectae HF, rationem compositam ex <pb pagenum="158"/>ratione magnitudinum DH ad HF, et ex ratione distan­<lb/>tiarum LH ad HM; sive DH ad HF. Propterea momen­<lb/>tum rectae DH ad momentum HF erit ut quadratum DH <lb/>ad quadratum HF. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem modo ostendetur momentum rectae CI, ad mo­<lb/>mentum rectae IE, esse ut quadratum CI ad quadratum <lb/>IE, et sic semper. </s></p> <p type="main"> <s>Amplius momentum DH ad momentum CI, est (ob <lb/>eandem rationem ut supra) ut quadratum DH ad quadra­<lb/> <arrow.to.target n="marg239"></arrow.to.target><lb/>tum CI: et hoc semper, Erunt ergo omnes primae simul <lb/>magnitudines, nempe omnia momenta figurae ACDB, ad <lb/>omnes secundas simul, nempe ad omnia momenta reliquae <lb/>figurae AEFB: ut sunt omnes tertiae simul, nempe omnia <lb/>quadrata figurae ACDB, ad omnia quadrata reliquae figu­<lb/>rae. Sive ut sunt omnes circuli figurae ACDB (nempe so­<lb/>lidum rotundum ex ipsius conversione circa axem AB <lb/>descriptum) ad omnes circulos reliquae figurae AEFB <lb/>(nempe ad solidum rotundum ex ipsius revolutione circa <lb/>eundem axem AB, genitum). Quod erat ostendendum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg239"></margin.target>Lem. 29</s></p> <p type="main"> <s>Hoc praemisso (quod quidem uti suprà ediximus pe­<lb/>nitus ab alijs desumptum est, et hic insertum tamquam <lb/>alienum, neque quod ego sciam adhuc vulgatum) parabo­<lb/>lam quadrabimus, supposita demonstratione, quà multis <lb/>modis probatur Cylindrum inscripti sibi conoidis parabolici <lb/>esse duplum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIX.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto semiparabola ABCD, circa <lb/> <arrow.to.target n="fig147"></arrow.to.target><lb/>quam sit rectan gulum DE. Sumatur <lb/>punctum F, ita ut AF. ad FD, sit <lb/>ut 5. ad 3. ductaque FG diametro <lb/> <arrow.to.target n="marg240"></arrow.to.target><lb/>aequidistans, erit in ipsa FG cen­<lb/>trum gravitatis semiparabolae. Esto <lb/>illud punctum quodlibet, puta I, et <lb/>per I ducatur LIM parallela ad AD, <lb/>accipiaturque IN. aequalis ipsi IM. <lb/>Intelligatur etiam producta PQ pa- <pb pagenum="159"/>rallela diametro CD, (ubicunque cadat) ita ut parallelogrammum rectan­<lb/>gulum DP, aequale sit ipsi semiparabolae. Tum concipiatur applicatum <lb/>ad rectam CD, rectangulum DR, ita ut aequiponderet semiparabolae <lb/>factà libratione super recta CD. Sitque centrum dicti rectanguli pun­<lb/>ctum S; et ductà TSX parallela ipsi AD, iungatur recta IS. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg240"></margin.target>Lem. 11.</s></p> <figure id="fig147"></figure> <p type="main"> <s>Iam; manifestum est ex lemmate praemisso quod cylindrus factus <lb/>à rectangulo DR circa axem DC revoluto, aequalis erit conoidali para­<lb/>bolico facto à conversione semiparabolae ACD, circa eundem axem <lb/>CD revolutae; cum aequalia supponantur figurarum planarum mo­<lb/>menta. Erit ergo cylindrus à rectangulo DR factus, subduplus cylindri <lb/>à rectangulo DE facti, et ideo quadratum TX subduplum erit quadrati <lb/>ML (cylindri enim aequealti sunt inter se ut basium quadrata) quod <lb/>memento. </s></p> <p type="main"> <s>Verùm MN ad TX, est ut IM ad TS, (sunt enim subduplae earun­<lb/> <arrow.to.target n="marg241"></arrow.to.target><lb/>dem) sive ut IV ad VS; nempe (quia aequiponderant figurae planae <lb/>super linea CD, sive ex puncto V) ut rectangulum DR ad semipara­<lb/>bolam reciprocè, sive ad rectangulum DP. ipsi semiparabolae aequale: <lb/>sive ut eorum bases TX ad MO. Ergo TX media proportionalis est <lb/>inter MN, MO: Quare rectangulum NMO, cum aequale sit quadrato TX, <lb/>subduplum erit quadrati LM. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg241"></margin.target>4. Sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Ratio verò quadrati LM ad rectangulum NMO, componitur ex ra­<lb/>tione LM ad MN (quae sesquitertia est per constructionem; sumpsi­<lb/>mus enim punctum F; ita ut AF ad FD, esset ut 5. ad 3.) et ex ra­<lb/>tione LM ad MO; quae quidem ignota erat, sed necessario sesquialtera <lb/>nunc apparet. Ratio enim dupla componitur ex sesquitertia, et sesquial­<lb/>tera, ut ipsis etiam Cantoribus vulgatum est; ut videre est in his tribus <lb/>nnmeris 4. 3. 2. </s></p> <p type="main"> <s>Rectangulum ergo DE ad ipsum DP, sive ad semiparabolam, ses­<lb/>quialterum erit; et ipsa semiparabola ad triangulum ACD. sesquitertia <lb/>erit. Quod erat ostendendum etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXXII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola ABC, cuius basis AC, tangens <lb/> <arrow.to.target n="fig148"></arrow.to.target><lb/>CD; diametro aequidistans sit AD. Sumpto quo­<lb/>libet puncto E. ducatur EF diametro aequidi­<lb/>stans. Dico esse ut FE ad EB, ita CA ad AE. </s></p> <figure id="fig148"></figure> <p type="main"> <s>Est enim DA ad FB longitudine, ut DC ad <lb/> <arrow.to.target n="marg242"></arrow.to.target><lb/>CF potentià, sive ut DA ad FE potentià. Sunt <lb/>ergo in continuà ratione DA, FE, FB. Quod me­<lb/>mento. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg242"></margin.target>ob <lb/>parabolam.</s></p> <p type="main"> <s>Iam ut AC ad CE, ita est AD ad EF, sive EF <lb/>ad FB; et per conversionem rationis, ut CA <lb/>ad AE, ita est FE ad EB. Quod erat ostenden­<lb/>dum etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="160"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XXXIII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Quaelibet parabola aequalis est duabus parabolis simul sumptis, <lb/>quae quidem aequalem ipsi basim habeant, diametrum verò subduplam, <lb/>et aequaliter inclinatam.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius <lb/> <arrow.to.target n="fig149"></arrow.to.target><lb/>diameter BH; sintque duae <lb/>aliae parabolae AEC, AGC. <lb/>in eadem basi. Diametri vero <lb/>HE, HG, utraque subdupla <lb/>sit diametri HB: sed aequa <lb/>litèr ad basim inclinata, Dico parabolam ABC aequalem <lb/>esse figurae AECG. </s></p> <figure id="fig149"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur enim quodlibet punctum in basi AC; et sit <lb/>M; ductaque PMN aequidistante ad diametrum BH. Erit <lb/>BH ad NM, ut rectangulum AHC, ad rectangulum AMC; <lb/>sive ut recta HE ad MO. Et permutando ut BH ad HE, <lb/>ita erit NM ad MO. Quare NM dupla erit ipsius MO. <lb/>Eodem penitus modo ostendetur NM dupla etiam ipsius <lb/>MP, Ergò, tota NM aequalis est ipsi OP. Et hoc semper. <lb/>Propterea omnes simul lineae figurae ABC, (nempe ipsa <lb/>parabola ABC) aequales erunt omnibus simul lineis fi­<lb/>gurae AECG, (nempe duabus parabolis AEC, AGC). Quod <lb/>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XX.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb/>altitudinem haben­<lb/> <arrow.to.target n="fig150"></arrow.to.target><lb/>tis. Esto parabola <lb/>ABC, cuius diameter <lb/>BE concipiatur ad <lb/>horizontem perpen­<lb/>dicularis, et ipsa pa­<lb/>rabola inversa sta­<lb/>tuatur. Producatur <lb/>CA in D, ita ut ae­<lb/>quales sint CA, AD; <lb/>et sit DC libra, cu­<lb/>ius fulcrum est A. <lb/>Ducatur CF tangens <lb/>parabolam; et AF diametro EB aequidistans. Ponatur etiam GH <pb pagenum="161"/>aequalis ipsi AC, et divisam bifariam GH in I, sit utraque IL, IM, <lb/>subdupla rectae EB. et aequalitèr ad basim inclinata ut est ipsa EB <lb/>ad AC. Fiantque duae parabolae GLH, GMH, quae (per lemma praeced.) <lb/>simul aequales erunt parabolae ABC; Et suspendatur figura GLHM ex <lb/>puncto D. </s></p> <figure id="fig150"></figure> <p type="main"> <s>Accipiantur iam puncta O, et N aequaliter distantia à punctis I et E <lb/>respectivè. Ductisque NQ aequidistantèr ad EB, et ROS ad LM; Erit <lb/>ut in praecedenti Lemmate NP aequalis ipsi RS. </s></p> <p type="main"> <s>Iam QN ad RS est (ob aequalitatem) ut QN ad NP, sive ut DA ad <lb/> <arrow.to.target n="marg243"></arrow.to.target><lb/>AN reciprocè. Aequiponderant ergo rectae QN et RS, et sic semper. <lb/>Ergo omnes simul lineae trianguli AFC (nempe ipsum triangulum) <lb/>aequiponderant omnibus simul lineis figurae GLHM (nempe ipsi figu­<lb/>rae GLHM). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg243"></margin.target>Lem. 32</s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur AV, tertià pars totius AC. Manifestum est quod si ex V <lb/>demittatur recta aequidistans ipsi AF. in ipsa erit centrum gravitatis <lb/>trianguli AFC; eritque ipsa ad horizontem perpendicularis. Propterea <lb/>erit triangulum AFC. appensum centralitèr ex puncto V. Eritque trian­<lb/>gulum AFC ad spatium GLHM. reciprocè ut DA ad AV, nempe triplum. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem spatium GLHM aequale sit parabolae ABC; erit triangu­<lb/>lum AFC triplum etiam parabolae ABC.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Reliquum quadraturae absolvitur ut Propositione IX. <lb/>Factum est. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXI.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim et eandem <lb/>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto semiparabola ABC, cuius diameter CE, <lb/> <arrow.to.target n="fig151"></arrow.to.target><lb/>ordinata AE, tangens verò CD, et compleatur <lb/>parallelogrammum AECD. Manifestum est quod <lb/>omnes lineae trilinei mixti DABC, quae quidem <lb/>diametro parallelae sint, inter se sunt in eadem <lb/>ratione in qua sunt omnes circuli coni alicuius, <lb/>qui axem habeat DC, et verticem C. Ergo cen­<lb/> <arrow.to.target n="marg244"></arrow.to.target><lb/>trum gravitatis omnium linearum trilinei DABC, <lb/>erit in illa, quae dividit libram DC; quemadmo­<lb/>dum dividit eandem centrum gravitatis coni; <lb/>nempe ut pars ad C terminata, reliquae sit tripla. <lb/>Fiat ergo CF tripla ipsius FD. et ducta FM pa­<lb/>rallela ad CE, erit centrum gravitatis trilinei DABC in recta FM, ubi­<lb/>cunque sit. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg244"></margin.target>Lem. 22.</s></p> <figure id="fig151"></figure> <p type="main"> <s>Item, omnes lineae quae in semiparabola ABCE ducuntur, ad dia­<lb/>metrum parallelae, inter se sunt in eadem ratione, in qua sunt omnes <lb/>circuli alicuius hemisphaerij, cuius axis sit AE, vertex verò A. Ergò <lb/> <arrow.to.target n="marg245"></arrow.to.target><lb/>centrum gravitatis omnium linearum ad libram AE appensarum, sive <pb pagenum="162"/>ipsius semiparabolae, erit in illa, quae libram AE sic dividit ut dividit <lb/>eandem centrum gravitatis hemisphaerij; Nempe ut pars ad A termi­<lb/>nata sit ad reliquam ut 5. ad 3. Fiat ergo AI ad IE ut 5. ad 3.; et <lb/>ducta IH parallela ad CE, erit centrum semiparabolae in recta IH, <lb/>ubicunque sit. Ducatur tandem GL, quae bifariam secet latera AE, DC, <lb/>et in GL erit centrum gravitatis parallelogrammi DE. quod sit O. <lb/>Ponatur centrum gravitatis semiparabolae esse punctum quodvis P. <lb/>ductaque PO, producatur in N; et erit N centrum gravitatis trilinei <lb/>DABC. Iam, semiparabola ad trilineum est ut NO ad OP, sive ut ML <lb/>ad LI; nempe ut 2. ad unum; (qualium enim partium tota AE est 8, <lb/>talium AM est 2, ML est 2, LI est una, et reliqua IE 3. per constru­<lb/>ctionem). Ergo semiparabola ad parallelogrammum erit ut 2. ad 3. sive <lb/>ut 4. ad 6; et semiparabola ad triangulum inscriptum ut 4. ad 3. <lb/>Nempe sesquitertia. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg245"></margin.target>Lem. 22</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>APPENDIX <lb/>DE DIMENSIONE CYCLOIDIS<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Libet hic appendicis loco addere solutionem proble­<lb/>matis non iniucundi, et si materiam propositionemque <lb/>spectes, primo intuito difficillimi. <lb/> <arrow.to.target n="fig152"></arrow.to.target><lb/>Torsit hoc, fefellitque pluribus <lb/>ab hinc annis Mathematicos no­<lb/>stri saeculi primarios; frustrà <lb/>enim tentata demonstratio evasit <lb/>ab illorum manibus ob fallaciam <lb/>experientiae. Appensis namque ad libram manufactam spa­<lb/>tijs figurarum materialibus, nescio quo fato, ea proportio <lb/>quae verè tripla est, semper minor quam tripla apparuit. <lb/>Unde factum est, quòd potius ob suspicionem incommen­<lb/>surabilitatis (ut ego credo) quàm ob desperationem demon­<lb/>strationis, instituta contemplatio ab illis dimissa sit. </s></p> <figure id="fig152"></figure> <p type="main"> <s>Suppositum est huiusmodi. Concipiatur super manente <lb/>aliqua recta linea AB, circulus AC, contingens rectam AB. <lb/>in puncto A. Noteturque punctum A, tamquam fixum in <lb/>periphaeria circuli AC. Tum intelligatur super manente <lb/>recta AB. converti circulum AC. motu circulari simul et <lb/>progressivo versus partes B: ita ut subinde aliquo sui <lb/>puncto rectam lineam AB semper contingat, quousque <lb/>fixum punctum iterum ad contactum revertatur, puta in B. <lb/>Certum est, quod punctum A fixum in periphaeria circuli <lb/>rotantis AC, aliquam lineam describet, surgentem primò <pb pagenum="164"/>à subiecta linea AB, deinde culminantem versus D; po­<lb/>stremo pronam, descendentemque versus punctum B. </s></p> <p type="main"> <s>Vocata est à praedecessoribus nostris. Praecipue à Ga­<lb/>lileo iam supra 45. annum, huiusmodi linea ADB. Cyclois, <lb/>recta verò AB. basis cycloidis; At circulus AC, genitor <lb/>cycloidis. </s></p> <p type="main"> <s>Proprietas, et natura cycloidis ea est, ut basis ipsius <lb/>AB. aequalis sit periphaeriae circuli genitoris AC. Quod <lb/>quidem non adeò obscurum est: Nam tota periphaeria AC <lb/>se ipsam in conversionem commensuravit super manente <lb/>recta AB. </s></p> <p type="main"> <s>Queritur nunc quam proportionem habeat spatium cy­<lb/>cloidale ADB ad circulum suum genitorem AC? Osten­<lb/>demusque, Deo dante, triplum esse. Demonstrationes tres <lb/>erunt, inter se penitus diversae. Prima, et tertia per no­<lb/>vam Indivisibilium Geometriam nobis amicissimam proce­<lb/>dent: Secunda verò per duplicem positionem, more vete­<lb/>rum recepto; ut utrisque fautoribus satisfiat. Coeterum, <lb/>hoc moneo; principia ferè omnia, quibus aliquid per indi­<lb/>visibilium Geometriam demonstratur, ad solitam antiquo­<lb/>rum demonstrationem indirectam reduci posse: quod à <lb/>nobis factum est, ut in multis alijs, ita etiam in primo, et <lb/>in tertio sequentium Theorematum; Sed ne lectoris pa­<lb/>tientia nimium adhuc abuseremur plura omittenda cen­<lb/>suimus, tresque tantum demonstrationes exibemus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>THEOREMA I.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Omne spatium quod sub linea Cycloide, et recta eius basi contine­<lb/>tur, triplum est circuli sui genitoris; sive sesquialterum trianguli ean­<lb/>dem basim, et eandem altitudinem habentis.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto Cyclois linea ABC <lb/> <arrow.to.target n="fig153"></arrow.to.target><lb/>descripta à punto C circuli <lb/>CDEF dum ipse circumver­<lb/>titur super manente basi <lb/>AF. (consideramus autem <lb/>semicycloidem, et semicir­<lb/>culum, tantum ad evitandam <lb/>figurae confusionem). Dico <pb pagenum="165"/>spatium ABCF triplum esse semicirculi CDEF; sive ses­<lb/>quialterum trianguli ACF. </s></p> <figure id="fig153"></figure> <p type="main"> <s>Accipiantur duo puncta H et I in diametro CF. aeque <lb/>remota à centro G. Ductisque HB, IL, CM aequidistanter <lb/>ipsi FA, transeant per puncta B, et L semicirculi OBP, <lb/>MLN, aequales ipsi CDF, et contingentes basim in pun­<lb/>ctis PN. </s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est rectas HD, IE, XB, QL, aequales esse, <lb/>per 14. Tertij, aequalesque erunt arcus OB, LN. Item cum <lb/>aequales sint CH, IF, aequales erunt CR, UA ob parallelas. </s></p> <p type="main"> <s>Tota periphaeria MLN, ob cycloidem, aequalis est re­<lb/>ctae AF. itemque arcus LN rectae AN ob eandem causam, <lb/>cum arcus LN. se ipsum super recta AN commensuraverit; <lb/>ergo reliquus arcus LM, reliquae rectae NF aequalis erit. <lb/>Eadem ratione arcus BP. rectae AP, et arcus BO rectae <lb/>PF, aequalis erit. </s></p> <p type="main"> <s>Iam recta AN aequalis est arcui LN, sive arcui BO, <lb/>sive rectae PF. Ergo ob parallelas, aequales erunt AT, SC. <lb/>Verum quia aequales erant etiam CR, AU. reliquae UT, <lb/>SR aequales erunt. Propterea in triangulis aequiangulis <lb/>UTQ, RSX, aequalia erunt latera homologa UQ, XR. Patet <lb/>itaque quod duae rectae LU, BR simul sumptae aequales <lb/>erunt duabus rectis LQ, BX, nempe ipsis CI, DH, et hoc <lb/>semper verum erit ubicunque sumantur duo puncta H et I, <lb/>dumodo aequaliter à centro sint remota. Ergo omnes li­<lb/>neae figurae ALBCA, aequales sunt omnibus lineis semi­<lb/>circuli CDEF; et ideò figura bilinearis ALBCA aequalis <lb/>erit semicirculo CDEF. </s></p> <p type="main"> <s>Sed triangulum ACF duplum est semicirculi CDEF. <lb/>(nam triangulum ACF, reciprocum est triangulo Propos. <lb/>pr. Arch. de dimens. circ. cum latus AF semiperiphaeriae, <lb/>latus verò FC diametro sit aequale, unde sequitur trian­<lb/>gulum ACF aequale esse integro circulo cuius diameter <lb/>sit CF). Ergo componendo, totum cycloidale spatium ses­<lb/>quialterum erit trianguli inseripti ACB; Triplum verò se­<lb/>micirculi CDEF. Quod erat. </s></p> <pb pagenum="166"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma I.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si super lateribus oppositis alicuius rectanguli AF, duo semicirculi <lb/>descripti sint, EIF, AGD erit figura sub periphaerijs, et sub reliquis <lb/>lateribus compraehensa aequalis praedicto rectangulo.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Vocetur autem talis figura Arcuatum; tam si fuerit <lb/>integra, quàm etiam ipsius partes, quando secta fuerit à <lb/>linea ipsi FD parallela. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstratur; quoniam cum sint aequa­<lb/> <arrow.to.target n="fig154"></arrow.to.target><lb/>les semicirc. dempto communi segmento <lb/>BGC, additisque communibus trilineis EBA, <lb/>CFD. clarum erit propositum. </s></p> <figure id="fig154"></figure> <p type="main"> <s>Quando verò detur casus quod segmen­<lb/>tum nullum sit, tunc brevior faciliorque <lb/>demonstratis erit. Facilè etiam per ean­<lb/>dem prostapheresim ostenditur arcuatum sectum à linea <lb/>ipsi FD parallela aequale esse rectangulo aequealto, et <lb/>super eadem basi constituto. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma II.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto linea cycloidalis ABC descripta à puncto C semi­<lb/>circuli CDE dum convertitur super manente AE. Com­<lb/>pleatur rectangulum AFCE, fiatque circa diametrum AF <lb/> <arrow.to.target n="fig155"></arrow.to.target><lb/>semicirculus AGF. Dico cycloidem ABC secare bifariam <lb/>arcuatum AGFCDE. </s></p> <figure id="fig155"></figure> <p type="main"> <s>Si enim ita non est, erit utique alterum ex duobus <lb/>trilineis FGABC, ABCDE, magis quam dimidium eiusdem <pb pagenum="167"/>arcuati. Esto et ponatur alterum ex ipsis (quodcunque sit) <lb/>puta ABCDE maius quam dimidium arcuati. Sitque exces­<lb/>sus, quo trilineum superat semissem arcuati, aequalis <lb/>spatio cuidam K. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur bifariam AE in H; et iterùm HE in I: et sic <lb/>fiat semper donec rectangulum aliquod IEC minus repe­<lb/>riatur spatio K. Tunc dividatur integra AE in particulas <lb/>aequales ipsi IE, et per puncta divisionum L, H, I, tran­<lb/>seant semicirculi aequales ipsi CDE semicirculo, tangentes <lb/>basim in punctis L, H, I. secantesque cycloidem in O, B, M, <lb/>per quae puncta agantur rectae GO, PB, QMD, aequidi­<lb/>stantes basi AE. </s></p> <p type="main"> <s>Erit itaque arcuatum OH aequale ipsi GL: arcuatum <lb/>verò BI aequale arcuato PH: et arcuatum ME aequale <lb/>arcuato QI. Propterea universa figura inscripta in trilineo <lb/>ABCDE constans ex arcuatis, aequalis erit figurae eidem <lb/>trilineo circumscriptae, excepto tamen arcuato IMRCDE. <lb/>Quod si figurae circumscriptae addas suum arcuatum <lb/>IMRCDE, superabit circumscripta figura ipsam inscriptam <lb/>excessu praedicti arcuati, sive rectangulo RE, nempe mi­<lb/>nori excessu quam sit spatium K. Propterea inscripta in <lb/>trilineo figura adhuc erit plusquàm dimidium arcuati AG <lb/>FCDE. et ideo maior quam trilineum FGABC. Sed eadem <lb/>aequalis est alteri figurae ex arcuatis compositae et in <lb/> <arrow.to.target n="marg246"></arrow.to.target><lb/>trilineo FGABC descriptae: ergò haec inscripta figura <lb/>maior esset suo trilineo FGABC. pars suo toto, quod esse <lb/>non potest. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg246"></margin.target>ostenditur <lb/>infra.</s></p> <p type="main"> <s>Quod inscriptae figurae sint aequales patet. Nam arcus <lb/>OL aequalis est rectae LA, hoc est rectae IE, hoc est <lb/>arcui RM (ob cycloidem). Ergo arcuatum OH aequale <lb/>erit arcuato MS. et sic de singulis. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò supponeremus trilineum FGABC maius quam <lb/>dimidium arcuati AGFCDE, constructio figurae, et de­<lb/>monstratio penitus eadem erit. Ergò concludemus cycloi­<lb/>dem lineam ABC bifariam secare arcuatum AGFCDE. <lb/>Quod erat propositum. </s></p> <pb pagenum="168"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>THEOREMA II.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Spatium cycloidale triplum est circuli sui genitoris.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto cyclois ABC descripta à puncto C circuli CFD. <lb/>dico spatium ABCD triplum esse semicirculi CFD. </s></p> <p type="main"> <s>Compleatur rectangulum A <lb/> <arrow.to.target n="fig156"></arrow.to.target><lb/>DCE; factoque super AE se­<lb/>micirculo AGE, ducatur AC. </s></p> <figure id="fig156"></figure> <p type="main"> <s>Triangulum ADC duplum <lb/>est semicirculi CFD (nam basis <lb/>AD aequalis est periphaeriae <lb/>CFD ob cycloidem, altitudo <lb/>verò DC aequalis diametro) ideò rectangulum ED qua­<lb/>druplum erit eiusdem semicirculi CFD. Ergo arcuatum <lb/>AGECFD quadruplum erit eiusdem semicirculi: propterea <lb/>trilineum ABCFD (per lemma praecedens) duplum erit <lb/>semicirculi, et componendo spatium ABCE triplum erit <lb/>eiusdem semicirculi CFD. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>THEOREMA III.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Omne spatium cyloidale triplum est circuli sui genitoris.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto cycloidalis linea ABC descripta à puncto C se­<lb/>micirculi CED. Dico spatium ABCD triplum esse semi­<lb/>circ. CED. </s></p> <p type="main"> <s>Compleatur rectan­<lb/> <arrow.to.target n="fig157"></arrow.to.target><lb/>gulum AFCD; facto­<lb/>que semicirculo AGF, <lb/>accipiantur duo puncta <lb/>H et I in diametro CD <lb/>aeque remota à centro, <lb/>et ducantur HL, IG <lb/>aequidistantes ad AD. <lb/>quae cycloidem secent in quibusvis punctis B et O. Agan­<lb/>tur denique per B, et O duo semicirculi PBQ, MON, ut <lb/>in praecedentibus factum est. </s></p> <figure id="fig157"></figure> <p type="main"> <s>Iam recta GO aequalis est recte RU (cum aequales <pb pagenum="169"/>sint GR, OU et communis RO) sive aequalis est rectae <lb/>AN, nempe arcui ON (ob cycloidem) vel arcui PB, sive <lb/>rectae PC, vel TH, vel BS. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem prorsus modo, quo demonstravimus rectam GO <lb/>aequalem esse rectae BS, demonstrantur omnes et sin­<lb/>gulae lineae trilinei FGABC aequales omnibus lineis tri­<lb/>linei ABCED. Propterea dicta trilinea inter se aequalia <lb/>erunt. Ergo ut in praecedenti Theoremate demonstrabitur <lb/>cycloidale spatium triplum esse semicirculi CED. Quod <lb/>erat etc. </s></p> <pb pagenum="170"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>SCHOLIUM<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE CYCLOIDIBUS ALIARUM <lb/>SPECIERUM<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Hactenus de Cycloide dictum sit: ulterius enim contem­<lb/>plationem hanc demonstrando protrahere odiosum esset, <lb/>et ex appendice liber fieret. Proponi tamen poterant adhuc <lb/>non pauca circa hanc figuram planam, quam Cycloidem <lb/>primariam appellare non esset inconveniens; quandoqui­<lb/>dem infinitae aliae species huiusmodi figurarum ab ipsa <lb/>iam considerata primaria Cycloide oriuntur. Concipiamus <lb/>enim (in figura paginae 165.) non solum periphaeriam cir­<lb/>culi AC aequabili conversione rotari, sed etiam universum <lb/>planum tam internum, quam externum ipsius circuli AC <lb/>in infinitum extensi. Manifestum est quòd circuli centrum <lb/>rectam lineam describet ipsi AB aequidistantem. Puncta <lb/>verò, quae intra periphaeriam AC sunt constituta, Cy­<lb/>cloides describent humiliores quàm ipsa primaria ADB. <lb/>quasdam etiam (quod incredibile quasi videtur) flexuosas: <lb/>et non ad easdem partes concavum habentes: tales autem <lb/>fient à punctis prope centrum circuli rotantis AC exi­<lb/>stentibus. </s></p> <p type="main"> <s>Puncta verò, quae extra periphaeriam AC erunt, Cy­<lb/>cloides describent, ipsa primaria altiores, et usque in infi­<lb/>nitum crescentes. </s></p> <pb pagenum="171"/> <p type="main"> <s>Circulum cuiuscunque cycloidis proprium genitorem <lb/>dicere possumus eum, cuius periphaeria concentrica sit pe­<lb/>riphaeriae AC, transeatque per punctum cycloidem ipsam <lb/>describens. </s></p> <p type="main"> <s>In hoc conveniunt omnes, quod aequalibus basibus in­<lb/>sistunt; humiliores tamen cycloides basim habent genitrici <lb/>periphaeria maiorem: altiores verò minorem genitrici pe­<lb/>riphaeria basim habent. </s></p> <p type="main"> <s>Ratio, quam unaquaeque cycloidalis figura habet ad <lb/>suum triangulum, vel ad circulum suum proprium geni­<lb/>torem, semper est maioris inaequalitatis, et variatur in <lb/>infinitum. </s></p> <p type="main"> <s>Si tamen utrumque simul consideres et triangulum, et <lb/>circulum, aequalitatis ratio erit. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Omne spatium sub qualibet cycloide linea, et rectà eius basis con­<lb/>tentum, ad triangulum super eadem basi; et sub eàdem altitudine con­<lb/>stitutum, est ut periphaeria circuli proprij genitoris una cum duplo <lb/>basis cycloidis, ad duplum basis cycloidis. Ad circulum verò proprium <lb/>genitorem unumquodque cycloidale spatium est ut duplum basis cy­<lb/>cloidis una cum periphaeria genitoris circuli ad eiusdem circuli peri­<lb/>phaeriam.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc problemati locus pararetur, datà quacumque ra­<lb/>tione maioris inaequalitatis, cycloidale spatium invenire, <lb/>quod ad triangulum, sive circulum suum sit in data ra­<lb/>tione et in data basi. </s></p> <p type="main"> <s><gap desc="SM"/>Cuiuscunque cycloidalis spatij ad quodlibet spatium cycloidale<gap desc="/SM"/><lb/>(etiam si non ab eadem primaria cycloide ortum ducant) <lb/><gap desc="SM"/>ratio componitur ex ratione altitudinis ad altitudinem, et ex ratione <lb/>dupli basis cum periphaerià genitrice, ad duplum basis cum peri­<lb/>phaeria genitrice.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Tangentem ad quodlibet imperatum punctum dari posse <lb/>certum est; peculiari primùm ratione pro Cycloide pri­<lb/>maria; deinde universali etiam pro omnibus alijs. <gap desc="SM"/>Tangens <lb/>ad datum quodlibet punctum primariae cycloidis ducitur ex puncto <lb/>sublimiori genitoris circuli per ipsum datum punctum transeuntis. </s></p> <p type="main"> <s>Tangens ad datum punctum cuiuscunque cycloidis ducitur hoc modo. <lb/>Transeat per datum punctum cycloidis circulus ipsius genitor, quem <lb/>in dato eodem puncto contingat recta conveniens vel cum basi cy­<lb/>cloidis, vel cum alia ipsi aequidistante. Fiatque ut radius circuli proprij <pb pagenum="172"/>ad radium circuli primarij, ita tangens praedicta inter datum punctnm, <lb/>et basim, vel aequidistantem intercepta, ad aliam quandam lineam <lb/>aptè sumendam à termino tangentis in ipsa vel basi, vel aequidistante. <lb/>Tum ab extremitate huius assumptae tangens ad imperatum punctum <lb/>cycloidis emittatur.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Nonnulla etiam Theoremata pro Mecanicis contempla­<lb/>toribus ex hac figura derivari possent, nisi consulendum <lb/>iam tandem esset ne simul cum molestia tedium fiat. </s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE SOLIDO ACUTO HYPERBOLICO <lb/>PROBLEMA ALTERUM<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROEMIUM AD LECTOREM.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Aggredior iam opus quod ipsis Geometriae candidatis non solum <lb/>difficile videatur verùm etiam impossibile. Hactenus enim in Mathe­<lb/>maticis Scholis repertae sunt dimensiones figurarum ab omni parte <lb/>finem habentium: quandoquidem inter omnia solida, quae ab antiquis, <lb/>et modernis Auctoribus multiplici conatu ad mensuram redacta sunt, <lb/>nullum adhuc, quod ego sciam, ullam dimensionem habuit extensione <lb/>infinitam. Imo statim atque proponatur sive solidum aliquod, sive figura <lb/>plana, cuius aliqua extensio in infinitam distantiam procedat, unus­<lb/>quisque cogitabit huiusmodi figuram infinitae magnitudinis esse debere. <lb/>Attamen solidum habet Geometria, longitudine quidem infinitum, sed <lb/>tanta praeditum subtilitate, ut licet in infinitum producatur, exigui <lb/>tamen cylindri molem non excedat. Tale erit solidum illud ab hyper­<lb/>bola genitum, quod huius libelli contemplatione prosequemur; inta­<lb/>ctum hucusque ab alijs, et multiplici, curiosaque Theorematum varie­<lb/>tate faecundissimum; eò usque ut, nisi me fallat affectus, universa <lb/>Geometria inter hactenus consideratas figuras nullam habeat curiosi­<lb/>tatis abundantiorem. </s></p> <p type="main"> <s>Quo ad methodum demonstrandi, unicum quidem, et praecipuum <lb/>Theorema duplici conatu ostendemus, et per indivisibilia, et more Ve­<lb/>terum. Quamquam (ut vera fateamur) primò inventum sit per Indivisi­<lb/>bilium Geometriam; qui sanè verus est demonstrandi modus scientificus, <lb/>semper directus, et ipsi naturae germanus. Miseret me veteris Geome­<lb/>triae, quae cum Indivisibilium doctrinam, sive non noverit, sive non <lb/>admiserit, circà dimensionem solidorum adeò paucas veritates invenit, <lb/>ut ipsà penurià infelix ad aetatem nostram pervenerit. Antiquorum <lb/>enim Theoremata circa doctrinam solidorum, quota pars sunt con­<lb/>templationum, quas mirabilis nostro aevo Cavalerius (omissis aliis) <pb pagenum="174"/>instituit, circà tot classes solidorum, specie differentium, multitudine <lb/>abundantium? Methodus nostra, quam usurpaturi sumus in praefato <lb/>Theoremate, procedet per Indivisibilia curva, sine aliorum exemplo, <lb/>non tamen sine praemissa Geometriae approbatione, Considerabimus <lb/>enim omnes cylindricas superficies circà communem axem in nostro <lb/>solido descriptibiles. Cuius rei cum nullum Cavalerius ipse tradiderit <lb/>in sua Geometria elementum, existimavimus nostram arguendi ratio­<lb/>nem exemplis aliquot esse corroborandam. Quamquam hoc apud me <lb/>superfluum sit; cum iam totum huius libelli progressum ratum habeam, <lb/>eò quòd ipsum admiserit, probaveritque doctissimus, et eruditissimus <lb/>vir <emph type="italics"/>Raphael Magiottus;<emph.end type="italics"/> cui, ut in plurimis alijs scientijs, artibusque <lb/>ita et in Mathematicis disciplinis neminem quis iure anteposuerit. Prae­<lb/>mittemus itaque ante ipsum opus, sub. Exemplorum nomine, quasdam <lb/>Geometriae propositiones, iam pridie notas, sed à nobis per Indivisibilia <lb/>curva demonstratas: Sic enim magis manifestum fiet hunc modum de­<lb/>monstrandi non esse negligendum, praesertim cum in rebus difficillimis <lb/>maximum ipsius momentum reperiatur. Indivisibilia verò curva, quae <lb/>ad huiusmodi demonstrationes idonea sunt, in planis quidem figuris <lb/>solae circulorum periphaeriae se se offerunt; iu solidis autem, super­<lb/>ficies sphaericae, cylindricae, conicaeque. Quandoquidem istae tantum <lb/>considerabiles sunt, tamquam ispas figuras perfectè adaequantes, et <lb/>undique aequalis, uniformisque (ut ita dicam) spissitudinis. Praemit­<lb/>timus igitur ante operis aggressionem, promissa aliquot Theorematum <lb/>Geometricorum Exempla.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM PRIMUM.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus, cuius centrum A, semidiameter AB, tan­<lb/>gens verò sit BC quae supponatur aequalis periphaeriae <lb/>BD. Tum coniungatur <lb/> <arrow.to.target n="fig158"></arrow.to.target><lb/>AC. Dico circulum BD. <lb/>triangulo ABC esse ae­<lb/>qualem. </s></p> <figure id="fig158"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur in semidia­<lb/>metro AB, quodlibet <lb/>punctum I, et per I <lb/>agantur, periphaeria IO circa idem centrum A, et recta <lb/>IL parallela ad BC. Erit itaque periphaeria BD, ad peri­<lb/>phaeriam IO, ut semidiameter BA, ad AI. (demonstratur <lb/>enim hoc à priori, non supposità circuli dimensione) sive <lb/>ut BC ad IL; et permutando; erit periphaeria BD, ad <lb/>rectam BC, ut periphaeria IO, ad rectam IL. Ergò peri­<lb/>phaeria IO, rectae IL erit aequalis: et hoc semper, ubi- <pb pagenum="175"/>cunque sit punctum I. Quarè et omnes periphaeriae simul <lb/>sumptae, omnibus rectis simul sumptis aequales erunt: <lb/>nempe circulus ipse BD, aequalis erit triangulo ABC. Quod <lb/>erat etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Concordat cum hoc Theoremate Propositio Prima Archim. De dimensione circuli.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM II.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus, cuius radius AB, tangensque BC sit ae­<lb/>qualis diametro; et coniunctà AC convertatur figura circà <lb/>AB, ita ut fiat sphaera BF, et co­<lb/> <arrow.to.target n="fig159"></arrow.to.target><lb/>nus rectus CAD. Dico sphaeram <lb/>BF, cono CAD esse aequalem. Su­<lb/>matur enim in AB quodvis pun­<lb/>ctum I, et per ipsum I transeat <lb/>superficies sphaerica IH, circà cen­<lb/>trum A; circulusque LIM in cono <lb/>CAD. Iam: superficies sphaerica BF aequalis erit circulo <lb/>CD. sphaerica verò BF, ad sphaericam IH, est ut quadra­<lb/>tum BA, ad quadratum AI; sive ut quadratum BC ad <lb/>quad. IL; nempe ut circulus CD, ad circulum LM. Sed <lb/>antecedentes aequales sunt; ergò etiam consequentes: <lb/>nempe sphaerica superficies IH, aequalis erit circulo LM. <lb/>Et hoc semper, ubicumque sit punctum I. Propterea omnes <lb/>sphaericae superficies simul (sive ipsa sphaera BF) aequa­<lb/>les erunt omnibus circulis simul sumptis, sive cono CAD. <lb/>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig159"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Aliter.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto sphaera, cuius diameter AB, tangensque BD sit <lb/>aequalis semidiametro sphaerae: Et coniunctà AD, con­<lb/>vertatur triangul, ADB circà axem <lb/> <arrow.to.target n="fig160"></arrow.to.target><lb/>BD, ita ut fiat conus rectus ADC. </s></p> <figure id="fig160"></figure> <p type="main"> <s>Dico sphaeram AB aequalem <lb/>esse cono ADC. Sumatur enim in <lb/>diametro AB quodvis punctum I, <lb/>per quod transeat circulus FH, ad <lb/>axem erectus in sphaera; et superficies cylindrica LIMN, <lb/>circà axem DB in cono. <pb pagenum="176"/> <arrow.to.target n="marg247"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg247"></margin.target>4. Sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Iam: cum AB dupla sit ipsius BD, erit AI, dupla IL, <lb/>ergò quadratum FI, quod aequale est rectangulo AIB, </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg248"></arrow.to.target><lb/>duplum erit rectanguli LIB, et aequale rectangulo LIM. <lb/>Proptereà erit circulus FH aequalis superfici cylindricae <lb/>LIMN. Et hoc semper, ubicunque sit punctum I. Ergo <lb/>omnes circuli simul, sive ipsa sphaera, aequales erunt <lb/>omnibus superficiebus cylindricis simul sumptis, nempe <lb/>ipsi cono ADC, Quod concordat cum 32. lib. I. De Sphaera <lb/>et Cylindro Archimedis. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg248"></margin.target>5. p. de soli­<lb/>dis Sphaer.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM III.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto quadratum ABCD, (nisi enim quadratum suppo­<lb/>natur, ratiocinatio falsa evaderet, ob inaequalem superfi­<lb/>cierum spissitudinem; sive ob diversi­<lb/> <arrow.to.target n="fig161"></arrow.to.target><lb/>tatem transitus) cuius quadrati esto <lb/>diameter AC; et convertatur figura <lb/>circà axem CD, ita ut fiat cylindrus <lb/>BF, et conus ACF. Sumatur deinde in <lb/>rectà AC, quodvis punctum H; per quod intelligatur actus <lb/>circulus HL, intrà conum compraehensus; et insuper su­<lb/>perficies cylindrica, cuius sectio sit HI, axis verò CD. Erit <lb/> <arrow.to.target n="marg249"></arrow.to.target><lb/>ergò superficies cylindrica HI ad circulum HL suam basim, <lb/>ut recta HI, ad quartam partem diametri HL. Et hoc <lb/>verum erit semper, ubicunquen sit punctum H. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg249"></margin.target>4. primi de <lb/>Solid. <lb/>Sphaer.</s></p> <figure id="fig161"></figure> <p type="main"> <s>Ergò omnes simul superficies cylindricae (nempe soli­<lb/>dum, quod ex cylindro relinquitur, dempto cono ACF) ad <lb/>omnes simul circulos (hoc est, ad conum ACF) erunt, ut <lb/>sunt omnes simul rectae trianguli ABC, ad quartam partem <lb/>omnium rectarum trianguli ACF: nempe in ratione dupla. <lb/>Quod concordat cum Theoremate X. lib. XII. Euclidis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM IV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto conus rectus ABC, cuius axis BD; et productà <lb/>BC in E, ita ut circulus, cuius diameter CE, sit aequalis <lb/>curvae superficiei coni ABC, concipiatur circà diametrum <lb/>CE circulus erectus ad planum ABC; et super circulo CE, <pb pagenum="177"/>intelligatur alter conus CDE, ha­<lb/> <arrow.to.target n="fig162"></arrow.to.target><lb/>bens verticem in D. Dico conum <lb/>ABC, cono CDE, esse aequalem. </s></p> <figure id="fig162"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur in rectà DC quodvis <lb/>punctum H, per quod ductà GHN <lb/>parallela ad BE, intelligatur per <lb/>HG superficies conica MGH; cir­<lb/>càque ipsam HN circulus paral­<lb/>lelus circulo CE. Iam: conica superficies ABC, ad circulum <lb/>suae basis AC, est ut recta BC ad CD, sive ut GH ad <lb/>HD; nempe ut conica superficies MGH, ad circulum HM. <lb/>Circulus autem AC, ad circulum CE, est ut quadruplum <lb/>quadrati DC, ad quadr. CE; sive ut quadruplum qua­<lb/>drati DH, ad quadratum HN; hoc est ut circulus MH, <lb/>ad circulum HN. Ergò ex aequo, erit conica superficies <lb/>ABC, ad circulum CE, ut conica MGH, ad circulum <lb/>HN. Et hoc semper verum erit, ubicumque fuerit pun­<lb/>ctum H. Ergò omnes simul conicae superficies (nempe <lb/>conus ABC) aequales erunt omnibus simul circulis, nempe <lb/>cono CDE. Quod erat etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Concordat cum hoc Theoremate Propos. XVII lib. primi De Sphaera, et Cy­<lb/>lindro Archim.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM V.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus, cuius diameter AB, ponaturque tangens <lb/>BC diamet. aequalis, et iunctà AC, convertatur figura circà <lb/>axem AB, ita ut fiat sphaera AE <lb/> <arrow.to.target n="fig163"></arrow.to.target><lb/>BF, et conus rectus CAN. </s></p> <figure id="fig163"></figure> <p type="main"> <s>Dico conum CAN, ipsius sphae­<lb/>rae duplum esse. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur in diametro AB <lb/>quodlibet punctum D, per quod <lb/>agatur planum EF ad axem AB erectum; quod quidem pla­<lb/>num duos circulos efficiet, alterum EF in sphaera, alterum <lb/>verò HI in cono; Concipiatur super basi HI cylindrus <lb/>rectus HLMI. Iam: superficies cylindri HLMI, ad circu­<lb/> <arrow.to.target n="marg250"></arrow.to.target><lb/>lum EF, est ut rectangulum LI, ad quadratum ED; nempe <lb/>dupla. Et hoc semper; ubicunque sit punctum D: pro- <pb pagenum="178"/>pterea, ut una ad unam, ita omnes ad omnes. Erunt ergò <lb/>omnes superficies cylindricae, nempe conus CAN, ad omnes <lb/>circulos, nempe ad sphaeram AEBF, in ratione dupla. <lb/>Quod etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg250"></margin.target>5. p: de soli: <lb/>sph:</s></p> <p type="main"> <s>Concordat cum hoc Theoremate propos. XXXII. De Sphaera et Cylindro.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM VI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus cuius diameter AB, tangensque AC po­<lb/>natur diametro aequalis coniunctaque EC, convertatur <lb/>figura circa axem EF aequidistantem <lb/> <arrow.to.target n="fig164"></arrow.to.target><lb/>tangenti AC, ita ut à circulo describatur <lb/>sphaera, à triangulo verò ACE solidum <lb/>quoddam cylindricum excavatum dempto <lb/>cono CED. Dico sphaeram praedicto so­<lb/>lido excavato esse aequalem. </s></p> <figure id="fig164"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur in diametro AB quodvis <lb/>punctum H, per quod intelligatur su­<lb/>perficies sphaerica HI, priori superficiei <lb/>sphaericae concentrica; et insuper su­<lb/>perficies cylindrica, quae describitur à recta HL tangenti <lb/>AC parallela, circa axem EF revoluta, Iam: CA ad AE est <lb/>ut LH ad HE, et sumptis consequentium duplis, CA ad <lb/>AB, est ut LH ad HI. Proptereà, LH ad HI aequalis erit; <lb/>et ideò superficies curva cylindri LHIO aequalis erit su­<lb/>perficiei sphaericae HI. Et hoc semper, ubicunque fuerit <lb/>punctum H. Proptereà omnes omnibus, nempe omnes su­<lb/>perficies sphaericae simul, sive sphaera AB, aequales erunt <lb/>omnibus superficiebus cylindricis simul, hoc est solido ex­<lb/>cavato CABD. dempto cono CED. Quod etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Concordat cum hoc Theor. Propositio 32. De Sphaera et Cylindro.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Superficies cuiuscunque cylindri recti AB (intelligo <lb/>semper sine basibus) ad superficiem curvam cuiuscunque <lb/>segmenti sphaerici CDE, est ut rectangulum per axem <pb pagenum="179"/>cylindri, ad rectangulum FDI, sub ca­<lb/> <arrow.to.target n="fig165"></arrow.to.target><lb/>teto segmenti, et diametro sphaerae. </s></p> <figure id="fig165"></figure> <p type="main"> <s>Nam, superficies cylindrica AB, ad <lb/>circulum cuius semidiameter sit linea <lb/> <arrow.to.target n="marg251"></arrow.to.target><lb/>ex polo DC, est ut rectangulum AB, <lb/>ad quadratum DC: Ergò, sumptis consequentium aequa­<lb/>libus, erit cylindrica superficies, ad curvam sphaerici <lb/>segmenti CDE superficiem, ut rectangulum AB ad rectan­<lb/>gulum FDI. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg251"></margin.target>5. p: de soli: <lb/>sphaer:</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM VII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto sphaera, unà cum cylindro sibi circumscripto, <lb/>quorum axis sit recta CD. Secenturque plano AB ad axem <lb/>erecto. Dico cylindrum AH, sesquialterum esse solidi se­<lb/>ctoris sphaerici ECFG. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur CL aequalis <lb/> <arrow.to.target n="fig166"></arrow.to.target><lb/>ipsi CN. et intelligatur cy­<lb/>lindrus LCDM, cuius altitudo <lb/>LC. eritque aequalis cylin­<lb/>dro AH. Concipiatur etiam <lb/>demptus conus LGM; et <lb/>sumpto in axe CG quovis <lb/>puncto O fiant aequales GO, <lb/>GR, et transeat per ipsum <lb/>punctum O sphaerica super­<lb/>ficies QOU in sectore; et <lb/>cylindrica IORS, in solido <lb/>cylindrico LCDM excavato ablatione coni LGM; sitque <lb/>tam sphaericae superficiei quam cylindricae transeuntis <lb/>per O, diameter ipsa OR. </s></p> <figure id="fig166"></figure> <p type="main"> <s>Iam: tota CG, ad totam rectam GO, est ut EG ad <lb/>GQ, nempe, ut ablata NG, ad GP; ideò reliqua CN, ad OP, <lb/>erit ut tota CG, ad GO; sive ut CL, ad OI. Sed antece­<lb/>dentes sunt aequales, ergò rectae OP, OI aequales erunt. <lb/>Proptereà rectangula ROP, ROI aequalia erunt; et super­<lb/>ficies sphaerica. QOU aequalis erit superficiei cylindricae <lb/> <arrow.to.target n="marg252"></arrow.to.target><lb/>IORS. Et hoc semper, ubicunque sit punctum O. Ergò <lb/>omnes superficies omnium segmentorum sphaericorum <pb pagenum="180"/>(nempe solidus sector ECFG) aequales erunt omnibus su­<lb/>perficiebus cylindricis simul sumptis, hoc est solido exca­<lb/>vato LCDM. Cui si addatur conus iam ablatus LGM, <lb/>patebit propositum: nempe cylindrum LCDM, sive AH, <lb/>sesquialterum esse sectoris sphaerici ECFG. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg252"></margin.target>Lem. <lb/>praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Arcus circulorum AB, CD. inter se rationem habent <lb/>compositam ex ratione semidiametrorum AG ad CF, et <lb/>ex ratione angulorum AGB ad CFD. <lb/> <arrow.to.target n="fig167"></arrow.to.target><lb/>Nam, fiat angulus CFH aequalis an­<lb/>gulo AGB. Erit igitur arcus AB ad <lb/>CH, ut semidiameter AG ad CF; sed <lb/>arcus CH ad CD. est ut angulus CFH, <lb/>vel AGB, ad angulum CFD. Ergò <lb/>patet arcum AB, ad CD, rationem habere compositam ex <lb/>rationibus semidiametrorum AG ad CF, et angulorum <lb/>AGB ad CFD. </s></p> <figure id="fig167"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM VIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus, cuius semidiameter AB sit initium lineae <lb/>spiralis AEIB. Secetur bifariam AB in C; et erectà per­<lb/>pendiculari CD, quantacunque, fiat per puncta ADB para­<lb/>bola, cuius diameter CD. et centro A, intervallo AC fiat <lb/>arcus CE. Dico spatium sub ipsà spirali, et rectà AB com­<lb/>praehensum, ad factam parabolam ADB, esse ut arcus <lb/>CE, ad rectam CD. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur in AB quodvis punctum <lb/> <arrow.to.target n="fig168"></arrow.to.target><lb/>aliud à puncto C, puta H; et per H <lb/>fiat arcus HI in spatio spiralis, et <lb/>recta HL in parabola, ipsius diametro <lb/>aequidistans. </s></p> <figure id="fig168"></figure> <p type="main"> <s>Iam: arcus CE ad HI rationem <lb/>habet compositam ex ratione semidia­<lb/>metrorum CA ad AH; et ex ratione <lb/>angulorum, sive (quod idem est ob <lb/>lineam spiralem) ex ratione temporum, nempe rectae CB <pb pagenum="181"/>ad BH. Ergo arcus CE, ad HI, est ut rectangulum ACB, <lb/>ad rectangulum AHB, sive ut recta CD, ad HL, ob para­<lb/>bolam. Permutando igitur, arcus CE, ad rectam CD, est <lb/>ut arcus HI ad rectam HL; et hoc modo semper; ubi­<lb/>cunque sit punctum H. Ergò omnes simul arcus, sivè spa­<lb/>tium spiralis, ad omnes simul rectas, nempe ad parabolam, <lb/>erunt ut unus arcus CE, ad unam rectam CD. Quod <lb/>erat etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si quis ergò ponat rectam CD aequalem arcui semicirculi CE, erit <lb/>parabola ADB aequalis spatio spirali. Quinque adhuc alijs modis spa­<lb/>tium spiralis lineae, in parabolam transformatur, quamquam non omnes <lb/>per curva Indivisibilia procedant. Et Theorema concordat cum 25. de <lb/>lineis spiralibus Archimedis.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM IX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto hemisphaerium ABC, cuius axis BD, conus verò <lb/>inscriptus ABC. Dico hemisphaerium ipsius coni esse du­<lb/>plum. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur in rectà AB punctum quod­<lb/> <arrow.to.target n="fig169"></arrow.to.target><lb/>vis I; per quod transeat circulus NO <lb/>in hemisphaerio erectus ad axem; et <lb/>superficies cylindrica FIHL, in cono <lb/>circa axem PD. </s></p> <figure id="fig169"></figure> <p type="main"> <s>Iam: circulus NO, ad IH, est ut quadratum NP ad PI: <lb/> <arrow.to.target n="marg253"></arrow.to.target><lb/>et dividendo, armilla circularis, cuius latitudo NI, ad cir­<lb/>culum IH, erit ut rectangulum NIO, ad quadratum IP: <lb/> <arrow.to.target n="marg254"></arrow.to.target><lb/>sed rectangulum NIO, ad quadratum IP: sed rectangulum <lb/>NIO, sive AIB, aequale est rectangulo FH (nam, per 4. <lb/>sexti, AI ad IF, est ut HI ad IB). Ergò, armilla NI, ad <lb/>circulum IH, erit, ut rectangulum FH ad quadratum IP; <lb/> <arrow.to.target n="marg255"></arrow.to.target><lb/>sive ut cylindrica superficies FIHL, ad eundem circulum <lb/>IH. Aequales ergò sunt armilla circularis, cuius latitudo NI, <lb/>et superficies cylindrica FIHL: et hoc semper, ubicunque <lb/>sit punctum I. Ergò omnes simul armillae, nempe solidum <lb/>hemisphaericum excavatum dempto cono ABC, aequales <lb/>erunt omnibus simul superficiebus cylindricis, nempe ipsi <lb/>cono ABC. Proptereà coniungendo, patet hemisphaerium <lb/>inscripti coni duplum esse. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="182"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg253"></margin.target>2. duodecimi.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg254"></margin.target>16. sexti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg255"></margin.target>5: 1: primi: <lb/>de soli, sph.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM X.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Quod libet minus segmentum sphaericum ABC, ae­<lb/>quale est conoidi cuidam hyperbolico EDF: eandem alti­<lb/>tudinem BD habenti, super basim verò EF, aequalem <lb/>curvae superficiei segmenti, constituto: cuius latus versum <lb/>sit DG, scilicet differentia inter catetum segmenti, et ra­<lb/>dium sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Nam, sumatur in sagitta BD <lb/> <arrow.to.target n="fig170"></arrow.to.target><lb/>quodvis punctum N, per quod tran­<lb/>seat sphaerica superficies ONR, <lb/>priori concentrica in segmento, et <lb/>circulus cuius radius NM, basi pa­<lb/>rallelus in conoide. </s></p> <figure id="fig170"></figure> <p type="main"> <s>Eritque curva superficies ABC, <lb/>ad curvam ONR, ut circulus ex <lb/>radio AB, ad circulum ex radio ON, <lb/>ob aequalitatem: sive ut quadra­<lb/>tum AB ad ON, vel ut rectangulum IBD, ad rectangulum <lb/>HND. sive, in subduplis, ut rectangulum GBD ad GND; <lb/>sive (ob hyperbolam) ut quadratum BF, ad quadratum <lb/>NM; sive ut circulus radio BF, ad circulum ex radio NM. <lb/>Sed antecedentia sunt aequalia per suppositionem, ergo <lb/>aequalis erit superficies curva ONR, circulo cuius radius <lb/>NM. Et hoc semper; ergo omnes omnibus; nempe sphaerae <lb/>segmentum minus aequale erit conoidi hyperbolico. Quod <lb/>erat etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Quandò verò segmentum sphaerae fuerit hemisphaerium, demon­<lb/>stratur aequale cono, qui basim habeat, acqualem curvae superficiei <lb/>hemisphaerij, et altitudinem eandem. </s></p> <p type="main"> <s>Quando verò fuerit segmentum sphaerae maius, tunc ostendetur <lb/>aequale duobus solidis nempe frusto cuidam recto conoidis hyperbolici, <lb/>cuius maior basis, sit aequalis curvae superficiei segmenti sphaerici, <lb/>latus versum sit excessus sagittae segmenti suprà radium sphaerae, <lb/>altitudo verò excessus diametri suprà sagittam. Et cono cuidam, super <lb/>minori basi praedicti frusti constituto, cum altitudine, quae sit aequalis <lb/>lateri verso ipsius frusti. Facilis demonstratio est, quamquam propo­<lb/>sitio difficilis videatur.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="183"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Concordantia praecedentis demonstrationis <lb/>cum doctrina Archimedis.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sumpta praecedenti constructione et figura; Esto Cono­<lb/>ides hyperbolicum EDF quod ostensum est aequale minori <lb/>segmento sphaerae ABC. Dico illud, etiam ex doctrina Ar­<lb/>chimedis, aequale esse praedicto segmento sphaerico ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Producatur IU aequalis radio <lb/> <arrow.to.target n="marg256"></arrow.to.target><lb/> <arrow.to.target n="fig171"></arrow.to.target><lb/>sphaerae; eritque segmentum minus <lb/>ABC ad conum ABC ut UD ad DI. <lb/>Ponatur etiam TD. sesquialtera ipsius <lb/>GD. Eritque conoides EDF, ad co­<lb/>num EDF, ut TB ad BG. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg256"></margin.target>31: De <lb/>Conoid: et <lb/>sphaeroid: <lb/>27. eiusdem</s></p> <figure id="fig171"></figure> <p type="main"> <s>Iam: segmentum sphaericum ad <lb/>conum suum ABC, est ut UD ad DI: <lb/>conus autem ABC, ad conum aeque­<lb/>altum EDF, est ut quadratum AD, <lb/>ad quadratum EB; sive ad quadratum <lb/>AB; nempe ut rectangulum IDB, ad <lb/>rectangulum IBD, sive ut eorumdem altitudines, DI ad <lb/>IB; Ergò ex aequo, segmentum sphaerae ABC, ad conum <lb/>EDF, est ut UD, ad IB: sive (sumptis earumdem rectarum <lb/>subduplis) ut TB ad BG. Nempe ut conoides, ad eundem <lb/>conum. EDF. Aequantur ergo segmentum sphaerae, et <lb/>ipsum Conoid: etiam ex doctrinà Archimedis. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus rectas TB, BG, esse semisses rectarum UD, IB, respe­<lb/>ctivè. et hoc patet. Nàm, UD constat ex duabus semidiametris, et ex <lb/>ipsa GD; sed TB constat ex unica semidiametro, et semisse DG, OB <lb/>constructionem. Reliquum manifestum est. </s></p> <p type="main"> <s>Latus rectum praedicti Conoidis non est necessarium, quandoquidem <lb/>datur latus versum, et semidiameter basis, sed si quis illud requirat, <lb/>inveniet duplum esse lateris versi.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM XI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus ABCD, cuius basis AD, axis verò <lb/>PE, intelligaturque ablatus ab ipso conus BEC, ita ut re­<lb/>linquatur cylindrus excavatus. Producatur deinde CD in F, <lb/>ita ut DF possit duplum rectanguli CDE, et iunctà EF <pb pagenum="184"/>convertatur triang. EDF (saltem ima­<lb/> <arrow.to.target n="fig172"></arrow.to.target><lb/>ginatione, nam figura non et per­<lb/>fecta) ita ut oriatur conus, cuius <lb/>basis semidiameter sit DF, axis verò <lb/>ED. Dico talem conum aequalem <lb/>esse praedicto cylindro excavato. Su­<lb/>matur enim in axe ED, quodvis <lb/>punctum I, et per ipsum transeat superficies cylindrica <lb/>ILMN, circà axem EP in solido excavato cylindrico; et <lb/>circulus cuius radius IO in EO cono, qui axem habet ED. </s></p> <figure id="fig172"></figure> <p type="main"> <s>Iam circulus ex radio DF, ad circulum ex radio IO est <lb/> <arrow.to.target n="marg257"></arrow.to.target><lb/>ut quadratum DF ad IO, sive ut quadratum DE ad EI, <lb/>sive ut rectangulum CDE, ad rectang. LIE; sed quadra­<lb/>tum DF ponitur duplum rectanguli CDE; ergò quadratum <lb/>IO duplum erit rectanguli LIE; et ideo aequale rectan­<lb/> <arrow.to.target n="marg258"></arrow.to.target><lb/>gulo LINM. Proptereà circulus ex radio IO, aequalis erit <lb/>superficiei cylindricae LINM; et hoc semper, ubicunque <lb/>sit punctum I. Ergo omnes circuli simul, sive conus cuius <lb/>axis est ED, aequales erunt omnibus superficiebus cylin­<lb/>dricis simul, sive solido cylindrico excavato ABECD. Quod <lb/>erat etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg257"></margin.target>2. duodecimi.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg258"></margin.target>5. p. de soli <lb/>sph.</s></p> <p type="main"> <s>Quod autem concordet cum Euclide 1. 12. ostenditur. Nam conus <lb/>BEC, ad conum cum qui habet axem ED, rationem habet compositam <lb/>ex ratione altitudinum, nempe rectae PE ad ED, sive rectanguli PED, <lb/>ad quadratum ED, et ex ratione basium, nempe quadrati ED, ad qua­<lb/>dratum DF. Ergo conus BEC, ad conum cuius axis est ED, est ut re­<lb/>ctangulum PED, ad quadratum DF, nempe subduplus, ob constructio­<lb/>nem; sed idem conus BEC subduplus est solidi excavati ABECD, ergo <lb/>etiam ex doctrina Euclidis patet solidum cylindricum excavatum ABE <lb/>CD, aequale esse cono, cuius axis est ED, radius verò basis DF. etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM XII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Quilibet cylindrus rectus AB, cuius axis sit CF, ae­<lb/>qualis est conoidi parabolico, cuius altitudo sit CD; semi­<lb/>diameter verò basis sit DE, quae quidem potentia sit <lb/>aequalis rectangulo AB; et erit circulus ex radio DE ae­<lb/> <arrow.to.target n="marg259"></arrow.to.target><lb/>qualis superficiei cylindricae AB. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg259"></margin.target>5. p. de so­<lb/>lid. sph.</s></p> <p type="main"> <s>Intelligatur converti semiparabola ECD circà axem CD, <lb/>ita ut praedictum conoides oriatur. Sumpto deinde in axe <pb pagenum="185"/>CD quolibet puncto I, per ipsum tran­<lb/> <arrow.to.target n="fig173"></arrow.to.target><lb/>seat in cylindro superficies cylindrica <lb/>IL, circà axem CF; at in conoide, cir­<lb/>culus, cuius semidiameter sit IH, basi <lb/>parallelus. </s></p> <figure id="fig173"></figure> <p type="main"> <s>Iam: superficies cylindrica AB: ad <lb/>cylindricam IL, est ut rectangulum AB, <lb/>ad rectangulum IL, sive ut eorun­<lb/> <arrow.to.target n="marg260"></arrow.to.target><lb/>dem semibases, DC sd CI, sive ut quadratum DE ad IH; <lb/>nempe ut circulus, ex radio DE ad circulum ex radio IH. <lb/> <arrow.to.target n="marg261"></arrow.to.target><lb/>Sed antecedentes ponuntur aequales, ergo etiam conse­<lb/>quentes; nempe superficies cylindrica IL, aequalis erit <lb/>circulo ex radio IH: et hoc semper, ubicunque sit pun­<lb/>ctum I. Proptereà omnes cylindricae simul superficies, <lb/>omnibus circulis aequales erunt. videlicet cylindrus co­<lb/>noidi. Quod etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg260"></margin.target>6. p. de so­<lb/>lid. sph.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg261"></margin.target>ob parabo­<lb/>lam.</s></p> <p type="main"> <s>Demonstratur concordare cum Archimede hoc modo. cylindrus AB <lb/>ad conum in conoide inscriptum, rationem habet compositam ex ra­<lb/>tione altitudinum, nempe ex ratione FC ad tertiam partem CD, (pro <lb/>cono inscripto, accipio cylindrum in eàdem quidem basi, sed cum alti­<lb/>tudine subtripla) et ex ratione basium, nempe quadrati CD ad DE, <lb/>sive quadrati CD, ad rectangulum AB, sive rectae CD ad duplam CF, <lb/>sive in subtriplis ut tertia pars CD, ad duas tertias ipsius CF. </s></p> <p type="main"> <s>Proptereà cylindrus AB, ad conum in conoide inscriptum, erit ut <lb/>FC, ad duas tertias ipsius FC, nempe sesquialter. Concordat itaque <lb/>cum 23. de Conoid. et sphaeroid.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM XIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Quilibet conus rectus ABC, cuius axis sit BD, aequalis <lb/>est sphaeroidi, quae axem habeat <lb/> <arrow.to.target n="fig174"></arrow.to.target><lb/>DC, nempe semidiametrum basis <lb/>coni; et sectà DC bifariam in F, <lb/>semidiameter sphaeroidis FE po­<lb/>tentià sit subdupla trianguli A <lb/>BC. </s></p> <figure id="fig174"></figure> <p type="main"> <s>Compleatur rectangulum FH <lb/>LU; eritque, ob suppositionem, <lb/>recta FE aequalis potentià re­<lb/>ctangulo FL: ideoque circulus <lb/>cuius radius FE, aequalis erit <pb pagenum="186"/>superficiei cylindricae quae transit per FH circà axem <lb/>BD. <lb/> <arrow.to.target n="marg262"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg262"></margin.target>5. p. de so­<lb/>lid: sph:</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iam quodlibet punctum I in axe DC. et per I <lb/>transeat superficies cylindrica IMNO: et circulus in sphae­<lb/>roide, cuius radius sit IP. Superficies itaque cylindrica FL, </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg263"></arrow.to.target><lb/>ad cylindricam IN, est ut rectangulum FL ad IN. Nempe <lb/>rationem habet compositam ex ratione FH ad IM, sive <lb/>FC ad CI; et ex ratione FU ad IO, vel FD ad DI. <lb/> <arrow.to.target n="marg264"></arrow.to.target><lb/>erit itaque cylindrica FL ad cylindricam IN, ut rectang. <lb/>DFC ad rectang. DIC; sive ut quadratum FE ad IP, <lb/>nempe ut circulus ex radio FE, ad circulum ex radio IP. <lb/>Sed antecedentes aequales sunt, ergo etiam consequentes: <lb/>nimirum, superficies cylindrica IMNO, aequalis erit circulo <lb/>ex radio IP. et hoc semper ubicunque punctum I. Ergò <lb/>omnes omnibus, hoc est conus ABC, aequalis erit sphae­<lb/>roidi praedictae. Quod erat etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg263"></margin.target>6 p. de so­<lb/>lid sph.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg264"></margin.target>ob ellipsim.</s></p> <p type="main"> <s>Concordare cum Archimede ostendemus. Nam; conus ABC, ad co­<lb/>num in hemisphaeroide inscriptum, rationem habet compositam ex <lb/>ratione basium, nempe quadrati DC, ad quadratum FE; vel quadrati <lb/>DC ad rectangulum FL; sive (cum rectangula habeant aequalem ba­<lb/>sim) rectae DC ad FH; sive AC ad DB. Et ex ratione altitudinum, <lb/>nempe BD ad DF. Erit ergò conus ABC, ad conum in hemisphaeroide <lb/>inscriptum, ut recta AC ad rectam DF, nempe quadruplus. Concordat <lb/>ergò cum prop. 29 de Conoid. et sphaeroid.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EXEMPLUM XIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola, vel hyperbola, vel ellipsis, vel circuli <lb/>circumferentia, cuius axis AB; semilatus rectum AC sit <lb/> <arrow.to.target n="fig175"></arrow.to.target><lb/>ad angulos rectos cum axe AB: et coniuncta BC ab extre- <pb pagenum="187"/>mitate axis procedat. Sumatur iam quaelibet ordinatim <lb/>applicata DE, producta in F; et convertatur ipsa sectio <lb/>conica circà axem AE; sed quadrilaterum AEFC conver­<lb/>tatur circà AC. Dico solidum factum à conversione trilinei <lb/>DAE, aequale esse solido EFCIH, facto à conversione <lb/>quadrilateri AEFC, circà axem AC revoluti. </s></p> <figure id="fig175"></figure> <p type="main"> <s>Nam; cum AC sit semilatus rectum, erit quadratum <lb/>applicatae DE, duplum rectanguli AEF, et ideò aequale <lb/>rectangulo HEF. Proptereà, circulus, cuius radius sit DE, <lb/>aequalis erit superflciei cylindricae, quae describitur à re­<lb/> <arrow.to.target n="marg265"></arrow.to.target><lb/>ctà EF, circà axem AC conversà. Et hoc semper, ubi­<lb/>cunque sit punctum E. Ergo omnes omnibus. Nempe omnes <lb/>circuli simul, sive solidum conoidale, aequale erit omnibus <lb/>superficiebus cylindricis simul sumptis, nempe solido de­<lb/>scripto à quadrilatero AEFC, circà axem AC converso. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg265"></margin.target>5. p. de so­<lb/>lid: sph:</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si quis verò dubitet, an praecedens Theorema concordet cum pro­<lb/>positionibus Archimedis, omnem dubitandi occasionem delebunt tres <lb/>sequentes demonstrationes.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Concordantia pro Conoide parabolico.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto conoide parabolicum ABC. Ostendit Archim. Prop. 23 de Co­<lb/>noid. et Sphaeroid. Conoides ABC, esse sesquialterum coni ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum, quale discriptum est à qua­<lb/> <arrow.to.target n="fig176"></arrow.to.target><lb/>drilatero DBHG, in praecedenti constructione; <lb/>quod quidem solidum in parabola, erit cylin­<lb/>drus. Secetur in tres partes aequales tàm BH, <lb/>quàm etiam BD. Eritque conus ABC aequalis <lb/>cylindro super eàdem basi AC constituto, sub <lb/>altitudine verò DL; considerabimusque cylin­<lb/>drum hunc, pro dicto cono ABC. </s></p> <figure id="fig176"></figure> <p type="main"> <s>Iam: cylindrus GE, ad conum ABC, sive ad <lb/>cylindrum eius vicarium, rationem habet com­<lb/>positam, ex ratione altitudinum HB ad LD, et ex ratione basium, <lb/>nempe circuli ED, ad circulum AC, sive quadrati BD ad DA; sive <lb/>rectae BD, ad duplam BH. cum enim BH sit semilatus rectum, erit <lb/>quadratum AD aequale rectangulo sub BD, et dupla BH, sive in sub­<lb/>triplis, rectae LD ad BI duas tert. ipsius BH. Est ergo cylindrus GE, <lb/>ad conum ABC, ut HB ad BI; nempe sesquialter. Quod concludit etiam <lb/>Archimedes de Conoide parabolico.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="188"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Pro Conoide hyperbolico.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde conoides hyperbolicum ABC, cuius latus versum BE; <lb/>sitque FB sesquialtera ipsius BE. Ostendit Archimedes prop. 27. de <lb/>Conoid. et sphaeroid. quod co­<lb/> <arrow.to.target n="fig177"></arrow.to.target><lb/>noides ABC, est ut FG ad GE. <lb/>Dico etiam solidum HMNOG ge­<lb/>nitum in Exemplo 14. ad co­<lb/>num ABC esse, ut FG, ad GE. </s></p> <figure id="fig177"></figure> <p type="main"> <s>Secentur in tres partes ae­<lb/>quales rectae BG, BN, NL, erit­<lb/>que conus ABC aequalis cy­<lb/>lindro cuidam, cuius basis sit <lb/>eadem AC, altitudo verò sub­<lb/>tripla, nempe GX. At solidum <lb/>HMNOG (cum nil aliud sit, nisi <lb/>cylindrus quidam cui deest co­<lb/>nus MNO) aequale erit cylindro <lb/>super eadem basi HG constituto, <lb/>cum altitudine verò BT. Consi­<lb/>derabimus igitur tàm solidum <lb/>HMNOG, quàm etiam conum ABC, tanquam si essent cylindri iam <lb/>dicti, eorumdem solidorum vicarij. </s></p> <p type="main"> <s>Iam: solidum HMNOG, ad conum ABC, rationem habet compositam <lb/>ex ratione altitudinum BT ad GX, et ex ratione basium, nempe cir­<lb/>culi HG, ad circulum AC; sive quadrati BG, ad quadratum AG; sive <lb/>rectae BG ad duplam ipsius GO (cum enim BN. sit semilatus rectus, <lb/>erit quadratum AG aequale rectangulo sub BG, et dupla ipsius GO.) <lb/>sive, sumptis subtriplis, ut GX, ad duas tertias ipsius GO, vel ad duas <lb/>tertias BL. Erit ergò solidum HMNOG ad conum ABC, ut BT ad TU. <lb/>Quod memento. </s></p> <p type="main"> <s>Recta BE ad EG, est ut BN ad GO, sive ut BN ad BL, sive (in <lb/>subsesquialteris) ut NU ad UT. Sumptis ergo antecedentium dimidijs, <lb/>erit FE ad EG, ut BU ad UT. et componendo, FG, ad GE, ut BT, ad <lb/>TU. Proptereà solidum HMNOG, ad conum ABC, (quod iàm ostendi­<lb/>mus esse ut BT ad TU) erit etiam ut FG ad GE. Quod prorsus de co­<lb/>noide concludit etiam Archimedes prop. 27. de Conoid. et sphaeroid.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="189"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Pro Segmento sphaeroidali, vel sphaerico.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto portio sphaeroidis sive sphaerae ABC, vel maior, vel minor; <lb/>ponaturque EF aequalis ipsi ED, nempe dimidio axis. Ostendit Archi­<lb/>medes prop. 31. et 33. De Conoid. et <lb/> <arrow.to.target n="fig178"></arrow.to.target><lb/>sphaer. portionem ABC, ad conum in­<lb/>scriptum ABC, esse ut FG ad GE. Dico <lb/>etiam solidum HMNOG, genitum in exem­<lb/>plo 14. ad eundem conum inscriptum ABC, <lb/>esse ut FG ad GE. Secentur in tres partes <lb/>aequales, rectae BG, BL, LN. eritque co­<lb/>nus ABC aequalis cylindro, cuius basis <lb/>eadem sit cum cono, nempe AC; altitudo <lb/>autem subtrip!a, nempe GX. Solidum verò <lb/>HMNOG, quia componitur ex cylindro <lb/>HMOG, et ex cono MNO, aequale erit cy­<lb/>lindro super eadem basi HG constituto, <lb/>cum altitudine BI. Considerabimus igitur <lb/>tam solidum HMNOG, quàm etiam conum <lb/>ABC, tanquam si essent cylindri iam dicti <lb/>eorundem solidorum vicarij. </s></p> <figure id="fig178"></figure> <p type="main"> <s>Iam: solidum HMNOG, ad conum ABC, rationem habet compositam <lb/>ex ratione altitudinum BI ad GX; et ex ratione basium, nempe cir­<lb/>culi HG ad AC, sive quadrati BG ad quadratum GA, sive rectae BG <lb/>ad duplam ipsius GO. (cum enim BN, sit semilatus rectum, erit qua­<lb/>dratum AG aequale rectangulo sub BG, et dupla GO) sive sumptis <lb/>subtriplis, ut GX ad duas tertias ipsius GO, vel ad duas tertias BL. <lb/>Ergo solidum HMNOG, ad conum ABC, erit ut IB ad BP. quod me­<lb/>mento. </s></p> <p type="main"> <s>Recta BG ad GE, est ut NO ad OE, sive ut NL ad LB. sive (in <lb/>subsesquialteris) ut TL ad LU; componendo autem BE ad EG, erit ut <lb/>TU ad UL; sumptisque ante<emph type="italics"/>c<emph.end type="italics"/>edentium dimidijs, erit FE ad EG, ut IP <lb/>ad UL, sive ad PB: Et componendo, FG ad GE, erit ut IB ad BP. Pro­<lb/>ptereà, solidum HMNOG, ad conum ABC, (quod iam ostendimus esse: <lb/>ut IB ad BP) erit etiam ut FG ad GE. Quod prorsus de portione sphae­<lb/>roidis concludit etiam Archimedes Prop. 31. et 33. de Conoid. et <lb/>Sphaeroid. </s></p> <p type="main"> <s>Plura adhuc exibere poteram exempla demonstrationum per Indivisi­<lb/>bilia curva procedentium, nisi superflua, immò etiam et molesta existi­<lb/>massem. Hoc unum admoneo lectorem, in magna parte praecedentium <lb/>Theorematum me facilitatis gratia fecisse casum Propositionis parti­<lb/>cularem, cum tamen facere potuissem universalissimum. Exempli causa. <lb/>Poteram (in figura primi exempli) supponere tangentem BC cuiuscun­<lb/>que longitudinis, et deinde ostendere ita esse circulum ad triangulum, <lb/>ut periphaeria ad tangentem: sed faciliorem conclusionem indicavi <pb pagenum="190"/>aequalitatem inferre, quàm proportionalitatem; presertim cum in so­<lb/>lido hyperbolico de aequalitate tantùm ratio habeatur. Si itaque co­<lb/>rollaria limitata plerumque demonstravi, vice Theorematum universa­<lb/>lium, scias datà operà factum esse.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Definitio.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si hyperbola circà asymptoton, tamquàm circà axem, <lb/>convertatur, solidum fiet (si secundum axem consideretur) <lb/>longitudine infinitum, quod quidem Acutum solidum hy­<lb/>perbolicum nominabimus. </s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE SOLIDO HYPERBOLICO ACUTO<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma Primum.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola cuius asymptoti sint AB, AC, angulum <lb/>rectum continentes; et revolutà figurà circà axem AB, <lb/>factum supponatur solidum acutum <lb/> <arrow.to.target n="fig179"></arrow.to.target><lb/>hyperbolicum infinitè longum versus <lb/>B; quemadmodum definitum est. In­<lb/>telligatur iàm intrà ipsum acutum <lb/>solidum, rectangulum aliquod per <lb/>axem AB ductum, puta DEFG. Dico <lb/>hoc rectangulum acquale esse qua­<lb/>drato semiaxis ipsius hyperbolae. </s></p> <figure id="fig179"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur ex A centro hyperbolae, <lb/>semiaxis AH, qui angulum BAC bi­<lb/>fariam secabit; fiatque rectangulum AIHC; quod omninò <lb/>quadratum erit (nam cum rectangula figura sit, angulus A <lb/>bifariam ab axe AG dividitur). Ergò quadratum rectae AH, <lb/>duplum erit quadrati AIHC, sive duplum rectanguli AF. <lb/>et ideò aequale rectangulo DEFG, Quod erat proposi­<lb/> <arrow.to.target n="marg266"></arrow.to.target><lb/>tum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg266"></margin.target>ob 12 se­<lb/>cundi Conic.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma II.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Omnes cylindri circà communem axem intrà solidum <lb/>acutum hyperbolicum descripti, isoperimetri sunt. intellige <pb pagenum="192"/>semper sine basibus. Esto acu­<lb/> <arrow.to.target n="fig180"></arrow.to.target><lb/>tum solidum, cuius axis AB, <lb/>et intra ipsum intelligantur de­<lb/>scripti circà communem axem <lb/>AB, quotlibet cylindri CDEF, <lb/>GHLI. Eruntque aequalia re­<lb/> <arrow.to.target n="marg267"></arrow.to.target><lb/>ctangula per axem CE, GL, <lb/>ergò aequales erunt etiam cur­<lb/>vae cylindrorum superficies. <lb/>Quod erat. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg267"></margin.target>12. secundi <lb/>Conic. 6. p. <lb/>de solid. <lb/>sphaer.</s></p> <figure id="fig180"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma III.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Omnes isoperimetri cylindri (cuiusmodi sunt illi, qui in <lb/>acuto solido hyperbolico describuntur) inter se sunt ut <lb/>diametri suarum basium. Quoniam enim, in praecedenti <lb/>figurà, aequalia sunt rectangula AE, AL; erit ut FE ad <lb/>IL, ita IA ad AF. Iam cylindrus CE ad cylindrum GL, <lb/>rationem habet compositam ex ratione quadrati FA ad <lb/>quadratum AI; et ex ratione rectae FE ad IL; sive ex <lb/>ratione rectae IA ad AF, vel quadrati IA ad rectangulum <lb/>IAF. Propterea cylindrus CE ad cylindrum GL, erit ut <lb/>quadratum FA ad rectangulum IAF; nempe ut rectà FA <lb/>ad AI. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma IV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum ABC, cu­<lb/> <arrow.to.target n="fig181"></arrow.to.target><lb/>ius axis DB, et centrum hyperbolae <lb/>sit punctum D. in quo scilicet <lb/>asymptoti conveniunt, axis autem <lb/>hyperbolae sit DF. Intelligatur ex <lb/>centro D, ad intervallum DF de­<lb/>scripta sphaera AEFC, quae ma­<lb/>xima erit omnium intra acutum so­<lb/>lidum descriptibilium ex centro D. <lb/>Sumptoque cylindro quocunque in­<lb/>trà acutum solidum descripto, puta GIHL. Dico cylindri GH <lb/>superficiem subquadruplam esse superficiei sphaerae AEFC. </s></p> <pb pagenum="193"/> <figure id="fig181"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim rectangulum GH per axem cylindri, aequale <lb/>sit quadrato DF, erit cylindrica superficies aequalis circulo <lb/> <arrow.to.target n="marg268"></arrow.to.target><lb/>qui fit ex radio DF nempe circulo AEFC: Propterea ea­<lb/>dem superficies cylindrica GIHL subquadrupla erit super­<lb/>ficiei sphaerae AEFC, cuius etiam circulus AEFC subqua­<lb/>druplus est. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg268"></margin.target>4: de sol <lb/>sphaer.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma V.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cuiuscunque cylindri GHIL intra solidum acutum de­<lb/>scripti (ut in praecedenti figura) superficies sine basibus <lb/>aequalis est circulo cuius semidiameter sit linea DF. nempe <lb/>semiaxis. sive semilatus versum ipsius hyperbolae. Hoc <lb/>enim in ipso progressu praecedentis lemmatis demonstra­<lb/>tum est. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>THEOREMA.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Solidum acutum hyperbolicum infinitè longum, sectum plano ad <lb/>axem erecto, unà cum cylindro suae basis, aequale est cylindro cuidam <lb/>recto, cuius basis sit latus versum, sive axis hyperbolae, altitudo verò <lb/>sit aequalis semidiametro basis ipsius acuti solidi. </s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola, cuius asymptoti AB, <lb/> <arrow.to.target n="fig182"></arrow.to.target><lb/>AC, angulum rectum contineant; sum­<lb/>ptoque in hyperbola quolibet puncto D, <lb/>ducatur DC aequidistans ipsi AB, et DP <lb/>aequidistans AC. Tum convertatur uni­<lb/>versa figura circa axem AB. ità ut fiat <lb/>solidum acutum hyperbolicum EBD, una <lb/>cum cylindro suae basis FEDC. Produ­<lb/>catur BA in H, ita ut AH. aequalis sit <lb/>integro axi, sive lateri verso hyperbolae. <lb/>Et circa diametrum AH intelligatur cir­<lb/>culus erectus ad asymptoton AC: et <lb/>super basi AH concipiatur cylindrus <lb/>rectus ACGH, cuius altitudo sit AC, <lb/>nempe semidiameter basis acuti solidi. <lb/>Dico solidum universum FEBDC, quan­<lb/>quam sine fine longum, aequale tamen esse cylindro ACGH. </s></p> <figure id="fig182"></figure> <p type="main"> <s>Accipiatur in recta AC quodlibet punctum I, et per I intelligatur <lb/>ducta superficies cylindrica ONLI in solido acuto compraehensa circa <lb/>axem AB: item circulus IM in cylindro ACGH aequidistans basi AH. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergo praedicta superficies cylindrica ONLI ad circulum IM, ut <pb pagenum="194"/>rectangulnm per axem OL, ad quadratum radij circuli IM; nempe ut <lb/>rectangulum OL, ad quadratum semiaxis hyperbolae; et ideo aequalis <lb/>ex lemmate. Et hoc semper verum erit, ubicunque sumatur punctum I. <lb/>Propterea omnes simul superficies cylindricae, hoc est ipsum solidum <lb/>acutum EBD, una cum cylindro basis FEDC, aequale erit omnibus cir­<lb/>culis simul, hoc est cylindro ACGH. Quod erat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Incredibile videri potest, cum solidum hoc infinitam longitudinem <lb/>habeat, nullam tamen ex illis superficiebus cylindricis quas nos consi­<lb/>deramus, infinitam longitudinem habere; sed unamquamque esse ter­<lb/>minatam; ut unicuique patebit, cui vel modicè familiaris sit doctrina <lb/>Conicorum. </s></p> <p type="main"> <s>Veritatem praecedentis Theorematis satis per se claram, et per <lb/>exempla ad initium libelli proposita confirmatam satis superque puto. <lb/>Tamen ut in hac parte satisfaciam lectori etiam Indivisibilium parùm <lb/>amico, iterabo hanc ipsam demostrationis in calce operis, per solitam <lb/>veterum Geometrarum viam demonstrandi, longiorem quidem, sed non <lb/>ideo mihi certiorem. </s></p> <p type="main"> <s>Interim, quia demonstrationes exhibebimus de illo tantùm acuto <lb/>solido, cuius hyperbolae genitricis asymptoti angulum rectum conti­<lb/>neant, dicamus hic obiter, omissà demonstratione, quibus figuris ae­<lb/>qualia sint acuta solida; quando asymptoton angulus obtusus fuerit, <lb/>vel acutus.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Demonstrationes, quas ad evitandam molem praeteri­<lb/>mus, sibi lector industrius facili negotio comparabit. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola cuius asymptoti AB, AC angulum obtusum conti­<lb/>neant; et revoluta figura circa axem AB fiat solidum acutum infinitè <lb/> <arrow.to.target n="fig183"></arrow.to.target><lb/>longum versus B. seceturque (ut in prima fig.) plano DE ad axem <lb/>erecto. Erit solidum acutum DBE aequale cylindro DILE, et cono IAL. <lb/>In secunda verò figura sit planum secans DE. erit solidum acutum <pb pagenum="195"/>universum quod imponitur super circulo DE sumpto etiam cono OAU, <lb/>aequale cylindro IE, et cono IAC simul sumptis. </s></p> <figure id="fig183"></figure> <p type="main"> <s>Quando verò angulus asymptoton acutus ponatur, et sit planum <lb/>secans CD in prima figura. Erit solidum acutum CHD una cum cono <lb/> <arrow.to.target n="fig184"></arrow.to.target><lb/>EAI aequale cylindro CEID. At in secunda figura erit universum soli­<lb/>dum acutum factum ex conversione quadrilinei mixti ABCDA sine fine <lb/>longi, duplum cylindri IEDC. </s></p> <figure id="fig184"></figure> <p type="main"> <s>Sequuntur iàm sub nomine Corollariorum Propositiones quadam ex <lb/>praecedenti Theoremate promanantes; quae quidem aliquot praeroga­<lb/>tivas huius acuti solidì hyperbolici fortasse non contemnendas demon­<lb/>strabunt.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium Primum.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Acuta solida hyperbolica EBD, NBL, quae in figura <lb/>pag. 193. extensionibus ED, NL ad axem erectis fiunt, una <lb/>cum cylindris suarum basium, inter se sunt ut diametri <lb/>earundem basium, nempe ut recta ED ad NL. </s></p> <p type="main"> <s>Nam resumpta praecedentis Theorematis figura, et con­<lb/>structione, erit solidum FEBDC, aequale cylindro ACGH. <lb/>et solidum ONBLI aequale cylindro AIMH, Ergo solidum <lb/>ad solidum erit ut cylindrus ad cylindrum, nempe ut CA ad <lb/>AI, sive sumptis duplis ut recta FC ad OI; sive ut ED <lb/>ad NL. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium II.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Acuta solida hyperbolica DBE, HBL, etiam sine cylin­<lb/>dris suarum basium sumpta, inter se sunt ut diametri <lb/>earumdem basium, nempe ut DE ad HL. Descriptis enim <pb pagenum="196"/>basium cylindris CDEF, GH <lb/> <arrow.to.target n="fig185"></arrow.to.target><lb/>LI, erit totum solidum CDB <lb/>EF, ad totum solidum GH <lb/>BLI ut CF ad GI. Sed abla­<lb/>tus cylindrus CE ad ablatum <lb/>cylindrum GL est ut CF ad <lb/>GI. Ergo reliquum etiam so­<lb/>lidum DBE, ad reliquum H <lb/>BL erit ut totum ad totum; <lb/>nempe ut CF ad GI. Hoc est ut DE ad HL. Quod etc. </s></p> <figure id="fig185"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium III.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum sectum planis AB, CD, EF, GP, <lb/>ità ut sectionum semidiametri sint ut numeri naturalitèr <lb/>ab unitate progredientes <lb/> <arrow.to.target n="fig186"></arrow.to.target><lb/>(quod facile fiet, si ac­<lb/>cepta ad libitum IL, ae­<lb/>quales ipsi IL secentur <lb/>LM, MN, NO, etc. ducti­<lb/>sque LG, ME, NC, etc. <lb/>ad axem parallelis, per <lb/>puncta G, et E, et C, etc. <lb/>agantur secantia plana). <lb/>Dico omnia frusta inter­<lb/>cepta aequalia esse tum inter se, tum etiam acuto so­<lb/>lido GUP. Patet hoc. Nam cum acuta solida sint ut <lb/>diametri basium; et in hoc casu diametri basium ponantur <lb/>ut numeri naturalitèr ab unitate progredientes, etiam acuta <lb/>solida GUP, EUF, CUD, etc, in eadem ratione Aritmetica <lb/>erunt. Ergo omnes excessus, nempe omnia frusta aequalia <lb/>erunt tam inter se, quàm etiam acuto solido GUP. ut erat <lb/>propositum etc. </s></p> <figure id="fig186"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Poterat etiam proponi hoc modo. Si fuerit solidum acutum sectum <lb/>plano GP ubicunque. Sumaturque HQ semissis axis HI. Deinde sumatur <lb/>QR tertia pars axis QI; iterumque accipiatur RT quarta pars axis RI: <lb/>Postea accipiatur quinta pars reliqui axis, et hoc semper; et per puncta <lb/>sectionum plana agantur; erunt eadem ut supra etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="197"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium IV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Acutum solidum hyperbolicum abscissum plano ad <lb/>axem erecto aequale est cylindro suae basis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum ABC abscis­<lb/> <arrow.to.target n="fig187"></arrow.to.target><lb/>sum plano AC ad axem erecto (hoc <lb/>enim modo intelligemus semper plana <lb/>secantia, quod oportet meminisse) <lb/>et supponatur solidum infinitè pro­<lb/>ductum ad partes B. Dico solidum <lb/>ABC, aequale esse cylindro suae <lb/>basis nempe DACE </s></p> <figure id="fig187"></figure> <p type="main"> <s>Fiat enim cylindrus FEIG ut in <lb/>Theoremate pag. 193. Eritque totum <lb/>solidum DABCE, ex demonstratis <lb/>aequale cylindro FI. Iam cylindrus <lb/>FI, ad cylindrum DC, rationem habet <lb/>compositam ex ratione quadrati HF ad FE et ex ratione <lb/>rectae FE ad EC; sive quadrati FE ad rectangulum FEC. <lb/>Cylindrus itaque FI ad cylindrum DC, est ut quadra­<lb/>tum FH ad rectangulum FC, nempe duplus. Propterea <lb/>solidum universum DABCE (cum aequale sit cylindro FI) <lb/>duplum erit cylindri DC. Et divisum, erit solidum acutum <lb/>ABC aequale suae basis cylindro DACE. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium V.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Maximum hemisphaerium FBE, <lb/> <arrow.to.target n="fig188"></arrow.to.target><lb/>intra solidum acutum inscriptibile <lb/>ex D centro hyperbolae, subsesquial­<lb/>terum est universi solidi FHACE <lb/>ipsum hemisphaerium ambientis. So­<lb/>lidum autem FHACE constat ex <lb/>acuto solido infinitè longo HAC, et <lb/>ex cylindro basis hemisphaerium tan­<lb/>gente FHCE. </s></p> <figure id="fig188"></figure> <p type="main"> <s>Facto enim cylindro IE ut in <lb/>theoremate pag. 193. erit hemisphae- <pb pagenum="198"/>rium FBE subsesquialterum cylindri IE; Cum eandem alti­<lb/>tudinem habeat, et basim eandem, nempe circulus cuius <lb/>radius est semiaxis DB. Subsesquialterum ergo erit ipsum <lb/>hemisphaerium etiam solidi FHACE, quod aequale demon­<lb/>stratum est cylindro IE. etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium VI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum cuius axis AB (in figura pag. 196.) <lb/>sectum ubicunque plano DE. Secetur verò et altero plano <lb/>HL, quod capiat portionem axis duplam. Dico frustum so­<lb/>lidum DHLE, à secantibus planis interceptum aequale esse <lb/>solido acuto HBL sibi superimposito. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim rectangula CE, GL sint aequalia, et latera <lb/>eorum reciproca, erit recta DE dupla ipsius HL, et ideo <lb/>solidum acutum DBE duplum erit acuti solidi HBL, et <lb/>dividendo, frustum DHLE aequale erit acuto solido HBL. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est, quod si acutum solidum secetur uti dictum est, <lb/>frustum interceptum DHLE (quod duas bases habebit) aequale semper <lb/>erit cylindro minoris basis GHLI. Subduplum verò cylindri maioris <lb/>basis CDEF.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium VII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum sectum à tribus planis AB, CD, <lb/>EF; secantibus axem so­<lb/> <arrow.to.target n="fig189"></arrow.to.target><lb/>lidi proportionaliter; hoc <lb/>est, sit ut GH ad GI, ita <lb/>GI ad GL. Dico frustum <lb/>ACDB ad frustum CEFD, <lb/>esse ut LI ad IH. nempe <lb/>in reciproca ratione alti­<lb/>tudinum. </s></p> <figure id="fig189"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim rectangula <lb/>GF, GD, GB. sint aequa­<lb/>lia, et latera eorum reciproca, erunt tres rectae HB, ID, LF, <pb pagenum="199"/>in eadem continua proportione in qua sunt GL, GI, GH. <lb/>Sed solida acuta AOB, COD, EOF, sunt ut basium semi­<lb/>diametri HB, ID, LF, sive ut QL, GI, GH, ergo excessus <lb/>solidorum inter se erunt ut excessus linearum. Nempe <lb/>frustum solidum ACDB, ad frustum CEFD erit ut LI ad <lb/>IH. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Ex demonstratis patet primò, quomodo datum frustum AEFB, se­<lb/> <arrow.to.target n="marg269"></arrow.to.target><lb/>cari possit plano CD, ita ut factae portiones inter se sint ut altitudi­<lb/>nes, reciprocè tamen sumptae. <lb/> <arrow.to.target n="fig190"></arrow.to.target><lb/>Quod quidem sit sumendo GI <lb/>mediam proportionalem inter <lb/>GL, GH. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg269"></margin.target>in fig. prae­<lb/>ced.</s></p> <figure id="fig190"></figure> <p type="main"> <s>Manifestum est quod si su­<lb/>matur quodlibet segmentum <lb/>axis, puta AB, et secetur bi­<lb/>fariam in C, deinde AC sece­<lb/>tur bifariam in D; reliquum <lb/>autem AD bisecetur in E; et <lb/>sic semper. Erunt frusta so­<lb/>lida intercepta à planis per <lb/>B, C, D, E, ductis, in continua <lb/>proportione in qua axes, sive axium differentiae. Eritque primum <lb/>et subtilissimum frustum FI aequale acuto solido sibi superimposito. <lb/>At secundum frustum duplum erit primi, tertium quadruplum primi, 4. <lb/>verò octuplum, quintum sedecuplum: et sic semper; quo magis ad cen­<lb/>trum A accedemus, maiora praecedentibus erunt frusta, et multiplicia <lb/>secundum numeros in proportione dupla progredientes ab unitate. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò sumatur quodlibet segmentum axis AE, cuius duplum po­<lb/>natur AD; et ipsius AD duplum secetur AC, et sic deinceps; eadem <lb/>evenient, ut supra dictum est. </s></p> <p type="main"> <s>Quaecunque autem diximus exemplo allato de ratione dupla, verum <lb/>etiam est de tripla, quadrupla, sesquialtera; et de quacunque alia <lb/>ratione.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium VIII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si solidum acutum sectum fuerit planis AB, CD, EF, <lb/>GH, etc. ita ut axis portiones à centro I incipientes, nempe <lb/>IL, LM, MN, NO, etc. aequales sint; erit primum frustum <lb/>AD, ad secundum CF ut 3. ad unum; secundum verò <pb pagenum="200"/>frustum ad tertium erit <lb/> <arrow.to.target n="fig191"></arrow.to.target><lb/>ut 4, ad 2; Tertium ad <lb/>quartum erit ut 5. ad 3. <lb/>quartum ad quintum ut <lb/>6. ad 4.; et sic semper <lb/>ut numeri binario diffe­<lb/>rentes; addita scilicet <lb/>semper unitate utrique <lb/>termino rationis. </s></p> <figure id="fig191"></figure> <p type="main"> <s>Nam solidum acutum <lb/>AUB ad solidum acutum CUD, est ut AL ad CM, nempe <lb/>ut MI ad IL, hoc est duplum. Et dividendo, erit frustum <lb/>AD aequale solido acuto CUD, sive ut 3. ad 3. Solidum <lb/>vero CUD ad solidum EUF est ut CM ad EN, sive ut NI <lb/>ad IM, nempe ut 3. ad 2. Et per conversionem rationis <lb/>erit solidum CUD ad frustum CF ut 3. ad unum. Ergo <lb/>ex aequo erit frustum AD ad frustum CF ut 3. ad unum. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem modo penitus ratio reliquorum frustorum con­<lb/>sequentium ostenditur esse talis qualis proposita est. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Patet in progressu demonstrationis primum frustum AD aequale <lb/>esse solido acuto sibi imposito CUD. At secundum frustum CF duplum <lb/>est solidi EUF sibi impositi; Tertium verò triplum; quartum quadru­<lb/>plum, et sic in infinitum.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium IX.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si solidum acutum à cylindricis superficiebus divisum <lb/>fuerit, erunt solida annularia inter cylindricas superficies <lb/>interceptas, inter se, ut sunt portiones asymptoti ab ipsis <lb/>cylindricis superficiebus abscissae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit hyperbola ABC et linea quotcunque AD, BE, CF. <lb/>parallelae asymptoto HI; et convertatur figura circà asym­<lb/>ptoton HI. Dico solidum descriptum à quadrilineo EBCF, <lb/>ad solidum descriptum à quadrilineo DABE, esse ut recta <lb/>FE ad ED. </s></p> <pb pagenum="201"/> <p type="main"> <s>Fiat enim cylindrus <lb/> <arrow.to.target n="fig192"></arrow.to.target><lb/>LF, ut in Theoremate <lb/>pag. 193. eritque solidum <lb/>NMICF aequale cylindro <lb/>LF. Et solidum POIBE, <lb/>aequale cylindro LE, abla­<lb/>tis ergo aequalibus, re­<lb/>manebit cylindrus SF <lb/>aequalis solido sibi re­<lb/>spondenti facto à quadri­<lb/>lineo EBCF. Pari ratione <lb/>cylindrus TE aequalis <lb/>ostendetur solido sibi re­<lb/>spondenti facto à qua­<lb/>drilineo DABE; erit igitur, ob aequalitatem, solidum qua­<lb/>drilinei EBCF, ad solidum quadrilinei DABE ut cylindrus <lb/>SF ad cylindrum TE, nempe ut recta FE ad ED. Quod etc. </s></p> <figure id="fig192"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium X.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Acuta solida ABC, DEF. super basibus aequalibus AC, <lb/>DF constituta, et à conversione inaequalium hyperbola­<lb/>rum descripta, sunt inter se in duplicata ratione axium <lb/>suarum hyperbolarum. </s></p> <p type="main"> <s>Intelligantur enim sub basibus solidorum cylindri HC, <lb/>LF, eritque solidum ABC aequale cylindro HC; et soli­<lb/> <arrow.to.target n="fig193"></arrow.to.target><lb/>dum DEF. aequale cylindro LF. Proptereà solidum ABC <lb/>ad solidum DEF, erit ut cylindrus HC ad cylindrum LF. <pb pagenum="202"/>sive (cum aequales bases habeant) ut altitudo HA ad al­<lb/>titudinem LD. sive ut rectangulum HC ad rectangulum <lb/>LF, hoc est, sumptis aequalibus, ut quadratum axis IN <lb/>ad quadratum axis MO. Quod etc. </s></p> <figure id="fig193"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Acuta solida ABC, DEF, facta ab inaequalibus hyper­<lb/>bolis, et secta planis AC, DF ita ut portiones axis LH, OI <lb/>aequales sint; erunt inter se ut bases, nempe ut circulus <lb/>AC ad circulum DF. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc autem patet. Nam solidum ABC aequale est cy­<lb/>lindro cuius basis sit AC altitudo verò LH. et solidum <lb/> <arrow.to.target n="fig194"></arrow.to.target><lb/>DEF aequale est cylindro cuius basis sit DF, altitudo <lb/>vero OI. Ergo solidum ABC ad solidum DEF erit ut <lb/>praedictus cylindrus ad dictum cylindrum, nempe (cum <lb/>aequales altitudines habeant) ut basis AC ad basim DF. <lb/>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig194"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Acuta solida quaecunque sint ABC, DEF; in p. fig. <lb/>huius pag. inter se sunt ut solida rectang. basi quadrato <lb/>axium hyperbolarum; altitudine verò diametro basium eo­<lb/>rundem solidorum. Hoc est, solidum ABC ad solidum DEF <lb/>erit ut solidum parallelepipedum basi quadrato axis MO, <lb/>altitudiue DF. </s></p> <pb pagenum="203"/> <p type="main"> <s>Factis enim DE more cylindris HC, LF; ratio cylindri <lb/>HC ad cylindrum LF componetur ex his tribus rationibus. <lb/>nempe ex ratione altitudinis HA ad LD. et ex ratione <lb/>basium, sive ex ratione rectae AC ad DF, iterumqne ex <lb/>ratione rectae AC ad DF. Ergo ratio cylindri HC ad LF, <lb/>componitur ex ratione rectanguli HAC ad rectangulum <lb/>LDF, sive quadrati IN. ad quadratum MO, et ex ratione <lb/>rectae AC ad rectam DF. Propterea etiam ratio solidi <lb/>acuti ABC ad solidum acutum DEF composita erit ex <lb/>ratione quadrati IN ad MO, et ex ratione rectae AC ad <lb/>rectam DF. Ergo patet propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XIII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Dato acuti solidi frusto quocumque ADCB, aequalem <lb/>ipsi cylindrum exibere super altera sui base quaecunque <lb/>sit. puta AB. Fiat ut recta AB ad DC ita EF ad FG. <lb/>Dico cylindrum HB cuius altitudo sit FG, basis verò AB <lb/>aequalem esse frusto AC. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur DK parallela ad EF. Eritque FO ad OE, ut <lb/>DE, sive KF ad FA. Propterea OF ad FE erit ut FK ad <lb/> <arrow.to.target n="fig195"></arrow.to.target><lb/>KA. Sed EF ad FG est ut AF ad FK, ergo per pertur­<lb/>batam erit OF ad FG ut FA ad AK. Quod memento. </s></p> <figure id="fig195"></figure> <p type="main"> <s>Iam acutum solidum AMB ad acutum solidum DMC <lb/>est ut AB recta ad DC, vel ut AF ad DE, hoc est ut AF <lb/>ad FK, Ergo erit solidum acutum AMB, sive cylindrus <lb/>LB ipsi aequalis, ad frustum ADCB ut FA ad AK, hoc <lb/>est OF ad FG, hoc est ut cylindrus LB ad cylindrum BH. <lb/>Constat igitur cylindrum LB eandem habere rationem et <pb pagenum="204"/>ad frustum ADCB, et ad cylindrum BH. Quare cylindrus <lb/>BH aequalis erit dato frusto acuti solidi, et super altera <lb/>eiusdem basi. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XIV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Circumscriptus cylindrus AEFB ad frustum acuti so­<lb/>lidi ADCB. est ut diameter AB ma­<lb/> <arrow.to.target n="fig196"></arrow.to.target><lb/>ioris basis ad diametrum DC minoris <lb/>basis. Fiat enim ut AB ad DC ita <lb/>GH ad HI, et erit cylindrus AMLB <lb/>aequalis frusto solido per Cor. prae­<lb/>cedens. Cylindrus autem AF ad cy­<lb/>lindrum AL, est ut GH ad HI; hoc <lb/>est ut AB ad DC. Quare cylindrus <lb/>circumscriptus AEFB etiam ad frustum AC erit ut recta <lb/>AB ad DC. Quod etc. </s></p> <figure id="fig196"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Frustum quodlibet acuti solidi ADCB ad inscriptum <lb/>sibi cylindrum EDCF est ut diameter basis maioris AB, <lb/>ad diametrum minoris basis DC. Fiat enim <lb/> <arrow.to.target n="fig197"></arrow.to.target><lb/> <arrow.to.target n="marg270"></arrow.to.target><lb/>ut AB ad DC, ita GH ad HI, eritque cy­<lb/>lindro AL aequalis frusto AC. Erit insuper <lb/>cylindrus AL isoperimeter cylindro EC, <lb/>quandoquidem latera eorum facta sunt re­<lb/> <arrow.to.target n="marg271"></arrow.to.target><lb/>ciproca, et ideo rectangula per axem ae­<lb/>qualia. Erit ergo (per lemma 3. huius) <lb/>cylindrus AL sive frustum ADCB, ad <lb/>cylindrum inscriptum EC ut diametri basium, sive ut <lb/>recta AB ad EF, hoc est ut AB ad DC. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg270"></margin.target>Corol. 23.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg271"></margin.target>6. p. de solid. <lb/>sphaeral.</s></p> <figure id="fig197"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XVI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Frustum quodlibet acuti solidi ADCB. medium propor­<lb/>tionale est inter inscriptum, et circumscriptum sibi cy­<lb/>lindrum. </s></p> <pb pagenum="205"/> <p type="main"> <s>Demonstratum enim est in duobus prae­<lb/> <arrow.to.target n="fig198"></arrow.to.target><lb/>cedentibus Coroll. quod circumscriptus cy­<lb/>lindrus AE ad frustum ADCB est ut recta <lb/>AB ad DC. Frustum verò ADCB ad in­<lb/>scriptum cylindrum est ut AB ad DC. Ergo <lb/>constat quòd frustum est medium propor­<lb/>tionale inter duos cylindros. Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig198"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XVII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Datum acutum solidum AEB in data ratione secare ut <lb/>F ad G. Fiat ut G ad F ita data HI ad IL. et per L <lb/>agatur planum CD. Eritque convertendo et componendo <lb/>F et G, simul ad G, ut LH ad HI, sive ut AB ad CD, <lb/>vel ut solidum AEB ad solidum CED; et dividendo patet <lb/>propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò basis acuti solidi sit <lb/> <arrow.to.target n="fig199"></arrow.to.target><lb/>CD, et oporteat illud secare iterum <lb/>inferius versus hyperbolae centrum <lb/>plano AB, ita ut frustum ACDB <lb/>ad reliquum solidum CED quamli­<lb/>bet datam rationem habeat ut F <lb/>ad G. Ita imperata exequemur. <lb/>Fiat ut F et G simul ad G, ita <lb/>data LH ad HI; et per I ducatur <lb/>planum AB. eritque ut F et G simul ad G, ita AB ad <lb/>CD; sive solidum AEB ad CED; et dividendo patet pro­<lb/>positum. Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig199"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XVIII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Dato solido acuto secto plano AB. frustum accipere <lb/>CABD versus N centrum hyperbolae, quod sit aequale <lb/>cuicunque dato cylindro GH molis etiam immensae. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut cylindrus AL ad cylindrum GH, ita recta NL <lb/>data ad rectam LF. et erecta FD ductoque plano DC. <lb/>Dico frustum CB aequale esse cylindro GH. </s></p> <p type="main"> <s>Nam cylindrus AL ad GH, est ut recta NL ad LF, et <lb/>convertendo, componendo, iterumque convertendo, erit cy- <pb pagenum="206"/>lindrus AL ad cylindros GH, <lb/> <arrow.to.target n="fig200"></arrow.to.target><lb/>ut LN ad NF, sive ut OB <lb/>ad MD; sive ut solidum <lb/>acutum AUB ad solidum acu­<lb/>tum CUD; sive ut cylindrus <lb/>AL ad solidum acutum CUD. <lb/>Aequales ergo sunt duo si­<lb/>mul cylindri AL et GH, acuto <lb/>solido CUD. Demptisque ae­<lb/>qualibus, nempe cylindro AL et solido acuto AUB, re­<lb/>manet cylindrus GH aequalis frusto CABD. Quod etc. </s></p> <figure id="fig200"></figure> <p type="main"> <s>Versus verticem verò limitatione opus est. Esto datum <lb/>solidum acutum sectum plano CD, debeatque sumi frustum <lb/>CABD versus verticem, aequale cylindro dato GH (dum­<lb/>modo cylindrus GH minor sit cylindro ECDF). </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut cylindrus ED ad GH, ita recta NF data, ad <lb/>FL et erecta LB, dico frustum CABD aequale esse cy­<lb/>lindri dato GH. </s></p> <p type="main"> <s>Nam recta FN ad NL, est ut DM ad BO, sive ut acu­<lb/>tum solidum CUD ad acutum AUB; et per conversionem <lb/>rationis NF ad FL, erit ut acutum solidum CUD sive ut <lb/>cylindrus ED ad frustum CABD. Sed ut NF ad FL, ita <lb/>est etiam cylindrus idem ED ad GH, aequantur ergo fru­<lb/>stum CABD et cylindrus GH. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Ex priori parte huius demonstrationis patet solidum hyperbolicum <lb/>versus infinitam planitiem EF magnitudine infinitum esse. potest enim <lb/>ex ipso sumi pars ipsius quae aequalis sit cuicunque magnitudini datae:<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XIX.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum sectum plano AB. Oportet illud <lb/>secare iterum alio plano PI, ita ut frustum APIB ad cy­<lb/>lindrum sibi circumscriptum, sit ut C ad D; dummodo <lb/>ratio C ad D, sit minoris inaequalitatis. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat, ut C ad D, ita data EF ad FG; et per G ducatur <lb/>planum HL. Eritque C ad D, ut EF ad FG, nempe (ob ae- <pb pagenum="207"/>qualia rectangula) ut IG ad <lb/> <arrow.to.target n="fig201"></arrow.to.target><lb/>BE hoc est ut frustum AI ad <lb/>cylindrum AL. Quod etc. </s></p> <figure id="fig201"></figure> <p type="main"> <s>Si verò datum planum se­<lb/>cans sit PI, et solidum secan­<lb/>dum sit inferius versus F ite­<lb/>rum eadem lege, ita procede­<lb/>mus. Fiat ut C ad D, ita <lb/>EF ad datam FG. et per E <lb/>ducatur planum AB. Eritque <lb/>frustum AI ad cylindrum AL, <lb/>ut GI ad EB, sive ut EF ad FG, hoc est ut C ad D. <lb/>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XX.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum sectum plano AB. oportet illud <lb/>iterum secare versus F. ita ut frustum inter sectiones <lb/>compraehensum, ad inscri­<lb/> <arrow.to.target n="fig202"></arrow.to.target><lb/>ptum sibi cylindrum quamli­<lb/>bet datam rationem maioris <lb/>inaequalitatis habeat, ut C <lb/>ad D. </s></p> <figure id="fig202"></figure> <p type="main"> <s>Fiat, ut C ad D, ita data <lb/>EF ad FG; ductoque per G <lb/>plano IH. Erit frustum IB ad <lb/>cylindrum inscriptum OB, ut <lb/>GH ad EB, sive ut EF ad FG, sive ut C ad D. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero planum secans datum sit IH, et secundum sit <lb/>solidum iterum eadem lege versus infinitam longitudinem. <lb/>fiat ut C ad D ita EF ad datam FG. Eritque frustum <lb/>IB ad cylindrum OB ut EF ad FG, nempe ut C ad D. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XXI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum acuti solidi ABCD ponaturque circulus <lb/>EF medius proportionalis inter bases AD, BC, et erigatur <lb/>cylindrus EG cuiuscunque altitudinis. Dico frustum AC <pb pagenum="208"/>ad cylindrum EG esse ut <lb/> <arrow.to.target n="fig203"></arrow.to.target><lb/>recta IL ad GF. </s></p> <figure id="fig203"></figure> <p type="main"> <s>Fiat enim ut recta AB ad <lb/>BC ita IL ad LO, et ad alti­<lb/>tudinem LO erigatur cylin­<lb/>drus AN, qui aequalis erit <lb/>frusto AC (per coroll. 13). <lb/>Iam cylindrus AN ad cylindrum EG, rationem habet com­<lb/>positam ex ratione basium, nempe quadrati AD ad EF; <lb/>hoc est ex ratione rectae AD ad BC; sive potius rectae IL <lb/>ad LO et ex ratione altitudinum, nempe LO ad FG. Ergo <lb/>cylindrus AN ad EG, erit ut recta IL ad FG; Propterea <lb/>etiam frustum AC ad cylindrum EG erit ut IL ad FG. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Ergo si altitudo FG fiat aequalis ipsi IL, erit cylindrus EG aequalis <lb/>frusto AC.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XXII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum acuti solidi ABCD, quod habeat alteram <lb/>ex suis basibus (quaecunque illa sit) puta AD, aequalem <lb/>basi EM cylindri EG. Dico fru­<lb/> <arrow.to.target n="fig204"></arrow.to.target><lb/>stum AC ad cylindrum EG esse <lb/>ut rectangulum sub diametro <lb/>inaequalis basis, et sub altitudine <lb/>frusti, ad rectangulum per axem <lb/>cylindri. Nempe ut rectangulum <lb/>BC. HI ad rectangulum EG. </s></p> <figure id="fig204"></figure> <p type="main"> <s>Fiat ut AD ad BC ita HI ad IO; erectoque cylindro <lb/>AL cum altitudine IO, erit frustum AC aequale cylin­<lb/>dro AL. Iam cylindrus AL ad EG, ob aequales bases, est <lb/>ut OI ad GM, Sed ratio rectae OI ad GM, componitur ex <lb/>ratione rectae OI ad IH, sive BC ad AD, hoc est BC ad <lb/>EM; et ex ratione HI ad GM. Ergo ratio OI ad GM erit <lb/>eadem quae est rectang. BC, HI, ad rectangulum sub EM, <lb/>MG. Propterea etiam cylindrus AL, sive frustum AC ad <lb/>cylindrum EG, erit ut rectangulum BC, HI ad rectangu­<lb/>lum EMG. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="209"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XXIII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si frustum acuti solidi ABCD et cylindrus EF aequa­<lb/>les altitudines habuerint. Erit frustum AC ad cylindrum <lb/>EF ut rectangulum sub BC, AD, ad quadratum EG. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut AD ad BC, ita LU <lb/> <arrow.to.target n="fig205"></arrow.to.target><lb/>ad UO. eritque frustum AC ae­<lb/>quale cylindro AI cuius altitudo <lb/>sit UO. Iam cylindrus AI ad cy­<lb/>lindrum EF, rationem habet com­<lb/>positam ex ratione altitudinum <lb/>UO ad GF; sive UO ad UL sive <lb/>BC ad AD; nempe ex ratione <lb/>rectang. BC, AD, ad quadratum AD. Et ex ratione ba­<lb/>sium; nempe quadrati AD ad EG. Ergo cylindrus AI, sive <lb/>frustum AC, ad cylindrum EF, erit ut rectang. sub BC, <lb/>AD, ad quadratum EG. Quod etc. </s></p> <figure id="fig205"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XXIV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Frustum acuti solidi ABCD, ad cylindrum quemlibet <lb/>EF. rationem habet compositam ex ratione rectanguli BC, <lb/>LI, ad rectangulum AD, GF; et ex ratione quadrati AD <lb/>ad quadratum EG. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut AD ad BC, ita <lb/> <arrow.to.target n="fig206"></arrow.to.target><lb/>LI ad IO; eritque cylindrus <lb/>AU, aequale frusto AC. Iam <lb/>recta IO ad rectam GF, est <lb/>ut rectangulum sub BC, LI <lb/>ad rectangulum sub AD, GF, <lb/>(nam ratio rectae IO ad GF, <lb/>componitur ex ratione IO <lb/>ad IL, sive BC ad AD; et ex ratione IL ad GF. Ergo <lb/>recta IO ad GF, est ut rectangulum BC, IL, ad rectan­<lb/>gulum AD, GF). Sed cylindrus AU ad cylindrum EF, ra­<lb/>tionem habet compositam ex ratione IO ad GF, nempe <lb/>ex ratione rectanguli BC, LI, ad rectangulum AD, GF, <lb/>et ex ratione quadrati AD ad EG. Propterea etiam fru- <pb pagenum="210"/>stum AC ad cylindrum EF rationem habebit compositam <lb/>ex ratione rectanguli BC, LI, ad rectangulum AD, GF; <lb/>et ex ratione quadrati AD ad EG. Quod etc. </s></p> <figure id="fig206"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Poterat etiam proponi sic. Frustum AC ad cylindrum EF, rationem <lb/>habet compositam ex ratione rectanguli AD, IL, ad rectangulum BC, <lb/>FG; et ex ratione quadrati BC ad EG.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XXV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sint duo frusta acutorum solidorum qualiacunque. Dico <lb/>frustum HBCE ad frustum DFGA, habere rationem com­<lb/>positam ex ratione rectangu­<lb/> <arrow.to.target n="fig207"></arrow.to.target><lb/>lorum basium, et ex ratione <lb/>altitudinum; nempe ex ra­<lb/>tione rectanguli BC, HE ad <lb/>rectangulum FGDA; et ex <lb/>ratione rectae IN ad ML. </s></p> <figure id="fig207"></figure> <p type="main"> <s>Fiat enim super basi DA <lb/>cylindrus DO cum altitudine <lb/>AO, quae sit aequalis ipsi NI. <lb/>Eritque (per Coroll. 23.) frustum HC ad cylindrum DO, <lb/>ut rectangulum BC, HE ad quadratum DA. Cylindrus <lb/>autem DO ad frustum DG est (per Coroll. 22.) ut rectan­<lb/>gulum DAO ad rectangulum FG, ML. Nempe ad illud, <lb/>rationem habet compositam ex ratione rectae DA ad FG, <lb/>sive ex ratione quadrati DA ad rectangulum DA, FG. Et <lb/>ex ratione rectae OA ad ML, sive IN ad ML. Ratio ita­<lb/>que frusti HE ad frustum DG componitur ex rationibus <lb/>rectanguli BC, HE, ad quadratum DA; et ex ratione qua­<lb/>drati DA ad rectangulum DA, FG; et ex ratione rectae <lb/>IN ad ML. Demptoque medio illo termino superffuo nempe <lb/>quadrato DA, Erit ratio frusti HC ad frustum DG com­<lb/>posita ex ratione rectanguli BC, HE, ad rectangulum DA, <lb/>FG; et ex ratione rectae IN ad ML. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="211"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XXVI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum solidi acuti ABCD sectum plano HL; <lb/>ducaturque BN parallela ad axem. Dico, totum frustum <lb/>ABCD ad partem HBCL, esse ut AN <lb/> <arrow.to.target n="fig208"></arrow.to.target><lb/>ad HI. </s></p> <figure id="fig208"></figure> <p type="main"> <s>Nam solidum acutum AGD ad so­<lb/>lidum BGC, est ut AF ad BE, sive <lb/>ut AF ad FN; et dividendo frustum <lb/>ABCD ad solidum acutum BGC erit <lb/>ut AN ad NF, sive ut AN ad IO. So­<lb/>lidum verò BGC ad frustum HC (si­<lb/>mili argumento) est ut OI ad IH. <lb/>Ergo ex aequo frustum AC, ad HC erit ut AN ad HI. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet quomodo datum frustum acuti solidi in data ratione <lb/>secari possit, quod tamen ad finem Corollariorum elegantiori proble­<lb/>mate exequemur.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XXVII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum solidi acuti ABCD, cuius axis MI. sitque <lb/>centrum hyperbolae punctum H. Secetur deinde frustum <lb/>AC plano quocunque EF ad axem erecto. Dico frustum AF, <lb/>ad frustum EC. esse ut rectangulum sub IL, HM, ad re­<lb/>ctangulum sub HI, LM. </s></p> <p type="main"> <s>Nam frustum AF ad frustum EC, <lb/> <arrow.to.target n="fig209"></arrow.to.target><lb/>rationem habet compositam ex ratione <lb/>frusti AF ad acutum solidum EGF; <lb/>et ex ratione solidi longi EGF ad fru­<lb/>stum EC. Sed quia solidum acutum <lb/>AGD ad acutum solidum EGF est ut <lb/>recta AI ad EL; sive ut recta LH ad <lb/>HI, erit dividendo frustum AF ad so­<lb/>lidum EGF ut LI ad IH. Amplius: <lb/>Solidum EGF ad solidum BGC. est <lb/>ut EL ad BM, sive ut MH ad HL; et per conversionem <pb pagenum="212"/>rationis, erit solidum EGF ad frustum EC, ut HM ad ML. <lb/>Patet ergò quòd ratio frusti AF ad frustum EC, compo­<lb/>nitur ex ratione LI ad IH, et ex ratione HM ad ML. <lb/>Proptereà frustum AF ad EC erit ut rectangulum sub LI, <lb/>HM, ad rectangulum sub IH, LM. Quod etc. </s></p> <figure id="fig209"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Ideò si fiat, ut MH ad HI, ita ML ad LI. Bifariam secabitur fru­<lb/>stum AC à plano per punctum L ducto. Aequalia enim erunt ipsa <lb/>rectangula.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XXVIII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si axis frusti ABCD bifariam se­<lb/> <arrow.to.target n="fig210"></arrow.to.target><lb/>cetur à plano EF. Erunt portiones <lb/>inter se, nempe AF. ad EC ut recta <lb/>AD ad BC. scilicet ut diametri ba­<lb/>sium remotarum. </s></p> <figure id="fig210"></figure> <p type="main"> <s>Frustum enim AF ad EC, est ut <lb/>rectangulum sub HG, OI ad rectan­<lb/>gulum sub HO, IG. per praeced: Sed <lb/>OI, et IG altitudines rectangulorum <lb/>sunt aequales, Ergò frustum AF ad EC, erit ut GH ad <lb/>HO, sive ut AD ad BC. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/> <arrow.to.target n="fig211"></arrow.to.target><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <figure id="fig211"></figure> <p type="main"> <s>Hinc patet; quod si in solido longo hyper­<lb/>bolico quotcunque sumantur axis portiones <lb/>deinceps aequales A, B, C, D, E. ubicunque fiat <lb/>initium. Erit frustum FG ad GH ut recta FA <lb/>ad HC. Frustum verò GH ad HI erit ut MB ad <lb/>ND. Et frustum HI ad IL ut HC, ad LE, et <lb/>sic in infinitum.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium XXIX.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Datum acuti solidi frustum ABCD in data ratione se­<lb/>care; puta ut E ad F. </s></p> <pb pagenum="213"/> <p type="main"> <s>Fiat, ut recta AD ad <lb/> <arrow.to.target n="fig212"></arrow.to.target><lb/>BC, ita E ad aliam quae <lb/>sit G. Deinde fiat, ut G <lb/>ad F, ità HI ad IL, et <lb/>per I ducatur planum MN. </s></p> <figure id="fig212"></figure> <p type="main"> <s>Iam frustum AN ad <lb/>MC est ut rectangulum <lb/>LO, IH, ad rectangulum <lb/>LI, OH. Ergo ratio frusti <lb/>AN ad MC componitur ex ratione laterum LO ad OH, <lb/>sive AD ad BC, sive E ad G. Et ex ratione laterum HI <lb/>ad IL. sive G ad F. Ergò ratio frusti AN ad MC. com­<lb/>ponitur ex ratione E ad G, et G ad F. Proptereà erit AN <lb/>frustum ad MC ut E ad F. Quod etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Iam ista sufficiat demonstravisse, ex plurimis Theorematibus, quae <lb/>ex faecundissimo hoc solido derivari poterant. Interim ad promissam <lb/>demonstrationem accedamus, quam tamen praeterire poterit quicunque <lb/>iam allatà contentus fuerit.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb pagenum="214"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE DIMENSIONE <lb/>ACUTI SOLIDI HYPERBOLICI<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>IUXTÀ METHODUM ANTIQUORUM.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Superest nunc ut Theorema illud, quod post Lemma quintum osten­<lb/>dimus per methodum, et doctrinam Indivisibilium, demonstremus ite­<lb/>rùm more Antiquorum, et praecipuè Archimedis. Impossibile enim quo­<lb/>dammodo videtur, infinitam longitudine figuram sub solita figurarum <lb/>inscriptione, et circumscriptione posse compraehendi. Tamen id non <lb/>solum à nobis factum est, verum etiam à Clarissimo viro, et Geometra <lb/>praestantissimo Robervallio, qui nostrum solidum hyperbolicum in­<lb/>ventis arduis, sublimibus, acutissimis, et ut brevitèr dicam suis, men­<lb/>suravit, eiusque frustum in data ratione dissecuit. Abstineo ab illius <lb/>demonstrationis editione invitus. Comparvit enim eius epistola eius <lb/>prorsus tempore, quo iam haec praelis subijcerentur, neque de volun­<lb/>tate Authoris satis constabat, neque iam per tempus licebat expectare, <lb/>donec illius beneplacitum ex Gallia Parisijsque significaretnr. </s></p> <p type="main"> <s>Veniamus itaque ad lemmata opportuna, quorum primum sit.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma Primum.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Differentia, quae est inter duos circulos, ad circulum <lb/>quemlibet tertium; est ut rectangulum compraehensum <lb/>sub differentia, et aggregato semidiametrorum eorundem <lb/>circulorum, ad quadratum semidiametri tertij illius circuli. </s></p> <p type="main"> <s>Vocetur autem talis differentia <lb/> <arrow.to.target n="fig213"></arrow.to.target><lb/>duorum circulorum, quando con­<lb/>centrici fuerint Armilla. </s></p> <figure id="fig213"></figure> <p type="main"> <s>Esto Armilla, sive differentia <lb/>duorum circulorum concentrico­<lb/>rum, ille cuius latitudo AB, cen­<lb/>trum verò C. Dico armillam AB, ad circulum quemlibet <lb/>DF; esse ut rectangulum ABE ad quadratum semidia­<lb/>metri DF. <lb/> <arrow.to.target n="marg272"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg272"></margin.target>per. 2. duo­<lb/>decimi. ex 5. <lb/>secundi.</s></p> <p type="main"> <s>Nam circulus ex radio AC, ad circulum ex radio CB, <lb/>est ut quadratum AC, ad quadratum CB; et dividendo <lb/>Armilla AB, ad circulum ex radio CB; erit ut rectangulum <lb/>ABE, ad quadratum CB. Circulus verò ex radio CB, ad <pb pagenum="215"/>circulum ex radio DF, est ut quadratum CB, ad quadra­<lb/>tum DF. Ergò, ex aequò, erit Armilla AB, ad circulum DF, <lb/>ut rectangulum ABE, ad quadratum DF. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma II.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ex cylindro recto AB, ablatus fuerit cylindrus CD, <lb/>circa communem axem IE constitutus; reliquum solidum <lb/>excavatum quod remanet, aequale <lb/> <arrow.to.target n="fig214"></arrow.to.target><lb/>erit cylindro cuidam recto FG, <lb/>cuius quidem basis FH aequalis <lb/>sit Armillae, quae circa centrum <lb/>E latitudinem habet AC; altitudò <lb/>verò LM aequalis sit altitudini EI. </s></p> <figure id="fig214"></figure> <p type="main"> <s>Vocetur autem talem solidum <lb/>excavatum, tubus cylindricus. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam tres cylindri AB, CD, FG, aequealti sunt; erit <lb/>cylindrus AB ad CD, ut circulus AO ad circulum CU. et <lb/>dividendo erit tubus cylindricus ad cylindrum CD, ut ar­<lb/>milla AC ad circulum CU; sed cylindrus CD ad cylindrum <lb/>FG, est ut circulus CU ad circulum FH. </s></p> <p type="main"> <s>Ergo ex aequo erit tubus cylindricus AB ad cylindrum <lb/>FG, ut armilla AC ad circulum FH. Sed armilla AC cir­<lb/>culo FH supponitur aequalis; ergò et tubus cylindricus AB, <lb/>aequalis erit cylindro FG. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma III.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Quilibet cylindrus rectus AB, ad quemlibet tubum cy­<lb/>lindricum rectum CD, rationem habet compositam ex ra­<lb/> <arrow.to.target n="fig215"></arrow.to.target><lb/>tione altitudinum, nempe EB ad FD, et ex ratione basium, <lb/>nempe ex ratione quadrati AH, ad rectangulum CIF. (de­</s></p> <figure id="fig215"></figure> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg273"></arrow.to.target> <pb pagenum="216"/>monstratum enim est ita esse circulum AE ad armillam <lb/>CI, ut quadratum AH ad rectangulum CIF). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg273"></margin.target>Lem. I.</s></p> <p type="main"> <s>Ponatur cylindrus LM, cuius altitudo NM sit aequalis <lb/>altitudini FD; basis verò LN, aequalis sit armillae CI; Et <lb/>erit, per praecedens lemma, tubus cylindricus CD aequalis <lb/>cylindro LM. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cylindrus AB, ad tubum CD eandem habebit ra­<lb/>tionem quam habet ad cylindrum LM; nempe compositam <lb/>ex ratione altitudinis EB ad NM, sive ad FD; et ex ra­<lb/>tione basium, hoc est circuli AE ad circulum LN; sive <lb/>quadrati AH ad quadratum LO, vel quadrati AH ad rectan­<lb/>gulum CIF. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma IV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola cuius asymptoti sint AB, BC, angulum <lb/>rectum compraehendentes; sitque hyperbolae semiaxis BD. <lb/>(semiaxem appello, quia B punctum in <lb/> <arrow.to.target n="fig216"></arrow.to.target><lb/>quo asymptoti concurrunt, centrum <lb/>hyperbolae est). Dico quadratum <lb/>rectae BD, duplum esse cuiuscunque <lb/>rectanguli AE, inter asymptotos, et <lb/>hyperbolam ipsam compraehensi. </s></p> <figure id="fig216"></figure> <p type="main"> <s>Ducantur DC, DI asymptoti ae­<lb/>quidistantes; eritque figura BIDC, <lb/>quadratum; cum anguli ad B semirecti sint; sed ad C et <lb/>ad I recti. Ideo quadratum lineae BD, duplum erit qua­<lb/> <arrow.to.target n="marg274"></arrow.to.target><lb/>drati BIDC; sive rectanguli AE inter asymptotos, et hy­<lb/>perbolam ipsam compraehensi. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg274"></margin.target>ex. 12. sex. <lb/>Con.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma V.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola AB, cuius asymptoti angulum rectum <lb/>continentes sint CD, DE; sumptisque duobus punctis A, B, <lb/>utcumque in hyperbola, ducantur duae rectae BE, AI, <lb/>asymptoto CD. aequidistantes. et AN, BM, alteri asym­<lb/>ptoto DE parallelae, quae concurrant in L. Tum conver­<lb/>tatur universa figura circa axem CD. </s></p> <pb pagenum="217"/> <p type="main"> <s>Dico cylindrum quendam IEPO (cuius quidem basis IO <lb/>habeat semidiametrum IL aequalem semiaxi hyperbolae; <lb/> <arrow.to.target n="fig217"></arrow.to.target><lb/>altitudo verò sit intercepta IE). Maiorem esse tubo illo <lb/>cylindrico, qui fit ex conversione rectanguli IB circa axem <lb/>CD; Minorem verò tubo illo qui fit ex conversione rectan­<lb/>guli IL, circa eundem axem revoluti. </s></p> <figure id="fig217"></figure> <p type="main"> <s>In primis; quia IT est aequalis semiaxi hyperbolae, <lb/> <arrow.to.target n="marg275"></arrow.to.target><lb/>erit quadratum IT duplum rectanguli DB, sive aequale <lb/>rectangulo UB. Iam: cylindrus OE, ad tubum qui fit ex <lb/>rectangulo IB (intellige semper circa axem CD) rationem <lb/> <arrow.to.target n="marg276"></arrow.to.target><lb/>habet compositam ex ratione basium; nempe ex ratione <lb/>quadrati IT, sive rectanguli UB ad rectangulum UIE. Hoc <lb/>est (abiectis rectangulis) ex ratione lateris UE ad EI: et <lb/>ex ratione lateris EB ad IU. Et insuper ex ratione altitu­<lb/>dinum; nempe rectae EI ad EB. Ergo ratio cylindri OE <lb/>ad tubum IB, componitur ex praedictis tribus rationibus; <lb/>scilicet ex ratione rectae UE ad EI: et ex ratione EI ad <lb/>EB; et ex ratione EB ad IU. propterea cylindrus OE, <lb/>ad tubum IB, erit ut primus terminus ad ultimum; nempe <lb/>ut recta UE ad IU; hoc est minor. Quod erat ostenden­<lb/>dum primò. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg275"></margin.target>Lem. <lb/>praecedens.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg276"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Ratio verò cylindri OE, ad tubum, qui fit ex rectan­<lb/>gulo IL, componitur ex ratione basium, scilicet ex ratione <lb/>quadrati IT, vel rectanguli IN, ad rectangulum UIE; hoc <lb/>est (abiectis rectangulis) ex ratione lateris FI, ad IE; et <pb pagenum="218"/>ex ratione reliqui lateris AI, ad IU. Et insuper ex ratione <lb/>altitudinum, nempe IE ad AI. Ergò ratio cylindri OE, ad <lb/>tubum IL, componitur ex his tribus praedictis rationibus; <lb/>nempe ex ratione FI ad IE; et IE ad AI; et AI ad IU. <lb/>Propterea cylindrus OE ad tubum IL, erit ut primus ter­<lb/>minus FI ad ultimum IU. et ideo minor. Quod erat osten­<lb/>dendum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma VI.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola cuius asymptoti CD, DE angulum re­<lb/>ctum compraehendant, sumptisque in hyperbola utcumque <lb/>duobus punctis A et B; ducantur AI, BE asymptoto CD <lb/>parallelae. </s></p> <p type="main"> <s>Dico solidum illud an­<lb/> <arrow.to.target n="fig218"></arrow.to.target><lb/>nulare quod describitur ex <lb/>conversione quadrilinei mixti <lb/>IABE, circa axem CD revo­<lb/>luti, aequale esse cuidam <lb/>cylindro recto IEPO. Debet <lb/>autem huius cylindri alti­<lb/>tudo esse IE; diameter verò <lb/>basis IO, debet esse aequalis <lb/>integro axi ipsius hyper­<lb/>bolae. </s></p> <figure id="fig218"></figure> <p type="main"> <s>Sit enim (si possibile est) <lb/>solidum illum annulare fa­<lb/>ctum ex quadrilineo IABE, <lb/>circa axem CD revoluto, minus cylindro OE: et ponatur <lb/>defectus aequalis cuidam solido K. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur BL bifariam in F. deinde reliqua FL secetur <lb/>bifariam in G; Et hoc fiat semper donec tubus aliquis <lb/>cylindricus, qui describitur ex revolutione rectanguli ALG, <lb/>minor sit solido K. Tum enim sectà totà BL, in partes <lb/>aequales ultimae GL, ducantur à singulis punctis divisio­<lb/>num, rectae GH, FN, YR, aequidistantes ipsi DE. Ex <lb/>punctis verò M, N, R, in quibus praedictae parallelae hy­<lb/>perbolam secant, demittantur rectae, sive potius plana <lb/>MS, NT, RU. ad asymptoton DE erecta. Denique ex con- <pb pagenum="219"/>versione singulorum rectangulorum aequalium, quorum <lb/>unum est AG, totidem tubi cylindrici describantur circa <lb/>axem CD. </s></p> <p type="main"> <s>Iam: tubus qui fit à rectangulo RB (intellige semper <lb/>circa axem CD) ob aequalem altitudinem, eandemque ha­<lb/>sim, aequalis erit tubo RF. additoque communi tubo RN, <lb/>erunt duo tubi BR, RN simul sumpti aequales tubo NY, <lb/>sive tubo NG. Additoque communi NM, erunt tres tubi <lb/>BRNM. aequales tubo MF, sive ML; et addito communi <lb/>ultimo MA, erunt omnes tubi simul BRNMA, aequales <lb/>tubo AG, nempe minores solido K. ob constructionem. </s></p> <p type="main"> <s>Propterea universa figura constans ex tubis ER, &N, <lb/>ZM, XA, circumscripta solido annulari facto à quadrilineo <lb/>IABE, minus addit. supra ipsum solidum annulare, quàm <lb/>sit solidum K. Ergo ipsa figura circumscripta adhuc minor <lb/>erit cylindro OE. Quod est absurdum. Nam tubus AX. <lb/>superat cylindrum XO: Tubus item MZ superat cylindrum <lb/> <arrow.to.target n="marg277"></arrow.to.target><lb/>ZS. et sic de reliquis per lemma 5. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg277"></margin.target>Lem. 5.</s></p> <p type="main"> <s>Ponatur deinde (si possibile est) solidum annulare ge­<lb/>nitum ex quadrilineo IABE, maius esse cylindro OE. po­<lb/>naturque excessus aequalis solido cuidam K. </s></p> <p type="main"> <s>Peragatur similis constructio, ut supra; ita ut omnes <lb/>tubi cylindrici BRNMA, minores iterum ostendantur so­<lb/>lido K. Tunc enim figura inscripta in solido annulari prae­<lb/>dicto constans ex tubis &B, ZR, XN, IM, minus deficiet <lb/>ab ipso solido annulari, quà sit solidum K. Propterea <lb/>eadem inscripta figura adhuc maior erit cylind. OE. Quod <lb/>est absurdum. Nam tubus XH minor est cylindro XO; et <lb/> <arrow.to.target n="marg278"></arrow.to.target><lb/>tubus XN, minor est cylindro XT. Et sic de reliquis. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg278"></margin.target>Lem. 5.</s></p> <p type="main"> <s>Patet ergo, quòd solidum annulare genitum ex conver­<lb/>sione quadrilinei IABE, circa axem CD, aequales est cy­<lb/>lindro OE. Siquidem ostensum est, neque minus neqne <lb/>maius esse posse. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma VII.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola, cuius asymptoti angulum rectum con­<lb/>tinentes, sint AB, BC; et convertatur figura circa axem <lb/>AB, ita ut fiat solidum hyperbolicum, cuius infinita sit <pb pagenum="220"/>longitudo versus partes A. Secto <lb/> <arrow.to.target n="fig219"></arrow.to.target><lb/>deinde huiusmodi solido, plano DE <lb/>ad axem erecto, super basi DE <lb/>concipiatur cylindrus DFGE, ha­<lb/>bens altitudinem DF. Intelligatur­<lb/>que alius cylindrus BGLI, cuius <lb/>altitudo sit BG, basis verò semi­<lb/>diameter BO ponatur aequalis se­<lb/>miaxi hyperbolae. Dico cylindrum <lb/>BL duplum esse cylindri FE. </s></p> <figure id="fig219"></figure> <p type="main"> <s>Nam cylindrus BL ad cylin­<lb/>drum FE, rationem habet com­<lb/>positam ex ratione basium, nempe <lb/>ex ratione quadrati OB ad BG; et ex ratione altitudinum, <lb/>nempe ex ratione rectae BG ad GE, sive quadrati BG ad <lb/>rectangulum BGE. Ergò cylindrus BL, ad cylindrum FE, <lb/>est ut quadratum OB, ad rectangulum BE. Nempe duplum. <lb/>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>THEOREMA.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola, cuius asymptoti angulum rectum continentes sunt <lb/>AB, AC. Et sumpto in hyperbola quolibet puncto D, ducatur DC pa­<lb/>rallela ad BA. Tum conver­<lb/> <arrow.to.target n="fig220"></arrow.to.target><lb/>tatur figura circa axem AB; <lb/>ita ut fiat solidum acutum <lb/>hyperbolicum infinitae lon­<lb/>gitudinis versus partes B, <lb/>(intellige semper punctum B <lb/>in infinitam distantiam esse <lb/>remotum). Constabitque prae­<lb/>dictum solidum hyperboli­<lb/>cum ex duobus solidis, nem­<lb/>pe ex cylindro recto FEDC, <lb/>et ex solido acuto EBD, cu­<lb/>ius quidem basis erit circulus <lb/>ED, altitudo verò sine fine. </s></p> <figure id="fig220"></figure> <p type="main"> <s>Dico universum huiusmodi <lb/>solidum FEBD aequale esse cylindro cuidam recto ACIH. cuius altitudo <lb/>sit AC (nempe semidiameter basis acuti solidi) diameter verò basis <lb/>AH. aequalis sit integro axi hyperbolae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit enim (si possibile est) solidum hyperbolicum FEBDC minus cy­<lb/>li ndro AI. Ponaturque ex cylindro AI cylindrus aliquis NCIL, qui ae- <pb pagenum="221"/>qualis sit solido hyperbolico; et producatur LNM donec hyperbolae <lb/>occurrat in M. (occurret enim cum asymptoto AB supponatur parallela). </s></p> <p type="main"> <s>Iam cylindrus NI, aequalis erit solido annulari, quod describitur à <lb/> <arrow.to.target n="marg279"></arrow.to.target><lb/>revolutione quadrilinei mixti NMDC; et propterea minus omninò erit <lb/>solido integro hyperbolico FEBDC. Non ergo eidem est aequalis. Quod <lb/>est contra suppositum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg279"></margin.target>Lem. 6.</s></p> <p type="main"> <s>Ponatur deinde (si possibile est) solidum hyperbolicum FEBDC <lb/>maius cylindro AI. Quoniam igitur solidum hyperbolicum FEBDC. (sive <lb/>finitae magnitudinis sit, sive infinitae) maius supponitur quàm cylin­<lb/>drus AI. Erit aliquod ipsius segmentum, puta FEOMDC, aequale cy­<lb/> <arrow.to.target n="marg280"></arrow.to.target><lb/>lindro AI. Quod est absurdum. Nam solidum annulare factum à revo­<lb/>lutione quadrilinei NMDC, aequale est cylindro NI; Cylindrus autem <lb/>ON subduplus est cylindri NH. Ergò tota portio solidi hyperbolici <lb/> <arrow.to.target n="marg281"></arrow.to.target><lb/>FEOMDC, minor erit cylindro AI. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg280"></margin.target>Lem. 6.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg281"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="main"> <s>Patet ergo, quod universum solidum acutum hyperbolicum FEBDC, <lb/>quanquam infinitae longitudinis sit, aequale tamen est praedicto cy­<lb/>lindro AI. Quandoquidem neqne minus neque maius esse potest. Quod <lb/>erat ostendendum etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>APPENDIX <lb/>DE DIMENSIONE COCHLEAE<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Cum adhuc à nomine, quod ego sciam, Geometrica consideratione <lb/>examinatum sit solidum vulgatum, et antiquissimum, meoque judicio <lb/>aliqua animadversione non indignum (Cochleam intelligo), non abs re <lb/>fore iudicavi illud brevi contemplatione prosequi. </s></p> <p type="main"> <s>Non enim aliena erit à praecedenti libello praesens speculatio, quae <lb/>per Indivisibilia curva, superficiesque cylindricas procedit, Neque ingra­<lb/>tum Geometris opus futurum existimo, si demonstravero cui figurae <lb/>notae iam dimensionis, aequale sit solidum quiddam neque rectum, <lb/>neque rotundum, sed spirali revolutione contortum, quale nullum adhuc <lb/>inter mensuratas figuras possidet Geometria. Praemissa itaque defini­<lb/>tione veniamus ad lemmata, qua fieri poterit brevitate, expedienda.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Definitio.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si eodem tempore moveantur duae planae figu­<lb/> <arrow.to.target n="fig221"></arrow.to.target><lb/>rae, quae semper in eodem plano consistant, nempe <lb/>rectangulum ABCD. circa axem AB motu circulari <lb/>aequabili, et figura quaecunque DE motu progres­<lb/>sivo super latere DC. Solidum quod à figura geni­<lb/>trice DE describitur, Cochleam appello.<gap desc="/SM"/></s></p> <figure id="fig221"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma Primum.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum quodlibet rotundum ACBG; cuius axis <lb/>sit AB, figura genitrix ABC; sectusque sit plano DFE <lb/>aequidistantèr axi, et ad figuram genitricem erecto, quod <pb pagenum="224"/>quidem faciat in superficie solidi rotundi <lb/> <arrow.to.target n="fig222"></arrow.to.target><lb/>semisectionem lineam DFE. Dico solidum <lb/>illud rotundum quod oritur ex revolutione <lb/>figurae DFE, circa axem DE, aequari so­<lb/>lido quod describitur à figura DCE circa <lb/>axem AB revoluta. </s></p> <figure id="fig222"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur enim solidum rotundum <lb/>secari alio plano per CEG ducto, et ad <lb/>axem AB erecto, eruntque puncta CFG in semicirculi pe­<lb/>riphaeria cuius diameter est CG; et ideò quadratum IF <lb/>aequale erit rectangulo CIG, et propterea (per lemma pri­<lb/>mum praecedentis demonstrationis) circulus cuius radius <lb/>IF, aequalis armillae quam recta CI describit circa axem <lb/>AB. Et hoc semper verum erit ubicunque sit planum se­<lb/>cans CFG. Ergo omnes simul circuli, nempe solidum rotun­<lb/>dum factum à revolutione figurae DFE circa axem DE, <lb/>aequales erunt omnibus armillis simul sumptis, hoc est <lb/>solido facto à figura DCE, revoluta circa axem AB. Quod <lb/>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma II.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus ABCD, et ex recta ED tamquam <lb/>termino duae rectae lineae in superficie cylindrica aequales <lb/>ipsi ED moveantur: quarum altera <lb/> <arrow.to.target n="fig223"></arrow.to.target><lb/>puro circulari motu Zonam EFAD <lb/>describat, altera vero quocunque motu <lb/>Zonam EH GOD designans, moveatur <lb/>donec ambae ad unum, idemque latus <lb/>cylindri puta AB pervenerint, Dico <lb/>huiusmodi zonas, sive zonarum portio­<lb/>nes inter se esse aequales. </s></p> <figure id="fig223"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur enim trigonus cylin­<lb/>dricus superior HFE transferri, et supra inferiorem GAD <lb/>collocari, ita ut periphaeria FE ipsi AD superponatur, <lb/>quae necessariò congruent, cum sint arcus aequalium cir­<lb/>culorum et rectae sive chordae FE, AD (si ducantur) ae­<lb/>quales sint per Propositionem 33. Primi Elementorum <lb/>Euclidis. </s></p> <pb pagenum="225"/> <p type="main"> <s>Ipsa etiam recta FH congruet cum recta sibi aequali <lb/>AG, aliàs duae rectae se intersecarent in superficie cylin­<lb/>drica, quod esse non potest. Ipsa tandem curva HNE, qua­<lb/>liscunque sit, congruet cum curva GOD. Nisi enim con­<lb/>gruat; esto; et sit GMD translata curva HNE, quae non <lb/>congruit cum GOD. Ductàque IN in superficie cylindri, <lb/>erit MI inaequalis ipsi IO; ergo etiam NL, cum aequalis <lb/>sit MI, erit inaequalis ipsi IO; ergo etiam NL, cum ae­<lb/>qualis sit MI, erit inaequalis ipsi IO, quod esse non po­<lb/>test; Cum enim per suppositionem aequales sint IL, ON, <lb/>additàque sive ablatà communi LO, erit tota IO, aequalis <lb/>tota NL. Propterea totum triangulum cylindricum HFE, <lb/>aequale est triangulo cylindrico GAD. et ideò, per pro­<lb/>straphaeresim, Zona EFAD, zonae EHGD est aequalis. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma III.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si rectangulum AB, et figura genitrix quacunque BCD <lb/>moveantur, ut in definitione positum est donec peracta <lb/>integra revolutione ad idem pla­<lb/> <arrow.to.target n="fig224"></arrow.to.target><lb/>num redeant unde ceperant mo­<lb/>veri. Dico factam cochleam pri­<lb/>mae revolutionis DGH, aequalem <lb/>esse annulo circulari, qui ab ea­<lb/>dem figura genitrice describetur <lb/>circa axem AE. </s></p> <figure id="fig224"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur enim figura BCD <lb/>describere primum cochleam pri­<lb/>mae revolutionis DGH, quae ini­<lb/>tium habeat à figura BCD, et <lb/>finem in figura LFH. Deinde in­<lb/>telligatur describere annulum circularem in se redeuntem, <lb/>qui habeat initium et finem in figura eadem BCD. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur in figura BCD quaelibet recta IO parallela <lb/>axi AE, quae quidem recta IO in revolutione duas zonas <lb/>cylindricas, et aequales (per lemma praecedens) describet, <lb/>in una eademque cylindrica superficie, alteram quidem in <lb/>cochlea, alteram verò in annulo. Et aequales semper erunt, <pb pagenum="226"/>ubicunque sumatur recta IO. ergo omnes simul zonae cy­<lb/>lindricae quae sunt in cochlea, aequales erunt omnibus <lb/>simul zonis cylindricis quae sunt in annulo, propterea et <lb/>ipsa cochlea aequalis erit ipsi annulo. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est omnes cochleas primae revolutionis esse inter <lb/>se aequales, quandoquidem singulae eidem annulo circulari aequales <lb/>sunt.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma IV.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Manentibus ijs quae Apollonius supponit in XI, XII, <lb/>et XIII, primi Conicorum. Esto conus ABC, sectus plano <lb/>non verticali per FNR, faciente <lb/> <arrow.to.target n="fig225"></arrow.to.target><lb/>in superficie coni sectionem FNR <lb/>quaequnque illa sit; cuius dia­<lb/>meter esto FE. Ducaturque FI <lb/>aequidistans ipsi AC. Tum fiat, <lb/>ut FE ad EA (partem basis trian­<lb/>guli per axem à vertice coni av­<lb/>versam) ita IF ad FL. Dico FL <lb/>esse latus rectum sectionis. </s></p> <figure id="fig225"></figure> <p type="main"> <s>Ponatur FL ad punctum F <lb/>utcumque, et ducatur DL ab <lb/>extremitate axis; Accepto deinde <lb/>quolibet puncto N in sectione applicetur NO, et per O <lb/>agatur QP aequidistans ipsi AC; at OM ducatur parallela <lb/>ad FL. Erit iam FO ad OQ, ut FE ad EA, sive ut IF ad <lb/>FL, nempe ut PO ad OM, ob parallelas; Ergo rectangula <lb/>FOM, POQ sunt aequalia; quamobrem rectangulum FOM <lb/>aequale erit quadrato ON, et propterea FL rectum figurae <lb/>latus. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Licet hoc verum sit in omni sectione coni, solam hy­<lb/>perbolam depiximus, quoniam sola hyperbola facit ad rem <lb/>nostram. </s></p> <pb pagenum="227"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma V.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sit rectangulum AC, in eodem existens plano cum <lb/>triangulo orthogonio EBF. convertatur circa manens latus <lb/>AD donec ad locum redeat unde <lb/> <arrow.to.target n="fig226"></arrow.to.target><lb/>coepit moveri. Dico annulum circula­<lb/>rem descriptum à triangulo EBF ae­<lb/>qualem esse conoidi cuidam hyperbo­<lb/>lico, cuius altitudinis sit BE; cuius <lb/>latus rectum sit quarta proportiona­<lb/>lium si fiat ut EB ad BF ita dupla <lb/>BA ad aliam. Versum verò latur <lb/>quarta sit proportionalium, si fiat ut FB ad BE, ita dupla <lb/>BA ad aliam. </s></p> <figure id="fig226"></figure> <p type="main"> <s>Convertatur figura uti dictum est, et rectangulum AC <lb/>describat cylindrus cuius sectio per axem CM; intelliga­<lb/>turque productam esse rectam FE, donec cum axe conve­<lb/>niat in H, et cum MI in I. Manifestum est triangulum <lb/>HAF describere conum GHF, cuius axis est AH: Conci­<lb/>piatur iam secari conum GHF aequidistantèr axi plano <lb/>per EB, sive per INM ducto quod quidem planum erectum <lb/>sit ad figuram genitricem coni, nempe ad planum GHF. <lb/>Eritque sectio in cono GHF hyperbola; Et propterea so­<lb/>lidum quod describitur à triangulo MNG, sive EBF. circa <lb/>axem AD, aequale erit (per lemma primum) conoidi hy­<lb/>perbolico à praedicta hyperbola descripto. Huius autem <lb/>conoidis, sive huius hyperbolae latus rectum habetur (per <lb/>lemm. praeced.) si fiat ut NM, ad MG, ita EN, sive dupla <lb/>BA ad aliam. Versum verò, quod est NI, habebitur si fiat <lb/> <arrow.to.target n="marg282"></arrow.to.target><lb/>ut GM ad MN, ita EN, sive dupla BA ad aliam quae erit <lb/>NI. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg282"></margin.target>per 4. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>THEOREMA.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Cochlea primae revolutionis, quae describitur à triangulo EBF in <lb/>praecedenti figura, aequalis est conoidi cuidam hyperbolico, cuius al­<lb/>titudo sit EB; latus rectum sit quarta proportionalium, si fiat ut EB <pb pagenum="228"/>ad BF, ita dupla BA ad aliam. Versum verò latus sit quarta propor­<lb/>tionalium, si fiat ut FB ad BE, ità dupla BA ad aliam. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc enim patet ex iam demonstratis. Praedicta enim cochlea ae­<lb/>qualis est (per lem. primum.) annulo facto à triangulo EBF. Sed an­<lb/>nullus circularis trianguli EBF praedicto conoidi est aequalis (per <lb/>lemma praecedens). Ergo patet quod propositum erat.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE COCHLEA.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cochlea verò cuius figura genitrix parallelogrammum <lb/>rectangulum sit, aequalis est cylindro cuius altitudo sit <lb/>EB, eadem cum altitudine figurae genitricis, semidiameter <lb/>verò basis media proportionalis sit inter FB, et rectam <lb/>compositam ex FA, AB. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò figura genitrix circulus fuerit, erit facta co­<lb/>chlea primae revolutionis ad sphaeram circuli genitoris, <lb/>ut periphaeria quae describitur à radio, qui sit aequalis <lb/>utrique, nempe rectae AB in praecedenti figura, semidia­<lb/>metroque circuli genitoris, ad duas tertias diametri eiu­<lb/>sdem circuli genitoris. </s></p> <p type="main"> <s>Reliquum esset ut Mechanica etiam Theoremata horum <lb/>solidorum exequeremur, praesertim quando cochlea gigni­<lb/>tur à triangulo; Centrum enim gravitatis in axe est, divi­<lb/>ditque portiunculam quandam ipsius axis (aequalem ab­<lb/>scindendam lateri EB, et circa punctum medium ipsius <lb/>axis collocandam) veluti conoidis cuiusdam hyperbolici cen­<lb/>trum secat proprium diametrum; sive praedictae portiun­<lb/>culae semissem ita dividit, uti eandem secaret centrum <lb/>gravitatis cuiusdam segmenti sphaerici duplam habentis <lb/>altitudinem, basimque dato cuidam circulo aequalem. Sed <lb/>tanti non est singulas istas nugas longiùs protrahere, ut <lb/>te benevolum lecturem ulteriùs adhuc torqueamus. For­<lb/>tasse etiam fiet, nisi universa haec, quae in istis libellis <pb pagenum="229"/>continentur, tibi displicuisse comperiam, ut ea quae hic <lb/>desiderantur, et multò plura circa gravitatem, ipsiusque <lb/>centrum, peculiari libello geometricè compraehendam. In­<lb/>terim scio me patrocinium debere longissimae tot mensum <lb/>desidiae: cum iam supra annum, ex quo opuscula haec <lb/>maximis Geometris promissa sunt, producatur lentissima <lb/>eorum impressio. quod quidem pluribus de causis factum <lb/>est; neque hoc tam negligentiae meae imputandum est, <lb/>quàm fortuitis quibusdam casibus, imperatisque. Accidit <lb/>enim intermedio hoc tempore, ut plurium mensium studio <lb/>atque labore inciderim in solutionem optici illius proble­<lb/>matis tamdiù perquisiti, cuius videlicet figurae esse de­<lb/>beant superficies vitrorum, quae ad usum Telescopij elabo­<lb/>rantur. Exitus demonstrationem confirmavit. quamquam <lb/>enim neque optatam figuram (ut credibile est) perfectè ha­<lb/>berent, neque undequaque absoluta, et perpolita à Tirone <lb/>adhuc inexperto, et inexercitato viderentur, ope tamen, et <lb/>vi figurae illius ad quam proximè tantùm accedebant, ad <lb/>eum usque perfectionis gradum pervenerunt, ut Telescopia <lb/>optimi cuiusque artificis, cuius ad hunc diem fama in hac <lb/>úrbe innotuerit, superaverint. Neque iudicium hoc perpe­<lb/>ràm prolatum est; sed repetitis saepius, summaque cum <lb/>diligentia varijs experimentis, nocte, dieque, et adhibitis <lb/>eruditissimis testibus, quorum iudicium nemo iure damna­<lb/>verit. Certè, qualecunque fuerit inventum, nescio plusne <lb/>gaudij, laudisque mihi attulerit, an premij: quandoquidem <lb/>Serenissimi Magni Ducis effusa, et vere Regia liberalitas <lb/>magno auri pondere donatum me non semel voluit. Mirum <lb/>itaque videri non debet quòd omissà per integrum seme­<lb/>stre libellorum curà, totam operam novo invento, mihique <lb/>in primis exoptatissimo, ne dicam utilissimo, impenderim. <lb/>Factum etiam est ut hac de causa libelli minus ca­<lb/>stigati evaserint; authore nimirum distracto, et ad alia, <lb/>eaque diversissima, converso. Quapropter orandus etiam <lb/>atque etiam es benevole lector, ut haec qualiacunque ae­<lb/>qui, bonique facias, et errata vel toleres, vel corrigas. <lb/>praesertim cum tam manifesta plerunque sint, ut nemi­<lb/>nem fugere valeant, sed ultrò se se ipsa offerant; ut vi­<lb/>dere est in prima statim epistola nuncupatoria, et su- <pb pagenum="230"/>binde satis frequenter in ijs quae sequuntur. Correctiones <lb/>non addemus in fine operis, ut plerique solent; quia ne­<lb/>que satis vacavit temporis ad mendosa omnia adnotanda, <lb/>neque voluimus mutilà brevique recensione aliquot erra­<lb/>torum, omnem deinde excusationi meae locum erripere; <lb/>dum tacita praetermissio eorum, quae censum effugissent, <lb/>tamquam approbationis quoddam genus mihi potuisset im­<lb/>putari. </s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>APPENDICE AL LEMMA XX <lb/>DELLA MEMORIA <lb/>“ DE DIMENSIONE PARABOLAE ”.<emph.end type="center"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sul <emph type="italics"/>recto<emph.end type="italics"/> della carta 1 del codice della Collezione Galileiana intitolato “ <emph type="italics"/>Disce­<lb/>poli di Galileo<emph.end type="italics"/> T. XXXII — <emph type="italics"/>Torricelli Evangelista<emph.end type="italics"/> T. XII ” si legge, scritto di mano <lb/>di Lodovico Serenai, quanto segue: </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>La inclusa è una risposta del Torricelli all'opposizione fatta da Tomm.o Bianchi <lb/>Inglese contro il lemma 20, del trattato de Dimensione Parabolae stampato da esso Tor­<lb/>ricelli.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Si potrà stampare col racconto, cioè appresso al racconto di varie proposizioni se <lb/>non converrà luogo più a proposito.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Ma non penso a proposito stamparla col nome del Bianchi, perchè si vede che anco <lb/>l'istesso Torricelli lo taceva nella sua risposta, fingendo non saperlo.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Forse Tommaso Bianchi non era l'oppositore ma quello che fece pervenire al Torri­<lb/>celli l'opposizione altrui.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s>E segue a carte 2-7 il manoscritto autografo, portante sul <emph type="italics"/>recto<emph.end type="italics"/> delle carte 2, 4, <lb/>6, 7 i numeri rossi 57, 58, 59, 60 corrispondenti all'inventario dei mss. compilato da <lb/>L. Serenai. </s></p> <p type="main"> <s>A c. 8-14 trovasi la copia conforme della stessa scrittura di mano di L. Serenai <lb/>con la intestazione seguente: </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Risposta a Tomm.o Bianchi <lb/>e <lb/>Racconto di alcune Proposizioni ecc.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Queste due fare di congiungerle insieme, et ambedue stamparle l'ultime di tutte le <lb/>cose geometriche.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s>Facendosi ora la ristampa delle Opere del Torricelli che furono già edite nel 1644, <lb/>si è creduto opportuno riprodurre dall'autografo questa scrittura come appendice <lb/>alla memoria, <emph type="italics"/>De Dimensione Parabolae,<emph.end type="italics"/> che trovasi in questo Vol. I, dopo di avervi <lb/>tolte alcune figure che parvero non indispensabili all'intelligenza del testo. </s></p> <p type="main"> <s>Giova avvertire che il personaggio qui indicato col nome di <emph type="italics"/>Tommaso Bianchi<emph.end type="italics"/> è <lb/><emph type="italics"/>Thomas Withe,<emph.end type="italics"/> nato a Hutton (Essex) nel 1593 e morto a Londra il 6 luglio 1676, il <lb/>quale scrisse di teologia e di matematiche firmandosi <emph type="italics"/>Albius de Albiis, Anglus, <lb/>Blackloe<emph.end type="italics"/> (o <emph type="italics"/>Blacklow), Bianchi, Candidus<emph.end type="italics"/> o <emph type="italics"/>Richworth.<emph.end type="italics"/> Di lui si trova menzione tanto <lb/>in una lettera di R. F. de Sluse a Chr. Huygegs in data 5 agosto 1659 (<emph type="italics"/>Oeuvres com­<lb/>plètes de Huggens,<emph.end type="italics"/> T. II. La Haye 1889, p. 450), quanto in una di M. A. Ricci al Torri­<lb/>celli del 16 dicembre 1645 (v. la presente edizione, T. III, p. 348). Cfr. A. FAVARO. <lb/><emph type="italics"/>Amici e corrispondenti di G. Galilei,<emph.end type="italics"/> XXVII. <emph type="italics"/>Riccardo White<emph.end type="italics"/> (Atti del R. Istituto Ve­<lb/>neto, T. LXXI, 1911-12. Parte II, p. 10-24). </s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>APPENDICE AL LEMMA XX <lb/>DELLA MEMORIA <lb/>“ DE DIMENSIONE PARABOLAE ”<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma XX<emph.end type="italics"/> .<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Quadrata omnium partium cuiuscumque rectae lineae <lb/>subtripla sunt totidem quadratorum totius. </s></p> <p type="main"> <s>Dico propositionem hanc esse universalem, et proba­<lb/>tionem ipsius esse particularem; et si Prop.<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> accipiatur <lb/>universaliter esse falsam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto enim linea AB seu CD ei <lb/> <arrow.to.target n="fig227"></arrow.to.target><lb/>aequalis et completo quadrato <lb/>ducatur diameter BC et linea <lb/>quaedam curva CB et ducantur <lb/>in quadrato lineae EF, GH paral­<lb/>lelae dictis AB, CD. Et manife­<lb/>stum est lineas quae a BC duci <lb/>possunt ad BD, quales sunt LF, <lb/>et MH, constituere omnes partes <lb/>linearum AB, seu CD. Rursus <lb/>omnes lineas quae duci possunt parallelae lineis AB et CD <lb/>a linea curva BC ad lineam BD, quales sunt IF, KH <lb/>constituunt etiam ipse omnes partes lineae AB, sive CD, <lb/>et tertio omnes lineae quae possunt duci a linea AC ad <lb/>lineam curvam BC quales sunt EI, GK etiam ipse consti­<lb/>tuunt omnes partes lineae AB, sive CD. </s></p> <pb pagenum="234"/> <figure id="fig227"></figure> <p type="main"> <s>Evidens autem est superficiem mixtilineam BKCD esse <lb/>maiorem triangulo BCD, et triangulum BCD esse maius <lb/>superficie mixtilinea BKCA, id est omnes partes linea 2<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/><lb/>modo sumptos esse maiores omnibus partibus eiusdem li­<lb/>neae AB p<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> modo sumptis. Et omnes partes dictae lineae <lb/>AB p<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> modo sumptas esse maiores omnibus partibus eiu­<lb/>sdem lineae AB tertio modo sumptas. </s></p> <p type="main"> <s>Similiter si circumvoluta superficie BKCD circa axem <lb/>BD fiat corpus convexum, et circumvoluto triangulo BCD <lb/>circa eumdem axem BD fiat conus; et circumvoluta su­<lb/>perficie BKCA circa axem AC fiat corpus extraconcavum, <lb/>erit corpus primum maius 2<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> et secundum maius tertio; <lb/>idest omnia quadrata partium lineae AB, sive CD se­<lb/>cundo modo sumptarum erunt maiora quadratis partium <lb/>eiusdem lineae sumptarum p<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> modo. Et quadrata par­<lb/>tium eiusdem lineae sumptarum 3<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> modo. </s></p> <p type="main"> <s>Quare cum probatio Auctoris procedat tantummodo de <lb/>omnibus partibus et earum quadratis sumptis p<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> modo <lb/>est particularis; et conclusio in reliquis; sive de partibus <lb/>2<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> et 3<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> modo sumptis, et earum quadratis absolute falsa. </s></p> <p type="main"> <s>Rursus cum probatio lemmatis 21. pendeat a priore <lb/>lemmate, ut patet per illa verbo pag. 142. vers. 19 <emph type="italics"/>Omnia <lb/>vero quadrata intermediarum sectionem etc. sunt ut unum ad <lb/>tria.<emph.end type="italics"/> Evidens est etiam hoc lemma eodem defectu laborare. </s></p> <p type="main"> <s>Tandem Propos.<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> 12 quatenus in probatione accipitur <lb/><emph type="italics"/>Ergo ex praecedenti lemmate parallelogrammum AB erit <lb/> <arrow.to.target n="fig228"></arrow.to.target><lb/>ipsius semiparabolae sesquialterum<emph.end type="italics"/> subiecta est eidem fal­<lb/>laciae. quia quadrata partium subtripla non sunt quadrata <lb/>partium terminatarum ad diametrum, qualium una est ML, <pb pagenum="235"/>sed partium terminatarum ad lineam curvam idest semi­<lb/>parabolam, qualium una est IK. Probatio enim conclu­<lb/>sionis eversa est talis. Quia omnia quadrata intermediarum <lb/>quarum una est IK sunt subtripla totidem quadratorum <lb/>lineae integrae AB sive CD; idcirco omnia rectangula ex <lb/>linea AB sive CD cum suis partibus in reliquos partes, <lb/>(quorum unum est IO in NI) sunt subsesquialtera dictorum <lb/>quadratorum lineae AB, sive CD. Sed omnes lineae paral­<lb/>lelogrammi (quarum una est BD) se habent ad omnes <lb/>lineas parabolae (quarum una est IG) sicut omnia qua­<lb/>drata CD ad omnia rectangula (quorum unum est OIN) <lb/>ergo parabola est ad parallelogrammum ut 4 ad 6. Cum <lb/>itaque. Propos.<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> illa fundamentalis quod omnia quadrata <lb/>intermediarum quarum una est IK sunt subtripla totidem <lb/>quadratorum sit falsa, tota substructio est caduca. </s></p> <figure id="fig228"></figure> <p type="main"> <s>Sed fiat argumentum analytice et dicatur. Quadrata <lb/>intermediarum sunt corpus parabolicum Conoides <expan abbr="itaq.">itaque</expan> ad <lb/>cylindrum eiusdem altitudinis et basis, idest ad totidem <lb/>quadrata totius CD ut unum ad duo: ergo parallelo­<lb/>grammo omnia ex linea et omnibus partibus suis in reli­<lb/>quas partes, aequalia erunt eisdem quadratis omnium par­<lb/>tium: Ergo si parallelogrammum AD sit ad dimidiam <lb/>parabolam sicut totidem quadrata CD ad omnia parallelo­<lb/>gramma ex CD et omnibus suis partibus in reliquas partes <lb/>erit parallelogrammum ad semiparabolam sicut duplum ad <lb/>dimidium. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>BUE, BUE, BUE.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Concedendum est tandem est <lb/> <arrow.to.target n="fig229"></arrow.to.target><lb/>(Cl. V<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/>.) omnes partes accipi quo­<lb/>modo ipse volue rit: et in figura <lb/>CEBD esse omnes partes lineae <lb/>AB. Ergo inquit ipse omnia qua­<lb/>drata figurae CEBD subtripla <lb/>erunt totidem quadratorum totius <lb/>AB. Concedo quatenus omnes li­<lb/>neae figurae COBD sunt omnes <lb/>partes rectae AB. Sed postea nego figuram solidam ex <lb/>COBD esse subtriplam ad figuram ex AD. Nam ad hoc <pb pagenum="236"/>ut figurae solidae eandem servent rationem quam habent <lb/>inter se omnia earundem indivisibilia, hoc mihi videtur <lb/>omnino semper necessarium, videlicet quod indivisibilia <lb/>utrimque sint aequaliter spissa, sive aequali quodam et <lb/>continua spissatione constipata. Hoc autem in casu de <lb/>quo agimus non ita se habet. Nam sumpto aliquo antece­<lb/>dente, puta quadrato HI, certum est quando eius conse­<lb/>quens sit IL, tunc etiam ex concessione Cl. Vi. inferri <lb/>omnia ad omnia esse tripla. Sed quando consideramus <lb/>figuram COBD consequens illud quod esse deberet LI est <lb/>OH; manifestum ergo est in figura CEBD indivisibilia <lb/>versus apicem spissiora esse quam in figura AD. atque <lb/>hinc est quod figurae solidae servent aliam rationem ab <lb/>ea quam habent omnia earum indivisibilia. </s></p> <figure id="fig229"></figure> <p type="main"> <s>Siquis habeat in Arithmetica ratione decem virgas <lb/>supra rectam AB disponendas semper aliam atque aliam <lb/>spatij quantitatem poterit intercipere; si illas ineaequa­<lb/>libus intervallis digestas disponat. Nam quo magis minores <lb/>versus apicem addensabit eo maiorem superficiem inter­<lb/>cipiet. Contra vero si raras collocet minores, <expan abbr="densasq.">densasque</expan> ma­<lb/>iores. Illa denique erit semper certa et immutabilis ratio <lb/>eiusdem spatij occupandi si date virgule super eadem recta <lb/>linea aequalibus inter se divisae intervallibus statuantur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>THEOREMA.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Omnes simul partes alicuius numeri subduplae sunt <lb/>eiusdem numeri toties sumpti quot ipse habet partes. </s></p> <p type="main"> <s>Exempli gratia proponatur numerus 5. omnes eius par­<lb/>tes sunt 1. 2. 3. 4. quarum summa est 10. quae quidem <lb/>summa subdupla est numeri 20. nempe eiusdem numeri 5. <lb/>quater sumpti, cum ipsi quater partes habeat. Idem etiam <lb/>verum est in quantitate continua si supponamus quamlibet <lb/>minimam mensuram, exempligratia esto quantitas AB, <expan abbr="sup-positaq.">sup­<lb/>positaque</expan> qualibet eius mensura AC tanquam indivisibili, si <lb/>accipiantur omnes partes ipsius AB subduplae erunt ma­<lb/>gnitudinis AB toties sumptae quot ipsa habebit partes. <lb/>Cave tamen ne intelligas partes aequales inter se nam <lb/>hoc non facit ad rem nostram. </s></p> <pb pagenum="237"/> <p type="main"> <s>Certe ego nulla alia ratione possum concipere omnes <lb/>partes alicuius rectae lineae. Satis etiam manifeste mihi <lb/>videbar ostendisse in demonstratione lemmatis 20. de <lb/>Quadr.<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/> Parabolae me hoc modo tantum accipere omnes <lb/>partes alicuius rectae lineae. Pro una enim ex illis infi­<lb/>nitis partibus semper accepi... et non... quamquam postea <lb/>hanc illi substituerim cum illi aequali sit. Hoc enim modo <lb/>tot erunt omnes partes alicuius rectae lineae quot sunt <lb/>eiusdem omnia puncta recti transitus: et propterea eiu­<lb/>sdem rectae lineae sive aequalium rectarum linearum par­<lb/>tes erunt non sotum multitudine aequales, sed etiam ma­<lb/>gnitudine singulae singulis, et si hoc magis placet omnes <lb/>simul omnibus simul. </s></p> <p type="main"> <s><expan abbr="Excessuq.">Excessuque</expan> partium idem semper erit tam in primis <lb/>quam in medijs, <expan abbr="ultimisq.">ultimisque</expan> partibus datae lineae et aequa­<lb/>libus semper differentijs procedet continuato quodam ar­<lb/>gumento, ut omnino fieri debet ad hoc ut alicuius quan­<lb/>titatis omnes partes recte accipiantur. Si enim proponatur <lb/>exempli gratia numerus aliquis puta 20. cuius iubeamur <lb/>omnes partes accipere (partes dicuntur in tota hac con­<lb/>troversia quae suo toto minores sunt) si quatuor ex mi­<lb/>noribus partibus creverit quatuor unitatibus, totidem vero <lb/>partes ex medijs sive ex maioribus crescant cum eodem <lb/>augmento, sive plus sive minus quam quatuor unitatibus <lb/>manifestum est omnes partes dati numeri non recte sum­<lb/>ptas esse. </s></p> <p type="main"> <s>Nam in quantitate discreta nempe in numeris unitates <lb/>pro indivisibilibus habentur. ergo singulae partes numeri <lb/>20. debent se se excedere eadem semper differentia, hoc est <lb/>semper indivisibili, sive una unitate. Hinc est quod si acci­<lb/>piamus <expan abbr="quotcunq.">quotcunque</expan> partes dati numeri dumodo se se dein­<lb/>ceps consequantur, <expan abbr="totidemq.">totidemque</expan> etiam ex maioribus eodem <lb/>modo deinceps contiguas consideremus idem erit incremen­<lb/>tum utrinque tam in parvis quam in magnis partibus. </s></p> <p type="main"> <s>Quod demum tunc verum erit quando quodlibet ante­<lb/>cedens rationis suo consequenti vel supraponetur, vel ad <lb/>idem punctum eadem recta linea terminabunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sed ego iubeo hunc laborem gratis ostendendi scilicet <pb pagenum="238"/>quod nullo alio modo praeterquam a me usurpato accipi <lb/>possint omnes partes alicuius rectae lineae. Incumbebat <lb/>enim ipsi Cl. Viro tamquam proponenti et pronuntianti <lb/>hoc, suam propositionem probare. Sed quia iam provin­<lb/>ciam suscepi, prosequamur. </s></p> <p type="main"> <s>Pronuncio contrarium nempe solum eas quae ducuntur <lb/>ex BC ad BD esse vere omnes partes & nam rectae que <lb/>ab AC ducuntur ad CKIB nullo modo possunt esse par­<lb/>tes et hoc probo quia sumpto in CA quolibet puncto G. <lb/>erit CG una ex omnibus partibus & sed GH est minor. <lb/>Item una ex omnibus partibus erit CE, sed EI est mi­<lb/>nor. ergo omnes lineae figurae ACKB sunt minores omni­<lb/>bus partibus rectae & singulae singulis. </s></p> <p type="main"> <s>Quia vero hic omnes partes sumuntur secundum defi­<lb/>ninitionem meam, quod fortasse non arridebit Cl. Viro, <lb/>sumamus omnes partes eo modo quo ipse etiam concessit, <lb/>dum dixit... </s></p> <p type="main"> <s>Prima controversia versari videtur circa illud meum <lb/>dictum in lemmate 20. de Quad.<emph type="sup"/>ra<emph.end type="sup"/> Parabolae, ubi omnes <lb/>partes alicuius rectae lineae nominavi. Disputatur enim <lb/>de hoc. Utrum omnes partes alicuius rectae lineae unico <lb/>tantum modo sumi possunt ut mihi videbatur, an pluribus <lb/>modis, ut videtur, Cl.<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> Viro <expan abbr="quicunq.">quicunque</expan> ille sit. </s></p> <p type="main"> <s>Principio ponam rationes quae mihi persuadent omnes <lb/>partes alicuius rectae lineae unico tantum modo accipi <lb/>posse, deinde fallacias detegere conabor, quae Cl. Viro <lb/>persuaserunt pluribus modis praedictas partes accipi posse. </s></p> <p type="main"> <s>Si quis etiam sine magna attentione considerabit de­<lb/>monstrationes meorum lemmatum 20. et 21. de Quad.<emph type="sup"/>ra<emph.end type="sup"/><lb/>Parabolae manifeste videbit me accepisses dictum illud <lb/>omnes partes alicuius rectae lineae iuxta sensum sequentis <lb/>definitionis. </s></p> <p type="main"> <s>Omnes partes alicuius datae rectae lineae nihil aliud <lb/>sunt nisi omnes lineae, quae inter alterum datae rectae <lb/>lineae extremum et singula ipsius puncta intercipiuntur. </s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE TACTIONIBUS.<emph.end type="center"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Lo scritto seguente è inedito. L'originale si trova a Firenze nel Vol. XXVI <lb/>della Collezione: “ <emph type="italics"/>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"/> ”, accompagnato da una copia fattane dal <lb/>Serenai, da una compilazione dovuta al Viviani, da alcune note di questo e final­<lb/>mente da un Indice scritto dallo stesso Viviani; nel prepararlo per la stampa ci <lb/>siamo serviti tanto dell'originale, quanto della copia, ricorrendo alla compilazione <lb/>soltanto quando ciò fu indispensabile. </s></p> <p type="main"> <s>Benchè l'esordio dello scritto in questione indurrebbe a pensare di trovarsi in <lb/>presenza di un lavoro già pronto per la stampa, in realtà si tratta di un semplice <lb/>abbozzo, ben lontano dalla perfezione di forma che hanno gli scritti pubblicati dal <lb/>Torricelli; a provarlo basti dire che, mentre la lingua adottata è la latina, si tro­<lb/>vano qua e là delle frasi italiane e che buon numero di problemi sono risolti due o <lb/>più volte con procedimenti sostanzialmente identici. Ora nel prepararlo per la <lb/>stampa noi abbiamo reputato opportuno il sopprimere tutte le ripetizioni, che <lb/>avrebbero rappresentato un inutile ingombro e sarebbero state cagione di tedio per <lb/>il lettore. Ci siamo anche permessi di omettere alcuni passi non aventi legame col <lb/>resto e che si direbbero semplici appunti relativi a idee abbandonate poi come poco <lb/>importanti; però le soppressioni di entrambe le specie vennero sempre dichiarate. </s></p> <p type="main"> <s>Per rendere più agevole la lettura del presente lavoro, oltre a dare migliore <lb/>aspetto alle figure, si è diviso tutto il lavoro in paragrafi, che indicammo col mezzo <lb/>di numeri scritti <emph type="italics"/>entro parentesi quadre,<emph.end type="italics"/> seguendo il sistema generale adottato per <lb/>distinguere le aggiunte ed osservazioni dell'editore da quanto scrisse l'autore. </s></p> <p type="main"> <s>Volendo assegnare approssimativamente l'epoca a cui risalgono queste ricerche <lb/>“ sui contatti ”, giova osservare che a tergo della pagina dell'originale ove sta scritto <lb/>il proemio, si trova una bozza della lettera pubblicata a pag. 69 del Vol. III della <lb/>presente edizione, lettera alla quale venne assegnata la data “ Febbrajo 1642 ”; è <lb/>pertanto da ritenere quelle ricerche non posteriori a tale anno. </s></p> <p type="main"> <s>Rimandiamo alcune osservazioni sul presente opuscolo ad una <emph type="italics"/>Nota<emph.end type="italics"/> finale; ma <lb/>riferiamo qui le seguenti parole con cui il Torricelli (immediatamente prima del <lb/>paragrafo [26] del suo lavoro) ha pronunciato una specie di giudizio sulla propria <lb/>opera: SI PRETENDE DI FAR TUTTE QUESTE COSE CON L'INTELLETTO, IC NON CON LA PRA­<lb/>TICA; PERÒ MI PROTESTO D'HAVER SEGU TATO ALLE VOLTE LE SOLUTIONI PIÙ TOSTO INGE­<lb/>GNOSE CHE LE FACILI. </s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE TACTIONIBUS<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Nimium profecto praestiturus eras amice lector etiam <lb/>sine praefatione libellum lecturus: fuisset supra notum <lb/>fateor, si tu vel solum librum eruditis oculis inspexisses. <lb/>Ego tamen qui legitime ob hoc opus accusari possem, ne <lb/>me ipsum in causa propria deseruisse viderer, pro re pauca <lb/>loqui, et prologi opem invocare, necesse indicavi, et ve­<lb/>nerat mihi in mentem tamquam lusus geometricus solutio <lb/>problematis illius, quod de tactionibus ex Apol.[lonius] <lb/>P.[ergaeus] refere P.[appus] A.[lexandrinus] l. 7 Math. Coll. <lb/>Volvebam animo nihil ex libro praestantissimi auctoris <lb/>praeter superstitem memoriam ad nos pervenisse; attamen <lb/>omnia suppleri posse existimabam primum, deinde addita <lb/>etiam demonstratione confirmabam. Quia vero problematis <lb/>casus valde multiplex erat, et modus solutionis nostrae <lb/>satis simplex videbatur, utrumque consideratione dignum, <lb/>et scriptione existimavi. Facto itaque iam libello, forte <lb/>mihi refertur idem argumentum tractatum fuisse ab exi­<lb/>mijs scriptoribus, quorum opera exposita iam in theatro <lb/>famae, et immortalitatis legebantur. Erubui primum, et <lb/>peracti laboris (quicunque fuerit) acriter paenituit. Cogi­<lb/>tabam me tironem, et in castris geometriae prima vix <lb/>iam stipendia commerentem in eandem arenam descen­<lb/>disse cum maximis geometris. Latuit ob hanc causam <lb/>integro iam septennio opusculum meum, donec aeversus <lb/>Romam audiverum ab amicis eruditis, quod scriptores qui <lb/>hoc argumentum tractaverunt, nihil de sectionibus conicis <lb/>edidissent etc. </s></p> <pb pagenum="242"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Propos. 4. lib. 2. descriptio hyperbolae. <lb/>Pappus Eutoci ad lib. 5. Apollonij idem.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/>magnum illud geometriae opus nisi daretur sectionum <lb/>conicarum non dicam descriptio, sed saltem pura et vere <lb/>geometrica contemplatio. Quando igitur determinabimus <lb/>et omnino ostendemus centrum quesiti circuli esse con­<lb/>cursu duarum sectionum, quarum axes, et foci, et vertices <lb/>dati sint, satis <expan abbr="superq.">superque</expan> erit ad erudiendum intellectum, <lb/>cuius tantum gratia contemplationem aggredimur. </s></p> <p type="main"> <s>A. Volvebam animo, nihil ex libro praestantissimi au­<lb/>ctoris praeter superstitem memoriam ad nos pervenire <lb/>attamen omnino suppleri posse existimabam primum de­<lb/>inde addita demonstratione comprobabam. </s></p> <p type="main"> <s>B. Fateor supra notum fuisset si tu vel solum librum <lb/>eruditis oculis inspexisses. </s></p> <p type="main"> <s>Has in theoricas contemplatione conscribo non ut ali­<lb/>quis circulos se se mutuo contingentes circino <expan abbr="regulaq.">regulaque</expan> <lb/>describat, sed ut <expan abbr="unusquisq.">unusquisque</expan> intellectu percipiat, et ipsa <lb/>mentis acie aperte videat ubi sit centrum circuli quaesiti. <lb/>Sic ipse geometrarum princeps docuit nos non triangu­<lb/>lum exhibere dato circulo aequale, sed cui triangulo ae­<lb/>qualis sit, sola speculatione contentus, sine pratica de­<lb/>monstravit, asserens tale triangulum omnino aequale esse <lb/>proposito circulo. Sic etiam antiquos, et magni nominis <lb/>geometras constat ad solutionem problematum lineis co­<lb/>nicis usos fuisse magna quidem felicitate, majore ingenij <lb/>laude. Apollonius ipse meo quidem inditio frustra con­<lb/>scripsisset magnum illud geometriae opus nisi daretur <lb/>sectionum conicarum non dicam descriptio, sed saltem <lb/>sunt et vero geometrica contemplatio. </s></p> <p type="main"> <s>Visum tandem est haec tibi dare non arcea sed potius <lb/>ut ita dicam tamquam aliena et ipsi Apollonio referenda. <lb/>Quis enim neget maximum conicorum opificem hoc opus <lb/>de tactionibus perficere voluisse propria artis instrumentis <lb/>et machinis officine sue. Quis dicat illum nescivisse? </s></p> <p type="main"> <s>Sed aliquis nimis delicatus huiusmodi solutione per <lb/>loca ut appellant solida non probat. </s></p> <pb pagenum="243"/> <p type="main"> <s>Vix enim in animum inducere possum Ap.<emph type="sup"/>ni<emph.end type="sup"/> P. ad so­<lb/>lutionem problematis de Tactionibus invenienda alijs me­<lb/>dijs usum fuisse quam suis, hoc est parabola, hyperbola, <lb/>ellipsi, etc. </s></p> <p type="main"> <s>[1] PROPOS.<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> A datis tribus centris tres circulos descri­<lb/>bere qui se se mutuo contingant. </s></p> <p type="main"> <s>Sint [Fig. 1] data centra </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb/>A, B, C, et nectatur triangu­<lb/>lum ABC, fiat iam BD ae­<lb/>qualis BC minimo lateri, et <lb/>AD reliquae fiat aequalis ipsa <lb/>AE et reliqua EC secetur in I <lb/>bifariam; erit IC una semi­<lb/>diameter, ac propterea datae <lb/>erunt tam FB quam AH. Dico <lb/>iam descriptis ad contactum <lb/>duobus circulis ex C et B, <lb/>reliquos AH, AI aequales re­<lb/>manere. Tota enim BD ae­<lb/>qualis est BC, et ablatae aequales, ergo DH remanet <lb/>aequalis ipsi FC, hoc est IC, hoc est EI, additis vero <lb/>aequalibus AD, AE </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb/>tota AH aequalis erit <lb/>toti AI. Quare ter­<lb/>tius circulus tanget <lb/>priores etc. </s></p> <p type="main"> <s>Aliter etiam idem <lb/>exequetur hoc modo. <lb/>Super [Fig. 2] maiori <lb/>latere AC sumatur <lb/>AE aequalis ipsi AB, <lb/>et CD aequalis ipsi <lb/>CB, <expan abbr="dividaturq.">dividaturque</expan> ED <lb/>bifariam in I. Erit <lb/>CI una semidiame­<lb/>trorum, ac propterea <lb/>datae omnes relique BF, FA. Cum enim tota CD toti CB <lb/>sit aequalis et ablatae sint aequales, erit DI, BH hoc est BF <pb pagenum="244"/>aequalis: est ergo BF aequalis IE. Sed erant AB, AE <lb/>aequales ergo ablatis aequalibus remanent semidiametri <lb/>AF, AI aequales. Ut supra. Idem CD, CB sunt aequales <lb/>ergo HB, ID vel FB, IE, ergo reliquae AF, AI. </s></p> <p type="main"> <s>His premonstratis, et ut dictum est rectis lineis in <lb/>punctis D, E, I patet. </s></p> <p type="main"> <s>Hyperbolam quae vertice D focis vero A, B describitur <lb/>transire per C et illam quae vertice E et focis B, C de­<lb/>scribi transire per A etc. </s></p> <p type="main"> <s>Parim inter AD, DB quaedam est differentia, et eadem <lb/>inter AI, BE, additis vero aequalibus eadem erit etiam <lb/>inter AC et BC, punctum ergo C erit in hyperbola cuius <lb/>vertix D foci autem A, B. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet tertia solutio problematis non datis focis <lb/>A, B et puncte C describi potest hyperbola CD datum <lb/>ergo et punctum D. </s></p> <p type="main"> <s>PROPOS.<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> Intra datum triangulum circulum describere <lb/>ita ut si ab angulis tres circuli describantur illum omnes <lb/>et sese mutuo contingant. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat [Fig. 3] hyperbola DJC ex puncto contactus. Item </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb/>alia EJ quae priori occurrat in J. Erit J centrum quaesiti <lb/>circuli. </s></p> <pb pagenum="245"/> <p type="main"> <s>I. Dato circulo lineam tangentem ducere et a dato <lb/>puncto eam ducere. </s></p> <p type="main"> <s>II. Data linea circulum tangentem ducere, </s></p> <p type="main"> <s>et dato centro. </s></p> <p type="main"> <s>= et per datum punctum. </s></p> <p type="main"> <s>= et datae magnitudinis. </s></p> <p type="main"> <s>III. Dato circulo circulum tangentem ducere </s></p> <p type="main"> <s>= et ad datum punctum </s></p> <p type="main"> <s>= et datae magnitudinis </s></p> <p type="main"> <s>= et per datum punctum datae magnitudinis. </s></p> <p type="main"> <s>IV. Datis duobus circulos lineam <expan abbr="utriq.">utrique</expan> tangentem com­<lb/>munem dare ad easdem partes </s></p> <p type="main"> <s>= item transverse non ad eosdem partes </s></p> <p type="main"> <s>= datae rectae lineae duos circulos tangentes ad data <lb/>duo puncta aplicare = </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].</s></p> <p type="main"> <s>[2] Sit [Fig. 4] hyperbola CG cuius foci A, B et cen- <pb pagenum="246"/>tris A, B ad intervallum lateris transversi DC duo circuli <lb/>descripti sint. Dico duas <expan abbr="quascunq.">quascunque</expan> lineas OG, GB, vel <lb/>NF, FB, vel ME, EB, vel QC , CB, esse aequalis, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Nam AC, DB, sunt aequales, et ablatis aequalibus AQ, <lb/>DC remanent aequales QC, CB, etc. unica vero ratione <lb/>cum quaelibet ex A superet quamlibet ex B, differentia <lb/>eadem AO, AN, AM. Ablatis differentijs remanebunt reli­<lb/>quae aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Rursus omnes CR, EL, FI, GH, aequales esse singulis <lb/>AC, AE, AF, AG. </s></p> <p type="main"> <s>Sunt enim AD, CB aequalis et additis aequalibus erunt <lb/>totae AC, CR aequales etc. et quia singulae ex B deffi­<lb/>ciunt a singulis EA. eadem differentia erunt omnes ex B <lb/>cum d.<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/> differentia aequalis omnibus et singulis ex A pro­<lb/>ductis. </s></p> <p type="main"> <s>[3] Dato [Fig. 5] circulo qui et AI et dato puncto B <lb/>circulum describere oportet qui cum transeat per B con­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb/>tingat circulum qui ex A et ipsi sint datae magnitudinis <lb/>(non tamen minoris diametri quam BH). </s></p> <pb pagenum="247"/> <p type="main"> <s>Sit datum semidiam. BC <expan abbr="describaturq.">describaturque</expan> ex B circulus CE <lb/>in quo erit centrum quaesiti cum debeat transire per B. <lb/>Sit deinde AD aequalis <expan abbr="utriq.">utrique</expan> semidiametro AH et BC <lb/><expan abbr="factoq.">factoque</expan> circulo ex A secet priorem in E (secabit enim <lb/>semper). Dico E esse centrum quaesitum et circulum ex E <lb/>per B ductum tangere eum qui ex A. Tota enim AD <lb/>sive AE facta est aequalis duobus semidiametris nempe <lb/>suppositae et datae; ablata igitur supposita AI, remanet <lb/>IE aequalis reliquae BC; ergo si per B describatur circulus <lb/>transibit per I. </s></p> <p type="main"> <s>Dico non alium esse circulum huiusmodi, dempto eo <lb/>qui ex G. Si enim esset ut ex O, essent due AO, AE ae­<lb/>quales inter se quod est absurdum, essent aequales quia <lb/>utraque constaret ex duabus semidiametris aequalibus <lb/>BC, AH. </s></p> <p type="main"> <s>[4] Dato [Fig. 6] puncto C extra circulum dico centra <lb/>omnium circulorum qui per datum punctum transeunt, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb/>tanguntqu. datum circulum, centrum habere in ea hyper­<lb/>bola cuius foci punctum datum, et circuli dati centrum, <lb/>vertex vero medium lineae inter punctum datum et con­<lb/>vexum circuli dati. </s></p> <p type="main"> <s>Tangat ut ponitur circulum ex B circulus qui ex A et <lb/>transeat per C, superat ergo BA ipsam CA differentia BD <lb/>quas BF superat FC est; ergo punctum A in hyper­<lb/>bola etc. </s></p> <pb pagenum="248"/> <p type="main"> <s>Si vero etiam punctum E datum sit fiat hyperbola, et <lb/>deinde producatur BE ad A dico circulum ex A per C <lb/>ductum tangere in E etc. </s></p> <p type="main"> <s>[5] PROPOS.<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> Datae magnitudinis circulum describere <lb/>qui per datum transeat punctum et datum circulum con­<lb/>tingat. </s></p> <p type="main"> <s>Sit datus circulus ex AI [Fig. 7], datum punctum sit B <lb/>et data sit magnitudo IF que minor non sit dimidia IB. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb/>Fiat hyperbola CD cuius vertex C foci vero AB, et inter­<lb/>vallo AF centro A. Fiat circulus FD (cum enim maior <lb/>sit AF quam AC) occurret circulus hyperbolae, occurrat <lb/>in D. Dico circulum ex D centro per B ductum tangere <lb/>circulum qui ex A, et esse datae magnitudinis. Ducatur <lb/>AD, jam sic, quia D punctum est in hyperbola, circulus <lb/>ex D per B ductus tanget circulum datum per ea quae <lb/>ostendimus in precedenti et quia AF, AD sunt aequales, <lb/>ablatis AI, AE, remanent IF, ED aequales; est ergo cir­<lb/>culus datae magnitudinis. </s></p> <pb pagenum="249"/> <p type="main"> <s>[6] PROPOS.<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> Dato [Fig. 8] circulo ex A, datoque puncto <lb/>B, per quod ducere oporteat circulum qui contingat in <lb/>dato puncto C. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].</s></p> <p type="main"> <s>Ducatur AC infinite, iungatur CB et secetur bifariam <lb/>ad <expan abbr="angulosq.">angulosque</expan> rectos ab ipsa ED, et occurret in D. Dico <lb/>circulum ex D per B descriptum tangere datum circulum <lb/>in dato puncto C. Ducatur BD. Duo igitur triangula CED, <lb/>BED per 4 p.<emph type="sup"/>i<emph.end type="sup"/> habent latus BD </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb/>aequale lateri CD. Patet ergo <lb/>propositum. </s></p> <p type="main"> <s>[7] Per [Fig. 9] datum A cir­<lb/>culum describere, qui datam rec­<lb/>tam tangat, et sit datae magni­<lb/>tudinis (non tamen minoris dia­<lb/>metri quam recta AI). </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur data magnitudo se­<lb/>midiameter AD, et describatur <lb/>circulus DE, in quo erit centrum <lb/>quaesiti. Ducatur deinde ED <lb/>recta parallela ipsi BC per F et <lb/>sit IF aequalis ipsi AD semidiametro datae. Occurret <lb/>recta ED circulo ED (nam quaelibet AL et IF maiores <pb pagenum="250"/>sunt dimidio totius AI) ut in D; dico circulum ex D <lb/>per A tangere rectam et esse datae magnitudinis. Cum <lb/>enim AD, FI sint aequales, erunt AD, DC aequales et <lb/>est DC perpendicularis. Ergo circulus ex D per A con­<lb/>tinget in C et erit datae magnitudinis. </s></p> <p type="main"> <s>[8] <emph type="italics"/>Indiget lemmate.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s>Datis duobus circulis lineam <expan abbr="utriq.">utrique</expan> communem tangen­<lb/>tem dare. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit [Fig. 10] et CE tangat utrumque; <lb/>eruut anguli ad D et ad E recti, quare DB et EA paral­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb/>lelae erunt. Ergo ut EA ad DB ita AC ad CB; sed EA, <lb/>DB datae sunt et data est differentia reliquarum BA, <lb/>ergo datur punctum C. </s></p> <p type="main"> <s>Componetur autem hoc modo: Sint dati circuli qui ex A <lb/>et B, fiat ut EA ad DB ita AC ad CB; dico lineam quae <lb/>ducitur ex C et reliqua sunt in priori libello. </s></p> <p type="main"> <s>Datis ut supra oporteat invenire lineam transverse con­<lb/>tingentem. </s></p> <p type="main"> <s>Factum jam sit [Fig. 11] et DE tangat utrunque erunt </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb/>anguli ad D et E recti et ad C sunt ad verticem, ergo <pb pagenum="251"/>per 4. 6<emph type="sup"/>i<emph.end type="sup"/>. ut AE ad DB ita AC ad CB. Datae sunt AE, <lb/>BD, et data tota BA, ergo reliquae BC, CA datae sunt. <lb/>AE, BD et data tota BA ergo relique BC, CA date sunt <lb/>etc. Componetur autem ut in priori libello. </s></p> <p type="main"> <s>[9] <emph type="italics"/>Ecce duo lemmata quae desunt.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s>Datis duabus lineis [Fig. 12] A et B oportet duas <lb/>alias invenire, quarum differentia sit data CD . </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].</s></p> <p type="main"> <s>Producatur utrinque in infinitum, et ad puncta C, D <lb/>duae rectae ponantur utcumque parallelae et aequales <lb/>datis A, B; iunganturque puncta E, F et EF occurret <lb/>in I. Factum est quod ponitur. Erit enim ut FD ad EC, <lb/>hoc est ut B ad A, ita ID ad IC, quarum differentia est <lb/>recta CD. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Aliud.<emph.end type="italics"/> Datis A, B duas reperire quae simul datam <lb/>rectam CF constituant. </s></p> <p type="main"> <s>Pone [Fig. 13] ad extrema puncta CD, FG parallelas <lb/>ad quemlibet angulum, et aequales duabus B, A; iunga­<lb/>turque DG, quae secet in E. Erit per 4. 6.<emph type="sup"/>i<emph.end type="sup"/> ut CD ad FG <pb pagenum="252"/>ita CE ad EF, hoc est ut B ad A, ita CE ad EF quae <lb/>simul datam rectam componunt. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].</s></p> <p type="main"> <s>[10] Sit [Fig. 14] data recta AB et data in ea duo <lb/>puncta B, C; oportet duos circulos describere tangentes <lb/>rectam in C et B, quarum centra sint in directum ipsi <lb/>puncto A. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].</s></p> <p type="main"> <s>Ponantur CD, BE ad angulos rectos, sumptoq, alte­<lb/>rutro centro ad libitum ut G ducatur AG; erit punctum <lb/>sectionis F centrum alterius. Patet utrunq contingere nam <lb/>semidiametri FC, GB angulos rectos faciunt ad C et B. </s></p> <p type="main"> <s>Quando data sit magnitudo unius verbigratia maioris, <lb/>sumatur magnitudo quelibet BG, reliqua fiant ut supra et <lb/>si data sit magnitudo minoris sumatur data magnitudo <lb/>FC et fiat ut supra. </s></p> <pb pagenum="253"/> <p type="main"> <s>Patet etiam datam esse proportionem diametrorum ut <lb/>est enim AB ad AC ita BG ad CF. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].</s></p> <p type="main"> <s>Data iam sit [Fig. 15] <lb/>recta BC et oporteat de­<lb/>scribere duos circulos <lb/>tangentes in B et C, quo­<lb/>rum centra sint in di­<lb/>rectum dato puncto A. <lb/>Ponantur ad rectos angu­<lb/>los CF, BG, sumptoque <lb/>unius quolibet centro F, <lb/>(nisi data sit magnitudo certa FC) fiat circa semidiame­<lb/>trum FC circulus et ducta FG per A, dabit reliquum <lb/>centrum. Nota quod punctum A potest iam dari extra <lb/>lineam et magnitudo circulorum non est... </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>CONTACTUS CIRCULORUM, ET LINEARUM <lb/>RECTARUM.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>OLIM LIBER APOLLONIJ PERGEI, <lb/>NUNC LUSUS GEOMETRICUS.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>[11] A dato puncto ad datum circulum rectam lineam <lb/>contingentem applicare. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc problema soluit Euclides Lib. 3<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/>. Item Apollonius <lb/>lib. 2<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/>. hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>Datum punctum sit [Fig. 16] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb/>A, ergo AB data est, fiat ut BA <lb/>ad AC ita BD ad DC et DE <lb/>recta sit ad diametrum demon­<lb/>strat rectam lineam AE circulum <lb/>tangere in E. </s></p> <p type="main"> <s>Dico nullam aliam lineam da­<lb/>tum circulum tangere posse ab <lb/>eodem puncto A. Tangat enim si <lb/>potest AF et iungantur IF, IE. <lb/>Erunt ergo anguli AFI, AEI ae­<lb/>quales inter se quod est absurdum. </s></p> <pb pagenum="254"/> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Aliter.<emph.end type="italics"/> A dato puncto [Fig. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb/>17] A, opportet dato circulo <lb/>lineam contingentem appli­<lb/>care. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat AD media proportio­<lb/>nalis inter AE, AF; <expan abbr="centroq.">centroque</expan> <lb/>A intervallo AD describatur <lb/>circulus qui secet in C. Dico <lb/>AC circulum tangere iunga­<lb/>tur BC. Et quia quod AC <lb/>factum est aequale rectan­<lb/>gulo EAF recta AC contin­<lb/>gens erit. per ult. 3.<emph type="sup"/>i<emph.end type="sup"/> elem. </s></p> <p type="main"> <s>[12] Data recta linea cir­<lb/>culum describere qui illam <lb/>tangat <expan abbr="transeatq.">transeatque</expan> pur datum punctum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit data recta linea [Fig. 18] AB; oportet per punctum <lb/>C circulum ducere qui datam lineam tan­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].<lb/>gat. Ducatur CD <expan abbr="utcunq.">utcunque</expan> et sit ED per­<lb/>pend. ad AB. Fiat deinde angulus DCE <lb/>aequalis angulo EDC. Dico circulum cen­<lb/>tro E intervallo ED descriptum per C <lb/>transire. Hoc patet ex aequalitatem angu­<lb/>lorum tangit autem lineam BA propter <lb/>angulum rectum. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc etiam manifestum est per datum <lb/>punctum circulum duci posse, qui datam lineam rectam <lb/>tangat in dato puncto. Sumptum fuit enim punctum D <lb/>ad libitum et decet dat. magnitud. </s></p> <p type="main"> <s>[13] Datis duobus circulis, rectam lineam ducere quae <lb/><expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> tangat circuvlum . </s></p> <p type="main"> <s>Sint p.<emph type="sup"/>o<emph.end type="sup"/> aequalis dati circuli, in quo casu patet quod <lb/>quaeritur. </s></p> <pb pagenum="255"/> <p type="main"> <s>Sit iam [Fig. 19] AE maior quam BD, fiat ut AE ad BD <lb/>ita EC ad CD et ex puncto C duca­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].<lb/>tur recta linea quae tangat alterum <lb/>in B, dico alterum <expan abbr="quoq.">quoque</expan> contingere <lb/>in A. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur enim ad contactum B <lb/>recta BD quae erit ad ang. rectos <lb/>ipsi AC, et ducatur item ad ang. <lb/>rectos eidem EA donec conveniat. <lb/>Manifestum est EA aequalem esse <lb/>semidiametro, ergo CA convenit cum <lb/>circulo, sed angulus A rectus est, <lb/>ergo tangit in A. </s></p> <p type="main"> <s>Dico praeterea eosdem circulos ad <lb/>eosdem partes aliam tangentem non <lb/>habere. </s></p> <p type="main"> <s>Quod enim ex puncto C aliam non <lb/>habeant manifestum est, nam transi­<lb/>ret vel supra vel infra B, quia cir­<lb/>culus B aliam tangentem non habet <lb/>ab eodem puncto. </s></p> <p type="main"> <s>Tangat si possibile est <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> li­<lb/>nea ex F ducta. Erit ob angulos G <lb/>et I, ut EI ad DG ita EF ad FE. <lb/>Sed ita erat EC ad CD; ergo divi­<lb/>dendo erit ut ED ad DF ita ED ad <lb/>DC, quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Iisdem datis rectam lineam du­<lb/>cere inter periferias, quae utrunque contingat. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat [Fig. 20] ut </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb/>AD ad BE ita AC ad <lb/>CB et per C ducatur <lb/>ipsa CD contingens <lb/>in D. Dico eandem <lb/>productam tangere in <lb/>E. Sit enim BE pa­<lb/>rallela ipsi AD, et con­<lb/>veniat cum DE, erit ut AC ad CB ita AD ad BE quare BE <pb pagenum="256"/>semidiameter erit. Sed angulus ad E rectus ergo, CE tan­<lb/>git in E. </s></p> <p type="main"> <s>Dico iam non esse aliam communem tangentem si qui­<lb/>dem per C neuter admittit secundam tangentem; sit ergo <lb/>si possibile est DFE communis tangens; erunt triangula <lb/>ADF, BEF similia, propter rectos DE et aequales ad F <lb/>angulos. Erit ergo AF ad FB ita ut erat AC ad CB, quod <lb/>est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>[14] <emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/> Datis duabus lineis quae non sint paral­<lb/>lelae, rectam lineam ducere quae comprehensum ab illis <lb/>angulum bifariam secet, etiam si angulus per distantiam <lb/>non habeatur. </s></p> <p type="main"> <s>Sint [Fig. 21] datae li­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].<lb/>neae AB, CD. Sumatur <lb/>quodlibet punctum E, sit­<lb/>que EF parallela ipsi CD, <lb/>fiat triangulum AFE, ae­<lb/>quicrure cuius vertex E, <lb/>et AF producatur a cuius <lb/>medio H excitetur ad an­<lb/>gulos rectos HI. Patet HI <lb/>secare bifariam angulum occultum. Nam propter paral­<lb/>lelam FE, triangula cuius bases AF et AC sunt similia, <lb/>ergo illus cuius basis AC est equicrure. Sed basis secatur <lb/>bifariam a perpendiculari, ergo etiam angulus. </s></p> <p type="main"> <s>[15] Datis duabus rectis lineis per punctum in altera <lb/>earum datum circulum describere </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 22].<lb/>qui utramqu. contingat. </s></p> <p type="main"> <s>Si sint [Fig. 22] datae rectae <lb/>lineae AB, CD in ter se parallelae <lb/>et datum punctum sit E. Ducatur <lb/>perpendicolaris EF, et circa dia­<lb/>metrum EF habebis circulum quae­<lb/>situm. </s></p> <p type="main"> <s>Sint [Fig. 23] iam AB, CD non <lb/>parallelae. Ducatur FG quae an­<lb/>gulum illarum secet bifariam, sitqu. datum punctum E, <pb pagenum="257"/>ducatur EH perpendicularis </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 23].<lb/>ad AB; dico circulum ex H <lb/>descriptum intervallo HE, <lb/>lineam <expan abbr="quoq.">quoque</expan> CD contingere. <lb/>Ducatur enim HI ad angulos <lb/>rectos ipsi CD, erit propter <lb/>angulos aequales ad G, et <lb/>rectos ad E, I et latus com­<lb/>mune HG erit inquam latus <lb/>HE aequalis HI. Hoc est HI <lb/>semidiameter est; sed anguli <lb/>ad I sunt recti, ergo tangens est. </s></p> <p type="main"> <s>[16] <emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/> Clarum est ex doctrina conica quod si <lb/>linea AB hyperbole erit cuius foci sint C, D, omnes lineae <lb/>a punctis C, D ad aliquod punctum hyperbolae conve­<lb/>nientes eandem habebunt differen­<lb/>tiam quam habent DA, AC. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].</s></p> <p type="main"> <s>His ita suppositis [Fig. 24], sit <lb/>hyperbole ABC cuius foci D et E. <lb/>Dico duas lineas eandem quam EA <lb/>ad differentiam habentes ad ali­<lb/>quod punctum extra hyperbole con­<lb/>venire non posse. Conveniant si <lb/>possunt ad I, et ipsa DI secet hy­<lb/>perbolam in B iungatur BE. Ergo <lb/>ex ipsa suppositione inter DB, BE eadem erit differentia <lb/>quae inter DI, IE, quod esse absurdum ita ostendo. Sit <lb/>idem communi excessus DF, et iungatur FF, erunt FI, IE <lb/>aequales item FB, BE aequales ergo angulus ad F aequalis <lb/>erit duobus ad E, quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>[17] <emph type="italics"/>Lemma aliud.<emph.end type="italics"/> Si tota </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].<lb/>[Fig. 25] recta AB secta sit <lb/>bifariam in C, deinde <expan abbr="utraq.">utraque</expan> <lb/>partium secta sit <expan abbr="utcunq.">utcunque</expan> in <lb/>D et E. Dico eandem esse differentiam inter duas sectiones <lb/>medias DC, CE, quae est inter extremas. </s></p> <p type="main"> <s>Sit BE minor quam AD, et ponatur AF ipsi EB aequalis, <pb pagenum="258"/>erit FD differentia extremarum. Sed ab aequalibus CB, CA <lb/>deme aequales FA, EB remanebit CF ipsi CE aequalis <lb/>ergo patet eandem FD esse <expan abbr="quoq.">quoque</expan> mediarum differentiam. <lb/>Quod opportebat idem sequit de duabus lineis et quae <lb/>sint aequales etc. </s></p> <p type="main"> <s>[18] Datis focis hyperboles, <expan abbr="datoq.">datoque</expan> eiusdem latere tran­<lb/>sverso, sive ipsius transitu hyperbole potest describi. </s></p> <p type="main"> <s>Patet ex elementaris Conicis Apoll.<emph type="sup"/>i<emph.end type="sup"/></s></p> <p type="main"> <s>[19] Datis duobus cir­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].<lb/>culis, circulum descri­<lb/>bere, qui tangat et in­<lb/>cludat <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> datorum <lb/>circulorum. </s></p> <p type="main"> <s>Sint [Fig. 26] duo cir­<lb/>culi ex A, B centris dex­<lb/>cripti et opporteat descri­<lb/>bere circulum qui tangat <lb/>et includat <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit, et circulus ex E centro tangat <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> <lb/>in C, D. Dico centrum E esse in hyperbola cuius foci A, B, <lb/>transitus vero F, punctum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 27].<lb/>medium totius IH. Cum enim <lb/>ED, EC sint aequales erit <lb/>eadem differentia inter BE, <lb/>EA, quae est inter semidia­<lb/>metrum CA, BD contrario <lb/>modo; quare tota CE, toti <lb/>DE aequalis erit. Ergo cir­<lb/>culus ex E tanget <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> <lb/>in C et D; compositio ergo <lb/>patet. </s></p> <p type="main"> <s>Circulum describere qui <lb/>duos datos circulos tangat <lb/>convexa sui parti. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit [Fig. 27], <lb/>et circulus ex centro G tan­<lb/>gat <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> datorum in E, F. Secta sit bifariam DC in I, <pb pagenum="259"/>et focis AB descripta sit hyperbole IG, centrum circuli <lb/>tangentis erit in hac hyperbola. Nam inter AI, IB, est <lb/>differentia adiectarum, et inter AG, GB est differentia ea­<lb/>rundem per antecedens lemma; per lemma erit G punctum <lb/>hyperbolae. </s></p> <p type="main"> <s>[20] <emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/> Si [Fig. 28] recta </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 28].<lb/>linea AB, secta sit bifariam in C, <lb/>et addita sit BD, dempta vero AE, <lb/>erit differentia inter DC, CE, ae­<lb/>qualis aggregato ex AE, BD. Nam sit FA aequalis BD <lb/>erit tota FC aequalis toti CD ergo differentia inter CD, <lb/>CE erit FE. </s></p> <p type="main"> <s>Convertitur hoc modo. Si </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 29].<lb/>[Fig. 29] DC superabit CE <lb/>aliquo excessu ut EF, cuius <lb/>excessus altera pars auferatur <lb/>ut BD, altera vero AE, addatur; dico AC, CB aequales <lb/>esse. Sunt enim DC, CF aequalis, sed BD, AF fiunt ae­<lb/>quales, ergo reliquae AC, CB sunt aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>[21] Datis duobus circulis, circulum describere qui <lb/><expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> datorum tangat, sed alterum includat, alterum <lb/>excludat. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit [Fig. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 30].<lb/>30] et circulus ex G <lb/>tangat <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> dato­<lb/>rum in F, I, ut ponitur. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur bifariam <lb/>AE in D et focis C, B <lb/>describatur hyperbole <lb/>quae sit DG. Per ante­<lb/>cedens lemma BD su­<lb/>perabit DC toto aggre­<lb/>gato BE, CA. Pariter <lb/>BG superabit GC eodem aggregato nempe BI, GF, quare <lb/>punctum G in hyperbola erit. Eodem modo demonstra­<lb/>bitur centrum <expan abbr="cuiuscumq.">cuiuscumque</expan> circuli contingentis esse in ea­<lb/>dem hyperbola. </s></p> <pb pagenum="260"/> <p type="main"> <s>Compositio erit hacc. Dividatur AE bifariam in D et <lb/>fiat hyperbole ut dictum est. Sumpto deinde quolibet <lb/>puncto in hyperbole ut G. Ducatur GF per centrum C. <lb/>Dico circulum centro quidem G intervallo vero GF de­<lb/>scriptum tangere alterum circulum. Ducatur enim GB, et <lb/>quia punctum G est in hyperbola erit differentia inter BG, <lb/>GC eodem quae inter BD, DC (nempe aggregatum semi­<lb/>diametrum BE, CA, per lemma antecedens). Si, ergo, pars <lb/>differentiae dematur ut BI, altera pars addatur ut FC, <lb/>fient IG, FG aequales; ut est demonstratum, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero duo dati circuli exterius se contingant idem <lb/>ostendetur, nempe centra omnium contingentium parte sui <lb/>concava, esse in quadam hyperbola, omnium vero contin­<lb/>gentium parte sui convexo centra esse in alia hyperbola. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati circuli circa C, D centra descripti [Fig. 31] <lb/>centrum circuli tangentis convexo <expan abbr="quicunq.">quicunque</expan> ille sit, ut G, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 31].<lb/>erit in hyperbola cuius foci C, D, transitus vero per I, <lb/>punctum contactus supositi. Hoc facili apparet ex demon­<lb/>stratis. </s></p> <p type="main"> <s>Centrum vero circuli tangentis concavo erit iu illa hy­<lb/>perbola cuius foci C, D, transitus vero per E, punctum <lb/>scilicet medium totius rectae AB. Hoc etiam patet ex is <lb/>quae ante demonstrata sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Circulus autem transversus <expan abbr="quicunq.">quicunque</expan> ille sit habebit <lb/>centrum in recta AB infinite producta, extra tamen ipsa <lb/>CD. Manifestum est. </s></p> <pb pagenum="261"/> <p type="main"> <s>[22] Hoc supponendum est. Ellipsis linea geometrica ha­<lb/>bet hoc peculiare. Sit [Fig. 32] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 32].<lb/>elipsis circa focos A, B. De­<lb/>monstratum est in doctrina <lb/>conica duas AD, DB, item <lb/>duas AE, EB, etc. aequales <lb/>esse duabus BC, CA. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/> Quibus suppositis <lb/>dico: si [Fig. 33] duae rectae <lb/>AE, BE sint aequales dua­<lb/>bus BC, CA, punctum E esse in ellipsi cuius foci sunt B, A, <lb/>vertex vero C. Si enim non </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 33].<lb/>est in ellipsi, ducatur [AE] <lb/>ellipsis <expan abbr="secetq.">secetque</expan> in D, iunga­<lb/>tur DB, erunt ergo etiam <lb/>duae. Quare duae AE, EB <lb/>duabus AD, DB, aequales <lb/>erunt. Et ablata comuni AD, <lb/>erunt duo latera DE, EB <lb/>aequalia uni DB quod est <lb/>absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>[23] Datis duobus circulis se interius tangentibus, dico <lb/>centra omnium circulorum duos datos tangentium esse in <lb/>ellipsi, cuius foci sunt centra circulorum datorum, vertex <lb/>vero punctum contactus dati. </s></p> <p type="main"> <s>Sint enim [Fig. 34] duo circuli dati circa centra A, B, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 34].<lb/>se se contingentes in C, dico circulum qui tangit <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> <pb pagenum="262"/>quicumque ille sit habere centrum in ellipsi quae transit <lb/>per D punctum medium ipsius IE, et cuius foci sunt cen­<lb/>tra A, B etc. </s></p> <p type="main"> <s>Sit circulus cuius centrum G qui tangat <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> in <lb/>H, F, dico G esse in ellipsi etc. </s></p> <p type="main"> <s>Est IE differentia diametrorum, ergo media ID diffe­<lb/>rentia erit semidiametro quare AD maior semidiameter <lb/>erit; ablata vero communi BD, erit AB aequalis DE, nempe <lb/>differentia eadem semidiam. quae ablata a maiori AD, <lb/>remanebit minor BD. Cum ergo AD, DB duae semidia­<lb/>metri sint, est etiam BD, hoc est BG una et FA altera <lb/>ergo duae AG, GB duobus AD, DE, sunt aequales. Est <lb/>ergo punctum G in ellipsi. </s></p> <p type="main"> <s>Compositio patet. Nam dati sint duo circuli ex A, B, <lb/>descripti opporteas facere quod propositum erat. Descri­<lb/>batur ellipsis ut dictum est <expan abbr="sumptoq.">sumptoque</expan> quolibet puncto G <lb/>ducatur GA, dico circulum centrum G per F descriptum <lb/>tangere alium circulum in H. Nam duae AG, GB, duabus <lb/>BH, FA ergo ablatis communibus BG, FA, reliquae erunt <lb/>aequales nempe GH, GF, ergo in H fiet contactus. Quod <lb/>erat ostendendum. </s></p> <p type="main"> <s>[24] Datis duobus circulis se secantibus, circulum de­<lb/>scribere in spatio intercepto qui tangat <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 35].</s></p> <p type="main"> <s>Sint [Fig. 35] duo circuli inaequales ex A, B centris <pb pagenum="263"/>descripti se mutuo secantes; dico centrum <expan abbr="cuiuscumq.">cuiuscumque</expan> cir­<lb/>culi contingentis utrunque datarum in spatio intercepto, <lb/>esse in illa hyperbola cuius foci sunt A, B vertex vero C, <lb/>punctum medium totius DE. Tangat enim ut dictum est <lb/>circulus ex G utrumque. Cum sint semidiametri AE, BD <lb/>inaequales habebant aliquam differentiam et ablatis ae­<lb/>qualibus BC, CE, remanebunt AC, CB cum illa eadem <lb/>differentia semidiametrorum; idem ratione AG, GB eam­<lb/>dem differentiam habebunt, quare G erit in hyperbola. </s></p> <p type="main"> <s>Compositio facile patet; nam sumatur punctum G et <lb/>ducatur AF, dico circulum centro G intervallo GF de­<lb/>scriptum tangere reliquum circulum. Nam tota AF, su­<lb/>perat totam BH eadem differentia qua ablata AG ab la­<lb/>tam GB ergo reliquae sunt aequales. Desideratur lemma <lb/>ad haec ult. verba. Vide lemma. </s></p> <p type="main"> <s>In eadem hyperbola quae [Fig. 36] per medium pun­<lb/>ctum B lineae FG transit erunt centra circulorum omnium </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 36].<lb/>qui tangunt exterius. Tangat enim qui ex D. Differentia <lb/>quae est inter AD, DC eadem est ac inter semidiametros <lb/>quia adiect sunt aequales DE, DI, illa vero differentia est <lb/>quae inter AB, BC (ut ostensum est) ergo punctum D, <lb/>est in hyperbola. </s></p> <p type="main"> <s>Centra vero omnium circulorum concavo tangentium <lb/>(quando dati circuli se inter secant) sunt in illa hyperbola <lb/>quae focos habet BA verticem vero I medium totius CD <lb/>punctum [Fig. 37]. </s></p> <p type="main"> <s>Tangat ut ponitur circulus <expan abbr="quicunq.">quicunque</expan> ex E centro descri­<lb/>ptus. dico centrum E esse in dicta hyperbola. </s></p> <pb pagenum="264"/> <p type="main"> <s>Cum enim sint ae­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 37].<lb/>quales CI, ID, habebunt <lb/>reliquae AI, IB diffe­<lb/>rentiam eandem quam <lb/>dempt. semidiametri ea­<lb/>dem ratione cum sint <lb/>aequales EF, EG, habe­<lb/>bunt reliquae EA, EB <lb/>eandem differentiam, er­<lb/>go punctum E est in <lb/>hyperbola. </s></p> <p type="main"> <s>Componetur ut in an­<lb/>tecedentibus. </s></p> <p type="main"> <s>[25] Ostendetur etiam hoc quod sequitur: </s></p> <p type="main"> <s>Duobus datis circulis utcumque centra omnium circu­<lb/>lorum convexo tangentium sunt in quadam hyperbola; <lb/>centra autem omnium concavo tangentium sunt in alia <lb/>hyperbola quae illi opponitur. Vocat enim Apollonius <lb/>huiusmodi lineas sectiones oppositas, quarum foci et la­<lb/>tus transversum ijdem sunt. Ut in exemplo. </s></p> <p type="main"> <s>Duae sectiones hy­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 38].<lb/>perbolicae [Fig. 38 e <lb/>39] DH, EG habeant <lb/>cosdem focos A, B, et <lb/>idem latus transver­<lb/>sum DE et distantias <lb/>DA, EB aequales. Vo­<lb/>cant Geometrae hu­<lb/>iusmodi sectione op­<lb/>positas. </s></p> <p type="main"> <s>Pro habendis cen­<lb/>tris circulorum qui <lb/>tangant convexo de­<lb/>scripsimus hyperbolam EG per punctum medium E ipsius <lb/>IC, ad habenda vero centro tangentium concavo descri­<lb/>psimus hyperbolam DH ex D, punctum medium totius CF. <lb/>Erunt huiusmodi sectiones opposite. </s></p> <p type="main"> <s>Dimidia totius CD, et dimidia segmenta intercepti IE <pb pagenum="265"/>sunt aequales duabus semidiametris; ergo, ablato maiori <lb/>AC, remanent AD, IE, semidiametro minori IB aequales, <lb/>dempta communi IE remanet AD aequalis ipsi EB. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 39].</s></p> <p type="main"> <s>In secunda figura clarius est CD, DF sunt aequales <lb/>inter se et esquivalent duabus diametris; ergo CD duabus <lb/>semidiametris equivalet dempta maiori C et remanet AD <lb/>semidiametro minori EB equalis. </s></p> <p type="main"> <s>Ut FA ad CA ita ablatum IA ad BA ergo reliquum FI <lb/>ad CB ut erat totum ad totum nempe duplum: sed FI <lb/>duplum est etiam DE ergo DE, CB, sunt aequales. </s></p> <p type="main"> <s>Quando circuli di­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 40].<lb/>stant idem ostende­<lb/>mus hoc modo [Fig. <lb/>40]. Punctum D sit <lb/>medium ipsius IH et <lb/>C medium totius. D <lb/>erit vertex hyperbole <lb/>tangentium convexo, <lb/>C vero vertex hyperbole tangentium concavo. </s></p> <p type="main"> <s>Tota AF continet duas diametros et duas ID, DH; <lb/>ergo dimidia AC continebit duas semidiametros et semel <lb/>DH. Dempta maiori semidiametro AB reliqua BC conti­<lb/>nebit EH, HD, ergo patet propositum. <pb pagenum="266"/> <arrow.to.target n="marg283"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg283"></margin.target>Ad hanc de­<lb/>monstratio­<lb/>nem redu­<lb/>cere oportet <lb/>omnes ante­<lb/>cedentes.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Alius casus<emph.end type="italics"/> [Fig. 41]. Secentur bifariam FI in C, EI <lb/>in L et EH in D; erunt CD vertices hyperbolarum in <lb/>quibus sunt centra cir­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 41].<lb/>culorum transverse tan­<lb/>gentium. Dico item CA, <lb/>DB aequales esse, EH <lb/>dupla est DH et IH <lb/>dupla BH, ergo reliqua <lb/>EI dupla reliquae DB; <lb/>eadem rationem EI du­<lb/>pla est ipsius CA quare CA, DB sunt aequales. Ergo hy­<lb/>perbole per C, D sunt opposite. </s></p> <p type="main"> <s>[26] Dato puncto A [Fig. 42] et recta AB, circulum <lb/>describere qui cum tran­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 42].<lb/>seat per datum punctum <lb/>D contingat datam rec­<lb/>tam in puncto A. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur quodlibet <lb/>punctum B et ducatur <lb/>BD; fiatque ut BD ad <lb/>BA ita BA ad BC, et <lb/>circa triangulum ADC circulus describatur. Manifestum <lb/>est rectum AB circulum contingere, quia AB quadratum <lb/>aequalem est rectangulo DBC. </s></p> <p type="main"> <s>[27] Datis [Fig. 43] duabus lineis AB, BC, et puncto D, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 43].<lb/>circulum describere qui cum <expan abbr="utramq.">utramque</expan> contingat per datum <lb/>transeat punctum. </s></p> <pb pagenum="267"/> <p type="main"> <s>Ducatur HB quae secet angulum ABC bifariam, deinde <lb/>iungatur BD et sumatur punctum <expan abbr="quodcumq.">quodcumque</expan> E, <expan abbr="sitq.">sitque</expan> EF <lb/>ad angulos rectos ipsi AB; facto deinde circulo E, ipsa <lb/>FG erit aequalis ipsi FE; producatur autem DH parallela <lb/>ipsi GF. Dico H esse centrum quesiti circuli. Sit enim HA <lb/>ad angulos rectos ipsi AB, et erit ut HA, ad FE, ita HB <lb/>ad FB. Pariterque ut DH, ad GF, ita rursus HB ad FB, <lb/>erit AH ad EF ut DH ad GF. Sed EF, GF, sunt aequales, <lb/>ergo AH, DH aequales erunt. Patet ergo circulum cen­<lb/>tro H descriptum transire per D contingere in A, et <lb/>quia HB secat angulum bifariam continget etiam lineam <lb/>CB. Quod opportebat. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero ducatur FI aequalis ipsi FE, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 44].<lb/>et sint FI, LD parallelae, erit L centrum <lb/>alterius circuli maioris, qui quesitum pre­<lb/>stabit effectum. Demonstratio eadem est. </s></p> <p type="main"> <s>[28] <emph type="italics"/>Hyperbolae descriptio.<emph.end type="italics"/> Dati gl'as­<lb/>simptoti AB, BC [Fig. 44] e dato il punto <lb/>D nell'iperbola, bisogni fa... l'iper­<lb/>bola. </s></p> <p type="main"> <s>Tira DA, DC parallele alli assimptoti <lb/>e, preso qualunque punto E, tira EH <lb/>parallela alla BC, e per dove segherà <lb/>DC tira BHI, e dove questa sega AD, <lb/>tira IL parallela ad AB, e L sarà il punto della iperbola. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Alia.<emph.end type="italics"/> Sint asym­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 45].<lb/>ptoti [Fig. 45] AB, <lb/>BC <expan abbr="datumq.">datumque</expan> punctum <lb/>D, fiat parallelogr. <lb/>BD; sumptoque quo­<lb/>libet puncto E, sit <lb/>EF parallela ipsi BC, <lb/>ductoque EC, sit H <lb/>DF parallela ipsi EC, <lb/>dico F esse in hy­<lb/>perbola etc. Vel ob similitud. triang. erit EI ad IC ut FI <pb pagenum="268"/>ad ID, ergo parall. EID aequale erit parall. CIF in eodem <lb/>angulo. Add. aequale IB erunt etc. Hoc in ult. fig. . </s></p> <p type="main"> <s>[29] <emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/> Data recta [Fig. 46] AC <expan abbr="datisq.">datisque</expan> duabus <lb/>perpendicularibus BH, CI, opportet lineam EF ducere quae </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 46].<lb/>secet BE, CF in data ratione et <expan abbr="utrisq.">utrisque</expan> simul sumptis sit <lb/>aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit data ratio CA ad AB, et ducatur AI <expan abbr="utcumq.">utcumque</expan> quae <lb/>secet in H, et ducatur NHL parallela ipsi AC, sumatur <lb/>iam CD aequalis ipsi BH et centro I fiat circulus DL. Ma­<lb/>nifestum est rectam lineam IL duabus CI, ML aequales <lb/>esse. Ducatur AF parallela ipsi LI, dico factum esse quod <lb/>opportebat. </s></p> <p type="main"> <s>Sit enim EG parallela ipsi AC. Quia est ut BE ad CF <lb/>ita BH ad CI vel ML ad CI, erit CG ad CF ut CN ad CL, <lb/>et dividendo <expan abbr="sumptisq.">sumptisque</expan> antecedentium duplis, et compo­<lb/>nendo erit ut FB, et CF ad GF, ita ML et CI ad NI; sed <lb/>GF ad FE, est ut NI ad IL; ergo ex aequo ut EB et CF <lb/>ad FE ita ML et CI ad IL sed MI et C sunt aequales <lb/>ipsi IL, ergo etiam BE et CF erunt aequales ipsi FE. <lb/>Ducta est igitur FE, quae duas BE, CF abscindit in data <lb/>ratione, et <expan abbr="utriq.">utrique</expan> est aequalis. </s></p> <pb pagenum="269"/> <p type="main"> <s>[30] Dato circulo [Fig. 47] cuius centrum A et linea BC <lb/>secante, oporteat ducere circulum qui contingat datam <lb/>lineam, <expan abbr="datamq.">datamque</expan> circuli pe­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 47].<lb/>riferiam in puncto I. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur AF perpendicu­<lb/>laris ad ipsam BC et per I <lb/>transeat EB; <expan abbr="sitq.">sitque</expan> BL paral­<lb/>lela ipsi FE, et trasmittantur <lb/>AM, FL per punctum I; de­<lb/>monstratum iam est BL dia­<lb/>metrum esse circuli illius, <lb/>qui ex M centro descriptus <lb/>tangit in punctis B et I ex­<lb/>terne. </s></p> <p type="main"> <s>Sed ducatur parallela <lb/>DG; dico DG diametrum <lb/>esse, et H centrum illius circuli qui tangit in D, et I in­<lb/>terne. Sunt enim ob parallelas, et angulum communem <lb/>similia triangula FAI, DHI, illud aequicrure ergo etiam <lb/>hoc, quare sunt aequales DH, HI. Eadem ratione osten­<lb/>dentur aequales GH, HI. Patet ergo factum esse qd. op­<lb/>portebat. </s></p> <p type="main"> <s>[31] Datis ijsdem [Fig. 48], et dato puncto B, eadem fa­<lb/>cere, eadem manent </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 48].<lb/>constructione etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur GB que <lb/>dabit punctum F, de­<lb/>inde erigatur FI et <lb/>ducatur HB; erit ite­<lb/>rum IF diameter et <lb/>E centrum circuli <lb/>quaesiti. Ratio ea­<lb/>dem est ac in su­<lb/>perio. </s></p> <p type="main"> <s>Quando punctum <lb/>B datum sit in linea <lb/>puta F cum duca­<lb/>tur GF et habebitur punctum B. Reliqua ut supra etc. </s></p> <pb pagenum="270"/> <p type="main"> <s>Data eadem recta linea, et dato puncto B, eadem sint <lb/>facienda. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit, et iungantur centra recta BEFA, du­<lb/>cantur autem perpendiculares ED, BC, erit ut AB, ad BC, <lb/>ita AE ad ED, vel ad EB, dantur autem AB, BC, ergo <lb/>dabuntur etiam AE, EB. <expan abbr="Itaq.">Itaque</expan> centrum quaesiti circuli <lb/>datum est. Compositio facilis est. nam </s></p> <p type="main"> <s>Iungatur et producatur FB, et sit BC perpendicularis <lb/>ad AC: fiat iam ut AB ad BC ita AE ad EB, et demit­<lb/>tatur perpendicularis ED. Dico ED, EB aequales esse; <lb/>eadem enim est ratio AE ad EB, quae AE, ad ED, ergo. <lb/>Patet factum fuisse quod opportebat. </s></p> <p type="main"> <s>Item [Fig. 49] dato circulo cuius centrum A <expan abbr="datoq.">datoque</expan> <lb/>puncto C, circulum describemus contingentem hoc modo. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 49].<lb/>Ducatur ACD donec conveniat <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> ut DC, ad CF, ita AB, <lb/>ad BC <expan abbr="sitq.">sitque</expan> BE parallela ipsi CF, manifestum est ita esse <lb/>DB ad BC ut ad BE, ergo BE, BC sunt aequales etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum sit punctum I ducatur IAH <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> ut HI <lb/>ad IG ita HL ad LI. <expan abbr="Eademq.">Eademque</expan> ratione demonstrabitur IL <lb/>aequalis ei que ex L eadit in DH, ad angulos rectos. etc. </s></p> <p type="main"> <s>Utrunque datorum contingat quolibet modo; et ad <lb/>quodlibet datum punctum; et <expan abbr="cuiuscumq.">cuiuscumque</expan> datae possibilis <lb/>magnitudinis. </s></p> <p type="main"> <s>[32] Dato circulo et linea recta quae non sit secans, <lb/>opporteat aliam circulum describere, qui et circulum, et <lb/>lineam datam contingat. in puncto dato. </s></p> <pb pagenum="271"/> <p type="main"> <s>Hinc descriptio para­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 50].<lb/>bolae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit [Fig. 50] linea data <lb/>CB, et circulus qui ex A cen­<lb/>tro. Ducatur AB ad angulos <lb/>rectos et sit datum punctum <lb/>C, sit CE parallela ipsi AB, <lb/>nectatur deinde FC quae se­<lb/>cet in I, et ducantur HI et <lb/>AI; dico CE diametrum, et <lb/>D centrum esse quaesiti cir­<lb/>culi. Quia enim ob parallelas <lb/>et angulos verticales ad I similia sunt duo triangula FAI <lb/>et IDC; illud autem aequicrure est, ergo etiam IDC, et <lb/>DC, DI sunt aequales; cum autem DC sit perpendicularis, <lb/>et DI centra coniungat, circulus centro D, per C, I ductus <lb/>continget ut opportebat. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem modo ostendetur DE aequalis ipsi DI, ob simi­<lb/>litudinem triangulorum AHI, IED; ergo CE diameter erit, <lb/>cum CD, DE, eidem sint aequales etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum sit punctum I, ducatur FI quae dabit C, <lb/><expan abbr="ductaq.">ductaque</expan> CE parallela ipsi AB, nectantur AI, HI, et de­<lb/>monstrabitur supra CE, diametrum, ipsum vero punctum D <lb/>centrum esse quaesiti circuli. </s></p> <p type="main"> <s>Possent huiusmodi problemata exponi metodo resolu­<lb/>tiva, quae etiam si utillima sit ad inventionem, omittitur <lb/>quic longior est ipsa </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 51].<lb/>compositiva, magis e­<lb/>tiam illam laudaverim <lb/>speculantibus, quam <lb/>scribentibus iam spe­<lb/>culata et inventa. </s></p> <p type="main"> <s>Datis ijsdem alio <lb/>modo idem exeque­<lb/>mur. </s></p> <p type="main"> <s>Sit [Fig. 51] datum <lb/>punctum D et ducatur <lb/>AD, <expan abbr="sumaturq.">sumaturque</expan> quod­<lb/>vis punctum C et fiat circulus Ed; <expan abbr="ductaq.">ductaque</expan> CE ad angulos <pb pagenum="272"/>rectos ipsi GH ducatur DE quae dabit punctum G, dico <lb/>perpendicularem GF, ipsi FD aequalem esse. Sunt enim <lb/>similia propter parallelas duo triangula GFD, et ECD hoc <lb/>autem est aequicrure ergo et illud. F igitur est centrum <lb/>circuli quaesiti qui tangit in G et in D. Ut erat faciendum. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum pun­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 52].<lb/>ctum D, sit in linea recta <lb/>ita propositum absolve­<lb/>mus. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur [Fig. 52] <lb/>perpendicularis DF ae­<lb/>qualis semidiametro AE, <lb/>et iungatur ipsa AF. <lb/>Angulo deinde AFC, fiat <lb/>aequalis angulos FAC; <lb/>manifestum est, C esse <lb/>rursus centrum quaesiti <lb/>circuli. Est enim ob ae­<lb/>quales angulos tota CF <lb/>toti CA aequalis, et ablata ablatae ergo reliqua CD reli­<lb/>quae CE aequalis erit. Ut ante etc. </s></p> <p type="main"> <s>Eadem eodem modo ostendentur etiam si data linea <lb/>datum contingat circulum. Quando vero secat pene eodem <lb/>eveniet hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>[33] Datis ijsdem opporteat describere circulum datae <lb/>magnitudinis qui tam li­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 53].<lb/>neam quam circulum da­<lb/>tum contingat. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur [Fig. 53] CE <lb/>parallela ipsi BD, ad in­<lb/>tervallum dati semidia­<lb/>metri, et secetur in C ab <lb/>arcu cuius centrum A, <lb/>semidiameter vero ag­<lb/>gregatum duorum da­<lb/>tarum semidiametrorum. <lb/>Manifestum est <expan abbr="utramq.">utramque</expan> CF, CB, aequales fieri tum inter <lb/>se, cum etiam datae <expan abbr="cuiumq.">cuiumque</expan> lineae. </s></p> <pb pagenum="273"/> <p type="main"> <s>[34] Si duo circuli se se vel interius vel exterius con­<lb/>tingant, et ductae sint duae diametri parallelae linea <lb/>quae diametrorum parallelarum extrema opposita con­<lb/>nectit, per contactum transibit. </s></p> <p type="main"> <s>Contingant se </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 54].<lb/>duo circuli quorum <lb/>centra AB [Fig 54] <lb/> et nectantur cen­<lb/>tra, <expan abbr="sintq.">sintque</expan> parallelae <lb/>semidiametri AD, <lb/>BC, quarum extre­<lb/>ma iungantur recta <lb/>CD; dico rectam CD, <lb/>transire per pun­<lb/>ctum contactum. <lb/>Secentur rectae AB, <lb/>DC in puncto quolibet E; ostendetur E esse circulorum <lb/>contactus hoc modo etc. Est enim ut DE ad EC ita DA <lb/>ad BC, rursus ut DE ad EC ita AE ad EB. Sunt ergo <lb/>AE, EB semidiametri quare E punctum contactus est. </s></p> <p type="main"> <s>Poterat etiam addi, coniungendo, ut DA et BC, ita <lb/>AE, EB ad EB; sed DA, BC sunt aequales duabus AE, <lb/>EB, ergo etiam BC, BE sunt aequales etc. </s></p> <p type="main"> <s>[35] Si duo cir­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 55].<lb/>culi se contingant <lb/>sive interius sive <lb/>exterius, linea quae <lb/>per contactum du­<lb/>citur, proportiona­<lb/>liter secat diame­<lb/>tros parallelos. </s></p> <p type="main"> <s>Contingant se <lb/>circuli quorum cen­<lb/>tra A, B [Fig. 55] <lb/>in puncto C, et per contactum C ducatur EI quae occurrat <pb pagenum="274"/>duobus diametris parallelis; dico ita esse FE ad ED ut <lb/>GI ad IH. Est enim ob similitudinem triangulorum ut CA <lb/>ad AE, vel ut FA ad AE, ita CB vel GB ad BI; ergo <lb/>per conversionem rationis ut FA ad FE, ita GB ad GI, <lb/>et sic etiam antecedentium duplae DF ad FE, ut HG ad <lb/>GI, quare dividendo erit DE ad EF ut HI ad IG. </s></p> <p type="main"> <s>Si duo circuli se contingant linea quae per contactum <lb/>ducitur secat diametros parallelas (etiam extra circulos) <lb/>proportionaliter. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur [Fig. 56] EF per contactum quae secet <lb/>diametros productos in E et F. Dico ita esse DF ad FG, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 56].<lb/>ut HE ad EI; est enim CA vel AG ad AF ut CB, vel BI <lb/>ad BE; dividendo prius ergo antecedentium duplae, erunt <lb/>DG ad GF, ut HI ad IE, et componendo, ut DF ad FG <lb/>ita HE ad EI. Quod erat ostendendum. </s></p> <p type="main"> <s>His ita demonstratis facile ostendi potest etiam con­<lb/>versa, nempe: Si diametri parallelae secentur proportio­<lb/>naliter vel intra, vel extra circulos, lineam que sectionum <lb/>puncta connectit per contactum transire. </s></p> <p type="main"> <s>[36] <emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/> Circulorum periferiae inter se sunt ut <lb/>diametri. </s></p> <p type="main"> <s>Exponantur [Fig. 57] duo circuli quorum semidiametri <lb/>AD, BC, ipsi AD, ponatur aequalis LM, ipsi autem BC <lb/>sit aequalis GI; <expan abbr="factisq.">factisque</expan> LMN, GIH angulis rectis, suppo- <pb pagenum="275"/>natur MI aequalis peripheriae circuli DE; at ipsa IH ae­<lb/>qualis peripheriae CF. Erit triangulum LMI aequale cir­<lb/>culo ED, et triangulum GIH aequale circulo FC. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg284"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg284"></margin.target>per p.<emph type="sup"/>m<emph.end type="sup"/> Ar­<lb/>chim. de di­<lb/>mens. Circ.</s></p> <p type="main"> <s>Iam dico ita esse semidiameter LM ad periferiam MI <lb/>ut est semidiameter GI ad peripheriam IH. Quod si non <lb/>est fiat ut LM ad MI, ita GI ad IO, facta ergo sunt <lb/>similia triangula LMI, GIO, et propterea triangulum LMI </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 57].<lb/>ad triangulum GIO, rationem habebit dupplicatam lateris <lb/>LM ad latus GI, hoc est AD ad BC. Sed circulus ED, <lb/>ad circulum FC eandem habet rationem; ergo ut circulus <lb/>ED, ad FC circulum, ita triangulum LMI, ad triangulum <lb/>GIO; sunt autem aequales p.<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/> et tertia, ergo circulus FC <lb/>aequalis erit triangulo GIO, quod est absurdum, est enim <lb/>aequalis triangulo GIH. Quare circulorum peripheriae, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc facile ostendetur hoc theorema. </s></p> <p type="main"> <s>[37] Supra [Fig. 58] recta AB posito semicirculo ACB, et <lb/>descriptis <expan abbr="quotcunq.">quotcunque</expan> </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 58].<lb/>semicirculis AF, DG, <lb/>EH, se se contingen­<lb/>tibus, qui totam AB <lb/>expleant. Dico peri­<lb/>feriam ACB, omni­<lb/>bus periferijs AFD, <lb/>DGF, EHB aequa­<lb/>lem esse. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim sit ut <lb/>unum antecedens ad unum consequens, ita quodlibet an­<lb/>tecedentium etc. erunt omnes peripheriae F, G, H, ante- <pb pagenum="276"/>cedentes ad omnes diametros consequentes ADEB, ut una <lb/>F, ad unam diametrum AD, hoc est ut una C ad unam <lb/>diametrum AB, ergo si ACB periferia ad diametrum AB, <lb/>eandem habet rationem quam omnes peripheriae AF, DG, <lb/>FH, ad omnes diametros ADEB, erit permutando ut pe­<lb/>riferia ACB ad reliquas periferias AF, DG, EH, ita dia­<lb/>meter AB, ad diametros ADEB, 3.<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/> et 4.<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/> sunt aequalis, <lb/>ergo et p.<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/> cum secunda aequales erunt. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>[38] Data recta linea AC <expan abbr="datisq.">datisque</expan> punctis B, C, duos </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg285"></arrow.to.target><lb/>circulos describere qui se se contingant, et datam rectam <lb/>lineam in datis punctis § <expan abbr="eorumq.">eorumque</expan> diametri datam habeant <lb/>rationem. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg285"></margin.target>Partila <lb/>al segno §. e <lb/>fanne due.</s></p> <p type="main"> <s>Sit data ratio [Fig. 59] CA ad AB, et ducantur per­<lb/>pendiculares BD, CE sitque linea DE per lemma ante­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 59].<lb/>cedens [28] aequalis duabus BD, CE, et illae datam ha­<lb/>beant rationem. Dico puncta D, E centra esse circulorum <lb/>quaesitorum. Descripto enim circulo CI, manifestum est <lb/>DB, DI, aequales remanere: ergo circulus BI continget <lb/>rectam lineam ob angulos rectos ad B et continget cir­<lb/>culum quia de centra coniungit. Quod erat fac. . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/> Datis duabus rectis lineis AB, CD, non paral­<lb/>lelis angulum ab ipsis comprehensum bifariam secare . </s></p> <pb pagenum="277"/> <p type="main"> <s>Ducatur [Fig. 60] a quolibet puncto D recta DE pa­<lb/>rallela ipsi AB, fiatque. triangulum EDC isosceles, cuius <lb/>basis CE producta in </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 60].<lb/>A secetur bifariam CA <lb/>in F, et eis HF ad <lb/>angulos rectos ipsi <lb/>AC; dico rectam FH <lb/>secare angulum bifa­<lb/>riam. Sunt enim ob <lb/>parallelas duo trian­<lb/>gula similia cuius ba­<lb/>ses CE, CA, sed cuius <lb/>basis CE est aequi­<lb/>crure, ergo quod habet basim CA erit aequicrure; sed <lb/>cum basi secta sit bifariam in F, et perpendicularl FH, <lb/>erit angulus ad verticem bifariam sectus. Quod facere <lb/>oppor. etc. </s></p> <p type="main"> <s>[39] Datis duabus rectis lineis circulum describere qui <lb/><expan abbr="utranq.">utranque</expan> contingat et circulus debeat esse datae magnitu­<lb/>dinis. </s></p> <p type="main"> <s>Sint datae rectae lineae AB, CD, quae si fuerint paral­<lb/>lelae facili negocio exequemur quod propositum est . </s></p> <p type="main"> <s>Sed non sint parallelae [Fig. 61] ducatur EI que secet </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 61].<lb/>angulum AIC bifariam. Manifestum est centrum circuli <lb/>quesiti esse in recta EI; ponatur DF data semidiameter <pb pagenum="278"/>et ducatur FE, parallela ipsi CD; patet circulum centro E <lb/>descriptum qui tangat in C tangere etiam in A. Ducantur <lb/>enim perpendicularis EA, EC, quoniam anguli ad A et C <lb/>sunt recti et ad verticem I sunt aequales, latus autem EI <lb/>commune est erunt EA, EC aequales etc. . </s></p> <p type="main"> <s>[40] Dato circulus cujus centrum A, circulum descri­<lb/>bere qui debeat transire per B et contingere datum cir­<lb/>culum in dato quolibet puncto I . </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur [Fig. 62 e 63] per centrum IA et nectatur <lb/>recta BI <expan abbr="anguloq.">anguloque</expan> CIB fiat aequalis angulus CBI, et con­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 62].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 63].<lb/>veniat recta BC, cum recta AI in puncto C; dico C cen­<lb/>trum esse circuli qui per B ductus tangit datum circulum <lb/>in dato puncto I. Cum enim recta CI coniungat centra <lb/>et duo latera CI, CB, ob aequalitatem angulorum sint ae­<lb/>qualia: patet factum esse quod opportebat etc. </s></p> <p type="main"> <s>[41] Datis duobus circulis, circulum <expan abbr="utriq.">utrique</expan> tangentem <lb/>dare ad datum punctum. </s></p> <pb pagenum="279"/> <p type="main"> <s>Sint dati [Fig. 64] circuli quorum centra A, B, et da­<lb/>tum sit punctum C. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 64].<lb/>Ducatur per centrum <lb/>BC, et sumatur CD <lb/>aequalis ipsi AI; <lb/><expan abbr="iunctaq.">iunctaque</expan> AD, fiat an­<lb/>gulus EAD, aequales <lb/>angulo EDA, et con­<lb/>veniant lineae in E. <lb/>Dico circulum qui <lb/>centro E, intervallo <lb/>EC ducitur, circulum <lb/>cuius centrum est A <lb/>contingere. Sunt e­<lb/>nim ob aequales angulos latera EA, ED aequalia et ablatis <lb/>aequalibus IA, CD reliquae EC, EI aequales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum [Fig. 65] sit punctum I sumatur ID </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 65].<lb/>aequalis ipsi CB, et fiat iterum angulus EBD, aequalis an­<lb/>gulo EDB etc. ut supra. </s></p> <p type="main"> <s>Eadem dicentur etiam si dati circuli se se contingant, <lb/>sive secent. </s></p> <p type="main"> <s>Datis item duobus circulis [Fig. 66] quorum centra A, B, <lb/><expan abbr="datoq.">datoque</expan> puncto C, circulum per C describere qui <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> <lb/>contingat. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur CB per centrum et sumatur CD aequalis ipsi <lb/>IA <expan abbr="iunctaq.">iunctaque</expan> AD, fiat ADF triangulum isosceles cuius <pb pagenum="280"/>basis AD. Dico circulum centro F per C ductus reliquum <lb/>circulum contingere. Si enim aequalibus FA, FD adijcian­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 66].<lb/>tur aequalis eum FC, FI aequalis; quae coniungunt centra <lb/>ergo puncto I, C sunt contactus. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum sit punctum I, sumetur I aequalis ipsi <lb/>CB <expan abbr="fietq.">fietque</expan> trianguium EBF isosceles. Reliqua ut supra etc. </s></p> <p type="main"> <s>Datis item duobus circulis se se secantibus idem exe­<lb/>quemur. </s></p> <p type="main"> <s>Sit datum punctum [Fig. 67] D; iungatur BD et su­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 67].<lb/>matur DC extra aequalis ipsi AI, <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> triangolum iso­<lb/>sceles AEC, cuius basis AC. Dico circulum centrum E <pb pagenum="281"/>per D descriptum contingere reliquum circulum etc. Tota <lb/>enim EA, toti EC, est aequalis, et ablata ablatae, ergo <lb/>reliqua EI reliquae ED aequalis erit, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum sit punctum I, producatur IA et sit IL <lb/>aequalis ipsi BD, <expan abbr="iungaturq.">iungaturque</expan> BL; fiat deinde triangulum <lb/>isosceles BLE, cuius basis BL. Dico circulum centro E <lb/>intervallo EI descriptum tangere reliquum etc. Tota enim <lb/>IL est aequalis toti BD et ablata ablatae ergo reliqua IE, <lb/>reliquae ED, etc. Quare etc. </s></p> <p type="main"> <s>Datis duobus circulis se secantibus circulum <expan abbr="utriq.">utrique</expan> <lb/>communem tangentem dare in dato puncto. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati circuli [Fig. 68] quorum centra A, B, <expan abbr="datumq.">datumque</expan> <lb/>Punctum sit C. Jungatur CB, et sit CD aequalis ipsi AE, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 68].<lb/>et super basi AD fiat triangulum ADI isosceles. Dico cir­<lb/>culum qui centro I per C ducitur reliquum etiam circulum <lb/>tangere. Tota enim CD toti AE est aequalis, et ablata <lb/>ablatae, ergo reliqua CI reliquae IE, aequalis erit, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quod si datum punctum sit E sumetur recta EL ae­<lb/>qualis ipsi CB reliqua vero, ut supra etc. </s></p> <p type="main"> <s>Datis duobus circulis idem exequemur hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati duo circuli quorum centra A, B, et datum sit <lb/>punctum C, opportet per C circulum describere qui <expan abbr="utrinq.">utrinque</expan> <lb/>datorum contingat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit [Fig. 69] et recta CE quae iungit con­<lb/>tactus proferatur in F et iungatur FA. Quoniam ad ver- <pb pagenum="282"/>ticem E sunt aequales inter se, et duobus C, F, erunt <lb/>duo DCE et F aequales, sed sunt alterni, ergo DB, FA, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 69].<lb/>sunt parallelae. Sed data est DB, ergo datur AE, et pro­<lb/>pterea datur FC; <expan abbr="datoq.">datoque</expan> puncto E datur etiam AED, ergo <lb/>datur centrum D etc. Compositio manifesta est. </s></p> <p type="main"> <s>Ex eadem constructione liquet si producatur EF in H, <lb/>ita esse BH ad HA ut CB ad FA, sed istae duae datae <lb/>sunt et data differentia AB, ergo datur punctum H. Com­<lb/>positio erit haec. Invento puncto H ducatur HC, et da­<lb/>bitur punctum E, ergo datur centrum D, ut supra. Omnia <lb/>sunt manifesta. </s></p> <p type="main"> <s>Idem exequemur in alio casu quasi eodem modo. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati circuli quorum centra [Fig. 70] A, B, et datum <lb/>punctum sit C. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 70].</s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit et iuncta per contactus rectae CEG <lb/>nectatur AD. Angulus ECF aequalis est angulo FEC sunt <lb/>enim aequalia latera opposita; item angulus EDA angulo <lb/>AED est aequalis ob eandem rationem; ergo angulus FDA <lb/>angulo ECF est aequalis, quare lineae DA, CF sunt pa­<lb/>rallelae; et CF datur, ergo etiam DA ergo et CD, cum <lb/>punctis E et G. </s></p> <pb pagenum="283"/> <p type="main"> <s>Componetur hoc modo. Ducatur CB, <expan abbr="eiq.">eique</expan> parallela AD <lb/>et iungatur CDE, invento autem E puncto ducatur EA <lb/>quae occurrat ipsi CB, productae in F. Dico duas EF, CF <lb/>aequales esse. Quod manifestum videtur etc. </s></p> <p type="main"> <s>Poterat etiam fieri ut semidiameter CB ad semidiame­<lb/>trum AD ita BG ad GA. Deinde ad datum punctum C <lb/>duci GC quae dedisset idem punctum E etc. Clarum est. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero dati cir­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 71].<lb/>culi se se intersecant <lb/>idem faciemus hoc <lb/>modo. </s></p> <p type="main"> <s>Dati circuli sint <lb/>[Fig. 71] quorum cen­<lb/>tra A, B, <expan abbr="datumq.">datumque</expan> sit <lb/>punctum C . Fa­<lb/>ctum iam et iungatur <lb/>contactus DI <expan abbr="ductaq.">ductaque</expan> <lb/>CIF; patet ipsam EF <lb/>parallelam esse ipsi CD, quae cum datae sint ergo datur <lb/>etiam punctum I a recta FB, quo dato datur ipsa AG <lb/>datur ergo centrum G. Quod erat inveniendum. </s></p> <p type="main"> <s>Punctum autem I datur etiam a recta ED, quae iungit <lb/>extrema diametrorum parallelarum. </s></p> <p type="main"> <s>Datis item duobus circulis se intersecantibus quorum <lb/>centra sint [Fig. 72] A, B, idem opporteat exequi per da­<lb/>tum punctum C. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit et iungatur per contactus FCD. Iam <lb/>patet DB esse parallelam ipsi AC. Angulus enim ACL <lb/>aequalis est suo verticali; ergo et ipsi CFE, ergo etiam <lb/>ipsi BDF, suo alterno etc. Cum autem data sit AC, datur <lb/>et parallela BD, ergo datur DC, <expan abbr="punctumq.">punctumque</expan> F et linea BF; <lb/>datur ergo E, centrum quaesitum. Compositio patet etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est ob similitudinem triangulorum <lb/>DBL et ACL, ita esse AL ad LB, ut AC ad BD, quae <lb/>cum sint semidiametri datae sunt, ergo datum est pun- <pb pagenum="284"/>ctum L, et propterea data est LC quae dat iterum punctum <lb/>F, ad quod si ducatur recta BF datum erit centrum E. <lb/>Comp. patet. </s></p> <p type="main"> <s>Dato eodem puncto C <expan abbr="ductaq.">ductaque</expan> AC, sit ei parallela BM, <lb/>et ducatae MCH, <expan abbr="iungaturq.">iungaturque</expan> BH. Dico circulum centro G </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 72].<lb/>per C ductum contingere in H. Cum enim propter paral­<lb/>lelas similia sint triangula HBM, HGC, illud vero sit equi­<lb/>crure, hoc etiam aequicrure erit, ergo cum HG, GC sint <lb/>aequales, et centra coniungant circulus centro G per C et <lb/>H descriptus <expan abbr="utrinq.">utrinque</expan> continget. Quod facere opportebat. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem AC, BM sint parallelae, nisi sint aequales <lb/>conveniet ipsa MH, cum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 73].<lb/>recta BA; ut in puncto <lb/>N. <expan abbr="Eritq.">Eritque</expan> ut MB ad AC, <lb/>ita BN ad NA; datum <lb/>est ergo punctum N et <lb/>dabatur aliud punctum <lb/>C, ergo duci potest NC <lb/>quae dabit punctum H <lb/>et si iungatur BH dabit <lb/>centrum G. </s></p> <p type="main"> <s>Dati circuli sint [Fig. <lb/>73] quorum centra A, B, <lb/>et datum punctum sit D. <lb/>Ducatur BD, cui sit parallela AF et nectatur FD quae <pb pagenum="285"/>dabit punctum C, <expan abbr="ductaq.">ductaque</expan> AC dabitur E. Dico E centrum <lb/>esse quaesiti circuli. Sunt enim ob parallelas duo triangula <lb/>similia FAC, CED, sed FAC est aequicrure ergo etiam <lb/>CED, etc. Quare centro E duci potest circulus per DC <lb/>puncta qui <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> datorum continget. </s></p> <p type="main"> <s>Quod si datum sit punctum C in interiore. Ducatur AC, <lb/>et ei sit parallela BF, <expan abbr="nectaturq.">nectaturque</expan> FC quae dabit punctum <lb/>D, ergo datur BD linea, et in ea centrum E ut supra. <lb/>Ostendetur idem quia ob parallelas AE, FB, similia sunt <lb/>triangula FDB, CDE, ut supra. </s></p> <p type="main"> <s>Datis ijsdem eodem perficiemus alio modo. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati circuli [Fig. 74] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 74].<lb/>quorum centra A, B, <expan abbr="datumq.">datumque</expan> <lb/>sit punctum D, ducatur BD, <lb/><expan abbr="ponaturq.">ponaturque</expan> DF aequalis ipsi <lb/>AE, et iuncta AF fiat an­<lb/>gulus FAI aequalis angulo <lb/>AFI. Erit ergo tota AI toti <lb/>IF aequalis, et ablata abla­<lb/>tae reliqua igitur HI reli­<lb/>quae ID aequalis erit. Ut <lb/>supra etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si autem duo circuli sint, unus intra alium, et descri­<lb/>bendux sit circulus utrumq datorum contingens qui sit <lb/>datae magnitudinis, ita faciemus. </s></p> <p type="main"> <s>Debet autem data diameter minor esse tota IF. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati circuli [Fig. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 75].<lb/>75] quorum centra A, B, <lb/>minori semidiametro AE <lb/>addatur data magnitudo <lb/>CE, <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> centro A ar­<lb/>cus cuius semidiameter <lb/>A, a maiori autem semi­<lb/>diametro auferatur ea­<lb/>dem data magnitudo et <lb/>fiat arcus centro B cuius <lb/>semidiameter BC. Con­<lb/>veniant autem arcus in C. Patet C esse centrum quesiti <pb pagenum="286"/>circuli. Cum enim CE sit ea quae fuit adiecta ipsi AE, <lb/>et CD sit ea quae dempta fuit ab ipsa BD, erunt ipsae <lb/>CD, CE aequales. Quare factum est quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Datis item duobus cir­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 76].<lb/>culis [Fig. 76] quorum <lb/>centra A, B, opportet cir­<lb/>culum describere datae <lb/>magnitudinis qui <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> <lb/>datorum contingat alte­<lb/>rum cava, alterum vero <lb/>convexa, sui parte. </s></p> <p type="main"> <s>Data magnitudo non <lb/>sit maior quam LI, neque <lb/>minor quam HM. </s></p> <p type="main"> <s>A data magnitudine auferatur semidiameter AF, reliqua <lb/>fiat arcus cuius semidiameter sit AE, rursus data magni­<lb/>tudo auferatur a semidiametro DB et reliqua EB fiat ar­<lb/>cus. <expan abbr="sitq.">sitque</expan> punctum E, concursus arcum. Patet ED, FE <lb/>aequales esse etc. Ut supra etc. ergo factum est quod <lb/>opportebat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ex his quae dicta sunt quamquam aliquis casus om­<lb/>mittatur facile patet qua ratione. Datis duobus circulis <lb/><expan abbr="utcumq.">utcumque</expan> tertius describi possit qui <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum punctum sit H in circulo interiore. <lb/>ducta AH sumatur HC aequalis semidiamet. BD et iun­<lb/>gatur BC, <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> angulus IBC, angulo ICB aequalis erunt <lb/>iterum totae BD, HC aequales, et ablatae IC, IB sunt <lb/>aequales, ergo reliquae ID, IH, erunt aequales. Ut su­<lb/>pra repertum est igitur punctum I centrum circuli quae­<lb/>siti etc. </s></p> <p type="main"> <s>Datis item duobus circulis, quorum unus non sit totus <lb/>intra alium, opporteat describere circulum datae magnitu­<lb/>dinis qui amborum convexa contingat. </s></p> <p type="main"> <s>Data magnitudo [Fig. 77] sit FH, et centro A fiat <lb/>circulus FC. Eadem magnitudo sit GI, et centro B fiat <lb/>circulus IC, iungaturqu. AC, CB etc. Cum duae FH, GI <lb/>positae sint aequales erunt duae CD, CE aequales ergo C <pb pagenum="287"/>centrum est circuli contingentis in D et E, ut querebatur <lb/>datae magnitudinis etc. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 77].</s></p> <p type="main"> <s>Datis duobus circulis disiunctis, circulum designare <lb/>qui alterum cava alterum vero convexa sui parte con­<lb/>tingat et sit datae magnitudinis, maioris tamen diametri <lb/>quam EG. </s></p> <p type="main"> <s>Sit contingendus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 78].<lb/>concavo circulus <lb/>[Fig. 78] cuius cen­<lb/>trum A, et a data <lb/>magnitudine aufera­<lb/>tur AC <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> ad in­<lb/>tervallum residui ar­<lb/>cus cuius semidia­<lb/>metrum AE iterum <lb/>datae magnitudini <lb/>addatur BD, et fiat <lb/>arcus cuius semid. sit EB <expan abbr="secenturq.">secenturque</expan> arcus in E. Mani­<lb/>festum est ipsas EC, ED aequales fieri ergo E, centrum <lb/>est quesiti circuli. </s></p> <p type="main"> <s>[42] Sit AG divisa bifariam in E, erit C transitus <lb/>hyperbole B, F vero foci hyperbole secundi hyperbole foci <pb pagenum="288"/>erunt F, I transitus vero H, debent habere convexum am­<lb/>bae ad partes minoris circuli. </s></p> <p type="main"> <s>Praxis aliam super maiore latere AB, intervallis BC, <lb/>AC, centris B, A describantur duo arcus qui spatium ali­<lb/>quod intercipient cum AC, CB, maiores sint qnam recta <lb/>AB, <expan abbr="illoq.">illoque</expan> spatio diviso bifariam erit punctum medium <lb/>transire hyperbolae et erit eadem differentia segmentum <lb/>maioris, quae inter minora latera erat . </s></p> <p type="main"> <s>[43] Si dati duo circuli sint concentrici [Fig. 79] ex A <lb/>centro descripti, dico omnes circulos qui tangunt in spatio <lb/>intercepto habere centrum in eo circulo qui transit per H </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 79].<lb/>punctum medium ipsius FG. Tangat enim qui ex I, clarum <lb/>est lineam quae iungit centra per <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> contactum tran­<lb/>sire. Tota vero RQ est aequalis toti FG: ergo dimidia RI, <lb/>dimidiae FH, quare tota AI toti AH etc. est ergo pun­<lb/>ctum I in circulo. </s></p> <p type="main"> <s>Dico secundo: Omnes circulos qui tangunt oblique al- <pb pagenum="289"/>terum convexa alterum vero concava sui parte habere <lb/>centrum in circulo qui [Fig. 80] ex A ducitur per E, <lb/>punctum medium totius CG. Tangat <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> circulus ex <lb/>centro M patet unicam lineam quae centra iungit per <lb/><expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> contactum transire. Jam sic tota CG toti LO est <lb/>aequalis, ergo dimidia ac dimidie M, O, est aequalis et <lb/>ablatis aequalibus CA, AO, remanet MA ipsi AE aequalis <lb/>punctum ergo M, est in circulo. </s></p> <p type="main"> <s>[44] Dati sint duo circuli [Fig. 80] circa centra A, B, <lb/>descripti, quorum unus sit totus intra alium. Dico cir­<lb/>culum quemlibet contingentem habere centra in ea ellipsi </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 80].<lb/>cuius foci A, B, vertices vero D, G, puncta media segmen­<lb/>torum CE, FH. </s></p> <p type="main"> <s>Sit enim circulus contingens qui ex I. Dico I punctum <lb/>esse in dicta ellipsi etc. Cum totae CE, FH sint differentia <lb/>diametrorum erunt dimidiae DE, FG differentia semidia­<lb/>metrorum quare duae DB, FG aequales erunt semidiametro <lb/>maiori H; sed ablatis aequalibus FG, GH, remanebit DB, <lb/>aequalis ipsi AG, et dempta communi AB erit DA aequales <lb/>ipsi BG. Dicebamus duas DB, FG aequales esse semid. <pb pagenum="290"/>maiori AL, hoc est duabus AI, IM, et additis aequalibus <lb/>BM, BF, erunt duae AI, IB aequales toti DBFG, vel <lb/>duabus BD, DA. Quare punctum I erit in ea ellipsi quam <lb/>diximus. <lb/>.................................. . </s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>NOTA.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Attesta Pappo Alessandrino avere Apollonio Pergeo composta un'opera in due <lb/>libri dal titolo <foreign lang="greek">e)pafw_n</foreign> (<emph type="italics"/>De tactionibus<emph.end type="italics"/> nelle versioni latine) avente per iscopo di <lb/>costruire una circonferenza passante per <emph type="italics"/>p<emph.end type="italics"/> punti dati e tangente a <emph type="italics"/>r<emph.end type="italics"/> rette o <emph type="italics"/>c<emph.end type="italics"/> cir­<lb/>conferenze pure date, <emph type="italics"/>p, r, c,<emph.end type="italics"/> essendo tre numeri interi non negativi aventi per <lb/>somma 3; i problemi ivi considerati sono, dunque, DIECI, dal momento che tutte <lb/>e sole le ipotesi possibili relativi ai dati sono le seguenti: <lb/> </s></p> <table> <row><cell>I.</cell><cell>Tre punti.</cell></row> <row><cell>II.</cell><cell>Tre rette.</cell></row> <row><cell>III.</cell><cell>Tre circonferenze.</cell></row> <row><cell>IV.</cell><cell>Due punti ed una retta.</cell></row> <row><cell>V.</cell><cell>Due rette ed un punto.</cell></row> <row><cell>VI.</cell><cell>Due punti ed una circonferenza.</cell></row> <row><cell>VII.</cell><cell>Due circonferenze ed un punto.</cell></row> <row><cell>VIII.</cell><cell>Due rette ed una circonferenza.</cell></row> <row><cell>IX.</cell><cell>Due circonferenze ed una retta.</cell></row> <row><cell>X.</cell><cell>Un punto, una retta ed una circonferenza.</cell></row></table> <p type="main"> <s>L'opera di Apollonio essendo andata perduta, tentarono di divinarla (e ci limi­<lb/>tiamo a citare coloro che vissero non dopo il Torricelli) Snellio (1597), Vieta (1606) e <lb/>Ghetaldi (1607). Altret anto NON volle fare il nostro autore, il quale, invece, si pro­<lb/>pose di trattare alcune questioni ANALOGHE, ma NON IDENTICHE a quelle studiate dal <lb/>sommo geometra di Perga; giacchè il fine che egli si propose è ancora la costru­<lb/>zione d'una circonferenza, ma i dati sono differenti, perocchè egli suppose noto il <lb/>punto di contatto della linea richiesta con una delle date, oppure conosciuto il rag­<lb/>gio della circonferenza da descriversi. </s></p> <p type="main"> <s>Nella prima ipotesi si tratta di determinare il centro di una circonferenza la <lb/>quale: <lb/> </s></p> <table> <row><cell>I.</cell><cell>Passi per un punto e tocchi una retta data in un punto assegnato [12];</cell></row> <row><cell>II.</cell><cell>Tocchi due rette date, una in un suo punto dato [15];</cell></row> <row><cell>III.</cell><cell>Tocchi una circonferenza ed una retta in un suo punto [31];</cell></row> <row><cell>IV.</cell><cell>Tocchi una retta ed uua circonferenza in un suo punto dato [30];</cell></row> <row><cell>V.</cell><cell>Tocchi due circonferenze, una in un suo dato punto [41);</cell></row> <row><cell>VI.</cell><cell>Passi per un punto e tocchi una data circonferenza in un punto asse-</cell></row> <row><cell></cell><cell> gnato di essa [6,40].</cell></row></table> <p type="main"> <s>Tutti questi problemi sono risoluti nella precedente memoria ed i numeri scritti <lb/>in parentesi indicano in quali paragrafi si trovino le soluzioni. Si può però osservare <lb/>che, a rigore, essi potevano ridursi a tre soltanto; infatti, se un cerchio incognito <lb/>deve toccare un dato cerchio in un assegnato punto P, esso avrà per tangente in P la <lb/>retta <emph type="italics"/>r<emph.end type="italics"/> che tocca ivi quel cerchio, onde, nell'enunciato del corrispondente problema, al <lb/>posto della circonferenza si può porre la retta <emph type="italics"/>r;<emph.end type="italics"/> mediante tale considerazione il <lb/>problema IV si riduce al II, il V al III ed il VI al I. Ora, benchè le soluzioni proposte <lb/>da Torricelli per questi due problemi ultimi siano nel fondo identiche, non risulta <lb/>che egli abbia avvertita in generale la possibilità dell'indicata riduzione. </s></p> <p type="main"> <s>Quando poi della circonferenza da descrivere si conosca il raggio, i dati possono <lb/>essere soltanto: <lb/> <arrow.to.target n="table4"></arrow.to.target> <pb pagenum="292"/>i corrispondenti problemi sono risoluti dal Torricelli nei paragrafi indicati, eccezion <lb/>fatta per il I e III, che vennero ommessi probabilmente per la loro facilità. </s></p> <table> <table.target id="table4"/> <row><cell>I.</cell><cell>Due punti</cell></row> <row><cell>II.</cell><cell>Due rette [39].</cell></row> <row><cell>III.</cell><cell>Due circonferenze.</cell></row> <row><cell>IV.</cell><cell>Un punto ed una retfa [7].</cell></row> <row><cell>V.</cell><cell>Un punto ed una circonferenza [3, 5].</cell></row> <row><cell>VI.</cell><cell>Una retta ed una circonferenza [33];.</cell></row></table> <p type="main"> <s>Oltre agli indicati problemi Torricelli ne risolve altri già studiati da Euclide e <lb/>da Apollonio e finalmente uno sul quale giova spendere qualche parola; si tratta <lb/>di costruire tre circonferenze che risultino a due a due tangenti e delle quali si <lb/>conoscano i centri A, B, C; tale problema ammette QUATTRO soluzioni; una si ottiene <lb/>scegliendo come punti di mutuo contatto delle circonferenze richieste i punti nei <lb/>quali i lati del triangolo ABC sono toccati dalla circonferenza in esso inscritta, ed <lb/>è quella appunto a cui si arresta il discepolo di Galileo; le altre provengono <lb/>similmente dalle tre circonferenze ex-inscritte. </s></p> <p type="main"> <s>I mezzi di cui Torricelli si serve in generale per conseguire l'intento propostosi <lb/>sono quelli concessi da Euclide ai geometri; però egli ha ritenuto lecito di servirsi <lb/>di sezioni coniche anche in casi in cui non era indispensabile ricorrervi. </s></p> <p type="main"> <s>Da ultimo va osservato che le questioni trattate ammettono in generale parecchie <lb/>soluzioni; il Torricelli si limita ad indicarne una soltanto; ma le procedure da lui <lb/>esposte sono capaci di porgerle tutte, quando vengano eseguite a dovere (cioè quando <lb/>il trasporto di un segmento si faccia indifferentemente in un senso o nell'altro, <lb/>quando si considerino entrambe le bisettrici degli angoli formati da due rette o <lb/>entrambe le intersezioni d'una retta con una circonferenza o di due circonferenze <lb/>fra loro). </s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE PROPORTIONIBUS LIBER.<emph.end type="center"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Della presente memoria esistono a Firenze tre esemplari nel Vol. XXVI della <lb/>nota Collezione dei “ <emph type="italics"/>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"/> ”. due autografi, il terzo copia. Di essa <lb/>(che sembra essere uno degli ultimi lavori di cui si occupò il sommo Faentino) è <lb/>fatto cenno nella chiusa di una lettera diretta a M. A. Ricci il 24 agosto 1647 (queste <lb/><emph type="italics"/>Opere,<emph.end type="italics"/> T. III, p. 474-5); un largo riassunto ne venne pubblicato da R. Caverni (<emph type="italics"/>Storia <lb/>del metodo sperimentale in Italia,<emph.end type="italics"/> T. V, Firenze 1898, p. 101-104), il quale afferma che <lb/>lo scritto del Torricelli corse lungo tempo per le mani degli amici e servl come <lb/>testo nelle scuole in luogo dei Libri V e VI di Euclide. Lo stesso scritto venne ana­<lb/>lizzato da F. PODETTI (v. l'articolo <emph type="italics"/>La teoria delle proporzioni in un manoscritto ine­<lb/>dito di Evangelista Torricelli<emph.end type="italics"/> inserito nel Fascicolo di luglio-settembre 1914 del <emph type="italics"/>Bol­<lb/>lettino di bibliografla e storia delle scienze matematiche<emph.end type="italics"/>) grazie all'importanza che <lb/>possiede per chi intenda formarsi un concetto completo degli studi che furono fatti <lb/>nella Scuola del Galileo sul V Libro degli <emph type="italics"/>Elementi di Euclide.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s>Nella scguente riproduzione vennero soltanto omesse alcune figure non necessarie <lb/>all'intelligenza del testo </s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="bold"/>DE PROPORTIONIBUS LIBER<emph.end type="bold"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>AD AMICUM LECTOREM PROEMIUM <lb/>IN QUO DE DEFINITIONIBUS GEOMETRICIS<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Quanam temporum injuria factum esse dicam, ut apud <lb/>Euclidem, cujus in omni fere theoremate veritas tam clare <lb/>elucet, aliquando tanta obscuritas reperiatur, ut nihil in­<lb/>certius, ne dicam fallacius judicandum sit? Hujusmodi <lb/>videtur quintus Liber, qui in ipsis praesertim definitioni­<lb/>bus corruptus, et contaminatus est eousque ut, me judice, <lb/>non mereatur excusari. Hinc factum est, quod me co­<lb/>hibere non potuerim, quin exiguo hoc opere pertractan­<lb/>dam assumerem Proportionum doctrinam, cui, veluti fun­<lb/>damento, universa Geometriae moles innititur. Non ignoro <lb/>quam magnum, et quam difficile sit apud hominum Na­<lb/>tiones impetrare, ne Libellus in dicta causa condamne­<lb/>tur; praecipue tanti nominis, et tantae vetustatis Auctore <lb/>in contrarium decertante. Sed quicquid tandem futurum <lb/>sit, si non aliis, mihi certe satisfaciam, atque illis, si qui <lb/>erunt, qui, monitore me, Geometriam addiscere velint. <lb/>Nec me terret lapsus cujusdam scriptoris, qui nostro hoc <lb/>saeculo eandem provinciam in feliciter agressus est: quippe <lb/>qui existimavit eodem modo se habere quantitates, atque <lb/>proportiones, quae ab illis erga aliquam tertiam quanti­<lb/>tatem proficiscuntur. Nam sedulo gratulandum esset Lo­<lb/>garithmorum computatoribus, si nihil discriminis inter <lb/>quantitates, et proportiones intercederet. Excusant non <pb pagenum="296"/>nulli antiquos, quicumque fuerint, qui in Definitiones Eu­<lb/>clidis manus iniicere non dubitaverunt, dicentes neminem <lb/>teneri ad reddendam rationem Definitionum geometrica­<lb/>rum: ideo Euclidem (hunc enim brevitatis causa nomina­<lb/>bimus) potuisse definire proportionalitatem quocumque <lb/>modo voluerit: putantque satis esse ad demonstrandum <lb/>quatuor magnitudines proportionales, si ostendatur aeque <lb/>multiplicia ipsarum eadem habere symptomata, quae in <lb/>definitione posita fuerant: et tum demum abunde nobis <lb/>consultum esse opinantur, quando docent cavendum, ne <lb/>unquam auctori concedamus quatuor magnitudines pro­<lb/>portionales existere, nisi prius ostenderit magnitudinibus <lb/>ipsis, earumque aeque multiplicibus praemissam ab eo <lb/>definitionem convenire. At, nisi ego fallor, non leviter <lb/>falluntur, qui talia jactant. Geometra enim in definiendis <lb/>illis rebus, quarum conceptus jam aliquo modo apud mul­<lb/>titudinem praeexistit Liber, et sui juris omnino non est: <lb/>sed debet accomodare definitionem suam tali conceptui, <lb/>quemadmodum fecit Euclides ipse in definitione circuli, <lb/>et in definitione proportionis numerorum, et in aliis quam <lb/>plurimis. Declarabo dictum exemplo. Potuisset Euclides <lb/>definire circulum centum modis, ponendo scilicet in defi­<lb/>nitione quamlibet ex innumeris ipsius circuli passionibus <lb/>exempli gratia hoc modo. Circulus est figura plana, in qua <lb/><emph type="italics"/>si duae linae reclas se secuerint quocumque modo, rectan­<lb/>gula partium semper inter se sint aequalia.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s>Inculpabilis tamen talis definitio non fuisset. Nam pro <lb/>definitione alicujus subjecti in Mathematicis non debemus <lb/>perperam usurpare quamcunque affectionem ejusdem su­<lb/>bjecti; praesertim vero quando ea difficilis intellectu; et <lb/>de cujus possibilitate prompta sit, et non injusta dubi­<lb/>tatio. Sed accipienda erit aliqua ex facilioribus, et no­<lb/>tioribus, atque illa prorsus, quae magis se accomodat <lb/>conceptui de ejusmodi subjecto praeexistente, ex qua de­<lb/>finitione postea, tamquam ex fonte, omnes alias cognatas <lb/>passiones ejusdem subjecti, possimus derivare. Quis enim <lb/>tantae credulitatis sit, adeoque obtusam habeat mentis <lb/>aciem, ut non dubitet, an ejusmodi accidens in aliqua <lb/>figura possit unquam reperiri? Neminem existimo tam <pb pagenum="297"/>perspicaci pollere intellectu, ut ipsi statim liqueat, nulla <lb/>exhibita demonstratione, an inter infinitas figuras possi­<lb/>biles ulla possit existere, quae habeat imperatam condi­<lb/>tionem illam, <emph type="italics"/>ut si intra ipsam duae rectae se secuerint <lb/>quocumque modo, rectangulum partium unius semper ae­<lb/>quale sit, sive duplum, sive quadruplum rectanguli partium <lb/>alterius.<emph.end type="italics"/> Sed quid nam obscurius, et justissima dubita­<lb/>tione dignius concipi unquam potest quam definitio sexta <lb/>Libri V Euclidis, ubi supponitur dari posse quatuor ma­<lb/>gnitudines, quarum aequemultiplicia juxta quamlibet ex <lb/>infinitis possibilibus multiplicationibus sumpta, ut ibi ju­<lb/>betur, semper in excessu, sive defectu, vel aequalitate <lb/>conveniant? Video ad hanc dubitationem meam in promptu <lb/>esse responsionem illam, geometrae definitori incumbere <lb/>onus probandi, atque demonstrandi, quod in aliquo su­<lb/>bijecto reperiatur ea conditio, quam ipse posuit in defini­<lb/>tione: et hoc quotiescumque ea conditio obscurior fuerit, <lb/>neque ex se ipsa statim appareat: quod cum ostenderit <lb/>concedendum erit ei subjectum illud esse idem prorsus, <lb/>quod antea definiverat. Quae quidem responsio nulla est; <lb/>accepto enim iterum circuli exemplo, si demonstraverit <lb/>geometra aliquam esse figuram, in qua rectae se se­<lb/>cantes rectangula semper aequalia efficiant, concedemus <lb/>figuram illam esse circulum, quoniam ei hoc nomen ipse <lb/>imposuerat in definitione; sed hunc circulum semper intel­<lb/>ligemus secundum suam definitionem, non autem secun­<lb/>dum conceptum universalem multitudinis: remanebit pro­<lb/>pterea semper in intellectu justissima quaedam dubitatio, <lb/>an hujusmodi circulus hoc modo definitus, ac demonstra­<lb/>tus idem circulus sit cum illo qui jampridem aliquo sal­<lb/>tem modo notus erat. Itaque nisi et hoc demonstre­<lb/>tur, nunquam ego concedam figuram eo modo definitam, <lb/>quamquam liquido demonstretur in rerum natura reperiri, <lb/>lineasque intra ipsam se secantes rectangula aequalia <lb/>semper continere, esse illam eamdemque figuram planam, <lb/>et rotundam, quam antea sub conceptu et nomine circuli <lb/>aliquo modo praenoscebam. Dubitabo potius, nisi aliud <lb/>praeterea demonstretur illam posse esse aliquam figuram <lb/>ovalem oblongam, sinuosam et fortasse angularem. Ad <pb pagenum="298"/>de quod Euclides, id quod ipse posuerat in sexta defini­<lb/>tione Libri V, licet obscurissimum, et de quo unusquisque <lb/>merito dubitare debet, an possibile sit, numquam tamen <lb/>demonstrat, sed statim in quarta propositione usurpat tan­<lb/>quam certum, et possibile. Supponit enim quatuor ma­<lb/>gnitudines esse proportionales, atque ideo ex definitione <lb/>sexta, illarum aeque multiplicia debito modo sumpta juxta <lb/>quamlibet ex infinitis multiplicationibus aeternum conve­<lb/>nire, sive in excessu, sive in defectu, sive in aequalitate. <lb/>In reliquis deinde propositionibus semper supponit aeter­<lb/>nam illam aequemultiplicium concordiam, de cujus pos­<lb/>sibilitate dubitamus, non solum possibilem, sed de facto <lb/>veram esse in aliquo subjecto nempe suppositis aliquibus <lb/>magnitudinibus proportionalibus, deinde veram esse con­<lb/>cordiam, hanc etiam in aliquo alio subjecto ipse demon­<lb/>strat, et quidem evidentissime ideoque concludit ex vi <lb/>suae definitionis quasdam alias magnitudines, praeter Illas <lb/>primas proportionales existere. Fingamus Euclidem im­<lb/>perare statim in prima propositione primi Libri circulum <lb/>describi, hoc est figuram illam tali pacto definitam, ut in <lb/>ea rectae lineae se secantes rectangula aequalia semper <lb/>constituant, de qua veritate, et possibilitate ante demon­<lb/>strationem maxime dubitandum esset, quisnam adeo se­<lb/>dati compositique animi fuerit, ut librum ipsum iratus <lb/>non proijciat, et ab omni geometria confestim se abdicet? <lb/>In quinto autem Libro statim concedemus tamquam pos­<lb/>sibilem, veramque aeternam illam aequemultiplicium con­<lb/>cordiam, de cujus veritate, et possibilitate nemo unquam <lb/>acute mentis erit, qui dum in eum locum primo incidit, <lb/>summopere non ambigat. Praemonet Euclides tunc qua­<lb/>tuor magnitudines proportionales fore, quando inter ea­<lb/>rum aequemultiplicia aeternam illam concordiam contin­<lb/>get reperiri. Demus illi concordiam hanc existere posse, <lb/>et quidem juxta omnigenam aequemultiplicium multi­<lb/>plicationem. At quis me certum reddit in qua tandem <lb/>proportione proportionales futurae sint illae quatuor ma­<lb/>gnitudines, quas Auctor proportionales vocat? Cur nam <lb/>in Geometrica, quam in Arithmetica, sive Armonica, sive <lb/>in alia quacumque proportionalitate irregulari? Rispon- <pb pagenum="299"/>debit aliquis in Geometrica proportione erunt, nam hoc <lb/>Auctor ipse manifeste praedicit. Adeo ne vilis effecta <lb/>est Mathematicarum disciplinarum dignitas, ut in scho­<lb/>lam, vel ipsius geometrarum principis recipiatur pudendum <lb/>ignominiosum illud ipse dixit? Non me latet quam pluri­<lb/>mos laborare, ut veritatem sextae illius definitionis per­<lb/>suadeant experimentis aliquot ab arithmetica desumptis. <lb/>Ostendunt enim, positis quatuor numeris proportionalibus, <lb/>aequemultiplices ipsorum juxta praeceptum sumptos sem­<lb/>per concordes esse in excesso, defectu, aequalitate. Quae <lb/>quidem experiundi ratio si bona creditur, et demonstra­<lb/>tionis vim habere censeatur cur non latius promovetur, <lb/>et reliqua theoremata quinti Libri pari facilitate, et sim­<lb/>plicitate per numeros demonstrantur sublata poenitus di­<lb/>ficillima illa aequemultiplicium doctrina? Nesciunt for­<lb/>tasse isti, sive potius nescire simulant talia numerorum <lb/>exempla ad reprobandas quidem propositiones esse idonea, <lb/>quando in uno tantum casu non succedunt ex voto. At <lb/>nunquam posse confirmare licet decies, sive centies, mil­<lb/>liesque repetito experimento semper feciliter, atque ex <lb/>animi penitus sententia evadant. Quam severe nobiscum <lb/>a natura actum est. Ad destruendam enim aliquam as­<lb/>sertionem nostram, unus tantum casus in contrarium <lb/>sufficit, ad confirmandam vero, omnes, hoc est infinitos <lb/>consentire necesse est: sed quamquam plurima numero­<lb/>rum experimenta feliciter tandem succedant, non ne plura <lb/>erunt illa quae intentata remanebunt in infinita numero­<lb/>rum multitudine? Removenda igitur esset dubitatio, ne <lb/>inter tot omissa experimenta aliquis numerus delitescat, <lb/>qui nostram aeque multiplicium concordiam tandem de­<lb/>struat. Porro concedamus disputationis gratia, non plu­<lb/>rima, sed omnia numerorum experimenta arridere, quidnam <lb/>denique censendum erit de magnitudinibus incommensu­<lb/>rabilibus, quae quidem inter se non possunt habere ratio­<lb/>nem iliam, quam habet numerus ad numerum? Quodnam <lb/>inventum machinabimur, ut de illarum etiam aequemul­<lb/>tiplicibus, aliquod periculum faciamus, quemadmodum fe­<lb/>cimus de numeris? Non desunt qui opinentur quamlibet <lb/>in geometria definitionem bonam esse: scilicet existimant <pb pagenum="300"/>nihil aliud geometricam definitionem esse praeter no­<lb/>menclaturam quamdam, et proprie nominis impositionem. <lb/>Non negaverim quasdam vere esse nominis impositiones, <lb/>quas geometra fingere potest arbitrio suo. Quando au­<lb/>ctor definitionem hanc dedisset fenestra est cujus pars <lb/>nulla est, optimam definitionem, hoc est nominis imposi­<lb/>tionem dedisse faterer: deinde vero extremitates linearum <lb/>fenestras esse libentissime concessissem et quotiescumque <lb/>fenestram idem geometra in eodem opere nominavisset. <lb/>numquam intellexissem, illas, quae ad excipiendam lucem <lb/>in parietibus domorum, templocumque relinquuntur, sed <lb/>rem quandam quae juxta praescriptum in definitione nullas <lb/>partes habeat utpote linearum communis aliqua intersectio, <lb/>sive extremitas, sive aliquid simile. Pari ratione si dica­<lb/>mus sextam illam definitionem nihil aliud esse praeter <lb/>nominis quamdam impositionem, quis non videat omnem <lb/>operam perdi, omnemque hujus doctrinae fructus interire? <lb/>Quotiescumque enim imposterum magnitudines proportio­<lb/>nales, sive proponi, sive demonstrari, sive quocumque alio <lb/>modo nominare audiam, numquam alium conceptum de <lb/>illis in intellectu constituam praeter illum in definitione <lb/>imperatum. Nempe proportionalitatem semper interpre­<lb/>tabor tamquam si diceret magnitudines illas tales esse, <lb/>ut earum aeque multiplicia semper habeant prescriptam il­<lb/>lam concordiae conditionem. Coeterum ignorabo poenitus, <lb/>quod magis ad rem nostram attinet, nimirum an prima ad <lb/>secundam sit ut est tertia ad quartam, hoc est an ratio, <lb/>quae inter primam et secundam est, vere, et sine ulla du­<lb/>bitatione similis sit rationi, quae inter tertiam et quartam <lb/>intercedit. Credamque proportionales esse ex vi demon­<lb/>strationis definitionisque quamquam supersit, et merito <lb/>quidem suspicio illa, quod prima magnitudo possit esse <lb/>dupla secundae, tertia vero tripla quartae, neque enim de­<lb/>monstratio neque definitio removet hanc suspicionem oc­<lb/>casionemque dubitandi . Praeterea si tamquam bonam <lb/>illam demonstratione definitionem sine admittere debea- <pb pagenum="301"/>mus illam definitionem, quae re ipsa theorema est, non <lb/>video cur pari rationi admittendae non sint tamquam <lb/>definitiones sive axiomata reliquae omnes quinti Libri <lb/>propositiones. Nullum certe est inter illa theoremata ae­<lb/>que difficile arduumque intellectu atque illa definitio. Ac­<lb/>cedit insuper alia difficultas non levior priore. Non debet <lb/>geometra ejusdem subjecti duas simul exhibere defini­<lb/>tiones, quarum unitas, et concordantia statim apparere <lb/>non possit nisi adducta demonstratione. Data enim prima <lb/>definitione, quaecumque ea sit, si deinde aliam afferat, <lb/>quae manifestam non habeat connexionem, atque unita­<lb/>tem cum priore definitione, secunda haec non erit amplius <lb/>definitio, sed statim degenerabit in theorema, quod omnino <lb/>sua peculiari demonstratione indigebit. Vera definitio pro­<lb/>portionalitatis habetur apud Euclidem dum inquit proportio <lb/>vero est rationum similitudo. Quaecumque alia deinceps <lb/>de proportionalitate adiiciatur, quae idem aperte non sonet <lb/>cum adducta jam definitione, omnino reiicenda erit inter <lb/>theoremata, et evidenti demonstratione comprobanda. Hoc <lb/>equidem factum fuisse jam tum vel ab Euclide, vel ante <lb/>ipsum ab aliquo alio geometra crediderim, licet ipsa de­<lb/>monstratio, quae tum fonte apud Graecos celeberrima erat <lb/>ad aetatem nostram non pervenerit. Alias enim qua ra­<lb/>tione excusari posset noster auctor poenitus ignorarem. <lb/>Redolet nescio quid non vulgaris difficultatis etiam defi­<lb/>nitio majoris proportionis. Nam quis me certiorem faciet <lb/>magnitudines tunc nequaquam esse proportionales, quando <lb/>illarum aeque multiplicia praescriptam illius concordiae <lb/>legem non servabunt in omnibus casibus? Etenim si videre <lb/>aequemultiplicia concordare in mille casibus, facile addu­<lb/>car ut credam magnitudines illorum esse proportionales, <lb/>neglecto, si qui erit, aliquo casu, in quo aequemultiplicia <lb/>ab imperata concordia aberrare cognoscantur. Discant ex <lb/>hac definitione, qui paucis tantum experimentis feliciter <lb/>examinatis tentatis facile sibi persuadebant proportionali­<lb/>tatem inter quatuor magnitudines reperiri, discant, inquam, <lb/>non esse fidendum illis quoscumque fuerint examinibus <lb/>quandoquidem Euclides ipse nos terret in hac definitione. <lb/>Exclamat enim majorem tunc esse proportionem, hoc est <pb pagenum="302"/>magnitudines minime proportionales esse, quotiescumque <lb/>earum multiplicia in unico tantum casu a praescripta con­<lb/>cordia discrepare reperiantur; licet per innumeras casuum <lb/>miriades concordare antea reperta fuissent. Tandem ut <lb/>ad conclusionem accedam, pari facilitate dubitabo magni­<lb/>tudines non esse proportionales, licet earum aequemulti­<lb/>plicia imparatam concordiam constantissime servent, et <lb/>esse proportionales, licet ab eadem concordia aliquando <lb/>recedant. Hactenus enarratae sunt difficultates, quae me <lb/>ad hoc opus, qualecumque sit, impulerunt. </s></p> <p type="main"> <s>Respondeo nunc ad aliquo objectiones, quibus obnoxium <lb/>me non nemo judicare potuisset, si tacite praeterijssem. <lb/>Primum mea methodus neque ipsa caret difficultatibus suis, <lb/>nam praeter definitiones habet etiam suppositiones non <lb/>paucas, quibus veluti fundamentis molem suam superaeci­<lb/>ficat. Adde etiam quod inter suppositiones accenseo non <lb/>nulla, quae Euclides demonstratione indigere judicavit. Ab <lb/>his breviter me expedio. Euclides suppositis difficillimis <lb/>principiis faciliosa quaeque demonstravit. Ego contra prae­<lb/>missis facilioribus, notioribusque principiis difficillima quae­<lb/>que demonstrare conatus sum. Nemo certe negabit apud <lb/>Euclidem difficiliora esse principia, quam theoremata cui <lb/>methodo contrariam poenitus me secutum esse non despero. <lb/>In secunda, et tertia suppositionum mearum, quatuor re <lb/>ipsa continentur axiomata. Sed nemo non videbit illa ex <lb/>aliorum suppositione potuisse demonstrari, nisi tam mani­<lb/>festa essent, ut simpliciter supponi posse visa fuerint. Ar­<lb/>guet me fortasse aliquis, quod libellum hunc ex magna <lb/>parte Proportionibus, et demonstrationibus ex Euclide de­<lb/>sumptis infarcivi. Ad haec non me excuso. Utinam opus <lb/>ipsum, et quidem integrum conflare potuissem theoremati­<lb/>bus hinc inde ex Euclide collectis. Dolet quod non nihil ex <lb/>meo interserere aliquando coactus sum. Non enim opus <lb/>hoc ab ingenio, sed a necessitate provisum est. Quod ad <lb/>molem libelli attinet, nemo certe pre nimia magnitudine <lb/>illum legere abnuet. Numerus propositionum quae scitu <lb/>necessariae ad 24 non ascendit: quin etiam ex illis quar­<lb/>tam fere partem demere potes, non quia praetermittendae <lb/>sint, sed quia ex sexto, decimo, undecimo, dodecimoque <pb pagenum="303"/>libro exceptae sunt, ideoque cum ad illarum loca perve­<lb/>neris apud Euclidem; tamquam diu perceptas praeterire <lb/>poteris. Proemium fortasse, et Appendicem in Libro qui <lb/>de Propositionibus agit, si quis cum opere conferat, nullam <lb/>servare proportionem videbuntur: delictum hoc excusabi­<lb/>mus exemplo. Non desunt qui hanc ipsam materiam ag­<lb/>gressuri integrum pene volumen in prolegomenis, nec ae­<lb/>quali necessitate adacti conscripsere. </s></p> <p type="main"> <s>Indecorum ne videbitur maxima geometriae opera <lb/>praemanibus habentem cum elementaribus hisce tyroci­<lb/>niis in medium prodire. Sed jam testatus sum breve hoc <lb/>opus egestati me dedisse, et meae, et auditorum meorum, <lb/>et volentium. Post hac liber de lineis novis non neces­<lb/>sitati dabitur, sed genio. Lineae autem novae vocantur <lb/>parabolarum infinitae species hyperbolarumque in infini­<lb/>tam distantiam abeuntium, spiralium plura genera, cycloi­<lb/>dales, logarithmicae, atque aliae lineae antiquis poenitus <lb/>ignotae. </s></p> <p type="main"> <s>Non deerunt infinitae spatiorum quadraturae; solido­<lb/>rum rotundorum dimentiones; linearum curvarum tangen­<lb/>tes, et mensurae planorum, solidorumque centra-gravitatis, <lb/>et alia id generis. </s></p> <p type="main"> <s>In Parabolis dabuntur quadraturae omnium quinque <lb/>modis. Tangentes modis totidem. Solida tam circa axem, <lb/>quam circa basim, et circa alias lineas, tamquam axes <lb/>revoluta, omniumque etiam tam planorum, quam solidorum <lb/>parabolicorum centra gravitatis. </s></p> <p type="main"> <s>In Hyperbolis dabuntur planorum quadraturae, solido­<lb/>rumque dimensiones circa utramque asymptoton revolu­<lb/>torum, quamquam secundum longitudinem fine omnino <lb/>careant planae, solidaeque ab hyperbolis genitae figu­<lb/>rae. — Quin etiam tangentes ad unum quodque punctum <lb/>hyperbolarum ducentur, et quod mirum est demonstra­<lb/>buntur solida quaedam hyperbolica exiguo cylindro ae­<lb/>qualia quamquam infinitae latitudinis sint, hoc est super <lb/>basi, tum secundum extensionem, cum etiam secundum <lb/>quantitatem infinita constituantur. </s></p> <p type="main"> <s>In Spiralibus quando quaecumque radiorum dignitates <lb/>fuerint, ut quaecumque dignitates temporum, dabuntur <pb pagenum="304"/>quadraturae omnium ad circuli sectorem relatarum. Prae­<lb/>terea tangentes, hoc est quam rationem habeat ad arcum <lb/>circuli recta quaedam linea, quae a tangente secatur ar­<lb/>chimedeo more insuper ostendetur unamquamque lineam <lb/>spiralem cuidam lineae parabolicae aequalem. </s></p> <p type="main"> <s>In Spiralibus vero quarum radii temporibus aequalibus <lb/>in geometrica ratione procedunt, ostendetur ipsam spira­<lb/>lem lineam, licet ex infinitis numero revolutionibus con­<lb/>stet, antequam ad suum centrum perveniat, suae tangenti <lb/>aequales esse spatium vero etsi ex infinitis numero revo­<lb/>lutionibus componatur cuidam triangulo isosceli aequale <lb/>demonstrabitur, cujus trianguli lateribus ipsa etiam spi­<lb/>ralis linea aequalis apparebit. </s></p> <p type="main"> <s>In Logarithmicis vero lineis, quas, et ob unicam asym­<lb/>ptoton hemi-hyperbolas vocamus, demonstrabimus spatium, <lb/>licet in infinitam longitudinem abeat, trianguli tamen a <lb/>tangente facti duplum esse. At solidum ab eadem figura <lb/>genitum, licet sine fine longum, coni tamen ab eodem <lb/>tangentis triangulo facti sesquialterum esse. Haec, et si­<lb/>milia ostendemus habita plerumque ratione non solum <lb/>de lineis quadratis, cubisque, quemadmodum ab antiquis <lb/>factum est, sed etiam de omnibus reliquis algebrae di­<lb/>gnitatibus. </s></p> <p type="main"> <s>De Cycloidibus lineis nihil addam, cum jam evulga­<lb/>verim in libellis anno 1644 editii praecipuas earum af­<lb/>fectiones. Praedicta omnia ut plurimum duplici ratione <lb/>demonstrantur, hoc est per novam Indivisibilium Geo­<lb/>metriam, et more veterum. De omnibus novis lineis de­<lb/>finitiones, enunciationesque theorematum fere omnium, <lb/>imo etiam demonstrationum aliquam partem tradidi per <lb/>manus amicorum in Italia et ultra montes. Excipio ta­<lb/>men parabolarum definitionem quam ego non dedi, sed <lb/>ab amicis accepi. Prodibit aliquando opus, volente Deo, <lb/>jamdiu maturum. Interea praestat circa vitra ad usum <lb/>telescopij potius laborare, quae ab omnibus Europae par­<lb/>tibus expetuntur, quam circa theorematum dispositionem, <lb/>figurarumque accuratam descriptionem excruciari: peracta <lb/>scilicet inventione, quae sola voluptati esse potest. Tan­<lb/>dem supra votum meum erit, si abste Amice Lector, <pb pagenum="305"/>tenuissimo huic operi in praesens veniam impetravero. <lb/>Operi de lineis, ut spero, pro humanitate tua non negabis <lb/>applausum et fortasse ex parte saltem materiae admira­<lb/>tionem. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DEFINITIONES.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>1. Pars est magnitudo magnitudinis, minor majoris, <lb/>cum minor metitur majorem. </s></p> <p type="main"> <s>2. Multiplex autem est major minoris, cum minor <lb/>metitur majorem. </s></p> <p type="main"> <s>3. Ratio est quaedam duarum magnitudinum ejusdem <lb/>generis unius ad alteram secundum quantitatem habitudo. </s></p> <p type="main"> <s>4. Ejusdem generis sunt magnitudines, quae possunt <lb/>multiplicatae se se mutuo superare. </s></p> <p type="main"> <s>5. Proportio est rationum similitudo, hoc est: In <lb/>eadem ratione magnitudines dicuntur esse prima ad se­<lb/>cundam et tertia ad quartam, quando ratio primae ad <lb/>secundam similis fuerit rationi, quam habet tertia ad <lb/>quartam. </s></p> <p type="main"> <s>6. Eamdem autem habentes rationem magnitudines <lb/>proportionales vocentur. </s></p> <p type="main"> <s>7. Proportio in tribus paucissimis terminis consistit. </s></p> <p type="main"> <s>8. Cum autem tres magnitudines proportionales fue­<lb/>rint, prima ad tertiam duplicatam habere rationem dicitur <lb/>ejus, quam habet ad secundam. At cum quatuor magni­<lb/>tudines proportionales fuerint in proportione continua, <lb/>prima ad quartam triplicatam habere rationem dicitur ejus <lb/>quam habet ad secundam. </s></p> <p type="main"> <s>9. Homologae, seu similes ratione magnitudines di­<lb/>cuntur antecedentes quidem antecedentibus, conseguentes <lb/>vero conseguentibus. </s></p> <pb pagenum="306"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>SUPPOSITIONES ET AXIOMATA.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>1. Quae eidem sunt eaedem rationes inter se sunt <lb/>eaedem. </s></p> <p type="main"> <s>2. Aequales magnitudines ad eamdem eamdem ha­<lb/>bent rationem. Et magnitudines, quae ad eamdem ma­<lb/>gnitudinem eamdem habent rationem, sunt aequales. </s></p> <p type="main"> <s>3. Eadem magnitudo ad aequales eamdem habet ra­<lb/>tionem; et si eadem magnitudo ad duas magnitudines <lb/>eamdem habeat rationem, illae sunt aequales inter se. </s></p> <p type="main"> <s>4. Inaequales magnitudines ad aliquam tertiam ma­<lb/>gnitudinem, supponimus non habere eamdem rationem, <lb/>sed diversam. Ratio vero majoris magnitudinis ad illam <lb/>tertiam magnitudinem, vocatur major quam sit ratio mi­<lb/>noris ad eamdem: non quia sit major, namque hoc nimis <lb/>obscurum esset in proportionihus, sed quia a majore ma­<lb/>gnitudine procedit . </s></p> <p type="main"> <s>5. Si vero fuerint quatuor magnitudines, et prima <lb/>ad secundam supponatur, sive dicatur habere majorem <lb/>rationem quam tertia ad quartam, hoc nihil aliud signi­<lb/>ficat, neque aliud unquam intelligendum est apud aucto­<lb/>res, nisi primam illam magnitudinem non esse proportio­<lb/>nalem sed majorem existere, quam esse deberet ad hoc, <lb/>ut ipsa sit ad secundam quemadmodum est tertia ad <lb/>quartam. Diciturque major, non quia major sit, nam hoc <lb/>nimis obscurum esset, sed quia procedit a magnitudine <lb/>quae major est quam esse deberet. </s></p> <p type="main"> <s>6. Aequales magnitudines quotcumque sint eamdem <lb/>habent rationem, quam habent numeri a quibus nume­<lb/>rantur. Exempli gratia: Septem lineae palmares ad qua­<lb/>tuor lineas palmares eamdem habent rationem quam habet <lb/>numerus 7 ad numerum 4. Vel quinque quadrata palmaria <lb/>ad novem quadrata palmaria eamdem habent rationem, <lb/>quam habet numerus quinque ad numerum novem. </s></p> <pb pagenum="307"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Propositis duabus magnitudinibus inaequalibus et eju­<lb/>sdem generis, quarum [Fig. 1] AB sit major, CD vero </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb/>minor, si ex majore AB aufe­<lb/>ratur dimidium et rursus ab <lb/>ea, quae remanet, dimidium <lb/>detrahatur, atque iterum ex <lb/>reliqua dimidium, et hoc fiat <lb/>semper, relinquetur tandem ex <lb/>AB quaedam magnitudo, quae minor erit proposita mi­<lb/>nori magnitudine CD. </s></p> <p type="main"> <s>Multiplicetur enim minor CD toties, donec aggregatum <lb/>CH, hoc est magnitudo composita ex multiplicatione, <lb/>major sit quam ipsa AB (hoc fieri potest ex definitione <lb/>quarta, cum supponatur magnitudines ejusdem generis). <lb/>Tunc ipsa AB secetur bifariam in E, et iterum reliqua <lb/>EA secetur bifariam in F, et hoc fiat toties, donec par­<lb/>tes ipsius AB numero aequales sint partibus ipsius CH. <lb/>Jam si ex minore BA auferamus dimidium BE, at ex <lb/>majore HC auferamus primam ipsius partem HI, quae vel <lb/>dimidium erit totius vel minor quam dimidium, erit reli­<lb/>qua EA minor quam reliqua IC. Iterum si ex minore EA <lb/>auferamus dimidium EF, at ex majore IC auferamus se­<lb/>cundam ipsius partem IL, quae vel dimidium erit, vel <lb/>minus quam dimidium, erit reliqua FA minor quam reli­<lb/>qua LC. Peracto itaque simili argumento toties quot erunt <lb/>partes magnitudinum, deveniemus tandem ad hanc con­<lb/>clusionem nempe ultimam GA minorem esse quam sit <lb/>ultima DC, quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quodcumque triangulum ABC [Fig. 2], cujus <lb/>basis AC secta sit in quotcumque partes inter se aequales, <lb/>et ex vertice trianguli ad puncta singula divisionum basis <lb/>ducantur rectae lineae, erit totum triangulum divisum <lb/>in triangula inter se aequalia. Quod constat ex proposi- <pb pagenum="308"/>tione 38<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/> Primi Libri. Dico quamlibet </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb/>summam horum triangulorum exempli <lb/>gratia ABD ad reliquam DBC ita esse <lb/>ut basis AD ad basim DC, hoc est <lb/>triangula ABD ad triangula DBC eam­<lb/>dem habere rationem, quam habet recta <lb/>AD ad rectam DC. </s></p> <p type="main"> <s>Omnia enim triangula ABD ad <lb/>omnia triangula DBC eamdem habent <lb/>rationem, quam habet numerus trian­<lb/>gulorum ABD ad numerum triangulorum DBC. Sed etiam <lb/>omnes partes rectae AD ad omnes partes rectae DC eam­<lb/>dem habent rationem quam numerus partium AD ad nu­<lb/>merum partium DC, sive quam habet numerus triangulo­<lb/>rum ABD ad numerum triangulorum DBC (est enim idem <lb/>numerus tam partium rectae AC, quam triangulorum ipsis <lb/>insistentium). Propterea per primam suppositionem eadem <lb/>erit ratio triangulorum ABD ad triangula DBC, atque <lb/>ratio rectae AD ad rectam CD. Quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Triangula ejusdem altitudinis eamdem habent rationem <lb/>quam bases. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo triangula ejusdem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb/>altitudinis ABC, CBD [Fig. 3]. <lb/>Dico ita esse triangulum ABC <lb/>ad triangulum CBD ut est basis <lb/>AC ad CD, hoc est rationem <lb/>trianguli ABC ad CBD similem <lb/>esse atque prorsus eamdem cum <lb/>ratione basis AC ad CD. </s></p> <p type="main"> <s>Nam si possibile est non sit <lb/>ita, sed quam rationem habet <lb/>triangulum ABC ad triangulum CBD, eamdem concipiamus <lb/>habere aliquam aliam rectam lineam EC ad CD sive EC <lb/>minor sit sive major quam AC. Secetur CD bifariam, at­<lb/>que iterum bifariam, et hoc fiat semper, donec remaneat <lb/>per primam huius quaedam recta CI minor quam sit AE. <pb pagenum="309"/>Tunc dividatur tota CD in partes aequeles ipsi CI, quae <lb/>quidem tota absumetur praecise, et recta CA dividatur in <lb/>partes aequales eidem CI facto initio ex puncto C, donec <lb/>divisio fieri poterit, sive aliqua divisio cadat in A, sive <lb/>non. Certum est quod aliquod ex punctis divisionum cadet <lb/>omnino intra puncta E, A, et cum ipsa CI mensura divi­<lb/>sionum ex constructione minor sit quam ipsa EA. Cadat <lb/>ergo intra puncta E, A aliqua divisio, quae sit L, tum ad <lb/>singula divisionum aequalium puncta ducantur rectae ex <lb/>puncto. </s></p> <p type="main"> <s>Jam in casu primae figurae quia recta LC major est, <lb/>et EC minor non habebunt LC, et EC ex 4. suppos. eam­<lb/>dem utraque rationem ad CD, sed recta LC major erit, <lb/>quam esse deberet ad hoc, ut ad CD eamdem habeat ra­<lb/>tionem, quam habet EC minor ad eamdem CD. Trian­<lb/>gulum vero LBC ad CBD eamdem habet rationem per <lb/>preced. quam habet recta LC ad CD, propterea etiam <lb/>triangulum CBD majus erit quam esse deberet, ut ad <lb/>ipsum habeat eamdem rationem, quam habet recta EC <lb/>ad CD, ergo multo magis triangulum ABC majus erit, <lb/>quam esse opporteret ad hoc, ut sit ad ipsum CBD que­<lb/>madmodum est recta EC ad CD, quod est contra suppo­<lb/>situm. </s></p> <p type="main"> <s>In secunda vero figura </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb/>[Fig. 4] triangulum LBC ad <lb/>CBD non habebit eamdem <lb/>rationem ex 4 suppos., quam <lb/>habet triangulum ABC minus <lb/>ad idem CBD, sed ipsum LBC <lb/>majus erit quam esse deberet, <lb/>basis vero LC ad CD eam­<lb/>dem habet rationem per 2<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/><lb/>huius, quam triangulum LBC <lb/>ad CBD; propterea ipsa etiam basis LC erga CD major erit <lb/>quam esse deberet ad hoc ut sit quemadmodum est trian­<lb/>gulum ABC ad CBD. Ergo et recta EC multo major <lb/>erit quam esse opporteret ad hoc ut ipsa EC ad CD eam­<lb/>dem habeat rationem quam triangulum ABC habet ad <lb/>CBD, quod est contra suppositum. </s></p> <pb pagenum="310"/> <p type="main"> <s>Patet ergo quod triangulum ABC ad CBD est ut basis <lb/>AC ad CD, quando quidem demonstravimus, quam ratio­<lb/>nem habet triangulum ABC ad CBD eamdem nullam aliam <lb/>lineam praeter AC posse habere ad CD. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Triangula vero ejusdem altitudinis sunt, sive vertices <lb/>habeant ad idem punctum conjunctos et bases in directum, <lb/>ut videre est in appositis figuris, sive inter easdem tantum <lb/>parallelas sint, sive (quod solum considerandum est) per­<lb/>pendiculares habeant, quae ex vertice ad bases demittun­<lb/>tur inter se aequales. Omnibus enim his casibus accomo­<lb/>dari potest nostra demonstratio. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si in quocumque triangulo ABC [Fig. 5] fuerit quae­<lb/>dam recta DE parallela ad unum latus BC, haec parallela <lb/>proportionaliter secabit ipsius trianguli latera. </s></p> <p type="main"> <s>Et si latera AB, AC proportionaliter </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb/>secta sint quae ad sectiones adiuncta <lb/>fuerit recta linea DE, erit ad reliquum <lb/>latus parallela. </s></p> <p type="main"> <s>Esto primum DE parallela ad BC. <lb/>Dico ut AD ad DB ita esse AE ad EC. <lb/>Ductis enim rectis DC, BE, erunt trian­<lb/>gula DBE, DCE aequalia inter se per 37<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/><lb/>primi cum sint super eadem basi DE, et <lb/>inter easdem parallelas. Jam basis AD <lb/>ad basim DB est ut triangulum AED ad triangulum DEB <lb/>(sunt enim ejusdem altitudinis) sive ex 3 suppos. ut trian­<lb/>gulum idem AED ad EDC, sive ut basis AE ad basim EC. <lb/>Quod primo propositum fuit. </s></p> <p type="main"> <s>Supponamus nunc latera AB, AC secta esse proportio­<lb/>naliter, nempe ita esse AD ad DB, ut AE ad EC. Dico <lb/>rectam DE parallelam esse lateri BC. Nam triangulum <lb/>AED ad triangulum DEB per preced. est ut basis AD ad <lb/>basim DB sive (per suppositionem) ut AE ad EC, sive <pb pagenum="311"/>per preced. ut triangulum idem ADE ad triangulum EDC. <lb/>Cum itaque idem triangulum DAE eamdem habeat ratio­<lb/>nem ad duo triangula DEB, EDC aequalia erunt ex 3<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/><lb/>suppos. inter se DEB, EDC, et cum sint super eadem <lb/>basi DE et ad easdem partes, erunt etiam per 39<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/> primi <lb/>inter easdem parallelas. Ergo DE et BC sunt parallelae. <lb/>Quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si in quocumque triangulo ABC [Fig. 6] angulus qui­<lb/>libet ABC bifariam secetur a recta BD, dico basim AC <lb/>in ratione laterum sectam esse, hoc est </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb/>segmentum AD ad segmentum DC <lb/>eamdem habere rationem, quam habet <lb/>latus AB ad BC. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur AI parallela ad BD, quae <lb/>conveniet cum CB producta: facit enim <lb/>angulor ICA et IAC, sive BDC simul <lb/>sumptos minores duobus rectis. Con­<lb/>veniat ergo in I. Erit jam angulus AIB <lb/>aequalis angulo DBC externo et op­<lb/>posito parallelarum: at angulus IAB <lb/>aequalis est angulo alterno ADB, ae­<lb/>quales vero sunt per suppositionem <lb/>anguli ABD, DBC, propterea aequales <lb/>erunt inter se AIB, IAB, et ideo la­<lb/>tera IB, AB aequalia. Erit ergo AB ad BC ut IB ad BC <lb/>propter aequalitatem, sive ut AD ad DC. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si quatuor magnitudines proportionales fuerint, et con­<lb/>vertendo proportionales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstrabimus in hoc, et in quatuor seguentibus theo­<lb/>rematibus propositionem in lineis tantum, donec in Appen­<lb/>dice ad finem libelli ostendamus veram esse etiam in aliis <lb/>quantitatis generibus. </s></p> <p type="main"> <s>Sint quatuor lineae rectae proportionales AB, BC, AD, <pb pagenum="312"/>DE [Fig. 7] nempe quam rationem habet prima AB ad <lb/>secundam BC, eamdem habeat tertia AD ad quartam <lb/>DE; dico conver­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb/>tendo eamdem ha­<lb/>bere rationem CB <lb/>ad BA, quam ha­<lb/>bet ED ad DA. Po­<lb/>nantur prima cum <lb/>secunda in direc­<lb/>tum, ita ut unam <lb/>eamdemque rectam <lb/>lineam constituant <lb/>ABC. Item tertia cum quarta rectam lineam conficiant <lb/>ADE. Tum inclinentur AC et AE, ita ut se tangant in <lb/>puncto A, et angulum efficiant quemcumque. Ducantur <lb/>etiam BD, BE, CD, CE. </s></p> <p type="main"> <s>Jam triangula BCD, DEB cum sint super eadem basi <lb/>BD, et inter lineas BD, CE (quae parallelae sunt per se­<lb/>cundam partem quartae propositionis hujus libri) aequalia <lb/>erunt inter se. At recta CB ad BA est ut triangulum <lb/>CDB ad triangulum BDA, sive ob aequalitatem, ut trian­<lb/>gulum EBD ad idem DBA sive ut recta ED ad DA. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si divisae magnitudines proportionales fuerint, et com­<lb/>ponendo proportionales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut recta [Fig. 7] CB ad BA divisim ita ED ad DA <lb/>divisim, dico et component proportionalis esse sive est CA <lb/>ad AB, ita esse ut est EA ad AD. </s></p> <p type="main"> <s>Ponantur enim in directum CB, BA item ED, DA, in­<lb/>clinenturque invicem ad punctum A, et reliquae rectae <lb/>lineae ducantur, ut in praecedentis propositionis con­<lb/>structione imperatum est. Erunt ex jam demonstratis duo <lb/>triangula BCD, BED aequalia inter se, sumptoque com­<lb/>muni BDA, aequalia CDA, EBA. Jam recta CA ad AB <lb/>erit ut triangulum CDA ad ADB, sive triangulum EBA <lb/>ad idem ABD, sive ut recta EA ad AD quod etc. </s></p> <pb pagenum="313"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si compositae magnitudines proportionales fuerint, et <lb/>dividendo proportionales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint compositae magnitudines proportionales quatuor <lb/>rectae lineae [Fig. 7] CA, AB, EA, AD, et sit ut CA ad <lb/>AB, ita EA ad AD. Dico dividendo ita esse CB ad BA <lb/>ut ED ad DA. </s></p> <p type="main"> <s>Inclinatis enim lineis ad angulum A quicumque sit, et <lb/>ductis BD, CE, BE, CD erit triangulum CDA ad triangu­<lb/>lum BDA ut basis CA ad basim AB, sive ut EA ad AD <lb/>per suppositionem: sive ut triangulum EBA ad idem <lb/>DBA. Aequalia ergo sunt per secundam suppositionem <lb/>triangula CDA, EBA, et dempto communi BAD, aequalia <lb/>erunt CDB, EBD. His demonstratis, recta CB ad BA est <lb/>ut triangulum CDB ad DBA, sive ut aequale EBD ad <lb/>idem DBA, sive ut basis ED ad DA. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si quatuor magnitudines proportionales fuerint, et per­<lb/>mutando proportionales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint quatuor rectae lineae proportionales AB, BC, AD, <lb/>DE. Nempe ut AB prima ad BC secundam, ita sit AD <lb/>tertia ad DE quartam. Dico primam AB ad tertiam AD <lb/>ita esse ut secunda BC ad quartam DE. Qui modus ar­<lb/>guendi dicitur permutando. </s></p> <p type="main"> <s>Componantur in directum, deinde inclinentur indicem <lb/>ad angulum quem­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb/>libet, ut videre est <lb/>in figura [Fig, 8]. <lb/>Ductis deinde CE, <lb/>BD, manifestum est, <lb/>ex jam demonstra­<lb/>tis in quarta hujus, <lb/>quod BD, CE paral­<lb/>lelae erunt. Secetur <lb/>angulus CAE bitariam a recta AF, et ex F demittantur <pb pagenum="314"/>FH, FI perpendiculares ad AC, AE, ducanturque FC, FE. <lb/>Patet primo perpendiculares FH, FI aequales esse per 26<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/><lb/>primi. Nam in triangulis FAH, FAI anguli ad A sunt <lb/>aequales per constructionem, et ad H, et ad I recti, la­<lb/>tusque AF commune. </s></p> <p type="main"> <s>Jam recta BA ad AD erit ut BF ad FD, sive ut trian­<lb/>gulum BCF ad FED, sive ut BC ad DE. Quod erat <lb/>propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Triangula enim FCB, FED cum habeant aequales alti­<lb/>tudines FH, FI inter se sunt ut bases BC, DE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint quotcumque magnitudines, et aliae ipsis ae­<lb/>quales numero, quae binae in eadem ratione sumantur, et <lb/>ex aequo in eadem ratione erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint quotcumque magnitudines A, B, C, H, et aliae <lb/>ipsis aequales numero D, E, F, I, quae in eadem ratione <lb/>sint, si binae sumantur, nempe ut A ad B ita sit D ad E, <lb/>et iterum ut B ad C, ita sit E ad F, et hoc modo proce­<lb/>datur semper. Dico ex equo ita esse primam A ad ulti­<lb/>mam H, uti est prima D ad ultimam I. Qui modus ar­<lb/>guendi dicitur ex aequo. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim sit ut A ad B, ita D ad E, erit permutando <lb/>A ad D, ut B ad E. Amplius quia est ut B ad C, ita <lb/>E ad F, et permutando erit ut B ad E, ita C ad F. Et <lb/>quia tam ratio A ad D, quam etiam ratio C ad F con­<lb/>venit, atque eadem est cum ratione B ad E, erit ratio A <lb/>ad D eadem cum ratione C ad F. Ergo permutando erit <lb/>ut A ad C, ita D ad F. Quod primo erat ostendendum. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero fuerint plures quam tres magnitudines ulterius <lb/>procedemus usque in infinitim summa facilitate hoc modo. <lb/>Quia A ad C est ut D ad F per jam demonstrata, et C <lb/>ad H est ut F ad I per suppositionem. Erit ex aequo <lb/>(uti supra demonstratum est in tribus magnitudinibus) ut <lb/>A ad H, ita D ad I. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="315"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Admonitio.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Praecedentes quinque propositiones demonstravimus <lb/>huc usque in solis lineis. Superest nunc ut eas demon­<lb/>stremus universaliter veras esse etiam in omni alio ge­<lb/>nere quantitatis. Exequemur hoc ad finem libelli in Ap­<lb/>pendice, quam addituri sumus. Quae quidem Appendix <lb/>multo justius hoc prorsus loco apponenda erat, quando <lb/>quidem sequentes propositiones et proponuntur, et demon­<lb/>strantur in quocumque genere quantitatis, sed quia longior <lb/>evasit, quam quae inter propositiones mereatur interponi; <lb/>non immerito in eum locum rejecta est. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint tres magnitudines, aliaeque ipsis aequales <lb/>numero, quae binae in eadem ratione sumantur, fuerit <lb/>autem perturbata earum proportio, ex aequalitate in ea­<lb/>dem ratione erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint tres magnitudines A, B, C, atque aliae tres D, E, <lb/>F, quae binae in eadem ratione sumantur, sed perturbata <lb/>sit eorum proportio, nempe ut A ad B, ita sit E ad F et <lb/>ut B ad C ita sit D ad E. Dico ex aequalitate pertur­<lb/>bata esse A ad C, ut est D ad F. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiamus esse ut B ad C, sive ut D ad E (est enim <lb/>per suppositionem eadem ratio B ad C, atque D ad E) <lb/>ita F ad aliam magnitudines I. Eruntque D, E, F, I, qua­<lb/>tuor magnitudines proportionales. </s></p> <p type="main"> <s>Jam quia est ut A ad B, ita E ad F per suppositio­<lb/>nem, et ut B ad C, ita F ad I (hoc enim a nobis impe­<lb/>ratum est), erit ex aequo A ad C ut E ad I. Sed cum D, <lb/>E, et F, I sint quatuor magnitudines proportionales, erit <lb/>permutando D ad F ut E ad I. Sed etiam A ad C erat <lb/>ut E ad I. Ergo eadem est ratio A ad C, atque D ad F, <lb/>cum utraque conveniat cum ratione E ad I. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="316"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si compositae magnitudines proportionales fuerint et <lb/>per conversionem rationis proportionales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint compositae magnitudines </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb/>proportionales, nempe [Fig. 9] ut <lb/>AB ad BE, ita sit CD ad DF. <lb/>Dico per conversionem rationis <lb/>ita esse DA ad AE, ut est DC <lb/>ad CF. </s></p> <p type="main"> <s>Nam quia est ut AB ad BE ita CD ad DF per suppo­<lb/>sitionem erit dividendo AE ad EB, ut CF ad FD, et con­<lb/>vertendo erit BE ad EA ut DF ad FC, et componendo <lb/>erit BA ad AE ut DC ad CF. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit ut totum ad totum, ita ablatum ad ablatum, <lb/>et reliquum ad reliquum, erit ut erat totum ad totum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut totum [Fig. 10] AB ad </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb/>totum CD, ita ablatum BE ad <lb/>ablatum DF. Dico reliquum AE <lb/>ad reliquum CF, ita esse ut erat <lb/>totum ad totum, sive (quod idem <lb/>est ex suppositione) ut erat abla­<lb/>tum ad ablatum. Nam cum AB ad CD sit ut BE ad DF <lb/>per suppositionem, erit permutando AB ad BE ut CD ad <lb/>DF, et dividendo AE ad EB ut CF ad FD, iterumque <lb/>permutando AE ad CF, ut EB ad FD. Patet ergo, quod <lb/>reliqua AE ad reliquam CF ita est ut erat ablata EB ad <lb/>ablatam FD, sive ut totum AE ad totum CD. Quod. etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Partes cum pariter multiplicibus in eadem sunt ratione, <lb/>si, prout sibi mutuo respondent, ita sumantur. </s></p> <p type="main"> <s>Sint partes A, B, et earum aeque multiplices sint C, D, <lb/>dico partem A ad partem B ita esse ut est multiplex C <pb pagenum="317"/>ad aequemultiplicem D. Nam cum per suppositionem tam <lb/>multiplex sit C ipsius A, quam D pisius B, erit ut C ad A, <lb/>ita D ad B, et permutando ut C ad D, ita erit pars A ad <lb/>partem B. Quod etc. . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si sint magnitudines quotcumque proportionales, que­<lb/>madmodum se habuerit una antecedentium ad unam con­<lb/>seguentium, ita se habebunt omnes simul antecedentes ad <lb/>omnes consequentes simul. </s></p> <p type="main"> <s>Sint magnitudines quotcumque A, C, E proportionales <lb/>totidem magnitudinibus B, D, F. Nempe ut A ad B ita <lb/>sit C ad D, et ita E ad F etc. Dico omnes simul antece­<lb/>dentes A, C, E ad omnes consequentes simul B, D, F ita <lb/>esse ut una antecedentium magnitudinum ad unam con­<lb/>sequentium exempli gratia ut E ad F. Quoniam per sup­<lb/>positionem ut A ad B, ita C ad D, erit permutando ut <lb/>A ad C, ita B ad D, et componendo ut A, C simul ad <lb/>C, ita B, D simul ad D, et permutando ut A, C simul <lb/>ad B, D simul ita C ad D, sive ita E ad F. Ulterius <lb/>quia A, C simul ad B, D simul sunt ut E ad F erit per- <pb pagenum="318"/>mutando ut A, C simul ad E, ita B, D simul ad F, et com­<lb/>ponendo A, C, E simul ad E ut B, D, F simul ad F, et <lb/>permutando A, C, E ad B, D, F ut E ad F. Quod etc. <lb/>Hoc modo procedere possumus usque in infinitum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Eadem, ad minorem, majorem habet rationem, quam ad <lb/>majorem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto magnitudo quaelibet A, quae rationem habeat ad <lb/>magnitudines B, C, sit autem B minor, et C major. Dico A <lb/>ad minorem B habere majorem rationem quam ad C. </s></p> <p type="main"> <s>Supponamus enim aliquam aliam magnitudinem D, quae <lb/>habeat ad A eamdem rationem, quam habet B ad C, et <lb/>quia B ponitur minor quam C erit etiam D minor quam <lb/>sit A. Jam permutando D ad B eamdem habebit ratio­<lb/>nem, quam habet A ad C. Ergo ratio A ad B, quae major <lb/>vocatur ratione D ad B major vocabitur etiam ratione A <lb/>ad C. Ostendimus ergo magnitudinem A ad ipsam B non <lb/>habere eamdem rationem quam habet ad C, sed diversam, <lb/>atque illam prorsus, quam in suppositione quarta posuimus <lb/>esse, sive potius dici majorem. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVII ET XVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Pro 17 et 18 propositione vide propositiones 24 et 25 <lb/>lihri quinti Euclidis, ibique finem facito libelli Proportio­<lb/>num. Quamquam enim apud aliquot numerus Propositio­<lb/>num usque ad 34 asendat Euclidis tamen illae non sunt <lb/>sed ab alijs additae: propterea omitti poterunt a tironibus <lb/>ad elementa tantum necessariae propesantibus. </s></p> <p type="main"> <s>Ceterum quis ultimae Propositio 6<emph type="sup"/>ti<emph.end type="sup"/> libri non parum <lb/>retardare posset incipientes siquidem equemultiplicia de­<lb/>monstratur eam hic addere placet libello nostro eamque <lb/>reducere ad methodum quae uti sumus in 3<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/> propositionis <lb/>demonstratione. </s></p> <pb pagenum="319"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="bold"/>APPENDIX.<emph.end type="bold"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Demonstravimus uc usque ex propositionibus Libri <lb/>quinti eas omnes, quas scitu necessarias judicavimus. Re­<lb/>liquas ad aeque multiplicia spectantes, licet Euclidis sint <lb/>praetermissimus, lemmata enim sunt ipsi quidem neces­<lb/>saria, at apud nos supervacua. Sed jam tempus exigit ut <lb/>ostendamus in aliquibus tantum exemplis quomodo ea, <lb/>quae de solis lineis demonstravimus ad superficies etiam <lb/>et ad solida propagari possint: et hoc in gratiam eorum, <lb/>qui cum proportionum accidentia circa lineas demonstrata <lb/>viderint dubitare adhuc poterunt, an ea vera sint etiam <lb/>in superficiebus, in solidis, in temporibns, et in omni alio <lb/>genere quantitatis. Mihi autem, ut vera fateatur, abunde <lb/>satisfactum est cum accidentio duplicitatis, sive quadru­<lb/>plicitatis, sive cujuscumque alterius rationis etiam ineffa­<lb/>bilis in uno tantum quantitatis genere demonstrata sint. <lb/>Proportio enim exempli gratia dupla, sive sesquialtera, <lb/>idem ens est tam in lineis, quam in superficiebus, quam <lb/>in corporibus, propterea quicquid de dupla, sive sesquial­<lb/>tera proportione demonstratum fuerit in lineis, conver­<lb/>tendo, sive permutando, sive componendo verum semper <lb/>erit de eadem proportione etiam in quocumque alio genere <lb/>quantitatis. Sed omissa persuasione apud geometras illicita <lb/>veniamus ad demonstrationes, quas conscribere profiteor <lb/>potius ad aliquem in geometria provectum, quam pro ty­<lb/>ronibus inexpertis, praecipue si quis praeceptore careat. <lb/>Melius enim sibi consulet quisquis in hac disciplina inci­<lb/>piens est, si ad ulteriora pergat, percepta tantum particu­<lb/>lari demonstratione, quam retenta universali ignorantia: <lb/>particularem autem demonstrationem fortasse habebit per­<lb/>lectis, quae hactenus tradidimus in hoc libello, universalem <lb/>vero ignorantiam retinebit, nec eam nisi post longum tem­<lb/>poris spatium excutiet, teste Galilaeo, atque allia doctis­<lb/>simis, viris, quicumque per solitam aequemultiplicium de­<lb/>finitionem transire maluerit. </s></p> <pb pagenum="320"/> <p type="main"> <s>Demonstremus in primis modum illum arguendi, qui <lb/>dicitur convertendo, verum esse etiam in magnitudinibus <lb/>diversi generis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto recta A ad B ut superficies C ad D. Dico con­<lb/>vertendo rectam B ad A ita esse ut spperficies D ad C. <lb/>Concipiamus [Fig. 11] duo trian­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb/>gula EIG, GIL ejusdem altitudi­<lb/>nis inter se, quorum primum EIG <lb/>aequale sit spatio C. Secundum <lb/>vero GIL aequale sit spatio D. <lb/>Jam recta A ad B per supposi­<lb/>tionem est ut spatium C ad D, <lb/>sive ob aequalitatem ut triangu­<lb/>lum EIG ad GIL, hoc est ut basis <lb/>EG ad GL; ergo convertendo in <lb/>lineis recta B ad A erit procul dubio ut recta LG ad GE, <lb/>sive ut triangulum LIG ad GIE, nempe ut spatium D <lb/>ad C ob aequalitatem. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Neque vero quis me arguat quod in superiori, vel in <lb/>aliqua ex sequentibus constructionibus conceperim, et ve­<lb/>lut facta supposuerum duo triangula aeque alta, et qui­<lb/>buscumque datis figuris aequalis. Nam is parum se geo­<lb/>metram ostenderet. Certum enim est in demonstratione <lb/>theorematum nos supponere posse tamquam factum quic­<lb/>quid manifesto constat fieri posse, licet a nemine unquam <lb/>factum fuerit. </s></p> <p type="main"> <s>In problematibus vero aliter se res habet. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendatur nunc modus ille qui dicitur componendo. <lb/>Sit in praecedentis domonstrationis figura ut recta A ad <lb/>B divisim, ita spatium C ad D. Dico componendo A et B <lb/>simul ad B ita esse ut C et D simul ad D. Peracta enim <lb/>eadem constructione, quae in praecedenti imperata est, <lb/>erit componendo in lineis ut A et B simul ad B, ita bases <lb/>EG, GL simul ad LG, sive ut triangulum EIL ad GIL. <lb/>Nempe ut duo simul spatia C ad D. Quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero quatuor datae magnitudines superficies fuerint, <lb/>hoc modo demonstrationem instituemus, quod non solum <lb/>pro sequentibus, sed etiam pro duabus praecedentibus de­<lb/>monstrationibus monitum et exempli causa productum ve- <pb pagenum="321"/>lim proponatur demonstrandus modus ille, qui dicitur di­<lb/>videndo. Sit utrumque simul spatium A et B ad B, ita <lb/>utrunque simul spatium C et D ad D. Dico ita esse divi­<lb/>dendo A ad B ut C ad D. Concipiantur quatuor triangula <lb/>ejusdem altitudinis EFH, HFI, LMN, NMO [Fig. 12]; quo­<lb/>rum primum aequale </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb/>sit spatio A, secun­<lb/>dum vero spatio B, <lb/>tertium spatio C <lb/>quartum spatio D. <lb/>Jam basis EI ad IH <lb/>est ut triangulum <lb/>EFI ad triangulum <lb/>HFI, nempe ut spa­<lb/>tia A et B simul ad B, sive ut C et D simul ad D, vel <lb/>ut triangulum LMO ad triangulum NMO, nempe ut basis <lb/>LO ad ON. Propterea dividendo in lineis erit ut EH ad <lb/>HI, ita LN ad NO, et ideo triangulum EFH ad triangu­<lb/>lum HFI erit ut triangulum LMN ad triangulum NMO, <lb/>nempe spatium A ad B, ut spatium C ad D. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Permutata ratio non cadit nisi inter magnitudines ejus­<lb/>dem generis. In lineis jam demonstrata est. Demonstre­<lb/>mus eam et in superficiebus. Ponemus repetita praecedenti <lb/>figura esse, ut spatium A ad B, ita C ad D. Dico permu­<lb/>tando ita esse A ad C, ut est B ad D. Peracta enim si­<lb/>mili constructione recta EH ad HI est ut triangulum EFH <lb/>ad HFI; nempe ut spatium A ad B, sive ut spatium C <lb/>ad D, nempe ut triangulum LMN ad NMO, hoc est ut <lb/>recta LN ad NO. Ergo permutando in lineis recta EH <lb/>ad LN erit ut HI ad NO. Propterea triangulum EFH ad <lb/>LMN erit ut triangulum HFI ad NMO, et ideo spatium A <lb/>ad C erit ut spatium B ad D. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Pauca haec exempla satis esse deberent ad confirman­<lb/>dam nostram doctrinam etiam in superficiebus, nam sem­<lb/>per eadem regula est, nempe ut pro spatiis datis conside­<lb/>remus totidem triangula ejusdem inter se altitudinis, et <lb/>datis spatiis aequalia, quemadmodum in praecedentibus a <lb/>nobis factum est. Attamen afferamus adhuc unicum hoc <lb/>exemplum ilius modi, qui dicitur ex aequo. </s></p> <pb pagenum="322"/> <p type="main"> <s>Sint lineae A, B, C, in eadem proportione, si binae <lb/>sumantur cum spatiis D, E, F. Dico ex aequo ita esse <lb/>lineam A ad C ut est spatium D ad F. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb/>Concipiantur triangula ejusdem altitudi­<lb/>nis quorum primum [Fig. 13] HIL aequale <lb/>sit primo spatio D, secundum vero LIM <lb/>secundo spatio E, et tertium tertio. Jam <lb/>recta A ad B per suppositionem est ut <lb/>spatium D ad E nempe ut triangulum <lb/>HIL ad LIM, sive ut basis HI ad IM; <lb/>ulterius recta vero B ad C per supposi­<lb/>tionem, est ut spatium E ad F, sive ut <lb/>triangulum LIM ad MIO, nempe ut recta LM ad MO; <lb/>ergo ex aequo in lineis erit A ad C ut HL ad MO, hoc <lb/>est A ad C ut triangulum HIL ad MIO, sive ut spatium D <lb/>ad F. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero utrimque data fuerint spatia in quocumque ex <lb/>productis exemplis, utrimque pro datis spatiis concipienda <lb/>erunt totidem triangula ejusdem inter se altitudinis, eo­<lb/>demque modo procedendum juxta jam allata demonstra­<lb/>tionum exempla. </s></p> <p type="main"> <s>At si quis nondum acquiescat, jubeatque sibi demon­<lb/>strari praemissa theoremata etiam quando in rationum <lb/>terminis inveniant corpora, tunc eadem prorsus servata <lb/>methodo in demonstrationibus alium medium usurpabi­<lb/>mus. Repetenda erit propositio tertia hujus libelli, atque <lb/>ea universaliori quadam ratione proponenda et demon­<lb/>stranda, ita ut corpora ipsa comprehendat. Nos eam hic <lb/>subjiciebimus hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>Cylindri sive parallelepipeda ejusdem basis inter se sunt <lb/>ut altitudines. Esto cylindrus AB sectus plano CD oppositis <lb/>basibus parallelo, et erunt cylindri AC, CE ejusdem basis. <lb/>Dico cylindrum AC ad CE esse ut altitudo AD ad DE. <lb/>Quicquid autem de solo cylindro brevitatis causa dicetur, <lb/>intelligatur etiam de parallelepipedo. Nisi enim sit ita con­<lb/>cipiamus, si possibile est, ut cylindrus AC ad CE ita esse <lb/>aliquam aliam rectam lineam ID ad DE, sive ID sit major, <lb/>sive minor quam ipsa AD. Tunc secetur bifariam DE, <lb/>iterumque bifariam atque hoc fiat semper donec remaneat <pb pagenum="323"/>quaedam recta DL minor quam AE. Deinde tota DE se­<lb/>cetur in partes ipsi DL aequales, quod fieri poterit sine <lb/>dubio, et tota DE praecise absumetur. Item recta DA di­<lb/>stribuatur, donec fieri poterit, in partes ipsi DL aequales <lb/>initio facto ex puncto D, sive aliqua divisio cadat in I, <lb/>vel in A, sive non. Certum tamen est aliquam divisionem <lb/>omnino casuram esse inter punta A et I, quandoquidem <lb/>recta metiens DL minor est quam AI. Cadat igitur inter <lb/>A et I punctum divisionis O, tum per singula divisionum <lb/>aequalium puncta intelligantur producta plana cylindrum <lb/>secantia et oppositis basibus parallela, quae quidem cylin­<lb/>drum OB in particulas inter se aequales divident. </s></p> <p type="main"> <s>Jam in prima figura [Fig. 14] recta </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb/>OD ad DE non habet eamdem ratio­<lb/>nem, quam habet ID minor ad eamdem <lb/>DE, sed OD major est quam esse de­<lb/>beret. Omnes autem cylindri OC ad <lb/>omnes CE sunt ut recta OD ad DE <lb/>(quod probatur ex prima et sexta sup­<lb/>positione ut in secunda propositione <lb/>hujus libelli de triangulis factum est) <lb/>ergo et omnes cylindri OC ad omnes <lb/>CE non habent rationem, quam habet <lb/>ID ad DE, sed majores sunt quam esse deberent. Ergo <lb/>multo magis cylindrus AC major erit, quam esse deberet, <lb/>ut ad CE eamdem habeat rationem quam habet recta ID <lb/>ad DE. Quod est contra suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>In secunda vero figura cylindrus OC ad CE non est ut <lb/>cylindrus minor AC ad eumdem CE, sed major est quam <lb/>esse debeet. Recta vero OD ad DE est ut cylindrus OC <lb/>ad CE (quod colligitur ex prima et sexta suppositione, uti <lb/>mox monebamus), ergo etiam recta OD versus DE major <lb/>erit quam esse deberet, et multo magis recta ID ergo <lb/>eamdem DI major erit quam esse opporteret, ut ad illam <lb/>eamdem habeat rationem quam habet cylindrus AC ad <lb/>CE. Quod est contra suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>Patet ergo quod cylindrus AC ad CE est ut recta AD <lb/>ad DE quamdoquidem demonstravimus quam rationem <lb/>habet cylindrus AC ad CE, eamdem nullam aliam lineam <pb pagenum="324"/>praeter AD posse habere ad DE. Atque haec conclusa sint <lb/>etiam de parallelepipedo quamquam brevitatis causa so­<lb/>lum cylindrum nominavimus. Demonstravimus ergo absque <lb/>multiplicium ope duas Euclidis propositiones nempe 25<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/> un­<lb/>decimi et 13<emph type="sup"/>a<emph.end type="sup"/> duodecimi. </s></p> <p type="main"> <s>His praemonstratis proponatur confirmandus aliquis ar­<lb/>guendi modus exempli gratia qui dicitur dividendo, etiam <lb/>in eo casu quando inter terminos datae proportionis nu­<lb/>merabuntur corpora. </s></p> <p type="main"> <s>Esto ut recta AB ad BC, ita duo solida D et E simul <lb/>ad E. Dico dividendo ita esse rectam AC ad CB ut soli­<lb/>dum D ad E. Concipiatur aliquis cylindrus FH aequalis <lb/>utrique solido D et E, simul sumptis, sectusque intelli­<lb/>gatur plano OL oppositis basibus parallelo, ita ut cylin­<lb/>drus FL aequalis sit solido D. Manifestum est, quod reli­<lb/>quus cylindrus OH omnino aequalis erit reliquo solido E. <lb/>Jam recta AB ad BC est per suppositionem, ut solida D <lb/>et E simul ad E, sive ut cylindrus FH ad HO ob aequali­<lb/>tatem nempe ut altitudo FI ad IO. Ergo dividendo in <lb/>lineis erit AC ad CB, ut FO ad OI, sive ut cylindrus FL <lb/>ad OH, nempe ut solidum D ad solidum E. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Satis jam constare arbitror nostram methodum, qua <lb/>demonstravimus doctrinam proportionum, non solum in <lb/>lineis, quemadmodum illam determinare videbantur quin­<lb/>que ex nostris propositionibus, verum etiam in superficie­<lb/>bus corporibusque solidam, et inconcussam permanere. At <lb/>ne quis forte suspicetur, an praedicta methodus praeter <lb/>lineas, superficies et corpora ulterius adhuc extendi possit, <lb/>libet unicum exemplum afferre pro omnibus, ut appareat <lb/>quomodo deletis funditus aeque multiplicibus alia quoque <lb/>quantitatis genera ad nostram demonstrandi rationem re­<lb/>vocare possimus. </s></p> <p type="main"> <s>Proponamus demonstrandum nobis primum theorema <lb/>Libri de Lineis spiralibus apud Archimedem quod idem <lb/>est , eamdem que demonstrationem habet cum primo <pb pagenum="325"/>theoremate de motu locali aequabili apud Galilaeum : <lb/>utrumque enim per solitam aequemultiplicium definitio­<lb/>nem ostenditur. </s></p> <p type="main"> <s>Si punctum aliquod aequali semper velocitate super <lb/>aliqua recta linea AB feratur, duasque ipsius portiones <lb/>[Fig. 15] AC, CB permeaverit. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb/>Dico portionem AC ad CB eam­<lb/>dem habere rationem, quam ha­<lb/>bent tempora ipsa, quibus pun­<lb/>ctum portiones permeavit. </s></p> <p type="main"> <s>Ponantur DE, EF tempora, <lb/>quibus punctum permeavit rectas AC, CB. Nempe DE sup­<lb/>ponatur tempus recta AC, ipsum vero EF tempus rectae <lb/>CB. Ostendendum est rectam AC ad rectam CB esse ut <lb/>tempus DE ad tempus EF. </s></p> <p type="main"> <s>Nisi enim sit ita, concipiamus, si possibile est, ut tempus <lb/>DE ad EF, ita esse aliquam aliam lineam IC ad eamdem <lb/>CB, et erit omnino ipsa IC vel minor, vel major quam AC. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur CB bifariam, iterumque bifariam, et hoc fiat <lb/>semper donec remaneat quaedam CG minor quam AI, di­<lb/>vidaturque tota CB in partes aequales ipsi CG; quae qui­<lb/>dem tota absumetur praecise. Item distribuatur et ipsa <lb/>CA in partes aequales eidem CG initio facto ex C, et <lb/>continuata divisione quousque fieri poterit. Certum est <lb/>aliquam divisionem casuram esse inter puncta A et I, <lb/>quandoquidem recta CG metiens minor facta est quam <lb/>AI. Cadat itaque inter A et I divisio L, et quoniam rectae <lb/>AC tempus est ipsum DE erit rectae LC, quae minor est <lb/>tempus minus quam DE. Esto igitur rectae LC tempus <lb/>OE, tunc secetur tempus OE in totidem partes aequales, <lb/>in quot aequales partes divisa est recta LC et tempus EF <lb/>in totidem partes aequales in quot divisa est recta CB, <lb/>eruntque singulae partes temporis OE tempora singularum <lb/>partium aequalium rectae LC, CB. Idemque dictum sit de <lb/>partibus temporis EF, et rectae CB. Cum autem omnes <lb/>partes rectarum LC, CB omnifarium sumptae inter se ae- <pb pagenum="326"/>quales sint per costrutionem, erunt etiam omnes partes <lb/>temporum OE, EF inter se aequales, ob suppositionem, <lb/>aequalis semper velocitatis, sive motus aequabilis. </s></p> <p type="main"> <s>Jam recta LC ad CB non est, ut recta minor IC ad <lb/>eamdem CB, sed ipsa LC major erat quam esse opporte­<lb/>ret. Ut autem recta LC ad CB, ita tempus OE ad EF <lb/>(quod infertur ex prima et sexta suppositione hujus). Ergo <lb/>etiam tempus OE major est quam esse opporteret quam­<lb/>obrem tempus DE multo majus est quam esse deberet, ut <lb/>ad EF eamdem habeat rationem quam habet recta IC <lb/>ad CB. Quod est contra suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>Quando vero [Fig. 16] IC major fuerit quam AC pe­<lb/>racta eadem constructione aliqua divisio cadet intra I, <lb/>et A, quae sit L. Eritque tempus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb/>rectae LC majus quam sit tem­<lb/>pus rectae AC, nempe majus <lb/>quam sit tempus DE. Esto igitur <lb/>OE tempus rectae LC. Dividantur tempora OE, EF in to­<lb/>tidem partes aequales in quot aequales partes sectae erunt <lb/>rectae LC, CB, quae quidem temporum particulae omnes <lb/>aequales erunt inter se, ut in praecedenti dictum est. </s></p> <p type="main"> <s>Jam tempus OE ad tempus EF non habet eamdem <lb/>rationem, quam habet tempus minus DE ad idem EF, sed <lb/>ipsum OE majus est quam esse oporteret. Ut autem tem­<lb/>pus OE ad EF ita recta LC ad CB (ex prima et sexta <lb/>suppositione hujus) ergo etiam LC versus CB major est, <lb/>quam esse deberet, et multo magis IC erga eamdem CB <lb/>major erit, quam esse deberet, ut eamdem habeat ratio­<lb/>nem, quam habet tempus DE ad EF. Quod est contra <lb/>suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>Patet ergo quod recta AC ad CB est ut tempus DE <lb/>ad EF, quandoquidem demonstravimus quam rationem ha­<lb/>bet tempus DE ad EF eamdem nullam aliam lineam prae­<lb/>ter AC posse habere ad CB; quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Non me fugit demonstrationem hanc omnesque illi si­<lb/>miles ad unicum casum reduci potuisse, facta scilicet <lb/>constructione semel tantum sive super lineis, sive super <lb/>temporibus, prout haec, vel illae majorem habere rationem <lb/>dicerentur, sed malui aliquam potius obscuritatem vitare, <pb pagenum="327"/>quam prolixitatem. Poterant etiam omnes praedictae pro­<lb/>positiones sub unico tantum theoremate universalissimo <lb/>comprehendi, atque demonstrari. Quotiescumque enim duae <lb/>magnitudines eam inter se mutuam connexionem habue­<lb/>rint, ut semper in partes aequales simul secari possint, si <lb/>utcumque secentur, partes ipsarum proportionales erunt. <lb/>Sed alterius loci, operisque duxi hujusmodi demonstratio­<lb/>nes exhibere. Imo repetitam toties eamdem demonstra­<lb/>tionem, non ex casu, aut necessitate sed consilio, et data <lb/>opera sequtus sum. </s></p> <p type="main"> <s>Haec habui, quae de propositionibus geometricis abno­<lb/>tanda censerem, si non aliis, saltem mihi, atque omnibus <lb/>illis, qui monitore me, geometriam addiscere volent. Nisi <lb/>enim fallor, positis notioribus, et facilioribus principiis <lb/>tum in definitionibus, cum etiam in suppositionibus diffi­<lb/>ciliora inde proportionum theoremata deduxi: primum in <lb/>lineis, mox propagata universalius doctrina, et in superfi­<lb/>ciebus, corporibusque, atque in omni genere quantitatis, <lb/>quod sub geometrica proportione cadere soleat et per ae­<lb/>quemultiplicia demonstrari. Addidi propositionibus quinti <lb/>Libri, praeter primam, secundam, tertiam atque ultimam <lb/>sexti etiam vigesimam-quintam undecimi, et decimam-ter­<lb/>tiam duodecimi Librorum Euclidis, partim quia meae in­<lb/>tentioni inservire videbantur, partim ut appareret, quo­<lb/>modo omnia illa theoremata in quibus proportionalitas <lb/>per aequemultiplicia demonstratur ad tertiam hujus libelli <lb/>propositionem reducantur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>FINE DEL <lb/>DE PROPORTIONIBUS LIBER.<emph.end type="center"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE PLANIS VARIA.<emph.end type="center"/></s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Della seguente collezione di problemi e teoremi (tratti fcrse dalle Lezioni del <lb/>Torricelli) si trovano tre copie nel T. XXVII dei “ <emph type="italics"/>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"/> ”, parzialmente <lb/>dovute al Viviani ed al Serenai; di certi brani fu possibile rintracciarne l'autografo <lb/>e se ne fece apposita menzione. L'ordiuamento della materia appartiene ai due suc­<lb/>citati amici del sommo Faentino. Fra questo lavoro (e altrettanto dicasi degli altri <lb/>che seguono in questa I Parte del Vol. 1) ed il <emph type="italics"/>Campo di tartufi<emph.end type="italics"/> che trovasi in prin­<lb/>cipio della II Parte si trovano numerose coincidenze che il lettore avvertirà senza <lb/>il nostro aiuto. </s></p> <pb/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE PLANIS VARIA<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. I.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Propositiones 28 et 29 Libri VI simul demonstratur. <lb/>Ad rectam BC [Fig. 1] applicare parallelogrammum ae­<lb/>quale rectilineo A, deficiens vel excedens figura simili <lb/>parallelogrammo E. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].</s></p> <p type="main"> <s>Debet autem in prima esse conditio etc. ut it 28 VI. </s></p> <p type="main"> <s>Sexta bifariam BC in F. Super FC fiat rectilineum FG <lb/>simile, similitaque positum ipsi E, compleaturque CH. </s></p> <pb pagenum="332"/> <p type="main"> <s>Tum ad rectam BH in angulo BHG applicetur paral­<lb/>lelogrammum BI per 45 primi aequale ipsi A sumaturque <lb/>inter GL, LI mediae LM. Dico BO (habens defectum vel <lb/>excessum CO similem E) aequalem esse A. Nam figura CL <lb/>ad LO est ut GL ad LI, sive ut figura CL ad LN, ergo <lb/>aequales sunt OL, LN et </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb/>per prostapheresin aequa­<lb/>les erunt BI et gnomon, <lb/>sive BI et BO, sive A et <lb/>BO. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. II.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Pono equales [Fig. 2] <lb/>AB, CD, et parallelas EF, <lb/>GM. Dico rectangula <lb/>GBH, EDF esse aequalia. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim HB ad DE, <lb/>ut 4 sexti, BC ad CD, <lb/>sive ut DA ad AB, nempe ut DF ad BG, ergo rectangula <lb/>sunt aequalia. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. III.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Pro tyronibus. Sit ut in figura. </s></p> <p type="main"> <s>Dico omnia rectangula [Fig. 3] BCD, ECI esse ae­<lb/>qualia. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Demonstratur per secundum.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Nam angulus E rectus est ob semicir­<lb/>culum et D ob suppositionem. Duo rect­<lb/>angula BCD cum duobus quadratis BC, <lb/>CD aequantur quadrato BD, sumptoque <lb/>communi DI, erunt duo rectangula BCD <lb/>cum tribus quadratis BC, CD, DI, sive cum <lb/>duobus BC, CI, aequalia quadrato BI, hoc <lb/>est quadratis BE, EI hoc est duobus rect­<lb/>angulis ECI, tribusque quadratis BE, EC, CI, sive potius <pb pagenum="333"/>BC, CI tantum. Demptis ergo quadratis communibus erunt <lb/>duo rectangula aequalia duobus etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Demonstratur per tertium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Fiat circulus circa diametrum BI qui transibit per <lb/>puncta E, D, et propterea due recte BD, EI secabunt se <lb/>in circulo. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Demonstratur per sextum.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Triangula rectangula BEC, CDI sunt similia, ergo la­<lb/>tera circa aequales angulos ad C proportionalia etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. IV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ex terminis diametri [Fig. 4] BD, cir­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb/>culi tangens DA et BA secans occurrant <lb/>in A, erit rectangulum ABC aequale qua­<lb/>drato diametri. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Demonstratur per secundum.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Nam rectangulum ABC bis cum qua­<lb/>drato AC equatur quadratis AB, BC, sive <lb/>quadratis AD, DB, BC, sive quadratis AD, DB, BC; dempto <lb/>communi AC erit rectangulum ABC bis aequale quadratis <lb/>CD, DB, BC, sumptis dimidiis patet rectangulum ABC <lb/>aequale esse quadrato BD. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. V.<emph.end type="center"/></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].</s></p> <p type="main"> <s>Posito angulo [Fig. 5] A recto, si <lb/>due recte ex A in circulum incidant <lb/>ut vides etc. erunt duo quadrata DA, <lb/>CA, et duo rectangula DAC simul <lb/>equalia quadrato BE etc. Hoc enim <lb/>patet quia ductis parallelis CF, DG <lb/>erunt aequales AC, BF, GE. Sed per <lb/>quartam secundi quadratum BE aequale est quadratis EF, <lb/>FB, et bis rectangulo EFB etc. </s></p> <pb pagenum="334"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. VI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Positis ijsdem [stessa Fig.]. Cum duo quadrata DA, AC <lb/>cum duobus rectangulis DAC vel cum duobus rectan­<lb/>gulis HBA per 36 tertij sint aequalia quadrato BE, addito <lb/>communi quadrato BH, erunt duo quadrata DA, AC cum <lb/>duobus rectangulis HAB et quadrato HB per septima se­<lb/>cundi equantur duobus quadratis HA, AB. Concludamus <lb/>igitur quatuor quadrata DA, AC, HA, AB, aequalis esse <lb/>quadrato diametri etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. VII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Stantibus ijsdem [Fig. 6] si ex cen­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb/>tro ducantur ad AD, et AH perpendi­<lb/>culares ML, MF erit angulus LMF <lb/>rectus, et ideo GI chorda quadrantis. <lb/>Dico quadrata LA, LB, FA, FC equari <lb/>quadranti GI. Sunt enim quadrata LA, <lb/>LB subdupla quadratorum HA, HB et <lb/>quadrata FA, FC subdupla quadrato­<lb/>rum DA, AC per decimam secundi, <lb/>quare simul quatuor illa quadrata sub­<lb/>dupla sunt horum quatuor quadratorum per preced. nempe <lb/>quadrati ex diametro, quare aequalis sunt quadrato GI. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. VIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Recta [Fig. 7] AB tangat maiorem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb/>circulum in B, tunc quadratum CD cum <lb/>quatuor rectangulis IEH erunt equalia <lb/>quadrato maiores diametri, que in hoc <lb/>casu erit necessario GB. Ratio est quia <lb/>cum AB tangat angulusque ABE in <lb/>semicirculo sit rectus, erit BEG dia­<lb/>meter etc. </s></p> <p type="main"> <s>Iam ducatur DM parallela ad CE; <lb/>eritque tam DE, quam CE, BA rectangulum, huius enim <lb/>omnes anguli sunt in semicirculo. </s></p> <pb pagenum="335"/> <p type="main"> <s>Iam duo quadrata BE, EG equalia sunt quadratis EG, <lb/>GM, sive (per septimam secundi) duobus rectangulis EGM, <lb/>quadratoque EM, hoc est duobus rectangulis EGM, qua­<lb/>dratoque EM, hoc est duobus rectangulis GEB, quadrato­<lb/>que CD. Duo item quadrata CE, EF; aequalia erunt rect­<lb/>angulis GEB (quia et ipsa GB diameter), sive duobus IEH. <lb/>Simul ergo diametri equalia erunt quadrato CD, quatuor­<lb/>que rectangulis IEH. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. IX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Ex Sereno<emph.end type="italics"/> .<emph.end type="center"/></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].</s></p> <p type="main"> <s>In quocumque trian­<lb/>gulo secta bifariam basi <lb/>[Fig. 8] AC in D, erunt <lb/>duo quadrata AB, BC ae­<lb/>qualia quatuor quadratis <lb/>AD, DC et BD bis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. X.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Ideo quatuor quadrata laterum parallelogrammi equalia <lb/>sunt duobus quadratis diametrorum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sint aequales arcus [Fig. 9] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb/>AB, BC, et equales linee EC, <lb/>CD, perpendiculum BH bise­<lb/>cabit DA. </s></p> <p type="main"> <s>Item quadratum AB ae­<lb/> <arrow.to.target n="marg286"></arrow.to.target><lb/>quale erit rectangulo IAD. </s></p> <pb pagenum="336"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg286"></margin.target>Per Ptol. <lb/>lib. I, c. 6.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sint aequales arcus [stessa Fig.] AB, BC, item linee <lb/>AI, EC, erit rectangulum FEI aequale quadrato EB. Quia <lb/>similia sunt triangula isoscelia EBF et EIB etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sit ut supra, erit ut AB ad BE, ita AC ad EF, vel CEA. <lb/>Est enim BH subdupla AC, et ut AB ad BE ita BH ad <lb/>HE, vel CA ad EF duplas etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Eadem est differentia inter segmenta atque inter sec­<lb/>tores semicirculum complentes [Fig. 10] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb/>ECB, BCA sunt equales quia equalibus <lb/>peripherijs insistunt; ergo ECA duplus <lb/>est anguli BCA etiam BAD duplus est <lb/>eiusdem, ergo aequales sunt ECA, <lb/>BDA. Quare parallele sunt BD, EC. <lb/>Ideo aequalia sunt triangula EBC, <lb/>EDC additoque segmento EC, erit differentia sectorum <lb/>complentium semicirculum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Alterum ex propositis Problematibus erat.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Datam rectam lineam ita in duas partes secare ut dif­<lb/>ferentia quadratorum partium datam rationem habeat ad <lb/>rectangulum sub ijsdem partibus comprehensum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Quod absolvemus hoc modo.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sit data recta linea [Fig. 11] AB rationis autem ter­<lb/>mini C et D. Coaptentur EF, FG ad angulos rectos inter <lb/>se. Sitque EF aequalis ipsi C, et FG ipsi D. Eum divisa <pb pagenum="337"/>EF bifariam in H describatur centro H, radio HG semi­<lb/>circulus secans lineam EF productam in I et L. Fiat <lb/>deinde ut IF ad FG ita AM quadratum ex AB et sumpta <lb/>MN equali ipsi MB, compleatur figura. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].</s></p> <p type="main"> <s>Quia est ut IF ad FG, vel FG ad FL, ita AM ad MB <lb/>vel BR ad RF, erunt tres linee IF, FG, FL, et tria spacia <lb/>AO, OB, OF, vel OP in continua et eadem ratione. Ergo <lb/>ex equo et dividendo erit ut EF ad FL, ita gnomon QNS <lb/>ad OP. Sed ut FL ad FG hoc est ut C ad D, ita gnomon <lb/>QNS ad rectangulum OB, nempe differentia quadratorum <lb/>partium, ad rectangulum ex partium. Quod erat faciendum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Alterum erat.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Datam rectam lineam ita in duas partes dividere, ut <lb/>rectangulum sub tota et minori segmento comprehensum <lb/>habeat datam rationem ad differentiam quadratorum par­<lb/>tium. </s></p> <p type="main"> <s>Quod ita peragemus. Sit data recta linea AB et ter­<lb/>mini date rationis C, D. Fiat ut dupla ipsius C ad D, ita <lb/>AE ad EB. </s></p> <p type="main"> <s>Seceturque AE bifariam in F. Dico F esse punctum <lb/>quesitum. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim sit ut dupla ipsius C ad D ita AE ad EB, <lb/>erit (sumptis antecedentium dimidijs) ut C ad D, ita AF <lb/>ad EB hoc est rectangulum FAB ad rectangulum RBA <pb pagenum="338"/>sub eadem altitudine. Sed rectangulum FAB est id quod <lb/>continetur sub tota, et minori segmento, rectangulum vero <lb/>EBA est differentia quadratorum partium. Quare factum <lb/>est quod oportebat . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XVII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Dato triangulo secto per lineam [Fig. 12] AB dicere <lb/>proportionem trapezij ad triangulum. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].</s></p> <p type="main"> <s>Ducatur CA ipsique parallela BD. <lb/>Dico trapezium ad reliquum trianguli <lb/>esse ut ED ad DF. Ducta enim CD <lb/>erit triangulum ECD ad triangulum <lb/>DCF ut ED ad DF; sed triangulum <lb/>ECD aequatur trapezio ECBA, cum <lb/>sit triangulum triangulum DCA ae­<lb/>quale triangulo CBA, triangulum vero <lb/>CDF equatur reliquo triangulo ABF, cum sit triangulum <lb/>ABD aequale triangulo DCB; ergo patet etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>In quocumque triangulo cum fuerint AP, ON parallele, <lb/>erunt rectangula ABN, OBP inter se equalia . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Ideo transvertim ducta [Fig. 13] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb/>AB in triangulo DCI, ductisque pa­<lb/>rallelis CA, BE, prout etiam DB, AF, <lb/>erunt CD, EF inter se parallele. Rect­<lb/>angulum enim DIF equale est rectan­<lb/>gulo AIB, sive rectangulo EIC, ergo <lb/>ut DI ad IC, ita EI ad IF. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="339"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Suppono in sequenti figura triangu­</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb/>lum [Fig. 14] ABC ad triangulum OBC <lb/>esse ut rectangulum ABC ad rectan­<lb/>gulum OBN. Hoc elicitur ex vigesima­<lb/>tertia sexti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XIX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Triangulum [Fig. 15] ABC secare <lb/>per lineam ex puncto D peractam ita <lb/>ut pars ad A terminata sit ad reliquam <lb/>ut EF ad FG. </s></p> <p type="main"> <s>Producantur omnia triangula latera quorum unum puta <lb/>CA, transeat primo per fatum punctum D. Ducatur DH <lb/>parallela ipsi AB, fiatque ut EG ad GF </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb/>coniunctim, ita CB ad HI. </s></p> <p type="main"> <s>Ductaque IC sumatur BM aequalis <lb/>ipsi BL et ad BM applicetur rectangu­<lb/>lum aequale rectangulo HBM excedens <lb/>figura quadrata, quod quidem faciat <lb/>latitudinem BN. Dico rectam DN se­<lb/>care triangulum ut imperatum est. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam enim rectangulum BNM <lb/>applicatum est aequale rectangulo <lb/>HBM erit ut NM ad MB ita HB ad BN et componendo <lb/>ut NB ad BM, sive NB ad BL, ita HN ad NB, nempe DH <lb/>ad OB et ideo rectangulum OBN equale erit rectangulo <lb/>DH, BL, sive rectangulo AB, HI (sunt enim parallele DH, <lb/>AB, et IL pertinet ad verticem C); ergo rectangulum ABC <lb/>ad rectangulum OBN erit ut rectangulum ABC ad rect­<lb/>angulum AB, HI, nempe ut CB ad HI, vel ut EG ad GF, <lb/>et dividendo trapezium AONC ad reliquum triangulum <lb/>OBN erit ut EF ad FG. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="340"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sit deinde datum triangulum [Fig. 16] ABC ex dato <lb/>puncto D ita secandum, ut pars ad A terminata sit ad <lb/>reliquum ut EF ad FG. </s></p> <p type="main"> <s>Producantur omnia latera, cadatque punctum D intra <lb/>ipsa latera producta. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb/>Ducatur per D recta <lb/>HDI parallela ad AB, <lb/>fiatque ut EF ad FG, <lb/>ita HL ad LI; si punc­<lb/>tum L congruet cum <lb/>D solutum erit proble­<lb/>ma per rectam LC; <lb/>sed non congruat. </s></p> <p type="main"> <s>Ducta LC, duca­<lb/>tur MN parallela ad ipsam AC, perfectoque parallelo­<lb/>grammo IO, iungatur ON, et ducatur AP parallela ipsi <lb/>ON, et tandem ad rectam BP applicetur rectangulum <lb/>equale rectangulo IBP excedens figura quadrata faciens <lb/>latitudinem <expan abbr="Bq.">Bque</expan> Dico rectam DQ solvere problema. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam enim rectangulum BQP applicatum est ae­<lb/>quale rectangulo IBP erit QP ad PB ut IB ad BQ et <lb/>componendo ut QB ad BP ita IQ ad QB, sive ID ad BR; <lb/>ergo rectangulum RBQ equale est, rectangulo DI, BP <lb/>hoc est rectangulo OB, BP sive AB, BN; ergo rectangu­<lb/>lum ABC ad rectangulum RBQ (sive triangulum ABC ad <lb/>triangulum RBQ) erit ut idem rectangulum ABC ad rec­<lb/>tangulum et BN, nempe ut CB ad BN, sive AB ad BM, <lb/>hoc est HI ad IL, et dividendo erit trapezium ARQC ad <lb/>reliquum triangulum RBQ ut HL ad LI, sive ut EF ad FG. <lb/>Quod erat faciendum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XXI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Dato parallelogrammo [Fig. 17] AB punctoque C, du­<lb/>cere rectam CD, quae faciat triangulum EAD, aequale <lb/>parallelogrammo dato. </s></p> <pb pagenum="341"/> <p type="main"> <s>Ducatur CF secans AG productam in L, sumptaque AH <lb/>dupla ipsius AG, ducatur CM equidistans ipsi LA, et pro­<lb/>ducatur FA ad M. Fiat ut LA ad AH ita FA ad MO. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb/>Denique ducta OF ipsi. PA sumatur equalis AQ, recteque <lb/>AQ applicetur rectangulum aequale rectangulo MAQ ex­<lb/>cedensque quadrato, et faciat latitudinem AD. </s></p> <p type="main"> <s>Dico rectam CD solvere problema. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XXII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Datis tribus semidiametris [Fig. 18] AH, CD, CE una <lb/>cum distantia AC, et ducta HDF que utrumque tangat <lb/>circulum, queritur arcus VF qui secatur a recta que ex <lb/>centro C ducitur tangens in P; sumpta enim HO equalis </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].<lb/>DC, ducta OC erit ipsi HF parallela et angula ad O recti <lb/>existent. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat igitur ut AC data ad AO datam (est enim diffe­<lb/>rentia datarum AH, CD) ita sinus totus ad alium et habe- <pb pagenum="342"/>bimus sinum anguli ACO sive CFD cuius complementum <lb/>erit angulus DCF. </s></p> <p type="main"> <s>Iterum fiat ut CE data ad DC datam ita sinus totus <lb/>ad alium, qui erit sinus anguli DEC, cuius complementum <lb/>dabit angulum DCE. His peractis notus erit angulus ECF, <lb/>nempe differentia inter angulos repertos. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat tandem ut data AC ad datam AP ita sinus totus <lb/>ad sinum anguli ACP. Note sunt ergo peripherie SV et <lb/>EX, que si demantur ex semicirculo, nota erit peripheria <lb/>VE. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XXIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Due medie proportionales. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].</s></p> <p type="main"> <s>Date sint extreme AB, BC. Si fa­<lb/>cias bene figuram medie erant [Fig. 19] <lb/>BD, BE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XXIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Esto semicirculus cuius centrum <lb/>[Fig. preced.] A, diameter BC, et si <lb/>possibile est supponamus ab aliquo <lb/>Geometra sectum esse per viam puram geometricam hu­<lb/>iusmodi circulum in qualibet ratione, (que tamen sit nota) <lb/>per lineam diametro parallelam DE et sit ratio semicirculi <lb/>BFC ad segmentum DEF exempli gratia dupla. Fiat an­<lb/>gulus BAF rectus, iunctaque AD, esto HI perpendicularis <lb/>ad ipsum AD. Iam sic. Sector BAF ad sectorem DAF est <lb/>ut arcus BF ad arcum DF. Sector autem DAF ad por­<lb/>tionem DHF est ut arcus DF ad differentiam quae est <lb/>inter ipsum arcum DF et rectam HI. Sed ratio sectoris <lb/>BAF ad portionem DHI supponitur ex invento alicuius <lb/>Geometre dupla; ergo et arcus BF rationem habebit du­<lb/>plam ad differentiam que est inter arcum DF et rectam <lb/>HI. Propterea si totus arcus BF secetur bifariam in L, <lb/>erit reliquus arcus LD equalis recte HI. </s></p> <p type="main"> <s>Quod quidem problema a quopiam constructum fuisse <lb/>per viam puram geometricam non credo. </s></p> <pb pagenum="343"/> <p type="main"> <s>Quod promisimus ostendimus sic. Sector DAF equatur <lb/>triangulo, cuius basis sit radius DA, altitudo vero equalis <lb/>arcui DF. Ergo sector DAF ad triangulum DAH in ea­<lb/>dem basi, erit ut altitudo sive ut arcus DF ad altitudinem <lb/>HI, et per conversionem rationis patet quod promisimus . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XXV.<emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Reflexio fit per brevissimas. Ita in spherica et in qualibet conoidali <lb/>superficie convexa.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XXVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>De Convexorum refractione.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Sit lens ABC cuius centrum D. Sphere vero diameter BE perpendi­<lb/>culare radium GB, obliquum FA. Nota mensuram anguli inclinationis <lb/>IAF semper esse arcum AB. </s></p> <p type="main"> <s>Praxis ostendit concursum fieri circa punctum E proxime, ergo re­<lb/>fractionis angulus HAE esset dimidium anguli incidentie. Scimus au­<lb/>tem esse debere multo minorem videlicet tertiam partem. Quod igitur <lb/>superest, dicemus fieri a superficie vitri plana, et erit differentia inter <lb/>dimidium et tertiam partem nempe pars sexta. Dicemus ergo plani <lb/>refractionem esse sextam partem inclinationis incidentie. </s></p> <p type="main"> <s>Nota angulum inclinationis super planum aequalem esse angulo <lb/>refractionis convexi. At id non videbis nisi in magna figura. </s></p> <p type="main"> <s>Nota Keplerum aliosque opticos ponere concursum radiorum ultra <lb/>sesquidiametrum sphere circiter. Ideo experiaris ut certior evadas.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XXVII .<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Contra Secundam Sanctinis<emph.end type="italics"/> .<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur linea externa maior quam tripla semidiametri <lb/>et reliqua peragantur iuxta mentem Sanctinij cuius figu­<lb/>ram et constructionem suppono. </s></p> <pb pagenum="344"/> <p type="main"> <s>Iungatur [Fig. 20] DC et demittatur DM perpendicu­<lb/>laris ad diametrum, erit differentia inter quadrata AH, AD <lb/>aequalis rectangulo CM in AB, ergo ob constructionem <lb/>Sanctinij quadratum DI rectangulo CM in AB equale erit. </s></p> <p type="main"> <s>Iam quadratum FD equatur quadratis FC, CD gemino­<lb/>que rectangulo FCM, et demptis equalibus rectangulum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb/>FDE sive quadratum AI equale remanet quadratis AC, CD <lb/>geminoque rectangulo FCM, ergo etiam duo quadrata AD, <lb/>DI, sive potius AH cum gemino quadrato DI equale erit <lb/>duobus AC, CD, geminoque rectangulo FCM, demptisque <lb/>equalibus, geminum quadratum DI aequale gemino rect­<lb/>angulo FCM, sive simplex simplici. At quadratum DI <lb/>equale erat rectangulo CM in AB, ergo rectangulum FCM <lb/>equale est ei quod fit ex CM in AB, propterea recta FC <lb/>recte AB aequalis quod est impossibile, cum enim suppo­<lb/>natur extera EF maior quam tripla semidiametri non po­<lb/>test FA aequalis esse semidiametro. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROP. XXVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Contra tertiam Sanctinij.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur arcus [Fig. 21] AD qui subtenditur a semidia­<lb/>metro, ducanturque DI, HC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].<lb/>perpendiculares ad diame­<lb/>trum. </s></p> <p type="main"> <s>Jam quia quadratum AD <lb/>equale est rectangulo BAI et <lb/>quadratum AH rectangulo <lb/>BAC erit rectangulum sub IC <lb/>et AB differentia quadratorum AD, AH, sed eorundem est <pb pagenum="345"/>differentia quadratum DH, vel rectangulum FDE (utrum­<lb/>que per suam constructionem) ergo rectangulum FDE <lb/>equale erit rectangulo sub IC et AB. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum F cum gemino rectangulo FCI equale est <lb/>quadratis FC, CD, demptis equalibus remanet rectangulum <lb/>FDE, sive mavis IC cum gemino rectangulo FCI, equale <lb/>quadratis AC, CH sive quadrato IC octies sumpto. </s></p> <p type="main"> <s>Quo