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<!DOCTYPE archimedes SYSTEM "../dtd/archimedes.dtd"> <archimedes> <info> <author>Torricelli, Evangelista </author> <title>Opere</title> <date>1912</date> <place>Firenze</place> <translator></translator> <lang>la</lang> <cvs_file>torri_opere_090_la.xml</cvs_file> <locator>090.xml</locator> </info> <text> <front/> <body> <chap> <pb xlink:href="090/01/001.jpg"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>OPERE <lb/>DI <lb/>EVANGELISTA TORRICELLI<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>EDITE IN OCCASIONE DEL III CENTENARIO DELLA NASCITA<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>COL CONCORSO DEL COMUNE DI FAENZA<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>DA<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>GINO LORIA E GIUSEPPE VASSURA<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>VOLUME I: GEOMETRIA <lb/>PUBBLICATO PER CURA DI GINO LORIA<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>PARTE I. <lb/>CON IL RITRATTO DI E. TORRICELLI E 373 FIGURE<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <figure id="id.090.01.001.1.jpg" xlink:href="090/01/001/1.jpg"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/><emph type="italics"/>FAENZA<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>STABILIMENTO TIPO-LITOGRAFICO G. MONTANARI<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>AMMINISTRATO DALL'ORFANOTROFIO MASCHI<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>1919.<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <pb xlink:href="090/01/002.jpg"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/><emph type="italics"/>Riservati tutti i diritti accordati dalla Legge <lb/>in Italia c all'Estero.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <pb xlink:href="090/01/003.jpg"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>INDICE<emph.end type="center"/><lb/> </s></p> <pb xlink:href="090/01/004.jpg"/> <table> <row><cell>Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>Pag.</cell><cell>I—XXXVIII</cell></row> <row><cell>DE SPHAERA ET SOLIDIS SPHAERALIBUS LIBRI DUO.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> Dedica . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>1— 2</cell></row> <row><cell> Proemium . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>3— 10</cell></row> <row><cell> Liber primus . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>11— 44</cell></row> <row><cell> ” secundus . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>45— 87</cell></row> <row><cell>DE DIMENSIONE PARABOLAE.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> Dedica . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>91— 92</cell></row> <row><cell> Ad lectorem proemium . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>93— 98</cell></row> <row><cell> Suppositiones et definitiones . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>98—101</cell></row> <row><cell> Quadratura parabolae pluribus modis per duplicem</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> positionem, more antiquorum absoluta . . . .</cell><cell>”</cell><cell>102—162</cell></row> <row><cell> Appendix — De dimensione cycloidis . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>163—169</cell></row> <row><cell> Scholium — De cycloidibus aliarum specierum . .</cell><cell>”</cell><cell>170—172</cell></row> <row><cell>DE SOLIDO ACUTO HYPERBOLICUM PROBLEMA ALTERUM . .</cell><cell>”</cell><cell>173—190</cell></row> <row><cell>DE SOLIDO HYPERBOLICO ACUTO PROBLEMA SECUNDUM . .</cell><cell>”</cell><cell>191—221</cell></row> <row><cell> Appendix — De dimensione cochleae . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>223—230</cell></row> <row><cell>APPENDICE AL LEMMA XX DELLA MEMORIA “ DE DIMENSIONE</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> PARABOLAE ” . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>231—238</cell></row> <row><cell>DE TACTIONIBUS . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>239—290</cell></row> <row><cell> Nota dell'editore . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>291—292</cell></row> <row><cell>DE PROPORTIONIBUS LIBER.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> Ad amicum lectorem proemium in quo de defini-</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> tionibus geometricis . . . . . . , . . . .</cell><cell>”</cell><cell>295—305</cell></row> <row><cell> Definitiones . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>305 </cell></row> <row><cell> Suppositiones et axiomata . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>306 </cell></row> <row><cell> (Teoremi) . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>307—318</cell></row> <row><cell> Appendix . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>319—327</cell></row> <row><cell>DE PLANIS VARIA . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>329—345</cell></row> <row><cell>DE SOLIDIS VARIA . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>347—363</cell></row> <row><cell>DE CIRCULO ET ADSCRIPTIS . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>365—375</cell></row> <row><cell>DE COMPARAT. PERIMETRORUM CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE</cell><cell>”</cell><cell>377—386</cell></row> <row><cell>DE AEQUALIT. PERIMETRORUM CYLINDRI CONI AC SPHAERAE</cell><cell>”</cell><cell>387—407</cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>INTRODUZIONE.<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <pb xlink:href="090/01/005.jpg"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/><emph type="italics"/>INTRODUZIONE<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>I. — <emph type="italics"/>Ad uno svolto della storia.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quantunque non siasi ancora stabilito perfetto accordo <lb/>fra i competenti intorno all'anno in cui, nella storia civile <lb/>e politica, debbasi collocare l'inizio dell'èra moderna, pure <lb/>l'evo medio si suole da tutti gli storici chiudere nell'ul­<lb/>timo decennio del secolo XV o nel secondo del successivo. <lb/>L'analoga questione relativa alla storia delle matematiche, <lb/>per quanto ci consta, non venne sinora posta, almeno in <lb/>modo esplicito. Ma, ove lo fosse stata, non sarebbe certa­<lb/>mente stato malagevole l'accordarsi nello scegliere la data <lb/>1650 come inizio dell'ultima delle grandi divisioni della <lb/>storia delle scienze esatte; chè allora appunto i germi fe­<lb/>condi deposti da DESCARTES e FERMAT cominciarono a <lb/>produrre l'aritmetizzazione della geometria, cioè il grande <lb/>fenomeno che servì ad imprimerle una fisonomia del tutto <lb/>nuova ed era destinato a rinnovare tutta la scienza del­<lb/>l'estensione figurata; inoltre, allora si trovavano in istato <lb/>d'imminente fioritura le idee ed i metodi chiamati ad as­<lb/>sicurare sistematica unità alle indagini relative alla misura <lb/>della superficie e dei solidi a contorni arbitrari; allora <lb/>finalmente avevano intrapresa la loro gloriosa corsa nel <lb/>mondo i principi fondamentali posti alla dottrina dei moti <lb/>e delle forze dall'immortale autore dei <emph type="italics"/>Discorsi e dimo­<lb/>strazioni matematiche intorno a due nuove scienze.<emph.end type="italics"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>Ora la matematica della rinascenza — al pari di lam­<lb/>pada che, nell'istante in cui sta per spegnersi, diffonde <pb xlink:href="090/01/006.jpg" pagenum="IV"/>all'intorno uno sprazzo di fulgidissima luce — presenta in <lb/>Italia un epilogo oltre ogni dire brillante in un perso­<lb/>naggio di primo ordine, degno continuatore delle tradizioni <lb/>scientifiche che, nella patria nostra, sia pure con lunghe <lb/>deplorevoli lacune, si perpetuarono durante l'enorme pe­<lb/>riodo storico che corre da ARCHIMEDE a GALILEO: è EVAN­<lb/>GELISTA TORRICELLI, la cui altissima rinomanza presso i <lb/>contemporanei è attestata dall'anagramma </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/><emph type="italics"/>En virescit Galileus alter<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/>che un suo anonimo ammiratore compose con le lettere che <lb/>ne formano il nome . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>II. — <emph type="italics"/>Alunnato e noviziato di E. Torricelli.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>Colui a cui la sorte affidò il nobile còmpito di conso­<lb/>lare gli ultimi giorni della travagliata esistenza di GALILEO <lb/>GALILEI, vide la luce il 15 ottobre 1608; sebbene nessun <lb/>documento lo dichiari esplicitamente, pure è pressochè <lb/>certo che egli nacque in Faenza , perchè suo padre GA­<lb/>SPARE, apparteneva ad una famiglia, di modeste condizioni <pb xlink:href="090/01/007.jpg" pagenum="V"/>di fortuna , la quale, a partire dalla metà del secolo XV <lb/>ebbe costante dimora in quella città ed ivi si spense sullo <lb/>scorcio del secolo XVII. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">I suoi studi in umanità furono compiuti sotto la guida <lb/>amorosa e sapiente di uno zio paterno, ALESSANDRO (che <lb/>assunse il nome di JACOPO quando entrò nell'ordine ca­<lb/>maldolese e che morì quasi novantenne priore del mona­<lb/>stero di S. Giovanni della città natìa ); invece nelle <lb/>scienze, in particolare nelle matematiche, fu istruito dai <lb/>Padri Gesuiti. Ed in tali discipline diede prove lampanti <lb/>di tali spiccate attitudini che il suo ottimo zio persuase <lb/>la famiglia ad inviarlo a Roma allo scopo di perfezionarlo <lb/>sotto la direzione oculata di uno dei luminari del tempo, <lb/>BENEDETTO CASTELLI, il celebre discepolo di GALILEO che, <lb/>a partire dal marzo 1626, era lustro e decoro della Corte di <lb/>papa URBANO VIII. Ciò accadeva verso la metà dell'anno <lb/>1627. Subendo la benefica influenza di tanto istitutore, il <lb/>TORRICELLI fece progressi talmente rapidi e sorprendenti <lb/>che ben presto potè affermarsi pensatore originale con la <lb/>memoria, oggi notissima, <emph type="italics"/>Sul moto dei corpi naturalmente <lb/>discendenti<emph.end type="italics"/> , la quale d'un tratto lo collocò senza con­<lb/>trasto in prima linea fra gli alunni del celebre matema­<lb/>tico . </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Nelle mani di P. BENEDETTO CASTELLI questa me­<lb/>moria servì come mezzo per assicurare al diletto alunno <lb/>una situazione economica e sociale onorevole, lucrosa, <pb xlink:href="090/01/008.jpg" pagenum="VI"/>stabile . Narra infatti VINCENZO VIVIANI per il tramite <lb/>di LODOVICO SERENAI quanto segue : </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Questo Padre (cioè il CASTELLI) nell'aprile del 1641 <lb/>venendo di Roma per Pisa a Firenze per passare a Ve­<lb/>nezia al suo Capitolo generale, portò con sè manoscritto <lb/>il trattatello del Moto composto allora dal Torricelli sui <lb/>principi del medesimo Galileo, al quem il predetto Abate <lb/>fece sentire il contenuto e la diversità di maniera che in <lb/>varie cose aveva quegli tenuta per ampliare quella nuova <lb/>scienza meravigliosa del Galileo, di cui commiserando il <lb/>predetto Abate la cecità e scorgendo insieme il pericolo <lb/>in che, per la di lui grave età travagliata ancora da tante <lb/>indisposizioni, si stava di perdere per la di lui morte, il <lb/>residuo delle sue speculazioni non pubblicate che aveva <lb/>in sè e che gli rimanevano ancora da porre sulla carta, <lb/>glielo propose in ajuto; e il Galileo che dall'opera sopra <lb/>detta e dalle relazioni che di quella date gli aveva il Pa­<lb/>dre, già ne aveva formato gran concetto, volontierissimo <lb/>lo accettò per ajuto e per compagno e restò col Padre <lb/>Castelli che al suo ritorno a Roma poteva trattar d'in­<lb/>viarglielo, come seguì. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>“ Giunse dunque il Torricelli alla Villa d'Arcetri (dove <lb/>abitava Galileo) verso la fine del settembre del medesimo <lb/>anno ed immantinente incominciò Galileo a comuni­<lb/>cargli nei discorsi che quegli teneva tutto giorno, ciò che <lb/>gli rimaneva delle proprie fatiche e meditazioni, le quali <lb/>aveva stabilite di includere e distribuire in due giornate in <pb xlink:href="090/01/009.jpg" pagenum="VII"/>dialogo da aggiungersi alle altre quattro dell'opera pochi <lb/>anni prima stampata sopra le sue due nuove scienze della <lb/>Meccanica e del Moto locale e la prima di quelle due con­<lb/>tener doveva l'esplicazione d'alcune delle cose già dette <lb/>nelle prime quattro, e la soluzione di vari problemi natu­<lb/>rali suoi e d'Aristotile, esaminati e purgati da alcune fal­<lb/>lacie prese dal Filosofo e particolarmente nel Trattato <lb/>“ de incessu animalium ”. La seconda doveva comprendere <lb/>il racconto di varie esperienze antiche del Galileo da lui <lb/>fatte per l'investigazione della forza infinita della percossa <lb/>di cui stimava il medesimo Galileo di avere dopo lunghe <lb/>vigilie ed applicazioni arrivati i veri principi e fondamenti <lb/>da poter sopra di essi fabbricare una terza nuova scienza <lb/>e con progresso geometrico dimostrare proprietà stupende <lb/>e fuori della comune immaginazione. Ma iniqua sorte invi­<lb/>diando agli uomini così grandi acquisti nelle scienze, volle <lb/>che (appena dato principio il Torricelli a distendere la <lb/>quinta giornata) in capo a poco più di tre mesi dopo la <lb/>congiunzione in terra di quei due grandi luminari, si estin­<lb/>guesse il Maggiore conceduto alle vite umane da Dio, <lb/>sommo Sole, per dimostrar loro nei Cieli e nella Natura <lb/>novità ammirande e verità peregrine state occulte a tutta <lb/>l'Antichità ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>III. — <emph type="italics"/>Il periodo fiorentino.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Come è notorio la morte di GALILEO seguì il 6 gen­<lb/>naio 1641. </foreign></s></p> <p type="main"> <s> “ Per sì funesto accidente non così presto aspetta­<lb/>tosi dal Torricelli rimaneva qua egli come smarrito; ma <lb/>la gloriosa memoria del Ser. Gran Duca Ferdinando II sti­<lb/>molata dalla sua nativa inclinazione a promuovere e pro­<lb/>teggere le buone lettere e le matematiche in particolare, <lb/>prese subito a risarcire in parte così gran perdita di simil <pb xlink:href="090/01/010.jpg" pagenum="VIII"/>soggetto statogli rappresentato dal Sen. Andrea Arrighetti <lb/>a relazione del medesimo Galileo di altissima aspettazione. <lb/>E mentre questi preparavasi a licenziarsi per tornarsene <lb/>a Roma fu fatto aspettare d'ordine del G. Duca che allora <lb/>trovavasi a Pisa e dichiarato successore ad un Galileo cioè <lb/>matematico di S. A. e per lui fu rinnovata l'antica ma per <lb/>lungo tempo dimessa lettura di matematiche in questo <lb/>Studio ” . </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In conseguenza di questa provvida ed illuminata deli­<lb/>berazione il Nostro, sorpassati di poco i trentadue anni, <lb/>vedeva assicurata a sè stessa una posizione pienamente <lb/>soddisfacente, perchè, in qualità di matematico dello studio <lb/>fiorentino, gli era assegnato lo stipendio annuo di scudi 200, <lb/>ed inoltre il governo toscano gli concesse gratuito alloggio <lb/>in un quartiere dell'antico palazzo dei Medici che divenne <lb/>poi palazzo Riccardi (oggi sede della prefettura); più <lb/>tardi, e precisamente in data 2 gennaio 1644, gli fu con­<lb/>ferita anche l'ufficio di lettore di fortificazioni militari <lb/>nella fiorentina Accademia del Disegno con l'annuo emo­<lb/>lumento di scudi 40 . </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Non pago di avere liberato il grande faentino da ogni <lb/>sorta di preoccupazioni materiali, il Granduca di Toscana lo <lb/>colmò di altri benefici, il primo e forse più importante dei <lb/>quali (almeno dal punto di vista dei supremi interessi della <lb/>scienza), è quello di avere spontaneamente assunta tutte le <lb/>spese per la stampa e le figure dell'unica opera geometrica <lb/>che a lui fu concesso di presentare al pubblico , quel- <pb xlink:href="090/01/011.jpg" pagenum="IX"/>l'opera che ebbe virtù di estendere ai lontani l'altissima <lb/>stima che il Torricelli si era acquistata da parte delle per­<lb/>sone che ebbe la fortuna di avvicinarlo. </s></p> <p type="main"> <s>Col suo trasferimento a Firenze comincia per il TOR­<lb/>RICELLI il periodo più felice della sua esistenza, quello in <lb/>cui potè consacrarsi serenamente e con maggiore intensità <lb/>alla ricerca scientifica ed in cui si affollarono più nume­<lb/>rose alla sua mente le idee originali . Libero da qual- <pb xlink:href="090/01/012.jpg" pagenum="X"/>siasi preoccupazione materiale, essendo bello della persona, <lb/>gentile di maniera ed amante dell'onesto conversare, non <lb/>tardò a stringere rapporti di amicizia con le personalità <lb/>più spiccate viventi allora in Firenze (basti ricordare il <lb/>celebre pittore SALVATORE ROSA ed il dotto ellenista <lb/>CARLO DATI); anzi dai regolari convegni che egli tenne <lb/>con questi valentuomini trasse origine l'Accademia dei <lb/>“ Percossi ”, in seno alla quale forse egli fece conoscere <lb/>le <emph type="italics"/>Commedie<emph.end type="italics"/> che vuolsi scrivesse ed ove recitò, con <lb/>plauso generale, quell'<emph type="italics"/>Encomio del secol d'oro<emph.end type="italics"/> destinato a <lb/>prendere posto più tardi nella collezione delle sue <emph type="italics"/>Lezioni <lb/>accademiche<emph.end type="italics"/> . D'altronde l'Accademia della Crusca, onde <lb/>rendere solenne omaggio alla sua perizia nel maneggio <lb/>della patria lingua, volle annoverarlo fra i propri membri <lb/>ed egli, entrando a far parte di quel celebre sodalizio, ri­<lb/>volse ai nuovi colleghi un ringraziamento che venne pure <lb/>accolto nella medesima raccolta . </s></p> <pb xlink:href="090/01/013.jpg" pagenum="XI"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le più fruttifere indagini da lui condotte a termine nel <lb/>regno delle scienze matematiche e fisiche durante il pro­<lb/>prio soggiorno alla Corte di Toscana diedero alcuni risul­<lb/>tati a cui fu ben presto concesso un posto eminente nei <lb/>fasti della scienza; fra questi meritano uno speciale ri­<lb/>cordo i seguenti: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">1. Le mirabili qualità da lui avvertite nella cicloide <lb/>ed in parecchie altre classi di curve piane; </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">2. La classica esperienza col mercurio e la con­<lb/>seguente invenzione del barometro ; </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">3. I procedimenti da lui ideati ed applicati per <lb/>costruire certi speciali microscopi e per ripulire le lenti <lb/>destinate ai telescopi . </foreign></s></p> <pb xlink:href="090/01/014.jpg" pagenum="XII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Esse valsero a diffondere rapidamente la rinomanza del <lb/>Torricelli, non soltanto al di là delle mura di Firenze, ma <lb/>eziandio oltre i confini d'Italia. In pari tempo però fecero <lb/>pullulare detrattori invidiosi che vollero, alcuni diminuire <lb/>il valore dei suoi ritrovati, altri contestargli i diritti di prio­<lb/>rità che egli con piena ragione accampava sopra di essi. <lb/>Da tale ingiustificata ostilità egli fu spinto a scrivere quel <lb/><emph type="italics"/>Racconto d'alcuni problemi ecc.<emph.end type="italics"/> che oggi rappresenta, dal <lb/>punto di vista umano, una delle più interessanti pagine, <lb/>delle sue <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> ; da ciò più tardi un suo amico, CARLO <lb/>DATI, consigliato e spalleggiato dal fedelissimo esecutore <lb/>testamentario LODOVICO SERENAI, fu indotto a pubblicare <lb/>nel 1663, sotto forma di lettera pseudonima, tutti i docu­<lb/>menti atti ad illustrare e completamente chiarire alcune <lb/>controversie originate da invenzioni del Nostro e che sono <lb/>fra le più celebri che siano registrate nella storia delle <lb/>scienze positive . </foreign></s></p> <pb xlink:href="090/01/015.jpg" pagenum="XIII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>IV. — <emph type="italics"/>La morte.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ebbero tali incresciose discussioni il potere di minare <lb/>la fibra robusta del TORRICELLI e di avvicinare la fine <lb/>di un'esistenza che sembrava rigogliosa? Il corpo umano <lb/>è un organismo talmente complicato e misterioso, i rap­<lb/>porti fra il fisico ed il morale sono tuttora avvolti in così <lb/>fitta oscurità, che qualunque risposta a questa inquietante <lb/>domanda dovrebbe giudicarsi imprudente ed infondata; <lb/>onde noi, dopo di avere richiamata l'attenzione dei lettori <lb/>sopra le frequenti infermità sofferte dal TORRICELLI anche <lb/>prima che gli invidiosi cominciassero a latrargli alle cal­<lb/>cagna , ci limiteremo a riferire i fenomeni che contras­<lb/>segnarono la sua ultima malattia, quali vengono descritti <lb/>da un testimonio oculare, meritevole di fede assoluta e <lb/>completa. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In data 14 ottobre 1647 scriveva LODOVICO SERENAI a <lb/>FRANCESCO fratello di EVANGELISTA TORRICELLI : </foreign></s></p> <p type="main"> <s>“ Si trova in letto malato il sig. Vangelista fratello di <lb/>V. S. con febbre che per otto giorni non è stata stimata <lb/>di gran pericolo, ma hiersera aggravò, e dopo essersi que­<lb/>sta mattina confessato con grandissimo sentimento e haver <lb/>fatto testamento, e discorso di tutte le cose sue con gran­<lb/>dissimo senno sino alle 21 ore incirca, ha poi sull'accen­<lb/>sione della febbre dato in delirio, e delirò furioso a segno <lb/>che non si può ajutare con medicamenti senza gran diffi­<lb/>cultà, e si teme d'incontrarla ancora nel cibarlo. Con la <lb/>commodità del primo riposo che conceda il delirio sarà <lb/>pronto il Parocc.<emph type="sup"/>no<emph.end type="sup"/> col Santissimo Viatico, e non si man­<lb/>cherà di vigilanza per ogni rimedio spirituale; siccome <pb xlink:href="090/01/016.jpg" pagenum="XIV"/>attorno al corpo s'è fatto, e si farà tutto il possibile: e <lb/>acciocchè V. S. possa crederlo sappia che oltre alla servitù <lb/>sua ordinaria ci assiste quasi del continuo il sig. Dottor <lb/>Buonajuti suo medico e amico carissimo, io me ne parto <lb/>soltanto tanto quanto vo à desinare, e a cena con mia <lb/>moglie habitando vicinissimo, e due astanti mandatici dal <lb/>Ser.<emph type="sup"/>mo<emph.end type="sup"/> Gran Duca non se ne partono punto. In compagnia <lb/>del sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Bonajuti viene alla cura il sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Dottore Scafucci <lb/>medico di S. A. S. la quale somministra regali di delizie e <lb/>di medicamenti preziosi della sua fonderia. Finalmente la <lb/>servitù e gli ajuti sono da principi e meritamente essendo <lb/>egli un Principe della sua professione ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma tutte queste cure, per quanto assidue, amorose, sa­<lb/>pienti, non sortirono il desiderato effetto, chè nulla pote­<lb/>rono contro il delirio che si rinnovava in modo sempre più <lb/>allarmante; ed il SERENAI addì 25 ottobre 1647 era co­<lb/>stretto a riprendere la penna per informare FRANCESCO <lb/>TORRICELLI dell'avvenuta catastrofe : </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Quel che più ”, egli scriveva, “ anzi infinitamente mi <lb/>duole è che io devo a dare a V. E. l'infelice nuova della <lb/>morte del sig. Vangelista seguita questa mattina due ore <lb/>incirca avanti giorno con pianto universale della Città, e <lb/>sentimento straordinario del Gran Duca ”, </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">aggiungendo che </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ il corpo si è depositato nelle Volte della Chiesa Princi­<lb/>palissima di San Lorenzo questa sera, e gli si farà qualche <lb/>inscrizione per memoria, e per consolazione nostra, e di <lb/>lor parenti ”. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tale epigrafe fu del seguente tenore : </foreign></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>EVANGELISTA TORRICELLIUS <lb/>FAVENTINUS <lb/>MAGNI DUCI ETRURIAE MATHEMATICUS <lb/>ET PHILOSOPHUS <lb/>OBIIT VIII KAL. NOVEMBRIS ANNO SALUTIS <lb/>M DC XLVII <lb/>AETATIS SUAE XXXIX;<emph.end type="center"/> <pb xlink:href="090/01/017.jpg" pagenum="XV"/>disgraziatamente questa non fu sufficiente a far distinguere <lb/>per sempre le ossa del grande pensatore da quelle dei suoi <lb/>oscuri vicini ; infatti le ricerche dei suoi resti mortali, <lb/>eseguite per ordine della civica Amministrazione di Fi­<lb/>renze in occasione del III Centenario della sua nascita, <lb/>non soltanto non condussero ad alcun risultato, ma gui­<lb/>darono alla sconsolante conclusione di trovarsi di fronte <lb/>ad un problema che la scienza è nella impossibilità di scio­<lb/>gliere . </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>V. — <emph type="italics"/>Le disposizioni testamentarie.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Durante la tregua che il 14 ottobre 1647 si verificò nel <lb/>delirio che riuscì fatale ad EVANGELISTA TORRICELLI fu <lb/>concesso all'eminente scienziato di dettare, all'incompara­<lb/>bile suo amico SERENAI, alcune disposizioni relative ai suoi <lb/>averi e di dare forma legale alle sue ultime volontà . <lb/>Mentre per noi ben poco interesse presenta il sapere in <lb/>qual modo egli abbia diviso le proprie sostanze, possiedono <lb/>la massima importanza le disposizioni relative alla sorte <lb/>futura dei lavori scientifici a cui la morte inattesa gli <lb/>vietò di dare forma ed assetto definitivi; giova pertanto <lb/>riferirle: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel testamento si legge quanto segue: </foreign></s></p> <p type="main"> <s>“ Item ordina al sopradetto Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Lodovico suo esecu­<lb/>tore che quanto prima, seguita sua morte, trasmetta e <lb/>mandi a spese della sua eredità al M. R. P. fra Bonaven­<lb/>tura Cavalieri Matematico dello Studio di Bologna tutti <lb/>i suoi scritti, studii e fatiche di Geometria quali aveva <lb/>disegnato di pubblicare alla stampa, essendo già ordinate <lb/>con le dimostrazioni promesse, acciocchè detto Padre fra <pb xlink:href="090/01/018.jpg" pagenum="XVI"/>Bonaventura ne pubblichi quella quantita che a esso libe­<lb/>ramente parrà o piacerà, et il restante li mandi a Roma <lb/>al Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Michelangelo Ricci gentiluomo splendidissimo et <lb/>amicissimo di detto Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Testatore et intendentissimo di <lb/>queste scienze, acciò li metta insieme e li pubblichi, come <lb/>meglio ha significate et ordinate in vece al medesimo <lb/>Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> esecutore. Fra le quali scritture di Geometria detto <lb/>Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Testatore intende che restino comprese lettere e ri­<lb/>sposte passate fra lui e i Matematici di Francia ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">D'accordo ed a complemento di tali ordini stanno al­<lb/>cuni <emph type="italics"/>Ricordi<emph.end type="italics"/> dettati al Serenai, ove fra l'altro è avver­<lb/>tito che </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ nell'ultima parte del Proemio del libro delle Propor­<lb/>zioni vi è il Compendio e Indice delle mie altre opere, di <lb/>quelle che io stimava ” </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">e riguardo al segreto per la fabbricazione dei vetri <lb/>è detto: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Dettogli: che vuol ella fare del suo segreto delli oc­<lb/>chiali? Il negozio e segreto dei vetri non occorre neanche <lb/>mettercelo , perchè io farò che questa mattina sia in <lb/>mano al Gran Duca serrato: ma ha fatto male S. A. a <lb/>non mi far lavorare in sua presenza, perchè avrebbe ve­<lb/>duto e imparato meglio; e non troverà chi lo faccia. Le <lb/>forme di vetri fatte da me con grandissima diligenza, che <lb/>S. A. non ne troverà, le lascio alla stessa Altezza S.; e <lb/>perchè mi costano molti denari, avendole fatte fare in <lb/>Galleria, dove sempre ho pagato e date mance larghissime, <lb/>desidero che S. A. se ne mostri benigno con i poveri miei <lb/>fratelli per quanto le parrà che elle vaglino ”. </foreign></s></p> <pb xlink:href="090/01/019.jpg" pagenum="XVII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>VI. — <emph type="italics"/>Alla ricerca di un editore.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La consegna al Gran Duca di tutto il materiale ottico <lb/>relitto dal Torricelli venne eseguita dal SERENAI la sera <lb/>stessa del 27 ottobre 1647; in che cosa consistesse risulta <lb/>da un particolareggiato Elenco degli oggetti rimessi al <lb/>Sovrano, del quale esiste tuttora una copia . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Esaurita questa parte, la più agevole, della missione <lb/>affidatagli dal compianto amico, il SERENAI si volse sen­<lb/>z'indugio a preparare la stampa degli scritti lasciati inediti <lb/>dal TORRICELLI, tanto più fervorosamente avendo avuta <lb/>l'assicurazione da parte del Gran Duca Ferdinando II che <lb/>egli stesso avrebbe sostenute le spese della stampa. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le trattative col CAVALIERI si può dire che finirono <lb/>prima di venire iniziate; chè, avendo il SERENAI scritto <lb/>al geometra degli indivisibili sino dal 26 ottobre 1647 per <lb/>partecipargli la morte del TORRICELLI , ne ebbe risposta <lb/>di mano di un confratello, fra PLACIDO GHIRLANDI , <lb/>nella quale è detto che le condizioni di salute del CAVA­<lb/>LIERI, da cattive che erano da molto tempo, si erano fatte <lb/>allarmanti: nè in tale apprezzamento vi era alcuna esage­<lb/>razione, chè il giorno 30 del seguente novembre il CAVA­<lb/>LIERI passava a miglior vita. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Il SERENAI volse allora il proprio pensiero a MICHE­<lb/>LANGELO RICCI e, per assicurarsi la sua collaborazione, <lb/>pregò il MAGIOTTI (con lettere del 30 novembre e del 21 <lb/>dicembre 1647 ) di assumere la parte di intermediario; <lb/>il MAGIOTTI non rimase sordo alla preghiera dell'amico <lb/>(come risulta dalle risposte inviate il 15 dicembre 1647 <lb/>ed il 10 gennaio 1648 ), ma con esito ben poco soddi­<lb/>sfacente. Tentò allora il SERENAI un assalto diretto alla <pb xlink:href="090/01/020.jpg" pagenum="XVIII"/>troppo ben difesa fortezza , ma, con dolore dovette ri­<lb/>conoscere ben presto che questa era inespugnabile: ciò è <lb/>attestato nel modo più chiaro dal seguente brano di let­<lb/>tera inviata dal RICCI al SERENAI addì 11 aprile 1648 : </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Quel fervore, col quale gli anni passati intrapresi lo <lb/>studio delle Matematiche, incominciò ad intiepidirsi alcuni <lb/>mesi prima che morisse la buona memoria del Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Tor­<lb/>ricelli, e dopo la sua morte è di maniera diminuito che <lb/>sento più tosto repugnanza che diletto nell'applicarmivi. <lb/>Questo però non sarebbe sufficiente a ritardarmi da quel­<lb/>l'impresa, alla quale mi aveva destinato il Sig.<emph type="sup"/>r<emph.end type="sup"/> Vangelista, <lb/>in riguardo forse di lasciare in sua morte un memorabile <lb/>onore nella persona d'un suo discepolo, e servitore affe­<lb/>zionat.<emph type="sup"/>mo<emph.end type="sup"/>, cioè dichiarandomi abile alla revisione delle sue <lb/>degniss.<emph type="sup"/>me<emph.end type="sup"/> speculazioni: ma per il peso accresciutomi sù <lb/>le spalle per la morte di mio Zio, seguita sotto il 15 di <lb/>Gennaro, e per la grande età di mio Padre, restando sotto <lb/>la mia direzione quasi in tutto gli affari di mia casa; sono <lb/>talm.<emph type="sup"/>te<emph.end type="sup"/> occupato che nella varietà d'altri pensieri non <lb/>hanno luogo i concetti Geometrici, che richiedono per se <lb/>stessi tutto l'ingegno, e la fantasia. Dirò di vantaggio che <lb/>nei tre mesi decorsi dell'anno corrente sono stato quasi <lb/>sempre indisposto, et inetto alle fatiche della mente; per <lb/>le quali cose parmi di avere tanta ragione, e scusa che <lb/>V. S. possa rendersi persuasa della difficoltà grandiss.<emph type="sup"/>ma<emph.end type="sup"/>, <lb/>che forse potrebbesi e con altro titolo chiamare impossi­<lb/>bilità, la quale mi fa ricusare la carica di ripulir le opere <lb/>del Sig. Torricelli ”. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Dolente per questo nuovo insuccesso, ma non scorag­<lb/>giato, parve al SERENAI che il MAGIOTTI fosse persona <lb/>indicatissima per assumere l'ufficio a cui il TORRICELLI <lb/>aveva destinati il CAVALIERI ed il RICCI e si cullò nella <lb/>dolce illusione di potere giungere a persuaderlo ad addos­<lb/>sarselo in occasione di una visita che quel valentuomo <lb/>aveva in animo di fare ad un proprio fratello residente in <pb xlink:href="090/01/021.jpg" pagenum="XIX"/>Firenze ; ma, per ragioni che ignoriamo, anche il MA­<lb/>GIOTTI declinò l'onorevole ma gravosissimo incarico. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il seguito delle spinose trattative è narrato dal SERENAI <lb/>con le seguenti parole : </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Mancandomi pertanto così gran capitale di questi <lb/>due matematici e sapendo che tra i veri e buoni Amici <lb/>che si acquistasse quì il Torricelli il primo era stato Vin­<lb/>cenzo Viviani, in quel tempo che vivevano amendue in­<lb/>sieme ospiti e commensali del medesimo Galileo e avendo <lb/>veduto poi con quanto amore e con qual reciproca fami­<lb/>gliarità si praticassero continuamente; ricorsi a questo <lb/>pregandolo contentarsi di faticare sopra le opere geome­<lb/>triche lasciate in confuso e imperfette dall'Amico nostro, <lb/>ma egli per lungo tempo ricusò sempre, dicendo non co­<lb/>noscersi abile a tanta impresa e quando ne fusse stato <lb/>non aver tempo da impiegarvelo stante le sue occupazioni <lb/>domestiche e negli affari pubblici e in servigio di S. A. che <lb/>già un tempo gli impedirono di proseguire i suoi propri <lb/>studi nonchè applicare agli altri, soggiungendomi altri <lb/>vari motivi che lo dissuadevano dall'intraprendere questo <lb/>lavoro. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>“ Infine dopo reiterati assalti cedè alle istanze mie e <lb/>di altri Amici accettando il travagliare sopra tali mano­<lb/>scritti in quei tempi che gli fossero restati liberi e quieti <lb/>come diceva richiedersi per lui in simili speculazioni; ma <lb/>però mi protestò apertamente che volentieri per far cosa <lb/>grata a me e servire alla memoria del comune amico ac­<lb/>consentiva di faticarci, ma che siccome ciò faceva senza <lb/>alcun fine e speranza nè di guadagno nè di premio nè di <lb/>lode, così voleva almeno assicurarsi di non esporre abben­<lb/>chè minimo sospetto la sua lealtà, e che però si dichiarava <lb/>di non voler mai nelle sue mani alcun benchè piccolo fo­<lb/>gliuzzo degli Originali del Torricelli, con tutto che nume­<lb/>rati, nè assai nè poco maneggiarli per tempo alcuno, ma <pb xlink:href="090/01/022.jpg" pagenum="XX"/>che voleva solamente le copie puntuali con le figure foglio <lb/>per foglio come appresso di me si trovavano. A proposi­<lb/>zione tanto rispettosa e discreta non seppi che replicare, <lb/>anzi questa m'insinuò di fare le copie domandate di mia <lb/>mano propria, come veramente con mia fatica incredibile <lb/>io lo feci di tutti gli originali matematici imitando giu­<lb/>stamente, anzi dipingendo tutte le figure, non tanto le ben <lb/>fatte quanto le guaste e cassate, e ogni parola dello scritto <lb/>ancorchè cancellata ” . </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando si tenga presente che molti manoscritti del <lb/>TORRICELLI consistevano di semplici appunti da lui rapida­<lb/>mente presi nel corso delle sue ricerche, mentre altri rap­<lb/>presentano prime stesure di lavori, alle quali erano indi­<lb/>spensabili molteplici miglioramenti di sostanza e di forma, <lb/>e che il SERENAI era un giureconsulto di grande reputa­<lb/>zione , ma affatto digiuno di studi matematici, si vedrà <lb/>chiaramente che la fatica a cui egli spontaneamente si <lb/>sobbarcava (e che occupò tutti i suoi ozi durante quattro <lb/>lunghi anni ) è la più eroica prova di amore per la <lb/>scienza e di disinteressata amicizia per un illustre defunto <lb/>che si trovi registrata nella storia. Tante pene avrebbero <lb/>ben meritato l'unico guiderdone che il SERENAI ne atten­<lb/>deva, quello cioè di vedere esaudito l'ardente voto formu­<lb/>lato dal TORRICELLI sul suo letto di morte; ma anche esso <lb/>fu negato da una sorte implacabilmente avversa! </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Non è da credersi che il VIVIANI di deliberato proposito <lb/>sia venuto meno all'impegno che aveva assunto; la rac- <pb xlink:href="090/01/023.jpg" pagenum="XXI"/>colta fiorentina consacrata ai “ <emph type="italics"/>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"/> ” sta a <lb/>provare quante ore di lavoro egli abbia speso a riordinare, <lb/>compilare, commentare, trascrivere le opere del diletto <lb/>commilitone ; ma sia che fosse distratto da indagini <lb/>sue proprie o quasi totalmente assorbito dalle altre cariche <lb/>affidategli, sia che le frequenti malattie gli vietassero con­<lb/>tinuità di lavoro o che preferisse dedicare alla memoria del <lb/>suo venerato maestro GALILEO il meglio delle sue forze, sia <lb/>finalmente che, anche in questa contingenza, non gli riu­<lb/>scisse di vincere la proverbiale incontentabilità che lo in­<lb/>duceva a correggere, rifare, trascrivere un numero stermi­<lb/>nato di volte tutto ciò che uscivagli dalla penna, fatto sta <lb/>che egli scese nella tomba prima che l'augurata edizione <lb/>si avviasse verso un lontano indizio di attuazione . </s></p> <pb xlink:href="090/01/024.jpg" pagenum="XXII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ed il SERENAI, probabilmente avvedendosi della cattiva <lb/>piega che stava prendendo l'impresa a cui aveva dedicata <lb/>la vita e sentendo approssimarsi la propria fine, nel testa­<lb/>mento dettato il 26 settembre 1674 disponeva che tutti <lb/>i manoscritti torricelliani fossero consegnati ad AGOSTINO <lb/>NELLI e, in caso di morte di costui, a RIDOLFO PAGANELLI, <lb/>oppure, nell'ipotesi che anche questi premorisse al testa­<lb/>tore, a CARLO DATI, in ogni caso a disposizione del VI­<lb/>VIANI in servizio della progettata edizione: uscita questa <lb/>in luce tutte quelle carte dovevano essere (come da tempo <lb/>aveva consigliato il VIVIANI) consegnato al Gran Duca <lb/>regnante per venire depositato nella Libreria medicea di <lb/>S. Lorenzo. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il 28 febbraio 1685 il SERENAI cessava di vivere ed il <lb/>VIVIANI lo seguiva nel sepolcro addì 22 settembre 1703. <lb/>In conseguenza le speranze nutrite a lungo e con buon <lb/>fondamento, che tutte le scoperte fatte dal TORRICELLI <lb/>venissero poste a disposizione degli studiosi, a maggior <lb/>gloria di lui ed a vantaggio della scienza, erano, almeno <lb/>pel il momento, irreparabilmente deluse; per colmo di scia­<lb/>gura anche le provvide disposizioni prese dal SERENAI <lb/>onde assicurare la perfetta conservazione dei manoscritti, <lb/>non sortirono il desiderato effetto, come ci apprestiamo a <lb/>narrare brevemente . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>VII. — <emph type="italics"/>Vicissitudini subite dai manoscritti torricelliani.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>Morto AGOSTINO NELLI, il figliuol suo GIOVANNI BAT­<lb/>TISTA, discepolo ed amico del VIVIANI, indusse questi ad <lb/>assumere la custodia di tutti i manoscritti che il SERENAI <lb/>aveva ricevuti in deposito fiduciario dal suo compianto <lb/>amico. Tale adesione non può non recare grande mera- <pb xlink:href="090/01/025.jpg" pagenum="XXIII"/>viglia a chi ricordi l'invincibile riluttanza che il VIVIANI <lb/>aveva da giovane sentita e manifestata di assumere la <lb/>grave responsabilità di un siffatto deposito. Ma ancor più <lb/>stupefacente è il fatto che egli, sentendo approssimarsi la <lb/>grande ombra, mentre diede precise disposizioni a tutela <lb/>delle ricchissime collezioni di libri e di quadri dei quali <lb/>era legittimo proprietario, non fece alcun cenno del tesoro <lb/>di cui un capriccio della sorte (sempre nemica al TORRI­<lb/>CELLI) avevalo fatto depositario. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa negligenza imperdonabile, e che non riusciamo <lb/>a non chiamare colpevole, visti i deplorevoli effetti che <lb/>ebbe, proietta sopra la figura morale del VIVIANI una <lb/>luce ancor più tetra di quanto sia il mancato impegno di <lb/>pubblicare gli scritti inediti del suo commensale di gio­<lb/>ventù. In conseguenza di quella dimenticanza (che vo­<lb/>gliamo giudicare pura e semplice conseguenza di senile <lb/>amnesia) i manoscritti torricelliani passarono, insieme ad <lb/>altre carte, in eredità, come mobili, all'abate JACOPO PAN­<lb/>ZANINI (nipote del VIVIANI e lettore di matematica nello <lb/>studio fiorentino) e, morto costui (1733), ai suoi nipoti <lb/>CARLO ed ANGELO, i quali nell'incapacità di comprenderne <lb/>il valore, un brutto giorno, per fare spazio in armadi so­<lb/>verchiamente ingombri di biancheria, ne vendettero una <lb/>parte ad un pizzicagnolo. “ Le vie di Dio son molte ” di­<lb/>remo con ALESSANDRO MANZONI; giacchè fortuna volle che <lb/>quel negoziante, ignaro dei più elementari precetti del­<lb/>l'igiene, si servisse di un autografo del Galilei per avvol­<lb/>gere una piccola quantità di mortadella da lui venduta a <lb/>G. B. CLEMENTE NELLI; questi riconobbe subito la scrit­<lb/>tura del celebre scienziato e, per il tramite di quel pizzi­<lb/>cagnolo, si pose in relazione con i PANZANINI e riuscì ad <lb/>acquistare in blocco tutto il materiale scientifico del quale <lb/>essi a torto, benchè senza alcuna colpa, si consideravano <lb/>legittimi proprietari. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Ora dal paragone dell'inventario redatto dal NELLI di <lb/>tutti gli scritti del TORRICELLI da lui comperati con <pb xlink:href="090/01/026.jpg" pagenum="XXIV"/>l'<emph type="italics"/>Elenco delle Opere inedite<emph.end type="italics"/> del TORRICELLI compilato dal <lb/>SERENAI con l'aiuto del VIVIANI risulta (fatto incredi­<lb/>bile, ma pur vero) che, durante le traversie subìte da quei <lb/>manoscritti, se pure essi subirono qualche perdita, si tratta <lb/>di cosa pressochè insignificante. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Giunto in possesso di tanto tesoro pensò il NELLI di <lb/>mostrarsi meritevole dell'insperata fortuna toccatagli col <lb/>portare a compimento la desideratissima edizione delle <lb/><emph type="italics"/>Opere inedite<emph.end type="italics"/> del TORRICELLI; mise anche mano ai lavori <lb/>preparatori, ma sgraziatamente non potè toccare l'ago­<lb/>gnata mèta. Però, quando ebbe a perdere la speranza di <lb/>raggiungerla, provvide a che quel tesoro non fosse una <lb/>nuova volta esposto ad essere disperso; a tale scopo, nel <lb/>testamento da lui dettato il 14 dicembre 1793, impose ai <lb/>propri eredi che, qualora pensassero di alienarlo, prima di <lb/>trattare la vendita con privati, lo offrissero al Gran Duca <lb/>di Toscana; ora le meno floride condizioni finanziarie della <lb/>famiglia NELLI avendo consigliata tale vendita, nell'ot­<lb/>tobre del 1818 Ferdinando III, che deteneva allora lo <lb/>scettro, esercitando il diritto di prelazione che eragli stato <lb/>fortunatamente conferito, entrò in possesso di quella ine­<lb/>stimabile suppellettile scientifica, corrispondendo alla fa­<lb/>miglia NELLI la somma di zecchini 1046, nella quale le <lb/>opere del TORRICELLI venivano valutate 80 zecchini. Così <lb/>finalmente gli scritti del sommo faentino toccavano un <lb/>porto sicuro! Essi, nel 1861, passarono dalla Biblioteca <lb/>Palatina alla Nazionale di Firenze, e, con gli altri scritti <lb/>dell'epoca, diedero origine alla collezione dei “ <emph type="italics"/>Discepoli di <lb/>Galileo<emph.end type="italics"/> ” da noi tante volte ricordata e che, per avventura, <lb/>è la più importante del genere che esista nel mondo . </foreign></s></p> <pb xlink:href="090/01/027.jpg" pagenum="XXV"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>VIII. — <emph type="italics"/>Pubblicazioni parziali di lavori torricelliani.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma nel frattempo alcuni scritti nel Nostro avevano <lb/>vista la luce in differenti epoche ed in varie occasioni. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Anzitutto, sino dal 1674 il VIVIANI, col consenso del <lb/>SERENAI , pubblicava tre teoremi dell'opuscolo <emph type="italics"/>De pro­<lb/>porlionibus<emph.end type="italics"/> nel corpo della nota sua opera <emph type="italics"/>Quinto Libro <lb/>degli Elementi di Euclide ovvero Scienza universale delle <lb/>Proporzioni spiegata con la dottrina del Galileo<emph.end type="italics"/> (Firenze). </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Inoltre nel 1715 — come abbiamo già avuto occasione <lb/>di accennare — uscivano stampate le <emph type="italics"/>Lezioni accademiche,<emph.end type="italics"/><lb/>per merito di TOMMASO BUONAVENTURI, il benemerito eru­<lb/>dito che, col concorso di GUIDO GRANDI, BENEDETTO BRE­<lb/>SCIANI e GIUSEPPE AVERANI curò la prima edizione fio­<lb/>rentina delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di GALILEO: non è forse fuor di luogo <lb/>di rilevare, a scanso di equivoci, che per condurre a ter­<lb/>mine questa importante pubblicazione il BUONAVENTURI <lb/>si giovò di materiali passati direttamente dalle mani del <lb/>SERENAI alla Libreria di palazzo Pitti. Gli stessi docu­<lb/>menti resero possibile che le scritture del Nostro <emph type="italics"/>Sopra <lb/>la bonificazione della Valle di Chiana<emph.end type="italics"/> fossero nel 1768 in­<lb/>seriti nel T. IV della celebre <emph type="italics"/>Raccolta d'autori che trattano <lb/>del moto delle acque<emph.end type="italics"/> e che dieci anni più tardi, giun­<lb/>gesse in dominio del pubblico, come Appendice alla bio­<lb/>grafia del Torricelli scritta da A. FABBRONI, il <emph type="italics"/>Racconto <lb/>d'alcune proposizioni proposte e passate scambievolmente tra <lb/>matematici di Francia e me dall'anno 1640, in qua<emph.end type="italics"/> . Nè <pb xlink:href="090/01/028.jpg" pagenum="XXVI"/>è da credersi che alla pubblicazione integrale delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/><lb/>del TORRICELLI si fosse in quell'epoca del tutto rinunziato; <lb/>giacchè da una lettera scritta da P. FRISI appunto al <lb/>FABBRONI il 3 settembre 1774 si apprende che allora <lb/>vi volgeva la mente un certo GIANNINI (forse il noto ma­<lb/>tematico toscano PIETRO GIANNINI); ma, come ignoriamo <lb/>i particolari di questo progetto, ci sono ignote le ragioni <lb/>per le quali esso venne abbandonato. </s></p> <p type="main"> <s>Nessun nuovo piano dello stesso genere venne escogi­<lb/>tato, per quanto ci consta, durante il secolo XIX. Però, <lb/>inaugurandosi nel 1864 un monumento marmoreo al TOR­<lb/>RICELLI nella nativa Faenza, furono da G. GHINASSI pub­<lb/>blicate, asssieme ad altri documenti, alcuni elementi inte­<lb/>ressanti del suo carteggio scientifico . All'inesauribile <lb/>munificenza di BALDASSARRE BUONCOMPAGNI si deve la <lb/>pubblicazione, avvenuta undici anni dopo, di altre impor­<lb/>tanti sezioni del medesimo carteggio . Ancora: una <pb xlink:href="090/01/029.jpg" pagenum="XXVII"/>lettera del Torricelli si trova in una pubblicazione di <lb/>C. HENRY e nel corso degli anni 1891-98 moltissimi <lb/>squarci delle <emph type="italics"/>Opere inedite<emph.end type="italics"/> del TORRICELLI furono inseriti <lb/>dal CAVERNI nei primi cinque volumi della sua <emph type="italics"/>Storia del <lb/>metodo sperimentale in Italia,<emph.end type="italics"/> opera che (non è fuor di luogo <lb/>notarlo) conviene usare con somma cautela, chè troppo <lb/>spesso il desiderio di denigrare Galileo offusca nell'autore <lb/>la serenità del giudizio e l'onestà storica . Finalmente <lb/>allo spirare del secolo scorso giungevano in dominio del <lb/>pubblico gli studi del TORRICELLI sulla spirale logarit­<lb/>mica , importante saggio delle sue ricerche sopra “ de <lb/>lineis novis ”, a cui egli attribuiva tanta importanza. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ne va dimenticato e taciuto che le indagini amoro­<lb/>samente condotte sopra le opere già edite guidarono a <lb/>rivendicare al TORRICELLI la scoperta del metodo delle <lb/>tangenti che porta il nome del ROBERVAL e la gloria <lb/>di avere scoperta la prima curva esattamente rettifica­<lb/>bile . Da ultimo l'importanza dei risultati da lui otte­<lb/>nuti studiando il celebre problema di FERMAT “ ricerca <lb/>del punto nel piano di un triangolo per cui è minima la <lb/>somma delle distanze dai vertici ” consigliarono a chia­<lb/>mare <emph type="italics"/>circonferenze di Torricelli<emph.end type="italics"/> quelle che servono a risol­<lb/>verlo e <emph type="italics"/>punto di Torricelli<emph.end type="italics"/> quello che ne rappresenta <lb/>la soluzione . </foreign></s></p> <pb xlink:href="090/01/030.jpg" pagenum="XXVIII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>IX. — <emph type="italics"/>Risorge il progetto d'un'edizione completa.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questi vari fatti, mentre ragionevolmente alimentavano <lb/>la speranza che altre gemme fossero tuttora sepolte nei <lb/>manoscritti lasciati dal sommo faentino, sembravano im­<lb/>porre all'Italia risorta un duplice preciso dovere, senti­<lb/>mentale e scientifico, cioè di soddisfare l'ardente voto <lb/>espresso sul letto di morte da uno dei più illustri fra i <lb/>suoi figli e di porre a disposizione di tutti i documenti <lb/>autentici, atti a costituire i “ considerando ” della sentenza <lb/>in ultima istanza relativa alle spinose questioni di pro­<lb/>prietà e priorità che egli aveva dovuto sostenere con ma­<lb/>tematici ultramontani del tempo suo. La convinzione del­<lb/>l'imprescindibilità di siffatto dovere spinse chi scrive ad <lb/>esporre per esteso in occasione del Congresso internazio­<lb/>nale di scienze storiche che ebbe luogo a Roma nella <lb/>prima decade dell'aprile 1903 i vari ordini di ragioni che <lb/>consigliano, e fors'anche impongono, alla patria nostra, il <lb/>còmpito di continuare nella via in cui essa si pose provve­<lb/>dendo ad una edizione nazionale, veramente degna, delle <lb/><emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di GALILEO, col decretare le stesse postume onore <lb/>a colui che ebbe a succedergli nella cattedra dello Studio <lb/>fiorentino . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa proposta riscossa l'unanime adesione dei pre­<lb/>senti (fra i quali si trovava P. TANNERY, l'illustre storico <lb/>francese che così efficacemente contribuì al buon esito della <lb/>pubblicazione delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di FERMAT e di DESCARTES), i <lb/>quali, nella seduta del 6 aprile 1903 concordi votarono il <lb/>seguente ordine del giorno: </foreign></s></p> <p type="main"> <s>“ La Sezione VIII del Congresso internazionale di <lb/>scienze storiche (Roma, 1903) fa voti che il governo di <lb/>S. M. il Re d'Italia affidi alla R. Accademia dei Lincei <lb/>il còmpito di esaminare le opere manoscritte di Evange­<lb/>lista Torricelli nell'intento di determinare quali fra esse <pb xlink:href="090/01/031.jpg" pagenum="XXIX"/>siano meritevoli di stampa; e di presiedere alla pubblica­<lb/>zione completa di tutte le opere di lui già edite e di quelle <lb/>inedite, giudicatene degne, senza escludere il suo carteg­<lb/>gio scientifico, completando così il lavoro intrapreso con <lb/>la edizione nazionale delle opere del Galilei ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nell'intento di rendere possibile l'esaudimento di tal <lb/>voto senza alcun momentaneo aggravio per il bilancio <lb/>dello Stato, il nostro Ministero della pubblica istruzione, <lb/>in principio dell'anno scolastico 1904-05, trasferì da Como <lb/>a Firenze GIOVANNI VAILATI, onde egli dedicasse tutte <lb/>le ore lasciategli libere dall'insegnamento della matema­<lb/>tica in quell'Istituto tecnico all'esame preliminare dei <lb/>manoscritti torricelliani esistenti in quella Biblioteca Na­<lb/>zionale. Ci è ignoto sino a quale punto il sempre rim­<lb/>pianto studioso spingesse la sua opera investigatrice; ma <lb/>questa venne ben presto bruscamente interrotta quando, <lb/>instituita con R. Decreto 19 novembre 1905 la ben nota <lb/><emph type="italics"/>Commissione per l'ordinamento degli studi secondari in <lb/>Italia,<emph.end type="italics"/> il VAILATI fu chiamato a farne parte; onore da lui <lb/>ben meritato, ma che a ragione pareva racchiudere la mi­<lb/>naccia di un rinvio “ sine die ” dell'esecuzione della de­<lb/>siderata edizione. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si approssimava intanto il III Centenario della nascita <lb/>del grande scienziato; e GIUSEPPE VASSURA, nel mentre <lb/>a nome del Municipio di Faenza invitava la Società Ita­<lb/>liana di fisica a tenere nel 1908 il suo Congresso a Fa­<lb/>enza, chiedeva venisse emesso un nuovo voto a favore <lb/>della pubblicazione delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> del TORRICELLI; tale lo­<lb/>devole iniziativa trovò favorevole accoglienza e, nella se­<lb/>duta del 27 aprile 1906, dopo elevata discussione, venne <lb/>ad unanimità presa la seguente deliberazione: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Il Congresso della Società Italiana di fisica tenutosi <lb/>in Roma nel 1906 sollecita il governo a dare appoggi ma­<lb/>teriali e morali affinchè le opere di Evangelista Torricelli <lb/>vengano sollecitamente pubblicate ”. </foreign></s></p> <pb xlink:href="090/01/032.jpg" pagenum="XXX"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma neppure questa nuova autorevole esortazione fu <lb/>sufficiente a convincere il nostro governo che l'invocata <lb/>pubblicazione costituiva un debito di gratitudine verso chi <lb/>aveva onorata la patria conservandole, per qualche tempo <lb/>dopo la morte di GALILEO, un primato che gli stranieri <lb/>avevano dovuto riconoscere all'Italia. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>X. — <emph type="italics"/>La presente edizione.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">A far ciò volse il pensiero il Comune di Faenza in <lb/>occasione del III Centenario della nascita dell'inventor <lb/>del barometro, affidando l'incarico di condurre a termine <lb/>la nobile e meritoria impresa a GIUSEPPE VASSURA . <lb/>Con quali criteri egli abbia deciso di adempiere il mandato <lb/>ricevuto venne da lui stesso esposto in due pubblicazioni <lb/>che da tempo si trovano a disposizione degli studiosi . <lb/>A noi basta rilevare quì che a lui appartiene la riparti­<lb/>zione di tutto il materiale da pubblicarsi in tre volumi, <lb/>il I destinato ad accogliere tutte le <emph type="italics"/>Opere geometriche<emph.end type="italics"/> già <lb/>edite od in istato da potere venire utilmente pubblicate; <lb/>il II alle <emph type="italics"/>Lezioni accademiche,<emph.end type="italics"/> la <emph type="italics"/>Meccanica<emph.end type="italics"/> e <emph type="italics"/>Scritti vari;<emph.end type="italics"/><lb/>il III riserbato al <emph type="italics"/>Carteggio scientifico.<emph.end type="italics"/> E poichè in circa <lb/>quattro anni di assiduo lavoro egli portò a compimento i <lb/>volumi II e III così era generale la fiducia che si fosse <lb/>finalmente scoperta la via capace di porgere la sospirata <lb/>soluzione della secolare questione. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Se non che, allontanatosi il VASSURA dalla sua città <lb/>natale sullo scorcio dell'anno 1912, sorse inatteso e spa­<lb/>ventoso ostacolo contro il compimento dell'iniziata edi­<lb/>zione. Nell'intento di sormontarlo il Comune di Faenza — <lb/>dietro suggerimento dello stesso VASSURA — rivolse a <pb xlink:href="090/01/033.jpg" pagenum="XXXI"/>me l'invito terribilmente onorevole di curare la pubblica­<lb/>zione del Volume delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> del TORRICELLI dedicato <lb/>alla Geometria, cioè, in complesso, di tutti i suoi lavori <lb/>inediti. La gravità di tale missione e l'assoluta impossi­<lb/>bilità da parte mia di allontanarmi per lungo tempo dalla <lb/>mia consueta residenza, ove mi trattengono sempre im­<lb/>prescindibili doveri d'ufficio, mi lasciarono lungamente in <lb/>dubbio intorno alla deliberazione da prendere. Finalmente, <lb/>da un lato il desiderio di contribuire all'esaudimento di <lb/>un desiderio che era espressione di un grande interesse <lb/>scientifico e nazionale; e dall'altro l'avere il VASSURA <lb/>poste a mia disposizione le copie eseguite sotto la sua <lb/>direzione dei lavori torricelliani conservati a Firenze e <lb/>di altri importanti documenti relativi ed il fatto che io <lb/>trovai nel dott. C. MOCARINI, dell'Archivio di Stato di <lb/>Firenze, persona capace e disposta a collazionare ed even­<lb/>tualmente completare le copie anzidette, finirono col vin­<lb/>cere la mia troppo giustificata esitazione. Ed ora, superate <lb/>le difficoltà di ogni genere che intralciarono più e più <lb/>volte la regolarità del mio procedere (difficoltà che l'im­<lb/>mane guerra delle nazioni in parte creò ed in parte acuì) <lb/>mi è dato chiudere la mia fatica presentando al pubblico, <lb/>in unione al VASSURA, le <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di E. TORRICELLI, non <lb/>prima però di avere brevemente esposti i criteri da me <lb/>prescelti nella mia azione di editore . </s></p> <pb xlink:href="090/01/034.jpg" pagenum="XXXII"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>XI. — <emph type="italics"/>La presente edizione.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>Le esigenze imposte ad una riproduzione per mezzo <lb/>della stampa di opere scientifiche sono di natura ben di­<lb/>verse da quelle a cui deve soddisfare un lavoro analogo <lb/>di carattere letterario. Mentre in questo si richiede una <lb/>riproduzione diplomatica degli originali, che ne rispetti <lb/>persino la punteggiatura e l'ortografia, ad un'edizione di <lb/>scritti scientifici si domanda soltanto che vengano religio­<lb/>samente conservati e fedelmente riprodotti le idee ed i <lb/>metodi. In conseguenza di ciò noi ci siamo astenuti dal <lb/>consegnare al tipografo quei frammenti torricelliani che <lb/>sono manifestazioni tangibili di pensieri che balenarono <lb/>dinnanzi alla mente dell'autore ed a cui egli non diede più <lb/>seguito, sia per averli poi ravvisati per “ fatica buttata <lb/>via ” , sia per mancanza di tempo. È il sistema che già <lb/>adottarono, ad esempio, gli editori di LAGRANGE, che di­<lb/>chiararono di seguire coloro a cui fu affidato il gran­<lb/>dioso compito di preparare la pubblicazione definitiva degli <lb/>scritti di LEIBNIZ e che, per ragioni ben note a tutti <lb/>i competenti, verrà abbandonato soltanto riguardo agli <lb/>scritti di LEONARDO DA VINCI. Perciò la presente edizione <lb/>è, nelle nostre intenzioni, <emph type="italics"/>completa<emph.end type="italics"/> ma non <emph type="italics"/>totale,<emph.end type="italics"/> confor­<lb/>memente, d'altronde, ai voti formulati dal TORRICELLI nel <lb/>momento in cui preparavasi al viaggio senza ritorno, ed <lb/>alle intenzioni di tutti coloro che, prima di noi, si accin- <pb xlink:href="090/01/035.jpg" pagenum="XXXIII"/>sero a soddisfarli. Ciò, naturalmente, non esclude in alcun <lb/>modo che altri più oculato, possa trovare nei manoscritti <lb/>che si salvarono dalla minacciata dispersione, materiali <lb/>per aggiunte ai volumi che noi oggi sottoponiamo al giu­<lb/>dizio del pubblico; onde questi non hanno alcuna pretesa <lb/>di far cessare il commovente pellegrinaggio di cui da circa <lb/>un secolo è oggetto l'inesauribile raccolta dei “ <emph type="italics"/>Discepoli <lb/>di Galileo<emph.end type="italics"/> ”. </s></p> <p type="main"> <s>I fogli relitti dal TORRICELLI furono investigati con <lb/>amorosa profondità — già lo abbiamo detto e più d'una <lb/>volta — dal SERENAI e dal VIVIANI, i quali li ordinarono, <lb/>onde fare di quelli che trattano argomenti affini un tutto <lb/>omogeneo e degli altri un artistico mosaico . Ora delle <lb/>loro fatiche altamente meritorie noi abbiamo tratto il <lb/>massimo profitto, non soltanto nell'egoistico intento di al­<lb/>leviare il còmpito nostro, ma perchè quei due valentuo­<lb/>mini vanno considerati come i più coscienziosi depositari <lb/>ed i più fedeli interpreti del pensiero torricelliano. Però, <lb/>anche dopo tale indiscutibile perfezionamento subìto da <lb/>tutti quei lavori, essi raggiunsero soltanto in piccolissima <lb/>parte l'esattezza di forma che si esige da qualsia scritto <lb/>scientifico ; doveva l'editore permettersi di correggere <lb/>di suo arbitrio le inesattezze riscontrate e di colmare le la- <pb xlink:href="090/01/036.jpg" pagenum="XXXIV"/>cune da lui notate? A nostro avviso <emph type="italics"/>no;<emph.end type="italics"/> giacchè un siffatto <lb/>poco rispettoso ed arbitrario sistema avrebbe reso difficile, <lb/>e fors'anche impossibile, al lettore di avere dinnanzi una <lb/>fedele immagine del pensiero torricelliano; è nostra con­<lb/>vinzione che il VIVIANI aveva vagheggiato di eseguire que­<lb/>st'opera complementare, ma che poi l'abbandonò forse per <lb/>scrupoli ben giustificati; e probabilmente la vana ricerca <lb/>di un'altra procedura che consentisse di offrire al pubblico <lb/>le produzioni del suo venerato amico sotto aspetto del tutto <lb/>soddisfacente fu la cagione che spinse lui — che tanto <lb/>spesso e volontieri sacrificava alla Dea Procrastinazione — <lb/>a rinviare di giorno in giorno l'adempimento dell'impegno <lb/>assunto col SERENAI. Il procedimento indarno cercato dal­<lb/>l'ultimo discepolo di GALILEO è forse quello a cui ai dì <lb/>nostri si appigliarono gli editori delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> dell'HUYGENS, <lb/>i quali, riguardo agli scritti inediti del sommo Olandese, <lb/>adottarono il sistema della riproduzione diplomatica, ac­<lb/>compagnata da esaurienti commenti, sotto forma di note <lb/>a piè di pagina; è il sistema che noi pure avremmo pre­<lb/>ferito ove l'edizione delle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di TORRICELLI, al pari di <lb/>quella di quel celebre scienziato, fosse stata assunta da un <lb/>sodalizio scientifico avente esistenza illimitata nel tempo; <lb/>ma, data invece l'enormità del lavoro consistente nel com­<lb/>pletare e commentare tutti gli scritti inediti del TORRI­<lb/>CELLI e data la brevità della vita umana, scegliendolo non <lb/>si sarebbe probabilmente ottenuto altro risultato che di <lb/>aggiungere un nuovo nome alla lunga teoria di persone <lb/>che tentarono indarno di porre in circolazione i frutti delle <lb/>elucubrazioni geometriche del celebre faentino. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per tali ragioni noi limitammo l'opera nostra ad insi­<lb/>gnificanti ritocchi superficiali, a qualche sobria dilucida­<lb/>zione a piè di pagina ed al sostituire gli schizzi nervosa­<lb/>mente tracciati dall'autore con figure effettivamente capaci <lb/>di chiarire i ragionamenti esposti . </foreign></s></p> <pb xlink:href="090/01/037.jpg" pagenum="XXXV"/> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Coloro che prima di noi si accinsero a pubblicare gli <lb/>scritti di cui ci occupiamo si proposero di presentarli al <lb/>pubblico in modo da formare un tutto ben ordinato: pro­<lb/>blema certo importante e bellissimo, ma che, secondo noi, <lb/>lo stesso autore non sarebbe stato in grado di risolvere. <lb/>Infatti si tratta, non di materiali destinati a costituire <lb/>un'opera unica, ma sibbene di svariatissime ricerche, rag­<lb/>gruppantisi intorno ad alcuni centri; ond'è nostro con­<lb/>vincimento che il TORRICELLI se ne sarebbe servito per <lb/>scrivere parecchie memorie staccate. “ Rebus sic stanti­<lb/>bus ” per porre un po' d'ordine a quei materiali non si <lb/>poteva pensare che ad un ordinamento o cronologico, o <lb/>in base agli argomenti trattati, o tenendo conto dei me­<lb/>todi di ricerca usati. Ora: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">1. Alla cronologia è impossibile ricorrere, chè i fogli <lb/>lasciati dal Nostro matematico non portano date e d'al­<lb/>tronde le sue lettere provano che, nel sessennio della sua <lb/>più intensa produttività (1641-1647), egli si occupava di <lb/>studi differenti, alternando le indagini di pura geometria <lb/>con esperienze di fisica e trovando riposo nelle operazioni <lb/>manuali che lo resero celebre nella pulitura dei vetri con <lb/>le ricerche baricentriche. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">2. Alla materia si fa appello con scarso profitto, chè <lb/>parecchi soggetti furono da lui trattati da punti di vista <lb/>differenti. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">3. Quanto al metodo d'indagine, pure essendo sempre <lb/>geometrico, talora è prettamente archimedeo, talora in­<lb/>vece è ispirato alle idee del CAVALIERI; ora il comporre <lb/>una Sezione con i lavori scritti in istile antico ed una con <lb/>gli altri, avrebbe avuto come conseguenza un'evidente e <lb/>deplorevole violazione dell'ordine in cui si svolse il pen­<lb/>siero dell'eminente scienziato. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Per tutte queste ragioni noi abbiamo rinunciato ad un <lb/>rigoroso ordinamento di tutta la materia. Dopo la ripro­<lb/>duzione della parte non meccanica dell'<emph type="italics"/>Opera geometrica<emph.end type="italics"/> — <lb/>l'unica che egli potè presentare al pubblico — ponemmo un <lb/>brevissimo squarcio che ne costituisce un complemento, poi <lb/>gli scritti che, trattando nuovi problemi di contatti circo­<lb/>lari, della teoria delle proporzioni e di svariate questioni di <pb xlink:href="090/01/038.jpg" pagenum="XXXVI"/>planimetria e stereometria, porgono aggiunte alla geome­<lb/>tria elementare degli antichi. Altrettanto può dirsi di una <lb/>ricca miscellanea di teoremi semplicemente enunciati ed in <lb/>gran parte desunti dalla precedente raccolta. Seguono ad <lb/>essa alcune pagine che rivelano i dubbi che, nel TORRICELLI <lb/>od in altri, sorsero contro la geometria dell'infinito, la <lb/>quale rigogliosamente fioriva intorno al 1650, e che si ritro­<lb/>vano in altro suo scritto sugli indivisibili. S'incontrano poi <lb/>le ricerche baricentriche o stereometriche relative a por­<lb/>zioni di quàdriche rotonde. Riunimmo finalmente le impor­<lb/>tanti scritture relative a curve speciali le quali — secondo <lb/>gl'intendimenti manifestati dall'autore nell'esordio alla me­<lb/>moria <emph type="italics"/>De proportionibus<emph.end type="italics"/> — dovevano essere ingredienti di <lb/>un'opera di lunga lena da intitolarsi <emph type="italics"/>De lineis novis.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Con l'eleggere ed adottare siffatta distribuzione delle <lb/>materie noi non pretendiamo di avere divinate le inten­<lb/>zioni del TORRICELLI (dato e non concesso che egli ne <lb/>avesse di definitive); ci lusinghiamo, però, di non avere <lb/>resa impossibile la ricostruzione della genesi del suo pen­<lb/>siero scientifico. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/>XII. — <emph type="italics"/>A che cosa miri la presente pubblicazione.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>Nel licenziare il frutto delle nostre lunghe fatiche ci <lb/>si affaccia spontaneamente la tormentosa domanda quale <lb/>sarà l'accoglienza che esso sarà per ricevere da parte del <lb/>pubblico matematico. Ora ci sembra fuor di questione che <lb/>la presente pubblicazione costituiva da parte dell'Italia un <lb/>preciso dovere verso uno dei più illustri suoi figli “ onde <lb/>assicurare contro i danni inevitabili del tempo quelle pa­<lb/>gine venerande, cui troppo spesso invidiano gli inchiostri <lb/>seicenteschi, veramente edaci della loro carta ” . Ad <lb/>essa però non può certamente venir fatta l'accoglienza <lb/>festosa che il TORRICELLI giustamente sperava quando, <lb/>nella tregua del delirio, raccomandava agli amici i suoi <lb/>lavori tuttora inediti. Gli è che nei tre secoli ormai de­<lb/>corsi dal giorno in cui egli scese nella tomba l'ambiente <pb xlink:href="090/01/039.jpg" pagenum="XXXVII"/>matematico si è totalmente e radicalmente mutato. I pro­<lb/>cedimenti di cui egli si serviva sono quelli foggiati da un <lb/>contemporaneo di PLATONE, EUDOSSO DA CNIDO, svolti ed <lb/>applicati da ARCHIMEDE e trasfigurati dal CAVALIERI; anzi <lb/>il TORRICELLI seppe servirsene con tanta abilità e disinvol­<lb/>tura che ben a ragione questi valentuomini avrebbero po­<lb/>tuto additarlo alla universale estimazione dicendo: “ Ecco <lb/>colui che </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"/><emph type="italics"/>Mostrò ciò che potea la lingua nostra<emph.end type="italics"/> ”.<emph.end type="center"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s>A quei vetusti procedimenti egli si attenne con fedeltà <lb/>ancora più rigorosa di quanto abbia fatto il suo contem­<lb/>poraneo HUYGENS (matematico che giova citare pei nume­<lb/>rosi punti di contatto che presenta col Nostro ); giacchè <lb/>mentre questi prestò di quando in quando facile orecchio <lb/>alla giovane algebra che allora presentavasi circonfusa di <lb/>promettenti lusinghe, il TORRICELLI austeramente respinse <lb/>ogni sorta d'inviti per quanto seducenti, onde nella storia <lb/>della matematica egli ci si presenta siccome l'ultimo dei <lb/>puristi . Per effetto di tali spiccate caratteristiche men­<lb/>tali Egli era destinato ad annoverare in vita molti ammi­<lb/>ratori e alcuni seguaci, ma fatalmente doveva essere ben <lb/>presto lasciato in completo abbandono. Perciò, se è indu­<lb/>bitato che questo fenomeno si sarebbe manifestato pochi <lb/>decennii dopo la scomparsa del TORRICELLI — cioè dopo il <lb/>trionfo delle idee di DESCARTES e FERMAT, di LEIBNIZ e <pb xlink:href="090/01/040.jpg" pagenum="XXXVIII"/>NEWTON — non è forse matematicamente certo che esso <lb/>apparirà sotto forma ancora più generale in un'epoca, come <lb/>l'attuale, che segue il secolo di LAGRANGE ed EULERO, non­<lb/>chè quello in cui, per opera della pleiade di matematici <lb/>iniziatasi con ABEL e CAUCHY e chiusa con WEIERSTRASS e <lb/>POINCARÉ, l'analisi matematica raggiunse un'altezza, un'e­<lb/>stensione, un'energia che sarebbe stato follia sperare?... </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perciò — sarebbe vano negarlo — la presente pub­<lb/>blicazione, al pari delle analoghe che la precedettero in <lb/>Italia ed all'Estero, possiede un carattere, non pratico, <lb/>ma eminentemente storico; ad essa è affidata la nobile <lb/>missione di porgere al futuro storico della matematica gli <lb/>elementi, di cui sino ad oggi si lamentava l'assenza, per <lb/>lumeggiare in tutti i suoi più reposti meati il grande pe­<lb/>riodo che prelude l'apparizione del calcolo infinitesimale e <lb/>per determinare il posto che spetta ai discepoli di GALILEO <lb/>fra i precursori dei sommi di cui vanno giustamente su­<lb/>perbe l'Inghilterra e la Germania. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tuttavia, come i più recenti mezzi di locomozione non <lb/>fecero scomparire del tutto i dilettanti di podismo, i quali <lb/>a ragione sostengono come la rapidità vieti la contempla­<lb/>zione dei particolari, così è certo che, anche in avvenire, <lb/>s'incontrerà sempre qualche studioso che, abbandonando <lb/>le formole e le funzioni generalissime della cui contem­<lb/>plazione si compiace l'analisi moderna, ritornerà allo studio <lb/>diretto, cinematico e geometrico, delle figure; ebbene tale <lb/>presunto e desiderato investigatore, dopo di avere suc­<lb/>chiato il più vital nutrimento dalle opere lasciateci dalla <lb/>classica Antichità o fiorite al caldo sole della Rinàscita, <lb/>trarrà inestimabili vantaggi dalle <emph type="italics"/>Opere<emph.end type="italics"/> di EVANGELISTA <lb/>TORRICELLI che la Patria riconoscente, assolvendo un de­<lb/>bito che su di essa gravava da secoli, pone oggi a dispo­<lb/>sizione degli studiosi di tutto il mondo. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"/>Genova, aprile 1919.<emph.end type="italics"/></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">GINO LORIA. </foreign></s></p> <!-- Italian ends here --> <pb xlink:href="090/01/041.jpg"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE SPHAERA <lb/>ET SOLIDIS SPHAERALIBUS<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>LIBRI DUO.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>IN QUIBUS ARCHIMEDIS DOCTRINA <lb/>DE SPHAERA ET CYLINDRO DENUO COMPONITUR, <lb/>LATIÙS PROMOVETUR, <lb/>ET IN OMNI SPECIE SOLIDORUM, QUAE VEL CIRCA, <lb/>VEL INTRA SPHAERAM, <lb/>EX CONVERSIONE POLIGONORUM REGULARIUM <lb/>GIGNI POSSINT, UNIVERSALIUS PROPAGATUR.<emph.end type="center"/></s></p> <pb xlink:href="090/01/042.jpg"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Serenissimo Magno Duci Etruriae<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>FERDINANDO II<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Erubescerem profectò, Serenissime Magne Dux, oblaturus <lb/>libellum hunc Serenissimae Celsitudini Tuae, nisi haberem <lb/>maxima Archimedis, et Galilei nomina, quae praetendere <lb/>possim audaciae meae: Exigua enim sunt opuscula haec, et <lb/>de rebus aetate nostra neglectis, nempe Geometricis. Attamen, <lb/>nisi fallor, duo maxima Geometriae opera promovebunt, cum <lb/>veterem De Sphaera, et Cylindro, novamque De Motu scien­<lb/>tiam exequantur. Sed ego frustra Geometriam excuso apud <lb/>eum Principem, cui non solum haereditaria, sed etiam in­<lb/>genita est Mathematicarum disciplinarum protectio. Serenis­<lb/>simus enim Cosmus II Pater Tuus stipendijs celeberrimo <lb/>Galileo oblatis; deinde Ser. C. Tua, beneficijs maximis in <lb/>huiusmodi scientiae cultores collocatis, optime demonstravit <lb/>intelligere, quanti momenti sint Mathematicae scientiae, vel <lb/>in disponendis exercituum aciebus, vel in muniendis, exor­<lb/>nandisque urbibus, utroque tempore belli, pacisque. Cum <lb/>enim (ut de Mechanica facultate sileam) totum penè civile <lb/>commercium pondere, numero, et mensura administretur, <lb/>quis non videat omne hominum negotium in Mathematicis <lb/>esse? quae tria quantitatis genera cum in Scholis nostris<emph.end type="italics"/> <pb xlink:href="090/01/043.jpg"/><emph type="italics"/>quotidie agitentur, illi profectò maximè utiles Reip. habe­<lb/>buntur, qui in huiusmodi studijs versati, exercitatique erunt. <lb/>Libellorum itaque non inutilium causa penitus mala non <lb/>erit quatenùs Geometrici sunt. Utinam mala non sit eo no­<lb/>mine quòd sunt mei: Propterea humilitèr oro, ut illos <expan abbr="qua-lescumq;">qua­<lb/>lescumque</expan> sint, Tibi tamen debitos, Tuaque munificentia editos, <lb/>S. C. Tua suscipere dignetur eo vultu, quo me quoque sup­<lb/>plicem suscepit, atque ea humanitate, quae cum tanti Prin­<lb/>cipis maiestate coniuncta, amorem elicit etiam ab ignotis. <lb/>Faveat Deus omnibus votis Tuis, et S. C. Tuam, <expan abbr="imperiumq;">imperiumque</expan> <lb/>diu tueatur, et augeat.<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Sereniss. C. Tuae<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Humillimus servus<emph.end type="italics"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Evangelista Torricellius.<emph.end type="italics"/></s></p> <pb xlink:href="090/01/044.jpg"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROEMIUM<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Inter omnia opera ad Mathematicas disciplinas perti­<lb/>nentia, iure optimo Principem sibi locum vindicare vi­<lb/>dentur Archimedis inventa; quae quidem ipso subtilitatis <lb/>miraculo terrent animos. Verùm inter omnes libros egregij <lb/>Authoris longè eminet ille, qui De Sphaera, et Cylindro <lb/>inscribitur: neque enim posteritatis tantùm consensu, sed <lb/>etiam ipsius Scriptoris iudicio primas tenet. Certè hunc <lb/>ipse in titulum sepulcri elegit, <expan abbr="dignumq;">dignumque</expan> prae caeteris iu­<lb/>dicavit, qui tanti viri tumulum exornaret, ostenderetque. <lb/>Hunc tamen si quis attentiùs considerare, et perpendere <lb/>velit, magnum quidem inventum fateatur necesse est, sed <lb/>fortasse non absolutum. Loquor equidem de primo tantùm <lb/>libro, in quo partem operis Theorematicam, et omnem <lb/>doctrinae inventionem exequitur: quo veluti iacto funda­<lb/>mento, in secunda parte postea, quasi coronidis loco, pro­<lb/>blemata quaedam tamquam corollaria ad eam rem spe­<lb/>ctantia ipse subnectit. Titulus libri est De Sphaera, et <lb/>Cylindro; quae quidem verba apud nos idem sonant, ac <lb/>si dixisset De Sphaera, atque unico solido sphaerali; sed <lb/>sphaeralia solida, quorum unum est cylindrus, multitudine <lb/>sunt infinita, ut mox patebit. Ergo absolutior fortasse con­<lb/>templatio videri potuisset, si eximius Author proportionem, <lb/>non tantùm eam, quae est inter sphaeram, unicumque <lb/>ex sphaeralibus solidis perquisisset, verumetiam omnem <lb/>aliam rationem, quae inter sphaeram ipsam, et <expan abbr="unumquodq;">unumquodque</expan> <lb/>ex infinitis sphaeralibus solidis inter cedit, ostendendam <pb xlink:href="090/01/045.jpg" pagenum="6"/>sibi assumpsisset. Hoc itaque propositum erit, et institu­<lb/>tum meum in praesenti libello. Doctrinam non solum de <lb/>Sphaera, et Cylindro, sed de sphaera, et sphaeralibus so­<lb/>lidis omnibus prosequemur: <expan abbr="Mutatisq;">Mutatisque</expan> plerumque Archi­<lb/>medaeis fundamentis, universaliori demonstratione illam <lb/>complecti conabimur, atque in omni specie solidorum, vel <lb/>intrà, vel circà sphaeram descriptorum, propagabimus. </s></p> <p type="main"> <s>Ex libro Archimedis De Sphaera et Cylindro duo haec <lb/>colliguntur spectantia ad illa solida, quae nos sphaeralia <lb/>appellamus: Primum, quòd sphaera dupla est inscripti sibi <lb/>rombi solidi aequilateri; quod quidem unum est ex solidis <lb/>sphaeralibus, genitum ex revolutione quadrati inscripti, et <lb/>circa diagonalem conversi. Alterum; quòd cylindrus ad <lb/>inscriptam sibi sphaeram est sesquialter. quod quidem et <lb/>unum ex solidis sphaeralibus est, genitum ex conversione <lb/>quadrati circumscripti, et circa ipsius catetum revoluti. <lb/>Stantibus his, contemplatione dignum mihi videbatur uni­<lb/>versalius aliquod problema huiusmodi. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Dato poligono quocunque regulari sivè intrà, sivè circà circulum <lb/>descripto, et sive circa diagonalem, sive circa catetum revoluto; pro­<lb/>portionem dicere, quam factum ex polygono solidum habeat, ad factam <lb/>ex circulo sphaeram.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Penitus autem ex voto successit instituta contemplatio. <lb/>Nam inventa proportione, sex ista inferiùs adnotata Theo­<lb/>remata ita se habere comperi, quemadmodum hìc subij­<lb/>ciuntur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Prima solidorum sphaeralium species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intrà circulum descriptum fuerit poligonum regulare <lb/>habens latera numero parià, et conver­<lb/> <arrow.to.target n="fig1"></arrow.to.target><lb/>tatur figura circa catetum B. Quaeri­<lb/>tur ratio sphaerae ad factum soli­<lb/>dum. </s></p> <figure id="id.090.01.045.1.jpg" xlink:href="090/01/045/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Continuetur ratio radij poligoni ad <lb/>catetum eiusdem, nempe A ad B in <lb/>quatuor terminis A, B, C, D. Erit que <lb/>sphaera ad solidum inscriptum, ut diameter sphaerae, hoc <lb/>est ut dupla ipsius A, ad <expan abbr="utramq;">utramque</expan> simul B, et D. </s></p> <pb xlink:href="090/01/046.jpg" pagenum="7"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Secunda species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intra circulum descriptum fuerit po­<lb/> <arrow.to.target n="fig2"></arrow.to.target><lb/>ligonum regulare habens latera numero <lb/>paria, et cunvertatur figura circà diagona­<lb/>lem AB. Quaeritur ratio sphaerae ad fa­<lb/>ctum sphaerale solidum. </s></p> <figure id="id.090.01.046.1.jpg" xlink:href="090/01/046/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Ostenditur. Sphaeram esse ad solidum, </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg1"></arrow.to.target><lb/>ut quadratum AB ad quadratum cateti AC. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg1"></margin.target>Theor. 7 <lb/>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Tertia species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intrà circulum describatur poligonum regulare ha­<lb/>bens latera numero imparia, et con­<lb/> <arrow.to.target n="fig3"></arrow.to.target><lb/>vertatur figura circa catetum B. <lb/>Quaeritur ratio sphaerae ad factum <lb/>sphaerale solidum. </s></p> <figure id="id.090.01.046.2.jpg" xlink:href="090/01/046/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Continuetur ratio radij A ad ca­<lb/>tetum B in quatuor terminis A, B, <lb/>C, D. <expan abbr="Eritq;">Eritque</expan> sphaera ad solidum, ut quadrupla ipsius A <lb/> <arrow.to.target n="marg2"></arrow.to.target><lb/>ad B semel, C bis, et D semel <expan abbr="simulq;">simulque</expan> sumptas. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg2"></margin.target>Theor. 19. <lb/>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Quarta species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligo­<lb/> <arrow.to.target n="fig4"></arrow.to.target><lb/>num regulare, habens latera numero paria, <lb/>et convertatur figura circa catetum C. <lb/>Quaeritur ratio solidi ad sphaeram. </s></p> <figure id="id.090.01.046.3.jpg" xlink:href="090/01/046/3.jpg"/> <p type="main"> <s>Ostenditur solidum esse ad inscriptam <lb/>sibi sphaeram, ut duo simul quadrata, <lb/> <arrow.to.target n="marg3"></arrow.to.target><lb/>quorum unum fit ex radio D alterum ex cateto C, ad <lb/>duplum quadrati C. </s></p> <pb xlink:href="090/01/047.jpg" pagenum="8"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg3"></margin.target>Theor. 18. <lb/>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Quinta species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum <lb/> <arrow.to.target n="fig5"></arrow.to.target><lb/>regulare habens latera numero paria; et <lb/>convertatur figura circa diagonalem A. <lb/>Quaeritur ratio solidi ad sphaeram. <lb/> <arrow.to.target n="marg4"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg4"></margin.target>Theor. 6. <lb/>Lib. 2.</s></p> <figure id="id.090.01.047.1.jpg" xlink:href="090/01/047/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Ostenditur solidum ad inscriptam sibi <lb/>sphaeram esse ut radius A ad catetum B <lb/>hoc est ut axis solidi ad axem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Sexta, et ultima species.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum regulare ha­<lb/>bens latera numero imparia, et con­<lb/> <arrow.to.target n="fig6"></arrow.to.target><lb/>vertatur figura circa B catetum. <lb/>Quaeritur ratio solidi ad sphaeram. </s></p> <figure id="id.090.01.047.2.jpg" xlink:href="090/01/047/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Continuetur ratio radij A ad ca­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg5"></arrow.to.target><lb/>tetum poligoni B, in tribus terminis <lb/>A, B, C. Eritque solidum ad sphae­<lb/>ram, ut A semel, B bis, et C semel <lb/>simulque sumptae, ad quadruplam ipsius C. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg5"></margin.target>Theor. 18. <lb/>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s>Solidorum itaq: sphaeralium species omninò sex emer­<lb/>gunt, et <expan abbr="uniuscuiusq;">uniuscuiusque</expan> speciei ratio ad suam sphaeram in­<lb/>notescit. Possent fortasse videri tres tantum solidorum <lb/>species, si solida absolutè, ac sine suis sphaeris conside­<lb/>rentur. Verum si illa ad sphaeram referantur, statim re­<lb/>latio variatur, et proportio alia consurgit, prout cognata <lb/>solidis ipsis sphaera inscripta fuerit, vel circumscripta. </s></p> <p type="main"> <s>Quibus demonstratis, varia pro Corollarijs Theoremata <lb/>statim emergebant; cuiusmodi sunt. Datis ex praedicta­<lb/>rum sex specierum solidis duobus quibuscunque, alterius <lb/>ad alterum rationem notam facere. </s></p> <p type="main"> <s>Conum aequilaterum circa sphaeram descriptum, esse <lb/>ad ipsam sphaeram ut 9 ad 4. Nempe duplum sesqui quar­<lb/>tum. Propterea si circa eandem sphaeram conus, <expan abbr="cylin-drusq;">cylin­<lb/>drusque</expan> aequilateri descripti sint, tria solida, nempe conum, <lb/>cylindrum, et sphaeram fore inter se in continua propor­<lb/>tione sesquialtera. </s></p> <pb xlink:href="090/01/048.jpg" pagenum="9"/> <p type="main"> <s>Sphaeram ad conum aequilaterum sibi inscriptum esse <lb/>ut 32 ad 9. </s></p> <p type="main"> <s>Sphaeram ad inscriptum cylindrum aequilaterum ine­<lb/>fabilem rationem habere, nempe ut diameter quadrati ali­<lb/>cuius ad 3/4 lateris eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Rombum solidum aequilaterum sphaerae circumscri­<lb/>ptum ad eandem sphaeram incomensuràbilem esse, nempe <lb/>ut diameter quadrati alicuius ad latus eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Sphaerale solidum exagonale circa catetum revolutum <lb/>esse ad inscriptam sibi sphaeram sesquisextum. </s></p> <p type="main"> <s>Sphaeram autem ad exagonale solidum sibi inscriptum, <lb/>et circà diagonalem revolutum, esse sesquitertiam. </s></p> <p type="main"> <s>Et alia huiusmodi, quae quidem altiùs perscrutanti in­<lb/>numera patebunt. Interim satis superque mihi erit aliqua <lb/>apposuisse, quae propria claritate ultrò se se offerunt etiam <lb/>aspernanti. Horum maxima pars Corollaria esse poterant <lb/>praecedentium sex Theorematum; attamen illa demonstra­<lb/>bimus ex sola etiam Euclidis doctrina, sine ope illorum <lb/>quae de sphaeralibus praemiseramus; Ut videre est ad <lb/>Propositiones 30 et 9 <expan abbr="seqq.">seqque</expan> in secundo libro. Caeterum <lb/>huiùs contemplationis occasionem, mox etiam et scriptionis <lb/>incitamentum praebuit mihi acutissimus librorum Archi­<lb/>medis scrutator Antonius Nardus Aretinus: huic enim re­<lb/>fero, atque ipsius eruditis colloquijs, si quid verè Geome­<lb/>tricum in hac scriptura exciderit mihi. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò pleraque mala erunt, et fortasse omnia, hoc <lb/>unum culpàndus erit ornatissimus vir, et genere, doctrinà, <lb/><expan abbr="moribusq;">moribusque</expan> conspicuus Andreas Arrighettus Florentinus, <lb/>qui post magna in me collata beneficia, editionem mali <lb/>libri non suasit, sed iussit. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DEFINITIONES.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>1. Cuiuscunque poligoni regularis latera habentis nu­<lb/>mero paria, <emph type="italics"/>Diagonalem<emph.end type="italics"/> voco lineam, quae per oppositos <lb/>flgurae angulos ducitur. <emph type="italics"/>Catetum<emph.end type="italics"/> verò voco lineam, quae <lb/>puncta media laterum oppositorum connectit: sive earum­<lb/>dem semisses. Cuiuscunque verò poligoni regularis latera <pb xlink:href="090/01/049.jpg" pagenum="10"/>habentis numero imparia, <emph type="italics"/>catetum<emph.end type="italics"/> voco lineam, quae ab <lb/>uno angulo per centrum figurae extenditur. </s></p> <p type="main"> <s>2. Si poligonum quodcunque regulare convertatur, <lb/>sivè circa diagonalem, sive circa catetum, donec ad eum <lb/>locum redeat unde caepit moveri, solidum illud quod ex <lb/>revolutione circumscribitur, <emph type="italics"/>sphaerale solidum<emph.end type="italics"/> appellare <lb/>visum est. Parilaterum quidem si poligonum habuerit la­<lb/>tera numero paria, Imparilaterum verò, quando poligonum <lb/>latera numero imparia habebit. </s></p> <p type="main"> <s>Si cylindrus, sive conus, vel etiam coni frustum plano <lb/>per axem ducto sectum sit: communem secantis plani, et <lb/>curvae superficiei sectionem vocabimus latus cylindri, sive <lb/>coni, sive frusti conici. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Suppositiones.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Supponimus. cuiuscunque prismatis circà cylindrum ae­<lb/>quealtum descripti, superficiem maiorem esse cylindri <lb/>ipsius superficie. Cylindricam verò superficiem maiorem <lb/>esse superficie prismatis inscripti, basim habentis regula­<lb/>rem. exceptis semper basibus. Item pyramidis circa conum <lb/>descriptae superficiem maiorem esse ipsius coni superficie; <lb/>Inscriptae verò pyramidis et regularem basim habentis, <lb/>supponimus superficiem minorem esse conica superficie. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstrantur haec apud Archimedem propos. 9, 10, <lb/>11, 12 lib. I de Sph. et Cyl. Si quis verò ea tamquam <lb/>nota admittere velit, totum libellum nostrum percurrere <lb/>poterit. </s></p> <pb xlink:href="090/01/050.jpg"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE SOLIDIS SPHAERALIBUS<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>LIBER PRIMUS<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si Cylindri recti superficies secetur plano oppositis ba­<lb/>sibus parallelo; erunt segmenta superficiei cylindricae in­<lb/>ter se, ut segmenta axis, sive lateris cylindri, homologe <lb/>sumpta. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus ABCD, <expan abbr="seceturq;">seceturque</expan> plano <lb/> <arrow.to.target n="fig7"></arrow.to.target><lb/>EF oppositis basibus parallelo; Dico cylindricam <lb/>superficiem AEFD, ad cylindricam EBCF, esse <lb/>ut axis ad axem, sive ut latus AE, ad latus EB. </s></p> <figure id="id.090.01.050.1.jpg" xlink:href="090/01/050/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Producatur utrimque in infinitum cylindrus, <lb/>et accipiatur recta EG multiplex ipsius EA, iuxtà <lb/>quamlibet multiplicitatem, sectaque EG in partes <lb/>ipsi EA aequales, agantur per puncta divisio­<lb/>num H, I, G; plana oppositis basibus parallela. <lb/>Eritque tam multiplex recta GE ipsius EA: quàm <lb/>multiplex est cylindrica superficies EL, super­<lb/>ficiei ED. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur etiam recta EM multiplex ipsius EB, iuxta <lb/>quamlibet multiplicationem; <expan abbr="similiq.">similique</expan> peracta constructione <lb/>ut supra; erit tam multiplex recta EM rectae EB, quàm <lb/>multiplex est cylindrica superficies EN, superficiei EC. </s></p> <pb xlink:href="090/01/051.jpg" pagenum="12"/> <p type="main"> <s>Manifestum ergo est, quod si recta EG maior fuerit, <lb/>sive minor, vel aequalis, rectae EM: tunc etiam cylindrica <lb/>superficies EL, maior erit, sive minor, vel aequalis super­<lb/>ficiei EN: et hoc semper: Propterea erit, ut AE ad EB, <lb/>ita superficies AEFD, ad superficiem EBCF. Quod erat <lb/>demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quodcunque prisma rectum, habens basim <lb/>poligonam regularem, habensque altitudinem aequalem <lb/>quartae parti cateti suae basis; erit perimeter prismatis <lb/>aequalis poligono suae basis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto poligonum regulare <lb/> <arrow.to.target n="fig8"></arrow.to.target><lb/>ABCDEF, super quo conci­<lb/>piatur prisma rectum, habens <lb/>pro altitudine AL quartam <lb/>partem cateti IH. Dico peri­<lb/>metrum prismatis, constan­<lb/>tem ex figuris rectangulis aequalibus quarum una sit LB, <lb/>aequalem esse poligono suae basis. </s></p> <figure id="id.090.01.051.1.jpg" xlink:href="090/01/051/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Ducantur enim diagonales AOD, BOE, et erectà per­<lb/>pendiculari IM, iungantur AM, BM; </s></p> <p type="main"> <s>Cum ergo IH ponatur quadrupla ipsius IM, erit IO <lb/>dupla ipsius IM; et ideo triangulum AOB duplum trian­<lb/>guli AMB eandem basim habentis; sed etiam rectangulum <lb/>LB duplum est trianguli AMB; propterea rectangulum LB <lb/>aequale erit triangulo AOB; et sic de reliquis rectangulis, <lb/>reliquisque triangulis: Quare totus prismatis perimeter, <lb/>constans ex figuris rectangulis, aequalis est poligono suae <lb/>basis. Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Constat ergo, quod si altitudo prismatis maior, minorvè fuerit, quàm <lb/>quarta pars cateti suae basis, erit perimeter prismatis maior, minorvè <lb/>quàm poligonum suae basis.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb xlink:href="090/01/052.jpg" pagenum="13"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit cylindrus rectus, cuius altitudo aequalis sit <lb/>quartae parti diametri suae basis; erit cylindrica super­<lb/>ficies aequalis circulo suae basis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus, cu­<lb/> <arrow.to.target n="fig9"></arrow.to.target><lb/>ius basis circulus circa dia­<lb/>metrum AB descriptus; alti­<lb/>tudo verò AC, aequalis sit <lb/>quartae parti diametri AB. </s></p> <figure id="id.090.01.052.1.jpg" xlink:href="090/01/052/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Dico cylindricam superfi­<lb/>ciem aequalem esse circulo <lb/>suae basis AB. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim aequalis non est; erit circulus vel maior, vel <lb/>minor cylindricà superficie. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primùm circulus maior quàm cylindri superficies; <lb/>et supposità differentia G, describatur intrà circulum ali­<lb/>quod poligonum ADEB, quod quidem deficiat à circulo <lb/>minori defectu, quàm sit spatium G; et ideo erit poligo­<lb/>num inscriptum adhuc maius quàm cylindrica superficies <lb/>(quomodo fiat hoc constat ex Commentarijs in Archime­<lb/>dem, et ex XII Euclidis:) Tum supra poligonum ADEB <lb/>concipiatur prisma rectum eiusdem cum cylindro alti­<lb/>tudinis. </s></p> <p type="main"> <s>Cùm ergò altitudo prismatis eadem sit ac cylindri, <lb/> <arrow.to.target n="marg6"></arrow.to.target><lb/>nempe quarta pars rectae AB, erit altitudo prismatis maior <lb/>quàm quarta pars cateti suae basis poligonae, et ideo pe­<lb/>rimeter prismatis maior erit quàm poligonum suae basis, <lb/>et multo maior, quàm cylindrica superficies (factum enim <lb/>est poligonum maius cylin­<lb/> <arrow.to.target n="fig10"></arrow.to.target><lb/>drica superficie). Quod est <lb/>absurdum: est enim contra <lb/>praemissas suppositiones. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg6"></margin.target>ex. Corollar. <lb/>praeced.</s></p> <figure id="id.090.01.052.2.jpg" xlink:href="090/01/052/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Ponatur deinde circulus <lb/>minor quàm cylindrica su­<lb/>perficies: et supposità diffe­<lb/>rentia G, describatur circa <lb/>circulum aliquod poligonum regulare DEFG, quod excedat <pb xlink:href="090/01/053.jpg" pagenum="14"/>circulum spatio minori quàm sit C (quomodo hoc fiat con­<lb/>stat apud Commentarios in Archim. et in XII Euclidis.) <lb/><expan abbr="eritq;">eritque</expan> etiam poligonum minus quàm cylindrica superficies. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur suprà poligonum erigi prisma eiusdem al­<lb/>titudinis cum cylindro; eritque altitudo prismatis quarta <lb/>pars cateti suae basis poligonae. (cum prismatis altitudo <lb/>eadem sit atq: cylindri; cylindri autem altitudo est quarta <lb/>pars rectae AB, quae aequalis est cateto poligoni, quod <lb/>est basis prismatis). <lb/> <arrow.to.target n="marg7"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg7"></margin.target>per 2. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Ideo perimeter prismatis aequalis erit poligono suae <lb/>basis; et propterea minor quàm cylindrica superficies. <lb/>Quod est contra praemissas suppositiones. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò superficies cylindrica aequalis circulo suae <lb/>basis. Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cylindri recti superficies ad circulum suae basis est ut <lb/>latus cylindri ad quartam partem diametri eiusdem basis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus, cuius rectangulum <lb/> <arrow.to.target n="fig11"></arrow.to.target><lb/>per axem sit ABCD; <expan abbr="sumptaq;">sumptaque</expan> BE, quae <lb/>quarta pars sit ipsius BC; Dico cylindricam <lb/>superficiem ABCD ad circulum suae basis <lb/>esse, ut AB ad BE. </s></p> <figure id="id.090.01.053.1.jpg" xlink:href="090/01/053/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Producatur cylindrus versus F, sectàque <lb/>BF aequali ipsi BE, erit per praecedentem, <lb/>cylindrica superficies FC aequalis circulo suae basis BC. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg8"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg8"></margin.target>per 1. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam: cylindrica superficies BD, ad cylindricam super­<lb/>ficiem FC est ut AB ad BF; superficies verò FC ad cir­<lb/>culum BC (ob aequalitatem) est ut FB ad BE; Ergo ex <lb/>aequo erit cylindrica superficies BD ad circulum BC, ut <lb/>AB ad BE, nempe ut latus cylindri ad 1/4 diametri basis <lb/>eiusdem. Quod erat ostendendum. </s></p> <pb xlink:href="090/01/054.jpg" pagenum="15"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cylindri recti superficies ad circulum quemlibet, est ut <lb/>rectangulum per axem cylindri ad quadratum semidia­<lb/>metri ipsius circuli. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus cuius re­<lb/> <arrow.to.target n="fig12"></arrow.to.target><lb/>ctangulum per axem sit AB, et <lb/>centrum basis H. Ponatur autem <lb/>circulus quilibet cuius semidia­<lb/>meter CD. Dico cylindricam su­<lb/>perficiem ad circulum ex CD, esse <lb/>ut rectangulum AB ad quadra­<lb/>tum CD. </s></p> <figure id="id.090.01.054.1.jpg" xlink:href="090/01/054/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Fiat ex AE (quae quidem 4 pars sit rectae AL) qua­<lb/>dratum FE, producaturque EG. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò cylindrica superficies AB ad circulum suae </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg9"></arrow.to.target><lb/>basis, ut IA ad AE, hoc est ut IA ad AF, hoc est ut re­<lb/>ctangulum IE ad quadratum FE; sive, sumptis quadruplis, <lb/> <arrow.to.target n="marg10"></arrow.to.target><lb/>ut rectangulum AB ad quadratum ex AH. Circulus verò <lb/>basis AL ad circulum ex CD, est ut quadratum ex AH <lb/>ad quadratum ex CD; ergò ex aequo erit cylindrica su­<lb/> <arrow.to.target n="marg11"></arrow.to.target><lb/>perficies ad circulum ex CD, ut rectangulum per axem <lb/>ad quadratum CD. Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg9"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg10"></margin.target>Prim. 6.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg11"></margin.target>2. duodecimi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Pro Corollario erit Propositio XIII lib. I Archim. de Sphaera et <lb/>Cylindro. Constat enim quòd si CD media fuerit proportionalis inter <lb/>IA, AL; quadratum ex CD aequale erit rectangulo AB et propterea, <lb/>ex demonstratis, cylindricam superficiem AIBL aequalem esse circulo ex <lb/>CD necesse est.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cylindrorum superficies inter se sunt ut eorumdem re­<lb/>ctangula per axem homologè sumpta. </s></p> <p type="main"> <s>Sint cylindri recti quorum rectangula per axem sint <pb xlink:href="090/01/055.jpg" pagenum="16"/>AB, CD. Dico cylindricam superficiem AB, ad cylindricam <lb/>CD esse, ut rectangulum AB ad rectangulum CD. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur pro circulo quolibet, <lb/> <arrow.to.target n="fig13"></arrow.to.target><lb/>circulus circa diametrum AE. <lb/> <arrow.to.target n="marg12"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg12"></margin.target>per praeced.</s></p> <figure id="id.090.01.055.1.jpg" xlink:href="090/01/055/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Erit ergò cylindrica superficies <lb/>AB ad circulum quemlibet AE, ut <lb/>rectang. AB ad quadratum AF. Cir­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg13"></arrow.to.target><lb/>culus verò ex AF ad cylindricam <lb/>superficiem CD est ut quadratum ex <lb/>AF ad rectangulum CD; ergo ex <lb/>aequo cylindrica superficies AB ad cylindricam CD, est <lb/>ut rectangulum AB ad rectang. CD. Quod erat osten­<lb/>dendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg13"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si recta pyramis basim habuerit poligonam regularem­<lb/>que erit basis pyramidis ad reliquam ipsius superficiem, ut <lb/>semicatetus basis ad catetum superficiei. </s></p> <p type="main"> <s>Esto pyramis recta, cuius ba­<lb/> <arrow.to.target n="fig14"></arrow.to.target><lb/>sis poligonum regulare AFED. <lb/>vertex verò G, et centrum basis <lb/>sit I. Secto deinde uno latere bi­<lb/>fariam in H, <expan abbr="iunctisq;">iunctisque</expan> GH, IH, <lb/>erit GH catetus superficiei pyra­<lb/>midis; IH vero semicatetus basis; <lb/>quandoquidem omnia triangula in superficie sunt aequi­<lb/>cruria, et aequalia inter se; quod etiam verum est et <lb/>in basi. </s></p> <figure id="id.090.01.055.2.jpg" xlink:href="090/01/055/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Dico basim ad superficiem esse ut IH ad HG. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum enim AIF, ad triangulum AGF (cum sint <lb/>in eadem basi) est ut IH, ad HG, ergo etiam ipsorum <lb/> <arrow.to.target n="marg14"></arrow.to.target><lb/>aequemultiplicia, nempe basis, et superficies pyramidis, in <lb/>eadem ratione erunt, nempe ut IH ad HG. Quod erat <lb/>ostendendum. </s></p> <pb xlink:href="090/01/056.jpg" pagenum="17"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg14"></margin.target>15. quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Coni recti basis ad reliquam conicam superficiem, est <lb/>ut semidiameter basis ad latus coni. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conus rectus, cuius <lb/> <arrow.to.target n="fig15"></arrow.to.target><lb/>basis AB, vertex verò C, axis <lb/>CD. </s></p> <figure id="id.090.01.056.1.jpg" xlink:href="090/01/056/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Dico circulum basis, ad re­<lb/>liquam conicam superficiem, <lb/>esse ut DA, ad AC. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim ita non est; erit <lb/>circulus AB vel maior, vel <lb/>min. quam oportet esse, ut ad conicam superficiem sit <lb/>quemadmodum DA ad AC. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primùm maior; et ponatur tantò maior quantum <lb/>est spatium E. Inscribatur in circulo poligonum deficiens <lb/>à circulo, minori defectu quàm spatium E; <expan abbr="habebitq;">habebitque</expan> hu­<lb/>iusmodi poligonum ad conicam superficiem adhuc maiorem <lb/>rationem, quàm DA ad AC. Secto deinde uno poligoni <lb/>latere AF bifariam in H, iungantur DH, CH; et super <lb/>poligono concipiatur pyramis quae verticem habeat in C; <lb/>seceturque DI aequalis ipsi DH, et ducatur IL paralella <lb/>ad BC, <expan abbr="iungaturq.">iungaturque</expan> IC. </s></p> <p type="main"> <s>Cum <expan abbr="itaq.">itaque</expan> poligonum ad conicam superficiem maiorem <lb/>habeat rationem quàm DA ad AC; multò maiorem ratio­<lb/>nem habebit ad superficiem suae pyramidis, quàm DA ad <lb/>AC, vel DB ad BC. Sed poligonum ad superficiem pyra­<lb/>midis, per praècedentem, est ut DH ad HC; habebit ergo <lb/>DH ad HC, sive DI ad IC, multò maiorem rationem quàm <lb/>DB ad BC, vel quàm DI ad IL. Et propterea IC minor <lb/>esset quam IL absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Nam quadratum IC aequale est duobus quadratis ID, <lb/>DC; cum quadratum IL aequale sit tantùm duobus ID, DL. <lb/>Ponatur deinde circulus basis AB minor quàm oportet esse <lb/>ut ad conicam superficiem sit quemadmodum recta DA <lb/>ad AC, sitque tantò minor quantum est spatium E. Cir­<lb/>cumscribatur circulo AB poligonum aliquod excedens <lb/>circulum minori excessu quàm sit spatium E. <expan abbr="Habebitq.">Habebitque</expan> <pb xlink:href="090/01/057.jpg" pagenum="18"/>poligonum ad conicam superficiem, adhuc minorem ratio­<lb/> <arrow.to.target n="marg15"></arrow.to.target><lb/>nem quàm DA ad AC; ergò poligonum ad perimetrum <lb/>suae pyramidis multò mino­<lb/> <arrow.to.target n="fig16"></arrow.to.target><lb/>rem rationem habebit quàm <lb/>DA ad AC. Sed poligonum <lb/>ad perimetrum suae pyra­<lb/>midis est ut DF ad FC; <lb/>propterea DF ad FC, multò <lb/>minorem rationem habebit <lb/>quàm DA ad AC; quod est <lb/>impossibile. Aequales etenim sunt tam DF, DA, inter se, <lb/>quàm FC, AC, inter se. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg15"></margin.target>per 7. huius.</s></p> <figure id="id.090.01.057.1.jpg" xlink:href="090/01/057/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Erit itaque basis coni recti àd reliquam superficiem, ut <lb/>DA ad AC. Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet quòd curva superficies coni, aequalis est circulo cuidam, <lb/>cuius semidiameter med. prop. sit inter CA, AD nempe, inter latus, et <lb/>semidiametrum basis coni. Nam sumpta media inter CA, AD erit cir­<lb/>culus qui fit ex media, ad circulum qui fit ex AD ut CA ad AD. Sed <lb/> <arrow.to.target n="marg16"></arrow.to.target><lb/>etiam curva coni superficies, ad circulum ex AD est ut CA ad AD. <lb/>Ergo aequalis est curva coni superficies, circulo, cuius semidiameter <lb/>media proportionalis sit inter CA, AD.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg16"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cuiuslibet coni recti superficies, ad superficiem <expan abbr="cuius-cunq;">cuius­<lb/>cunque</expan> cylindri recti demptis basibus, est ut rectangulum <lb/>sub latere, et semidiametro basis coni, ad rectangulum <lb/>per axem cylindri. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conus ABC, cuius basis AC, axis <lb/> <arrow.to.target n="fig17"></arrow.to.target><lb/>vero BH; et cylindrus cuius rectangulum <lb/>per axem sit DE. Dico conicam super­<lb/>ficiem ad cylindricam esse, ut rectan­<lb/>gulum BAH, ad rectangulum DE. <lb/> <arrow.to.target n="marg17"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg17"></margin.target>per 8. huius.</s></p> <figure id="id.090.01.057.2.jpg" xlink:href="090/01/057/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Nàm conica superficies ad circulum suae basis est ut <lb/>AB, àd AH, sive ut rectangulum BAH ad quadratum AH </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg18"></arrow.to.target><lb/>circulus autem ex AH, ad cylindricam superficiem DE, <lb/>est ut quadratum AH, ad rectangulum DE. Propterea, ex <pb xlink:href="090/01/058.jpg" pagenum="19"/>aequo, erit conica superficies ABC ad cylindricam DE, <lb/>ut rectangulum BAH ad rectangulum DE. Quod erat <lb/>ostendendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg18"></margin.target>per 5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Conicae superficies, demptis basibus, inter se sunt ut <lb/>rectangula sub lateribus conorum, et sub semidiametris <lb/>basium compraehensa. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo coni recti ABC, DEF <lb/> <arrow.to.target n="fig18"></arrow.to.target><lb/>quorum axes BG, EH. Dico curvam <lb/>coni ABC superficiem, ad curvam su­<lb/>perficiem coni DEF esse ut rectan­<lb/>gulum BAG, ad rectangulum EDH <lb/>quae nimirum sub lateribus conorum, <lb/>et semidiametris basium compraehen­<lb/>duntur. </s></p> <figure id="id.090.01.058.1.jpg" xlink:href="090/01/058/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Conica enim superficies ABC, ad circulum AC, est ut <lb/>recta BA ad AG, sive ut rectangulum BAG; ad quadra­<lb/> <arrow.to.target n="marg19"></arrow.to.target><lb/>tum AG. Circulus verò AC ad DF circulum, est ut qua­<lb/>dratum AG, ad DH; denique circulus DF ad conicam <lb/>superficiem DEF, est ut quadratum DH, ad rectangulum <lb/> <arrow.to.target n="marg20"></arrow.to.target><lb/>EDH ergò ex aequo curva coni superficies ABC ad cur­<lb/>vam DEF, erit ut rectangulum BAG, ad rectangulum <lb/>EDH. Quod erat ostendendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg19"></margin.target>per 8. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg20"></margin.target>per 8. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit ABCD frustum coni recti, abscissum planis ad axem erectis <lb/>(hoc enim modo semper intelligemus frusta <lb/> <arrow.to.target n="fig19"></arrow.to.target><lb/>conica) secenturque latera AB, DC bifariam in <lb/>punctis E, et H <expan abbr="iungaturq;">iungaturque</expan> EH. Dico rectam <lb/>EH componi ex utràque BL, AI, nempe ex <lb/>semidiametris basium oppositarum frusti <lb/>conici. </s></p> <figure id="id.090.01.058.2.jpg" xlink:href="090/01/058/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Iungantur BD, EI, LH; Et quoniam AI, ID aequales sunt; item AE, <lb/>EB, aequales: erunt parallelae EI, BD et ideo in parallelogrammo <lb/> <arrow.to.target n="marg21"></arrow.to.target><lb/>aequalia erunt latera ID, EM. Ob eandem causam aequalia sunt BL, <lb/>MH. Ergo tota EH aequalis erit ipsis ID, BL simul sumptis. Quod <lb/>erat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb xlink:href="090/01/059.jpg" pagenum="20"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg21"></margin.target>per 2. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Definitiones.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Vocabimus imposterum brevitatis causa lineam EH medians Aritme­<lb/>ticam frusti conici. </s></p> <p type="main"> <s>Rectangulum verò sub EH et AB latere frusti conici, dicemus <emph type="italics"/>rectan­<lb/>gulum proprium frusti conici.<emph.end type="italics"/><gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Curva superficies frusti conici, planis ad axem erectis <lb/>abscissi, ad conicam quamlibet superficiem, est ut rectan­<lb/>gulum proprium frusti, ad rectangulum sub latere, et se­<lb/>midiametro basis ipsius coni. </s></p> <figure id="id.090.01.059.1.jpg" xlink:href="090/01/059/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Esto frustum conicum <lb/>ABCD abscissum planis ad <lb/>axem erectis, sitque conus <lb/>quilibet EFG, cuius axis FH. <lb/>Dico curvam frusti AC su­<lb/>perficiem, ad curvam coni <lb/>EFG superficiem, esse, ut <lb/>rectangulum sub AB, et sub utraque AL, BI contentum, <lb/>ad rectangulum FEH. </s></p> <p type="main"> <s>Compleatur conus AMD cuius datum erat frustum, fa­<lb/>ctoque angulo MAN recto, et secta AN aequali ipsi AL <lb/>compleatur rectangulum AP. Ducto deinde diametro MN, <lb/>et facta BO parallela ad AN erit BO aequalis ipsi BI <lb/>compleatur etiam figura <expan abbr="Bq.">Bque</expan> <lb/> <arrow.to.target n="marg22"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg22"></margin.target>per 10. <lb/>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam superficies curva coni AMD ad superficiem cur­<lb/>vam coni BMC est ut rectangulum LAM ad rectangulum <lb/>IBM; nempe ut rectangulum AP ad <expan abbr="Bq;">Bque</expan> et dividendo, <lb/>erit curva frusti conici ABCD superficies, ad superficiem <lb/>coni BMC, ut gnomon AOP, ad rectangulum BQ hoc est <lb/>ut rectangulum sub AB; et utraque AN, BO, sive AL, BI, <lb/>ad rectangulum IBM. Curva verò superficies coni BMC <lb/>ad curvam coni EFG, est ut rectangul. IBM ad rect. FEH <lb/>ergò ex aequo curva frusti conici ABCD superficies ad <lb/>curvam coni EFG superficiem est ut rectan. contentum <lb/>sub AB, et utraque AL, BI ad rectangulum FEH. </s></p> <pb xlink:href="090/01/060.jpg" pagenum="21"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Patet ergò quod frusti conici ABCD superficies sine basibus ad su­<lb/>perficiem coni EFG est ut rectangulum proprium frusti ad rectangulum <lb/>FEH. Rectangulum autem proprium frusti comprehenditur sub recta AB, <lb/>et sub <expan abbr="utraq;">utraque</expan> AL, BI, sive potiùs sub AB, et media Aritmetica, quam <lb/>demonstravimus aequalem utrisque AL, BI.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cuiuscunque frusti conici superficies ad superficiem cy­<lb/>lindri recti, est ut rectangulum proprium frusti ad rectan­<lb/>gulum per axem cylindri. </s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum conicum ABCD, et cylindrus cuius rectan­<lb/>gulum per axem sit EF. Secetur AB bifariam in H, et <lb/> <arrow.to.target n="fig20"></arrow.to.target><lb/>agatur media Aritmetica HI aequidistanter ad BC. Dico <lb/>conicam frusti superficiem, ad cylindricam EF, esse ut <lb/>rectangulum sub HI, et AB, ad rectangulum EF. </s></p> <figure id="id.090.01.060.1.jpg" xlink:href="090/01/060/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Accipiatur conus quilibet LMN, cuius axis MO. <expan abbr="Eritq;">Eritque</expan> <lb/>curva frusti superficies ad conicam curvam LMN, ut re­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg23"></arrow.to.target><lb/>ctangulum sub AB, HI, ad rectangulum MLO; sed curva <lb/>coni LMN ad curvam cylindri EF superficiem, est ut re­<lb/>ctangulum MLO, ad rectangulum EF; ergo ex aequo curva <lb/>frusti conici superficies, ad curvam superficiem cylindri, <lb/>est ut rectangulum sub AB, et HI, nempe ut rectangulum <lb/>proprium frusti, ad rectangulum EF per axem cylindri. <lb/>Quod erat ostendendum. </s></p> <pb xlink:href="090/01/061.jpg" pagenum="22"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg23"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Curva superficies <expan abbr="cuiuscunq;">cuiuscunque</expan> frusti conici ABCD ae­<lb/>qualis demonstratur circulo cuidam, cuius quidem circuli <lb/>semidiameter E media proportio­<lb/> <arrow.to.target n="fig21"></arrow.to.target><lb/>nalis sit inter latus AB frusti co­<lb/>nici, et inter FH mediam Aritme­<lb/>ticam eiusdem frusti. </s></p> <figure id="id.090.01.061.1.jpg" xlink:href="090/01/061/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Esto quadratum E aequale <lb/>rectangulo sub BA, FH sumatur­<lb/>que cylindrus quilibet IL; et erit <lb/> <arrow.to.target n="marg24"></arrow.to.target><lb/>curva frusti conici superficies ad <lb/>curvam cylindricam IL, ut rectan­<lb/> <arrow.to.target n="marg25"></arrow.to.target><lb/>gulum sub BA, FH ad rectangulum IL; sive ut quadratum <lb/>E ad rectangulum IL; hoc est ut circulus ex radio E, ad <lb/>curvam cylindricam IL. Aequales ergò sunt inter se curva <lb/>superficies frusti conici AC, et circulus ex radio E factus. <lb/>Quae quidem Archimedis Propositio est 16 libri primi de <lb/>Sph. et cyl. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg24"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg25"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum tetigerit recta quaepiam linea aequalitèr <lb/><expan abbr="utrimq;">utrimque</expan> producta, et convertatur circulus circa quemlibet <lb/>sui axem (dummodo axis tangentem non secet) erit conici <lb/>frusti superficies, quae à tangente linea describitur, ae­<lb/>qualis superficiei cylindri eandem altitudinem cum frusto <lb/>conico habentis, et circa eandem sphaeram descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus ADBC, quem duae <lb/> <arrow.to.target n="fig22"></arrow.to.target><lb/>diametri AB, CD secent ad angulos <lb/>rectos. Duas insuper tangentes ha­<lb/>beat alteram DG in extremitate dia­<lb/>metri CD, alteram verò ubicunque <lb/>in I, et aequalitèr producantur hinc <lb/>inde ILIM; dumodo axem AB pro­<lb/>ductum non secent. Agantur deinde <lb/>per L, et per M parallelae ad CD, <lb/>rectae LE, MF tum figura convertatur circa axem AB. <pb xlink:href="090/01/062.jpg" pagenum="23"/>Tangens GH describet cylindricam quandam superficiem <lb/>cuius rectangulum per axem erit EFHG: Tangens verò <lb/>LM designabit frustum conicae superficiei; <expan abbr="deniq;">denique</expan> circulus <lb/>ipse sphaeram circumscribet. Dico cylindricam superficiem <lb/>à linea GH descriptam, et conicam superficiem à linea LM <lb/>factam aequales esse inter se. </s></p> <figure id="id.090.01.062.1.jpg" xlink:href="090/01/062/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Ducatur IP media Aritmetica conici frusti; et agatur <lb/>IR per centrum <expan abbr="q;">que</expan> <expan abbr="eritq;">eritque</expan> IR perpendicularis ad LM: Du­<lb/>catur etiam MT perpendicularis ad EG. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam duo anguli TMI, TLM uni recto sunt ae­<lb/>quales, nempe ipsi LIQ, demptis alternis TLM, LIS, erunt <lb/>aequales reliqui TML, SIQ ideoque triangula TML, SIQ, <lb/>cum rectangul. sint, similia erunt; Ergò ut TM ad ML <lb/>ita SI ad IQ hoc est (sumptis duplis) PI ad IR: et ideo <lb/>rectangulum sub TM, IR (quod quidem est rectangulum <lb/>EFHG) aequale erit rectangulo sub ML, IP, quod proprium <lb/>vocamus frusti conici. Proptereà per praecedentem ae­<lb/>qualis erit superficies conici frusti, quae à linea ML descri­<lb/>bitur, superficiei cylindri EFHG, eandem altitudinem cum <lb/>ipso frusto habentis, et circà eandem sphaeram ADBC <lb/>descriptibilis. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum tetigerit recta linea aequalitèr <expan abbr="utrinq;">utrinque</expan> pro­<lb/>ducta, et convertatur circulus circa axem, qui cum tangente <lb/>conveniat in extremitate ipsius tangentis, erit superficies <lb/>coni, quae à tangente describitur, aequalis superficiei cy­<lb/>lindri, eandem cum cono altitudinem <lb/> <arrow.to.target n="fig23"></arrow.to.target><lb/>habentis, et circà eandem sphaeram <lb/>descriptibilis. </s></p> <figure id="id.090.01.062.2.jpg" xlink:href="090/01/062/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Positis ijsdem ut in praecedentis <lb/>propositionis constructione; si linea <lb/>ML incidat in axem BL productum, <lb/><expan abbr="sintq;">sintque</expan> aequales utrinque IL, IM, tunc <lb/>describet ipsa ML conicam superfi­<lb/>ciem, Dico conicam huiusmodi su­<lb/>perflciem aequalem esse superficiei cylindri EFHG eandem <pb xlink:href="090/01/063.jpg" pagenum="24"/>altitudinem habentis cum ipso cono, et circa eandem <lb/>sphaeram descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat enim angulus LMT rectus, et cum LM dupla po­<lb/>natur ipsius LI, erit MT dupla ipsius IR, hoc est aequalis <lb/>diametro sphaerae, sive ipsi FH cum autem, per quartam <lb/>sexti, sit ut ML ad LN, ita TM ad MN erit rectangulum <lb/>LMN aequale rectangulo sub TM, LN, hoc est rectangulo <lb/>sub FH, LN, quod quidem per axem est cylindri EFHG. <lb/> <arrow.to.target n="marg26"></arrow.to.target><lb/>Aequalis ergo est superficies coni OLM, superficiei cy­<lb/>lindri EFHG. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg26"></margin.target>9. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, sive à quaternario mensurentur, sive tantum <lb/>à binario, et convertatur figura circa diagonalem, erit uni­<lb/>versa superficies facti sphaeralis solidi, aequalis superficiei <lb/>cylindri circa eandem sphaeram descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto poligonum ABCDEF parilaterum, sive à quater­<lb/>nario numerus laterum mensuretur, ut in prima figura, <lb/> <arrow.to.target n="fig24"></arrow.to.target><lb/>sive tantum à binario, ut in secunda; et convertatur figura <lb/>circa axem AD, nempe circa diagonalem poligoni. Dico <lb/>universam superficiem facti solidi sphaeralis aequalem esse <lb/>superficiei cylindri GHIL eandem altitudinem habentis <lb/>cum ipso solido, et circa eandem sphaeram descriptibilis. <lb/> <arrow.to.target n="marg27"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg27"></margin.target>per praeced.</s></p> <figure id="id.090.01.063.1.jpg" xlink:href="090/01/063/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Superficies enim coni BAF aequalis est superficiei cy­<lb/>lindri ML; Superficies autem frusti conici, quae inter plana <lb/>BF, CE intercipitur, aequalis est superficiei cylindri inter </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg28"></arrow.to.target><lb/>eadem plana intercepti: et sic de singulis partibus super­<lb/>ficierum, quae solidum sphaerale circumsepiunt; Ergò <pb xlink:href="090/01/064.jpg" pagenum="25"/>omnes simul superficies ambientes sphaerale solidum ae­<lb/>quales erunt superficiei cylindri GHIL. Quod erat osten­<lb/>dendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg28"></margin.target>3. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum duae diametri AB, CD, ad angulos rectos secuerint, <lb/><expan abbr="eundemq;">eundemque</expan> circulum duae aequales rectae lineae <lb/> <arrow.to.target n="fig25"></arrow.to.target><lb/>AF, BG tetigerint in extremitatibus axis AB. Tum <lb/>figura circà axem AB convertatur, describent AF, <lb/>BG duos circulos aequales, cum ipsae aequales <lb/>sint. Oportet segmentum cylindri circà eandem <lb/>sphaeram descriptibilis reperire, cuius superficies <lb/>aequalis sit duobus simul circulis ex AF, BG dc­<lb/>scriptis. </s></p> <figure id="id.090.01.064.1.jpg" xlink:href="090/01/064/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Fiat angulus HGI rectus, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> BI altitudo <lb/>quaesiti cylindri. Nam propter angulum rectum <lb/>HGI, erit rectangulum HBI aequale quadrato BG; <lb/>et rectangulnm ABI hoc est rectangulum LM duplum erit quadrati BG. <lb/>Propterea superficies cylindri LM dupla erit circuli ex BG descripti, et <lb/> <arrow.to.target n="marg29"></arrow.to.target><lb/>ideo aequalis ambobus circulis ex BG, AF simul sumptis. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg29"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, sive â quaternario mensurentur, sive tantum <lb/>à binario, et convertatur figura circa catetum, erit uni­<lb/>versa superficies facti sphaeralis solidi, aequalis superficiei <lb/>cylindri circa eandem sphaeram descriptibilis, altitudinem <lb/>verò habentis aequalem lineae compositae ex diametro <lb/>sphaerae, et ex tertia proportionalium, si fiat ut sphaerae <lb/>semidiameter ad semilatus poligoni, ita semilatus ad aliam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus ABCD, quem secent duae diametri AC, <lb/> <arrow.to.target n="fig26"></arrow.to.target><lb/>BD ad angul. rectos, et circa ipsum sit poligona figura <pb xlink:href="090/01/065.jpg" pagenum="26"/>habens latera numero paria, sivè à quaternario mensu­<lb/>rentur, ut in prima figura; sive tantùm à binario, ut in <lb/>secunda: Tum convertatur figura circa catetum AC, hoc <lb/>est circa lineam connectentem bisectiones laterum oppo­<lb/>sitorum; Ex revolutione poligoni solidum sphaerale descri­<lb/>betur contentum sub circularibus, conicisque superficiebus, <lb/>et una cylindrica, ut in prima figura, sive circularibus, et <lb/>conicis tantùm, ut in secunda. Fiat deinde ut IC ad CL, <lb/>ita CL ad CM, quod facile erit si fiat angulus ILM rectus; <lb/>et per M agatur planum NO erectum ad axem. Dico uni­<lb/>versam superficiem solidi sphaeralis aequalem esse super­<lb/>ficiei cylindri ENOH. </s></p> <figure id="id.090.01.065.1.jpg" xlink:href="090/01/065/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Hoc autem patet ex praemissis; Nam tota sphaeralis <lb/>solidi superficies, demptis circulis oppositis, aequalis est <lb/> <arrow.to.target n="marg30"></arrow.to.target><lb/>superficiei cylindricae inter plana EH, FG compraehensae. <lb/>Duo verò circuli oppositi quorum centra A, et C aequales <lb/>sunt (per praecedens lemma) superficiei cylindricae inter <lb/>duo plana FG, NO contentae. Propterea universa simul <lb/>sphaeralis solidi superficies aequalis erit superficiei cylindri <lb/>ENOH circa eandem sphaeram descripti, et altitudinem <lb/>habentis AM, quae componitur ex diametro sphaerae AC, <lb/>et ex recta CM, quae quidem tertia proportionalis est ad <lb/>semidiametrum IC, et semilatus, CL. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg30"></margin.target>deducitur ex <lb/>13. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum ABCD duae diametri AC, BD secent ad angulos rectos; <lb/>recta autem linea CE eundem contingat in extre­<lb/> <arrow.to.target n="fig27"></arrow.to.target><lb/>mitate axis AC et convertatur figura circa AC; <lb/>ipsa CE circulum describet. Oportet segmentum <lb/>cylindri circa eandem sphaeram descripti reperire, <lb/>cuius superficies aequalis sit circulo ex CE de­<lb/>scripto. </s></p> <figure id="id.090.01.065.2.jpg" xlink:href="090/01/065/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Fiat angulus AEH rectus, ductoque plano per H <lb/>ad axem erecto. Dico cylindricam superficiem MILN <lb/>aequari circulo ex CE. Est enim ob angulum <lb/>rectum AEH, rectangulum ACH, hoc est rectan­<lb/> <arrow.to.target n="marg31"></arrow.to.target><lb/>gulum ML, aequale quadrato CE. Proptereà superficies cylindri MILN <lb/>aequalis erit circulo ex CE. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb xlink:href="090/01/066.jpg" pagenum="27"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg31"></margin.target>per 5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur figura circà catetum poli­<lb/>goni: erit universa superficies facti sphaeralis solidi aequalis <lb/>superficiei cylindri circà eandem sphaeram descriptibilis, <lb/>altitudinem verò habentis aequalem lineae compositae ex <lb/>cateto poligoni, et ex tertia proportionalium, si fiat ut dia­<lb/>meter circuli ad semilatus poligoni, ità semilatus ad aliam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus ABCD, circa quem <lb/> <arrow.to.target n="fig28"></arrow.to.target><lb/>sit poligonum EFGHI habens latera <lb/>numero imparia; et convertatur figura <lb/>circa catetum EC, nempe circa lineam, <lb/>quae ab uno angulo E perducitur ad <lb/>bisectionem lateris oppositi; <expan abbr="orieturq;">orieturque</expan> <lb/>solidum sphaerale contentum sub co­<lb/>nicis superficiebus, unicoque circulo. </s></p> <figure id="id.090.01.066.1.jpg" xlink:href="090/01/066/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Facto deinde angulo recto AHL, <lb/><expan abbr="ductoq;">ductoque</expan> per L plano MN ad axem erecto. Dico universam <lb/>solidi superficiem aequalem esse superficiei cylindri OMNP. <lb/> <arrow.to.target n="marg32"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg32"></margin.target>13. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Nam superficies solidi sphaeralis, dempto circulo ex CH <lb/>descripto, aequatur superficiei cylindri inter plana OP, QR <lb/>contenti: circulus autem ex CH factus aequalis est (prae­<lb/>cedens lemma) superficiei cylindri inter plana QR, MN <lb/>contenti: Propterea universa solidi superficies aequalis erit <lb/>superficiei cylindri OMNP qui quidem circa eandem sphae­<lb/>ram cum ipso solido describitur, altitudinem verò habet <lb/>lineam EL, quae componitur ex cateto EC, et ex linea <lb/>CL, quae tertia proportionalis est, si fiat ut AC diameter <lb/>sphaerae, ad CH semilatus poligoni, ita CH ad aliam. <lb/>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Hemisphaerij superficies aequalis est superficiei curvae <lb/>cylindri eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto hemisphaerium ABC, et circa ipsum cylindrus <lb/>eiusdem altitudinis, ADEC. </s></p> <pb xlink:href="090/01/067.jpg" pagenum="28"/> <p type="main"> <s>Dico superficiem hemisphaerij aequalem esse super­<lb/>ficiei cylindri ADEC. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim non est aequalis, vel maior erit, vel minor. <lb/>Ponatur primùm sphaerica super­<lb/> <arrow.to.target n="fig29"></arrow.to.target><lb/>ficies maior: fiatque ut cylindri <lb/>superficies ad superficiem hemi­<lb/>spherij, quae maior ponitur, ita <lb/>recta AD ad AG: <expan abbr="intelligaturq;">intelligaturque</expan> <lb/>cylindrus productus usque ad GF. <lb/>Secetur deinde arcus AB bifa­<lb/>riam, <expan abbr="iterumq;">iterumque</expan> portiones eius bifariam, et hoc semper, <lb/>donec poligoni circà semicirculum ABC descripti semilatus <lb/>VL minus sit quam recta DG (quod fieri posse constat ex <lb/>prima Decimi; semilatera enim poligonorum circulo cir­<lb/>cumscriptorum ex continua arcuum bisectione semper mi­<lb/>nuuntur plusquam pro medietate, ut ab alijs ostensum <lb/>est). Factum ergò sit; et esto poligonum HILMN, conver­<lb/>sàque figura circa axem LO, fiat ex poligono, semisolidum <lb/>sphaerale sub conicis superficiebus compraehensum. Cum <lb/>itaque recta DG maior sit quam semilatus LV, multo <lb/>maior eadem erit quàm LB, et propterea planum PQ pro­<lb/>ductum per L intra puncta D et G cadet. </s></p> <figure id="id.090.01.067.1.jpg" xlink:href="090/01/067/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Iam quia superficies cylindri AE ad superficiem hemis­<lb/>phaerij est ut AD ad AG, hoc est ut cylindrica super­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg33"></arrow.to.target><lb/>ficies AE ad cylindricam AF, erit cylindrica superficies AF <lb/>aequalis sphaericae. Propterea, si sphaerica superficies ae­<lb/> <arrow.to.target n="marg34"></arrow.to.target><lb/>qualis sit cylindricae AF maior erit quam cylindrica AQ, <lb/>hoc est quam conicae omnes HILMN, <expan abbr="multoq;">multoque</expan> maior quam <lb/>omnes ASILMRC. quod est absurdum. Est enim contrà <lb/>principium ab Archimede praemissum. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg33"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg34"></margin.target>ex 15. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus conicam quae describitur à linea HS maiorem esse <lb/>quàm illa superficies, quae describitur à linea AS quod patet ex 12 <lb/>huius. Rectangulum enim proprium conicae superficiei multò maius est <lb/>quam rectangulum per axem cylindricae, quando quidem sub maioribus <lb/>lateribus continetur.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur iam sphaerica ABC minor quam cylindrica <lb/>ADEC. Fiat ut superficies cylindrica ADEC ad sphaeri­<lb/>cam, quae ponitur minor; ita recta AF ad FL. Fiatque <pb xlink:href="090/01/068.jpg" pagenum="29"/>ex FL semidiametro aliud hemisphaerium LNI, priori <lb/>concentricum, et circà ipsum intelligatur cylindrus LHMI: <lb/>Inscribatur etiam intrà se micirculum ABC figura laterum <lb/> <arrow.to.target n="fig30"></arrow.to.target><lb/>aequalium, ita ut latera ipsius non tangant semicirculum <lb/>LNI (quod fieri posse constat ex Euclide). <expan abbr="Describaturq;">Describaturque</expan> <lb/>alius semicirculus semidiametro FO, qui contingat singula <lb/>latera factae figurae, et convertatur universa figura circa <lb/>FB ita ut fiat semisolidum sphaerale AVBTC conicis <lb/>superficiebus circumseptum; ex semicirculo autem FO <lb/>fiat aliud hemisphaerium, circà quod concipiatur cylin­<lb/>drus RQSP. </s></p> <figure id="id.090.01.068.1.jpg" xlink:href="090/01/068/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Iam sic; superficies cylindri ADEC ad superficiem he­<lb/>misphaerij est, per constructionem, ut AF ad FL, hoc est <lb/>ut AC ad LI, hoc est ut rectangulum AE ad rectangulum <lb/> <arrow.to.target n="marg35"></arrow.to.target><lb/>LM, hoc est ut cylindrica AE ad cylindricam LM. Quare <lb/>sphaerica superficies aequalis erit cylindricae LM, et pro­<lb/>pterea minor quàm cylindrica RS, hoc est quàm omnes <lb/> <arrow.to.target n="marg36"></arrow.to.target><lb/>conicae AVBTC, absurdum sphaerica enim superficies <lb/>ABC maior est quàm omnes conicae AVBTC. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg35"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg36"></margin.target>ab 15. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Hemisphaerij ergò superficies aequalis erit superficiei <lb/>cylindri eandem ipsi basim, <expan abbr="eandemq;">eandemque</expan> altitudinem habentis. <lb/>Cum demonstratum sit neque maiorem esse, neque mi­<lb/>norem. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cuiuscunque minoris portionis Sphaerae superficies ae­<lb/>qualis est curvae superficiei cylindri circà integram sphae­<lb/>ram descripti, et eandem altitudinem cum ipsa portione <lb/>habentis. <pb xlink:href="090/01/069.jpg" pagenum="30"/> <arrow.to.target n="marg37"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg37"></margin.target>15. quinti.</s></p> <p type="main"> <s>Esto minor sphaerae <lb/> <arrow.to.target n="fig31"></arrow.to.target><lb/>portio ABC, et portio cy­<lb/>lindri FDEG; circa inte­<lb/>gram sphaeram descripti, <lb/>eandem tamen altitudi­<lb/>nem HB cum ipsa por­<lb/>tione sphaerica habentis. <lb/>Dico sphaericam superfi­<lb/>ciem ABC aequalem esse superficiei cylindri FDEG. </s></p> <figure id="id.090.01.069.1.jpg" xlink:href="090/01/069/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Si enim non est aequalis, vel maior erit vel minor. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur primum maior; et ipsi sphaericae superficiei <lb/>ABC construatur aequalis (ut in praecedenti) cylindrica <lb/>FLMG: secto deinde arcu AB bifariam, et portïones eius <lb/>iterum bifariam, et sic semper, circumscribatur arcui ABC <lb/>figura multorum laterum INOPQ, terminata ad diametros, <lb/>quae ducuntur per puncta A et C. Sitque per praedictam <lb/>bisectionem arcuum, semilatus RO minus quàm recta DL, <lb/>ut propterea planum ST, ductum per O, cadat intra puncta <lb/>D, et L. Quemadmodum in praecedenti etc. Convertatur <lb/>deinde figura universa circà OH, et ex conversione figurae <lb/>INOPQ nascetur portio solidi sphaeralis sub conicis super­<lb/>ficiebus contenta. </s></p> <p type="main"> <s>Iam sic. Quia sphaerica superficies ABC aequalis est <lb/>per constructionem cylindricae FLMG, maior eadem erit <lb/>quàm cylindrica FSTG, et multò maior quàm omnes co­<lb/>nicae INOPQ, <expan abbr="multoq;">multoque</expan> etiam maior quàm omnes conicae <lb/>AVNOPXC. Quod est absurdum, et contrà principia Ar­<lb/>chimedis. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus cylindricam superficiem FSTG maiorem esse omnibus <lb/>conicis <expan abbr="INOPq.">INOPque</expan> Hoc enim patet. Nam ex 13, 14 et 15 huius colligi <lb/>potest, conicas INOPQ aequales esse superficiei cylindricae contentae <lb/>inter planum ST, et planum quod duceretur per puncta <expan abbr="Iq.">Ique</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus etiam, ductà tangente AV conicam superficiem, quae <lb/>fit à linea IV, maiorem esse quàm illa quae fit linea AV. Quod quidem <lb/>demonstratur apud Archimedem ad Propositionem 37 de Sphaera et <lb/>Cylindro. Sed et ex nostris deduci potest. Nam rectangulum proprium <lb/>superficiei, quae fit à linea IV, maius est quàm rectangulum proprium <lb/>illius quae fit à linea AV. Continetur enim sub lineis maioribus.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb xlink:href="090/01/070.jpg" pagenum="31"/> <p type="main"> <s>Ponatur deinde sphaerica superficies portionis ABC <lb/>min. quam cylindrica FDEG. </s></p> <figure id="id.090.01.070.1.jpg" xlink:href="090/01/070/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Fiat ut cylindrica FDEG ad sphaericam superficiem <lb/>ABC, quae minor ponitur, ita FH ad HM et centro T <lb/>semidiametro autem HM fiat hemisphaerium OQP, circa <lb/>quod intelligatur cylindrus OLNP. Intra arcum autem <lb/>ABC figura inscribatur multorum laterum AVBXC per <lb/>continuam bisectionem arcuum ita ut latera ipsius non <lb/>tangant semicirculum OQP, et convertatur universa figura <lb/>circa axem BT. Intelligatur autem radio TZ (quae recta <lb/>perpendicularis sit ad unum latus figurae inscriptae) de­<lb/>scribi sphaeram, quae tangat singula figurae AVBXC la­<lb/>tera, et circa huiusmodi sphaeram descriptus concipiatur <lb/>suus cylindrus <foreign lang="greek">gbed. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Iam sic. cylindrica superficies FDEG per constructio­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg38"></arrow.to.target><lb/>nem est ad sphaericam ABC, ut FH ad HM, hoc est ut <lb/>FG ad MI hoc est ut rectangulum FE ad rectangulum MN, <lb/> <arrow.to.target n="marg39"></arrow.to.target><lb/>hoc est ut eadem cylindrica FE, ad cylindricam MN. Erit <lb/>ideò sphaerica superficies ABC aequalis cylindricae MN <lb/> <arrow.to.target n="marg40"></arrow.to.target><lb/>nempè minor cylindrica <foreign lang="greek">qe</foreign> hoc est minor omnib. conicis <lb/>AVBXC; quod est absurdum. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg38"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg39"></margin.target>ex 6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg40"></margin.target>explicatur <lb/>infra.</s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus cylindricam superficiem <foreign lang="greek">qe</foreign> aequalem esse omnib. co­<lb/> <arrow.to.target n="marg41"></arrow.to.target><lb/>nicis AVBXC. Quod patet ex demonstratis. Sunt enim tam cylindrus <foreign lang="greek">qe</foreign>, <lb/>quàm omnes illae conicae eiusdem altitudinis HB; et circà eandem <lb/>sphaeram <foreign lang="greek">gd</foreign> describuntur.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg41"></margin.target>15. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Constat ergò superficiem ABC aequalem esse cylin­<lb/>dricae DFGE cum demonstratum sit neque maiorem esse, <lb/>neque minorem. Quod etc. </s></p> <pb xlink:href="090/01/071.jpg" pagenum="32"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium I.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Ex prima duarum praemissarum Propositionum pa­<lb/> <arrow.to.target n="fig32"></arrow.to.target><lb/>tet superficiem integram sphaerae, aequalem esse su­<lb/>perficiei cylindri sibi circumscripti, et eiusdem cum <lb/>ipsa sphaera altitudinis. </s></p> <figure id="id.090.01.071.1.jpg" xlink:href="090/01/071/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Cum enim haemisphaerium ABC superficiem habeat <lb/>aequalem superficiei cylindri AEHC, et item hemispae­<lb/>rium alterum ADC, superficiem habeat aequalem super­<lb/>ficiei cylindri AFGC, erit coniunctim tota sphaerae superficies aequalis <lb/>superficiei cylindri FEHG; exceptis semper basibus.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium II.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Manifestum etiam est ex ultima propositione, super­<lb/> <arrow.to.target n="fig33"></arrow.to.target><lb/>ficiem maioris sphaerae portionis, aequalem esse su­<lb/>perficiei cylindri eandem cum portione altitudinem <lb/>habentis, et circà eandem sphaeram descriptibilis. <lb/> <arrow.to.target n="marg42"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg42"></margin.target>Corollar. <lb/>praeced.</s></p> <figure id="id.090.01.071.2.jpg" xlink:href="090/01/071/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Cum enim integra sphaerae superficies aequalis sit <lb/>superficiei cylindri IDGL, et demonstratum sit super­<lb/>ficiem segmenti minoris ABC aequalem esse superficiei <lb/>cylindri EDGF, erit reliqua superficies sphaerae AHC, aequalis reliquae <lb/>superficiei EILF. Quod oportebat etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Superficies sphaerae quadrupla est maximi circuli in <lb/>eadem sphaera descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit sphaera ABCD cuius diameter AC; et <lb/> <arrow.to.target n="fig34"></arrow.to.target><lb/>circà ipsam intelligatur cylindrus eiusdem <lb/>altitudinis FEHG. </s></p> <figure id="id.090.01.071.3.jpg" xlink:href="090/01/071/3.jpg"/> <p type="main"> <s>Dico superficiem sphaerae quadruplam <lb/>esse maximi circuli in ea descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Superficies enim cylindri FEHG sine ba­<lb/>sibus, est ad circulum suae basis circa FG, sive circa AC </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg43"></arrow.to.target><lb/>descriptum, ut EF ad quar. partem ipsius FG, hoc est ut <lb/>FG ad quar. partem ipsius FG; hoc est quadrupla. Pro­<lb/> <arrow.to.target n="marg44"></arrow.to.target><lb/>pterea etiam superficies sphaerae, quae cylindricae est <lb/>aequalis, quadrupla erit circuli circa AC descripti, qui in <lb/>sphaera maximus est. Quod etc. </s></p> <pb xlink:href="090/01/072.jpg" pagenum="33"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg43"></margin.target>4. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg44"></margin.target>ex prim. <lb/>Corollar. <lb/>praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Aliter.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Sphaerica superficies ABCD aequalis est cylindricae FEHG; cylin­<lb/>drica verò FEHG ad circulum, cuius semidiameter sit AC, est ut re­<lb/>ctangulum per axem EG, ad quadratum ex semidiametro AC, nempe <lb/> <arrow.to.target n="marg45"></arrow.to.target><lb/>ad quadratum EG; et ideò aequalis: propterea etiam sphaerica super­<lb/>ficies aequalis erit circulo cuius semidiameter sit AC; ergò quadrupla <lb/>erit circuli cuius diameter sit AC. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg45"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><expan abbr="Cuiuscunq;">Cuiuscunque</expan> portionis sphaerae superficies aequalis est <lb/>circulo, cuius semidiameter aequalis sit lineae quae ex <lb/>polo portionis perducitur ad circulum, qui in eiusdem por­<lb/>tionis basi est. </s></p> <p type="main"> <s>Esto sphaerae portio sive minor sive maior ABC. cuius <lb/>ex polo ducta sit recta AB. Dico superficiem portionis <lb/> <arrow.to.target n="fig35"></arrow.to.target><lb/>aequalem esse circulo qui fit ex AB tamquam semidia­<lb/>metro. </s></p> <figure id="id.090.01.072.1.jpg" xlink:href="090/01/072/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Cum enim quadratum AB aequale sit rectangulo DBE <lb/>ob circulum, aequale erit et rectangulo GFIH, quod idem <lb/>est ac rectangulum DBE. Propterea circulus ex AB ae­<lb/>qualis erit superficiei cylindri, cui per axem sit rectang. <lb/> <arrow.to.target n="marg46"></arrow.to.target><lb/>GFIH, et ideo aequalis etiam superficiei sphaericae por­<lb/>tionis ABC. Quod etc. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg46"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Tria haec Theoremata, quae sequuntur, ex Archimede desumpta <lb/>sunt; quod quidem fecimus ne lector Archimedem adire cogeretur, sed <lb/>universam hanc doctrinam in hoc libello haberet.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb xlink:href="090/01/073.jpg" pagenum="34"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sint duo coni recti ABC, DEF. <expan abbr="Sitq;">Sitque</expan> curvae coni ABC <lb/>superficiei aequalis circulus DF; nempe basis alterius <lb/>coni DEF; rectae verò IH, quae <lb/> <arrow.to.target n="fig36"></arrow.to.target><lb/>ex centro I ducitur perpendicu­<lb/>lariter ad latus AB, aequalis sit <lb/>altitudo EL: Dico conos ABC, <lb/>DEF esse aequales. </s></p> <figure id="id.090.01.073.1.jpg" xlink:href="090/01/073/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Nam altitudo BI ad altitudi­<lb/> <arrow.to.target n="marg47"></arrow.to.target><lb/>nem EL est ut BI ad IH (ob aequalitem) sive ut BA, <lb/>ad AI, nempe ut curva superficies ABC ad basim AC; <lb/>sive ut basis DF ad basim AC reciprocè. Quare aequales <lb/>erunt coni ABC, DEF. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg47"></margin.target>per 4. sexti. <lb/>8. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet quòd si conus aliquis, puta DOF basim quidem habeat <lb/>DF aequalem curvae superficiei ABC, altitudinem verò OL non aequa­<lb/>lem perpendiculari IH; Ita fore conum ABC ad conum DOF, ut est IH <lb/>ad OL. Nam conus DEF ad conum DOF est ut EL ad LO. Ergo (sum­<lb/>ptis antecedentium aequalibus) conus ABC ad conum DOF, erit ut IH <lb/>àd OL.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit rombus solidus ABCD, ex duobus conis rectis <lb/>compositus; <expan abbr="Sitq;">Sitque</expan> conus EFG habens basim EG aequalem <lb/>superficiei curvae alterius conorum rombi, puta, BAD; al­<lb/>titudinem verò FH aequalem <lb/> <arrow.to.target n="fig37"></arrow.to.target><lb/>rectae CL, quae quidem ex ver­<lb/>tice reliqui coni BCD ducitur <lb/>perpendiculariter in latus AB <lb/>productum alterius coni BAD. <lb/>Dico rombum solidum ABCD <lb/>aequalem esse cono EFG. </s></p> <figure id="id.090.01.073.2.jpg" xlink:href="090/01/073/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Ducatur IN perpendicularis ad AB. Iam, conus BCD, <lb/>ad conum BAD, est ut CI ad IA; et componendo, rombus <pb xlink:href="090/01/074.jpg" pagenum="35"/>ABCD ad conum BAD est ut CA ad AI; sive ut CL, <lb/>ad IN. Conus verò BAD ad conum EFG est ut IN ad FH: <lb/>ergo ex aequo rombus ABCD ad conum EFG est ut CL <lb/> <arrow.to.target n="marg48"></arrow.to.target><lb/>ad FH. Ergo aequalis. Quod erat, etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg48"></margin.target>per Cor. <lb/>praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit conus sive rombus solidus ABCD sectus plano <lb/>EF ad basim parallelo. Intelligaturque ex integro solido <lb/>ABCD ablatus rombus solidus EBFD. Dico reliquum so­<lb/> <arrow.to.target n="fig38"></arrow.to.target><lb/>lidum ex cavatum AEDFC quod superest, equale esse <lb/>cono cuidam M, cuius basis M sit aequalis frusto curvae <lb/>superficiei conicae AEFC inter plana EF, AC, interceptae, <lb/>altitudo verò M sit aequalis perpendiculari DI, quae à <lb/>vertice ablati rombi D ducitur in latus BA. </s></p> <figure id="id.090.01.074.1.jpg" xlink:href="090/01/074/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Intelligantur tres coni aequealti L, M, N quorum uni­<lb/>cuique altitudo sit aequalis rectae DI; basis verò coni L <lb/>sit aequalis curvae superficiei coni EBF at basis M ae­<lb/>qualis sit segmento conicae superficiei inter plana EF, AC <lb/>intercepto: coni tandem N basis aequalis sit utrisque simul <lb/>praedictis basibus; sive (quod idem est) integrae superficiei <lb/>curvae coni ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est quod integrum solidum ABCD aequale <lb/>erit cono N (per alterutram praecedentium duarum Pro­<lb/>pos.) sed etiam duo coni L et M simul sumpti aequales <lb/> <arrow.to.target n="marg49"></arrow.to.target><lb/>sunt eidem cono N ergo integrum solidum ABCD aequale <lb/>erit duobus conis L et M simul sumptis. Demptis itaque, <pb xlink:href="090/01/075.jpg" pagenum="36"/>rombo EBFD, et cono L, qui per praecedentem sunt ae­<lb/>quales, reliquum solidum excavatum AEDFC aequale erit <lb/>reliquo cono M. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg49"></margin.target>ex 24. <lb/>Quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ex cylindro auferatur conus eandem ipsi basim, et <lb/>eandem altitudinem habens, erit reliquum excavatum so­<lb/>lidum, quod ex cylindro superest, aequale cono cuidam, <lb/>cuius basis aequalis sit superficiei curvae cylindri, altitudo <lb/>verò aequalis semidiametro basis ipsius cylindri. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus, cuius rectangu­<lb/> <arrow.to.target n="fig39"></arrow.to.target><lb/>lum per axem sit ABCD et ex ipso <lb/>auferatur conus BEC, ut dictum est. <lb/>Sumatur autem alius conus FIL, <lb/>cuius basis FL aequalis sit superficiei curvae cylindri, al­<lb/>titudo aequalis rectae NB hoc est semidiametro basis cy­<lb/>lindri. Dico reliquum ex cylindro solidum, dempto cono <lb/>BEC, aequale esse cono FIL. </s></p> <figure id="id.090.01.075.1.jpg" xlink:href="090/01/075/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Secetur BN bifariam in O. Conus ergo FIL ad conum <lb/>BEC, rationem habet compositam ex ratione altitudinum <lb/>HI ad BA, hoc est NB ad BA, et ex ratione basium, hoc <lb/> <arrow.to.target n="marg50"></arrow.to.target><lb/>est basis quae circa FL ad basim quae circa BC, sive quod <lb/>idem est, superficiei cylindricae ad basim propriam quae <lb/>circa BC, hoc est, lineae AB ad BO. Erit ergò conus FIL <lb/>ad conum BEC, ut NB ad BO, nempe duplus: solidum <lb/>etiam cylindricum excavatum, dempto cono BEC, duplum <lb/>est eiusdem coni BEC. Propterea solidum cylindricum <lb/>excavatum aequale erit cono FIL, cuius basis aequatur <lb/>superficiei cylindri, altitudo verò aequalis est semidiametro <lb/>basis cylindri. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg50"></margin.target>4. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ex cono conus auferatur eandem habens basim alti­<lb/>tudinem verò minorem, erit excavatum solidum conicum, <lb/>quod relinquitur, aequale cono cuidam, cuius quidem basis <lb/>aequalis sit curvae superficiei totius prioris coni, alti- <pb xlink:href="090/01/076.jpg" pagenum="37"/>tudo verò aequalis perpendiculari, quae ex vertice ablati <lb/>coni demittitur in latus maioris coni. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conus rectus ABC ex quo auferatur conus ADC, <lb/>uti dictum est. Ponatur autem <lb/> <arrow.to.target n="fig40"></arrow.to.target><lb/>conus EFG, habens basim EG, <lb/>aequalem curvae superficiei coni <lb/>ABC; altitudinem verò HF ae­<lb/>qualem rectae DI, quae per­<lb/>pendicularitèr à vertice ablati <lb/>coni cadit in latus AB. Dico solidum conicum excavatum <lb/>ADCB, dempto cono ADC, aequale esse cono EFG. </s></p> <figure id="id.090.01.076.1.jpg" xlink:href="090/01/076/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Nam cum triangula BLA, BID, rectangula sint, ha­<lb/>beantque angulum communem ABL, similia erunt. Sed <lb/>conus EFG ad conum ADC rationem habet compositam <lb/>ex ratione basium, nempe circuli circa EG, sive superficiei <lb/>curvae coni ABC, ad circulum circa AC, hoc est rectae <lb/> <arrow.to.target n="marg51"></arrow.to.target><lb/>BA ad AL; sive BD ad DI, et ex ratione altitudinum, <lb/> <arrow.to.target n="marg52"></arrow.to.target><lb/>nempe HF ad DL, sive DI ad DL. Conus ergo EFG, ad <lb/>conum ADC erit ut linea BD ad LD. Sed conus ABC <lb/>ad conum ADC est ut BL ad LD, et dividendo, etiam <lb/>solidum excavatum ADCB ad conum ADC est ut linea <lb/>BD ad DL. Propterea constat solidum excavatum ADCB <lb/>aequale esse cono EFG. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg51"></margin.target>8. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg52"></margin.target>4. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Lemma.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ab eadem magnitudine AB duae magnitudines inae­<lb/> <arrow.to.target n="fig41"></arrow.to.target><lb/>quales auferantur AC, maior, et AD minor, <expan abbr="fueritq;">fueritque</expan> DC, nempe <lb/>differentia inter ablatas, aequalis differentiae sive excessui, <lb/>quo maius residuum BD superat quandam magnitudinem E. <lb/>Dico ipsam E minori residuo CB aequalem esse. </s></p> <figure id="id.090.01.076.2.jpg" xlink:href="090/01/076/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Patet hoc. Cum enim maius residuum DB superet magni­<lb/>tudinem E excessu DC; si excessu abijciatur, erit reliqua CB <lb/>aequalis magnitudini E. Propterea magnitudo E aequalis est <lb/>minori residuo. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXVII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ex conico frusto conus auferatur, qui pro basi ha­<lb/>beat maiorem frusti basim, altitudinem verò eandem cum <lb/>frusto; Erit reliquum excavatum solidum aequale cono <pb xlink:href="090/01/077.jpg" pagenum="38"/>cuidam, qui basim habeat aequalem superficiei curvae <lb/>frusti, altitudinem verò aequalem perpendiculari quae du­<lb/>citur ex vertice ablati coni in latus alterum conici frusti. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conicum frustum ABCD, <lb/> <arrow.to.target n="fig42"></arrow.to.target><lb/>cuius maior basis sit circulus <lb/>circa BC. Et ex ipso auferatur <lb/>conus BEC, cuius basis sit idem <lb/>circulus circa BC; altitudo verò <lb/>FE eadem cum frusto. Dico re­<lb/>liquum solidum excavatum dem­<lb/>pto cono BEC, aequale esse cono <lb/>cuidam, cuius basis aequalis sit <lb/>curvae superficiei conici frusti ABCD altitudo vero sit <lb/>linea EH quae nimirùm ex E vertice ablati coni cadit <lb/>perpendicularitèr in AB latus conici frusti. </s></p> <figure id="id.090.01.077.1.jpg" xlink:href="090/01/077/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Inscribatur alius conus AFD habens basim circà AD, <lb/>et verticem in F. Ducaturque AI parallela ad EF, eritque <lb/>tota IC aequalis utrique simul semidiametro basium, nempe <lb/>ipsi EA, <expan abbr="ipsiq;">ipsique</expan> FB. Fiat deinde circa FB semicirculus FOB, <lb/>in quo applicetur BO aequalis ipsi FI, sive ipsi EA; <expan abbr="eritq;">eritque</expan> <lb/>circulus ex semidiametro FO differentia inter duos circu­<lb/>los, quorum semidiametri sint, FB, BQ, sive FB, et EA; <lb/>nempe differentia inter bases oppositas conici frusti, hoc <lb/>est inter bases conorum BEC, AFD, et propterea conus <lb/>cuius basis sit circulus ex FO semidiametro, altitudo verò <lb/>FE, differentia erit, sive excessus, quo maior conus BEC <lb/>superat minorem AFD. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur recta quaedam L, cuius quadratum aequale <lb/>sit rectangulo ex AB in IC, eritque circulus, qui fit ex L <lb/> <arrow.to.target n="marg53"></arrow.to.target><lb/>semidiametro, aequalis conicae superficiei frusti ABCD. <lb/>Demittatur denique ax F recta FM perpendicularis ad AB, <lb/>et ex E recta EN parall. ipsi HM, eritque facta figura <lb/>EHMN parallelogrammum rectangulum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg53"></margin.target>per Cor. <lb/>prop. 15. hu­<lb/>ius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam cum propter parallelas HM, RN, sint aequales an­<lb/>guli BAD, NED, demptis rectis IAD, FED, erunt reliqui <lb/>BAI, NEF aequales; et ideò triangula BAI, NEF, cum <lb/>rectos habeant angulos ad I et N aequiangula erunt. <lb/> <arrow.to.target n="marg54"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg54"></margin.target>5. secundi.</s></p> <p type="main"> <s>Cum autem rectangulum BIC simul cum quadrato FI <lb/>aequale sit quadrato FB, vel quadratis FO, OB, demptis <pb xlink:href="090/01/078.jpg" pagenum="39"/>aequalibus BO, FI erit reliquum rectangulum BIC qua­<lb/>drato FO aequale. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur iam conus AFD detrahi ex conico frusto <lb/>ABCD, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> reliquum excavatum solidum dempto prae­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg55"></arrow.to.target><lb/>dicto cono, aequale cono cuidam cuius basis semidiameter <lb/>sit L, altitudo verò FM. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg55"></margin.target>24. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam: quoniam ob similitudinem triangulorum, est NF <lb/>ad FE, ut BI ad BA, hoc est (sumpta communi altitudine) <lb/>ut rectangulum BIC ad rectangulum BA in IC, hoc est, <lb/>sumptis aequalibus, ut quadratum FO ad quadratum ex L <lb/>reciprocè, aequales erunt coni reciproci quorum alter alti­<lb/>tudinem habeat FE, et semidiametrum basis FO; alter <lb/>verò altitudinem habeat FN, et semidiametrum basis L. <lb/>Sed conus ille qui altitudinem habeat FE, et radium basis <lb/>FO, est excessus inter ablatas magnitudines, nempe inter <lb/>conos BEC, AFD; Conus verò ille qui altitudinem habet <lb/>FN, et radium basis L, est excessus quo maius residuum <lb/>totius magnitudinis (nempe conus cuius altitudo FM, et <lb/> <arrow.to.target n="marg56"></arrow.to.target><lb/>radius basis L) superat quandam aliam magnitudinem, <lb/>nempe conum, cuius altitudo NM, sive EH, radius autem <lb/>basis L; erit itaque haec magnitudo, per Lemma praemis­<lb/>sum, aequalis minori residuo; ergò conus praedictus, cuius <lb/>altitudo EH, et basis circulus ex L aequalis superficiei <lb/>conici frusti, aequalis erit minori residuo, hoc est reliquo <lb/>conici frusti ABCD dempto cono BEC. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg56"></margin.target>24. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Aliter.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Sed conemur idem ostendere minus laboriosa demonstratione; si <lb/>possibile erit ex difficultate materiae, et veriùs ex tenuitate ingenij. </s></p> <p type="main"> <s>Sit conicum frustum ABCD cuius <lb/> <arrow.to.target n="fig43"></arrow.to.target><lb/>maior basis BC, et ex ipso auferatur <lb/>conus BEC, altitudinem habens eandem <lb/>cum frusto, et pro basi, maiorem ipsius <lb/>frusti basim. Compleatur conus BGC, <lb/>cuius datum erat frustum, ductaque EH <lb/> <arrow.to.target n="marg57"></arrow.to.target><lb/>ad angulos rectos ipsi BG, ponatur IL <lb/>media proportionalis inter GB, BF, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> <lb/>circulus ex IL semidiametro descriptus, <lb/>aequalis superficiei coni BGC fiat circa IL semicirculus IML, in quo <lb/>aptetur IM media proportionalis inter GA, AE, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> circulus ex semi- <pb xlink:href="090/01/079.jpg" pagenum="40"/> <arrow.to.target n="marg58"></arrow.to.target><lb/>diametro IM factus aequalis superficiei coni AGD; Reliquus circulus <lb/>ex semidiametro ML factus, aequalis erit superficiei conicae frusti <lb/>ABCD. (si enim ab aequalibus aequalia demas reliqua sunt aequalia). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg57"></margin.target>per Cor. 8. <lb/>huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg58"></margin.target>per Cor. 8. <lb/>huius.</s></p> <figure id="id.090.01.079.1.jpg" xlink:href="090/01/079/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Dico reliquum solidum frusti conici ABCD, ablato cono BEC, aequale <lb/>esse cono cuidam, cuius altitudo sit EH; basis verò aequalis super­<lb/>ficiei conicae ispsius frusti; hoc est circulus ex semidiametro ML de­<lb/>scriptus. </s></p> <p type="main"> <s>Cum .n. duo circuli ex radijs IM, LM facti aequales sint circulo ex IL <lb/>descripto si altitudo unicuique eadem assumatur EH, erunt duo coni <lb/>simul (quorum altitudo communis EH, bases vero circuli ex radijs <lb/> <arrow.to.target n="marg59"></arrow.to.target><lb/>IM, LM) aequales cono, cuius altitudo eadem EH, basis verò circulus <lb/>ex IL; iste vero conus aequalis est solido conico BECG, dempto cono <lb/>BEC, ergo duo illi coni aequales erunt solido BECG. Proptereà ablatis <lb/>utrinque aequalibus conis, nempè cono, cuius basis ex IM est, altitudo <lb/>EH, et cono AGD (sunt enim aequales per 22 huius) remanebunt ae­<lb/>qualia, solidum nempe excavatum frusti ABCD, detracto cono BEC, et <lb/>conus cuius altitudo EH, basis circulus ex LM radio factus, qui quidem <lb/>aequalis est superficiei conicae frusti ABCD. Quod etc.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg59"></margin.target>26. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Definitio.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Si ex cylindro cylindrus auferatur aequealtus, et circa eundum axem <lb/>descriptus, solidum excavatum quod relinquitur, Tubum cylindricum <lb/>appellabimus.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Cylindrus ad tubum cylindricum aequealtum, est ut <lb/>quadratum semidiametri basis cylindri ad rectangulum <lb/>basis ipsius tubi cylindrici. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus AB cuius axis <lb/> <arrow.to.target n="fig44"></arrow.to.target><lb/>CD. Tubus verò cylindricus EF <lb/>(dempto nimirum cylindro GH) <lb/>aequealtus sit cum cylindro AB. <lb/>Dico cylindrum AB a tubum EF esse ut quadratum AC <lb/>semidiametri basis cylindri, ad rectangulnm EGI, nempe <lb/>ad rectangulum basis tubi, hoc est quod fit à differentia <lb/>EG et ab aggregato GI semidiametrorum basis ipsius tubi. </s></p> <figure id="id.090.01.079.2.jpg" xlink:href="090/01/079/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Nam cylindrus integer EF ad cylindrum GH, est ut <lb/>quadratum EL ad LG quadratum. Et dividendo, Tubus <lb/>cylindricus EF ad cylindrum GH est ut rectangulum EGI <lb/>ad quadratum GL. Sed cylindrus GH ad AB cylindrum <lb/>est ut quadratum GL ad quadratum BC. Ergo ex aequo <pb xlink:href="090/01/080.jpg" pagenum="41"/>erit tubus cylindricus EF ad cylindrum AB ut rectan­<lb/>gulum EGI ad quadratum AC. Convertendo igitur patet <lb/>quod propositum erat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXIX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Datae figurae solidae rotundae figuram inscribere, al­<lb/>teramque circumscribere ex cylindris aequealtis, ita ut de­<lb/>scriptarum differentia minor sit quolibet dato solido. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus ABCD, cuius <lb/> <arrow.to.target n="fig45"></arrow.to.target><lb/>axis EF: <expan abbr="datoq;">datoque</expan> intra cylindrum <lb/>solido AED circa eundem axem <lb/>EF revoluto, sive hemisphaerium, <lb/>sive conus, vel conoides sit, oportet <lb/>ipsi solido AED duas figuras ex <lb/>cylindris aequealtis compositas, al­<lb/>teram quidem inscribere, alteram verò circumscribere ita <lb/>ut circumscripta superet inscriptam minori excessu quam <lb/>sit quodlibet datum solidum K. </s></p> <figure id="id.090.01.080.1.jpg" xlink:href="090/01/080/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Secetur bifariam cylindrus AC plano HG ad axem EF <lb/>erecto; <expan abbr="iterumq;">iterumque</expan> cylindrus HD bifariam secetur plano IL; <lb/>et hoc fiat semper donec cylindrus aliquis puta AL minor <lb/>remaneat quàm solidum K. Tunc diviso toto cylindro AC <lb/>in cylindros aequealtos ac ipse AL, oriantur in solido AED <lb/>sectiones MN, OP, QR. Concipiamus super <expan abbr="unoquoq;">unoquoque</expan> cir­<lb/>culorum MN, OP, QR, duos cylindros, alterum quidem <lb/>versus E, alterum autem versus partes F conversum. <lb/><expan abbr="Eruntq;">Eruntque</expan> omnes simul cylindri qui verticem habent versus <lb/>F, aequales omnibus simul cylindris verticem versus E <lb/>habentibus (cum singuli singulis aequales sint). Ergo si <lb/>omnibus cylindris qui verticem habent versus E, addas <lb/>cylindrum AL, superabit iam figura circa solidum AED <lb/>descripta, figuram eidem inscriptam, differentia AL; Nempe <lb/>minori excessu quàm sit solidum K. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet quòd data figura solida, sive hemispherium sit, sive <lb/>conus, sive conoides etc. ipsi duae figurae solidae ex cylindris aeque­<lb/>altis compositae altera inscribi potest, altera vero circumscribi; ità ut <pb xlink:href="090/01/081.jpg" pagenum="42"/>differentia inter datam solidam figuram, et descriptarum alterutram, <lb/>minor sit quolibet dato solido K. </s></p> <p type="main"> <s>Differentia enim inter figuram datam et alteram descriptarum minor <lb/><expan abbr="utiq;">utique</expan> erit quam differentia inter descriptas (est enim pars eiusdem) ergo <lb/>multò minor quàm solidum K.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XXX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera quadrupla est coni cuiusdam, qui quidem conus <lb/>basim habeat aequalem maximo sphaerae circulo, altitu­<lb/>dinem vero eiusdem sphaerae semidiametro aequalem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus cuius centrum A; quadratum ipsi cir­<lb/>cumscriptum sit BCDE; iunctisque EA, AD. convertatur <lb/> <arrow.to.target n="fig46"></arrow.to.target><lb/>figura circa axem FG ita ut à quadrato fiat cylindrus, à <lb/>sphaera circulus; à triangulo EAD, conus EAD. </s></p> <figure id="id.090.01.081.1.jpg" xlink:href="090/01/081/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Dico sphaeram quadruplam esse coni EAD. Nisi enim <lb/>quadrupla sit, non erit haemisphaerium aequale solido, <lb/>quod describitur à triangulo EHA circa axem FG converso <lb/>(cum hoc solidum duplum sit coni EAD). Erit <expan abbr="itaq;">itaque</expan> he­<lb/>misphaerium vel maius, vel minus solido trianguli EHA. <lb/> <arrow.to.target n="marg60"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg60"></margin.target>per 29. <lb/>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Esto primùm maius, si potest esse; sitque excessus <lb/>aequalis solido K. Inscribatur in hemisphaerio figura ex <lb/>cylindris aequealtis constans ita ut ab hemisphaerio de­<lb/>ficiat minori defectu quam sit solidum K. Et erit flgura <lb/>inscripta adhuc maior quàm solidum trianguli EHA. Se­<lb/>cetur etiam axis AG in tot partes aequales in quot sectus <lb/>erit AF. <expan abbr="Ductisq;">Ductisque</expan> per puncta sectionum planis ad axem <lb/>erectis, intelligatur in solido trianguli EHA inscripta figura <lb/>ex tubis cylindricis aequealtis constans, quorum unus sit, <lb/>cuius sectio est rectangulum HO. </s></p> <pb xlink:href="090/01/082.jpg" pagenum="43"/> <p type="main"> <s>Iam cylindrus IL ad tubum cylindricum HO, est ut <lb/>quadratum IP ad rectangulum MON. Sed quadratum IP </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg61"></arrow.to.target><lb/>aequale est rectangulo FPG, nempe ipsi MON (nam FP <lb/>aequalis est rectae BR, sivè ME, sive MO, et reliqua PG <lb/>reliquae ON) ergo cylindrus IL aequalis est tubo cylin­<lb/>drico HO. Hoc modo procedendo ostenduntur omnes cy­<lb/>lindri in haemispherio aequales omnibus tubis in solido <lb/>trianguli EHA. Quare figura in hemisphaerio inscripta ex <lb/>cylindris constans, aequalis erit figurae in solido trianguli <lb/>EHA descriptae ex tubis cylindricis compositae. Sed figura <lb/>in hemisphaerio descripta maior erat integro solido trian­<lb/>guli EHA. Ergò necesse est quod figura inscripta in so­<lb/>lido EHA eodem solido maior sit pars suo toto. Quod <lb/>esse non potest. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg61"></margin.target>per 28. <lb/>huius</s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde, si fieri potest, hemisphaerium minus solido <lb/>trianguli EHA; <expan abbr="sitq;">sitque</expan> defectus aequalis solido K. </s></p> <figure id="id.090.01.082.1.jpg" xlink:href="090/01/082/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Circumscribatur ipsi hemisphaerio figura solida ex cy­<lb/> <arrow.to.target n="marg62"></arrow.to.target><lb/>lindris aequealtis constans, ita ut excessus figurae super <lb/>hemisphaerium minus sit solido K. Tunc enim circum­<lb/>scripta figura adhuc minor erit solido trianguli EHA. Con­<lb/>cipiamus deinde solido trianguli EHA aliquam figuram <lb/>esse circumscriptam constantem ex tubis cylindricis aeque­<lb/>altis ac cylindri ex quibus constat figura haemisphaerio <lb/>circumscripta. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg62"></margin.target>per 29 <lb/>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam primus cylindrus HV figurae circa hemisphaerium <lb/>descriptae, aequalis est primo tubo cylindrico figurae cir­<lb/>cumscriptae solido trianguli EHA; nam et iste tubus, cy­<lb/>lindrus est HF. </s></p> <p type="main"> <s>Secundus cylindrus GI ad secundum tubum LM, est <lb/> <arrow.to.target n="marg63"></arrow.to.target><lb/>ut quadratum GN ad rectangulum LTF, nempe aequalis <pb xlink:href="090/01/083.jpg" pagenum="44"/>(quadratum enim GN, aequale est rectangulo ONP, sive <lb/>LTF, nam recta ON rectae BQ, sive LE, sive LT, aequalis <lb/>est, et reliqua NP reliquae TF). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg63"></margin.target>per 28. <lb/>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Ergo omnes simul cylindri figurae circa hemisphaerium <lb/>descriptae, hoc est eadem figura, aequalis erit omnibus <lb/>simul tubis cylindricis circa solidum trianguli EHA de­<lb/>scriptis, cum singuli singulis aequales sint. Sed figura circa <lb/>hemisphaerium descripta minor erat solido trianguli EHA. <lb/>Necesse igitur est quòd solidum trianguli EHA maius sit, <lb/>quam figura sibi circumscripta pars suo toto. Quod esse <lb/>non potest. </s></p> <p type="main"> <s>Hemisphaerim igitur neque maius, neque minus erit <lb/>solido trianguli EHA, sed ipsi aequale, solidum verò trian­<lb/>guli EHA duplum est coni EAD, ergò hemisphaerium <lb/>duplum erit coni EAD. Sphaera verò eiusdem quadrupla <lb/>erit, Quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet sphaeram subsesquialteram esse cylindri, cuius basis <lb/>aequalis sit maximo sphaera circulo, altitudo verò diametro sphaerae <lb/>aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Nam sph. ostenditur esse ad conum EAD ut 4, ad unum, conus <lb/>vero EAD ad cylindrum EBCD est ut unum ad 6 ergo ex aequo sphaera <lb/>ad cylindrum EBCD erit ut 4 ad 6. Nempe subsesquialtera.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb xlink:href="090/01/084.jpg"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>DE SOLIDIS SPHAERALIBUS<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>LIBER SECUNDUS<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Conus quilibet circa sphaeram descriptus, aequalis est <lb/>cono cuidam, qui basim habeat aequalem universae super­<lb/>ficiei circumscripti coni accepta etiam basi, altitudinem <lb/>verò aequalem radio sphaerae; </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa sphaeram, cuius cen­<lb/> <arrow.to.target n="fig47"></arrow.to.target><lb/>trum A, descriptus conus BCD, <lb/>(qui videlicet sphaeram tangat et <lb/>lateribus, et basi) <expan abbr="Ponaturq;">Ponaturque</expan> alius <lb/>conus EFG, qui basim habeat EG <lb/>aequalem tum curvae superficiei, <lb/>tum etiam basi coni BCD, altitudinem verò HF habeat <lb/>aequalem radio sphaerae AL. </s></p> <figure id="id.090.01.084.1.jpg" xlink:href="090/01/084/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Dico conos BCD, EFG aequales esse. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum enim conicum excavatum quod fit ex revolu­<lb/>tione trianguli CBA circa axem IC, aequale est cono <lb/> <arrow.to.target n="marg64"></arrow.to.target><lb/>cuidam, qui basim habeat aequalem curvae superficiei <lb/>conicae BCD, altitudinem verò aequalem perpendiculari <lb/>AL, nempe radio sphaerae: Talis ergò conus unà cum <lb/>cono BAD (cum habeant eandem altitudinem) aequales <lb/>erunt cono EFG; Quandoquidem conus EFG basim habet <pb xlink:href="090/01/085.jpg" pagenum="46"/><expan abbr="utriq;">utrique</expan> simul basi aequalem, altitudinem verò alterutrae <lb/>aequalem. Proptereà et conus BCD, qui duobus praedictis <lb/>conis aequatur, aequalis erit cono EFG. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg64"></margin.target>26. p. partis</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Aliter.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/> <arrow.to.target n="marg65"></arrow.to.target><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg65"></margin.target>per 3. sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Ducatur IM aequidistans ipsi AL et quoniam angulus CBI divi­<lb/>ditur bifariam à linea BA, erit ut CB ad BI, ita CA ad AI. <lb/> <arrow.to.target n="marg66"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg66"></margin.target>8. prim. <lb/>partis.</s></p> <p type="main"> <s>Superficies ergò coni BCD sine basi, ad circulum suae basis est <lb/>ut CB ad BI, nempe ut CA ad AI, et componendo, et <lb/> <arrow.to.target n="fig48"></arrow.to.target><lb/>per conversionem rationis, erit universa superficies coni <lb/>BCD cum basi, ad superficiem eiusdem coni sine basi, <lb/>ut IC ad CA, hoc est ut IM ad AL. </s></p> <figure id="id.090.01.085.1.jpg" xlink:href="090/01/085/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Propterea si reciprocè adhibeantur bases, et altitu­<lb/>dines, erit conus cuius altitudo AL, basis verò aequalis <lb/>universae superficiei coni BCD cum basi, aequalis cono <lb/>cuius altitudo sit IM, basis verò curva tantum superficies <lb/>conica BCD, hoc est cono BCD (aequales enim sunt, conus cuius altitudo <lb/>IM, basis verò conica superficies BCD; et conus BCD per 22 huius).<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Conus quilibet circa sphaeram descriptus, est ad sphae­<lb/>ram, ut coni ipsius universa superficies accepta etiam basi, <lb/>ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa sphaeram ABC de­<lb/> <arrow.to.target n="fig49"></arrow.to.target><lb/>scriptus conus DEF; Dico huius­<lb/>modi conum esse ad sphaeram, <lb/>ut coni superficies una cum basi, <lb/>ad superficiem sphaerae. </s></p> <figure id="id.090.01.085.2.jpg" xlink:href="090/01/085/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Ponatur conus HIL ut in prae­<lb/>cedenti, cuius basis aequalis sit integro perimetro coni <lb/>DEF una cum basi, altitudo verò PI aequalis radio <lb/>sphaerae OC, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> conus HIL aequalis cono DEF. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg67"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg67"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s>Agatur per centrum O planum MN ad axem erectum, <lb/>et in hemisphaerio MCN concipiatur conus MCN. </s></p> <p type="main"> <s>Iam conus DEF ad conum HIL (ob aequalitatem) est <lb/>ut totus perimeter coni DEFD ad basim HL, conus autem <lb/>HIL ad conum MCN, (cum eandem habeant altitudinem) </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg68"></arrow.to.target><lb/>est ut basis HL ad basim MN, conus denique MCN ad <lb/>sphaeram, est ut basis MN ad superficiem sphaerae (nempe <pb xlink:href="090/01/086.jpg" pagenum="47"/>in ratione sub quadrupla) quare ex aequo erit conus DEF <lb/>ad sphaeram, ut universus perimeter coni DEF ad super­<lb/>ficiem sphaerae. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg68"></margin.target>20. et 30. p. <lb/>partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Conus quilibet circa sphaeram descriptus, est ad sphae­<lb/>ram, ut rectangulum contentum sub latere et semibasi <lb/>coni tamquàm una linea, et sub semibasi, ad quadratum <lb/>diametri sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa sphaeram, cuius diameter <lb/> <arrow.to.target n="fig50"></arrow.to.target><lb/>DE, descriptus conus quilibet ABC. Dico <lb/>conum ad sphaeram esse ut rectangulum <lb/>sub BAD tamquàm unà linea, et sub AD <lb/>compraehensum, ad quadratum DE. </s></p> <figure id="id.090.01.086.1.jpg" xlink:href="090/01/086/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Curva enim superficies coni ABC ad <lb/> <arrow.to.target n="marg69"></arrow.to.target><lb/>circulum suae basis est ut BA ad AD, <lb/>et componendo erit totus coni perimeter ad eundem cir­<lb/>culum basis ut BA, AD simul ad AD; hoc est ut rectan­<lb/>gulum sub linea BAD, et sub AD ad quadratum AD; <lb/>circulus verò basis coni, ad circulum circa DE, est ut qua­<lb/>dratum AD ad quadratum DF, circulus denique circa DE <lb/>ad sphaerae superficiem, est ut quadratum DF ad quadra­<lb/>tum DE, ergò ex aequo universus coni ABCA perimeter <lb/>ad superficiem sphaerae (hoc est conus ipse ad sphaeram <lb/>per praecedentem) erit ut rectangulum sub recta linea <lb/>BAD, et sub AD, ad quadratum DE. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg69"></margin.target>8. p. pars.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Corollarium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Pro Corollario potest ostendi conum aequilaterum ad inscriptam <lb/>sphaeram, esse ut 9 ad 4. Posito enim latere AC 6 erit rectangulum <lb/>sub latere cum semibasi, et semibasi 27 quadratum verò BD 27 et qua­<lb/>dratum DE 12 ergo conus ad sphaeram erit ut 27 ad 12 sive ut 9 ad 4.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Possent hic Theoremata non pauca proponi circa solidorum circum­<lb/>scriptionem, et inscriptionem: qualia sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Si circa sphaeram prisma concipiatur, quod singulis suis parallelo­<lb/>grammis sphaeram contingat; sitque eiusdem altitudinis; Erit prisma <pb xlink:href="090/01/087.jpg" pagenum="48"/>ad sphaeram, ut perimeter basis prismatis ad duas tertias periphaeriae <lb/>maximi circuli sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò non eiusdem sit altitudinis; ratio prismatis ad sphaeram <lb/>componetur ex praedicta, et ex ratione altitudinum; altitudo autem <lb/>sphaerae diameter est. </s></p> <p type="main"> <s>Si cylindro circumscribatur prisma, quod singulis suis parallelo­<lb/>grammis superficiem cylindri contingat; <expan abbr="sintq;">sintque</expan> eiusdem altitudinis. <lb/>Erit prisma ad cylindrum, ut basis ad basim: nempe, ut perimeter <lb/>basis prismatis, ad periphaeriam basis cylindri: idem verum est de <lb/>cono, et pyramidibus circumscriptis. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò prisma, et cylindrus non eiusdem altitudinis fuerint; ratio <lb/>componetur ex ratione perimetri ad periphaeriam, et altitudinis ad <lb/>altitudinem. </s></p> <p type="main"> <s>Si intra cylindrum inscribatur prisma eiusdem altitudinis, habens <lb/>basim poligonam, regularem, et parilateram; Erit cylindrus ad prisma, <lb/>ut periphaeria basis cylindri ad perimetrum poligoni regularis in eo­<lb/>dem circulo descripti, quod habeat latera multitudine sub dupla po­<lb/>ligoni basis prismatis. Quae vera sunt etiam de cono, et pyramidibus <lb/>inscriptis. </s></p> <p type="main"> <s>Quando verò basis prismatis imparilatera fuerit, sive regularis, sive <lb/>irregularis: Erit cylindrus ad inscriptum prisma, ut periphaeria basis <lb/>cylindri ad omnes sinus arcuum à lateribus basis prismatis subten­<lb/>sorum. Dummodo nullus arcus semicirculo maior sit. Quando verò arcus <lb/>aliquis semicirculo maior sit; et quando figurarum altitudo non sit <lb/>eadem, et alia huiusmodi, onnia demonstrari possunt facili quidem <lb/>negotio; sed institutum nostrum est non omnem solidorum inscriptio­<lb/>nem, et circumscriptionem prosequi; sed illam, tantum, quae circa <lb/>sphaeram est, vel intra ipsam; Propterea ad inceptum revertamur.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, sive à quaternario, sive à binario mensurata, <lb/>et revolvatur figura circa diagonalem, erit factum sphae­<lb/>rale solidum aequale cono cuidam qui basim habeat ae­<lb/>qualem superficiei solidi, altitudinem verò semidiametro <lb/>sphaerae aequalem. <lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hoc autem quandò numerus laterum mensuratur à quaternario <lb/>demonstratum fuit ab Archimede Prop. 29 sive mavis 25 lib. p. de <lb/>Sph. et Cylin. Quando verò laterum numerus etiam à binario tantnm <lb/>mensuratur, ostendemus sic, eritque demonstratio (exceptis quae de <lb/>ultimo solido cylindrico dicentur) eadem cum ea quam affert Archi­<lb/>medes.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb xlink:href="090/01/088.jpg" pagenum="49"/> <p type="main"> <s>Esto poligonum ABCDEFG habens latera à binario <lb/>tantum mensurata, ut in prima figura. Ergò semipoligo­<lb/> <arrow.to.target n="fig51"></arrow.to.target><lb/>num ABCDEF habebit latera numero imparia, latusque <lb/>unum tanget circulum in puncto T, <expan abbr="atq;">atque</expan> ideo cylindricam <lb/>superficiem in conversione describet. Intelligatur conus <lb/>MNO, cuius basis sit circulus MO aequalis universae su­<lb/>perficiei solidi sphaeralis, altitudo verò PN, aequalis sit <lb/>radio sphaerae. Dico sphaerale solidum aequale esse cono <lb/>MNO. </s></p> <figure id="id.090.01.088.1.jpg" xlink:href="090/01/088/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Rombus enim solidus factus in conversione figurae à <lb/>triangulo ABQ, aequalis est cono cuidam cuius basis ae­<lb/> <arrow.to.target n="marg70"></arrow.to.target><lb/>qualis sit conicae superficiei descriptae à linea AB, alti­<lb/>tudo verò sit radius QR. Solidum autem excavatum factum <lb/>in conversione à triangulo BCQ, aequatur cono cuidam <lb/> <arrow.to.target n="marg71"></arrow.to.target><lb/>cuius basis aequalis sit conicae superficiei descriptae à <lb/>linea BC altitudo verò aequalis radio sphaerae QS et sic <lb/>semper procedatur. Ultimum denique solidum cylindricum <lb/> <arrow.to.target n="marg72"></arrow.to.target><lb/>excavatum descriptum à triangulo CTQ, aequale est cono <lb/>cuidam, cuius basis aequalis sit superflciei cylindricae à <lb/>linea CT factae, altitudo verò aequalis sit semidiametro <lb/>cylindri, QT; Et sic de solidis circa alterum hemisphae­<lb/>rium TFV descriptis. Ergo universum sphaerale solidum, <lb/>aequale erit omnibus praedictis conis simul sumptic: ijsdem <lb/>autem omnibus praedictis conis aequalis est conus MNO <lb/>(cum basim habeat omnibus simul illorum basibus aequa­<lb/>lem, nempe superficiei solidi sphaeralis, altitudinem verò <lb/>unicuique illorum aequalem, nempe radio sphaerae). Pro­<lb/>pterea praedictum solidum sphaerale aequale erit cono <lb/>MNO. Quod etc. </s></p> <pb xlink:href="090/01/089.jpg" pagenum="50"/> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg70"></margin.target>23. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg71"></margin.target>24. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg72"></margin.target>25. p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circa diagonalem: ha­<lb/>bebit factum sphaerale solidum ad sphaeram suam eam <lb/>rationem, quam universa solidi sphaeralis superficies habet <lb/>ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentis Propositionis constructione; Esto <lb/>sphaerale solidum cuius diagonalis, atque axis sit AB, cen­<lb/>trum autem sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad <lb/> <arrow.to.target n="fig52"></arrow.to.target><lb/>inscriptam sibi sphaeram esse, ut superficies solidi ad su­<lb/>perficiem sphaerae. </s></p> <figure id="id.090.01.089.1.jpg" xlink:href="090/01/089/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Inscribatur n. in hemisphaerio conus DEF, et ponatur <lb/>conus GIH cuius basis GH aequalis sit universae super­<lb/>ficiei solidi sphaeralis ut in praecedenti altitudo verò LI <lb/>aequalis radio sphaerae, et erit per praecedentem sphaerale <lb/>solidum aequale cono GIH. </s></p> <p type="main"> <s>Propter aequalitatem ergò, erit sphaerale solidum ad <lb/>conum GIH ut superficies universa sphaeralis solidi ad ba­<lb/>sim coni GIH; conus autem GIH ad conum DEF (ob <lb/>aequalem altitudinem) est ut basis circa GH ad basim <lb/>circa DF; conus denique DEF ad sphaeram, est ut ba­<lb/>sis circa DF ad superficiem sphaerae (nempe in ratione <lb/>subquadrupla). Propterea erit ex aequo sphaerale solidum <lb/>ad inscriptam sibi sphaeram ut universa sphaeralis solidi <lb/>superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc. </s></p> <pb xlink:href="090/01/090.jpg" pagenum="51"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circa diagonalem, erit <lb/>factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram ut <lb/>axis solidi ad axem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium constructione; esto sphaerale <lb/>solidum, cuius diagonalis, atque axis sit AB centrum verò <lb/>sphaerae sit C, et diameter HI. </s></p> <figure id="id.090.01.090.1.jpg" xlink:href="090/01/090/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram <lb/>esse ut AB ad HI. </s></p> <p type="main"> <s>Circumscribatur n: circa sphaeram cylindrus NLMO <lb/>agantur que per extremitates axis A, B, plana ad axem <lb/>erecta DG, EF per extremitates verò diametri HI plana <lb/>LM, NO. </s></p> <p type="main"> <s>Erit, per praecedentem, sphaerale solidum ad sphaeram <lb/> <arrow.to.target n="marg73"></arrow.to.target><lb/>ut superficies sphaeralis solidi ad superficiem sphaerae; <lb/>hoc est, (sumptis aequalibus) ut superficies cylindri DEFG, <lb/> <arrow.to.target n="marg74"></arrow.to.target><lb/>ad superficiem cylindri LNOM, hoc est ut AB ad HI. <lb/>Quare sphaerale solidum ad sphaeram est ut axis solidi <lb/> <arrow.to.target n="marg75"></arrow.to.target><lb/>ad diametrum sphaerae. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg73"></margin.target>per 15. <lb/>p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg74"></margin.target>18. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg75"></margin.target>prima <lb/>p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intra circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circa diagonalem, erit <lb/>sphaera ad inscriptum sibi sphaerale solidum, ut quadra­<lb/>tum diametri sphaerae, ad quadratum cateti poligoni. </s></p> <p type="main"> <s>Sit n. circ. cuius cent. A, et diamet. BC poligonum <lb/>regulare, cuius diagonalis sit linea BC, et convertatur <pb xlink:href="090/01/091.jpg" pagenum="52"/>figura circa BC. Dico sphaeram circumscriptam ad in­<lb/>clusum sphaerale solidum, esse ut qua­<lb/> <arrow.to.target n="fig53"></arrow.to.target><lb/>dratum AC, ad quadratum cateti po­<lb/>ligoni AD. Ducatur enim DE ex D <lb/>perpendicularis ad BC, et EF perpen­<lb/> <arrow.to.target n="marg76"></arrow.to.target><lb/>dicularis ad AD, <expan abbr="eruntq;">eruntque</expan> in continua <lb/>proportione quatuor rectae AC, AD, <lb/>AE, AF. Concipiatur etiam radio AD <lb/>aliam sphaeram describi, quae singulas <lb/>conicas superficies solidi sphaeralis <lb/>continget; necnon cylindricam, si quam huiusmodi sphae­<lb/>rale solidum habebit. <lb/> <arrow.to.target n="marg77"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg76"></margin.target>4. sexti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg77"></margin.target>ultima duo­<lb/>decimi.</s></p> <figure id="id.090.01.091.1.jpg" xlink:href="090/01/091/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Erit itaque sphaera maior ad sphaeram minorem, ut <lb/>CA ad AF; minor verò sphaera ad sphaerale solidum, <lb/>quod sibi circumscribitur (per praecedentem) est ut DA <lb/>ad AC, hoc est, ut AF ad AE; Proptereà ex aequo erit <lb/>circumscripta sphaera maior, ad inscriptum solidum sphae­<lb/>rale, ut CA ad AE; nempe ut quadratum CA ad quadra­<lb/>tum AD. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa sphaerale solidum, natum ex revolutione poli­<lb/>goni circà diagonalem revoluti, sphaera circumscribatur, <lb/>et altera inscribatur. Habebit circumscripta sphaera ad <lb/>solidum, duplicatam rationem illius, quam habet solidum <lb/>ad inscriptam sphaeram. </s></p> <p type="main"> <s>Repetita figura Propositionis praecedentis; cum sit cir­<lb/>cumscripta sphaera ad solidum ut quadratum CA ad qua­</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg78"></arrow.to.target><lb/>dratum AD; solidum verò ad inscriptam sibi minorem <lb/>sphaeram, ut CA ad AD; patet rationem circumscriptae <lb/>sphaerae ad solidum sphaerale duplicatam esse illius quam <lb/>solidum hahet ac insctiptam sphaeram. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg78"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa sphaerale solidum, natum ex revolutione <lb/>poligoni circà diagonalem revoluti, sphaera circumscri­<lb/>batur, et altera inscribatur: Erit superficies solidi sphae- <pb xlink:href="090/01/092.jpg" pagenum="53"/>ralis media proportionalis inter superficies duarum sphae­<lb/>rarum. </s></p> <p type="main"> <s>Manente figura, et constructione <lb/> <arrow.to.target n="fig54"></arrow.to.target><lb/>praecedentium propositionum. Dico tres <lb/>superficies, nempe maioris sphaerae, so­<lb/>lidi sphaeralis, <expan abbr="minorisq;">minorisque</expan> inscriptae <lb/>sphaerae, esse inter se in continua pro­<lb/>portione. </s></p> <figure id="id.090.01.092.1.jpg" xlink:href="090/01/092/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Superficies enim circumscriptae <lb/>sphaerae est ad superficiem inscriptae, <lb/>ut quadratum CA ad quadratum AD; <lb/>superficies autem solidi ad superficiem eiusdem inscriptae <lb/>sphaerae, est ut recta CA ad rectam AD: Ergò tres su­<lb/> <arrow.to.target n="marg79"></arrow.to.target><lb/>perficies praedictae sunt in continua proportione; et qui­<lb/>dem perimeter sphaeralis solidi medius proportionalis est. <lb/>inter superficies duarum sphaerarum. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg79"></margin.target>Ostenditur <lb/>in 6. huius</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, sive à quaternario, sive tantum à binario <lb/>mensurata; et convertatur figura circa catetum; Erit fa­<lb/>ctum sphaerale solidum aequale cono cuidam, cuius quidem <lb/>basis aequalis sit universae superficiei solidi sphaeralis, al­<lb/>titudo verò aequalis radio sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum figura poligona aequilatera ABC­<lb/>DEH habens latera numero paria, et convertatur figura <lb/> <arrow.to.target n="fig55"></arrow.to.target><lb/>circa catetum IL, <expan abbr="orieturq;">orieturque</expan> solidum contentum sub co­<lb/>nicis, circularibus, et una cylindrica superficie, quando <pb xlink:href="090/01/093.jpg" pagenum="54"/>numerus laterum à quaternario mensuratur; quandò verò <lb/>à binario tantum, tunc erit solidum sphaerale sub co­<lb/>nicis, et circularibus tantum superficiebus compraehensum. <lb/>Dico <expan abbr="utrumq;">utrumque</expan> sphaerale solidum aequale esse cono cuidam <lb/>MNO, qui basim habeat aequalem universae solidi sphae­<lb/>ralis superficiei, altitudinem verò PN aequalem radio <lb/>sphaerae. </s></p> <figure id="id.090.01.093.1.jpg" xlink:href="090/01/093/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Hoc ostendetur similiter ut propositione 4 factum est. <lb/>Nam conus qui fit à triangulo IAQ in conversione circa <lb/>axem IL, aequatur cono qui basim habeat aequalem cir­<lb/>culo qui fit ex radio IA, altitudinem verò aequalem radio <lb/>sphaerae QI, quia idem prorsus est. Solidum autem exca­<lb/> <arrow.to.target n="marg80"></arrow.to.target><lb/>vatum, quod fit à triangulo ABQ, aequale probatur cono <lb/>cuidam, cuius basis aequalis sit conicae superficiei factae <lb/>à linea AB, altitudo verò sit QR radius sphaerae. Ultimum <lb/>denique cylindricum solidum excavatum, factum à trian­<lb/>gulo BQS (quando poligoni latera à quaternario mensu­<lb/> <arrow.to.target n="marg81"></arrow.to.target><lb/>rantur, aliàs cylindricum solidum nullum est) aequatur <lb/>cono cuius basis aequalis sit cylindricae superficiei factae <lb/>à linea BS altitudo verò sit QS; et sic de altero hemi­<lb/>sphaerio. Proptereà universum sphaerale solidum aequale <lb/>erit omnibus praedictis conis simul sumptis; et ideo ae­<lb/>quale erit etiam cono MNO, qui omnibus illis simul <lb/>sumptis aequivalet; (quandoquidem basim habet omnibus <lb/>simul illorum basibus aequalem ex suppositione; altitudi­<lb/>nem verò unicuique illorum aequalem, nempe radium <lb/>sphaerae). Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg80"></margin.target>24. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg81"></margin.target>25. p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero pario, et convertatur figura circa catetum, habebit <lb/>factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram <lb/>eam rationem, quam universa solidi sphaeralis superficies <lb/>habet ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentis propositionis constructione, esto <lb/>sphaerale solidum cuius catetus, et axis sit AB; centrum <lb/>autem sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad inscri- <pb xlink:href="090/01/094.jpg" pagenum="55"/>ptam sibi sphaeram esse ut universa ipsius solidi super­<lb/>ficies ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur enim in hemisphaerio conus DAE, et in­<lb/>telligatur alius conus FGH, cuius basis FH aequalis sit <lb/> <arrow.to.target n="fig56"></arrow.to.target><lb/>universae superficiei solidi sphaeralis, altitudo verò IG <lb/>aequalis radio sphaerae; et erit per praecedentem sphae­<lb/>rale solidum aequale cono FGH. </s></p> <figure id="id.090.01.094.1.jpg" xlink:href="090/01/094/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Propter aequalitatem ergo, erit sphaerale solidum ad <lb/>conum FGH, ut superficies universa sphaeralis solidi, <lb/>ad basim coni FGH, conus autem FGH, ad conum DAE <lb/>(ob aequalem altitudinem) est ut basis circa FH, ad basim <lb/>circa DE; denique conus DAE, ad sphaeram, est ut <lb/>basis circa DE ad superficiem sphaerae (nempe in ratione <lb/>subquadrupla): Propterea erit ex aequo sphaerale solidum <lb/>ad inscriptam sibi sphaeram, ut universa sphaeralis solidi <lb/>superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circa catetum; Ha­<lb/>bebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphae­<lb/>ram, eam rationem, quam habet composita recta linea ex <lb/>diametro sphaerae, et ex tertia proportionali (si fiat ut <lb/>semidiameter sphaerae ad semilatus poligoni, ita semilatus <lb/>ad aliam), ad diametrum sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium propositionum constructione, <lb/>esto sphaerale solidum cuius catetus, et axis sit AB; cen­<lb/>trum autem sphaerae sit C. Fiat angulus CDE rectus, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> <pb xlink:href="090/01/095.jpg" pagenum="56"/>BE tertia proportionalis ad semidiametrum CB, et semi­<lb/>latus poligoni BD. Dico sphaerale solidum ad inscriptam <lb/> <arrow.to.target n="fig57"></arrow.to.target><lb/>sibi sphaeram esse ut EA ad AB; nempe ut composita <lb/>ex diametro sphaerae AB, et tertia proportionali BE, ad <lb/>diametrum sphaerae AB. Concipiatur circa sphaeram de­<lb/>scriptus cylindrus FLMI, et per puncta A; B; E produ­<lb/>cantur plana FI, LM, GH, ad axem erecta. </s></p> <figure id="id.090.01.095.1.jpg" xlink:href="090/01/095/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Erit ergo, per praecedentem, sphaerale solidum ad in­<lb/>scriptam sibi sphaeram, ut superficies solidi ad superficiem <lb/> <arrow.to.target n="marg82"></arrow.to.target><lb/>sphaerae; hoc est, sumptis aequalibus, ut superficies cy­<lb/>lindri FGHI ad superficiem cylindri FLMI; hoc est ut <lb/> <arrow.to.target n="marg83"></arrow.to.target><lb/>linea AE ad AB. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg82"></margin.target>16. pri. <lb/>partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg83"></margin.target>18. p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circa catetum; erit <lb/>factum sphaerale solidum ad suam sphaeram, ut duo qua­<lb/>drata, nempe ut quadratum diagonalis, et quadratum cateti <lb/>simul, ad duplum quadrati eiusdem cateti. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum, cuius centrum A, descriptum po­<lb/> <arrow.to.target n="fig58"></arrow.to.target><lb/>ligonum habens latera numero paria, et convertatur figura <lb/>circa catetum BC: <expan abbr="factoq;">factoque</expan> angulo recto ADE, erit (per <pb xlink:href="090/01/096.jpg" pagenum="57"/>praecedentem) solidum sphaerale ad suam sphaeram ut <lb/>EB ad BC. Dico insuper solidum sphaerale ad suam sphae­<lb/>ram esse, ut quadratum ex AD, simul cum quadrato ex <lb/>AC, ad duplum quadrati ex AC. </s></p> <figure id="id.090.01.096.1.jpg" xlink:href="090/01/096/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Nam EA ad AC est ut quadratum DA ad quadratum <lb/>AC; et componendo, erunt EA, et AC simul, hoc est <lb/>tota EB, ad AC, ut duo quadrata DA, AC simul ad qua­<lb/>dratum AC; sumptisque consequentium duplis, erit EB <lb/> <arrow.to.target n="marg84"></arrow.to.target><lb/>ad BC (hoc est solidum sphaerale ad sphaeram) ut duo <lb/>quadrata DA, AC simul, ad duplum quadrati ex AC. <lb/>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg84"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intrà circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero paria, et convertatur figura circà catetum; erit <lb/>sphaera ad inscriptum sibi solidum, ut integra diameter <lb/>sphaerae, ad secundam simul, et quartam proportionalium, <lb/>in ratione semidiametri sphaerae ad semicatetum poligoni. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in circulo cuius diameter AB <lb/> <arrow.to.target n="fig59"></arrow.to.target><lb/>poligonum habens latera numero pa­<lb/>ria, et convertatur figura circa cate­<lb/>tum CD: Ducanturque perpendicu­<lb/>lares DF ad rectam HE, et FI ad <lb/>HD; et erunt quatuor lineae EH, HD, <lb/>HF, HI, in continua ratione semidia­<lb/>metri HE ad semicatetum HD. Dico <lb/>sphaeram ad inscriptum solidum esse, <lb/>ut dupla HE ad <expan abbr="utramq;">utramque</expan> simul DH, HI. Vel ut integra <lb/>diameter sphaerae ad CI. </s></p> <figure id="id.090.01.096.2.jpg" xlink:href="090/01/096/2.jpg"/> <p type="main"> <s>Intelligatur alia sphaera intra solidum inscripta. Erit <lb/>ergo exterior sphaera ad interiorem, ut EH ad HI, sive <lb/> <arrow.to.target n="marg85"></arrow.to.target><lb/>ut dupla EH ad duplam HI; interior verò sphaera ad <lb/>solidum sphaerale est, ut duo quadrata ex HD, ad duo <lb/>quadrata HD, HE, hoc est ut duo quadrata ex HI, ad <lb/> <arrow.to.target n="marg86"></arrow.to.target><lb/>duo quadrata ex HI, HF, hoc est (ut infrà ostendemus) <lb/>ut dupla HI ad HI, HD; Propterea erit ex aequo sphaera <lb/>exterior ad inscriptum sibi sphaerale solidum, ut dupla <lb/>HE, hoc est integra diameter sphaerae, ad HI, et HD <pb xlink:href="090/01/097.jpg" pagenum="58"/>simul; quae quidem sunt secunda, et quarta in ratione <lb/>semidiam. sphaerae ad semicatetum poligoni. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg85"></margin.target>Ultima duo­<lb/>decimi.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg86"></margin.target>per praec.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Quod autem assumptum est ostendemus.<emph.end type="italics"/> Dico ut duo <lb/>quadrata ex HI ad duo quadrata simul HI, HF ita esse <lb/>duplam HI ad HI, HD. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ob angulum rectum HFD, erit ut quadratum FH <lb/>ad quadratum HI, ita recta DH ad HI, et componendo, <lb/>sumptisque consequentium duplis, erit ut quadrata FH, <lb/>HI, ad duo quadrata ex HI, ita duae rectae DH, HI, ad <lb/>duplam HI. Convertendo ergò, erunt duo quadrata ex HI, <lb/>ad duo quadrata HI, HF ut dupla HI, ad HI, HD simul. <lb/>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­<lb/>goni, erit factum sphaerale solidum aequale cono cuidam, <lb/>cuius basis aequalis sit universae superficiei solidi, altitudo <lb/>verò radio sphaerae sit aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circuli centrum A, polig. <lb/> <arrow.to.target n="fig60"></arrow.to.target><lb/>verò perimeter BCDEFGH. Et sint <lb/>latera eius numero imparia; conver­<lb/>taturque figura circa catetum BI, ut <lb/>oriatur solidum sphaerale contentum <lb/>sub conicis superficiebus unicoque <lb/>circulo circa diametrum EF descri­<lb/>pto. Ponatur iam conus LMN, qui <lb/>basim habeat aequalem universae su­<lb/>perficiei sphaeralis solidi, altitudinem <lb/>verò OM aequalem radio sphaerae <lb/>AI. Dico solidum sphaerale aequale esse cono LMN. </s></p> <figure id="id.090.01.097.1.jpg" xlink:href="090/01/097/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Agatur per centrum sphaerae planum PQ ad axem <lb/>erectum, quod transuersè, secabit aliquod latus poligoni, <lb/>puta CD. </s></p> <p type="main"> <s>Erit iam rombus solidus, factus à conversione triang. <lb/> <arrow.to.target n="marg87"></arrow.to.target><lb/>BCA, aequalis cono, qui basim habeat aequalem conicae <lb/>superficiei factae à linea BC; altitudinem autem aequalem <lb/>radio sphaerae AR. Solidum verò conicum excavatum <pb xlink:href="090/01/098.jpg" pagenum="59"/>quod fit ex giro trianguli CPA, aequale erit cono, qui <lb/> <arrow.to.target n="marg88"></arrow.to.target><lb/>basim habeat aequalem superficiei, quae fit à linea CP <lb/>altitudinem verò aequalem radio sphaerae AS. Solidum <lb/>quoque excavatum, factum ex revolutione trianguli PDA, <lb/> <arrow.to.target n="marg89"></arrow.to.target><lb/>aequatur cono, qui basim habeat aequalem superficiei co­<lb/>nicae quae fit à motu lineae PD, altitudinem autem ae­<lb/>qualem radio shpaerae AS. Eadem prorsum eodem modo <lb/>dicuntur de solido conico excavato, facto à triangulo DAE; <lb/>et de ultimo cono facto à revolutione trianguli EIA. Pro­<lb/>pterea totum sphaerale solidum aequale erit omnibus prae­<lb/>dictis conis simul sumptis, vel cono LMN, qui omnibus <lb/>illis praedictis aequivalet: (habet enim basim omnibus si­<lb/>mul illorum basibus aequalem, altitudinem verò aequalem <lb/><expan abbr="unicuiq;">unicuique</expan> illorum). Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg87"></margin.target>23. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg88"></margin.target>24. p. partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg89"></margin.target>27. p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Attulimus in hac Propositione Theor. 23, 24 et 27 p. partis; Nam <lb/>ex gyro trianguli BCA oritur rombus solidus ut in 23 p. partis. Ex <lb/>gyro trianguli CPA oritur solidum quoddam excavatum, quale relin­<lb/>quitur si ex cono auferatur rombus solidus: ut in 24 p. partis. Denique <lb/>ex conversione trianguli DPA oritur solidum quoddam excavatum ha­<lb/>bens basim circularem PQ: quale relinquitur si ex frusto conico conus <lb/>auferatur habens basim eandem cum maiore basi frusti conici, altitu­<lb/>dinem quoque eandem ut in Prop. 27 p. partis.<gap desc="/SM"/></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur <lb/> <arrow.to.target n="fig61"></arrow.to.target><lb/>figura circa catetum; habebit fa­<lb/>ctum sphaerale solidum ad inscri­<lb/>ptam sibi sphaeram, eam rationem <lb/>quam universa sphaeralis solidi su­<lb/>perficies habet, ad superficiem <lb/>sphaerae. </s></p> <figure id="id.090.01.098.1.jpg" xlink:href="090/01/098/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Manente praecedentis proposi­<lb/>tionis constructione, sit sphaerale <lb/>solidum cuius catetus, sive axis sit <lb/>AB, centrum verò sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum <pb xlink:href="090/01/099.jpg" pagenum="60"/>ad inscriptam sibi sphaeram esse, ut ipsius solidi integra <lb/>superficies ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur in hemisphaerio conus DEF; et intelligatur <lb/>conus GHI cuius basis GI aequalis sit universae superfi­<lb/>ciei solidi sphaeralis, altitudo verò LH aequalis sit radio <lb/>sphaerae, et erit per praecedentem, sphaerale solidum <lb/>aequale cono GHI. </s></p> <p type="main"> <s>Propter aequalitatem ergò, erit sphaerale solidum ad <lb/>conum GHI, ut superficies universa sphaeralis solidi, ad <lb/>basim coni GHI; conus autem GHI ad conum DEF (ob <lb/>aequalem altitudinem) est ut basis circa GI, ad basim <lb/>circa DF conus denique DEF, ad sphaeram est, ut ba­<lb/>sis circa DF ad superficiem sphaerae (nempe in ratione <lb/>subquadrupla). Proptereà erit ex aequo, sphaerale solidum <lb/>ad inscriptam sibi sphaeram, ut universa sphaeralis solidi <lb/>superficies ad superficiem sphaerae. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­<lb/>goni, habebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi <lb/>sphaeram eam rationem, quam habet linea composita ex <lb/>cateto poligoni et tertia proportionalium (si fiat, ut dia­<lb/>meter sphaerae ad semilatus poligoni, ita semilatus ad <lb/>aliam), ad diametrum sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium constructione, <lb/> <arrow.to.target n="fig62"></arrow.to.target><lb/>sit sphaerale solidum cuius catetus, at­<lb/>que axis sit AB, centrum verò sphaerae <lb/>C, et diameter DB. Fiat angulus rectus <lb/>DEF, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> BF tertia proportionalium, <lb/>posita diametro DB pro prima, et semi­<lb/>latere poligoni BE pro secunda. Dico <lb/>sphaerale solidum ad inscriptam sibi <lb/>sphaeram esse ut tota AF ad DB. </s></p> <figure id="id.090.01.099.1.jpg" xlink:href="090/01/099/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Concipiatur circa sphaeram cylindrus MNOP, et per <lb/>puncta A, D, B, F, plana agantur ad axem erecta. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergo, per praecedentem, sphaerale solidum ad in­<lb/>scriptam sibi sphaeram, ut superficies sphaeralis solidi <pb xlink:href="090/01/100.jpg" pagenum="61"/>ad superficiem sphaerae; hoc est, sumptis aequalibus, <lb/> <arrow.to.target n="marg90"></arrow.to.target><lb/>ut superficies cylindri GHIL ad superficiem cylindri <lb/>MNOP; hoc est ut recta AF ad BD per primam p. par­<lb/>tis. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg90"></margin.target>per 17. et 18. <lb/>p. partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XVIII.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­<lb/>goni; habebit factum sphaerale solidum ad sphaeram eam <lb/>rationem quam habent quatuor simul termini nempe, ma­<lb/>ximus, <expan abbr="minimusq;">minimusque</expan> cum duobus medijs; ad quatuor minimos; <lb/>(quandò ratio rectae GB ad GD continuata fuerit in tri­<lb/>bus terminis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus cuius diameter AB, cen­<lb/> <arrow.to.target n="fig63"></arrow.to.target><lb/>trum verò G, <expan abbr="ipsiq;">ipsique</expan> circumscribatur poli­<lb/>gonum habens latera numero imparia, <lb/>cuius catetus sit GB, et convertatur fi­<lb/>gura circa CB; Factoque angulo GDF <lb/>recto, erit ratio rectae GB ad GD con­<lb/>tinuata in tribus terminis GB, GD, GF; <lb/>uti propositum est. Dico solidum ad <lb/>sphaeram esse, ut GF, GB, simul cum GD bis sumpta, ad <lb/>ipsam GB quater sumptam. </s></p> <figure id="id.090.01.100.1.jpg" xlink:href="090/01/100/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Fiat alius angulus ADE rectus; <expan abbr="eritq;">eritque</expan> solidum ad <lb/>sphaeram per praecedentem, ut CE ad diametrum sphaerae <lb/>AB, hoc est ut EG, GD simul, ad diametrum sphaerae (sunt <lb/>enim aequales GC, GD) hoc est ut dupla EG, et dupla GD <lb/> <arrow.to.target n="marg91"></arrow.to.target><lb/>ad duas diametros, hoc est ut FG, GB cum dupla GD, ad <lb/>quatuor semidiametros GB. Quod erat demon. etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg91"></margin.target>ostenditur <lb/>infra.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"/>Quod autem assumptum fuit, ostendemus sic.<emph.end type="italics"/> Dico ipsam <lb/>EG bis sumptam, aequalem esse duabus FG, GB. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam ob angulum rectum, rectangula ABE, GBF, <lb/>aequalia sunt eidem quadrato BD, aequalia erunt et inter <lb/>se; ideoque latera eorum reciproca, nempe ut AB ad BG <lb/>subduplam, ita erit FB ad BE subduplam; aequales ergo <lb/>sunt FE, EB et tres rectae GF, GE, GB sunt in propor­<lb/>tione Aritmetica; ideo EG bis sumpta aequalis erit duabus <lb/>FG, GB. Quod etc. </s></p> <pb xlink:href="090/01/101.jpg" pagenum="62"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XIX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intra circulum describatur poligonum habens latera <lb/>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli­<lb/>goni, erit sphaera inscriptum sibi sphaerale solidum, ut <lb/>sunt quatuor simul maximi termini, ad maiorem reliquo­<lb/>rum semel, et medium bis, et minorem semel sumptum <lb/>(quando proportio CD ad CE continuata erit in quatuor <lb/>terminis). </s></p> <p type="main"> <s>Sit circulus cuius diameter AI, cen­<lb/> <arrow.to.target n="fig64"></arrow.to.target><lb/>trum verò C, et inscribatur poligonum <lb/>habens latera numero imparia; tum con­<lb/>vertatur figura circa catetum AD. Fiant­<lb/>que anguli CEB et CBF recti, eritque <lb/>ratio CD ad CE continuata in quatuor <lb/>terminis CD, CE, CB, CF. Dico sphaeram <lb/>ad inscriptum sibi solidum sphaerale <lb/>esse, ut CF quater sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD <lb/>semel, simulque sumptas. </s></p> <figure id="id.090.01.101.1.jpg" xlink:href="090/01/101/1.jpg"/> <p type="main"> <s>Intelligatur alia sphaera cuius semidiameter CD: in­<lb/> <arrow.to.target n="marg92"></arrow.to.target><lb/>scripta in solido. Erit ergo maior sphaera ad minorem ut <lb/>cubus EC ad cubum CD vel recta FC ad CD, vel ut FC <lb/>quater, ad CD quater; sphaera verò minor inscripta, est <lb/>ad solidum sphaerale, (per praecedentem) ut CD quater <lb/>sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD semel: Propterea <lb/>erit ex aequo, maior, sive circumscripta sphaera, ad suum <lb/>sphaerale solidum, ut CF quater sumpta, ad CB semel, CE <lb/>bis, et CD semel sumptas. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg92"></margin.target>Ultima duo­<lb/>decimi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"/><emph type="italics"/>Scholium.<emph.end type="italics"/><emph.end type="center"/><lb/><gap desc="SM"/></s></p> <p type="main"> <s>Hactenus sex praecipua Theoremata de solidis sphaeralibus demon­<lb/>strata sunt. Sequuntur nunc quaedam scitu non iniucunda, et ad do­<lb/>ctrinam spectantia.<gap desc="/SM"/></s></p> <pb xlink:href="090/01/102.jpg" pagenum="63"/> <p type="main"> <s><emph type="center"/>PROPOSITIO XX.<emph.end type="center"/></s></p> <p type="main"> <s>Si intra sphaeram descriptum sit sphaerale solidum pa­<lb/>rilaterum, <expan abbr="circaq;">circaque</expan> diagonalem revolutum: erit sphaera ad <lb/>excessum, quo ipsa solidum superat, in duplicata ratione <lb/>diametri sphaerae ad latus poligoni. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in circulo cuius centrum A de­<lb/> <arrow.to.target n="fig65"></arrow.to.target><l