texts/archimedes/xml/achil_propo_087_la_1545.xml - Colored diff

Main History Search Repository tree

Return to achil_propo_087_la_1545.xml CVS log

Up to [CVSROOT] / texts / archimedes / xml

Colored diff for /texts/archimedes/xml/achil_propo_087_la_1545.xml between version 1.13 and 1.14

version 1.13, 2006/12/11 18:22:37

version 1.14, 2006/12/12 15:25:49

Line 151

</s><s id="id.0.2.11.26"><arrow.to.target n="marg13"/>Et qualis est denominationum proportio talis est proportio proportionum, ut sesquialtera est medietas triplae et triplae ad eam est dupla est proportio.

</s><s id="id.0.2.11.27">Hanc autem proportionum componens naturales experientiae convincunt, et non priorem. patet moveatur a quadrupla proportio lapis super nave mota a proportio quadrupla ad eandem proportionis differentiam, tunc duplum spacium pertransibit lapis ex duarum causarum congregatione ad id quod pertransiret lapis ab una illarum causarum tantum. ex quibus tamen congregatis causis non fit super lapide proportio decimasextupla, unum a quodcunque proportione agant quatuor homines circa quodlibet artificiale, non est inventum alios quam homines 8 facere duplam velocitatem illi quam a quatuor prioribus provenit. stante tamen temporis paritate, vigoris hominum, et iuvamenti unius ad alterum, iuvamentum enim accidentale posset intervenire et cetera.

</s><s id="id.0.2.11.28">Similiter existente simplici eodem puta gravi in aere aut alio medio cui simplex datum dominetur. patet experientia quod qualis est proportio medii ad medium in spissitudine aut raritate talis est proportio velocitatis ad velocitatem sequentem motores in illis mediis. dato etiam quod Aristoteles illam regulam nunquam dixisset, quam ... dixit et cetera.

</s><s id="id.0.2.11.29">Confirmatur quia Averrois vult si potentia ut 2 exempli gratia in medio resistente ut 1 transit pedale in hora, quod potentia. ut 3 transit pedale cum dimidio quia qualis est proportio potentiarum talis est proportio spatiorum. ergo potentia ut 6 transibit tres pedes. patet ex eadem regula. quia duplum est 6 ad 3 et duplum est 3 ad unum cum dimidio et sic sextupla est dupla triplae. quod si Alkindus liber de proportionibus diffinitione 3 dixerit proportionem produci aut componi ex proportionibus est denominationem proportionis produci ex denominationibus proportionum altera in alteram ductis, sic quod per produci et componi idem itelligat [= intelligat]: tunc ab eo accipe verum intelligimus scilicet proportionum productionem. a me autem accipe quod illa non est proportionum vera compositio sed metaphorica est. similiter de aliis mathematicorum auctoritatibus intelligendum est scilicet quod compositio id est productio intelligatur ut particulariter de aliquibus superficiebus tangit proportionem 24 sexti elementorum Euclidis volentis proportionem illarum superficierum esse ex productione proportionum laterum et cetera.

</s><s id="id.0.2.11.29">Confirmatur quia Averrois vult si potentia ut 2 exempli gratia in medio resistente ut 1 transit pedale in hora, quod potentia. ut 3 transit pedale cum dimidio quia qualis est proportio potentiarum talis est proportio spatiorum. ergo potentia ut 6 transibit tres pedes. patet ex eadem regula. quia duplum est 6 ad 3 et duplum est 3 ad unum cum dimidio et sic sextupla est dupla triplae. quod si Alkindus liber de proportionibus diffinitione 3 dixerit proportionem produci aut componi ex proportionibus est denominationem proportionis produci ex denominationibus proportionum altera in alteram ductis, sic quod per produci et componi idem <expan abbr="itelligat">intelligat</expan>: tunc ab eo accipe verum intelligimus scilicet proportionum productionem. a me autem accipe quod illa non est proportionum vera compositio sed metaphorica est. similiter de aliis mathematicorum auctoritatibus intelligendum est scilicet quod compositio id est productio intelligatur ut particulariter de aliquibus superficiebus tangit proportionem 24 sexti elementorum Euclidis volentis proportionem illarum superficierum esse ex productione proportionum laterum et cetera.

</s><s id="id.0.2.11.30">Sed quia modernorum aliqui negant proportionem esse inter maioritatem aequalitatem et minoritatem, et aliqui dicunt quod inter illas infinite magna est proportio, adducuntur contra illos mathematicorum regulae.

</s><s id="id.0.2.11.31">Et primo probo quod maioritas est maior aequalitate utendo 27 propositione 5 geo. Euclidis

</s><s id="id.0.2.11.32.Mg">Quod proportio it finita inter aequalitatem, maioritatem de manori.

Line 192

</s><s id="id.0.2.19.02">Sint termini 2.1.1.1 tunc maior est proportio primi ad secundum quam tertii ad quartum, ergo proportio secundi ad primum est minor quam quarti ad tertium.

</s><s id="id.0.2.19.03">Sed proportio secundi ad primum est minoritas et proportio quarti ad tertium est aequalitas, ergo equalitas est maior minoritate.

</s><s id="id.0.2.19.04">Si dicitur quod petitur principium tunc probatur antecedens. quia ad eandem quantitatem scilicet 1 comparantur duae quantitates scilicet 2 et 1 ergo cum 2 sint maius quam 1.

</s><s id="id.0.2.19.05">Maiorem habent 2 proprtionem [=proportionem] ad 1 quam habeat 1 ad 1 et patet probatio ex 8 propositione quinti geo. Euclidis si autem sint termini 1.1.1.3 probatur maioritatem esse maiorem aequalitate. quia proportio primi ad secundum est maior quam tertii ad quartum. ergo proportio secundi ad primum est minor quam quarti ad tertium. sed proportio secundi ad primum est aequalitas, et proportio quarti ad tertium est maioritas. ergo aequalitas est minor maioritate.

</s><s id="id.0.2.19.05">Maiorem habent 2 <expan abbr="proprtionem">proportionem</expan> ad 1 quam habeat 1 ad 1 et patet probatio ex 8 propositione quinti geo. Euclidis si autem sint termini 1.1.1.3 probatur maioritatem esse maiorem aequalitate. quia proportio primi ad secundum est maior quam tertii ad quartum. ergo proportio secundi ad primum est minor quam quarti ad tertium. sed proportio secundi ad primum est aequalitas, et proportio quarti ad tertium est maioritas. ergo aequalitas est minor maioritate.

</s><s id="id.0.2.19.06">Similiter si propositione 12 quinti elementorum Euclidis utamur scilicet si fuerit proportio primi ad secundum sicut tertii ad quartum. tertii vero ad quartum. maior quam quinti ad 6 erit proportio primi ad 2 maior quam 5 ad 6.

</s><s id="id.0.2.19.07">Si termini sint 1.1.1.1.1.2 tunc petitur aequalitatem esse maiorem minoritate.

</s><s id="id.0.2.19.08">Si autem sint termini 2.1.2.1.1.1 tunc petitur maioritatem esse maiorem aequalitate.

</s><s id="id.0.2.19.09">Contra hanc determinationem concedentem maioritatem esse maiorem aequalitate. et aequilitate esse maiorem minoritate arguitur, quia sequitur propositionem 34 quinti geo. Euclidis esse falsam.

</s><s id="id.0.2.19.09">Contra hanc determinationem concedentem maioritatem esse maiorem aequalitate. et aequalitate esse maiorem minoritate arguitur, quia sequitur propositionem 34 quinti geo. Euclidis esse falsam.

</s><s id="id.0.2.19.10">Si quotlibet quantitates ad totidem alias comparentur fueritque cuiuslibet praecedentis ad <pb xlink:href="087/01/004.jpg" n="187"/> suam relativam maior proportio quam alicuius subsequentis ad suam erit omnium harum pariter acceptarum ad omnes illas pariter acceptas maior proportio quam alicuius subsequentium ad suam comparem, aut etiam quam omnium pariter acceptarum ad omnes pariter acceptas, minor autem quam primae ad primam. patet consequentia. signando duos ordines quantitatum primus sit 9.9.9 secundus ordo sit 8.9.10 tunc cuiuslibet praecedentis ad suum relativum est proportio maior, quam alicuius subsequentium ad suum, quia primi ad primum est maioritas, et secundi ad secundum est aequalitas et tertii ad tertium est minoritas, et tamen non omnium primi ordinis pariter acceptorum ad omnia secundi ordinis pariter accepta maior est proportio quam alicuius subsequentium ad suum compar. quia 27 ad 27 est aequalitas quae non est maior proportio quam proportio subsequentium in secundo loco, quia duorum est aequalitas. verum est tamen quod illa proportio est minor maioritate quae fuit proportio primorum, et est maior minoritate quae est proportio quantitatum in tertio loco scilicet 9 ad 10.

</s><s id="id.0.2.19.10">Si quotlibet quantitates ad totidem alias comparentur fueritque cuiuslibet praecedentis ad <pb xlink:href="087/01/004.jpg" n="187"/> suam relativam maior proportio quam alicuius subsequentis ad suam erit omnium harum pariter acceptarum ad omnes illas pariter acceptas maior proportio quam alicuius subsequentium ad suam comparem, aut etiam quam omnium pariter acceptarum ad omnes pariter acceptas, minor autem quam primae ad primam. patet consequentia. signando duos ordines quantitatum primus sit 9.9.9 secundus ordo sit 8.9.10 tunc cuiuslibet praecedentis ad suum relativum est proportio maior, quam alicuius subsequentium ad suum, quia primi ad primum est maioritas, et secundi ad secundum est aequalitas et tertii ad tertium est minoritas, et tamen non omnium primi ordinis pariter acceptorum ad omnia secundi ordinis pariter accepta maior est proportio quam alicuius subsequentium ad suum <expan abbr="compar.">comparationem</expan> quia 27 ad 27 est aequalitas quae non est maior proportio quam proportio subsequentium in secundo loco, quia duorum est aequalitas. verum est tamen quod illa proportio est minor maioritate quae fuit proportio primorum, et est maior minoritate quae est proportio quantitatum in tertio loco scilicet 9 ad 10.

</s><s id="id.0.2.19.11">Respondeo 1 elicio ex argumento intentum scilicet maioritatem esse maiorem aequalitate et aequalitatem esse maiorem minoritate. quod est principale intentum 2 dico quod falsitas conclusionis illatae non nascitur ex comparatione maioritatis ad equalitatem vel minoritatem. neque ex comparatione aequalitatis ad minoritatem sed ex malo intellectu proportionis Euclidis.

</s><s id="id.0.2.19.12">Et probo, sit primus ordo 9.9.9 sit secundus ordo 4.5.6 tunc omnes proportiones ibi sunt maioritates ut patet et tamen primi primi ordinis ad primum secundi ordinis est maior proportio quam secundi ad secundum.

</s><s id="id.0.2.19.13">Et secundi ad secundum maior est quam tertii ad tertium. quia dupla quarti est maior superquadriquinta. et quam sesquialtera et proportio secundorum est maior proportione tertiorum. quia superquadriquinta est maior proportio quam sesquitertia, et tamen omnium pariter acceptorum proportio non est maior quam proportio secundorum subsequentium. quia 27 ad 15 est proportio superquadriquinta qualis est proprtio inter 9 et 5 verum est tamen quod proportio omnium illorum pariter acceptorum est minor quam proportio primi ad primum et proportio omnium pariter acceptorum est maior quam proportio quam est proportio subsequentium pariter acceptorum.

</s><s id="id.0.2.19.13">Et secundi ad secundum maior est quam tertii ad tertium. quia dupla quarti est maior superquadriquinta. et quam sesquialtera et proportio secundorum est maior proportione tertiorum. quia superquadriquinta est maior proportio quam sesquitertia, et tamen omnium pariter acceptorum proportio non est maior quam proportio secundorum subsequentium. quia 27 ad 15 est proportio superquadriquinta qualis est <expan abbr="proprtio">proportio</expan> inter 9 et 5 verum est tamen quod proportio omnium illorum pariter acceptorum est minor quam proportio primi ad primum et proportio omnium pariter acceptorum est maior quam proportio quam est proportio subsequentium pariter acceptorum.

</s><s id="id.0.2.19.14">Secundo. sint termini prioris ordinis 6.5.4.

</s><s id="id.0.2.19.15">Sint termini secundo ordinis 3.3.3 tunc maior est proportio primi ad primum quam secundi ad secundum. et maior est proportio secundi ad secundum quam tertii ad tertium, quia eidem vel aequali comparantur primo maius 2 medium 3 minus. et sunt omnes maioritates. et tamen proportio omnium pariter acceptorum est proportio secundorum non autem maior proportione secundorum scilicet 15 ad 9 est proportio sesquitertia qualis est proportio 5 ad 3 verum proportio illa omnium pariter acceptorum est minor proportione primorum quam est dupla. et est maior proportione tertiorum quae est sesquitertia. et est maiorproportione subsequentium pariter acceptorum. quae est proportio sesquitertiae scilicet 6 ad 6.

</s><s id="id.0.2.19.16">Tertio sit primus ordo 6.5.4 sit secundus ordo 1.2.3 tunc maior est proportio primi ad primum quam secundi ad secundum quam tertii ad tertium.

</s><s id="id.0.2.19.17">Et tamen proportio omnium pariter acceptorum est 2 superbitertia scilicet inter 15 et 6 quam est proportio secundorum, non autem maior est proportione secundorum. verum proportio ista omnium pariter acceptorum. est minor quam sextupla quae cadit inter primos terminos, et est maior. quam sesquialtera, quae cadit inter tertios terminos, et est maior proportione superquatriquinta quam est proportio omnium subsequentium pariter acceptorum scilicet inter 9 et 6 et tamen hic nulla aequalitas permixta fuit neque aliquam minoritas.

</s><s id="id.0.2.19.18">Quarto sit primus ordo 10.8.4 sit secundus ordo 1.2.3 tunc maior est proportio primorum quam secundorum, et secundorum quam tertiorum, et tamen proportio secundorum est quadrupla et est maior proportione aggregatorum scilicet 22 ad 6 quae est tripla superbitertia et tripla superbitertia est maior proportione sequentium pariter acceptorum quae est dupla superbiquinta sciliet inter 12 et 5.

</s><s id="id.0.2.19.19">Quinto. si primo ordo fuerit 10.9.8.4.

</s><s id="id.0.2.19.19">Quinto. si primus ordo fuerit 10.9.8.4.

</s><s id="id.0.2.19.20">Secundus ordo fuerit 1.1.1.3. tunc proportio omnium pariter acceptorum est 5 et unum sextum scilicet inter 31 et 6 quam nedum est minor proportione secundorum quae est nonupla. sed est minor proportione tertiorum quam est octupla, sed binum est maior quadruplasesquiquinta quam est proportio omnium subsequentium pariter acceptorum quae est inter 21 et 5 et est maior proportione sesquialtera quam est proportio quartorum.

</s><s id="id.0.2.19.20">Secundus ordo fuerit 1.1.1.3. tunc proportio omnium pariter acceptorum est 5 et unum sextum scilicet inter 31 et 6 quam nedum est minor proportione secundorum quae est nonupla. sed est minor proportione tertiorum quam est octupla, sed bene est maior quadruplasesquiquinta quam est proportio omnium subsequentium pariter acceptorum quae est inter 21 et 5 et est maior proportione sesquialtera quam est proportio quartorum.

</s><s id="id.0.2.19.21">Pro Euclide respondeo cum dicitur proportio omnium pariter acceptorum est maior quam proportio alicuius subsequentium, non accipitur ly alicuius subsequentium distributive ut rigor sermonis notat, sed accipitur determinate et verificatur pro propotione ultima subsequentium quam est minima inter illas proportiones ut possibile est. neque huic sniae contradicunt instantiae inductae quia de media proportione instabatur quam stat esse maiorem proportione aggregatorum et minorem et aequalem ut patet in rationibus et rogatum regulae est. quia aggregatum ex magno et parvo non est ita magnum sicut maius eorum neque ita parvum sicut minus eorum. et tunc manifeste tibi apparebit Campani defectus in expositione, quia hoc non declarat, neque laudo novos Euclidis translatores ut Theo. qui hanc 34 regulam quae satis pulchra est neglexerunt ponentes loco eius eam quam Euclidis secundam proportionem in suo libro asserverat, quamvis illam regulam in aliquibus libris Euclidis scriptam non invenissent, est enim ad veritatis augmentum scientarum.

</s><s id="id.0.2.19.21">Pro Euclide respondeo cum dicitur proportio omnium pariter acceptorum est maior quam proportio alicuius subsequentium, non accipitur ly alicuius subsequentium distributive ut rigor sermonis notat, sed accipitur determinate et verificatur pro propotione ultima subsequentium quam est minima inter illas proportiones ut possibile est. neque huic <expan abbr="sniae">sententiae</expan> contradicunt instantiae inductae quia de media proportione instabatur quam stat esse maiorem proportione aggregatorum et minorem et aequalem ut patet in rationibus et rogatum regulae est. quia aggregatum ex magno et parvo non est ita magnum sicut maius eorum neque ita parvum sicut minus eorum. et tunc manifeste tibi apparebit Campani defectus in expositione, quia hoc non declarat, neque laudo novos Euclidis translatores ut Theo. qui hanc 34 regulam quae satis pulchra est neglexerunt ponentes loco eius eam quam Euclidis secundam proportionem in suo libro asserverat, quamvis illam regulam in aliquibus libris Euclidis scriptam non invenissent, est enim ad veritatis augmentum scientiarum.

</s><s id="id.0.2.19.22">Idem est iudicium de multis aliis rationis quamvis post humerunt.

</s><s id="id.0.2.19.22">Idem est iudicium de multis aliis rationis quamvis post habuerunt.

</s><s id="id.0.2.20.01">Corollarium. 2 dupla est dupla aequalitati et medietati est quadrupla. et sic proportio maioris inaequalitatis quam maioritatem appello, aequalitati et minoritati comparari potest probo. quia ab aliquam proportione activae potentiae super resistentiam motus potest provenire et ab aliquam non potest, neque ab aliquam illi aequali ergo datur maxima proportio ab quam motus provenire non potest. aut minima a quam sic. divisio enim sufficiensem sed quia negativa verificatur pro minori. datur maxima proportio, a quam motus provenire non potest. et est aequalitas quia ab ea non, et a nulla minori sed a quamlibet maiori potest motus provenire. quantum est ex parte dominii agentis supra resistentiam.

</s><s id="id.0.2.20.01">Corollarium. 2 dupla est dupla aequalitati et medietati est quadrupla. et sic proportio maioris inaequalitatis quam maioritatem appello, aequalitati et minoritati comparari potest probo. quia ab aliquam proportione activae potentiae super resistentiam motus potest provenire et ab aliquam non potest, neque ab aliquam illi aequali ergo datur maxima proportio ab quam motus provenire non potest. aut minima a quam sic. divisio enim sufficientem sed quia negativa verificatur pro minori. datur maxima proportio, a quam motus provenire non potest. et est aequalitas quia ab ea non, et a nulla minori sed a quamlibet maiori potest motus provenire. quantum est ex parte dominii agentis supra resistentiam.

</s><s id="id.0.2.20.02">Forte enim impedimentum aliunde provenire potest.

</s><s id="id.0.2.20.03">Tum quia maior est proportio 4 ad 2 quam 2 ad 2 et quam 1 ad 2 probatur ex 8 propositione quinti geometriae Euclidis. et secundo arithmetice Iordani propositione 9.

</s><s id="id.0.2.20.04">Si duae quantitates inaequales ad unam quantitatem proportionantur, maior maiorem et minor minorem obtinet proportionem.

Line 223

</s><s id="id.0.2.20.11">Thomas Baduardinus dixit non esse proportionem inter maioritatem et minoritatem, Nicolaus autem Orem dixit infinite magnam ibi esse proportionem.

</s><s id="id.0.2.20.12">Ego autem assumptum concessi.

</s><s id="id.0.2.20.13">Secundo si ratio valet. probat bipedale esse infinite maius pedali, quia ex infinitis partibus quarum quaelibet est maior pedali componitur bipedale.

</s><s id="id.0.2.20.14">Ad argumentum. partes maioris quantitatis duplices sunt communicantes ... aliqua quantitate quae sit pars utriusque aliquota vel non, et non communicantes. tunc si ex infinitis partibus non communicantibus componitur aliquid, quarum quaelibet, non reduplicando tamen sincategorema illud scilicet infinitum quia prius tenebatur sincategorematice, replicatum autem categorematice teneretur, est maior certa data, tunc totum est infinitum.

</s><s id="id.0.2.20.14">Ad argumentum. partes maioris quantitatis duplices sunt communicantes in aliqua quantitate quae sit pars utriusque aliquota vel non, et non communicantes. tunc si ex infinitis partibus non communicantibus componitur aliquid, quarum quaelibet, non reduplicando tamen sincategorema illud scilicet infinitum quia prius tenebatur sincategorematice, replicatum autem categorematice teneretur, est maior certa data, tunc totum est infinitum.

</s><s id="id.0.2.20.15">Non sic est, esto quod partes sint communicantes aut non aequales uni certae datae. ad propositum partes proportionis datae communicantes sunt, quoniam quaelibet earum aequalitatem includit. aliter non infinite essent partes certe maioritatis maiores aequalitate.

</s><s id="id.0.2.20.16">Ad secundum conceditur consequens. illa autem proportio, quam mathematici medietatem duple nominantur, et ego cum eis in libro de intelligentiis quolibeto quinto, nomine communi utens, in quantitate maiori quam sit medietas duplae vel duorum fundatur, quia unum in se reductum non dat 2 sed minus. et sic duplae ad illam est minus quam dupla proportio, et illa est plus quam medietas duplae, sed ab aliquibus mathematicis medietas duplae nominatur, quia illa in se met reducta dat duplam, sed ego proportiones non sic duplico, ad improbationem consequentis dicitur quod proportio quadratorum est proportio costarum duplicata idest per reductionem proportionis costarum in se met ipsam producta, non quia sit vere dupla ad illam, nisi forte aliquando puta cum unum quadratum est quadruplum ad aliud quadratum.

</s><s id="id.0.2.20.16">Ad secundum conceditur consequens. illa autem proportio, quam mathematici medietatem duple nominantur, et ego cum eis in libro de intelligentiis quolibet o. quinto, nomine communi utens, in quantitate maiori quam sit medietas duplae vel duorum fundatur, quia unum in se reductum non dat 2 sed minus. et sic duplae ad illam est minus quam dupla proportio, et illa est plus quam medietas duplae, sed ab aliquibus mathematicis medietas duplae nominatur, quia illa in se met reducta dat duplam, sed ego proportiones non sic duplico, ad improbationem consequentis dicitur quod proportio quadratorum est proportio costarum duplicata idest per reductionem proportionis costarum in se met ipsam producta, non quia sit vere dupla ad illam, nisi forte aliquando puta cum unum quadratum est quadruplum ad aliud quadratum.

</s><s id="id.0.2.20.17">Tum quia datis tribus terminis aequaliter se excedentibus minor est proportio maioris ad medium quam medii ad tertium ex 1. 10 Iordani. et aequalis excessus additus minori et maiori maiorem proportionem facit in minori quam in maiori uno neque consequentia illa valet apud communem mathematicorum modum aevidendi proportiones.

</s><s id="id.0.2.20.18">Cum enim aggregata per medium aeviduntur dant medium arithmeticum, non autem geometricum, sed dant maius medio geometrico, quo apud ipsos dividitur proportio.

</s><s id="id.0.2.20.18">Cum enim aggregata per medium dividuntur dant medium arithmeticum, non autem geometricum, sed dant maius medio geometrico, quo apud ipsos dividitur proportio.

</s><s id="id.0.2.21.01">Corollarium quartum.

</s><s id="id.0.2.21.02">Ubi apud mathematicos componitur aequalitas ex aequali duplicata, vel triplicata vel quoties sumpta ut patet a Campano 6 geometriae Euclidis super propositione 17 et 11 geometrice super propositione 36 quia in 1 unius reductio non variat proportionem.

</s><s id="id.0.2.21.03">Apud Aristotelem duae aequalitates compositae duplam constituunt. patet prima pars corollarii in triangulis ubi proportio triangulorum est proportio costarum duplicata.

Line 238

</s><s id="id.0.2.21.08">Et de pyramidibus similibus triangulae basis esse proportionem laterum triplicatam dixit Euclidis elementorum 12 propositione 8 patet secunda pars correlarii quia duae unitates congregatae dant dualitatem quae est denominator duplae proportionis.

</s><s id="id.0.2.22.01">Corollarium quintum.

</s><s id="id.0.2.22.02">Ubi apud mathematicos non omnis producta proportio est maior ea ex qua producitur quia ex decimaoctupla multiplicata per subduplam, quam appello medietatem. et signo per medium producitur nonupla. et sic in hoc genere totius non omne totum est maius sua parte, quia apud eos decimaoctupla. et subdupla sunt partes nonuplam componentes. et decimaoctupla est maior nonupla et subdupla non est minor nonupla. quod si infinite sit minor et subdupla est aliquantum finitum et nonupla est finitum, sequitur quod finiti ad finitum infinite magna erit proportio, quod est impossibile.

</s><s id="id.0.2.22.03">Item subnonupla ex proportione subtriplae in subtriplam reduct resurgit aequia tertium per tertium multiplicatum dat unum nonum et patet subtripla quae tertium dici debet esse maiorem subnonupla. quae 9 dici debet. quia 1 ad 3 maiorem habet proportionem, quam ad 9.

</s><s id="id.0.2.22.03">Item subnonupla ex proportione subtriplae in subtriplam reducte resurgit <expan abbr="qr.">qua re</expan> tertium per tertium multiplicatum dat unum nonum et patet subtripla quae tertium dici debet esse maiorem subnonupla. quae 9 dici debet. quia 1 ad 3 maiorem habet proportionem, quam ad 9.

</s><s id="id.0.2.22.04">Non sic apud Aristotelem est quia apud ipsum mathematicorum principia integre servantur. omne totum est maius parte. omnis pars est minor toto, quia quoscunque numeros aggregaveris semper quolibet aggregatorum numerus aggregatus est maior. ideo congregatum duorum tertiorum est duplum ad medium.

</s><s id="id.0.2.22.05">Et etiam mathematicorum conclusiones salvantur.

</s><s id="id.0.2.22.06">Oportet etiam mathematicos distinguere compositionem a productione probatur. quia si non falsificaretur propositio prima secundi geometrie Euclidis scilicet si fuerint duae lineae, quarum una in quotlibet partes dividatur illud quod ex ductu alterius in alteram fiet equum erit his quae ex ductu lineae indivise in unam quamcunque partem lineae particulatim divisae rectangula producentur.

</s><s id="id.0.2.22.07">Tunc sit a. b. linea, cuius divisio sit in duas partes in puncto c. quarum. quaelibet sit 1 tunc ex ductu unius in alteram habetur 1 quia 1 per 1 multiplicatum dat 1 et tunc ex ductu lineae indivise quae est 2 in unamquamcunque partem lineae particulatim divise habetur 4 quia pro prima parte 1 multiplicatum in 2 dat 2 et 1 multiplicatum in 2 pro 2 parte lineae dat 2 quae congregata sunt 4 eodem modo falsificatur propositio 3 secundi geometriae Euclidis.

</s><s id="id.0.2.22.08">Si fuerit linea in duas partes divisa. illud quod fiet ex ductu totius in alterutram partem aequum erit his quam ex ductu saem partis in se ipsam et alterius in alteram.

</s><s id="id.0.2.22.08">Si fuerit linea in duas partes divisa. illud quod fiet ex ductu totius in alterutram partem aequum erit his quam ex ductu eiusdem partis in se ipsam et alterius in alteram.

</s><s id="id.0.2.22.09">Sit casus praescriptus de linea a. b. divisa in duas partes in puncto c. cuius medietas est ut 1 quia productum ex ductu totius in alterutram partium est 4 et productum ex ductu partis unius est 1 et alterius in se est 1 et 1 multiplicatum per 1 est 1.

</s><s id="id.0.2.22.10">Similiter falsificatur. quarta propositio secundi geometriae Euclidis, si fuerit linea in duas partes divisa illud quod ex ductu totius in se ipsam fit aequum est iis quae ex ductu utriusque partis in se ipsam et alterius in alteram bis. sit casus prior de linea bipartita cuius medietas sit 1 tunc productum ex ductu totius in se dat 4 quia 2 per 2 multiplicantur et partes multiplicatae vel bis vel ter non curo non dant 4.

</s><s id="id.0.2.22.11">Et ista inconvenientia volens Campanus evitare posuit in commento primae propositionis secundi, lineam in aliam ducere est super terminos unius earum duas lineas orthogonaliter alii aequales erigere. et superficiem aequidistantium laterum rectangulam complere quae sub illis duabus lineis dicitur contineri, videbat enim multiplicationem per numeros non semper satisfacere quia oportet partes congregare ad totius aequationem, quod in multiplicando fieri non est necesse.

</s><s id="id.0.2.23.01">Corollarium sextum duae medietates aggregatae integrum constituut. ideo duae subduplae unam aequalitatem componunt. patet consequentia quia subdupla non est aliud quam medietas, et duplae medietas est aequalitas. et sic duplae ad subduplam est proportio quadrupla, ex eisdem enim res componitur in quas dividitur. de divisione autem dicebat supra corollarium tertium.

</s><s id="id.0.2.23.01">Corollarium sextum duae medietates aggregatae integrum constituunt. ideo duae subduplae unam aequalitatem componunt. patet consequentia quia subdupla non est aliud quam medietas, et duplae medietas est aequalitas. et sic duplae ad subduplam est proportio quadrupla, ex eisdem enim res componitur in quas dividitur. de divisione autem dicebat supra corollarium tertium.

</s><s id="id.0.2.24.01">Corollarium septimum proportionem extremi ad extremum ex proportionibus mediis mathematicus componit ut in principio septimi elementorum ponit Euclides.

</s><s id="id.0.2.24.02">Et secundo Arithmeticae supponit Iordanus non curando quod medium sit maius vel minus extremo vel extremis in quod proportio qualitatis ex dupla et subdupla componatur.

</s><s id="id.0.2.24.03">Patet a Campano sexto Euclidis propositione 17 quia inter <pb xlink:href="087/01/005.jpg" n="188"/> duo et 2 ponit 1 pro medio et sic subnonuplam ex duabus subtriplis componit. et sic quaelibet pars totius est maior toto maior enim est proportio 1 ad 3 quam 1 ad 9 et hoc est quia dant ipsi totum productiae compositum.

</s><s id="id.0.2.24.04">Et in hoc vide modernos Paulum Venetum, Albertutium, Thomam Barduadinum et cetera errant ab antiquis mathematicis quia nolunt extremis exempli gratia 8 et 1 interponere aliud medium nisi minus maiore et maius minore. cuius oppositum antiqui mathematici faciunt.

</s><s id="id.0.2.24.05">Ego autem mathematicis concedo proportionum productionem, ut si denominator in denominatorem producatur, componetur proportio productae denominationis ex proportionibus denominatorum producentium hac impropria compositione. et eam ad multa esse utilem concedo. ut in inventenda figurarum continentia, sed nego quod producentes proportiones productam generaliter componant eo modo quo partes quantitativae totum integrant. ideo concedendum est proportionem extremi ad extremum ex proportione extremi ad medium et mediorum invicem si plura sint media et extremi ad extremum esse productam, non curando an interpositum sit maius maiore extremo vel minus, et similiter an medium sit minus minore extremo vel non.

</s><s id="id.0.2.24.05">Ego autem mathematicis concedo proportionum productionem, ut si denominator in denominatorem producatur, componetur proportio productae denominationis ex proportionibus denominatorum producentium hac impropria compositione. et eam ad multa esse utilem concedo. ut in invenienda figurarum continentia, sed nego quod producentes proportiones productam generaliter componant eo modo quo partes quantitativae totum integrant. ideo concedendum est proportionem extremi ad extremum ex proportione extremi ad medium et mediorum invicem si plura sint media et extremi ad extremum esse productam, non curando an interpositum sit maius maiore extremo vel minus, et similiter an medium sit minus minore extremo vel non.

</s><s id="id.0.2.24.06">Sed principiis mathematicis et naturalibus repugnat illam productionem nominare compositionem qua unione partium facta excrescit totum ex partibus congregatum. et sic nego quod nonupla sit praecise addens triplam triple sed plus addit scilicet sextuplam. et sic non praecise ex duabus triplis nonupla componitur sed ex tribus, quemadmodum 9 ex tribus ternariis est. non enim sumendae sunt triple continuate adinvicem et ordinate ut 27. 9. 3. 1. sed discontinuate, sed quamlibet nedum triplam sed multiplicem esse terminatam ad 1 tanquam ad primum terminum inter multiplicis secundos terminos et super 3 tanquam super primo termino inter terminos primos quia 3 triplicis est radix. et sic crescens a pedali ad tripedale non integre triplam acquirit. quia aequalitatem habuit quae est pars triplae et sic non componimus tertiam totius ex medietate totius eiusdem ut ex numerorum compositione apparet.

</s><s id="id.0.2.25.01">Corollarum octavum ponentibus mathematicis regulam si fuerit proportio primi ad secundum sicut secundi ad tertium et tertii ad quartum erit proportio primi ad tertium dupla ad proportionem primi ad secundum et secundi ad tertium. et proportio primi ad quartum erit tripla ad proportionem primi ad secundum ut 10 diffinitione quinti geometriae Euclidis ponitur. et 11 et supponitur secundo arithmeticae Iordani.

</s><s id="id.0.2.25.02">Et ponentibus propositionem hanc.

Line 266

</s><s id="id.0.2.25.10">Si dicas ex combinatione causarum causas crescere. quia se invicem iuvant.

</s><s id="id.0.2.25.11">Contra. captantur potentiae minores, aut resistentiae maiores, quousque non tantum crescere possunt iuvamenta ex causarum combinationibus quantum crescunt proportionum productiones.

</s><s id="id.0.2.25.12">Secundo quia quaerimus per se causas velocitatis motus. non autem per accidens, qualis est iuvamentum ex causarum combinatione.

</s><s id="id.0.2.25.13">Scias quod per primum termini in tabula scriptum intelligo illum qui est ad dextrum tabulae. per secundum vero illum qui est ad sinistrum tabulae, nostra enim scriptura licet a sinistro scribentis incipiat, et ad dextrum tabulae terminetur. tamen a dextro tabulae vel chartae incipit aut incipere debet. et in sinistrum eius terminatur. quia tabula visui contraposita est. ideo dextrum habet sinistro scribentis contrapositum. non tamen propter hoc dextrum iudicatur esse sinistrum. ideo non extollant Haebrei suum modum scribendi supra nostrum ratione huius positionis differentiarum. et tunc si maioritatem sgnare vis, maiorem terminum prius signa, et a dextris tabulae, secundo minorem terminum et a sinistris ut 2. 1. signant duplam, econtra vero si maioritatis terminos utrosque signaveris ut 1. 2. significat subduplam quae tamen signatur terminis iunctis non seorsum nisi quantum linea una separat illa ut per medium.

</s><s id="id.0.2.25.13">Scias quod per primum termini in tabula scriptum intelligo illum qui est ad dextrum tabulae. per secundum vero illum qui est ad sinistrum tabulae, nostra enim scriptura licet a sinistro scribentis incipiat, et ad dextrum tabulae terminetur. tamen a dextro tabulae vel chartae incipit aut incipere debet. et in sinistrum eius terminatur. quia tabula visui contraposita est. ideo dextrum habet sinistro scribentis contrapositum. non tamen propter hoc dextrum iudicatur esse sinistrum. ideo non extollant Hebrei suum modum scribendi supra nostrum ratione huius positionis differentiarum. et tunc si maioritatem signare vis, maiorem terminum prius signa, et a dextris tabulae, secundo minorem terminum et a sinistris ut 2. 1. signant duplam, econtra vero si maioritatis terminos utrosque signaveris ut 1. 2. significat subduplam quae tamen signatur terminis iunctis non seorsum nisi quantum linea una separat illa ut per medium.

</s><s id="id.0.2.25.14">Scias etiam ex notitia extremorum proportionis denominatorem eius invenire, quia in maioritate divide maius extremum per minus et quod provenit est proportionis denominator. si enim extrema sint 8 et 2 diviso 8 per 2 remanent 4 quod est denominator proportionis illius.

</s><s id="id.0.2.25.15">Quod si extremitas minor sit 1 tunc pro denominatore totum extremum maius est acciplendum.

</s><s id="id.0.2.25.15">Quod si extremitas minor sit 1 tunc pro denominatore totum extremum maius est accipiendum.

</s><s id="id.0.2.25.16">In minoritate autem divide minus per maius, dividitur autem minus extremum per maius extremum cum minus supra virgula ponitur et maius infra lineam ut 2 ad 12 quae in unum sextum redeunt quod est denominator proportionis inter datos terminos.

</s><s id="id.0.2.25.17">Scias etiam ex notitia denominatoris maioritatis et minoris extremi maius extremum invenire. quoniam si denominatorem maioritatis duxeris in secundum extremum eiusdem produces primum extremum eius unde 9 ad 3 est tripla proportio et denominator proportionis est 3 tunc si 3 quod est minus extremum proportionis fuit secundus terminus ducatur in 3 quod est denominator surget 9 quod est primus terminus proportionis huius.

</s><s id="id.0.2.25.18">Similiter ex notitia denominatoris et maioris extremi maioritatis minus extremum invenire.

Line 295

</s><s id="id.0.3.06.01">Sexta regula.

</s><s id="id.0.3.06.02">Si velocius crescit maior terminus minore, non in ea proportione in quo est maior, neque in maiori proportione, tunc decrescit maioritas.

</s><s id="id.0.3.07.01">Septima regula.

</s><s id="id.0.3.07.02">Si multiplicatur antecedens per antcedens [=antecedens], et consequens per consequens, habetur aliquando proportio plusquam dupla ad praeexistentem: aliquando praecise dupla praeexistenti: aliquando minus quam dupla illi. quoniam si maioritas fuerit maior quam dupla, tunc habebitur plusquam dupla ad praeexistentem proportionem ex multiplicatione, ut quadrupla per quadruplam multiplicata dat decimamsextuplam quae est plusquam dupla ad quadruplam, quia decimasextupla est maior quam octupla, et octupla est dupla quadruplae.

</s><s id="id.0.3.07.02">Si multiplicatur antecedens per antecedentem, et consequens per consequentem, habetur aliquando proportio plusquam dupla ad praeexistentem: aliquando praecise dupla praeexistenti: aliquando minus quam dupla illi. quoniam si maioritas fuerit maior quam dupla, tunc habebitur plusquam dupla ad praeexistentem proportionem ex multiplicatione, ut quadrupla per quadruplam multiplicata dat decimamsextuplam quae est plusquam dupla ad quadruplam, quia decimasextupla est maior quam octupla, et octupla est dupla quadruplae.

</s><s id="id.0.3.07.03">Si autem praecise dupla fuerit proportio, cuius extrema multiplicantur, tunc duplabitur proportio, quia 2 per 2 multiplicatam dat 4 et quadrupla est praecise dupla ad duplam.

</s><s id="id.0.3.07.04">Si autem proportio fuerit minus quam dupla, et fuerit maioritas tunc proportio inter praedicta per multiplicationem erit maior quam dupla ad praeexistentem multiplicationi proportionem.

</s><s id="id.0.3.07.05">Si autem aequalitas multiplicatur, semper habebitur praeexistens proportio, quia nunquam habebitur nisi aequalitas: quemadmodum 1 per 1 multiplicatum non dat nisi 1.

</s><s id="id.0.3.07.06">Si autem minoritatis termini producantur, habebitur proportio minor praeexistente, quia fractionum proportionesi enim minus veniunt, quia medietas medietatis est quarta, et tertia pars tertii, est nona pars integri: et per has multiplicationes remanet praeacceptum potius divisum quam multiplicatum.

</s><s id="id.0.3.07.06">Si autem minoritatis termini producantur, habebitur proportio minor praeexistente, quia fractionum proportiones in minus veniunt, quia medietas medietatis est quarta, et tertia pars tertii, est nona pars integri: et per has multiplicationes remanet praeacceptum potius divisum quam multiplicatum.

</s><s id="id.0.3.07.07">Mathematicus igitur per multiplicationem antecedentis per antecedens et consequentis per consequens duplicat 1 productum per multiplicationem invenit, sive fuerit duplum praeexistenti, sive non.

</s><s id="id.0.3.07.08">Haec ex positio est Campani 5 geometriae Euclidis, diffinitione 10. exponentis duplicata, hoc est in se multiplicata: per antecedens intelligo primum extremum proportionis: per consequens vero secundum extremum.

</s><s id="id.0.3.07.09">Expositio est Campani super quinto geometriae Euclidis, diffinitione 12. vera igitur proportionum duplicatio est denominationum proportionis duplicatio, quia relationum quantitas est fundamenti earum quantitas: non tamen materialiter accepti, sed subdeterminato esse sub quo est fundamentum proportionis datae.

Line 307

</s><s id="id.0.3.07.11">Similiter duobus aequaretur quadrupla, si quadrupla multiplicata per duo daret decimam sextuplam, et quadrupla multiplicata per quadruplam daret decimamsextuplam, quia apud eos duae quadruplae sunt una decimasextupla.

</s><s id="id.0.3.07.12">Et consequenter quadrupla et tripla aequarentur: patet consequentia, quia utraque illarum proportionum duabus aequatur.

</s><s id="id.0.3.07.13">Et quaecunque sunt aequalia uni tertio, sunt aequalia inter se primo Euclidis conceptio prima communis.

</s><s id="id.0.3.07.14">Item si tripla triplam multiplicando producitur nonupla, quia nonupla est duae triplae apud eos, et tripla nonuplam multiplicando producitur vigesimaseptupla, quia denominator triplae est 3 et denominator nonuplae est 9 et reductum 3 in 9 dat 27 quod est denominator vigesimaseptuplae, ergo vigesimaseptupla est dupla ad nonuplam: patet consequentia, quia cum aliquid ductum in se duplicat: tunc reductio primi in productum duplicat productum, quia cum aliquis numerus multiplicat duo, qualis est proportio multiplicatorum, talis est proportio per multiplicationem productorum: hoc est septima propositio secundi arithmeticae Iordani: et octava, et est 18 et 19 propositio septimi geometriae Euclidis: consequens est contra mathematicos communes, quoniam decimaoctupla est quae praecise ex duabus nonuplis componitur apud eos, quia 9 reductuxi in 9 dat 18.

</s><s id="id.0.3.07.15">Item nihil per semet multiplicatum reddit sibi duplum praecise nisi 2 et sic si tripla et quadrupla et cetera per seipsa multiplicata dant duplum ad illa, ergo aequali quantitate, nedum ambae, sed omnes maioritates participabunt, quod est evidenter inconveniens.

</s><s id="id.0.3.08.01">Octava regula.

</s><s id="id.0.3.08.02">Ubi apud Mathematicos subduplantur proportiones per medii geometricae proportionalis inventionem: ut inter quatuor et unum duo invenire, quae eandem proportionem habent ad minus extremum quam habet maius ad ipsa, et subtriplatur duobus mediis proportionalibus inventis ut inter octo et unum invenire 4 et 2.

Legend:

Removed from v.1.13
changed lines
	Added in v.1.14