![[BACK]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/back.gif){kind=icon}
Return to gheta_promo_01_la_1603.raw
CVS log ![[TXT]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/text.gif){kind=icon}
![[DIR]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/dir.gif){kind=icon}
Up to [CVSROOT] / texts / archimedes / rawMain History Search Repository tree
| Return to gheta_promo_01_la_1603.raw
CVS log | Up to [CVSROOT] / texts / archimedes / raw |
| File: [CVSROOT] / texts / archimedes / raw / gheta_promo_01_la_1603.raw
(download) - view tree Revision 1.1, Wed Jun 19 09:18:27 2002 UTC (10 years, 11 months ago) by bcfuchs Branch: MAIN CVS Tags: HEAD adding from old repository but with new names |
<pb id="p.0001">
<HEAD>MARINI GHETALDI
PATRICII
RAGVSINI
PROMOTVS ARCHIMEDIS
SEV.</HEAD>
<HEAD>De varijs corporum generibus
grauitate & magnitudine
comparatis.</HEAD>
<FIG>
<HEAD>ROM AE,
Apud Aloy$ium Zannettum. MDCIII.
<I>SVPERIORVM PERMISSV.</I></HEAD>
<pb>
<HEAD>REVERENDISSIMO
SERAPHINO OLIVARIO
RAZZALIO.
PATRIARCH AE
ALEXANDRINO.
MARINUS GHETALDUS. S.P.D.</HEAD>
<p>Egregia $anè Reuerendi$sime
PRÆSVL quod probe no$ti, vete-
rum $apientum fœlicitas fuit. Eam
enim cum ingenij præ$tantia, tum
prær<*>gatiua temporis laudem occu-
parunt, quã vel $perare po$terioribus
temerariũ $it. Et vero illis non $olum nos plurimum de-
bemus, quod plutima ip$i perfecere: verum etiam quod
quædam qua$i fundamenta iecere, quibus dum rerum
nouarũ molem conamur imponere, nos quoque experi-
ri no$tras vires, exercere indu$triam, remque $apientiæ
publicam amplificare po$simus. Quo in genere magno-
rum ego virorum $tudium potius, quam gloriam æmu-
latus $uper vnum ex Archimedeis fundamentis, de ra-
tione, qua varia corporum genera inter $e grauitate &
magnitudine comparantur, fabricatus nonnulla $um:
<foot><33> 2</foot>
<pb>
quæ nunc omnium oculis expo$iturus, vt eam $u$tineã,
per$onam, quam $emper recu$aui, patrocinium huiu$-
modi quærendum miniexi$timaui, quod & $mbecillita
tem meam contra obtrectatorum, $i qui forte exi$terent,
calumnias $u$tineret; & imminentem famæ, exi$timatio
ni$que iacturam auerteret. Vnus igitur tu occuri$ti SE-
RAPHINE qui & cõmodi$sime mihi patrocinari po$-
$es, & quodam qua$i iure deberes. Cum enim tu me ad
emittendum id opus hortatu tuo compuleris, videbatur
quodam iure ad tuam fidem eius tutela pertinere. Tuq;
is es, quem non modo rudes, $ed etiam docti $u$piciunt.
Habetino$tra bæc ætas, quos admitetur; habet quos ex-
tollat præclaros viros, $ed quos tibi anteponat, non facile
inueniet. Degis ea in Vrbe, quæ laudis mediocritatem
vel nunquam agnouit, vel $emper contemp$it: neque in
tanta maie$tate, tua deficit virtus, $ed bono in lumine po
$ita collucet magis. In primis enim tua vitæ integritas
elu$modi e$t, vt non conterita dome$tico præcomo lati$-
$ime peruagetur. Habent omnes quod prædicent, & imi
tentur; habet quod excipiat grati$sima memoria po$te-
ritas vniuer$a. Doctrinæ vero ea excellentia es, vt ea $atis
omnibus clarus, & illu$tris, non $atis tibi, <*>cum a$sidue
certes. nec minum, qui vel à primis incunabulis ad $um-
ma contendebas, $i prouecta iam ætate vix habeas, quo
altius contendas. Præclarum $anè & eximium vno do-
ctrinæ genere; $ublime, atque admirabile multiplici ex-
cellere. Tu vero în omni genere laudem egregiam a$$e-
cutus es ab$olutam videlicet tibî gloriam propo$itam
volui$ti; quiq; intelligebas hominem ad hone$ta omnia
<pb>
genitum, nullam tibi rerum glorio$arum partem con-
temnendam puta$ti. Placet incredibili rerum humana-
num v$ui diuinarum rerum cognitionem adiungere; vt
habeat animus à caducis ad æterna, $e conferendo, vnde
oblectamentum capiat, & admirationem. Philo$ophiam
ita tenes, vt qui in maximis negocijs a$sidue ver$atus es,
videaris $emper fui$fe otio$us. Quid dicam de $ingulari
caq; eximia rerum cœle$tium, totiu$q; mundi cognitio-
ne quam tu tanta cum auiditate ex reconditi$simis Ma-
thematicorum fontibus hau$i$ti, vt illud a$$ecutus in eo
genere iam $is, quod alij in maxima tranquillitate, in
$ummo otio vix au$int optare? Exitum tuorum labor um
fœlici$simum vides: gloria multiplici frueris, <*>eque illa
precaria $od tua & quibu$dam qua$i gradibus ad ampli$-
$<*>mos: honores euehendus, in ea con$titueris dignitate; in
qua pro $acro$anta Eccle$ia <*>quam non excubando,
in peramplo tot illu$trium vitorum Theatro non alienæ
gloriæ $pectator, $ed actor tuæ con$i$tas. Tu vero, quod
rarum e$t, laudem $a pientiæ, quæ vix vllos habeb at ter-
minos, humanitatis tuæ terminis circum$cribis; & expo-
nis omnibus<*> vt extanto $onte perennes ad omnium or-
dinum homines fiuuli deducantur. Fœlix qui $olidæ
fœlicitatis car$am & in$tium in re con$titutumita foues,
vt cum alijs illam communicando, non imminuas, $ed
amplifices, prægrande videlicet non $uccre$centis, $ed
adultæ iam virtutis fœnus honorem ex honore, laudem
ex laude con$equi vberiorem, hæcilla $apienti viro non
indigna liberalitas, quæ terum pre$tanti$simarum po$-
$e$sione non imminuta, in copia tenuitatem non inqui-
<pb>
rens vbertatis ip$a$uæ dominæ nunquam debilitatur,
nunquam deficit. Quin etiam i$to loco con$titutus bo-
narum literarum $tudio$os complecteris, ac tueris. Hæc
e$t vera germanæ nota $apientiæ, cum, quas vires nanci-
fcitur, ijs $apientiam alit, tuus animus & tuæ $apientiæ, &
alienæ par e$t. Hæc $unt firmi$sima & $olidi$sima funda-
menta ad æternam po$teritatis memoriam, quam licer
profici$ci iam videas ex ijsquibus abundas animi orna-
mentis, ne$cio tamen quo pacto gratior nobis acccidit,
cum ex alioium etiam prædonio $u$cipit in crementum.
Hinc domus tua floret docti$simorum familiaritatibus;
hinc nulli ad tuam con$uetudinom præcluditur aditus;
hinc plurimorum $tudia commouentur; hinc illa $apien
tum æmulatio & admiratio<*> hinc omnium omnino or-
dinum ad te concur$us; tanquam ad $apienti$simum hu-
mani diuiniq; iuris paponum, & interpetem. Quid ego
igitur quem tibi $exœntis eximiæ beneuolentiœ argu-
mentis obligatum vo<*>$ti, perexigitum hunc ingenij
mei partum exp<*>$uiuus, vnum te nominis & exi$tima-
tionis meæ patronum non $u$eipiam<*> equide<*> in am-
pli$simi Theatri lucern $apienti$simorum<32> hominum
con$pectum, quibus abundat hæd no$tra ætas inferre me
non magnopere cogitabam <*>Tu hortatus es dubitan-
tem impuli$ti vel reluctamem<*> tuereigitur ob$equen-
tem. iam nunc mihi videor in exigua vel nulla $pe lau-
dis ex ingenio meo; $empiternam nominis immortali-
tatem ex tuo patrocinio con$ecutus. Vale.
<p>Romæ VII. Kal. Maij. MDCIII.
<pb>
<HEAD>BENEVOLO
LECTORI.</HEAD>
<FIG>
<p>D<I>iversa. corporum genera duplici ra-
tione comparari inter $e à Mathematicis
po$$unt mole ac pondere. Pondere compara-
tio fit, cum iuter corpora diuer $i generis mo
le aqualia, quæritur, qu&ecedil; $it tatioponderis:
quanto videlicet, vnum altero grauius, aut leuius $it. Ma-
guitudine autem $it collatio, cum po$ita pari grauitate, quæ-
ritur, que $it ratio magnitudinis; quanto $it alterum altero
maius, aut minus. Quæ comparatio mihi cum videretur &
iucunda cognitu, & v$um manullum habere, nee fu$e à que
piam explicata, non ita pridem $uper ea non nihil cœpi me
liris $ed nihil de luce ac publico cogitabam l<*> enim ego $um,
qui malim $eire, quam ne$cidi$cere, quam decere. Sed ta-
men cum Michael <*>gnetus in rebus. Mathematicis ex-
cellens vit, ac Magi$ter meus, cui ego plurimum debere me
fateor, ab <*> enim prim a<*>menta habui, vepo$cere à me pu-
blicum aliquem doctrine $ua fructum videretur ac Fede-
ricus Samini atus auius <*>onum $uauitatem, & beneuol&ecedil;n-
tiam erga me diu, dum $imul bi$ce studijs condi$cipuli ope-
ram dedimus, expertus $um, me cut aliquid auderem tum
oratione, tum exomplo$uo excitaret, cœpi minus ab ea cogi-
tatione alienus e$$e. Deinde vero $ummos vixos habui
<pb>
hortatores. Etenim cum Clauium, quod tam diu cupiebam,
vidi$$em <*> minerem ta<*>ientia, & fama viri bent,
gmtatem <*>peri$$em. Ab eo $imul ac Theodo$io. Rubeo ba
mine mihi tum ex $tudiorum $imilitudine, tum pracipue ex
eius humanitate amici$simo, ad Reuerendi$simum Sera-
phinum deductus $um. I$qs me tantus Præ$ul non $olum
humani$sime complexus est, ver <*> ets am ita bo<*>tus ad
eualganda, que $crip$eram; plane vt mihi nefas putauerim
non parere. Aecipeigitur & tu Lactor optime amico ac be-
uigno auimo laborem bunc, quem à me tali<*>
$umma benignitas expre$sit. Argumentum quidem, vt
dicob am non iniucundum e$t, nec ab v$u alienam. Huiu$-
medi enim comparatione Archimides mixtionem argemi
in aure deprebeudit, & furtum Auri$itis in corona aurea
patefecit. de quæ re $uo leco ego tractabo, & facilem mon-
strabo viam, quæ vel argentum in aure, vel quod visme-
tallum in quolibet admistum diprebeudi queat, & alte
<*> ab aliero di$rerni & $imu<*>, quo pacto ex au-
ri grauitate <*> qualiras, <*>perfectio intelligi po$sit.
Tati vere apu$culo nomen ab Arthimede, quem Ducem $e-
quer impo$ui Nam cum ille, vt erat $ummus Magi$ter, $e-
tis haliui$$et hunc, totem qu<*> fabr<*> pe$ito fundumen-
to delineare in primo lib. vbi agit de i$s quæ vt huntur in
a quæ. Opus egapra<*> eiq; fundamenta molem inyce-
re conatus $um p<*>ribus $uis etaberatam, atque dictin-
ctam. Qua in re $i quid a$$equutus $um, quod publice pro-
betur, gaudeo cau$a & mea & publica illud quidem $pe-
rofere vt conatus non di$pliceat.</I>
<p n=>1</p>
<HEAD>MARINI GHETALDI
PROMOTVS ARCHIMEDES
SEU.</HEAD>
<HEAD><I>DE VARIIS CORPORVM GENERIBVS
Grauitate, & magnitudine comparatis.</I></HEAD>
<HEAD>THEOREMAI. PROPOS. I.</HEAD>
<p>Si duorum Grauium Corporum eiu$dem ge-
neris alterum alterius fuerit multiplex, quo-
tuplex maius fuerit minoris, totuplex erit
maioris grauitas, grauitatis minoris.
<p>SINT duo corpora eiu$dem generis ABC, D, quorum grauita-
tes, EFG, ip$ius ABC, & H, ip-
$ius D, $it autem corpus ABC,
<FIG>
multiplex corporis D. Dico quo
tuplex e$t corpus ABC, corporis
D, totuplicem e$$e grauitatem,
EFG, grauitatis H, diuidatur
enim corpus ABC, in partes ip-
$i D, æquales, quæ $int A, B, C,
quoniam igitur corpus A, æqua-
le e$t corpori D, magnitudine,
& $unt eiu$dem generis, erit grauitas vnius æqualis grauitati alterius.
Sumatur grauitas E, æqualis grauitati H, erit igitur corporis A, gra-
uitas E, & reliqui corporis BC, grauitas FG. Rur$us quoniam cor-
pora B, D, $unt magnitudine æqualia, erunt æquè grauia, $umatur
grauitati H, æqualis grauitas F, erit igitur corporis B, grauitas F, &
reliqui corporis C, grauitas G, & $ic fiat, donec perueniatur ad vlti-
mam partem corporis ABC, æqualem ip$i D, $it ea vltima pars C, quo
niam igitur corpus C, æquatur magnitudine ip$i D, æquabitur, & gra-
uitate, quare grauitas G, æqualis erit grauitati H, $equitur igitur
quot partes $unt in corpore ABC, æquales ip$i D, tot e$$e partes in
grauitate EFG, æquales ip$i H, quoties enim $ump$imus in corpore
ABC, corpus ip$i D æquale, toties & in grauitate EFG, $ump$imus
<foot>A</foot>
<p n=>2</p>
grauitatem æqualem ip$i H. Si duorum igitur grauium corporum
eiuldem generis, & c. quod erat demon$trandum.
<HEAD>THEOREMA II. PROPOS. II.</HEAD>
<p>Corpora grauia eiu$dem generis magnitudine com
men$urabilia, eandem in grauitate rationem ha-
bent, quam in magnitudine.
<p>SINT corpora commen$urabilia eiu$dem generis A, B, quorum
grauitates C, ip$ius A, & D, ip$ius B, Dico e$$e vt A, ad B, ita C, ad D,
quouiam enim, A, B, commen$ura-
bilia $unt, metietur ip$a aliquod
corpus, metiatur, & $it E, cuius
<FIG>
<MARG><I>Ex an-
teced.</I></MARG> grauitas F, $itque corpus E, eiu$d&etilde;
generis cum corporibus A, B, *ergo
quotuplex e$t corpus A, ip$ius E,
<MARG><I>Ex an-
teced.</I></MARG> totuplex erit grauitas C, grauitatis
F, & quotuplex B, ip$ius E, *totuplex
D, ip$ius F, $i igitur diuidantur cor-
pora A, B, in partes æquales ip$i E,
& grauitates quoque C, D, in partes æquales ip$i F, erit vt corporie
A, pars vna, ad corpus E, ita pars vna grauitatis C, ad grauitatem F,
æquale videlicet ad æquale, & æque multiplicatis antecedentibus
erit vt A, ad E, ita C, ad F, $unt enim antecedentium, hoc e$t, illarum
partium æque multiplicia A, C, eadem ratione, vt B, ad E, ita erit D,
ad F, & conuertendo vt E, ad B, ita F, ad D. quoniam igitur vt A, ad
<MARG>22. 5.
<I>Elem.</I></MARG> E, ita e$t C, ad F, & vt E, ad B, ita F, ad D, * erit ex æquali vt A, ad
B, ita C, ad D. corpora igitur commen$urabilia eiu$dem generis ean-
dem in grauitate rationem habent, quam in magnitudine, quod erat
demon$trandum.
<HEAD>THEOREMA III. PROPOS. III.</HEAD>
<p>Et incommen$urabilia corpora eiu$dem generis
eandem in grauitate rationem habent, quam in
magnitudine.
<p>SINT incommen$urabilia corpora A, BC, quorum grauitates
D, ip$ius A, & EF, ip$ius BC. Dico e$$e vt A, ad BC, ita D, ad EF, $i
<p n=>3</p>
enim non e$t vt A, ad BC, ita D, ad EF, erit vt A, ad BC, ita D, vel ad
<FIG>
minorem quam EF,
vel ad maiorem, $it
primum ad minoré,
pempe ad EG, & ex-
ponatur aliquod cor
pus K, eiu$dem gene-
ris cum corporibus
A, B C, cuius graui-
tas $it æqualis ip$i
GF, & à corpore BC,
auferatur aliqua
pars HC, quæ $it mi-
nor corpore K, ita vt reliquæ pars. BL, $it commen$urabilis ip$i A. &
$it partis HC, grauitas IF, ergo reliquæ partis BL, grauitas erit EI.
Quoniam igitur corpus A, commen$urabile e$t ip$i BL,* erit vt A, ad<MARG>E<I>x an-
teced<*></I></MARG>
BL, ita D, ad EI, $ed vt A, ad BC, ita e$t D, ad EG, atque A, primus,
proportionalium terminus in $erie prima, * maiorem habet ratio-<MARG><*> 5.
<I>Elem.</I></MARG>
nem ad BL, $ecundum terminum, quam A, primus terminus in $erie
$ecunda ad BC, $ecundum; ergo & D, tertius terminus in $erie prima
ad EI, quartum, maiorem habebit rationem quam D, tertius termi-
nus in $erie $ecunda ad EG, quartum, quoniam igitur D, maiorem<MARG>10. 5.
<I>Elem.</I></MARG>
habet rationem ad EI, quam ad EG,* erit EI, minor quam EG, quod
e$t ab$urdum. non igitur e$t vt A, ad BC, ita D, ad minorem quam EF.
<p>Deinde $it vt A, ad BC, ita D, ad maiorem quam EF, nempe ad
<FIG>
EG, & expo$ito cor-
pore K, vt dictum
e$t, cuius grauitas,
$it æqualis grauita-
ti FG, addatur cor-
pori BC, aliquod
corpus CH, quod $it
minus corpore K, &
eiu$dem generis cú
corporibus A, BC,
ita vt totum corpus
BL, $it commen$urabile ip$i A, & $it ip$ius CH, grauitas FI, ergo to-
tius corporis BL, grauitas erit EI; Quoniam igitur corpori A, com-
men$urabile e$t corpus BL,* erit vt A, ad BL, ita D, ad EI, $ed vt A, ad<MARG><I>Ex an
teced..</I>
<*><I>Ele</I></MARG>
BC, ita e$t D, ad EG, atque A, primus proportionalium terminus in
$erie prima, * minorem habet rationem ad BL, $ecundum terminum,
<foot>A 2</foot>
<p n=>4</p>
quam A, primus terminus in $erie $ecunda ad BC, $ecundum, ergo, &
D, tertius terminus in $erie prima ad EI, quartum, minorem habebi<*>
rationem quam D, tertius terminus in $erie $ecunda ad EG, quartum.
Quoniam igitur D, minorem habet rationem ad EI, quam ad EG,
<MARG>10. 5.
<I>Elem.</I></MARG> erit * EI, maior quam EG, quod e$t ab$urdum. Non igitur e$t vt A,
ad BC, ita D, ad maiorem quam EF, o$ten$um autem e$t neque ad mi-
norem; quare vt A, ad BC, ita erit D, ad EF. & incommen $urabilia igi-
tur corpora eiu$dem generis eandem in grauitate rationem habent,
quam in magnitudine, quod erat demon$trandum.
<p>ID QVOD nos duobus præcedentibus Theorematis de-
mon$trauimus, nõnulli, vt per $e notum, & vt commune quod-
dam axioma $upponunt, quam bene & rationabiliter ip$i vide-
rint; melius enim Euclides propo$itionem 20. primi libri Ele-
mentorum $uppo$ui$$et vt pronunciatum; vnicuique enim no-
tius e$t duo trianguli latera reliquo e$$e maiora (cum & Afino
illud $it notum) quam corpora grauia ciu$dem generis eandem
in grauitate rationem habere, quam in magnitudine, & tamen
illam propo$itionem demon$trat Euclides, non $upponit, non
igitur hæc, quæ minus ad principij rationem accedit, $uppo-
nenda fuit, $ed demon$tranda.
<HEAD>THEOREMA IV. PROPOS. IV.</HEAD>
<p>Si quatuor corporum grauium primum ad $ecundũ
eandem in magnitudine rationem habeat, quam
tertium ad quartum, primum autem, & $ecundum $int
eiu$dem generis, itidem tertium, & quartum; & in gra-
uitate primum ad $ecundum eandem rationem habebit,
quam tertium ad quartum.
<p>PRIMVM enim A, ad $ecundum B, eandem in magnitudine ra-
tionem habeat, quam tertium C, ad quartum D, $int autem A, B,
eiu$dem generis, itidem C, D. Dico. & in grauitate primum A, ad
$ecundum B, eandem rationem habere, quam tertium C, ad D, quar-
tum. Sint enim earum grauitates E, ip$ius A, & F, ip$ius B, ip$ius
vero C, $it grauitas G, & ip$ius D, grauitas H, quoniam igitur cor-
<p n=>5</p>
<FIG>
pora A, B, eiu$dem $unt generis,
$imiliter, & corpora C, D,* erit
vt A, ad B, ita E, ad F,* & vt<MARG>2. & <*>.
<I>huius</I></MARG>
C, ad D, ita G, ad H. Sed poni-
tur vt A, ad B, ita e$$e C, ad D,
ergo vt E, ad F, ita erit G, ad
H. Si igitur quatuor corporum
grauium, primum ad $ecundum
eandem in magnitudine ratio-
nem habeat: etcæt. quod demon-
$trare oportebat.
<HEAD>THEOREMA V. PROPOS. V.</HEAD>
<p>Solida corpora liquido grauiora demi$$a in liquidum
ferentur deoríum, donec de$cendant, & erunt in li-
quido tanto leuiora, quanta e$t grauitas liquidi magni-
tudinem habentis $olido corpori æqualem.
<p>HOC autem demon$tratum e$t ab Archimede propo$.7. primi li-
bri de ijs, quæ vehuntur in aqua.
<HEAD>THEOREMA VI. PROPOS. VI.</HEAD>
<p>Si quatuor grauium corporum primum, & $ecundum
fuerint magnitudine æqualia, tertium vero, & quar-
tum æque grauia, fuerint autem primum, & tertium
eiu$dem generis, itidem $ecundum, & quartum; erit, vt
grauitas corporis primi, ad grauitatem $ecundi, ita gra-
uitas liquidi æqualis magnitudine corpori quarto, ad gra
uitatem liquidi tertio corpori æqualis.
<p>SINT quatuor corpora A, B, C, D, quorum A, primum, & B, $e-
cundum $int magnitudine æqualia, tertium vero C, & D, quartum
æque grauia, $int autem A, & C, eiu$dem generis, itidem B, & D. Di-
co vt grauitas corporis A, ad grauitatem corporis B, ita e$$e grauita-
tem liquidi æqualis magnitudine corpori D, ad grauitatem liquidi
magnitudine corpori C, æqualis. Accipiantur enim tria eiu$dem ge-
<p n=>6</p>
neris liquidi corpora E, F, G, quorum E, $it æquale corpori A, vel B,
<FIG>
magnitudine, ip$um vero F, æqua
le corpori C, & ip$um G, æquale
corpori D. Quoniam igitur e$t vt
D, ad G, ita B, ad E, æquale vi-
delicet ad æquale, erit permutan-
do vt D, ad B, ita G, ad E, & quo-
niam $unt eiu$dem generis corpo
ra D, B, $imiliter & corpora G, E,
<MARG>2. & 3.
<I>huius.</I></MARG> erit * vt grauitas corporis D, hoc
e$t ip$ius C, ponuntur enim æque
grauia corpora C, D, ad grauita-
tem corporis B, ita liquidi G, gra-
uitas ad grauitatem liquidi E.
Similiter quoniam e$t vt A, ad E,
ita C, ad F, æquale videlicet ad
æquale, erit permutando vt A, ad
C, ita E, ad F, & quoniam ponuntur eiu$dem generis corpora A, C,
<MARG>2. & 3.
<I>buius.</I></MARG> itidem E, F,* erit vt grauitas corporis A, ad grauitatem ip$ius C, ita
liquidi E, grauitas ad grauitatem liquidi F, $ed vt grauitas corporis
C, ad grauitatem corporis B; ita e$t grauitas liquidi G, ad grauita-
<MARG>23. 5.
<I>Elem.</I></MARG> tem liquidi E, vt e$t demon$tratum, ergo * in perturbata proportione
erit vt grauitas corporis A, ad ip$ius corporis B, grauitatem, ita liqui
di G, grauitas, ad grauitatem liquidi F. $i igitur quatuor grauium
corporum primum, & $ecundum, & c. quod erat demon$trandum.
<HEAD>THEOREMA VII. PROPOS. VII.</HEAD>
<p>Si quatuor grauium corporum primum, & $ecundũ,
fuerint magnitudine æqualia, tertium vero, & quar-
tum æque grauia, fuerint autem primum, & tertium
eiu$dem generis, itidem $ecundum, & quartum; primum
ad $ecundum eandem in grauitate rationem habebit,
quam habet in magnitudine quartum ad tertium.
<p>SINT quatuor grauia corpora A, B, C, D, quorum A, primum,
& B, $ecundum $int magnitudine æqualia, tertium vero C, & D, quar-
tum æque grauia, $int autem A, & C, eiu$dem generis, itidem B, &
D. Dico corpus A, eandem in grauitate rationem habere ad corpus
<p n=>7</p>
B, quam corpus D, habet in magnitudine ad C, corpus. Sit enim li-
<FIG>
quidi magnitudine æqualis corpo-
ri C, grauitas E, $imiliter, & liqui-
di æqualis magnituline corpori D,
grauitas F, quoniam igitur gra-
uia corpora eiu$dem generis, ean-
dem in magnitudine rationem* ha-<MARG>2. & 3.
<I>huius.</I></MARG>
bent, quam in grauitate, erit vt ma-
gnitudo liquidi æqualis corpori D,
ad magnitudinem liquidi æqualis
corpori C, hoc e$t, vt magnitudo
corporis D, ad magnitudinem cor-
poris C, ita grauitas F, ad grauita-
tem E, $ed vt grauitas F, ad grauitatem E, * ita e$t grauitas corporis<MARG><I>Ex an-
teced.</I>
11. 5.
<I>Elem.</I></MARG>
A, ad grauitatem corporis B,* ergo vt grauitas corporis A, ad graui-
tatem corporis B, ita erit magnitudo corporis D, ad corporis C, ma-
gnitudinem. Si quatuor igitur grauium corporum primum, & $ecun-
dum, & c. quod erat demon$trandum.
<HEAD>PROBLEMA I. PROPOS. VIII.</HEAD>
<p>Propo$itis duobus corporibus magnitudine æquali-
bus, vno $olido, altero liquido, data $olidi corporis
grauitate, grauitatem liquidi inuenire.
<FIG>
<p>SINT duo propo$ita corpo-
ra magnitudine æqualia A, B,
quorum A, $it $olidum, B, vero
liquidum, & $it $olidi data graui-
tas CD, Oportet inuenire quan-
ta erit grauitas liquidi B. Si $o-
lidum A, grauius $it liquido, de-
mittatur in liquidũ, & habeat in
liquido grauitatem ED, quoniam
igitur $olidum A, grauius e$t li-
quido, demi$$um in liquidum
erit* in liquido tanto leuius, quã-<MARG><*></MARG>
ta e$t grauitas liquidi magnitu-
dine æqualis $olido A, $ed $olidũ
A, leuius e$t in liquido, quanta
<p n=>8</p>
e$t grauitas CE, ergo grauitas liquidi magnitudine æqualis $olido A,
erit CE.
<p>Si vero $olidum A, $it leuius liquido, accipiatur aliquod aliud cor-
pus $olidum F, grauius liquido, ita vt $olidum con$tans ex vtri$que
$olidis A, F, demi$$um in liquidum feratur deor$um, & $it $olidi F,
grauitas DG, item eiu$dem $olidi F, in liquido videlicet exi$tentis $it
<MARG>5.<I>huius</I></MARG> grauitas HG,* ergo liquidi magnitudine æqualis $olido F, erit gra-
uitas DH.
<p>Et quoniam $olidi A, grauitas e$t CD, $olidi vero F, grauitas DG,
erit vtrorumque $olidorum A, F, grauitas CG. coniungantur $olida
A, F, & $olidum ex vtri$que con$tans demittatur in liquidum, & ha-
beat in liquido grauitatem GI, (habebit autem in liquido minorem
grauitatem, quam $olum $olidum F, quoniam $olidum F, grauius li-
quido fertur deor$um nullo prohibente, & coniunctum cum $olido A,
leuiori liquido ab eo $u$tinetut, ne deor$um feratur tãta vi, qua $eiun-
ctum) quoniam igitur $olidi, quod con$tat ex vtri$que $olidis A, F,
<MARG>5.<I>huius</I></MARG> grauitas e$t CG, in liquido vero exi$tentis grauitas GI, * erit liquidi
habentis magnitudinem æqualem vtri$que $olidis A, F, grauitas CI,
$ed grauitas liquidi æqualis magnitudine $olido F, e$t DH, ergo reli-
qui liquidi æqualis $olido A, erit grauitas CD, IH, $ed liquidum B,
æquatur magnitudine $olido A, ergo grauitas liquidi B, erit CD, IH,
inuenta igitur e$t liquidi corporis B, grauitas CD, IH, de qua quæ-
rebatur.
<p>Placet huic Problemati exemplum apponere, vt vnicuique
etiam di$ciplinæ Mathematicæ experto ad v$um pateat adi-
tus; quare etiam $equentibus Problematis apponemus $imilia
exempla.
<HEAD>Exemplum.</HEAD>
<p>Qvidam proponit aliquod corpus $olidum notæ
grauitatis, & vult $cire quanta erit grauitas liqui-
di, magnitudinem habentis propo$ito Corpori $olido æ-
qualem.
<p><I>Sit primum propo$itum aliquod corpus plumbeum A, euius graui-
tas $it</I> 23. <I>& oporteat $cire quanta erit grauitas aquæ magnitudinem
habentis æqualem propo$ito plumbo A, ponderetur plumbum A, in
aqua (modum quo ponderanda $int corpora $olida in aqua, inferius
apponemus) & habeat grauitatem</I> 21. <I>quoniam igitur numerus</I> 23.
<p n=>9</p>
<I>juperat numerum</I> 21, <I>numero 2, erit grauitàs aquæ magnitudinem
babentis æqualem plumbo A, 2.</I>
<p>Eadem via omnium liquidorum inuenitur grauitas, quan-
do nimirum corpus $olidum $it grauius liquido, cuius liquidi
quærenda e$t grauitas, hoc e$t quando corpus $olidum demi$-
$um in liquidum feratur deor$um.
<p>Quando vero corpus $olidum fuerit leuius liquido, hoc e$t
demi$$um in liquidum non de$cendat, per adiectionem alicuius
alius $olidi corporis liquido grauioris, quæ$ita liquidi grauitas
inuenietur.
<p><I>Sit igitur propo$itum aliquod ccreum corpus A, cuius grauitas $it</I>
21. <I>& oporteat $cire quanta erit grauitas aquæ magnitudinem haben-
tis æqualem ceræ A. Quoniam cera leuior est, quam aqua, $i demitta-
<*>ur in aquam non feretur deor$um, accipiatur aliquod corpus $olidum
F, grauius quam aqua, ita vt corpus constans ex vtri$que corporibus
A, F, demi$$um in aquam feratur deor$um, $it igitur corpus F, plum-
beum, cuius grauitas $it v.g.</I> 23, <I>& eiu$dem in aqua ponderati</I> 21,
<I><*>go aquæ magnitudinem habentis æqual&etilde; plumbo F, erit grauitas</I> 2,
<p><I>Et quoniam ceræ A, grauitas est</I> 21, <I>plumbi vero F,</I> 23, <I>erit vtro-
rumque corporum A, F, ceræ nimirum, & plumbi grauitas</I> 44, <I>coniun
gatur cera, & plumbum, & ita coniuncta ponderentur in aqua, &
habeant grauitatem</I> 20, <I>quoniam igitur numerus</I> 44, <I>$uperat nume-
rum</I> 20, <I>numero</I> 24, <I>erit grauitas aquæ habentis magnitudinem æqua-
lem vtri$que corporibus ceræ & plumbi</I> 24, <I>$ed grauitas aquæ magni-
tudinem habentis æqualem plumbo F, est</I> 2, <I>ergo reliquum quod est</I>
22, <I>erit grauitas, aquæ magnitudine æqualis propo$itæ ceræ A.</I>
<p>At vero $i propo$itum fuerit aliquod corpus $olidum ma-
gni ponderis, ita vt difficile po$$it ponderari in aqua, hac via
inuenietur aquæ quæ$ita grauitas.
<p><I>Sit aliquod corpus plumbeũ A, cuius grauitas</I> 2300, <I>& oporteat in
uenire grauitatem aquæ magnitudinem habentis æqual&etilde; plumbo A,
accipiatur aliquod paruum plumbi corpus F, cuius grauitas $it v.g.</I>
23, <I>& inueniatur grauitas aquæ magnitudine æqualis plumbo F, vt
dictum est, quæ $it.</I> 2, <I>& fiat vt</I> 23, <I>ad</I> 2, <I>ita</I> 2300, <I>ad alium numerum
qui $it</I> 200. <I>grauitas igitur aquæ magnitudinem habentis æqualem
plumbo A, erit</I> 200.
<p><I>Similiter $it aliquod cereum corpus A, cuius grauitas</I> 2100, <I>& opor
teat facere, quod imperatum e$t. accipiatur aliquod paruum ceræ cor-
pus F, cuius grauitas $it v.g.</I> 21, <I>& inuenta grauitate aquæ magni-</I>
<foot><I>B</I></foot>
<p n=>10</p>
<I>tudinem habentis æqualem ceræ F, quæ $it</I> 12, <I>fiat vt</I> 21, <I>ad</I> 22, <I>ita</I>
2100, <I>ad alium numerum qui $it</I> 2200; <I>erit igitur grauitas aquæ ma
gnitudinem habentis æqualem ceræ A,</I> 2200.
<p>Neque nece$$e e$t, vt illud corpus $olidum magni ponderis
reip$a proponatur, $ufficit enim vt eius grauitas notificetur
numero tantum.
<p>Si autem propo$itum fuerit inuenire quanta erit graui-
tas argenti viui magnitudine æqualis propo$ito corpori $o-
lido A; ratione qua $upra, non inuenietur ip$a grauitas, quo-
niam nullum corpus demi$$um in argentum viuum fertur
deor$um, ni$i aurum, aurum vero in ip$o argento viuo perrum-
pitur, $ed qua ratione inuenienda $it ip$a argenti viui graui-
tas, dicemus ad finem exempli propo$itionis decimæquartæ.
<p>Quomodo ponderanda $int corpora $olida in aqua.
<p>C<I>orpus quod ponderandum proponitur $eta equina ex altera li-
bræ lance appendatur, in altera lance ponantur pondera, & cor-
pus appen$um demittatur in aquam, ita vt in aqua libere pendeat, ne-
que lancem, cui appen$um est corpus, neque aliam in qua $unt ponderã
aqua contingat, & ita ponderetur propo$itum corpus, ac $i in aere pen
deret.</I>
<p><I>Dixi $eta e quina corpus ponder andum debere appendi, quia fere
æque grauis e$t atque aqua, & ideo nihil addet, vel minuet grauita-
tis in ip$o corpore ponderando.</I>
<p><I>Quod $i corpus ponderandum fuerit, tam graue, vt $eta $implici $u-
stineri nequeat, appendatur pluribus $imuliunctis $etis, & ne aliquid
grauitatis $etarum coniunctio addat corpori ponderando, ponantur
in altera lance totidem $etæ æquales eis, quæ ex lance, cui appen$um e$t
corpus pendent, v$que ad corpus appen$um, hac igitur $etarum addi-
tione æque ponderabunt lances, & quamuis illæ $etæ, quibus appen-
$um est corpus, $int longiores, quam aliæ alteri lanci addilæ, longitudi-
ne partium, quibus ligatum est corpus, tamen quoniam illæ partes
æque graues $unt, atque aqua, exi$tentes cum ip$o corpore in aqua, nul-
lam gr auitatem habebunt, & ideo illæ $etæ, quæ alias $uperant dictis
partibus, & $i longiores, non erunt grauiores quam aliæ, existenti-
bus, nempe, vt dictum e$t, illis partibus cum ip$o corpore in aqua. Sic
igitur in aqua ponderanda erunt $olida corpora, quod animaduerti$$e
fuit operæ pretium.</I>
<p n=>11</p>
<HEAD>PROBLEMA II. PROPOS. IX.</HEAD>
<p>Propo$itis duobus corporibus magnitudine æquali-
bus, vno $olido, altero liquido, data corporis li-
quidi grauitate, grauitatem $olidi inuenire.
<p>SINT duo propo$ita corpora
magnitudine æqualia, A, quidem $o-
<FIG>
lidum, B, vero liquidum, $it autem li-
quidi B, data grauitas F, & oporteat
inuenire grauitatem $olidi A, accipia
tur aliquod corpus $olidum D, eiu$d&etilde;
generis, cum $olido A, cuius grauitas
$it H, deinde liquidi eiu$dem generis
cum liquido B, magnitudine æqualis
$olido D,* inueniatur grauitas quæ $it<MARG>8.<I>hu-
ius.</I></MARG>
G, & $iat vt G, ad H, ita F, ad aliam
grauitatem, quæ $it C. Dico $olidi A,
grauitatem e$$e C, accipiatur enim aliquod corpus liquidum E, eiu$-
dem generis cum liquido B, grauitatem habens æqualem $olido D.
Quoniam igitur $unt quatuor corpora grauia B, A, E, D, quorum pri-
mum B, & $ecundum A, $unt magnitudine æqualia, tertium vero E,
& quartum D, æquegrauia, & $unt eiu$dem generis corpora B, E, $i-
militer, & corpora A, D,*erit vt grauitas liquidi æqualis magnitudi-<MARG>6.<I>huius</I></MARG>
ne $olido D, hoc e$t vt G, ad grauitatem liquidi E; hoc e$t ad H, ponũ-
tnr enim æque grauia corpora D, E, ita grauitas F, ad $olidi A, graui-
tatem, $ed vt grauitas G, ad grauitatem H, ita e$t grauitas F, ad C,
grauitatem, ergo grauitas C, æqualis erit grauitati $olidi A. Inuenta
igitur e$t $olidi A, grauitas C, quod facere oportebat.
<HEAD>Exemplum.</HEAD>
<p>Qvidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
grauitatis, & vult $cire quanta erit grauitas alicu-
ius $olidi, magnitudinem habentis propo$ito Corpori li-
quido æqualem.
<p><I>Sitpropo$itum aliquod corpus aqueum B, euius grauitas $it 100. &</I>
<foot><I>B</I> 2</foot>
<p n=>12</p>
<I>oporteat $cire quanta erit grauitas plumbi magnitudinem babentis
æqualem propo$itæ aquæ B, verbi gratia $it vas aliquod plenum aqua,
cuius aquæ grauitas $it 100, & oporteat $cire, $i illud id&etilde; vas replea-
tur plumbo, quanta illius plumbi erit grauitas. Accipiatur aliquod
plumbeum corpus D, cuius grauitas $it</I> 23<I>, deinde aquæ magnitudin&etilde;
babentis æqualem plumbo D, inueniatur grauitas, quod quomodo fie-
ri oporteat iam dictum e$t in antecedentis problematis exemplo: $it igi
tur ea inuenta grauitas</I> 2<I>, & fiat vt</I> 2<I>, ad</I> 23<I>, ita</I> 100<I>, ad alium nume-
rum qui $it</I> 1150<I>, is igitur numerus erit grauitas plumbi magnitu-
dinem babentis propo$itæ aquæ B, æqualem, boc est illius plumbi, quod
in va$e continetur.</I>
<p>At vero $i propo$itũ fuerit inuenire quãta erit grauitas ceræ,
aut ligni, aut cuiu$cũque $olidi leuioris quam aqua, nihil diuer
$i in opere accidet, ni$i quod ratio inueniendi grauitatem
aquæ magnitudinem habentis æqualem corpori $olido leuio-
ri, quàm aqua, differt in aliquo à ratione, qua inuenitur graui-
tas aquæ magnitudinem habentis æqualem $olido corpori
grauiori, quam aqua, $ed vtramque rationem exemplo ante-
cedentis Problematis illu$trauimus, in eo enim $atis explica-
tum e$t de vtraque.
<p><I>Sed ne exemplorum inopia laborare videamur, $it inuenienda gra-
uitas ceræ magnitudinem babentis æqualem propo$itæ aquæ B, acci-
piatur aliquod cereum corpus D, cuius grauitas $it</I> 21, <I>deinde aquæ
magnitudinem babentis æqualem ceræ D, inueniatur grauitas, vt in
antecedentis Problematis exemplo dictum est, quæ grauitas $it</I> 22, <I>&
fiat vt</I> 22<I>, ad</I> 21<I>, ita</I> 100<I>, hoc est grauitas aquæ B, ad alium numerum
qui $it</I> 95 5/11. <I>is igitur numerus indicabit quanta erit grauitas ceræ
magnitudinem habentis æqualem propo$itæ aquæ B.</I>
<p>Similiter $i propo$itum liquidum corpus B, fuerit olei, aut
vini, aut cuiu$cumque liquidi, præter argenti viui, eadem om-
nino via, qua ante, inuenietur quæ$ita corporis $olidi grauitas,
$ed de argento viuo tractabimus ad finem propo$itionis deci-
mæ quartæ.
<HEAD>PROBLEMA III. PROPOS. X.</HEAD>
<p>Propo$itis duobus corporibus æque grauibus, vno
$olido, altero liquido, data $olidi corporis magnitu-
<p n=>13</p>
dine, magnitudinem liquidi inuenire.
<p>SINT duo propo$ita corpora
æque grauia, A, quidem $olidum B,
vero liquidum, $it autem $olidi A, da-
<FIG>
ta magnitudo C, & oporteat inuenire
quanta erit magnitudo liquidi B, Ac-
cipiatur aliquod corpus $olidum D,
eiu$dem generis cuni $olido A, & $it
eius grauitas G, & liquidi, quod $it E,
eiu$dem gener is cum liquido B, ma-
gnitudinem habentis æqualem $olido
D,* inueniatur grauitas quæ $it H, &<MARG>8.<I>huius</I></MARG>
fiat vt grauitas H, ad grauitatem G,
ita magnitudo C, ad aliam magnitudinem quæ $it F. Quoniam igitur
$unt quatuor corpora grauia E, D, B, A, quorum primum E, & $ecun-
dum D, $unt æqualia magnitudine, tertium vero B, & quartum A,
æque grauia, & $unt eiu$dem generis corpora E, B, $imiliter, & corpo-
ra D, A, *erityt grauitas H, ad grauitatem G, ita magnitudo C, ad li-<MARG>7.<I>huius</I></MARG>
quidi B, magnitudinem, $ed vt grauitas H, ad grauitatem G, ita e$t
magnitudo C, ad magnitudinem F, ergo magnitudo F, æqualis erit
magnitudini liqudi B, inuenta igitur e$t liquidi corporis B, magni-
tudo F, quod facere oportebat.
<p>Sed quoniam corporum regularium magnitudo quo-
que exprimitur latere eiu$dem corporis, vel diametro, $i
propo$ita duo corpora A, B, fuerint regularia, vtpote $ph&ecedil;
rica, fuerit autem $phæræ A, data diameter C, & oporteat
inuenire quanta erit diameter $phæræ B. ita faciendum
erit.
<p>Accepto, vt diximus, aliquo corpore $olido D, eiu$dem generis cũ
$phæra A, & inuenta grauitate liquidi E, vt $upra, fiat vt grauitas H,
ad grauitatem G, ita cubus ex C, ad alium cubum, cuius latus $it F,
dico ip$um latus F, æquale e$$e diametro $phæræ B. Quoniam enim
eadem ratione qua $upra demon$trabitur, vt grauitas H, ad grauita-
tem G, ita e$$e magnitudinem $phæræ A, ad $phæræ B, magnitudinem,
$ed magnitudo $phæræ A, ad magnitudinem $phæræ B,* triplicatam<MARG>18.12.
<I>Elem.</I></MARG>
rationem habet eius, quam C, diameter $phæræ A, ad diametrum
$phæræ B, $imiliter & cubus ex C, ad cubum ex diametro $phæræ B,
<p n=>14</p>
<MARG>33.12.
<I>Elem.</I></MARG> tripiicatam* rationem habet eius, quam C, ad diametrum $phæræ,
B, ergo vt grauitas H, ad grauitatem G, ita erit cubus ex C, ad cubum
ex diametro $phæræ B, $ed vt grauitas H, ad grauitatem G, $ta e$t cu
bus ex C, ad cubum ex F, ergo cubus ex F, æqualis erit cubo diame-
tri$phæræ B; quare & latus F, æquabitur $phæræ B, diametro. inuen-
ta igitur e$t quantitas diametri liquidæ $phæræ, B, quod facere opor-
tebat.
<HEAD>Exemplum.</HEAD>
<p>Qvidam proponit aliquod corpus $olidum notæ
magnitudinis, & vult $cire quanta erit magnitudo
alicuius liquidi, grauitatem habentis propo$ito corpori
$olido æqualem.
<p><I>Sit propo$itum aliquod corpus plumbeum A, cuius magnitudo $it</I>
10<I>, & oporteat $cire quanta erit magnitudo aquæ grauitatem baben-
tis æqualem propo$ito plumbo A, accipiatur aliquod corpus plumbeũ
D, cuius grauitas</I> 23<I>, deinde aquæ magnitudinem babentis æqualem
plumbo D, inueniatur grauitas, vt in exemplo propo$. 8. dictum e$t,
quæ $it</I> 2<I>, & fiat vt</I> 2<I>, ad</I> 23<I>, ita</I> 10<I>, ad alium numerum qui$it 115, is
igitur indicabit quanta erit magnitudo aquæ grauitatem babentis
æqualem propo$ito plumbo A.</I>
<p>Quod $i propo$itũ corpus plumbeum A $it regulare vt po-
te $phæricum, cuius $phæræ diameter $it 10, & oporteat inue-
nire quanta erit diameter $phæræ ex aqua, grauitatem haben-
tis æqualem propo$itæ $phæræ A, ita faciendum erit.
<p><I>Atcipiatur, vt diximus, aliquod corpus plumbeum D, cuius gra-
uitas</I> 23<I>, deinde aquæ babentis magnitudinem æqualem plumbo D,
inueniatur grauitas quæ $it</I> 2<I>, & fiat vt</I> 2<I>, ad</I> 23<I>, ita cubus ex</I> 10<I>, qui
e$t 1000, ad alium numerum qui $it</I> 11500<I>, is igitur numerus erit
cubus diametri $pbæræ ex aqua grauitatem babentis æqualem propo-
$itæ $phæræ A, quare eius latus cubicum, quod est</I> 22 57/100. <I>proximũ
vero indicabit ip$am diametrum.</I>
<p><I>Similiter $i propo$itum corpus plumbeum A, fuerit cubicum, vel
alicuius alterius formæ regularis, eadem ratione inueniemus latus cu
bi ex aqua grauitatem babentis æqualem propo$ito cubo A, nam $i cu-
bi A, datum $it latus</I> 10<I>, erit numerus 11500, cubus ex aqua æqualis
grauitate propo$ito cubo A, quare latus cubicum numeri</I> 11500<I>, quod</I>
<p n=>15</p>
<I>e$t</I> 22 17/100. <I>proximũ vero indicabit quæ$itum latus eubi ex aqua.</I>
<p>Neque di$$imili ratione inuenietur magnitudo olei, aut ar-
genti viui, aut cuiu$cumque generis liquidi grauitatem habe-
tis propo$ito corpori $olido æqualem, $ed quomodo inuenien-
da $it grauitas argenti viui magnitudinem habentis æqualem
corpori $olido, docebimus po$t exemplum propo$itionis de-
cimæ quartæ.
<HEAD>PROBLEMA IV. PROPOS. XI.</HEAD>
<p>Propo$itis duobus corporibus æque grauibus, vno $o
lido, altero liquido, data liquidi corporis magnitu-
dine, magnitudinem $olidi inuenire.
<p>SINT propo$ita duo corpora æ-
quæ grauia, A, quidem $olidum, B,
vero liquidum, $it autem, liquidi B;
<FIG>
data magnitudo F, & oporteat $olidi
A, magnitudinem inuenire. Accipia-
tur aliquod corpus $olidum D, eiu$d&etilde;
generis cum corpore $olido A, cuius
grauitas $it G, deinde liquidi quod $it
E, eiu$dem generis cum corpore liqui
do B, magnitudinem æqualem haben-<MARG>8.<I>huius</I></MARG>
tis $olido D, *inueniatur grauitas,
quæ $it H, & fiat vt grauitas G; ad gra-
uitatem H, ita F, magnitudo, ad aliam magnitudinem, quæ $it C;
quoniam igitur $unt quatuor corpora D, E, A, B, quorum primum D,
& $ecundum E, $unt magnitudine æqualia, tertium vero A, & quartũ
B, æquæ grauia, & $unt eiu$dem generis $olida D, A, $imiliter, & liqui-
da E, B,* erit vt grauitas G, ad grauitatem H, ita F, magnitudo ad ma<MARG>7.<I>huius</I></MARG>
gnitudinem $olidi A, $ed vt grauitas G, ad grauitatem H, ita e$t ma-
gnitudo F, ad C, magnitudinem, ergo magnitudo C, æqualis erit ma-
gnitudini corporis $olidi A, inuenta igitur e$t corporis $olidi A, ma-
gnitudo C, quod erat $aciendum.
<p>Qvod $i propo$ita duo corpora æque grauia A, B, fue
rint regularia vtpote $phærica, fuerit autem liqui-
<p n=>16</p>
dæ $phæræ B, data diameter F, & oporteat inuenire quan
ta erit diameter $olidæ $phæræ A, ita faciendum erit.
<p>Accepto vt $upra corpore $olido D, & liquid E, inuenta grauitate,
vt dictum e$t, fiat vt grauitas G, ad prauitatem H, ita cubus ex F, ad
alium cubum, cuius latus $it C, Quoniam igitur eadem ratione qua
fupra o$tendetut, vt grauitas G, ad grauitatem H, ita e$$e magnitudi-
nem $phæræ B, ad $phæræ A, magnitudinem, $ed magnitudo $phæræ B,
<MARG>18.12.
<I>Elem.</I></MARG> ad magnitudinem $phæræ A, *triplicatam rationem habet cius, quam
F, diameter $phæræ B, ad diametrum $phæræ A, $imiliter, & cubus ex
<MARG>33.11.
<I>Elem.</I></MARG> F, ad cubum ex diametro $phæræ A, triplicatã* rationem liabet eius,
quam F, ad diametrum $phæræ A, ergo, vt grauitas G, ad grauitat&etilde;
H, ita erit cubus ex F, ad cubum ex diametro $phæræ A, $ed vt graui-
tas G, ad grauitatem H, ita e$t cubus ex F, ad cubum ex C, ergo cubus
ex C, æqualis erit eubo diametri $phæræ A, quare, & latus C, æquabi-
tur ip$ius $phæræ A, diametro, inuenta igitur e$t quantitas diametri
$olidæ $phæræ A, quod facere oportebat.
<HEAD>Exemplum.</HEAD>
<p>Qvidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
magnitudinis, & vult inuenire quanta erit magni-
tudo alicuius $olidi grauitatem habentis propo$i-
to corpori liquido æqualem.
<p><I>Sit propo$itum aliquod corpus aqueum B, cuius magnitude $it 115,
& oporteat inuenire quanta erit magnitudo plumbi grauitatem ha-
bentis æqualem propo$itæ aquæ B, accipiatur aliquod corpus plumbeũ
D, cuius grauitas $it verbi gratia</I> 23<I>, deinde aquæ magnitudinem ba-
bentis æqualem plumbo D, inueniatur grauitas quæ $it</I> 2. <I>id autem do-
cuit propo$itionis octauæ exemplum, & fiat vt</I> 23<I>, ad</I> 2<I>, ita 115, ad
alium numerum qui $it</I> 10<I>, is igitur numerus indicabit quanta erit
magnitudo plumbi grauitatem babentis æqualem propo$itæ aquæ B.</I>
<p>Quod $i propo$itum corpus aqueum B, $it $phæricum, cuius
$phæræ diameter $it 10, & oporteat inuenire quanta erit dia-
meter $phæræ ex plumbo, grauitatem habentis æqualem pro-
po$itæ $phæræ B, ita faciendum erit.
<p><I>Accepto, vt diximus aliquo corpore plumbeo D, cuius grauitas</I> 23,
<I>& aquæ magnitudinem babentis æqualem plumbo D, inuenta graui-</I>
<p n=>17</p>
<I>tate 2, fiat vt</I> 23<I>, ad</I> 2<I>, ita cubus ex</I> 10<I>, boc est</I> 1000<I>, ad alium nume-
rum qui $it</I> 86 22/2<*><31> <I>is igitur numerus erit cubus diametrs $pbæræ ex
plumbo, grauitatem æqualem babentis propo$ite ex aqua $pbæræ B,
quare eius latus cubicum, quod est</I> 4 41/100<31> <I>ferè, indicabit ip$am
diametrum.</I>
<p><I>Similiter $i propo$itum corpus aqueum B, fuerit cubicum, vel alicu
las alterius formæ regularis, eadem ratione vtemur ad inueniendum
latus cubi ex plumbo, grauitatem babentis æqualem propo$ito ex aqua
<*>bo B, nam $i ex aqua cubi B, datum $it latus</I> 10<I>, erit numerus</I>
86 22/2<*><31> <I>cubus ex plumbo æqualis grauitate propo$ito ex aqua cubo B,
quare latus cubicum numeri</I> 86 22/2<*><31> <I>quod e$t</I> 4 41/100<31> <I>ferè, indicabit
quæ$itum latus cubi ex plumbo.</I>
<p>Neque di$$imili ratione inuenienda erit magnitudo auri,
argenti, ceræ, aut cuiu$cunque $olidi, grauitatem habentis
propo$ito corpori liquido æqualem.
<HEAD>PROBLEMA V. PROPOS. XII.</HEAD>
<p>Propo$itis duobus $olidis corporibus magnitudine
æqualibus, data grauitate vnius, grauitatem al-
terius inuenire.
<p>SINT propo$ita duo corpora $o-
lida magnitudine æqualia A, B, $it au-
<FIG>
tem vnius, vtpote ip$ius A, data gra-
uitas C, & oporteat inuenire grauita-
tem ip$ius B. Accipiatur aliquod $oli-
dum corpus D, eiu$dem generis cum
corpore $olido A, cui æquale grauita-
te accipiatur alterum E, eiu$dem ge-
neris cum corpore B, deinde liquidi
magnitudine æqualis corpori D, *in-<MARG>8.<I>huius</I></MARG>
ueniatur grauitas, quæ $it G, item li-
quidi eiu$dem generis, æqualis ma-
gnitudine corpori E,* inueniatur grauitas, quæ $it H, & $iat vt H, ad<MARG>5.<I>huius</I></MARG>
G, ita C, ad aliam grauitatem, quæ $it F. Quoniam igitur $unt qua-
tuor corpora A, B, D, E, quorum A, B, primum videlicet, & $ecundum
$unt æqualia magnitudine, tertium vero D, & E, quartum æque gra-
uia, & $unt eiu$d&etilde; generis $olida A, D, itidem $olida B, E, *erit vt gra-<MARG>6.<I>huius</I></MARG>
uitas C, ad $olidi B, grauitatem, ita grauitas H, ad grauitatem G, $ed
<foot>C</foot>
<p n=>18</p>
vt grauitas H, ad grauitat&etilde; G, ita e$t grauitas C, ad F, grauitatem; er-
go grauitas F, æqualis erit grauitati $olidi B, inuenta igitur e$t cor-
poris $olidi B, grauitas F, quod $acere oportebat.
<p>Hoc Problema magni momenti e$t, pleri$que artificibus
maximo v$ui e$$e pote$t. in arte fu$oria propo$ito operis modu
lo, ex illius grauitate, facile metalli ad opus faciendum, gra-
uitatem inueniet, $i enim hoc ignoret artifex, periculum e$t, ne
metallum, aut deficiat, vel $i multum e$t, ob nimiam graui-
tatem difficile tractetur.
<p>Neque tormenti bellici magi$tro inutile erit, is enim cogni-
ta grauitate alicuius globi, exempli gratia ex plumbo, $tatim
alterius globi eiu$dem magnitudinis, vel $it ex lapide, vel ex
fcrro, vel ex quacunque alia materia, grauitatem inueniet.
<HEAD>Exemplum.</HEAD>
<p>Qvidam proponit aliquod corpus $olidum notæ
grauitatis, & vult $cire quanta erit grauitas alicu-
ius $olidi, alterius generis, magnitudinem habentis pro-
po$ito corpori $olido æqualem.
<p><I>Sit propo$itum aliquod corpus plumbeum A, cuius grauitas $it</I>
1150<I>, & oporteat inuenire quanta erit grauitas stanni magnitudin&etilde;
babentis æqualem propo$ito plumbo A. Accipiantur duo corpora æque
grauia, D, plumbeum, E, stinncum, deinde duarum quantitatum,
aquæ, quarum una $it æqualis magnitudine plumbo D, altera $tanno
E, inueniãtur grauitates, quæ $int, primæ videlicet quantitatis aquæ</I>
74, <I>$ecundæ vero</I> 115<I>, & fiat vt</I> 115<I>, ad</I> 74<I>, ita</I> 1150<I>, ad alium nume-
rum, qui $it</I> 740<I>, is igitur numerus indicabit grauitatem stanni, ma-
gnitudinem babentis propo$ito plumbo A.</I>
<p>Etiam $i non accipiantur duo corpora, plumbeum videlicet
& $tanneum, æque grauia, $ed grauitate quacunque, grauitas
$tanni magnitudinem habentis æqualem propo$ito plumbo
D, inuenietur $ic.
<p><I>Accipiantur duo corpora D, plumbeum, E, $tanneum grauitate
quacunque, $it vcrbi gratia plumbi D, grauitas</I> 23<I>, $tanni vero E,
grauitas</I> 37<I>, deinde duarum quantitatum aquæ, quarum vna $it ma-
gnitudine æqualis plumbo D, altera stanno E, inueniantur graui-
tates, quæ $int, primæ videlicet quantitatis</I> 2<I>, $ecundæ vero</I> 5<I>, & fiat,</I>
<p n=>19</p>
<I>ot 23, ad 2, ita 37, ad</I> 3 5/21. <I>grauitas igitur aquæ, magnitudinem
babentis æqualem plumbo, cuius grauitas est 37, erit</I> 3 5/21.
<p><I>Et quoniam aquæ, magnitudinem babentis æqualem stanno E, cu-
ius grauitas est 37, e$t grauitas</I> 5, <I>erunt grauitates duarum quan-
titatum aquæ</I> 3 5/21, & 5, <I>quarum quantitatum prima e$t æqualis
magnitudine corpori plumbeo, $ecunda stanneo, que $unt æque gra-
uia, vtriu$que enim grauitas est</I> 37. <I>Fiatigitur vt</I> 5, <I>ad</I> 3 5/21, <I>it a</I>
1150, <I>ad alium numerum, qui $it</I> 740, <I>tantaigitur erit grauitas
$tanni, magnitudinem babentis æqualem propo$ito plumbo A, quanta
<*>iam inueniebatur & $upra.</I>
<p>Quod $i propo$itum $it cereum corpus aliquod, aut cuiu$-
cunque generis $olidi, $iue leuioris quam aqua, $iue grauio-
ris, & oporteat inuenire grauitatem alicuius $olidi alterius
generis, magnitudine æqualis propo$ito corpori $olido. Ea-
dem ratione qua $upra inuenietur quæ$ita $olidi grauitas, $ed
hoc $olum animaduertendum e$t, quod non eadem ratione
inuenitur grauitas aquæ, magnitudinem habentis æqualem
propo$ito cuiu$cunque generis $olido, alia enim tenenda e$t
ratio ad inueniendam grauitatem prædictæ aquæ, quando
propo$itum $olidum $it grauius quam aqua, alia vero quando
leuius, $ed $iue $it leuius, $iue grauius, de inuentione huiu$-
modi grauitatis, in exemplo propo$itionis octauæ, $atis e$t ex-
plicatum.
<HEAD>PROBLEMA VI. PROPOS. XIII.</HEAD>
<p>Propo$itis duobus $olidis corporibus æque graui-
bus, data magnitudine vnius, magnitudinem alte-
rius inuenire.
<p>SINT propo$ita duo corpora $olida æque grauia A, B, $it au-
<*>m vnius, vtpote ip$ius A, data magnitudo C, & oporteat inueni-
re magnitudinem ip$ius B, Accipiatur aliquod $olidum corpus D,
ciu$dem generis cum $olido A, & $it eius grauitas G, deinde $olidi
corporis quod $it E, eiu$dem generis cum $olido B, magnitudine
æqualis ip$i D, inueniatur grauitas, quæ $it H, hoc autem, Proble-
ma antecedens docuit, & fiat vt grauitas H, ad grauitatem G, ita
magnitudo C, ad aliam magnitudinem, quæ $it F. Quoniam igitur
<foot>C 2</foot>
<p n=>20</p>
$unt quatuor corpora grauia E, D, B,
A, quorum E, D, primum videlicet,
<FIG>
& $ecundum, $unt æqualia magnitu-
dine, tertium vero B, & quartum A,
æquegrauia, & $unt eiu$dem generis
corpora E, B, $imiliter & corpora
<MARG>7.<I>huius</I></MARG> D, A, * erit vt grauitas H, ad graui-
tatem G, ita magnitudo C, ad corpo-
ris B, magnitudinem, $ed vt grauitas
H, ad grauitatem G, ita e$t magnitu-
do C, ad F, magnitudinem, ergo ma-
gnitudo F, æqualis erit magnitudini
corporis B. inuenta igitur e$t corporis B, magnitudo F, quod facere
oportebat.
<p>Quod $i propo$ita duo corpora æque grauia A, B, fue
rint regularia, vtpote $phærica, fuerit autem $phæræ A,
data diameter C, & oporteat inuenire, quanta erit dia-
meter $phær&ecedil; B, ita faciendum erit.
<p>Accepto corpore $olido D, & inuenta $olidi corporis E, grauita-
te, vt $upra dictum e$t, fiat vt grauitas H, ad grauitatem G, ita cu-
bus ex C, ad alium cubum, cuius latus $it F. Quoniam igitur eadem
ratione, qua $upra, demon$trabitur, vt grauitas H, ad grauitatem G,
ita e$$e magnitudinem $phæræ A, ad $phæræ B, magnitudinem, $ed
<MARG>18.12.
<I>Elem.</I></MARG> magnitudo $phæræ A, ad $phæræ B, magnitudinem*triplicatam ra-
tionem habet eius, quam C, diameter $phæræ A, ad diametrum $phæ-
<MARG>33.11.
<I>Elem.</I></MARG> ræ B. Similiter & cubus ex C, ad cubum, ex diametro $phæræ B, *tri-
plicatam rationem habeteius, quam C, ad $phæræ B, diametrum; er-
go vt grauitas H, ad grauitatem G, ita erit cubus ex C, ad cubum ex
diametro $phæræ B, $ed vt grauitas H, ad grauitatem G, ita e$t cubus
ex C, ad cubum ex F; ergo cubus ex F, æqualis erit cubo diametri
$phæræ B; quare & latus F, æquabitur $phæræ B, diametro. inuenta
igitur e$t quantitas diametri $phæræ B, quod facere oportepat.
<p>Neque hoc Problema inutile erit tormenti bellici magi$tro,
is enim cognita diametro alicuius globi, excmpli gratia, ex
plumbo, $tatim alterius globi eandem habentis grauitatem,
diametrum inueniet, $it globus ille, vel ex lapide, vel ex fer-
ro, vel ex quocunque alio $olidorum genere.
<p n=>21</p>
<HEAD>Exemplum.</HEAD>
<p>Qvidam proponit aliquod corpus $olidum notæ
magnitudinis, & vult inuenire, quanta erit magni
tudo alicuius $olidi alterius generis, grauitatem
habentis propo$ito corpori $olido æqualem.
<p><I>SIT propo$itum aliquod corpus plumbeum A, cuius magnitudo</I>
740, <I>& oporteat inuenire quanta erit magnitudo $tanni, grauita-
tem babentis æqualem propo$ito plumbo A. Accipiatur aliquod cor-
pus plumbeum D, cuius grauitas $it 115, deinde stanni, magnitudi-
ne æqualis plumbo D, inueniatur grauitas, quæ $it</I> 74, <I>quod quomo-
do fieri oportent, dictum est in antecedentis Problematis exemplo, &
fiat vt</I> 74, <I>ad</I> 115. <I>ita</I> 740, <I>ad alium numerum qui $it</I> 1150, <I>is igitur
numcrus indicabit quanta erit magnitudo $tanni, grauitatem baben
tis æqualem propo$ito plumbo A.</I>
<p>Quod $i propo$itum corpus plumbeum A, $it $phæricum, cu
ius $phæræ diameter $it 10, & oporteat inuenire quanta erit
diameter $phæræ ex $tanno, grauitatem habentis æqualem
propo$itæ $phæræ A, ita faciendum erit.
<p><I>Accipiatur vt diximus aliquod corpus plumbeum D, cuius graui-
tas $it 115, & $tanni, magnitudinem babentis æqualem plumbo D, in-
ueniatur grauitas, quæ $it</I> 74. <I>& fiat vt 74, ad</I> 115, <I>ita cubus ex 10,
qui e$t 1000, ad alium numerum qui $it</I> 1554 2/17, <I>is igitur numerus
erit cubus diametri $pbæræ ex stanno, grauitatem babentis æqualem
propo$itæ ex plumbo $phæræ A, quare eius latus cubicum, quod est</I>
11 52/100, <I>vero proximum, indicabit ip$am diametrum.</I>
<p><I>Similiter $i propo$itum corpus plumbeum A, fuerit cubicum, vel
alicuius alterius formæ regularis, eadem ratione inuenietur latus cu
bi ex stanno, grauitatem bab<*>ntis æqualem propo$ito plumbto cu-
bo A, $i enim ip$ius cubi plumbti A, datum $it latus 10, erit numerus</I>
1554 2/17<31> <I>cubus ex $tanno æqualis grauitate propo$ito plumbeo Cu
bo A, quare latus. cubitum numeri</I> 1554 2/17<31> <I>quod est</I> 11 52/100<31> <I>pro
ximum vero; indicabit quæ $itum latus.</I>
<p>Neque di$$imili ratione inuenienda erit magnitudo auri,
argenti, cæræ, aut cuiu$cumque $olidi, grauitatem habentis
propo$ito corpori $olido æqualem.
<p n=>22</p>
<HEAD>PROBLEMA VII. PROPOS. XIV.</HEAD>
<p>Propo$itis duobus liquidis corporibus magnitudine
&ecedil;qualibus, data grauitate vnius, grauitatem alte-
rius inuenire.
<FIG>
<p>SINT propo$ita duo cor-
ra liquida, magnitudine æqualia
A, B, $it autem vnius, vtpote li-
quidi A, data grauitas G, &
oporteat alterius liquidi B, gra-
uitatem inuenire. Accipiatur
aliquod corpus $olidum C, & li-
quidi, quod $it H, eiu$dem ge-
neris cum liquido A, magnitu-
<MARG>2.<I>huius</I></MARG> dine æqualis $olido C, *inuenia-
tur grauitas, quæ $it D, $imiliter
& liquidl, quod $it I, ciu$dem
generis cum liquido B, magni-
tudine æqualis eidem $olido C,
<MARG>3.<I>huius</I></MARG> * inueniatur grauitas, quæ $it E,
& fiat vt D, ad E, ita G, ad aliam grauitatem, quæ $it F. Quoniam
igitur e$t vt A, ad B, ita H, ad I, æquale videlicet ad æquale, erit per-
mutando vt A, ad H, ita B, ad I, & quoniam eiu$dem $unt generis cor-
<MARG>4.<I>huius</I></MARG> pora A, H, $imiliter & corpora B, I, * erit vt grauitas G, ad grauita-
tem D, ita liquidi B, grauitas, ad grauitatem E, & permutando vt
grauitas G, ad grauitatem liquidi B, ita D, grauitas, ad grauitatem
E, $ed vt grauitas D, ad grauitatem E, ita e$t grauitas G, ad graui-
tatem F; ergo grauitas F, æqualis erit grauitati liquidi B. inuenta
igitur e$t liquidi corporis B, grauitas F, quod facere oportebat.
<HEAD>Exemplum.</HEAD>
<p>Qvidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
grauitatis, & vult $cire, quanta erit grauitas alte-
rius liquidi, magnitudinem habentis propo$ito corpori
liquido æqualem.
<p><I>Sit propo$itum aliquod olei corpus A, cuius grauitas</I> 550, <I>&
oporteat inuenire, quanta erit grauitas aquæ, magnitudinem haben-</I>
<p n=>23</p>
<I>tis æqualem propo$ito oleo A, Accipiatur aliquod corpus $olidum C,
vtpote plumbeum, & aquæ, magnitudinem babentis æqualem plumb<*>
C, inueniatur grauitas, quæ $it 12, vt in exemplo propo$. 8. dictũ e$t.
Similiter & olei, magnitudinem æqualem babentis, eidem plumbo C,
inueniatur grauitas, quæ $it 11, & fiat, vt</I> 11, <I>ad</I> 12, <I>ita 550, ad aliũ
numerum qui $it</I> 600. <I>is igitur numerus indicabit quanta erit graui-
tas aquæ, magnitudinem babentis æqualem propo$ito oleo A.</I>
<p><I>Si vero propo$itum $it aliquod argenti viui corpus A, cuius
grauitas</I> 95, <I>& oporteat inuexire, quanta erit grauitas aquæ, magni-
tudincm babentis æqualem propo$ito argento viuo A. Accipiatur ali-
quod vas vitreum mundum, & politum, cuius grauitas $it v. g.</I> 91.
<I>ip$umq; vas plenum aqua ponderetur in aqua, & babeat grauitatem</I>
55, <I>quoniam igitur numerus</I> 91, <I>$uperat numerũ</I> 55, <I>numero</I> 36, <I>* erit</I><MARG>5.<I>huiu</I></MARG>
<I>grauitas aquæ, magnitudinem babentis æqualem ip$i va$i, hoc est $oli-
ditati ip$ius va$is</I> 36, <I>ponatur deinde in ip$um vas propo$itum argen-
tum viuũ A, nihil interest, vt vas $it plenum, vel non, & quoniam ar
genti viui A, grauitas est</I> 95, <I>& va$is vitrei grauitas</I> 91, <I>erit argenti
viui $imul cum ip$o va$e, grauitas</I> 186. <I>ponderetur itaque ip$um vas,
$imul cum argento viuo A, in aqua, ita vt aqua repleat va$is partem
vacuam, & $it va$is grauitas in aqua $imul cum argento viuo</I> 143,
<I>quoniam igitur numerus</I> 186, <I>$uperat numerum</I> 143, <I>numero</I> 43, <I>* erit</I><MARG>5.<I>huiu</I></MARG>
<I>grauitas aquæ, magnitudin&etilde; bib&etilde;tis æqualem argento viuo, $imul cũ
va$e</I> 43, <I>$ed grauitas aquæ babentis magnitudinem æqualem va$i est</I>
36, <I>ergo reliquum quod est</I> 7, <I>erit grauitas aquæ, magnitudinem ba-
bentis æqualem propo$ito argento viuo A.</I>
<p>Sed $i propo$itum fuerit aliquod magnum argenti viui cor
pus, ita vt difficile po$$it ponderari in aqua, hac via inuenietur
aquæ quæ$ita grauitas.
<p><I>Sit propo$itum aliquod magnum argenti viui corpus A, cuius gra-
uitas</I> 5700. <I>& oporteat facere, quod imperatum e$t. Accipiatur ali-
quod paruum argenti viui corpus C, cuius grauitas $it</I> 95, <I>& aquæ,
magnitudinem babentis æqualem argento viuo C, inueniatur graui-
tas, eo modo quo dictum est, quæ $it</I> 7, <I>& $iat vt</I> 95, <I>ad</I> 7, <I>ita</I> 5700, <I>ad
alium numerum, qui $it</I> 420, <I>is igitur numerus indicabit quanta erit
grauitas aquæ, magnitudinem babentis æqualem propo$ito argento
viuo A.</I>
<p><I>Contra, $it propo$itum aliquod corpus aqueum A, cuius grauitas</I>
420, <I>& oporteat inuenire quanta erit grauitas argenti viui, magni-
tudine æqualis propo$itæ aquæ A. facto, vt $upra, & inuenta graui-
tate</I> 7, <I>aquæ $cilicet magnitudinem babentis æqualem arg&etilde;to viuo C,</I>
<p n=>24</p>
<I>flat vt</I> 7, <I>ad</I> 95, <I>ita</I> 420, <I>ad alium numerum, qui $it</I> 5700, <I>is igi-
tur indicabit quanta erit grauitas argenti viui, magnitudine æqua-
lis propo$itæ aquæ A.</I>
<p>Inueniemus etiam aliter, & expeditius grauitatem
aquæ, magnitudinem habentis æqualem propo$ito ar-
gento viuo A.
<p><I>Accipiatur enim aliquod corpus aurcum, cui $uperinducatur ce-
rea tunica tenui$$ima, ne fiat argento viuo leuius, neue ab eod&etilde; di$$ol-
uatur, deinde aquæ, magnitudinem babentis æqualem ip$i corpori au
reo inueniatur grauitas, vt dictum est in propo$.</I> 8. <I>exemplo, quæ $it</I> 7,
<I>$imiliter & argenti viui, vt aquæ, magnitudinem babentis æqualem
eidem corpori aureo, inueniatur grauitas, quæ $it</I> 95, <I>& fiat vt</I> 95, <I>ad</I>
7, <I>ita</I> 5700, <I>ad</I> 420, <I>grauitas igitur aquæ, magnitudinem babentis æ-
qualem argento viuo A, erit</I> 420.
<p><I>Contra. $it propo$itum aliquod corpus aqueum, cuius grauitas</I>
420, <I>& oporteat inuenire, quanta erit grauitas argenti viui, magni-
tudine æqualis propo$itæ aquæ A. Superinducta corpori aureo cerea
tunica, vt $upra, & inuentis grauitatibus</I> 7, & 95, <I>aquæ nimirum, &
argenti viut, magnitudine æqualium prædicto aureo corpori, fiat vt</I>
7, <I>ad 95, ita</I> 430, <I>ad</I> 5700 <I>grauitas igitur argenti viui, magnitudin<*>
æqualis propo$ito corpori aqueo A, erit</I> 5700.
<p>Qua ratione inuenienda $it grauitas argenti viui, ma-
gnitudinem habentis propo$ito cuicunque corpori $oli-
do æqualem.
<p><I>Sit propo$itum aliquod corpus $olidum, vtpote plumbeum A, cuius
grauitas</I> 161, <I>& oporteat inuenire quanta erit grauitas argenti viui
magnitudine æqualis propo$ito plumbo A. inueniatur grauitas aquæ
magnitudinem babentis æqualem plumbo A, vt in exemplo propo$i-
tionis</I> 8, <I>dictum e$t, quæ $it</I> 14, <I>& inuenta grauitate argenti viui, ma-
gnitudine æqualis ip$i aquæ, ea erit de qua quæritur, $it enim inuen
ta argenti viui grauitas</I> 190. <I>Quoniã igitur argentum viuum, cuius
grauitas est</I> 190, <I>magnitudine æquatur aquæ, cuius grauitas e$t</I> 14,
<I>ip$ique aquæ æquatur magnitudine plumbum A, erit argentum vi-
uum, cuius grauitas 190, magnitudine propo$ito plumbo A, æquale;
quare inuenta est grauitas argenti viui, magnitudine æqualis propo-
$ito plumbo A, quod facere oportebat.</I>
<p>Quomodo inuenienda $it grauitas cuiu$cunque cor-
<p n=>25</p>
poris $olidi, magnitudinem habentis propo$ito corpori
ex argento viuo æqualem.
<p><I>Sit propo$itum aliquod corpus ex argento viuo A, cuius grauitas
190, & oporteat inuenire quanta erit grauitas plumbi, magnitudine
æqualis propo$ito argento viuo A. inueniatur grauitas aquæ, magni-
tudinem habentis æqualem argento viuo A, quæ $it</I> 14, <I>deinde inuen-
ta grauitate plumbi, magnitudine æqualis ip$i aquæ, vt in exemplo
propo$. 9. dictum est, ea erit de qua quæritur. $it enim inuenta plum-
bigrauitas</I> 161, <I>quoniam igitur aqua, cuius grauitas est</I> 14, <I>æqua-
tur magnitudine plumbo, cuius grauitas est</I> 161, <I>& æquatur quoque
argento viuo A, plumbum cuius grauitas e$t</I> 161, <I>æquabitur magni-
tudine argento viuo A. quare inuenta, e$t grauitas plumbi, magnitu-
dine æqualis propo$ito argento viuo A, quod facere oportebat.</I>
<HEAD>PROBLEMA VIII. PROPOS. XV.</HEAD>
<p>Propo$itis duobus liquidis corporibus æquè graui-
bus, data magnitudine vnius, magnitudinem alte-
rius inuenire.
<FIG>
<p>SINT propo$ita duo cor-
pora liquida æquè grauia A,
B, $it autem vnius vt pote li-
quidi A, data magnitudo G,
& oporteat inuenire quanta
erit magnitudo liquidi B. Ac-
cipiatur aliquod $olidum cor
pus C, & liquidi quod $it H,
eiu$dem generis cum liquido
A, magnitudinem habentis
æqualem $olido C, * inuenia-<MARG>8.<I>huius</I></MARG>
tur grauitas quæ $it D, $imili.
ter & liquidi, quod $it I, eiu$dé
generis cum liquido B, magni
tudinern habentis æqualem eidem $olido C, * inueniatur grauitas,<MARG>8.<I>huius</I></MARG>
quæ $it E, & fiat vt grauitas E, ad grauitatem D, ita magnitudo G, ad
ad aliam magnitadin&etilde;, quæ $ie F. Quoniam igitur $unt quatuor cor-
pora grauia I, H, B, A, quorum primum, & $ecundum $unt magnitu-
dine æqualia, tertium vero, & quartum æque grauia, & $unt eiu$dem
generis primum videlicet, & tertium, $imiliter eiu$dem generis $e-
<foot>D</foot>
<p n=>26</p>
<MARG>7.<I>huius</I></MARG> cundum & quartum, * Erit vt grauitas E, ad grauitatem D, ita ma-
gnitudo G, ad liquidi B, magnitudinem, $ed vt grauitas E, ad graui-
tatem D, ita e$t magnitudo G, ad F, magnitudinem; ergo magnitudo
F, æqualis erit magnitudini liquidi B. inuenta igitur e$t corporis li-
quidi B, magnitudo F, quod $acere oportebat.
<p>Quod $i propo$ita duo corpora æque grauia fuerint
regularia, vtpote $phærica, fuerit autem $ph&ecedil;ræ A, data
diameter G, & oporteat inuenire, quanta erit diameter
$phæræ B, ita faciendum erit.
<FIG>
<p>ACCEPTO aliquo cor
pore $olido C, & inuentis
grauitatibus D, E, liquidorũ
H, I, vt $upra, fiat vt grauitas
E, ad grauitatem D, ita cu-
bus ex G, ad alium cubum,
cuius latus $it F. Quoniam
igitur eadem ratione, qua
$upra o$tendetur, vt grauitas
E, ad grauitatem D, ita e$$e
magnitudinem $phæræ A, ad
$phæræ B, magnitudinem, $ed
magnitudo $phæræ A, ad
<MARG>18.12.
<I>Elem.</I></MARG> $phæræ B, magnitudinem; *
triplicatã rationem habet eius, quam G, diameter $phæræ A, ad dia-
metrum $phæræ B, $imiliter & cubus ex G, ad cubum diametri $phæ-
<MARG>33.11.
<I>Elem.</I></MARG> ræ B, * triplicatam rationem habet eius, quam G, ad $phæræ B, dia-
metrum; ergo vt grauitas E, ad grauitatem D, ita erit cubus ex G, ad
cubum diametri $phæræ B, $ed vt grauitas D, ita grauitatem D, ita
e$t cubus ex G, ad cubum ex F; ergo cubus ex F, æqualis erit cubo
diametri $phæræ B; quare & latus F, æquabitur diametro ip$ius $phæ
ræ B. inuenta igitur e$t quantitas diametri $phæræ B, quod facere
oportebat.
<HEAD>Exemplum.</HEAD>
<p>Qvidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
magnitudinis, & vult inuenire, quanta erit ma-
gnitudo liquidi alterius generis, grauitatem
<p n=>27</p>
<HEAD>habentis propo$ito corpori liquido æqualem.</HEAD>
<p><I>Sit propo$itum aliquod olei corpus A, cuius magnitudo</I> 600. <I>&
oporteat inuenire quanta srit magnitudo aquæ, grauitatem habentis
æqualem propo$ito oleo A, accipiatur aliquod $olidum corpus C, vt
pote plumbeum, & aquæ magnitudinem habentis æqualem plumbo
C, inueniatur grauitas, vt in exemplo prop.</I> 8, <I>dictum e$t, quæ $it</I> 12.
<I>$imiliter & olei æqudlem habentis magnitudinem eidem plumbo C,
inueniatur grauitas quæ $it 11, & fiat vt 12, ad</I> 11, <I>ita</I> 600, <I>ad alium
numerũ qui $it</I> 550. <I>is igitur numerus indicabit quanta erit magni-
tudo aquæ grauitatem habentis æqualem propo$ito oleo A.</I>
<p><I>Similiter $i propo$itũ $it aliquod corpus aqueum A, cuius magnitu
do</I> 5700, <I>& oporteat inuenire, quanta erit magnitudo argenti viui,
grauitatem habentis æqualem propo$itæ aquæ A. Accipiatur aliquod
corpus $olidum C $i aureum, $uper inducatur ei cerea tunica propter
iam dictã rationem, deinde argenti viui, magnitudine æqualis ip$i C,
inueniatur grauitas quæ $it</I> 95, <I>$imiliter & aquæ magnitudin&etilde; ha-
bentis equalem eidem C, inueniatur grauitas quæ $it</I> 7, <I>& $iat vt</I> 95,
<I>ad</I> 7, <I>ita</I> 5700, <I>ad alium numerum, qui $it</I> 420, <I>is igitur numerus in-
dicabit quanta erit magnitudo argenti viui grauitatem habentis
æqualem propo$itæ aquæ A.</I>
<p>Quod $i propo$itum corpus aqueum A, $it $phæricum, culus
$phæræ diameter $it 10, & oporteat inuenire quanta erit dia-
meter $phæræ ex argento viuo, grauitatem habentis æqualem
propo$itæ $phæræ A, ità faciendum erit.
<p><I>Accepto vt diximus aliquo corpore $olido C, & inuentis grauita-
tibus liquidorũ aquæ $cilicet & argent viui magnitudinem æqua-
lem habentium corpori C, quæ $int</I> 14, <I>grauitas aquæ, &</I> 190, <I>graui-
tas argenti viui, fiat vt</I> 190, <I>ad</I> 14, <I>ita cubus ex 10, hoc est ita 1000,
ad alium numerum, qui $it</I> 73 11/19, <I>is igitur numerus erit cubus dia-
metri $phæræ ex argento viuo, grauitatem habentis æqualem propo-
$itæ ex aqua $phæræ A: quare latus cubicum numeri</I> 73 11/19, <I>quod e$t</I>
4 19/100 <I>proxime indicabit ip$am diametrum.</I>
<p><I>Similiter $i propo$itum corpus aqueum A, fuerit cubicum, aut
alicuius alterius formæ regularis, eadem ratione, qua $upra inuenit-
tur latus cubi ex argento viuo, grauitate æqualis propo$ito ex aqua
cubo A, nam $i ip$ius cabi A, datũ $it latus</I> 10, <I>erit numerus</I> 73 11/19,
<I>cubus ex argento viuo æqualis grauitate propo$ito ex aqua cubo A;
quare latus cubicum numeri</I> 73 11/19, <I>quod est</I> 4 19/100 <I>proxime in-
dicabit quæ$itum latus cubi, ex argento viuo.</I>
<foot><I>D</I> 2</foot>
<p n=>28</p>
<p>Neque di$$imili ratione inuenietur magnitudo reliquo-
rum omnium liquidorum, grauitate propo$ito corpori cuiu$-
cumque generis liquidi, æqualium, quare dicta $ufficiant.
<p>Dvm adhuc Opu$culum $ub prælo e$$et, dubitandi an$am,
ex eo vir docti$simus, cui percurrendum illud tradi-
deram, arripuit, quod ex grauitate, corporum in aqua
exi$tentium, non po$$et vera ratio, quam habent diuer$a
ip$orum corporum genera in grauitate, deprehendi, ni$i
corpora fuerint $imilia. $i enim (aiebat) accipiantur duo
corpora eiu$dem generis, & grauitatis, quorum vnum $it
planum, alterum conicam formam habens, & ponderen-
tur in aqua, ita vt coni vertex deor$um ver$us <*> deat, ba$is
vero ip$ius coni, & latæ corporis plani $uperficies æquidi$tent
horizonti conus in aqua maiorem habebit grauitatem, cor-
pore plano, quia corpus planum magis ab aqua $u$tentatur,
quam conus, & hoc quidem manife$tum e$t, quoniam $i am-
bo demittantur eodem tempore in aquam, conus citius ad
imum de$cendet, quam corpus planum. Hoc argumentum
licet primo a$pectu probabile videatur, tamen fal$o concludit.
verum e$t quod aqua $u$tentat magis corpus planum, quam
conum, ip$um tamen $u$tentat, netanta velocitate feratur
deor$um, non ideo ip$ius grauitati aliquid detrahit, neque
enim ex velociori motu $impliciter inferri pote$t maior gra-
uitas, illud enim valeret etiam in aere, quod e$t fal$um, $ed
ne huiu$modi dubitatio veritatis $pccie aliquem decipiat, $e-
quenti Theoremate eam de$truere agrediar.
<HEAD>THEOR EMA VIII. PROPOS. XVI.</HEAD>
<p>Corpora eiu$dem generis, & grauitatis giauiora
quam aqua, et$i di$similia, æqualem in aqua
grauita tem habent.
<p>SINT duo eiu$dem generis, & grauitatis corpora A, B, grauiora
quam aqua, & $int di$$imilia, dico ip$a corpora æqualem in aqua
grauitatem habere. $it enim $i $ieri pote$t corpus A, leuius corpore B,
<p n=>29</p>
& accipiatur aliquod corpus L, leuius quam aqua, ita vt cum ip$i
corpori L, appendatur, corpus B, & ambo $imul demittantur in aquã,
$int æque grauia atque aqua, neque $ur$um, neque deor$um $eran-
tur, $imiliter accipiatur alterum corpus M, eiu$dem generis cum
corpore L, ip$ique $imile, &
<FIG>
æquale, & corpori M, appen
datur corpus A. Deinde in-
teligatur aqua con$i$tens, &
manens, eiu$que $uper$i-
cies $phærica C D E, cuius
$phæræ centrum K, aquæ
enim con$i$tentis, atque
manentis $uper$icies $phæ-
rica e$t, cui <*> $phæræ cen-
trum idem <*>, quod centrũ
terræ, hoc autem demon$tratum e$t ab Archimede Prop. 2. lib. 1. de
ijs, quæ vehuntur in aqua. Inteligantur etiam duæ pyramides con-
iunctæ, & continuatæ, æquales, & $imiles KCD, KDE, pro ba$ibus
habentes in $uper$icie aquæ parallelogramma, vertices autem pun-
ctum K, & corpora L, B, comprehendantur à pyramide KDE, corpo-
ra vero M, A, à pyramide KCD, & $ub corporibus L, B, de$cribatur
quædam alterius $phæræ $uper$icies FGH, in aqua, circa centrum K,
poterit autem huiu$modi $uper$icies $ub corporibus L, B, de$cribi,
quoniam & $i ip$i corpora demerguntur tota, non ideo feruntur
deor$um, ponuntur enim æque grauia atque aqua. Quoniam
igitur eiu$dem generis ponuntur corpora M, L, & æqualia, & $imilia,
erunt æque grauia, cum in aqua, tum in aere, & quoniam corpus
A, leuins e$t in aqua, corpore B, erunt corpora M, A, $imul, in aqua
leuiora corporibus L, B, $ed corpora L, B, $imul, æque grauia $unt at-
que aqua, ergo corpora M, A, $imul, leuiora erunt quam aqua; quare
corpus M, non demergetur totum, $ed aliqua pars ip$ius ex aquæ $u-
per$icie extabit.
<p>Et quoniam eiu$dem generis, & grauitatis ponuntur corpora A, B,
erunt magnitudine æqualia, & per additionem æqualium æquali-
bus, corpora M, A, erunt æqualia corporibus L, B,
<p>Quoniam igitur corpora M, A, æqualia $unt corporibus L, B, pars
autem corporis M, extat ex aquæ $uper$icie, & corpora L, B, tota de-
merguntur, minus loci ocupabunt in aqua corpora M, A, quam cor-
pora L, B, quare maior erit grauitas corporum M, A, & aquæ conti-
nentis ip$a corpora, quæ e$t in loco pyramidis CDGF, quam corpo-
rum L, B, & aquæ ip$a corpora contin&etilde;tis in loco pyramidis DEHG,
<p n=>30</p>
magis igitur aquæ pars premetur, quæ e$t $ub $uper$icie FG, quam
ca quæ e$t $ub $uper$icie GH; quare expellet partem minus pre$$am,
(æqualiter enim & continuatæ iacent inter $e$e) & nõ manebit aqua,
quod e$t ab$urdum, ponebatur enim manens. non igitur corpus A,
leuius e$t in aqua corpore B. eadem ratione o$tendetur neque corpus
B, leuius e$$e in aqua corpore A, quare con$tat propo$itum.
<HEAD>ALITER.</HEAD>
<p>Sint duo eiu$dem generis, & grauitatis corpora A, B, grauiora
quam aqua, & $int di$$imilia. o$tendendum e$t ip$a corpora æqualem
in aqua grauitatem habere, $it enim corporis A, vel ip$ius B, graui-
tas CD, aquæ vero magni-
<FIG>
tudinem habentis æqua-
lem ip$i A, vel B, $it graui-
tas C, & accipiatur ali-
quod corpus L, leuius quã
aqua, cuius grauitas $it
ip$i C, æqualis, aquæ ve-
ro, magnitudinem haben-
tis æqualem corpori L, $it
grauitas æqualis ip$i CD,
itaque appen$o corpore
B, corpori L, corpus ex
vtri$que con$tans æque graue erit atque aqua, grauitas enim vtro-
runque corporum B, L, e$t æqualis vtri$que grauitatibus CD, & C, &
grauitas aquæ, magnitudinem habentis æqualem vtri$q; corporibus
L, B, æqualis e$t ei$dem grauitatibus CD, & C, corpora igitur B, L,
demi$$a in aquam, neque $ur$um, neque deor$um ferentur, quia cor-
pus B, grauius quam aqua fertur dcor$um tanta vi, quanta à corpo-
re <I>L,</I> $ur$um retrahitur.
<p>Rur$us accipiatur alterum corpus $olidum M, eiu$dem generis
cum corpore L, ip$ique $imile, & æquale, & corpore A, appen$o ip$i
M, & demi$$is ambobus in aquam, eadem ratione qua $upra o$ten-
detur, corpora A, M, $imul, e$$e æque grauia atque aqua, & corpus
A, tanta vi deor$um ferri, quanta retrahitur $ur$um à corpore M,
$ed corpora M, L, æqualem vim habent retrahendi $ur$um, cum
$int eiu$dem generis, & æqualia, & $imilia, ergo æquali vi retra-
hentur corpora A, B, ne de$cendant; quare con$tat ip$a corpora A,
B, æqualem in aqua grauitatem habere quod erat o$tendendum.
<p n=>31</p>
<HEAD>THEOREMA IX. PROPOS. XVII.</HEAD>
<p>Sphære eiu$dem generis inter $e $unt in grauitate, vt
diametrorum cubi in magnitudine.
<p>SINT $phæræ eiu$dem gene-
<FIG>
ris ABC, DEF, quarum diame-
tri BC, EF. dico vt $ph&ecedil;ra ABC,
$e habet in grauitate, ad $phæram
DEF, ita $e habere in maguitudi-
ne cubum ex BC, ad cubum ex
EF, $it enim $phæræ ABC, graui-
tas G, & $phæræ DEF, grauitas H,
quoniam igitur eiu$dem generis
ponuntur $phæræ ABC, DEF,
erit^{*} vt $phæra ABC, ad $phæram DEF, ita grauitas G, ad H, graui-<MARG>2. & 3.
<I>huius.</I></MARG>
tatem, $ed $phæra ABC, ad $phæram DEF,^{*} triplicatam habet ra-<MARG>18. 12.
<I>Elem.</I></MARG>
tionem eius, quam diameter BC, ad EF, diametrum, orgo & graui-
tas G, ad grauitatem H, triplicatam habebit rationem eius, quam
habet BC, ad EF, $ed & cubus ex BC, ad cubum ex EF,^{*} triplicatam<MARG>33. 11.
<I>Elem.</I></MARG>
rationem habeteius, quam BC, ad EF, ergo vt grauitas G, ad graui-
tatem H, ita erit cubus ex BC, ad cubum ex EF. $phæræ igitur eiu$-
dem generis inter $e $unt in grauitate, vt diametrorum cubi in ma-
gnitudine, quod erat demon$trandum.
<p n=>32</p>
<HEAD>Ad comparandum inter $e duodecim corporum genera
grauitate, & magnitudine tabella.</HEAD>
<TABLE>
<ROW><COL></COL><COL>A wũ</COL><COL>Ar. Vi.</COL><COL>Plum.</COL><COL>Arg.</COL><COL>Aes.</COL><COL>Ferrũ.</COL><COL>Stann.</COL><COL>Mel.</COL><COL>Aqua.</COL><COL>Vinũ.</COL><COL>Cera.</COL><COL>O<*></COL></ROW>
<ROW><COL>Olcum.</COL><COL>20 8/11</COL><COL>14 62/77</COL><COL>12 6/11</COL><COL>11 3/11</COL><COL>9 9/11</COL><COL>8 8/11</COL><COL>8 4/55</COL><COL>1 32/55</COL><COL>1 1/11</COL><COL>1 4/55</COL><COL>1 5/111</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>Cera.</COL><COL>19 19/21</COL><COL>14 32/147</COL><COL>12 1/21</COL><COL>10 52/63</COL><COL>9 9/21</COL><COL>8 8/21</COL><COL>7 89/103</COL><COL>1 109/210</COL><COL>1 1/21</COL><COL>1 23/420</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>Vinum.</COL><COL>19 19/59</COL><COL>13 331/413</COL><COL>11 41/59</COL><COL>10 30/59</COL><COL>9 9/59</COL><COL>8 8/59</COL><COL>7 31/59</COL><COL>1 28/59</COL><COL>1 1/59</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>Aqua.</COL><COL>19</COL><COL>13 4/7</COL><COL>11 1/2</COL><COL>10 1/3</COL><COL>9</COL><COL>8</COL><COL>7 2/5</COL><COL>1 9/10</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>Mel.</COL><COL>13 3/29</COL><COL>9 73/203</COL><COL>7 27/29</COL><COL>7 11/87</COL><COL>6 6/19</COL><COL>5 15/29</COL><COL>5 3/29</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>Stannum.</COL><COL>2 11/37</COL><COL>1 221/259</COL><COL>1 41/74</COL><COL>1 44/111</COL><COL>1 8/37</COL><COL>1 3/37</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>Ferrum.</COL><COL>2 3/8</COL><COL>1 39/56</COL><COL>1 7/16</COL><COL>1 7/24</COL><COL>1 1/8</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>Aes.</COL><COL>2 1/9</COL><COL>1 12/63</COL><COL>1 5/18</COL><COL>1 4/27</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>Argentum.</COL><COL>1 26/31</COL><COL>1 68/217</COL><COL>1 7/62</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>Plumbum.</COL><COL>1 15/23</COL><COL>1 29/161</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>Arg. Viuũ.</COL><COL>1 38/<*>5</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>Aurum.</COL><COL>1</COL></ROW>
</TABLE>
<p><I>Quæro exempli gratia, quam habet rationem in grauitate plumbum ad aurum. In-
teligatur plumbum, quoniam leuius est auro, grauitatem habere 1, & in linea plumbi,
in prima columna nominati $ub titulo auri, quæratur aurt grauitas, ea erit</I> 1 11/21. <I>plum
bum igitur ad aurum rationem habebit in grauitate vt 1, ad 1 1<*>/21, $i enim $umantur
duo corpora magnitudine æqualia, vnum plumbeum alterum aureum, $it autem plum
bei corporis grauitas</I> 1, <I>aurei erit</I> 1 1<*>/21, <I>quare corpus plumbeum ad rorpus aureum
eiu$dem magnitudinis rationem habebit in grauitate vt 1, ad 1 1<*>/21. comparantur an-
tem inter $e genera diuer$a grauitate, in corporibus magnitudine æqualibus.</I>
<p><I>Rur$us, quæro quam habet rationem in grauitate aqua ad argentum viuum. inteli-
gatur aqua, vt leuior argento viuo grauitatem habere 1, & in linea aqua, $ubtitulo ar-
genti viui, quæratur argenti viui grauitas, ea erit</I> 13 4/7, <I>aqua igitur ad argentum viuũ
rationem habebit in grauitate vt 1, ad 13 4/7.</I>
<p><I>Contra, quæro quomodo $e habent in magnitudine aurum, & plumbum. inteligatur
aurum, quoniam grauius e$t plumbo, magnitudinem habere 1, & in linea plumbi, $ub ti-
tulo auri, quæratur plumbi magnitudo, ea erit 1 1<*>/21, aurum igitur ad plumbum $e ba-</I>
<p n=>33</p>
<I><*>bit in magnitudine vt 1, ad 1 19/21, $i enim $umantur duo corpora æque grauia, vnum
aureum, alterum plumbeum, $it autem corporis aurei magnitudo 1, plumbei erit 1 1<*>/21,
quare corpus aureum ad corpus plumbeum eiu$dem grauitatis $e habebit in magnitu di-
ne vt 1, ad 1 19/21, comparantur autem inter $e genera diuer$a magnitudine, in corpori-
bus æque grauibus.</I>
<p><I>Quæro denique quomodo $e habent in magnitudine ferrum, & aqua, ponatur ferrum,
vt grauius aqua, magnitudinem habere 1, & in linea aquæ, $ub titulo ferri, quæratur
aquæ magnitudo, ea erit</I> 8, <I>ferrum igitur ad aquam $e habebit in magnitudine vt 1, ad</I> 8.
<HEAD>Altera, ad comparandum inter $e duodecim corporum genera,
grauitate, & magnitudine, tabella.</HEAD>
<TABLE>
<ROW><COL></COL><COL>Oleũ.</COL><COL>Cera.</COL><COL>Vinũ.</COL><COL>Aqua.</COL><COL>Mel.</COL><COL>Stann.</COL><COL>Ferrũ.</COL><COL>Aes.</COL><COL>Arg.</COL><COL>Plum.</COL><COL>Ar Vi.</COL><COL>Aurũ.</COL></ROW>
<ROW><COL>Aurum.</COL><COL>4 47/57</COL><COL>5 5/209</COL><COL>5 10/57</COL><COL>5 5/19</COL><COL>7 12/19</COL><COL>38 18/19</COL><COL>42 2/19</COL><COL>47 7/19</COL><COL>54 22/57</COL><COL>60 10/19</COL><COL>71 3/7</COL><COL>100</COL></ROW>
<ROW><COL>Arg. Viuũ.</COL><COL>6 43/57</COL><COL>7 7/109</COL><COL>7 14/57</COL><COL>7 7/19</COL><COL>10 13/19</COL><COL>54 10/19</COL><COL>58 18/19</COL><COL>66 6/19</COL><COL>76 8/57</COL><COL>34 14/19</COL><COL>100</COL></ROW>
<ROW><COL>Plumbum.</COL><COL>7 67/69</COL><COL>8 76/253</COL><COL>8 38/69</COL><COL>8 16/23</COL><COL>12 19/23</COL><COL>64 8/23</COL><COL>69 13/23</COL><COL>78 6/23</COL><COL>89 59/69</COL><COL>100</COL></ROW>
<ROW><COL>Argentum.</COL><COL>8 17/31</COL><COL>9 81/341</COL><COL>9 16/31</COL><COL>9 21/31</COL><COL>14 1/31</COL><COL>71 19/31</COL><COL>77 13/31</COL><COL>87 3/31</COL><COL>100</COL></ROW>
<ROW><COL>Aes.</COL><COL>10 5/27</COL><COL>10 20/33</COL><COL>10 25/27</COL><COL>11 1/9</COL><COL>16 1/9</COL><COL>82 2/9</COL><COL>88 8/9</COL><COL>100</COL></ROW>
<ROW><COL>Ferrum.</COL><COL>11 11/24</COL><COL>11 41/44</COL><COL>12 7/24</COL><COL>12 1/2</COL><COL>18 1/8</COL><COL>92 1/2</COL><COL>100</COL></ROW>
<ROW><COL>Stannum.</COL><COL>12 43/111</COL><COL>12 366/407</COL><COL>13 32/111</COL><COL>13 19/37</COL><COL>19 27/37</COL><COL>100</COL></ROW>
<ROW><COL>Mel.</COL><COL>63 19/87</COL><COL>65 265/319</COL><COL>67 71/87</COL><COL>68 28/29</COL><COL>100</COL></ROW>
<ROW><COL>Aqua.</COL><COL>91 2/<*></COL><COL>95 5/11</COL><COL>98 1/3</COL><COL>100</COL></ROW>
<ROW><COL>Vinum.</COL><COL>93 13/59</COL><COL>97 47/649</COL><COL>100</COL></ROW>
<ROW><COL>Cera.</COL><COL>96 2/63</COL><COL>100</COL></ROW>
<ROW><COL>Oleum.</COL><COL>100</COL></ROW>
</TABLE>
<p><I>Quæro exempli gratia, quæ nam $it ratio in grauitate, auri ad argentum. intelliga-
tur aurum, quoniam grauius est argento, grauitatem habers 100, & in line a auri, $ub
titulo argenti, reperietur argenti grauitas</I> 54 22/57, <I>aurum igitur ad argentum rationem
habebit in grauitate vt</I> 100, <I>ad</I> 54 22/57, <I>$ienim $umantur duo corpora, magnitudine
aqualia, vnum aureum, alterum argenteum, $it autem aurei corporis grauitas</I> 100, <I>erit</I>
<foot>E</foot>
<p n=>34</p>
<I>argentei</I> 54 22/57, <I>quare corpus aureum ad corpus argenteum eiu$dem
magnitudinis, rationem habebit in grauitate, vt</I> 100, <I>ad</I> 54 22/57.
<p><I>Quæro, quomodo $e habet in grauitate aqua ad vinum. quoniam
æqua grauior est vino, intelligatur eius grauitas</I> 100, <I>& quoniam in
linea aquæ, $ub titulo vint, datur vini grauitas</I> 98 <*>, <I>aqua ad vinum
$e habebit in grauitate, vt</I> 100, <I>ad</I> 98 <*>.
<p><I>Contra quæro quomodo $e habent in magnitudine argentum, &
aurum. intelligatur argentum, vt leuius auro, magnitudinem balere</I>
100, <I>& in linea auri $ub titulo argenti, quæratur auri magnitudo, <*>
erit</I> 54 22/57, <I>argentum igitur ad aurum $e habebit in magnitudine, vt</I>
100, <I>ad</I> 54 22/57, <I>$i enim $umantur duo corpora æque grauia, vnum
argenteum, alterum aureum, $it autem argentei corporis magnitudo</I>
100, <I>erit aurei</I> 54 22/57, <I>quare corpus argenteum, ad corpus aureum
eiu$dem grauitatis, $e habebit in magnitudine, vt 100, ad</I> 54 22/57.
<p><I>Quæro denique quomodo $e bab <*> in magnitudine aqua & ar-
gentum viuum. quoniam aqua leu<*> est argento viuo, intelligatur
eius magnitudo</I> 100, <I>& in linea argenti viui, $ub titulo aquæ, quæ-
ratur argenti viui magnitudo, & reperietur</I> 7 7/29, <I>aqua igitur ad
argentum viuum $e habebit in magnitudine, vt 100, ad</I> 7 7/29.
<p>Hic $equitur tabula, ad inueniendas $phærarum grauita-
tes, ex data diametrorum magnitudine, cuius hæc e$t
explicatio.
<p><I>In dimetiendis $pbærarum diametris vtimur pede Romano anti-
quo, cuius men$uram in margine appo$uimus, eaque re$pondet ad Ro-
mani palmi, quo bodie vtimur, men$uram vt 4, ad 3, buiu$modipe-
dem diuidimus in duodeeim partes æquales, $eu vncias, quas inutnies
in prima Columna $ub titulo magnitudinis.</I>
<p><I>Ponderibus autem vtimur bac nostra tempe$tate v$itatis, <*>bram
enim diuidimus in</I> 12, <I>vncias vnciam vero in</I> 24, <I>$crupula, & $cru-
pulum in</I> 24, <I>grana. Ad inueniendas igitur $pbærarum grauitates ex
data diametrorum magnitudine, bæc erit ratio.</I>
<p><I>Quæris grauitatem $pbæræ plumbeæ, diametrum habentis</I> 3, <I>vn-
ciarum, in$pice tabulam, & in linea trium vnciarum, $ub titulo gra-
uitatis plumbeæ $pbæræ, deprebendes ip$am $pbæram grauitætem ba-
bere lib.</I> 7, <I>vne.</I> 4, <I>$eru.</I> 13, <I>gran.</I> 22 29/57.
<p><I>Rur$us, quæris grauitatem $pbæræ aureæ, diametrum habentis</I> 6,
<I>vnciarum. in linea</I> 6, <I>vnciarum, $ub titulo grauitatis aureæ $pbæræ</I>
<p n=>35</p>
<I>datur quæ$ita grauitas lib.</I> 97, <I>vnc.</I> 6, <I>$crup. 19, gran.</I> 11 1/17.
<p><I>Quæris denique grauitatem $pbæræ stanneæ, diametrum habentis
vnius pedis. in linea vnius pedis, $eu 12, vnciarum, $ub titulo graui-
tatis $pbæræ $tanneæ, datur quæ$ita $pbæræ grauitas lib.</I> 304, <I>adun-
quem. Atque ita reliquarum $pbærarum in tabula nominatarum, ex
data diametrorum magnitudine, grauitates inuenies.</I>
<p>Qua ratione hanc Tabulam compo$uimus.
<p><I>Primum inueniendam curauimus grauitatem alicuius $pbæræ, da-
tem habentis diametrum, & ad boc faciendum, oportebat aliquam
$pbæram efficere, $ed quoniam ad illam efficiendam, exactam buman<*>
diligentia non $ufficit, fieri curauimus Cylindrum ex $tanno, altitu-
dine aqualem diametro circuli, qui ba$is e$t ip$ius Cylindri, is enim
torno $ieri pote$t multo exactior quam $pbæra, & facilius. huius au-
tem Cylindri altitudo, vel diameter ip$ius ba$is, erat duarum vncia-
rum prædicti pedis Romani, grauitas vero duarum librarum, cum
vna vncia, & octo $crupulis, $iue vt boc pondus ad grana reducamus,
Cylindri grauitas erat Gran. 14592. abstulimns ab bac Cylindri
grauitate partem tertiam. id est</I> 4864, <I>reliquum, quod est</I> 9728. <I>$er-
uauimus, pro grauitate $pbæræ, diametrum habentis æqualem altitu-
dini Cylindri, o$ten$um enim est ab Arcbimede propo$.</I> 32, <I>lib.</I> 1, <I>de
$pbæra, & Cylindro, Cylindrum, qui ba$im habeat maximo in $pbæra
circulo equalem, & altitudinem æqualem diametro $pbæræ, ad ip$am
$pbæram $e$quialterum e$$e; itaque grauitatem $pbæræ, diametrum
habentis duarum vnciarum inuenimus e$$e gran.</I> 9728.
<p><I>Inuenta igitur grauitate $pbæræ, cuius diameter est duarum vn-
ciarum, facile inuenientur reliquarum $pbærarũ grauitates, $i enim
inuenienda $it grauitas $pbæræ stannea habentis diametrum</I> 1/4. <I>vn-
ciæ, fiat vt cubus ex</I> 2, <I>ad cubum ex</I> 1/4, <I>hoc est vt</I> 512, <I>ad 1, ita</I> 9728,
<I>ad alium numerum, qui $it</I> 19, <I>$phæræ igitur cuius diameter e$t</I> 1/4,
<I>vnciæ, grauitas erit gran. 19, osten$um enim est prop. 17, huius, $phæ-
ras eiu$dem generis inter $e e$$e in grauitate, vt diametrorum cubi in
magritudine.</I>
<p><I>Rur$us $it inuenienda grauitas $phæræ stannæ habentis diame-
trum</I> 1/2, <I>vnciæ, fiat vt cubus ex</I> 1/4, <I>ad cubum ex</I> 1/2, <I>hoc est vt</I> 1, <I>ad</I> 8,
<I>ita</I> 19, <I>ad</I> 152, <I>$phæra igitur, cuius diameter e$t</I> 1/2, <I>vnciæ, habebit gra-
uitatem gran.</I> 152.
<p><I>Sit denique inuenienda grauitas $phæræ stannæ, diametrum ha-
bentis</I> 1/4, <I>vnciæ, fiat vt cubus ex</I> 1/4, <I>ad cubum ex</I> 1/4, <I>hoc e$t vt</I> 1, <I>ad</I> 27,
<I>ita</I> 19, <I>ad</I> 513, <I>grauitas igitur $phæræ habentis diametrum</I> 1/4, <I>vnciæ,</I>
<foot><I>E</I> 2</foot>
<p n=>36</p>
<p>Ad inueniendas $phæra-
diametrorum
T A B
<TABLE>
<ROW><COL>Diametri
magnitu-
do.</COL><COL>Aureæ $pheræ
grauitas.</COL><COL>Plumbeæ Sph&ecedil;ræ
grauitas.</COL><COL>Argentea Sphæræ
grauitas.</COL></ROW>
<ROW><COL></COL><COL>Lib. Vn. Scru. Gra.</COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gra.</COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gra.</COL></ROW>
<ROW><COL>1/4</COL><COL>0 0 2 29/37</COL><COL>0 0 1 5 39/74</COL><COL>0 0 1 2 59/111</COL></ROW>
<ROW><COL>1/2</COL><COL>0 0 16 6 10/37</COL><COL>0 0 9 20 8/37</COL><COL>0 0 8 20 28/111</COL></ROW>
<ROW><COL>3/4</COL><COL>0 2 6 21 6/37</COL><COL>0 1 9 5 17/74</COL><COL>0 1 5 20 13/37</COL></ROW>
<ROW><COL>1</COL><COL>0 5 10 2 6/37</COL><COL>0 3 6 17 27/37</COL><COL>0 2 22 18 2/111</COL></ROW>
<ROW><COL>1 1/4</COL><COL>0 10 14 1 36/37</COL><COL>0 6 9 18 65/74</COL><COL>0 5 18 4 49/111</COL></ROW>
<ROW><COL>1 1/2</COL><COL>1 6 7 1 11/37</COL><COL>0 11 1 17 31/37</COL><COL>0 9 22 18 30/37</COL></ROW>
<ROW><COL>1 3/4</COL><COL>2 5 1 4 31/37</COL><COL>1 5 13 23 57/74</COL><COL>1 3 19 4 35/111</COL></ROW>
<ROW><COL>2</COL><COL>3 7 8 17 5/37</COL><COL>2 2 5 21 31/37</COL><COL>1 11 14 0 16/111</COL></ROW>
<ROW><COL>2 1/4</COL><COL>5 1 17 19 14/37</COL><COL>3 1 8 19 63/74</COL><COL>2 9 13 21 18/37</COL></ROW>
<ROW><COL>2 1/2</COL><COL>7 0 16 15 29/37</COL><COL>4 3 6 7 1/37</COL><COL>3 10 1 11 59/111</COL></ROW>
<ROW><COL>2 3/4</COL><COL>9 4 17 11 8/37</COL><COL>5 8 <*> 12 35/74</COL><COL>5 1 7 9 52/111</COL></ROW>
<ROW><COL>3</COL><COL>12 2 8 10 14/37</COL><COL>7 4 13 22 26/37</COL><COL>6 7 14 6 18/37</COL></ROW>
<ROW><COL>3 1/4</COL><COL>15 6 1 17 36/37</COL><COL>9 4 14 22 65/74</COL><COL>8 5 4 17 76/111</COL></ROW>
<ROW><COL>3 1/2</COL><COL>19 4 9 14 26/37</COL><COL>11 8 15 22 6/37</COL><COL>10 6 9 10 58/111</COL></ROW>
<ROW><COL>3 3/4</COL><COL>23 9 2 5 10/37</COL><COL>14 5 0 5 53/74</COL><COL>12 11 10 23 34/37</COL></ROW>
<ROW><COL>4</COL><COL>28 10 21 17 3/37</COL><COL>17 5 23 6 26/37</COL><COL>15 8 16 1 13/111</COL></ROW>
<ROW><COL>4 1/4</COL><COL>34 8 2 10 27/37</COL><COL>20 11 20 10 21/74</COL><COL>18 10 7 5 46/111</COL></ROW>
<ROW><COL>4 1/2</COL><COL>41 1 22 11 1/37</COL><COL>24 10 22 14 30/37</COL><COL>22 4 15 3 33/37</COL></ROW>
<ROW><COL>4 3/4</COL><COL>48 4 21 23 36/37</COL><COL>29 3 14 13 65/74</COL><COL>26 3 22 11 86/111</COL></ROW>
</TABLE>
<p n=>37</p>
<p>rum grauitates ex data
magnitudine
V L A.
<TABLE>
<ROW><COL>Diametri
magnitu.</COL><COL>Aereæ Sphæræ
grauitas.</COL><COL>Ferreæ Sphæræ
grauitas.</COL><COL>Stanneæ $ph&ecedil;ræ
grauitas.</COL></ROW>
<ROW><COL></COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gran.</COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gra.</COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gra.</COL></ROW>
<ROW><COL>1/4</COL><COL>0 0 0 23 4/37</COL><COL>0 0 0 20 20/37</COL><COL>0 0 0 19</COL></ROW>
<ROW><COL>1/2</COL><COL>0 0 7 16 32/37</COL><COL>0 0 6 20 12/37</COL><COL>0 0 6 8</COL></ROW>
<ROW><COL>3/4</COL><COL>0 1 1 23 34/37</COL><COL>0 0 23 2 22/37</COL><COL>0 0 21 9</COL></ROW>
<ROW><COL>1</COL><COL>0 2 13 14 34/37</COL><COL>0 2 6 18 22/37</COL><COL>0 2 2 16</COL></ROW>
<ROW><COL>1 1/4</COL><COL>0 5 0 8 19/37</COL><COL>0 4 10 23 21/37</COL><COL>0 4 2 23</COL></ROW>
<ROW><COL>1 1/2</COL><COL>0 8 15 23 13/37</COL><COL>0 7 16 20 28/37</COL><COL>0 7 3 0</COL></ROW>
<ROW><COL>1 3/4</COL><COL>1 1 18 6 3/37</COL><COL>1 0 5 13 15/37</COL><COL>0 11 3 13</COL></ROW>
<ROW><COL>2</COL><COL>1 8 12 23 13/37</COL><COL>1 6 6 4 28/37</COL><COL>1 4 21 8</COL></ROW>
<ROW><COL>2 1/4</COL><COL>2 5 5 21 30/37</COL><COL>2 1 23 22 2/37</COL><COL>2 0 1 3</COL></ROW>
<ROW><COL>2 1/2</COL><COL>3 4 2 20 4/37</COL><COL>2 11 15 20 20/37</COL><COL>2 8 23 16</COL></ROW>
<ROW><COL>2 3/4</COL><COL>4 5 9 12 33/37</COL><COL>3 11 11 3 17/37</COL><COL>3 7 21 17</COL></ROW>
<ROW><COL>3</COL><COL>5 9 7 18 30/37</COL><COL>5 1 14 22 2/37</COL><COL>4 9 0 0</COL></ROW>
<ROW><COL>3 1/4</COL><COL>7 4 3 8 19/37</COL><COL>6 11 0 22 10/37</COL><COL>6 0 11 7</COL></ROW>
<ROW><COL>3 1/2</COL><COL>9 2 2 0 24/37</COL><COL>8 1 2 11 9/37</COL><COL>7 6 12 8</COL></ROW>
<ROW><COL>3 3/4</COL><COL>11 3 9 13 32/37</COL><COL>10 0 8 12 12/37</COL><COL>9 3 7 21</COL></ROW>
<ROW><COL>4</COL><COL>13 8 7 18 30/37</COL><COL>12 2 1 14 2/37</COL><COL>11 3 2 16</COL></ROW>
<ROW><COL>4 1/4</COL><COL>16 5 2 10 5/37</COL><COL>14 7 4 19 25/37</COL><COL>13 6 1 11</COL></ROW>
<ROW><COL>4 1/2</COL><COL>19 5 23 6 18/37</COL><COL>17 3 23 8 16/37</COL><COL>16 0 9 0</COL></ROW>
<ROW><COL>4 3/4</COL><COL>22 11 4 29 19/37</COL><COL>20 4 14 7 21/37</COL><COL>18 10 6 1</COL></ROW>
</TABLE>
<pb>
<TABLE>
<ROW><COL>Diametri
magnitu.</COL><COL>Aereæ Sphæræ
grauitas.</COL><COL>Ferreæ Sphæræ
grauitas.</COL><COL>Stanneæ $ph&ecedil;ræ
grauitas.</COL></ROW>
<ROW><COL>5</COL><COL>26 8 22 17 32/37</COL><COL>23 9 6 20 11/37</COL><COL>21 11 21 8</COL></ROW>
<ROW><COL>5 1/4</COL><COL>30 11 12 20 7/37</COL><COL>27 6 6 1 35/37</COL><COL>25 5 11 15</COL></ROW>
<ROW><COL>5 1/2</COL><COL>35 7 4 7 5/37</COL><COL>31 7 17 2 25/37</COL><COL>29 3 5 16</COL></ROW>
<ROW><COL>5 3/4</COL><COL>40 8 2 20 13/37</COL><COL>36 1 21 4 28/37</COL><COL>34 3 8 5</COL></ROW>
<ROW><COL>6</COL><COL>46 2 14 6 18/37</COL><COL>41 0 23 8 16/37</COL><COL>38 0 0 0</COL></ROW>
<ROW><COL>6 1/4</COL><COL>52 2 20 8 7/37</COL><COL>46 5 4 17 35/37</COL><COL>42 11 9 19</COL></ROW>
<ROW><COL>6 1/2</COL><COL>58 9 2 20 4/37</COL><COL>52 2 18 12 20/37</COL><COL>48 3 18 8</COL></ROW>
<ROW><COL>6 3/4</COL><COL>65 9 15 12 33/37</COL><COL>58 5 21 19 17/37</COL><COL>54 3 0 0</COL></ROW>
<ROW><COL>7</COL><COL>73 4 16 5 7/37</COL><COL>65 2 19 17 35/37</COL><COL>60 4 2 16</COL></ROW>
<ROW><COL>7 1/4</COL><COL>81 6 10 15 24/37</COL><COL>72 5 17 11 9/37</COL><COL>67 0 11 23</COL></ROW>
<ROW><COL>7 1/2</COL><COL>90 3 4 14 34/37</COL><COL>80 2 20 2 22/37</COL><COL>74 2 15 0</COL></ROW>
<ROW><COL>7 3/4</COL><COL>99 7 3 21 24/37</COL><COL>88 6 8 19 9/37</COL><COL>81 10 16 13</COL></ROW>
<ROW><COL>8</COL><COL>109 6 14 6 18/37</COL><COL>97 4 12 16 16/37</COL><COL>90 0 21 8</COL></ROW>
<ROW><COL>8 1/4</COL><COL>120 1 17 12 3/37</COL><COL>106 9 12 21 15/37</COL><COL>98 9 10 3</COL></ROW>
<ROW><COL>8 1/2</COL><COL>131 4 19 8 3/37</COL><COL>116 9 14 13 15/37</COL><COL>108 0 11 16</COL></ROW>
<ROW><COL>8 3/4</COL><COL>143 4 1 16 5/37</COL><COL>127 4 22 19 25/37</COL><COL>117 10 6 17</COL></ROW>
<ROW><COL>9</COL><COL>155 11 18 3 33/37</COL><COL>138 7 18 19 17/37</COL><COL>128 3 0 0</COL></ROW>
<ROW><COL>9 1/4</COL><COL>169 4 2 15</COL><COL>150 6 7 16</COL><COL>139 2 20 7</COL></ROW>
<ROW><COL>9 1/2</COL><COL>183 5 8 20 4/37</COL><COL>163 0 18 12 20/37</COL><COL>150 10 0 8</COL></ROW>
<ROW><COL>9 3/4</COL><COL>198 3 18 13 32/37</COL><COL>176 3 8 12 12/37</COL><COL>163 0 16 21</COL></ROW>
<ROW><COL>10</COL><COL>213 11 13 14 34/37</COL><COL>190 2 6 18 22/37</COL><COL>175 11 2 16</COL></ROW>
<ROW><COL>10 1/4</COL><COL>230 4 23 17 34/37</COL><COL>204 9 18 10 22/37</COL><COL>189 5 10 11</COL></ROW>
<ROW><COL>10 1/2</COL><COL>247 8 6 17 19/37</COL><COL>220 2 0 15 21/37</COL><COL>203 7 21 0</COL></ROW>
<ROW><COL>10 3/4</COL><COL>265 9 16 8 13/37</COL><COL>236 3 6 12 28/37</COL><COL>218 6 15 1</COL></ROW>
</TABLE>
<pb>
<TABLE>
<ROW><COL>Diametri
magnitu-
do.</COL><COL>Aureæ $phæræ
grauitas.</COL><COL>Plumbeæ Sph&ecedil;ræ
grauitas.</COL><COL>Argenteæ Sphæræ
grauitas.</COL></ROW>
<ROW><COL></COL><COL>Lib. Vn. Scru. Gra.</COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gra.</COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gra.</COL></ROW>
<ROW><COL>5</COL><COL>56 5 13 6 10/37</COL><COL>34 2 2 8 <*>/37</COL><COL>30 8 11 20 28/111</COL></ROW>
<ROW><COL>5 1/4</COL><COL>65 4 8 10 23/37</COL><COL>39 6 16 23 59/74</COL><COL>35 6 13 20 19/37</COL></ROW>
<ROW><COL>5 1/2</COL><COL>75 1 19 17 27/37</COL><COL>45 5 20 3 29/37</COL><COL>40 10 11 3 33/111</COL></ROW>
<ROW><COL>5 3/4</COL><COL>85 10 11 8 11/37</COL><COL>51 11 16 23 25/74</COL><COL>46 8 10 9 16/111</COL></ROW>
<ROW><COL>6</COL><COL>97 6 19 11 1/37</COL><COL>59 0 15 13 23/37</COL><COL>53 0 18 3 31/37</COL></ROW>
<ROW><COL>6 1/4</COL><COL>110 3 8 6 23/37</COL><COL>66 8 23 7 59/74</COL><COL>59 11 17 3 20/111</COL></ROW>
<ROW><COL>6 1/2</COL><COL>124 0 13 23 29/37</COL><COL>75 0 23 15 1/37</COL><COL>67 5 13 21 43/11</COL></ROW>
<ROW><COL>6 3/4</COL><COL>138 11 0 19 8/37</COL><COL>84 0 22 7 73/74</COL><COL>75 6 15 4 5/37</COL></ROW>
<ROW><COL>7</COL><COL>154 11 4 21 13/37</COL><COL>93 9 7 9 11/37</COL><COL>84 3 3 12 20/111</COL></ROW>
<ROW><COL>7 1/4</COL><COL>172 1 14 11 26/37</COL><COL>104 2 6 3 7/74</COL><COL>93 7 9 13 58/111</COL></ROW>
<ROW><COL>7 1/2</COL><COL>190 6 17 18 6/37</COL><COL>115 4 1 21 27/37</COL><COL>103 7 15 23 13/37</COL></ROW>
<ROW><COL>7 3/4</COL><COL>210 3 2 21 26/37</COL><COL>127 3 3 15 49/74</COL><COL>114 4 5 8 95/111</COL></ROW>
<ROW><COL>8</COL><COL>231 3 5 16 24/37</COL><COL>139 11 18 5 23/37</COL><COL>125 9 8 8 104/111</COL></ROW>
<ROW><COL>8 1/4</COL><COL>253 7 15 14 31/37</COL><COL>153 5 4 18 37/74</COL><COL>137 11 7 3 24/37</COL></ROW>
<ROW><COL>8 1/2</COL><COL>277 4 19 13 31/37</COL><COL>167 10 19 10 1/3</COL><COL>150 10 9 19 55/111</COL></ROW>
<ROW><COL>8 3/4</COL><COL>302 7 6 4 27/37</COL><COL>183 1 20 19 <*>/74</COL><COL>164 6 21 11 46/111</COL></ROW>
<ROW><COL>9</COL><COL>329 3 11 16 8/37</COL><COL>199 3 12 22 18/37</COL><COL>179 1 1 7 5/37</COL></ROW>
<ROW><COL>9 1/4</COL><COL>357 6 0 5</COL><COL>216 4 14 0 1/2</COL><COL>194 5 3 21 2/3</COL></ROW>
<ROW><COL>9 1/2</COL><COL>387 3 7 23 29/37</COL><COL>234 4 20 15 1/37</COL><COL>210 7 11 22 22/111</COL></ROW>
<ROW><COL>9 3/4</COL><COL>418 7 23 5 10/37</COL><COL>253 4 19 17 53/74</COL><COL>227 8 7 21 18/37</COL></ROW>
<ROW><COL>10</COL><COL>451 8 10 2 6/37</COL><COL>273 4 18 17 27/37</COL><COL>245 7 22 18 2/111</COL></ROW>
<ROW><COL>10 1/4</COL><COL>486 5 4 19 6/37</COL><COL>294 5 1 0 17/74</COL><COL>264 6 14 19 76/111</COL></ROW>
<ROW><COL>10 1/2</COL><COL>522 10 19 12 36/37</COL><COL>316 5 21 22 14/37</COL><COL>284 4 14 20 4/37</COL></ROW>
<ROW><COL>10 3/4</COL><COL>561 1 18 12 <*>/37</COL><COL>339 7 16 21 25/74</COL><COL>305 2 5 10 53/111</COL></ROW>
</TABLE>
<p n=>40</p>
<TABLE>
<ROW><COL>Diametri
magnitu.</COL><COL>Aureæ Sphæræ
grauitas.</COL><COL>Plumbeæ Sph&ecedil;r&ecedil;
grauitas</COL><COL>Arg&etilde;teæ Sph&ecedil;ræ
grauitas.</COL></ROW>
<ROW><COL></COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gran.</COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gra.</COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gra.</COL></ROW>
<ROW><COL>11</COL><COL>601 2 13 21 31/37</COL><COL>363 10 17 6 10/37</COL><COL>326 11 17 5 <*>/111</COL></ROW>
<ROW><COL>11 1/4</COL><COL>643 1 17 22 11/37</COL><COL>389 3 6 10 25/74</COL><COL>349 9 8 21 30/37</COL></ROW>
<ROW><COL>11 1/2</COL><COL>686 11 18 18 14/37</COL><COL>415 9 15 18 26/37</COL><COL>373 7 11 1 17/111</COL></ROW>
<ROW><COL>11 3/4</COL><COL>732 9 4 14 29/37</COL><COL>443 6 4 16 39/74</COL><COL>398 6 6 7 21/111</COL></ROW>
<ROW><COL>12</COL><COL>780 6 11 16 8/37</COL><COL>472 5 4 12 36/37</COL><COL>424 6 1 7 5/37</COL></ROW>
</TABLE>
<I>erit gran. 513. & $ic reliquarum $phærarum ex $tanno, diametros <*>
bentium magnitudine quacunque, inuenientur grauitates.</I>
<p><I>Aliter quoque & expeditius reliquarum $phærarum ex $tanno i<*>
uenientur grauitates.</I>
<p><I>Inuenta grauitate $phæræ, diametrum habentis</I> 1/4, <I>vnciæ, $im<*>
tiplicetur ip$a grauitas, per</I> 8, <I>hoc est per cubum ex</I> 2, <I>numerus pro
ductus dabit grauitatem $phæræ, diametrum habentis</I> 2/4, <I>vnciæ, b<*></I>
<MARG>18.12.
<I>Elem.</I></MARG> <I>e$t</I> 1/2, <I>$phæræ^{*} enim inter $e in triplicata $unt ratione $uarum di<*>
metrorum. deinde $i multiplicetur eadem grauitas per</I> 27, <I>hoc est p<*>
cubum ex</I> 3, <I>numerus productus dabit grauitatem $phæræ, habent<*>
diametrum</I> 3/4, <I>vnciæ, & $i multiplicetur per</I> 64, <I>hoc est per cub<*>
ex</I> 4, <I>numerus productus dabit grauitatem $phæræ, cuius diameter<*></I>
4/4, <I>hoc est vnius vnciæ, & eo deinceps continuo ordine,</I>
<p><I>Porro ad inueniendas grauitates $phærarum ex reliquis metallis
vel ex quacunquæ alia materia, hæc erit ratio.</I>
<p><I>Fiat vt</I> 1, <I>ad</I> 1 41/74, <I>hoc e$t vt</I> 74, <I>ad</I> 115, (<I>$i degrauitate $ph<*>
plūbeæ quæritur cuius diameter est</I> 1/4, <I>vnciæ) ita 19. grauitas vi<*>
licet $phæræ stanneæ diametrū habentis</I> 1/4, <I>vnciæ, ad aliū numer<*>
qui $it</I> 29 19/74, <I>grauitas igitur $phæræ plumbeæ, diametrum hab<*>
tis</I> 1/4, <I>vnciæ, erit gran.</I> 29 39/74. <I>$tannum enim ad plumbum ration<*>
habet in grauitate vt</I> 1, <I>ad</I> 1 41/74, <I>vt con$picitur in prima tabelle
quam ad comparandum inter $e duodecim corporum genera, grauit
te, & magnitudine, appo$uimus.</I>
<p><I>Si vero quæratur de grauitate $phæræ plumbeæ, diametrum
habentis</I> 2, <I>vnciarum, fiat vt</I> 74, <I>ad</I> 115, <I>ita</I> 9728, <I>id est gra<*></I>
<p n=>41</p>
<TABLE>
<ROW><COL>Diametri
magnitu.</COL><COL>AEreæ Sphæræ
grauitas</COL><COL>Ferreæ Sph&ecedil;r&ecedil;
grauitas</COL><COL>Stanneæ Sph&ecedil;ræ
grauitas.</COL></ROW>
<ROW><COL></COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gran.</COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gra.</COL><COL>Lib. Vn. Scr. Gra.</COL></ROW>
<ROW><COL>11</COL><COL>284 9 10 9 3/37</COL><COL>253 1 17 5 15/37</COL><COL>234 1 21 8</COL></ROW>
<ROW><COL>11 1/4</COL><COL>304 7 18 14 13/37</COL><COL>270 9 13 20 28/37</COL><COL>250 5 2 15</COL></ROW>
<ROW><COL>11 1/2</COL><COL>325 4 22 18 30/37</COL><COL>289 3 1 14 2/37</COL><COL>266 1 9 0</COL></ROW>
<ROW><COL>11 3/4</COL><COL>347 1 4 17 4/37</COL><COL>308 6 9 12 20/37</COL><COL>285 4 17 5</COL></ROW>
<ROW><COL>12</COL><COL>369 8 18 3 33/37</COL><COL>328 7 18 19 17/37</COL><COL>304 0 0 0</COL></ROW>
</TABLE>
<I>$phæræ stanneæ, cuius diameter est</I> 2, <I>vnciarum, ad alium numerum,
qui $it</I> 15 117 <*>, <I>$phæra igitur plumbea, cuius diameter est</I> 2, <I>vn-
<*>iarum grauitatem habebit gran. 15 117 <*>, atque hæc erit ob$er-
uanda in reliquis ratio.</I>
<p><I>Vel $i ip$a grauitas</I> 29 19/74, <I>multiplicetur per $ingulos cubos, vt
dictum est de $phera $tannea, numeri producti dabunt grauitates
$phærarum ex plumbo, ad quaram diametros latera cubica rationem
habebunt vt</I> 4, <I>ad</I> 1, <I>quoniam</I> 29 19/74, <I>est grauitas $phæræ plumbeæ,
diametrum habentis</I> 1/4, <I>vnciæ.</I>
<HEAD>Sequitur, ad inueniendas diametrorum
magnitudines ex data $phæ-
rarum grauitate,
tabula.</HEAD>
<foot>F</foot>
<p n=>42</p>
<TABLE>
<ROW><COL>Graui-
tas$ph&ecedil;
ræ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ aureæ</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ plum-
beæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ argen
teæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ æreæ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ Fer-
reæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ $tan-
neæ.</COL></ROW>
<ROW><COL>Lib.1</COL><COL>1 30<31>/100</COL><COL>1 54<31>/100</COL><COL>1 59<31>/100</COL><COL>1 67<31>/100</COL><COL>1 74<31>/100</COL><COL>1 78<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>2</COL><COL>1 64<31>/100</COL><COL>1 94<31>/100</COL><COL>2 1<31>/100</COL><COL>2 11:/100</COL><COL>2 19<31>/100</COL><COL>2 25:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>3</COL><COL>1 88<31>/100</COL><COL>2 22<31>/100</COL><COL>2 30<31>/100</COL><COL>2 41<31>/100</COL><COL>2 50<31>/100</COL><COL>2 57:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>4</COL><COL>2 7:/100</COL><COL>2 45:/100</COL><COL>2 53<31>/100</COL><COL>2 65<31>/100</COL><COL>2 76<31>/100</COL><COL>2 83<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>5</COL><COL>2 22<31>/100</COL><COL>2 63<31>/100</COL><COL>2 73<31>/100</COL><COL>2 86<31>/100</COL><COL>2 97<31>/100</COL><COL>3 5<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>6</COL><COL>2 36<31>/100</COL><COL>2 80:/100</COL><COL>2 90<31>/100</COL><COL>3 4:/100</COL><COL>3 16:/100</COL><COL>3 24<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>7</COL><COL>2 49<31>/100</COL><COL>2 95:/100</COL><COL>3 5<31>/100</COL><COL>3 20:/100</COL><COL>3 32<31>/100</COL><COL>3 41<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>8</COL><COL>2 60<31>/100</COL><COL>3 8<31>/100</COL><COL>3 19<31>/100</COL><COL>3 34<31>/100</COL><COL>3 47<31>/100</COL><COL>3 57:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>9</COL><COL>2 71<31>/100</COL><COL>3 21:/100</COL><COL>3 32<31>/100</COL><COL>3 48:/100</COL><COL>3 61<31>/100</COL><COL>3 71<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>10</COL><COL>2 81:/100</COL><COL>3 31<31>/100</COL><COL>3 44:/100</COL><COL>3 60<31>/100</COL><COL>3 74:/100</COL><COL>3 <*>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>11</COL><COL>2 90:/100</COL><COL>3 42<31>/100</COL><COL>3 55<31>/100</COL><COL>3 72<31>/100</COL><COL>3 86<31>/100</COL><COL>3 97:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>12</COL><COL>2 98<31>/100</COL><COL>3 53:/100</COL><COL>3 65<31>/100</COL><COL>3 83<31>/100</COL><COL>3 98<31>/100</COL><COL>4 9:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>13</COL><COL>3 6<31>/100</COL><COL>3 62<31>/100</COL><COL>3 75<31>/100</COL><COL>3 93<31>/100</COL><COL>4 93<*>/100</COL><COL>4 <*>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>14</COL><COL>3 14<31>/100</COL><COL>3 71<31>/100</COL><COL>3 85<*>/100</COL><COL>4 13<31>/100</COL><COL>4 19<*>/100</COL><COL>4 30<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>15</COL><COL>3 21<31>/100</COL><COL>3 80:/100</COL><COL>3 94:/100</COL><COL>4 12<31>/100</COL><COL>4 29:/100</COL><COL>4 40<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>16</COL><COL>3 28<31>/100</COL><COL>3 88<31>/100</COL><COL>4 2<31>/100</COL><COL>4 21<31>/100</COL><COL>4 38<31>/100</COL><COL>4 49<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>17</COL><COL>3 35<31>/100</COL><COL>3 96<31>/100</COL><COL>4 11:/100</COL><COL>4 30:/100</COL><COL>4 47<31>/100</COL><COL>4 59:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>18</COL><COL>3 41<31>/100</COL><COL>4 4:/100</COL><COL>4 18<31>/100</COL><COL>4 38<31>/100</COL><COL>4 55<31>/100</COL><COL>4 67<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>19</COL><COL>3 47<31>/100</COL><COL>4 11<31>/100</COL><COL>4 26<31>/100</COL><COL>4 46<31>/100</COL><COL>4 64<31>/100</COL><COL>4 76<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>20</COL><COL>3 53<31>/100</COL><COL>4 18<31>/100</COL><COL>4 33<31>/100</COL><COL>4 54:/100</COL><COL>4 72<31>/100</COL><COL>4 84<31>/100</COL></ROW>
</TABLE>
<p n=>43</p>
<TABLE>
<ROW><COL>Graui-
tas$ph&ecedil;
ræ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ aureæ</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ plum-
beæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ argen
teæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ æreæ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ Fer-
reæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ $tan-
neæ.</COL></ROW>
<ROW><COL>21</COL><COL>3 59<31>/100</COL><COL>4 25<31>/100</COL><COL>4 40<31>/100</COL><COL>4 61<31>/100</COL><COL>4 80:/100</COL><COL>4 92<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>22</COL><COL>3 65<31>/100</COL><COL>4 32:/100</COL><COL>4 47<31>/100</COL><COL>4 68<31>/100</COL><COL>4 87<31>/100</COL><COL>5<31></COL></ROW>
<ROW><COL>23</COL><COL>3 70<31>/100</COL><COL>4 38<31>/100</COL><COL>4 54<31>/100</COL><COL>4 75<31>/100</COL><COL>4 94<31>/100</COL><COL>5 7<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>24</COL><COL>3 75<31>/100</COL><COL>4 44<31>/100</COL><COL>4 60<31>/100</COL><COL>4 82<31>/100</COL><COL>5 1<31>/100</COL><COL>5 15:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>25</COL><COL>3 81<31>/100</COL><COL>4 50<31>/100</COL><COL>4 67:/100</COL><COL>4 89:/100</COL><COL>5 3<31>/100</COL><COL>5 22:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>26</COL><COL>3 86<31>/100</COL><COL>4 56<31>/100</COL><COL>4 73<31>/100</COL><COL>4 95<31>/100</COL><COL>5 15<31>/100</COL><COL>5 28<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>27</COL><COL>3 91:/100</COL><COL>4 62<31>/100</COL><COL>4 79<31>/100</COL><COL>5 1<31>/100</COL><COL>5 22:/100</COL><COL>5 35<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>28</COL><COL>3 95<31>/100</COL><COL>4 68:/100</COL><COL>4 85:/100</COL><COL>5 8:/100</COL><COL>5 28<31>/100</COL><COL>5 42:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>29</COL><COL>4<31></COL><COL>4 73<31>/100</COL><COL>4 90<31>/100</COL><COL>5 14:/100</COL><COL>5 34<31>/100</COL><COL>5 48<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>30</COL><COL>4 5:/100</COL><COL>4 79:/100</COL><COL>4 96<31>/100</COL><COL>5 20:/100</COL><COL>5 40<31>/100</COL><COL>5 54<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>31</COL><COL>4 9<31>/100</COL><COL>4 8<*><31>/100</COL><COL>5 <*><31>/100</COL><COL>5 25<31>/100</COL><COL>5 46<31>/100</COL><COL>5 60<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>32</COL><COL>4 13<31>/100</COL><COL>4 89<31>/100</COL><COL>5 7:/100</COL><COL>5 31<31>/100</COL><COL>5 52<31>/100</COL><COL>5 66<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>33</COL><COL>4 18<31>/100</COL><COL>4 94<31>/100</COL><COL>5 12<31>/100</COL><COL>5 36<31>/100</COL><COL>5 58:/100</COL><COL>5 72<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>34</COL><COL>4 22<31>/100</COL><COL>4 99<31>/100</COL><COL>5 17<31>/100</COL><COL>5 42:/100</COL><COL>5 63<31>/100</COL><COL>5 78<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>35</COL><COL>4 26<31>/100</COL><COL>5 4:/100</COL><COL>5 22<31>/100</COL><COL>5 47:/100</COL><COL>5 69<31>/100</COL><COL>5 84:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>36</COL><COL>4 30<31>/100</COL><COL>5 8<31>/100</COL><COL>5 27<31>/100</COL><COL>5 52<31>/100</COL><COL>5 74<31>/100</COL><COL>5 89<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>37</COL><COL>4 34<31>/100</COL><COL>5 13<31>/100</COL><COL>5 32<31>/100</COL><COL>5 57<31>/100</COL><COL>5 79<31>/100</COL><COL>5 95:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>38</COL><COL>4 38<31>/100</COL><COL>5 18:/100</COL><COL>5 37:/100</COL><COL>5 6<31>/100</COL><COL>5 84<31>/100</COL><COL>6</COL></ROW>
<ROW><COL>39</COL><COL>4 42:/100</COL><COL>5 22<31>/100</COL><COL>5 41<31>/100</COL><COL>5 67:/100</COL><COL>5 89<31>/100</COL><COL>6 5<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>40</COL><COL>4 46:/100</COL><COL>5 26<31>/100</COL><COL>5 46<31>/100</COL><COL>5 72:/100</COL><COL>5 94<31>/100</COL><COL>6 10<31>/100</COL></ROW>
</TABLE>
<foot>F 2</foot>
<p n=>44</p>
<TABLE>
<ROW><COL>Graui-
tas$ph&ecedil;
ræ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ aureæ</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ plum-
beæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ argen
teæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ æreæ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ Fer-
reæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ $tan-
neæ.</COL></ROW>
<ROW><COL>41</COL><COL>4 49<31>/100</COL><COL>5 31<31>/100</COL><COL>5 50<31>/100</COL><COL>5 76<31>/100</COL><COL>5 99<31>/100</COL><COL>6 15<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>42</COL><COL>4 53<31>/100</COL><COL>5 35<31>/100</COL><COL>5 55<31>/100</COL><COL>5 81<31>/100</COL><COL>6 4<31>/100</COL><COL>6 20<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>43</COL><COL>4 56<31>/100</COL><COL>5 39<31>/100</COL><COL>5 59<31>/100</COL><COL>5 85<31>/100</COL><COL>6 9<31>/100</COL><COL>6 25<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>44</COL><COL>4 60<31>/100</COL><COL>5 43<31>/100</COL><COL>5 63<31>/100</COL><COL>5 90<31>/100</COL><COL>6 14:/100</COL><COL>6 30<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>45</COL><COL>4 63<31>/100</COL><COL>5 48<31>/100</COL><COL>5 68:/100</COL><COL>5 95:/100</COL><COL>6 18<31>/100</COL><COL>6 35:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>46</COL><COL>4 67:/100</COL><COL>5 52<31>/100</COL><COL>5 72<31>/100</COL><COL>5 99<31>/100</COL><COL>6 23<31>/100</COL><COL>6 39<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>47</COL><COL>4 70<31>/100</COL><COL>5 56<31>/100</COL><COL>5 76<31>/100</COL><COL>6 3<31>/100</COL><COL>6 27<31>/100</COL><COL>6 44<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>48</COL><COL>4 73<31>/100</COL><COL>5 59<31>/100</COL><COL>5 80<31>/100</COL><COL>6 8:/100</COL><COL>6 32:/100</COL><COL>6 49:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>49</COL><COL>4 77:/100</COL><COL>5 63<31>/100</COL><COL>5 84./100</COL><COL>6 12:/100</COL><COL>6 36<31>/100</COL><COL>6 53<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>50</COL><COL>4 80<31>/100</COL><COL>5 67<31>/100</COL><COL>5 88<31>/100</COL><COL>6 16:/100</COL><COL>6 40<31>/100</COL><COL>6 57<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>51</COL><COL>4 83<31>/100</COL><COL>5 71<31>/100</COL><COL>5 92<31>/100</COL><COL>6 20<31>/100</COL><COL>6 45:/100</COL><COL>6 61<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>52</COL><COL>4 86<31>/100</COL><COL>5 75<31>/100</COL><COL>5 96:/100</COL><COL>6 24<31>/100</COL><COL>6 49<31>/100</COL><COL>6 66<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>53</COL><COL>4 89<31>/100</COL><COL>5 78<31>/100</COL><COL>6:</COL><COL>6 28./100</COL><COL>6 53<31>/100</COL><COL>6 70<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>54</COL><COL>4 92<31>/100</COL><COL>5 82<31>/100</COL><COL>6 3<31>/100</COL><COL>6 32:/100</COL><COL>6 57<31>/100</COL><COL>6 74<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>55</COL><COL>4 95<31>/100</COL><COL>5 85<31>/100</COL><COL>6 7<31>/100</COL><COL>6 36:/100</COL><COL>6 61<31>/100</COL><COL>6 79:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>56</COL><COL>4 98<31>/100</COL><COL>5 89<31>/100</COL><COL>6 11:/100</COL><COL>6 40:/100</COL><COL>6 65<31>/100</COL><COL>6 83:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>57</COL><COL>5 1<31>/100</COL><COL>5 92<31>/100</COL><COL>6 14<31>/100</COL><COL>6 43<31>/100</COL><COL>6 69<31>/100</COL><COL>6 87:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>58</COL><COL>5 4<31>/100</COL><COL>5 96<31>/100</COL><COL>6 18<31>/100</COL><COL>6 47<31>/100</COL><COL>6 73<31>/100</COL><COL>6 91:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>59</COL><COL>5 7<31>/100</COL><COL>5 99<31>/100</COL><COL>6 22:/100</COL><COL>6 51:/100</COL><COL>6 77:/100</COL><COL>6 95:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>60</COL><COL>5 10<31>/100</COL><COL>6 3<31>/100</COL><COL>6 25<31>/100</COL><COL>6 34<31>/100</COL><COL>6 81:/100</COL><COL>6 99:/100</COL></ROW>
</TABLE>
<p n=>45</p>
<TABLE>
<ROW><COL>Graui-
tas$ph&ecedil;
ræ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ aureæ</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ plum-
beæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ argen
teæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ æreæ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ Fer-
reæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ $tan-
neæ.</COL></ROW>
<ROW><COL>61</COL><COL>5 13<31>/100</COL><COL>6 4<31>/100</COL><COL>6 22/100</COL><COL>6 58./100</COL><COL>6 84./100</COL><COL>7 2<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>62</COL><COL>5 16:/100</COL><COL>6 9<31>/100</COL><COL>6 32:/100</COL><COL>6 62:/100</COL><COL>6 88<31>/100</COL><COL>7 6<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>63</COL><COL>5 18<31>/100</COL><COL>6 13<31>/100</COL><COL>6 3<*><31>/100</COL><COL>6 65:/100</COL><COL>6 91<31>/100</COL><COL>7 10<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>64</COL><COL>5 21<31>/100</COL><COL>6 16<31>/100</COL><COL>6 38./100</COL><COL>6 69:/100</COL><COL>6 <*>5<31>/100</COL><COL>7 14:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>65</COL><COL>5 24<31>/100</COL><COL>6 19<31>/100</COL><COL>6 42:/100</COL><COL>6 72<31>/100</COL><COL>6 99<31>/100</COL><COL>7 17<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>66</COL><COL>5 27:/100</COL><COL>6 22<31>/100</COL><COL>6 45<31>/100</COL><COL>6 76:/100</COL><COL>7 3:/100</COL><COL>7 21<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>67</COL><COL>5 29<31>/100</COL><COL>6 25<31>/100</COL><COL>6 48<31>/100</COL><COL>6 79<31>/100</COL><COL>7 6<31>/100</COL><COL>7 25:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>68</COL><COL>5 32:/100</COL><COL>6 28<31>/100</COL><COL>6 52:/100</COL><COL>6 82<31>/100</COL><COL>7 10:/100</COL><COL>7 28<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>69</COL><COL>5 34<31>/100</COL><COL>6 31<31>/100</COL><COL>6 55:/100</COL><COL>6 86:/100</COL><COL>7 13<31>/100</COL><COL>7 32:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>70</COL><COL>5 37<31>/100</COL><COL>6 35:/100</COL><COL>6 58<31>/100</COL><COL>6 89<31>/100</COL><COL>7 16<31>/100</COL><COL>7 35/100</COL></ROW>
<ROW><COL>71</COL><COL>5 40:/100</COL><COL>6 38<31>/100</COL><COL>6 61./100</COL><COL>6 92<31>/100</COL><COL>7 20<31>/100</COL><COL>7 39:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>72</COL><COL>5 42<31>/100</COL><COL>6 41<31>/100</COL><COL>6 64<31>/100</COL><COL>6 96:/100</COL><COL>7 23./100</COL><COL>7 42<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>73</COL><COL>5 45:/100</COL><COL>6 44:/100</COL><COL>6 67<31>/100</COL><COL>6 99:/100</COL><COL>7 27:/100</COL><COL>7 46:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>74</COL><COL>5 47<31>/100</COL><COL>6 47:/100</COL><COL>6 70<31>/100</COL><COL>7 2:/100</COL><COL>7 30<31>/100</COL><COL>7 49<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>75</COL><COL>5 39<31>/100</COL><COL>6 50:/100</COL><COL>6 73<31>/100</COL><COL>7 5<31>/100</COL><COL>7 33<31>/100</COL><COL>7 53:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>76</COL><COL>5 92<31>/100</COL><COL>6 52<31>/100</COL><COL>6 76<31>/100</COL><COL>7 8<31>/100</COL><COL>7 36<31>/100</COL><COL>7 56:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>77</COL><COL>5 54<31>/100</COL><COL>6 55<31>/100</COL><COL>6 79<31>/100</COL><COL>7 11<31>/100</COL><COL>7 39<31>/100</COL><COL>7 59<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>78</COL><COL>5 57:/100</COL><COL>6 58<31>/100</COL><COL>6 82<31>/100</COL><COL>7 14<31>/100</COL><COL>7 43:/100</COL><COL>7 62<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>79</COL><COL>5 59<31>/100</COL><COL>6 61<31>/100</COL><COL>6 85<31>/100</COL><COL>7 17<31>/100</COL><COL>7 45<31>/100</COL><COL>7 66:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>80</COL><COL>5 61<31>/100</COL><COL>6 64:/100</COL><COL>6 88:/100</COL><COL>7 20<31>/100</COL><COL>7 49<31>/100</COL><COL>7 69:/100</COL></ROW>
</TABLE>
<p n=>46</p>
<TABLE>
<ROW><COL>Graui-
tas$ph&ecedil;
ræ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ aureæ</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ plum-
beæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ argen
teæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ æreæ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ Fer-
reæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ $tan-
neæ.</COL></ROW>
<ROW><COL>81</COL><COL>5 64:/100</COL><COL>6 66<31>/100</COL><COL>6 91:/100</COL><COL>7 23<31>/100</COL><COL>7 52./100</COL><COL>7 72<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>82</COL><COL>5 66<31>/100</COL><COL>6 69:/100</COL><COL>6 93<31>/100</COL><COL>7 26<31>/100</COL><COL>7 55<31>/100</COL><COL>7 75<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>83</COL><COL>5 68<31>/100</COL><COL>6 72<31>/100</COL><COL>6 96<31>/100</COL><COL>7 29<31>/100</COL><COL>7 58./100</COL><COL>7 78<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>84</COL><COL>5 71:/100</COL><COL>6 74<31>/100</COL><COL>6 99<31>/100</COL><COL>7 32<31>/100</COL><COL>7 61<31>/100</COL><COL>7 81<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>85</COL><COL>5 73<31>/100</COL><COL>6 79<31>/100</COL><COL>7 2<31>/100</COL><COL>7 35<31>/100</COL><COL>7 64<31>/100</COL><COL>7 85:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>86</COL><COL>5 75<31>/100</COL><COL>6 80<31>/100</COL><COL>7 5:/100</COL><COL>7 38:/100</COL><COL>7 67<31>/100</COL><COL>7 88:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>87</COL><COL>5 77<31>/100</COL><COL>6 82<31>/100</COL><COL>7 7<31>/100</COL><COL>7 41:/100</COL><COL>7 70<31>/100</COL><COL>7 91:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>88</COL><COL>5 80:/100</COL><COL>6 85<31>/100</COL><COL>7 10<31>/100</COL><COL>7 44:/100</COL><COL>7 73<31>/100</COL><COL>7 94:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>89</COL><COL>5 82:/100</COL><COL>6 88:/100</COL><COL>7 13:/100</COL><COL>7 46<31>/100</COL><COL>7 76<31>/100</COL><COL>7 97<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>90</COL><COL>5 84<31>/100</COL><COL>6 90<31>/100</COL><COL>7 15<31>/100</COL><COL>7 49<31>/100</COL><COL>7 79<31>/100</COL><COL>8:</COL></ROW>
<ROW><COL>91</COL><COL>5 86<31>/100</COL><COL>6 93<31>/100</COL><COL>7 18./100</COL><COL>7 52<31>/100</COL><COL>7 82<31>/100</COL><COL>8 3:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>92</COL><COL>5 88<31>/100</COL><COL>6 95<31>/100</COL><COL>7 21:/100</COL><COL>7 55:/100</COL><COL>7 85:/100</COL><COL>8 6:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>93</COL><COL>5 99<31>/100</COL><COL>6 98<31>/100</COL><COL>7 23<31>/100</COL><COL>7 57<31>/100</COL><COL>7 88:/100</COL><COL>8 9:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>94</COL><COL>5 92<31>/100</COL><COL>7.</COL><COL>7 26:/100</COL><COL>7 60<31>/100</COL><COL>7 90<31>/100</COL><COL>8 11<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>95</COL><COL>5 94<31>/100</COL><COL>7 3<31>/100</COL><COL>7 28<31>/100</COL><COL>7 63:/100</COL><COL>7 93<31>/100</COL><COL>8 14<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>96</COL><COL>5 97:/100</COL><COL>7 5<31>/100</COL><COL>7 32<31>/100</COL><COL>7 65<31>/100</COL><COL>7 96<31>/100</COL><COL>8 17<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>97</COL><COL>5 <*><31>/100</COL><COL>7 8:/100</COL><COL>7 34:/100</COL><COL>7 68<31>/100</COL><COL>7 99<31>/100</COL><COL>8 20<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>98</COL><COL>6 1:/100</COL><COL>7 10<31>/100</COL><COL>7 36<31>/100</COL><COL>7 71:/100</COL><COL>8 2:/100</COL><COL>8 23:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>99</COL><COL>6 3:/100</COL><COL>7 13:/100</COL><COL>7 39:/100</COL><COL>7 74:/100</COL><COL>8 4<31>/100</COL><COL>8 26:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>100</COL><COL>6 5:/100</COL><COL>7 15<31>/100</COL><COL>7 41<31>/100</COL><COL>7 76<31>/100</COL><COL>8 7<31>/100</COL><COL>8 28<31>/100</COL></ROW>
</TABLE>
<p n=>47</p>
<TABLE>
<ROW><COL>Graui-
tas$ph&ecedil;
ræ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ aureæ</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ plum-
beæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ argen
teæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ æreæ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ Fer-
reæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ $tan-
neæ.</COL></ROW>
<ROW><COL>101</COL><COL>6 7:/100</COL><COL>7 1<*><31>/100</COL><COL>7 44:/100</COL><COL>7 79:/100</COL><COL>8 10:/100</COL><COL>8 31<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>102</COL><COL>6 9:/100</COL><COL>7 19<31>/100</COL><COL>7 46<31>/100</COL><COL>7 81<31>/100</COL><COL>8 12<31>/100</COL><COL>8 34:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>103</COL><COL>6 11:/100</COL><COL>7 22<31>/100</COL><COL>7 48./100</COL><COL>7 84:/100</COL><COL>8 15<31>/100</COL><COL>8 37:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>104</COL><COL>6 13<31>/100</COL><COL>7 24<31>/100</COL><COL>7 51:/100</COL><COL>7 86<31>/100</COL><COL>8 18:/100</COL><COL>8 39<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>105</COL><COL>6 15<*>/100</COL><COL>7 27:/100</COL><COL>7 53<31>/100</COL><COL>7 89:/100</COL><COL>8 20<31>/100</COL><COL>8 42:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>106</COL><COL>6 17<*>/100</COL><COL>7 29<31>/100</COL><COL>7 55<31>/100</COL><COL>7 91:/100</COL><COL>8 23:/100</COL><COL>8 45:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>107</COL><COL>6 19:/100</COL><COL>7 31<31>/100</COL><COL>7 58./100</COL><COL>7 94:/100</COL><COL>8 25<31>/100</COL><COL>8 47<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>108</COL><COL>6 21:/100</COL><COL>7 33<31>/100</COL><COL>7 61:/100</COL><COL>7 96./100</COL><COL>8 28<31>/100</COL><COL>8 50<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>109</COL><COL>6 23:/100</COL><COL>7 36:/100</COL><COL>7 63:/100</COL><COL>7 99:/100</COL><COL>8 31:/100</COL><COL>8 53:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>110</COL><COL>6 24<31>/100</COL><COL>7 38<31>/100</COL><COL>7 65<31>/100</COL><COL>8 1./100</COL><COL>8 33<31>/100</COL><COL>8 55<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>111</COL><COL>6 26:/100</COL><COL>7 40<31>/100</COL><COL>7 67<31>/100</COL><COL>8 3<31>/100</COL><COL>8 36:/100</COL><COL>8 58:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>112</COL><COL>6 28:/100</COL><COL>7 42<31>/100</COL><COL>7 70<31>/100</COL><COL>8 6:/100</COL><COL>8 38<31>/100</COL><COL>8 60<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>113</COL><COL>6 30<31>/100</COL><COL>7 45:/100</COL><COL>7 71:/100</COL><COL>8 8<31>/100</COL><COL>8 41:/100</COL><COL>8 63:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>114</COL><COL>6 32:/100</COL><COL>7 47:/100</COL><COL>7 74<31>/100</COL><COL>8 11:/100</COL><COL>8 43<31>/100</COL><COL>8 65<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>115</COL><COL>6 34:/100</COL><COL>7 49<31>/100</COL><COL>7 76<31>/100</COL><COL>8 13<31>/100</COL><COL>8 46:/100</COL><COL>8 68:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>116</COL><COL>6 36:/100</COL><COL>7 51<31>/100</COL><COL>7 79:/100</COL><COL>8 15<31>/100</COL><COL>8 48<31>/100</COL><COL>8 70<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>117</COL><COL>6 37<31>/100</COL><COL>7 53<31>/100</COL><COL>7 81:/100</COL><COL>8 18:/100</COL><COL>8 50<31>/100</COL><COL>8 73:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>118</COL><COL>6 39<31>/100</COL><COL>7 55<31>/100</COL><COL>7 83<31>/100</COL><COL>8 20<31>/100</COL><COL>8 53:/100</COL><COL>8 75<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>119</COL><COL>6 41<31>/100</COL><COL>7 57<31>/100</COL><COL>7 85<31>/100</COL><COL>8 22<31>/100</COL><COL>8 55<31>/100</COL><COL>8 78<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>120</COL><COL>6 43:/100</COL><COL>7 60<31>/100</COL><COL>7 87<31>/100</COL><COL>8 24<31>/100</COL><COL>8 59<31>/100</COL><COL>8 80<31>/100</COL></ROW>
</TABLE>
<p n=>48</p>
<TABLE>
<ROW><COL>Graui-
tas$ph&ecedil;
ræ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ aureæ</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ plum-
beæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ argen
teæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ æreæ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ Fer-
reæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ $tan-
neæ.</COL></ROW>
<ROW><COL>121</COL><COL>6 44<31>/100</COL><COL>7 62<31>/100</COL><COL>7 <*>/100</COL><COL><*></COL><COL><*></COL><COL>8 83:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>122</COL><COL>6 46<31>/100</COL><COL>7 64<31>/100</COL><COL>7 9<*>/100</COL><COL><*></COL><COL><*></COL><COL>8 85<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>123</COL><COL>6 48<31>/100</COL><COL>7 66<31>/100</COL><COL>7 9<*>/100</COL><COL><*></COL><COL><*></COL><COL>8 88:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>124</COL><COL>6 50:/100</COL><COL>7 68<31>/100</COL><COL>7 9<*>/100</COL><COL><*></COL><COL><*></COL><COL>8 90:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>125</COL><COL>6 52:/100</COL><COL>7 70<31>/100</COL><COL>7 <*>/100</COL><COL><*></COL><COL><*></COL><COL>8 92./100</COL></ROW>
<ROW><COL>126</COL><COL>6 53<31>/100</COL><COL>7 72<31>/100</COL><COL>8 <*></COL><COL><*></COL><COL><*></COL><COL>8 95:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>127</COL><COL>6 55<31>/100</COL><COL>7 74<31>/100</COL><COL>8 <*>/100</COL><COL><*></COL><COL><*></COL><COL>8 97<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>128</COL><COL>6 57<31>/100</COL><COL>7 76<31>/100</COL><COL>8 <*>/100</COL><COL><*></COL><COL><*></COL><COL>8 99<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>129</COL><COL>6 58<31>/100</COL><COL>7 78<31>/100</COL><COL>8 <*>/100</COL><COL>8 <*></COL><COL>8 <*></COL><COL>9 2<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>130</COL><COL>6 60<31>/100</COL><COL>7 80<31>/100</COL><COL>8 <*>/100</COL><COL>8 <*></COL><COL>8 <*></COL><COL>9 4<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>131</COL><COL>6 62:/100</COL><COL>7 82<31>/100</COL><COL>8 11:/100</COL><COL>8 <*>/100</COL><COL>8 <*>/100</COL><COL>9 6<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>132</COL><COL>6 64:/100</COL><COL>7 84<31>/100</COL><COL>8 1<*>/100</COL><COL>8 <*>/100</COL><COL>8 <*>/100</COL><COL>9 9:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>133</COL><COL>6 65<31>/100</COL><COL>7 86<31>/100</COL><COL>8 15<31>/100</COL><COL>8 <*>/100</COL><COL>8 <*>:/100</COL><COL>9 11:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>134</COL><COL>6 67:/100</COL><COL>7 88<31>/100</COL><COL>8 17<31>/100</COL><COL>8 <*>/100</COL><COL>8 90:/100</COL><COL>9 13<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>135</COL><COL>6 69:/100</COL><COL>7 90<31>/100</COL><COL>8 19<31>/100</COL><COL>8 58:/100</COL><COL>8 91<31>/100</COL><COL>9 16:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>136</COL><COL>6 70<31>/100</COL><COL>7 92<31>/100</COL><COL>8 21<31>/100</COL><COL>8 <*>:/100</COL><COL>8 94<31>/100</COL><COL>9 18:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>137</COL><COL>6 72:/100</COL><COL>7 94<31>/100</COL><COL>8 23<31>/100</COL><COL>8 62:/100</COL><COL>8 96<31>/100</COL><COL>9 20<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>138</COL><COL>6 74:/100</COL><COL>7 96<31>/100</COL><COL>8 25<31>/100</COL><COL>8 64:/100</COL><COL>8 99:/100</COL><COL>9 22<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>139</COL><COL>6 75<31>/100</COL><COL>7 98<31>/100</COL><COL>8 27<31>/100</COL><COL>8 66<31>/100</COL><COL>9 1:/100</COL><COL>9 24<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>140</COL><COL>6 77:/100</COL><COL>8.</COL><COL>8 29<31>/100</COL><COL>8 68./100</COL><COL>9 3:/100</COL><COL>9 27:/100</COL></ROW>
</TABLE>
<p n=>49</p>
<TABLE>
<ROW><COL>Graui-
tas$ph&ecedil;
ræ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ aureæ</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ plum-
beæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ argen
teæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ æreæ.</COL><COL>Magnitu-
do diame
tri $phæ-
ræ Fer-
reæ.</COL><COL>Magnitu
do diame
tri $phæ-
ræ $tan-
neæ.</COL></ROW>
<ROW><COL>141</COL><COL>6 78<31>/100</COL><COL>8 2:/100</COL><COL>8 31<31>/100</COL><COL>8 70<31>/100</COL><COL>9 5<31>/100</COL><COL>9 29:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>142</COL><COL>6 80<*>/100</COL><COL>8 4:/100</COL><COL>8 33<31>/100</COL><COL>8 72<31>/100</COL><COL>9 7<31>/100</COL><COL>9 31<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>143</COL><COL>6 81<31>/100</COL><COL>8 6:/100</COL><COL>8 35:/100</COL><COL>8 74<31>/100</COL><COL>9 9<31>/100</COL><COL>9 33./100</COL></ROW>
<ROW><COL>144</COL><COL>6 83<31>/100</COL><COL>8 8:/100</COL><COL>8 37:/100</COL><COL>8 76<31>/100</COL><COL>9 11./100</COL><COL>9 35./100</COL></ROW>
<ROW><COL>145</COL><COL>6 85:/100</COL><COL>8 9<31>/100</COL><COL>8 39:/100</COL><COL>8 78<31>/100</COL><COL>9 14:/100</COL><COL>9 38:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>146</COL><COL>6 86<31>/100</COL><COL>8 11<31>/100</COL><COL>8 41:/100</COL><COL>8 80<31>/100</COL><COL>9 16:/100</COL><COL>9 40:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>147</COL><COL>6 88:/100</COL><COL>8 13<31>/100</COL><COL>8 43:/100</COL><COL>8 82<31>/100</COL><COL>9 18:/100</COL><COL>9 42:/100</COL></ROW>
<ROW><COL>148</COL><COL>6 89./100</COL><COL>8 15:/100</COL><COL>8 45:/100</COL><COL>8 84<31>/100</COL><COL>9 20:/100</COL><COL>9 44<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>149</COL><COL>6 91:/100</COL><COL>8 17:/100</COL><COL>8 46<31>/100</COL><COL>8 86<31>/100</COL><COL>9 22:/100</COL><COL>9 46<31>/100</COL></ROW>
<ROW><COL>150</COL><COL>6 92<31>/100</COL><COL>8 19<31>/100</COL><COL>8 48<31>/100</COL><COL>8 88./100</COL><COL>9 24:/100</COL><COL>9 48./100</COL></ROW>
</TABLE>
<p>E<I>st hæc tabula, quemadmodum & eius v$us, præcedentis con-
nuer$a, in ea enim inueniuntur $phærarum grauitates ex data
diametrorum magnitudine, in hac vero deprehenduntur diametro-
rum magnitudines ex data $phærarum grauitate.</I>
<p><I>Quæro exempli gratia magnitudinem diametri $phæræ aureæ,
grauitatem habentis 10, lib. Numeri in prima columna $ub titulo
grauitatis denotant $phærarum grauitates, reliqui vero in reliquis
columnis denotant diametrorum magnitudines; itaque in linea</I> 10,
<I>lib. $ub titulo magnitudinis diametri $phæræ aureæ, datur quæ$ita
diametri magnitudo partium</I> 2 21/100: <I>qualium pes vnus est</I> 12.
<p><I>Quæro magnitudinem diametri $phæræ ferreæ, grauitatem haben-
tis 50, lib. in linea 50, lib. $ub titulo magnitudinis diametri $phæræ
ferreæ, datur quæ$ita diametri magnitudo</I> 6 40/100.
<p><I>Quæro magnitudinem diametri $phæræ argenteæ, grauitatem ha-
bentis 60, lib. in linea 60, lib. $ub titulo magnitudinis diametri $phæræ
argenteæ, datur ip$a magnitudo</I> 6 25/100.
<foot><I>G</I></foot>
<p n=>50</p>
<p><I>Quæro denique magnitudinem diametri $phæræ stanneæ, graui-
tatem habentis 38, lib. in linea 38, lib. $ub titulo magnitudinis dia-
metri $phæræ stanneæ, datur quæ$ita diametri magnitudo 6, ad
vnguem.</I>
<p><I>Notandum autem est, quod numeri, qui diametrorum magnitu-
dines denotant, non $unt veri, ac certi, $ed veris bene proximi, quoniã
numeri, quorum ip$i $unt radices cubicæ, non $unt cubi, & ideo ip$a
radices non explicantur accurate, $ed vel veris maiores, vel minores,
atque vt cogno$cantur quæ $int maiores, queue minores, maioribus
duo puncta adiecimus, minoribus vnum, accuratis nullum. inter om-
nes autem vnus est accuratus, is $cilicet, qui magnitudinem indicat
diametri $phæræ stanneæ, grauitatem habentis</I> 38, <I>lib.</I>
<p>De compo$itione huius Tabulæ.
<p><I>Huius tabulæ compo$itio pendet ex præcedenti tabula, & ex pro-
po$.</I> 17, <I>huius, $i enim fiat vt grauitas $phæræ stanneæ, diametrum
habentis vnius vnciæ, id est, vt grana</I> 1216, <I>ad grauitatem $phæræ
vnius libræ, idest, adgrana</I> 6912, <I>ita cubus diametri vnius vnciæ,
hoc e$t, ita</I> 1, <I>ad alium numerum, qui $it</I> 5 11/19 <I>is erit cubus diametri
$phæræ stanneæ, grauitatem habentis 1, lib. demonstratum enim
est prop.</I> 17, <I>huius, $phæras eiu$dem generis inter $e e$$e in grauitate,
vt diametrorum cubi in magnitudine; quare radix cubica numeri</I>
5 13/19, <I>dabit ip$am diametrum, $ed quoniam numerus</I> 5 13/19, <I>non est
præci$e cubus, cius radix non explicabitur accurata, $ed vt explicetur
veræ bene proxima, multiplicetur</I> 5 13/19, <I>per</I> 1000000. <I>& ex producto</I>
5684210 10/19, <I>neglecto fracto</I> 10/19, <I>eruatur radix, tanquam ex accu-
rato numero cubo, ea erit</I> 173. <I>proxime, & erit centupla radicis nu-
meri</I> 5 13/19, <I>nam numerus</I> 1000000, <I>per quem fuit multiplicatus</I>
5 13/19, <I>cubus e$t ex</I> 100<I>; magnitudo igitur diametri $phæræ $tanneæ,
grauitatem habentis 1, lib. erit</I> 1 78/100. <I>reliquarum autem ex $tanno
$phærarum, grauitatem habentium duplam primæ, triplam, quadru-
plam &c. ita inuenientur diametri.</I>
<p><I>Duplum numeri</I> 5684210 10/19, <I>id est</I> 11368421 1/19, <I>erit cubus
centupli diametri $pheræ stanneæ, grauitatem habentis duplam pri-
mæ, hoc est</I> 2, <I>lib. ex $upra nominata enim prop.</I> 17, <I>huius, e$t vt gra-
uitas $phæræ vnius libræ, ad grauitatem $phæræ duarum librarum,
ita cubus diametri primæ $phæræ, ad cubum diametri $ecundæ. Si
vero triplicetur numerus</I> 5684210 10/19, <I>eius triplum, quod est</I>
17052631 11/19, <I>erit cubus centupli diametri $phæræ $tanneæ, graui-
tatem habentis triplam primæ, idest</I> 3, <I>lib. & $i quadruplicetur, eius</I>
<p n=>51</p>
<I>quadruplum erit cubus centupli diametri $phæræ stanneæ, grauita-
tem habentis quadruplam primæ, & $ic deinceps. itaque $i ex eius
multiplicibus, neglectis fractis, eruãtur radices, tanquam ex accura-
tis numeris cubis, ip$æ indicabunt diametrorum magnitudines in
ratione centupla. Sed vt etiam euitetur labor multiplicandi prædi-
ctum numerum</I> 5684210 10/19, <I>hac ratione inuenientur eius multi-
plicia.</I>
<p><I>Prædicto numero</I> 5684210 10/19, <I>addatur eius duplum, id est,</I>
11368421 1/19, <I>$umma</I> 17052631 11/19, <I>dabit cius triplum, $i vero ei
addatur eius triplum, id e$t,</I> 17052631 11/19, <I>$umma</I> 22736842 2/19,
<I>dabit eius quadruplum, & $i eius quadruplum ei addatur, $umma
dabit eius quintuplum, & $ic $ola additione inuenientur eius quot-
cunque multiplicia.</I>
<p><I>Eadem ratione inuenientur diametri $phærarum ex quacunque
alia materia, $i enim quæratur de magnitudine diametri verbi gra-
tia $phæræ ferreæ, grauitatem habentis 1, lib. fiat vt grana</I> 1314 22/37,
<I>id est vt grauitas $phæræ ferreæ, cuius diameter e$t vnius vnciæ, ad
grauitatem vnius libræ, id est ad grana 6912, ita cubus diametri
vnius vnciæ, hoc e$t ita 1, ad alium numerum qui $it</I> 5 49/190, <I>is igi-
tur numerus * erit cubus diametri $phæræ ferreæ, grauitatem haben-</I><MARG>17<I>:
huius.</I></MARG>
<I>tis</I> 1, <I>lib. quare radix cubica numeri</I> 5 49/190, <I>dabit quæ$itam dia-
metrum, & quoniam numerus</I> 5 49/190, <I>non e$t præci$e cubus, & ideo
non explicabitur cius radix accurate, multiplicetur per 1000000, &
ex producto</I> 5257894 14/19, <I>neglecto fracto</I> 14/19, <I>eruatur radix, tan-
quam ex accurato numero cubo, ea erit</I> 174: <I>ferè, & erit centupla ra-
dicis numeri</I> 5 49/190, <I>quia numerus</I> 5 49/190, <I>multiplicatus fuit per
cubum ex 100; diameter igitur $phæræ ferreæ, grauitatem habentis
1, lib. erit</I> 1 74/100: <I>deinde $i duplicetur</I> 5257894 24/19, <I>& ex ita du-
plicato eruatur radix cubica</I> 219, <I>ea dabit centuplum diametri $phæ-
ra ferreæ, grauitatem habentis</I> 2, <I>lib. & $i triplicetur, triplicati radix
cubica</I> 250<*> <I>dabit centuplum diametri $phæræ ferreæ, cuius grauitas
crit</I> 3, <I>lib. & $ic reliquarum $phærarum in infinitum inuenientur
diametri. multiplicia autem numeri</I> 5257894 14/19, <I>$ola additione in-
uenientur, vt dictum est $upra de inuentione multiplicium numeri</I>
5684210 10/19. <I>Atque hac ratione prædictam tabulam compo$uimus.</I>
<p>Qvomodo Archimedes argenti mixtionem depre-
hendit in auro.
<p><I>Hiero (referente Vitruuio lib.</I> 9. <I>Cap.</I> 3.<I>) Siracu$is auctus regia</I>
<foot><I>G</I> 2</foot>
<p n=>52</p>
<I>pote$tate, rebus bene ge$tis, cum auream coronam votiuam, dys im-
mortalibus in quodam fano con$titui$$et ponendam, immani precia
locauit faciendam, & aurum ad $acoma appendit redemptori. is ad
tempus opus manufactum $ubtiliter, regi approbauit, & ad $acoma
pondus coronæ vi$us e$t præ$titi$$e. Po$tea quam inditium e$t factum,
dempto auro, tantundem argenti in id coronarium opus admixtum
e$$e: indignatus Hiero $e contemptum, neque inueniens, qua ratione
id furtum deprehenderet, rogauit Arcbimedem, vti in $e $umeret de
eo cogitationem. tunc is cum baberet eius rei curam, ca$u venit in
balneum, ibique cum in $olium de$cenderet, animaduertit quantum
corporis $ui in eo in$ideret, tantum aquæ extra $olium effluere. itaq;
cum eius rei rationem explicationis offendi$$et non est moratus, $ed
exiliuit gaudio motus de $olio, & nudus vadens domum ver$us, $igni
ficabat clara voce inueni<32>e quod quærerct. nam currens identidem
grece clamabat</I> <G><*></G> <I>tum vero ex eo inuentionis ingre$$u
duas dicitur feci$$e ma$$as æquo pondere, quo etiam fuerat coro-
na, vnam ex auro, alteram ex argento. cum ita feci<32>et, vas amplũ
ad $umma labra impleuit aqua, in quo demi$it argenteam ma$$am,
cuius quanta magnitudo in va$e depre$$a est, tantum aquæ effluxit.
ita exempta ma$$a, quanto minus factum fuerat refudit, $extario
men$us, vt eodem modo, quo prius fuerat, ad labra æquaretur. ita ex
eo inuenit, quantum ad certum pondus argenti certa aquæ men$ura
re$ponderet.</I>
<p><I>Cum id experius e$$et tum auream ma$$am $imiliter pleno va$e
demi$it, & ea exempta, eadem ratione men$ura addita, inuenit ex
aqua non tantum deftuxi$$e, $ed tantum minus, quantum minus ma
gno corpore eodem pondere auri ma$$a e$$et quam argenti. Postea
vero repleto va$e, in ead&etilde; aqua ip$a corona demi$$a, inuenit plus aqua
defluxi$$e in coronam, quam in auream. eodem pondere ma$$am, &
ita ex eo quod plus deftuxerat aquæ in corona, quam in ma$$a ratio-
cinatus, deprehendit argenti in auro mixtionem, & manifestum fur-
tum redemptoris.</I> Hactenus Vitruuius.
<p>Mirum certe Archimedis fuit inuentum, ip$ius tamen
modus ad inueniendam illam aquæ men$uram, quæ ad
certum pondus auri, vel argenti, vel coronæ re$ponderet,
maiori diligentia indiget, quam quæ ab hominibus adhiberi
pote$t, impo$$ibile enim e$t, exempta corona, vel aurea ma$$a,
vel argentea, tantum aquæ refundere, quantum è va$e efflu-
xerat ad vnguem, nam repo$ita aqua in va$e, non po$$umus
<p n=>53</p>
affirmare ip$um vas e$$e plenum, ni$i aqua incipiat effluere,
cum autem incipit, effiuit aliquando totus ferè cumulus, ita-
que vel plus aquæ additur eo, quod deficit, vel minus, ni$i
coniectura a$$equatur: at vero conicctura pro veritate non ac-
cipitur. præterea exempta corona, vel aurea ma$$a, vel argen-
tea, eximitur etiam $imul cum ip$a aliquantum aquæ, quæ cir-
cum ip$am remanet, atque huiu$modi defectus errorem indu-
cit $en$ibilem.
<p>Neque per collectionem quæ$ita aquæ men$ura inueniri
pote$t: æquè enim impo$$ibile e$t vniuer$am illam æquam col-
ligere, quæ extra vas effluit, quando corona, vel aurea ma$$a
vel argentea in ip$o va$e deprimitur, cum enim aqua è va$e
effluat, pars ip$ius aquæ va$i, ex quo effluit, pars va$i in quod
influit adhæret, & $i vniuer$a omnino $emper non colligatur,
erit non parui erroris cau$a, præter quam quod, non $emper
adeo facile inuenitur par auri, argentique ma$$a, quando co-
rona, vel alia auri ma$$a, quæ examinanda proponitur, medio-
crem excederet magnitudinem.
<p>Neque præterea pote$t di$cerni prædicta argenti portio in
aliqua auri parua ma$$a, differentiæ enim aquarum, quæ ex-
tra vas effluunt, $unt adeo exiguæ, vt ne cogno$ci quidem
po$$int, quod $i cogno$cerentur, non $emper erunt veræ,
$iquidem non $emper in va$is medio in cumulum cre$cens
æqualis aquæ co<*>ia remanet, $ed maior interdum, inter-
dum minor, vt con$picitur. fit enim vt aliquando cumulus
ille frangatur pluribus in locis, & ideo aqua diffundatur, vt
ferè nihilip$ius cumuli $uper$it, aliquando vero frangatur
in vno tantum loco, & aqua colligens $e in cumulum, parum
diffluat.
<p>Sed ponderandis corporibus in aere & aqua, eo modo, quo
dictum e$t in fine exempli prop. 8. inuenitur quæ$ita aquæ,
grauitas, ita exactè, vt requiritur, fiue $it corpus illud paruum,
$iue magnum nihilintere$t, & præterea facillima e$t operatio,
nec adinueniendæ $unt auri, & argenti ma$$æ æque graues, ac
<p n=>54</p>
corona, $ed quælibet particulæ, grauitate quacunque, etiam
differentes inter$e, $ufficiunt.
<p>De ratione autem, qua Archimedes, cognitis grauitatibus
trium corporum ex aqua, magnitudine æqualium, coronæ
$cilicet vnum, alterum ma$$æ aure&ecedil;, tertium argenteæ, potue-
rit furtum aurificis in regia corona deprehendere, atque ar-
gentum quod erat in ea permixtum ab auro di$cernere, pluri-
mi $crip$erunt, modos etiam ad id faciendum excogitarunt
varios, longa tamen methodo, atque difficili v$i $unt, & quod
maximam confu$ionem, & ob$curitatem parit, nullum opera-
tionis tradunt præceptum firmum, ac $tabile. ego autem vni-
ca tantum proportionis ratiocinatione, $eu regula trium (vt
vulgo dicitur) breuiter, & expedite idem con$equor, eamque
geometrica ratione demon$tro. Problema igitur ad hoc facien
dum ita concipio & ab$oluo.
<HEAD>PROBLEMA IX. PROPOS. XVIII.</HEAD>
<p>Portionem metalli, alterimetallo mi$tam, ponde-
ris ratiocinatione di$cernere.
<p>QVONIAM de Hieronis corona facta e$t mentio, $it ea B,
eiu$que grauitas EK, & oporteat argentum, quod $it in ea permixtũ,
ab auro di$cernere, hoc e$t oporteat inuenire quanta erit portio ar-
<FIG>
genti, & quanta auri. In-
telligantur duo corpora
A, D, vnum aureum, al-
terum argenteum æque
grauia atque corona,
deinde trium corporum
ex aqua, magnitudine
æqualium, aureo $cili-
cet corpori vnum, alte-
rum coronæ, tertium
corpori argenteo, inue-
niantur grauitates, id autem poterit fieri facillime, $i accipiãtur duo
corpora vnum ex auro, alterum ex argento, grauitate quacunque, vt
<p n=>55</p>
dictum e$t in propo$itionis octauæ exemplo, non enim nece$$e e$t ha-
bere duo corpora ex auro & argento, grauitatem habentia eandem
quam & corona, & hac de cau$a diximus $upra intelligãtur duo cor-
pora, non autem accipiantur. $it igitur primi corporis aquei æqualis
aureo A, inuenta grauitas G, $ecundi vero æqualis coronæ B, graui-
tas F, & tertij æqualis corpori argenteo D, grauitas H, & fiat vt dif-
ferentia inter G, & H, ad EK, ita differentia inter G, & F, ad aliam
grauitatem, quæ $it K. Dico K, grauitatem e$$e portionis argenti,
quod e$t in corona, E vero grauitatem auri.
<p>Vel $i pro tertio proportionis termino $umatur differentia inter F,
& H, & quartus terminus $it E, Dico E, grauitatem e$$e portionis au-
ri, K vero argenti.
<p>Quartus autem vtriu$que proportionis terminus * minor e$t $e-<MARG>14. 5
<I>Elen</I></MARG>
cundo EK, quod & tertius minor e$t primo, primus enim terminus
e$t differentia inter G, & H, tertius vero, vel e$t differentia inter G, &
F, vel differentia inter F, & H, vterque minor primo. Exemplis autem
res fiet illu$trior.
<HEAD>Exemplum. I.</HEAD>
<p><I>Sit coronæ grauitas</I> 95, <I>lib. & oporteat facere quod imperatum e$t.
Intelligantur duo corpora, vnum aureum, alterum argenteum, æque
grauia atque corona, deinde trium corporum ex aqua, magnitudine
æqualium, aureo $eilicet corporivnum, alterum coronæ, tertium cor-
pori argenteo, inueniantur grauitates, vt in exemplo prop.</I> 8. <I>dictum
est, quæ $int primi nimirum corporis aquei</I> 5, <I>$ecundi vero 6, & terty</I>
9 6/31, <I>& fiat vt differentia inter</I> 5, & 9 6/32, <I>hoc e$t vt</I> 4 6/31, <I>ad</I> 95,
<I>grauitatem videlicet coronæ, ita differentia inter</I> 5, & 6, <I>hoc est 1, ad</I>
22 17/26, <I>ergo</I> 22 17/26, <I>erit grauitas portionis argenti quod est in coro-
na, qua detracta ex totali grauitate coronæ, reliquum</I> 72 9/26, <I>erit
grauitas portionis auri.</I>
<p><I>Vel $i pro tertio proportionis termino $umatur differentia inter</I> 6,
& 9 6/31, <I>quæ e$t</I> 3 6/31, <I>quartus terminus</I> 72 9/26, <I>erit grauitas por-
tionis auri, quæ $i dematur ex totali grauitate coronæ, remanebit</I>
22 17/26, <I>pro grauitate portionis argenti.</I>
<HEAD>Exemplum. II.</HEAD>
<p><I>Sit aliquod corpus mistum ex auro. & ære, & babeat grauitatem
171. lib. & oporteat inuenire quanta erit portio æris in ip$o corpore,</I>
<p n=>56</p>
<I>& quanta auri. Intelligantur duo corpo<*>i, vnum ex auro puro, al-
terum ex ære, æque grauia atque corpus mistum, & trium corporum
ex aqua, quorum vnum $it æquale corpori aureo magnitudine, alte-
rum misto, tertium ærco, inueniantur grauitates, vt in exemplo pro-
po$.</I>8.<I>dictum est, quæ $int</I> 9, 11, <I>& 19, & fiat vt differentia inter</I> 9, &
19, <I>ad</I> 171, <I>grauitatem videlicet corporis misti, ita differentia inter</I>
9, & 11, <I>ad</I> 34 1/5, <I>portio igitur corporis mi$ti ærea grauitatem babebit</I>
34 1/5, <I>quæ $i auferatur ex totali corporis misti grauitate, remanebit</I>
136 4/5, <I>pro grauitate portionis auri.</I>
<p><I>Vel $i pro tertio proportionis termino $umatur differentia inter</I> 11,
<I>& 19, quartus terminus</I> 136 4/5, <I>erit grauitas portionis auri, qua ab-
lata ex totali corporis mi$ti grauitate, reliquum</I> 34 1/5, <I>dabit grauita-
tem portionis æreæ.</I>
<p>At vero huiu$modi ratio cinationem ad di$cernendum ar-
gentum ab auro, vel aliud metallum ab altero metallo, recte
e$$e in$titutam, $equenti Theoremate demon$trabitur.
<HEAD>THE OREMA X. PROPOS. XIX.</HEAD>
<p>Si trium corporum æque grauium primum & ter-
tium fuerint generis diuer$i, $ecundi autem portio
fuerit eiu$dem generis cum corpore primo, reliqua ve-
ro eiu$dem generis cum corpore tertio, fuerint etiam
tres quantitates aquæ prædictis corporibus æquales, pri-
ma videlicet corpori primo, $ecunda $ecundo, & tertia
tertio. erit vt differentia grauitatum primæ & tertiæ
quantitatis aquæ, ad grauitatem corporis $ecundi, ita
differentia grauitatum primæ & $ecundæ quantitatis
aquæ, ad grauitatem portionis corporis $ecundi, quæ e$t
eiu$dem generis cum corpore tertio.
<p>Et ita differentia grauitatum $ecundæ & tertiæ quan
titatis aquæ, ad grauitatem portionis eiu$dem generis
cum corpore primo.
<p n=>57</p>
<p>SINT tria corpora æque grauia A, BC, D, quorum A, primum,
& tertium D. $int generis diuer$i, portio vero $ecundi B, $it eiu$dem
generis cum corpore A, & portio C, ein$dem generis cum corpore
<FIG>
D, $int etiam alia tria
corpora aquea P, OL,
& Q, quorũ <*>, $it æqua-
le corpori A, magnitu-
dine, ip$um vero OL,
æquale corpori BC, &
ip$um Q, æquale cor-
pori D, & $int earum
grauitates, G, ip$ius P,
& FV, ip$ius OL, & H,
ip$ius Q. Dico vt diffe-
rentia granitatum G,
H, ad grauitatem cor-
poris BC, ita e$$e diffe-
rentiam grauitatum
G, FV, ad grauitatem
portionis C; & ita differentiam grauitatum FV, H, ad portionis B,
grauitatem. Sit enim portionis B, grauitas E, & portionis C, gra-
uitas K; ergo totius corporis BC grauitas erit EK, $i<*>q; portionis O,
quæ $it æqualis portioni B, grauitas F, ergo reliquæ portionis L,
<*>qualis portioni C, grauitas erit V, Quoniam igitur e$t, vt A, ad P,
ita B, ad O, æquale videlioet ad æquale, erit permutando, vt A, ad B,
ita p.ad O, & quoniam $unt eiu$dem generis A, B, fimiliter & P, O,
* erit vt grauitas corporis A, hoc e$t vt EK, (ponuntur enim cor-<MARG>4.<I>huius</I></MARG>
pora A, BC, D, æque grauia,) ad E, ita G, ad F, quod igitur fit ex EK,
& F, nempe ex extremis, æquale erit ei, quod fit ex E, & G, hoc eft
ex medijs.
<p>Similiter quoniam e$t, vt D, ad Q, ita C, ad E, æquale videlicet ad
æquale, erit permutando, vt D, ad C, ita Q, ad L, & quoniam $unt
eiu$dem ge net is D, C, $imiliter & Q, L, * erit vt grauitas ip$ius D,<MARG>4.<I>huius</I></MARG>
hoc e$t vt EK, ad K, ita H, ad V; quare quod fit ex EK, & V, ex extre-
mis, æquabitur ei, quod ex H, fit & K, ex medijs.
<p>Sed o$ten$um e$t id quod ex EK, fit & F. æquale e$$e ei quod fit ex
G, & E, ergo quo<*> fit ex EK, & F, vna cum eo, quod ex BK, & V, hoc
e$t id quod fit ex EK, & FV, æquale erit ei quod ex G, fit & E, vna
eum eo quod ex H, & K, $ed quod ex G, fit & E, æquale e$t ei quod fit
ex G, & EK, minus eo quod ex G, & K, quod enim additur, idem &
<foot>H</foot>
<p n=>58</p>
minuitur; ergo quod fit ex EK, & FV. æquale erit ei quod fit ex G, &
EK, vna cumeo quod ex H, & K, minus eo quod fit ex G, & K. aufe-
ratur vtrinque id quod fit ex G, & EK, quod igitur fit ex FV, & EK,
<FIG>
minus eo quod ex G, &
EK, æquabitur ei quod
ex H, & K, minus eo
quod fit ex G, & K, $ed
quod fit ex H, & K,
minus eo quod fit ex
G, & K, æquale e$t ei
quod ex differentia ip-
$arum H, G, fit & K,
$imiliter, & quod fit ex
FV, & EK, minus eo
quod ex G, & EK,
æquale e$t ei quod ex
differentia ip$arum
FV, G, fit & EK, ergo
quod ex differentia
ip$acum H, G, fit & K, æquale erit ei quod ex differentia ip$arum
FV, G, fit & EK; æqualitatem ad proportionem reuocando, erit vt
differentia grauitatum. H, G, ad grauitatem EK, ita differentia
grauitatum FV, G, ad graui<*> tom K, quod erat primo loco: demon-
$trandum.
<p>Dico quoque vt differentia grauitatum H, G, ad grauitatem EK,
ita e$$e differenti <*> grauitatum H, FV, ad grauitatem E. Quoniam
enim o$ten$um e$t, quod fit ex EK, & FV, æquale e$$e ei quod ex G. fit
& E, vna cum eo quod ex H, & K; quod autem fit ex H, & K, æquat<*>
<*>i quod, ex H, fit & EK, minus eo quod ex H, & E, quod onim additur
idem & minuitur: ergo quod fit ex EK, & FV, æquale erit ei quod fit
ex H, & EK, vna cum eo quod ex G, & E, minus eo quod ex H, & E.
addatur vtrin que quod ex H, fit & E, & $ubducantur ea quæ fiunt ex
G, & E, & ox EK, & FV; quod igitur fit ex H, & E, minus eo quod ex
G, & E, æquabitur ei quod ex H, fit & EK, minus eo quod ex FV, &
EK, $ed quod fit ex H, & E, minus eo quod ex G, & E, æquale e$t ei
quod ex, differ entia ip$arum H, G, fit & E, $imiliter, & quod ex H, fit
& EK, minus eo quod ex FV, & EK, æquale e$t eiquod ex differentia
ip$arum H, FV, fit & EK; ergo quod ex differentia ip$arum H, G, fit
& E, æquabitur ei quod ex differentia ip$arum H, FV, fit & EK; qua-
re æqualitatem ad proportion&etilde; reuocando erit v<*> differen ti a grauis
<p n=>59</p>
tatum H, G, ad grauitatem EK, ita differentia gra<*>tatum H, FV,
zd grauitatem E. quod $ecundo loco fuit demon$trandum.
<p>Alia breuior Theorematis demon$tratio.
<p>RESVMATVR eadem figuta vt $upra. Qhoniam igitur
corpus D, æquale e$t corpori Q, magnitudine, & portio C, æqualis
portioni Lerit vt D, ad Q, ita C, ad L, & permutando vt D, ad C, ita
Q, ad L, & quoniam eiu$dem $unt genoris D, C, $imiliter & Q, L, * erit<MARG>4.<I>buius</I></MARG>
vt grauitas corporis D, hoc e$t vt EK; ad K, ita H, ad V.
<p>Similiter quoniam ponuntur æqualia magnitudine corpora A, P,
& æquales quoque portiones B, O, erit vt A, ad P, ita B, ad O, & per-
mutando vt A, ad B, ita P, ad O, $ed eiu$dem $unt generis A, B, $imili-
ter & P, O, * vt igitur grauitas corporis A, id e$t vt EK, ad E, ita erit<MARG>4.<I>buius</I></MARG>
G, ad F, & per conuer$ionem rationis erit vt EK, ad K, ita G, ad G,
minus F, $ed demon$tratum e$t, vt EK, ad K, ita e$$e H, ad V, ergo vt
H, ad V, ita erit G, ad G, minus F, & permutando vt H, ad G, ita V,
ad G, minus F, & diuidendo vt H, minus G, ad G, ita erit FV, minus
G, ad G, minus F, rur$us permutando erit vt H, minus G, ad FV, mi-
nus G, ita G, ad G, minus F, $ed vt EK, ad K, ita e$t G, ad G, minus F,
vt e$t demon$tratum, ergo vt H, minus G, ad FV, minus G, ita erit
EK, ad K, quare permutando vt H, minus G, ad EK, ita erit FV, mi-
nus G, ad K, quod e$tò primum.
<p>Dico quoque vt H, minus G, ad EK, ita e$$e H, minus FV, ad E.
Quoniam enim o$ten$um e$t vt EK, ad K, ita e$$e H, ad V, erit per
conuer$ionem rationis vt EK, ad E, ita H, ad H, minus V, $ed demon-
$tratum e$t vt EK, ad E, ita e$$e G, ad F, ergo vt H, ad H, minus V, ita
erit G, ad F, & permutando vt H, ad G, ita H, minus V, ad F, & diui-
dendo vt H, minus G, ad G, ita erit H, minus FV, ad F, & permutan-
do vt H, minus G, ad H, minus FV, ita G, ad F, $ed vt EK, ad E, ita e$t
G, ad F, vt e$t demon$tratum, ergo vt H, minus G, ad H, minus FV,
ita erit EK, ad E, quare permutando, erit vt H, minus G, ad EK, ita
H, minus FV, ad E, quod erat $ecundo loco demon$trandum.
<p>Svpere$t igitur vt dicamus, qua ratione ex grauitate aúri
cogno$ci po$$it eius qualitas; id quod ex ijs, quæ dicta
$unt facilè colligitur; $i videlicet nota $iat cuiu$uis ma$$æ auri
grauitas, quam habet tum in aere, tum in aqua. Sed ante
omnia, duo nobis $unt præmittenda, & explicanda. nimirum
quid $it aurum 24. partium, $eu (vt vulgo dicitur) di 24. ca-
<foot>H 2</foot>
<p n=>60</p>
ratti, quidue pauciorum, hoc e$t penes quid attendatur di
uer$a auri qualitas. Deinde quomodo aurum alligent Auri
fices, vel alij ad quos alligandi officium $pectat. His enim
cognitis, non erit difficile, id quod proponitur, certa aliqua
ratione, a$$equi.
<p><I>Aurum igitur</I> 24. <I>partium appellatur aurum purum, pauciorum
vero dicitur non purum, $ed aliquo alio metallo, vel pluribus affe-
ctum. & quia hæc affectio multiplex e$t, ide<*> etiam auri qualitas,
qua ex varia mixtione na$citur, varia $it est nece$$au quamuis vna
tantum$it qualitas auri puri. Qualitas enim auri in quouis cor
pore propo$ito, exprimitur partibus auripuri, qua $unt in ip$o corpo-
re, non in magnitudine, $ed in grauitate $umptis, qualibus totum cor-
pus constat</I> 24<I>: vel quod idem est, auri qualitas exprimitur in ra-
tione quam babent illæ partes in grauitate ad totum corpas: quod
exemplo clarius explicabitur in bunc modum.</I>
<p><I>Sit aliquod corpus aureum, exempli gratia</I> 24. <I>vnciarum, quod
expurgatum & ad aurum purum red<*>ctum, ami$erit ex pri$tina
grauitate nempe ex</I> 24, <I>vncys, quatuor vncias, ita vt reman$erint
tantum</I> 20, <I>vnciæ auri puri, reliquum vero vel euanuerit in fumum,
vel fuerit alterius metalli. Totum igitur illud corpus aureum ab
initio propo$itum, $i adbuc intelligatur tale quale fuit ante expurga-
tionem, appellabitur</I> 20. <I>partium, $eu, (vt vulgo dicitur) di</I> 20. <I>ca-
ratti. eo quod tota illa ma<32>a mista,</I> 20. <I>tantum vncias auri puri con-
tinuerit. I mmo non $olum illa ma$$a auri, $ed etiam illa cuius ip$a
fui$$et pars, vel que ip$ius fui$$et quæcunque pars dicetur</I> 20, <I>par-
tium. Neque enim in alligationibus metallorum, alia est alli-
gatio partium, alia totius, $ed vtrorunque vna eademque e$t qua-
litas.</I>
<p><I>Et hoc est quod Aurifices in inaestigatione quali<*>atis auri ob-
$eruant. Non enim purificant totum corpus propo$itum, $ed ali-
quam eius particulam etiam perexiguam, quam $olam ad aurum pu-
rum reducunt. bac enim reducta, non $olum recte definiunt cuius
fuerit qualitatis particula illa purificata ante purificationem; ve-
rum etiam cuius fuerit qualitatis, & quot partium fuerit illud cor-
pus, à quo eadem particula detracta fuit, & illud, quod adbuc $u-
pere$t, diminutum $cilicet illa parte purificata, vt in eodem exemplo
propo$ito, corporis aurei</I> 24. <I>vnciarum apparet. Eius enim quali-
tatem $i forte aurifices inuestigare velint, detrabent ex eo particu-
lam, verbi gratia, vnius vnciæ, vel qued idem est particulam</I> 24.
<p n=>61</p>
<I>$<*>puforam; & banc particulam exeoquent ad qualitatem o$que
c<*>ripuri. Bt $t quidem inuenerint, ex priori gr<*>uitate</I> 24. <I>$or<*>
pulorum, deperi$$e nibil: pronunciabunt aurum sllud, boc est, non
$olum partieulam illam excoctam, $ed ctiam illud d quo fait dotr<*>
sta, nec non & illud quod reman$it post $ubiractionim e$$e vel $ui$<*>
$e aurum prima qualitatis $eu</I> 24, <I>partiam; vel quod idem est au-
tum purum. Sivero deprebendirine gra<*>m diminuta<*>, ver-
bi gratia, n<*>e e$$e</I> 20. <I>$crupulorum, quæ ante defæcationem fait</I> 24.
<I>dicturi $unt aurum propo$itam</I> 24. <I>vnciarum $ni$$e</I> 20. <I>partium &
illud quod teman$it e$$e</I> 20. <I>partium & d<*>nique particul<*> expur-
gatam nunc quidem e$$e aurum purum, fui$$e vero particulam auri</I>
20. <I>partium.</I>
<p><I>Et eodem modo pronunclabunt de quibafeunque alys auri quali-
atibus, $ecundum partes auri puri, quas in qualibet ma$$a auri in-
uenerint, ea$que vige$imas quartai tutius grauitatis, non magnita-
dinis. Nam cum in bac comparatione qualitatum, $epr$im habe a-
tar ratio partium auri, & $eor$im metallorum alligatorum; manife-
stum est $i grauitas totius corporis intelligatur diui$a in</I> 24. <I>partes
equales, ex quibus</I> 20. <I>$int auri, duæ argenti, & duæ æris; quumli-
bet partem auri cum qualibet parte argenti & æris collatam, magni-
tudine e$$e minorem; & $imiliter partem argenti minorem parte
aris; propterea quod aurum omnia reliqua metalla $uperet grauit<*>
te quemadmodum & argentum ip$uon as, vt constat experi<*>nt<*>
atque hinc constat quam apte ac conuenienter Aurifices vtantur
voeabulo parlium. bao enim ratione <*>dem numero exprimunt vnam
quamque qualitatem auri cuiuslibet ma$$æ propo$itæ. Sednunc ad
$<*>undum veniamus & modum alligationis. quem ydem ob$eruant
breuiter adnotemus.</I>
<p><I>Inter varias autem & multiplices auri compo$itiones quibus
cum alys metallis alligari potest, eam retinuere aurifices, quam diu-
turna experientia deprebenderunt omnibus alys e$$e commodiorem,
eam nimirum quæ ab auri $imilitudine vel minimum di$cedat; qua-
lis e$t quæ $olius argenti atque æris mixtione perficitur. Et quidem
$ipartes auri excipias, aris atquo argenti partes, quæ auro $unt per-
mi$cendæ $emper volunte$$e æquales in grauitate: propterea quod
eadem experientia Magi$tra didicerunt bunc e<32>e mixtionis modum
longe optimum.</I>
<p><I>Quando ergo aurifices volunt producere aurum cuiu$cunque
qualitatis, accipiunt tot partes auri puri æquales, quot partium fu-
turum e$t aurum producendum, pauciores tamen partibus</I> 24, &
<p n=>62</p>
<I>veliquas partes quæ d $unt ad</I> 24, <I>explent argento & <*>e, $umendo
exvtreque metallo parles aquales in grauite; atque bis rite inter$e
permixtis componunt aurum de$ideratæ qualitatis: eamque deno-
minant à partibus auripuri in mixtione a$umptis. Et quoniam
non prodiret <*>ale pror$us quale $acore intendunt, $ed paulo perfe-
ctius; propterea quod <*> quidem partes in wixtione <*>antant, ex
argenta vero & are aliquid deperdatur, $olen<*> Aucifices tanto plue
<*>i$cere argenti & aris quantum perdi po$$e deprebenderunt.</I>
<p><I>Veru<*> nostra iutentio non est omnia quæ ad ciu$modi mixtione
pertinent hoc loco expon<*>e; $ed illud tantum vt recept<*> apud o<*>
<*>es ad ferre voluimus, ex quo manifeste constat, qu<*> metallorum
mixtio in $ingulis qualitatum generibus statuatur: quaquidem e$t
illa quam add<*>ximus <*>mpe in auro</I> 23, <I>partium, partes</I> 23, <I>e$$e
auripuri & reliquamq <*>deest ad</I> 24, <I>partes con$tare dimidia
parte arg<*>ti, & dimidia <*>ris in grauitate. In auro vero</I> 22, <I>par-
tium, auri e$$e</I> 23, <I>argenti vnam, & æris vnam, $ie enim iterum
$amma omnium partium est</I> 240 <I>cademqus est ratio de reliquis ita
<*>t numerus partium auri, $e<*>per denovinet qualitatem auri, &
vna medietas reliquarum partium, quæ partibus a<*>ri de$unt ad
<*>omplendas partes</I> 24, <I>$it argenti, & reliqua medictas $it æris. bac
enim $atis est $uppo$ui$$e, ad nouum illud artificium, quo paulo po$t
inuestig aturi $umus auri qualitat<*> ex $ola grauitate quam babe<*>
in aere & aqua, eamque qualitatem dupliei via inuestigabimus <*>
vnape<*> calculum, par tabellam altera: & <*>ia ad calculum $pe-
stant ea, quæ $uperi<*> inu<*>imus, de grauitate metallorum bucre-
ferenda cen$uimus quæ bic $unt nece$$aria, cuiu$modi $unt auri,
argenti, atque æris grauitas, quam obtinent in aere, & aqua, qu<*>
quidem ita $e habet vt $equitur.</I>
<p><I>Auripuri grauitas, quæ in aere e$t</I> 19, <I>erit in aqua</I> 18.
<p><I>Argenti greuitas, quæ in aert e$t</I> 31, <I>erit in aqua</I> 28.
<p><I>Aeris grauitas; quæ in aere est</I> 9, <I>erit in aqua</I> 8.
<HEAD><I>Item.</I></HEAD>
<p><I>Aurum ad aquam $e habet in grauitate vt</I> 19, <I>ad</I> 1.
<p><I>Argentum ad aquam $e habet in grauitate vt</I> 31, <I>ad</I> 3.
<p><I>Aes ad aquam $e habet in grauitate vt</I> 9, <I>ad</I> 1.
<p><I>Ex quibus clari$$ime colligitur, $i aliquod corpus mistum con-
stet partibus æqualibus argenti, & aeris in grauitate, quantam
grauitatem babeat in aqua & que $it ratio in grauitate ip$ius mi-
sti ad aquam $i enim grauitas aeris in aere $it</I> 9, <I>eius grauitas in
aqua erit</I> 8, <I>& $i grauitas argenti in aere $it quoque</I> 9, <I>erit eius gra<*></I>
<p n=>63</p>
<I>vitas in àqua</I> 8 4/11, <I>est enim vt 9, ad</I> 8 4/11 <I>vt</I> 31, <I>ad</I> 28: <I>Quare $i
grauitas corporis mi$ti ex argento, & ære iu<*>ta mixtionem prædi-
ctam, quæ etiam $ubinte<*>genda erit in $iq<*>bus, in aere fuerit</I>
18, <I>erit iu aqua</I> 16<*> <I>& còn$eq<*> grauitas aquæ magnitu-</I><MARG>5. <I>huius</I></MARG>
<I>dinem habentis æqualem <*> eor por<*> misto<*></I> <*>; <I>quare corpus
<*>stum ex argento & are ad carpui aqueum eia$dem magnitudi-
<*>is, rationem habe<*>it <*> grauitate vt</I> 18, <I>ad</I> 1 22/11, <I>vel vt</I> 1, <I>ad</I>
<*>, <I>vet <*> nique in numerit integrinvt</I> 299, <I>ad</I> 29, <I>omnium enim
i$torum numerorum eadem e$t ratie.</I>
<p><I>Quibus $ic con$titutis inuenietur qualitas auri cuiu$cumque hoc
modo. Sit <*>xemp: gratia propo$ita aliqua <*> e$$a aurea, cuius gra-
uitas in aere $it vnc</I> 24, <I>& oporte at in<*> euius qualitatis $it ip-
su<*> aurum. Ponderetur ea ma$$a in aqua & babeat grauitatem
vnciarum</I> 22 2<*>/5301, <I>ergo * grauitas aquæ magnitudinem babe <*></I><MARG>5.<I>buius</I></MARG>
<I><*>is <*>qualem propo$itæ ma$$æ erit vnc.</I> 1 2431/5301.
<p><I>Deinde inueniatur grauitas aquæ magnitudine æqualis aur<*>
puro</I> 24, <I>vnciarum: hoc e$t vt 19, ad 1, ita fiat</I> 24, <I>ad alium, nempe ad
vnciam</I> 1 9/19, <I>hic eni<*> numerus erit grauitas illius aquæ.</I>
<p><I>Fiat denique ot</I> 279, <I>ad</I> 29, <I>ita <*>ur$ue</I> 24, <I>vntiæ, ad alium, numi-
rus enim quartus, nempe vnc.</I> 2<*> <I>erit grauitas aquæ, magnitu-
<*>ine æqualis corport mi$to ex argento & ære, euius grauitas est in
ærè vnc.</I> 24, <I>corp<*>s enim ita mi$tum, ad corpus aqueum eiu$dem ma-
<*> nitudin<*> rationem babet in grauitate vt</I> 279, <I>ad</I> 29.
<p><I>Atque ita habeb<*>tur tres gra<*>tate<*> aquæ quantitatum,
quarum prima æquatur auto pu<*>o</I> 24, <I>vuctarum, $<*>unda ma$$<*>
propo$itæ</I> 24, <I>vnciarum, & reliqua corpori mi$to ex argento & <*>
$imiliter</I> 24, <I><*>vnciarum quæ quidem tres grauitates in numeris di-
$ponantur co ordine, quo $equitur.</I>
<TABLE>
<ROW><COL><I>Grauitas aqua magni<*>
dine aqualis nure puro.</I></COL><COL><I>Grauitas aqua magn<*>-
dine aqualis ma$$a prope-
$ita.</I></COL><COL><I>Grauitas aqua magni<*>
dine aqu<*> corpori mi$te
ex argento & are.</I></COL></ROW>
<ROW><COL><I>Vnc.</I> 1 9/10</COL><COL><I>Vnc.</I> 1 24<*>/5301</COL><COL><I>Vnc.</I> 2 <*>/279</COL></ROW>
<ROW><COL><I>Velin eadem dènominationt.</I></COL></ROW>
<ROW><COL><I>Vnc.</I> 1 <*>/5301</COL><COL><I>Vnc.</I> 1 2431/5301</COL><COL><I>Vnc.</I> 2 <*>/5301.</COL></ROW>
</TABLE>
<p><I>Deinde quteratur differentia inter primam & tertiam aquæ gra-
uitatem, quæ est vnc.</I> 1 1227/5302, <I>& hæc differentia statuatur pro
primo proportionis termino, pro $ecundo termino ponatur grauitas
<*>a$$æ propo$itæ idest vnc.</I> 24, <I>& protertio denique termino ponatur
different<*> inter $ecundam aquæ grauitatem & tertiam, quæ est
vnc.</I> 1 <*> <I>qua<*> eni<*> proportionalium ter <*>inus nempe</I> 20,
<p n=>64</p>
<TABLE>
<ROW><COL><I>I.</I></COL><COL><I>II.</I></COL><COL><I>III.</I></COL><COL><I>IIII.</I></COL></ROW>
<ROW><COL>1 1227/<*>01,</COL><COL>24,</COL><COL>1 <*></COL><COL>20,</COL></ROW>
</TABLE>
<I>erit de<*>ominator qualitatis auri de qua <*>uaritur quia ille termi-
<*>ut indicat partes auri pari i<*> grauitate, qualibus ma$$a propo$ita
constat</I> 24. <I>Hoc autem de<*>onstratum e$t prop.</I> 19, <I>buius.</I>
<p><I>Et quia inpropo$ito exemplo bæ partes, nempe vnc.</I> 20, <I>$unt par-
tes vige$<*> quartæ</I> 24, <I>onciarum, quæ constituunt grauitatem to-
tius ma$$æ. binc fit quod eædem</I> 20. <I>vnc. immediate denominent au-
rum propo$itum e<32>e</I> 20, <I>partium. Quando vero grauitas totius ma$-
$anon exprimitur per numerum</I> 24, <I>tunc opus erit inquirere quot
partes vige$imas quartas totius grauitatis efficiat quartus ille pro-
portionis terminus vt in $equ<*>nti <*>mplo clarius appar<*>bit.</I>
<p><I>Sit euim propo$ita a lia auri ma$$a cuius grauitas in aere $it</I> 5301
<I>in aqua vero</I> 4988, <I>$i igitur hic <*>erus $ubtrabatur ex numero to</I>
<MARG>5.<I>buius</I></MARG> <I>tius grauitatis</I> 5301, <I>r<*>liquus numerus</I> 313, * <I>erit grauitas aquæ
propo$itæ ma$$æ magnitudine æqualis. Inueniantur quoq; duæ aliæ
grauitates aquæ, vna re$pondentis auro puro magnitudine, altera
corpori mi$to ex argento & ære, ita tamen vt grauitas tum auri pu<*>
ri, tum corporis misti $it eadem quæ ma$$æ propo$itæ, non $ecus ac in
præcedenti oxemplo factitatum est. hoc e$t primo fiat vt</I> 19, <I>ad</I> 1, <I>ita</I>
5301, <I>ad</I> 279, <I>hic enim numerus erit grauitas aquæ magnitudinem
babentis æqualem auro puro, <*>uius grauitas e$t</I> 5301. <I>Deinde fia<*>
vt</I> 279, <I>ad</I> 29, <I>ita rur$um grauitas</I> 5301, <I>ad aliam, bac enim ratione
producetur nu<*>erus</I> 551, <I>debitus grauitati aquæ, magnitudine
aqualis corpori mi$to ex argento & ære grauitatem habenti eandem
cum eadem ma<32>a propo$ita. Atque ba tre<*> grauitates aquæ $criban-
tur co ordine quo $upra; inuenti$que differentys inter primam &</I>
<TABLE>
<ROW><COL><I>Grauitas aquæ magnitu-
dine agualis auro puro.</I></COL><COL><I>Grauitas aquæ aqualis
ma<*> propo$it<*>.</I></COL><COL><I>Grauitas aquæ aqualis
corpori mi$to.</I></COL></ROW>
<ROW><COL>279</COL><COL>313</COL><COL>551</COL></ROW>
</TABLE>
<I>tertiam, nec noninter $ecund am & tertiam, quæ $unt</I> 272, 238; <I>sta-
tuatur pro primo proportionis termino prior differentia</I> 272, <I>& pro
tertio posterior</I> 238. <I>grauitas vero ma$$æ propo$itæ</I> 5301, <I>ponatur
pro$ecundo termino, & quæratur terminus quartus, qui in præ-</I>
<TABLE>
<ROW><COL><I>I.</I></COL><COL><I>II.</I></COL><COL><I>III.</I></COL><COL><I>IIII.</I></COL></ROW>
<ROW><COL>272,</COL><COL>5301,</COL><COL>238,</COL><COL>4638 <*></COL></ROW>
</TABLE>
<MARG>19.
<I>huius.</I></MARG> <I>$enti examp<*>o e$t</I> 4638 51/<*>, <I>is enim indicabit grauitatem auri
puri in ma$$a propo$ita. Sed quoniam <*>c grauitas non est expre$-
$a in partibus vige$imis quartis totius grauitatis, id quod ad g<*>,</I>
<p n=>65</p>
<p><I>manam qualitatis auri pronunciationem requiritur, vt $upra mul-
tis o$tendimus, reuocanda erit ad partes vige$imas quartas hoc est
adpartes, qualium tota propo$ita ma$$a est</I> 24, <I>quod factu non est
difficile. Nam $i fiat vt tota grauitas ma$$æ propo$itæ</I> 5301, <I>al gra-
uitatem auri puri</I> 4638 45/116, <I>velvt</I> 272, <I>ad</I> 238, <I>cum vtrobique
eadem $it ratio ita</I> 24, <I>ad alium numerum. proculdubio quartus nu-
merus proportionalis, erit ille qui quæritur. Est autem hic quar-
tus numerus</I> 21. <I>Quare aurum ma$$æ propo$itæ appellabitur par-
tium</I> 21.
<p><I>Ex his igitur patet in inuenienda auri qualitate primum pro-
portionis terminum</I> 272, <I>& $ecundum</I> 5301, <I>perpetuo manere eo$-
dem, quia primus terminus est differentia inter grauitates primæ,
& tertiæ aquæ, quæ nunquam mutantur, nam illæ aquæ magnitu-
dine $unt æquales altera auro puro, reliqua mi$to ex argento & ære,
quæ corpora aureum $cilicet & mistum $emper ponuntur eiu$dem
grauitatis nempe</I> 5301, <I>Secundus vero terminus</I> 5301, <I>e$t grauitas
ma$$æ propo$itæ, quæ $i maior fuerit, vel minor, ad eam facile reuo-
cabitur. Vnde inposterum $olum opus erit inuenire tertium pro-
portionis terminum, hoc est differentiam inter grauitates $ecundæ
& tertiæ aquæ.</I>
<p><I>Sed vt hoc etiam exemplo illustretur, proponatur aliqua ma$$a
auri, cuius inue$tigãda $it qualitas, & $it ip$ius ma$$æ grauitas qui-
dem in aere</I> 837, <I>in aqua vero</I> 784, <I>ergo * grauitas aquæ magnitu-</I><MARG>5.<I>hui<*></I></MARG>
<I>dinem habentis æqualem propo$itæ ma$$æ erit</I> 53, <I>differentia enim
inter primam, & $ecundam grauitatem est</I> 53.
<p><I>Ad inueniendum igitur tertium proportionis terminum manen-
tibus primis duobus</I> 272, 5301, <I>hæc erit ratio. Reuocetur primum
ptopo$itæ ma$$æ grauitas</I> 837, <I>ad grauitatem</I> 5301, <I>hoc est intelli-
gatur ip$a ma$$a grauitatem babere</I> 5301. <I>deinde fiat vt</I> 837, <I>ad</I> 53,
<I>grauitatem vidclicet aquæ ip$i ma$$æ æqualis, ita</I> 5301, <I>ad</I> 335 2/3,
<I>ergo</I> 335 2/3, <I>erit grauitas aquæ magnitudinem habentis æqualem
aureæ ma<32>æ, cuius grauitas</I> 837, <I>reuocata est ad grauitatem</I> 5301;
<I>quare grauitas $ecundæ aquæ erit</I> 335 2/1, <I>& con$equenter differen-</I>
<TABLE>
<ROW><COL><I>Grauitas prima aquæ.</I></COL><COL><I>Grauitas $ecundæ aqua.</I></COL><COL><I>Grauitas tertia aqua.</I></COL></ROW>
<ROW><COL>279,</COL><COL>335 2/3,</COL><COL>551.</COL></ROW>
</TABLE>
<I>tia inter ip$am grauitatem $ecundæ aquæ & grauitatem tertiæ</I> 551,
<I>erit</I> 215 1/1, <I>$ed ip$a differentia ponitur pro tertio proportionis ter-
mino; crgo</I> 215 1/3, <I>erit quæ$itus terminus, nempe proportionis ter-</I>
<foot><I>I</I></foot>
<p n=>66</p>
<TABLE>
<ROW><COL><I>I.</I></COL><COL><I>II.</I></COL><COL><I>III.</I></COL><COL><I>IIII.</I></COL></ROW>
<ROW><COL>272,</COL><COL>5301,</COL><COL>215<*></COL><COL>41y6 <*>,</COL></ROW>
</TABLE>
<I>tius. Quartus autem terminus</I> 4196 25/116, <I>indicabit grauitatcm
auri puri, quod est in ma$$a propo$ita, eam tamen indicabit in par-
tibus, qualibus tota ma$$a constat</I> 5301, <I>quæ quidem grauitas vt
auri qualitatem indicet, reuocanda erit ad partes qualium totæ
ma$$a propo$ita est</I> 24. <I>$ienim $iat vt</I> 5301, <I>ad</I> 4196<*>, <I>ita</I> 24,
<I>ad</I> 19, <I>aurum propo$itæ ma$$æ appellabitur partium</I> 19.
<p><I>Denique $i quis hunc modum conferat cum illo, quem $upra tradi-
dimus, cum argentum explorauimus, quod miftum in aurea corona
credebatur; is liquido intelliget hic nibil aliud acce$$i<32>e, ni$i quod
loco argenti, a$$umptum $it corpus ex argento & ære mistum, eo
quod hæc duo metalla tantum in alligationibus auri $oleant adbibe-
ri, vt diximus. Quod $i con$taret plura alia a$$umpta e$$e, etiam in
quauis alia ratione, facile erit cuiuis ad $imilitudinem huius, for-
mare alium modum, $ednos, ne longiores $imus, ad v$um $equentis
tabulæ nos conferamus, qua illis con$ultum volumus qui minus in
præceptis Aritbmeticis $unt exercitati, velillis, qui alias ob cau$as
tabulis vti malunt, quam calculis.</I>
<p><I>Hæc tabula accommodata e$t primarie ad aurum vnius libræ, vt
apparet in $ecũda ip$ius columna in qua omnes numeri $unt vnita-
tes, re$pondentes $ingulis Denominatoribus qualitatum auri, a deno
minatore partium</I> 24, <I>v$que ad denominatorem qualitatis partis ò,
quamuis proprie loquendo nulla $it qualitas auri partis nullius, quia
tunc non e$$et aurum, $ed mistum ex argento & ære. Hos denomi-
natores auri omnes inuenies in prima columna $ub titulo qualitatis.
In columna vero $ub titulo misti placuit etiam de$cribere denomi-
natores mi$ti ex argento & ære, vt vnico intuitu appareat quot par-
tes auri puri, & quot partes misti ex argento & ære contineantur
in $ingulis qualitatibus.</I>
<p><I>Porro in area tabulæ $ub titulo grauitatis auri in aqua po$ita est
grauitas auri cuiuslibet qualitatis quam obtinet in aqua, quæ qua
ratione inueniatur, dicetur inferius vbi agetur de compo$itione
eiu$dem tabulæ.</I>
<p><I>V$us eius $unt duo, quorum alterum titulus indicat, nimirum vt
tabulæ beneficio reperiatur ex grauitate auri quam babet in aere &
aqua, eius qualitas. Alter vero est vt cogno$catur grauitas in aqua,
quando vnà cum grauitate quam aliquod aurum habet in aere da-
tur ip$ius qualitas. & de hoc v$u cum $it $implicior prius nobis erit
agendum.</I>
<p n=>67</p>
<TABLE>
<ROW><COL>Tabula ad inueniendam qualitatem
Auri, ex grauitate quam ha-
bet in aere & aqua.</COL></ROW>
<ROW><COL>Qualitas
Auri.</COL><COL>Grauitas Auri
in aere.</COL><COL>Grauitas Auri in aqua.</COL><COL>Mi$tū ex Arg.
& ære.</COL></ROW>
<ROW><COL>Part.</COL><COL>Lib.</COL><COL>Vnc.</COL><COL>Scrup.</COL><COL>Gran.</COL><COL>Num.Fract.</COL><COL>Part.</COL></ROW>
<ROW><COL>24</COL><COL>1</COL><COL>11. 8. 20. 372</COL><COL>0</COL></ROW>
<ROW><COL>23</COL><COL>1</COL><COL>11. 8. 5. 765</COL><COL>1</COL></ROW>
<ROW><COL>22</COL><COL>1</COL><COL>11. 7. 14. 1158</COL><COL>2</COL></ROW>
<ROW><COL>21</COL><COL>1</COL><COL>11. 6. 23. 1551</COL><COL>3</COL></ROW>
<ROW><COL>20</COL><COL>1</COL><COL>11. 6. 9. 177</COL><COL>4</COL></ROW>
<ROW><COL>19</COL><COL>1</COL><COL>11. 5. 18. 570</COL><COL>5</COL></ROW>
<ROW><COL>18</COL><COL>1</COL><COL>11. 5. 3. 963</COL><COL>6</COL></ROW>
<ROW><COL>17</COL><COL>1</COL><COL>11. 4. 12. 1356</COL><COL>7</COL></ROW>
<ROW><COL>16</COL><COL>1</COL><COL>11. 3. 21. 1749</COL><COL>8</COL></ROW>
<ROW><COL>15</COL><COL>1</COL><COL>11. 3. 7. 375</COL><COL>9</COL></ROW>
<ROW><COL>14</COL><COL>1</COL><COL>11. 2. 16. 768</COL><COL>10</COL></ROW>
<ROW><COL>13</COL><COL>1</COL><COL>11. 2. 1. 1161</COL><COL>11</COL></ROW>
<ROW><COL>12</COL><COL>1</COL><COL>11. 1. 10. 1554</COL><COL>12</COL></ROW>
<ROW><COL>11</COL><COL>1</COL><COL>11. 0. 20. 180</COL><COL>13</COL></ROW>
<ROW><COL>10</COL><COL>1</COL><COL>11. 0. 5. 573</COL><COL>14</COL></ROW>
<ROW><COL>9</COL><COL>1</COL><COL>10. 23. 14. 966</COL><COL>15</COL></ROW>
<ROW><COL>8</COL><COL>1</COL><COL>10. 22. 23. 1359</COL><COL>16</COL></ROW>
<ROW><COL>7</COL><COL>1</COL><COL>10. 22. 8. 1752</COL><COL>17</COL></ROW>
<ROW><COL>6</COL><COL>1</COL><COL>10. 21. 18. 378</COL><COL>18</COL></ROW>
<ROW><COL>5</COL><COL>1</COL><COL>10. 21. 3. 771</COL><COL>19</COL></ROW>
<ROW><COL>4</COL><COL>1</COL><COL>10. 20. 12. 1164</COL><COL>20</COL></ROW>
<ROW><COL>3</COL><COL>1</COL><COL>10. 19. 21. 1557</COL><COL>21</COL></ROW>
<ROW><COL>2</COL><COL>1</COL><COL>10. 19. 7. 183</COL><COL>22</COL></ROW>
<ROW><COL>1</COL><COL>1</COL><COL>10. 18. 16. 576</COL><COL>23</COL></ROW>
<ROW><COL>0</COL><COL>1</COL><COL>10. 18. 1. 969</COL><COL>24</COL></ROW>
<ROW><COL>Part.</COL><COL>Lib.</COL><COL>Communis Denomin.fract. 1767</COL><COL>Part.</COL></ROW>
</TABLE>
<TABLE>
<ROW><COL>Tabella Partis pro
portionalis Deno-
minatorum Auri.</COL></ROW>
<ROW><COL>Pars proportio
nalis Auri in
partibus. 24.</COL><COL>Differ&etilde;tia Gra
uitatum Auri
in aqua.</COL></ROW>
<ROW><COL>Part.</COL><COL>Gran.</COL><COL>Num: Fract.</COL></ROW>
<ROW><COL>1</COL><COL>0. 1088</COL></ROW>
<ROW><COL>2</COL><COL>1. 409</COL></ROW>
<ROW><COL>3</COL><COL>1. 1497</COL></ROW>
<ROW><COL>4</COL><COL>2. 818</COL></ROW>
<ROW><COL>5</COL><COL>3. 139</COL></ROW>
<ROW><COL>6</COL><COL>3. 1227</COL></ROW>
<ROW><COL>7</COL><COL>4. 548</COL></ROW>
<ROW><COL>8</COL><COL>4. 1636</COL></ROW>
<ROW><COL>9</COL><COL>5. 957</COL></ROW>
<ROW><COL>10</COL><COL>6. 278</COL></ROW>
<ROW><COL>11</COL><COL>6. 1366</COL></ROW>
<ROW><COL>12</COL><COL>7. 687</COL></ROW>
<ROW><COL>13</COL><COL>8. 8</COL></ROW>
<ROW><COL>14</COL><COL>8. 1096</COL></ROW>
<ROW><COL>15</COL><COL>9. 417</COL></ROW>
<ROW><COL>16</COL><COL>9. 1505</COL></ROW>
<ROW><COL>17</COL><COL>10. 826</COL></ROW>
<ROW><COL>18</COL><COL>11. 147</COL></ROW>
<ROW><COL>19</COL><COL>11. 1235</COL></ROW>
<ROW><COL>20</COL><COL>12. 556</COL></ROW>
<ROW><COL>21</COL><COL>12. 1644</COL></ROW>
<ROW><COL>22</COL><COL>13. 965</COL></ROW>
<ROW><COL>23</COL><COL>14. 286</COL></ROW>
<ROW><COL>24</COL><COL>14. 1374</COL></ROW>
<ROW><COL>Part.</COL><COL>Denom. Fract. com.</COL></ROW>
<ROW><COL></COL><COL>1767</COL></ROW>
</TABLE>
<foot>I 2</foot>
<p n=>68</p>
<p><I>Quæratur exempli gratia quam habet grauitatem in aqua aurũ
purum $eu aurum</I> 24, <I>partium cuius grauitas in aere est lib.</I> 1. <I>Hæc
in $upremo ordine è regione denominatoris partium 24, $ub titulo
grauitatis auri in aqua, datur vnc. 1</I> 1. <I>Scrup.</I> 8, <I>Gran.</I> 20 172/1767,
<I>quæ fractio licet exprimi po$$it minoribus numeris n&etilde;pe</I> 4/19, <I>libuit
tamen illam maiorem in tabula ponere, vt omnes fractiones totius
tabulæ e$$ent eiu$dem denominationis, & re$ponderent denomina-
toribus fractionum quæ habentur in tabella partis proportionalis.</I>
<p><I>Rur$um quæratur quam habet grauitatem in aqua aurum ite-
rum vnius libræ, qualitatis vero</I> 20, <I>partium. quam $i in tabula
quæras, inuenies $ub eodem titulo è regione denominatoris</I> 20, <I>par-
tium. vnc. 11, Scrup. 6, Gran.</I> 9 177/1767. <I>eademque est ratio de re-
liquis.</I>
<p><I>Quando vero propo$itum aurum non est vnius Libræ; tunc opus
erit ratiocinatione proportionis, in qua pro primo termino ponatur
vna libra auri propo$itæ qualitatis, pro $ecundo termino, grauitas
eidem re$pondens in aqua quam tabula exhibet, pro tertio vero ter-
mino collocetur vera grauitas auri propo$iti. Quartus enim ter-
minus exhibebit grauilatem ip$ius auri in aqua. Vt $i propo$itum
aurũ $it trium lib. qualitatis vero 18, partium. fiat vt lib. 1. ad vne
11, Scrup.</I> 5, <I>Gran.</I> 3 963/1767, <I>ita lib.</I> 3. <I>ad alium numerum, is erit
lib.</I> 2, <I>vnc. 9, Scrup. 15, Gran.</I> 10 1122/1767. <I>& tanta erit grauitas au-
ri propo $iti in aqua. Et $ic de alys.</I>
<p><I>Quod vero ad priorem v$um attinct, is per$imilis est præcedenti,
& æquè facilis quando grauitas auri quam in aere & aqua habet, in
tabula reperitur precisè. Nam $i proponatur exemp. gratia aurum
vnius lib. habens in aqua grauitas&etilde; vnc.</I> 11. <I>Scr.</I> 7, <I>Gra.</I> 14 1152/1767,
<I>quoniam hæc grauitas reperitur in tabula è regione qualitatis auri</I>
22, <I>partium; manife$tum e$t totidem partium e$$e aurũ propo$itum.</I>
<p><I>Quando vero grauitas auri in aere quiaem e$t vnius lib. in aqua
vero grauitatem habet, quæ in tabula non reperuur, indicium erit
aurum propo$itum non e$$e aliquot partium præcisè, $ed annexam
habere aliquam fractionem, quæ per partem proportionalem inue-
nietur boc modo.</I>
<p><I>Proponatur aurum vnius libræ in aqua habens grauitatem vnc.
11. Scrup. 6, Gran.</I> 16 264/1767, <I>qualis in tabula non reperitur Gra-
uitas enim proxime maior est vnc. 1</I> 1. <I>Scrup. 6, Gran.</I> 23 1551/1767,
<I>re$pondens auro 21, partium, & grauitas proxime minor e$t vnc.</I> 11,
<I>Scrup. 6, Gran.</I> 9 177/1767, <I>earumq; differentia e$t Gran.</I> 14 1374/1767,
<I>quem admodum & inter qua$cunque duas alias grauitates proxi-</I>
<p n=>69</p>
<I>mas eadem e$t differentia, propterta quod omnes grauitates in tabu-
la procedunt per æqualem exce$$um, vel defectum, vt inferius de-
mon$trabitur. Inueniatur quoque differentia inter eandem gra-
uitatem proxime minorem & inter grauitatem auri propo$iti quam
habet in aqua, quæ quid&etilde; e$t Gran.</I> 7 687/1767, <I>& fiat vt</I> 14 1374/1767,
<I>ad 1, ita</I> 7 687/1767, <I>ad alium numerum & inuenietur hæc fractio</I>
1/2, <I>eademque adycienda erit ad denominatorem 20, partium, vt
componatur totus denominator auri propo$iti partium</I> 20 1/2, <I>& eo-
dem modo mueniendus erit denominator cuiu$cunq; alterius auri,
cuius grauitas in aqua, in tabula non reperitur.</I>
<p><I>Ceterum qui volet contentus e$$e partibus vige$imis quartis de-
nominatorum auri, is multo breuius a$$equetur quod quæritur, per
tabellam partis proportionalis. illic enim vnico ingre$$u offendet
partem proportionalem, quam quærit, vt in eodem exemplo apparet,
in quo differentia grauitatum auri erat Gran.</I> 7 687/1767, <I>quæ in
tabella partis proportionalis habetur præcisè è regione particularum</I>
12. <I>Vnde concluditur, denominatorem auri propo$iti e$$e partium</I>
20 12/24, <I>vel quod idem est partium</I> 20 1/2, <I>vt prius. Quando vero
differentia grauitatum in tabella partis proportionalis non habetur
præcisè. accipiatur alia ip$i propinquior & particula illi in latere
re$pondens addatur denominatori auri ex primaria tabula extra-
cti. $ic enim $altem non errabitur in vna particula vige$imaquarta
vnius partis denominatoris auri.</I>
<p><I>Denique $i proponatur aurum non vnius libræ $ed vel plurium,
vel $olum aliquot vnciarum. Reducenda erit eius grauitas quam
babet maqua, ad grauitatem quam haberet $i e<32>et vnius libræ, id
quod ab$oluetur per proportionis ratiocinationem, $i pro termino
primo ponatur vera grauitas auri propo$iti, pro $ecundo, e iu$dem
grauitas in aqua, & pro tertio lib. 1, quartus enim terminus indica-
bit grauitatem in aqua re$pondentem vni libræ auri propo$iti. &
bac inuenta reliqua expedientur vt prius.</I>
<p><I>Exemplum huius ca$us hic non affero, quod per $e res $it clara.
Sed illud tantum obiter aduertere placet, quod videtur pertinere
ad commodiorem v$um tabulæ, videlicet vt ys in ca$ibus in quibus
nece<32>arius cst calculus, fractiones granorum ommittantur quando
minus valent quam</I> 1/2, <I>& quando valent plus, eorum loco, addatur
vnum granum reliquis granis, & $i quando accidat binc procreari
grana</I> 24. <I>tunc etiam grana ommittantur addita prius vnitate ad
$crupula in tabula inuenta. hac enim ratione calculus erit expedi-
tior & error qui hinc oborietur erit in$en$ibilis.</I>
<p n=>70</p>
<HEAD>Compo$itio eiu$dem tabulæ.</HEAD>
<p><I>Si ea quæ bactenus $unt dicta rectè intelligantur liquido appare-
bit compo$itionem tabulæ in eo con$istere, vt inuoniatur grauitas
quam aurum cuiu$uis qualitatis habet in aqua, hoc e$t $i intelligan-
tur propo$itæ plures ma$$æ auri, $ingulæ $ingularum librarum, &
alia $it qualitatis</I> 24, <I>partium alia</I> 23, <I>alia</I> 22, <I>&c. quanta $it gra-
uitas vniu$cuiu$que in aqua, id quod hoc extremo loco inuestigare
docebimus.</I>
<p><I>Et primum $it propo$itum aurum purum, $eu</I> 24, <I>partium. quo-
niam igitur grauitas auri in aere, ad grauitatem eiu$dem in aqua
$e habet vt 19, ad</I> 18, <I>$iat vt</I> 19, <I>ad</I> 18, <I>ita lib.</I> 1, <I>auri puri ad aliam
grauitatem nempe lib.</I> 1<*>/19, <I>quæ grauitas ad vncias, $crupula, &
grana reuocata valet vnc.</I> 11, <I>Scrup.8. Gran.</I> 20 4/19, <I>atque hæc est
grauitas auri puri in aqua, quam in tabula è regione denominaioris</I>
24, <I>po$uimus; fractione excepta cuius loco $ub$tituta est fractio</I>
372/1767, <I>propter cau$am $uperius allatam.</I>
<p><I>Sit deinde propo$itum quod vis aliud corpus aureum vnius libræ,
$itque exemp. gratia illud aurum</I> 20, <I>partium, patet igitur ex defi-
nitione qualitatis, ex</I> 24, <I>$emiuncys totius grauitatis,</I> 20, <I>$emiuncias
e$$e auri puri, duas argenti, & reliquas duas æris & quoniam gra-
uitas misti in aere, ad grauitatem eiu$dem in aqua rationem habet
vt</I> 279, <I>ad</I> 250, <I>vt exiam dictis patet, fiat vt</I> 279, <I>ad</I> 250, <I>ita qua-
tuor $emiunciæ, vel potius <*>, vnciæ misti quod componit qualitatem
auri</I> 20, <I>partium, paulo ante propo$itam ad alias vncias. inuenien-
tur enim pro grauitate illius mi$ti in aqua vnc.</I> 1 221/274. <I>Est autem
grauitas auri puri</I> 20, <I>$emiunciarum vel</I> 10, <I>vnciarum in aqua vnc.</I>
9 9/19, <I>eo quod ita $e habeant</I> 10, <I>ad</I> 9 9/29, <I>vt 19, ad</I> 18, <I>Quare $i hæ
duæ grauitates inuentæ colligantur in vnam $ummam, inueniemus
totam ma$$am auri propo$itam, cuius grauitas in aere ponebatur lib.
1, in aqua babere grauitatem vnc.</I> 11 1409/5301. <I>& facta reductione
fractionis ad $crupula, & grana, vnc. 1</I> 1, <I>Scrup.</I>6. <I>Gran.</I> 9 177/1767,
<I>vt videre e$t in tabula è regione denominatoris</I> 20, <I>partium. Atque
eodem modo deprehendentur grauitates auri in aqua quarumcunq;
aliarum qualitatum.</I>
<p><I>Quia vero permolestum videri po$$et omnes grauitates totius
tabulæ hac via eruere; ob$eruari quidem poterit prædicta Methodus
quando $eor$im inuestiganda fuerit alicuius auri grauitas in aqua,
in cõpo$itione vero tabulæ $ic forta$$is cõpendio$ius quis proce$$erit.</I>
<p><I>Equidem, cum huius tabulæ con$tructionem diligentius mecum</I>
<p n=>71</p>
<I>pertracto, video grauitates illas, quæ in eius area de$criptæ $unt ne-
ce$$ario eadem differentia procedere, $icut & denominatores quali-
tatum eadem differentia procedunt; atque adco differentiam illam
e$$e eam, qua grauitas $emiunciæ auri puri in aqua $uperat in aqua
grauitat&etilde; $emiunciæ mi$ti, quæ quid&etilde; differentia e$t Gra.</I> 14 1174/1767.
<I>Con$iderentur enim quæcunque duæ grauitates proximæ in tabula
expre<32>æ, vt exemp. gratia. grauitates auri</I> 20, <I>&</I> 19, <I>partium. Quo-
niam igitur in auro</I> 20, <I>partium $unt auri puri</I> 20. <I>$emiuneiæ, misti
vero</I> 4, <I>& in auro</I> 29, <I>partium $unt auri puri</I> 19. <I>$emiunciæ, misti
vero</I> 5, <I>erit in auro</I> 20. <I>partiũ vna $emiuncia auri puri plu$quam in
auro</I> 19, <I>partium, in auro autem 19, partium erit vna $emiuncia
misti plus quam in auro</I> 20, <I>partium; quare grauitas auri</I> 20, <I>par-
tium in aqua $uperabit in aqua grauitatem auri</I> 19, <I>partium gra-
uitate, qua $emiuncia auri puri $uperat $emiunciam mi$li. Quod
erat demon$trandum. Et eadem est ratio de alys grauitatibus, non
$olum quæ in hac tabula de$cribuntur, $ed etiam de illis, quæ de$cri-
bentur in alys, copio$ioribus, in quibus videlicet denominatores non
e$$ent partes integræ, $ed partes partiam; dummodo etiam illæ partes
per vnam eandemque differentiam progrederentur.</I>
<p><I>Quibus in hunc modum præ osten$is, $i construenda fuerit tabula
per continuam additionem eiu$dem numeri, $ic erit progrediendum.
Primo inuenienda erit grauitas quam habet $emiuncia auri puri in
aqua, quæ inuenietur $i fiat vt</I> 19, <I>ad</I> 18, <I>ita $emiuncia ad alium,
numenum qui $it vnc.</I> 9/19, <I>is enim dabit grauitatem quæ$itam, quæ
valet $crup.</I>1 1, <I>Gran.</I> 8 16/19.
<p><I>Secundo quærenda est grauitas $emiuncie misti in aqua, quæ ha-
bebitur $i fiat vt</I> 279, <I>ad</I> 250, <I>ita $emiuncia, ad alium numerum, qui
$it vnc.</I> 125/229, <I>is enim dabit grauitatem quæ$itam, quæ reducta ad
$crupula, & grana valet $crup.</I> 10, <I>Gran.</I> 18 2/3.
<p><I>Tertio exploranda est differentia inter duas grauitates proximè
inuentas, quam per $ubtractionem inuenies Gran.</I> 14 452/589, <I>cuius
tamen fractio reducta e$t ad partes</I> 1767, <I>nempe ad</I> 1374/1767, <I>propter
tabellam partis proportionalis.</I>
<p><I>Postremo inuestiganda erit grauitas in aqua vnius libræ misti,
quæ inuenietur $i grauitas $ecundo loco reperta per</I> 24, <I>multiplice-
tur, productus enim numerus vnc.</I> 10, <I>$crup. 18, Gran.</I> 969/1767, <I>da-
bit quæ$itam grauitatem. Qua in calce tabulæ de$cripta, compo-
nentur reliquæ grauitates omnes per continuam additionem diffe-
rentiæ tertio loco inuentæ. Si enim addatur ad grauitatem auri
partis o, idest ad grauitatem misti vnius libræ in aqua, componetur</I>
<p n=>72</p>
<I>grauitai auri</I> 1, <I>partis. addita veroad grauitatem 1, partis, procrea-
bit grauitatem</I> 2, <I>partium, &c. propter rationem quam paulo ante
aperuimus.</I>
<p><I>Hoc eodem artificio compo$ita est quoque tabella partis propor-
tionalis, primo enim inuenta e$t vige$ima quarta pars differentiæ
$ecundum quam tabula progreditur quam $upra inuenimus e$$e
Gran.</I> 14 1374/1707, <I>cuius pars vige$ima quarta est</I> 1072/1707, <I>deinde
banc particulam addidimus primum $ibi ip$i, & produximus diffe-
rentiam</I> 2, <I>particularum Gran.</I> 1 409/1707 <I>& buic differentiæ iterũ
adiecimus eandem particulam, & inuenimus pro tribus particulis
gran.</I> 1 1497/1767. <I>& ita deinceps progre$$i $umus v$que ad differen-
tiam Gran.</I> 14 1374/1767, <I>quæ re$pondet</I> 24, <I>particulis, $eu differentiæ,
$ecundum quam tabula progreditur.</I>
<I>FINIS.</I>
<HEAD>ERRATA SIC CORRIGE.</HEAD>
<TABLE><ROW><COL>Pagina</COL><COL>Linea</COL><COL>Erraia</COL><COL>Correcta</COL></ROW>
<ROW><COL>6</COL><COL>10</COL><COL>2.<I>&.</I>3.</COL><COL>4.<I>huius.</I></COL></ROW>
<ROW><COL>6</COL><COL>20</COL><COL>2.<I>&</I> 3.</COL><COL>4.<I>huius.</I></COL></ROW>
<ROW><COL>7</COL><COL>25</COL><COL><I>$oli li data</I></COL><COL><I>$olidi A, data.</I></COL></ROW>
<ROW><COL>16</COL><COL>4</COL><COL><I>prauitatem</I></COL><COL><I>grauitatem</I></COL></ROW>
<ROW><COL>26</COL><COL>28</COL><COL><I>grauitas D, ita</I></COL><COL><I>grauitas E, ad</I></COL></ROW>
<ROW><COL>38.<I>&</I> 39.</COL><COL><I>de$unt $ui numeri.</I></COL></ROW>
<ROW><COL>58</COL><COL>21</COL><COL><I>aqv alitatem</I></COL><COL><I>quare æqualitatem</I></COL></ROW>
<ROW><COL>61</COL><COL>13</COL><COL><I>qualiatibus</I></COL><COL><I>qualitatibus</I></COL></ROW>
<ROW><COL>62</COL><COL>4</COL><COL><I>a$umptis</I></COL><COL><I>a$$umplis</I></COL></ROW>
<ROW><COL>62</COL><COL>38</COL><COL><I>aeris</I></COL><COL><I>aris</I></COL></ROW>
<ROW><COL>63</COL><COL>1</COL><COL><I>vt</I> 31. <I>ad</I></COL><COL><I>ita</I> 31. <I>ad</I></COL></ROW>
<ROW><COL>63</COL><COL>22</COL><COL><I>are</I></COL><COL><I>æere</I></COL></ROW></TABLE>
<p><I>Contractior&etilde; quoq. ad inuenies dimidy pedis men$urã in margine pag. 34. appo$itã,
quia mad facta papyrus, dũ imprimeretur recipiebat verã men$urã, ex$iccata
breuiorem red didit. Ita que $i quartadecima pars vnius vncia addatur ip$i men
$ura componetur dimidy pedis men$ura; vel $i ip$a men$ura duplicetur, & ei ad-
datur $eptima pars vnius vncia fiet men$ura vnius pedis, ad cuius rationem em
nes calculi in tabulas optime re$pond ebunt.</I>
<p><I>Denique pagina</I> 38. <I>&</I> 39. <I>tabularum prapo$terus e$t ordo. ex quo tamen nibil sr-
reris $equitur $i tituli recte accipiantur.</I>