![[BACK]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/back.gif){kind=icon}
Return to fabri_tract_01_la_1646.raw
CVS log ![[TXT]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/text.gif){kind=icon}
![[DIR]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/dir.gif){kind=icon}
Up to [CVSROOT] / texts / archimedes / rawMain History Search Repository tree
| Return to fabri_tract_01_la_1646.raw
CVS log | Up to [CVSROOT] / texts / archimedes / raw |
| File: [CVSROOT] / texts / archimedes / raw / fabri_tract_01_la_1646.raw
(download) - view tree Revision 1.1.1.1 (vendor branch), Mon Oct 28 17:53:46 2002 UTC (10 years, 6 months ago) by bcfuchs Branch: texts CVS Tags: start Changes since 1.1: +0 -0 lines from archimedes cvs |
<pb> <C>TRACTATVS PHYSICVS DE MOTV LOCALI, <I>IN QVO</I></C> <C>EFFECTVS OMNES, QVI AD IMPETVM, Motum naturalem, violentum, & mixtum pertinent, explicantur, & ex principiis Phy$icis demon$trantur.</C> <C><I>Auctore</I> PETRO MOVSNERIO <I>Doctore Medico:</I> CVNCTA EXCERPTA</C> <C><I>Ex prælectionibus</I> R. P. HONORATI FABR<*>, <I>Societatis</I> IESV.</C> <FIG> <C><I>LVGDVNI,</I> Apud IOANNEM CHAMPION, in foro Cambij.</C> <C><I>M. D C. XLVI.</I> Cum Priuilegio Regis, & Approbatione Doctorum.</C> <pb> <FIG> <C>AMPLISSIMO, NOBILISSIMOQVE DOMINO,</C> <C>D. PETRO DE SEVE, DOMINO DE FLECHERES, SANCTIORIS CONSILII REGIS Con$iliario, in Lugdunen$i Curia Prætori prima- rio, & $ecundùm Mercatorum Præpo$ito, &c.</C> <C>PETRVS MOVSNERIVS,</C> <p><I>TIBI alterum no$træ Philo$o- phiæ fœtum in$cribo, cui iam primum in$crip$i</I> (PRÆTOR AMPLISSIME) <I>nempe idem e$$e debeo, quia tu $emper idem es: non muta$ti merita, non mu- tabo officia: multos non expo$cam Patronos, qui iam omnium optimum, & meriti$simum habeo; neo enim $acra Philo$ophiæ anathemata rudi, & ru- $tico muro appendam, quæ ex $acro tholo templi Themidos amœniter pendent: Nec leuem toti rei li- terariæ iniuriam inferrem, $i alium illi, quàm li-</I> <pb> <I>teratum Mecænatem accer$erem: & verò Tracta- tum hunc de Motu Locali, alteri quàm tibi in$cri- bere non debui, cuius imperia Ludgunen$is orbis, po- tiùs quàm vrbis, componunt: Tu prudens Intelli- gentia, huic orbi $emper a$si$tis; ita motibus in- uigilas, vt quieti publicæ con$ulas, remque ita pu- blicam admini$tras, vt $ingulis commoda procures: Cæterùm dubitare non po$$um, quin hunc meu&mtail; quantulumcumque conatum, fidemque meam ia&mtail; tibi $emel oppigneratam, & nunc altero voto peni- tus ob$trictam, æqui bonique $is con$ulturus, Val&etail;.</I> <pb> <FIG> <C>PRÆFATIO.</C> <p>NIHIL habeo præfari (Beneuole Lector) in gratiam huius tractatus de Motu Locali, cuius amœnitatem & vtilitatem, rerum co- piam & $yluam, tuo gu$tui & iudicio re- linquo: Multi $anè hactenus in hac mate- ria feliciter de$udarunt; & quidem præ cæteris magnus ille Galileus, qui mirificâ, & ferè diuinâ ingenijacie, motum localem eò perduxit, quò mortalium nemo per- duxerat; quia tamen multa omi$it, quæ ad motum $pe- ctant, vt nemo ne$cit; nec ex principijs Phy$icis mira- biles illos effectus demon$trauit, $ed tantùm certis qui- bu$dam proportionibus ex geometricis addixit; vt Phy- $icæ con$ulamus, aliam inimus viam: Geometriam qui- dem adhibemus, ad explicandas, exponenda$que præ- dictas illas proportiones, quæ motibus in$unt; $ed effe- ctus illos prædictis proportionibus affixos ad principia Phy$ica reducimus; id e$t, cùm $upponamus quòd $int, propter quid $int demon$tramus: in votis erat motus omnes vno volumine complecti; id e$t effectus omnes cuiu$uis potentiæ motricis; tres enim agno$cimus hu- iu$modi potentias: primam naturalem voco, quæ e$t grauium: alteram animalem, quæ e$t animantium: ter- tiam mediam, quæ ten$orum e$t vel compre$$orum: In hoc tractatu tùm à motu progre$$iuo animantium, tùm ab alijs motibus, qui in animato corpore, neruorum & <pb> mu$culorum opera fiunt, penitus ab$tinemus; cùm $ci- licèt eas notiones $upponant, quæ huius loci e$$e non po$$unt, ab$tinemus etiam à mirifica illa ten$orum & compre$$orum vi, quæ mediæ illius virtutis e$t; neque adhuc eò rem Phy$icam adduximus; Sed hîc tantùm na- turam impetus con$ideramus, motus naturalis affectio- nes, violenti, mixti ex rectis, reflexi, circularis, mixti ex circularibus, illius qui fit in planis inclinatis $ur$um & deor$um, vibrationum funependuli, diuer$arum im- pre$$ionum, centri percu$$ionis, &c. Fortè aliquis poten- tias machanicas de$ideraret, lineas, motus, & cæle$tes $piras; $ed hæ quidquid phy$icum habent, $ingulari tra- ctatui de corpore cæle$ti, reliqua verò A$tronomiæ con- cedunt: potentiæ mechanicæ ad Staticam pertinent, qua- re illarum tantùm phy$icum principium in hoc tractatu explicamus, lineæ motus nihil phy$icum habent. Quare ad vitandam confu$ionem ad Mathe$im illas remittimus, cuius non modicam facient acce$$ionem; igitur $ecun- dum Tomum de motu locali non expectabis, qui ne cuncta quidem, quæ ad motum $pectant comprehende- ret, $ed huic $tatim Metaphy$icam demon$tratiuam $ub- necto. Cæterùm de $ubtili$$imo i$torum omnium inuen- torum auctore nihil dicam, qui cum ægrè tulerit paucula illa quæ in prima tractatu præfatus $um, os mihi peni- tus ob$truxit: omitto etiam quæ in me quidam iniquè certè rerum æ$timatores iactarunt: reponere po$$em cum fænore; $ed nos talem con$uetudinem non habemus; de- dici hactenus pati iniurias, non inferre; quod non modò moralis Philo$ophia, $ed præ$ertim Chri$tiana Religio me docet. <pb> <p>Vnum e$t, de quo te monitum velim (Amice Lector) opu$culum i$tud non $ine aliquot erratis edi potui$$e, præ$ertim cùm in a$$ignandis cuilibet figuræ $uis chara- cteribus $æpiùs peccatum $it; operas excu$abis in rebus Geometricis minimè ver$atos: auctor tibi $um, vt errata, quæ fideliter adnotaui ca$tiges, vt deinde cum maiore gu$tu Librum hunc perlegere po$$is. <HR> <C><I>SYNOPSIS LIBRORVM</I></C> <C><I>huius tractatus.</I></C> <TABLE> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">LIBER I.</TD> <TD>De Impetu.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">II.</TD> <TD>De motu naturali deor$um.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">III.</TD> <TD>De motu violento $ur$um.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">IV.</TD> <TD>De motu in planis inclinatis.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">V.</TD> <TD>De motu mixto ex rectis.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">VI.</TD> <TD>De motu reflexo.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">VII.</TD> <TD>De motu circulari.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">VIII.</TD> <TD>De motu $unependuli.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">IX.</TD> <TD>De motu mixto ex circulari.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">X.</TD> <TD>De diuer$is impre$$ionibus motus.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">APPENDIX I.</TD> <TD>De centro percu$$ionis.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">II.</TD> <TD>De principio Phy$icomechanico.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">III.</TD> <TD>De principio impre$$ionis.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">IV.</TD> <TD>De principio rationis duplicatæ.</TD> </TR> </TABLE> <pb> <FIG> <C><I>SYNOPSIS AMPLIOR.</I></C> <p>BREVISSIMAM huius operis Epitomem hîc habes (Amice Lector) quam ex The$ibus no$tri Philo$ophi huc traduxi, quæ tibi ampli$$imi indicis loco erit. <FIG> <C><I>De Impetu.</I></C> <p>1. IMPETVS e$t qualitas exigens motum $ui $ubiecti: datur impetus; quia non pote$t e$$e alia cau$a exi- gitiua motus: adde quòd, potentia motrix e$t acti- ua; igitur aliquid producit, $ed non aliud quàm impetum, vt con$tat ex dictis de motu: e$t aliquid di$tinctum à $ub$tantia mobilis, quæ pote$t e$$e $ine impetu: non e$t modus, quia di$tinguitur ab effectu $uo formali $ecundario: impetus non producitur in eo mobili, quod moueri non pote$t à potentia mo- trice applicata: & produci tantùm pote$t, vel in omni parte, vel in nulla; alioquin e$$et fru$trà; & gratis ponitur ne$cio quis impe- tus inefficax. <p>2. Primo in$tanti, quo e$t impetus, non e$t motus, ne $imulim- petus $it in duobus locis. Impetus productus ad extra non produci- tur à quantitate, nec virtute re$i$titiua, nec ab alio, quàm ab impe- tu, qui maximè e$t cau$a connaturalis alterius impetus: agit tan- tùm ad extra, vt tollat impedimentum: hinc, cùm pro diuer$a applicatione $it diuer$um impedimentum, modò plùs, modò minùs agit; maximè verò, cum maximum e$t impedimentum: hinc ictus per lineam perpendicularem forti$$imus e$t: portò omnes partes impetus agunt ad extra actione communi. <p>3. Impetus inten$us producere pote$t remi$$um, minotis mobi- lis in maiore; & remi$$us inten$um, maioris mobilis in minore, vt patet; æqualis æqualem, æqualis mobilis in æquali, modò $it debi- <pb> ta applicatio, cum maximo impedimento, quod reuerâ tunc e$t, cùm linea directionis connectit centra grauitatis vtriu$que. Datur impetus alio impetu perfectior, & imperfectior, $ine quo non po- te$t explicari natura vectis: itaque dato quocunque dari pote$t per- fectior, & imperfectior: quia dato quocunque motu pote$t dari ve- locior, & tardior. <p>4. Propagatur impetus vniformiter tantùm, cùm omnes partes corporis mouentur moctu recto æquali: ibi enim e$t æqualis cau$a, vbi e$t æqualis effectus: in motu circulari applicata potentia cen- tro vectis, producitur æqualis perfectionis versùs circunferentiam, & inæqualis numerus; applicata verò potentia circunferentiæ, pro- ducitur æqualis numerus, $ed inæqualis perfectionis versùs cen- trum; quia potentia non pote$t producere immediatè perfectiorem, & imperfectiorem in infinitum: eadem potentia nece$$aria æquali- bus temporibus, & ii$dem cireun$tantiis, producit æqualem impe- tum, & inæqualibus inæqualem: e$t enim hæc ratio cau$æ nece$- $ariæ. <p>5. Impetus innatus e$t tantùm determinatus ad lineam perpen- dicularem deor$um; alioquin $i ad aliam determinari po$$et, primo e$$et æqualis motus per inclinatam, & perpendicularem; corpus graue mi$$um per lineam inclinatam ab eo non declinaret; imò im- petus $emel productus ($i liberum e$$et medium) non de$trueretur: quæ omnia phy$icis hypothe$ibus repugnant: omnis alius impetus, etiam acqui$itus motu naturali deor$um, e$t indifferens ad omnem lineam, ad vitanda infinita ferè naturæ incommoda. <p>6. Impetus indifferens determinatur ad lineam multis modis: primò, à potentia motrice: $ecundò, ab impetu: tertiò, ab alio impe- tu concurrente; quartò, ab obice occurrente: quintò, ab ip$o appli- cationis diuer$o modo: quæ omnia clara $unt: hinc duo impetus ad motum mixtum $æpè concurrunt, quod $emper fit, ni$i determina- tiones $int oppo$itæ ex diametro. Impetus e$t capax inten$ionis; quia aliquando de$truitur ex parte: eius exten$io commen$uratur exten$ioni mobilis; quod etiam cæteris qualitatibus commune e$t: impetus productus non con$eruatur à cau$a primò productiua, à qua etiam $eparatus exi$tit. <p>7. Impetus non e$t contrarius alteri ratione entitatis; quia qui- libet cum quolibet in eodem $ubiecto coëxi$tere pote$t: pugnat tamen vnus cum alio ratione determinationis: hinc vnus impetus pugnat cum alio ratione lineæ motus: hinc vnus videtur de$trui ab <pb> alio; quanquam impetus tantùm de$truitur, cùm e$t fru$trà: hinc, $i e$$et tantùm vnicus in eodem mobili, & liberum e$$et medium, nunquam de$trueretur nec vnquam dici po$$et functus $uo mune- re; quod omninò gratis dicitur. <p>8. Hinc, $i $int tantùm duo impetus in eodem mobili æquales verbi gratia, vel ad eandem lineam determinantur, vel ad diver$as; $i ad eandem, nihil impetus de$truitur, $ed e$t duplò velocior mo- tus; $i ad diuer$as, vel $unt oppo$itæ ex diametro, vel concurrentes faciunt angulum; $i primum, vterque de$truitur impetus; $i $e- cundum, de$truitur aliquid illius, quod determinabimus in- frà. Impetus innatus nunquam de$truitur: dici po$$et grauitas ab- $oluta; $altem nihil e$t, quod di$tingui ab illa probare po$$it. Porrò nunquam de$truitur; quia nunquam e$t fru$trà; quippe eius finis, vel v$us, non e$t tantùm motus deor$um, $ed grauitatio, $eu ni$us quidam deor$um. Sed de grauitate aliàs. <FIG> <C><I>De motu naturali deor$um.</I></C> <p>1. DAtur motus naturalis grauium deor$um ab intrin$eco, quippe non pote$t e$$e, vel à vi tractrice terræ vel fila- mentis quibu$dam, vel materia quadam tenui expultrice. Eius finis e$t globi terre$tris compactio, &c. E$t autem motus naturalis ab impetu: primò, quia eius acceleratio $ine impetu explicari non po- te$t: $ecundò, quia, cùm graue deor$um cadens imprimat impetum in corpore occcurrente, certè debet habere impetum: nec alio ar- gumento mihi probabis, Solem e$$e lucidum, ignem calidum. <p>2. Motus hic e$t naturaliter acceleratus, $cilicet, ab intrin$eco; patet experientiâ. Ratio e$t: quia, cùm in libero medio non impe- diatur motus, & impetus productus primo in$tanti non con$erue- tur $ecundo à cau$a primò productiua, $ed ab alia, $itque ip$a mo- bilis $ub$tantia cau$a nece$$atia; certè $ecundo in$tanti producit nouum impetum: idem dica de tertio, quarto, &c. igitur cre$cit cau$a motus; igitur & motus: quæ ratio clari$$ima e$t: hinc æquali- bus remporibns æqualia acquiruntur velocitatis momenta; quia cau$a nece$$aria æqualibus temporibus, æqualem effectum produ- cit: quid clarius? <p>3. Hinc non pote$t cre$cere hic impetus $ecundùm porportio- <pb> nem duplicatam temporum, cùm cre$cat $ecundùm proportionem temporum, etïam ex mente Galilei: cre$eit autem velocitas, vt im- petus; effectus, $cilicet, vt cau$a: idem dico de motu, ratione velo- citatis; quippe motus ip$e e$t $ua velocitas: at verò ip$a $patia, quæ decurruntur illo motu, $i cou$ideretur crementum in in$tan- $tantibus, cre$cunt iuxta progre$$ionem arithmeticam $implicem, id e$t, $i primo in$tanti, acquiritur vnum $patium, $ecundo acquiri- tur vnum $patium, $ecundo acquiruntur duo, tertio 3. quarto 4. at- que ita deinceps. <p>4. Hoc autem facilè pote$t demõ$trari: quia, cùm velocitas cre$- cat iuxta proportionem temporum, $i primo in$tanti $it vnus gradus velocitatis, $ecundo erunt duo, tertio tres, at que ita deinceps: igitur, $i mobile cum vno gradu velocitatis acquirit vnum $patium, certè cum duobus acquiret duo $patia, cum tribus tria, atque ita dein- ceps: debet autem vera progre$$io crementorum a$$umi in $ingulis in$tantibus, quia reuerà $ingulis in$tantibus phy$icis (nam de iis loquor) noua fit huius crementi acce$$io. <p>5. Quia tamen in$tantia non $unt $en$ibilia, vt Phy$icæ con$u- latur, quæ res $en$ibiles con$iderat, a$$umi debent partes tempotis $en$ibiles, in quibus reuerâ progre$$io $patiorum non e$t arithmeti- ca $implex; $ed tam propè accedit ad hanc numerorum imparium, 1. 3. 5. 7. &c. quam Galileus excogitauit, vt $ine $crupulo hæc a$- $umi po$$it: hinc $patia $unt ferè vt temporum quadrata: dixi, ferè: nam e$t paulò minor proportio, cùm tantùm finita $int in$tantia phy$ica, quæ reuerà $i infinita e$$ent in qualibet temporis $en$ibilis parte, haud dubiè $patia e$$ent omninò in ratione duplicata tem- porum: $ed, quia parum pro nihilo computatur, hanc progre$$io- nem Galilei deinceps v$urpabimus in Phy$ica. <p>6. Hinc ratio euidens maioris ictus inflicti à corpore graui, cùm ex maiori altitudine cadit. Sunt autem ictus, vt impetus; impetus, vt tempora; hæc demum, vt radices $patiorum $en$ibi- liter quæ omnia con$tant ex dictis. Impetus acqui$itus in de$cen$u e$t $emper imperfectior, $i a$$umantur $ingula in$tantia, quæ reuerâ $unt $emper minora; quia motus fit $emper velocior: cùm graue de$cendit in medio, quod re$i$tit, minùs aecuratè $eruantur prædi- ctæ proportiones, quæ in vacuo modico accurati$$imè $eruaren- tur. <p>7. Re$i$tentia medij non e$t propter vllam formam improportio- nat am, qua$i verò impetus $it forma improportionata aëri: $ed in <pb> duobus præ$ertim con$i$tit; primò, eò quòd medium detrahat ali- quid grauitationis corporis grauis; $ecundò, eò quòd partes medij aliquam implicationem habeant, quæ $olui non pote$t $ine aliqua compre$$ione, vel ten$ione; vtraque autem re$i$tit impetui: quod $pectat ad primum, $i medium $it æqualis grauitatis cum ip$o cor- pore, detrahitur tota grauitatio, $i $ubduplæ $ubduplum, &c. de quo aliàs. <p>8. Hinc corpus graue per medium rarius, cæteris paribus, fa- cilè de$cendit; non tamen ex re$i$tentia medij cognita, pote$t co- gno$ci proportio grauitatis vtriu$que, propter $ecundum caput, ex quo etiam petitur re$i$tentia. Idem corpus cum eodem medio comparatum, habet tres coniugationes: nam, vel e$t grauius, vel- e$t grauius, vel æquè graue, vel minùs. Sunt etiam tres aliæ con- iugationes, $cilicet, eiu$dem mobilis cum diuer$is mediis, duorum mobilium cum eodem medio, duorum mobilium cum duobus mediis. <p>9. Figura corporis grauis deor$um cadentis motum vel retardat vel accelerat; retardat quidem, $i plures partes medij amouendæ $unt vel pauciores velociori motu; accelerat è contratio: hinc idem corpus parallelipedũ iuxta tres diuer$os $itus, triplici motu diuer- $o de$cendere pote$t: hinc ratio, cur acuminata tam facilè de$cen- dant. Cubus, qui de$cendit, imprimit aëri velociorem motum, quàm ip$e habeat; & quò maior e$t eius $uperficies, eò velociorem. <p>10. Duo globi, vel cubi eiu$dem materiæ æquè velociter de$- cendunt: ratio e$t, quia, licèt maioris vires habeant maiorem pro- portionem ad molem aëris re$i$tentis, quàm vires minoris ad alte- ram aëris molem, quæ proprium illius motum retardat, cùm tamen aër, qui re$i$tit maiori cubo, debeat amoueri velociori motu, quàm aër, qui re$i$tit minori, $itque eadem proportio re$i$tentiæ ratione motus, minoris ad maiorem, quæ e$t ratione molis, maioris ad mi- norem; certè ratio compo$ita vtriu$que erit eadem in vtroque cu- bo: igitur æqualiter de$cendet vterque. <p>11. Si tamen $int diuer$æ materiæ, hand dubiè, qui con$tat leuio- ri materia, tardiùs de$cendet; quia eius vires habent minorem proportionem ad re$i$tentiam. Corpu$cula etiam ex graui$$ima ma- teria tardi$$imè de$cendunt: tum, quia à filamentis illis, quibus par- tes aëris implicantur, facilè detinentur; analogiam habes in lapil- lo, qui ab araneæ tela intercipitur: tum, quia, cùm lati$$imam ali- quando habeant $uperficiem pro modica mole, minimam habent <pb> proportion&etilde; virium ad re$i$tentiã: tùm denique, quia, cùm modico impetu agitari po$$int ab aëre mobili, vnus motus alium impedit. <p>12. Singulis in$tantibus motus naturaliter accelerati cre$cit re$i$tentia; quia, cùm motus cre$cat, æqualibus temporibus, plures partes medij occurrunt; cre$cunt tamen vires in eadem proportio- ne, $cilicet, impetus: igitur non mutatur progre$$io motus. Hinc colligo, contra Galilæum, motum rectum ex naturaliter accelerato nunquam fieri æquabilem: dixi motum rectum; quia motus corpo- rum cœle$tium ex accelerato factus e$t æqualis. <FIG> <C><I>De motu violento $ur$um.</I></C> <p>1. MOtus violentus $ur$um vulgò dicitur e$$e à principio ex- trin$eco. Triplici modo accidere pote$t: primò, $i reuerà imprimatur impetus ab extrin$eco, vt, cùm mitto lapidem $ur$um: $ecundò, $i corpus deor$um cadens deinde reflectatur $ur$um; tunc autem nihil e$t ab extrin$eco, ni$i determinatio noua, quæ e$t à cor- pore reflectente: tertiò, $i terra vtrinque e$$et peruia; nam lapis haud dubiè non $i$teret in centro, $altem po$t primum de$cen$um; igitur a$cenderet per eandem lineam; nullum tamen e$t principium ex- trin$ecum; igitur motus violentus dicit tantùm motum $ur$um corporis grauis. <p>2. Dari autem motum violentum, dubium e$$e non pote$t, qui $upponit impetum, vel impre$$um ab extrin$eco, vel in de$centu acqui$itum, qui reuerâ ine$t ip$i mobili, cùm ip$um medium hunc motum potiùs impediat, quàm iuuet: hinc, $i nullus e$$et impetus extrin$ecus, vel acqui$itus, nullus e$$et motus violentus; quia im- petus innatus illius cau$a e$$e non pote$t. Portò hic motus non e$t acceleratus, nec æqualis, alioquin nunquã rediret deor$um mobile. <p>3. Hinc nece$$ariò e$t retardatus: igitur de$truitur impetus, non quidem ab ip$a medij re$i$tentia; quippe idem medium non magis re$i$tit motui $ur$um, quàm motui deor$um, vt patet: igitur de$trui- tur ille impetus motus violenti ab impetu innato aliquo modo; non quidem vt à contrario ratione entitatis, $ed ratione determinatio- nis: cùm enim impetus innatus exigat motum deor$um, & alius $ur- $um: hic quidem præualet, attamen fru$trà e$t, ratione gradus æqualis impetui innato: igitur de$truitur ille gradus illo in$tanti. <pb> <p>4. Hinc $ingulis temporibus æqualibus de$truitur gradus impe- tui innato; e$t enim eadem ratio pro omnibus: igitur temporibus æqualibus de$truitur æqualis impetus: igitur amittit ille motus æqualia velocitatis momenta: igitur e$t naturaliter retardatus: igi- tur iuxta eam proportionem decre$cit motus violentus, iuxtaquam cre$cit naturalis: igitur dici debent de hac progre$$ione retardatio- nis, quæ dicta $unt de illa progre$$ione accelerationis. <p>5. Hinc impetus imperfectior initio de$truitur: quia, cùm motus ille $it velocior initio, in$tantia $unt minora: atqui minori tempore minùs retardatur: igitur inperfectior impetus de$truitur; cùm è contrario in motu acceleratio initio acquiratur imperfectior, quia in$tantia $unt maiora: vnde vides, gradus impetus e$$e heteroge- neos, & principium illud etiam in impetu valere, $cilicet, $ubiectum ita compleri ab vna forma, vt alterius homogeneæ non $it ampliùs capax, $altem naturaliter. <p>6. Hinc vltimus gradus impetus violentie$t omnium perfecti$- $imus, vt con$tat. Quie$ceret vno in$tanti mobile iactum $ur$um, $i gradus vltimus violenti e$$et æqualis perfectionis, cum impetu in- nato: vbi enim ventum e$$et ad in$tans æqualitatis, neutrum præ- ualere po$$et: igitur in$tanti $equenti e$$et quies: cùm tamen $int diuer$æ perfectionis, perfectior præualet: vter autem $it perfectior, dicemus infrà. <p>7. Cum mobile $ur$um reflectitur, vel terra perforata $uam lineam motus $ur$um versus oppo$itam cœli plagam promouet, vel aliud æqualis ponderis, vel maioris, $ur$um mouet, tunc certum e$t, inna- tum e$$e perfectiorem: $i verò imprimitur ab alia potentia motrice, tunc etiam imperfectior e$t impetu innato; nam inæqualis e$t; alio- quin, $i e$$et æqualis, $imul e$$ent in eodem $ubiecto duo gradus homogenei: præ$tat autem e$$e imperfectiorem, quàm perfectio- rem, vt plura impetus puncta à potentia imprimantur; quòd mul- tum facit ad mouenda maiora pondera: hinc nullo in$tanti quie$- cunt proiecta $ur$um. <p>8. Tandiu durat $en$ibiliter de$cen$us globi proiecti $ur$um, quandiu durauit a$cen$us; e$t enim eadem ratio: $agittæ verò mi- nùs durat a$cen$us, quàm de$cen$us propter mixtionem materiæ. Si motus violentus e$$et æquabilis, percurreret proiectum $patium ferè duplum eo tempore, quo retardato percurrit $ubduplum: hinc $onus tam citò auditur; quia propagatur cum particulis aëris æqua- bili ferè motu: e$$e autem $patium ferè duplum, probatur ex eo, <pb> quòd $patium motu æquabili decur$um re$pondet rectangulo; de- cur$um verò motu retardato, re$pondet triangulo, $ubduplo rectan- guli: a$$umpto $cilicet, æquali tempore. <p>9. Vites potentiæ proiicientis toto ni$u re$pondent velocitati acqui$itæ in toto de$cen$u corporis proiecti; tantumdem enim impetus in de$cen$u acquiritur, quantùm in a$cen$u deperditur. Impetus primo in$tanti, quo e$t, agit, $i e$t aliquod impedimen- tum; e$t enim cau$a nece$$aria: primo in$tanti motus aliquid im- petus de$truitur: $iue præce$$erit motus violentus, $iue non præce$- $erit, corpus graue æquali motu deor$um cadit: re$i$tentia aëris e$t quidem maior initio; $ed etiam $unt maiores vires. <FIG> <C><I>De motu in planis inclinatis.</I></C> <p>1. PLanum inclinatum e$t $ur$um, vel deor$um: in hoc de$cen- dit corpus graue, ni$i fortè retineatur ab a$peritate, vel pro- pria, vel ip$ius plani: impeditur autem motus naturalis in plano prædicto, quia impeditur eius linea: ideò e$t tardior hic motus in plano inclinato, quàm in perpendiculari: in ea porrò porportione e$t tardior, in qua perpendiculum e$t minus linea inclinata, eiu$dem $cilicet, altitudinis; quippe eò tardior e$t, quò magis impeditur, & magis impeditur, quò maius $patium decurrendum e$t, ad acqui- rendam eandem altitudinem: igitur eadem e$t proportio impe- dimenti, quæ $patij, &c. <p>2. Hinc motus $unt vt lineæ permutando: hinc mobile de$cendit per $e in prædicto plano: licet enim motus impediatur, non tamen tous, impetus, qui acquiritur in eodem plano e$t imperfectior ac- qui$ito in perpendiculari in eadem proportione; nam impetus $unt vt motus: hinc pote$t perfectio impetus imminui in infinitum, cùm po$$it e$$e in infinitum linea magis, ac magis inclinata: igitur mo- tum imminui po$$e in infinitum, non tantùm ex vecte, $ed etiam ex planis inclinatis haberi pote$t. <p>3. Hinc producit impetum imperfectiorem impetus acqui$itus in hoc eodem plano, quàm acqui$itus in perpendiculari, æqualibus $cilicet temporibus, quia cau$a imperfectior imperfectiorem pro- ducit effectum: motus in plano inclinato deor$um e$t acceleratus iuxta eandem proportionem, iuxta quam acceleratur in perpendi- <pb> culo: tempora, quibus pereurruntur perpendiculum, & linea plani inclinati, $unt vt lineæ; $patia autem, quæ in prædictis lineis acqui- runtur æqualibus temporibus, $unt vt motus, id e$t, vt lineæ per- mutando, vt patet ex dictis. <p>4. Ex his concludo, nece$$ariò per plana omnia eiu$dem altitu- dinis acquiri eandem velocitatem, quantumuis a$$umantur longi$- $ima, modò $cilicet perpendicula $int $emper parallela. Hinc habes apud Galileum, per omnes chordas circuli erecti de$cen$um fieri æqualibus temporibus. Vires, quæ $u$tinent pondus in plano in- clinato per lineam plano parallelã, $unt ad eas, quæ $u$tinent in per- pendiculo, vt lineæ permutando; quia debent adæquare impetum, qui producitur, tùm in plano inclinato, tùm in perpendiculo. <p>5. Porrò minùs grauitat in ip$um planum inclinatum corpus gra- ue, quàm in planum horizontale: e$t autem grauitatio in horizonta- li, $eu Tangente, ad grauitationem in inclinata, $eu $ecante, vt ip $æ lineæ permutando: quod facilè demon$tramus. Proiicitur mobile faciliùs per inclinatum planum $ur$um, quàm per ip$am perpendi- cularem: patet experientia: euius ratio e$t, quia minùs re$i$tit im- petus innatus, cuius minor e$t ni$us per inclinatam, vt con$tat ex dictis. <p>6. Illæ vires, quæ $ufficiunt ad eum motum $ur$um in perpendi- culo, $ufficiunt ad motum $ur$um in plano inclinato eiu$dem alti- tudinis: quia illæ vires $ufficiunt ad a$cen$um, quæ acquiruntur in toto de$cen$u: $ed in de$cen$u inclinatæ, & perpendiculi acquirun- tur vires æquales, id e$t, velocitas æqualis, vt dictum e$t $uprà. Om- nia puncta plani inclinati rectilinei, imò & horizontalis, $unt di- uer$æ inclinationis: in iis tamen planis inclinatis quæ vulgò a$$u- muntur, non mutatur $en$ibiliter inclinatio. <p>7. Hinc minùs de$truitur impetus in plano inclinato $ur$um, quàm in perpendiculo; quia diutiùs durat: cùm enim minùs ac- quiratur in de$cen$u, vt dictum e$t, minùs etiam de$truitur in a$- cen$u: hinc accedit propriùs hic motus ad æquabilem: in eodem plano rectilineo pote$t e$$e a$cen$us, & de$cen$us, versùs eandem partem: tale e$$et planum horizontale, in cuius vnico tantùm pun- cto nulla e$t inclinatio: in quolibet puncto huius plani e$t $ingu- laris inclinatio, vt patet, quæ e$t ad perpendiculum, vt Tangens ad $ecantemé$tque eadem proportio motuum. <p>8. Corpus graue in $uperficie quadrantis caua, deor$um cadit motu naturaliter accelerato; quia $ingulis in$tantibus accedit nouus <pb> impetus; non tamen æqualibus temperibus, acquiruntur æqualia velocitatis momenta; quia in $ingulis punctis quadrantis, e$t diuer- $a tangens; igitur mutatur progre$$io accelerationis, quæ certè ma- jor e$t initio, & $ub finem minor; quia initio tangentes acce- dunt propriùs ad perpendiculum, & $ub finem ad horizonta lem. <p>9. De$cendie etiam in $uper$icie conuexa globi erecti motu ac- celerato; initio quidem, in minore proportione; $ub finem, in maio- re; vnde e$t inuer$a prioris: pote$t etiam de$cendere corpus graue v$que ad centrum terræ motu accelerato, in $uperficie conuexa $e- micirculi: $i $uperficies terræ e$$et læuigati$$ima, corpus proje- ctum moueretur in ea motu æquabili, nec de$trueretut impetus im- pre$$us, vt con$tat; pote$t quoque de$cendere per $piralem: $unt in- finita plana curua, in quibus faciliùs moueri pote$t, quam in ho- rizontali recta. <FIG> <C><I>De motu mixto ex rectis.</I></C> <p>1. DAri motum mixtum ille non dubitat, qui di$cum proiicit. Mixtus ex duobus rectis æquabilibus e$t rectus, e$t que diagonalis vtriu$que: hinc de$truitur aliquid impetus, iuxta pro- portionem differentiæ diagonalis, & vtriu$que lateris $imul $ump- pti; quia, $eilicet, e$t fru$trà: quò maior e$t angulus, quem faciunt li- neæ determinationum, minor e$t diagonalis; igitur plùs impetus de$truitur, donectandem concurrant in oppo$itas lineas, tunc enim totius impetus de$truitur. <p>2. Qoũ minor e$t, vel acutior prædictus angulus, minùs impetus de$truitur; quia diagonalis maior e$t; donec tandem conueniant in eandem lineam, tunc enim nihil de$truitur: datur de facto hic mo- tus in rerum natura; talis e$t motus nauis à duobus ventis im pre$- $us; vel eiu$dem partis aëris; imò & ip$ius venti: motus mixtus ex duobus retardatis iuxta eandem progre$$ionem e$t rectus; quia fit per hypothenu$im triangulorum proporionalium: idem dico de duobus acceleratis. <p>3. Si mixtus $it ex æquali, & accelerato, velex duobus accelera- tis in diuer$a progre$$ione, vel ex duobus retardatis $imiliter, fit per lineam curuam, vt patet: dum proiicitur corpus graue per horizon- <pb> talem in medio libero e$t motus mixtus ex accelerato naturali, & retardato violento: e$t enim acceleratus naturalis, cùm deor$um deor$um tendat qua$i per gradus, $eu diuer$a plana inclinata. <p>4. Non tamen impetus acqui$itus in eo motu e$t eiu$dem perfe- ctionis cum illo, qui acquiteretur in perpendiculari eiu$dem longi- tudinis; $ed tantùm eiu$dem altitudinis: nam perinde cre$cit ille impetus, atque cre$ceret in diuer$is planis inclinaris: impetus verò violentus in hoc motu retardatur; tùm, quia, $i maneret idem, maior e$$er ictus $ub finem iactus, quod e$t ridiculum; nec e$t, quòd aliqui dicant, ab aëre de$trui, qui non minùs re$i$tit naturali, quàm vio- lento. <p>5. Adde, quòd e$t duplex determinatio: igitur aliquid de$trui de- bet, non acqui$iti; igitur impre$$i: de$trui autem non dicitur acqui- fitus, quòd, fcilicet, plùs de nouo accedat, quàm percat; e$t enim ac- celeratus: adde, quòd non infligitur tantus ictus $ub finem; igitur de$truitur aliquid impetus, non acqui$iti, eo modo, quo diximus; igitur impre$$i: ita tamen $en$im de$truitur, vt pro æquabili per ali- quod $patium qua$i haberi po$$it. <p>6. Hinc mobile proiectum per horizontalem, ne primo quidem in$tanti per horizontalem mouetur, alioqui non e$$et motus mix- tus: tardiùs cadit mobile ita proiectum in planùm horizontale $ub- iectum, quàm cum $ua $ponte, ex eadem altitudine de$cendit: cuius rei clari$$ima e$t experientia: ratio e$t; quia impetus acqui$itus in hoc iactu non e$t eiu$dem perfectionis, cùm acqui$ito in perpendi- cnlo: cùm proiicitur mobile per inclinatam $ur$um, mouetur motu mixto ex naturali æquabili, & violento retardato: patet prima pars; quia acceleratur tantùm naturalis deor$um, $altem in inclinata: $e- cunda pars etiam patet; quia $ub finem minor e$t ictus. <p>7. Hinc linea motus e$t curua: iuxta diuer$am progre$$ionem de- $truit ur hic impetus impre$$us: tùm pro diuer$a inclinatione plani, cuius etiam hîc habetur ratio; nam $ingulis in$tantibus mutatur: tùm, quia modò plùs impetus e$t fru$trà, modò minùs; plùs certè, cùm linea determinationis impetus impre$$i facit obtu- $iorem: atqui initio e$t obtu$ior; $ub finem verò a$cen$us acu- tior. <p>8. A$cen$us proiecti per inclinatam diutiùs durat, quàm de$- cen$us, ratione ciu$dem plani horizontalis; quia, $cilicer, a$- cen$us longior e$t, quàm de$cen$us: e$t autem longior; quia, vt e$$et æqualis, nihil impetus impre$$i deberet de$trui in a$cen$u <pb> porrò in de$cen$u e$t motus mixtus ex accelerato naturali, & retardato violento, vt con$tat ex dictis: iactus per incli- natam ad angulum 45. e$t omnium maximus, ratione eiu$dem plani horizontalis: clara e$t experientia. Ratio e$t: quia per verti- calem $ur$um, nihil acquiritur in plano horizontali, ex quo fit ia- ctus; nihil etiam per ip$am horizontalem; igitur plùs acquiritur per illam, quæ maximè ab vtraque $imul recedit. <p>9. Hæc ratio e$t verè phy$ica, geometrica nulla e$t: hinc illi iactus æquale $patium acquirunt in prædicto plano horizontali, qui fiunt per inclinatas æqualiter à prædicta inclinata ad ang. 45. di$tantes. Cùm emitcitur mobile per inclinatm deor$um, in libero medio, mouetur motu mixto ex naturali accelerato, & impre$- $o retardato, vt con$tat ex dictis; ille autem primus accelera- tur per acce$$ionem impetus perfectionis quàm in iactu per ho- rizontalem; $ed imperfectionis, quàm in perpendiculo: retarda- tur verò impetus minùs, quàm in iactu per horizontalem; plùs ve- rò, quàm in iactu per ip$um perpendiculum, in quo nihil impetus de$truitur. <p>10. Cùm è naui mobili $ur$um mittitur corpus graue, e$t motus mixtus ex tribus, in a$cen$u, $cilicet, ex naturali æquabili, ex verti- cali retardato, & horizontali æquabili: mouetur $ur$um per our- uam, $empérque capiti iaculatoris imminet; quippe tantùm acqui- rit in horizontali, quantùm nauis: in de$cen$u verò e$t motus mix- ex horizontali retardato, & naturali accelerato: quia tamen bre- ui$$imo illo tempore, retardatio illa horizontalis non e$t $en$ibilis, ferè in ip$ius iaculatoris caput de$cendit; quod certè phænomenon ex no$tris principiis euincitur. <p>11. Parum cautè Vfanus vniuer$im a$$erit, iaculationem pilæ ex- tormento, maiorem e$$e ex naui in continentem, & minorem vi- ci$$im, cùm vtriu$que differentia peti po$$it, vel à puluere tormen- tario, vel ab eius compre$$ione, vel humiditate, vel tormenti fabri- ca, vel ip$ius demum nauigij motu, qui pilæ motum, vel accelerat, $i versùs eandem partem e$t, vel retardat è contrario: in plano ho- rizontali duro pote$t e$$e motus mixtus ex duobus, tribus, qua- tuor, & pluribus aliis. <p>12. Cùm è naui mobili emittitur $agitta per horizontalem, quæ fa- cit anglum rectum cum linea directionis nauis, fertur qua$i per dia- gonalem vtriu$que, $altem per aliquod $patium: cùm verò emitti- <pb> tur per horizontalem, quæ conueniat cum eadem linea directionis, $actus e$t longior toto illo $patio, quod nauis decurrit, dum iactus durat; breuior tamen, $i in partem oppo$itam fiat iactus in hoc ca- $u, $i nauis æqualem impetum imprimeret, deor$um rectà ferretur mobile motu naturali; imò $agitta po$$et retorqueri in iaculatorem: $i terra e$$et vtrimque peruia, lapis demi$$us per multa annorum millia libraretur; non tamen e$$et motuus perpetuus. <FIG> <C><I>De motu reflexo.</I></C> <p>1. MOtus reflexi vera cau$a e$t impetus prior, ad nouam li- neam determinatus ab occurrente obice; planum refle- ctens e$t cau$a nouæ determinationis $uo modo; cau$am enim di- co eam, ex qua aliquid $equitur: ex gemina determinatione, noua, $cilicet, per ip$am perpendicularem erectam in puncto contactus, & priore per lineam incidentiæ, ab eodem puncto contactus pro- pagatam, fit determinatio mixta per lineam reflexionis; quæ omnia patent ex terminis: hinc nullus impetus producitur à plano refle- ctente; quippe prior pote$t determinariad nouam lineam: adde, quòd planum, quod caret impetu, impetum producere non pote$t. <p>2. Imò nihil impetus de$truirur in reflexione pura per $e; quia ni- hil impetus e$t fru$trà per $e in pura reflexione; multus tamen im- petus de$truitur per accidens, tùm ab ip$o attritu tùm mollitie & ce$$ione, tùm pre$$ione: hinc $uppo$ito eodem iactu, perpendi- cularis reflexa e$t omnium reflexarum minima; quia per eam li- neam maximus ictus infligitur; igitur maxima e$t partium colli$io, & pre$$io: hinc etiam corpora duriora longiùs reflectuntur, per ip$am quoque perpendicular&etilde;, dum planum reflectens $it æquè durum. <p>3. Determinatio noua dupla e$t prioris, po$ita linea incidentiæ perpendiculari, & po$ito etiam plano reflectente immobili; quia alioquin anguli reflexionis non e$$ent æquales angulis incidentiæ: $i globus reflectens $it æqualisimpacto, æqualis e$t ce$$io re$i$tenciæ cùm $it æquale agens re$i$tenti, perid enim reflectens re$i$tit, per quod e$t: igitur, $i æqualis re$i$tit, & cedit, certè æqualiter ce- dit, & re$i$tit: hinc noua determinatio æqualis e$t priori: hinc glo- bus impact is $i$tit immobilis; quia ex duabus determinationibus oppo$itis neutra præualet. <pb> <p>4. Tantum e$t ab æqualitate prædicta ce$$ionis, & re$i$tentiæ, ad nullam ce$$ionem, & notam re$i$tentiam, quantum e$t ad nullam re$i$t&etilde;tiam, & totam ce$$ionem: hinc, cùm à tota ce$$ione ad æqua- litatem prædictam acquiratur tantùm noua determinato æqualis priori; igitur ab eadem æqualitate ad nullam ce$$ionem tantun- dem acquiritur; igitur dupla prioris, vt iam $uprà dictum e$t; nulla e$$et re$i$tentia in vacuo; nulla e$t ce$$io, cùm ip$um corpus refle- ctens nullo modo mouetur ab ictu. <p>5. Determinatio noua per lineam obliquam, e$t ad nouam per lineam perpendicularem, vt $inus rectus anguli incidentiæ, ad $i- num totum, in qualibet hypothe$i; quia $unt hæ, vt ictus, per vtran- que lineam; ictus verò vt grauitationes in horizontale planum, & in planum inclinatum, $ub angulo complementi anguli incidentiæ: hinc noua determinatio per lineam obliquam, e$t vt dupla $inus re- cti anguli incidentiæ, ad $inum totum: hinc $upra angulum inci- dentiæ 30, noua e$t maior priore, infrà minor; in ip$o angulo 30. æqualis, $uppo$ita hypothe$i plani reflectentis immobilis. <p>6. Ex hoc po$itiuo principio demon$tratur accurati$$imè æqua- litas anguli reflexionis, & incidentiæ, quod certè demon$tratum non fuit ab Ari$t. in problematis, $ect. 17. problem. 4. & 13. quibus in locis fusè $atis explicatur hoc Theorema, ducta comparatione, tùm à grauibus, quæ cadunt, tùm ab orbibus, quæ rotantur, rùm à $peculis<*>$ed minimè demon$tratur ex certis principiis $ine petitio- ne principij. In puncto reflexionis, po$ita hypothe$i plani immo- bilis reflectentis, nulla datur quies; quia vnum tantùm e$t conta- ctus in$tans; $ed eo in$tanti e$t motus, quo primo acquiritur locus. <p>7. Omnes lineæ reflexæ per $e $unt æqualis longitudinis, & ab eodem puncto contactus, ad communem peripheriam terminan- tur: $i globus impactus $it æqualis reflectenti, $itque linea inciden- tiæ obliqua quælibet terminata ad idem punctum contactus, re- flectitur prædictus globus per lineam tangentem globum refle- ctentem in eodem puncto; quia hæc tangens e$t diagonalis com- munis, & determinatio mixta communis omnibus lineis inciden- tiæ: e$t tamen modò longior, modò breuior linea reflexa, é$tque v<*> vt $inus complementi anguli incidentiæ, ad $inum totum, qui $it determinatio prior, vt facilè demon$tramus. <p>8. Si globus impactus $it minor corpore reflectente, reflectitur eriam per ip$am perpendicularem, & determinatio noua e$t dupla- prioris, minùs ratione globorum v. g. $i globus impactus $it $ubdu- <pb> plus, determinatio noua e$t dupla prioris, minùs vna quarta, &c. ratio e$t, quia in ea proportione globus reflectens cedit, in qua mouetur, igitur tantùm detrahitur determinationis impacto globo, quantùm additur motus reflectenti: at verò noua determina- tio per lineam incidentiæ obliquam, e$t ad nouam per ip$am per- pendicularem, vt $inus rectus anguli incidentiæ ad $inum totum. <p>9. In hac hypothe$i lineæ reflexæ omnes $unt $upra prædictam tangentem, $eu $ectionem plani, maiores, vel minores, pro diuer$a men$ura diagonalis: in $uperiori verò hypothe$i æqualium globo- rum, $unt omnes in ip$a $ectione plani: $i denique globus impactus $it maior alio, omnes $unt infra prædictam $ectionem. Porrò in hac hypothe$i vltima, determinatio noua per ip$am perpendicularem e$t minor priore: hinc non modò nulla fit reflexio in perpendicula- ri, $ed linea directa vlteriùs propagatur; quia prior determinatio præualet. <p>10. Detrahitur priori portio æqualis rationi globorum; v. g. glo- bus reflectens e$t $ubduplus impacto de trahitur priori determina- tioni vna $ecunda; e$t $ubquadruplus, vna quarta; atque ita dein- ceps: ratio patet ex dictis: in linea verò incidentiæ obliqua, deter- minatio e$t ad determinationem in perpendiculari, vt $inus rectus anguli incidentiæ ad $inum totum: linea demum reflexa e$t modò maior, modò minor pro diuer$a diagonali. <p>11. Si duo globi æquales in $e inuicem impingantur æquali mo- tu, per lineam connectentem centra, vterque æquali motu priori re- troagitur; quia æqualis in æqualis æqualem impetum imprimit: non e$t tamen motus reflexus; quia totus prior impetus de$truitur, vt patet ex dictis: $i autem inæquali motu concurrant, retroaguntur ii$dem motibus, permutando; quod etiam clarum e$t: hinc egre- gium paradoxum, $i quod aliud con$equitur, $cilicet, globum A, v. g. æqualem motum imprimere globo B, $iue hic moueatur, $iue quie$cat. <p>12. Si verò linea incidentiæ $it obliqua, vterque globus reflecte- tur pror$us vt à plano immobili: hinc reflexio $it ad angulos æqua- les, & lineæ omnes reflexionis $unt æquales: ratio e$t; quia, quantùm detrahit globus reflectens re$i$tendo, tantùm addit in partem op- po$itam repellendo, po$itiuo ni$u, vel impetu: quòd $i alter globus maiore, vel minore motu moueatur, vel $i globi $int inæquales, cum æquali motu, vel inæquali, resetiam determinari pote$t ex præmi$$is. <pb> <p>13. Cum duo globi in $e$e inuicem impinguntur æquali motu, minor retroagitur velociore motu, quàm ante moueretur, vt clarum e$t: maior verò, $i duplus e$t alterius, $i$tit immobilis in puncto contactus; $i maior duplo $uum iter pro$equitur, $ed tardiore mo- tu; $i minor duplo, retroagitur: quæ omnia facilè ex dictis demon- $trantur. Pote$t impetus e$$e æqualis alteri, & præualere; pote$t æqualem impetnm producere hoc in$tanti, & $tatim in$tanti, quod $equitur, totus de$trui. <p>14. Pote$t globus retroagi in plano horizontali, licèt in aliud cor- pus non incidat, ita vt initio tendat in ortum, verbi gratia: tùm deinde, licèt nihil pror$us addatur, versùs occa$um; quod accidit, cum globus vtroque motu, centri, $cilicet, & orbis, mouetur, $ed contrario; primùm enim motus centri plæualet, $ed facilè cedit propter attritum maiorem partium. Nullus datur propriè motus refractus: licèt enim incuruetur linea motus, dum per aquam $u- bit mobile; hæc tamen e$t reflexionis $pecies. <p>15. Globus reflectens, qui ab ictu alterius mouetur, non mouetur in$tanti contactus; quia impetus primo in$tanti, quo e$t, non mo- uetur; producitur enim impetus primo in$tanti contactus: $i impe- tus e$$et tantùm determinatus ad vnam lineam, nulla fieri po$$et reflexio, $ed tantùm repercu$$io; quia veri$$ima cau$a reflexionis con$i$tit in noua determinatione: per reflexionem po$$unt colligi plures partes aëris $onori ad Echometriam: $agitta emi$$a per ho- rizontalem $ursùm, tantillùm a$cendit per arcum; quia tantillùm reflectitur ab aëre. <FIG> <C><I>De motu circulari.</I></C> <p>1. DAri motum circularem, probatur infinitis ferè experimen- tis: cuius ratio à priori e$t, quòd po$$int extremitates eiu$- dem cylindri in partes oppo$itas pelli; vnde $equitur nece$$ariò motus circularis; quem ij negare coguntur, qui ex punctis mathe- maticis quantitatem componunt. Motus circularis in $ublunaribus oritur ex recto impedito; quia, $cilicet, determinatur tantùm im- petus ad lineam rectam: hinc quidam motus circularis e$t merè per accidens, vt cùm retinetur extremitas funependuli, $eu <pb> fundæ, quæ $i demittatur, $equitur motus rectus: quidam tamen non e$t merè peraccidens, vt cùm pellitur extremitas cylindri in plano horizontali; e$t enim, iuxta in$titutionem naturæ, ad facili- tatem motus. <p>2. Quippe tale e$t naturæ in$titutum, vt eo motu corpora mo- ueantur, quo faciliùs moueri po$$unt: atqui cùm pellitur altera cy- lindri extremitas, in plano horizontali putà innatantis, faciliùs mouetur, quàm recto, & qua$i minore $umptu, cùm minùs $patij acquirat: æqualitempore: pote$t dari motus circularis mixtus ex duobus rectis, quorum vnus $it, vt $inus recti, alius vt ver$i; vix tamen hoc accidit vnquàm, $ed tantùm oritur hic motus ex determinatione per tangentem impedita, ratione alicuius puncti immobilis. <p>3. Hinc, $i tollatur impedimentum, $tatim per tangentem or- bis fit motus, vt patet in funda: inæqualiter partes radij prædicti orbis mouentur, iuxta proportionem di$tantiæ maioris, & minoris à centro: hinc propagatio impetus inæqualis, de qua iam $uprà, $ingulis in$tantibus & punctis e$t noua determinatio; quia, $cilicet, $ingulis punctis $ua tangens re$pondet: hinc, $i imponatur rotæ aliud corpus, $tatim abigitur, $ine $it in $itu verticali, $iue in $itu ho- rizontali; hinc dum turbo rotatur, $i vel aquæ guttula eius $uper- ficies a$pergitur, & $tatim di$pergitur. <p>4 Dari impetum in motu circulari certi$$imum e$t: punctum phy- $icum e$t capax huius motus; cuius finis multiplex e$t; corpus mo- uetur motu circulari circa centrum immobile cum motus centri impeditur non tamen motus orbis, ad quem impetus facilè deter- minatur, cùm $it ad omnes lineas indifferens: adde v$um vectis, trochleæ, aliorúmque organorum, qui $ine motu circulari e$$e non pote$t: omitto motum progre$$iuum, ipsúmque brachiorum, & ti- biarum v$um, qui moru circulari carere non pote$t. <p>5. Motus circularis rotæ in plano verticali e$t æquabilis per $e; quia nihil e$t, quod impetum $emel impre$$um de$truat: licèt enim $ingulis in$tantibus $it noua determinatio, nullus tamen impetus e$t fru$trà; quippe illud $patium acquiritur in linea curua, quod in recta, $i nullum e$$et impedimentum, percurreret: quemadmodum enim in reflexione, quæ fit à plano immobili, nullus de$truitur im- petus; ita nullus hîc de$truitur; tam enim centrum illud immobile ad $e qua$i trahit mobile, quàm planum immobile à $e repellit; in quo e$t perfectè analogia. <pb> <p>6. Hinc per $e motus circularis integri orbis e$t perpetuus; de- $truitur tamen per accidens, $cilicet, propter attritum axis: hinc tam diu durat hic motus: clari$$imum experimentum habes in tur- bine, cuius cu$pis læuigati$$ima in plano læuigati$$imo rotatur; nec vnquam ce$$aret hic motus $ine prædicto attritu, & partium a$peri- tate: nec quidquam ob$tat, quòd aliquæ partes rotæ, quæ in circu- lo verticali voluitur, a$cendant; quia etiam aliquæ de$cendunt: qua- re $emper remanet perfectum æquilibrium, & harum de$cen$us, il- larum a$cen$um compen$at. Quò diutiùs potentia motrix manet applicata manubrio axis rotæ, ita vt nouum $emper producat im- petum, rotæ motus velocior e$t, atque diutiùs durat: idem pror$us dico de rota circulo horizontali parallela. <p>7. Cùm mouetur æquali ni$u acus circa immobile centrum, tùm in plano horizõrali, tùm in verticali, $iue $it lõgior vna, $iue breuior alia, per $e plures gyros non de$cribit vna, quàm alia; quia per $e mouetur motu æquabili: per accidens tamen $ecus accidit; quippe maior e$t maioris attritus: dixi, cùm mouetur æquali ni$u; nam $æpè contingit, maiore ni$u potentiam motricem agere circa maiorem; æquali tamen tempore numerus circuitionum minoris, e$t ad nu- merum circuitionum maioris per $e vt acuum quadrata permu- tando; $unt enim motus vt $patia, $pacia vt quadrata. <p>8. Verbi gratia, $it acus maior 2. minor 1. certè cùm tota area or- bis maioris $it quadrupla minoris, $itque area maioris, $patium ma- ioris, & area minoris $patium minoris, haud dubiè de$cribet minor quatuor circuitiones, co tempore, quo maior decurret vnicam: li- cèt enim extremitas minoris, quæ impellitur, habeat tantùm du- plum impetum extremitatis maioris, $itque impetus inten$io in minore, dupla inten$ionis impetus in maiore; e$t tamen quadrupla illius, quæ e$t in $egmento maioris versùs centrum æquali minori acui: porrò motus circulares æquabiles in vtraque cum eodem impetu, $unt vt motus recti. <p>9. Rota in plano verticali faciliùs mouetur, quàm in horizonta- li; quia in illo mouetur per minimam impetus, vel potentiæ acce$- $ionem; $ecùs in i$to; quippe per minimam acce$$ionem tollitur æquilibrium; imò moueri pote$t in plano verticali, licèt nullus im- primatur impetus rotæ, v. g. per additionem minimi ponderis, vel momenti, vt patet; cùm tamen in plano horizontali moueri non po$$it, ni$i impetus imprimatur. <p>10. Si cylindrus in plano horizontali læuigato in alteaa extremi- tate per tangentem impellatur, mouebitur motu circulati, $cilicet, <pb> faciliori, cirra centrum, quod di$tet ab altera extremitate vna quarta totius cylindri: ratio e$t: quia faciliùs mouetur circa illud centrum, quàm circa alia puncta, quòd, $cilicet, minùs $patij decur- ratur, po$ito eodem $emper motu alterius extremitatis, cui appli- catur immediatè potentia motrix. <p>11. Cùm rota mouetur in verticali, atque præponderat alter $emi- circulus, haud dubiè hic præponderans producit impetum in alio $emicirculo: hinc fortè e$t, quòd mirere, impetus determinatus deor$um producit alium $ur$um: hinc impetus vnius partis mobi- lis pote$t producere$imilem in alia parte continua; quod tantùm in hoc ca$u locum habet: quando corpus incumbit plano, quod mo- uetur motu recto æquabili, ab eo non $eparatur; $ecùs verò, $i in- cumbat plano, quod mouetur motu circulari. <FIG> <C><I>De motu funependuli.</I></C> <p>1. FVnependulum de$cendit per arcum motu naturaliter acce- lerato: experientia clari$$ima e$t: cùm enim ex maiori $ubli- mitate de$cendit, maiorem ictum infligit. Ratio à priori e$t quia priori impetui acqui$ito nouus accedit: non acceleratur in eadem proportione, in qua $uprà dictum e$t accelerari in linea recta; quia in hac acceleratur vniformiter, id e$t, æqualibus temporibus, æqualia acquiruntur velocitatis momenta; quia vel e$t $emper ea- dem inclinatio plani, vel idem perpendiculum: at verò in fune- pendulo in $ingulis punctis e$t noua tangens; igitur noua inclina- tio plani; igitur noua ratio motus. <p>2. Initio acceleratur motus per maiora crementa, $ub finem per mi- nora; v.g. $i dato tempore acqui$iuit vnum gradum impetus initio, æquali deinde tempore acquiret minùs: ratio clara e$t: quia, vt ac- quireret æqualem, deberet e$$e eadem pl<*>ni inclinatio; $ed $empes cre$cit Inclinatio; igitur $emper imminuitur impetus æquali t&etilde;pore acqui$itus: acquiritur tamen æqualis velocitas in arcu, & in chor- da, $eu plano inclinato, eiu$dem altitudinis; igitur $emper cre$cit motus funependuli in de$cen$u, $ed minoribus incrementis. <p>3. Hinc breuiore tempore de$cendit per radium perpendicula- rem, quàm per quadrantis arcum eiu$dem radij; tùm quia breuior e$t linea; tùm, quia in perpendiculari acceleratur motus per maiora crementa. Vibrario maior eiu$dem funependuli æquali ferè tem- <pb> pore cum minore perficitur: ratio <*> quia, cùm ferè decurrantur arcus iuxta $ubten$arum proportionem, certè cùm $ubten$æ om- nes æquali tempore decurrantur, idem ferè fit in ip$is arcubus: dixi ferè: nam reuerà minor vibratio citiùs, maior tardiùs perficitur, vt cõ$tat experi&etilde;tia: neque dee$t ratio, quam in analyticcã remittimus. <p>4. Non a$cendit funependulum ad eam altitudinem, ex qua priùs de$cenderat: clara e$t experientia: neque ratio tantùm petitur ab aëris re$i$tentia; tam enim re$i$tit de$cen$ui, quàm a$cen$ui; $ed ex eo, quòd $ingulis in$tantibus $it quædam pugna, inter impetum in- natum, & alium determinatum ad arcum $ur$um: quippe impetus innatus ad totum de$cen$um, $ed nullo modo ad a$cen$um con- currit: hinc in maiori vibratione imminuitur motus, & $patium in maiori proportione, quàm in minori; quia in hac lineæ $ingulæ a$- cen$us qua$i totid&etilde; inclinatæ $unt inclinatiores; in illa verò minùs. <p>5. Hinc diu vibratur funependulum per minores arcus, quippe facilis e$t a$cen$us per planum proximè ad horizontale accedens: hinc etiam in funependulo maiori dintiùs durant huiu$modi vi- brationes, idque in arcubus paulò maioribus; quia $ubten$æ his arcubus $unt inclinatiores: hinc refutabis eos, qui dicunt, vibra- tiones funependuli in vacuo fore perpetuas: arcus vibratio- nis a$cen$us fit motu naturaliter retardato, $ed per imminu- tiones inæquales; quia pro diuer$a inclinatione plani diuer$imodè retardatur. <p>6. Vltimum punctum impetus acqui$itus acqui$itum in de$cen$u, nullo modo ad de$cen$um concurrit, $ed ad a$cen$um, vnico tan- tùm in$tanti; quippe e$t omnium imperfecti$$imum; quod reuerà $i e$$et eiu$dem perfectionis cum innato, a$cen$us æqualis e$t de$cen- $ui: $i $int funependula inæqualia, vibrationes non $unt æquè diu- turnæ: ratio e$t: quia, $i a$$umamtur, v.g.duo quadrantes inæquales, $unt eju$dem inclinationis; igitur minor citiùs percurritur. <p>7. Porrò tempora vibrationum $unt in ratione $ubduplicata ar- cuum $imilium, vel chordarum $imilium, vel radiorum; id e$t, vt radices $patiorum $imilium: verbi gratia, $it quadruplus alterius, tempus vibrationis maioris e$t duplum temporis vibrationis mino- ris; quod ita intelligendum e$t, vt hæc proportio con$ideretur in partibus temporis $en$ibilibus, vt iam dictum e$t de motu natura- liter accelerato deor$um in perpendiculo, & in planis inclinatis; nam progre$$io arithmetica; a$$umpta in $ingulis in$tantibus, tran- $it in hanc, $i a$$umantur partes temporis $en$ibiles, quarum $ingu- læ infinitis ferè con$tent in$tantibus. <pb> <p>8. In maiori quadrante, circa $upremam extremitatem, e$t minor inclinatio, quàm in minore; hic enim $tatim detorquetur à perpen- diculo, cum quo facit angulum maiorem: at verò circa infirmam extremitatem, e$t maior inclinario in maiore, quàm in minore: hinc, $i comparetur vibratio maioris, cum vibratione minoris in modico arcu, tempus illius e$t paulò maius duplo, temporis huius; in maxi- mo arcu paulò minùs duplo, dum, $cilicet, longitudinum ratio $it quadrupla. <p>9. In de$cen$u funependuli velocitas acqui$ita e$t eadem cum ea, quæ in $ubten$a eiu$dem arcus acquiritur: hinc $unt ijdem ictus: numerus, vibrationum non e$t infinitus, licèt in vacuo vibraretur funependulum; quia, cùm $ingulæ imminuantur, & infinitis pun- ctis non con$tent; tandem ad vltimam peruenitur: illa autem e$t vl- tima, in cuius de$cen$u acquiritur tantùm vnum punctum impetus $upra innatum; in ea tamen $ententia, quæ vel infinitas partes actu, vel infinita puncta cogno$cit, certè nunquam quie$ceret funepen- dulum in vacuo vibratum. <p>10. Funependulum in fine a$cen$us non quie$cit vno in$tanti; quia impetui innato nũquam redditur æqualis acqui$itus; po$ita ta- men illa æqualirate, in$tanti $equenti e$$et quies: funependulum grauius citiùs de$cendit; e$t enim eadem ratio, quæ fuit pro mo- tu naturali; corpus oblongum $olidum circa punctum immobile in circulo verticali rotatum vibratur adin$tat funependuli; de$- cendit tamen citiùs, quàm funependulum eiu$dem longitudinis. <p>11. Ratio facilis e$t; quia partes $olidæ, quæ accedunt propiùs ad extremitatem immobilem, accelerant motum aliarum, quæ ad mobilem extremitatem accedunt; faciunt enim arcum mino- rem: hinc a$cen$us non peruenit ad tantam $ublimitatem; quia, vt prædictæ partes accelerant motum aliarum in de$cen$u, ita retar- dant in de$cen$u: hinc citiùs quie$cit hoc penduli genus, quàm aliud: ex hoc colligo paradoxon, $cilicet, corpus moueri po$$e $ua $ponte velociùs in arcu deor$um, quàm in perpendiculo; v.g. $i iuxta extremitatem immobilem $it nodus plumbeus, cuius vi, altera ex- tremitas longiùs di$tans deor$um rapiatur. <FIG> <C><I>De motu mixto ex circulari.</I></C> <p>1. ROta, quæ mouetur in $uperficie plana, mouetur motu mixto ex recto centri, & circulari orbis: axis tantùm rotæ mouetur motu recto: punctum contactus rotæ mouetur motu tardi$$imo, <pb> quando motus centri, & $uprema rotæ pars in eandem partem $e- runtur; punctum verò oppo$itum veloci$$imo, quia in motu huius rotus motus orbis additur motui centri; in motu verò illius, to- tus motus orbis, motui centri detrahitur: quod autem detrahit mo- tus orbis, nunquam æquale e$t toti motui centri. <p>2. Hinc omnia puncta eiu$dem circuli rotæ mobilis in plano hoc motu mixto mouentur in æquali motu: hoc etiam motu mo- uetur globus de$cendens in plano inclinato, in quo reuerâ motu hæc habes: primò, non modò accelerari motũ centri, verùm etiam motum orbis; $ecũdò, ita impetũ propagari ab intrin$eco, vt $ingu- lis partibus eiu$dem circuli, & plani in æqualiter di$tribuatur, tertiò hoc motu motum rectum non impediri à circulari, & $ed iuuari. <p>3. Cùm rota voluitur in $uperficie connexa, mouetur motu mix- to ex duobus circularibus: $imilis e$t hic motus motui epicycli. Ca- lamus volatilis, cuius mi$$io frequens, & repercu$$io, ludi non in- grati copiam facit: mouetur motu mixto ex recto, & circulari: in hoc porrò motu præit calami caput, & $equuntur pennæ; quia aër fortiùs re$i$tit pennis, quàm thecæ: hinc pennarum motum theca grauior accelerat, cuius motum pennæ retardant. <p>4. Hinc, $i quando accidat, penas educi ex theca in libero medio; $tatim theca velociori motu mouetur, cùm tamen pennæ ip$æ $i- $tant: ex hac inæqualitate, ne impetus $it fru$trà, propter detortas in alteram partem pennas ab aëre re$i$tente totum iaculum defle- ctitur, agitúr que in orbem; hinc motus orbis traducitur ex theca in pennas, non contrà, vt aliquis fortè exi$timaret, licèt pennarum tar- ditas, & obliqua deflexio, ratione cuius ab aëre re$tente, in alteram partem qua$i reflectentur, $int nece$$aria conditio huius traductio- nis. <p>5. Hinc motu recto prædictum iaculum in vacuo tantùm mo- ueretur, vt patet: hinc: cùm pennæ $unt explicatiores, tardiùs; cùm verò contractiores, velociùs mouetur, etiam motu orbis; cui non minùs aër re$i$tit, in pennis, $cilicet, quàm motui axis: hinc, $i theca $it grauior, velociùs; $i leuior, tardiùs iaculum fertur; etiam tenera plumarum lanugo tarditatem conciliat: porrò, $i axis mouetur mo- tu recto, quod reuerà fit, cùm iaculum deor$um demittitur in per- pendiculo, hic motus e$t $piralis cylindricus: ex his infinita ferè phænomena explicari po$$unt. <p>6. Sunt infiniti propemodum motus mixti; v. g. cylindri ab alte- ra extremitate rotata emi$$i; longioris ha$tæ, quæ $ur$um facta cir- cuitione emittitur; brachij, gladij, &c. $ed poti$$imùm turbinis, qui <pb> vel $eutica, vel funiculo in torto circumagitur, in quo clari$$i- mè apparet motus centri, & orbis: ratio motus orbis e$t impe- tus impre$$us vtrique extremitati diametri va$is in partes contra- rias; ratio verò motus centri e$t, quia adducitur funiculo vel ex- ploditur, $eu expellitur $cutica: huius motus phænomena $unt ferè infinita: $ingula ex no$tris principiis facilè explicantur. <FIG> <C><I>De diuer$is impre$$ionibus motus.</I></C> <p>1. CVm $u$tinetur manus, $eu brachium, in $itu horizontali im- mobile, producitur nece$$aliò impetus æqualis impetui gra- uitationis; alioquin, $i maior e$$et, $ur$um ferretur brachium; $i verò minor, deor$um: quia præualeret grauitatio, porrò hic impetus pro- ducitur tantùm à potentia motrice animantis, in $ingulari organo; non verò in aliis partibus, etiam animatis, ni$i quando mouentur; nec in ip$o pondere, $i aliquod $u$tinetur: $ic men$a in pondere $u- per po$ito impetum nullum producit. Si anima immediatè in toto corpore po$$et producere impetum, homo facilè volare po$$et. <p>2. Cùm $u$tinetur funependulum, nullus impetus producitur à $u$tinente in ip$o globo, ne $cilicet, $it fru$trà; $ecùs verò, $i attolla- tur: $ic per quamlibet lineam corpus retineri pote$t $ine impetu in eo corpore producto per $e: hinc, cùm duo $e$e inuicem trahunt ad- uer$o ni$u, neuter in altero producit impetum per $e; $ed per acci- dens, propter mollitiem, & ten$ionem partium: cùm verò defertur aliquid coniunctum, producitur haud dubiè æqualis impetus; hinc $eparari non pote$t; quia æqualis e$t motus latoris, & delati: exem- plum habes in naui. <p>3. Si verò nauis illicò $i$tat, vel tardiùs moueri pergat, tunc fit $e- paratio: hinc liquida effunduntur, $i dum feruntur, breuior quietis in va$e intercedat morula. Vt feratur cylindrus humeris cõmodiùs debet $u$tineri in c&etilde;tro grauitatis, ad eleuationem anguli 49. quia tũc manui, & humero æqualiter põdus di$tribuitur: ideò in circulo voluitur $cyphus aqua plenus $ine effu$ione; quia impetus determi- natus per tangentem circuli aquam ip$am à centro circuli remouet. <p>4. Cùm trahitur aliquod corpus impetus impre$$us in vna parte non producit impetum in alia, alioquim daretur proce$$us in in$i- nitum; $i chorda vtrinque trahatur, rumpetur in medio: $i affixa extremitati immobili, trahatur à potentia applicata alteri extremi- <pb> tati, rumpetur iuxta primam illam extremitatem: $i denique pon- ticulo $uppo$ito tendatur, vel pondere deprimente, in eo puncto rumpetur. Ratio communis i$torum omnium e$t: quia inter illas duas partes fieri debet diui$io per $e, quarum vna mouetur, $ecùs alia; vel quarum vtraque in partes oppo$itas mouetur. <p>5. Vt quodlibet pondus faciliùs trahatur, $inguli equi trahere debent fune communi, potiùs quàm bigati; quia tunc nihil ferè pe- rit impetus: cùm plures idem pondus trahunt, agunt actione com- muni, alioqui $inguli in toto pondere $uum impetum producerent; igitur $inguli $eor$im trahere? o$$ent, quod fal$um e$t: ideò currus paulò po$t initium motus faciliùs mouetur; quia aliquid impetus priùs producti remanet: hinc etiam rupto fune, quo trahitur currus, currus ip$e modicum tempus adhuc mouetur. <p>6. Si, dum quis trahit toto ni$u magnum aliquod pondus, funis rumpatur, pronùs corruit: quia maiorem impetum in $e producit, totum, $cilicet, illum, quem in toto pondere produxi$$et eo in$tan- ti, quo rumpitur finis, qui reuerà maior e$t, propter impedimen- tum, ex præmi$$is principiis, maiorique applicatione potentiæ, ner- norum ten$ione, &c. dum trahitur vnco annullus immobilis ver- sùs nauim, nauis fertur versùs littus; dum pellitur aduersùm littus, recedit à littore, quia pede, vel genu, imprimitur naui impetus in contrariam pattem. <p>7. Cùm trahitur cylindrus vtrinque æqualiter, qui neque flecti, neque tendi pote$t, nullum impetum accipit; imò in tractione nul- lus impetus e$t inutilis: brachium infligit maiorem ictum, cùm ma- iorem arcũ de$cribit $uo motu; quia, $cilicet, mouetur motu natu- raliter accelerato: hinc auer$a manu validior impingitur colaphus, quàm aduer$a; quia illa maiorem arcum de$cribit: hinc longius bra- chium cæteris paribus grauiùs ferit: hinc diu qua$i rotatur bra- chium, vt longiùs mittatur lapis. <p>8. Maiore fu$te maior ictus infligitur; quia potentia toto ni$u agens, diutiùs manet applicata maiori, quàm minori; $untque ictus in ratione $ubduplicata vtriu$que fu$tis; v. g. fu$tis pendens vnam libram per maximum arcum impactus, infligit $ubduplum ictum alterius, quem infligit fu$tis quatuor pendens libras per eundem arcum impactus: idem dicatur de mi$$o lapide: principium huius veritatis pender<*> iis, quæ diximus lib. 2. de motu naturali- ter accelerate, luxta progre$$ionem numerorum imparium, 1. 3. 5. &c. <p>9. Fu$tis circa centrum immobile vibratus, maximum ictum in- <pb> fligit, non quidem in centro grauitatis, id e$t, in medio, $i $it cy- lindrus, vel parallelipedum; nec in extremitate mobili; $ed in eo puncto, in quo e$t centrum impetus impre$$i, id e$t, quod æqualem vtrinque dirimit impetum: ratio e$t; quia tunc totus impetus agit, quantùm pote$t; illud autem punctum Geometria demon$trat e$$e terminum mediæ proportionalis, inter totum cylindrum, & $ub- duplum; modò nulla ratio vectis habeatur alioquin centrum pro- cu$$ionis di$tat 2/3 ab extremitate immobili. <p>10. Cùm fu$tis inflectitur, reditque ad pri$tinum $tatum, vt videre e$t in tudicula maiore, maior ictus imprimitur: quia non tantùm agit impetus extrin$ecùs adueniens; verùm etiam potentia quædam media, quæ corpora compre$$a, vel ten$a, ad pri$tinum $tatum reducit: hinc maximus e$t ictus tudiculæ, cùm eo in$tanti, quo reductum e$t omninò manubrium priori rectitudini, infligitur ictus, quia tunc vis potentiæ mediæ e$t maxima. <p>11. Rotato flagello ideò maxima vis ine$t, quia diutiùs potentia manet applicata: hinc vides hoc principium e$$e vniuer$ali$$imum, quod iactis, pul$is, & impactis competit; de malleorum ictu idem pror$us dicendum e$t, quod de fu$te; $i autem mallei cadant ex eadem altitudine, motu naturali accelerato, ictus $unt vt mallei, quia duplus malleus, v. g. duplum impetum acquirit: nam $ingulæ partes $eor$im æqualem impetum acquirunt. <p>12. Si verò ex diuer$a altitudine cadant, vel $unt æquales, vel inæquales: $i primum, ictus $unt vt tempora, quibus cadunt: $i $ecundum, ictus $unt in ratione compo$ita temporum, & mal- leorum: $i $unt infinitæ, partes actu, nulla e$t proportio percu$$ionis granuli cadentis, & rupis ingentis grauitantis; $ed hoc vltimum fal- $um e$$e con$tat; non pote$t tamen determinari proportio vitium grauitationis, & percu$$ionis, ni$i numerus in$tantium: quibus durat motus deor$um cogno$catur. <p>13. Leui$$imi lapides vix emittuntur ad modicam di$tantiam; quia $tatim $eparantur à potentia: parallelipedum cadens de or- $um in $itu horizontali maximum ictum infligit in centro grauita- tis, id e$t, in medio; quia tunc totus impetus agit, totus enim impe- ditur: in aliis punctis minor e$t ictus, iuxta proportionem maioris di$tantiæ à prædicto centro: $i verò percutiatur cylindrus innatans, maxima erit vis, vel effectus ictus in centro grauitatis propter ean- dem rationem. <pb> <FIG> <pb> <FIG> <pb> <FIG> <pb> <FIG> <pb> <FIG> <pb> <FIG> <pb> <FIG> <pb> <FIG> <pb> <FIG> <pb> <FIG> <pb> <FIG> <pb n=1> <FIG> <C>LIBER PRIMVS,</C> <C><I>DE IMPETV.</I></C> <p>TRACTATVM hunc de motu locali ab ip$o impetu au$picamur, ex cuius profectò cognitione tota res i$ta de- pendet; cum enim impetus $it cau$a immediata motus, vt fusè demon$tra- bimus infrà; & cum propter quid $it res cogno$ci non po$$it, ni$i eius cau$a cogno$catur; dubium e$$e non pote$t, quin præmittenda $it tractatio illa, quæ e$t de impetu, vt deinde affectiones ip$ius motus per cau$am eiu$dem demon$trentur; immò au$im dicere ex vnius impetus cognitione, non modò mo- tum ip$um, verùm etiam totam rem Phy$icam pen- dere. <HR> <C><I>DEFINITIO I.</I></C> <p>MOTVS <I>localis e$t tran$itus mobilis è loco in locum continuo fluxu.</I> Huius definitionis explicationem habebis in Metaphy$icâ, quæ $anè explicatio ad rem præ$entem non facit. <C><I>Definitio II.</I></C> <p><I>Motus velox e$t quo percurritur maius $patium æquali tempore, vet æquale $patium minori tempore; contrà verò motus tardus.</I> <pb n=2> <C><I>Definitio III.</I></C> <p><I>Impetus e$t qualitas exigens motum, $eu fluxum localem $ui $ubiecti, vel qua est cau$a proxima motus illius mobilis, cui ine$t, eo $cilicet modo, quo pote$t e$$e cau$a motus.</I> <p>Dico e$$e qualitatem $iue di$tincta $it, $iue non di$tincta; quod hîc certè non di$cutio; nec enim affirmo in hac definitione dari impetum; $ed definio tantùm quid $it impetus; qui reuera aliud non e$t, $i e$t: quippe id tantùm concipio, cum impetum appello; $iue $it, $iue non $it, ne quis fortè initio $tatim mihi litem intendat; quemadmodum definit circulum Geometra; licèt non a$$erat dari perfectum circulum; ita Phy- $icus definit impetum, quamuis non affirmet dari impetum; quod tamen in $exto Theoremate demon$trabimus; itaque $i e$t impetus, haud dubiè nihil omninò præ$tat in $uo $ubiecto ni$i motum; quod quomodò fiat, explicabimus in$rà in Theorematis. <C><I>Hypothe$is I.</I></C> <p><I>Datur motus localis</I>; quis enim non videt volantem auem, natantem pi$cem; currentem equum, rotatum globum; denique vnum corpus mi- grans è loco in locam? $ed hoc e$t moueri per Def. 1. igitur infinitis fe- rè experimentis nititur hæc hypothe$is, quam veram e$$e nece$$e e$t, $i illa vera $unt; $ed illa certa $unt phy$icè, neque citra miraculum fallere po$$unt. <p>Diceret fortè aliquis etiam motum $ube$$e oculorum fallaciæ; cùm è naui mobili littus ip$um moueri, ip$umque nauigium non moueri iudi- cemus. Quis enim oculos in Solem intendens, primo intuitu Solem $ta- re non iudicet? cum tamen deinde pernici$$imo cur$u rotari demon$tre- mus; adde alias oculorum fallacias circa motum; $ic rotata $cintilla, vel carbo accen$us immotum orbem de$cribere videtur; $ic nota inu$ta trocho, dum celerrimè rotatur, orbem etiam immobilem de$cribere iu- dicatur; $ic $tella cadens, vel exhalatio continenti $ucce$$ione accen$a moueri videtur; licet minimè moucatur; idem dicendum de puluere tormentario, vel alia qualibet materia; quæ continuata con$ecutione accenditur; immò trochus ip$e in orbem celerrimè agitatus, quie$cere videtur; $ic qui vertigine laborant, ea moueri exi$timant, quæ quie$cunt; idem exemplum habemus in ebrio$is, iracundis, in iis qui ex graui febris ardore delirant, & in pueris qui diu in gyros eunt, vbi verti de$ierint; $ic corum quæ motu æquali feruntur, remotiora tardiùs moueri viden- tur; immò $i per eandem lincam oculus, & mobile pari velocitate ince- dant, ip$um mobile quie$cere videtur, plura leges apud Opticos, de quibus agemus $uo loco: Igitur ex his omnibus con$tat minimè con$ta- re dari motum, ex co quòd oculis aliquid moucri videatur. <p>Re$pondeo equidem $ateri me, vi$um ip$um plurimis $ube$$e fraudi- bus; attamen $i rectè oculus admoueatur, iu$ta di$tantià, nec vllum $it impedimentum exterius nec interius; fieri non pote$t, quin oculus mo- tum ob$eruet; an fortè currentis calami motus oculum meum fallere po- <pb n=3> te$t? quidquid $it, fateor vltrò hanc hypothe$im in eo tantùm certitudi- nis gradu e$$e reponendam, in quo reponitur hæc cognitio, quâ modo cogno$co me $cribere, manu$que, & calami motum ob$eruo; $iue id tan- tùm oculis fiat, $iue intellectu ex oculis; quod aliàs di$cutiemus; $i quis fortè in Phy$ica maiorem certitudinem po$tularet, cum eo certè conuc- nire non po$$um. <p>Porrò quod $pectat ad fallacias illas quæ $upra adductæ $unt; certum e$t vel obiectum e$$e remotius, quam par $it; vel moueri celeriùs, vel e$$e aliquod impedimentum interius; præ$ertim in iis, qui $eu vertigine, vel alio capitis morbo laborant; $ed ne hîc opticum agere videar, harum fallaciarum certi$$imas cau$as in $uum locum remittimus. <p>Cæterùm licèt ad $tatuendam, firmandamque hanc hypote$im, Phy- $ica experimenta rectè applicato $en$u comprobata $ufficere po$$int; non de$unt tamen rationes multæ à priori, vt vulgò aiunt, quibus euin- citur, non modò quid $it motus, verùm etiam propter quid $it. <p>Prima duci pote$t à fine motus; cum enim res creatæ vbique $imul e$$e non po$$int, certè, vt illo bono gaudeant, quo fortè carent, & vt coniungantur $uo fini, motu locali opus e$t; $itit equus, abe$t aqua, certè, ni$i vel hæc propinetur, vel ille accedat, $itim leuare non pote- rit; at neutrum $ine motu haberi pote$t: Lapis remouetur à $uo centro, à $uo globo, à $uo fine, vt $e$e illi re$tituat, deor$um cadat nece$$e e$t. Itaque ad cum finem res omnes creatæ in$titutæ $unt, quem $ine motu a$$equi non po$$unt; igitur dari motum nece$$e e$t, vt res creatæ cum lo- cum acquirant, in quo $uo bono, $uo fini, $uæ perfectioni coniungan- tur; vel $altem id muneris obeant, cui ab ipsâ naturâ de$tinantur. <p>Secunda ratio ducitur à cau$a efficiente; ni$i enim daretur motus, fru$trà daretur potentia motrix, tùm in animantibus, tùm in grauibus, de quâ aliàs. <p>Tertia petitur à cau$a formali; cum enim detur impetus, vt demon- $trabimus infrà, nece$$e e$t dari motum. <p>Quarta petitur à termino motus; cum enim globus proiectus $it in nouo loco in quo ante non erat; certè nouus locus qui $uccedit alteri relicto, e$t terminus motus citra miraculum; igitur $i e$t nouus locus, e$t quoque motus. <p>Quinta ab v$u; nec enim $ine motu flueret aqua, caderet lapis, gyros agerent a$tra, flaret ventus, volarent nubes, &c. <p>Sexta ab ip$a Mechanica, quæ organa motui mini$trat: quis enim ne- garet maius momentum e$$e cum maiori di$tantiâ coniunctum; $i verò maius momentum e$t, nunquid præualebit; igitur deor$um cadet, immò $euerior Geometria, vt omittam A$tronomiam, motum $upponit, cum ex fluxu $eu motu puncti infinitas fere lineas de$cribat. Igitur certum e$t dari motum localem. <C><I>Hypothe$is II.</I></C> <p><I>Datur quies, id e$t priuatio motus.</I> Hæc hypothe$is etiam ceita e$t, <pb n=4> Quis enim neget $edentem humi, vel decumbentem in lecto quie$ceret con$ule $en$us rectè applicatos; tam enim certus $um me iam in cathe- dra quie$cere, quam $um certus Solem lucere; igitur ex certis experi- mentis certa hypothe$is con$equitur. Non de$unt rationes à priori; nam primò res aliqua $uo bono, $eu fini coniuncta ab eo $eparari non po$tu- lat, igitur nec moueri. Secundò maximum incommodum e$$et, $i res $e- mel mota perpetuò moueretur. Tertiò, finis, $eu terminus motus recti, e$t quies; nam ideo lapis deor$um cadit, vt in $uo centro $eu globo quie$cat, id e$t vt cum aliis partibus totum illud, $eu globum componat, vt dicemus aliàs. <p>Diceret fortè aliquis $ententias prædictas non valere in $ententiâ Copernici, quæ terræ motum ad$truit; præterea non modò falli $en$us circa motum, verùm etiam circa quietem. <p>Re$pondeo primò illam Copernici $ententiam e$le fal$i$$imam, vt $uo loco o$tendemus: $ecundò, licèt terra moueretur $ecundum Coperni- cum, Sol, & $tellæ quie$cerent. <p>Dices iuxta hypothe$im Heraclidis Pontici, terra ip$a, Sol etiam, & $tellæ mouentur. Re$pondeo primò hypothe$un illam e$$e fal$am, vt $uo loco videbimus; $ecundò etiam data illa hypothe$i po$$et dari quies; $i enim globus eodem ver$us occa$um impetu proiiceretur, quò ver$us or- tum à terra ip$a rapitur, haùd dubiè quie$ceret: præterea iuxta hanc hy- pothe$un, quietem appellarem vnius partis cum alia connexionem in ip- $o toto $eu globo, & quie$cere dicerem lapidem, qui tantùm totius glo- bi motu mouetur, ex quo profectò tota $oluitur difficultas. <p>Quod verò $pectat ad fallacias oculi circa quietem; codem pror$us modo $oluendæ $unt, quo iam $upra $olutæ $unt aliæ circa motum: vtrùm verò motus, & quies dicant aliquid di$tinctum à mobili, dice- mus infrà. <C><I>Hypothe$is III.</I></C> <p><I>Aliquid mouetur quod incœpit moueri.</I> Video lapidem quie$centem, qui deinde proiectus mouetur; igitur ante non mouebatur, igitur cum deinde mouetur, cœpit moueri; mille aliis experimentis hæc hypothe- $is confirmari pote$t. <C><I>Hypothe$is IV.</I></C> <p><I>Aliquid mouetur quod tandem de$init moueri, vel incipit quie$cere.</I> Vi- deo rotatam pilam, quæ tandem quie$cit, cadentem lapidem, qui tan- dem $i$tit, &c. igitur certa e$t hæc hypothe$is. <C><I>Hypothe$is V.</I></C> <p><I>Idem mouetur modò tardiùs, modò velociùs.</I> Video rotatum globum, qui $en$im quie$cit: $entio ab codem globo modò maiorem, modò mi- norem ictum infligi, &c. igitur e$t certa hypothe$is. <pb n=5> <C><I>Hypothe$is VI.</I></C> <p><I>Corpus proiectum etiam à potentiâ motrice $eiunctum adhuc moue tur.</I> Oculos omnium te$tes appello. <C><I>Hypothe$is VII.</I></C> <p><I>Corpus proiectum, & in aliud impactum illud ip$um impellit, & mouet.</I> <C><I>Hypothe$is VIII.</I></C> <p><I>Ignis applicatus $ubiectum aptum, cui rectè applicatur nece$$ariò calefa- cit, nix frigefacit, Sol illuminat, corpus in aliud impactum illud ip$um im- pellit.</I> Prædictæ omnes Hypothe$es certi$$imis nixæ experimentis certi- tudinem phy$icam habent, & citra miraculum fallere non po$$unt. <C><I>Axioma I.</I></C> <p><I>Contradictoria $imul e$$e non po$$unt, vel non e$$e.</I> Hoc ip$um iam ptæ- mi$unus Logicæ no$træ demon$tratiuæ, complectiturque prima illa principia Metaphy$icæ. <p>1. <I>Impo$$ibile est idem $imul e$$e, & non e$$e.</I> <p>2. <I>Quodlibet e$t, vel non est.</I> <p>3. <I>De eodem alterum contradictoriorum verè affirmatur, & alterum verè negatur, non $imul vtrumque.</I> <C><I>Axioma II.</I></C> <p><I>Maximum $ignum di$tinctionis realis in phy$icis est $eparabilitas, vel op- po$itio.</I> Nihil enim a $e ip$o $eparari po$t; quippe, vbi e$t $eparatio, $eu diui$io, e$t pluralitas; cur enim nummus A & nummus B eiu$dem ma- teriæ, formæ, ponderis, realiter di$tinguuntur? quia $cilicet vnus non e$t alius inquies; & quare vnus non e$t alius? quia vnus e$t hic & alius non e$t hic, vnum tango, & alium non tango, vnus e$t meus, & alius non e$t meus, &c. vides prædicata contradictoria, quæ cum eidem $imul ine$$e non po$$int per Ax. 1. diuer$is, & di$tinctis ine$$e nece$$e e$t. <p>Diceret fortè aliquis hominem reproductum in duobus locis e$$e po$- $e, & dum Romæ e$t à $e ip$o Lugduni exi$tente $eiunctum e$$e; hoc ip$um aliàs examinabimus, dum con$tet modò id totum, $i fiat, mira- culo tribuendum e$$e, cum tamen res phy$icas citra miraculum con$ide- temus. <C><I>Axioma III.</I></C> <p><I>Vt dicatur aliquid exi$tere, vel debet $en$u percipi, vel aliqua ratione probari.</I> Qui enim a$$erit rem aliquam po$itiuam exi$tere, certè po$i- tiuo argumento demon$trare debet quod $it; illud porrò argumentum duci pote$t vel ab experimento certo; $ic probo exi$tere rem aliquam, quam video; vel ab aliqua ratione; $ic ex eo quòd cau$a $it nece$$aria applicata $ubiecto apto, probo effectum ip$um produci; vel co quòd $it effectus probo cau$am e$$e vel ex nece$$itate, quâ aliquid e$t nece$$a- <*>ium ad aliquem finem à natura in$titutum, quo natura ip$a $ine ab$ur- <pb n=6> do, vel graui$$imo incommodo carere non pote$t, probo illud ip$um e$$e; vel demùm ex aliqua reuelatione certa in rebus fidei; igitur hoc Axioma certum e$t phy$icè; quod ni$i recipiatur à Philo$ophis; cuique licebit impunè mentiri; $i enim dicam extra mundi huius fines e$$e alios orbes, intra tuum mu$æum, in quo $olus fortè degis, e$$e quin- quaginta homines, e$$e mille Soles, & totidem Lunas in cœlo, &c. numquid $tatim oppones Axioma i$tud, <I>qua ratio, qua experientia, qua nece$$itas, qua reuelatio?</I> Quæ$tio facti e$t, producendi $unt te$tes: huc reuoea principium illud commune. <p>1. <I>Non $unt multiplicanda entia $ine nece$$itate, quod certè non valet ni$i addas, vel $ine ratione, vel $ine experientia.</I> <p>2. <I>Qui a$$erit aliquid po$itiuè, debet argumento po$itiuo probare.</I> <C><I>Axioma IV.</I></C> <p><I>Quidquid exi$tit phy$icè extra $uas cau$as ab omni alio $eparatum, de- terminatum e$t.</I> <p>Hoc Axioma explicatione modicâ indiget: Determinatum illud apello, quod illud ip$um e$t, quod e$t, & nihil aliud; quod e$t hoc, id e$t ab omni alio di$tinctum; atqui quidquid productum e$t, $ingulare e$t, id e$t, e$t hoc; $i enim producitur, alicubi producitur, & ali- quando, ergo dici pote$t, e$t hîc, e$t nune; igitur determinatum e$t. Aliquis fortè $tatim opponet mihi partes indeterminatas quantitatis: $ed pro$ectò nulla pars actu e$t quæ non $it hæc, & non alia; igitur quæ non $it determinata, de quo aliàs; quidquid $it, $altem partes illæ fa- ciunt aliquod totum quod e$t determinatum, quod mihi $atis e$t modò ad veritatem huius Axiomatis. Dices aliquid po$$e e$$e nullibi; has nugas refutabimus in Metaphy$ica, quæ in mentem $apientis viri ca- dere non po$$unt; nunc $altem con$tat id naturali modo fieri non po$$e. <C><I>Axioma V.</I></C> <p><I>Quod vnum e$t, determinatum e$t.</I> Quia quod vnum e$t, e$t hoc, & nihil aliud; nihil enim aliud e$t vnum, ni$i indiui $um in $e, & diui- $um à quolibet alio: quipnè indifferentia, vel indeterminatio ibi tan- tum e$t, vbi $unt plura; $i enim tantum vnum e$t, certè non datur op- tio, $i aliqua cau$a e$t indifferens ad effectum A & B, id e$t $i non e$t, cur vnum potius quàm alium producat? plures e$$e nece$$e e$t; $i enim tantùm vnus e$t, certè indifferens non e$t. <C><I>Axioma VI.</I></C> <p><I>Quidquid e$t, fru$trà non e$t.</I> Quidquid e$t, id e$t exi$tit naturaliter $cilicet, & citra miraculum, fru$trà non e$t, id e$t propter aliquem fi- nem e$t ab ip$a natura in$titutum; finem autem rei ex ip$o v$u cogno- $cimus; v$um verò ip$o ferè $en$u: quod vt breui inductione confirme- mus, quidquid exi$tit vel e$t $ub$tantia, vel accidens; $i $ub$tantia, vel incorporea, vel corporea; $i incorporea, vel e$t Deus, vel Angelus, vel <pb n=7> Animarationalis; atqui nihil horum fru$trà e$t, vt con$tat; $i corporea, vel e$t corpus, vel forma; $i corpus, vel elementum, vel mixtum; vtrumque $uum finem habet, & con$tantem v$um; $i forma quamdiu e$t principium actionum compo$iti fru$trà non e$t; quippe ad cum finem e$t in$tituta; hinc optima ratio ducitur, cur forma materialis $eparata exi$tere non po$$it citra miraculum, quia $cilicet fru$trà e$$et; cum enim non po$$it agere ni$i in $ubiecto, $i $ubiectum non e$t, fru$trà e$t; at verò anima rationalis, quæ aliquas actiones inorganicas habet, fru$trà non e$t etiam $eparata, igitur immortalis e$t: vtramque rationem $uo loco fu- sè demon$trabimus; $i verò accidens e$t, haud dubiè alteri ine$$e debet propter $uum finem intrin$ecum, quem alibi effectum formalem $ecun- darium appellamus; quem $cilicet præ$tat in $uo $ubiecto, cui certè $i ni- hil præ$taret, in co fru$trà e$$et; $ic caloris effectus $ecundarius e$t rare- factio, vel re$olutio partium $ui $ubiecti, vel aliquid aliud; impetus, motus &c. Igitur tunc effet fru$trà accidens, cum $uo illo effectu careret; hinc rationem contrarietatis aliquando petemus, certi$$imam quidem, licet nouam, & inde clari$$imè con$tabit, cur, & quomodo vnum contra- rium ab alio de$trui dicatur; $ed non e$t huius loci: cùm verò audis fi- nem: ne quæ$o cogites aliquid morale, nec enim illum finem intelligo, ad quem ab agente rationabili de$tinatur: $ed eum dumtaxat, ad quem na- tura ip$a, vel e$$entia rei $pectat, $ed de his $atis. <p>Huc reuoca Principium illud, <I>Deus & Natura nihil faciunt fru$trà,</I> id e$t quod $uo fine careat intrin$eco. <p>Dices fortè, multa videri e$$e fru$trà, quæ tamen exi$tunt; ad quid enim vel tanta aquarum copia, vel tantus $tellarum numerus, vel tot are- næ puncta? tot fluitantes atomi? tot in$ecta? & vermiculi: Re$pondeo quamlibet $tellam, quodlibet in$ectum, $eu vermiculum $uis pollere pro- prietatibus; igitur fru$trà non e$<*> & quodlibet punctum, quamlibet ato- mum, & quamlibet guttulam aquæ e$$e partem huius vniuer$itatis: quod enim dices de vna, dicam de omnibus; equidem pauciores e$$e po$$ent; attamen nulla e$t fru$trà, cum quælibet $imul cum aliis totum hoc com- ponat. <C><I>Axioma VII.</I></C> <p><I>Tunc ponenda e$t forma distincta $ub$t antialis vel accidentalis, dum e$t ali- qua proprietas $en$ibilis, quæ non pote$t tribui ip$i materiæ,</I> hîc res tantùm naturales con$idero, nec $uper naturales attingo, quæ $uas regulas diui- næ fidei debent, non $en$ibus. <p>Hoc Axioma omninò certum e$t, & per Ax. 3. confirmatur, vt enim dicas aliquid di$tinctum ab omni alio exi$tere, vel debet id $en$u percipi, vel aliqua ratione probari quod $it; atqui formam $ub$tantialem $en$u non percipis immediatè; igitur aliquem eius effectum $en$ibilem vel me- diatè, vel immediatè; qui certè $i tribui po$$it materiæ, haud dubiè per il- lum $ormam non probabis, ni$i formæ ip$ius e$$e antè demon$tres; $i ve- to e$t forma accidentalis, quam $en$u percipis; certè id tantùm accidit ex <pb n=8> aliqua affectione, quâ$en$um ip$um afficit hæc forma, igitur ex effectu il- lo illam percipis, quod clarum e$t. <p>Huc reuoca vulgare illud principium, <I>Frustrà fit per plura, quod po- test fieri per pauciora,</I> quod ad Tertium etiam reuocatur; quod ita in- telligi non debet, vt $ine gutta aquæ Oceanus, $ine $tella cœlum, $ine gra- nulo arenæ terra, $ine altero oculorum homo $tare non po$$int; quæ omnia fal$i$$una e$$e con$tat; $ed tantùm quod illud dicatur exi$tere $iue $it $ub$tantia, $iue accidens, quod vel experientia certa euincit, vel nece$- $itas, vel ratio, vel diuina fides (immò & humana in rebus humanis, non tamen in $cientiis.) <p>Igitur nunquam claudicat hic equus O<*>mi, vt vulgò dicitur, $i hoc fræno regatur, & præ$cripto ambulet pa$$u. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis $eptem præmi$$a Axiomata, licet metaphy$ica $altem ali- qua ex parte e$$e videantur, ita pertinere ad Phy$icam, vt plurimæ phy- $icæ affectiones $ine illis explicari, & demon$trari non po$$int. <p>Primum certum e$t etiam certitudine metaphy$ica, $eu geometrica. Secundum, Quartum, & Quintum per Primum demon$trari po$$unt. Tertium e$t veluti communis po$itio, $eu commune po$tulatum, in quo docti omnes conucniunt; quippe nihil $ine ratione dici debet à philo$o- pho; Sextum & Septimum probari po$$unt per Tertium; $ed iam ad alia, quæ propiùs ad phy$icam accedunt, veniamus. <C><I>Axioma VIII.</I></C> <p><I>Quidquid primò e$t, & antè non erat, habet cau$am di$tinctam.</I> Id e$t quid- quid incipit e$$e ab alio e$t; quippe à $e e$$e non pote$t; nihil enim à $e ip$o dependere pote$t $eu produci; quia quod à $e e$t, nece$$ariò e$t, quod verò nece$$ariò e$t, non e$$e non pote$t, alioquin priùs e$$et, & po$terius, priùs vt cau$a, po$teriùs vt effectus: præterea quidquid produci- tur aliquando producitur, & alicubi, vt certi$$imum e$t; $ed quia hoc ali- qui negant, contendo tantùm in hoc rerum ordine, & naturaliter lo- quendo, quidquid producitur alicubi produci, & aliquando, quod nemo negabit; Igitur $i aliquid $e producit; cur hîc potiùs quam illîc? cur nunc potius quam antè? cum enim antè nullibi e$$et, cur de$init non e$$e hîc & non illîc, nunc & non antè? hinc quod à $e e$t, vbique, & $emper e$t, $ed ne quis mihi litem intendat, licet hoc Axioma certitudi- nem geometricam habeat; $ufficit modò habere phy$icam, quod ex om- nibus hypothe$ibus demon$tratur; $i enim aliquid de nouo produci- tur, quod certum e$t, abalio produci video: calor ab igne mediatè vel immediatè, impetus à potentia motrice, vel ab alio impetu: cuncta hæc $i reueraproducuntur de quo alibi, ab alio produci con$tat; in Me- taphy$ica hoc ip$um geometricè demon$trabimus; cum enim agere $up- ponat e$$e; quippe omnis actio alicuius agentis e$t; & cum agere termi- netur ad effectum, nam fieri e$t alicuius fieri; certè agens, & terminus, cau$a, & effectus di$tinguuntur, igitur. <I>Quidquid primo e$t, &c.</I> <pb n=9> <C><I>Axioma IX.</I></C> <p><I>Cau$a debet exi$tere vt immediatè agat.</I> Hoc certum e$t; quia agere $upponit e$$e; quippe agere e$t perfectio realis actu exi$tens; igitur ali- cuius actu exi$tentis; igitur certum e$t etiam Geometricè, de quo in Metaph. Iam vero $ufficiat certum e$$e phi$icè, vt con$tat ex omnibus hypoth. phy$icis; nihil enim videmus agere, ni$i quod e$t; $i enim age- ret quod non e$t; cur potius hîc, & nunc quam alibi, & aliàs? cur in hoc $ubiecto potius quàm in alio? <p>Dices, finis qui non e$t influit; igitur agit; Re$pondeo finem non agere, nec influere ni$i obiectiuè; atqui quod non exi$tit actu, id e$t in $tatu entatiuo, & reali, pote$t e$$e in $tatu obiectiuo; id e$t quod non habet actum rei, pote$t habere actum obiecti, id e$t e$$e cognitum, & volitum, de quo aliàs; porrò hîc tantùm intelligimus cau$am efficien- tem, &c. <p>Dices, cau$a principalis pulli exclu$i pote$t non e$$e; hæc omnia di- $cutiemus $uo loco cum de generatione animalium; $ufficiat dixi$$e non e$$e cau$am immediatam, de qua hîc tantum loquimur; idem re$pon$um e$to de rana vaga. <C><I>Axioma X.</I></C> <p><I>Cau$a debet e$$e applicata vt immediatè agat.</I> Cur enim potiùs hîc quam illîc; in hoc $ubiecto potiùs, quam in alio, in hac di$tantia potiùs, quam in alia? quidquid $it, certum e$t phy$icè; nec enim ignis, qui e$t Romæ, calefacit Lugduni. <p>Dices dari fortè actionem in di$tans; Re$pondeo negando, quod de- mon$trabimus in Metaph. præterea, licet daretur in productione quali- tatum occultarum, & $impathicorum quorundam effectuum, quos exa- minabimus $uo loco; nemo tamen dubitat quin productio caloris, lu- minis, impetus; de quibus hic tantùm agimus, debeat e$$e ab applicata cau$a. <p>Dices impetum produci in extremitate perticæ, quæ non e$t applica- ta, vel in globo tudiculario etiam non applicato; calorem & lucem produci à Sole in terra non applicata. Re$pondeo, e$$e applicationem mediatam; nam $i reuera hæ qualitates producuntur continuata propa- gatione, diffunduntur per medium, in quo non e$t difficultas. <p>Dices etiam partes interiores cau$æ v. g. Solis agunt, $ed non agunt per totum medium; alioquin agerent in alias partes Solis, à quibus obteguntur. Re$pondeo, diffu$ionem vel propagationem actioms in- choari tantum ab ipsâ $uperficie Solis; quippe omnes partes agunt actione communi, de quo infrà; atqui actio communis à communi m<*>- dio incipit. <p>Dices ignem produci in parte medij remota interrupta propagatio- ne, vt con$tat, $i vitro per refractionem, vel $peculo per reflectionem radios Solares colligas. <p>Re$pondeo, ignem quidem accendi in data di$tantia; at non $ine <pb n=10> aliqua applicatione, $altem virtutis, in quo non e$t difficultas; quomo- do vero ignis accendatur, & quid $it ignem accendi, explicabimus $uo loco; quidquid $it, certum e$t ad productionem impetus requiri ali- quam applicationem, vt patet etiam in magnte. e <C><I>Axioma XI.</I></C> <p><I>Si cau$a vniuoca applicata, & non impedita est $ufficiens ad productionem effectus, non e$t ponenda alia $cilicet æquiuoca.</I> Non dico omnem cau$am e$$e vniuocam, $ed tantùm vniuocam $ufficientem, & applicatam e$$e cau$am, v. g. calor e$t cau$a $ufficiens caloris, vt con$tat in aqua calida; igitur $i calor e$t applicatus $ubiecto, in quo producitur calor non $upe- rans vires caloris applicati; dicendum e$t calorem illum ab hoc produ- ci; cum calor $it cau$a nece$$aria; igitur $i $it applicatus $ubjecto apto, nece$$ariò agit; igitur quantum pote$t; igitur effectus non e$t tribuen- dus alteri cau$æ, quam $ufficientem e$$e ignoramus. <p>Ad hoc Axioma aliud reuoca. <I>Si ex applicatione alicuius $equitur $em- per effectus aliquis, illud ip$um cau$a dici debet huius effectus; licet aliud $it coniunctum, ex quo $eor$im $umpto applicato non $equitur effectus</I>; v. g. ex applicatione aquæ calidæ $equitur productio caloris; ex applicatione $o- lius aquæ non $equitur; igitur dicendum e$t calorem hunc produci ab ip$o calore, qui aquæ ine$t, non verò ab ip$a aquæ $ub$tantia; idem dico de ferro frigido, &c. <p>Dices non e$$e certum calorem produci; Re$pondeo, negando; $ed, quidquid $it, loquor tantùm hypotheticè; dixi enim $i producatur, à calore aquæ inhærente producitur. <p>Dices produci po$$e ab aliqua cau$a ignota po$ita dumtaxat tali, vel tali conditione. Re$pondeo, hoc reuera geometricè non probari, $ed tantùm phy$icè; quidquid $it, voco cau$am id, ex cuius applicatione $equitur $emper effectus, & nunquam aliàs; nam phy$icè loquendo, $iue $it alia cau$a, $iue non, codem modo $e habet, ac $i e$$et cau$a; quippe certum e$t phy$icè ignem calefacere, Solem illuminare, quod $atis e$t. <C><I>Axioma XII.</I></C> <p><I>Ca<*> nece$$aria $ubiecto apto applicata, & non impedita $emper agit, & quantum pote$t.</I> Hoc Axioma duas partes habet; prima certa e$t per hy- poth. 8. & per definitionem cau$æ nece$$ariæ, quæ in hoc differt à libe- tâ: Secunda pars probatur; quia $i partem effectus omitteret, quam ta- men ponere po$$et; haud dubiè non e$$et cau$a nece$$aria contra hypoth. nam $i vnam partem effectus omittat; cur vnam potiùs quam aliam? cur non duas? cur non omnes? denique video cau$am eandem eidem $ubiecto codem modo applicatam, eundem $emper effectum producere per Hyp. 8. <C><I>Axioma XIII</I></C> <p><I>Exten$io cau$a non intendit effectum ad intra.</I> Quælibet pars maioris ignis non habet calorem inten$iorem, quàm quælibet pars minoris; idem <pb n=11> dico de grauitate plumbi, &c. nec enim libra plumbi coniuncta cum alia habet diuer$am grauitatem ab eâ, quam habet $eparata. <p>Dixi ad intra; quia ad extra multum iuuat exten$io; $ic maior ignis longiùs diffundit $uum calorem; corpus grauiùs cadens majorem ictum infligit; Ad hoc Axioma reuocatur i$tud. <p>1. <I>Omnes partes eiu$dem cau$æ agunt ad extra actions communi,</I> iuxta eum modum quo illam explicabimus in Metaph. nec punctum Solis $e- paratum ad eandem di$tantiam $uam lucem, caloremque $uum diffunde- ret; ad quam diffundit coniunctum cum aliis; idem dico de igne maiori, & minori; de quibus omnibus $uo loco. Huc etiam reuoca dicta illa communia. <p>2. <I>Plures partes cau$a plures partes effectus producunt, & vici$$im.</I> <p>3. <I>Maior, & perfectior cau$a maiorem effectum producit, & perfectiorem, & vici$$im.</I> <p>4. <I>Perfectior effectus, vel imperfectior arguit cau$am perfectiorem, vel im- perfectiorem, $uppo$itâ eâdem applicatione; $i enim maior e$t applicatio $ine ratione loci, $iue ratione temporis; haud dubiè maior erit effectus, vt con$tat.</I> <C><I>Axioma XIV.</I></C> <p><I>Quidquid de$truitur non e$t à $e.</I> Hoc Axioma geometricum e$t; Quod enim e$t à $e, nece$$ariò e$t; cùm à libertate $eu voluntate alterius non pendeat; cum enim primo in$tanti quo res e$t, non $it à $e per Axiom. 8. de $ecundo idem dici debet, quod de primo, vt patet: quippe id eo primo in$tanti non e$t nece$$ariò, quia ita e$t illo in$tanti, vt po$$it non e$$e; $ed etiam $ecundo in$tanti ita e$t vt po$$it non e$$e; igitur non e$t nece$$ariò, igitur pendet ab alio, quod pote$t facere vt non $it. <p>Dices po$$e de$trui $ecundo in$tanti ab aliquo contrario, à quo tamen non pendet per po$itiuum influxum. Re$pondeo, non videri quomo- do de$trui po$$it, quod influxu po$itiuo non indiget, vt $it; quid enim faceret contrarium, quod tantùm exigere pote$t contrarij de$tructio- nem, quid e$t porro de$trui, ni$i de$inere con$eruari? quæ omnia fusè in Metaphy$ica demon$trabimus; quidquid enim e$t aliquo in$tanti vel e$t à $e, vel non à $e; $i primùm Deus e$t; $i $ecundum ab alio e$t: quidquid $it, hoc Axioma certum e$t phy$icè. <p>Huc reuoca Axiomata $equentia, quæ ex hoc vno deducuntur. <p>1. <I>Quidquid e$t, & non e$t à $e, e$t, $eu pendet, $eu con$eruatur ab alio.</I> Hæc enim $unt idem, vt con$tat. <p>2. <I>Quidquid destruitur, ad exigentiam alicuius de$truitur, $altem totius natura, ne aliquid $it fru$trà.</I> Hoc etiam ex hypothe$ibus $equitur; cum enim de$trui $it idem ac de$inere con$eruari; certè qui de$init con$er- uare in$tanti A potiùs quam in$tanti B, hoc facere non pote$t ni$i ali- quid hoc exigat; $cilicet iuxta leges naturæ. <p>3. <I>Tandiu aliquid con$eruatur, quandiu nihil exigit eius de$tructionem.</I> Hoc $equitur ex priori, id e$t quandiu e$t eadem ratio, cur $it, & con- $eruetur, quæ erat antè. <pb n=12> <C><I>Axioma XV.</I></C> <p><I>Contraria pugnant pro rata.</I> Nec enim alia regula e$$e pote$t; $ic minot calor minùs de$truit frigoris; minor impetus minùs de$truit impetus contrarij ($i contrarium habet) quæ omnia con$tant ex hypothe$ibus. Ratio e$t, quia plùs vel minùs contrarij de$truere, multam habet ex- ten$ionem. v.g. $int duo contraria A & B, $it A vt 20. $it B vt 5. certè $i B de$truat A $upra ratam, vel $upra id, quod $ibi ex æquo re$pondet, id e$t $upra 5. cur potius 6. quam 7. 8. &c. Si infra, cur potius 4. quam 3. 2. &c. Igitur cum plures $int termini tùm infra, tùm $upra 5. cur potius vnus quàm alius? atqui vnus tantùm ex æquo re$pondet, $cilicet 5. $ed quod vnum e$t determinatum e$t, per Axioma 5. igitur pugnant pro rata. Nec dicas A totum de$trui à B, quòd e$t contra hypothe$im, nam modicum caloris non de$truit totum frigus: in impetu res e$t clari$$ima; adde quod minor cau$a minùs agit per Ax. 13. num. 3. igitur minùs exi- git; porrò cum dico vnum ab alio de$trui, intelligo tantùm ex applica- tione vnius $equi de$tructionem alterius $alrem ex parte. <p>Ob$eruabis hæc Axiomata $altem maiori ex parte e$$e metaph. quæ nos fusè in Theorematis metaph. explicabimus, & demon$trabimus; $ed nobis hoc loco $atis e$t, $i parem cum phy$icis $upponas habere cer- titudinem, quod nemo negabit; con$tátque ex hypothe$ibus, licèt ma- iorem etiam habeant, de qua $uo loco. <p>Ob$eruabis prætereà nos diutiùs hæ$i$$e in præmittendis huic libro Axiomatis, quod tamen in aliis libris non faciemus. <C><I>Postulatum,</I></C> <p><I>Liceat datum corpus impellere, proiicere, deor$um cadens excipere, motus durationem $en$ibilem, $patiumque $en$ibile, metiri, comparare, &c.</I> <C><I>Theorema</I> 1.</C> <p><I>Motus e$t aliquid realiter di$tinctum à mobili.</I> Demon$tratur; Motus e$t in mobili, in quo antè non erat per hypoth. 3. & de$init e$$e in mobili, in quo antè erat per hypoth.4. igitur mobile e$t, & non e$t motus; igi- tur à motu $eparatum; igitur realiter di$tinctum per Ax. 2. præterea moueri, & non moueri $unt prædicata contradictoria, vt con$tat; igi- tur cidem $imul ine$$e non po$$unt per Ax. 1. igitur cum co non $unt idem; alioquin $imul e$$ent; igitur alterum illorum e$t di$tinctum à mobili; non quies, vt con$tat, quæ e$t tantùm negatio motus, $eu per- $euerantia in codem loco; igitur nullam dicit mutationem; at verò motus mutationem dicit, per Def. 1. hoc Theorema fusè demon$trabo in Metaph. <C><I>Theorema</I> 2.</C> <p><I>Motus non pote$t dici propriè preductus immediatè, vel effectus immedia- tus cau$æ efficientis.</I> Demon$t. Motus e$t mutatio, $eu tian$itus ex loco in locum per Def. 1. $ed mutatio propriè non producitur; qu<*>ppè pro- ductio tantùm terminatur ad ens; nihil enim ni$i ens produci pote$t; <pb n=13> atqui nulla mutatio dicit tantùm ens; præ$ertim hæc, quæ tantùm dicit terminum à quo, ide$t locum relictum; & terminum ad quem, id e$t lo- cum immediatum acqui$itum; nam $eparato quocunque alio ab ip$o mobili; modo $imul, id e$t eodem in$tanti relinquat primum locum, & nouum acquirat, omninò mouetur, $ed concretum illud ex loco relicto, & acqui$ito produci non pote$t; illud autem e$t motus, qui certè non dicit tantùm locum relictum $ine acqui$ito; alioqui $i mobile de$true- retur, diceretur moueri; nec etiam locum acqui$itum $ine priori relicto: alioqui $i mobile primò produceretur, diceretur moueri localiter; igitur motus neutrum dicit $eor$im; $i primum, diceretur de$tructus; $i $ecun- dum, diceretur aliquo modo productus, vel potiùs acqui$itus; at vtrum- que coniunctim, $imulque e$$entialiter dicit motus; nec enim conci- pio aliud, dum concipio motum: porrò vtrumque $imul $umptum indi- ui$ibiliter non pote$t dici, vel de$tructum propriè, vel productum; Di<*> xi propriè; nam impropriè dici pote$t motus productus. <p>Dices Motus e$t ens, non à $e; igitur ab alio; igitur motus e$t pro- ductus. Re$pondeo Motum non e$$e ens ab$olutum, $ed e$$e mutatio- nem entis, quæ mutatio e$t concretum quoddam ex ente & non ente; quòd certè non pote$t dici propriè productum, $ed re$ultans, vt relatio; nam producatur, $i fieri pote$t; certè e$t aliquid, quod tam facilè de- $trui pote$t, quam produci; igitur de$truatur, & remaneat tantùm en- titas mobilis, quæ, quo in$tanti priorem locum relinquit, nouum acqui- rat; certè dicitur adhuc moueri, & tamen non erit motus ex $uppo$itio- ne, quod ab$urdum e$t. <p>Dices potentia motrix e$t actiua; igitur agit; igitur producit, $ed ni- hil ni$i motum. Re$p. potentiam motricem e$$e actiuam vt dicemus, & ab eâ produci impetum, qui deinde exigit motum, vt dicemus infrà. <p>Nec e$t quod aliqui ita mirentur hæc à me dici; cum certum $it effe- ctus $ormales $ecundarios principum ferè qualitatum tales e$$e, vt mini- mè producantur; $ed qua$i re$ultent ab exigentia; v. g. effectus calo- ris in $uo $ubiecto e$t eiu$dem $ubiecti rarefactio, quæ reuerâ non producitur, vt con$tat. <C><I>Theorema</I> 3.</C> <p><I>Motus e$t ab alio di$tincto in aliquo genere cau$æ.</I> Demon$tratur, quia motus, qui non erat, incipit e$$e per hypothe$im tertiam; $ed quod huiu$modi e$t, habet cau$am di$tinctam per Ax.8. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis motum localem e$$e duplicis generis; primum genus mo- tus e$t actio potentiæ motricis, quæ reuerà mouet, & cuius exercitium dicitur motus, $eu latio, $eu motio, $eu actio, qua reuerâ agit, produ- citque impetum, non motum; cum etiam $ine motu defatigetur, vt cum quisalium pellit, à quo pellitur æquali ni$u; patet etiam in manu $u- <*>ine nte aliquod pondus, quæ non mouetur; licet reuerâ etiam $ummo <pb n=14> conatu agat: immò $i potentia motrix produceret motum primum, non impetum in corpore proiecto; nulla deinde e$$et cau$a applicata ad pro- ducendum impetum: Itaque hic motus primi generis, $i comparetur cum potentia motrice, e$t verè in$luxus, vel actio; $i cum termino, e$t eius fieri, $eu dependentia; $i cum $ubiecto, $eu mobili e$t pa$$io; nec propriè dicitur produci, ni$i vt quo (vt vulgò loquuntur) nec enim actio e$t terminus, vel effectus, in quo $i$tat cau$a; $ed e$t via, qua ten- dit ad terminum. Motus $ecundi generis e$t mutatio, $eu tran$itus ex vno loco in alium; hoc e$t finis, vel effectus formalis $ecundarius, quem exigit impetus; & fru$trà ponitur alia entitas, quæ tantùm e$$et in$tituta ad exigendam i$tam loci mutationem; Igitur $i $ufficienter exigatur ab ip$o impetu, de quo infrà, certè fru$tra ponitur quodcun- que aliud per Ax.3. & 7. <C><I>Theorema</I> 4.</C> <p><I>Cau$ailla immediata motus, quæ non est efficiens, potest tantùm e$$e exi- gens, quæ reducitur ad formalem, quæ $uum effectum formalem $ecundarium, id est $uum finem intrin$ecum exigit.</I> Sic calor exigit rarefactionem, vel re$olutiouem, impetus motum; cum enim non $it cau$a efficiens per Th. 2. $it tamen cau$a per Th.3. nec $it materialis, nec finalis, vt con$tat, de- bet e$$e formalis, vel exigens, $eu exigitiua; vt patet ex ip$a cau$arum enumeratione; non e$t materialis, quia non recipit motum, ni$i ab alio; nec finalis, quæ $upponit alias; cum ip$a non $it dum ponitur effectus. <C><I>Theorema</I> 5.</C> <p><I>Entitas $eu $ubstantia mobilis non e$t cau$a immediata motus,</I> Sit enim lapis proiectus per Po$tul. haud dubiè $ub$tantia lapidis non e$t cau$a huius motus; quia lapis tandem $i$tit per hypoth.4. igitur non e$t cau$a motus, quia e$$et cau$a nece$$aria; igitur $emper cau$aret per Ax.12. præ- terea potentia motrix proiicientis verè agit, cum etiam defatigetur; igi- turaliquid producit, non motum immediatè, qui produci non pote$t pro prièper Th. 2. Adde quod motus $ecundi generis habet tantùm caulam immediatam exigentem, $ed potentia motrix non exigit; quia primò non defatigaretur exigendo; $ecundò quia lapis $eparatus à manu etiam mouetur, $ed non ad exigentiam potentiæ motricis, vt patet; quia $tatim po$t $eparationem pote$t illa potentia de$trui, licèt lapis longo pò$t temporemoueatur; $ed quod non e$t, nihil exigit. <p>Aliquis fortè diceret potentiam motriœm exigere primam partem motus, quæ deinde $ecundam exigit, & $ecunda tertiam, tertia quar- tam, &c. Sed contra; quæro quid $it prima illa pars motus; nec enim aliud agno$co ni$i primam mutationem loci, quæ mutatio non pote$t exigere ni$i quando e$t; atqui quando e$t, nihil reale e$t actu ni$i mo- bile, & nouus locus acqui$itus, mobile ip$um non exigit, vt demon$tra- tum e$t, & conce$$um, nec etiam locus de nouo acqui$itus, in quo $cilicet mobile $i$tere pote$t: quidquid pones aliud, impetum appellabo. <pb n=15> <p>Dices cum graue aliquod mouetur deor$um, vel leue $ur$um, vel corpus animatum $e ip$um mouet, dici pote$t $ub$tantia corporis cau$a immediata motus. Re$p. negando, tùm quia omnis potentia motrix agit; igitur producit aliquid aliud, quod e$t cau$a motus: præterea po- tentia motrix corporis animati, agit v$que ad defatigationem, $udorem, licèt non $it motus, igitur aliud producit, de corpore graui probabi- mus infrà. <C><I>Theorema</I> 6.</C> <p><I>Datur impetus.</I> Demon$tro, Sub$tantia mobilis non e$t cau$a imme- diata motus, per Th.5. ergo aliquid aliud; igitur impetus, nam quod di- $tinctum e$t à $ub$tantia mobilis, & exigit motum, e$t impetus per Def.3. $ed quia hoc Theorema e$t veluti princeps huius tractatus cardo, in eo paulò diutius hærendum e$t, igitur. <p>Demon$tro primò dari impetum: Quidquid e$t, & antè non erat, non e$t à $e, $ed habet cau$am per Ax.8. Motus de nouo e$t per hypothe$im tertiam; igitur habet cau$am, $ed non aliam, quam impetum, quod pro- bo: Lapis cadens, vel impactus in alium lapidem mouet illum per hy- poth.7. $ed $ub$tantia lapidis in alium impacti non e$t cau$a huius mo- tus, quia e$$et cau$a nece$$aria vt patet; igitur applicata eundem effe- ctum produceret per Ax.12. $ed etiam applicata immediata non agit, vt con$tat experientia; igitur per idem Axioma non e$t cau$a. <p>Scio e$$e aliquas re$pon$iones, quas infrà refellemus; nunc $ufficiat dixi$$e lapidem impactum non producere motum, qui propriè non pro- ducitur per Th.2. nec exigere, vt con$tat ex $ecunda probatione Th. 5. igitur $i aliquid exigit, vel producit, voco impetum. <p>Secundò probatur; potentia motrix e$t actiua, quia defatigatur, quis hoc neget? igitur aliquid producit; non motum, qui propriè non pro- ducitur per Th.2. igitur aliquid aliud; voco impetum; adde quod etiam $ine motu agit, & defatigatur vt iam dictum e$t; igitur habet alium effe- ctum immediatum; denique mouere, pellere, trahere, proiicere, percu- tere, nihil ni$i actionem $onant. <p>Tertiò probatur; pila di$iuncta à manu proiicientis diu adhuc mo- uetur per hypoth.6. igitur hic motus habet cau$am per Ax. 8. quælibet enim pars motus de nouo e$t, neque duæ illius partes $imul e$$e po$$unt. atqui potentia motrix non e$t can$a per Ax.10. immò pote$t e$$e de$tru- cta; igitur non e$t cau$a per Ax. 9. Non e$t etiam cau$a $ub$tantia <*>pilæ mobilis per Th.5.5. nec priores pattes motus per re$p. ad primam in- $tantiam Th 5. igitur aliquid aliud; voco impetum. <p>Quartò probatur; pila proiecta $en$im $ine $en$u tardiore motu mouetur; donec tandem moueri omnino de$inat per hypoth. 5. igitur non e$t $emper æqualis, & eadem cau$a huius motus per Ax. 12. & 13. num.3. igitur cau$a huius motus eodem modo debilitatur, $eu remitti- tur, quo ip$e motus; $ed decre$cit $ub$tantia mobilis, nec potentia mo- <pb n=16> trix, vel corpus prius impactum; ergo e$t alia cau$a præ$ens, quæ mi- nuitur; voco impetum. <p>Quintò corpus graue deor$um cadens accelerat $uum motum, vt patet experientia; quæ maximè clara e$t in funependulis, de qua in $equen- tibus libris; igitur debet e$$e cau$a huius motus velocioris; non e$t au- tem $ub$tantia lapidis, nec grauitas per Ax. 12. nec aliud quidpiam ex- trin$ecum, vt videbimus $uo loco; igitur aliquid aliquid inttin$ecum, voco impetum. Igitur certum e$t dari impetum; qui certè tribui non pote$t, vel vlli connotationi, vel alteri exigentiæ, vt con$tat ex dictis. <p>Diceret fortè alius hæc omnia e$$e dubia; nam fieri pote$t vt Deus tantùm moueat; quod $ine impetu fieri po$$e certum e$t; Re$p. equi- dem per miraculum hoc fieri po$$e; $ed quemadmadum certum e$t phy- ficè ignem applicatum calefacere, niuem frigefacere, & modò calamum à me hæc $cribente moueri, ita certum o$t phy$icè $agittam à $agittario emitti, & pilam à proiiciente, &c. adde quod Deus, vt auctor naturæ e$t, agit tantùm; vel de$init agere iuxta exigentiam cau$arum $ecunda- rum; denique cau$am phy$icè appello, ex cuius applicatione nunquam non $equitur effectus per Ax.11. num.1. <p>Dicerent alij hoc totum prouenire à corpu$culis; vel atomis, vel fila- mentis $ine vlla actione; equidem non reiicio corpu$cula, & perennia corporum effluuia: Dico tamen primò globum quie$centem humi ha- bere $altem aliquas partes quie$centes, vel immobiles; quis hoc neget? immò maximam $uarum partium partem; igitur cum deinde proiicitur idem globus, illæ partes mouentur; dari igitur debet cau$a huius motus per Ax.8, igitur impetus: nec dicas moueri illas partes à corpu$culis; quia antè erant eadem, immò plura corpu$cula; & tamen non mouebant: igi- tur non $unt cau$a huius motus per Ax.12. Dices excitari; $ed quid hoc e$t excitari? vel enim mutantur, vel non mutantur; $ecundum dici non pote$t; quia vt excitentur, ex non excitatis mutari debent; igitur per aliquid: deinde quid e$t illa excitatio, ni$i impul$io; igitur $i mouen- tur illa corpu$cula, & excitantur à potentia motrice, etiam partes prius immobiles moucbuntur, & excitabuntur per Ax.12. quia $unt applicatæ cau$æ nece$$ariæ. <p>Dico $ecundò minimum ex his corpu$culis non $emper moueri; po- te$t enim $i$tere; quis hoc neget? igitur $i modò mouetur, modò quie$- cit, motus ab eo di$tinguitur per Th.1. igitur mouetur per impetum, de quo infrà. <p>Igitur datur nece$$ariò impetus, $ine quo non po$$unt explicari prædi- ctæ omnes hypothe$es, contra quem $unt quidem graui$$imæ difficultates, quas $en$im in $equentibus Theorematis, in quibus explicantur pro- prietates huius impetus, di$cutiemus. <p>Diceret aliquis lapidem impul$um ab aëre deinde propelli; $ed aër po- tius re$i$tit motui; vt con$tat experientiâ; $ed hoc $oluemus infrà. <pb n=17> <C><I>Theorema</I> 7.</C> <p><I>Impetus est aliquid distinctum à $ubstantiâ mobilis.</I> Demon$tratur. Quia $ub$tantia mobilis non e$t cau$a exigens motum per Th. 5. Impe- tus e$t cau$a exigens per Def. 3. & Th. 6. de codem contradictoria dici non po$$unt per Ax. 1. n. 3. Igitur impetus non e$t idem cum $ub$tantià mobilis; igitur di$tinctus; dcinde $eparari pote$t à $ub$tantia mobilis per Hypoth. 4. igitur e$t di$tinctus per Ax. 2. <C><I>Theorema</I> 8.</C> <p><I>Impetus est accidens</I>; Quippe non e$t corpus, nec forma $ub$tantia- lis; quia omne corpus, & omnis forma $ub$tantialis moueri pote$t, & non moucri, vt con$tat ex po$t. & ex Hypoth. 3. & 4. igitur di$tingui- tur à motu; igitur & ab impetu per Ax. 2. igitur impetus non e$t $ub- $tantia; igitur accidens. <C><I>Theorema</I> 9.</C> <p><I>Impetus non e$t modus.</I> Modus duplicis generis e$$e pote$t: Modus primi generis e$t entitas quædam diminuta, vt vulgò loquuntur, di$tin- cta quidem modaliter, vt aiunt, à re, cui adhæret; ac proinde ab ca $e- parari pote$t, non tamen exi$tere $eparata. Modus $ecundi generis non e$t entitas quidem di$tincta; e$t tamen $tatus quidam corporis; $ic $e$$i<*> e$t modus, conden$atio, compre$$io, &c. His po$itis Impetus non e$t mo- dus primi generis; nihil enim probat impetum e$$e modum, quod etiam non probet calorem, & luccm e$$e modos; dicere autem omnia acci- dentia e$$e modos non debemus, de quo $uo loco; modus enim ita à na- turâ comparatus e$t, vt $ine $ubiecto actuali $eu fulcro non exi$tere mo- dò, $ed ne concipi quidem po$$it; v. g. actio non pote$t concipi ni$i $it alicuius actio; nec fieri $ine facto; nec via $ine termino; nec dependen- tia $ine dependente; at verò po$$um concipere calorem, & impetum $ine alio, quod $it actu; licèt enim calor exigat re$olutionem partium $ui $ubiecti, $eu rarefactionem, & impetus motum; nihil tamen impe- dit, quin per miraculum calor, & impetus con$eruari po$$int $ine eo. quod exigunt, hoc e$t $ine $uo $ine; igitur $ine $ubiecto; non e$t etiam modus $ecundi generis vt patet, $ed de modis in Metaphy$ica; vix enim hoc Theorema ad rem Phy$icam quicquam facit. <C><I>Theorema</I> 10.</C> <p><I>Impetus e$t qualitas Phy$ica.</I> Sequitur ex dictis; cum nec $it motus. nec $ub$tantia, nec modus, nec quidquam negatiuum, alioquin exige- ret; igitur e$t aliud accidens; vocetur qualitas. <C><I>Theorema</I> 11.</C> <p><I>Impetus est qualitas Phy$ica.</I> Quia impetus e$t di$tinctus realiter à $ue $ubiecto per Th. 7. E$t enim $eparabilis per Hypoth. 3. & 4. igitur di- $tinctus per Ax. 2. $ed qualitatem realiter di$tinctam apello Phy$icam; præ$ertim cum nec moralis $it, nec Logica, &c. <pb n=18> <C><I>Theorema</I> 12.</C> <p><I>Impetus est qualitas permanens.</I> Quia lapis proiectus etiam $eparatus mouetur aliquandiu per Hyp. 6. igitur durat eius cau$a, $cilicet impe- tus; igitur e$t qualitas permanens. <p>Diceret fortè aliquis lapidem proiectum pelli ab aëre à tergo in$tan- te, vt voluit Ari$toteles pluribus in locis; $ed præ$ertim 8. Ph.c.vlt.& 7. cap.2. 3.de Cœlo, cap. 3. Re$pondeo hoc dici non po$$e; Primò quia non modò non iuuat aër; $ed ctiam impedit motum proiecti, quod de omni medio nece$$ariò dicendum e$t, vt patet experientiâ; vnde quo cra$$ius, $eu den$ius e$t mediũ, motum potentiùs ratardat, vt videmus in proiectis per aquam; rationem à priori afferemus infrà, cum de re$i$tentia medij: Secundò, quis dicat pilam rotatam in $olo moueri aëris appul$u? cum alia corpora, quæ pila rotata præterlambendo qua$i allambit, nullo mo- do moueantur; præ$ertim granula pulueris. Tertiò, an fortè aër id præ- $tare pote$t $ine vi impre$$a; igitur non minus ip$i pilæ proiectæ, quam aëri ambienti imprimi poterit: Quartò, nullus aër à tergo pellitur; $ed potius ip$a pila aducr$us aëra pellit, dum emittitur manu; igitur $i aër $uccedit à tergo, id totum accidit, vel metu vacui, vel ne aër compri- matur, vt videbimus infrà. Quintò denique, cum diu moueatur cadem pars aëris, haud dubiè in ca manet vis impre$$a; igitur impetus erit ad- huc qualitas permanens. <p>Ad id quod obiicitur ex Ari$totele; aliqui putant inclina$$e in cam $en- tentiam; cùm tam en no$tram tencant illu$tres Peripatetici, quorum no- minibus parco, ne tot citationes paginas impleant; vide apud Conim- bric. l. 7. Phy$. cap. 2. Aliqui excu$ant ip$um Ari$torelem, putantque non e$$e locutum ex propriâ $ententiâ: Alij dicunt Ari$totelem quidem tribui$$e aliquam vim extrin$ecam aëri; non tamen nega$$e intrin$ecam impetus; quidquid $it, ip$a verba Ari$totclis demon$trant ip$um agno- ui$$e vim motricem impre$$am aëri, hoc e$t impetum (<I>potentia enim</I> (in- quit) $cilicet motrix, <I>quâ pollet proijciens qua$i vim impre$$am tradit vtrique</I>) id e$t aëri $ur$um, &deor$um; quid porrò e$t illa vis motrix, ni$i impetus. <C><I>Theorema</I> 13.</C> <p><I>Impetus non producit motum.</I> Probatur, quia motus non dicitur pro- ductus per Th. 2. Adde $i vis rationem metaphy$icam; quia nihil cogit dicere accidens aliquod, ex iis $cilicet, quæ $en$u percipimus, agere ad intra; quod videtur e$$e proprium $ub$tantiæ, $altem naturaliter; vt demon$trabimus in Metaph. <C><I>Theorema</I> 14.</C> <p><I>Impetus exigit motum, id est fluxum mobilis in loco</I>; quia cau$a imme- diata motus e$t tantum exigens, per Th. 4. $ed impetus e$t cau$a motus immediata per Th. 5. & 6. igitur e$t cau$a exigens, adde quod id tantùm accidens $en$ibile præ$tare pote$t in $uo $ubiecto, vt aliquam illius mu- tationem præ$tet, vel exigat; quæ vel e$t localis, hoc e$t fluxus quidam: <pb n=19> per $patium loci; vel alteratiua, vt vulgò vocatur; quà $cilicet vel re- $oluuntur partes, vel rare$iunt, vel lique$cunt, vel concre$cunt &c. vel demùm mutant $en$ibilem $tatum; vel e$t perfectiua aliquo modo, qua- tenus $ubiectum nouam aliquam habitudinem acquirit ad $en$us; $ic lumen illuminando obiectum reddit illud vi$ibile. &c. de quibus aliàs. <C><I>Theorema</I> 15.</C> <p><I>Motus e$t effectus formalis $ecundarius impetus.</I> Cum enim $it cau$a exigens per Th. 121. Voco effectum formalem $ecundarium, quem in mobili exigit impetus; quippe, vt iam dictum e$t, cau$a exigens redu- citur ad formalem; nec enim cau$at aliquid producendo, quod $pectat ad efficientem; nec mouendo, quod $pectat ad finalem; nec determinando, quod $pectat ad obiectiuam; nec recipiendo, quod $pectat ad materia- lem; nec dirigendo, quod $pectat ad idæalem, vel exemplarem; $ed exigendo; quatenus $cilicet ad id à natura e$t in$tituta, vt ex eius in $ubiecto præ$entia talis affectio, vel mutatio con$equatur; vocatur au- tem effectus formalis $ecundarius; non verò primarius, qui e$t tantùm concretum ex ip$a formâ, & $ubiecto. <C><I>Theorema</I> 16.</C> <p><I>Motus e$t finis intrin$ecus impetus.</I> Dum finem audis intrin$ecum, cogita quæ$o aliquid phy$icum; e$t enim id, propter quod talis, vel ta- lis forma in$tituta e$t: quid enim aliud e$$e pote$t; finem enim rerum naturalium ex ip$o v$u cogno$cimus; immò idem e$t finis cum ip$o v$u; cum igitur impetus illum tantùm v$um habeat, quem in ip$o mobili præ$tare cernimus, $cilicet motum; dicendum e$t motum e$$e finem in- trin$ecum impetus; adde quod cum fru$trà $it impetus ille, qui non præ- $tat motum mediatè $altem in $uo $ubiecto; quid enim aliud in $uo $ub- iecto præ$taret, quem effectum, quam mutationem? certè $i fru$trà e$t, non e$t, per Ax.6.igitur vt $it, debet habere id, $ine quo e$$e non pote$t; igitur maximum eius bonum e$t, igitur finis, quem natiuâ vel innatâ veiut appetentiâ concupi$cit, vel exigit. Dixi mediatè, vel immediatè; num reuera datur fortè aliquis impetus, vt dicemus infrà; $cilicet primus na- turalis, qui $cilicet duos fines habet di$iunctiuè; quorum alter e$t gra- uitatio, alter motus deor$um. <C><I>Theorema</I> 17.</C> <p><I>Ni$i e$$et motus non e$$et impetus.</I> Probatur quia motus e$t finis intrin- $ecus impetus per Th. 16. igitur $i nullus motus e$$e po$$et, $uo finc ca- reret impetus; igitur non e$$et, vt patet, igitur non e$$et; quia quod fru$trà e$t, non e$t per Ax. 6. nec ob$tat quod $uprà indicatum e$t de im petu naturali primo vel innato ($ic enim deinceps appellabimus vtrecti di$tinguamus ab acqui$ito quem vocabimus impetum accelerationis) qui $ine motu con$eruatur in corpore grauitante; quia ni$i po$$ibilis e$- $et motus deor$um nulla e$$et grauitatio; quippe grauitare e$t dcor- $um inclinari, motumque inclinationis impediri; hinc dicemus <pb n=20> in $ecundo libro impetum innatum $æpiùs e$$e $ine motu; cum $cilicet impeditur à corpore $u$tinente? immò dicemus infrà primo in$tanti, quo e$t impetus, nondum e$$e motum. <p>Ob$eruabis autem certi$$imam regulam; $cilicet ex impo$$ibilitate effectus formalis, $equi impo$$ibilitatem cau$æ formalis, huiu$que po$$i- bilitatem ex illius po$$ibilitate. <C><I>Theorema</I> 18.</C> <p><I>Ni$i e$$et impetus, non e$$et naturaliter motus.</I> Quia ni$i e$$etcau$a, non e$$et naturaliter effectus per Ax. 8. Impetus enim e$t cau$a motus per Th.15. Deinde omnis motus e$t ab aliqua potentia motrice, vt patet ex omni hypothe$i; $iue $it naturalis in grauibus, & leuibus, $iue $evitalis in viuentibus; $iue $it media in compre$$is, & dilatatis; $iue alia quæli- bet: $ed omnis potentia motrix e$t actiua, quia mouet; ergo agit, $ed motum non producit per Th. 2. Igitur impetum, qui deinde exigit mo- tum per Th. 14. Dixi naturaliter; quia non e$t dubium, quin Deus $ine impetu aliquo modo mouere po$$it; ide$t, facere $ine impetu, vt corpus mutet locum: nec dicas Deum non po$$e $upplere vices cau$æ formalis; nam concedo id quidem pro effectu formali primario; nec enim Deus pote$t facere, vt aliquid $it calidum $ine calore; cum e$$e calidum $it idem, ac e$$e habens calorem; id tamen nego pro effectu $ecundario, quem $cilicet cau$a formalis exigit: Etenim $icut pote$t $ummo iure non $atisfacere exigentiæ; ita pote$t id cõferre $ine exigentiâ, quòd cum exi- gentia conferre pote$t; $ic pote$t corpus re$oluere $ine calore, mouere fine impetu &c. quanquam vt verum fatear non e$$et propriè motus, $ed qua$i continuæ reproductionis modus; nam motus dicit aliquam pa$- $ionem; $cilicet actum entis in potentiâ, vt aiunt. <C><I>Theorema</I> 19.</C> <p><I>Si e$$et motus naturaliter $ine impetu, corpus per $e ip$um moueretur,</I> id e$t, exigeret motum per $uam entitatem; quia nullus impetus exigeret; ergo aliquid aliud, nihil di$tinctum, alioquin e$$et impetus; ergo ip$a corpo- ris entitas; quanquam non e$$etmotus, vt iam dictum e$t, quia non e$- $et pa$$io. <C><I>Theorema</I> 20.</C> <p><I>Corpus illud æquali $emper motu ferretur per $e</I>; Quia e$$et $emper ca- dem cau$a nece$$aria motus, id e$t, ip$a entitas corporis; igitur idem effectus per Axioma 12. igitur idem, vel æqualis motus: dixi per $e pro- pter diuer$um medium. <C><I>Theorema</I> 21.</C> <p><I>Si e$$et aliquod corpus e$$entialiter mobile, impetu non indigeret.</I> Probatur; quia in tantum indiget mobile impetu vt impetus exigat motum; $ed corpus illud per $uam e$$entiam exigeret motum; igitur non indigeret impetu; po$$et tamen impediri cius motus, vt patet; immò e$$et capax recipiendi impetus., $iue quem in ip$o produceret, $iue quem ab a lia <pb n=21> cau$a extrin$eca acciperet. <C><I>Theorema</I> 22.</C> <p><I>Si e$$et aliquod corpus e$$entialiter immobile, e$$et incapax impetus.</I> Pro- batur; quia, ni$i e$$et motus, non e$$et impetus per Th. 17. igitur $ubic- ctum incapax motus e$t incapax impetus. <C><I>Theorema</I> 23.</C> <p><I>Si e$$et aliquod $ubiectum incapax impetus, e$$et incapax motus.</I> Quia vbi non pote$t e$$e cau$a formalis, ibi non pote$t e$$e effectus forma- lis, quod certum e$t. <C><I>Theorema</I> 24.</C> <p><I>Omne corpus, quod e$t capax motus, e$t capax impetus, & vici$$im.</I> Probatur 1. pars; quia impetus in eo non e$$et fru$trà; haberet enim fuum effectum formalem, & finem intrin$ecum. Probatur 2.pars; quia in eo impetus non e$$et fru$trà per Ax. 6. igitur haberet $uum effectum; igitur motum. <C><I>Theorema</I> 25.</C> <p><I>Omne corpus finitum e$t capax motus, & impetus.</I> Probatur 1. pars; quia non e$t vbique, igitur pote$t transferri è loco in locum; cur enim non po$$et? Dices fortè quia affixum e$$et e$$entialiter tali, vel tali lo- co, $ed contra; quia de$truantur omnia, præter ip$um corpus; certè nulli affixum manet. Dices $patio imaginario; apage i$tas nugas: de i$to $patio plura demon$trabimus in Metaphy. Probatur 2. pars; quia $i e$t capax motus, e$t capax impetus per Th. 24. Quod dixi de corpo- re; dicendum e$t de omni re creata finita permanente. <C><I>Theorema</I> 26.</C> <p><I>Quod dur at tantùmvno in$tanti, e$t incapax motus, & impetus.</I> Pro- batur, quia non e$t moueri, ni$i relinquat locum, & acquirat alium; $ed 1. acquirere locum, e$t 1. e$$e in illo loco; & relinquere locum e$t, 1. non e$$e in co loco; nec $imul e$t in vtroque, quia in duobus locis idem $imul e$$e non pote$t; vt demon$tramus in Metaphy$ica; & phy- ficè certum e$t ex omni hypothe$i; igitur moueri nunc, id e$t, hoc in- $tanti, id e$t, 1. acquirere nouum locum, & 1. relinquere priorem, $upponit nece$$ariò antè fui$$e in loco nunc relicto; $ed quod durat tantùm in in$tanti, non habet antè, neque po$t; igitur quod durat tan- tùm vno in$tanti, moucri non pote$t; igitur e$t incapax motus; igitur & impetus. <C><I>Theorema</I> 27.</C> <p><I>Deus e$t incapax motus, & impetus</I>: Tum quia vbique, e$t igitur nouum locum acquirere non pote$t; igitur nec moueri per Deffinitio- nem 1. tùm quia æternitas Dei tota $imul e$t; igitur nec fuit antè, ne- que po$t in ca; igitur non pote$t dici antè habui$$e locum, quo nunc caret: & nunc non habere illum quo caret; tùm quia immutabilitas <pb n=22> Dei hoc prohibet; nam moucri, e$t affici intrin$ecè; quia etiam de- $tructis omnibus extrin$ecis creatis moueri po$$em, & fru$trà recurres ad partes virtuales immen$itatis Dei, quas ferè animus abhorret; apa- ge partes in Deo: quis hoc ferre po$$it? præterea $i $unt, $unt e$$entia- liter immobiles; igitur valet $emper ratio allata; igitur Deus e$t inca- pax motus; igitur & impetus. <p>Diceret aliquis Deum quantumuis Immen$um in orbem conuolui po$$e; igitur 1. ratio non probat de omni motu. Re$pondeo adhuc va- lere, quia etiam in orbem conuolui non pote$t, ni$i mutetur intrin$e- cè; atqui $i e$t immen$us, non pote$t mutari intrin$ecè per motum; quia nullum locum de nouo acquireret; $ed de hoc motu aliàs, cum de infinito; vel de puncto phy$ico mobili; quidquid $it. valet $altem 1. ratio pro motu recto, & aliæ duæ pro omni motu. <C><I>Theorema</I> 28.</C> <p><I>Motus ip$e mouerinon pote$t.</I> Quia cum tantùm dicat mutationem loci; certè mutatio non e$t in loco; dicit enim tantùm locum relictum eo in$tanti, quo nouus acquiritur. Præterea quod e$t in loco dicit tan- rùm ens phy$icum; $ed mutatio dicit etiam non ens; <I>Hinc egregium pa- radoxum; illud non mouetur per quod cuncta mouentur, quæ mouentur.</I> <C><I>Theorema</I> 29.</C> <p><I>Duratio moueri non pote$t.</I> Cum enim $it $ucce$$iua, fluit per partes, igitur quælibet illius pars, $eu quod durat vna in$tanti tantùm e$t inca- pax motus, per Th. 26. <C><I>Theorema</I> 30.</C> <p><I>Hinc actio moueri non pote$t</I>; cum enim actio per quam res con$erua- tur, $it eius duratio; vt con$tabit ex iis, quæ demon$trabimus in Me- taphy$ica, & cum duratio moucri non po$$it, per Th. 29. certè neque actio moueri pote$t. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc in tanta rerum creatarum multitudine $unt tantùm duæ, quæ $unt e$$entialiter immobiles; $cilicet motus, & actio; quorum ille cum $it mutatio non e$t adæquatè aliquid po$itiuum; $ecus actio. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Hinc $unt tantùm duo adæquatè po$itiua, quæ moucri non po$$uat; $cilicet Deus, & actio; Deus, qui $emper e$t; actio, quæ tantùm vno in$tanti e$t; Deus vbique e$$entialiter; actio hic tantum e$$entialiter; Deus primum ens; actio infinitum ens; e$t enim modus; Deus primum mouens; actio ip$e motus; $cilicet primi generis, de quo in $ect. Th.3. <C><I>Corollarium</I> 3.</C> <p>Hinc $i res aliqua creata per actionem tantæ perfectionis, quæ mille annis e$$entialiter re$ponderet, con$eruaretur; certè per totum illud tempus moucri non po$$et; e$$et enim vnicum in$tans, hoc e$t duratio <pb n=23> tota $imul; $ed codem in$tanti in pluribus locis e$$e non pote$t; igitur nec moueri; adde quod per cam actionem $um in loco, per quam $um in tempore; igitur $i hæc e$t $emper eadem, illam eandem e$$e nece$$e e$t; $ed hæc $unt metaphy$ica, quæ obiter tantùm attingo, aliàs fusè de mon$trabo. <C><I>Scolium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò ex dictis præclarum naturæ in$titutum; cum enim corpus moueri $emper non debeat, (quippe hoc e$$et maximè incom- modum) certè per $uam entitatem moucri non exigit; alioquin $emper moueretur; igitur per aliud ab entitate di$tinctum, id e$t per impetum; itaque licet per $uam entitatem exigat fluxum in tempore, id e$t con$er- nari, & durare; id e$t nouam $emper actionem con$eruatiuam; quia maximum eius bonum e$t durare vel exi$tere; Igitur per $e ip$um illud exigit; quia $emper exigit, non tamen per $e ip$um exigit fluxum in loco, id e$t motum; quia moueri non $emper e$t bonum. <p>Ob$eruabis $ecundò, cum idem corpus aliquando velociùs, tardiùs aliquando moueri exigat; $i per $uam entitatem moueri exigeret, eo- dem $emper ferretur motu; quia cadem $emper e$$et exigentia; igitur debet e$$e aliquid aliud; illud autem e$t impetus, qui aliquando maior $eu perfectior, aliquando verò minor e$t; igitur maiorem $eu velcio- rem motum aliquando exigit, aliquando minorem, $eu tardiorem; cum enim motus $it eius finis intrin$ecus, vt re$olutio e$t finis caloris vel rarefactio; quemadmodum maior calor maiorem exigit, $eu præ- $tat re$olutionem; ita & maior, $eu perfectior impetus maiorem, $eu velociorem motum exigit. <p>Ob$eruabis tertiò aliud naturæ in$titutum, quo $cilicet in eo tan- tùm $ubiecto recipi pote$t cau$a formalis, in quo recipi pote$t cius effe- ctus formalis $ecundarius: nec alia regula, præter eam excogitari pote$t; cum enim aliqua forma ad talem, vel talem finem à natura in$tituta e$t; certè propter illum finem e$t, igitur in co non e$t, in quo $uum finem con$equi non pote$t; alioquin fru$trà e$$et; & contra in eo e$$e pote$t, in quo fru$trà non e$t; cum $cilicet in eo $uum finem con$equatur; ad- de quod finis ille intrin$ecus phy$icus $cilicet, non moralis, aliquis no- uus effectus e$t; atqui nouus effectus $ine $ua cau$a e$$e non pote$t, neque cau$a nece$$aria $ine e$$ectu; igitur ibi, $cilicet in hoc $ubiecto, in quo e$t, vel e$$e pote$t effectus formalis, cau$a formalis e$t, vel e$$e pote$t, e$t inquam citra miraculum. <p>Ob$eruabis quartò egregiam rationem; propter quam res eadem in pluribus locis naturaliter e$$e non pote$t; quippe cum res fuerit primo producta in aliquo loco, illa certè nouum locum acquirere non pote$t naturaliter; ni$i per motum, atqui motus dicit nece$$ario priorem lo- tum relictum, & nouum acqui$itum; igitur cum tot acquirantur loca per motum, quot relinquuntur; $i ante motum vnus tantùm erat eiu$- dem rci locus, po$t motum etiam vnus e$t: quod autem producatur tan- <pb n=24> tùm res in vno loco patet; vel enim à cau$a prima vel ab aliqua 2. pro- ducitur; $i à 2. ergo ab aliqua aplicata; igitur ex $uppo$itione quòd il- la cau$a 2. in vno tantùm loco producta $it, vni tantum applicari po- te$t; quod autem cau$a 1. in pluribus locis naturaliter eundem effectum non producat, certum e$t, & demon$trabimus in Metaphy$. quia $in- gulis effectibus $ingulæ $ufficiunt actiones; $ingulis terminis $ingulæ viæ; immò hoc requiri videtur, $eu $pectare ad huius vniuer$itatis or- dinem; quippe $i res eadem in pluribus locis e$$et; cur potius in duo- bus quam in tribus? deinde multiplex iure po$$et exi$timari; denique quod vnum e$t in entitate creata, $eu dependente ab cadem cau$a, vnum e$t etiam in dependentia; quæ e$t actio, per quam dependet; $ed de his aliàs. <C><I>Theorema</I> 31.</C> <p><I>Impetus non producitur in eo mobili, quod moueri non pote$t à potentia motrice applicata, licèt à fortiori moueri po$$it.</I> Probatur, quia impetus e$t tantùm propter motum, qui eius effectus e$t, & finis, per Th. 15. & 16. Igitur vbi non e$t motus, fru$trà e$t impetus; $ed quod fru$trà e$t, non e$t; id e$t non e$t, quod fru$trà e$$et, $i e$$et per Ax. 6. Exci- pio tamen impetum naturalem innatum, qui nunquam e$t fru$trà, vt dictum e$t $uprà in Theorem. 17. adde quod non pote$t cogno$oi impetus, ni$i vel ex motu, vel ex ictu, vel ex contrario ni$u, vel impul$u; $ed nihil horum cernitur in rupe quam ferio; Igitur non e$t dicendum in ea produci impetum, cuius rationem afferemus infrà; nunc$atis e$t Ax. 3. id manife$tè probari; nam qui diceret in rupe im- mobili impetum imprimi; certè po$itiuo argumento probare tenere- tur, quod tantùm duci pote$t, vel ab experimento; atqui hîc nullum e$t; vel à nece$$itate, quæ nulla e$t; vel ex alio quocumque capite, quod nullum excogitari pote$t; $ed maiorem lucem huic Th. 3. ex proximè $equentibus accer$emus; nec e$t quòd aliqui dicant produci impetum inefficacem; qui cum fru$trà $it, $i e$t, ex nullo capite probari pote$t: ad- de quòd de$truitur impetus, ne $it fru$trà; Igitur non producitur, ne $it fru$trà; nam con$eruatio e$t vera actio, vt dicemus $uo loco; Igitur $i hæc non ponitur, ne aliquid $it fru$trà; etiam 1. productio poni non debet; vnde commentum illud impetus inefficacis pror$us inefficax e$t. <C><I>Theorema</I> 32.</C> <p><I>Ideo potentia motrix non producit impetum in pradicta rupe.</I> v.g. <I>quia de- bilior e$t.</I> Probatur, & explicatur; quippedebilior potentia minorem ef- fectum producit per. Ax. 13. <I>num.</I> 2. igitur pauciores partes impetus æquales vni certæper idem <I>num.</I> 1. igitur $i $int plures partes $ubiecti mobilis, $eu rupis, quàm impetus; cum vna pars impetus duobus parti- bus $ubiecti ine$$e non po$$it; licet plures vni $imul in e$$e po$$int; non e$t mirum $i nullus impetus producatur; cum non po$$int tot partes illius produci, quot e$$ent nece$$ariæ; vt $altem $ingulæ $ingulis $ubie- cti, $eu rupis partibus di$tribuerentur. <pb n=25> <p>Ob$eruabis autem nouum quoddam genús re$i$tentiæ; nam $ingulæ partes rupis ab applicata potentiâ aptæ $unt loco moueri per impre$- $um impetum, & maior potentia $imul omnes loco moueret; at verò omnes $imul, & coniunctim con$ideratæ; quatenus $cilicet vna pars non pote$t moueri $ine alia, & comparatæ cum illa potentia debili di- cuntur habere prædictam re$i$tentiam, quæ $uperat potentiæ vires; quòd $cilicet à maiori moueri tantùm po$$int; quia plures partes im- petus po$tulantur, quam $int eæ, quæ à prædictâ potentiâ po$$unt pro- duci. <C><I>Theorema</I> 33.</C> <p><I>Vel producitur impetus in omnibus $ubiecti partibus vnitis, vel in nulla; modò nulla fiat $eparatio, neque compre$$io</I>: Certum e$t enim in ijs omni- bus partibus, quæ auolant ab ictu, produci impetum. Probatur igitur 1. quia $i non producatur in omnibus partibus, & nulla $eparetur ab alijs; certè nulla mouetur, vt certum e$t; igitur nulla habet impetum; quia ibi non e$t cau$a formalis, vbi non e$t effectus formalis; alicquin e$$et fru$trà, contra Ax. 6.2. Tu dicis produci impetum in aliquot parti- hus; hoc dicis, hoc proba? an potes digno$cere impetum ni$i ex motu? vel con$eruaretur hîc impetus $equentibus in$tantibus, vel $tatim $ecun- do in$tanti de$trucretur. Primum dicere ab$urdume$t; quia $i hoc e$$et multisictibus repetitis tandem moueretur totum mobile; $i verò de- ftrui dicatur. Secundo in$tanti; eadem ratio probat non produci. Pri- mo in$tanti, quæ prob<*>t de$trui. Secundo nam ideo de$truitur. Secun- do quia e$t fru$trà, $ed non minus e$t fru$trà. Primo igitur non produ- citur. Primo 4. probatur; quia cum non $ufficiant partes impetus, quas dixi produci, vt omnibus partibus $ubiecti di$tribuantur; certè non e$t vlla ratio, cur potiùs his quàm illis di$tribui dicantur; cum vna $it tan- tùm immediatè applicata. Igitur certum e$tvel produci in omnibus, vel in nulla, ni$i forte aliquæ auolent, $ed tunc $eparantur. <p>Obiiciet aliquis 1. e$$e cau$am nece$$ariam applicatam $ubiecto ap- to: igitur agit per Ax. 12. Re$pondeo e$$e impeditam; nam re$i$tentia $ubiecti $uperat vires potentiæ vt dictum e$t; immò in ip$o motu re- torqueo argumentum; licèt enim $it applicata cau$a nec$$aria mouens, non tamen mouet. <p>Obiiciet 2. Ignis applicatus agit in nonnullas partes fubiecti, licèt non agat in omnes; igitur & potentia motrix. Re$pondeo non e$$e pa- ritatem; quia vna pars pote$t calefieri, & re$olui $ine alia, vt con$tat non tamen vna moueri $ine alia, cui coniuncta e$t, ni$i $eparetur; igi- tur nec recipere impetum $ine alia. <p>Obiiciet. 3. $int duo trahentes idem mobile; ita vt $eor$im neuter trahere po$$it, coniunctim verò vterque po$$it; certè $i alter non pro- ducit impetum $cor$un, nec etiam coniunctim producet; nec enim au- gentur eius vires ab altero: Re$pondeo vtrunque agere actione com- muni; igitur non e$t mirum $i effectus maior e$t, quem tamen neuter <pb n=26> $eor$im producere pote$t. <p>Dices $i vterque coniunctim producit effectum: $int v. g. 100. par- tes impetus; Igitur $inguli producunt tantùm 50. Igitur cur potiùs in in his partibus $ubiecti, quàm in alijs, cum vtriu$que potentia eidem $ubiecti parti po$$et e$$e applicata? Re$pondeo $ingulos producere 100. actione $cilicet communi indiui$ibiliter; $int enim duo trahentes A. & B. A. producit 100. $ed non $olus; B. producit ea$dem 100. $ed non $o- lus; $ed explicabimus hunc modum actionis communis in Metaphys. quod autem agant actione communi patet per Ax. 13. <p>Obiicies 4. producitur $onus $i ferias rupem; igitur & impetus; Re$- pondeo ad $onum $olam aëris colli$ionem $ufficere, quam fieri certum e$t à prædicto ictu; deinde mallej motus impacti in rupem facit $onum; quidquid tandem $it $onus, de quo hîc non di$puto: adde qnod in ru- pe $unt $emper aliquæ partes trem ulæ, quæ modico tantùm, coque flexi- bili nexu cum alijs partibus copu lantur; adde aliquam compre$$ionem, ex qua modicæ vibrationes $equuntur. <p>Obiicies 5. Quando aliquæ partes auolant ab ictu, haud dubiè auo- lant propter impetum impre$$um: Igitur prius e$t imprimi impetum, quàm auolare; igitur productus e$t impetus in nonnullis partibus, & non in aliis, cum quibus illæ $unt coniunctæ. Re$pondeo equidem im- petum produci in illis partibus antequam auolent; $ed ideo produci vt deinde auolent nam tota ratio cur non producatur, e$t ne $it fru$trà; $ed $i auolent aliquæ partes: certè in ijs non e$t fru$trà, in quibus habet $uum effectum, id e$t, motum. <p>Dices; igitur primo in$tanti impetus ille e$t fru$trà; in quo non habet $uum effectum; Re$pondeo nunquam primo in$tanti e$$e fru$trà, modò $it motus $ecundo cum etiam primo in$tanti, quo e$t impetus, non po$$it e$$e motus, vt demon$trabo infrà; immò ideo ponitur im- petus primo vt $it motus $ecundo exigendo pro i n$tant i $equenti, de cum impetus ponat tantùm motum quo aliàs. <p>Dices; $ed potentia motrix ne$cit an po$$it pars aliqua mobilis $epa- rari; igitur non e$t quòd aliquando producat impetum, aliquando non producat. Re$pondeo non $tare per cau$am nece$$ariam, quin $em- per agat; $ed per $ubiectum, quod $i aptum e$t, & capax e$$ectus; haud dubiè co ip$o cau$a nece$$aria applicata in ip$um aget; $i verò ineptum. haud dubiè non aget; nam ad hoc vt producatur effectus in $ubiecto; non $atis e$t cau$am po$$e producere, ni$i etiam $ubiectum po$$it recipe- re; igitur cum $it talis ordo à natura in$titutus, ne aliquid $it fru$trà; certè $i impetus producibilis $it futurus fru$trà, hauddubiè non produ- cetur; $ecus verò $i fru$trà non $it futurus, in quo non e$t difficultas. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis 1. vix fieri po$$e quin $emper aliquæ partes $eparentur, comprimantur, vel dilatentur, vt patet experientiâ. <p>Ob$eruabis 2. etiam maximam corporis molem à debili potentia mi- <pb n=27> nimo etiam ictu moucri; quod etiam ob$eruauit Galileus in $uis dialo- gis de motu; quem certè motum ob$eruabis etiam in$en$ibilem, tùm operâ radij luminis repercu$$i, & ad aliquod interuallum proiecti; tùm operâ $eu pi$orum in tympani membranâ tremulo qua$i motu $ub$ul- tantium; quâ etiam arte deprehenditur in arce ob$e$$a, $ub quam muri partem cuniculi agantur. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc egregia ratio erui pote$t, cur ingens corporis moles à debili po- tenria loco moueri non po$$it; cum enim tot $altem requirantur partes impetus, quot $unt partes $ubiecti: quia vel in omnibus, vel in nulla producitur; certè cum $int plures partes $ubiecti, quàm vt in $ingulis ab ea dumtaxat potentiâ impetus produci po$$it; quid mirum e$t, $i mo- ueri non po$$it. <C><I>Collorarium</I> 2.</C> <p>Hinc certa ratio alterius vulgaris effectus potentiæ motricis, quæ lapi- dem 40. librarum tardo tantùm motu impellit, etiam cum $ummo ni$u, cum tamen $axo vnius libræ velocioremmotum imprimat; quia $cilicet partes impetus producti di$tribuuntur pluribus partibus $ubiecti in ma- iori lapide, & paucioribus in minori; igitur $ingulæ partes minoris habent plures partes impetus, vt manife$tè coa$tat; ergo ille impetus inten$ior e$t; igitur maiorem exigit $eu perfectiorem motum per Ax. 13. num.2. <C><I>Collorarium</I> 3.</C> <p>Hinc $ublata ratione diuer$æ re$i$tentiæ medij, dato pondere mobilis vtriu$que, datoque ni$u communi potentiæ, pote$t de- terminari certus velocitatis gradus vtriu$que; nam ratio velocitatum e$t inu<*>r$a ponderum v. g. $it pondùs 4. librarum; fit etiam 2. librarum $it impetus impre$$us vtrique $uppo$ito communi, & æquali ni$u potentiæ, & æquali tempore; haud dubiè velocitas mobilis 2. libra- rum erit dupla velocitatis mobilis 4. librarum; quia cum $int duplo plures partes $ubiecti in hoc mobili quàm in illo (accipio enim vtrum- que eiu$dem marcriæ, vt omnes lites fugiam) igitur in minori e$t duplo inten$ior impetus: Igitur duplo velocior motus; dixi, $i fiat æquali ni$u, & æquali tempore; quia reuerâ non fit in tempore æquali, $ed inæquali, $i $upponatur idem arcus brachij v. g. iacientis; nam tempo- ra $unt in ratione $ubduplicata ponderum; vt demon$trabimus lib. 10. & velocitates $unt vt tempora permutando. <C><I>Collorarium</I> 4.</C> <p>Hinc facilè determinari pote$t proportio impetus impre$$i cognitâ grauitate mobilium; v. g. $it mobile grauc vt4. & aliud graue vt 2. haud dubiè vt moucatur æquali gradu velocitatis, debet produci duplo maior impetus in maiori mobili, hoc e$t, iuxta rationem maioris ad mi- nus, quod clari$$imè $cquitur ex dictis; vt enim tot$int gradus impetus <pb n=28> in qualibet parte minoris, quot $unt in qualibet parte minoris; haud dubiè impetus maioris habet eandem rationem ad impetum minoris; quam habet maius ad minus. <C><I>Collorarium</I> 5.</C> <p>Hinc quoque ducitur manife$ta ratio $eu re$pon$io ad illud præcla- rum certè quorundam philo$ophorum comm&etilde;tum, qui volunt ex mini- ma ponderis acce$$ione totam terræ molem inclinari, vt in nouo æqui- librio $tatuatur; quod omninò fal$um e$t; nam ex $uppotione quòd terra non grauitet (vt vulgò dicitur, & aliàs à nobis demõ$trabitur) illa certè moueri non pote$t ni$i producantur tot partes impetus quot $unt partes $ubiecti in tota terra; quæ certè maximas pot&etilde;tiæ vires po$tulant. <C><I>Theorema</I> 34.</C> <p><I>Primo in$tanti, quo est impetus, non est ille motus, cuius hic impetus e$t cau$a.</I> Probatur; quia non pote$t e$$e motus, ni$i $it locus prior reli- ctus, & nouus acqui$itus, igitur $i eodem in$tanti, quo e$t impetus, haberet motum, codem in$tanti e$$et in duobus locis, quod dici non pote$t; & iam diximus in Th. 26. igitur impetus primo in$tanti quo e$t non habet $uum motum. <C><I>Theorema</I> 35.</C> <p><I>Immò nihil e$t, quod primo in$tanti, quo e$t, moueri po$$it.</I> Quia non pote$t moueri, ni$i acquirat nouum locum, & priorem relinquat; igitur, vel $i- mul in vtroque e$t, quod dici non pote$t; vel in relicto antè fuit; igitur non e$t primum in$tans, contra $uppo$itionem. <C><I>Theorema</I> 36.</C> <p><I>Potest impetus aliquo in$tanti non moueri quo mouetur ip$um mobile, in quo est.</I> Nam moueatur mobile quodlibet; & dum mouetur, impella- tur, factâ $cilicet acce$$ione noui impetus; haud dubiè hoc primo in- $tanti, quo producitur impetus in dato mobili non mouetur per Th. 35. quo tamen in$tanti mouetur prædictum mobilc. <C><I>Collorarium</I> 1.</C> <p>Hinc egregium paradoxon; <I>Pote$t alique in$tanti moueri $ubiectum, licèt non moueantur illa omnia, que eidem $ubiecto reuerâ in$unt.</I> <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Hinc etiam aliud paradoxon; <I>Impetus primo in$tanti, quo e$t, non habet $uum finem, nec habere pote$t</I>; patet, quia primo in$tanti non habet motũ. <C><I>Corollarium</I> 3.</C> <p>Hinc pote$t aliquid dato in$tanti carere $uo fine; licèt non $it fru$trà; fru$trâ enim tantùm dicitur ille impetus, qui pro in$tanti $equenti non pote$t haberemotum. <C><I>Theorema</I> 37.</C> <p><I>Impetus pars recepta in parte $ubiecti non exigit motum aliarum partium</I> <pb n=29> <I>eiu$dem $ubiecti, licèt coniunctarum.</I> Probatur 1. quia alioquin vna pars impetus $ufficeret ad mouendam ingentem rupem; quod ab$urdum e$t. 2. $icut vna pars caloris non re$oluit alias partes $ubiecti; ita nec im- petus. 3. Ratio à priori e$t; quia impetus non e$t cau$a efficiens motus per Th. 13. $ed tantùm cau$a formalis per Th. 15. Igitur præ$tat tantùm $uum effectum formalem in eo $ubiecto, in quo e$t. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc partes impetus non cau$ant motum in $uo $ubiecto actione, vel exigentia communi; quia quælibet pars impetus exigit tantùm motum $ui $ubiecti; id e$t illius partis, quàm afficit; quod etiam probatur per Ax. 13. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Hinc corpus grauius per$e, $altem eiu$dem materiæ, non cadit velo- ciùs, quàm leuius, vti globus plumbeus 100. librarum, quàm globus vnius libræ plumbeus; quia $cilicet impetus vnius partis non iuuat mo- tum alterius: præterca tam facilè 2, partes impetus in 2. partibus $ubie- cti receptæ ca$dem mouent, quàm 100. alias 100. dixi per $e; nam di- uer$a e$$e pote$t medij re$i$tentia; $ed de his fu$e in 2. lib. <C><I>Theorema</I> 38.</C> <p><I>Impetus recipitur tantùm in ip$a $ub$tantia $ubiecti naturaliter.</I> v. g. $i mobile $it ferrum calidum, recipitur in ip$a $ub$tantia ferri; non verò in ip$o calore (ex $uppo$itione quod calor $it accidens, vt aliàs demon- $trabimus; nec in alijs accidentibus, $i quæ $unt, in eodem $ubiecto; pro- batur 1. quia $i produceretur etiam impetus in accidentibus, quo plu- ra e$$ent accidentia in aliquo $ubiecto; plures quoque partes impetus producendæ e$$ent; igitur maiori potentiâ opus e$$et per Ax. 13. n. 4. Igitur difficiliùs mouerentur, quod e$t ab$urdum. Diceret fortè ali- quis eundem impetum recipi $imul in $ub$tantia & in ip$is accidenti- bus; $ed contra, nam reuera, $i hoc e$$et, dum proijcitur ferrum cali- dum, & $tatim frigefit, de$trueretur totus impetus, de$tructo $cilicet eius $ubiecto: 2. qui hoc diceret, deberet probare; nam codem modo mouetur corpus $iue afficiatur pluribus accidentibus, $iue paucioribus; igitur non euincit experientia recipiin illis impetum, nec etiam ratio, vt dicam paulò po$t. Ratio à priori e$$e pote$t; quia accidens cum $uo $ubiecto coniunctum exigit $emper e$$e præ$ens $ubiecto, cum natura- liter extra $ubiectum exi$tere non po$$it; igitur cum exigat con$erua- ri, & exi$tere; co tantùm modo, quo pote$t naturaliter con$eruari & exi$tere; certè exigit con$eruari, & ine$$e $ubiecto; igitur exi$tere in eo loco, in quo exi$tit $ubiectum, vt patet; igitur, $i $ubiectum mutet locum etiam accidens cnm co coniu nctum mutare debet. <p>Dices, igitur $imiliter dici pote$t non recipi impetum in omni- bus partibus $ubiecti mobilis, $ed in vnâ dumtaxat; cui cum aliæ $int vnitæ, exigunt moueri $ine impetu ad illius motum? cum hoc ip$um ad omnem vnionem $pectare videatur; Re$pondeo vnam <pb n=30> partem plumbi ita coniungi cum alia, vt etiam $eparata naturaliter exi$tere po$$it; igitur non e$t par ratio; præterea vna pars plumbi non e$t in loco alterius; nec enim inuicem penetrantur cum $it compene- tratio accidentium cum $ubiecto; deinde, quò plures $unt partes vnitæ, maior e$t re$i$tentia, quæ ip$o etiam $en$u percipitur; denique non vide- rur cur potius produceretur in vna parte, quam in alia; quæ omnia iam $uprà Th. 33. demon$trauimus. <p>Adde quod $i impetus produceretur in ip$is accidentibus, etiam in ip$o impetu prius producto alius impetus produceretur; cum $cilicet noua fit impetus acce$$io; quod $atis ridiculum e$t; qua$i verò impetus indigeat impetu &c. hîc loquor tantùm de accidentibus in $ubiecto; non verò de Euchari$ticis, quæ à $ubiecto per miraculum $eparata etiam moueri po$$unt per impre$$um impetum. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc manife$tè patet, quid dicendum $it de anima bruti, quæ mouc- tur etiam $ine impetu; quia exigit $emper e$$e coniuncta corpori, à quo di$iuncta naturaliter exi$tere non pote$t, vt $uo loco dicemus; igi- tur ad motum corporis, $eu $ubiecti moueri deber. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Idem quoque de Anima rationali dicendum e$$e videtur; licèt enim à corpore $eparata naturaliter exi$tere po$$it; tandiù tamen cum corpore manet coniuncta, quandiu agere pote$t in organis corporcis; ac proinde exigit con$eruari in corpore ip$o, quandiu $uas operatio- nes organicas in co exercere pote$t. <C><I>Corollarium</I> 3.</C> <p>Hinc patet ratio manife$ta ad quæ$itum illud; quomodo $cilicet po- tentia motrix materialis v.g. Taurus $uo cornu hominem ventilare po$- $it; nec vlla $upere$t difficultas, dum dicas impetum non produci in anima. <C><I>Scolium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò In hoc Theoremate dictum e$$e naturaliter; quia per miraculum accidens $eparatum ab omni $ub$tantia, dum $it impe- netrabile, per impetum $ibi impre$$um moueri pote$t. <p>Ob$eruabis $ecundò de anima bruti per miraculum $eparatâ, idem pror$us dicendum e$$e. <p>Ob$eruabis tertiò etiam Animam rationalem $eparatam, modò $it cum impenetrabilitate coniuncta, capacem e$$e impetus; quem etiam à potentia motrice corporea recipere pote$t; idem dictum e$to de An- gelo; $ed de vtroque aliàs. <C><I>Theorema</I> 39.</C> <p><I>Quando corpus pellitur ab alio corpore per impetum impre$$um; band da- biè impetus ille impre$$us ab aliqua cau$a efficiente producijur</I>; patet per Ax. 8. <pb n=31> <C><I>Theorema</I> 40.</C> <p><I>Ille impetus non producitur à $ub$tantia corporis in aliud impacti.</I> Proba- tur; quia $i produceretur, e$$et cau$a nece$$aria vt clarũ e$t; igitur appli- cata, & non impedita ageret per Ax. 32. quod e$t contra experientiam. Dicunt aliqui requiri motũ præuium, vt agat; $ed contra; nam motus præuius non requiritur vt cau$a, vt patet; quia cau$a vt agat debet exi- $tere per Ax. 9. Igitur requiritur, vt conditio, quod dici non pote$t; quia primo etiam conditio debet e$$e præ$ens; $ed motus præuius de nihil pre$enti e$t $ecundo quia non pote$t excogitari aliud munus con- ditionis; ni$i vel vt tollat impedimentum, vel vt applicet cau$am $ubie- cto apto; præterea motus præuius non e$t; igitur codem modo $e habet, ac $i nunquam extiti$$et; & $i co in$tanti quo corpus impa- ctum primo tangit, amitteret totum impetum, ita vt expræterito motu nihil reliquum e$$et, haud dubiè corpus aliud non pelleret. <p>Diceret alius impetum e$$e tantùm conditionem, quæ $emper e$t de præ$enti: ad hanc in$tantiam non valet $uperior re$pon$io; & certè $i eo ip$o in$tanti contactus noua fieret impetus acce$$io; haud dubiè maior e$$et ictus; licèt cum codem motu præuio, & tamen idem e$$et corpus impactũ, Igitnr ad hanc in$tantiã alio modo re$pondeo, ex appli- catione impetus $emper $equitur productio alterius impetus; dum $cili- cet $ubiectum, cui applicatur $it capax motus; ex applicatione corporis $eu $ubiecti ip$ius non $emper $equitur; igitur dicendum e$t impetum ip$um e$$e cau$am alterius per Ax. 11. n. 1. voco enim illud cau$am, ex cuius applicatione $emper $equitur $imilis effectus; alioquin $i hoc neges; proba mihi aliter ignem accendi ab alio igne; dicam enim tibi ignem applicatum e$$e tantùm conditionem, & produci à cœlo; proba mihi aliter calorem produci à calore? quo enim medio, vel argu- mento id euinces? quo etiam non euincam impetum produci ab im- petu: Deinde affer rationem à priori, propter quam $ub$tantia corporis producat impetum $ur$um? v. g. cum non exigat à $e ip$a mo- tum $ursùm, qui violentus e$t corpori graui; numquid certum e$t, vt dicemus infrà impetum produci ad extra, vt tollatur impedimentum motus? igitur illius e$t tollere impedimentnm, cuius e$t exigere motum, corpus ip$um graue non exigit motum $ur$um, $ed impetus; igitur im- petus e$t tollerc impedimentum $ui effectus; igitur producere impetum, quo vno tolli tantùm pote$t: En tibi rationem à priori, cutum nullam habeas: Præterea, cur negas impetum e$$e cau$am $ufficientem alterius impetus, cum ex eius applicatione ip$o $en$u percipiamus produci alium impetum? quæ ratio? quid inde ab$urdi, quid incommodi: Igitur tàm certum e$t, immò certius impetum produci ab alio impetu, quàm calo- rem à calore. Dices impetum iam habere alium effectum $cilicet mo- tum; bella profecto ratio! $ed numquid motus e$t effectus formalis im- petus? prætereà e$t-ne effectus ad extra? deinde idem dico de calore; <pb n=32> qui reuera habet effectum formalem $ecundarium ad intra, $cilicet rare- factionem, quæ e$t mutatio exten$ionis; quemadmodum motus e$t mu- tatio loci, vel vbicationis; igitur cum hoc |non ob$tante, calor pro- ducat calorem ad extra; cur impetus non producit impetum? cuius pro- ductionem concedis virtuti corporum re$i$titiuæ, id e$t vnioni, impe- netrabilitati, & cæteris huiu$modi modorum $uperfluorum qui$quiliis; de quibus plurimi tecum contendunt. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis nonnullas e$$e difficultates, quæ communes $unt etiam illi $ententiæ, quam $equuntur ij, qui exi$timant impetum ad extra produci à corpore impacto; quas tamen facilè $oluemus infrà in conti- nuata no$trorum Theorematum $erie. <C><I>Theorema</I> 41.</C> <p><I>Aliquis impetus non producitur ab alio impetu.</I> Probatur, quia aliquis impetus producitur ad intra à potentia motrice, vt patet. 2. cum non detur progre$$us in infinitum, nec impetus idem producatur à $e ip$o, ad aliquem tandem vltimum $eu primum deueniendum e$t, qui ab alio im- petu non producatur. <C><I>Theorema</I> 42.</C> <p><I>Impetus producitur $emper ad extra ab alio impetu.</I> Quia cum $emper ad illius productionem requiratur applicatio alterius impetus; certè non e$t ponenda alia cau$a per Ax. 11. <C><I>Theorema</I> 43.</C> <p><I>Hinc impetus habet duplex munus cau$æ; $cilicet cau$æ exigentis ad intra & efficientis ad extra</I>; vtrumque patet ex dictis. <C><I>Theorema</I> 44.</C> <p><I>Impetus agit tantùm ad extra, vt tollat impedimentum motus</I>; cum enim motus $it finis intrin$ecus impetus; certè $i nihil impediret motum, haud dubiè gauderet impetus $uo fine; igitur fru$trà quidquam aliud de$ideraret; præterea licèt applicetur à tergo aliud mobile; non tamen propterea in eo producit, vt con$tat experientiâ; denique cum tan- tùm impetum cogno$camus per motum; cum nequidem e$$et impetus, $i non e$$et motus, per Th. 17.ce rtè totus e$t impetus propter motum qui e$t eius finis; igitur non agit ni$i propter motum: $ed non pote$t excogitari, quid faciat propter motum, dum agit, ni$i dicamus ideo tantùm agere, vt tollatur impedimentum; cum certum $it corpus im- mobile, in quod impingitur aliud mobile, impedire eius motum. <C><I>Theorema</I> 45.</C> <p><I>Hinc non $imul agit impetus in orbem $ed tantùm per lineam $ui motus; cui $i nullum corpus occurrit reuerà non agit,</I> Ratio e$t; quia li- cèt aliud corpus mobili admoueatur in alia linea; cum non impediat eius motum, vt $uppono; cum agat tantùm impetus ad extra, vt tollat, <pb n=33> impedimentum motu $ui $ubiecti, in eo non agit, quod non impedit; & cum impediatur tantùm in vna linea, in ca tantùm agit; igitur non agit in orbem. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò, hanc primam e$$e difficultatem; cum in hoc im- petus maximè differat ab alijs qualitalibus $i quæ $unt, quæ agunt in or- bem, vt dicemus $uo loco. <p>Ob$eruabis $ecundò, hanc etiam e$$e communem illorum $ententiam, qui dicunt imptum ad extrà produci ab ip$o mobili, $ed ita vt ab illis vix $olui po$$it; cum tamen à nobis facilè $oluatur. <p>Ob$eruabis tertiò, impetum in vtroque muncre cau$æ $ube$$e tantùm vni lineæ; $cilicet exigit motum per vnam lineam; cum per plures $i- mul motus e$$e non po$$it; ne idem mobile $imul e$$et in pluribus lo- cis; & producit impetum per vnam lincam; cum producat tantùm pro- pter motum. <p>Ob$eruabis quartò, alias qualitates, $i quæ $unt, non agere ad extra, vt tollant impedimentum $ui effectus ad intra; qui $cilicet ab impedi- mento extrin$eco impediri non pote$t; vt accidit in ip$o impetu; etenim corpus non pote$t moucri ni$i nouum locum acquirat: neque nouum locum acquirere ab alio corpore occupatum, ni$i corpus hoc loco ce- dat, neque hoc loco cedere pote$t $ine motu, vel moueri $ine impetu, igitur cum impediat motum amoucri debet, accepto dumtaxat impetu ab alio mobili. <p>Ob$eruabis quintò nonnullos e$$e, qui volunt motum vnius corporis transferri in aliud corpus; $ed mera e$t metaphora; nihil cnim pror$us e$t quod ab vno in aliud tran$eat, $eu transferatur; nec aliud dici po- te$t, ni$i quod dictum e$t, impetum $cicilet nouum produci. <p>Hinc etiam reiicies commentum illorum, qui dicunt ideo vnum corpus ab alio moueri, quia ab vno in aliud deriuantur corpu$cula illa, quæ faciunt lumen, & calorem; quia lumen, & calor $unt veræ qualita- tates, non corpu$cula, vt demon$trabimus in 5. tractatu: Adde quod li- cet ferrum candens aliud frigidum impellat, etiam veloci$$imè; hoc ip- $um æquè frigidum manet; denique in cra$$is tenebris nix $eu glacies frigidi$$ima pernici$$imè moueri pote$t: $ed apage i$ta commenta. <C><I>Theorema</I> 46.</C> <p><I>Omnes partes impetus mobilis agunt ad extra actione communi.</I> Probatur per Ax. 13. n. 1. ni$i enim agerent actione communi $ed quælibet $uam produceret; cur potius in hac parte $ubiecti, quam in alia, demde ap- pìicatur tantùm vna immediatè; Igitur agunt omnes actione commu- ni; omnes inquam illæ, quæ impediuntur; cum enim impetus agat tantùm ad extrà vt tollat impedimentum $ui motus; ille pro$ectò age- re non debet, cuius motus vel effectus non impeditur. <pb n=34> <C><I>Theorema</I> 47.</C> <p><I>Hinc maiora corpora putà onerariæ naues, licèt tardi$$imo motu ferantur, cum in aliud corpus impinguntur maxima vi illud impellunt.</I> Ratio e$t; quia cum $int plures partes impetus in pluribus partibus $ubiecti, & omnes agant actione communi, non mirum e$t $i maiorem effectum producant, per Ax. 13. n. 2. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Vides primò in hoc ca$u compen$ari inten$ionem ab exten$ione; quippe quod præ$tarent plures partes impetus in minore corporis mole inten$æ; hoc idem præ$tare po$$unt exten$æ in maiore mole. <p>Secundò $icut maior moles aptior e$t ad motum imprimendum, & mi- nùs apta ad recipiendum ita minor contrà aptior e$t ad recipiendum, & minùs apta ad imprimendum. <p>Tertiò, Hinc corpora illa, quorum partes vel nullo vel modico nexu copulantur, minimo ferè impul$u commouentur; $ic aër & aqua mini- mo flante vento agitantur, nubes pelluntur; hinc tot procellæ tempe- $tate$que cientur; nec vlla e$t alia ratio, cur minima ferè venti vis, cui modicum $axum re$i$tit, tantam aquæ, vel aëris molem commoueat, ni- $i quia cum partes illorum corporum nullo ferè nexu coniunctæ $int vna $ine alia moucri pote$t, quod in aqua gelu concreta minimè accidit. <p>Quartò, Hinc $i maxima rupes ita comminueretur vt tota in pulue- rem $eu $abulum abiret, minima vis impre$$a particulas illas moueret. <p>Quintò, Hinc diuino penè con$ilio factum e$t, vt partes terre$tris globi arctiore fibula copulentur; ne, $i di$iunctæ e$$ent, minimo flatu di$pergerentur: vt videre e$t in puluere etiam graui$$imo, qui ab aura flant e di$pergitur. <C><I>Theorema</I> 48.</C> <p><I>Impetus, cuius motus non impeditur, non agit ad extrà.</I> Probatur per Th. 44. hinc $i aliud corpus affigas mobili à tergo, nullum impetum in eo producet, cuius effectus, qui certè impetui $ingularis e$t, alia ratio e$$e non pote$t; tam enim corpus e$t applicatum à tergo, quam in ip$a fronte; & nihil e$t in vno, quod non $it in alio, ni$i quod in fronte impedit motum, à tergo verò non impedit. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc egregium paradoxon erui pote$t; quod $cilicet cau$a nece$$aria etiam immediatè applicata, & non impedita in $ubiecto apto non agit; quod videtur e$$e contra Ax. 12. vnde vt agat cau$a nece$$aria, debet applicari debito modo; $i agat in orbem, omnis applicatio $ufficiens e$t: $i verò agat tantùm per vnam lineam; certè applicari debet in ca linea; alioquin non aget defectu debitæ applicationis. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Hinc etiam aliud paradoxon non minus iucundum; cau$a nece$$aria <pb n=35> appllcata, & non impedita non agit; at verò agit impedita; $cilicet impetus qui tantùm agit, vt tollat impedimentum; igitur, $i non impediatur non agit. <C><I>Theorema</I> 49.</C> <p><I>Quo minùs impeditur impetus, minùs agit ad extra, & contrà; quo plùs impeditur, plùs agit.</I> Cum enim ideò agat ad extra, vt tollat impedi- mentum; certè $i nullum e$t, nihil agit, $i minùs, minùs agit; igitur agit pro rata, id e$t, pro diucr$a impedimenti ratione. <C><I>Theorema</I> 50.</C> <p><I>Si linea motus, quam directionis appellant, ducatur per centrum vriu$que corporis, maximum est impedimentum,</I> vt patet.<note><I>Fig.</I> 1. <I>Tab.</I> 1.</note> $int enim duo globi, A mobilis, & B. occurrens ip$i A, $itque linea directionis DE ducta per centrum vtriu$que AB, & punctum contactus $it C; certè glo- bus B maximum ponit impedimentum, quod ab co poni po$$it; Igitur impetus globi A agit quantùm pote$t in globum B; vt $cilicet maxi- mum impedimentum remoucat. <C><I>Theorema</I> 51.</C> <p><I>Si linea motus vel ip$ius parallela cadat perpendiculariter in extremam diametrum globi immobilis: haud dubiè nihil impedit</I>; $it enim globus mobilis A, Immobilis B, linea directionis $it GA, ip$i parallela FC; certè globus B. non impedit motum globi A. cum nihil loci globi B occupari debeat à globo A; Igitur impetus A non agit in globum B per Th. 48. <C><I>Theorema</I> 52.</C> <p><I>Si linea motus $it inter vtramque; est minus impedimentum.</I><note><I>Fig.</I> 1. <I>Tab.</I> 1.</note> $it globus immobilis BA; $it linea motus GC cum impedimento, de qua in Th. 50. $it alia KB cum nullo impedimento, de qua in Th. 51. $int aliæ HD, IE; certè minus e$t impedimentum in contactu D, quàm in C; quia ca- dit obliquè in D, perinde atque $i caderet in tangentem NO; Igitur minus impeditur; in qua vero proportione, dicemus aliàs, cum de re- flexione, & de motu mixto. <C><I>Theorema</I> 53.</C> <p><I>Hinc producitur in contactu</I> C, <I>totus impetus; in contactu</I> D, <I>minùs; <*> contactu</I> E <I>adhuc minùs; in</I> B <I>nihil</I>; quia in ca proportione producitui plùs vel minùs impetus, quo plùs e$t, vel minùs impedimenti per Th. 49. $ed minùs e$t impedimentum in E, quàm in C; & in E, quàm in D, per Th. 52; Igitur in D producitur minùs impetus, quàm in C, & minùs in E, quàm in D. <C><I>Theorema</I> 54.</C> <p><I>Hinc eadem cau$a nece$$aria etiam immedia$e applicata diuer$um impe</I> <pb n=36> <I>tum producit; vt patet in impetu, non tamen est eodem modo applicata, id e$t in eadem linea.</I> <C><I>Theorema</I> 55.</C> <p><I>Hinc ratio multorum effectuum phy$icorum e. ui potest</I>; cur $cilicet cor- pus incidens in aliud perpendiculariter maximum ictum infligat; quia $cilicet maximum impetum producit, qui po$$it ab eo produci; cur idem corpus obliquè incidens in aliud minorem ictum infligat; cuius rei alia ratio e$$e non pote$t. Huc etiam reuoca tormenta bellica, quæ vel directo, vel obliquo ictu muros verberant; hinc perpendicularis forti$$ima e$t; licèt cadem ratio pro motu corporum non valeat, quæ valet pro diffu$ione, $eu propagatione qualitatum. <C><I>Theorema</I> 56.</C> <p>Hinc pote$t determinari quota pars impetus producatur, & quantus $it ictus; cognito $cilicet & $uppo$ito co impetus gradu, qui producitur, cum totus producitur, vt fit in perpendiculari; quippe tota<note><I>Fig.</I>1. <I>Tab.</I> 1.</note> men$ura impetus continetur in arcu CB; quam proportionem nos infrà demon- $trabimus. <C><I>Theorema</I> 57.</C> <p><I>Si linea directionis ducatur per centrum vtriu$que globi, mobilis $cilicet & immobilis, impetus producit totum impetum quem pote$t producere $iue in maiori globo, $iue in minori, $iue in æquali</I>; patet experientia; cuius ratio e$t; quia impetus e$t cau$a nece$$aria; Igitur idem impetus codem mo- do applicatus æquali tempore, æqualem $emper effectum producit, per Ax. 12. igitur cum impetus agat tantùm, vt tollat impedimentum per Th. 44. & cum in prædicta linea agat quantum pote$t per Th. 50. cer- tè æqualem effectum producat nece$$e e$t; $iue in maiori $iue in mino- ri, $iue in æquali globo immobili. <C><I>Theorema</I> 58.</C> <p><I>Hinc impetus remi$$us potest producere inten$um; & hæc e$t altera diffcul- tas; cum $cilicet maior globus in minorem impingitur</I>; cum enim omnes partes impetus maioris globi agant actione communi per Th. 46. & cum agant quantùm maximè po$$unt; in minore globo, tot partes pro- ducunt impetus, quot in maiore, vt patet; igitur in minore globo pau- cioribus partibus $ubiecti di$tribuuntur plures partes impetus; crgo in qualibet parte $ubiecti $unt plures; $ed hoc e$t e$$e inten$um, vt con$tat, igitur impetus remi$$us producit inten$um; quod e$t paradoxon egre- gium. <C><I>Theorema</I> 59.</C> <p><I>Hinc etiam impetus inten$us producit remi$$um, cum $cilicet minor globus in maiorem incidit</I>; quia $cilicet pauciores partes impetus di$tribuun- tur pluribus partibus $ubiecti; igitur quælibet $ubiecti pauciores impe- tus habet; quæ omnia con$tant ex dictis. <pb n=37> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò, $ingularem impetus proprictatem, quæ alijs qua- litatibus minimè competit; nam aliæ qualitates v. g. calor; lumen in cadem di$tantia effectum $emper æquè inten$um producunt; $ecus verò impetus, qui pro maiori vel minori obice maiorem, vel minorem, hoc e$t inten$iorem, vel remi$$iorem impetum in eadem di$tantia producit; cuius ratio ex eo capite petitur; quòd impetus agat tantùm ad extra propter $uum effectum ad intra, vt $cilicet tollat impedimentum; igi- tur in totum, quod impedit, agit; igitur non habet certam, & deter- minatam $phæram; cum tantùm agat in obicem, $iue $it maior, $iue minor: Quia verò e$t cau$a nece$$aria, æqualem effectum producit, id e$t tot partes impetus in maiore, quot in minore, ergo, cum in mino- re $int pauciores partes $ubiecti, & plures in maiore; haud dubiè quæli- bet pars minoris habebit plures partes effectus, & quælibet pars maio- ris pauciores; igitur effectus erit inten$ior in minore, & remi$$ior in maiorc. <p>Prætereà, cum dixi omnes partcs mobilis actione communi agere ad extra; ita primò intelligi debet, vt omnes illæ partes moueantur: $ecun- dò, vt linea motus, $eu directionis per centra grauitatis vtriu$que glo- bi v, g. ducatur; alioquin, vel omnes actione communi non agunt, vel minus agunt, de quo infrà; $ufficit verò iuxta præ$ens in$titutum, vt globus ita impellat alium vel æqualem, vel inæqualem, vt linea dire- ctionis ducatur per centrum grauitatis alterius; vide figuram.<note><I>Fig.</I><*> <I>Tab.</I><*></note> in qua linea directionis e$t DE. <C><I>Theorema</I> 60.</C> <p><I>Impetus globi impacti in alium globum eo modo, quo diximus, id est, linea- directionis ducta per centra grauitatis vtriu$que producit in eo æqualem</I>; Pro- batur, quia impetus e$t cau$a nece$$aria, quæ tunc agit quantum pote$t per Th. 57. $ed æqualis pote$t producere æqualemi. Probatur primò, exemplo aliarum qualitatum; $ecundò, quia ideo agit vt tollat impedi- mentum, hoc e$t vt corpus illud amoueat loco; igitur æquali motu per $e; alioquin ni$i æquali motu amoueret, non tolleret impedimentum, vt pater; tertiò $int 30. partes impetus, certèvel producent plures vel pauciores, vel totidem, non plures; cur enim potius 31. quam 32. nec etiam pauciores; cur enim potius 20. quam 18, &c. Igitur totidem; quia cum $int plures numeri plurium partium $upra 30. & pauciorum infra vt patet; $itque tantùm vnicus numerus æqualium; certè quod vnum e$t, determinatum e$t, per Ax. 5. hæc ratio licèt videatur negati- ua e$t tamen potenri$$ima: quartò, quia actus $ecundus, re$pondet actui primo, id e$t, effectus productus virtuti cau$æ producentis; itaque cum virtus agendi impetus $it eius entitas, vt patet, certè impetus productus e$t per $e æqualis impetui producenti per $e; id e$t remoto omni impedimento, & facto co contactu iuxta modum prædictum, ca quo- <pb n=38> que lege, vt impetu<*> agat quantum pote$t, & omnes partes mobilis moueantur æquali motu. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc reijcics illos, qui volunt à globo æquali produci in æquali $ub- duplum impetum; in $ubduplo $ubtriplum; in $ubquadruplo $ubquin- tuplum; ratio illorum e$t; quia duo globi æquales in$tanti contactus perinde $e habent, atque $i conflarent vnum corpus; $ed $i conflarent vnum corpus quilibet $ubduplum impetum haberet; $i verò globus cum alio $ubduplo faceret vnum mobilc; haud dubiè minor, id e$t, $ubduplus haberet tantùm $ubtriplum impetum; atque ita deinceps; hoc totum fal$i$$imum e$t; nam primò $i globus æqualis acciperet tantùm $ubdu- plum impetum ab alio, $ubduplo tantùm motu ferretur; igitur $ubdu- plum $patium decurreret, quod e$t contra experientiam, & Th. 47. Se- cundò, ratio propo$ita nulla e$t; quia quando globus impactus impellit alium, e$t veluti potentiâ, quæ cum tota$ua vi, & cum impetu agit, cuius nulla pars transfertur in alium globum; nec enim migrat de de $ubiecto in $ubiectum, $ed producit $ibi æqualem: equidem $i duo globi æquales e$$ent vel coniuncti, vel contigui in linea directionis, quilibet pro rata acciperet impetus producti partem à potentia applica- ta; $i e$$ent æquales, qui$que $ubduplum: $i alter $ubduplus $ubtri- plum, &c. $ed hæc $unt $atis facilia. <p>Obijci fortè po$$et ab aliquo primò experientia; videmus enim $æpè globum impul$um in ludo Tudiculario moueri tardiùs globo impellen- te; re$pondeo id $æpè accidere; tùm quia linea directionis non connec- tit centra vtriu$que globi; igitur minor e$t ictus per Th 52. tùm quia globus impellens, vel impul$us deficiunt à perfecta $phæra; tùm quia non e$t perfecta æqualitas globorum; adde quod quò accuratiùs prædi- ctæ leges ob$eruantur, ip$i motus ad æqualitatem propiùs accedunt, vt con$tat experientia. <p>Obiici po$$et $ecundò de$trui aliquid impetus globi impellentis ab ip$o ictu, vt con$tat experientia; igitur illa pars impetus, quæ de$truitur, non producit nouum impetum in globo impul$o; Re$pondco de$truiquidem aliquid impetus in globo impacto, vt videbimus infrà; cum tamen de- $truatur tantùm $equenti po$t ictum in$tanti; certè cum exi$tat adhuc ip$o in$tanti contactus, nece$$ariò agit, quippe aliquid vltimo in$tanti pote$t agere; adde quod illud ip$um repugnat manife$tæ experientiæ; licèt enim aliquando de$truatur totus impetus in globo impacto, quod $æpè accidit in ludo Tudiculario, nam illicò $i$tit pila eburnea; alius tamen globus velociter mouetur, cuius effectus rationem infrà addu- cemus. <p>Obijci po$$et tertiò inde $equi progre$$um in infinitum, nam<note><I>Fig.</I>1. <I>Tab.</I> 1.</note> globus A impactus in globum B impellet cum æquali motu, & B in C etiam æquali, C in D, atque ita deinceps; modò illi globi ita $tatuantur, vt linea directionis per omnium centra rectà ducatur; Re$pondco, vel il- <pb n=39> los omnes globos ita e$$e contiguos, vt mutuo contactu $e inuicem tan- gant; vel aliquod $patium inter $ingulos intercipi; $i primum, produci- tur impetus à potentia motrice in omnibus, $i $ufficiens e$t; non verò vnus globus in alio, vt con$tat; $icut duo pondera $imul attollo, quorum vnum alteri incumbit: $i verò non $e tangant, dico antequam A im- pingatur in B, dum $patium illud interiectum percurrit, amittere aliquid impetus: idem dico de B, & C, vnde $i nihil impetus in co primo motu periret & linea directionis omnium centra perfectè connecteret; ita vt omnium ictus illi omnino $ine vlla deflexione re$ponderent; haud du- biè non po$$ent e$$e tot globi, quin po$$et alius addi, qui ab vltimo pelleretur; $ed vix illa omnia de quibus $uprà po$$unt ob$eruari; Hinc tamen facilè vna pars aëris aliam pellit, quod di$tinctè videmus in aqua; $ed de his aliàs, $ufficiat modò propo$itam obiectionem inde manere $olutam. <C><I>Theorema</I> 61.</C> <p><I>Globus maior impactus in minorem imprimit illi inten$iorem impetum, & velociorem motum per Th.</I> 48. <I>&</I> 47. Nec e$t quod aliqui opponant Prin- cipium illud mechanicum; id e$t, nullum corpus po$le maiorem veloci- tatis gradum alteri corpori imprimere; co $cilicet gradu, quem ip$um habet; nec enim inuenio Principium illud apud eos Mechanicos, qui mechanica momenta $uarum demon$trationum momentis confirmant; quî porro fieri pote$t, vt principium illud admittatur, quod manife$tæ experientiæ repugnat? Quis enim non vidit vel maius $axum in aliud etiam tardo motu impactum maiorem motum, & impetum imprimere? quis non vidit maiores illas onerarias naues etiam pigro, & tardo motu labentes maximum impetum minori occurrenti cymbæ ctiam impri- mere? Rationem habes in Th. 47. $ed dices; igitur aliquis velocitatis gradus nullam habet cau$am; igitur e$t à nihilo, quod dici non pote$t. Re$pondeo, plures partes impetus non produci in minore globo, quàm $int in maiore; igitur nulla pars e$t impetus minoris globi, quæ $ui cau$am $ufficientem non habeat; $ed cum partes impetus maioris globi di$tribuantur pluribus partibus $ubiecti, faciunt remi$$um impetum, igi- tur & tardum; cum $cilicct impetus vnius partis non iuuet motum alte- rius per Th. 37. at verò cum partes impetus producti in minore globo di$tribuantur paucioribus partibus $ubiecti, faciunt inten$iorem im- petum; igitur velociorem motum, quippe omnes producuntur ab omnibus illis actione communi per Ax. 17. num. 1. quid clarius. <C><I>Theorema</I> 62.</C> <p><I>Globus minor imprimit maiori remi$$iorem impetum & tardiorem motum & æqualis, aqitali æqualem</I>; hæc omnia probantur per Th. 60. & præ-, cedentia. <pb n=40> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò, vtrumque globum e$$e eiu$dem materiæ; $i enim $int diuer$æ materiæ, $ecùs accidit, quàm diximus; $i v. g. æncus mi- nor pellatur ab cburneo maiore, maiorem motum hic illi non impri- met; licèt enim $it maior exten$io eburnci; e$t tamen minus pondus; igitur pauciores partes. <p>Secundò, cos globos accipiendos e$$e, quorum partes, vel non auo- lent ab ictu, vel non comprimantur; comprimuntur in plumbeis, æncis, & auolant in vitreis; cum enim $it compre$$io, vel partium di- ui$io, de$truitur multùm impetus. <p>Tcrtiò reiice commentum illorum, qui dicunt corpus illud e$$e ma- joris vclocitatis capax, quod plures habet partes materiæ $ub eadem quantitate; nam $uppo$ita cadem re$i$tentiæ ratione, omne corpus e$t capax illius vclocitatis, cuius alind e$t capax; cum nullus $it motus, quo non po$$it dari velocior, & tardior, vt dicemus infrà; immò $it glo- bus plumbeus 12. librarum, $it eburncus eiu$dem diametri 2. librarum, v. g. haud dubiè cadem potentia producet inten$iorem impetum in cburnco, vt patet experientia, & ratio con$tat ex dictis; qua$i verò $it aliqua materiæ inertia, quæ motum re$puat; licèt fortè maior $it pro- portio re$i$tentiæ medij comparatz cum globo cburneo, quàm compa- ratæ cum plumbeo; $ed de re$i$tentia de percu$$ionc, & de $patio age- mus infra. <C><I>Theorema</I> 63.</C> <p><I>Omnis globus, qui in alium, qui mouetur impingitur, dum hie mouetur, vt- lociùs mouetur eo &c. in quem impingi<*></I> patet; alioquin numquam a$$cqui po$$et, quod ex ip$is terminis con$tat. <C><I>Theorema</I> 64.</C> <p><I>Ex hac hyp<*>e$i globus impactus producit in alie mouas partes impetus</I>; quia impeditur cius motus, igitur vt tollat impedimentum, agit ad cxtra per Th. 44. <C><I>Theorema</I> 65.</C> <p><I>Hie impetus neuus preductus miner e$t eo qus preduceretur in codem glob- immobili</I>: ratio c$t; quia $i $i$tcret, maius e$$et impedimentum, quia totum motum impediret, cuius tantùm partem impedit, dum mouctur, licèt paulò tardius; igitur minus agit ad cxtra per Th. 49. <C><I>Theorema</I> 66.</C> <p><I>Mobile adbarens alseri mobili à terge; dum vtr<*>que æqu<*> velociter feratur nullum preducis in ce i<*>pesum.</I> Probatur, quia mobile quod præit, non impedit motum $ub$equentis; igitur nullum impetum ab co acci pit per Th. 48. <pb n=41> <C><I>Theorema</I> 67.</C> <p><I>Hinc paradoxon egregium $i quod aliud; globus percu$$us ab alio eadem $emper velocitate mouetur, $iue moueretur in$tanti percu$$ionis, $iue $i- $teret.</I> v. g. $it globus A quie$cens, cui unprimantur ab alio B 40. gra- dus velocitatis: id e$t æqualis impetus impetui percutientis, iam verò moueatur A, cum 20. grad. vclocitatis, & B, qui mouetur cum 40. impingatur, certè cum impediatur tantùm $ubduplum motus, produce- tur tantùm $ubduplum impetus, id c$t 20. qui $i addantur 20. grad. erunt 40. quæ omnia con$tant per Th.49.48.&c. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc æquale $emper $patium percu$$us globus conficit, $iue ante per- cu$$ionem moueretur, $iue quie$ceret. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Hinc $i $ecundò percutiatur idem globus, $patium totum, quod per- currit tùm à primò, tùm à $ecundo ictu e$t maius co, quod à primo ictu confeci$$et, $i non fui$$et $ecundò percu$$us; maius inquam $egmento $pa- tij interiecto inter primum & $ecundum ictum. <C><I>Corollarium</I> 3.</C> <p>Hinc reiicies aliquos, quorum $ententiam habes apud Doctum Mer- $emium, <I>in prop.</I> 20. <I>phæn. mech. quorum $unt hæc verba; $i malleus p<*> currentem eodem, ac anteà modo percutiat, nonam $ui motus partem; $i verò currentem tertia vice percutiat, vnam vige$imam $eptimam $ui motus par- tem ei tribuet, atque ita deinceps.</I> Supponit primò hæc $ententia mal- leum e$$e duplum pilæ percu$$æ. Secundò, mallcum imprimere pilæ $ub- duplæ $ubtriplum motum; quod fal$um e$t, vt con$tat ex Th 6. & Co- roll. 1. Præterea, licètin primà percu$$ione imprimeret tantùm prædi- ctæ pilæ $ubtriplum impetum, in $ecunda percu$$ione maiorem impri- meret po$t longiorem motum, vbi iam ad quictem propiùs accedit; mi- norem verò paulò po$t initium motus, vt con$tat ex dictis, & exip$a ex- perientia; potc$t quidem in aliquo puncto $ui motus $ecunda vice per- cuti, in quo $ubtriplum tantùm motum imprimet; hoc e$t eo in$tanti- quo tantùm ami$it tertiam fui impetus partem; tum deindc in tertia percu$$ione pote$t tantùm (1/27) motus partem illi tribuere; co $cilicet in- $tanti, quo tantùm ami$it (1/27) $ui impetus partem; $ed in alijs cemporis punctis longè alia crit impetus producti ratio; Igitur tota hæc progre$- $io gratis omninò fuit excogitata. <C><I>Corollarium</I> 4.</C> <p>Hinc ctiam po$t $ecundam percu$$ioncm æquale $patium conficier al- teri, quod iam confecit po$t primam æqualibus temporibus; igitur æqua- lis e$t velocitas vtriu$que motus; quia $cilicet, $i e$t æqualis impetus, e$t qualis motus: Ex his maximam carum dubitationum partem $oluere po- teris quæ in eadem Mer$enni propo$itione courinentur reliquas vero ex dicendis infrà. <pb n=42> <C><I>Corollarium</I> 5.</C> <p>Ex dictis ctiam colliges diuer$as percu$$ionum rationes $uppo$ita di- uer$a ratione ponderum globi percutientis, & percu$$i; cum enim impe- tus productus $it æqualis per $e impetui producenti, per Th.60. modò debita fiat applicatio, de qua in Th.50. $i percutiens $it duplus percu$$i, $uppo$ita eadem materia, motus percu$$i erit duplò velocior; quia im- petus erit duplò inten$ior, vt con$tat ex Th. 61. $i verò $it quadruplus, quadruplo, &c. Igitur velocitates motuum $unt in ratiòne ponderum permutando. <C><I>Theorema</I> 68.</C> <p><I>Si corpus percu$$um $it oblongum, & percu$$io fiat in centro grauitatis eiu$- dem corpois; producitur impetus in percu$$io æqualis impetui percutientis</I>; $ed opus e$t aliqua figura: Sit corpus AD,<note><I>Fig.</I>3. <I>Tab.</I>1.</note> parallelipedum; diuidatur æqua- liter in E ita vt E $it centrum grauitatis; $i percu$$io $iat in E per lineam perpendicularem HE, producetur impetus in corpore AD æqualis im- petui corporis percutientis; quia $cilicet à corpore AD non pote$t maius e$$e impedimentum; igitur agit quantùm pote$t impetus corporis per- cutientis per Th.50. igitur producit æqualem per Th.69. <C><I>Theorema</I> 69.</C> <p><I>Si percu$$io fiat in</I> F <I>per lineam perpendicularem</I> IF, <I>minus erit impedi- mentum, quàm per</I> HE, Quia $i per HE, moueri tantùm pote$t motu recto, $i per IF, etiam motu circulari circa aliquod centrum; $ed hic motus e$t facilior quam ille; igitur minus e$t impedimentum; ($uppono autem cylindrum BC vtroque modo moueri po$$e ab applicata potentia) igitur minùs impetus producitur, $i percu$$io fiat per IF, quàm $i fiat per LK: In qua verò proportione $it minus impedimentum, & minori opus impetu, po$ito eodem potentiæ ni$u, determinabimus facilè aliàs; vt etiam demon$trabimus circa quod centrum hic circularis motus ficri debeat. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ex duobus capitibus minus e$$e pote$t impedimentum; primum e$t, quod petitur à puncto contactus, $ecundum à linea incidentiæ; v. g. $i accipiatur punctum E, in quo e$t centrum grauitatis corporis AD, & in eo $iat percu$$io; maximum e$t impedimentum ratione puncti conta- ctus, in quo fit percu$$io; $i verò percu$$io fiat per lincam perpendicu- larem HE, maximum e$t impedimentum, ratione lineæ; $i autem ex vtroque capite $imul accidat impedimentum, maximum e$t omnium; iam verò $i accipiatur punctum E, & linea percu$sionis ME; minor e$t percu$sio ratione lineæ non puncti; accipiatur punctum N, & linea percu$sionis MN, minor e$t percu$sio ratione puncti non lineæ, acci- piatur punctum N, & linea IN, minor e$t percu$sio ratione vtriu$que; $i demum accipiatur punctum E, & linea ME, minor e$t percu$sio ra- <pb n=43> tione lineæ non puncti; accipiatur punctum N linea percu$$ionis MN, minor e$t percu$$io ratione puncti non lineæ; $i accipiatur punctum N, & linea IN, minor e$t percu$$io ratione vtriu$que: $i demum accipia- tur punctum E & linea HE, maior e$t percu$$io ratione vtriu$que; igi- tur $unt quatuor coniugationes; $eu quatuor cla$$es diucr$arum percu$- $ionum. <p>Hinc compen$ari pote$t ratione vnius quod dee$t ratione alterius, v. g. $i fiat percu$$io in puncto E per lineam ME, pote$t $ciri punctum inter ED, in quo percu$$io per lineam perpendicularem $it æqualis percu$$ioni per lineam ME; $ed de his infrà in lib. 10. cum de percu$- $ione, determinabimus enim vnde proportiones i$tæ petendæ $<*>, & demon$trabimus totam i$tam rem, quæ multùm curio$itatis habet, & vtilitatis. <p>Determinabimus etiam dato puncto percu$$ionis F v.g. cum $equatur motus vectis, quodnam $it centrum vectis $eu huius motus. <p>Hinc demum $equitur, ne hoc omittam, data minimâ percu$$ione per lineam MN dari po$$e adhuc minorem per lineam IN, & alias incli- natas; & data percu$$ione per lineam quantumuis inclinatam, po$$e da- ri æqualem per lineam perpendicularem; & data per lineam perpendi- cularem extra centrum grauitatis E, po$$e dari æqualem; & in qualibet data ratione per aliquam inclinatam, quæ cadat in E, $ed de his fusè $uo loco. <C><I>Theorema</I> 70.</C> <p><I>Corpus oblongum parallelipedum percutiens aliud corpus, putà globu&mtail;, motu recto per lineam directionis, quæ producta à puncto contactus ducitur per centrum globi, dum fiat contactus in centro grauitatis parallelipedi, maximum ictum infligit, $eu agit quæntùm pote$t.</I> v. g.<note><I>Fig.</I>4 <I>Tab.</I>1.</note> $it parallelipedum EB; quod moueatur motu recto parallclo, lineis CD, HG, &c. $itque globus in D; haud dubiè agit quantùm pote$t, quia $cilicet e$t maximum impedi- mentum per Th.68. Tam enim globus in D impedit motum parallcli- pedi, quàm parallclip edum motum globi impacti per lineam ID; impedit inquam ratione oppo$itionis; quia centra grauitatis vtriu$que con- currunt in cadem linea; igitur $i maximum e$t impedimentum, agit quantùm pote$t Th. 50. hinc producitur impetus æqualis per Th.60. <C><I>Theorema</I> 71.</C> <p><I>Si percu$$io fiat in G, id e$t $i globus e$$et in G, producetur minor impetus, & in</I> M <I>adhuc minor</I>; vt con$tat ex dictis in $uperioribus Theorematis; in qua vero proportionc determinabimus aliàs. <C><I>Theorema</I> 72.</C> <p><I>Si corpus percutiens non $it par allelipedum, $ed alterius $iguræ v.g.</I><note><I>Fig.</I>5. <I>Tab.</I>1.</note> <I>trigo- non,</I> ADE, $itque maioris facilitatis gratia Orthonium; eiu$que motus $it parallelus lineis ED, BC: $it autem DA dupla DE; $itque diui$a to- ta DA æqualiter in C, in C non erit maximus ictus; quia in C non <pb n=44> e$t centrum grauitatis, vt patet; vt autem habeatur centrum impre$$io- nis; a$$umatur AN media proportionalis inter totam AD, & $ubdu- plum AC; certè cum triangulum ANO $it $ubduplum totius ADE, vt con$tat ex Geometria, & æquale trapezo ND EO; erit impetus in vtroque æqualis; igitur in N erit centrum impre$$ionis, vel impetus; vt autem habeatur centrum percu$$ionis; in quo $cilicet maximus ictus in- fligitur, inueniatur centrum grauitatis H, ducaturque KHI parallela DE, centrum percu$$ionis erit in I; quippe in I totus impeditur impetus grauitatis vtrimque, cum $it in æquilibrio; quomodo verò inueniatur punctum H facilè habetur ex Archimede, ductis $cilicet AF, DB, quæ diuidant bifariam æqualiter DE, EA; vel a$$umpta AI dupla ID, quod demon$trabimus in Mechan. <C><I>Theorema</I> 37.</C> <p><I>Si circa centrum immobile rotetur corpus parallelipedum</I> CA, <I>diuer$a e$t ratio percu$$ionum ab ea, quàm $uprà propo$uimus</I>; moucatur enim circa centrum C,<note><I>Fig.</I>6 <I>Tab.</I>1.</note> fitque CA diui$a bifariam in B, haud dubiè punctum A faciet arcum AE eo tempore, quò punctum B faciet BD $ubduplum AE; igitur punctum A duplò velociùs mouetur quàm B, vt con$tat; igi- tur habet duplò maiorem impetum; cum effectum habeat duplò maio- rem per Ax. 13. n. 4. igitur cum totus motus $egmenti AB $it ad to- tum motum $egmenti BC, vt $patia acqui$ita; certè $patia acqui$ita $unt vt arcus; igitur & trapezus BAED, continet 3/4 totius CAE, vt con$tat; $unt enim $ectores $imilis in ratione duplicata radiorum; igi- tur totus motus $egmenti BC $ubquadruplus motus totius CA;, gitur & impetus; vt autem habeatur centrum impre$$ionis, vel impetus; $it $e- ctor CHI, $ubduplus totius CAE quod quomodo fiat, patet ex Geo- metria; accipiatur tantùm $ubdupla diagonalis quadrati lateris CA, igi- tur in puncto H e$t centrum impre$$ionis, $eu media proportionalis in- ter totam CA, & $ubduplam CB: vt autem habeatur percu$$ionis, a$- $umatur CY dupla YA; Dico punctum Y e$$c centrum percu$$ionis; quia perinde $e habet, atque $i e$$et trianguli cadentis ictus, vt demon- $trabimus aliàs nunc tantùm indica$$e $ufficiat. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc etiam$oluctur, quod proponunt aliqui; $eu potiùs quærunt; in quà $cilicet parte maiorem ictum infligat en$is; $i enim $it ciu$dem cra$$itici in omnibus $uis partibus, idem dicendum e$t quod de cylin- dro CA; $i verò in mucronem de$inat, inueniemus etiam centrum percu$$ionis. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Huc etiam reuoca clauarum ictus, vel aliorum corporum, quæ ad in $tar $eu conorum, $eu py<*>idum ver$us mucronem maiora $unt, vel den$iora; quippe ex iacto $uprà principio i$torum omnium effectuum rationes demon$trabimus. <pb n=45> <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Colligemus etiam quid dicendum $it de malleorum ictu; $it enim malleus F æqualis malleo G (in his vna fere manubrij longitudinis ha- betur ratio) ducatur arcus NM, itemque OG; ictus mallei G e$t ferè $ubduplus alterius, dum vterque malleus $it æqualis; dixi ferè, quia motus totius mallei G non e$t omninò $ubduplus motus mallci F, quia $cilicet trapezus OD e$t minor $ubduplo alterius NE; quotâ vero parte $it minor facilè pote$t $ciri opera Geometriæ: $ed hæc omnia determi- nabimus. <C><I>Theorema</I> 74.</C> <p><I>Si daretur potentia motrix, quæ $emper agere po$$et, impetus po$$et intendi in infinitum</I>; pater, quia quocumque dato motu pote$t dari velocior in infinitum; igitur pote$t dari impetus inten$ior, & inten$ior in infinitum. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Hîc ob$erua nouum di$crimen, quod intercedit inter impetum, & alias qualitates; quæ fortè non po$$unt intendi in infinitum, ratio di$- criminis e$t, quia totus calor exten$us in maiore $ubiecto non pote$t produci in minore, in quo eadem cau$a cumdem $emper effectum pro- ducit; quia $cilicet agit vniformiter difformiter; at verò impetus exten- $us in magno den$o&qacute;ue malleo pote$t producere æqualem in maximâ ferè pilâ. <C><I>Theorema</I> 75.</C> <p><I>Impetus $imilis, id e$t, ad eamdem lineam determinatus, & æqualis in in- ten$ione, non pote$t intendere alium $imilem</I>; Probatur, quia agit tantùm ad extra, vt tollat impedimentum per Th. 44. $ed eorum mobilium, quæ ver$us eamdem partem pari velocitate mouentur, neutrum impedit al- terius motum, vt con$tat; igitur impetus $imilis, &c. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$erua de impetu $imili id tantùm dici; $imili inquam id e$t non modò eiu$dem inten$ionis; $ed etiam eiu$dem lineæ: $i enim alterum de$it, haud dubiè $imilis impetus non e$t; $ic impetus quatuor grad. in- tendere pote$t impetum duorum graduum; licèt vterque ad eamdem li- neam $it determinatus; $i verò ad diuer$as lineas determinentur; etiam impetus vt duo pote$t intendere impetum vt quatuor. <p>Ob$eruabis præterea hoc Theorema ita e$$e intelligendum, vt impe- tus mobilis præeuntis nullo modo impediatur; alioquin mobile $ucce- dens omninò aliud vrgeret, vt con$tat. <C><I>Corollarium.</I></C> <p>Hinc $imile pote$t in aliquo ca$u agere in $imile; vnde rectè colligo id tantùm dictum e$$e ab Ari$totele de qualitatibus alteratiuis; quid verò accidat, cum mobile grauc mobili alteri $uperponitur; dicemus infrà<*> <pb n=46> <C><I>Theorema</I> 76.</C> <p><I>Exten$io impetus respondet extentioni $ui $nbiecti, $cilicet mobilis</I>; cum enim extra $ubjectum e$$e non po$$it, cum $it qualitas; certè ibi e$t, vbi $ubjectum e$t; nam penetratur accidens cum ip$o $ujecto. <C><I>Scolium.</I></C> <p>Ob$eruabis qualitatem omnem ita $uo $ubjecto coëxtendi, vt æqua- lem omnino quodlibet eius punctum, $eu pars extentionem habeat ex- tentioni puncti, $eu partis $ui $ubjecti; nec enim alliud e$t, vnde po$$it determinari extentio qualitatum, præter ip$am exten$ionem $ubjecti; quod maximè in impetu videre e$t, cuius partes in mobili den$o minori extentioni $ubjacent, quàm in mobili raro; cum ex maiore ictu $eu per- cu$$ione in mobili den$o plures impetus agentis partes e$$e con$tet; quia $cilicet $unt plures partes $ubiecti. <C><I>Theorema</I> 77.</C> <p><I>Datur impetus altero impetu perfectior $ecundum entitatem</I>; dixi $ecun- dum entitatem; quia iam dictum e$t $uprà dari perfectiorem $ecundum inten$ionem; huius Theorematis veritas mihi maximè demon$tranda e$t, ex quo tàm multa infrà deducemus; $ic autem probamus; Quotie$- cunque mouetur corpus, producuntur $altem tot partes impetus quot $unt partes mobilis per Th. 33. Quotie$cunque producuntur in mobili tot partes impetus quot $unt in mobili partes $ubjecti, mouetur mobile, modó non impediatur; quia po$ita cau$a nece$$aria, & non impedita per Ax. 11. ponitur effectus, quod de omni cau$a, $ed de fotmali poti$$imum dicidebet; præterea-datur aliquod pondus, quod data potentia $ine me- chanico organo moucre non pote$t, licèt cum organo facilè moueat; hæc hypothe$is certa e$t; igitur cum mouet, producit tot partes impetus quot $unt nece$$ariæ, vt omnibus partibus mobilis di$tribuantur per idem Th. 33. cum verò non mouet, non producit tot partes impetus vt con$tat ex dictis; igitur producit plures cnm organo in mobili, quàm $ine organo; igitur imperfectiores, quod demon$tro: $it enim<note><I>Fig.</I>7. <I>Tab.</I>1.</note> vectis BF, cuius cen- trum $eu fulcrum $it in A, potentia in B, pondus G, quod attollitur in F; plures partes impetus produci po$$unt in F, vel in E, quàm in B, $cilicet in ip$o pondere; quia pondus quod non pote$t attolli in B, attollitur in E, vel in F, vt patet ex dictis; præterea punctum F mouetur tardius, quàm B; quia motus $unt vt arcus, atcus vt $emidiametri, hæ demum vt AF, ad AB; igitur motus puncti F, e$t tardior, vel imperfectior; igitur im- petus puncti F, e$t imperfectior impetu puncti B, per Ax. 13 num.4. atqui non e$t imperfectior ratione numeri partium, igitur ratione entiratis, quæ imperfectior e$t; igitur datur impetus altero impetu imperfectior. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò multa hîc $upponi $eu de$iderari, quæ pertinent ad propagationem impetus, de quibus infrà; Secundò hoc Theorema <pb n=47> per Axioma illud Metaph. probari, <I>Data quacumque creatura dari potest perfectior, vel imperfectior.</I> <p>Tertiò, $i dato quocunque motu pote$t dari tardior: igitur dato quo- cunque impetu pote$t dari imperfectior. <p>Quartò, $i daretur punctum impetus in inten$ione: non po$$et dari motus tatdior in infinitum $ine diuer$is gradibus perfectionis. <p>Quintò, $ine hac diuer$a impetus perfectione nonp o$$et explicari productio continua impetus, quæ $it temporibus inæqualibus, neque de- $tructio ciu$dem impetus; nec motus in diuer$is planis inclinatis, vel in- diuer$is lineis citra perpendicularem, $ed de his omnibus $uo loco. <p>Sextò, Denique ratio propo$ita rem i$tam euincit; cum enim in motu vectis plures partes producantur ver$us centrum, $cilicet, in maiori pon- dere, quod attollitur; & cum hæ habeant motum tardiorem, $equitur ne- ce$$ariò e$$e imperfectiores. <C><I>Theorema</I> 78.</C> <p><I>Dato quocumque impetu dari pote$t imperfectior, & imperfectior,</I> quia da- to quocumque motu dari pote$t tardior, ergo dato quocumque impetu imperfectior. <C><I>Theorema</I> 79.</C> <p><I>Non pote$t explicari tarditas motus $ine diuer$a perfectione impetus, per pauciores $cilicet eiu$dem impetus partes.</I> Primò, quia cum retardari po$$it hic motus, & de$trui $ucce$$inè hic impetus; cumque in$tantia motus velocioris $int breuiora; certè initio motus, breuiori $cilicet tempore imperfectior impetus de$trui tantùm pote$t; cum enim æqualis æquali- bus temporibus; certè inæqualis inæqualibus. Secundò quia vix explica- ri pore$t quomodo duæ formæ homogeneæ in eodem $ubiecti puncto exi$tere po$$int, quod ctiam in commune e$t calori, lumini, &c. <C><I>Theorema</I> 80.</C> <p><I>Cum applicatur potentia centro vectis, non producitur æqualis impetus ver- $us circumferentiam in omnibus partibus, $ed maior ver$us eandem circumfe- rentiam,</I> quia e$t maior motus. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc difficiliùs attollitur pertica<note><I>Fig.</I>6. <I>Tab.</I>1.</note> CA ex puncto C motu circulari, quàm ex puncto B motu recto; quia $cilicet, cum motu recto ex puncto B attollitur, omnes partes mouentur motu æquali; igitur impetus æqualiter omnibus di$tribuitur; igitur modò producantur tot partes impetus, quot $unt partes in mobili; haud dubiè attolletur: at verò, cum motu circulari ex puncto C attollitur, omnes partcs inæquali motu attolluntur; igitur plures $unt nece$$ariæ, vt attollatur motu circulari; igitur difficiliùs iuxta experimentum; adde quod cum applicatur potentia in C, punctum A, maius momentum habet, de quo aùàs. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Hinc ratio cuidens illius experimenti, quo manife$tè con$tat perti- <pb n=48> cam CA, ex A, facilius attolli motu recto, quàm circulari; cum $ci- licct cuiu$dam qua$i reflexionis opera eodem tempore vtraque extremi- tas æquali motu attollitur. <C><I>Theorema</I> 81.</C> <MARG><I>Fig.</I>7. <I>Tab.</I>1.</MARG> <p><I>Si verò applicetur potentia extra centrum vectis v. g. in</I> F, <I>po$ito centro in</I> A, <I>producitur impetus minor ab</I> F, <I>ver$us</I> A; <I>ab verò ver$us</I> E, <I>producitur eiu$dem perfectionis proportionaliter, cuius e$t ab</I> F, <I>ver$us</I> A; denique ab E, ver$us B, producitur quidem vnum punctum, vel vnus gradus impetus eiu$dem perfectionis cum eo, qui productus e$t in F, & in E ($upponi- turenim ex. gr. vnus tantùm gradus in F, & in E, productus) at verò producuntur alij imperfectiones. v.g. in D, præter æquè perfectum pro- ducuntur 3. alij adæquantes perfectionem prioris; in C verò, præter 4. $imiles ijs, qui $unt in D, producuntur 5. alij adæquantes prioris perfe- ctionem in B7; atque ita deinceps per numeros impares, & quadrata, nullus tamen producitur perfectioris entitatis. <C><I>Theorema</I> 82.</C> <p><I>Determinatur hæc diuer$a perfectio impetus à diuer$a perfectione motus, quatenus fit tali modo</I>; quæ non pote$t explicari per impetum remi$$io- rem, vel inten$iorem; nam cum $it tantùm impetus in$titutus propter motum; certè ille tantùm impetus produci pote$t, ex quo pote$t $equi motus; igitur $i tali tantùm motu data pars mobilis moueri pote$t; haud dubiètalis tantùm impetus, ex quo $equitur talis motus, in ea produ- cetur, & tali modo. <C><I>Theorema</I> 83.</C> <p><I>Perfectio impetus non petitur tantùm à perfectione motus $i con$ideretur $eor$im entitas eiu$dem impetus; $ed debet comparari tota collectio omniu&mtail; partium impetus, quæ in$unt datæ parti $ubiecti, cum tota collectione partium quæ alteri porti mobilis in$unt</I>; quippe plures partes impetus po$$unt ha- bere eum motum, vel potius eam motus perfectionem, quam pauciores haberent; igitur perfectio illarum e$t ab ip$o motu, quatenus cum ip$o partium numero comparatur. <C><I>Theorema</I> 84.</C> <p><I>Impetus perfectus producere pote$t imperfectum</I>; patet in vecte; nam po- tentia, $en pondus extremitati appen$um producit in $e impetum, à quo deinde impetus in toto vecte producitur per Th.42. $ed impetus pon- deris appen$i e$t ciu$dem perfectionis cum impetu producto in ip$a ve- ctis extremitate, ex qua pendet; cum $it vrriu$que æqualis motus; $ed ver$us centrum ciu$dem vectis producitur impetus imperfectior per Th.82. igitur imperfectus à perfecto producitur. <C><I>Theorema</I> 85.</C> <p><I>Impetus perfectus nunquam producitur ab imperfecto, per Ax.</I> 3. <I>num.</I> 2. adde quod nunquam effectus perfectio $uperat perfectionem cau$æ; dixi perfectum ab imperfecto; $cilicet $i con$ideretur perfectio ratione en- <pb n=49> titatis; cum reuerâ, vt dictum e$t $uprà, remi$$us producat inten$um, quod in vecte clari$$unum e$t; quippe momentum applicatum in F, quod tardiùs mouetur deor$um, quàm B, $ur$um, vt patet, habet impetum re- mi$$iorem, qui tamen producit in B, inten$iorem: Pro quo, ob$eruabis impetum imperfectum cum alio perfecto actione communi agentem po$$e concurrere ad producendum perfectum, vt patet; non tamen in ratione cau$æ totalis: $imiliter plures imperfecti $imul concurrentes po$$unt producere perfectum; quia plures imperfecti conjunctim adæ- quant perfectionem alterius perfectioris $inguli $eor$im. <p>Ob$eruabis $ecundò præclarum naturæ in$titutum, quo factum e$t; vt cum vires hominum maiora pondera leuare non po$$int, $i $eor$un con$iderentur; cum organis tamen mechanicis conjunctæ nullum pon- dus quantumuis immane leuare non po$$int; quod certè nullo modo ac- cideret, ni$i plures partes impetus producerent neque plures producere po$$ent, ni$i minoris perfectionis e$$ent; quia faciliùs producitur effe- ctus imperfectus, quam perfectus per Ax. 13.num.4. <p>Tertiò hinc optimè à natura proui$um e$t, vt motus tardior in infi- nitum e$$e po$$it; quod reuerâ fieri non po$$et, ni$i dari po$$et impetus alio imperfectior. <p>Quartò, hinc quoque benè explicatur diuer$itas impetus, quæ oritur tum à diuer$o medio, tùm à plano inclinato, tùm ab aliis impedimentis, tùm à diuer$o ni$u eiu$dem potentiæ, tùm maximè à diuer$o applicatio- nis modo; de quibus aliàs. <p>Quintò, $i potentia applicata mobili immediatè illud moueat motu recto, vel in $ingulis punctis mobilis producitur vnum punctum impe- tus, vel plura; $i primum, erit primus tantùm gradus maximæ perfectio- nis; ita vt perfectiorem producere non po$$it, ad quem e$t determinata potentia; imperfectiorem tamen impetu innato, de quo infrà; $i verò $ecundum, producet in $ingulis paitibus eumdem gradum perfecti$$i- mum cum aliis pluribus, vel paucioribus heterogeneis, & imperfectio- ribus. <C><I>Theorema</I> 86.</C> <p><I>Potentia naturalis grauium producit tantùm vno in$tanti ad intra vnicum punctum impetus in quolibet puncto $ubiecti; $i tamen impetum producit, quod definiam lib.</I> 20. <I>& $i dentur puncta $ubiecti, quod ad præ$ens in$titutum non pertinet</I>; Probatur, quia fru$trà e$$ent plura puncta impetus; nec enim $unt multiplicandæ formæ $ine nece$$itate, ratione &c. per Ax. 7. & 3. n. 1. Præterea non e$t, cur potius produceret 2. quàm 3. 4. &c. atqui quod vnum e$t, determinatum e$t per Ax. 5. <C><I>Theorema</I> 87.</C> <p><I>Potentia motrix animantium etiam vno in$tanti plura puncta, $en partes impetus in eadem parte $ubiecti producere potest</I>; Probatur in proiectis, quorum impetus aliquando plùs, aliquando minùs durat licèt $en$im $ingulis in$tantibus aliquid illius de$truatur; determinatur autem <pb n=50> numerus punctorum, $eu partium ab ea potentia, cui $ube$t potentia motrix; quia modò maior e$t ni$us, modò minor. <C><I>Theorema</I> 88.</C> <p><I>Eadem potentia inæqualibus temporibus impetum inæqualem in perfectio- ne producit</I>; accipiatur enim totum illud tempus, quo vnicum tantùm punctum impetus producit (vocetur in$tans) de quo in Th. 86; certè $i in minori tempore agat, minùs aget, per Ax. 13. num. 4. $ed non pote$t minùs agere ratione numeri, vt patet; igitur ratione perfectio- nis. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis $ine hoc Theoremate explicari non po$$e accelerationem motus naturalis, vel augmentum impetus, vt videbimus. <C><I>Theorema</I> 89.</C> <p><I>Impetus violenti, qui $en$im de$truitur in proiectis, po$itis ij$dem circum- $tantiis medij, & re$i$tentiæ, minori tempore minùs de$truitur; plus verò ma- jori:</I> Quia hæc de$tructio habet cau$am; nam quidquid de$truitur, ad exigentiam alicuius de$truitur, per Ax. 14. num. 2. igitur minori tempore minùs de$truitur per Ax. 13. 4. alioquin totus $imul debe- ret de$trui. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis etiam $ine hoc Theoremate non po$$e explicari de$tru- ctionem impetus violenti, vt videbimus infrà. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc, quò potentia diutiùs manet applicata (putà malleo) percu$$io ma- ior e$t. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Hinc, quò impedimentum diutiùs manet applicatum, illa de$tructio e$t maior. <C><I>Corollarium</I> 3.</C> <p>Hinc præclara eruitur ratio, cur maior lapis, quàm minor impactus maiorem ictum infligat; licèt tot partes impetus eodem in$tanti produ- cantur in vno, quot in alio: quia $cilicet diutiùs manet applicatus po- tentiæ; $ed hanc rationem explicabimus fusè lib. 10. cum de percu$- $ione. <C><I>Theorema</I> 90.</C> <p><I>Impetus propagatur nece$$ariò per totum corpus impul$um, $eu proiectum.</I> <p>Probatur; quia cum omnes eius partes moueantur, nec vlla $ine im- petu moueri po$$it per Th. 18. & 33. cum etiam potentia motrix non $it omnibus immediatè applicata, vt con$tat; certè $ine propagatione, vel diffu$ione non pote$t explicari productio huius motus. <pb n=51> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis propagationem impetus, vel alterius qualitatis e$$e tan- tùm continuatam eiu$dem productionem, quæ incipit ab ea parte, cui potentia e$t immediatè applicata, & propagatur, $eu diffunditur per omnes alias donec ad vltimam perueniat eo modo, quo iam definio. <C><I>Theorema</I> 92.</C> <p><I>Illa progatio non fit per motum localem, ita vt pars impetus producta in prima parte $ubiecti tran$eat ad $ecundam,</I> patet; quia cum impetus $it ac- cidens per Th. 8. de $ubiecto in $ubiectum tran$ire non pote$t per deff. accidentis; de qua in Metaphy$icâ; nec e$t quod aliqui dicant $e nõ po$$e concipere, quomodo id fiat $ine motu locali;<note><I>Fig.</I>8. <I>Tab.</I> 1.</note> cum ip$is etiam oculis qua$i ocrnatur; cum enim percutis corpus oblongum AE, & cadit ictus in extremitatem A, corpus ip$um totum $unul moues; igitur pars impe- tus, quæ recipitur in A, non migrat in E, $ed hæc producitur in A, & alia in B, alia in C, atque ita deinceps. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis ex hac propagatione impetus per analogiam rectè om- ninò explicari propagationem luminis, & aliarum qualitatum, de qui- bus $uo loco. <C><I>Theorema</I> 92.</C> <p><I>In propagatione impetus prima pars</I> A v. g. <I>non producit partem</I> B, <I>& hæc</I> C; <I>hæc verò</I> D, <I>atque ita deinceps</I>; Probatur. Primò, quia $i hoc e$$et, omne corpus po$$et moueri à qualibet potentia; nam modò po$$et pro- duci vnum punctum impetus, hoc etiam aliud produceret, & hoc aliud, atque ita deinceps. Secundò, Minimum granum $uperpo$itum rupi, to- tam ip$am rupem mouere po$$et. Tertio, Quia vel in omnibus, vel in nulla parte impetus producitur per Th.33. Quartò, quia impetus mobi- lis projecti intenderetur; nam impetus vnius partis impetum alterius intenderet. Quintò, quia impetus partis B, tàm ageret in A, trahendo, quàm in C pellendo; cum impetus vtroque modo propagetur. Sextò, $i applicaretur potentia in C, non video, cur impetus partis C, ageret po- tius versùs E, quàm versùs A? alioquin cadem pars impetus plures pro- ducere po$$et; igitur impetus potentiæ motricis $ufficiens erit cau$a ad producendum totum alium. Septimò, tractionis impetus explicari non pote$t, $i impetus vnius partis producat in alia impetum; alioquin dare- tur mutua actio infinities repetita, vt con$ideranti patebit. Octauò, $i impetus vnius partis producit in alia; $int duo globi contigui; igitur il- le, qui impellit alium, reflecti po$$et, quod nunquam accidit quando $unt contigui. <p>Ob$eruabis illud quidem verum e$$e in motu recto, $ecus in circulari; nam cum cylindrus circa alteram extremitatem vibratus deor$um cadit; partes, quæ propiùs ad extremitatem immobilem accedunt iuuant mo- tum aliarum, quæ longiùs ab eadem recedunt. <pb n=52> <C><I>Theorema</I> 93.</C> <p><I>Impetus propagatur eodem in$tanti, id e$t, $ine temporis $ucce$$ione.</I> Proba- tur; $it enim applicata potentia in A, dico $imul produci impetum in BCDE; quia $i primo in$tanti produceretur in A, & $ecundo in B, vel A moueretur ante B, vel impetus in A e$$et fru$trà; vtrumque e$t ab$ur- dum; nam totum AE, $imul mouetur. <C><I>Theorema</I> 94.</C> <p><I>Tribus tantùm modis propagari pote$t impetus ratione inten$ionis.</I> Primò $i æqualiter omnibus partibus $ubjecti di$tribuatur; id e$t vniformiter. Secundò, $i plùs partibus propioribus, & minùs remotioribus. Tertiò, è contra, $i plùs remotioribus, & minùs propioribus; tribus etiam ratione perfectionis eo modo, quo diximus de inten$ione; at verò nouem mo- dis propagari pote$t ratione vtriu$que; patet ex regula combinationum; $i enim 3. ducantur in 3. habebis 9. Iam $upere$t, vt videamus, an reue- rà omnibus i$tis modis impetus re ip$a propagetur; quod licèt difficile $it, & vix hactenus explicatum: Audeo tamen polliceri meum $uper hac re conatum non pror$us inutilem fore. <C><I>Theorema</I> 95.</C> <p><I>Impetus propagatur vniformiter in mobili, cuius omnes partes mouentur æquali motu</I>; probatur, quia impetus non cogno$citur ni$i per motum; igitur vbi e$t æqualis motus, debet e$$e æqualis impetus in omnibus par- tibus, id e$t æqualis graduum heterogeneorum collectio, in quo non e$t difficultas. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis illud mobile moueri motu æquali $ecundum omnes $ui partes, quod mouetur motu recto; quippe fieri non pote$t, quin omnes partes, quæ mouentur motu recto $implici, motu etiam æquali mouean- tur. <C><I>Theorema</I> 96.</C> <p><I>Cum duo corpora $e$e mutuò tangunt, impetus in vtroque propagatur</I><note><I>Fig.</I>1. <I>Tab.</I> 1.</note> $int v. g. globi A & B, æquales $ibi inuicem contigui in C, $it applicata po- tentia in D, non modò producet impetum in globo A, $ed etiam in B: probatur primò, quia $e habent per modum vnius, vt patet ex re$i$ten- $tia, nec enim A moueri pote$t $ine B per lineam DE, quod certè cla- ri$$imum e$t; probatur $ecundò quia $i A produceret impetum in B, duo globi, vel 3. vel 5. vel infiniti tantùm re$i$terent, quantùm vnicus glo- bus, quod fal$um & ab$urdum e$t. Tertiò, Ratio à priori e$t; quia idco producitur, & propagatur impetus in toto A; quia vna pars non pote$t moueri $ine alia per Th. 33. $ed non pote$t A moueri ni$i moucatur B; igitur in vtroque $imul, & æqualiter propagatur impetus. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc ratio manife$ta cur maior $it re$i$tentia duorum quàm vnius. <pb n=53> <C><I>Corollarium.</I> 2.</C> <p>Hinc eadem vis requiritur ad $u$tinenda duo pondera; $iue vtrum- que $eor$im humeris incubet, $iue alterum alteri $uperponatur. <C><I>Corollarium</I> 3.</C> <p>Hinc percu$$io vel ictus globi B, cui alter A à tergo immediatè in- $t$tit maior e$t. <C><I>Corollarium</I> 4.</C> <p>Hinc pondus alteri $uperpo$itum actione communi cum alio graui- tat in $uppo$itam manum. v. g. <C><I>Corollarium</I> 5.</C> <p>Hinc potentia applicata in D, minùs impetus $ingulis imprimit. <C><I>Corollarium</I> 6.</C> <p>Hinc demum licèt impetus ratione inten$ionis $it æqualis in vtroque globo; attamen, $i accipiatur numerus partium vtriu$que impetus, im- petus $unt vt globi v. g. $i B e$t æqualis A impetus productus in B e$t æqualis producto in A, $i B $it $ubduplus, vel $ubtriplus, impetus e$t $ubtriplus, vel $ubduplus; quorum omnium rationes patent ex Th.96. <C><I>Corollarium</I> 7.</C> <p>Hinc etiam colligi pote$t manife$tum di$crimen, quod intercedit inter propagationem impetus, & aliarum qualitatum, quæ (vt vulgò dicitur) vniformiter difformiter propagantur, id e$t, æqualiter in æquali di$tantia, & inæqualiter inæquali. <C><I>Corollarium</I> 8.</C> <p>Hinc demum colligi pote$t non modò impetum produci in globo B v. g. verùm etiam in aëre ambiente, cui $cilicet globus contiguus e$t; qui reuera aër facilè amouetur; tùm quia propter raritatem pauci$$imæ partes mouendæ $unt; tùm quia facilè diuiduntur, de quibus alias; tùm quia, ne detur vaçuum, $patium à tergo relictum occupare debet, quod reuerà præ$tat breui peracto circuitu, vt videre e$t in aqua; nec enim totus aër agitari debet; quis enim id con$equi po$$et; tum denique, quia aër non grauitat in aëre, igitur cum non re$i$tat vlla grauitatio, facilè moueri pote$t. <C><I>Theorema</I> 97.</C> <p><I>Cum applicatur potentia centro motus circularis, ita propagatur impetus, vt plures partes impetus continuò producantur ver$us circumferentiã</I>;<note><I>Fig.</I>6. <I>Tab.</I>1.</note> $it enim cylindrus CA, fig. Th. 73. $it centrum motus C; haud dubiè plures partes impetus producuntur in B, quàm in C, & plures in A, quam in B; quia, cum pars B moueatur velociùs, quàm C, & A quàm B; certè, vbi e$t maior motus, vel effectus, ibi debet e$$e maior impetus, vel cau$a per Ax. 13. n. 4. quod autem $it maior motus, con$tat ex maioribus $patiis, vel arcubus æquali tempore confectis; quod verò $it impetus inten$ior <pb n=54> versùs circumferentiam, non perfectior, patet per Th. 8. <C><I>Theorema</I> 98.</C> <p><I>Inten$io impetus propagati iuxta hunc modum $e habet, vt distantia à cen- tro motus</I>; $int enim punctum B, & pnnctum A: ita $e habet inten$io impetus puncti A ad inten$ionem impetus puncti B, vt di$tantia AC ad BC. Probatur, quia cum impetus $int vt motus, motus vt $patia, $patia verò $int arcus AE. BD; arcus $unt, vt $emidiametri AC, BC; igitur vt di$tantiæ quòd erat demon$trandum. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc $i di$tantia CA e$t dupla di$tantiæ CB, impetus in A e$t du- plus impetus in B: at verò impetus $egmenti e$t ad impetum alterius, vt diximus in Th. 73. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Hinc hæc propagatio fit iuxta progre$$ionem arithmeticam id e$t, $i in primâ parte ver$us centrum producitur impetus vt 1. in $ecunda pro- ducitur vt duo, in tertiâ vt tria, atque ita deinceps; quia proportio arithmetica e$t laterum, $eu linearum. <C><I>Corollarium</I> 3.</C> <p>Hinc hæc propagatio e$t omninò inuer$a illius, quæ aliis qualitatibus competit, vt patet. <C><I>Corollarium</I> 4.</C> <p>Hinc etiam manife$ta ratio $equitur illius experimenti, quod propo- $uimus corol. 2. Th. 80. <C><I>Corollarium</I> 5.</C> <p>Hinc $i tantùm habeatur ratio impetus, facilè pote$t determinari in qua proportione cylindrus faciliùs moueatur motu recto, quàm motu circulari; po$ito $cilicet centro motus in altera extremitate, cui applica- tur potentia; quippe impetus propagatus in motu circulari e$t $umma terminorum; propagatus verò in motu recto e$t vltimus terminorum, v.g. $int $ex puncta $ubiecti; in quolibet producatur impetus vt vnum; haud dubiè erit motus rectus; vt verò $it motus circularis in primo puncto; producatur vt 1. in $ecundo vt 2. in tertio, vt 3. atque ita dein- ceps; $umma erit 21. cum tamen in motu recto e$$ent tantùm 6. igitur vt $e habent 21. ad 6. ita $e habet facilitas motus recti ad facilitatem motus circularis. <p>Dixi, $i tantùm habeatur ratio impetus; quia $i addatur ratio graui- tationis, $eu momenti; haud dubiè maior erit adhuc difficultas, de quo infrà in Schol. <C><I>Corollarium</I> 6.</C> <p>Hinc quò longior e$t cylindrus, v. g. cre$cit proportio maioris illius facilitatis, vt patet inductione; nam $i $int tantùm 2. puncta, proportio erit 3. ad 2.; $it tria 6. ad 3.; $i 4. 10. ad 4. $i 5. 15. ad 5.; $i 6. 21. ad 6. <pb n=55> $i 7. 28. ad 7; $i 8. 36. ad 8; $i 9. 45. ad 9; atque ita deinceps; ex quibus primò vides cre$cere $emper proportionem. Secundò inter duplam, & triplam rationem, $cilicet 6. ad 3. & 15. ad 5. intercedere 2 1/2; inter triplam & quadruplam intercedere 3. 1/2; inter quadruplam & quintuplam inter- cedere 4 1/2; atque ita deinceps. <C><I>Corollarium</I> 7.</C> <p>Colligo denique po$$e in motu recto cum maiore ni$u produci inten- $iorem impetum in data ratione;<note><I>Fig.</I>9. <I>Tab.</I>1.</note> $it enim cylindrus AB, qui moueatur circa centrum A, percurrátque B, arcum BD; qui accipiatur vt recta, quæ à minimis arcubus $en$u di$tingui non pote$t; haud dubiè $i eo tempore, vel æquali, quo AB tran$it in AD; eadem AB, vel æqualis motu recto tran$eat in FD, Dico impetum huius motus e$$e duplò in- ten$iorem impetu illius; quia impetus $unt vt motus; motus verò vt $patia, quæ percurruntur æqualibus temporibus; $ed $patium rectanguli AD, e$t duplum trianguli ADB; igitur & motus; igitur & impetus; $i verò AB tran$eat in EL, ita vt AF, $it dupla AE; impetus erunt æquales; quia rectangulum AC, e$t æquale triangulo ABD. <p>Dixi arcum BD, accipi vt lineam rectam; Si enim accipiatur vt ar- cus; haud dubiè motus cylindri AB, dum transfertur in FD, e$t ad mo- tum eiu$dem AB, dum transfertur in AD, vt rectangulum AD, ad $e- ctorem, cuius arcus $it æqualis rectæ BD, & radius ip$i AB. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò, id quod $uprà dictum e$t ita e$$e intelligendum, vt momentum grauitationis nullo modo con$ideretur, & prædictus cylindrus cen$eatur potiùs moueri in plano horizontali, à quo $u$tinea- tur, quàm in circulo verticali, in quo libera $it eius libratio, $eu gra- uitatio. <p>Secundò, non po$$e $u$tineri cylindrum horizonti parallelum, ni$i aliqua eius portio $eu manu, $eu forcipe, vel alio quouis modo accipia- tur, v.g. $it<note><I>Fig.</I>10 <I>Tab.</I>1</note> cylindrus AG horizonti parallelus; vt in hoc $itu reti- neatur, debet aliqua eius portio putà AB, manu teneri, alioqui ne à po- tentiâ quidem infinita $u$tineri po$$et. <p>Tertiò, $i $upponatur fulcitus in B; vt retineatur in æquilibrio, debet addi momentum in A; $eu debet retineri ab ip$a potentiâ applicata in A. <p>Quartò, pondus in G $e habet ad idem pondus in A, $tatuto centro in B, vt $egmentum GB, ad BA, id e$t, vt 5. ad 1. <p>Quintò, $i proprio pondere frangeretur BG, haud dubiè in B frange- retur; e$t autem momentum ponderis BG, vt $ubduplum eiu$dem BG po$itum in G, vt demon$trat Galileus prop.1.de re$i$tentia corp.$it enim BG, duarum librarum, $itque BG, diui$a bifariam in H; haud dubiè pondus in H, facit momentum $ubduplum eiu$dem in G, vt patet; $unt enim vt di$tantiæ; igitur cum $egmentum HG tantùm addat momenti $upra H, quantùm detrahit HB; certè momentum totius ponderis BG, <pb n=56> e$t tantùm $ubduplum eiu$dem po$iti in G; itaque $it BG, 10. librarum, æquiualet 5. libris $tatutis in G, & AB, vni libræ po$itæ in A; $ed hæc libra in A, habet tantùm $ubquintuplum momentum eiu$dem in G, igi- tur 5. libræ in A, æquiualent vni in G; igitur vt $tatuatur æquilibrium, debent e$$e 24. libræ in A, $eu vires æquiualentes; quibus adde pondus ab$olutum 12. librarum; erunt 36. igitur re$i$tentia ad motum circula- rem verticalem ex triplici capite oritur. Primò ex ip$o pondere ab$olutè $umpto, quæ communis e$t motui propagationis. Secundò, ex momento eiu$dem ponderis; Tertiò, ex tali genere propagationis, de quo $uprà; quæ omnia $unt apprimè tenenda, ne quis error $ubrepat. <C><I>Theorema</I> 99.</C> <p><I>Cum applicatur potentia circumferentiæ motus circularis; ita propagatur impetus, vt plures partes ver$us centrum motus producantur in pondere, quod attollitur</I>; $it enim idem<note><I>Fig.</I>6. <I>Tom.</I> 1.</note> cylindrus CA; $itque applicata potentia in A, dico ver$us C, plures partes produci in pondere, Probatur, quia attol- litur pondus in C, quod moueri non pote$tin A, operâ vectis AC, vt con- $tat ex certa hypothe$i; igitur plures partes impetus producuntur per rationem 6. & 7. Th.77, <C><I>Scholium.</I></C> <p>Scio quidem hoc ip$um à nemine hactenus, quod $ciam, explicatum e$$e; atque fore vt à multis tanquam nouum, & in$olens minùs fortè probetur: quamquam illa hypothe$is hoc ip$um euincit, vulgaris certè, & nemini qua$i non nota; qua nempè dicimus in omnibus partibus mo- bilis, quod actu mouetur, impetum produci; & $i quando accidat corpo- ris ingentem molem ab applicata potentia non po$$e moueri, illud e$$e tantùm, quòd non po$$int produci tot partes impetus, quot $unt nece$$a- riæ, vt omnibus partibus $ubjecti di$tribuantur; igitur ex hac hypothe- $i, quæ ex manife$tis ducitur experimentis, nece$$ariò dicendum e$t plu- res partes impetus versùs centrum vectis produci in pondere, quod at- tollitur, cuius propagationis proportionem infrà demon$trabimus. <C><I>Theorema</I> 100.</C> <p><I>Impetus, qui producitur ver$us centrum vectis in pondere, licèt cre$cat nu- mero, decre$cit tamen in perfectione.</I> Probatur per Th.81. ex motu imper- ctiore, cui re$pondet impetus imperfectior per Ax. 17.num.4. non ratio- ne numeri, qui maior e$t per Th.99. igitur ratione entitatis, $eu perfe- ctionis entitatiuæ. <C><I>Theorema</I> 101.</C> <p><I>Tota collectio impetus, quæ in pondere ex dato puncto vectis producitur, e$t ad aliam collectionem alterius puncti in perfectione, vt distantia illius puncti à centro, ad di$tantiam huius</I>: probatur, quia perfectio vnius collectionis e$t ad perfectionem alterius, vt motus ad motum; motus verò $unt vt $patia, $patia vt arcus, arcus vt $emediametri, hæ demum, vt di$tantiæ. <pb n=57> <C><I>Theorema</I> 102.</C> <p><I>Impetus in ip$o vecte $ine pondere addito ita propagatur, vt $it imperfectior ver$us centrum vectis</I>; probatur, quia pondus ver$us centrum mouetur minore motu, vt con$tat; igitur ab imperfectiore impetu; $ed non e$t imperfectior tantùm ratione numeri, id e$t, pauciorum partium impe- tus; quia $i hoc e$$et,<note><I>Fig.</I>6. <I>T.</I> 1.</note> $it vectis AC, motus B, e$t $ubduplus motus A; igitur $i e$t impetus eiu$dem perfectionis entitatiuæ, vt $ic loquar; ita $e habet numerus partium impetus in B, ad numerum partium in A, vt motus B, ad motum A; & hic vt arcus BD, ad arcum AE; & hic vt BC, ad AC; igitur e$t $ubduplus; igitur æqualis omninò producitur impetus ab eadem potentia in vecte AC, $iue applicetur centro C, $iue circumferentiæ A; igitur æquè facilè; quod e$t contra experientiam; probatur $ecundò, quia $i hoc e$$et, pondus idem tàm facilè attolleretur in A, quàm in B; quia idem impetus produceretur, quod e$t contra ex- perientiam. <C><I>Theorema</I> 103.</C> <p><I>Ex hoc facilè intelligitur, cur impetus propagetur faciliùs à circumferen- tia ad centrum, quàm à centro ad circumferentiam, & cur longior vectis ab eadem potentia moueri po$$it primo modo, non $ecundo, quod clarum est.</I> <C><I>Theorema</I> 104.</C> <p><I>Decre$cit impetus ver$us centrum iuxta rationem distantiarum</I>; probatur quia decre$cit iuxta rationem motuum; & hæc iuxta rationem di$tan- tiarum. <C><I>Theorema</I> 105.</C> <p><I>Non decre$cit numerus partium impetus à circumferentia ad centrum</I>; probatur, quia cum à circumferentia ad centrum ita propagetur impe- tus, vt vnicum tantùm punctum producatur in ip$a extremitate mobilis; certè non pote$t minùs impetus produci ver$us centrum ratione nume- ri; igitur non decre$cit numerus; hinc producitur nece$$ariò imperfe- ctior ver$us centrum. <C><I>Theorema</I> 106.</C> <p><I>Non producuntur plures partes impetus in vecte ver$us centrum, id est, non $unt plures in punclo vectis propiùs ad centrum accedente, quàm in co; quod longiùs distat:</I> Probatur primò, quia fru$trà e$$ent plures. Secundò, cur potiùs in vna proportione, quàm in alia? <C><I>Theorema</I> 107.</C> <p><I>Ex his constat produci impetum æqualem numero in omnibus punctis vectis a circumferentia ad centrum, cum $cilicet applicatur potentia circumferentiæ</I>; probatur, quia non producitur numerus minor per Th.105. neque maior per Th. 106. igitur æqualis; adde quod res explicari non pote$t per ma- iorem, neque per minorem; ita vt $cilicet pondera, quæ à data potentia leuantur, $int vt di$tantiæ, de quo $uprà. <pb n=58> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis, quod aliquando in mentem venerat; $cilicet, ver$us cen- trum produci maiorem numerum in ratione di$tantiarum permutando; & imperfectiorem in ratione duplicata earumdem di$tantiarum, etiam permutando,<note><I>Fig.</I>6. <I>T.</I>1.</note> v. g. $it idem vectis AC $ectus bifariam in B; in puncto B producitur numerus duplus producti in A; at verò perfectio impetus in B e$t ad perfectionem impetus in A, vt quadratum BC ad quadra- tum AC; vel in ratione $ubquadrupla, licèt tota collectio impetus B $it tantùm $ubdupla perfectione collectionis impetus A; $ed hoc profe- ctò dici non pote$t; nam $int in A 4. partes impetus; igitur in B erunt 8. applicetur autem pondus in B. Primò producentur in co partes 8. impetus perfectionis $ubquadruplæ; $i comparentur cum partibus A, tum producentur 16. quæ æquiualent 4 A; igitur 24. at verò in A pro- ducentur primò 4. tum deinde 2. quæ æquiualent 8. productis in B; igitur 6. igitur pondus, quod leuari pote$t in B, e$t ad pondus, quod leuari pote$t in A, vt 24. ad 6.id e$t, in ratione quadrupla quod omninò fal$um e$t. <C><I>Theorema</I> 108.</C> <p><I>Iam facilè explicatur ex dictis, quomodo, & cuius rationis pondera attol- lantur ex diuer$is punctis vectis</I>; $it enim idem vectis AC, & producan- tur.v.g. in $ingulis punctis vectis $ingula puncta impetus, $ed diuer$æ perfectionis; haud dubiè plures partes impetus imperfecti po$$unt face- re impetum æqualem in perfectione alteri, qui con$tat paucioribus, $ed perfectioribus; igitur cum impetus B $it imperfectior duplò quàm im- petus in A, duplò plures partes impetus producentur in B, quàm in A, er- go duplò maius pondus moucbitur; atque ita deinceps; eum enim ap- ponitur pondus in B, producuntur in eo partes impetus omnes eiu$dem perfectionis; quæ $cilicet re$pondet B, id e$t, quæ e$t $ubdupla perfectio- nis impetus A; igitur plures partes producuntur, quàm $i e$$ent perfe- ctionis A; $ed pauciores quàm $i e$$ent perfectionis O, quæ minor e$t; quippe eadem potentia, $eu cau$a, quæ agit quantum pote$t (quod $up- pono modò) producit æqualem effectum in perfectione, per Ax. 13. n. 4. $ed æqualis perfectio pote$t con$tare pluribus, vel paucioribus parti- bus perfectionis, nam 4. pattes perfectionis vt 4. faciunt æqualem effe- ctum alteri qui con$tat 8. partibus perfectionis vt 2. quod certum e$t; $ed de his plura aliàs. <C><I>Theorema</I> 109.</C> <p><I>Perfectio decre$cit ver$us centrum iuxta diuer$am rationem longitudinum vectis, $eu distantiarum.</I> v.g.$it idem vectis AC, ita decre$cit ab A ver$us centrum C; vt impetus puncti B $it $ubduplus in perfectione, puncti R fubtriplus: iam verò $it vectis $ubduplus prioris BC, $ectus bifariam in Z; $i impetus productus in B, qu&ecedil; e$t extremitas minoris vectis B $it æqua- lis perfectionis cum impetu producto in A (& reuera $unt æquales) $i æquali æmpore percurrant arcus æquales, $cilicet AV, & BD) certè im- <pb n=59> pertus productus in Z e$t æqualis producto in B, cum B pertinet ad ma- iorem vectem; quia vt AC totus maior vectis e$t ad BC ita BC ad ZC: igitur decre$cit perfectio versùs centrum iuxta rationem longi- tudinum. <C><I>Theorema</I> 110.</C> <p><I>Minima potentia est illa, quæ in extremitate vectis, quæ procul recedit à centro, vnam tantùm partem, vel vnum punctum impetus producit</I>; nihil enim minùs produci pote$t, po$ito quod potentia applicata ad talem gra- dum perfectionis $it determinata, id e$t ad producendum impetum talis perfectionis in ea parte $ubjecti, cui applicatur immediatè, vt $uprà di- ctum e$t. <C><I>Theorema</I> 111.</C> <p><I>Si $int tantum duo puncta vel duæ partes vectis, illa potentia ad illum mo- uendum $ufficiens motu circulari est ad aliam $ufficientem ad illum mouen- dum motu recto, vt</I> 1/2 <I>ad</I> 2. $i $int tria puncta vt 2. ad 3. $i 4. vt 2. 1/2 ad 4. $i 5. vt 3. ad 5. $i 6. vt 3. 1/2 ad 6. atque ita deinceps iuxta hanc propor- tionem in quo non e$t difficultas, cum hoc totum $equatur ex Th. 109. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$erua tamen quacumque data potentia po$$e dari minorem; quia quocumque dato motu, etiam recto, pote$t dari tardior; igitur quocum- que impetu imperfectior; igitur quando appellaui potentiam minimam; intellige illam quæ comparatur cum vnico puncto impetus talis perfe- ctionis; hæc enim reuera minima e$t illarum omnium, quæ po$$unt pro- ducere impetum talis perfectionis, $i verò comparetur cum impetu im- perfectiore, haud dubiè minima non e$t. <p>Ob$erua præterea $uppo$itum e$$e hactenus in extremitate vectis $iue maioris, $iue minoris, produci impetum ciu$dem perfectionis, ciu$que vnicum punctum, $eu partem, vnde potentia quæ applicatur maiori vecti conuenit quidem cum ea, quæ applicatur minori in eo, quòd vtraque in extremitate $ui vectis producat vnum punctum impetus eiu$dem perfe- ctionis; differt tamen in eo, quòd illa, quæ applicatur maiori vecti, $it maior iuxta rationes prædictas in Theoremate. v. g. illa, quæ applicatur vecti. 2. punctorum e$t ad eam, quæ applicatur vecti trium punctorum, $cu partium, vt 1. 1/2 ad 2. & $i vectis $it 4. punctorum ad 2. 1/2; $i 5. ad 3. $i 6. ad 3. 1/2; $i 7. ad 4. $i 8. ad 4. 1/2. Vides egregiam progre$$ionem; $it enim vectis 2. punctorum AB, in puncto A, quod e$t extremitas, produ- catur punctum impetus datæ perfectionis, in B producetur aliud, cuius perfectio e$t $ubdupla prioris per Th. 109. igitur caracter, $eu momen- tum totius impetus e$t 1. 1/2. $it porrò vectis 4. punctorum CDEF, in C, quod e$t extremitas; producatur vnum punctum impetus ciu$dem perfectionis cum eo, quod productum e$t in A; certè in D producetur aliud cuius perfectio erit ad priorem vt 3.ad 4. per idem Th. $ic autem notetur 1/4, in E 2/4, in F 3/4, in C vero 4/4; perfectiones enim $unt vt lon- <pb n=60> gitudines; quæ $i colligantur, habebis characterem totius impetus, 2 1/2: igitur totus impetus productus in minore vecte, qui con$tat 2. punctis, e$t ad impetum, qui producitur in maiore con$tante 4.punctis, vt 1. 1/2 ad 2. 1/2; igitur vectis maior maiorem potentiam ad mouendum ip$um ve- ctem requirit; non certè in de$cen$u; quippe $uo pondere de$cendit, $ed in plano horizontali; ni$i enim potentia po$$it mouere vectem; haud dubiè nullum pondus vecte mouebit. <p>At verò $i potentia $it tantùm dupla minimæ, quæ datum vectem mo- uere po$$it; haud dubiè dato illo vecte datum ferè quodcumque pondus mouere poterit; cum ip$e vectis con$tet ferè infinitis punctis in longi- tudine, vt patet ex dictis, & con$ideranti patebit. <p>Ob$eruabis demum in mechanicis nullam ferè haberi rationem pon- deris ip$ius vectis; parum enim pro nihilo computatur: Ex his tamen erui po$$unt veri$$imæ rationes Phy$icæ proportionum vectis AH;<note><I>Fig.</I>11 <I>Tab.</I>1.</note> $ia- que A extremitas, H centrum; $itque BH 1/2. CH 1/4, DH 1/2, EH (1/16), FH (1/32), GH (1/64) pondus I applicetur in A, & moueatur; certè in B moue- bitur pondus K duplum I; quia, cum impetus productus in B, $it $ubdu- plus in perfectione illius, qui producitur in A; vt æqualis producatur in B, & in A, debent produci in B duplò plures partes impetus; igitur du- plò maius pondus mouebit; at verò in C mouebitur pondus L quadru- plum I, in D octuplum, atque ita deinceps; donec tandem in G mot ea- tur pondus, quod $it ad I vt 64. ad 1. & cum adhuc po$$int accipi inter GH, partes aliquotæ minores, & minores ferè in infinitum, non mirum e$t $i pondus maius po$$it adhuc moueri. <p>Ob$eruabis etiam in omni vecte ab$trahendo ab eius pondere, & ap- plicata cadem potentia, hoc e$$e commune; vt po$$it quodcumque pon- dus attolli, licèt difficiliùs in minore; quia hic non pote$t in tam mul- tas partes aliquotas $en$ibiliter diuidi, in medio tamen vecte duplum femper pondus mouetur; $iue ip$e vectis $it maior, $iue minor. <p>Ob$eruabis deinde, $i centrum vectis non $it in altera extremitate, $ed. v.g. in C; haud dubiè producitur in H, & in B impetus æqualis; quia æqualiter di$tat vtrumque punctum à centro C; igitur æquale pondus mouebitur in B, & in H; propagatur tamen nouo modo à C ver$us H, de quo iam $uprà dictum e$t. <p>Ob$eruabis denique triplicem propagationem impetus e$$e legiti- mam. Prima e$t in motu recto, cum propagatur per partes æquales, tùm in perfectione, tùm in numero in $ingulis partibus $ubjecti per gradus, $cilicet heterogencos. Secunda e$t in motu circulari, applicata $cilicet potentia centro; cum propagatur per partes æquales in perfectione, & inæquales in numero. Tertia e$t in vecte, cum propagatur per partes æquales in numero, & inæquales in perfectione. <C><I>Theorema</I> 112.</C> <p><I>Impetus debet determinari ad aliquam lineam motus</I>; probatur, quia non pote$t e$$e impetus, ni$i exigat motum per Th.14. nec exigere mo- <pb n=61> tum, ni$i per aliquam lineam, vt patet; $ed hoc e$t impetum e$$e de- terminatum ad aliquam lineam motus; præterea $i non e$t determina- tus ad aliquam lineam; igitur indeterminatus, & indifferens per Ax.1. $ed indifferens manere non pote$t; cur enim potius haberet motum per vnam lineam, quàm per aliam? igitur debet determinari. <C><I>Theorema</I> 113.</C> <p><I>Impetus ad plures lineas $eor$im indifferens e$t:</I> Probatur, quia idem im- petus pilæ in aliam impactæ producit in ea impetum, qui pro diuer$o contactu ad diuer$am lineam determinari pote$t; præterea corpus graue in diuer$is planis inclinatis de$cendit; igitur per diuer$as lineas; deinde pila reflectitur propter impetum priorem, qui tantùm mutat lineam, vt dicemus infrà; adde quod funependuli vibrati impetus $ine reflexione mutat lineam motus; igitur idem impetus ad plures lineas $eor$im e$t indifferens. <C><I>Theorema</I> 114.</C> <p><I>Hinc idem impetus ad plures lineas potest determinari $eor$im</I>; quia ad eas pote$t determinari, ad quas e$t indifferens, vt patet; $ed ad multas e$t indifferens per Theorema 113. igitur ad multas pote$t determi- nari. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò determinationem hanc nihil e$$e aliud, ni$i ip$um impetum cum tali linea comparatum, $eu coniunctum; vnam verò li- neam differre ab alia ratione terminorum v. g. illa quæ tendit ver$us ortum differt ab ea, quæ tendit ver$us au$trum, vel occa$um, $cilicet ratione terminorum, $unt enim duo termini, nempè à quo, & ad quem; 4. autem modis differunt termini lineæ, vel enim neuter communis e$t vt<note><I>Fig</I>12. <I>Tab.</I> 1.</note> AB. DC, vel terminus à quo vtrique lineæ communis e$t, vt BA. BE, vel terminus ad quem vt AB, EB; vel denique vici$$im commu- tantur termini, vt BE, EB, & hæc terminorum coniugatio facit oppo- $itionem maximam, id e$t diametralem. <p>Secundò ob$eruabis aliquando videri e$$e vtrumque terminum com- munem licèt differant lineæ; $it linea recta BE, habet communes ter- minos cum curua BFE, licèt omninò differat ab illa; at profectò licèt BE videatur e$$e vnica $implex linea duobus terminis clau$a; con$tat ramen ex pluribus aliis continuata, rectáque $erie iunctis; vnde, vt linea dicatur eadem e$$e cum alia, debet vna cum aliâ conuenire; ita vt alteri $uperpo$ita nec excedat, nec deficiat. <p>Tertiò linea motus non differt ab ip$o motu continuo tractu, $eu fluxu qua$i labenti: Porrò vnus motus differt ab alio, vel ratione velo- citatis, vel ratione terminorum; $ed hæc parum difficultatis habent. <C><I>Theorema</I> 115.</C> <p><I>Impetus aliquis ad vnam tantùm lineam pote$t e$$e determinatus</I>; v. g. <I>impetus naturalis innatus, de quo in Th.</I> 17. <I>nam de acqui$ito certum e$t ad</I> <pb n=62> <I>plures determinari po$$e, vt videbimus cum de motureflexo</I>; probatur quia motus deor$um e$t finis huius impetus; quia ideo corpus graue produ- cit in $e impetum ($i tamen producit) vt tendat deor$um, vt certum e$t; tàm enim omne graue non impeditum tendit deor$um, quàm omnis ignis e$t calidus; igitur $i e$t proprietas omnis ignis e$$e calidum, quia omni competit; ita omni graui competit tendere infrà leuius, modò non impediatur; igitur e$t eius proprietas; igitur ille impetus e$t de- terminatus ad lineam quæ tendit deor$um; $ed de hoc impetu naturali innato fusè agemus infrà in $ecundò libro; nunc $ufficiat dixi$$e po$$e dari aliquem impetum ita determinatum ad certam lineam, vt ad aliam determinari non po$$it naturaliter, nulla e$t enim repugnantia. <C><I>Theorema</I> 116.</C> <p><I>Impetus determinatur aliquando ad lineam motus à potentia motrice</I>; pro- batur, quia primus impetus ab ip$a potentia productus $ine impedimen- to ab alio determinari non pote$t; potentia porrò motrix vel e$t gra- uium, vel leuium, vel animantium, vel proiectorum, vel compre$$o- rum, &c. <C><I>Theorema</I> 117.</C> <p><I>Potentia verò motrix determinatur vel à $uo fine intrin$eco, vel potius ab ip$a $ua natura</I>; $ic grauitas $eu potentia motrix grauium determinata e$t ad motum deor$um perpendicularem, dum in medio libero corpus graue mouetur; vel à plano inclinato; pro cuius diuer$a inclinatione diuer$a e$t linea motus deor$um; vel ab ip$a via, $eu exitu patefacto; $ic potentia motrix compre$$orum $uas vires exerit, & mobile ip$um agit, quâ patet viâ, $ur$um, deor$um &c. vel ab appetitu $eu libero, $eu $en$itiuo; $ic potentia progre$$iua animantium cò corpus agit, quò iu- bet appetitus, vel ab aliqua affectione intrin$eca intrin$ecùs vel extrin- $ecùs adueniente; $ic dilatatur pupilla, vel contrahitur pro diuer$a lu- minis appul$i vi, vel obiecti di$tantia: Huc reuoca motus illos natura- les, qui animalibus competunt v. g. tu$$is, $ingultus, $ternuationis, &c. de quibus fusè $uo loco. <C><I>Theorema</I> 118.</C> <p><I>Impetus determinatur aliquando ad lineam ab alio impetu producente</I>; $ic impetus corporis proiecti determinatur ab impetu vel organi vel manus proiicientis; quia nihil e$t aliud à quo determinari po$$it, vt patet; adde figuram organi, di$po$itionem $eu $itum mobilis, quod ma- nu tenetur; impedimenti etiam habetur ratio v. g. corpus oblongum proiici pote$t, vel motu recto ad in$tar teli, vel motu mixto ex recto & circulari; cum $cilicet diuer$imodè vibratur: $i enim altera extremi- tas adhuc hæreat in manu, dum altera mouetur, vt cum quis baculo ferit; tunc certè e$t aliquòd impedimenti genus, ex quo oritur talis li- nea motus; illud autem impedimentum emergit ex diuer$a applicatione diuer$aque brachij vibratione, quæ omnia $unt $atis clara. <pb n=63> <C><I>Theorema</I> 119.</C> <p><I>Impetus determinatus ad vnam lineam pote$t ad aliam in $uo fluxu deter- minatu</I>; vt patet in corpore reflexo; nec enim dici pote$t totum prio- rem impetum in ip$o reflexionis puncto de$trui, vt demon$trabimus aliàs. Probatur etiam ex impetu proiectorum, quæ mutant lineam mo- tus manente adhuc priore impetu $altem ex parte. <C><I>Theorema</I> 120.</C> <p><I>Corpus proiectum in aliud ita illud impellit, vt determinet lineam motus ratione puncti contactus</I>; Sit enim, ne mnltiplicemus figuras,<note><I>Fig.</I>1. <I>Tab.</I> 1.</note> globus, cuius linea directionis $it DC, punctum contactus C, ita globus A im- pellet globum B, vt linea motus, ad quam determinatur, $it CB, id e$t ducta à puncto contactus ad centrum globi impul$i; $it etiam globus P<note><I>Fig.</I>2. <I>Tab.</I> 1.</note> impactus in globum A punctum contactus $it D, linea motus, ad quam determinatur, e$t DA, quæ $cilicet à puncto contactus ducitur per centrum grauitatis corporis impul$i: experientia huius rei certa e$t, nec ignorant qui in ludo minoris tudiculæ ver$ati $unt; ratio au- tem inde tantùm duci pote$t, quod $cilicet ab ip$o puncto contactus ita diffunditur impetus, vt hinc inde æqualiter in vtroque hemi$phærio diffundatur; coniungitur autem vtrumque hemi$phærium circulo A, vel B, in priore figura, e$tque vtriu$que communis $ectio; cum autem vtrimque $it æqualis impetus, nulla e$t ratio, cur linea directionis in- clinet potiùs in vnum hemi$phærium, quàm in aliud: præterea cum motus orbis globi determinetur à motu centri; cum $cilicet globus in globum impingitur; haud dubiè non pote$t e$$e alius motus centri, ni$i qui determinatur à puncto contactus, à quo vnica tantùm linea ad cen- trum duci pote$t, vt con$tat; & hæc ratio veri$$ima e$t, & totam rem ip$am cuincit. <C><I>Theorema</I> 121.</C> <p><I>Hinc licèt diuer$æ $int linea motus globi impellentis, $i tamen $it idem pun- ctum contactus ad eamdem lineam globus impul$us determinabitur,</I> v. g. li- cet globus P. ciu$dem figuræ tangat globum A in D per lineam PD $iue per lineam HD $iue per quamlibet aliam, globus A mouebitur $emper per lineam directionis DA propter rationem propo$itam, quod etiam mille experimentis conuincitur. <C><I>Theorema</I> 122.</C> <p><I>Determinatur impetus corporis proiecti impacti in corpus reflectens ad no- uam lineam</I>; patet experientiâ in pilâ reflexâ; reflexionis autem ratio- nem afferemus in lib. de motu reflexo. <C><I>Theorema</I> 123.</C> <p><I>Non determinatur tantùm ratione puncti contactus.</I> Probatur, quia cum eodem puncto contactus pote$t e$$e determinatio ad diuer$am lineam, vt manife$tum e$t; $it enim reflexio per angulum æqualem incidentiæ, $ed diuer$i anguli po$$unt in idem punctum coire, vt patet. <pb n=64> <C><I>Theorema</I> 124.</C> <p><I>Non determinatur noua linea in motu reflexo â priore tantùm linea incidentiæ</I>; probatur, quia pote$t e$$e eadem linea incidentiæ cum di- uer$is lineis motus reflexi, vt patet. <C><I>Theorema</I> 125.</C> <p><I>Non determinatur noua linea motus reflexi ratione tantùm plani reflecten- tis</I>: Probatur, quia cum eodem plano reflectente diuer$æ lineæ motus reflexi e$$e po$$unt, vt con$tat. <C><I>Theorema</I> 126.</C> <p><I>Determinatur noua linea motus reflexi ratione lineæ prioris incidentiæ com- paratæ cum plano reflectente,</I> e$t enim angulus reflexionis æqualis angu- lo incidentiæ, cuius effectus rationem aliàs afferemus, cum de motu reflexo; & verò multa hîc cur$im tantùm per$tringimus, quæ in libro de motu reflexo accurati$$imè demon$trabimus; Hìc tantùm dixi$$e $uf- ficiat determinari mobile in reflexionis puncto ad nouam lineam motus, quod nemo in dubium reuocare pote$t, & propter quid fiat loco citato demon$trabimus. <C><I>Theorema</I> 127.</C> <p><I>Quando globus in globum æqualem ita impingitur, vt linea directionis per centra vtriu$que ducatur, determinatio noua e$t æqualis priori</I>; Patet ex- perientia in pilis illis eburneis, quas de$iderat ludus minoris tudiculæ; nec e$t vlla ratio, cur determinatio $it maior potiùs, quàm minor, cum vtraque pila $it æqualis; $i enim maior e$$et, vel minor; cur potiùs vno gradu, quàm duobus? quàm tribus? Præterca, cum re$i$tens, vel im- pediens e$t æquale agenti; cer<*>e $icut agens refundit in pa$$um totum id, quod habet, id e$t æqualem impetum in inten$ione, & æquè velo- cem motum per Th. 60. Ita re$i$tens, vel impediens refundit æquale impedimentum, quod tantùm $umi pote$t ex æqualitate mobilium; $ed ex æquali impedimento duci tantùm pote$t æqualis determinatio priori; denique pote$t dari determinatio noua æqualis priori, vt con$tat, $ed aliunde duci non pote$t quàm ex ip$a mobilium æqualitate, modò fiat contactus per lineam connectentem centra. <C><I>Theorema</I> 128.</C> <p><I>Hinc ratio manife$ta illius mirifici effectus, $cilicet quietis pilæ impactæ</I>; quippe hæc quie$cet illicò ab ictu; quia $cilicet, cum noua determina- tio $it æqualis priori, non e$t vlla ratio, cur alterutra præualeat; nec etiam pote$t e$$e determinatio communis, $eu mixta; cur enim potius dextror$um quam $ini$tror$um? de quo infrà. <C><I>Theorema</I> 129.</C> <p><I>Quæ<*> linea directionis globi impacti non connectit centra vtriu$qu&etail; globi, determinatur noua linea motus tùm à priore linea incidentiæ, tùm à connectante centra, quæ $cilicet per punctum contactus à centro impacli globi</I> <pb n=65> <I>ad centrum alterius ducitur</I>; quippe nihil e$t aliud à quo determinari. po$$it, vt patet; non determinatur etiam ab alterutra $eor$im, vt con- $tat, igitur ab vtraque conjunctim; in qua verò proportione dicemus, & demon$trabimus in libro de motu reflexo; $unt enim mirificæ quæ- dam reflexionum proportiones, quas ibidem explicabimus. <C><I>Theorema</I> 130.</C> <p><I>Hinc globus $ic impactus nunquam quie$cit</I>; ratio e$t, quia vtraque linea determinationis cum angulum faciat, in communem lineam abit; nam ex duabus lineis motus minimè oppo$itis ex diametro, fit alia tertia me- dia pro rata; hîc etiam latent my$teria, de quibus loco citato. <C><I>Theorema</I> 131.</C> <p><I>Si globus minor in maiorem impingatur per quamcumque lineam directio- nis, determinatur ad nouam lineam motus reflexi</I>; experientia clara e$t; ra- tio e$t, quia maior globus maius e$t impedimentum, hinc nunquam quie$cit minor globus impactus. <C><I>Theorema</I> 132.</C> <p><I>Si globus major in minorem impingatur per lineam directionis, quæ conne- ctat centra, $eruat eamdem lineam</I>; patet etiam experientiâ, cuius ratio e$t minor re$i$tentia minoris globi; $i verò $it alia linea directionis, omni- nò reflectitur $uo modo; id e$t mutat lineam; $ed de his omnibus fusè aliàs; hîc tantùm $ufficiat indica$$e; ($uppo$ita linea directionis cen- trali $eu connectente centra, $ic enim deinceps eam appellabimus, in quo ca$u duplex determinatio tertiam mediam conflare non pote$t) in- dica$$e inquam $ufficiat nouam determinationem, vel e$$e æqualem prio- ri, vel maiorem, vel minorem; $i æqualis e$t, globus impactus $i$tit; $i maior, reflectitur; $i minor, eamdem lineam, $ed lentiùs pro rata pro- $equitur. <C><I>Theorema</I> 133.</C> <p><I>Si $it duplex impetus æqualis ad diuer$as lineas determinatus in eodem mo- bili, $ique illæ $int ex diametro oppo$itæ $i$tere debet mobile</I>; patet; $it enim globus vtrimque gemino malleo percu$$us æquali ictu; haud dubiè $i$tit; cur enim potiùs in vnam partem quam in aliam? cum $imul in vtramque moueri non po$$it. <C><I>Theorema</I> 134.</C> <p><I>Si verò alter impetus $it inten$ior, po$ito eodem ca$u, haud dubiè eius de- terminatio præualebit pro rata</I>; patet etiam experientià; ratio e$t, quia im- petus fortior debiliorem vincit; pugnant enim pro rata per Ax. 15. hinc $i $it duplò inten$ior, $ubduplum $uæ velocitatis amittet, $i triplè $ubtriplum, &c. de quo aliàs. <C><I>Theorema</I> 135.</C> <p><I>Siduo globi projecti $ibi inuicem occurrant in lineæ directionis connectente centra, reflectitur vterque æquali motu, quo antè.</I> Probatur;<note><I>Fig.</I>1. <I>t.</I>1.<I>fig.</I>2., <I>t.</I>1.</note> $unt enim globi <pb n=66> A & B, & A feratur per lineam DE, & B per lineam ED, punctum con- tactus $it C, haud dubiè globus A impactus in B amittit totum $uum im- petum per Th.127. & 128. B, item impactus in A amittit totum $uum per camdem rationem; globus A producit impetum in B æqualem $uo per Th.60. item B producit in A æqualem per idem Th. igitur tantùm perit impetus quantùm accedit; igitur in vtroque globo remanet æqualis im- petus priori; igitur æquali motu vterque mouetur, quod erat dem. & hæc e$t ratio veri$$ima toties probatæ experientiæ. <C><I>Theorema</I> 136.</C> <p><I>Hinc æquale $patium conficiet regrediendo po$t reflexionem, quem confeci$- $et motu directo, $i propagatus fui$$et $ine obice</I>; nam æquali motu æquali tempore in eodem plano $eu medio idem $patium decurritur; quid verò accidat in aliis punctis contactus dicemus infrà, cum de reflexione. <C><I>Theorema</I> 137.</C> <p><I>Si in eodem mobili duplex impetus producatur, quorum vterque $eor$im ad duas lineas $it determinatus quæ conjunctæ faciant angulum, determinatur vterque ad tertiam lineam mediam</I>; $it enim<note><I>Fig.</I>13 <I>Tab.</I>1.</note> mobile in A. v. g. globus, cui $imul imprimatur impetus determinatus ad lineam AD, in plano horizontali AF; $i vterque $it æqualis, ad nouam lineam determinabi- tur AE; quippe tantùm debet acquirere in horizontali AB, vel in eius parallela DE, quantum acquirit in alia horizontali AD, vel in eius pa- rallela BE; igitur debet ferri in E; igitur per diagonalem AE; clara e$t omninò experientia; cuius ratio à priori hæc e$t, quòd $cilicet impetus po$$it determinari ad quamlibet lineam ab alio impetu per Th.118.119. igitur in eodem mobili pro rata quilibet alium determinat; igitur $i vterque æqualis e$t, vterque æqualiter; igitur debet tantum $patij acqui- ri in linea vnius, quantum in linea alterius. <p>Si verò impetus per AC $it duplus impetus per AD; accipiatur AC dupla AD, ducatur DF æqualis & parallela AC; linea motus noua erit diagonalis AF, quia vtraque determinatio concurrit ad nouam pro rata; igitur debet $patium acqui$itum in AC e$$e duplum acqui$iti in AD. <C><I>Theorema</I> 138.</C> <p><I>Si $it duplex impetus in eodem mobili ad eamdem lineam determinatus, non mutabitur linea; $ed cre$cet motus & $patium</I><note><I>Fig.</I>13 <I>Tab.</I>1.</note> Imprimatur impetus in A, per AB, quo dato tempore percurratur $patium AB; deinde produca- tur $imul alius impetus æqualis priori in eodem mobili per lineam AB; Dico quod eodem tempore percurretur tota AE, dupla $cilicet AB; quia $cilicet dupla cau$a non impedita duplum effectum habet per Ax. 13. num.1. duplus impetus duplum motum; igitur duplum $patium; $i verò $it triplus impetus, triplum erit $patium, &c. <C><I>Theorema</I> 139.</C> <p><I>Si lineæ duplicis impetus, faciunt angulum acutiorem, longius erit $patium</I> <pb n=67> <I>acqui$itum</I>:<note><I>Fig.</I>14. <I>Tab.</I> 1.</note> $int duæ lineæ IK IL, mobili $eilicet $tatuto in I; haud dubiè noua linea erit IM; & quo angulus KIL, erit acutior ($up- po$itis æqualibus $emper lateribus IK IL) Diagonalis IM, erit ma- ior; donec tandem IL & IK coeant in eandem lineam; tunc enim li- nea erit dupla IK per Th. $uperius: quandiu verò e$t aliquis angulus in I quantumuis acutus, linea motus erit minor dupla IK, ad quam tamen propiùs $emper accedit; quæ omnia con$tant ex elementis. <C><I>Theorema</I> 140.</C> <p><I>Si lineæ duplicis impetus faciunt angulum obtu$um, $patium acqui$itum erit breuius, & eò breuius quò angulus e$t obtu$ior</I>; $int enim <SUP>c</SUP> duæ lineæ AD AB mobili $tatuto in A, noua linea erit AC per Th. 137. & $i accipia- tur angulus<note><I>Fig.</I>16. <I>Tab.</I>1.</note> obtu$ior HEF; noua linea erit EG, eo rectè breuior, quò angulus e$t obtu$ior, non tamen iuxta rationem angulorum; donec tandem de$inat angulus, & ED EF coëant in vnam lineam; tunc enim nullum erit $patium, quia $i$ter omninò mobile per Th.133.quæ omnia ip$a luce clariora e$$e con$tat; quippe quæ cum certis experimentis, & clari$$imis principiis con$entiant; $ed de his plura infrà. <C><I>Theorema</I> 141.</C> <p><I>Ex his nece$$aria ducitur ratio, cur impetus duplus ad diuer$as lineas de- terminatus non habeat motum duplum, & con$equenter $patium duplum</I>; nec enim<note><I>Fig.</I>13. <I>Tab.</I>1.</note> AE e$t dupla AB, vt con$tat; nam $i lineæ $int oppo$itæ ex diametro vt BA BE totus de$truitur impetus, per Th.133. $i verò vna in eamdem lineam coëat cum aliâ, nihil impetus de$truitur, nec impedi- tur per Th.138. igitur quà proportione propiùs accedet ad oppo$itas; plùs de$truetur, & minus erit $patium; & quâ proportione accedent propiùs ad coëuntes, minùs de$truetur, & maius erit $patium, vt con$tat ex dictis. <C><I>Theorema</I> 142.</C> <p><I>Hinc impetus ad diuer$as lineas determinati it a pugnant pro rata, vt mi- nùs pugnent, quorum lineæ propiùs accedunt ad coëuntes; plùs verò, quorum lineæ propiùs accedunt ad oppo$itas, idque iuxta proportiones Diagonalium,</I> quod totum $equitur ex dictis. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis vt faciliùs concipias duos impetus ad duas lineas deter- minatos; finge tibi nauim à diuer$is ventis impul$am, $eu lapidempro- jectum è naui mobili; $ed de his plura in lib.4. cum de motu mixto. <C><I>Theorema</I> 143.</C> <p><I>Impetus $emel productus, quamdiu durat motus, con$eruatur.</I> Probatur, quia non pote$t e$$e effectus, ni$i $it eius cau$a per Ax. 8. igitur $i e$t mo- tus, e$t impetus. <C><I>Theorema</I> 144.</C> <p><I>Impetus non con$eruatur à cau$a primò productiua.</I> Probatur; quia proii- <pb n=68> ciatur mobile per Po$tulatum, etiam mouetur $eparatum à potentia mo- trice per hypoth. 6. igitur non con$eruatur à potentia motrice per Ax. 10. igitur nec à causâ primò productiua. <C><I>Theorema</I> 145.</C> <p><I>Hinc ab alia causâ con$eruari nece$$e e$t impetum</I>: Probatur, quia impe- tus non e$t à $e, quia de$truitur aliquando per Ax. 14. igitur con$eruatur ab alio per Ax.14. num. 1. non à cau$a primò productiua per Th.144.igi- tur ab alia, eaque applicata per Ax. 10. quæcumque tandem illa $it, ali- quando cau$am primam e$$e demon$trabimus; nunc verò $ufficiat dixi$- $e dari aliquam cau$am reuerâ applicatam, quæ ip$um con$eruat impe- tum; immò ex hac ip$a rerum con$eruatione argumentum aliquando ducemus, quo Deum ip$um exi$tere demon$trabimus. <C><I>Theorema</I> 146.</C> <p><I>Si impetus con$eruaretur à cau$a primò productiua, nunquam de$truere- tur, quamdiu e$$et applicata.</I> Demon$tratur, quia e$$et cau$a nece$$aria (nam de hac ip$a loquor) igitur $emper ageret, igitur $emper con- $eruaret, quod e$t contra experientiam; nam reuerâ impetus pro- ductus deor$um à corpore graui motu naturaliter accelerato de$truitur, vt patet; præterea $i corpus graue con$eruaret impetum primò produ- ctum, non produceret nouum contra experientiam; quippe cau$a ne- ce$$aria non plùs agit vno in$tanti quàm alio, per Ax.12. adde quod im- petus de$truitur ad exigentiam alterius, quidquid tandem illud $it per Ax.14. num.2. & 3. $ed cau$a primò productiua impetus non nouit rerum exigentiam; igitur illi facere $atis non pote$t; ex hoc etiam capite cau- $æ primæ exi$tentiam$uo loco demon$trabimus. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò rem quamlibet ideo de$trui, quia ce$$at cau$a con- $eruans illam con$eruare; quippe quod de$truitur eo in$tanti dicitur de- $trui, quo primò non e$t, $eu quo incipit primò non e$$e; atqui incipit primò non e$$e $eu de$init e$$e, cum de$init con$eruari. <p>Secundò ob$eruabis præclarum naturæ in$titutum, quod etiam ex ip$is hypothe$ibus con$tat, quo fit vt qualitates quæ carent contrario à cau$a primò productiua con$eruentur, vt lumen; ne $i ab alia con$eruarentur, de$truerentur vmquam; cum earum de$tructionem nihil exigeret per Ax.14.n.2. & 3. at verò qualitates, quæ contrarias habent: $i quæ $unt, à cau$a primò productiua minimè con$eruantur; cum enim ideo con- trarium dicatur de$truere contrarium, quia exigit eius de$tructionem, id e$t, ne con$eruetur amplius; certè vt cau$a con$eruans ce$$et con$eruare, debet no$$e illam exigentiam; atqui nulla cognitione pollent cau$æ illæ motrices naturales, de quibus e$t quæ$tio. <C><I>Theorema</I> 147.</C> <p><I>Tamdiu con$eruatur impetus, quamdiu nihil exigit eius destructionem</I>; quia de$truitur tantùm ad exigentiam alicuius, quidquid tandem illud $it, de <pb n=69> quo infrà, per Ax.14.num.2. certè tamdiu non de$truitur, quamdiu nihil e$t, quod exigat eius de$tructionem; igitur tamdiu con$eruatur per Ax. 14.num.3. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Inde certa ducitur ratio, cur mobile etiam $eparatum à manu mouea- tur; quia $cilicet ip$i adhuc ine$t impetus, qui e$t cau$a motus; quippe $uppo$ui iam antè de hac hypothe$i quod $it, non tamen propter quid $it; igitur hæc e$t germana illius ratio & cau$a. <C><I>Corollarium.</I> 2.</C> <p>Hinc etiam rationem ducemus æquè præclaram in lib.2. motus natu- raliter accelerati. <C><I>Theorema</I> 148.</C> <p><I>Impetus productus aliquando de$truitur</I>; Probatur, quia mobile, quod antè mouebatur, de$init tandem moueri per hyp. 4. igitur de$truitur impetus; alioqui $i remaneret, e$$et cau$a nece$$aria $ine effectu contra Ax.12. ideo porrò de$truitur, quia aliquid exigit eius de$tructionem, quippe hæc e$t vnica de$tructionis ratio per Ax.14. num.2. <C><I>Theorema</I> 149.</C> <p><I>In lineis oppo$itis impetus de$truitur ab impetu $uo modo</I>; $it enim globus proiectus ver$us au$trum; cui deinde imprimatur nouus impetus ver- $us Boream; de$truitur prior vt con$tat, igitur ad exigentiam alicuius, $ed nihil e$t quod po$$it exigere, ni$i nouus impetus, $cilicet mediatè; nihil enim aliud e$t applicatum, igitar nihil aliud exigit per Ax. 10. hæc porrò exigentia non e$t immediata, $ed mediata, vt dixi. <C><I>Theorema</I> 150.</C> <p><I>Impetus naturalis innatus exigit de$tructionem alterius, qui ab extrin$eco ad diuer$am lineam corpori graui impre$$us e$t $cilicet mediatè,</I> experientia certa e$t in proiectis, quæ tandem quie$cunt; igitur ad exigentiam ali- cuius, $ed illud tantùm e$t impetus innatus; nec enim e$t $ub$tantia corporis; tùm quia qualitas $ub$tantiæ non opponitur; tùm quia nulla e$$et ratio, cur $ub$tantia de$trueret potiùs vno in$tanti vnum gradum, quàm duos, quàm tres; adde quod ex duobus violentis oppo$itis alte- rum de$truit; igitur impetus e$t cau$a $ufficiens de$tructiua impetus, igitur non e$t ponenda alia, eo $cilicet modo, quo diximus. <C><I>Theorema</I> 151.</C> <p><I>In reflexione de$truitur aliquid impotus $altem per accidens</I>; patet expe- rientia, $iue propter nouam determinationem, $iue propter attritum, vel pre$$ionem partium, de quo infrà. <C><I>Theorema</I> 152.</C> <p><I>Hinc $i excipias tantùm impetum natur alem innatum, qui per $uam de- terminationem nece$$ariam, & quam nunquam mutat, pugnat cum omni</I> <pb n=70> <I>extrin$eco ad aliam lineam determinato, & cum ip$o acqui$ito, quando mu- tat lineam perpendicularem deor$um, de quo infrà; $i hunc igitur excipias, omnes aly pugnant tantùm ratione diuer$æ lineæ, $eu determinationis, in eodem mobili:</I> Vnde ille idem, qui modo pugnat probè conueniet, $i ad ean- dem lineam determinetur. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò, præclarum naturæ in$titutum, quo fit, vt impe- tus perennis non $it; vnde certè infinita propemodum emergerent ab- $urda, & incommoda. <p>Secundò, faciliorem modum de$tructionis impetus in$titui non po- tui$$e, immò nec excogitari po$$e; quàm enim facilè, vel impetus op- po$itus in mobili producitur, vel corpus durum opponitur &c. <p>Tertiò, præcipuam rationem huius de$tructionis ducendam e$$e ex Ax.6. in quo dicimus nihil e$$e fru$trà, cumque ordinem à natura e$$e in$titutum, vt potiùs aliquid de$truatur, & de$inat e$$e, quàm fru$trà $it, & dicimus de$trui ad exigentiam totius naturæ. <p>Quartò, cum impetus $uo fine caret, fru$trà e$t; finis impetus e$t mo- tus, vt $æpè diximus, $ic cum globus impactus in alium æqualem $tatim ab ictu $i$tit immobilis; certe ne fru$trà $it impetus, de$truitur per Ax.6. & per Ax. 14. num.2. cum verò determinatio altera maior e$t, certè præ- ualet tantùm pro rata; igitur minor e$t motus; igitur, ne aliqui gradus impetus $int fru$trà, de$truuntur, cum verò $unt duo impetus in eodem mobili, vt in naui mobili ad lineas oppo$itas determinati; haud dubiè maior impetus præualet pro rata per Ax. 15. Igitur non modò totus impetus minor perit, ne $it fru$trà; $ed etiam aliquot gradus maioris, ne $int etiam fru$trà; nec enim in communem lineam coïre po$$unt. <p>Denique quando $unt duo impetus ad lineas diuer$as determinati, $ed non oppo$itas ex diametro, pugnant pro diuer$o oppo$itionis gradu, vt $uprà fusè dictum e$t. Igitur cum totus impetus non habeat totum motum, quod duplex illa determinatio impedit, ne aliqui gradus $int fru$trà, de$truuntur; igitur vides impetum impre$$um ab ex- trin$eco de$trui tantùm ne $it fru$trà; faceret enim vt e$$et fru$trà vel nouus impetus, vel determinato noua, & in hoc $en$u dicitur impetus de$trui ab impetu. <p>Quintò, $i de$trueretur mobile, etiam de$trueretur impetus per idem Ax. 6. quia e$$et fru$trà $eparatum; immò ex hoc vno principio demon- $tramus accidentia & formas $ub$tantiales materiales non po$$e natura- liter con$eruari extra $uum $ubiectum, quia $cilicet e$$ent fru$trà; quip- pe finem $uum habent in $ubiecto. <p>Sextò, Impetus naturalis innatus nunquam de$truitur; quia nunquam e$t fru$trà; quippe $emper habet alterum $uorum effectuum formalium, id e$t vel motum deor$um, vel grauitationem, adde quod fru$trà de- $trueretur, cum $it $emper applicata potentia, id e$t ip$a grauitas, $ed de his infrâ fusè. <pb n=71> <p>Septimò, Impetus $ur$um de$truitur etiam, quia e$t fru$trà; quippe naturalis detrahit aliquid $patij pro rata; igitur ne aliquid impetus $it fru$trà, de$truitur; idem dico de impetu per inclinatam $ur$um, licèt minùs de$truatur quàm in perpendiculari $ur$um; idem de impetu per inclinatam deor$um, $ed minùs adhuc, $ed hæc acuratiori medita ioni $unt relinquenda; quod reuerâ præ$tabimus in lib.4. de motu mixto; quidquid $it, con$tat ex dictis per idem Principium probari po$$e de- $tructionem impetus, $cilicet ne $it fru$trà; $ed de his aliàs fusè. <C><I>Theorema</I> 153.</C> <p><I>Impetus productus ab extrin$eco e$t tantùm contrarius ratione diuer$æ de- terminationis, $eu diuer$æ lineæ</I>; Probatur primò, quia vterque ad omnem lineam e$t indifferens per Th.113. igitur vnus non c$t alteri contrarius ratione entitatis; cùm vterque $imilem motum, immò eumdem habere po$$it, vt patet ex dictis: Igitur ratione tanuùn lineæ vnus alteri e$t contrarius; hinc minùs e$t contrarietatis, quo minùs e$t oppo$itionis inter lineas & contrà. <C><I>Theorema</I> 154.</C> <p><I>Impetus naturalis acqui$itus e$t tantùm contrarius alteri extrin$eco ratio- ne lineæ.</I> Probatur eodem modo; quia determinari pote$t ad omnem li- neam, vt patet ex reflexione grauis cadentis. <C><I>Theorema</I> 155.</C> <p><I>Impetus naturalis innatus non e$t tantùm contrarius ratione lineæ</I>; quia $cilicet non pote$t determinari ad omnem lineam, patet, alioquin cor- pus graue, quod $ur$um po$t ca$um reflectitur non de$cenderet amplius, de quo aliàs, hæc enim cur$im tantùm per$tringo, ne quid aliis libris detrahatur. <C><I>Theorema</I> 156.</C> <p><I>Impetus ex naturali acqui$ito pote$t fieri violentus</I>; vt patet in motu re- flexo grauium; ratio e$t. quia mutatur linea. <C><I>Theorema</I> 157.</C> <p><I>Impetus ex non contrario eidem fit contrarius</I>; vt patet in eodem ca$u; nam impetus naturalis innatus, qui in de$cen$u non erat contrarius ac qui$ito, in inotu $ur$um reflexo fit contrarius. <C><I>Theorema</I> 158.</C> <p><I>Impetus deor$um ab extrin$eco non e$t contrarius naturali innato ratione lineæ,</I> quia $cilicet e$t determinatus ad eandem lineam, $i tamen e$t con- trarius, id tantùm e$t ratione propagationis impetus acqui$iti, vel ac celerationis motus; quod reuerà multa, & benè longâ explicatione indi- get, quam con$ule in lib.4. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis cogno$ci tantùm contrarietatem qualitatum ex mutua de- $t ructione; cur verò vna qualitas dicatur de$truere aliam, & cur illam <pb n=72> de$tructionem exigat; maximum my$terium e$t, quod alibi enucleabi- mus; quàm multa enim $uper hac re tacuere Philo$ophi! <C><I>Theorema</I> 159.</C> <p><I>Impetus $ibi ip$i pote$t reddi contrarius,</I> vt reuerâ accidit in reflexione, in qua de$truitur impetus ex parte propter diuer$as determinationes; cum $cilicet corpus reflectens mouetur; igitur impetus prout determina- tus ad lineam incidentiæ e$t aliquo modo $ibi ip$i contrarius, prout e$t determinatus ad lineam reflexionis. <p>Iam ferè tumultuatim, $i quæ $unt reliqua, Theoremata congeremus. <C><I>Theorema</I> 160.</C> <p><I>Impetus violentus intendi pote$t à naturali, & vici$$im</I>; patet in projectis deor$um. <C><I>Theorema</I> 161.</C> <p>Idem impetus pote$t eumdem alium aliquando plùs, aliquando minùs intendere. v. g. 4. gradus impetus additi aliis 4. per eamdem lineam iidem ei$dem, minùs intendunt, vt iam $uprà $atis fusè dictum e$t. <C><I>Theorema</I> 162.</C> <p><I>Impetus dici pote$t propriè de$trui ad exigentiam totius naturæ</I> per Ax.14. num.2. vt con$tat ex multis Theorematis $uperioribus. <C><I>Theorema</I> 163.</C> <p><I>Omnis dici debet incipere, & de$inere intrin$ecè, & extrin$ecè</I>; quod enim hoc in$tanti primo e$t, immediatè antecedenti vltimo non fuit, & quod primo non e$t hoc in$tanti, immediatè antè vltimo fuit, nec pote$t e$$e immediatè pò$t, ni$i $it immediatè antè, & vici$$im. <C><I>Theorema</I> 164.</C> <p><I>Ideo producitur hic impetus numero potiùs, quàm alius omninò $imilis</I>; quia potentia motrix e$t determinata ad tale indiuiduum $iue à $e, $iue ab alio; idem enim de illa dicendum e$t, quod de aliis cau$is naturalibus; porrò idem dici debet de de$tructione, quod de productione. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis breuiter aliqua, quæ fortè in no$tris Theorematis fuere omi$$a. <p>Primò qualitates, quæ à cau$a primò productiua con$eruantur, ab ea intendi non po$$e; quia $ingulis in$tantibus nouum effectum non pro- ducit; exemplum habes in luce; $ecus vero de iis dicendum e$t, quæ à cau$a primò productiua non con$eruantur. <p>Secundò qualitates, quæ contrarias habent, etiam de$trui po$$e ab alio, quam ab iis, $cilicet ad exigentiam totius naturæ; ne $cilicet $int fru$trà. <p>Tertiò aliqua carere contrario, non tamen con$eruari à cau$a primò productiua. v.g. anima bruti, quæ de$truitur ad exigentiam totius natu- ræ, nç $it fru$trà. <pb n=73> <p>Quartò, impetum inten$iorem in projectis diutiùs durare; quia cum $en$im de$truatur; certè plures partes maiori tempore de$truuntur, quàm pauciores. <p>Quintò, $i totus impetus de$trueretur vno in$tanti, minima re$i$tentia $ufficeret ad motum impediendum: adde quod contraria pugnant pro rata per Ax.15. <p>Sextò, ob$eruabis plurima in hoc libro qua$i obiter e$$e indicata, quæ in aliis fusè explicata maiorem lucem accipient. <p>Septimò, denique totam rem i$tam, quæ pertinet ad impetum paulò fu$ius pertractatam in hoc primo libro; quòd $cilicet ab ea reliqua ferè omnia pendeant, quæ in hoc tractatu habentur; $ed de his $atis. <FIG> <pb n=74> <FIG> <C>LIBER SECVNDVS, <I>DE MOTV NATVRALI.</I></C> <p>MOtus localis naturalis latè $umptus e$t, qui ab aliqua causâ naturali ponitur; $trictè verò $umitur pro motu grauium deor$um, à principio intrin$eco $altem $en$ibiliter; In hoc vltimo $en$u mo- tum naturalem v$urpabo; $it ergo. <HR> <C><I>DEFINITIO 1.</I></C> <p><I>MOtus localis naturalis e$t, qui e$t à grauitate deor$um.</I> hæc defini- tio vix aliqua explicatione indiget; dicitur e$$e à grauitate, quidquid $it grauitas, $iue qualitas di$tincta, $iue non. <C><I>Definitio</I> 2.</C> <p><I>Motus æquabilis e$t, quo æqualibus quibu$cumque temporibus æqualia per- curruntur $patia ab eodem mobili.</I> <C><I>Definitio</I> 3.</C> <p><I>Motus naturaliter acceleratus e$t, quo $ecundo tempore æquali primo ma- ius $patium acquiritur, & tertio, quàm $ecundo, & quarto quàm tertio, atque ita deinceps; nulla $cilicet addita vi ab extrin$eco $altem $en$ibiliter.</I> <p>Definit aliter hunc motum Galileus; dicit enim eum e$$e, qui æquali- bus temporibus æqualia acquirit velocitatis momenta; $ed profectò non conuenit hæc definitio omni motui naturaliter accelerato, v. g. motui de$cen$us funependuli, vel in orbe cauo, vel etiam in plano decliui ma- ximæ longitudinis; definitio no$tra clarior e$t. <C><I>Hypothe$is</I> 1.</C> <p><I>Corpus graue cadit deor$um, & cadens ex maiori altitudine maioremictum infligit quam $i caderet ex minore</I>; $i quis hoc neget hoc probet, patet ma- nife$ta experientia. <pb n=75> <C><I>Hypothe$is</I> 2.</C> <p><I>Arcus maior & minor eiu$dem funependuli æqualibus ferè temporibus, percurruntur</I>; hæc etiam $æpiùs probata e$t, & $i quis fidem detrectat, probare conetur. <C><I>Hypothe$is</I> 3.</C> <p>Globus per planum inclinatum læuigatum de$cendens $ecundum $pa- tium citiùs percurrit, quàm primum; quod etiam $en$u percipi pote$t, & tam $æpè probatum e$t, vt nemo iam negare audeat motus naturalis accelerationem. <C><I>Hypothe$is</I> 4.</C> <p><I>Omne tempus $en$ibile non e$t; idem dico de $patio,</I> quod nemo etiam negare au$it; alioquin $i quis negaret, dicat mihi quæ$o quot $int in mi- nuto horæ in$tantia? quot in apice acus puncta? <C><I>Axioma</I> 1.</C> <p><I>Impetus additus alteri, & determinatus ad eamdem lineam, facit maiorem & inten$iorom impetum</I>; patet, & vici$$im, & detractus alteri minorem facit, & vici$$im. <C><I>Axioma</I> 2.</C> <p><I>Quâ proportione cre$cit cau$a, eâdem cre$cit effectus, & vici$$im, $i eodem modo eidemque $ubjecto $it applicata,</I> probatur per Ax.12. l. 1. & quâ pro- portione illa decre$cit, hic decre$cit, & vici$$im. <C><I>Axioma</I> 3.</C> <p><I>Eadem cau$a nece$$aria non impedita $ubjecto ap<*> applicata æqualibus temporibus æquælem effectum producit, & contrà.</I> Probatur per Ax.12.l. 1. & vici$$im æqualis effectus $upponit æqualem cau$am. <C><I>Axioma</I> 4.</C> <p><I>Ille effectus, qui non producitur à causâ primâ, & ad cuius productionem nulla cau$a extrin$eca e$t applicata, producitur ab intrin$eco</I>; probatur, quia habere debet aliquam cau$am per Ax.8. <C><I>Axioma</I> 5.</C> <p><I>Illa cau$a plus agit proportionaliter quæ habet minorem re$istentiam; minùs verò, quæ maiorem, quæ demum æqualem, æquali proportione agit.</I> v.g. cau$a, cuius virtus, vel actiuitas e$t vt 20. & re$i$tentia vt 10. agit in maiori proportione, quàm illa cuius actiuitas e$t 30. & re$i$tentia 20. in minori verò quàm ea, cuius actiuitas e$t vt 3. & re$i$tentia vt 1. in æquali de- nique cum illa, cuius actiuitas e$t vt 4. & re$i$tentia vt 2. <p>Hoc Axioma certi$$imum e$t; quippe 20. faciliùs $uperabunt 10. quàm 30. 20. & difficiliùs quam 3. 1. & æquè facilè, ac 4. 2. In motu locali res e$t clari$$ima; quippe vires vt 12. tam facilè mouebunt 12. libras, quàm vires vt 4. 4.libras; $ed faciliùs, quàm vires vt 20. 30.libras, & dif- ficiliùs quàm vires vt 4. 3. libras; quid clarius? Igitur illa cau$a faciliùs <pb n=76> $uperat re$i$tentiam impedimenti, quæ habet maiorem proportionem virium cum re$i$tentia, quàm quæ minorem. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Si quando appellandum erit aliquod Axioma vel Theorema lib. 1.ci- tabitur Liber. <C><I>Theorema</I> 1.</C> <p><I>Datur motus localis naturalis, i$que ab intrin$eco.</I> Probatur; corpus gra- ue mouetur localiter deor$um per hypoth. hic motus e$t ab intrin$eco, quod probatur; non e$t ab vllâ causâ extrin$ecâ; igitur e$t ab intrin$eca per Ax.4. antecedens probatur inductione factâ omnium extrin$ecorum. Primò non e$t à cau$a prima, vt aliquis fortè minùs prudenter, & magis piè, quàm par $it, diceret; quia ille effectus tribui tantùm debet cau$æ primæ, qui nullam habere pote$t cau$am $ecundam applicatam, vt patet; $ed hic effectus pote$t habere cau$am $ecundam applicatam, quam a$$i- gnabimus infrà; deinde cau$a prima agit tantùm naturaliter iuxta exi- gentiam cau$arum $ecundarum; igitur ideo moueret corpus graue deor- $um; quia tunc motum corpus graue exigeret; $ed lioc milri $u$ficit, vt dicatur hic motus e$$e ab intrin$eco; præterea, $i dicatur Deus mouere corpus graue deor$um iuxta illius exigentiam, dicetur etiam tùm cale- facere, tùm illuminare, ad exigentiam ignis; quippe tàm mihi $en$ibile e$t corpus graue de$cendere $ine vi impre$$a ab extrin$eco, quàm ignem calefacere, & $olem lucere $ine vi extrin$eca; adde quod illud $olenne e$t naturæ in$titutum, vt id, quod exigit res aliqua ad finem $uum con$e- quendum, per virtutem intrin$ecam po$$it ponere, $i dumtaxat excipias concur$um diuinum, & ip$am con$oruationem; $ic animal exigit vide- re, audire, $entire, moueri; igitur habet virtutem intrin$ecam, per quam videat, audiat, & moueatur; $ic ignis exigit calefacere, lucere; aër, vel aqua frigefacere, quidquid tandem $int i$tæ qualitates, de quibus alibi; $ic demum corpus graue exigit moueri deor$um; quis enim neget corpori graui tàm natiuum e$$e tendere deor$um, cum $cilicer corpus leuius $ub- e$t, quàm $it animali progredi, vrere igni, lucere, &c. <p>Denique $atis e$t mihi, vt dicatur aliquid cau$a, Phy$icè loquendo, $i ex illius applicatione $emper $equatur effectus; nam non nego po$$e fie- ri effectus omnes, qui no$tris $en$ibus $ubiiciuntur, $altem extrin$ecos, e$$e à cau$a prima, quippe $i $emper ex ignis applicatione Deus diffun- deret lucem, & calorem, quem $olus ip$e produceret, igne ip$o inerte re- licto, nullam pror$us mutationem perciperemus; & nemo e$$et, qui non exi$timaret lucom hanc & calorem ltunc e$$e ab igne; igitur Phy$icè lo- quendo cau$am appellamus id, ex cuius applicatione $emper $equitur effectus, vt iam diximus in Ax. 11.l.1. n.1. Igitur cum ex corpore graui po$ito in aëre libero $equatur motus deor$um; dicendum e$t, Phy$icè lo- quendò, e$$e huius motus cau$am, id e$t in ordine ad Phy$icam, perinde omninò $e habere, atque $i e$$et cau$a, licèt cau$a non e$$et. <pb n=77> <p>Secundò hic motus non e$t ab aëre ambiente; probatur, ruderet aër deor$um corpus graue, quia leuior e$t, id e$t ne $uprà $e corpus grauins haberet; $ed eâdem ratione corpus graue debet remouere $ur$um aëra, id e$t corpus leue, ne infrà $e habeat corpus leuius; e$t enim par omni- nò ratio: Præterea $i aër trudit deor$inn corpus graue, quia ip$i loco cedit; certè ip$e aër mouetur, igitur ab intrin$eco; $i enim vna pars aë- ris pellit aliam, & hæc aliam, tandem ad aliquam peruenitur, quæ $e ip- $am mouet; igitur motus illius e$t ab intrin$eco; igitur motus natura- lis; deinde non modò lapis de$cendit per aëra, $ed per mediam aquam; igitur $i ab aëre truditur deor$um, idem dicendum e$t de aquâ, a qui haud dubiè maiore vi truderetur; nam corpus den$um maiore vi pellit, quàm rarum, vt con$tat exprientiâ; cum tamen corpus graue per me- dium den$ius difficiliùs de cendat; igitur medium ip$um re$i$tit motui, quis hoc neget? igitur non e$t cau$a motus, quem impedit. <p>Denique $i corpus graue non tendit, fertur que deor$um $uá $ponte, $ed ab aëre extru$um; igitur dum vix $u$tineo manu; o. libras ferri, $eu plumbi; hæc vis illata manui, quam probè $entio, e$t ab aëre impel- lente plumbum, quod e$t ridiculum, cnm eadem quantitas aëris incu- ber, & $ub$it manui, $iue $u$tineat plumbum, $iue $it vacua; ex hoc, ni fallor, euincitur pondus ip$um $ui $ponte deor$unr tendere. <p>Tertiò non de$unt, qui dicant corpus graue trahi ab ip$a vi quadam magneticâ, quod triplici modo fieri pote$t; Primò per qualitatem quamdam diffu$am, quod dici non pote$t; quia capillus traheretur faci- liùs, quàm ingens $axum, quàm ma$$a, $eu lamina; & faciliùs eadem po- tentia motrix minus pondus moueret quàm maius, cæteris paribus; præ- terea manum meam æqualiter traheret, $iue $it cum aliquo pondere con- iuncta, $iuc $it nuda $ine pondere; deinde illa virtus tractrix ita diffun- ditur, vt in maiori di$tantia $it infirmior, fortior in minori; alioqui diffunderetur in infinitum, quod dici non pote$t; igitur $i idem lapis demittatur ex maiore altitudine, tum ex minore; haud dubiè morus ille primus initio e$$et tardior i$to contra experientiam; deinde in $pecu al- ti$$ima $ubterranea trahi po$$et corpus virdequaque, $icut in magnete; quæ omnia intelligi non po$$unt; denique virtutes illas $eu qualitates tractrices refellemus $uo loco. <p>Secundò, aliqui dicunt hoc totum fieri per vim quamdam $ympathi- cam, quod etiam fal$i$$imum e$t; tùm quia hæc $ympathia explicari non pote$t; tùm quia vel ter<*>ip$a producit aliquid in corpore graui, quod in aëre libratur; vel corpus in $e ip$o; $i primum; refellitur ii$- dem omninò rationibus, quibus ip$am vim terræ tractricem $uptà expu- gnauimus; $i verò $ccundum, hoc ip$um e$t, quod $uprà diximus. <p>Tertiò, Dixere aliqui $ubtiliùs profectò quàm veriùs, corpus graue trahi deor$um, non vi quadam occultâ, vt $uprà dictum e$t; $ed filamen- tis quibu$dam, $eu ductili terræ profluuio, quod illius capillitium vo- cant; idque tantùm fieri probant ducta ab electro analogiâ, quod pa- <*>am & minutiora corpu$cula hac câdem arte trahit; $ed profectò gra- <pb n=78> uiores $unt di$$icultates, quam vt illis fieri $atis queat; nam primò cor- pus leuius ab his filamentis abripi faciliùs po$$et, vt con$tat in electro; igitur citiùs de$cenderet. <p>Secundò, corpus vicinius etiam faciliùs abriperetur. <p>Tertiò, numquid flante vento, vel imbre cadente di$$ipantur hæc $i- lamenta? quod etiam videmus in electro. <p>Quartò, manum meam æquè facilè traheret terra his funiculis $eu pondere grauatam, $eu vacuam. <p>Quintò, quemadmodum electrum ex omni parte trahit, ita terra ip$a per omnem lineam traheret; immò etiam $ur$um in $ubterranea $pecu, quod e$t ab$urdum. <p>Sextò, hæc filamenta, quæ deinde reducuntur, debent habere cau- $am huius reductionis non extrin$ecam; igitur intrin$ecam; igitur datur motus naturalis. <p>Soptimò, hæc filamenta per mediam flammam non traherent, quod etiam fieri videmus in electro. <p>Quartò, motus naturalis non e$t à virtute quadam pellente, quam cælo quidam affingunt; nam vel ab omni parte cæli deor$um trudere- tur, vel ab vnâ; $i ab vna; igitur in omni cæli plaga corpus non fertur deor$um; $i ab omni, ergo cum pellatur corpus per plures lineas etiam oppo$itas moueri non pote$t: Præterea debilior e$$et hæc vis in maiori di$tantiâ; denique vapores, & alia minutiora corpu$cula in aëre fluitan- tia faciliùs deor$um truderentur, contra experientiam. <p>Sed non e$t omittendum, quod aliqui putant ex illis filamentis con- texi po$$e legitimam rationem, cur atomi etiam plumbeæ materiæ non ita facilè de$cendant; quòd $cilicet propter $uam tenuitatem ab illis fi- lamentis non ita intercipi vel implicari po$$int; $ed qua$i pi$ces per fo- ramina retium euadant; $ed profectò longè alia ratio e$t, qaàm $uo loco afferemus, nam etiam plumæ, fe$tucæ, paleæ, & alia corpu$cula longio- ra, $ed leui$$ima iis filamentis implicarentur, vt videre e$t in electro. <p>Quintò, aliqui recentiores exi$timant corpora deor$um trudi ab ip$a luce, quæ nihil e$t aliud, quam motio æthereæ cuiu$dam $ub$tan- tiæ per poros aëris traductæ, vt ip$i volunt; $ed neque hoc probari po- te$t. Primò quia de nocte corpora æquali motu deor$um feruntur; pe- rinde atque de die, nec minùs in ob$curi$$imo c<*>claui, quàm $ub dio, vel aperto cælo. Secundò, in $ubterraneis locis etiam grauia æquè veloci- ter de$cendunt; licèr eò lumen non penetret; quod $i aliquis ob$tinatè, id a$$ereret; haud dubiè per medium aëra maior huius materiæ copia diffunditur, quàm per medias rupes, quis hoc neget; igitur pauci$$imi radij v$que ad interius & inferius antrum perueniunt. Tertiò, manum meam $iue ponderi coniunctam $iue ab eo $eparatã æqualis portio illius materiæ deor$um pelleret, vt patet; igitur æquali motus vi. Quartò, cor- pus diaphanum, per cuius poros facilè traiicitur hæc materia, e$$et leuius alio quod tamen fal$um e$t, vt videre e$t in vitro, cry$tallo, adamante, glacie. Quintò maxima huius materiæ copia collecta $eu $peculi opera <pb n=79> $eu vitri, maiore vi corpora deor$um truderet; quia maior cau$a maio- rem effectum producit per Ax.2. Sextò po$t refractionem lineam mutat radius luminis; igitur deor$um rectà non pelleret. Septimò radij traie- cti per vitrum maiore vi deor$um pellerent quàm per lignum, vel $pon- giam; quippè per hæc corpora traiecti $ecundum authores huius $enten- tiæ di$trahuntur propter obliquitatem pororum. Octauò denique radij profecti à Sole iuxta ortum, vel occa$um $unt valdè obliqui; igitur non truderent deor$um rectà. <p>Nec e$t quod prædicti àuthores confugiant ad experientiam, qua $cilicet videmus tripudiantes atomos in radio $olari immer$as; igitur agitantur ab ip$o radio, quod maximè accidit in linea v$toria, cuius effectus veri$$imam rationem $uo loco afferemus, cum de lumine. <p>Sextò, $unt denique multi, ii&qacute;ue ex $euerioribus Peripateticis, qui exi$timant grauia moueri deor$um à generante, quod expre$$rs verbis traditum e$t ab <I>Ari$totele l.</I>8. <I>phy$. cap.</I>4. <I>iuxta</I> principium illud vniuer- fali$$imum; <I>Quidquid mouetur; ab alio mouetur</I>; $ed profectò ij ip$i, qui motum grauium generanti tribuunt, tanquam principi cau$æ, non ne- gant ine$$e grauibus grauitatem, quæ $it principium actiuum minus principale motus; ad quem etiam, vt ip$i exi$timant, forma $ub$tantialis concurrit; In hoc quippe conueniunt omnes tùm $ectarum Principes, tùm recentiores: quidquid $it etiam ex iis ip$is datur motus naturalis, qui e$t à virtute proxima intrin$eca; hoc ip$um etiam $en$it Ari$toteles lib.4. de cælo cap. 3. t. 25. vbi ait grauibus & leuibus ine$$e principium actiuum $uorum motuum; immò $i totum cap.4. l.8. phy$. attentè lega- tur, vbi dicit moueri à generante, haud dubiè intelligetur nihil aliud in- tendi$$e Ari$totelem quàm grauia à generante, in$tanti, quo generan- tur, accipere actum primum huius motus; id e$t virtutem, à qua po$- $int reduci ad actum $ecundum, id e$t ad ip$um motum, de cuius rei ve- ritate iam mihi non e$t laborandum. <p>Igitur non mouetur corpus graue à cau$a primâ, licèt hæc concurrat cum aliâ ad eius motum, nec ab aëre, nec à virtute magnetica, quæ in- $it terræ, nec adductis, reducti$que filamentis, nec à cælo pellente, nec à vi $ympathicâ, nec à generante proximè & immediatè; quia fortè iam interiit, nec ab vllo alio extrin$eco, vt con$tat inductione; igitur ab ali- quâ vi intrin$ecâ, quidquid $it, de qua alibi: hæc omnia paulò fu$iùs tractauimus, quia in hoc vno Theoremate totam motus naturalis rem verti iudicamus. <C><I>Theorema</I> 2.</C> <p><I>Motus naturalis est aliquid distinctum realiter à mobili:</I> Probatur; mobile ip$um aliquando quie$cit per hypoth.4.lib.1. igitur e$t $ine mo- tu; igitur $eparatum à motu; igitur realiter di$tinctum per Ax.2. lib.1. hoc etiam probatus per Th. 1.lib. 1. Et certè mirari $atis non po$$um aliquos recentiores non po$$e concipere, vt ip$i aiunt, motum e$$e ali- quid ab ip$o mobili di$tinctum; nam quotie$cunque duo prædicata, vel <pb n=80> attributa contradictoria, quorum $cilicet vnum negat aliud, eidem $ub- jecto diuer$is temporibus ine$$e dicuntur, haud dubiè alterum $altem ab eo di$tingui realiter nece$$e e$t; alioqui $i vtrumque idem e$$e cum vno tertio vere dicitur; <I>mouetur, non monetur,</I> quæ $unt prædicata contradi- ctoria; igitur vel moueri, vel non moueri dicit di$tinctum realiter à mo- bili; Secundum e$t mera negatio; nam eo ip$o, quod mobile e$t $ine vllo addito, non mouetur; igitur $uprà ip$um mobile dicit puram putam ne- gationem motus; igitur moueri, dicit aliquid di$tinctum. <p>Præterea quotie$cunque prædicatum aliquod tribuitur in propo$i- tione affirmatiua falsâ; certè prædicatum illud non ine$t $ubiecto; alio- quin e$$et vera, vt patet; igitur di$tinguitur à $ubiecto realiter; $ed hæc propo$itio, <I>lapis mouetur,</I> dum ip$e quie$cit, e$t fal$a; igitur motus non ine$t mobili, igitur ab eo di$tinguitur realiter, $eu modaliter, quæ e$t di$tinctio realis minor. <C><I>Theorema</I> 3.</C> <p><I>Metus naturalis non e$t immediatè ab entitate mobilis, ita vt nihil $it aliud vnde $it hic motus:</I> Probatur; lapis cadens ex maiore altitudine maiorem ictum infligit perhypoth. 1. maior e$t effectus, igitur maior cau$a, id e$t motus; igitur cau$a motus per Ax.2. $ed e$t eadem entitas mobilis, vt patet; igitur non e$t cau$a immediata motus; Præterea globus per pla- num inclinatum deuolutus $uum motum accelerat per hypotl. 3. & fune- pendulum $uam vibrationem per hypoth. 2. igitur debet e$$e cau$a huius maioris, $eu velocioris motus per Ax.8. lib. 1. hæc porrò non e$t $ub- $tantia ip$ius corporis, quæ $emper eadem e$t, tùm initio, tùm in fine motus per Ax.2. <C><I>Theorema</I> 4.</C> <p><I>Motus naturalis non e$t immediatè ab ip$a grauitate.</I> Probatur, $int enim eædem hypoth.1.2.3. igitur maior ictus in fine motus, & velocior motus debent habere cau$am; $ed hæc grauitas non e$t, quæ $emper ea- dem e$t, vt patet, vtrum verò di$tinguatur grauitas ab ip$a corporis $ub$tantia di$cutiemus in tractatu $equenti. Fuit aliquis non infunæ no- tæ Philo$ophus, qui diceret maiorem illum ictum e$$e ab ipsâ corporis $ub$tantiâ; $ed hoc iam refellimus Theoremate 4. lib.1. Adde quod im- petu, ad extra producitur ab alio impetu per Th.42.lib.1. Dicebat etiam velociorem motum e$$e ab ipsâ grauitate connotante præuium motum, quod etiam refellemus infrà. <C><I>Theorema</I> 5.</C> <p><I>Hinc motus naturalis e$t ab impetu.</I> Probatur; e$t ab aliqua cau$a per Ax.8. lib.1. ab aliqua intrin$eca per Th. 1. non à $ub$tantia corporis grauis per Th. 3. non à grauitace per Th. 4. igitur ab impetu, quia nihil aliud e$$e pote$t intrin$ecum, à quo $it motus pet definitionem 3. lib. 1. <pb n=81> <C><I>Theorema</I> 6.</C> <p><I>Ille impetus ab aliqua cau$a producitur.</I> Probatur, quia quidquid de no- uo e$t, habet cau$am per Ax.8. lib. 1. <C><I>Theorema</I> 7.</C> <p>Producitur ab aliqua cau$a intrin$eca, quia non producitur ab aliqua extrin$eca; alioquin motus naturalis e$$et ab extrin$eco contra definitio- nem primam, & Th.1. <C><I>Theorema</I> 8.</C> <p><I>Hinc produci tantùm pote$t ab ip$a $ubstantia corporis grauis; nam graui- tas e$t ip$e impetus innatus, de qua infrà:</I> probatur; quia nihil e$t aliud in- trin$ecum, à quo produci po$$it; quòd autem non produc tur ab alio im- petu ad intra, patet per Th.41. lib. 1. <C><I>Theorema</I> 9.</C> <p><I>Impetus productus primo instanti durat proximè $equenti.</I> Probatur pri- mò; quia $emper habet $uum effectum formalem; vel grauitationis, $i impeditur; vel motus in medio libero; igitur non e$t fru$trà; igitur non de$truitur per Th.162.lib.1. nihil enim exigit de$tructionem; non tota natura, quia non e$t fru$trà per Ax. 6. non à contrario impetu, qui $æpè abe$t, vt cum liberè mouetur corpus graue in aëre, vel $u$tinetur, v.g. glans plumbea ab ingenti rupe: adde quod, licèt producatur in cor- pore graui impetus violentus $ur$um, non de$truitur, tamen innatus; alio- quin nihil e$$et, quod de$trueret violentum per Th.150. & Schol. Th. 152.num.6.lib.1. <C><I>Theorema</I> 10.</C> <p><I>Impetus ille innatus, qui durat $ecundo instanti, con$eruatur ab aiiqua cau- $a</I>; e$t certum per Ax. 14.lib.1.num.1. <C><I>Theorema</I> 11.</C> <p><I>Non con$eruatur à cau$a primò productiua.</I> Probatur per Th.144. lib.1. alioquin non po$$et intendi ab eadem cau$a per Th. 146. lib 1. quippè con$eruatio nihil e$t aliud, quàm repetita productio, vt con$tat; nam cau$a con$eruans verè influit; igitur $i e$t can$a nece$$aria primo, & $e- cundo in$tanti æquali ni$u influit; influit enim quantum pote$t per Ax. 12.lib.1.quòd autem impetus intendatur, demon$trabimus infrà; con$ule Schol.Th.146.lib.1.in quo habes rationem præclari natura in$tituti; quo $cilicet factum e$t, vt qualitates, quæ contrario carent à causâ primò pro- ductiua; aliæ verò, quæ contrarium habent, ab alia causà con$er- uentur. <C><I>Corollarium.</I></C> <p>Hinc ab aliâ causâ con$eruari nece$$e e$t, vt patet, eáque aplicatâ per Ax.10.lib.1. quæcumque tandem illa $it; nos aliquando cau$am primam e$$e dicemus. <pb n=82> <C><I>Theorema</I> 12.</C> <p><I>Quando graue e$t in medio libero, per quod $cilicet de$cendere pote$t, $ecun- do instanti producitur nouus impetus, itemque tertio, quarto, quinto. &c.</I> Pro- batur primò; quia $ecundo in$tanti e$t eadem cau$a quæ primo non ma- gis impedita, eáque nece$$aria; igitur nece$$ariò agit per Ax. 12. lib.1. igitur aliquem effectum producit; $ed hic effectus non e$t impetus pro- ductus primo in$tanti, quia non con$eruatur à cau$a primò productiua per Th.11. igitur e$t nouus. Probatur $ecundò; cre$cit motus grauium in libero medio per hypoth. 1.2.3. igitur cre$cit impetus; quia cum motus naturalis $it ab impetu per Th.5. quâ proportionc cre$cit effectus, $cilicet $ormalis, & exigentiæ; $ic enim motus e$t effectus impetus per Th. 15. lib.1.eàdem cre$cit cau$a per Ax.2. Probatur tertiò, quia corpus graue ex maiore altitudine cadens maiorem quoque ictum infligit per hypoth.1. igitur maior impetus imprimitur in corpore percu$$o; $ed impetus ad ex- tra producitur ab alio impetu per Th.42.lib.1. igitur $i cre$cit productus inpetus, cre$cit impetus producens. <C><I>Corollarium.</I></C> <p>Hinc reiicies quorumdam placitum, qui volunt cau$am velociotis motus e$$e grauitatem ip$am, quatenus connotat motum præuium; quia $cilicet grauitas non producit illum maiorem impetum ad extra, vt con- $tat; nec $ub$tantia ip$ius corporis grauis per Th.40.lib.1.igitur ip$e im- petus: præterea $i hoc e$$et, fru$trà requireretur impetus contra Th. 5. Denique motus præuius nihil e$t amplius, cum alius $uccedit: Vide Th. 40.lib.1. vbi hæc fusè di$cu$$imus. <C><I>Theorema</I> 13.</C> <p><I>Impetus productus $ecundo instanti in medio libero con$eruatur tertio, & productus tertio con$eruatur, quarto, atque ita deinceps</I>; quia $cilicet nec con- <*>antur à cau$a primo productiua per Th.144.libri: nec aliquid exigit de$tructionem; non contrarius impetus, quia nullus e$t applicatus, vt con$tat; non re$i$tentia medij, quæ quidem alicuius momenti e$t; $ed non tanti, vt impedire po$$it motum omninò, vt con$tat; nam $uppono liberum medium, igitur nec de$truere impetum; cum tamdiu duret cau- $a quamdiu durat effectus, vt patet; igitur nihil e$t quod exigat impe- ms huius de$tructionem; igitur non de$truitur per Ax. 14. lib.1. qūanta verò $it, & quid $it cuiu$libet medij re$i$tentia, dicemus infrà. <C><I>Theorema</I> 14.</C> <p><I>Si impetus innatus impeditur, ita vt moueri non po$$it corpus graue, $e- cundo instanti non producitur nouus impetus.</I> Probatur primò, non cre$cit corporis grauis $eu grauitas, $cu grauitatio, vt con$tat experientiâ; igitur non cre$cit impectus; alioquin $i cre$ceret cau$a, cre$ceret effectus per Ax.2. igitur de re, quòd $it, certum e$t, atque cuidens; iam demon$tratur propter quid $it; impetus $ecundo in$tanti productus e$$et fru$trà; careret <pb n=83> enim $uo fine, vel effectu formali, id e$t motu; igitur e$$et fru$trà, $ed quod fru$trà e$t, non e$t per Ax.6.l.1. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$erua quæ$o, quod iam $uprà indicattun e$t, e$$e tres veluti $pecies impetus. Prima e$t impetus naturalis innati. Secunda naturalis acqui$iti. Tertia violenti; innatus e$t qui vel à generante $imul cum corpore graui productus e$t; qui$quis tandem $it generans, de quo aliàs; vel ab ip$o graui qua$i profunditur, id e$t, producitur in $e ip$o $tatim initio, quo e$t; porrò cum in corpore graui duplex qua$i proprietas $en$ibilis e$$e videatur, $cilicet grauitas, $eu pondus & motus deor$um; certè de- bet e$$e in co aliquid per quod tùm cogno$ci po$$it eins pondus, tùm in- cipiat moueri deor$um; quippe maximè corpora ex pondere cogno$ci- mus, vnumque ab alio di$tinguimus; igitur debet e$$e aliquid, quod $en- $um afficiat, vt cogno$ci po$$it; atqui illud ip$um non e$t $ub$tantia cor- poris; nam corpus graue meæ manui $u$tinenti impetum imptimit; immò vim alterius impetus infringit; igitur operâ alterius per Th. 40. & 42.lib.1. Præterea illud ip$um, quod agit, $eu deor$um pellit $u$tinen- tem manum, e$t illud ip$um quod inclinat corpus graue deor$um imme- diatè, $eu quod exigit motum naturalem deor$um; illud autem quod immediatè præ$tat hunc motum, nec e$t $ub$tantia corporis grauis per Th.3. igitur ip$e impetus per Th.5. adde quod primo in$tanti, quo e$t im- petus, non e$t motus ille, quem exigit per Th.34. lib.1. igitur præexi$tit $emper impetus, qui ne $it fru$trà, habet primum effectum $uum forma- lem, id e$t grauitationem: Ex his dicendum e$t hunc impetum natiuum nunquam de$trui, quia nunquam e$t fru$trà, habet enim $emper aliquem effectum, primum quidem $i caret $ecundo; $ecundum verò $i caret pri- mo; quippe vtrumque $imul habere non pote$t; nam corporis pondus cogno$ci non pote$t, dum fertur deor$um accelerato motu, quot verò, & quanta commoda ex cognitione ponderis cuiu$libet materiæ proce- dant, vix explicari pote$t. <p>Ex his verò concludendum $upere$t impetum innatum e$$e proprie- tatem quarto modo, vt vulgò aiunt, corporis grauis; ac proinde ab illo in$eparabilem; quid verò fiat de illo, cum corpus graue fit leuc; $i tamen hoc aliquando accidit, dicemus cum de grauitate, & grauitatione, iam verò $atis e$t ad præ$ens in$titutum impetum innatum ab ip$o corport graui nunquam $eparari, quandiu remanet graue. <p>Impetus naturalis acqui$itus producitur ab codem principio intrin- $eco; hinc dicitur naturalis: dicitur verò acqui$itus, quia non e$t inna- tus; $ed $eparatur à corpore graui; quod $emper co caret, quandiu quie$cit: $ed innato tantùm accedit ad motus accelerationem, & ad alia quamplurima, quæ ex ea $equuntur; putà maiorem percu$$ionem, re$i- $tentiam, vim, & ad tollendum totius naturæ languiorem; quo certè af- ficeretur, $i corpus grauc tardi$$imo motu deor$um ferretur, de quo in- frà; Porrò impetus acqui$itus in multis differt ab innato; primò quia <pb n=84> de$truitur à corpore re$i$tente co modo, quo diximus, & dicemus infrà. Secundò, quia determinari pote$t ad omnem lincam. <p>Impetus violentus e$t, qui e$t ab extrin$eco, de quo agemus infrà, & iam $uprà in lib.1. multa $unt de eo demon$trata. <C><I>Theorema</I> 15.</C> <p><I>Impetus naturalis corporis grauis intenditur dum hoc ip$um de$cendit in medio libero</I>; demon$tratur, Impetus nouus producitur in $ecundo, ter- tio, quarto, &c. in$tantibus per Th.12. $ed productus in primo con$er- uatur $ecundo, per Th.9. productus $ecundo con$eruatur tertio, produ- ctus tertio con$eruatur quarto per Th.13. igitur $ecundus additur tertio, tertius primo, $ecundo, quartus primo, $ecundo, & tertio, &c.$ed impetus additus alteri facit inten$iorem impetum per Ax.1. igitur impetus natu- ralis intenditur, quod crat demon$trandum. <C><I>Theorema</I> 16.</C> <p><I>Hinc motus naturalis deor$um acceleratur</I>; hoc ip$um $uppo$ui $uprà Quod e$$et in hyp.1.2.3. iam verò demon$tro propter quid e$t; $ie cnim hypothe$is in Theorema conuerti pote$t, vt fæpè monuimus in metho- do; igitur probatur hoc Theorema facilè; cre$cit impetus in corpore gra- ui, quod tendit deor$um in libero medio per T. 15. igitar cre$cit cau$a motus; nam impetus e$t can$a immediata motus naturalis per Th. 51. $ed quâ proportione cre$cit cau$a, debet cre$cere effectus per Ax.2. igi- tur motus naturalis deor$um cre$cit, id e$t acceleratur, id e$t fit velo- cior, quod erat dem: nec e$t quod aliquis exi$timet hic à me committi vitio$um argumentationis circulum; quippe probaui $uprà cre$cere im- petum, quia cre$cit motus; iam verò probo cre$cere motum, quia cre$- cit impetus; nam primò probaui produci nouum impetum in Th.12. co quod $ecundo in$tanti. v.g. $it cadem cau$a nece$$aria applicata non im- pedita, igitur tàm debet agere $ecundo quàm primo in$tanti, hæc fuit mea probatio à priori; $ecundò verò probaui ex hypothe$i certa; quia $cilicet cre$cit motus, cuius veritatem cogno$co $en$ibiliter in $e, vnde $uppono tantùm de illa quod $it; igitur nullus committitur circulus; nam diuer$a e$t omninò cognitio. Prima $cilicet qua cogno$co de motu na- turaliter accelerato quod $it, quæ mihi, & ru$tico communis e$t. Secun- da verò qua non modò cogno$co de motu illo quod $it acceleratus, ve- rùm propter quid $it acceleratus, id e$t cau$am huius accelerationis, id e$t propter quam attributum hoc ine$t $ubiecto, & hæc e$t vera demon- $tratio à priori; porrò in Phy$ica de effectu $en$ibili $upponi debet quod $it, hoc enim percipitur $en$u. v. g. $upponam in Phy$ica quod $it motus acceleratus, quod ignis $it calidus, Sol lucidus, nix candida, vinum ru- brum, &c. at verò demon$trabo propter quid hæc $int, $ed de his $atis. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis etiam aliud naturæ in$titutum, quo $cilicet factum e$t, vt <pb n=85> corpora grauia motu naturali accelerato deor$um ferantur; $i enim motu ferrentur æquabili, vel e$$et æqualis illi quem initio $ui de$cen$us ha- bent, qui e$t tardi$$imus, vt con$tat ex ip$a ictuum differentia; atque ita infinitum ferè tempus ponerent grauia in minimo etiam de$cen$u, quod e$$et maximè incommodum; $i verò motus ille e$$et æqualis mo- tui v.g. quem acqui$iuit in fpatio 3. vel 4. perticarum, pondera corpo- rum cre$cerent in immen$um, ide$t in ea proportione, qua ictus, qui in- fligitur à corpore graui confecto 4. perticarum $patio maior e$t ictu, qui infligitur po$t decur$um minimum omnium $patiorum, quod valdè in- commodum e$$et. <C><I>Theorema</I> 17.</C> <p><I>Æqualibus temporibus æqualis impetus producitur, $i $it eadem applica- tio, idemque impedimentum</I>; probatur, quia cau$a huius impetus e$t ne- ce$$aria; $ed cadem cau$a nece$$aria æqualibus temporibus æqualem impetum producit per Ax.3. <C><I>Theorema</I> 18.</C> <p><I>Qua proportione cre$cit impetus acceleratur motus</I>; quia quæ proportio- ne cre$cit cau$a, ctiam cre$cit effectus per Ax.2. <C><I>Theorema</I> 19.</C> <p><I>Hinc æqualibus temporibus in de$cen$u corpus graue acquirit aqualia ve- locitatis, vel acce$erationis momenta</I>; hoc ip$um e$t quod definitionis lo- co Galileus in dialogo tertio de motu naturali a$$umit; quod tamen meo iudicio fuit antè demon$trandum quàm $upponendum; quare $ic demon$tramus, quâ proportione cre$cit impetus, cre$cit motus per Th. 18. $ed temporibus æqualibus acquiruntur æquales impetus gradus per Th.17. igitur æqualia velocitatis momenta, vel incrementa. <C><I>Theorema</I> 20.</C> <p><I>Spatia que per curruntur motu aquabili æqualibus temporibus $unt æqualia</I>; Probatur per Def.2. <C><I>Theorema</I> 21.</C> <p><I>Duo motus æquabiles, qui durant æqualibus temporibus, $unt vt $patia</I>; patet; cùm enim impetus $int vt motus per Ax. 2. motus $unt vt $patia; quippe vt ex impetu $equitur motus, ita ex motu confectum $pa- tium. <C><I>Theorema</I> 22.</C> <p><I>Duo motus æquabiles, quibus percurruntur $patia æqualia $unt vt tempora permutande</I>;, patet, quia velocior e$t, quò percurritur $patium æquale minori tempore per Def.2. l. 1. Igitur eò veiocior, quò minori tem- pore. <C><I>Theorema</I> 23.</C> <p><I>Spatium, quod percurritur maiori tempore motu æquabili, est maius eo, quod percurritur minori æquè veloci motu in ea ratione, qua vnum tempus</I> <pb n=86> <I>est maius alio</I>; patet, quia æqualia $unt æqualibus temporibus per Th. 20. igitur inæqualibus inæqualia iuxta rationem temporum; item $pa- tium, quod idem percurritur minori tempore minus e$t. <C><I>Theorema</I> 24.</C> <p><I>Tempus quo maius $patium percurritur eodem motu æquabili, e$t maius eò quò minus conficitur iuxta rationem $patiorum:</I> Si enim $patia $unt vt tem- pora, igitur tempora $unt vt $patia; item tempus, quo minus $patium percurritur e$t minus co, quo maius. <C><I>Theorema</I> 25.</C> <p><I>Spatium, quod conficitur motu velociore, e$t maius eo, quod percur- ritur æquali certè tempore, $ed tardiore motu,</I> vt con$tat per def. 2. l. 1. imò e$t maius iuxta rationem velocitatis maioris, item e$t minus iuxta rationem tarditatis maioris. <C><I>Theorema</I> 26.</C> <p><I>Tempus, quo conficitur $patium æquale $ed uelociore motu, est minus eo quo conficitur tardiore</I>; Probatur per def.2. & per Th.22. idque in ratio- ne velocitatum permutando; item tempus quo conficitur $patium æqua- le tardiore motu e$t maius eo, quo conficitur velociore, patet. <C><I>Theorema</I> 27.</C> <p><I>Si datum mobile eodem motu æquabili duo percurrat $patia, tempora mo- tuum erunt vt $patia, & vici$$im $patia vt tempora.</I> Probatur per Th. 24. & 23. <C><I>Theorema</I> 28.</C> <p><I>Si idem mobile temporibus æqualibus pereurrat duo $patia motu æquabili, $ed inæquali velocitate; $patia erunt vt velocitates, & hæ vt illa; imò $i $patia $unt vt velocitates, tempora erunt æqualia</I>; pater etiam per Th.25. <C><I>Theorema</I> 29.</C> <p><I>Si percurrantnr à mobili æqualia $patia, $ed inæquali velocitate, ip$æ ve- locitates erunt in ratione permutata temporum, ide$t maior velocitas re$pon- debit minori tempori, & minor maiori</I>; Probatur per Th.23. <C><I>Theorema</I> 30.</C> <p><I>Si duo mobilia mouentur motu æquabili, $ed inæquali velocitate, & <*> libus temporibus, $patia $unt in ratione compo$ita ex ratione temporum, & ex ratione velocitatum,</I> $i enim æqualia $int tempora, $patia erunt vt velo- citates per Th.25. $i æquales $int velocitates, $patia crunt vt tempora, per Th.29. igitur $i nec æquales velocitates, nec æqualia tempora, erit ratio $patiorum compo$ita ex ratione temporum, & ex ratione velocitatum; $it ratio temporum 3/2 ratio velocitatum 2/3 compo$ita ex vtraque crit 6/2 $eu 3. vt con$tat ex ip$is elementis. <pb n=87> <C><I>Theorema</I> 31.</C> <p><I>Si duo mobilia ferantur motu æquabili per diuer$a $patia, & diuer$a velo- eitate, tempora erunt in ratione compo$ita ex ratione $paliorum & ratioue velocitatum permutata</I>; probatur eodem modo quo $uperius Th. 30. $it ratio $patiorum 4/1, velocitatum 4/2; permutetur hæc 1/4; componetur ex vtraque 4/1, ide$t 1/2, quæ e$t ratio temporum. <C><I>Theorema</I> 32.</C> <p><I>Si duo mobilia æquabili motu ferantur per diuer$a $patia, & inæqualibus temporibus; ratio velocitatum erit compo$ita ex ratione $patiorum, & ex ra- tione temporum permutata</I>; Probatur eodem modo; $it ratio $patiorum 4/2 temporum 1/2, permutetur 2/1, compo$ita ex vtraque crit 2/2, ide$t 4. quæ e$t ratio velocitatum. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis hæc omnia à vige$imo Theoremate maiori ex parte tradi à Galileo $uo modo, optimo quidem, $ed fortè longiore quàm par $it, nulla habita ratione cau$arum phy$icarum. <C><I>Theorema</I> 33.</C> <p><I>In motu naturaliter accelerato impetus nouus acquiritur $ingulis in$tanti- bus</I>; Probatur quia $ingulis in$tantibus e$t eadem cau$a nece$$aria, igi- tur $ingulis in$tantibus aliquem effectum producit, per Ax. 12. l.1. $ed priorem non con$eruat, vt dictum e$t $uprà, igitur nouum producit. <C><I>Theorema</I> 34.</C> <p><I>Hinc $ingulis in$tantibus æqualibus nouus impetus æqualis acquiritur,</I> quip- pe e$t æqualis, imò cadem cau$a, igitur æqualem effectum producit per Ax.12. l.1. <C><I>Theorema</I> 35.</C> <p><I>Hinc $ingulis in$tantibus intenditur impetus in hoc motu</I>; cum $ingulis in$tantibus producatur nouus, & prior con$eruetur, cui cum addatur, intenditur per Ax. 1. <C><I>Theorema</I> 36.</C> <p><I>Hinc $ingalis in$tantibus æqualiter cre$cit & intenditur impetus</I> per Th. 34. igitur æqualiter etiam $ingulis in$tantibus cre$cit velocitas motus per Ax.2. <C><I>Scholium</I></C> <p>Ob$eruabis dictū e$$e $uprà <I>instantibus æqualibus,</I> quia temporis natura aliter explicari non pote$t, quàm per in$tantia finita, vt demon$trabimus in Metaphy$ica; quid quid $it, voco in$tans totum illud tempus, quo res aliqua $imul producitur, $iue $it maius, $iue minus, $iue $it pars maior, vel minor, quod ad rem no$tram nihil facit penitus; nam dato quocun- que tempore finito pote$t dari maius & minus, quod certum e$t; igitur totum illud tempus, quo producitur primus impetus acqui$itus, vo- <pb n=88> co in$tans primum motus; cui æqualia deinde $uccedunt tem- pora. <C><I>Theorema</I> 37.</C> <p><I>Hinc cre$cit impetus iuxta progre$$ionem arithmeticam; cum $ingula in- $tantia æqualem impetum addant</I>; $i primo in$tanti $it vnus gradus, crunt duo; productus $cilicet alteri additus qui con$eruatur, tertio erunt;. quarto 4. quinto 5. &c. igitur cre$cit $ecundum progre$$ionem arith- meticam. <C><I>Theorema</I> 38.</C> <p><I>Eodem modo cre$cit velocitas, quia $ingulis in$tantibus æqualia acquirun- tur velocitatis momenta</I> per Ax.2. & per Th.36. <C><I>Theorema</I> 39.</C> <p><I>Maius $patium acquiritur $ecundo in$tanti, quàm primo, quia $ecundo</I> in$tanti motus e$t velocior per Th.36. igitur maius conficitur $patium, tempore $cilicet æquali per Def. 2. l. 1. idem dico de tertio, quar- to, &c. <C><I>Theorema</I> 40.</C> <p><I>Spatium quod acquiritur $ecundò instanti e$t ad $patium quod acquiritur primo vt velocitas, quæ e$t $ecundo ad velocitatem, quæ e$t primo.</I> Patet per Th.28. quia cum tempora illa $int æqualia, $patia $unt nece$$ariò vt ve- locitates; quippe æquali velocitati æquale $patium re$pondet tempore æquali, igitur inæquale inæquali, igitur maius maiori, idem dico de aliis in$tantibus. <C><I>Theorema</I> 41.</C> <p><I>Hinc $patium qucd acquiritur $ecundo in$tanti e$t duplum illius, qaod ac- quiritur primo.</I> Probatur, quia velocitas e$t dupla per Th 38. igitur $pa- tium duplum, & triplum tertio, quadruplum quarto, &c. <C><I>Theorema</I> 42.</C> <p><I>Hinc quodlibet $patium cre$cit æqualiter $ingulis in$tantibus æqualibus</I>; quia $patia cre$cunt vt motus, $eu vt velocitates; hæ cre$cunt æqualiter $ingulis in$tantibus æqualibus per Th.36. igitur æqualiter cre$cunt $in- gula $patia per Th.40. <C><I>Theorema</I> 43.</C> <p><I>Hinc $patia cre$cunt $ingulis in$tantibus æqualibus $ecundùm pregre$$io- nem arithmeticam</I>; quia cre$cit vt velocitas per Th.40. hæc vt impetus per Th.38. hic demum iuxta progre$$ionem arithmeticam per Th. 37. igitur $i $patium acqui$itum primo in$tanti $it 1. acqui$itum $ecundo crit 2. tertio 3. quarto 4. &c. hinc $patia acqui$ita $ingulis in$tantibus $unt vt $eries numerorm, qui componunt progre$$ionem $implicem, $cilicet 1.2.3.4.5.6. &c. dixi $ingulis in$tantibus æqualibus, quod e$t apprimè tenendum; $i enim a$$umantur partes temporis maiores, perturbatur hæc progre$$io, de quo infrà. <pb n=89> <C><I>Theorema</I> 44.</C> <p><I>Hinc pete$t dici cre$cere velocitatem quolibet in$tanti iuxta rationem $patij quod illo in$tanti decurritur</I>; quod certè verum e$t, dum intelligatur legi- timus horum verborum $en$us; quidquid reclamet Saluiatus apud Galil. dialogo 3. modò a$$umatur progre$$io incrementi in $ingulis in- $tantibus, in quibus reuerà fit; cur enim potiùs in vno quàm in alio? quippe $i comparetur velocitas vnius in$tantis cum velocitate alterius; haud dubiè erit eadem vtriu$que ratio, quæ $patiorum; $i enim vno in- $tanti percurritur vnum $patium cum vno velocitatis gradu; certè in- $tanti æquali acquiritur duplum $patium cum duobus velocitatis gradi- bus, nec obe$t, quod obiicit Galileus tunc motus e$$e æquabiles; quia motus qui fit in in$tanti debet con$iderari vt æquabilis; appello enim in$tans totum illud tempus, quo $imul acquiritur aliquid impetus, ali- quid enim $imul acquiri nece$$e e$t; nec demum ob$tat quod dicit, dari non po$$e motum in$tantaneum, quod multi haud dubiè negabunt; ego in Metaphy$ica explicabo quonam pacto dari po$$it motus in$tanta- neus, qui reuerà datur actu, non potentiâ; quia quacunque duratione data pote$t dari minor; igitur quocunque dato motu pote$t dari minor. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò hanc $patiorum rationem, quæ e$t eadem cum ra- tione velocitatum a$$umendam tantùm e$$e in iis $patiis, quæ acquirun- tur $ingulis in$tantibus; $i enim accipiantur partes temporis maiores, quæ conflentur ex multis in$tantibus; haud dubiè maior erit ratio $patio- rum, quàm velocitatum.v.g.$i primo in$tanti acquiratur primo $patium, $ecundo, 2.tertio, 3.quarto 4.igitur $i cõparetur velocitas primi in$tantis cum velocitate quarti æqualis erit, vt ratio $patiorum, id e$t, vt 1. ad 4. At verò $i accipiatur pars temporis con$tans duobus in$tantibus, hæc 4. in$tantia conflabunt tantùm 2. partes temporis æquales; in prima ac- quirentur 3.$patia, in $ecunda 7.vt patet: $ed quia velocitas primæ par- tis temporis non e$t æquabilis, nec etiam velocitas $ecundæ; addantur velocitates primi & $ecundi in$tantis, itemque $eor$im velocitates tertij, & quarti; certè ratio collectorum crit vt ratio $patiorum; $i enim velo- citas $ecundi in$tantis comparetur cum velocitate quarti e$t tantùm 1/2 cum tamen primum $patium $it ad $ecundum in ratione 3/7. <p>Secundò, $i comparentur $patia cum temporibus e$t alia ratio v.g.$pa- tium acqui$itum vno in$tanti $e habet ad $patium acqui$itum in duobus in$tantibus, vt 1, ad 3.in tribus vt 1.ad 6.in 4. vt 1. ad 10. <p>Tertiò ob$eruabis, non po$$e $en$u percipi in$tans, imò neque tempo- ris partem ex mille in$tantibus conflatam; nec etiam $patium quod ac- quiritur primo in$tanti; adhibenda $unt tamen in$tantia nece$$ariò ad explicandam proportionem huius accelerationis, quæ fit in $ingulis in- $tantibus; vt verò rem i$tam reuocemus ad $en$ibilem praxim, a$$ume- mus proportionem aliam $en$ibilem, quæ proximè ad veram accedit, nec ferè $en$ibiliter fallere pote$t, de qua infrà. <pb n=90> <C><I>Theorema</I> 40.</C> <p><I>Collectio $patiorum e$t $umma terminorum huius progre$$ionis arithmeticæ</I>; Gùm enim ratio $patiorum $it vt ratio velocitatum; dum $cilicet hæc progre$$io accipitur in in$tantibus, & ratio velocitatum vt ratio incre- menti impetuum; vt con$tat ex dictis, & hæc $equatur $implicem progre$$ionem 1. 2. 3. 4. &c. certè collectio $patiorum e$t $umma ter- minorum. <C><I>Theorema</I> 41.</C> <p><I>Hinc cognito primo termino, & vltimo, id e$t $patio quod per curritur primo in$tanti & $patio quod percurritur vltimo instanti, cogno$citur $umma, id e$t collectio $patiorum, id e$t, totum $patium confectum.</I> v.g.$i primus terminus, $ecundus S.igitur $umma e$t 36. quippe vltimus terminus indicat nume- rum terminorum, quia primus e$t $emper vnitas, & progre$$iuus etiam vnitas. <C><I>Theorema</I> 42.</C> <p><I>Hinc cognita $umma & vltimo termino cogno$citur etiam numerus in$tan- tium æqualium, qui $emper est idem cum numero terminorum, cogno$citur etiam primus terminus, id e$t $patium quod primo instanti percurritur, cogno- $cuntur etiam gradus velocitatis</I>; quippe hæc omnia $unt in eadem ratio- ne; quæ omnia con$tant ex regulis arithmeticis præter alia multa data, quæ lubens omitto; tùm quia Phy$icam non $apiunt, tùm quia hypothe- $is illa e$t impo$$ibilis phy$icè; quis enim $en$u percipere po$$it & di- $tinguere vnum temporis in$tans, vel $patij punctum? licèt recen$enda fuerit hæc accelerati motus proportio in in$tantibus, vt ad $ua phy$ica principia reduceretur. <C><I>Theorema</I> 43.</C> <p><I>Data $umma progre$$ionis huius $implicis, inuenietur numerus terminorum, $i inueniatur numerus, per quem diuidatur, qui $uperet tantùm vnitate du- plum quotientis</I>; quippe habebis in duplo quotientis numerum termino- rum v.g. $it $umma 10. diui$or $it 5. quotiens 2. duplus 4. hic e$t nume- rus terminorum datæ $ummæ; $it alia $umma 21. diui$or $it 7.quotiens 3. numerus terminorum 6. $it alia $umma 36. dini$or $it 9. quotiens 4. nu- merus terminorum 8. $it alia $umma 45. partitor $it 10. quotiens 4 1/2, numerus terminorum 9. quomodo verò hic partitor inueniri po$$it, vi- derint Arithinetici; nec enim e$t huius loci, quamquam datâ $ummâ huius progre$$ionis $implicis facilè cogno$ci pote$t numerus termino- rum; duplicetur enim, & radix 9. neglecto re$iduo dabit numerum ter- minorum v.g. $it $umma 21. duplicetur, erit 42. rad. 9. 6. dat numerum terminorum; $it $umma 36. duplicetur, erit 72.rad.9.8. dabit numerum terminorum. <C><I>Theorema</I> 44.</C> <p><I>Semper decre$cit proportio incrementi velocitatis, id est maior est proportio velocitatis $ecundi in$tantis ad primum quàm tertij ad $ecundum, & maior</I> <pb n=91> <I>tertij ad $ecundum quàm quarti ad tertium, atque ita deinceps</I>; $it enim primo in$tanti velocitas vt 1.$ecundo erit, vt 2.tertio, vt 3.quarto, vt 4. $ed maior e$t proportio 2.ad 1.quàm 3.ad 2. & hæc maior quàm 4. ad 3. atque ita deinceps; $imiliter maior e$t proportio $patij quod percurritur $ecundo in$tanti ad $patium, quod percurritur primo, quàm $patij, quod percurritur $ecundo in$tanti ad $patium, quod percurtitur primo quàm $patij quod percurritur tertio ad $patium, quod percurritur $ecundo, at- que ita deinceps; e$t enim eadem ratio $patiorum quæ $ingulis in$tanti- bus re$pondent, quæ velocitatum, vt demon$tratum e$t $uprà. <C><I>Theorema</I> 45.</C> <p><I>Minor e$t proportio totius $patij, quod acquiritur duobus instantibus ad to, tum $patium, quod acquiritur vno, quàm $it illius, quod acquiritur quatuor in- $tantibus ad aliud, quod acquiritur duobus</I>; patet-ex dictis; $i enim primo in$tanti acquiritur vnum $patium, $ecundo acquiruntur 2.igitur duobus $imul acquirantur 3. igitur proportio e$t vt 3.ad 1.Sed $i duobus acqui- runtur 3. $patia; certè 4.in$tantibus acquiruntur 10. igitur proportio e$t vt 10.ad 3. $ed proportio 10/3 e$t maior 3/1, erit adhuc maior proportio $pa- tij quod acquiretur 6. in$tantibus ad illud quod acquiritur tribus; e$t enim (21/6) vt patet. <C><I>Theorema</I> 46.</C> <p><I>Si componatur æquabilis motus ex $ubdupla velocitate maxima, & mini- ma, æquali tempore, idem $patium percurretur hoc motu naturaliter aceclera- to</I>; $it enim maxima velocitas vt 6. minima vt 1. motu naturaliter acce- lerato percurrentur $patia 21. cuius $ummæ termini $unt 6.igitur 6. in- $tantibus con$tat hic motus; accipiatur $ubduplum maximæ, & minimæ velocitatis, $cilicet 3 1/2. sítque velocitas motus æquabilis in$tantium 6. haud dubiè $i ducantur 3 1/2 in 6 erunt 21.ratio ex eo petitur quod $cili- cet, vt habeatur $umma progre$$ionis arithmeticæ, debet addi primus terminus maximo, & a$$umi $ubduplum totius; illudque ducere in nu- merum terminorum per regulam arithmeticam; atqui eadom e$t ratio velocitatum, quæ $patiorum; vt dictum e$t $uprà; $cilice, in $ingulis in$tantibus. <C><I>Theorema</I> 47.</C> <p><I>Si a$$umantur partes temporis majores; quæ $cilicet pluribus in$tantibus constent, $erueturque eadem accelerationis progre$$io arithinetica, $patium quod ex $umma huius progre$$ionis re$ultabit, erit minus vero,</I> $int enim 6.in- $tantia, & cuilibet iuxta progre$$ionem prædictam $uum $patium re$pon- deat, haud dubiè $patium $ecundi erit duplum $patij primi, & tertium triplum, &c. vt con$tat ex dictis; igitur erunt $patia 21. iam verò a$$u- mantur 3. partes temporis, quarum quælibet ex 2. con$tet in$tantibus; primæ parti tria ex prædictis $patiis re$pondeant; certè $i $eruetur pro- gre$$io arithmetica, $ecundæ re$pondebunt 6. & tertiæ 9. igitur totum $patium erit 18. minus vero quod erat 21. $i verò a$$umantur tantùm 2. partes, quarum quælibet tribus in$tantibus con$tet; primæ parti re$pon- <pb n=92> debunt 6. $ecundæ 12. igitur $umma erit 18. minor vero $patio $cilicet 21.hinc vides $uppo$ito eodem in$tantium numero $patium e$$e $empet æquale, $iue a$$umantur partes maiores temporis, $iuc minores, v. g. $up- po$itis 6.in$tantibus, ex quibus totum $patium 21.con$equitur, $iue a$$u- mantur tres partes, quarum quælibet con$tet 2. in$tantibus, $iue duæ, quarum quælibet con$tet tribus, $patium quod ex illis re$ultat, e$t $em- per idem $cilicet 18. a$$umptis verò 8. in$tantibus, & totali $patio, quod illis re$pondet 36. $patium quod ex partibus re$ultabit erit 30. $iue $int duæ partes, quarum quælibet con$tet 4. in$tantibus, $iue $int 4. quarum quælibet con$tet duobus: hinc rur$us vides a$$umpto maiori in$tantium numero $patium verum habere maiorem rationem ad non verum, quàm a$$umpto minori in$tantium numero, v.g.a$$umantur 4.in$tantia, $umma $patiorum erit 10. $i verò a$$umantur 2.partes temporis, quarum quæli- bet duobus in$tantibus re$pondeat; $umma $patij erit 9.igitur ratio ve- ri $patij ad non verum e$t (10/9). a$$umantur 6. in$tantia $patij veri, $umma erit 21.non veri 18. igitur ratio (21/18) $eu 7/6 quæ maior e$t priori: denique a$$umantur 8. in$tantia $patij veri, $umma erit 36. non veri 30 igitur ra- tio (36/30) $eu 6/3 quæ maior e$t prioribus, atque ita deinceps. <C><I>Theorema</I> 48.</C> <p><I>Datis duabus partibus temporis, & cognito $patio quod percurritur in prima, matius $patium re$pondebit $ecundæ quo vtraque in plures partes minores diui- detur, $uppofita $emper eadem proare$$ione arithmetica in ip$o incremento</I>; $int<note><I>Fig.</I>17 <I>Tab</I>:1.</note> enim duæ partes temporis $en$ibiles æquales AG. GH. & $pa- tium quod percurritur prima parte temporis AG $it HI; in $ecunda percurretur IO, id e$t, duplum HI; at verò diuidatur pars temporis AG in duas æquales AF, FG, & con$equenter totum tempus AH in 4. æquales; haud dubiè in prima AF percurretur NP $ubtripla HI, & in $ecunda FG percurretur PK dupla NP; igitur in 4. partibus temporis AH percurretur $patium decuplum PN, $ed HO e$t tantùm nouecupla NP; igitur re$ultabit maius $patium in 4.partibus temporis, quam in dua- bus; licèt duæ æquiualeant 4. iuxta progre$$ionem arithmeticam. <p>Similiter AF diuidatur bifariam in E. & tota AH in 8. æquales AE; certè primis 4.percurretur idem $patium ML æquale NK & HI; igitur in prima AE percurretur MR. cuius ML $it decupla; nam 4. terminis re$pondet $umma 10. $ed 8. terminis id e$t 8.partibus temporis re$pon- det $umma; 6. æqualium RM; $ed HO tripla ML e$t tantum 30. æqualium MR; igitur in 8.partibus re$ultabit maius $patium, quàm in 4.quæ æquiualent 8. <p>Ex quibus etiam con$tat quo plures accipientur partes temporis ma- ius $patium re$ultare, donec tandem perueniatur ad vltima in$tantia, ex quibus re$ultat maximum; & $i accipias AG partes temporis AG. GH. habebitur HO; $i verò 4.æquales AF, cre$cet $patium $eu $umma 1/9 HO; $i autem 8. æquales AE cre$cet 1/5 HO; $i porrò 16. æquales AD cre$- cet (22/108) $i 32. æquales AC cre$cet (120/408); $i 64. æquales AB cre$cet (496/1584). <pb n=93> <C><I>Theorema</I> 49.</C> <p><I>In progre$$ione arithmetica $i diuidatur numerus terminorum bifariam æ- qualiter nunquam $umma po$terioris $egmenti e$t tripla prioris</I>; $ed $i acci- piantur duo termini e$t tantùm 2/1, $i 4. e$t 7/3 $i 6. e$t (15/6), $i 8. e$t (26/10), $i 10- (<*>0/25), $i 12. (57/21), $i 14. (77/28), atque ita deinceps. <p>Ex quo ob$erua mirabilem con$equutionem; quippe $i a$$umantur tantùm duo termini, & diuidantur bifariam, $umma po$terioris medie- tatis e$t tripla primæ minùs vnitate; $i accipiantur 4. e$t tripla minùs 2. $i 6. minùs 3. $i 8. minùs 4. $i 10. minùs 5. $i 12. minùs 6. $i 14. mi- nùs 7. atque ita deinceps; vnde $umma po$terioris medietatis e$t $emper tripla minùs numero $uorum terminorum, vel quod clarum e$t minùs $ubduplo vltimi, $eu maximi termini, vel numeri terminorum totius progre$$ionis, quod probè omninò tenendum e$t, vt omnes experientiæ explica ri po$$int, quod infrà faciemus. <C><I>Theorema</I> 50.</C> <p><I>Ex dictis hactenus facilè redditur ratio maioris ictus eiu$dem corporis im- pacti quod cadit ex maiori altitudine</I>; fuit hyp. 1. $ed ideò e$t maior ictus, quia maior imprimitur impetus, vt patet, at ideò maior impetus impri- mitur, quia maior e$t imprimens per Ax. 2. cre$cit enim impetus, vt con$tat ex dictis. <C><I>Theorema</I> 51.</C> <p><I>Hinc quoque ratio maximæ percu$$ionis ex $olo pondere cadentis illius arie- tis inflictæ</I>; quâ $cilicet altè infiguntur lignei pali, quibus in mediis aquis tanquam iacto $undamini $uperædificatur ingens $æpè ædificij moles. <C><I>Theorema</I> 52.</C> <p><I>Hinc ex minima altitudine cadens corpus graue minimum ferè ictum in- fligit</I>; quia primus impetus valdè debilis e$t, qui tamen deinde $acta acce$$ione maximus ferè euadit. <C><I>Theorema</I> 53.</C> <p><I>Hinc ratio, cur tanta $it differentia impetus grauit ationis, & percu$$ionis ab eodem mobili</I>; quia $cilicet quantumuis tempore breui$$imo mouea- tur, plurimis tamen cius motus durat in$tantibus; atqui quolibet in$tan- ti motus acquiritur impetus æqualis primo impetui grauitationis, vt con$tat ex dictis. v. g. $it mobile quod moueatur per mille in$tantia (modicum certè tempus & minimè $en$ibile) po$t hunc motum impetus erit millecuplus; igitur effectus etiam millecuplus; quæ omnia con$tant ex dictis. <C><I>Theorema</I> 54.</C> <p><I>Hinc percu$$io quæ fit in primo in$tanti contactus cre$cit vt tempus</I>; quia cùm $ingulis in$tantibus cre$cat impetus per partes æquales, & cùm per- cu$$io $it vt impetus; etiam erit vt tempus; igitur percu$$io, quæ fit po$t duo in$tantia motus eiu$dem corporis grauis deor$um cadentis e$t du- <pb n=94> plaillius, quæ $it po$t vnum in$tans motus, & quæ fit po$t tria tripla, po$t 4. quadrupla, atque ita deinceps; cùm enim æqualibus temporibus æqua- lia acquirantur velocitatis momenta, id e$t æquales impetus, impetus erunt vt tempora, percu$$iones vt impetus, igitur percu$$iones vt tem- pora. <p>Dixi in primo in$tanti contactus; nam reuerâ $ecundò in$tanti con- tactus, ni$i fiat reflexio, augetur vis ictus, quia cau$a nece$$aria e$t ap- plicata. <C><I>Theorema</I> 55.</C> <p><I>Hinc po$$unt comparari duæ percu$$iones duorum grauium inæqualium dum cadunt deor$um</I>; $i enim cadunt æqualibus temporibus, percu$$io- nes erunt vt corpora $eu grauitates, vt patet v.g. corpus 2. librarum po$t 2. in$tantia motus infligit duplam percu$$ionem illius, quam infligit cor- pus vnius libræ po$t 2. in$tantia motus; $i verò tempora motus $unt inæ- qualia, & grauitates æquales, percu$$iones erunt vt tempora; $i demum grauitates inæquales, & tempora motus inæqualia, percu$$iones erunt in ratione compo$ita ex ratione grauitatum & temporum, quæ omnia patent ex dictis in Th. $uperioribus, v. g. $it corpus duarum librarum, & alterum trium librarum; primum moueatur per 5. in$tantia, & $ecun- dum 2.per 5. ratio grauitatum e$t 3/2; ratio temporum e$t 7/5; compo$ita ex vtraque erit (21/10); & hæc e$t ratio percu$$ionum. <C><I>Theorema</I> 56.</C> <p><I>Hinc pote$t $ciri ratio percu$$ionis. & grauitationis eiu$dem mobilis in pri- mo in$tanti vtriu$que, $i cogno$catur numerus in$tantium motus</I>; cum enim $ingulis in$tantibus æqualis impetus accedat, vt $æpè dictum e$t; certè erit percu$$io ad grauitationem, vt numerus in$tantium motus ad vnita- tem, v.g. grauitatio $it vt 4.$it&qacute;ue motus eiu$dem corporis per 8. in$tan- tia; percu$$io erit ad grauitationem, vt 32. ad 4.vel vt 8.ad 1.quæ om- nia con$tant ex dictis. <C><I>Theorema</I> 57.</C> <p><I>Hinc data percu$$ione, $i cogno$ceretur probè numerus in$tantium motus, dari po$$et grauitatio ip$i æqualis</I>; v.g. $it percu$$io dati corporis cadentis per 8.in$tantia, eius percu$$io e$t octupla grauitationis eiu$dem per Th. 56. igitur $i detur grauitatio octupla huius, erit æqualis datæ percu$- $ioni; dabitur autem grauitatio octupla, $i detur corpus eiu$dem mate- riæ octuplò grauius, vt con$tat. <C><I>Theorema</I> 38.</C> <p><I>Hinc primo in$tanti grauit ationis nullum ferè $entitur pondus,</I> quia mini- ma vis e$t, quæ con$equentibus in$tantibus augetur, hinc licèt corpus breui tempore quis $u$tineat, paulò po$t tamen ponderi cedit, ratio e$t elara ex dictis. <pb n=95> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò numerum in$tantium non po$$e à quoquam $en$u percipi, nec in calculos vocari, vt patet; vnde Theoremata non po$$unt ad praxim reduci defectu huius cognitionis; quam $upra adhibui hypo- the$eos loco. <p>Secundò non pote$t ad amu$$im tempus cum tempore componi ad æqualitatem, vel aliam datam rationem; licèt enim vnum tempus $en$i- bile haberet mille in$tantia $upra aliud; illa tamen inæqualitas $en$u minimè perciperetur; idem dico de aliis rationibus, in quo, ni fallor, maximè peccant, qui temporum æqualitatem perfectam ob$eruari po$$e contendunt. <p>Tertiò, idem dico de percu$$ionum ratione; quippe non pote$t $en$u percipi inæqualitas duarum percu$$ionum, licèt vires vnius præualeant mille punctis $eu gradibus in$en$ibilibus; quippe non pote$t di$tingui ab alia ni$i vel ex $patio; atqui di$cerni non pote$t, an vnum $patium $uperet aliud mille punctis; vel ex $ono; atqui $onus pote$t diuidi in in- finitos ferè gradus $en$u minimè perceptibiles; igitur nulla hypothe$is in his experimentis $tatui pote$t, quibus æqualitas vel temporum, vel $patiorum cogno$ci dicatur; nec dicas aliquot in$tantia parùm di$cti- minis importare, nam cùm $ingulis in$tantibus fiat æqualis impetus ac- ce$$io, mille in$tantia reddunt percu$$ionem millecuplam grauitationis; hinc certum e$t ex numero in$tantium cognito cogno$ci tantùm po$$e numerum punctorum, & vici$$im; at certè neuter $en$u percipi pote$t; ne- que tanti e$t hoc $cire. <C><I>Theorema</I> 59.</C> <p><I>Hinc $i corpus graue de$cenderet motu æquabili eoque æquali motui primi m$tantis; certè vix modicum $patium post multos annos decurreret</I>; $uppo- namus enim quod plures habent, licèt accuratè experimento $ubii- ci non po$$it, $cilicet vno $ecundo minuto temporis decurri à corpore graui deor$um 12. pedes $patij; in $ecundo minuto $upponamus e$$e mille in$tantia, quamuis infinita penè contineat; $itque in primo in- $tanti motus vnus gradus impetus; $ic enim vocetur illa pars impetus, que producitur primo in$tanti; certè po$t mille in$tantia motus, erunt mille gradus impetus; iam vcrò $i accipiatur $ubduplum maximæ & minimæ velocitatis; id e$t vnius gradus, & mille graduum, $cilicet 500. 1/2 tri- buaturque motui æquabili; haud dubiè vno fecundo minuto percur- rentur 12. pedes $patij per Th. 46. Igitur $i cum velocitate vt 500, 1/2 percurrentur 12. pedes 1.minuto, cum velocitate vt 1. percurrentur 12. pedes 500.$ecundis minutis, &; 30. tertiis; $i verò accipiantur plura in$tantia, v.g. 1000000.in$tantia, percurrentur 12. pedes 500000. $e- cundis minutis; $i verò 1000000000000. percurremur 500000000000. $ecundis, id e$t 8333333333. minutis, id e$t 138888888. horis <pb n=96> id e$t 5787037. diebus id e$t 89031. annis, omitto minutias; atqui lon- gè adhuc plura in vno minuto continentur in$tantia. <C><I>Theorema</I> 60.</C> <p><I>Si corpus graue de$cenderet motu æquabili, eoque æquali motui vltimi in- stantis, duplum ferè $patium æquali tempore conficeret illius quod conficit motu accelerato, duplum inquam ferè $cilicet panlò minùs</I>; quia conficit idem motu æquabili; cuius velocitas e$t $ubdupla maximæ & minimæ; $ed minima velocitas primi in$tantis pro nihilo reputatur; igitur acci- piatur tantùm $ubduplum maximæ, igitur cum velocitate æquali maxi- mæ, eodem tempore duplum $patium percurretur; igitur in vno minuto $ecundo, v.g. 24. pedes; igitur in vno minuto primo codem motu æqua- bili 1440. pedes percurrentur; igitur in vna hora 86400. pedes; hinc non e$t quod aliqui adeo mirentur, $eu potiùs reiiciant hanc motus accelerationem quod ex ea tùm tardi$$imus motus, tùm veloci$$imus con$equatur. <C><I>Theorema</I> 61.</C> <p><I>Motus naturaliter acceleratus non propagatur per omnes tarditatis gra- dus</I>; quia tot $unt huius propagationis gradus, quot $unt in$tantia, quibus durat hic motus, cum $ingulis in$tantibus noua fiat impetus ac- ce$$io, $ed non $unt infinita in$tantia, vt demon$trabimus in Metaphy- $ica; prætereà licèt e$$ent infinita in$tantia, non fieret adhuc per omnes tarditatis gradus hæc propagatio; quia daretur aliquis gradus tarditatis, quem non comprehenderet hæc graduum $eries; nam incipit moucri tardiùs in plano inclinato quàm in libero medio rectà deor$um, vt con- $tat, & in medio den$o quàm in raro v.g. in aqua quàm in aëre; igitur hic tarditatis gradus, quo incipit moueri in plano tantillùm inclinato, non continetur inter illos, quibus mouetur rectà deor$um. <p>Hinc duplici nomine reiice Galilæum qui hoc a$$erit. Primò, quia fru$trà ponit infinita in$tantia $ine nece$$itate; $ecundò, quia ratio, quam habet, non conuincit; vocat enim quietem tarditatem infinitam; à qua dum recedit mobile, haud dubiè per omnes tarditatis gradus propagari pote$t eius motus; $ed contrà primò, nam reuerà quies non e$t tarditas, quæ motui tantùm ine$$e pote$t. Secundò, quia tàm ex quiete $equi po- te$t immediatè velox motus, quàm tardus, vt patet in proiectis. Tertiò, quia motus incipit; igitur per aliquid $ui, igitur ille primus motus à quiete infinitè non di$tat; denique rationes $uprà propo$itæ rem i$tam euincunt. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis con$ideratum e$$e hactenus hunc motum nulla habita ratione re$i$tentiæ medij, quæ haud dubiè hanc propo$itionem motus accelerati tantillùm impedit, $ed de re$i$tentià medij agemus infrà. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Ex dictis facilè reiicies primò $ententiam illorum, qui negant mo- <pb n=97> <*>m naturalem accelerari, quos non ratio modò euidenti$$ima, $ed adeò $en$ibile experimentum omninò conuincere pote$t. <C><I>Corollarium.</I> 2.</C> <p>Secundò reiicies illos, qui volunt accelerationem motus e$$e, vel à vi magnetica, quâ terra trahit ad $e omnia grauia; vel ab alia vi occulta, quâ cœlum pellit deor$um; vel à cœle$ti illa, imò potiùs fabulosâ mate- riâ; vel demum ab ip$a vi fympathicâ, quâ corpus $uo centro propiùs factum totas $uas vires exerit, vt ei $e conjungat; quæ omnia gratis di- cuntur, & ex dictis plu$quam efficaciter refelli po$$unt, nefru$trà tempus in iis iterum refellendis teramus. <C><I>Corollarium</I> 3.</C> <p>Tertiò reiicies, qui volunt motum accelerari ex aëris à tergo impel- lentis appul$u, quod ridiculum e$t: licèt enim Ari$toscles videatur illud $en$i$$e de projectis, quod examinabimus $uo loco; nunquam tamen hoc dixit de motu naturali; quin potiùs antiquorum fuit omnium hic $en- $us, fieri acce$$ion&etilde; mobili alicuius, vnde reddatur motus velocior; hinc dictum illud vulgare, <I>vire$que acquirit eundo</I>; nihil porrò intelligi pote$t nomine virium, ni$i id, ex quo maior ictus, $eu percu$$io $equitur<*> illud autem e$$e impetum con$tat. <C><I>Corollarium.</I> 4.</C> <p>Quartò ex his $ententia Ari$totelica de motu accelerato optunè vin- dicatur; quòd $cilicet grauia $ub finem $ui motus velociùs $erantur ver- sùs centrum; quod ex dictis, & $implici$$imis, cer<*>imi$que principiis demon$tratum fuit. <C><I>Corollarium.</I> 5.</C> <p>Quintò reiicies etiam illorum $ententiam, qui hanc accelerationem tribuunt vel medio minùs re$i$tenti, vel grauitatis augmento, vel impe- tui violento priùs impre$$o dum corpus graue attollitur, quod meo iudi- cio ridiculum e$t; qua$i verò fru$tum rupis deci$um, deor$umque ruens impetum violentum aliquando habuerit. <C><I>Corollarium</I> 6.</C> <p>Sextò reiicies illorum $ententiam, qui volunt accelerationem motus naturalis ita fieri, vt $patia temporibus æqualibus acqui$ita $equantur $e- riem numerorum imparium 1.3.5.7.9.11.13. &c. & $patia $int vt quadrata temporum v. g. $i primo in$tanti acquiritur 1.$patium: $ecundo acquiruntur 3. tertio 5. quarto 7. &c. fique vno in$tanti acquiritur 1. $patium, duobus acquiruntur 4. tribus 9. quatuor 16. atque ita deinceps per quadrata, quæ omnia ex dictis falfa e$$e con$tat; quippe $i æqualibus temporibus acquiruntur æqualia velocitatis momenta; igitur $i primo in$tanti e$t 1.gradus, $ecundo erunt 2. igitur $ecundo tempore cum duo- bus gradibus velocitatis vel impetus percurrentur duo tantùm $patia, $i primò in$tanti æquali cum vno gradu percurritur vnus, $ed de his fusè infrà. <pb n=98> <C><I>Corollarium</I> 7.</C> <p>Septimò reiicies etiam aliquos recentiores, qui volunt fieri hanc pro- gre$$ionem $patiorum æqualibus temporibus re$pondentium $ecundùm progre$$ionem Geometricam, duplam, $cilicet iuxta hos numeros 1. 2. 4. 8. 16. 32. &c. quod etiam ex eadem ratione facilè confutatur: reiicies etiam alium recentiorem, qui vult hanc progre$$ionem $umi ex linea proportionaliter $ectâ, id e$t in mediam & extremam rationem; $ed de his omnibus in di$$ertatione $equenti fusè di$putamus; quippe rem hanc tanti e$$e putamus, vt nihil omittendum $it, quod ad cius pleni$$imam confirmationem pertineat. <HR> <C>DISSERTATIO</C> <C><I>De Motu naturaliter accelerato.</I></C> <p>DVæ $unt poti$$imùm in hac materia celebres $ententiæ; Prima e$t Galilei, & ferè omnium recentiorum, qui po$t Galileum de motu $crip$erunt; inter quos, ne omittam Genuen$em Patricium, Balianum<*> Doctus Mer$ennus, & eruditus Ga$$endus primum locum obtinent; quorum ille hanc $ententiam multis in locis, $cilicet in $uis quæ$tioni- bus Phy$icis, in $ua Galilei ver$ione, in harmonia vniuer$ali, & demum in $ua Bali$tica pa$$im, tùm fusè proponit, & explicat, tùm etiam $uis ra- tionibus confirmat; Galileus verò illam habet tùm in gemino $y$tema- te, tùm in dialogo tertio de motu locali. <p>Secunda $ententia no$tra e$t, de qua non $emel di$putandum fuit à Magi$tro, tùm verbis tùm etiam litteris $criptis; &ne quid fortè di$$imu- lem, illa e$t $ententia quam anonimo Philo$ophe (quem non $ine laud<*> appellat idem Mer$ennus) tribuit. prop.18.$uæ Bali$ticæ $ub finem; illa e$t inquam $ententia, quam hactenus meo iudicio $atis luculenter de- mon$trauimus. <p>Sunt tres aliæ $ententiæ, quæ ab eodem Mer$enno referuntur; prima e$t quæ progre$$ionem $patiorum eamdem e$$e vult cum eâ, quæ e$t $i- nuum ver$orum, centro quadrantis po$ito in centro terræ, & altero ex- tremo $inus totius in co punctò, in quo incipit motus. Secunda e$t quo- rumdam, qui volunt progre$$ionem $patiorum, quæ $ingulis temporibus re$pondent, e$$e in progre$$ione geometrica dupla iuxta hos numeros, 1.2.4.8.32. Tertia e$t alicuius, qui voluit e$$e iuxta proportionem lineæ $ectæ in mediam, & extremam rationem. <p>Tres vltimæ $ententiæ nullo pror$us nituntur fundamento; igitur vel inde maximè confutantur, quòd gratis $ine vllo pror$us vel rationis vel experimenti momento excogitatæ $int. Igitur in hac di$$ertatione duæ tantùm primæ di$cutiendæ $unt Sententiæ Galilei $chema<note><I>Fig.</I> <*>. 1,</note> hic habes in linea AF, in qua a$$umitur AB, $patium $cilicet, quod dato tempore <pb n=99> corpus graue $uo motu percurrit; & $ecundo tempore æquali BC, quæ tripla e$t AB, tertio CD quintupla quarto DE $eptupla, quinto EF nouecupla; vides primò $eriem numerorum imparium 1. 3. 5. 7. 9.atque ita deinceps. Secundò vides $patia e$$e in ratione duplicata temporum, hoc e$t vt temporum quadrata. v.g. $i accipiatur $patium AB primo tem- pore peractum, & $patium AC duobus temporibus confectum: ratio hu- ius ad illud e$t vt 4.ad 1.id e$t vt quadratum 2.ad quadratum 1. $imiliter, $i accipiatur $patium AD confectum tribus temporibus, erit 9.id e$t qua- dratum 3, $patium AE confectum 4.temporibus erit 16.id e$t quadratum 4. & AF 25. quadratum 5. <p>Hæc $ententia ingeniosè à Galileo excogitata ex duplici capite à $uis auctoribus confirmatur; primò experientiâ, $ecundò ratione. Experien- tia tribus poti$$imum experimentis fulcitur; primum e$t in motu deor- $um per lineam perpendicularem. v. g. in linea AF; nam reuerà multi $unt, iique graui$$imi auctores in rebus tùm philo$ophicis, tùm mathe- maticis ver$ati$$imi, qui $æpiùs $en$u ip$o probarunt, repetitis v$que ad nau$eam experimentis, tempore vnius $ecundi minuti corpus graue in libero aëre 12. pedes $patij motu naturali deor$um percurrere; in 2.ve- rò $ecundis 48. in 3.$ecundis 108.$ed $patia i$ta $unt vt temporum qua- drata, vt con$tat. <p>Secundum experimentum e$t in plano inclinato, in quo corpus graue de$cendit iuxta prædictam progre$$ionem, quod expre$$is verbis te$tatur Galileus à $e fui$$e probatum $æpiùs, nec vnquam à vero ne tantillùm quidem aberra$$e. $ed in perpendiculari deor$um eadem proportione cre$cit motus, quâ in plano inclinato; licèt in plano inclinato tardior $it motus, vt demon$trabimus aliàs. <p>Tertium experimentum petitur ex funependulis; in quibus $æpiùs ob$eruatum e$t longitudinem funis, & con$equenter arcum quadrantis longioris funependuli e$$e ad longitudinem, $eu quadrantem alterius breuioris, vt quadratum temporis, quo perficitur vibratio maioris ad quadratum temporis, quo perficitur vibratio minoris.v.g.$it<note><I>Fig.</I>19 <I>Tab.</I> 1.</note> longitudo funependuli maioris, CG minoris verò $ubquadrupla CF; eleuetur vter- que funis, cui pondus æquale $it appen$um v$que ad horizontalem CDE & alterum ex D; alterum verò ex E demi$$um cadat deor$um; haud dubiè funependulum CE duplum temporis collocabit in decurrendo quadrante EG, & funependulum ED $ubduplum. v. g. $i CD conficit $uam vibrationem DF vno $ecundo, EG conficiet $uam EG duobus, vt centies ob$eruatum e$t; $ed EG e$t quadruplus DF, vt patet; igitur EG & DF $unt vt quadrata temporum, quibus percurritur EG & DF $ed vt de$cendit graue per DF & EG, ita de$cendit per CF & CG, quippe DF & EG habent rationem plani inclinati deor$um. <p>Adde quod, vt $e habet tempus, quo de$cendit per totum quadrantem DF, ad tempus, quo de$cendit per totum quadrantem EG. $ic $e habet tempus, quo de$cendit per arcum DL $ubduplum DF ad tempus, quo de$cendit per arcum EI $ubduplum EG; item tempus, quo de$cendit <pb n=100> per arcum DM $ubquadruplum DF.ad tempus, quo de$cendit per arcum EK $ubquadruplum EG; denique vt tempus, quo per minimum ar- cum quadrantis DF, ad tempus, quo de$cendit per alium proportiona- lem, $cilicet quadruplum in quadrante EG; atqui tam parui arcus po$- $unt a$$umi, vt $int ad in$tar lineæ rectæ deor$um tangentis $cilicet in D & in E; igitur in his rectis de$cendunt grauia iuxta progre$$ionem præ- dictam; id e$t, cum arcus minimus a$$umptus ab E, qui æquiualet rectæ, $it quadruplus arcus minimi a$$umpti à puncto D, tempus, quo percurri- tur ille primus, e$t ad tempus, quo percurritur hic $ubquadruplus, vt tem- pus, quo percurritur EG ad tempus, quo percurritur DF vt dictum e$t; $ed tempus, quo percurritur EG e$t duplum illius, quo percurritur DF; igitur tempus, quo percurritur minimus arcus a$$umptus ab E, & qui e$t ad in$tar rectæ, e$t duplum temporis quo percurritur minimus arcus a$- $umptus à puncto D $ubquadruplus prioris, & qui e$t etiam ad in$tar re- ctæ; igitur $patia $unt vt temporum quadrata. <p>Quod autem tempus, quo percurritur EG $it duplum illius, quo per- curritur DF, patet experientiâ; nam $i numerentur ducentæ vibrationes funependuli CD; eodem tempore numerabuntur centum vibrationes maioris CE; igitur vibrationum minoris numerus e$t duplus numeri vi- brationum maioris, dum $imul vibrantur; igitur eo tempore, quo fiunt 100.maioris, fient 200. minoris; nam ommes vibrationes eiu$dem fune- penduli $unt æquò diuturnæ, licèt fiant per arcus inæquales ciu$dem. quadrantis, vt $æpè ob$eruatum e$t. In his tribus poti$$imum experimen- tis fundatur hæc hypothe$is Galilei, quæ nec clariùs meo. iudicio, nec $inceriùs exponi po$$unt. <p>Antequam rationes, quæ pro hac $ententia facere videntur, propona- mus, refellamu$que; oftendo primò quomodo cum his experimentis $tare po$$it no$tra hypothe$is; igitur ex iis hypothe$is Galilei rectè de- duci non pote$t: quippe hæc e$t certi$$ima regula, quam nemo Philo$o- phus negare au$it: Quotie$cumque aliquod experimentum tale e$t, vt cum co $tare po$$int contrariæ hypothe$es; ex eo certè neutra deduci po- te$t; igitur ex propo$itis experimentis $uam hypothe$im Galileus non legitimè deducit, quod vt clari$$imè o$tendam. <p>Suppono, quando dicitur $ecundum $patium e$$e triplum primi $up- po$itis æqualibus temporibus, non ita Geometricè, certaque, & acuratâ a$$ertione hoc dici; quin vel aliqua puncta in $patiis, vel in$tantia in temporibus de$int, vel $uper$int; $i enim quis diceret $patium e$$e tri- plum primi minus 100000. punctis, vel $ecundum tempus e$$e maius primo 100000. in$tantibus; quis hanc, vel $patij, vel temporis differen- tiam $en$u percipiat? cum tamen experimentum omne phy$icum $en$ui $ube$$e po$$it; nec e$t quod aliquis dicat hoc idem toties ob$eruatum e$$e, tam multis locis temporibus, totque ac tantis etiam te$tibus, vt mi- nimè fraus aliqua, vel error $ubrepere potuerit; nam cum parua $it, & in$en$ibilis tùm $patiorum, tùm temporum differentia, maius vel minus æquali tempus, pro æquali, maius.vel minus triplò $patium pro triplo <pb n=101> facilè accipi pote$t, cum nullum di$erimen $en$ibile e$t. <p>Adde quod non de$unt viri graui$$uni qui dicant $e vix ob$eruare po- tui$$e hanc $patiorum progre$$ionem; plures appellare po$$em; vnus Ga$$endus e$t in$tar omnium; qui $anè in ob$eruando fuit acurati$$imus, qui literis $criptis, quas ego vidi, expre$$is verbis a$$erit progre$$ionem hanc non e$$e omninò iuxta hos numeros 1.3.5.7. $ed $ingulis addendas e$$e $uas minutias, quas ip$e habet; $ed ego omitto, quia etiam $ua incer- titudine laborant; igitur nullo experimento ad amu$$im concludes, vel æqualitat&etilde; vel aliam accuratam tùm temporum tùm $patiorum pro- portionem: Equidem $en$u percipio practicam hanc e$$e maiorem pede; at tot lineis vel pũctis $uperare ne Argus quidem certò, ac di$tinctè cer- neret: Sed efficaciter, meo iudicio, hanc Galilei hypothe$im refello; $int <note><I>Fig.</I> 20. <I>t.</I> 1.</note> 2.partes temporis æquales AE, EF, eæque $en$ibiles; nec enim aliæ a$- $iuni po$$unt; $intque minintæ omnium $en$ibilium; haud dubiè con$tant $ingulæ infinitis ferè aliis in$en$ibilibus, vt patet; igitur $ic ratiocinatur Galileus; in prima parte temporis AE corpus graue percurrit $patium GH, & in $ecunda æquali EF percurrit $patium HL triplum prioris; igitur $patia $unt vt quadrata temporum, rectè; $ed antequam vlterius progrediar; Quæro vel à Galileo, vel à quolibet alro, vtrum $patium HL $it omnino triplum? & $i aliquis contenderet dec$$e (1/1000000) GH vtrum experimento præ$enti conuinci po$$it? nemo, vt puto, id a$$erere au$it; hoc po$ito, a$$umptaque progre$$ione arithmetica quã no$tra $en- tentia in $patiis ad$truit; $i prima parte temporis AE percurratur $pa- tium GH, $ecunda EF. percurretur tantùm HK duplum GH; igitur minus e$t hoc $patium vero $patio 1/4. $cilicet tota KL; res pror$us de- mon$trata e$$et, $i termini proportionis vnius e$$ent tantùm 2. id e$t, $i progre$$io fieret in partibus temporis $en$ibilibus; at po$ito quod $int plures termini, vt reuerâ $unt; nam in totidem terminis fit progre$$io, in quibus fit augmentum impetus, vel accelorationis acce$$io; atqui hæc fit in $ingulis in$tantibus, licèt finitis, igitur & progre$$ro; Quare duæ partes temporis AE, EF diuidantur in 4. æquales AD; certè in duabus primis percurretur $patium. VQ æquale GH; igitur duabus vltimis per- curretur QK, quæ $it ad QV vt 7. ad 3. nam prima parte percurritur 1. $patium. $ecunda 2. igitur QV continet tria $patia; tertia verò 3. quarta 4.ergo hæ duæ vltimæ 7. $ed QM e$t dupla QV; igitur continet 6. igi- tur MK e$t 1/3 VQ, vel KL; igitur KM e$t (1/12) GL; igitur 12. L (1/10), vel 1/6, igitur VK e$t ad GL vt 10.ad 12. igitur totum $patium VK e$t mi- nus vero 1/6. Præterea 2. partes temporis AE EF diuidantur in 8. partes æquales AE; haud dubiè 4. primis percurretur $patium XT æqualc GH, quod debet diuidi in 10. $patia; nam 4. terminis, $eu temporibus re$pondent $paria 10. quibus æqualia $unt 40. in teta GL, cuius XT e$t (1/14), $ed $i in 4.primis acquiruntur 10. 4. vltimis EF acquiruntur 26.$cili- cet T 5; igitur tota X 5. e$t 6. igitur e$t ad GL vt 36. ad 40. $eu 9. ad 10. igitur X 5. e$t $patium minus vero (1/10). <p>Prærerea diuidatur tempus AF in 16. partes æquales AB; haud dubiè <pb n=102> 8 primis acquiritur $patium YS æquale GH; quod debet diuidi in $pa- tiola 36, quæ re$poudent 8. temporibus, $eu terminis huius progre$$io- nis, quibus æqualia $unt 144. in GL, cuius YS e$t 1/4, $ed $i in 8. primis acquiruntur 36. in 8. vltimis acquirentur 100. igitur S 6. e$t 100. igitur Y6. e$t 136. igitur e$t ad GL vt 136. ad 144.$eu 17.ad 18.igitur Y6.e$t $patium totale minus vero (1/18). <p>Deinde diuidatur adhuc tempus AF in partes 32. æquales, 16. pri- mis acquiritur ZR æquale GH, quod debet diuidi in $patiola 136.quæ re$pondent 16. temporibus quibus æqualia $unt 544. in tota GL, cuius ZR e$t 1/4 $ed $i in 16. primis temporibus acquiruntur 136. in vltimis 16. acquiruntur 392. igitur R 7. e$t 392. & ZR 136. igitur Z 7.528. igitur Z 7. e$t ad GL, vt 528. ad 544. $eu vt 33. ad 34. igitur Z 7 e$t $patium minus verò (1/34) <p>Denique $i diuidatur tempus AF in partes 64.$patium acqui$itum erit minus vero, a$$umpto $cilicet tota HL (1/66), $i diuidatur in 128. partes, erit minus (1/130) $i diuidatur in 256. partes, erit minus (1/258) $ed temporis par- tes 2.AE. EF minimè $en$ibilium diuidi po$$unt in infinita ferè in$tan- tia; $int tantùm ex.g. 1000000. igitur $patium tunc acqui$itum erit mi- nus $uppo$ito vero HL (1/1000002), quæ $i de$it tantùm $patio KL vt $it 1/4 totius GL, quis hoc di$cernat? igitur etiam $uppo$ita progre$$ione arith- metica, quæ fiat in finitis in$tantibus; $i ob$eruetur acurati$$imè $patium, quod percurritur in vna parte temporis $en$ibili v. g. $patium GH in parte temporis AE; $patium, quod acquiretur in tempore $ecundo æqua- li tàm propè accedet ad $patium HL, id e$t ad triplum prioris GH, vt nullus mortalium di$cernere po$$it; igitur cum hoc experimento tàm pote$t $tare no$tra hypothe$is, quàm alia Galilei, igitur neutra ex co tan- tùm euinci pote$t. <p>Hinc obiter ob$erua progre$$ionem differentiarum; quippe $i $int tantùm 2. partes temporis, differentia e$t 1/4; $i 4.1/6 $i 8. (1/10); $i 16.(1/18); $i 32. (1/34); $i 64.(1/66) nam primò denominator fractionis $uperat tantùm binario numerum partium temporis; $ecundò differentiæ denominatorum $unt in progre$$ione geometrica dupla numerorum 2. 4. 8. 16. 32. 64. 128. &c. <p>Eodem modo $oluendum e$t $ecundum experimentum rotati globi in plano decliui; præ$ertim cum globus ab incur$u a$periorum partium tùm globi, tùm plani $altuatim de$cendat; quod dubium e$$e non pote$t, & quò decliuius erit, faciliùs re$iliet a plano, vt patet; $ed de motu in planis inclinatis fusè agemus infrà libro integro. <p>Quod $pectat ad tertium experimentum; multa in eo $upponuntur vel fal$a, vel $altem dubia: vel ea quæ cum no$tra hypothe$i optimè con- ueniant. Primum e$t, quando dicuntur omnes vibrationes eiu$dem fune- penduli, $iue maiores, $iue minores e$$e æquediuturnæ, quod manife$tis experimentis repugnat; quippe vibratio maior plùs temporis; minor ve- rò minùs in $uo de$cen$u ponit; dimittantur enim duo funependula æ- qualia; alterum quidem ex altitudine 90.graduum, alterum ex altitudine <pb n=103> 10. vel 15.graduum; ita vt $imul vibrationes $uas incipiant; numerentur vibrationes vtriu$que, vbi 100. è minoribus numeratç fuerint, numera- buntur circiter 97. è maioribus, quod $æpiùs ob$eruaui te$tibus etiam adhibitis; hoc ip$um etiam ob$eruarunt alij; atque adeo ip$e P.Mer$en- nus, qui L. 2. $uæ ver$ionis, Ar.17. Galileum arguit parùm acurati $tu- dij in his ob$eruationibus adhibiti: rationem huius effectus in libro de funependulis explicabimus; immò $i omnes vibratìones maiores primæ vibrationi 90. grad. e$$ent æquales, & aliæ minores alterius funependu- li $en$un, vt $it, minuerentur; vix 90. maiores numerare po$$es, iam enu- meratis 100. ex minoribus; $ed de his omnibus $uo loco; in vna tamen vel altera vibratione vix aliquod di$crimen ob$eruatur; quod tamen ob- $eruari facilè po$$et in maioribus funependulis. <p>Secundum, quod $upponitur, e$t quod longitudines funependulorum $int pror$us, vt quadrata temporum, quibus vibrationes $ingulorum fiunt, v.g. funependulum longitudinis 4. pedum facere vnam vibratio- nem eo tempore, quo funependulum longitudinis vnius pedis facit duas; quod primò in multis vibrationibus non tàm accuratè ob$eruatur; $ecū- dò licèt ob$eruaretur $en$ibiliter, id emre$ponderi debet, quod $uprà in $ingulis vibrationibus e$$e tantùm di$crimen; uod etiam in multis $en$i- bile non e$t; $i enim di$crimen primarum vibrationem v.g.$it (1/100000000) certè vltimarum adhuc in$en$ibile erit. <p>Tertium $uppo$itum fuit, minimum arcum minoris quadrantis a$$um- ptum, & alium minoris quadrantis e$$e ad in$tar perpendicularium; cùm tamen diuer$a $it inclinatio minoris, & maioris quadrantis: quippe principium maioris accedit propiùs ad perpendicularem; facit enim angulum contingentiæ minorem; alia verò extremitas accedit propiùs ad horizontalem propter rationem prædictam; hinc illa extremitas ma- ioris, vnde e$t initium motus, planum decliuius facit; altera verò minùs decliue; $ed hæc fusè pro$equar $uo loco. <p>Quartum, quod $upponitur e$t, accelerationem motus fieri in qua- drante in ea ratione, in qua fit per plana chordarum inclinata, quod etiam fai$um e$t; quia in eodem plano inclinato $upponitur eadem inclinatio; $ecus in quadrante, cuius $ingula puncta nouam faciunt in- clinationem: adde quod quarta pars quadrantis maioris EK non facit eandem inclinationem, quam totus quadrans minor DF ip$i EK æqua- lis; quamquam hoc ip$i vltrò concedent aduer$arij. <p>Præterea, $it ita vt $upponitur; ita vt $en$ibiliter differentia huius progre$$ionis percipi non po$$it, $intque numeratæ omnes vibrationes $en$ibiles dati funependuli ex altitudine 90, grad. demi$$i; quæ vix e$$e po$$unt 1800; $int autem plures $cilicet 2000. dicis confectas e$$e 2000 minoris funependuli eo tempore, quo 1000. tantùm in quadruplo fune- pendulo nnmerantur; annuo quidem, $i res tantùm $en$ibiliter con$ide<*> retur; $in verò $ecùs, id pernego; $ed dico dee$$e v. g. 1000000. puncta $patij, quæ di$cerni non po$$unt, ita vt primæ vibrationi 1000. puir- cta $ecundæ, 2000. tertiæ 3000. &c. vltimæ verò, $eu mille$im<*> <pb n=104> 1000000. quæ omnia $unt in$en$ibilia, neque maiorem habent diffi- cultatem, quàm in motu perpendiculari, de quo $uprà; etiam conce$$is vltrò omnibus experimétis propo$itis. Igitur $uppo$itâ progre$$ione $pa- tiorum arithinetica in in$tantibus, tàm propè accedit ad aliam, quàm Galileus ponit, $iue in perpendiculari deor$um, $iue in quadrante fune- penduli; a$$umptis $cilicet partibus temporis $en$ibilibus, vt differentia di$cernit non po$$it; immò nec duplum diffetentiæ, nec centuplum, nec millecuplum; $ed de his $atis quæ ex dictis $uprà facilè intelligi po$$unt: quare veniemus iam ad rationes. <p>Prima ratio, quam affert Galileus e$t; quia cum natura in $uis opera- tionibus adhibeat $implici$$ima media; & cum acceleratio motus natu- ralis non po$$it fieri iuxta faciliorem, vel $impliciorem progre$$ionem, quàm $it-ea quæ fit per quadrata; non e$t dubium, quin iuxta illam pro- gre$$io motus naturaliter accelerati fieri debeat; præ$ertim cùm omni- bus experimentis con$entiat, & in ea omnia phænomena explicari po$$int. <p>Re$p. Primò progre$$ionem arithmeticam $implicem iuxta hos nu- meros 1.2.3.4. longè $impliciorem e$$e alia quæ fit iuxta illos 1.3.5.7.vt nemo non iudicabit. Secundò cũ accidit duas hypothe$es conuenire cum omnibus experimentis $eu phænomonis, debet e$$e aliqua ratio, cur ad- hibeatur vna potiùs quàm alia; $ed nulla e$t ratio, cur Galileus adhibeat $uam, vti videbimus; nos verò ratione demon$tratiuâ probamus no$tram; igitur no$tra e$t præferenda pro theorica rei veritate; quia verò alia in temporibus $en$ibilibus proximè ad verum accedit eam adhibendam e$$e decernemus infrà ad praxim, & communem i$torum motuum men- $uram. <p>Secunda ratio e$t; quia, $i accipiatur $ubduplum maximæ, & minimæ velocitatis; $itque ex his qua$i conflata velocitas motus æquabilis, hoc motu æquabili æquali tempore pèrcurretur $patium idem, quod antè motu naturaliter accelerato v.g. $int numeri datæ progre$$ionis 1.3.5.7. 9.11. certè $umma terminorum $eu totum $patium erit 36. accipiatur $ubduplum primi 1/2 & $exti 5. 1/2 habebitur velocitas vt 6. igitur cum velocitate vt 6. æquali tempore percurretur $patium 36. quod rectè de- mon$trauit Galileus. <p>Re$pondeo non minùs no$tram hypothe$im cum hoc ip$o $tare, quàm $tet hypothe$is Galilei: $int enim 6. in$tantia, & $ingulis $ua tribuantur $patiola more dicto 1 2 3 4 5 6. $umma $patio<*>m e$t 21. a$$umatur $ub- duplum velocitatis primi in$tantis 1/2, & $ubduplum $exti in$tantis, $cili- cet 3. conflatum ex vtroque 3 1/3; ducatur in 6.id e$t in numerum termi- norum, vel in$tantium; $umma erit 21. igitur quod tribuit Galilcus $uæ progre$$ioni, etiam no$træ competit. <p>Tertia ratio petitur ex mathe$i<note><I>Fig.</I> 21 <I>Tab.</I>1.</note> $it enim linea AE diui$a in qautuor partes æquales, quæ nobis repre$entent 4. partes temporis æquales; haud dubiè, cùm acquirantur temporibus æqualibus æqualia velocitatis momenta; haud dubiè, inquam, his 4. temporibus AB, BC, CD, DE, ac- <pb n=105> quirentur æquales velocitatis gradus; $it autem BI, men$ura velocitatis, quam acquirit mobile cadens ex $ua quiete in fine primæ partis tempo- ris AB; certè in fine $ecundæ partis temporis BC acquiret velocitatem, quæ coniuncta cum priore BI faciet duplam CH, & in fine tertiæ par- tiæ CD triplam DG; denique in fine quartæ DE quadruplam EF; quip- pe cum in parte BC remaneat tota velocitas B, & acquiratur æqualis; certè in fine BC e$t velocitas CH dupla illius quæ commen$uratur BI. $uniliter in parte CD remanebit vtraque, & accedet altera; igitur e$t ve- locitas DG tripla BI, & EF e$t quadrupla: Similiter ita $e ratio habet cuiu$libet alterius partis inter AB ad aliam alterius partis inter BC, vt lineæ ductæ parallelæ BICH, &c. igitur cum $patium acqui$itum re$- pondeat exercitio huius velocitatis; $itque in$tanti B vt BI, & in$tanti C vt CH; certè tempore AB e$t vt triangulum AIB; nam $patium AIB e$t collectio omnium linearum, quæ duci po$$unt parallelæ in tempote AB; idem dico de trapezo CBIH, qui e$t triplus trianguli IBA; & de trapezo GDCH, qui e$t quintuplus; igitur triangulum HCA e$t qua- druplum IBA; quia hæc triangula $unt vt quadrata laterum; igitur $pa- tium acqui$itum temporibus AB, BC, e$t ad $patium acqui$itum tempo- re AB, vt triangulum HCB ad triangulum IBA; igitur vt quadratum AB ad quadratum AC; igitur vt quadratum temporis AB ad quadra- tum temporis AC; igitur $patia diuer$is temporibus decur$a $unt vt qua- drata temporum, quibus $ingula decurruntur. <p>Hæc ratio ad $peciem videtur e$$e demon$tratiua, deficit tamen à ve- ra demon$tratione; primo, quia $upponit in$tantia infinita, quæ multi pa$$im negabunt in tempore; immò aliquis vltrò demon$trare tentaret non e$$e infinita; itaque ex $uppo$itione quod $int tantùm finita in$tan- tia<note><I>Fig</I> 22 <I>Tab.</I>1.</note> a$$umantur 4. æqualia AC, CD, DE, EF, certè cum in$tans $it to- rum $imul, velocitatem habet æquabilem $ibi toti re$pondentem; igitur in$tanti AC re$pondeat velocitas, cuius men$ura $it ABCG; haud du- biè in$tanti CD re$pondebit velocitas CH, $cilicet dupla AB; nam re- manet primus velocitatis gradus acqui$itus primo in$tanti: $ed alter æ- qualis acquiritur; igitur e$t duplus prioris; igitur re$pondet lineæ DK. quæ tripla e$t AB, & quarto lineæ FN, quæ e$t quadrupla AB; igitur cre$cit $patium, vt rectangula CB, DH, EK, FM; $ed hæc cre$cunt iuxta progre$$ionem numerorum 1.2.3.4. nec aliter res e$$e pote$t ex $uppo$i- tione quod $int in$tantia finita; quod alibi ex profe$$o tractamus: quippe illa quæ$tio pertinet ad Metaphy$icam, non verò ad phy$icun; nam vel $ingula aliquid addunt, vel nihil: aliquid addunt haud dubiè; igitur con- $iderantur tantùm 4. in$tantia prima AC, CD, DE, EF, in $ua $crie; certè non po$$unt aliam progre$$ionem facere quàm eam, quæ e$t iuxta hos numeros 1.2.3.4.vnde non fit per triangula $ed per rectangula minima; igitur linea AF præcedentis figuræ non e$t recta, $ed denticulata, qualis e$$et ABGHIKLMN, $ed longè minoribus gradibus, $eu denticulis. Hinc quò rectangula CB, DH, &c. fient maiora in partibus $cilicet tem- poris $en$ibilibus, $eruata $cilicet in illis progre$$ione numerorum 1.2.3. <pb n=106> 4.progre$$io longiùs di$cedet à vera; vt $uprà iam totius repetitum fuit: quippe hæc progre$$io in puris in$tantibus fieri tantùm pote$t, cum $in- gulis in$tantibus noua fiat acce$$io velocitatis, in hoc enim e$t error, quòd in tota parte temporis AC ponatur æquabilis velocitas, eiu$que principium A, $it æquale fini C; nam AB, & GH $unt æquales; cùm ta- men $it minor velocitas in A, quàm in C, ni$i AC $it tantùm in$tãs; vnde tota velocitas in hypothe$i Galilci acqui$ita in 4.partibus temporis a$- $umptis e$t, vt triangulum AFN; acqui$ita verò in no$tra hypothe$i e$t vt $umma rectangulorum CB, CI, EK, EN, quæ $umma e$t ad triangulum AFN, vt 10, ad 8. vel vt 5.ad 4. igitur maior 1/4; nam prima pars tempo- ris addit triangulum ABG, $ecunda GHI. &c. <p>Si tamen diuidantur i$tæ partes temporis in minores v. g. in 8. tunc $umma rectangulorum erit tantùm maior 1/8; $i in 16. (1/16) $i in 32. (1/32); $i in 64.(11/64), cuius $eliema hîc habes;<note><I>Fig.</I>23 <I>Tab.</I>1.</note> $int enim 3.partes temporis $en$ibiles A CDFE, & $patium vt triangulum AFN, $patia verò acqui$ita in $ingulis partibus, vt portiones trianguli prædicti, quæ ip$is re$pondent v. g. ac- qui$itum in prima parte ad acqui$itum in $ecunda tantùm, vt triangu- lum ACG ad trapezum GCDI &c. denique acqui$itum in temporibus inæqualibus, vt quadrata temporum v. g. acqui$itum in prima parte ad acqui$itum in duabus, vt triangulum ACG ad triangulum ADI; id e$t quadratum CA ad quadratum DA; in no$tra verò hypothe$i, $i velocitas in tota prima parte AC ponatur vt CG æquabiliter; haud dubiè $patium acqui$itum in prædictis 4. temporibus erit, vt $umma rectangulorum C B, CI, EK, EN, quæ maior e$t toto triangulo, AFN, 4. triangulis ABG, GHI, IKL, LMN, ie e$t 1/4 totius trianguli AFN; atque ita $umma re- ctangulorum continet 10. quadrata æqualia quadrato CB, & triangu- lum AFN, continet. tantùm 8. <p>Iam verò diuidantur 4. partes temporis AF, in 8. æquales; in $enten- tia Galilei totum $patium erit $emper triangulum AFN, id e$t vt $ubdu- plum quadrati $ub AF; quæ cùm $it 8. quadratum erit 64.& $ubduplum quadrati 32. at verò $umma rectangulorum e$t 36. id e$t continet 36. quadrata æqualia quadrato XA; cùm tamen triangulum AFN, conti- neat tantùm 32. igitur $umma prædicta e$t ad triangulum AFN, vt 36. ad 32. id e$t vt 9.ad 8. igitur $umma e$t maior triangulo 1/8, quæ omnia con$tant. <p>Præterea diuidatur vlteriùs tempus AF in 16. æquales partes; qua- dratum 16. cum $it 256. accipiatur $ubduplum id e$t 128. & erit trian- gulum AFN, cui $emper re$pondet totum $patium acqui$itum in $enten- tia Galilei; at verò $umma rectangulorum erit 136. igitur $umma e$t ad $ummam vt 136.ad 128.id e$t vt 17.ad 16. igitur e$t maior $umma trian- gulo (1/16) atque ita deinceps; $i vlteriùs diuidas prædictum tempus in par- tes minores: quot porrò erunt, antequam fiat tota re$olutio in in$tan- tia, $int enim v. g. in tempore AF in$tantia 1000000. $umma quæ re$- pondet no$træ progre$$ioni, erit maior altera, quæ re$pondet progre$$io- ni Galilei (1/1000000)quis hoc percipiat? <pb n=107> <p>Si verò in no$tra hypothe$i $patium, quod re$pondet primæ parti tem- poris AC $it idem cum illo, quod re$pondet eidem parti in $ententia Galilei, id e$t æquale triangulo CAG, $umma $patiorum erit minor in no$tra hypothe$i triangulo AFN $ex triangulis æqualibus triangulo ACG; igitur erit vt 10.ad 16. igitur minor <*>. $i verò diuidantur in 8. temporis partes, triangulum AFN continebit 64. triangula æqualia AXQ: at verò $umma quæ re$pondet no$træ hypothe$i 36.igitur minor (7/16). denique $i diuidantur in 16. partes, triangulum AFN continebit 256. triangula æqualia AYZ; at verò $umma no$tra 136. igitur minor (15/52) $ed nunquam erit minor 1/2. <p>Ob$eruabis obiter dictum e$$e $uprà $ummam rectangulorum CB CI EK EN e$$e maiorem triangulo AFN, 2.quadratis æqualibus CB; $i verò diuidatur tempus in 8. partes, $umma rectangulorum e$t minor præ- cedenti $ummâ, toto quadrato æquali CB, id e$t 4.quadratis æqualibus XB, id e$t 1/2 primæ differentiæ, quæ e$t $umma duorum quadratorum æqualium CB; at $i diuidatur in 16. partes, tempus AF, $umma rectan- gulorum e$t minor præcedente 8. quadratis æqualibus Q 7., vel $ubdu- plo quadrati CB, id e$t 1/4 primæ differentiæ quæ e$t $umma duorum quadratorum æqualium CB; $i 4. partes temporis diuidantur in 8. de- trahitur 1/2 differentiæ, quæ e$t inter $ummam primam rectangulorum, & triangulum AFN; $i diuidantur in 16. detrahitur 1/4 eiu$dem diffe- rentiæ; $i diuidantur in 32.detrahitur 1/<*>, $i in 64. (1/16); atque ita deinceps, & nunquam hæ minutiæ $ubtractæ in infinitum totam differentiam ex- haurient; hinc minutiæ i$tæ 1/2 1/4 1/8 (1/16) (1/32) (1/64) &c. in infinitum non fa- ciunt vnum integrum; $ed hæc $unt facilia. <p>Quarta ratio, quam afferunt aliqui, e$t; quia $i cum eadem velocita- te acqui$ita in fine temporis dati $ine augmento nouo moueatur mobi- le; haud dubiè acquiret duplum $patium tempore æquali tempori dato; v. g.<note><I>Fig.</I>2<*>. <I>Tab.</I> 1.</note> $it triangulum AFE; $itque velocitas acqui$ita EF in 4. parti- bus temporis AE, vt iam $uprà dictum e$t, ne cogar repetere: certè $i du- catur velocitas EF in tempus AE, vel EL æquale; habebitur rectan- gulum EK duplum trianguli AFE: $ed triangulum AFE e$t $umma $patiorum motus accelerati tempore AE, & rectangulum EK e$t $um- ma $patiorum motus æquabilis cum velocitate EF; igitur duplum e$t $patium motus quabilis, quod erat demon$trandum. Præterea $i diai- datur velocitas EF, & eius $ubdupla ducatur in tempus AE; habebitur rectangulum æquale triangulo AFE, vt con$tat. Re$pondeo facilè ex di- ctis, hoc ip$um etiam ex no$tra hypothe$i proxime $equi; $int enim duo in$tantia; haud dubie $i non cre$cit velocitas, $ecundo in$tanti æquale $patium percurretur; $i vero $ecundo in$tanti cre$cat, percurrentur illo motu 3.$patia; & cùm velocitas $ecũdi in$tãtis $it dupla velocitatis primi in$tantis, primo in$tanti $it 1.gradus v.g. $ecundo crunt 2. gradus; igi- tur moueatur per duo in$tantia motu æquabili veloci vt 2. percurrentur 4. $patia; igitur totum $patium, quod percurritur motu veloci vt 2. per 2.in$tantia e$t ad totum $patium, quod percurritur æquali tempore mo- <pb n=108> tu naturaliter accelerato vt 4. ad 3. igitur continet illud 1. (11/3); $i verò $int 3. in$tantis continet illud, 1/2; $i 4. continet 1. 3/5, $i 5. continet 1.2/3 $i 5. continet 1 2/3. $i 6. continet 1 5/7. $i 7. continet 1 3/4. $i 8. continet 1 7/9. $i 9. continet 1 (4/11). $i 10. continet 1 9/5 $ic quo plura crunt in$tantia accedet propiùs ad rationem duplam, nunquam tamen ad illam perue- niet. Ex dictis multa tumultuatim Corollaria congeri po$$unt; <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Etiam$i non $int partes infinitæ temporis; in ordine tamen ad praxim eodem modo $e habent, ac $i e$$ent infinitæ; quia licèt finitæ $int, nume- rari tamen non po$$unt. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Etiam $i non $int infiniti tarditatis gradus, vt con$tat ex dictis, $ed fi- niti; in ordine tamen ad praxim eodem modo $e habent, ac $i e$$ent in- $initi; quia non pote$t di$tingui primus, & minimus ab omnibus al is. <C><I>Corollarium</I> 3.</C> <p>Licèt hypothe$is Galilei $it fal$a in hypothe$i in$tantium finitorum; nam $ingulis in$tantibus noua fit velocitatis acce$$io; phy$icè tamen lo- quendo eodem modo $e habet, ac $i e$$et vera; quia cum non po$$it pro- bari, ni$i in partibus temporis $en$ibilibus; certà, cùm quælibet pars $en$ibilis innumera ferè in$tantia contineat, in quibus fit progre$$io; differentia vtriu$que $en$ibilis e$$e non pote$t; igitur linea denticulata <note><I>Fig.</I> 23. <I>T.</I> 1.</note> eodem modo $e habet phy$icè, hoc e$t $en$ibiliter, ac $i e$$et recta; $ic- que progre$$io arithmetica in multis terminis-reducitur $en$ibiliter ad Geometriam in paucioribus terminis; immò in communi illa $ententia. in qua dicitur tempus con$tare ex partibus actu infinitis, progre$$io Ga- lilei tantùm locum habere pete$t; igitur hæc e$to clauis huius difficul- tatis; progre$$io $implex principium phy$icum habet, non experimen- tum; progre$$io numerorum imparium experimentum non principium; vtramque cum principio & experimento componimus; prima enim $i. a$$umantur partes temporis $en$ibiles tran$it in $ecundam, $ecunda in primam, $i vltima a$$umantur in$tantia. <C><I>Corollarium</I> 4.</C> <p>Cognito $patio quod percurritur in data parte temporis $en$ibili, co- gno$ci pote$t $patium quod in duabus æqualibus vel 3.vel 4.&c.percurri pote$t.v.g. multi probarunt $æpiùs primo $ecundo minuto corpus graue percurrere 12. pedes; igitur duobus percurreret 48. accipe enim 9. 2. id e$t 4. & in 4. duces 12. vt habeas 48. 4. verò minutis percurret 192. nam accipe 9. 4. id e$t 16. & in 16. duces 12.vt habeat 192. res omninò facilis. <C><I>Corollarium</I> 5.</C> <p>Similiter cognito $patio quod percurrit 4. $ecundis minutis, cogno- $ues $patium, quod percurret 2. vel 1. v.g. percurrit 4. $ecundis 192. pe- <pb n=109> des; accipe 9.4. id e$t 16. & per 16. diuide 192. quotíens dabit 12. pro primo $ecundo: accipe 9.2. id e$t, 4. & diuide 192. per 4.quotiens dabit 48. pro duobus minutis, atque ita deinceps. <C><I>Corollarium</I> 6.</C> <p>Similiter cognito tempore cogno$ci pote$t $patium decur$um; quia $patia $unt vt quadrata temporum; vel cognito $patio cogno$ci pote$t tempus; quia tempora $unt, vt radices $patiorum, hæc elementa $altem Arithmetices de$iderant. <p>Sed iam re$tat, vt $oluamus objectiones aliquas, quæ contra motus ac- celerationem pugnare videntur. <p>Prima objectio e$t; $i motus acceleratio fieret in in$tantibus, $ecundo in$tanti idem corpus e$$et in duobus locis adæquatis quod $ic o$tendo: <note><I>Fig.</I> 24. <I>T.</I>1.</note> $it $patium AB quod percurrit corpus graue primo in$tanti; haud du- biè AB, e$t eius locus adæquatus; $ecundo in$tanti percurrit BC duplum AB; igitur eodem in$tanti re$pondet loco BD, & DC, quorum vterque e$t æqualis AB; igitur $ecundo in$tanti e$t in duobus locis, $cilicet BD & DC, quod dici non pote$t. <p>Hæc objectio impugnat omnem velocitatem; hoc e$t, non modò eam, quæ motui naturaliter accelerato competit; verùm etiam illam, quæ ine$t motui violento; igitur vt re$pondeam faciliùs; $uppono punctum phy$icum, mobile $cilicet A; aut $i mauis Angelum coëxten$um quadra- to A; qui $cilicet moueatur motu accelerato, & primo in$tanti acquirat locum immediatum æqualem priori, $cilicet AB; licèt enim po$$et ac- quirere vibrationem participantem de priori; quia tamen acquireret tandem non participantem, id e$t, quæ tota $it extra illam, cui e$t imme- diata, qualis e$t AB. $uppono hîc acquiri vibrationem non participan- tem de priori, id e$t $patium AB, æquale priori, in quo erat A, & pror- $us extra illud po$itum licèt immediatum; hoc po$ito, primo in$tanti pun- ctum A acquirit AB tanquam locum adæquatum, vt certum e$t: certum e$t etiam loca BC, CD, e$$e adæquata: igitur $imul', id e$t eodem in- $tanti in vtroque e$$e non pote$t; nam in$tans $imul totum e$t; <*>ur $ecundo in$tanti non percurrit BC, $ed $ecundo tempore æquali primo; hoc enim $ecundum tempus con$tat duobus in$tantibus, quod $unul vtrumque re$pondet primo: quippe dari po$$unt in$tantia phy$ica; igitur primum in$tans quo percurritur AB e$t æquale duobus aliis, quibus percurruntur BD, & CD; vnde quando dixi primo in$tanti acquiri $pa- tium duplum primi, idem e$t, ac $i dixi$$em $ecundo tempore æquali pri- mo, quod reuerà tempus con$tat 2. in$tantibus, quorum alterum re$pon- det $patio BC, & alterum $patio DC. <p>Secunda objectio; Sed inquiet aliquis, igitur non e$t continua acce- leratio motus; nam in$tans quo percurritur $ecundum $patium BD, cùm $it æquale in$tanti quo percurritur tertium $patium DC, in vtroque $pa- tio e$t æquabilis motus. Re$pondeo in$tans quo percurritur $ecundum $patium BD, e$$e maius in$tanti, quo percurritur tertium $patium DC; tà tamen lege, vt vtrumque $imul $umptum $it onminò equale in$tanti, <pb n=110> quo percurritur primum $patíum AB; $imiliter totum $patium CG ita percurritur tertio tempore, vt $ingula $patia CE. EI. FG. $ingulis in- $tantibus percurrantur; $ed hæc tria in$tantia $imul $umpta $unt æqualia primo in$tanti, quo percurritur $patium; licèt primum quo percurritur CE $it maius $ecundo, quo percurritur EF, & hoc maius tertio, quo per- curritur FG, atque ita deinceps. <p>Ob$eruabis po$$e velocitatem motus explicari duobus modis. Primò, $i a$$umantur tempora æqualia, & $patia inæqualia in ea progre$$ione, quam hactenus explicuimus. Secundò $i accipiantur $patia æqualia & tempora inæqualia, quod duobus modis fieri tantùm pote$t. Primò $i ac- cipiantur $patia æqualia primo $patio, quod percurritur primo in$tanti. Secundò $i accipiantur $patia æqualia alteri $patio, quod in parte tempo- ris $en$ibili percurritur; in qua verò proportione tempora fiant $emper minora, 'dicemus infrà; nec dicas durum e$$e dicere in$tans e$$e po$$e minus in$tanti; nam equidem fateor in$tanti mathematico nihil e$$e po$$e minus; $ecus verò in$tanti phy$ico, quod e$t diui$ibile potentiâ, vt dicemus aliàs; nomine in$tantis phy$ici intelligo durationem indiui$i- bilem, hoc e$t, cuius entitas tota $imul e$t. <p>Tertia objectio. Sed inquies, igitur $ecundo tempore æquali primo acquiruntur 2.gradus velocitatis, vel impetus; igitur tria $patia $ecun- do tempore percurruntur, quod e$t contra hypothe$im; quippc duo gra- dus impetus accedunt primo, $imiliter tertio tempore producentur tres gradus impetus; qui $i iungantur tribus præcedentibus, erunt 6. Igitur percurrentur tertio tempore 6. $patia, & quarto 10.quinto 15. quia $in- gulis in$tantibus debet produci impetus; e$t enim cau$a nece$$aria ap- plicata. <p>Re$pondço, equidem co in$tanti, quo percurritur $patium BD, pro- duci aliquid impetus, & aliquid eo in$tanti, quo percurritur $patium DC; ita vt tamen totus ille impetus, qui producitur his duobus in$tan- tibus, $it æqualis illi, qui producitur primo in$tanti, quo $cilicet percurri- tur $patium AB; quia duo illa in$tantia $unul $umpta faciunt tempus æquale primo in$tanti; atqui temporibus æqualibus eadem cau$a nece$- $aria non impedita æqualem effectum producit per Ax.3.hinc vides $in- gulis in$tantibus eadem proportione decre$cere impetum in perfectio- ne, qua tempus e$t breuius, $eu velocior motus; $ed de hoc infrà. <p>Quarta objectio; $i impetus $ingulis in$tuitibus cre$ceret, vel intende- retur, augeretur grauitatio: quippe $i grauitas primo in$tanti producat vnum gradum impetus; $ecundo æqualem producet, & rertio, atque ita deinceps, quod e$$et ab$urdum; alioqui minima atomus quodlibet cor- pus graue adæquaret, quod e$t ab$urdum. <p>Re$pondeo nunquam impetum intendi, ni$i $it motus, qui e$t illius fi- nis; alioquin fru$tra e$$et per plura in$tantia; igitur de$trui deberet; nec dicas impetum naturalem etiam fru$trà e$$e $ine motu; quia cum mo- tus non $it eius finis adæquatus; non mirum e$t $i po$$it e$$e $ine motu; atqui iam diximus $uprà habere duos fines, quorum alterum $emper ha- <pb n=111> bet; primus e$t grauitatio, $eu ni$us ver$us centrum; $ecundus motus deor$um; cùm tamen impetus addititius motum tantùm pro fine habeat; igitur $i impeditur totus motus, non producitur hic impetus. <p>Quinta objectio; $i impetum $uum intendit corpus graue; $imiliter Ignis diceretur intendere calorem; Sol lucem, &c. Re$pondeo primò de luce $ingularem e$$e rationem; quia $cilicet con$eruatur à cau$a $ua pri- mo productiua; quidquid $it; $i viderem effectum caloris, vel frigoris perpetuò cre$cere; haud dubiè dicerem etiam cau$as ip$as intendi; atqui hoc ip$um video in motu naturali, qui effectus impetus e$t; adde quod argumentum à pari debile e$t; cum enim $int diuer$i naturæ fines, diuer- $æ $unt viæ quibus $uos fines con$equítur; denique contrarietas caloris, & frigoris impedit fortè, ne vlterius vtraque qualitas intendatur, de qua fusè $uo loco; porrò dicemus Tomo $exto calorem con$eruari à cau$a $ua primo productiua; quo po$ito ce$$at difficultas; quod licèt alicui durum videri po$$it, demon$trabo tamen. <p>Sexta objectio; igitur $i ex infinita di$tantia lapis de$cenderet, inten- deret etiam $uum motum. Re$pondeo primò, non po$$e dari infinitam il- lam di$tantiam. Secundò etiani$i daretur lapis, ex ea non caderet; fru$trà enim e$$et ille motus: Tertiò, $i daretur motus infinitus, haud dubiè e$$et æquabilis; qualis e$t motus circularis corporum cœle$tium; at verò motus naturalis deor$um corporum grauium debet e$$e acceleratus ne vel de$cenderent tardiùs, $i cum primo tantùm velocitatis gradu de$cen- derent; vel $u$tineri vix po$$ent, $i impetum innatum intontiorem habe- rent; vtrum verò $emper intendatur, & ex quacumque altitudine cadat corpus graue, videbimus infrà. <p>Ex dictis hactenus facilè refelluntur aliæ $ententiæ de proportione motus naturaliter accelerati. <p>Et primò quidem illa, quæ vult fieri $ecundum rationem $inuum ver$orum, licèt initio tàm propè accedat ad proportionem Galilei, vt di$cerni $en$ibiliter ab ea non po$$it; quare tutò $atis a$$umi po- terit, $i quando $it opus illius loco, quod nos in explicandis motibus cœ- le$tibus præ$tabimus; interim quia faciliùs explicatur in motu recto per rationem quadratorum quàm $inuum, illam retinebimus; præ$ertim cùm vtraque ad no$tram reducatur; modò progre$$io fiat in in$tantibus. Secundò reiicitur $ententia illorum qui volunt hanc progre$$ionem fie- ri iuxta proportionem geometricam, quam vides in his numeris 1.2.4.8. 16. quæ licèt initio minùs recedat à vera, in progre$$u tamen multùm aberrat, nec e$t vlla ratio quæ pro illa faciat: Et verò nulla in mentem venire pote$t; ni$i fortè dicatur, cùm $ecundo in$tanti $it dupla velocitas, tertio pon&etilde;dam e$$e quadruplam, & 4°. octuplam; quia vt velocitas pri- mi in$tantis e$t ad velocitatem $ecundi, ita velocitas huius ad velocita- tem tertij, & velocitas huius ad velocitatem quarti; igitur $equitur pro- gre$$ionem rationis geometricæ duplæ; cur enim e$$et maior ratio pri- mi in$tantis ad $ecundum quàm $ecundi ad tertium tertij ad quartum? &c. $ed profectò vix vlla apparet rationis $pecies, cùm nulla $it cau$a, <pb n=112> quæ 3°in$tanti, & 4°plùs agat quã primo, & $ecundo; igitur e$t peculiaris cau$a huius inæqualitatis rationum; quòd $cilicet æqualibus temporibus æqualia acquirantur velocitatis momenta; vt $uprà demon$trauimus; quippe id præ$tari debet in explicandis inæqualitatibus motuum recto- rum naturalium, quod præ$tant A$tronomi in explicanda inæqualitate motuum cæle$tium; qui $emper æqualitatem aliquam $upponunt, nec e$t quòd hanc $ententiam nonnullis experimentis ictuum qui$quam con- firmet, in quibus multa fraus $ube$$e pote$t. <p>Tertiò reiicitur illa quoque $ententia, quæ proportionem lineæ $ectæ in mediam, & extremam rationem huic lineæ tribuit, quam ferè in his numeris vides 1.2.3.5.8, 13. 21. 34. 55. quæ $ub finem etiam longi$$imè aberrat, vt videre e$t, quare ii$dem rationibus impugnatur, quibus iam aliam impugnauimus. <p>Scio e$$e alias multas rationes, quibus aliqui recentiores motus natu- ralis accelerationem explicare nituntur, $ed iam $uprà $atis $uperque re- iectæ fuerunt, vel profectò eæ $unt, quæ ne quidem inter fabulo$a poë- tarum commenta locum aliquem habere po$$int: Et verò ni$i me ani- mus fallit in re clari$$ima, rationem huius effectus ex communibus principiis deductam cum ip$is etiam experimentis con$entire hactenus ita demon$trauimus, vt iam vix vllus dubitationi locus relinquatur; $ed interrruptam Theorematum $eriem tandem repetimus. <C><I>Theorema</I> 62.</C> <p><I>Si accipiantur $patia æqualia primo $patio, quod vno in$tanti percurritur, in$tantia $unt inæqualia in motu natur aliter accelerato</I>; probatur, quia $e- cundum $patium æquale primo percurritur motu velociore, quàm pri- mo, & tertium quam $ecundo: ergo minori tempore per Def.2.l.1. $ed primum $patium conficitur vno in$tanti; igitur $ecundum vno in$tanti, $ed minore; idem dico de tertio. <C><I>Theorema</I> 63.</C> <p><I>In ea proportione decre$cunt hæc instantia,</I> vt primum $it maius $ecundo, $ecundum tertio, tertium quarto, quartum quinto, quintum $exto, atque ita deinceps; ita vt $ecundum & tertium $imul $umpta, item quar- tum, quintum, $extum, $eptimum, item octauum, nonum, decimum, $imul $umpta adæquent primum, hoc e$t vt vnum, duo, tria, quatuor, quinque, $ex, &c. faciant $emper tempora æqualia, quia temporibus æqualibus æ- qualia acquiruntur velocitatis momenta? igitur $i primo in$tanti per- curritur vnum $patium; $ecundo tempore æquali percurruntur duo $pa- tia æqualia primo, & tertio, tria; atque deinceps; $ed vt $uprà dictum e$t in re$pon$.ad obiect primam, vno, & cod&etilde; in$tanti non pote$t idem cor- pus percurrere duo $patia, ne $imul e$$et in duobus locis; igitur $ingula $patia re$pondent $ingulis in$tantibus licèt minoribus; $ed $ecundo tem- pore æquali primo in$tanti percurruntur duo $patia æqualia primo $pa- tio; igitur $ecundum, & tertium in$tans debent $imul $umpta adæquare <pb n=113> primum, $ed non $unt æqualia, vt con$tat; alioquin duobus illis in$tanti bus motus e$$et æquabilis; igitur $ecundum e$t maius tertio, ita vt tamen ex vtroque tempus fiat æquale primo in$tanti. <C><I>Theorema</I> 64.</C> <p><I>Non decre$cunt illa in$tantia $ecundum lineam $extam in extremam & mediam rationrm propagatam; ita vt primum $it ad $ecundum, vt $ecundum ad tertium, tertium ad quartum, quartum ad quintum at que ita deinceps</I>; $it enim aliqua $eries numerorum, qui aliquo modo accedant ad prædi- ctam proportionem 1.2.3.5.8.13.21.34.55. $itque primum in$tans vlti- mus numerus 55. $ecundum 34.tertium 21. atque ita deinceps: Equidem $ecundum, & tertium adæquant primum; at verò quartum, quintum, $extum nullo modo adæquant; immò ne quidem eius $ubduplum, & multò minus 3. alij addito primo: immò $i linea data duodecies propor- tionaliter diuidatur, vltimum $egmentum vix e$$et $ubcentuplum primi, vt con$tar; igitur reiici debet hæc propo$itio. <C><I>Theorema</I> 65.</C> <p><I>In$tans primum non e$t ad $ecundum vt numerus ad numerum; nec ad tertium, quartum, quintum, $extum, &c.</I> probatur, quia nullus numerus excogitari pote$t quo de$ignari po$$it quantitas, $eu perfectio, $eu va- lor i$torum in$tantium; $it enim primum in$tans $ecundum $it 3/5. tertium 2/5 quartum 4/9 quintum 2/9 $extum 2/9. Equidem $ecundum, & tertium adç- quant primum; adde quod non pote$t amplius $eries propagari per nu- meros rationales; $it autem $ecundum (6/11) 3. (5/11) cum tribus aliis 4/9 1/9 7/9; cquidem $i reducantur hæ 5. minutiæ, re$pondebunt his (54/99) (45/99) (<*>4/99) (12/99) (26/99): igitur $ecunda crit maior quarta; at prima $uperat $ecundam (9/999) $ecunda tertiam (1/99) tertia quartam (11/99) quarta quintam (12/99). Cur porrò hæc inæqua- litas, igitur numeri po$$unt a$$ignari; non po$$unt etiam poni in $erie geometrica $ubdupla 1. 1/2 1/4 1/8 &c. quia $ecunda. & tertia non adæquant primam idem dicendum e$t potiori iure de tribus aliis; nec etiam in $e- rie arithmetica $implici 1. 1/2 1/3 1/4 2/5 1/6; quia $ecunda, & tertia $unt mi- nores prima 1/6, vt quarta, quinta, $exta $unt minores prima (26/74). <C><I>Theorema</I> 66.</C> <p><I>Datur aliquis $eries numerorum irrationabilium, $eu $urdorum minorum, & minorum</I>; quorum primus ita $uperet $ecundum, $ecundus tertium, tertius quartum, &c. vt $ecundus, & tertius adæquent primum, item quartus, quintus, $extus. item 4. alij, qui $equuntur, item 5. item 6. &c. v. g.<note><I>Fig.</I>25 <I>Tab.</I>1.</note> pote$t dari linea AG con$tans tribus partibus æqualibus, $cilicet AB, BC, CG, & $ecunda BC duabus BD maiore, & DC minore, & ter- tia tribus prima CE minore ED, $ed maiore EF, $ecunda EF maiore F G, atque ita deinceps; addi pote$t quartum $egmentum æquale AB; quod $ubdiuidetur in 4. partes, quarum prima $it maior $ecunda, & hçc tertia & hæc quarta, & omnes minores FG; ita autem $uperant primæ $equen- tes, vt differentia primæ, & $ecundæ $it maior differentia $ecundæ, & <pb n=114> tertiæ, & hæc maior differentia tertiæ, & quartæ; atque ita deinceps, nec aliter res e$$e pote$t. <C><I>Theorema</I> 67.</C> <p><I>Hinc partes, quo fiunt minores, accedunt propiùs ad æqualitatem,</I> v.g. BD, & DC accedunt propiùs ad æqualitatem quàm AB, BD, & DC, CE, pro- piùs quàm CD, DB, & CE, EF, quàm EC, CD, atque ita deinceps, vt patet; hinc po$t aliquot in$tantia motus, æqualia ferè redduntur in$tantia, vt con$tat. <C><I>Theorema</I> 68.</C> <p><I>Hinc qua preportione decre$cunt instantia, decre$cit etiam per$ectio impetus</I>; quia temporibus æqualibus cadem cau$a nece$$aria æqualem ef- fectum producit per Ax. tertium igitur inæqualem inæqualibus, per Ax. 13. num.4. igitur minorem minore tempore; igitur minorem in eadem proportione, in qua tempus e$t; igitur qua proportione, &c. <C><I>Theorema</I> 69.</C> <p><I>Hinc vides quâm $it nece$$aria illa diuer $a perfestio impetus, quam indi- cauimus lib.</I>1. hinc impetus productus $ecundo, & tertio in$tanti adæ- quat impetum productum primo, quem etiam adæquat productus quar- to, quinto, $exto, item productus $eptimo, octauo, nono; decimo, atque ita deinceps; hinc e$t eadem differentia impetuum, quæ in$tãtium; hinc $in- gulis $patiis æqualibus primo $patio, quod percurritur primo in$tanti; re$pondent $ingula in$tantia, & $ingulis in$tantibus $inguli, & $ingulares impetus; hinc non e$t quod primo in$tanti dicantur produci plura pun- cta impetus in eodem puncto corporis grauis; $ed vnicum tantùm pun- ctum talis perfectionis $cilicet phy$icum; cur enim potius duo puncta, quam tria? $ed quod vnum e$t determinatum e$t per Ax. 5. lib. 1. hinc optima ratio cur potius tali in$tanti producatur impetus talis perfectie- nis quàm alterius? quippe perfectio impetus $equitur perfectionem in- $tantis quo producitur; hinc dicendum videtur omnia puncta impetus e$$e diuer$æ perfectionis, vel heterogenea; vt vulgò aiunt Philo$ophi; cuius rationem demon$tratiuam afferemus lib. $equenti cum de motu violento; hinc vides duplicem progre$$ionem; primam $cilicet, qua ex $uppo$itis temporibus æqualibus acquiruntur $patia inæqualia, de qua fusè $uprà; in hac enim velocitas eadem proportione cum impetu cre$- cit, & cum ip$o tempore; hoc e$t tempore triplo e$t tripla, quadruplo quadrupla; item impetus in duplo tempore e$t duplus, in triplo triplus; modò progre$$io fiat in temporibus primo in$tanti æqualibus; $ecunda progre$$io e$t qua ex $uppo$itis $patiis æqualibus tempora fluunt inæ- qualia, hoc e$t minora & minora; quibus etiam re$pondet impetus im- perfectior in eadem proportione temporum; prima fit per differentias æquales, & proportiones inæquales, $ecunda verò per differentias inæ- quales, & proportiones inæquales. <pb n=115> <C><I>Theorema</I> 70.</C> <p><I>Si a$$umantur $patia $en$ibilia æqualia, tempora $unt ferè in ratione $ubdu- plicata $patiorum</I>; crun enim $patia $int vt quadrata t&etilde;porum $en$ibiliter; certè tempora $unt, vt radices i$torum quadtatorum, $cilicet $patiorum; $int enim quæcunque $patia æqualia<note><I>Fig.</I> 18.<I>t.</I> 1.</note> in linea AF; $intque $patia AC 4. AE 16. radix quadr.4. e$t 2.16. verò 4. igitur tempora $unt vt 4.2.$i ve- rò accipiatur primum $patium, quod vno tempore percurritur; tempus quo percurruntur duo $patia æqualia primum e$t v.2.quo percurruntur tria v.3.quo percurruntur 4.$patia, 2. atque ita deinceps; igitur in praxi quæ tantùm fit in $patiis $en$ibilibus hæc progre$$io adhibenda e$t, il- lamque deinceps, $i quando opus e$t, adhibebimus. <C><I>Theorema</I> 71.</C> <p><I>In vacuo $i corpus graue de$cenderet, prædictæ proportiones accurati$$imè $eruarentur</I>; quia $cilicet nullum e$$e impedimentum; at verò $i aliquod intercedit impedimentum; haud dubiè non $eruantur accuratè; e$t autem aliquod impedimentum in medio, quantumuis liberum e$$e videatur, quæ omnia con$tant. <C><I>Theorema</I> 72.</C> <p><I>Impetus naturalis addititius de$truitur</I>; patet experientiâ; quippe pila deor$um cadens tandem quie$cit, licèt à terra reflectatur ratione impe- dimenti, ex quo re$ultat duplex determinatio, ratione cuius idem im- petus $ibi aliquo modo redditur cõtrarius; $ed de his fusè in primo libro à Th.148. ad finem v$que libri: nam reuerâ duæ determinationes op- po$itæ pugnant pro rata per Ax. 15.l.1. & quotie$cunque idem impetus e$t ad lineas oppo$itas determinatus eodem modo $e habet, ac $i duplex e$$et, & quilibet $uæ $ube$$et determinationi; atqui $i duplex e$$et oppo- $itus, pugnarent pro rata; igitur tàm pugnant duæ determinationes op- po$itæ in codem impetu, quàm duo impetus ad oppo$itas lincas deter- minati; igitur impetus naturalis aduentitius de$truitur, &c. <C><I>Theorema</I> 73.</C> <p><I>Impetus naturalis innatus nunquam de$truitur</I>; Probatur, quia nihil e$te quod exigat eius de$tructionem, quia $cilicet nunquam e$t fru$trà; nam vel habet motum deor$um, vel grauitationis effectum, vel de$truit impe- tum extrin$ecum in motu violento; igitur nunquam e$t fru$trà, cum $em- per habeat aliquem effectum. <p>Dices lignum vi extrin$eca in aqua immer$um $ua $ponte a$cendit; igitur ille gradus impetus grauitationis de$truitur, & alius producitur; hæc quæ$tio ad præ$ens in$titutum non pertinet, $ed ad librum de gra- uitate, & leuitate. Igitur breuiter re$pondeo illum impetum nunquam de$trui, quandiu mobile grauitat, vel grauitatione $ingulari, ($ic corpus grauitat in manum $u$tinentis,) vel grauitatione communi, ($ic lignum humori innatans grauitat, non quidem in aquam, at $imul cum aqua;) $ed de grauitate, & grauitatione in Tomo de $tatibus corporum $en$ibi- <pb n=116> libus, in quo o$tendemus ideo lignum $ur$um emergere, quia ab aqua extenditur, & idco corpora $ur$um ire, quia alia dcor$um eunt. <C><I>Theorema</I> 74.</C> <p><I>Quando lapis de$cendit per medium aëra, impeditur aliquantulum eius motus</I>: Probatur primò experientiâ, quæ certa e$t; tàm enim aër impe- dit motum deor$um, quàm $ur$um, vt videre e$t in mobili leuiore $eu ra- riore, quod etiam flante vento ob$eruare omnes po$$unt; quomodo ve- rò impediat, dicemus aliàs; $ecundò corpus immobile, in quod mobile impingitur, motum illius impedit; $ed in diuer$as partes aëris corpus graue impingitur in de$cen$u; igitur aliquantulum impeditur eius inotus. <C><I>Theorema</I> 75.</C> <p><I>Hinc motus naturalis deor$um aliquantulum retardatur,</I> quia nihil aliud præ$tare pote$t huiu$modi impedimentum, ni$i aliquam retardationem; igitur motus inde redditur tardior. <C><I>Theorema</I> 76.</C> <p><I>Hinc etiam impetus producitur imperfectior</I>; quia ex imperfectione ef- fectus requiritur imperfectic cau$æ per Ax. 13.l. 1. & quâ proportione e$t tardior motus eâdem impetus e$t imperfectior, per Ax. 5. excipe ta- men impetum innatum, qui $emper habet cundem effectum grauitatio- nis, vel $ingularis, quâ grauitas cum ip$o medio, $i reuerâ medium gra- uitat, de quo aliàs. <C><I>Theorema</I> 77.</C> <p><I>Quo medium den$ius e$t plus impedit motum deor$um</I>; Probatur, quia $i motum impedit; certè non totum; quis enim hoc dicat; $ed eæ dumta- xat partes, quibus incubat corpus graue; igitur quò $unt plures huiu$- modi partes, maius e$t impedimentum; $ed in medio den$iori plures $unt cum minore exten$ione; hoc enim e$t, quod voco den$ius; igitur me- dium den$ius plùs impedit. <C><I>Theorema</I> 78.</C> <p><I>Hinc tardiùs de$cendit mobile per mediam aquam, quàm per medium aëra,</I> quia aqua e$t den$ior aëre. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$erua e$$e aliqua corpora minus den$a, quæ motum omninò im- pediunt; quippe certum e$t aquam e$$e den$iorem ligno; atqui li- gnum de$cen$um lapidis impedit, non verò aqua; quia $cilicet lignum non e$t medium, vt aqua; vt enim aliquod corpus $it medium, debet e$$e liquidum, vt, aqua & alij liquores; vel $pirabile vt aër, vapor, &c. ratio e$t, quia partes ligni, vel alterius corpotis durioris, ita $unt inter $e con- junctæ, vel implicatæ, vt omnem tran$itum intercludant, ni$i corpus ip- $um graue valido ictu vel impetu $ibi viam aperiat; igitur vt corpus ali- quod vice medij defungatur, debet in co $tatu e$$e, in quo eius partes <pb n=117> modico ferè ni$u $eiungantur, & loco cedant; $ed de his $tatibus cor- porum fusè agemus Tomo 5. adde quod ad medium $ufficit vacuum $i motus in vacuo e$$e pote$t, de quo alibi; quod certè e$t omnium me- diorum optimum, cum nullo modo re$i$tar mobili. <C><I>Theorema</I> 79.</C> <p><I>Hinc producitur impetus imperfectior in medio den$iore:</I> quia in co tar- dior e$t motus, ex cuius tarditate arguitur imperfectio impetus per Ax. 13.num.4. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$erua den$itatem medij cogno$ci ex cius grauitate; illud enim den$ius e$t, quod e$t grauius & vici$$im; quod fusè explicabimus $uo lo- co; e$t enim grauitas quædam <I>den$itas, vt ait</I> Philo$ophus <I>tùm l.</I>4.<I>pb.c.</I> 9.<I>t.</I>85. & 86. <I>den$um & rarum,</I> inquit, <I>$unt lationis efficientia,</I> & paulò $u- periùs; <I>e$t autem den$um graue, rarum verò leue, & l.</I>8.<I>c.</I>7.<I>t.</I>55. <I>hæc habet, graue & leue; molle & durum den$itates quædam e$$e, & raritates videntur,</I> quæ adnotare volui, vt vel inde con$tet doctrinam hanc cum Peripate- tica optimè con$entire. <p>Ob$eruabis ctiam hîc à me non di$cuti, in quo con$i$tat den$itas, vel raritas, grauitas, vel leuitas; $uppono tantùm graue illud e$$e, quod ten- dit deor$um; leue illud, quod tendit $ur$um $iue pellatur à grauiori, $iue non, den$um verò e$$e id quod multùm materia habet $ub parua exten- $ione, rarum è contrario; quorum omnium cau$as, & rationes $uo loco explicabimus. <C><I>Theorema</I> 80.</C> <p><I>Sub medium leuius corpus graue de$cendit</I>; certa e$t hypothe$is, ni$i for- tè aliquando per accidens $ecus accidat; ratio porrò petitur ex ip$a grauitatis natura, quâ corpus graue tendit deor$um; nihil enim aliud grauitas e$t, quidquid tandem illa $it; quippe corpus graue de$cendit, quando medium liberum habet, idemque leuius, per quod de$cendat; quod certè $i grauius e$$et, haud dubiè non de$cenderet; $ic ferrum, & $axum plumbo liquato innatant; cum tamen per mediam aquam de- fcendant; fic lignum aquæ $upernatat, quod per liberum aëra de$cendit; ratio e$t, quia grauius de$cendit $ub medium leuius; cur autem id fiat fusè alibi explicabo; id tantùm obiter indico. Omnis motus, qui fit à principio intrin$eco per lineam rectam propter locum e$t, vt patet; quis enim neget corpus graue ideo de$cendere $ub leuius, vt occupet aliquem locum quo prius carebat, qui tamen illi connaturalis e$t in hoc rerum ordine? cum à natura acceperit vim illam intrin$ecam, quâ in eum lo- cum $e$e recipere pote$t; quam certè vim intrin$ecam nunquam à na- tura rebus creatis in$itam e$$e con$tat, ni$i ad eum finem con$equendum, cui à natura de$tinantur; cur verò locus connaturalis corporis grauio- ris $it ille, in quo leuiori $ube$t, non diu hærebit animus, quin $tatim ra- tio affulgeat; cum enim corpus, quod e$t $uprà, $u$tineatur ab eo quod e$t infrà; illud certè infra e$$e connaturalius e$t, quod aptius e$t ad $u$tinen- <pb n=118> dum; atqui den$um aptius e$t ad id munus, quia plures partes $u$tinentis pauciores $u$tinent alterius leuioris, $eu rarioris, vt con$tat; v.g. certum e$t camdem aëris partem pluribus aquæ partibus re$pondere; $ed de hoc alias fusè; hæc interim $ufficiat indica$$e, vt vel aliqua ratio affulgeat; cur $cilicet corpus graue $ub medium leuius $ua $ponte de$cendat; adde quod cum omne corpus graue tendat deor$um, tunc vnum infra aliud de- $cendit, cum $unt plures partes pellentis, quàm pul$i; denique per va- cuum modicum $ine vlla re$i$tentia de$cenderet. <C><I>Theorema</I> 81.</C> <p><I>Sub medium grauius corpus leuius minimè de$cendit, $ed huic inna- tat</I>; v.g. lignum aquæ, ferrum plumbo liquato; certa e$t hypothe$is: ratio e$t, quia ideo de$cendit graue $ub medium, quia grauius $eu den$ius e$t medio; igitur, $i den$ius e$t ip$um medium, non de$cendet; clarum e$t; cur verò a$cendat $upra medium. v.g. cur lignum aquæ immer$um tan- dem emergat hîc non di$cutio, $ed tantùm indico ab ip$a aqua $ur$um extendi; quanta verò parte lignum emergat, dicemus aliàs, cum de in- natantibus humido. <C><I>Theorema</I> 82.</C> <p><I>Sub medium æquè graue corpus non de$cendit, nec etiam $upra a$cendit</I>; ra- tio e$t, quia ideo de$cendit $ub medium, quia medium leuius e$t, ideo a$cendit $upra, quia medium grauius e$t; igitur $i nec $it grauius nec leuius, non e$t quod a$cendat vel de$cendat; nihil tamen illius $upra primam medij $uperficiem extare poterit; alioqui e$$et leuius medio, contra $uppo$itionem. <C><I>Theorema</I> 83.</C> <p><I>Aër $uam grauitatem habet</I>; quod iam à nullo in dubium reuocari po- te$t; nam $i comprimatur intra vas æneum v.g. etiam minimæ cra$$itu- dinis; $i deinde ponderetur, maius e$t haud dubiè pondus, quo maior e$t aëris copia intru$a; atqui non modo triplum totius aëris, qui ante compre$$ionem totam va$is capacitatem occupabat intrudi pote$t, vel decuplum; verùm etiam vigecuplum; immò centuplum, & millecuplum adhibita cochleâ, vel alio mechanico organo, & aucta va$is cra$$itudine, de quo aliàs: quanta verò $it grauitas aëris comparata cum grauitate aquæ, cen$et Galileus e$$e ferè vt 1. ad 400. Mer$ennus verò vt 1. ad 1356. vel $altem vt 1.ad 1300. Nos maiorem illà; hâc vero minorem e$$e ob$eruauimus, de quo aliàs; nec enim e$t præ$entis in$tituti, pro quo $ufficiat modò, aëri aliquam ine$$e grauitatem; nec dicas aëra le- uem e$$e; nam reuerâ leuis e$t, $i comparetur cum aqua; grauis autem $i comparetur cum a$cendente halitu, vel fortè cum vacuo; nec e$t quod aliquis fortè metuat, ne $i aër $it grauis, ab eo tandem opprimatur, nam etiam$i aqua $it grauis non tamen opprimit vrinatores, cuius rei veri$$i- mam rationem $uo loco afferemus; denique non e$t quod aliqui $atis incautè re$pondeant, ip$um aëra non e$$e grauem, $ed tantùm $entiri ali- quod pondus cra$$ioris vaporis immixti; nam de alio aëre non affirmo <pb n=119> grauem e$$e, ni$i tantùm de illo, quem $piramus, in quo ambulamus, qui nos ambit: adde quod Ari$toteles l.4. <I>de Cœlo, c.</I>5.<I>t.</I>36. tribuit aëri gra- uitatem his verbis; <I>quapropter</I> inquit, <I>aër, & aqua habent & leuitatem, & grauitatem.</I> <C><I>Theorema</I> 84.</C> <p><I>Medium eiu$dem grauitatis cum dato corpore graui detrahit totam eius grauitationem $ingularem; hoc e$t corpus graue in medium æquè graue non grauitat</I>; quia $i grauitaret de$cenderet; $ic pars aquæ in aliam partem aquæ non grauitat, & $i aqua ponderetur in aqua, nullius ponderis e$t; cum enim nulla $it ratio cur vna $it infrà potiùs, quàm alia, vna certè al- terius locum non ambit; igitur caret grauitatione $ingulari. <C><I>Theorema</I> 85.</C> <p><I>Medium graue detrahit aliquid de $ingulari grauit atione corporis grauio- ris</I>; certa e$t hypothe$is; nec enim plumbum e$t eius ponderis $ingula- ris in aqua, cuius e$t in aëre; dixi $ingularis; nam $i plumbum & ip$a aqua $imul appendantur, haud dubiè totum habebis pondus plumbi, & totum pondus aquæ; ratio verò huius effectus non e$t huius loci; quid- quid $it, $i æqualis grauitas medij tollit totam æqualem alterius corpo- ris; certè maiorem alterius corporis totam non tollit per Th. 80. $ed tantùm aliquid illius, quod quomodo fiat, dicemus Tomo quinto cum de graui, & leui. <C><I>Theorema</I> 86.</C> <p><I>Medium graue detrahit eam partem grauit ationis corporis grauioris, quæ e$t æqualis $uæ grauitationi.</I> v. g. $i medij grauitas e$t $ubdupla, detrahit $ubduplum grauitationis; $i $ubdecupla, $ubdecuplum, atque ita dein- ceps; hoc iam olim $uppo$uit magnus Archim. $upponunt etiam reliqui omnes, præ$ertim recentior Galileus; $i enim æqualis $uperat æqualem, ergo inæqualis pro rata; $cilicet $ubdupla $ubduplum $ubtripla, &c. Præ- terca, cum detrahat aliquam partem grauitationis maioris per Th.85.nec detrahat inæqualem maiorem, per Th.80.nec inæqualem minorem; cur enim potius vnam minorem quam aliam? certè æqualem tantùm detrahere pote$t, quod $uo loco per Principium po$itiuum demon$tra- bimus. <C><I>Theorema</I> 87.</C> <p><I>Hinc ratio cur grauia de$cendant tardius in aqua, quàm in aëre, & in aëre, quàm in vacuo</I>; hinc etiam maioris $unt ponderis in aëre quam in aqua; hinc $i grauitas alicuius corporis $it ad grauitatem aëris vt 100. ad 1. haud dubiè decre$cet eius pondus in aëre (1/100); id e$t, $i penderet 100. libras in vacuo, in aëre penderet 99.& eo tempore quo in vacuo decur- teret 100. pa$$us, in aëre decurreret 99. $i nulla $it aliunde re$i$tentia, qualis reuerâ e$t, vt dicam infrà; $imiliter $i grauitas alicuius corporis $it ad grauitatem aquæ, vt 10.ad 1. decre$cet eius pondus in aqua (1/<*>), & co tempore quo decurreret in vacuo 10. palmos $patij, in aqua decurre <pb n=120> ret tantùm 9. po$ito quod non $it aliud quod re$i$tat; quanta verò $it grauitas omnium corporum tùm duriorum, qualia $unt metall<*>, tùm li- quidorum, tùm $pirabilium, dicemus $uo loco; illorum tabulas habes apud Gethaldum, & Mer$ennum. <C><I>Theorema</I> 88.</C> <p><I>Hinc, $i nihil aliud de$cen$um corporum grauium impediret, cognito pen- dere vtriu$que, medij & corperis grauis, $patio, quod in vno illorum conficit, cogno$cipo$$et $patium, quod in alio conficeret æquali tempore</I>, v. g. $uppona- mus grauitatem aquæ e$$e ad grauitatem aëris vt 400.ad 1.$itque corpus, cuius grauitas $it dupla grauitatis aquæ; haud dubiè eo tempore, quo conficit in aëre 799. $patia, in aqua con$iciet tantùm 400. quia in vacuo conficeret 800. aër autem detrahit (<*>/800), & aqua <*>/2, vt con$tat ex dictis; $i- militer cognitis $patiis in vtroque medio confectis, & grauitate vtriu$que medij cogno$ceretur grauitas corporis de$cendentis; quia tamen e$t alia re$i$tentiæ ratio, hîc non hærco. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis dictum e$$e hactenus; $i nihil aliud de$cen$um corporis grauis impedit; nam certè aliud e$t, de quo infrà, ex cuius ignoratione plures haud dubiè in inue$tigandis grauitatum medij rationibus hallu- cinarentur; cum enim ob$eruatum $it globum plumbeum, cuius graui- tas e$t ferè dodecupla grauitatis aquæ, conficere in libero aëre 48. pedes $patij tempore duorum $ecundorum, in aqua verò 12. pedes codem tem- pore; certè in vacuo ip$o moueretur tardiùs quàm in aëre; quia eo tem- pore, quo conficit in aqua 12.pedes in vacuo conficeret (13 1/21), $i tantùm detrahitur (1/12) grauitationis, & de$cen$us; atqui in aëre codem tempore conficit 48. pedes; igitur velociùs moueretur in aëre quàm in vacuo; igitur e$t aliquid aliud quod impedit motum; vt enim optimè monet Mer$ennus, $i grauitas aquæ $it ad grauitatem aëris vt 400 ad 1.& graui- tas plumbi ad grauitatem aquæ vt 12. ad 1.eadem grauitas plumbi e$t ad grauitatem aëris vt 4800. igitur $i $patium, quod decurrit plumbum in vacuo diuidatur in 4800. partes, decurret in aëre 4799. partes; in aqua verò 4400. quod e$t contra experientiam; nam $patium, quod decurrit in aëre e$t maius $patio, quod decurrit in aqua 3/4; quippe conficit 12. pedes in aqua eodem tempore, quo in aëre conficir 48; igitur in aqua amittit 3/4 $uæ grauitationis, & $ui motus; igitur 3600. partes; igitur plumbi grauitas e$$et ad grauitatem aquæ vt 4.ad 3.& ad grauitatem aë- ris vt 3600. ad 1. atqui vtrumque fal$um e$$e con$tat; igitur e$t aliquid aliud, quod etiam impedit motum; nec ex motu diuer$o per diuer$a me- dia cogno$ci pote$t eorum grauitas. <C><I>Theorema</I> 89.</C> <p><I>Hinc potiori iure reiicies illerum $ententiam, qui volunt impediri motum corporis de$cendentis per diuer$a media pro diuer$aratione grauitatum vtriu$- que medy</I>; quod certè fal$um e$t; nam aqua $it ad grauitatem aëris vt 400. ad 1. deberet omne corpus de$cendere velociùs in aëre quadrin- <pb n=121> gente$ies, quàm in aqua, quod fal$um e$t; cum aliquod corpus nullo mo- do de$cendat in aqua, quod de$cendit in aëre, vt lignum. <C><I>Theorema</I> 90.</C> <p><I>Non pote$t corpus graue per medium corporeum de$cendere, ni$i vel totum medium loco cedat, vel aliquæ partes <*>iu$dem medij,</I> patet; quia vnum cor- pus non pote$t penetrari cum alio. <C><I>Theorema</I> 91.</C> <p><I>Totum medium loco non cedit in de$cen$u grauium</I>; patet etiam, tùm quia ad mouendum totum medium exigua vis corporis grauis non $uffi- cit; tùm quia tàm facilè per medium durum eiu$dem grauitatis de$cen- deret; denique patet manife$tâ experientiâ. <C><I>Theorema</I> 92.</C> <p><I>Hinc aliqua tantùm partes medij loco cedunt</I>; probatur, quia vel totum medium, vel aliquæ eius partes, per Th.90.non primum per Th.91.igitut $ecundum, in his certè non e$t vlla difficultas. <C><I>Theorema</I> 93.</C> <p><I>Non po$$unt illæ partes loco cedere $ine motu; nec moueri $ine impetu, nec habere impetum, ni$i producatur in illis à cau$a aliqua applicata; quæ certè alia none$t quàm impetus corporis de$cendentis,</I> vt con$tat ex iis, quæ dixi- mus primo lib. <C><I>Theorema</I> 94.</C> <p><I>Illæ partes, quæ loco cedunt de$cendenti corpori graui, nece$$ariò ab aliis $eparantur, & $uo appul$u, vel impul$u alias multas impellunt, ac $eparant,</I> atqui $eparari non po$$unt ab aliis, ni$i $oluatur vnio, $eu nexus, quo cum aliis deuinciuntur; quidquid tandem $it illa vnio, de qua aliàs. <C><I>Theorema</I> 95.</C> <p><I>Hinc quò arctior e$t ille nexus, difficilius $oluitur</I>; igitur maiore vi, vel impetu opus e$t, vt $olui po$$it, vt con$tat. <C><I>Theorema</I> 96.</C> <p><I>Hinc corpus grauius $ustinetur à leuiore.</I> v.g. plumbum à ligno propter arctiorem nexum partium ligni, qui ab impetu plumbi quantumuis gra- ui$$imi $uperari non pote$t; hinc corpus illud, medium tantùm appello in quo po$$int corpora moueri, cuius nexus $uperari pote$t à corpore grauiori in aliqua $altem figura, vel $itu; hinc corpora dura non po$$unt e$$e medium; immò neque mollia, vt cera, argilla; $ed vel liquida, vel $pirabilia. <C><I>Theorema</I> 97.</C> <p><I>Hinc ducitur euidens ratio, cur medium impediat motum $i dumtaxat ha- beat arctiorum partium implicationem & nexum</I>; quia non modo partes <pb n=122> medij amouendæ $unt è $uo loco; verùm etiam nexus ille partium $ol- uendus; igitur ex vtroque capite impeditur motus. <C><I>Theorema</I> 98.</C> <p><I>Quo $ubtiliores $unt partes difficilius inter $e implicari po$$unt $eu ligari quibu$dam filamentis</I>, con$tat; igitur cum aëris partes $int magis lubricæ, quàm partes aquæ, & faciliùs per obuia quæque foramina irrepere po$- $int, non po$$unt ita contineri; $ic videmus multùm aquæ hauriri, dum arctioribus retibus attollitur; immò dum aquam manu $tringimus, ali- quam re$i$tentiam $en$u percipimus; quæ certè nulla e$t, dum aëra $trin- gimus. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis vmonem continuatiuam corporum aliquando po$itam e$$e in plexu, vel implicatione partium, vt videmus in fune, ligno, carne, o$$ibus, &c. aliquando in vacui metu; $ic aqua, vt $uo va$i adhæreat, a$cendit, vel $ur$um attollitur, ne detur vacuum; aliquando in coitione quadam magnetica; porrò hic plexus con$tat ex infinitis ferè tenui$$i- morum filamentorum voluminibus, vel aduncis $iue hamatis partibus, $eu corpu$culis: Vtrum verò præter hæc requiratur alius vnionis mo- dus, di$cutiemus fusè Tomo 5. quidquid $it; certum e$t medium illud, cuius partes arctiori maiorique nexu copulantur, longè difficiliùs per- aurri po$$e, $eu perrumpi. <C><I>Theorema</I> 99.</C> <p><I>Hinc non modò aqua detrahit plumbo</I> (1/22) <I>$ui motus, quod $cilicet plumbi græ- uitas $it dedecupla grauitatis aquæ, verùm etiam propter re$istentiam petitam ex alio capite aliquid adhuc detrabere pote$t</I>; $cilicet quia partes aquæ non po$$unt amoueri, ni$i ab aliis $eparentur; atqui maiore vi opus e$t ad- $oiuendum $trictiorem nexum; immò licèt partes aquæ nullo penitus nexu vniantur, $ed tantùm vel vacui metu, vel alio modo, quod alibi ex- plicabimus; omninò detraherent adhuc plumbo (1/12) motus; igitur, $i præter illud impedimentum, quod petitur à comparatione grauitatis corporis mobilis cum grauitate medij, addatur aliud longè robu$tius; non mirum e$t, $i maior inde $equatur effectus, id e$t maior imminutio motus, qui qua$i frangitur ab impedimento. <C><I>Theorema</I> 100.</C> <p><I>Hinc petitur ratio illius experimenti, $i verum e$t, duobus $ecundis per- currere plumbeam pilam in aëre</I> 48. <I>$patij pedes, in aqua verò</I> 12. <I>pedes</I>; hinc tenui nexu partes aëris copulantur; partes verò aquæ firmiori; hinc aër minùs re$i$tit etiam motibus violentis; hinc vix pote$t qui$piam in aqua currere propter maiorem aquæ re$i$tentiam; hinc pote$t dici quota parte firmior $it nexus vnius corporis quàm alterius; hinc non tantùm copu- lantur partes metu vacui; alioquin æquè re$i$terent partes aëris, ac par- tes aquæ ratione nexus; hinc videntur guttulæ illæ $phericæ inuolui te- nui qua$i membranula, $eu $uperficie, cuius analogiam videmus in aqua<*> <pb n=123> feruente; in bullis, quæ ex guttis pluuiæ re$ilientibus na$ci videntur; in bullis etiam illis $aponariis, quas leui calamo pueri inter ludendum in- flant; hinc ex minimo ferè contactu guttula $pargitur, ni$i fortè cum multo a$per$a puluere cru$tam quamdam induit $olidiorem; $ic bullæ il- læ ad minimum etiam contactum di$$ipantur; hinc ip$a $uperficies aquæ plus videtur re$i$tere quod multis experimentis comprobatur; $ed illo maximè, quo videmus findi à remo cum quodam qua$i $tridulo cre- pitu re$i$tentiæ maioris te$te; immò cum ab ip$a naui qua$i $ulcatur, idem $tridor auditur, maximè in iis tractibus; in quibus nullis fluctibus agitata læuigati$$imam faciem præfert; habes analogiam in illa cru$ta, quæ concre$cit in $uperficie liquorum, $ed præ$ertim offarum:adde quod aër paulò compre$$ior vndique guttulam premens æquali ni$u eam miri- ficè tornat: hæc tantùm tumultuatim conge$ta alibi fusè pertractabi- mus, & ex $implici$$imis principiis demon$trabimus; plura hîc de graui- tate crant dicenda, & de grauitatione, quæ tantùm indica$$e $ufficiat, vt deinde Tomo quinto fusè explicentur. <C><I>Theorema</I> 101.</C> <p><I>Non re$istit medium propter compre$$ionem partium inferiorum, quas nullo modo comprimi nece$$e e$t, vel in$en$ibiliter</I>; cum enim tantus relinquatur locus retrò, quantus acquiritur antè, nulla opus e$t compre$$ione; $ed partes à fronte pul$æ factâ circuitione retror$um eunt, non certè tramite recto; $i enim frons ip$ius lata $it, haud dubiè partes pul$æ alias pellunt, & hæ vici$$im alias longo circuitu, vt patet experientia; nulla tamen, vel modica fieri videtur compre$$io. <C><I>Theorema</I> 102.</C> <p><I>Hinc quo $unt plures partes diuidendæ, quæ antè uniebantur, maior e$t re$i- $tentia</I>; igitur maiore vi opus e$t, igitur maiore grauitate; $ed in medio den$iore ab codem mobili plures $eparantur quàm in rariore; quia $ci- licet corpus den$um plures habet $ub minori exten$ione, & rarum è con- trario, vt videbimus $uo loco; igitur in medio den$iore idem mobile ma- jorem re$i$tentiam inuenit, quàm in rariore; licèt vtriu$que partes æquali nexu $eu fibula copulentur; quia $cilicet plures $unt diuidendæ in den$iore; quia plures $cilicet in æquali $patio occurrunt, quàm in ra- <*>iore; igitur maiore vi grauitatis opus e$t. <C><I>Theorema</I> 103.</C> <p><I>Hinc medium pote$t comparari cum alio in</I> 2. <I>capitibus</I>; Primum e$t in grauitate, vel den$itate, nam reuerâ ex maiori den$itate maiorem gra- uitatem reducimus; Secundum e$t in maiori, vel minori partium nexu, ex quo 4. $equuntur combinationes 2.mediorum; nam vel $unt eiu$dem grauitatis, & mollitiei; vel eiu$dem grauitatis & diuer$æ mollitiei; vel ciu$dem mollitici, & diuer$æ grauitatis; vel diuer$æ grauitatis, & ciu$- dem mollitici; mollius autem illud appello, cuius partes laxiori nexu copulantur; porrò 4.i $tæ combinationes $upponunt id&etilde; mobile invtroq; medio; $i $it prima combinatio, motus e$t æqualis in vtroque; $i $ecunda <pb n=124> maior e$t in molliori; $i tertia maior in grauiori; $i verò quarta $ubdi- uidi pote$t in duas; nam vel grauius e$t conjunctum cum maiori molli- tie, vel leuius; $i leuius, haud dubiè maior e$t motus in leuiore; $i gra- uius & mollities compen$et grauitatem, id e$t, $i vt $e habet grauitas gra- uioris ad leuitatem leuioris; ita $e habet mollities illius ad mollitiem huius, æqualis e$t in vtroque; $i $ecus, pro rata; hinc pote$t e$$e æqualis motus in grauiore & leuiore medio, & in æquè graui pote$t e$$e maior in grauiore; & minor; maior quidem, $i maior $it ratio mollitici gra- uioris ad mollitiem leuioris, quàm grauitatis ad grauitatem; minor ve- rò, $i maior $itratio grauitatis ad grauitatem, quàm mollitici ad molli- tiem; æqualis denique $i æqualis ratio; & his regulis cuncta facilè ex- plicari po$$unt; hîc porrò $uppono idem mobile, quod per vtrumque me- dium de$cendere po$$it, id e$t, quod $it vtroque grauius, medium autem appello illud, per quod mobile grauius per $e de$cendit; dixi per $e quia nonnunquam accidit, vt vel ratione figuræ, vel alterius impedimenti non de$cendat. <C><I>Theorema</I> 104.</C> <p><I>Sunt tres combinationes mobilis cum medio</I>; prima, $i $it idem mobile cum diuer$is mediis; $ecunda, $i idem medium cum diuer$is mobilibus; tertia $i diuer$a mobïlia cum diuer$is mediis; de primâ actum e$t iam fuprà; $ecunda $ube$t 4. combinationibus. Prima $i mobilia $int eiu$- dem materiæ, $ed diuer$æ figuræ; Secunda eiu$dem figuræ & diuer$æ materiæ. Quarta diuer$æ materiæ & figuræ; $i prima & $ecunda, vel $unt figuræ æquales, vel inæquales; $i primum $unt eiu$dem grauitatis; $i $e- cundum diuer$æ; quippe figuræ $imiles po$$unt e$$e æquales, vel inæ- quales; & figuræ æquales po$$unt e$$e $imiles, vel di$$imiles; $i $it tertia combinatio, in qua $int eiu$dem figuræ, & diuer$æ materiæ, diuer$æ in- quam in grauitate; $i figuræ $unt æquales, $emper e$t diuer$a grauitas; $i inæquales pote$t e$$e vel eadem, vel tertia; in quarta combinatione di- uer$a compen$atio fieri pote$t; idem dicendum e$t de tertia combinatio- ne diuer$orum mobilium, & mediorum, de quibus omnibus $eor$im iam dicemus. <C><I>Theorema</I> 105.</C> <p><I>Si mobilia duo eiu$dem materiæ, figuræ, & grauitatis in eodem medio de- $<*>endant, æquali motu feruntur</I> dem. vbi e$t eadem proportio cau$æ & re$i- $bentiæ ibi e$t idem effectus, per Ax. 5. $ed in hoc ca$u eadem e$t illa pro- portio; nam e$t æqualis cau$a, $cilicet grauitas; idem medium æqualiter vtrique re$i$tens, cum non plures medij partes re$i$tant vni, quam alteri; igitur æqualis proportio. <C><I>Theorema</I> 106.</C> <p><I>Maior e$t re$istentia <*>iu$dem medij ratione $cilicet partium, cum plupes cius partes re$istunt quàm cum pauciores</I>; patet, quia maior effectus re- $pondet pluribus partibus cau$æ per Ax.13.l.1. num.2. <pb n=125> <C><I>Theorema</I> 107.</C> <p><I>Plures partes re$istunt, quando plures pelluntur à mobili deor$um</I>; quip- pe in tantum re$i$tunt, in quantum ab aliis $eparantur; atqui in tantum $eparantur, in quantum amouentur è $uo loco; $ed ideo amouentur è $uo loco, in quantum pelluntur; igitur cum plures pelluntur tunc plures re$i$tunt; igitur tunc maior e$t re$i$tentia. <C><I>Theorema</I> 108.</C> <p><I>Plures pelluntur à maiori $uperficie, quàm à minori, quæ tendit deor$um parallela horizonti.</I> v.g. à $uperficie cubi maioris, quàm minoris; quippe tot pelluntur quot re$pondent primæ faciei, $eu primo plano, quod e$t i<*> fronte. <C><I>Theorema</I> 109.</C> <p><I>Si diuidatur cubus in cubos minores, ratio $uperficierum erit duplicat a la- terum, & ratio $olidorum triplicata,</I> con$tat ex Geometria, $it enim cubus <MARG>a <I>Fig.</I>26 <I>Tab.</I>1.</MARG> GK, nam in gratiam corum qui Geometriam ignorant hoc ip$um ocu- lis $ubiiciendum e$$e videtur; diuidantur 6. eius facies in 4. quadrata æqualia v. g. facies AI in quad. AE. EC. EG. EI. idem fiat in aliis 5. faciebus, quarum duæ hîc tantum apparent; $cilicet AK. KL; $ed tribus aliis parallelis; his tribus cædem diui$iones re$pondent; haud dubiè erunt cubi minores, quorum latus $it æquale AB, & quælibet fa- cies æqualis quadrato AE, $ed facies maior AI, e$t quadrupla minoris AE, ergo AI e$t ad AE vt quadratum lateris AG ad quadratum lateris AD; $ed hæc e$t ratio duplicata laterum 1. 2. 4. $imiliter cubus maior GK e$t octuplum minoris DN, igitur vt cubus lateris AG ad cubum lateris AD. $ed hæc e$t ratio triplicata. 1.2.4.8. <C><I>Theorema</I> 110.</C> <p><I>Hinc plùs minuitur $olidum in diuer$ione cubi quam facies, & plùs facies quàm latus</I>; patet ex dictis, nam latus minoris cubi e$t tantùm $ubdu- plum lateris maioris, & facies $ubquadrupla; $olidum verò $ub- octuplum. <C><I>Theorema</I> 111.</C> <p><I>Hinc plùs minuitur grauitas, quàm re$i$tentia minoris cubi</I>; quia grauitas re$pondet $olido, & re$i$tentia primç facici; re$i$tentia inquā ratione par- tium medij; $ed $olidum plus miuuitur quàm facies, vt dictum e$t; igitur plus minuitur grauitas, quæ e$t cau$a virium quàm hæc re$i$tentia; crgo decre$cunt vires in maiore proportione quàm hæc re$i$tentia, quod be- nè ob$eruauit Galileus in dìalogis. <p>Hinc concludit Galileus duos cubos eiu$dem materiæ, $ed inæquales de$cendere inæquali motu; maiorem $cilicet velociùs minori; demon- ftrare videtur, quia maior habet maiorem proportionem virium ad re- $i$tentiam, quàm minor; igitur maiorem habet effectum per Ax. 5. igi- tur maiorem, & velociorem motum. <p>Scio non dee$$e multos viros doctos qui acriter in hanc $ententiam <pb n=126> in$urgant: Obiicient fortè primò, experientiam e$$e contrariam; $i enim accipiantur duo cubi maior, & minor eiu$dem materiæ, & dimittantur ex eadem altitudine codem pror$us momento terram ferient; Re$ponde- ri pote$t momentum illud $en$u percipi non po$$e; $i enim dicam ma- iorem tangere terram 1000. in$tantibus ante minorem, an fortè $en$u hoc percipies, vi$u $cilicet vel auditu? igitur in maxima altitudine hæc $patiorum inæqualitas, & temporum $en$u percipi po$$et, quæ in minori $ub $en$um non cadit: præterea accipe pulueris granulum eiu$dem ma- teriæ, tuncque ctiam $en$ibilem motuum differentiam videbîs, atqui e$t cadem r<*>tio de omni minore. <p>Secundò obiicient, $i $uperponatur cubus minor maiori in $uo motu nunquam $eparantur; igitur æquali motu de$cendunt. Re$p. videri po- te$t equidem æquali motu de$cendere quia $unt veluti partes ciu$dem corporis, & grauitant grauitatione communi, neque minor habet $ingu- larem re$i$tentiam $uperandam; immò $i $uperponatur minor maiori, vel maior minori, motus e$t velocior quàm e$$et $olius maioris; quia cum non $it maior re$i$tentia, maiores illi vires opponuntur; igitur fa- ciliùs $uperatur. <p>Tertiò obiicient; e$t eadem $pecie grauitas; igitur eadem grauitatio, idemque motus deor$um; Re$ponderi po$$et concedendo antecedens, vnde in vacuo omnia grauia æquè velociter de$cenderent, $i in eo mo- tus e$$et; at verò altera duarum cau$arum eiu$dem $peciei, quæ habet mi- norem proportionem actiuitatis ad re$i$tentiam, profectò minùs agit, quod certum e$t. <p>Quartò obij:igitur motus po$$et e$$e velocior, & velocior in infini- tum; $i enim maior cubus de$cenderet velociùs; igitur $i detur maior ad- huc velociùs, atque ita deinceps: Re$p. inanem pror$us e$$e difficulta- tem; quia cubus ille quantumuis maximus in vacuo de$cendit velociùs quàm in aliquo medio v.g.in aëre, igitur nunquam augmentum veloci- tatis infinitum e$t; quippe inter duos gradus velocitatis infiniti $unt po$$ibiles. v. g. $it velocitas, quam habet in vacuo vt 2. illa verò quàm habet in aëre vt 1. $i cre$cat velocitas iuxta has minutias $ingulis in$tan- tibus 1/2 1/4 1/<*> (1/16) (1/32), atque ita deinceps; quàm porrò multæ $unt huiu$modi progre$$iones 1/3 1/6 (1/12) (1/24) &c. igitur obiectiones illæ non cuertunt Gali- lei $ententiam. <p>Inde idem Galilcus o$tendere videtur cur atomi materiæ etiam gra- ui$$imæ, $eu granula pulueris motu tardi$$imo de$cendant in aëre vel in aqua; quia $cilicet per illam diui$ionem ita imminutæ $unt vires graui- tatis, vt iam re$i$tentiam medij $uperare non po$$int. <p>Sed videtur e$$e graui$$ima difficultas,<note><I>Fig.</I> 27. <I>T.</I>1.</note> $int enim duo cubi, maior B F, minor GM, & vterque innatet medio liquido duplo grauiori; certè ex- tabit maior toto rectangulo CA æquali CF, & minor toto rectangulo KH æquali KM; igitur e$t eadem proportio grauitatis maioris ad re$i- $tentiam medij in grauitatione, quæ e$t minoris; igitur & in motu. <p>Re$ponderi pote$t e$$e maximam di$paritatem inter grauitationem, & <pb n=127> motum; $it<note><I>Fig.</I>28 <I>Tab.</I> 1.</note> enim cubus BD qui de$cendat per totam AH; haud dubiè cum $patium DI, contineat 3. cubos medij æquales DB, eos debet remo- uere in $uo de$cen$u; $it autem cubus BG; haud dubiè, cum $it eadem pro- portio cubi AE ad cubum medij DM, quæ e$t cubi BG ad cubum me- dij FL, eodem tempore vterque cubum medij $uppo$iti è $uo loco extru- det; igitur eo tempore, quo AE expellet 3. DI, FL extrudet 3. EO, ergo æquabili tempore inæquale $patium percurrunt. <p>Dices ergo $patia $unt vt latera: Re$ponderi pote$t hoc reuerâ per $e e$$e debere; $ed quia cubus DM vt extrudatur, maiorem debet facere cir- cuitionem, vt à fronte retrò eat, velociori motu extrudi debet; igitur vi- res $uas in co con$umit maiori ex parte cubus AE; hinc compen$atio e$$e videtur. <p>Vt $olui po$$it præ$ens difficultas, quæ cettè maxima e$t, totam rem i$tam paulò fu$iùs e$$e explicandam iudico. Primò itaque certum e$t partes medij, quæ prius in fronte erant, retroire; hoc ip$um videmus in naui quæ $ulcat aquas, hoc ip$um accidit in omni corpore natante etiam immobili, quippe partes aquæ retinentur ab illa membranula, de qua $u- prà; $ic enim $æpè a$$urgunt, & intume$cunt $upra labra va$is; cur verò continui penè circulares limbi dilatentur: Re$p. nullo flante vento vix aliquem circulum huiu$inodi in $uperficie aquæ apparere à fronte, $ed tantùm à tergo, & lateribus, qua$i ad in$tar pyramidis; $ed de his aliàs fusè. <p>Secundò certum e$t numerum partium, quas impellit maior cubus A E; e$$e quadruplum numeri partium, quas impellit cubus BG: $int autem v.g.8. partes re$i$tentes cubo maiori, $unt duæ re$i$tentes cubo minoris; $ed vires cubi maioris $unt ad vires cubi minoris vt 8. ad 1. igitur vires vt 8. $uperabunt faciliùs re$i$tentiam vt 8. quam vires vt 1. re$i$tentiam vt 2.vnde duplò velociùs moueretur, ni$i aër duplò velociori motu amo- uendus e$$et, quod vt clarius explicetur;<note><I>Fig.</I> 29. <I>T.</I>1.</note> <p>Sit cubus maior AF octuplus cubi GI, vt iam dictum e$t; haud dubiè aër qui $ub$tat cubo AF e$t quadruplus aëris, qui $ub$tat cubo GI, vnde $i vires cubi AF e$$ent quadruplæ virium cubi GI, e$$et æqualis proportio in vtroque virium, & re$i$tentiæ; $ed $unt octuplæ; igitur faci- liùs vincetur re$i$tentia; igitur amouebitur aër faciliùs; $it autem aër expre$$us in globulis EFB, &c. cuius $uperficies cum relinquatur retrò ver$us AB, & occupetur illa quæ e$t in fronte EF; haud dubiè partes hinc inde diuiduntur in D, & fegmentum NB tran$it in locum relicti loci BC, FN tran$it in NB, & DF, in FN; idem dico de $egmentis oppo- fitis; idem pror$us dico de minori globo; nam MH tran$it in HQ, & H Q in QG, & QG in GL, idem dico de $egmentis oppo$itis; igitur hæc e$t circuitio partium medij, quàm $uprà indicauimus; hinc aër, qui amo- uetur à corpore graui de$cendente moueri debet nece$$ariò velociùs quàm ip$um corpus grauc, quod de$cendit. <p>In hoc porrò ob$erua $egmentum MH moueri tardiùs quàm DF; quia conficit $ubduplum $patium, co tempore, quo DF conficit duplum; <pb n=128> nam DF & FN $unt duplæ MH & & HQ; igitur dupla vi motrice opus e$t; $ed vires cubi AF $unt ad vires cubi GI, vt 8. ad 1. partes verò aëris, quas impellit AF, $unt ad partes aëris, quas impellit GI, vt 4.ad 1. igitur $i partes aëris mouerentur æquali motu cum ip$is cubis, à quibus mo- uentur; certè maior moueretur motu velociori; vt autem moueantur par- tes DF duplò velociore motu, quàm partes MH; debent vires, quæ mo- nent DF, e$$e in ratione dupla ad illas, quæ mouent MH, id e$teo tem- pore, quo vires vt 8.mouebunt mobile vt 4. motu vt 2. vires vt 1.moue- bunt mobile vt 1. motu vt 1. licèt enim $uperficies aëris EF moueatur deor$um; attamen ab alio aëere inferiore ita reperlitur, vt $ur$um ver$us FN repellatur. <p>Equidem tota $uperficies aëris DF, cum pluribus partibus con$tet, non pote$t $imul tran$ire in FN; quia pars D antequam perueniat ad F tran$it per medium DF; igitur $ucce$$iuè permea ad illud $patium DF, quo tempore quie$ceret globus AF, quod ridiculum e$t. <p>Quare fit nece$$ariò aliqua circuitio, & partium aëris commixtio, $eu conflictus; ita vt retroeant pul$æ prius & repercu$$æ; non quidem tramite recto, $ed cum aliqua circuitione; quod certè facilè concipi po- te$t, quæ circuitio eò maior e$t, quo latera cuborum $unt maiora; ita- que cum hæc $atis fusè videantur e$$e explicata, $it. <C><I>Theorema</I> 112.</C> <p><I>Duo cubi eiu$de</I>m <I>materiæ, & diuer$æ grauitatis æquali motu per $e de$- cendunt</I>; probatur, quia licèt $it maior proportio actiuitatis minus ad $uam re$i$tentiam, quàm alterius; illud tamen compen$atur; eóque par- tes aëris velociùs moueri debeant inxta rationem laterum, vt patet ex dictis; vnde nece$$ariò $equitur motus æqualis in vtroque cubo; igitur licèt maioris cubi vires habeant maiorem proportionem ad molem, quæ præcipuum illius motus retardat; tum tamen aër, qui re$i$tit maiori cubo debeat amoueri, vt dictum e$t velociore motu quam aër, qui re$i- $tit minori, $itque eadem proportio re$i$tentiæ ratione motus minoris ad maiorem, quæ e$t ratione molis maioris ad minorem; certè ratio compo$ita vtriu$què erit cadem in vtroque cubo; igitur æquè velociter vterque de$cendet: hinc $atís facilè $oluitur ratio Galilci, quam multi parum cauti pro demon$tratione venditarunt, ad aliam verò rationem, quam ex minuto puluere ducere videtur, etiam facilè re$ponderi pote$t; ideo corpu$cula illa diu fluitare in aëre, tùm quòd minimo ferè tenuis auræ flatu agitentur; $ic pulueris nubes medius ventus agit; quis enim ne$cit aëris partes agitari perpetuò; immò & aquæ inter $e mi$ceri; igi- tur ab agitationis veluti impre$$ione fluitant illa corpu$cula, cum mini- musferèimpetus extrin$ecus illa commouere po$$it; tùm etiam quòd à filamentis illis, quibus partes aëris implicantur facilè detineantur; ana- logiam habes in lapillo, qui ab araneæ tela intercipitur. <pb n=129> <C><I>Theorema</I> 113.</C> <p><I>Duo globi eiu$dem materiæ, & diuer$æ diametri de$cendunt etiam æquali motu propter eamdem rationem</I>; immò e$t perfectior æqualitas in globis, quàm in cubis; quia perfectior fit circuitio, vt con$ideranti patebit; hinc globus eiu$dem materiæ, & grauitatis cum cubo de$cendit velociùs quia $cilicet aër in de$cen$u globi faciliùs agitur retrò, vt con$tat. <C><I>Theorema</I> 114.</C> <p><I>Corpus vtrimque in mucronem de$inens faciliùs adhuc de$cendit, quâm globus eiu$dem materiæ</I>; ratio e$t; quia breuiore circuitu partes re- trocunt; quippe tunc maxima e$t facilitas in pellendo aëre, qui e$t à fron- te mobilis, cum velociùs moueri non debet ip$o mobili; atqui hoc ip- $um e$t quod accidit mobili vtrimque<note><I>Fig.</I>30 <I>Tab.</I>1.</note> aucto; nam linea curua DBA, quam percurrit de$criptum mebile, non e$t multò longior; at verò in quadrato $uperiori AF maiori e$t duplò; in circulo quidem minor dia- meter $emiperipheriæ, $ed non duplò. <C><I>Theorema</I> 115.</C> <p><I>Idem corpus diuer$o motu de$cendere pote$t,</I> v. g.<note><I>Fig.</I><*>2 <I>Tab.</I>1.</note> parallipedum A, $i re- ctangulum BF $it in fronte tardiùs de$cendet, quàm $i in fronte $it re- ctangulum CE, vel rectangulum FH; hinc tribus motibus diuer$is de$- cendere pote$t idem parallipedum, modò habeat $emper alteram facie- rum horizonti parallelam; hinc cylindrus eiu$dem grauitatis de$cendet velociùs quàm parallelipedum, vt patet ex dictis; ex quibus facilè intel- ligi pote$t, quænam corpora faciliùs quàm alia de$cendant; quippe illa regula e$t certi$$ima quàm $uprà attulimus. Porrò ob$cruabis omne corpus difficiliùs pelli per lineam perpendicularem quàm per obliquam; hinc globus pellit tantùm vnicum punctum perpendiculariter; idem di- co de cono; cylindrus verò vnam lineam, cubus integrum planum. <C><I>Theorema</I> 116.</C> <p><I>Hinc duo corpora eiu$dem grauitatis, $ed quorum alterum</I> f<I>aciem, quæ e$t in fronte, habet maiorem, inæquali motu de$cendunt</I>; patet ex dictis; quia in vtroque $unt æquales vires, $ed diuer$a re$i$tentia. <C><I>Theorema</I> 117.</C> <p><I>Hinc tenues illæ $uperficies corporum etiam materiæ graui$$imæ, vel in aëre fluitant, vel aquis innatant</I>; ratio e$t, quia re$i$tentia $uperat vires. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primam $uperficiem aquæ habere maiorem quamdam re- $i$tentiam propter illam, qua$i membranulam, de qua $uprà; vnde a$$ur- git quiddam lymbus in margine bracteæ ferri, vel auri innatantis; vel etiam globuli paulò grauioris aquâ, igitur vt immergatur corpus debet e$$e grauius totâ illâ aquâ, quæ capacitatem illam non cauam occu- paret. <pb n=130> <C><I>Theorema</I> 118.</C> <p><I>Globi æquales diuer$æ materiæ inæqualiter de$cendunt</I>; quia $cilicet alte- rum e$t grauius, quod $uppono; igitur æqualis e$t re$i$tentia, & vires inæquales; igitur non e$t eadem proportio actiuitatis: & re$i$tentiæ; igi- tur non e$t æqualis motus per Ax.5. <C><I>Theorema</I> 119.</C> <p><I>Globi otiam inæquales diuer$æ materiæ inæqualiter de$cendunt</I>; quod de- mon$tro; quia globi ciu$dem materiæ inæqualiter de$cendunt per Th. 113. $ed duo globi æquales diuer$æ materiæ de$cendunt inæqualiter per Th.118. igitur, & inæquales; quod dico de globis', dicatur de cubis, & aliis figuris $imilibus. <C><I>Theorema</I> 120.</C> <p><I>Globus materiæ leuioris pote$t de$cendere velociori motu quam parallelipe- dum grauioris</I>; con$tat experientia; ratio e$t, quia cum globus ferreus de$- cendat velociùs, quàm ligneus per Th. 118. in data ratione, putà (1/100) haud dubiè bractea ferri non modo (1/100) tardiùs de$cendet, verùm etiam (20/100) in quo non e$t difficultas. <C><I>Theorema</I> 121.</C> <p><I>Hinc $i mutetur figura po$$unt grauia diuer$æ materiæ ita de$cendere, vn vel grauius, vel leuius, vel grauioris materiæ, vel leuioris velociùs de$cendat</I>; vt con$tat ex regulis præ$criptis. <C><I>Theorema</I> 122.</C> <p><I>Globi æquales diuer$æ materiæ,</I> v. g. ligneus, & plumbeus de$cendunt mæqualiter iuxta proportionem grauitatis, & re$i$tentiæ medij compa- ratæ cum vtroque, v.g. plumbo detrahitur (1/4800); ligno verò (8/300) v. g. $i grauitas ligni $it ad grauitatem aëris vt 300.ad 1. & plumbi vt 4800. ad 1. $it enim altitudo 33. pedum 4. digit. reducantur in digitos erunt 400. in lineas 4800. igitur detrahetur vna linea $patij plumbeo globo; ligneo- verò vnus digitus cum 4. lineis; $ed quis hoc ob$eruet? <C><I>Theorema</I> 123.</C> <p><I>Corpus graue $pongio$um longè tardiùs de$cendit</I>; quia aër in perexigua illa foramina inten$us frangitur, re$ilit, ac proinde motum impedit; talis e$t medulla $ambuci, $pongia, $tupa, &c. immò a$perum corpus tardiùs de$cendit, quòd $cilicet aër ab a$perioribus illis $alebris re$iliens mo- tum retardet, hinc $ibilus ille auditur &c. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ex his con$tat quid dicendum $it de motu corporum grauium in medio, $iue $int eiu$dem maieriæ, & $imilis figuræ, maioris vel minoris, vel æqualis; tunc enim de$cendunt æqualiter contra Galileum, $iue $int diuer$æ materiæ, & $imilis figuræ, æqualis, vel inæqualis, <pb n=131> tunc enim de$cendunt inæqualiter, $iue diuer$æ materiæ & diuer$æ fi- guræ; tunc enim de$cendunt modò æqualiter, modò inæqualiter; æquali- ter certè, cum figura compen$at materiam; cum verò non compen$at, inæqualiter pro rata; denique $i comparentur duo corpora cum diuer$is mediis; primo inuenienda e$t proportio motuum vtriu$que in eodem tùm $ingulorum in diuer$is mediis, vt $uprà dictum e$t. <C><I>Theorema</I> 124.</C> <p><I>In modico vacuo omnia æquè velociter de$cenderent</I>: Probatur, quia tota diuer$itas vel inæqualitas mediorum petitur à diuer$a proportione acti- uitatis cum re$i$tentia medij per Ax. 5. $ed in vacuo nulla e$t re$i$ten- tia; igitur nulla proportio; igitur nulla ratio motus inæqualis. <C><I>Theorema</I> 125.</C> <p><I>In motu natur aliter accelerato deor$um cre$cit re$istentia medij $ingulis in- $tantibus</I>: probatur, quia $ingulis in$tantibus plures partes medij $unt $uperandæ; cre$cunt enim $patia, vt con$tat ex dictis; igitur cre$cit re$i- $tentia $ingulis in$tantibus. <C><I>Theorema</I> 126.</C> <p><I>Cre$cit re$istentia iuxta rationem $patiorum,</I> probatur; quia cre$cit iux- ta rationem plurium partium medij, quæ temporibus æqualibus percur- runtur; $ed eæ cre$cunt iuxta rationem $patiorum, vt con$tat. <C><I>Theorema</I> 127.</C> <p><I>Hinc cre$cit re$i$tentia iuxta rationem velocitatum $ingulis instantibus</I>; quæ ratio $equitur progre$$ionem arithmeticam $implicem numerorum 1.2.3.4.5.6. ex $uppo$itione quòd tempus con$tet ex partibus finitis actu; nam codem modo cre$cit velocitas, quo cre$cunt numeri prædicti; $ed eodem modo cre$cunt $patia, $i dumtaxat accipiantur in $ingulis in$tan- tibus; re$i$tentia cre$cit iuxta rationem $patiorum; igitur iuxta ratio- nem velocitatum. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis, $i tempus con$tet ex infinitis actu partibus, ita vt $ingu- læ partes motus $ingulis partibus temporis & infinitæ infinitis re$pon- deant; non pote$t e$$e alia progre$$io, in qua fiat acceleratio motus na- turalis, quàm illa Galilei iuxta hos numeros 1. 3. 5. 7. vt con$tat ex dictis per illud Principium; <I>æqualibus temporibus æqualia acquiruntur velocita- tis momenta</I>; $i verò tempus con$tat ex finitis in$tantibus æqualibus, nul- la datur progre$$io motus naturaliter accelerati; quia motus accelerari non pote$t; ne $cilicet eodem in$tanti mobile $it in pluribus locis adæ- quatis; denique $i tempus con$tat ex finitis in$tantibus actu, & infinitis potentiâ, non pote$t e$$e alia progre$$io huius accelerationis, quam hæc no$tra iuxta numeros toties repetitos 1.2.3.4.5. attamen quia illa finita in$tantia $unt ferè innumera in qualibet parte $en$ibili temporis, in praxi $ine $en$ibili errore in partibus temporis $en$ibilibus po$$umus <pb n=132> adhibere priorem progre$$ionem Galilei, & in hoc cardine tota verri- tur, meo iudicio, propo$itæ quæ$tionis difficultas. <C><I>Theorema</I> 128.</C> <p><I>Hinc cre$cit re$istentia iuxta rationem crementi impetus</I>; cum enim cre- $cant impetus in ratione velocitatum, vt con$tat, & cre$cat re$i$tentia medij in eadem ratione per Theor. 127. cre$cit etiam in ratione im- petuum. <C><I>Theorema</I> 129.</C> <p><I>Hinc cre$cit re$istentia medij in eademratione, in qua cre$cunt vires mobi- lis</I>; demon$tr. quia cre$cunt vires, vt cre$cit impetus; nam impetus e$t vis illa, quâ mobile $uperat re$i$tentiam medij vt con$tat, $ed re$i$ten- tia cre$cit vt impetus per Th. 128. igitur cre$cit in ratione virium. <C><I>Theorema</I> 130.</C> <p><I>Si cre$cit re$i$tentia in eadem ratione in qua cre$cunt vires, non mutatur progre$$io effectuum.</I> v.g. primo in$tanti impetus $it vt 1.$itque 1.$patium, in quo e$t re$i$tentia, vt 1. Secundo in$tanti $it impetus vt 2. re$i$tentia in 2. $patiis vt 2. haud dubiè $i vno in$tanti vnus gradus impetus $uperat re$i$tentiam vt 1. dum percurrit 1.$patium; certè 2. gradus impetus vno in$tanti $uperabunt re$i$tentiam vt 2. dum con$icit mobile 2. $patia; at- que ita deinceps. <C><I>Theorema</I> 132.</C> <p><I>Hinc certè concludo contra Galileum, & alios quo$dam motum grauium po$t aliquod $patium decur$um ex naturaliter accelerato non fieri æquabilem,</I> quia in tantum fieret æquabilis in quantum tanta e$$et re$i$tentia, vt no- uam accelerationem impediret; $ed hæc ratio nulla e$t; quia in eadem ratione cre$cit re$i$tentia, in qua cre$cunt vires per Th. 129. igitur non mutatur progre$$io motuum per Th. 130. igitur nec acceleratio; igitur motus naturalis ex accelerato non fit æquabilis: Equidem, vt iam $uprà dictum e$t, in minori $emper ratione cre$cit velocitas, itémque ip$a re$i- $tentia quod in omni progre$$ione arithmetica iuxta numeros 1.2.3.4.5. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis remitti à nobis motum leuium $ur$um in 5. Tomum, in cu- ius tertio libro agemus de graui, & leui; quia ideo corpus a$cendit, quia ab alio de$cendente truditur $ur$um. <pb n=133> <FIG> <C>LIBER TERTIVS,</C> <C><I>DE MOTV VIOLENTO $ur$um Perpendiculariter.</I></C> <p>OMnis certè motus, qui e$t à principio ex- trin$eco, violentus appellari pote$t, attamen hîc non ago de omni violento, $ed dumta- xat de illo, qui fit $ursùm per lineam verticalem; quia $cilicet ex diametro opponitur motui naturali, qui fit deorsùm perpendiculariter; igitur cum de hoc ip$o in $ecundo Libro egerimus, de illo in hoc non agemus. <HR> <C><I>DEFINITIO 1.</I></C> <p><I>MOtus violentus e$t, quo corpus graue mouetur $ursùm per li- neam verticalem à principio extrin$eco mediatè, vel immediatè vt plurimùm.</I> <p>Dixi à principio extrin$eco, $iue cunjuncto, vt cum manu attollo $ur- $um corpus graue, $iue non conjuncto, vt cum quis proiicit lapidem $ur- sùm, $iue $it verum principium effectiuum, vt cum impetus, quem poten- tia motrix producit in manu, producit alium in mobili; $iue non $it principium effectiuum, $ed tantùm determinans, vt cum mobilc quod cadit deor$um, $ur$um deinde repercutitur; nec enim corpus repercu- tiens producit impetum nouum, vt dicemus cum de motu re$lexo; quin potiùs producti partem de$truit per accidens, & quidquid illius $upere$t, ad nouam lineam determinat; quod quomodo fiat fusè $uo loco expli- cabimus, igitur licèt corpus reflectens $it tantùm principium nouæ de- terminationis, non verò alicuius impetus producti, dici pote$t princi- pium huius motus violenti. <p>Dixi vt plurimùm, nam $i terra ducto per centrum foramine e$$et peruia, haud dubiè lapis demi$$us versùs centrum iret motu naturaliter <pb n=134> accelerato, tùm deinde propter impetus acqui$iti vim, à centro versùs oppo$itum circumferentiæ punctum iret, motu certè violento, qui ta- men ab extrin$eco non e$$et. <C><I>Hypothe$is</I> 1.</C> <p><I>Corpus graue projectum $ur$um tandem redit</I>; Hæc hypothe$is certa e$t, & nemo e$t qui eam in dubium vocet. <C><I>Axioma</I> 1.</C> <p><I>Quidquid erat, & de$init e$$e de$truitur</I>; Hoc Axioma certum e$t, quip- pe de$trui hoc tantùm dicitur, quod de$init e$$e. <C><I>Axioma</I> 2.</C> <p><I>Quidquid destruitur, ad exigentiam alicuius destruitur, $altem totius na- turæ.</I> Hoc Axioma idem e$t cum Axiom. 14. l. 1. n. 2. vnde alia expli- catione minimè indiget; hoc ip$um etiam demon$traui in Th.147.149. 150,&c. l. 1. <C><I>Theorema</I> 1.</C> <p><I>Datur motus violentus</I>; demon$tro; corpus proiicitur per lineam ver- ticalem per hyp. 1. $ed hic motus e$t à principio extrin$eco, igitur e$t violentus per def.1. probatur minor; Primò, quia illud e$t principium, $eu cau$a motus, ex cuius applicatione $emper $equitur motus per Ax.11. l. 1.n. 1. $ed ex applicatione potentiæ extrin$ecæ v. g. arcus, manus, &c. ad lineam $ur$um $emper $equitur motus $ur$um; igitur e$t illius cau$a. Secundò probatur, quia mobile projectum $ursùm mouetur adhuc $epa- ratum à potentia motrice per hyp. 6.l.1. igitur potentia motrix impre$- $it aliquid mobili, vi cuius deinde mouetur, igitur hic motus e$t à prin- cipio extrin$eco. <p>Diceret fortè aliquis produci hunc motum ab ip$o mobili; $ed con- trà; igitur $emper produceret, quod ab$urdum e$t: dicet, ad hoc vt pro- ducat determinari debere ab aliquo, $ed contrà; illud à quo determina- tur vel e$t extrin$ecum, vel intrin$ecum, $i primum, ergo hic motus e$t $emper à principio extrin$eco, quod $atis e$t e$$e determinans per def.1. $i verò e$t intrin$ecum; igitur $emper e$$et hic motus, quamdiu e$$et ip$um mobile, quod e$t contra hyp. 1. nam reuera non $emper mo- uetur. <p>Diceret fortè alius excitari quædam corpu$cula, à quibus mouetur corpus graue $ursùm; $ed contrà; nam vel $unt in ip$o mobili illa cor- pu$cula, vel extra mobile; $i primum; igitur hic motus $emper crit ab extrin$eco mediatè, cum ab extrin$eco excitentur; $ed hoc $ufficit ad hoc; vt motus dicatur violentus per def. 1. $i verò $unt extra mobile; igitur motus ille e$t $emper ab extrin$eco, idque duplici nomine. <p>Denique diceret alius ex $uppo$itione, quod terra moueatur non po$- $e corpus graue proiici $ursùm per lineam verticalem, ni$i tantùm ad $peciem; vt $i quis è naui mobili $ur$um proiiceret pilam rectà omni- nò, quoad eius fieri po$$it; videbitur enim iis, qui vehuntur cadem naui <pb n=135> $ur$um ferri per lineam verticalem, aliis verò in$tantibus videbitur cla- ri$$imè ferri per lineam nouam inclinatam. <p>Re$pondeo etiam admi$$a $uppo$itione dici à me motum illum $ur- $um e$$e per lineam verticalem, quando eadem linea recta connectit $emper hæc tria puncta; $cilicet centrum terræ, idem punctum $uperfi- ciei terræ, & ip$am pilam; ad illud verò quod dicitur de naui, non diffi- teor verum e$$e; $ed dico non e$$e propriè motum violentum, de quo hîc tantùm e$t quæ$tio, $ed e$$e motum mixtum, de quo fusè $uo loco. Ob$er- uabis autem hîc me ab$tinere à refellendis ab$urdis illis $uppo$itioni- bus, quibus præmi$$æ objectiones innituntur; nam, cui quæ$o in men- tem venire pote$t ab ip$a entitate corporis grauis produci motum in $e? quis credat produci frigus ab igne? calorem à niue? lucem à tenebris? quæ porrò fabulæ, quæ commenta, quæ $omnia excogitari po$$unt, quæ non vile$cant $i cum his comparentur. <p>Illa quoqne corpu$cula excitata leuiora $unt, quàm vt aliquod præfe- rant rationis momentum; cum mera $int philo$ophiæ ludibria. <p>Denique illa hypothe$is de terræ motu nullis demon$trationibus fir- mata e$t, vt videbimus $uo loco. <p>Vnum fortè e$t, quod difficilius obiici pote$t;<note><I>Fig.</I> 32.<I>t.</I> 1.</note> $it enim linea vertica- lis AC, $itque globus in A æqualiter impul$us per lineas AD & AB; haud dubiè $i anguli DAC, BAC $int æquales: certè mobile feretur per lineam verticalem AC, vt con$tat ex dictis. Re$pondeo motum illum e$$e violentum; e$t enim à principio extrin$eco, coque gemino, $eu mix- to, in quo non e$t difficultas. <C><I>Theorema</I> 2.</C> <p><I>Motus violentus habet caufam</I>; quia de nouo e$t, & tandem de$init per hypoth. 1. igitur habet cau$am per Ax.8.l.1. <C><I>Theorema</I> 3.</C> <p><I>I$te motus $upponit impetum</I>; quia ni$i e$$et impetus non e$$et natura- liter motus per Th.18.l.1. <C><I>Theorema</I> 4.</C> <p><I>I$te impetus debet e$$e in mobili projecto $ur$um</I>; quia ibi e$t cau$a, vbi e$t effectus formalis, $ed motus e$t effectus formalis $ecundarius impe- tus per Th.15.l.1. igitur cum motus $it in projecto $ur$um, in co e$t etiam impetus: præterea $ecunda pars motus non ponitur à potentia motrice; quia illa non e$t applicata mobili cum ponitur noua pars motus, igitur ab alia cau$a applicata, $ed nulla e$t extrin$eca, vt patet, nulla intrin$eca præter impetum. <p>Diceret aliquis ab aëre extrin$ecùs ambiente mobile ip$um propelli; $ed contra, nam aër, & omne aliud medium re$i$tit potiùs quàm iuuet, vt demon$trauimus l. $ecundo Th. 1. Nec dicas fui$$e mentem Ari$totelis, cum nobiles Peripatetici contrâ $entiant; Albertus Magnus, Toletus, Scaliger, Suarius, & recentiores; neque hoc negauit vnquam Ari$tote- <pb n=136> les, $ed in hoc non multùm laboramus; nec dicas hinc $equi motum violentum e$$e à principio intrin$eco contra def. 1. nam e$t quidem à principio intrin$eco formali, non tamen à principio intrin$eco mouen- te vel agente; nec enim impetus e$t cau$a efficiens motus $ui $ubjecti; $ed cau$a formalis vt $æpè explicuimus. <p>Diceret fortè alius primam partem motus produci à potentiâ motri- ce, $ecundam verò ab entitate ip$ius corporis; $ed contrà; igitur corpus e$$et cau$a nece$$aria; igitur $emper produceret. Dices $emper producere $i determinetur, $ed contrà; à quo determinatur ad producendam $ecun- dam partem? nihil e$t enim applicatum, à quo determinari po$$it; Dices accepi$$e determinationem; $ed contrà; quid e$t illa determinatio? Dices e$$e modum; igitur permanentem; igitur e$t cau$a motus per Ax. 1. l. 1. n. 1. igitur e$t impetus per def. 3. l. 1. Dices determinari à priori parte motus; $ed contrà primò, nam reuerâ non e$t illa pars cum deter- minatur corpus. Secundò, quid e$t illa prima pars motus, ni$i migratio è loco in locum, quæ reuerâ à potentia motrice produci propriè non po- te$t per Th.2. l. 1. $ed de his iam fusè actum e$t in toto ferè libro primo, $ed præ$ertim in Th.6. <C><I>Theorema</I> 5.</C> <p><I>Ille impetus e$t vera qualitas Phy$ica ab$oluta</I>; hoc iam $uprà demon- $tratum e$t, $cilicet phy$icè; immò ex motu violento maximè probatur dari impetum, & vix quidquam e$t in rerum naturâ, quod clariùs euin- cat aliquid de nouo produci. <C><I>Theorema</I> 6.</C> <p><I>I$te impetus producitur ab aliqua cau$a</I>; Probatur, quia e$t de nouo; igi- tur non e$t à $e per Ax. 8. l. 1. igitur e$t ab alio; igitur ab aliqua cau$a. <C><I>Theorema</I> 7.</C> <p><I>Producitur ab aliqua cau$a extrin$eca</I>; Probatur primò, quia aliquis motus violentus e$t à cau$a extrin$eca per def.1. Secundò, e$t ab aliqua cau$a applicata, $ed e$t tantùm applicata potentia motrix; igitur e$t cau- $a, per Ax. 11. l. 1. nec enim producitur hic impetus ab entitate corpo- ris projecti, quod plu$quàm certum e$t ex dictis; hîc enim tantùm e$t quæ$tio de illo motu, qui extrin$ecùs aduenit, non vero de reflexo $ursùm, &c. <C><I>Theorema</I> 8.</C> <p><I>Producitur ab alio impetu</I>; quia potentia motrix non agit ad extra ni$i per impetum productum in organo, vt patet; præterea $i e$t cau$a vni- uoca $ufficiens applicata, non e$t ponenda æquiuoca per Ax.11.l.1. adde quod impetus producitur $emper ad extra ab alio impetu per Th. 42. l.1.nec in his hactenus propo$itis vlla e$t difficultas. <C><I>Theorema</I> 9.</C> <p><I>Impetus impre$$us mobili $ur$um con$eruatur per aliquod tempus</I>; Probatur, <pb n=137> quia mobile $eparatum à potentia motrice adhuc mouetur per hyp.6.l.1, igitur ille motus habet cau$am, vt $æpè dictum e$t; non aliam, quàm im- petum per Th.4. non productum de nouo, quippe nulla e$t cau$a mobili applicata per Th. 7. & 8. igitur iam antè productam; igitur con$er- uatur. <C><I>Theorema</I> 10.</C> <p><I>Con$eruatur ab aliqua cau$a extrin$eca applicata</I>; vt patet ex dictis, non ab aëre; igitur à nullo corpore; igitur ab alia causâ in$en$ibili; igitur illam e$$e oportet, & no$$e rerum omnium exigentias, & po$$e cuncta producere; quippe con$eruatio e$t repetita productio; immò con$erua- re per actionem, per quam $it res in tali loco, & tali tempore; illa porrò cau$a in$en$ibilis incorporea, quæ vbique e$t, & $emper, Deus e$t: Nec puta po$$e exi$tentiam cau$æ primæ probari $en$ibiliori, vt $ic loquar, argumento, quàm eo, quod petitur ex motu projectorum, quorum motus durat etiam$i à potentia motrice mobile ip$um $it $eparatum. <C><I>Theorema</I> 11.</C> <p><I>Hinc multa colligi po$$unt.</I> Primò, $i nullus e$$et impetus extrin$ecus, vel acqui$itus, nullus e$$et motus violentus, ni$i tantùm motus reflexus cadentium deorsùm. Secundò, $i nullus e$$et Deus, nullus e$$et motus violentus; immò nec vllus naturaliter acceleratus. Tertiò, $i impetus e$- $et fluens vt motus, nullus e$$et motus violentus. Quartò, $i $ingulæ par- tes motus produci debent ab aliquâ causâ efficiente, nullus etiam e$$et motus violentus. <C><I>Theorema</I> 12.</C> <p><I>Vt $it motus violentus debent produci plures partes impetus violenti quàm $int partes impetus naturalis</I>; Probatur, quia $i e$$ent plures natura- lis deorsùm, quàm $int vielenti $ur$um, corpus tenderet deor$um; $ed tardiùs per Th.134.l.1. & $i tot e$$ent vnius, quot alterius, mobile ip$um non moueretur per Th.133.l.1. <C><I>Theorema</I> 13.</C> <p><I>Motus violentus non e$t acceleratus</I>; probatur primò experientiâ, quæ certa e$t. Secundò, quia $i $emper cre$ceret, numquam rediret mobile contra hyp.1. nec enim ab vllo reflectitur; $i enim reflecteretur ab aëre inten$us, multò magis remi$$us. <C><I>Theorema</I> 14.</C> <p><I>Hinc impetus in mobili $ur$um projecto non intenditur,</I> quia non inten- ditur effectus per Th.13. igitur nec cau$a per Ax.2.l.2. <C><I>Theorema</I> 15.</C> <p><I>Motus violentus non e$t æquabilis</I>; quia mobile tandem redit per hyp.1. $ed numquam rediret, $i e$$et æquabilis; cur enim potiùs hoc in$tanti quàm alio? cur ab hoc puncto $patij potiùs, quàm ab alio? <pb n=138> <C><I>Theorema</I> 16.</C> <p><I>Hinc non con$eruatur intactus impetus</I>; quia $i e$$et intactus, e$$et $em- per æqualis; igitur haberet $emper æqualem motum per Ax.3.l.2. igitur motus e$$et æquabilis, contra Th.15. <C><I>Theorema</I> 17.</C> <p><I>Hinc nece$$e e$t aliquid impetus destrui</I>; cum enim non remaneat inta- ctus, & æqualis; nec fiat maior per Th.14. certè fit minor, igitur detra- ctione aliqua per Ax.1.l.2. <C><I>Theorema</I> 18.</C> <p><I>Singulis in$tantibus aliquid de$truitur impetus impre$$i</I>; probatur quia cur potiùs vno quam alio? quippe illa ratio, quæ probat de vno probat de $ingulis. <C><I>Theorema</I> 19.</C> <p><I>Hinc nece$$ariè eadem vel aqualis cau$a de$tructionis debet e$$e applicata</I>; probatur, quia æqualis effectus æqualem cau$am $upponit, per Ax. 3. l. 2. <C><I>Theorema</I> 20.</C> <p><I>Illa cau$a non e$t tantùm aër ambiens vt velunt aliqui</I>; quia licèt re$i- $tat motui, $eu potius mobili, non tamen e$t ea re$i$tentia, quæ po$$it impetum tam citò de$truera; probatur primò, quia $i hoc e$$et, de$true- retur æquali tempore per omnem lineam $ur$um, quod e$t contra expe- rientiam, vt dicemus infrà; e$$et enim eadem cau$a applicata; igitur idem & æqualis effectus; probatur $ec<*>dò, quia non de$truit aër primum il- lum gradum impetus naturalis acqui$iti, vt con$tat in motu deor$um, qui <*>men e$t imperfecti$$unus; igitur non e$t $ufficiens ad de$truendum im- petum violentum, ni$i longo tempore. Tertiò, globus $ursùm projectus a$cendit, & deinde de$cendit æquali tempore; igitur $altem $ingulis in- $tantibus de$truitur vnus gradus impetus violenti æqualis primo gradui innato; atqui aër non pote$t vno in$tanti de$truere impetum æqualem primo innato; alioqui non intenderetur motus naturalis. Quartò, & hæc e$t ratio à priori, quotie$cumque $unt in eodem mobili duo impetus ad oppo$itas lineas determinati, pugnant pro rata, vt demon$trauimus l.1. Th. 149. 150. 152. & in toto Schol. & multis aliis pa$$im; atqui con$er- natur $emper impetus naturalis innatus per Sch. Th.152.n.6.l.1.per Th. 9. & Schol.Th.14. & Th.73.l.2. <C><I>Theorema</I> 21.</C> <p><I>Illa cau$a non e$t eutitas corporis mobilis, vel ip$a grauitas, di$tincta $cili- cet ab impetu muato$i quæ e$t de quæ alias,</I> probatur, quia non e$$et potior ratiocur vno in$tanti de$truerentur duo gradus impetus, quàm 3. 4. 5. quippe grauitas exigeret de$tructionem omnium: præterea omnis impe- tus de$truitur ne $it fru$trà per Schol, Th.152. & Th.162.l.1. denique $i <pb n=139> ade$t contrarius impetus de$tructiuus co modo, quo explicuimus l. 1. non e$t ponenda alia cau$a de$tructiua. <C><I>Theorema</I> 22.</C> <p><I>Hinc nece$$e e$t impetum violentum de$trui ab impetu naturali innato</I>; pro- batur, quia nulla e$t cau$a extrin$eca de$tructiua $altem adæquatè per hT. 20.igitur e$t intrin$eca per Ax.4. l.2. $ed intrin$eca vel e$t mobilis enti- tas, vel grauitas, vel impetus innatus; $ed mobilis entitas non e$t cau$a de$tructiua; nec etiamip$a grauitas per Th.21. igitur impetus naturalis innatus. <C><I>Theorema</I> 23.</C> <p><I>Hinc vera ratio cur $ingulis in$tantibus aliquid de$truatur,</I> quia $ingulis in$tantibus e$t cau$a de$tructiua applicata, igitur $ingulis in$tantibus de- $truit per Ax. 12. l. 1. <C><I>Theorema</I> 24.</C> <p><I>Hinc etiam ratio cur $ingulis instantibus, $eu æqualibus temporibus æqua- liter de$truatur</I>; quia $ingulis in$tantibus e$t eadem cau$a de$tructiua ap- plicata; igitur $ingulis in$tantibus æqualiter de$truit per Ax.3.l.2.porrò in tantum de$truit in quantum efficit, vt aliquid $it fru$trà, vt fusè di- ctum e$t lib.1.vel in quantum exigit cius de$truction&etilde;, nam perinde e$t. <C><I>Theorema</I> 25.</C> <p><I>Hinc etiam petitur ratio, propter quam talis portio impetus violenti de- $truatur vne in$tanti</I>; quia $cilicet contraria pugnant prorata per Ax.15. & per Th.134.l.1. <C><I>Theorema</I> 26.</C> <p><I>Hinc illa inuer$a communis dicti, æqualibus temporibus æqualia de$truun- tur velocitatis momenta in motu violento</I>; quippe eadem cau$a eidem $ub- jecto applicata æqualibus temporibus æqualem effectum producit per Ax.3.l.2. $ed impetus innatus e$t cau$a de$tructiua impetus violenti per Th. 22. igitur æqualibus temporibus, &c. <C><I>Theorema</I> 27.</C> <p><I>In cadem proportione retardatur motus violentus, in qua naturaiis accele- ratur</I>: probatur quia $ingulis in$tantibus æqualibus acquiritur æqualis gradus impetus, vt $æpè dictum e$t $uprà; atqui $ingulis in$tantibus de- $truitur vnus gradus impetus violenti per Th.24. $ed ille gradus re$pon- det impetui innato per Th. 25. igitur æqualibus temporibus tantùm de- $truitur violenti, quantùm acquiritur naturalis; cum enim primo in- $tanti $it impetus naturalis, & $ecundo tempore æquali acquiratur æqua- lis, item tertio, quarto, &c. certè cum impetus innatus pugnet cum vio- lento pro rata; nec $it potior ratio cur maiorem portionem quàm mino- rem de$truat, æqualem certè de$truit, itemque $ecundo in$tanti æqua- lem, item tertio, quarto; igitur in eadem proportione decre$cit violentus, $eu retardatur, in qua naturalis acceleratur. <pb n=140> <p>Hinc inuertenda e$t progre$$ionis linca; quippe linea AE repræ$en- tat nobis progre$$ionem motus accelerati, quæ fit in in$tantibus,<note><I>Fig.</I>33 <I>Tab.</I>1.</note> & li- nea FK progre$$ionem motus, quæ fit in partibus temporis $en$ibilibus; in illa primo in$tanti decurritur primum $patium AB, $ecundo tempore æquali BC, tertio CD, quarto DE: in hac vero prima parte acquiritur $patium FG $ecunda æquali primæ GH, tertia HI, quarta IK; igitur $i ac- cipiatur linea AE, progrediendo ab A ver$us E, vel linea FK progre- diendo ab F ver$us K habebitur progre$$io motus naturaliter acceletati; $i verò accipiatur EA, vel KF, progrediendo $cilicet ab E ver$us A, vel à K ver$us F, erit progre$$io motus violenti naturaliter retardati; vt con- $tat ex præcedèatibus Theorematis; & quemadmodum progre$$io acce- lerationis in in$tantibus finitis fit iuxta $eriem i$torum numerorum 1.2. 3.4. in partibus verò temporis $en$ibilibus iuxta $eriem i$torum 1.3.5.7. ita fit omninò progre$$io retardationis in in$tantibus iuxta hos nume- ros 4.3.2.1. in partibus temperis $en$ibilibus iuxta hos 7.5. 3. 1. <C><I>Theorema</I> 28.</C> <p><I>Motus violentus durat tot in$tantibus $cilicet æquiualentibus quot $unt ij gradus impetus quibus violentus $uperat innatum,</I> v.g. $it vnus gradus im- petus innati; producantur 5. gradus violenti, quorum $inguli $int æqua- les innato etiam æquiual&etilde;ter, motus durabit 4. in$tantibus etiam æqui- ualenter id e$t 4. temporibus, quorum $ingula erunr æqualia primo in- $tanti motus naturalis, probatur, cum $ingulis in$tantibus æqualibus de- $truatur vnus gradus; certè 4. in$tantibus durat motus. <C><I>Theorema</I> 29.</C> <p><I>Si accipiantur $patia æqualiain hac progre$$ione retardationis, e$t inuer$a illius, quàm tribuimus $uprà acceberationi, a$$umptis $cilicet $patiis æqualibus; tiem $i accipiantur $patia æqualia prime $patie quod decurritur prime in$tan- ti metus naturalis, tum $i accipiantur $patia æqualia date $patie quod in par- te temporis $en$ibili percurritur</I>; quippe quemadmodum in progre$$ione accelerationis decre$cunt tempora; $ic in progre$$ione retardationis cre$cunt, a$$umptis $cilicet $patiis æqualibus; quare ne iam dicta hic re- petam, con$ule quæ diximus lib.2. de hac progre$$ione. <C><I>Theorema</I> 30.</C> <p><I>Hinc instantia initio huius metus $unt minora $icut initio met menatur alis $unt maiora; & $ub finem in motu violente $unt maiora, in naturali $unt mi- nora</I>; quia $cilicet hic acceleratur, ille retardatur: igitur velo- catas accelerati cre$cit; igitur $i accipiantur $patia æqualia, decre$cit tem- pus; at verò velocitas retardati decre$cit, igitur a$$umptis $patiis æquali- bus, cre$cit tempus; igitur $i accipiatur $patium, quod percurritur primo in$tanti huius motus, & deinde alia huic æqualia; haud dubiè, cum $e- cundo in$tanti motus $it tardior, $itque a$$umptum æquale $patium; haud dubiè inquam in$tans $ecundum erit maius primo, & tertium $ecundo, atque ita deinceps. <pb n=141> <C><I>Theorema</I> 31.</C> <p><I>Hinc primo in$tanti motus violenti de$truitur minor gradus impetus quàm $ecundo,</I> quod demon$tro; quia cadem cau$a breuiore tempore minùs agit per Ax.3.l.2. & Ax. 13.l.1. num.4. igitur minùs impetus de$truitur pri- mo, quàm $ecundo, & minùs $ecundo quàm tertio, atque ita deinceps; idem enim dici debet de cau$a de$tructiua, quod de productiua. <p>Dices, igitur idem impetus de$truitur primo in$tanti, quo e$t, $i de$trui- tur primo in$tanti motus. Re$pondeo negando; quia primo in$tanti, quo e$t impetus, non e$t motus per Th.34.l.1. <p>Dices, igitur impetus ille e$t fru$trà, quia nullus effectus, $eu motus ex eo $equitur; Re$pondeo negando; nam omnes gradus impetus qui ci- dem parti mobilis in$unt, communi qua$i actione, vel exigentia indi- ui$ibiliter exigunt motum. <C><I>Theorema</I> 32.</C> <p><I>Hinc gradus omnes producti in eadem parte $ubiecti $unt inæquales in- perfectione</I>; cum enim $inguli $ingulis in$tantibus de$truantur, vt dictum e$t; quippe e$t tantùm vnus gradus impetus innati, & cum $ingula in- $tantia $int inæqualia, etiam $inguli gradus illius impetus $unt inæquales in perfectione. <C><I>Theorema</I> 33.</C> <p><I>Hinc redditur optima ratio, cur tot producantur potiùs quàm plures, quæ alioquin minimè afferri pote$t</I>; immò, ni$i hoc e$$et, nulla e$$et huiu$modi naturalis retardatio; nam producantut, $i fieri pote$t, omnes æquales, $int- que v.g.20. nunquid po$$unt e$$e 40. perfectionis $ubduplæ, vel 10. du- plæ, vel 5. quadruplæ &c. cur autem potiùs vnum dices quàm aliud? at verò optimam inde reddo rationem quòd cum $int omnes inæquales, cò plures $unt, quò maior e$t ni$us; pauciores verò, quò minor. <C><I>Theorema</I> 34.</C> <p><I>Hinc $unt inæquales in eâdem proportione, in quæ in$tantia $unt inæqualia</I> v. g. quà proportione primum in$tans e$t minus $ecundo, & $ecundum tertio, ita ille gradus impetus, qui de$truitur primo in$tanti, e$t minor vel imperfectior co, qui de$truitur $ecundo, & qui de$truitur $ecundo imperfectior co, qui de$truitut tertio, atque ita deinceps. <C><I>Theorema</I> 35.</C> <p><I>Hinc perfecti$$imus omnium gruduum ille e$t qui de$truitur vltimo in$tan- ti, de quo infrá</I>; quod $equitur ex dictis nece$$ariò: vtrùm verò ille $it æ- qualis omninò in perfectione impetui naturali innato, dicemus infrà. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Hic ob$eruabis mirabilem $anæ naturæ prouidentiam, quæ motus omnes cum ip$o naturali ita compo$uit, vt $it veluti regula omnium mo- taum, $itque vnum qua$i principium perfectionis totius impetus; tùm in <pb n=142> motu naturali, in cuius progre$$ione producitur $emper imperfectior, tùm in violento, in cuius progre$$ione de$truitur $emper perfectior; producitur imperfectior ab cadem cau$a in minoribus temporibus, & de$truitur perfectior ab eadem cau$a in maioribus temporibus; & cum impetus innatus $it cau$a de$tructiua impetus violenti, habet inæqualem proportionem cum $uo effectu pro temporibus inæqualibus; & cum idem impetus innatus $it qua$i principium crementi, vel accelerationis, $icut e$t principium retardationis; certè pro inæqualitate temporum e$t diuer$a proportio crementorum; quo nihil clarius in hac materia meo iudicio dici pote$t. <C><I>Theorema</I> 36.</C> <p><I>Hinc finis motus naturalis omninò conuenit cum principio motus violenti; & finis huius cum principio illius</I>; quæcumque tandem progre$$io accipia- tur; $iue temporum æqualium in $patiis inæquaiibus; $iue $patio- rum æqualium in temporibus inæqualibus, $iue a$$umantur in$tan- tia in progre$$ione arithmetica $implici iuxta hos numeros 1.2.3.4. $iue a$$umantur temporis partes $en$ibiles in progre$$ione Galilei iuxta hos numeros 1.3.5.7. quæ omnia ex dictis nece$$ariò con$equuntur. <C><I>Theorema</I> 37.</C> <p><I>Nec modò conuenit principium vnius cum alterius fine, & vici$$im, $ed etiam aliæ partes motus in di$tantiis æqualibus</I><note><I>Fig.</I> 34.<I>t.</I> 1.</note> $it enim linea AG, quam percurrit mobile demi$$um ex puncto A deor$um motu naturaliter ac- celerato, & moueatur per 6. in$tantia, $eu 6. tempora æqualia: Primo in$tanti, quo percurtit $patium AB; haud dubiè, quando perueuit ad pun- ctum G, habet 7. gradus impetus æquales, quia ante motum AB habebat innatum; $ed in motu illo fluunt 6. tempora æqualia, vt dictum e$t; igitur 6. acquirit gradus impetus, quorum quidem vltimò acqui$itus nullum adhuc habuit motum; $ed haud dubiè haberet, $i vlteriùs hic motus pro- pagaretur: his po$itis imprimantur mobili in O 7.gradus impetus æqua- les prioribus $ursùm motu violento, per lineam OH; certè primo in$tan- ti motus, $eu tempore æquali prioribus percurret ON, id e$t 6. $patiola; quia licèt $int 7.gradus; attamen impetus innatus corporis grauis detra- hit vnum $patium, $imulque de$truit vnum gradum, $ecundo tempore percurret NM 5. tertio ML 4. quarto LK 3. quinto KI 2. $exto IH 1. igitur primum violenti ON re$pondet vltimo naturali FG $eu $ecun- dum illius quinto huius, tertium illius quarto huius, quartum tertio, quintum $ecundo $extum primo, & vici$$im; idem pror$us in progre$$ione Galilei accidit, a$$umptis $cilicet partibus temporis $en$ibilibus. <C><I>Theorema</I> 38.</C> <p><I>Hinc ad eam altitudinem a$cendit motu violento cum iis gradibus impe- tus, quos habuit ab eadem altitudine decidens motu naturali</I>; con$tat ex dictis. <pb n=143> <C><I>Theorema</I> 39.</C> <p><I>Hinc $i motus violentus, & naturalis durent æqualibus temporibus, $patia vtriu$que erunt æqualia</I>; con$tat etiam ex dictis v.g. corpus graue, motu naturali in libero aëre tempore duorum $ecundorum percurrit 48. pe- des, igitur $i moueatur $ur$um æquali tempore percurret 48. pedes per $e, dico per $e; quippe ratione figuræ corporis $ecus accidere pote$t, vt plurimùm etiam accedit ratione motus mixti ex motu centri recto, & motu orbis circulari, de quo infrà. <C><I>Theorema</I> 40.</C> <p><I>Hinc, vt $patia vtroque motu diner$a $unt æqualia, ita tempora quibus de- curruntur $unt æqualia,</I> & impetus acqui$itus in fine naturalis cum in- nato e$t æqualis impetui producta in principio violenti. <C><I>Theorema</I> 41.</C> <p><I>Hinc tandiu durat de$cen$us mobilis proiecti $ursùm motu violento, quan- diu durat eiu$dem a$cen$us, & tot habet gradus impetus in fine de$cen$us, quot habet in principio a$cen$us</I>; e$t enim æquale $patium; igitur æquale tempus; igitur æqualis vtrobique impetus. Sed hîc duo obiici po$$unt, primò $agittam per lineam verticalem vibratam po$ui$$e tantùm in a$- cen$u 3. $ecunda, in de$cen$u verò 5. vt $æpiùs ob$eruatum e$t, te$te Mer- $enno; $ecundò, $i eodem tempore corpus graue $ursùm proiectum motu violento a$cenderet, quo deinde de$cendit, in fine de$cen$us æqualis e$$et ictus, $eu percu$$io vtriu$que; cum tamen illa $it maior, quæ infli- gitur motu violento, vt con$tat multis experimentis. <p>Re$pondeo ad primum etiam te$te Mer$enno globum ferreum trium aut 4. librarum $ur$um explo$um è breuiore tormento $ed latiore, æqua- le tempus in a$cen$u, & in de$cen$u in$ump$i$$e; quod reuerâ $ecùs acci- dit $agittæ, cuius differentia a$cen$us, & de$cen$us $en$u etiam percipi pote$t; tùm quia lignea materia multò leuior e$t ferro, tùm quia leui$$i- mæ illæ pennæ, quibus in$truitur, motum retardant in de$cen$u; quod maximè confirmatur ex eo quod pluma facilè anhelitu $ur$um pellatur $atis veloci motu, quæ deinde tardi$$imo $ua $ponte de$cendit: præterea mucro ferreus, quo $agitta armatur, $emper præire debet, cuius rei ratio- nem afferemus infrà; igitur cum in a$cen$u præeat, vt præeat in de$cen- $u, altera extremitas $emicirculum $uo motu facere debet, qui certè ad naturalem motum pertinet, alteta tamen extremitas, quæ mouetur mo- motu contrario alterius motum retardat; ad $ecundam obiectionem re$pondebo Th.44. <C><I>Theorema</I> 42.</C> <p><I>Si motus violentus e$$et æquabilis, $patium e$$et ferè duplum illius, quod percurritur motu naturaliter retardato, a$$umptis $cilicet t&etilde;poribus æqualibus</I>; cum enim motu æquabili compo$ito ex $ubdupla velocitate maximæ, & minimæ motus accelerati æquali tempore percurratur æquale $patium, $ubduplum minimæ pro nihilo ferè habetur; igitur pote$t tantùm a$$u- <pb n=144> mi $ubduplum maximæ; igitur velocitas motus $it æqualis ma<*>d dubiè $patium duplum percurretur. <C><I>Theorema</I> 43.</C> <p><I>Hinc benè à naturâ in$titutum fuit impetum naturalem innatum $emper con$eruari</I>; alioqui violentus e$$et æquabilis, igitur nunquam de$ineret: quantum ab$urdum! quale incommodum &c. <C><I>Theorema</I> 44.</C> <p><I>Eadem e$t ratio $eu proportio ictuum, & percu$$ionum, quæ integrorum $patiorum quæ $cilicet toto motu percurruntur in a$cen$u & de$cen$u,</I> v. g. corpus graue cadens ex data altitudine 48 pedum æqualem ictum infli- git in fine de$cen$us, & in principio a$cen$us, quo $cilicet ad eamdem altitudinem a$cenderet; probatur, quia æqualis acquiritur impetus in de$cen$u alteri, qui de$truitur in a$cen$u, a$$umptis dumtaxat $patiis illis æqualibus; igitur æqualis e$t in fine de$cen$us, in quo e$t totus acqui$i- tus, atque in principio a$cen$us, in quo nullus e$t de$tructus: ad id verò, quod dicebatur $uprà de $agitta, cuius ictus maior e$t initio a$cen$us, quàm in fine de$cen$us non diffiteor; quia materia $agittæ, tùm lignea tùm plumea motum $atis $uperque retardat, vt differentia ictuum $en$u ip$o percipi po$$it; quæ tamen nulla perciperetur in a$cen$u de$cen$u- que globi ferrei. <C><I>Theorema</I> 45.</C> <p><I>Hinc reiicies Galileum, & alios eius $ectatores qui volunt impetum corpori impre$$um de$trui tantùm ab aëre</I>; quod plu$quàm fal$um e$$e comper- tum e$t, vt demon$trauimus $uprà Th. 20. qua$i verò non ad$it aliqua cau$a nece$$aria de$tructiua, $cilicet impetus innatus; hinc etiam eum- dem reiicies, qui vult numquam fieri po$$e, vt motu naturaliter accelera- to tanta acquiratur velocitas, quanta imprimitur in motu violento; vult enim motum acceleratum tran$ire in æquabilem, cuius contrarium de- mon$trauimus $uprà Th. 131, l. 2. igitur cum cre$cat $emper velocitas, nullus e$t finitus gradus, quem tandem non a$$equatur; immò vt dictum e$t in præcedenti Th. a$$umptis æqualibus $patiis, impetus, qui e$t in principio a$cen$us, æqualis e$t cum eo, qui e$t in fine de$cen$us. <p>Diceret fortè aliquis cadentem globum ex alti$$imæ turris apice de- clinare à perpendiculari antequam terram feriat, vt con$tat ex multis experimentis; igitur præualet tandem re$i$tentia aëris: $ed re$pondeo id rantùm accidere propter currentem illac aëris tractum; alioquin non e$$et potiùs ratio, cur in vnam partem declinaret, quàm in aliam. <C><I>Theoroma</I> 46.</C> <p><I>Non e$t eadem ratio ictuum, $eu percu$$ionum, quæ e$t $egmentorum in- tegri $patij</I>; v.g. in $ubduplo $patij $egmento non e$t $ubduplus ictus, $it <note><I>Fig.</I> 34. <I>T.</I>1.</note> enim $patium integrum motus vîolenti OH, & principium motus $it in O, finis in H; accipiatur $egmentum OM, quod e$t qua$i $ubduplum O H, ictus in M non e$t profectò $ubduplus ictus in O, $ed tantùm in L, vt <pb n=145> con$tat e<*> dictis; igitur rationes ictuum non $unt, vt rationes $egmen- torum integri $patij. <C><I>Theorema</I> 47.</C> <p><I>Vt in praxi determinentur rationes ictuum</I>; a$$umatur progre$$io Gali- lei<note><I>Fig.</I>37 <I>Tab.</I>1.</note> in AF, ita vt $i prima parte temporis $en$ibili percurratur $patium FE 9 partium æqualium; $ecunda percurratur ED. 7. partium, tertia DC 5. quarta CB 3; quinta BA 1. hoc po$ito facilè erit determinare rationes ictuum; nam in de$cen$u ictus $unt vt velocitates, & hæ vt tem- pora; igitur $i AB percurritur in dato tempore, & AC in duobus prio- ri æqualibus; certè ictus in de$cen$u AC e$t duplus ictus in de$cen$u AB; in AD triplus, &c. Igitur in a$cen$u ictus in F erit quintuplus, ictus in E quadruplus in D triplus, &c. igitur ictus $unt in ratione dupli- cata $patiorum facto $patij initio à $ummo puncto A. <C><I>Theorema</I> 48.</C> <p><I>Hinc cognitis viribus, quibus corpus graue proijcitur ad datam altitudi- nem, cogno$ci po$$unt vires, quibus ad aliam quamcumque proijciatur</I>; v. g. proiiciatur corpus graue ad altitudinem 48. pedum; vires $unt iis æqua- les, quas acquirit in de$cen$u ciu$dem altitudinis 48. pedum; $it alia di- $tantia 100. pedum; haud dubiè vires nece$$ariæ ad motum hunc violen- tum $unt æquales iis, quas acquireret in de$cen$u 100. pedum per Th. 40. atqui ita $e habent vires acqui$itæ in de$cen$u 48. pedum ad vires acqui$itas in de$cen$u 100. vt v.g. 48. ad v.g. 100. id e$t ferè vt 7. ad 10. <C><I>Theorema</I> 49.</C> <p><I>Cognitis etiam $patiis cogno$cetur tempus</I>; $it enim decur$um idem $pa- tium 48. pedum motu violento $ur$um; idque v. g. tempore 2. $ecundo- rum, quod ferè cum experientia con$entit; $it aliud $patium 100. tempus primi motus e$t ad tempus $ecundi vt v. g. 48. ad v. g. 100. quia $patia $unt vt quadrata temporum; igitur tempora vt radices 4. hinc vires $unt in ratione temporum; quia vt temporibus æqualibus acquiruntur æqua- lia velocitatis momenta in motu naturali, ita & de$truuntur æqualia in motu violento, quæ omnia con$tant; igitur ictus $unt vt vires, vires vt tempora, tempora denique, vt radices q. $patiorum. <C><I>Theorema</I> 150.</C> <p><I>In vltimo contactu motus violenti nullus e$t ictus, v. g. mobile projectum $ur$um</I><note><I>Fig.</I>33 <I>Tab.</I>1.</note> <I>per lineam</I> FA <I>nullam percu$$ionem infligeret in</I> A; probatur quia non tendit vlteriùs; igitur non impeditur eius motus à $uperficie corporis terminati ad punctum A; igitur nullum impetum in eo produ- cit, qui tantùm producitur ad tollendum impedimentum per Th.44.l.1. igitur nullum ictum infligit, qui tantùm infligitur per impetum, vt con$tat. <C><I>Theorema</I> 51.</C> <p><I>Ex his $atis facilè comparari po$$unt rationes pereu$$ionis,</I> quæ infliguntur <pb n=146> tùm ex ca$u corporis grauis cadentis, tùm <*>vi mallei impacti, tùm ex impetu corporis projecti, tùm ex grauitatione corporis grauis incum- bentis, quæ omnia hîc fu$iùs e$$ent tractanda, ni$i locum proprium infrà $ibi vendicarent. <C><I>Theorema</I> 52.</C> <p><I>Ad motum violentum non concurrit impetus innatus,</I> probatur, quia im- petus ad lineas oppo$itas ex diametro determinati ad communem li- neam determinari non po$$unt, cur enim potiùs dextror$um quam $ini- ctror$um? igitur non concurrunt ad communem motum, ni$i dicatur impetus innatus veleo nomine concurrere ad violentum, quod eius li- neam $ingulis temporibus qua$i ca$tiget, vltróque, vel vlteriùs currentem contineat. <C><I>Theorema</I> 53.</C> <p><I>Hinc ad motum violentum impetus ab exteriore potentia mobili impre$$us tantùm concurrit</I>; patet, cum enim in mobili projecto $ur$um $it tantùm ille impetus præter innatum, nec innatus concurrat per Th. 52. illum tantùm concurrere nece$$e e$t: excipe $emper impetum acqui$itum, de quo iam $uprà. <C><I>Theorema</I> 54.</C> <p><I>Primo instanti quo producitur impetus ille à potentia motrice in mobili, me- diante $cilicet impetu producto in organo proprio, non e$t motus</I>; probatur, quia primo in$tanti, quo e$t impetus, non e$t motus, per Th.34.l.1. <C><I>Theorema</I> 55.</C> <p><I>Impetus productus in manu producit impetum in organo vel in mobili pri- mo in$tanti, quo e$t</I>; probatur, quia $ecundo in$tanti exigit motum $ui $ub- jecti; igitur tolli etiam impedimentum; igitur per motum medij; igitur priori in$tanti in eodem mobili debet e$$e impetus; igitur produci ab impetu organi; igitur & in organo ab impetu manus. <C><I>Theorema</I> 56.</C> <p><I>Primo in$tanti, quo producitur impetus in motu violento, nullus eius gra- dus de$truitur</I>; probatur, quia alioquin $imul eodem in$tanti, quo e$$e in- ciperet, e$$e de$ineret, quod dici non pote$t. <C><I>Theorema</I> 57.</C> <p><I>Impetus innatus impedit ne producatur tantus impetus in motu violento,</I> probatur, quia certè tàm impedit primam productionem, quàm con$er- uationem, vt patet; e$t enim par vtrobique ratio; præterea agit in ip$am manum. <C><I>Theorema</I> 58.</C> <p><I>Impetus violentus producitur minor, quàm produceretur vno dunt ax at gra- du aquali ip$i impetui innato</I>; quippe $icut de$truit $ingulis in$tantibu: æqualibus vnum gradum; quia pugnat pro rata; ita pror$us impedit, ne <pb n=147> producatur vnus gradus $ibi æqualis primo in$tanti; cur enim duo po- tiùs, quàm tres? <C><I>Theorema</I> 59.</C> <p><I>Secundo $tatim in$tanti de$truit alterum gradum</I>: quippe e$t cau$a ne- ce$$aria; igitur $tatim primo in$tanti exigit de$tructionem; non certè pro primo in$tanti per Th.56.igitur pro $ecundo, atque ita pro aliis dein- ceps; de$truitur autem, ne $it fru$trà eo modo, quo diximus $uprà. <C><I>Theorema</I> 60.</C> <p><I>Hinc optimaratio illius insti<*>ti naturæ, quo factum e$t, vt impetus innatus numquam destruatur</I>; ne $i aliquando de$trueretur, nulla e$$et cau$a de- $tructiua impetus violenti; ac proinde æquabilis e$$et, $emperque dura- ret, de$tructiua inquam $uo modo. <C><I>Theorema</I> 61.</C> <p><I>Hinc corpus quod non grauitat, facilè proijcitur, vel impellitur</I>: $ic na- uis aquis innatans, nubes in aëre libratæ; halitus, atque adeo ip$æ partes aquæ, quas perexiguus lapillus in orbes penè innumeros agit, ne quid dicam de partibus aëris, quæ tam citò & procul mouentur, vt con$tat in $ono, motu $cilicet ferè æquabili. <C><I>Theorema</I> 62.</C> <p><I>Hinc etiam è contrario corpus grauius difficiliùs $ur$um proijcitur</I>: tùm quia plures partes impetus $unt producendæ in $ubjecto grauiore quod pluribus partibus con$tat, tùm impetus innatus maior e$t, non quidem in inten$ione $ed in exten$ione, ac proinde impedit ne plures gradus pro- ducantur; quippe maius impedimentum plus impedit, quis hoc neget? <C><I>Theorema</I> 63.</C> <p><I>Omnes partes impetus productæ in mobili primo instanti concurrunt ad motum $ecundi instantis</I>; probatur, quia alioqui aliqua e$$et fru$trà, quod dici non debet. <C><I>Theorema</I> 64.</C> <p><I>Concurrunt omnes illæ, quæ in$unt eidem parti $eu puncto mobilis comm<*> qua$i actione vel exigentia</I>; patet ex dictis de impetu, quia concurrunt ad velocitatem, quæ e$t indiui$ibilis actu. <C><I>Theorema</I> 65.</C> <p><I>Non ponitur tamen totus motus $ecundo instanti, quem c<*>gunt pr<*></I> quia impetus innatus aliquid detrahit, cum exigat motum deor$um per lineam oppo$itam, igitur imminuitur motus pro rata. <C><I>Theorema</I> 66.</C> <p><I>Hinc ille gradus motus quinon ponitur $ecundo instanti respondet gradus im petus qui destruitur</I>; cum vterque habeat eamdem men$uram, $cilicet im petum innatum. <pb n=148> <C><I>Theorema</I> 67.</C> <p><I>Hinc effectus pete$t e$$e eo instanti quo non existit eius cau$a partialis</I>; v.g. motus qui ponitur $ecundo in$tanti non minùs exigitur ab eo gradu im- petus qui de$truitur $ecundò in$tanti, quàm ab aliis, non exigitur qui- dem $ecundo $ed primo pro $ecundo; vnde dixi cau$am partialem, quia etiam exigitur ab aliis gradibus impetus, qui non de$truuntur exigentiâ communi; quippe impetus non exigit ni$i pro $ecundo in$tanti; nec vl- lum ab$urdum e$t eo in$tanti cau$am exigentiæ non exi$tere cum poni- tur eius effectus, $cilicet id quod exigebat priori in$tanti quo erat; nul- lus e$t enim influxus huius cau$æ; præ$ertim cum non $it cau$a totalis. <p>Vnde cum effectus qui ponitur $ecundo in$tanti non re$pondeat per- fectioni cau$æ totius propter impedimentum, aliquis gradus cau$æ e$$et fru$trà; igitur eodem in$tanti $ecundo de$trui debet, alioqui ni$i de$true- retur $ingulis in$tantibus poneretur effectus non re$pondens per$ectioni cau$æ; immò numquam de$trueretur totus motus violentus, vt con$tat; itaque primo in$tanti omnes gradus impetus qui $unt exigunt motum pro $ecundo ne aliquis eo in$tanti $it $ru$trà $i non exigeret, & $ecundo in$tanti aliquis gradus impetus de$truitur, ne $it fru$trà codem in$tanti $ecundo, cum $cilicet non $int tot gradus motus, quot $unt gradus impe- tus; atque ita deinceps tertio in$tanti de$truitur vnus gradus, vt iam $u- prà dictum e$t. <C><I>Theorema</I> 68.</C> <p><I>Ideo de$truitur potiùs vnus gradus impetus quàm alius $ecundo in$tanti, tertioque, &c. quia talis e$t per$ectionis</I>; hoc iam $uprà explicatum e$t; quia cum motus initio $it velocior, in$tantia $unt minora, igitur minùs im- petus in $ingulis de$truitur, pater ex dictis. <C><I>Theorema</I> 69.</C> <p><I>Ille gradus impetus qui de$truitur $ecundo in$tanti non concurrit ad motuns tertij in$tantis</I>; quia non pote$t concurrere ad motum ni$i exigendo; at- qui exigere tantùm pote$t, quando e$t; quod enim non e$t non exigit, $ed motus tertij in$tantis exigitur $ecundo; $ic enim tota res motus pro- cedit vt impetus primo in$tanti exigat motum pro $ecundo; & $ecundo pro tertio; & tertio pro quarto, atque ita deinceps; igitur impetus ille qui de$tru$tur; $ecundo in$tanti non exigit motum pro tertio, & qui de- $truitur tertio non exigit pro quarto, atque ita deinceps. <C><I>Theorema</I> 70.</C> <p><I>Hinc impetus innatus non concurrit ad motum violentum,</I> vt dictum e$t, $ed tantùm impedit, immediatè quidem, quia cum exigat motum deor- sùm, facit vt non $it tantus motus $ur$um; mediatè verò, quia cum non $it tantus motus $ursùm, quantus e$$et, haud dubiè non re$pondet adæ- quatè cau$æ; igitur aliquid cau$æ fru$trà e$t; igitur de$trui debet; hinc <pb n=149> de$truitur etiam hic impetus per principium commune, ne aliquid $it fru$trà. <C><I>Theorema</I> 71.</C> <p><I>Linea motus $ur$um determinatur à potentia motrice</I>; probatur, quia hæc determinat impetum productum in manu vel in organo; hic verò im- petum, quem producit in mobili $ursùm projecto; patet, quia nulla e$t alia cau$a applicata. <C><I>Theorema</I> 72.</C> <p><I>Tandem duo impetus violentus, $cilicet, & innatus ad æqualitatem perue- nirent, $i vel vnus gradus violenti e$$et æqualis perfectionis cum innato</I>; cum enim detrahatur $emper pars aliquota alicuius totius, tandem perueni- tur ad vltimam; igitur $int 100. gradus impetus violenti, quorum quili- bet $it æqualis impetui innato; certè cum temporibus æqualibus æqua- lis gradus impetus de$truatur; accipiatur illud tempus, in quo de$trui- tur vnus, haud dubiè 100. æqualibus temporibus de$truentur omnes 100. igitur 99. in$tantibus de$truentur 99. gradus; igitur $upere$t vnus; igitur duo illi impetus perueniunt tandem ad æqualitatem. <C><I>Theorema</I> 73.</C> <p><I>Vbivterque perueni$$et ad æqualitatem, non e$$et potior ratiocur mobile mo- ueretur $ursùm quàm deor$um in$tanti $equenti</I>; probatur, quia tàm gra- dus impetus innati exigit motum deor$um quàm gradus impetus vio- lenti $ursùm; igitur neuter habebit motum per Th.133.l. 1. <C><I>Theorema</I> 74.</C> <p><I>Hinc ip$o in$tanti, quo e$$et æqualitas, e$$et adhuc motus</I>; quia in$tanti immediatè antecedenti erant duo gradus impetus violenti, & vnus in- nati; igitur duo illi præualent pro in$tanti $equenti, in quo e$t æqua- litas. <C><I>Theorema</I> 75.</C> <p><I>Itaque quie$ceret mobile ip$o $tatim in$tanti, quod in$tanti æqualitatis $uc- cedit</I>; patet, quia neuter impetus pro illo in$tanti præualere po$$et per Th. 73. <C><I>Theorema</I> 76.</C> <p><I>Igitur in$tanti quietis nullus e$$et ampliùs impetus violantus</I>; cum enim $ingulis in$tantibus de$truatur vnus gradus, v. g in$tanti illo, quod $e- quitur po$t in$tans æqualitatis, de$truitur ille gradus, qui $upere$t; nec pote$t vel plùs, vel minùs de$trui; pugnant enim pro rata; quod certè cuiquam fortè paradoxor videbitur, $cilicet nullum tune e$$e motum propter pugnam, cum tamen nulla e$t amplius pugna. <C><I>Theorema</I> 77.</C> <p><I>Quies illa duraret tantùm vno in$t anti,</I> probatur, quia cum in$tanti quie- tis $it tantùm impetus innatus per Th. 76. certè non impeditur quomi- nus habeat motum pro in$tanti $equenti, quem reuerà exigit; igitur pro <pb n=150> in$tanti $equenti moueritur; $ed pro alio antecedente mouebatur; igi- tur quies illa durat tantùm vno in$tanti. <C><I>Theorema</I> 78.</C> <p><I>Quies illa non fit propter æliquam reflexionem, vt aliqui dicunt</I>; quia nul- la pror$us e$t reflexio, vbi nullum e$t reflectens; atqui nullum e$t refle- ctens, vt patet, quia nullum e$t corpus impediens motus propagationem; licèt enim medium impediat, non tamen per modum reflectentis pro- priè; immo vt dicemus infrà in puncto reflexionis nulla datur quies; $ed motus reflexus $ibi vendicat librum $ingularem. <C><I>Theorema</I> 79.</C> <p><I>Hinc $iue præce$$erit motus violentus, $iue non, corpus graue eodem vel æ- quali motu deor$um cadit,</I> quia nullus amplius remanet impetus violen- tus in fine motus violenti, per Th.76. igitur $olus impetus naturalis li- bero motu deorsùm fertur. <C><I>Theorema</I> 80.</C> <p><I>Hinc reiicies aliquos æpud Galileum, qui volunt ideo motum naturalem accelerari, quia $en$im de$truitur impetus violentus antè impre$$us,</I> quod pe- nitus ridiculum e$t; quia lapis deci$us è rupe etiam motu naturaliter accelerato deor$um cadit, licèt eò nunquam motu violento euectus fuerit. <p>Ob$eruabis hanc hypothe$im gradus impetus violenti æqualis perfe- ctionis cum innato e$$e fal$am. Primò, quia commodius e$t potentiæ motrici producere imperfectiorem impetum, $ic enim plures illius gra- dus producere pote$t. Secundò, quia in reflexo $ur$um vltimus gradus qui de$truitur e$t imperfectior innato, e$t enim acqui$itus; igitur in omni alio motu $ursùm. Tertiò, quia violentus e$t cuminnato in eadem $ubie- cti parte; $ed idem $ubiectum formas homogeneas non patitur, de quò aliàs, hinc dicendum $upere$t non quie$cere mobile in fine motus <C><I>Theorema</I> 81.</C> <p><I>Corpus quod non grauitat proiicitur $ur$um motu æquabili per $e</I>; patet, quia nihil e$t quod de$truat ip$um impetum; igitur $emper moueretur, ni$i per accideens ab ip$o medio eius motus retardaretur; vnde dixi <I>per $e,</I> cum ratione medij retardetur; immò quò leuius e$t, faciliùs à medio re- tinetur, vide Th.61. <C><I>Theorema</I> 82.</C> <p><I>Noncre$c it impetus naturalis in motu violento $ur$um</I>; probatur primò, quia impetus naturalis aduentitius $upponit motum deor$um, ad cuius inten$ionem à natura fuit in$titutus per re$p. ad quartam obiect. in di$- $ert.l.2. adde quod tardiùs a$cenderet, quàm de$cenderet; deinde velo- ciùs de$cenderet po$tmotum violentum corpus graue, quàm $i nullo mo- tu violento præuio demitteretur deor$um, quæ omnia experimentis <pb n=151> etiã vulgaribus repugnant; immò & cunctis ferè præmi$$is Theorematis. <C><I>Theorema</I> 83.</C> <p><I>Motus violentus non tendit ad quietem per omnes tarditatis gradus, vt pa$$im a$$erit Galileus</I>; Primò, quia non $unt infinita in$tantia, $ed retarda- tur tantùm $ingulis in$tantibus; Secundò in medio den$iore minùs du- rat; igitur non tran$it per tot gradus tarditatis; præterea in plano incli- nato $ur$um în minore proportione retardatur motus, quod etiam in plano horizontali certi$$imum e$t; quorum omnium rationes $uo loco videbimus. <p>Nec e$t quod aliqui dicant infinito tribui non po$$e hæc prædicata æqualitatis vel inæqualitatis, quod fal$um e$t, loquamur de infinito actu; $i enim e$$et numerus infinitus hominum, nunquid verum e$$et dicere numerum oculorum e$$e maiorem numero hominum; nec e$t quod ali- qui confugiant ad di$iunctiones; nos rem i$tam $uo loco fusè tractabi- mus & demon$trabimus, ni fallor, cum Ari$totele, fieri non pò$$e vt $it aliquod creatum infinitum actu; licèt vltrò concedamus plura e$$e infi- nita potentiâ; & verò certum e$t infinito potentiâ non ine$$e huiu$inodi prædicata æqualitatis, vel inæqualitatis. <C><I>Theorema</I> 84.</C> <p><I>Immò $i tran$iret mobile $ursùm proiectum per omnes tarditatis gradus, nunquam profectò de$cenderat</I>; quia cum $ingulis in$tantibus $inguli gra- dus re$pondeant, & duo in$tantia $imul e$$e non po$$int; nunquam certè verum e$$et dicere fluxi$$e infinita; igitur nec mobile per infinitos tar- ditatis gradus ad quietem perueni$$e; hoc Theorema $upponit e$$e tan- tùm finita in$tantia. <C><I>Theorema</I> 85.</C> <p><I>Re$i$tentia aëris est maior initio, quàm in fine motus violenti,</I> vt con$tat ex dictis, quia initio motus e$t velocior, igitur plures partes aëris æquali tempore re$i$tunt; in fine verò è contrario. <C><I>Theorema</I> 86.</C> <p><I>Hinc oppo$ita e$t omninò ratio re$istentia, quæ $equitur ex motu violento illi, quæ cum naturali e$t coniuncta,</I> hæc enim initio minor, in fine maior, illa verò initio maior, & in fine minor; hinc prima cre$cit cam $uo motu, $ecunda cum $uo decre$cit. <C><I>Theorema</I> 87.</C> <p><I>Decre$cit igitur impetus eadem proportione, qua decre$cit re$i$tentia</I>; vt pa- tet ex dictis; igitur in toto motu eadem e$t re$i$tentiæ proportio. <C><I>Theorema</I> 88.</C> <p><I>Variæ $unt potentiæ motrices, à quibus mobile $ur$um proiici potest motu violento,</I> v.g. potentia motrix animantium, potentia motrix grauium mo- bili $cilicet $ur$um repercu$$o; potentia motrix, quæ $equitur ex com- pre$$ione & rarefactione corporum, $ed de his omnibus aliàs. <pb n=152> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò $i aliquando accidat, vt aliqui volunt ictum, qui $tatim initio motus violenti infligitur, non e$$e maximum, $ed minorem eo, qui po$t aliquod confectum $patium infligitur; quod probant in pila ex fi$tula ænea $ur$um emi$$a, quæ moior&etilde; ictum infligit in data di$tantia, quod $anè $i verum e$t, hæc vnica e$t, $eu ratio, $eu cau$a, quòd $cilicet $ur- $um pila pellatur ab igne, qui ab ore fi$tulæ erumpens per aliquod $pa- tium à tergo vrget; igni enim innatum e$t $ur$um euolare. <p>Ob$eruabis $ecundò, vix po$$e manu mobile $ur$um rectà proiici, quia $cilicet manus extremitas motu mixto mouetur ex duobus vel pluribus circularibus, de quo infrà. <p>Ob$erua tertiò, non tantùm propter grauitationem con$eruari impe- rum naturalem innatum, $ed etiam vt motui violento re$i$tat; at verò non re$i$teret, ni$i grauitaret. <p>Ob$erua quartò, reciprocas rationes motus naturalis & violenti; in quibus mirabile pror$us fuit naturæ in$titutum, cum idem in vtroque il- larum $it principium. <p>Ob$erua quintò, finem motus violenti e$$e multiplicem, nullum ta- men à natura in$titutum; quippe potentia motrix, quæ agit ex appetitu elicito, (vt vulgò aiunt,) $eu cum cognitione, finem $ibi proponit ad libi- tùm; illa verò quæ vi compre$$ionis excitatur per accidens $ur$um agit mobile potiùs, quàm per aliam lineam; repercu$$a $ursùm videntur e$$e magis iuxta in$titutum naturæ. <FIG> <pb n=153> <FIG> <C>LIBER QVARTVS,</C> <C><I>DE MOTV MIXTO EX duobus, vel pluribus rectis.</I></C> <p>MOTVM mixtum eum e$$e non dico, qui ex pluribus aliis motibus componatur; $eu mi$ceatur; nec enim plures motus $imul e$$e po$$unt in eodem mobili; cùm tantùm e$$e po$$it vno dumtaxat in$tan- ti vnica migratio ex loco in locum; nec plura loca naturali virtute $imul acquiri po$$unt; Igitur nec $i- mul e$$e duo motus; Itaque motus mixtus $implex e$t, $i con$ideretur ratio, & linea motus; mixtus verò dicitur, quod ex pluribus re$ultet, qui reuerâ non $unt, $ed cùm e$$e po$$int, qua$i confluunt in tertium motum communi $umptu qua$i de vtroque partici- pantem, quod totum fit propter diuer$os impetus, vel eumdem ad diuer$as lineas determinatum, vt fusè explicabimus infrà: Porrò in hoc Libro explicamus tantùm motum mixtum, qui re$ultat ex pluribus re- ctis, vt titulus ip$e præfert. <HR> <C><I>DEFINITIO 1.</I></C> <p><I>MOtus mixtus e$t, qui $equitur ex multiplici impetu ad eamdem, vel di- uer$as lineas determinato, vel eodem ad diuer$as</I>; hæc definitio cla- ra e$t; ob$eruabis tantùm ad motum mixtum $ufficere duplicem impe- <pb n=154> tum ad eamdem lineam determinatam, deor$um, v.g. in mobili proiecto; nec enim e$t motus purè naturalis, nec etiam violentus, vt con$tat; igi- tur mixtus. <C><I>Hypothe$is</I> 1.</C> <p><I>Cum proiicitur corpus per lineam horizont alem, vel inclinatum $ur$um, vel deor$um mobile percurrit lineam curuam</I>; quod etiam pueri $ciunt, qui di$co ludunt. <C><I>Hypothe$is</I> 2.</C> <p><I>Globus etiam plumbeus è $ummo malo malo mobilis nauis demi$$us per lineam perpendicularem deor$um minimè cadit, $ed per curuam inclinatam</I>: hæc hypothe$is mille $altem nititur experimentis; modò $ufficiat quod $it; nam propter quid $it, demon$trabo. <C><I>Hypothe$is</I> 3.</C> <p><I>Proiectum per horizontalem $ub finem motus minùs ferit quàm initio, imò & proiectum per inclinatam deor$um</I>; hæc hypothe$is centies probata fuit; nec in dubium reuocari pote$t. <C><I>Axioma</I> 1.</C> <p><I>Omnis impetus qui mobili ine$t dum ip$um mouetur, præ$tat aliquid ad mo- tum</I>; vel enim retardat, vt impetus innatus retardat violentum, vt $uprà diximus; vel ad motum vnà cum alio, vel $olus concurrit. Ax.2. <C><I>Axioma</I> 2.</C> <p><I>Ille impetus qui alium retardat, haud dubiè retardat tantùm pro rata</I>; hoc etiam $uprà demon$trauimus, & qui de$truitur, de$truitur quoque pro rata, ne $it fru$trà qui de$truitur. <C><I>Axioma</I> 3.</C> <p><I>Ille impetus qui cum alio ad eumdem motum concurrit, concurrit etiam pro rata</I>; hoc etiam $uprà demon$tratum e$t, e$t enim cau$a nece$$aria, igitur quantum pote$t concurrit, igitur pro rata $uæ virtutis. <C><I>Axioma</I> 4.</C> <p><I>Licèt $int plures impetus in eodem mobili, non $unt tamen plures $imul li- ueæ motus</I>; ne mobile $it $imul in pluribus locis. <C><I>Po$tulatum</I> 1.</C> <p><I>Licedt a$$ismere quamlibet coniugætionem motuum,</I> v. g. vel duorum æ- quabilium, vel alterius æquabilis, & alterius retardati, vel alterius æqua- bilis, & alterius accelerati, vel alterius reterdati, & alterius accelera- ti, &c. <C><I>Po$tulatum</I> 2.</C> <p><I>Illa linea vocetur curua quæ con$tat infinitis prope lateribus polygoni.</I> <C><I>Theorema</I> 1.</C> <p><I>Motus mixtus ex duobus æquabilibus æquælibus e$t rectus</I>; $it enim<note><I>Fig.</I> 23. <I>t.</I> 1.</note> mo- <pb n=155> bile in A, $itque impetus per AB, & alter æqualis per AD, motus mixtus fiet per AE, a$$umpra fcilicet DE æquali, & parallela AB, quod probatur per Th.137.l.1. <C><I>Theorema</I> 2.</C> <p><I>Linea AE e$t diagonalis quadrati, quotie$cumque vterque impetus e$t æ- qualis, & liueæ determinationum decu$$antur ad angulos rectos</I>; probatur per idem Th.137. <C><I>Theorema</I> 3.</C> <p><I>Hinc de$truitur aliquid impetus</I>; alioquin motus e$$et duplus cuiu$li- bet $eor$im $umpti, quod fal$um e$t; nam motus $unt vt lineæ $ed diago- nalis quadrati non e$t dupla lateris; hoc etiam probatur per Th. 141. & 142.l.1. <C><I>Theorema</I> 4.</C> <p><I>Motus mi<*>s ex duobus æquabilibus inæqualibus est etiam rectus</I>; $it enim mobile in A cadem figura $itque impetus per AC, & alter $ubdu- plus prioris per AD, motus fiet per AF ducta DF æquali, & parallela AC, quod probatur per Th.137.l.1. <C><I>Theorema</I> 5.</C> <p><I>Linea AF e$t diagonalis rectanguli, quotie$cunqne lineæ deterninationum decu$$antur ad angulos rectos</I>; probatur per idem Th.137. <C><I>Theorema</I> 6.</C> <p><I>Hinc de$truitur aliquid impetus per Th.</I>141. & 142.<I>l.</I>1. idque pro rata ne aliquid $it fru$trà per Ax.2. & $æpè iam probatnm e$t. <C><I>Theorema</I> 7.</C> <p><I>Hinc determinari pote$t portio vtriu$que impetus destructi,</I> v.g. $i $int æ- quales, portio detracta vtrique æqualibus temporibus e$t differentia diagonalis & compo$itæ ex DA, AB, quod clarum e$t; $i vero impetus $int inæquales, portio de$tructa erit $emper differentia diagonalis, v.g. AF & compo$itæ ex AC.AD. <C><I>Theorema</I> 8.</C> <p><I>Aliquando impetus qui remanet in motu mixto est rationalis</I>; id e$t habet proportionem ad vtrumque, quæ appellari pote$t, aliquando ad neutrum, aliquãdo ad alterutrum; ad vtrumque v.g. $i alter impetuum $it 8.alter 6. haud dubiè linea motus mixti erit 10. ad neuttum vt in diagonali qua- drati, & in multis aliis; ad alterum denique v. g. $i alter $it $ubduplus la- teris æquilateri; alter verò eiu$dem perpendicularis; nam diagonalis, $eu linea motus mixti erit latus ip$um æquilateri. <C><I>Theorema</I> 9.</C> <p><I>Si lineæ determinationum decu$$entur ad angulum obtu$um, $intque æqua- les impetus, linea motus mixti erit diagonalis Rhombi</I>; vt patetper Th.140. l.1. pote$t autem hæc diagonalis e$$e vel æqualis alteri laterum, vel ma- <pb n=156> ior, vel minor; e$t æqualis, quando angulus maior Rhombi e$t 120. e$t minor cùm angulus minor e$t 60. denique e$t maior, cùm maior angu- lus e$t minor 120, quæ omnia con$tant ex Geometria. <C><I>Theorema</I> 10.</C> <p><I>Si lineæ determinationum decu$$entur ad angulum acutum, & $int æqua- les impetus, linea motus mixti erit diaganalis Rhombi</I>; quæ certè eò longior erit, quò angulus erit acutior per Th. 139. l.1. porrò e$t $emper maior lateribus $eor$im $umptis. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$erua in Rhombo e$$e duas diagonales inæquales, vt con $tat; igi- tur cùm lineæ determinationum decu$$antur ad angulum obtu$um, linea motus mixti $emper e$t diagonalis minor; cùm verò decu$$antur ad an- gulum acutum, $emper e$t diagonalis maior. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc quò acutior e$t angulus diagonalis accedit propiùs ad duplum lateris, donec tandem vtraque linea coëat; tunc enim linea motus e$t du- pla lateris. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Hinc quoque quò angulus e$t obtu$ior diagonalis accedit propiùs ad nullam, vt $ic loquar, donec tandem vtraque linea concurrat in rectam, tunc enim nulla e$t diagonalis; igitur nulla linea motus. <C><I>Theorema</I> 11.</C> <p><I>Cum alter impetuum e$t maior, linea motus e$t diagonalis Rhomboidis, mi- nor quidem $i lineæ decu$$entur ad angulum obtu$um; maior verò $i decu$$en- tur ad angulum acutum</I>; vt patet ex dictis. <C><I>Theorema</I> 12.</C> <p><I>Cum alter impetus in motu mixto est maior, linea motus mixti accedit propiits ad lineam maioris; hoc est facit angulum acutiorem cum illa</I>; v.g. in eadem figura $it linea impetus maioris AC, & minoris AD, linea motus mixti e$t diagonalis AF, quæ accedit propiùs ad AC, quàm ad AD, id e$t facit angulum acutiorem cum AC, vt patet ex dictis. <C><I>Theorema</I> 13.</C> <p><I>Cum verò impetus $unt æquales, linea motus mixti facit ængulum æqualem cum linea vtriu$que</I>; vt AE in eadem figura quod etiam dici debet, licèt lineæ determinationum decu$$entur ad angulum obtu$um vel acutum, <note><I>Fig.</I>37 <I>Tab.</I>1.</note> vt AC, EG. IM. <C><I>Theorema</I> 14.</C> <p><I>Non cre$cit, vel decre$cit in eadem rætione, in quæ vnus impetus $uperat alium</I>; cum enim impetus $int vt lineæ, $ub quibus fiunt rectangula vel Rhomboides; v.g.<note><I>Fig.</I>37 <I>Tab.</I>1.</note> impetus AC e$t duplus impetus AD, $ed angulus D AF non e$t duplus anguli FAC, vt con$tat ex Geometria. <pb n=157> <C><I>Scolium.</I></C> <p>Ob$eruabis dari de facto hunc motum mixtum ex duobus æquabilibus in rerum natura; talis e$t motus nauis, quam geminus ventus impellit in mari, vel nubis, imò aëris pars in medio aëre, atque adeo ip$ius venti, $unt enim hi motus æquabiles per $e; quippe retardantur $olummodo propter re$i$tentiam medij, non verò propter vllam grauitationem. <C><I>Theorema</I> 15.</C> <p><I>Motus mixtus ex duobus retardatis e$t rectus</I>;<note><I>Fig.</I>38 <I>Tab.</I>1.</note> $it enim duplex impetus per AE & AH æqualis; ita vt in dato tempore percurrat $eor$im AE mo- tu retardato; item AH iuxta proportionem Galilei; certè eo tempore quo percurreret AD in AE, & AI in AH percurrit AG motu mîxto per Th. 5. Similiter eo tempore quo percurreret AE $eor$im, & AH, percurrit AF per Th.5. Igitur hic motus mixtus e$t rectus, dum $it vterque retar- datus iuxta eamdem progre$$ionem; $imiliter $i alter impetus impetus $it inæqualis, vt patet in $equenti figura,<note><I>Fig.</I>39 <I>Tab.</I>1.</note> $it enim impetus per AE, & alter minor per AH, certè ex AD, AI fit AG, & ex AE, AH fit AF, quam rectam e$$e con$tat ex Geometria; nec vlla e$t difficultas, quæ ex $upe- rioribus Theorematis facilè $olui non po$$it. <C><I>Corollarium.</I> 1.</C> <p>Hinc linea motus mixti ex duobus retardatis $iue æqualibus, $iue inæqualibus e$t diagonalis parallelogrammatis $ub lineis determina- tionum. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis dari de facto hunc motum in rerum natura, $i v. g. in pla- no horizontali idem globus, vel $imul gemino ictu impellatur, vel $i iam impul$um mobile per nouam lineam imppellatur. <C><I>Theorema</I> 16.</C> <p><I>Motus mixtus ex duobus acceleratis uniformiter e$t etiam rectus</I>; Proba- tur, quia debet tantùm inuerti linea prioris $cilicet mixti ex duobus re- tardatis; $i enim à puncto F pellatur per FE, FH, motu accelerato, ita primo, tempori re$pondeat FM, FN, $ecundo NH, ME; haud dubiè li- nea motus mixti erit FA; nam primò tempori re$pondebit FG, & duo- bus FA, vt con$tat ex dictis, $iue vterque impetus $it æqualis, $iue alter maior altero. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc etiam linea motus mixti ex duobus acceleratis e$t diagonalis, vt iam $uprà dictum e$t de omnibus aliis. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis hunc motum dari in rerum natura $altem in corporibus $ublunaribus; nec enim e$t acceleratus ni$i $it motus naruralis, qui à duplici impetu e$$e non pote$t. <pb n=158> <C><I>Theorema</I> 17.</C> <p><I>Si motus mixtus con$tet ex æquabili, & accelerato naturaliter $it per li- neam curuam</I>;<note><I>Fig.</I>40 <I>Tab.</I>1.</note> $it enim impetus per AF motu æquabili, & per AC motu accelerato naturaliter, ita vt eo tempore quo percurritur $eor$im $pa- tium AB percurratur AD triplum; certè ex vtroque primo tempore ro- $ultat linea motus mixti AE, $ecundo tempore EG, $ed AEG non e$t recta; alioquin duo triangula ABE, ACG e$$ent proportionalia, quod e$t ab$urdum. <C><I>Theorema</I> 18.</C> <p><I>Hæc linea e$t Parabola</I>; quod ip$e Galileus toties in$inuauit, & quiuis etiam rudior Geometra intelliget; in quo diutiùs non hæreo, præ$ertim cùm nullus $it motus, qui con$tet ex æquabili, & naturaliter accelerato, vt demon$trabimus infrà. <C><I>Theorema</I> 19.</C> <p><I>Si motus mixtus con$tet ex æquabili & naturaliter retardato, fit per lineam curuam</I>;<note><I>Fig.</I>41 <I>Tab.</I>1.</note> $i enim eo t&etilde;pore quo per NE $ur$um proiicitur corpus graue & con$equenter motu naturaliter retardato impellatur per NI motu æquabili, diuidatur NI in 4. partes æquales v.g. ductis parallelis RD, NE, PC, &c. a$$umatur NS vel RM, cui affigatur quilibet numerus impar; putà 7. itaque RM $int 7. ducatur HM parallelæ IN, a$$umatur QL 5. ducatur GL parallela, accipiatur VK 3. ducatur FK: denique a$$umatur FAI ducaturque AE parallela IN, & de$cribatur per puncta AKLMN, linea curua; hæc e$t Parabola, vt con$tat ex Geometria; nam $i BK e$t 1. CL erit 4. DM 9. EV 16. $ed æquales $unt AF.AG.AH.AI. prioribus vt patet; igitur $agittæ $unt vt quadrata applicatarũ; igitur hæc e$t Parabola; igitur curua, atqui motus mixtus prædictus fieret per hanc lineam, nam eo tempore quo mobile e$$et in S, erit in M, concurrit enim vterque im- petus pro rata, & eo tempore, quo e$$et in K erit in L, atque ita deinceps. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis e$$e pror$us inuer$am prioris, quæ $it ex motu æquabili, & naturaliter acceletato; $i enim per AE $it æquabilis & æqualis priori per NI, & per AI $it acceleratus, $i quo tempore peruenit in B motu æ- quabili perueniat in F motu accelerato; haud dubiè perueniet in K, mox in L, &c. quia eadem proportione, $ed inuer$a quâ retardatur, acceleratur; igitur $i vltimo tempore retardati acquirit tantùm YE; primo tempore æquali $cilicet accelerati acquiret AF, atque ita deinceps $i per NE $it retardatus, & per NI æquabilis linea motus mixti erit NLA; $i verò $it per AI acceleratus, & per AE æquabilis æqualis priori per NI, lineamosus mixti erit ALN eadem $cilicet cum priori mutatis tantùm terminis à quo, & ad quem; vtrùm verò in rerum natu- tra $it huiu$modi motus videbimus infrà. <pb n=159> <C><I>Theorema</I> 20.</C> <p><I>Si con$tet ex retardato & accelerato, vt fit in perpendiculari $ur$um, & deor$um motus mixtus, linea per quam fit e$t curua,</I><note><I>Fig.</I>42 <I>Tab.</I>1.</note> $it enim retardatus per AD, $it acceleratus per AG, a$$umatur AB cum numero impari, putà 5.BC.3. CD.1. accipiatur AE.1. EF.3. ducantur parallelæ BK. CL. DI. & aliæ EM. FH. GI. & per puncta AM. HI. ducatur linea curua, hæc e$t linea motus mixti ex retardato & accelcrato; hæc porrò non e$t Parabo- la, vt con$tat, quia quadratum AE non e$t ad ad quadratum AF, vt qua- dratum AB, vel EM ad quadratum FH, vel AC. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis in fine huius motus amplitudinem, $eu $inum rectum li- neæ $cilicet GI, e$$e æqualem altitudini $eu $inui ver$o, vel $agittæ AG; cùm enim motus naturaliter acceleratus in eadem proportione cre$cat, quod hic $uppono, in qua retardatus decre$cit; certè AG quæ e$t linea accelerati e$t æqualis GI, quæ e$t linea retardati: non tamen dicendum e$t lineam AI e$$e circulum, alioquin GH e$$et æqualis GI, $ed GH e$t, v. g. 89. cum GI $it radix quadr.81. e$t enim 9. licèt GM $it æqualis GH. $ed de his lineis infrà. Vtrùm verò $it aliquis motus huiu$modi, videbi- mus in $equentibus Theorematis. <C><I>Theorema</I> 21.</C> <p><I>Quando corpus proiicitur per horizontalem in aëre libero, mouetur motu mixto</I>; probatur, quia $unt duo impetus in eo corpore, $cilicet innatus deor$um, & impre$$us per horizontalem, vt patet; igitur vterque aliquid præ$tat ad illum motum per Ax. 1. igitur e$t motus mixtus per def. 1. <C><I>Theorema</I> 22.</C> <p><I>Ille motus non e$t mixtus ex vtroque æquabili.</I> Demon$tro; motus mixtus ex vtroque æquabili e$t rectus per Th.1.& 4. $ed hic motus proiecti per horizontalem non e$t rectus per hyp.1. <C><I>Theorema</I> 23.</C> <p><I>Ille motus non e$t mixtus ex naturali æquabili & alio accelerato</I>; patet, quia nulla e$t cau$a, à qua violentus po$$it accelerari. <C><I>Theorema</I> 24.</C> <p><I>Non est mixtus ex naturali æquabili & violento retardato</I>; Primò, quia cùm pro tata concurrant po$t integrum quadrantem vix $patium vnius palmi confeci$$et in perpendiculari deor$um per Th.59.l.2.quod tamen e$t contra experientiam.Secundò, quia ad aliquod tandem punctum per- ueniretur, in quo mobile haberet tantùm impetum innatun; igitur nul- lus e$$et ictus contra experientiam. Tertiò, quia naturalis impetus in- tenditur in plano inclinato; igitur in motu per inclinatam, e$t enim motus deor$um; igitur intenditur impetus naturalis, vt patet ex lib. 2. igitur non e$t mixtus. <pb n=160> <C><I>Theorema</I> 25.</C> <p><I>Motus ille non e$t mixtus ex naturali retardator & violento æquabili, vel accelerato</I>; quia numquam de$truitur impetus innatus, vt $æpiùs dictum e$t $uprà, tùm primo, tùm $ecundo libro, nec in hoc e$t vlla diffi- cultas. <C><I>Theorema</I> 26.</C> <p><I>Non est mixtus ex naturali accelerato & violento æquabili</I>; demon$tra- tur, primò, quia $ub finem motus e$$et maior impetus; quippè nihil de- traheretur violento, $ed multùm accederet naturali; igitur e$$et maior, igitur e$$et maior ictus contra hyp. 3. $ecundò, quotie$cunque $unt duo impetus in codem mobili ad diuer$as lineas determinati, aliquid illo- rum de$truitur per Th.141.l.1.tertiò $i e$$et vterque æquabilis, aliquid de$trueretur per Theorema 6. igitur potiori iure, $i impetus naturalis cre$cat. <p>Diceret fortè aliquis impetum de$trui ab aëre, $ed iam $uprà re$pon- $um e$t modicum inde imminui; nec enim vnquam aër in corpore graui de$truit tantùm impetus, quantùm producitur naturalis $i $it acceleratus; alioquin motus dcor$um non cre$ceret contra experientiam, & $uprà in toto ferè 2.lib. demon$trauimus. <C><I>Theorema</I> 27.</C> <p><I>Hinc linea huius motus non e$t Parabola</I>; quia vt $it Parabola, debet ille motus con$tare vel ex naturali æquabili, & violento retardato per Th. 19. vel ex naturali accelerato & violento æquabili per Th. 18. $ed hic motus neuter e$t, non primum per Th. 25. non $ecundum per Theo- rema 26. <C><I>Theorema</I> 28.</C> <p><I>Hinc reiicies Galileum,</I> qui in dialogis hæc $emper $uppo$uit, $ed nun- quam probauit, nec probare vnquam potuit; hoc etiam $upponunt multi Galilei $ectatores, qui cen$ent impetum nunquam de$trui ni$i à re$i$tentia medij; $ed quæro ab illis quodnam medium de$truat partem impetus in motu mixto; nec enim linea motus mixti adæquat duas alias ex quibus qua$i re$ultat; certè hoc non potc$t explicari cum infinitis fetè aliis, ni$i dicatur impetum de$trui ab alio impetu, eo modo quo $æpè diximus, hoc e$t ne $it fru$trà; igitur impetus violentus de$truitur ab in- nato, non tamen innatus à violento, vt $æpiùs inculcauimus. <C><I>Theorema</I> 29.</C> <p><I>Non e$t mixtus ex naturali accelerato eo modo quo acceleratur deor$um per lineam perpendicularem & ex violento retardato</I>: Probatur, $i ita e$t, tãtùm additur naturali, quantum detrahitur violento, imò plùs; igitur $emper e$t in eo mobili æqualis vel maior impetus; igitur æqualis e$t $emper, vel maior ictus contra hyp. 3. adde quod non minùs impeditur ab im- petu violento naturalis motus, quàm ab inclinato plano; $ed in plano <pb n=161> inclinato non acceleratur motus cum eadem acce$$ione, qua $cilicet in- tenditur in perpendiculari deorsùm; nec enim tam citò de$cendit mobi- le, quod certum e$t, & in lib.de planis inclinatis demon$trabo, cum tan- tùm hîc $upponam ad in$tar phy$icæ hypothe$eos; adde quod idem mo- bile proiectum per horizontalem in data di$tantia minùs ferit, quàm pro- iectum per inclinatam deor$um. <C><I>Theorema</I> 30.</C> <p><I>Itaque motus prædictus mixtus est ex violento retardato & naturali acce- lerato, non eo quidem modo quo acceleratur in perpendiculari, $ed eo quo acce- leratur in plano inclinato, quod hic $ingulis in$tãtibus mutatur</I>; probatur pri- mo, quia inductione facta non cõftat ex omnibus aliis; $unt enim tantùm 9 combinationes, quia $unt tres differentiæ, $cilicet æquabilibus, retarda- tio, acceleratio; igitur $i 3.ducantur in 3. $unt 9. $unt autem prima ex na- turali, quem deinceps voco primum, æquabili & violento (quem voca- bo $ecundum) æquabili, $ecunda ex prima æquabili & $ecundo accelera- to, tertia ex primo æquabili & $ecundo retardato, quarta ex primo acce- lerato & $ecundo æquabili, quinta ex primo accelerato & $ecundo acce- lerato, $exta ex primo accelerato & $ecundo retardato, $eptima ex primo retardato & $ecundo æquabili, octaua ex primo retardato & $ecundo ac- celerato, nona ex primo r<*>ardato, & $ecundo retardato: non e$t prima per Th.22. non $ecunda per Th. 21. non tertia per Th. 24. non quarta, per Th.26. non quinta per T.2h.23. non $exta per Th.29. eo modo quo diximus, non $epti<*>a per Th. 25. non octaua per Th. 25. non denique nona per Th.25. igitur debet e$$e alius motus, $ed alius excogitari non pote$t præter ill<*> quem adduxi. Probatur $ecundò, quia non minùs impeditur ab impetu violento impetus naturalis acqui$itus quàm à pla- no inclinato vt iam dictum e$t; igitur acceleratur quidem $ed minùs; nec enim vterque e$t æquabilis, nam linea e$$et recta per Th.4. & naturalis cre$cit quia de$cendit deor$um; præterea per Th.24. non pote$t impetus naturalis e$$e æquabilis, igitur non pote$t violentus e$$e vel æquabilis, vel acceleratus, igitur retardatus. <C><I>Theorema</I> 31.</C> <p><I>Motus naturalis acceleratus ex quo hic motus con$tat acceleratur in alia proportione quàm fit ea, in qua acceleratur, dum per idem planum inclina- tum de$cendit</I>; probatur, quia $ingulis in$tantibus mutatur inclinatio pla- ni $eu lineæ; igitur $ingulis in$tantibus mutatur proportio accelera- tionis. <C><I>Theorema</I> 32.</C> <p><I>Hinc perpetuò cre$cit praportio accelerationis, quia $emper cre$cit inclina- tio plani,</I> vt patec, cùm enîm $it linea curua per hyp. 1. quo magis incur- uatur, accedit propiùs ad perpendicularem, igitur motus magis accele- ratur. <pb n=162> <C><I>Theorema</I> 33.</C> <p><I>Hinc ratio hypothe$eos primæ,</I> cùm enim con$tet hic motus ex accelera- to & retardato, eius linea e$t curua per Th.20. non tamen e$t Parabola, vt con$tat ex eodem Th.20. Vnde reiicies Galileum, qui vult lineam mo- tus proiecti per horizontalem in aëre libero e$$e Parabolam. <C><I>Theorema</I> 34.</C> <p><I>In hoc motu retardatur in maiori proportione violentus quàm acceleretur natur alis</I>; probatur, non in minore, quia plùs impetus adderetur quàm de- traheretur; igitur maior e$$et in fine motus quàm initio, igitur maior ictus contra hyp.;. non in æquali, quia $emper e$$et æqualis ictus con- tra hyp.3.& contra Th.29. <C><I>Theorema</I> 35.</C> <p><I>Hinc plùs detrahitur impetus quàm addatur,</I> quia $cilicet detrahitur pro rata, vt dicemus infrà; at verò cùm acceleretur tantùm naturalis iuxta rationem motus, & motus $it iuxta rationem plani, minùs accele- ratur quàm $i caderet mobile perpendiculariter deor$um. <C><I>Theorema</I> 36.</C> <p><I>Hinc ratio clara cur $it minor ictus in $ine huius motus</I>; quia $cilicet e$t minùs impetus, quia plùs detractum e$t quàm additum; nec e$t quod tribuant hanc retardationem medio; quippe aër non plùs re$i$tit motui violento quàm naturali; $ed id quod detrahitur ab aëre corpori graui, v. g. pilæ plumbeæ e$t in$en$ibile, vt fatentur omnes; igitur idem dicen- dū e$t de motu violento & mixto, hinc hoc ip$um etiam fieret in vacuo. <C><I>Theorema</I> 37.</C> <p><I>Impetus naturalis concurrit ad hunc motum</I>; probatur, quia alioquin e$$et rectus contra hyp. 3. prætereà pote$t concurrere; nec enim $unt li- neæ determinationum oppo$itæ; igitur concurrit per Th.137.l.1. <C><I>Theorema</I> 38.</C> <p><I>Si impetus naturalis non concurreret ad hunc motum, proiectum moueretur per lineam horizontalem rectam, vt con$tat, motu æquabili</I>; po$ito quod non retardaretur in horizontali, eodem modo moueretur quo in verticali $ur$um, quæ omnia con$tant ex dictis $uprà. <C><I>Theorema</I> 39.</C> <p><I>Patest vtrimquc de$cribi linea curua huius motus</I>;<note><I>Fig.</I>43 <I>Tab.</I>1.</note> $it enim mobile pro- jectum ex E per horizontalem EI eã $cilicer velocitate, quam acqui$iui$- $et motu naturaliter accelerato de$cendendo ex A in E; $it&qacute;ue AB $pa- tium acqui$itum primo in$tanti de$cen$us; BC duplum, CD triplum, &c. iuxta progre$$ionem arithmeticam, $it EI æqualis EA, diuidatur que eo- dem modo in 4. $patia vt diui$a e$t EA; a$$umpta EO æqualis AB, ducan- tur FN. GM. HL. IK. parallelæ EV; a$$umatur OP æqualis OE, & PQ<*> quæ $it ad OE, vt OE ad hypothenu$im $eu planum inclin<*>m EN, a$- <pb n=163> $iunatur QR æqualis OE, tum RS quæ $it ad OE vt OQ ad planum incli- natum NM; denique a$$umatur ST æqualis OE, tum TV, quæ $it ad OF, vt QS ad inclinatam ML; ducantur ON. QM. SL. VK. parallclæ EI, tùm per puncta E.N.M.L.X ducatur curua, hæc e$t linea prædicti motus, demon$tratur. <p>Impetus violentus percurrit EF eo tempore, quo naturalis percurtit EO; igitur linea motus mixti ex vtroque ducitur per punctum N, & licèt videatur e$$e recta EN, $cilicet diagonalis rectanguli OF, e$t tamen cur- ua, quia mobile non percurrit EF vno in$tanti; igitur nec EO, igitur motu æqualiter accelerato percurrit EO; igitur EN non e$t recta per Th.20. Præterea.Secundo tempore impetus innatus remanet; igitur per- curratur OP cui additut PQ, quia impetus naturalis minùs cre$cit, vt di- ctum e$t in Th.34. quippe cre$cit iuxta rationem plani inclinati EN.ad EO permutando, quæ $it v.g. $ubquadrupla; igitur PQ e$t $ubquadrupla EO; & cùm de$trui $upponatur vnus gradus violenti, v.g. $uper$unt tan- tùm 3. quibus percurritur FG; igitur linea huius motus duci debet per punctum M, idem dico de punctis L & K, igitur hæc e$t linea motus mixti, quàm $cilicet corpus graue proiectum per horizontalem $uo fluxu de$cribit, & cuius alias proprietates demon$trabimus. <C><I>Theorema</I> 40.</C> <p><I>Hinc impetus naturalis in motu mixto cre$cit $emper in maiori proportione</I> v.g. OQ.e$t maior EO, & QS maior OQ atque ita deinceps. <C><I>Theorema</I> 41.</C> <p><I>Impetus violentus hîc $upponitur decre$cere $emper in eadem proportione</I>; v.g. FG e$t minor EF vno $patio, GH minor EF vno $patio; HI minor GH vno $patio, quæ omnia con$tant. Vtrùm verò id fiat, dicemus infià, & exempli gratia tantùm dictum e$$e volo. <C><I>Theorema</I> 42.</C> <p><I>Hinc quò maior e$t impetus violentus in hoc motu, amplitudo huius linea e$t maior</I> v.g. VK, quæ $emper maior e$t altitudine VE, vt enim e$$et æ- qualis, impetus naturalis deberet cre$cere in eadem proportione, in qua decre$cit violentus, vt dictum e$t $uprà. <C><I>Theorema</I> 43.</C> <p><I>Determinari po$$et hæc amplitudo, $i decre$cat violentus in EI, vt decre- $cit in verticali EA</I>; nam EI & EA $unt æquales, $ed EI & VK $unt æqua- les, AE verò e$t linea, vel quam conficit mobile proiectum $ur$um cum eodem, vel æquali impetu alteri quo proiicitur per horizontalem; $eu e$t linea quam percurrit corpus graue deor$um, dum acquirit æqualem impetum alteri impre$$o eidem mobili per horizontalem EI. <C><I>Theorema</I> 44.</C> <p><I>Hinc non pote$t proijci in li<*>ero medio mobile graue per rectam horizonta- lem</I>; quippe moueri non pote$t ni$i motu mixto ex naturali accelerato <pb n=164> eo modo quo diximus, & violento retardato; igitur linea e$t curua; dixi in medio libero, cùm in plano duro horizontali per lineam rectam pro- iici po$$it. <C><I>Theorema</I> 45.</C> <p><I>Hinc funis ten$us, cuius $cilicet vtraque extremitas immobiliter affixa e$t, nunquam e$t rectus, $ed inflectitur</I>; ratio e$t, quia haud dubiè grauitat, igi- tur incuruatur; vtrùm verò faciat Parabolam hæc linea curua, vt vult Galileus, examinabimus in libro de lineis motus. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis funem ten$um $emper incuruari, ni$i fortè ex maxima tra- ctione $uam flexibilitatem amittat, cuius ope tantùm curuatur, imò ita tendi pote$t, vt ten$ioni cedens frangatur: Equidem po$ito quod vel in- flecti po$$it, vel reduci, nece$$ariò inflectetur in medio, vt benè demon- $trat Galileus in dialogis, no$que infrà ad potentiam vectis reducemus, ne multiplicemus figuras. <C><I>Theorema</I> 46.</C> <p><I>Hinc ducitur optima ratio, cur proiectum per lineam horizontalem, v.g.pi- la è tormento explo$a, vel $agitta arcu emi$$a per plura $ecunda minuta mo- ueatur in medio aëre antequam terram attingat</I>; quod plu$-quàm mille ex- perimentis comprobatum e$t; plura leges apud Mer$ennum, v. g. $it tor- mentum horizonti parallelum extans $upra horizontem tribus pedibus; certum e$t $patium illud trium pedum confici à globo perpendiculariter demi$$o tempore 30. tertiorum; cùm tamen explo$us per lineam hori- zontalem terram tantùm attingat po$t 4. $ecunda, ide$t 240. tertia; ita Mer$ennus l.2. de motu Prop. vltima, imò l. 5. $uæ ver$ionis art.5. con- tra Galileum o$tendit glandem emi$$am è tormento minori conficere 75. exapedas, tempore vnius $ecundi minuti in linea, quæ parùm decli- nat ab horizontali; atqui tempore vnius $ecundi minuti conficit 2.exa- pedas in perpendiculari deor$um; igitur deberet glans infrà $copum de- $cendere notabiliter, id e$t, toto 12. pedum interuallo, cùm tamen vix tantillùm aberret à $copo 1.Idem Mer$ennus habet in Bali$tica Prop.25. globum è maiore tormento horizonti parallelo emi$$um in aëre tractu continuo vola$$e toto tempore 8. $ecundorum, antequam planum hori- zontale attigi$$et, cùm tamen $ex tantùm exapedis tormentum extaret $upra horizontem; alter globus ex alio tormento explo$us 6. tantum $e- cunda in aëre con$ump$it; imò bombardarum globi aliquando tota 14. $ecunda po$uerunt; habet idem Mer$ennus alia plura, quorum fides $it penes authores à quibus accepit; nam vt dicam quod res e$t vix accu- ratè minima illa tempora metiri po$$umus; quidquid $it, ex illis $altem euinco mobile projectum per horizontalem plùs temporis in$umere in $uo fluxu, quam $i ex eadem altitudine perpendiculariter demittatur; vt vult Galileus; cuius ratio alia non e$t ab ea, quàm $uprà indicauimus, quòd $cilicet motus naturalis minùs cre$cat in motu mixto quàm in na- <pb n=165> turali, vt $uprà demon$trauimus; imò $i cre$ceret vt vult Galileus, ictus; haud dubiè e$$et maior in fine motus quàm initio, quod omninò expe- rientiæ repugnat. <p>Nec e$t quod aliquis dicat glandem emi$$am per horizontalem tan- tillùm a$cendere; vnde plus temporis in a$cen$u $imul & de$cen$u col- locatur, quàm in $olo de$cen$u; nam primò vix hoc aliquis $ibi per$ua- $erit, cùm experimento percipi non po$$it; Secundò licèt verum e$$et, non tamen e$t tantus a$cen$us, quin adhuc plùs temporis ponat in a$- cen$u, atqué in de$cen$u, quàm in alti$$ima perpendiculari quadruplæ al- titudinis, vt con$tat;<note><I>Fig.</I>44 <I>Tab.</I>1.</note> $it enim horizontalis AF, di$tans à plano hori- zontali altitudine BA; $it tormentum directum per lineam AF, & glo- bus percurrat lineam curuam AEF, idque $patio 8.$ecundorum minu- torum; $itque DE 3. pedum; certè eo tempore quo conficit AE, $i in perpendiculari conficiat ED, cum ED conficiat tempore 30‴; haud dubiè AE eodem tempore conficere deberet; $ed con<*>cit AE tempore 4. $ecundorum, vt con$tat ex ip$is multorum ob$eruationibus; igitur to- tam AEF deberet percurrere tempore 1″, id e$t eo tempore quo in per- pendiculari deor$um percurruntur 12. pedes; denique $i verum $it glo- bum a$cendere tantillùm dum emittitur è tormento horizonti paralle- lo; crediderim id e$$e tùm ex aliqua repercu$$ione aëris, tùm eo quod à flamma $ur$um a$cendente $ur$um etiam aliquantulum inclinetur; quod verò $pectat ad $agittam, alia cau$a non e$t ni$i modica aëris repercu$$io; e$t enim leuior $agittæ materia; $ed de repercu$$ione fusè agemus infrà. <C><I>Theorema</I> 47.</C> <p><I>Motus projecti $ur$um per inclinatam e$t mixtus</I>; probatur, quia con$tat ex naturali, & violenti; qui cùm non $int in oppo$itis lineis, ad commu- nem motum concurrunt, vt patet. <C><I>Theorema</I> 48.</C> <p><I>Non e$t mixtus ex vtroque æquabili</I>; quia linea e$$et recta per Th.1.$ed linea huius motus e$t curua per hyp. non pertinet etiam hic motus ad $ecundam combinationem de qua Th. 30. nec ad quintam, nec ad octauam, nec ad nonam, de aliis videbimus infrà. <C><I>Theorema</I> 49.</C> <p><I>Non e$t mixtus ex naturali accelerato, & violento æquabili</I>; probatur, quia in fine motus e$$et maior impetus, igitur e$$et maior ictus contra ex- perientiam; imò longè maior quàm $i mobile proiiceretur per horizon- talem, quia diutiùs durat ille motus; igitur plures gradus impetus na- turalis acquiruntur; igitur longè maior e$t ictus; prætereà $i impetus naturalis de$truit impetum $ur$um in verticali, cur non in inclinata? nam e$t eadem omninò ratio; quippe ideò de$truitur in verticali, quia cor- pus graue $ur$um attollitur; cùm tamen $ua $ponte deor$um ferri debe- ret; $ed non minùs, cùm per inclinatam $ur$um proiicitur, remouetur à <pb n=166> $uo centro, & $ur$um rapitur; nec ob$tat oppo$itio lineæ vertcalis $ur- $um cum perpendiculari deor$um; quia etiam per inclinatam deor$um fertur in plano inclinato, quæ opponitur ex diametro alteri inclinatæ $ur$um. <C><I>Theorema</I> 50.</C> <p><I>Non e$t mixtus in a$cen$u ex primo accelerato & $ecundo retardato, acce- lerato inquam eo modo quo acceleratur in perpendiculari deor$um</I>; probatur primò, quia motus ille e$$et $emper æqualis, quia tantùm adderetur im- petus quantùm detraheretur, igitur e$$et idem ictus in fine qui in princi- pio; Secundò, quia tempora motuum e$$ent breuiora quàm par $it con- tra experientiam, vt patet ex Th.46. <C><I>Theorema</I> 51.</C> <p><I>Non e$t mixtus in a$cen$u ex violento retardato, & naturali accelerato, eo modo quo diximus in Th.</I> 30. probatur, quia cùm acceleretur iuxta ratio- nem plani inclinati deor$um, vt dictum e$t, $upra horizontalem; nullum e$t amphùs planum inclinatum deor$um; igitur nulla acceleratio, imò impetus naturalis, vt iam $uprà dictum e$t cre$cit tantùm vt motus deor- $um acceleretur; $ed nullus e$t hîc motus deor$um; modicùm figuræ rem ob oculos ponit;<note><I>Fig.</I>45 <I>Tab.</I>1.</note> motus in plano AB e$t ad motum in AC vt AC ad AB, & in AD, vt AD ad AB, & in AE, vt AE ad AB; igitur immi- nuitur in infinitum; $ed acceleratur in inclinata deor$um iuxta hanc ra- tionem, igitur nulla $upere$t ampliùs proportio, $ecundum quam acce- lerari po$$et in inclinata $ur$um. <C><I>Theorema</I> 52.</C> <p><I>Hic motus e$t mixtus ex naturali æquabili, & violento retardato in a$cen- $u</I>; probatur, quia nulla alia combinatio præter hanc $upere$t, quam tertio loco $uprà collocauimus in Th. 30. ratio à priori e$t, quia natura- lis innatus non retardatur; quia nunquam de$truitur, nec acceleratur; quia $ur$um tendit mobile; igitur $upere$t tantùm quod $it æquabilis, violentus verò non acceleratur, vt patet, quia nulla e$t cau$a: non e$t æquabilis, quia coniunctus e$t cum cau$a de$tructiua; igitur e$t re- tardatus. <C><I>Theorema</I> 53.</C> <p><I>Hic motus e$t mixtus in arcu de$cen$us ex naturali accelerato eo modo, quo diximus $uprà in Th.</I> 30. <I>& violento retardato</I>; probatur per idem Th.e$t enim par vtrique motui ratio; quippe hic perinde $e habet, atque $i mo- bile per horizontalem proiiceretur, nam præuius motus nequidquã facit. <C><I>Theorema</I> 54.</C> <p><I>Arcus vterque constat linea curua</I>; probatur per Th.19. non e$t tamen Parabola linea arcus de$cen$us per Th.20.& 27. <C><I>Theorema</I> 55.</C> <p><I>Pote$t hac linea vtcumque de$cribi, $uppo$ita retardatione violenti in pro</I>- <pb n=167> <I>portione arithmetica $implici</I>;<note><I>Fig.</I>41 <I>Tab.</I>1.</note> $it enim verticalis, AG horizontalis AN, linea projectionis AD; $itque primum $egmentum AD, quod $cilicet percurritur eo tempore quo in perpendiculari deor$um percurritur DF, id e$t, v.g. $exta eius pars, ducatur AFG, $itque FG 5. partium, quarum $cilicet AD e$t 6. a$$umatur GH æqualis DF, ducaturque FHI; $itque HI 4. partium, a$$umatur IP æqualis GH, ducaturque HP; accipiatur PK 3. partium; iam motus naturalis acceleratur eo modo quo $uprà di- ctum e$t iuxta rationem inclinationis deor$um; itaque a$$umatur KL paulo maior IP; $imiliter ducatur PLM, $itque LM duarum partium, & MN paulò maior KL, tum $it LNO, $itque NO 1. partis, & OB ma- ior MN, & ducatur curua per puncta A.F.H.P.L.N.B. & habebis intentum. <p>Porrò hæc linea non e$t parabolica, vt con$tat ex Geometria & plura puncta habebis $i minora $patiola a$$umas; $uppono enim DF e$$e tan- tùm id $patij quod primo in$tanti in perpendiculari deor$um à corpore graui percurritur. <C><I>Theorema</I> 56.</C> <p><I>Aliter hæc linea pote$t de$cribi $uppo$ita retardatione per numeros impa- res; vt habes in fig.</I> 46.T.1. in qua AC e$t verticalis, AB horizontalis, AD inclinata 9. partium, FG 7. HI 5. reliqua vt $uprà dictum e$t. <p>Si verò linea inclinata recedat longiùs ab horizontali, & accedat pro- piùs ad verticalem; vt habeantur puncta, transferantur cadem $patia, & habebis puncta, per quæ de$cribes prædictam lineam. <p>Denique $i inclinata accedat propiùs ad horizontalem, transferantur $imiliter $patia vnius in alteram. <p>Ob$eruabis autem crementa de$cen$us in GH. IB e$$e iuxta nume- ros impares 1.3.5.7.&c. quandoquidem a$$umitur $patium quod confi- citur in tempore $en$ibili, habita tamen $emper ratione accelerationis, quæ fit in plano inclinato, vnde cre$cit $emper proportio acceleratio- nis, vt $uprà demon$trauimus; quæ certè proportionum inæqualitas ef- ficit, ne po$$int accuratè de$cribi prædictæ lineæ, $ed tantùm rudi Miner- uâ, cum $ingulis in$tantibus mutetur proportio accelerationis. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis nondum e$$e à nobis determinatam proportionem illam, in qua de$truitur impetus violentus in motu mixto, quæ tamen ex dictis $uprà pote$t colligi; quippe de$truitur pro rata, ide$t qua proportione linea motus mixti e$t minor linea compo$ita ex vtroque, $it ergo. <C><I>Theorema</I> 57.</C> <p><I>Impetus violentus $olus de$truitur in arcu a$cen$us</I>; probatur, quia natu- ralis non cre$cit, vt patet; con$tat enim arcus a$cen$us ex naturali æqua- bili, $ed aliquis impetus decre$cit, vt con$tat ex dictis, igitur $olus violentus. <pb n=168> <C><I>Theorema</I> 58.</C> <p><I>Impetus naturalis non decre$eit etiam in arcu de$cen$us</I>; probatur quia cre$cit, vt dictum e$t $uprà, igitur non decre$cit. <C><I>Theorema</I> 59.</C> <p><I>De$truitur impetus violentus pro rata. id e$t, qua proportione e$t frustràs</I> v.g.<note><I>Fig.</I>48 <I>Tab.</I> 1.</note> $it impetus per AD inclinatam $ur$um, & alius per AB perpendi- cularem deor$um; haud dubiè motus erit per AC; igitur concurrunt ad motum AC motus AB & AD, vel potiùs impetus; igitur debet de- $trui impetus in ea proportione, in qua AC e$t minor AG, id e$t com- po$ita ex AD, DC, quod impetus AB non po$$it de$trui; totum id quod de$truetur detrahetur impetui AD; igitur a$$umatur DF $cilicet differentia AC, & AG; impetus de$tructus ita $e habet ad impetum AD, vt DF ad AD, & ad re$iduum impetum ex AD, vt DF ad FA, quæ omnia con$tant ex Th.7. $it<note><I>Fig.</I>49 <I>Tab.</I> 1.</note> ergo AC fig. 49. perpendicularis $ur- $um, AD inclinata, AB horizontalis; $it impetus violentus re$pondens AD, & naturalis DG, ducatur AGK, ex AD detrahatur DF, id e$t differentia AG & compo$itæ ex AD. DG, $upere$t AF, cui a$$umitur æqualis GK, ex qua detrahitur KH, id e$t differentia GL, & compo$itæ ex GK, KL, $upere$t GH, cui LO accipitur æqualis, cui detrahitur OM, id e$t differentia LP & compo$itæ ex LO, OP, $upere$t ML, cui æqualis accipitur PR, atque ita deinceps. Porrò demon$tratur de$trui impetum violentum iuxta hanc proportionem; quia de$truitur, qua proportione e$t fru$trà, pro rata per Ax.2.& Th.7.$ed totus impetus qui concurrit ad $ecundam lineam AG, e$t compo$itus ex AD, GD; quia $i naturalis $olus e$$et, percurreret $patium æquale DG; $i verò $olus e$$et violentus percurreret $patium æquale AD; igitur vterque $imul $umptus e$t vt cõpo$ita, ex AG. DG. igitur $i ea proportione e$t fru$trà, qua motus deficit, cùm AG $it motus; certè motus e$t ad impetum, vt AG ad compo- $itã ex AD. DG; igitur deficit motus tota DF quæ e$t differentia AG & cõpo$itæ ex AD. DG; igitur impetus e$t fru$trà in ratione DF; igitur de- bet de$trui in ratione DF; $ed impetus DG $eu naturalis nihil de$trui- tur per Th.57. & 58. igitur ex violento AD de$truitur DF; igitur $u- pere$t tantum AF vel æqualis GK; $imiliter impetui GK & KL re- $pondet motus GL, $ed GL e$t minor compo$ita ex GK & KL $eg- mento KH; igitur e$t fru$trà impetus in ratione KH; igitur de$truitur in eadem ratione KH, non ex naturali KL; igitur ex violento GK; igitur $upere$t tantum GH, vel æqualis LO, in qua $imiliter procedi- tur. & $upere$t LM vel æqualis PR, atque ita deinceps. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Hinc de$truitur impetus initio motus in maiori quantitate, quia <pb n=169> DF. v. g. e$t maxima omnium differentiarum. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Hinc $ub finem differentia lineæ motus v. g. TB $emper e$t maius latus trianguli TXB; idem dico de aliis; igitur differentia lineæ motus & compo$itæ ex duplici impetu e$t $emper minor & minor in in- finitum. <C><I>Corollarium</I> 3.</C> <p>Po$$unt determinari à Geometria omnes anguli triangulorum ADG. GKL. OLP. nam ADG e$t æqualis CAD, at verò GKL æqualis KGD, & hic duobus $imul ADG & DAG, igitur determinari facilè poterunt ex doctrina triangulorum. <C><I>Corollarium.</I> 4.</C> <p>Hinc etiam $ciri poterit in quo puncto linea motus v.g. LP cum per- pendiculari OP faciat angulum rectum, quod $atis e$t indica$$e, nam hic Geometram non ago. <C><I>Corollarium</I> 5.</C> <p>Hinc quoque $ciri pote$t maxima altitudo huius projectionis, quæ $cilicet in eo puncto e$t, in quo linea motus cum perpendiculari deor- $um facit angulum rectum, v.g. in puncto P, $i angulus LPO e$t rectus. <C><I>Corollarium</I> 6.</C> <p>Hinc pote$t etiam $ciri altitudo operâ triangulorum productorum AG 2. GK 3. OLP. quod quiuis Geometra facilè intelliget; hîc quo- que obiter ob$erua vnum, quod $æpè aliàs indicauimus, quanti videlicet momenti $it Geometria in rebus phy$icis. <C><I>Corollarium</I> 7.</C> <p>Hinc etiam colligo arcum a$cen$us maiorem e$$e arcu de$cen$us $u- pra idem planum horizontale AB; quia in arcu de$cen$us acceleratur pro ratione diucr$æ inclinationis impetus naturalis; igitur lineam mo- tus addunt propiùs ad perpendicularem, vt vides in TB; igitur minùs acquirit in horizontali; igitur minor amplitudo horizontalis $ube$t ar- cui de$cen$us projectorum quàm arcui a$cen$us; dixi $uprà idem pla- num, quia arcus de$cen$us infra planum AB propagatur ferè in infi- nitum. <C><I>Corollarium</I> 8.</C> <p>Hinc reiicio Galileum qui nulla pror$us fultus ratione phy$ica vult vtrumque e$$e æqualem, quod tamen omnibus experimentis repugnat, & ip$i etiam pueri, qui di$co ludunt ob$eruare po$$unt arcum de$cen$us $ui di$ci e$$e longè minorem, nec e$t quod ad $uam Parabolam confugiat, quæ duo fal$a $upponit principia, $cilicet æquabilitatem motus violen- ti, & accelerationem naturalis co $cilicet modo quo fieret in perpendi- culari; at vtrumque fal$um e$$e $uprà demon$trauimus, adde quod vt iam <pb n=170> dixi in $agitta emi$$a, projecto di$co, &c. omnes ob$eruare po$$unt ar- cum a$cen$us maiorem e$$e arcu de$cen$us, quod etiam $upponunt om- nes, qui de re tormentaria $crip$erunt; præ$ertim Vfanus tract. 3. c. 13. <C><I>Corollarium</I> 9.</C> <p>Hinc etiam colliges contra Vfanum globum è tormento emi$$um per inclinatam $ur$um non ferri primò per lineam rectam, quia mouetur motu mixto, qui rectus e$$e non pote$t in hoc ca$u per Th.54. <C><I>Corollarium</I> 10.</C> <p>Motus mixtus arcus de$cen$us v$que ad centrum terræ durare pof$et $i producerentur tot partes impetus quot $unt in$tantia illius motus; quia cùm $emper de$truatur minor impetus, & minor in infinitum, po$t ali- quod $patium de$cen$us tam parùm de$truitur v$que ad centrum terræ vt non adæquet totus ille impetus primam partem primo in$tanti de$tru- ctam, at tunc linea motus à perpendiculari deor$um di$tingui non pote$t. <C><I>Corollarium</I> 11.</C> <p>Sed ne Geometriam omninò de$picere videar,<note><I>Fig.</I>50 <I>Tab.</I>1.</note> in circulo demon$tro proportiones omnes in quibus decre$cit motus violentus per quamlibet lineam inclinatam $ur$um, vel deor$um; $it ergo circulus ADGQ cen- tro B; $it motus violentus $ur$um BD coniunctus cum naturali BR, $int- que ex gr. BR. RQ æquales; hand dubiè linea motus erit BC, quia na- turalis BR pugnat pro rata per Th.134.l.1. eritque BC $ubdupla BD; igitur centro R. $emidiametro RC de$cribatur circulus CLPS, erit æqualis priori, ducanturque ex centro B infinitæ lineæ BE. BF. BK. BN, & vt res fit clarior, $int omnes anguli DBE. EBF. FBG, &c. æquales $cilicer grad. 30. & ex punctis E.F.G.K.N.Q. ducantur lineæ ad circunferentiam circuli CLPS. parallelæ DP.Dico omnes e$$e æqua- les DC; nam primò FH. GL. KM. QP $unt æquales, vt patet: deinde CE & QO $unt æquales; igitur EV. OX, quod etiam certum e$t; igi- tur $i $upponatur idem motus violentus æqualis BD per omnes inclina- tas BE. BF, &c. coniunctus naturali æquali BR; primum $patium erit BC, $ecundum BV, tertium BH, quartum BL, quintum BM, $extum BO<SUB>2</SUB> $eptimum BP. quod certè mirabile e$t; nam ex BE. EV. fit BV per Th.5. funiliter ex BF. FH. fit BH, ex BG. GL. fit BL; denique ex BQ. QP fit BP; iam verò proportiones i$tarum linearum ex Trigo- nometria facilè intelligi po$$unt. <C><I>Theorema</I> 60.</C> <p><I>Iactus per horizontalem, & per verticalem nihil acquirit per $e <*> eodem plane horizontali, vnde incipit iactus</I>; probatur, quia verticatis iactus per eamdem lineam redit; horizontalis verò $tatim de$cendit; quia motus <pb n=171> mixtus e$t per Th.44. dixi per $e, nam fortè per accidens fieri pote$t, vt iactus horizontalis habeat arcum a$cen$us, & de$cen$us. <C><I>Theorema</I> 61.</C> <p><I>Hinc quò iactus propiùs accedit ad horizontalem $eu verticalem, minùs acquirit in eodem plano horizontali, $cilicet in eo à cuius extremitate inci- pit iactus</I>; probatur, quia cùm iactus verticalis nihil pror$us acqui- rat in hotizontali plano per Theorema 60. certè quò propiùs ad illum iactus inclinatus accedet, minùs acquiret; idem dico de iactu hori- zontali. <C><I>Theorema</I> 62.</C> <p><I>Hinc quò iactus longiùs recedit ab vtroque $cilicet à verticali, & hori- zontali, plùs acquiret in eodem plano horizontali</I>; $i enim quò plùs ac- cedit ad vtrumque, minùs acquitit, igitur plùs acquirit, quò plùs re- cedit. <C><I>Theorema</I> 63.</C> <p><I>Hinc iactus medius $eu per inclinatam qua cum verticali, vel horizontali facit angulum</I> 45.<I>$eu $omirectum, e$t omnium maximus, id e$t plùs acqui- rit in eodem plano horizontali, quàm reliqui omnes</I>; experientia certi$$ima e$t, ratio e$t quia ab horizontali & verticali maximè omnium di$tat; igitur maximus e$t per Theorema 62. nec e$t vlla alia ratio geome- trica. <C><I>Theorema</I> 64.</C> <p><I>Iactus qui æqualiter ab horizontali & verticali di$tant, $unt æquales</I>; probatur, quia qua proportione ad horizontalem $eu verticalem acce- dit iactus, in ea proportione minor e$t; igitur qui æqualiter acce- dunt in proportione æquali, minores $unt; igitur æquales, quod mo- dica figura<note><I>Fig.</I>5<*> <I>Tab.</I>1.</note> ob oculos ponet; $it enim quadrans ABF, iactus verti- calis AB, horizontalis AF, medius AD, hic maximus omnium erit; at verò AC, & AE, qui ab AD æqualiter di$tant, erunt æ- quales. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò, omitti à me multa quæ $uis Parabolis aliqui af- fingunt, quæ nec experimentis, nec vllis rationibus con$en- tiunt. <p>Secundò rationem i$torum omnium Theorematum; quia quo iactus <*>d verticalem propiùs accedit, maior quantitas impetus de$truitur <note><I>Fig.</I>4<*> <I>Tab.</I>1.</note> v.g. in AD plùs quàm in GK; igiturcitò deficiunt vires huic iactui; adde quod acquirit in verticali, quod alius acquirit in horizontali; at <pb n=172> verò qui propiùs accedit ad horizontalem citò de$cendit infra planum horizontale, tùm quia propior e$t, tum quia citò naturalis impetus acceleratur; igitur plùs acquirit in perpendiculari deor$um, quàm in horizontali; quæ omnia ex certis principiis, non fictitiis dedu- cuntur. <p>Tertiò, ob$eruabis talem e$$e hypothe$im illam Paraboli$tarum, de qua $uprà;<note><I>Fig.</I>1. <I>Tab.</I>1.</note> $it enim iactus verticalis EA; medius EB; certè ex corum etiam principio eo tempore, quo motu æquabili percurreret mobile $pa- tium EA, motu naturalirer retardato percurreret $patium EG $ubdu- plum; atqui percurrit EG eo tempore, quo idem percurreret GE motu naturaliter accelerato; $ed percurret inclinatam EC eo tempore quo percurret EA, $cilicet motu æquabili; $unt enim æquales: Volunt autem FE diuidi in 16. partes, & ED in 8. ducique parallelas HQ IP, &c. & ac- cipi VR (1/16) FE, ita vt RQ $it ad RH vt 9.ad 7. & PS (4/16) & NT (9/16), vel O T (1/16) PS (4/16) PR (9/16); igitur eo tempore, quo mobile e$$et in IX, erit in M; igitur motus naturalis acqui$iuit XM, id e$t 1/4 AE; igitur eo tempore quo e$$et in B erit in D; igitur motus naturalis acqui$iuit BD quadruplum X M; nam $i vno tempore motu æquabili conficit EX, duobus conficit E D & $i motu naturaliter accelerato conficit vno tempore XM, duobus conficit BD iuxta proportionem Galilei, in qua $patia $unt vt temporum quadrata; & quo tempore motu æquabili conficeret EA, vel EB naturali conficeret GE vel CZ æqualem GE; ducatur igitur linea per puncta E. RS, OM, hæc e$t $emiparabola cui $i addas MZD, habebis totam ampli- tudinem Parabolæ ED, hoc e$t totum $patium, quod acquirit in plano horizontali ED iactus medius EB. <p>Si verò $it inclinata EY; vt habeatur iuxta hanc hypothe$im amplitu- do horizontalis; fiat $emicirculus centro G, $emidiametro GE; $it per- pendicularis YK, erit $ubdupla amplitudo; $icut perpendicularis XL de- finit $ubduplam amplitudinem LE iactus EB; $imiliter YK definit $ubdu- plam amplitudinem iactus E<*>4.3.nam arcus YX e$t æqualis arcui X 4. igitur anguli YEC, CE. 3. $unt æquales; hinc iactus $unt æquales $upra, & infra grad.45. vt autem habeatur altitudo Parabolæ $ubdupla XL e$t al- titudo Parabolæ iactus EC, $ubdupla YX e$t altitudo iactus EY, $ubdu- pla 4.K e$t altitudo iactus E 3. <p>Ex his facilè iuxta hypethe$im tabulæ omnium iactuum, cuiu$libet eleuationis con$trui po$$unt; de quibus habes plura apud Galileum in dialogis, & plurima apud Mer$ennum in Bali$tica; quare ab illis ab$ti- neo: præ$ertim cum $it fal$a illa hypothe$is, eiu$que $ectatores vltrò fa- teantur tabulas illas non parum à vero abe$$e, de quo vide Mer$ennum prop. 30. Bali$t. <p>Quartò, po$$unt iuxta no$tram hypothe$im tabulæ nouæ con$trui, quod & ego præ$tarem, ni$i pror$us inutiles e$$ent; quare prudenter omi$$as e$$e prudentes omnes cen$ebunt, cum hîc calculatorem non agã, $ed phi- lo$ophu<*>; id certè tolerari potuit in analyticis, quæ $ine calculationibus intelligi non po$$unt; $ed minimè ferendum in Phy$ica, quæ $ucculen- <pb n=173> tior e$t, quàm vt numeris tantùm, $icci$&qacute;ue calculis nutriatur; adde quod Praxis Theoricæ in his omninò præferenda e$t; quamquam huic etiam parti dce$$e nolumus, $ed in $ingularem libellum omnes i$tas tabulas & alias huiu$modi remittimus; cum hic tantùm rerum phy$icarum cau$as explicemus. <C><I>Theorema</I> 65.</C> <p><I>Si accipiatur planum horizontale intra illud vnde incipit iactus haud du- biè iactus omnium maximus erit horizontalis in vtraque hypothe$i.</I> Primo in hypothe$i Galilci, in qua Parabola GD figurâ $uperiore habet maximum omnium amplitudinem; licèt iactus per GX; ex quo $equitur, non ha- beat impetum maiorem, quâm iactus per EY, vel EX; in no$tra verò, ia- ctus<note><I>Fig.</I>50 <I>Tab.</I>1</note> per BG primo tempore plùs acquirit in horizontali BG, quàm ia- ctus per BF; igitur plùs etiam $ecundo tempore; nam BF acquirit tantùm primo tempore BH, at verò BG acquirit RL; adde quod minùs perit ex iactu BG; quippe a$$umatur BL in B 2. & GL in 2. 3. detrahitur tantùm G. 3.ex BG; at verò a$$umatur BH in B 4. & FH in 4.5. detrahitur F 5.ex BF; igitur plùs ex BF quàm ex BG; quæ omnia ex $uperioribus regulis iu$ta no$tram hypothe$un præ$criptis con$equuntur. <C><I>Theorema</I> 66.</C> <p><I>Immò probabile e$t æquales fore iactus per inclinatas $ur$um, & deor$um æqualiter ab horizontali, vnde incipit iactus, distantes; æquales inquam in ali- quo plano horizontali, inferiore</I>; $i enim iactus fiat per BD eadem figura & BP nihil acquiritur in horizontali, vt con$tat; $i verò iactus $it per BG maximum $patium acquirunt in horizontali plano inferiore; igitur qua proportione propiùs accedent lineæ $eu iactus ad BD, PP minùs acqui- rent; qua verò proportione propiùs accedent ad RG plùs acquirent; igi- tur æqualiter plùs, & minùs hinc inde, $i æqualiter hinc inde di$tent; im- mò hoc ip$um præ$entibus oculis intueri licèt; $i enim iactus BF compa- retur cum iactu BK; certè BK acquirit RK, BF acquirit BH æqualem B K; $ed BF & BK æqualiter di$tant ab horizontali BG; nam arcus GF, & GK $unt æquales, vt con$tat: idem dico de iactu BE, & BX, qui acquirunt æquale $patium in horizontali æquale $cilicet BZ. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis hoc omninò licèt mirum cuiquam fortè videatur, certè in$titutum e$$e à natura; $i enim comparentur omnes iactus $uprà hori- zontalem BG, haud dubiè cum duo extremi $cilicet BD, & BG nihil pror$us acquirant, vt con$tat ex dictis, iactus medius $cilicet ad gradum 45.erit omnium maximus, quia æqualiter ab vtraque extremitate di$tat, vt demon$trauimus $uprà; $i verò comparentur omnes iactus, qui po$- $unt fieri à centro B per totum $emicirculum DGQ; certè cum duo ex- tremi BD, BQ nihil pror$us acquirant, vt con$tat, iactus medius, $cilicet ad gradum 90.qui e$t BG erit omnium maximus, quia æqualiter ab vtra- <pb n=174> que di$tat extremitate; $imiliter quemadmodum iactus æqualiter à me- dio iactu 45. di$tantes æqualem amplitudinem acquirunt in horizontali BG, ita qui æqualiter di$tant à medio iactu 90.vel horizontali BG æqua- lem amplitudinem acquirunt in aliquo plano hoaizontali, $cilicet in eo vnde vterque iactus de$init in perpendicularem deor$um. <p>Ob$eruabis $ecundo, omnes perpendiculares deor$um perinde accipi, atque $i e$$ent parallelæ propter in$en$ibilem differentium; quod certè ab omnibus admittitur; quomodo verò per diuer$a plana deor$um cor- pus rendere po$$it, v$que ad cuntrum terræ, Libro $equenti explica- bimus. <C><I>Theorema</I> 67.</C> <p><I>In iactu per inclinatam deor$um dato tempore minùs detrahitur de impetu violento, quàm in iactu per inclinatam $ur$um</I><note><I>Fig.</I> <*>. <I>t.</I> 2.</note> $it enim circulus centro A $emidiametro AG; $itque AG horizontalis, & AO perpendiculatis deor- $um; $it iactus per inclinatam $ur$um AD, $itque impetus violentus vt A D, & naturalis deor$um vt DE; linea motus erit DAE; igitur a$$umatur A E in AC, & DE in CB, ex impetu AD detrahitur DB, vt con$tat ex dicti<*>s quia totius ille fru$trà e$t; $it autem inclinata deor$um cum impetu vio- lento æquali AI æqualis AD, $itque naturalis deor$um acceleratus pr<*> rata plani inclinati vt IL, linea motus erit AL; a$$umatur AK, vt AL, & KH vt IL, detrahitur tantùm IH, $ed IH e$t minor DB; igitur tempore $equenti æquali impetus violentus inclinatæ $ur$um erit vt EF æqualis AB inclinatæ deor$um, vt LM, quæ maior e$t EF, quia e$t æqua- lis AH. <p>Ratio à priori e$t, quia cum inclinata deor$um faciat acutum angu- lum cum perpendiculari deor$um, cum quo obtu$um facit inclinata $ur- $um, maior e$t in illa linea motus; e$t enim maior diagonalis, in hac ve- rò minor, igitur in illa minùs impetus e$t fru$trà, in i$ta verò plùs, igitur minùs impetus in illa de$truitur, plùs in i$ta; quæ omnia con$tant ex Th. 110. & 139. & 140. l.1. habes etiam in qua proportione decre$cat impetus. <C><I>Theorema</I> 68.</C> <p><I>Hinc in iactu qui fit per inclinatam deor$um minùs detrahitur,</I> & in eo qui fit per inclinationem $ur$um plùs detrahitur, in perpendiculari deor- $um nihil detrahitur, in perpendiculari $ur$um totus detrahitur qui po- te$t extrahi, id e$t ex collectione vtriu$que naturalis, & violenti dupli naturalis in prima linea motus; hæc omnia $equuntur ex dictis. <p>Obiici pote$t vnum $atis difficile; quia $i in perpendiculari deor$um purà in AP nihil detrahitur impetus violenti, igitur cre$cit $emper vis ictus, quod videtur e$$e contra experientiam. <p>Re$p, me aliquando fui$$e in ea $ententiâ, vt reuerâ exi$timarem de- cre$cere impetum violentum in iactu perpendiculari deor$um; cum etiam exi$timarem decre$cere vim ictus; $ed re melius con$iderata, cum nunquam id experiri potuerim; nam $emper fentio vim ictus maiorem, <pb n=175> cum deorfum mobile proiicitur, quàm cum $ua $ponte ex eadem altitu- dine de$cendit; certè ni fallor cum ratio demon$tratiua pro hac $en- tentia faciat, non dubitaui ampliùs priorem $ententiam immutare. <p>Porrò ratio, quæ pro hac $ententia facit, remque ip$am euincit, talis e$t; certum e$t impetum violentum de$trui à naturali aliquando in ma- iori, aliquando in minori proportione, vt con$tat ex dictis; illa autem, $eu maior, $eu minor proportio aliam regulam non habet præter illam quam toties inculcauimus, id e$t impetum de$trui pro rata, id e$t qua propo rtione e$t fru$trà, id e$t qua proportione e$t minor motus co, qui e$$et ab vtroque impetu $i ad eamdem lineam vterque determinatus e$$et atqui cum proiicitur mobile deor$um, vterque impetus ad eamdem li- ne am e$t determinatus; igitur nihil motus dec$t per Th.138.l.1. igitur nihil impetus e$t fru$trà; igitur nihil impetus illius de$truitur. <p>Quod dictum e$$e velim non con$iderata medij re$i$tentiâ, quæ certè aliquid impetus de$truit, quod tamen in$en$ibile e$t in medio libero, pu- tà in aëre; $i enim in$en$ibilis e$t hæc re$i$tentia in motu naturali; dum mobile $it eius $oliditatis, quæ $uperet facilè vim aëris; certè etiam in- $en$ibilis e$t in motu proiectorum, præ$ertim in mediocri $patio, e$t enim par vtrobique ratio. <p>Equidem fateor in longi$$imo $patio po$$e tandem de$trui totum im- petum violentum; nam $i aliquid in dato $patio de$truitur; igitur in ma- iore piùs de$truitur; atque ita deinceps, donec tandem totus de$tructus $it; at verò in iis altitudinibus, ex quibus corpus deor$um proiicere po$- $umus, vix quidquam facit prædicta re$i$tentia. <p>Nec e$t quod aliquis dicat ab hac re$i$tentia non de$trui impetum naturalem in motu naturaliter accelerato, vt dictum e$t in $ecundo lib. Igitur nec de$trui violentum; nam qua proportione cre$cit medij re$i- ftentia, cre$cunt vires impetus, qui perpetuò augetur; nde cum remaneat $emper eadem re$i$tentiæ proportio $icut primo tempore mo- tus impedit hæc re$i$tentia, ne tantillùm impetus producatur; ita $ecun- do tempore impedit ne tantillùm æquale producatur; igitur nihil pro- ducti impetus ab illa de$truitur propter augmentum continuum: at ve- rò cum impetus violentus non intendatur; certè $i tantillùm illus perit, primo vel $ecundo in$tanti motus, propter medij re$i$tentis, tantillùm æquale $ingulis temporibus æqualibus de$truitur; igitur cum infinitus non $it po$t longi$$imum $patij tractum totus tandem de$truetur vio- lentus $olo $uper$tite naturali. <p>Hinc fortè $agitta ex notabili altitudine minùs ferit; quia materia illa lignea, & plumea, ex qua con$tat, multùm ab aëre re$i$tente accipit de- trimenti: adde quod licèt initio deor$um rectà emittatur; attamen mini- mo aëris flatu declinat tantillùm obliqua; hæc verò obliquitas maximam ictus vim infringit, & conflictus impetuum qua$i ip$um ictum diftrahit, quod facilè probabis, $i modico ferè tactu cadentem perpendiculariter fagi<*>am à $uo tramite deturbes. <p>Dices, etiam in glande è tormento explo$a hoc ip$um cernitur <pb n=176> <p>Re$p. e$t minor vis ictus inflicti à glande deor$um, quàm $ur$um vt aliqui putant; id autem ex duplici capite procedere; primum e$t, cum fe- ratur glans ab igne per aliquod tempus, non e$t dubium, quin vis ignis $ur$um maior $it quàm deor$um; cum $ur$um gemino qua$i impetu fera- tur, deor$um verò impetu tantùm explo$ionis; $ecundum e$t, quia cum glans iam deor$um $ua $ponte de$cendat, haud dubiè ab igne minus eò impelli pote$t, vt $æpè diximus $uprà; quidquid $it, $i proiiciatur dcor$um globus plumbeus vel arcu, vel manu, ob$eruabitur maiorem ab co ictum infligi, quàm $i $ua $ponte de$cenderet. <C><I>Theorema</I> 69.</C> <p><I>Si corpus moueatur deor$um perpendicul ariter motu mixto, eo tempore que motu naturali acquireret illum impetum quem habet motu violento, acquirit triplum illius $patium</I> v.g.<note><I>Fig.</I>53 <I>Tab.</I> 1.</note> in figura $uperiore $it linea perpendiculatis deor$um A E, in qua motu naturali dato tempore acquiratur AB, & $e- cundo tempore æquali BC; $itque impetus violentus vt AC: Dico quod æquali tempore prioribus acquireret AE triplum AC, quia motu ve- loci vt AC acquirit CE eo tempore, quo motu veloci vt AB acquirit A B, & veloci vt BC acquirit BC; nam eo tempore, quo acquirit AB acqui- rit CD, & eo tempore, quo acquirit BC acquirit DE; ergo eo tempore, quo acquirit AC acquirit CE; ergo $i iungatur motus naturalis viole<*>to, co tempore, quo motu naturali acquiretur tantùm AC, motu mixto ex naturali & tali violento acquiretur AE, id e$t triplum: $i verò moueatur duobus temporibus, ita vt primò acquirat AC, & altero triplum AC, $itque coniunctus impetus violentus vt AC; certè duobus temporibus acquiretur motu mixto octuplum AC, $ed hæc $unt facilia. <C><I>Theorema</I> 70.</C> <p><I>Si corpus graue proiiciatur deor$um per medium aëra, quire$i$tat, cum tandem de$truatur impetus violentus, vbitotus de$tructus e$t, minor e$t ictus quàm e$$et. $i corpus graue $olo impetu natur ali eò de$cendi$$et</I>; quod demon- $tro,<note><I>Fig.</I>34 <I>Tab.</I>1.</note> $it enim $patium AD, quod percurrit motu mixto eo tempore, quo motu naturali puro $patium BC idem mobile percurreret, $itque de$tru- ctus in puncto D totus impetus violentus; certè remanet tantùm natu- ralis acqui$itus co tempore, quo mobile percurrit BC; $ed temporibus æ- qualibus acquiruntur æqualia velocitatis momenta; igitur æqualis im- petus; igitur in C tantùm ille impetus, qui e$$et in E vel in D; $ed dum percurreret ED motu puro naturali, augetur impetus; igitur maior e$$et impetus in D $ub finem motus naturalis per AD, quam motus mixti per camdem AD; igitur maior ictus $ub finem naturalis; igitur minus $ub fi- nem violenti. <C><I>Theorema</I> 71.</C> <p><I>Hinc paradoxon egregium; mobile proiectum in data di$t antia minùs ferit quàm $ua $ponte demi$$um</I>; quod nece$$ariò $equitur ex dictis. <p>Ob$eruabis $crupulum adhuc fortè hærere, cur $cilicet impetus <pb n=177> violentus non de$truatur à naturali, cuius $cilicet iu$tam impedit ptopa- gationem; $ed profectò nullo modo impetus ille violentus impedit effe- ctum impetus naturalis innati vel addititij; quia vterque totum $uum ef- fectum $ortitur; quod autem $pectat ad propagationem; certè ita propa- gatur, vt temporibus æqualibus æqualis impetus accedat. <p>Dices, debes quidem nouus impetus accedere, $ed non tali modo. <p>Re$p. non e$$e alium modum à natura in$titutum, ni$i vt temporibus æqualibus æqualia velocitatis momenta acquirantur. <p>Dices præterea, fru$trà accedit nouus impetus naturalis, cum iam ad- $it violentus, qui eius munere defungi pote$t. <p>Re$p. cau$am nece$$ariam nece$$ariò agere; igitur corpus graue perpe- tuò in medio libero $uum motum intendit. <C><I>Theorema</I> 72.</C> <p><I>Pote$t vtcumque delineari linea motus mixti per inclinat am deor$um</I><note><I>Fig.</I><*> <I>Tab.</I>1<*></note> $it enim perpendicularis door$um AB $it iactus per inclinatam AF; $itque impetus violentus vt AE naturalis vt EC, linea motus erit AC; a$$umatur AF æqualis AC, & DF æqualis EC, $itque CH vt AD, & impetus natu- ralis auctus vt HK, linea motus crit CK; $it CI æqualis DK, & IG æqua- lis HK, & KL æqualis CG; $it que impetus naturalis $ecundò auctus vt L M; linea motus erit KM; igitur connectantur puncta AC, KM per lineam curuam, hæc e$t linea quæ$ita, vt con$tat ex dictis $uprà. <C><I>Theorema</I> 73.</C> <p><I>Hinc pote$t aliquo tempore tantùm impetus violenti de$trui quantùm pro- ducitur naturalis</I>; igitur $i non con$ideres re$i$tentiam medij, tunc æqua- <*> is e$$et ictus, & æquabilis motus. <C><I>Theorema</I> 74.</C> <p><I>Quando mobile peruenit in M, & acqui$iuit in perpendiculari deor$um to- tam altitudinem AR, non habet totum impetum naturalem, quem acquireret motu naturali per totam AR, $ed tantùm illum, quem acquireret in compo$ita ex $egmentis NO, PB, QR</I>; quia ad motum i$tum deor$um non tantùm concurrit impetus naturalis, $ed etiam violentus vt con$tat. <C><I>Theorema</I> 75.</C> <p><I>Hinc reiicies Galileum, & alios,</I> qui volunt<note><I>Fig.</I>52 <I>Tab.</I>1.</note> in linea motus AC ac- quiri tantumdem impetus naturalis quuntum in perpendiculari AB ac- quireretur. <C><I>Theorema</I> 76.</C> <p><I>In naui mobili $iè $ummo malo remittatur corpus graue, de$cendit mot<*></I> <pb n=178> <I>mixto</I>; probatur, quia duplex impetus concurrit ad illum motum, $cilicet naturalis deor$um, & horizontalis impre$$us à naui, vt con$tat ex defini- tione 1.hyp.2. & Ax.1. <C><I>Theorema</I> 77.</C> <p><I>Ille motus e$t mixtus ex naturali accelerato, & violento per horizontalem retardato</I>; quod eodem modo probatur, quo $uprà probatum e$t in mobi- li proiecto per horizontalem Th.30. e$t enim pror$us eadem, cum à na- ui reuera imprimatur impetus iis omnibus, quæ motu nauis fe- runtur. <C><I>Theorema</I> 78.</C> <p><I>Hinc reiicio omnes alias combinationes recepta $exta; immò $extam ip$am ex parte</I>; nec enim naturalis acceleratur in hoc motu in ea proportione, in qua acceleratur per lineam perpendicularem deor- $um per Th. 29.$ed iuxta rationem planorum inclinatorum per Theo- rema 31. nec etiam violentus de$truitur vniformiter, $ed pro rata per Th. 39. <C><I>Theorema</I> 79.</C> <p><I>Hinc initio plùs detrahitur violenti, & minùs additur naturalis, in fine plùs additur naturalis & minùs detrahitur violenti</I>; hinc minor e$t ictus in fine ni$i malus nauis ad eam altitudinem a$cenderet, ad quam profectò nullus a$cendit, quæ omnia con$tant per Theorema 34. 35. 36. <C><I>Theorema</I> 80.</C> <p><I>Hinc ratio curuitatis huius lineæ, vel hypothe$is $ecundæ</I>; quæ tamen non e$t Parabola vt volunt aliqui; hinc non eo tempore de$cendit in nauim prædictus globus, quo de$cenderet per ip$am perpendicularem motu purè naturali ex eadem altitudine, $ed maiore tempore; quia motu mix- to non acceleratur iuxta proportionem motus naturalis puri per Th. 77. quod confirmatur illis omnibus experimentis, quæ $uprà adduxi Th. 46. <C><I>Theorema</I> 81.</C> <p><I>Hinc $i nauis moueretur eadem velocitate, qua funis arcus cum re- dit, e$$etque aptata $agitta, & directa horizontaliter in naui; haud dubiè $i po$t aliquod tempus $taret illicò immota nauis: emitteretur $a- gita, non minore certè vi quàm ab ip$o <*>rcu</I>; hinc ctiam cum nauis appellitur ad littus, $i $tatim $ub$i$tat; omnia quæ $unt in naui $uccutiuntur & pleriq; cadunt incauti in partem aduer$am propter <pb n=179> impetum à naui acceptum; ex quo certè experimento maximè confir- matur hic impetus à naui impre$$us, per quem Galileus ex hypothe$i mo- tus æ$tum maris explicat exemplo appul$arum nauium ad littus, quæ aquam vehunt. <C><I>Theorema</I> 82.</C> <p><I>Hinc demi$$us globus plumbeus, vel alterius materiæ, quæ facilè vim aëris infringat è $ummo malo nauis ad imum ferè malum de$cendit,</I> hæc e$t ex- perientia à Galileo producta, non tamen adinuenta, à Ga$$endo do- cti$$imè & eleganti$$imè explicata, ab omnibus Copernici $ectatoribus toties decantata, quæ vulgus ignobile ad admirationem adducit; imò plures è Philo$ophis fuere, qui eam in dubium adducerent, cum cam $uis principiis, ne dicam fortè $omniis aduer$ari putarent; certi$$imum tamen e$t illud experimentum centies, imò millies comprobatum, totis etiam vrbibus $pectantibus. Nec ratio huius experimenti adco ab$tru$a e$t, vel recondita, quin à vulgari, ne dicam triobolari Philo$opho $tatim ex- plicari po$$it; cum enim imprimatur à naui mobili impetus pendulo globo per horizontalem, & alius ab ip$a grauitate deor$um per Th. 71. certè mouetur globus demi$$us re$ecto funiculo motu mixto ex hori- zontali nauis, naturali corporis grauis; igitur per lineam curuam, quæ ferè ad imum malum terminatur<note><I>Fig.</I>4. <I>Tab.</I>1.</note> $ed modicum figuræ adhibendum e$t; $it planum aquæ horizõtale, cui innatat nauis IH; $it malus IA perpen- dicularis altus 48. pedes; diuidatur in 4. partes æquales; corpus graue conficiat $patium illud duobus $ecundis, v.g.igitur AK vno $ecundo; e$t autem VK 12. pedum; iam verò moueatur nauis per horizontalem IH, vel AL maxima qua$i velocitate qua triremis moueri pote$t; ita vt vna hora faciat 16. milliaria Germanica, & 15′.4. milliaria, 3′ 800. pa$$us, 1′ 266. 1″ 4. pa$$us & (13/30); $upponamus 1″ conficere 18. pedes, $itque AC 18. & AK vel CE 12. haud dubiè motu mixto faciet lineam AE, & $e- cundo tempore lineam EH, donec tandem cadat in punctum H nauis, quò ferè peruenit punctum I; nam eodem modo retardatur motus nauis; immò plùs quàm motus globi; quod $cilicet partes aquæ, quæ à naui diuiduntur multum re$i$tant; vnde fit compen$atio; nam initio motus violentus, qua$i $ecum rapit motum naturalem initio tardi$$i- mum; præ$ertim cum non acceleretur, ni$i iuxta rationem plani incli- nati, vt $uprà dictum e$t, & in fine naturalis rapit violentum. <p>Dixi ad imum ferè malum; nam reuera aliquid dee$t quod tamen in- $en$ibile e$t; $ed quia modico tempore globus de$cendit; $it enim malus 108. pedum altitudinis, de$cendit globus tempore 3″; $it 192.4; $it $i fieri pote$t 432. de$cendet 6″, $ed nunquam accedit ad tantam altitudi- nem, igitur duobus vel tribus $ecundis de$cendit; igitur modico tem- pore; igitur violentus motus cen$eri debet eo tempore æquabilis $en$i- biliter; & cum motus nauis nunquam $it eiu$dem velocitatis cum illa quæ acquiritur tempore 2″ in de$cen$u, quia cum in de$cen$u acquiran- tur, hoc dato tempore ferè 48. pedes $patij; certè motu æquabili cuius <pb n=180> e$$et eadem velocitas acquirerentur 96. $ed vix acquirerentur 24.vt di- ctum e$t $uprà; igitur vix nauis percurrit in horizontali æqualem lineam longitutidini mali eo tempore, quo globus nauim attingit<note><I>Fig.</I>5. <I>Tab.</I>2.</note> $it enim altitudo mali FA 48. pedum; $it amplitudo $patij horizontalis æqualis FA; haud dubiè 1″ percurret AD, id e$t 12.pedes ferè, quo tempore per- currat FG. 24. pedes & 20″ percurret DF, & GI. $i motus $umatur vt æquabilis, vel GH, $i retardatur, igitur 1°″ mobile percurrit $egmentum curuæ AE & 2° EH. <p>Et licèt videatur tantùm acquirere MI, quæ e$t minor DF 15. per- pendiculari deor$um, acquirit totam EH, quæ non modo e$t à motuna- turali, verùm etiam à motu violento; nec enim motu naturali dum mi- $cetur cum alio, tantùm acquiritur deor$um, quantùm reuerâ acquiritur motu naturali puro, vt $uprà monuimus; quia tamen etiam deor$um mo- tus violentus d<*>flectitur, etiam aliquid $patij ratione violenti deor$um acquiritur; $i enim vbi peruenit in E vterque impetus intactus remane- ret $ine acce$$ione, $ine imminutione; haud dubiè per eamdem EM, quæ $it tangens huius curuæ AEH $uum cur$um pro$cqueretur; igitur ac- quireret deor$um totam DN, vel EO propter impetum naturalem præ- uium; $i verò aliquid naturalis accedat, quid mirum $i ratione illius ac- quiratur MI, vel NF? <p>Dices non de$cendit tam citò motu naturali accelerato, mixto cum violento, quàm motu puro naturali. <p>Re$pondeo concedo; vnde nunquam ex A in H 2″ de$cendit; $ed tardiùs, licèt FA $it 48. ped. $ed parùm abe$t tùm propter minorem re$i- $tentiam huius impetus violenti, qui facilè detorquetur, & con$equen- tur minùs illius perit, tùm quia etiam de$truitur aliquid violenti; igitur paulò plùs temporis collocat in GI, quàm in FG. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis primò, $i nouus impetus accedat, non e$$e expectandum hunc effectum; quippe nihil accipit à naui globus deinceps, vbi $emel re$ecto fune ab ea qua$i $eparatur. <p>Secundò, $i $tatim $i$tat nauis demi$$o globo ad vnum malum nullo modo de$cendet, vt patet, $ed antè. <p>Tertiò, $i demittatur globus dum $i$tit nauis, tùm deinde, vbi demi$$us e$t, impellatur nauis; non de$cendet etiam ad radicem, $ed retrò. <p>Quartò, motus nauis non e$t æquabilis, quidquid dicat Galileus; alio- quin vna remorum impul$ione opus e$$et, vt $emper eodem motu mouo- retur, aut certè $i continua remigatione impellatur; cre$ceret in infini- tum velocitas motus, $i nihil de priori, velocitate detraheretur; retarda- tur igitur ille nauis motus propter re$i$tentiam aquæ, cuius partes & im- pellendæ & $ulcandæ, $eu diuidendæ $unt; hinc fiunt ro$tratæ naues vel cu$pidatæ vt faciliùs aquam findere po$$int; igitur ille motus nauis non e$t æquabilis; Idem pror$us dicendum e$t de impetu impre$$o in <pb n=181> globo, cuius aliquæ partes de$truuntur, ne $int fru$trà, quod $uprà de pro- jecto per horizontalem vel incli<*>atam luculenter demon$trauimus. <p>Quintò $i demittatur ex ali<*> naui proxima immobili perpendiculari- ter omninò de$cendet; Vnde valde hallucinantur ij, qui exi$timant hunc motum e$$e ab aëre quem nauis commouet, quod fal$i$$imum e$t, quia pertica ad in$tar mali parùm aëris commouet; adde quod aër retrò agi- tur, vt patet in aqua; præterea $i è curru immobili demittatur globus co tempore, quo alius currus præteruolat, de$cendit perpendiculariter; $i ve- rò è curru mobili etiam in maiori di$tantia porrecta $cilicet maximè extra currum demittente dextera; globus ab ip$o curru capietur; hîc etiam ob$eruabis idem pror$us accidere in curru mobili, quod in naui; $i enim è fene$tra currus mobilis demittas pilam, $emper cadet ex aduer$o; idem dico de currente equo, cui in$idens demittat globum, imò $i locus $it planus & politus, pila per aliquod tempus currum, vel equitem in$e- quetur, quod qui$que probare poterit, vt reuerâ centies probatum fuit. <p>Sextò ad rationem Galilei, qui contendit motum circularem circa centrum terræ e$$e æquabilem, quia $cilicet mobile non recedit à centro: leuis e$t omninò ratio; quia globus in medio aëre motu mixto mouetur, id e$t habet impetum partim deor$um, partim per tangentem, & nullo modo per circularem, vt certum e$t; nec enim rotata alium impetum im- primunt, igitur violentus e$t; igitur de$trui debet etiam iuxta commu- nia principia: adde quod motus mixtus fit per Diagonalem quod etiam ip$e admittit; igitur totus impetus æqualem motum non habet; nec enim Diagonalis æqualis e$t vnquam duobus lateribus; igitur aliquid illius fru$trà e$t; igitur de$trui debet; præterea licèt motus circularis $it peren- nis circa centrum mundi; nam de illo tantùm e$t quæ$tio, hoc ip$um $upponit primò motum illum e$$e $implicem; $ecundò, nullam pror$us e$$e re$i$tentiam; atqui in hoc ca$u vtrumque deficit; nam motus ille circularis non e$t $implex $ed mixtus, & obe$t re$i$tentia aquæ, vt $uprà dictũ e$t; ni$i verò con$ideres de$cendent&etilde; globum è $ummo malo, quis dicat e$$e circularem? adde quod nauis imprimit tantùm rectum per tangentem, vt iam $uprà dictum e$t; porrò ad illud, quod dicit non de- $trui motum circularem à naturali, cui non e$t contrarius, cum non re- moueat longiùs à centro; videtur omninò di$$unulare cau$am impetus de$tructiuã, quæ cettè in cõtrarietate tantùm determinationis po$ita e$t, vt $uprà dictum e$t; ex qua $equitur aliquid impetus fru$trà e$$e; ac pro- inde de$trui per Axioma illud toties decantatum, <I>Quod frustr à e$t, non e$t</I>: Præterea non video quomodo hanc rationem proponat magnus Gali- leus, qui nullum alium impetum violentum de$trui putat, nî$i tantùm il- lum, qui e$t per lineam verticalem $ur$um; nam ex motu illo impre$$o æquabili, & naturali accelerato $uas Parabolas ad$truit. <p>Septimò, non e$t tamen quod diffitear ingeniosè excogitatum ab co fui$$e, ideo globum è $ummo malo demi$$um ad imum de$cendere, quod $cilicet de$cendat motu mixto ex naturali accelerato, & violento æqua- <pb n=182> bili, quod vt breuiter ob oculos ponatur<note><I>Fig.</I>5. <I>Tab.</I>2.</note> $it malus nauis mobilis IA, quæ eo tempore, quo corpus graue de$cendit ab A in D motu naturali, percurrit FG æquabili motu, & con$equenter GI æqualem FG eo tem- pore, quo idem corpus graue percurrit DF triplam AD; igitur globus demi$$us ex A $uo motu de$cribit Parabolam AEH; quod etiam accidet a$$umpta quacunque altitudine mali vel quocunque $patio confecto à naui mobili eo tempore, quo corpus graue motu naturali accelerato conficit $patium æquale altitudini mali. <p>Octauò, non e$t tamen di$$imulandum, quod etiam non di$$imulauit Mer$ennus, talem non fore de$cen$um, $i nauis v. g. eadem cum emi$$a $agitta, vel explo$a è tormento glande velocitate moueretur; non quod aër vel medium ob$i$tat, vt ip$i dicunt; hoc enim iam $uprà rejecimus; $ed quod major impetus violentus efficiat, vt iam $uprà dictum e$t, ne in tanta proportione naturalis acceleretur; quod etiam $uo boatu intonant tormenta maiora, è quibus horizontaliter directis explo$æ pilæ per plu- ra $ecunda in libero aëre moueantur, licèt os tormenti à plano horizon- tis vix tribus pedibus ab$it; igitur non de$cribunt $uo motu Parabolas; hinc $ub finem minor e$t ictus; hinc etiam fatetur idem Mer$ennus $e- cundum $patium horizontale confici tardiore motu quàm primum & tertium quàm $ecundum, atque ita deinceps. <C><I>Theorema</I> 83.</C> <p><I>Si corpus graue proiiciatur $ur$um perpendicul ariter è naui mobili, $unt tres impetus qui concurrunt ad illum motum</I><note><I>Fig.</I>6. <I>Tab.</I>2.</note> $it enim nauis mobilis per hori- zontalem LF, è qua $ur$um rectâ per lineam perpendicularem LA pro- iiciatur corpus graue; huic certè ine$t triplus impetus, $cilicet duo vio- lenti, alter per verticalem LA impre$$us à proiiciente; alter per horizon- talem LF impre$$us à naui; tertius denique naturalis per ip$am perpen- dicularem deor$um LP; igitur tres i$ti impetus $uo modo concurrunt ad motum per Ax.1.certè $i ine$$ent tantùm duo impetus $cilicet LA, & LF, motus $ieret per inclinatam rectam LC; vel $i tantùm duo LP, & LA fieret per ip$am LA motus retardatus; vel $i LF & LP fieret per curuam deor$um, vt con$tat ex dictis; igitur per aliam lineam fieri de- bet ad quam tres illi impetus concurrunt. <C><I>Theorema</I> 84.</C> <p><I>Tam pugnat impetus naturalis per LP cum verticali LA quando e$t con- junctus cum horizontali LF, quàm cum nullus e$t horizontalis,</I> probatur, quia $emper mobile deor$um trahit, vt patet. <C><I>Theorema</I> 85.</C> <p><I>Hinc naturalis e$t æquabilis, & violentus $ur$um e$t retardatus; horizon- talis verò e$t æquabilis $altem æquiualenter</I>; quia cum illo non pugnat ho- rizontalis, in a$cen$u $altem perinde $e habet; immò cum illo conuenit ad de$truendum violentum $ur$um, id e$t ad deflectendum deor$um mobile vt con$tat; igitur hic motus con$tat ex naturali & horizontali <pb n=183> æquabilibus, & violento retardato<note><I>Fig.</I>7. <I>Tab.</I> 2.</note> $int enim tres impetus ab eodem puncto E $cilicet EF, ED, EA; ex EA ED fit mixtus EG, ex EA, EF, violentus EB; denique ex mixto EG à naturali EF fit EC, quæ omnia $unt clara. <C><I>Theorema</I> 86.</C> <p><I>A$cendit mobile ad eamdem altitudinem hoc motu, ad quem a$cenderet $ine horizontali</I> v. g. $ine ho<*>zontali a$cendit in B, cum horizontali a$cendit in C, $ed DC, & EB $unt eiu$dem altitudinis. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis, licèt i$te motus non fiat per lineam parabolicam, vt $uprà demon$trauimus Th. 54. & reliquis; quia tamen $en$ibiliter proximè accedit, deinceps vtemur Parabola vt in fig.<note><I>Fig.</I>6. <I>Tab.</I>2.</note> Th. 83. & horizontalem motum accipiemus pro æquabili; licèt omninò æquabilis non $it; ni$i tantùm æquiualenter; dixi æquiualenter, quia eodem modo $e habet hic motus, ac $i per inclinatam $ur$um LC impetu $cilicet LC mobile pro- iiceretur; $ed in hoc ca$u de$trueretur impetus ille per inclinatam $im- plex; igitur & mixtus; quia tamen ille qui remanet partim ex LA, par- tim ex LF eodem modo ferè $e habet ac $i totus LF intactus maneret; hinc dictum e$t $uprà æquiualenter e$$e æquabilem. <C><I>Theorema</I> 87.</C> <p><I>A$cendit hoc motu ad $ubduplam altitudinem illius, ad quam motu mixto tantum ex verticali & horizontali $ine naturali a$cenderet</I>; quippe a$cende- ret<note><I>Fig.</I>6. <I>Tab.</I>2.</note> in C fig. Th.83. $inc impetu naturali, $ed FC & LA æquales $unt; atqui motu violento puro, ni$i naturalis obe$$et, a$cenderet in A; at ve- rò $i obe$t naturalis; a$cendit tantùm motu violento in K, & mixto in in D; quia ex K in L motu naturali tot acquireret mobile gradus impe- tus naturalis quot amittit in motu violento ab L in K; $ed cum in impe- tu acqui$ito à K in L motu æquabili a$cenderet ab L in A, quæ e$t dupla LK vt o$tendimus in $ecundo libro; $ed motu mixto, & verticali, & ho- rizontali a$cenderet in C; $ed FD e$t $ubdupla FE; igitur motu mixto a$cendit ad $ubduplam altitudinem, &c. <C><I>Theorema</I> 88.</C> <p><I>Mobile projectum è na<*>i mobili, vbi ad $ummam altitudinem peruenit mo- tumixto ex verticali retardato, horizontali æquabili, & naturali item æqua- bili, de$cendit etiam motu mixto ex horizontali retardato $altem æquin<*>enter, & naturali accelerato</I>; dixi æquiualenter, quia vt dixi in Sch. Th.86.licèt remaneat aliquid impetus veiticalis qui in communem lineam abit cum horizontali; res tamen perinde $e habet atque $i totus verticalis de$true- retur, & totus horizontalis intactus permaneret; igitur de$cen$us fit mo- tu mixto ex naturali accelerato & horizontali retardato per Th.30.quia tamen modico illo tempore parùm retardatur, vt $uprà monui, $en$ibili- ter accipi pote$t pro æquabili. <pb n=184> <C><I>Theorema</I> 89.</C> <p><I>Hinc $en$ibiliter ex a$cen$u & de$cen$u fit</I><note><I>Fig.</I>6. <I>Tab.</I>2.</note> <I>integra Parabola</I>; nam pro- iiciatur ex L in A, co tempere, quo nauis mouetur ex L in F, certè $i tempus illud diuidatur bifariam prima parte mobile percurret LI tri- plam IK in verticali, & LM $ubduplam LF in horizontali; igitur erit in G; $ecunda verò perte temporis in verticali percurrit IK, & MF in horizontali; igitur erit in D; præterea $i accipiantur duæ aliæ partes tem- poris æquales; prima in perpendiculari deor$um percurret DE æqua- lem LK, & in horizontali DO; igitur crit in N; $ecunda vero in per- pendiculari percurret NQ triplam NO, & NR in horizontali; igitur erit in S; $ed hæc e$t Parabola; nam vt $e habent quadrata applicatarum v.g. EG, FL, ita $agittæ DE, DF; dixi $en$ibiliter, nam vt $uprà mo- nui e$t alia linea, quæ tamen proximè accedit ad Parabolam. <C><I>Theorema</I> 90.</C> <p><I>Hinc ferè recedit mobile in idem punctum nauis, è quo $ur$um proiectum e$t</I>; dixi ferè, quia non e$t omninò Parabola; immò $upponitur motus horizontalis tùm nauis tùm mobilis omninò æquabilis, à quo tamen tantillùm deficit, $ed in tam breui tempore non e$t $en$ibile. <C><I>Theorema</I> 91.</C> <p><I>Hinc quantùm initio detrahit horizontali verticalis inten$ior, & $ub finem remittit, tantùm initio remittit horizontali naturalis tardior, & $ub finem ve- locior detrahit</I>; $ic in a$cen$u linea curua LD, initio parùm recedit à ver- ticali LK, & multùm $ub finem; in de$cen$u verò curua DS accedit propiùs ad horizontalem DT, à qua multùm recedit $ub finem. <C><I>Theorema</I> 92.</C> <p><I>Hinc eadem, quâ mobilis proijcitur $ur$um è naui mobili, recipitur manu</I>; probata centies experientia; idem dico de $agitta, arcu emi$$a, glande tormento explo$a, &c. $ic dum demittis manu in eadem naui aliquod graue deor$um, eadem $emper à te di$tantia cadit; $ic in rhodis currenti- bus poma odorifera, $ur$um modica vi projecta eadem $emper excipiun- tur manu, perinde atque $i currus ip$e $taret. Ita pror$us $e res habet dum in$idens equo etiam pernici$$imè currenti ludis huiu$modi moti- bus; quorum nullum pror$us di$crimen ob$eruabis in naui, $iue $tet $iue moueatur $olito cur$u; $i enim eadem velocitate, qua vel emi$$a $agitta, vel glans explo$a moueretur; haud dubiè maximum di$crimen inter- cederet. <C><I>Theorema</I> 93.</C> <p><I>Hinc $i pilam projectam è naui mobili continuo intuitu pro$equaris $ur$um rectà ferri iudicabis</I>; quippe cum perpetuò mutes perpendicularem pro- pter motum nauis, in eadem $emper e$$e putas, in qua pila $emper occurrat; licèt reuerâ qui $unt in naui immobili rem aliter e$$e <pb n=185> iudicent; quippe vident pilam $uo moiu de$cribere curuam non $imi- iem illi, quam di$cus per lineam inclinatam $ur$um proiectus $uo mo- tu de$criberet; neque mirum e$t, cum $int eædem vtriu$que rationes, cum hac tantum differentia, quòd inclinata di$ci $it motus $umplicis, inclina- ta verò pilæ a$cendentis $it motus mixti ex horizontali & verticali, æ- quabili quidem in a$cen$us accelerato in de$cenfu. <C><I>Theorema</I> 94.</C> <p><I>Ex his vides non valere vulgarem rationem, quæ vulgò a$fertur contra mo- tum terræ, $equi $cilicet ex eo lapidem proiectum $ur$um per verticalem longo interuallo ver$us occa$um retrò de$cen$urum,</I> quod tamen etiam ex motu terræ $uppo$ito non $equeretur, cum non $equatur ex motu nauis. <p>Igitur alia ratione impugnari debet hypothe$is illa, quæ terræ motu<*> de$truit; quod certè $i à me fieri po$$it, in tractatu de corporibus cœle$ti- bus, vel de nouo $y$temate aliquando præ$tabimus; non tamen e$t quod hîc di$$imulem aliquorum agendi methodum, qui ex hoc phœnome- no con$tanter a$ferunt terram moueri; nam primò, $equeretur tantùm moueri circa centrum id e$t motu orbis, non verò motu centri; quæ e$t hypothe$is Origani. Secundò ex quiete terræ hoc idem phœnomenon $equitur; quippe, $i terra quie$cit, cadem manu cadentem excipio lapi- dem, quæ $ur$um rectà proiicit; igitur quemadmodum ex hoc non infero terræ quietem, $ed aliunde; ita neque ex hoc inferri pote$t terræ motus; cum enim duplex hypothe$is codem phœnomeno $tare pote$t, neutra ex eo euincitur; igitur $icuti fateor ex hoc phœnomeno minimè demon- $trari terræ quietem ita & tu fateri debes ex eo minimè ad$trui po$$e terræ motum. <p>Adde quod, haud dubiè $i terra quie$cit citiùs proiectus lapis $ur$um de$cendit, quàm $i mouetur; nec enim vt dictum e$t $uprà proiecta velo- ci$$imo motu per horizontalem de$cendunt eo tempore, quo ex eadem altitudine motu purè naturali de$cenderent; quod multis euincitur ex- perimentis, vt vidimus in Th.46. atqui punctum terræ $ub æquatore ve- loci$$imè moueretur, quod vno temporis $ecundo conficeret 1250.pedes geometricos $i 5. pedes geometrici tribuantur pa$$ui, 4000. pa$$us leucæ germanicæ, 15. leucæ germanicæ gradui Æquatoris, toti demum Æqua- tori 360. gradus; cum autem iactus medius tormenti validi$$imi $it 15000. pedum, duretque 30″ temporis; certè 30″ temporis con$icit pun- ctum æquatoris 37500. pedes; igitur mouetur velociùs explo$a glande; igitur $i hæc velocitas glandis impedit, ne tàm citò deor$um cadat, ma- jor velocitas motus terræ potiori iure illud ip$um impediet; igitur $i terra quie$cit, globus $ur$um proiectus velociùs recidet in terram, et$i terra moueatur tardiùs. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis duos tantùm motus in naui mobili fui$$e hactenus explica- tos; primus e$t, quo demittitur plumbea pila è $ummo mali; $ecundus e$t, quo ex sũmo malo, vel ex alio nauis mobilis puncto proiicitur $ursũ cor- <pb n=186> pus graue per lineam verticalem; $unt autem plures alij motus, tot $cili- cet, quot po$$unt duci lineæ è $ummo malo in orbem quoquo ver$um; quarum hæ $unt præcipuæ.<note><I>Fig.</I>8. <I>Tab.</I>2.</note> $it apex mali B; circa quem de$cribatur cir- culus ACDE, $itque primò circulus ille verticalis parallelus $cilicet li- neæ directionis nauis BA, quæ $it v. g. ver$us Boream; primò habes li- neam verticalem $ur$um BE; $ecundò perpendicularem deor$um BC; tertiò lineam directionis ver$us Boream BA; quartò illi oppo$itum ver$us Au$trum BD; tùm voluatur circulus circa axem immobilem AD per quadrantem integrum, dum $cilicet BE $it ad Ortum, quæ e$t quinta linea, & BC ip$i oppo$ita ad Occa$um, quæ e$t $exta. Igitur habes 6. li- neas; $cilicet $ur$um, deor$um, ver$us Boream & Au$trum, ver$us Ortum, & Occa$um; linea quæ tendit deor$um pote$t dupliciter con$iderari, vel enim demittitur $ua $ponte, vel proiicitur. <p>Iam verò inter Boreã, & Occa$um habes lineas triplicis generis, primò horizonti parallelas, quæ vt con$iderentur; cen$eatur prædictus circulus parallelus horizonti, ita vt ex centro B ducantur ad circumferentiã tot lineæ, quot $unt puncta in circumferentia; $ecundò inclinatas $ur$um & inclinatas deor$um; $imiliter inter Occa$um & Au$trum, inter Au$trum & Ortum, inter Ortum & Boream; porrò exprimes omnes lineas, $i api- cem mali fingas centrum globi, $eu $i in circulo prædicto verticali à centro B ad circumferentiam ducantur tot lineæ quot po$$unt duci, tuncque circa axem EC immobilem voluatur circulus, &c. his po$i- tis $it. <C><I>Theorema</I> 95.</C> <p><I>Si proijciatur globus deor$um à $ummo malo, de$cendet ferè ad imum ma- lum</I>; probatur, quia de$cendet quidem velociùs quàm $i motu naturali de$cenderet vt con$tat per Th. 69. $ed profectò nihil acquiret in hori- zontali globus, quod non acquirat nauis; igitur imùm ferè malum attin- git<note><I>Fig.</I>5. <I>Tab.</I>1.</note> $ed opus e$t aliqua figurâ; $it enim apex mali A, de$cendatque pri- mò ex A $ua $ponte in H; haud dubiè $i eo tempore, quo motu na- turali conficit AD, mixto deor$um conficit AF, eo tempore cadet in G ex A $i hic impetus deor$um adueniat; $ed res e$t clara; hæc porrò figura non e$t Parabola, licèt $it curua; con$tat autem hîc motus ex naturali accelerato, ex impre$$o deor$um æquabili per $e, & horizontali $en$i- biliter æquabili; pote$t autem de$ignari hæc linea motus ex $uprà dictis. <C><I>Theorema</I> 96.</C> <p><I>Si in circulo verticali prædicto proijciatur per lineam horizontalem ver- $us Boream, mouebitur globus motu mixto ex duplici horizontali per eamdem lineam ferè æquabili; id e$t $en$ibiliter, licèt geometricè loquendo retardetur, & naturali accelerato</I>; $it perpendicularis<note><I>Fig.</I>10 <I>Tab.</I>1</note> deor$um AH, horizōtalis AC, quam conficiat eo tempore, quo conficit AH motu naturali, motu mixto perueniet in K; $i verò duplicetur horizontalis, ita vt eo tempore quo conficit AH, conficiat AD, motu mixto perueniet in L; hæc autem curua <pb n=187> HL accedit ad Parabolam licèt non $it vera Parabola; quia quando ia- ctus horizontalis e$t veloci$$imus, qualis in arce, vel in tormentis belli- cis, eodem tempore mobile non decidit in terram, quo de$cenderet mo- tu purè naturali ex eadem altitudine. <C><I>Theorema</I> 97.</C> <p><I>Hinc, $i motus nauis e$$et æqualis motui $agittæ, motus ex vtroque mixtus duplam amplitudinem in plano hòrizontali acquireret, v.g. $i</I> tantùm $agitta emi$$a arcu extra nauim ex A perueniret in K, in naui mebili perueniret in L; $i verò nauis, vt reuerâ fit, tardiùs moueatur, $agitta è naui emi$$a ver$us Boream $cilicet acquiret pro rata, id e$t $i nauis motus $it tantùm $ubduplus perueniret in M; $i $ubquadruplus in N &c. <C><I>Theorema</I> 98.</C> <p><I>Hinc tormentum bellicum quod e$t in prora directum ad eamdem lineam, quam $uo motu conficit nauis maiorem iactum habebit, non tamen $en$ibiliter</I>; quia motus nauis parum addit; ob$eruabis tamen non videri maiorem quàm $i nauis quie$ceret, quia eo tempore, quo $agitta ex A peruenit in L, nauis ex H peruenit in K; igitur videtur $emper e$$e idem iactus, $iue moueatur nauis $iue non, quia e$t $emper eadem di$tantia nauis, & ter- mini iactus; cum nauis id totum acquirat $patij, quod motui $agittæ accedit. <C><I>Theorema</I> 99.</C> <p><I>Hinc vt quis maiore ni$u lapidem v. g. proijciat, tùm longiore tempore brachium rotat, t<*>m præuio cur$u impetum auget,</I> quia non tantùm impe- tus brachij imprimitur mobili, $ed etiam impetus totius corporis; hinc etiam $i præmittatur cur$us longiore $altu <*> plano horizontali maius $patium traiicitur; quæ omnia ex ii$dem principiis manife$tè $e- quuntur. <C><I>Theorema</I> 100.</C> <p><I>Si verò per oppo$itam lineam ver$us Au$trum proijcitur mobile, moucbitur motu mixto ex duobus horizontalibus ad oppo$itas lineas, & ex naturali ac- celerato</I>; $it proiectio per AB, ita vt mobilè perueniat in L ni$i impedia- tur; certè $i nauis motu $ubduplo in oppo$itam partem feratur, peruenit tantùm in K, quæ omnia con$tant ex dictis; nam impetus oppo$iti pu- gnant pro rata, vt $æpè diximus; videbitur tamen e$$e æqualis iactus; $i enim eo tempore, quo $agitta peruenit in K, nauis fertur in oppo$itam partem $patio æquali KL, haud dubiè di$tantia $emper crit æqualis; tan- tùm enim recedit ver$us Boream nauis, quantùm $agitta à puncto L ad punctum K reducitur. <C><I>Theorema</I> 101.</C> <p><I>Si motus nauis e$$et æqualis motui $agittæ v. g.</I><note><I>Fig.</I>12 <I>Tab.</I>2.</note> <I>$i nauis ferretur per <*> ineam GC $eu TA ver$us Boream, & $agitta è $ummo malo emitteretur per lineam TO ver$us Au$trum, de$cenderet per lineam T.G. nec quidquam</I> <pb n=188> <I>acquireret in horizontali</I>; quod probatur per Th. 133. l.1. fic globus tor- menti etiam ne latum quidem vnguem pertran$iret in horizontali, vide- tur tamen $emper e$$e idem iactus; nam eo tempore, quo $agitta caderet à T in G, nauis e$$et in C, atqui CG & GM $unt a$$umptæ æquales; hinc potiùs arcus e$$et emi$$us quàm $agitta, & tormentum explo$um quàm globus. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis, $i nauis motus $it ad motum $agittæ v. g. in ratione $ub- dupla, $cilicet vt FG, vel LM ad GM peruenit in L per Parabolam TL; $t vt EG vel KM ad GL peruenit in K per Parabolam TK; $i vt DG vel I M ad GM peruenitin I per Parabolam TI, &c. vnde vides Parabolas i$tas $emper in infinitum contrahi, donec tandem in rectam TG de$i- nant vbi motus nauis e$t æqualis motui $agittæ: Parabolas dixi $en$ibi- liter, $cilicet eo modo, quo $uprà. <C><I>Theorema</I> 102.</C> <p><I>Si verò motus nauis e$$et maior motu $agittæ, $agitta fèrretur in eamdem partem in quam fertur nauis per $patium æquale differentia illorum motuum,</I> v.g. $i nauis moueatur per GM & $agitta per TA, $itque motus nauis ad motum $agittæ, vt GM, ad IM; eo tempore quo nauis attinget M, $agitta cadet in I, & $i motus $it vt GM ad KM cadet in K vel vt GM ad GL cadet in L. per Parabolas, quæ omnia con$tant ex dictis, & ex Theore- mate per 134. l.1. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p><I>Ex illa hypothe$i $equitur egregium paradoxon $cilicet $agittam retor queri in $agittarium</I>; $it enim motus nauis ad motum $agittæ vt GM ad LM; haud dubiè per Th. $uperius eo tempore, quo nauis peruenit ad M $a- gitta attinget punctum L, & eo tempore quo nauis e$$et in L $agitta e$- $et in puncto Y, $i cum nauis peruenit in L illicò $i$tat $agitta, cadet in ip$am nauim; nam cadet in L quod clarum e$t: dixi $i nauis $i$tat po$t emi$$am $agittam, $i enim nauis $emper moueatur, æquabilis $emper e$$e videbitur $agittæ iactus, $i enim è naui immobili emi$$a fui$$et prædicta $agitta per horizontalem TO, acqui$iui$$et $patium vel amplitudinem G L; $ed videtur confeci$$e ML, cum nauis mouetur; atqui ML e$t æqualis LG, quid clarius? <p>Hinc $i quis in naui currat per lineam directionis id e$t ver$us eain partem, in quam mouetur nauis, curret velociùs; immò $i ambulet, ingen- tes faciet pa$$us $eu $altus v.g.$i nauis conficit $patium GM eo tempore quo aliquis $altat ex G in H; haud dubiè amplitudo eius $altus erit com- po$ita ex tota GM & GH; $i verò in partem oppo$itam ver$us C currat: vel currit velociùs, vel tardiùs, vel æquali motu: $i primum, aliquid $patij acquiret ver$us C æqualis $cilicet differ&etilde;tiæ motuum; $i $ecundũ, recedet ver$us M $patio æquali eidem differentiæ; $i tertium, nec acceder, nec re- cedet, $ed totis viribus currens $eu tentans currere in eodem $emper lo- <pb n=189> co $tabit, vel $i $it rotatus globus in tabulato nauis mouebitur motu or- bis circa centrum immobile. <C><I>Theorema</I> 103.</C> <p><I>Si proiiciatur mobile per lineam inclinatam deor$um, quæ $it hypothenu$is trianguli orthoganij, <*>is ba$is $it horizontalis & perpendiculum $patium,</I> quod percurritur motu naturali æquali tempore, idque in naui mobili in eam part&etilde;, ver$us quam mouetur nauis, erit motus mixtus ex naturali accelerato & inclinato mixto ex horizontali & alio inclinato<note><I>Fig.</I>13 <I>Tab.</I>2.</note> $it enim horizontalis AD, perpendicularis AMK, $it AM $patium quod percurri- tur in perpendiculari motu purè naturali, eo tempore, quo percurritur AC $ubdupla AD, $itque AM $ubdupla AC, & $ecundo tempore æquali percurratur in horizontali CD, & in perpendiculari MK tripla AM; erit motus mixtus per lineam parabolicam ANH; nam $uppono hori- zontalem æquabilem, cùm parùm ab eo ab$it, vt $upradictum e$t; præ$er- tim cum $en$ibiliter hæc linea $it parabolica. <p>Iam verò in eadem naui proiiciatur mobile per inclinatam AP, quæ $it diagonalis quadrati AP, & impetus perinclinatam AP $it ad impetum per horizontalem AC, vt AP ad AC; ducatur LPF parallela MN, & CF parallela AP; denique diagonalis AF: haud dubiè ML e$t æqualis AM, vt patet; & $i motus e$$et tantum mixtus ex AC & AP fieret per diagona- lem AF, quam mobile eodem tempore percurreret quo vel AC vel AP; igitur $i dum percurrit AF percurrit AM, motu naturali, certè dum per- currit AN $ubdupla AF, percurret tantùm $ubquadruplam AM; a$$uma- tur ergo NO æqualis AS, & FG æqualis AM; ducaturq; curua AOG, hæc e$t linea quç$ita. <p>Itaque idem dicendum e$t de his inclinatis, quod de aliis $uprà di- ctum e$t Th.72. ni$i quod accipitur inclinata mixta ex horizontali & da- ta inclinata, v.g. ANF ex AC & AP; hæc autem linea non e$t Parabolica, quia quadratum MN, vel VO e$t ad quadratum RG vt 1.ad 4.at verò $a- gitta AV e$t ad $agittam AP, vt 5.ad 12.porrò hæc linea $ecat Parabolam vt patet; $i verò accipiatur inclinatata AI, mixta inclinata erit AH igitur a$$umatur HX æqualis AM, & PZ æqualis AS ducetur linea huius mo- tus per AZX. quænam verò $int hç lineæ, dicemus aliàs Tomo $equenti. <C><I>Theorema</I> 104.</C> <p><I>Si proiiciatur per inclinatam $ur$um in eam partem, in quam mouetur nauis, erit etiam mixtus ex naturali, & inclinato ex horizontali, & data inclinata</I>; vnde idem pror$us dic&etilde;duin e$t de mixta inclinata, quod de $implici in- clinata, de qua multa $uprà dicta $unt à Th.47. $uppo$ito tamen motu na- turali accelerato, ad quem proximè accedit propter mutationem perpe- tuam lineæ.<note><I>Fig.</I>14 <I>Tab.</I>1.</note> $it enim inclinata $ur$um AB, quæ percurratur motu æquabili eo tempore, quo horizontalis AE, vel quo motu naturali LA; diuidatur AE bifariam in D; ducatur DG, tùm DC, AC, hæc e$t linea mo- tus mixti ex inclinata AG, & horizontali AD; $equitur deinde Parabola; nam $ico tempore quo percurritur AD, percurritur AG, & LM vel FA; <pb n=190> certè eodem percurritur AC, igitur $ubduplo tempore percurr&etilde;tur AN; igitur FO, quæ e$t $ubquadrupla FA; igitur a$$umatur NH æqualis FO, & CK æqualis FA, & ducatur curua per puncta AHK; hæc e$t $emiparabo- la, nam KI e$t ad KE vt quadratum IH ad quadratum EA. <p>Vnde vides omnes inclinatas<note><I>Fig.</I>11 <I>Tab.</I>2.</note> $ur$um v$que ab horizontali DB ad verticalem DA inclu$iuè e$$e Parabolas; omnes verò inclinatas ab ca- dem horizontali DB ad perpendicularem DC inclu$iuè non e$$e Para- bolas, $ed propiùs accedere ad rectam, vnde aliquis $u$picari po$$et e$$e Hyperbolas. <C><I>Theorema</I> 105.</C> <p><I>Si proijciatur mobile per inclinatam $ur$um vel deor$um in partem oppo$i- tam directionis nauis,</I><note><I>Fig.</I>16 <I>Tab.</I>2.</note> <I>$cilicet per diagonales de$cendit & a$cendit per li- neam rectam, $ur$um vel deor$um, v.g.</I> $it horizontalis KL, inclinata deor$um KB, mixta crit KL; $it etiam inclinata KL, & horizontalis CH; mixta erit KH, cui addatur in eadem KF portio $patij, quod motu naturali percurritur; idem dico de aliis inclinatis. <p>Præterea $it horizontalis VX, inclinata $ursũ VN; mixta erit VY; $ic ex VOVX fiet VS detracta $cilicet portioni $patij, quod detrahitur à motu naturali; $i verò $it vel major motus horizontalis, vel minor eo, quem a$$ump$unus, non percurrit mobile lineam rectam $ed vel Para- bolam $i $ur$um proiiciatur, vel $i deor$um aliam nouam, quam ad Hy- perbolam accedere $uprà diximus. <p>Hinc certè, quod mirabile dictu e$t, $i è puncto nauis V $ur$um per inclinatam VO proiiciatur, $tatimque po$t proiectionem $i$tat nauis, in ip$am nauim de$cendet mobile; atque ita ex his habeo omnes motus cir- culi verticalis paralleli lineæ directionis; quare $upere$t vt explicemus alios motus; ac primò quidem per circulum horizontalem, cuius habeo quoque duas lineas, $eilicet communes $ectiones horizontalis & prio- ris verticalis, id e$t lineam directionis ver$us Boream, & oppo$itam ver- $us Au$trum. <C><I>Theorema</I> 106.</C> <p><I>Si proijciatur mobile per horizontalem ver$us Ortum è naui mobili, monebitur motu mixto ex duplici horizontali, & naturali deor$um</I><note><I>Fig.</I>15. <I>Tab.</I>2.</note>, $it enim horizontalis ver$us Boream AC, & alia horizontalis AH ver$us ortum in eodem plano horizontali; certè ex vtraque fit mixta AK, quæ $i percurratur æquali tempore cum AC, & cius $ubdupla cum AB, AC verò æquali tempore cum AF; quamquàm $uppono iam e$$e perpendi- cularem deor$um AB; denique cum AG $ubquadrupla AF a$$umatur ED æqualis AG perpendiculariter ducta in AD, & KL æqualis AF parallela ED, & per puncta AEL ducatur curua, hæc e$t linea motus quæ$ita; voluatur autom triangulum AKL, donec $it parallelum circulo verticali vel alteri, ACO erit in proprio $itu; vnde eo tempore, quo e$- $et in DE punctum nauis A e$$et in B, & co, quo e$$et in KL, punctum A e$$et in C; hoc e$t $ingula puncta AK, è regione AC ductis parallelis <pb n=191> BD, CK, ac proinde nauis & mobile $emper e$$ent è regione in linea ver$us ortum. <p>Hinc $i ex A dirigas $agittã in H feris punctum K, quam artem probè no$$e debent rei tormentariæ præfecti; quippe $agitta aberrabit à $copo ver$us Boream declinans toto eo $patio, quod conficit nauis codem tem- pore, quo mouetur $agitta; ita pror$us $i moueatur H ver$us K, vt attin- gas ex puncto immobili A debes dirigere ictum in K, $i quo tempore $agitta conficit AK $copus H percurrit HK.Idem pror$us dicendum e$t de iaculatione per lineam oppo$itam ver$us occa$um. <p>Si verò proiiciatur mobile per lineam inter Boream, & Ortum, linea motus erit Parabola<note><I>Fig.</I>17 <I>Tab.</I>2.</note> cuius Tangens erit mixta ex horizontali ver$us Boream, & declinante ver$us Ortum, v. g. $it horizontalis vei$us Boream AF, quam hactenus a$$ump$i pro linea directionis; $it linea ver$us Ortum AC; $it declinans ver$us Boream AL; $itque impetus AL, ad AE vt AL ad AE, quod hactenus $uppo$ui; $it LG æqualis AE, AG e$t mixta ex AE, AL; a$$umatur KI, & GH vt iam diximus; fiatque Parabola AIH, quæ circa axem AE ita voluatur, vt $it perpendicularis plano horizontali LF. <p>Idem dico de omni alia declinante vel à Borea ad Ortum, vel ad Oc- ea$um. <C><I>Theorema</I> 107.</C> <p><I>Si mobile proiiciatur per declinantem ab Austro ad Ortum, cuius impetus $it vt linea; conficit lineam parabolicam, cuius tangens vel amplitudo e$t re- sta ad Ortum</I>;<note><I>Fig.</I>18 <I>Tab.</I>2.</note> $it enim NF ad Boream, NA ad Au$trum, NI ad Or- tum, ND ad Occa$um; $it NL declinans ab au$tro ad Ortum, $itque im- petus per NL ad impetum per NF, vt NL ad NF; mixta ex NF NL e$t HK; $it autem KH æqualis $patio, quod conficitur motu naturali eo tempore, quo percurritur NF, $it KI æqualis NK, & IG quadrupla KH; Parabola NHG e$t linea motus quæ$ita dum voluatur NIG circa axem NI, dum IG pendeat perpendicularitur ex plano horizontali ON. <p>Idem fiet, $i proiiciatur per declinantem NB ab Au$tro $cilicet ad Occa$um. <C><I>Theorema</I> 108.</C> <p><I>Si mobile proiiciatur per inclinantem $ur$um in circulo verticali, cuius $e- ctio cum horizontali tendit ad Ortum, conficit lineam parabolicam, cuius am- plitudo e$t mixta ex horizontali ver$us Boream, & horizontali ver$us Ortum,</I> <note><I>Fig.</I>19 <I>Tab.</I>2.</note> $it linea ver$us Boream AB, ver$us Ortum AK, mixta ex vtraque AF, linea inclinata $ur$um AP, Parabola AMN, quæ vertatur circa A do- nec incubet AFG, denique AFG circa FA voluatur, donec incubet perpendiculariter plano; porrò perinde e$t, $iue proiiciatur per inclina- tam $ur$um ver$us Ortum, $iue ver$us Occa$um. <p>Si verò proiiciatur per inclinatam deor$um ver$us Ortum, de$cribit lineam, quæ non e$t Parabola, $ed propiùs accedit ad Hyperbolam, cuius <pb n=192> tangens e$t mixta ex inclinata deor$um ex horizontali ver$us Boream, <note><I>Fig.</I>20 <I>Tab.</I> 2.</note> $it enim AC ver$us Boream, AB ver$us Ortum, AD inclinata deor- $um $ub horizontali AB, AG quæ e$t in eodem plano cum AD DG, mixta ex AD, & AC; a$$umatur EF æqualis $patio, quod conficitur motu naturali eo tempore, quo conficitur AE, & GH æqualis $patio, quod conficitur motu naturali eo tempore, quo percurritur AG; duca- tur curua AFH, cuius $itus vt habeatur $it AB ver$us Ortum, ex qua pendeat perpendiculariter deor$um triangulum ABH, tùm circa axem AD voluatur triangulum ADH, donec HD $it parallela horizonti; tùm circa axem AG voluatur triangulum AGH, dum GH $it perpendicu- laris deor$um, tunc enim linea motus AFH habebit proprium $itum; idem fiet $i proiiciatur per inclinatam deor$um ver$us Occa$um. <C><I>Theorema</I> 109.</C> <p><I>Si proijciatur per inclinatam $ur$um, & declinantem ad Ortum, linea mo- tus erit Parabola, cuius amplitudo erit mixta ex declinante horizontali, & horizontali ver$us Boream,</I><note><I>Fig.</I>21 <I>Tab.</I>2.</note> $it enim horizontalis ver$us Boream AK, horizontalis ver$us Ortum AR, declinans à Borea in Ortum AD, mixta ex AD, AK $it AI, $itque Rhomboides AE parallelus horizonti; $it EG perpendicularis $ur$um, $it HD parallela GE; differentia $patij, quod acquiritur motu naturali eo tempore, quo percurritur AI, & FC, quæ $it $ubdupla EG. Dico lineam motus AHF e$$e parabolicam, quæ omnia con$tant ex dictis; idemque dictum e$to de omni alia inclinata $ur$um $imul, & declinante, $eu ver$us Ortum $eu ver$us Occa$um; porrò triangulum AEG incubat perp&etilde;diculariter plano horizontali ADEK; $i verò proiiciatur per inclinatam deor$um voluatur AKE, dum KO $it perpendicularis deor$um; $it planum RK horizontale, voluatur AKE circa A, ita vt KO $it $emper perpendicularis deor$um, donec AE $ecet planum RK in AD $int IO. & EA vt EF, GH in $uperio- re figura, & per puncta AOM ducatur curua; hæc e$t linea motus quæ$ita. <C><I>Theorema</I> 110.</C> <p><I>Si proiiciatur per declinantem ab Austro ad Ortum & inclinatam $ur$um, de$cribet Parabolam, cuius amplitudo erit mixta ex horizontali ver$us Bo- ream & declinante horizontali ab Au$tro ad Ortum</I><note><I>Fig.</I>22 <I>Tab.</I> 2.</note> $it AF horizontalis ver$us Boream, AG ver$us Ortum, AI declinans ab Au$tro ad Ortum, AG mixta ex AF AI AL inclinata, ANK Parabola; $it enim planum FI horizontale cui triangulum ALI incubet perpendiculariter in $e- ctione AG, reliqua $unt facilia; idem dico de inclinata $ur$um $imul, & declinante ab Au$tro ad Occa$um; $i verò $it inclinata deor$um, $it pla- num ACB horizontale, AB $it declinans, AC $it mixta ex AB & ho- rizontali ver$us Boream AF; $it AD inclinata deor$um, fiatque cur- ua AQE more $olito, ita vt triangulum ACE perpendiculariter deor$um pendeat ex plano horizontali ACB, reliqua $unt facilia. <pb n=193> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis a$$umptam e$$e à me hactenus Parabolam, licèt accurate non $int parabolicæ lineæ, quia proximè ad Parabolas accedunt; certè Phy$icè loquendo & $en$ibiliter pro Parabolis a$$umi po$$e ni- nil vetat. <C><I>Corollaria.</I></C> <p>Ex his colligis mirabilium motuum rationem. Primò mobile proje- ctum per lineam declinantem ab Ortu ferri po$$e rectà ad Ortum. <p>Secundò projectum per inclinatam deor$um, ferri po$$e per ip$am perpendicularem deor$um. <p>Tertiò projectum per inclinatam fur$um, ferri po$$e per verti- calem. <p>Quartò, rationem à priori habes, cur $i ex equo vel $puas, vel ali- quid demittas deor$um, rectà perpendiculariter non cadat, $ed $emper è regione, quod maximè videre e$t cum purgatur nauis mobilis, ciecta $cilicet aquâ, quæ $emper nauim in$equi videtur, imò & cum quis pe- dem effert in naui hunc motum quoque ob$eruat. <p>Quintò non erit etiam iniucundum inde elicere quomodo in maiore naui, di$co ludere vel pila quis po$$it, licèt nauis motus nullo modo lu- dum impediat; quæ omnia ex iis, quæ diximus nece$$ariò con$equuntur, & quæ manife$tum probat experimentum. <p>Sextò, inde etiam eruuntur rationes motuum mixtorum ex pluribus motibus v.g.4.5.6.7.&c.in infinitum $iue in eodem plano, $iue in diuer- $is; In diuer$is vt hactenus explicuimus;<note><I>Fig.</I>23 <I>Tab.</I> 2.</note> in eodem vero $iv.g.per BC, BE, BA $imul imprimantur impetus eidem mobili qui $int vt ip$æ li- neæ; primò fiat ex BA BC mixta BD, & ex BD BE, mixta BF, vel ex BE BC mixta BG, & ex BG BA mixta BF, vel ex BE BA mixta BH, & ex BH BC mixta BF; vides $emper e$$e camdem vltimam mixtam in diuer$is planis; iam o$tendimus e$$e plures $uprà in naui mobili v.g. per planum verticale, horizontale, & inclinatum. <p>Septimò, $i in naui mobili curreret equus, vel currus, e$$et motus mix- tus ex quatuor aliis, & $i terra moueretur in naui mobili e$$ent quatuor motus, $i ex ea aliquod mobile proiiceretur; inuenitur autem linea mix- ta in diuer$is planis per quamdam planorum circuitionem, de qua $uprà. <p>Octauò, po$$et facilè in eodem plano motus mixtus conflari ex qua- tuor aliis vel etiam pluribus,<note><I>Fig.</I>24 <I>Tab.</I>2.</note> $int enim quatuor in eodem plano AD AE. AF. AH. ex AD AE fit AB, ex AB, A fi fit AC, ex AC AH fit AG, quæ e$t longior AC, & AC longior AB: po$$es etiam compo- nere ex AH AF, atque ita deinceps eodem ordine, & $emper vltima linea erit AG, quod certè mirabile e$t, & à Geometris demon$trari pote$t. <p>Nonò, ex his motibus mixtis educi po$$unt rationes multorum effe- <pb n=194> ctuum naturalium, qui ob$eruantur in rebus naturalibus, quales $unt v.g. nubium, vaporum, ventorumque motus, qui $æpè turbinatim procellas agunt, quorum turbinum ratio referri non debet, vt videbimus $uo loco, in repercu$$ionem aliquam, quæ fiat à concauis montibus, qui longi$$i- mo interuallo $æpiùs ab$unt; $ed potiùs petenda e$t ab ip$a mixti motus naturâ; quippè rara materies venti facilè recipit omnem impetum; ita- que ex prægnantibus $æpè nubibus conferta tenui$$imorum halituum examina fractis qua$i carceribus quacumque linea erumpunt; hinc infiniti propemodum motus, hinc turbines illi, &c. atque hæc de motu mixto ex pluribus rectis $int $atis. <FIG> <pb n=195> <FIG> <C>LIBER QVINTVS,</C> <C><I>DE MOTV IN DIVERSIS Planis.</I></C> <p>HACTENVS con$iderauimus motum in libe- ro medio; iam verò con$iderabimus in planis durioribus, in quibus mobilè feratur vel $ua $ponte vel ab extrin$eco impul$um. <HR> <C><I>DEFINITIO 1.</I></C> <p><I>PLanum inclinatum e$t corpus durum læuigati$$imum, in quo mobile quod- piam moueri po$$it, quod nec $it verticale $ur$um, nec perpendiculare deor- $um,</I> non addo, nec horizonti parallelum; quia planum rectilineum hori- zontale e$t etiam decliue, vt $uo loco videbimus. <C><I>Hypothe$is</I> 1.</C> <p><I>Corpus graue per planum inclinatum de$cendit, & quidem velociùs per illud planum, quod minùs recedit à perpendiculari, tardiùs verò per illud, quod plùs recedit.</I> <C><I>Hypothe$is</I> 2.</C> <p><I>Corpus graue in plano inclinato minùs grauitat, id e$t faciliùs $ustinetur, & tardiore motu de$cendit, quàm in perpendiculari deor$um.</I> <p>Vtraque hypothe$is certa e$t, & de vtraque $upponimus tantùm, quòd $it, nam demon$trabimus infrà propter quid $it. <C><I>Axioma</I> 1.</C> <p><I>Corpus graue ideò tantùm mouetur $ua $ponte, vt deor$um tendat</I>: hoc Axioma con$tat ex iis, quæ fusè demon$traui $ecundò lib. adde quod<*> deor$um tendere, & corpus graue $ua $ponte moueri idem pror$us $onare videntur; nec enim loquor de potentiâ motrice animantium, vel de alia quacumque magneticâ, $ed de potentiâ motrice grauium; graue autem illud appello, quod in medio rariore po$itum deor$um tendit, ni$i impe- diatur, denique hîc fuppono dari motum naturalem grauium deor$um <pb n=196> quod demon$tratum e$t $ecundo lib. & verò $i tibi adhuc non fiat $atis, probetur hoc Axioma per hypothe$im primam; nam reuerâ $uppono quòd omnibus experimentis comprobatur, $cilicet corpus graue per pla- num Inclinatum deor$um $ua $ponte de$cendere, non verò a$cendere ni$i propter aliquam reflexionem. <C><I>Axioma</I> 2.</C> <p><I>Motus, qui impeditur, imminuitur, idque pro rata, & vici$$im impeditur qui imminuitur</I>; cur enim imminueretur $eu retardaretur, $i nullum $it impedimentum? <C><I>Axioma</I> 3.</C> <p><I>Omne quod impedit motum, debet e$$e applicatum mobili vei per $e, vel per $uam virtutem</I>; hoc Axioma etiam certum e$t. <C><I>Po$tulatum.</I></C> <p><I>Liceat accipere in perpendiculari deor$um, parailelas, cum $cilicet a$$umi- t<*>r modica altitudo</I>; licèt enim non $int parallelç, quia tamen in$en$ibili interuallo ad $e$e inuicem accedunt, pro parallelis accipiuntur. <C><I>Theorema</I> 1.</C> <p><I>Impeditur motus corporis in plano inclinato</I>; certum e$t quod impedia- tur, quia tardiore motu de$cendit mobile per hyp. 2. igitur impeditur per Axio.2. <C><I>Theorema</I> 2.</C> <p><I>Ideo impeditur, quia impeditur linea ad quam determinatus e$t impetus innatus</I>; cum $it determinatus ad lineam perpendicularem deor$um per Ax.1. cur enim potiùs ad vnam lineam quàm ad aliam? atqui id tan- tùm planum inclinatum efficit, vel impedit, ne deor$um rectà tendere po$$it; igitur ex eo tantùm capite impedit<*>. <C><I>Theorema</I> 3.</C> <p><I>Non totus impeditur motus in plano inclinato</I>; quia $i totus impediretur, nullus e$$et omninò motus $uper eodem plano, $ed per planum inclina- tum mobile deor$um mouetur per hyp.1.igitur totus motus non impedi- tur; hinc ratio à priori primæ hypothe$eos. <C><I>Theorema</I> 4.</C> <p><I>In ea proportione minùs mouetur, in quæ plùs impeditur</I>; probatur per Axioma 2.cum enim motus imminuatur, quia impeditur per idem Axio- ma; certè quò plùs impeditur, plùs imminuitur; $ed quò plùs imminui- tur, minor e$t, ergo quò plùs impeditur, minor e$t. <C><I>Theorema</I> 5.</C> <p><I>Eò plùs impeditur motus, quò maius $patium conficiendum e$t ad ac- quirendam eamdem altitudinem, $eu di$tantiam à centro, ill<*> $patio, quod conficitur in perpendiculari deor$um</I>; hoc Theor. vt clariùs demon$tretur, aliquid figuræ tribuendum e$t.<note><I>Fig.</I>25 <I>Tab.</I>2.</note> $it perpendicularis deor- <pb n=197> $um, AB, $it planum inclinatum AE duplum AB; certè vbi mobile ex A peruenit in E per planum AE, di$tat æquè à centro, ac $i e$$et in B; $up- pono enim perpendiculares omnes deor$um e$$e parallelas per po$tula- tum; igitur non acce$$it propiùs ad centrum confecto $patio AE, quàm confecto AB; igitur impeditur in plano AE in ea proportione, in qua AB e$t minor AE, nam haud dubiè AE e$t maior AB, $it autem dupla v.g. igitur impeditur non quidem totus motus $ed $ubduplus; in plano verò AD impeditur iuxta cam proportionem in qua AB e$t minor AD, nec enim aliunde pote$t impediri, cum $cilicet impediatur tantùm, quia im- peditur lineaad quam ab ip$a natura determinatus e$t per Th.2. v. g.li- nea deor$um AB; quippè lineæ comparantur inter $e v.g. AE cum AB, nam impedimentum lineæ AE in eo tantùm po$itum e$t, quòd difficiliùs per illam quàm per AB ad c&etilde;trum feratur mobile, quod certum e$t, cum imperimentum petatur a difficultate; atqui difficultas motus, qui fit per lineam AE in eo tantùm e$t, quòd $it maius $patium conficiendum, igi- tur quò maius $patium e$t, maior difficuitas e$t; igitur quò maior linea e$t, maius impedimentum e$t. <p>Adde quod vel impedimenti proportio petitur ab angulis vel à Tan- gentibus, vel à $ecantibus; nihil enim aliud ade$$e pote$t; igitur per Ax. 3. pote$t tantùm impediri ab his; $ed proportio impedimenti non pote$t e$$e ab angulis; quod probatur primò, quia $i ego quæram à te in qua proportione motus per AE e$t tardior motu per AB; dices in ea, in qua angulus EAB e$t maior nullo angulo, quod e$t ridiculum: Equidem di- ceres motum per AD e$$e velociorem motu per AE in ea proportione, in qua angulus EAB e$t maior angulo BAD, quod tamen fal$um e$t; e$$et enim ferè duplò maior, quod repugnat experim&etilde;tis omnibus; at $i accipiã angulum BA, qui $it tantùm vnius gradus $eu minuti, $itque EAB angu- lus 60. grad. $i velocitas motus per AI e$$et ad velocitatem motus per AE vt angulus EAB ad angulum BAI, motus per AI e$$et $exagecuplò velocior, quàm per AE, quod e$t ab$urdum: Diceret fortè aliquis in to- to angulo 90. GAB di$tribui huius impedimenti motum v.g. $i angulus BAI $it 1.grad. motus per AI amittit tantùm (1/90) $ui motus; $i angulus D AB circiter 40.grad. motus per AD amittit tantùm (40/90), & per AE (60/90); cum $it angulus BAE 60. grad. igitur motus per AB e$t ad motum per AE vt 3.ad 1. quod omnibus experimentis repugnat. <p>Secundò probatur, quia $i fiat inclinata proximè accedens ad AG v. g.4′.& a$$umatur alia accedens 3′. differentia anguli erit tantùm 2′. cum tamen differentia longitudinis plani $eu $ecantis huius, & illius, $it ma- xima, vt con$tat ex canone $inuum, igitur non imminueretur motus in plano inclinato ratione impedimenti contra Th.4. quis enim neget e$$e maximum impedimentum motus tantum $patium, quod conficiend<*> e$t. <p>Tertiò, omnia experimenta con$entiunt huic Theoremati, & repu- gnant huic propo$itioni quæ petitur ab angulis; adde quod angulus ni- hil pror$us facit ad motum, $ed linea feu $patium; denique hoc ip$um e$t quod ab omnibus Mechanicis vulgò $upponitur perinde qua$i prima <pb n=198> notio, quæ tamen aliquâ demon$tratione indig<*> <p>Equidem explicari pote$t hæc demon$tratio operâ libræ;<note><I>Fig.</I>28 <I>Tab.</I>2.</note> $it enim libra CG cuius centrum immobile e$t A; $it autem diameter libræ CG, pondus in C $e habet ad pondus in D, tran$lata $cilicet diametro in DH vt CA, ad BA; igitur pondus in D grauitaret minùs in planum inclina- tum DA, quàm in horizontali CAI; nam pondus in D idem præ$tat, quod præ$taret appen$um in D fune DE; igitur grauitatio in C e$t ad grauita- tionem in D, vt CA, vel DA ad BA; $ed quâ proportione decre$cit graui- tatio in planum, cre$cit motus in plano inclinato, quia minùs impeditur per Th.4. igitur in perpendiculari ea nulla e$t gtauitatio in planum; nec impeditur vllo modo motus, igitur ab E ver$us C ita impeditur motus, vt AC ver$us C impeditur grauitatio in planum, $ed impeditur grauitatio in D v.g. in ratione totius CA ad EA, vel DA ad DI; igitur impeditur motus in eadem proportione v.g. in plano DA ad DB vel AI, igitur in ratione plani inclinati ad perpendicularem. <p>Hæc omnia veri$$ima $unt; $upere$t tamen vt $ciatur ratio phy$ica cur pondus in D æquiualeat ponderi in B quod $upponunt quidem omnes Mechanici, & omnibus experimentis congruit: Equidem pondus pendu- lum ex D fune DB, vel longiore, e$t eiu$dem momenti, cuius e$t affixum in D, ita vt linea directionis, quæ ducitur ab eius centro re$pondeat fu- ni DB; vnde rectè concluditur ab Archimede idem pondus affixum bra- chio BA eiu$dem e$$e momenti cum pendulo DB, vel affixo puncto D, quod certè veri$$unum e$t, nondum tamen rationem phy$icam video; verum quidem e$t idem pondus pendulum fune DB minoris e$$e momenti, quàm $i e$$et affixum puncto C; nam $uppono CG e$$e libram in $itu horizontali; tum quia pondus illud DB trahit deor$um extremum libræ D per arcum DC longo circuitu, maximè declinante à $ua linea directionis DB; tùm quia ex hoc $equitur nece$$ariò pondus B deflecti à $ua perpendiculari curua linea; tùm quia linea DA, quæ rigida $uppo- nitur, re$i$tit motui DB & patet; in qua verò proportione, dictum e$t certè hactenus, $ed phy$icè non demon$tratum. <p>Pater Mer$ennus multis locis ex docti$$imo Roberuallo demon$trat rem i$tam<note><I>Fig.</I>30 <I>Tab.</I>2.</note> ingenio$i$$imè; $it enim circulus centro R; $int vectes æqua- les BF horizonti, DN perpendiculari paralleli; tùm CL, FO, æqualiter inclinati, ducantur CO EL; haud dubiè $i pondera C & L $int æqualia erit æquilibrium; quod certum e$t, & demon$trabimus cum de libra; e$t enim quarta propo$itio Vbaldi de libra; $ed pondus in O pendulum $ci- licet filo CO e$t eiu$dem momenti, cuius e$t pondus in P; igitur pon- dus in P æquale ponderi O $u$tineret pondus ML, $ed pondus in P e$t ad pondus in B vel in F, ad hoc, vt $it æquiblirium, RF ad R P; igitur pondus in A vel in R, quod erit ad pondus in L, vt P ad R L, $u$tinebit pondus in L; $ed $i applicetur potentia in C quæ trahat per tangentem CT, faciet idem momentum quod faceret in B trahens per tangentem BA; at vicem illius potentiæ gerit pondus B vel A, quod gra- uitat per BA; igitur potentia applicata C per CT, æqualis ponderi A <pb n=199> retineret pondus in L; ducatur autem KLG Tangens parallela CT; certè eadem potentia in L per LG retinebit pondus in L; quæ idem retine- ret applicata in C per CT; cum enim RC & RL $int æquales $i $int ap- plicatæ duæ potentiæ æquales in C quidem per CT, & in L per LG; haud dubiè erit perfectum æquilibrium; igitur $i pondus A pendeat in H fune LGH, retinebit pondus L in plano inclinato GLK; e$t autem pondus H ad pondus LN SR ad RL; $ed triangula RSL, & GKI $unt proportionalia; igitur pondus in H e$t ad pondus L, vt GI ad G K; igitur $i vires, quæ retinent pondus in plano inclinato GK $unt ad vi- res, quæ retinent pondus in perpendiculari GI, vt GI ad GK; igitur im- petus $eu motus mobilis in plano GK e$t ad impetum, $eu motum eiu$- dem in perpendiculo GI, vt GI ad GK. <p>Hæc omnia veri$$ima $unt, $emper tamen de$iderari videtur ratio phy- $ica, cur idem pondus pendulum ex C in O, $it ciu$dem momenti cum pondere affixo puncto P, $eu brachio libræ horizontalis PS. quod certè Mechanica Axiomatis, vel hypothe$eos loco iure a$$umere pote$t; at ve- rò phy$ica non $atis habet de re cogno$cere quod $it, ni$i $ciat propter quid $it; igitur nos aliquam afferre conabimur. Suppono tantùm tunc e$$e æquilibrium perfectum duorum ponderum æqualium cum vtrimq; æqualia illa pondera ita $unt appen$a, vt linea directionis vnius æqua- lis $it lineæ directionis alterius, cur enim alterum præualeret $i $int æ- qualia? hoc po$ito. <p>Dico pondus affixum P æquale ponderi L facere aquilibrium; cum enim linea directionis $it PO, $i de$cenderet liberè per PO. L eodem tempore attolleretur per LS, quod certè applicatis planis SL PO facilè fieri po$$et; $ed eodem modo P grauitat, quo $i de$cenderet per PO; e$t enim eius linea directionis; atqui tunc faceret æquilibrium, quod o$ten- do; æquale $patium conficeret L, per LS a$cendendo, quod P per PO de$cendendo; igitur $i attolleret L in S, $imiliter pondus L æquale P in S attolleret pondus P ex O in P, igitur neutrum præualere pote$t; $ed quia hæc fu$iùs explicabimus cum de libra, nunc tantùm indica$$e $ufficiat. <p>Supere$t vt breuiter o$tendamus accipi non po$$e hanc proportio- nem imminutionis motus in plano inclinato à Tangente BE<note><I>Fig.</I>25 <I>Tab.</I>2.</note> tùm quia; iam à $ecante accipi o$tendimus, tùm quia $it Tangens BD æqualis $umi toti $eu perpendiculari AB; $equeretur motum per AD æqualem e$$e motui per AB; Equidem in maxima di$tantia accedit Tangens ad $ecantem; igitur eò plùs impeditur motus, quò maius $patium conficien- dum e$t, &c. <C><I>Theorema</I> 6.</C> <p><I>Ex hoc $equitur nece$$ariò motum in plano inclinato e$$e ad motum in per- pendiculari, vt ip$a perpendicularis ad ip$um planum inclinatum,</I> v.g. velo- citas<note><I>Fig.</I>25 <I>Tab.</I>2.</note> motus per AE e$t ad velocitatem motus per AB, vt ip$a AB e$t ad ip$am AE, $it enim AE dupla AB, velocitas per AB e$t dupla veloci- atis per AE. <pb n=200> <p>Ob$erua quæ$o, cum dico motum in plano inclinato e$$e ad motum in perpendiculo, vt ip$æ lineæ permutando, ita intelligendum e$$e, vt vel a$$umatur motus in $ingulis in$tantibus, ita vt eo inftanti, quo datum $patium in inclinata acquiritur, acquiratur duplum in perpendiculo; quo po$ito valet certè tantùm illa proportio ratione motus æquabilis, $i $er- uari debet; nam perinde $e habet phy$icè, atque $i e$$et, vt iam fusè ex- plicatum e$t lib.2. in re $imili. <C><I>Theorema</I> 7.</C> <p><I>Hinc de$cendit mobile per $e in plano inclinato</I>; ratio e$t, quia totus mo- tus non impeditur, cum $it eadem proportio, quæ e$t perpendicularis ad inclinatam; dixi per $e, nam per accidens in plano $cabro tantillùm inclinato mobile de$cendit, adde quod corpus graue tamdiu mouetur quandiu accedere pote$t ad centrum terræ. <C><I>Theorema</I> 8.</C> <p><I>Motus in infinitum imminui pote$t,</I> probatur, quia proportio perpen- dicularis ad inclinatam pote$t e$$e minor in infinitum, quia inclinata pote$t e$$e longior, & in infinitum. <C><I>Theorema</I> 9.</C> <p><I>Ex his ver a redditur ratio cur in plano inclinato ad angulum BG motus $it $ubduplus illius qui fit in perpendiculari</I>; v.g. $it angulus BAE 60. certè AE e$t dupla AB, $ed motus in AB e$t ad motum in AE vt AE ad AB per Th.6. igitur e$t duplus. <p>Ex his reiicies quoque Cardanum, & alios quo$dam, qui diuer$am proportionem motuum in planis inclinatis deducunt ex diuerfis angu- lis inclinationis; iuxta quam proportionem motus in AE e$$et $ubtri- plus in AB contra experimentum. <C><I>Theorema</I> 10.</C> <p><I>Motus acceleratur in plano inclinato</I>; experientia clari$$ima e$t, ratio eadem cum illa, quam adduximus lib.3. cum de motu naturali, quia $ci- licet prior impetus con$eruatur, & acquiritur nouus, Imò acceleratur iuxta eamdem proportionem, vel no$tram $ingulis in$tantibus, vel Gali- lei in partibus temporum $en$ibilibus; vnde a$$umemus deinceps i$tam Galilei proportionem, quia $cilicet partes temporis $en$ibiles tantùm a$$umere po$$umus. <C><I>Theorema</I> 11.</C> <p><I>In plano inclinato e$t idem impetus innatus qui est in perpendiculari,</I> $ed in hac habet totum $uum motum, non verò in illa, quia impeditur, ni$i enim totus e$$et, non grauitaret corpus illud in planum inclinatum; quippe $uas omnes vires impetus ille exereret circa motum; igitur ali- quid illarum exerit circa motum aliquid circa planum, in quod ex parte grauitat; igitur idem e$t impetus innatus, adde quod ille e$t in$epa- tabilis. <pb n=201> <C><I>Theorema</I> 12.</C> <p><I>Impetus naturalis aduentitius productus à corpore graui in plano inclinato e$t minor eo, qui producitur in perpendiculari</I>; probatur, quia e$t minor motus, igitur minor impetus, vt $æpè diximus; $ecundò (hæc e$t ratio à priori;) quia cum ideo producatur impetus i$te aduentitius, vt motus acceleretur; certè debet re$pondere motui, qui competit impetui innati; $i enim nullum habet motum, nullus accedit de nouo impetus, è con- tra verò $i e$t motus, $ed maior, $i maior e$t motus, & minor $i e$t minor; quia hic impetus tantùm e$t propter motum. <C><I>Theorema</I> 13.</C> <p><I>Impetus qui producitur in acceleratio<*> motus habet totum motum quem exigit (præ$cindendo à re$i$tentia medij)</I>; nec enim per illum mobile graui- tat in planum; alioquin cre$ceret $emper grauitatio; igitur totus exerce- tur circa motum; ratio e$t quia hic impetus addititius non e$t in$titutus propter grauitationem, $ed tantùm propter motum: adde quod ad om- nem lineam determinari pote$t, $ecùs verò naturalis $altem om- ninò. <C><I>Theorema</I> 14.</C> <p><I>Imminuitur motu illo granitatio corporis in planum</I>; ratio e$t primò; quia quò velociùs mouetur in plano, breuiori tempore $ingulis partibus in- cumbit: $ecundò quia motu illo accelerato qua$i di$trahitur mobile ab illa linea grauitationis in planum; hinc mobile celeri motu moueretur in plano illo inclinato, quod eiu$dem $ub$i$tentis grauitationi & ponde- ri vltrò cederet. <C><I>Theorema</I> 15.</C> <p><I>Impetus innatus ex $e e$t $emper determinatus ad lineam perpendicularem deor$um</I>; quia grauitas tendit ad commune centrum, vt videbimus tra- ctatu $equenti; tamen ratione plani qua$i detorquetur ad lineam plani ad quam tamen omninò non determinatur, alioquin non grauitaret in planum: vnde dixi, detorquetur $eu qua$i diuiditur, perinde qua$i e$$et duplex impetus, quorum alter per lineam perpendicularem deor$um e$$et determinatus, in quo non e$t difficultas; impetus tamen aduenti- tius determinatur omninò ad lineam plani. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Dubitari pote$t an grauitatio in planum inclinatum $it vt re$iduum plani, cui detrahitur perpendiculum v.g. $it planum inclinatum CD ad angulum ACD 60. potentia quæ $u$tinet pondus B per EB e$t ad præ- dictum pondus vt CA ad CD; detrahitur CA ex CD, $upere$t FD æqua- lis $cilicet CA; an fortè grauitatio ponderis B in planum inclinatum C D e$t ad grauitationem eiu$dem in planum horizontale; quæ e$t graui- tatio tota, id e$t nihil imminuta vt DF ad DC; attollatur enim totum triangulum CAD in eadem $itu altera manu, & altera filo EB paralle- <pb n=202> lo CF, retineatur pondus B ne $cilicet deor$um cadat; tùm $ubtrahatur pondus trianguli CAD; nunquid fortè altera manus $u$tinebit tantùm $ubduplum ponderis B? & altera $ubduplum? igitur vt habeatur quod $u$tinet $uppo$ita dextra v.g. debet $ub$trahi, quod $u$tinet $ini$tra, $ed quod $u$tinet $ini$tra, e$t vt ip$a potentia, id e$t vt CA ad CD; igitur tota CD repræ$entat totum pondus, $egmentum CF partem ponderis quæ competit potentiæ E, FD verò partem quæ fu$tinetur à pla- no CF. <p>Hinc facilè po$$et determinari quota pars ponderis incubet plano,<note><I>Fig.</I>21 <I>Tab.</I>2.</note> $it enim planum inclinatum AC, perpendiculum AB, accipiatur AB æqualis AB, $itque AC tripla AB, duæ tertiæ ponderis incubant plano $i verò $it horizontale planum, totum pondus grauitat in illud; nulla e$t enim perpendicularis, $i $it perpendiculare planum, nihil pror$us gra- uitat; quia nulla e$t inclinata, & quò propiùs accedit planum inclina- tum ad horizontalem plùs grauitat pondus in illud, minùs verò; quò propiùs accedit ad perpendicularem. <p>Hinc e$$et oppo$ita ratio grauitationis, & motus, in plano inclinato; nam quò plùs e$t grauitationis minùs e$t motus, quò plùs motus, minùs grauitationis; quando verò planum inclinatum e$t duplum perpendicu- culi vt planum CFD, tunc tantumdem detrahitur de grauitatione in planum quantùm de motu in eodem plano; ide$t vtrique $ubduplum, $i verò vt in plano ADC perpendiculum e$t $ubtriplum plani, detrahun- tur de motu 2/3 & de grauitatione 1/3, idem dico de aliis, quæ certè omnia ex veris principiis phy$icis con$equi videntur, quò enim plus grauitat mobile in planum, plùs $u$tinetur; quò plùs $u$tinetur, plùs impeditur il- lius motus; $ed hoc repugnat communi Mechanicorum $ententiæ, qui cen$ent grauitationem in planum inclinatum e$$e ad grauitationem in horizontale, vt Tangens e$t ad $ecantem, quæ $it linea plani inclinati, v.g.<note><I>Fig.</I>26 <I>Tab.</I>2.</note> vt AB ad CD, quod certè omnes $upponunt, $ed minimè demon- $trãt, $i quid video $altem phy$icè; nec enim illud nemon$trant propriè ex eo quòd pondus in extremitate libræ affixum habeat diuer$a momenta iuxta rationem Tangentium ad $ecantes, v.g.<note><I>Fig.</I>28 <I>Tab.</I>2.</note> in $ecunda figura Th.5. pondus in D e$t ad pondus in C vt BA ad DA, quod veri$$imum e$t, & $uprà demon$trauimus; quippe hoc pertinet ad rationem momenti, non verò grauitationis in planum; adde quod affixum e$t pondus vecti; igi- tur vectis $u$tinet totum illius pondus; vtrùm verò $i pondus in plano inclinato veluti in vecte moueatur pondus quo grauitat in planum $it ad pondus quo grauita<*> in horizontali vt Tangens ad $ecantem, certè non demon$trant; attamen ita res pror$us $e haber; quare fit. <C><I>Theorema</I> 16.</C> <p><I>Grauitatio ponderis in planum inclinatum e$t ad grauit at tonem eiu$dem in planum horizontale, vt Tangens, vel herizontalis ad $ecantem, vel incli- natam,</I> quod demon$tro. Primò<note><I>Fig.</I>30 <I>Tab.</I>2.</note> $ir planum inclinatum GD, pondus in- <pb n=203> eubans F; dico grauitationem ponderis F in inclinatam GD e$$e ad gra- uitationem in horizontalem CD vt CD ad GD; quia pondus F pellit planum per lineam FE $eu GB Tangentem; quia determinari non po- te$t $eu percu$$io, $eu impre$$io ex alio capite quàm ex linea ducta à centro grauitatis perpendiculariter in planum, vt demon$trauimus in Th. 120. l. 1. atqui libræ extremitas G initio de$cendit per Tangen- tem GB, id e$t per minimum arcum, qui ferè concurrit cum Tangente<*> $ed ideò de$cendit in AB, quia pellitur deor$um à pondere; igitur men- $ura grauitationis e$t de$cen$us libræ, $ed libra faciliùs de$cendit ex A deor$um quàm ex G in proportione AD ad CD vel GD ad CD; igitur grauitatio ponderis in A e$t ad grauitationem ciu$dem in G, vt GD ad CD; quia rationes cau$arum $unt eædem cum rationibus effectuum. <p>Præterea $it planum inclinatum GD, $it IF parallela GD; $int IK, I M & quadrans KFR; punctum I $it centrum libræ immobile; certè $i $it alterum brachium libræ æquale IF in$tructum æquali pondere F, erit æ- quilibrium; $ed pondus illud in F e$t ad idem in R, vt IM ad IF, $eu vt CD ad GD, quod erat dem. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis po$$e facilè ex dictis explicari diuer$as potentias applica- tas ponderi F in eodem plano GD, primò $i accipiatur IHF parallela GH cum centro immobili I pondus retinebitur, $i potentia in I $it ad globum vt GC ad GD, vt demon$tratum e$t; $i verò pellat potentia per lineam IF, globus de$cendet, vt patet. <p>Hinc $ecundò $u$tinens MF totum pondus F $u$tinet, patet, quia $i- ue planum inclinatum pondus ip$um tangat, $iue perpendiculare, totum $u$tinet pondus; $ub$tracto enim plano pondus immobile manet, adde quod non pote$t pondus F $u$tineri in brachio IM, ni$i æquale pondus ex æquali brachio oppo$ito pendeat. <p>Tertiò ex puncto T lineâ TFE non pote$t $u$tineri pondus licèt po- tentia in T e$$et infinita, quia ex TE de$cendet in TV, patet; idem dico de omnibus aliis lineis ductis ab F ad aliquod punctum inter TM. <p>Quartò ex puncto X linea XF $u$tinebitur pondus dum potentia ap- plicetur in X, maior quidem potentia applicata in I, $ed minor applica- ta in M; nam potentia M e$t ad potentiam I vt IF ad MF; igitur poten- tia X e$t ad potentiam M vt MF ad XF; ad potentiam verò I vt IF ad XF. <p>Quintò, cùm triangula IF M.HF 4. $int proportionalia, potentia M e$t ad potentiam I vt HF ad 4. F. <p>Sextò, $i applicetur potentia, vel in T pellendo per lineam TFE, quæ cadit perpendiculariter in planum GD, vel $i applicetur in A per lineam AE trahendo, non poterit retineri globus, quæcunque tandem poten- tia applicetur; quia $emper per GD globus rotari poterit nullo cor- pore impediente; $uppono enim tùm planum tùm globum e$$e perfectè <pb n=204> politum, quo <*> tamen nobis <*>ce$$e certum e$t ad experimentum, $uppo- no nullam e$$e partium compre$$ionem, qua vna pars in aliam qua$i pe- netret; $i enim totus locus datur ad de$cen$um; certè non e$t vlla ratio propter quam non de$cendat; nec dicas affigi plano GD ab ip$a vi ex- teriùs affigente; quia nullo modo impeditur motus, per datam lineam, ni$i vel aliquod corpus opponatur, vel alius impetus detrahat ab eadem linea; atqui nihil horum prorsùs e$t in hoc ca$u. <p>Si potentia applicetur in N per lineam NF, maior e$$e debet quàm in I, $ed minor quàm in A; e$t autem ad potentiam in I vt IF ad NF; quippe re$i$tit planum GD huic potentiæ in N, non tamen re$i$tit in I; igitur illa maior e$$e debet, quod autem potentia in N $it ad potentiam in I, vt IF ad NF (po$ito $cilicet quod vtraque pondus E $u$tineat) plùs quàm certum e$t; quia cùm pondus po$$it tantùm moueri per EG $eu per lineam FI potentia NF trahit per FN; igitur potentia in N $u$tinens pondus F e$t ad potentiam in I $u$tinentem idem pondus, vt IF ad NF; $imiliter potentia in K $u$tinens idem pondus F e$t ad potentiam in I vt IF ad ZF, nam IZ e$t perpendicularis in KF, donec tandem potentia $it in A applicata per AF in quam IF cadit perpendiculariter, igitur po- tentia in A debet e$$e infinita. <p>Octauò, $i pellatur pondus F per omnes lineas contentas $ini$tror$um inter FT & FA deor$um faciliùs cadet; $i verò trahatur per lineas con- tentas inter TF & FA dextror$um, etiam deor$um cadit; quia perinde e$t $iue trahatur per lineam IF, $iue pellatur æquali ni$u per lineam VF quæ concurrit cum FI; & perinde e$t $iue pellatur per IF, $iue trahatur per FV; idem dictum $it de omnibus aliis lineis, quæ per centrum F hinc inde ducuntur. <p>Vnum e$t, quod de$iderari videtur ex quo reliqua ferè omnia depen- dent, quomodo $cilicet potentia in N trahens per FN $it ad potentiam in I trahentem per FI vt FI e$t ad FN, quod $ic breuiter demon$tro: <note><I>Fig.</I>32 <I>Tab.</I> 2.</note> $it horizontalis BD, & triangulum ECD; ex centro D ducatur arcus BE, qui $it v.g. 30.grad. vt CE $it $ubdupla ED; certè potentia in B e$t ad potentiam in E per EC vt BD, vel ED ad CD; $ed potentia in E per EA Tangentem e$t æqualis potentiæ in B; $it autem planum EA, & connectatur AC; triangula AEC & ECD $unt proportionalia; igitur $it AC verticalis, EC horizontalis, & AE inclinata; $it potentia in A per AE trahens pondus E; $it potentia C trahens per CE; dico quod impeditur tractio toto angulo AEC, $icut ante impediebatur grauitatio toto angulo AEC; igitur vtrobique e$t æquale impedimentum; $ed in primo ca$u ratione impedimenti ita $e habet potentia in E per EA ad potentiam in E per EC, vt ED ad CD, vel vt EA ad EC; igitur in $e- cundo in quo e$t idem impedimentum potentia in A per EA e$t ad po- tentiam in C per EC, vt ip$a inclina<*> AE ad EC. <p>Nonò denique ob$eruabis, egregium e$$e apud Mer$ennum tractatum authore docti$$imo Roberuallo $uper hac tota re, in quo certè Geome- <pb n=205> tria nihil de$iderare pote$t; licèt phy$ica fortè aliquid de$iderare po$$it; adde quod implicatior illa figura infinitis ferè contexta lineis, quam ha- bet, equidem erudito Geometræ faciet $atis, non tamen rudiori Tyroni, qui vix in hoc labyrintho tutum $e e$$e putabit. <C><I>Theorema</I> 17.</C> <p><I>Si globus incumbat</I><note><I>Fig.</I>32 <I>Tab.</I> 2.</note> <I>plano inclinato rotatur nece$$ariò deor$um</I>; $it enim globus F in plano ED; ducatur FH perpendicularis deor$um; hæc e$t linea directionis centri grauitatis, vt con$tat; igitur cùm non $u$tinea- tur in prædicta linea, nec enim terminatur ad punctum contactus G, cer- tè debet rotari; adde quod non e$t in æquilibrio, vt patet, ratio autem inæqualitatis e$t vt GF ad FN, nec vlla e$t difficultas; igitur duplici qua$i motu de$cendet in prædicto plano ille globus, $cilicet motu centri propter inclinationem plani, & motu orbis, tùm quia non e$t in æqui- ibrio, tùm quia in linea directionis FH non $u$tinetur à plano. <C><I>Theorema</I> 18.</C> <p><I>Si corpus aliquod incumbat</I><note><I>Fig.</I>33 <I>Tab.</I>2.</note> <I>plano inclinato, $ique linea directionis centri grauitatis $ecet ip$um planum intra ba$im corpus repit quidem in prædicto plano $ed non rotatur, $i verò cadat extra ba$im rotatur, non repit</I>; $it enim planum inclinatum BC, cui incubet cubus DL, cuius cen- trum grauitatis $it I; ducatur RG perpendicularis d<*>ium per cen- trum grauitatis I cadit in punctum G intra ba$im BG; igitur non ro- tabitur, $ed repet; quia $i $u$tinetur in G remoto $en$im plano BC; haud dubiè portio GD non præponderat portioni GL, vt patet ex libra. <p>Sit quoque parallelipedum EK, centrum grauitatis N, perpendicu- laris ducta per centrum HNM cadit intra ba$im; igitur non rotabi- tur, quia $ubmoto plano BC non $u$tinetur quidem in M, $ed minimè inclinabitur dextror$um; igitur non rotabitur. Si verò cadat extra ba- $im haud dubiè rotabitur, $it enim planum inclinatum AC<note><I>Fig.</I>34 <I>Tab.</I>2.</note>, cui in- cumbat parallelipedum FN, cuius centrum grauitatis $it L; ducatur L perpendicularis, cadit in E extra ba$im FD; certè latus DN inclinabi- tur deor$um; igitur rotabitur, quia eodem modo $e habet, quo $e ha- beret, $i $ubmoto plano $u$tineretur in linea DX, $ed trapezus DX PN triangulo FXD præponderat per regulas libræ, de quibus $uo loco. <p>Ob$eruabis autem primò $ciri po$$e data plani inclinatione & ba$i parallelipedi maximam illius altitudinem, qua po$ita non rotetur; $ecus verò po$ita <*>cunque alia maiore; $it enim planum AC, ba- $is parallelipedi FD; erigantur FO, DN perpendiculares in <pb n=206> AC; tùm erigatur perpendicularis DX parallela AB; connectantur R M: dico FX e$$e maximam altitudinem, vt con$tat ex dictis. <p>Secundò, quotie$cunque rectangulum, ita e$t $itum, vt eius diagonalis $it perpendicularis; dico e$$e in perfecto æquilibrio; $it<note><I>Fig.</I>35 <I>Tab.</I>2.</note> enim rectangulum BE, cuius diagonalis BE perpendicula- riter cadit in horizontalem AC; certè erit in æqualibrio; $it enim diui$um per lineam BE ita vt FH vel KI $it libra quæ $u$tineatur in ful- cro BG; $itque totum pondus trianguli BED appen$um brachio GH, & aliud BET appen$um brachio æquali GF, erit perfectum æquili- brium per regulas libræ, $ed duo triangula eodem modo $e habent conjuncta, quo $e haberent $eparata & appen$a, vt patet. <p>Tertiò, omnia rectangula proportionalia in eodem æquilibrio rema- nerent v.g. rectangulum BG cum rectangulo BE, idem dico de Rhom- bo, Rhomboide, &c. <p>Quartò, inde etiam cogno$citur in qua proportione minuatur pondus. v. g.<note><I>Fig.</I>37 <I>Tab.</I>2.</note> $it enim cylindrus AE horizontalis, $u$tineaturque in A immo- biliter, itemque in E; certè qui $u$tinet in E æqualiter $u$tinet; at verò $i attollatur in AD; certè potentia quæ in D $u$tinet, e$t ad potentiam quæ $u$tinet in E, vt AF ad AE, quia pondus grauitaret in D & in E in cadem ratione per Th. 16. $ed potentia $u$tinens adæquat ponderis ra- tionem, $u$tinens inquam, per DH; nam reuerà $u$tinens per DF æqua- lis e$$e debet potentiæ in E: idem dico $i attollatur in AP, nam potentia trahens in P, per CP, e$t ad potentiam in E, vt QA ad AP, vel AE; igitur pondus in D e$t ad pondus in P vt FA ad QA. <p>Quintò, hinc $i duo ferant parallelipedum in $itu inclinato v.g.vt AD, ferunt inæqualiter, $cilicet in ratione AD FA, itemque $i ferant in $itu inclinato AP, vel AC, donec tandem AE attollatur in B, nihil amplius $u$tinet potentia in B, & potentia in A totum $u$tinet. <p>Sextò, hinc cùm attollitur cylindrus continuò minùs $entitur pondus & faciliùs attollitur; $ic qui attollunt pontes illos ver$atiles, initio maxi- mo ni$u, & modico $ub finem trahunt. <p>Septimò ob$eruabis, $i circa centrum immobile A attollatur cylindrus AE fune BE, potentia po$ita in B, vel fune EO, potentia po$ita in O; hæc deber e$$e minor quàm po$ita in B, vt autem cogno$catur propor- tio, fiat angulus PAE æqualis angulo OEB; ducatur PQ; dico poten- tiam in O e$$e ad potentiam B, vt AQ ad AP, quia $i anguli OEB & PAQ $unt æquales etiam anguli APQ & AEB $unt æquales; igitur perinde e$t $iue trahatur PA ci<*> A per lineam PQ, $iue trahatur EA circa A per lineam EB. Idem dictum $it de aliis lincis. <p>Octauò $i attollendum $it rectangulum<note><I>Fig.</I>38 <I>Tab.</I>2.</note> non quidem circa axem; $ed circa angulum immobilem, etiam dec<*>$cit proportio ponderis, $it enim v.g.quadratũ ACFD, $itque AD horizontalis, AI perpendicularis, duca- tur diagonalis AF, attollatur circa punctum A, ita vt trans$eraturin AG, ducatur GB perpendicularis: dico potentiam in G e$$e ad potentiam in in A, vt AB ad AD; quippe res codem modo $e habet, ac $i AF a$cenderet <pb n=207> per arcum FM, donec vbi AF traducta $it in AM, tunc enim nulla crit potentia in M propter æquilibrium. <p>Nonò, hinc initio decre$cit in maiori proportione ratione præpon- derantiæ; quia po$ita ba$i KN, angulus KAN e$t omnium maximus; at verò decre$cit in minori proportione initio ratione $egmenti horizon- talis AD, in quam cadit perpendicularis. <p>Decimò, $i $it rectangulum<note><I>Fig.</I>39 <I>Tab.</I> 1.</note> oblongum horizontale vt AE diffici- liùs attolletur; quia quadratum AF figuræ prioris debet tantùm attolli per arcum FM, vt $tatuatur in æquilibro; at verò rectangulum AE fi- guræ huius attolli debet per arcum EC longè maiorem; igitur difficiliùs: porrò potentia in D e$t ad potentiam in F vt AG ad AF, vt con$tat ex dictis. <p>Vndecimò, denique, $i $it rectangulum<note><I>Fig.</I>36 <I>Tab.</I>2.</note> oblongum, $ed verticale vt HK longè faciliùs attolletur, quia diagonalis HK debet tantùm percur- rere arcum KM vt $tatuatur in æquilibrio; igitur minorem, igitur longè faciliùs; porrò hæc omnia omnibus experimentis con$entiunt, & ex principiis facillimis demon$trantur. Hæc paulò fu$iùs pro$equutus $um, quia pertinent ad rationem plani inclinati. <C><I>Theorema</I> 19.</C> <p><I>In plano inclinato acceleratur motus in eadem prop<*>tione qua acceleratur in perpendiculari</I>;<note><I>Fig.</I>40 <I>Tab.</I>2.</note> $it enim planum inclinatum AC, perpendicularis A E, in qua primo tempore $en$ibili percurrat AD; $ecundò DE; certè dato etiam tempore licèt maiore percurret AB; igitur alio æquali percurret CB; nam vt $e habet AE ad AG; ita $e habet AD ad AB, & DE ad BC; quæ omnia $unt certa. <C><I>Theorema</I> 20.</C> <p><I>Hinc æqualis ine$t velocitas mobili decur$a AC, inclinata & decur$a AE perpendiculari,</I> probatur, motus per AC e$t ad motum per AE, vt AE, ad AC per Th.6.igitur motus per AC e$t tardior; $ed motu tardiore minùs $patium conficitur æquali tempore in ca proportione, in qua motus e$t tardior; $ed proportio velocitatis e$t vt AC ad AE: atqui quâ propor- tione motus e$t tardior alio, maius $patium decurri debet, vt motu acce- lerato per minora crcmenta acquiratur velocitas alteri æqualis; igitur eò $patium debet e$$e maius, quò motus erit tardior; igitur debet percur- ri AC in inclinata, & AE in perpendiculari, vt $it æqualis velocitas; $it autem v.g. AC dupla AE, certè motus per AC e$t $ubduplus motus pes AE; ducatur EB perpendicularis, certè AB e$t $ubdupla AE; igitur eo tempore, quo percurret AE, percurret tantùm AB $ubduplum $cili- cet motu $ubduplo; igitur tempore æquali BC triplam AB; $ed tem- poribus æqualibus acquiruntur æqualia velocitatis momenta; igitur ve- locitas in C e$t dupla illius, quæ erat in B; $ed quæ e$t in E e$t dupla il- lius, quæ e$t in B; igitur quæ e$t in E e$t æ$iualis illi, quæ e$t in C. Adde quod in ea proportione in qua motus e$t tardior, $patium e$t maius, vt æqualis velocitas acquiratur; igitur $i quælibet pais $patij motum augec <pb n=208> minùs quidem qua proportione motus e$t tardior, & $i $patium AC ma- jus e$t $patio AE in ca proportione in qua motus per AE e$t velocior; pauciores partes $patij AE augent motum, $ed plùs $ingulæ, & plures $patij AC augent motum, $ed minùs $ingulæ; $ed cum $int plures in ea- dem proportione, in qua minùs augent; certè plures quarum $ingulæ mi- nùs augent, $imul $umptæ æqualiter augent, v.g. $int AC 4. partes, & AE 2. $ingulæ AE augeant motum vt 4. & $ingulæ AC vt 2. quia in ca pro- portione minùs augent in qua 2. $unt ad 4. certè 2. $imul $umptæ augent motum vt 8. & 4. $imul $umptæ etiam vt 8. quæ dicta $unt in gratiam Geometrarum, $ed meliùs adhuc ex dictis patebit. <C><I>Theorema</I> 21.</C> <p><I>Hinc aqualis e$$et ictus ab eodem mobili po$t motum per AE. AF. AC. AG.</I> quia e$$et acqui$itus æqualis impetus; igitur e$$et æqualis ictus, quodcertè mirabile e$t. <C><I>Theorema</I> 22.</C> <p><I>Hinc pote$t determinari $patij quæcunque petita proportio ad $patium da- tum</I>; v. g. $it ictus inflictus à mobili decur$a perpendiculari AE: vis æ- qualem ictum $ed confecto $patio duplo; accipe AC duplam AE: vis æ- qualem ictum $ed confecto $patio triplo, accipe AG triplam AE. <C><I>Theorema</I> 23.</C> <p><I>Tempora quibus percurruntur $patia planorum $unt vt planorum longitu- dines,</I> v.g.tempus quo percurritur planum inclinatum AC e$t ad tempus quo percurritur perpendicularis AE, vt AC ad AE; probatur, cùm enim mobile in C & in E habeat æqualem impetum $eu velocitatem per Th. 20. certè cùm motus in AC $it $ubduplus v.g. motus in AE, e$t enim vt AE ad AC per Th.6. igitur cum $ubduplo motu æquali tempore ac- quiritur $ubduplus impetus; igitur tempore duplo æqualis impetus; at- qui tempus motus per AC e$t ad tempus motus per AE vt AC ad AE, ide$t duplum; adde quod $i æqualis impetus e$t in C & in E; igitur æqua- lis in D & in B, $ed AB e$t ad BC vt AD ad DE; igitur $i cre$cit impe- tus per partes $ubduplas in AC, nece$$ariò cre$cit per partes duplas in $patio, atque in tempore; cùm enim motus $it $ubduplus, tarditas e$t $ub- dupla; igitur acquiritur in AC $patium AB $ubduplum AE co tempore, quo percurtitur AE, $i enim accipiantur æqualia tempora, $patia $unt vt motus; $ed motus per AC e$t $ubduplus; igitur $patium AB e$t $ubdu- plum AE; $ed tempore æquali conficit BC triplum AB, igitur tota AC e$t dupla AE; $ed percurritur tempore duplo; igitur tempora $unt vt lõgitudines planorum; $ed clariùs, & brcuiùs illud demon$tro; In ea pro- portione erit maius tempus per AC quàm per AE, in qua minor e$t motus per AC quàm per AE; $i enim motus per AF e$$et ad motum per AE vt AF ad AE, certè æquali tempore AF & AE percurrerentur; igitur qua proportione motus per AF e$t minor, tempus e$t maius; tantumdem enim additur tempori, quantum detrahitur motui; igitur tempora $unt <pb n=209> vt lineæ. Hinc acquiritur velocitas æqualis, vt dictum e$t Th. 20. quia $i tantùm addit tempus per AF $upra tempus per AE, quantum addit motus per AE $upra motum per AF, haud dubiè e$t æqualitas. <C><I>Theorema</I> 24.</C> <p><I>Hinc pote$t determinari longitudo plani, quæ dato tempore percurratur,</I> v. g. perpendicularis 3. pedum percurritur 30‴. igitur $i a$$umas planum inclinatum 6. pedum, percurretur 1″. $i 12. 2′. $i 24. 4″. atque ita dein- ceps; hinc po$$et dari planum inclinatum quod tantùm 100. annis per- curretur, $cilicet $i longitudo plani a$$umpti $it æquemultiplex longitu- dinis 12. pedum atque 100. anni vnius $ecundi; quod facilè e$t, imò da- to plano cuiu$cunque longitudinis, pote$t dari tempus quodcunque quo porcurratur, de quo infrà. <C><I>Theorema</I> 25.</C> <p><I>Determinari pote$t quantum $patium conficiat mobile in plano inclinato; dum conficit perpendicularem</I>; $it enim perpendiculum AE, inclinata AC; ducatus, EB perpendicularis in AC; dico quod codem tempore percur- ret AE & AB, quod demon$tro; quia triangula EAB, EAC $unt pro- portionalia: igitur AB e$t ad AE vt AE ad AC; igitur motus in AB e$t ad motum in DE vt AB ad AE; igitur $i tempora a$$umantur æqua- lia $patia erunt vt motus, vt patet, id e$t motu $ubduplo acquiritur $pa- tium $ubduplum: nec alia e$$e pote$t regula tarditatis, igitur $patia erunt vt AB ad AE, id e$t in ratione motuum; licèt enim motus veloci- tas cre$cat, attamen $i accipiatur velocitas compo$ita ex $ubdupla maxi- mæ & minimæ, percurretur AE motu æquabili æquali tempore; $ed compo$ita ex $ubdupla maximæ & minimæ per AB habet eamdem ra- tionem ad priorem compo$itam, quàm motus per AB ad motum per AE. & hic quam habet AB ad AE. Sed hæc $unt clara. <C><I>Theorema</I> 26.</C> <p><I>Hinc æqualitempore de$cendit per inclinatam BE,</I> $it enim<note><I>Fig.</I>41 <I>Tab.</I>2.</note> inclinata AG, perpendicularis AE; $it quoque FC perpendicularis in AG, & FD, in CF. Dico quòd eo tempore, quo conficit CD perpendicularem conficit CF inclinatam per Th.24. e$t enim DF perpendicularis in IC. $icut FC in AG, $ed CD e$t æqualis AF, vt patet. <C><I>Theorema</I> 27.</C> <p><I>Hinc cognito $patio quod percurritur in plano inclinato, cogno$citur $pa- tium quod conficeretur tempore æquali in perpendiculari,</I> $it enim tempus quo percurritur AC; ducatur ex C perpendicularis CF. Dico confici AF in perpendiculari eo tempore, quo percurritur AC: vel $it inclinata C F, ducatur ex F perpendicularis FD; percurretur CD eo tempore, quo percurritur CF, quæ probantur per Th.24.& 25. <pb n=210> <C><I>Theorema</I> 28.</C> <p><I>Hinc per omnes chordas in$criptas circulo ad alteram extremitatem, diametri perpendicularis terminatas de$cendit mobile æquali tempore</I>; a $it enim circulus centro B; $it diameter AE perpendicularis deor$um; du- catur AC inclinata, tùm CE; de$cendat haud dubiè æquali tempore per AC.CE.AE. per Th.24.25.26. idem dico de omnibus aliis AD.D E. AG.GE.AF.FE; e$t enim eadem omnibus ratio; hinc non pote$t da- ri planum tam paruæ longitudinis, quo non pof$it dari minus, quod dato tempore percurratur. Hæc e$t illa propo$itio toties à Galileo enuncia- ta; cum enim motus per BE $it ad motum per GE vt GE ad BE, & tem- pus per BE ad tempus per GE vt BE ad GE; cumque $it vt BE ad GE rita GE ad AE; certè motus per AE e$t ad motum per GE vt AE ad G E; igitur tantùm addit AE $upra GE ratione $patij, quantum ratione motus: igitur tempore æquali per AE. & GE $iet motus, idem dico de aliis chordis. <C><I>Theorema</I> 29.</C> <p><I>Hinc datis duabus inclinatis æqualibus pote$t determinari ratio tempo- rum, in quibus percurruntur</I>; $int enim AG.AH æquales, $ed diuer$æ incil- nationis; haud dubiè cum æquali tempore AG. AF percurrantur per Th. 27. tempora quibus percurruntur AGAH erunt vt tempora quibus percurruntur AF AH, & hæc vt tempora quibus percurruntur AE. A K, & hæc vt radices quadratæ illorum $patiorum AE. AK, cum autem $patia $int vt quadrata temporum, vel in duplicata ratione, $i inter AE & AK $it media propprtionalis AN. v. g. tempus quo percurretur AE erit ad tempus, quo percurretur AK vt AE ad AN, vel A Nad AK. <C><I>Theorema</I> 30.</C> <p><I>Hinc cognito tempore quo percurriitur data portio linea cogno$ci potest tempus, quo percurritur aliud $patium vel alia portio,</I> v. g. cogno$co tem- pus quo percurritur AK, & volo cogno$cere tempus quo percurritur K E, con$equenti motu ex AK, $cio tempus quo percurritur $ola AE, quod e$t ad tempus quo percurritur AK vt AE ad AN per Th. 28. igitur tempus quo percurritur KE con$equenti motu ex AK e$t ad tempus, quo percurritur AK vt EN ad NA, vel vt NK, ad NA. <C><I>Theorema</I> 30.</C> <p><I>Hinc in planis inæqualibus tùm in longitudine, tùns in inclinatione, pote$t $<*>iri ratio temporum, quibus percurruntur</I>; $int enim AC AR duo pla- na; $it autem AE perpendicularis indefinita; diuidatur AC bifariam in V ducta perpendiculari VB; ex B fiat circulus, $ecabit puncta ACE; $ecat etiam AR; in D igitur AC, & AD percurruntur æquali tempore per Th. 27. $imiliter fiat circulus ART eodem modos certè A R & AT percurruntur æqualibus temporibus per Th. 27. igitur tempus, quopercurritur AR, vel AD e$t ad tempus, quo percurritur AR vt tempus, quo percurritur AE ad tempus, quo percurritur AT; $ed hæc <pb n=211> $unt vt radices AEAT, id e$t tempus quo percurritur AE e$t ad tem- pus, quo percurritur AT, vt AE ad mediam proportionalem inter AE AT, vel vt AD ad mediam proportionalem inter AD AR; quippe AD e$t ad AR vt AE ad AT. <p>Galileus verò demon$trat rationem i$torum temporum e$$e compo$i- tam ex ratione longitudinem planorum & ex ratione $ubduplicata al- titudinum eorumdem permutatim accepta: pro quo ob$erua à Galileo rationem duplicatam appellari duplam, & $ubduplicatam appellari $ub- duplam. <p>Ob$eruabis denique plurima ex his colligi po$$e præ$ertim ex Th. 27. quæ quia $unt purè geometrica, certè phy$icç minimè competunt; aliqua tamen omittere non po$$um. <p>Primò, $i $int duo plana inæqualia ad angulum rectum, qui $u$tinea- tur ab horizontali, determinari po$$unt tempora de$cen$uum<note><I>Fig.</I>43 <I>Tab.</I>2.</note> $it enim triangulum orthogonium ABE, ita vt AE $it horizontalis; ducatur B G indefinita perpendicularis in ba$im AE; tùm FA perpendicularis in AB; tùm FC perpendicularis in BE; tùm denique GE in BE; dico BA BFBC percurri temporibus æqualibus, item BE, BG, EG, etiam æqua- libus; igitur tempus, quo percurritur BA e$t ad tempus quo percurrri- tur BE, vt tempus, quo percurritur BF ad tempus quo percurritur BG; hæc porrò $unt in $ubduplicata ratione BFBG vel BC, & BE. <p>Secundò, $i planum $u$tinens angulum rectum non $it parallelum horizonti 6. res $imiliter determinari poterit;<note><I>Fig.</I>44 <I>Tab.</I>2.</note> $it enim triangulum or- thogonium ABC ex B, ducatur perpendicularis deor$um indefinitè BF, tùm EA in AB, tùm DC in CB, tùm EH parallela DC, tùm GC in A C; denique AG parallela BF; dico quod BABEHE AE percurren- tur æqualibus temporibus item BCCDBD. <p>Tertiò, $iue<note><I>Fig.</I>45 <I>Tab.</I>2.</note> de$cendat ex B in C per lineam perpendicularem BC, $iue ex A per inclinatam AC, eodem modo de$cendet $iue per CD, $iue per CE; ratio e$t clara, quia acquirit æqualem velocitatem $iue ex A $i- ue ex B de$cendat pet Th. 20. erit autem tempus per CE ad tempus per CD, vt CE ad CD per Th.23.& motus per CE ad motum per CD, vt CD ad CE per Th.6. po$ito initio motus in C. <p>Quartò, præuio motu ex A vel ex B ad C pote$t inueniri inclinata, per quam mobile pergat moueri motu $cilicet naturaliter accelerato, ita vt æquali tempore illam conficiat; $i enim BC conficiet dato tempore; igitur CF triplum CB conficiet tempore æquali; $it autem planum ho- rizontale EDK ad quod ex C ducendum $it planum inclinatum, quod eodem tempore percurratur, quo CF, diuidatur CF bifariam in H, & ex puncto H fiat arcus CK, ducaturque CK: Dico CF & CK æquali tem- pore confici per Th. 27. modò ex quiete C procedat motus: $imiliter a$- $umi pote$t alia horizontalis LM ducto arcu LF ex centro H; nam CL & CF æquali tempore percurruntur; $i verò præ$upponatur motus præ- uius ex A vel ex B, haud dubiè CK breuiori tempore percurretur, quàm CF, idem dico de CL; alioqui CE & CI eodem præuio motu $uppo <pb n=212> $ito æquali tempore percurrerentur, quod fal$um e$t; nam $it AC ad A N vt AN ad AE; $itque BC ad BO vt BO ad BI; certè tempus, quo percurritur BC e$t ad tempus, quo percurritur CI vt CB ad CO, & tempus quo percurritur BC e$t ad tempus quo percurritur CE vt BC ad CN; $ed CN e$t minot quàm CO, vt con$tat ex Geometria, quod bre- niter in tironum gratiã in terminis rationabilibus o$tendo,<note><I>Fig.</I>46 <I>Tab.</I> 2.</note> $it planum inclinatum AE 9. $itque AE id e$t 9. ad AD. 6. vt AD ad AC 4. ex centro C a$$umpta CH 3. ducatur arcus HB & ex A ad prædictum ar- cum Tangens AB, tùm ex BC G indefinitè & ex E, EG perpendicularis in EA; haud dubiè triangula CGE, CAB $unt proportionalia; igitur vt CB;.ad CA. 4.ita CE 5. ad CG 6. 2/3; igitur tota BG e$t 9. 2/3; $itque B G ad BF, vt BF ad DC, quod vt fiat BG 9. 2/3 in BC 3. productum erit 29. igitur BF e$t Rad. quad. 29.igitur e$t maior 5. $ed $i e$$et maior 5. C M & CD e$$ent æquales; igitur CF e$t maior CD; e$t enim BF ferè 3. 1/2 paulò minùs: vt autem reperiatur linea inclinata, quæ percurratur æ- quali tempore cum BC $uppo$ito præuio motu per BC, a$$umatur CK æqualis CB id e$t 3.partium, fiat&qacute;ue vt AC ad AK, ita AK ad AN; haud dubiè percurret CN æquali tempore, quo BC; vt verò habeatur pun- ctum in horizontali, $it<note><I>Fig.</I>47 <I>Tab.</I>2.</note> AF perpendicularis bifariam diui$a in K, $it K F diui$a in 4. partes æquales, quibus addatur FP 1/4 KFEK V dupla FA, & producatur in X; ita vt EX $it 1/4 EK: dico quod præuio motu ex A in K, & deinde deflexo per KX conficietur KX æquali tempore cum AK; $i enim caderet mobile ex V primo tempore percurreret VL, id e$t 1/4 V K eo tempore, quo percurreret AK per Th.6. igitur $ecundo tempore æquali LK, id e$t 3/4 VK; igitur tertio tempore æquali KX 5/4 VK; nam eo- dem modo $e habet in k $iue de$cendat ex V, $iue ex A per Th.20. <p>Porrò vt habeatur in horizontali FS; $it FR æqualis KF; $it FT æ- qualis KR; $it arcus TS ex k: Dico quod ks e$t linea quæ$ita; nam $i $it vt BS ad BZ, ita BZ ad BK, kz erit æqualis KF, vel AK; $ed tempus quo percurritur AK e$t ad tempus quo percurritur Dk vt BK ad AK per Th.23.& ad tempus, quo percurritur BS, vt Bk ad BZ, & ad tem- pus quo percurritur ks vt Bk ad kz; ergo Ak & ks percurruntur æ- quali tempore, $i kz $it æqualis KF, quod $ic breuiter demon$tro, cùm figura apud Galileum de$ideretur.<note><I>Fig.</I>48 <I>Tab.</I>2.</note> $int AFFE æquales; ducatur AE quæ transferatur iu FG, $itque GI æqualis AG, $ictota AG mihi repræ- $entat totam BS $uperioris figuræ, vt con$tat; $it autem AG ad AH vt A H ad AI: Dico GH e$$e æqualem AF; $it enim quadratum HD mediæ proportionalis: Dico e$$e æquale rectangulo IC, dùm AC $it æqualis A G; igitur quadratum PR cuius latus e$t æquale FG, $eu AE continet duo quadrata RDSN; ergo GH e$t æqualis VN; igitur GH quod erat demon$trandum. <p>Quintò, hinc nunquam<note><I>Fig.</I>47 <I>Tab.</I>2.</note> ks vel kx pote$t e$$e tripla Ak donec tan- dem perueniatur ad perpendiculum kH; nam $ecundo tempore percur- ritur kH triplum Ak, $i primo percurritur Ak; nunquam etiam ks vel vlla alia inclinata pote$t e$$e dupla tantùm Ak; $ed $emper e$t maior, do- <pb n=213> nec tandem perneniat ad horizontalem KY, quæ e$t dupla AK, quia in horizontali non acceleratur motus; igitur cum impetu acqui$ito in de$- cen$u AK, conficiet motu æquabili KY duplum AK per Th.42.l.3. po$ito quòd non de$truatur; atque ex his $atis facilè intelligentur, quæcumque habes apud Galileum in dialog.3.à propo$itione 3.ad 23. <p>Sextò non probat Galileus, $ed tantùm $upponit mobile ad eãdem alti- tudin&etilde; a$cendere po$$e motu reflexo ex qua de$cendit, quod examinabi- mus lib. $equ&etilde;ti, hinc non laborabimus in examinãdis prop. 24.25.26.27. <p>Septimò, cognito tempore, quo percurrit mobile perpendiculum EC quod $it<note><I>Fig.</I>49 <I>Tab.</I>2.</note> diameter circuli; $ciri pote$t quo tempore percurrat duas chor- das $imul EGGC; $it enim Tangens EF, $itque vt FG ad FD, ita FD ad FC; cum EG & EC de$cendat æquali tempore per Th.27. cum in G $it idem motus, $iue ex E, $iue ex F de$cendat per Th.20. certè $i de$cendit per EG dato tempore, quod $it vt EG, de$cendit per GC tempore, quod e$t vt GD; igitur tempus, quo de$cendit per EC e$t ad tempus, quo de$- cendit per EGC, vt EG ad EGD. <p>Ob$eruabis autem GF e$$e ad EF vt EF ad FC; igitur FD e$t media inter FC GF, & e$t æqualis FE, igitur anguli FDE.FED æquales; $ed FD E e$t æqualis duobus DCE.DEC, & FEG, e$t æqualis DCE; igitur duo G DE DEC $unt æquales. <p>Octauò, $i accipiantur æquales horizontalis, & perpendicularis, v.g. BA AC, ducaturque BC: Dico nullum duci po$$e planum incliuatnm à puncto B ad perpendiculum AEM, quod breuiori tempore percurratur, quàm BC, nec intra angulum vt BR, nec extra vt BM; $it enim vt BC ad BI ita BI ad BH, e$t autem BI æqualis BA, igitur $i BA, $it 4.BC e$t v.g. 32. & BH radix q.8.igitur HI e$t ferè I paulò plùs; igitur cum BH percur- ratur æquali tempore cum AC, e$t tempus, quo percurritur BH ad tem- pus quo percurritur HC vt BH ad HI. <p>Sit autem BR dupla AR, $itque perpendicularis AK in BR; certè KR e$t $ubquadrupla BR; igitur percurritur BL æqualis KR eo tempore quo percurritur AR; igitur BL $it ad BV vt BV ad BR; igitur temporibus æ- qualibus percurruntur BL LR; igitur $i tempus quo percurritur BL $it vt BH, tempus quo percurretur LR erit etiam vt BH; igitur totum tempus quo percurritur tota BR erit vt tota BE, $ed tempus quo percurritut tota BC e$t tantum vt BI qu&ecedil; e$t minor BC; igitur BC breuiori tempore per- curritur quàm BR; $it etiã vt BP ad BX ita BX ad BM, $i BO e$t 4. OP 2. certè BP e$t rad.q. 12.id e$t ferè 3.1/2 paulò minùs, BM verò e$t dupla BA vel BO; igitur e$t 8. ducatur ergo 8. in 4. 1/3 productum erit 28. cuius radix e$t ferè 5.1/3 paulò minùs; igitur BX e$t 5.1/3 paulò minùs; cum autem BH $it 2.q.8.e$t ferè 2.5/6, paulò minùs; igitur $it vt BP 3.1/2 ad BX 5.1/3, ita BH 2.5/6 ad aliam; certè erit 144. id e$t 4.(26/63), licèt minùs acceptum $it; igitur 126.e$t maior BI, quæ e$t tantùm 4; igitur BE breuiori tempore percur- ritur, quàm BM. <p>Nonò, per duas chordas quadrantis de$cendit breuiori tempore mo- bile, quàm per alteram tantùm inferiorem $cilicet<note><I>Fig.</I>1. <I>Tab.</I> 3.</note> $it enim tantùm <pb n=214> quadrans ABG in quo $int duæ chordæ GC, CB: Dico quòd per vtram- que ex G breuiori tempore de$cendit, quàm per inferiorem CB; quia per CB, & GB æquali tempore de$cendit per Th.27.$ed per GCB bre- uiori tempore de$cendit, quàm per GB; $it enim GD perpendicularis parallela AB; $it ED perpendicularis in CG, & per 3. puncta GCD ducatur circulus: his po$itis, GH & GC eodem tempore percurrentur, & in C idem erit motus, $iue ex G per GE, $iue ex E per EC de$cen- dat mobile per Th.27.& 20. $it autem EB ad EK vt EK ad EC, $itque BE v.g, dupla BE vel BA: dico EK e$$e æqualem BG; e$t autem BH maior BC vel AB, vel HG minor CK; $it etiam GH ad GI, ita GI ad GB: dico tempus, quo de$cendit per GCB e$$e ad tempus quo de- $cendit per GB vt GCK ad compo$itam ex GC, HI; $ed hæc e$t ma- ior illa, vt patet ex Geometria, & analytica; igitur breuiori tempore de- $cendit per GCB, quàm per GB; $ed de hocaliàs. <p>Sit enim EB 8. dupla $cilicet AB; $it<note><I>Fig.</I>2. <I>Tab.</I>3.</note> autem EE $ubdupla EB ad EK vt EK ad EB; a$$umatur GE, $itque tempus, quo continetur GC. vt GC, & quo conficitur BC vt CK; igitur quo conficitur GCB vt GCK: $imiliter $it $ecunda linea GB, $itque tempus, quo percurritur GH vt GC, vel NO æqualis GC, $itque vt GH ad GN, ita GN ad GB certè $i GH decurratur tempore GH, AB decurretur tempore HN; $ed HN maior e$t MB, vel CG, vt con$tat ex analytica; adde quod in figura prima $it GI ad GM vt GM ad GB; certè $i tempore GI percurratur GI, percurretur GB tempore GM; e$t autem GM æqua- lis AB, vel EC; $imiliter $it EC ad EK vt EK ad EB, $i percurratur EC tempore EC, percurretur EB tempore EK; $ed GC percurretur tempore GC $ed GCK minor e$t GIM; $it enim GM. 4. EK R. q. 32. id e$t, 5 7/8 paulò minùs, quibus $i $ubtrahas CE 4. & $ub$tituas CG 2. paulò plùs habebis 3 7/8; igitur GCK minor e$t GIM. Ex his habes omnes Galilei propo$itiones de motu in planis inclinatis numero 38. in quo $tudio, vt verum fatear, maximam $ibi laudem peperit; in quo ta- men opere duo de$iderari videntur, alterũ à Philo$ophis, quod ita phy$i- cæ partes omnes neglexerit, vt ferè vni Geometriæ $atisfaceret; alterum ab Geometris quod Geometriam equidem accuratè tractarit. Sed minùs ad captum Tyronum: atque hæc de his $int $atis, vt tandem no$trorum Theorematum $eriem interruptam repetamus. <C><I>Theorema</I> 31.</C> <p><I>Ex dictis $equitur pondus centum librarum po$$e habere tantùm grauitatio- nem vnius libræ</I>; $it enim planum inclinatum centuplum horizontalis, id e$t, $ecans centupla Tangentis; haud dubiè grauitatio in prædictum pla- num erit tantùm $ubcentupla per Th.16. <C><I>Theorema</I> 32.</C> <p><I>Ex duobus ferentibus idem parallelipedum in $itu inclinato pote$t alter fer- re tantùm vnam libram, licèt pendat centum libras</I>; $it enim ita inclina- <pb n=215> tum, vt linea inclinationis $it centupla horizontalis oppo$itæ; certè qui $u$tinet in altera extremitate eleuata (1/100) tantùm $u$tinet ponderis par- tem per Th. 18. alius verò $u$tinet in altera extremitate, quæ deor$um e$t (93/100). <C><I>Theorema</I> 33.</C> <p><I>Qui pote$t tantùm datum pondus $ur$um attollere per lineam verticalem, centuplum per inclinatum planum ad eamdem altitudinem attollet</I>; $i enim $it inclinata ad perpendiculum in ratione centupla; haud dubiè qui attollit datum pondus per ip$um derpendiculum $ine viribus auctis per inclina- tum planum, pondus centuplò maius attollet, quia potentia per inclina- tam e$t ad potentiam per ip$um perpendiculum vel altitudo ad inclina- tam per Theor. 6. igitur $i æqualis vtrobique applicetur potentia, pon- dus centuplò maius attollet per inclinatam, $eu pellendo, $eu tra- hendo. <C><I>Theorema</I> 34.</C> <p><I>Hinc ratio plani inclinati demon$trat</I><note><I>Fig.</I>50 <I>Tab.</I> 2.</note> <I>cochleæ vires.</I> v.g. pellitur $ur$um per DE inclinatam faciliùs quàm verticalem DH in ratione DE ad DH, quæ $i e$t tripla, eadem potentia quæ datum pondus attollit per DH, triplò maius attollet per DE, vel $i attollat per DA verticalem, triplò maius attollet per $piras vel Helices DE EC, CF, &c. v$que ad A; hinc quò Helix erit inclinatior, potentia maius pondus illius operâ attollet. <C><I>Theorema</I> 35.</C> <p><I>Hinc clarè vides compen$ari longitudinem motus, $patij vel temporis, pon- deris acce$$ione,</I> v.g. triplò maius pondus attollitur per DE quàm per DH; quia $patium DE e$t triplum DH; igitur motus triplus, $cilicet in duratione, (loquor enim de motu æquabili quo $ur$um corpus, vel tra- hitur, vel continuò pellitur.) <C><I>Theorema</I> 36.</C> <p><I>Hinc nullus mons e$$e pote$t quantumuis arduus, ad cuius apicem via faci- li in modum cochleæ $trata pertingi non po$$it</I>; & quò plures erunt $piræ, eo facilior erit & minùs decliuis via. <C><I>Theorema</I> 37.</C> <p><I>Quando de$cendit mobile per multas $piras, $eu volutas, pote$t determinari altitudo perpendicularis, ex qua eodem tempore de$cenderet</I>;<note><I>Fig.</I>9 <I>Tab.</I>3.</note> $it enim $pira $eu cochlea AFCHD, & perpendiculum AD; certè eodem tempore de$cendit per AFC, quo de$cenderet per AG duplam AF; $ed co tem- pore, quo de$cendit per AF inclinatam, conficit AD per Th.27. quæ e$t ad AF vt AF ad BA; $it autem dupla: $imiliter codem tempore conficit AFG vel AFG, quo conficit AE duplam AG; denique eo tempore, quo conficit AF CHD, vel AGD, conficit duplam AE. <pb n=216> <p>Sic etiam eo tempore, quo in perpendiculo conficit AD conficit $ub- duplam $cilicet AF, $ed hæc $unt clara. <C><I>Theorema</I> 38.</C> <p><I>Quando proiicitur mobile per planum inclinatum $ur$um in ea propertione proiicitur longiùs, quò inclinata ip$a longior e$t perpendiculari.</I> v.g.<note><I>Fig.</I>9. <I>Tab.</I>3.</note> $i proii- citur per BA in verticali, illa eadem pot&etilde;tia quæ proiicit in A ex B, pro- iiciet quoq; ex F in A, ex M in A, atque ita deinceps ex $ingulis punctis horizontalis BM; ratio e$t, quia in ea proportione de$truitur impetus per BA, in qua motus per AB de$cendit; nam impetus innatus deor- $um qua$i trahit mobile graue; impetus verò impre$$us $ur$um attollit; igitur pugnant pro rata, vt $æpè diximus in tertio libro, & alibi: $imiliter in inclinata FA impetus innatus qua$i reducit mobile deor$um dum impre$$us violentus $ur$um promouet; igitur $i impetus innatus per AB, & per AT æqualem vim haberet, haud dubiè æquale $patium contine- ret mobile projectum per BA & FA; nam eadem potentia cum æquali re$i$tentia idem præ$tat & inæqualiter de$cendit per AB AF, & motus per AF e$t ad motum per AB, vt AB ad AF. v.g. $ubduplus; igitur re- $i$tentia per BA erit dupla re$i$tentiæ per FA; igitur $patium per FA erit duplum; igitur ex F a$cendet in A, quo cum eo impetu ex B a$cendet in A, $uppo$ita eadem potentia; idem etiam dicendum de aliis punctis horizontalis BM: præterea ille impetus $ufficit ad motum $ur$um per FA, qui accipitur in de$cen$u AF, vt con$tat ex dictis; itemque $ufficit ad motum $ur$um per BA qui acquiritur in de$cen$u AB; $ed æqualis ve- locitas, vel impetus acquiritur in vtroque de$cen$u AB AF per Th. 20. igitur idem impetus $ufficit ad de$cen$um BA FA. <C><I>Theorema</I> 39.</C> <p><I>Hinc dicendum e$t impetum naturalem per inclinatam FA vel MA n<*> $ur$um intendi, $eu cre$cere</I>; alioqui ex A mobile de$cenderet citiùs in F, po$tquàm ex F proiectum e$$et in A, quàm $i tantùm ex A in F demit- teretur, quod e$t contra experientiam; adde quòd impetus naturalis $ur- $um non cre$cit, vt iam $æpè dictum e$t. <C><I>Theorema</I> 40.</C> <p><I>Destruitur aliquid impetus impre$$i in mobili per planum inclinatum.</I> Probatur, quia tandem quie$cit mobile; igitur ce$$at motus; igitur & im- petus: nec dicas id fieri ab aëre, vel plani $cabritie; nam, $i hoc e$$et, æquale $patium conficeret in FA & LA; quippe æqualis portio plani æqualiter re$i$tit; Idem dico de aëre; igitur de$truitur impetus impre$- $us ab impetu naturali. <C><I>Theorema</I> 41.</C> <p><I>Destruitur tantùm pro rata, hoc e$t in ratione, quam habet perpendiculum ad inclinatam.</I> v.g. $it perpendiculum FCA; haud dubiè $i non de$true- retur motus $ur$um cum eo gradu impetus, quo ex F a$cendit in C motu retardato, a$cenderet in A motu æquabili, & eodem tempore; igitur eo <pb n=217> tempore de$truitur totus impetus; $i verò proiiciatur per LC; certè im- petus totus non de$truitur per LC, eo tempore, quo ex F a$cenderet in C, $ed pro rata, id e$t in ratione FC ad LC, quæ $it $ubdupla v.g. igitur impetus de$truitur tantùm $ubduplus; igitur eo tempore, quo ex F a$cen- dit in C, ex L a$cendet in K, ita vt LM æquali FC addatur MK æqua- lis EB; e$t autem EB $ubdupla CA vel EF. Similiter $it perpendicu- lum FG, & inclinata HF tripla FG; a$$umatur FC æqualis FG, item- que HO æqualis GF; certè eo tempore, quo perpendiculari detrahitur totus impetus, detrahitur tantùm $ubtriplum per inclinatam HF; igitur a$$umatur ER $ubtripla EF; & addatur OP æqualis FR: dico quod eo tempore, quo ex G a$cendit in F, ex H a$cendit in P; quippe a$cenderet in O, $i eo tempore totus impetus de$trueretur, & in S $i nullus; igitur in P, $i $ubtriplus tantùm de$truatur, de$truitur porrò $ubtriplus, quia vis impetus innati per FH e$t tantùm $ubtripla ciu$dem per FG; atqui de- $truitur tantùm ab impetu innato, quæ omnia certi$$imè con$tant; Ex quo habes tempora e$$e vt lineas. <C><I>Theorema</I> 42.</C> <p><I>Hinc pote$t dici quo tempore conficiatur tota inclinata $ur$um $cilicet eo tempore quo inclinata deor$um percurritur.</I> v.g, CL dupla CF percurritur tempore duplo illius, quo percurritur CF; igitur mobile proiectum ex L in C percurrit LC eodem tempore a$cendendo, quo percurrit EL de- $cendendo; $ed percurrit EL de$cendendo eodem tempore, quo percur- rit perpendicularem quadruplam CF, vt $uprà diximus. <C><I>Theorema</I> 43.</C> <p><I>Hinc nunquam in inclinata $ur$um proiectum mobile acquiril duplum $pa- tium illius quod acquirit idem proiectum in verticali $ur$um,</I> v. g. ex H pro- iectum nunquam acquiret in HF duplum $patium GF, po$ito quòd ex G proiiciatur tantùm in F dato tempore, $itque eadem potentia per HF. Probatur, quia $emper de$truitur aliquid impetus iuxta proportionem FG ad FH per Th.40. $ed $i nullus de$truitur impetus, duplum $patium conficit; igitur $i aliquid de$truitur, duplum $patium non conficitur: po- te$t tamen propiùs in infinitum ad duplum accedere. <C><I>Theorema</I> 44.</C> <p><I>Hinc erecta perpendiculari</I> FC, <I>ductaque horizontali</I> FL, <I>productaque in infinitum, $i ex quolibet illius puncto eleuetur planum inclinatum termina- tum ad</I> C, <I>eadem potentia que ex</I> F <I>in</I> C <I>mobile proiiciet, etiam ex quolibet puncto de$ignato in horizontali proiiciet in</I> C <I>per planum inclinatum</I>; quod probatur per Th. 38. <C><I>Theorema</I> 45.</C> <p><I>Ex his etiam probatur proiici ex</I> L <I>in</I> C <I>ab <*> petentia, quæ ex</I> F <I>preiicit in</I> C; cum enim primo tempore proiiciat ex L in K ($uppono enim LC e$$e quadruplam KC) certè $ecundo conficit tantùm KC; e$t enim mo- tus violentus $ur$um retardatus inuer$us motus deor$um accelerati; at- <pb n=218> qui motu naturaliter accelerato $i primo tempore conficit KC, $ecum- do conficit KL triplum CK; igitur $i motu retardato primo tempore conficit LK, $ecundo conficit KC $ubtriplum LK. <C><I>Theorema</I> 46.</C> <p><I>Si proiiciatur in horizontali motus per $e e$t æqualis in $patio modico</I>: Pro- batur, quia in nulla proportione de$truitur, vt patet; dixi per $e, quia re- uera nullum e$t planum perfectè l&ecedil;uigatum, nec etiam mobile: vnde cum a$peritas plani re$i$tat, inde maximè motus retardatur; dixi in $patio modico, nam planum horizontale rectilineum longius, e$t planum incli- natum, de quo infrà, vnde vt motus $it æqualis, debet proiici in $uperfi- cie curua æqualiter di$tante à centro mundi. <C><I>Theorema</I> 47.</C> <p><I>Si proiiciatur mobile deor$um per inclinatum planum, mouetur velociùs</I> B; certum e$t, & acquirit maius $patium $ingulis temporibus iuxta ratio- nem impetus accepti. v.g.<note><I>Fig.</I>51 <I>Tab.</I> 2.</note> $it planum ABE, in quo primo dato tem- pore mobile acquirat AB, $itque impetus impre$$us æqualis împetui, quem acquirit dum percurrit $patium AB; haud dubiè primo tempore ratione vtriu$que impetus percurrit AC, $cilicet, duo $patia; $ecundo CD, id e$t 4. $patia; tertio DE, id e$t 6. $patia; atque ita deinceps: vn- de vides proportionem arithmeticam, quæ na$citur ex acce$$ione quan- tumuis modica noui imperus. <C><I>Theorema</I> 48.</C> <p><I>In plano inclinato non de$truitur impetus impre$$us, quia non e$t frustrà</I>; igitur non de$truitur per Sch. Th.152.lib.1. $ic diximus in Theoremate 68. l.4. in proiecto deor$um per lineam perpendicularem deor$um non de$trui quidquam impetus impre$$i, licèt de$truatur in proiecto per in- clinatam deor$um in libero medio, vt diximus in Th.67. lib.4. vide Th. 68.lib.4. <C><I>Theorema</I> 49.</C> <p><I>Pote$t determinari quantus impetus imprimi debeat mobili per planum in- clinatum, vt æquali velocitate moueatur quo mouetur in perpendiculari $u<*> $ponte,</I> hoc e$t vt æquali tempore æquale $patium vtrimque acquiratur, a$$umpto $cilicet $patio totali, quod toti motui competit, non verò eius tantùm parte; debet enim a$$umi impetus iuxta proportionem differen- tiæ $patij, quod acquiritur in perpendiculari, & alterius $patij, quod ac- quiritur in perpendiculari, & alterius $patij, quod acquiritur in inclina- ta. v.g.<note><I>Fig.</I>4 <I>Tab.</I> 3.</note> $it planum inclinatum AH, perpendiculum verò AE; ducatur EB perpendicularis in AH, mobile percurrit AB in inclinata eo tem- pore, quo percurrit AE in perpendiculo; a$$umatur AC æqualis AE; $i imprimatur impetus, qui $it ad acqui$itum in $patio AB vt BC ad AB: dico quod mobile eodem tempore percurret AE, & AC, vt con$tat; quia impetus in C e$t æqualis impetui in E; vt verò percurrat in incli- nata AH æquale $patium AG, æquali tempore, quo percurrit AG; a$- <pb n=219> $umatur AF æqualis AH, addaturque impetus, qui $it ad acqui$itum in H, vt GF ad FA, vel AH, & habebitur intentum: dixi totum $patium re- $pondens $cilicet toti motui; alioqui $i pars tantù.n accipiatur tùm $pa- tij, tùm motus, res procul dubio $ecus accidet; $it enim impetus impre$- $us vt BC ad AB. Equidem primò tempore, quo in perpendiculari con- citur AE, conficitur AC æqualis; at verò $ecundo, quo conficitur EG triplum AE in perpendiculari, conficitur CI quadruplum AC, vel AE; igitur non $unt æqualia $patia; $ed hæc $unt $atis facilia. <C><I>Theorema</I> 50.</C> <p><I>Si planum horizontale $it perfectè lauigatum in vne tantùm illius puncto $i- $tere pote$t mobile graue</I>; $it enim<note><I>Fig.</I>6. <I>Tab.</I> 3.</note> globus terræ centro A $emidiametro AE; $itque planum horizontale FEGN læuigati$$imum: dico quòd in puncto contactus E quie$cet mobile. Probatur, quia ex omni alio puncto mobile pote$t de$cendere; $it enim in G. v.g. haud dubiè GA maior e$t AE; igitur GE planum e$t inclinatum, id e$t, E propiùs accedet ad cen- trum terræ A; $ed per planum inclinatum mobile de$cendit per hyp. 1. idem dico de omni alio plani puucto, excepto puncto E, ex quo non pote$t moueri, ni$i a$cendat, id e$t à centro A recedat; igitur in eo quie$cet. <C><I>Theorema</I> 51.</C> <p><I>Hinc in men$a lauigati$$ima globus vel eburneus, vel cry$tallinus vix vn- quam $istit, ni$i in eius centro,</I> quod multis experimentis comprobatum e$t, & ratio luce meridianâ clarior à rudiotibus etiam primo $tatim ob- tutu cernitur. <C><I>Theorema</I> 52.</C> <p><I>Hinc ridiculum $eu joculare paradoxon, quo $cilicet dici pote$t duorum alter in eodem plano a$cendere, alter de$cendere, licèt in eamdem cœli plagam con- uer$i ambulent</I>; $i enim alter ex G in E; alter verò ex E in F tenderet; hic certè a$cenderet, quia recederet à terræ centro A; ille verò de$cende- ret, quia ad centrum accederet; & $i in partes oppo$itas ambulent, in hoc eodem plano vterque $imul a$cendere, vel $imul de$cendere pote$t. <C><I>Theorema</I> 53.</C> <p><I>E$t etiam aliud paradoxon, $cilicet in eodem puncto E duo plana eadem li- neâ contenta hinc inde a$cendere; vel duos montes alti$$imos in eadem recta linea contineri; vel mediam vallem, & gemines montes linea recti$$ima $imul connecti</I>; hæc porrò $unt $atis facilia, & vix $upra vulgi captum. <C><I>Theorema</I> 54.</C> <p><I>Adde aliud paradoxon $cilicet idem mobile per duo plana parallela inæ- quali motu de$cendere.</I> v.g. per plana XFB, VEA, nam VEA e$t per- pendiculum; at verò XFB e$t horizontale, vt clarum e$t. <C><I>Theorema</I> 55.</C> <p><I>Pote$t determinari motus proportio cuiu$libet puncti a$$ignati in plano EN</I>; <pb n=220> $it enim punctum G; ducatur à centro A recta AGH; haud dubiè e$t per- pendicularis; ducatur IGK $ecans GH; ad angulos rectos; hæc e$t ho- rizontalis, quæ ad hanc perpendicularem pertinet; ducatur HI parallela EG; hæc e$t inclinata, vt patet ex dictis; immò per ip$am deff. 1. $ed mo- tus in inclinata e$t vt ip$um perpendiculum ad inclinatam per Th. 6. igitur motus per HI in ip$o puncto H, vel per GE in ip$o Buncto G e$t ad motum per HG, vt HG ad HI. <p>Aliter ducatur HZ perpendicularis IH; dico motum in G vel ex G initio e$$e ad motum per VE vel GL vt GH ad GZ; $unt enim duo triangula IGH, ZGH proportionalia. <p>Aliter ducatur LK parallela GG; triangula GKL, GHI $unt propor- tionalia; igitur motus per GE e$t ad motum per HG, vt LG ad LK. <p>Aliter ducatur QL, triangula QLA, LGK $unt proportionalia; igi- tur motus per GE e$t ad motum per HG vt QL ad AL; igitur vt $inus rectus anguli QAL ad totum. Idem dico de puncto O, & omnibus aliia in quibus e$t eadem praxis. <C><I>Theorema</I> 56.</C> <p><I>In $ingulis punctis plani EN e$t diuer$us motus</I>; nam in puncto E nullus e$t motus per Th. 50.atqui in puncto G e$t motus; idem dico de puncto O, atqui in puncto O e$t maior motus, quàm in G, $cilicet initio, id e$t velocior incipit motus in O, quàm in G; probatur quia in G e$t ad mo- tum maximum qui fit in perpendiculari vt QL ad LA, & in puncto O vt YP ad PA, $ed YP e$t maior QL, vt con$tat; igitur initio e$t maior motus in O quàm in G; igitur quâ proportione horizontalis EN erit longior, puncta, quæ longiùs di$tabunt, habebunt rationem plani ma- gis inclinati. <C><I>Theorema</I> 57.</C> <p><I>Pote$t determinari grauitatio in $ingulis punctis plani EN</I>; cum enim grauitatio in plano inclinato $it ad grauitationem in horizontali vt Tangens ad $ecantem, vel vt horizontalis, in quam $cilicet cadit perpen- lum ad inclinatam per Th. 16. $it punctum, G grauitatio in eo puncto e$t ad grauitationem in puncto E, vt QA ad AL, & in puncto O ve YA ad AP: idem dico de aliis punctis. <C><I>Theorema</I> 58.</C> <p><I>Hinc eò minor e$t grauitatio, quò maior e$t di$tantia ab E</I>; atque ita ab E ver$us N cre$cit motus, & decre$cit grauitatio; at verò ab N ver$us B cre$cit grauitatio, & decre$cit motus. <C><I>Theorema</I> 59.</C> <p><I>Globus ab O ver$us E retatus $emper acceleraret $uum motum.</I> Demon- $tro, quia impetus productus in O con$eruaretur etiam in G, & nouns produceretur, igitur acceleraret $uum motum; $uppono enim planum E N e$$e læuigati$$imum; igitur nihil e$$et, à quo de$trueretur: adde quòd <pb n=221> $emper haberet $uum effectum; igitur non e$$et fru$trà; igitur per Schol. Th.152.l.1. <C><I>Theorema</I> 60.</C> <p><I>Ille motus acceleratur per partes inæquales</I>; quia $cilicet motus additus in O minor e$$et quàm in N, & in G quàm in O per Th. 56. igitur per partes inæquales acceleraretur, immò pote$t determinari proportio cre- menti motus in $ingulis; cum enim in O $it vt YP, in QL. in Yvt T <G>d</G> ad AC; certè cre$cit in proporrione $inuum rectorum ad $inum totum. <C><I>Theorema</I> 61.</C> <p><I>Mobile de$cendens ex O in E tran$it per tot plana inclinata diuer$a, quot $unt puncta in tota EO vt con$tat, vel potiùs quot po$$unt duci Tangentes di- uer$æ in toto arcu PE</I>; quippe Tangens puncti P e$$et parallela IG, idem dico de omnibus aliis punctis arcus PE. <C><I>Theorema</I> 62.</C> <p><I>Motus funependuli in quolibet puncto arcus, per quem de$cendit, e$t ad mo- tum in perpendiculari, vt $inus re$idui arcus ad $emidiametrum</I>; v.g. $it fune- pendulum AD in perpendiculari, quod vibrari po$$it circa punctum im- mobilc A, eleuetur in A<G>b</G>, ducatur Tangens <G>b</G> V motus funependiculi in puncto <G>b</G> $cilicet initio, idem e$t, qui e$$et in plano inclinato <G>b</G>V vt patet, atqui motus in inclinato plano <G>b</G> V e$t ad motum in perp&etilde;diculari vt <G>a</G> V. ad <G>b</G> V, $ed <G>a</G>V e$t ad <G>b</G>V vt <G>ab</G> ad A<G>b</G>, $unt enim triangula proportionalia; igitur motus initio $cilicet in puncto arcus putà B e$t ad motum in per- pendiculari etiam initio con$ideratum, vt $inus rectus re$idui arcus, putà <G>b</G> D ad $emidiametrum, vel $inum totum, id e$t <G>a b</G> ad A <G>b</G>, idem dico de omnibus aliis punctis. <C><I>Theorema</I> 63.</C> <p><I>Hinc proportio accelerationis moius in de$cen$u funependuli $eu incremen- ti in $ingulis punctis additi e$t in proportione huiufinodi $inuum minorum $em- per & minorum</I>; v.g. motus in puncto B e$t vt BA $emidiameter in <G>t</G> vt <G>t</G> <G>m</G> in <G>b</G> vt <G>b a</G>, id e$t licèt maior $it motus in <G>t</G> quàm in B, cum $cilicet de$cendit ex B in <G>t</G>, vt illa portio crementi quæ in ip$o puncto <G>t</G> addi- tur e$t ad primam in B vt <G>t m</G> ad BA. <C><I>Theorema</I> 64.</C> <p><I>Hinc velocitas acqui$ita in arcu BT e$t ad acqui$itam in arcu B <G>b</G>, vt omnes $inus eiu$dem arcus B <G>t</G> ad omnes $inus arcus B <G>b</G>, & hæc ad æcqui$i- tum in toto quadrante BD, vt hi ad omnes $inus quadrantis</I>; $imiliter pote$t comparari acqui$ita tantùm in arcu BT, cum acqui$ita in arcu <G>t b</G> vel <G>b</G> D, quod probatur; quia motus, qui re$pondet $ingulis punctis arcus initio e$t in proportione $inuum $eu tran$uer$arum BA, <G>t m, b a</G>, &c. igitur $i à $ingulis punctis arcus quadrantis in rectam lineam compo$iti duce- rentur; haùd dubiè prædictam aream qua$i occupabunt; igitur acqui$ita in vno puncto e$t ad acqui$itam in alio puncto vt linea tran$uer$a ad <pb n=222> tran$uer$am v. g. acqui$ita in $olo puncto <G>t</G> nulla habita ratione $upe- riorum ad acqui$itam in $olo puncto <G>b</G> vt <G>tm</G> ad <G>ba</G> ita acqui$ita in arcu B <G>t</G> e$t ad acqui$itam in arcu <G>t b</G>, vt area $inuum B <G>t a</G>, ad aream $inum arcus <G>t b</G>. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis prædicta ita intelligenda e$$e, vt a$$umantur arcus exten$i in lineam rectam, ne $cilicet $inus plùs æquo contrahantur, $cu potius aliquo modo compenetrentur; $emper enim accidet trapezus mixtus, v. g. $it trapezus A <G>t</G> a$$umatur recta æqualia arcui B <G>t</G> & duæ rectæ æqua- les duabus BA <G>t m</G>, quarta erit curua; igitur erit trapezus mixtus, quæ cer- tè cautio adhibenda e$t, alioquin fal$um e$$et $uperius Theorema, $ed de funependulis infrà. <C><I>Theorema</I> 65.</C> <p><I>In plano horizontali E O motus incrementa in diuer$is punctis habent eamdem proportionem quam habent in motu funependuli per arcum $uum</I> v. g. fit planum EO ducatur AP O, motus in O e$t ad motum in perpendicu- lari vt PX ad AE, $it funependulum AP cuius centrum; cui affixa e$t im- mobiliter extremitas funis, $it A & punctum quietis $it E, motus illius in puncto P e$t ad motum in puncto C vt PX ad AB: $imiliter motus in G puncto plani e$t ad motum in perpendiculari vt LQ ad AE per Th.55. item&qacute;ue $it funcpendulum in L, motus in L e$t ad motum in C vt LQ ad AE, idem dico de punctis T & Y & omnibus aliis; igitur crementa motus tùm in motu tùm in arcu $unt in eadem proportione. <C><I>Theorema</I> 66.</C> <p><I>Determinari pote$t velocitas acqui$ita in de$cen$u OE,</I> e$t enim vt trian- gulum mixtũ cuius alterum latus rectum $it ad OE, alterum ad angulos rectos PX, tertium curua connectens $inus rectos infra PX ver$us vt E vides in figura EO 4. e$t autem l<*>ec velocitas ad velocitatem acqui$i- $itam in perpendiculari æquali OE vt prædictum triangulum EO 4. ad rectangulum $ub OEA. <C><I>Theorema</I> 67.</C> <p><I>Non de$cendit mobile per per OE & GE æquali tempore vt patet,</I> quia hæc Tangens EO pote$t e$$e longior in infinitum; $ed has proportiones demon$trabimus Tom, $equenti, quia multam Geometriam de$ide- rant. <C><I>Theorema</I> 68.</C> <p><I>Omne planum quod ad aliquod punctum circumferentiæ globi terre$tris terminatur, & productum vlterius non $ecat centrum pote$t plænum inclina- tum e$$e,</I> v.g. in planum LD vel YD, immò nullum e$t planum quod non $it horizontale, id e$t quod non cadat perpendiculariter in aliquem ra- dium vel in aliquod perpendiculum v.g. LD e$t horizontalis quia ca- <pb n=223> dit perpendiculariter in perpendiculum AD, idem dico de plano YD, cuius perpendiculum vt inueniatur, ex centro A adducatur perpendicu- laris in YD: hinc non pote$t de$cendere corpus ad centrum terræ per planum inclinatum rectilineum quia linea recta quæ ducitur ad cen- trum e$t perpendiculum; igitur non e$t planum inclinatum. <C><I>Theorema</I> 69.</C> <p><I>Pote$t determinari motus duorum planorum inclinatorum quorum idem est perpendiculum,</I> $it enim<note><I>Fig.</I><*>. <I>Tab.</I> 3.</note> arcus terræ GFC centro A; $int duo plana FK GFL quorum idem e$t perpendicuium LA; motus in K per KF initio e$t ad motum per K vt DC ad DCA; ducatur autem AH perpendicula- ris in GL, & centro A ducatur arcus HE, ducaturque vel HO perpendi- cularis in AL vel CP in AH; dico motum in L e$$e vt PC ad CA: $ed hæc $unt facilia. <C><I>Theorema</I> 70.</C> <p><I>Nullus gradus impetus de$truitur in de$cen$u KF vel MF per $e</I>; quia nihil e$t à quo de$truatur, dixi per $e; nam per accidens aliquid de$trui pote$t tùm ratione plani $cabri tùm etiam ratione aëris. <C><I>Theorema</I> 71.</C> <p><I>Omnes gradus acqui$iti in de$cen$u concurrunt ad de$cen$um præter vnum $cilicet præter acqui$itum vltimo instanti de$cen$us</I>; quia impetus non con- currit ad motum primo in$tanti quo e$t, per Th. 34. lib.1. de omnibus aliis certum e$t quod concurrant, quia non impediuntur, igitur concur- runt per Ax.12. lib.1. <C><I>Theorema</I> 72.</C> <p><I>Omnes gradus impetus qui concurrunt ad de$cen$um, concurrunt ad a$cen- $um præter vnum</I>; probatur, quia $i omnes concurrerent, maior e$$et a$- cen$us de$cen$u quod e$t ab$urdum: adde quod impetus innatus ad li- neam $ur$um determinari non pote$t per Th.12. $ed impetus innatus concurrit ad de$cen$um, vt patet. <C><I>Theorema</I> 73.</C> <p><I>Hinc tot concurrunt ad a$cen$um quot ad de$cen$um</I>; nam ad a$cen$um omnes præter vltimum, ad de$cen$um omnes præter primum; igitur tot concurrunt ad a$cen$um, quot ad de$cen$um. <p>Dices, primo in$tanti a$cen$us aliquis gradus de$truitur. Re$ponderet aliquis, tran$eat antecedens, quia cùm in$tanti vltimo de$cen$us omnes gradus præter innatum exigant motus pro $equenti in$tanti, quod e$t pri- mum in$tans a$cen$us; certè tot concurrunt ad primum in$tans a$cen$us, quot ad vltimum de$cen$us, licèt aliquis gradus de$truatur pro primo in- $tanti a$cen$us. Re$ponderet alius, cùm primo in$tanti a$cen$us gradus ille qui vltimo de$cen$us productus e$t concurrat ad motum, igitur illo in$tanti fru$trà non e$$e, igitur non debere de$trui, cùm eo tantùm no- mine de$truatur impetus; igitur primo in$tanti a$cen$us non de$trui <pb n=224> vllum gradũ impetus, quia $cilicet impetus innatus in omnibus in$tan- tibus præcedentibus habuit motum deorsũ; igitur nullo in$tãti præteri- to exigebat motum oppo$itum: adde quod vltimo in$tanti de$cen$us quo mobile ponitur in F impetus naturalis non exigit ampliùs motum, cur enim potius ver$us M quàm ver$us N, igitur primo tantùm in$tanti a$- cen$us quo mobile fertur ver$us N, impetus naturalis exigit mobile re- dire in F. <p>Dices, $i primo in$tanti a$cen$us nullus gradus impetus de$truitur; igi- tur nec $ecundo neque tertio, non e$t enim potior ratio pro vno quàm pro altero. Re$ponderet negando, nam ideo, vt iam indicaui, primo in$tã- ti a$cen$us nullus gradus de$truitur, quia in$tanti immediatè anteced&etilde;ti, quod erat vltimum de$cen$us, impetus innatus non exigebat quidquam ampliùs, igitur nullus gradus e$t fru$trà, igitur nullus de$truirur, at verò in$tanti a$cen$us impetus innatus exigit pro $equente, quod e$t $ecun- dum a$cen$us mobile redire in F, igitur ex illa pugna $ecundi in$tantis de$truitur aliquid impetus; $ed profectò primo a$cen$us de$truitur ali- quid impetus, quia aliquid motus remittitur, propter impetum inna- tum; igitur aliquis impetus e$t fru$trà: non tamen hoc facit, quin omncs gradus in de$cen$u acqui$iti concurrant ad a$cen$um; igitur tot concur- runt ad a$cen$um, quot ad de$cen$um, cum hac tamen differentia, quod impetus innatus, qui concurrit ad de$cen$um, non ad a$cen$um $it longè velocior vltimo in$tanti motus acqui$ito, qui concurrit ad de$cen$um, non ad a$cen$um, <C><I>Theorema</I> 74.</C> <p><I>Hinc in ea proportione cre$cit impetus in de$cen$u, qua decre$cit in a$cen$u, & in eadem cre$cit, & decre$cit motus in eadem cre$cunt, & decre$cunt $pa- tia,</I> v.g. $int $ex in$tantia de$cen$us iuxta proportionem $cilicet in$tan- tium, in qua res i$ta faciliùs explicatur: primo in$tanti motus $unt duo gradus impetus, quorum alter tantùm concurrit, $cilicet qui præextitit; qui enim producitur primo illo in$tanti, non concurrit ad illum motum per Th. 34. lib. 1. igitur primo in$tanti $unt duo gradus impetus, vnus gradus motus, & vnum $patium; $ecundo verò in$tanti $unt tres gradus impetus quorum vnus non concurrit, 2. gradus motus, 2.$patia, atque ita deinceps; donec tandem $exto eo vltimo in$tanti de$cen$us $int 7. gra- dus impetus, quorum vnus non concurrit, 6. gradus motus, & 6. $patia. <p>Similiter primo in$tanti a$cen$us $unt 7. gradus impetus, quorum vnus non concurrit $cilicet innatus, 6. gradus motus, 6. $patia; $ecundo 6.gradus impetus, quorum vnus non concurrit $cilicet innatus, 5.gradus motus, 5.$patia, atque ita deinceps. <C><I>Theorema</I> 35.</C> <p><I>Hinc æqualia ferè vtrimque $unt $patia de$cen$us $cilicet, & a$cen$us</I>; v.g. MF æquale FN, quia e$t $umma eorumdem terminorum per Th. 74. igitur ex F mobile a$cendit ad altitudinem FN æqualem altitudini FM, <pb n=225> ex qua priùs de$cenderat dixi ferè, quia cum innatus $it perfectior vlti- mo acqui$ito paulò plùs $patij acquiritur in de$cen$u, quàm in a$cen$u, $ed minimum e$t $en$ibile. <C><I>Theorema</I> 76.</C> <p><I>Hinc æqualibus temporibus a$cendit ferè ab F in N, & de$cendit ex M in F,</I> quia numerus terminorum æqualis e$t numero in$tantium. <C><I>Theorema</I> 77.</C> <p><I>Hinc motum haberet ferè perpetuum ab M in F ab F in N, ab N ite- rum in F, &c.</I> $i enim de$cendens ex M in F a$cendit ad æqualem altitu- dinem FN, ita & de$cendens ex N in F a$cendet ad æqualem altitudi- nem FM, atque ita deinceps; igitur motus erit ferè perpetuus; $ed pro- fectò nullum e$t corpus tàm læuigatum, quod motum non impediat: dixi ferè, quia de$cen$us tantillùm $uperat a$cen$um, $ed vix intra mille an- nos $en$u id percipi po$$et. <C><I>Theorema</I> 78.</C> <p><I>Hinc $iterrestris globus e$$et per$oratus in perpendiculo FAI, $i ex puncto F demitteretur globus plumbeus per FAI de$cenderet ex F in A, tum ex Aa$cenderet in I æquali ferè tempore</I>; quod nece$$ariò $equitur ex dictis; quia omnes gradus qui concurrentad a$cen$um, etiam concurrerent ad de$cen$um, præter vnum, $cilicet vltimo in$tanti de$cen$us acqui$itum; & omnes, qui concurrerent ad de$cen$um, concurrerent etiam ad a$cen- $um præter vnum, $cilicet primum vel innatum; igitur æquale $patium æquali tempore percurreretur; quod certè dictum $it ab$trahendo à re- $i$tentia aëris, quæ fortè modica e$$et; Ex hac perpetua vibrationum $e- rie aliquando explicabimus cau$as phy$icas apogæi & perigæi Solis, & aliorum planetarum; adhibe camdem cautionem, de qua $uprà. <C><I>Theorema</I> 79.</C> <p><I>Si duo plana inclinata faciunt angulum e$t ferè æqualis a$cen$us de$cen$ui.</I> v. g. de$cendat per LF dico quod a$cendet per FR ad altitudinem ferè æqualem LF, quia licèt in angulo illo LFR $it noua determinatio ad nouam lineam motus, id e$t qua$i reflexio; nihil e$t tamen quod de$truat impetum; nam in reflexione $eu noua determinatione non perit aliquid impetus nece$$ariò vt lib. $equenti demon$trabimus. <C><I>Theorema</I> 80.</C> <p><I>E$t tamen alia ratio de motu funependuli quâ euincemus a$cen$um e$$e mi- norem de$cen$u,</I> de qua infrà. <C><I>Theorema</I> 81.</C> <p><I>Initio a$cen$us per FN de$truuntur gradus impetus producti $ub finem de- $ien$us, & $ub finem a$cen$us destruuntur producti initio de$cen$us:</I> ratio e$t clara, quia producti $ub finem de$cen$us $unt imperfectiores, cùm plùs recedant à perpendiculari, per Th. 55. $imiliter initio a$cen$us longiùs recedit linea à verticali; igitur minùs de$truetur impetus, vt $æpè incul- <pb n=226> cauimus; nam idem de$truitur in dato puncto a$cen$us, qui producere- tur in eodem puncto de$cen$us. <p>Dices, gradus productus vltimo in$tanti de$cen$us non de$truitur pri- mo a$cen$us. Re$pondeo de$trui; hinc cadem cau$a idem de$truit primo in$tanti a$cen$us quod produxit vltimo in$tanti de$cen$us; de$truit in- quam mediatè. <p>Hîc ob$eruabis $ingulare di$crimen, quod intercedit inter cau$am producentem, & exigentem; nam producens verè agit, exigens verò tan- tùm exigit; illa con$equitur effectum eo in$tanti quo agit; hæc verò non habet effectum eo in$tanti, quo exigit, $ed pro $equenti; e$t tamen cau$a eo in$tanti, quo exigit, non certè agens, $ed exigens: exemplum habes in impetu, qui non habet motum eo in$tanti quo exigit, $ed tantùm $e- quenti pro quo exigit; igitur e$t cau$a motus antequàm $it motus, non agens $ed exigens; at verò cum impetus alium impetum producit e$t tantùm cau$a illius cum agit. <C><I>Theorema</I> 82.</C> <p><I>Vltimo in$tanti a$cen$us $unt duo gradus impetus, $cilicet productus primo in$tanti de$cen$us cum innato</I>; igitur in$tanti $equenti erit motus, id e$t, de$cen$us, quia præualet innatus qui perfectior e$t, vt con$tat ex dictis; igitur nullum erit inftans quietis; quæ omnia explicari debent eodem modo, quo iam explicuimus in motu violento, lib.3. e$t enim eadem ra- tio, &c. quæ omitto ne multa hîc repetere cogar. <C><I>Theorema</I> 83.</C> <p><I>Ictus e$$ent ferè æquales in $egmentis æqualibus a$cen$us & de$cen$us,</I> quia motus e$$et æqualis in illis; igitur ictus æquales, quod facilè e$t. <C><I>Theorema</I> 84.</C> <p><I>In planis eiu$dem inclinationis idem corpus graue e$t ciu$dem ponderis</I> v. g.<note><I>Fig.</I>7. <I>Tab.</I>3.</note> $int plana FE. GD. HO eiu$dem inclinationis cum communi $ci- licet perpendiculo ODEA; certè pondus corporis in O e$t ad pondus eiu$dem in H vt AH ad AO per Th.57. & pondus corporis eiu$dem in D e$t ad pondus ciu$dem in G vt AG ad AD, & in E vt AF ad AE; $ed AF e$t ad AE vt AG ad AD, vt AH ad AO; $unt enim triangula proportionalia. <p>Hinc reiice quorumdam recentiorum $ententiam, qui volunt corpus, quod propiùs ad centrum terræ accedit, e$$e minùs graue, & grauius quod longiùs à centro recedit, quod de grauitate corporis ab$olutè $umpti nul- latenus dici pote$t vt con$tat, vtrum verò $i cum alio in eadem libra $ta- tuatur hinc inde, videbimus $uo loco. <p>Diceret fortè aliquis in ip$o centro $poliari $ua tota grauitate; igitur quo propiùs accedit ad centrum maiori grauitatis portione multatur; $ed nego con$equentiam; nec enim $equitur priuari parte grauitatis dum abe$t à centro, licèt tota priuetur cum e$t in centro $ed de hac quæ$tione plura aliàs; nec enim huius loci e$t. <pb n=227> <p>Sed ne hoc fortè excidat<note><I>Fig.</I>5<*> <I>Tab.</I>2.</note> $i Globus CGLH de$cendat ex A ad cen- trum mundi $eu grauium E, quæri pote$t vtrum omnes partes mouean- tur $ua $ponte ver$us L etiam illæ quæ vltra centrum E proce$$erunt, $eu quod idem e$t, vtrum globus CGLH, cuius centrum E e$t coniun- ctum cum centro grauium E tran$latus in IFKB eiu$dem $it ponderis, cuius e$$et in A. v.g. <p>Re$p. primò globum prædictum, cuius centrum e$t in E, nullius e$$e ponderis, vt con$tat; nec enim potiùs in vnam partem, quàm in aliam inclinat. Re$pondeo $ecundò globum eumdem, cuius centrum e$t D ex- tra centrum grauium E grauitare, quia inclinat ver$us E.R e$pondeo ter- tiò non æqualiter grauitare, $iue $it in D, $iue $it in A; quia grauitat per $uam entitatem quatenus coniuncta e$t cum inclinatione; $ed non e$t ea- dem entitas in A quæ in D cum cadem inclinatione, igitur nec cadem grauitas; non enim grauitat inde $ecundum totam $uam entitatem; quia $cilicet $ectio MFNE non pote$t ampliùs grauitare infrà E, quan- doquidem E e$t locus infimus. <p>Dices grauitare grauitatione communi. Re$pondeo ad extra conce- do, $cilicet ad producendum impetum in corpore quod impedit motum, $ecus verò grauitatione intrin$ecâ; vnde $i $u$tineretur globus in F non $u$tineretur totus, $ed fortè detraheretur de toto pondere, primò $ectio MFNE, quæ non grauitat ver$us F & altera æqualis quæ ab ea $u$tine- retur. v.g. $i $ectio OCPD immediatè incumberet $ectioni MFNE, ita vt corda OP iungeretur cordæ MN; certè vtraque con$i$teret; dixi fortè, quia non e$t ita certum, vt videbimus alias. Dices igitur $i globus ille e$$et in centro, minima vi adhibita amoueretur; igitur idem timen- <*>m e$$et de toto terre$tri globo; $ed noli timere quæ$o tàm facilè terræ motum; immò $i globus ille $emel occuparet centrum E., cum non tan- tum hemi$pherium GLH contra nitatur GCH; verùm etiam CGL, CHL, & infinita alia; certè vt moueatur vbi $emel centrum E occupat, debent tot ferè produci gradus impetus, quot produci deberent vt mo- ueretur extra centrum, vt probabimus cum de grauitate $cilicet in tra- ctatu $equenti phy$icæ $ingulari: Interim dicendum e$t $ingulas partes huius globi $eor$im grauitare, cum centrum occupat, excepto illo puncto quod in centro e$t. <C><I>Theorema</I> 85.</C> <p><I>Pote$t, corpus graue de$cendere ad centrum terræ per planum conuexum quadrantis,</I> $it<note><I>Fig.</I>10 <I>Tab.</I>3.</note> enim globus terræ GBCK, centrum A; de$cribatur ex K $emidiametro KA quadrans KLA. Dico quòd corpus graue de$cen- det per conuexum arcum LVA, non tamen per concauum. Probatur prima pars, quia à puncto L per arcum LVA $emper accedit propiùs ad centrum A; igitur per illam de$cendet, quia nulla e$t alia linea minor dextror$um; $i enim e$$et aliqua, e$$et LCA; quia po$$unt tantùm duci duæ illæ rectæ breui$$unæ, quæ terminentur ad puncta LC vt patet; $ed LCA e$t maior arcu LVA: Probatur $ecunda pars, quia ab L in A in- <pb n=228> tror$um pote$t duci linea LA breuior arcu LVA; igitur per concauum LVA non de$cenderet mobile. <C><I>Theorema</I> 86.</C> <p><I>Motus puncti L initio e$$et minor motu puncti V initio; id e$t po$ito quod demittatur ex V ver$us A</I>; demon$tro, quia eodem modo $e habet in L, atque $i e$$et in puncto L Tãgentis LC, vt pater; $ed motus per LC ini- tio e$t ad motum per LA vt ND ad NA vel vt LC ad LA per Th.55. at verò motus in V vel in F initio per FE Tãgentem e$t ad motum per- pendiculi FA vt FE ad FA; $ed e$t maior ratio FE ad FA, quàm LE ad LA, vt con$tat; igitur motus initio in V e$t minor quàm in L initio. <C><I>Theorema</I> 87.</C> <p><I>Hinc e$t inuer$a ratio motus funependuli vulgaris & plani inclinati recti,</I> in quibus motus $upremi puncti e$t maior motu cuiu$libet alterius pun- cti, vnde inciperet motus, cum tamen hic $it minor: porrò po$$et e$$e funependulum KLA dum vel LVA e$$et orbis durus quem media di- uideret rima qua$i ecliptica globi penduli ex K fune exten$o, & per ri- mam incerto KL, vel quod faciliùs e$$et $i KL e$$et pri$ma durum, quod circa K immobile moueri $eu volui po$$et. <C><I>Theorema</I> 88.</C> <p><I>Alia via facilior occurrit, quæ mihi videtur non e$$e omittenda qua propor- tiones illæ diuer$i motus demonstrari po$$ent,</I> $it. v.g. punctum L; a$$umatur arcus LQ æqualis arcui LA; ducatur recta AQ, in quam ducatur LK perpendicularis: dico motum in L per arcum LVA initio e$$e ad motum per LA vt KA ad LA: $imiliter $it punctum V; a$$umatur VL æqualis arcui VA; & in hanc perpendicularis VX.dico motum in V per arcum VA e$$e ad motum per ip$um perpendiculum VA vt XA ad rectam VA; idem dico de omnibus aliis: Ratio e$t, quia Tangens, quæ ducere- tur in V e$$et parallela AX; igitur triangula vtrimque e$$ent æqualia. v.g. FEA & FYA: item motus in P e$t ad motum per ip$um perpen- diculum, vt Tangens PM ad PA, vt con$tat ex dictis. <C><I>Theorema</I> 89.</C> <p><I>Hinc totus motus per LA perpendiculum e$t ad totum motum per arcum LVA, vt omnes chordæ ductæ ab A ad omnia puncta quadrantis AVL $imul $umptæ ad totidem $ubduplas chordarum ductarum ab A ad alterna puncta totius $emicirculi ALQ vel ad totidem Tãgentes $imul $umptas</I>: cum enim motus in L per arcum LVA $it ad motum in L por ip$um perpen- diculum LA vt $ubdupla AQ ad LA, & motus in V per arcum in A $it ad motum in V per rectam VA, vt $ubdupla chordæ AL ad rectam VA, atque ita deinceps per Th.88. certè omnia antecedentis $imul $um- pta habent illam rationem ad omnia con$equentia $unul $umpta, vt con- $tat; igitur totus motus, &c. <pb n=229> <C><I>Theorema</I> 90.</C> <p><I>Globus de$cendens B per conuexum arcum LVA in quo A e$t centrum terræ a$cenderet denuò per quadrantem oppo$itum AFS</I>; patet, quia totus impetus non de$trueretur in centro A, qui $cilicet e$$et inten$ior pro- pter accelerationem de$cen$us, quàm vt in momento de$truatur; quod probatur ex aliis funependulis, & reflexis. <C><I>Theorema</I> 91.</C> <p><I>Non a$cenderet per totum arcum AFS</I>; hoc Theorcma probabitur cum de motu funependuli, e$t enim eadem pro vtroque ratio; quæ in eo po- $ita e$t, quòd in a$cen$u aliquid impetus de$truatur. <C><I>Theorema</I> 92.</C> <p><I>Velociùs de$cenderet per arcum maiorem LVA quam per minorem XA; velociùs, inquam, pro rata</I>; nam arcum XA citiùs percurreret; ratio e$t, quia modicus XA e$t magis curuus, vt patet; igitur determinatio- nis mutatio maior e$t: adde quod maior arcus accedit propiùs ad rectam. <C><I>Theorema</I> 93.</C> <p><I>Non modo per quadrantem circuli de$cendere pote$t in centrum terræ, $ed etiam per $emicirculum</I>; vt videre e$t in eadem figura, nam $i globus $ta- tueretur iuxta Qtantulùm, $cilicet, extra perpendiculum AQ dextror- $um, v.g. versùs P; certè de$cenderet v$que ad A per conuexum $emicir- culi QLA; per conuexum, inquam, non per concauum, vt dictum e$t de quadrante LVA. Ratio e$t, quia accederet $emper propiùs ad cen- trum A; igitur e$$et planum inclinatum per Th. 2. igitur per illud de- $cenderet, nec vlla e$$et difficultas; quod autem accedat $emper propiùs ad A per $emicirculum QLA, certum e$t; quia PA minor e$t QA; nam diamcter e$t maxima $ubten$arum in circulo. Immò per alium $emi- circulum ASQ a$cenderet denuóque de$cenderet repetitis pluribus vi- brationibus; nunquam tamen a$cenderet v$que ad punctum Q propter tamdem rationem, quam in Theoremate 92. adduximus. <p>Ob$eruabis præterea non tantùm corpus graue po$$e de$cendere per $emicirculum, qui $ecet centrum mundi A, $ed ctiam per plures alios. v.g. per $emicirculum ROB, quia $cilicet ab R ver$us BO & ab O ver$us B $emper de$cendit, a$cenditque propiùs ad A, cùm nulla linea in- ter AOB duci po$$it ad punctum A, quæ non $it maior BA, vt con$tat. <p>Vt autem habeas i$tos circulos; accipe centrum $uprà A ver$us K, mo- do radius $eu $emidiameter de$cendat infrà A. v.g. IB vel KB, &c. <C><I>Theorema</I> 94.</C> <p><I>Hinc pote$t aliquis dimidium globum terre$trem percurrere, licèr $emper de$cendat</I>; vt$i conficiat $emicirculum ROB, & licet $emper a$cendat, <pb n=230> vt $i con$iciat $emicirculum BIIR; hæc ita clara $unt, vt oculis tantùm indigeant. <C><I>Theorema</I> 59.</C> <p><I>Hinc pote$t e$$e mons per quem aliquis a$cendat, licèt $ub planum horizon- tale de$cendat.</I> v.g. $it Tangens in puncto B; haud dubiè qui ex B ver$us H procederet per arcum BH, haud dubiè a$cenderet, quia recederet $emper à centro mundi A; de$cenderet tamen infra Tangentem in B; igi- tur mons e$$et infra horizontale planum; montem enim appello tractum arduum, in quo dum aliquis ambulat, a$cendit, hoc e$t recedit à terræ centro. <C><I>Theorema</I> 96.</C> <p><I>Diuer$æ e$$ent rationes motus in de$cen$uper $emicirculum QLA</I>; $cilicet in iis punctis, quæ propiùs accedunt ad A motus e$$et velocior initio $cilicet; pote$t autem haberi hæc proportio ductis Tangenttibus, vt $æpè iam dixi; at verò in $emicirculo ROB in puncto T e$$et veloci$$imus mo- tus initio, quia angulus ITA e$t maximus eorum omnium, qui po$$unt fieri ductis duabus rectis ab A & I coëuntibus in $emicirculo ROB, igi- tur & illi oppo$itus; igitur perpendiculum AT accedit propiùs ad Tan- gentem; igitur planum inclinatius e$t; igitur in puncto T e$t velocior mo- tus initio quàm in aliis; igitur acceleratur motus ab R in T per cre- menta $emper maiora, & ab ip$o T ad B per crementa minora. <C><I>Theorema</I> 97.</C> <p><I>Pote$t de$cendere corpus graue v.g. globus v$que ad centrum terræ per He- licem</I>; $it enim<note><I>Fig.</I>5. <I>Tab.</I> 3.</note> globus terræ AEQO, centrum K; diuidatur QK in 4. partes æquales QR.RP.PS.SK; a$$umatur EH æqualis QR, & AC æqua- lis QP, & OM æqualis QS; tùm per $ignata puncta de$cribatur helix Q HCZMK: dico quod per eius conuexum globus de$cenderet ex Q, ad centrum terræ; quia $emper accedit propiùs ad centrum; immò per plura volumina de$cendere pote$t; $it enim QK diui$a in 8. partes æquales Q TTR, &c. tùm a$$umatur EF æqualis QT, AB æqualis QR, ON æqualis QV tùm QR in ip$a QK, & æqualis QY, ED, a qualis QS, & OL æqualis QX; & per puncta a$$ignata de$cribatur Helix QFBNPIDLK, per cam de$cenderet globus ad centrum terræ K po$t duas circumuolutioncs. <p>Per aliam quoque $piralem compo$itam ex $emicirculis de$cendere pote$t ad centrum terræ B; $it<note><I>Fig.</I>13 <I>Tab.</I> 3.</note> enim centrum terræ F & globus terræ A CMD; accipiantur duo puncta hinc inde HK ad libitum; tunc ex H fiat $emicirculus MB; haud dubiè globus po$itus in M de$cendet in B per conuexum $emicirculi in B; quia B inter omnia illius puncta accedit pro- ximè ad F; tùm ex K ducatur $emicirculus BI; certè ex B de$cenderet in I propter eamdem rationem, tùm ex H de$cribatur $emicirculus IF; certè ex I de$cendet in F, quæ omnia patent ex dictis; po$$unt autem multipli- cari i$tæ $piræ in infinitum: Hinc licèt globus $ingulis horis 100000. leu- cas conficeret in de$cen$u, non tamen attingeret centrum ni$i po$t 1000. annos, immò plures $ecundùm numerum $pirarum. <pb n=231> <p>Denique pote$t de$cendere<note><I>Fig.</I>14. <I>Tab.</I>3.</note> per plura plana inclinata AKLMNO PQRST, $iue ducantur perpendiculariter, $cilicet AK in BC, KL in B D, atque ita deinceps; $iue non perpendiculariter, modò DL $it maior C K, EM maior DL, at que ita deinceps; attamen vltimum planum TB non erit inclinatum, $ed perpendiculum, vt patet. <C><I>Theorema</I> 98.</C> <p><I>Po$$unt e$$e infinita plana inter orbem terræ, & horizontale per quæ globus $eu corpus graue non de$cendet</I>; $it<note><I>Fig.</I>15 <I>Tab.</I>3.</note> enim centrum terræ C, ex quo de$cri- batur arcus QMH ducta diametro MCA in M; ducatur Tangens NM L; hæc erit horizontale planum, vt con$tat; tùm ex aliquo puncto infra C putà ex A de$cribatur arcus SMK; cercè $i ponatur globus in M non de$cendet per arcum MG, quia potiùs a$cenderet; immò $i ponatur in T de$cendet in M, immò faciliùs pelleretur corpus graue per arcum MT, quàm per horizontalem MN, vt patet; igitur potentia illa, quæ per horizontalem pellit non e$t omnium minima, quæ per arcum MQ pel- lit; quia in eo nullo modo globus a$cendit, $ed $emper à centro C æqui- di$tat. Si verò a$$umas quæcumque centra $upra B putà D, & E, & ducas atcus TMGPOMF; certè globus de$cendet per MO, & MP, vt manife- $tum e$t ex dictis, & hoc fortè ludicrum cuiquam videbitur; $i enim col- locetur globus in T, de$cendit ver$us M; $i verò in Y de$cendet ver$us P; licèt V & T non di$tét pollice; po$$unt enim accipi minima illa $patia ver$us M, vbi e$t angulus conting entiæ; nulla tamen pote$t duci recta ab M infra MN, per quam globus non de$cendat velociùs initio, quàm per vllum arcum, $iue MP, $iue MO, $iue quemcnmque alium quamtumuis maximè incuruatum vel inclinatum; quia $cilicet recta illa ducta ex M infra MN $ecat omnes illos arcus, vt patet; igitur initio facit planum inclinatius: dixi initio, quia deinde in arcu multùm inuale$cit motus, cum $emper deficiat in recta, vt diximus abundè $uprà. <C><I>Theorema</I> 99.</C> <p><I>Si quadrans ita di$tet à centro mundi, vt tùm alter eius radius, tùm Tan- gens ip$i parallela cen$eantur perpendiculares, globus de$cendet ex eius vertice per arcum</I>: Sit enim<note><I>Fig.</I>12. <I>Tab.</I>3.</note> quadrans ATE erectus $upra horizontem, ita vt AE $it horizontalis, & tùm TA, tùm 3. A perpendiculares; certè de$cen- det globus per eius conuexum VBA in eadem proportione, in qua de$- cerdit per $emicirculum, de quo $uprà; Igitur motus per quadrantem T BE e$t ad motum per ip$um perpendiculum in eadem ratione, in qua e$t ad motum per $emicirculum; quippe motus in T nullus e$t per arcum TE; 5.verò motus per arcum 5.E, initio $cilicet, vt $æpè dictum e$t, e$t ad mo- tum per ip$am perpendicularem vt A 7.ad A 5.in 4.vt A 7.ad A 4. in B vt A <G>d</G> ad AB, in D vt AH ad AD in X vt AF ad AX, in E, vt AE ad A E; vides autem tran$ire motum hunc ferè per omnes gradus tarditatis: di- co ferè, quia reuerâ non tran$it per omnes; quippe $i fieret maior qua- drans tangens i$tum in T, motus e$$et iuxta initium præ$ertim tar- dior. <pb n=232> <p>Ob$erua$ti iam vt puto motum per Arcnm TBE e$$e inuer$um vul- garis funependuli; quippe in illo motuum incrementa initio $unt mino- ra, & $emper cre$cunt; at verò in hoc initio $unt maiora, & $emper de- cre$cunt. <C><I>Theorema</I> 100.</C> <p><I>Po$$unt determinari vires, quæ $u$tinere po$$unt datum pondus collocatu&mtail;</I> <note><I>Fig.</I>12. <I>Taq.</I>3.</note><I>in arcu erecto ATE</I>: quippe ad $u$tinendum pondus in T nullæ vires requiruntur, ad $u$tinendum in E æqualis potentia ponderi requiritur; at verò potentia, quæ $u$tinet in 5. $e habet ad æqualem vt A 7.ad AE, in 4.vt A Z.ad AE, in B vt A<G>d</G> ad AE, in D vt AH ad AE, in X vt AF ad AE; denique in E vt AE ad AE; ratio e$t, quia potentia debet e$$e pro- portionata momento ponderis, $eu motus, $ed motus in B.v.g.per BE e$t ad motum qui fit per perpendicularem vt A<G>d</G> ad AB vel AE, igitur po- tentia quæ impedit hunc motum, id e$t quæ $u$tinet pondus in B e$t ad illam quæ $u$tinet in E vt A <G>d</G> ad AE. <p>Debet autem $u$tineri pondus vel per Tangentem ductam ad punctum B vel ip$i parallelam in certo dumtaxat funiculo, vt fit in trochleis; vnde $i $emicirculus A 2.E $it trochlea, & pondus pendeat ex E, adhibeaturq; potentia trahens in A, debet e$$e æqualis ponderi, $ed de trochleis fusè lib. 11. <p>Hinc etiam facilè determinari pote$t quomodo de$truatur impetus, $i proiiciatur globus per arcum EBT $ur$um; nam in cadem proportione de$tructur in a$cendendo, qua acceleratur de$cendendo; neque e$t hîc $ingularis difficultas; quemadmodum enim in de$cen$u $emper accele- ratur per incrementa inæqualia iuxta rationem explicatam; ita in a$cen- $u $emper retardatur per detractiones inæquales; in de$cen$u quidem per incrementa initio minora, & maiora $ub finem; in a$cen$u è contrario per detractiones initio maiores $ub finem minores. <p>Hinc denique determinari pote$t quantùm corpus grauitet in toto arcu TBE; in E nihil grauitat, in T totum grauitat; igitur grauitatio in T, $eu tota e$t ad grauitationem in E, vt TA ad nihil, in 5. verò vt AT ad AT, in 4. vt AT ad AA, in B vt AT ad AS, atque ita deinceps, quæ con$tant ex dictis. <p>Iu$uper ob$erua corpus graue incumbens arcui TBE, per varias lineas po$$e pelli, vel trahi, de quibus idem pror$us dicendum e$t, quod dictum e$t in Th.5. & Sch.Th.16. <p>Adde quod omi$unus, $ed facilè ex dictis lib. 1. intelligi pote$t, im- petum qui producitur in acceleratione motus per planum inclinatum e$$e imperfectiorem ex duplici capite; primò ratione minoris temporis, quo producitur ex ratione maioris vel minoris inclinationis, $eu longi- tudinis. v.g.<note><I>Fig.</I>54 <I>Tab.</I> 2.</note> $it planum inclinatum AC; certè cum po$t motum per A E, & per AB $it æqualis ictus vel impetus; & cùm tempus quo de$cendit per AE $it duplum temporis, quo de$cendit per AB; certè $ingulis in$tan- tibus, quibus durat motus per AC, producitur impetus $ubduplus tan- <pb n=233> tùm in perfectione illius, qui producitur per AB; $i enim æqualis perfe- ctionis; igitur impetus po$t de$cen$um per AC e$$er duplus illius qui ha- betur in B po$t de$cen$um per AB; $i autem e$$er minor $ubduplo; igitui in C, vel impetus e$$et minor quam in B contra hypothe$im; igitur debet $ubduplus; igitur duplò plures $unt gradus impetus in C quàm in B, cùm $cilicet $inguli gradus impetus in B æquiualeant duobus impetus in A: his adde aliqua breuia Corollaria, quæ qui$que ex dictis facilè colligere poterit. <C><I>Corollarium</I> 1.</C> <p>Ex his primò vides perfectam analogiam impetus in omni motu, qui reuera explicari non pote$t, ni$i detur impetus alio imperfectior: Porrò multa hîc de$iderantur, quæ ad motum in planis inclinatis pertinent, que in Tomum $equentem remittimus; quia potiori iure ad Mathematicam $pectant, quàm ad Phy$icam. <C><I>Corollarium</I> 2.</C> <p>Secundò, impetus po$$e in infinitum decre$cere perfectionem quod primò conftat ex eo, quòd infra horizontalem po$$int duci lineæ minùs & minùs inclinatæ: $ecundò ex eo, quòd po$$int inter quamlibet inclina- tam deor$um rectam, & $uperficiem orbis terræ de$cribi infiniti orbes, quorum centrum $it $upra centrum terræ, quorum arcus initio faciunt rainorem, & minorem inclinationem. <C><I>Corollarium</I> 3.</C> <p>Tertiò, hinc colliges impetum<note><I>Fig.</I>1<*>. <I>Tab.</I>3.<*>.</note> qui producitur in primo puncto de$- cen$us illorum arcuum e$$e pror$us alogum cum illo, qui producitur in primo puncto de$cen$us cuiu$libet rectæ inclinatæ, & illum qui à pro- ximo puncto ver$us punctum contactus in Tangente producitur e$$e etiam alogum cum illo, qui in proximo puncto ver$us idem pun- ctum contactus producitur in circumferentia circuli, cuius centrum $it infra centrum terræ, id e$t cuius radius $it longior radio orbis terræ, <C><I>Corollarium.</I> 4.</C> <p>Quartò, quid mirabilius quam ad idem punctum contactus po$$e du- ci infinitos circulos quorum arcus omnes in ca$dem partes incuruan- tur, licèt $int infiniti? quia $umpto termino in eodem puncto contactus omninò a$cendant $cilicetij, qui maiores $unt orbe terræ, & infiniti, qui de$cendunt, ij $cilicet qui minores $unt; & vnicus tantùm medius, qui nec a$cendat nec de$cendat, qui e$t orbis terræ. <C><I>Corollarium</I> 5.</C> <p>Quintò, non po$$e faciliùs globum moueri, quàm in $uperficie terræ, $i probè læuigata e$$et; nullum enim e$t planum $upra $iue rectum, $iue curuum, quod non a$cendat; nullum infrà quod non de$cendat: hinc mo- tus e$$et æquabilis. <pb n=234> <C><I>Corollarium</I> 6.</C> <p>Sextò, cum globus rotatur in plano inclinato mouetur motu mixto, $cilicet ex motu orbis & centri, mouetur&qacute;ue velociùs quàm cubus eiu$- dem ponderis; quia pauciores partes plani fricantur à globo; $ed hæc ra- tio non valet, ni$i $upponatur planum non e$$e perfectè læuigatum; igi- tur e$t alia ratio: an quia cubus mouetur motu centri? globus verò motu centri & orbis; $ed motus orbis iuuat motum centri; $ed hæc ratio nulla e$t, quia tantumdem pars $uperior globi addit motui centri quantùm inferior detrahit; igitur alia ratio e$t, $cilicet non tantùm globum de$- cendere in plano inclinato per grauitatem ab$olutam, $ed etiam per re$- pectiuam, e$t&qacute;ue veluti potentia Mechanica admota, $cilicet vectis, cu- jus qua$i vicem gerit $emidiameter circuli: porrò vectis centrum e$t punctum contactus; dixi $emidiametrum, non verò diametrum; quia to- tum pondus globi non e$t appen$um extremæ diametro, $ed extremæ $e- midiametro in hoc ca$u; illa autem extremitas e$t centrum grauitatis globi. <C><I>Corollarium</I> 7.</C> <p>Septimò, hinc ctiam apparet analogia impetus imperfectioris, qui pro- ducitur ver$us centrum vectis, & illius, qui producitur in mobili per planum inclinatum; nam ideo e$t imperfectior, qui producitur ver$us centrum vectis, quia temporibus æqualibus partes mobiles vectis, quæ $unt ver$us centrum acquirunt $patia inæqualia $cilicet, minora, & mi- nora in infinitum; ita pror$us in planis inclinatis cum acquirantur tem- poribus æqualibus $patia inæqualia; minora certè in longioribus, $up- po$ita dumtaxat eadem perpendiculi altitudine debet produci impetus imperfectior; nam ex imperfectione effectus id e$t motus, benè colligitur imperfectio cau$æ id e$t impetus. <C><I>Collorarium</I> 8.</C> <p>Octauò denique, mirabile e$t, quî fieri po$$it, vt eadem potentia quæ totas $uas vires exerens globum proiicit per lineam verticalem ad al- titudinem vnius pollicis, id e$t quæ proiicere tantùm pote$t per $patium digitale, per omnes tamen inclinatas, quæ ad extremitatem huius per- pendiculi duci po$$unt, cuiu$cunque $int longitudinis, non auctis viri- bus proiiciat; quis hoc crederet? ni$i manife$ta cogeret demon$tratio, quam habes in Th.20.27. &c. <pb n=235> <FIG> <C>LIBER SEXTVS, <I>DE MOTV REFLEXO.</I></C> <p>DE motu reflexo agendum e$$e videtur hoc loco; præmittendu$que e$t motui circula- ri, qui fortè $ine motu reflexo nunquam fit, vt dicemus infrà. <HR> <C><I>DEPINITIO 1.</I></C> <p><I>MOtus reflexus e$t reditus mobilis ratione corporis impedientis primam lineam motus.</I> <p>Hæc definitio e$t clara; dicitur reditus, quia reuerâ mobile, quod re- percutitur, $eu roflectitur, qua$i redit, $eu retrò agitur; $iue id fiat per eandem lineam, quâ appul$um fuit; $iue per aliam: $ic pila in murum impacta reflecti dicitur, ita vt eius linea frangatur in ip$a muri $uperfi- cie, quod duobus tantùm modis fieri pote$t: primò $ine angulo, vt cum redit mobile per eandem lineam, per quam priùs acce$$erat, $icque linea reflexionis opponi videtur ex diametro lineæ incidentiæ. Secundò cum angulo, quòd $cilicet in puncto reflexionis linea reflexionis cum linea incidentiæ faciat angulum. <C><I>Definitio</I> 2.</C> <p><I>Corpus reflectens e$t, quod motum liberum alterius corporis impacti non permittit vlteriùs per eandem lineam propagari, $ed illius lineam frangit, & inflectit,</I> &c. huius corporis conditiones in $equentibus Theorematis definiemus. <C><I>Definitio</I> 3.</C> <p><I>Punctum reflexionis e$t punctum illud plani reflectentis, in quo linea refle- xionis, & linea incidentiæ coëunt.</I> <C><I>Definitio</I> 4.</C> <p><I>Linea incidentiæ e$t illa linea motus. per quam mobile ante reflexionem ap- pellitur ad planum reflectens.</I> <pb n=236> <C><I>Definitio</I> 5.</C> <p><I>Linea reflexionis e$t illa linea motus, per quam mobile po$t reflexionem re- cedit à plano inclinato</I>; hinc vides punctum reflexionis e$$e terminum ad quem illius lineæ, & terminum à quo huius. <C><I>Definitio</I> 6.</C> <p><I>Augulus incidentiæ e$t, quem facit cum plano reflecteme linea inci- lentiæ.</I> <C><I>Definitio</I> 7.</C> <p><I>Angulus reflexionis e$t, quem facit linea reflexionis cum codem plano.</I> <C><I>Definitio</I> 8.</C> <p><I>Cathetus e$t linea perpendiculariter cadens in planum reflectens ducta ab aliquo puncto linea incidentia</I>; & tunc dicitur Cathetus incidentiæ; vel ab aliquo lineæ reflexionis, & tunc dicitur Cathetus reflexionis; hæc omnia $unt facilia, quæ in gratiam Tyronum breuiter in figura propono. <p>Sit FB linea plani reflectentis<note><I>Fig.</I>21 <I>Tab.</I>3.</note>; $it D punctum reflexionis; $it AD linea incidentiæ, DH linea reflexionis, AB Cathetus incidentiæ, HF Cathetus reflexionis, ADB angulus incidentiæ, EDF oppo$itus, HDF angulus reflexionis, CDB oppo$itus, ADH angulus aperturæ vel pyramidis reflexionis, EDC oppo$itus, ADE angulus $upplementi anguli incidentiæ, HDG angulus complementi anguli reflexionis, re- ctangulum BH $uperficies reflexionis, BF $ectio plani reflectentis, & prædictæ $uperficiei. <C><I>Hypothe$is</I> 1.</C> <p><I>Aliquod corpus in aliud cum impetn impaction reflectitur,</I> hæc hypothe- $is certa e$t. <C><I>Hypothe$is</I> 2.</C> <p><I>Corpus reflexum in aliud impactum aliquando illud mouet</I>; $ic pila ab aliquo corpore reflexa in aliam incidens mouet illam. <C><I>Hypothe$is</I> 3.</C> <p><I>Quo motus directus, $cilicet qui $is per lineam incidentia, e$t maior, maior e$t quoque motus reflexus</I>; $i enim maiore vi pila appellitur in parietem mtiore vi ctiam retorquctur. <C><I>Axioma</I> 1.</C> <p><I>Idem impetus ad plures lineas determinari pere$t $cor$um</I>; hoc Axima certum e$t; probatum e$t in libro 1. Th.113.114. &c. dixi $eor$im, nam plures $imul lineas habere non pote$t per Th.115.l.1. <C><I>Axioma</I> 2.</C> <p><I>Vbi e$t effectus, ibi e$t cau$a, effectus inquam formalis,</I> v. g. vbi e$t album, ibi e$t id, quod exigit motum, $eu præ$tat illum motum in mobili; id e$t <pb n=237> impetus: quippe omnis motus e$t ab impetu, quod $æpiùs in toto libro primo demon$tratum e$t. <C><I>Axioma</I> 3.</C> <p><I>Impetus destruitur tantùm ne $it frustra per Sch. Theor.</I>152.<I>& alia multa libro primò,</I> $i enim impetus $uum po$$et habere effectum reuerâ non de- $trueretur. <C><I>Axioma</I> 4.</C> <p><I>Tunc dici non pote$t tota cau$a destructa (cau$a inquam formalis) cum tuus effectus non e$t de$tructus</I>; $eu tunc non debet dici de$tructus totus impetus cum totus motus non e$t de$tructus. <C><I>Theorema</I> 1.</C> <p><I>Datur motus re$lexus</I>; nemo dubitat: quippe aliquod corpus in aliud impactum reflectitur per Ax. primum $ed $i corpus reflectitur e$t motus reflexus; igitur certum e$t de motu reflexo quod $it; infrà verò videbi- mus propter quid $it. <C><I>Theorema</I> 2.</C> <p><I>In motu reflexo e$t impetus</I>; probatur, quia vbi e$t motus, ibi e$t impe- tus per Axioma 2. <C><I>Theorema</I> 3.</C> <p><I>Hinc cau$a motus reflexie$t impetus qui ine$t corpori reflexo</I>; nec enim e$t quidquam aliud applicatum cum mobile $eparatum tùm à corpore reflc- ctente, tùm à manu proiicientis etiam moueatur; igitur nihil extrin$e- cum pote$t e$$e cau$a huius motus; igitur aliquod intrin$ecum, voco impetum; hîc diutiùs non hæreo, quia $imile argumentum habes in ter- tio libro, in quo fusè probaui requiri impetum ad motum violentum, atqui nullus motus reflexus e$t naturalis; igitur violentus vel mixtus, igitur requirit nece$$ariò impetum. <C><I>Theorema</I> 4.</C> <p><I>Ille impetus vel producitur nouus, vel con$eruatur prauius</I>; clarum e$t, nec aliud excogitari pote$t. <C><I>Theorema</I> 5.</C> <p><I>Ille impetus non producitur à corpore reflectente</I>: probatur primò, quia omnis impetus producitur ad extra ab alio imperu per Theor. 42. lib.1. Secundò probatur, quia corpus reflectens $emper produceret impetum in alio corpore applicato; e$$et enim cau$a nece$$aria; igitur nece$$ariò ageret per Ax.12. lib.1. nec e$t quod dicas agere tantùm po$ita tali con- ditione: hoc e$t po$ito moru præuio, quod $atis ridiculum e$t, vt iam aliàs monui; quia conditio nihil aliud pra$tat in cau$a quàm applicatio- nem $ubiecti a<*>ti, in quo agat, & $ubtractionem omnis impedimenti; atqui cum proximè pila parieti adhæret, e$t omninò applicata, & abe$t omne impedimentum: prærereæ $i corpus reflectens ageret; haud dubiè <pb n=238> $i maius e$t maiorem impetum produceret; nec enim agit tantùm pars, quæ tangitur; alioqui globus qui tangit tantùm in puncto minimè re- flocteretur; quid enim punctum agere pote$t? Igitur $i tantùm agit, quo maius e$t plùs agit; quæ omnia $unt perab$urda; Igitur non producitur ille impetus à corpore reflectente. Vide Th. 40.lib.1.&c. <C><I>Theorema</I> 6.</C> <p><I>Non producitur ab vllo alio extrin$eco</I>; non ab aëre, qui motui ob$i- $tit; $ed nihil e$t aliud extrin$ecum applicatum; Igitur non producitur ab vlla cau$a extrin$eca: adde $i vis rationem euidenti$$imam, quæ Theo- rema $uperius mirificè confirmat; quia $cilicet maximè applicatur mo- bile corpori reflectenti per lineam perpendicularem; igitur per illam maximè deberet agere: quippè per lineam obliquam qua$i tantùm allam- bitur corpus reflectens; atqui linea reflexionis perpendicularis minima e$t omnium quamuis per accidens, vt con$tat experienti<*>, & nos infrà demon$trabimus; cùm tamen deberet e$$e maxima; igitur impetus non producitur in mobili reflexo, nec ab ip$o corpore reflectente, nec ab vllo alio extrin$eco; quia nihil pror$us aliud applicatum e$t, à quo produci po$$it. Re$pondent aliqui produci à generante; $ed quodnam e$t illud generans? non cau$a $ecunda, vt patet; an verò prima? $ed quis dicat moueri tantùm à Deo pilam à muro repercu$$am? $ed quidquid moue- tur, inquies, ab alio mouetur, vt vult Philo$ophus. Re$pondeo mediatè $cilicet, vel immediatè; quippe illa pila à $e ip$a non mouetur, $ed ab impul$ore mediante, $cilicet, impetu impre$$o; $ed hæc alibi iam indi- cauimus. <C><I>Theorema</I> 7.</C> <p><I>Non producitur ille impetus ab ip$o mobili,</I> vt con$tat nec enim exigit moueri illo motu; adde quod e$t cau$a nece$$aria; igitur nulla e$$et ra- tio, cur modò maiorem, modò minorem effectum, hoc e$t impetum pro- duceret; quod tamen accidit; $ed hæc $unt facilia. <C><I>Theorema</I> 8.</C> <p><I>Non producitur nouus impetus in re$tectione pura:</I> probatur, quia produ- ceretur ab aliqua cau$a: illa autem e$$et vel extrin$eca, vel intrin$eca; non producitur ab vlla causâ extrin$ecà per Theor.6.nec ab vlla intrin- $ecâ per Th.7. igitur à nulla; igitur nullus producitur; dixi in reflexio- ne purâ, quia præter reflexionem fieri pote$t, vt corpus reflectens mobi- le impellat; vt cum duo globi mutuò colliduntur, vel vt $it aliqua com- pre$$io, quâ po$itâ nouus impetus producetur; non e$t tamen quòd ali- quis dicat motum reflexum e$$e tantùm à compre$$ione; quia quò corpus durius e$t; & minùs redit, meliùs reflectitur; $ic marmor à marmore fa- cilè reflectitur. <C><I>Theorema</I> 9.</C> <p><I>Hinc impetus ille, qui e$t cau$a motus re$lexi, e$t idem cum præuio con$er</I>- <pb n=239> <I>uato</I>; quia vel e$t productus de nouo, vel præuius, per Th. 4. non pri- mum per Th.8.igitur e$t præuius. <C><I>Theorema</I> 10.</C> <p><I>Hinc potentia motrix, quæ priùs impegit mobile in corpus reflectens e$t cau- $ahuius motus reflexi</I>; quia $cilicet e$t cau$a impetus, vi cuius mobile mouetur etiam motu reflexo; hinc qui ludit pilá, verè dicitur cau$a re- flexionis pilæ, cau$a inquam, $ed mouens. <C><I>Theorema</I> 11.</C> <p><I>Corpus reflectens dici pote$t aliquo modo cau$a re$lexionis, id e$t, cau$a no- u<*> determinationis lineæ motus</I>; ni$i enim occurreret paries. v.g. non re- flecteretur pila; quamquam dici debet potiùs occa$io, immò impedi- mentum prioris lineæ, ex quo nece$$ariò $equitur noua linea, ve dicam infrà. <C><I>Theorema</I> 12.</C> <p><I>Hinc habetur veri$$ima cau$a reflexionis</I>; cum enim impetus non con- $eruetur à cau$a primò producente, vt $æpè dictum e$t $uprà, nec de$trui po$$it $altem totus à corpore reflectente; certè debet $uum motum vlte- riùs propagare; igitur per aliquam lineam; quomodo verò determine- tur linea reflexionis, dicemus infrà. <C><I>Theorema</I> 13.</C> <p><I>Hinc non destruitur totus impetus in puncto reflexionis.</I> Probatur primò, quia motus reflexus e$t ab impetu per Th. 3. $ed non producitur nouus impetus per Thcorema 8. igitur e$t impetus, qui erat ante reflexionem per Th.9. igitur non de$truitur totus, $altem per $e, in puncto reflexio- nis. Probatur $ecundò à priori; quia nunquam de$truitur impetus, ni$i quando e$t fru$tra per Ax.3.$ed corpus reflectens non facit, vt $it fru$trà, quia non impedit omnem lineam motus; igitur $i ad aliquam determi- nari pote$t, impetus non erit fru$trà: ad quam autem determinari de- beat, dicemus infrà. <p>Dixi, non de$truitur totus impetus; quia fortè aliqua pars illius de- $truitur in reflexione vt demon$trabo, $cilicet per accidens: dixi præterea per $e, quia per accidens pote$t accidere vt totus impetus de$truatur pro- pter mollitiem vel corporis reflexi, vel propter aliam cau$am, de quo aliàs. <C><I>Theorema</I> 14.</C> <p><I>Ex hoc etiam habetur impetum non e$$e $ucce$$iuum $ed qualit <*> perma- nentem eamque dur are, licèt à cau$a primò producente non con$eruetur $ed ab alia</I>; vt iam alias demon$trauimus. <C><I>Theorema</I> 15.</C> <p>In omni reflexione determinatur noua linea motus; clarum e$t, qu<*> non e$t motus $ine linea determinata, vt patet; $ed non remanet prior <pb n=240> linea; igitur e$t noua, igitur illa determinatur; cur enim potiùs, quàm <*>ctur vna. <C><I>Theorema</I> 16.</C> <p><I>Non determinatur à puncto contactus tamũm</I>; quia ab eodem puncto plures lineæ reflexionis procedere po$$unt; non à linea incidentiæ tan- tùm; quia $i tantillùm inclinetur planum eadem linea incidentiæ pote$t habere diuer$as lineas reflexionis; non determinatur deniq; ab ip$o plano inclinato quod diuer$as lineas reflectit; non determinatur, inquam, ab his omnibus $eor$im $umptis, vt patet, $ed ab omnibus coniunctim: quippe ab his determinatur linea motus, ex quibus po$itis, & applicatis nece$$ariò $equitur; $ed ex applicatione i$torum omnium $eor$im non $e- quitur talis linea; quæ tamen $equitur ex applicatione omnium coniun- ctim, vt patet; igitur ab his coniunctim $umptis determinatur linea. <p>Dices, linea incidentiæ non e$t ampliùs, quando linea reflexionis determinatur; igitur non pote$t illam determinare. Re$pondeo deter- minationem in eo e$$e po$itam tantùm, quòd impetus po$ito tali angulo incidentiæ non po$$it aliam inire lineam, præter illam vnicam; cùm enim impetus ex $e $it indifferens ad omnes lineas, eo ip$o determinatur ad vnam, quo impeditur ne per alias motus propagetur; atqui angulus inci- dentiæ non modò dicit lineam incidentiæ, $ed lineam plani, atque adeo apicem anguli qui e$t in puncto contactus; igitur po$ito illo angulo incidentiæ impetus determinatur ad lineam reflexionis. <p>Porrò quod impediatur omnis alia linea, patet ex eo, quod primo ip$a linea incidentiæ impeditur ne vlteriùs producatur ab impenetrabilita- te; & duritie plani reflectentis; immò & omnes aliæ impediuntur, quæ per ip$um planum duci po$$unt. <p>Secundò, quod $pectat ad alias, quæ citra planum reflectens à pun- cto contactus duci quoque po$$unt, omnes præter vnam impediuntur, quæ $cilicet facit angulum cum plano æqualem angulo incidentiæ, vt demon$trabimus infrà. <C><I>Theorema</I> 17.</C> <p><I>Ideo determinatur impetus ad omnem lineam, quia impeditur prior linea</I>; clarum e$t; ni$i enim impediretur prior; certè non determinaretur ad nouam, quod certum e$t: adde quod planum reflectens perinde $e habet, que $i mobile impelleret cum eo impetus gradu, quem ip$um mobile iam habet; impelleret autem per lineam perpendicularem in puncto contactus erectam; $ed propter priorem determinationem fit noua linea mixta, de qua infrà. <C><I>Theorema</I> 18.</C> <p><I>Corpus reflectens impedit motum</I>; quia e$t impenetrabile, durum, den- $um; $ed de his infrà, quando con$iderabimus impedimenta ratione materiæ. <pb n=241> <C><I>Theorema</I> 19.</C> <p><I>Corpus reftectens plùs, vel minùs impedit motum ratione diuer$æ appul$io- nis:</I> probatur, quia motus reflexus aliquando e$t maior, aliquando e$t minor, de quo infrà. <C><I>Theorema</I> 20.</C> <p><I>Si corpus reflectens impingeretur in mobile, cui nullus prius ine$$et impetus, punctum contactus determinaret lineam motus</I>; vt demon$trauimus lib.10. moueret&qacute;ue globum, v.g. per lineam perpendicularem ductam à puncto contactus per centrum globi per Th.120.& 121. lib.1. <C><I>Theorema</I> 21.</C> <p><I>Quò maiorem ictum infligit mobile per lineam incidentiæ corpori refle- ctenti, e$t maius impedimentum</I>; cum enim impetus agat tantùm ad extra, vt tollat impedimentum; certè quò maior e$t ictus, plùs agit impetus; igitur quò maior e$t ictus, e$t maius impedimentum, & vici$$im quò maius e$t impedimentum e$t maior ictus; & contrà, quò minor e$t ictus, e$t minus impedimentum, & vici$$im $uppo$ita $cilicet eadem potentiâ impellente, vt demon$tratum e$t libro primo. <C><I>Theorema</I> 22.</C> <p><I>Quando linea incidentiæ cadit perpendicnlariter in planum reflectens e$t maximum impedimentum</I>; quia $cilicet e$t maximus ictus, vt probauimus lib.1. <C><I>Theorema</I> 23.</C> <p><I>Quò linea incidentiæ cadit obliquiùs in planũ, e$t minùs impedimentũ,</I> quia e$t minor ictus. v.g.in fig.<note><I>Fig.</I>21 <I>Tab.</I> 3.</note> Definitione.8. ictus per lineam GD e$t ad ictum per lineam AD, vt AD ad AB; nec in his immoror, quæ lib.1. & aliis $ufficienter demon$trata $unt; præ$ertim cum de planis inclina- tis; nam perinde $e habet inflictus ictus, atque grauitatio in ip$um pla- num; e$t enim grauitatio in planum inclinatum, vt $uprà fusè dictum e$t in Th.16. lib.5.ad grauitationem in horizontale, vt Tangens horizonta- les ad $ecantem, id e$t, vt AB ad AD; nam BD e$t qua$i perpendicu- laris; igitur ictus $unt, vt $inus anguli incidentiæ ad $inum totum. v. g. vt AB, ad AD hinc per lineam, AD, e$t minùs impedimentum quàm per GD immò eadem e$t ratio impedimentorum & ictuum; igitur im- pedimentum in linea, GD e$t ad impedimentum per lineam, AD, vt AD, ad AB. <C><I>Theorema</I> 24.</C> <p><I>Hinc plùs, vel minùs determinat nouam lineam motus planum reflectens</I>; cum enim ideo determinetur impetus ad nouam lineam, quia impeditur prior per Theorema 17. certè in eadem proportione determinatur ad nouam, in qua impeditur prior; $ed plùs vel minùs impeditur per Th. 23. igitur plùs vel minùs determinatur impetus; igitur plùs vel minùs determinat planum reflectens: porrò planum BD, determinat mobile <pb n=242> quod reflectit per lineam DG, & ni$i e$$et alia determinatioper DG reflecteretur mobile, vt reuerâ fit, cum linea incidentiæ e$t perpen- dicularis. <C><I>Theorema</I> 25.</C> <p><I>Hinc planum reflectens maximè determinat impetum ad nouam lineam cum linea incidentiæ e$t perpendicularis</I>; quia tunc e$t maximum impedi- mentum per Th.22.igitur maximè determinat per Th.24. & contrà, quò linea incidentiæ e$t obliquior, minor e$t determinatio ad lineam no- uam; igitur hæc tria $unt in eadem proportione, $cilicet ictus, impedi- mentum, determinatio noua. <C><I>Theorema</I> 26.</C> <p><I>Maxima determinatio, quâ planum reflectens po$$it impetum, mobili im- pre$$um, qua$i retorquere, e$t illa, quæ fit per lineam perpendicularem.</I> v.g.per DG; $i enim planum ip$um mobile impelleret à puncto contactus D; certè impelleret tantùm per lineam perpendicularem, $eu per lineam ductam à puncto D per centrum globi, $i v. g. e$$et globus, vt demon- $trauimus in primo lib.1. Igitur maxima determinatio, quæ po$$it inferri à plano e$t in ip$a perpendiculari. <C><I>Theorema</I> 27.</C> <p><I>Hinc, $i linea incidentiæ e$t perpendicularis GD, linea quoque re$lexionis e$t eadem DG</I>; quia huic e$t maximum impedimentum, quia $cilicet e$t maximus ictus; igitur maxima determinatio per Th. 25. $ed maxima e$t illa, quâ mobile per ip$am perpendicularem DG à puncto contactus D retorquetur per Th.26. Igitur $i linea incidentiæ, &c. quod erat proban- dum. Probatur præterea, quia $i linea incidentiæ e$t perpendicularis GD, non e$t potior ratio, cur linea reflexionis inclinet dextror$um ver- $us A, quàm $ini$tror$um ver$us H; igitur debet e$$e perpendicu- laris. <C><I>Theorema</I> 28.</C> <p><I>Si linea incidentiæ cadat obliquè in planum, linea reflexionis non erit per- pendicularis</I> v. g. $it linea incidentia AD, linea reflexionis non e$t per- pendicularis DG; quia tunc non e$t maximus ictus, nec maximum im- pedimentum per Th.23.igitur nec maxima determinatio per Theor.24. igitur nonfit per ip$am perpendicularem DG per Th. 26. <C><I>Theorema</I> 29.</C> <p><I>Hinc linea reflexionis, quæ $equitur lineam incidentiæ obliquè cadentem in planum non tantùm determinatur à plane reflectente $ed participat aliquid de priori determinatione.</I> v. g. $it linea incidentiæ AD, linea reflexionis DH; non tantùm determinatur hæc linea à plano FB, alioqui e$$et DG, nec e$t eadem cum prima; alioqui e$$et DE, $ed partim determinatur à plano FB per DG partimque reti netaliquid primæ determinationis, & ex vtraque fit DH, vt con$tat, quia quò linea incidentiæ e$t obliquior, planum minùs determin at per Th. 25. <pb n=243> <C><I>Theorema</I> 30.</C> <p><I>Hinc quâ proportione planum minùs confert ad nouam determinationem, plùs remanet prioris determinationis; quò verò plùs illud confert, huius minùs restat</I>; hinc, cum planum totam confert nouã determination&etilde; vt in per- pendiculari DD, nihil prioris remanet; hinc $i linea incidentiæ $it pa- rallela plano BF nulla fiet noua determinatio, tota priore intacta; $i ve- rò $it perpendicularis GD, tota determinatio e$t noua, & nihil prioris remanet; $i demum lineæ incidentiæ $int aliæ, confert vtrumque ad no- uam determinationem pro rata. <C><I>Theorema</I> 31.</C> <p><I>Si pellatur mobile per AD in planum FB, determinatio lineæ reflexionis erit qua$i mixta $inistror$um</I>; $i enim ex D propagaretur motus in E rectè $ini$tror$um acquireret DF in linea BF, vt patet; igitur $i $it linea inci- dentiæ AD, noua determinatio per DH con$tabit partim ex eo, quòd planum reflectens confert partim ex eo, quod remanet prioris determi- nationis, quod re$pondet DF, & ex eo quod confert planum FB, quod re$pondet DP; quia ictus per AD e$t ad ictum per GD, vt PD ad DP vel DG; $ed e$t eadem ratio impedimenti eademque determinationis per Theoremata $uperiora; atqui ex DPDF fit DHGO. igitur deter- minatio lineæ reflexæ e$t mixta, quod erat probandum. <C><I>Theorema</I> 32.</C> <p><I>Hinc decre$cit determinatio, quam confert planum iuxta rationem $inuum ver$orum in</I> GD. v. g. $i $it linea incidentiæ AD; ducatur APH paral- lela FB, determinatio quam confert planum, decre$cit $inu ver$o PG; $i verò $it linea incidentiæ ID, decre$cit $inu ver$o LG; atque ita dein- ceps; at verò cre$cit portio prioris determinationis lineæ incidentiæ iuxta rationem $inuum rectorum in DB v. g. $i $it linea incidentiæ AD, cre$cit $inu recto AP æquali BD $i $it IL cre$cit $inu recto IL vel RD. <C><I>Theorema</I> 33.</C> <p><I>Hinc angulus reflexionis e$t æqualis angulo incidentiæ, & hoc e$t principium po$itiuum huins æqualitatis angulorum.</I> $it enim linea incidentiæ AD, du- catur APH, AB, HF; certè DF & DB $unt æquales APPH; item- que ABPDHF $unt æquales; atqui determinatio line<*> reflexionis e$t mixta ex DFH; igitur erit DH; $ed triangula DFH, DAB $unt æqualia & anguli HDFADB $unt æquales: $imiliter $it linea inciden- tiæ ID, ducatur IN parallela AHIRNM; certè duo anguli IDR, NDM $unt æquales; idem dico de omnibus aliis lineis incidentiæ, & hæc e$t vera ratio po$itiua à priori, de qua plura infrà; non dee$t etiam negatiua, quia $cilicet po$ita linea incidentiæ AD cùm $ini$tror$um $int infiniti anguli inæquales angulo incidentiæ; non e$t potior ratio, cur per vnum fiat quàm per alium, & cum $it tantùm vnus æqualis HDM in eodem $cilicet plano; certè per illum fieri debet; quippe quod vnum e$t, determinatum e$t, vt $æpè diximus aliàs; nec e$t quòd aliqui delica- <pb n=244> tioris $thomachi rationem hanc negatiuam, cum tanta nau$ea re$puant, cum optima $it; nec vlli f<*>aciæ $ubiiciatur, non tamen $olitariam e$$e oportuit; quippe effectus po$itiuus per principium po$itiuum ad $uam cau$am reducendus e$t. <C><I>Theorema</I> 34.</C> <p><I>Hinc vides e$$e $emper quatuor angulos æquales,</I> $cilicet, angulum inci- dentiæ, angulum reflexionis & duos his oppo$itos; allos verò quatuor etiam inter $e æquales, $cilicet duos angulos complementi & duos his oppo$itos. <C><I>Theorema</I> 35.</C> <p><I>Hinc quoque reiicies illos, qui nolunt in reflexione impetum produci in mo- bili à plano reflectente</I>; quod reuerâ, $i fieret nulla e$$et ratio æqualitatis angulorum incidentiæ, & reflexionis, reiicies quoque aliquos apud Mer- $ennum in phænom. Balli$t. prop. 24. qui ponunt duo qualitatum gene- ra, quarum aliæ mobile firmiter affigant plano, aliæ à plano remoueant, quod plulquàm ridiculum e$t; itemque alios ibidem, qui nolunt circa punctum reflexionis ab impre$$ione mobilis fo$$ulam fieri, $ed non $ine compre$$ione, cuius deinde vi repellitur idem mobile; $ed in duro mar- more nullum omninò apparet ve$tigium huius fo$$ulæ, adde quod $i hoc e$$et, $emper reflexio fieret per ip$am perpendicularem; quod vero perti- net ad illas qualitates magneticas, quarum aliæ retinent, aliæ repellunt mobile, pœnitus in hoc ca$u in$ul$æ $unt; alioqui etiam $inemotu præ- uio repellerent: vtrum verò in magnete admittendæ $int, fusè di$puta- bimus $uo loco. <C><I>Theorema</I> 36.</C> <p><I>Ex hac angulorum æqualitate tùm Captotrica infinita ferè Theoremata de- monstrat in radiis vi$ilibus, in $peculis v$toriis, tùm Echometria in re$texione $onorum.</I> Et verò noua Catoptrica pote$t e$$e in motu, quæ eadem pror- $us demon$trabit, tùm in $peculis parabolicis, à quibus omnia mi$$ilia projecta per parallelas axi Parabolæ in idem punctum reflectentur; vel Ellipticis, à quibus omnia mi$$ilia projecta à dato puncto per omnes li- neas ad idem punctum reflectentur; vel Hyperbolicis, à quibus mi$$ilia projecta per plures lineas ad idem punctum ad aliud punctum omnes re- flectuntur; vel Sphæricis concauis, à quibus mi$$ilia projecta per plures lineas decu$$atas in eodem puncto ad idem punctum reflectuntur; vel Sphæricis conuexis, à quibus mi$$ile proiectum à quolibet puncto dato ad quodlibet aliud datum reflectitur. Ratio e$t, quia in circulo $unt om- nia plana; quælibet enim Tangens planum e$t; $iue denique in Cylin- dricis, Conicis, &c. quæ omnia ex principiis Catoptricis demon$trari po$$unt: adde $i vis in hac Catoptrica ver$atos e$$e debere, qui pilâ lu- dunt, quos nunquam falleretictus, $i hanc rationem angulorum non mo- dò perfectè callerent, verùm etiam ad praxim reducerent: immò po$$et e$$e aliqua portio muri talis figuræ, vt $emper inde reflexa pila per da- tum cuniculum rectà traiiceretur. <pb n=245> <C><I>Theorema</I> 37.</C> <p><I>In reflexione destruitur aliquidi impetus, $i talis $it vtriu$que determina- tionis pugna, vt aliquid impetus $it frustr à</I>; vt con$tat ex his, quæ diximus libro primo; con$tat autem in reflexione e$$e determinationum pugnam per Th 31. & 32. pugnat enim $uo modo prior determinatio per GD cum $ecunda oppo$ita per DG; igitur aliquid impetus de$truitur, $i ex tali pugna aliquid $it fru$trà. Ob$eruabis autem eundem impetum in eo- dem mobili cum duplici determinatione perinde $e habere in ordine ad nouam, vt patet, lineam, atque $i e$$ent duo impetus in ratione deter- minationum: vtrùm autem aliquid impetus $it fru$trà per $e, determina- bimus infrà. <C><I>Theorema</I> 38.</C> <p><I>Si totus impetus destrueretur nulla e$$et reflexio</I>; quod maximè e$$et ab- $urdum & incommodum toti naturæ; $i verò nullus impetus de$truere- tur, $eu per $e, $eu per accidens, daretur motus perpetuus; quippe mo- bile ad eandem altitudinem a$cenderet po$t reflexionem, iterumque de- $cendens ad eamdem a$cenderet atque ita deinceps; igitur motus e$$et perpetuus, & nunquam corpus illud quie$ceret, quod e$t contra in$titu- tum naturæ. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$erua primò ex hypothe$i certa haberi, dari motum reflexum, ex qua colligo totum impetum non de$trui. Secundò ex hypothe$i certa haberi, motum reflexum e$$e minorem directo vlteriùs propagato, vt con$tat experientiâ, ex qua colligo aliquam portionem impetus de$trui, $altem per accidens propter compre$$ionem, & alli$ionem partium. <C><I>Theorema</I> 39.</C> <p><I>Maior e$t determinatio, quæ confertur à plano mobili per lineam perpendi- cularem incidenti, quàm prior, quæ inerat mobili</I>; probatur, quia nec e$t minor, nec æqualis, non minor; alioquin prior vinceret; non æqualis, quia neutra præualeret; igitur e$t maior; $i vtraque determinatio e$$et aqualis totus impetus de$trui deberet; igitur eadem e$t proportio impe- tus remanentis, quæ e$t mixtæ determinationis ex priori, & noua; nul- lus enim impetus e$$e pote$t $ine determinatione; igitur $i tota perit de- terminatio, totus etiam perit impetus, qui illi re$pondet; & $i remanet aliquid determinationis mixtæ, aliquid etiam impetus remanet, qui e$t ad priorem impetum, vt hæc determinatio re$idua ad priorem determi- nationem; quantum verò remaneat prioris impetus, dicam infrà. <C><I>Theorema</I> 40.</C> <p><I>Determinatio per DG à plano e$t dupla determinationis prioris per lineam incidentiæ GD</I>; quod $ic demon$tro; $it linea incidentiæ ID, linea re- flexionis erit DN, $cilicet ad angulos æquales, per Th. 33. $it autem an- gulus NDM 30. graduum, & NDG 60. ducatur NO parallela GD; <pb n=246> tùm ID producatur in O, denique ducatur NG: prima determinatio lineæ incidentiæ ID, e$t per DO, determinatio plani e$t per DG; $ed DO e$t æqualis DG; nam DON, DNG $unt æquilatera æqualia; hinc determinatio mixta e$t per DN, diuidens angulum GDO bifa- riam; igitur $i $it linea incidentiæ ID & angulus ID B. 30. graduum, æqualis e$t determinatio plani determinationi prioris lineæ; hinc angu- lus diuiditur æqualiter bifariam; $it verò linea incidentiæ AD produ- cta v$que ad E, linea reflexionis DH; ducatur HE; a$$umatur DT æqualis EH: dico determinationem plani e$$e ad determinationem prioris lineæ AD vel DE, vt DT ad DE; cum enim determinatio mix- ta $it per DH; certè DH accedit propiùs ADDG, quàm ad DE; igi- tur determinatio per DG e$t ad determinationem, per DE vt DT æqualis HE ad DE; nam perinde $e habent, atque $i e$$ent duo impe- tus determinati ad duas lineas, de quibus hoc ip$um demon$trauimus tùm libro 1. Th.137. 138. 139. &c. tùm lib.4. à Th. 1. ad Th.14.quippe linea determinationis mixtæ e$t diagonalis, vt $æpè probauimus: deinde $it linea incidentiæ per KD; $it DX linea reflexionis; $it XQ, ip$ique æqualis DZ, dico determinationem per DG e$$e ad determinationem per DQ vt DZ ad DQ, $ed XQ e$t minor GS, vt con$tat; igitur quò linea incidentiæ accedit propiùs ad perpendicularem GD, determinatio plani e$t maior, e$tque vt chordæ NO, HE, XQ; igitur $i tandem li- nea incidentiæ $it perpendicularis GD, determinatio plani e$t ad deter- minationem lineæ incidentiæ, vt DY æqualis GS ad DG: $ed cum ex Th.4. multa lux reliquis con$equentibus immò & antecedentibus afful- gere po$$it, paulò fu$iùs explicandum, & demon$trandum e$$e videtur: itaque duobus modis, primò ex hypothe$i anguli reflexionis æqualis an- gulo incidentiæ, quod iam reuerâ præ$titum e$t; $ed cum ex hoc Theo- remate prædicta æqualitas angulorum reflexionis tanquam per princi- pium immediatum po$itiuum demon$trari po$$it, ne $it aliqua circuli $pecies, quo determinatio noua dupla prioris po$ita linea incidentiæ perpendiculari per æqualitatem anguli reflexionis, & hæc æqualitas per illam eandem determinationem duplam demon$tretur, aliam viam inire oporter, vnde intima totius reflexionis principia eruantur, quod vt fiat. <p>Primò certum e$t, corpus reflectens in perpendiculari, (quæ e$t cum linea incidentiæ terminata ad punctum contactus ducitur per centrum grauitatis globi reflexi) certum e$t inquam corpus reflectens in prædi- cta linea aliquando cedere, aliquando non cedere; cedere autem dici- tur cùm vel amouetur à corpore impacto, vel $altem concutitur: tunc autem nullo modo cedere dicitur, cum ab ictu nullo modo mo- uetur. <p>Secundò, ce$$io, & re$i$tentia ita po$$unt comparari, vt vel ce$$io $it æqualis re$i$tentiæ, vel ce$$io $ine re$i$tentia, vel re$i$tentia $ine ce$$ione: porrò tunc e$t ce$$io tota, cum nulla e$t re$i$tentia, quod tantum accide- ret, $i corpus moueretur in vacuo; quippe nullum e$t medium quamtum- <pb n=247> uis rarum, & tenue, quod aliquantulum non re$i$tat, vt clarum e$t; tunc quoque e$t re$i$tentia $ine ce$$ione, $eu tota re$i$tentia, cum ip$um cor- pus re$i$tens nullo modo cedit; id e$t nullo modo mouetur ab ictu; neque enim excogitari pote$t maior re$i$tentia; denique tunc e$t æqualis ce$- $io re$i$tentiæ, cum ip$um corpus, in quod aliud impingitur (vocetur re- flectens) tantùm cedit quantum re$i$tit; cedit autem per motum; igitur $i reflectenti imprimitur æqualis motus ab impacto reflectens æqualiter cedit, & re$i$tit, $i minor minùs cedit, & plùs re$i$tit, $i nullus nullo mo- do cedit, $ed tantùm re$i$tit; $i maior plùs cedit, & minùs re$i$tit, $cili- cet in infinitum, donec tandem in vacuo $it tantum ce$$io, nulla re$i- $tentia. <p>Tertiò, tunc impactum motum æqualem imprimit reflectenti, cum impactum æquale e$t reflectenti, tùm mole, tùm pondere v.g. globus A impactus in globum B ciu$dem materiæ, & diametri, modo nullus fiat attritus partium, $eu compre$$io, $itque linea directionis connectens centra per punctum contactus, quod in primo libro iam demon$tratum e$t; cum enim totus impetus globi A agat, & quantum pote$t; certè pro- ducit æqualem; nec enim aliunde determinari pote$t æqualitas effectus quàm ab æqualitate cau$æ po$itis ii$dem circum$tantiis, & cum impetus in B impre$$us di$tribuatur tot partibus quot producens æqualis in A, vterque impetus e$t æquè inten$us; igitur æquè velox motus per $e; cum per accidens aliquando $ecus accidat; $i verò reflectens $it minor, idem impetus paucioribus partibus di$tribuitur; igitur inten$ior e$t; igitur velocior motus, $ecus verò cum maior e$t, donec tandem tanta $it moles, vt plura $int puncta in reflectente, quàm $int in impacto puncta impe- tus; tunc enim nullus imprimitur impetus, vt con$tat ex dictis lib. 1. <p>Quartò, quod autem $it æqualis re$i$tentia, & ce$$io globi B æqualis globo A etiam certum e$t; tùm quia, $i æqualiter mouetur, æqualiter ce- dit, vt iam dixi $i æqualiter cedit, æqualiter re$i$tit; nam quâ proportio- ne minùs cedit, plùs re$i$tit; igitur qua proportione ce$$io augetur, re$i- $tentia imminuitur: præterea cum re$i$tat per $uam entitatem impene- trabilem, duram &c. certè $i e$t æqualis entitas, e$t æqualis re$i$tentia; quod etiam videmus in corporibus immer$is eiu$dem grauitatis cum medio, ita vt tot $int partes impellentes, quot impul$æ; denique illud experimentum quo videmus globum A impactum in B æqualem per li- neam connectentem centra immobilem $i$tere, rem i$tam euincit; nam ideo $i$tit, quia e$t æqualis determinatio noua priori; nam vt $e habet re$i$tentia reflectentis, ita $e habet noua determinatio, quam $uo modo confert impacto, vt $uprà demon$tratum e$t: & cùm $int ad lineas op- po$itas ex diametro hæ duæ determinationes, neutra præualere pote$t; igitur nece$$e e$t $i$tere globum impactum. <p>Quintò, certum e$t determinationem nouam e$$e iuxta proportionem re$i$tentiæ, & hanc iuxta proportionem minoris ce$$ionis; vnde cum nulla e$t re$i$tentia, $ed tantùm ce$sio, nulla pror$us e$t noua determina- tio igitur à termino nullius re$i$tentiæ, & totius ce$sionis ad terminum <pb n=248> æqualis ce$$ionis, & re$i$tentiæ, acquiritur tantùm noua determinatio æqualis priori: $imiliter à termino nullius ce$$ionis, & totius re$i$tentiæ ad terminum æqualis re$i$tentiæ, & ce$$ionis, acquiritur tantùm æqualis ce$$io; $ed qua proportione cre$cit ce$$io, imminuitur re$i$tentia, & vi- ci$sim; igitur cum æqualis ce$sio, & re$i$tentia $int in communi medio; tantùm enim e$t ab æquali re$i$tentia & æquali ce$sione ad totam ce$- $ionem, & nullam re$i$tentiam, quantùm e$t ab æquali re$i$tentia & ce$- $ione æquali ad totam re$i$tentiam, & nullam ce$sionem; & cum à nulla re$i$tentia ad æqualem acquiritur noua determinatio æqualis priori; cer- tè ab æquali ad totam acquiretur tantumdem determinationis nouæ; igi- tur tunc erit dupla prioris, quod erat demon$trandum. <p>Sextò, præterea globus A impactus $ine acce$sione noui impetus non pote$t velociùs moueri, quàm antè moueretur; $ed per reflexionem non acquirit maiorem impetum, vt con$tat; igitur velociùs, quàm antè non mouetur; igitur $i con$ideretur globus A impactus; $i e$t æqualis re$i- $tentia, nullo modo mouetur; $i e$t maior re$i$tentia, $ed non tota; mo- uetur quidem motu reflexo; $ed inæquali priori, $i adhuc maior moue- tur etiam, $ed velociore motu, donec tandem in tota re$i$tentia toto priore motu moueatur per $e, vt dicemus paulò pò$t; $i verò $it minor re$i$tentia ce$sione, mouetur quidem per eandem lineam, $ed tardiore motu, $i adhuc minor mouetur quoque, $ed velociore motu, donec tan- dem in nulla re$i$tentia $it totus prior motus; $i verò con$ideretur glo- bus reflectens, $i e$t æqualis re$i$tentia mouetur æquali motu; $i maior minore; $i tota nullo; $i vero $it minor re$i$tentia mouetur motu velo- ciore, atque ita deinceps; $i nulla qua$i infinito: dico qua$i, quia $i va- cuum moueri po$$et per impo$sibile, certè cum non re$i$tat, infinitè ce- deret; igitur infinito motu qua$i moueretur. <p>Septimò, vnde vides ab illo communi medio ver$us vtrumque extre- mum cre$cere $emper motum globi impacti; donec tandem in vtroque extremo æquali motu moueatur, quo iam priùs mouebatur in linea inci- dentiæ; at verò globi reflectentis ver$us extremum nullius ce$sionis im- minui motum, donec tandem in illo extremo nullus $it; cre$cere vero ver$us aliud extremum, donec tandem in illo infinitus $it, eo modo, quo diximus, id e$t infinita ce$sio, quam accipio ad in$tar motus infinitæ ve- locitatis; quemadmodum accipi pote$t nulla ce$sio, $eu tota re$i$tentia ad in$tar motus infinitæ tarditatis. <p>Octauò, globus impactus imprimit $emper æqualem impetum refle- ctenti, qui pro diuer$a huius mole diuer$um modum præ$tat; $i refle- ctens æqualis e$t æqualem, $i maior minorem, $i minor maiorem; quippe idem impetus in paucioribus partibus facit maiorem motum, in totidem æqualem, in pluribus minorem, donec tandem $i plures $int partes $ub- jecti quàm partes impetus, nullus $it motus; igitur nullus impetus, vt con$tat ex his, quæ diximus lib.1. <p>Nonò, hinc motus reflexus in perpendiculari minor e$t ea parte mo- tus, quæ reflectenti imprimitur; vel enim imprimitur motus æqualis, <pb n=249> vel inæqualis, $i æqualis, certè toto motu multatur globus impactus; $i inæqualis, vel minor, vel maior; $i minor, certè e$t aliquis motus refle- xus æqualis priori minùs ea parte, quæ reflectenti imprimitur, donec tandem nullus imprimatur motus; tunc enim reflexus e$t priori æqua- lis; $i verò maior imprimitur, fortè nullus e$t reflexus po$ito $cilicet ra- dio incidentiæ perpendiculari, minor tamen erit idem motus globi im- pacti vlteriùs per eandem lineam propagati. v.g.$i $it duplus detrahitur priori motui 1/2, $i triplus 1/3, $i quadruplus 1/4, atque ita deinceps; $i de- nique infinities velocior ex $uppo$itione impo$sibili detrahitur aliquid, quod habet ad priorem motum proportionem minoris inæqualitatis in- finitam. <p>Decimò, ex his rectè concludi pote$t non produci infinita puncta im- petus, nec e$$e infinitas partes $ubjecti actu; alioqui punctum mouere- tur motu infinito, qui repugnat: præterea nullum e$$et corpus quamtum- nis magnum, cui modico ictu non imprimatur impetus, $i impetus con- flat infinitis partibus; quare in vtraque progre$sione $i$tendum e$t; primò in nulla ce$sione & tota re$i$tentia, cum $cilicet plura $unt pun- cta $ubjecti, quàm impetus. Secundò cum reflectens tantùm con$tat vnico puncto, in quo $cilicet impetus finitus impre$$us præ$tat veloci$- $imum motum quem præ$tare pote$t; licèt enim dato quocunque motu po$sit dari velocior, non tamen cum dato impetu finito determinato $i- ne acce$sione alterius; $ed iam interruptam no$trorum Theorematum $e- riem pro$equamur. <C><I>Theorema</I> 41.</C> <p><I>Determinatio noua cuiu$libet alterius anguli incidentiæ obliqui, vel acuti, e$t ad priorem, vt duplum $inus recti eiu$dem anguli ad $inum totum.</I> v. g. <note><I>Fig.</I>21. <I>Tab.</I>3.</note> $it radius incidentiæ AD in planũ immobile BDF: dico nouam de- terminationem e$$e ad priorem, vt duplum AB, id e$t BC ad DA. De- mon$tro; cum enim ictus per AD obliquam $it ad ictum per AB per- pendicularem, vt AB ad AD, vt con$tat ex dictis, tùm $upra, tùm inlib. de planis inclinatis; ictus enim habent eam proportionem, quam ha- bent grauitationes; $ed grauitatio in inclinatam AD e$t ad grauitatio- nem in horizontalem DB, vt DB ad DA; igitur ictus inflictus plano DB per inclinatam AD e$t ad inflictum per ip$am perpendicuiarem GD vt PR æqualem AB ad DA; nam ictus in planum AD per G<*> idem e$t cum ictu in DB per AD: $imiliter $it incidens KD, $itque an- gulus IDR æqualis KDG, ictus in ID per GD e$t æqualis ictui in DR per KD; $unt enim GDI, KDR æquales; $ed ictus in ID e$t, vt grauitatio in eandem ID; hæc autem in inclinatam DI, ad aliam in horizontalem DR vt DR ad DI; igitur ictus in DI per GD e$t ad ictum in DR per GD, vt DR vel LI ad ID; $ed K <G>b</G> e$t æqualis IL; nam arcus KG & IR $unt æquales; igitur ictus per GD in DR e$t ad ictum in DR per KD e$t vt DK ad K <G>b</G>; $ed impedimentum e$t vt ictus. re$i$tentia vt impedimentum, determinatio noua, vt re$i$tentia; igitur <pb n=250> determinatio noua in linea incidentiæ GD e$t ad nouam in linea inci- dentiæ KD, vt GD vel KD ad K <G>b</G>, & in linea incidentiæ AD vt AD ad AB; igitur vt $inus totus ad $inum rectum dati anguli incidentiæ; $ed in linea incidentiæ perpendiculari GD, determinatio noua e$t ad pri o- rem in ratione dupla; igitur vt G <G>d</G> ad GD; ergo noua per KD e$t ad nouam per DG, vt K <G>q</G>, ad G <G>d</G>; nam vt e$t K <G>b</G> ad GD ita K <G>q</G> ad G <G>d</G>; ergo noua per KD e$t ad priorem vt K <G>q</G> ad KD, & noua per AD, vt AC ad AD, atque ita deinceps; ergo determinatio noua per lineam incidentiæ obliquam e$t ad priorem, vt duplum $inus recti an- guli incidentiæ ad $inum totum, quod erat demon$trandum. <C><I>Theorema</I> 42.</C> <p><I>Hinc in ip$o angulo</I> 60. <I>determinatio noua e$t æqualis priori, id e$t in an- gulo incidentiæ</I> 30. $it enim prædictus angulus IDR; certè RI e$t $ubdu- pla ID, vt con$tat; $ed determinatio noua per ID e$t ad priorem, vt dupla IR ad ID; ergo vt æqualis ad æqualem. <C><I>Theorema</I> 43.</C> <p><I>Hins $upra angulum</I> 30.<I>v$que ad</I> 90. <I>noua determinatio e$t maior priore,</I> donec tandem in ip$a GD vel in ip$o angulo GDR 90. $it dupla prio- ris, infrà verò angulum 30. e$t minor priore, donec tandem in ip$a $e- ctione plani FDB nulla $it noua. <C><I>Theorema</I> 44.</C> <p><I>Ex his demonstratur acurati$$imè æqualitas anguli reflexionis cum $uo an- gulo incidentiæ</I>; $it enim linea incidentiæ KD v. g. determinatio noua per DG e$t ad priorem per DQ, vt K <G>q</G> vel XQ æqualis ad DQ; igi- tur vt DZ æqualis QX ad DX; $ed quotie$cumque $unt duæ determi- nationes, fit mixta per diagonalem Parallelogrammatis; $ed QZ e$t pa- rallelogramma, & DX diagonalis; igitur determinatio mixta ex vtra- que e$t per DX; $ed angulus XDG e$t æqualis KDG, vt patet, nam XDG e$t æqualis DXQ, & hic DQX, & hic QD <G>d</G>, & hic QDK; igitur KDR, qui e$t angulus incidentiæ e$t æqualis angulo XDF, qui e$t angulus reflexionis: idem dico de omni alio. <p>Ob$erua$ti iam ni fallor primò determinationes nouas e$$e vt chor- das arcus $ubdupli incidentiæ. Secundò planum reflectens qua$i repelle- re omnes ictus per DG, id e$t per lineam, quæ à puncto contactus duci- tur per centrum grauitatis, vt demon$tratum e$t lib.1. Th.120.121. <C><I>Theorema</I> 45.</C> <p><I>Nullus impetus de$truitur per $e in pura reflexione</I>; nam per accidens vt plurimùm de$truitur, vt dicemus infrà: dixi in pura reflexione; quia cum fit aliqua compre$$io, vel repellitur corpus impactus ni$u po$itiuo, etiam de$truitur impetus; demon$tratur Th. quia nihil impetus e$t fru$trà; igitur nihil de$truitur: con$equentia patet ex dictis; probatur antece- dens, quia linea determinationis mixtæ e$t $emper æqualis lineæ prioris determinationis, $i remoto obice fui$$et propagata. v.g. $it linea inciden- <pb n=251> tiæ AD, quæ vlteriùs producta $ine reflexione $it, vt DE; certè deter- minatio, $eu motus e$t vt DE, vt patet: iam reflectatur in D à plano BF; noua determinatio per DG e$t ad priorem, vt DT æqualis HE ad DE; igitur determinatio mixta per DH e$t vt DH, $ed DH e$t æqua- lis DE; igitur determinatio mixta e$t æqualis priori; igitur nihil im- petus e$t fru$trà; igitur nihil illius de$truitur, quod erat demon$trandum: Idem demon$trari pote$t in quacunque lineâ; in perpendiculo verò GD; cùm noua per DG $it dupla prioris per D <G>d</G>, id e$t, vt DY æqua- lis GD, ad DA; certè mixta erit DG æqualis DA. <C><I>Theorema</I> 46.</C> <p><I>Hinc omnes lineæ reflexæ per $e $unt æquales,</I> quia $unt $emidiametri ciu$- dem circuli; dico per $e; nam per accidens $ecùs accidit; hinc malè di- citur reflexam perpendicularem e$$e omnium reflexarum breui$$imam per $e; quod licèt ita e$$e videatur, illud reuerâ e$t per accidens. <p>Obiiceret fortè aliquis pilã reflexam nunquam ad eam a$cendere $ubli- mitat&etilde; ex qua priùs demi$$a fuerat. Re$p. hoc ve<*>i$$imũ e$$e $ed per acci- dens hoc ita fieri certum e$t propter diui$ionem, attritum, compre$$io- nem, ce$$ionemque partium; vnde pila eò altiùs a$cendit, quò durior, & leuigatior e$t illa materia, ex qua con$tat, planumque ip$um leuigatius, durius & ad libellam acuratius ita compo$itum, vt $it omninò horizonti parallelum: adde quod planum debet e$$e pror$us immobile; $i enim mo- bile $it, multus impetus de$t <*>itur. <C><I>Theorema</I> 47.</C> <p><I>Hinc licèt non po$$it e$$emotus mixtus ex duplici impetu ad diuer$as lineas determinato, ni$i aliqui<*> impetus destruatur, vt constat ex dictis; pote$t ta- men e$$e linea motus qua$i mixta ex duabus cum eodem $cilicet impetu licèt nihil impetus destruatur; e$t enim maximum di$crimen vtriu$que, vt patet.</I> <C><I>Theorema</I> 48.</C> <p><I>Ideo perpendicularis reflexa e$t reflexarum minima, non quidem per $e, $ed per accidens</I>; quia cum perpendicularis maximum ictum infligat, fit maior compre$$io partium, attritus, diui$io; ex quibus nece$$ariò $equi- tur plùs impetus de$trui. <C><I>Theorema</I> 49.</C> <p><I>Motus reflexus non e$t mixtus ex motu plani pellentis & alio</I>; quia reue- rà planum nullum imprimit impetum, quod etiam ex dictis nece$$ariò $equitur; $ed e$t veluti occa$io, ex qua re$ultat noua determinatio mix- ta, ratione $cilicet impedimenti, eo modo, quo diximus; $i enim pla- num ip$um nouum impetum imprimeret mobili, non e$$et pura reflexio. de qua modo agimus, $ed alia, de qua infrà. <C><I>Theorema</I> 50.</C> <p><I>Non datur quies vlla in puncto reflexionis</I>; appello puram reflexionem, <pb n=252> in qua nullus $it attritus nec cõpre$$io, vel in mobili impacto, vel in pla- no reflectente; prob. quia mobile vno tantùm in$tanti tangit planũ; igitur nullo in$tanti quie$cit; antecedens certum e$t, quia eo in$tanti, quo primò tangit, habet impetũ; nec enim de$truitur totus per Th.38.igitur in$tanti $equenti habebit $uum effectum, ergo motum; ergo vno tantùm in$tanti tangit; nec dicas impetum illum impediri; nam ideo impediretur motus pro $equenti in$tanti, quia tangitur planum primo in$tanti; igitur $imi- liter, non moueretur tertio in$tanti, quia priori, id e$t $ecundo planum tangeretur; idem dico de quarto, quinto &c. ergo mobile omninò quie- $ceret, nec reflecteretur, quod e$t contra Th.1.igitur vno tantùm in$tanti tangit mobile planum, quod erat antecedens propo$itum: Iam verò pro- batur con$equentia; $i quie$cit in puncto reflexionis mobile; igitur eo in$tanti, quo tangit illud punctum; $ed eo in$tanti non quie$cit, quo reue- râ mouetur; atqui eo in$tanti quo tangit reuerâ mouetur; quia moueri, e$t nouum locum primò acquirere per def.1. l.1. <p>Obiicies, primo in$tanti contactus mobile tangit planum quie$cens, ergo non mouetur. Re$pondeo negando con$e&qtilde;uens, nam reuerâ pote$t mobile in plano immobili moueri. <p>Obiicies $ecundò, mobile in puncto non mouetur; igitur in puncto reflexionis non mouetur. Retpondeo primò negando antecedens; qui enim admittunt puncta phy$ica, dicent acquiri po$$e motu punctum phy- $icum $patij. Re$pondeo $ecundò eandem e$$e difficultatem pro motu $e- quentis in$tantis, quidquid $it, $iue dentur puncta $iue non, cuius di$cu$- $io pertinet ad Metaphy$icam, ne.no negabit motum reuerâ e$$e, cum pri- mo nouus locus acquiritur, in quo non e$t difficultas. <p>Obiicies tertiò, in puncto nulla e$t $ucce$$io; igitur neque motus. Re$pondeo primò, nulla e$t $ucce$sio actu, concedo, potentia, nego; Re- $pondeo $ecundò, concedo antecedens, di$tinguo con$equens; nullus e$t motus $ucce$siuus, concedo; in$tantaneus, nego. <p>Obiicies quartò, nullus datur motus in$tantaneus. Re$pondeo, nullus datur in$tantaneus actu nego, potentiâ concedo; quia quocunque dato motu pote$t dari minor. <p>Obiicies quintò, igitur motus in eo puncto non pote$t e$$e tardior, & velocior. Re$pondeo primo negando; nam vno motu in$tantaneo actu pote$t dari velocior, vel tardior, quæ omnia facilè in Metaphy$icis expli- cantur, & demon$trantur, ex quibus certè res i$ta phy$ica minimè de- pendet. <p>Obiicies $extò, authoritatem Ari$totelis. Re$pondeo Ari$totelem in- telligendum e$$e de corpore projecto $ur$um motu violento, quod ante- quam de$cendat vno in$tanti quie$cit; quod etiam demon$traui lib. 3.Im- mò plerique $unt inter Peripateticos qui tenent in puncto reflexionis non dari quietem, in hoc $cilicet reflexionis genere, de quo hîc agimus, qui fusè hanc quæ$tionem di$cutiunt, nos breuiore methodo v$i rem ip$am, ni fallor ex no$tris principiis demon$trauimus. <pb n=253> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$erua primò, $i planum reflectens cedit, vel mobile ip$um, ren<*> aliter e$$e explicandam. <p>Secundò tribus modis planũ cedere, primò per diui$ion&etilde; partium $ifran. gantur; 2° per diui$ionem $ine fractione propriè $umpta, $ed cũ ce$sione. <p>Tertiò, $ine diui$ione, $ed non $ine compre$sione. <p>Ex&etilde;plum primi generis habes in charta, $eu vitro, quæ dũ reflectit fran- gitur: exemplũ $ecundi in cera molli, vel pingui terrâ; tertii deniq; in m&etilde;- brana ten$a, vel fune ten$o: $imiliter mobile ip$um tribus modis cedere pote$t 1° cũ diui$ione partium, & fractione, $ic dũ vitrũ à marmore refle- ctitur in mille partes abit.2° $ine fractione, $ed non $ine depre$sione; $ic plumbum deprimitur in corpus durum impactum, aut cera mollis. 3° $ine diui$ione, $ed nõ $ine aliqua compre$sione, $ic ve$icca inflata reflectitui. <p>Itaque duo $unt planorum genera. Primum e$t eorum, quæ non cedunt præ duritie. Secundum eorum, quæ cedunt vel per fractionem, vel per de- pre$sionem, vel per compre$sionem: per fractionem dupliciter; primò $i alterantur tantùm aliquæ partes minutiores, vt fit in molliori lapide; Secundò $i per $ractionem corpus diuidatur in partes notabiles, vt fit in vitro, glacie; adde totidem genera mobilium. <p>Ob$erua tertiò e$$e tres alias combinationes; vel enim mobile reflecti- tur à mobili, $ed non pellitur à plano, & hæc e$t pura reflexio; vel pellitur à plano $ine motu præuio, vel $imul reflectitur, & pellitur à plano, quod $imul mouetur. Ob$erua 4° cũ mouetur corpus reflectens à mobili im- pacto tres e$$e quoque cõbinationes, vel enim cum mouetur corpus refle- ctens, reflectitur, $eu retroagitur mobile impactum, vel cõ$i$tit, $eu quie- $cit, vel non retroagitur, $ed idem iter pro$equitur. Ob$erua 5° cū $int quinque veluti $tatus corporis reflectentis; nam vel e$t molle, vel pre$si- bile, vel durum vel fragile, vel friabile, & totidem $tatus mobilis, e$$e 25. combinationes, vt patet ex regula combinationum, in quo non e$t diffi- cultas; igitur deinceps con$iderabo reflexionem ratione potiùs materiæ corporis, tùm re$$exi, tùm reflectentis, $it ergo. <C><I>Theorema</I> 51.</C> <p><I>De$truitur impetus in reflexione ex multis capitibus</I>: primò, ratione diuer- $æ determinationis, $i talis e$t vt aliquid impetus $it fru$trà, $uppo$ita etiam perfecta duritie mobilis, & plani & figura apta. Secundò, ratione diui$ionis partium vel plani, vel mobilis, vel vtriu$que; $i enim alteran- tur partes, fit qua$i fo$$ula, quam $en$im $ubit mobile, cumque $ingulis in$tantibus $it noua difficultas $uperanda, $emper inde imminuitur impe- tus: adde quod minor e$t determinatio plani quod cadit; igitur minor e$t motus reflexus; igitur plùs impetus e$t fru$trà; igitur plùs de$truitur; $i autem planum vel ip$um mobile propter fragilitatem in partes di$si- liat, etiam de$truitur aliquid impetus; Tertio ratione impre$sionis; Quarto ratione compre$sionis; Quintò ratione repul$ionis; Sextò ra- tione liberioris ce$sionis; $ed hæc omnia minutiùs videntur e$$e ex- plicanda. <pb n=254> <C><I>Theorema</I> 52.</C> <p><I>De$truitur impetus cum $cilicet mobili impacto in planum atteruntur par- tes vel plani, vel mobilis, vel vtriu$que,</I> $ic cum $axum alliditur molliori la- pidi, prima $uperficies re$i$tit quidem; at certè minùs quàm par $it, vt $i$tat mobile; de$truitur tamen aliquid impetus, quia impeditur tantil- lùm $altem prima illa determinatio; Secunda $uperficies re$i$tit etiam in maiori $cilicet proportione, tùm quia impetus eua$it infirmior ex primo qua$i conflictu, tùm quia paulò durior e$t $ecunda $uperficies quàm pri- ma, quod $cilicet aliquæ partes qua$i intrudantur in vacuitates interce- ptas; $ic pila lignea multis ictibus confu$a durior e$t; denique tertia $u- perficies re$i$tit in maiori proportione quàm $ecunda & quarta quàm tertia; atque ita deinceps, donec tandem, vel totus impetus vincatur, vel determinatio prior $uperetur: hinc $i alterantur partes plani tantùm, mi- nùs impetus de$truetur, quàm $i atterantur partes mobilis; quia impetus partium mobilis attritarum totus de$init, nec vllam vim ampliùs facit, quod potiori iure dicendum e$t, $i atterantur partes vtriu$que. <C><I>Theorema</I> 53.</C> <p><I>Hinc pluribus licèt in$tantibus mobile tangat planum, non tamen vllo quie- $cit</I>; alioqui $emper quie$ceret per Th.50. <C><I>Theorema</I> 54.</C> <p><I>Hinc cum atteruntur partes plani ab impactione mobilis, minor e$t reflexio</I>; quia minor e$t cau$a, $cilicet impetus, quæ minor e$t adhuc $i atterantur partes mobilis, & minor adhuc, $i partes vtriu$que; quæ omnia con$tant ex dictis. <C><I>Theorema</I> 55.</C> <p><I>Cum re$iliunt partes mobilis, destruitur impetus pen $e, quia $cilicet illa di- ui$io, vel $olutio continuitatis $eu plexus re$i$tit</I>; igitur impedit, $ed omne im- pedimentum detrahit aliquid impetus: dixi per $e, nam per accidens fieri pote$t, vt aliqua particula re$iliens maiore cum impetu moueatur, vt pa- tet aliquando experientiâ; quia præter priorem impetum, qui cum aliis partibus illi communis erat, additur alius propter nouam alli$ionem, $eu, quod mirabilius e$t, cum aliqua particula ex maiore ma$sâ diuellitur, im- petus totius mobilis qua$i migrat in particulam illam, perinde qua$i ab eo emitteretur, id e$t cum antè totum mobile veloci$$imo motu ferretur, particula auul$a, eodem deinde mouetur. <C><I>Theorema</I> 56.</C> <p><I>Porrò re$iliunt particulæ mobilis per omnes ferè lineas, quæ determinantur per accidens à forma vel $ectione diui$ionis</I>; quæ enim dextror$um $eparan- tur, dextror$um eunt; atque ita in omnem partem $ine alia regula; cur verò ab ictu diuellantur partes, non e$t huius loci di$cutere; $ic enim qua$i finditur $axum ex colli$ione; tùm quia ex illo omnium partium $uccu$$u $oluitur illarum nexus; tùm quia intruduntur aliquæ partes, <pb n=255> qua$i ad in$tar cunei, quæ aliàs diuidunt; tùm denique, quia e$t aliqua compre$$io, cuius vires certè maximæ $unt, vt dicemus alibi: Exemplum habes tùm in corpore duro, quale e$t vitrum, cuius modicam laminam $i duriori pauimento impingas, hinc inde mille particulæ tumultuatim re- $ilient; tùm in corpore liquido, vt in aqua, quæ etiam ad corpus durum alli$a in mille guttulas di$pergitur, quia eius partes facilè $eparantur. <C><I>Theorema</I> 57.</C> <p><I>Sivel mobile e$t mollius, vel ip$um planum, vel vtrumque, ita vt non atte- rantur partes, $ed tantùm citra compre$$ionem cedant, de$truitur etiam multus impetus</I>; $it enim v.g.pila ex molliori cera, haud dubiè ex impactione non comprimitur quidem, $ed deprimitur, nec amplius figuram $phæræ, $ed portionis habet: in qua reuerâ depre$$ione multus e$t conflictus, nec $uf- ficienter prima $uperficies re$i$tit, licèt aliquid impetus de$truat, nec etiam $ecunda, nec tertia, quæ tamen re$i$tunt $emper in maiori propor- tione; donec tandem vel totus ictus qua$i extinguatur, vel determinatio prior $uperetur; ex quo $equitur reflexio, $ed minor: porrò minor refle- xio re$ultat ex mollitie mobilis, quam plani, cæteris paribus, & minor adhuc ex mollitie vtriu$que; in quo verò con$i$tat mollities corpo- rum, & quomodo deprimantur $ine compre$$ione, explicabimus tra- ctatu $equenti. <C><I>Theorema</I> 58.</C> <p><I>Hinc plumbum ad reflexionem minùs aptum e$t,</I> quia $cilicet eius partes difficiliùs auelluntur, & à maiore ictu, qui ex grauitate maiore re$ultat, faciliùs deprimuntur; hinc cum in molliorem terram pila alliditur, qua$i emoritur eius $altus; hinc, $i grauior ictus e$t, qualis e$t maioris vel mi- noris pilæ è tormento explo$æ, & mollior terra, qualis e$t illa quâ vulgò aggeres munitionum farciuntur, pila terram ip$am facto foramine pene- trat, cùm facilè cedat materia; nec inde amplius re$ultat, cuius rei ratio e$t clari$$ima quia $en$im extinguitur impetus, nec angu$tiæ foraminis reditum patiuntur. <p>Hinc multâ lanâ muniuntur latera nauium contra maiora tormenta; quippe globi vis $en$im emoritur in lana, quia $inguli pili re$i$tunt; & quia facilè cedunt difficiliùs diuiduntur, $ed fallenti illa ce$$ione ictum quoque fallunt, in quo non e$t difficultas. <C><I>Theorema</I> 59.</C> <p><I>Quando fit aliqua compre$$io, distribuitur etiam impetus</I>; e$t enim con- flictus, & pugna partium inter $e; $it enim ve$icca in pauimentum alli- $a, partes anticæ aëris, quo ve$icca inflatur, comprimunt, & qua$i po$ti- cas repellunt, à quibus mutuò retruduntur; vides pugnam; igitur de- $truitur impetus: $ed re$tituitur $tatim à potentia motrice media, quâ $cilicet corpus omne compre$$um plùs æquo, vt $e$e in pri$tinum exten- $ionis $tatum re$tituat, producit in $e impetum: porrò de hac potentiâ <pb n=254> agemus fusè tractatu $equenti lib.2. porrò vel comprimitur tantum mo- bile, vel tantùm ip$um planum, vel $imul vtrumque. <C><I>Theorema</I> 60.</C> <p><I>Ex hac compre$$ione $equitur aliqua reflexio</I>; $iue tantùm mobile com- primatur, vt ve$icca inflata vel pila; quippe præter reflexionem puram, id e$t præter priorem impetum, qui tamen ex parte de$truitur, fit acce$$io noui impetus; igitur maior e$t motus qui reuerâ impetus maior e$t, quò maior e$t compre$$io, quæ maior e$t, quò maior e$t ictus; hinc maximè apta e$t ad reflexionem pila, & ve$icca; $i tamen excipias mobile duri$- $imum in planum duri$$imum impactum; tunc enim maxima e$t reflexio, experientiâ te$te; $i verò planum ip$um comprimatur, ex illa quoque compre$$ione $equitur noui impetus acce$$io: Exemplum habes in fune ten$o, vel in membrana timpani bellici, in qua pi$a tam facilè $ub$ultant; emoritur tamen ferè totus prior impetus propter ce$$ionem plani; & ni$i nouus accederet, haud dubiè vel nulla penitus vei minima fieret refle- xio; denique fieri pote$t compre$$io tùm in mobili, tùm in plano v.g. $i ve$icca inflata repercutiatur à membrana tympani maximè ten$a, in hoc ca$u maxima fit noui impetus acce$$io ex duplici compre$$ione; $ed ma- xima fit etiam prioris impetus imminutio ex duplici etiam capite, nem- pè ex compre$$ione, eaque duplici, & noua determinatione; $ed hæc $unt facilia. <C><I>Theorema</I> 61.</C> <p><I>Si corpus in aliud impactum repellatur per productionem impetus. v.g. $i duo globi mutuò impellantur, de$truitur etiam impetus ex hoc capite,</I> vt patet experientia: immò $i globus in æqualem globum impingatur de$truitur totus impetus prior; vt dictum e$t alibi, de quo etiam infrà: Ratio huius Theorematis e$t, quia aliqua impetus portio e$t fru$trà; quia non pote$t habere $uum effectum; igitur de$trui debet. <C><I>Theorema</I> 62.</C> <p><I>Si globus in alium æqualem impingitur, ita vt punctum contactus, & cen- trum vtriu$que $int in eadem linea, multa $equũtur phænomena, quæ iam atti- gimus lib.</I>1.<I>à Th.</I>60.Primò, æqualis impetus in globo, in quem impactus e$t, producitur per Th.60.lib.1. Secundò, æqualis e$t determinatio noua priori; probatur per Th.127.lib.1. Tertiò, de$truitur totus impetus prior per Th.128. hinc quie$cit globus impactus; cuius rei non pote$t e$$e alia cau$a; nec enim dicas de$trui totum impetum illum (vt reuerâ totus de- $truitur) ratione re$i$tentiæ, quæ minor e$t, quàm e$$et, $i in parietem il- lideretur; igitur tota ratio, cur de$truatur totus impetus, duci tantùm pote$t ex eo, quod $it fru$trà; e$t autem fru$trà, quia cum prior deter- minatio ferat globum impactùm per eandem lineam, & noua per oppo- $itam; vtraque certè æqualis e$t; igitur neutra præualet; igitur globus con$i$tit; $i quis enim diceret non e$$e æquales; igitur altera maior e$t; igitur debet præualere; igitur $i prior e$t, debet vlteriùs propagari motus <pb n=255> in cadem linea; $i noua, igitur debet tantillùm reflecti; igitur cum nec vlteriùs producatur motus, nec retrò agatur mobile, vtraque determi- natio nece$$ariò æqualis e$t. Quænam verò $it huius æqualitatis ratio à priori, difficilè dictu e$t; dico tamen petendam e$$e ab æqualitate glo- borum; cum enim determinatio noua $it duplò maior à plano immobili & duro; certè à plano mobili minor e$t, vt con$tat, quia cedit; igitur quâ proportione plùs, vel minùs cedit, e$t minor dupla; $ed maior glo- bus minùs cedit, quàm æqualis; quia ce$$io e$t minor impul$ione; igitur quando ce$$io e$t æqualis impul$ioni, æquales $unt determinationes; at- qui cum producitur æqualis impetus, & imprimitur æqualis motus, æqualis e$t ce$$iò impul$ioni, id e$t æquè cedit, ac impellitur; cum tamen, $i maior $it globus, non æquè citò cedat, quia tardior motus imprimitur, & hæc e$t, ni fallor, vera ratio huius æqualitatis determinationum, & hæc vera cau$a quietis globi impacti, de qua iam $uprà Th. 40. <C><I>Theorema</I> 63.</C> <p><I>Cum verò globus impellitur in globum æqualem per lineam obliquam, num- quam quie$cit</I>; quod demon$tratur, quia $emper e$t determinatio mixta; quod vt meliùs intelligatur, opus e$t nouâ figurâ<note><I>Fig.</I>22 <I>Tab.</I> 3.</note> $it ergo punctum con- tactus duorum globorum B, & ip$a CBN $it Tangens communis, $eu $ectio plani, quæ gerit vicem plani reflectentis; fit autem primò linea incidentiæ connectens centra FBA; nulla fit in ea reflexio per Th. 61. quia $cilicet determinatio noua per lineam BF e$t æqualis priori per FB; $it EB linea incidentiæ faciens angulum EBC cum Tangente NC; determinatio noua e$t ad determinationem priorem vt BG vel ER ad BE, & $i $it linea incidentiæ DB vt BH, vel SD ad BD; deni- que $i $it BV vt TV ad BV, donec tandem linea incidentiæ $it CB, quâ po$itâ nulla e$t determinatio noua; vides e$$e eandem viam proportio- num quæ fuit $uprà; licèt non $it futura eadem angulorum reflexionis proportio, quia determinationum nouarum rationes non $unt eædem; producatur enim EBL DBM &c. determinatio prior per EB e$t ad nouam per BF, vt BE ad BG; igitur ducantur EP PL; a$$umatur LI æqualis BG, & GI, BL æqualis BE; denique ducatur BI: dico BI e$$e lineam reflexionis $eu determinationem mixtam ex BG BL per Th. 137.lib.1.&c. Similiter $i $it linea incidentiæ DBN, ducanturque DO. OM, & a$$umatur MK æqualis BH, vel SD, dico lineam BK e$$e de- terminationem mixtam ex BH BM, ex quibus etiam longitudo omnium reflexarum facilè determinari pote$t; quippe longitudo e$t vt linea de- terminationis mixtæ. v.g. BI, BK; demon$tratur autem hæc determi- nationum progre$$io, quia determinatio per EB e$t ad determinationem per FB vt ictus per EB ad ictum per FB, vt iam $æpè dictum e$t; $ed ictus per EB in CN e$t ad ictum per FB vt ER ad FB vel EB, id e$t, vt $inus rectus anguli incidentiæ ad $inum totum; $ed determinatio noua in perpendiculo FB e$t ad priorem, vt FB ad BF per Th.62. igitur noua determinatio per EB e$t ad priorem vt ER $eu $inus rectus anguli EBC <pb n=256> ad $inum totum EB, & per DB vt DS ad DB: idem dico de aliis. <p>Hinc colligo primò, omnes determinationes nouas in hypothe$i glo- borum æqualium e$$e $ubduplas in ei$dem angulis priorum determina- tionum in hypothe$i corporis reflectentis immobilis. <p>Colligo $ecundò, omnes reflexiones fieri nece$$ariò per eandem li- neam, quæ $cilicet e$t Tangens puncti contactus globi reflectentis, quod valdè mirificum e$t, & facilè ob$eruabunt, qui Tudicula minore ludunt. Colligo $exto, cum angulus incidentiæ e$t 60. lineam reflexam e$$e $ub- duplam directæ quæ vlteriùs produceretur; infrà verò $exto e$$e maio- rem, $uprà verò e$$e minorem, e$t autem longitudo lineæ $inus comple- menti anguli incidentiæ. v.g. $i linea incidentiæ $it EB e$t EG, $i DB e$t DH, $i VB e$t VX. <C><I>Theorema</I> 64.</C> <p><I>Si globus minor in maiorem impingatur, qui ab eo tamen moueatur per li- neam connectentem centra vtriu$que impactus, reflectitur</I>; ratio e$t, quiama- ior globus e$t maius impedimentum, vt iam diximus Th. 131.lib.1.id e$t, vt clariùs hic explicetur, quæ ibidem tantùm obiter indicauimus, noua determinatio maior e$t priore, quia ce$sio e$t minor impul$ione; $it autem. v.g. globus reflectens duplus impacto; igitur motus e$t $ubduplus, quia $cilicet impetus di$tribuitur pluribus partibus $ubjecti; igitur $in- gulæ minùs habent; igitur impetus e$t remi$sior; igitur motus tardior; igitur ce$sio minor $ubduplo; igitur determinatio noua e$t maior æqua- li 1/2 hinc debet nece$$ariò reflecti, quia quotie$cunque ad lineas op- po$itas ex diametro determinatur impetus, maior determinatio præua- let pro rata per Th.134.lib.1. nam perinde $e habet, atque $i e$$et duplex impetus; quanta porrò e$$e debeat linea reflexa, determinari pote$t; $i enim determinatio noua e$$et $olilaria mobile cum eo impetu, quem ha- bet cõficeret v.g. BA vel BF; diuidatur BF in duas partes æquales in <G>u</G>, determinatio noua e$t ad priorem vt 3. ad 2. a$$umatur F<G>b</G> æqualis B<G>u</G>; igitur propter determinationem priorem oppo$itam $cilicet BA detra- hi debent duæ partes toti B<G>b</G> $cilicet <G>bu</G> æqualis BA; igitur linea re- flexa erit B<G>u</G> dupla totius BF; $it etiam globus reflectens, qui mouetur ab impacto, quadruplus, determinatio noua crit ad priorem vt 7. ad 4. fit B<G>d</G> ad BA vt 7. ad 4. ex B<G>d</G> detrahatur DH æqualis BA, $upere$t HB id e$t 3/4 totius BF; non pote$t autem e$$e maior determinatio no- ua priore quàm in ratione dupla, vt diximus $uprà. Ratio e$t, quia eò mi- nor e$t determinatio noua, quò maior e$t motus impre$$us globo maiori reflectenti; igitur tantum detrahitur duplæ, quantum additur motus; $i motus e$t æqualis, detrahitur duplæ æqualis priori; igitur $upere$t æqua- lis; $i motus e$t $ubduplus, detrahitur duplæ $ubdupla prioris; igitur $u- pere$t 1/2 $i $ubquadruplus detrahitur duplæ $ubquadrupla prioris, igitur $upere$t 1 3/4 $i $it duplus motus, determinatio noua e$t $ubdupla; igitur priori detrahitur 1/2 de quo infrà; quod autem $pectat ad longitudi- nes linearum non e$t difficultas; quippe determinatio minor detrahi deber maiori. <pb n=257> <C><I>Theorema</I> 65.</C> <p><I>Si globus minor in maiorem impingatur per lineam obliquam incidentiæ, $emper reflectitur</I>; quippè $it determinatio mixta ex priore, & noua, quæ determinari pote$t, $i aliquid à nouæ figuræ de$cribatur; $it circulus FQCD; $int diametri QD, FC; $it AI dupla AF, $itque determi- natio prior vt FA, $i $ecunda $it vt AI, erit dupla prioris; igitur corpus reflectens erit immobile; igitur $i linea incidentiæ $it EA, reflexa erit AT, ita vt anguli TAF, EAF $int æquales; $i autem determinatio no- ua $it ad priorem vt AH ad AF, id e$t, v.g. vt 3. ad 2. po$itâ $cilicet li- neâ incidentiæ perpendiculari FA in planum reflectens QD, quod certè mouebitur per Th. 64. aliter procedendum e$t vt inueniatur linea re- flexa re$pondens lineæ incidentiæ obliquæ; diuidatur FAMK ita vt KN $it ad AF vt 3.ad 2. ac proinde AH $it diui$a bifariam in K; de- $cribatur circulus KMNR, $it linea quælibet incidentiæ obliqua EA; producatur in B; ducantur OX BT parallelæ AH; a$$umatur AG æqua- lis OX, & GS æqualis AB; certè BS erit æqualis OX vel AG; duca- tur AS, hæc erit reflexa quæ$ita: idem dico de omnibus aliis lineis in- cidentiæ; demon$tratur eodem modo quo $uprà in Th. 30. 31. 32. quæ con$ule, ne hic repetere cogar. <C><I>Theorema</I> 66.</C> <p><I>Si globus maior impingatur in minorem, per lineam incidentiæ connecten- tem centra nullo modo reflectitur $ed per eandem lineam primum motum pro- pagat licèt tardiùs per Th.</I>132. lib.1. in qua verò proportione retardetur motus non ita facilè dictu e$t; dici tamen pote$t & explicari in fig. Th. 63.<note><I>Fig.</I>22 <I>Tab.</I>3.</note> $i enim globi $unt æquales, ce$$io æqualis e$t impul$ioni; $i globus impactus $it maior, ce$$io e$t maior impul$ione, vt con$tat; igitur, $i globus e$t ad globum vt FB ad FB; determinatio noua erit ad priorem vt FB ad FB; igitur quie$cet globus impactus per Th. 62. $i verò globus impa- ctus $it ad alium vt EB ad ER; determinatio noua erit ad priorem, vt BG ad BF; igitur motus retardatus globi impacti e$t ad non retardatum vt FG ad FB; quod $i globus impactus e$t ad alium vt DB ad DS, deter- minatio noua e$t ad priorem vt BH ad BF; $i $it vt TV, ad VB, deter- minatio noua erit ad priorem vt BX ad BF, donec tandem nullus $it globus re$i$tens; neque res aliter e$$e pote$t. <p>Hinc vides duos terminos oppo$itos, qui $unt, nulla re$i$tentia, & infi- nita re$i$tentia; nulla e$t re$i$tentia, cum globus impactus in nullum in- cidit, $ed e$t veluti infinita ce$$io; cum verò globus in corpus immobile impingitur, e$t veluti infinita re$i$tentia ratione huius motus; cum verò globus in alium globum, quem mouet, impingitur, $i vterque æqualis e$t; e$t etiam æqualis ce$$io re$i$tentiæ; igitur globus impactus quie$cit, & hoc e$t iu$tum medium extremorum prædictorum, id e$t, inter nullam ce$$ionem, & infinitam ce$$ionem; media e$t æqualis ce$$io; & inter nul- lam re$i$tentiam & infinitam re$i$tentiam media e$t æqualis re$i$tentia; <pb n=258> re$i$tentia autem con$ideratur in globo impacto, cuius re$i$titur motui; ce$$io verò in alio, qui motui cedit; appello autem infinitam re$i$ten- tiam cui nulla re$pondet ce$$io; nihil enim aliud præ$taret infinita; por- rò cum nulla e$t ce$$io, determinatio noua e$t dupla prioris, vt demon- $tratum e$t $uprà; igitur nihil prioris remanet; cum verò nulla e$t re$i- $tentia, tota prior remanet, & nulla e$t noua: denique cum ce$$io æqua- lis e$t re$i$tentiæ, tantùm remanet prioris quantùm e$t nouæ; igitur vtraque æqualis e$t: Vnde vides, ni fallor, perfectam analogiam, &c. Ob- $erua$ti ni fallor, quod in hac re poti$$imum e$t. Primò, tunc e$$e infini- tam re$i$tentiam, cum nulla e$t ce$$io: vt in corpore reflectente pror$us immobili. Secundò, tunc e$$e infinitam ce$$ionem, cum nulla e$t re$i- $tentia vt in vacuo. Tertiò, æqualitatem ce$$ionis, & re$i$tentiæ æquali- ter ab vtroque di$tare; tantùm enim e$t inter æqualitatem illam, & in- finitam ce$$ionem quantum inter eandem æqualitatem, & infinitam re- $i$tentiam. Quartò ab infinita ce$$ione ad æqualitatem accedere nouam determinationem æqualem priori. Quintò, ab eadem æqualitate ad in- finitam re$i$tentiam tantumdem accedere, ac proinde nouam determi- nationem e$$e duplam prioris; ex quo etiam probatur æqualitas angulo- rum incidentiæ, & reflexionis. <C><I>Theorema</I> 67.</C> <p><I>Si globus maior impingatur in minorem per lineam obliquam $emper re- flectitur, licèt aliquando iu$en$ibiliter, quia fit determinatio mixta ex noua & priore, cuius proportio determinari pote$t</I>; $it enim determinatio noua ad priorem in linea incidentiæ perpendiculari vt C<G>d</G> ad CA fig. Th. 65. <note><I>Fig.</I>23 <I>Tab.</I>3.</note> vel vt AZ ad AF, $it linea incidentiæ obliqua EA producta in B; certè $i determinatio noua per lineam incidentiæ obliquam EA e$t ad priorem, vt AZ ad AF; $umatur B<G>u</G> æqualis AY; ducantur Y<G>u</G> A<G>u</G> dico A<G>u</G> e$$e lineam reflexionis, quia e$t mixta ex AY & AB, vt con- $tat ex dictis; Idem dico de aliis incidentiæ. <C><I>Theorema</I> 68.</C> <p><I>Si globus in æqualem globum impingatur, qui æquali impetu in eum etiam impingitur per lineam connectentem centra</I>; vterque retro agitur æquali pœnitus motu, quo $uam lineam vlteriùs propaga$$et, $i in alterum glo- bum non incidi$$et per Th.137.lib.1.$i autem inæquali impetu mouean- tur, non e$t determinatum $uprà; pote$t autem $it determinari, fig. 1. Tab.1.$it globus A impactus in alium B motu vt 4. codem tempore, quo globus B impingitur in A motu vt 2. certè globus B retrò agetur motu vt 4. quippè $iue moueatur æquali motu, $iue minori, $iue etiam quie$cat, $emper æquali motu à globo A impelletur; quod certè mirabile e$t; pri- mum con$tat per Th. 135.lib. tertium con$tat per Theor.128.lib.1.Igi- tur $ecundum con$tat, $i enim impellitur motu vt 4.dum in contrariam partem mouetur vt 4. multò magis $i tantùm mouetur vt 2. & $i tantùm impellitur motu vt 4. dum quie$cit multò magis motu vt 4. dum in <pb n=259> contrariam partem mouetur motu vt 2. at verò globus A non retroage- tur: motu vt 4. $ed tantùm motu vt 2. vt patet; quippe omninò con$i$teret, $iglobus B nullum præuium impetum habui$$et; $i verò habui$$et mo- tum vt 4. tùm etiam A retroageretur motu vt 4. igitur motu vt duo, $i B impre$$it impetum vt duo. <C><I>Theorema</I> 69.</C> <p><I>Si globus A inæqualem globum impingatur per lineam obliquam, ita vt al- ter in alterum impetu mutuo impingatur, determinari pote$t motus vtriu$que vterque reflectetur</I>; certum e$t, fit enim determinatio mixta ex noua, & priore; igitur e$t motus, quod duobus modis fieri pote$t; primò $i æqua- lis vtriu$que $it motus, $it linea incidentiæ EB producta in L fig.Th.63. <note><I>Fig.</I>22 <I>Tab.</I> 3.</note> per quam globus A ab E proiicitur in globum B; e$tque LB linea in- cidentiæ, per quam globus proiicitur in globum A, ita vt punctum con- tactus $it B, & linea connectens centra ABF; $i globus B con$i$teret in puncto B globus A reflecteretur per lineam BI, vt demon$tratum e$t in Theoremate 63. quia determinatio prior e$t, vt BL, noua vt BG; igitur ex vtraque fit BI; at verò $i globus B imprimat impetum in globo A æqualem quidem, $i linea incidentiæ e$$et perpendicularis, minorem ta- men, quia e$t obliqua qui e$t ad æqualem vt BG ad BF; certè determina- tio noua e$t dupla BG; quippe ratione reflexionis e$t vt BG, ratione impul$ionis vt BG; igitur compo$ita ex vtraque vt B<G>d</G> dupla BG; a$$u- matur LP æqualis; haud dubiè B<G>d</G>, & P<G>d</G> BL; certè determinatio mix- ta ex B<G>d</G>, BL erit BP, quæ erit linea reflexionis. Hinc egregium Corol- larium deduco quod $cilicet reflectatur globus A per angulos æquales, quotie$cunque globo æquali impetu contranitente repellitur; quippe angulus PBF e$t æqualis angulo EBF: alterum etiam deduco, omnes li- neas reflexionis ad quo$cunque angulos $iue rectos, $iue obliquos dum vterque globus mutuo impetu ab æquali potentia in $e$e inuicem impin- guntur, e$$e æquales, quod certè mirabile e$t. Secundò, $i non $it æqualis vtriu$que motus, $ed motus globi DB $it ad motum globi A vt AZ ad AF fig. Th.65.<note><I>Fig.</I>23 <I>Tab.</I>3.</note> res ferè eodem modo determinari pote$t; quippè mo- tus impre$$us à globo B per lineam perpendicularem e$t ad motum im- pre$$um A<note><I>Fig.</I>22 <I>Tab.</I>3.</note> per inclinatam EA vt AZ ad AY; $it autem linea inci- dentiæ DB fig. Th. 63. eiu$dem incidentiæ cum EA fig. Th. 65. igitur globus A incidat per DB, & globus B per MB, ita vt punctum conta- ctus $it B, & linea connectens centra FA; determinatio noua ratione in- cidentiæ e$t vt BH, cui addatur HF æqualis AY fig. alterius ratione motus impre$$i à globo B; tota determinatio erit BF; a$$umatur MT æqualis BF: dico nouam lineam quæ$itam e$$e B<G>q</G> mixtam $cilicet ex BF BM, quod probatur vt $uprà. <C><I>Theorema</I> 70.</C> <p><I>Si duo globi inæquales inuicem impingantur per lineam connectentem cen- tra diuer$imodè po$sũt reflecti</I>; Primò, $i motus vtriu$que e$t æqualis, minor globus retroagetur; accipit enim totum impetum maioris globi, id e$t, <pb n=260> impetum æqualem; igitur retro agitur velociore motu in eadem propor- tione qua alter globus maior e$t altero, v.g. $i maior e$t duplus, retroa- getur motu duplo illius, quo $uum iter pro$equeretur, ni$i maior globus occurreret; at verò globus maior duplus $cilicet alterius non retroage- tur; quippè $i minor globus con$i$teret in puncto contactus, maior glo- bus $uum iter pro$equeretur motu $ubduplo; quippe determinatio noua e$$et $ubdupla prioris, vt patet ex Th.66. $ed accipit etiam impetum $ub- duplum illius, quem habet, igitur determinatio noua e$t compo$ita ex duabus $ubduplis; igitur e$t æqualis priori; igitur nõ retroagetur, $ed con- $i$tet $i duplus e$t; $i verò maior duplo $uum iter pro$equetur $ed minore motu pro rata, $i minor duplo retroagetur. Hinc egregium effatum, $i duo globi in $e $e inuicem allidantur æquali motu, $i maior duplus e$t, con$i- $tet ad punctum contactus; $i maior duplo $uum iter pro$equetur; $i mi- nor reflectetur; quod $i motu inæquali mouentur, vel maior mouetur maiori motu, vel minor; $i maior, minor retroagetur, maior verò vel re- troagetur, vel con$i$tet, vel eadem via mouebitur; retroagetur quidem, $i noua determinatio compo$ita $cilicet ex impetu impre$$o à minore glo- bo, & determinatione reflexionis quam conferet globus minor, etiam$i quie$ceret; $i noua inquam determinatio $it maior priore; con$i$tet verò, $i fit æqualis; $uum denique iter pro$equetur, $i $it minor: quæ omnia ex dictis facilè determinari po$$unt. <C><I>Theorema</I> 71.</C> <p><I>Si verò duo globi inæquales in $e$e inuicem impingantur per lineas obliquas, $unt quoque tres combinationes</I>; vel enim vterque impingitur motu æquali, vel maior globus maiore motu, vel minor; vt autem habeatur linea, $eu determinatio cuiu$libet globi, $upponi debet primò linea incidentiæ al- terius v.g. maioris. Secũdò $upponi debet minor quie$cere. Tertiò, inue- niri noua determinatio, quæ confertur maiori à minore quie$cente, quæ facilè inueniri pote$t cognita determinatione noua, quam conferret $i linea incidentiæ e$$et perpendicularis; Quartò, debet inueniri determi- natio noua quæ confertur à minore maiori ratione impetus, quæ facilè inueniri pote$t cognita determinatione huius impetus per lineam per- pendicularem. Quintò, debet componi determinatio noua ex vtraque. Sextò denique, ex his habebitur determinatio mixta ex hac compo$ita, & linea incidentiæ producta, quod facilè ex dictis intelligitur; $imiliter, vt habeatur reflexo minoris, debent eadem præ$upponi in maiore. <p>Obiiceret hic $ortè aliquis mirari $e quamobrem duo globi æquales in $e$e inuicem æquali motu impinguntur vterque retroagatur, cùm po- tiùs vterque con$i$tere deberet: quemadmodum quie$cit globus cui im- primuntur duo impetus contrarij, hoc e$t ad lineas oppo$itas determi- nati. Re$pondeo cum eodem in$tanti eidem globo duplex ille impetus imptimitur, non videri vllam rationem, cur alter præualeat; at verò vbi iam impetus e$t productus, pote$t ad aliam lineam determinari, vt patet; igitur ratione determinationis nouæ, quæ e$t æqualis priori de$truitur; <pb n=261> igitur, $i nihil aliud e$$et, globus quie$ceret; at verò ratione impetus noui producti ab alio globo, vel eius impetu, retroagitur. <C><I>Theorema</I> 72.</C> <p><I>Pote$t globus retroagi, licèt in aliud corpus non incidat</I>: hoc e$t vulgare, mirificum tamen experimentum,<note><I>Fig.</I>24 <I>Tab.</I>3.</note> $it enim globus ECBL incubans plano horizontali MLG, in quem de$cendat planum, quod ni$i globi re$i$teret materies, re$ecaret $ectionem DHE. Dico quod ab i$to ictu globus determinabitur ad duos motus, alterum centri K ver$us A, alte- rum orbis puncti D $cilicet, vel C ver$us E, ita vt initio motus centri præualeat ver$us A, qui citò de$truitur propter affrictum partium plani; vnde remanet tantùm motus orbis, quo $cilicet globus rotatur ver$us F; nec e$t alia ratio huius experimenti, in quo habetur quædam reflexio $i- ne corpore reflectente: pro quo ob$erua fore vt experimentum meliùs $uccedat, $i cadat ictus propiùs ad punctum C, quia diutiùs voluitur orbis. <C><I>Theorema</I> 73.</C> <p><I>Hinc etiam ratio euidenti$$ima alterius experimenti, quod valdè familiare e$t iis, qui breuioribus globulis ludunt</I>; $i enim ita proiiciatur per medium aëra globulus, vt eius hemi$phærium $uperiùs moueatur contrario motu motui centri, vel vt A$tronomi loquuntur in Antecedentia, vbi globulus terræ planum attingit, vel illico con$i$tit, vel retroagitur, ni$i aliqua portio plani inæqualis aliò reflectat; cuius rei ratio e$t duplex ille mo- tus, quorum $i determinatio æqualis e$t, con$i$tit globus; $i verò determi- natio motus orbis $it maior, quod $emper accidit in breuiore ictu; certè cum præualeat, globum retroire nece$$e e$t. <C><I>Theorema</I> 74.</C> <p><I>Globulus eburneus in alium impactus con$istit quidem $i centrum respicias</I>; at verò $æpè accidit globulum circa centrum $uum immobile motu cir- culari & horizontali ad in$tar vorticis conuolui; cuius effectus ratio e$t, quia cùm prior impetus ideo tantùm de$truatur, quia e$t fru$trà, & fru- $trà e$t, quia æqualis e$t determinatio vtraque per lineas oppo$itas, de- terminatio inquam motus centri; $i tamen globi deficiat æquilibrium, vt $emper reuerâ tantillùm deficit, in partem illam globus voluitur, vt vide- mus in corpore oblongo, cuius dum vna extremitas pellitur circa cen- trum aliquod voluitur; $ed de motu circulari infrà; $ed tanti$per $phæ- ri$terium ingredi placuit, vt alios effectus motus reflexi demon- $tremus. <C><I>Theorema</I> 75.</C> <p><I>Cum pila coniicitur in parietem ad latus, re$ilit in pauimentum, vnde ite- rum repercutitur fallente $altu</I>; ratio e$t clara, quia quadruplici qua$i motu mouetur pila in vltimo $altu; Primus e$t motus centri bis reflexus; <pb n=262> Secundus primus motus orbis, quo $cilicet primum in parietem illi$a e$t, Tertius motus orb<*>s mixtus, quo ex pariete re$i$tit; Quartus denique motus orbis, quo mouetur po$t quàm à pauimento repercu$$a e$t, exem- plum habes in pila rotata per planum horizontale, quæ obliquè in aduer- $um planum impingitur; $tatim enim ob$eruas nouum motum orbismix- tum ex priori & nouo, in quo e$t quidem maxima difficultas; $ed de his motibus mixtis agemus infrà lib. 9. <C><I>Theorema</I> 76.</C> <p><I>Cum pila emittitur rotato $ur$um pilari reticulo $altus vt plurimùm fallit, $ecus verò $i emittatur reticulo deor$um acto</I>; ratio e$t, quia in primo ca$u motus orbis pilæ e$t contrarius motui centri, vt patet; inde fraus $altus, $ecus verò in $ecundo ca$u. <C><I>Theorema</I> 77.</C> <p><I>Cum pila veloci$$imè ita emittitur, vt linea incidentiæ faciat angulum acu- ti$$imum cum pauimento, nullus ferè e$t $altus</I>; quia cum parùm valeat vis reflexiua ad angulum acuti$$imum; quia prior determinatio ferè præua- let, & remanet tota, non quidem intacta, $ed vix $aucia; determinatio motus orbis, qui promouet motum centri, iuuat priorem determina- tionem motus centri; igitur velnullus, vel modicus, i$que celerrimus fit $altus. <C><I>Theorema</I> 78.</C> <p><I>Cum pilacadit obliqua linea in pauimentum non longo à pariete interuallo, in quem linea $ur$um inclinata po$t $altum $tatim impingitur longè altiùs a$cendit pilæ $altus,</I> ratio petitur à noua reflexione, quod facilè e$t. <C><I>Theorema</I> 79.</C> <p><I>Cum pila obliquè cadit in iuncturam parietis & pauimenti, non reflectitur, & tunc maximè fallit $altus</I>; ratio e$t, quia e$t duplex punctum conta- ctus; igitur determinationum nouarum conflictus; quippè paries ver$us pauimentum; hoc verò ver$us parictem repellit; igitur tantùm $upere$t, vt in pauimento rotetur $ine $altu, quod accidit ad omnem angulum in- cidentiæ obliquum, vt patet experientiâ, cuius ratio communis e$t. <C><I>Theorema</I> 80.</C> <p><I>Cum leniore affrictu pilæ funis perstringitur vel, vt aiunt, crispatur, $altus etiam ludentis manum frustratur</I>; quia motus orbis mutatur in illo funds incu$$u, vt patet. <C><I>Theorema</I> 81.</C> <p><I>Denique, cum reticulo motus orbis is a intorquetur, vt vel circulo horizon- tali, vel alteri inclinato $it parallelus, $altus pilæ fallaciæ $ube$t</I>; quippe à priori determinatione motus orbis tuebatur; omitto inæqualitatem pa- uimenti, quæ $altum pilæ $æpi$$imè à $ua linea detorquet; $ed fortè $atis lu$um e$t. <pb n=263> <C><I>Theorema</I> 82.</C> <p><I>Cum planus lapis per lineam incidentiæ valdè obliquæm in $uperficiem aquæ proijcitur, qua$irepit lapis in ip$a $uperficie $eu plurimo $altu di$currit</I>; quia $cilicet modica re$i$tentia $ufficit ad reflexionem, cum angulus in- cidentiæ e$t obliquior, vt con$tat ex dictis; vt tamen longiorem tractum percurrat lapis, ita proiiciendus e$t, vt eius horizonti planior $uperficies $it parallela; immò tantillùm portio anthica attollatur: cur autem, & quomodo re$i$tat $uperficies aquæ, dicemus $uo loco. <C><I>Theorema</I> 83.</C> <p><I>Immò $æpiùs accidit maiorum tormentorum pilas ab aqua reflecti aliquo- ties, vt multis experimentis comprobatum e$t</I>; nec enim ab interiore maris fundo reflecti po$$unt, $ed lineam incidentiæ valdè obliquam e$$e nece$- $e e$t; habes egregium experimentum apud Mercennum in phœn. Balli$t propo$itione 25. ab illu$tri viro petro Petito ob$eruatum, quo duntaxat a$$erit pilam è tormento ferreo 10 pedes longo, & horizontali parallelo emi$$am, quinquies à $uperficie Oceani reflexam fui$$e; $ed de hoc paulò pò$t. <C><I>Theorema</I> 84.</C> <p><I>Addo vnum, quod $æpiùs ob$eruatum e$t in illo iactu planorum lapidum, quòd $cilicet $ub finem iactus qua$i in orbem dextror$um reflectantur</I>; cuius ratio manife$ta e$t motus orbis horizontali parallelus, qui præter motum centri lapidi impre$$us e$t; quia faciliùs de$truitur motus centri, quàm motus orbis; vnde $ub finem hic illum in $uas partes trahit, dextror$um $cilicet, $i dextra proiiciatur lapis; quia duobus primis digitis po$terior lapidis portio $ini$tror$um inflectitur; igitur anterior dextror$um, in quo non e$t difficultas. <C><I>Theorema</I> 85.</C> <p><I>Cum proiicitur globus in aquam per lineam incidentiæ obliquam, $i non re- flectitur ab ip$a $uperficie aquæ; incuruatur eius linea producta per mediam aquam,</I> v.g.<note><I>Fig.</I>25 <I>Tab.</I>3.</note> $it vas ABD G, $olidum aquæ va$e contentum CBDF; li- nea obliqua incidentiæ globi projecti IH, producta HD: dico quod frangetur in H, & qua$i refringetur in HE; experientia certi$$ima e$t; ratio verò e$t, quia cùm vis reflexiua puncti H $it aliqua, hoc e$t, cùm $it aliquid determinationis nouæ, quæ haud dubiè minor e$t priore, debet nece$$ariò mutari linea; quod autem $it aliquid determinationis nouæ in H, patet ex eo quod angulus incidentiæ $it valdè obliquus, reflectitur globus; igitur in altero angulo incidentiæ debet e$$e aliquid nouæ de- terminationis. Secundò, quia plùs re$i$tit aqua, quàm aër; igitur fran- gitur prior determinatio, & hæc e$t vera ratio huius effectus, quem ali- qui ob$eruarunt; Et fortè dici po$$et refractio motus, quæ pror$us e$t contraria refractioni luminis; quippe refractio luminis talis e$t, vt radius primo medio raro in den$um incidens incuruetur ad perpendicularem, cum tamen linea motus obliquè incidens è medio raro in den$um incur- <pb n=264> uetur à perpendiculari: An fortè etiam ex hoc phænomeno duci pote$t vera men$ura, $eu regula refractionum, quod ingenio$i$$imè excogitauit vir illu$tris Renatus De$cartes in $ua Dioptrica; $ed di$crimen maximum e$t, quòd luminis diffu$io $eu propagatio nullum dicat motum localem, vt $uo loco demon$trabimus; quippe lumen qualitas e$t, vt impetus; quod tamen ad rem præ$entem nihil pror$us facit. <C><I>Theorema</I> 86.</C> <p><I>Linea refractionis motus non e$t recta ($ic eam deinceps appellabimus.)</I> Cũ enim ideo deflectat à recta HD, quia planũ in H re$i$tit motui globi; igitur etiam in K deflectet à recta KE, quia etiam medium in K re$i$tit. <p>Ob$eruabis tamen primò, vix hoc di$cerni po$$e, ni$i $it maxima vis motus; quippe grauitas corporis defert corpus deor$um; vnde vis illa grauitationis impedit, ne corpus reflectat $eu re$iliat $ur$um Secundò, $i corpus in aquam projectum $it leuius aqua, non modò hæc refractio $en- $ibilis e$t, verùm etiam illa perpetua refractionum $eries, quia aqua $em- per attollit $ur$um corpus leuius. Tertiò, in corpore oblongo hoc expe- rimentum maximè probatur, quia plures partes aquæ $imul reflectunt. <C><I>Theorema</I> 87.</C> <p><I>Linea motus refracti non e$t recta,</I> prob. quia cum in $ingulis punctis aquæ ferè mutetur, curuam e$$e nece$$e e$t. <C><I>Theorema</I> 88.</C> <p><I>Hinc optima ratio ducitur, cur globus ex tormento excu$$us ad angulum incidentiæ valdè acutum $uperficiem aquæ penetret</I>; ex qua denuò emergit qua$i per arcum primum deor$um; tùm demum $ur$um inflexum immò plures accidunt huiu$modi repetitæ emer$iones: hinc valdè falluntur, qui credunt ab ip$o fundo maris globum repercuti; quod plu$quàm ri- diculum e$t; hoc quoque experimentũ in projectis $axis $æpiùs ob$eruaui. <C><I>Theorema</I> 89.</C> <p><I>Hinc cum $axa planiora $unt in medio aëre $imile ob$eruari pote$t experi- mentum</I>; nam po$t aliquem de$cen$um iterum a$cendit $axum; nec e$t quod aliquis vento flanti cau$am huius effectus tribuat, qui $emper acci- dit etiam valdè $ereno cœlo. <C><I>Theorema</I> 90.</C> <p><I>Hinc cau$a euidens illius a$cen$us $agittæ quamtumuis per lineam horizon- si parallelam emitatur</I>; quippè ab aëre inferiori qua$i repercutitur, ali- quid $imile coniicio in glandibus ex tormento explo$is; e$t enim aliquis quamuis in$en$ibilis a$cen$us; hinc fortè ratio, cur in $copum lineas di- rectionis horizonti parallelæ re$pondentem globus incidat, cùm infra $copum cadere deberet, vt reuerâ fit in notabili di$tantia propter mo- tum mixtum; exemplum huius effectus clariffimum video in illis auicu- lis, quæ per $altus, vel arcus huiu$modi volant; primò enim de$cendere videntur, $ed vix a$cendunt. <pb n=265> <C><I>Theorema</I> 91.</C> <p><I>Pote$t determinari proportio anguli huius refractionis motus, $i cogno$catur re$i$tentia, qua medium re$istit perpendiculari</I>; v. g. $i globus plumbeus ex aëre perpendiculariter cadat in $uperficiem aquæ, haud dubiè ip$am aquam $ubit, $ed minore motu; quippe frangitur ab ip$a den$itate aquæ vis primi impetus, quo $cilicet per liberiorem aëra priùs ferebatur: vnde $i habeatur proportio re$i$tentiæ aquæ po$ita linea incidentiæ perpendi- culari, non e$t dubium, quin habeatur etiam re$i$tentia po$ita linea in- cidentiæ obliqua; nam eodem modo hoc determinandum e$t, quo $uprà determinatum fuit Th. 66. 67. v. g. in fig. Th. 65. determinatio noua po$ita perpendiculari<note><I>Fig.</I>23 <I>Tab.</I>3.</note> $it ad priorem vt AZ ad AF, ita vt per mediam aquam conficiat tantùm $patium A<G>d</G> v. g. eo tempore, quo in libero aë- re conficit AC; certè $i linea incidentiæ $it inclinata EA, determinatio noua erit ad priorem, vt AY ad AE, vel AB; igitur fiet mixta ex AY AB, $cilicet A<G>u</G>; non tamen eo tempore conficiet A<G>u</G>, quo conficiet A<G>d</G>; quia $cilicet omnes partes aquæ re$i$tunt, vt con$tat; igitur con- ficietur A <*> æqualis A<G>d</G>; quæ porrò $it proportio re$i$tentiæ, quæ mobi- le retardat in aqua, & re$i$tentiæ, quæ idem retardat in aëre determina- ri non pote$t, ni$i primò cogno$catur proportio grauitatis vtriu$que. Secundò, ni$i $ciatur in quo po$ita $it hæc re$i$tentia: Tertiò, ni$i per- $pectum $it, an maiore nexu partes aquæ inter $e copulentur, an mino- re, vel æquali, de quo alias. Equidem P. Mer$ennus lib.1.a.15. $uæ ver- $ionis a$$erit corpus graue per mediam aquam conficere 12. pedes $patij eo t&etilde;pore, quo 48. percurrit in aëre, id e$t, tempore duorum $ecundorum. <p>Ob$eruabis autem hîc tantùm con$ideratam fui$$e lineam A<G>q</G> rectam $ine noua determinatione, quæ $cilicet in$en$ibilis e$t, quando linea in- cidentiæ non e$t tam obliqua, nec impetus tantarum virium. Denique ob$eruabis cognito vno angulo motus refracti ad datum angulum inci- dentiæ cogno$ci facilè quemlibet alium, qui alteri angulo incidentiæ re- $pondeat, vt patet ex dictis: Vtrum verò anguli refractionum motus ex aëre in aquam $int iidem cum angulis refractionum luminis ex aqua in aëra, examinabimus alibi: hæc interim $ufficiant de motu refracto; quem tamen adhuc reflexum e$$e contendo, immò nulla e$t refractio in motu, quæ non $it reflexio, & nulla reflexio in lumine, quæ non $it refractio, de quo fusè alibi. <C><I>Theorema</I> 92.</C> <p><I>Aqua, quæ cadit in planum durum re$ilit in mille partes quoquo ver$um</I>; non certè, quòd partes inferiores pellantur à $uperioribus, vt volunt ali- qui; $ed quòd facilè $eparentur partes aquæ; vnde non mirum e$t, $i vel modico impetu di$pergantur; quippe, vt corpus aliquod reflectatur in- tegrum, id e$t $ine partium di$per$ione, debet re$i$tentia vnionis partium e$$e maior tota vi impetus ad nouam lineam determinati; cur verò po- tiùs vna guttula dextror$um repercutiatur, quàm $ini$tror$um; certè alia ratio e$$e non pote$t, ni$i primò diuer$a figura tùm aquæ impactæ, tùm <pb n=266> plani reflectentis; Secundò aër re$iliens; Tertiò $ectio ip$a, vt $ic lo- quar, diui$ionis, $eu conflictus aliarum partium: idem, cæteris paribus, de lapide, cuius mille particulæ re$iliunt. <C><I>Theorema</I> 93.</C> <p><I>Globus reflectens, qui ab ictu alterius mouetur, non mouetur ip$o instanti con- tactus</I>; prob. quia eo primum in$tanti ab alio globo accipit impetum; $ed primo in$tanti, quo e$t impetus, non e$t motus, vt demon$tratum e$t lib. 1.igitur globus reflectens, &c. mouetur tamen. Secundò in$tans; vnde vno tantùm in$tanti contactus e$t. <C><I>Theorema</I> 94.</C> <p><I>Hinc colligo produci illum impetum ip$o in$tanti contactus</I>; alioqui in$tan- ti $equenti non e$$et motus; immò daretur quies in puncto reflexionis; quippe, $i tantùm $ecundo in$tanti produceretur, fieret contactus in duo- bus in$tantibus; igitur e$$et quies. <C><I>Theorema</I> 95.</C> <p><I>Figura corporis impacti variare pote$t reflexionem</I>; $i enim corpus impa- ctum $it parallelipedum v. g. multiplex e$$e pote$t reflexionis variatio pro diuer$o appul$u, vt con$ideranti patebit. <C><I>Theorema</I> 96.</C> <p><I>Si impetus e$$et tantùm determinatus ad vnam lineam; nulla daretur re- flexio</I>; patet, quia nulla daretur cau$a reflexionis, quæ tantùm e$t impe- tus prior ad nouam lineam determinatus ratio plani oppo$iti. <C><I>Theorema</I> 97.</C> <p><I>Quò angulus incidentiæ e$t obliquior, faciliùs fit reflexio</I>; quia minor por- tio impetus de$truitur quamuis per accidens; igitur motus propagatur faciliùs; adde quod noua determinatio minùs recedit à priori. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Primò ob$eruabis cau$æ reflexionis e$$e multaplices; $cilicet planum reflectens, priorem impetum permanentem, nouam determinationem: in plano verò reflectente con$iderantur impenetrabilitas, durities, & im- mobilitas: in priore impetu con$ideratur capacitas ad nouam lineam motus, & $ufficiens inten$io ad hoc, vt aliquid impetus ab ictu vel con- tactu remaneat; denique noua determinatio, $i radius incidentiæ $it perpendicularis, debet e$$e maior priore; alioqui nulla erit reflexio; $i verò linea incidentiæ $it obliqua, pote$t e$$e maior, vel minor, vel æqualis. <p>Secundò ob$eruabis veri$$imam cau$am reflexionis po$itam e$$e in de- terminatione noua, tatione cuius pote$t e$$e motus; igitur impetus non e$t fru$trà; igitur non debet deftrui $ecundùm illam portionem, quæ non e$t fru$trà. <pb n=267> <p>Tertiò, quod $pectat ad æqualitatem anguli reflexionis, & anguli in- cidentiæ, non e$t alia huius æqualitatis ratio præter illam, quam attuli- mus; nec e$t quod aliqui aliam rationem commini$cantur, cuius prin- cipia the$im ip$am $upponunt; nam primò $upponunt omnem virtutem quantumuis impeditam eniti maximè quantum pote$t, vt producat ef- fectum $ecundùm inten$ionem agentis; cùm fortè Geometra admitte- ret hoc principium $ine alia probatione: an fortè virtus ip$a cogno$cit intentionem, agentis, id e$t impetus potentiæ motricis? numquid impe- tus ip$e determinari debet ab ip$a potentia motrice? numquid e$t deter- minatio noua à plano reflectente? an fortè potentia motrix intendit motum per aliam lineam, quàm per lineam incidentiæ? cum ip$a linea reflexionis $emper accidat præter intentionem potentiæ motricis natu- ralis; denique licèt hoc totum verum e$$et, vnde probatur po$$e impe- tum ad angulum reflexionis æqualem $e ip$um determinare? Secundò, $upponunt impetum e$$e indifferentem ad diuer$as lineas, quod $anè ve- rum e$t; probarc tamen deberent, & di$cernere impetum innatum ab omni aliò, at, e$to id verum $it; cur potiùs determinatur ad lineam quæ faciat angulum æqualem, quàm inæqualem angulo incidentiæ? ex hoc enim principio non probatur hæc æqualitas. <p>Tertiò, $upponunt dextra fieri $ini$tra in reflexione, & transferri an- gulos, idque in eodem plano; benè e$t; rem factam $upponunt, quam nemo negat; $ed propter quid fiat demon$trandum e$$et; $i enim quæ- ram, cur in eodem plano $int radius incidentiæ. radius reflexus, & $e- ctio communis plani reflectentis? non video quonam modo demon- $trent. Dicent fortè, quia ita fit in lumine; belle! ob$curum per ob$cu- rius; quippe ratio reflexionis clarior e$t in motu, quàm in flumine, vt $uo loco videbimus; igitur negari po$$et de lumine, licèt verum $it, do- nec $it demon$tratum; immò quamuis probatum e$$et de lumine, quis vnquam deduxit à pari argumentum demon$tratiuum? Dicent non e$$e potiùs rationem, cur fiat per vnum planum ex aliis infinitis, quàm per aliud; benè e$t, iam vtuntur illa negatiua ratione, quam paulò antè re- $puebant, licèt optima $it, nec quidquam in contrarium afferunt; at $o- litariam e$$e non oportet; quippe vt iam $uprà monui, effectus po- $itiuus per principium po$itiuum ad $uam cau$am reducendus e$t. <p>Denique dicent hanc e$$e demon$trationem <I>Aristotelis in Problematis $ect.</I>17.<I>Probl.</I>13. quod vt palam fiat, textum ip$um de$cribo, <I>quamobrem,</I> inquit, <I>corpora, quæ feruntur, vbi alicubi occurrerunt, re$ilire in partem con- trariam $olent, nec ni$i ad $imiles angulos, an quod non $olum eo feruntur im- petu, quo pro $ua parte ip$a fieri apti$$ima $unt, verùm etiam illo, qui à mittente profici$citur; $uus igitur ce$$at cuique impetus, cum $uum ad locum peruene- rint, omnia namque requie$cere $olent vbi in eam $edem $e$e contulerunt, quam $uapte naturâ de$iderant; $ed externo illo, quem babent, impetu nece$$it as ori- tur amplius mouendi; quod cùm in partem priorem effici neque at, quia re pro- hibetur objecta, vel in latus, vel in rectum agi nece$$e e$t; omnia autem in an- gulos re$iliunt $imiles, quoniam eodem ferri cogantur, quò motus ducat; quem</I> <pb n=268> <I>is dedit, qui mi$erit; eo autem vt angulo, vel acuto, velrecto ferantur omninò incidit; vt igitur in $peculis extremum lineæ rectæ, &c. itaquæ feruntur, &c. cum angulo tanto retorqueantur, quanto vertex con$titerit,</I> &c Sed quæ$o, quis vmquam agno$cet demon$trationem in mera comparatione præ$ertim in problematis quorum rationes Ari$toteles, vel alter, vt aliqui volunt, illorum auctor dubitanter tantùm proponit? Igitur vix au$im a$$erere ab Ari$totele hoc ip$um fui$$e demon$tratum; $ed aliam demon$trationem aggrediuntur, pro qua $upponunt primò determinationem e$$e formam, $eu formalitatem, $eu connotationem; quam parùm hæc phy$icam $a- piunt, & demon$trationem olent! Secundò, vnumquodque per $e deter- minare ad aliud, ad quod e$t determinatum, & determinationem fieri per id, quod e$t maximè determinatum; quia propter quod vnumquod- que tale e$t, & illud magis; quam debile fulcrum! Tertiò $upponunt, principium determinans effectum $ecundum genus, & $peciem $imilem $ibi reddere in vtroque, etiam Logicè; Quartò, $upponunt ex duobus indeterminatis po$$e fieri determinatum; quid inde? Quintò, $uppo- nunt angulum reflexionis determinari ab angulo incidentiæ; $ed hæc e$t the$is. Ex his principiis primò concludunt reflexionem fieri per angulos æquales, idque in eodem plano; $cio quidem de re quod $it, $ed non vi- deo demon$trari propter quid $it ex his principiis, vt con$ideranti pate- bit; ncc e$t quod vlteriùs in iis refutandis immoremur; præ$ertim cùm rem hanc acurati$$imè demon$trauerimus $uprà; $ed antequam ab hoc motu reflexo di$cedam, alia demon$tratio reiicienda e$t, quæ $ic propo- nitur<note><I>Fig.</I>21 <I>Tab.</I> 3.</note> $it planum reflectens immobile, MR, $it linea incidentiæ KD; hæc e$t, vt aiunt, determinatio mixta ex duabus K<G>b</G>, K<G>q</G>: hoc po$ito, li- nea reflexa erit DX, mixta $cilicet ex D<G>q</G> D<G>u</G>; $ed profectò non video, nec $entio vim huius determinationis; primò enim nego motum per KD e$$e mixtum; e$t enim tantùm vnicum principium determinationis; igitur vna tantùm e$t determinatio; nam primò hæc cadem linea KD po$$et e$$e mixta ex pluribus aliis; quippè po$$unt e$$e infinita Paralle- logrammata, quibus hæc diagonalis KD communis e$$e po$$it; cur au- tem potiùs erit diagonalis vnius quàm alterius. Secundò, $i cadat deor- $um corpus graue impingaturque in planum inclinatum, nunquid e$t motus $implex, & purus naturalis? quis e$t qui hoc neget, $i terminos ip$os capiat? $ed dicunt, $i proiiciatur mobile per inclinatam in planum horizontale, e$t motus mixtus ex naturali accelerato, & impre$$o; equi- dem hic motus mixtus e$t, $ed tota linea curua; quæ non e$t parabolica, vt con$tat ex dictis $uprà lib.4.non facit lineam directionis, $ed vltimum illius $egmentum, $eu vltima Tangens, quæ tanquam recta a$$umitur: præterea quis vmquam lineam incidentiæ a$$ump$it ni$i rectum? igitur licèt linea incidentiæ po$$it e$$e mixta ex duabus aliis, quod negari non pote$t; pote$t tamen e$$e $implex, quod nemo etiam negabit; igitur hoc ip$um nihil facit ad hanc incidentiæ lineam; igitur illud primum an- tecedens e$t falium, inquo habetur lineam incidentiæ e$$e mixtam; quia cùm debeat e$$e vniuer$ale, vt $cilicet vniuer$aliter concludat; certè, $i <pb n=269> vniuer$ale e$t, fal$um e$$e con$tat; addunt aliqui e$$e mixtam æquiualen- ter. Tertiò, cum $it eadem potentia motrix applicata, tùm in K, tùm in A; certè debet e$$e idem impetus; cum autem duæ lineæ K <G>q</G> K <G>b</G> repræ- $entent duos impetus, qui concurrunt ad motum mixtum per KD (nam hoc ip$i dicunt) certè duo ABAP $imul $umpti æquales e$$e deberent duobus K <G>q</G> K <G>b</G>, quod fal$um e$t; quia KD $it 4. $itque angulus GDK 30.grad. K <G>q</G> e$t 2. igitur collecta <G>q</G> K <G>b</G> e$t 6. & eius quadratum 36. at verò quadratum AB e$t 18. ergo quadratum collectæ ex ABAP e$t 32. igitur illa maior e$t. <p>Sed iam ad aliam propo$itionem venio, in qua dicitur linea reflexio- nis DX e$$e mixta ex D <G>q</G> D <G>u</G> quod fal$um e$t; nam primò hoc dicis, hoc proba po$itiuo argumento: Dices, quia non pote$t aliter explicari æqualitas anguli reflexionis; bellè! nego antecedens; nam licèt nondum verus illius modus explicatus non e$$et, proba tuum e$$e verum. Secundò vel aliquid prioris determinationis manet, vel nihil; non primum, vt ip$i volunt; alioqui DX e$$et mixta ex tribus $cilicet DQ, D <G>q</G>, D <G>u</G>, quod ab$urdum e$t; quod $i nihil remaneat prioris determinationis; ergo ni- hil prioris impetus, quod etiam concedunt; igitur producitur nouus, $ci- licet propter compre$$ionem aëris, corporis reflexi, & reflectentis; $ed profectò, licèt hoc totum verum e$$et, cùm illa compre$$io fieret in linea quæ per centrum globi producitur, $cilicet à puncto contactus, $cilicet in linea DG; certè per illam fieret repercu$$io; Tertiò tunc maxima e$t percu$$io, cum linea incidentiæ e$t perpendicularis; igitur tunc e$$e de- bet maxima vis compre$$ionis; igitur maxima vis repercu$$ionis, $ed e$t tantùm vt DG; at verò, $i linea incidentiæ $it AD, vis repercu$$ionis erit, vt collecta ex DFDP quæ maior e$t priore. Quartò, cur DX erit potiùs mixta ex duabus D <G>q</G>, D <G>u</G>, quàm ex duabus aliis? Quintò, perinde $e habet planum reflectens, atque $i globum ip$um pelleret, cùm nihil de- terminationis prioris remaneat, vt ip$i volunt, $ed pelleret per ip$am DG. Sextò, proba argumento po$itiuo e$$e mixtam DX ex D <G>u</G>, D <G>q</G>; nam hoc reuerâ fingis $ine ratione. Septimò, præterea $i corpus e$$et duri$$i- mum minùs reflecti po$$et à plano duri$$imo, $i nulla fieret compre$$io. Octauò proba mihi impetum priorem de$trui per $e; nam cùm $it indif- ferens ad omnes lineas, nunquam de$truitur, ni$i $it fru$trà; hic autem fru$trà non e$t: Itaque manife$tum efficitur, non modò ex his principiis non demon$trari æqualitatem anguli reflexionis, $ed ne argumento qui- dem probabili comprobari; quia tamen in no$tra demon$traticne multa $unt, quæ ip$is non probantur, breuiter recen$eo. <p>Suppono primò, planum reflectens e$$e principium nouæ determina- tionis, quod nemo inficiabitur. Secundò, e$$e tantùm principium vnius determinationis quia vnum principium e$t. Tertiò, per quamcunque li- neam incidat globus in punctum D plani $cilicet immobilis, e$t $emper idem punctum contactus & eadem Tãgens. Quartò, à puncto contactus globi duci tantùm po$$e vnicam lineam ad centrum. Quintò, cum deter- minationis terminus à quo $it illud punctum contactus, per illam tan- <pb n=270> tum lineam fieri pote$t; nam perinde $e habet globus ille, atque $i re- pelleretur à plano; nec alia e$$e pote$t linea directionis globi, vt fusè probauimus, cum de impetu; nec in hoc e$t vlla difficultas, quia cen- trum grauitatis dirigit lineam motus; hoc po$ito. <p>Si nulla e$$et determinatio præter hanc, haud dubiè globus per DG moueretur, vt reuerâ $it cum linea incidentiæ e$t perpendicularis; quia duæ lineæ oppo$itæ non faciunt determinationem mixtam; $ecus verò omnes alias; cum igitur globus prædictus reflectatur per DX, illud $it nece$$ariò per determinationem mixtam, quod etiam fatentur omnes: mixta e$$e non pote$t ni$i ex duabus $it, vnica tantùm à plano reflecten- te e$t, $cilicet per DG; igitur altera e$$e debet, cáque prior per KDQ; cùm enim prior determinatio $upponatur, vt KD vel vt DQ: e$t enim $emper eadem, & cùm noua $it per DG, po$ita diagonali DX, quis non videt e$$e mixtam ex DQ & DZ æquali QX? nam perinde $e habet globus in D, atque $i pelleretur hinc per DQ, hinc per DZ, ita vt impe- tus e$$ent vt lineæ DZDQ. <p>Ex his concludo determinationem nouam e$$e ad priorem po$itâ li- neâ incidentiæ KD, vt DZ vel QX ad DQ; po$itâ verò lineâ inciden- tiæ AD, vt EH ad DE; denique in perpendiculari GD, vt <G>d</G> G ad DG, id e$t, in ratione dupla; & nemo e$t meo iudicio, qui rem i$tam attentè con$iderans non concedat vltrò de re quod $it, ex hypothe$i æqualitatis angulorum reflexionis cum aliis incidentiæ; vt autem demon$tretur propter quid $it, aliud principium adhibendum e$t, quod fusè præ$titi- mus $uprà. Sed obiiciunt i$tam determinationem nouam quæ fit à plano e$$e fictitiam, & chymericam; $ed meo iudicio chymeram facit, qui rem tam claram non capit; cum enim non negent nouam determinationem e$$e in motu reflexo, nam impetus e$t indifferens, vt $uprà probatum e$t abundè, & ex motu funependuli euincitur; certè $i noua e$t, à plano e$t: $ed à plano e$t per ip$am perpendicularem vt demon$tratum e$t $uprà; igitur hæc noua determinatio fictitia non e$t. <p>Sed dicunt ab eodem plano e$$e non po$$e determinationem inæqua- lem; quia idem principium eundem effectum habet. Re$p. negando ante- cedens; cùm enim pro diuer$a re$i$tentia diuer$a $it determinatio, & cùm planum prædictum modò plùs, modò minùs re$i$tat; quid mirum $i diuer$a $it etiam determinatio? <p>In$tant, lineam determinationis eiu$dem impetus e$$e $emper æqua- lem. Re$p. negando; quia idem impetus ad duas lineas pote$t determi- nari $imul, quæ faciant determinationem mixtam; vnde licèt idem im- petus habeat eandem lineam $patij, non tamen eandem lineam determi- nationis. v.g. quando dico determinationem nouam in perpendiculari e$$e ad priorem vt DY ad DG; non dico propterea DY e$$e lineam $pa- tij; $ed cùm duæ determinationes comparantur, a$$umi po$$unt lineæ, quæ de$ignent proportionem $eu rationem determinationum, quid fa- cilius? <p>Quæres, quid $it illa determinatio: facilis quæ$tio. Re$p. e$$e ip$um <pb n=271> impetum cum habitudine actuali ad talem vel talem lineam; quod au- tem po$$it e$$e plùs vel minùs determinatus ad vnam, quàm ad aliam, du- bium e$$e non pote$t, nec in dubium reuocari, & benè di$tinguitur li- nea quanta in ratione determinationis, & quanta in ratione $patij: immò hoc ip$i $upponunt; nam $i KD e$t mixta ex K <G>b</G> & K <G>q</G>, quis non vi- det e$$e eundem impetum cum determinatione duplici inæquali? præ- terea, quis neget globum impactum perpendiculariter in alium æqua- lem quie$cere? cur verò quie$cit, ni$i quia impetus e$t fru$trà; cur autem e$t fru$trà, ni$i quia cum determinatio noua $it æqualis priori? $ed de his $atis. <FIG> <pb n=272> <FIG> <C>LIBER SEPTIMVS, <I>DE MOTV CIRCVLARI.</I></C> <p>CVM in naturaminimè de$ideretur motus cir- cularis, eius affectiones breuiter in hoc libro demon$trantur. <HR> <C><I>DEFINITIO 1.</I></C> <p><I>MOtus circularis e$t, cuius linea æqualiter in omnibus $uis punctis à com- muni centro distat.</I> v. g. $i punctum in periphæria circuli moue- retur. <C><I>Definitio</I> 2.</C> <p><I>Radius motus e$t linea recta ducta ab illo communi centro ad periphæ- riam.</I> <C><I>Definitio</I> 3.</C> <p><I>Arcus e$t pars periphæria maior, vel minor.</I> <C><I>Definitio</I> 4.</C> <p><I>Tangens e$t linea, quæ tangit periphæriam in vnico puncto, quam tamen non $ecat</I>; hæc omnia clara $unt, immò vulgaria. <C><I>Hypothe$is</I> 1.</C> <p><I>Si dum rota vertitur imponatur eius $umma $uperficiei aliquod mobile, proijcitur à rota, $eu potiùs amouetur</I>; res clara e$t in molari lapide, in funda, &c. <C><I>Axioma</I> 1.</C> <p><I>Illa mouentur æqualiter, quæ temporibus æqualibus aqualia $patia percur- runt; inæqualiter verò qua inæqualia; qua maiora, celeriùs; tardiùs, qua minora.</I> <C><I>Axioma</I> 2.</C> <p><I>Qua $imul incipiunt moueri, & de$inunt, aquali tempere mouentur.</I> <pb n=273> <C><I>Theorema</I> 1.</C> <p><I>Datur motus circularis.</I> Probatur infinitis ferè experimentis; primò in librâ cuius brachia motu tantùm circulari de$cendunt. Secundò in ve- cte, qui etiam mouetur circulari motu; Tertiò in turbine, rota molari, liquore contento intra vas $phæricum; Quartò in funependulo vibrato. Probatur $ecundò; quia pote$t imprimi impetus vtrique extremitati ci- lindri in partes oppo$itas, $it<note><I>Fig.</I>24 <I>Tab.</I> 3.</note> enim cilindrus, vel parallelipedum LC, cuius extremitati imprimatur impetus, per lineam CP, itemque extre- mitati L æqualis per lineam LG oppo$itam CP. Dico, quod mouebitur circulariter circa centrum K, ita vt extremitas L conficiat arcum LB & C arcum CE; nec enim C moueri pote$t per CP neque L per LM; quippe cùm $it æqualis impetus, neutra extremitas præualere pote$t: non vtraque, quia MP e$t maior LC; nec dici pote$t neutram moueri, cum moueri po$$it L per arcum LT, & C per arcum CS; quippe impetus e$t indifferens ad omnem lineam; & hæc e$t ratio à priori circularis motus de qua fusè infrà. <p>Ob$eruabis motum circularem ab iis negari, qui ex punctis mathema- ticis continuum componunt; quia ex eo $equeretur non po$$e dari mo- tum continuum velociorem, vel tardiorem, quod ridiculum e$t; $i enim punctum Q æquali tempore moueatur cum puncto C certè arcus QR quem percurrit eo tempore, quo C percurrit arcum CS, e$$et æqualis arcui CS, quod e$t ab$urdum; quod certè ne admittere cogantur, mo- tum circularem negant, quod æquè ab$urdum e$t; præ$ertim eum ad vi- tandum motum circularem infinita quoque ab$urda deglutiant, ma- nife$tis experimentis contradicant, oculos ip$os intuentium præ$tigiis illudi a$$erant, ferreum vectem dum mouetur in mille partes diffringi etiam iurent; $ed hæc omitto. <C><I>Theorema</I> 2.</C> <p><I>Ni$i impediretur impetus determinatio per lineam rectam, non daretur mo- tus circularis $altem in $ublunaribus.</I> v. g. ni$i impediretur determinatio impetus, qui ine$t puncto L per lineam LM; haud dubiè non mouere- tur per arcum LB, $ed per rectam LM; igitur ille motus non e$$et cir- cularis. <C><I>Theorema</I> 3.</C> <p><I>Hinc motus circularis oritur ex recto impedito in $ingulis punctis</I>: dixi in $ingulis punctis; quia licèt in puncto L impediretur, non tamen in $e- quenti; e$$et quidem noua linea determinationis, non tamen curua; $i tamen in $ingulis punctis impediatur æquali $emper radio, haud dubiè e$t circularis. <p>Ob$eruabis dictum e$$e $upra in $ublunaribus quia corpora cœle$tia mouentur motu circulari non habita vlla ratione motus recti, de quo $uo loco. <pb n=274> <C><I>Theorema</I> 4.</C> <p><I>Hinc $ingulis instantibus punctum dum mouetur circa centrum</I> K <I>deter- minatur ad nouam lineam</I>; quia $cilicet $ingulis in$tantibus impeditur; igitur $ingulis in$tantibus nouam determinationem accipit; e$t enim ea- dem ratio pro $ecundo in$tanti, quæ e$t pro primo, itemque pro tertio, quarto, &c. <C><I>Theorema</I> 5.</C> <p><I>Hinc tot $unt determinationes $ingulis in$tantibus re$pondentes, quot $unt Tangentes in circulo</I>; quippè in $ingulis punctis determinatur ad Tan- gentem; $ed impeditur denuò pro $equenti in$tanti; igitur ad nouam Tangentem determinatur; e$t autem hæc veri$$ima motus circularis ra- tio; quod $cilicet cum $ingulis in$tantibus æqualiter impediatur motus rectus; quia altera mobilis extremitas accedere non pote$t, $ingulis quo- que in$tantibus ad nouam Tangentem determinatur æquali $emper ra- dio; vnde nece$$ariò $equitur motus circularis. <C><I>Theorema</I> 6.</C> <p><I>Hinc reiicies aliquem recentiorem, qui vult motum circularem e$$e mixtum ex duobus rectis, quorum alter $it vt $inus recti, alter verò vt $inus ver$i,</I> $it enim quadrans KCE; $it impetus per EK, & per EO, vel duplex, vel idem determinatus ad duas i$tas lineas, ita vt determinatio per EK $it ad determinationem EO, vt $inus ver$i ad rectos. v. g. a$$umpto arcu EM, vt EN ad NM; certè hoc po$ito debet moueri punctum E per li- neam circularem EMC. Equidem $i e$$et duplex impetus, vel vnus tan- tùm cum duplici illa determinatione, ex eo $equeretur motus circularis mixtus ex duobus rectis; $icut rectus pote$t ex duobus circularibus ori- ri, vt dicemus aliàs; non tamen inde $equitur omnem motum circula- rem e$$e mixtum ex duobus rectis, quod nemo non videt: quippe po$ito quòd radius KE $it affixus immobiliter centro K, licèt pellatur tantùm, per Tangentem EO etiam cum valido impetu, nihilo tamen minus mo- tu circulari mouebitur: Adde quod difficile e$$et duos impetus ita attem- perare, vt cre$ceret vnus in ratione $inuum ver$orum, & alter in ratione $inuum rectorum; nec enim motus illi recti, ex quibus circularis qua$i na$ceretur, æquales e$$e po$$unt; igitur $ufficit vnius impetus ad vnam tantùm lineam primo in$tanti determinatus v.g. ad Tangentem EO, qui ratione impedimenti in K $uum effectum habere non pote$t, $ed reduci- tur continuò ver$us K æquali $emper di$tantia; ex quo $equitur nece$$a- riò motus circularis, $cilicet ex illa qua$i funis adductione; $i enim ex puncto K laxaretur habena $egmentis æqualibus; differentiæ $inus totius & $ecantis v. g. $egmento VO in arcu EP; certè E moueretur per rectam EO. <C><I>Theorema</I> 7.</C> <p><I>Hinc optimè intelligitur ratio hypothe$eos primæ</I>; $i enim punctum E $epara- <pb n=275> retur à recta EK eo in$tanti, quo imprimitur impetus; haud dubiè per rectam EO moueretur; quia $cilicet impetus puncti E determinatus e$t in puncto E ad motum per Tangentem EO; & $i nullum e$$et impedi- mentum per rectam EO, moueretur; atqui $i $eparetur punctum E, ce$- $at impedimentum, vt patet; nec enim amplius retinetur ex puncto K; igitur ce$$at ratio motus circularis; igitur motu recto per rectam EO mouebitur; $ic lapis impo$itus rotæ dum maximo cum impetu vertitur, per Tangentem proiicitur; $ic gutta aquæ, quæ cadit in volubilem tro- chum etiam di$pergitur; $ic rota ip$a, cuius aliqua pars præ nimia vi motus diffringitur, illam qua$i proiicit per rectam; hinc ratio vnica proiectionis quæ fit operâ fundarum; $it enim funda KE vel KL, quæ moueatur per arcum LE; certè, $i lapis demittatur in puncto E, lapis proiicietur per rectam LO; nec enim ad aliam lineam lapis, dum e$t in puncto E, e$t determinatus, ni$i ad Tangentem EO, ad quam dumtaxat impetus puncti EA e$t determinatus; in hoc igitur Fundibularij tan- tùm in$i$tit indu$tria, quâ $cilicet $axum in funda rotatum $copum cui de$tinatur, attingat, vt illam Tangentem inueniat quæ à prædicto $copo in circulum, quem $uo motu de$cribit, funda ducitur. v.g. $it radius fun- dæ KL hypomoclium K, circulus quem de$cribit funda LEC; $it $co- pus O, ducatur tangens EO; certè, $i vbi funda peruenit in E, dimit- tat lapidem, prædictum $copum non illicò feriet; hinc etiam ratio, cur in naui dum motu recto mouctur facilè con$i$tamus; cum tamen (quod in longioribus illis nauiculis facilè contingere pote$t) $i circa centrum $uum nauis vertatur, quod accidit cum vtraque extremitas in partes op- po$itas, vel remo, vel pertica pellitur, nec in ca con$i$tamus. <C><I>Theorema</I> 8.</C> <p><I>Si rota plana in circulo horizontali voluatur, $itque pondus plano rotæ incu- bans, in eo producetur impetus</I>; vt certum e$t; an verò pondus retroagi de- beat, præ$ertim $i $it globus, vel aqua; an verò per Tangentem proiici, dubium e$$e pote$t; videntur enim pro vtraque hypothe$i facere expe- rientiæ; pro prima quidem, $i rotetur rota concaua $eu $cutella plena aqua; aqua enim in partem contrariam volui videbitur; &, $i plano quod in circulo horizontali voluitur imponatur globus leuigati$$imus, certè in partem oppo$itam ibit. Secundæ hypothe$i alia videntur fauere experimenta; $i enim trochus volubilis, vel aqua, vel puluere a$perga- tur, $tatim aqua re$ilit per Tangentem, idem dico de puluere, $i funda in circulo horizontali voluatur, lapis demi$$us per Tangentem ibit: $ed hæc omnia, quæ ad proiectiones pertinent, licèt illæ $equantur ex motu circulari, examinabimus & demon$trabimus lib. 10. cum de proiectis. <C><I>Theorema</I> 9.</C> <p><I>Cau$a motus circularis e$t ea, quæ cum tali impedimento coniuncta e$t</I>; ex quo accidit diametrum mobilis in aliquo $ui puncto retineri immobi- lem; $unt autem varij modi huius applicationis. Primus e$t ille, quem indicauimus $uprà Th.1.cum $cilicet vtraque extremitas cylindri æquali <pb n=276> impetu in partes oppo$itas pellitur. v.g. C per CP, L per LG. Secundu<*> e$t, cum affigitur altera extremitas. v.g. punctum K affigitur, ita vt tamen propter flexibilitatem radij KL, idem radius moueri po$$it circa cen- trum K, vt videmus in funependulis. Tertius e$t, $i diameter fulcro K in$eratur, vt in obelis ferri, vel magnetica acu: huc reuoca rotas omnes, quæ in circulo horizontali, & verticali voluuntur. Quartus, $i cum ali- qua explo$ione digitorum motus imprimatur, vel globo, vel trocho, vel iis cubis, quibus in$cripti numeri po$t girationem $ortem indicant. Quintus, $i cum flagello trochus agatur; cum enim implicetur flagel- lum trocho, vbi retrahitur, in gyros agitur trochus; huc reuoca funem illum plicatilem, quibus armatus ferro trochus voluitur: adde his refle- xionem variam ex qua $æpè oritur hæc turbinatio; tùm etiam figuram va$is; $ic aqua intra vas $phæricum voluitur; $ic in vorticibus voluitur aqua propter præruptum de$cen$um aluei; $ic etiam turbinatim de$cen- dit aqua per tubum infundibuli; cætera omitto, quæ ex his facilè intel- ligi po$$unt. <C><I>Theorema</I> 10.</C> <p><I>Datur impetus in motu circulari</I>; probatur facilè, quia etiam ab$ente potentia motrice durat motus; igitur ade$$e debet illius cau$a; igitur impetus, clarum e$t; debet autem e$$e hic impetus ita determinatus, vt determinatio vnius puncti impediat determinationem alteriùs; $ed aliam permittat, alioqui de$trueretur totus impetus, & hæc vici$$im illam. <C><I>Theorema</I> 11.</C> <p><I>Subjectum huius impetus e$t omne mobile</I>; non e$t difficultas pro mobili corporeo, quod pluribus partibus con$tat; quippe impetus vnius partis pote$t impedire impetum alterius; at difficilius e$t dictu, an punctum, $i detur, moueri po$$it circulariter: de puncto phy$ico loquor? cui cer- tè non repugnat motus circularis; quippè licèt careat partibus actu, non tamen caret partibus potentiâ. Dices, non mutat locum; igitur non mo- uetur: antecedens con$tare videtur, quia $emper remanet in eodem loco: con$equentia etiam videtur e$$e clara per Def.1. lib. 1. Re$pondeo pri- mò mutare locum re$pectiuum; quippe licèt punctum phy$icum non ha- beat partes, habet tamen facies; vnde facies conuertuntur per motum circularem; igitur non habent ampliùs eundem re$pectum; igitur nec eundem locum re$pectiuum. Re$pondeo $ecundò, punctum phy$icum ha- bere partes potentiâ, non actu; vnde mutat locum, dum voluitur; quia quælibet pars potentiâ diuer$æ parti $patij potentiâ re$pondet; $ed hîc non di$cutio quæ$tionem illam, an dentur puncta phy$ica; $ed tantùm a$$ero, ex $uppo$itione quòd detur punctum phy$icum moueri po$$e mo- tu circulari: Idem de Angelo dici pote$t, non tamen de puncto mathe- matico, cuius motus concipi non pote$t; vnde optimè negat Ari$toteles punctum mathematicum moueri po$$e; immò nos aliquando repugnare dari punctum mathematicum o$tendemus; igitur ex dictis patet, omne <pb n=277> mobile, quod $cilicet moueri pote$t motu recto, motu circulari etiam moueri po$$e. <C><I>Theorema</I> 12.</C> <p><I>Finis huius motus varius e$t in naturâ, & multiplex v$us</I>; primò enim ex motu circulari fit, vt impetus qui e$t ad omnem lineam indifferens habeat $uum effectum, cum omnes lineæ impediuntur præter vnam, & hoc e$t vera ratio à priori huius motus. Secundò nulla libratio, $eu vi- bratio e$$e po$$et, ni$i motus circularis e$$et; hinc nullus libræ v$us, ve- ctis, trochleæ, aliorumque organorum mechanicorum quorum opera inutilis e$$et $ine motu circulari. Tertiò, omitto gyros, & $piras, turbi- num, rotarum, lapidum molarium, immò & $yderum orbitas, fundarum librationes; immò & ip$orum brachiorum; digitorum, tybiarum v$um; immò au$im dicere motum circularem non minùs toti naturæ vtilem e$$e, quàm rectum. <C><I>Theorema</I> 13.</C> <p><I>Motus circularis pote$t appellari $implex</I>; quia ex pluribus mixtus non e$t omnis motus circularis, licèt aliquis motus circularis po$$it e$$e mixtus ex duobus rectis, vt dictum e$t $uprà; non minùs quàm rectus pote$t e$$e mixtus ex duobus circularibus; non e$t tamen propterea dicendum om- nem circularem e$$e mixtum; cum $cilicet in mobili, quod circulari mo- tu mouetur, non fit duplex impetus; quis autem dicat motum funepen- duli $ur$um vibrati e$$e mixtum? equidem in $ublunaribus nullus e$t mo- tus circularis qui ex multiplici determinatione non con$tet, vt dictum e$t $uprà; Vnde fortè vel eo nomine mixtus dici po$$et, $ed propter ean- dem rationem motus reflexus mixtus dici po$$et; quidquid $it, dum rem intelligas, loquere vt voles; dixi in $ublunaribus, quia corpora cœle$tia ita $unt à natura in$tituta, vt circulari motu rotari po$tulent; de quo $uo loco: Et verò hæc legitima videtur e$$e Ari$totelis $ententia, qui motum naturalem rectum grauibus, & leuibus tribuit, circularem verò cœle$ti- bus; ex quo etiam motu tanquam ex natiua proprietate quintam cœlo- rum e$$entiam concludit; denique nulla videtur e$$e repugnantia, nul- lumque ab$urdum, $i motus circularis alicui corpori competat. Vtrum verò motus circularis dici po$$it naturalis, dubium e$$e non pote$t, pro cœle$tibus illis corporibus, $i à principio intrin$eco rotantur; pro $ub- lunaribus aliquod fortè dubium e$$et; $ed quæ$o te cum funependulum $ua $ponte vibratum de$cendit, quo nomine motum illum appellas? Nun- quid e$t à principio intrin$eco? cur igitur naturalem appellare detrectas? rem intelligis, loquere vt voles. <C><I>Theorema</I> 14.</C> <p><I>Omnia puncta eiu$dem circuli mouentur æquali motu.</I> Probatur quia æqualibus temporibus æquales arcus percurrunt, vt con$tat; igitur mo- uentur æquali motu, id e$t æquè velociter per Axioma 1. <pb n=278> <C><I>Theorema</I> 15.</C> <p><I>Puncta diuer$orum circulorum mouentur inæquali motu</I>; quia tempori- bus æqualibus inæquales percurrunt arcus; igitur inæquali motu per Axio. 1. v.g. puncta L & C quæ di$tant æqualiter à centro K, mouentur æquali motu, quia æquali tempore conficiunt æquales arcus CS, LT; at verò puncta CQ inæquali motu mouentur, quia æquali tempore arcus inæquales percurrunt, $cilicet CS, QX. <C><I>Theorema</I> 16.</C> <p><I>Hinc puncta, quæ accedunt propiùs ad centrum mouentur tardiùs, quæ lon- giùs recedunt, mouentur velociùs.</I> v.g. C velociùs, quia conficit arcum ma- iorem; CSQ tardiùs, quia æquali tempore conficit arcum minorem QR $unt autem arcus $imiles, vt radij, id e$t QR e$t ad CS, vt radius KQ ad QC, $ed motus $unt vt arcus; igitur motus, vt radij, vel di$tantiæ à centro communi. <C><I>Theorema</I> 17.</C> <p><I>Ex his constat impetum, qui præstat motum circularem distribui in mobili vniformiter, id e$t æqualem in eodem circulo, vel in distantia æquali, & dif- formiter, id e$t inæqualem in diuer$is circutis, vel in diuer$a distantia</I>; quia ex inæqualitate motus cogno$ci tantùm pote$t inæqualitas impetus; fit autem hæc diffu$io, $eu propagatio in ratione longitudinum v. g. impe- tus in Q e$t ad impetum in C, vt longitudo KQ ad KC, vt con$tat ex dictis; accipio autem omnes partes impetus, quæ $unt in Q, & compa- ro omnes illas cum omnibus illis, quæ in$unt poncto C; nam certum e$t ex his quæ fusè diximus lib.1.non produci plures partes impetus in C, quã in Q; $ed perfectiorem impetum produci in C, quàm in Q: recole quæ diximus lib.1. à Th. 99. ad Th.112. in quibus habes totam propagatio- nem impetus determinati ad motum circularem; $iue applicetur po- tentia centro, id e$t iuxta centrum; $iue circumferentiæ. <C><I>Theorema</I> 18.</C> <p><I>Motus puncti C non e$t velocior motu puncti Q ratione temporis, $ed $patij</I>; quia vtrumque mouetur $emper æquali tempore, quia $unt in eodem ra- dio; recole etiam, quæ diximus alibi, $cilicet lib. 2. in comparatione motuum, vel a$$umi po$$e $patia æqualia cum temporibus inæqualibus, vel tempora æqualia cum $patiis inæqualibus; atqui in motu circulari cum omnes partes ciu$dem mobilis $imul moueantur, id e$t $imul inci- piant, & de$inant moueri; certè æquali tempore mouentur; $ed motus e$t inæqualis; igitur non ratione temporis, quod æquale e$t, $ed $patij. <p>Hic fortè aliquis de$ideraret $olutionem illius argumenti, quod vul- gò ducitur ex motu circulari contra puncta phy$ica, quod $ic breuiter proponi pote$t. Sit punctum Q, quod acquirat punctum $patij ver$us R vno in$tanti; certe punctum C, quod mouetur ver$us S, acquiret codem <pb n=279> illo in$tanti plu$quam punctum $patij; igitur codem in$tanti erit in duobus loris, quod e$t ab$urdum; nec pote$t dici punctum C moueri duobus in$tantibus, $ed minoribus, quæ $cilicet re$pondeant in$tanti, quo mouetur punctum Q; quia $i po$t primum in$tans C $i$teret, Q mouere- tur adhuc, quod e$t ab$urdum; nam $imul incipit, & de$init moueri, cum puncto C. Equidem non pote$t explicari maior velocitas motus C per in$tantia minora, vt patet; igitur per $patia maiora. Itaque re$pon- deo $i C & Q mouentur in eodem radio conjunctim non po$$e pun- ctum K acquirere punctum $patij nullo modo participans cum priori, $ed participans; licèt enim punctum $patij careat partibus actu, habet tamen partes potentia, vt explicabimus fusè $uo loco; $unt enim vbica- tiones communicantes, & non communicantes, quod explico in Ange- lo<note><I>Fig.</I>27 <I>Tab.</I>3.</note> $it enim Angelus coëxten$us quadrato FC, (quam hypothe$im nemo negabit;) $it alius æqualis exten$ionis coëxten$us quadrato HE, qui con$i$tat dum primus Angelus mouetur; certè ita moueri pote$t, vt primo in$tanti occupet $patium CK, & coëxtendatur alteri Angelo, vt certum e$t; quippè vnico in$tanti locum $ibi adæquatum occupare po- te$t; vel ita moueri pote$t, vt primo in$tanti occupet $patium GD, & coëxtendatur quidem alteri Angelo $ed inadæquatè: his po$itis, $patium HE comparatum cum $patio FC e$t non communicans; $patium verò GD communicans, tum cum HE, tum cum HA, po$$unt autem dari huiu$modi $patia in infinitum plùs vel minùs participantia v. g. LM plus participat de AC quam BD, & BD plu$quam NO; igitur non e$t dubium quin Angelus moueatur eo tardiùs, $uppo$ito æquali tempo- re, quo acquirit $patium plùs participans de priore; vnde quando vno in$tanti acquirit $patium non communicans HE, non pote$t velociùs moueri illo in$tanti, vel æquali; nec pote$t motus e$$e velocior ratione $patij, licèt po$$it e$$e ratione temporis; quia $patium HE acquirere po- te$t minore in$tanti. Quod dicitur de Angelo, dicatur de puncto phy$i- co <*>uius exten$io e$t quidem indiui$ibilis actu vt exten$io Angeli diui- $ibilis tamen potentia in infinitum. <p>His po$itis, motus extremitatis radij dirigit motum aliorum puncto- rum ver$us centrum; $ed punctum extremitatis radij non pote$t dato in$tanti moueri velociùs quàm $i punctum $patij non communi- cans acquirat, quo po$ito nullum aliud punctum radij acquirit eodem in$tanti $patium non communicans. <p>Dices, ponamus punctum extremitatis facta acce$$ione noui $egmenti moueri eadem velocitate, quâ priùs mouebatur, cum terminabat radium; igitur acquirit punctum $patij non participans; igitur extremitas noua illo in$tanti acquirit plu$quam punctum. Re$pondeo, $i addatur extremi- tas noua facta $cilicet acce$$ione noui $egmenti, po$ito quod punctum prioris extremitatis moueatur æquè velociter ac priùs; certè noua ex- tremitas velociùs mouebitur priore, vt con$tat; igitur in$tanti minore acquiret $patium non communicans; igitur hoc in$tanti minore prior extremitas acquirit $patium communicans. Ex his vides velocitatem <pb n=280> motus circularis ratione eiu$dem radij, vel mobilis explicari per $patia magis, vel minùs communicantia; at verò velocitatem motus recti per in$tantia maiora, & minora: Sed hæc fusè in Metaphy$ica explicabimus; neque hîc contendimus dari vel puncta, vel in$tantia; $ed tantùm po$ito quod dentur, ita $olui po$$e argumentum illud, quod vulgò ducitur ex motu circulari, quo reuerâ puncta Mathematica non tamen phy$ica pro- fligantur: $imiliter $olues argumentum illud vix triobolare, quo dicuntur e$$e tot puncta in minore circulo, quot in maiore, eo quod iidem radij vtrumque $ecent, quia $i duo radij ad duo puncta immediata maioris terminentur, penetrantur inadæquatè in $ectione minoris circuli; $ed de hoc aliàs. <C><I>Theorema</I> 19.</C> <p><I>Motus circularis pote$t e$$e velocior, & tardior in infinitum</I>; quia quocun- que dato radio pote$t dari maior, & minor; immò pote$t compen$ari motus<note><I>Fig.</I>26 <I>Tab</I> 3.</note>; $it enim radius EC diui$us bifariam in H; certè $i moueatur EC circa centrum E; C mouebitur duplo velociùs quàm H, quia arcus CN e$t duplus HT; $i tamen $it radius AH; certè $i pote$t moueri æquè velociter, $i enim a$$umatur H <G>m</G> æqualis HT, & percurrat H <G>m</G> eo tempore, quo alter radius EC percurrit CN, motus erit æqualis; quia arcus CN & H <G>m</G> $unt æquales, vt con$tat: pote$t etiam vectis longio- ris extremitas moueri motu æquali cum extremitate minoris; $i enim H extremitas HE percurrit H <G>m</G>, & a$$umatur vectis duplus EC, diuida- tur H <G>m</G> bifariam in T ducaturque ETN; certè $i C conficiat CN co- dem tempore, vtraque extremitas C & H æquè velociter mouebitur; $i autem duplicetur adhuc longitudo radij, diuidatur HT bifariam in X, ducaturque linea, atque ita deinceps; quæ omnia $unt trita. <p>Ex his habes principium motus tardioris, & velocioris in infinitum; $i enim punctum H $emper æquali tempore conficiat arcum H <G>m</G>; certè punctum C conficiet arcum C <G>b</G> duplum prioris; quia EC e$t dupla EH; $i verò accipiatur tripla, conficiet triplum, atque ita deinceps; $ed pote$t vectis e$$e longior, & longior in infinitum; igitur motus velo- cior, & velocior; $i verò punctum C conficiat tantùm arcum CN æqua- lem H <G>m</G>; haud dubiè punctum H mouebitur duplò tardiùs, & $i acci- piatur vectis duplus CE, cuius extremitas percurrat arcum æqualem CN, punctum H mouebitur quadruplò tardiùs, atque ita deinceps. <C><I>Theorema</I> 20.</C> <p><I>Motus circularis non e$t naturaliter acceleratus.</I> Probatur, quia in in$i- nitum intenderetur, quod e$$et ab$urdum in natura; caret enim termino: non e$t difficultas pro motu circulari violento quo v.g. vertitur rota in circulo verticali, vel mixto, quo $cilicet lapis $phæricus ita de$cendit, vt circa $uum centrum etiam voluatur, vel indifferenti, quo recta vertitur in circulo horizontali; quia nullum e$t principium accelerationis i$to- rum motuum; igitur e$t tantùm difficultas pro naturali circulari, quo <pb n=281> fortè $ydera rotantur; qui tamen non e$t acceleratus per $e, propter ra- tionem prædictam. <p>Obiiceret fortè aliquis; eadem ratio quæ probat motum naturalem deor$um accelerari, eadem probat circularem naturalem etiam intendi: quippè $emper ade$t principium intrin$ecum applicatum. Re$pondeo negandam e$$e paritatem; quia naturalis motus grauium non accelera- tur fru$trà; Nunquam enim recedit à $uo fine; at verò, $i motus circula- ris $yderum acceleraretur, tandem abiret in infinitum, quod reuerâ e$$et contra finem à natura iu$titutum; quippè carerent $uo fine, & v$u corpo- ra cœle$tia, $i longè celeriori motu rotarentur. <p>Obiiceret alius, motus circularis naturalis non acceleraretur, igitur tardi$$imus e$$et, qualis reuerâ motus naturalis grauium deor$um, quod e$t contra experientiam. Re$pondeo, vel determinatum impetus gradum, eumque valdè intentum produxi$$e iuxta in$titutum $uæ naturæ, vel per aliquot minuta $e$e moui$$e motu recto naturaliter accelerato; $ed de hoc motu $yderum agemus fusè aliquando, cum de cau$is corporum cœ- le$tium. <p>Obiicies de$cen$um funependuli, qui e$t naturaliter acceleratus; $ed profectò ille motus e$t tantùm per accidens circularis. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ob$eruabis ex dictis $atis con$tare, quàm temerè mirentur aliqui tan- tam motuum cœle$tium celeritatem, cum mocus circularis velocitas in infinitum augeri po$$it: Ob$eruabis præterea, $i fortè motus rectus corpo- rum cœle$tium præce$$it per aliquot minuta, motum illum, qui deinde $ucce$$it, non e$$e perfectè circularem, $ed mixtum, quem aliquando ex- plicabimus, & ex eo cau$as Apogæi, Perigæi, declinationis, &c. omné$- que anomalias deducemus $uo loco. <C><I>Theorema</I> 21.</C> <p><I>Rota circulo verticali parallela circa axem mobilis addito minimo im- petu per $e moueri pote$t</I>; $it<note><I>Fig.</I>26 <I>Tab.</I> 3.</note> enim ABCD plano verticali parallela circa centrum E volubilis; $itque in perfecto æquilibrio, & accedat minima vis impetus in A v.g. haud dubiè punctum E de$cendet deor$um, alio- qum maneret æquilibrium, & non maneret: dixi per $e; nam cùm non po$$it volui circa centrum E, ni$i vel cum mobili axe duobus hinc inde lunatis fulcris $u$tentato, vel facto foramine circa axem immobilem, vel circa geminos apices conicos immi$$os iu$tis apothecis in plano rotæ excauatis, quales videmus in acu magnetica; atqui non pote$t volui rota $iue primo, $iue $ecundo, $iue tertio modo voluatur $ine multa compre$- $ione partium, id e$t, $ine aliquo affrictu, in quo multæ particulæ vnius plani cum particulis alterius qua$i pectinatim commi$$æ, motum & im- petunt $i$tunt. <C><I>Theorèma</I> 22.</C> <p><I>Rota minor in eodem $itu de quo $uprà æquè facilè moueri pote$t, ac maior</I> <pb n=282> <I>per $e.</I> Probatur primò, quia vtraque minimo impetu moueti pote$t per Th. 21. Secundò, quia addita minima vi impetus in F, & minima in A tàm facilè maior rota de$cendit, quàm minor, quia æqualiter tollitur æquilibrium vtriu$que: dixi per $e, quia maior rota propter maius pon- dus maiore affrictu motum impedit. <C><I>Theorema</I> 23.</C> <p><I>Pote$t vis aliqua applicata rotæ in A v.g. rotam mouere in eodem $itu ver- ticali; licèt nullum impetum producat.</I> Probatur, quia vis minima pote$t deprimere rotam ABCD. v.g. per Th.21. $ed vis minima non pote$t producere impetum in qualibet rota, vt patet; nec enim producere po- te$t, ni$i in tota rota producat per Th.33. lib. primo; $ed vis minima im- petus tot partes impetus, producere non pote$t, quot e$$ent nece$$ariæ, vt omnibus partibus rotæ di$tribuerentur. <C><I>Theorema</I> 24.</C> <p><I>Hinc egregium paradoxum; pote$t aliquid mouere rotam, & non agere in rotam</I>; quia vis mouens non pote$t in rotam agere, ni$i impetum in ea producat, vt patet; $ed pote$t illa vis rotam mouere licèt impetum in ea non producat per Th.23. igitur mouere, & non agere: quod quomodo fiat facilè explicari pote$t; quippè illa vis ponderis. v.g. quæ accedit pun- cto A cum toto pondere $emicirculi BA DE, grauitatione communi præualet grauitationi alterius $emicirculi rotæ BC DE; quia $cilicet maior e$t; $ic pondus vnius $crupuli $uperpo$itum ingenti rupi non pro- ducit in rupe impetum, $ed $i fortè appendatur rupes, $imul cum illa gra- uitat, quod facilè concipi pote$t. <C><I>Theorema</I> 25.</C> <p><I>Cum de$cendit deor$um $emicirculus BA DE, attollitur $ur$um $emicir- culus oppo$itus</I>; quia $cilicet impetus illius producit in i$to alium impe- tum; nec enim corpus graue a$cendit $ur$um $ua $ponte in medio leuio- re; igitur ab extrin$eco; $ed nulla e$t alia cau$a applicata præter impe- tum $emicirculi de$cendentis; igitur ab eo producitur hic impetus, i$que omninò æqualis; quia $cilicet vterque mouetur motu æquali. <C><I>Theorema</I> 26.</C> <p><I>Hinc impetus deor$um producere pote$t impetum $ur$um</I>; quippe ad aliam lineam determinare non pote$t, quod valdè paradoxum e$t. <C><I>Theorema</I> 27.</C> <p><I>Hinc impetus vnius partis mobilis continui pote$t impetum $imilem produ- cere in alia parte eiu$aem mobilis</I>; vt patet ex dictis, quod tantùm locum habet in motu circulari. Diceret aliquis, igitur in motu recto etiam lo- cum habebit. Re$pondeo negando, alioqui minima potentia quodlibet pondus motu recto moueret etiam nullo adhibito mechanico organo; quia modo produceretur tantulus impetus in aliqua parte, hic produce- ret alium, & hic alium, immò vterque $ecundo in$tanti alium produce- <pb n=283> ret: e$$et enim cau$a nece$$aria; $ed hoc e$t ab$urdum: ratio verò di$pa- <*> e$t, quia mobile, quod motu circulari voluitur circa centrum, quod e$t in ip$o mobili duplicis mobilis vicem gerit, quorum vnum im- pedit motum alterius, nec moueri po$$unt, ni$i motibus oppo$itis. <C><I>Theorema</I> 28.</C> <p><I>Si applicetur pondus in</I> K, <I>minus erit illius<SUP>a</SUP> momentum, quàm in A, erit- que ad momentum in A, vt LE ad AE</I>; quod $æpiùs iam $uprà dictum e$t; præ$ertim lib.4. Inde tamen egregium deduco paradoxum, $cilicet minimam vim $ufficere ad deprimendum $emicirculum BA DE $iue $it applicata in A $iue in K; faciliùs tamen id præ$tare in C, quàm in K, id e$t velociore motu. <C><I>Theorema</I> 29.</C> <p><I>Potentia in C applicata etiam minima per lineam CN, mouebit $emicir- culum DE BE $ur$um</I>; vt patet; nullum tamen producet impetum, $i minima $it; ratio e$t, quia eodem modo $e habet, ac $i detraheret partem ponderis $emicirculi DC BE, qua detracta non e$t ampliùs æquili- brium; igitur oppo$itus $emicirculus BA DE præualere debet; vnde ideo a$cendit ille, quia de$cendit i$te; qui ideo de$cendit, quia vel de- trahitur aliquid de momento alterius, vel impeditur; atqui impedire tantùm pote$t, vel per productionem impetus, vel per applicationem po- tentiæ per CN, quæ actione communi cum toto impetu $emicirculi BA DE iuuat eius de$cen$um; nam perinde $e habet potentia, $iue $it, applicata in A per lineam AO $iue in C per CN: quod certèmanife- $tum e$t. <C><I>Theorema</I> 30.</C> <p><I>Hinc etiam habes duo paradoxa</I>; primum e$t, potentiam immediatè concurrere ad motum $emicirculi, cui non e$t applicata, & mediatè tan- tùm ad motum illius, cui applicata e$t; nam potentia applicata in C per CN concurrit immediatè ad motum A deor$um, & $imul cum A ad mo- tum Cur$um. Secundum e$t, $olam negationem e$$e cau$am motus, $ci- licet detractionem partis momenti, quod clarum e$t. <C><I>Theorema</I> 31.</C> <p><I>Hinc etiam alia deduco paradoxa.</I> Primum e$t, faciliùs $u$tineri maius pondus, quàm minus. Secundum plùs addi ponderis, quò plùs detrahi- tur. Tertium plùs detrahi, quò plùs additur, v.g. $i detrahatur aliqua por- tio ex $emicirculo BC DE, $emicirculus rotæ oppo$itus de$cendet, ni$i $it potentia in CA, qua $u$tineatur; & quò maior portio detrahetur po- rentiæ, maius pondus incumbet; quò minor, minus. Sed hæc clara $unt. <C><I>Theorema</I> 32.</C> <p><I>Impetus productus in rota con$eruatur aliquamdiu.</I> Duplex impetus con- $iderari pote$t in rota; primus e$t productus ad intra accedente, $cilicet minima vi ponderis alteri $emicirculo, putâ puncto A, qua po$ita tolla- <pb n=284> tur æquilibrium, quo $ublato $ua $ponte mouetur rota; hic autem impe- tus primò durat in toto de$cen$u quadrantis AD; immò acceleratur tan- tillùm motus, licèt longè minùs, quàm in funependulo propter re$i$ten- $tentiam $emicirculi oppo$iti contranitentis; vbi verò A peruenit in D, non acceleratur ampliùs motus, $ed tantillùm a$cendit ver$us C &, dein- de de$cendit, tandemque quie$cit in D paucis confectis vibrationibus; $ed de hoc cur$u, & recur$u agemus fusè lib. $equenti; alter impetus e$t productus ab extrin$eco, applicata $cilicet valida potentiá, qui rotam agit velociore motu, vt patet, cùm præter impetum ad intra $it etiam im- petus productus ab extrin$eca cau$a; igitur maior e$t impetus; igitur maior motus: porrò hic impetus aliquandiu con$eruatur, vt patet expe- rientiâ; nec e$t vlla cau$a $ufficiens applicata, à qua tam citò de- $truatur. <C><I>Theorema</I> 33.</C> <p><I>Quando voluitur rota ab applicata valida potentia in A. v.g. per AO, non modo producitur impetus in $emicirculo BA DE, $ed etiam in oppo$ito</I>; cùm vtrique mediatè vel immediatè $it applicata $ufficienter, exemplo vectis. <C><I>Theorema</I> 34.</C> <p><I>Non destruitur per $e impetus productus in rota ab extrin$eco.</I> Probatur, quia licèt $ingulis in$tantibus mutetur eius determinatio, vt con$tat ex dictis; nam per $e impetus in hoc motu e$t determinatus ad lineam re- ctam; nullus tamen impetus e$t fru$trà: quippè illud $patium acquiritur in linea curua, quod in recta percurreretur $i nullum e$$et impedimen- tum; quemadmodum enim in reflexione, quæ fit à plano immobili, nul- lus de$truitur impetus; ita nullus hîc de$truitur; tàm enim centrum il- lud immobile ad $e qua$i mobile trahit, quàm planum immobile ad $e re- pellit. <p>Quæreret fortè aliquis, vtrum in $emicirculo a$cendente impetus de- $truatur ab impetu naturali grauitationis. Re$pondeo negando, quia nunquam a$cendit C, ni$i de$cendat A; nunquam verò de$cendit A, ni$i $it maior vis in A quam in C, quod certum e$t; igitur grauitatio C impe- dit quidem, ne $it tantus motus in A, nunquam tamen impedit totum motum, cum maius e$t momentum in A; quod $i æquale $it vtrinque mo- mentum; certè totus motus vtrinque impeditur, & hæc e$t vera ratio æquilibrij, de quo aliàs. <C><I>Theorema</I> 35.</C> <p><I>Hinc $i nullus $it partium affrictus, e$$et motus ille perpetuus</I>; quia nul- lus de$truitur impetus per Th. 34. igitur ille motus e$$et perpetuus. <C><I>Theorema</I> 36.</C> <p><I>In maiore rota e$t maior affrictus partium, & impetus citiùs destruitur.</I> Secunda pars $equitur ex prima; hæc autem ex maiore ponderis grauita- tione, vel in axem, vel in $ubjectum planum. <pb n=285> <C><I>Theorema</I> 37.</C> <p><I>Licèt impetus non destruatur in motu rotæ, & impediatur determinatio prima, vt patet; attamen impedimentum non pote$t minus excogitari</I>; cùm nulla po$$it duci linea recta declinans ab AO, per quam noua determi- natio fieri po$$it; fit enim ratione anguli contingentiæ; igitur determi- natio noua proximè accedit ad priorem; igitur e$t minimum impedi- mentum. <C><I>Theorema</I> 38.</C> <p><I>Hinc in maiori rota minus e$t impedimentum</I>; quia $cilicet minor e$t angulus contingentiæ; maius verò in minori rota: porrò minor rota à maiore $eparata citiùs $uos gyros ab$oluit; quia $unt minores, ($uppono æqualem impetum in extremo orbe rotæ vtriu$que productum,) idque pro rata; $i enim minor $it $ubdupla maioris, maior vnum tantum gyrum aget co tempore, quo minor duos percurret. <p>Ob$erua primò, pondus applicatum in A non modò producere impe- tum in toto radio AE; $ed etiam in toto radio oppo$ito EC; ratio e$t, quia $i impetus radij AE producit impetum in radio EC; certè pondus additum radio AE cen$etur pars ciu$dem radij; igitur impetus illius ponderis immediatè producit impetum in radio EC; quia impedit hic radius oppo$itus motum alterius AE; igitur, vt tollat impedimentum, producit AE impetum in EC; $i autem produceretur tantùm impetus in EC ab impetu radij AE; igitur, vel aliquid impetus e$$et fru$trà, vel nunquam radius minor po$$et attollere maiorem, quacunque accedente potentia; $it enim radius FE, in quo producatur quilibet impetus, $it- que radius oppo$itus maior duplo EC; certè $i impetus radij FE produ- cit impetum in radio EC, vel producit æqualem, vel minorem, maiorem enim producere non pote$t; $i minorem, vel æqualem; igitur remi$$io- rem, quia pluribus partibus $ubjecti di$tribuitur; igitur vel motus e$$et remi$$ior radij EC quàm radij FE, quod dici non pote$t; vel aliquid impetus radij FE e$$et fru$trà, quod etiam dici non pote$t; itaque poten- tia applicata in F, mediante $cilicet organo, quodcumque tandem illud $it.v.g. pugno, producit impetum in ip$o organo, impetus verò organi, $eu pugni producit impetum primò in toto radio FE, tùm in toto radio EC, id e$t totus impetus tùm pugni, tùm radij FC, $cilicet innatus pro- ducit impetum in alio radio EC; nec enim producitur tantùm ab impe- tu radij propter rationem $uprà allatam, cùm $it maior impetus in radio EC quàm in radio FE; nec tantùm ab impetu pugni, vel organi admo- ti; quia etiam$i nullus accederet nouus impetus radio AE, $ed tantùm minimum pondus; haud dubiè attolleret radium EC: Adde quod ra- dius EC impedit motum radij FE; igitur ab impetu huius producitur <*> in illo impetus; igitur tùm ab impetu pugni, vel organi, tùm ab impetu radij FE producitur impetus in radio EC. <pb n=286> <C><I>Theorema</I> 39.</C> <p><I>Hæc inæqualis distributio impetus e$t veri$$ima cau$a girationis illius, quam videmus in cylindro projecto per vibrationem $iue brachium $ur$um $iue deor- $um vibretur</I>;<note><I>Fig.</I>26 <I>Tab.</I>3.</note> quod ab omnibus facilè ob$eruari pote$t $it enim cylin- drus ED libratus per arcum AD, $tatimque demittatur; vbi attigit punctum D, e$t quidem determinatus ad Tangentem DP, & punctum I ad Tangentem IR; quia tamen e$t minor impetus in I, quàm in D, & minor adhuc in E; certè D debet moueri velociùs quàm I, & I quam E; igitur motu recto moueri non pote$t prædictus cylindrus ED; moueri motu recto, id e$t in $itu parallelo ED; igitur extremitas D gyros aget, quia retinetur ab aliis punctis, quorum tardior e$t motus; $ed hîc erit motus mixtus, de quo in lib.9.agemus, & totam rem i$tam fusè explica- bimus; hîc tantùm $ufficiat dixi$$e cau$am legitimam illius circuitionis e$$e tantùm inæqualem illam di$tributionem impetus in cylindro ED; a$$ignauimus autem ibidem lineam, quam $uo motu de$cribit extremitas D, & centrum, circa quod $uos gyros agit. <C><I>Theorema</I> 40.</C> <p><I>Diu durat motus impre$$us rotæ in circulo verticali, $ivel modicus $it par- tium affrictus</I>; Probatur, quia cùm non de$truatur impetus aliunde, quàm ab affrictu, dicendum e$t minimum etiam $ingulis in$tantibus de$trui impetum; igitur diu durat impetus; igitur diu durat motus: nec e$t alia ratio vulgaris illius experimenti, quo videmus perforatam acum circa cylindrum leuigati$$imum diu rotari. <C><I>Theorema</I> 41.</C> <p><I>Cum rota voluitur in circulo horizontali, non pote$t mo