![[BACK]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/back.gif){kind=icon}
Return to casat_mecha_01_la_1684.raw
CVS log ![[TXT]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/text.gif){kind=icon}
![[DIR]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/dir.gif){kind=icon}
Up to [CVSROOT] / texts / archimedes / rawMain History Search Repository tree
| Return to casat_mecha_01_la_1684.raw
CVS log | Up to [CVSROOT] / texts / archimedes / raw |
| File: [CVSROOT] / texts / archimedes / raw / casat_mecha_01_la_1684.raw
(download) - view tree Revision 1.1, Tue Jul 2 10:14:36 2002 UTC (10 years, 10 months ago) by bcfuchs Branch: MAIN CVS Tags: HEAD adding from old repository |
<pb> <C>R. P. PAULI CASATI MECHANICA.</C> <pb> <C>R. P. PAULI CASATI PLACENTINI SOCIET. JESU MECHANICORUM LIBRI OCTO, IN QUIBUS UNO EODEMQUE</C> <C>principio Vectis vires Phy$icè explicantur & Geometricè demon$trantur,</C> <C><I>Atque Machinarum omnis generis componendarum methodus proponitur.</I></C> <FIG> <C>LUGDUNI, Apud ANISSONIOS, JOAN, POSUEL & CLAUDIUM RIGAUD.</C> <C><I>M. D C. LXXXIV.</I> CUM PRIVILEGIO REGIS.</C> <pb> <FIG> <C>CHRISTIANISSIMO GALLIARUM ET NAVARRÆ REGI LUDOVICO MAGNO.</C> <p><I>AD Maje$tatis Tuæ pedes,</I> REX INVICTISSIME, <I>me, meámque hanc de rebus Mechanicis lucubrationem, ignotus homo, vix forta$$e cre- dibili confidentiâ, $i$to: Sed quâ Regiâ comitate omnium animos concilias, eâdem $u$tentor, ne repul$am timeam. In Te Orbis univer$i conjecti $unt oculi, quos Tuæ Gloriæ $plendor allicit: à communi feli-</I> <pb> <I>citate quid me paterer excludi? Amplißima Tua in Societatem no$tram merita, quorum nullam partem, ne cogitandâ quidem gratiâ, con$equi po$$umus, hoc $altem officij ab univer$o Ordine re- petunt, ut $inguli, quem cordi penitißimè impre$$um ge$tamus non ingrati LVDOVICVM, in libris palàm in$criptum velimus. Me verò Natu- ræ atque Artis mutuam $ocietatem coëuntium in Machinis, ferè dixerim, miracula contemplari a$$uetum rapuere admirabundum, quæ ip$e patra$ti, & bello, & pace, egregia atque præclara facinora non modò mirabilia, $ed prodigiis $imilia. Neque illa quidem aut ex rerum magnitudine ac difficul- tate, aut ex multiplicato numero, aut ex di$simi- lium varietate, aut ex $erie non interruptâ, me- tienda duxi, quamquam & in his admirabilitatis plurimum in$it: Verùm longè omnem admirationem multúmque $uperare mihi videtur, quòd paucis lu$tris vel $æcula complexus, unus pluribus Regibus par, tot, tantáque perficere valui$ti. Ingentis pon- deris gravitatem vincit adhibita Machina, $ed diuturno impul$u agitanda, ut proficiat aliquid: At plurima immen$is munita difficultatibus exiguo tem- poris $patio expugnare, atque ad optatum exitum perducere, ita Tuum e$t, REX INVICTISSIME, ut quemadmodum rerum ge$tarum gloriâ, ac nomi- nis celebritate, nemini $uperiorum Regum $ecundus</I> <pb> <I>prædicaris, $ic Tibi $ecundum, qui Tuis planè in- $i$tat ve$tigiis, ventura $æcula $perare vix audeant. Patere igitur pro $ummâ, quâ præditus es, huma- nitate, qualemcumque hanc rerum Mechanicarum tractationem Regio in$igniri Nomine, ut, quos meas ha$ce commentationes legere non piguerit, vel hinc di$cant, aliud e$$e non imitabile genus Facultatis, quâ ingentia citò perficiantur, $i LVDOVICI MAGNI mens acce$$erit. Incolumem Te diu $ervet DEVS Catholicæ Fi- dei incremento, Regníque Tui felicitati; audiát- que bonorum omnium Largitor vota, quæ pro Ma- je$tate Tuâ $upplex nuncupat</I> <C><I>MAJESTATIS Tuæ</I></C> <p>Parmæ Kal, Maij 1683. <p>Humillimus atque Ob$equenti$$imus Servus PAULUS CASATUS è SOC. JESU. <pb> <HR> <C><I>Facultas R. P. Provincialis Societatis Je$u in Provincia Veneta.</I></C> <p>EGo Octavius Rubeus Societatis Je$u in Provincia Veneta Præpo$itus Provincialis, pote$tate ad id mihi factâ ab Adm. R. P. N. Præpo$ito Generali Jo. Paulo Oliva, faculta- tem facio, ut Opus in$criptum, <I>Mcchanichorum Libri octo, Authore P. Paulo Ca$ato Societatis No$træ Sacerdote,</I> eju$dem Societatis Doctorum hominum judicio approbatum, typis mandetur, $i ita iis, ad quos pertinet, videbitur. Cujus rei gratiâ has litteras meâ manu $ub$criptas, & $igillo officij mei munitas dedi. Parmæ 23. Februarij 1681. <p>OCTAVIUS RUBEUS. <HR> <C><I>Summa Privilegiy à Chri$tiani$$imo Rege conce$$i.</I></C> <p>LUDOVICUS MAGNUS Galliarum & Navarræ Rex Chri$tiani$$imus, Diplomate $uo $anxit, nequis per univer$os Regnorum $uorum fines intra decem proximos annos à die publicationis exemplarium computandos, imprimat $eu typis excudendum curet & venale habeat Opus quod in$cribi- tur, <I>Mechanicorum Libriocto, Authore R. P. Paulo Ca$ato Soc. Ie$u</I>; præter Ani$$onios Bibliopolas Lugdunen$es, aut illos quibus ip$imet conce$$erint. Prohibuit in$uper eadem auctoritate Regia omnibus $uis $ubditis, idem Opus extra Regni $ui limites imprimendum curare, & impre$$um divende- re, vel quempiam ubicumque fuerit ad id agendum impellere; ac in$tigare $ine con$en$u dictorum ANISSONIORUM; Qui $ecus faxit, confi$ca- tione librorum, aliaque gravi pœnâ multabitur, uti latius patet in diplo- mate regio. Dabatur Ver$aliis die vige$ima prima Januarij anno Dom. 1684. <p><I>Ex mandato Regis.</I> <p>JUNQUIERES. <p>MECHA <pb> <FIG> <C>AD LECTOREM.</C> <p>SERO in lucem prodit hæc Me- chanicorum tractatio, & vix fide me abduco, quam dedi, cùm Di$- $ertationes de <I>Terrâ Machinis motâ</I> qua$i Prodromum emi$i ante plures annos: $cilicet à $tudiis tunc ab$tra- ctus, utpote alieni juris, & ad mu- nera his non affinia tran$latus, mul- tam $alutem & Mathematicis di$ciplinis & Phy$icis dicere coactus $um; adeò ut demum tot elap$is annis urgente jam $enio cogitationem omnem abjecerim de huju$modi com- mentationibus, diffidens me po$$e ad hanc $criptionem $atis temporis invenire, quin eam proxima mors interci- peret, & $u$ceptum alieni$$imo tempore laborem irritum faceret. Adde quòd (pro meâ negligentiâ, quæ calamo parcit) temporis diuturnitate deletæ ex animo pleræque imagines vix tenue ve$tigium reliquerant, cui novis indu- ctis coloribus eas redintegrari po$$e confiderem. Amico- rum tamen officio$is $timulis me urgeri pa$$us $um, ut $ub- ci$ivis, quæ incurrebant, temporibus tentarem, an de$ti- natam animo tractationem, cujus brevem Synop$im au- ditoribus meis in Romano Collegio, anno labentis $æculi decimi $eptimi quinquage$imo quarto, tradideram, re- dordiri, & aliquâ ratione perficere liceret. Licuit autem, præter $pem, toties dimi$$um calamum re$umere, ut tan- <pb> dem de $ingulis Mechanicis Facultatibus aliquid me $crip- $i$$e invenerim, quod Mathematicarum di$ciplinarum can- didatis profuturum amici cen$uerunt, $i publici juris fieret. Quapropter alienæ utilitati $erviendum potiùs fuit, quàm meæ voluntati. <p>Verùm nete moveat, Amice Lector, quòd Mechanici in$cribantur libri, cùm tamen aliqua ad Centrobaryca, ali- qua ad Statica pertineant. Cùm enim hæc ad pleniorem eorum intelligentiam, quæ de Machinis di$putanda erant, referantur, nomen à $copo de$umendum fuit: Nec decrat ex Ari$totele ($i tamen ip$i tribuenda $it illa tractatio) $uf- fragium, qui Mechanicas Quæ$tiones in$crip$it libellum, in quo non de $olis Mechanicis facultatibus agitur. <p>Methodum ne culpes, quòod non in Theoremata & Propo$itiones rem totam dige$$erim, $ed in Capita di$tri- buerim, & quidem aliquando longiu$cula: Brevitati nimi- rum $tudens non amavi codicem titulis implere, ne fortè, ad o$tendendam con$equentium cum præcedentibus con- nexionem, cogerer idem $æpiùs inculcare. Facilius au- tem duxi ea, quæ conjuncta $unt, uno eodemque ca- pite complecti, ut ex ipsâ verborum con$ecutione re- rum cognatio innote$cat. Præterquam quod, $i formâ illâ Mathematicis familiari u$us fui$$em, animum forta$$e induxi$$es, me mihi ineptè blandiri, & qua$i Geometri- cas ratiocinationes obtrudere ea, quæ $atis probabili con- jecturâ $tabilire conatus $um. Quamvis enim non pauca attulerim, quæ Geometricas demon$trationes recipiunt, nec mihi videar p$eudographis $yllogi$mis deceptus; quia tamen & apud Phy$icos & apud Mathematicos agenda erat cau$a, multa fuere ad Philo$ophicas rationes revocan- da; & quidem, quoad ejus fieri potuit, à receptis in $cho- <pb> lis opinionibus mihi non erat hìc recedendum, ne quid temerè $ine argumentis proferrem, aut ne longiùs ab in- $tituto recederem, $i quid novi, quæ$itâ veri $imilitudine, molirer. Hoc videlicet mihi poti$$imum curæ fuit, ut Phy- $icam admirandorum per Machinas motuum cau$am in- ve$tigarem: in Phy$icis autem modum $ciendi Geome- tricum inquirens, ne ab Ari$totele redarguerer, timerem. Quare alia Geometricè, alia Phy$icè tractata æquo animo patere. <p>Stylum autem quid excu$em? Non e$t, fateor, con- $tans & perpetuus, $uíque $imilis: tum quia non eadem $emper $ubjecta materia e$t, tum quia, prout tempus fe- rebat, animum inæqualiter affectum ad $cribendum at- tuli; nec poterat æquabiliter fluere toties interci$a oratio. <p>Unum e$t inter cætera, quod forta$$e de$ideres, nimi- rum illorum, qui de hoc eodem argumento $crip$erunt, $ententias explicari, & quæ à me dicuntur, eorum autho- ritate muniri. Plurimum $anè mihi lucis afful$i$$et ex do- ctorum virorum Commentariis, neque contemnenda or- namenti acce$$io hujus meæ lucubrationis tenuitati fieret ex diver$is Authorum opinionibus: Verùm ut nunc res$e ha- bet, opportunâ librorum $upellectile de$titutus authorum mentionem facere plenam non potui, jejunam non debui, ne quis per contemptũ prætermi$$us videretur. Mihi autem non ea e$t memoriæ firmitas, quæ, quid aliquando lege- rim, aut ubi legerim, $atis explicatâ recordatione $uggerat. Quòd $i placui$$et, corrogatis aliunde libris, magnificam hanc eruditionis pompam meæ qualicumque commenta- tioni adhibere, non $atis otii ad legendum $uppetebat, & nimium temporis po$tula$$et $criptio, $i exponendæ pri- mùm, dein confirmandæ aut refellendæ fui$$ent aliorum <pb> $ententiæ: propterea $atius duxi, quæ animo occurrebant, pro meâ con$uetudine breviter $implicitérque $cribere, vix aliquando tactâ alicujus Authoris opinione, quam in adver$ariis jampridem notatam inveni. <p>Nec te pluribus volo, Amice Lector. Multa habebis, quæ pro tuâ humanitate mihi condones, plura quæ ama- nuen$i, plurima forta$$e quæ Typographo, ubi præ$ertim de Numeris, & de Majori aut Minori Ratione $ermo e$t; facilis enim contingit o$citanti hallucinatio, ut ab Auto- grapho aberret exemplar, & Numerus numero, verbum verbo commutetur: Non ægrè tamen ex adjunctis peti poterit correctio. In iis verò, in quibus à me per impru- dentiam peccatum fuerit, à tuâ Sapientiâ facilè patiar me dedoceri. Vale. <FIG> <p>ELENCHUS <pb> <FIG> <C>ELENCHUS CAPITUM.</C> <C>LIBER PRIMUS. De Centro Gravitatis.</C> <TABLE> <TR> <TD>CAP.I.</TD> <TD><I>QVid $it Centrum Gravium & Levium.</I></TD> </TR> <TR> <TD>II.</TD> <TD><I>An corpora prædita $int gravitate & levitate.</I></TD> </TR> <TR> <TD>III.</TD> <TD><I>Quid $it Centrum Gravitatis, & Linea Directionis.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IV.</TD> <TD><I>An gravia centro vicina minùs gravitent.</I></TD> </TR> <TR> <TD>V.</TD> <TD><I>Qua ratione Centrum gravitatis corporum inveniatur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VI.</TD> <TD><I>Affertur ratio prædictarum praxeon.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VII.</TD> <TD><I>Quomodo gravia $ponte a$cendentia de$cendant.</I></TD> </TR> <TR> <TD VALIGN="TOP">VIII.</TD> <TD><I>Cur gravium in plano inclinato de$cendentium alia repant, alia rotentur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IX.</TD> <TD><I>Cur turres inclinatæ non corruant.</I></TD> </TR> <TR> <TD VALIGN="TOP">X.</TD> <TD><I>An plurium $tructurarum capax $it Mons, quàm $ubjecta planities.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XI.</TD> <TD><I>Quomodo animalium motus ordinentur ex centro gravitatis.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XII.</TD> <TD><I>An tellus moveatur motu trepidationis.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XIII.</TD> <TD><I>Qua ratione minuatur gravitatio in plano inclinato.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XIV.</TD> <TD><I>Qua ratione corpus gravitet in planum inclinatum.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XV.</TD> <TD><I>Inquiruntur Rationes gravitationis corporum $u$pen$orum.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XVI.</TD> <TD><I>Tractiones ac elevationes obliquæ expenduntur.</I></TD> </TR> </TABLE> <HR> <C>LIBER SECUNDUS. De Cau$is Motûs Machinalis.</C> <TABLE> <TR> <TD>CAP.I.</TD> <TD><I>QVem ad finem Machinæ in$truantur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>II.</TD> <TD><I>Impetûs motum proximè efficientis natura explicatur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>III.</TD> <TD><I>Qua ratione $emel conceptus impetus percat.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IV.</TD> <TD><I>Qua ratione vis movendi cum impedimentis comparetur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>V.</TD> <TD><I>In quo Machinarum vires $ita $int.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VI.</TD> <TD><I>Quid attendendum $it in Machinæ collocatione, at que materiæ.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VII.</TD> <TD><I>Præ$tetne Machinam augere? an componere?</I></TD> </TR> <pb> <TR> <TD>VIII.</TD> <TD><I>Cur majores rotæ motum juvent præ minoribus.</I></TD> </TR> <TR> <TD VALIGN="TOP">IX.</TD> <TD><I>Quid cylindri & Scytalæ ad faciliorem ponderis motum præ$tent.</I></TD> </TR> <TR> <TD>X.</TD> <TD><I>Circulorum Concentricorum motus explicatur.</I></TD> </TR> </TABLE> <HR> <C>LIBER TERTIUS. De Libra.</C> <TABLE> <TR> <TD>CAP.I.</TD> <TD><I>LIbræ forma & natura exponitur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>II.</TD> <TD><I>Libræ inæqualium brachiorum expenditur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>III.</TD> <TD><I>Quomodo Corporum æquilibria explicentur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IV.</TD> <TD><I>An, & cur libra ab æquilibrio dimota ad illud redeat.</I></TD> </TR> <TR> <TD>V.</TD> <TD><I>An fieri po$$it libra Curva.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VI.</TD> <TD><I>Quanam libræ $int omnium exactißimæ.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VII.</TD> <TD><I>Libræ dolo$æ vitia reteguntur,</I></TD> </TR> <TR> <TD>VIII.</TD> <TD><I>Stateræ Natura & Forma explicatur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IX.</TD> <TD><I>Antiquorum Statera examinatur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>X.</TD> <TD><I>Libræ & Stateræu$us extenditur.</I></TD> </TR> <TR> <TD VALIGN="TOP">XI.</TD> <TD><I>Fundamenta pramittuntur ad explicandum, Cur gravia $u$pen$a modò præponderent, modò æquilibria $int.</I></TD> </TR> <TR> <TD VALIGN="TOP">XII.</TD> <TD><I>Præponderatio & Æquilibritas gravium fune $u$pen$orum con$ideratur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XIII.</TD> <TD><I>An aliqua $it Libræ Obliquæ utilitas.</I></TD> </TR> </TABLE> <HR> <C>LIBER QUARTUS. De Vecte.</C> <TABLE> <TR> <TD>CAP.I.</TD> <TD><I>VEctis forma & vires explicantur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>II.</TD> <TD><I>Quid in hypomochlij collocatione $it ob$ervandum.</I></TD> </TR> <TR> <TD>III.</TD> <TD><I>Quaratione $tatuendus $it Ponderi locus in Vecte primi generis.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IV.</TD> <TD><I>Momenta Ponderis in Vecte $eaundi generis con$iderantur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>V.</TD> <TD><I>Quæ $it Ratio Vectis hypomochlium mobile habentis.</I></TD> </TR> <TR> <TD VALIGN="TOP">VI.</TD> <TD><I>Quanam $int momenta Vectis Pondus fune connexum tra- hentis.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VII.</TD> <TD><I>Quid conferat Potentiæmo ventis applicatio ad Vectens.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VIII.</TD> <TD><I>Oneris ex Vecte pendentis momentum inquiritur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IX.</TD> <TD><I>An duo pondus ge$tantes æqualiter premantur.</I></TD> </TR> <pb> <TR> <TD>X.</TD> <TD><I>An vis Ela$tica ad aliquod Vectis genus pertineat.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XI.</TD> <TD><I>Cur longiora corpora faciliùs flectantur, difficiliùs $u$tincantur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XII.</TD> <TD><I>Vnde oriantur forcipum, & forficum vires.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XIII.</TD> <TD><I>Cur Tollenones juxta puteos con$tituantur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XIV.</TD> <TD><I>Remoram vires in agenda navi expenduntur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XV.</TD> <TD><I>Quomodo Naves à Gubernaculo moveantur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XVI.</TD> <TD><I>An Malus in motu navis habeat Rationem Vectis.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XVII.</TD> <TD><I>An ex Rationibus Vectis pendeat u$us Anchoræ.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XVIII.</TD> <TD><I>Plures Vectis u$us exponuntur.</I></TD> </TR> </TABLE> <HR> <C>LIBER QUINTUS. De Axe in Peritrochio.</C> <TABLE> <TR> <TD>CAP.I.</TD> <TD><I>Axis in Peritrochio forma, & vires de$cribuntur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>II.</TD> <TD><I>Succulæ & Ergata u$us con$ideratur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>III.</TD> <TD><I>Tympani à calcante circumacti vires expenduntur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IV.</TD> <TD><I>An Axis in Peritrochio inveniatur etiam $inè tractione.</I></TD> </TR> <TR> <TD>V.</TD> <TD><I>Axium in $uis Peritrochiis Compo$itione vires augentur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VI.</TD> <TD><I>Tympanorum dentatorum u$us. & vires exponuntur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VII.</TD> <TD><I>Moletrinarum artificium ex Axe in Peritrochio pendet.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VIII.</TD> <TD><I>Axis cum Vecte compo$itus auget Potentiæ momenta.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IX.</TD> <TD><I>Multiplex Rotarum dentatarum u$us innuitur.</I></TD> </TR> </TABLE> <HR> <C>LIBER SEXTUS. De Trochlea.</C> <TABLE> <TR> <TD>CAP.I.</TD> <TD><I>TRochlearum forma & vires exponuntur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>II.</TD> <TD><I>An Trochlea ad Vectem revocanda $it.</I></TD> </TR> <TR> <TD>III.</TD> <TD><I>An Orbiculi Magnitudo quicquam conferat.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IV.</TD> <TD><I>Qua Ratione Trochlearum vires augeantur.</I></TD> </TR> <TR> <TD VALIGN="TOP">V.</TD> <TD><I>Trochlea Trochleis additæ plurimum augent momenta Po- tentiæ.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VI.</TD> <TD><I>Trochlearum ope moveri pote$t pondus velociter.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VII.</TD> <TD><I>Quàm validum e$$e oporteat Trochlearum retinaculum.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VIII.</TD> <TD><I>Aliqui Trochlearum u$us indicantur.</I></TD> </TR> </TABLE> <pb> <HR> <C>LIBER SEPTIMUS. De Cuneo, & Percu$$ionibus.</C> <TABLE> <TR> <TD>CAP.I.</TD> <TD><I>CVnei farma & vires explicantur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>II.</TD> <TD><I>Cunei inflexi v$us ad movendum.</I></TD> </TR> <TR> <TD>III.</TD> <TD><I>Cuneus Perpetuns circulo excentrico effingitur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IV.</TD> <TD><I>Ex Cylindro con$trui pote$t Cuneus Perpetuus.</I></TD> </TR> <TR> <TD>V.</TD> <TD><I>Cuneum Perpetuum Circulus inclinatus imitatur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VI.</TD> <TD><I>Vnde oriatur vis Percu$$ionis.</I></TD> </TR> <TR> <TD>VII.</TD> <TD><I>Quàm di$pares ex motûs velocitate $int Percu$$iones.</I></TD> </TR> <TR> <TD VALIGN="TOP">VIII.</TD> <TD><I>An validior $it ictus Malles à Situ Verticali ad Horizonta- lem, an verò ab Horizontali ad Verticalem de$cendentis.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IX.</TD> <TD><I>Quomodo Percu$$iones ex Mele pendeant.</I></TD> </TR> <TR> <TD>X.</TD> <TD><I>Quid conferat re$i$tentia corporis percu$$i.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XI.</TD> <TD><I>Quomodo ex Percu$$ionibus determinentar Re$lexiones.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XII.</TD> <TD><I>Quomodo Impetus in Percu$$ions communicetur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>XIII.</TD> <TD><I>Cunei u$us promovetur.</I></TD> </TR> </TABLE> <HR> <C>LIBER OCTAVUS. De Cochlea.</C> <TABLE> <TR> <TD>CAP.I.</TD> <TD><I>COchleæ forma & virtus de$cribitur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>II.</TD> <TD><I>An utilis $it Cochlea duplex contraria.</I></TD> </TR> <TR> <TD>III.</TD> <TD><I>Cochlea cum Vecte, atque cum Axe componitur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>IV.</TD> <TD><I>Cochleæ Infinitæ vires explicantur.</I></TD> </TR> <TR> <TD>V.</TD> <TD><I>Cochlea u$us aliqui indicantur.</I></TD> </TR> </TABLE> <pb n=1> <FIG> <C>MECHANICORUM</C> <C>LIBER PRIMUS.</C> <C><I>De Centro Gravitatis.</I></C> <p>MACHINARUM vires, quibus innatæ corporum in motum aut quietem propen$ioni ob$i$timus, explo- raturus, præterire non po$$um gravitatem ip$am: ne $cilicet ignoretur, quid arte vincendum $it. Ideò primum hunc Librum Centro gravitatis tribuen- dum cen$ui, cùm plura ex illo pendeant examinanda in po$te- rioribus. Neque tamen hîc $ubtili$$imam illam $tatices partem per$equar, quæ in corporibus $ingulis gravitatis centrum in- ve$tigat: id enim, & abundè ab aliis præ$titum, & mihi in hac tractatione minimè nece$$arium; quippe cui $atisfuerit cen- trum illud phy$icè per$pectum habere, quatenus præcaven- dum e$t, ne alienâ ponderis ad machinam applicatione longè alia fiat momentorum ratio, quàm oporteat. Ut autem Centri gravitatis notitia clarior habeatur, non inutile ducam quæ$tio- nes aliquot ad illud enucleatiùs explicandum pertinentes ad- dere, ut ip$is etiam tyronibus fiat $atis: quamquam enim illis machinalis $cientia carere po$$e alicui forta$$e videatur, rem tamen penitiùs intro$piciens eas extrà mechanicæ con$idera- tionis fines po$itas non e$$e cogno$cet. <HR> <C>CAPUT I.</C> <C><I>Quid $it Centrum gravium, & levium.</I></C> <p>QUoniam hæc rerum univer$itas corpora diver$æ inter $e rationis complectitur, eorum ordo aliquis nece$$ariu, fuit <pb n=2> ut $uo unumquodque loco di$poneretur; atque adeò æquum fuit, ut $ingulis à natura ea tribueretur facultas, quâ & $e $uo in loco, hoc e$t, juxta in$itam propen$ionem $ibi debito, con- $ervare po$$int, & ad illum $e ip$a promovere, $i fortè indè dimota fuerint. Quia verò æqualia non ni$i æqualiter, $imili- que ratione di$ponenda erant, nullum autem corpus præter $phæram habet perfectam in partium di$po$itione æqualitatem, debuerunt corpora omnia orbem unum con$tituere. At in $phæra punctum unum e$t, à quo æqualibus radiis extremæ $uperficiei partes removentur: igitur ex ordine ad punctum hoc, quod Centrum dicitur, comparanda $unt corpora; qua- tenus cùm naturâ impellente moventur, ut in loco $ibi debito, à quo per vim $ejuncta fuere, demum con$i$tant, vel ad cen- trum hoc accedunt, vel ab eo recedunt. <p>Et quidem $i ad centrum accedant, gravitare dicuntur, $i verò recedant, levitare: & quæ propiora centro con$i$tunt, graviora, quæ autem remotiora, leviora quoque cen$entur $ecundùm $peciem gravitatis, & levitatis: quicquid $it quod æqualia e$$e po$$int $ecundùm gravitatem ab$olutam, aut etiam $æpè contingat minus habere gravitatis ab$olutæ id, quod e$t gravius $ecundùm $peciem. Sic libra plumbi æqualis e$t libræ aquæ, immò minor centum libris aquæ; quia tamen plum- bum infra aquam de$cendens fit centro vicinius, etiam gra- vius e$t $ecundùm $peciem. Quod $i comparare velis duo cor- pora $olida, quæ $ibi $ua duritie ita ob$i$tunt, ut neutrum intra alterum moveri po$$it tanquam in medio; illud e$$e $ecundùm $peciem gravius affirmabis, quod datâ paritate molis cum alio corpore, cum quo comparatur, $taterâ expen$um in eodem medio, in quo utrumque gravitat puta in aëre, plus habere ponderis deprehendes. Sic aurum e$t ferro gravius in $pecie, quia ex æqualibus molibus auri & ferri, aurea e$t pondero$ior. <p>Generatim autem loquendo ea $unt in $pecie graviora, quæ $unt den$iora, ea verò in $pecie leviora, quæ rariora: nam & inflata ve$ica ob aërem con$tipatum gravior e$t, quàm flaccida; & Æolipilam candentem, aëre intus vi caloris raro, leviorem primùm, po$teà, ubi refrixerit, graviorem e$$e experimento didicimus, aëre a$$umptam <*>aritatem abjiciente. Cùm enim radij à $phæræ centro ad $uperficiem ducti longiùs à $e invi- <pb n=3> cem recedant, æquum fuit, ut quæ plus habent materiæ atque $ub$tantiæ $ub minori mole, in angu$tiore $patio collocarentur; ea verò, quæ $ub majoribus dimen$ionibus continentur, am- pliora $patia occuparent, ubi radij magis di$tant: ut videlicet hac ratione æqua $ub$tantiæ di$tributio fieret in totâ $phærâ. Hinc vides, cur idem corpus, eo ip$o quod rarum fit, a$cendat, ut aqua in vaporem re$oluta (ni$i aliunde ad de$cendendum determinetur, ut aurum fulminans) quia materies eadem $ub majoribus dimen$ionibus petit longiùs abe$$e à centro, ibiquè tanti$per conquie$cit, dum con$tipata, atque minorem in mo- lem redacta, iterum de$cendat. <p>Quare centrum hoc, quod motus, vel quies corporum re$pi- cit, dicitur <I>Centrum gravium, & levium</I>; atque idem creditur e$$e cum centro univer$i: vel $altem (ne parùm utili nos di$pu- tatione torqueamus) centrum eorum, quæ in hac $phærâ ele- mentari gravia, aut levia dicuntur, idem e$t cum centro ter- raquei hujus globi, ut quotidiana docet experientia: quicquid $it, an pars lunaris globi, $i à lunâ $ejungeretur, reditura e$$er ad lunam, ut ad centrum $ui motus. Tam itaquè, quæ huju$mo- di centro proxima $unt, deor$um po$ita dicuntur, $ur$um verò, quæ ab eo longiùs collocata $unt. Hinc telluris $uperficiei in- $i$tentes caput $ur$um, pedes deor$um habere dicimur. Ille verò, quamvis rectus, & pedes, & caput $ur$um haberet, cu- jus umbilicus huic centro univer$i congrueret. Per quod pa- riter centrum $i $cala ducta intelligatur, duo po$$ent $ibi non occurrere invicem, licet alter a$cenderet, alter de$cenderet; hic $iquidem accederet ad centrum, ille inde recederet: per eam verò po$$et uterque a$cendere, & tamen licet, æquali mo- tu moverentur, $emper invicem di$tarent magis, quò à centro ad oppo$itas partes recederent. <HR> <C>CAPUT II.</C> <C><I>An corpora prædita $int gravitate, & levitate.</I></C> <p>INter ea, quæ planè homogenea $unt, ordo e$$e non pote$t à naturâ in$titutus: hinc $i nulla e$$et corporum di$$imilitudo, <pb n=4> $ed ex omninò $imilibus $ub$tantiæ partibus totus hic orbis conflaretur, nulla quoque e$$et aut gravitas, aut levitas. Quid enim hæc potiùs pars, nulla naturæ conditione à cæteris di$cre- ta, petat abe$$e à centro, illa verò exigat in co conquie$cere? verùm quia multiplici corporum genere coagmentata rerum univer$itas inconcinna e$$e non potuit, $uum cuique locum na- tura tribuit, in quo $e $i$teret, ut infra hæc quidem de$cende- ret, $uprà illa verò a$cenderet, $i quando $ibi invicem con- tigua fierent ordine præpo$tero, nec ullus e$$et motui obex. Cùm itaque corpora $ingula in$itam habeant propen$ionem (ab Ari$totele dicitur <G>o(rmh/</G>) qua petunt certum locum in uni- ver$o; con$tat præter de$cendentium gravitatem dari etiam po- $itivam levitatem, quâ corpus aliquod $e ip$um promovet ad $uperiores partes univer$i à centro magis di$tantes, neque $o- lùm admittendam levitatem negativam, quâ corpora minùs gravia cen$entur levia, $i eorum cum gravioribus fiat compa- ratio. Nam $i ea, quæ levia dicuntur, eatenus dicas a$cendere, quatenus à gravioribus in inferiorem locum de$cendentibus propelluntur; mihi æquè liberum erit tollere omnem po$iti- vam gravitatem, $olâ levitate admi$sâ; & omnia pariter $ol- vam dicendo ea gravia cen$eri, quæ minùs levia $unt, atque ideò tantùm de$cendere, quòd extrin$ecùs à levioribus a$cen- dentibus loco pul$a detrudantur, non quòd ab internâ faculta- te deor$um impellantur. Quod $i vel gravitas de medio tollen- da $it, vel levitas, $atius e$t levitatem relinquere; naturâ vi- delicet ad altiora $emper, & perfectiora a$pirante, nec adeò contendente de infimo loco. Quare cùm per gravitatem $olam æquè ac per $olam levitatem motus i$ti explicentur, cæteroqui autem ingenita $it unicuique corpori $ui loci exigentia; utram- que admittere rationi maximè con$entaneum fuerit. <p>Vitreum globum vacuum, qui in tubulum recurvum de$i- nat, quoad fieri pote$t, calefactum, ut inclu$us aör rare$cat, Hermeticè claude: tum adjiciatur congruens plumbi gravitas, quâ infra aquam deprimatur. Sit autem globus, unà cum ad- jecto plumbo, connexus cum exqui$itæ libræ brachio, aut lan- ce, ejú$que gravitas intrà aquam exploretur: ubi gravitas in- notuerit, adhuc $ub aquâ retineatur globus, $ed longiore for- cipe extremum tubuli caput occlu$um frangatur: & animad- <pb n=5> vertes globi vitrci cum appen$o plumbo gravitatem augeri; cu- jus incrementum indicabitur ab addito in oppo$itâ lance pon- dere ad con$tituendum æquilibrium. Cùm itaque idem maneat vitrum, idémque plumbum, & nulla facta $it alicujus gravita- tis acce$$io, illud unum $upere$t, quòd aör rarus intrà globum conclu$us levior, quàm idem aör, aperto tubulo, $ibi re$titu- tus, plus elidit gravitatis plumbi & vitri; atque moles compo- $ita ex plumbo, vitro, & aëre raro, $ecundùm $peciem levior e$t, quàm moles ex plumbo, vitro, & aëre non raro. Aër igi- tur intra aquam ita levis e$t, ut aliquid gravitatis imminuat: Nam $i globum eundem ex aquâ ext<*>actum, omni aöre exclu- $o, aquâ repleveris, & iterum eodem plumbo adjecto eju$dem gravitatem intrà aquam examinaveris, illam adhuc majorem deprehendes; quia $cilicet nulla levitas aöris ade$t, quæ ali- quam deterat gravitatem, $ed illa $olùm perire videtur, quam infert di$crimen gravitatum $ecundùm $peciem, ut ex Hy- dro$taticis con$tat. Neque $u$piceris hæc gravitatum incre- menta oriri ex aquâ $ubeunte per apertum tubulum, cùm aër a$$umptam ex calore raritatem abjicit, $e in naturalem $uam molem re$tituens, $ivè, aëre pror$us exclu$o, ex aquæ globum implentis gravitate. Si enim vitrum aliud aut nullius, aut mo- dici$$imæ aquæ capax, $ed eju$dem in aëre ponderis cum a$- $umpto globo, $imiliter in aquâ expendas, eandem invenies gravitatem, $ive multâ, $ive modicâ aquâ repletum fuerit. Non igitur aqua intrà aquam gravitatem auget. <p>Sed illud, ut reliqua $ileam, non leviter $uadere pote$t cor- pora $uis nutibus non deor$um tantùm, $ed etiam $ur$um co- nari, quod mihi haud ita pridem aliud inve$tiganti contigit ob$ervare. Cum enim animadverti$$em aliquando, quàm di$- par e$$et gravitas aquæ dimidiam $itulam implentis, $i illa in $u- perficie horizontali libraret $e$e, ac quandò $uppo$ita ligneo globo firmiter cum $uperiore tigillo cohærenti altiùs ad latera a$$urgebat locum globo concedens, quem tamen non $u$tine- bat; $ubiit animum cupido tentandi, an bubula ve$ica inflata tran$ver$is virgulis infra va$is labra depre$$a ita, ut eam aqua circumplecteretur, vim haberet pariter augendi momenta gra- vitatis; aquam $iquidem cogebat a$$urgere ad altitudinem ma- jorem perpendicularem, ac quandò, ve$icâ liberè innatante, <pb n=6> $ub$idebat. Inveni tamen nullum planè ob$ervari po$$e in gravitate di$crimen, quamvis tam ampla e$$et ve$ica, ut facilè dimidiam va$is capacitatem impleret: in utroque enim ca$u pon- dus fuit lib. 44 1/2. Id mihi, fateor, accidit præter opinionem: <FIG> Nam $i ex pariete extet tigillus, cui adnectatur cylindrus P, aut ve$ica ritè firmata, ferè im- plens capacitatem va$is AB, va$que illi $up- ponatur ita, ut aqua deinde infu$a po$$it libe- rè cylindro circumfundi; percipies onus lon- gè majus, quàm pro gravitate aquæ infu$æ, $i permitteretur $ub$idere: & $i vas ex $taterâ pendeat, adducto reductóve $acomate appa- rebunt momenta gravitatis longè majora, quàm $i tota illa aqua fundum peteret, & cylindri pars, quæ priùs immerge- batur, ab$ci$$a, aut ve$ica innataret. Intelligebam id ex majori altitudine perpendiculari aquæ $upra eandem ba$im oriri; nam depre$$o va$e ita, ut paulatim cylindus emcrgat, & aqua $ub- $idat, $emper minuitur pondus: idem futurum $perabam, $i ve$ica intra aquam non ab extrin$eco obice detineretur, $ed à virgulis cum va$e ip$o connexis; quandoquidem aqua ad ean- dem pariter altitudinem a$$urgebat $uper ba$im eandem: at $pem fefellit eventus. Nec alia mihi $e obtulit probabilior ra- tio, quàm ut exi$timarem aquam altiorem vehementius qui- dem deor$um niti, ve$icam tamen leviorem altiùs depre$$am, conantem $ur$um, æqualiter contendere, ut emergeret; cùm verò ni$us i$te $ur$um oppo$itas virgulas, atque adeò vas cum illis connexum urgeret, elidi adver$um impetum deor$um, qui à majore altitudine perpendiculari aquæ oriebatur, & $o- lum remanere conatum ex ip$orum corporum $ub$tantiâ pro- manantem, quæ $icut eadem $emper erat, $ivè innataret ve$i- ca, $ivè per vim immergeretur, ita eadem obtinebat gravita- tis momenta. Quo experimento (quamquam non me lateat, quid pro $e afferre hîc po$$ent aliter $entientes) vi$us mihi $um deprehendere non ob$curum po$itivæ levitatis ve$ti- gium. <p>Ut autem levitatem corporibus adimendam a$$ererent in- genio$i Academici, hoc poti$$imum ducti $unt experimento. <pb n=7> Ligneum cylindrũ ABC <FIG> plano horizontali D, E, perpendicularem $tatue- runt; & ut cylindri ba- $is $ubjecto plano exactè congrueret, laminas duas accurati$$imè lævigatas, tùm cylindri ba$i, tùm $ubjecto plano firmiter adnexas voluerunt. Tùm ne aër facilè inter utrum- que $ubiret, erecto $upra planũ in orbem ex cretâ, aut cerâ aggerulo, argen- tũ vivum infuderunt. Cylindrum extremo libræ jugo G, alligâ- runt, addito in oppo$itâ libræ extremitate H pondere L cylin- dri pondus adæquante; quod utique cylindrum elevare non po- te$t. Additum igitur e$t & aliud pondus M u$que eò, dum cy- lindrus à $ubjecto plano avelleretur, & fuit librarum circiter trium: quam men$uram arguunt e$$e re$i$tentiæ cylindri con- tiguo plano adhærentis metu vacui. His peractis concavum vas cylindricum NOP, æqualis aut majoris altitudinis parâ- runt, laminâ pariter perpolitâ va$is fundo adnexâ, cui impo- $itus fuit cylindrus, adeoque adhæ$it, ut, pleno-mercurij va$e, omninò non avelleretur, ut innataret; $ed tunc demum argento vivo innatavit, cùm per vim à va$is fundo avul$us e$t cylindrus: cui, ut iterum fundum peteret, & argento vivo immergeretur, imponendum fuit pondus Q librarum circiter quinque. Vis ergò levitatis ligni in mercurio ($i qua levitas e$$et) æ$timanda e$$et ut quinque, cùm vis adhæ$ionis metu vacui $olùm inventa $it ut tria: debui$$et igitur levitas ita præ- valere, ut adhæ$ionem vinceret, & cylindrus $ponte elevaretur. Non e$t itaque levitas, quæ ligneum cylindrum innatare cogit, $ed mercurij gravitas major ip$a e$t, quæ lignum elevat, cum primùm locus patet, in quem de$cendat. <p>Sed antequam experimentum hoc ad examen revocemus, ut innote$cat, quid hinc confici po$$it ad levitatem excluden- dam, haud ægrè permi$erim, cùm in abeuntis $uâ $ponte cor- <pb n=8> poris locum corpus aliud $uapte vi, & naturâ $uccedit, ab hoc illud urgeri po$$e, ut velociùs moveatur: duo $cilicet corpora diver$æ $ecundùm $peciem gravitatis $i fuerint perturbatè di$- po$ita intrà medium, in quo utrumque gravitat, nil mirum, $i à graviore majori ni$u conante extrudatur minùs grave: id quod etiam de duobus levibus dicendum perturbatè di$po$itis in medio, ubi utrumque levitat: duobus enim $imul currenti- bus, ab eo qui ponè $ub$equitur, $i majoribus viribus polleat, priorem urgeri atque impelli palam e$t, quamquam motus uni- ver$us impul$ioni tribuendus non $it. Ita quoque a$cendentem in mercurio ligneum cylindrum à de$cendente mercurio $ur- $um urgeri aliquatenus po$$e non diffitebor, $icut & mercu- rium ip$um repugnare, ne $ur$um propellatur, atque ab eodem lignum innatans prohiberi, ne de$cendat: hinc tamen non $equitur ligni a$cendentis motum, aut innatantis quietem, prægravis mercurij viribus omnino ad$cribi jure debere, nam, & $ua vis a$cendendi, atque con$i$tendi, ligno ip$i tribuen- da e$t. <p>Quid quòd ip$æ innatantis cylindri portiones, altera quidem mercurio immer$a, altera verò extans, levitatem ip$i ligno in- $itam declarant? Quid enim partis immeriæ ad extantem ($i moles $pectetur) ea ratio e$t, quæ $pecificæ gravitatis ligni ad differentiam gravitatum ligni, atque mercurij? ni$i quia por- tionis mercurio immer$æ levitas, atque extantis in aëre gravi- tas, æquilibritatem con$tituent; quemadmodum in <I>Terra ma- chinis mota di$$ert.</I> 5. <I>n.</I> 105. explicatum e$t. Hanc porrò æqua- litatem Algebricè $ic o$tendo. Ratio gravitatis ligni ad gravi- tatem mercurij $it ut S. ad R; differentia e$t R—S. Ponatur cylindri pars immer$a. A. Quia igitur ut $pecifica gravitas corporis innatantis ad differentiam gravitatum, hoc e$t ut S ad R — S, ita pars cylindri immer$a A, ad extantem (R in A—S in A/S); Si pars extans in aëre in $uam gravitatem S du- catur, pars verò immer$a A in differentiam gravitatum R—S, hoc e$t in — R + S, quia e$t deficiens, efficitur hinc quantitas R in A — S in A, hinc verò — R in A + S in A, quæ $e invi- cem elidunt. Æqualia igitur $unt levitatis, & gravitatis mo- menta. Sit enim exempli causâ gravitas ligni ad gravitatem <pb n=9> mercurij, ut S. ad 13. differentia e$t 8. E$t igitur cylindri pars immer$a eju$dem (5/13), extans verò (8/13): at portio immer$a de- ficit à grayitate mercurij $ecundùm $peciem ut 8; igitur (5/13) in - 8 dant (40/13): item partis extantis gravitas in aëre e$t S; igitur (8/13) in 5 dant (40/13): confligunt itaque inter $e pari conatu levitas (-40/13) & gravitas (40/13), adeóque fit con$i$tentia & innatat lignum. <p>Sed jam ad propo$iti experimenti examen de$cendamus. Aio cylindri re$i$tentiam ex adhæ$ione metu vacui non $atis explo- ratam fui$$e per libram; hæc enim dum ex pondere M deor$um inclinatur, extremitas G $ur$um elevata arcum de$cribit, ac proinde cylindri a$cendentis motus non e$t per lineam horizon- tali plano perpendiculariter in$i$tentem, $ed per inclinatam: Quare cùm A. versùs I libræ centrum trahatur, cylindri ba$is non incipit elevari parallela horizonti, $ed cum inclinatione, ita ut C priùs elevetur, quàm B: ea autem, quæ $ibi invicem adhæ- re$cunt, multò faciliùs divelli manife$tum e$t, $i id cum inclina- tione fiat, quàm $i $ervandus $it paralleli$mus. Adde in hac in- clinatione faciliùs adhuc divelli cylindrum à $uppo$ito plano, quò longior cylindrus fuerit; habet $cilicet rationem vectis, cujus potentia e$t in A, hypomochlion in B, re$i$tentia vin- cenda in C. Quare pondus M non aptè metitur re$i$tentiam, quæ oritur ex corporum adhære$centiâ, metu vacui, $ed hæc multò major e$t, $i ad perpendiculum motus fieri debeat; quemadmodum & fieri oporteret, $i in va$e NOP mercurij pleno cylindrus fundo adhærens rectâ a$cenderet. Quamvis igitur pondus Q librarum quinque admitteretur men$ura levi- tatis, non continuò argui pote$t hujus exce$$us $upra re$i$ten- tiam adhæ$ionis. Quin immo affirmare au$im, $i libræ loco adhibita fui$$et amplior trochlea, & ex funiculo ejus orbitam cõplectente hinc cylindrus A, hinc verò pondus M ad perpen- diculum pependi$$ent, non $atis futurum fui$$e põdus librarum trium, $ed multò majus adhibendum fui$$e, ut cylindri re$i$ten- tiam $uperaret; fui$$et enim avellenda ba$is $ervato paralleli$mo. <p>Quantum autem virium, ferè $upra fidem, habeat vacui horrorad corpora retinenda, $atis apertè declarant gravia, quæ $u$penduntur. Ego $anè vidi marmoreum mortarium commu- nis magnitudinis $atis vulgari artificio $u$pendi vitrco cyatho: <pb n=10> mortarij $cilicet fundo exteriùs aptata fuerat ma$$a ex farinâ ad formandos panes recens macerata, & aquâ ita $ubacta, ut illi tenaciter cohæreret: tum vitreo calici injecta $tuppa admo- to igne exar$it, applicitu$que calix ma$$æ eam attraxit, $icut & medicorum cucurbitulæ carnem attrahunt: quare accepto ca- licis vitrei pede facile fuit mortarium elevare, & $u$pendere. Quod $i marmoreum mortarium ex metu vacui in aëre pendu- lum hæ$it, quid mirum $i & ligneus cylindrus $ubjecto plano adhære$cens in mercurio $tetit? <p>Nondum itaque ex hoc experimento, aut ex $imilibus, ubi metu vacui $uos motus moliri corpora non po$$unt, $atis habe- mus argumenti, quo levitatem, $olâ gravitate retentâ, expun- gamus. Huju$modi e$t illud, ubi in lignei va$is fundo exca- vatur $caphium, cui exqui$itè congruat eburneus globus, qui $uperinfu$o hydrargyro non a$cendit. Neque enim ideò non a$cendit, quia rima nulla patet argento vivo, per quam $ubiens extrudat eburneum globum, $ed quia ita $ibi exqui$itè con- gruunt ebur, & lignum, ut vis ip$a a$cendendi vincere non va- leat vim adhære$centiæ. Nam & eadem vis in aöre $u$pendit corpora gravia, ne de$cendant. Quamvis autem non totum hemi$phærium globi eburnei, $ed $olùm ejus maximus circu- lus congrueret excavato ligno, & cavitas ip$a aëre repleretur, non propterea tollitur vis adhære$centiæ illius annularis; quia $cilicet vis a$cendendi in hydrargyro tanta non e$t, ut valeat inclu$um ibi aërem di$trahere, $icut opus e$$et ad incipiendum motum citra periculum vacui, & præterea $uperanda e$t re- $i$tentia hydrargyri dividendi; corpora enim in motu divi- dunt medium, pro cujus cra$$itudine re$i$tentiam experiuntur. Adde hemi$phærium inferius in aëre tanquam in loco po$itum gravitare non minùs, quàm hemi$phærium $uperius levitet in hydrargyro; proinde nil mirum, $i globus non a$cendat. Quod $i aëre exclu$o locum illum impleveris hydrargyro, & ebur- neum globum ita foramini aptaveris, ut illi exqui$itè congruat; $i in $uperinfu$o hydrargyro globus non a$cendat, indicio e$t ita globum e$$e foramini infixum, ut neque valeat elevari à $ub- jecto hydrargyro in $caphij formam per vim excavato: neque enim facilè mihi per$uadebis $pecificarum gravitatum diffe- rentiam exigere, ut hemi$phærium integrum præcisè extet: <pb n=11> præter quam quod $i non valebat $ubjectum aërem di$trahere, multò minùs id in hydrargyro præ$tare pote$t, ut vacuum evitetur. <p>At, inquis, fi$tulam quadricubitalem $piritu vini plenam cum globulo innatante $i clau$eris, & inverteris deor$um, a$cendet globulus $patio 200 vibrationum perpendiculi; in eâ- dem verò fi$tulâ communis, & $implicis aquæ plenâ a$cendet $ubduplo tempore 100 vibrationum. Cur hoc? ni$i quia aqua ut pote gravior validiùs extrudit globulum, quàm $piritus vini. Nihilominus: $i gravia in levibus magis gravitant, & velociùs de$cendunt, quò major e$t $pecificarum gravitatum differen- tia; vici$$im levia in gravibus magis levitant, & velociùs a$cendunt, quò major e$t $ecundùm $peciem levitatis differen- tia: Atqui $piritus vini magis accedit ad $pecificam levitatem innatantis globuli, aqua autem magis differt; in aquâ igitur globulus magis levitat, & velociùs a$cendit, $icut lapis in aëre velociùs de$cendit quàm in aqua, aut in melle. <p>Addis iterum. Vitreo va$culo, cui longior fi$tula adhæreat, fomitem cum filo $ulphurato ope fili ferrei ingere, ut vitrum tangat: totum imple hydrargyro, & conver$o deor$um o$culo de$cendit hydrargyrus; atque $ub$i$tit in altitudine cubiti, & quadrantis: admotâ lucernâ vitrarij vitrum calefiat, ut fomes cum filo $ulphurato accendatur: fumus de$cendit, nec ni$i aperto $uperiore va$is o$culo a$cendit, aëre videlicet $ubeunte, à quo extrudatur $ur$um. Nego fumum ab aëre $ur$um extru- di, $ed qui gravior $piritu raro mercurij in illo de$cendebat, ubi aërem tangit, ut pote levior in illo a$cendit. <p>Non au$im tamen in lapide, qui gravitatem in aquâ & aëre, levitatem in mercurio, aut plumbo liquente obtinet, duplicem $tatuere virtutem, quarum altera $ur$um, altera deor$um con- nitatur: Cum enim impetus motum efficiens (ut infrà con$ta- bit) eju$dem naturæ $it, in quamcunque demum orbis plagam dirigatur motus; $atis video ab uno eodemque principio, pro variâ contigui corporis conditione, a$cen$um, de$censúmve prodire po$$e. Quandoquidem motus, qui in eadem lineâ per- ficitur, $imiles planè includit ubicationes $ucce$$ivè acqui$i- tas, $ivè a$cen$us $it, $ivè de$cen$us, ordine tantùm in earum adeptione, commutato. Quare cum a$cen$us à de$cen$u hoc <pb n=12> uno differat, quòd quam ubicationem lapis demùm obtineret po$t alias propè finem motûs, $i fui$$et centro propior quàm mercurius, eam acquirat $ub initium motûs ante alias, $i in mercurij locum aër aut aqua $urrogetur centro vicinior quàm lapis: ad ordinem hunc permutandum non videtur nece$$aria virtutis motricis di$$imilitudo; nihil quippe producitur di$$imi- le. Sed $i quis $ufficere dicat conditionum varietatem, nihil ab$onum fortè loquatur: debuit enim una virtus activa in $ui effectus productione non uni tantùm conditioni alligari, $ed pro earum varietate modum quoque operandi mutare po$$e, modò præ$titutos fines, quoad $ub$tantiam, non tran$iliret. <p>Neque arbitror hoc tantùm $en$u negatam ab aliquibus levi- tatem po$itivam; potui$$ent enim æquè negare gravitatem, ad- mi$$a $olùm potentia motrice. Sed $i vis i$ta $e movendi deor- $um gravitas po$itiva dicenda e$t, cùm eadem $it virtus $e mo- vendi $ursùm, cur levitas po$itiva non fuerit? Qui enim levita- tem à gravitate $ejunctam negat, non illicò levitatem expun- git: quemadmodum Angelos intelligentiâ aut voluntate dimi- nutos non a$$erunt ij, qui vitalium facultatum di$tinctionem non agno$cunt. Nullum igitur corpus $impliciter, & ab$olutè grave dicendum e$t, ni$i quod cæteris omnibus ita petat $ube$$e, ut nequeat raritatem a$$umere, vi cujus evadat levius corpore $imili quidem $ecundùm naturam, di$$imilis tamen raritatis: nullum $impliciter, & ab$olutè leve, ni$i quod ita exigat extre- mam orbis laciniam occupare, ut nunquam con$tipari po$$it, ac fieri gravius proximo corpore rariore. Reliqua omnia non ni$i comparatè gravia, aut levia dici po$$unt: $ic plumbum grave e$t in aëre, grave in aqua, at pariter leve in mercurio, leve $i cum auro conferatur. <p>Hinc corpus in loco $ibi debito con$titutum, sèque ibi con- $ervans (extra tamen $phæræ centrum, nec in extimâ orbis ele- mentaris $uperficie) ob idip$um, quia ob$i$tit non tantùm, ne infra $ubjectum corpus deprimatur, verùm etiam, ne in locum $uperioris attollatur, & levitare $imul dicendum e$t, & gravi- tare. At $i in alienum locum transferatur, quia in medio levio- re ita repugnat a$cen$ui, ut petat de$cendere, $olùm gravitat; quia verò in graviore ita depre$$ioni reluctatur, ut exigat ad $uperiora evadere, $olùm levitat. Quod $i corpora huju$modi <pb n=13> in actu $ecundo gravitare aut levitare tunc $olùm dixeris, quan- do illa in locum non $uum tran$lata aut de$cendere expetunt, aut a$cendere, vel re etiam ipsâ de$cendunt, aut a$cendunt, non admodum repugnabo; modò conatum illum, quo $e $uo tutantur in loco, gravitationem, & levitationem $altem in actu primo, aut pariter a$$eras, aut pariter neges. <p>Porrò motus omnis gravium, & levium $icut in vacuo exer- ceri non pote$t (ut in <I>Vacuo Pro$cripto cap.</I>2. <I>num.</I>9. o$tendi) ita in medio fit, vel tardiùs, vel citiùs, tùm pro majori vel minori ip$ius medij re$i$tentia ad $ci$$ionem partium magis, vel minùs connexarum, tùm comparatâ gravitate $eu levitate mobilis cum levitate $eu gravitate medij. Hinc e$t gravibus minus re$i$tere leviora, magis verò, quæ minùs levia, cæteris pari- bus: $ic aër minùs re$i$tit lapidi cadenti, quàm $i idem lapis in- ciperet moveri in aquâ, quæ minùs levis e$t, quàm aër. Ex oppo$ito autem levibus graviora minùs re$i$tunt, quæ au- tem minùs gravia, magis re$i$tunt: $ic exhalatio ex fundo aquæ, in vitreâ phialâ ad ignem expo$itâ, per aquam a$cendit velociùs, quàm deinde extra aquam po$ita a$cendat in aëre, ubi fumeam naturam induerit. Unde patet non adeò $olidum ab aliquibus ex hoc experimento $umi argumentum negandi po$itivam levitatem. Quæ enim de gravibus ex comparatione cum levibus dicuntur, ea de levibus, proportione $ervatâ, di- cenda $unt, $i cum gravibus conferantur. Cur autem gravibus leviora, levibus graviora minùs re$i$tant, ratio e$t, quia mo- bile movetur in medio propter di$$imilitudinem; nam $i corpus contiguum e$$et, $imile non moveretur; quando igitur major e$t di$$imilitudo, debet velociùs moveri, $egniùs autem, & len- tiùs, quò propiùs abe$t à $imilitudine, donec in $imili demum quie$cat. <p>E$t itaque in corporibus gravitas, & levitas, vi cujus motus ali- quos juxta naturæ propen$ionem perficiunt, ut certo denique in loco con$i$tant, eju$demque vi re$i$tunt, ne oppo$itis motibus cieantur, & à $uæ quietis loco avellantur. Quamvis autem ead&etilde; maneat gravitas aut levitas, non id&etilde; tamen e$t $emper momentũ (Græcis <G><*>ph</G>) hoc e$t actualis ad motum inclinatio, dum in actio- ne e$t; hæc enim, ut infra patebit, ut plurimum ex po$itione, & $itu mutatur, vel comparatè ad mediũ, in quo perficitur motus. <pb n=14> <HR> <C>CAPUT III.</C> <C><I>Quid $it centrum gravitatis, & linea directionis.</I></C> <p>QUamvis non minùs levitate, quàm gravitate prædita $int corpora, quia tamen frequentiùs gravitatem vincere co- namur, quàm levitatem; ideò illa poti$$imùm cadit $ub con- templationem $cie&ngrave;tiæ Machinalis: vix enim aliquando con- tingere poterit, ut opus $it infra aquam corpus aliquod leve per vim deprimere. Hinc factum e$t, ut de $olo gravitatis cen- tro $ermo communiter $it, levitatis autem centrum $ilentio obvolvatur: quia nimirùm quæ de gravitate de$cendente ex- plicantur, ea de levitate a$cendente, pro rata portione, dicta facile intelliguntur. <p>Ad centrum terræ (quod & centrum gravium ac levium dicimus) properant corpora quæcumque gravia in medio le- viore con$tituta $ibi redduntur, ut motus $uos perficiant. Quo- niam verò natura finem propo$itum per media, quæ pote$t, bre- vi$$ima pro$equitur, ambages, & diverticula fugiens; mo- ventur per lineam rectam, ut pote brevi$$imam, ni$i externo aliquo impedimento cogantur à rectitudine deflectere: Hæc autem recta linea intelligi debet ex terræ centro ducta ad cor- pus ip$um, quod movetur; ac proinde tùm in $phæricam $u- <FIG> perficiem, tùm in planum Horizon- tis ad perpendiculum cadit. Sed quia corpus, quod deor$um contendit, plures habet partes, quibus con$tat, $ingulas $uâ gravitate præditas, lineæ verò à $ingulis hi$ce partibus exeun- tes in terræ centro concurrunt; fieri non pote$t, ut $ervatâ corporis figu- râ, atque continuo partium nexu non di$$oluto, per rectam $uam lineam ad centrum ductam unaquæque pars de$cendat. Si enim parallelepipe- dum AB in aëre dimittatur, ut $pon- <pb n=15> te $ua de$cendat, fieri non pote$t, ut A rectam AC percur- rat, quin oppo$ituni extremum B à recta BC longi$$ime rece- dat, & contra: utramque verò extremitatem $imul A & B rectâ in centrum C tendere non po$$e e$t manife$tum: Quare cum $ibi invicem ob$i$tant æqualiter, ob gravitatis æqualita- tem, eas ex perpendicularibus AC, BC æqualiter $ecedere oportet ad latera, atque parallelas BE, AF de$cendendo de$- cribere. Eadem e$t ratio de cæteris partibus æquali intervallo $ejunctis à medio D; omnes enim à $uis perpendiculis rece- dunt, præter punctum medium D, cujus perpendicularis DC parallela e$t lineis à reliquis partibus in motu de$criptis. Ex omnibus itaque particulis datum grave componentibus, eæ $olùm, quæ puncto D imminent, per rectam DC in centrum moventur; quæ tàm plano horizontis in C, quàm $uperficiei $phæricæ in H perpendicularis e$t; cæteræ verò parallelæ BE, AF perpendiculares quidem in horizontem cadunt, $ed $phæ- ricam $uperficiem obliquè $ecant. <p>Jam verò $i eju$dem parallelepipedi aliud planum AO hori- zonti parallelum moveri versùs C intelligas, erit in eo $imiliter aliud punctum unicum, quod rectam DC percurrat; & intra corporis $oliditatem unica linea puncto illi imminens viâ eâdem in centrum pergetnon declinans à perpendiculo: cæteræ partes, tam quæ ad dextrã, quàm quæ ad levã, tam quæ antè, quàm quæ ponè, $ibi mutuò adver$antes à recto in centrũ itinere deflectent æqualiter. Cum itaque, in priori po$itione, linea puncto D imminens, e$$et in communi $ectione planorum, quorum alte- rum partes dextras à $ini$tris, alterum anteriores à po$terioribus æqualiter $ecernebat; in $ecundâ autem po$itione linea à per- pendiculo non recedens $it quoquè in duorum planorum com- muni $ectione, quibus pariter corporis gravitas in æquas tribui- tur partes; unum verò ex planis $ecantibus $it utrique po$itioni commune; unicum e$t punctum tribus planis commune, in quo binorum planorum $ectiones $e invicem $ecant, & $it ex. gr. punctum I; quod unicum rectâ pergit in centrum C, quemcum- que tandem $itum in motu obtineat corpus datum AB, ip$um enim e$t duabus illis lineis commune, quæ in $ingulis po$itioni- bus ad $ui perpendiculi latera non recedunt: cætera illarum li- nearum puncta, mutatâ po$itione corporis, lineam quoque mo- tûs mutant. <pb n=16> <p>Illud itaquè punctum in quocumque corpore gravi, quod $emper in motu de$cribit lineam rectà in terræ centrum ductam, dicitur <I>Centrum Gravitatis</I>; & linea, quæ centrum gravitatis conjungit cum terræ centro, <I>Linea directionis</I> dicitur; $ecundùm quam videlicet dirigitur motus, & dimentienda e$t corporis à centro terræ di$tantia, $i quatenus grave con$idere- tur. Porrò punctum I centrum gravitatis dicitur, quia centri nomen tribuitur puncto, quod e$t medium: & quemadmodum magnitudinis alicujus centrum vocatur punctum illud, quod æquales magnitudines circun$tant, $i partes, quæ ex adver$o $unt, accipiantur; ita in gravibus centrum gravitatis dicitur, quod æquales gravitates, vel æqualia gravitatum momenta cir- cun$tant. Quod $i punctum I non haberet hinc, & hinc æqua- les gravitatum vires, ab alterutrâ parte præ$tante viribus pro- pelleretur in latus extra lineam directionis, à quâ nunquam re- cedit, $i liberè moveatur. Cave tamen, ne partium æqualita- tem dimetiaris linearum longitudine à céntro gravitatis exeun- tium, ita ut $ingulas lineas æqualiter dividendas putes; $ed to- tum corpus debet intelligi divi$um bifariam à plano per cen- trum gravitatis ip$ius corporis, & per centrum gravium ac le- vium tran$eunte, ita ut $i planum à dextrâ in $ini$tram ductum $ecernat partes anteriores à po$terioribus, æqualia $int gravita- tum momenta antè, & ponè; $i aliud planum per eandem di- rectionis lineam ductum partes dextras à $ini$tris di$tinguat pa- ria $imiliter hinc & hinc gravitatum momenta relinquat. <p>Gravitatum, inquam, momenta, non gravitates; ne locus pateat æquivocationi; neque enim quoties æqualia $unt mo- menta, toties æquales $unt gravitates hinc & hinc centrum gra- vitatis complectentes, ut patebit ex iis, quæ de æquilibrio dice- mus. Unde fit in iis tantùm corporibus, quæ partibus unius eju$- demque naturæ, ac ductu perpetuo $imiliter con$titutis, con$tãt, <FIG> idem e$$e centrum gravitatis atque magni- tudinis; reliqua certis regulis non circum- $cripta, aut ex variis naturis compo$ita, in alio puncto, molis centrum habere, in alio, gravitatis. Si enim duo $olida VT, cujus centrum gravitatis, & magnitudinis R, & MN, cujus centrum S, æqualia $ecun- <pb n=17> dùm gravitatem coagmententur, non erit centrum gravitatis totius molis compo$itæ in I, ubi planum tran$iens per VN $e- cat lineam RS jungentem centra $ingularum gravitatum æqua- lium, $ed erit in L, ubi recta RS bifariam dividitur: planum autem per centrum terræ, & punctum L ductum non ita $ecat hanc molem, ut $int æquales hinc, & hinc gravitates, quamvis æqualia $int gravitatum inæqualium momenta, quæ ex figuræ po$itione poti$$imùm pendent. Quod $i corporis VT gravitas ad corporis MN gravitatem, eam haberet rationem, quam SI ad IR, e$$et I gravitatis centrum molis compo$itæ, quæ à plano per terræ centrum, & punctum I ducto non in gravitates æqua- les, $ed in momenta æqualia divideretur; ut in loco inferiùs ex- plicabitur. <p>Ob$erva autem non $emper centrum gravitatis e$$e in ip$o corpore gravi, ut patet in corporibus annularibus, aut angulos cavos habentibus, in quibus nullum e$t punctum per quod tran- $euntia plana quæcunque dividant in æquas pattes momenta gravitatum: ita tamen e$t extra corporis cavi $oliditatem, ut $it intra ip$am cavitatem punctum, ex quo $i intelligatur annulus, vel fru$tum annulare $u$pendi, manet po$itionem habens hori- zonti parallelam, cum habeat æqualia hinc, & hinc gravita- tum momenta. Quod $i corpus in cavos angulos $inuatum ha- beat particulam aliquam procurrentem, pote$t contingere, ut in illius particulæ extremo $it totius molis centrum gravitatis: $ic brevioris alicujus bacilli extremitati alteri $i duos cultros in- fixeris, ut $inguli cum bacillo hinc, & hinc angulum acutum ad ea$dem partes con$tituant, ita inclinari po$$unt, ut extremo ungue $uppo$ito reliquæ bacilli extremitati tota illa moles $u$ti- neatur citrà periculum cadendi, cùm gravitatis centrum in illa extremitate, intrà cavitatem, quam inclinati cultri faciunt, æqualia habeat ex omni parte gravitatum momenta, $i planum $ecans per illud tran$eat. <pb n=18> <HR> <C>CAPUT IV.</C> <C><I>An gravia centro vicina minùs gravitent.</I></C> <p>COrpora non intelliguntur gravitare ni$i in alieno loco; quando $cilicet corpus contiguum inter illa & centrum terræ interjectum, quod medii rationem habere pote$t, levius e$t; petit enim infra illud e$$e: ni$um autem hunc deorsùm <I>Grav. tationem</I> dicimus. Sed quoniam ni$us i$te videtur idcircò à naturâ in$titutu<*>, ut perturbatus corporum ordo re$tituatur; $i ex fine ratio petenda $it, $atis apparet corpora gravia ćentro terræ vicina minùs gravitare. Quemadmodum enim quotie$- cunque aliquis à propo$ito fine magis di$tat, eò magis anxius e$t, atque $olicitus de mediis ad illum a$$equendum nece$$ariis, & animo æquiore toleratur modica, quàm multa violentia; ita natura minorem ordinis debiti perturbationem $entiens, $i gra- ve parùm ab$it, quàm $i longè abe$$et, à loco, ubi juxta inge- nitam propen$ionem exigit con$i$tere, minùs $olicita e$$e debet de illo re$tituendo, nec adeò vehementi conatu, hoc e$t gravi- tatione, illud urgere debet in locum $uum. <p>Ad hæc omnibus aperti$$imè liquet eò majore naturæ impe- tu corpora deorsùm niti, quò levius e$t corpus, in quo tan- quam in medio perficiendus e$t motus, $i dimittantur. Sic à $axo in aëre pendente manum deorsùm validiùs trahi $enti- mus, quàm ab eodem aquæ immer$o trahatur, & multò lan- guidiùs conatur deor$um lapis in melle de$cendens, quàm in aqua; quia videlicet aqua levior e$t melle, & aër levior aquâ. Hinc e$t quod, $i medij partes fuerint diversâ gravitate prædi- tæ, pars centro terræ propior etiam erit gravior; atque ideò corpus in parte medij graviore minùs gravitabit propè centrum terræ, quàm procul. E$$e autem eju$dem medij non commoti partes graviores in imo, omnium ferè hominum $en$us e$t: quotus enim qui$que e$t, qui ne$ciat mellis optimam partem e$$e, quæ in va$is fundo, vini quæ in medio, olei quæ in $um- mo? id autem verum non e$$et, ni$i liquoris eju$dem partes e$$ent diversâ gravitate delatæ in loca à terræ centro di$pari- <pb n=19> bus intervallis remota: Quia enim oleum eò perfectius e$t, quò propiùs aëris levitatem $pirituum $ubtilitate æmulatur, ideò quod in $ummo va$e innatat, optimum e$t: At vini $ua- vitas in exqui$itâ $ui tartari $ufficienti humore diluti cum $pi- ritibus permi$tione con$i$tens medium locum in va$e exigit, $icut media e$t illius gravitas inter vagantium $pirituum levita- tem, & fæculenti tartari gravitatem: Mellis demùm dulcedo ex $ui $alis, $eu $acchari, copiâ proveniens iis partibus poti$$i- mum ine$t, quæ multo $ale refertæ graviores quoquè $unt, & in fundo $ub$idunt. Nec e$t iis abroganda fides, qui in alti$$i- mo mari adeò gravem aquam à $e deprehen$am alicubi te$tan- tur, ut $upta reliquum maris fundum ambulantes ad alti$$i- mam fo$$am venerint, in quam penetrare $æpiùs irrito conatu tentârint: his enim non ægrè fidem habeo, qui aërem in imis vallibus cra$$iorem atquè graviorem, in $ummis verò montibus puriorem atque leviorem ab omnibus admitti video. Cum ita- que ($i ex notis ad minùs nota progredi philo$ophando liceat) propè centrum gravium ac levium medij partes graviores $int, quam procul ab illo; minor e$t gravitatio corporum, $i centro propiora fiant, ac quando longè ab illo remota detinebantur. Hinc autem re$ponderi pote$t quærentibus, cur in fodinis lon- gè faciliùs crudi metalli ma$$a moveatur, quàm in $uperficie terræ: aër $cilicet profundis illis cuniculis inclu$us gravior mul- tò ac cra$$ior e$t aëre i$to, quem in$piramus, atque adeò ibi metallum minùs gravitat. <p>Quòd $i libeat minorem hanc gravitationem experimento deprehendere, $ume vitream fi$tulam $upernè clau$am longio- rem pedibus tribus Romanis, eam imple argento vivo, digito- que o$culum accuratè claudens inverte, ac argento vivo $ub- jecti va$is immerge; tùm amoto digito de$cendet mercurius in fi$tulâ, iterúmque a$cendet, & in certâ demum altitudine per- pendiculari quie$cet. Ob$ervatâ igitur altitudine perpendicu- lari, quam mercurius obtinet, $i in imâ valle experimentum in$tituatur, eâque comparatâ cum altitudine perpendiculari, in qua con$i$tit, cùm in $ummo montis alti$$imi vertice expe- rimentum idem $umitur, animadvertes altitudinem mercurij per vim in fi$tulâ $u$pen$i minorem e$$e in $ummo monre, quàm <pb n=20> in valle; Quia nimirum mercurius intra fi$tulam detentus tan- quàm in va$e, e$t in aëre fi$tulam ambiente tanquam in loco; in aëre autem leviori cùm magis gravitet, in minori etiam al- titudine perpendiculari con$i$tit. Experimentum hoc in valle, & in monte $umere mihi otium non fuit, quamvis in eo $æ- piùs me exercuerim: $ed de illius veritate ambigere non $inunt te$tes in Galliâ luculenti$$imi, qui di$crimen hoc in mercuri; altitudine ob$ervârunt in altioribus montibus. <p>Verùm, ex alio præteteà capite imminui debet gravitatio corporum in minori à centro remotione, habitâ $olùm ratione $itûs. Cùm enim totius corporis gravitatio conflata $it ex $in- gularum partium impetu, quo deor$um nituntur, manife$tum e$t $ingulis partibus languidiùs deor$um conantibus, totius cor- poris gravitationem e$$e pariter languidiorem. Quoniam verò quicquid in motu cogitur à recto $ecundùm naturam tramite deflectere, lentiùs atque remi$$iùs pergit ad præ$titutum mo- tûs terminum; particulæ autem corporis $olidi gravis, propio- res centro factæ, magis à $uo perpendiculo, $ibi invicem ad- ver$antes, declinant; $atis con$tat $ingulas fractis quodammo- do viribus languentes plurimum de conatu remittere. Si enim <FIG> $olidum AB fiat centro vicinius ita, ut A $it in K, & B in L, lineæ di- rectionis partium extremarum $unt KC, LC: at coguntur per lineas KF, LE parallelas de$cendere, fiuntque anguli CKF, CLE ex- terni majores internis CAK, CBL per 16. l. 1. magis igitur in K & L recedunt à perpendiculo, quàm re- cederent in A & B. Quia itaque pars in K exi$tens magis impeditur ab oppo$itâ extremitate, quæ in L, ne per KC de$cendat (ni$i enim pars, quæ in L, urgeret oppo$itam tentans per LC de$cendere, non cogeretur pars in K exi$tens adeò recedere à $uâ directionis lineâ) minori etiam impetu deor$um fertur. E$t autem eadem de reliquis partibus ratio, <pb n=21> præter eas, quæ in eâdem directionis lineâ $unt cum centro gravitatis; $ingulæ enim ad centrum terræ accedentes magis à $uo perpendiculo recedunt, minú$que deor$um gravitant. Quî igitur fieri po$$it, ut debilitato $ingularum particularum cona- tu, atque impetu deor$um, non minuatur pariter totius cor- poris gravitatio, $i fiat centro vicinius? <p>Illud tamen non diffiteor, quod $i medij levitates, aut angu- lorum CLE, CBL inclinationes eo tantùm di$crimine $ecer- nantur, quod omnem $en$um fugiat, vel $altem ex medij gra- vitate, & anguli magnitudine conjunctim $umptis oriri non po$$it varietas, quæ $ub $en$um cadat; neque percipietur gra- vitationis differentia in majori vicinitate. Sed hoc non facit, quin inter gravitationes di$crimen intercedat; neque enim continuò, $i quid $en$um latet, id omninò non e$$e dicendum e$t: contingere $i quidem pote$t motum aliquem ita $en$im, & $ine $en$u fieri, ut non ni$i elap$o temporis $patio demùm inno- te$cat. Sic $i vinum, cujus gravitas vix minor $it gravitate aquæ arte $atis notâ affuderis aquæ ita, ut innatet, & $upremam va- $is partem occupet, aliudque vas $imili vino plenum, $ed paulò altius, habeas, tum ex libra centrum motûs habente in cen- tro gravitatis jugi pendeant æqualia pondera intrà vinum utriu$que va$is; fiet utique ponderum æquilibrium, & con- $i$tent eo in $itu, quem illis dederis: at $i alterum libræ extre- mum ita deprimas, ut pondus, quod ex eo pendet, ex vino ad aquam vix graviorem tran$eat, reliquo pondere intra vinum manente; initio quidem non apparebit motus libræ $e re$ti- tuentis, quia pondus in vino non excedit gravitationem pon- deris æqualis in aquâ ni$i eo exce$$u, quo gravitas aquæ $upe- rat gravitatem vini; hic autem exce$$us cum minimus $it, mo- tum quoque efficiet, quem ægrè à quiete di$cernas, ni$i ubi po$t aliquod tempus deprehenderis pondus altius de$cendi$$e, depre$$ius autem a$cendi$$e. Haud $ecus philo$ophandum e$t de majore, aut minore corporum gravitatione, $i di$paribus in- tervallis à terræ centro removeantur, diutiùs enim propè cen- trum incumbere poterunt $u$tinenti, quàm procul: id quod $atis erit ad minorem gravitationem patefaciendam, quæ non $tatim innote$cat. <pb n=22> <p>Hæc autem non leviter confirmari videntur ex iis, quæ quo- tidiè ferè videmus; nam $i circinus, quo circulos de$cribere $olemus, cadat, $emper nodus prævertit cu$pides, & prior ter- ram ferit; ni$i fortè nodus ad perpendiculum immineat cru- ribus: & omnia ferè corpora, quæ centrum gravitatis ex una parte habent, $i ex modicâ altitudine dimittantur, videntur quidem cadere parallela; $ed ex majori altitudine $i de$cen- dant, pars gravior prior terram attingit. Sit enim corpus ES, <FIG> cujus gravitatis centrum H, linea directionis HA; $i horizonti paral- lelum de$cenderet, per rectas EI, SR parallelas lineæ directionis mo- veretur; id quod in modicâ tantùm altitudine contingere videtur, quia nondum facta e$t ea gravitationis imminutio in extremitate S, quæ percipi po$$it. Si enim E per EI de$cenderet, S verò per SR, an- gulus IEA æqualis alterno EAH per 29. lib. 1. minor e$$et angulo RSA, qui æqualis e$t alterno HAS; nam ex hypothe$i minùs di$tat E, quàm S, à centro gravi- tatis H, & e$t angulus EAH minor angulo HAS; pars igi- tur S magis deflecteret à $uo perpendiculo SA, quàm E de- flecteret ab EA; cùm itaque S magis in latus propelleretur, plus etiam de conatu deor$um remitteret, quàm E; atque adeò non po$$et æqualiter de$cendere ac moveri, contra hypothe$im paralleli$mi. Dicendum e$t igitur non per parallelas EI, SR fieri motum, $ed intra illas paulatim partem E graviorem præ- currere: quia $cilicet partes omnes extra lineam directionis AH con$titutæ dum removentur à $uo perpendiculo, aliquid amittunt de impetu, quo deor$um nituntur, propiores quidem minus, remotiores autem plus; pars $i quidem G in principio motûs de$cendens parallela lineæ directionis per GM facit an- gulum AGM internum per 16.lib.1. minorem externo GMS, qui per 29. 1. e$t æqualis alterno MSR. Quia ergo AGM <pb n=23> minor e$t angulo ASR, pars G minus de $uo impetu deor$um amittit, quàm pars S; & quamvis initio di$crimen hoc non percipiatur, demum fit, ut additis pluribus differentiis mani- fe$tè appareat partem S minùs gravitare, quia tardiùs deor- $um movetur; & tandem ip$a $equitur partem E præcur- rentem, po$tquam minori illâ gravitatione permi$it parti E, ut propiùs accederet ad lineam directionis, fieretquè quæ- dam virtualis conver$io circa centrum gravitatis H, in qua extremitas E occuparet infimum locum, S autem $upre- mum. Quare cùm nos doceat experientia partem HS æquiponderantem parti HE, $i $u$pendantur ex H, in mo- tu tamen minùs gravitare, quàm oppo$itam, ideóque fieri illam conver$ionem, ut pars E fiat inferior; neque aptior a$$ignari po$$it ratio, quàm quæ petitur ex rece$$u partium majori à $uo perpendiculo: $atis liquet, quantum momenti habeat hæc declinatio à perpendiculo ad minuendam gra- vitationem. Ex majori igitur declinatione à lineâ perpen- diculari, quæ con$equitur corpus con$titutum non adeò procul à centro terræ ut priùs, non ineptè arguitur minor corporis gravitatio in eo $itu, $i cætera $int paria: neque enim comparo corpus, quod per motum de$cendit, per$e- verans in $uo motu, cum corpore in loco altiori tran$eun- te à quiete ad motum; nam tunc ex impetu per motum concepto major e$t gravitatio in loco inferiore, quàm in $u- periore: $ed tantùm corpora invicem comparo, vel pariter quie$centia, vel æquali tempore mota, illudque, quod ter- ræ vicinius e$t, a$$ero, vel minori ni$u conari à quiete in loco alieno tran$ire ad motum, vel æquali tempore, quo præ- ce$$it motus, minus impetus acqui$ii$$e ac minoribus viribus motum continuare. <p>Ex his quæ de gravibus hactenus di$putata $unt, aliquis forta$sè inferat levia à centro remotiora minùs levitare, $i- cut gravia centro propiora minùs gravitant. Verùm res e$t pen$iculatiùs examinanda, nec $impliciter ex oppo$itis gra- vium, ac levium naturis definienda, qua$i ob id ip$um, quia $ibi gravitas atque levitas adver$antur, contraria ha- berent omnia con$equentia. Et quidem quod $pectat ad <pb n=24> $olam corporis levioris po$itionem, non minuitur levitatio, $ed potiùs augetur in majoribus à terræ centro intervallis; ubi minùs à $uo perpendiculo declinant partes centrum le- vitatis circun$tantes, & idcirco minùs de conatu remit- tunt, quò nituntur ad $upe- <FIG> riora evadere. Sit namque Globus HG, cujus centrum levitatis M, & linea di$cretio- nis OMN; cui parallelæ $unt HD & GF, quas de$- cribunt a$cendendo extremi- tates H & G, & motum eum- dem continuabunt, $i globus in N tran$latus intelligatur. Quando igitur globus e$t in M, extremitas H recedit à per- pendiculo OI, & cum eo facit angulum IHT; quan- do autem e$t in N, extremi- tas T a$cendens per TD fa- cit cum perpendiculo OR an- gulum RTD, qui per 15.lib.1. æqualis e$t angulo HTO ad verticem, hic autem, inter- nus cum $it, per 16. 1. minor e$t externo IHT. E$t ergo RTD minor angulo IHT, atque ideò plus habet mo- menti $ur$um, ubi minus à recto $ecundum naturam tra- mite deflectit. <p>Di$crimen hoc momentorum ab angulorum inæqualitate proveniens optimè intelligit natura, quæ ita motum perfi- cit, ut, $i duo inæqualiter levia coagmentata fuerint, le- vius præcurrat. Sic $i A cortex $uberis coagmentetur ligno fagino B, & intra aquam mediocriter profundam horizon- taliter collocetur $olidum DC, ita per lineam directio- <pb n=25> nis TO a$cendit centrum <FIG> levitatis, ut demum A in loco $uperiore, B autem in inferiore con$tituatur, ex- tremo D per rectam DO a$cendente: Quo in motu natura magnum invenit compendium. Quia enim partes centro levitatis vi- ciniores magis levitant, quòd linea parallela lineæ directionis faciat minorem angulum cum earum per- pendiculo ($ic $i linea di- rectionis $it FL, eique pa- rallelæ NG, RX, angu- lus NGX internus per 29. 1. e$t æqualis externo RXY, at PGX externus per 16. 1. major e$t interno GXF, hoc e$t VXY ad verticem, ergo PGX major e$t angulo VXY, & $i uterque auferatur ex æqualibus NGX, RXY, remanet NGP minor angulo RXV, ideoque G magis levi- tat, quam X) ex majore impedimento, quod initio motûs ha- betur ob anguli HDI magnitudinem, dum pars D minùs le- vitat, centrum levitatis per SO a$cendens inclinat corpus DC, & extremitas D in recta DO con$tituitur, in qua longê ci- tiùs minuuntur impedimenta, quàm $i per parallelam DI a$cenderet: vix enim a$cendit in E, cum impedimenta $unt æquè diminuta, ac $i a$cendi$$et in I; quandoquidem angu- lus KEI per 29. 1. e$t æqualis alterno EID, atque adeò etiam angulo, quem in I faceret parallela DI cum perpendi- culo; e$t igitur angulus KEI minor quocunque alio angulo, qui fieret in punctis intermediis lineæ DI; $ed quoniam cen- trum levitatis a$cendendo acqui$ivit majorem impetum, quàm extremitas in E exi$tens, per vim illam rapit extra paralle- lam EK, trahitque per lineam EO, & perpendiculum facit angulum $emper minorem cum lineâ directionis; unde fit partem inferiorem $emper faciliùs trahi, quo minùs in diver$a <pb n=26> abit ejus perpendiculum, cum quo $emper minorem, & mi- norem angulum facit linea motûs DO; donec demùm to- tum $olidum obtineat $itum perpendicularem; quod initio erat in æquilibrio. <p>Cæterum, quamvis habitâ ratione $itûs, levia altiora magis levitent, $ivè parallela horizonti jaceant extrema, $ivè incli- nata, ratione tamen medij, quod in $uperioribus e$t levius, quàm in inferioribus, minùs levitant: experientia enim o$ten- dit ea lentiùs a$cendere, quæ propiùs accedunt ad medij na- turam $ecundùm levitatem: nam ex tribus globulis $phæricis, quorum diameter unc. 2 1/5 pedis Romani, cereus erat ponderis drachmarum 24, faginus drachm. 22, vitraëreus drachm. 7. in aëre expen$i, $ed eorum motus in aquâ ad altitudinem pe- dum 14, valdè inæqualis fuit, numeratis vibrationibus eju$- dem perpendiculi; cereus $iquidem a$cendit lenti$$imè vibra- tionibus 88, faginus vibrationibus 37, vitraëreus vibrationi- bus 33: unde patet cereum, qui minimùm ab aquâ differt in pondere (aquæ etenim molis æqualis e$t drachm. 25 3/5) minùs in eâ levitare. Sicut igitur diver$a levia in eodem medio inæ- qualiter levitant, $ic idem leve in medio di$$imili inæqualiter levitabit pro majore aut minore levitatum di$$imilitudine. Conveniunt itaque gravia, & levia, quod hæc procul à cen- tro offendentia medium levius minùs levitant, illa propè cen- trum habentia medium gravius minùs gravitant. Differunt au- tem ratione po$itionis, quia, in loco remotiore à centro, per- pendicula omnia concurrunt ad angulos magis acutos, minú$- que differunt à lineâ rectâ, ideo qua$i collatis viribus magis gravitant, & magis levitant; at prope centrum cum perpendi- cula magis in diver$a abeant, & levia minùs levitant, & gravia minùsgravitant. Porrò hanc $imilitudinem gravitationis gra- vium, & levitationis levium in eodem loco, à me vocari di$cri- men, & differentiam, quia habita ratione oppo$itorum videba- tur leve remotius debere minùs levitare, $icut grave propius minùs gravitat, ne te moveat; litem de verbo non faciam. <pb n=27> <HR> <C>CAPUT V.</C> <C><I>Quâ ratione centrum gravitatis corporum inveniatur.</I></C> <p>OPus mechanicum plerunque non indiget puncto illo, quod intra corporum $oliditatem latet, ac centrum gra- vitatis definivimus; $ed $atis e$t $i in extimâ corporis $uperfi- cie innote$cat punctum, aut linea imminens ip$i gravitatis centro, pro ratione $itûs, in quo corpus grave con$i$tere cu- pimus. Ideo geometricum laborem inveniendi punctum illud intimum Centrobarycæ relinquens, mechanica tantùm inqui- $itione, & qua$i tentans, perve$tigo punctum illud, aut li- neam in corporis $uperficie, cui re$pondet planum per lineam directionis ductum, & $ecans corpus in certo $itu con$titu- tum. Et quidem $i corpus $phæricum fuerit ex partibus eju$- dem naturæ conflatum, aut $altem ex partibus heterogeneis quidem, $ed circa $phæræ centrum $imiliter di$po$itis ita, ut intima $phærula folliculis quibu$dam obvolvatur; quia idem e$t molis atque gravitatis centrum, punctum quodcumque in $phærica $uperficie a$$umatur, aptum erit; $ingula enim $i- milem habent po$itionem. Sin autem aut $phæræ $egmentum, aut $phæra ex partibus heterogeneis inæqualiter di$po$itis fue- rit; imponatur plano horizontali accuratè levi, & maximè æqua- bili; & quod punctum tangetur à $uppo$ito plano, ubi motus omnis ce$$averit, illud e$t, quod poti$$imùm quæritur, ac punctum $uperius, quod huic è regione e$t, erit pariter aptum ad propo$itum finem. <p>Quod $i cylindricum fuerit oblatum corpus, aut pri$ma quod- cunque continuo, & $imili ductu productum; $ecetur bifariam longitudo, & punctum habebitur cylindri centro gravitatis re$pondens: pri$matis autem $ingula plana parallelogramma $i dividantur in æquas tum longitudinis, tum latitudinis partes, planum per inventa puncta ductum tran$ibit per centrum gravitatis pri$matis, dividet enim in partes æquales, & $imi- liter po$itas, unde oritur momentorum gravitatis æqualitas. <pb n=28> <FIG> Ut $i parallelepipedi BC plana ita dividantur, ut habeant puncta me- dia I, & O, & per ea agatur pla- num, con$tat æqualia e$$e momenta gravitatis partium IB, & IC, cùm nullo ex capite po$$it oriri momento- rum inæqualitas. At $i non facies parallelogrammæ pri$matis dividendæ $int, $ed potius ba$is, quæ $æpè varia e$t, & irre- gularis, tunc inveniendum e$t in ea punctum, in quo $ibi oc- currunt $ectiones planorum $ecantium datum corpus in mo- menta æqualia, illudque re$pondet centro gravitatis intra $o- liditatem exi$tenti. <FIG> <p>Sit autem primò ba$is pri$matis trigona AHI; dividatur unum ex lateribus ex. gr. HI bifariam in G, planum enim tran$iens per A & G, atque bifariam $ecans pa- rallelogrammum HV tran$ibit per centrum gravitatis pri$matis trigo- ni. Nam $i datum pri$ma $ecetur pluribus planis parallelis plano HV facientibus $ectiones ML, BO, NS, CE, & ex harum $ectionum extremis exeant alia plana $ecantia parallela plano AG; ab$cinduntur ex pri$mate dato pa- rallelepipeda LF, OK &c. quæ à plano AG dividuntur in partes GL, GM æquales ac $imiliter po$itas; item DO, DB, &c. Igitur $ingula in eodem plano AG habent gravitatis centrum, ac proinde tota moles ex iis parallelepipedis compo$ita in eo- dem plano habet centrum gravitatis. Quoniam verò, $i adhuc plana $ecantia frequentiora $int, plura fiunt parallelepipeda, quorum omnium moles compo$ita adhuc minus differt à mole totius pri$matis dati, ita ut toties multiplicari po$$it bi$ectio, ut demum relinquatur differentia minor quacunque minimâ mole excogitabili; hinc fit molem compo$itam ex parallelepi- pedis illis infinitis ($ic loqui liceat, quia non e$t certus eorum numerus explicabilis) habere centrum gravitatis in plano AG; <pb n=29> ac proinde etiam pri$ma trigonum ex iis conflatum parallelepi- pedis habere in eodem plano AG centrum $uæ gravitatis, quandoquidem non differt ab illis ni$i differentiâ minore qua- cumque minimâ excogitabili. Sunt igitur partium AGH, AGI momenta æqualia; quia $i inæqualia e$$ent haberent differentiam, qua po$$et dari minor (neque enim e$$et indivi- dua) hæc autem differentia $i e$$et, alia non e$$et, quàm quæ intercedit inter pri$ma datum, & omnia parallelepipeda, cu- jus differentiæ inæquales partes e$$ent in AGH, & AGI: igitur differentia partium AGH, AGI e$$et minor diffe- rentiâ pri$matis, & omnium parallelepipedorum; nam e$$e non pote$tmajor, vel illi æqualis: $ed jam ex hypothe$i differentia inter molem compo$itam ex omnibus parallelepipedis, & pri$- ma, e$t minor quacumque minimâ datâ, ergo $i e$$ent inæ- qualia momenta partium AGH, AGI haberent differen- tiam minorem, & non minorem eâdem differentiâ inter pri$- ma & omnia parallelepipeda. Non $unt igitur inæqualia. Res autem forta$sè $ic breviùs explicabitur; $i partes AGH, AGI non $unt æquales, $it AGH minor quàm AGI, differentiâ Y. Tot autem fiant bi$ectiones, ut parallelepipeda relinquant differentiam minorem quàm Y. Quia ergo parallelepipeda in AGI habent differentiam minorem quàm Y, à parte pri$- matis AGI, illa $unt majora quàm pars pri$matis AGH, quæ deficit à parte AGI differentiâ Y. Atqui parallelepepida in AGH $unt æqualia parallelepipedis in AGI, ergo etiam parallelepipeda in AGH majora $unt, quàm tota pars AGH, quod e$t manife$tè fal$um. Non e$t igitur altera pars major, altera minor. Porrò ex continua bi$ectione laterum AC, & CN &c. relinqui $emper minorem differentiam, hoc e$t $e- mi$$em præcedentis differentiæ, con$tat, quia $i AC $ecetur in P, & ducantur plana parallela planis AG, & HV, dividi- tur CT bi$ariam in Q, & e$t TP parallelepipedum ablatum duplum pri$matis trigoni CPQ, cui æquale e$t pri$ma APX; adeóque duobus hi$ce pri$matis æquale e$t ablatum parallele- pipedum TP, quod e$t $emi$$is differentiæ ATC, quæ priùs relinquebatur: & eadem e$t de cæteris ratio. Quare $i ex datâ quantitate auferatur $emi$$is, & iterum $emi$$is re$idui, & $ic in infinitum, nece$$e e$t aliquando eò devenire, ut re$idua <pb n=30> quantitas minor $it quacunque datâ quantitate, ut colligitur ex prop. 1. lib. 10. Eucl. Ideo fieri non pote$t, ut pri$mate di- vi$o à plano AG, altera pars excedat momenta alterius quan- titate Y, quia tot po$$unt ab$cindi purallelepipeda, ut relin- quatur differentia illorum à pri$mate minor, quàm $it Y: pla- num autem AG æqualiter dividit momenta parallelepipedo- rum, igitur cum tota re$idua differentia minor $it quam Y, e$$e omnino non pote$t, ut altera pars habeat exce$$um quan- titati Y re$pondentem $i enim quantitates illæ differrent, po$- $et dari quantitas minor illarum differentiâ; $ed non pote$t hu- ju$modi minor quantitas dari, nam quælibet data e$t major, igitur non differunt, $ed $unt æquales. <p>His ita con$titutis facilè definitur punctum centro gravitatis imminens in ba$i pri$matis: quia enim o$ten$um e$t planum ab angulo per medium latus oppo$itum ductum tran$ire per centrum gravitatis, & dividere in momenta æqualia totum pri$ma, centrum gravitatis erit non $olùm in plano AG, $ed etiam in plano IN propter eandem rationem. Punctum igi- <FIG> tur D, in quo occurrunt $ibi communes $ectiones planorum $ecantium, & ba$is, e$t punctum, quod quæritur, imminens centro gravitatis. Punctum D autem $ecare rectam NI ita, ut ND ad DI $it ut 1 ad 2, $ic o$tenditur. Ducatur recta NG, quæ per 2. lib. 6. e$t paral- lela ip$i AI; ergo ut HG ad HI, ita NG ad AI per 4. lib. 6. ergo NG ad AI e$t ut 1 ad 2: ergo triangula NGA, AGI $unt ut 1 ad 2, per 1. lib. 6. Cum autem ut ND ad DI, ita NDA ad DIA, & NDG ad DIG per 1. 6. erit etiam, ex 12. lib. 5. ut ND ad DI, ita NGA ad AGI, hoc e$t 1 ad 2. Eadem ratione o$tenditur GD ad DA e$$e, ut 1 ad 2. Vel etiam breviùs: Quia enim NG, AI $unt pa- rallelæ, triangula NDG, ADI $unt $imilia propter angulo- rum æqualitatem; ergo ut NG ad AI, hoc e$t ut 1 ad 2, ita GD ad DA, & ND ad DI. Quare $atis erit latus unum trianguli bifariam $ecare, & ab oppo$ito angulo rectam duco- re; cujus tertia pars ver$us ba$im divi$am dabit centrum gravi- tatis trianguli. <p>Jam verò $i ba$is pri$matis quadrangula fuerit parallelogram- <pb n=31> ma, ductis diametris apparebit quæ$itum punctum, per quod tran$eunt omnia plana dividentia æqualiter corporis dati mo- menta, cum $int partes utrinque æquales, & $imiliter po$itæ. Et ob eandem rationem $i ba$is pri$matis fuerit aliqua ex figu- ris ordinatis, $eu æquilateris; centrum figuræ e$t punctum im- minens centro gravitatis; planum $i quid&etilde; per illud tran$iens, & per unũ angulorum, dividit totũ pri$ma in partes æquales $imi- literque po$itas; atque adeò momenta hinc, & hinc $unt æqualia. <p>At $i ba$is trapezia fuerit, duc utramque <FIG> diametrum EC, & BD: tum in ba$i trigo- nâ BCD pri$matis partialis inveniatur punctum centro gravitatis re$pondens (pun- ctum hoc deinceps, brevitatis gratiâ, dice- tur centrum gravitatis, quamvis per abu$ionem) & $it H; & in oppo$ita ba$i trigona reliqui pri$matis BDE pariter invenia- tur punctum F; & per utrumque punctum tran$eat planum FH; nam in hoc eodem plano e$t centrum gravitatis totius pri$matis trapezij, quod dividitur in momenta æqualia: hoc $i- quidem planum tran$iens per H gravitatis momenta æqualia habet hinc, & hinc in pri$mate trigono BDC; $imiliter cum tran$eat per F, habet hinc, & hinc momenta æqualia gravitatis pri$matis trigoni BED: $i igitur æqualia æqualibus jungantur, planum idem æqualiter partitur momenta gravitatis pri$matis trapezij EDCB, & in eo e$t centrum gravitatis illius. Eadem ratione in ba$i trigona EBC inveniatur punctum G, & in ba$i EDC punctum S, per quæ $i agatur planum GS, in eo pariter erit centrũ gravitatis totius pri$matis trapezij. <p>E$t igitur centrum gravitatis in communi <FIG> $ectione planorum FH, & GS; ac proinde punctum I illud e$t, quod quæritur. Aliter etiam, & facillimè in ba$i trapezia ABCD invenitur centrum gravitatis: ductis enim diametris AC, BD, altera diameter ex. gr. AC bifariam $ecetur in E, ducanturque rectæ DE, BE; trianguli ADC centrum gravi- tatis e$t in recta DE, & quidem in F, ita ut EF $it tertia pars totius ED, ut con$tat ex paulò ante demon$tratis. Ducatur igitur FG pa- <pb n=32> rallela alteri diametro BD, & erit $imiliter G centrum gravita- tis trianguli ABC, quia per 2. lib. 6. ut EF ad FD, ita EG ad GB; Quia ergo diameter AC $ecatur in H, $umatur FO æqualis ip$i GH, & e$t O centrum gravitatis trapezij, e$t enim triangulum ABC ad triangulum ADC, ut FO ad OG, hoc e$t ut HG ad HF. E$t autem HG ad HF ut BI ad ID pro- pter paralleli$mum linearum GF, BD. Porrò con$tat triangu- lum ABC ad triangulum ADC e$$e ut BI ad ID, nam trian- gula ABI, ADI $unt ut ba$es BI, DI, item BCI, DCI $unt ut eædem ba$es BI, DI per 1. lib. 6; igitur, & totum triangu- lum ABC ad totum ADC e$t ut BI ad DI: igitur, & trian- gulum ABC ad triangulum ADC e$t ut FO ad OG. <FIG> <p>Hinc facilis patet via ad inve$ti- gandum idem punctum in ba$i pri$- matis pentagoni BDEAC. Pri- mùm enim ducto plano per BE, in- veniatur in ba$i trigonâ BDE punctum R, & in ba$i BEAC qua- drangulâ punctum P; & ducto plano per RP, in eo erit centrum gravi- tatis pri$matis pentagoni, cum in eo- dem $int centra gravitatis partium. Deinde ducto per D & A plano, inveniatur in ba$i trigona DEA punctum L centrum gravitatis, & in ba$i quadrangu- lâ ACBD punctum M centrum gravitatis: in plano pariter ducto per ML e$t centrum gravitatis totius pri$matis pentago- ni, quod proinde e$t in communi planorum per PR, & LM ductorum $ectione; atque adeò punctum, quod quæritur, e$t O. Eadem e$t methodus in pri$mate hexagono; ducto enim plano dividente in duo pri$mata, quorum alterum e$t trigonum, al- terum pentagonum, inveniatur utriu$que centrum gravitatis, & per inventa puncta agatur planum. Deinde iterum alio pla- no $ecetur in duo pri$mata, quorum alterum pariter $it trigo- num, alterum pentagonum, & per inventa $ingularia gravi- tatum centra agatur planum: duo $iquidem plana ducta per centra gravitatis partium, tran$eunt pariter per centrum gra- vitatis totius, quod e$t in communi eorum $ectione. Eademque de reliquis pri$matis e$t ratio. <pb n=33> <p>Sed hæc indica$$e $ufficiat, quæ operi Mechanico $atis e$$e po$$unt in omnibus ferè pri$matis: Si enim ba$is non fuerit planè rectilinea, in$cripto polygono rectilineo, quod mini- mùm differat à plano ba$is, quæres ejus centrum gravitatis, methodo jam tradita; illoque u$urpato tanquam vero dati pri$- matis centro quæ$ito, minimùm aberrabis; aliquando tamen aberrabis, aliquando continget, ut inventum cum quæ$ito conveniat. Quod $i accuratiori inve$tigatione opus fuerit: quemadmodum in cæteris corporibus, quæ continuum ductum non habent, $ed inæquali cra$$itudine cre$cunt, aut decre$- cunt, ut in obeli$cis, aut pyramidibus truncatis, reliqui$què planè inordinatis molibus; tunc ad geometricam Centrobary- ces methodum confugiendum e$t; quam hic ego non per$e- quor. Praxes igitur aliquæ proponendæ $unt, quibus centrum gravitatis phy$icè per$pectum habere po$$imus in corporibus, quorum frequentior, vulgari$que u$us e$$e pote$t. <p>Prima praxis $it ad inveniendum gra- <FIG> vitatis centrum in cingulis, quæ laminis quoque communis e$$e pote$t. Sit datum cingulum AH, quod primùm $u$penda- tur ex H, & inde pendens perpendicu- lum $ecet oppo$itum latus IA in C; note- tur igitur punctum C. Deinde iterum $u$pendatur ex R, & perpendiculum ca- dat in punctum F, quod notetur. His cognitis ducatur filum ex R in F, ibique intentum alligetur; aliud filum $imiliter ex H in C ducatur, & $ecans in S filum RF, dabit punctum S quæ$itum centrum gravitatis: ex quo $i $u$penderetur datum cingulum, maneret horizonti parallelum. Quod $i e$$et corpus talis figuræ, ut $patium non clauderet, $ed haberet angulum cavum, aut e$$et fru$tum annulare, eadem e$t methodus factâ $u$pen$ione illius ex duobus punctis, ex quibus perpendiculum cadere po$$it intrà corporis $uperficiem; in qua $i notentur puncta, per quæ tran$it, & ducantur fila, ut priùs, corum com- munis $ectio dabit quæ$itum centrum gravitatis. Hinc $i vel la- mina e$$et perforanda, ut axi infigeretur, vel cingulum e$$et axi imponendum, in utrâque $uperficie oppo$ita quærere opor- teret punctum S, ut axis per centrum gravitatis tran$iret, eique <pb n=34> uterque polus re$ponderet: in cingulis autem præterea haben- da e$$et ratio tran$ver$ariorum, per quæ axis infigendus e$$et, ea enim po$$unt centrum gravitatis compo$itæ in alio puncto con$tituere. <p>Secunda praxis laminis poti$$imùm accommodata, in quibus punctum medium $atis accuratè inquiritur, ut $i lamina metal- lica e$$et in calicem excavanda, hæc e$$e pote$t. Impone lami- nam acutæ cu$pidi cultri, aut $tyli, eamque ultrò citróque tanti$per move, dum con$i$tat citrà periculum cadendi: punctum enim, quod à cultri aut $tyli cu$pide notatur, cen- trum e$t quæ$itum. <p>Tertia praxis $it iis corporibus conveniens, quæ præ$tant longitudine, qualia $unt p$eudocylindrica, conica, pyrami- des &c. quæ $i non prædita $int multâ gravitate, imponantur funiculo brevi horizontaliter exten$o, at $i graviora fuerint, vel cylindrulo vel aciei pri$matis trigoni imponantur, & u$que dum in æquilibrio con$i$tant, promoveantur: ubi enim quie- verit corpus impo$itum, ex loco contactûs innote$cet vel punctum, $i in puncto $e contingant, vellinea, $i in lineâ, per quam $i ducatur planum à centro terræ, di$tinguetur impo$i- tum corpus in momenta gravitatis æqualia. Inventâ autem hu- ju$modi lineâ facilè prodet $e quæ$itum punctum. <p>Quarta praxis non multùm di$tat à $uperiore: $i nimirum oblatum corpus impo$ueris plano alicui horizontali, quod ta- men à pavimento ab$it mediocri aliquo intervallo, habeat au- tem extremum marginem exactè rectum: extra $uppo$iti pla- ni marginem illud paulatim promove, donec eò venerit, ut $i vel minimum ulteriùs promoveretur, $ponte caderet; ibíque $ecundùm rectitudinem marginis plani duc $tylo lineam in cor- pore impo$ito. Deinde $uperficie eâdem planum tangente, $i corpus, præter longitudinem, non modicam præterea habeat latitudinem, convertatur aliquantulum, & $imili methodo in- venietur linea alia $ecans priorem in puncto quæ$ito, quod $ci- licet re$pondet centro gravitatis intra corporis $oliditatem de- lite$centi. <p>Hæc $unt quæ Mechanices in$tituto $ufficere po$$int ad cen- trum gravitatis inveniendum; in molibus enim majoribus, quæ plerumque vix differunt à pri$matis, non indigemus commu- <pb n=35> niter Geometricâ $ubtilitate. Illud re$tat, ut earum, quas at- tuli praxes, ratio, & cau$æ explicentur, ex quibus clarion ha- beatur notitia eorum, quæ ad centrum gravitatis pertinent. <HR> <C>CAPUT VI.</C> <C><I>Affertur ratio prædictarum praxeon.</I></C> <p>UT palam fiat praxibus capite $uperiore allatis inveniri punctum re$pondens centro gravitatis, quod inquiritur, indicandi $unt fontes, ex quibus illæ deducuntur. Earum ita- que ratio petenda e$t ex gravium naturâ, quæ extra locum $ibi debitum con$tituta, in medio videlicet leviore, conantur de- or$um pro viribus, ni$i impediantur: quod $i interpellentur quidem, non tamen pror$us de$cen$u prohibeantur, de$cen- dunt, prout fert ob$tantium impedimentorum conditio. Sic lapis $phæricus in montis clivo po$itus cùm non valeat rectâ; $icut in aëre libero, deor$um ferri, per planum illud inclina- tum de$cendit: Sic plumbum, quod filo adnectitur laqueari, à perpendiculo remotum de$cendit circulariter. Porrò quæ de toto ip$o corpore vera e$$e intelligimus, ejus quoque partibus $ingulis conveniunt; cùm enim $ingulæ $uam habeant gravita- tem, ni$i quid ob$tet, de$cendunt. Jam verò $i contingat ita corpus grave oppo$ito extrin$ecùs obice impediri, ut cunctæ $imul partes, qua$i moles unà de$cendere nequeant; $ublato partium nexu de$cendunt, quæcunque carent impedimento: ut $i ceream candelam, aut glaciem, quam manu $u$tines, igni admoveas; haud dubium, quin partes extremæ igni proximæ lique$centes, $olutâ unione cum cæteris, $uis nutibus deor$um latæ liberè de$cendant. At $i partes omnes colligatæ invicem permaneant, eandemque figuram $ervent; corpore illo $u$pen- $o aut $u$tentato, fieri non pote$t, ut partes aliquæ de$cendant, quin aliæ, ouæ è regione $unt trans $u$pen$ionis, aut $u$tenta- tionis punctum, a$cendant; id autem harum gravitati re- pugnat: non igitur a$cendere po$$unt, ni$i de$cendentes op- po$itæ viribus ac momentis præ$tent ita, ut harum gravitati <pb n=36> vim inferre valeant. Quare $i fiat corporis $u$pen$i, aut $u$ten- tati con$i$tentia, argumentum e$t æqualitatis momentorum punctum $u$pen$ionis, aut $u$tentationis hinc, & hinc u$que- quaque circun$tantium; $i qua enim e$$et inæqualitas, alterutra pars præponderaret, & ad motum incitaretur. <FIG> <p>Sit corpus grave AB, cujus centrum gravitatis H, linea di- rectionis HT in centrum uni- ver$i producta. Si $u$pendatur ex puncto C, quod e$t in eadem lineâ directionis, nece$$ariò con- $i$tit corpus horizonti paralle- lum, quia rectâ de$cendere non pote$t per HT, cum in C reti- neatur; neque alterutra pars pote$t de$cendere, quia momen- ta partis HB, quibus deor$um nititur, æqualia $unt momen- tis, quibus pars HA re$i$tit, no elevetur; & vici$$im viribus gravitatis- AH cæteroqui de$cen$uræ reluctatur gravitas HB pari ni$u repugnans, ne attollatur; totum ergo con$i$tit. At $i ex M puncto $u$pendatur, non pote$t quidem per MT per- pendicularem de$cendere versùs terræ centrum, $ed neque con$i$tet horizonti parallelum; quia $i planum intelligatur ex terræ centro per rectam MT ductum, non dividitur corpus in momenta æqualia, cum non tran$eat per H centrum gravita- tis; igitur cum majora $int momenta partis MB, quàm par- tis MA, illa præponderabit, atque de$cendens circa punctum M permanens convertetur, donec centrum gra- vitatis H $it in perpendiculari MT, cui congruat recta MO: tunc autem demum con$i$tet, quia planum tran$iens per MHO æqualiter di$pertit momenta gravitatis; neutrâ autem parte præponderante, utraque quie$cit. Idem dicen- dum, $i corpus ex I puncto $u$penderetur; tunc enim $o- lùm fieret con$i$tentia, ubi in eadem directionis lineâ e$$et punctum I atque H centrum gravitatis. Quod $i du- plici funiculo $u$pendatur pondus, & illi paralleli non $int, quia neque horizonti perpendiculares, illi $i producantur, concurrent in punctum aliquod lineæ directionis, $ivè $upra pondus, $ivè infra, pro ratione angulorum, quos con$tituunt. <pb n=37> Sit enim corpus AB, cujus cen- <FIG> trum gravitatis O, linea directio- nis IOC, $i ex I $u$pendatur per O, in co $itu manebit; ergo etiam, $i funiculi $int IH, IL, manebit: ergo etiam, $i $int PH, SL, funiculorum enim longitudo nihil facit; Idem etiam dicendum cum funiculi $unt DH, FL; pro- ducti enim concurrunt cum linea directionis in C, $emper $cilicet perinde $e habet atque, $i ex I $u$penderetur. <p>Quæ verò de $u$pen$ione dicta $unt, ea, analogiâ $ervatâ, de $u$tentatione quoque dicta intelligantur; tunc $olùm videlicet corpus con$i$tere, cùm ex centro gravitatis ducta directionis linea tran$it per punctum $u$tentationis, quia tunc $olùm æqua- lia hinc, & hinc $unt momenta virtutis ad de$cendendum, at- que re$i$tentiæ ad a$cendendum: ut quando corpus aliquod imponitur cono, vel pri$ma $phæræ, vel $egmentum $phæri- cum, plano, vel cylindrus aciei pri$matis trigoni in tran$ver- $um; cadet enim in alterutram partem impo$itum corpus, ni$i in eadem linea fuerint centrum terræ, punctum contactus, & centrum gravitatis. Quod $i corpus $u$tentans, atque $u$tenta- tum $e tangant in linea, opus e$t lineam illam e$$e in plano per lineam directionis ducto, ut fiat æqualium momentorum con- $i$tentia. Quare $i impo$itum corpus con$i$tat, certi$$imo ar- gumento con$tabit punctum, $eu lineam, contactûs re$pon- dere centro gravitatis. Hinc patet ratio $ecundæ, & tertiæ praxis. <p>In prima praxi quia facies extima, $upra quam perpendicu- lum liberè movetur, e$t in plano verticali, perpendiculum HC e$t parallelum lineæ directionis corporis gravis, quæ tran$it etiam per punctum $u$pen$ionis H: planum igitur tran$iens per punctum $u$pen$ionis H, & per perpendiculum HC, tran$it quoque per centrum gravitatis corporis. Cum verò idem pror- $us dicendum $it de plano tran$eunte per punctum $u$pen$io- nis R, & perpendiculum RF, illud $cilicet tran$ire per cen- trum gravitatis corporis; apertum e$t centrum gravitatis e$$e in <pb n=38> communi illorum planorum $ectione, eique re$pondere punctum S inventum. <p>Quia demum, $i corpus quod $u$tinet, & id, quod $u$tine- tur, in $uperficie $e tangant, corpus impo$itum in alterutram partem cadere non pote$t (ni$i fortè $uppo$itum planum fuerit inclinatum) quin planum per lineam directionis ductum ita $it extra $uperficiem, in qua fit contactus, ut neque illam con- tingat; con$tat ratio quartæ praxis. Si namque planum ex ter- <FIG> ræ centro ductum per C cen- trum gravitatis dati corporis OS, $ecet $ubjectum planum, pars corporis extra marginem FE in aëre extans minora ha- bet momenta gravitatis, quàm reliqua pars; hæc igitur gra- vior non pote$t ab illa elevari: ubi verò promotum corpus eò venerit, ut planum per cen- trum gravitatis C ductum tangat extremum marginem $ub- jecti plani ita, ut in eodem plano, in quo e$t centrum gravi- tatis C, $it etiam FE, æqualia $unt gravitatis momenta par- tis CS in aëre extantis, ac CO partis plano incumbentis; & $i vel minimum ulteriùs promoveretur, pars extra planum $ub- jectum extans gravior e$$et, adeóque de$cenderet. Quare $i in corporis OS $uperficie infimâ lineam de$crip$eris $ecundùm marginem FE, ea erit in plano tran$eunte per centrum gravi- tatis. Quia verò idem contingit, $i ii$dem $uperficiebus $e con- tingentibus alium $itum corpori dederis, pariterque eò u$que promoveris, ut citrà cadendi periculum promoveri ulteriùs non po$$it; alia linea $ecundùm marginem FE ducta erit pari- ter in plano per gravitatis centrum tran$eunte, $ecabitque priorem lineam, punctum mutuæ linearum $ectionis illud e$$e, quod quæritur, $atis liquet. Hæc e$t di$par philo$ophandi ra- tio, $i pars CO adeò longa e$$et, ut etiam extaret extra an- gu$tias $ubjecti plani; $emper enim con$i$tit impo$itum corpus, quandiù planum per lineam directionis tran$iens, aut tangit, aut $ecat $ubjectum planum. Quandocunque enim linea di- rectionis non tran$it per punctum, vel lineam, vel $uperficiem, <pb n=39> in quibus corpus grave tangitur à $u$tentante (idem dic de $u$pen$ione) $emper in alterutram partem grave inclinatur, in eam $cilicet, in qua reperitur centrum gravitatis, cùm plura $int ex ea parte momenta gravitatis. <HR> <C>CAPUT VII.</C> <C><I>Quomodo gravia $pontè a$cendentia de$cendant.</I></C> <p>EX his, quæ proximè dicta $unt, grave $u$tentatum in eam partem inclinari, in qua e$t gravitatis centrum, oritur ali- quando a$cen$us gravium, qui rerum naturalium ignaros in admirationem adducit non mediocrem, $i maximè tunc cor- pus de$cendere intelligant, quando illud cernunt altiùs ab ho- rizonte a$cendere. Sit <FIG> enim $uper planum in- clinatum RN rota tantæ latitudinis, ut po$$it in plano verticali erecta permanere, dum conver- titur; habeat autem ad PO adnexam laminam plumbeam cra$$iorem, adeò ut totius rotæ cen- trum gravitatis $it S. Jam verò ea $it plani $ubjecti inclinatio, ut rotâ illud tangente puncto H, li- nea à terræ centro per H punctum contactûs tran$iens non tran$eat per S centrum gravitatis ($eu ut veriùs dicam, quia extima $uperficies rotæ cylindrica tangit planum in lineâ, pla- num ex centro terræ per lineam contactûs in H ductum non tran$eat per S) $ed illud relinquat versùs $uperiorem plani par- tem N; planum per rectam HO perpendicularem ductum di$tinguit rotam in momenta gravitatis inæqualia: non pote$t igitur rota in H con$i$tere, $ed convertitur, ita ut tangat pla- num in I primùm, deinde in E, demùm in P, ubi con$i$tet, <pb n=40> cùm linea directionis ex gravitatis centro S ducta in terræ cen- trum tran$ibit per P locum contactús. In hac autem conver- $ione dum rotæ partes inter H & P deinceps aptantur $ubjecto plano, centrum quidem molis a$cendit, $ed centrum gravita- tis S de$cendit. Lineam porrò SP minorem e$$e lineá SE, & hanc minorem lineâ SI, & hanc lineâ SH, con$tat ex prop.7. lib.3. Eucl. $i nimirum per S, & C centrum agatur diameter. Non e$t tamen cen$endum quamlibet ponderis additionem in OP $atis e$$e, ut in quoliber plano inclinato rota a$cendat; $i enim di$tantia centri gravitatis à centro rotæ minor fuerit, quàm Sinus inclinationis plani, $emper de$cendet; $i eidem Sinui æqualis, non a$cendet; $i demum eo $inu major, poterit a$cendere. <FIG> <p>Sit planum inclinatum AB, quod in H contingat circulum (hunc $umo cir- culum, qui tran$eat per centrum tum molis tum gravitatis rotæ) cujus cen- trum C, & ducatur recta CH, quæ cum perpendi- culari HO faciat angu- lum CHO. Quia enim OH producta cadit in ho- rizontem AD perpendicularis, & angulus OHA per 32.lib.1. æqualis e$t duobus internis HFA, FAH, e$t autem AHC ad contingentem factus à $emidiametro rectus per 18.lib. 3. $icut & HFA e$t rectus; reliquus CHO æqualis e$t angulo HAF inclinationis plani. Certum e$t igitur, quòd in eam partem ro- ra convertetur, in qua fuerit centrum gravitatis. Quoniam verò CI e$t Sinus anguli CHI, po$ito radio CH, e$t au- tem CI minima omnium, quæ ex C puncto cadant in rectam HO, manife$tum e$t, quòd, $i centrum gravitatis fuerit cen- tro rotæ vicinius, ut in R, rota $emper de$cendet, quia cen- trum gravitatis re$picit declivitatem plani: at, $i fuerit in I, a$cendere non pote$t, quia pars re$piciens acclivita- tem plani non præponderat: $i demum longiùs à centro di$titerit, ut in S, a$cendere poterit, u$que dum punctum S <pb n=41> fuerit in lineâ perpendiculari ad horizontem tran$eunte per punctum contactûs. <p>Ex his apertè con$tat futurum, ut rota de$cendat, $i angulus, quem in puncto contactûs faciunt lineæ ductæ ex centris mo- lis, & gravitatis ($uppono molis centrum idem e$$e cum centro rotæ, quâ rota e$t) minor fuerit angulo inclinationis plani, tunc enim centrum gravitatis re$picit declivitatem plani; fu- turum autem, ut rota a$cendat, $i angulus ille major fuerit co- dem angulo inclinationis, quia centrum gravitatis re$picit ac- clivitatem plani; futurum demùm, ut con$i$tat, $i angulus il- le fuerit æqualis eidem angulo inclinationis plani, quia nimi- rum planum perpendiculare dividit æqualiter momenta gravi- tatis, cum tran$eat per centrum gravitatis exi$tens in lineâ perpendiculari. <p>Hinc patet $emper de$cen$uram rotam, $i habeat centrum gravitatis R, quia $emper facit angulum, de quo dictum e$t, minorem angulo inclinationis, hoc e$t angulo CHI, nam $i ducatur ad CR perpendicularis RE, & ex centro ducatur recta CE, angulus CER e$t maximus omnium, quos faciunt lineæ ex punctis C, & R ductæ ad idem punctum circumfe- rentiæ, ut mox o$tendam; atqui CER minor e$t angulo CHI, (quia ob lineas RE, IH parallelas, angulus IHC internus per 29.lib.1. e$t æqualis externo RLC, & RLC externus per 16. lib. 1. major e$t interno CER, ac proinde IHC major quàm CER) igitur quicunque angulus con$titutus à rectis exeuntibus ex C, & R minor e$t angulo inclinationis; atque adeò $emper de$cendet. <p>At $i centrum gravitatis fuerit S, ductâ ad CS perpendicu- lari SM, angulus omnium maximus e$t CMS: hic autem e$t æqualis externo CKI, cum IK, & SM parallelæ $int con$ti- tutæ; angulus verò CKI externus major e$t interno CHI, igitur angulus CMS major e$t angulo CHI, hoc e$t angulo inclinationis. A$cendere igitur poterit rota, quando angulus ad contractum factus à lineis ex C, & S exeuntibus major e$t angulo inclinationis; $in autem contactus fiat in co puncto, ad quod fit angulus æqualis, con$i$tet; $i in iis punctis, ad quæ fit angulus minor, de$cendet. <p>Porrò quamvis iis, qui in A$tronomicarum Pro$taphære$eon <pb n=42> doctrinâ ver$ati $unt, $upervacaneum $it o$tendere angulum ad peripheriam factum à Radio circuli, & à linea perpendicu- lari in diametrum, e$$e maximum omnium, qui fieri po$$int à Radio, & à lineâ ductâ ex eodem diametri puncto, in quod cadebat perpendicularis; ut omnibus tamen fiat $atis, non pi- <FIG> gebit hîc demon$trare. Sit in diametro circuli punctum R extra centrum C, & ad CR ducatur perpendicularis HR, quæ producta in G, bifariam dividitur in R: & ductis ex centro rectis CH, CG æqualibus, $unt anguli CHR, CGR æquales, per 5. vel 8. lib.1. Fiat angulus CER, ductis ex C & R rectis lineis ad idem punctum E peripheriæ. Dico angulum CER minorem e$$e an- gulo CHR. Ducatur enim recta EG; & erunt in I$o$cele CEG æquales anguli CEG, CGE. Quia verò, per 7.lib.3. RE major e$t quàm RG, angulus RGE major e$t angulo REG, per 18.lib. 1. & ablatis æqualibus remanet REC mi- nor angulo RGC, hoc e$t RHC. Similiter o$tendetur angu- lum RIC minorem e$$e angulo RHC: ductâ enim IG, angu- li CIG, CGI $unt æquales: & quoniam per 7.lib.3. RG ma- jor e$t quàm RI, angulus RIG major e$t angulo RGI, per 18.lib.1. $i igitur ex æqualibus auferantur inæquales anguli, re- manet RIC minor, quàm RGC, hoc e$t quam RHC. Ea- dem erit methodus demon$trandi angulos ad puncta periphe- riæ propiora puncto H e$$e majores angulo CER. Ductâ enim RD æquali ip$i RE, ad punctum $cilicet D æqualiter di$tans à diametro, ac di$tet punctum E, & ducto radio CD, e$t angu- lus CDR æqualis angulo CER. Sit autem puncto H vicinior angulus COR, quem dico e$$e majorem angulo CER per 7.lib.3. & 8.lib.1. Ducta lineâ OD, anguli COD, CDO $unt æquales, quia latera CO, CD æqualia $unt: at per 7.lib.3. RO minor e$t, quàm RE, hoc e$t RD, igitur angulus ROD per 18.lib.1. major e$t angulo RDO, & ablatis æqualibus re- manet ROC major quam RDC, hoc e$t quàm REC. Angu- li itáque recedentes à puncto H $emper fiunt minores, acce- dentes verò fiunt majores. <pb n=43> <p>Hoc probato con$equens e$t illud, quod in rotæ peripheriâ duo $unt puncta, inter quæ quodlibet punctum contingat pla- num inclinatũ, rota a$cendit, $i angulus maximus factus à lineis ductis ex centro rotæ, & ex centro gravitatis $it major angulo inclinationis; quia nimirum anguli à puncto H recedentes ad utramque partem $emper fiunt minores; ergo ad utramque e$t angulus unus æqualis angulo inclinationis, & $patium inter huju$modi angulos e$t quantitas peripheriæ, quæ a$cendens pote$t coaptari plano inclinato: ac proinde ex horum puncto- rum di$tantia definietur $patium, quod pote$t rota a$cendens percurrere. <p>Sit igitur rota, cujus centrum C, & <FIG> centrum gravitatis S: $it autem CS par- tium 11, quarum CH Radius e$t 16: e$t igitur CS æqualis Sinui gr. 43. 26′. qui erit maximus angulus CIS ad peri- pheriam factus à Radio, & à lineâ IS perpendiculari ad SC. Quare in quoli- bet plano habente minorem inclinatio- nem poterit a$cendere. Ponatur plani inclinatio gr. 15, cui æqualis $it angulus CHS. Fiat igitur ut CS 11 ad CH 16, ita Sinus anguli CHS 25882 ad 37646 Sinum Anguli CSH gr. 22. 7′; eritque angulus SCH gr. 142. 53′. Cre$cet ergo $upra angulum H angulus ad peripheriam, $i ultra punctum H fiat contactus rotæ in alio puncto viciniore puncto I, ex quo ad SC perpendi- cularis cadit; & ex I decre$cit u$que dum in P fiat angu- lus SPC grad. 15 æqualis angulo inclinationis. In triangu- lo itaque SPC invenitur ex ii$dem datis angulus PSC gr. 157. 53′. & angulus SCP gr. 7. 7′. qui ex angulo SCH gr. 142. 53′ ablatus relinquit PCH gr. 135. 46′. quæ e$t quan- titas arcûs HIP, quæ plano coaptatur in a$cen$u. Quoniam verò quarum partium CG Radius e$t 16, peripheria e$t 100 1/2 earum parirer e$t arcus HP ferè 38, $i Radius rotæ fuerit un- ciarum pedis 16, rota a$cendet in plano percurrens $patium pedum 3, & eo ampliùs. Hinc poteris aut rotæ diametrum au- gere, aut plani inclinationem minuere, $i volveris rotam lon- giore $patio moveri: auctâ enim rotæ diametro augetur peri- <pb n=44> pheria, $ervatâ ratione eadem di$tantiæ centri gravitatis. At $i data fuerit rota (oportet non ignorari di$tantiam centri gravi- tatis à centro rotæ, poterit autem primâ praxi cap.5. inve$tiga- ri) certum e$t illam non po$$e a$cendere ni$i per $patium mi- nus longitudine $emiperipheriæ; con$tituto autem $patio inve- nietur inclinatio plani nece$$aria, hac methodo. Data $patij longitudo PH reducatur ad denominationem graduum, & erit notus angulus PCH: & quoniam anguli ad H & ad P debent e$$e æquales, anguli verò in R ad verticem $unt æquales, erunt pariter æquales PCH, & PSH, qui proinde notus e$t. Hujus $emi$$is auferatur ex recto CSI, & innote$cet angulus CSH, cum quo & duobus lateribus CS, CH invenietur per Trigo- nometriam angulus CHS æqualis angulo inclinationis plani nece$$ariæ. Quod autem angulus HSI $it $emi$$is totius HSP, hoc e$t dati PCH, $ic o$tendo. Quia in duobus triangulis CSP, CHS idem latus CS opponitur angulis æqualibus ad H, & ad P, æqualia autem latera CH, & CP opponuntur angulis quæ$itis CSH, & CSP, con$tat horum duorum angulorum e$$e unum eundemque $inum; ergo $imul $umpti $unt æquales duobus rectis; auferatur ex eorum $ummâ unus rectus, rema- nebunt duo anguli $imul CSH, ISP æquales uni recto, hoc e$t angulo ISC: auferatur communis CSH, remanebit HSI æqualis angulo ISP: id quod oportuit demon$trare. <p>Colligere po$$umus ex his, quæ hactenus explicata $unt, fie- ri quidem po$$e, ut, $i rota in plano inclinato primùm con$ti- tuta exactè tangat in H, pror$us con$i$tat; id tamen vix po$$e $perari, quia $i in alio puncto remotiore ab I tangat, cadet, $i in puncto viciniore, a$cendet. At ubi venerit in P, $i ex con- cepto impetu pergat adhuc aliquantulum a$cendere; centro gravitatis S tran$lato versùs plani declivitatem, & diminuto angulo, de$cendet; & ubi tran$ilierit punctum P, iterùm aucto angulo a$cendet, donec omninò in P con$i$tat. Ubi licet animadvertere non idem e$$e punctum contactus, in quo quie$ceret in plano horizontali, ac inclinato; in plano enim horizontali quie$ceret in O, ubi linea à centro rotæ C perpen- dicularis horizonti, ac tran$iens per S centrum gravitatis, ter- minatur: in eo autem puncto O con$i$tere non po$$e $upra pla- num inclinatum $atis patet ex dictis. Porrò hæc, quæ de rotâ <pb n=45> con$i$tente, aut cadente di$putata $unt, dicenda e$$e de $phæ- râ quie$cente in plano inclinato, clarius e$t, quàm ut oporteat pluribus explicare. <p>Unum $upere$$e videtur o$tendendum, quî verum $it cen- trum gravitatis de$cendere ita, ut fiat horizonti vicinius, dum rota a$cendit, & fit remotior. Id ut manife$tum fiat, primò in- veniatur HS: & $it ut Sinus anguli CHS gr. 15. ad $inum an- guli SCH gr. 14.2. 53′. hoc e$t ut 25882 ad 60344, ita CS partium 11 ad HS 25 2/3: quæ e$t altitudo centri gravitatis ante motum. Deinde inveniatur SP; & $it ut Sinus SPC gr. 15 ad Sinum SCP gr.7. 7′ hoc e$t, ut 25882 ad 12389, ita CS par- tium 11 ad SP 5 1/4, quæ in fine motus erit altitudo centri gravi- tatis $upra planum inclinatum; huic autem addenda e$t altitu- do, quam $upra horizontem habet punctum illud plani inclinati, in quo tanget P. Quia ergo inclinatio plani e$t gr. 15, & HP e$t partium 38, tantum e$t $patium, quod in plano percurritur à rota a$cendente, fiat ut Radius 100000 ad 25882 Sinum an- guli inclinationis, ita 38 ad 9 4/5 altitudinem $upra horizontem, cui $i addas SP 5 1/4, erit in fine motûs altitudo centri gravitatis $upra horizontem partium 15, cùm initio di$taret partibus 25 2/3. Centrum igitur gravitatis $impliciter, & ab$olutè de$cendit, dum rota in plano inclinato a$cendit. <p>Po$$em hîc afferre aquam vi $uæ gravitatis a$cendentem in cochleâ Archimedis, dum cylindrus, quem cochlea ambit, convertitur: ab$tineo tamen, quia non vacat hîc examinare, an motus ille compo$itus $it ex conver$ione, quâ pul$u externo agitata aqua attollatur, & ex naturali de$cen$u, quo per tubum in $piras $inuatum de$cendat; an verò quemadmodum $uppo$i- to cuneo reluctans pondus elevatur, vel etiam cochleâ trahitur in plano horizontali, ita dicendum $it aquam vi $uæ gravitatis in imo per$i$tentem à cochleâ $en$im $ubeunte elevari $imul, & trahi, quin illa $ponte $ua a$cendat: nam aquæ facilè tribuitur aliquando motus, qui $ubjecto corpori, cui illa in$idet, conve- nit; ut liquet $i ampliorem peluim ex fune $u$penderis, vel lu- brico in plano horizontali collocaveris, in qua $it non multa aqua in depre$$iore fundi parte quie$cens; va$e $iquidem ex improvi$o vehementiùs impul$o videtur aqua in oppo$itam par- <pb n=46> tem refluere, cum tamen vas ip$um potiùs infra aquam mo- veatur, quàm aqua in va$e: quanquam ratione adhæ $ionis aquæ ad peluim etiam ip$a motum concipiat. Quare in cen$u $ponte a$cendentium numeranda non videtur aqua tubo $peciali cy- lindrum circumplexo elevata. <p>Videatur forta$$e aqua $ponte a$cen$ura in tubo non æquabi- li $ed conico, in plano verticali rotæ $piraliter circumducto: dum enim aqua æquilibrium $uperficiei faciens in parte tubi ampliore præponderat, convertitur rota, & illa iterum æqua- liter $e librans totius molis compo$itæ centrum gravitatis trans- fert extra lineam perpendicularem: $i tamen ea cautio adhi- beatur, ut tanta $it aquæ quantitas, quæ non planam obtineat $uperficiem $ed tubi inflexione conformetur; neque ita $it $piræ a$cendentis ardua altitudo, ut aqua po$t $uperficiei libra- tionem ex ea parte ob $ui paucitatem non præponderet; & præ- terea ejus figuræ $it tubus, ut aqua in parte angu$tiore remo- tior à perpendiculari, non ita ratione $itûs augeat momenta $ui conatû<*>s deor$um, ut repugnare valeat aquæ ampliorem tubi partem occupanti. Si hæc, inquam, ob$erventur (an autem ita facile $it ea ob$ervare, ut quidam autumant, hic non de- finio) & centrum gravitatis transferatur extra perpendicula- rem versùs ampliorem tubi $piralis partem, futurum quidem e$t, ut aqua a$cendat; id tamen non e$t opus centri gravitatis, $ed potius virtutis illius, qua humor $e æquabiliter librat. <HR> <C>CAPUT VIII.</C> <C><I>Cur gravium in plano inclinato de$cendentium alia repant, alia rotentur.</I></C> <p>QUæ capite $uperiori dixi de globi aut rotæ $uper planum inclinatum con$i$tentiâ in puncto, in quo linea à centro globi, aut rotæ ducta cum eâ, quæ ex centro gravitatis duci- tur, facit angulum æqualem angulo inclinationis plani, non ita intelligi velim, qua$i motus omnis deor$um adimatur rotæ aut globo cuju$libet gravitatis, & in quovis plano inclinato: ibi enim con$i$tentiæ, aut quietis nomine $olam conver$ionem <pb n=47> excipio, non lap$um nego. Fieri $i quidem pote$t, ut adeò con- tinuo lævore lubricum $it planum, exactéque rotundatus globus, ut nullam ex eminulis particulis moram recipiens deor$um la- batur, volubilitate ipsâ motum nihil juvante, $ed $olo pondere urgente, cum in lineâ ad horizontem perpendiculari $emper maneat centrum gravitatis, & punctum contactûs. <p>Neque e$$et diver$a ratio $phæræ centrum gravitatis haben- tis extra centrum molis, ac cæterorum corporum non $phæri- corum: Nam gravia quæcunque in plano inclinato con$tituta tantum habent ad de$cendendum momenti, ut a$peritatis re- $i$tentiam vincant, repunt quidem, $i linea directionis ab eo- rum gravitatis centro in terræ centrum ducta tran$eat per can- tactum $ubjecti plani, & impo$iti gravis; rotantur verò, $i di- rectionis linea in plani declivitatem cadat extra contactum: $ivè demùm in puncto, $ivè in lineâ, $ivè in $uperficie con- tactus fiat. E$t autem animadvertendum non e$$e opus, ut una continua $uperficies $it, aut linea, $ecundùm quam $e tangant; $ed pro $uperficie aut linea contactûs accipitur totum illud $pa- tium, quod inter extrema contingentia rectis lineis conjuncta intercipitur. <p>Sit planum inclinatum AB, <FIG> cui globus C incumbit con- tingens in puncto D. Ex cen- tro gravitatis C, quod & cen- trum molis e$t ex hypothe$i, cadat linea directionis CE perpendicularis in horizon- tem FB; quæ nece$$ariò ca- dit extra punctum contactûs D; alioquin eadem linea CE caderet ad angulos rectos $u- pra planum inclinatum, & $upra horizontale, id quod fieri non pote$t, cum huju$modi plana non $int invicem parallela. Per D igitur punctum $u$tentationis ductâ GH parallelâ lineæ directionis, $i per utramque plana parallela ducantur, planum per GH $ecat $phæram in partes inæqualiter graves; & idcir- co pars præponderans, in qua e$t centrum gravitatis globi, mo- vetur circa punctum $u$tentationis D, atque adeò in gyrum <pb n=48> conver$a circa centrum C de$cendit, ac rotatur. Quod $i inæ- qualis fuerit $phæræ $ub$tantia, & centrum gravitatis I in per- pendiculari GH, non de$cendet $phæra in gyrum acta, $ed tantùm repet, cum neutra pars præponderet. <p>Simili ratione parallelepipedum KL, cujus centrum gravi- tatis M, non repit; quia, cùm linea directionis MN cadat ex- tra ba$im KO, quæ contingit $ubjectum planum, $i per extre- mam lineam KP tran$eat planum PQ horizonti perpendicu- lare, dividitur parallelepipedum in duo pri$mata inæqualia, & non æquiponderantia: cum verò pri$ma trapezium QLKP præponderet pri$mati trigono KOQ, quod $u$tinetur à ba$i, illud nece$$ariò de$cendit, & circa lineam KP convertitur. Contrà autem quando intra ba$im contactûs, ut in cubo PR, cujus centrum S, cadit linea directionis ST, tunc repit, & non rotatur cubus; quia $cilicet ab extrema $u$tentationis lineâ KP ductum planum horizonti perpendiculare dividit cubum in partes inæquales ita, ut pars illa, in qua e$t centrum gravitatis, & quæ à $ubjecto plano tota $u$tinetur, præponderet, nec po$- $it à reliquâ parte elevari, ut circa KP convertatur. <p>Hinc apparet ad quantam altitudinem pertinere po$$it paral- lelepipedum, ut in dato plano inclinato non rotetur, $ed repat: nam ab extremâ $u$tentationis lineâ KP excitatum planum horizonti perpendiculare PQ, quod bifariam in partes æqui- ponderantes dividit parallelepipedum KQ, determinat altitu- dinem maximam XQ; in omni quippe majori altitudine non repit, $ed rotatur, quia linea directionis cadit extra ba$im $u$tentationis: in omni verò minori altitudine non rotatur, $ed repit, quia linea directionis cadit intra ba$im $u$tentationis. Hoc idem in corporibus cæteris, quamvis non parallelepipe- dis, ob$ervandum e$t, an $cilicet linea directionis cadat extra ba$im $u$tentationis, nec ne. <p>Quæ tamen de cubo repente dicta $unt, intelligi velim $pecta- tâ per $e gravium figurâ: quia per accidens fieri pote$t, ut cor- pus non repat, $ed rotetur, quamvis linea directionis cadat in- tra ba$im, quæ planum inclinatum contingit. Nam $i in motu occurrat $uper plano inclinato offendiculum aliquod, cui de- $cendens corpus illidatur, fieri pote$t, ut impetus ex motu con- ceptus ita promoveat centrum gravitatis in anteriora, ut linea <pb n=49> directionis cadat extra ba$im ultrà punctum illud, quod proxí- mum e$t offendiculo, ac proinde circa illud convertatur. Hæc autem poti$$imùm e$t ratio, cur ex clivis de$cendentes lapides, quamquam nec orbiculares, nec admodum alti, rotentur ta- men; quia $cilicet multa offendicula in clivo occurrunt, & ab impetu per motum concepto partes $uperiores promoventur ulteriùs, inferioribus retardatis. Sic $æpè ce$pitantes cadimus, quia ab offendiculo retinentur pedes, cum interim corpus re- liquum ex concepto impetu ulteriùs promoveatur, ita ut linea directionis cadat extra ba$im $u$tentationis. <HR> <C>CAPUT IX.</C> <C><I>Cur turres inclinatæ non corruant.</I></C> <p>OB$ervandum e$t, ait Vitruvius lib.6. cap. 11, uti omnes $tructuræ perpendiculo re$pondeant, neque habeant in ulla parte proclinationes. Nemo e$t qui non intelligat præ- ceptum hoc ad ædificiorum con$i$tentiam pertinere; $ed neque defuerunt, qui rem $ubtiliùs, quàm par $it, perpendentes ina- ni timore $e torquebant, ne fortè aliquando domus corrueret, cujus parietes inter $e paralleli fuerant con$tituti; cùm enim perpendicula $ibi demum in terræ centro occurrant, fieri non po$$e putabant, ut $imul paralleli e$$ent parietes. Id quod Geo- metricè quidem verum e$t; Phy$icè tamen paralleli$mus cum perpendiculis con$entit: nam $i funiculos duos longitudinis ped. 100. clavo affixos ita extendas, ut extrema eorum palmi intervallo di$tent, angulum facient acuti$$imum; & $i lineas duas bipedales duxeris eorum extremitatibus congruentes, vix different à parallelis, cum intervalla jungentia utro$que linea- rum terminos differant inter $e $olum palmi parte quinquage- $ima. Longè autem majorem rationem terræ $emidiameter ha- bet ad quamlibet ædificiorum altitudinem; ut proinde à paral- leli$mo multo minùs recedant parietes, etiam$i fuerint turrium in$tar alti$$imi. Ponantur enim parietes duo, aut potiùs turres, di$tare inter $e pa$$.300; $it autem parietum, vel turrium alti- tudo pa$$. 60, hoc e$t ped.300. Con$tat mihi, ut aliàs o$tendi, terrenam $emidiametrum non e$$e minorem pa$$ibus Rom. <pb n=50> antiq. 4128635: quarè $i fiat ut terræ $emidiameter 4128635 ad altitudinem 60, ita di$tantia parietum, aut turrium in imo 300, ad aliud, proveniet differentia, qua di$tantia turrium in $ummo vertice $uperat earum di$tantiam in imo pede, & <*>rit partium (4359/1000000) unius pa$$us, quæ e$t minor quàm 2/5 digiti: quis autem parallelas non dixerit turres, quæ vix uno aut altero hordei grano di$tant à paralleli$mo? Quod $i in tanta altitudine atque di$tantiâ di$crimen hoc adeò exiguum e$t, $atis patet, quid de columnarum paralleli$mo dicendum $it. Con$tat autem ex his ædificia in alti$$imis montibus con$tituta habere parie- tes minùs à paralleli$mo recedentes, $i fuerint ad perpendicu- lum ædificati, quàm in locis depre$$ioribus: atque adeò, $i duæ columnæ eandem inter $e po$itionem $ervantes de$cenderent cum $ubjecto plano, ita ut alterutra columnarum illarum ad perpendiculum de$cenderet, reliqua demùm adeò inclinare- tur, ut caderet. <p>Sed quàm inanem $ibi $truant $olicitudinem, qui nimis exi- guè, & exiliter ad calculos revocant $tructurarum perpendicu- la, $atis indicant turres inclinatæ, quæ po$t aliquot $ecula con- $i$tunt citrà ullum ruinæ periculum, quamvis illam timeant imperiti. Duas habemus in Italiâ turres ob in$ignem inclina- tionem con$picuas; altera e$t Bononiæ quadrata opere lateri- tio, altera Pi$is rotunda ex albo marmore affabrè expolito, & columnis 284 rite di$po$itis ornata. Ædificari cœpit anno 1173 Germano quodam architecto, quem ab aliis Guillel- mum, ab aliis Joannem OE nipontanum dici reperio. Rotunda e$t forma duplici muro concludente $calas cochleæ in modum ab imo ad $ummum ductas: parietis cra$$ities e$t cubitorum 6 1/3, turris altitudo cubitorum 78, ambitus in imo pede cubi- torum 80; unde colligitur diameter cubitorum ferè 25 1/2; incli- natio, $eu intervallum inter ba$im, & perpendiculum e$t cu- bitorum 7 1/3, ut ex literis ad me inde datis habeo; quamvis apud aliquos legerim tantùm cubitos 7, apud alios 6 1/2. Factâ ne fuerit illa inclinatio de indu$triâ, an verò $ub$identibus fun- damentis, incertum e$t. Ego non facilè eo in illorum $enten- tiam, qui id $cribunt contigi$$e ex artificis imperitia, cui non $atis per$pecta e$$et $oli natura; tum quia fundamenta altitudi- <pb n=51> nem habent, atque amplitudinem ingentem, quibus con- $truendis annus $olidus $atis non fuit; tum quia nullam unquam egit rimam, id quod $ub$idente $olo rari$$imum e$t; tum quia potuit architectus excitari ad artis $pecimen exhibendum à tur- ri Bononien$i Gari$end<*> excitatâ anno 1110. <p>Turris Bononicn$is altitudinem habet pedum Bonon. 130; exteriùs inclinatur ped. 9, interiùs verò ped. 1, & paulo am- plius: muri cra$$ities in parte infimâ e$t pedum 6 1/2, in $upre- ma ped. 4; cava turris ped. 7. quare lateris longitudo e$t ped. 20, & ambitus, quoniam quadrata e$t, ped. 80. Ex his men- $uris, quas in <I>Bononïá Perlu<*>ratâ</I> anno 1650 typis evulgatâ at- tulit Antonius Pauli Ma$ini, turris $pe- <FIG> ciem exhibeo, & e$t AB latus unum ped. 20, BD inclinationis men$ura ped. 9. DC altitudo perpendicularis ped.130; EB & AF ped. 6 1/2 cra$$ities imi parietis, & CH ped. 4. cra$$ities eju$dem parietis EC exteriùs inclinati. At quoniam inclinatio interior FI dici- tur e$$e ped.1, & paulo ampliùs, erit ID paulo major ped.21; erecta autem ex I perpendicularis dabit punctum G termi- num cra$$itiei muri AG in parte $upre- mâ, & erit CG major ped. 21, cum $it æqualis ip$i ID. Quare fieri non pote$t, ut KG $it ped. 4; quemadmodum HC; alioquin e$$et CK $altem ped.25, cum ba$is AB $it tantum ped.20. Hinc $i li- ceat conjecturas per$equi (quandoqui- dem veritatem a$$equi non potui, cum non careat periculo a$cen$us per $calas ligneas à pluviis maximam partem cor- ruptas) exi$timo AF majorem e$$e quàm EB, hoc e$t majorem pedibus 6 1/2, KG verò minorem quam HC, ut turri $ua con$tet Eurithmia; id quod obtineretur, $i ID uno, aut alte- ro pede minor e$$et quàm AB, differentia enim inter ID, & AB e$$et cra$$ities KG. Et $anè memini aliquando me au- <pb n=52> divi$$e $upremam cra$$itiem muri oppo$iti parti inclinatæ non excedere integrum pedem. Id autem valde opportu- num accidebat, ut longè faciliùs paries AFGK $uâ mole $taret: neque enim ca$u inclinatam fui$$e turrim dicere po- teris, quam con$tat prope A$inellam recti$$imam ideò fui$$e conditam, ut multo clariùs appareret inclinatio: præterquam quod inclinatio interior minor externâ $atis o$tendit muros nunquam fui$$e parallolos. <p>Porrò ut con$tet ex huju$modi inclinatione non magis e$$e de ruinâ timendum, quàm $i exactè perpendicularis e$- $et, examinemus, $i placet, centrum gravitatis in turri Bo- nonien$i; hinc enim facilis erit conjectura de cæteris. Et <FIG> primò parietis maximè inclinati $ectio verticalis illum bifariam $ecans ac tran- $iens per centrum gravitatis $it HCBE: cujus latera parallela HC, EB bifariam $ecta in V & R jungantur rectâ VR, cu- jus longitudo inve$tiganda e$t, ut in eâ definiatur punctum S centrum gravitatis, ac innote$cat utrum perpendicularis SX, $cilicet linea directionis cadat intra ba- $im EB $u$tentantem. Et ut à fractioni- bus minus incommodi $ubeamus, liceat a$$umere pedem in partes cente$imas di- vi$um. Cum autem EB $it ped. 6 1/2, $emi$- $is RB e$t ped. 3. 25″; & quia HC e$t ped. 4, VC e$t ped. 200″. Et ducatur recta BV. <p>In triangulo BDC rectangulo datis BD, inclinatione ped. 90′0′, & altitudine per- pendiculari CD ped. 130′0′, additis late- rum quadratis fit quadratum hypothenu- $æ BC, quæ e$t ped. 13031″. Ex datis autem lateribus BD, & DC invenitur angulus CBD gr. 88. 33′, cui æqualis e$t inter parallelas VC, BD alternus VCB: angulus verò CBR gr. 91. 27′. <p>In triangulo VCB datis lateribus VC ped. 2.0′0′, CB ped. 130. 31″, & angulo verticali VCB gr. 88. 33′, reperitur <pb n=53> CVB gr. 90. 34′. 14″, & VBC gr. 0. 52′. 46″.. Ex his autem inve$tigatur VB ped. 130. 26″. <p>Quoniam autem angulus CBR notus erat gr. 91. 27′, $i de- matur ex illo angulus VBC gr. 0. 52′. 46″. remanet VBR gr. 90. 34′, 14″, æqualis angulo CVB alterno inter parallelas; & nota $unt latera illum con$tituentia BR ped 3. 25″. & BV ped. 130. 26″. Ex quibus datis invenitur angulus BRV gr. 88. 0′. 2″, BVR gr. 1. 25′. 44″ & ba$is VR ped. 130. 326‴. <p>Jam verò, ex prop. 15 lib.1. Æquipond. Archimedis, divi- datur VR in S eâ ratione, ut $it VS ad SR, ut duplum EB majoris parallelarum unâ cum minore HC, ad duplum HC unâ cum majore EB, hoc e$t (quia EB e$t ped. 6 1/2) & HC ped.4.) ut 17 ad 14 1/2. Igitur ut 31 1/2 ad 14 1/2, ita VR 130. 326‴, ad SR ped. 59. 99″. Demum ex S ducta perpendiculari SX, quia in triangulo RXS rectangulo datur angulus SRX gr.88. 0′.. 2″. atque adeò ejus complementum RSX gr.1. 59′. 58″. & latus SR ped. 59. 99″. invenitur latus RX ped. 209″. E$t igi- tur RX linea minor, quàm RB po$ita ped. 3. 25″; & idcirco perpendicularis linea directionis SX cadit intrà ba$im parie- tis EBCH. <p>Sed quia facturum me puto rem aliquibus gratam, $i quas inij rationes hîc exhibeam, calculi totius progre$$um per lo- garithmos hîc addo, ut illum po$$is, $i placeat examinare. <TABLE BORDER> <TR> <TD COLSPAN="2">In Triangulo BDC rectang</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">In Triangulo VBR</TD> </TR> <TR> <TD>BD ped. 900′ —— r l</TD> <TD>7,04575,74906</TD> <TD COLSPAN="2">VB + BR ped. 13351 —— r l</TD> <TD>5,87448,62041</TD> </TR> <TR> <TD>DC ped.130.00″. — l.</TD> <TD>4.11394,33523</TD> <TD COLSPAN="2">VB - BR ped. 1270<*> —— l</TD> <TD>4,1038;,79160</TD> </TR> <TR> <TD>CBD gr.88.33. m</TD> <TD>1,15970,08429</TD> <TD>Semi$umma ang.</TD> <TD>gr.44.42′.53″,-m</TD> <TD>9,99567.51920</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD></TD> <TD>differentia</TD> <TD>gr.43.17, 9 m</TD> <TD>9,97399,93121</TD> </TR> </TABLE> <TABLE BORDER> <TR> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">In Triangulo VCB</TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="2">CB + CV ped. 132. 31′ —— r l</TD> <TD>5,87840,73306</TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="2">CB - CV ped. 128. 31 —— l</TD> <TD>4,10826,05050</TD> </TR> <TR> <TD>Semi$umma ang. ad ba$im</TD> <TD>g. 45.43′ 30″.m</TD> <TD>10.01099,19326</TD> </TR> <TR> <TD>differentia</TD> <TD>g. 44.50.41.m</TD> <TD>999765,98182</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">Angul. CVB</TD> <TD>g. 90.34.14</TD> <TD></TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">Ang. VBC</TD> <TD>g. 0. 52. 46</TD> <TD></TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">CBR</TD> <TD>g. 91. 27. 0</TD> <TD></TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">VBR</TD> <TD>g. 90. 34. 14</TD> <TD></TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="2">VBC gr. 0. 52′ 46″ —— —— r l</TD> <TD>1,81393,17962</TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="2">VCB gr. 88. 33. 0. —— —— l</TD> <TD>9,99986,09115</TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="2">VC ped. 200″. —— — —— l</TD> <TD>2.30102,99957</TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="2">VB ped. 130. 26″ —— — —— l</TD> <TD>4,11482,27034</TD> </TR> </TABLE> <TABLE BORDER> <TR> <TD>BRV gr.88. 0, 2</TD> <TD></TD> </TR> <TR> <TD>RVB gr. 1,25.44″</TD> <TD></TD> </TR> <TR> <TD>RVB gr. 1. 25.44′— r l</TD> <TD>160316,93891</TD> </TR> <TR> <TD>RBV gr 90.34.14 — l</TD> <TD>999997,84664</TD> </TR> <TR> <TD>BR ped. 325″ — l</TD> <TD>251188,33610</TD> </TR> <TR> <TD>VR ped. 130,326″ — l</TD> <TD>411503,12165</TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">In triangulo RSX rectang.</TD> </TR> <TR> <TD>RSX gr. 1.59′.58′.— l</TD> <TD>854269,84915</TD> </TR> <TR> <TD>RS ped. 59. 99″. — l</TD> <TD>377807.88619</TD> </TR> <TR> <TD>RX ped. 2. 09″ — l</TD> <TD>232077.73534</TD> </TR> </TABLE> <pb n=54> <p>Quod $i paries exteriùs inclinatus etiam $olitarius con$i$tere po$$et, modò ea e$$et partium connexio, ut unum quid $oli- dum conflarent, quia directionis linea intra ba$im $u$tentan- tem cadit, & planum per extremam ba$is lineam, & terræ cen- trum tran$iens relinquit interiorem parietis partem præponde- rantem exteriori: quis po$$it de turris ruinâ dubitare, $i eâdem methodo deprehendat oppo$iti parietis AG centrum gravita- tis e$$e in O, ac proinde comparatis reliquorum duorum pa- rietum centris gravitatum, totius turris centrum gravitatis e$$e in intimis turris partibus? Quò igitur firmiùs $ibi cohærebunt partes turris, eò major erit inclinatio, quam obtinere pote$t ci- tra cadendi periculum. Id quod pueris ip$is noti$$imum e$t, qui turriculas inclinatas architectantur ex buxeis orbiculis, quibus in alveolo ludunt. <p>Et ut res i$ta plani$$imè o$tendatur, <FIG> $it $upra planum inclinatum AB, pa- rallelepipedum ligneum ID ita, ut recta CE ad horizontem perpendicu- laris tran$eat per centrum gravitatis: con$tat ex dictis cap. 8. futurum e$$e, ut grave ID repat, non autem rote- tur, quia pars CED non præponderat parti CEI, $iqui- dem po$$it de$cendere per planum inclinatum; quod $i à lap- $u impediatur, $ub$i$tet. Jam verò intellige per C planum FH horizontale, & adnecti pri$ma trigonum CIK pa- rallelepipedo ID; utique pars CEK præponderat parti CED, multóque minùs dubitandum erit de $olidi KD rui- nâ ver$us H. Quid autem aliud e$t $olidum KD, quam tur- ris inclinata? <p>Scrip$eram hæc jam tum ab anno labentis $æculi quinquage- $imo $exto; cum animum $ubiit $u$picari, an $uperiùs allatæ ex Ma$ino turris Bononien$is men$uræ omninò veritati re$ponde- rent. Quare litteris ad P. Franci$cum Mariam Grimaldum da- tis rogavi, ut pro eâ, quam ad res omnes conferre $olebat, di- ligentiâ, accuratè men$uras illas inquireret: hæc igitur ex ejus re$pon$ione habui, quibus $uperiùs dicta corrigenda $unt; quæ tamen expungere nolui, ut $i lubeat, vulgarem opinionem $e- qui valeas. <pb n=55> <p>Extimus turris ambitus tam in imâ, quam in $upremâ parte æqualis e$t, adeò ut oppo$itæ facies parallelæ excurrant: $in- gulorum autem laterum ad ba$im latitudo e$t ped. Bonon. 17. unc. 8. murorum cra$$ities in imo æqualis e$t; eo tantum di$- crimine, quod murus, qua parte o$tium patet, cra$$us e$t ped.5. unc.11. qui verò Septentrionem $pectat, propiùs accedit ad pe- des 6. Porrò in $ummâ turri murorum cra$$ities pariter æqualis e$t, & vix deficit à pedibus 5, quantum quidem ex a$pectu à $uperiori proximæ turris A$inellæ podio conjicere potuit $ingu- lorum murorum lateres numerans. Areæ demum vacuæ ad ba- $im latus unum e$t ped. 6. alterum ped.6. unc.1. <p>Cum autem pluviæ per hiantem, & patulum turris verticem deciduæ $calas corruperint, nec eò veniri po$$it, ut demi$$o perpendiculo altitudo turris inve$tigetur, $ub$idium peten- dum fuit ex Trigonometriâ, & ex proximâ turri A$inellâ, cu- jus men$uræ multiplici ob$ervatione innotuerant. Sit itaque turris inclinata DC, $uperioris autem podij <FIG> A$inellæ altitudo EB ped.234 1/2, unde ob$er- vatus e$t angulus CEB gr. 18. 40′. Item in eadem turri A$inellâ patet fene$tra in F, adeò ut di$tantia EF $it ped.141: ibi pariter ob$er- vatus e$t angulus EFC gr. 51. 51′. Quare in triangulo CEF, notum e$t latus EF, & duo anguli adjacentes, ex quibus datis colligi- tur EC di$tantia ped. (117 7/12). Jam verò intelli- gantur ex C cadere duæ perpendiculares, al- tera quidem CH in planum horizontale, alte- ra verò CG in turrim A$inellam; erit enim al- titudo CH æqualis altitudini GB, nam CG e$t parallela horizonti, cui turris EB perpen- dicularis in$i$tit. Ut igitur innote$cat quæ$i- ta altitudo, inveniatur in triangulo rectangu- lo CGE, ex datis latere CE ped. (117 7/12) & angulo ob$ervato CEG, gr.18.40′, latus EG ped. (111 5/12). Jam verò $i EG ped.(111 5/12) dematur ex EB ped. 234 1/2, remanet altitudo GB, hoc e$t CH, ped. (123 1/12). <pb n=56> <p>Demum ad inve$tigandam turris inclinationem, applicito ad punctum I perpendiculo ob$ervatus e$t angulus DIL gr. 3. 10′.: cùm autem IL parallela $it perpendiculari CH, erit pariter angulus DCH gr.3.10′. Igitur in triangulo DCH rectangulo ad H notum e$t latus CH ped.(123 1/12), & angulus DCH gr.3.10′, ergo & innote$cit latus DH ped.6. (10/12), quæ e$t men$ura inclinationis quæ$itæ. <p>Ex his accuratioribus men$uris indagemus, $i placet, in orientali pariete inclinato centrum gravitatis, & lineam di- rectionis methodo eâdem, qua $uperiùs u$i $umus; eademque figura $ectionis verticalis re$umatur. E$t igitur EB ped. 6. ac propterea RB ped. 300″; & quia HC e$t ped. 5, VC e$t ped.2. 50″. BD autem e$t ped. 6. unc.10, hoc e$t ped.(6 10/12). <FIG> <p>In Triangulo BDC rectangulo datis BD ped. 6. (10/12), & altitudine perpendiculari CD ped. (123 1/12), additis laterum quadratis fit qua- dratum hypothenu$æ BC, quæ e$t ped.123.27″. Fiat igitur ut CB ped. 123. 27″, ad BD ped. 6. 83″. ita Radius ad $inum anguli BCD gr. 3. 10′ 34″. Quare angulus reliquus CBD gr. 86. 49′. 26″, cui æqualis e$t alternus VCB inter parallelas VC, RD; angulus autem, qui e$t deinceps, CBR gr. 93. 10′. 34′. In triangulo VCB datis lateribus VC ped.2-50″, CB ped. 123. 27″, & angulo verticali VCB gr. 86. 49′. 26″, reperitur CVB gr. 92. 0′. 36″, & VBC. gr. 1. 9′, 58″. Ex his verò invenitur VB ped. 122. 76″. <p>Jam verò in Triangulo VBR, notus e$t angulus RBV æqualis alterno CVB gr.92. 0′. 36′. & nota $unt latera RB ped. 300″, & VB ped. 122. 76″. Quare invenitur angulus VRB gr. 86. 35′ 43″. BVR gr. 1. 23′. 41″, & ba$is VR ped. 123. 17″. <p>Tum fiat ut 17 ad 16; hoc e$t duplum majoris EB cum mi- nore HC, ad duplum minoris HC cum majore EB, ita VS ad SR, & erit SR ped.59.72″. Ductâ igitur ex S centro gra- <pb n=57> vitatis perpendiculari lineâ directionis SX, ex datis latere SR ped. 59. 72″, & angulo VRX gr. 86, 35′, 43″, innote$cit RX ped. 3. 54″. Quare RX major e$t quàm RB: & $i paries ille $olitarius e$$et, non utique con$i$teret; $ed quoniam reliqui tres parietes adjecti $unt, con$tat ita totius molis centrum gra- vitatis e$$e in intima turris parte, ut linea directionis cadat in- trà turris ba$im $u$tentantem. <p>Ex his di$cuties timorem corum, qui $oliciti $unt de obeli$- corum con$i$tentiâ, ex inclinatione aliquâ verticis ruinam proximam præ$agientes: cum enim in huju$modi molibus cen- trum gravitatis vicinius $it ba$i quàm vertici, $i centrum incli- netur in alterutram partem $patio tantùm digitali, vertex in- $ignem acquiret inclinationem, con$i$tet tamen, quandiu linea directionis tran$ibit per ba$im $u$tentationis. Inclinatio enim non e$t $patium illud, quod inter ba$im, & perpendiculum à turris, vel obeli$ci vertice demi$$um intercipitur (quamvis hoc vocabulo hactenus abuti placuerit, ne à vulgo di$creparem) $ed e$t angulus, quem turris facit cum plano; & manente ea- dem inclinatione, intervallum illud mutari pote$t pro majore, aut minore turris longitudine. Quare quò longior e$t moles in- clinata, cæteris paribus, minùs e$t timendum, quia minor e$t declinatio à perpendiculari: $i enim KE $it pedum 100, KC verò ped.1. angulus KEC æqualis declinationi à perpendiculo e$t gr. 0. 34. 22″. at $i KE $it ped. 50, & KC iterum ped. 1. angulus KEC e$t grad. 11. 32′. 13″. <p>Hîc autem qua$i præteriens $atisfaciam quærenti, cur lon- giores ha$tas faciliùs, quàm breviores virgas digiti extremitate $u$tineamus, quin cadant. Quia nimirum minimus angulus declinationis à perpendiculo $tatim $e prodit ha$tæ vertice ad partem unam $ecedente, cui $tatim occurrimus ha$tæ calcem manu transferentes, ac $ub vertice collocantes: verùm quia fa- cilior ha$tæ con$i$tentia innote$cit etiam, quando à $uppo$itâ manu calx ejus non movetur (nam $i militarem $ari$$am terræ perpendiculariter in$i$tentem con$titueris, potes te $emel in gy- rum contorquere, & illam qua$i perpendicularem recipere, id quod in breviore ha$tâ non obtinebis) alia e$t ratio petenda primùm ex dictis, quia $cilicet longior ha$ta, cæteris paribus, minùs declinat à perpendiculo, ideóque difficiliùs de$cendit; <pb n=58> deinde que madmodum longiorem ha$tam $i in aquá agitaveris majorem percipies re$i$tentiam, quàm $i breviorem virgam in- citares; ita aërem variis $emper motibus turbatum plus etiam impedire de$cen$um longioris ha$tæ cen$endum e$t, præ$ertim $i in $uperiore parte aër versùs unam, in inferiore autem versùs aliam partem moveatur: id quod in breviore virgâ non accidit, quam modicus aër contingit, nec pote$t aut adeò re$i$tere di- vi$ioni, aut adeò diver$is motibus cieri. Hinc a$ta longior tardiùs de$cen$um molitur, & faciliùs $u$tinetur, quia major aëris dividendi quantitas, ac motus var us, magis re$i$tit, & datâ æqualitate motûs minùs declinat à perpendiculo. <HR> <C>CAPUT X.</C> <C><I>An plurium $tructurarum capax $it mons, quàm $ubjecta planities.</I></C> <p>POte$t mons cum $ubjectâ planitie, cui in$i$tit, dupliciter comparari; primùm conferendo $olam planitiem in ver- tice montis exi$tentem cum parte $ubjecti plani $ibi re$- pondente; deinde clivum montis comparando cum plano horizontali. Et $anè $i planities in $ummo montis jugo con- $ideretur, certum e$t illam e$$e plurium $tructurarum ca- pacem, quàm $ubjectum planum in $uperficie globi ter- re$tris: Quemadmodum enim $uperficies $phæræ majoris plura capit ædificia, quàm minor, ita etiam $phærarum inæqualium partes $imiles inæqualis $unt capacitatis: Con$tat autem planitiem in fummo monte pertinere ad $phæram majorem, quàm pertineat $imilis planities illi $ubjecta; ac proinde & amplior e$t, & magis capax. Harum verò pla- nitierum differentia ea erit, quæ e$t quadratorum di$tan- tiarum à centro terræ: quòd $i quadratorum huju$modi differentia exigua $it & contemnenda, eo quod ad illam quadratum $emidiametri terræ habeat nimis magnam ratio- nem; planitierum pariter differentia fugiet omnem $en$um. <pb n=59> Sit terræ $emidiameter CS, altitudo au- <FIG> tem montis SR, in cujus vertice $it pla- nities RH, cui $imilis e$t in $uperficie globi terreni planities SO illi parallela: hæ autem planities $imiles habent, per 20. lib. 6. duplicatam Rationem laterum RI, SL, hoc e$t, per 4. lib. 6. duplica- tam Rationis, quam habet CR ad CS. E$t igitur ut quadratum di$tantiæ CR. ad quadratum di$tantiæ CS, ita plani- ties RH ad planitiem SO. Plura itaque ædificia perpendiculariter in$i$tentia po$$unt in planitie RH majori excitari in montis vertice, quàm in $ubjectâ plani tie. <p>At $i montis clivus RMOL comparetur cum $ubjectâ pla- nitie SO, certum e$t illum e$$e majorem, $icuti latus RL op- po$itum angulo RSL, qui non e$t minor recto, majus e$t la- tere SL in triangulo RSL, & RM ad SF e$t ut RC ad SC: $uperficies igitur LM comprehen$a $ub majoribus lateribus, & angulis non minoribus, quàm $uperficies SO, major erit, $i illa per $e con$ideretur. Non tamen continuò major dicenda e$t capacitas, quæ plura aut ampliora recipiat ædificia; ni$i mons ad ingentem altitudinem a$cendat; tunc enim perpendi- cula non $unt inter $e parallela, propter in$ignem eorum di$tantiam. Nam $i $uper clivo AB $it $tructura AL, cujus parietes per- <FIG> pendiculares, $int etiam paralleli LB, DA, illi non magis inter $e di$tant, quàm $i $uper plano hori- zontali NB fui$$ent excitati: quic- quid $it, quod, $icut linea AB ma- jor e$t quàm NB, ita planum incli- natum majus $it plano horizontali. Non igitur plures aut ampliores $tructuras recipit clivus collis, quàm $ubjectum planum horizontale. Quod verò de $tructuris dicitur, de cæteris quoque intelligendum e$t, quæ perpendi- cularia in$i$tunt, & $patium implent; at $i ita $e habeant, ut <pb n=60> perpendicularia non in$i$tant, certum e$t plures aut longiores homines jacere po$$e in clivo AB, quos non capit planum NB: vel $i in clivo $e minùs invicem impediant, tunc plura huju$- modi corpora in colle e$$e po$$unt quàm in planitie: $i enim ra- mi arboris inferioris re$pondeant trunco $uperioris, certum e$t quod multò viciniores e$$e po$$unt arbores, quàm in planitie, ubi rami $e vici$$im impedientes majorem po$tulant truncorum di$tantiam; ac proinde etiam multo plures arbores intra ea$- dem parallelas erunt. Sic plures homines e$$e po$$unt in gradi- bus amphitheatri, quàm in $ubjecto plano, quia graciliores, partes $uperiorum re$pondent cra$$ioribus inferiorum, & $e minùs invicem impedientes minus relinquunt $patij vacui: quod $i non homines, $ed parallelepipeda, $tatueres in gradi- bus, non plura $tatui in iis po$$ent, quàm in planâ areâ gradi- bus $ubjectâ. <p>Hæc autem ædificiorum æqualitas in clivo & in plani- tie, locum non habet ni$i intra illud $patium, quod inter- cipitur à perpendiculis Phy$icè parallelis; $tatim enim ac à paralleli$mo recedunt perpendicula, $i ea fuerit altitudo, ad quam clivus a$cendens venit, ut planities parallela plano horizontali in eâ altitudine major $it, quàm $imilis plani- ties depre$$ior, etiam plura ædificia recipiet clivus, quàm unica planities horizontalis $ubjecta. Ponamus enim per- pendicula GC, & OC jam non e$$e parallela, eamque e$$e altitudinem KG, ut planum per G tran$iens horizonti parallelum majus $it plano per O intra eadem perpendicu- la intercepto, erit quidem capacitas plani inclinati GOLF æqualis capacitati $ubjecti plani EKOL: at ulteriùs a$cen- dendo capacitas FGMR non erit æqualis capacitati plani SK continuati cum priore plano EO, $ederit major, quip- pe quæ æqualis e$t capacitati plani VG; e$t autem pla- num VG ad planum $imile SK, ut quadratum GC ad quadratum KC: major igitur e$t totius clivi ML capacitas, quàm planitiei SO. <p>Et ut res apertius con$tet, quandoquidem clivi alti$- $imorum montium, $i eandem $ervent inclinationem, non $unt ab imo pede ad $ummum jugum æquabili, & conti- nuo ductu exten$i, Sit terræ centrum H, & $uperficies <pb n=61> AD; cujus arcus dividatur in par- <FIG> tes AB, BC, CD æquales, ita ut $inguli arcus pro rectiâ lineâ, & $u- perficies pro plano horizontali Phy$icè u$urpari po$$int; & tunc $olùm intelligatur mutari horizon, quando ex A jam venerit in B, deinde in C &c. Si igitur $it pla- num inclinatum AE, ubi venerit in E punctum perpendiculi HB producti, non pote$t rectâ progre- di, quin mutet inclinationem $upra horizontem novum, ad quem venit; quare ut $ervetur $imilis inclinatio, deflectit in EF, & e$t angulus HEF æqualis angulo HAE cui demum ubi ve- nerit in F, debet fieri æqualis angulus HEG. Centro autem H, intervallis HE & HF de$cribantur arcus EI, & FK. Certum e$t duarum linearum angulum con$tituentium partem aliquam extremam e$$e, $ecundùm quam lineæ illæ non differunt, $en$u judice, à parallelis; at $i major pars accipiatur, jam perit paral- leli$mus: Sic RA, & EB pro parallelis u$urpari $i po$$int, non poterunt $imiliter pro parallelis accipi RA, & LB: Sic LE, & FI $umuntur tanquam parallelæ citrà errorem, at non item LB, & MC. Quare perpendicula non $olùm recedunt à paralleli$- mo $en$ibili, quia majorem angulum in centro H con$tituunt, $ed etiam quia major eorum pars a$$umitur, in qua jam apparet convergentia, quæ in parte minore latebat. <p>Cum itaque $tructuræ perpendiculares in plano inclinato occupent $patium eodem modo, ac $i e$$ent in plano horizon- tali intra ea$dem parallelas, jam con$tat clivi partem EF com- parandam e$$e cum plano EI, non autem cum plano BC; quia in E, & I terminatur paralleli$mus linearum LE, FI. E$t igi- tur capacitas clivi EF æqualis capacitati EI; at capacitas EI major e$t quàm capacitas BC, ergo capacitas clivi AF major e$t, quàm capacitas planitiei AC. Eademque e$to de cæteris ratio. Hinc manife$tum e$t non omninò in univer$um vera e$$e, quæ pa$$im dicuntur de æquali capacitate collium, & planitiei $ubjectæ, ni$i hæc certis limitibus circum$cribantur; videlicet $i $ermo $it de iis quæ tantùm perpendiculariter in$i$tunt, & <pb n=62> intrà illud $patium, ac in eá altitudine, ubi perpendiculorum convergentia adeò exigua e$t, ut evane$cat. Cæterùm $atis mihi videor o$tendi$$e fieri po$$e, ut clivus aliquis plures $tructuras recipere po$$it, quàm $uperficies $phærica globi illi re$pondens. Si enim eadem e$t $emper, ut $upponitur, plani inclinatio, etiam latera turrium, vel domorum parietes æquè invicem remoti intercipient æquales partes plani inclinati: Si ergo $tructura intercipiens $emi$$em plani AE transferatur in EF, æqualem partem intercipiet; at hæc minor e$t $emi$$e ip$ius EF, igitur duæ $tructuræ occupantes totum planum AE, tran$latæ in EF æquale $patium occupabunt, & relinquent adhuc partem $patij inanem. E$$e autem EF lineam majorem linea AE patet; quia triangula AHE, EHF æquiangula $unt, & latera habent proportionalia, adeóque ut AH ad HE, ita AE ad EF; atqui HE excedit lineam HA; igitur & EF major e$t quàm AE: ergo multo major erit $uperficies ip$ius EF, quàm $uperficies $imilis ip$ius AE. In $patio igitur, quo $uperficies EF excedit $uperficiem AE, poterit alia præterea $tructura excitari. <HR> <C>CAPUT XI.</C> <C><I>Quomodo animalium motus ordinentur ex centro gravitatis.</I></C> <p>DEi $apientiam nunquam $atis admirari po$$umus, quæ in ordinandis naturæ motibus elucet; animalia enim $olo naturæ ductu adeò accuratè $e ip$a $i$tunt in lineâ directionis, ut nemo mathematicus Geometriæ apices per$crutatus po$$it tam $ubtiliter deprehendere, ac brevi$$imo temporis momento, centrum gravitatis. Quandoquidem $ive con$i$tentium quie- tem, $ivè gradientium motum, $ivè reclinantium $e $e inflexio- nem con$ideres, miram naturæ artem intelliges, quâ præcavit, ne corpus ingenitâ gravitate delatum præceps caderet. Id au- tem a$$ecuta e$t motus ita di$ponendo, ut linea directionis nun- <pb n=63> quam caderet extrà ba$im $u$tentationis, ni$i fortè in cur$u, in quo tamen $atis con$ultum e$t animalis incolumitati, dum ab anteriore pede, ubi terram attigerit, retinetur, ne ulteriùs de$cendat. <p>Ba$is autem $u$tentationis non $unt $oli pedes, $ed totum illud $patium interceptum à lineis pedum extremitates jun- gentibus; $ic in quadrupedibus linea directionis debet cadere intrà $patium comprehen$um lineis, quæ jungunt extrema pedum terram contingentium, ut po$$it animal con$i$tere. Hinc equus in po$teriores pedes $e erigens flexis poplitibus reclinat $e $e in po$teriora, & tanti$per in eo $itu con$i$tit, dum centrum gravitatis imminet $patio, quod à pedibus oc- cupatur, & ab illis intercipitur; & $i extra illud $patium ca- dat linea directionis, vel aver$us cadit, vel iterum quatuor pedibus in$i$tit. Ubi tamen ob$ervandum e$t ex equo & equi- te fieri unam molem compo$itam unum habentem commune centrum gravitatis: unde fit equum magis defatigari, $i eques non rectus in$ideat; $ed inclinatus in alterutram partem, cen- tro enim gravitatis tran$lato motûs facilitas mutatur; & equite in anteriora inclinato ac premente caput equi in po$teriores pedes erecti, centrum gravitatis in anteriora transfertur, & occurritur periculo, ne equus aver$us cadat. <p>Porrò dum $patium à pedibus occupatum voco ba$im $u$ten- tationis, non $emper $atis e$t lineam directionis cadere non extrà pedes; quia $i pedes ip$i $olùm ex parte tangant $ub- jectum corpus, ut contingit in funambulis, debet linea di- rectionis cadere in funem, cui in$i$tunt pedes, & $i extra il- lum cadat, certa e$t ruina, quia latitudo pedum non juvat. Cum autem difficillimum $it diutiùs con$i$tere ita, ut centrum gravitatis $emper immineat funi, ideò funambuli, vel ha$tam plumbeis laminis gravem in extremitatibus manu tenent, vel brachiis expan$is $e librant, ut ha$tam vel brachia extenden- tes in partem oppo$itam ei, in quam gravitas inclinat, cen- trum gravitatis con$tituatur in puncto, quod immineat funi $uitentanti. Hinc oritur difficultas con$i$tendi, quam expe- riuntur grallatores; cum enim grallæ exiguâ $ui parte tangant terram, e$t qua$i linea, in qua fit $u$tentatio, extra quam fa- cilè cadit linea directionis: ideò tertium ge$tant baculum, cui <pb n=64> innitantur, quoties quie$cere voluerint, lineâ directionis ca- dente intrà $patium triangulare comprehen$um à grallis, & baculo. <p>Hîc autem maximè $e prodit naturæ providentia in tam va- riâ pedum conformatione, ut ad $u$tentandum idonei e$$ent: quadrupedibus $iquidem non adcò amplos pedes tribuit, quia ex eorum inter $e di$tantiâ plurimum $patium intercipitur, cui immineat centrum gravitatis: bipedibus verò latiores tribuit pedes, quâ parte timeri potuit ca$us: $ic quia ex duorum cru- rum modicâ divaricatione non facilè periculum erat cadendi in alterutrum latus, ideò humanis pedibus minorem dedit la- titudinem, quàm longitudinem; hanc verò non in æquas di$tribuit partes, $ed minimam calci (præterquam in Scauris, quos pravis fultos male talis appellat Horatius, talis $cilicet extantioribus) maximam anteriori parti conce$$it, ne impetu per motum concepto tran$latum centrum gravitatis in anterio- ra tran$iliret ba$im $u$tentationis. Aliquam tamen mediocrem latitudinem pedibus conce$$it, ut po$$et homo, $i res ferret, uni tantùm pedi in$i$tere, & e$$et aliqua $patij amplitudo, intrà quam quodlibet punctum opportunum e$$et con$i$tentiæ cen- tri gravitatis. Sic aves illæ, quæ uni pedi in$i$tunt, cuju$modi $unt grues, & ciconiæ, digitos habens longiores, quos valdè explicant qua$i in gyrum, ut amplior $it ba$is $u$tentationis; in- trà quam ut cadat linea directionis, altero pede elevato inclina- tur corpus in oppo$itam partem, ut centrum gravitatis immineat pedi $u$tentanti. Eandem ob cau$am an$eres, & anates, quæ multâ carne abundant, & amplo $unt pectore, alternâ qua- dam in dextrum, & $ini$trum latus inclinatione gradiuntur, ideóque ampliores habent palmas, ut citrà cadendi periculum centrum gravitatis faciliùs vel immineat pedi $u$tentanti, vel minimùm ab eo declinet, ne majore, quàm par $it, impetu de$cendens corpus & anteriori pedi incumbens, tibiæ mu$cu- los, & tendines lædat. Aves verò, quæ $ubtilioribus ramu$cu- lis in$ident non palmipedes $unt, $ed digitatæ (palmæ enim avibus amphibiis ad natandum poti$$imum datæ videntur) ut ramis tenaciùs inhæreant; quæ præterquàm quod exiguæ $unt gravitatis, facilè $e $i$tunt in lineâ directionis, quæ cadat in ramu$culum, cui in$i$tunt, majore, vel minore angulo, quem <pb n=65> faciunt tibiæ cum coxâ; ideò ubi ramum arripuerint, $ub$ul- tantes $e librant, ramumque arctè apprehentes prohibent, ne repentino ca$u circumagantur à centro gravitatis nondum im- minente ba$i $u$tentationis. <p>Verùm quoniam ad aves delap$us $um, prætereundus non e$t u$us centri gravitatis involatu; quia enim avis dum alis aërem verberans in volatu $e librat atque $u$pendit, ita alas debet extendere, ut centrum gravitatis exi$tat intra illud alarum $patium, in quo exercetur $u$tentatio; ideò $i vo- luerit ad $uperiora volatum dirigere, alas in anteriora ver- $us caput extendit, ut centro gravitatis in po$terioribus re- licto, ac deor$um præponderante, caput $ur$um dirigatur: contra verò, ut motum deor$um dirigat, alas retrahit, ut caput præponderet, ac deor$um feratur. Hinc $atis patet, cur ubi Pavo caudæ pompam explicuerit, erecto pectore & capite in$i$tat pedibus, quibus immineat centrum gravita- tis: at $i caput ad anteriora inclinare voluerit, & pectus inflectere, cogitur explicatam caudam demittere, ut $yrma- te illo æquilibrium $tatuat corpori, ne proruat, ut verè pro- cumberet, $i pectore inclinato expan$a cauda retineretur in po$itione eâdem. <p>Infinitum e$$et $ingulos animalium motus per$equi, in qui- bus centri gravitatis ratio habetur; $atis fuerit ob$erva$$e nos ex declivi loco de$cendentes non in$i$tere plantis pedum ad angulos rectos; $ed paululum in po$teriora inclinari; contra verò a$cendentes jugum acclive curvari in anteriora; ut nimi- rum linea directionis cadat intrà $patium, cui pedes in$i$tunt; extra quod illa $i caderet, nec alteri fulcro inniteremur, quod unà cum pedibus includeret ba$im $u$tentationis, nece$$ariò nobis cadendum e$$et. Quòd $i quis onus habens dor$o impo- $itum in montosâ regione iter habeat, multò magis curvari de- bet, cum a$cendit, ut pedibus immineat centrum gravitatis compo$itæ ex corpore, & ex onere: quare $apienti$$imè ru$tici aliqui in Alpibus, quæ Germaniam ab Italiá di$terminant, ar- culam ex levibus a$$erculis, & virgulis compactam habent, cui onera immittunt, ba$is autem arculæ, quæ ge$tantis corpori adhæret, imitatur Re$c Hebraicum, ita ut pars quidem dor- $o, pars autem capiti incumbat: unde fit, ut centrum gravita- <pb n=66> tis compo$itæ minùs recedat à medio humani corporis, adeó- que faciliùs etiam motus perficiatur, quin opus $it tantâ corpo- ris inflexione. Simile quid experimur, $i quis à $ede $urgat; caput enim cum thorace in anteriora reclinat; pedes verò in po$teriora versùs $edem retrahit, ut nimirum pedes $upponan- tur centro gravitatis, quod primùm imminet parti digitis proxi- mæ, deinde corpore erecto linea directionis versùs talos rece- dit. Hinc etiam patet cur homo $upinus jacens $urgere non po$$it, ni$i retractis $ub $e pedibus, & thorace in anteriora pro- pul$o per impetum $ibi impre$$um. Vidi tamen non $emel ho- minem, qui cum $upinus jaceret, non retractis $ub $e pedibus $urgebat planè rectus $icut $tipes; ad caput autem appone- bat, vel globum tormentarium majorem, vel $axum non modicæ gravitatis; quod manu utrâque apprehen$um attol- lebat, & velociter in anteriora movebat, $ibique impetum imprimebat: impetus enim impre$$us promovens ad ante- riora $axum, & corpus ip$um vincebat gravitatem corpo- ris cæteroqui ca$uri; ex brachiis autem exten$is $axum à corpore remotum tenentibus oriebatur, ut centrum gravi- tatis molis compo$itæ longè citiùs immineret pedibus, à quibus $u$tentabatur, etiam antequam planta terram at- tingeret, $ed cum adhuc $oli calci inniteretur. Quantum verò impetus valeat ad vincendam oppo$itam gravitatem corporis, patet in ce$pitantibus, qui naturæ ductu illico bra- chia extendunt, & in contrariam partem projiciunt, ut $ci- licet impetus in oppo$itam partem exæquet exce$$um gravita- tis, quæ ad eam partem reperitur, in quam ex ce$pitatione facta e$t inclinatio. <p>Ex his quid in $ingulis motibus dicendum $it, intelli- ges; neque enim otium e$t ire per $ingula. Caput hoc claudo explicatione quæ$tionis, qua quæritur, quantò ma- jus $patium percurrat caput quàm pedes; certum $iquidem e$t hominem in lineâ directionis imminere $emper terræ centro; ac proinde $i pedes ex B venerunt in C, caput ex F in E tran$latum e$t per arcum FE majorem arcu BC. Cum enim uterque arcus BC, FE $ubtendatur eidem an- gulo ad centrum, $unt $imiles, & ut arcus BC ad totam $uam peripheriam, ita arcus FE ad $uam peripheriam; $unt <pb n=67> autem peripheriæ inter $e ut $emi- <FIG> diametri, igitur BC ad FE, ut TB, ad TF; atqui TF major e$t quàm TB, igitur & FE arcus major arcu BC: ab$cindatur FI, quæ ex hypo- the$i intelligatur æqualis ip$i BC; e$t igitur ut TB ad TF, ita FI ad FE, & dividendo ut TB ad BF ita FI, hoc e$t BC, ad IE. Fiat ita- que ut TB $emidiameter terræ mil- liar. Rom. ant.4128.pa$$.635. ad BF altitudinem hominis ex. gr. ped. Rom. ant. 6. ita BC iter pe- dum mill. 500, ad IE exce$$um itineris capitis qui e$t (726632/1000000) unius pedis. Quòd $i fiat ut terræ $emidiameter ad hominis al- titudinem, ita circulus terræ maximus mill. 25941 ad exce$- $um itineris capitis $upra iter pedum terræ ambitum percurren- tium, proveniet exce$$us ped. 37. unc.8. hoc e$t pa$$.7. & pau- lò ampliùs: Quare vides in $ingulis milliariis motum capitis non habere exce$$um ni$i partium (17429/1000000) unciæ pedis Romani anti- qui; quæ differentia $en$um omnem fugit. <p>Liceat hic ex morâ, quam in hoc Tractatu perficiendo duxi, id utilitatis capere, quod po$$im pro me ip$e brevi Apologiâ re$pondere, ne videar in Ageometriam lap$us, cui nulla ni$i ex o$citantiâ $uppeteret excu$atio (nam & quandoque bonus dor- mitat Homerus) & quidem tunc, cùm Mathematicas di$cipli- nas in Collegio Romano publicè pro$itentem maximè ocula- tum fui$$e oportuerat. Incidi in Magiam Naturalem P. Ga$paris Schotti part.3.lib.1. pag. 71, ubi mihi tribuit $ententiam maxi- mè ab$urdam, qua$i in mechanicâ meâ manu$criptâ (quam $cilicet anno 1653. Romæ auditoribus meis tradidi) docuerim exce$$um motûs capitis $upra motum pedum <I>e$$e valde modi- cum, nimirum $olum pedum $ex cum dimidio, adeò ut in milliaribus</I> 500 <I>tantum reperiatur exce$$us</I> (15/17) <I>unius pedis, po$itá hominis altitu- dine pedum $ex, & terræ ambitu milliariorum</I> 21600. Hæ$i pri- mùm attonitus, meamque o$citantiam admiratus illicò anti- quàs illas meas $chedulas per$crutari cœpi; & nihil minus in- veniens errorem Typographo, qui pro pa$$ibus pedes $uppo- <pb n=68> $uerit, tribuendum cen$ui$$em, ni$i Author ip$e modicum il- lum exce$$um pedum $ex cum dimidio redargueret. Quare contingere facile potuit, ut ille, qui tunc Romæ degebat, ex aliquo manu$cripto codice meam $ententiam re$cribens, ubi men$uram hanc pedibus definiebam, brevitatis ergo ad pa$- $us revocaverit, quam litera P notatam demùm pro pedibus $it interpretatus. Cæterùm prudens, & attentus lector me facilli- mè ab hoc errore vindicabit, $i terræ ambitum mill.21600. di- vidat per mill.500; & quotientem 43 multiplicet per (15/17) unius pedis; deprehendet enim totum exce$$um pedum ferè 38, qui excedunt pa$$us $eptem cum dimidio. Quod $i ex diametro pe- dum 34400000, & ex diametro pedum 34400012, quas ibi Au- thor ponit congruentes peripheriæ juxta Rationem 7 ad 22 con- $iderentur, erit differentia circulorum pedum 38 eadem plane cum no$trâ; $ed longi$$imè minor eâ, quam ille ibi $tatuit. <p>Cæterùm quantus $it peripheriæ majoris exce$$us $upra mi- norem, habebitur facillimè, $i majoris Radij TF, exce$$um BF, $tatuas tanquam circuli Radium; hujus namque circuli peripheria e$t æqualis exce$$ui illi. Quia enim ut minor Ra- dius TB ad majorem Radium TF, ita minor peripheria ad majorem peripheriam, etiam convertendo & dividendo, ut TB ad BF, ita minor peripheria ad exce$$um peripheriæ ma- joris, & vici$$im permutando ut Radius TB minor ad $uam minorem peripheriam, ita BF exce$$us Radij majoris ad exce$- $um majoris peripheriæ. Atqui exce$$us hic BF a$$umptus ut Radius circuli habet ad $uam peripheriam eandem Rationem, quam TB Radius minor ad $uam peripheriam; igitur e$t ea- dem Ratio BF exce$sûs Radij, ad exce$$um peripheriæ majo- ris, quæ e$t eju$dem BF ut Radij ad $uam peripheriam: ergo per 9. lib. 5. hæc peripheria æqualis e$t illi exce$$ui periphe- riæ majoris. Cum itaque Ratio diametri ad peripheriam $it ut 7 ad 22, $eu ut 113 ad 355, fiat ut Radius 7 ad peripheriam 44, $eu ut 113 ad 710, ita BF altitudo ped. 6. ad ped. 37. unc.8: qui numerus con$entit cùm $uperiore. <pb n=69> <HR> <C>CAPUT XII.</C> <C><I>An tellus moveatur motu trepidationis.</I></C> <p>QUoniam centrum gravitatis e$t in quolibet corpore punctum illud, quod æquales gravitates circum$tant, manife$tum e$t non permanere idem gravitatis centrum, $i aliqua corpori additio fiat, aut detractio; neque enim manet eadem momentorum gravitatis æqualitas circa illud punctum; $ed aliud e$t punctum, per quod ducta plana dividunt totius corporis gravitatem in momenta æqualia, & e$t novum cen- trum gravitatis. Hinc patet in telluris globo, qui plurimas mutationes $ubit, corporibus gravibus ex alio in alium locum tran$latis, tolli æqualitatem partium $altem in actu primo gra- vitantium, cum hæc quidem, quæ oppo$itæ parti ante erat æqualis, $ubtractione nunc fiat minor, illa verò, quæ pariter $ibi oppo$itæ parti proximè fuit æqualis, additione evadat ma- jor. Ex quo nece$$ariò colligitur mutatio centri gravitatis. <p>Sed quia, ut tellus $uis librata ponderibus in loco $ibi debi- to con$i$teret, debuit initio ejus centrum gravitatis congrue- re centro univer$i, circa quod gravia & levia di$ponuntur; id- circò dubitari pote$t, utrùm mutato gravitatis centro terra mo- veri debeat, ut novum gravitatis centrum collocetur in centro univer$i. Quoniam verò huc illuc pa$$im tran$latis corpori- bus, terra nunc in hanc, nunc in illam partem moveretur, ut proinde qua$i trepidaret; hinc factus e$t quæ$tioni locus, an tellus moveatur motu trepidationis; quicquid $it an motus i$te $ub $en$um cadat, nec ne. <p>Terram univer$am & $ingulas cjus partes $uâ gravitate re- pugnare, ne $ur$um moveantur, certum e$t; at univer$i cen- trum occupare, toti quidem elemento gravi$$imo convenit, $ed non partibus $ingulis: neque enim gravitas e$t appetitus $ub- $i$tendi in centro, quem natura non $atis aptè gravibus $ingu- lis indidi$$et; cui nimirùm fieri $atis non pote$t, ni$i corpora $e invicem penetrent; unum autem grave in centro exi$tens <pb n=70> cætera omnia inde excludit. Re$tituunt $e gravia in locum $uum versùs centrum pergendo, non ut ad centrum veniant; $ed ut nihil levius infra $e habeant; quemadmodum & levia versùs cælum a$cendunt, non ut cælum petant, ibíque demum quie$cant, $ed ne quid gravius $upra $e patiantur. Cæterùm hoc ip$o, quòd natura, & vacuitatem omnem eliminavit, & corporum penetrationem pro$crip$it, & vim $e $uis locis di$po- nendi corporibus indidit, $atis univer$i con$i$tentiæ & ordini con$ultum e$t. Quare corpori nihil levius infra $e habenti nul- lam præterea gravitationem tribuendam cen$eo, præter re- $i$tentiam, ne $ur$um moveatur. Gravitas $iquidem non ni$i comparatè dicitur, habitâ ratione proximi corporis, in quo tanquam in loco exi$tit id, quod grave dicitur; nam $i orbis univer$us con$taret unico corpore homogeneo, nihil e$$et aut grave aut leve, cum nihil e$$et, quòd præ aliis expo$ceret pro- piùs admoveri centro univer$i. Cum itaque terra ad hoc uni- ver$i centrum perinde $e habeat, atque $i corporibus levioribus non circumfunderetur, his namque $ublatis illa nec propiùs ad univer$i centrum accederet, nec longiùs ab eo recederet; ideò pars terræ quæcumque cum reliquis comparata (ponatur hîc tellus tota homogenea) nec gravis e$t nec levis; ac proinde, cùm nulla pars centro propior e$$e exigat, quàm alia, nulla quoque e$t, quæ aliam urgeat, aut premat propriè, $ed omnes, & $ingulæ tantummedò repugnant, ne $ur$um in medium leve transferantur. <p>Hinc e$t quod terræ con$i$tentiam in loco $uo, non propriè ex libræ rationibus explicandam cen$eo; quia in librâ utraque lanx non repugnat $olùm, ne attollatur, verùm etiam in aöre con$tituta deor$um nititur; terræ autem partes $uperiores nil infrà $e levius habentes non conantur deor$um. Et quemad- modum $i libræ lanx utraque $ubjecto plano incumberet, ea- rum con$i$tentia non e$$et æquilibrio tribuenda, quamvis æquilibres $int, $ed idcircò $olùm con$i$terent, quia infrà $e haberent corpus, quod permeare vel non exigit, vel non po- te$t earum gravitas: ita terræ partes licèt adeò æqualiter $int di$po$itæ circa $uum commune gravitatis centrum (in quo vi- res $uas exererent tellure totâ in aöris locum tran$latâ) ut ex illo $u$pensâ tellure in æquilibrio con$i$terent; re tamen ipsâ non <pb n=71> con$i$tunt propter æquilibrium; $ed quia nulla pars habet in- fra $e aliquid, $ub quo petat exi$tere, atque adeò nulla e$t, quæ deor$um nitatur. Quare Poëticè $olùm, non verò Philo- $ophicè dictum e$t. <I>Terra pilæ $imilis, nullo fulcimine nixa,<lb> Aëre $ubjecto tam grave pendet onus.</I><lb> Aör $i quidem non e$t $ubjectus terræ, $ed circumfu$us; ea namque $ubjecta $unt, quæ inferiora; inferiora autem, quæ centro propiora. Terræ itaque globus nihil habet, in quod gravitatis vires exerceat deor$um conando. <p>Quæ cum ita $int, nulla unquam continget in terrâ mutatio atque gravium tran$latio, quæ efficiat motum trepidationis. Sit enim terræ globus AB, cujus cen- <FIG> trum C $it pariter centrum gravitatis: ducto per C plano IL, hemi$phærium IAL e$t æquale hemi$phærio IBL; ex quo ab$ci$$a intelligatur portio $phærica DEB, in cujus locum $uc- cedat aër. Si qua igitur pars deberet deor$um versùs C niti, non alia uti- que e$$et præter D & E, quæ longiùs à centro ab$unt, quàm contiguus aër DE. At portio IDEL prævalere non pote$t hemi$phærio IAL, quod deberet $ur$um propelli; ergo non pote$t centrum C moveri versùs A, ut punctum aliquod inter C & K congruat centro univer$i. Sed neque hemi$phæ- rium IAL debet de$cendere, quia nullum habet corpus leve $ibi contiguum, quod univer$i centro vicinius $it; non ergo debet propellere oppo$itum $egmentum IDEL; cujus omnes partes non $olùm reluctantur motui, quo recedant ab univer$i centro C, $ed etiam illarum aliquæ $e ip$æ urgent, & conan- tur versùs C. Nondum igitur terra movetur. <p>Quare Segmentum Sphæricum DKEB transferatur in op- po$itam partem, & addatur hemi$phærio $uperiori etiam mons FHG æqualis ab$ci$$æ portioni $phæricæ. Aio ne dum factam e$$e mutationem, quæ ad motum telluri conciliandum $ufficiat. Quamvis enim mons ille FHG, quippe quem ambit aër le- <pb n=72> vior vicinior centro, conetur deor$um; certum e$t illum de- $cendere non po$$e, quin totam reliquam terram impellat, eju$- que re$i$tentiam $uperet; re$i$tit autem primò $egmentum IDEL, cujus omnes partes magis à centro removerentur; ni- $i igitur mons FHG major $it $egmento $phærico IDEL (vel $altem non multò minor, $i quidem ob majorem à centro di$tantiam augerentur momenta gravitatis, ex dictis cap. 4.) non poterit $ubjectam terram loco dimovere. Præterea etiam hemi$phærium IAL repugnat de$cen$ui montis FHG, quia fieri non pote$t hic motus, ni$i hemi$phærij partes tran$iliant planum IL, atque magis à centro recedant. Quanta igitur gravitate præditum e$$e montem oporteret, qui tantam re- $i $tentiam $uperare valeret? At nunquam fieri tantam partium permutationem, ut id quod transfertur, $it non minus $emi$$e hemi$phærij, ut $altem ratione habitâ di$tantiæ à centro po$- $it prævalere, ita omnibus e$t manife$tum, ut probatione non indigeat. Quare neque hanc gravium tran$lationem motus ul- lus con$equitur, quo tellus trepidare dicatur. <p>At, inquis, $i in utrâque libræ lance $int unciæ 100, & al- terutri uncia una addatur, lanx illa deprimitur, & oppo$ita elevatur; ergo exiguum pondus vim habet movendi ingens pondus; ergo pariter mons FHG producere pote$t impetum, qui ad movendum $egmentum IDEL, quantumvis gravius, abundè $ufficiat. Ego vero nego con$equentiam; quia non ab unciâ illâ additâ $olâ elevatur oppo$itum pondus, $ed omnes unciæ $imul in medio leviore $u$pen$æ collatis viribus deor$um conantur, atque præponderantes oppo$itæ lancis pondus at- tollunt. Hoc autem nil in rem no$tram facit, ubi neque mons FHG $olitariè $umptus pote$t $ursùm propellere molem IDEL majorem $e, neque juvari pote$t ab hemi$phærio IAL, quod cum nihil infrà $e habeat, quod & levius $it, & inter ip$um ac univer$i centrum intercipiatur, neque pote$t $e ip$um versùs centrum urgere $ecundùm aliquas $ui partes ab eo remo- tiores, cum maximè partes centro proximæ valde reluctentur, ne ab illo removeantur. Id quod in libræ lance, cui uncia fue- rit addita, reperire non poteris; totum $iquidem lancis pon- dus deor$um nititur. <p>Quod $i ex librâ $imilitudinem ducere placeat, petenda po- <pb n=73> tiùs e$t ex librâ, cujus lanx altera $ubjecto plano incumbat, al- tera in aëre libera pendeat; $i enim utraque lanx plena æquali- bu; ponderibus con$i$tat in æquilibrio, & incumbenti lanci ad- datur ponderis pars, quæ à pendulâ lance detrahatur, lances non moventur, nec inter $e mutuò confligunt ponderum gra- vitates, ni$i quatenùs lanx gravior $emper magis re$i$tit leviori, ne ab illâ elevetur: cæterùm gravior lanx non movet leviorem, ni$i ubi demum tanto pondere prægravata fuerit, ut $ubjecti plani re$i$tentiam vincens illud aut frangat, aut $altem depri- mat. Sic hemi$phærium IAL habet rationem lancis non tan- tùm $ubjecto plano incumbentis, $ed, quod potius e$t, $uo in loco quie$centis; cui quò plus addideris ponderis, auges qui- dem re$i$tentiam ne $ursùm versùs H propellatur, ip$um verò non conatur deor$um versùs C; $ed totus conatus impo$ito & adjecto monti tribuendus e$$et, vel (ut $im maximè liberalis) etiam exce$$ui illi, quo hemi$phærium IAL $uperat $egmen- tum $phæricum IDEL, qui exce$$us e$t æqualis ip$i monti, hoc e$t $egmento DEB. Quare $i fuerit ab$ci$$a tertia pars hemi$phærij unius, & addatur alteri hemi$phærio è regione $e- cundùm diametrum, tunc ad $ummum æqualis erit pars terræ deor$um nitens FMGH parti oppo$itæ repugnanti IDEL; & $i velis partem FMGH remotiorem à centro magis gravitare ita, ut ratio hujus exce$sûs in gravitando po$$it vincere non $o- lùm re$i$tentiam $egmenti IDEL, ne $ur$um propellatur, $ed etiam $egmenti FILG, ne $ecundùm partes IL centro proxi- mas ab eo removeatur; non admodum repugnabo. Sed cum nunquam mille$ima, ne dum $exta, pars terreni globi ex alio in alium locum ex diametro oppo$itum transferatur, nulla un- quam fit gravium permutatio, vi cujus tellus trepidet. <p>Sed unum adhuc $upere$t, quod per di$$imulantiam præ- tereundum non videtur. E$to inquis, nulla fiat in tellure gra- vium tran$latio, quæ tanta $it, ut novum gravitatis centrum in univer$i centro con$tituere valeat, ac proinde nulla $it centri terræ trepidatio: circa centrum $altem nutabit tellus motu conver$ionis, validâ ventorum vi $ummos montes impellente, orbemque totum, pro variâ ip$orum incur$ione, modò hanc, modò illam partem ver$ante: unde forta$$e ortam acû magne- ticæ eodem in loco po$t aliquot annos variationem $u$picari <pb n=74> quis po$$it. Cum enim tellus æqualibus circà centrum nutibus librata permaneat, multo faciliùs omnem in partem converti po$$e videtur, quàm rota ingens $uo in axe $u$pen$a: Rota $ci- licet $uo pondere axem premens illum, dum convertitur, te- rit; hancque affrictûs difficultatem vincat nece$$e e$t, quod una ex parte additur pondus, vel quæ applicatur Potentia, ut conver$ionem efficiat: tellus verò in orbem diffu$a nec cen- trum premit, nec axem, cum quo ullus fiat affrictus; ac proptereà faciliorem præbet conver$ionis an$am Potentiæ unam aliquam in partem urgenti. Huju$modi autem Potentia ventus e$t, non ad perpendiculum in terram incidens, $ed obliquè in præaltos $altem montes incurrens; cujus viribus nihil ob$tare videtur, quin telluris globum $ibi ob$ecundantem inclinet; quemadmodum, & ingentes naves, vela implens, impellit. <p>Huic difficultati ut me $ubducam, non me in abditos magne- ti$mi rece$$us recipio, a$$erendo tellurem ita arcanis nodis cæ- lo connexam, ut à $ummo axium polorumque cæle$tium atque terre$trium con$en$u divelli ac di$trahi prorsùs nequeat: ne- que enim hi$ce magneti$mi latebris me $atis protectum exi$ti- marem; demptâ quippe $olis Au$tralibus atque Borealibus ven- tis hâc facultate tellurem convertendi, ne $cilicet terre$tres poli à cæle$tibus di$crepent, quid prohibeat reliquos ad Orti- vum, aut Occiduum limitem pertinentes, quin $uo flatu or- bem hunc volvant, adhuc $upere$$ot explicandum. Hoc qui- dem $atis e$$e videretur ad $ubmovendam $u$picionem illam de acûs magneticæ variatione ob telluris conver$ionem; manente nimirum axe terre$tri ita, ut cum cæle$ti conveniat, aut illi $altem parallelus exi$tat, nihil e$t quod, etiam tellure circa axem conversâ, magneticam declinationem commutare queat: nam quod ad $yderum a$pectus $pectat, parum intere$t, tellus- ne? an cælum volvatur; $i igitur diurna cæli conver$io magne- tis declinationem non mutat, neque ad illam mutandam $uffi- ceret telluris circa $uum axem conver$io, vi cujus alia atque alia $ydera re$piceret: Præterquam quod non id temporum lap- $u accideret; $ed ubi ventorum impetus elangui$$et, illicò va- riatio illa declinationis magneticæ deprehenderetur: id quod ab omni experimento longè abe$t. Verùm adeò à no$tris $en- $ibus $ejunctæ $unt magneticorum $ymptomatum cau$æ, ut ad <pb n=75> aliarum difficultatum $olutionem non facilè advocandus $it in Philo$ophicam $cenam magneti$mus. <p>Illud potius hìc attendendum videtur, quod montis altitu- do, atque magnitudo ad totius telluris molem Rationem habet $atis exiguam. Cum enim terræ ambitus probabiliter $tatuatur, ut aliàs o$tendi, milliarium Rom. antiq. 30598, eju$que propterea diameter $it proximè mill. (9738 4/51), tota $uperficies $phætica (ut pote quadrupla maximi circuli ex demon$tratis ab Archimede) e$t mill. quadratorum 297. 987800 proximè. Mons $tatuatur altitudinis perpendicularis milliarium quin- que; hæc e$t ad terre$trem diametrum ut 1 ad 1947: ba$is montis occupet milliaria quadrata 500; hæc e$t ad $phæricam totius globi $uperficiem, ut 1 ad 595975. Finge jam pro mon- te granum hordei, quod promineat $ecundùm $uam latitudi- nem ex $phærâ habente diametrum granorum 1947, hoc e$t pa$$uum geometricorum $ex, $eu pedum Rom. antiq. 30. cir- culi maximi ambitus erit pedum 94 1/4: quare hujus $phæræ $u- perficies habet pedes quadratos 2827, hoc e$t quadratas lati- tudines grani hordei paulò plures quàm 11. 579000. Igitur grani hordei jacentis altitudo ad hujus $phæræ diametrum eandem ex hypothe$i habet rationem, quam prædicti montis altitudo ad telluris diametrum: & $i decem grana $ibi invicem attigua di$ponantur, ut montis ba$im æmulentur, eadem erit ratio ad $uperficiem. Quamvis itaque $phæra illa intelligatur planè inanis ac levi$$ima $olam habens $uperficiem papyra- ceam, ex qua granum ordei agglutinatum promincat, an pu- tas à flatu quantumvis valido per fi$tulam emi$$o in granum il- lud hordei incurrente convertendum e$$e globum papyra- ceum? Id $anè ex cæteris experimentis conjicere non licet; perinde enim e$t atque $i nihil promineret; neque vel mini- mùm obe$t Phy$icæ rotunditati. Quare neque montis altitu- do con$tituta quicquam detrahet orbicularis figuræ, quod $ub Phy$icam con$iderationem cadat; ac proptereà nihil virium ad tellurem convertendam obtinet ventus in montem incurrens. <p>Et quidem conver$ionem hanc re ipsâ non fieri manife$tum e$t; $i quidem cum nulla vincenda e$$et gravitas, quæ longiùs à centro gravium recederet, vel quæ axem tereret, facillima videretur e$$e globi totius conver$io circa centrum, non $olùm <pb n=76> validioribus atque incitatioribus, $ed temperatis etiam atque mediocribus ventis flantibus. Hi autem aliquando diuturni $unt; cuju$modi poti$$imum $unt Ete$iæ, quibus maritimi cur- $us celeres, & certi diriguntur. Tot igitur dierum $patio, ven- to oppo$itos montes vehementiùs urgente, non modica fieret terreni globi inclinatio; ac propterea non eadem demum per- maneret eodem in loco Poli $uprà Horizontem altitudo, quo- ties ab alterutro cardine Au$trali Boreali<*>ve, aut à $ol$titiali Brumali-ve limite tam ortivo quàm occiduo ventus $piraret, at- que multarum ædium facies non eandem ampliùs re$picerent cæli plagam; quare & $cietherica Horologia quantumvis ac- curatè $emel de$cripta po$t non adeò multas temporum inclina- tiones toto ferè cælo di$creparent; aliis enim, atque aliis $ub- inde flantibus ventis, varia oriretur orbis conver$io, atque alia planorum cum circulis horariis $ectio, quæ de$criptis lineis non congrueret. Hujus autem mutationis nullum in toto terra- rum orbe ve$tigium apparet, ni$i fortè fabulas liceat com- mini$ci. <p>Quòd $i conver$ionem hanc non omninò circa centrum quamcumque in partem fieri, $ed tantummodo circa axem, dixeris, ut argumenti vim effugias; Quid illud e$t, quod ita terre$trem axem cum cæle$ti colligatum velit, ut tamen ter- re$tres meridianos à primâ mundi molitione con$titutos tem- poris lap$u cum cæle$tibus meridianis non convenire permit- tat? Sed & aliud profectò, nec illud quidem leve, incommo- dum $ubeas nece$$e e$t; dum enim conver$ionem ad$truis ab ortu in occa$um, & vici$$im ab occa$u in ortum, fieri poterit, ut po$t aliquot annos non planè $pernenda conver$io facta fue- rit, ac proinde temporum numeratio cælo non re$pondeat. Nam $i ab ortu in occa$um ex. gr. proce$$erit tellus, minus tem- poris numerabitur quàm pro ratione cæle$tium motuum; ut contigi$$e fertur navi cui à Victoriâ nomen inditum e$t, in ex- peditione Magellanicâ; cum $cilicet po$t totius orbis ambitum redux in Hi$palen$em portum, ex quo ante tres annos $olve- rat, intraret, tunc primùm ob$ervarunt $e à rectâ temporis nu- meratione defeci$$e die uno; quippe qui cum juxta diurnam cæli conver$ionem ab ortu in occa$um iter in$titui$$ent, ju$to tardiùs $emper $ol illis occiderat, exiguo quidem $ingulis die- <pb n=77> bus, quibus procedebant, di$crimine, $ed quod demùm modi- cis illis acce$$ionibus in integrum diem excreverat. Contra ve- rò accideret, $i ab occa$u in ortum $emper navigaretur; ju$to enim breviores e$$ent dies, ac propterea eorum numeru ac- cre$ceret. Hæc autem in temporum numeratione incon$tan- tia, $i ventorum impetu tellus modò in ortum, modò in occa- $um converteretur, quantam perturbationem inveheret in A$tronomiam? Neque tibi quicquam $uffragari exi$times, $i ex varia ventorum oppo$itas in plagas $ivè $imul, $ivè $ubinde, $pirantium commutatione conver$iones illas compen$ari dixe- ris: id enim ad incertum revocat omnes A $tronomorum calcu- los, ubi meridianorum circulorum $ectiones $tabiles non perma- neant; cum ad orbem totum inclinandum, ut tu quidem au- tumas, $atis $it, $i unâ aliquâ in regione ventus montes impel- lat; quî verò certus $im factam ab Arge$te telluris conver$io- nem in ortum, æquatam demum fui$$e à Vulturno, aut ab Euro-Au$tro? <p>Verùm quàm infirmæ $int validi$$imorum ventorum vires ad globum hunc terraqueum inclinandum, expendamus, etiam$i montium perpendicula non quinque tantùm milliaribus defini- ta velis, $ed multò altiora. Statue in ingenti lacu compo$itam ex trabibus aliquot ratem, quam in littore $tans facilè funiculo modereris: Tùm ratem aliam paris quidem latitudinis, $ed cen- tuplò longiorem, compone: Poteris-ne hanc funiculo eodem, ac labore non majori, trahere perinde atque priorem? Negabis utique, quamvis enim utraque lacui $tagnanti innate<*>, nec vincenda $it alterutrius gravitas, ut à centro gravium magis re- cedat; licet utraque parem in motu ab aquâ dividendâ re$i$ten- tiam inveniat (eju$dem quippe $unt latitudinis $olâ di$crepan- tes longitudine, & æqualis e$t utriu$que immer$io propter ean- dem $ingularum trabium molem, atque $pecificam gravitatem) quia tamen di$par e$t ratium magnitudo, & impetu extrin$e- cùs accepto utraque eget, ut moveatur, palàm e$t majore im- petu opus e$$e, ut ratis major trahatur, ac propterea po$$e hanc adeò augeri, ut impetus ad illam movendam nece$$arius exce- dat vires Potentiæ ratem minorem funiculo moderantis. Ita planè e$t. Sed jam animum transfer ad in$titutam di$putatio- nem, ut di$picias, undè irrep$erit dubitatio hæc de relluris <pb n=78> conver$ione ex ventorum impul$u, & quàm facilè fucum fece- rit rota $uo in axe $u$pen$a, quæ levi negotio, nec valido im- pul$u, volvitur. Rota $iquidem tota deor$um gravitat, ac proptereà axem premit; quia autem in axe $u$penditur, fieri non pote$t, ut pars altera de$cendat, quin oppo$ita a$cendat. Quandiu conatus ad de$cendendum æqualis e$t re$i$tentiæ ad a$cendendum, rota quie$cit; nec volvitur, ni$i alterutri parti fiat acce$$io Potentiæ, quæ pariter de$cen$um juvet, vel quia ip$a quoquè deor$um conatur cum parte de$cendente, vel quia $ur$um nitens partem alteram elevat, oppo$itamque deprimet $uapte naturâ de$cendentem. Non tamen huju$modi rotæ $u$- pen$æ conver$io tribuenda e$t $oli Potentiæ; $ed pars rotæ de- $cendens atque Potentia collatis viribus elevant partem rotæ a$cendentem, eíque impetum imprimunt. At in telluris circa $uum centrum, vel axem, conver$ione nihil ade$$et, quod Pe- tentiam juvaret; quia nulla e$t pars, quæ deor$um conetur, aut $ur$um, ut po$$it oppo$itæ parti impetum aliquem impri- mere; nulla etenim pars in huju$modi conver$ione ad centrum gravium accederet, aut ab illo recederet. Totus igitur impe- tus à vento imprimendus e$$et toti telluris globo, ut à $uâ, quæ $ecundùm naturam e$t, quiete dimoveretur. Atqui globi ter- raquei ea e$t moles, ut contineat milliaria cubica proximè 48670. 200000 (omnis nimirum $phæra æqualis e$t cono, cu- jus altitudo par e$t Radio $phæræ, ba$is autem æqualis $uperfi- ciei $phæræ, ex dictis verò paulò $uperiùs, & $uperficies & Ra- dius globi hujus innote$cit) nullus igitur adeò vehemens e$t ventus, qui tantæ moli impetum imprimere valeat; nullus $i- quidem excogitari pote$t ventus, qui globum marmoreum, aut etiam ex argillâ, in planitie æqui$$imâ con$titutum, $i mille pa$$us Geometricos in diametro numeret, convolvere valeat. Adde in telluris conver$ione, $i illa fieret, quò vehementior e$$et ventus in montem incurrens, validior e$$et re$i$tentia aëris à reliquis montibus dividendi; $ed & multorum ingentium fluminum contrariam in partem labentium impetus ob$i$teret, ne tellus vento flanti ob$ecundaret. Quod $i hæc levis e$$e mo- menti dixeris ad ob$i$tendum, levis pariter momenti e$$e ven- torum impetum, nece$$e e$t, fatearis: neque hic arduum e$$et ventorum atque fluminum vires invicem conferre, aquarum- <pb n=79> que impetum multò validiorem o$tendere; $ed ad alia prope- randum e$t: $atisfuerit monui$$e non mediocrem intercedere analogiam inter aquarum guttas in rivulos primùm, deinde in majores rivos, ac demum in torrentem concurrentes, atque terræ expirationes in ventum congregatas, quæ multum vi- rium obtinent, $i plurimæ in unum coëant, quemadmodum & aquis contingit. <HR> <C>CAPUT XIII.</C> <C><I>Quâ ratione minuatur gravitatio in plano inclinato.</I></C> <p>PLanum inclinatum dicitur planum quodcumque non tran- $it per centrum gravium & levium, hoc e$t per centrum univer$i; huju$modi $iquidem planum non cadit ad angulos æquales in $phæricam terræ $uperficiem. Hinc etiam planum horizonti parallelum reipsâ e$t inclinatum, ni$i adeò exiguum $it ac breve, ut puncti vicem obtineat, $i cum terreni globi $u- <FIG> perficie conferatur. Sit univer$i centrum A, plana BA, & CA $unt verticalia & perpendicularia, qui- bus $i corpus aliquod grave appli- cueris, illud non impedietur, quin per $uam directionis lineam de$cen- dat. At verò tam planum BC, quam planum CD inclinata $unt, nec cor- pus grave illis impo$itum pote$t rectâ $ecundùm directionis lineam de$cendere, $ed ab illâ declinare co- gitur plano ob$i$tente. Sunt autem anguli inclinationis ABC, ACD. Quod $i planum parallelum horizonti ita exiguum $it, ut à $phæricâ $uperficie, quam tangit, non recedat; tunc in quacumque ejus parte con$tituatur corpus grave, perinde e$t, atque $i in puncto D collocatum concipiatur. Sin autem ita à <pb n=80> puncto D di$titerit, ut à $phæricâ $uperficie recedat, quemad- modum $i e$$et planum DF, illud e$t inclinatum, & fit angulus DFA inclinationis. Ubi ob$ervandum e$t non eandem e$$e $ingularum plani partium inclinationem; angulus enim in- clinationis AEC major e$t inclinatione ABC, per 16. lib. 1. & $imiliter AFD maior e$t angulo ACD. Quare $tatim atque ea e$t puncti E à puncto B di$tantia, ut an- gulus à perpendiculis in centro A factus contemni non po$- $it, alia e$t etiam phy$icè inclinatio, & corporis eju$dem gravitatio mutatur. <p>Quoniam verò corpus grave plano inclinato impo$itum ita aëre circumfunditur, ut petat infrà illum de$cendere, & re- $i$tat, ne $ur$um moveatur; ideò gravitare dicitur. <p>Sed cavendum e$t, ne ex vocabulorum $imilitudine er- ror $ubrepat: quandoquidem aliud e$t <I>gravitare in plano inclinato,</I> aliud <I>gravitare in planum inclinatum:</I> nam intrà aërem corpus grave, putà, lapis, gravitat in quocunque plano etiam perpendiculari, non tamen gravitat in pla- num perpendiculare, nulla$que vires $uæ gravitatis con- tra illud exercet, quamvis in eo exi$tens, & re$i$tat $ur- $um trahenti, & conetur, ut vincat vires retinentis, ac quicquid moram infert, & impedimentum motui. In pla- no itaque inclinato exi$tens corpus grave ($ubjectum pla- num $upponitur optimè lævigatum, nec motui officiens partium prominularum a$peritate) gravitat quidem, $ed mi- nùs quàm in plano perpendiculari, & pro variâ planorum inclinatione, varia pariter e$t gravitatio, ut quotidiana nos docet experientia. Quâ igitur ratione gravitatio minuatur, hîc e$t examinandum; capite $equenti gravitatio in Planum inclinatum explicabitur. <p>Cogno$citur autem gravitatio ex re$i$tentiâ, quâ corpus repugnat contra vires illud retinentis, ne deor$um feratur, aut $ur$um trahentis; neque enim alio ni$u gravia gravi- tant, quàm quo re$i$tunt impedienti motum gravitati convenientem. Et quidem experimento aliquo pote$t gra- vitationis varietas inve$tigari; $i nimirum planum BO ex ligno, aut marmore accuratè lævigetur, & extremitati B adnectatur orbiculus D facillimè circa axem ver$atilis, pon- <pb n=81> deri autem A $ubjiciantur <FIG> rotulæ, & adnectatur funi- culus per D tran$iens, ex cujus extremo pendeat lanx E, cui pondera immitti po$- $int: pro variâ enim plani BO inclinatione etiam pon- dera in lance mutare opor- tebit, ut pondus A $u$ti- neatur, & plura erunt, quò magis ad perpendiculare accedet planum BO. Verùm quia nunquam carere poteris $u$picione, an corporum affrictus aliquid afferat impedimenti; ideò $eclu- $is omnibus, quæ extrin$ecùs accidere po$$unt, re$i$tentiam ex $olâ gravitate ortam opus e$t con$iderare. <p>Re$i$tentia verò omnis re$pondet violentiæ, quam patitur id quod re$i$tit; minori etenim conatu minorem vim illatam propul$are $tudet natura, quæ validiùs ob$i$tit majori violen- tiæ: id quod ita rationi e$t con$onum, & obviis experimentis manife$tum, ut in hoc demon$trando $upervacaneum $it im- morari. Con$tituantur itaque duo <FIG> æqualis ponderis corpora in D & in C; $ingulis alligetur funiculus, qui per B tran$eat, & $ur$um tra- hantur $imul ita, ut æqualiter mo- veantur. Ab$olutâ motûs particu- lâ, corpus alterum ex D a$cendit in H in plano perpendiculari; al- terum in plano inclinato ex C ve- nit in E, & CE linea æqualis e$t lineæ motûs DH. Non eandem tamen utrumque grave $ubiit vio- lentiam; nam motus DH fuit $impliciter, & ab$olutè violen- tus; at motus CE eatenus $olùm gravitati adver$atur, quate- nus a$cendit; a$cen$um autem metitur linea DG, quam ab- $cindit EG horizonti parallela. Hîc $cilicet planum DC in- tellige horizontale nihil à $phæricá $uperficie di$crepans, ut communiter contingit: quòd $i non ita $e haberet; $ed e$$et ampli$$imum planum, men$ura violentiæ illatæ ponderi in C <pb n=82> con$tituto, in E elevato de$umenda e$$et ex differentiâ inter KC & OE. E$t itaque gravitatio in plano perpendiculari ad gravitationem in plano inclinato, ut re$i$tentia ad a$cenden- dum in uno ad re$i$tentiam ad a$cendendum in alio; re$i$tentiæ autem $unt, ut violentia, quam corpora $ubeunt in motu; vio- lentia demum e$t ut HD ad GD, hoc e$t per 7. lib. 5. ut CE ad DG. Sed ut CE ad DG, ita EB ad GB, per 2. lib. 6. & ut BE, ad BG ita BC ad BD, per 4. lib. 6. igitur gravitatio in perpendiculari ad gravitationem in inclinato e$t ut BC ad BD, hoc e$t ut Secans anguli inclinationis ad Radium. <p>Quæ autem de totis DH, & CE lineis dicta $unt, de $ingu- lis earum particulis æqualibus dicta intelligantur; ductis quip- pe parallelis horizonti, eadem e$t omnium Ratio: hîc namque $upponimus planum BC non adeò magnum e$$e, ut $ingula ejus puncta cum diver$is horizontibus comparanda $int, omnes $iquidem perpendiculares lineæ directionis non qua$i conver- gentes, $ed phy$icè parallelæ accipiuntur. Quòd $i tam lon- gum e$$et planum, ut phy$icè mutatus intelligeretur angulus inclinationis, non eadem e$$et Ratio gravitationis in toto, ac in partibus: $ed mutato angulo inclinationis mutaretur utique ejus Secans; ac proinde inæqualium Secantium Ratio ad eum- dem Radium inæqualis, gravitationum pariter inæqualem ra- tionem o$tenderet. <p>Quod $i a$cendentium per vim extrin$ecùs illatam corporum re$i$tentiam atque gravitationem metimur ex violentiâ, quam pro planorum varietate $ubeunt; eorum pariter in de$cendendo efficacitatem ex ip$o de$cen$u argui æquum e$$et, datâ motûs in diver$is planis æqualitate. Sed quia de$cen$us naturæ pro- pen$ioni congruit, fieri non pote$t, ut in alio atque alio plano æquales $int motus i$ochroni; tardior enim e$t, qui in plano in- clinato perficitur, neque, $i æqualis ponderis corpora de$cen- dant ex H & E, quando illud ad D pervenit, hoc pote$t attin- gere punctum C: ideò non ex de$cen$u gravitationem metiri oportet, cum motus æquales non habeantur: ni$i fortè ea$dem movendi vires tribuas gravitati non impeditæ in perpendicula- ri, ac impeditæ in plano inclinato. Qua propter gravitationis momenta ad de$cendendum non aliunde meliùs æ$timantur, quàm ex repugnantiâ ad a$cendendum: $ic enim vulgari argu- <pb n=83> mento $ingulorum corporum gravitates librâ expendimus, tan- tumque iis ad de$cendendum virium tribuimus, quantum re- $i$tunt, ne ab oppo$itâ libræ lance deor$um conante eleventur. Eadem igitur e$t gravitationis Ratio, $eu propen$ionis ad de- $cendendum, quæ e$t re$i$tentiæ ad a$cendendum: Cum verò re$i$tentiam in plano inclinato ad re$i$tentiam in perpendicu- lari o$ten$um $it e$$e, ut Radius ad Secantem anguli inclinatio- nis, hoc e$t ut BD ad BC, erit pariter vis de$cendendi in plano BC ad vim de$cendendi in plano BD, reciprocè ut BD ad BC. <p>Eadem ratione in plano CD $uperficiem globi tangente, gravitatio in CD ad gravitationem in perpendiculari CA e$t ut CD ad CA; e$t enim CA Secans anguli inclinationis DCA. Si enim ducatur KF Tangens, triangula CKF, CDA $unt $imilia, angulus enim ad C communis e$t, & am- bo rectangula ad D & K; quare ut CK ad CF, ita CD ad CA; $ed gravitatio in CF ad gravitationem in CK e$t reci- procè ut CK ad CF: igitur gravitatio in plano inclinato CD globum tangente, ad gravitationem in perpendiculari CA, e$t ut CD ad CA. <p>Hinc e$t quod in planis horizontalibus, quæ ut plurimum habemus, corpora non de$cendant, aut moveantur: quia ni- mirum à puncto, in quo grave $tatuitur, ex. gr. F, ductæ li- neæ FA perpendicularis & FD Tangens faciunt angulum DFA inclinationis adeò magnum, ut Radius ad ejus $ecan- tem penè infinitam non habeat $en$u perceptibilem Rationem, vel $altem non tantam, ut gravitatio, quæ ratione inclinatio- nis plani congruit corpori, non elidatur à re$i$tentiâ, quæ ori- tur ex corporum a$peritate. Quare $ublatâ, aut potiùs impeditâ, gravitatione corpus quie$cit in plano horizontali. <p>Et hæc e$t ratio, cur violentiam determinans, quam grave a$cendens patitur, a$$ump$erim in perpendiculari BA par- tem GD, quam ab$cindit parallela horizonti; hæc enim men$ura phy$icè non di$crepat à verâ men$urâ, quæ a$$umen- da e$$et, $i mente concipias rectam lineam DC tangere circu- lum, cujus $emidiameter $it millecuplo major. Men$ura $i qui- dem a$censûs petenda e$t ex exce$$u, quo perpendicularis EA $uperat perpendicularem AC; illo enim intervallo, quo magis rece$$it à centro, a$cendit. <pb n=84> <p>Ex quo fit quod, $i planum inclinatum BC cum perpendi- culari CA faceret angulum acutum ACB, corpus ex C u$que in L (in quod punctum cadit perpendicularis AL) de$cende- ret, quia $emper magis ad centrum accederet: ex L autem in E a$cenderet, & a$cen$um metiretur exce$$us perpendiculi EA $uprà perpendiculum LA. Quare ut ex C a$cenderet, debe- ret e$$e planum inclinatum IC, quod cum CA faceret angu- lum ICA $altem rectum. Ubi ex occa$ione licet ob$ervare po$$e dari duos montes, qui cum valle intermediâ planitiem unam con$tituant; $i nimirum montium vertices e$$ent E, & C, ex quibus in imam vallem L de$cenderetur: & aqua per mon- tium venas de$cendens in L po$$et fontem aut lacum creare. <p>Re autem ipsâ $emper contingit angulum BCA e$$e obtu$um vel non minorem recto. Ponatur enim terræ $emidiameter DA 1000, & planum DC: (e$$et autem planum DC longius milliar.4.) erit angulus DAC, gr. 0. 3′. 26′; atque adeò DCA gr. 89. 56′. 34″. Jam verò $it CD ad DB ut 100 ad 87; erit angulus BCD gr.4.1. 1′. 23″: quare totus BCA gr.130. 57′. 57′. Nunc $i libeat comparare perpendiculum EA cum perpendi- culo GA, $tatue GD $emi$$em totius BD; e$t igitur & GE $emi$$is ip$ius DC: Quare GE e$t partium 50, quarum GA e$t 100043 1/2: addantur quadrata GE 2500 & GA 10008701892 1/4, & $ummæ radix quadrata (100043 102543/200086) major verâ e$t EA, quæ non excedit perpendicularem GA 100043 1/2 ni$i particulis (2500/400172). Quoniam autem DAC angulus inventus e$t grad. 0. 3′. 26′; eju$que Secans AC e$t partium (100000 5017/100000), quarum AD po$ita e$t 100000; di$crimen inter AC, & AE $uperiùs in- ventam, e$t partium (43 46227/100000), quæ e$t proximè eadem men$u- ra, ac DG po$ita partium 43 1/2. Quod $i in plani inclinati lon- gitudine tantã Rationem habente ad terræ $emidiametrũ, quan- ta con$tit ita e$t, pote$t citrà errorem a$$umi tanquam men$ura a$censûs pars perpendiculi BA inte c pta ab horizontali DC, & parallelâ EG, $atis patet id multò magis licere in planorum longitudinibus minorem Rationem habentibus ad eandem ter- ræ $emidiametrum. Manet itaque con$tituta regula gravitatio- nis, videlicet gravitationem in plano inclinato ad gravitationem in perpendiculari e$$e, ut e$t Radius ad $ecantem anguli incli- nationis. <pb n=85> <p>Quamvis verò in partibus inferioribus plani inclinati $it $em- per major angulus inclinationis, quàm in $uperioribus, & pro- inde minor $it Ratio, quam habet Radius ad $ecantem anguli majoris, ac ea, quam idem Radius habet ad $ecantem anguli minoris: non tamen ea e$t gravitationis differentia, cujus ratio habenda $it; cum enim adeò exiguus $it angulus BAC, ejus quantitas di$tribuitur per omnes inclinationis angulos, qui fiunt in punctis intermediis inter B & C; atque adeò contem- nendum e$t in praxi di$crimen illud, quod oritur ex alio atque alio inclinationis angulo in codem plano. Quod $i in$ignis e$$et Rationum varietas, notabilis quoque e$$et gravitationis diver- $itas idem enim contingeret, ac $i non idem e$$et planum. Sed hoc communiter non accidit. <p>Ex his illud manife$tâ con$ecutione conficitur, quod $i duo plana inclinata inter $e comparentur, eju$dem corporis gravita- tiones in illis $unt reciproce ut Secantes angulorum inclinatio- nis: hoc e$t, $i fuerint duo plana inclinata BS, BC, gravitatio in BS ad gravitationem in BC e$t ut BC ad BS. Quia enim gravitatio in BC ad gravitationem in BD e$t ut BD ad BC; & gravitatio in BD ad gravitationem in BS e$t ut BS ad BD, igitur ex æqualitate, per 23. lib.5. gravitatio in BC ad gravi- tationem in BS e$t ut BS ad BC. <p>Hinc prætereà fit, ut, $i gravia in planis con$tituta habeant Rationem eandem, quam $ecantes angulorum inclinationis ha- bent inter $e vel ad Radium, eorum gravitatione, $int æquales. Sit ad horizontalem, SC per- <FIG> pendicularis BD, & inclina- tæ BS, BC, per quas lineas ducta intelligantur plana, & in planis gravia diver$a, & ut BD ad BC ita pondus O ad pondus M, & ut BD ad BS ita pondus O ad pondus N. Dico ponderum M, O, N, gravitationes in $uis planis e$$e æquales. Quoniã enim duorum gravium gravitationes in eadem perpendiculari BD $unt ut ip$orũ pondera, gravitatio M in per- pendiculari BD, ad gravitationem O in eadem perpendiculari, e$t ut M ad O, hoc e$t ut BC ad BD; $ed gravitatio M in per- <pb n=86> pendiculari BD, ad gravitationcm eju$dem M in inclinatâ BC, e$t pariter ut BC ad BD; igitur per 11. lib. 5. gravita- tio M in perpendiculari ad gravitationem O in perpendiculari e$t, ut gravitatio M in perpendiculari BD ad gravitationem M in inclinatâ BC; igitur per 14. lib. 5. gravitatio O in per- pendiculari BD æqualis e$t gravitationi M in inclinatâ BC. Eâdem methodo o$tenditur æqualem e$$e gravitationem N in inclinatâ BS, gravitationi O in perpendiculari BD. Quare gravitationes M & N æquales inter $e $unt, cum æquales $int gravitationi O. <p>Con$tat itaque ii$dem viribus retineri po$$e, aut $ur$um trahi, majus pondus in plano inclinato, quàm in perpendiculari, ea- dem enim e$t illorum gravitatio, ut o$tendi; vires autem reti- nentis aut trahentis debent gravitationi corporis proportione re$pondere. Quare datis viribus, quæ po$$int datum pondus O $u$tinere in perpendiculari BD, cogno$ci pote$t gravitas pon- deris quod eædem vires $u$tinere valebunt in dato plano BC in- clinato: $i nimirùm fiat ut Radius ad $ecantem anguli datæ in- clinationis, ita datum pondus O ad pondus M quæ$itum. De- tur O lib. 15. & angulus DBC gr. 36. Fiat ut radius 10000000 ad $ecantem 12360680, ita lib. 15. ad lib. 18 1/2; quod e$t pon- dus M æquè gravitans in plano BC cum pondere O in per- pendiculari. Contra verò dato pondere M $u$tinendo ii$dem viribus, quibus $u$tinetur O in perpendiculari, invenietur in- clinatio plani: $i fiat ut pondus O lib. 15. ad pondus M datum lib. 50, ita Radius 10000000 ad 333.33333.$ecantem anguli in- clinationis DBC gr. 72. 32′. 32″. Demum dato pondere & pla- ni inclinatione nota fiet potentia, $i ut Secans datæ inclinatio- nis ad Radium, ita fiat datum pondus ad aliud pondus, quod potentia valet $u$tinere in perpendiculari. Sit enim DBC gr. 36, & M lib. 50. Erit ut Secans 12360680 ad Radium 10000000, ita M lib. 50 ad pondus O fcrè lib.40 1/2, quod po$$it à potentia in aöre libero $u$tineri. Quare potentia $u$tinens pondus in plano inclinato e$t ad pondus, ut Radius ad Secan- tem anguli inclinationis; & potentia potens movere cum $it ma- jor potentiâ $u$tinente, etiam majorem habet Rationem quàm habeat Radius ad Secantem. Id quod intelligitur ex vi præcisè gravitationis; quicquid inferat di$criminis partium conflictus. <pb n=87> <HR> <C>CAPUT XIV.</C> <C><I>Quâ ratione corpus gravitet in planum inclinatum.</I></C> <p>COn$tituta Ratione gravitationis in plano inclinato, deter- minatis $cilicet momentis, quæ ad de$cendendum obtinet corpus grave exi$tens in plano inclinato, $upere$t explicanda gravitatio, quam idem corpus exercet in planum inclinatum illud urgendo, atque deor$um premendo. Certum e$t autem planum verticale $eu perpendiculare nullo pacto urgeri à cor- pore gravi, quod liberè de$cendere pote$t per $uam directionis lineam, quæ cum non occurrat plano verticali, nullum ab eo recipit impedimentum. Quare corporis gravitas vires totas exercet, aut de$cendendo, aut repugnando contra retinentem, qui non plus adhibere debet conatûs in retinendo, etiam $i pla- num verticale amoveatur: atque adeò nihil omninò gravitat in planum verticale. Contra verò in planum horizontale, quam maximè gravitant corpora; eò quod directionis lineâ in illud incurrente ad angulos rectos, motus omnis impeditur, & cunctas gravitatis vires deor$um contendentes ita $ubjectum planum excipit, ut nihil reliquum $it virium, quas vel minimo motu exerceat. Hinc $i corporis in plano horizontali jacentis an$am teneas, nihil tibi pror$us e$t laborandum, nec quicquam percipis ponderis; at $ubmoto plano lacertis omnibus e$t con- tendendum, ut illud retineas; tota enim gravitatio cum reti- nente luctatur, quæ planum $u$tinens urgebat. In hoc itaque planum verticale cum horizontali comparatur, quod cum ver- ticale nihil impediat motum, corpus in plano verticali omninò gravitat, $ed in illud non gravitat: cum autem horizontale pror$us impediat motum, corpus in plano horizontali nihil gra- vitat, $ed in illud totam $uam gravitationem exercet. Eædem igitur vires, quæ ad de$cendendum in plano verticali impen- derentur, in urgendo plano horizontali in$umuntur. <p>Quæ cum ita $int, $atis con$tat corpora gravia ita in pla- no inclinato gravitare, & obtinere momenta ad de$cenden- <pb n=88> dum, ut etiam in illud, à quo impediuntur, gravitent, il- ludque urgeant. <p>Id verò fieri non pote$t ni$i pro ratione impedimenti & mo- ræ, quam $ubjectum planum motui infert $u$tinendo corpora gravia; quæ proinde $ibi relicta à directionis lineâ declinant, motúmque deflectunt. Porrò in plano inclinato quantum $ub- $it impedimenti, $tatim apparet, ac innote$cit, quantum reli- quum $it virium ad de$cendendum; vires enim, quæ reliquæ $unt, $i adjiciantur viribus impeditis, totam virium omnium $ummam conflare debent. Atqui ex $uperiori capite notæ $unt vires, quibus corpus gravitat in plano inclinato; igitur quæ e$t differentia gravitationis in plano inclinato, à gravitatione in plano verticlai, quod & perpendiculare, ea e$t men$ura im- pedimenti, quod à $ubjecto plano infertur motui; atque <FIG> adeò gravitationis corporis in planum. <p>Cum itaque o$ten$um fuerit gravitation&etilde; in plano BS ad gravitationem in plano BD e$$e reciprocè ut BD ad BS, hoc e$t, ut Ra- dius ad $ecantem anguli inclinationis cum verticali, hoc e$t ut BV ad BS, patet vires non impeditas ad vires impeditas e$$e ut BV ad VS, quandoquidem totas gravita- tis vires refert BS. In planum igitur inclinatum BS gravitatio e$t ut VS, quæ in planum horizontale e$$et $ecundùm totas vires ut BS. Quare gravitatio in planum horizontale ad gra- vitationem in planum inclinatum e$t ut Secans BS ad exce$- $um Secantis $upra Radium, VS; $eu, quod in idem recidit, $i gravitatio in plano inclinato ad gravitationem in verticali po- natur ut Sinus complementi anguli inclinationis ad Radium, ita BR Radius ad DR Sinum ver$um anguli inclinationis. Id autem, quod de plano BS dictum e$t, de plano quoque BC, & cæteris quibu$cunque dictum intelligatur; cum enim gravita- tio in plano inclinato BC ad gravitationem in perpendiculari $it ut BD, hoc e$t BX, ad BC, erit gravitatio in planum ho- rizontale ad gravitationem in inclinatum ut BC ad XC, hoc e$t ut BT ad DT. Quare gravitatio in planum BS ad gravi- tationem in planum BC, e$t ut DR Sinus ver$us inclinationis DBS, ad DT Sinum ver$um inclinationis DBC; a$$umptis <pb n=89> $cilicet numeris tabulatis ad eundem Radium relatis; nam $i li- neæ $pectentur, non e$t Ratio ut DR ad DT, $ed ut OT ad DT; neque enim idem e$t Radius BS & BC; ac proinde OT major e$t, quàm DR, $icuti Radius BI major e$t Radio BS; vel a$$umpto eodem Radio BD, Ratio e$t ut VS ad XC, exce$$us $ecantium $upra Radium. <p>Id verò ex dictis $ub finem capitis $uperioris videtur mani- fe$tum: nam $i in plano BC retinetur pondus lib. 50. ii$dem viribus, quibus in perpendiculari $u$penderentur lib. 40 1/2, pa- tet à plano $u$tineri lib.9 1/2; ac proinde grave, quod habet gra- vitatem totam ut 100, in plano BC gravitabit ut 81, & urge- bit ut 19 $ubjectum planum. <p>Ex his fieri pote$t $atis quæ- <FIG> renti, cur $u$tinens columnam OR plus gravitatis percipiat, quàm qui $u$tinet columnam SR: quia nimirum, qui $u$tinet, e$t pars plani inclinati, in quo ja- cens concipitur columna: quan- do igitur e$t pars plani habentis inclinationem LOR, gravitas, quæ $u$tinetur à $ubjecto plano, $e habet ad totam gravitatem ut Sinus Ver$us anguli LOR ad Radium; Quando autem e$t pars plani habentis inclinationem VSR, gravitatio in $ub- jectum planum $u$tinens e$t ad totam gravitationem ut Sinus Ver$us anguli VSR ad eumdem Radium. Atqui Sinus Ver$us anguli VSR minoris minor e$t Sinu Ver$o anguli LOR ma- joris; igitur minor e$t gravitatio SR, quam OR. Verum qui- dem e$t illud, quod $i in R aliquo obice prohibeatur, ne de- $cendat; variatâ inclinatione, quo fit minor $u$tinentis labor, cò augetur magis conatus potentiæ in R detinentis columnam, ne juxta plani inclinationem de$cendat. Hinc $i duo $int co- lumnam inclinatam deferentes, qui illam in R $u$tinet, plus $ubit laboris, quàm qui in O, aut S: quia præter gravitatio- nem, quam percipit tanquam pars plani inclinati SR aut OR, debet præterea retinere columnam proclivem ad de$cen$um propter plani inclinationem; ideò cùm $calas, aut montis cli- vum con$cendunt, qui in $uperiore loco e$t, minimum $ubit <pb n=90> laboris. Huc etiam revocari po$$e videtur ratio, ob quam in elevando pontes illos ver$atiles, qui arcium portis opponuntur, initio major percipiatur difficultas, $ed demùm facillimè ele- ventur. Verùm id ex dicendis inferiùs clariùs con$tabit; neque enim omnium gravium, quocunque $e tandem modo habeant, eadem e$t ratio; cum animum diligenter advertere oporteat, ut innote$cat planum inclinatum, in quo $uam gravitationem exercent, & habent vires ad de$cendendum. <p>Non e$t autem per di$$imulantiam prætereunda difficultas, quæ face$$ere po$$et aliquid negotij, & gravitationis Rationem con$titutam convellere videretur. E$t $iquidem certum apud omnes mechanicos, tam ubi de libra, quàm ubi de vecte $ermo e$t, aliam $ervari Rationem quàm Sinuum Ver$orum in mo- mento potentiæ, aut ponderis determinando. Sit vectis, aut <FIG> libræ brachium EC, hypomochlion $eu centrum C; attollatur in H, aut in D; omnes con$entiunt momentum potentiæ aut ponderis in E ad mo- mentum in H, e$$e ut HC ad IC, ad momentum verò in D e$$e ut DC ad FC. E$t igitur, inquis, gravitatio in planum DC ad gravitationem in planum horizontale EC, ut FC ad DC; in planum verò HC, ut IC ad HC, hoc e$t ut Sinus Rectus anguli inclinationis ad Radium. <p>Priùs verò, quàm me ab hac difficultate expediam, o$tendo non $atis aptè gravitationem in planum inclinatum de$umi po$- $e ex Sinu Recto anguli inclinationis. Quandoquidem vis de- $cendendi in plano DC ad totã corporis liberi gravitation&etilde; e$t ut DF ad DC, igitur $i gravitatio in planũ DC ad totam gravi- tation&etilde; e$t ut FC ad DC, tota virium $umma e$t DF plus FC, ac tota vis gravitandi, ubi nullum e$t impedimentum, e$t DC; igitur DC, & DF plus FC, æquales $unt, contra 20.lib.1.Eucl. Neque hic liceat ad æqualitatem potentiarum confugere, ut $icut per 47. lib. 1. Eucl. linea DC pote$t quadrata linearum DF, FC, ita vis totius gravitatis æqualis gravitationibus in plano inclinato & in planum inclinatum eandem $ervet pro- portionem laterum trianguli DFC, adeò ut totam gravitatem <pb n=91> Secans anguli inclinationis exprimat, gravitationem in plano inclinato Radius, Tangens verò gravitationem in planum in- clinatum. Si enim Quadratum DC æquale e$t quadratis DF, & FC $imul $umptis, non tamen linea DC æqualis e$t aggre- gato linearum DF & FC: neque eadem e$t inter lineas DF & DC Ratio, quæ inter earum quadrata; $ed e$t $ub duplica- tâ quadratorum: Quare cum gravitatio in plano inclinato DC ad gravitationem in perpendiculari, non $it ut quadratum DF ad quadratum DC; $ed ut linea DF ad lineam DC, fru$trà ad quadrata confugimus, quorum nulla hîc habetur ratio. <p>In eo itaque æquivocatio con$i$tit, quod pondus in D con$ti- tutum, & applicatum brachio DC concipitur e$$e in plano in- clinato DC, contra quàm res e$t: in eo $iquidem plano intel- ligendum e$t, in quo ad motum determinatur; illud autem e$t planum DG, quod tangit circulum ED; & $ic deinceps, pro ut diver$a circuli puncta à diver$is planis contingi po$$unt. Quare in D momentum ad de$cendendum per DG ad totam gravitationem e$t ut DF ad DG, hoc e$t ut FC ad CD, per 8. lib.6. hoc e$t ut FC ad EC. E$t igitur brachium libræ $eu vectis CD, $u$tinens pondus $eu potentiam D, quæ cum ha- beat vires univer$as ut EC, gravitationis autem momenta ha- beat $olùm ut FC, impeditur à $u$tinente ut FE; e$t autem EF Sinus Ver$us anguli FCD, hoc e$t anguli inclinationis FDG. Quare gravitatio ponderis contrà $ubjectum corpus, quod impedit motum perpendicularem, ad totam gravitatio- nem e$t, ut Sinus Ver$us anguli inclinationis plani, per quod fieri pote$t motus, ad Radium. <p>Hinc vides valdè di$parem e$$e rationem gravitationis in $u$tinendo corpore inclinato, $i illud liberè moveri po$$it, ac $i circa centrum perfici debeat motus. Nam $i DC $it columna, aut pons ver$atilis, retineaturque in C, jam punctum C vicem obtinens $ubjecti plani, illiu$que munere fungens, $u$tinet ponderis partem EF, reliqua FC, quæ e$t men$ura momenti ad de$cendendum, debet $u$tineri à potentia motum impe- diente per DG. Sin autem per DC planum columna moveri po$$it rectâ & de$cendere, vis de$cendendi ad totam gravitatio- nem e$t ut DF ad DC, gravitatio autem contra $u$tinentem e$t ad totam gravitationem ut Sinus Ver$us anguli inclinationis <pb n=92> FDC ad Radium; qui enim $u$tinet grave, dum de$cendit in- clinatum, habet rationem plani inclinati. Neque id mirum vi- deri debet, quandoquidem plurimum refert, an per planum DG an verò per DC $it determinatio ad motum, & quâ ra- tione $u$tinens opponatur virtuti motivæ: quare cùm diversâ ratione opponatur motui circa centrum C, ac motui per pla- num DC, etiam di$par erit in $u$tinendo difficultas. <p>Ex his, quæ tùm hoc, tùm $uperiori capite di$putata $unt, habes quid funambulis re$pondeas volatum mentiri meditanti- bus, cum pectore in$i$tentes intento funi, diductis cruribus & exten$is brachiis, corpus æqualibus momentis librant, séque ex editâ turri in depre$$iorem locum præcipites dant; $i fortè, ut noverint, quàm $olidus e$$e debeat ac validus funis, quo iis utendum e$t, quærant, quantis momentis corpus urgeat $ub- <FIG> jectum funem. Datâ enim turris altitudi- ne BD, & depre$$ioris loci, in quem de- $cendendum e$t, di$tantiâ DC, collectí$- que in $ummam harum quadratis, Radix $ummæ dabit BC funis longitudinem; ex quâ $i auferatur BX turris altitudini BD æqualis, erit BC divi$a in X juxtà Ratio- nem momentorum, quæ corporis gravitas exercet in plano inclinato, & in planum inclinatum. Sic po$itâ BD ped. 150, & DC ped. 200, BC e$t ped. 250: ex quâ $i auferatur BD, erit BX 150, & XC 100. Statue autem totius gravitatis corporis funambuli momenta 220; hæc dividantur in duas partes, quarum major $it $e$qui- altera minoris, $icut BX inventa e$t ip$ius XC $e$quialtera, & erunt momenta quidem ad de$cendendum in plano inclinato 132, momenta verò gravitationis in planum inclinatum, hoc e$t in $ubjectum funem, 88. Hæc tamen intelligenda $unt eâ factâ hypothe$i, quòd funis rectâ intentus permaneret: cæte- rùm cum & $uopte pondere, & $ub impo$iti corporis mole $ub- $idat, atque inflectatur, præ$ertim circà medium, $atis apparet adhuc majorem $ubjecti plani inclinationem æ$timandam e$$e, quàm quæ ex altitudine DB & di$tantiâ DC inferatur, quin & illam pro diversâ ab extremitatibus di$tantiâ $ubinde muta- ri, ac proinde validiori fune opus e$$e. <pb n=93> <HR> <C>CAPUT XV.</C> <C><I>Inquiruntur Rationes gravitationis corporum $uspen$orum.</I></C> <p>COn$ideratâ corporum gravitatione tùm in plano inclinato, tùm in planum inclinatum, con$equens e$t, ut ad eorum- dem gravitationem, $i ex fune $u$pendantur, gradum facia- mus; hæc enim illi valdè affinis e$t $peculatio: id quod facilè intelligat, qui$quis animum advertere voluerit, remque totam penitiùs intro$picere. Ex his $i quidem, quæ hactenus di$puta- ta $unt, lux, opinor, non modica ad hanc, quam examinan- dam $u$cipimus quæ$tionem, derivabitur. <p>Pendeat ex clavo C ad perpen- <FIG> diculum globus ferreus A, quem $uppo$itum planum horizontale BD ita exactè contingat, ut nihil de funiculi CA intentione remit- tatur. Satis apparet $ubjecto pla- no BD non incumbere globum A, $ed omnia $uæ gravitationis, qua deor$um nititur, momenta exer- cere contrà clavum C, ex quo $u$pen$us ad perpendiculum pendet. Quod $i aut clavus C, nemine funem retinente, revel- leretur, aut funis CA præcideretur, jam tota vis de$cendendi, quæ corpori A ine$t, urgeret $ubjectum planum BD; nec ta- men in motum erumperet globus, quia planum BD; pari u$que- quaque ad perpendiculum inclinatione libratur, atque adeò motui pror$us ob$i$tit. <p>Jam verò $i globum A pariter ex perpendiculo CA penden- tem contingat planum aliud non quidem horizontale, $ed in- clinatum EF, manife$tum e$t totam pariter gravitationem exerceri contra clavum C retinentem, planumque contingens <pb n=94> omninò non urgeri, ni$i præci$o funiculo $ibi relinquatur glo- bus, ut in inclinato plano EF ad de$cen$um pronus contra $ub- jectum planum nitatur, à quo cogitur, ut in motu à recto, quod ad univer$i centrum e$t, itinere deflectat. <p>Quod $i planum inclinatum EF ita $u$pen$o globo A $ubji- ciatur, ut recta linea centrum gravitatis A, & punctum $u$- pen$ionis H conjungens parallela $it lineæ EF, quam in plano inclinato de$cendens globus percurreret; momenta quidem gravitationis, quæ in eo plano obtineret globus ad de$cenden- dum, exercebit adversùs clavum retinentem in H, $ubjectum verò planum EF perinde urgebitur, atque $i nullo retinente li- bera e$$et globo de$cendendi facultas: vis enim, quâ prohibe- tur globus, ne moveatur $ecundùm rectam lineam, ut con$tat, opponitur de$cen$ui in plano inclinato; ejus autem directio AH non opponitur nitenti in planum, cui parallela e$t. <p>Contra verò $i globus in plano inclinato con$titutus retinea- tur $ecundùm rectam lineam, quæ ad perpendiculum cadit in $ubjectum planum EF, nimirum $ecundùm lineam LO, im- peditur quidem, ne contra planum nitatur; $ed vis i$ta $ic reti- nens nullâ ratione adver$atur motui in plano inclinato, quin ii$dem gravitatis momentis de$cendat globus in eo plano; $i quidem retinentis directio LO maneat $emper adversùs illud planum perpendicularis. Nam $i potentia retinens $ecundùm eam directionem agat, ut neque congruat perpendiculari LO, neque parallelæ HA, ob$i$tet gravitationi corporis $ivè in pla- no inclinato, $ivè in planum inclinatum pro ratione anguli, quem retinentis directio inter perpendicularem LO, & paral- lelam HA interjecta, con$tituet cum plano inclinato. Quæ enim inter LO & CA fuerit, elidet omnem corporis conatum adversùs planum, à quo illud avellit; non autem omnem eum, qui in plano inclinato deor$um rapit. Quæ verò fuerit inter CA & HA, tollet quidem de$cen$um in plano EF inclinato; $ed non omninò prohibebit, quin $ubjectum planum, cui aliqua- tenus nititur, urgeat. Id quod facilè intelligas, $i plana $ubjecta BD horizontale, & EF inclinatum ex maximè flexili mate- ria, puta, papyro, concipias; in quâlibet enim $u$pen$ione inter C, & L, planum BD horizontale flectetur ex pondere, non autem inclinatum EF: contrà verò in omni $u$pen$ione <pb n=95> inter C & H, planum inclinatum EF flectetur; at non item ho- rizontale BD, quia nimirum inclinatum EF prohibet, ne recta HA ad perpendiculum accedens verticalis fiat. <p>Unum hic præterea con$iderandum venit, quod $uperiori capite $ubindicatum fuit; $i videlicet non ex flexili fune deor- $um pendeat globus, $ed rigido bacillo circà axem inferiùs po- $itum ver$atili adnectatur $upe- <FIG> riùs. Sic rectus bacillus AB, cujus extremitas altera adnexum ha- beat globum B, altera $it circà axem A ver$atilis. Satis aperta conjectura e$t bacillum AB vi- cem $ubire plam, cui innitatur globus in B, qui proinde prohi- betur, tùm ne ad perpendiculum cadat per BD, tùm ne per BA delabatur: linea igitur plani, per quod moliri motum poterit globus B, nulla alia congruentiùs a$$ignari queat præter BC, quæ cum bacillo BA rectum angulum con$tituit. Perindè igi- tur in motum incitabitur, atque $i in plano e$$et, cujus inclina- tio angulum efficeret æqualem angulo elevationis bacilli $uprà planum horizontale GA. Cum enim recta BD producta ca- dens in planum horizontale, angulum BSA Rectum efficiat, reliqui duo $imul SAB, ABS, Recto ABC æquales $unt; & communi ABS dempto, $upere$t SAB elevationis angulus æqualis angulo SBC inclinationis plani. Quare ductâ Tan- gente DE, erit BE Secans anguli inclinationis, BD verò Ra- dius: ac proptereà ad de$cendendum in huju$modi plano BC momenta, ad totam gravitatem in perpendiculo BD, erunt ut Radius BD ad Secantem BE, juxta ea, quæ cap. 13. hujus lib. demon$travimus. <p>Quia tamen in motu globus ex bacilli conver$ione circà axem A non pote$t percurrere rectam BC, $ed ita retinetur à bacillo, cui adnectitur, ut de$cendat in F, jam in alio plano minorem inclinationem habente con$titutus intelligitur, nimi- rùm in plano FG, quod cum perpendiculo FL efficit angulum inclinationis GFL æqualem angulo LAF elevationis: id quod eâdem planè methodo, ac $uperiùs factum e$t, demon$tratur. <pb n=96> Ex quo fit, quemadmodum in huju$modi conver$ione globus in alio atque alio plano inclinato con$tituitur, ita alia atque alia obtinere gravitatis momenta: in B $iquidem gravitat ut BD ad BE, in F verò ut HF ad FI. Cum igitur Radius utrobique ex hypothe$i æqualis $it, videlicet DB, & HF, major autem $it BE Secans majoris anguli DBE, quàm FI Secans minoris an- guli HFI, con$tat ex 8. lib. 5. majorem Rationem e$$e HF ad FI minorem, quàm DB ad BE majorem, atque adeò globum magis in F quàm in B gravitare, ut deor$um moveatur, atque adeò minùs etiam conniti contrà planum, in quo e$t, videlicet adversùs bacillum FA, magis verò adversùs bacillum BA. <p>Ex his attentè perpen$is facilis e$t tran$itus ad $u$pen$orum corporum gravitationem inve$tigandam. Sit enim jam non in- <FIG> feriùs, $ed $uperiùs po$itus Axis A, circa quem ver$a- tilis e$t funiculus AB, cui globus B adnectitur. Con- $tat $anè non ad perpendi- culum BD cadere po$$e globum B; $ed à recto deor- $um tramite deflectere, fu- niculo $cilicet AB eum re- tinente, quemadmodum ri- gidus bacillus OB eum ali- quatenùs $u$tineret. Quia autem bacillo OB $u$tinente, vis de$cendendi ea e$$et, quæ per planum inclinatum BC, eadem pariter e$t funiculo retinente; videlicet per planum BC, in quod recta AB ad rectos angulos incidit. Momenta igitur gra- vitatis in eo plano inclinato, ad gravitatis momenta $i corpus liberè de$cenderet, in eâ $unt Ratione, quæ e$t DB ad BE; hoc e$t DO ad OB per 8. lib.6. hoc e$t KB ad BA per 4.lib.6. Haud di$pari methodo ratiocinantes o$tendemus globi in F con$tituti momenta ad gravitandum e$$e perinde, atque $i e$- $et in plano inclinato FI, in quod ad rectos angulos cadit fu- niculus AF; ac proinde gravitatio in F, $i de$cendendi vis præcisè $pectetur, ad gravitationem globi liberi, e$t ut HF ad FI, hoc e$t, ut GF ad FA. <p>Ex quo apertiùs liquet, quàm ut in eo explicando diutiùs <pb n=97> immorari oporteat, alia $ubinde atque alia e$$e momenta gra- vitatis corporis $u$pen$i, pro ut major aut minor e$t angulus declinationis à perpendiculo AG, haud aliter quàm $i in aliis atque aliis planis inclinatis con$titueretur; quo enim minor e$t declinationis angulus GAF, eò major e$t angulus inclinatio- nis plani, quippe qui e$t illius complementum. Con$tat $i qui- dem angulos GAF, GFA $imul, e$$e æquales tùm Recto AFI, tùm Recto GFH; ac proinde dempto communi GFI, remanet HFI angulus inclinationis plani æqualis angulo GFA, qui e$t complementum anguli declinationis GAF. Quare quò declinationis angulus major e$t, eò minus e$t complementum, ac propterea e$t minor angulus inclinationis plani: in plano autem minùs inclinato majora $unt gravitatis momenta. Quò igitur corpus $u$pen$um magis à perpendiculo removetur, eò majora percipiuntur gravitatis momenta, ma- jorque vis requiritur in eo, qui motum prohibere voluerit, ut & ip$a experientia unicuique facilè demon$trat, & ratio evin- cit; cum enim AB & AF æquales $int, major e$t Ratio KB ad BA, quàm GF ad FA per 8. lib. 5. e$t nimirum KB major, & GF minor. <p>Quoniam verò quò major e$t gravitatio in plano inclinato, minor e$t in planum inclinatum; hoc ip$o, quod facto declina- tionis angulo GAB majore, quàm GAF, major e$t ad de$cen- dendum propen$io, minor e$t conatus adversùs axem A reti- nentem. Id quod manife$to etiam experimento deprehen- des, $i ob$ervaveris minùs intentum e$$e funiculum AB, quàm AF. <p>Hinc & illud $atis dilucidè apparet, quod longitudinis funiculi non exigua ratio habenda e$t; ex eâ $cilicet pen- det, quod in plano magis aut minùs inclinato con$titutum cen$eatur corpus grave $u$pen$um. Si enim globus F ex fu- niculo AF pendeat, declinationis angulus e$t GAF: at verò $i funiculus, quo $u$penditur, $it MF, angulum de- clinationis facit GMF, qui cum externus $it, major e$t interno MAF per 16. lib. 1. ac propterea minor e$t incli- natio plani FN facientis cum rectâ MF angulum Rectum, quàm $it inclinatio plani FI, cui perpendicularis e$t recta AF. Plus igitur momenti ad gravitandum habet glo- <pb n=98> bus F, $i ex breviore funiculo MF pendeat, quàm $i ex longiore AF. <p>Quæ cum ita $int, haud $anè incongrua $e nobis offert me- thodus pondus ex depre$$iore in altiorem locum transferendi; $i videlicet id curemus, ut ex $atis valido & longiore fune $u$- pendatur; $ublato etenim partium attritu, qui fieret, $i per pla- num raptaretur pondus, minore virium jacturâ trahi pote$t. <p>Sit corpus grave ubi A, quod at- <FIG> tollere oporteat, & in $uperiorem locum RS transferre. Si ex C brevio- ri fune $u$pendatur, trahere illud po- terit u$que in R, quicumque facto de- clinationis angulo ACR pote$t illud cum aliquo virium exce$$u retinere, & ob$i$tere gravitatis momentis, quæ obtinet in R. At $i ex longiore fune DA pendeat, idem corpus A trahi poterit, & retineri in S, ne deor$um labatur, & quidem mino- re conatu; facto enim declinationis angulo ADS minore, quàm ACR, in S pariter minùs gravitat quàm in R. Angu- lum autem ADS minorem e$$e angulo ACR con$tat, $i rectæ AR, AS ducantur: nam CA, CR æqualia $unt latera ex hy- pothe$i, item DA, DS æqualia; e$t $cilicet idem funiculus, qui primum perpendicularis cadit, deinde à perpendiculo re- movetur: in Triangulo I$o$cele CAR anguli ad ba$im AR æquales $unt per 5. lib. 1. item in triangulo I$o$cele DAS an- guli ad ba$im AS æquales inter $e $unt. Porrò angulus DAS major e$t angulo CAR; ergo & reliquus DSA major reliquo CRA. Cum itaque tres anguli utriu$que trianguli $int æquales duobus Rectis per 32. lib. 1. $i ex $ummâ duorum Rectorum au- ferantur duo majores anguli DAS, DSA, relinquitur ADS minor, quàm $i ex eâdem duorum Rectorum $ummâ auferan- tur duo minores CAR, CRA, hoc e$t minor quàm ACR. Ut autem clariùs innote$cat, quænam $it gravitationum Ratio pro funiculi longitudine, $it corpus grave in R: & primùm quidem ex C pendeat funiculo breviore CR, deinde ex D lon- giore funiculo DR: qui$quis retineat corpus in R con$titu- tum, atque de$cen$u prohibeat, faciliùs retinebit, cum ex D, <pb n=99> quàm cùm ex C, pendebit; quia declinationis angulus XCR major e$t angulo XDR per 16. lib. 1. Verùm qua Ratione, in- quis, vires, quas in utroque ca$u retinens exerit, di$criminan- tur? utique $ecundùm Reciprocam funiculorum Rationem co- natur ob$i$tens corporis propen$ioni ad de$cen$um; quæ enim Ratio gravitationum corporis, ea e$t virium gravitationibus repugnantium: comparatà autem corporis in R con$tituti gra- vitatione, $i ex C pendeat, cum eju$dem ibidem po$iti gravita- tione, $i pendeat ex D, e$t reciprocè ut DR ad CR; igitur & vires retinentis corpus ex C pendens $unt ut DR, retinen- tis verò idem corpus ex D pendens $unt ut CR. Id quod hinc conficitur, quia corpus in $u$pen$ione, po$itionem habens CR, gravitat ut XR ad RC, po$itionem verò habens DR gravitat ut XR ad RD; duæ autem Rationes XR ad RC, & XR ad RD $unt reciprocè ut RD ad RC. Quotie$cumque enim duæ $unt Rationes, quarum idem e$t Antecedens terminus, & di- ver$us Con$equens, eæ $unt reciprocè ut con$equentes. <p>Quòd $i quis Rationes inter $e comparare non a$$uetus de hoc ambigeret, an Rationes eumdem vel æqualem anteceden- tem terminum habentes $int reciprocè ut Con$equentes, facilè intelliget, $i animadvertat Rationes eumdem Con$equentem terminum habentes e$$e inter $e directè, ut antecedentes. Quemcumque enim interrogaveris, quæ $it Ratio 2/7 ad 6/7 illicò re$pondebit e$$e $ubtriplam, $ecunda $cilicet ter continet pri- mam, ut con$tat $i ter po$itam Rationem 2/7 in $ummam colligas; neque enim id&etilde; e$t Rationem Rationis e$$e $ubtriplam, ac $ub- triplicatam; Ratio $iquidem 2/7 e$t $ubtriplicata Rationis (8/343). Si igitur pariter quæras, quænam $it Ratio 7/2 ad 7/6 rectè re$ponde- bit eam e$$e triplam, hoc e$t reciprocè ut 6 ad 2: id quod ma- nife$tè apparebit, $i illas ad denominationem eandem, hoc e$t ad eumdem Con$equentem terminum reduxeris, $unt nimirum ut (42/12) ad (14/12), hoc e$t ut 6 ad 2. <p>Ex quibus obiter patet methodus exponendi per lineas pro- portionem duarum Rationum etiam numeris non explicabi- lium; $i videlicet fiat ut Antecedens $ecundæ Rationis ad $uum Con$equentem, ita Antecedens datus primæ Rationis ad alium novum Con$equentem; erit enim prima Ratio data ad $ecun- <pb n=100> dam rationem daram reciprocè ut novus Con$equens terminus ad datum Con$equentem primæ Rationis: aut etiam $i fiat ut Con$equens $ecundæ Rationis ad $uum Antecedentem, ita con- $equens primæ Rationis ad alium novum Antecedentem; erit enim prima ratio data ad $ecundam Rationem datam, directè ut datus Antecedens primæ Rationis ad novum Antecedentem. <p>Con$ideratâ hactenus unicâ & $implici corporis gravis $u$- pen$ione, gradum facere oportet ad gravitationis rationes in- ve$tigandas, $i duplex fuerit $u$pen$io. Sit enim globus A tùm <FIG> ex B, tùm ex C $u$pen$us fu- niculis BA & CA. Haud du- bium quin tota corporis gravi- tas ex B & C pendeat; $ed quâ Ratione $ingulæ vires eidem gravitati ob$i$tant, de hoc po- te$t ambigi. Verùm ni$i mea mihi nimiùm blanditur opi- nio, ex dictis facilis videtur explicatio. Corpus $iquidem ex duplici fune $u$pen$um ita con$titutum e$t, ut alterutro fune præci$o ex reliquo pen- deat, & de$cendens moveatur circà punctum, cui alligatur funis. Quare unu$qui$que ob$i$tit momentis, quibus ex altero gravitat; nimirum funiculus CA retinens globum, ne de$cen- dat, repugnat momentis gravitatis, quibus globus A $e ip$e deor$um urget circa punctum B ex fune BA: Contrà verò fu- niculus BA eundem globum retinet, ne circa punctum C ex funiculo CA moveatur de$cendens, atque adcò ob$i$tit, mo- mentis gravitatis ad de$cendendum circà idem punctum C. At- qui momenta de$cendendi ex fune BA ad gravitatem in per- pendiculo $unt ut DA ad AB, & ex fune CA $unt ut EA ad AC, ex his, quæ $uperiùs di$putata $unt. Sunt igitur duæ Ra- tiones DA ad AB, & EA ad AC. <p>Quare fiat angulus DAF æqualis angulo EAC, & e$t trian- gulum DAF ob angulorum æqualitatem $imile triangulo EAC; ac propterea per 4. lib. 6. ut EA ad AC, ita DA ad <pb n=101> AF. Ergo vis de$cendendi ex CA e$t ut DA ad AF, & vis de$cendendi ex BA e$t ut DA ad AB: igitur duæ hæ Ratio- nes $unt reciprocè ut BA ad AF; atque adeò B quidem reti- nens, ne de$cendat ex CA, exerit vires ut BA; C verò reti- nens, ne de$cendat ex BA, adhibet conatum ut FA; & quæ componitur ex BA, AF, totum gravitatis momentum, quod corpori $u$pen$o ine$t, repræ$entat. Momentum, inquam, gravitatis potiùs, quàm gravitatem totam; totius $i quidem gravitatis nomine vires ip$as de$cendendi intelligimus, quas corpus grave obtinet $ibi prorsùs relictum $eclu$o quolibet im- pedimento, à quo certam de$cendendi regulam accipiat: Mo- menti autem vocabulo ip$as de$cendendi vires $ignificamus non per $e & $olitariè acceptas; $ed quatenus ex corporis po$i- tione, cæterorumque quæ circum$tant, ad majorem aut mino- rem motùs velocitatem determinatur. Con$iderato itaque ni$u corporis A ad de$cendendum & cùm perpendicularis e$t funi- culus BD, & cum declinat BA, Ratio momentorum e$t ut BA ad AD. Similiter momentum ex perpendiculari CE ad momentum ex declinante CA e$t ut CA ad AE, hoc e$t ut FA ad AD: e$t igitur corporis A ex duplici funiculo BA, CA pendentis totum gravitandi momentum, quod ex lineis BA, AF componitur. <p>Hic autem hæ$itantem videre mihi videor non neminem ex iis, quæ dicebantur, colligentem corpus A primùm ex decli- nante BA æquè ac ex perpendiculari BD gravitare; deinde plus ad de$cendendum momenti obtinere, $i ex duobus funi- culis, quàm $i ex unico pendeat. Si enim angulus declinatio- nis DBA $it gr. 22. 12′; e$t DA $inus dati anguli ad radium BA ut 37784 ad 100000: & $i angulus declinationis ECA $it gr. 54. 35, e$t EA $inus dati anguli ad Radium CA ut 81496 ad 100000. At ex con$tructione triangulum DAF $i- mile e$t triangulo EAC; igitur DA ad AF e$t ut 81496 ad 100000. E$t autem DA in particulis Radij BA partium 37784; igitur $i fiat ut 81496 ad 100000, ita 37784, ad aliud, erit AF earumdem particularum 46363, quarum BA e$t 100000. Qua- re compo$ita BA, AF momenta $unt 146363, cum tamen momentum in perpendiculari AD $it tantum 100000. Cum verò dictum $it B clavum re$i$tere ponderi A ut BA, C autem <pb n=102> ut FA, manife$tum e$t B clavum retinere ut 100000 quando declinat BA à perpendiculo: Atqui etiam in perpendiculo BD retinet ut 100000, igitur idem e$t ponderis tùm ex BD, tùm ex BA momentum; id quod e$t ab$urdum. <p>Sed & illud prætereà ex dictis con$equi videtur, quod eju$- dem corporis majus $it momentum, $i ex duobus funiculis, quàm $i ex unico pendeat. Fiat enim angulus DBH æqualis angulo declinationis ECA, & a$$umptâ BH æquali ip$i BA, ducatur ad BD perpendicularis HI: erit utique triangulum BHI $imi- le triangulo CAE, ac propterea ut EA ad AC, ita IH ad HB, hoc e$t ad AB. Sunt igitur duæ Rationes cundem Con- $equentem terminum habentes, atque adeò inter $e in ratione Antecedentium, ac proinde cùm vis de$cendendi ex BA $it ut DA ad AB, & vis de$cendendi ex CA $it ut IH ad AB, vires de$cendendi invicem comparatæ $unt ut DA ad IH, totum- que momentum componitur ex DA 37784, & IH 81496. Quare momentum quod in perpendiculari, $i unico funiculo penderet ex BD, e$$et 100000, pendente corpore A ex duo- bus funiculis BA, CA, fit majus, $cilicet 119280. ut quid igi- tur ex pluribus funiculis illud $u$pendere oportuit? <p>Quibus difficultatibus ut fiat $atis, & id, quod inquirimus, enucleatiùs explicetur, illud ob$ervo, quod funiculus BA $i præcisè $pectetur, quatenus ex eo corpus grave pendet, retinet globum A, ne rectâ de$cendat per lineam ip$i BD parallelam, $ed cogit illum deflectere in motu: quare adversùs clavum B, globus A exercet ea momenta, quæ exerceret in planum incli- natum, cui BA ad rectos angulos in$i$teret. At $i globus ex alio prætereà funiculo CA pendeat, idem funiculus BA re$i$tit etiam momentis illis, quibus globus A de$cenderet in plano in- clinato, cui CA ad rectos angulos in$i$teret, quæ momenta (ut $ummum) $unt ad BA radium ut 81496. Momenta verò qui- bus urgeret planum inclinatum perpendiculare ad BA, $unt, ex dictis $uperiori capite, ut Sinus Ver$us anguli inclinationis pla- ni; inclinatio autem plani, ut paulò $uperiùs hoc eodem capite demon$travimus, e$t complementum anguli declinationis DBA. Quare differentia inter DA 37784 $inum rectum an- guli declinationis, & radium BA 100000, cum $it Sinus Ver- $us anguli inclinationis plani, $unt momenta 62216 addenda <pb n=103> prioribus 81496; adeò ut $umma $it 143712 momentorum, qui- bus funiculus BA repugnat, $i pondus pendeat etiam ex CA; cum tamen $i ex ip$o tantùm funiculo BA penderet, & aliquis e$$et præcisè obluctans viribus ad de$cendendum, idem funicu- lus BA re$i$teret $olùm momentis 62216. <p>Eâdem methodo deprehendes funiculum CA, $i ex eo $olo globus pendeat, retinere momenta 18504: at $i etiam ex BA globus pendeat, additis momentis 37784, tota momentorum $umma e$t 56288. Jam $ummam hanc priori 143712 adde, & erit tota momentorum $umma 200000: perinde atque $i corpo- ris gravitas fui$$et duplicata. Id quod deprehendes, quo$cum- que demùm declinationis angulos $tatueris $ivè majores, $ivè minores; $emper enim eandem $ummam momentorum om- nium invenies 200000: & funiculus minoris declinationis plus momentorum $u$tinebit, tùm quia Sinus Ver$us majoris incli- nationis plani major e$t, tum quia Sinus Rectus alterius anguli declinationis majoris item major e$t. <p>Hæc tamen ut veritati congruant, ita $olùm accipienda $unt, ut momenta $ingula ex utrâque funiculorum declinatione orta particulatim $umantur: pondus $cilicet ex utroque $u$pen$um perinde hactenus con$ideratum e$t, ac $i momenta ip$a de$cen- dendi in diver$as partes abeuntia momentum quoddam ex utri$que temperatum non con$tituerent; re autem ipsa quod ex iis componitur momentum, non ex ip$orum momentorum ad- ditione conflatur, $ed ex ip$is temperatur. Si enim mobile $it ubi A, impetum verò cum tali <FIG> directione habeat, quâ deferri po$$it æquabiliter per rectam AB, alio autem impetu feratur æquabiliter directum in C, no- tum omnibus e$t motum, qui ex AB & AC componitur, non fieri ex earum additione, $ed tem- perari in lineam AD, quæ dimetiens e$t parallelogrammi, quod ex earumdem linearum AB, AC longitudine, ac mutuâ incli- natione formam de$umit. Quâ in re plurimum intere$t, quam invicem habeant inclinationem directiones motuum in diver$a abeuntium; quò enim acutiorem angulum con$tituunt, eò lon- giùs provehitur mobile, ut AB, AC in acutum angulum <pb n=104> coëuntibus mobile ex A in D venit: quò verò obtu$ior fuerit angulus, eò etiam brevius e$t iter ip$ius mobilis, ut contingit, $i ex B directum per rectas BA, BD ad obtu$um angulum con$titutas moveatur, $i$titur enim in C, & brevior e$t diame- ter BC quàm AD, ut ex 24. lib. 1. $atis manife$tum e$t geo- metris, & ip$a motuum natura po$tulat; qui nimirum $ibi in- vicem magis adver$antur, magi$que in diver$a abeunt, $e ma- gis elidunt, id quod fit ex angulo obtu$o DBA; qui verò mi- nùs in diver$a abeunt, id quod fit ex angulo acuto CAB, $e pa- riter minùs elidunt. <p>Sint itaque, ut priùs, funiculi BA, CA, ex quibus A pon- dus $u$penditur: ducatur ad BA perpendicularis AR, & e$t planum inclinatum, in quo de$cendendi momentum e$t ut DA; $imiliter ad CA perpendicularis AG ducatur referens planum inclinatum, in quo de$cendendi momentum e$t AE. Sumatur igitur AR quidem ip$i AD æqualis, AG verò ip$i AE pariter æqualis, $i funiculi BA, & CA æquales fuerint; $in autem inæquales $int, fiat angulus DBH æqualis angulo declinationis ECA, & $umptâ BH æquali ip$i BA, duca- tur ad BD perpendicularis HI, eritque ut EA ad AC, ita IH ad HB, hoc e$t ad AB; ac propterea ip$i IH, quæ refert momentum AE, $umatur AG æqualis. Ex quo fit cor- pus A $u$pen$um hâc ratione momenta de$cendendi habe- re in diver$as partes abeuntia AR, AG: perfecto igitur paral- lelogrammo ARNG, ex duobus illis momentis temperatur momentum AN. <p>Ip$ius autem AN longitudinem inve$tigare non e$t diffici- le; cum enim noti $upponantur anguli declinationum DBA, ECA, angulus RAG conflatur ex eorum complementis, quippe qui æqualis e$t duobus angulis inclinationis planorum AR, & AG. Porrò ex hypothe$i $unt angulus DBA gr. 22. 12′, & angulus ECA gr. 54. 35′: jungantur $imul, & eorum $umma gr. 76. 47′ auferatur ex gr. 180, ut re$iduum gr. 103. 13′ $it angulus RAG, cui æqualis e$t oppo$itus RNG; ac proinde notus e$t angulus G, qui e$t $uo oppo$ito R æqualis, uterque $cilicet gr. 76. 47′ quæ e$t $umma angulorum decli- nationis. Sunt igitur in triangulo AGN nota latera AG, GN (e$t enim ex 34. lib. 1. GN oppo$ito lateri AR æquale) <pb n=105> unâ cum angulo G comprehen$o, & ex Trigonometriâ inno- te$cit tertium latus AN. Quare cum latus AG $it ex $upe- riùs con$titutis 81496, & GN, hoc e$t AR, 37784, fiat ut laterum AG, GN $umma 119280 ad eorumdem differen- tiam 43712, ita $emi$ummæ angulorum ad ba$im, hoc e$t gr. 51. 36 1/2 Tangens 126205 ad 46249 Tangentem gr. 24. 49′ 2/5 differentiæ infra, vel $upra eandem $emi$ummam. E$t igitur angulus GAN gr. 26. 47′ (3/10). In triangulo itaque AGN noti $unt duo anguli A, & G, ac latus GN angulo A oppo$i- tum; igitur ut anguli A gr. 26. 47′ (3/10) Sinus 45070 ad anguli G gr. 76. 47′ Sinum 97351, ita latus GN 37784 ad latus AN 81613. <p>Ex quibus apparet de$cendendi momentum, quod compo- nitur ex momentis in planis inclinatis, non e$$e 119280 ex eo- rum $ummâ, $ed ita temperari, ut longè minus $it, videlicet $o- lùm 81613. <p>Methodo eâdem operantes deprehendemus ponderis in H con$tituti, ac ex funiculis BH, CH $u$pen$i momentum ita componi ex momento HI bis $umpto ($i quidem anguli decli- nationum DBH, ECH & funiculi æquales $int) ut in unum ex utroque nimirum HI & HO temperatum HS coale$cat. Unde con$tabit quò majores fuérint declinationum anguli, eò longiorem futuram lineam HS, atque adeò etiam majus mo- mentum de$cendendi; plana $iquidem inclinata acutiorem angulum con$tituunt. Quam momentorum varietatem pau- lò inferiùs manife$to experimento comprobabimus: ubi con$ta- bit pondus hâc ratione $u$pen$um ex duobus funiculis plus ha- bere aliquando momenti ad de$cendendum, quàm in perpen- diculari $u$pen$ione. <p>Quemadmodum verò de momentis de$cendendi in planis inclinatis ratiocinati $umus, ita pariter in unum coale$cere di- cenda $unt momenta, quibus funiculi pondus retinentes ip$um quodammodo avellere conantur à plano inclinato, ne illud ur- geat; hæc enim pariter momenta in diver$a abeunt $ecun- dùm ip$am funiculorum directionem. Sunt autem momenta illa Sinus Ver$i angulorum inclinationis planorum; qui haben- tur, $i Sinus Recti complementorum, hoc e$t angulorum de- <pb n=106> <FIG> clinationis funiculorum, de- mantur ex Radio. Itaque ex BA auferatur BF ip$i DA æqualis, & e$t FA Sinus Ver- $us anguli inclinationis: po$ita e$t autem declinatio DBA gr.22. 12′, igitur FA e$t parti- cularum 62216; & declinatio ECA gr. 54. 35′; igitur factâ CG æquali ip$i AE, remanet GA particularum 18504, quarum CA e$t 100000. Quare ut habeantur particulæ eju$dem rationis cum particulis AF, fiat ut CA ad AG, ita BA ad AH, & e$t AH particularum 18504 homologarum particulis AF. Perficiatur parallelogrammum AHIF; & quia funiculus CA retrahit à plano inclinato juxta momentum ac directionem HA, funiculus verò BA retrahit à plano inclinato $ecundùm momentum ac directionem FA, di- rectionibus in diver$a abeuntibus, temperatur ex his momentis momentum AI diameter parallelogrammi. <p>Porrò in diametri AI inve$tigatione methodus e$t eadem, quâ paulò antè utebamur: Cum enim tres anguli BAD, BAC, CAE $int duobus Rectis æquales, anguli verò BAD, CAE noti $int, quippe complementa angulorum declinationis DBA, ECA, innote$cit reliquus FAH, qui æqualis e$t $ummæ an- gulorum declinationis. E$t igitur FAH gr.76.47′, ac proinde angulus AFI gr.103.13′ notus e$t, unâ cum lateribus FA 62216 & FI 18504. Fiat igitur ut laterum $umma 80720 ad eorum- dem differentiam 43712, ita angulorum ad ba$im AI $emi$um- mæ gr. 38. 23′1/2. Tangens 79235 ad 42907 Tangentem dif- ferentiæ infra vel $upra eandem $emi$ummam, hoc e$t gr. 23. 13′.1/2 dempta igitur hæc differentia ex $emi$$ummâ gr.38.23′ 1/2, reliquum facit angulum FAI gr.15.10′. Fiat demùm ut anguli FAI gr.15.10′. Sinus 26163 ad anguli AFI gr. 103. 13′. hoc e$t ad $upplementi gr.76.47′. Sinum 97351, ita latus FI 18504 ad ba$im AI 68852. <p>Inventa itaque momenta compo$ita tùm in planis inclinatis, tùm in plana inclinata, dividantur juxta Rationem momento- <pb n=107> rum $implicium, ut innote$cat, quid demum cuique fi<*> tribuendum $it in pondere retinendo. Momentum de$cenden- di compo$itum inventum e$t $u$periùs 81613, $implicia $unt 81496, & 37784. Fiat ut igitur ut $implicium momentorum $umma 119280 ad corum alterutrum, puta ad 37784, ita mo- mentum compo$itum 81613 ad aliud, & provenit 25852 pars illius momenti pertinens ad funiculum CA, qui retinet pon- dus; cujus vis de$cendendi e$t DA 37784. Reliqua autem mo- menti 81613 pars 55761 pertinet ad funiculum BA retinentem pondus, cujus vis de$cendendi e$t EA 81496. Pari ratione fiat ut Sinuum Ver$orum angulorum inclinationis $implicium 62216, atque 18504 $umma 80720 ad corum alterutrum, pu- ta ad 18504, ita momentum compo$itum inventum 68852 ad aliud, & provenit pro minori 15783, pro majori verò 53069. Quare funiculus BA minorem habens declinationem, & plus $u$tinet in $uo plano magis inclinato, cui perpendicularis e$t, nimirum ut 53069, & plus retinet in plano reliquo minùs in- clinato, nimirum ut 55761: contra verò funiculus CA, & mi- nus $u$tinet, $cilicet ut 15783, & minus retinet $cilicet ut 25852. Funiculus itaque BA exercet vires ut 108830, & fu- niculus CA ut 41635, & totum corporis $u$pen$i momentum e$t 150465. <p>Non $ola autem momenta de$cendendi in planis inclinatis con$iderari oportere, $ed & ea, quæ e$$ent adversùs plana ip$a inclinata, uti dictum e$t, ex eo apertè conficitur, quòd ubi funiculi concurrerent ad acuti$$imum angulum, vix quic- quam virium in retinendo pondere exercere opus e$$et; te- nui$$imum quippe, e$$et momentum, quod ex parvis mo- mentis per acuti$$imorum angulorum Sinus Rectos definitis componeretur: $i verò nihil præterea momenti addendum e$- $et; à magnâ gravitatione, quæ in perpendiculari e$t, ad ferè nullam tran$itus e$$et, facta vel modicâ à perpendiculo decli- natione; atque adeò vix intenti e$$e deberent funiculi: id quod manife$to experimento adver$atur. <p>Illud po$tremò hîc o$tendendum $upere$t, plus $cilicet in- e$$e po$$e momenti ad de$cendendum corpori ex duobus funi- culis invicem inclinatis $u$pen$o, quàm $i ex unico ad per- pendiculum pendeat. Orbiculo circà $uum axem C ver$atili, <pb n=108> <FIG> ac $ecundùm extremam oram excavato, in$eratur funiculus AFB, ex quo æqualia hinc, & hinc pondera A, & B pen- deant: nullus planè $e- quitur motus, quia utrum- que ex perpendiculo pen- det, & quantâ vi alterum conatur deor$um, pari nu$u alterum repugnat, ne elevetur. Quærenti igitur, quantum momenti pondus B habeat ad de$cendendum, utique re$pondebis omni- nò par e$$e momento ponderis A. Jam verò $it funiculus AFD, qui in D religetur, & ponderi A $umatur æquale pondus E, vel potiù; ip$um B transferatur in E, & funiculo AFD ad- nectatur in H; ut $int qua$i duo funiculi DH, FH. Quæro quantum ad deicendendum momenti habeat pondus E, hoc e$t pondus B in H tran$latum, quod e$t æquale ponderi A: $i tan- tumdem habet momenti, quantum pondus A, planè manebit immotum, intento funiculo FD; at $i E de$cendens cogat a$cendere pondus A, utique plus momenti habet quàm A, hoc e$t, plu$quàm B perpendiculariter pendens. Id quod re ipsâ contingit; & quidem tàm certo experimento, ut non $olùm pondus E prævaleat ponderi A, $i $it ei æquale, verùm etiam $i minus $it eodem pondere A. Non igitur hoc ab$urdum e$t, quod con$titutam à nobis momentorum hypothe$im con$equa- tur, $ed potiùs ip$i naturæ no$tra con$entit hypothe$is, cui ro- bur adjicit experientia; nec ex eo capite perperam philo$opha- ti videmur, quòd in perpendiculo minus momenti, quàm ex duplici funiculo $u$pen$um pondus habere dicendum $it. <p>Ex his, quæ de corpore ex binis funiculis $u$pen$o hactenus di$putata $unt, non difficilis erit conjectura eorum, quæ dicen- da $int, $i ex tribus aut quatuor $u$pendatur, $ivè illi immedia- tè adnectantur ip$i ponderi, $ivè funiculus unus demum in plu- ra capita dividatur, ex quibus fiat $u$pen$io: neque enim his diutiùs ad nau$eam immorandum cen$eo. <pb n=109> <HR> <C>CAPUT XVI.</C> <C><I>Tractiones ac elevationes obliquæ expenduntur.</I></C> <p>PRoxima e$t iis, quæ hactenus di$putata $unt, præ$ens in- ve$tigatio gravitationis corporum, $ive nisûs, quo motui re$i$tunt, cùm obliquè in plano aliquo trahuntur, aut elevan- tur: $icut enim toto conatu repugnant elevanti ad perpendicu- lum, & ab$trahenti à plano, cui in$ident, ita pro majori, aut minori obliquitate tractionis aut elevationis magis etiam, aut minùs, ob$i$tere experimur. Et primùm quidem $uper plano <FIG> inclinato AB duo pondera pror$us æqualia, & $imilia intelligantur po$ita in B & C, atque linea CE $it horizonti BE perpendicu- laris, ac pondus C filo DC ad perpendiculum $u$pen- datur, ita tamen, ut con- tingat planum in C, & $it recta DE. Item ex D puncto ducatur filum DB, ut $ur$um trahatur B pon- dus incumbens plano in- clinato, dum pariter pon- dus C $ur$um rectâ trahi- tur, & à plano avellitur: horum autem funiculorum trahatur ex D pars æqualis. Quando igitur C venerit in V, æquali men- $urâ BP multatum intelligitur filum DB, & remanet longi- tudo DP, hoc e$t DO; pondus enim, cum filum in D trahe- retur, ex B venit in O. Ductâ itaque lineâ ON horizonti pa- rallelâ, erit EN altitudo perpendicularis, ad quam a$cendit pondus B in plano inclinato interea, dum pondus C venit in V, aut E venit in M, e$t enim EM a$$umpta ip$i CV æqualis. Quare cum pondus B obliquè trahitur $uper planum inclina- <pb n=110> tum, minorem $ubit violentiam, quàm cum ab illo perpendi- culari elevatione avellitur. <p>Hoc tamen ita intelligendum e$t, ut ob$ervetur alia e$$e momenta, cùm tractionis linea parallela e$t ip$i plano inclina- to, ac cùm in planum inclinatum cadit obliqua, ut hîc li- nea DB. Si enim in plano inclinato $umatur BR æqualis perpendiculari EM, gravitatio per rectam BC, $eu per li- neam eidem parallelam, ad gravitationem in perpendiculo CE e$t reciprocè ut EC ad BC, $eu ut ES ad BR aut EM, ex $uperiùs dictis cap.13. At verò cum tractio obliqua e$t, gravitatio e$t ut EN ad EM, $ivè ut BO ad BX: punctum autem O altius e$t puncto R, ac proptereà in huju$modi obliquâ tractione plus violentiæ infertur ponderi, quàm in tractione parallelâ, plus enim a$cendit. Porrò lineam BO longiorem e$$e lineâ BR e$t manife$tum; $iquidem duo la- tera DO, OB per 20. lib.1. majora $unt reliquo DB: e$t autem ex hypothe$i DP ip$i DO æqualis, ergo reliqua BP minor e$t, quàm BO: $ed & ip$i BP, hoc e$t ip$i EM, æqualis a$$umpta e$t BR; igitur BR minor e$t quàm BO. Id quod etiam hinc con$tat, quia in triangulo I$o- $cele DOP angulus OPB infra ba$im major e$t recto, cum $it deinceps angulo DPO ad ba$im acuto; ergo per 19.lib.1. latus BO majus e$t latere BP, hoc e$t BR; igi- tur etiam EN major e$t quàm ES, & plus difficultatis percipitur in obliquâ hâc tractione, quàm in tractione pa- rallelà. <p>Similiter intelligatur pondus C elevatum fui$$e ex D (quod punctum D concipiatur multò altius, quàm in præ- $enti $chemate) ad perpendiculum altitudine æquali ip$i ET, pondus verò B æquali tractione funiculi veni$$e ex B in G, demptâ $cilicet longitudine BF ip$i ET æquali, atque adeò DF, DG æquales $unt: ip$i autem ET æqualis $u- matur BI; quæ $imili ratione demon$tratur brevior, quàm BG: ex quo pariter $it hîc etiam ad majorem altitudi- nem perpendicularem EH elevari, quàm $i tractio pa- rallela fui$$et plano inclinato, & elevatio ad altitudi- nem EL. <p>Ex his manife$tum e$t plus virium requiri ad trahendum <pb n=111> pondus idem per lineam DB, aut DO, aut DG obli- quas, quàm per lineam plani inclinati BC, aut illi paral- lelam: dum enim per obliquas illas lineas fit tractio, pon- dus quidem non omninò ab$trahitur à plano, $icut in tractio- ne perpendiculari, $ed nec omninò incumbit plano, $i- cut in tractione parallelâ ip$i plano; ac propterea, quò ma- gis tractio ad perpendicularem accedit, eò majorem inve- nit in pondere re$i$tentiam. Patet autem altitudinum per- pendicularium EH, EL differentiam HL majorem e$$e, quàm $it altitudinum perpendicularium EN, ES differen- tia NS. Comparatis enim triangulis i$o$celibus DPO, DFG, anguli ad ba$im PO majores $unt angulis ad ba$im FG, quia angulus PDO minor e$t angulo FDG: ergo angulus BPO, qui e$t infra ba$im, minor e$t angulo BFG infra ba$im. Fiat igitur ip$i BPO æqualis angulus BFK, ac proinde K cadit inter puncta I & G. Sunt ergo triangula BPO, BFK habentia angulum ad B communem æquiangula, & $imilia, ac per 4. lib.6. ut PB, hoc e$t BR, ad BO, ita FB, hoc e$t BI, ad BK; & invertendo, ac dividendo, & iterùm invertendo ut BR ad RO, ita BI ad IK. Atqui IG major e$t quam IK, ergo per 8.lib.5. Ratio BI ad IG minor e$t Ratione BI ad IK, hoc e$t BR ad RO. Cum itaque per 2. lib.6. ut BR ad RO, ita ES ad SN; & ut BI ad IG, ita EL ad LH, major e$t Ra- tio ES ad SN, quàm EL ad LH, & permutando major e$t Ratio ES ad EL, quàm SN ad LH; e$t autem ES minor quàm EL, ergo etiam SN multò minor e$t quàm LH; ac proinde quo magis à perpendiculari recedet obli- qua tractio, momentum ponderis magis accedit ad momen- tum eju$dem in plano inclinato per tractionem parallelam, hoc e$t, minore differentiâ hoc excedit. Momentum igitur perpendicularis tractionis ad momentum obliquæ tractionis minorem Rationem habet, quàm ad momentum tractionis pa- rallelæ plano inclinato. <p>Ex his ob$ervare e$t aliquod paradoxum, pondus $cilicet obli- quâ hâc elevatione tractum plus moveri, quàm potentiam tra- hentem; hæc enim movetur $ecundùm men$uram funiculi tracti, hoc e$t BP $eu BR illi æqualis, o$ten$um e$t autem <pb n=112> BR minorem e$$e quàm BO. Id quod etiam manife$tum e$t, $i tractio obliqua non ab$trahat pondus à plano, $ed qua$i il- <FIG> lud adversùs planum trahat. Sit enim planum AB, $uper quo globus C, & funiculus obliquus DC; ex D autem pendeat ad perpendiculum æquale pondus E. Uterque fu- niculus pariter trahatur, & cum E venerit in F, æqualis pars CG decedit funiculo DC; remanet autem longitu- do DG æqualis longitudini DH, & centrum globi C ve- nit in H. Dico CH motum globi majorem e$$e $upra CG motum potentiæ trahentis. Ducatur enim recta GH; e$t I$o$celes DGH, ergo angulus HGC infra ba$im major e$t recto; ergo CH per 19.lib.1. major e$t quàm CG. Ip$i autem CH æqualem e$$e di$tantiam contactuum RS manife$tum e$t, quia ex centris H & C rectæ cadunt in S & R ad angu- los rectos, atque adeò $unt parallelæ: $unt æquales CR & HS, ut pote Radij eju$dem globi; igitur per 33.lib.1. CH, & RS æquales $unt & parallelæ. Quare $ivè centrum $pectetur, $ivè puncta contactuum, perinde e$t; $emper enim major e$t glo- bi motus motu potentiæ trahentis; & quia RS major e$t quàm CG, hoc e$t quàm motus, qui fieret in ip$o plano inclinato tractione parallelâ, hinc e$t quod huju$modi obliquâ tractio- ne ad majorem altitudinem perpendicularem pari tempore tra- hitur, majorémque proptereà violentiam $ubiens majoribus indiget viribus, quàm $i tractione parallelâ elevaretur. <p>Sed jam trahatur iterum funiculus ita, ut ip$i CG primæ tractioni æqualis $it $ecunda tractio HL; & crit centrum globi in M, & æquales DM, DL. Anguli MDH, HDC $i di- cantur æquales, etiam per 3.lib.6. ut MD ad DC ita MH ad HC: e$t igitur MH minor quàm HC, major tamen quàm HL, quia $ubten$a e$t angulo MLH obtu$o, ut pote infra ba- <pb n=113> $im I$o$celis MDL. Atqui ex hypothe$i anguli MDL, HDG $unt æquales; ergo I$o$celium anguli infra ba$es, hoc e$t MLH, HGC $unt æquales: angulus autem extermus MHL major e$t interno HCD, hoc e$t HCG, per 16.lib.1. igitur reliquus HML minor e$t reliquo CHG. Itaque in duobus triangulis, angulis CGH, HLM ex hypothe$i o$ten$is æqualibus $ub- tenditur illi quidem majus latus CH, huic verò minus HM, & angulis inæqualibus CHG majori, HML minori æquale latus CG, HL: id quod omninò ab$urdum e$$e con$tat ex doctrinâ & Canone Sinuum; $ubten$æ $iquidem inæquales an- gulorum æqualium $unt in circulis inæqualibus, major in majori circulo, minor in minori, in quibus utique fieri non pote$t, ut angulorum inæqualium $ubten$æ $int æquales. Non igitur fieri pote$t ut factá $ecunda tractione HL æquali priori CG, angu- lus MDH æqualis $it angulo HDC; alioquin triangulum HLM (cujus ba$is HM ex hypothe$i arguitur minor ba$e CH, quæ tamen $unt angulis ad G & L æqualibus $ubten$æ) e$$et in circulo minore, quàm $it circulus, in quo e$$et triangu- lum CGH; in circulo autem minore, angulo minori HML $ubten$a HL e$$et æqualis ip$i CG $ubten$æ angulo majori CHG in circulo majore. <p>Quod $i dicatur angulus MDH minor, quàm HDC, ergo angulus MLH infra ba$im minor e$t angulo HGC infra ba- $im: atqui angulus MHL externus major e$t interño HCG; igitur reliquus angulus LMH vel e$t æqualis angulo GHC, vel illo minor, vel illo major. Sit æqualis: quoniam æqualibus lineis CG, HL $ubtenduntur, $unt in circulis æqualibus; ergo cùm angulus MHL major $it angulo HCG, etiam oppo$itum latus ML majus e$t quàm HG: ergo I$o$celes MDL habens angulum minorem $ub brevioribu lateribus habet majorem ba$im, & I$o$celes HDG habens angulum majorem $ub late- ribus lõgioribus habet brevior&etilde; ba$im; id quod e$t manife$tè ab- $urdũ, ut patet ex 24. & 25.lib.1.Fieri igitur non pote$t, ut anguli LMH, GHC $int æquales, $i MDH minor e$t quàm HDC. <p>Quandoquidem igitur LMH, GHC non $unt æquales, dica- tur angulus LMH minor quàm GHC, & quia æqualibus li- neis HL, CG $ubtenduntur, triangulum HLM e$t in circulo majore, triangulum verò CHG in minore. Cum autem angu- <pb n=114> lus MHL, ex $æpiùs dictis, $it major quàm HCG, etiam $ub- ten$a illius, ut potè in circulo majori, $cilicet ML major e$t quàm HG $ubten$a anguli minoris in circulo minori: atque hinc idem quod priùs, $equitur ab$urdum angulum verticalem MDL, ex hypothe$i minorem, & brevioribus lateribus com- prehen$um ba$im habere majorem, quàm $it ba$is anguli verti- calis HDG majoris $ub lateribus longioribus. <p>Sed neque dici pote$t angulus HML major quàm CHG; quia, $i MDL minor e$t quàm HDG, angulus DML ad ba- $im I$o$celis major e$t quàm DHG pariter ad ba$im; ergo $i DML majori addatur major HML, & DHG minori adda- tur minor CHG, erit totus DMH major toto angulo DHC, internus $cilicet major externo, contra 16.lib.1. Si igitur an- gulus HML comparatus cum angulo CHG non pote$t e$$e æqualis, neque minor, neque major, factâ hypothe$i anguli MDL minoris quàm HDC, nece$$ariâ con$ecutione confici- tur angulum MDL non e$$e minorem angulo HDG. <p>Cum itaque angulus MDL neque æqualis, neque minor $it angulo HDG, $equitur quod $it major: igitur & angulus in- fra ba$im MLH major e$t angulo HGC; item angulus MHL major e$t quàm HCG; ergo HML reliquus minor e$t reliquo CHG: at i$tis æquales lineæ HL, CG $ubtenduntur, igitur triangulum HML e$t in majore circulo, ac proinde angulo MLH majori, quàm CGH, etiam majus latus $ubtenditur: quapropter MH, hoc e$t SN, illi parallela & æqualis, major e$t quàm CH, hoc e$t RS: atque adeò ad majorem altitudi- nem elevatur per SN, quàm per RS factâ æquali tractione, $eu æquali motu potentiæ trahentis. Ex quo & manife$tum e$t pro majori obliquitate & rece$$u tractionis à paralleli$mo cum pla- no inclinato etiam trahenti difficultatem augeri. <p>Facilè ex dictis colliges, quanto laboris compendio Romæ altioribus rotis in$truantur birota (antiquis Ci$ia dicebantur) adeò ut unicus equus temoni applicitus, illumque $ubjecto pla- no proximè parallelum $ervans, dum clivum a$cendit, ingentia pondera trahat, quibus $anè par non e$$et, $i rotarum axis mi- nùs à $ubjecto plano di$taret, & equitractio e$$et obliqua $ur- $um: quamvis, ut aliàs $uo loco explicabitur, ip$a rotarum am- plitudo plurimum conferat. Similiter in navium tractione, quæ <pb n=115> adver$o flumine deducuntur fune ab$idi mali conjuncto, ali- quid juvare funis longitudinem, ut $cilicet minùs obliqua $it tractio, ex dictis confirmatur: quamvis enim tractiones in plano inclinato confideraverimus, ut gravium elevationem expende- remus, aliquid etiam facit obliquitas tractionis in plano horizon- tali, cuju$modi e$t aqua, cui navis innatat; pars $iquidem de- mer$a ob$tantem undam repellere debet; nec planè inutile e$t, $ecundùm quam lineam dirigatur motus potentiæ trahentis, vi cujus impedimentum $uperandum e$t. <p>Hactenus nobis de tractione $ermo fuit, quæ motum inferens non ni$i $patiis, per quæ motus e$t, determinari potuit. Quo- niam verò in obliquis tractionibus non eandem $emper analo- giam $ervari, quæ in parallelâ tractione eadem perpetuò e$t, de- prehendimus, inquirendum $upere$t, quæ demum Ratio mo- mentorum $it pro $ingulis obliquitatibus, ut con$tet, quibus vi- ribus retineri po$$it, ne in proclive labatur pondus, etiam$i vires ad illud ulteriùs elevandum non $uppetant. Quamquam autem pondera qua$i molis expertia unico puncto expre$$imus in plano ip$o inclinato, ut in 1.fig.hujus cap. re tamen verâ centrum gra- vitatis attendendum e$t, ut in 2. $chemate, quod utique di$tat à plano, cui corpus grave incumbit: hujus verò di$tantiam nulla certior men$ura definit, quàm linea ex eo cadens in $ubjectum planum ad angulos rectos, hæc quippe omnium brevi$$ima e$t. <FIG> Sit igitur planum inclinatum AB, cui impo$itus globus centrum ha- bet gravitatis C, & contingit pla- num in D; ac propterea etiam, quæ à centro ad contactum ducitur recta CD, di$tantiam determinat, cum $it plano perpendicularis ex 18.lib.3. Jam recta CE parallela plano ducatur, & $it linea $u$pen- $ionis, quam claritatis gratiâ paral- lelam vocemus: & per D punctum, in quod cadit linea di$tantiæ cen- tri gravitatis tran$eat perpendicu- laris horizonti linea FD quæ in G $ecat lineam CE. Con$tat trian- <pb n=116> gulum DGC fimile e$$e triangulo BAS: quia enim GD pa- rallela e$t lineæ AS pariter perpendiculari ad horizontem, an- guli SAB, ADG alterni æquales $unt per 27.lib.1. Et quo- niam angulus CDA ex con$tractione e$t rectus, complemen- tum CDG æquale e$t angulo complementi ABS; anguli verò DCG, BSA $unt recti, hic quidem ex hypothe$i, ille autem propter linearum CE, DA paralleli$mum: igitur reliquus CGD reliquo BAS æqualis e$t; ac proptereà per 4. lib. 6. ut BA ad AS, ita DG ad GC. Quoniam itaque, $i pondus in plano inclinato ad pondus in perpendiculari $it ut inclinata BA ad perpendicularem AS, corum momenta æqualia $unt, & æquiponderant, etiam globus æqualia ad de$cendendum habet momenta, ac potentia habeat vires ad retinendum in parallelâ EC, $i globi gravitas ad potentiam retinendum $it ut DG ad GC. Verum quidem e$t globum non per lineam FD, $ed per CT à centro gravitatis perpendicularem horizonti deor$um ni- ti: Sed quia CT ip$i FD parallela e$t, triangulum CTD triangulo DGC $imile e$t & æquale; atque adeò parùm in- tere$t, utrùm lineis DG, GC, an verò lineis CT, TD eadem Ratio exponatur. <p>Sed jam retineatur globus per rectam CH; utique perinde $e- cundùm eam directionem $e habet, atque $i e$$et planum HCK; globus enim $u$tinetur per lineam DC, & retinetur ex H, ac proinde $ecundùm rectã HCK conatur deor$um co $itu: quam- quam $ubjecti plani inclinatio ob$taret, ne $ecundùm rectam HCK procederet, $i $ibi dimitteretur, & alia atque alia plana con$tituerentur. Planum itaque illud HC declinat à perpen- diculari, cum quâ con$tituit angulum CID æqualem externo KCT propter paralleli$mum perpendicularium FD, CT per 27. lib. 1. qui utique CID minor e$t externo CGD per 16. lib. 1. & quidem differentia anguli ICG per 32.lib.1. Fiat ergo angulus BAP æqualis angulo CIG; quia BAS o$ten$us e$t æqualis ip$i CGD, remanet PAS æqualis angulo ICG. Quare BPA externus æqualis e$t duobus internis, $cilicet recto PSA, & acuto SAP, per 32.lib.1. igitur idem angulus BPA æqualis e$t toti angulo DCI. Sunt itaque æquiangula & $imi- lia duo triangula BAP & DIC, atque per 4.lib.6. ut BA ad AP, ita DI ad IC. Atqui pondera $uper BA & AP, quæ $int <pb n=117> ut BA ad AP, æquiponderant ex dictis cap. 13. ergo etiam æqualium momentorum e$t globus, & potentia retinens per HC, $i globus ad potentiam $it ut DI ad IC, hoc e$t ut CN ad ND, $i ex D intelligatur exire DN parallela ip$i HC. <p>Eâdem ratione $i linea obliqua, per quam globus retinetur, $it infra parallelam CE, ut $i $it CX, o$tendetur globi gravita- tem ad potentiam retinentem e$$e ut DQ ad QC, e$t enim qua$i planum inclinatum faciens cum perpendiculari angulum DQC majorem interno DGC, hoc e$t majorem angulo BAS illi æquali. Fiat igitur angulo DQC æqualis angulus BAY: & quia ABY æqualis e$t angulo CDQ, ut $uperiùs dictum e$t, triangula BAY, DQC $unt æquiangula & $imilia, ac per 4.lib.6. ut BA ad AX, ita DQ ad QC: ergo quia pondera $u- per BA, & AY, quæ $int in Ratione BA ad AY, æquiponde- rant, etiam globi & potentiæ retinentis momenta æqualia $unt, $i fuerint ut DQ ad QC. <p>Hic autem tria ob$ervanda occurrunt. Primum e$t, quòd Rationes prædictæ momentorum potentiæ retinentis compara- tæ ad pondus idem, quamvis pro diversâ obliquitate aliis atque aliiis lineis explicentur DQ ad QC, & DG ad GC, DI ad IC, omnes tamen exponuntur comparatè ad eandem BA in triangulo BAY; in quo ip$æ quoque inter $e invicem compara- ri po$$unt. Secundum e$t, quòd $i obliquitas tàm $upra, quàm infra parallelam CE æqualis $it, hoc e$t angulus ICG æqualis $it angulo GCQ, momenta potentiæ retinentis in H & X æqualia $unt; inter $e $iquidem $unt ut AP, & AY, quæ lineæ æquales $unt; nam anguli PAS, YAS æquales $unt ex hypo- the$i, & con$tructione, anguli autem ad S $unt recti & latus AS e$t utrique triangulo commune; ergo etiam per 26.lib.1.la- tera AP & AY æqualia $unt. Tertium e$t, quòd in lineá CE parallelâ minus virium exigitur ad retinendum globum, quàm in cæteris: nam & linea AS vires potentiæ repræ$entans om- nium minima e$t, utpote perpendicularis. <p>Ex his & illud colligitur, quod $i linea, $ecundùm quam pondus retinetur in plano inclinato, $it parallela horizonti, eadem e$t philo$ophandi methodus. Si enim $uper plano in- clinato AB $it pondus tangens in C, cujus gravitatis centrum $it D, & linea retentionis DE horizonti parallela, ducatur <pb n=118> <FIG> CF perpendicularis horizonti; & Rati<*> ponderis ad vires retinentes erunt ut CF ad FD. Fiat enim angulus BAH æqua- lis angulo CFD, qui utique e$t rectus, cum DE ex hypothe$i $it horizonti pa- rallela, FC verò perpendicularis: ergo $uper AB, AH æquiponderant pondera, quæ $int ut AB ad AH; paria igitur $unt momenta, $i pondus ad vires potentiæ re- tinentis in eâdem Ratione $it ut AB ad AH, hoc e$t ut CF ad FD. Quia enim BAH angulus e$t rectus per 8.lib.6. e$t ut BA ad AH, ita BG ad GA; e$t autem BG ad GA ut CF ad FD; quia nimirum FC perpendicularis horizonti e$t paralle- la ip$i AG, & anguli BAG, FCA alterni $unt æquales per 27.lib.1. DCA verò e$t rectus ex hypothe$i; igitur & DCF complementum recti æquale e$t angulo ABG: utrumque triangulum e$t rectangulum; ergo ut BG ad GA, ita CF ad FD. <p>Hinc apparet fieri po$$e, ut ad retinendum pondus in tali $i- tu aliquando plus virium requiratur, quàm ad $u$tinendum il- lud in perpendiculari; quando videlicet ex inclinatione plani AB con$equitur lineam CF minorem e$$e quàm FD: immò cre$cit retinendi difficultas, $i adhuc retentio fiat per lineam inferiorem horizontali DE, quæ cum perpendiculari CF con- $tituat angulum DIC obtu$um; cum enim cre$ceret linea DI $upra DF, & IC decre$ceret infra FC, e$$et minor Ratio pon- deris in perpendiculo ad potentiam obliquè retinentem, quæ proinde major e$$e deberet, ut fieret momentorum æqua- litas. <p>Concipe autem $ublatum triangulum totum BAH, & DC e$$e columnam, quæ in eodem $itu inclinata retineri debeat: jam $atis con$tat ex dictis, quâ ratione di$poni oporteat funes, ut qui funium extremitates tenent, minus laboris impendant. Non e$t tamen eadem funis retinentis, & fulcri $u$tentantis ratio: in $upponendis enim fulcris illud poti$$imùm attenditur, quòd fulcrum ip$um integrum permaneat, citrà $ci$$ionis aut fractionis periculum; id quod habetur, quò magis perpendicu- lari ad horizontem $itui proximum collocatur; parùm $cilicet <pb n=119> intere$t, quanto conatu $ubjectam tellurem urgeat modò certi $imus de fulcri ip$ius firmitate. Cæterùm $i tu ip$e fu$tem manu tenens cogaris inclinatam columnam $u$tinere, punctum autem $u$tentationis, cui fulcrum applicatur, magis à $ub- jecto plano di$tet, vel $altem non minùs, quàm centrum gra- vitatis columnæ, experieris minori conatu opus e$$e, $i ful- crum axi columnæ perpendiculare $it, qui $itus re$pondet re- tentioni parallelæ plano inclinato, majorem verò adhiben- dum e$$e conatum, $i fulcrum cum eodem axe acutum aut ob- tu$um angulum con$tituat; id quod obliquis elevationibus re$pondet. <p>Quòd $i infra centrum gravitatis applicetur fulcrum, jam con$tat hoc ita e$$e collocandum, ut ei idem centrum im- mineat, alioquin aut columna corruet, aut multis viri- bus tibi contendendum erit, ut illam $u$tentes à lap$u; $i tamen ea $it complexio tùm inclinationis, tùm obicis co- lumnæ pedem retinentis, ne excurrat, aut elevetur, tùm po- $itionis fulcri, ut aliquatenus $u$tineri columna po$$it, ne pror- sùs ruat. <p>Sed quoniam hîc columnæ mentio incidit, præ$tat ele- vationes corporum, quæ non tota elevantur, $ed eorum altera extremitas $ubjecto alicui fulcro aut plano innititur, altera elevatur aut $u$penditur, con$iderare: neque enim hîc reputanda $unt momenta gravitatis perinde, ac $i totum cor- pus elevaretur aut $u$penderetur, quemadmodum paulò an- te dicebatur; immò verè longè minora $unt pro ratione di$tantiæ à centro gravitatis, ut ex inferiùs dicendis, ubi de æquilibrio, atque de vecte $ermo erit, con$tabit. Cavendum autem plurimum e$t ab æquivocationibus, quæ obrepere po$$unt, ni$i animum advertas ad gravitatem, $ivè per totam longitudinem, quæ movetur, aut ad motum incitari pote$t, diffu$am, $ivè qua$i in unum punctum ibi collectam, ubi ele- vans applicatur, ut in vecte, aut librâ; hinc enim non mo- dica momentorum inæqualitas oritur. Nam $i puncto appli- cationis re$pondeat centrum gravitatis, multò majores ad elevandum, aut $u$pendendum corpus requiruntur vires, quàm $i centrum gravitatis à puncto applicationis aliquo in- tervallo $ejungatur. <pb n=120> <FIG> <p>Hinc $i $it pri$ma AB ho- rizontaliter collocatum, eju$- que extremitas A innitatur apici pyramidis, altera verò extremitas B $u$pendatur per- pendiculari funiculo CB, vel $u$tentetur $uppo$ito ad per- pendiculũ fulcro DB, æqua- liter res $e habet, & pares requiruntur vires tam in $u$penden- te CB, quàm in $u$tentante DB: hæ tamen vires non pares e$$e debent toti ponderi pri$matis; $ed quia centrum gravita- tis E ab utroque extremo æqualiter di$tare $upponitur, $e- mi$$is tantùm gravitatis percipitur in B. Quod $i in codem horizontali $itu retineatur pri$ma $ivè à $u$pendente obliquo IB, $ivè ab obliquo $u$tentante OB, utique retinentis, aut $u$tentantis vires æquipollere debent viribus retinentis aut $u$tentantis ad perpendiculum CB aut DB. Quemadmo- dum igitur pondera illa $uper BO & BD æquiponderant, quæ $unt ut BO ad BD, ita vires, quæ $ecundùm ea$dem lineas ac directiones æqualem effectum præ$tare debent; in eâdem Ratione BO ad BD e$$e oportet: Vires ergo retinen- tis BI obliqui ad vires retinentis CB ad perpendiculum $unt ut BO ad BD, hoc e$t, ductâ parallelâ CI, ut IB ad CB, propter triangulorum OBD, CBI $imilitudinem. <p>Ut autem non hîc perperam nos philo$ophari innote$cat, finge $ublatam ex A pyramidem, & con$titutam in G ita, ut ex B ad perpendiculum dependeat pondus aliquod æqui- librium efficiens cum pri$mate: quo perpendiculari pondere $ublato, ut pri$ma horizontale permaneat, certum e$t $uper plano inclinato BO requiri pondus, quod ad pondus per- pendiculare ex BD $it ut BO ad BD: igitur $i loco pon- deris applicentur $ecundùm eandem rectam lineam BO vires alicujus viventis, à quo retineatur pri$ma in eodem $itu ho- rizontali, $atis apparet conatum debere e$$e ut BO ad cona- tum, qui $ecundùm perpendicularem requireretur ut BD. Sicut itaque conatus deor$um trahens, cum fulcrum e$t in G citrà centrum gravitatis E, ex inclinatione lineæ, $ecun- dùm quam fit, de$umitur, ita etiam conatus $u$pendens IB, <pb n=121> aut $ur$um urgens OB, cum fulcrum e$t in A ultrà centrum gravitatis E, de$umendus e$t pariter ex inclinatione lineæ, $e- cundùm quam applicatur pri$mati, comparatè ad conatum per- pendicularem CB, vel DB, habita $emper ratione di$tantiæ fulcri à centro gravitatis. <p>Ne quid verò dubitationis <FIG> $uper$it, utrum OB deor$um, & IB $ur$um trahentium pa- res $int vires $ecundùm can- dem rectam lineam OI, $int rotulæ duæ H & F circa $uum axem ver$atiles infixæ extre- mitatibus regulæ, aut tigilli, & ex funiculo rotularum ca- vitatibus in$erto dependeant æqualia pondera L & G. Hæc pondera $ibi vici$$im æquipon- derare manife$tum e$t, quem- cumque tandem $itum $ivè perpendicularem, $ivè incli- natum, habeat regula, aut ti- gillus, cui rotulæ infixæ $unt. Sit libræ jugum AB æqualiter in E divi$um, circa quod punctum $tabile moveri queat, & in A adnectatur funiculo HF: ex B autem dependeat pondus D æquale ponderi G, $ed ita obliquè di$po$itum, ut linea BO parallela $it lineæ AF. Submove pondus L, remanent G & D, quorum neutrum prævalere pote$t; $unt enim æqualia inter $e, & per lineas $imiliter inclinatas AF, BO agunt. Re- pone pondus L, & amove pondus G, item removeatur pon- dus D, & $ur$um ponatur æquale C; aio libræ jugum AB adhuc retinere eumdem $itum; quia $cilicet pondera C & D <*>i$$im æquiponderabant, $icut etiam G & L: igitur quantum virium habebat pondus D ad æquiponderandum ip$i G, tan- tumdem virium habet pondus C ad æquiponderandum ponde- ri L, hoc e$t cidem ponderi G. Sivè igitur in $uperiori $che- mate con$iderentur vires deor$um trahentes aut $u$tentantes OB, $ive retinentes IB, perinde e$t, & æqualium momento- rum cen$endæ $unt. <pb n=122> <FIG> <p>Non jam horizontale $it pri$ma AB, $ed inclinatum, & puncto A $tabili innixum: momenta ad de$cendendum, ac proinde repugnantia ad a$cendendum, ut $uperiùs in- nuimus cap.14; æ$timanda $unt in plano DC inclinato, quod cum AB angulos facit rectos, & cum horizonte AE concurrit in puncto E. Ducatur per B perpendicularis ad ho- rizontem FH, & ex H ad BE perpendicularis HO. Momen- ta gravitatis pri$matis in perpendiculari ad momenta eju$dem in inclinatà $unt reciprocè ut inclinata EB ad perpendicula- rem BH, hoc e$t per 8.lib.6. ut HB ad BO, $ive (ductâ ex D $uper DB inclinatam perpendiculari DG $ecante rectam HF in F) ut BF ad BD, propter $imilitudinem triangulorum OBH, DBF. Vires ergo retinentes in D ad vires retinentes in F $unt ut DB ad BF. <p>Retineatur pri$ma $ecundùm obliquam GB, quæ producta u$que ad Horizontalem concurrat in L. Iterum ex L ad DE cadat ad angulos rectos LC, quæ perpendicularem FH $ecabiz in I: e$t autem IC parallela ip$i HO; ac propterea per 4.lib.6. ut HB ad BO, ita IB ad BC, & per 11.lib.5. ut IB ad BC, ita BF ad BD. Ad retinendum igitur pri$ma in eodem $itu in- clinationis BAE per obliquam GB, vires æquipollentes viri- bus retinentibus in perpendiculari FB e$$e oportet ut BL ad BI, quemadmodum retinentes per rectam DB $unt ut BC. <p>Quare datâ corporis inclinatione, cujus gravitas retinenda e$t in eodem $itu, $umatur eju$dem axis tran$iens per gravitatis centrum, & ad axis extremitatem mobilem ducatur ip$i axi per- pendicularis DB, in quâ a$$umpto quolibet puncto D, ducatur prædicto axi parallela DG, quæ $ecans lineas qua$libet obli- quas, & perpendicularem ad Horizontem, dabit omnium obli- quarum $u$pen$ionum Rationem: Sic recta DG $ecans perpen- d cularem FB & obliquam GB determinat Rationem virium in utrâque $u$pen$ione, ut $cilicet $int in Ratione BF ad BG, & $ic de reliquis. <pb n=123> <p>Quòd $i in gradibus data $it inclinatio pri$matis, & funiculi oblique $u$pendenti declinatio a perpendiculo, $tatim ex tabu- lis Sinuum, aut etiam Secantium, apparebit Ratio quæ$ita li- nearum: angulus enim, quem perpendicularis ad axem facit cum perpendiculari ad Horizontem, æqualis e$t angulo incli- nationis pri$inatis; angulo $iquidem BAE inclinationis pri$ma- tis, æqualis e$t angulus EBH per 8.lib.6. ac proptereà etiam ex 15.lib.1. qui illi e$t ad verticem DBF. Hinc $i inclinatio- nis angulus $it gr. 36. DB ad BF erit ut Radius ad Secantem gr. 36. vel ut Sinus gr.54. complementi gr.36. ad Radium. At angulus, quem facit linea obliquæ $u$pen$ionis cum perpendi- culari ad horizontem tran$eunte per pri$matis punctum; in quo $u$penditur, e$t æqualis angulo, quem eadem $u$pen$ionis li- nea facit cum perpendiculo tran$eunte per aliud extremum eju$dem lineæ $u$pen$ionis, cui applicatur potentia retinens: duæ enim perpendiculares prædictæ $unt inter $e parallelæ, & linea $u$pen$ionis in eas incidens alternos angulos facit æquales per 27.lib.1. Si igitur GB à $uo perpendiculo, quod ex G in horizontem cadat, declinat gr.25. etiam FBG e$t gr.25. To- tus igitur angulus DBG e$t aggregatum anguli inclinationis pri$matis, & anguli declinationis funiculi $u$pendentis: igitur DBG e$t gr.61, & po$itâ DB ut Radio, erit BG Secans gr.61. Vel $i comparanda $it BG cum BF, qui angulus GFB ex- ternus per 32.lib.1. æqualis e$t duobus internis oppo$itis tran- guli DBF, erit GFB gr.126; at FBG e$t gr.25, igitur FGB e$t gr.29. Quare BF ad BG e$t ut Sinus gr. 29. ad Sinum gr.126, hoc e$t $upplementi gr.54. <p>Apparet ex his primò minimas vires exerceri, $i linea reten- tionis cadat ad perpendiculum in axem corporis elevati cum in- clinatione; quia $cilicet cum in D $it angulus rectus, recta BD e$t omnium linearum ex B puncto excuntium, & in rectam DG cadentium minima: quò autem major fuerit obliquitas, eò etiam majores vires requiri, quia longiores $unt Secantes angulorum majorum in B po$ito Radio BD. <p>Secundò fieri pote$t, ut pare: vires requirantur, $i linea re- tentionis faciat cùm axe corporis elevati angulum acutum, ac $i faciat cùm eodem angulum obtu$um, ut $i fuerit recta MB; ip$a enim pariter opponitur angulo recto BDM, ac proinde <pb n=124> eò major e$t quàm recta BD, quò fuerit major angulus MBD, qui pote$t e$$e æqualis angulo DBF, vel DBG; quo ca$u etiam ip$a BM æqualis erit ip$i BF aut BG. Ex quo <*>riàs $equitur, $i à retinente obliquè fiat tractio elevando magis ac magis pri$ma $ic inclinatum, mutari $ubinde momenta: hoc ta- men intercedit di$erimen, quod trahentis linea initio applicata, ut angulum faciat acutum cum axe pri$matis, in ipsâ t<*>ione $emper majorem facit cum ip$o axe angulum, donee venrat ad angulum rectum con$tituendum, ut $i MB traheretur, donec coincidat cùm DB, quæ pariter moveri intelligatur: contrà verò trahentis linea applicata, ut cum axe faciat angulum ob- tu$um, in ipsâ tractione magis adhuc obtu$um angulum con$ti- tuit, donec tractionis linea ($i tamen fieri id po$$it) in unam rectam lineam cum axe pri$matis conveniat. Quare in primâ illâ tractione minuitur conatus, in hac $ecunda augetur. <FIG> <pb n=125> <FIG> <C>MECHANICORUM</C> <C>LIBER SECUNDUS.</C> <C><I>De cau$is motus Machinalis.</I></C> <p>INNOTUIT, opinor, quantum ad præ$ens in$titu- tum $atis e$$e po$$it, centrum gravitatis ex iis, quæ libro $uperiore dicta $unt: nunc propiùs ad ip$am machinalem $cientiam accedendum, quam Mecha- nicam dicimus. Hæc Geometriæ $ubjicitur; neque enim, ut illa, puram corporum quantitatem moli$que exten- $ionem ab$tractè con$iderat, $ed quatenus gravitati illigatam aut levitati; nihil tamen $olicita de ipsâ corporum materie, au- reáne $it, anlapidea. Quamvis autem ea quoque Statices pars, quam Hydro$taticen indigitamus, $e pariter in corporum gra- vitate con$iderandâ exerceat, aliam tamen $ibi contemplatio- nem a$$umit; motum $iquidem corporum $ingulorum naturæ congruentem, pro humorum, in quos incurrunt, diver$itate, poti$$imùm $peculatur: Mechanice verò eatenus $olùm ingeni- tam corporibus propen$ionem in motum aut quietem explorat, ut earum facultati per$pectæ vim po$$it opportunâ in$trumento- rum machinatione inferre. Quapropter ut certâ methodo ma- chinas oneribus movendis pares con$truere valeamus, motus machinalis cau$as antè cognitas habere nece$$e e$t, quàm ma- chinas ip$as aggrediamur. His porrò jactis fundamentis ope- ro$um non erit inædificare, & machinarum $ingularum vires, $ivè $implices illæ $int, $ivè compo$itæ, exponere: adeò ut iis ritè intellectis, quæ hoc $ecundo libro di$putabuntur, vix qui<*> quam in reliquo opere $uper$it difficultatis. <pb n=126> <HR> <C>CAPUT I.</C> <C><I>Quem ad finem Machinæ in$truantur.</I></C> <p>FInis, quò demum unaquæque actio refertur, primus animo concipitur, præ$tituiturque, & idonea ad agendum $ub$i- dia, quæ deligenda $unt, moderatur. Hinc ille primus nobis in hâc contemplatione occurrit; quem $cilicet ad finem ma- chinæ in$tituantur, in$truantúrque, con$iderandum; ut ad hanc qua$i regulam cæteræ cau$æ dirigantur, & formentur. Fortè dixerit qui$piam magnificè, eo con$ilio machinas à no- bis excogitatas, ut naturam arte vincamus; quemadmodum enim $cribit Antipho Poöta apud Ari$totelem in quæ$t.Mechan. $ub initium, <G>te/xnh| kratou=men, w)_n fu/s<*> nikw/meqa</G>. Sed hic plani$- $imè philo$ophandi locus e$t, non gloriandi in$olentiùs. Quare fatendum e$t apertè, adhiberi machinas in $ub$idium infirmi- tatis; ut quod virium imbecillitas onus loco movere, aut omni- nò, aut ni$i ægerrimè $ola nequiret, illud demum facilè, quò libuerit, aut trahat, aut impellat, aut etiam expellat quantum- vis reluctans, $i machina accedat. <p>Dupliciter autem in$ita corporibus gravitas ob$i$tit moventi, $i ab alio in alium locum transferenda fuerit: di$paribus enim momentis mora infertur motui, $i hic fluido in corpore ac $e- quaci, puta in aëre aut aquâ, perficiatur, ac $i $uprà $olidam con$i$tentemque planitiem raptetur moles, $ive Horizonti pa- rallela jaceat planities, $ive molli aut arduâ inclinatione eriga- tur in clivum. Et quidem $i $olidum in corpus non incumbat onus, $ed in aëre $u$pen$um pendeat, ac $ur$um trahere opor- teat, certos ad calculos revocari gravitatis momenta poterunt, quibus machina proportione re$pondeat: nam quamvis aër aëri præ$tet tenuitate, non ea tamen e$t in levitatibus differentia, ut hinc in gravium corporum momentis di$$imilitudo notabilis oriatur. Quare $icut laberetur turpiter, qui machinam $axo ab imo mariad $ummam $uperficiem elevando parem in$trueret, $i nullâ factâ virium acce$$ione illud in aërem extrahi po$$e $ibi <pb n=127> per$uaderet; ita nimis exiguè & exiliter ad calculos revocaret aërem, qui pro di$pari ejus levitate modum machinæ $tatueret; in materiâ etenim, ex quâ machina componitur, nullus e$t huic minutæ $ubtilitati locus, quæ aciem omnem fugit, ni$i cum veritas in di$putatione limatur. Id quod de eâ pariter gravitationis inæqualitate dictum velim, quæ ex inæquali à cen- tro gravium di$tantiâ ortum habet, ut lib.1. cap. 4. di$putatum e$t: Quia in tantulo Spatio, in quo nos labor no$ter exercet, illa momentorum exuperantia $ub $en$um non cadit. Quo cir- ca $atis $upérque habemus, quòd moventis vires ac molis mo- vendæ pondus reputantes ita inter $e conferamus, ut virium imbecillitas adhibitâ machinâ convale$cat, & repugnanti one- ris gravitati non re$i$tat modò, $ed & præ$tare po$$it, nullâ aut loci aut aëris habitâ ratione. <p>Verùm quàm facile e$t corporis gravitatem cùm ex mate- riæ $pecie, tùm ex molis magnitudine inve$tigare; tàm mul- tis difficultatibus impedita res e$t, $i examinandum $it, quantùm ex mutuo corporum $e contingentium tritu retardetur motus: non enim qui$quis pendulum in aöre majoris campanæ malleum pote$t à perpendiculo dimovere, earum e$t virium, ut illum pariter in terrâ jacentem propellere valeat: & decennis puer arrepto fune illigatam cymbam, modicè fiuctuante $alo, ad $e trahit; quam vix, aut ne vix quidem, robu$tioris lacerti vir dimoveat, ubi areno$o vado in$ederit: cum tamen eadem aut ligneæ cymbæ aut ferreo malleo gravitas innata permaneat. E$t autem tùm $ubjecti corporis con$i$tentis, tùm impo$iti one- ris movendi $uperficies $pectanda, quatenus $e contingunt: Nam $i lapideum globum pondo 100 in planitie con$titutum non rotare modo, $ed & rectâ urgere po$$is, non itidem cubum pondere parem & materiâ $imilem æquali facilitate urgebis; quia $cilicet globus tenui$$imâ $ui parte $uppo$itam planitiem contingens minus invenit impedimenti ex proximè $ubjecti corporis a$peritate, quæ prominulas impo$iti globi particulas re- moretur; at cubus longè pluribus $ui partibus plano adhæret, at- que adeò multiplicatá partium hujus in illius partes incurren- tium re$i$tentiâ, augeri quoque movendi difficultat&etilde; nece$$e e$t. <p>Quoniam verò obtineri nequit, ut corporum $e contingen- tium $uperficies $int continuo lævore lubricæ, earum autem <pb n=128> a$peritates anomalæ $unt ac multiformes, re$i$tentia indè pro- veniens $ub certam legem non cadit; $ed quantum conjectura a$$equi valemus, illa potius ex antiquis experimentis æ$timanda videtur, quàm mathematicis ratiocinationibus indaganda. In hoc uno nimirùm facem præferre pote$t Geometria, ut $i reli- qua pror$us paria $int, nec alia $it quàm molis aut figuræ di$$i- militudo, quantum ex hoc capite movendi difficultas augea- tur, minuaturve, innnote$cat: cæterùm plenè atque perfectè explicare, quantum re$i$tentiæ ex a$perarum $uperficierum conflictione oriatur, quis ni$i temerè conetur? <p>Po$teriori huic malo, quod $uperficierum aliqua a$peritas creat, occurritur, $i pingui $equacíque materiâ oblitæ lubri- cæ fiant: Sic Automatis, rotarum $e $e mutuá collabellatione mordentium conver$ione, horas indicantibus velocitas conci- liatur, $i quis denticulos oleo leviter perungat: $ic plau$trorum tarditatem, equorumque laborem, ut imminuant aurigæ, axes rotarúmque modiolos axungiâ illinunt; & cæmentarij majora $axa attollentes, trochleæ orbiculis $apone perfricatis, quærunt laboris compendium. Hinc Am$telodami pa$$im ob$ervatur lubricas fieri trahas cerui$iæ doliis, $imilíve pondere, onu$tas; cum enim equus non procul abe$t à ponte, in quem a$cenden- dum e$t, is, qui equum agit, centonem unguine delibutum currenti trahæ $ub$ternit, ut expre$$us ex centone pinguis hu- mor inficiat duo illa longiora tigna, quibus traha in$i$tit, ac proinde lubrica machina faciliùs raptetur per vias lateribus $tratas. Sic Dio lib.50. de Augu$to loquens. <I>Audivi eum trire- mes ex mari exteriore per murum in $inum tran$iuli$$e, & loco Pa- langum, per quos ducerentur, tergoribus animalium recens cæ$orum olco inunctis u$um,</I> Et Silius Ital. lib.13.v.444. <I>Lubrica roboreis aderant $ub$tramina plau$tris,<lb> Atque recens cæ$i tergo prolap$a juvenci,<lb> Æquorcam rota ducebat per gramina puppim.<lb></I> <p>Verùm nec frequens e$$e pote$t, nec commodum, remedium hoc ex pingui liquore petitum; illud certius erit ad imminuen- dam moram ex tritu corporum ortam, quod ea $e invicem quàm minimùm contingant. Quoniam verò deducendi one- ris $uperficiem amplam mutare $æpè nequimus, aut illud rap- tandum trahæ imponimus, quæ non ni$i tigillis duobus læviga- <pb n=129> tis $ubjectam planitiem tangit; aut in plau$trum injicimus, cu- jus rotæ $olum calcantes dum convertuntur, axem tantum- modo terunt, compendio $anè mirabili; nam dum rotæ modio- lusaxem $emel terit, pedes circiter viginti provehitur onus, aut demum $ublato corporum mutuo tritu cylindros, vel $cytalas illi $ubjicimus, ut nihil noceat $oli a$peritas, ni$i quatenus hæc cylindrorum vel $cytalarum conver$ionem remoratur. <p>Huc $pectat id, quod non $ine voluptate ob$ervare aliouan- do contigit Bononiæ. Tres erant viri nec admodum robu$ti, qui ut aliquot ingentes $accos farinâ plenos in domum infer- rent, paratum habuerunt axem binis rotulis circiter $e$quipal- maribus in$tructum; axi jungebatur cra$$iu$culus temo $acco- rum longitudinem vix $uperans. Erecto $acco machinulam ap- plicabant, tùm $accum pariter cum temone reclinabant, & ne temoni incumbens juxtà longitudinem $accus in alterutram partem inclinaretur, duo hinc & hinc retinebant pariter, ac propellebant, ut tertium arrepto temone trahentem labore le- varent: Hâc ratione alium atque alium $accum tenui$$imo la- bore in domum importarunt; erectoque iterum temone delap- $us e$t ex machinulâ $accus, $tetitque erectus. <p>Ex his itaque con$tat in machinâ in$truendâ non $olùm in- genitæ corpori movendo gravitatis rationem habendam e$$e; $ed & plani, $uper quo illud deducendum e$t, jacens-n<*> $it? an erectum? læve, an a$perum? amplâ, an tenui $uperficie contingat? hinc $i quidem varia re$i$tentiæ momenta exur- gunt. Illud tamen plerumque contingit, quod $i attollendo ad perpendiculum oneri par fuerit machina, illa pariter $ufficiat ad onus idem $uper plano horizontali, aut inclinato deducen- dum: vix enim fieri pote$t (ni$i $umma $it $uperficierum $e contingentium a$peritas) ut quantum re$i$tentiæ demitur à plano $u$tinente, tantumdem addatur ex mutuo prominentium particularum conflictu. <p>Quamquam & ip$a a$peritas facit aliquod laboris compen- dium: nam licèt continens ac perpetuus non $it motus, $ed al- ternâ quiete interruptus $uper arduo clivo, modico tamen co- natu prohibetur moles, ne prolap$a $i$ipheum crect laborem; quia a$pera $uper$icies motui ob$i$tens efficit ne corporis gravi- tas deor$um conetur pro plani inclinatione. Satis igitur fuerit <pb n=130> ab$olutæ oneris gravitati machinam ita re$pondere, ut illi ad perpendiculum $u$tollendo cæteroqui impares vires $ufficiant: qui enim valuerit, adhibitâ machinâ, molem attollere, poterit illam pariter, eju$dem machinæ ope, in plano quocunque tra- here aut propellere; $i maximè cylindri aut rotæ ei $ubji- ciantur. <p>Hîc autem fortè nec à præ$enti in$tituto alienum, nec lect<*>- ri injucundum accidat, $i quæ, aliquando commini$ci placuit, $ubjiciam, cum narrantem quendam audirem de campaná in- gentis ponderis facillimè agitatâ $ubjectis æneis rotulis, quæ demum longo ævo confectæ di$$ipatæ fuere; $ed quonam artifi- cio, quóve ordine di$po$itæ fui$$ent, ennarrare omninò non poterat. Quare mecum ip$e reputans, quî fieri id potui$$et, in eam incidi $ententiam, ut exi$timarem gravi$$imam campanam potui$$e facilè pul$ari, imminutâ re$i$tentiâ, quæ oritur ex mu- <FIG> tuo fulcri, & axis tritu. Sint enim binæ rotulæ B & C ex ære $olido, quarum diameter $it in aliquâ Ratione multiplici ad diametrum axis, cui cam- pana innititur. Axis autem $e- midiameter $it AE, rotulæ ve- rò BE in ratione duplâ; ergo & periphæriæ $unt in eâdem Ratione: dum igitur punctum I in H perficit quadrantem, convertit pariter rotulam; cujus pe- ripheriæ $emiquadranti coæquatur. Quare $i rotula infixa e$$et axi, cujus $emidiameter BG e$$et æqualis $emidiametro AE, fieret affrictus cum octante peripheriæ axis rotulæ B; $ed quia etiam in rotulâ C fieret æqualis affrictus cum eju$dem axe, jam nihil ferè emolumenti haberetur, quia totus affrictus æquè e$- $et, ac $i quadrans EO in fulcro $tabili & cavo converteretur: & potiùs laboris in agitandâ campanâ compendium e$$et, $i ro- tulæ fixæ hærerent, axis $i quidem cylindricus cum $it, $ubjectas rotulas in lineâ tangeret modico $cilicet tritu; rotularum autem axes concavis earum partibus congruunt in $uperficie, quæ te- ritur, dum rotulæ convertuntur: ni$i fortè cylindrica axis BG $uperficies convexa paulò minor e$$et concavâ rotulæ $uperficie, eæque propterea $ecundùm lineam $e continge- <pb n=131> rent, ut ex 13. lib.3. facilè e$t demon$trare; id quod nec rarò contingit. <p>Verum non e$t nece$$e rotulis B & C tàm $olidos axes dare; nam $iaxis AE toti campanæ oneri ferendo par e$t, bini æqua- les axes duplici ponderi re$i$tunt: $atis igitur e$$et, $i axes $in- guli B & C, oneris $emi$$em $u$tinerent. Cum verò cylindro- rum re$i$tentiæ, ne frangantur, $int in triplicatâ Raticne $ua- rum diametrorum, $ufficeret inter $emidiametrum AE, & ejus $emi$$em duas medias proportione continuâ reperire, quæ enim proxime minor e$$et ipsá AE, e$$et $ufficiens $emidiameter cy- lindri $ubduplam habentis $oliditatem ac re$i$tentiam. Sed adhuc minor requiritur $emidiameter, quia onus axes rotula- rum B & C obliquè premit; ex quo fit campanæ gravitationem in axes illos e$$e $ecundùm lineas AB, AC, non autem juxtà perpendiculum AD: igitur ut AD ad AB, ita reciprocè gra- vitatio $uper AB ad gravitationem $uper AD: atqui gravita- tio in alterutrum axium, ut $ummum $ubdupla e$t totius gra- vitationis; ergo gravitatio $uper BA minor e$t $ubduplâ. Quâ autem Ratione minor $it con$tat. Cum enim detur tùm $emi- diameter AE, tùm etiam BE, nota e$t tota BA, & BD, pari- ter, ip$i BE æqualis, nota e$t; igitur ex 47 lib. 1. etiam AD innote$cit, cujus $cilicet quadratum habetur, $i ex BA quadra- to dematur quadraturm BD. <p>Cum itaque, ex hypothe$i, BA $it 3, cujus quadratum 9, & BD 2, cujus quadratum 4, remanet quadratum 5, eju$que Ra. dix 2. 23″. e$t recta DA: gravitatio igitur $uper BA ad totam campanæ $uper utrumque axem B, & C, gravitationem e$t 223 ad 600′. Quoniam verò $olidorum $imilium re$i$tentia e$t in triplicatâ Ratione laterum homologorum (in cylindris autem diametrorum ratio habetur) quærantur duo medij pro- portionales numeri inter 600″ & 223″. Id quod a$$equeris, $i cuju$libet extremi quadratum ducas in alium extremum, pro- ducti enim Radix cubica e$t terminus proximus illi numero, cujus quadratum a$$ump$i$ti. Primi igitur 600 quadratum 360000 duc in 223, & producti 80280000, Radix cubica e$t 431 1/3 proximè: alterius verò extremi 223 quadratum 49729 ductum in 600 dat 29837400, cujus Radix cubica 310 proxi- mè e$t alter medius. Sunt igitur quatuor numeri 600. 431 1/<*>. <pb n=132> 31<*>. 223 continuè proportionales proximè, $pretis fractiuncu- lis. Quare $i $iat ut 60<*>′ ad 431″, ita $emidiameter AE ad BN, erit hæc $emidiameter quæ$ita $ufficienter re$i$tens. <p>Quoniam itaque BE dupla e$t ip$ius AE, & AE ad BN facta e$t ut 600 ad 431, erit BE ad BN ut 1200 ad 431; & $e- cundùm hane eandem Rationem $e habebunt $emiquadrantes ab illis de$eripti. Atqui octans peripheriæ ex Radio BE æqua- lis e$t quadranti ex Radio. AE; igitur quadrans EO ad $emi- quadrantem ex Radio BN e$t pariter ut 1200 ad 431: Qui igi- tur affrictus axis campanæ cum fulcro $tabili & cavo e$$et 1200, rotulæ B cum $uo axe e$t 431, cui æqualis e$t alterius rotulæ C affiictus cum $uo axe; ac proinde $ubjectis rotulis, quarum dia- meter $it tantum dupla diametri axis. campanæ, affrictus e$t ut 862, ad affrictum qui e$$et ut 1200. Si itaque rotularum dia- meter ad campanæ axem. non tantùm dupla, $ed vel tripla, vel quadrupla $it, multò minor erit affrictus, majorque in agi- tanda campanâ facilitas. <p>Quamvis autem i$tâ con$imilivè diligentiâ indu$triâque plu- rimum imminui po$$it particularum conflictus, quæ $e vici$$im terentes moram atque impedimentum motui inferrent; non illa tamen ex eo propriè veréque dicitur motio machinalis, quòd in$trumento atque apparatu aliquo perficiatur, ni$i, $pectatâ dumtaxat oneris gravitate, potentia illi movendo cæteroqui im- par, $ub$idium $ibi comparet ex machinâ. Machina autem non idem e$t, $i plenè atque perfectè interpretari velis, ac in$tru- mentum; licet enim machina omnis in$trumentum $it, non ta- men in$trumentum quodlibet machinæ vocabulum continuò $ortitur, $i motionem aliquatenùs juvet; $ed illud prætereà ef- ficiat nece$$e e$t, quod ejus ope naturalem ac in$itam vim cor- poris loco dimovendi $uperet vis minor extrin$ecùs adhibita. Cum ergò onus hærere in $alebrâ, non ex in$itâ vi, $ed ex proxi- mi etiam atque continentis corporis a$peritate proveniat, & in$trumenta, quibus hoc tantummodo impedimentum tollitur, idem planè efficiant, quod pinguis humor lubricum parans iter; neque hæc machinæ magis dici po$$unt, quàm centones ungui- ne delibuti, $i ritè $ub$ternantur, neque motus propterea inter machinales numerandus videtur, quorum hîc cau$as ye$tigare nobis propo$itum e$t. Quamquam negandum non $it hæc pari- <pb n=133> ter ad mechanicam contemplationem pertmere; quippe quæ machinis, præcipuo nimirum mechanices $copo. affinia $unt; etiam$i ad illas non velut $ubjectæ partes ad genus revocentur: & in$trumentis huju$modi $i machinæ appellationem tribuere placuerit, non admodum de nomine di$putabo; res enim hîc $pectatur, non verba penduntur. <p>Sed neque hîc di$putare velim, utrùm in motuum machina- lium cen$um irrepant, an verò iis ritè annumerandi $int motus illi, quos $ur$um deor$um, ultrò citróque perficiendos eatenus expeditè, nec exiguo laboris compendio, molimur, quatenus cos intervallis ita di$tinguimus, ut nos quidem corpus deprima- mus, ut adducamus, ab alio verò extollatur, aut reducatur: in his $iquidem $æpè nihil e$t, quod no$tram imminuat operam, $i motiones $ingulæ attendantur; quamquam motui univer$o adjumentum importat continens illa conatûs no$tri, alienique $ub$idij, vici$$itudo. Hinc $i quis <FIG> ad contundendam in æneo morta- rio A contumacem aliquam mate- riam graviore pi$tillo ferreo opus habeat, haud dubium quin ei mul- tâ lacertorum vi contendendum $it, ut illum extollat; cumque ope- ro$ius multo $it inflexum corpus erigere, quàm erectum inclinare, multóque mole$tius brachia tanto pondere pregravata attollere, quàm eorum gravitati ob$ecundando de- primere, $atis con$tat, quantum $i- bi laboris detractum eat, $i $uperio- re in loco tran$ver$um tigillum CD circa axem E ver$atilem $tatuat, paribú$que intervallis hinc ex C pendeat fune $u$pen$us pi$tillus B, hinc verò in D plumbea ma$$a adnectatur, quâ ita pi$tillus præponderetur, ut, nemine hunc retinente aut deprimente, illa aliquanto gravior in $ubjectum prodeuntis è pariete tigni caput G recidens $pon- te $ub$idat. Omnis $cilicet extollendi pi$tilli labore $ublato, vel $olum brachiorum pondus pi$tillo additum $atis e$$e ali- quando poterit ad leviu$culè tundendam materiam, licebitque <pb n=134> modò contento, modò remi$$o conatu opus urgere. Id quod pariter continget, $i operâ unâ opus duplex efficere placuerit; nam $i ex D plumbeæ ma$$æ loco alius pendeat æque, ac plum- bum, gravis pi$tillus, pondere præpollens elevabit pi$tillum B, aliámque vici$$im in altero $ubjecto mortario conteret mate- riam $ponte $uâ cadens: cumque pi$tillorum gravitates non ad- modum inter $e di$pares $int, neque multum laboris eum $ubi- re nece$$e erit, cui pi$tillum B deprimendi munus incumbit. <p>Quâ in re, $i motus univer$us ita tribuatur in partes, ut tun- dentis quidem motiones $ingulæ $eor$im $pectentur, non ille profectò $e juvari $entit, quippe quem, præter vires ad commi- nuendam materiam nece$$arias, conatum quoque adhibere oportet ad vincendam præponderantis plumbi, aut pi$tilli gra- vitatem. Cæterùm $i totius motûs, qui Ar$i pariter con$tat ac The$i, habeatur ratio, inficiari nemo poterit, minus multo la- boris impendi, quàm $i hæc omnia $ublata intelligantur. Qua- re nec incongruum pror$us videatur motûs machinalis voca- bulum, cum ver$atilis tigillus CD ad libræ Rationes manife$tò revocetur, quam certè ex machinarum albo nemo expungit, ni- $i qui $olas quinque facultates, & quæ ex his componuntur, ma- chinas indigitare voluerit, & libram ad vectem referri po$$e pernegarit. <p>Nec di$$imilis ineunda videtur dicendi ratio, $i quid alternis ciendum motibus $ic di$ponitur, ut, cum primùm quidem mo- vetur, corpus aliud vi flectatur, quod po$tmodum facultate ela$ticâ, $e re$tituens illud vici$$im moveat; quemadmodum pa$$im in eorum officinis videre e$t, qui rudes arborum, aut elephantini dentis particulas in toreumata elaborant: primùm enim artifex pede $ubjectum vectem premens, toreuma in gy- rum ducit, ha$tulámque $uperiore in loco po$itam pariter in- flectit; quæ $ibi mox $uam reparans rectitudinem, funiculum- que cylindrulo ver$atili circumplicatum retrahens, illud iterum $ua per ve$tigia ver$at, ut accuratè exqui$itéque tornetur. Sic aliquid $ubtiliter ac delicatè $ecturus, ut $errulam rectâ addu- cas, reducá$que, operæ tantùm $emi$$em tibi re$ervans, arcum intentum ex adver$o $tatuito, ac medio nervo $errulam alliga- to; hac enim adductâ magis flectetur arcus, qui $e $e mox re$ti- tuens illam vici$$im reducet. <pb n=135> <p>Hæc $anè laboris in movendo compendia ex ela$mate, vel ex anti$acomate petita, quemadmodum & ea, quæ mutuum cor- porum tritum atque conflictum minuunt, ut pote Mechanico artificio con$tituta, eumdemque in finem ac machinæ, quibus hoc nomen præcipuè tribuitur, videlicet in infirmæ potentiæ $ub$idium excogitata, e$to illis primas deferant, non tamen omninò rejicerem, $i in machinarum cen$u prodirent, ii$que $e peterent ad$cribi. Triplicem enim in $peciem tribui po$$e vi- detur univer$um machinarum genus: Prima eas complectitur facultates, quarum ope motui facilitas conciliatur, quocum- que tandem ex capite $ivè tantummodo ex in$itâ in corporibus gravitate, $ivè non ex eâ dumtaxat, $ed ex partium a$peritate movendi difficultas con$urgat. Altera e$t, quæ mutuam qui- dem corporum $e contingentium conflictionem minuit, $ed ad vincendam oneris gravitatem ip$i potentiæ momenta non addit. Tertia demùm eatenus per $e, quia talis e$t, moventem juvat, quatenus ejus operam alternam efficit, cum tamen neque gra- vitatem vincat, neque quod ex partium triru impedimentum oritur, extenuet, ni$i cum alterutra, aut utraque $uperiori $pe- cie, amico fœdere copuletur. Alternam autem operam appel- lo, cum in motu ex duplici motione compo$ito alterutram effi- cit potentia, $ivè illæ $ibi invicem adver$antes $uccedant, ut Ar$is ac The$is, Adductio atque Reductio, $ivè in unam tem- perentur, ut cum premere $imul oportet ac agitare: $ic plana vitra expolientes in $pecula, inter ip$a, & lacunar bacillum in- flectunt, qui $e re$tituere tentans vi ela$ticâ, $peculum validè, quantum opus e$t, admovet atque applicat ad $ubjectum pla- num, adeò ut ad artificem à pre$$u immunem nil aliud $pectet, quàm $peculum urgere, retrahere, contorquere. Verùm ta- met$i de his omnibus in hac tractione pa$$im $e offeret dicendi locus, primus tamen di$putationis no$træ $copus erit prima illa $pecies, ip$æ nimirum facultates, quarum poti$$imum momen- ta expendimus, cum motûs machinalis cau$as inquirimus. <pb n=136> <HR> <C>CAPUT II.</C> <C><I>Impetùs motum proximè e$$icientis natura explicatur.</I></C> <p>QUicquid movetur, qualecumque e$t, cau$am habeat mo- ventem nece$$e e$t, ut hoc quidem $ponte $uâ, illud ve- rò alienâ vi ex alio in alium locum migret. Suopte ingenio mo- ventur tùm corpora gravia aut levia, ut $i extrà præ$criptum $ibi à naturâ locum con$tituta fuerint, $uo quæque ordine di$- ponantur; tùm rara aut den$a, ut $i per vim hæc extenuata fue- rint, illa concreverint, naturæ $tatum $ibi reparent; tùm ani- mantia, quibus cum à naturâ tributum $it, ut $e, vitam, cor- pu$que tueantur, $timulos admovet appetitus, ut ea declinent, quæ nocitura videantur, omniaque, quæ $int ad vivendum ne- ce$$aria, acquirant, & parent. Vi extrin$ecus impre$sâ locum mutant, quæcumque in motu non $erviunt naturæ, $ed alieno reguntur arbitrio; ut iis contingit, quæ raptantur, pelluntur, in gyrum ducuntur, projiciuntur, & hujus generis motibus cientur. <p>Quoniam verò gravium, & levium celeritatem naturâ ur- gente incitari, jaculorum autem, ac mi$$ilium, motum u$que eò $en$im langue$cere, ut planè deficiat, ob$ervamus; etiam$i moventi naturæ, quæ ex Philo$ophi decretis $ub$tantia e$t, mo- tûs originem ultimam tribuamus, jure tamen optimo aliquid naturæ ip$i ac motui, interjectum agno$cimus (Impetum no- minamus) cujus intentionem ac remi$$ionem velocitas ac tar- ditas con$equatur. Cum enim eadem de$cendentis lapidis na- tura per$everet, nec illa in $uâ pote$tate $it, aut optione delatâ, ut eligat utrum velit, motum arbitrio $uo incitare, aut remit- tere valeat; qui fieri po$$it, ut de$cendens velocitatem augeat, ni$i ei, quem primùm produxit, alium atque alium momentis $ingulis impetum adjiciat? Illud certè extrà omnem controver- $iam po$itum videtur, naturam gravem $ponte $uâ non a$cen- <pb n=137> dere: quid ergo illud e$t, quod eburneum globulum in $ub- jectam rupem delap$um re$ilire cogit, aut $ibi relictum plum- bum ex fune $u$pen$um ultrà perpendiculum, naturá repugnan- te, $ur$um provehit, & eò quidem altiùs, quò ex altiore loco globulus aut plumbum deciderunt? ni$i quia conceptus naturâ procurante impetus pergit motum efficere, ipsâ etiam naturâ quantum pote$t, ob$i$tente. Quòd $i corpus alienâ vi longiùs emi$$um moveatur, extrin$ecùs impetum imprimi nece$$e e$t: quem $anè non concipit, ubi primùm à projiciente $ejunctum fuerit; nihil enim prode$$<*>t ad longiorem lapidis jactum fun- dam iterum ac tertiò circumducere, ni$i alium atque alium im- petum lapis conciperet, quandiù funditori adhærens unâ cum ip$o movetur. <p>Quæcumque igitur moventur, impetum habent, quo ferun- tur; cui $atis probabili conjectura, proxima vis motum efficien- di tribuenda videtur. Id quod in projectis quidem, ii$que om- nibus, quæ naturâ repugnante moventur, ita manife$tum e$t, ut id pluribus demon$trare non oporteat; nulla $iquidem ade$t in$ita motûs cau$a; ab impetu igitur illo extrin$ecùs impre$$o motum effici nece$$e e$t. At in cæteris, quibus $e movendi principium ine$t, neme jure negaverit aut in motu impetum acquiti, aut velocitatis incrementum ex impetus acce$$ione ori- ri: quî enim fieret, ut excurrentes objectam fo$$am ampliore $altu tran$ilirent faciliùs, quàm nullo præcedente cur$u, $i in cur$u ip$o conceptus impetus non augeretur? Jam verò $i $e- cundo temporis momento incitatur magis motus, quàm primo, urgente $cilicet etiam impetu, quem corpus priore motu acqui- $ivit; hic utique impetus, quem nunc gignere non pote$t prior motus, cum perierit, extitit pariter cum priore motu: natura igitur movens priore momento & motum effecit & im- petum. Atqui impetum ex eorum $altem genere e$$e, quæ mo- tum efficiant, con$tat ex velociore motu po$terioribus momen- tis, naturâ pror$us immutatâ, factoque impetûs incremento: contrà verò motu, quâ motus e$t, impetum non augeri $atis indicant mi$$ilia, quorum velocitas, dum moventur, $en$im elangue$cit. Igitur & priore illo temporis momento non mo- tus impetum; $ed impetus motum proximè effecit; impetum autem procreavit innata movendi vis; cui id circo motio tri- <pb n=138> buitur, quia id illa gignit, quod proximè motus con$equitur, & ad motum efficiendum natura de$tinavit. Quid? quòd mo- tui per $e, quia ex alio in alium locum continuata migratio e$t, efficientiam ægrè tribuere po$$umus: quippe qui, cum in fluxione con$i$tat, ita ut locus loco, $eu potius, ut $cholæ lo- quuntur, Ubicatio Ubicationi, priori $cilicet pereunti $uccedat po$terior æquè fugax, inferioris notæ cen$endus e$t quàm im- petus naturâ $uâ aliquandiù permanens: labentia enim $tanti- bus deteriora e$$e, cæteris paribus, quis neget? effectum au- tem causâ præ$tabiliorem e$$e non po$$e ip$a originis notio $ua- det, ne quid effectus habeat, quod non acceperit, aut aliquid cau$a dederit, quo ip$a careret. Non igitur impetum motus, $ed motum impetus efficit. <p>Porrò cum definitas ad agendum vires unaquæque cau$a ob- tineat, certa e$t impetûs men$ura, quæ cum innatâ movendi facultate ita adæquatur, ut eo qua$i termino circum$cripta cen- $enda $it potentia movens, nec unquam validiore conatu po$$it $e ip$a urgere; $i tamen omnem impetum antecedente motu a$- $umptum mente $ecernas. Et quidem omne animal (quippe cui ine$t appetitio & declinatio naturalis ejus, quod naturæ ac- commodatum e$t, aut infen$um) non $emper univer$am illam impetûs men$uram exequitur, $ed ut vult, ita utitur motu $ui corporis, quem aucto aut diminuto impetu modò intendit, mo- dò remittit, pro ut interiore motu, rerumque appetitu $imula- tur. Contrà verò inanimum non $uo arbitrio motûs intentio- nem moderatur, $ed naturæ juribus ob$equens nihil prætermit- tit impetûs, & quantum eniti pote$t, opportunum in locum, $i- bique à naturâ con$titutum, contendit. Cave tamen exi$times parem e$$e lapidis eju$dem, & in aëre, & in aquâ de$cendentis impetum: natura $cilicet ex medio dividendo, in quo perficien- dus e$t motus, metitur impetûs modum. <p>Sed quoniam non pauca $unt, quæ motui $æpè adver$antur, hinc e$t non $emper eandem e$$e corporis $e moventis velocita- tem, quamvis pari impetu producto connitatur: deteritur nimi- rum tantum impetus, quantum $atis e$t ad impedimentum $ub- movendum. Sivè enim objectum corpus propellendum $it, $ivè medij particulæ locum ægrè dantes divellendæ aut compri- mendæ $int, $ivè connexam molem pariter rapi oporteat, $ivè <pb n=139> quid aliud huju$modi ad$it, cui ni$i vis inferatur, ut ex alio in alium locum migret præter naturam, irritus reddatur corpo- ris in motum propen$i conatus; $atis con$tat illud motu agitan- dum e$$e exteriùs: atque adeò quantum impetus illi imprimi- tur oppo$itæ propen$ioni æquale, motui tantumdem $ub- trahitur. <p>In iis $anè, quæ alienâ vi extrin$ecùs moventur, quia infi- nitè progredi non licet, aliqua demum origo deprehenditur, cui naturalis $it motus: natura $iquidem vis e$t ciens motus in corporibus nece$$arios; ita tamen certis tenetur legibus uni- ver$itatis rerum concinnitatem $pectantibus, ut ne ab iis di$ce- dat, $ingularibus corporibus vim aliquam inferri permittat, ubi adver$is propen$ionibus inter $e confligentibus validior præ$tat imbecilliori. Sic quia nefas e$t aut corpora inanitatibus inter- jectis conci$a hiare, aut unum in proximi corporis locum, ni$i eo recedente, penetrare, aut diverticula flexione$que in motu $ponte quærere; ideò & liquor in longiore $iphonis, aut $piri- talis diabetis, crure de$cendens continuum liquorem in brevio- re crure a$cendere cogit, totumque ex va$e demum exhaurit; & rapidè lap$us torrens $axa rapit, objecta$que moles disjicit; & ad perpendiculum cadens lapis $ubjectum vitrum comminuit, $uique ve$tigium in terrâ validiùs pre$sâ relinquit. Verùm il- lud firmum ac perpetuum e$t, quòd ubi plus violentiæ opus e$t, parem conatum languidior motus con$equitur. Id quod in <FIG> $iphone ABC ob$ervare in promptu e$t, ex cujus o$culo C inæqualis aquæ copia de- fluit paribus temporis intervallis: quò enim magis aquæ $uperficies in va$e deprimitur, eò lentiùs aqua ex $iphone dilabitur: quamvis $cilicet aquæ crus BC implentis pares $int $emper ad de$cendendum vires, $i nihil, aut $altem non inæqualiter, repugnet, aquæ tamen crus BD brevius, & BI longius, & BA adhuc longius implentis di$par e$t in afcen$u repugnantia; ac pro- pterea cum earumdem virium BC minor $it Ratio ad majorem re$i$tentiam BI, quàm ad minorem BD, languidior quoque motus e$t de$cendentis aquæ ex BC, cùm graviorem aquam BI, quàm cùm minùs gravem BD $ursùm trahere oporter. At <pb n=140> $i externum $iphonis crus ità decurtatum $it in E, ut o$culum E & aquæ in va$e $uperficies I paribus ab$int ab Horizonte inter- vallis, aquam ideò hærere, nec amplius ex E fluere con$tat, quia aquæ BE ad de$cendendum propen$ionem, par aquæ BI repugnantia, ne a$cendat, elidit. Quòd $i demum aquam in va$e imminuas, ut ejus $uperficies paulò infra I, atque adeò infra E o$culum deprimatur, non jam aqua hæret in E, $ed $ua per ve$tigia in EB remeare cogitur, præponderatâ nimirum majore gravitate aquæ implentis crus paulo longiùs quàm BI, atque adeò quàm BE, quod illi ex hypothe$i con$tituimus æquale; tantóque velociùs ab aqu<*> interioris cruris raperetur exterior, quantò depre$$ior facta fui$$et in va$e aquæ $uper- ficies. <p>Hinc itaque fit, ut pro variâ corporis motui ob$i$tentis re- pugnantiâ modò plus, modò minus impetûs reliquum $it, quo motû, celeritas aut tarditas perficiatur. Et $i tanta $it eorum omnium, quæ motui moram inferunt, ob$i$tentia, ut ad eam vincendam plus impetûs nece$$e $it, quàm pro potentiæ facul- tate, tunc nullus efficitur motus, quo corpus ex loco in locum transferatur, $ed aliqua ex peregrino impetu fit partium com- pre$$io, aut di$tractio; neque enim omnes corporis particulæ homogeneæ $unt, aut ita compactæ citrà omnes poros, ut nul- la tenuiorum particularum compre$$io aut di$tractio con$equi po$$it. Quod $i ea $it corporis per vim movendi natura aut po$i- tio, ut nullum planè $ivè lationis, $ivè rotationis, $ivè vibratio- nis, $ivè con$tipationis, $ivè dilatationis motum concipere po$- $it, aut violento in $tatu permanere languido illo impetu, quem vis extrin$eca efficere valeret, nullum quoque impetum reci- pit; quippe qui idcircò imprimeretur, ut motum præter natu- ram efficeret, aut ut naturalem motum retunderet, aut etiam pror$us impediret. Quemadmodum enim $i corporis alicujus $pecificam gravitatem in aquâ mutari non po$$e con$tet, infer- re continuò licet, corpus idem neque raritatem neque den$ita- tem in aquâ a$$ùmere po$$e; ex his $iquidem $pecificæ gravita- tis mutatio oriretur: ita pariter ubi nihil haberi pote$t eorum, quæ impetum extrin$ecùs impre$$um nece$$ariò con$equuntur, impetum quoque abe$$e non immeritò conjectamus. <p>Si quis tamen animum diligentiùs adverrat, manife$tò de- <pb n=141> prehendet corpus idem magis repugnare motui, $i celeriùs mo- vendum $it, minùs verò, $i tardiùs: $ic ferreæ an$æ cubiculi o$tio infixæ magnetem armatum applicui, & $iquidem paulò velociùs magnetem traherem, disjungebatur ab ansâ; at len- tiùs trahentem $ub$equebatur o$tium, magnetis $cilicet vim non $uperans, ubi lentè res peragebatur. <p>An non oneri, quod potentia præ $ui tenuitate propellere non po$$e videtur, motus, qui momentis $ingulis $en$um om- nem fugiat, conciliari pote$t, adeò ut, $i illa quidem con$tan- ter urgeat, elap$o demùm longo temporis intervallo appareat? Sic incumbentem glebam tenerrimus na$centis frugis caulicu- lus tandem di$cutit; duri$$ima marmora $cindens caprificus lo- co movet; & ædificia $ub$edi$$e, ac inæquabile $olum pre$$i$$e, rimæ demùm loquuntur. Tota igitur corporis, quod præter naturam movendum e$t, repugnantia metienda e$t, quâ ex principio ip$o motum detrectante, quâ ex motûs celeritate, aut tarditate: adeò ut pro variâ horum connexione di$par movendi difficultas oriatur. <p>Ex quo fit impetu eodem moveri celeriùs po$$e corpus, quod minorem $ubit violentiam, tardiùs verò, cui vis major infer- tur, &, $i eadem $it reciprocè Ratio tarditatis ad velocitatem, quæ e$t minoris violentiæ ad majorem violentiam, parem fore utrobique movendi difficultatem, cùm par $it repugnantia, quæ ex motûs tùm $pecie, tùm intentione componitur. Si enim mo- les aliquâ tantâ vi raptetur, ut, quo tempore decies arteria pul- $um edit, pa$$um unum conficiat; quantum virium adhiberi oporteat, ut paribus temporis momentis ad tres pa$$us eadem moles promoveatur? utique, $i cætera omnia paria $int, triplo majorem conatum adhibendum concedes, inten$ione exten- $ionom compen$ante: nam quemadmodum iterùm ac tertiò re- petendus fui$$et prior ille conatus ad æquale $emper $patium pa- ri tarditate percurrendum; ita quamvis conatui conatus non $uccedat, triplici tamen conatu opus erit, ut tempore eodem motus ille triplo major perficiatur. Nonnè & agricolæ terram $ubigentes fo$$ione glebarum, tam multiplices adhibent operas, quàm breviori tempore opus ab$olvere meditantur? Eò igitur magis re$i$tit corpus motui, quò celeriùs agitandum e$t; con- trà verò minùs repugnat, quò tardiùs. <pb n=142> <p>Quare $i duo $int corpora, quorum alterum alteri præ$tet triplo majori gravitate, atque hæc pari celeritate attollenda $int, di$parem exigunt conatum pro gravitatis Ratione: $i par $it eo- rum gravitas, motus autem alterius reliquo triplo velocior e$$e debeat, inæqualem pariter exigunt conatum, $ed pro ratione velocitatis: $i demùm & di$par $it gravitas, & inæqualis velo- citas, eam e$$e con$tat repugnantiam, quæ tùm ex gravitate, tùm ex velocitate componitur; atque adeò $i corpus alterum triplo gravius triplo etiam velociùs movendum e$$et, noncuplex e$$et ejus repugnantia; $in autem triplo levius triplo majori velocitate quàm corpus triplo gravius, moveretur, par e$$et eo- rum ob$i$tentia, paremque conatum exigerent. <p>Hinc $atis apertè con$tat, datâ tum re$i$tentiarum, tum velo- citatum Ratione, $i gravitas altera nota $it, reliquam facilè inno- te$cere: $i nimirùm nota gravitas per $uam velocitatem ducatur, & in datâ Ratione re$i$tentiarum reperiatur huic producto ter- minus homologus; quo per ignotæ gravitatis velocitatem da- tam divi$o, prodibit Quotiens index quæ$itæ gravitatis. Sint duo corpora inæqualia, & ad ea movenda requiratur conatus in Ratione $e$quialterâ, motus autem eorum $int ut 7 ad 8, & illud quod minùs re$i$tit, moveturque velocitate ut 7, numeret gravitatis libras 4. Reliqui corporis validiùs re$i$tentis, cujus velocitas e$t ut 8, gravitas $ic invenietur. <p>Libræ 4 ducantur per numerum $uæ velocitatis 7, & fit 28. Quia igitur re$i$tentiæ $unt, ut 2 ad 3 ex hypothe$i, & unius corporis re$i$tentiâ, quæ ex gravitate & motûs velocitate com- ponitur, e$t 28, fiat ut 2 ad 3, ita 28 ad aliud, & erit 42 re- $i$tentia alterius corporis compo$ita ex ejus velocitate & gravi- tate. Atqui velocitas nota e$t 8; igitur divisâ totâ re$i$tentiâ 42 per 8; prodibit quotiens 5 1/4 index quæ$itæ gravitatis. Quare ad movendas libras 5 1/4 velocitate ut 8, requiritur conatus $e$- quialter conatûs nece$$arij ad movendas libras 4 velocitate ut 7. Eadem e$to de reliquis ac $imilibus conjectura. <p>Ex his præterea manife$tum e$t corporis per vim dimovendi re$i$tentiam ex $olâ naturâ, & principio in$ito, quod motui re- pugnat, ab$olutè definiri non po$$e; motum $i quidem ab omni prorsùs celeritatis aut tarditatis men$urâ $ejungere non po$$u- mus; idcircò non ni$i habitâ ratione celeritatis, aut tarditatis, <pb n=143> ex quibus re$i$tentia componitur, re$i$tentia ip$a innote$cere poterit. Quare & impetus à facultate movendi principium ha- bente productus major $it nece$$e e$t, quàm dimoti corperis repugnantia; quæ varia prorsùs cùm $it, nunc quidem majo- rem, nunc verò minorem impetum exigit, ut ab eo vincatur; nam $i pares confiigerent vires, à neutrâ parte $taret victoria. <p>Quod autem ad ip$am motûs originem $pectat, ea, quæ vi- vunt, ab iis, quæ vitâ omnino carent, $ecernenda $unt: hæc enim ($cilicet non viventia) propterea motum expetunt, ut violentiam, quam $ubeunt, excutiant, nec unquam à loco, $eu $tatu, $ecundùm naturam opportuno $ponte recedunt; quem- admodum eunti per $ingula con$tabit. Sic gravibus & levibus $uis in locis quietem natura indixit, non motum; nec deor- $um conantur aut $ur$um, ni$i alieno in loco, hoc e$t, in me- dio di$pari gravitate aut levitate prædito con$titutâ: $ic quæ- cumque ela$ticâ facultate pollent, motum non moliuntur, ni$i cum $ibi naturalem partium figuram, $itumque reparare opor- tet. At motum, cujus origo vita e$t, natura perficit, etiam$i nulla præce$$erit violentia: $ic $tirpes dum augentur, & cre$- cunt, earum particulæ locum mutant; $ic vitali facultate in- fluentibus per nervos in animaliũ mu$culos $piritibus, quos ani- males vocant, intenduntur mu$culi, motu$que membrorum con- $equitur: quamvis ante motum nec $tirpis particulæ, nec anima- lis membra vim ullã $ubierint in loco minimè congruo retenta. <p>Quæcunque igitur ob id ip$um in motum prona $unt, quia vim patiuntur, impetum illicò concipiunt, ac vis iis illata e$t, quo naturalem locum, $eu $tatum, recipere valeant, licèt $æpè irrito conatu, ni$i quatenùs adver$o hoc impetu illatam ab ob- $i$tente violentiam retundunt, vim aliquam illi vici$$im infe- rentes. Sic onera bajulorum humeros, quibus $u$tinentur, premunt, aut penduli brachij; ex quo $u$penduntur, mu$cu- los ac ligamenta fatigant: id quod pariter in corpore inanimo cernere licet; quemadmodum enim ex diuturnâ prementis deor$um ponderis, ac mu$culorum $ursùm urgentium luctâ, di$$ipatis $piritibus, la$$itudo in animali oritur, ita pariter $ub- jectum a$$erem longâ temporis morâ pondus curvat, aut etiam demùm frangit, & funem, ex quo pendet, non intendit $olùm, $ed ctiam tandem aliquando corrupto particularum nexu disjicit. <pb n=144> <p>Quo id autem pacto contingat, explicare opero$um non fue- rit funiculi texturam con$ideranti; ex tenui$$imis $cilicet linei aut cannabini corticis longâ maceratione, & plurimâ tun$ione extenuati particulis in $piram contortis filum cohæret; ex filis autem plu$culis in $piram pariter contortis funiculus, & pluri- bus funiculis cra$$iores rudentes conflantur: quod $i di$$olvatur omnis $pira, non cohærent funiculi aut fili partes. Spira di$- $olvitur factâ in contrarium revolutione; quò autem laxioribus gyris flectitur, eò faciliùs villi $inguli ex cæteris, quibus im- plicantur, extrahuntur; & uno ab aliorum communione $e- juncto, amplitudo $patij faciliorem exitum proximis relinquit: ex quo fit faciliùs $emper ac faciliùs po$$e funiculum frangi; filo enim uno rupto, aut extracto, facilior e$t in contrarium re- volutio, & $pira fit amplior, ac reliqua fila faciliùs extrahun- tur. Ob$ervamus autem non rarò appen$um ex funiculo pon- dus aliquandiu in gyrum contorqueri; dum $cilicet $uâ gravi- tate deor$um connitens intendit funiculum, contorta fila in contrarium revolvuntur. Sed &, quamvis nulla fieret in con- trarium revolutio, $atis con$tat ex illâ inten$ione funiculum di$trahi, ac produci; atque adeò $piram laxiorem ficri, paula- timque unum aut alterum villum educi, locumque fieri vapo- ribus, qui proximum villum corrumpentes faciliori $ci$$ioni pa- rant, atque adeò, $erpente lue, demùm non tot integri $uper- $unt villi, qui po$$int ponderis gravitati ob$i$tere, quin dif- fringantur. Ex quo $atis apparet $u$pen$um pondus, licèt non omninò de$cendat, impetum tamen concipere, quo retinenti repugnat, & vim aliquam vici$$im infert. <p>Nec ab$imili ratione in reliquis vim patientibus contingere ob$ervabimus, ea $cilicet moliri illicò naturalis $tatûs repara- tionem, aliquidque efficere, licèt tenui$$imum, quod demum appareat, ubi temporis morâ augmentum ceperit. Sic ha$tam per vim inflexam $i continuò dimittas, illa $e$e re$tituit, facul- tate ela$ticâ; at $i dies aliquot, aut etiam diutiù per vim $i- nuata perman$erit, $ibi dimi$$a antiquam rectitudinem non re- parat; elanguit nimirùm facultas ela$tica, quæ ex violentâ par- ticularum compre$$ione aut di$tractione oriebatur. Cùm enim primùm ha$ta flectitur, particulæ concavam curvaturæ partem re$picientes comprimuntur, contra verò, quæ convexam re$pi- <pb n=145> ciunt, di$trahuntur; quare tùm quæ, raræ, tùm quæ den$æ factæ $unt, dum vim illicò prorsùs excutere conantur, con$pirant, ut pri$tinam ha$tæ rectitudinem moliantur: Quod $i id non li- cuerit, hæ quidem aliam ex angu$tiis evadendi, quâ facilior patet via, rationem tentant, ita ut demùm $ubtili$$imas in ru- gas cri$pentur, illæ verò $e$e ad angu$tiora $patia $en$im reci- pientes mutuum nexum $olvunt, tenui$$imo$que poros relin- quunt, aut $i qui priùs interjecti fuerint, ampliùs hiare per- mittunt. Id quod ubi jam contigerit, fru$trà $ubmoves, quæ admoveras impedimenta; & $pontè curvaturam ha$ta $ervat, ni$i fortè particulis omnibus adhuc per tempus non licuerit vim totam excutere; tunc enim $e $e languidiùs re$tituunt, pro ratione reliquæ violentiæ. Hinc patet arcum, quò fuerit con- tentus atque adductus vehementiùs, remitti aliquando, & ma- nualium tormentorum rotas interdum laxari oportere, ne vis ela$tica languidior facta minùs utilis fiat. <p>Ex his igitur paulò enucleatiùs explicatis, in quibus longio- re temporis fluxu motum aliquem tardi$$imum contigi$$e, at- que adeò etiam impetum jam tum ab initio $tatim fui$$e pro- ductum con$tat, conjecturam in reliquis capio, & ab iis impe- tum concipi $tatuo, quæ aut loco naturali dimota, aut incon- gruam partium po$itionem nacta id repetunt, quod natura exi- git. Motus autem non pro impetûs tantum, $ed & pro re- $i$tentiæ modo con$equitur. <HR> <C>CAPUT III.</C> <C><I>Quâ ratione $emel conceptus impetus pereat.</I></C> <p>UT impetûs natura, quam inquirimus, explicatiùs atque di$tinctiùs innote$cat, ex quo pariter, quæ corpora, quâ- ve ratione, impetum re$puant, intelligamus, hîc nobis e$t ve$tigandum, quâ ratione conceptum $emel impetum abji- ciant: hinc nimirum in uberiorem ip$ius re$i$tentiæ notitiam venientes ad explicandam motûs machinalis cau$am propiùs accedemus. <pb n=146> <p>Et $anè conceptum impetum, naturâ $uâ, nec flabilem $em- per permanere, nec ad unicum temporis punctum durare, $a- tis con$tat: $ivè enim $pontè profluat ex naturâ debitum $ibi locum quærente, $ivè alienâ vi impre$$us $uo loco corpus ex- trudat, perpetuus e$$e nequit; omnis $cilicet motus terminum habeat nece$$e e$t; nam $i violentus quidem e$t, perennis uti- que non e$t; $in autem naturalis, quem violentus præce$$erit, certis definitur terminis; à loco enim, in quo quietem natura indixit, corpus infinito intervallo non abe$t, ac proinde ubi eum attigerit, demùm conquie$cet, nec impetu perpetuo opus erit, cùm motum ce$$are oporteat. Sed neque temporis mo- mento circum$cribi impetum $ivè in naturali motu acqui$itum, $ive in violento imprelium, plura $unt, quæ palam faciunt: ut enim reliqua $ileam nullæ e$$ent funependulorum ofcillatio- nes, nullus emi$$æ $agittæ motus, $i conceptus impetus illicò periret. <p>In duo autem veluti genera tribuendus e$t Impetus ex natu- râ dimanans; alius Innatus, $eu qua$i in$itus, alius Acqui$itus dicitur, Innatum, $eu qua$i in$itum, voco, non quem corpus jugiter obtineat, $ive $uo in loco, $ive in alieno quie$cat; $ed eum, qui facultati $e movendi præcisè re$pondet, nullo facto per continuam adjectionem incremento: quandiù enim corpus ita $imili $ecundùm gravitatem corpore circumfunditur, ut na- turali in loco con$i$tere dicendum $it, quare conctur motum: conatum autem hîc ab impetu non di$tinguo: $atis igitur citrà quemlibet impetum $uo $e tutatur in loco per hoc, quod cá fa- cultate $it præditum, quæ in contrariam partem conniti valeat illicò, ac vis inferri cæperit. Hinc nullum aquæ impetum tri- buo intrà aquam con$i$tenti; $ed tunc $olùm cùm $itula plena è lacu extrahitur, ea aquæ pars impetum habet, quæ $uprà $ub- jectam lacûs $uperficiem aöre circumfuia motum expetit, quo $uum repetat locum repugnans $u$tinenti. Impetum hunc, qui naturali $e movendi facultati re$pondet, & e$t ip$a gravitatio, $eu naturalis ad de$cen$um propen$io, Innatum voco, & is e$t, cui extrin$eca cau$a repugnat motum impediens. Quòd $i $u$- pen$um corpus $ibi relinquatur, ita $uum in locum contendit, ut vis naturalis æquè $emper ad agendum applicata, nec impe- dita, momentis $ingulis novum impetum acquirat, qui propterea <pb n=147> Acqui$itus dicitur, & po$terior priori additus inten$ionem ef- ficit: $apienti $anè naturæ in$tituto; nam $i corpora per $e ip$a ac $uâ $ponte mota non accelerarent; $ed naturalis motus pla- ne æquabilis e$$et, tardè nimis locum $uum con$equerentur; atque adeò augendus continuò fuit impetus, ut & motus in- crementum acciperet: at $i innatus impetus valdè int&etilde;$us e$$et, corpora nonni$i ægerrimè aliò transferri, aut alieno in loco re- tineri pro animalium, & hominis utilitate po$$ent; finge $cili- cet animo tibiam tanto impetu innato repugnare, ne attollatur, quanto impetu in aëre ex 200 pa$$uum altitudine de$cenderet; quanto id tibi e$$et incommodo? Quare peropportunum acci- dit, ut vehemens non e$$et $ingularum particularum impetus innatus, qui tamen ubi motum efficeret, novâ acce<*>one po$- $et augeri. <p>Quod ad impetum Innatum $pectat, quem à gravitatione ipsá & proxima motus exigentia non $ejungo, utique fru$trà e$$et, $i omni pror$us effectu careret; impetus autem motum aut efficit, aut $altem exigit: propterea illum $tatim perire au- tumo, ac fuerit corpus in loco $uo: Id quod hoc deprehendes experimento. Scrobem defo$sâ humo altè excavato; $itulam aquæ pienam, & noti ponderis, intrà illam $u$pendito; tùm aquam in $crobem tantâ copiâ derivato; ut $itulan u$quequa- que circumplectatur: illicò evane$cet totius aquæ priùs in $itu- lâ gravitantis pondus, quin & $itula ip$a pro gravitatum $ecun- dùm $peciem di$$imilitudine levior apparebit, ut ex Hydro$ta- ticis con$tat. Periit ergo innatus impetus, quo aqua $itulam replens de$cen$um moliebatur. <p>At impetum Acqui$itum non continuò perire, ac eò ventum fuerit, ubi quie$cendum e$$et, hinc $altem di$ces, quod ligneum globum aquæ cæteroqui innataturum $i in $ublime at- tollas, & ex illâ altitudine cadere permittas, infrà aquæ $uper- ficiem de$cendere, ac penitùs immergi videbis; quamquam po$tea emergat, & ubi aliquoties $ub$ultaverit, demùm pro gravitatum aquæ, & ligni di$paritate emer$us quie$eat. Quæ $anè immer$io, ni$i Acqui$itus impetus adhuc duraret, omninò non contingeret. Verùm nihil rem per $e $atis ab$tru$am æquè in lucem evocat, ac funependulorum motus; plumbum enim ex filo $u$pen$um, & à perpendiculo dimotum, ita de$cendens <pb n=148> arcum de$cribit, ut ferè parem arcum, & vix (aut fortè ne vix quidem) minori tempore a$cendens de$cribat. Cui autem, re- pugnante plumbi gravitate à naturá in$itâ, tribuatur a$cen$us, ni$i impetui acqui$ito dum de$cenderet, adhuc po$t de$cen$um duranti? Quemadmodum verò in de$cen$u po$teriores motûs partes prioribus velociores $unt, factâ nimirum novi impetûs acce$$ione, ita ex oppo$ito a$cen$us ex celeritate in tarditatem de$init, factâ acqui$iti impetûs dece$$ione continuâ, donec ita elanguerit, ut gravitas ip$a $uperet, & iterum de$cendens al- ternas vibrationes efficiat. Perit igitur Acqui$itus impetus non totus $imul; $ed $en$im extenuatur; idque non aliâ ratione, quàm quâ proportione impeditur motus, quocumque tandem ex capite impedimenta oriantur. Cum enim impetus contra- rium impetum non habeat, $i præci$a quidem impetûs natura $pectetur (quippe qui unus & idem contrariorum motuum ori- go e$t, ut ex funependulis ultrò citróque $ponte vibratis & ex pilâ lu$oriâ deor$um cadente, ac vi concepti impetûs $ur$um re$iliente, con$tat) reliquum e$t, ut pereat pro ratione eorum, quæ aut motui corporis ob$i$tunt, aut illud aliò quoquomodo dirigunt. <p>Præ$tat autem hîc funependuli <FIG> motum paulò attentiùs con$iderare. Sit plumbeus globulus B filo AB connexus clavo in A. Si globulo li- ceret, quâ impetus innatus urget viâ, de$cendere, utique rectam BC per- curreret; $ed funiculo retinente co- gitur arcum BK de$cribere, adeò ut $emper in alio & alio plano inclinato con$titutus, alia, & alia habeat gra- vitatis momenta, ut lib. 1. cap. 15 explicatum e$t; hæc autem $unt pro Ratione Sinuum angulorum declinationis à perpendi- culo AK. Quare totum momentum, quod in B e$$et ut AB, fingulis momentis in de$cen$u libero per rectam BC paribus $altem incrementis augeretur (Quicquid $it an etiam pro Ra- tione duplicatâ temporum, de quo alias di$putabimus) $ed cum à rectitudine deflectat, cum venerit in D, non additur momentum ut EF, $ed ut ED; $imiliter in G momentum non <pb n=149> e$t ut HI, $ed ut HG. Augetur igitur impetus in de$cen$u BK non omninò pro Ratione momentorũ temporis, quo motus durat, $ed pro Ratione momentorum gravitatis, quæ $ubinde obtinet minora & minora; pars $iquid&etilde; impetûs ab in$itâ globuli gravitate producti deteritur in intendendo filo, quo retinetur. Q<*>ropter ubi in K venerit per arcum BK, non tantum ha- bet impetûs, quantum $i per lineam perpendicularem arcui BK æqualem de$cendi$$et; in motu enim ad perpendiculum cum nihil retineat aut impediat, totus impetus ad de$cen$um urget velociùs, quàm ubi repugnat aliquid. Ex quo fit quod, cùm arcus BK ad Radium AB, hoc e$t ad BC æqualc<*> proximè ut 11 ad 7, ex Cyclometricis, multò plus t<*> percurrendo arcu BK, quàm in rectâ BC, in$umit<*> $cilicet movetur quàm in perpendiculari, quæ ad BC<*> ut 11 ad 7. manente itaque, quamdiu corpus naturá urg<*> vetur, impetu acqui$ito, qui re$i$tentiam exced<*> de$censûs in K totus impetus e$t ut aggregatum om<*> nuum Quadrantis: at in perpendiculari BC in fin<*> in C e$$et ut aggregatum omnium parallelarum ip$i AB<*> Quadrato AC; ac propterea (in re Phy$icâ $i liceat <*> metrizantibus per Indivi$ibilia ratiocinari) erit impetus pe<*> cum BK acqui$itus ad impetum per rectam BC acqui$i<*> Quadrans ABK ad Quadratum AC, hoc e$t ut 11 ad <*> iis quæ in Cyclometriâ demon$trantur. <p>Quoniam verò ubi ad perpendiculum AK globulus de$cen- dens venerit, nihil objicitur, quod motum pror ùs impediar, quin ad ea$dem partes pergat ferri ex præconcepti impetûs di- rectione, non $i$tit in perpendiculo; $ed ulteriùs pergens a$cen- dit, nec ni$i per arcum circà centrum A, funiculo $cilicet reti- nente. Sed jam repugnat a$cen$ui gravitas plumbi, non qui- dem quantum in perpendiculo KA, verùm pro ratione Sinuum angulorum declinationis; qui cum $emper a$cendendo cre$- cant, major e$t etiam momentorum gravitatis Ratio nitentium contrà impetum de$cendendo acqui$itum. Quare tantum abe$t, ut novus $ingulis temporis punctis impetus $ur$um directus pro- ducatur, ut potius ex eo tantumdem dematur, quanta e$t a$cendentis plumbi repugnantia. Hinc e$t a$cen$um initio ve- lociorem e$$e, quia adhuc multus e$t impetus acqui$itus, & pro <pb n=150> Sinuum declinationis brevitate, exigua illius pars deteritur, atque adeò motus efficitur celerior: quia verò diminuto $en$im impetu, & auctis cõtrariæ gravitatis mom&etilde;tis pro Sinuum decli- nationis increm&etilde;to, minor fit ip$ius impetûs ad contrariũ ni$um Ratio, tardior $equitur motus, & plus acqui$iti impetûs perit, do- nec demùm pror$us evanuerit, & $uperante gravitate glo<*>us iterum de$cendat. Quamvis autem $i po$itio $ola $pectetur, ii$- dem Reciproce gradibus minui videatur impetus, quibus fuit auctus, totidemque momentis temporis, ita ut quantum po$tre- mo temporis puncto acce$$it, tantumdem primo decedat, adhuc tamen aliqua e$t ob$i$tentiæ appendicula ex aëre dividendo, ac propterea paulo ampliùs extenuatur impetus acqui$itus, quàm pro Ratione incrementi Sinuum declinationis: quò autem ve- locior e$t motus, magis etiam aër dividendus comprimitur, den$atú$que plus ob$i$tit quàm rarus; quòd $i medium non fue- rit compre$$ionis capax, $altem æquali tempore plures medij partes $cinduntur, quàm in motu tardiori, ac propterea etiam multiplex e$t medij re$i$tentia: Ex quo fit arcum a$censûs pau- lò minorem $emper e$$e arcu de$censûs, &, cum vici$$im glo- bus remaneat ex humiliore loco ac priùs de$cendens, brevio- rem pariter $ecundi a$censûs arcum perfici, atque ita deinceps, ut $ervatâ eâ in motu $emper minori reciprocando con$tantiâ demum quie$cat in perpendiculo. <p>At, inquis, dura magis ob$i$tunt corpori, ejú$que motum validiùs impediunt, quàm mollia, quæ dum $e comprimi pa- tiuntur, & loco pauli$per cedunt, motui aliquantulùm & ex parte ob$ecundant: $i igitur pro Ratione impedimenti debili- tatur acqui$itus impetus, minus detrahitur impetûs corpori, quod ex alto decidens à $ub$tratis paleis excipitur, quàm $i ad $axum allideretur; vehementiùs igitur à luto quàm à $àxo re- flecteretur, contrà quàm docet experientia. <p>Fateor eburneum globum $egniùs re$ilire delap$um in gle- bam humore perfu$am, quàm in marmor; non tamen his con- $equens e$t, ut impetûs acqui$iti diminutioni alius $tatuendus $it modus, quàm ex impedimento: ubi enim globus cadens ex- timam $ubjecti corporis $uperficiem attigerit, non quie$eit, $ed pergit moveri, aut deor$um comprimendo corpus molle, aut illicò $ursùm reflexum à duro. Ita autem à corpore molli ex- <pb n=151> cipitur, ut licèt hoc cedat, impediat tamen & remoretur mo- tum; ac proinde quò magis cedit $ubjectum corpus, eò diutiùs movetur globus cum ip$o, vel intrà ip$um; atque interea plus impetûs perit: quid igitur mirum, $i languidiùs po$tea re$iliat, cum exigua impetûs portio reliqua $it? Quòd $i durũ e$$et $ub- jectum corpus, impetu nondum debilitato reflecteretur vali- diùs. Hinc fieri pote$t adeò molle e$$e $ubjectum corpus, ut dum illud penetrat decidens globus, tantum impetûs deper- dat, ut, quod reliquum fit, non $atis $it ad vincendam in$itam globo gravitatem, qui propterea neque re$ilire valeat. Quam- vis itaque corpus molle minùs ob$i$tat quàm durum, diutiùs tamen re$i$tit; & per aliquot momenta aliqueties diminutus impetus minore men$urâ, eò decrementi venire pote$t, ut ma- gis imminutus demum fuerit, quàm $i unico momento magis ob$titi$$et corpus durum. Cæterùm paribus momentis plus pe- rit impetûs ex alli$ione ad corpus durum, quàm ad molle, quip- pe quod magis opponitur motui. Porrò huic rei explicandæ $imilitudo aliqua peti po$$et ex luce, cui $anè $i contingat per medium diaphanum quidem, $ed den$um, pergere, languidiùs multò reflectitur à $peculo, in quod incurrit, $i den$ioris me- dij longior fuerit tractus, quàm $i brevior, perinde atque eò minùs reflectitur corpus, quò molliori magi$que $ub$identi cor- pori occurrit. $ed quoniam quæ de luce dicenda e$$ent, fortè ob- $curiora acciderent, ab huju$modi $imilitudine prud&etilde;, ab$tinco. <p>Sed ex illud e$t in durorum corporum colli$ione ob$ervan- dum, quod aliqua particularum compre$$io aliquando contin- git $ivè in alterutro, $ivè in utróque, quæ $e facultate ela$ticâ re$tituentes motum reflexum juvant: id autem manife$to ex- perimento con$tat in pilâ ex gummi, ut vocant, Indico, quæ ad terram cli$a frequenti$$imè $ub$ultat; at ubi in corpus molle incidit, neque hujus neque illius partes violentam compre$$io- nem $ubeunt, quam $e$e re$tituentes excutere debeant. Sic & pilá in $phæri$terio ludentes $atis nôrunt eam validiùs re$lecti objecto recticulo, quàm ligneo batillo; intenti $cilicet nervi ex contortis $iccati$que animalium inte$tinis reticulum con$tituen- tes cùm pilæ ictum excipiunt, flectuntur quidem aliquantu- lum; $ed illicò $ibi pri$tinam rectitudinem reparantes pilam ex- cutiunt (id quod ligneo ba$tillo non contingit) novoque hoc <pb n=152> impetu auctus reliquus pilæ impetus motum quoquè efficit majorem: quòd $i in reticulo flaccidi, & remi$$i $int nervi, lan- guidè pila reflectitur. <p>Ad quandam autem reflexionis $peciem pertinere cen$enda e$t concu$$io, $ive vibratio, aliquarum $altem corporis partium, ubi totum ex reliquo impetu re$ilire nequit: $ic corpus ita at- tollens, ut $ummis pedibus innitaris, po$tmodum recidens in talos, eò validiorem partium concu$$ionem percipies, quò ve- lociùs recides. Simile quid etiam in inanimis contingere ratio $uadet, neque enim ita $emper $olida aut pror$us homogenea tota moles e$t, ut nullæ omninò partes concuti valeant: quin etiam alli$i corporis partes, $i non adeò tenaci vinculo inter $e cohæreant, ex reliquo impetu aliæ aliò di$tractæ de$iliunt. <p>Hinc, docente naturâ, ex alto de$ilientes ubi terram pedi- bus attigerint, genua antror$um inflectunt, qua$i calcaneis in- $e$$uri, ne conceptus ex $altu impetus $uperiorem corporis par- tem deor$um validiùs urgens $ubjectas tibias, & genua ita pre- mat, ut inde divi$io aliqua membrorum, aut o$$ium luxatio, aut nervorum $eu tendinum nimia di$ten$io dolorem gignat: hoc autem valet illa genuum inflexio ad extenuandum impetum, quod & flexili mollitiâ $ub$idens terra uligino$a, $i quando la- pis in eam ex alto deciderit. Sic Atlas Sinicus pag. 123. in XI. Provinciâ Fokion, ubi $ermo e$t de flumine Min, quod vio- lento cur$u per $axa volvitur, ait naves, quibus ibi navigatur, ex diverbio vocari <I>Papyraceas, eo quòd tenuibus ac minime re- $i$tentibus con$tent a$$eribus, imò ne clavis quidem compaginatis; $ed vimine quodam lenti$$imo; unde tamct$i in $axa impingat na- vis, $apè tamen minimè rumpitur, quia vix re$i$tit.</I> Et pag.127. de catadupis aquarum in flumine per quod ad Jenping naviga- tur loquens ait. <I>Cum naves tran$eunt, ne cum aquâ decidentes f actionis incurrant periculum, $citè pramittunt nautæ aliquot $tra- minis $o$ces, ad quos navis leviùs impingat, ac tran$eat.</I> <p>Jam verò ad impetum extrin$ecùs impre$$um mentem ocu- <*>e intendente, non illum $emper momento perire animad- <*> aut illicò, ac externus agitator ce$$at. <p><*> nim tit, ut concitato navigio, cùm vela nautæ con- <*>ut remiges inhibuerunt, retineat tamen ip$a navis <*>ur$um $uum, intermi$$o ventorum incur$u, pulsúve <pb n=153> remorum? ni$i quia navis, etiam nullo impellente, vi impre$sâ urgetur. Quid rhedam cur$u procedente faciliùs quàm initiò promovet, equis licet languidius connitentibus? curve onus aliquod ingens protrudentes, aut trahentes hoc maximè ca- vent, ne contentionem illam quies interrumpat, experientiâ $atis edocti incitatum $emel minori labore propelli, quàm com- moveri quie$cens? ni$i quia reliquus ex priore motu impetus adhuc per$everans po$teriorem motum juvat. Hoc tamen tria hæc differunt, quòd onus, ce$$antibus iis, qui protrudebant, con$i$tit illicò (ni$i fortè volubilitatem habens, aut $ubjectis cylindris innixum, adhuc modicum quid volvi aut progredi pergat) rheda currentes equo, $ubita funium abruptione dis- junctos $equitur ad pa$$us aliquot non adeò multos pro viæ æquabilitate præcedenti$que velocitatis ratione; navigium verò $ubmi$$is antennis, remi$que ce$$atione torpentibus aliquandiu, intervallo non $anè contemnendo, provehitur. Oneris $cilicet motui, cui volubilitatem neque ars, neque natura dederit, im- pedimento e$t ip$a extremitas a$pera $ubjectam planitiem $ale- bris quandóque non carentem contingens, gravita$que ita va- lidè premens, ut major futurus e$$et partium tritus, quàm pro impetûs modo, qui reliquus e$$et, $uperari po$$et: Id quod cur- renti rhedæ idcircò non contingere planum e$t, quia licèt nihilo levior $it quàm onus protru$um, minùs tamen rotarum modioli leniter cum axibus confligentes motum retardant. At navis $ponte $uâ innatans, ventorum incur$ione, remorúmve pul$u diutiùs acta, vix, aut fortè ne vix quidem, mole $uâ re- luctatur, ni$i quatenus diffindenda e$t aqua; nec $inè multo fa- cilitatis compendio, prior $iquidem unda, quam prora impel- lens excitat, aliam ante $e urget ad ea$dem partes: propterea impre$$us navi impetus modicum nactus impedimentum diù durat, illámque promovet. Quare idem de impetu extrin$ecùs a$$umpto dicendum e$t, quod de acqui$ito; nimirùm minui pro Ratione eorum, quæ in$tituto motui ob$i$tunt, aut ctiam pror- sùs perire. <p>Præter ea autem quæ utrique motui tùm naturali, tùm vio- lento æquè opponuntur, (cuju$modi e$t medium dividendum, objecti corporis occur$us, aut contingentis tritus atque con- flictus, retinaculum, quod certo limite motum definiat, & alia <pb n=154> id genus) illa e$t externo impul$ui peculiaris repugnantia, quæ ex inhærente corpori gra vitate oritur, $ive illi innatus im- petus, $ive acqui$itus modum $tatuat. Neque id $impiiciter tantùm, $ed comparatè con$iderandum e$t, quam $cilicet in plagam impul$us motum dirigat, & quatenu gravitatis pro- pen$ioni opponatur. Quemadmodum enim qui in pilâ aroma- ta pin$unt, nihil repugnantem, quin & impul$ui ob$ecundan- tem, experiuntur pi$tilli gravitatem deprimentes; contrà verò attollentes fatigat eadem gravitas directò deor$um urgens; me- dium autem quiddam tenet in ob$i$tendo, $i motio tran$ver$a contingat; $icut experiri licet, $i ex funiculo pendens idem pi$tillus à perpendiculo dimoveatur; minore enim conatu opus e$t: ita quò minùs in oppo$itam gravitati plagam dirigitur im- pul$us, eò etiam diutiùs per$everat minus habens impedimenti. Hinc e$t quod gravitas æquabiliter toto corpore fu$a $i aut ex centro $u$pendatur, aut coni apici in$i$tat, levi negotio, ac $a- tis diù, in gyrum convertitur; innatum videlicet gravitatis im- petum vis ip$a $u$pendens aut $u$tentans elidit; nihil verò im- pul$um remoratur præter aut funiculi $u$pendentis $piras paulò $pi$$iores, aut tritum cum $ubjecto cono, aëri$que dividendi re$i$tentiam; quæ tamen $i tollatur in corpore orbiculari circà centrum commoto, etiam longior fit conver$io. Sic ferream $agittam palmarem cra$$iu$culam in$tar acûs magneticæ in æquilibrio con$titutam levi$$imo impul$u ac diuti$$imè in gy- rum agi ob$ervavi; vix enim acuti$$imum verticem, cui innite- batur, terebat, & aëris intrà eumdem gyrum circumducti mo- dica erat re$i$tentia. Id autem multo luculentiùs apparet in verticillo, cujus axem perpolito alveolo in$i$tentem extremo pollice ac indice leviter comprimens, ac paulò celeriùs vertens, eò diuturniori vertigine contorqueri videbis, quò pauciores minore$que offenderit in $ubjectâ tabulâ a$peritates, ad quasal- li$us paululùm inclinetur, aut aliò reflectatur. <p>Quòd $i magnetis polo ritè armato chalybeum axiculum congruo verticulo in$tructum admoveris, ut planè à magnete $u$pendatur, tùm $ummis digitis opportunè axem terentibus vertiginem ei delicatè ac molliter conciliaveris, miraculi loco tibi erit tàm diuturna conver$io; quippe cui non $ubjectialveoli a$peritates $altitare cogentes, non gravitas ip$a premens, tritum- <pb n=155> que augens, non $u$pendentis funiculi violenta contortio ob- $i$tunt, motúmve aliquatenus impedientes impre$$um impe- tam imminuunt; $ed magnetico radio $u$pen$us intra $e perpe- tuò volvitur lævi$$imum chalybem magnetis polo adhærentem leni$$imè terens. <p>Illud etiam in motu, qui ab extrin$eco provenit, con$ide- randum e$t, quòd contingere pote$t duos ade$$e motores, qui corporis motum in diver$as partes dirigant: quare alter alteri ob$i$tit, & motus ex duplici directione compo$itus is e$t, qui non re$pondeat men$uræ duplicis illius impetûs, $i $inguli in- tegrè accipiantur. Con$tat enim, $i æquabili & æquali cona- ru urgeant corpus, moveri aut per diametrum Quadrati, $i di- rectiones $int ad angulum rectum con$titutæ; aut per Diago- nalem lineam Rhombi, $i directiones obliquæ $int: $i verò æquabiles quidem $int, $ed inæquales conatus, per diametrum Rectanguli aut Rhomboidis moveri, pro ut ad rectum aut obli- quum angulum directiones $ibi invicem re$pondent. Semper autem minor e$t motus quàm pro duorum illorum impul$uum ratione; diameter $iquidem brevior e$t aggregato duorum adjacentium laterum. Quòd $i æquabiles non $int impetus, vel $altem alter æquabilis $it, alter acceleratus aut retardatus, linea curva de$cribitur; quæ pariter minor e$t duabus rectis, quæ vi $ingulorum impetuum de$criberentur; ab illis $i qui- dem continetur. <p>Hîc tamen advertendus animus e$t, & ob$ervare oporter æquabilem impul$um ($i continuus $it, nec morulis inter- ruptus) e$$e non po$$e, ni$i ab animali $emper æqualiter conan- te efficiatur; quia gravium de$cen$us naturaliter acceleratur; ela$mata verò dum $e re$tituunt, $emper languidiùs $ingulis momentis conantur, $i quidem virtus ela$tica con$ideretur: quamquàm po$teriore momento quod e$t reliquum prioris im- petûs, inten$ionem efficit additum po$teriori licèt remi$$o. Vix igitur contingere pote$t motum unum à duplici impetu extrin$ecùs impre$$o fieri per lineam rectam ni$i corpus à du- plici motore æquabiliter urgeatur. <p>Cum itaque impetus acqui$itus, aut aliundè impre$$us, $it qualitas propter motum in$tituta, quæ non ni$i in motu pro- ducitur, ita pariter ni$i in motu, & cum motu non con$erva- <pb n=156> tur. Quare $i corpus cò deveniat, ut nullo pror$us pacto agi- tari queat, aut interiore motu cieri, quo momento impeditur motus, ne $it, co momento impetus perit, ce$$ante videlicet causa effectiva al ejus con$ervatione co ip$o quod ce$$at finis, propter quem impetus e$t. Quod $i impedimentum occurrat non prorsùs motum tollens (ut $i globus in plano horizontali rotatus veniat ad planum inclinatum, per quod ex concepto impetu a$cendat) tunc pro ratione impedimenti extenuatur impetus, donec tandem pereat. <HR> <C>CAPUT IV.</C> <C><I>Quâ ratione vis movendi cum impedimentis comparetur.</I></C> <p>MOtus omnis nec in oppo$itas, nec in diver$as plagas, $ed per certam lineam dirigitur; unico quippe in loco, non in pluribus, eodem temporis puncto e$$e pote$t corpus. <p>Nihil igitur motui moram & impedimentum inferre pote$t, ni$i directò aut obliquè illi $ecundùm eam lineam, per quam in$tituendus e$$et, antè, ponè, ad dextram, ad lævam, $ur$um, deor$um opponatur. Si enim duo corpora eádem pergerent viâ, & maximâ velocitatis, aut tarditatis con$piratione con$entirent, tunc neque po$terius ab eo quod antè e$t, traheretur, neque prius à po$teriore urgeretur, neque alterum alteri impedimen- to e$$et. Hinc manife$tum e$t non po$$e impedimentum $upe- rari, quin ei vis aliqua inferatur. <p>Rem porrò univer$am duas in partes tribuere po$$umus, ut duplex Re$i$tentiæ genus $tatuatur; Formalem alteram, alte- ram Activam $cholæ vocarent. Corpus enim, quod ob$tat, aut retinet, $i motum prorsùs nullum conetur in$tituto aut de$ti- nato motui adver$antem, re$i$tit quidem, $ed Formaliter; nihil $cilicet efficit, quo repugnet, $ed $uo tantùm $e tutatur in loco: Sin autem & contrà nitatur, aut retrahat, jam non ob$i$tit $o- lùm, ne loco per vim dimoveatur; $ed etiam impetum in con- <pb n=157> trariam plagam directum efficit, cujus vi motum impedit, ac proptereà Activè re$i$tit. Huic autem verbo, cum <I>Re$i, lere</I> di- cimus, $ubjecta notio e$t, in causá e$$e ne motus fiat, aut $al- tem non ea velocitate, quæ virtuti movendi non impeditæ cæ- teroqui re$ponderet. Sic paries, in quem incurris, tibi re$i$tit Formaliter, ne procedas, & aqua $tagnans, cui collo tenus im- mergeris, progredienti re$i$tit Formaliter, ne velociter, $icut intra aërem movearis pro ratione impetus, quo conaris progre- di: qui verò occurrens te repellit, ut $i coneris contra ictum fluvij, non Formaliter tantùm, $ed etiam Activè re$i$tit; non $olùm enim ob$tat, quia ejus in locum $uccedere non potes, ni$i cum loco dimoveas, $ed etiam tibi adver$um impetum im- primit, ut te loco extrudat. <p>Cum itaque impedimenta motûs externo impetu $ubmoven- da $int, virtus autem movendi certa $it ac definita, con$tat vi- resomnes, quæ in corpore promovendo, $i nihil ob$taret, exer- cerentur, duas in partes di$trahi, ad movendum $cilicet cor- pus, & ad tollenda impedimenta, Concipit igitur impetum, qui motum efficiat, & ob$tanti corpori impetum imprimit, ut loco cedat. Quid igitur mirum, $i di$tractis viribus languidior $equatur metus? Quia verò quò majori velocitate corpus ob$tans propellendum e$t, aut trahendum, majori quoque im- petu impre$$o opus habet, palàm e$t majorem quoque in pro- pellente, aut $ecum rapiente, impetum requiri, ut majorem re- $i$tentiam vincens $e ip$um pariter moveat. <p>Hic autem quid monui$$e oporteat vim re$i$tendi $uperan- dam e$$e à virtute movendi? quis enim ambigat, an, $i pares illæ fuerint, nullus futurus $it motus? Quòd $i impedimentum prorsùs immotum adversùs conantem per$tat, nullum pariter recipit impetum; qui $cilicet, etiam $i priùs fui$$et, motu ce$- $ante periret. Hinc in animali defatigatio membrorum oritur, quando prorsùs in irritum conatus cadit; impetus enim, quem concipit, ut æqualem motum imprimeret impedimento, $i hoc $uperari po$$et, in animali ip$o motum aliquem efficit, $ed quia progredi vetatur ab o$tante aut retinente impedimento, impe- tus ille non totius animalis motum ulteriùs promovet; $ed mem- brorum partes alias comprimit, alias di$tendit, unde & dolor aliquis, & la$$itudo provenit. At $i corpus, cui motus debetur, <pb n=158> cùm inanimum $it, nequeat impetum, quemadmodum animan- tes, ex arbitrio temperare, & quia $olidum e$t ac durum, nul- lam pati compre$$ionem aut di$tentionem partium po$$it, $icut & corpus ob$tans aut retinens compre$$ionem omnem aut di$tentionem re$puit; tunc nullum concipit aut imprimit im- petum præter innatam gravitationem, aut levitationem, cùm per vim in loco non debito detineatur. Ex hoc conjecturam ca- pere licet de eo, quod contingit, quando virtute movendi re- $i$tentiam vincente impedimentum $ubmovetur; impediri vi- delicet, ne producatur motus, juxta re$i$tentiæ modum atque men$uram; quæ $icuti non quâlibet minimâ vi $uperari pote$t, ita majori cedit. <p>Verùm quonam id pacto contingat, ut explicare conemur, illud ob$erva, quòd $i corpus idem quadruplo velociùs moveri debeat, ac moveretur priùs certâ impetûs men$urâ, utique qua- druplo majorem impetum exigit, ut pro impetûs inten$ione aut remi$$ione velocior aut tardior $equatur motus. At $i cor- pus aliud movendum quadruplo gravius exhibeatur, in hoc im- petus ille quadruplex $ubquadruplam efficiet inten$ionem, ac propterea etiam motum habebit tardiorem, $i cætera $int paria, pro impetûs inten$ione. Si cætera, inquam, $int paria; $æpè enim aër, aut aqua plus velociori motui re$i$tunt, quàm tardio- ri, & moles major efficit, ut non omninò velocitas inten$ioni impetûs re$pondeat. Hæc tamen nune mente $ecernamus, per- inde atque $i nihil officerent motui. <p>Quoniam igitur motus ab omni velocitatis aut tarditatis men- $urâ $ejungi nequit, finge corpus per vim movendum huju$- modi e$$e, ut $pectatâ mole $eu materiâ, ac $pecificâ gravitate, ad percurrendum $patium pa$$uum 100 unius horæ quadrante, indigeret impetu, cujus inten$io e$$et particularum 4 in $ingu- lis corporis movendi partibus: molem autem, exempli gratiâ, di$tinctam concipe in particulas 100 minimas. Quare $pectatâ tùm exten$ione tùm inten$ione impetûs, nece$$e e$t illi à mo- tore imprimi impetûs particulas 400. Quòd $i corporis per vim movendi moles ac materia e$$et quadruplex alterius, $i nimi- rum ratione materiæ exten$ionis particulas haberet 400, jam impetus idem $ubquadruplam efficeret inten$ionem, & $ingulæ impetûs particulæ $ingulis corporis particulis ine$$ent; atque <pb n=159> adeò etiam hujus velocitas e$$et $ubquadrupla prioris velocita- tis: partamen utrobique e$$et, illud quidem velociùs, hoc tar- diùs movendi difficultas, cum in utroque particulas 400 impe- tûs produci oporteret; utriu$que enim impetûs exten$iones & inten$iones e$$ent Reciprocè in eadem Ratione. In corpore itaque, ex quo motus originem ducit, tanta vis movendi ine$$e debet, ut & corpori impedienti, quod $ubmovetur, congruen- tem motui impetum imprimat, hoc e$t particulas 400, & ip$um $e pariter promoveat: nihil enim accepto extrin$ecùs impetu agitatur à motore prorsùs immoto, ut eunti per $ingula patebit. <p>Jam verò quoniam idem corpus modò remi$$iùs, modò con- citatiùs moveri pro impetûs inten$ione videmus, probabilis conjectura e$t in iis, quæ non $uo arbitrio, $ed naturæ reguntur imperio, totum impetum produci, qui virtuti efficiendi re$pon- det: hæc autem in impedimento, cujus re$i$tentia vincitur, impetum eâ inten$ionis men$urâ imprimit, quæ illi motûs ve- locitatem conciliet ip$ius corporis moventis velocitati con- gruentem, adeò ut movendi facultas totas $uas vires exerat partim impetum imprimens $ubmovendo impedimento, partim motum e$$iciens in ip$o corpore: ex quo fit quod eò remi$$iorem motum in $e motor efficiat, quò major $ecundùm inten$ionem impetus impeditur ab impedimento. Sic plumbeus globus bili- bri, $i, funiculo excavatæ volubilis orbiculi curvaturæ in$erto, connectatur cum globulo $ubduplæ gravitatis, non eá veloci- tate de$cendit, qua de$cenderet $ibi relictus ab$que ullâ appen- dice; velociùs tamen movetur, quàm $i e$$et globuli adjuncti tantùm $e$quialter; quia $cilicet ut ad æqualem velocitatem temperentur motus tùm impedimenti $ur$um, tùm corporis mo- ventis deor$um, minor inten$ivè impetus impediendus e$t à glo- bulo $ubduplo quàm à $ub$e$quialtero; ac propterea major e$t $ecundùm inten$ionem reliquus impetus motum efficiens con- citatiorem. <p>Quòd autem à globo de$cendente imprimatur impetus glo- bulo, quem $ur$um trahit, hinc con$tat, quod $i globulus ille non $it admodum gravis, tùm demum $ub$ilit, ubi globus ve- lociter de$cendens $ubjectum planum attigerit: quid enim il- lum $ub$ilire cogeret quie$cente jam globo, à quo trahebatur, ni$i adhuc aliquid impre$$i impetûs remaneret? At quòd im- <pb n=160> pre$$us hîc impetus non ab ip$o motore, $ed ab impetu, quem ille concepit, proximè efficiatur, hinc $ibi $uadent plures, quia ex alterâ parte impetum ab impetu produci po$$e manife$tum videtur ex percu$$ionibus projectorum, ut cùm globus pro- jectus in quie$centem globum impactus illum trudit; ex alterâ cau$am proximam effectui homogeneam congruenter naturæ $tatuimus; $ic enim & calorem in nobis à calore potiùs quàm à $ub$tantiâ ignis proximè produci exi$timamus. Sed quid de percu$$ionum impetu dicendum $it, $uo loco con$tabit inferiùs. <p>Motoris demùm velocitatem inten$ioni impetûs concepti non re$pondere experimur, cum valdè conantes ut onus rapte- mus; parùm progredimur; at $i funis ex improvi$o abrumpa- tur, illicò corruimus, impetu $cilicet concepto motum validiùs efficiente, ubi de$ierit impetum oneri, quod raptabatur, im- primere. <p>Hinc fit quòd, $i ea fuerit corporum di$po$itio, ut impedi- mentum tardè $ubmovendum $it, ac proinde remi$$iore impetu opus habeat, qui $ibi imprimatur; corpus verò, cui motus omnis tribuitur, non æquali tarditate cum impedimento ferri nece$$e $it, $ed velociùs præ illo moveri po$$it, hoc $anè eò mi- nùs habet re$i$tentiæ, quò minorem in intentione impetûs men- $uram impedimento eidem imprimere debet, ut illud $ubmo- veatur. Contrà verò $i ita fuerint di$po$ita, ut impedimentum velociùs præ ip$o motore moveri oporteat, multò magis re$i$tit, quàm $i pariter moverentur, plus enim impetûs imprimendum e$t, ut motus con$equatur. <p>Hactenùs re$i$tentiam poti$$imùm Formalem, impedimento nihil in adver$um conante, contemplati $umus; jam ad Acti- vam tran$eamus, cum $cilicet duo corpora invicem aut omni- nò, aut ex parte repugnant, quia motum in diver$as aut oppo- $itas plagas directum moliuntur. In medio va$e aquâ pleno $ta- tuatur lignea tabella cra$$iu$cula, eique lapis imponatur: dum illa conatur a$cendere, hic de$cendere, $e invicem urgent; $ed cum $e vici$$im permeare nequeant, $i paribus quidem viribus confligant, $ine motu con$i$tunt; $in autem imparibus, aut ambo a$cendunt, aut ambo de$cendunt, pro ut $ive tabellæ le- vitas, $ive lapidis gravitas oppo$itam vicerit. Quod $i lapis ta- bellæ non impo$itus, $ed $uppo$itus, arctè tamen connexus <pb n=161> fuerit, adhue contrarios motus conantur, non $e tamen invi- cem urgent, $ed vici$$im retrahunt, quandiù vinculum non revellatur, aut rumpatur. Hic verò $ubdubitet qui$piam, utrùm corpora, quæ contrario ni$u reluctantur, $ibi vici$- $im impetum imprimant, nec ne, aut æqualem, $i pares fue- rint vires, aut, $i impares, inæqualem: Quando enim ob vi- rium æqualitatem utrumque corpus con$i$tit, codem pacto quies $equitur, $i unumquodque $uam gravitationem aut levi- tationem $ervans nihil alteri imprimat, ac $i lignea tabella levi- tans partem impetûs $ur$um directi conferat impo$ito lapidi, à quo gravitante vici$$im recipiat tantumdem impetús deor$um directi; ex quo fiat, ut lapis habens concepti ac innati impe- tûs deor$um directi vires æquales viribus impetûs $ur$um di- recti con$i$tat, idemque in ligneâ tabellâ contingat. Cùm ve- rò inæquales fuerint vires, id quod validius e$t, eodem modo $uperat, $ive nihil contrarij impetûs ab infirmiore oppo$ito re- cipiat, $ed minorem motum vi $ui impetûs producat pro ratio- ne virium, quibus $uperat; $ivè partem impetûs contrarij reci- piat, quæ proprij impetûs vires attenuet. <p>Quotidianum e$t hujus æqualitatis aut inæqualitatis experi- mentum in iis, quæ innatant humori; hæc enim humori im- po$ita, quia in aëre gravitant, de$cendunt; pars verò immer$a levitat in humore; prægravata tamen à reliquâ parte extante deor$um adhuc urgetur, donec inter partem immer$am & ex- tantem fiat æquilibrium, & tantumdem pars immer$a levitet in humore, ac extans gravitat in aëre. Sic ma$$a plumbea argento vivo impo$ita de$cendit, donec molis plumbeæ pars (2/13) extet; e$t enim $pecifica plumbi gravitas ad $pecificam mercurij gravita- tem ut 11 ad 13. levitat itaque plumbum in mereurio ut 2, gra- vitat in aëre ut 11; igitur plumbeæ ma$$æ partes 11 levitantes fingulæ ut 2 parem habent conatum $ur$um, ac partes 2 gra- vitantes $ingulæ ut 11 conantur deor$um. Quòd $i ita depri- meretur plumbum, ut ejus partes 12 immergerentur, & una extaret; jam unica pars gravitans ut 11 vinceretur à partibus 12 levitantibus $ingulis ut 2, ac propterea adhuc pars una emergeret: quemad modum $i quatuor partes extarent, & no- vem immergerentur, harum levitas 18 ab illarum gravitate 44 vinceretur, ideóque adhuc duæ immergerentur. <pb n=162> <p>Jam $i dixeris à partis immer$æ levitantis momentis 18 impe- diri momenta 18 partis extantis gravitantis, adeò ut $uper$int tantùm vires juxtà exce$$um gravitatis, $cilicet momentorum 26, juxta quem exce$$um impetum imprimat parti immer$æ, ut deprimatur, tunc autem cum paria $uerint levitatis atque gra- vitatis momenta, jam non invicem agere, $ed $e vici$$im impe- dire, probabilior forta$$e videatur alicui philo$ophandi ratio hîc, ubi directè $ibi invicem adver$antur directiones; alteruter enim aut neuter impetus movet oppo$irum corpus. Verùm quoniam ubi lineæ directionum motûs non $unt in directum po$itæ; $ed inclinationem habent, motus mixtus, qui $equitur, ex utroque impetu unum motum temperari indicat, in eam fe- ror $ententiam, ut exi$timem duo corpora obliquè $ibi invicem repugnantia vici$$im imprimere, & recipere impetum in diver- $as plaga directum pro modo virtutis uniu$euju$que, adeò ut $i paria $int momenta, medius planè inter utramque directio- nem $equatur motus, $i di$paria, $equatur pro modo exce$sûs. <p>Fieri autem hane mutuam impetûs communicationem hinc apparet, quòd $i duo corpora, quorum virtus movendi ut AB <FIG> & AC, inloco, ubi A, con$ti- tuta moveri cœperint, alterum quidem, quod ad dexteram e$t, cum directione AB, alterum verò, quod ad $ini$tram, cum di- rectione AC, ita $e impediunt, ut quod ad lævam e$t, urgeat reliquum, ne per rectam AB proce- dat; hoc verò quod ad dexterã e$t, illud impediat, ne per rectam AC incedat; $ed propellat ita, ut ambo habeant directionem mixtam AD. Hæc autem lineæ AD cum major $it $ingulis lateribus AB, AC in rectangulo, aut rhomboide, ut quadra- to, aut rhombo, cavè nè putes $ingulis corporibus $upra pro- prium impetûs modum factam e$$e aliquam ab externo impetu virium acce$$ionem: quî enim fieri po$$it, ut corpus nullo re- pugnante po$$it certo tempore percurrere lineam AB, dimi- nutis verò impetûs viribus ex re$i$tentià, pari tempore longio- rem lineam AD percurrat? An quia recipiat à corpore re- pugnante impetum, cujus acce$$ione augeatur proprius impe- tus, qui reliquus e$t? At $i propter virium æqualitatem percur- <pb n=163> rant Quadrati diametrum, utique tantumdem alterum ab alte- ro recipit impetús, quantum tribuit: igitur non e$t major vis impetus, quàm $i nihil repugnaret: ex quo fit neque motum ve- lociorem e$$e po$$e, ut pari tempore diametrum percurrant, quo $ingula de$eriberent latus Quadrati. <p>Non igitur ex illà mutuá impetus in diversâ directi commu- nicatione fit in $ingulis corporibus impetûs inten$io major ($i propriè loquendum $it, habent enim impetus illi, conceptus $cilicet, & impre$$us, directionem diver$am) quàm ferat pro- pria $ingulorum virtus: id autem poti$$imùm con$tat, quando $ingulorũ directiones valdè obtu$um angulũ con$tituunt; cor- pora enim in motu breviorem Rhombi aut Rhomboidis diame- trũ de$cribunt, quæ linea aliquando minor e$t $ingulis lateribus. <p>Finge itaque corpus, quod percurreret AB, nullo impedi- mento prohiberi, quin moveatur eádem velocitate per AD; utique $olùm æquale $patium AI decurreret, impediret tamen, ne aliud corpus habens directionem AC, illique perpetuò adhærens, decurreret juxta $uam directionem $patium æquale ip$i AC; $ed tantùm EI, hoc e$t Sinum anguli BAD loco Tangentis eju$dem anguh, po$ito Radio AI. <p>Firge iterum alterum corpus habens directionem AC eâ- dem velocitate moveri per AD; utique non ni$i $patium AF, ip$i AC æquale, motu dimetiretur, prohiberetque, ne reli- quum corpus habens directionem AB, illique perpetuò adhæ- rens, progrederetur ni$i in F, hoc e$t $patio æquali ip$i BD; $ed versùs B non procederet ni$i juxta men$uram AG mino- rem ipsâ AC. Atqui utrumque $uam habet directionem, & non per AD, $eque vici$$im impediunt; igitur dum $imul mo- ventur, neque $ub$i$tunt in F, neque veniunt in I; $ed medio loco con$i$tunt, puta in O. <p>Dixeris forta$$e AO æqualem ip$i AE ita, ut $it $icut DB ad BA, ita IE ad EA, hoc e$t ad AO, aut AO e$$e medio loco proportionalem inter AF & AI, hoc e$t inter AC & AB men$uras virium impetûs $ingulorum corporum. Hoc tamen $ecundo loco propo$itum non facilè admi$erim, quia ubi æqua- les $unt virtutes movendi, medio loco proportionalis e$t æqua- lis $ingulis extremis, ac propterea utrumque corpus impeditum æque velociter moveretur, ac non impeditum. Primum verò, <pb n=164> quod $cilicet AO æqualis $it ip$i AE, gratis a$$eritur; neque enim potior ulla apparet ratio, cur ad in$tituendam analogiam a$$umatur potiùs IE, quàm quælibet alia minor linea cadens inter G & E. Ego autem libentiùs pro$iteor me ne$cire, quà Ratione analogia hæc in$tituatur, quam aliquid certi divinan- do $tatuere. <p>Verùm quamvis non utrumque corpus velociùs moveatur quàm pro $uâ virtute, alterum tamen quod urgetur, $eu rapitur à validiori, pote$t, factâ impetûs acce$$ione, plus $patij percur- rere, quàm pro $uis viribus: impeditur $iquidem motus non ab- $olutè, $ed juxtà eam directionem. Hinc fit corpus habens di- rectionem & velocitatem AC minorem velocitate AB promo- veri ultrà punctum F in linea mixti motûs AD. <p>At inquis: an $i nautæ remis incumbant, veli$que obliquis ventum excipiant, tardior erit motus, quàm $i navis vel à $olis remigibus, vel à $olo vento impelleretur? contrarium $anè vi- detur experientia evincere. Verùm $i rem attentiùs con$ideres, aliam planè e$$e rationem deprehendes, cum duo corpora $e moventia vici$$im $e impediunt, aliam cùm unum à duplici ex- trin$eco impetu in diver$a directo impellitur: de illis hactenùs $ermo fuit, neque ulla ratio $uadere pote$t velocius à tardiore incitari, quamquam tardius à velociore urgeatur, ut dictum e$t. <p>At $i unum corpus à duobus æqualis aut inæqualis virtutis impetum recipiat, utique magis inten$us, vel $i inten$ionem propriè dictam neges, certè major e$t impetus, quàm $i ab al- terutro tantùm reciperet impetum: quare nil mirum, $i ea mo- tûs velocitas con$equatur, quæ utrumque impetum $ingillatim $umptum vincat, quamvis utroque $imul $umpto minor $it, quia habent directiones oppo$itas, ut alibi explicabitur. Hinc e$t navim velociùs agi velis remi$que, quàm $i aut $olâ ventorum vi, aut $olâ remigum ope propelleretur, & cymbam, dum $e- cundo flumine rapitur, $imulque remis ad alteram ripam im- pellitur, velociùs moveri, quàm aut in $tagno eâdem remigum operâ, aut à flumine ce$$antibus remis ageretur. Quemadmo- dum enim neque ventus remos impellit, neque ab his ventus impellitur, ita neque $e vici$$im immediatè impediunt, aut $ibi mutuò repugnant; atque adeò non e$t hîc eadem philo$ophan- di ratio, ac cum duo corpora $ibi invicem immediatè re$i$tunt, <pb n=165> & alterum alterius vires extenuat impediens, ne juxtà propriæ virtutis men$uram motum concipiat. <p>Ex his quæ hactenùs dicta $unt, illud $atis con$tare videtur, quòd animal eatenùs in motu difficultatem ac re$i$tentiam per- cipit, quatenùs multum impetûs concipere debet, ex quo mu$- culorum contentio oritur, neque tamen ea $equitur motûs ve- locitas, quæ tanto impetui re$ponderet, dum $ubmovendo im- pedimento maximam virium partem impendit impetum impri- mens: unde fit plurimum influentis $piritûs animalis ab$umi in tàm diuturnâ, vel tàm validâ mu$culorum contentione, ac proinde la$$itudinem $equi, atque aliquando etiam contento- rum mu$culorum dolorem, cum id non contingat $ine aliquâ partium compre$$ione aut di$tentione. Quò igitur velociùs moveri pote$t animal pro ratione concepti impetûs, eò mino- rem percipit in $ubmovendo impedimento difficultatem; & quidem maximè $i alternâ contentionis ac remi$$ionis mu$cu- lorum vici$$itudine labor mite$cat. <p>Curio$iùs autem inquirenti, quam Rationem habeat motoris impetus ad impetum corpori, quod movetur, quatenus move- tur, impre$$um, ut aliquatenus $atisfaciam, a$$ero ut minimum duplam e$$e, non quidem inten$ivè, aut exten$ivè $ed enti- tativè. Quatenùs, inquam, movetur, hoc e$t quatenus vinci- tur ejus re$i$tentia: cæterùm potentia movens in $e producit, & in mobili æqualem impetum; $ed quemadmodum ubi calor fri- gori permi$cetur illud vincens, non percipitur ni$i quatenus excedit vim frigoris, ita impetus oneri impre$$us eatenus mo- vet, quatenùs eju$dem re$i$tentiam $uperat: Hunc autem ex- ce$$um $ubduplum impetûs motoris $atis probabili conjecturâ affirmo. Illud enim hoc mihi $uadet, quòd motoris virtutem metitur exce$$us impetûs, quem ille habet $uprà impedimenti re$i$tentiam: re$i$tentiæ autem modus, ut $æpiùs dictum e$t, ex velocitate motûs, quæ concilianda e$t gravitati corporis $ub- movendi, de$umitur; hoc enim ideò re$i$tit partibus ex gr.100 impetûs, quia $i $olùm fuerint 100 partes impetûs, fieri non po- te$t ut moveatur tantâ velocitate, $ed pluribus impetûs parti- bus indiget: exce$$us igitur virtutis motoris æqualis e$t ut mi- nimum re$i$tentiæ mobilis; atque adeò tota virtus motoris, hoc e$t impetus ab eo conceptus, æquivalet tùm re$i$tentiæ mobi- <pb n=166> lis juxta men$uram requi$itam ad motum, qui $equitur, tùm principio motûs eju$dem mobilis: atqui motus hic æqualis e$t motui, cui illud re$i$tit, totus igitur impetus motoris duplus e$t impetùs, qui motum efficit in mobili, quatenus movetur. <p>Hinc e$t eodem conatu motoris di$parem effici motum, $i potentia æqualiter moveatur cum mobili, ut con$tat: quia ni- mirum impetus mobili impre$$us inæqualem habet inten$io- nem, quamvis entitativè æqualis $it. Si enim tota motoris vir- tus $it 20, & decem impetûs particulas re$i$tentiam $uperantes mobili imprimat, in quo inten$io fiat ut 1, in mobili gravitatis $e$quialteræ, particulæ eædem decem impetûs inten$ionem ef- ficiunt ut 2/3; quare & hujus motus erit $ub$e$quialter, ac pro- inde motor, qui æqualiter cum mobili movetur, etiam tardio- rem habet motum, quàm cùm motum priori mobili conci- liabat. <p>Patet igitur ex his nunquam fieri po$$e, ut corpus grave mi- noris aut æqualis virtutis alterum moveat ita, ut planè in velo- citate con$entiant; illud enim corpus minùs aut æquè grave concipere non pote$t impetum, qui & $ibi ad motum $ufficiat, & alteri impetum imprimat: finge $cilicet animo fui$$e impe- tum impre$$um corpori æquè vel magis gravi; hîc utique cum non excedat re$i$tentiam mobilis, nullum efficere pote$t mo- tum; igitur neque impre$$us fuit impetus, ne $it omninò inuti- lis. Quòd $i eâ ratione di$ponantur ut motor velociùs moveri po$$it quàm mobile, jam fieri pote$t, ut à minore majus movea- tur: nam $i motor certâ quâdam velocitate movere po$$it pon- dus unius libræ motu $ibi æquali, eodem conatu & eádem ve- locitate $e movens movebit pondus centum librarum, $i hoc ita $it di$po$itum, ut centuplo tardiùs moveatur: quia nimirum idem entitativè impetus in hoc pondere centuplo remi$$ior, quàm in pondere unius libræ, $ufficit ad motum centuplo tar- diorem. Motus $iquidem centum librarum $ubcentuplus in ve- locitate, æqualis e$t motui unius libræ centuplo in velocitate; $i enim libra percurrit centum $patij digitos $ibi $uccedentes in longitudine, pari tempore centum libræ percurrunt quidem unicum digitum longitudinis $patij, centum tamen $patia digi- talia percurrunt, $ingulæ $cilicet libræ digitum. <pb n=167> <HR> <C>CAPUT V.</C> <C><I>In quo Machinarum vires $itæ $int.</I></C> <p>POtentiam oneri movendo cæteroqui imparem præ$tare po$- $e, $i machina adhibeatur, quotidiano experimento di$ci- mus; adeò ut ip$a unica pluribus potentiis machinâ de$titutis virtute æqualis $it, & quæ pondus $olitarium ac $implex loco pror$us movere non poterat, ubi $e ad machinam applicuerit, jam non ponderi tantùm, $ed & machinæ motum conciliet. Quid ergo illud $it, ex quo huju$modi virium incrementum oritur, hîc perve$tigandum e$t; & ad illud cau$æ genus revo- catur, quam Scholæ Formalem appellant; e$t $cilicet ratio, per quam fit, ut $it, atque dicatur Machina: hoc autem incremen- tum virium, ut ex dicendis con$tabit, ex machinæ figurâ pen- det $ecundùm quam potentiæ, & ponderis motus $ibi invicem pro ratâ portione re$pondent. <p>A machinâ quâ machina e$t, potentiæ moventis vires non augeri certum e$t; nihil enim illi interioris virtutis impertitur, & quâ machina e$t, ab omni innatâ gravitate $ejuncta intelli- gitur: vectis $iquidem, ferreus $it, $ive ligneus, machinæ ra- tionem non immutat, $i $ola intercedat materiæ gravioris aut levioris di$paritas. <p>Quòd $i faciliùs ferreo vecte tricubitali deor$um premens at- tollas $axum, quàm $i ligneo vecte pariter tricubitali utaris (quia nimirum ferreus vectis habet $ibi adnexam ex gravi ma- teriâ, quâ con$tat, potentiam, quæ deor$um urgendo te juvat, ut $axum attollatur,) id planè e$$e extra vectis naturam, quâ vectis e$t, manife$tum erit, $i non deor$um, $ed $ur$um, aut à lævâ in dextram connitendum $it, ut duo connexa disjungas; tunc enim ferrei vectis gravitas $a$tentanda laborem potiùs creabit, quàm ut præ $imili ligneo vecte motum hunc facilio- rem reddat. Quare præter Mechanicæ facnltatis in$titutum machinis accidit, ut gravitate $uâ potentiæ moventis vires ad- augeant, non quidem illam immutando, facto interiore virtu- <pb n=168> tis additamento; $ed aliam potentiam, quæ conjunctis cum illi viribus agat, con$ociando. <p>Sed & illud animadvertendum e$t, vix unquam fieri po$$e, ut potentia movens nihil pror$us impedimenti à machina reci- piat: $ivè enim machinæ ip$ius pars aliqua gravis elevanda e$t; $ivè membrorum, in quæ machina di$tribuitur, invicem con- fligentium, $eque vici$$im terentium a$peritas ob$i$tit; $ive mo- tus (ut machinæ ip$i, cui applicatur potentia, ob$ecundet) à $uâ directione inflectitur; $ivè quid huju$modi intercedit, quod aliquid de motûs velocitate imminuat, quæ cæteroqui concep- tum potentiæ ab omni machinâ ab$olutæ impetum con$equere- tur. Ex his tamen aliqua $unt, quæ ita motui potentiæ offi- ciunt, ut ad retinendum onus juvent; hujus $iquidem gravitas minùs adversùs potentiam valet, $i & ip$um, quia machinæ il- ligatum à recto in centrum gravium tramite deflectere, vel mutuum partium $e terentium conflictum vincere cogatur, ut vim potentiæ inferat. Verùm hæc, quamvis, ubi res ad praxim deducitur, per incuriam di$$imulanda non $int, $ub $taticam con$iderationem hîc non cadunt, ubi machinarum vires ex- penduntur; harum enim figura perindè attenditur, atque $i nihil adjumenti, nihil detrimenti ex materiâ accederet. <p>Ad rem itaque propiùs accedentibus recolenda $unt ea, quæ in $uperioribus hujus libri capitibus di$putata $unt, proximam videlicet motûs effectricem cau$am impetum e$$e $ive ab inte- riore virtute manantem in iis, quæ $ponte $uâ moventur, $ivè extrin$ecùs aliunde impre$$um iis, quæ naturâ repugnante per vim cientur: ex cujus impetûs inten$ione, quatenùs omnem re$i$tentiam $uperat, motuum velocitas oritur: nunquam autem à velocitate aut tarditate motum $ejungi po$$e certum e$t, quip- pe qui nec $inè $patio per quod decurratur, nec $inè partium $ibi certâ lege $uccedentium continuatione ac $erie intelli- gi pote$t. Quare & re$i$tentiæ momenta tùm ex corporis movendi gravitate, tùm ex velocitate componi $æpiùs innui- mus, ut hinc innote$cat fieri facilè po$$e, ut, $icut eju$dem gravitatis re$i$tentia inæqualis e$t, $i velocitate inæquali mo- venda $it, & gravitatum inæqualium di$paria $unt re$i$tentiæ momenta, $i Ratio, quæ ex gravitatum & velocitatum Ratio- nibus componitur, $it Ratio Inæqualitatis, quia gravior velo- <pb n=169> ciùs, minùs gravis tardiùs movetur; ita gravitatum inæqualium par $it re$i$tentia, $i quæ inter gravitates intercedit Ratio, ea- dem reciprocè inter velocitates inveniatur. Quemadmodum enim quæcumque calori adver$antur, vehementiorem quidem validi$$imè re$puunt, tenui$$imum verò facillimè admittunt; haud di$pari ratione pondera, $i velociùs incitare velis, im- pensiùs reluctantur, minimo ac tardi$$imo motui levi$$imè ob- $i$tunt. <p>Quoniam igitur naturâ definitum e$t, quantam gravitatem, quantáque velocitate, pro certâ impre$$i impetûs men$urâ, mo- vere po$$it Potentia concepto impetu, qui pro ratâ portione re$pondeat impetui quem illa oneri imprimit, ut Potentia, & onus æquali velocitate moveantur; $atis con$tat eandem impe- tús men$uram parem e$$e movendo oneri graviori, $i quá Ra- tione po$terior hæc gravitas priorem gravitatem vincit, eâdem Reciprocè Ratione prioris velocitas po$terioris tarditatem $u- peret; utrobique $cilicet par e$t re$i$tentia, ac proinde ab eâ- dem potentiâ vinci pote$t. Cùm enim ea, quæ $imul æqualiter moventur, æquali impetu ferantur; $i Potentia tàm tardè mo- veretur ac pondus per machinam, indigeret impetu ex. gr. $ub- quintuplo ejus quo illa movetur quintuplo velociùs ac ip$um Pondus. Verùm impetus hîc $ubquintuplus ineptus e$$et ad oneris re$i$tentiam quintuplo ferè majorem vincendam; $ed $o- lum $uperare po$$et ac movere 1/5 ponderis. Quinque igitur im- petus huic æquales po$$unt totam re$i$tentiam $uperare. Cum itaque in motu quintuplo velociori Potentiæ $it verè impetus quintuplus, poterit etiam elevare pondus, quod e$t quintuplo majus, quàm $it 1/5 ip$ius. Verùm híc ubi de motûs velocitate $ermo e$t, non is quidem ab$olutè accipiendus e$t; $ed quâ parte gravium naturæ repugnat: $i enim plumbeus globus A ex C dependeat funiculo CA, & circà ver$atilem or- biculum B $tabili axi infixum ducatur filum connectens globos A & D, cettum quidem e$t globum A, $i u$que ad B perveniat, tantumdem $patij in arcu AB percurrere, non tamen tantumdem a$cendere, quantum globus D $e- cundùm rectam BD de$cendit; $ed a$cen$um metitur AE, nimirum Sinus Ver$us arcûs AB, qui minor e$t codem arcu (arcus $iquidem major e$t rectâ AB lineâ ip$um $ub- <pb n=170> <FIG> tendente, quæ oppo$ita recto angulo E major e$t quàm trianguli ba$is AE) ac propterea re$i$tentiæ momenta non ea $unt, quæ ex velocitate motûs AB, $ed AE, & ipsâ globi A gravitate componuntur. Ex quo fit globum D quam- vis minorem po$$e globo A graviori præ$tare, ac illum ad certam altitudinem ele- vare, ut cuilibet experiri licet, cum tamen illi a$cen- $um $uo de$cen$ui æqualem nullatenùs conciliare po$$it. Quòd $i idem globus A ex breviore funiculo HA dependeat, experimento con$tat opus e$$e globo D gravitatem addere, ut valeat illum per arcum AF elevare ad eandem altitudinem AE: magis quippè laborio$um e$t breviore motu AF, quàm longiore motu AB ad eandem altitudinem a$cendere; atque adeò plus virium in D requiritur, ut globo A majorem impetum imprimat, ex cujus inten$ione plus $ingulis temporis momentis a$cendat in hoc po$teriore motu, quàm in priore. Ne tamen motui globi D tribue men$uram arcûs AB $ed rectæ AB. <p>Sicut autem ubi potentiæ & oneris æquales e$$e debent mo- tus, potentiæ vires gravitate oneris majores e$$e oportet, ut vim illi inferant; ita pariter ubi potentia & onus in motuum velo- citate di$$entiunt, & illa quidem velociùs, hoc tardiùs move- tur, nece$$e e$t majorem e$$e Rationem Potentiæ ad Onus (licet illa minor $it onere) quàm $it Ratio tarditatis hujus ad illius velocitatem; ut $cilicet ratio Potentiæ ad onus, quæ ex mo- tuum, & virium Rationibus componitur, $it Ratio majoris inæ- qualitatis. Sit ex. gr. Ratio motûs Potentiæ ad motum Oneris ut 3 ad 2; $i Ratio virium potentiæ ab$olutè $umptæ ad gravi- tatem oneris $it Reciprocè ut 2 ad 3, Ratio ex his Rationibus compo$ita e$t Æqualitatis, $cilicet 1 ad 1, & motus nullus $e- quitur; multò minùs $i fuerit Ratio minor quàm 2 ad 3; prove- <pb n=171> niret enim Ratio minoris Inæqualitatis: debet ergo e$$e major Ratione 2 ad 3. Sit ex hypothe$i Ratio 4 ad 5; jam Ratio com- po$ita ex Rationibus 3 ad 2, & 4 ad 5, e$t Ratio 6 ad 5 majoris Inæqualitatis. <p>Neque hoc ita dictum intelligas, qua$i motus ip$e Potentiæ, eju$que velocitas, efficiendi vim haberet; $ed ex ipsá majore potentiæ velocitate innote$cit impetum, qui radix e$t motûs, minus invenire impedimenti ex onere, quod minùs re$i$tit, eo quòd tardiùs movendum e$t, quàm $i æqualem velocitatis gra- dum cum potentiâ $ortiri deberet. Quare licèt potentia minor $it, ac pauciores entitativè particulas impetús producere valeat, quàm potentia major, $atis in aperto e$t fieri po$$e, ut potentia major majorem inveniens re$i$tentiam nequeat impetum im- primere, ac movere onus, quod movebitur à minore potentiâ, $i onus idem minùs re$i$tat, cum $it tardiùs movendum: impe- tus enim à minore potentiâ oneri impre$$us $atis e$t ad vincen- dam minorem hanc re$i$tentiam; cum tamen potentia major non $atis habeat virtutis, ut eam impetús men$uram oneri im- primat, quæ majorem illius re$i$tentiam $uperaret. <p>In eo igitur totum Mechanices artificium con$i$tit, ut $ua in$trumenta ita di$ponat, loci$que congruis ita Potentiam, & Onus collocet, ut Potentiæ motus velocior $it præ motu Oneris: tùm horum motuum Ratione attentè per$pectâ definies, quæ- nam Potentia datum Onus movere, vel quodnam Onus à datâ Potentiâ moveri queat; $i nimirum Potentiæ vires ad oneris gravitatem majorem habeant Rationem, quàm $it Ratio motùs Oneris ad motum Potentiæ. Neque enim Machina aut Poten- tiæ vires auget, aut oneris gravitatem minuit, $ed Ponderis re- $i$tentiam ad Potentiæ virtutem accommodat. <p>Phy$ica autem cau$a hæc e$t, quia impetus à Potentiâ pro- ductus, qui in onere minori movendo æque velociter cum po- tentiâ major&etilde; haberet inten$ionem, in onere majore $ed tardiùs movendo minorem quidem habet inten$ionem, $ed quæ $atis e$t pro minore re$i$t&etilde;tia. Fac enim oneris particulas graves e$$e 20, illique à Pot&etilde;tiâ aliquãto graviore imprimi particulas 100 impe- tûs, quibus vincitur Oneris re$i$tentia: inten$io in $ingulis par- ticulis gravitatis e$t particularum impetûs 5, juxtà quam inten- $ionis men$uram $equitur motus æque velox Potentiæ & oneris, <pb n=172> hujus quidem per vim $ursùm; illius verò juxtà naturam deor- $um. Sit adhuc eadem Potentia; $ed offeratur Onus, cujus particulæ gravitatis $int non jam 20; $ed 50: Potentiæ virtuse$t eadem; quapropter non ni$i re$i$tentiam vincere pote$t, cui vincendæ $ufficiant particulæ 100 impetus; hæ autem in One- re graviore ut 50 efficerent $olùm inten$ionem ut 2: Non igitur Potentia & onus æquè veloci motu, qui re$pondeat inten$ioni ut quinque, $icuti priùs, moveri poterunt; $ed ut onus moveri po$$it, impetúmque à potentiâ recipere, opus e$t ita illud col- locare, ut quò magis Ratione gravitati re$i$tit; cò minùs ra- tione tarditatis motûs re$i$tat, $eque eâ ratione temperent duæ hæ re$i$tentiæ, ut una confletur re$i$tentia non major illâ, quæ oriebatur ex onere gravi ut 20 æqualiter movendo: id quod fiet, $i motus Potentiæ, quatenùs machinæ applicatur, ad mo- tum oneris $it ut 5 ad 2 in Reciprocâ Ratione inten$ionum im- petûs producti. Quare motus Potentiæ ad motum oneris e$t duplus $e$quialter, quemadmodum po$terior hæc oneris gravi- tas ut 50 e$t prioris gravitatis ut 20 dupla $e$quialtera: atque hinc manife$tum e$t particulas gravitatis 50 re$i$tentes ut 2 ra- tione motûs comparati cum motu potentiæ, requirere particu- las 100 impetûs, quemadmodum particulæ gravitatis 20 re- $i$tentes ut 5 ratione motûs comparati cum motu cju$dem Po- tentiæ requirunt particulas 100 impetûs. Quid igitur mirum, $i potentia eadem eodem conatu movet onus ut 50 velocitate ut 2, quo conatu movet onus ut 20 velocitate ut 5? <p>Servatur itaque perpetua quædam ju$titia inter potentiæ vi- res, oneris gravitatem, $patia motuum, ac tempora; quò enim decre$cunt potentiæ vires, aut oneris gravitas augetur, eò bre- viora $unt $patia, & longiora tempora motuum ip$ius oneris; $ed ampliora $patia motuum potentiæ debilioris, quæ præ one- re velociùs movetur. Hinc dato onere graviori $ubmovendo, aut potentiam augeri, aut, $i illa immutata permaneat, oneris motum imminui, $eu potentiæ motum augeri nece$$e e$t: Te- nui enim potentiâ ingens pondus citò moveri non pote$t. <p>Formalem igitur Machinæ Rationem, quâ Machina e$t, in eo $itam e$$e deprehendimus, quòd ea figura $it, quæ potentiæ, & oneris motibus legem ita $tatuat, ut Potentia velociter, Pon- dus lentè moveatur; $ic enim fit, ut minor oneris re$i$tentia vir- <pb n=173> tuti vim movendi, etiam$i minorem, habenti pro ratâ portio- ne re$pondeat. Satis igitur erit, ubi $ingularum machmarum vires expendendæ erunt motuum inire rationes, qui ex machi- næ agitatione oriuntur: nam $i Potentia præ Onere velociùs moveatur, operæ pretium faciet Machinator; modò non adeò tenuis $it motuum Ratio, ut quiequid utilitatis ex machinæ fi- gurà accedit, deferatur ex partium $e terentium conflictu; nam perinde e$$et, ac $i oneri gravitas adderetur. <p>Ex his liquet à non paucis plus operæ labori$que con$ump- tum, quàm par e$$et, ut Ari$toteli adhærerent in referendis machinarum viribus in circuli naturam planè admirandam: <I>Quapropter</I> inquit initio qq. Mechan. <I>non e$t inconveniens ip$um m<*>raculorum omnium e$$e prmcipium. Ea igitur quæ circà libram fiunt, ad circulum referuntur, quæ verò circa ve<*>em, ad ip$am libram; alia autem ferè omnia, quæ circa mechanicas $unt motiones, ad vectem.</I> Ni$i enim fucum veritati faciamus, quæ demum mi- racula ita circulum à reliquo figurarum vulgo $ecernunt, ut in cum admiratio omnis corrivata confluat, nec ni$i hinc in cæte- ras derivetur? An quòd linea eadem, quâ circuli ambitus de- finitur, omnis latitudinis expers, cava pariter atque convexa amico fœdere copulat, quæ $ibi invicem repugnant? Cavum $i quidem à convexo, quæ recto interjecto di$eriminantur, per- inde di$$idere cen$emus, atque minus à majori, inter quæ $ibi adver$antia id, quod æquale e$t, intercedit. At hæc ita vulga- ria $unt, ut non Hyperbolæ $olùm, ac Parabolæ, aut Nicome- dis Conchoidi, aut Archimedis Spiralibus, aut Dino$trati Quadratici, cæteri$que omnibus extrà Geometricas leges cur- vis lineis communia $int; verùm etiam in angulo quocumque rectilineo facilè ab omnibus ob$erventur; cum lineæ rectæ, qui- bus inclinatis angulus con$tituitur, hinc quidem $ibi mutuis nutibus annuere, hinc verò abnuere videantur; quibus oppo- $itis nutibus media pariter interjacet directa po$itio, omni in- clinatione $ubmotâ. <p>An ipsâ na$centis Circuli exordia admiratione non carent, quòd æquè ex Radij eju$dem in centro $ub$i$tentis quiete, ac circumlati motu oriatur? Sed quid hæc in circulo potiùs $u$- piciamus, quàm in Helice, cui gene$is haud di$par contingit? Quòd $i circulo primas ideò deferendas exi$timemus, quòd <pb n=174> in $e recurrens peripheria ibi $ui motûs terminum inveniat, unde $ump$it exordium; & circumacta, quæ ex adver$o $unt, partes oppo$itis cieat motibus, ita ut progredientibus $upremis infimæ regrediantur, & in ima detrudantur $i- ni$træ, dextris in altiora provectis: Quid Ellip$im præjudi- cio repellimus? cum & hæc unico limite cavo pariter atque convexo in $e$e redeunte circum$cripta in contrarias partes incitetur; nec à rectâ tantummodo lineâ alternis auctà cre- mentis, imminutáque decrementis altero terminorum quie$- cente, $ed ettiam (quod verè miraculo proximum e$t) utroque extremo flexilis lineæ in binis Ellip$eos umbilicis defixo ab illâ in alios, atque alios angulos $inuata de$- cribatur. <p>At, inquis, in circulo $emidiametri partes codem im- pellente circà centrum agitatæ ita di$pari velocitate ferun- tur, ut earum tarditas aut concitatio intervallo, quo $in- gulæ à centro ab$unt, $it analoga. Verùm & hoc Ellip$i, ac plano Helicoidi aliquatenùs pro $uo modulo commune e$t; $emidiametri enim circumactæ puncta à centro remo- tiora velociùs feruntur. Partes autem quie$centi centro pro- piores cunctabundas moveri, naturæ pro viribus oppo$ita di$terminantis in$tituto con$entaneum e$$e nemo non videt, qui tarditatem interjici videt quietem inter, ac motûs ve- locitatem. Quare $apienti$$imo con$ilio factum, ut corum, quæ firmo nexu invicem $olidata $ub$i$tunt, vel particu- læ omnes æquis pa$$ibus moveantur, vel $i qua moræ di$- pendium $ubeat, finitimarum velocitas, $ervatâ aliquâ vi- cinitatis analogiâ minuatur: ne $cilicet $olutâ compage di$- $iliant. <p>Quæ verò ad explicandum, cur ea, quæ centro propiora $unt, tardiùs in gyrum contorqueantur, Author illius libri Quæ$t. mechan. commini$citur de duplici motu, naturali vi- delicet, ac præter naturam, quibus feratur ea, quæ circu- lum de$cribit linea (qua$i breviorem lineam vis major à tra- hente centro illata magis à naturali motu, qui $ecundùm Tangentem e$t, deflecteret) ea $unt, quæ facillimè cor- ruant, & minimè cum Ari$totelis doctriná cohæreant, qui lib. 1. de Cælo. $umma 4. circularem motum & $implicem, & <pb n=175> naturalem, & priorem recto di$erti$$imè pronunciat; <I>Perfectum enim,</I> inquit text. 12; <I>prius naturâ e$t imper$ecto; circulus autem perfectorum e$t, recta verò linea nulla.</I> Quis ergo in circulo motus præter naturam? <I>nece$$arium e$t,</I> ait text. 8. <I>e$$e ali- quod corpus $implex, quod natum e$t ferri circulari motu $ecun- dùm $uam ip$ius naturam.</I> Ea certè quibus in$ita e$t in mo- tum propen$io, in gyrum aguntur, ut $ydera; aut $altem mo- tu in $e recurrente circulum æmulantur, ut ex cerebri & cor- dis $y$tole ac dia$tole $pirituum ac $anguinis circuitio oritur; aut plurium circularium motuum commixtione unum tempe- rant motum, ut animalia cum progrediuntur; o$$a $iquidem, quibus membra $ub$i$tunt, ita à mu$culis commoventur, ut unumquod que $ui motus centrum con$tituat in eâ finitimi o$$is parte, cui $ivè <G>*kaq) e)na/r<*>rwsin</G>, $ive <G>kata/ dia)rqrwsin</G> flexili com- page in$eritur. At motu recto, ut potè brevi$$imo, nihil fertur, ni$i cui ex naturæ in$tituto cedit quies certo in loco, à quo ab$tractum fuerit, eóque $ibi redditum $pontè remigrat. Nihil igitur præter naturam in circuli motu deprehendi pote$t, ex quo di$par illa intimarum atque extimarum partium velocitas petenda $it; cum vix alium natura per $e expetat $implicem motum præter circularem. Cur autem qui $ecundùm rectam extremæ $emidiametro ad perpendiculum in$i$tentem lineam fit motus, naturalis cen$eatur? An quia gravia $uis nutibus ad terræ centrum rectâ feruntur? Semidiametro igitur, ni$i in verticali plano con$tituatur horizonti parallela, motus qui $e- cundùm lineam circuli Tangentem e$t, præter naturam con- tinget, quippe qui à rectâ, quæ gravia in centrum dirigit, de- flectat: & in circulo horizonti parallelo circumacta $emidiame- ter nullo naturali motu agitabitur; nulla enim recta linea cir- culi Tangens in eo plano e$t, quæ lineæ directionis gravium congruat: & tamen quemcumque demum $itum circulus eju$- que $emidiameter obtineat, eandem $emper motuum analo- giam $ervant partes pro ratione intervalli à centro, citrà ullam motuum naturalis, & præter naturam, commi$tionem. <p>Verùm mirifica $it circuli natura; quid hæc ad explicandam Mechanicarum motionum cau$am? an ut hanc ignotam fatea- mur, quia admirandam prædicamus? $ed unico argumento, commenta huju$modi disjiciamus. Si minor potentia majori <pb n=176> ponderi prævaleat, nullú$que intercedat circularis motus, certũ e$t hoc virtutis increm&etilde;tum neque in Vectem, neque in libram neque in Circulum referri po$$e: adeóque principium aliud e$$e magis latè patens, à circulo ab$olutum: Atqui citrà omnem cir- cularem motũ minor potentia præpollet graviori ponderi: Mani- fe$tum e$t igitur fru$trà ex circulo peti Mechanicarum motio- num principium; $ed illud e$$e, quod à nobis indicatum e$t, quippe quod, ubicumque reperitur, hoc efficit, ut minor po- tentia majori ponderi motum conciliet, nec is unquam $ine illo contingit. <p>A$$umptionis veritas ut innote$cat, ingen$que pondus tardè movendum à tenui virtute $ine circulari motu propelli po$$e confirmem, non ego te in $uburbanum campum deducam, ut tenerrimo germini $uppullulanti incumbentes glebas demùm loco ce$$i$$e ob$erves, aut marmora Me$$alæ $cindentem capri- ficum obtrudam, turre$que longâ annorum $erie labefactatas enatis fruticibus atque virgultis; ne mihi fortè herbe$centes cuneos obtrudas, quos ad vectem, & circulum revocare velis. <FIG> <p>Sed age raptandus $it in plano horizontali, aut inclinato, aut etiam elevandus $it ad perpendiculum cylindrus A. Experire primùm quanto labore id præ$tes illum trahens illigato fune in C, & arreptâ extremitate funis B. Tùm in B infixo firmi- ter paxillo ductarius funis alligetur; hic porrò in$eratur annu- lo C optimè ferruminato, & quoad ejus fieri poterit exqui$itè polito, atreptáque alterâ funis extremitate D iterum trahe cy- lindrum, & quantò minori labore id perficias, tu te ip$e doce- bis. At hîc nulla circuli vides miracula; hîc libra nulla; nullus hîc vecti locus: motus enim tùm potentiæ trahentis, tùm cy- lindri, rectus e$t. Facilitatis autem di$erimen non ex ullo cir- culari motu, qui nu$quam apparet, $ed ex eo oritur, quòd pri- mùm potentia & onus æqualiter moventur; po$teà verò cylin- <pb n=177> dri velocitas $ubdupla e$t velocitatis potentiæ; quia cum ex C cylindrus venit in B funis ultrà B extenditur juxtà longitudi- nem CB u$que in E; ac propterea motus potentiæ duplus e$t, $cilicet CE. <p>Statue item in pariete puncta duo A & B (quo autem majo- re intervallo disjuncta fuerint, res meliùs $uccedet) ibique clavos rotundos nihil ha- <FIG> bentes a$peritatis infige. Tùm pondera duo H & G æqualia a$$ume, eáque funiculo nullis nodis a$pe- ro, $ive $erico crudo, $ive crinibus equinis connexa impone claviculis A & B, ut liberè ex iis depen- deant: $uâ autem gravitate funiculum AB intentum Horizonti parallelum $ervabunt, & neutro prævalente ob gravitatis æqualitatem prorsùs immota con$i$tent. Elige jam pondus tertium I, quod alteri datorum H & G æquale $it, aut etiam $ingulis aliquantò minus; illud- que in E extento funiculo AB adnecte: $tatim pondus I $ecun- dùm rectam EF de$cendens videbis; pondera autem H & G per rectas HA, & GB a$cendentia, quâ men$urâ funiculi in- flexi partes AF, BF $imul $umptæ excedunt rectam AB. Nul- lus igitur motus circularis hîc e$t; $ed omnes recti ad perpendi- culum, & tamen potentia I minor commovet majus pondus, quod ex H & G conflatur. <p>Id autem ideò contingere, quia motus EF de$cendentis I major e$t motu a$cendentium H & G, hinc manife$tum e$t, quòd pondus I u$que ad certum terminum de$cendit, ibique $ub$i$tit: quòd $i illud manu apprehen$um adhuc deor$um trahens eleves pondera H & G, ubi manum indè ab$traxeris, pondera H & G prævalent, ac de$cendentia elevant pondus I ad certum illum terminum, ubi $ponte $ub$titerat: quia nimi- rum ultrà illum terminum non jam major e$t Ratio ponderis I ad pondera HG, quàm $it Ratio motuum H & G ad motum I. Hæc autem inferiùs, ubi de librâ & Æquilibrio $ermo erit, paulò fu$iùs & dilucidiùs explicabuntur; nunc enim $atis e$t <pb n=178> pro in$titutâ di$putatione o$tendi$$e minorem gravitatem præ- pollere citrà omnem motum circularem. <p>Ratum itaque e$to ad nullum certum machinæ genus cætera e$$e revocanda; $ed omnibus commune e$$e principium, ex quo vires de$umunt; impetûs $cilicet à potentiâ producti proportio ad ponderis re$i$tentiam (quæ cò minor e$t, quò tardiùs mo- veri debet) ea e$t, quæ motûs facilitatem conciliat; nullus quippe adeò tenuis impetus reperitur, cui lenti$$imus aliquis motus non re$pondeat, $i intereà à velociori motu potentia non prohibeatur. Ubi autem de potentiæ velocitate $ermo e$t, non ea intelligatur, quæ e$$et, ubi præter $e nihil ip$a moveret, ab- $oluta ab omni re$i$tentiâ; $ed eam velocitatem intellige, quæ comparatè dicitur, ubi ejus motus cum oneris motu confertur. Semper tamen impetus, qui in Potentiâ reperitur quatenùs ex- cedit re$i$tentiam ponderis, majorem in eâ intentionem ha- bet, quàm in pondere, quamvis pares entitativè $int impetus Potentiæ, & oneris. Hæc autem clariùs patebunt lib.4. cap.1. <HR> <C>CAPUT VI.</C> <C><I>Quid attendendum $it in Machinæ collocatione, atque materie.</I></C> <p>QUamvis in$tructarum Machinarum vires ad calculos revo- centur in$pectâ earum figurâ, ut Potentiæ atque oneris motus invicem comparentur; quo tamen loco & $itu Machina ip$a collocetur, di$piciendum e$t, ut innote$cat, quanta illi vis inferatur tùm ab oneris gravitate, tùm à potentiæ conatu: ex hoc $iquidem decernendum erit, quàm $olidam con$trui opor- teat Machinam. Quotus enim qui$que e$t, qui ignoret longè $olidiorem requiri machinam, $i ex illa dependeat, aut illi in- cumbat onus, quàm $i non machinæ; $ed $ubjecto plano, inni- tatur idem pondus, aut aliunde dependeat? alia $cilicet $unt gravitatis momenta contrà virtutem $u$tinentem etiam citrà motum, alia verò momenta, quatenus motui adver$atur. <pb n=179> Hinc operæ pretium fuerit non contemnendum, $i res ita à Machinatore di$ponantur, ut pondus, quàm minimum fieri po$$it, à machinâ $u$tineatur: hâc enim ratione fiet, ut lon- giùs avertatur periculum luxationis aut fractionis membrorum, quibus machina di$tinguitur, etiam$i exilior illa fuerit; & ma- chinæ gravitas aliqua $ubtrahetur, dum moles ip$a minuitur, atque proinde movendi oneris difficultas non augebitur ex ma- chiná; quæ etiam minore impendio parabitur. <p>Sit exempli gratiâ pondus A, quod $it trochleâ attollendum in D. Poterit id duplici ratione fieri; primùm raptando illud in plano Horizontali ita, ut ex B <FIG> veniat in C, tùm alligatâ tro- cleâ in I illud attollendo ad perpendiculum u$que in D: cum raptatur, totum incumbit pondus $ubjecto plano; cum at- tollitur, totum ex trochleâ de- pendet. At $i trochleâ utaris, de cujus firmitate $ubdubites, & loci di$po$itio ferat, ut po$- $it ex E & H onus $u$pendere, res faciliùs perficietur. Ponde- ri enim A adnecte funem OE, ex quo pendere po$$it in E, ac prætereà tantumdem funis OS liberè vagantis; trochleam au- tem alliga in F: ubi verò ope trochleæ adduxeris pondus ex O in G, tùm funem OS liberè vagantem eleva, ac benè inten- tum adnecte in H, ut jam pondus ex H dependeat ad perpen- diculum: Ex hoc fiet, ut re$oluto fune OE, liberéque vagan- te, ope trochleæ in F alligatæ adducas pondus ex G in D mul- tò minori labore, quàm $i ex B in C illud raptâ$$es, & ex C in D $u$tuli$$es. Con$tat autem pondus idem minùs conniti adversùs lineas FG aut FD, quàm adversùs perpendiculares HG aut ID, ex iis quæ di$putata $unt lib. 1. cap. 15, ac propterea etiam minùs dubitari pote$t de trochleæ firmitate. <p>Hoc autem compendium elevandi pondera perinde, atque $i per planum inclinatum attollerentur, ea $cilicet $u$pendendo atque obliquè trahendo, ubi in praxim ritè deduxeris, appa- <pb n=180> rebit quanto labori, & quàm magnis $umptibus parcatur: cum neque vincendus $it partium tritus atque conflictus inter pon- dus, ac $ubjectum planum, neque $ternendum $it multo robo- re planum ip$um, quod oneri $u$tinendo non impar $it. At ubi funem EO, quoad ejus fieri poterit, intenderis, aquá largiter imbuito; hoc enim fiet, ut $e$e contrahens etiam paulò inten- tior, atque ad de$tinatum opus evadat aptior. <p>Quæ cum ita $int, alia $e offert methodus elevandi pondera non levi laboris compendio, $i nimirùm duplex adhibeatur <FIG> trochlea, altera quidem in A imminens pon- deri ad perpendiculum, altera verò in B. Adhibita igitur trochlea B elevabit pondus ex C in D, ibique totum ex B pendebit: tùm vici$$im trochleâ A utere, & ex D in E a$cendet pondus, quod ibi totum ex A pen- debit: iterum igitur adhibe trochleam B, ut ex E in F a$cendat; atque vici$$im, adhibitâ trochleâ A a$cendet ex F in G; & $ic de- inceps. <p>Ubi vides motum ponderis a$cendentis per arcus CDEFG majorem e$$e quàm $i rectâ ad perpendiculum elevatum fui$$et ex C in G. Quia verò altitudines perpendiculares $ingulis ar- cubus re$pondentes $ubinde majores fiunt, propterea plus vi- rium à potentia movente adhibendum e$t in progre$$u. Quâ autem Ratione altitudines illæ perpendiculares cre$cant, faci- lè innote$cet, $i arcuum $ingulorum Sinus ver$os $uis Radiis re$pondentes ad calculos revocaveris; arcus enim $uperiores & plurium e$$e graduum, & ex Radio minori, manife$tum e$t: di$tantia autem parallelarum AC, BD perpendicularium ea- dem $emper e$t; quapropter & æquales lineæ $unt Sinus Recti arcuum inæqualium in circulis inæqualibus, videlicet arcuum majorum in circulis minoribus. Quamquam nec omninò ne- ce$$e e$t ità $ingulis tractionibus pondus attollere, ut ad per- pendiculum dependeat, $i maximè trochleæ invicem non mo- dicum di$tarent; $ed $ufficeret alternis operis trochleas agita- re, ut a$cendens pondus modò ad hoc, modò ad illud perpen- diculum accederet, ita tamen ut ultró citróque tran$grediatur perpendiculum, quod medium cadit inter extremas AC & BD; <pb n=181> alioquin par non e$$et utriu$que trahentis labor. Cæterùm $atius e$t A & B parùm di$tare. <p>Ut autem exemplo aliquo res manife$ta fiat, $tatuamus alti- tudinem AC e$$e pedum 70, di$tantiam verò AB pedum 30, cui æqualis e$t ea, quæ ex D cadit perpendicularis in AC, $ci- licet DS. Quare in triangulo ASD rectangulo nota e$t Hy- pothenu$a AD, quæ æqualis e$t ip$i AC, & nota e$t Ba$is SD. Atqui con$tat Perpendiculum AS e$$e medio loco pro- portionale inter $ummam atque differentiam Hypothenu$æ ac ba$is, $cilicet inter 100 & 40; igitur ducta prima in tertiam, videlicet ducta $umma in differentiam dabit 4000 Quadratum Mediæ (hoc e$t perpendiculi AS) cujus Radix ped. 63 1/4 ferè e$t Perpendiculum AS. Igitur elevatio CS e$t ped. 6 3/4. <p>Cum itaque BD æqualis $it ip$i AS (jungunt enim paral- lelas æquales AB & SD) iterum in triangulo BVE rectangu- lo nota e$t Hypothenu$a BE ped. 63 1/4, & Ba$is EV e$t ped. 30: Quare inter $ummam ped. 93 1/4, ac differentiam ped. 33 1/4 media proportionalis ped. 55. 67″. e$t Perpendiculum BV; atque adeò elevatio DV e$t ped. 7. 58″. major quàm CS. Et $ic de reliquis. <p>At $tatue di$tantiam AB $olùm ped. 20: reperies perpendi- culum AS vix excedere ped. 67; quare elevatio CS crit ped. 3 ferè; ac propterea etiam Perpendiculum BV erit paulò majus ped. 63. 94″; & elevatio DV ped. 3. 06″; & $ic de cæteris. <p>Potentiæ verò elevantis motum metitur differentia, quæ inter lineas BC & BD intercedit: quando autem di$tantia AB e$t ped. 30, linea BC e$t ped. 76. 15″; at cum e$t ped. 20, BC e$t ped. 72 4/5. Cum igitur in primo ca$u BD $it ped. 63 1/4, motus potentiæ e$t ped. (12 9/10); in $ecundo autem ca$u cum BD $it ped. 67; linea autem BC $it ped. 72 4/5, motus potentiæ e$t ped. 5 4/5. Quare in primo Ratio motûs Potentiæ ad motum ponderis e$t (12 9/10) ad 6 3/4, in $ecundo Ratio e$t 5 4/5 ad 3: & factâ reductione ad alias denominationes, prima Ratio e$t 86 ad 45, $ecunda Ratio e$t 29 ad 15, quæ $i ad eumdem denominato- rem 45 reducatur, erit 87 ad 45. Con$tat autem majorem e$$e Rationem 87 ad 45, quàm 86 ad 45. per 8. l. 5. Majorem igi- tur Rationem habet motus Potentiæ ad motum ponderis, quan- <pb n=182> do A & B minùs di$tant, quàm cum $eparantur intervallo ma- jore; atque adeò major e$t etiam movendi facilitas. <p>Quòd $i rei hujus minimè dubium experimentum $umere placeat, ip$i$que oculis rem totam $ubjicere citrà omnem de- <FIG> ludentis phanta$iæ $u$picio- nem, firmetur in A orbiculus circà $uum axem ver$atilis, & ex eo æqualia pondera D & E funiculo connexa dependeant ad perpendiculum; quæ prop- ter gravitatis æqualitatem im- mota permanent. Tùm in B firmetur orbiculus circà $uum axem pariter ver$atilis, & a$- $umatur pondus C ponderi E æquale, cui adnectatur funi- culo EBC. Si manu retineas pondus C, ne gravitet, per- $i$tit pondus E in $uo perpendiculo: jam manu retine pondus D, ne pror$us moveatur, ac dimitte pondus C, vi- debis hoc quidem de$cendere, pondus verò E a$cendere, donec ex B dependeat, & in æquilibrio cum pondere C $ub$i$tat. Iterum retine pondus C, & dimitte pondus D, pariterque pondus D de$cendens videbis, E verò adhuc a$cendens; & $ic deinceps u$que eò, dum pondus E uni- cum ambobus D & C æquipolleat, ut $uperiori capite in- dicatum e$t. Id igitur quod à ponderibus D & C præ$tatur, à quâlibet potentiâ æquali in D & C con$titutâ præ$tari po$$e manife$tum e$t. Si itaque $implicibus orbiculis fit, ut pondus æquale po$$it prævalere, multò magis id fiet, $i trochleæ adhi- beantur. <p>Ex his apparet, quid & in cæteris machinarum generibus, analogiâ $ervatâ, dicendum $it, ex quarum opportunâ col- locatione facilitas movendi augentur. Si enim, exempli gra- tiâ, cubus A marmoreus elevandus fuerit vecte BC, mul- tò faciliùs id fiet, $i ille $upponatur cubo, quàm $i ex I ad perpendiculum elevaretur eodem vecte $u$pen$um: ex I $ci- licet totus cubus à vecte $u$tineretur; at $ubjectus vectis <pb n=183> BC ita cubum $u$tentat, ut <FIG> etiam reliquo latere cubus idem $ubjecto plano incumbat. <p>Quemadmodum autem non quemlibet vectem cuilibet oneri elevãdo parem e$$e om- nes intelligunt; $ed habita ra- tione materiæ, ex quâ con$tat, congrua $oliditas ei tribuenda e$t; ita pariter in cæteris omnibus, quæ hùc $pectant ($ive $int machinarum membra, $ive paxilli $int aut tigilli, quibus machinæ adnectuntur) materiæ $oliditatem attendendam e$$e manife$tum e$t, ne frangantur. Et quidem quod ad materiam attinet, non omnium $olidorum partes pari nexu cohærent, $ed alia aliis fragiliora $unt: $ic lignum quernum difficiliùs frangitur, quàm fraxineum aut populcum: neque enim in omni ligno æque opero$a $imili$que $taminum textura repe- ritur; cum etiam lignum idem quaqua ver$um findi non po$- $it pari facilitate; permagni quippe intere$t, recta ne juxtà venarum ductum? an obliquè? $ectio facienda $it. Id quod in ip$is quoque lapidibus, atque marmoribus ob$ervare quan- doque nece$$e e$t, ubi non æquè per omnes partes compacta materia venas habet $ci$$ioni maximè obnoxias. In metallis pariter eorum natura con$ideranda e$t, molli$ne illa $it, ac flexibilis? an verò dura? ut eam, quam $emel induit figu- ram, con$tanter retineat. Ex quo fit, ut pro materiæ di$$i- militudine di$par etiam cra$$ities requiratur: quis enim ne$ciat, quantum ligneum inter ac ferreum eju$dem molis vectem in- ter$it? <p>Verùm illud potiùs con$iderandum videtur, quod ad $oli- ditatem ip$am $pectat, etiam$i materies diver$a non $it; pro variâ enim cra$$itudine mutatur frangendi difficultas; & quia in mole majori plures in$unt partes divi$ioni re$i$tentes, fran- gendi pariter difficultas augetur pro Ratione multitudinis par- tium, $i cætera paria $int. Dubitare videlicet nemo pote$t à duplici partium dividendarum numero duplicem oriri re$i$ten- tiam. Si cætera, inquam, $int paria; nam $i filum $ericum ut rumpatur, requirit vim ut unum, & decem fila $erica paris <pb n=184> cra$$itiei ac longitudinis parallela $imul po$ita requirant vim decuplam; $i in unum funiculum decem illa fila ritè contor- queantur, multò majorem vim quàm decuplam requiri, ut fu- niculus frangatur, manife$tum e$t: quemadmodum & ligneus tigillus multo validiùs re$i$tit fractioni, quàm virgarum fa$ci- culus eidem tigillo æqualis; major e$t enim particularum unio, ubi in unum corpus coale$cant, quàm ubi plura minora corpo- ra con$tituantur. <p>Hinc $i fuerint duo parallelepipeda quadrata A & B, quorum latera $int in Ratione quadruplâ, altitudines verò AC, & BD <FIG> æquales; con$tat ex 32. l. 11 ea e$$e inter $e ut ba- $es; ba$es autem $unt qua- drata laterum; igitur pa- rallelepipedum B e$t $ede- cuplum parallelepipedi A. Finge $exdecim parallele- pipeda ip$i A æqualia in fa$ciculum colligata, & $ci$$ionem faciendam jux- ta lineam OS vi oneris in O po$iti: certum e$t faci- liùs frangi po$$e $exdecim illa parallelepipeda, quàm parallelepipedum B illis omnibus æquale; ut enim $cindatur, curvari oportet vi oneris incumbentis; illa autem $exdecim faciliùs curvantur quàm ip$um B. Id quod manife$tum fiat, $i virgam ex falicto decerpens, eamque leniter inflectens ob$erves, quâ quidem parte virga curvata e$t, tenerum corticem in rugas a$$urge- re atque cri$pari, quâ verò parte convexa e$t, corticem di$trahi atque di$tendi. Ex quo facilè arguimus, quid durio- ribus corporibus contingat, quæ non adeò manife$tè corru- gari po$$unt; flecti $cilicet nequeunt, quin aliqua fiat inte- riorum partium compre$$io, & exteriorum di$tractio. Hinc in parallelepipedo B, quod flecti intelligitur, ut $cindatur, partes, quæ circa O, comprimuntur; quæ verò circà S, di$trahuntur: huic autem motioni repugnant omnes particu- <pb n=185> læ vi nexûs, quo unaquæque cum $ibi proximè cohærentibus particulis colligatur. Cum autem $exdecim illa parallelepipe- da minora non $int invicem connexa, quemadmodum particu- læ omnes parallelepipedi B in unam molem coaluerunt, con$tat pauciores nexus faciliùs, quàm plures, di$$olvi. <p>Hoc verò ut pleniùs atque apertiùs explicetur, intellige $o- lidum longiu$culum RS in plures tenues laminas plano RI parallelas divi$um, $ibi- <FIG> que ita vici$$im con- gruentes, ut earum ex- tremitates con$tituant planum HI. Omnes ha$ce laminas $ecun- dùm extremitates ful- cris impo$itas pondus $uper DC con$titutum adeò premat, ut cur- vari aliquantulum cogantur. Ob$ervabis illicò extremitates illas non jam ampliùs in eandem planitiem HI exæquari; $ed eas quidem laminas, quæ cavitatem $pectant, magis curvari; minùs verò eas, quæ convexitati re$pondent, ac proptereà ex- timæ laminæ extremitatem ab extremitate intimæ laminæ, quæ ponderi impo$ito cohæret, magis recedere, quàm interme- diarum extremitates. Con$tat itaque in hoc motu $ingula- rum laminarum particulas, dum curvantur, non iis re$pon- dere adhærentis laminæ particulis, quas priùs contingebant, cùm omnis curvitatis expertes erant, atque faciliùs potui$$e $ingulas laminas moveri, quia nullo nexu invicem copulan- tur. Quòd $i ex iis unum $olidum RS planè integrum coa- le$cat, manife$tum e$t planitiem HI permanere, ac propterea, dum curvatur, nece$$e e$t, ut interiores particulæ invicem connexæ di$trahantur, cum nequeant aliæ ab aliis $ecedere, quemadmodum in laminis contingere ob$ervavimus. Hinc oritur major $olidi, quàm laminarum, re$i$tentia, ne fran- gatur. Non negarim tamen aliquando $atius e$$e duobus me- diocribus tigillis uti, quàm cra$$iore tigno illis æquali; quia nimirum alterutro labem patiente rima$vè agente, alter faci- liùs integer per$everat; in cra$$iore autem tigno, $i rimam du- <pb n=186> cere occœperit, periculum e$t, ne malum $erpat juxta vena- rum aut fibrarum ductum. Cæterum $ublato huju$modi peri- culo, ubi reliqua paria $int, cra$$iora corpora difficiliùs fran- guntur. <p>Quare $olidorum re$i$tentia, ne frangantur, major e$t quam pro Ratione $ectionum; hæc $iquidem Ratio $ectionum $ervari quidem intelligitur, $i limâ aut $errâ $ecari corpora oporteat; illæ enim tantummodo particulæ re$i$tunt., quæ $ectionem admittunt; at ubi de fractione agitur, quæ præter motum particularum, quæ dividuntur, motum etiam aliquem exigit aliarum, quas comprimi aut di$trahi opus e$t, plus, minùs, pro Ratione vicinitatis, longè alia e$t Ratio, pro ut compre$$io illa atque di$tractio particularum faciliùs aut dif- ficiliùs perfici poterit. Hoc autem ex ipsâ figurâ poti$$imùm pendet: Solidi enim RS $ectio CDE eadem quidem e$t, $i- vè illud circà DE longiorem lineam, $ivè circa CD brevio- rem, curvari debeat, ut frangatur; $ed non eadem e$t in fractione CD ac in fractione DE frangendi difficultas; nam cum propiores fint puncto D partes, quæ ad C, quàm quæ ad E $itæ $unt, con$tat has quidem magis cum circà lineam CD curvatur $olidum, illas verò, cùm circà lineam DE curvatur, minùs di$trahi oportere, ut fractio $equatur. Quò autem magis di$trahi debent particulæ, quæ ex D ver ûs E recedunt, magis interim comprimi nece$$e e$t eas, quæ ad D accedunt $ecundùm lineam RO in plano RI. Major igi- tur e$t difficultas, $i circà breviorem lineam CD curve- tur, & fractio $ecundùm longiorem lineam DE $equatur, quàm $i contrà curvetur circà longiorem DE, & fractio $it juxtà breviorem CD. <p>Jam igitur $i duo $olida invicem comparentur, quæ eju$- dem $int materiæ eju$demque longitudinis, & in pari ab ex- tremitatibus di$tantiâ frangi oporteat, $tatuatur in utroque $olido punctum fractionis, per quod intelligatur planum $e- cans $imiliter inclinatum, facien$que in utroque $olido $uper- ficies, quas vocemus <I>Ba$es.</I> Item planum per quod movetur Potentia vim frangendi habens, ita productum intelligatur, ut Ba$ibus prædictis $imili inclinatione occurrens de$cribat $ectio- num lineas, quas vocemus Cra$$ities. Ut $i fuerint duo $oli- <pb n=187> da CD & EF æqualis longitu- <FIG> dinis, parieti infixa $ecundùm æquales partes CI & EH, ut in punctis I & H fiat fractio, ex hypothe$i. Si per ea puncta agantur plana $imiliter inclina- ta, erunt $uperficies IL & HM, quas vocamus hîc <I>Ba$es.</I> Jam in extremitatibus D & F æquè remotis à punctis I & H $int Potentiæ vim frangendi habentes, & per lineam motûs huju$modi Potentiarum intelligantur plana cum $imili inclina- tione occurrentia ba$ibus IL & HM, ponamu$que communes horum planorum $ectiones e$$e lineas parallelas, & æquales li- neis IN & HO; quas $ectiones vocamus <I>Cra$$ities</I> $olidorum, atque pro earum men$urâ u$urpamus lineas IN & HO. Cum itaque frangendi difficultas oriatur tùm ex numero partium, quæ $eparandæ $unt, has autem ip$æ Ba$es IL & HM defi- niunt, tùm ex violento motu di$tractionis partium, qui ex ipsâ $olidorum cra$$itie IN, & HO digno$citur; illud con$equens e$t, quòd Re$i$tentiæ $olidorum Ratio ea $it, quæ ex Ratione Ba$ium, & Ratione Cra$$itierum componitur. Hinc e$t quòd $i Ba$es fuerint $imiles, & quæ e$t Ratio laterum homologo- rum, ea etiam $it Cra$$itierum Ratio, re$i$tentiæ ad fractionem invicem comparatæ eruntin Ratione triplicatâ laterum homo- logorum; ac propterea cylindrorum re$i$tentia ad fractionem erit in Ratione triplicatâ Diametrorum, $eu Cra$$itierum. <p>Hanc, de quâ hactenus nobis $ermo fuit, <I>Re$i$tentiam ab$olu- tam</I> dicimus, quam $olidum habet, ne dividatur: quò enim plures partes debent præter naturam comprimi, aut di$trahi, plures $unt re$i$tentiæ; & quò magis hoc motu debent mo- mento eodem præter naturam moveri, eò etiam magis re- $i$tunt: quâ igitur ratione plures $unt re$i$tentes, & quâ Ra- tione magis re$i$tunt, tota re$i$tentiæ ratio componitur; quæ ex ipsâ corporis $oliditate pendet, nullâ habitâ ratione longi- tudinis ip$ius $olidi: Propterea <I>Ab$oluta</I> dicitur. Nam $i lon- gitudines frangendorum corporum comparemus, quæ $uâ va- rietate mutant frangendi difficultatem, aut facilitatem, re- <pb n=188> $i$tentia hæc dicenda erit <I>Re$pectiva</I>; quæ aliquando ea e$$e pote$t, ut corpus majore re$i$tentiâ ab$olutâ præditum redda- tur magis obnoxium fractioni; longitudo $iquidem auget fran- gendi facilitatem: ideo autem <I>Re$pectivam</I> dicimus, quia com- paratè ad momenta potentiæ $umitur; hæc verò momenta ex variâ longitudine, $eu di$tantia à puncto fractionis pendere <FIG> manife$tum e$t. Sit enim $olidum AB, quod ita flectatur, ut fiat fractio CD: Potentia movens in B con$tituta dum perficit $patium BE, di$tractio par- ticularum $olidi fit $olùm per $patium CD (aut ve- riùs per CHD, nam etiam partes inter C & H di$trahuntur; Sed hîc claritatis gratiâ $olùm extremæ CD con$iderantur) quod e$t multo minus $patio BE $ecundùm Rationem HD ad HE. At $i $olidum frangendum $it AF, aut $i $it totum AB, tamen Potentia movens $it $olùm applicata in F, Potentia perfi- ciens $patium FG (quod e$t minus quàm BE in Ratione HF ad HB) major e$$e debet quàm Potentia in B $ecundùm Ratio- nem Reciprocam motuum BE & FG, ut $equatur idem motus di$tractionis partium CD; nam ex 8. l. 5. minor e$t Ratio FG ad CD, quàm $it Ratio BE ad eandem CD. Con$tat igitur à longitudine augeri facilitatem frangendi, ac proinde Re- $i$tentiam hanc Re$pectivam e$$e $ccundùm Reciprocam Ra- tionem longitudinum. <p>Ex quo obiter apparet, cur $olida Horizonti perpendicularia magis re$i$tant fractioni, $i potentiæ motus, $eu conatus, $it ad perpendiculum Horizonti: quia videlicet in huju$modi motu ad perpendiculum æqualiter moveri oportet Potentiam cum $olidi particulis, quæ di$trahi aut comprimi debent: ut autem Potentia $uperet vim re$tititivam, aut major e$$e debet Ratio motûs potentiæ ad motum corporis re$i$tentis, quàm $it Ratio virium re$i$tendi ad virtutem movendi, aut virtus movendi ab- $olutè major e$$e debet vi re$i$tendi: Cum itaque in motu per- pendiculari intercedere non po$$it motuum inæqualitas, ne- ce$$e e$t virtutem movendi vehementer augeri, ut $uperet vim, <pb n=189> quâ particulæ $olidi invicem connexæ repugnant, ne di$tra- hantur, aut comprimantur. <p>Hinc ex ha$tâ ad perpendiculum $u$pensâ pendebit ingens $axum, & tigillum perpendiculariter terræ in$i$tentem pre- met moles, penè dixerim, immen$a, citrà ha$tæ aut ti- gilli fractionem: quia omnes ha$tæ atque tigilli partes & æqualiter cum onere $u$pen$o aut incumbente moveri de- berent, & omnes æqualiter re$i$tunt di$tractioni aut com- pre$$ioni: At $i ad horizontem inclinata aut parallela fue- rint huju$modi $olida (ha$ta videlicet atque tigillus) non e$t æqualis omnium partium di$tractio aut compre$$io, mi- nùs enim di$trahuntur, quæ puncto H proximæ $unt, quam quæ ad D accedunt (concipe H in media cra$$itie) con- trà verò illæ magis, hæ minùs comprimuntur; quemad- modum neque motui di$tractionis aut compre$$ionis e$$et æqualis motus oneris deorsùm urgentis in ha$tæ, vel tigil- li non perpendicularium extremitate con$tituti, $ed multò major e$$et hîc oneris motus. Quoniam verò rerum natu- ra magis repugnat corporum penetrationi, ad quam quodam- modo accedere videtur compre$$io, quàm corporum unito- rum divi$ioni, ubi vacui metus ab$it; hinc e$t majorem molem faciliùs $u$tineri à fulcro ad perpendiculum $ubjecto, quàm $u$pendi ex $olido perpendiculari citrà fractionis pe- riculum. Quamvis negandum non $it ad huju$modi facili- tatem, quam experimur in $u$tinendo potiùs, quàm in re- tinendo onere, conferre plurimum, quòd tellus, cui ful- crum infigitur, demùm non $ub$idit; at laqueare $eu for- nix ex quo $olidum pendet onere prægravatum, tantam gravitatem non ita facilè ferre pote$t. Quare ad tollenda in $uperiores ædificiorum partes ingentia $axa multo cau- tiùs atque tutiùs ij operantur, qui longam trabe<*>, aut plu- ra tigna ritè connexa, qua$i navis malum rudentibus u$- quequaque firmatum, ne à perpendiculo deflectat, $ta- tuunt, cui $uperiorem trochleam adnectant; quàm qui tra- bem Horizonti parallelam parieti infigunt ad idem munus præ$tandum; hæc $iquidem horizonti parallela magis fractio- ni obnoxia e$t, quàm perpendicularis; præterquam quod parietem aliquatenus labefactare pote$t, cum habeat ratio- <pb n=190> nem vectis in $uperiora propellentis $axo deor$um urgente; ni$i huic periculo ex arte obviam eatur. <p>Comparatis itaque invicem $olidorum frangendorum lon- gitudinibus, hoc e$t intervallis inter fractionum puncta & locum, ubi potentia vim frangendi habens con$tituta intel- ligitur, quò major e$t longitudo, eò minor e$t re$i$tentia $olidi, ne frangatur. Qua propter ubi duo data $olida con- ferantur, quæcumque demùm illa $int, non $olùm eorum Re$i$tentia Ab$oluta, quæ ex Rationibus Ba$ium, & Cra$- $itierum componitur, attendenda e$t, $ed etiam Re$i$tentia Re$pectiva, quæ ex longitudinibus pendet: atque adeò adæquata Ratio re$i$tentiæ, ne frangantur, ea e$t, quæ componitur ex Rationibus Ba$ium & Cra$$itierum atque ex Ratione longitudinum Reciprocè $umptarum: cùm enim longitudini majori re$pondeat minor re$i$tentia, manife$tum e$t longitudinum Rationem e$$e Reciprocè $umendam, ut re$i$tentiæ, quæ ex illis oritur, Ratio habeatur. Hinc e$t fieri aliquando po$$e, ut $olidum cra$$ius minùs re$i$tat fractioni, quàm $ubtilius, $i hoc breve $it, illud verò valdè longum, $i videlicet longitudo cra$$ioris ad longitudinem $ubtilioris Rationem habeat majorem, quàm $it ea, quæ ex Rationibus Ba$ium, & Cra$$itierum componitur. Sic $i duo fuerint cylindri, & alter triplo cra$$ior fuerit reliquo, $ed etiam trigecuplo longior fuerit illo, minùs etiam fractioni re$i$tet; quia re$i$tentia ab$oluta majoris cylindri ad mino- tem e$t ut 27 ad 1, $ed re$i$tentia Re$pectiva eju$dem ma- joris ad minoris re$i$tentiam pariter re$pectivam e$t ut 1 ad 30: Ratio ergo ex his Rationibus 27 ad 1, & 1 ad 30 Compo$ita, e$t Ratio 27 ad 30, hoc e$t 9 ad 10, ac propterea major cylindrus re$i$tit fractioni ut 9, minor verò fractioni re$i$tit ut 1<*>. <p>De$ine jam mirari, $i quando paxillum maximis viribus re$i$tere videris; quia nimirùm potentia, quæ motum co- natur, proximè applicata e$t parieti aut plano, cui paxil- lus infigitur: quòd $i remotior illa fuerit, etiam minùs hic re$i$tet. Sic defixo in terram paxillo AB, cui funis AC al- ligatur, experientia docet paxillum eò re$i$tere validiùs, quò propiùs ad A alligatur funis, debiliùs autem re$i$tere, quò <pb n=191> magis ad B accedit; <FIG> in A nimirùm motus potentiæ trahentis vix excederet motum pa- xilli, qui ibi flectere- tur ex hypothe$i; at fune in B po$ito, po- tentia ibi con$tituta, & per funem applica- ta multò velociùs mo- veretur, quàm paxilli partes propè A, quæ ibi flecterentur. <p>Quòd $i loci conditio, aut ip$a oneris movendi con$titutio id exigat, ut funis propè B alligetur, & de paxilli AB firmi- tate dubitetur, paxillum alterum DE paulò remotiorem com- modo loco depange ita, ut funis primùm in D firmetur, de- inde circa B convolutus extendatur, pro ut operis faciendi ra- tio fieret. <p>Eâdem ratione $i tigillus, ex quo onus dependere debet, pa- rieti $it infixus, & $it GH, fractioni magis erit obnoxius, quò propiùs accedet pondus ad H: <FIG> propterea aut ei $ubjicitur brevior tigillus IR omninò contiguus, aut $upponitur fulcrum OS in- clinatum; quod fractionem eò va- lidiùs impediet, quò minùs di$ta- bunt H & S, & quò acutior fue- rit angulus, quem fulcrum SO cum pariete con$tituit, $eu, quod eôdem recidit, quò magis ad recti anguli quantitatem acce- det angulus GSO. Quæ omnia ita ex dictis aperta $unt, ut ulte- riori explicatione non egeant. <p>Sed & illud hîc, ubi de Re$i$tentiâ Re$pectivâ $ermo e$t, adjiciendum videtur, quòd ex $olâ majori longitudine hæc non minuitur, ni$i cùm longitudo $olidi ad perpendiculum in$i$tit <pb n=192> Horizonti; tunc enim gravitas ip$a $olidi tota incumbit $ubjecto plano; & tantùm Potentia oblique atque in tran$- ver$um trahens applicata extremitati longioris $olidi plus ha- bet momenti, quàm applicata extremitate brevioris, quin velociùs, & faciliùs movetur $ecundùm Rationem longitu- dinum illarum. At quando $olida $unt horizonti parallela, aut ad illum ita inclinata, ut centrum gravitatis partis illius, quæ erumpit ex corpore, cui $olidum infigitur, non immi- neat ba$i $u$tentationis, non $ola longitudo attendenda e$t, $ed & ip$a gravitas, quæ etiam nullo addito extrin$eco mo- tore $ua habet momenta, quibus deor$um connititur. Ex quo fit pro majori gravitate etiam frangendi facilitatem au- geri, ip$a nimirum gravitas e$t potentia conjuncta, quæ au- getur pro ratione materiæ; materia autem augetur pro ra- tione longitudinis (cætera $iquidem paria e$$e hîc claritatis gratiâ, ponamus) ac propterea longius pri$ma comparatum cum breviori pri$mate, eo quòd majorem habeat gravita- tem, minùs re$i$tit fractioni $ecundùm Reciprocam Ratio- nem longitudinum. Atqui Ratio motûs huju$modi Potentiæ conjunctæ e$t $ecundùm Rationem longitudinum, & ex dictis Ratio Re$i$tentiæ in ordine ad huju$modi motum e$t permutatim ac Reciprocè $ecundùm eandem longitudinum Rationem: igitur Ratio duplicatur, & re$i$tentia longioris ad re$i$tentiam brevioris e$t $ecundùm $ubduplicatam Ratio- nem longitudinum reciprocè $umptarum. Id quod etiam hinc con$tat, quia cùm $ingula illius longirudinis puncta $uam habeant gravitatem, $ua omnibus in$unt momenta pro Ratione di$tantiæ à puncto quod e$t veluti centrum motûs; ergo aggregata momentorum $unt ut $ectores ab illis longi- tudinibus tanquam à Radiis de$cripti: $unt autem $imiles $ectores in duplicatâ Ratione Radiorum. Quare $i longitudi- nes $int ut 3 ad 2, Re$i$tentia re$pectiva longioris ad re$i$ten- tiam brevioris e$t ut 4 ad 9. Tota igitur $olidorum re$i$ten- tia, ne frangantur, componitur ex Rationibus Ba$ium, & Cra$$itierum, & ex $ubduplicatâ Ratione longitudinum per- mutatim ac reciprocè $umptarum. <p>Ex his itaque, quæ de $olidorum re$i$tentiâ, ne frangan- tur, hactenùs di$putata $unt, conjecturam facilè accipiet <pb n=193> prudens machinator, quàm $olida & cra$$a $tatui debeant quæque machinarum membra, quóve loco collocanda $int, ut & materia & forma re$pondeant fini, in quem machinæ de$tinantur: neque enim $atis e$t concinno, & eleganti dia- grammate machinam oculis repræ$enta$$e, eju$que vires ad calculos revocâ$$e, quantum quidem ex machinæ figurâ col- ligitur, $i demùm, in$tituto motu machina pondere prægra- vata luxetur. <p>Illud tamen præterea Machinator animadvertat, oportet, quod $pectat ad momenta virium, quas potentia movens exercet; neque enim $ola ponderis gravitas machinam, aut corpus, cui machina alligatur, aut innititur, urget aut pre- mit, $ed & ip$a potentia, dum adversùs ip$um pondus co- natur machinam movens, aliquando auget gravitatem ex oppo$itâ parte, adeò ut & huic & ponderi re$i$tere debeat machina, aut id, quod machinam retinet. Si enim fuerit vectis AB in- <FIG> nixus $uper ba- culum CD, ex B pendeat glo- bus plumbeus E, & extremi- tas A quie$cat aliquo corpore retinente, ut $i fuerit parieti in- fixa; $olo globo E gravitante minus periculum $ube$t fractio- nis tùm vectis, tùm baculi CD $u$tentantis, quàm $i in A $it potentia F; cujus conatus deor$um oppo$itus conatui-de- or$um ponderis E faciliùs curvitatem, aut etiam demùm fractionem vectis efficere pote$t in I, ut patet; immò & ba- culus CD $u$tentans vectem, non $olùm momenta ponderis E, $ed & momenta Potentiæ F, quæ in I uniuntur, in $e recipit; atque adeò utri$que ferendis par e$$e debet. <p>Simile quiddam ob$ervare e$t, $i ex orbiculo O, in clavo M $u$pen$o, circà $uum axem ver$atili, dependeat pondus S, & Potentia in R deor$um conata cogat pondus S a$cendere: certum e$t enim ab axe orbiculi, & à clavo M $u$tineri non <pb n=194> <FIG> $olùm pondus S, $ed & Poten- tiam, quæ e$t in R. Contrà ve- rò $i orbiculus V $it adnexus pon- deri T, funis autem orbiculo in- $ertus alligetur clavo in N, & po- tentia P $ur$um trahat, con$tat ab axe quidem orbiculi $u$tineri $o- lum pondus T; à clavo verò N non totum pondus T $u$tineri, $ed ejus $emi$$em, nam etiam Po- tentia P $u$tinet pondus. Validior igitur e$$e debet clavus M quàm clavus N, hic enim ponderis $e- mi$$em fert, ille verò plus quàm duplum. Potentia enim R major e$t pondere S. <p>Quòd $i tàm pondera S & T, quàm clavi M & N, atque Po- tentiæ R & P non in plano Ver- ticali, $ed in Horizontali con$tituantur, certum e$t pondera S & T non $u$pen$a $ed jacentia, nihil adversùs clavos M & N; aut adversùs $uorum orbiculorum O & V axes conari, im- mò neque adversùs Potentias R & P; quandoquidem toto ni$u plano $ubjecto incumbunt, nullámque exercent Activam Re- $i$tentiam; $ed Formalem tantummodo, quâ repugnent Po- tentiis moventibus: quæ quidem re$i$tentia, tùm ex ip â pon- derum gravitate, tùm ex attritu $ubjecti plani componitur. Clavorum igitur M & N ea $it, oportet, $oliditas atque firmi- tas, quæ potentiarum R & P conatibus re$pondeat; ne forte clavi ip$i frangantur faciliùs, aut revellantur, quàm pondera $uo loco dimoveantur. Sed hæc innui$$e $at fuerit, ut $ingula diligenter à machinatore circum$picienda e$$e intelligatur; ne- que tamen in his ad nau$eam diutiùs immorandum. <pb n=195> <HR> <C>CAPUT VII.</C> <C><I>Præ$tet-ne Machinam augere? an componere.</I></C> <p>EX iis, quæ de Machinarum viribus di$putata $unt $atis liquet nullum dari finitum Pondus quod data Potentia mo- vere non po$$it $i congruens machina adhibeatur: cum etenim data $it Ratio Ponderis ad Potentiam, eo artificio Machina di$ponatur, ut Ratione illâ datâ fiat major Ratio motûs Potentiæ ad motum Ponderis; & Pondus cedet Potentiæ moventi. Sic vici$$im $i oblata fuerit machina, examinandus primùm e$t lo- cus, ubi Potentia applicanda e$t, ubi Pondu collocandum; tùm utriu$que motûs rationes ineundæ: & pronunciabis majo- rem requiri rationem Potentiæ ad Pondus, quàm $it Ratio mo- tûs Ponderis ad motum Potentiæ. Sit enim ex. gr. motuum hu- ju$modi Ratio, quæ e$t 3 ad 8; Potentia vim movendi habens ut 3 non movebit Pondus, cujus vis re$i$tendi, & momentum, $it ut 8; $ed opus e$t, ut illa major $it quàm 3. At neque Po- tentiam augere potes, ut oportet, neque Ponderi quicquam de- trahere: vide igitur utrum fieri po$$it, ut mutetur in machinâ motuum Ratio, aut Potentiæ motum augendo, aut ponderis motum minuendo. <p>Hinc manife$tum e$t machinam majorem non plus afferre facilitatis præ minore, $i illæ quidem omninò $imiles fuerint (modò utraque $atis $olida $it, ne fractioni $it obnoxia) mo- tuum enim Ratio eadem e$t in utráque. Sic Vectis 100 pal- morum $i ita ab hypomochlio di$tinguatur in partes ut hinc palmos 20, hinc 80 relinquat, non majorem movendi faci- litatem præbebit, quàm vectis palmorum quinque ita divi- $us ab hypomochlio, ut hinc palmus unus, hinc verò quatuor relinquantur. Ut igitur longior ille Vectis utilior accidat, $i hypomochlium quidem transferri queat, remove illud à Po- tentiâ, & admove Ponderi, motuumque Ratio augebitur; pa- tet $cilicet majorem e$$e Rationem 85 ad 15, quam 80 ad 20: Quod $i verò hypomochlium ita fixum $it ac vecti adnexum, <pb n=196> ut mutari loco nequeat, ab$cinde palmos (5 15/17), adeò ut hinc $int palmi 80 ut priùs, hinc autem $int palmi (14 2/17), & eadem erít Ratio, quæ e$t 85 ad 15. Quare breviore vecte plus ponderis movebis, quàm longiore; vis enim, quæ longiore illo 100 pal- morum movebat pondus librarum 100, breviore hoc palmo- rum (94 2/17) movebit libras 141 2/3: Quia quamvis in utroque Vecte hypomochlium habente po$t palmum octuage$imum, Potentia eodem $emper motu moveatur, non tamen idem e$t ponderis motus, qui in minore vecte minor e$t, in majore major, ac proinde motûs Potentiæ ad motum Ponderis Ratio major e$t in minore, minor in majore vecte. Quod $i demùm nec hypo- mochlium transferre, nec vecte mutilato uti liceat, licebit $a- nè fu$tem, vel quid $imile, firmiter ad alligatum Vecti adjun- gere, potentiamque ab hypomochlio longiùs removere: opor- teret autem additamentum huju$modi e$$e palmorum 33 1/3; nam ut 15 ad 85, ita 20 ad 113 1/3; adeóque totus vectis e$$et pal- morum 133 1/3. <p>Porrò hîc ob$erva, quantò facilius $it ponderis motum mi- nuere, quàm potentiæ motum augere: in allato $iquidem exemplo, manente eodem potentiæ motu, minuitur ponderis motus decurtato vecte ac diminuto palmis (5 15/17); manente au- rem eodem ponderis motu augetur Potentiæ motus acuto vecte palmis 33 1/3: Quia nimirum in Ratione majoris Inæqualitatis $i Con$equens terminus minor minuatur, aut Antecedens termi- nus major augeatur, fit adhuc major Inæqualitas; ut autem eadem Ratio $ervetur aucto Antecedente ac diminuto Con$e- quente, manife$tum e$t, quæ pars Con$equentis integri e$t con$equens diminutus, eam debere e$$e partem Anteccdentis aucti Antecedentem datum: atqui Antecedens datus e$t major dato Con$equente; igitur plus addendum e$t Antecedenti, quàm dematur Con$equenti. Sic data $it Ratio 8 ad 6: Con- $equens bifariam $ecetur, eju$que $emi$$is fiat novus Con$e- quens; erit Ratio 8 ad 3 majoris adhuc inæqualitatis; hæc enim e$t dupla $uperbipartiens tertias, illa verò erat $olùm $e$qui- tertia. Ut igitur retento priori Con$equente 6 fit eadem Ratio dupla $uperbipartiens tertias, $icut Con$equens fuit bifariam divi$us, ita datus Antecedens 8 e$t duplicandus, ut $it Ratio <pb n=197> 16 ad 6: plus autem e$t totus antecedens major qui additur, quàm $it $emi$$is Con$equentis minoris qui demitur. In re au- tem no$trâ $emper Ratio motûs Potentiæ per machinam vali- dioris factæ ad motum dati ponderis e$t Ratio Majoris inæqua- litatis: Quapropter $atius e$t Ponderis motum minuere, quam potentiæ motum auctâ machinâ augere. <p>Hæc quidem, quæ in vecte propo$ita facilè ac in promptu e$t per$picere, in cæteris pariter mechanicis Facultatibus, ut in Trochleis, Cochleâ, & reliquis intelligenda $unt, ut ex iis, quæ inferiùs dicentur, $uo loco manife$tum fiet. Sed quoniam ad ponderis motum extenuandum certos quo$dam fines ip$a machinarum materia præ$cribit; neque enim quemadmodum quantitatem omnem, & corporum molem in $ubtiliores, ac $ubindè $ubtiliores partes mente concidimus, ita etiam id re ipsâ perficere atque in praxim deducere po$$umus: propterea ut plurimum cogimur Potentiæ velociorem motum conciliare, ut majorem obtineat Rationem ad motum Ponderis. Quis ete- nim non inca$$um uti po$$it Vecte, cujus hypomochlium à pondere $atis gravi non ampliùs di$tet, quàm per digiti $emi$- $em? aut Cochleam adhibere, cujus $piras intervallum capilla- ceum $ecernat? <p>Verùm cum id duplici methodo præ$tare po$$imus, videlicet aut Machinam ip$am, $pecie non mutatâ, augentes, aut illam ex pluribus membris componentes, $ive eju$dem generis $int, $ive diver$i; operæ pretium fuerit perpendere, maju$-ne in augmento? an verò in compo$itione? compendium inveniatur. <I>Augmentum</I> voco (ne ullus $ub$it æquivocandi locus) cum eju$- dem Facultatis $pecies immutata permanet, factâ folum partis alicujus acce$$ione; ut $i, quia Vectis ju$to brevior e$t, Poten- tiæ ab hypomochlio di$tantiam longiorem facias; cum Tro- chleæ adhibeantur oneri movendo impares, amplificatis locu- lamentis orbiculorum numerum augeas; quia Cochlea ob $pi- rarum raritatem minùs valida e$t quàm oporteat, lineam ip$am ita inclines, ut $pi$$ioribus $piris circumducatur. At verò <I>Com- po$ita</I> dicitur Machina, cum invalidæ Facultati membra alia adjiciuntur, aut generis eju$dem, ut cum Vectis Vecti, Co- chleæ Coehlea, Trochleis Throchleæ adjunguntur; aut diver- $i generis, ut cum facultates ip$æ permi$centur, vecti trochleas, <pb n=198> Cochleæ vectem, Trochleis Cochleam, & deinceps, adjun- gendo. Prioris Compo$itionis intrà idem genus $pecimen ali- quod exhibui in <I>Terrâ Machinis motâ: Di$$ertat.</I> 1. & inferius $uis locis de eâ redibit $ermo: Po$terioris autem Compo$itionis diver$arum Facultatum, ubi de $ingulis di$purabimus, exem- pla aliqua $ubjiciemus, ut di$cat Tyro Machinarum vires ritè ad calculos revocare, $olertiamque machinandi acquirat. <p>Quamvis autem quæ$tio hæc multò dilucidiùs explicaretur, $i unamquamque Facultatem $ingillatim attingeremus, quàm $i unâ comprehen$ione omnia complectamur; hîc tamen doctrinæ ratio exigit, ut dimi$$is rivulis fontem ip$um aperia- mus, ex quo in Machinam Compo$itam vis major, quàm in Amplificatam, majore compendio derivatur. Et quidem cum res tota ex potentiæ atque Ponderis motuum Ratione pendeat, quamdiu in $implici aliquâ facultate con$i$timus, motus Po- tentiæ ad motum Ponderis $implicem habet Rationem; $i verò Facultas una cum aliâ quâpiam facultate conjungitur, atque connectitur, jam Potentiæ motus ad motum ponderis eam ha- bet Rationem, quæ ex $ingularum facultatum rationibus com- ponitur. Voco autem <I>$ingularum Facultatum Rationem</I> eam, quæ inter ip$os Potentiæ ac Ponderis motus intercederet, $i facul- tas illa $olitaria adhiberetur; Atqui Ratio hæc motuum in $in- gulis Facultatibus modum recipit ex Facultatis ip$ius partibus, quarum altera ad Potentiam, àd Pondus altera $pectare vide- tur; ut per $ingulas Facultates eunti con$tabit. In Vecte enim Ponderis ab hypomochlio di$tantia pertinet ad Pondus, Poten- tiæ autem di$tantia ab eodem hypomochlio penes potentiam e$t: In Trochleis ip$arum Trochlearum di$tantia Pondus re$pi- cit; funis autem explicatio Potentiam: In Axe in Peritrochio cra$$ities Axis Ponderi, Peritrochij amplitudo Potentiæ tribui- tur: In Cuneo longitudo ad Potentiam $pectat, cra$$ities ad Pondus: In Cochleâ demùm $piræ circumductæ perimeter ad Potentiam attinet, extremitatum $piralis lineæ intervallum, ad Pondus. Manife$tum e$t igitur, ubi $implex motuum Ratio in $ingulis Facultatibus augenda fuerit, manente eâ parte, quæ ad Pondus $pectat, nece$$ariò ita augendam e$$e partem reli- quam, quæ Potentiæ tribuitur, ut majori illi motuum Rationi re$pondeat. Sic dato Vecte palmorum $ex, quo potentia mo- <pb n=199> veatur in quintuplâ Ratione ad Pondus, $i maneat eadem pon- deris ab hypomochlio di$tantia, & motuum Ratio e$$e debeat vigecupla, $atis con$tat totum vectem requiri palmorum 21, ut unus Ponderi cedat, Potentiæ autem viginti. <p>At verò $i motuum Ratio ex Rationibus componenda $it, $a- tisfuerit datæ Facultati minorem Rationem continenti, quàm oporteat, Facultatem aliam adjicere, cujus Ratio cum priori Ratione compo$ita quæ$itam Rationem con$tituat. Sic dato Vecti quintuplam rationem continenti adjunge aliam quamli- bet facultatem quadruplæ Rationis; ex quadruplâ enim Ratio- ne & quintuplâ componitur Ratio vigecupla quæ$ita. Ita au- tem $ecunda hæc Facultas priori Facultati adnectenda e$t, ut quemadmodum duorum Magnetum oppo$iti poli junguntur, Au$tralis videlicet unius Aquilonari alterius, $ic duarum Fa- cultatum oppo$itæ partes connectantur, ut $cilicet quo loco ad priorem Facultatem applicanda e$$et Potentia, eidem admo- veatur locus Ponderi in $ecundâ Facultate de$tinatus: proinde $iquidem $e res habebit, atque $i pondus diminutum pro Ra- tione prioris facultatis, videlicet $ub quintuplum, in $ecun- dam hanc Facultatem transferretur, in quâ ejus motus ad mo- tum Potentiæ Rationem haberet $ubquadruplam: re enim ve- râ duabus hi$ce Facultatibus junctis, Potentiæ motus vigecu- plus e$t ad motum Ponderis; nam Pondus in vectis extremita- te alterâ con$titutum quintuplo tardiùs movetur, quàm reli- qua vectis extremitas; hæc autem po$teriori Facultati loco Ponderis adjuncta quadruplo tardiùs movetur quàm Poten- tia; igitur Ponderis motus vigecuplo tardior e$t motu Po- tentiæ. <p>Statuamus exempli gratiâ $ecundam hanc Facultatem Vecti adjunctam e$$e pariter Vectem eju$dem generis quinque pal- morum ita ab hypomochlio di$tinctum in partes, ut hæ in qua- druplâ $int Ratione: Ecce quanto compendio rem a$$equamur; id enim quod $implici Vecte palmorum 21 præ$tandum e$$et, compo$itis vectibus duobus altero palmorum $ex, altero palm. quinque perficimus, $ervatâ $emper eâdem Ponderis ab hypo- mochlio di$tantiâ, nimirum palmi unius. Hæc tamen de duo- bus hi$ce vectibus dicta ita intelliges velim, ut ad motum $im- pliciter pertineant; non verò ad motûs quantitatem; $atis enim <pb n=200> $cio non ad eam di$tantiam promoveri po$$e Pondus adhibito $ecundo hoc vecte, ad quam promoveretur Vecte palmorum 21: Verùm hîc $ola movendi facilitas con$ideratur. Quòd $i non alterum Vectem adhibeas; $ed aliud facultatis genus, ut Tro- chleas binis orbiculis in$tructas, & Vecti in loco Potentiæ ad- nexas, multò adhuc faciliùs movebitur Pondus, cujus motus erit $ubvigecuplus motûs Potentiæ funem Trochlearum tra- hentis, & tantus erit Ponderis motus, quantus e$$et, $i extre- mitati Vectis palmorum $ex apponeretur Potentia quadrupla datæ Potentiæ. Idem planè de cæteris dicendum Faculta- tibus. <p>Hinc manife$tum e$t compo$itis tribus, quatuorve, aut plu- ribus Facultatibus, Rationem Compo$itam motus potentiæ ad motum Ponderis fieri multò majorem; cui $i æqualem Ratio- nem habere velimus unicâ atque $implici Facultate, hujus magnitudinem aliquando enormem fieri nece$$e e$$et; ut $uis locis infrà declarabitur. <p>In co igitur elucebit Machinatoris indu$tria, $i Facultates ip$as aptè congruenterque di$ponat, atque permi$ceat, $pecta- tâ materiæ $oliditate, $patij amplitudine, Ponderis po$itione, Potentiæ virtute, temporis ad movendum conce$$i opportuni- tate: hæc enim omnia attenti$$imè perpendenda $unt; ne, dum nimis $ollicitè laborem imminuere $tudet, motum plus æquo imminuens, tardioremque efficiens temporis jacturam faciat, aut totum $patium machina implens in eas angu$tias Potentiam moventem conjiciat, ut motum expeditè perficere nequeat. <HR> <C>CAPUT VIII.</C> <C><I>Cur majores Rotæ motum juvent præ minoribus.</I></C> <p>ONera $i ex alio in alium locum deportanda fuerint, gemi- no labore opus e$t, conatu videlicet, quo $u$tineantur, & impetu, quo transferantur: proptereà $atius e$t ita res di$po- nere, ut vires omnes ad transferendum exerceantur, citrà co- natum $u$tinendi; ut eâ ratione vel gravius onus vel idem mul- <pb n=201> multò faciliùs à potentia moveatur, quàm $i ea illud $u$tinere pariter atque transferre cogeretur. Quoniam verò (cum one- ra $ubjecto plano impo$ita illud premant, atque tùm onerum tùm $ubjecti plani facies, quæ $e invicem contingunt, non ita læves $int, ut partes omnes in rectum directæ nihil habeant a$peritatis; quin immò ut plurimum, & $alebris impedita via $it, & movendi corporis partes aliæ præ aliis extent atque emi- neant) ex mutuo prominentium particularum tritu atque con- flictu difficultas ad movendum criretur; idcircò optimo con$i- lio factum e$t, ut oneribus ip$is $ubjiciantur Cylindri aut Rotæ, quæ dum in gyrum aguntur, conflictum illum partium tollunt, qui vitari non po$$et, $i onera $uper plano raptarentur. Hinc Ci- $ia, Sarraca, Vehes, Carri & genus omne plau$trorum. Id quod etiam homines ip$i, ut terre$tre iter commodiùs habeant, & minori jumentorum labore illud perficiant, quàm $i iis in$i- dentes veherentur, $uos in u$us retulerunt: Hinc Belgæ $ua e$$eda, Galli petorita & rhedas, Hi$pani pilenta, Itali carpen- ta; & pro $uâ qui$que voluntate diver$a vehiculorum genera excogitârunt, quæ $ubjectis rotis aguntur: dum enim Rota convertitur, eju$que curvaturæ partes aliis atque $ubinde aliis $ubjectæ planitiei partibus aptantur, adeóque currus promove- tur, $olus rotæ modiolus axis ambitum axungiâ lubricum terit; ex quo tritu aut nulla aut levis mora motui infertur. <p>Illud autem e$t omnibus explorati$$imum, & quotidiano ex- perimento confirmatum, quo majoribus rotis in$tructi currus (ni$i di$crimen aliquod in cæteris intercedat) multò faciliùs trahuntur, pa$$imque ob$ervatur Romæ in vulgaribus illis vehi- culis (ab antiquis Ci$iis aut parum aut nihil di$tant) quæ cum ex celeberrimi Architecti Bonarotæ præ$cripto duas ingentes rotas habeant, tantis ponderibus onu$ta cernuntur, ut miracu- lo proximum videatur ab unico equo tam ingentia onera trahi po$$e: id quod alibi neutiquam fieri pote$t, ubi minoribus Rotis vehicula huju$modi in$tructa longè minoribus oneribus defe- rendis paria $unt, $i unicus equus adhibeatur. <p>Hujus rei cau$am indaganti acquie$cendum non e$t iis, qui illam ex rationibus Vectis petendam e$$e exi$timant, perinde atque $i rotæ majoris $emidiameter e$$et longior Vectis, mino- ris verò brevior; ac proptereà majore rotâ faciliùs moveretur <pb n=202> vehiculum onu$tum, quàm minore, quia & longiore vecte fa- ciliùs pondera moventur, quàm breviore. Hoc, inquam, 1/4 veritate abe$$e palam fiet, $i animadvertamus potentiam tra- hentem medio temone applicatam e$$e axi, cui pariter axi in- nititur onus; atque adeò tùm onus tùm Potentiam concipi qua$i in Rotæ centro, cujus $emidiametri altera extremitas hy- pomochlij punctum de$ignaret. Atqui Vectis, in quo Potentia & onus ab hypomochlio eandem aut æqualem di$tantiam ha- bent, parùm aut nihil habet utilitatis: immò in Vecte, quâ vectis e$t, tria puncta diver$a tribuenda $unt Potentiæ, oneri, & Hypomochlio, ut infrà, ubi de Vecte di$putabitur: in Rotâ autem duo tantummodo puncta con$iderantur, $cilicet cen- trum & $emidiametri extremitas. Igitur in Rotâ ratio Vectis non invenitur, ideóque neque major Rota accipienda e$t qua- $i longior Vectis. Aliundè itaque petendam e$$e cau$am, cur majores rotæ præ minoribus motum juvent, manife$tum e$t. <p>Et primùm quidem, quod ad moram illam attinet, quæ ex modioli Rotæ atque axis tritu oritur, eam minorem e$$e in ma- joribu, Rotis, $atis con$tàt, $i attendamus axis cra$$itiem, non Rotæ magnitudini re$pondere, $ed oneris gravitati, quam opus e$t $u$tinere; quapropter axi $atis valido pro ratione ponderis $u$tinendi parùm refert, utrùm Rota, cujus radij bipalmares $int, an verò tripalmares, infigatur: manente igitur codem axe aut major, aut minor Rota vehiculo $ubjici pote$t. Sed quo- niam Rota major, cujus diameter $e$quialtera e$t minoris, dum conver$ionem unam perficit, $patium quoque $e$quialterum decurrit, eumdem tamen axem, quem minor Rota, terit, hinc fit, per 8. lib. 5. eumdem axis ambitum ad majoris Rotæ peri- metrum (hoc e$t ad ejus motum) minorem habere rationem quàm ad perimetrum minoris Rotæ (hoc e$t ad minorem mo- tum) atque adeò tritus ille modioli, & axis minùs impedit ma- jorem motum quàm minorem. <p>Deinde, ut cap.16. lib.1. $ubindicatum e$t $uperiùs, majo- res rotæ efficiunt, ut axis magis à terrâ di$tet; ac proinde te- mo, cui alligatus e$t equus, vel $ubjecto plano parallelus e$t, vel minimùm à paralleli$mo recedit: ex quo fit tractionem aut parallelam e$$e, aut $altem minùs obliquam, quam $i Rota mi- nor e$$er, & axis depre$$ior: quò autem minor e$t tractionis <pb n=203> obliquitas, minorem quoque e$$e trahendi difficultatem loco citato explicatum e$t. <p>Ad hæc viarum a$peritatem impedimento e$$e nemo ne$cit; offendicula autem, in quæ vehiculorum Rotæ incurrunt, ma- gis ob$i$tere minori Rotæ, quàm majori, facilè o$tenditur; hîc enim pariter (id quod de magnitudinibus demon$trat Eucli- des lib. 5. prop. 8.) idem majorem habet Rationem ad minus, quàm ad majus. Nam $i <FIG> Rotæ minoris $emidiame- ter CB fuerit, majoris au- tem CD, & in planis pa- rallelis BA, DE volvantur, ut impedimentum $imile $i- militerque po$itum inve- nient, multò majus e$$e oportet illud, quod majori Rotæ objicitur, quàm quod minori. Sit enim minoris offendiculum GI; ducatur ex centro per I recta, quæ $it CIE $ecans majoris Rotæ peripheriam in H: erit igitur ar- cus IB $imilis arcui HD, & ille quidem minor, hic verò ma- jor, ut manife$tum e$t. Ducatur in planum perpendicularis HF, & hoc erit impedimentum majoris Rotæ $imile impedi- mento minoris IG, nam $imilem arcum à conver$ione circà centrum cum plani contactu impedit; nece$$e quippe e$t Ro- tam majorem converti circà punctum H, $icut & minorem cir- cà punctum I, ut tran$grediantur ob$i$tens offendiculum. Porrò lineam HF majorem e$$e quàm IG $ic o$tenditur. Quo- niam AB & ED parallelæ $unt, triangula CBA, & CDE $imilia $unt: ergo per 4. lib.6. ut CB ad CD, hoc e$t ut CI ad CH, ita CA ad CE; & permutando ut CI ad CA, ita CH ad CE; & dividendo ut CI ad IA, ita CH ad HE: at CI minor e$t quàm CH; igitur per 14. lib.5. etiam IA minor e$t quàm HE. Item quia AB & ED ex hypothe$i parallelæ $unt, recta IE in illas incidens facit angulos IAG & HEF æquales per 29. lib. 1. $unt autem triangula IGA & HFE rectangula ad G & F ex con$tructione; $unt igitur $imilia, & <pb n=204> per 4. lib. 6. ut. IA ad IG, ita HE ad HF: quare cum ex dictis IA minor $it quàm HE, erit per 14.lib.5. etiam IG mi- nor quàm HF. <p>Cum itaque HF major $it quàm IG (a$$umptâ DM æqua- li ip$i IG, & ductâ perpendiculari MS, donec occurrat peri- phæriæ in S) inter Tangentem ED & arcum circuli $tatuatur perpendicularis SL æqualis ip$i IG; & ex centro C ducatur per S recta CO. In triangulo igitur CEO angulus internus E, per 16. lib. 1; minor e$t externo SOL; igitur etiam angu- lus SOL major e$t quàm IAG: adde utrique angulum rectum, ergo duo SLO, SOL $imul majores $unt duobus IGA, IAG $imul; ac propterea etiam externus LSC major e$t externo GIC per 32.lib.1. Quapropter $emidiameter CS obliquior incidit in offendiculum SL, quàm $emidiameter CI incidat in æquale offendiculum IG: minùs igitur impeditur Rotæ majoris conver$io, quàm minoris, quippe cui minus di- rectè opponatur æquale offendiculum. <p>Præterea cum trahendi difficultas hinc oriatur, quòd Rota incurrens in ob$tantem lapidem, aut quid $imile, jam non cir- cà $uum centrum convoluta aptatur $ubjecto plano, $ed, dum Rota adhæret atque in$i$tit offendiculo; nece$$e e$t plau$trum cum impo$ito onere elevari pro objecti impedimenti altitudi- ne; faciliùs ab eâdem Potentia elevatur plau$trum onu$tum, $i major fuerit Rota, quàm $i minor, quia videlicet motus Poten- tiæ ad eandem elevationem majorem habet Rationem in Ro- tâ majore quàm in minore, cum illâ enim plus movetur, quàm cum i$tâ. Sit majoris Rotæ impedimentum LS pla- nè æquale impedimento GI minoris; producatur perpendicu- laris LS in T, & perpendicularis GI in V: tùm intervallo SC de$cribatur arcus CT, & intervallo IC de$cribatur arcus CV. Certum e$t in motu Rotæ majoris propter obicem LS manente puncto S transferri centrum C in T, ita ut ST $it Rotæ $emi- diameter æqualis $emidiametro CD, & $imiliter in motu Rotæ minoris propter offendiculum GI manente puncto I transferri centrum C in V, ita ut IV æqualis $it $emidiametro CB. Quo- niam verò CD, VG, TL ad angulos rectos $ubjecto plano in- $i$tunt, & parallelæ $unt, anguli alterni VIC, ICB æquales $unt per 29. lib.1, eorumque men$uræ, arcus videlicet VC & <pb n=205> IB, æquales $unt; & ob eandem Rationem anguli alterni TSC, SCD, eorumque men$uræ arcus TC & SD, $unt æquales. Atqui arcus SD major e$t quàm IB; igitur & arcus TC major e$t quàm VC; hi autem arcus TC & VC re$pon- dent motui Potentiæ trahentis: longiore igitur ac majore mo- tu Potentiæ fit eadem elevatio, ac proinde faciliùs in Rotâ ma- jore quàm in minore. Porrò arcum SD majorem e$$e arcu IB, magi$que di$tare punctum S à puncto D, quàm punctum I à puncto B, illicò manife$tum fiet, $i duos circulos datis duobus, æquales de$crip$eris $e intùs contingentes, & ad contactüs punctum lineam Tangentem duxeris, quocumque enim po$ito minoris circuli offendiculo inter Tangentem, & circulum mi- norem interjecto, illud idem offendiculum longiùs à con- tactûs puncto removendum videbis, ut inter Tangentem eandem, & circulum majorem interjici po$$it: Id quod adeò manife$tum e$t, ut non $it in eo explicando diutiùs immo- randum. <p>Quòd $i ad calculos rem hanc curiosiùs revocare libeat, $ic ex gr. Rotæ minoris $emidiameter CA pedum duorum, $cilicet digitorum 32, offendiculi verò DE <FIG> altitudo digitorum 4. Cum igitur FD & CA parallelæ $int, $icut & FC ac DA per 34. lib. 1. FD & CA æquales $unt, remanetque EF digit.28, & e$t Sinus anguli FCE, quo cognito innote$cit complemen- tum, arcus $cilicet quæ$itus EA. Fiat itaque ut CE ad EF, hoc e$t ut 32 ad 28, $eu ut 8 ad 7, ita 100000. Radius ad 87500 Sinum arcûs gr.61. 2′ 42″; erit enim quæ$i- tus arcus EA gr. 28. 57′ 18″. Jam verò po$itâ $emidiametro CA digitorum 32, fiat ut 113 ad 355, ita data $emidiameter digit. 32 ad $emiperipheriam circuli digitorum ferè 100 1/2, $ci- licet 100. 53″: ergo arcus EA e$t proximè digitorum 16. <p>At Rotæ majoris $emidiameter BA $it $e$quialtera (quic- quid $it quòd figura $olùm exprimat $e$quiquartam) pedum $cilicet trium, hoc e$t digitorum 48, & offendiculum GH <pb n=206> pariter digit. 4. Quare HI e$t digit. 44 Sinus anguli IBH, ex quo innote$cet arcus complementi HA. Fiat ut BH 48 ad HI 44, $eu ut 12 ad 11, ita Radius 100000 ad 91666 Sinum arcûs gr. 66. 26′. 33″; & e$t quæ$itus arcus HA gr.23.33′.27″. Jam $it ut 113 ad 355, ita $emidiameter 48 ad $emiperiphe- riam digitorum 150 4/5 ferè: igitur arcus HA e$t proximè di- gitorum 20. Cum itaque dum onus elevatur ut 4, Potentia in minore Rotâ moveatur ut 16, in majore autem ut 20 (ut paulò $uperiùs o$ten$um e$t motum centri æqualem e$$e arcubus EA, & HA) facilitas movendi, quæ hinc oritur, erit ut 5 ad 4. <p>Ex his manife$tum e$t, in vehiculis, quæ quatuor rotis in$truuntur, quarum binæ, priores minores $unt, po$teriores verò majores, faciliùs $uperari impedimenta à po$terioribus rotis quàm à prioribus, ac propterea minori labore currum ab equis trahi, quàm $i po$teriores prioribus e$$ent æquales. Id quod opportunè factum e$t, quia ut plurimum (quemadmo- dum in antiquioribus Rhedis viatoriis cernere e$t) in po$te, riorem potiùs, quàm in anteriorem currus partem, onus reji- citur, atque adeò po$terior axis magis premitur: quæren- dum igitur fuit aliquod laboris compendium. Quamquam non negarim alio pror$us con$ilio primùm excogitatam hanc Rotarum inæqualitatem; ut nimirum onus con$titutum qua$i in plano trahentem versùs inclinato, faciliùs quoque illum ex impre$$o anterioris tractionis impetu $equeretur, $i in pla- nitie quidem tractio fieret; ubi verò $uperandus e$$et clivus, ut minùs adversùs trahentem repugnaret onus $e ipfum in proclive urgendo; nam $i Rotæ æquales e$$ent, longè faciliùs vehiculum in po$teriora relaberetur, pro ip$ius clivi inclina- tione, cui parallelum e$$et planum oneri $ubjectum in$i$tens axibus æqualium Rotarum: at Rotis inæqualibus po$itis, & po$terioribus quidem majoribus, planum, cui onus incumbe- re intelligitur à po$teriori axe ad anteriorem deductum minùs inclinatur, quàm collis proclivitas ferat; ac propterea trahen- tibus equis minùs repugnat. Licèt autem non $emper a$cen- dendum $it in colles & clivos, quorum a$cen$us manife$tè ar- duus e$t atque difficilis, rarò tamen, aut ferè nunquam, adeò æquata e$t viarum planities, quin leviter $altem inflexæ modò <pb n=207> a$cendere cogant, modò de$cendere: in quâ a$cen$uum atque de$cen$uum vici$$itudine non modicè utilis e$t illa Rotarum inæqualitas. <p>Hinc manualia illa curricula ($eu ru$ticæ vehes) quæ binis brachiis in$tructa unicam habent in anteriore parte rotam & $ublevatis brachiis conver$a Rotâ promoventur, faciliùs con$trui po$$ent, $i propè vectorem duæ e$$ent Rotæ majores illâ anteriore Rotâ, ita ut harum diameter triplex e$$et diame- tri illius: hunc enim unicus homo multò majus pondus trans- ferre pote$t vel impellendo, cùm in planitie e$t, aut clivum a$cendit, vel trahendo, cùm ex declivi de$cendit; levatur $i- quidem labore $u$tinendi, & omnes vires exercet impellendo aut trahendo; & illa Rotarum inæqualitas in causâ e$t, cur fa- ciliùs impellatur pondus versùs illam partem, in quam incli- natur. <p>Et quoniam in Rotarum inæqualium mentionem incidi, il- lud hîc pariter ob$ervandum videtur, commodiùs currum mo- veri, cùm anteriores Rotæ à po$terioribus aliquantulùm di$tant, quàm cùm valdè vicinæ $unt (ubi tamen reliqua omnia paria fuerint, neque aliud præter Rotarum di$tantiam, intercedat di$crimen) $i in planitie quidem, & viâ minimum flexuosâ de- ducendus $it. Quia nimirum quo propiores fuerint axes, pla- num, cui onus incumbit, magis inclinatur, ac propterea an- teriores Rotas premens adversùs $ubjectam tellurem minus obliquè conatur, ideóque pondus illam validiùs urgens majo- rem creat movendi difficultatem: contrà verò $i axes invicem paulò remotiores fuerint, minùs inclinato plano, minor e$t priorum rotarum pre$$us in $ubjectam tellurem. Sic $i Rotæ fuerinc A & B, pla- <FIG> num, cui onus in$i- det, e$t AB, at $i Ro- tæ fuerint A & C, planum e$t AC, quod utique minùs incli- natum e$t, magi$que accedit ad paralleli$mum cum Horizonte DE, atque adeò Rota B magis terram premit, quàm Rota C. Si enim in utro- que plano pondus fuerit $imiliter po$itum (puta circà me- <pb n=208> dium) linea directionis à centro gravitatis ponderis ducta ca- det ad angulos magis inæquales in planum AB magis inclina- tum, quàm in AC minùs inclinatum, atque momentum gra- vitatis ponderis magis accedet ad B quàm ad C, ut infrà $uo loco explicabitur, & $ubindicatum e$t $uperiùs lib.1. cap. 14. §. <I>Ex his fieri pote$t.</I> Hinc Hamburgen$ia plau$tra, quibus merces Hamburgo Norimbergam devehuntur, longiora $unt, quia nec altiores clivi in itinere frequentes occurrunt, nec angu$tæ $unt viarum flexiones, ex quibus oriatur aut a$cen- dendi, aut plau$trum inflectendi difficultas. Quare illis & majora onera imponi po$$unt, & $ex equi non bini & bini, $ed $inguli recto ordine adjunguntur; quo fit ut non in diver$a trahentes, omninò $imili impetu currum deducant. Quòd $i viæ plus haberent difficultatis tùm ex clivis, tùm ex flexioni- bus, non expediret tàm longa plau$tra con$truere, nec equos tam longâ $erie di$ponere, ut cuique rem vel leviter con$ide- ranti $tatim patebit. <HR> <C>CAPUT IX.</C> <C><I>Quid Cylindri & Scytalæ ad faciliorem ponderis motum præ$tent.</I></C> <p>ADeò ingentia aliquando pondera transferenda proponun- tur, ut ea carris imponere tran$vehenda aut nimis opero- $um $it, aut periculo non vacet, ne rotarum axes pondere præ- gravati diffringantur, aut propter $oli mollitudinem rotæ de- vorentur: propterea rationem aliquam inire oportet, quâ voti compotes $imus, citrà huju$modi pericula. Et quidem $i cor- pus teres $it, nec viarum $alebræ, aut angu$tiæ impedimento $int, ip$um ver$ari in gyrum poterit $imili artificio, quo ad deportandos Ephe$um ex lapicidinis $capos columnarum cen- tum viginti $eptem altitudine pedum $exaginta u$us e$t Cte$i- phon Gno$$ius ($ic eum vocat Plinius lib. 7. cap. 37. cum Vi- truvio lib.10. cap. 6, quem tamen idem Plinius lib.36. cap.14. <pb n=209> cum Strabone vocat Cher$iphronem) celeberrimo Dianæ templo con$truendo præfectus, & quidem felici eventu: ca- pitibus enim $caporum, ubi axis extremitates de$inebant, $ub- $cudis in modum in$eruit, atque implumbavit ferreos axes: tùm de materiâ trientali $capos (hoc e$t ligneos tigillos cra$$i- tudinis unciarum quatuor pedis, $eu pollicum quatuor) duos longiores juxtà columnæ longitudinem, duo$que breviores tran$ver$arios ita compegit, ut parallelogrammum con$tituen- tes columnam po$$ent complecti; medii$que tran$ver$ariis ferreas armillas in$eruit, quibus axes ferrei infigebantur, a<*>ò ut liberè ver$ari po$$ent, cum boves traherent; quem- admodum & in gyrum volvuntur cylindri marmorei aut la- pidei, quorum u$us e$t in exæquandis ambulationibus. E$t autem maximè veri$imile, & probabile, ita firmiter ligneum illud parallelogrammum fui$$e compactum, ut non $olùm extremis tran$ver$ariorum capitibus anterioribus alli- gari po$$ent boves; $ed etiam per totam anterioris $capi lon- gitudinem di$tribui, ut faciliùs columna transferretur. <p>Pro$perum exitum con$ecuta $caporum vectura animum adjecit Methageni Cte$iphontis filio, ut paternam in- du$triam æmularetur in Epi$tyliis vehendis: cum enim ho- rum figura non ea e$$et, quæ perinde atque cylindrica vol- vi po$$et, duabus rotis pedum circiter duodenûm $ingula epi$tylia firmiter inclu$it; rotarumque centris ferreos axes infixit, qui in armillis $imilem haberent ver$ationem, ac dictum e$t in $caporum vecturâ. Cum enim boves ligneo parallelogrammo alligati traherent, Rotæ volvebantur, at- que cum illis pariter epi$tylia Rotis cohærentia in gyrum ver$abantur; quippe quæ in $ubjectum $olum non incurre- bant, cum $olæ Rotæ terram attingerent. Hâc methodo corporibus, quæ non $unt ad volubilitatem rotundata, faci- lem conyer$ionem conciliare po$$umus; ex Rotis nimirum & pondere moles una compingitur, cujus extremitatibus cylin- dricis tota innititur, nihilque refert, cujus demum figuræ $it pars media, $cilicet pondus, modò hæc à $olo aliquantulum di$tans motum non impediat. Quâ autem ratione aut Rotæ con$truantur, aut illis onus includatur, artificis $eu architecti $olertiæ relinquitur. <pb n=210> <p>Methagenis artificium imitatus Paconius, te$te Vitruvio lib. 10. cap. 6. lapideam ba$im longam pedes duodecim, la- tam pedes octo, & altam pedes $ex Apollinis colo$$o re$ti- tuendam, duabus Rotis pedum circiter quindecim, $imili- ter inclu$it: $ed aliâ ratione ac Methagenes deducere $tatuit. A Rotâ ad Rotam circâ lapidem fu$os $extantales, hoc e$t cra$$itudinis pollicum duorum, ad circinum compegit ita, ut fu$us à fu$o non di$taret pedem unum. Tùm circà fu$os fu- nem involvit, qui bobus trahentibus explicabatur, & con- vertebantur Rotæ. Verùm quia funis circumvoluti $piræ ad unam, aut ad alteram partem $pectabant, non poterat <*> rectâ ad lineam deduci moles illa; $ed modò in hanc, mo- dò in illam partem deflectebat, ut opus e$$et retroducere, adeò ut ducendo & reducendo pecuniam contriverit, & ope- ram lu$erit Paconius. Potui$$et tamen huic malo occurrere, nec $ui inventi laude fraudari, $i circà fu$os non unicum, $ed duplicem funem ita involvi$$et, ut funium $piris vel ab extremitatibus fu$orum, vel à medio, incipientibus, funis uterque paribus $emper intervallis à $ibi proximâ Rotâ di$ta- rent; $ic enim factum fui$$et, ut boves æqualiter utrumque funem trahentes, æqualiterque evolventes, molem illam rectâ viâ deducerent. <p>Quamquam autem $uâ laude non careant huju$modi arti- ficum inventa, expediti$$imè tamen, & citrà impendium, one- ra ingentia traducuntur $ubjectis cylindris, qui pondere pre$$i, cùm illud trahitur, convertuntur. Palangas peculiari voca- bulo Veterès dixere fre$tes teretes, qui navibus $ubjiciuntur, cùm attrahuntur ad pelagus, vel cùm ad littora $ubducuntur; ut apud Nonium Marcellum legi$$e me memini. Neque aliud quidpiam cen$endus e$t Cæ$ar intellexi$$e, ubi lib. 3. Belli Civil. $cribit <I>Quatuor biremes $ubjectis $cutulis</I> (forta$$e <I>$cuta- lis</I>; hoc e$t <I>$cytalis,</I> antiquis enim Romanis <I>is</I> literam u$upari $olitam. loco <I>y</I> literæ Græcæ notum e$t) <I>impul$as vectibus in interiorem partem tran$duxit.</I> Sunt autem $cytalæ ut apud Sui- dam, rotunda & polita ligna: aliquid tamen peculiare. ad- dit Ari$toteles in Mechan. quæ$t. 11. quærens, <I>cur $uper $cy- talas faciliùs portantur onera quàm $uper currus, cum tamen ij magnas habeant rotas, illæ verò pu$illas</I>? Scytalis nimirum pu- <pb n=211> $illas rotas adjectas intelligit, <FIG> non eas quidem circà axem, $ed cum axe ip$o, cui adnectun- tur, ver$atiles; cuju$modi e$- $ent in hoc $chemate rotulæ A & B cum $uo axe connexæ. <p>Porrò duplicem huju$modi $cytalarum u$um con$idero: $i enim onus impo$itum incumbat Rotulis ip$is, vel quia plana $it ejus $uperficies, vel quia tabulato fuerit $uperpo$itum, perinde res $e habet, atque $i cylindrus e$$et, cujus diameter idem e$$et cum rotularum diametro: neque tunc admodum refert, cuju$nam figuræ $it axis, quem onus non tangit, $i- ve rotundus ille $it, $ive angulatus. At $i onus ip$i axi in- cumbat, promineantque hinc & hinc rotulæ, omninò ne- ce$$e e$t axem rotundum e$$e, ut fieri po$$it rotularum con- ver$io, atque ita longum, ut inter rotulas onus laxè interci- piatur; maximè quippe cavendum e$t, ne rotulæ onus con- tingant, alioquin ex mutuo conflictu mora non mediocris motui crearetur. Ideò autem excogitatæ videntur huju$mo- di $cytalæ, ut minimâ $ui parte $ecundùm extremitates tan- gerent $ubjectum planum, atque adeò in pauciora incurre- rent offendicula, quàm cylindri totâ $ua longitudine incum- bentes plano. Sed illæ ab u$u artificum jam diù intermi$$æ locum $implicibus cylindris conce$$ere, quippe qui ob con- tinentem $ibique $emper $imilem figuram $olidiores $unt, & periculo carent, cui obnoxiæ $unt $cytalæ, ne videlicet Ro- tulæ illæ labem aliquam faciant cum rotunditatis, atque adeò etiam motûs, detrimento. Illud verò commodum, quod ex offendiculorum evitatione oriebatur, obtinemus pariter, $i duplicem planorum tigillorum $eriem $ub$ternamus capitibus cylindrorum; hinc enim fit, ut viarum $alebræ evitentur, & Cylindri modicâ $ui parte contingant $ubjectos tigillos, qui viam planam & æquabilem con$tituentes moram nullam mo- tui injiciunt. <p>Sed & in hoc cylindrorum u$u communiter cen$etur ali- quid ine$$e facilitatis majoris ad onera deducenda, quàm $i illa currui imponerentur; tùm quia currui $ua ine$t gravitas, quæ unâ cum impo$itâ $arcinâ majus onus con$tituit, ac <pb n=212> propterea in utroque transferendo is, qui trahit, majorem impendit laborem; at $ubjectis oneri cylindris, horum gra- vitas nihil officit trahenti: Tùm quia currûs Rotæ, cum $int circà $uum axem, cui infiguntur, mobiles, aut hûc & illuc nutant, $i laxa $int capita, nec clavo exqui$itè coërceantur, aut $i arctiùs axi cohæreant, axem quem complectuntur, & clavum quo coërcentur, validiùs terunt; & ex utroque hoc capite movendi difficultas oritur, cùm aliquid impre$$i im- petûs aut in illâ incon$tantiâ, aut in hoc conflictu contera- tur: nihil autem huju$modi cylindris contingit. Tùm etiam quia Rotæ modiolus ab axe premitur, & deor$um pondere urgente, & antror$um impetu ad anteriora trahente; ex quo quantum difficultatis in movendo oriatur, hinc manife$tum e$t, quod ni$i axungiâ aut amurcâ illinantur curruum axes, ægrè convertuntur rotæ, & den$o $tridore, quantus $it par- tium tritus atque conflictus, te$tatum faciunt. At Cylindri quantumvis ab onere premantur, nullo pingui liquore obli- nendi $unt, ut lubrici fiant; nulla enim impo$iti oneris a$pe- ritas cylindrorum conver$ionem impedire pote$t. Nam $i fue- rit ingens lapis AB cylin- <FIG> dris $ubjectis impo$itus, & cylindri punctum C cen- gruat puncto A lapidis, dia- metri CD altera extremitas D tangit $ubjectum planum; cum verò $axum ex B ver- sùs A propellitur, $eu tra- hitur ex A, ita cylindrus convertitur, ut DF ar- cus $en$im ad $ubjectum planum, contrà verò arcus CE ad impo$itum $axum accom. modetur, citrà omnem $axi & cylindri affrictum. <p>Hinc tamen aliquid etiam incommodi cylindris adhæret, $i cum plau$trorum rotis conferantur; hæ $cilicet motum con- tinuant, cum $ine fine volvantur, quippe quæ axi infixæ, im- po$ito oneri pariter, ut ita loquar, cohærent; illos verò, ni- mirum cylindros, onus dum promovetur, po$t $e relinquit; ac proinde aut cylindrorum copia non exigua $uppetere debet, <pb n=213> qui longâ $erie di$po$iti onus alij ex aliis excipiant, aut qui relinquuntur, $ubinde transferendi $unt, ut iterùm oneri $ubjiciantur. Verùm hæc alterna cylindrorum tran$latio non adeò gravis e$t; quin plus habeat adjumenti, quàm incom- modi; cum enim plurimùm referat, utrùm qui $ubjicitur cy- lindrus, reliquis po$terioribus cylindris parallelus, an obli- quus $tatuatur, ut onus ad lineam viâ rectâ deducatur, aut motus $ui ve$tigium inflectat; facillimum e$t opportunâ cylin- dri tran$lati collocatione parallelâ, aut obliqua, de$tinatum oneris motum admini$trare. <p>Illud autem non immeritò hîc examinandum occurrit, utrùm majores cylindri minoribus potiores cen$endi $int, & an præ$tet $ubjicere oneri cylindrum GI majorem, an verò minorem GH. Et quidem $i figuræ dumtaxat magnitudo atque parvi- tas $pectetur, hoc unum di$crimen invenio, quòd ad certam motûs men$uram perficiendam crebriùs volvi oportet cylin- drum minorem, quàm majorem; onus verò à $ubjecto plano di$tare majoris diametri GI intervallo potiùs, quàm minoris GH, non video, quid conferat ad motûs facilitatem; tantum enim promovetur onus, quantus e$t peripheriæ arcus, cui illud in motu aptatur, eíque æqualis e$t arcus oppo$itus, qui plano pariter in motu congruit: ac propterea parum refert, utrùm eadem arcus men$ura $it majoris circuli pars minor, an minoris circuli pars major. <p>Verùm $i qua inter motum occurrant offendicula, hæc minùs officere majori cylindro, quàm minori, dicendum e$t, quemadmodum & de rotis majoribus dictum e$t $uperiori ca- pite; $iquidem majoris cylindri diameter obliquior incidit in idem offendiculum, quod minùs directè opponitur motui, & longiore motu Potentiæ fit eadem ponderis elevatio, ut ibi ex- plicatum e$t. <p>Aliud e$t præterea, nec $anè nullius momenti, quod majo- ri cylindro incitatiorem dat volubilitatem; quòd videlicet (quemadmodum & globo majori contingit) major cylindrus, quamvis Geometricam Rotunditatem non a$$equatur, tamen propiùs accedit ad figuram exqui$itè Rotundam, quàm mi- nor: $i enim à circulo Geometricè perfecto æqualiter recedant utriu$que cylindri majoris ac minoris ba$es, non tamen æqua- <pb n=214> liter angulata e$t utraque ba$is, $ed in majori major e$t angu- lus, in minori minor, atque adeò ille magis, quàm hic, ad rotunditatem accedit. In majori autem circulo angulum, qui peripheriam complectitur, majorem e$$e palam e$t, quia idem exce$$us majori Radio additus con$tituit $ecantem anguli mi- noris, quàm $i minori Radio addatur; ac propterea angulus Complementi major e$t in majori, quàm in minori. Id quod, per $e quidem $atis clarum, dilucidiùs explicabitur, $i ex mi- <FIG> nore circulo extet particula, cu- jus altitudo $it ON, ex majore autem circulo æqualis altitudo emineat IM. Ductis Tangen- tibus & Radiis, certum e$t Se- cantis exce$$um ON $upra Ra- dium LO minorem, habere majorem Rationem ad $uum Radium, quàm habeat æqualis exce$$us IM ad $uum Radium LI majorem ex 8.lib.5. E$t igl- tur MLP angulus minor angulo NLS, & Complementum LMP majus e$t Complemento LNS quare totus angulus VMP major e$t toto angulo TNS, ac proinde magis ad ro- tunditatem accedit. <HR> <C>CAPUT X.</C> <C><I>Circulorum Concentricorum motus explicatur.</I></C> <p>CIrculi motus, ob id ip$um quia circulus e$t, circa $uum centrum perficitut eâ ratione, ut $uperiores partes pro- grediantur, inferiores retrocedant, anteriores de$cendant, po$teriores a$cendant, $ervatâ $emper pari oppo$itorum pro- gre$sûs atque regre$sûs, de$censûs atque a$censûs men$urâ; pro ut unicuique rem vel leviter con$ideranti patet. Quare dum in gyrum circulus agitur, centrum quidem manet, reli- quæ verò partes ita $ingulæ ex alio in alium locum $ibi invi- <pb n=215> cem $uccedentes commeant, ut circulus totus $patium, in quo volvitur, omninò non mutet. Quemadmodum ob$ervare e$t in Solis orbitâ, quam Eclipticam vocant; hæc enim diurnâ conver$ione circa Mundi axem Solem $ecum rapiens à $uo lo- co non recedit, Sole ab ortu in Occa$um commigrante: id multò magis in $ingulorum circulorum circà $ua centra revo- lutione manife$tum apparet. Quod $i circulus aut horizonti parallelus, aut illi ad perpendiculum in$i$tens, raptetur; mo- tus ille nihil habet circulari affine, cum circà centrum non perficiatur, $ed $ingula circuli puncta $olo motu recto unâ cum centro moveantur. <p>Sin autem axis circulo ver$atili infixus trahatur, jam circu- lus & cum-axe pariter movetur, & circa axem volvitur: atque adeò $ingularum circuli partium motus is e$t, qui ex recto cen- tri, & circulari ip$ius orbitæ componitur. Hinc $emicirculi $uperioris partes cum progrediantur versùs cumdem locum, ad quem centrum tendit, $uum motum motui centri addunt: Contrà verò inferioris $emicirculi partes retrocedentes $uum motum à centri motu detrahunt. Rotæ igitur puncta omnia, dum currus trahitur, $i non $ummatim tota revolutio, $ed par- ticulatim, accipiatur, non æquali velocitate moventur. Sit explicandi gratiâ, <FIG> circulus BD AE, cujus centrum C moveatur ver$us F, & $it tangens GA, cui in motu appli- catur ip$ius circu- li orbita; in quâ accipiatur $extans hinc & hinc AD, & AE. Igitur in Conver$ione, dum Centrum C trahitur ad F, punctum D venit in G, & arcus DA æqualis e$t rectæ GA, cui in motu $ubinde per partes congruit: atque adeò, quarum partium $emidiameter CA e$t 21, earum arcus AD, & recta AG e$t 22, & motus cen- tri illi æqualis CF e$t pariter 22. Quoniam verò in motu or- <pb n=216> bitæ circa $uum centrum, punctum A a$cendens in E retroce- dit juxta men$uram $inûs SE (qui ad Radium CA 21 e$t ut 18) hinc e$t po$t conver$ionem, in qua D e$t in G, punctum A ita a$cendi$$e, ut $it in lineâ HE parallelâ Tangenti GA, $ed motui centri tantum detraxerit, quantus e$t $inus SE. Quia igitur Radius CD ubi congruit punctis FG, $ecat in H rectam HE, $umatur HI æqualis $inui SE, & puncti A totus progre$$us remanet SI partium 4, quarum SH, $eu CF e$t 22. Quare A e$t in I, quando D e$t in G. <p>Contrà verò in $uperiore $emicirculo $umatur item ex B hinc, & hic $extans BK & BL; atque in conver$ione ubi cen- trum C venerit in F, & punctum orbitæ D in G, erit K in O, & diameter DK $ecabit parallelam KN in M. Igitur punctum B ita de$cendit ad parallelam NK, ut motui centri CF, hoc e$t BO $eu RM, addiderit $uum progre$$um juxta men$uram RL Sinum Sextantis BL, hoc e$t 18. Venit igitur B in N; atque additis RM 22, & MN 18, totus progre$$us puncti B e$t RN 40. Comparatis itaque invicem curvis lineis AI & BN, manife$tum e$t puncta B & A non æque velociter mo- veri, cum eodem temporis $patio inæqualia loci $patia per- currant. <p>Eadem erit methodus, $i reliquorum orbitæ punctorum ve- locitates aut tarditates con$iderandæ $int: $i tamen adverteris non eandem e$$e omnium circuli Quadrantum rationem in de- terminandâ men$ura motûs addendi, aut demendi motui cen- tri. Nam in anteriori Quadrante $uperioris $emicirculi, & in po$teriori Quadrante inferioris $emicirculi, men$ura progre$- sûs addendi in illo, & regre$$us demendi in i$to, attendenda e$t ex Sinu Recto arcûs, qui de$cribitur in motu circa cen- trum à puncto, cujus velocitas inquiritur, aut tarditas: Et quidem integer Sinus Rectus accipitur, $i punctum à $ummo vertice de$cendens, vel ab infimo contactûs puncto a$cendens movetur, ut ex B vel ex A: $in autem punctum con$ideretur, quod intrà eo$dem Quadrantes di$tet ab extremitatibus diame- tri $ubjecto plano in$i$tentis, puta L aut E, quæ moventur in V, aut in P, progre$sûs aut regre$sûs men$ura de$umitur ex dif- ferentiâ Sinuum Rectorum, qui re$pondent arcubus BL & BV, aut arcubus AE & AP. In po$teriori verò Quadrante $upe- <pb n=217> rioris $emicirculi, & in anteriori Quadrante inferioris $emicir- culi, progre$$us addendus, aut regre$$us demendus, motui centri, men$uram de$umit ex Sinubus Ver$is, aut ex eorum differentiâ, pro ut puncti motus a$cendens aut de$cendens in- cipit ab extremitate Quadrantis, aut à loco medio, ut facilè cuique con$tat: neque enim $chema multiplici linearum de$- criptione ad confu$ionem implere operæ pretium e$t. <p>Cum itaque in oppo$itis Quadrantibus $imilem men$uram recipiant incrementa atque decrementa $ive à $inubus Rectis, $ive à Ver$is, addenda aut demenda motui centri, mani- fe$tum e$t punctum quodlibet in integrâ conver$ione demùm progre$$um fui$$e pari men$urâ cum motu centri. Si enim Al- gebricè $tatuatur motus Centri Z, incrementum in $uperiore $emicirculo addendum +A, decrementum in inferiore $emicir- culo tollendum — A; manife$tum e$t totum motum, qui com- ponitur, Z +A — A non e$$e ni$i Z. <p>His ita con$titutis, quæ ita clara $unt, ut nihil habere vi- deantur dubitationis, nec in controver$iam vocari queant, jam eximendus e$t $crupulus, quem philo$ophantibus injecit Ari- $toteles Mechanic. quæ$t. 24. de circulorum concentricorum motu, quando alter ad alterius motum promoto communi cen- tro movetur. Sit <FIG> enim major circu- lus, cujus Radius CB, minor autem, cujus Radius CS; quos tangant pa- rallelæ BF & ST, quibus item recta per centrum ducta parallela $it CO, quam videlicet per- currit centrum, dum trahitur. Ne- gari non pote$t in hâc circulorum tractione & conver$ione peripherias tùm ma- joris, tùm minoris Circuli $uis Tangentibus ita coaptari, ut factâ Quadrantis BD conver$ione, fiat pariter Quadrantis SI <pb n=218> conver$io, & ubi punctum D venerit in F, punctum I $it in T, & centrum C in O, atque adeò Radius CD matato $itu factus $it OF. Major igitur Quadrans percurrit $patium BF, & mi- nor $patium ST. At quia æquales rectæ OF & CB perpen- diculares $unt ad eandem rectam BF, ctiam $unt parallelæ, jungúntque parallelas ST & BF, quæ propterea etiam $unt æquales, ex 34. lib.1. Igitur arcus SI minor arcu BD, coap- tatur $patio æquali ip$i arcui Quadrantis BD, cui $upponitur æqualis recta BF. Quarum itaque partium 7 e$t Radius CB, earum e$t Quadrans BD, hoc e$t recta BF 11, e$tque pariter ST 11. At quarum partium 7 e$t Radius CB, earum $it Ra- dius CS 4; igitur Quadrans SI e$t 6 3/7 multo minor quàm recta ST, cui ip$e Quadrans SI in motu congruit. <p>Id enim verò tantum præ $e fert difficultatis, ut mirum $it, quot Ixiones rota hæc torqueat, & quàm varias in partes $e alij aliter ver$ent; quorum $ententias $i examinare liberet, in lon- gum nimis $ermonem me vocaret i$ta di$putatio, nec $atis $ci- rem, utrùm plus aliquid lucis propo$itæ quæ$tioni affunderetur. Quid igitur probabilius dicendum videatur, paucis expono. <p>Priùs tamen ob$erva in dictâ Quadrantis revolutione, quan- do Centrum C venerit in O, & D in F, & in I in T, tunc punctum B e$$e in E (e$t enim OE æqualis Radio CB) atque punctum S in V (e$t $cilicet OV æqualis Radio CS) ita ut B a$cendat per curvam BE, punctum autem S a$cendat per curvam SV, & $imiliter punctum D de$cendat per cur- vam DF, punctum verò I de$cendat per curvam IT. Ex quo patet punctum S minoris circuli plus promoveri, quàm punctum B majoris circuli; hujus enim progre$$us e$t CE, il- lius autem e$t CV: & pari ratione con$tat magis ad anterio- ra promoveri punctum I minoris circuli, cujus progre$sûs men- $ura e$t IO, quàm punctum D majoris circuli, cujus progre$- $us e$t DO. <p>Et hæc quidem, quando centri motus legem accipit à pe- ripheriâ majoris circuli; ad cujus motum minor circulus con- centricus movetur; eo quod major circulus in$i$tit $ubjecto pla- no, cui orbita $ubinde coaptatur rectam lineam $ibi æqualem de$ignans ex hypothe$i, dumque movetur, $ecum rapit interio- rem circulum. <pb n=219> <p>Quod $i minor circulus in$i$tat $ubjecto $ibi plano, <*>n- que det motui centri; quia minor peripheria de$ignat <*>n $ibi æqualem, res contrario modo procedit, quia dum ad mi- noris circuli motum circulus major movetur, hujus orbita de- $ignat in plano $ubjecto lineam minori peripheriæ æqualem. Hinc $i arcus SI de$ignat rectam SG $ibi æqualem, ubi I ve- nerit in G, etiam D erit in H, atque totus Quadrans BD de- $ignabit $olùm rectam BH æqualem rectæ SG. Erit igitur recta SG æqualis Quadranti SI 6 2/7; cui pariter æqualis e$t BH: Ex quo fit punctum B, quia di$tat à centro C partibus 7, non $olùm non procedere in revolutione Quadrantis; $ed re- trocedere per 5/7 interea, dum commune centrum C promove- tur per 6 2/7. <p>Non ab$imili ratione punctorum B, & S jam in E & V tran$latorum motus per con$equentes circuli Quadrantes, do- nec integra revolutio perficiatur, con$iderandus e$t: & quæ de uno puncto cuju$que circuli deprehenduntur, de $ingulis eju$dem orbitæ punctis dicta faciliùs intelliguntur, quàm ut uberiori explicatione opus $it. <p>Ex his apertè liquet eam lineam rectam in $ubjecto plano de- $ignari à peripheriâ tùm majoris, tùm minoris circuli, quæ æqualis $it motui centri, prout ille legem accipit à majore aut à minore orbitâ, ad cujus motum altera movetur; ac proinde modò longiori, modò breviori lineæ rectæ in motu coaptantur ambæ peripheriæ; ut enim rectè loquitur Ari$toteles loc. cit. <I>Quando hic quidem movet, ille verò movetur ab i$<*>o, quantum uti- que moverit alter, tantum alter movebitur.</I> <p>Cur igitur parem lineam rectam de$ignat in plano utraque orbita major & minor? con$tat ex dictis: quia nimirum cu- ju$libet circuli quodlibet punctum dum trahitur $imul, & vol- vitur, promovetur non ni$i pro ratione motûs centri: $ed con- centricorum circulorum unum & idem e$t centrum; ergo uni- cus e$t centri motus, & $ecundùm unam eandemque men$u- ram motûs centri, omnia puncta tùm majoris, tùm minoris or- bitæ, demum ab$olutâ conver$ione, promota $unt; $ingulorum enim incrementa, dum $uperiorem $emiperipheriam motu de$cribunt, ab oppo$itis decrementis eli$a in inferioris $emipe- <pb n=220> ripheriæ de$criptione, $olum centri motum relinquunt. Nil itaque mirum, $i tres lineæ, quarum primam centrum percur- rit, $ecundam orbita minor de$ignat, tertiam orbita major, pla- nè æquales $unt; pendent enim ab unico & communi motu centri, cui nihil additur, aut demitur ex integrâ conver$ione circa centrum, $ivè illa latiùs excurrat in majore circulo, $ivè arctiùs in minore coërceatur. <p>At, inquis, difficile e$t cogitatione a$$equi, & oratione ex- plicare, quî fieri po$$it, ut peripheriâ utráque $ubjectum $ibi planum $emper tangente, nullóque puncto manente $ine mo- tu, ita ut plana $ubjecta ab aliis $ubinde atque aliis punctis tan- gantur, pauciora puncta minoris peripheriæ totidem punctis rectæ lineæ coaptentur, ac plura puncta majoris peripheriæ. <p>Sunt qui difficultatem hanc declinant ad$truentes infinita puncta tùm in circulorum peripheriis, tùm in lineis rectis, ne- ganté$que inter infinitas multitudines, quæ invicem compa- rentur, affirmari po$$e totidem in unâ infinitâ multitudine, ac in aliâ pariter infinitâ unitates reperiri, nulla enim e$t infiniti ad infinitum Ratio, ac proinde nulla fieri pote$t, perinde ac in multitudinibus finitis, comparatio minoris, aut majoris, aut propriè, &, ut aiunt, po$itivè æqualis. Hæc tamen (quamvis quod ad infinita Ratione carentia $pectat, à me ultrò admit- tantur, Rationem $cilicet habere dicuntur inter $e magnitudi- nes, idem & de multitudinibus dicendum, quæ po$$unt mul- tiplicatæ $e mutuò $uperare, ut definit Euclides lib.5. ubi au- tem nullus e$t terminus, ut in infinito, nullus pariter exce$$us intercedere pote$t quavis factâ multiplicatione) non facient $atis comparanti omnia puncta unius lineæ cum omnibus punctis alterius lineæ, non quâ infinitæ punctorum multitudi- nes $unt, $ed quâ finitæ magnitudines ex punctis illis quan- tumvis infinitis con$tituuntur: finitas autem magnitudines comparari invicem po$$e, ac Rationem inter$e habere nemo negaverit. Supere$t igitur explicandum, quomodo peripheria minor coaptetur lineæ rectæ æquali illi eidem, cui commen$u- ratur peripheria major. <p>Propterea, duce Galilæo Dialog.1. de motu, ob$ervant $imi- lium polygonorum concentricorum motum ac conver$ionem, in quâ polygonum, ex quo centri motus legem accipit, $ingu- <pb n=221> la latera ita æqualibus lineæ rectæ partibus accommodat, ut in integrâ conver$ione linea recta $ubjecti plani $it æqualis peri- metro polygoni: at non item partes omnes lineæ, cui alterum polygonum in motu coaptatur, $i unica comprehen$ione $u- mantur, lineam æqualem polygoni majoris perimetro con$ti- tuunt. Res, clarita- <FIG> tis gratia, explicetur in Hexagonis, quo- rum commune cen- trum $it A, & latera BC, DE incumbant parallelis lineis BH, DK. Det primùm le- gem motui centri po- lygonum exterius, & majus, fiatque conver$io circa punctum C, demùm latus CF congruet rectæ CH, & centrum A per arcum AF erit tran$latum in F; latus verò minoris polygoni EG congruet parti IK, intactam relinquens partem EI, ita tamen; ut tota EK æqualis $it ip$i CH. Id quod e$t mani- fe$tum, quia factâ tran$latione centri in F, $emidiameter, quæ ex F pertingit ad H, e$t parallela ip$i AC, cum ad $imiles an- gulos incidat in $ubjectam lineam; $unt autem parallelæ etiam AF, DK, & BH; igitur tres lineæ AF, EK, CH $unt æqua- les, ex 34. lib.1. Atqui quod uni lateri contingit, etiam reli- quis lateribus commune e$t; igitur factá integrâ conver$ione Hexagonum majus de$ignabit lineam $extuplicem ip$ius CH æqualem toti perimetro, & Hexagonum minus percurret li- neam $imiliter ip$ius EK $extuplicem, quæ æqualis e$t perime- tro majoris Hexagoni, $umendo tàm partes lineæ DK, quas intactas relinquit, quàm quæ tangunrur. Cæterùm $i eæ $o- lùm, quæ ab Hexagono minore tanguntur, accipiantur, patet illas $imul $umptas non e$$e majores perimetro eju$dem mino- ris Hexagoni. <p>Deinde polygonum interius & minus det legem motui cen- tri, & conver$io fiat circa punctum E, po$tquam latus EG congruit lineæ EI, & centrum e$t in G (in hoc enim exem- plo ad vitandam in Schemate confu$ionem literarum a$$ump- <pb n=222> tum e$t Hexagonum minus $ubquadruplum majoris, latera $ci- licet minotis $ubdupla $unt laterum majoris) cum interim punctum C retroce$$erit in L, & demum latus CF congruat lineæ LM. Igitur majus polygonum $olùm de$ignat in motu, quo progreditur, lineam CM æqualem lateri minoris polygoni EI; & factâ integrâ conver$ione, de$ignata erit linea $extuplex ip$ius CM & ip$ius EI; atque adeò utrumque polygonum æqualem lineam progrediendo de$ignat. <p>Hæc quæ de Hexagonis concentricis exempli gratiâ dicta $unt, de omnibus $imilibus atque concentricis polygonis dicta intelliguntur, quotcumque $int laterum. Jam verò Authores illi concipiunt circulos tanquam polygona infinitorum late- rum: & quemadmodum minus polygonum totidem $patia $ub- jectæ lineæ intacta relinquit, totidemque tangit, quot habet latera; ita pariter in circuli minoris conver$ione, infinita $pa- tia vacua non-quanta (ne $cilicet $i quanta e$$ent, opus e$$et lineâ infinitâ) intermi$ta $patiis, quæ tanguntur, ad$truunt, adeò ut demùm ex omnibus $patiis tactis $imul & intactis coa- le$cat linea æqualis ei, quæ tangitur à majore peripheriâ ma- joris circuli. <p>Mihi tamen arridere non pote$t illa loquendi formula, quæ circulum polygonum infinitorum (& quidem infinitorum $im- pliciter) laterum dicit. Polygonum enim utique regulare cir- culus e$$et; polygonum autem e$$e non pote$t illud, quod angu- lis caret; neque anguli e$$e po$$unt, ubi non e$t lineæ ad li- neam inclinatio; in peripheriâ verò circuli linea nulla e$$e po- te$t, e$$ent $iquidem infinitæ lineæ æquales invicem, quæ uti- que con$tituerent exten$ionem $impliciter infinitam. Quod $i infinita dixeris puncta; non e$t puncti ad punctum inclinatio, quæ po$$it angulum con$tituere, ac proinde circulus non e$t po- lygonum infinitorum laterum, ni$i vocabulis ad opinandi li- centiam immoderatè abutamur. Adde quod omnia diametri puncta ad omnia puncta peripheriæ e$$ent in Ratione, quam Archimedes <I>lib.de dimen$ione circuli</I> definivit contineri inter Ra- tionem 7 ad 22, & Rationem 71 ad 223: non igitur infinita e$$e po$$unt aut diametri, aut peripheriæ, aut utriu$que puncta; ab infinitis enim Rationem omnem ablegant iidem Authores. Si <pb n=223> itaque circulus polygonus non e$t, adhuc indiget explicatione, quomodo ad circulos concentricos traducantur ea, quæ de po- lygonorum concentricorum conver$ione con$iderata $unt. <p>Quòd $i circulum ita in polygonum convertamus, ut nec illi fixum definitumque laterum numerum tribuamus, nec $im- pliciter infinitum; $ed liceat minora $emper atque minora late- ra concipere, ut laterum ip$orum numerus $emper augeatur, ita ut non $impliciter infinitus, $ed indefinitus dicatur, non abnuo: propo$ita enim difficultas $atis commodè hâc ratione explicabitur. Verùm in hac laterum extenuatione, $i ad mini- mam exten$ionem deveniamus, quæ à puncto phy$icè non dif- ferat; non infinitus e$t huju$modi punctorum numerus, $ed certus e$t atque definitus: Necip$is punctis, $eu minimis Phy- $icis $ua figura detrahenda e$t, in majori enim peripheriâ mi- nùs curvantur interiùs, minú$que convexa $unt exteriùs, pro- piú$que ad lineam rectam accedunt; in minori autem orbitâ puncta hæc circularia curvantur magis, magi$que convexa $unt exteriùs, & à rectitudine magis deflectentia ita ab$unt à $ub- jectâ rectâ lineâ, ut, dum conver$io fit circuli, & trahitur, de$- cribant in motu lineam curvam magis ob$ecundantem motui centri, quàm quæ de$cribitur à punctis $imiliter po$itis in ma- jore peripheriâ. <p>Cærerùm cavendum e$t maximè ab eo, quod quia $ube$t æquivocationi, difficultatem in hâc quæ$tione auget; illud au- tem e$t, quod punctum peripheriæ cum puncto lineæ Tangen- tis perperam comparatur, qua$i in contactu coæquarentur; id quod à veritate longè abe$t; $e enim contingunt circulus & li- nea incommen$urabiliter, $i contactus præcisè $pectetur: at $i contactus & motus componantur, jam quædam exten$io conci- pitur, quæ aliquâ ratione comparari pote$t cum $patio lineæ, quæ tangitur, quatenùs huic aut illi parti lineæ in motu coapta- tur circulus, aut ejus pars. Quare circuli minoris, qui ad ma- joris circuli motum movetur, $ingula puncta non aptè compa- rantur cum $ingulis $ubjectæ rectæ lineæ punctis, qua$i circuli punctum, quod e$t tertium à contactu, antequam incipiat mo- tus, in conver$ione tangat tertium rectæ lineæ punctum; $ed tanget forta$$e quintum aut $extum pro ratione magnitudinis <pb n=224> aut parvitatis ip$ius circuli; pro ut in polygonis concentricis obiervare e$t; quò enim majus e$t interius polygonum, eò etiam minora $unt intervalla, quæ intacta relinquuntur. Ex quamvis in circuli contactu intervalla huju$modi intacta non admittantur, non e$t tamen abs re puncto circuli, quod volui- tur $imul & trahitur cum ip$o circulo, vim tribuere tangendi plus quàm unum $ubjectæ rectæ lineæ punctum, quemadmo- dum majoris peripheriæ punctum in motu contingit ex punctis $ubjectæ lineæ rectæ non communicantibus minus quàm unum, $i ad interioris circuli motum circulus exterior moveatur: nam ad majoris, & exterioris motum minor, & interior promovetur; ad minoris verò & interioris motum major & exterior circulus retroagitur. Quapropter $i interior circulus in primo ca$u ve- lociùs, & exterior in $ecundo ca$u tardiùs movetur comparatè ad $patium collocatum cum eorum peripheriis, nil mirum in motu perfici ab illius puncto Phy$ico plus $patij, quàm ferat ejus magnitudo, ab hujus autem puncto Phy$ico minus $patij: in continuâ enim quantitate partes minores $ubinde ac minores vera, ut opinor, Philo$ophia admittit. Sed quia hæc e$$et in- finita, concertationumque plena di$putatio, $atis ea $int, quæ diximus, & ad utiliora gradum faciamus. <FIG> <pb n=225> <FIG> <C>MECHANICORUM</C> <C>LIBER TERTIUS.</C> <C><I>De Libra.</I></C> <p>EXPLICATIS $uperiore Libro Cau$is motûs Ma- chinalis, ordinis ratio po$tularet, ut ad ip$as Ma- chinas, $eu, ut ab Antiquioribus apud Pappum lib.8. Collect. Mathem. prop.10. vocantur, Facul- tates, ad quas Machinamenta ab artificibus exco- gitata reducuntur, aut ex quibus hæc componuntur, exami- nandas & explicandas progrederemur: Et fortè alicui videatur ab in$tituto no$tro alienum libram hîc con$iderare, quippe quæ non ad motum oneribus conciliandum inventa e$t, ideóque nec inter Facultates enumeratur, $ed u$um omnem habet in motu prohibendo, ubi factum fuerit ponderibus æquilibrium. Nec eo quidem con$ilio libræ momenta hic expendo, ut indè Vectis rationes explicentur (quemadmodum non paucis placet) non enim Vectis vires ad libræ Rationes revocandas exi$timo, cum $ua cuique Facultati cau$a in$it, communis illa quidem, $ed quæ perinde in Vecte reperitur, atque $i nulla pror$us exi$teret libra. Verùm eatenus libram Mechanicæ contem- plationi in$erendam cen$eo, quatenus non minoris artis e$t ea, quæ in motum prona $unt, cohibere & $i$tere, quàm onera quie$centia per vim $uo loco dimovere: Cum maximè ad libram pertineat Statera, in qua modicum pondus multò majori pon- deri æquipollet, æquatis in di$pari gravitate gravitationum <pb n=226> momentis, ut infra in loco o$tendetur. Præterquam quod explicato æquilibrio, faciliùs declaratur in motu Machinali, quid præ$tet major illa Ratio momentorum agendi ad momen- ta re$i$tendi, quàm $it reciproca Ratio gravitatum, $eu vi- rium oppo$itarum, ab$olutè $umptarum extrà machinam; ex qua majore Ratione momentorum, etiam Potentiæ moventis virtus innote$cit. Nihil autem officit libræ dignitati, quod Cain authorem agno$cere videatur, qui, ut Jo$ephus lib. 1. Antiq. Jud. cap.2. loquitur, <I>Simplicem hactenus vivendi rationem excogitatis men$uris & ponderibus immutavit, pri$linamque $inceri- tatem & genero$itatem ignaram talium artium, in novam quan- dam vir$utiam depravavit.</I> Quid enim $i quis præclaro artifi- cio ex naturæ the$auris deprompto abutatur? Dolos & fallacias, aut errores, quibus in$ici pote$t libræ u$us, ideò retegemus: ut nimirum quod Ju$titiæ commutativæ $ymbolum datur, om- ni inju$titiæ $u$picione vacet. Cæterùm quæ nobis ine$t arbi- trij libertas, poti$$ima naturæ rationis compotis prærogativa, libræ, aut $tateræ jure merito comparatur, quâ iniqui abuten- tes dicuntur P$alm. 61. <I>Mendaces filij hominum in $tateris:</I> ubi S. Ba$ilius hom. in P$alm. 61. ait <I>Cuilibet no$trûm intus $tatera quædam e$t à Conditore omnium apparata, per quam rerum naturam po$$is probè digno$cere.</I> & infra: <I>Tibi namque propria datur libra, quæ $ufficiens di$crimen boni, ac mali demon$trat. Corporea enim pondera in libræ lancibus probamus; quæ verò ad in$tituendam vi- tam eligenda veniunt, per liberum arbitrium di$cernimus: quod & $tateram nominavit, quòd momentum æquale ad utrumlibet po$$it capere.</I> <HR> <C>CAPUT I.</C> <C><I>Libræ forma, & natura exponitur.</I></C> <p>EO con$ilio in$tituta e$t libra, ut certis, ac notis ponderi- bus, ignotæ gravitatis quantitas indagetur, quæ demùm innote$cit, cum æquatis hinc & hinc ponderum libræ adnexo- rum momentis, neutro prævalente, libra con$i$tit. In hoc <pb n=227> in$trumento con$ideratur pri- <FIG> mùm <I>Iugum</I>, $eu <I>$capus,</I> $eu <I>librile</I> AB: hoc bifariam divi- ditur in C, quod, <I>Centrum</I> li- bræ dicitur, non quia $it ne- ce$$ariò Centrum gravitatis li- bræ, $ed quia e$t Centrum, circa quod agitur, $eu ver$a- tur jugum, infixo nimirum in C axiculo, qui & <I>Agina</I> Latinis, Græcis apud Ari$torelem in quæ$t. Mechan. <I>Spartum</I> dicitur. Partes autem jugi videlicet CA, & CB. <I>Brachia, Radij,</I> aut etiam ab aliquibus <I>Librilia</I> vocantur. Ex medio jugi ad per- pendiculum a$$urgit lingula CD, quæ in$eritur an$æ EF com- plectenti capita axiculi, adeò ut $u$pensâ ex F an â, quæ ho- rizonti ad perpendiculum immineat, tùm demùm intelligatur factum æquilibrium, cum lingula an$æ congruit, & jugum con$i$tit horizonti parallelum. Utrùm autem <I>Trutina</I> dicenda $it ip$a lingula, an verò an$a, non conveniunt Authores: li- tem Grammaticis dirimendam relinquo. <p>Extremis brachiorum punctis A & B adnectitur utrumque pondus, tam notum, quod e$t alterius men$ura, quàm igno- tum; cujus gravitas examinatur. Nihil autem refert, an pon- dera uncinis adnexa dependeant, an verò lancibus indè pen- dentibus imponantur; id quod vulgare e$t magi$que u$itatum, & libræ fecit nomen <I>Bilanci.</I> Illud enim præcipuum e$t, ac maximè attendendum, quòd omnia hinc & hinc æqualia $int, nimirum pondus unius lancis cum funiculis $eu catenulis æqua- le $it ponderi alterius lancis cum $uis appendiculis (pondus, in- quam, ponderi æquale $it; nil enim intere$t æquales ne? an inæquales fuerint utriu$que lancis funiculi $ecundùm longitu- dinem, modò in æquali di$tantiâ à centro adnectantur) & bra- chium alterum majus non $it reliquo brachio non $olùm quoad gravitatem, quæ materiæ jugi ine$t, $ed poti$$imùm quoad ip$orum brachiorum longitudinem. <p>Porrò hæc brachiorum longitudo non e$t de$umenda, ut ita loquar, materialiter, à centro jugi ad extremitatem, ubi mate- ria de$init, ex quâ con$tat, $ivè ferrum $it, $ivè lignum, $ivè aliud quidpiam: $ed brachiorum longitudinem definiunt <pb n=228> puncta jugi; ex quibus pondera dependent: horum etenim di$tantiam à centro omnino æqualem e$$e oportet. Huju$modi autem puncta non alia $unt, quàm puncta contactûs jugi & an- nulorum $eu uncinorum illi infixorum, quibus deinde lances aut pondera adnectuntur. Hoc illud e$t, in quo maxima arti- ficis indu$tria, atque diligentia collocanda e$t, ut exacti$$imam brachiorum æqualitatem a$$equatur. <p>Data itaque hac, quam diximus, brachiorum æqualitate, $i æqualia pondera hinc & hinc addantur, manife$tum e$t jugum libræ ex aginâ $u$pen$um ad neutram partem inclinari, $ed ma- nere horizonti parallelum; fieri namque non pote$t, ut extremi- tas altera de$cendat, quin oppo$ita extremitas cum adnexo pon- dere a$cendat, & quidem æquali motu propter brachiorum æqualitatem. Finge enim pondus B de$cendere in F, utique <FIG> pondus A a$cendet in E, at- que de$cribent arcus BF & AE æquales, quippe qui æqualibus angulis ad verti- cem in C $ubtenduntur, & ab æqualibus radiis CB, CA de$cribuntur. At æqualis e$t in B vis de$cendendi atque in A repugnantia ad a$cendendum; illa igitur præpollere non pote$t. Siquidem vis de$cendendi componitur ex ponderis gravitate, & non impeditâ motûs naturalis velocitate; repugnantia verò ad a$cendendum componitur & ex ponderis contranitentis gra- vitate, & ex velocitate motûs præter naturam: $unt autem gra- vitates ex hypothe$i æquales, motus etiam per arcus BF & AE e$$ent æquales; ac proinde vis tendendi deor$um inveniens æqualem oppo$itam repugnantiam ad motum $ur$um nequit illi imprimere impetum, quo per vim moveatur: ut enim $equa- tur motus, aut gravitates di$pares e$$e oportet, aut motuum Po- tentiæ moventis & Ponderis moti velocitates inæquales, ut ma- jor $it Ratio huju$modi velocitatum, quàm $it reciproca Ratio gravitatum: alioquin nulla e$$et virium movendi & re$i$tentiæ inæqualitas, ubi omnia e$fent æqualia. Cum itaque in librâ $ic con$titutâ intercedat omnimoda æqualitas & brachiorum, qui- bus definitur motus, & gravitatum, quæ $ibi invicem æquali- ter ob$i$tunt, ac proinde eadem $it reciproca Ratio gravitatum <pb n=229> & motuum, jugum libræ horizonti parallelum con$i$tere ne- ce$$e e$t; & in alteram partem $i inclinerur, manife$tum e$t in illâ lance plus ponderis fui$$e impo$itum, quàm in reliquâ. <p>Ut autem quàm exacti$$imè ponderum ignota gravitas exa- minari queat, opus e$t ut axiculus jugo infixus ($altem in $upe- riore parte, cui $capus incumbit) exqui$itè cylindricam figu- ram obtineat; hinc enim fiet, ut cum rotundo foramine $capi contactus fiat in lineâ, quamcumque tandem po$itionem ha- beat ip$e $capus: nam quemadmodum ex prop. 13. lib. 3. duo circuli $e intùs contingentes tangunt in puncto, ita duæ $uper- ficies cylindricæ, cava altera, altera convexa, $e tangunt in li- neà. Id $i fiat facilè ab æquilibrio deflectet $capus, $i vel modi- ca intercedat ponderum inæqualitas. At $i angulatus fuerit axi- culus, vel $uperior foraminis pars rotunditatem non fuerit a$$e- cuta, jam non in unâ lineâ, $ed in pluribus contactus fieret, at- que adeò iners e$$et ad motum $eapus, etiam$i non omninò æqualia e$$ent pondera lancibus impo$ita. <p>Quare artifices illos non probo, qui axem ita ef$ormant, ut $uperior pars in aciem de$inat, illud $ibi per$uadentes, quod minore partium conflictu $e tangentes axis & $capus faciliorem relinquant in alterutram partem motum libræ. Id quod ut ve- rum $it, non tamen vacat periculo, ne, dum axis capita in$e- runtur an$æ, acies illa planè $ursùm non dirigatur, $ed modi- cum in alterutram partem vergat: quæ declinatio $i contingat, foramen autem exactè rotundum fuerit, miraculo proximum cen$e, $i libra vacua æquilibrium con$tituat, ita ut lingula ritè collocata congruat an$æ; acies $i quidem illa dividit inæquali- ter $capi longitudinem, & brachium alterum altero longius e$t, atque præponderat. Hoc vitium ubi libra contraxerit, inepti artifices nihil $u$picati ab axe malè conformato, aut perperam di$po$ito, ortum duxi$$e, vel brachium extenuant, vel lancem immutant, donec æquilibrium inveniant. Verùm libram hu- ju$modi dolo$am e$$e inferiùs con$tabit propter brachiorum in- æqualitatem: quæ quidem levem infert ponderum differen- tiam in rebus exigui momenti contemnendam; $ed in iis, quæ exqui$itam ponderis men$uram exigunt, non leve damnum hinc pote$t emergere. <p>Quod $i axis non $it an$æ, $ed $capo, firmiter infixus, volua- <pb n=230> turautem in an$æ foraminibus (id quod artificibus non paucis magis arridet) jam non $uperior; $ed inferior axiculi pars at- tendenda e$t; quippe quæ inferiorem foraminum an$æ partem contingit; & eadem, quæ de $uperiore parte dicebantur, ob- $ervanda $unt. Illud tamen præterea in an$æ foraminibus ob- $ervandum venit, quod eorum infima pars ita $it con$tituta, ut axis illis incumbens parallelus $it horizonti, quando an$a $u$- penditur, ut liberè pendeat, vel ita collocatur, ut ad perpen- diculum horizonti immineat: alioquin axe inclinato, jugum urgeret aiteram an$æ partem, ab alterâ recederet; ex quo jugi cuman, conflictu aliqua motui difficultas crearetur. <p>Jam verò quod ad pondera attinet, $upervacaneum e$t mo- nere non omnia pondera omnibus libris convenire: quamvis enim libra, quâ libra e$t, nuliam pror$us re$puat ponderum gra- vitatem, $ed omnem quorumcumque ponderum æqualitatem apta $it indicare $uo æquilibrio; quia tamen ex materiâ con$tat, quæ definitam habet $oliditatem atque partium firmitatem (ut nihil dicam de certis atque definitis viribus retinentis an$am, & cum ansâ libram, ac utrumque pondus) fieri pote$t, ut adeò gravia lancibus imponantur onera, quæ brachiorum rectitudi- nem inflectant, & eorum æqualitatem corrumpant: Quare te- nuioribus libris parva pondera examinantur, cra$$ioribus ma- jora. Illud potiùs cavendum e$t, ne pondera, quibus tanquam men$urâ utimur, fallacia $int, quia fal$a, aut excedendo legi- timam gravitatis quantitatem, aut ab illâ deficiendo. <p>Quamvis autem tot pondera minimæ men$uræ adhibere po$- $emus, quot numerare oporteret ad explorandam propo$itæ gravitatis ignotæ quantitatem, hoc tamen valde incommodum e$$et: quid enim, $i lanius carnem in macello vendens grana numerare cogeretur, quæ æquilibrium cum carne con$tituunt? $ed & inutilis e$$et labor, nam multa $unt, quorum quantitas non e$t ad vivum re$ecanda, & minuti$$imæ particulæ fru$tra inve$tigantur. Subtilitas hæc relinquatur gemmariis, aurifici- bus, auríque monetalis cu$oribus, quibus damnum e$$et minu- tias contemnere. Quamquam nec i$tis author fuerim, ut $in- <*>aribus granis uterentur, $ed potiùs ponderibus, quæ plturi- <*>anis æquivalerent; $i enim $ingula grana à legitimo pon- dere <*>iciunt per cente$imam grani partem, quæ facilè $ensûs <pb n=231> aciem fugit, additis centum huju$modi granis error e$t inte- gri grani deficientis; & in uncia libræ Romanæ ponderalis ad monetam pertinentis cum grana 576 contineantur, in uncia auri error e$$et granorum ferè $ex deficientium, & in integrâ librâ, quæ e$t granorum 6912, e$$et error granorum 69; qui tamen error vix contingat, $i a$$umatur integra uncia, aut li- bra: illud $i quidem, quod $olitarium præ $ua tenuitate in con- $pectum non cadit, cum pluribus $imilibus conjunctum evadit demum notabile atque con$picuum. Quare ad paranda pon- dera huju$modi $ubtiliora, a$$ume laminam metallicam ponde- re unius libræ, $ed æquabiliter exten$am, eju$que duodecimam partem accipe; hæc erit Uncia, quam $epones. Alterius Unciæ octavam partem a$$umens habebis Draclimam. Drachmæ pars tertia dabit $crupulum. Scrupuli $emi$$is e$t obolus. Oboli triens e$t $iliqua. Demùm $iliquæ quadrans e$t Granum. Ex hac minutâ divi$ione $atis con$tat, quàm obnoxiæ errori $int minores particulæ præ majoribus; idemque error, qui in unciâ fingularis e$$et, & ut nullus con$ideraretur, toties repetitus, quot grana in unciâ continentur, jam non e$$et contemnen- dus. Id autem dictum intelligatur etiam in majoribus ponde- ribus, ubi unciæ non reputantur, $atius e$$e majora pondera habere, quàm minimam men$uram $æpiùs multiplicatam a$- $umere. <p>Sed quoniam adhuc incommodum accideret tot habere men$uras, quæ juxta $eriem naturalem numerorum cre$cerent, ut propo$itæ paucitatis examinandæ quantitas indagetur, ob- $ervatum e$t non leve compendium, quod offert progre$$io Geometrica ab unitate incipiens, & in Ratione dupla aut tri- plâ progrediens. Nam maximum terminum progre$$ionis du- plæ $ibimet ip$i additum $i mulctaveris unitate, & in progre$- $ione triplâ maximo termino unitate mulctato $i re$idui $emi$- $em addideris, numerum habebis gravitatum omnium, quæ paucis illis ponderibus examinari po$$unt. Sic dentur octo pon- dera in Ratione duplâ incipiendo ab uncia 1; octavum e$t unc. 128: hunc numerum duplica, & à 256 aufer unitatem, reliquus numerus 255 indicat octo illis ponderibus po$$e in li- brâ examinari omnes gravitates ab uncia 1 ad uncias 255. Si- mili modo in Ratione triplâ dentur quatuor pondera 1. 3. 9. 27. <pb n=232> aufer ab ultimo unitatem, remanet 26, cujus $emi$$is 13 addi- tus numero 27 dat 40: cujus igitur gravitatis e$t primum pon- dus ut 1, tot gravitates u$que ad 40 examinari po$$unt illis $olis quatuor ponderibus. Præ$tat autem uti ponderibus in Ratio- ne duplâ, quia licèt plura pondera requirantur, omnia tamen $eor$im in propriâ libræ lance collocantur: at $i Ratio ponde- rum $it tripla, aliquâ commutatione uti nece$$e e$t, ut in ad- jecta Tabella ob$ervabis, quæ u$que ad numerum 40. exten- ditur: Ubi etiam vides in Ratione triplâ $ufficere quatuor pon- dera 1. 3.9. 27, at in duplâ exigi $ex videlicet 1. 2. 4. 8. 16. 32. <TABLE BORDER> <TR><TD COLSPAN="8" ALIGN="CENTER">Pondera in Ratione Dupla</TD></TR> <TR><TD COLSPAN="8" ALIGN="CENTER">1. 2. 4. 8. 16. 32.</TD></TR> <TR> <TD ALIGN="CENTER">Res</TD> <TD ALIGN="CENTER">Pondus</TD> <TD ALIGN="CENTER">Res</TD> <TD ALIGN="CENTER">Pondus</TD> <TD ALIGN="CENTER">Res</TD> <TD ALIGN="CENTER">Pondus</TD> <TD ALIGN="CENTER">Res</TD> <TD ALIGN="CENTER">Pondus</TD> </TR> <TR> <TD>1</TD> <TD>1</TD> <TD>11</TD> <TD>8. 2. 1.</TD> <TD>21</TD> <TD>16. 4. 1.</TD> <TD>31</TD> <TD>16.8.4.2.1.</TD> </TR> <TR> <TD>2</TD> <TD>2</TD> <TD>12</TD> <TD>8. 4.</TD> <TD>22</TD> <TD>16. 4. 2.</TD> <TD>32</TD> <TD>32.</TD> </TR> <TR> <TD>3</TD> <TD>2. 1</TD> <TD>13</TD> <TD>8. 4. 1.</TD> <TD>23</TD> <TD>16.4. 2.1.</TD> <TD>33</TD> <TD>32. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>4</TD> <TD>4.</TD> <TD>14</TD> <TD>8. 4. 2.</TD> <TD>24</TD> <TD>16. 8.</TD> <TD>34</TD> <TD>32. 2.</TD> </TR> <TR> <TD>5</TD> <TD>4. 1</TD> <TD>15</TD> <TD>8.4.2.1.</TD> <TD>25</TD> <TD>16. 8. 1.</TD> <TD>35</TD> <TD>32. 2. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>6</TD> <TD>4. 2</TD> <TD>16</TD> <TD>16.</TD> <TD>26</TD> <TD>16. 8. 2.</TD> <TD>36</TD> <TD>32. 4.</TD> </TR> <TR> <TD>7</TD> <TD>4.2.1.</TD> <TD>17</TD> <TD>16. 1.</TD> <TD>27</TD> <TD>16.8.2.1.</TD> <TD>37</TD> <TD>32. 4. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>8</TD> <TD>8.</TD> <TD>18</TD> <TD>16. 2.</TD> <TD>28</TD> <TD>16. 8. 4.</TD> <TD>38</TD> <TD>32. 4. 2.</TD> </TR> <TR> <TD>9</TD> <TD>8. 1.</TD> <TD>19</TD> <TD>16. 2. 1.</TD> <TD>29</TD> <TD>16.8.4.1.</TD> <TD>39</TD> <TD>32. 4. 2. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>10</TD> <TD>8. 2.</TD> <TD>20</TD> <TD>16. 4.</TD> <TD>30</TD> <TD>16.8.4.2.</TD> <TD>40</TD> <TD>32. 8.</TD> </TR> </TABLE> <pb n=233> <TABLE BORDER> <TR><TD COLSPAN="12" ALIGN="CENTER">Pondera in Ratione Tripla 1. 3. 9. 27 & 12.</TD></TR> <TR> <TD ALIGN="CENTER">Res</TD> <TD ALIGN="CENTER">Adde</TD> <TD ALIGN="CENTER">Pondus</TD> <TD ALIGN="CENTER">Res</TD> <TD ALIGN="CENTER">Adde</TD> <TD ALIGN="CENTER">Pondus</TD> <TD ALIGN="CENTER">Res</TD> <TD ALIGN="CENTER">Adde</TD> <TD ALIGN="CENTER">Pondus</TD> <TD ALIGN="CENTER">Res</TD> <TD ALIGN="CENTER">Adde</TD> <TD ALIGN="CENTER">Pondus</TD> </TR> <TR> <TD>1</TD> <TD>1</TD> <TD>1.</TD> <TD>14</TD> <TD>9.3.1.</TD> <TD>27.</TD> <TD>27</TD> <TD></TD> <TD>27.</TD> <TD>40</TD> <TD></TD> <TD>27.9.3. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>2</TD> <TD>1</TD> <TD>3.</TD> <TD>15</TD> <TD>9.3.</TD> <TD>27</TD> <TD>28</TD> <TD></TD> <TD>27. 1.</TD> <TD>41</TD> <TD>1</TD> <TD>27. 12. 3,</TD> </TR> <TR> <TD>3</TD> <TD></TD> <TD>3.</TD> <TD>16</TD> <TD>9.3.</TD> <TD>27. 1.</TD> <TD>29</TD> <TD>1.</TD> <TD>27. 3.</TD> <TD>42</TD> <TD></TD> <TD>27. 12. 3.</TD> </TR> <TR> <TD>4</TD> <TD></TD> <TD>3. 1.</TD> <TD>17</TD> <TD>9. 1.</TD> <TD>27.</TD> <TD>30</TD> <TD></TD> <TD>27. 3.</TD> <TD>43</TD> <TD></TD> <TD>27. 12. 3.1.</TD> </TR> <TR> <TD>5</TD> <TD>3. 1.</TD> <TD>9.</TD> <TD>18</TD> <TD>9.</TD> <TD>27.</TD> <TD>31</TD> <TD></TD> <TD>27. 3.1.</TD> <TD>44</TD> <TD>3. 1.</TD> <TD>27. 12. 9.</TD> </TR> <TR> <TD>6</TD> <TD>3.</TD> <TD>9.</TD> <TD>19</TD> <TD>9.</TD> <TD>27. 1</TD> <TD>32</TD> <TD>3. 1.</TD> <TD>27. 9.</TD> <TD>45</TD> <TD>3.</TD> <TD>27. 12. 9.</TD> </TR> <TR> <TD>7</TD> <TD>3.</TD> <TD>9. 1.</TD> <TD>20</TD> <TD>9. 1.</TD> <TD>27. 3.</TD> <TD>33</TD> <TD>3.</TD> <TD>27. 9.</TD> <TD>46</TD> <TD>3.</TD> <TD>27. 12. 9.1.</TD> </TR> <TR> <TD>8</TD> <TD>1.</TD> <TD>9.</TD> <TD>21</TD> <TD>9.</TD> <TD>27. 3.</TD> <TD>34</TD> <TD>3.</TD> <TD>27. 9.1.</TD> <TD>47</TD> <TD>1.</TD> <TD>27. 12. 9.</TD> </TR> <TR> <TD>9</TD> <TD></TD> <TD>9.</TD> <TD>22</TD> <TD>9.</TD> <TD>27.3.1.</TD> <TD>35</TD> <TD>1.</TD> <TD>27. 9.</TD> <TD>48</TD> <TD></TD> <TD>27. 12. 9.</TD> </TR> <TR> <TD>10</TD> <TD></TD> <TD>9. 1.</TD> <TD>23</TD> <TD>3. 1.</TD> <TD>27.</TD> <TD>36</TD> <TD></TD> <TD>27. 9.</TD> <TD>49</TD> <TD></TD> <TD>27.12.9.1.</TD> </TR> <TR> <TD>11</TD> <TD>1.</TD> <TD>9. 3.</TD> <TD>24</TD> <TD>3.</TD> <TD>27.</TD> <TD>37</TD> <TD></TD> <TD>27.9.1.</TD> <TD>50</TD> <TD>1.</TD> <TD>27.12.9.3.</TD> </TR> <TR> <TD>12</TD> <TD></TD> <TD>9. 3.</TD> <TD>25</TD> <TD>3.</TD> <TD>27. 1.</TD> <TD>38</TD> <TD>1.</TD> <TD>27. 9.3.</TD> <TD>51</TD> <TD></TD> <TD>27.12.9,3.</TD> </TR> <TR> <TD>13</TD> <TD></TD> <TD>9. 3.1.</TD> <TD>26</TD> <TD>1.</TD> <TD>27.</TD> <TD>39</TD> <TD></TD> <TD>27. 9.3.</TD> <TD>52</TD> <TD></TD> <TD>27.12.9.3.1.</TD> </TR> </TABLE> <p>At contingere pote$t paratis hi$ce ponderibus in Ratione duplâ aut triplâ aliquid abundare, & maximum terminum cæ- teris additum excedere quæ$itum numerum, (ut hic, $i opus e$$et provenire $olum ad 40, maximus terminus 32 e$t abun- dans) proptereà retentâ cæterorum $ummâ adde aliud pondus, ut quæ$itum numerum compleat, & e$t illud, quo opus e$t; $ic 1. 2. 4. 8. 16. conficiunt $ummam 31; aufer 31 ex 40, re$i- duum e$t 9; $it igitur $extum pondus 9, & $atis erit u$que ad 40; quia cum habeantur reliquis ponderibus omnes numeri infra 31, jam ex 23 & 9 fit 32, ex 24 & 9 fit 33, & $ic de re- liquis deinceps. Idem dic de aliâ qualibet $ummâ majore quàm ferant data pondera, minore tamen quàm opus $it, $i adhuc unum pondus in eâdem progre$$ione adderetur; $ufficit enim re$iduum. Exemplum habes in $uperiore Tabella pon- derum in Ratione triplâ, ubi quatuor conficiunt 40, $ed $i ad- deretur quintum in eadem Ratione 81, e$$et nimis magnum, <pb n=234> $i $olùm habere velimus pondera infra 121: quæratur u$que ad 52, & quia inter 40 & 52 differentia e$t 12, quintum pondus ut 12 $ufficiet. Hinc quia ad libram requiruntur $olum 24 $e- munciæ, ad unciam 24 $crupuli, ad $crupulum 24 grana, $i pondera $int in Ratione triplâ, $ufficiunt tria ponderâ 1. 3.9. quæ conficiunt 13, & quartum pondus $it 11, ut compleatur $umma 24: & in Ratione duplâ $ufficiunt quatuor pondera 1. 2. 4. 8. quæ conficiunt 15, & quintum pondus 9 complens $ummam 24. illud e$t, quod requiritur, ut ex adjectis Tabel- lis liquet. <TABLE BORDER> <TR><TD COLSPAN="2" ALIGN="TOP">Pro 24 $emunciis ad li-<BR> bram, aut 24 $crupulis<BR> ad unciam, aut 24 granis<BR> ad $crupulum 1.2.4.8.9.</TD></TR> <TR> <TD ALIGN="CENTER">Res</TD> <TD ALIGN="CENTER">Pondera.</TD> </TR> <TR> <TD>16</TD> <TD>9. 4. 2. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>17</TD> <TD>9. 8.</TD> </TR> <TR> <TD>18</TD> <TD>9. 8. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>19</TD> <TD>9. 8. 2.</TD> </TR> <TR> <TD>20</TD> <TD>9. 8. 2. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>21</TD> <TD>9. 8. 4.</TD> </TR> <TR> <TD>22</TD> <TD>9. 8. 4. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>23</TD> <TD>9. 8. 4. 2.</TD> </TR> <TR> <TD>24</TD> <TD>9. 8. 4. 2. 1.</TD> </TR> </TABLE> <TABLE BORDER> <TR><TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Pro $emunciis 24<BR> 1. 3. 9. 11.</TD></TR> <TR> <TD ALIGN="CENTER">Res.</TD> <TD ALIGN="CENTER">Adde</TD> <TD ALIGN="CENTER">Pondera,</TD> </TR> <TR> <TD>14</TD> <TD></TD> <TD>11 3.</TD> </TR> <TR> <TD>15</TD> <TD></TD> <TD>11. 3. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>16</TD> <TD>3. 1.</TD> <TD>11. 9.</TD> </TR> <TR> <TD>17</TD> <TD>3.</TD> <TD>11. 9.</TD> </TR> <TR> <TD>18</TD> <TD>3.</TD> <TD>11. 9. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>19</TD> <TD>1.</TD> <TD>11. 9.</TD> </TR> <TR> <TD>20</TD> <TD></TD> <TD>11. 9.</TD> </TR> <TR> <TD>21</TD> <TD></TD> <TD>11. 9. 1.</TD> </TR> <TR> <TD>22</TD> <TD>1.</TD> <TD>11. 9. 3.</TD> </TR> <TR> <TD>23</TD> <TD></TD> <TD>11. 9. 3.</TD> </TR> <TR> <TD>24</TD> <TD></TD> <TD>11. 9. 3. 1.</TD> </TR> </TABLE> <p>Unum hîc, ubi de Ponderibus $ermo e$t, obiter moneo, libræ nomen apud Romanos æquivocum fui$$e, alia enim erat libra Ponderalis aridorum, alia Men$uralis liquidorum (& poti$$i- mum olei, quod cornu librali metiebantur) quam inci$is & in- $culptis lineis in uncias 12 partiebantur, quemadmodum & li- bra pondo in uncias pariter 12 di$tinguebatur: $ed inter utram- que libram, $i materia ip$a ad pondus revocabatur, non exi- guum erat di$crimen; ut enim ex proprio experimento te$t<*> <pb n=235> tur Galenus lib. 6. cap. 8. <I>de compo$itione medicam. per genera.</I> Libra men$ura $olùm uncias decem continebat, quarum li- bra pondo erat duodecim: quapropter uncia men$uralis ad un- ciam ponderalem erat ut 5 ad 6 $pectatâ gravitate & quantita- te materiæ. <HR> <C>CAPUT II.</C> <C><I>Libra inæqualium brachiorum expenditur.</I></C> <p>USus libræ brachiorum inæqualium minùs nece$$arius e$t, ac propterea neque communis aut vulgaris, ni$i quatenus ad $tateram traductus e$t: illam tamen hîc con$iderare erit operæ pretium, ut æquilibrij rationes magis innote$cant. Sit libra AB, cujus centro C <FIG> dividatur jugum in brachia inæqualia CA & CB. Certum e$t, etiam $i nul- lum addatur pondus, ju- gum ex centro C $u$pen- fum retinere non po$$e po- $itionem AB horizonti pa- rallelam; quia licet punctum C $it centrum motûs libræ, non e$t tamen centrum gravitatis illius; hoc enim e$t in puncto ju- gum (quod hîc æquabiliter ductum ponitur) bifariam dividen- te, videlicet in I, quod æquales gravitates IA & IB cir- cum$tant. Verùm interim ex hypothe$i fingamus lineam AB omni gravitate carentem; & in ip$is libræ extremitatibus $ta- tuamus pondera eam inter $e reciprocè Rationem habentia, quæ e$t Ratio brachiorum, & ut CA ad CB, ita $it pondus B ad pondus A. Pondera hæc, quæ in lancibus libræ vulgaris æqualium brachiorum magnam momentorum inæqualitatem haberent, quia inæqualiter gravia, hîc æquilibrium con$ti- tuunt, quamvis inæquales $int eorum gravitates ab$olutæ, quia libræ brachia reciprocè: $ecundùm eandem Rationem in- æqualia: quatenus enim alligantur pondera hæc extremita- <pb n=236> tibus libræ, æqualia obtinent momenta, nec jugum AB pote$t in alterutram partem inclinari, cum neutrum pon- dus po$$it ab altero a$$umere vim, qua $ursùm moveatur, majorem oppo$itâ virtute innatá de$cendendi, qua repu- gnat, ne elevetur. Sit CA ad CB ut 1 ad 4, & vici$$im pon- dus B ut 1 ad pondus A ut 4. Si gravitates dumtaxat con- $iderentur, virtus ponderis A e$t ut 4, virtus verò ponderis B ut 1: $ed quia à centro motûs C retinentur, nec liberè rectâ viâ moveri po$$unt, impedimentum recipiunt pro brachiorum lon- gitudine, minû$que impeditur de$cen$us aut a$cen$us rectus ponderis, quod longiori brachio adjacet, magis, quod brevio- ri. Illud igitur pondus, quod majori brachio adnectitur, $i de$cendat, magis de$cendit, $i a$cendat, magis a$cendit; quod verò breviori, $i a$cendat, minùs a$cendit, & $i de$cendat, minùs de$cendit: atque adeò $i B de$cenderet in E, men$ura de$censùs e$$et perpendicularis EG, a$$en$um autem ponderis A in D metiretur perpendicularis DF: idem dic $i A de$cen- deret, & B a$cenderet. Porrò DF & EG $unt in Ratione brachiorum CA & CB ut patet, quia triangula rectangula CFD, & CGE, præter rectos angulos ad F & G æquales, ha- bent etiam æquales ad C angulos ad verticem, & per 32. lib. 1. $unt æquiangula; igitur per 4 lib. 6. ut CD ad CE, ita DF ad EG; at CD æqualis e$t ip$i CA, & CE ip$i CB (e$t enim eadem linea, quæ mutatâ po$itione AB venit in DE) igitur ut CA ad CB ita DF ad EG. Quare ratione po$itionis pon- dus B vim habet de$cendendi, & re$i$tit a$cen$ui, ut 4, pon- dus autem A vim habet de$cendendi, ac proinde etiam re- $i$tendi, ne a$cendat, $olùm ut 1. <p>Cum itaque momentum de$cendendi (idem e$to judicium de momento repugnantiæ, ne a$cendat) componatur tùm ex gravitate ponderis, tùm ex propen$ione ad motum, hoc e$t ex motûs, qui con$equi po$$et, velocitate, manife$tum e$t gravi- tatem ut 4, cujus motus e$$et ut 1, nec po$$e vincere gravitatem ut 1, cujus motus e$$et ut 4, nec vici$$im po$$e ab illâ vinci; e$t $iquidem inter gravitatem quadruplum $emel, & gravita- tem $ubquadruplam quater Ratio æqualitatis; victoria autem obtineri non pote$t, ni$i intercedat virium inæqualitas. Si enim pondera e$$ent æqualia, ponderis A re$i$tentia ratione <pb n=237> motûs e$$et $ubquadrupla, $ed quadruplicatur ratione gravita- tis, ergo re$i$tentia e$t æqualis: item $i longitudines e$$ent æquales, re$i$tentia ponderis B e$$et $ubquadrupla ratione gravitatis, $ed quadruplicatur ratione di$tantiæ CB; ergo in B e$t æqualis. <p>Neutrum igitur pondus pote$t oppo$ito ponderi impetum imprimere, quo elevetur; quia nimirum unaquæque gravitas majorem impetum alteri communicare non pote$t, quàm po$- $it ip$a concipere, ac propterea impetus gravitatis B, quæ e$t ut CA, potens conari deor$um ut GE, $i imprimeretur gravi- tati A, quæ e$t ut CB, deberet illam elevare ut FD: Atqui gravitas ip$ius A, quæ e$t ut CB, conatur deorsùm ut FD, & ejus impetus $i gravitati B, quæ e$t ut CA, imprimeretur, il- lam elevare deberet ut GE: igitur in unaqu<*>que gravitate æqualis e$$et eju$dem conatus deorsùm & vis illata nitens $ur- sùm, nec plus præ$tare po$$et impetus impre$$us, quàm innatus. Utraque igitur con$i$tere debet, & neutra impetum acquirit, aut ab alterâ impetum accipit, quia fru$tra e$$et impetus acqui- $itus aut impre$$us, quem nullus con$equi pote$t motus. Quare cum eadem $it gravitatum Ratio ut CA ad CB, atque motuum reciprocè ut FD ad GE, ex 16 lib. 6. rectangulum $ub extre- mis CA, hoc e$t pondere B, ut 1, & motu GE, ut 4, æquale e$t rectangulo $ub mediis CB, hoc e$t pondere A ut 4, & mo- tu FD ut 1: $unt igitur æqualia momenta, quæ componuntur ex gravitate ut 1 & motu ut 4, atque ex gravitate ut 4 & motu ut 1. <p>Ex his aperti$$imè liquet, cur $uperiori capite tantopere in- culcata $it brachiorum æqualitas in libræ jugo, ut ex æquili- brio innote$cat propo$iti ponderis ignota gravitas; hæc enim æqualis cen$etur notæ gravitati, ubi cùm oblato pondere illa æquâ lance libratur: quia $cilicet, $i inæqualia e$$ent brachia, inæquales e$$ent propen$iones ad motum, $eu motuum veloci- tates, quæ ad componendam momentorum Rationem concur- runt; adeóque fieri non po$$et, ut æquales e$$ent gravitates in lancibus; nam minor gravitas ex brachio longiore plus habet momenti, quàm ex breviore, pro ratione inæqualitatis brachio- rum. Verum e$t libram huju$modi brachiorum inæqualium vacuam po$$e priùs ad æquilibritatem reduci, deinde, illâ $ic <pb n=238> æquilibri con$titutâ po$$e lancibus imponi Reciprocè pondera pro Ratione inæqualium brachiorum, & ex æquilibrio argui ponderum illorum Rationem, non tamen æqualitatem: $edar- tificium hoc, quod peritioribus nihil officeret, an$am non mo- dicam furacibus, & dolo$is mercatoribus præberet decipiendi imperitos; quamvis enim libræ huju$modi æquilibri impo$itis, hinc & hinc ponderibus adhuc fieret æquilibrium, $ignum quidem e$$et æqualibus momentis addita e$$e æqualia momen- ta gravitatis, non tamen verùm e$$et additas e$$e æquales gra- vitates, ut rudioribus forta$$e videretur. Hinc e$t libram bra- chiorum inæqualium in u$u non e$$e, ne locus pateat dolis. <p>Dixi autem expre$sè priùs $tatuendam e$$e libræ vacuz æquilibritatem, deinde $umenda pondera reciprocè pro Ratio- ne longitudinis brachiorum: ni$i etenim priùs æquilibritas illa $tatueretur, $i pondera impo$ita e$$ent reciprocè in Ratione longitudinis brachiorum, $emper pondus minus additum bra- chio longiori præponderaret, quia etiam ip$a brachij longioris gravitas $ua habet momenta, & quidem non modica, majora momentis brachij brevioris, quæ omninò computanda $unt: nam $i ponderum in ea Ratione reciprocè po$itorum momenta $int æqualia, illi$que adjiciantur inæqualia gravitatis bra- chiorum momenta, manife$tum e$t momentorum $ummam, cui plus additur, majorem e$$e reliquâ, cui additur minus. <p>Sed quænam $unt, & quanta utriu$que brachij momenta? Ut hæc inve$tigemus, & certâ ratione definiamus, ponamus jugum ip$um $ecundùm $uas omnes partes uniu$modi, & gravi- tatem æquabiliter fu$am per totam illius longitudinem. Sit igi- <FIG> tur datum pri$ma AB, quod in quinque partes æquales dividatur, $ingulas pondoli- bram unam; & per $ingula gravitatis centra ducatur recta <I>a u</I>: fiatque $ecun- dùm rectam HI, à qua pars una C ab$cinditur à reliquis, totius pri$matis $u$pen$io, ita ut centrum motûs $it in S. Proculdubio unaquæque pars à cæteris $ejuncta $i appenderetur $ecundùm longitudinem jugi <I>a u,</I> quod infigeretur per centra gravitatum <I>a, e, i, o, u,</I> obtineret <pb n=239> fuum momentum juxtà di$tantiam centri $uæ gravitatis à centro motûs. Quid autem refert (quod quidem attinet ad hanc momentorum Rationem) $i in unum continuum corpus unitæ illæ partes coagmententur, an verò divi$æ $olo contactu $ibi invicem adhæreant? eadem quippe e$t gravitas $ingulis in- $ita, eadem $ingularum à centro di$tantia. Cum itaque centra gravitatum <I>a</I> & <I>e</I> æqualiter di$tent ab S centro motûs, partes C & D æquiponderant: at di$tantia <I>S i</I> tripla e$t di$tantiæ <I>S a</I>; ergo momentum partis E triplum e$t momenti partis C; $imi- lique ratione pars F habet momentum quintuplum, & pars G $eptuplum. Igitur componendo, momentum totius aggregati quatuor partium D, E, F, G, e$t $edecuplum momenti partis C; neque enim $ingulæ partes ex hoc quod cum cæteris pen- deant, illi$que cohæreant, $uum amittunt momentum. Hinc fit momenta brachiorum e$$e inter $e ut Quadrata longitudi- num eorumdem brachiorum: $iquidem o$tenditur $ingularum partium momentum cre$cere $ecundùm Rationem numero- rum imparium, prout $ecundùm eandem Rationem cre$cunt di$tantiæ centrorum gravitatis illarum. Sic brachiorum longitudines $i e$$ent in Ratione 2 ad 7, illorum momenta ratione $uæ gravitatis innatæ & ratione po$itionis e$$ent ut 4 ad 49. <p>Hæc Ratio momentorum in Ratione Quadratorum longi- tudinis, $i res attentè perpendatur, omnibus e$t manife$ta: Nam $ingulorum brachiorum gravitates juxta hypothe$im æquabiliter fu$æ per totum libræ jugum Rationem inter $e habent, quam illorum longitudinis propen$iones ad motum, $eu, quod eòdem recidit, di$tantiæ à centro motûs eandem pariter Rationem habent, quam brachiorum longitudines: Quoniam igitur (ut $æpiùs dictum e$t, $æpiú$que iterùm inculcandum) momenta componuntur ex gravitatibus ratio- ne materiæ, & ex propen$ionibus ad motum ratione $itûs $eu po$itionis, componuntur duæ Rationes longitudinum; atque adeó momentum unius brachij ad momentum alterius bra- chij e$t in duplicata Ratione $uarum longitudinum, hoc e$t, ut ip$arum longitudinum Quadrata. Id quod adhuc ul- teriùs $ic explicari po$$e videtur. Sit libræ jugum M. N, & motûs centrum O: intelligatur moveri, ut obtineat po$itio- <pb n=240> nem PR. Momentum brachij minoris OM referre videtur $ector MOP, momentum verò brachij majoris ON referre <FIG> videtur $ector NOR; $ingularum quippe partium motus ab arcu de$criptus illarum momentum ob oculos ponit, & totius brachij mo- mentum illius motus, $cilicet $ector in motu de$criptus. At ob æquali- tatem angulorum ad verticem in O, $ectores MOP, NOR $unt $i- miles, &, quia uterque $ector e$t $imilis pars $ui circuli, eam inter $e habent $ectores Rationem, quæ e$t circulorum, per 15.lib.5. circuli autem $unt in dupli- catâ Ratione diametrorum, ex 2.lib.12. $eu Radiorum OM & ON; igitur & $ectores $unt in duplicatâ Ratione OM ad ON, hoc e$t quadrati OM ad quadratum ON. <p>At quæris. In propo$ito pri$mate AB, momentum brachij SA ad momentum brachij SB e$t ut 1 ad 16: An, ut ha- beatur æquilibrium in S, addendum erit in A pondus libra- rum 15? quandoquidem pars C e$t libræ unius, reliquum au- tem brachium lib. 4, & longitudo SB e$t quadrupla longitu- dinis SA. <p>Hoc $anè non e$t iis, quæ dicta $unt, con$equens, necex illis efficitur: aliud quippe e$t momenta brachiorum e$$e ut 1 ad 16, aliud verò perinde $e habere, atque $i ex brachiorum gravita- te carentium extremitatibus penderent libræ 1 & 16, ut ad æquilibrium con$tituendum opus $it breviori brachio addere libras 15. Primum illud verum e$t, etiam $i extremitatibus ad- necti intelligamus hinc quidem libræ $emi$$em; hinc verò li- bras octo, mane $cilicet eadem Ratio 1 ad 16. Alterum à for- mà veritatis prorsùs alienum videtur, nam licet libræ 4 in ex- tremitate B po$itæ æquivaleant libræ unciæ $imul cum pondere lib.15. in extremitate A; non e$t tamen eadem ratio librarum 4 $ecundùm longitudinem brachij SB di$tributarum; quo enim propiores $unt partes centro motûs, eò minus habent mo- menti: non igitur libræ 4 $ic di$tributæ æquivalent libris 16, nec addendum erit pondus librarum 15 in oppo$itâ extre- mitate ad æquilibrium con$tituendum, quandoquidem nec ip$a <pb n=241> unica libra partis C tantumdem habet momenti, quantum ha- beret $i totâ ex A penderet. <p>Equidem ex his, quæ paulò ante dicebam de $ectoribus re- ferentibus momenta brachiorum, aliquando eò deveni, ut $u$- picarer totam gravitatem brachij ON (idem dic de reliquo OM) intelligendam e$$e ibi exercere totum momentum, ubi e$t qua$i centrum omnium $uorum momentorum, hoc e$t, ubi momenta bifariam dividuntur. Si autem $ector NOR refert totum momentum brachij ON; non e$t intelligendum cen- trum hoc momentorum e$$e punctum L, ubi e$t $emi$$is bra- chij ON; quia Sector LOQ ad Sectorem NOR e$t in Ra- tione Quadrati OL ad Quadratum ON, quod e$t illius qua- druplum. Quod $i inter OL & ON $umatur media propor- tionalis OV, jam $ector VOT e$t ad Sectorem NOR in du- plicatâ Ratione Radiorum OV, & ON, hoc e$t ut OL ad ON, hoc e$t ut 1 ad 2; ac propterea Sector VOT æqualis e$t Trapezio NVTR; proinde in V videbantur divi$a æqualiter momenta, Hinc arguebam vel totam brachij gravitatem cen- $endam e$$e $ua exercere momenta in puncto di$tantiæ à centro motûs mediæ proportionalis inter $emi$$em brachij & totam brachij longitudinem, vel in extremitate brachij cen$en- dam e$$e pendere gravitatem, quæ medio loco proportiona- lis $it inter totam brachij eju$dem gravitatem & ejus $e- mi$$em. <p>Verùm, ut quod res e$t $incerè eloquar, quamvis in Secto- ribus illis, quos paulò ante commemorabam, imaginem quandam momentorum gravitatis $ecundùm brachiorum longitudinem di$tributæ agno$cerem, non tamen in re Phy$icâ $atis fidebam Geometricæ illi commentationi: quip- pe qui ob$ervabam à Sectoribus quidem poni ob oculos Ra- tionem momentorum $ingulorum brachiorum ex motu, qui idem e$t, $ivè multa, $ivè modica $it gravitas, $ivè in uno, $ivè in alio puncto con$tituta intelligatur, non tamen defi- niri ip$ius gravitatis momenta. Quare $atius duxi ad experi- menta potiùs confugere, ut hinc lux aliqua $uboriretur, qua gravitatis quæ$ita momenta innote$cerent. <p>Primùm igitur a$$umptus e$t ligneus cylindrus, cujus dia- meter CE unc. 1. 06″ pedis Romani antiqui, & addito in A <pb n=242> pondere D unciarum 40 1/2 collocatus e$t in æquilibrio, quod factum e$t in B puncto. Fuit autem longitudo BA unciarum <FIG> pedis Romani 7 2/5 BC ve- rò unc.(42 17/50). Re$ecto de- mùm $ubtili$$imè cylindro, repertum e$t pondus AB unciarum 2 1/8, pondus an- tem BC unc. 13 1/2. Hisob- $ervatis cum nullus dubitarem, quin momenta brachiorum e$$ent ut quadrata longitudinum, ip$as longitudines AB unc. 7 2/5, & BC unc.(42 17/50) ad unicam denomination&etilde; reduxi, vi- delicet (370/50) & (2117/50): & a$$umptis numeratorum Quadratis 136900 atque 4481689 hanc po$ui Rationem momentorum. Tùm $ic ratiocinatus $um Algebricè; ut 136900 ad 4481689, ita mo- mentum BA 1 ℞ ad 32.73″ ℞ momentum BC. Cum igitur æqualitas e$$et inter momentum brachij BC, & momentum brachij BA plus ip$o pondere D; hæc enim con$tituebant æquilibrium, æquatio Algebricè e$t inter momentum BC 32. 73″ ℞ & BA + D, hoc e$t 1 ℞ + unc. 40 1/2: & per An- tithe$im demptâ utrinque 1 ℞, æquatio e$t inter 37. 73″ ℞ & unc. 40 1/2. Factâ itaque numeri ab$oluti 40 1/2 divi$ione per nu- merum Radicum prodit pretium 1 ℞ pondo unc.1.27″, quod e$t momentum brachij BA; ac proinde momentum brachij BC: e$t pondo unc.41. 57″. Quare perinde e$t atque $i gravitas unc. 1. 27″ poneretur in extremitate Alineæ Mathematicæ, ac in extremitate C poneretur gravitas unc. 41. 57″. At in A fuit additum pondus unc. 40 1/2: ergo momentum brachij BC æqui- valet ponderi D, & præterea unc.1.07″, qui e$t $emi$$is gravitatis brachij AB ob$ervatæ unc. 2 1/8, hoc e$t in cente$imis paulò ul- tra 2. 12″. Si verò momentis brachij BA pondo unc. 1.27″ ad- datur gravitas D pondo unc. 40. 50″, fit aggregatum 41.77″, quod excedit inventum momentum brachij BC unc.41.57″. exce$$u (20/100) unciæ: quæ di$crepantia facillimè potuit oriri ex aliquâ exili, ac minime notabili differentiâ vel in dimetiendis brachiorum longitudinibus, vel in ponderandis eorum gravi- tatibus; cum maximè re$egmina illa, & $cobs, non computa- rentur in gravitate. Quod $i fiat ut longitudo BC 2117 ad <pb n=243> longitudinem AB 370, ita pondus in A unc.41.77″ ad pon- dus in B unc. 7. 30″, con$tat e$$e ferè $emi$$em gravitatis unc. 13 1/2: $ed e$t exce$$us $emunciæ ob minùs accuratam ob- $ervationem. <p>Qua propter aliud experimentum quàm accurati$$imè in$ti- tui ligneo parallelepipedo, cujus longitudo palmorum Roma- norum 7. unc.6. 566‴, ejus verò pondus lib. 1. unc.1 1/4. Alte- ri extremitati additus e$t <FIG> plumbeus cylindrus ad per- pendiculum pendens, cujus pondus unc. 20. Impo$itum e$t parallelepipedum rotun- do claviculo ferreo, qui horizonti parallelus erat, & factum e$t æquilibrium in puncto, ubi tota longitudo in duas partes dividebatur, quarum minor ponderi adhærens fuit men$urâ unc. 18 1/6, partes verò major fuit men$urâ palm. 6. unc.2/5. Cum itaque longitudo CB ob$ervata fuerit unciarum men$uralium 72. 40″, & AC unciarum men$uralium 18. 16″, in eadem pariter Ratione ponuntur brachiorum gravitates ab$olutæ. Quare CB pondo unc. 1059, AC verò pondo unc. 2. 66″. Igitur ut longitudinis BC quadratum 52417600 ad longitudi- nis AC quadratum 3297856, ita momentum BC 1 ℞ ad (3297856/52417600) ℞ momentum brachij AC: cui additur cylindrus D unc.20: E$t ergo æquatio inter AC + D, hoc e$t (3297856/52417600) ℞ + unc. 20.00″ & 1 ℞; & factâ Antithe$i e$t æquatio inter unc. 20.00″ & (49119744/52417600) ℞: demum in$titutâ divi$ione con$urgit pretium 1 ℞, hoc e$t momentum BC, unc. 21. 342‴ & paulo amplius: atque momentum brachij AC e$t pondo unc.1.343‴, cui additâ gravitate cylindri fit $umma unc. 21. 343‴ planè æqualis momento brachij BC. <p>Et ut hanc operandi methodum confirmarem, iterum in$ti- tui argumentationem a$$umendo quadrata gravitatum utriu$- que brachij, $unt enim ex hypothe$i gravitates in Ratione lon- gitudinum. Cum igitur $it CB pondo unc. 10. 50″; & AC pondo unc. 2. 66.″ fiat ut quadratum CB 1121481 ad quadra- tum AC 70756, ita ip$ius CB momentum 1 ℞ ad (70756/1121481) ℞ momentũ ip$ius AC. Quoniam verò AC + D hoc e$t (70756/1121481) ℞ <pb n=244> + unc. 20.00″ æquatur momento BC hoc e$t 1 ℞, factâ per Antithe$in communi $ubtractione (70756/1121481) ℞, remanet æquatio inter pondus unc. 20.00″ & (10507<*>5/1121481) ℞, & factâ divi$ione emer- git pretium 1 ℞, hoc e$t momentum BC pondo unc. 21. 347‴. atque adeò momentum ip$ius AC e$t pondo unc. 1. 347″; cui $i addatur cylindri D gravitas unc. 20, totum momentum in A e$t unc. 21. 347‴, omnino æquale momento ip$ius B: id quod ab initio vix $perare audebam, cum hæc operatio à $uperiore differat $olùm per (<*>/1000). Hîc pariter brachij AC gravitas ab$o- luta pondo unc. 2. 66″. habet momentum unc. 1. 347‴, cum ejus $emi$$is $it unc. 1. 330‴, quæ e$t minima atque prorsùs contemnenda differentia: quî enim fieri potuit, ut, quantali- bet adhiberetur diligentia in metiendo, & ponderando, ne pilum quidem à verò aberrarem? aut quis omninò certus $it omnes parallelepipedi partes æquali prorsùs fui$$e præditas gra- vitate, itaut quæ pars ad arboris radicem vergebat, non fuerit paulò den$ior, aut interiùs nodulum aliquem latentem habue- rit, quo factum fuerit, ut vera gravitas in$tituto calculo non exacti$$imè re$ponderet? $imili ratione $emi$$is gravitatis bra- chij BC intelligitur in extremitate B: nam fiat ut longitudo BC 72. 40″ ad longitudinem AC 18.16″, ita reciprocè pon- dus in A unc. 21. 347‴ ad pondus in B unc. 5. 354‴: erat au- tem brachij BC gravitas ab$oluta unc. 10. 59″ cujus, $emi$$is 5. 295‴. differt ab invento pondere $olùm per (50/1000) unciæ, hoc e$t ferè $e$qui$crupulum, $eu grana 34. <p>Ex his quidem $atis apparebat brachij gravitatem in libræ jugo intelligendam e$$e, qua$i ejus $emi$$is in ipsâ extremitate con$titueretur, $eu, quod idem e$t, tota gravitas brachij ad mediam longitudinem applicaretur (eadem $iquidem e$$e mo- menta totius gravitatis in dimidiatâ di$tantiâ, ac dimidiæ gra- vitatis in totâ di$tantiâ, ex $æpiùs dictis e$t manife$tum) mihi tamen $atisfactum non exi$timabam, ni$i ulteriore experimento veritatis ve$tigia per$equerer. Quare eundem plumbeum cy- lindrum, cujus longitudo erat palmi 1. unc. 1. (9/10), ita in extre- mitate A collocavi, ut $uper AI jaceret, & factum e$t æquili- brium in E, eratque EA longitudo unc. (22 4/10). Tùm divi$o bi- fariam in O $patio AI, quod cylindrus jacens occupabat, ex <pb n=245> puncto O $u$pendi cylindrum, & factum e$t pariter æquili- brium exacti$$imè in E, $icut priùs, cum jacebat $uper AI. Deinde cylindrum eumdem iterum parallelepipedo impo$ui ja- centem, $ed ea ratione illum ultrò citróque promovebam, ut omnino propè fulcrum con$i$teret, donec demùm factum e$t æquilibrium in H, & fuit HA palm.2. unc.(10 7/10): Factâ verò $u$pen$ione cylindri ex L, ita ut HL e$$et dimidiata cylin- dri jacentis longitudo, æquilibrium pariter in H factum e$t. <p>Relictâ igitur illâ $ectorum analogiâ, deprehendi per illas quidem ob oculos poni motum, non verò momentum, $eu pro- pen$ionem ad motum, quæ ex di$tantiâ à centro motûs in ipsâ longitudine definienda e$t: & quod ad gravitatem attinet, nul- lus mihi relictus e$t dubitandi locus ita computandam e$$e to- tius brachij gravitatem per ip$um æquabiliter diffu$am, qua$i tota in dimidiatâ di$tantiâ à centro motûs collocaretur: quam- vis enim particularum gravium, quæ ultrâ $emi$$em longitudi- nis magis à centro removentur, momentum cre$cat pro Ratio- ne di$tantiæ, reliquarum tamen numero æqualium citrà longi- tudinis $emi$$em centro propiorum momentum $imiliter pro Ratione minoris di$tantiæ minuitur; ac proptereà tantùm i$ta momenta $imul $umpta decre$cunt, quantum illa $imul $umpta augentur. Ex quo oritur quædam qua$i æqualitas, perinde at- que $i momenta omnia majora & minora in illam particulam confluerent, quæ media e$t Arithmeticè inter extrema (mo- menta $i quidem ratione di$tantiæ Arithmeticè cre$cunt, prout Arithmeticè ip$a di$tantia cre$cit) hæc autem e$t in $emi$$e longitudinis brachij. Ex quo iterum confirmatur momenta brachiorum e$$e ut quadrata longitudinum; $unt enim in du- plicatâ Ratione illarum; $emi$$es quippè $unt in Ratione inte- grarum longitudinum, gravitates $unt in Ratione earumdem longitudinum, ergo Ratio compo$ita e$t duplicata eju$dem Ra- tionis longitudinum. <p>Hinc datâ jugi æquabilis, & uniformis gravitate ab$olutâ, & datâ Ratione longitudinum brachiorum inæqualium libræ, dividatur data gravitas $ecundùm datam Rationem brachio- rum: tùm fiat ut longitudo minor ad longitudinem majorem, ita dimidia gravitas majoris brachij ad aliud, ex quo quarto ter- <pb n=246> mino invento $i auferatur dimidia gravitas brachij minoris, re- $iduum indicabit pondus addendum extremitati brachij mino- ris, ut fiat æquilibrium cum $olâ gravitate brachij longioris. Vel potiùs fiat ut quadratum longitudinis brachij minoris ad differentiam inter quadrata brachiorum, ita $emi$$is gravitatis brachij minoris ad pondus ip$i addendum. <HR> <C>CAPUT III.</C> <C><I>Quomodò corporum æquilibria explicentur.</I></C> <p>QUamvis libro primo plura de Gravitatis centro, prout hu- jus operis in$tituto congruebat, di$putata $int, eorum ta- men plenior explicatio ex his, quæ duobus præcedentibus ca- pitibus dicta $unt, petenda e$t, $i quidem Phy$icam æquilibrij cau$am no$$e velimus. Neque enim Gravitatis centrum illud e$t, quod æquales gravitates, $ed quod æquales gravitationes, aut æqualia gravitatis momenta, hoc e$t æquales ad de$cen- dendum propen$iones ac vires circum$tant. Nam gravitas câ Ratione per univer$um corpus grave di$tribuitur, quâ Ratio- ne materia ip$a, cui illa ine$t, diffu$a intelligitur; quæ $i uniu$- modi $it & homogenea, ibi centrum habet, ubi e$t molis ip$ius centrum; ubi $iquidem bifariam moles & materia, ibi pariter gravitas illi in$ita bifariam dividitur. Quoniam verò fieri po- te$t, ac $æpiùs contingit, materiam quidem corporis & molem invariatam permanere, figuram autem mutari; ex quo nunc in hanc, nunc in illam partem migrat gravitatis centrum, quia alia atque alia fiunt gravitatis momenta pro variâ corporis $e- cundùm $uas partes po$itiones; proptereà huju$modi momento; rum æqualitas ex libræ Rationibus de$umenda e$t, $ivè æqua- lium, $ivè inæqualium brachiorum libra intelligatur, prout va- ria corporis gravis $u$pen$io aut $u$tentatio contingit. <p>Sed quia in communi u$u non adeò frequens e$t illa $u$pen- $io, qua corpus pendeat qua$i ex puncto lineæ directionis tran- $euntis per centrum gravitatis, & ad univer$i centrum de- ductæ, aut illa $u$tentatio, qua corpus grave acuti$$imo apici <pb n=247> incumbat, cui immineat idem gravitatis centrum; quinimmò ita plerumque $u$penditur, aut $u$tinetur corpus, ut ductâ per Gravitatis centrum lineâ, aut ex hujus extremitatibus tan- quam polis illud $u$pendatur, aut $ubjecto fulcro lineæ huic parallelo illud $u$tineatur; ideò huju$modi lineam per centrum gravitatis ductam liceat appellare <I>Diametrum Gravitatis</I>; quæ diameter qua$i in librâ locum Axis $eu Aginæ obtinet, corporis verò partes hinc & hinc po$itæ rationem habent brachiorum libræ, atque pro di$tantiarum $eu longitudinum Ratione $ua habent momenta. Sit propo$itum Trapezium, cujus gravita- tis centrum C puncto re$pondeat, & <FIG> $u$tineatur $ecundùm rectam lineam ACN ($imilis e$$et philo$ophandi ratio, $i a$$umeretur recta RCS) quæ proptereà <I>Diameter Gravitatis</I> à me dicitur, quia $icut circuli diameter per centrum ducta illum in $emicircu- los æquales di$tinguit, ita hæc per gravitatis centrum tran$iens dividit Trapezium in momenta æqualia, itaut in neutram partem in- clinetur, juxta dicta de centro Gravitatis. Sed cur fiat æquili- brium intelliges ex Rationibus libræ Brachiorum inæqualium: ducatur enim ad rectam AN per C perpendicularis DCE, & fiunt brachia CD, CE inæqualia; $unt igitur momenta CE longioris majora momentis CD brevioris. Ductis verò ip$i DE parallelis BF & ML, $ecatur diameter gravitatis AN in punctis H & I: quare inæqualia $unt brachia HB longius, & HF brevius, & vici$$im IM e$t brevius, & IL longius: Ex quo fit momenta in L & E majora e$$e momentis in M & D, at mo- mentum in F minus e$$e momento in B; atque adeò compo- nendo majora cum minoribus ex eâdem parte, fieri compo$i- tum momentum unius partis æquale toti momento oppo$itæ partis. Vel $i non placeat particulatim Trapezium di$tinguere qua$i in tot libras, quot ductæ intelliguntur parallelæ, dic to- tius gravitatis ADN $emi$$em intelligi in D, & totius gravi- tatis AEN $emi$$em intelligi in E; & quamvis pars ADN ab- $olutè & $eor$im accepta major $it & gravior parte AEN ab$o- lutè $umptâ, quia tamen $unt reciprocè in Ratione di$tantia- <pb n=248> rum CE & CD, propterea æquilibrium con$tituere; pars enim minùs gravis ex po$itione majorem habet propen$ionem ad mo- tum, qui e$$et velocior; partis verò gravioris minor e$t propen- $io ad motum, qui e$$et tardior; atque adeò hæc minùs re$i$tit ratione motûs, magis autem ratione gravitatis; at illa ex adver- $o magis re$i$tit ratione motûs, $ed minùs ratione gravitatis, $ervatâ reciprocè eâdem Ratione inter gravitates & motus. Nil igitur mirum $i æquatis hinc & hinc viribus agendi, & re$i$ten- di $equatur con$i$tentia. <p>Hinc manife$tum e$t, cur mutatâ figurâ centrum gravitatis ad eam partem transferatur, quæ longiùs à $u$tentationis vel $u$pen$ionis loco recedit; quia nimirum cre$cunt ex illâ parte comparatè ad oppo$itam momenta ratione di$tantiæ majoris, ac proinde, ut fiat momentorum æqualitas, centrum ad illam par- tem $ecedit. Sic ce$pitantes à naturâ docentur in partem op- po$itam illi, in quam inclinantur, brachium illicò extendere, ut brachij gravitas longiùs à corpore tran$lata plus habeat mo- menti, quàm cùm reliquo corpori adhæret, atque hinc $equa- tur centri gravitatis in illam partem tran$latio. Veritas hæc $a- tis nota e$t ip$is funambulis, cùm corpus univer$um $uper ex- tento fune librant; neque enim temerè crura & brachia exten dunt aut contrahunt, $ed certâ lege, ut centrum momento- rum gravitatis totius corporis hac vel illâ ratione di$po$iti im- mineat, & incumbat funi. Sic plumbeæ virgæ rectæ ex medio $u$pen$æ, & in æquilibrio manentis, $i brachium alterum in- flexeris, fieri non pote$t, ut reliquum brachium rectum $ervet po$itionem horizonti parallelam, $ed deor$um inclinabitur, qun cum longius $it brachio inflexo, majora habet momenta ac prævalet. Quod $i ob inæqualem virgæ cra$$itiem non planè ad mediam illius longitudinem facta $it $u$pen$io, $ed æquili- britas contingat in puncto, quod propius e$t cra$$iori extremi- tati virgæ, factâ alterutrius brachij inflexione tollitur æquili- brium, quia non jam ampliùs eadem e$t reciprocè Ratio longi- tudinum, quæ & gravitatum. <p>Ex his pariter con$equens e$t aliquando minimam virtutem $atis e$$e ad dimovenda ab æquilibrio ingentia corpora, $i <*> $u$tineantur, ut fulcrum vel in puncto, vel in lineâ contingant: quoniam $i corpus grave in$i$tat apici coni, aut pyramidis, aut <pb n=249> angulo $olido, aut portioni $phæricæ, quam contingat idem corpus $ive planâ, $ive $phæricè cavâ, $ive $phæricam æmulan- te $uperficie, contactus in puncto efficitur, ac propterea qua- cunque in extremitate corporis addatur vis movendi, æquili- brium tollitur, & quidem eò faciliùs, quo magis à puncto con- tactûs extremitas illa removetur; in illâ quippe di$tantiâ vis mo- vendi apta velociorem motum efficere, quàm $i propior e$$et, plus habet momenti: Id quod adhuc faciliùs accidit, $i ab ex- tremitate, ubi vis movendi applicatur, ductâ per contingentis fulcri punctum rectâ lineâ ad oppo$itam extremitatem, inæqua- liter divi$a $it in puncto contactûs, & vis ip$a movendi in magis di$tante extremitate con$tituta fuerit; tunc enim non $ua tan- tùm momenta addit, $ed illa multiplicat pro Ratione exce$sûs $uæ di$tantiæ; quemadmodum de inæqualibus libræ brachiis dictum e$t. Sin autem fulcrum $u$tinens, quod horizonti paral- lelum ponitur, $it acies pri$matis, aut latus pyramidis jacentis, aut portio cylindrica $eu conica jacens; tunc in lineâ fit con- tactus, $i vel plana $it, vel circulariter concava corporis in- $i$tentis $uperficies: $ed $i vis movendi, quantacumque $it, ad- datur $ecundùm rectam lineam, quæ efficit Gravitatis diame- trum, puta in A vel N, non mutat æquilibritatem, $i fulcrum congruit toti diametro AN: $i verò fulcrum brevius e$t quàm AN, & ex. gr. congruit $olùm ip$i AI, jam centrum motûs e$t I, & oportet vim movendi tantam e$$e in N, ut aggregatum ex parte MLN ac virtute additâ in N habeat ad partem MAL re- liquam majorem Rationem, quàm $it Ratio di$tantiæ IA ad di$tantiam IN. Quare in huju$modi contactu lineari vis mo- vendi, æquilibrium facilè tollens, e$$e debet ad latus diametri gravitatis, & pro ratione di$tantiæ majus erit momentum; ma- ximum autem erit momentum in E di$tantiâ maximâ. <p>Non igitur facilè inter fabulas rejicienda $unt, quæ Atlas Sinicus pag.32. de Montibus circa urbem Peking loquens ait, <I>Púon mons alti$$imus ac præruptus varios attollens vertices, in cujus $ummitate ingens e$t lapis, qui minimo contactu movetur ac titubat:</I> fieri $iquidem potuit, ut lapis ille in infimâ parte excavatus in- nitatur $ubjecto $axo, à quo vel in puncto, vel in lineâ tanga- tur, $icuti dictum e$t; & cum $it perfectè libratus, modico im- pul$u tangentis, quâ $altem parte ad illum patet acce$$us, po- <pb n=250> te$t ab æquilibrio dimoveri: quòd $i u$quequaque circum- obeundo lapidem quâcumque in parte tangatur, $equitur illius trepidatio, $ignum e$t contactum $ubjecti fulcri e$$e in puncto. Simili ratione explicanda $unt, quæ idem Atlas Sinicus in XI Provincia Fokien habet pag. 125, ubi ait, <I>Versùs Vrbis Changcheu Orientalem partem mons e$t Cio dictus, in quo lapida, e$$e $cribunt altum perticas quinque, cra$$um decem & octo, qui quo- ties tempe$tas imminet, titubat omninò, ac movetur:</I> hic enim la- pis in perfecto æquilibrio con$titutus $uprà fulcrum, à quo in puncto, vel in lineâ tangatur, & forta$$e etiam ab eodem fulcro di$tinctus in longitudines inæquales, violento impul$u hali- tuum aut infernè $ubeuntium, aut ex $uperiore nubium parte obliquè reflexorum, facilè moveri pote$t ac titubare, $i extre- mitas à fulcro remotior impellatur. <p>Et quoniam de Sinen$ibus mentio incidit, non injucundum fuerit hîc aliud addere pertinens ad eorum indu$triam in $er- vando æquilibrio. Idem Atlas Sinicus, cum $ermo e$t de Pro- vincia Peking, ubi $olum e$$e areno$um atque plani$$imum te$tatur, hæc habet pag.28. <I>Modus itineris faciendi hi$ce locis non infrequens, nec incommodus e$t. Plau$trum adhibent cum <*> rotâ ita con$titutum, ut uni illius medium oceupandi, & qua$i equo in$idendi $it locus, aliis duobus ab utroque latere ad$identibus; auri- ga plau$trum retro ligneis vectibus urget ac promovet non $ecurè mi- nùs, quàm velociter.</I> Si rem conjecturis indagare liceat, ego ro- tam concipio ita inclu$am ligneo loculamento majoris $egmen- ti circuli figuram habente, ut huic in$itus $it rotæ axis, ad dex- tram autem & ad lævam extantia tabulata tantæ latitudinis, ut quis modò propè rotam, modò longiùs ad$idere queat ad æquilibrium con$tituendum inter duos viatores inæqualiter graves: Aurigæ locus e$t in $uprema parte loculamenti, cui qua$i equitans in$idet, bino$que contos, $eu vectes concinnè locatos, ut manubrium ante $e habeat, extremitas altera (for- ta$sè in acumen de$inens, ut leviter $olo infigatur) po$t $e ter- ram re$piciat, utrâque manu apprehendens $olum obliquè pre- mit, & currum in anteriora velociter promovet. Id quod nemi- ni difficile videatur, qui $æpiùs ob$ervaverit à puero fabri lignarij aut ferrarij rotam curulem identidem impul$am per urbis vias velociter deduci; quæ dum impre$$o impetu veloci- <pb n=251> ter conver$a in anteriora promovetur, licet huc atque illuc nutabunda inclinetur, ob velocem conver$ionem immunis e$t à ca$u: quemadmodum etiam $tanneum aut argenteum orbem apici cultri impo$itum, $i in gyrum velociter agatur, à ca$u im- munem videmus, etiam$i punctum $u$tentationis non exacti$$i- mè centro re$pondeat. Sic aliquis $uppo$itam $phærulam altero pede, etiam $ummis digitis premens, celeriter in gyrum totum corpus contorquet, qui non ita facilè citrà cadendi periculum eidem $phærulæ in$i$tens quietus con$i$teret; ipsâ nimirum conver$ionis celeritate gravitatis propen$ionem eludente. Non ab$imili igitur ratione in huju$modi rotæ Sinici plau$tri conver- $ione veloci deteritur, quicquid in alterutram partem inclinatio- nis oriretur vel ex modicâ viæ inæqualitate, vel ex æquilibrio non adeò exactè $ervato, ut etiam con$i$tente plau$tro in$iden- tes viatores con$i$terent æqualiter librati ab$que alicujus artifi- cij $ub$idio: Quod artificium in promptu e$$e non dubito; ne- que enim Sinen$es ita $ibi præfidentes exi$timo, ut aliquâ ratio- ne $ibi non præcaveant à periculo casûs, $i fortè rotun in obicem incurrente plau$trum $eu loculamentum in anteriorem, aut in po$teriorem partem improvisâ inclinatione convertatur. Sed $ingula per$equi nec otium e$t, nec operæ pretium: quapropter generatim dicendum corporis æquilibrium ibi fieri, ubi in duas partes ita di$tinguitur, ut illarum gravitates $int reciprocè in Ratione longitudinum $eu di$tantiarum à puncto $u$pen$ionis $eu $u$tentationis, quemadmodum in librâ dictum e$t. Quare $i tota moles propo$ita eâdem gravitatis $pecie prædita fuerit, nec facile $it in illâ centrum gravitatis invenire, quia nimis irregu- laris e$t, di$tingue illam in duas partes, & $ingularum inventa centra gravitatis junge rectâ lineâ, quæ qua$i libræ jugum divi- datur in reciprocâ Ratione illarum partium; e$t enim punctum illud, in quod cadit divi$io, punctum æquilibrij, & centrum gra- vitatis totius. Sic Trapezij, NPMQ in- <FIG> venies punctum æquilibrij, $i duorum triangulorum NQM, NPM, in quæ di- viditur, $ingularia centra gravitatis inve- nias O & B: hæc jungantur rectâ OB; tum fiat ut triangulum NQM ad trian- gulum NPM, ita reciprocè BD ad DO, <pb n=252> & e$t D punctum æquilibrij, $eu centrum gravitatis Trapezij quæ$itum. At $i Trapezio addatur triangulum NLP eju$dem $pecificæ gravitatis, emergit Pentagonum irregulare LPMQN: inveniatur additi trianguli centrum $ingulare gravitatis A, & jungatur recta AD; tùm fiat ut Trapezium ad triangulum ad- ditum, ita reciprocè AS ad SD, & e$t punctum S centrum commune gravitatis totius Pentagoni, in quo fit æquilibrium; perinde enim e$t ac $i in jugo libræ AD inæqualiter di$tributæ appenderetur ex A quidem triangulum NLP; ex D verò Tra- pezium NQMP, quæ in illis di$tantiis à centro motûs æqualia haberent momenta. <p>Quòd $i tota moles propo$ita con$tet partibus non eju$dem $pecificæ gravitatis, non jam $atis e$t inveni$$e $ingularia cen- tra, ut ducatur jugum libræ illa connectens, & notam e$$e Ra- tionem molis ad molem; $ed prætereà opus e$t notam habere Rationem gravitatis $pecificæ ad gravitatem $pecificam; quiz Ratio gravitatum ab$olutarum componitur ex Rationibus quantitatum, & gravitatum $ecundùm $peciem. Quamobrem $i additum triangulum habeat $pecificam gravitatem majorem gravitate $pecificâ Trapezij, quia hoc ligneum e$t, illud fer- reum, non cadet in S punctum æquilibrij, $ed accedet ad punctum A, quia factâ huju$modi Rationum compo$itione, minor e$t inæqualitas gravitatum ab$olutarum; $i enim Trape- zium excedit mole Triangulum, cedit illi $pecificâ gravitate. Ponamus namque Rationem molis Trapezij ad molem Trian- guli e$$e ut & ad 2; $pecificæ verò gravitatis Rationem ut 5 ad 42, gravitas ab$oluta Trapezij lignei e$t ut 35, gravitas Trian- guli ferrei ut 84: $unt igitur gravitates in Ratione 5 ad 12: di- vidatur itaque jugum AD in I reciprocè, ut $it AI 5, ID 12, & erit I centrum gravitatis compo$itæ, ac punctum æquilibrij, quia ab illo inæquales gravitates habent $uas di$tantias in Ra- tione reciprocâ ip$arum gravitatum. Eadem e$t in corporibus omnibus Ratio, & methodus deprehendendi punctum æqui- librij, $eu centrum gravitatis, per quod deinde duci pote$t dia- meter gravitatis, ut fiat opportuna $u$pen$io. <p>Quia tamen aliquando evenit $u$pen$um corpus aut $u$ten- tatum, dum po$itionem horizonti parallelam $ervare contendit, aliquod incommodum $ubire in motu corporis, cui innititur; <pb n=253> proptereà huic occurrendum e$t artificio, quo $itum eumdem perpetuò $ervet. Rem exemplo declaro. In pyxide nauticâ in- $i$tit cu$pidi acus magnetica æqualibus momentis librata, ut horizonti parallela jaceat, quamcumque in partem dirigatur. Si alicui navis plano pyxis ip$a adhæreret ita, ut infimâ $ui par- te illi congrueret, quamcumque in partem navis inclinaretur, ip$um pariter pyxidis fundum inclinari manife$tum e$t, & alte- ri acûs magneticæ po$itionem horizonti parallelam $ervantis extremitati occurrens illius motum impediret, aut $altem retar- daret. Ut igitur $emper pyxis tùm acui magneticæ, tùm hori- zonti parallela con$i$tat, $u$pendenda fuit, non quidem funi- culo, ne incertis motibus jactaretur, $ed duobus polis, $uper quibus opportunè ver$aretur æqualiter librata. Verùm duobus hi$ce polis non tollitur omne incommodum; $i etenim poli re$piciant navis latera, elevatâ aut depre$sâ prorâ juvant, $ed navi in dextrum aut in $ini$trum latus inclinatâ, alter deprime- retur, alter elevaretur, ni$i & ip$i infigerentur circulo $uper alios polos proram & puppim re$picientes ver$atili. Sit pyxis ip$a ABCD, in qua venti de$- <FIG> cripti $int, & in centro O acus magnetica volubilis in$i$tat: py- xidem circulus EIFH com- plectatur, cui poli D & B facilè ver$atiles infigantur, ut inclinatâ navi in A vel in C pyxis horizon- ti parallela maneat; & ut eumdem paralle i$mum $ervet, etiam $i na- vis in B aut D inclinetur, circu- lus ille EIFH duos pariter polos facilè ver$atiles habeat in E & F externæ pyxidi immobili infixos: hac enim ratione fiet, ut in quacumque navis inclinatione pyxis nautica à $uo paralleli$mo & æquilibrio non recedat. <p>Hoc eodem artificio con$truitur luceina ferreo aut æneo globo inclu$a multipliciter perforato, ut fumo exitus pateat, quæ citrà effu$ionem olci in $olo rotata non extinguitur; e$t $i- quidem va$culum plumbeum, ut $ua gravitate $ecuriùs deor- $um vergat, polis ver$atilibus $u$pen$um in circulo, qui pariter <pb n=254> polos in$erit $ecundo circulo, $ecundus $imiliter tertio, tertius demum $caphio, $eu inferiori hemi$phærio globi, cui includi- tur, eâ di$po$itione, ut quemadmodum pyxidis nauticæ hic de$criptæ ambitus in quatuor partes di$tinguitur à polis, ita lu cernæ hujus ambitus in octo partes à polis di$tribuatur, atque proinde facilior $it globi in omnem partem volutatio citrà peri- culum inclinationis va$culi oleum cum ellychnio continentis. <p>Nec pluribus opus e$t hîc explicare, quàm proclive $it arti- ficium hoc ad plura traducere, quorum u$us e$t in plano hori- zontali, ne libellâ $emper & normâ indigeamus, ut illa ritè collocentur: ut $i horologium horizontale $tatuendum $it quo- cumque in plano, $it illud pyxidi inclu$um cum circulo, quem- admodum de pyxide nauticâ dictum e$t: $i lectulum viatorium in rhedâ $ternere oporteat, in quo citrà jactationem, etiam viâ $alebrosâ, quie$cere liceat, ferreo parallelogrammo complecte- re lectulum ex polis $u$pen$um circâ medium eo loco, ut cor- pus in lectulo jacens $it horizonti parallelum, ip$um verò paral- lelogrammum polis rhedæ infixis & ver$atilibus ad caput & ad pedes $u$pendatur: & alia huju$modi, quæ facilè pro rerum opportunitate excogitari po$$unt. <p>Verùm quàm facilè e$t $uper polos in æquilibrio con$tituere corpora gravitatis centrum habentia vel in ipsâ $u$tentationis lineâ, vel infrà illam, tam multis difficultatibus implicitum opus e$t in æquilibrio $tatuere corpus, cujus gravitatis cen- trum in parte $uperiori reperitur, & quidem maximè $i mul- tùm inde removeatur; tunc enim $u$$icit vel minima inclinatio, ut totum corpus revolvatur, cum ex alterâ parte $int plura gra- vitatis momenta, quàm in oppo$itâ. <p>Nam $i corpus BC, cujus centrum gravitatis $it A, $u$pen- datur $uper polis in I, quando axi $u$tentanti ad perpendiculum <FIG> re$pondet centrum gravitatis A, ma- net æquilibrium, $ed factâ corporis inclinatione, ut A recedat à perpen- diculo, jam versùs C plures $unt partes gravitatis de$cendentes, quàm versùs B $int partes a$cendentes, & illæ velociùs moventur deor$um, quàm hæ $ur$um; quapropter illæ <pb n=255> majora habent momenta, quibus deorium urgentibus corpus revolvitur. Id quod multò magis contingit in Acrobarycis, quæ nimirum gravitatem in $ummitate habent, ut $i corpori BC <*> $uperiori parte adnexa e$$et pyramis D; cum enim totius com- po$itæ molis ex $olido BC, & pyramide D, centrum commu- ne gravitatis non e$$et in A, $ed adhuc $uperius procul à polo I, qui e$t centrum motûs, factâ levi inclinatione multo plus gravitatis e$$et ex parte C, quàm ex oppo$ità B, ut con$tat: nam quò altius & remotius e$t centrum gravitatis, eò faciliùs linea directionis cadit extra punctum vel lineam $u$tentationis, facta pari inclinatione. <p>Liceat autem hîc obiter, qua$i cerollarij loco, attingere æquilibria corporum humido in$identium, & Acrobary corum fluitantium, in quibus pariter Rationes libræ agno$centur, $i rectè perpendatur, ubi fiat $u$tentatio. In omni igitur corpo- re fluitante duplex pars con$ideranda e$t, & quæ intrá humi- dum mergitur, & quæ in aëre extat: illa quidem utpote $ecun- dùm $peciem minùs gravis, quàm humor, levitat, hæc verò aëre gravior gravitat: Quare & illa $uum habet centrum levi- tatis, & hæc centrum gravitatis; nec po$$et corpus datam po$i- tionem $ervare, ni$i in eâdem lineâ perpendiculari ad univer$i centrum tendente e$$et utrumque centrum & levitatis & gra- vitatis; cumque par $it virtus a$cendendi virtuti de$cendendi, neutrâ prævalente, & $ibi vici$$im utrâque ob$i$tente, con$i$tit corpus. Quòd $i non in eodem perpendiculo $it utrumque centrum, utrumque $uâ viâ pergere pote$t, illud a$cendendo, hoc de$cendendo. Sic baculum rectum in aquam immittens, manúque retinens, ne in alterutram partem inclinetur, mergi quidem illum videbis pro Ratione $pecificæ $uæ gravitatis, quæ minor e$t $pecificâ gravitate aquæ, $ed erectus non manebit, ni$i quandiù retinueris; nam ubi illum dimi$eris, $tatim cen- trum gravitatis de$cendet, & levitatis centrum a$cendet, quia vel exiguus aquæ motus partem immer$am inclinans $atis e$t, ut centra illa non eidem perpendiculo re$pondeant; ac prop- terea demùm baculus jacens innatabit. <p>Quie$cente igitur corpore in humoris $uperficie, mani- fe$tum e$t centrum gravitatis partis extantis in eodem perpen- diculo e$$e cum centro levitatis partis demer$æ. Quare $i <pb n=256> ligneum pri$ina AC aquæ imponatur, & immergatur ita, ut pars demer$a & levitans $it EC, pars verò extans in aëre & <FIG> gravitans $it AF, centrum gravi- tatis e$t G, centrum levitatis e$t H, quæ $ibi directè adver$antia in oppo$itas partes conantur æqualibus viribus, atque prop- terea nullus $equitur motus. Quòd $i aut H recederet versùs D, aut G versùs B, & hoc po$$et de$cendere, & illud a$cendere neutro contranitente. <p>Jam verò quie$centi pri$mati imponatur aliquod pon- dus, certum e$t partem in aëre extantem, conflatam ex parte pri$matis & ex addito pondere, graviorem e$$e, ac proinde prævalere viribus partis in aquâ levitantis, illam- que deprimere, quoadu$que fiat æqualitas inter levitatem & gravitatem. Sed multùm intere$t, utrùm additi pon- deris centrum gravitatis in eodem perpendiculo $it cum cen- tro gravitatis G, ut rectâ deprimatur pri$ma infrà $uperfi- ciem aquæ; an verò $it extrà illud perpendiculum; id quod $i accidat, commune centrum gravitatis transfertur ver- $us A, aut B. Sit ex. gr. ad partes A propè S; cumque non immineat puncto H centro levitatis, de$cendit pri$ma ad partes A, & oppo$ita pars a$cendit, ita ut E deprimatur infrà $uperfi- ciem aquæ, F veró emergat. Sed dum ad partes CF pri$ma emergit ex aquâ, ad partes autem DE deprimitur, centrum levi- tatis non manet in H, $ed ad majorem partem depre$$am $ecedit, donec fiat V, atque in eodem perp&etilde;diculo $it cum centro gravi- tatis S; & tunc quie$cit pri$ma, nec amplius demergitur in E, aut emergit ex F. Su$tinetur itaque centrum gravitatis S à cen- tro levitatis V, & vici$$im centrum levitatis V retinetur à cen- tro gravitatis S; & fit tùm inter gravitates, tùm inter levitates æquilibrium, quia gravitas in A major minùs di$tat à puncto, vel potiusà lineâ $u$tentationis factâ à plano tran$eunte per V, & gravitas in B minor magis di$tat; ideóque neutra prævalet: & $imiliter ievitas in DE major minùs di$tat à lineâ detentio- nis facta à plano tran$eunte per S, ac levitas minor in C magis <pb n=257> di$tat; quare vis tardiùs a$cendendi major prævalere non po- re$t minori virtuti repugnanti ad de$cendendum velociùs. <p>Quemadmodum verò $i tantum ponderis adderetur in A, ut centrum commune gravitatis non po$$et imminere centro levi- tatis partis demer$æ, nemo non intelligit futuram omnimodam depre$$ionem partis A infrà $uperficiem aquæ, & omnimodam emer$ionem oppo$itæ partis C; ita in Acrobarycis fluitantibus manife$tum e$t, quò altiùs attollitur gravitas, eò faciliùs factâ inclinatione transferri commune centrum gravitatis ultrà per- pendiculum, in quo e$t centrum levitatis partis demer$æ. Sic $i ju$to longior $it in navi malus, factâ ex fluctibus inclinatione in latus, aut $altem impul$u venti $uprema carba$a implentis, facilis erit navis $ubmer$io, quia plus momentorum gravitatis e$t ex alterâ parte, quàm ex oppo$itâ, tran$lato in navis latus, aut ultra illud, centro gravitatis totius partis extantis in aëre. Sed de his, Deo dante, pleniùs in Hydro$taticis di$$erendum erit, ubi o$tendetur ad navium $tabilitatem nece$$ariam e$$e eam centrorum di$po$itionem, ut centrum gravitatis totius na- vis cum omnibus impo$itis $it infrà centrum levitatis partis de- mer$æ in eodem perpendiculo, in quo pariter erit centrum gra- vitatis partis extantis. <HR> <C>CAPUT IV.</C> <C><I>An, & cur libra ab æquilibrio dimota ad illud redeat.</I></C> <p>NEmini dubium e$$e pote$t æquilibrium tolli ob momento- rum gravitatis inæqualitatem, vel quia in una libræ æqui- libris lance additum e$t pondus, vel quia altera jugi extremi- tas, alicujus elevantis aut deprimentis vi, recedit à po$itione horizonti parallelâ. Illud in quæ$tionem revocati pote$t, an $ublato ponderis exce$$u, aut ce$$ante impul$u extrin$eco, li- bra redeat ad æquilibrium, & po$itionem horizonti parallelam $ibi ip$a re$tituat. Certè Keplerus in A$tronomiâ Opticâ cap.1. <pb n=258> prop. 20. a$$erit eum, qui negat libram brachiorum æqualium ad horizontis æquilibrium redituram, <I>non antiquitati tantum, $ed rerum naturæ, $ed utilitati generis humani bellum indicere.</I> At ex adver$o Authores ferè omnes, qui de his accuratiùs $crip$e- runt, triplicem libræ $peciem di$tinguentes unam tantummo- do agno$cunt, quæ $e re$tituat horizonti parallelam. Hoc $i- quidem tanquam certum a$$umunt, corpus quodcumque gra- ve, quod $u$pen$um, aut $u$tentatum liberè in aëre pendeat, in cò tantum $itu quie$cere, in quo gravitatis centrum cum $u$- pen$ionis aut $u$tentationis puncto in eâdem directionis lineâ reperiatur; de$cendit enim quantum pote$t, neque ei opponi- tur punctum $u$pen$ionis aut $u$tentationis, ni$i in eodem per- pendiculo ad univer$i centrum ducto utrumque $it. Cumitaque libra $it corpus grave $u$pen$um, & $uum habeat centrum gra- vitatis, tunc demùm quie$cet, ubi eam po$itionem obtinuerit, in quâ $u$pen$ionis punctum, & gravitatis centrum in eâdem $int directionis lineâ. Punctum verò $upen$ionis libræ non il- lud hîc intelligitur, ex quo pendet an$a, cui libra in$eritur, $ed ip$a Agina, $eu $partum, ut Ari$totelico vocabulo utar, e$t $u$- pen$ionis punctum; ex illo enim proximè libra $u$penditur. <p>Hinc oritur triplex libræ $pecies, quia tripliciter componi po$$unt centrum motûs, & centrum gravitatis; primò $cilicet po$$unt in uno eodemque puncto convenire, deinde centrum motûs pote$t e$$e $uperius, demum inferius centro gravitatis. <p>Et quidem $i unum idemque punctum $it motûs & gravita- tis centrum A, & æqualibus brachiis AB, AC æqualia $int <FIG> adnexa pondera B & C, uti- que æquilibrium horizonta- le manet, propter momento- rum æqualitatem tùm ratio- ne gravitatum æqualium, tùm ratione æqualium pro- pen$ionum ad motum. Si igitur applicatâ manu in B deprimatur libra, ut $it DE; amotâ manu, cur redeat libra ad priorem po$itionem BC? adhuc enim momenta utrinque $unt æqualia, & tantumdem a$cendere deberet D, quantum de$cenderet E: par igitur e$t <pb n=259> re$i$tentia ip$ius D propen$ioni ad motum ip$ius E: neutro ita- que prævalente fiet in eo $itu DE con$i$tentia. <p>Attamen huic argumentationi, quamvis legitimæ, non ac- quie$cunt nonnulli, qui libram huju$modi in quácumque po$i- tione quie$centem $e vi$uros de$perant, quia nunquam vide- runt: quare potiùs cau$am inquirunt, cur ad æquilibrium re- deat libra æqualium brachiorum, quamvis ex medio jugo $u$- pendatur. Exi$timant aliqui po$$e vim argumenti eludi, $i con- cedant quidem in uno eodemque puncto convenire centrum motûs & centrum gravitatis jugi, non tamen libræ: nam $i præter jugum a$$umantur etiam uncini aut lances, quibus ad- nectuntur aut imponuntur pondera, multò magis $i eadem pon- dera a$$umantur, centrum gravitatis huju$ce molis compo$itæ reperiri a$$erunt infrà ip$um jugum, ac propterea nullam e$$e huju$modi primam $peciem libræ. <p>Sit libræ jugum AB; centrum motûs & gravitatis jugi $it C: pendeant lances D & E, $ingularúmque cum $uis appendiculis gravitas $it æqualis gra- <FIG> vitati jugi, ut facere con- $ueverunt accuratiores monetarij. Lancium igi- tur $imul $umptarum commune gravitatis cen- trum e$t in F: jungantur centra gravitatum C & F; & erit demum totius libræ vacuæ DABE commune gravitatis cen- trum in G. Quod $i lan- cibus D & E imponan- tur æqualia pondera, commune centrum gravitatis erit inter G & F, atque quò gra- viora erunt pondera, eò propiùs accedet ad F. E$t igitur ma- nife$tum centra motûs & gravitatis totius libræ non in eodem puncto convenire, $ed gravitatis centrum e$$e infrà centrum motûs, $eu $partum C. <p>Verum effugium hoc nullum e$$e cen$eo: inclinetur enim libra, & acquirat po$itionem HI, jam HM & IN lineæ di- <pb n=260> rectionis lancium $unt æquales, quia cædem cum AD & BE, & $unt parallelæ, quia ambæ perpendiculares ad horizontem; ac propterea ex 33. lib.1. æquales $unt ac parallelæ HI & MN. Cumque CF linea directionis centri gravitatis jugi $it ii$dem HM & IN parallela, & exeat ex C medio rectæ HI, cadet pariter in medium rectæ MN ex 34 lib.1. & idem punctum F e$t commune centrum gravitatum M & N; atque proinde li- bræ MHIN commune centrum gravitatis erit in eadem rectâ lineá CF. Si itaque quie$cit corpus grave $u$pen$um, quando in eâdem directionis linea e$t punctum $u$pen$ionis, & gravi- tati, centrum, etiam in po$itione HI deberet libra quie$cere, e$to in C non conveniant contra motûs & gravitatis totius libræ. <p>Nicolaus Tartalea lib. 8. quæ$ito 32. ideo libram ad paralle- li$mum horizontis redire exi$timat, quia in inclinatione jugi putat majora e$$e momenta brachij elevati, quàm depre$$i. Id quod hâc methodo conatur o$tendere. Si ex C æqualiter <FIG> di$tent pondera æqualia A & B, fuerintque ab æquilibrio remota, de$cribunt circulum, in quo $umptis partibus æqualibus, dum A de$cendit ex F in A, vis de- $cendendi e$t NO, at ex A in G vis de$cendendi e$t OP major, quàm NO, ut con$tat ex doctri- nâ Sinuum. Similiter vis de$cen- dendi ip$ius B ex I in B e$t KL major, quàm LM vis de$cenden- di ex B in H. E$t autem KL ip$i OP, & LM ip$i ON æqualis; igitur OP e$t etiam major, quàm LM. Cum itaque in $itu ACB pondus B gravitet $olùm ut LM, & pondus A gravitet ut OP, major e$t potentia ip$ius A, quàm ip$ius B: igitur ad æquilibrium de$cendere oportet pondus A. <p>Sed peccat hæc Tartaleæ argumentatio, quia in pondere B non e$t con$ideranda vis de$cendendi in H, $ed repugnantia ad a$cendendum in I, $ecundùm quam ob$i$tit oppo$ito pon- deri A; hujus autem re$i$tentiæ men$ura e$t LK æqualis ip$i OP potentiæ $eu propen$ioni ip$ius A ad de$cendendum: <pb n=261> æquatur ergo potentia re$i$tentiæ, nec ullus fieri pote$t motus, quamdiu hæc æqualitas permanet. <p>Joannes Keplerus A$tronomiæ Opticæ loco citato, cur libræ brachia revolvantur ad æquilibrium, infert ex eo, quòd altero brachiorum prægravato additione ponderis, ita jugum libræ con$i$tit, ut quod e$t gravius non planè imum locum petat, & quod e$t levius, non planè in apicem attollatur. Cujus rei cau$am inquirens $tatuit libræ jugum <FIG> CD bifariam in A divi$um; & centro A de$cripto circulo ducit perpendicu- lum BAF: ex quo manife$tum e$t neutrum pondus po$$e deprimi infra F, aut attolli $upra B. Sed quia pondus D ponitur gravius, quàm pondus C, & utrumque naturâ $uâ ad imum tendit, contenduntque invicem, partiuntur inter $e de$cen$um BF in proportione, quâ ip$a $unt: adeò ut BH de$cen$us ponderis C $it ad BG de$cen$um ponderis D, ut pondus C ad pondus D. E$t autem FG linea æqualis lineæ BH, quia ex æqualibus AB & AF auferuntur æqualia latera AH & AG, cum enim triangula CHA, DGA rectangula $int, & angu- los ad verticem A æquales habeant, & latera AC, AD æqua- lia; etiam per 26. lib.1. latus AH e$t æquale lateri AG. Igitur ut pondus C ad pondus D, ita FG ad GB. <p>Ducatur ex F ad AD perpendicularis FK: $imiliter triangula AGD, AKF rectangula, & cõmunem angulum in A habentia, cum latere AF æquali lateri AD, per eandem 26.lib.1. hab&etilde;tla- tera AG & AK æqualia: ergo & re$idua FG, DR æqualia $unt. Igitur propter æqualitat&etilde; diametrorũ FB & DC, erit etiam GB linea æqualis lineæ KC. Quare ut põdus D ad pondus C, ita GB ad GF, hoc e$t ita KC ad KD: ac propterea factâ jugi $u$pen- $ione in K pondera C & D inæqualia $ecundùm Rationem bra- chiorum reciprocè po$ita æquiponderabunt & con$i$tent. Cum igitur in hac eâdem Ratione $it de$cen$us BH & BG, ut e$t pondus C ad pondus D, fiet con$i$tentia in $itu CAD. <I>Ergo per $ub$umptionem patet,</I> $ubdit Keplerus, cujus $uperiorem doctrinam conatus $um paulo clariùs exponere, <I>cur libræ brachia</I> <pb n=262> <I>revolvuntur ad æquilibrium; cum cnim æque ponderent, æquales c<*> in circulo fieri de$cen$us par e$t.</I> <p>Meam hebetudinem di$$imulare non po$$um, qui huju$ce Keplerianæ argumentationis vim $atis a$$equi non valeo: quid enim, $i fieret æquilibrium horizontale ponderum, facta in K $u$pen$ione? an propterea con$equens e$t fieri æquilibrium etiam in $itu CAD, ni$i aliunde probetur? $ed quod ad rem no$tram attinet, pondera alligata, & adnexa libræ non ita con- $ideranda $unt, ut ambo de$cendant, $i comparatè $umantur, $ed alterius propen$io ad motum deor$um comparanda e$t cum alterius repugnantiâ ad motum $ur$um, & vici$$im hujus pro- pen$io ad de$cendendum cum illius re$i$tentiâ, ne a$cendat. Quapropter $i ex D pondere majore auferatur exce$$us $upra pondus C, & fiant æqualia pondera, non po$$unt ad æquili- brium horizontale redire, ni$i C de$cendat, D verò a$cendat: Cum autem hujus a$cen$us GA $it æqualis de$cen$ui HA, nul- la e$t ratio, cur propen$io ponderis C vincere debeat æqualem ponderis D re$i$tentiam. <p>Deinde quid intelligendum e$t, cum dicitur ip$ius C de$cen- $us e$$e BH, ip$ius verò D de$cen$us e$$e BG? ex B enim non utrumque de$cendit, $ed alterutrum: & $i pondus D de$cendi$- $et ex B, ex adver$o pondus C a$cendi$$et ex F; cúmque illius de$cen$us e$$et BG, hujus a$cen$us e$$et FH; $unt autem BG & FH æquales. Quòd $i non motus præcedens, $ed $ola pro- pen$io ad de$cendendum & repugnantia ad a$cendendum con- $ideretur pro ratione po$itionis, pondus D habet men$uram propen$ionis ad de$cendendum, non motum (qui forta$$e tran- $iit) ex B in D, $ed quem in eo $itu po$$et perficere ex D in F: atque adeò ip$ius D de$cen$us e$t GF, eju$que re$i$tentia, ne a$cendat u$que ad $ummum e$t GB, & vici$$im ponderis C pro- pen$io ad de$cendendum non e$t ex B in C, $ed ex C in F, $i u$que ad imum de$cendat, habens men$uram HF, ejus verò repugnantiam ad a$cendendum metitur HB. E$t igitur mani- fe$tum uniu$cuju$que ponderis propen$ionem habere oppo$i- tam re$i$tentiam æqualem (e$t enim propen$io GF æqualis re- $i$tentiæ HB, & propen$ioni HF æquali e$t re$i$tentia GB) ac proinde nullum $equi po$$e motum ponderum æqualium à centro A æqualiter di$tantium. At, inquis, quid cau$æ e$t, <pb n=263> cur $imilem libram in quácumque po$itione quie$centem non habemus? $ed omnis libra ea e$t, ut vel ad æquilibrium redeat, vel omninò quantum pote$t de$cendat, qua parte habet bra- chium inclinatum Re$pon$io in promptu e$t; quia $cilicet dif- ficillimum e$t duo illa puncta exqui$it<*> convenire, hoc e$t cen- trum motus & centrum gravitatis, nimirùm punctum illud, quod brachiorum longitudinem di$eriminat. Quod $i vel mi- nimum duo illa centra di$crepent, natura omnes $ui juris api- ces exacti$$imè per$equitur, & e$t $partum non in medio, $ed aut in $uperiore, aut in inferiore parte jugi ($i quidem brachia $int æqualia; nam $i ad latus e$$et in eadem recta linea, librac$- $et inæqualium brachiorum, & tunc non adnexorum ponderum æqualitas e$$et con$ideranda, $ed corum Ratio, $umpta recipro- cè brachiorum Ratione) ex quo $equitur aut reditus ad æquili- brium, aut ulterior de$cen$us brachij inclinati. <p>Hinc e$t de illâ duplici tantummedo libræ $pecie locutum fui$$e Ari$totelem in Mechan. q. 2. omi$sá priore hac, quæ vi- detur $peculantis intellectûs terminis coërceri, nunquam in praxim ni$i fortuito deducenda. Non enim $atis e$t accurati$- $imè inquirere centrum gravitatis jugi, ut illud $it pariter cen- trum motûs, $ed nece$$e e$t punctum hoc in eádem rectá lineâ e$$e, quæ jungit puncta contactuum jugi & annulorum, ex quibus lances dependent: nam ni$i hoc contingat, centrum il- lud gravitatis a$$umptum non e$t punctum, à quo brachiorum longitudines di$criminantur, ut inferiùs con$tabit dilucidiùs ex iis, quæ de librâ curvâ dicentur. <p>Quærendum e$t itaque, cur libra aginam habens in $upe- riore loco, $i ab æquilibrio horizontali dimoveatur, ad illud re- deat. Et ne locus æquivocationi pateat, dum ad hoc de- mon$trandum a$$umuntur puncta notabili intervallo inter $e di$tantia (ne videlicet linearum brevitas confu$ionem aut ob- $curitatem pariat) ob$erva lingulæ nomine non eam $olùm par- tem intelligi, quæ $upra libræ jugum intrà an$am excurrens extat; $ed lingulæ, $eu, ut aliis placet, trutinæ pars e$t etiam linea, quæ in ip$a jugi cra$$itie de$cripta intelligitur perpendi- cularis ad lineam longitudinis brachiorum, & tran$iens per centrum motûs. Quare hujus lineæ pars intercepta inter cen- trum motûs, & lineam longitudinis brachiorum, $ivè exigua <pb n=264> $it, $ivè valde notabilis (quod quidem ad præ$entem con$ide- rationem attinet) nihil intere$t, nam eadem planè $emper e$t ratio, atque demon$tratio. Sit libra æqualium brachiorum <FIG> AB, cujus puncto medio C in- $i$tat perpendicularis CD, & $it in ipsâ jugi cra$$itie centrum mo- tûs punctum D, impo$iti$que æqualibus ponderibus in A & B, maneat in æquilibrio horizonta- li AB. Deprimatur extremitas A, ut veniat in E, reliqua extremitas B a$cendit in F, & C venit in G. <p>Non pote$t igitur manere libra in po$itione EF $ublato de- primente in E, $ed manentibus æqualibus ponderibus redit ad æquilibrium, séque re$tituit in AB; tùm quia centrum gravi- tatis non e$t in lineâ directionis tran$eunte per D punctum $u$pen$ionis, tùm poti$$imum quia momenta ip$ius F majora $unt momentis ip$ius E ratione po$itionis & propen$ionis ad motum; pote$t enim F de$cendere juxta men$uram FH, dum E a$cendit juxta men$uram EI; e$t autem major Ratio motûs FH ad motum EI, quam $it Ratio ponderum, quæ e$t Ratio æqualitatis, nimirum ut FG ad GE. Nam per 8 lib.5. FO ad GE majorem habet Rationem quàm FG ad GE, & FO ad OE majorem habet Rationem quàm FO ad GE; ergo multo major e$t Ratio FO ad OE, quàm FG ad GE. At $imilia $unt triangula FHO, EIO, quia æquiangula (nam propter paralleli$mum linearum directionis FH & IE, alterni E & F, & alterni I & H, qui etiam recti ponuntur, & qui ad verticem O, æquales $unt) igitur per 4.lib. 6. ut FO ad OE, ita FH ad EI. E$t igitur major Ratio de$censûs FH ad a$cen$um EI, quàm $it Ratio ponderum, quæ e$t ut FG ad GE. <p>Hinc patet clara $olutio quæ$tionis à Keplero propo$itæ: quia $i pondus E majus $it pondere F, illud non ad imum lo- cum de$cendet, $ed ibi libra obliquè $ub$i$tet, ubi pondera crunt in Rationc reciprocâ motuum; quando $cilicet ratione po$itionis ita propen$io ad de$cendendum ponderis F erit ad re$i$tentiam ponderis E, ne a$cendat, ut e$t vici$$im pondus E ad pondus I: & tunc perpendicularis linea directionis ex D <pb n=265> pancto $u$pen$ionis demi$$a cadet in centrum gravitatis compo- $itæ libræ & ponderum. Cujus rei argumentum e$t mani- fe$tum, quod libra quie$cens in po$itione EF $i moveatur ab aliquo deprimente ulteriùs aut elevante, $ibi relicta non minùs redit ad eumdem $itum obliquum, quam redeat ad æquilibrium horizontale, $i pondera $int æqualia. Quæ omnia ex dictis pla- na $unt & aperta; $ed an hoc idem rite probaverit Keplerus, viderint alij. <p>Eadem philo$ophandi ratio erit in librâ brachiorum inæqua- lium LM, in qua $int pondera L & M (computatis ip$orum brachiorum gravitatibus juxta <FIG> momenta, quæ habent in illâ eâ- dem longitudine, ut dictum cap.2. hujus libri) reciprocè in Ratione brachiorum NM & NL. Depri- matur L in P, & elevabitur M in Q, & N in V. <p>Dico libram $ummoto deprimen- te, ad æquilibrium LM redituram. Ducantur perpendiculares PT & QR, productâ LM horizon- tali, $i opus fuerit. Triangula SQR, SPT $unt $imilia; igitur per 4 lib.6. ut QS ad SP, ita ponderis Q propen$io ad de$cen- dendum QR, ad ponderis P re$i$tentiam, ne a$cendat, PT. E$t autem major Ratio QR ad PT, quàm $it ponderis P ad pondus Q; igitur pondus Q prævalebit. Majorem autem e$$e Rationem $ic o$tenditur. Pondus P ad pondus Q e$t ut NM ad NL ex hypothe$i, hoc e$t ut QV ad VP: $ed per 8. lib. 5. major e$t Ratio QS ad VP, quàm QV ad VP, & major Ra- tio QS ad SP, quàm QS ad VP: igitur major e$t Ratio QS ad SP, quàm QV ad VP, hoc e$t quàm pondus P ad pon- dus Q. E$t autem demon$tratum ita e$$e QS ad SP, ut QR ad PT; igitur major e$t Ratio de$censûs QR ad a$cen$um PT, quàm $it Ratio ponderis P ad pondus Q: Ergo vis de$cendendi major e$t; quàm oppo$ita re$i$tentia, ac proptereà re$tituet $e libra in æquilibrio horizontali. <p>Ex his manife$tum e$t rem contrario modo $e habere, quan- do $partum e$t in cra$$itie jugi ira collocatum, ut $it infra li- neam, quæ con$tituit longitudinem brachiorum; tunc enimal- <pb n=266> tero brachiorum inclinato, tantum abe$t, ut libra revertatur ad priorem paralleli$mum cum horizonte, ut potiùs, nullo ulteriùs deprimente, brachium inclinatum de$cendat omninò, donec impediatur ab ansá, in quam incurrit alterum brachium eleva- tum: quod $i $uperiori aut inferiori brachio nullum occurreret impedimentum, ita fieret totius libræ conver$io & revolutio, ut $partum e$$et in loco $uperiore, & tunc demùm in æquili- brio horizontali jugum quie$ceret. Quæ omnia licet per$picua $int, $i $uperiores duæ figuræ invertantur, clarioris tamen ex- <FIG> plicationis gratiâ, $it iterum jugum AB æqualiter divi$um in C, & in perpen- diculari CD $it axis, & centrum mo- tûs inferiùs in D: po$itis æqualibus ponderibus A & B $it æquilibrium ho- rizontale: & quoniam æqualia $unt pondera, atque æquales ad motum pro- pen$iones, centrumque gravitatis e$t in eâdem perpendiculari lineâ di- rectionis cum puncto $u$tentationis D, manent in æquilibrio. Deprimatur A in E, elevatur pariter B in F, & C deprimitur in G. Dico libram, $i $ibi ip$a dimittatur, non redituram ad po- $itionem AB $upra punctum D; $ed pondus E ulteriùs de$cen- $urum. Ductis enim perpendicularibus EI & FH, propen$io ponderis F ad motum deor$um, ut $e re$tituat in priore æqui- librio, e$t FH, re$i$tentia ponderis E ad motum $ur$um e$t EI. E$t autem major Ratio re$i$tentiæ EI ad propen$ionem deor$um FH, quàm $it Ratio ponderis F ad pondus E, aut vi- ci$$im; hæc enim æqualia $unt ex hypothe$i, & e$t corum Ra- tio ut AC ad CB, hoc e$t ut EG ad GF: Non igitur pote$t à pondere F, cujus momenta minora $unt elevari pondus E, cu- jus momenta $unt majora ex di$po$itione ad motum. Con$tat verò major Ratio re$i$tentiæ EI ad propen$ionem FH, quàm ponderis F ad pondus E, quia in triangulis OIE, & OHF $i- milibus eâdem e$t Ratio EI ad FH, quæ e$t EO ad OF; $ed ex 8 lib.5. EO ad OF majorem habet Rationem quam EG ad GF: igitur major e$t Ratio EI ad FH, quam EG ad GF, hoc e$t ponderis ad pondus. De$cendet itaque E, & nullo occur- rente obice ea fiet totius libræ revolutio circà centrum D, ut <pb n=267> demum jugum EF $it infrà punctum D, & quod inito fuit punctum $u$tentationis, fiat punctum $u$pen$ionis libiæ. Ea- dem dicta intelligantur de librâ brachiorum inæqualium, quæ $upervacaneum e$t iterum inculcare. <p>Oblata itaque librâ facilè digno$ces, cujus $peciei illa $it, quamvis ob punctorum propinquitatem, $cilicet centri mo- tûs, & puncti brachiorum longitudinem di$criminantis, non valeat oculus dijudicare: impo$itis enim æqualibus ponderi- bus, ut habeat æquilibrium horizontale, aliquantulum depri- me alterutrum brachiorum, & $ublato deprimente, $i quidem man$erit obliqua (id quod rari$$imè continget) pronunciabis centrum motûs convenire cum puncto brachiorum longitudi- nem di$criminante: $in autem ad æquilibrium redierit, cen- trum motûs erit in $uperiore loco; $i ulteriùs de$cenderit, cen- trum motûs erit infra lineam longitudinis brachiorum. Vel etiam facto æquilibrio horizontali, adde pondus alteri lanci; $i de$cendat ita, ut jugum oblique con$i$tat aut magis aut mi- nùs, prout major aut minor factus e$t exce$$us ponderis, pro- nunciabis centrum motûs e$$e in $uperiore loco: at $i factâ ponderum inæqualitate lanx gravior u$que ad imum deprima- tur, quantùm pote$t, indicabit centrum motûs e$$e in inferio- re loco, aut convenire cum puncto brachia di$criminante: $ed hoc ultimum temerè non affirmabis, ni$i re$titutâ ponderum æqualitate, $equatur quies in quacumque po$itione, aut con- versâ deor$um ansâ non contingat obliqua jugi con$i$tentia: $i enim factâ an$æ $u$pen$ione centrum illud fui$$et in inferio- re loco, factâ conver$ione e$$et in $uperiore loco, & continge- ret æquilibrium in po$itione obliquâ. <HR> <C>CAPUT V.</C> <C><I>An fieri po$sit libra Curva.</I></C> <p>QUamvis ad ponderum examen in$tituendum rarò contin- gere po$$it, ut librâ Curvâ uti cogamur, quia tamen in machinamentis aliquibus ita aut loci angu$tiæ, aut opportuna <pb n=268> corporum movendorum di$po$itio, exigunt collocari ponde- la, ut & libræ Rationes $erventur, & tamen jugi rectitudo nul- la appareat; non erit hic inutile libram curvam examinare, ut, $i quando eâ uti contigerit, innote$cat, quænam $int brachio- <*>m, & motuum Rationes. Libram autem curvam voco, quæ a commun<*> deflectens latera habet non in directum po$i- <*>, $ed in angulum concurrentia, aut in arcum $inuata, quo- <*>m extremitates $ivè $ur$um, $ivè deor$um re$piciunt: factâ <*> $u$pen$ione $ive ubi angulum latera con$tituunt, $ivè in aliquo arcus puncto, ea fieri pote$t hinc & hinc ponderum ad- ditio, quam horizontale æquilibrium con$equatur. Sed quia imperitis fucum facere po$$et apparens hæc laterum longitudo, caveant, ne ex illis jugum libræ deductum intelligant: contin- gere $cilicet pote$t, ut planè varia $it huju$modi libræ forma, & magnitudo, idem tamen $it $emper libræ jugum, in quo brachia de$umenda $unt. <p>Sint enim in angulum compacta duo latera recta AB & AC; non e$t tota jugi magnitudo computanda ex horum late- <FIG> rum longitudinibus; $ed ex ipsâ extre- mitatum B & C di$tantiâ BC; quæ $em- per cadem e$t, $ivè $it arcus BEFC, $ivè alia $int latera DB & DC, aut GB & GC, atque $u$pen$io fiat $ivè in A, $ivè in D, $ivè in G, $ivè in quo- cumque alio puncto, quod $it intra $pa- tium à lineis AB, AC, BC comprehen$um. E$t igitur idem jugum BC, quia in B & C adnexa intelliguntur pondera, eo- rúmque di$tantia, prout libræ adnectuntur, ca e$t, quæ jugi longitudinem determinat. Verùm an libra æqualium $it po- tiùs, quàm inæqualium brachiorum, definiendum e$t ex puncto $u$pen$ionis, à quo ad extremitates B & C deducen- dæ $unt rectæ lineæ; quæ $i æquales fuerint, libra e$t æqualium brachiorum; $in autem inæquales, inæqualium. Hinc $i late- ra AB & AC jungantur tran$ver$ario HI, in eoque $umatur punctum $u$pen$ionis D, nil refert æqualia-ne, an inæqualia $int latera AB & AC? $ed attendenda e$t æqualitas aut in- æqualitas linearum ex D ductarum ad extremitates B & C. <p>Neque me arguas, quòd dixerim jugum e$$e BC, & attenden- <pb n=269> dam æqualitatem aut inæqualitat&etilde; linearũ ex puncto $u$pen$io- nis ductarum, puta DB & DC; brachia $iquidem in ip<*>o jugo con$ideranda $unt; illæ aut&etilde; lineæ nihil habent cum jugo com- mune præter puncta extrema B & C. Quamvis enim lineæ hu- ju$modi brachia libræ non $int, $i res proprie con$ideretur, in$e- runt tamen æqualitatem aut inæqualitatem brachiorum, qua- tenus ex puncto $u$pen$ionis D ducta intelligitur ad BC jugum perpendicularis DM, quæ jugum dividit in partes BM & CM æquales aut inæquales. Nam quia triangula BMD & CMD $unt rectangula, quadrato BD, ex 47. lib.1. æqualia $unt duo quadrata DM & MB, & quadrato DC æqualia $unt duo qua- drata DM & MC. Si igitur lineæ DB & DC æquales $unt, carum pariter quadrata $unt æqualia; ex quibus dempto com- muni quadrato DM, remanent quadrata BM & CM æqualia, ac proinde lineæ MB & MC æquales. Si verò lineæ BD & CD $unt inæquales, quadrata carum $unt inæqualia; ex qui- bus dempto communi quadrato DM, re$idua $unt quadrata BM & CM inæqualia, corumque latera ($cilicet lineæ MB & MC) inæqualia erunt pronuncianda. <p>Brachia itaque hujus libræ curvæ propriè $umpta non illa $unt, quæ apparent, & quia ex illis libræ curvæ moles con$tat, vulgariter hoc vocabulo donantur; $ed $unt $egmenta lineæ jungentis extremitates, quibus pondera adnectuntur; in quæ $egmenta dividitur à perpendiculo, quod ad illam ducitur ex puncto, quod e$t motûs centrum. Cum igitur punctum hoc, quod tanquam centrum legem dat motui, $it extrà lineam ex- tremitates illas jungentem, aut in $uperiore, aut in inferiore loco crit; ac proptereà altera erit ex duabus illis $peciebus li- bræ, de quibus capite $uperiore $ermo fuit, habentibus $par- tum aut $uprà, aut infrà; & huic curvæ ea omnia convenient, quæ ibi dicta $unt, ut fiat æquilibrium horizontale, aut obli- quum. Si enim $it libræ $ca- <FIG> pus rectus AB bifariam divi- $us, centrum motûs habens in C & pondera adnexa in D & E æqualia, habet æquilibrium horizontale, ad quod redit, $i ab illo dimoveatur; & $i pondera D & E $int inæqualia, ha- bet æquilibrium obliquum pro Ratione di$criminis ponderum, <pb n=270> quia $cilicet centrum motûs C e$t $upra lincam DE jungentem puncta contactuum, quibus pondera adnectuntur. Facta au- tem figuræ conver$ione, ut C $it in inferiore loco, & linea DE in $uperiore, in $olo æquilibrio horizontali manet, à quo $i re- moveatur, ad illud non redit, neque ullum habet æquilibrium in po$itione obliquâ, ut dictum e$t. Jam ex jugo AB omnia $uperflua re$ecentur, & remaneant virgulæ CD & CE con- nexæ in C centro motûs: manife$tum e$t non e$$e immutata ponderum momenta, & eundem e$$e motum libræ curvæ DCE ac rectæ AB; $ivè C intelligatur in parte $uperiori, $ivè in in- feriori. Quare & de hac curvâ, quod ad æquilibrium $pectat, eadem dicenda $unt, quæ de librâ $partum $uperiùs aut inferiùs habente $unt dicta. <p>Et quidem $i latera illa, quibus libra curva con$tat, $ecun- dùm longitudinem æqualia $int, & paris gravitatis, additis hinc & hinc æqualibus ponderibus fiet æquilibrium horizonta- le; quia vera linea jugi in $egmenta æqualia dividitur, $unt au- tem omnes Rationes Æqualitatis, omninò $imiles. At $i late- ra illa $int inæqualia, non erunt addenda reciprocè pondera (etiam computatâ ip$orum laterum gravitate) in Ratione illa- rum longitudinum; $ed in Ratione $egmentorum jugi, ut fiat æquilibrium: quia ex laterum illorum inæqualitate $tatim qui- dem infertur etiam veram lineam jugi dividi in $egmenta in- æoualia; $ed non illico con$equens e$t $imilem e$$e Rationem Inæqualitatis: Immò $i inæqualia $int illa latera, fieri omnino non pote$t, ut $egmenta, quæ fiunt à perpendiculari cadente in ba$im, videlicet in lineam jugi, $int in eâdem Ratione; alio- quin $i ba$is $egmenta e$$ent in Ratione laterum adjacentium, angulus, ex quo perpendicularis demittitur, e$$et bifariam $ectus, per 3 lib.6. atque adeò duo triangula haberent duos an- gulos duobus angulis æquales, nimirum rectum & acutum, at- que latus haberent commune; ergo per 26.lib.1. & reliqua late- <FIG> ra e$$ent æqualia, contra hy- pothe$im. Sit enim libra cur- va laterum inæqualium BAC, linea recta BC e$t vera linea jugi, in quam cadens perpen- diculum AD definit brachio- <pb n=271> rum DB & DC longitudinem. Non e$t autem DB ad DC ut BA ad AC, alioquin angulus BAC e$$et bifariam $ectus, & duo triangula DAB, DAC haberent præter rectos ad D, ctiam acutos ad A æquales, atque latus AD commune, ac proinde e$$ent etiam latera BA & AC æqualia contra hypo- the$im. <p>Sunt igitur anguli ad A inæquales, & minor e$t, qui adja- cet minori lateri AC, quàm qui adjacet majori lateri AB: quia in triangulo BAC major e$t angulus C oppo$itus majori lateri BA, quàm angulus B oppo$itus minori lateri AC, ex 18.lib.1. igitur in triangulis BDA, CDA rectangulis ad D, comple- mentum CAD minus e$t complemento BAD. Qua propter $i angulus BAC $it bifariam dividendus, recta AE auferet ali- quid ex majore angulo BAD, & con$tituens angulum BAE cadet in ba$im inter B & D. E$t itaque, per 3.lib.6. ut BA ad AC, ita BE ad EC: $ed minor e$t Ratio BE ad EC quàm BD ad EC, & multo minor quàm BD ad DC. per 8.lib.5. igitur minor e$t Ratio BA ad AC, quàm $it Ratio brachij BD ad brachium DC. Si igitur pondera in C & B e$$ent reciprocè ut BA ad AC, haberent minorem Rationem, quàm BD ad DC, ac propterea non e$$ent apta ad con$tituendum æquilibrium horizontale. Retento igitur pondere B, augendum e$$et pon- dus C, vel retento pondere C, minuendum e$$et pondus B, ut e$$ent in reciprocâ Ratione brachiorum BD & DC. <p>Hinc etiam con$tat retentis eodem latere AB eadémque li- neâ horizontali BC cum eodem angulo B, $i velis uti minori pondere, quod cum pondere B faciat æquilibrium, addendum e$$e in A latus majus latere AC, puta latus AF, itaut tota BF $it jugi longitudo, & brachia $int BD & DF. Manife$tum e$t autem ex 8.lib.5. majorem Rationem e$$e eju$dem BD ad DC minorem, quàm ad DF majorem; ad pondera debent e$$e in F & B ut BD ad DF; igitur minus pondus in F æquivalet cidem ponderi B, cui in C æquivalet pondus majus. Porrò nemini dubium e$$e pote$t, an latus AF majus $it latere AC, quippe quod in triangulo CAF opponitur angulo obtu$o ACF, per 19.lib.1. <p>Sed $i res fuerit in praxim deducenda, indicare oportet, quâ methodo utendum $it, ut quæ$itam ponderum Rationem, hoc <pb n=272> e$t ip$ajugi $egmenta inveniamus, quippe quod $olá mente concipitur ad laterum extremitates jungedas deductum. Hæc autem e$$e poterit praxis. Laterum AB & AC longitudine metire, tùm ex B ad C extentum funiculum ad $imilem men- $uram revoca. His paratis certum e$t hane jugi longitudinem communiter majorem e$$e longitudine $ingulorum laterum, $emper tamen $altem alterius, tanto exce$$u, ut po$$it ab ea au- fe<*>i pars, de quâ mox dicetur; debet $cilicet excedere me- diam proportionalem inter aggregatum laterum, & corum dif- ferentiam. Cum enim linea jugi à perpendiculo cadente ex angulo verticali dividenda $it, utrumque latus cum jugo facit angulos acutos; alioquin $i alteruter angulorum rectus e$$et, aut linea jugi non e$$et parallela horizonti, aut latus e$$et idem perpendiculum; & $i obtu$us e$$et, perpendiculum caderet ex- tra lineam extremitates jungentem. Debet igitur tanta e$$e jugi longitudo, ut differentia partium, in quas dividitur ad differentiam laterum $it ut $umma laterum ad totum jugum. <p>Quare fiat ut jugi longitudo funiculo deprehen$a ad laterum $ummam, ita laterum differentia ad partem auferendam ex longitudine jugi; cujus re$iduum bifariam divi$um dabit mi- noris brachij longitudinem. Hujus operationis ratio manife$ta e$t ex corollario primo prop. 36.lib.3, & ex 3. eju$dem lib.3. Sit exempli gratia latus AB partium 20, latus AC partium 9, di$tantia BC partium 23. Fiat ut 23 ad 29 $ummam laterum, ita laterum differentia 11 ad (13 20/23) partem auferendam ex jugi longitudine 23: Re$iduum partium (9 3/23) bifariam dividatur, & ejus $emi$$is (4 13/23) e$t longitudo brachij minoris DC; quod reli- quum e$t jugi partium (18 10/23) dat longitudinem alterius brachij majoris BD. E$t igitur brachiorum (atque adeò etiam ponde- rum reciprocè) Ratio ut 424 ad 105. <p>Quod $i his cognitis inve$tigare oporteat, quanta $it hujus lineæ horizontalis BC di$tantia à puncto $u$pen$ionis A, ni- mirum quanta $it perpendicularis AD, $tatim ex 47. lib.1. in- note$cet, $i ex quadrato lateris AC 81 auferas brachij DC quadratum (20 445/529); nam re$iduum (60 84/529) e$t quadratum perpen- diculi AD, quod proinde e$t partium (7 17/23) proximè. <p>At $i pro ratione tui in$tituti nimia $it hujus perpendiculi <pb n=273> longitudo, & opportuniùs accidat jugum BC horizontale mi- nus di$tare à puncto $u$pen$ionis A, jam con$tat latera AB & AC explicanda in majorem angulum; quapropter etiam major erit jugi longitudo, ex 24.lib.1. Sit ergo definita per- pendiculi AD altitudo partium 4: hujus quadratum 16 aufer ex 81 quadrato lateris AC, & re$iduum 65 e$t quadratum bra- chij minoris DC, quod idcircò e$t partium (8 1/16) $erè. Simili- ter ip$ius AD quadratum 16 aufer ex 400 quadrato lateris AB, & re$iduum 384 e$t quadratum brachij majoris BD, quod e$t partium (19 23/<*>9) proximè; & totum jugum BC e$t partium (27 25/39). Quare brachi BD ad brachium DC Ratio e$$et ut 764 ad 314, quæ reciprocè e$$et & ponderum. <p>Ex quibus per$picuum e$t, po$itis ii$dem libræ curvæ late- ribus, di$parem e$$e ponderum Rationem: in priore enim po$i- tione Ratio e$t 424 ad 105, hoc e$t proxime ut 4 ad 1. in po$te- riore po$itione, ubi in majorem angulum latera explicantur, Ratio e$t 764 ad 314, hoc e$t ut 2. 43 ad 1; quæ minor e$t Ratio, quàm prior ut 4 ad 1. Si autem latera eadem e$$ent in directum con$tituta, e$$et ponderum Ratio ut 20 ad 9, hoc e$t ut 2. 22′ ad 1; quæ e$t minima Ratio omnium, quæ intercede- re po$$unt inter pondera æquilibrium horizontale con$tituen- tia ex illorum laterum extremitatibus: quæ extremitates quo- minus di$tabunt, inflexis $ubinde latcribus, eo majus pondus requiretur in extremitate lateris brevioris, ut æquè ponderet cum uno eodemque pondere collocato in extremitate lateris longioris. <p>Porrò ubi de ponderum Ratione $ermo e$t, cave ne ip$orum laterum inæqualium libræ curvæ gravitatem contemnas; $i enim æqualia illa e$$ent, æqualia quoque e$$ent eorum mo- menta tùm ratione gravitatis, tum tatione po$itionis, nam per- pendiculum caderet in medium jugum, & latera e$$ent $imi- liter inclinata, ac proinde $ola ponderum æqualitas $pectaretur: at laterum huju$modi inæqualium momenta $unt ex utroque capite inæqualia, videlicet & ratione gravitatis in$itæ, quæ ex hypothe$i $ingulis lateribus ine$t pro Ratione molis inæqualis, & ratione po$itionis, quæ valde diver$a e$t, cùm non $int late- ra illa $imili angulo ad perpendiculum inclinata; $ed magis in- <pb n=274> clinatur latus longius faciens cum perpendiculo majorem an- gulum: pro va<*>a autem inclinatione ip$am eju$dem lateris gra- vitatem varia obtinere momenta manife$tum videtur. Pona- <FIG> mus laminam metallicam AB clavo infixam in A, circa quem qua$i cen- trum de$cribat $emicirculum BDC. Si obtineat perpendicularem po$itio- nem AB, tota gravitas innititur clavo A $u$tinenti, & nullam vim habet de- $cendendi; $imiliter in perpendiculari po$itione AC tota gravitas retinetur à clavo A, nec pote$t de$cendere. At $i po$itionem habeat AD horizonti pa- rallelam, omnino nec $u$tinetur, nec retinetur à clavo, $ed toto conatu $uas de$cendendi vires exerit. In locis igi- tur intermediis partim $u$tinetur aut retinetur à clavo A, partim conatum deor$um exercet: $ic ex B veniens in E $u$tinetur juxta men- $uram FE, & deor$um tendit juxta men$uram GE; at ex B ve- niens in H $u$tinetur juxta men$uram IH, & deor$um tendit juxta men$uram KH. Simili modo contingit in quadrante in- feriore; nam in po$itione AL retinetur juxta men$uram IL, nec de$cen$um pote$t habere ni$i ut LM; atque in O impedi- mentum à retinente e$t ut FO, conatum deor$um metitur ON. Quia $cilicet $i ab aliquo $u$tineatur in L, perinde $e habet ac $i e$$et in plano habente inclinationis angulum CAL; in quo plano gravitatio e$t ad gravitationem in perpendiculo ut Ra- dius ad $ecantem, $eu ut Sinus Complementi ad Radium, hoe e$t ut IL ad AL: ac propterea vires clavi retinentis in eâ in- clinatione ad vires retinentis in perpendiculo debent e$$e ut IL ad AC, hoc e$t ad AL: At gravitatio, quâ urgetur planum inclinatum, e$t ut PC Sinus Ver$us anguli inclinationis, qui planè æqualis e$t ip$i LM. Cùm autem hîc nullum habeatur $ubjectum planum, quod prematur à gravitante laminâ metal- licâ, exerit hunc conatum deor$um adversùs aliud oppo$itum pondus, quod elevare conatur, vel cui conanti re$i$tit, ne ab eo elevetur. Si igitur in lineá AC perpendiculari lamina AC <pb n=275> contra clavum A exercet momenta totius gravitatis deor$um nitentis, & in AL impeditur, ac retinetur $ecundum men$u- ram IL, fiat ut AC ad IL, ita tota gravitas laminæ ad aliud, & prodibit quantitas gravitationis contra retinentem, re$i- duumque LM erit illa gravitatio, quæ con$ideranda e$t in eâ po$itione inclinata AL. <p>Sed quoniam AL à centro motûs A di$tantiam habet AI, comparanda erit hæc di$tantia cum di$tantia oppo$iti lateris li- bræ, ut habeantur momenta invicem comparata. Ob$ervan- dum tamen e$t non rem perinde $e habere, ac $i tota gravita- tio laminæ inclinatæ AL po$ita e$$et in L, atque adeò in di$tan- tià AI; $ed quia di$tribuitur $ecundùm totam ip$am longitudi- nem AL, & partes remoriores plus habent momenti, quàm propiores centro, juxtà Rationem di$tantiarum, proptereà vel tota gravitas lateris AL, quæ e$t LM, intelligenda e$t in me- dia di$tantiâ inter A & I, vel $emi$$is gravitationis AL, hoc e$t $emi$$is ip$ius LM, intelligendus e$t in I, quemadmodum hu- jus libri 3. cap. 2. dictum e$t totam gravitatem AD intelligen- dam in mediâ di$tantiâ inter A & D, aut ejus $emi$$em in ex- tremitate D. Quamvis autem ex inclinatione CAL oriatur di$tantia AI, hæc tamen venire pariter in computationem debet, quia comparari debent hæc momenta cum momentis di$tantiæ oppo$itæ, quæ momenta orta ex Ratione di$tantiarum eadem $unt, $ive AL $it lamina, $ive trabs; quamquam valde di$pares $int gravitates, quæ a$$umendæ $unt ex eâdem inclina- tione; ac propterea & LM indicans gravitationem comparatè ad totam gravitatem ab$olutam, & AI definiens momentum ex di$tantiâ, con$iderari debent. Hoc pacto habetur totum momentum lateris AL; $imiliterque habebitur momentum la- teris oppo$iti. Ex quo patet laterum inclinatorum in librâ cur- vâ momenta componi & ex Ratione di$tantiarum, & ex Ratio- ne momenti, quod habent $ingula latera ex inclinatione ad perpendiculum. <p>At $ubdubitas, utrùm i$ta, quæ hîc dicuntur, cum iis aptè cohæreant, quæ lib.1. cap.15. dicta $unt, ubi ponderis in L con$tituti vires ad de$cendendum definiri diximus à Sinu an- guli declinationis à perpendiculo CAL, qui æqualis e$t ip$i AI: hîc verò laminæ AL gravitationem con$tituimus ex <pb n=276> Sinu complementi eju$dem anguli CAL, nimirum ex li- neâ IL. <p>Quapropter ob$erva non eandém e$$e rationem gravitationis lateris AL libræ, atque ponderis adnexi in extremitate L; hu- jus enim momenta perinde computantur, ac $i e$$et in I; quia $cilicet AI æqualis e$t brachio libræ PL, & planum inclina- tum, in quo pondus L con$titutum intelligitur, non e$t AL, $ed Tangens in L ad angulos rectos, ut loco citato explicatum e$t. At libræ latus AL $uam habens gravitatem aliter $e habet: nam quemadmodum $i inniteretur clavo in A, non tamen illi infigeretur, atque ab aliquo $u$tineretur in puncto L, certum e$t planum inclinatum, in quo moveretur, e$$e AL, contra quæ momenta de$cendendi in plano inclinato reluctatur clavus in A po$itus, & retinens; ita $ublato $u$tinente in L, & po$ito contranitente reliquo latere libræ, non tollitur munus clavi A retinentis, $ed $ub$tituitur latus illud oppo$itum loco $u$tinen- tis in L: igitur contra illud latus hoc latus AL exercet eadem momenta gravitationis, quæ exerceret adversùs $u$tinentem in L, hoc e$t in planum inclinatum; quæ momenta ea $unt, quæ remanent demptis IL momentis gravitationis in plano in- clinato, nimirum re$iduum LM. Quia verò qui $u$tineret la- tus AL in L, non e$$et unicum $u$tinens, $ed planum inclina- tum e$t AL, & ita latus retinetur in clavo A, ut etiam ab eo aliquatenus $u$tineatur, atque adeò lamina inclinata $u$tinea- tur à duobus in A & L, retineaturque $olùm ab A; propterea non totum momentum LM, $ed ejus $emi$$em accipiendum diximus, ut habeantur momenta, quibus contranititur oppo- $itum latus, $i addantur momenta, quæ oriuntur ex di$tantiâ à centro motûs, ut dictum e$t. <p>Hæc autem ut exemplo clariora fiant, $int eadem, quæ priùs in præcedente figurâ po$ita $unt, latera libræ curvæ BAC, lon- gius BA partium 20, brevius CA partium 9, & quidem in eâ po$itione, ut perpendiculum AD cadens in jugum $it partium (7 17/23), & brachium jugi DC adjacens minori lateri $it partium (4 13/23), reliquum verò jugi brachium DB partium (18 10/23). Primùm quære momenta laterum ex eorum inclinatione: Cumque per- pendiculum AD $it æquale Sinui Complementi anguli incli- <pb n=277> nationis DAC, po$ito Radio AC, notus e$t Sinus Ver$us eju$- dem anguli inclinationis, $cilicet differentia inter AD & AC, quæ e$t partium (1 6/23): & $imili methodo Sinus Ver$us anguli in- clinationis DAB e$t partium (12 6/23). Ratio igitur gravitationis lateris AB ad gravitationem lateris AC ex inclinatione e$t ut 282 ad 29; Ratio momentorum ex di$tantiâ à centro, ut $upra diximus, e$t ut 424 ad 105. Compo$itis igitur duabus hi$ce Rationibus, e$t totius momenti lateris AB ad totum momen- tum lateris AC Ratio ut 119568 ad 3045, hoc e$t in minimis terminis ut 39. 267″ ad 1. Sit igitur gravitas ab$oluta lateris AB unciarum 20; gravitatio re$pondens $emi$$i Sinus Ver$i an- guli inclinationis e$t unciarum (6 3/23). Item gravitas ab$oluta la- teris AC $it unc. 9: gravitatio re$pondens $emi$$i Sinus Ver$i anguli inclinationis e$t unc. (29/46). Hæc gravitatio (29/46) ducatur in di$tantiam à perpendiculo partium (4 13/23), & e$t momentum 2.878‴. Similiter gravitatio unc. (6 3/23) ducatur in di$tantiam à perpendiculo partium (18 10/23), & e$t momentum 113.013‴. Di- vi$o itaque majore numero 113013 per minorem 2878, in mi- nimis terminis Ratio e$t ut 39.268″ ad 1: quæ minimùm differt à priore illa Ratione propter neglectas fractiunculas in divi- $ionibus. <p>Nunc inquiramus, quantum ponderis addendum $it lateri minori, ut fiat æquilibrium cum $olâ majoris lateris gravitate. Statuatur pondus addendum Algebricè 1 ℞, cujus di$tantia à perpendiculo cum $it partium (4 13/23), ponderis additi momentum e$t (105/23) ℞ addendum momento lateris minoris invento. Quare 2.878‴ + (105/23) ℞ æquantur momento 113.013‴ lateris majoris: & utrinque demptis 2.878‴, remanet æquatio inter (105/23) ℞ & 110.135‴. Demum in$titutâ divi$ione prodit pretiũ 1 ℞, hoc e$t ponderis addendi, unciarum 24 1/8. Huic itaque ponderi additâ gravitatione lateris minoris AC unc. (29/46) hoc e$t in mille$imis 630‴, erit in C totum pondus unc. 24.755‴; & in B intelli- gitur gravitas unc. (6 3/23), hoc e$t in mille$imis unc. 6.130‴ ferè. Vides igitur hæc pondera e$$e reciprocè po$ita in Ratione di$tantiarum DB & DC: & quamvis demum in his Ratio- nibus non $ibi exacti$$imè re$pondeant numeri, $atis pa- <pb n=278> tet exiguum hoc di$crimen oriri ex neglectis fractiun- culis. <p>Cæterùm hæc tam minutè per$equi in librâ curvâ, cujus latera non adeò notabili gravitate $unt prædita, labor quidem videtur inutilis: $ed quoniam huju$modi libræ præcipuus u$us e$$e pote$t in machinationibus, ubi latera libræ $unt tigilli cra$- $iores non mediocris gravitatis, operæ pretium fuit indicare, quâ methodo ip$orum laterum gravitates & momenta compu- tari oporteat, ut non ca$u, $ed ex certâ ratione pondera collo- centur, & æquipondia $tatuantur. <HR> <C>CAPUT VI.</C> <C><I>Quænam libræ $int omnium exacti$simæ.</I></C> <p>IN$trumenti cuju$que bonitas æ$timatur ex fine, ad quem fuit in$titutum, prout ad illum a$$equendum aptum fuerit, aut ineptum, eóque melius cen$etur in$trumentum, quò certiùs per illud propo$itus finis obtinetur; quemadmodum per $ingu- la eunti facilè con$tabit. Ut igitur exacti$$imum libræ genus innote$cat, $atis patet inquirendum e$$e, quænam libra facilli- mè ab æquilibrio recedat; quo rece$$u indicans vel minimam ponderum inæqualitatem, etiam $uo æquilibrio exqui$itam ponderum æqualitatem o$tendit; id quod per libram ve$tiga- mus. Hîc autem de librâ æqualium brachiorum $ermo e$t, quâ communiter uti $olemus: quamquam aliqua etiam ad libram inæqualium brachiorum proportione traduci queant. Ex du- plici capite libram, quà libra e$t, ponderum gravitates præ aliis libris exqui$itè examinare contingit, videlicet aut ex brachio- rum longitudine, aut ex $parti, $eu centri motûs, po$itione; reliqua enim impedimenta, aut adjumenta materiam potiùs $e- quuntur, quàm libræ formam. <p>Et quidem quod ad brachiorum longitudinem $pectat, adeò certum Ari$toteli videtur majoribus libris, majori $cilicet bra- chiorum longitudine præditis, accuratiùs examinari ponde- rum æqualitatem, ut in Mechanicis quæ$tionibus hoc primum <pb n=279> ab eo quæratur, <I>Cur majores libræ exactiores $unt minoribus?</I> Cau- $am autem ex eo de$umendam putat, quòd $partum $it cen- trum, brachia verò qua$i lineæ à centro exeuntes; & quia Ra- dij longiores ab eodem centro cum brevioribus exeuntes $i pa- riter moveantur, majorem arcum de$cribunt, propterea etiam citius moveri nece$$e e$t extremitatem libræ, quò plus à $parto di$ce$$erit. Hinc e$t in minore librâ po$$e aliquando ex tenui inæqualitate ponderum fieri motum non con$picuum, atque adeò illam occultè di$cedere ab æquilibrio; id quod in majore librâ contingere non pote$t, quia longioris brachij extremitas notabili motu inclinatur. Sit enim li- <FIG> bra longior AB, cujus $partum $it C; moveatur, & de$cribat arcus BG, & AF, qui $unt multò magis con$picui & majores, quàm qui à librâ minore DE habente idem motûs centrum C, de$cribantur arcus EI & DH. Con- $tat igitur motum puncti E pror$us fugere omnem oculorum aciem, $i motus extremitatis B vix $it con$picuus. Ex quo il- lud etiam con$equens e$t, quod major libra clariùs indicat æquilibrium. <p>Verùm $i hæc ita accipiantur, prout communi huic inter- pretationi $ube$t Ari$toteles, vix aliquid habent momenti: quis enim pondera vix inæqualia bilance $ubtiliter examinans jugi extremitates re$picit, ut videat, an lineæ horizonti paral- lelæ congruat jugum? & non potiùs lingulam CO con$iderat, an cum ansâ perpendiculari illa conveniat? Quod $i lingula at- tendatur, idem e$t ejus motus $ive longior $it libra AB, $ive brevior DE; factâ enim inclinatione aut majore motu BG, aut minore motu EI, eadem e$t lingulæ po$itio CS. Hoc tantùm habent emolumenti brachia longiora, quod faciliùs dividuntur bifariam æqualiter quàm breviora: & $i minimum aliquod di$- crimen intercedat, hoc minorem habet Rationem ad bra- chium longiùs, quàm ad brevius. Quare aliâ ratione acci- pienda e$t libra: nam $i in uno eodemque puncto C conveniant $partum & jugi divi$io, aut $partum $it inferius, $ive longiora, $ive breviora $int brachia, ponderum inæqualitas illicò inno- te$cit, quia extremitas præponderans, ad imum locum, quan- <pb n=280> tum pote$t, de$cendit. Locutus igitur videtur Ari$toteles de librâ $partum habente in $uperiore jugi loco extrà lineam, quz jugi longitudinem definit. <p>Sit iterum libra longior AB, & brevior DE, utraque bifa- riam divi$a in C; & $it linea lingulæ perpendicularis CK, in <FIG> quâ $umatur $partum, $eu motús centrum O, & re$iduum OK $it lingula, ex cujus declinatione à perpendiculo an$æ, digno$citur $ublatum æquilibrium. Sit pondus A ad pondus B ut 5 ad 3: centrum gravitatis jugi & ponderum commune non pote$t e$$e C, quod brachia CA & CB æqualia con$tituit; $ed erit ut pondus A ad pondus B, ita reciprocè longitudo BG ad longitudinem GA, eritque punctum G centrum gravitatis, nec libra con$i$tet, ni- $i recta GOH fiat perpendicularis horizonti: lingula igitur OK declinabit à perpendiculo an$æ juxta angulum HOK. Eadem pondera transferantur in minorem libram DE; & $i fiat ut pondus D 5 ad pondus E 3, ita EF ad FD, erit F cen- trum gravitatis libræ DE & ponderum: quare libra non con- $i$tet, ni$i recta FOI $it horizonti perpendicularis, & tunc à perpendiculo declinabit lingula OK juxta angulum IOK. Quoniam verò e$t ut 4 ad 1, ita AC ad CG, ita DC ad CF, & AC major e$t quàm DC, erit etiam ex 14 lib.5. GC major quàm FC; igitur angulus COF minor e$t angulo COG, pars minor toto; ac proinde ad verticem angulus KOI minor e$t angulo KOH. Po$itis igitur ponderibus ii$dem in libræ lon- gioris AB extremitatibus, declinabit lingula à perpendiculo, cum eo con$tituens angulum majorem, quàm $it angulus ab eadem lingulâ con$titutus cum perpendiculo, quando ponde- ra illa inæqualia adnectuntur libræ breviori DE. Hinc e$t quòd $i inæqualitas ponderum exigua $it, centrum gravitatis in utrâque librâ non multùm recedat à puncto C, parùm in ma- jore, minimùm in minore, ac proinde lingulæ deflexio forta$$e inob$ervabilis erit in minore librâ, quæ in majore evadet nota- bilis atque con$picua. Hinc etiam patet, cur extremitas A de$cendens magis moveatur, quàm extremitas D minoris li- bræ; quia $cilicet angulus OGA, per 16. lib.1. major e$t quàm <pb n=281> angulus OFD, ac propterea ubi OG facta $it perpendicularis, linea AG cum illà faciens obtu$iorem angulum, magis depri- metur infrà lineam AB horizontalem. <p>Sed jam inquirendum e$t, utrùm expediat centrum motûs magis di$tare à lineâ jugi, an verò illi propiùs admoveri, ut clariùs innote$cat rece$$us jugi ab æquilibrio horizontali: illa quippe $parti po$itio eligenda e$t, quæ etiam minimum mo- tum indicet notabili lingulæ declinatione. Dico itaque $par- tum lineæ jugi proximum utilius e$$e, quàm remotum. Sit enim libra AB bifariam in C di- <FIG> vi$a, & ex hoc puncto exeat per- pendicularis CI; in quâ pro cen- tro motûs eligatur punctum S; ponantur verò pondera A & B ita e$$e inæqualia, ut centrum gravi- tatis commune $it D. Igitur DSR e$t linea, quæ facta perpendicularis con$tituit cum lingulâ SI angulum ISR. Deinde reliquis omnibus manentibus, $it cen- trum motûs O remotius à lineâ jugi, & linea DOV facta per- pendicularis declinabit à lingulâ OI juxta angulum IOV, quem con$tat e$$e minorem angulo ISR; nam angulus DSC externus major e$t interno DOS, per 16. lib. 1. e$t autem huic ad verticem IOV, & illi ad verticem ISR; igitur ISR angu- lus e$t major angulo IOV. <p>Quòd $i centrum motûs adhuc propiùs admoveatur medio jugi puncto C, adhuc majorem angulum con$tituet cum lin- gulâ, ac proptereà adhuc multò notabilior erit deflexio lingu- læ à perpendiculo, etiam $i exiguus $it motus ex eo, quod cen- trum gravitatis D proximè accedat ad punctum C: e$t $iqui- dem extrà controver$iam, quò minor e$t ponderum inæquali- tas, eò etiam minorem e$$e puncti D à puncto C di$tantiam. Ex quo manife$tum evadit exiguam ponderum differentiam non digno$ci, $i $partum notabili intervallo rece$$erit à lineâ ju- gi; hæc enim $parti di$tantia habet rationem Radij, di$tantia centri gravitatis à medio jugi locum obtinet Tangentis; igitur $i fiat major $parti di$tantia, eadem Tangens ad majorem Ra- dium minorem Rationem habebit, atque adeò $ubtendet mul- tò acutiorem angulum, qui proptereà minùs ob$ervari poterit. <pb n=282> Quare pro eâdem ponderum inæqualitate digno$cendâ, $i con- currant minima $parti à jugo di$tantia, & ob longitudinem ma- jorem brachiorum libræ major centri gravitatis di$tantia à me- dio jugi puncto, patet multò faciliùs digno$ci inæqualia e$$e pondera, quia majore angulo linea deflectit à perpendiculo; & po$ito minimo Radio Tangens major angulo majori opponitur. <p>Hæc quidem de libra $partum habente $uprà lineam jugi dicta accommodari po$$unt libræ $partum habenti infrà jugi li- neam, $i eadem $chemata inver$o $itu po$ita intelligantur: quò enim ma ore angulo deflectit à perpendiculo linea jungens gra- vitatis centrum, & centrum motus, eò faciliùs brachium, in quo e$t gravitatis centrum, inclinatur. Verùm $i duplex hæc libræ $pecies, quæ $uprà, & quæ infra jugi lineam $partum ha- bet, invicem comparetur, $atis apertum e$t multò faciliùs à po$teriore h´c $pecie indicari ponderum inæqualitatem; quia videlicet $i centrum gravitatis in alterutram partem vel mini- mùm recedat à medio jugi, non ampliùs imminet $parto in eo- dem perpendiculo, neque pote$t $u$tineri, $ed illicò, quantùm pote$t ad imum locum de$cendit. At in priore illa $pecie libræ $partum in $uperiore loco habentis, recedente in alterutram partem centro gravitatis, de$cendit illud quidem; $ed non ni$i pro ratione exce$sûs ponderis; qui de$cen$us inob$ervabilis erit, $i exigua $it ponderum differentia. Hinc non $emel animadver- ti accurati$$imas bilances, quibus aurearum monetarum ponde- ra examinantur, eas e$$e, quæ $partum in inferiore loco habent; lanx enim, quæ pondere prægravatur, ad imum, quantùm po- te$t de$cendit: factâ autem libræ conver$ione ita, ut an<*>a infe- riùs $u$tentata libram $u$tineat, ii$demque ponderibus impo$i- tis, lanx prægravata non de$cendit ad imum locum; $ed manet libra in obliquâ po$itione, quæ ponderum inæqualitati congruè re$pondet; &, $i ea $it ponderum inæqualitas, quæ omnem ob- $ervantis $ubtilitatem effugiat, vidctur libra in æquilibrio hori- zontali po$ita, cum tamen in priore $itu, antequam libra inver- teretur, non po$$et in ullo æquilibrio con$i$tere. <p>Non ita tamen hæc dicta intelligi velim, ut nulla $it habenda ratio materiæ, ex qua libra con$tat; hæc $iquidem tantæ gravi- tatis e$$e pote$t, ut axem vehementiùs premens motum aliqua- tenus impediat, ac propterea levis illa virtus effectiva motus, <pb n=283> qui ponderum adnexorum inæqualitatem cæteroqui con$eque- retur, ex hâc pre$$ione, & prominularum particularum $e vi- ci$$im contingentium conflictu elidatur, atque jugi æquili- brium horizontale permaneat. Gravitatem autem motui im- pedimento e$$e ex eo con$tat, <I>quòd faciliùs quanào $ine pondere e$t, <*>r libra, quàm cum pondus habet,</I> ut ob$ervavit Ari$toreles 9. 10. Mechan. Cui tamen in a$$ignandâ hujus difficultatis causa non aquie$co, licet ultrò concedam <I>in con- trarium e<*> quod vergit onus, movere difficile e$$e</I>; $i enim libræ vacuæ lances minùs graves $unt, impo$ito autem pondere fiunt graviores, & proptereà lanx elevanda facta gravior difficiliùs movetur contia in$itam gravitati propen$ionem, etiam vici$$im lanx deprimenda facta gravior ex adnexo pondere faciliùs ob- $ecundat naturali gravium propen$ioni, atque adeò augere de- beret movendi facilitatem, vei $altem hanc imminui non per- mitteret. Non aliunde igitur ortum ducere videtur huju$mo- di difficultas movendi libram onu$tam, quàm ex majore pre- mentis gravitatis conatu: pre$$ione autem motum impediri quis neget, $i $uper planam $uperficiem continuo lævore lubricam ducat regulam metallicam exqui$ite politam, quam nunc te- nui, nunc validiori conatu premat? utique percipiet pro vario prementis conatu aliam atque aliam e$$e trahendæ regulæ me- tallicæ difficultatem. <p>Adde graviori libræ cra$$iorem axem, ut ei proportione re$pondeat, nece$$ariò adjungi; hic autem $i non $it exqui$itè cylindricus, quâ parte fit contactus, $ed aliquatenùs angulatus duobus in locis contingat, $atis manife$tè apparet magis impe- diri motum libræ, quàm $i axis tenuior e$$et, atque $ubtilior; licet enim hic pariter $imilique ratione ang latus e$$et, quia tamen anguli minùs di$tarent invicem, quàm in axe cra$$iore, minùs etiam libræ conver$ionem impedirent. Idem accidit, $i axis quidem cylindricus, foramen autem, cui axis in$eritur, non exqui$itè rotundum $ed angulatum fuerit. Cur autem libræ conver$io impediatur, $i fiat contactus in duobus punctis, pa- làm e$t; quia nimirum quamdiu centrum gravitatis compo$itæ interjicitur inter duos illos contactus (vel $altem linea directio- nis per illud centrum ducta tran$it per intervallum illud duo- rum contactuum) non pote$t fieri libræ in alterutram partem <pb n=284> couver$io; quæ proinde ut convertatur, tantum ponderis alte- ri lanci addi nece$$e e$t, ut centrum gravitatis omninò cadat extrà illud $patium, quod à contactibus comprehenditur. <p>Hinc patet, cur libræ cra$$iores, & majores ingentibus $ar- cinis onu$tæ inertes fiant ad motum, etiam $i adnexis ponderi- bus in$it aliquot unciarum, aliquando forta$$e etiam librarum, di$paritas. Contrà verò aurificibus, & gemmariis, quibus mi- nutias contemnere damno e$$et, valdè exiguæ libræ in u$u $unt; quippè quæ $ubtili$$imo axe contentæ $unt, & levi jugo con$tant, cujus gravitati æqualis e$t $ingularum lancium gra- vitas: quare cum nec vehemens pre$$io contingat, nec axis adeò tenuis facilè angulos admittat, exilioribus huju$modi li- bris etiam minima ponderum inæqualitas exploratur, $i eæte- róqui fuerint ritè con$tructæ. <p>At quærat hîc qui$piam. Proponitur libra, quæ vacua æqui- librium o$tendit, nec ita gravis e$t, ut de validiore axis pre$- $ione dubitetur: ut inquiratur, quàm facilè mobilis illa $it, alte- ri lanci $ingula $ubinde grana delicatè imponuntur, quot $atis $int ad primò tollendum æquilibrium, tùm aliâ librâ tenuiori examinatum granorum omnium pondus (rejecto ultimo grano, cujus additione primò facta e$t libræ inclinatio) deprehendi- tur unciæ unius, exempli gratiâ. Quæritur, an, $i eidem lanci imponantur merces, & oppo$itæ lanci legitima pondera, $it $emper numeranda uncia una amplius, ut verum mercis pon- dus habeatur; quandoquidem deprehen$um e$t non mutari æquilibrium, ni$i uncia addatur. <p>Ut quæ$tioni $atisfaciam, tanquam certum $tatuamus hanc libræ inertiam non oriri ex multâ jugi & lancium gravitate axem premente; $i enim ex huju$modi pre$$ione oriretur, ad- ditis hinc & hinc ponderibus multò major fieret pre$$io, ex quâ movendi difficultas major crearetur; & $i minorem pre$$io- nem vix unius unciæ exce$$us vincit, utique majorem pre$$io- nem non ni$i plurium unciarum exce$$us vincere poterit. De- finire autem huju$modi pre$$ionum vires motum libræ retar- dantes, meæ tenuitatis non e$t; quippè qui nec divinare au- deo, nec certam rationem pre$$iones illas dimetiendi invenio. Illud igitur reliquum e$t, $eclusâ pre$$ione, quòd axis con- tactus non omninò in unico puncto, $ed in pluribus fiat, ac <pb n=285> propterea alterutri vacuæ libræ lanci imponendam unciam, ut primò di$po$ita $it libra ad recedendum ab æquilibrio. Hoc au- tem indicat, libræ pror$us vacuæ centrum gravitatis e$$e inter extrema puncta contactûs axis; $ed additâ unciâ compo$itæ gra- vitatis centrum convenire cum extremo puncto contactûs axis. <p>Quærendum e$t igitur, quo intervallo extremum hoc punctum, quod etiam e$t gravitatis centrum, di$tet à medio jugi puncto. Id quod ut innote$cat, ob$ervetur jugi & lan- cium gravitas; tùm in extremitatibus jugi intelligatur $emi$$is $ingulorum brachiorum, & addatur $ingularum lancium gra- vitas: $int autem hinc & hinc ex. gr. unciæ duodecim tota gra- vitas: alteri addatur uncia, & erunt hinc quidem unciæ 12; hinc verò unciæ 13. Quare jugum reciprocè di$tinguatur in duas partes, quarum altera $it 13, altera 12: igitur punctum hoc divi$ionis jugi di$tat à medio jugi puncto parte unâ quin- quage$imá totius longitudinis eju$dem jugi: hæc $iquidem lon- gitudo di$tincta intelligitur in partes 25 æquales; punctum medium ab extremitate di$tat partibus 12 1/2, centrum gravita- tis compo$itæ di$tat partibus 12; igitur punctorum i$torum in- tervallum e$t (1/50). <p>Jam imponatur alteri lanci merx, quæ cum pondere le- gitimo lib. 2. faciat æquilibrium: aio non po$$e pronuncia- ri mercem e$$e unc. 25: nam $i ponatur merx unc. 25: ad- ditâ gravitate lancis & brachij unc. 12 ex hypothe$i, hinc quidem e$$ent unciæ 37, hinc verò unciæ 36; igitur divi- $o jugo in partes 73, centrum gravitatis di$taret à medio jugi puncto parte (1/146). At punctum extremum contactûs axis & jugi di$tat parte (1/50), igitur multo majus pondus $upra unciam adden- dum e$t merci, ut æquilibrium exqui$itè faciat cum pondere legitimo lib. 2. Nimirum in$tituenda e$t analogia ut 12 ad 13, ita unciæ 36 ad uncias 39; dempto igitur pondere lancis & bra- chij libræ, quantitas mercis e$t unc. 27. Ex quo liquet, quò majora pondera lancibus imponuntur, eò majorem e$$e diffe- rentiam à pondere legitimo. Hinc ulteriùs patet huju$modi librâ $atius e$$e multam mercem $imul ponderare, quàm per partes: pone enim e$$e uncias 12 legitimi ponderis, cum quo <pb n=286> æquilibrium con$tituitur, merx erit unicarum 14, quia ut 12 ad 13, ita unc. 2<*> ad 26, & demptis unciis 12 ad brachium & lancem $pectantibus, remanent mercis unciæ 14: quare bis facta ponderatione erit differentia unc. 4; unica autem ponde- ratio dabat tantum uncias 3: quia videlicet $ingulis vicibus ad- ditui id, qued re$pondet gravitati lancis oppo$itæ; atque adeò differentia $æpiùs repetita major e$t, quàm $implex: $ic qua- tuor libris ponderis legitimi re$ponderent in altera lance mer- cis lib.4.unc. 5; quòd $i quatuor vicibus operando $ingulas libras expendi$$es, differentia demùm e$$et unciarum 8. <p>Unum ad huc $upere$$e videtur hîc ob$ervandum, quoniam longioribus brachiis exqui$itiùs indicari æquilibrium diximus: cavendum $cilicet, ne in aliud incommodum incidamus, quo illud idem pereat, quod per$equimur. Si enim longiora fiant brachia, additur gravitas, quæ magis axem premens motui ali- quam difficultatem creat: quod $i retentâ eâdem brachiorum gravitate illorum cra$$ities extenuetur, & in longitudinem ex- tendantur, vide ne nimis exilia evadant ita, ut flexioni obnoxia $int, vel $uâ ip$orum, vel expendendorum ponderum gravita- te. Præterquam quod longiora brachia plus habere videntur momenti ad premendum axem, etiam $i par $it longiorum at- que breviorum libræ brachiorum gravitas ab$oluta; cujus $e- mi$$is in extremitate brachij longioris plùs habet momenti ad de$cendendum, quàm in extremitate brevioris. Et $i longior ha$ta ex medio $u$pen$a faciliùs $ponte $uâ flectitur circa me- dium (id quod breviori non accidit) indicio e$t obicem reti- nentem magis premi; idem igitur & axi libræ contingere po- te$t, cujus pre$$io major e$$e videtur ex longioribus brachiis, etiam$i in cæteris nullum intercedat di$crimen. Sic Ari$tote- les quærit quæ$t. 27. Mechan. <I>Cur $i valde procerum fucrit idem pondus, difficiliùs $uper humeros ge$iatur, etiam $i medium qui$piam illud ferat, quam $i brevius $it?</I> cujus difficultatis cau$am ille tri- buit validiori vibrationi extremitatum magis di$tantium ab hu- mero $u$tinente: $ed hoc non ni$i in motu contingit, & cùm flexile e$t pondus, cuju$mcdi e$$et longior ha$ta aut bractea ferrea mediocris cra$$itiei. Certè longiori columnæ marmoreæ jacenti, cujus medio recens fulcrum $ubjectum fuit, jam pu- tre$centibus extremis fulcris, $ua longitudo obfuit, ut frange- <pb n=287> retur: id quod æqualis ponderis columnæ breviori ex graviore $ecundum $peciem marmore non ita facilè accidi$$et: non ni$i quia gravitas magis à fulcro di$tans plùs habet momenti, etiam- $i non contingat vibratio corporis, quemadmodum in motu. <p>Illud po$tremò non omittendum, quod ad lingulam perti- net, hanc enim longiu$culam e$$e præ$tat, quàm brevem, ut vel levi inclinatione libræ, apex lingulæ magis con$picuo mo- tu extra an$am ad latus $ecedat, & $ublatum æquilibrium indi- cet. Dum tamen lingulæ longitudinem affectas, cavendum, ne illa momentum addat $uâ gravitate brachio, quod inclina- tur; quamvis enim hoc nihil referat, ubi $ublatum horizontale æquilibrium indicatur; in librâ tamen, quæ in æquilibrio obli- quo pote$t con$i$tere, videretur indicare majorem ponderum inæqualitatem, quàm revera $it. Cæterùm communiter libræ hoc periculo vacant; $ola enim ponderum æqualitas horizonta- li æquilibrio inquiritur, non ponderum Ratio obliquo æquili- brio inve$tiganda proponitur: quare communiter nil de lingu- læ gravitate timendum e$t, quod nos $olicitos habeat. <p>Quare præter exqui$itam brachiorum æqualitatem, & accu- ratam lingulæ cum ip$o jugo po$itionem ad angulos rectos, ad libram exacti$$imam con$tituendam concurrunt brachiorum & lingulæ longitudo, jugi & lancium modica gravitas, axis $ub- tilitas, $parti & jugi quàm maxima propinquitas, & ip$ius $parti infrà jugi lineam po$itio. Quæ tamen omnia cum rectâ ratione $unt admini$tranda, ut ponderibus examinandis pro- portione re$pondeant libræ partes; majoribus enim $arcinis va- lidior axis, & cra$$iora libræ brachia conveniunt; & $ic de reliquis. <HR> <C>CAPUT VII.</C> <C><I>Libræ dolo$æ vitia reteguntur.</I></C> <p>LIbram dolo$am voco, quæ $olitariè accepta $inè ponderi- bus ju$ta apparet, & æquilibrium o$tentat, re tamen verâ inju$ta e$t, quia adnexis ponderibus $uo æquilibrio non tribuit <pb n=288> æqualitatem, vel quia ponderum æqualitatem non indicat ve- to æquilibrio. Quare nullus mihi $ermo de iniquorum vendi- torum $ycophantiis, quibus, ju$tam licèt libram adhibentes, rudem ac $implicem emptorem circumveniunt, aut imprimen- do impetum $ur$um brachio, cui legitimum pondus adnectitur, ut merx præponderare videatur, aut ponderibus iniquis & ju$to minoribus utendo, aut $ubjectam men$am, cui lanx mercis in- cumbit, materiâ aliquatenus tenaci illinendo, ut $ublatâ in aërem librâ priùs attollatur lanx ponderis quàm mercis, quæ omninò præponderans apparet, $i libra $partum habeat infra jugum, aut $imiles impo$turas excogitando: $ed de illis tantum deceptionibus agendum, quæ ex ip$ius libræ con$tructione, aut po$itione ortum habere po$$unt. <p>Et primò quidem $e offert dolus, cujus meminit Ari$toteles quæ$t.1.Mechan. familiaris eo tempore vendentibus purpuram, & ea, quorum modica quantitas pretium exigebat non contem- nendum: hi enim librâ utebantur, quæ brachiis non omninò paribus con$tabat, ita tamen, ut hæc inæqualitas non $e oculis $tatim proderet. Ut autem lateret dolus, $capum $eu jugum libræ ex ligno con$truebant, cujus partes omnes non eandem $pecificam gravitatem obtinerent, quamvis nulla $ecundùm molem diver$itas intuenti occurreret: quia enim nodi, & partes radici propiores, ut potè magis den$æ, graviores $unt, quàm reliquæ partes à radice remotiores & nodis carentes, partem il- lam graviorem breviori brachio tribuebant, vel $i materia pla- nè uniu$modi e$$et, & æquabili gravitate prædita, breviori brachio aliquid plumbi infundebant, ut materiæ gravitate mo- mentum, quod ratione po$itionis deerat, $upplente, appareret æquilibrium lancium in vacuâ librâ. Sed ubi demum merx lanci longioris brachij imponebatur, hæc erat ju$to minor, quamvis cum oppo$ito pondere e$$et æquilibris; non enim erat illi æqualis, $ed in Ratione reciprocâ longitudinis brachij mi- noris ad longitudinem majoris. Hûc $pectat inæqualitas bra- chiorum orta ex eo, quòd jugi ferrei pars altera ex validiore, & diuturniore percu$$ione mallei facta den$ior, etiam gravior e$t; nam puncto longitudinem jugi bifariam dividenti non re$pon- det centrum gravitatis; $ed recedit à medio versùs extremita- tem den$iorem, atque graviorem; ac proptereà, ut æquili- <pb n=289> brium appareat, centrum motûs inæqualiter dividit longitudi- nem jugi. Similiter $i jugi quidem materia æquabiliter $it gra- vis, $ed brachiorum inæqualitatem $uppleat lancium gravitas reciprocè inæqualis; æquilibris erit libra vacua; $ed damno emptoris merx longiori brachij adnectitur. Quare ut pateat dolus, facto æquilibrio inter mercem ac pondus, $tatim com- muta lances, & pondus majus ex longiore brachio multò plus habebit momenti, quàm merx ex brachio breviore: idcircò, $i ex pondere dematur, quantùm $atis $it ad æquilibrium cum merce iterum $tatuendum, plus mercis habebit emptor, quàm pro oppo$iti ponderis men$urâ. <p>Secundò $it jugi materia planè æquabilis, & ab axe jugum dividatur omnino bifariam: $ed puncta contactuum annulo- rum, ex quibus pendent lances, non æqualiter di$tent à me- dio: etiam$i lancis propioris gravitas $uppleat momentum, quod dee$t ratione $itûs, & æquilibris appareat libra vacua, non ta- men æqualia pondera lancibus impo$ita con$tituent æquili- brium, $ed illud gravius apparebit, quod ex di$tantia majore appendetur: & $i pondera æquilibrium faciant, inæqualia erunt reciprocè juxtà Rationem inæqualitatis di$tantiarum à medio. Similiter igitur facto ponderum æquilibrio, lances commuta, & quidem $i po$t commutationem iterum æquili- brium fiat, ju$ta e$t libra, $ecùs verò $i alterum gravius appa- reat, quod priùs æquale videbatur. <p>At quæris, quá methodo po$$is deprehendere, quanta $it bra- chiorum inæqualitas, quando quidem non habetur æquili- brium po$t factam lancium commutationem, & planè ignora- tur, quanta $it mercis gravitas. Ut quæ$tioni $atisfaciam, acci- pio legitima pondera, & primùm facto æquilibrio ob$ervo legi- timi ponderis quantitatem: Commuto deinde lances, & cum non fiat æquilibrium cum eâdem merce, tantum accipio legi- timi ponderis, quantum requiritur ad æquilibrium. Demum inter hæc duo pondera legitima invenio terminum medio loco proportionalem, & hoc e$t mercis pondus, quod collatum cum alterutro ex legitimis ponderibus dat reciprocè longitudinis brachiorum Rationem. Hanc methodum e$$e certam patet, quia cum bis fiat æquilibrium, bis inter pondera e$t eadem Ra- tio reciproca brachiorum. Sint brachia, quæ brevitatis gratia <pb n=290> vocemus R & S; igitur ut R ad S ita primum pondus legiti- mum in S ad mercem in R: & factâ commutatione ponitur merx in S, & iterum fit ut R ad S, ita reciprocè merx eadem in S ad $ecundum pondus legitimum in R: igitur, per 11.lib.5. ut primum pondus ad mercem, ita merx ad $ecundum pondus: $unt autem nota duo pondera legitima; igitur & innoteicit mer- cis gravitas: quæ $i comparetur ut con$equens terminus cum primo pondere, aut ut Antecedens cum $ecundo pondere, ha- bebitur Ratio R ad S. Sit itaque ex. gr. in primo æquilibrio primum pondus legitimum unc. 72, in $ecundo æquilibrio $e- cundum pondus legitimum $it unc. (69 18/100). E$t ergo merx me- dio loco proportionalis unc. (70 576/1000); ac propterea R ad S e$t ut 72 ad (70 1576/1000), aut ut (70 576/1000) ad (69 18/100), hoc e$t ut 4500 ad 4411. Sit demum totius jugi longitudo di$tincta in partes 200: addantur termini Rationis inventæ, & fiat ut 8911 ad 4411 ita 200 ad 99, & hæc e$t longitudo brachij brevioris, erit au- tem longioris brachij longitudo partium 101: di$tat ergo $par- tum à puncto medio per unam ducente$imam partem totius ju- gi. Quòd $i res $ubtili$$imè ad calculos revocanda e$$et, hujus ducente$imæ partis gravitas, quæ e$t $emi$$is gravitatis diffe- rentiæ brachiorum e$$et computanda, atque $ubducenda, vel addenda, ut mercis pondus exqui$itè innote$cat. <p>Tertiò. Accidere pote$t lingulam ex medio libræ $capo a$- $urgere ad angulos rectos, lineamque lingulæ tran$euntem per centrum motûs ita occurrere lineæ jungenti puncta, ex quibus lances pendent, ut eam bifariam æqualiter dividat, in eam ta- men ad angulos inæquales cadat. Aio nec brachia e$$e verè æqualia, nec lingulam, quamvis an$æ congruens videatur, in- dicare æquilibrium horizontale, e$$e veram lingulam, etiam$i pondera in eo æquilibrio con$i$tentia $int æqualia, & non in Ratione brachiorum. <p>Sit $capus libræ AB, ex quo perpendicularis a$$urgat lingula <FIG> CD, & ex D per O centrum mo- tûs ducta recta linea occurrat li- neæ SV jangenti extrema puncta, ex quibus lances pendent, eam- quc bifariam dividat in I: $ed quo- niam punctum S e$t paulò altiùs <pb n=291> quàm punctum V, fiat angulus SIO minor, & VIO major. Dico lineam SV e$$e quidem jugum, $ed brachia non e$$e æqua- lia, non enim $unt IS & IV: quandoquidem ductis rectis OS & OV, e$t libra curva SOV latera habens inæqualia, SO minus, & VO majus. Nam in triangulis SIO, VIO latus IS ex hypothe$i e$t æquale lateri IV, latus IO commune e$t, angulus SIO e$t ex hypothe$i minor, quàm angulus VIO; ergo per 24.lib.1. ba$is SO minor e$t ba$i VO. Igitur ex O perpendicularis linea cadens in jugum SV dividit illud in bra- chia inæqualia, & perpendiculum ex O cadit inter S & I, pu- ta in H, quia ex hypothe$i angulus SIO e$t acutus. Vera igitur lingula non e$t ID, $ed linea, quæ ad angulos rectos in$i$tens jugo SV ex H per O ducitur. Quare $i CD con- gruit an$æ perpendicularis horizonti, jugum SV non e$t ho- rizonti parallelum, non e$t igitur æquilibrium horizontale, $ed obliquum: quia tamen e$t I centrum commune gravitatis pon- derum æqualium in S & V, ac per illud tran$it perpendicu- lum ex O cadens in horizontem, proptereà po$$unt e$$e ponde- ra æqualia, & æquilibrium o$tendere, quod modicá obliquita- te inclinatum mentiatur æquilibrium horizontale. At $i alia fieret hypothe$is, $cilicet lineam jugi SV non dividi æqualiter, pondera non e$$ent æqualia, $ed e$$ent reciprocè in Ratione motuum, quos perficere po$$ent extremitates S & V, juxta $u- periùs dicta cap. 4. hujus lib. 3. <p>Vitium igitur hujus libræ non in eo con$i$tit, quòd ponde- ra non $int æqualia, $ed quòd indicet æquilibrium horizontale, cum $it obliquum, & pondera æqualia nunquam po$$int ad æquilibrium horizontale devenire; ut enim hoc fieret, ponde- ra e$$e oporteret inæqualia reciprocè in Ratione brachiorum SH & HV. Quòd $i contingat punctum O centrum motûs, e$$e idem cum puncto I, pondera æqualia verè habebunt æqui- librium horizontale; $ed lingula CD declinabit ab ansâ, qua$i æquilibrium non e$$et. Libræ huju$modi vitium deprehendi non pote$t ponderum commutatione in lancibus; quia cùm æqualia ex hypothe$i $int pondera, eadem utrobique habent momenta, $ervant quippè eamdem di$tantiam, & æqualiter $unt ad motum di$po$ita. Rarò tamen continget jugum SV planè æqualiter dividi à lineâ lingulæ ad angulos obliquos in- <pb n=292> cidente, quæ tamen ad $capum perpendicularis appareat: proptereà facta ponderum in lancibus commutatione prodet $e momentorum inæqualitas. <p>Quartò. Libra, quam diuti$$imè ju$tam expertus es, pote$t momento à $ua ju$titiâ deficere, $i vel modicum inflectatur al- terutrum brachiorum, vel $i utrumque non æqualiter flectatur; hinc enim oritur brachiorum inæqualitas; quam deprehendes commutatis ponderibus in utrâque lance; quæ $cilicet æquili- brium con$tituebant propter reciprocam Rationem brachio- rum, quibus adnectebantur, non ampliùs eandem $ervant in aliâ po$itione Rationem. <p>Quintò. Axis, qui duobus in punctis contingat ($cio con- tactum fieri in linea; $ed puncta a$$umo in ip$is lineis, per quæ tran$it planum perpendiculare ad horizontem, in quo e$t linea jugi) vel quia ip$e e$t angulatus, vel quia foramen, cui in$eri- tur, non exqui$itè rotundum, quâ $altem parte fit contactus, libram con$tituit dolo$am: quia videlicet duo illa puncta axis perinde $e habent, ac $i duo e$$ent centra motûs. Manife$tum e$t autem eandem jugi lineam non po$$e in duobus punctis æqualiter dividi. Tripliciter pote$t hoc fieri. Primò unum ex his punctis pote$t exactè re$pondere medio jugi; $ecundò po- te$t utrumque hoc punctum æqualiter à medio jugi di$tare; Tertiò po$$unt ab eodem medio hinc & hinc inæqualiter di$tare. <p>Sit linea jugi AB, cujus medium C: puncta contactuum axis, ex quibus ad jugum ducitur perpendicularis, ea $int pri- mò, ut re$pondeant in jugo punctis <FIG> C & D. Si lanci in B imponatur le- gitimum pondus, tùm in A ponatur merx u$que ad æquilibrium, à quo proximè recederet, $i aliquid am- plius mercis adderetur, fiet æqualitas, quia ex C puncto æqua- liter ab extremitatibus di$tante fit $u$pen$io libræ. At $i po$itâ primùm merce in A, deinde legitima pondera addantur in B, utique plura pondera, quàm par $it, addentur: quia videlicet non inclinabitur libra infrà B, ni$i ponderum ad mercem Ra- tio excedat Rationem reciprocam brachiorum AD ad DB; e$t enim D qua$i centrum motûs. <pb n=293> <p>Deinde puncta illa contactuum axis po$$unt re$pondere jugi punctis E & D æqualiter à medio C di$tantibus: & tunc, ut tollatur æquilibrium, nece$$e e$t tantum ponderis uni lanci ad- dere, ut pondera $int in majori Ratione, quàm $it Ratio reci- proca brachiorum; erit $i quidem extremitas A proxime di$po- $ita, ut facto additamento gravitatis inclinetur, $i fuerit ut BE ad EA, ita pondus in A ad pondus in B; & vici$$im extremitas B erit proximè di$po$ita, ut auctà gravitate inclinetur, $i ut AD ad DB ita pondus in B ad pondus in A. Quia autem ex hypo- the$i DC & EC æquales $unt, etiam re$idua EA & DB æqua- lia $unt, item AD & BE: quapropter ut AD ad DB, ita BE ad EA; ex quo con$equens e$t ex $olâ lancium commutatione ($i centrum motûs modò $it D, modò $it E) non po$$e digno$ci hoc libræ vitium, $icut digno$ceretur in primo ca$u, $i ut AD ad DB, ita pondus in B ad pondus in A; factâ enim lancium commutatione, pondus ex B in A tran$latum præponderaret ex centro motûs C, cum tamen in priori po$itione circa cen- trum motûs D non tolleret æquilibrium. <p>Similiter in tertio ca$u, quando puncta contactuum axis e$- $ent F & D à medio C inæqualiter di$tantia, & ut AF ad FB, ita pondus in B ad pondus in A daret æquilibrium; factá pon- derum in lancibus commutatione non maneret æquilibrium, quia pondus tran$latum in B ad pondus tran$latum in A po$t hanc commutationem adhuc e$$et ut BF ad FA; $ed ad æqui- librium circa D centrum motûs deberet e$$e ut AD ad DB, e$t autem BF prima major, quàm AD tertia, & FA $ecunda minor e$t, quàm DB quarta; igitur e$t major Ratio BF ad FA, quàm AD ad DB: igitur pondus, quod priùs erat in B, tran$la- tum in A impar e$t ad æquilibrium con$tituendum. <p>Ad digno$cendum, an libra hoc vitio laboret, uti poteris hac methodo. Lancibus impone pondera, ut fiat æquilibrium: tùm lances commuta; & $iquidem iterum fiat æquilibrium, adde alteri lanci aliquid ponderis, à quo $i libra inclinetur, aufer ad- ditum pondus, & oppo$itæ lanci impone; quæ $i per$i$tat non inclinata, adde adhuc pondus, quantum ferre pote$t citrà in- clinationem: iterum commutatis lancibus, nullo pacto manere æquilibrium videbis, & indicio erit contactum axis fieri in duobus punctis, quorum alterum re$pondet medio jugi $iqui- <pb n=294> dem in primâ lancium commutatione man$it æquilibrium; & e$t primus ca$us. Quòd $i facto æquilibrio, alterutri lancium addas pondus, & æquilibrium maneat, adde quantum $atise$t, ut libra $it proximè inclinanda in eam partem, $i adhuc pondus adderetur, tùm oppo$itæ lanci $imiliter additum pondus $i non tollat æquilibrium, indicat inter puncta contactuum axis e$$e medium punctum C, quod bifariam dividit jugum: & videbis po$$e $ine $ine alternis additamentis augeri pondera $ingularum lancium, quia commune centrum gravitatis modò migrat ad unum punctum contactûs, modò ad aliud extremum. Sed ad interno$cendum, utrùm puncta hæc æqualiter, an inæqualiter à puncto C medio di$tent, ob$erva additamenta illa, æqualia ne $int? an inæqualia? Nam ut centrum gravitatis migret ex D in E, & iterum ex E in D, æqualia addenda $unt primùm in B, deinde in A, pondera. At ut migret gravitatis centrum ex D in F, plus addendum e$t ponderis in A, quàm addatur in B, ut migret ex F in D; quia $cilicet B magis di$tat à D centro mo- tús, quàm A di$tet ab F centro motûs: igitur plus ponderis ad- dendum e$t in A, ut habeat momentum æquale momento pon- deris additi in B. Hoc vitium minoribus libris, quarum exilis e$t axis, non facilè inerit; majores libræ, quæ cra$$iori axe in- digent, illi obnoxiæ e$$e po$$unt, ni$i artificis indu$tria in eo ex poliendo $olicita fuerit. Sed quid $i axis, quâ parte contingit, in angulum $implicem de$inat, non tamen in eum cadat per- pendicularis linea lingulæ, quæ jugum bifariam dividit? Jam con$tat à centro motûs dividi jugum in brachia inæqualia, ac proptereà æquilibrium horizontale e$$e non po$$e, inter pon- dera verè æqualia. <p>Sextò. Si libra exacti$$imè habens brachia æqualia, & lin- gulam perpendicularem, & lances æquales, & funiculorum pondera æqualia, habeat tamen funiculum alterum altero lon- giorem, incumbátque plano horizontali, impo$itis æqualibus ponderibus non apparebit æquilibrium, $i centrum motûs fue- rit in medio jugi puncto, vel infrà illud; $ed ad illam partem inclinabitur, quæ breviorem funiculum habuerit. Hoc ideò accidit, quia libram attollens extendit breviorem funiculum longiori adhuc langue$cente, ac proinde pondus huic lanci im- po$itum non re$i$tit $ur$um trahenti, ni$i cum funiculus i$te <pb n=295> fuerit extentus: quare libræ jugum ex hâc parte a$cendit $ine re$i$tentiâ, dum ex alterâ, quæ funiculum habet breviorem, invenit re$i$tentiam; atque alterâ extremitate manente, alterâ a$cendente, jugum inclinatur, extento demùm utroque funi- culo lanx utraque attollitur. Sed quia ex hypothe$i omnia $unt æqualia, vel remanet jugum in eâdem po$itione inclinatum, $i punctum libræ brachia di$terminans congruat centro motûs, vel pars inclinata ulteriùs de$cendit, $i $partum $it inferiùs po- $itum. <p>Hinc pondera apparent inæqualia, quamvis verè æqualia $int; & non rarò accidit monetas aliquas aureas tanquam le- ves rejici, quamvis reverâ $int ju$ti & legitimi ponderis; quia lancis, cui imponuntur, funiculus longior e$t, & libra ad hanc partem, in quâ e$t pondus, inclinatur; ideóque tribuitur mo- netæ levitas, quia libra vacua in aëre $u$pen$a ju$ti$$ima appa- ret. Vici$$im igitur pote$t fieri, ut moneta levis appareat præ- ponderans, in librâ $partum inferiùs habentè, $i moneta levis fuerit impo$ita lanci, cujus funiculus brevior e$t; factâ $cilicet jam jugi ad hanc partem inclinatione, cum po$tea lanx utra- que à plano $eparatur, legitimum pondus, quod gravius qui- dem e$t, non pote$t de$cendere, ni$i attollat oppo$itam lan- cem, cujus a$cendentis motus major e$$e deberet motu legitimi ponderis de$cendentis; ac proptereà ni$i $it major Ratio pon- deris ad monetam, quàm motûs monetæ a$cendentis ad motum ponderis de$cendentis, moneta videbitur præponderans: & tanti$per latebit dolus, dum facta fuerit in lancibus ponderis, & monetæ commutatio: apparebit $iquidem levius id, quod in lance pendet ex funiculo longiore. Quòd $i libra huju$modi funiculis inæqualibus in$tructa $partum haberet in loco $upc- riore, initio quidem impo$ita æqualia pondera apparerent in- æqualia, quia non viderentur æquilibria, $ed demùm $e libra in æquilibrio con$titueret, $i verè omnia æqualia $int, ut fert hy- pothe$is. At $i, ut non paucis venditoribus vulgare e$t, ita li- bra $it con$tituta, ut lanx altera, cui legitimum pondus impo- nitur juxtà quæ$itam mercis quantitatem, $ubjecto piano in- $i$tat, altera merci de$tinata in aëre pendeat, lingulâ an$æ congruente, quæ æquilibrium o$tendit; $it verò funiculus lan- cis plano incumbentis forta$sè non $atis extentus (quia ita con- <pb n=296> textus, ut majore vi extendatur, quâ ce$$ante $e iterum con- trahat) merx videbitur præponderans, etiam$i non $it major legitimo pondere; quia deor$um $uá gravitate connitens, dum pondus ex alterâ parte re$i$tit, inclinat lingulam, & oppo$itz lancis funiculum extendit. <p>Septimò. Ex ip$o plano, cui libra incumbit, antequam at- tollatur, oriri pote$t fallacia æqualibus ponderibus inæqualita- tem tribuens, etiam$i nullum libræ in$it vitium aut ratione in- æqualitatis brachiorum, aut ratione lingulæ perperam inclina- tæ ad jugum, aut ratione axis angulati, aut ratione funiculo- rum inæqualium. Nam $i planum ab horizonte deflectat, & ad illum inclinetur; cùm ad perpendiculum an$a attollitur, funi- culi pariter horizonti perpendiculares intelliguntur, & quia æquales $unt, jugum libræ e$t parallelum plano, ac proptereà perpendiculum an$æ ad angulos inæquales incidit tùm in ju- gum libræ, tùm in planum inclinatum; lingula igitur, quæ ju- go in$i$tit ad angulos rectos, declinat ab ansâ, & $ublatâ in aërem librâ, inclinatur lingula ad depre$$iorem plani partem, manetque inclinata, quamvis pondera æqualia $int, $i centrum motûs & punctum brachia di$terminans in codem puncto con- veniant; $i verò $partum inferius $it, adhuc magis inclinatur, videturque lanx illa omninò præponderans: at $i $partum in $u- periore loco fuerit, libra primùm inclinata, demùm in aëre $u$- pen$a ad æquilibrium horizontale veniet. <p>Octavò. Si contingat ita pondus in lance collocari, ut ip$ius ponderis $ingulare centrum gravitatis non omninò in eodem perpendiculo $it cum puncto jugi, ex quo lanx illa dependet, æquilibrium non indicabit æqualitatem ponderum in utráque lance po$itorum: Nam $i linea directionis per huju$modi cen- trum gravitatis tran$iens incurrat in jugi punctum, quod $it centro motûs vicinius, quàm punctum extremum brachij, op- po$itæ lancis pondus erit minus; $in autem occurrat lineæ jugi (quæ producta intelligitur) remotiùs à centro motûs, oppo$itæ lancis pondus erit majus; quia $cilicet hæc centri gravitatis ponderis collocatio perinde $e habet, atque $i brachium illud aut imminutum $it, aut auctum: quapropter etiam pondera æquilibria $unt in Ratione reciprocâ brachiorum, ut ex $æpius dictis liquet. Hinc $i pondus præter opinionem gravius aut le- <pb n=297> vius appareat, eju$que pars maxima extrà lancem extet, illud aliter in lance di$pone, ut centro gravitatis ponderis facilè im- mineat punctum jugi, ex quo lanx illa $u$penditur; & tunc certior fies, an verè gravitas illa ponderi in$it, an verò irrep- $erit fallacia ex ineptâ ip$ius ponderis po$itione priori. Hoc tamen intellige, quando ex huju$modi po$itione $equeretur in- æqualis velocitas motuum oppo$itorum ponderum. <HR> <C>CAPUT VIII.</C> <C><I>Stateræ natura & forma explicatur.</I></C> <p>HActenùs de librâ $ermo fuit, in quâ, cum brachia æqua- lia $int, legitimum pondus e$t æquale gravitati rei, cujus quantitatem ex gravitate inve$tigamus: & quidem quando exi- gua, vel etiam mediocria $unt pondera, res commodè huju$- modi bilance perficitur; at ubi ingentium $arcinarum quanti- tas examinanda e$t, prorsùs incommodum e$$et opportunas bi- lances aut habere, aut adhibere: quot enim & quanta pondera parare oporteret, ut centenas aliquot fæni libras, $eu mercato- rios fa$ces, $eu $accos farinæ plenos expenderemus? & ex alio in alium locum $i transferenda e$$et libra cum legitimis ponde- ribus tantæ gravitatis, nonne opus e$$et plau$tro, ut tàm in- gens onus in de$tinatum locum tran$veheretur? Quare Statera excogitata e$t tanquam libra brachiorum inæqualium, in quâ pondus minus longiori brachio adnexum æqualia habet mo- menta cum majori pondere, quod ex breviore brachio $u$pen- ditur. Sed ne varia pondera in promptu habere cogeremur, quæ longioris brachij extremitati adnecterentur, pro variâ oneris gravitate explorandâ, $apienti$$imè à majoribus $ta- tera con$tructa e$t quæ eodem æquipondio modò in majo- re, modò in minore di$tantiâ à centro motûs, æquilibrium con$titueret. Ex quo fit $tateram eandem vires $ubire plu- rium librarum, prout plura longioris brachij puncta percur- rit æquipondium; mutantur $iquidem Rationes di$tantiarum ponderum, manente eâdem mercium à $parto di$tantiâ, ac <pb n=298> proinde etiam idem æquipondium variam habet Rationem ad merces inæquales. <p>Sunt autem $tateræ partes Jugum, An$a, Uncus aut lanx, Æquipondium, quod aliis Sacoma, aliis Cur$orium dicitur. Jugum e$t, quod in partes inæquales divi$um ab axe, qui An- $æ in$eritur, definit Rationem ponderum, quæ momentis æqualibus librantur. An$a e$t, ex quâ $u$penditur $tatera, ut liberè utramque in partem ver$etur. Uncus, aut lanx, oneri $u$tinendo de$tinatur; quæ enim facilè molem unam efficiunt, po$$unt ex Unco $u$pendi; $ed quæ ex pluribus non facilè in unam molem coëuntibus con$tant, lance $ubjectá recipi oporter. Æquipondium e$t certæ gravitatis pondus, ex quo oppo$itæ gravitatis Ratio innote$cit. <p>Sit AB jugum ab axe inæqualiter in C divi$um, $itque CA brachium minùs, cujus extremitati A catena aut funis adnecti- <FIG> tur cum unco aut lance E, & CB brachium majus, cujus longitu- dinem pro opportunitate percurrit æquipondium F. An$a re$pondens lingulæ CD, ip$ius axis extremi- tates recipit, ut facilè convolvi po$$it. In minoribus & mediocri- bus $tateris lingula cra$$iu$cula ad- ditur, quæ an$æ intercapedinem ita impleat, eíque congruat, ut tamen nullo partium conflictu impediatur motus; in majori- bus & longioribus $tateris aliquando lingula omittitur, vel quia $partum e$t infrà rectam lineam jugi, quod non ni$i horizonta- liter con$i$tit, vel quia $i $partum e$t in $uperiore loco, non multùm à vero pondere aberrare permittit ip$a brachij longitu- do, quæ facilè prodit paralleli$mum aut inclinationem ad ho- rizontem; mediocris autem error in mercibus, quæ huju$modi magnis $tateris expenduntur, neque emptori, neque venditori incommodo e$t; quapropter in iis $ubtilitatem $crupulosè per- $equi inutile e$t, & ineptum. Quæ in librâ circà Axem, lin- gulam, An$am ob$ervanda monuimus, $tateræ pariter commu- nia $unt, neque hîc iterum inculcanda. <p>Poti$$imum, quod in $taterâ ob$ervandum e$t, pertinet ad divi$ionem longioris brachij in minutiores particulas, ut exqui- <pb n=299> $itiùs innote$cat Ratio mercis ad æquipondium, quæ denota- tur ab inci$is in brachio notis indicantibus Rationem brachij longioris ad brevius; e$t $cilicet minoris brachij longitudo transferenda in alterum brachium, quoties fieri pote$t; & quia hoc longius produci pote$t infinitè, proptereà $tatera vocari pote$t libra qua$i infinita brachiorum inæqualium. Sic di$tan- tia AC tran$lata in brachium CB ex. gr. quater, facit ut pon- dus in E po$$it e$$e quadruplum æquipondij F, $i æquipondium $it in extremitate B: quia, ut dictum e$t de librâ brachiorum inæqualium, ut AC ad CB, ita pondus in B ad pondus in A: & $ æquilibrium contingat $acomate exi$tente in G, erit ut AC ad CG ita Sacoma in G ad pondus in E. <p>Hîc animad vertendum e$t di$tantiam AC, $i $it valdè nota- bilis, capacem e$$e multiplicis divi$ionis, ac proptereà æqua- lem partem HG po$$e $ubtiliùs dividi, ut non $olùm uncias, $ed & unciæ quadrantes, aut etiam drachmas o$tendat, $i tran- $itus ex H in G $it nota unius libræ. Verum e$t in brachio CB huju$modi majores partes minori brachio æquales non multas e$$e po$$e: $ed huic malo occurritur in adversâ parte jugi; con- ver$a enim $tatera aliam habet an$am, puta SV, quæ minùs di$tat ab extremitate A; hæc autem di$tantia $æpiùs iterata plu- res exhibet partes, & factâ $u$pen$ione VS, æquipondium in extremitate B po$itum æquilibratur cum majori pondere, quàm cùm ex DC $tatera $u$penditur; e$t $cilicet major Ratio BS ad SA, quàm BC ad CA; nam ad eandem CA, majorem Ratio- nem habet BS major, quàm BC minor, & eadem BS majo- rem Rationem habet ad SA minorem, quàm ad CA majorem ex 8 lib. 5. manife$tum e$t igitur majorem e$$e Rationem BS ad SA, quàm BC ad CA. Si igitur pondera $unt reciprocè ut brachiorum longitudines, idem æquipondium in extremitate B po$itum minorem habet Rationem ad pondus in A, quando brachia $unt BS & SA, quàm cùm brachia $unt BC & CA: ac propterea tunc pondus in A e$t majus. <p>Verùm hactenùs de $taterâ perinde locutus $um, ac $i nulla illi ine$$et gravitas; quæ tamen omninò contemnenda non e$t, quantumvis minuta $it ip$a $tatera atque exilis, hac enim mi- norum ponderum gravitatem $crupulo$iùs exploramus: ideò autem gravitatem à materiâ mente præcidere $atius duxi, ut <pb n=300> $tatim appareat vis momentorum, quæ pro variâ di$tantiâ obti- net æquipondium; prout ad majorem, aut ad minorem motum comparatè cum motu ponderis in A, e$t di$po$itum. Cæterùm pondus in A, quod æquilibrium facit cum $acomate F, majus e$t quàm pro Ratione di$tantiarum reciprocè $umptâ; quia vi- delicet ip$ius brachij longioris gravitas $ua habet momenta ma- jora momentis brachij brevioris, ac propterea præter pondus, quod Sacomati re$pondet, addendum e$t etiam pondus, quod re$pondeat exce$$ui momentorum brachij majoris $uprà mo- menta brachij minoris. Cùm itaque ex dictis cap.2. hujus lib. momenta brachiorum $ingulorum perinde $e habeant, atque $i $emi$$is gravitatis $ingulorum e$$et in extremitatibus, po$ito jugo æquabilis cra$$itiei, $i nota $it totius jugi gravitas, & bra- chiorum Ratio, $ingulorum quoque gravitas innote$cit; cujus $emi$$is per $ibi congruum terminum Rationis ductus exhibet $ingulorum momenta. Sit AB jugum lib.5. unc.10, hoc e$t omninò unc.70: Ratio AC ad CB $it ut 2 ad 5; igitur gravi- tas AC e$t unc. 20, & CB unc.50: $emi$$is AC unc.10 ductus per 2 (qui e$t terminus Rationis illi congruens) dat momen- tum 20: $emi$$is CB unc. 25 ductus per 5, dat momentum 125: differentia momentorum e$t 105 dividenda per terminum Ra- tionis congruum di$tantiæ AC, videlicet per 2: Quare ut fiat æquilibrium cum $olâ gravitate brachij longioris, addendæ $unt extremitati A unciæ 52 1/2: igitur adddito $emi$$e gravita- tis AC, intelliguntur in A unciæ 62 1/2; & in B unciæ 25: $unt autem 62 1/2 ad 25, ut 5 ad 2, quæ e$t Ratio reciproca brachio- rum. Quare $i jugum AB æquabile $it, ut fert hypothe$is, & in extremitate B $it Sacoma lib.2, pondus in A (computatâ etiam gravitate catenæ & unci AE) non erit $olùm lib.5. ut exigit Ratio longitudinis brachiorum, $ed prætereà unc.52 1/2, hoc e$t omnino lib.9. unc.4 1/2. <p>Quia verò aliquando accidit properatâ ad $ubitum u$um $ta- terâ uti, videlicet cra$$iore tigillo, cujus gravitas non e$t planè contemnenda, $ed valdè notabilis; proptereà hîc brevem praxim adjicere placet, quæ etiam minùs peritis u$ui e$$e po$$it, ut $tatim inveniant gravitatis quantitatem, quæ $oli gravitati brachij longioris re$pondet. Sit tigillus AB, in quo intelliga- <pb n=301> tur ip$i AC brachio minori æqualis pars CH; e$t igitur bra- chiorum differentia HB. Ponamus totam jugi longitudinem e$$e di$tinctam in partes 22, quarum AC $it 4, CB 18, ac dif- ferentia HB 14. Sit verò tigilli pondus lib.84, cujus $emi$$em lib.42 accipio. Tum fiat ut longitudo brachij minoris 4 ad dif- ferentiam brachiorum 14, ita $emi$$is gravitatis jugi lib.42 ad aliud, & provenient lib.147 addendæ brachio minori, ut fiat æquilibrium cum $olâ gravitate longioris. Sic in $uperiore exemplo, ubi brachia erant ut 2 ad 5, differentia 3, pondus ju- gi unc.70, cujus $emi$$is unc.35; fiat ut 2 ad 3, ita unc.35 ad uncias 52 1/2, quod e$t pondus ibi inventum pluribus calculis. Ex his infertur jugum æquabilis cra$$itiei $i $u$pendatur ex quartâ parte $uæ longitudinis, $u$tinere $inè æquipondio pon- dus additum minori brachio, cujus gravitas æqualis $it gravita- titotius jugi. Si ex $extâ parte $u$pendatur, $u$tinet pondus duplex gravitatis ip$ius jugi: $i ex octavâ parte, $u$tinet pon- dus triplex gravitatis jugi; $i ex decima parte, $u$tinet pondus quadruplex; $i ex duodecimâ, $u$tinet pondus quintuplex, & fic deinceps. <p>Ut igitur ex ratione & certâ methodo con$trueretur $tatera exqui$itè di$tincta in $uas particulas, oporteret brachium mi- nus cum adnexis appendiculis, catenâ, unco, $eu lance, tantæ gravitatis e$$e, ut cum $olâ longioris brachij gravitate æquili- brium con$titueretur: tùm di$tantia inter punctum, ex quo onus $u$penditur, & centrum motûs transferenda e$$et ex eo- dem centro motûs in brachium longius, quoties fieri po$$et, & $ingula intervalla in certas partes minores dividenda, vel pro libito vel (quod magis rationi congruum e$t) in partes pro- prias men$uræ, quæ adhibetur, ut $i libra $it in uncias, $i un- cia, in drachmas. Hoc autem pendet ex gravitate $acomatis, quod eligitur: nam $i libram unam pendat unà cum $uo annu- lo æquipondium, tot erunt ponderis libræ, quot partes minori brachio æquales intercipiuntur inter $partum & ip$um æqui- pondium: at $i bilibre $it $acoma, jam partes illæ a$$umptæ æquales minori brachio $unt bifariam dividendæ, ut $ingula- rum librarum notæ in jugo habeantur. Quod $i con$tructá jam hoc modo $taterâ, & majoribus partibus di$tinctis in particulas ex libito a$$umptas, velis apponere æquipondium majus, quàm <pb n=302> fortè ab artifice de$tinaretur, licebit; modò memineris reci- procam e$$e di$tantiarum Rationem & ponderum, quæ in æqui- librio $unt. <p>At $i contigerit ea omnia, quæ breviori brachio adhærent, non con$tituere æquilibrium cum brachio longiore $eor$im $umpto ab$que $acomate, vel quia graviora $unt, vel quia mi- nùs gravia; $atis apparet æquipondium in di$tantia à $parto du- plà brachij minoris non habere duplum momentum, $ed inve- niendum e$$e aliud punctum, à quo di$tantiæ men$ura de$u- matur. <p>Sit $tatera ACB, quæ in C $u$pendatur: gravitas brachio- rum ita $e habet, ac $i illius $emi$$is in $ua cuju$que brachij <FIG> extremitate poneretur. Huju$modi $e- mi$$es gravitatum repræ$ententur à li- neis BD & AE, quæ $unt utique invi- cem in Ratione brachiorum (quoniam ju- gum æquabile & uniforme ponitur) & ut AC ad CB, ita AE ad BD. Sed ut fiat æquilibrium debet e$$e vici$$im ut AC ad CB, ita BD gravitas in B ad AF gra- vitatem in A: E$t igitur AE ad AF in duplicatâ Ratione brachiorum AC ad CB, hoc e$t ut Quadratum AC ad Qua- dratum CB: Ergo etiam dividendo, per 17. lib.5. ut Quadra- tum CB minus Quadrato AC ad Quadratum AC, ita AF minùs AE ad AE; hoc e$t ut, differentia Quadratorum utriu$- que brachij ad Quadratum brachij minoris, ita FE pondus ad- dendum, ad AE $emi$$em gravitatis brachij minoris, ut fiat æquilibrium cum $emi$$e gravitatis, & momento brachij CB longioris. Id $i factum fuerit, a$$umantur in CB, incipiendo à puncto C, partes æquales ip$i CA, & tunc ad mercem addi- tam in F habebit gravitas $acomatis H eam Rationem, quam habuerit AC ad di$tantiam eju$dem $acomatis à puncto C, ut $uperiùs dicebatur. <p>Verùm $i præter AE gravitatem re$pondentem minori bra- chio AC, pendere intelligatur ex A non $olùm gravitas EF, quæ $ufficiat ad æquilibrium cum longiore brachio CB, $ed præterea $it etiam gravitas FG, ita ut tota gravitas addita $it <pb n=303> EG; tunc a$$umpto æquipondio H notæ gravitatis, debet fieri ut pondus H ad pondus FG exce$$um $uprà id, quod requiri- tur ad æquilibrium, ita di$tantia AC ad aliud ex. gr. CI: & ex I initium $umere debet divi$io transferendo in longius bra- chium, & iterando di$tantiam CA ita, ut AC æqualis $it ip$i IN: $i enim in G addatur tantum mercis, cujus gravitas GM $it ad æquipondium H, ut IN ad AC, fiet in N æquilibrium. Quia $cilicet ut FG gravitas ad gravitatem H, ita IC di$tan- tia ad di$tantiam CA ex con$tructione; & ut gravitas H ad gravitatem GM, ita CA di$tantia ad di$tantiam IN; erit ex æqualitate per 22. lib.5. ut gravitas FG ad gravitatem GM, ita di$tantia CI ad di$tantiam IN; Ergo componendo, per 18. lib.5. ut FM ad GM, ita CN ad IN; $ed ut GM ad H, ita IN ad CA ex hypothe$i; igitur ex æqualitate ut FM gravitas ad gravitatem H, ita CN di$tantia ad di$tantiam CA. Cùm itaque pondera addita ultrà æquilibrium, quod addità gravita- te EF fit in C puncto $u$pen$ionis, $int in Ratione reciprocâ di$tantiarum à $parto C, nece$$ariò $equitur æquilibrium in N. Idem dicendum de cæteris deinceps punctis iterando di$tan- tiam IN, prout brachij longitudo ferre pote$t, nam duplicatâ di$tantiâ IN, poterit in G addi gravitas dupla gravitatis æqui- pondij H. <p>Quod $i demùm partes minori brachio CA adjacentes non e$$ent tantæ gravitatis, ut fieret cum longiore brachio CB æquilibrium, quemadmodum $i e$$ent ut OE ad EA $emi$$em gravitatis brachij minoris; primò ob$erva, quantum de$it gra- vitatis, ut fiat æquilibrium, $cilicet $it quantitas OF, quæ po- natur minor gravitate æquipondij H: intelligatur itaque gravi- tas æqualis gravitati æquipondij H, & $it exce$$us FG. Quare $icuti paulò antè dicebatur, fiat ut pondus H ad gravitatem FG, ita AC ad CI, & erit I punctum à quo incipienda e$t di- vi$io jugi, ita tamen ut facto æquilibrio in I intelligatur addita merx æqualis gravitatis cum æquipondio H, & erit ex. gr. pri- ma libra. At verò $i OE tam modica gravitas e$$et, ut etiam addita gravitas æqualis gravitati $acomatis H, nondum adæ- quaret gravitatem EF, addatur duplex, triplex, quadruplex gravitas $acomatis H ita, ut demum excedat gravitatem EF nece$$ariam ad æquilibrium cum $olo brachio longiore; tum fiat <pb n=304> $icuti priùs, ut pondus H ad exce$$um illum, $cilicet ad FG, ita AC ad CI, & e$t I punctum quæ$itum, ex quo incipit divi- $io, & in quo $i fiat æquilibrium mercis cum $acomate, indicat mercis gravitatem e$$e duplam, triplam, quadruplam gravita- tis $acomatis H, prout hanc duplicare oportuit, aut triplicare. <p>Sed quas habemus communes $tateras ab hác $edulitate pro- cul remotas e$$e omnibus con$tabit, $i ob$ervaverint amplim- dines priorum divi$ionum non omninò re$pondere brachij mi- noris longitudini, hoc e$t, intervallo, quo pondus di$tat à $par- to; neque id $olùm, quia artifices tantam adhibere diligentiam recu$ant pro tenui mercede; verùm etiam ne adeò graves exi$tant majores $tateræ, $i minori brachio tanta e$$et addita gravitas, quæ longioris brachij momenta æquaret. Propterea jugum con$truunt, uncum $eu lancem cum $uis catenulis ad- nectunt, ex ansâ $u$pendunt, $acoma non certi ponderis $ed ex arbitrio eligunt, quod tamen additæ lanci, aut unco aliquate- nus re$pondeat juxta minoris brachij longitudinem; nam $i hoc valde breve $it, augent lancis pondus, & minuunt æquipon- dium; & ex adver$o, $i illud longiu$culum $it, minuunt lancem, augent $acoma; quia nimirum in illâ brevitate brachij minoris majora $unt momenta brachij longioris, & minus æquipon- dium plus habet momenti; contrà verò auctâ minoris brachij longitudine decre$cunt momenta tùm longioris brachij tùm æquipondij. <p>His paratis $tatuunt in lance legitimum aliquod pondus jux- tà denominationem men$uræ, quam a$$umunt tribuendam $ta- teræ, puta libram (idem dic de majoribus ponderibus in aversâ $tateræ parte in$cribendis, ut lib.25 aut 100 juxtà regionis mo- rem) deinde tanti$per $acoma adducunt vel reducunt, dum fiat exqui$itè æquilibrium; & punctum adnotant, in quo $acoma quie$cit. Tùm aliam adhuc libram, aut, primâ $ublatâ, bilibre pondus, lanci imponunt, & $acoma retrahunt, ut magis à mo- tûs centro di$tet; iterumque facto æquilibrio punctum notant. Demum intervallum inter hæc duo notata puncta in jugo ite- rant, quoties po$$unt; & ut uncias habeant, $ingula intervalla in duodecim æquales particulas di$tinguunt, quæ in minu$cu- lis $tateris ad huc minores divi$iones recipiunt. <p>Quod $i adhuc pondera infrà libram unam, hoc e$t infra un- <pb n=305> cias 12, hac $taterâ examinare libeat, inter punctum primò no- tatum atque $partum minu$culas illas divi$iones transferunt, incipiendo ab illo puncto. <p>Quid autem hîc meminerim puncta huju$modi omnia in ju- gi acie, $eu angulo $olido $uperiore notari, majores autem di- vi$iones certis lineis ad latus ductis $ignificari? hæc enim vul- garia $unt. Illud potius notandum e$t, quod in unâ eâdemque $taterâ trium regionum $tateras habere po$$umus: quia enim $tateræ $capus communiter quadrangularis e$t, & in $uperiore angulo libras hujus regionis in$culp$it artifex, in duobus angu- lis hinc, & hinc libras duabus regionibus, cum quibus com- mercia mi$centur, peculiares in$cribere licebit (nam pondera $imili nomine in pluribus regionibus donata, non e$$e inter $e æqualia docemur experientiâ, quæ libras Pari$ien$em, Ro- manam, Venetam inæquales e$$e o$tendit) & æquipondij an- nulus unâ eâdemque operâ in tribus angulis diver$arum regio- num pondus eju$dem mercis indicabit. <p>Hîc verò curiosiùs inquirenti, præ$tantiorne dicenda $it $ta- tera? an libra? vix poterit qui$quam ab$olutè re$pondere: nam minoribus ponderibus, ut gemmis, aureis monetis, & $imili- bus examinandis parùm opportuna e$t $tatera; at ingentibus oneribus hæc apti$$ima e$t, libra autem incommoda. Compen- dium habet $tatera unico $acomate contenta; pluribus ponderi- bus eget libra. Vici$$im in librâ $ecuriùs artifices laborem im- pendunt, quia faciliùs æqualitatem a$$equuntur brachiorum, quàm proportionem ju$to æquilibrio nece$$ariam; & in librâ quidem $i æqualitatem perfectam $emel $tatuant, nil e$t quæ- rendum ampliùs; $ed in $taterâ $ingula divi$ionum puncta $uam habent Rationem, $uamque expo$cunt diligentiam; in pluribus verò aliquando peccare proclivius e$t, quàm in uno. Quòd $i libræ perfecta æqualitas de$it, $altem lancium & ponderum commutatione, ut $uperiùs monuimus, deprehenditur error; at $i fal$a $it $tatera, non aliter innote$cet, quàm $i pondus idem iterùm librâ examinemus, ut appareat, an $ibi con$tet eadem gravitas: quis enim aliter iniqui venditoris impo$turam rete- gat, qui, ut major appareat mercis gravitas, ex æquipondio, aut ex capite longioris brachij, qua$i nitidiùs illa expoliens, notabilem aliquam gravitatis particulam limâ abra$it? cum ta- <pb n=306> men à minore brachio expoliendo manum ab$tinuerit; quippe qui $atis norat id fieri non po$$e citrà ip$ius venditoris damnum: con$titutâ $iquidem $taterâ, nihil ex hac aut ex illâ parte de- mendum, nihil addendum, ne mutetur Ratio, quæ intercedit inter ip$orum brachiorum momenta, aut ne æquipondium di- minutis momentis magis removendum $it à $parto, quàm pro gravitate mercis. Siverò hoc acciderit, occultum manet $tate- ræ vitium, nec ip$a $e prodit. <p>Et quoniam de $tateræ vitio $ermo incidit, cavendum vendi- tori e$t, ne illâ utatur, $i facta fuerit curva; cùm enim recta fuerit ab artifice $uas in partes ritè di$tincta, & quidem juxta Rationem brachiorum, curva non eandem $ervat Rationem, ut o$ten$um e$t hîc cap.5. & venditoris damno plus mercis ad- dendum e$$et lanci, ut haberetur æquilibrium; ut ex ibi dictis con$tat. <HR> <C>CAPUT IX.</C> <C><I>Antiquorum Statera examinatur.</I></C> <p>DUbitatur à non paucis, utrùm no$træ, quâ nunc utimur, $tateræ $imilis e$$et Antiquorum, $altem Græcorum, $ta- tera. Dubitationi locum fecit Ari$toteles in quæ$t. 20. Mechan. quærens, <I>Cur $tatera, quâ carnes ponderantur, pauco appendiculo magna ponderat onera?</I> quæ$tioni autem $atisfaciens plurium $partorum mentionem fecit. <I>Quemadmodum autem $i una li- bra multa $int libræ; $ic talia in$unt $parta multa in eju$modili- brâ; quorum uniu$cuju$que quod intrin$ecùs e$t ad appendicu- lum, $tateræ e$t dimidium.</I> & po$t pauca. <I>Huju$modi autem exi$tens multæ $unt libræ, totque, quot fuerint $parta. Semper au- tem quod lanci propinquius e$t $partum appen$oque oneri, majus trahit pondus.</I> <p>Plura hæc $parta, quorum Ari$toteles meminit, Blancano in locis Mathem. Ari$t. occa$ionem præbuerunt $tateram quan- dam commini$cendi, qua$i illa fuerit Antiquorum $tatera: cu- jus $ententiam probare non potui, cum Mechanicam doctri- <pb n=307> nam anno labentis $æculi 54 in Collegio Romano explicans, publici juris facerem hæc eadem, quæ nunc po$t annos vigin- ti $cribo. Quoniam verò quæ tunc Blancano oppo$ui, video placui$$e Authori Magiæ Naturalis P. Ga$pari Schoto tunc ibi degenti (eaque cum aliis quibu$dam in $uam Magiam $taticam tran$tulit, me identidem $uprà meritum, pro $uâ humanitate, laudato) hîc iterum proferre non gravabor, ut meliùs $tateræ natura innote$cat. <p>Statuit itaque Blancanus $tateram illam $ui$$e ha$tam oblon- gam AB in certas partes di$tributam inter $e æquales, puta 12, ex quibus exirent trutinæ diver$æ, ut modò ex hâc, modò ex illâ $u$penderetur $tatera, prout carnis vendendæ quantitas po$tulabat, $inguli$que trutinis in$culptam fui$$e notã ponderis mercis. In extremitate A <FIG> p&etilde;debat lanx capax mer- cis, in oppo$itâ extremita- te B æquipondium, <I>quod</I> ut ille ait, <I>debet habere tantum pondus, quantum e$t in lance nudâ, ut $ic tota $tatera $it per $e $olam æquilibralis; & præterea debet habere pondus $tatum ac legitimum, ex. gr. unius libræ, aut duarum, aut trium, prout magis trutinandæ merci idoneum erit, & hoc erit proprium æquipondij pondus. Pona- mus æquipondium e$$e librarum</I> 12. <I>Dico quod trutina C dabit in lance pondus mercis</I> 12 <I>lib. $i ex eâ fiat æquilibrium; e$t enim ut AC ad CB, it a permutatim æquipondium</I> 12 <I>ad mercem; $ed AC ip$i CB e$t æqualis; ergo etiam æquipondium</I> 12 <I>erit merci æquale, hoc e$t utrinque erit</I> 12 <I>lib. Similiter $i fieret æquilibrium ex trutin â D, e$$et ut AD</I> 3 <I>ad DB</I> 9, <I>ita</I> 12 <I>ad</I> 36. <I>Tandem trutinâ E æquilibrante, e$$et ut AE</I> 9 <I>ad EB</I> 3, <I>ita</I> 12 <I>ad</I> 4. <I>Si igitur trutina C notetur</I> 12 <I>numero, trutina D numero,</I> 36, <I>trutina E numero</I> 4, <I>& idem de cæteris, $tatim facile erit quodlibet pondus per huju$modi $tateram exhibere. Vnde videas contrario ab illis modo in no$tris $tateris æquipondium totam ha$tam percurrere, in illis verò manente æquipondio trutinam quodammodo per ha$tam moveri.</I> Hæc ille. <p>Plures ha$ce trutinas $ic expo$itas, qua$i $olidas an$as ha$tæ infixas, quæ pro opportunitate apprchenderentur, nunquam <pb n=308> potui in animum inducere, ut mihi per$uaderem fui$$e anti- quis in u$u; cùm enim non po$$ent $ummis digitis $u$pendi ob nimiam mercis gravitatem, puta lib.36 (& multò plurium, $i ex F $tatera penderet) manu fui$$ent validè apprehendendæ; quis autem non videt, quibus dolis obnoxia fui$$et $tatera ex levi$$imâ manûs inclinatione æquilibrium mentiente? Neque plicatiles fui$$e huju$modi trutinas, videlicet funiculos forami- nibus in$itos in divi$ionum locis, exi$timo, quia vel nimis fre- quentes e$$e debui$$ent, vel, ni$i æquipondium fui$$et levi$$i- mum, non potui$$ent, citrà venditoris, aut emptorum incom- modum non leve, exhibere quæ$itum pondus. Si enim (ut in- $i$tam ratiocinantis Blancani ve$tigiis) in D exhibentur libræ 36 mercis, in G exhiberentur libræ 60, quia ut AG 2 ad GB 10, ita æquipondium 12 ad mercem 60: quâ igitur ratio- ne innote$cere poterat pondus mercis, $i deprehendebatur e$$e majus quidem libris 36, $ed minus libris 60? Et $i æquilibrium fui$$et inter F & G, pondus fui$$et majus libris 60, minus li- bris 132: quàm latè igitur patui$$et campus erroribus in tantâ ponderum differentiâ? <p>Quare $i hoc $tateræ genere utendum e$$et, in quâ manen- te æquipondio $partum percurreret jugi longitudinem, in$e- renda potius e$$et ha$ta annulo $olidè firmato, intrà quem ha$ta ip$a ultrò citróque promoveretur, donec haberetur æquili- brium; eâ enim ratione in minutiores particulas po$$et ha$ta di$tingui; & plurima e$$ent $parta, $eu centra motûs. Aut <FIG> etiam jugum parari po$$et cra$$ioris lami- næ in $peciem, cuju$- modi e$$et MO, per cujus longitudinem ductâ inci$urâ $eu cre- nâ SI excurrere po$$et axis exqui$itè cylin- dricus infixus an$æ DE cujus an$æ extremitas in apicem E de$inens indicaret par- ticulas in lineâ MO notatas. Verùm quia adversùs ha$ce $tate- ras faciunt pleræque rationes mox contrà Blancani $tateram afferendæ, proptereà illas ut parùm aptas rejicio. <pb n=309> <p>Et primùm quidem difficile videatur, quâ ratione fieri po$- $et, ut in C puncto medio indicetur mercis pondus lib.12, $i ex illo $tatera ip$a e$t per $e $olam æquilibralis, ut Blancanus loqui- tur, po$itâ lance æqualis gravitatis cum æquipondio: A$$umen- da fui$$et trutina quarta H, quia ut AH 4 ad HB 8, ita 12 ad 24, & $ubductâ gravitate lancis 12, reliquæ fui$$ent lib.12 mercis. Hinc patet neque in D indicari pondus mercis lib.36; hoc enim e$t pondus mercis & lancis $imul $umptarum; quare merx $olum e$$et lib.24; & ut haberentur mercis lib.36, opor- teret $partum accipere, quod ha$tam divideret in partes, qua- rum proxima lanci e$$et 1, reliqua 4, quia ut 1 ad 4, ita 12 ad 48, & demptâ lancis gravitate lib.12 remanerent mercis lib.36. Sed illud à veritate longi$$imè abe$t, quod à Blancano additur, ex trutinâ E indicari mercem lib.4. Immò addo nullum po- tui$$e ibi fieri æquilibrium, & maximam partem illarum truti- narum futuram fui$$e pror$us inutilem; nam $i lanx A æquè gravis e$t ac æquipondium B, lanx cum merce gravior e$t æqui- pondio; igitur lanx cum merce in di$tantiâ majore, quàm $it æquipondij di$tantia majora habet momenta quàm æquipon- dium, cum quo nunquam poterit æquilibrium con$tituere. Quare omnes trutinæ inter B & C, & ip$a trutina C inutiles $unt, $i lanx æqualis gravitatis $it cum æquipondio B: proptereà lancem multò leviorem e$$e oporteret, ut cum impo$itâ merce po$$et habere ad æquipondium Rationem reciprocam di$tantia- rum à $parto. Sed $i lanx levior $it æquipondio, ut inter C & B haberi po$$it æquilibrium; jam non omnes quidem; $ed aliquæ tantum trutinæ inter B & C inutiles evadent; ubi enim ha$ta dividitur reciprocè in Ratione gravitatũ lancis, & æquipondij, ibi e$$et $tatera per $e $olam æquilibralis, juxtà Blancani ratio- cinium: igitur nulla trutina inter illud punctum, & B e$$et uti- lis; quia diminutâ æquipondij à $parto di$tantiâ, ejus momenta decre$cunt, & auctâ lancis ab eodem $parto di$tantiâ, ip$ius lan- cis momenta augentur; igitur multò magis augentur facto pon- deris in lance additamento; ac proinde fieri non poterit æqui- librium. <p>Verùm forta$$e Author ille, cùm $tateram dixit per $e $olam æquilibralem ex lancis, & æquipondij gravitatibus æqualibus, hoc tantùmmodo voluit (& ex eju$dem verbis inferendum vi- <pb n=310> detur) ut æquipondium ultrà libras 12 $ibi peculiares, tantam prætereà haberet gravitatem, quæ $i $olitariè a$$umeretur, po$- $et cum lance vacuâ æquilibrium facere in C: quo pacto lanx non e$$et lib.12; $ed levior. Per hæc tamen non omne incom- modum $ublatum e$$et, neque Blancani dicta con$i$terent; quia $it lanx unius libræ, & item æquipondium ultrà libras 12 habeat libram unam; in C quidem e$$et æquilibrium cum merce lib.12; quia merx cum lance, item æquipondium totum $unt lib.13. At facto æquilibrio in D, di$tantiæ e$$ent ut 3 ad 9, igi- tur æquipondium ad mercem cum lance ut 13 ad 39; & $ub- ductâ lancis gravitate lib.1, e$$et merx lib.38, non verò 36. Sic in E facto æquilibrio, di$tantiæ e$$ent ut 9 ad 3, igitur æquipon- dium ad mercem cum lance ut 13 ad 4 1/3, & lancis gravitate lib.1. demptâ, e$$et merx lib.3 1/3 non autem lib.4. Et in ultima trutinâ prope B e$$et ut 11 ad 1, ita 13 ad (1 2/11), & lance $ublatâ lib.1, e$$et merx lib. (2/11), cum juxta Blancani ratiocinium debe- ret e$$e $olum lib. (1/11). <p>Deinde jugi brachia $ua habent gravitatis momenta, quæ pro variâ longitudine inæqualitatem $ubirent; & hæc in huju$mo- di $taterâ modò majora, modò minora e$$ent, aliquando adden- da lanci, aliquando æquipondio. Nam $i $partum $it in D, ab- $cindens quartam jugi partem, $ola brachij DB gravitas $u$ti- net in A pondus æquale gravitati totius jugi; ac proinde facto in D æquilibrio, pondus totum additum in A e$t non $olùm tri- plum æquipondij, ut fert reciproca di$tantiarum Ratio; $ed e$t præterea æquale gravitati jugi. At $i $partum in F ab$cindat ju- gi partem duodecimam, non $olùm pondus unâ cum lance e$t æquipondij undecuplum, $ed etiam quintuplum gravitatis jugi: & $ic de cæteris. Contra verò $i quando æquilibrium fieret in- ter C & B, ex æquipondio demenda e$$et gravitas re$pondens momento brachij oppo$iti; tum ex re$iduo colligeretur gravitas lancis cum merce, & $ubductâ demùm lance, gravitas mercis innote$ceret. Sic in E facto æquilibrio, quia EB e$t quarta pars jugi, ex æquipondio B lib.12 auferenda e$t gravitas jugi ex.gr. lib.4, remanent lib. 8: igitur ut AE 3 ad EB 1, ita lib. 8 ad lib. 2 2/3: $i demas pondus lancis, quæ utique valde levis e$$e de- bet, vide quanta gravitas $it demùm tribuenda merci. At $i lanx <pb n=311> adeò levis $it, manife$tum e$t, quantò plus mercis apponen- dum $it, quando $partum à medio $ecedit ver$us lancem A. <p>Quare patet genus hoc $tateræ, ut pote parùm utile, reji- ciendum, nec potui$$e Antiquis u$itatum e$$e, quin facilè de- prehenderetur erroribus non levibus obnoxium; cum præ$er- tim oblongam fui$$e ha$tam (non utique levi$$imam) commi- ni$catur Blancanus, & qui eum ducem $equuti $unt. Non ne- gârim quidem po$$e à perito mathematico ita iniri rationes, ut certis mercium ponderibus $ua puncta in jugo in$criberentur, in quibus æquilibrium fieret cum æquipondio manente in extre- mitate jugi: $ed hunc laborem $ubii$$e antiquos Mathematicos, ut $tateras carnem in macello vendentibus pararent, $uaderi non pote$t; artificibus autem tantum fui$$e indu$triæ, omnem fidem $uperat. Ex his mihi certi$$imum videtur aliam prorsùs adhibendam e$$e Ari$totelicis verbis interpretationem: Nam ponamus $tateram illam, de quâ Ari$toteles loquitur, planè $i- milem fui$$e no$træ $tateræ, quis neget unam libram brachio- rum inæqualium e$$e multas libras, hoc ip$o quod æquipon- dium in multis di$tantiis ab eodem puncto varias brachiorum Rationes con$tituit? $unt autem plura $parta, quia punctum idem di$terminans brachia varias Rationes habentia æquivalet multis, & quàm multas Rationes brachiorum definire pote$t, tàm multas con$tituit libras. Demùm quamvis lancis à $parto eadem materialiter $it di$tantia, non e$t tamen eadem formali- ter, neque enim $olitariè accipienda e$t, $ed comparatè cum di$tantiâ æquipondij à $parto; ac propterea cum major æqui- pondij di$tantia ad eandem lancis & oneris di$tantiam majo- rem habeat Rationem, pote$t etiam dici tunc $partum e$$e lan- ci & oneri propinquius; nam $i in unâ æquipondij di$tantiâ bra- chia $int, ut 2 ad 5, & remoto æquipondio Ratio di$tantiarum $it ut 2 ad 6, patet comparatè ad æquipondij di$tantiam, e$$e minorem priore po$teriorem hanc lancis à $parto di$tantiam. Cùm itaque nulla hîc intercedat violenta interpretatio, nil pro- hibet exi$timare Ari$totelem de $taterâ no$tris non di$$imili lo- cutum fui$$e. <pb n=312> <HR> <C>CAPUT X.</C> <C><I>Libræ & $tateræ u$us extenditur.</I></C> <p>QUæ $emel aliquem in finem excogitata $unt, non ea $unt, ut illis tantùm terminis coërceantur, $ed ad plura extendi po$$unt; & fundamentis po$itis alia $uper$trui licet, modò non de$it artificis indu$tria atque $olertia. Quos in u$us libra & $ta- tera à vulgo de$tinentur, omnes nôrunt; $ed ad quos alios tra- duci po$$int, iis manife$tum e$t, qui illarum naturam diligen- tiùs $crutati $unt. Qua propter ut aliquâ ratione indu$triis arti- ficibus præeam, qui $imilia, & multò meliora commini$ci po- terunt, pauca quædam hoc capite innuam, quibus libræ & $ta- teræ u$us extenditur. <p>Di$tinctionis autem atque claritatis gratiâ, in plures propo- $itiones caput hoc tribuere commodum accidet. <C>PROPOSITIO I.</C> <p><I>Libram con$truere, quâ innatantium $olidorum in humido $peci- ficam levitatem, & ip$orum humidorum $pecificam gravita- tem inve$tigare po$$umus.</I> <p>ERigatur tigillus AB fulcro ritè in$tructus in B, ut firmiter con$titui po$$it horizonti perpendicularis: tran$ver$a juga <FIG> duo CD, & EF bifariam æqua- liter divi$a, & circà $uos axes ver$atilia in$erantur tigillo, pro- ut opportunius fuerit, ita tamen, ut in eâdem perpendiculari li- neâ VS $int axes, & inferiori jugo addatur exteriùs axis capi- ti in$ertus index GI, qui ubi convenerit cum perpendiculari lineâ VS in facie tigilli de$crip- <pb n=313> tâ, æquilibrium horizontale jugorum CD & EF indicet. Tum extremitates C & E vel $olido, vel plicatili vinculo CE connectantur, & in D quidem addatur lanx; in C verò mo- mentum plumbi, ut æquilibrium $uâ gravitate con$tituant. Po$tquam in F adnexus fuerit $tylus in triplicem cu$pidem de- $inens, ut faciliùs deprimatur corpus $olidum H infrà humo- rem, in quo levitat, addatur pariter in E aliquid plumbi, ut jugum EF in æquilibrio maneat; ni$i fortè tanta $it ip$ius vin- culi CE gravitas, ut plumbum addere non $it opus. Demum habeatur vas humore implendum, quod $ubjici po$$it extremi- tati F, unà cum $olido H innatante. <p>Primò quæritur levitas $olidi H in aquâ. Expendatur $oli- dum H exactè in aëre librâ communi & con$ucta; eju$que pon- dus adnotetur: deinde imponatur va$i aquæ pleno, ita ut $oli- dum totum immergatur; id quod tunc $olùm fiet, cùm lanci in D fuerit impo$itum pondus congruum, nam de$cenden- te D, a$cendit C, & $ecum trahit E $ur$um, ac proin- de F deprimit $olidum H infrà aquam. Ubi lingula GI in- dicaverit æquilibrium $olido H aquæ pror$us immer$o, ob$er- va pondus lanci D impo$itum: hoc adde ponderi priùs in- vento eju$dem $olidi H in aëre; & pronunciabis, ut hæc $um- ma ponderum ad pondus $olidi in aëre, ita e$$e gravitatem $pecificam aquæ ad gravitatem $pecificam propo$iti $olidi. Fuerit pondus in aëre unc. 20; additæ $int in lance D unciæ 5; igitur ut 25 ad 20, hoc e$t ut 5 ad 4, ita gravitas $pecifica aquæ ad gravitatem $pecificam $olidi. <p>Veritas o$tenditur ex iis, quæ in Hydro$taticis certa $unt. Si enim ponamus aquæ gravitatem ad $olidi H gravitatem $e- cundùm $peciem e$$e ut 5 ad 4, emergit ex aquâ pars quinta $olidi gravitans ut 4; reliquæ quatuor infrà aquam levitant $in- gulæ ut 1, quæ e$t differentia $pecificarum gravitatum: igitur pars quinta $olidi extans e$t unc. 4, quia totum in aëre e$t unc. 20; & pars immer$a levitat tanto ni$u, ut æqualis $it contrario conatui unc. 4. Igitur $i quinque partes demergan- tur, re$i$tent unciis quinque, quæ $olido $uperimponeren- tur; idem autem e$t, $i unciæ quinque imponantur lanci D; eandem enim deprimendi vim habent. Si igitur $olidum gra- ve in aëre ut 20, levitat in aquâ ut 5, aquæ moles æqualis <pb n=314> e$t 25, atque adeò aqua ad $olidum e$t ut 25 ad 20 $ecundùm gravitatis $peciem. <p>Secundò comparandi $int humores, uter gravior $it. Idem $olidum H notæ gravitatis in aëre unc. 20, quod priori aquæ immer$um requirebat in lance D uncias 5, im- mergatur eodem modo alteri aquæ, ita, ut in lance $int unc. 4. drachmæ 5: igitur $olidi gravitati in aöre unc. 20. addantur unc. 4. drach. 5. & erit aquæ $ecundùm molem æqualis $pecifica gravitas unc. 24 5/8; hæc crgo po$terior aqua ad priorem aquam e$t ut 197 ad 200. <p>Tertiò. Notâ $olidi $ecundùm $peciem gravitate com- paratâ cum gravitate $pecificâ humoris, cogno$cere po$$umus alterius molis eju$dem $peciei gravitatem in aëre. Sit cogni- ta Ratio gravitatum $ecundùm $peciem ut 4 ad 5. Requi- ratur in lance D pondus unc. 8, ut infrà aquam deprima- tur $olidum. Fiat ut differentia $pecificarum gravitatum 1, ad $pecificam gravitatem $olidi 4, ita unciæ 8, ad unc. 32: E$t ergo $olidum in aëre unciarum 32, & aquæ moles æqualis unc. 40. <p>Placeat forta$$e alicui rem hanc aliter perficere. Libræ ju- gum EF ita firmetur in G, ut alteri extremitati E ad- <FIG> nexus funiculus a$cendat orbiculo X circumvolu- tus, & appo$itâ lance D, atque in F $tylo tricu$pide, omnia $int æquilibrata, ad- dito, $i opus fuerit, in F plumbi momento: Pondus etiam lanci impo$itum $ur- $um trahens E deprimit F, & pariter $olidum $ubjecto humori innatans à $tylo deprimitur, & immergitur. <pb n=315> <C>PROPOSITIO II.</C> <C><I>Horologium arenarium ex librâ con$truere, quod boræ minu- ta indicet.</I></C> <p>JUgum libræ æqualium brachiorum AB paretur, $partum O in $uperiore loco habens: huic enim tantummodo libræ $pe- <FIG> ciei convenire pote$t æqui- librium obliquum. Lingu- lam OI habeat longiu$cu- lam, quæ indicis munere fungi po$$it, & quam levi$- $ima $it. Tum a$$umpta lanx, quæ figuram conicam æmuletur, in imâ parte, quâ apex de$init, foramen ha- beat exiguum, ex quo po$- $it $en$im arena fluere; cu- ju$modi ea e$t, quâ in vul- garibus horologiis arenariis utimur. Su$pendatur lanx $eor$im à jugo, & impleatur arenâ, quæ in $ubjectum vas defluat $patio horæ unius: horâ elapsâ $ervetur arena, quam vas excepit, reliqua, quæ in lan- ce, rejiciatur. <p>Sed quoniam ubi multum erat arenæ in lance, plus defluxit, quàm par e$t, iterum arena hæc va$is $ubjecti in lancem infun- datur, & toties experimentum repetatur rejiciendo reliquam, quoties opus fuerit, ut certi $imus arenæ defluxum exqui$itè metiri unius horæ longitudinem. <p>Habitâ jam congruâ arenæ quantitas diligenter $ervetur, ne pereat aliquid illius, & novum laborem $ubire cogamur. Hujus arenæ gravitas examinetur librâ exacti$$imâ: item lancis cum $uis appendiculis pondus inquiratur: quibus cognitis inter gra- vitatem $olius lancis C vacuæ, & gravitatem lancis congruâ arenâ plenæ inveniatur terminus medio loco proportionalis, qui dabit gravitatem ponderis D ex oppo$ito libræ brachio appen- dendi. <pb n=316> <p>Demùm intervallo OI longitudinis lingulæ, quæ $cilicet à $parto incipit, de$cribatur vel in lamellâ, vel in cra$$iore papy- ro $extans circularis limbi EIF, qui divi$us in partes 60 ita ap- tandus e$t, ut lingula $uo apice notata puncta percurrens me- dio puncto I congruat, ubi libræ jugum AB horizontale fuerit. Quare cum lingulæ apex I erit in E, declinabit lingula à per- pendiculo angulo gr. 30: id quod pariter in oppo$itâ parte con- tinget, quando lingulæ apex venerit in F. <p>Cum igitur jugum $imiliter inclinari debeat, ut æquilibrium $imiliter obliquum fiat hinc lancis C arenâ plenæ depre$$æ cum pondere D elevato, hinc ponderis D depre$$i cum lance vacuâ elevatâ; con$tat eandem e$$e oportere Rationem gravitatis lan- cis C arenâ plenæ ad pondus D, quæ e$t ponderis D ad gravi- tatem lancis vacuæ: E$t igitur ponderis D gravitas medio loco proportionalis inter gravitates lancis vacuæ, & lancis plenæ. Sit deprehen$a gravitas lancis vacuæ pondo unc. 5 5/9, lancisau- tem cum arenâ unc. 18: igitur pondus D requiritur unc. 10. <p>Sed quærendum e$t, quantum di$tare oporteat $partum à li- neâ jugi, ut fiat huju$modi æquilibrium obliquum gr. 30. Sit <FIG> CD libra, & in C pondus unc. 18. in D unc. 10; & fiat æquilibrium ita, ut OI lingula faciat cum perpen- diculo HS angulum HOI gr. 30. Ergo in S e$t cen- trum gravitatis, & e$t reci- procè ut pondus C ad pon- dus D, ita longitudo DS. ad longitudinem SC: igi- tur quarum partium tota CD e$t 28, & CG 14, earum partium e$t GS 4. In triangulo igitur OGS rectan- gulo, GS e$t Sinus gr. 30, & GO e$t Sinus gr. 60; ac propterea. $i GS e$t 4, GO e$t 6. 928‴: tanta itaque debet e$$e di$tantia $parti O à lineâ jugi. <p>Hîc autem ob$ervabis lineam jugi inclinatam, cum lineâ ho- rizontali, quam $ecat, con$tituere angulum æqualem angulo declinationis lingulæ à perpendiculo; nam angulo lingulæ cum <pb n=317> perpendiculari HOI æqualis e$t ad verticem angulus SOG: & quia horizontalis VR $ecat perpendiculum HS ad angulos rectos in B, duo triangula OGS, & EBS rectangula, & com- munem angulum ad S habentia, $unt æquiangula, atque adeò angulò SOG, æqualis e$t angulus SEB, cui ad verticem æqualis e$t angulus DER, qui proptereà æqualis e$t ip$i HOI. <p>Sed quoniam GS e$t 4, & GO e$t 6. 928‴, per 47. lib.1. innote$cit OS partium 7. 999‴ ex quâ aufertur OB æqualis ip$i GO (e$t enim di$tantia $parti ab horizontali æqualis di$tantiæ eju$dem $parti à jugo) remanet BS partium 1. 071‴. In triangulis igitur SGO, SBE $imilibus ut GS 4 ad SO 7.999‴, ita BS 1. 071‴ ad SE partium 2. 142″: remanet igitur EG partium 1. 858‴. Quare tota DE e$t partium 15. 858″, angulus E in triangulo EMD rectangulo e$t gr.30, ut o$ten$um e$t; igitur DM altitudo, ad quam elevatur pondus e$t partium 7. 929‴. Et $imiliter quia EC e$t partium 12.142‴, depre$$io NC e$t partium 6. 071‴. Ex quo habetur $ub- jectum vas, quod cadentem arenam excipit, hoc $altem inter- vallo depre$$um e$$e infrà lancem pendentem ex jugo horizon- tali po$ito. <p>Et ut $ubjecti va$is longitudinem invenias, quâ po$$it caden- tem arenam excipere, invenienda e$t di$tantia lancis à per- pendiculo HS, & cùm in $ummâ depre$$ione e$t, & cùm e$t maximè elevata: Cùm depre$$a e$t, di$tat intervallo BN, cùm horizontalis e$t, di$tat intervallo BV, cùm demùm e$t elevata, di$tat intervallo æquali ip$i BM. Sunt inve$tigandæ di$tantiæ BN & BM: Et quia in triangulo EMD rectangulo angulus e$t gr. 30, & Radius ED e$t partium 15. 858‴; Sinus Com- plementi EM e$t partium 13. 733‴. Et in $imili triangulo ENC, quia EC Radius e$t partium 12. 142‴, Sinus Comple- menti EN e$t partium 10. 515‴. Etiterum in $imili triangu- lo EBS, quia ES Radius inventus e$t partium 2. 142‴, Sinus Complementi EB e$t partium 1. 855″. Itaque ex EN aufer EB, remanet BN 8. 660‴, ip$i verò EM adde EB, e$t BM partium 15. 588‴. Demum ex BM aufer BN, & re$iduum partium 6. 928‴ e$t longitudo, quam percurrit lanx a$cenden- do, & e$t æqualis di$tantiæ $parti à lineâ jugi; ac propterca vas <pb n=318> excipiendæ arenæ de$tinatum longitudinem habeat nece$$e e$t, quæ $altem $it quarta pars longitudinis totius jugi, quæ ex da- tis e$t partium 28. <p>Hæc quæ hactenus dicta $unt, eo con$ilio attuli, ut $i quis velit rem ex certâ ratione peragere, intelligat, quâ $it illi uten- dum methodo: Cæterùm nemini author fuerim, ut hæc omnia calculis indagare eligat, cùm po$$it citrà laborem citi$$imè a$- $equi propo$itum finem Statutis enim ponderibus, $cilicet lance, arenâ, & æquipondio (quod, ut dixi, medio loco pro- portionale e$$e oportet inter vacuam lancem, & lancem ean- dem cum arenâ) a$$umatur libræ jugum quodcumque, modò $it æqualium brachiorum, & $partum in $uperiore loco babeat, tùm adnexis hinc lance cum arenâ, hinc æquipondio, libra con$i$tat obliqua; & in plano Verticali libræ proximo notetur punctum, cui lingulæ apex congruit: deinde extractâ arenâ vacuam lancem relinquat, & librâ con$i$tente notetur pariter punctum in plano, quod apici lingulæ re$pondet; & hæc $unt extrema puncta arcûs, qui à circumductâ lingulâ de$cribi po- te$t in eodem plano verticali, & dividi in quæ$itas partes 60, ut horæ minuta indicentur. Quò autem propius ad jugi lineam accedet $partum, & longior fuerit lingula, major quoque erit huju$modi arcus, & faciliùs in partes 60 dividetur. Va$is de- mum longitudinem ip$a libræ po$itio duplex & cum arenâ, & $ine arenâ $tatim o$tendet. Hîc verò ubi de arcûs divi$ione in partes 60 $ermo e$t, liceat mihi di$$imulare partes illas, $i res $ubtili$$imè examinetur, non e$$e omninò inter $e æquales; $ed in re Phy$icâ $ubtilitatem hanc per$equi inutile e$t. <C>PROPOSITIO III.</C> <C><I>Ex Libræ Rationibus aliquod Motûs perpetui rudimentum proponere.</I></C> <p>HOc $axum jamdiu multi ver$ant; $ua cuique cogitata pla- cent; quem corporibus tribuere nondum potuerunt arti- fices perpetuum motum, hunc $ibi vendicant Philo$ophorum mentes inquietâ vertigine illius ve$tigiis in$iftentes; $ed nimis <pb n=319> fugacem nunquam a$$equentes. Liceat & mihi hîc aliquid proponere qua$i rudimentum naturæ motum perpetuum e$$ice- re condi$centis. Videtur autem omninò certum, ut motus $e- mel in$titutus $ine fine per$everet ($eclusâ materiæ corruptio- ne, quæ ævo confecta tabe$cit) opus e$$e alterno quodam vi- rium incremento atque decremento, ut idem viribus auctis prævaleat, viribus diminutis minùs re$i$tat: propterea $impli- ci$$imam machinulam, qua$i duplicem libram æqualium bra- chiorum ad angulos rectos compactam aliquando excogitavi, in quâ alterna hæc vici$$itudo contingere po$$e videtur. <p>Scapi duo AB & DE ad angulos rectos in C compingantur, & $it in C axis, circa quem facilè ver$ari po$$int: quia verò oppo$ita brachia. ex hypothe$i <FIG> æqualia $unt, & centrum motûs planè in medio congruens cen- tro gravitatis ponitur, in quâ- cumque po$itione æqualibus mo- mentis librata quie$cunt. Sint autem $ingula brachia tubi in morem excavata ab extremitate u$que ad decu$$ationis locum æqualiter, ita tamen, ut ex uno brachio in aliud brachium $ivè oppo$itum, $ivè proximum nul- lus pateat exitus: extremum autem tubi o$culum congruâ co- chleâ po$$it exqui$itè claudi. Hæc, inquam, omnia ea $int, quæ æquilibrium in quâcumque po$itione con$tituant: id quod im- probus labor accurati artificis a$$equi $e po$$e non de$perat. <p>Duplici hac librâ $ic paratâ, $ingulis brachiis certa & om- ninò æqualis quantitas Argenti Vivi infundatur, aut major aut minor pro ratione magnitudinis & gravitatis tuborum, ita ta- men ut non $it immodica quantitas. Occlu$is diligenti$$imè tu- borum o$culis, erigatur DE ad perpendiculum. <p>Utique hydrargyrus in $uperiore brachio DC totus quie$cit propè C, in inferiore brachio CE totus e$t in extremitate E: in brachiis autem CA & CB horizonti parallelis $e æqualiter librat juxtà brachiorum longitudinem; quare libra tota manet immota, cum $int hinc & hinc æqualia momenta, tùm ratione <pb n=320> brachiorum æqualium, tùm ratione argenti vivi æqualis, & æqualiter ad motum di$po$iti: illud verò quod e$t propè C, & propè E, non pote$t mutare æquilibrium, ut patet. Incline- tur extremitas B aliquantulum deor$um; illicò totus hydrargy- rus brachij CB confluit ad extremitatem B, contrà verò qui e$t in brachio CA, totus confluit propè centrum C: Facta e$t igitur libra inæqualium brachiorum, & æqualia argenti vivi pondera inæqualiter di$tant à centro motûs; ac proinde juxtà naturam libræ $partum in ipsâ jugi lineâ habentis extremitas B de$cendit quantum pote$t. Cum autem grave quodcumque $ponte $ua de$cendens acquirat impetum non $tatim pereun- tem, $ed qui adhuc juxta priorem directionem ad ea$dem par- tes ferat corpus grave etiam contra naturæ propen$ionem, ut in perpendiculo a$cendente e$t manife$tum, quid prohibeat ex- tremitatem B hydrargyro prægravatam, ex concepto impetu dum de$cendit, vel, modicum quid tran$ilire perpendicularem po$itionem ultrà punctum E? Id quod $i accidat, extremitas D, dum tota libra convertitur, inclinata infrà horizontalem AB totum hydrargyrum habet non jam in C; $ed in D, quare & illa $imili modo de$cendit, nam hydrargyrus, qui erat in E, elevato brachio CE $upra horizontalem AB, totus confluit prope C: neque difficilis e$t de$cen$us; quia B, ubi tran$ilierit perpendiculum DE, ulteriùs ex concepto impetu $ponte a$cen- deret; $ed multò magis a$cendit ex impetu impre$$o brachij de$cendentis, à quo urgetur. <p>Fateor equidem in primâ conver$ione po$t quietem, hydrar- gyrum E reluctari, nec juvare quicquam ad motum; quia $ci- licet, cùm debeat a$cendere ex $olo impetu impre$$o brachij CB de$cendentis, nihil confert ad motum, ni$i quatenus E initio $ui a$censûs modicum a$cendit, B verò initio $ui de$cen- sûs multum de$cendit, ac propterea plus imprimi pote$timpe- tûs, ratione cujus, cre$cente quamvis a$cen$uum men$urâ, ha- betur aliquid facilitatis ex prævio impul$u. Hinc e$t in primis conver$ionibus opus e$$e manûs adjumento, quæ $ur$um pellat infimum brachium CE: concepto autem jam impetu, nondum video, cur motus ce$$aturus $it. Nam $i nullâ factâ ponderum alternâ tran$latione (quæ $emper novum motûs principium af- fert) $ed ponderibus $emper in extremitate brachiorum manen- <pb n=321> tibus, po$t aliquot conver$iones externo impul$u factas $ponte $ua diu convertitur rota, aut etiam $implex $capus, non ni$i ex impre$$o impetu tamdiu permanente, quidni per$everet in mo- tu, $i in $ingulis conver$ionibus novum impetum concipiat? Sed hæc ind ca$$e $ufficiat, ut $altem longiorem motum, $i non per- petuum, quis a$$equi po$$it $uo in$tituto atque propo$ito op- portunum: mihi enim $atis e$t rationes libræ huju$modi com- mentatione aliquantò uberiùs explicare. Unum tamen hîc ad- dere fuerit operæ pretium, videlicet, $i non placuerit $capos AB & DE invicem ad angulum rectum compactos excavare, $ed $olidos retinere volueris, po$$e $ingulis brachiis æquales tubulos hydrargyri quantitate æquali impletos adalligari, ita ta- men, ut $imilem brachij faciem contingant, ex quo fiet, ut $int ip$i tubuli alternatim di$po$iti, qui $ibi ex adver$o re$pondent, nimirum alter $uperior, alter inferior, alter ad dexteram, alter ad $ini$tram. <C>PROPOSITIO IV.</C> <C><I>Dato unico pondere legitimo examinare bilance gravitatem multiplicem materiæ dividuæ.</I></C> <p>REs e$t facilis, non tamen omittenda, ne fortè quis $ibi per- $uadeat non ni$i longi$$imâ operâ id perfici po$$e. Datum $it unicum pondus legitimum, ex. gr. uncia, & oblata $it ma- teria dividua, quæ particulatim examinari po$$it, ut $al, & cæ- tera minuta. Non $unt $ingulæ unciæ ponderandæ; $ed pri- mò quidem fiat cum unciâ æquilibrium $alis; deinde in lancem eandem cum pondere legitimo transferatur $al; iterum cum alio $ale fiat æquilibrium, & hic in lancem ponderis refundatur, totié$que $imili methodo repetatur ponderatio, donec oblatæ materiæ plus quàm $emi$$em exhau$eris; & adnota, quoties operam illam repetieris; tot enim termini in Ratione duplâ in- cipiendo ab unitate a$$umpti, & in $ummam redacti, dabunt gravitatem $alis jam examinati. Sint ex. gr. decem termini; po$tremus e$t 512, cujus duplum demptâ unitate e$t $umma omnium; $unt igitur unciæ 1023, hoc e$t libræ 85 1/4. Quod re- <pb n=322> $iduum e$t $alis, iterum $imili ratione examinetur, donec habeas plus quàm $emi$$em illius re$idui, acceptí$que ite- rum tot terminis progre$$ionis duplæ habebis ejus quantita- tem: & $ic deinceps, donec totius propo$itæ molis pondus innote$cat. <p>Quòd $i certam $alis men$uram extrahere ex totâ illa mole de$ideras, ex. gr. libras tres, hoc e$t uncias 36, ob$erva quot terminis progre$$ionis duplæ proximè accedas ad propo$itam quantitatem, & erunt quinque termini, quorum po$tremus e$t 16, & tota $umma 31. Quare operatio, ut $uprà, quinquies repetenda e$t, & habentur unciæ 31: quibus $epo$itis inqui- rantur unciæ 5 addendæ, nam duplici operatione $ingulas un- cias accipiens in eandem lancem cum unciâ legitimâ repones, & facto demum æquilibrio reliquas tres uncias habebis, ut $umma conficiatur 36. unc. <C>PROPOSITIO V.</C> <C><I>Libram æqualium brachiorum con$truere ad plura pondera tùm multiplicia tùm $ubmultiplicia eju$dem æquipondij examinanda.</I></C> <p>ILlud, in quo præ$tat libræ $tatera, e$t, quòd uno co- demque $tateræ æquipondio plura pondera examinamus. Non di$$imilc compendium invenire po$$umus in libra æqua- lium brachiorum, quæ tamen $partum in $uperiore loco habeat; hæc enim pro diversâ ponderum inæqualitate va- riam habet inclinationem, in quâ quie$cat obliquè po$ita. Expedit autem $partum à lineâ jugi aliquanto intervallo di$tare. Sit $capus planus, in quo linea jugi recta AB bifariam dividatur in C; ex quo ad angulos rectos a$$ur- gat firmiter adnexa qua$i lingula CD, ita tamen ut in D $tatuatur Axis an$æ in$ertus, circà quem ver$anda e$t libra; & ex axe pendeat perpendiculum DE, cujus lon- gitudo tanta e$$e debet, ut non $it minor intervallo DA aut DB. Tum ex A $umatur totius lineæ jugi AB tertia pars <pb n=323> A 2, quarta A 3, quinta A 4, $exta A 5, & $ic dein- ceps, quate- <FIG> nus commo- dè fieri po- terit: quæ eædem par- tes ex B in alterum bra- chium tran$- ferãtur quàm accurati$$i- mè. Demum ex A & B æquales lan- ces pendeant, quæ æquilibrium con$tituant. <p>Hujus libræ u$us e$t ad multiplicia vel $ubmultiplicia pon- dera cum uno eodemque æquipondio comparata invenienda: Nam ubi æquipondium legitimum $tatueris in lance B, mer- cem verò in lance A, $i æqualitas intercedat, ita jugum ma- net, ut perpendiculum DE congruat puncto C: $i merx ma- jor $it æquipondio, inclinatur deor$um lanx A, & perpendicu- lum DE ad angulos inæquales $ecans lineam jugi congruit ali- cui ex punctis notatis inter C & A, $cilicet in 2. $i fuerit dupla, in 3 $i tripla, & $ic de reliquis: $i demum merx fuerit minor æquipondio, lanx B inclinabitur, & perpendiculum DE con- gruet alicui ex punctis inter C & B notatis, indicabitque mer- cem e$$e æquipondij aut $emi$$em, aut trientem, aut quadran- tem, &c. Hinc $i volueris plures uncias, aut unciæ partem ali- quotam habere, $tatue in B legitimum unciæ pondus; $i verò plures libras, aut libræ partem aliquotam quæ$ieris, $tatue in B libram legitimam. Verùm poti$$ima hujus libræ utilitas $e pro- det, ubi dati ponderis, cujus gravitas $ecundùm legitimas men- $uras ignota e$t, quæritur pars aliquota, aut illius multiplex pondus. Hujus autem libræ con$tructio innititur $uperiùs dictis, & manife$ta e$t ratio, quia ex ponderum inæqualitate centrum commune gravitatis re$pondet jugi puncto, quod congruit perpendiculo pendenti ex eodem puncto $u$pen$ionis libræ. <pb n=324> <C>PROPOSITIO VI.</C> <C><I>Staterâ examinare pondus majus, quàm ip$a communiter ferat.</I></C> <p>CErtum e$$e pondus, quod unaquæque $tatera ferat pro ra- tione $uæ magnitudinis, & gravitatis æquipondij, omni- bus mani$e$tum e$t: & quidem $i oblatum pondus dividuum $it, explorari pote$t per partes ejus gravitas, ut tota demùm in- note$cat; $ed $i moles quædam $olida $it, quæ $e dividi non pa- tiatur, $tatera autem $it impar tanto oneri, artificium aliquod adhiberi pote$t, quo gravitatem illam majorem hâc eâdem $ta- terâ inve$tigemus. Et primò quidem ponamus $tateram ita fui$$e con$tructam, ut lancis gravitas $uis momentis æquet mo- menta brachij longioris, adeò ut, dempto æquipondio $tateræ jugum con$i$tat in æquilibrio horizontaliter. Tunc certum e$t æquipondium ad onus e$$e reciprocè in Ratione di$tantia- rum oneris, & æquipondij à centro motûs. Quare eadem $ta- tera poterit quedammodò multiplex fieri, $i nimirum æquipon- dium duplicetur, aut triplicetur; poterit enim duplex aut tri- plex pondus $taterâ examinari; ut, $i proprium $tateræ æqui- pondium $it unius libræ, & brachium longius $it brevioris bra- chij quindecuplex, examinari poterit pondus ut $ummum li- brarum quindecim; a$$umptum verò æquipondium novum bi- libre habebit momentum æquale libris 30; $i trilibre $it no- vum æquipondium, momentum erit æquale libris 45; & $ic de reliquis, etiam $i æquipondium hoc novum non e$$et ad anti- quum omninò in Ratione multiplici; $ed in quâcumque alia Ratione etiam $uper particulari, aut $uperpartiente; ducto enim pondere novi æquipondij per numerum notatum in $ta- teræ brachio, habebitur quantitas ponderis, quod pote$t exa- minari; $ic $i æquipondium novum $it ad antiquum ut unc. 20. ad unc. 12. ducto 20 per 15, fit pondus unc. 300, hoc e$t lib.25, quibus novum æquipondium in extremitate $tateræ po$itum æquivalet. <p>Verùm illud e$t incommodum, quòd huju$modi æquipon- dio majori non po$$umus exploratam habere gravitatem pon- deris, $i fortè gravitas æquipondij non $it illius pars aliquotae <pb n=325> nam $i novum æquipondium $it bilibre, non indicabit nume- rum di$parem librarum ponderis in punctis libras denotantibus ($ed $olummodo in punctis $elibrarum) vel $altem $ingulas un- cias non indicabit, quia omnes numeri in $taterâ notati dupli- candi e$$ent: $imiliter dicendum de æquipondio triplici, quo adhibito omnes numeri triplicandi e$$ent. <p>Propterca, ut huic incommodo occurratur, retineatur anti- quum æquipondium in jugo $tateræ, $ed $imul novum æqui- pondium in jugi extremitate apponatur duplum, vel triplum, vel quadruplum antiqui æquipondij, prout proximè requiri- tur ad explorandam dati oneris gravitatem; tùm antiquum æquipondium in jugo $tateræ admoveatur vel removeatur, quatenus opus fuerit ad æquilibrium con$tituendum. Nam $i numerus librarum novi æquipondij ducatur per numerum om- nium librarum, quas ferre pote$t $tatera, huicque addatur nu- merus ab antiquo æquipondio indicatus, habebitur ip$a pon- deris gravitas, quæ inquiritur. Proponatur pondus aliquod gravitatis ignotæ, quod $tateræ lanci imponatur, & æquipon- dium antiquum ac proprium $tateræ in extremitate po$itum non valeat pondus elevare ad æquilibrium; addatur æquipon- dium duplum, hoc adhuc impar e$t; addatur triplum, neque hoc $atis e$t; addatur quadruplum, & hoc unà cum antiquo æquipondio in extremitate brachij po$ito præponderans illud e$t, quod requiritur; manente enim novo hoc æquipondio qua- druplo in extremitate, antiquum æquipondium admoveatur versùs $partum, & fiat æquilibrium in puncto lib. 7. unc. 9: quia $tateræ numerus extremus e$t ex hypothe$i lib.15, & æqui- pondium novum e$t lib.4, jam $unt lib.60; adde lib.7. unc. 9. tota gravitas ponderis quæ$ita e$t lib.67. unc.9. <p>At quæris, an eodem hoc artificio uti liceat in communibus $tateris, quas no$tratibus artificibus con$truere $olemne e$t; in quibus nec $tatera e$t per $e $olam æquilibris, nec æquipondij $tateræ jugo ita innexi, ut inde pro libito auferri nequeat, gra- vitatem indagare po$$umus, ut æquipondium illius multiplex eligamus. Opportunè utique dubitas; nam pondus & æquipon- dium in vulgaribus $tateris non $unt omninò in reciprocâ Ra- tione di$tantiarum à $parto, ut $uperiùs $uo loco dictum e$t. Propterea uti quidem po$$umus eodem artificio, $ed certâ ratio- <pb n=326> ne: quia enim antiquum æquipondium cum $tateræ notis lon- gè aliter $e habet, ac in $taterá $uperiùs a$$umpta, hoc retinea- tur, quod antiquum æquipondium indicabit gravitatem ponde- ris juxta notas, $tateræ impre$$as; $ed æquipondium novum a$- $umatur certæ ac notæ gravitatis proxime tàm $ubmultiplicis ponderis examinandi, quàm $ubmultiplex brachij longioris e$t brachium minus $tateræ; & hoc æquipondium adnectatur non planè in $tateræ extremitate, $ed in puncto, in quod cadit lon- gitudo multiplex brachij minoris. Sit ex. gr. $tatera communis, quæ elevet pondus lib.15; $ed comparato breviore brachio cum longiore, hoc non e$t illius omnino quindecuplum; a$$umo, quoties a$$umi pote$t brachium minus, ex. gr. quaterdecies; & in illo puncto $tatuendum erit novum æquipondium notæ gra- vitatis; & quoniam $u$picor propo$itam gravitatem non mul- tum abe$$e à lib.50, a$$umo æquipondium lib.3. quæ in notato puncto æquivaleat libris 42 (nam ter 14 dant 42) & promoto versùs $partum antiquo æquipondio, fit æquilibrium in puncto lib.5. unc.3: erit igitur propo$ita gravitas lib.47. unc.3. Id quod e$t manife$tum, quia antiquum æquipondium cum notis $tate- ræ impre$$is indicat gravitatem ponderis habitâ ratione mo- mentorum brachij $tateræ & cæterarum illius partium, quas $emel attendere opus e$t; reliquæ gravitatis momenta non ni$i ratione di$tantiarum con$ideranda $unt. <p>Quòd $i plurium æquipondiorum $upellectile careas, & ur- geat nece$$itas $tatim explorandi gravitatem illam majorem, ob- vium aliquod pondus, puta lapidem, vel quid eju$modi, $tate- râ tuâ expende, ut ejus gravitas innote$cat: hoc $u$pende ex opportuno $tateræ puncto, de quo dictum e$t, & ejus gravita- tem duc per 14 (vel alium quemlibet numerum minorem aut majorem, prout opportuna ejus $u$pen$io, aut $tateræ longitu- do feret) ut habeas gravitatem huic novo æquipondio re$pon- dentem: Cætera ut priùs ab$olve. Non videtur autem nece$$a- riò monendus hîc lector po$$e plura nova æquipondia vel di- ver$æ, vel paris gravitatis, addi in diver$is di$tantiis à $parto; ut $i æquipondium lib.3. in di$tantia 14, & aliud lib.2 in di$tan- tia 11 $imul apponantur, æquivalebunt lib.42 & 22, hoc e$t li- bris 64; hæc enim clariora $unt, quàm indigeant uberiori ex- plicatione. <pb n=327> <C>PROPOSITIO VII.</C> <C><I>Stateram parare ad minu$culas gravitates expendendas.</I></C> <p>STateræ hujus jugum non differt à vulgaribus; $ed æquipon- dij & ponderis e$t contraria po$itio; pondus enim longiori brachio, breviori æquipondium adnectitur, & quò levius fue- rit pondus, eò magis à $parto removetur. Paretur jugum cum lance adnexâ, quæ $uâ gravitate æquet momenta brachij lon- gioris, & in perfecto æquilibrio con$i$tat. Tum brevioris bra- chij longitudo accuratè transferatur in brachium majus, quod minoris $altem decuplum vellem, & $ingulas partes iterum in decem minores particulas tribuerem, ut totum longius bra- chium in centum particulas di$tingueretur. Sit $tateræ jugum AB ita in C à <FIG> $parto divi$um, ut CB $it de- cuplex ip$ius CA: ex A au- tem pendeat lanx D $uâ gravitate æquè librans momenta bra- chij CB longioris; quod di$tinctum in longitudines decem æquales brachio minori CA, in $ingulis divi$ionibus indicabit Rationem ponderis ad æquipondium. Collocetur enim æqui- pondium in lance D, pondus examinandum $i leviu$culum $it ita, ut $erico crudo $u$pendi po$$it, jugo CB imponatur, & à $parto removeatur, donec fiat æquilibrium: nam $i in primo puncto divi$ionis con$i$tat, erit æqualis gravitatis cum æqui- pondio; $i in $ecundo puncto, erit $emi$$is gravitatis æquipon- dij; $i in tertio, erit triens, $i in quarto, quadrans, & $ic de cæ- teris. At $ingulis divi$ionibus minori brachio æqualibus ite- rum in decem particulas di$tinctis, indicabitur gravitas à fractione, cujus numerator e$t 10, denominator e$t numerus particularum omnium, quæ inter $partum C & locum ponde- ris æquèlibrati intercipiuntur: ut $i ex. gr. æquilibrium fiat in F, hoc e$t in tertiâ particulâ po$t duas integras divi$iones priores, jam $unt particulæ 23; igitur pondus e$t (10/23); ip$ius æquipondij in D po$iti; ut con$tat ex co, quòd ut di$tantia CF 23 ad <pb n=328> di$tantiam CA 10, ita æquipondium in D ad pondus in F (10/23). <p>Hujus $tateræ utilitas $atis latè patet, quia non alligatur cer- to æquipondio, $ed in lance D $tatui pote$t $ivè drachma, $i- vè uncia, $ivè libra, & ponderis minoris gravitas examinabitur; quæ quidem habebitur $ecundùm Rationem partis ad a$$em, $ed deinde ad certam ponderis men$uram, $ivè $crupula, $ivè grana revocabitur. <p>Quòd $i pondus examinandum non facilè $u$pendi po$$it $e- rico crudo, ut dictum e$t, paratam habeto lancem minu$culam, cui imponi po$$it pondus; & demùm facto æquilibrio, gravita- te ponderis inventâ, atque ad homogeneam cum æquipondio men$uram redactâ, $ubducenda e$t hujus lancis cum $uo funi- culo gravitas, ut $ola ponderis impo$iti gravitas habeatur. Ex quo patet adhibitâ hujufmodi lance, quæ percurrat $tateræ ju- gum, po$$e expendi gravitatem multò minorem: propterea lan- cis hujus gravitas minor e$$e deberet, quàm $ubdecupla gravi- tatis æquipondij impo$iti lanci D, ut in extremo $tateræ puncto B fieri po$$et æquilibrium: verùm $i æquipondium in D $it un- cia, aut aliquid unciâ minus, majus tamen decimâ cjus parte, $atius fuerit lancem illam excipiendo ponderi de$tinatam e$$e decimam unciæ partem. <p>Ponatur enim æquipondium uncia, lanx ponderis cur$o- ria (1/10) unciæ: impo$itum pondus faciat æquilibrium in F puncto particulæ 23: e$t igitur pondus cum $uâ lance (10/23) unciæ, aufer ratione lancis (1/10) unciæ, re$iduum (77/230) unciæ e$t gravitas ponde- ris; hoc e$t $crupulorum 8. Similiter fiat æquilibrium in puncto 99; ergo pondus cum lance e$t (10/99) unciæ; aufer (1/10), re$i- duum e$t (1/990) unciæ, quod e$t levi$$imum pondus paulò majus $emi$$e grani. Si in parte 98, pondus erit (1/490) unciæ, hoc e$t grani 1 1/6, $i in puncto 97, pondus erit (3/970) hoc e$t ferè grani 1 4/5: & $ic de cæteris. <pb n=329> <C>PROPOSITIO VIII.</C> <C><I>Ad ingentia onera examinanda $tateras communes componere.</I></C> <p>SI opportunas $tateras parare oporteret ingentibus oneribus examinandis pares, cuju$modi e$$et æs campanum, aut bellicum tormentum majus, eas e$$e debere aut longi$$imas, aut immani æquipondio in$tructas, manife$tum e$t. Fac enim tormentum e$$e lib. 17000 circiter, & $tateram habe- re uncialem di$tantiam $parti ab extremitate, cui pondus adnectitur, æquipondium verò e$$e lib. 25; utique ut 25 ad 17000, ita uncia pedis ad uncias 680, hoc e$t pedes 56. tinc. 8: atque adeò tota $tatera e$$et ped. 56 3/4 ut minimum: cui longitudini $i congrua cra$$ities re$pondeat, an non ma- chinâ opus e$t, ut $ola $tatera transferatur? præterquam quod ip$a longioris brachij gravitas momenta non exigua haberet. Quòd $i, ut non paucis $olemne e$t, ita trabem ex mediâ longitudine $u$pendas, ut æquilibris maneat, cùm alteri extremitati propo$itum onus adnectas, oppo$itæ au- tem extremitati plura minora pondera adjicias, donec æqui- librium fiat, quorum $ingulæ gravitates in $ummam redactæ propo$iti oncris gravitatem manife$tam reddant, non $olùm methodus hæc artificio caret, $ed & fal$itatis periculo non vacat, incertum quippe e$t an trabis centrum gravitatis planè in mediâ longitudine $it, cùm pars radici proxima gravior $it reliquâ, ac proinde libra $it inæqualium brachiorum, quæ cen$etur æqualium. <p>Satius igitur fuerit $tateras plures minores componere, ut indicatum e$t lib. 2. cap. 7, quàm ingentem $tateram con$truere. A$$umantur tres $tateræ AB, DE, GH, qua- rum brachium minus $it majoris $ubdecuplum, & ita om- nes ex $uperiore loco $u$pendantur, ut orbiculi M & N facilè ver$atiles inferiùs firmati excipere po$$int funiculos BMD, & ENG, quibus extremitates junguntur: ex quo fiet, ut dum H vi æquipondij deprimitur, extremitas E, at- que extremitas B pariter deprimantur, pondus verò in A ad- <pb n=330> nexum clevetur. Motus autem $taterarum non $unt æquales: nam $icut depre$$io ip$ius H e$t decupla elevationis ip$ius G, <FIG> cui elevationi æqualis e$t depre$$io extremitatis E, ita hæc eju$- dem E depre$$io decupla e$t elevationis ip$ius D: quare depre$- $io H e$t centupla elevationis D; ac propterea quia depre$$io B æqualis elevationi D e$t decupla elevationis A, depre$$io æquipondij in H e$t millecupla elevationis ponderis in A con$tituti. Ex quo $equitur æquipondium in H æquivalere ponderi millecuplo, quod in A appendatur. Igitur æquipon- dium lib.17 æquivalebit ponderi lib.17000. <p>Quod autem hactenus de $tateris æqualibus dictum e$t, etiam de inæqualibus dictum intelligatur, componendo Rationes, quas $ingularum $taterarum brachia habent. Hinc $i Ratio AC ad CB $it 1 ad 10, Ratio DF ad FE $it 1 ad 8, Ratio GI ad IH $it 1 ad 12, Ratio compo$ita e$t 1 ad 960, quæ pote$t intercedere inter æquipondium & onus. Hinc manife$tum e$t plures addi po$$e $tateras, quot opus fuerit, quocumque tan- dem ordine collocentur, $ive $ecundùm rectam lineam, $ive invicem parallelæ, prout commodius accidet, & loci oppor- tunitas feret. <p>Si $tateræ i$tæ fuerint ita con$tructæ, ut jugum dempto æquipondio æquilibre $it, quia extremitas brachij minoris gra- vitate tantâ prædita e$t, ut gravitati longioris brachij æquipol- leat, res plani$$ima e$t, quia $ola brachiorum longitudinis Ra- tio attendenda e$t; & præterea æquipondium in H augeri po$- $et, aut minui. Immò hîc etiam adhiberi po$$et artificium, de quo prop. 6. dicebatur, addendo novum æquipondium cer- tæ gravitatis, ut $i præter æquipondium H etiam e$$et L lib. 2; quod in puncto jugi $eptimo æquivaleret ponderi $eptingenties majori, hoc e$t lib. 1400. Quâ methodo addi po$$unt etiam plura æquipondia in punctis jugi diver$is: quod $anè e$$et egre- <pb n=331> gium compendium, & ut plurimum duabus $tateris pondera- tio ip$a perficeretur. <p>At $i $tateræ cuju$que jugum non fuerit æquilibre, contem- nenda non e$t brachij longioris gravitas, ut dati ponderis gra- vitas ritè examinetur: Nam $emi$$is gravitatis brachij IH in extremitate H con$titutus æquivalet ponderi decuplo in G mi- nùs gravitate $emi$$is brachij IG. Igitur perinde e$t, atque $i huju$modi pondus additum fui$$et in E, ubi habet momentum decuplum æqualis ponderis in D, & centuplum æqualis pon- deris in A. Quare momentum brachij IH e$t ut 50, & mo- mentum IG ut 1/2, atque adeò momentum ut 49 1/2 intelligitur additum in E, quod propterea comparatum cum extremitate A habet momentum ut 4950. Sic momentum gravitatis FE comparatum cum extremitate A e$t ut 495; & momentum bra- chij CB e$t ut 49 1/2. Tota igitur momentorum, quæ ex bra- chiorum gravitate oriuntur ($i illa æqualiter ducta intelligan- tur) $umma e$t 5494 1/2, $ive $int unciæ, $ive libræ, prout $ta- terarum moles requirit. Id quod quia ægrè innote$cit, $i ju- gum non fuerit æquabiliter ductum, idcircò expeditius fuerit $tateris ritè di$po$itis, ac dempto æquipondio, addere in A tan- tum gravitatis, ut juga $int horizonti parallela (cujus paralle- li$mi indicium poti$$imum dabit extremæ $tateræ lingula, quæ plus cæteris movetur) quæ gravitas ubi innotuerit, addenda erit gravitati, quam deinde æquipondium indicabit, cùm onus ip$um in A additum fuerit. Sic pone momenta illa 5494 1/2 e$$e uncias, hoc e$t lib. 457. unc. 10 1/2, & expendendo onus addi- tum in A, æquipondium librale H indicet æquilibrium in puncto $eptimo, hoc e$t lib.700, addantur lib.457. unc. 10 1/2, erit tota oneris gravitas lib.1157. unc. 10 1/2. <p>Verùm quia vulgares $tateræ, quibus communiter utimur ad majorum ponderum gravitatem examinandam, non ita $unt fabrefactæ, ut brachium longius in partes aliquotas minori bra- chio æquales di$tinguatur, propterea minoris brachij longitu- do, quoties fieri id poterit, transferatur in brachium longius, ut inveniatur punctum, cui adnectendus e$t funiculus, quo cum alterius proximæ $tateræ extremitate connectitur. Sed an- tequam opus aggrediaris, amoto æquipondio $ecundæ & ter- <pb n=332> tiæ $tateræ, vide quantum ponderis $ingulæ, quantum con- nexæ requirant ad æquilibrium cum longiore brachio, ut inno- te$cat, quantum adhuc gravitati, oneri tribuendum $it, piæter illam, quæ ab æquipondio indicatur. <FIG> <p>Sit ex. gr. $ecunda $tatera CD, cujus brachium longius SD æquivaleat lib. 42, & tertiæ $tateræ FG longius brachium VG æquivaleat libris 37. Ponamus tertiæ $tateræ (cui onus erit adnectendum) brachium minus FV duodecies contineri in longiore brachio u$que ad I, ubi funiculus connectit illud cum extremitate C $ecundæ $tateræ. Item $ecundæ $tateræ CD brachium minus CS tredecies $umi po$$it in brachio lon- giore u$que ad punctum E, ubi illam funiculus connectit cum primæ $tateræ extremitate A. Igitur quia momentum brachij SD æquivalet libris 42 ex hypothe$i, & intelligitur tran$latum in I, ubi duodecuplo vclociùs movetur quàm punctum F, du- cantur lib. 42 per 12, & æquivalet libris 504, quibus addenda $unt momenta brachij VG lib.37, & ponderi invento ex æqui- pondio demum addendæ erunt lib. 541. Jam $tatuamus æqui- pondium H primæ $tateræ AB con$tituere æquilibrium in puncto indicante libras 14: perinde igitur e$t, atque $i libræ 14 ponerentur in E; & quia ES ad SC e$t ut 13 ad 1, libræ 14 in E æquivalent ponderi in C librarum 182, quæ in I po$itæ (quia IV ad VF e$t ut 12 ad 1) æquivalent ponderi in F librarum 2184. Quod $i punctum illud, in quo æquipondium H con- $i$tit, non e$$et nota librarum $implicium 14, $ed ponderum, quæ $ingula libras 25 continent (ut nobis Italis præ$ertim in Galliâ Ci$alpinâ $olemne e$t) utique onus in F adnexum e$$et lib. 54600, quibus adhuc addendæ e$$ent libræ 541, propter momenta brachiorum $ecundæ & tertiæ $tateræ, & e$$et tota gravitas lib. 55141. <p>At $i $tateras communes habeas, nec po$$is æquipondia jugo in$erta amovere, ut inquirere po$$is momenta gravitatis brachij <pb n=333> longioris, hoc unum in $ecundâ, & in tertiá $taterâ, aut etiam pluribus, $i opus fuerit, ob$erva, quoties nimirum brachium minus in longiore contineatur, ut punctum I & E innote$cat, quod cum proximæ $tateræ extremitate C & A connectendum e$t: in $ingulis autem $tateris $ua æquipondia admoveantur, vel removeantur, donec fiat æquilibrium. Non e$t autem ne- ce$$e $ingulas $tateras in$culptas e$$e notis homogeneis gravi- tatum; prima enim AB pote$t habere notas indicantes quar- tam partem Centenarij, hoc e$t lib. 25, $ecunda verò & ter- tia po$$unt indicare tantum $ingulas libras cum $uis unciis. Fac enim con$tituto æquilibrio, æquipondium H e$$e in puncto pond. 9. lib.7. duc 9 per 25, & $unt lib. 225, & additis lib.7, $unt lib. 232; quæ ducuntur primò per Rationem $ecundæ $ta- teræ 13 ad 1, & fiunt 3016, quæ ductæ per Rationem tertiæ $tateræ 12 ad 1, dant demum lib. 36192. Dcinde æquipon- dium $ecundæ $tateræ CD $it in puncto lib. 7. unc. 8: hæ du- cendæ $unt per Rationem tertiæ $tateræ 12 ad 1, & fiunt lib. 92. Demum æquipondium tertiæ $tateræ indicet lib. 5. unc. 6, addantur hi tres numeri 36192, 92, & 5. unc. 6; tota gravitas oneris in F adnexi erit lib.36289. unc. 6. <p>Ideò autem inquirenda dixi puncta I & E, ut longitudines VI & SE $int multiplices longitudinum brachiorum minorum FV & CE, atque fractionum mole$tia evitetur. Cæterùm $i volueris extremitates ip$as G & D cum extremitatibus C & A connectere, omnino licebit, ubi innotuerit, quota pars brachij minoris $it IG & ED. Nam $i Ratio DS ad SC deprehen- datur ut 13 2/5 ad 1, Ratio autem GV ad VF ut 12 1/4 ad 1, gra- vitas indicata ab æquipondio H ducenda primùm erit per 13 2/5, deinde numerus productus per 12 3/4 ductus dabit quæ$itam oneris gravitatem re$pondentem æquipondio H, quod, ex hy- pothe$i $uperiùs con$titutá, indicans pond. 9. lib.7, hoc e$t lib.232, monet ducendas libras 232 per 13 2/5, & fit 3108 4/5, qui numerus ducatur per 12 3/4, & fiunt lib.39637 1/5. Deinde æqui- pondium $ecundæ $tateræ po$itum in puncto lib.7. unc. 8 indi- cat has ducendas per 12 3/4, & erunt lib. 97 3/4: quibus $i adda- tur numerus primæ $tateræ, & numerus quem dat tertia $tatera lib.5. unc. 6, $umma erit omnino lib.39740. unc. 5. <pb n=334> <C>PROPOSITIO IX.</C> <C><I>In librâ brachiorum æqualium po$$e non æqualia e$$e ponderum æqualium momenta.</I></C> <p>SIt libra AB, cujus centrum C, pror$us in medio, jugum in brachia dividat æqualia: $int autem in brachiorum extre- <FIG> mitatibus annuli vel unci, quibus adnectenda $unt pondera, quæ a$- $umantur gravi- tatis exqui$itè æ- qualis, computatâ etiam funiculo- rum gravitate. Sed alterum quidem pondus D unco adnectatur unà cum $uo funicu- lo; alterius verò ponderis E funiculus $uâ extremitate inferiùs in F paxillo alligetur, & tran$iens per annulum, vel uncum $u$pendat connexum pondus E. Experimento di$ces pondus E $emper prævalere æquali ponderi D, $i per annulum vel uncum funiculus liberè valeat excurrere, de$cendente ip$o pon- dere E. <p>Sed rei primâ facie admiratione dignæ cau$am inquirenti illa $e $tatim offert, quæ Machinalium motionum cau$a à nobis af- fertur; quia videlicet pondus E de$cendens duplo velociùs de- $cendit, quàm pondus D a$cendat; ubi enim pondus E vene- rit in F, extremitas libræ B ibi con$i$tet, ubi duplicatus e$t fu- niculus, mediâ nimirum viâ; atqui extremitas A non ni$i tan- tumdem a$cendit, & cum eâ pondus D; igitur pondus E velo- ciùs de$cendens potiora habet momenta, nec erit æquilibrium, ni$i pondus E $it ponderis D $ubduplum. <p>Cave tamen exi$times $emper e$$e motuum Rationem du- plam; id enim tunc $olùm accidit, cum funiculus extentus e$t <pb n=335> horizonti perpendicularis, cuju$modi e$t FE: at $i fuerit in- clinatus, non e$t eadem motuum Ratio, $ed ut duplex funicu- li GE longitudo ad altitudinem perpendicularem EF, ita $e habet motus ponderis E ad differentiam, quâ excedit motum ponderis D, $eu depre$$ionis libræ B. Sit funiculus GE, alti- tudo perpendicularis, per quam de$cendit pondus E, $it EF; di$tantia GF: de$cendente pondere E, ubi hoc attigerit pla- num horizontale in F, funiculus, qui erat GE, factus e$t GIF; igitur libra deprimitur u$que in I, & e$t IF differentia motuum EF & EI. <p>Quare cùm GI $it GE minùs IF, quadratum GI æquale e$t quadrato GE plus quadrato IF, minùs rectangulo $ub GE & IF bis comprehen$o. At eidem quadrato GI æqualia $unt quadrata IF & GF $imul $umpta ex 47. lib. 1: propterea aufe- ratur utrinque quadratum IF, & remanet quadratum GE, mi- nùs rectangulo bis $ub GE & IF comprehen$o æquale quadra- to GF: Addatur utrinque rectangulum $ub GE & IF bis, & utrinque dematur quadratum GF, & e$t quadratum GE mi- nus quadrato GF (hoc e$t quadratum EF ex 47. lib.1.) æqua- le rectangulo bis $ub GE & IF. Igitur ex 17 lib 6. ut bis GE ad EF, ita EF ad IF. Ponderis itaque motus deor$um EF comparatus cum a$cen$u ponderis D, e$t ad differentiam mo- tuum IF, ut duplex longitudo funiculi GE ad altitudinem perpendicularem EF, per quam de$cendit pondus E. <p>Ex quo ulteriùs colligitur, quò obliquior e$t funiculus, eò minorem e$$e differentiam IF, ac propterea minorem e$$e Ra- tionem de$censûs EF ad a$cen$um ponderis oppo$iti, ideóque etiam minus habere virium ad prævalendum. Hinc ex diver- sâ funiculi longitudine & obliquitate, $i æquilibrium fiat, lice- bit arguere ip$am ponderum inæqualitatem, ratione habitâ mo- tuum reciprocè $umptorum; qui motus cum habere non po$$int Rationem multiplicem majorem duplâ, ut con$tat funiculi ip$ius flexionem con$ideranti, neque pondus D pote$t e$$e minus pon- dere E, neque eodem majus quàm duplum, $i fiat æquilibrium; minus autem erit quàm duplum, $i funiculus $it obliquus, & ex motuum differentiâ, quæ $ingulas funiculi obliquitates con$e- queretur, etiam ip$a ponderum inæqualium differentia in- fertur, <pb n=336> <C>PROPOSITIO X.</C> <C><I>Æqualia pondera $imilis figuræ, $ed diver$æ $ub$tantiæ, $imili- bus & æqualibus pyxidibus inclu$a di$cernere.</I></C> <p>SInt duo globi, alter ferreus H, alter argenteus S, inclu$i æqualibus & $imilibus pyxidibus AB & CD ita æqualis <FIG> ponderis, ut pyxides vacuæ librà examinatæ æquiponderent, & ad- jecti globi pariter $int æquales ra- tione ponderis, quamvis moles inæquales $int, major enim e$t ferreus, minor argenteus. Opor- teat igitur di$cernere, utra pyxis argenteum globum contineat. Singularum pyxidum longitudo bifariam dividatur in F & E, ex quibus punctis fiat $u$pen$io; quâ factâ utique de$cendent ex- tremitates B & D. Addantur tum in A, tum in C pondera, ut fiat æquilibrium. Pondus majus indicabit ibi e$$e globum argenteum. Vel $i unico æquipondio uti placeat, invento æquilibrio unius pyxidis, idem æquipondium ad alteram pyxi- dem transferatur: $i enim appo$ita extremitas præponderet, ibi e$t argentum, $i $ur$um attollatur, ibi e$t ferrum. Manife$ta au- tem e$t ratio, quia majoris globi centrum gravitatis propius e$t medio pyxidis, ex quo $it $u$pen$io, ac propterea minus habet momenti, quàm minor globus, cujus centrum magis di$tat. <p>Quamvis verò $u$pen$io facta fuerit ex medio, nihil refert, etiam$i ad alterutram extremitatem accedat ut in K, dummodo æqualis a$$umatur di$tantia in L; eadem enim $emper ratio pro inæqualitate momentorum militat, inæqualis $cilicet di$tantia centrorum gravitatis. <p>At $i non ea e$$et pyxidum longitudo, ut extremitatibus A & C facilè adnectatur æquipondium, a$$ume regulam BZ lon- giorem ipsâ pyxide, eamque alliga funiculo per K tran$eunte, & in Z æquipondium $tatuatur: deinde regulam eandem $imi- liter alliga alteri pyxidi, ut $it DX, & funiculus per L tran$eat: <pb n=337> nam idem æquipondium in X $i nimis leve $it, indicat ibi ar- gentum e$$e; id quod pariter indicabit æquipondium majus faciens æquilibrium. <p>Quòd $i pondus idem utrobique faceret æquilibrium, indicio e$$et aut inclu$a corpora non e$$e $ecundùm molem $imilia, aut $i $imilia fuerint non e$$e in pyxidibus $imiliter po$ita in extre- mitate, contrà hypothe$im. Id quod ut deprehendas, ita pyxi- des converte, ut ad latus con$tituatur pars, quæ priùs erat infi- ma; tunc enim ponderis aliqua diver$itas apparebit. Si autem adhuc æquilibrium con$tituatur, minorem molem ita ex arte collocatam fui$$e, ut centrum gravitatis æqualem di$tantiam habeat à puncto $u$pen$ionis, ac moles major in alterâ pyxide, manife$tum e$t. Tunc igitur utraque pyxis intrà aquam pon- deranda e$t; quæ enim minùs gravis apparebit, continet ar- gentum; hoc quippe minus $patij occupans quàm ferrum, ma- jori aëris moli in pyxide locum relinquit: major autem aëris moles plus deterit ponderis pyxidi intra aquam: pyxidum $ci- licet moles ponuntur æquales. <HR> <C>CAPUT XI.</C> <C><I>Fundamenta præmittuntur ad explicandum, cur gravia $u$pen$a modò præponderent, modò æquilibria $int.</I></C> <p>LOcus hic e$t ob$trictam non $emel in $uperioribus fidem liberandi, cùm me o$ten$urum $u$cepi in corporibus $u$- pen$is aliquando minùs gravia gravioribus prævalere, nec ta- men ullum libræ aut Vectis ve$tigium deprehendi, neque mo- tum propriè circularem tribui po$$e potentiæ moventi, quæ vi $uæ gravitatis juxtà directionis lineam deor$um conatur, atque movetur motu recto, $ur$um a$cendente rectà corpore gravio- re, quod per vim clevatur. Sed ut res tota capite $equenti cla- riùs & breviùs explicari valeat, propo$itiones aliquot hîc lem- matum loco præmittendæ videntur, & problemata, quibus cer- <pb n=338> ca methodus præ$cribatur, ut pro in$tituto corpora ip$a gravia eligantur, atque $uis quæque locis di$ponantur. <C>PROPOSITIO I.</C> <C><I>Exce$$us $ecantis cuju$cumque anguli $upra Radium, minor e$t Tangente eju$dem anguli.</I></C> <p>SIt datus angulus quilibet DBC, ejus Tangens DC, $ecans BD, & exce$$us $ecantis $upra Radium DE. Dico DE <FIG> minorem e$$e Tangente DC. Ducatur recta CE dato angulo $ubten$a faciens angulos ad ba$im æquales ex 5. lib. 1. ac proinde acutos: igitur angulus DEC complementum ad duos rectos e$t ob- tu$us, & maximus in triangulo DEC, ac propterea ex 19. lib. 1. maximum la- tus e$t, quod illi opponitur, nimirum Tangens DC. <C>PROPOSITIO II.</C> <C><I>Cuju$libet anguli Tangens e$t media proportionalis inter exce$$um $ecantis $upra Radium, & aggregatum ex Radio & $ecante eju$dem anguli.</I></C> <p>DAtus $it idem angulus DBC, Tangens DC, exce$$us $ecantis DE: producatur recta DB u$que in A, & e$t recta DA aggregatum ex Radio BA & $ecante BD. Dico Tangentem DC e$$e mediam proportionalem inter ED & DA. Cùm enim ex 36. lib. 3. rectangulum $ub ED & DA æquale $it quadrato, quod à Tangente CD de$cribitur, per 17. lib. 6. $unt tres continuè proportionales ED, DC, DA. <p>Hinc $equitur exce$$um $ecantis $upra Radium ad aggrega- tum ex Radio & $ecante habere Rationem duplicatam Ratio- <pb n=339> nis, quam idem exce$$us habet ad Tangentem, hoc e$t, $e ha- bere ut quadratum ED ad quadratum DC, ita ED ad DA, igitar & dividendo ut quadratum ED ad differentiam quadra- torum ED & DC, ita exce$$us ED ad Radij duplum EA, dif- ferentiam inter ED & DA. <C>PROPOSITIO III.</C> <p><I>Dato angulo, ad cujus $ecantis exce$$um $upra Radium $ua Tangens habet Rationem datam, cuju$cumque anguli mino- ris Tangens ad exce$$um $uæ $cantis habet Rationem majo- rem datâ; cuju$cumque autem anguli majoris Tangens ad exce$$um $uæ $ecantis habet Rationem minorem datâ Ratione.</I> <p>ANgulus DBC $it datus, & illius Tangens DC ad DE ex- ce$$um $uæ $ecantis habeat datam aliquam Rationem. Pri- mò $it minor angulus FBC. Dico ejus Tangentem FC ad $uæ $ecantis exce$$um FZ habere majorem Rationem quàm DC ad DE. Quia angulus CFB exterior major e$t interno CDB ex 16. lib.1. fiat huic æqualis angulus CFG, eruntque ex 28.lib.1. parallelæ lineæ DB & FG, & ex 29.lib.1. DBF & GFH al- terni æquales: $unt autem BHE & FHG æquales per 15. lib.1. ut pote ad verticem; ergo & reliquus angulus BEH e$t reliquo angulo FGH æqualis. Similia itaque $unt triangula, & per 4. lib. 6. ut EB ad BH, ita GF ad FH: e$t autem EB major quàm BH (nam BH minor e$t Radio BZ, cui æqualis e$t Radius BE) igitur & GF major e$t quàm FH; ergo & mul- tò major quàm FZ. Sed quoniam GF & ED $unt parallelæ, & triangula CFG, CDE $unt æquiangula, ex 4. lib.6. eadem e$t Ratio CF ad FG, quæ e$t CD ad DE: CF autem ad FG majorem ex 8. lib. 5. habet minorem Rationem quàm ad FZ minorem; ergo CF Tangens anguli minoris habet ad FZ exce$$um $uæ $ecantis $upra Radium, Rationem majorem quàm CD ad DE. <p>Secundò $it angulus IBC major dato angulo DBC: Dico illius Tangentem CI ad $uæ $ecantis exce$$um KI habere mi- <pb n=340> norem Rationem, quàm CD ad DE. Quoniam externus an- gulus CDB major e$t interno CIB, fiat illi æqualis angulus CIO, & lineæ CE productæ occurrat in O, linea IO, quæ parallela e$t lineæ BD; & $unt anguli OIL & EBL alterni æquales, quemadmodum & anguli ad verticem in L æquales $unt. Quapropter in triangulis IOL & EBL æquiangulis per 4. lib.6. ut LB ad BE, ita LI ad IO: e$t autem LB major quàm BE (nam LB major e$t Radio BK) ergo etiam LI, & multo magis KI major e$t quàm IO. Sed ut CD ad DE ita CI ad IO; ergo minor e$t Ratio CI ad IK majorem, quàm $it CI ad IO minorem; ergo e$t minor Ratio Tangentis CI ad exce$$um $uæ $ecantis KI, quàm $it Ratio CD ad DE. <C>PROPOSITIO IV.</C> <C><I>Differentia inter Tangentes duorum quorumlibet angulorum major e$t, quàm differentia inter eorum $ecantes.</I></C> <p>SInt anguli BAC, BAD, eorum Tangentes BC & BD, quarum differentia CD: angulorum $ecantes AC & AD, <FIG> $ecantium differentia (a$$umptâ AG æquali ip$i AC) e$t DG. Dico CD e$$e majorem quàm DG. Ducatur recta CG, & e$t triangulum CAG i$o$celes, ideóque angulus CGA acutus, & qui e$t illi deinceps, CGD obtu$us, & maximus in triangulo CGD: quare per 18. lib. 1. major e$t CD Tangentium differentia quàm DG $ecantium differentia. <C>PROPOSITIO V.</C> <C><I>Ratio differentiæ Tangentium ad differentiam $ecantium fit $emper minor.</I></C> <p>ESto anguli BAC Tangens BC, anguli BAK Tangens BK; de$cripto arcu COG, differentia $ecantium e$t KO, <pb n=341> & Tangentium differentia e$t CK. Item anguli BAD Tan- gens BD, & de$eripto arcu KH, differentia T<*> BK & BD e$t KD, atque $ecantium AK & AD d<*> e$t HD. Dico majorem Rationem e$$e CK ad KO, <*> KD ad DH. Ducantur rectæ CG & KH. In crianguli<*> $celibus CAG & KAH, anguli ad ba$im CG minores $u<*> angulis ad ba$im KH, quia angulus CAG major e$t ang<*> KAH: quapropter angulo CGA fiat æqualis angulus IH <*> Cum itaque ex 28.lib.1. IH & CG $int parallelæ, per 2.lib.6. ut CI ad HG, hoc e$t ad KO, ita ID ad DH: atqui CK ma- jor e$t quàm CI; ergo major e$t Ratio CK ad KO quàm C<*> ad KO ex 8.lib.5. hoc e$t quàm ID ad DH. Sed ID e$t ma- jor quàm KD; ergo per 8.lib. 5. major e$t Ratio ID ad DH, quàm KD ad DH; ergo multò major e$t Ratio CK ad KO, quàm KD ad DH. Idem de cæteris con$equentibus angulis nec di$$imili methodo demon$trari poterit, minorem $cilicet fieri Rationem differentiæ Tangentium ad differentiam $e- cantium. <C>PROPOSITIO VI.</C> <C><I>Dato Radio, & datâ Ratione Tangentis ad exce$$um $ecantis, invenire Tangentem & $ecantem, earúmque angulum.</I></C> <p>DAtus Radius $it B, data Ratio Tangentis ad exce$$um $e- cantis $uprà Radium $it R ad S. Oportet Tangentem ip$am atque $ecantem inve- <FIG> nire. Tangens e$to A: ut R ad S ita A ad (A in S/R) exce$$um $ecantis $upra Radium; igitur $ecans integra e$t B + (A in S/R); hujus quadratum e$t B quad. + (2 B in A in S/R) + (A quad. in S quad./R quadr.)quod ex 47. lib. 1. æquale e$t qua- dratis Radij & Tangentis $i- mul, hoc e$t B quad. + A quad. Utrinque dempto B quad. tum omnibus per A divi$is, deinde omnibus ductis per R quad. <pb n=342> demum factâ Antithe$i A in R quad. —— A in S quad. æqua- tur 2 S in B in R. Quare revocatâ ad Analogiam æquatione, e$t ut R quad. —— S quad. ad 2 S in R, ita B Radius ad A Tangentem quæ$itam. Tum fiat ut R ad S ita A inventa ad aliud, & erit exce$$us $ecantis, qui additus Radio B dabit quæ- $itam $ecantem. <p>Sit R 3, S 2: horum quadratorum 9 & 4 differentia e$t 5; duplum rectangulum $ub R & S e$t 12. Igitur ut 5 ad 12, ita B Radius 100000 ad 240000 Tangentem gr. 67. 22′.48′. Iterum ut 3 ad 2 ita 240000 ad 160000 exce$$um $ecantis; Igitur ad- dito Radio, Secans quæ$ita e$t 260000; quæ etiam in Canone re$pondet eidem angulo. <p>Itaque generatim loquendo, fiat ut differentia inter quadra- ta terminorum datæ Rationis ad rectangulum bis $ub ii$dem terminis comprehen$um, ita datus Radius ad aliud, & prove- niet Tangens quæ$ita; quæ habita facilc dabit $ecantis exce$- $um in Ratione datâ. <p>Quòd $i rem Geometricè perficere velis, circà majorem Ra- tionis datæ terminum R de$cribe $emicirculum, & in eo ac- commoda minorem Rationis terminum S; nam linea T dabit quadratum, quod e$t differentia quadratorum ex R & ex S, ut e$t manife$tum ex eo, quod angulus in $emicirculo e$t rectus per 31.lib.3.& ex 47 lib.1. quadratum unius lateris circa rectum e$t differentia quadratorum hypothenu$æ & reliqui lateris. Deinde inter alterutrum terminorum duplicatum, & reliquum terminum quære mediam proportionalem, & $it V potens qua- dratum æquale duplo rectangulo $ub terminis datis. Quoniam verò ex 20.lib. 6. quadrata $unt in duplicatâ Ratione laterum, & T quadratum ad V quadratum e$t in duplicatâ Ratione T ad V; inveniatur tertia proportionalis X. Demum ut T ad X ita fiat Bad Z, quæ e$t quæ$ita Tangens, & ad angulum rectum con$tituta cum Radio B dabit hypothenu$am $ecantem quæ$i- tam, quæ cum Radio con$tituet quæ$itum angulum. <p>Vel etiam ex corollario prop.2. fiat ut differentia quadrato- rum ex R & ex S ad S quadratum, ita duplum Radij B ad exce$- $um $ecantis: deinde hic exce$$us inventus ad Tangentem quæ$itam fiat ut S ad R; & $umma ex dato Radio atque exce$- $u invento dabit quæ$itam $ecantem. <pb n=343> <C>PROPOSITIO VII.</C> <C><I>Datá Tangente communi duorum cir culorum inæqualium, & datis Rationibus exce$$um Secantium ad eandem Tangentem, invenire Circulorum Radios.</I></C> <p>SIt $uper lineam CD indefinitam erecta ad perpendiculum recta AB, quam in B oporteat tangere duos circulos inæ- quales, ita ut $it Tangens <FIG> duorum angulorum inæ- qualium, exce$$us autem $ecantis unius $it ad da- tam Tangentem ut E ad G, alterius verò $ecantis exce$$us $it ad eandem ut F ad G: & huju$modi circulorum $emidiame- tros invenire oporteat. <p>Fiat ut G ad E ita AB data ad H; & ut H ad AB ita AB ad MS, ex quâ dematur MO ip$i H æqualis, reliquæ OS $e- mi$$i RS æqualis $uma- tur BD pro Radio circuli BL. Item fiat ut G ad F ita AB data ad I; & ut I ad AB ita AB ad NT, ex quâ dematur NP æqualis ip$i I, & reliquæ PT $emi$$i VT æqualis $tatua- tur BC $emidiameter circuli BK. Junctis CA, & DA erunt exce$$us $ecantium $uprà $uos Radios ad Tangentem, videlicet KA & LA ad AB in datis Rationibus. <p>Quia enim recta TP $ecta e$t bifariam in V, & adjecta e$t illi PN, per 6. lib.2. quadratum NV e$t æquale quadrato VT (hoc e$t quadrato CB) unà cum rectangulo TNP: huic au- tem rectangulo, ex 17. lib. 6. æquale e$t quadratum AB, quæ ex con$tructione e$t media proportionalis inter PN, hoc e$t I, & NT. At ii$dem quadratis CB & BA $imul $umptis æquale <pb n=344> e$t quadratum CA ex 47. lib.1. igitur quadratum CA æquatur quadrato NV, & linea CA æqualis e$t lineæ NV. Sunt au- tem VP & CK æquales (nam & æquales $unt lineis VT & CB) ergo etiam KA reliqua æqualis e$t reliquæ PN, hoc e$t I. Cum itaque I ad AB $it ut F ad G ex con$tructione, etiam KA ad AB e$t in eâdem datâ Ratione F ad G. <p>Nec di$$imili methodo utendum erit ad o$tendendum LA ad AB e$$e in datâ Ratione E ad G: id quod indica$$e $uffi- ciat, nec pluribus e$t opus. Quare CB & DB $unt quæ$ito- rum circulorum $emidiametri. <C>PROPOSITIO VIII.</C> <p><I>Datis duobus inæqualibus circulis $e contingentibus in B, da- ti$que eorum Radiis CB & DB, invenire Tangentem com- munem BA, ad quam $ecantium exce$$us habeant datas Ra- tiones E ad G, & F ad G.</I> <p>OPortet $ecantis exce$$um, qui ad Tangentem habet majo- rem Rationem, quàm alter exce$$us; pertinere ad mino- rem circulum; qui verò minorem Rationem habet, pertinere ad majorem circulum. Cum enim rectangula $ub exce$$ibus & aggregatis $uarum $ecantium $uorúmque Radiorum $int in- ter $e æqualia, ut pote ex 36. lib.3. eidem Tangentis quadrato æqualia, erit per 16.lib. 6. ut exce$$us $ecantis majoris circuli ad exce$$um minoris, ita aggregatum ex $ecante & Radio mi- noris ad aggregatum ex $ecante & Radio majoris. Sicut ergo eadem Tangens habet majorem Rationem ad Radium minoris circuli quàm ad Radium majoris, $ubtendítque majorem angu- lum in circulo minori quàm in majori; ita $uæ $ecantis exce$$us habet majorem Rationem ad eandem Tangentem, quàm ex- ce$$us $ecantis minoris anguli in circulo majori. <p>Sit itaque major Ratio F ad G quàm E ad G, & pertinebit ad circulum minorem. Fiat ut F ad G ita G ad QX, ex quâ dematur QZ æqualis ip$i F. Tum fiat ut XZ ad ZQ, ita mi- noris Radij duplum TP ad PN: & inter PN & NT invenia- tur media proportionalis BA, quam ex B ad perpendiculum <pb n=345> erectam jungat cum centro C rectâ CA: nam KA ad Tan- gentem AB habet datam Rationem F ad G. Cùm enim ea- dem AB, quæ ex con$tructione e$t media inter PN & NT, $it etiam ex 36. lib.3. & 17. lib.6. Media inter KA & ACB, & extremarum NT & ACB exce$$us $upra $ibi re$pondentes extremas PN & KA $int ex con$tructione æquales ($unt $cili- cet PT & KCB duplum Radij CB) etiam ip$æ extremæ $unt æquales, nimirum NT æqualis ip$i ACB, & PN, æqualis KA. Atqui ut XZ ad ZQ, ita ex con$tructione TP ad PN, & componendo atque convertendo ut ZQ ad QX ita PN ad NT; ergo etiam ut ZQ ad QX ita KA ad ACB. Quare $i- cuti ZQ ad QX e$t duplicata Rationis F ad G ex con$tructio- ne, etiam KA ad ACB e$t eju$dem Rationis F ad G duplica- ta; ergo KA ad mediam AB, hoc e$t Exce$$us $ecantis ad Tan- gentem, e$t ut F ad G. <p>Eádem methodo fiat ut E ad G ita G ad Y <I>a,</I> ex quâ dema- tur Y <I>b</I> æqualis ip$i E: & fiat ut <I>ab</I> ad <I>b</I> Y, ita Radij majoris BD duplum SO ad OM; atque inter OM & MS erit media proportionalis eadem AB: $imilique ratiocinatione o$tendetur exce$$um LA ad Tangentem AB e$$e in datâ Ratione E ad G. <p>Ut in praxim res faciliùs deduci queat, exemplo illu$tretur. Sit Radius minor CD 12, F ad G ut 16 ad 35: inveniatur his tertia proportionalis QX (76 9/16). Dematur F 16, remanet XZ (60 9/16). Fiat ut (60 9/16) ad 16, ita Radij duplum TP 24 ad PN 6 2/5 proximè. E$t ergo NT 30 2/5. Inter 6 2/5 & 30 2/5 me- dia e$t 14. <p>Item $it Radius major BD 18, E ad G ut 12 ad 35: inve- niatur his tertia proportionalis Y <I>a</I> 102 1/2, & auferatur E 12, remanet <I>a b</I> 90 1/2. Fiat ut 90 1/2 ad 12, ita Radij duplum SO 36 ad OM 4 7/9. E$t ergo MS 40 7/9. Inter 4 7/9 & 40 7/9 e$t media proportionalis 14: in his autem exemplis neglectæ $unt fractiunculæ. <pb n=346> <C>PROPOSITIO IX.</C> <p><I>Si duorum circulorum $e exteriùs contingentium centra jungat recta linea, & ab unius centro ad alterius convexam pori- pheriam rectæ ducantur, $ubten$a arcus ab$ci$$i major e$t quàm differentia linearum angulum in illo centro con$ti- tuentium.</I> <p>DUorum circulorum centra $int A & B, qui $e tangant in C, & jungat centra recta AB. Ex centro A in alterius con- <FIG> vexam peripheriam ducatur recta AD ab$cindens arcum CD. Dico linearum AD & AC angulum in centro A con$tituentium differentiam ED minorem e$$e $ubtensâ CD. Quia ex 20. lib. 1. duæ lineæ AC & CD $imul majores $unt rectâ AD; auferantur AC & AE æquales, remanet CD major quàm ED. Simili ratione CI major e$t quam IF. & $i $umatur angulus IAD, etiam ID major e$t quàm DH differentia inter AI & AD, quia in triangulo AID duo latera AI & ID majora $unt reli- quo DA, demptí$que æqualibus AI & AH remanet ID ma- jor quàm DH. <C>PROPOSITIO X.</C> <p><I>Si duo circuli $e exteriùs contingant, & in uno æquales arcus $umantur, ad quorum extremitates ducantur rectæ à centro alterius circuli; differentia $inuum arcûs $impli & dupli ad differentiam Exce$$uum harum rectarum $upra$uum Radium habet minorem Rationem, quàm $inus arcûs $impli ad Exce$- $um lineæ ad ip$um ductæ.</I> <p>SInt duo circuli, quorum centra A & B, $e contingentes in C, $umantur æquales arcus CI & ID, ad quos ex centro B <pb n=347> ducantur rectæ BI & BD $ecantes circulum CE in F & E: Radium B excedunt exce$$ibus FI & ED, qui ex 8. lib. 3. in- æquales $unt, & ma- <FIG> jor e$t ED quàm FI differentiâ KD. Ar- cuum $ubten$æ CI & ID æquales $unt, $inuum IH & DG differentia e$t LD. Dico majorem Ra- tionem e$$e HI ad IF, quàm LD ad DK. <p>Primò ducantur rectæ EF, KI: EF autem producatur ita, ut occurrat rectæ DI productæ in O. Quia triangula BFE & BIK $unt i$o$celia, & angulus BEF æqualis e$t angulo BKI, rectæ EO & KI ex 28.lib.1. $unt parallelæ: igitur ex 2 lib. 6. in triangulo DOE ut DI ad IO, ita DK ad KE: Atqui DI major e$t quàm IO, ergo etiam DK major quàm KE. Proba- tur autem DI majorem e$$e quàm IO; quia DI æqualis e$t ip$i CI ex hypothe$i; punctum verò O e$t extra circulum CE, quem linea EFO $ecat: ergo linea EF producta occurrit li- neæ IC citrà punctum C in S. Sed quoniam angulus BEF e$t acutus, qui e$t illi deinceps DEO e$t obtu$us; ergo per 16. lib.1. externus DOS multo magis e$t obtu$us: ergo per 19 lib.1. major e$t IS quàm IO, ergo multò major e$t IC quàm IO, hoc e$t ID major e$t quàm IO. <p>Deinde angulus MCI major e$t angulo NID, majori enim arcui MDI ille in$i$tit, hic autem minori ND ex 33. lib. 6: triangula verò HIC & LDI rectangula æquales habent hy- pothenu$as, hoc e$t Radios CI & ID, ergo majoris anguli HCI major e$t $inus HI; minoris verò anguli LID minor e$t $inus LD. Igitur ex 8. lib.5. HI major ad KE, hoc e$t ad IF, habet majorem Rationem quàm ad eandem KE habeat LD minor: & eadem LD habet minorem Rationem ad DK ma- jorem quàm ad KE minorem: Ergo HI ad IF majorem habet Rationem, quàm LD ad DK. <pb n=348> <HR> <C>CAPUT XII.</C> <C><I>Præponderatio & Æquilibritas gravium fune $u$pen$orum con$ideratur.</I></C> <p>PRopo$itum e$t lib.2. capit. 5. Experimentum, cujus hîc $ymptomata explicanda, cau$am afferendo omninò con$o- nam iis, quæ $æpiùs inculcata $unt. Funiculi extremitatibus al- ligantur pondera prorsùs æqualia; tùm claviculis duobus à $e invicem aliquo intervallo disjunctis, $ed in eádem horizontali lineâ con$titutis (exqui$itè tamen, quoad ejus fieri poterit ro- tundis atque politis, ne $uâ a$peritate motui impedimento $int) funiculus imponitur. Deinde tertium pondus a$$umitur duo- busillis $imul acceptis levius, aut $ingulis illis æquale, aut etiam illis minus, & funiculo inter utrumque claviculum adnectitur: hoc $ibi dimi$$um ita duobus illis ponderibus, quæ ob gravita- tis æqualitatem $ibi mutuo ni$u ob$i$tebant, ne moverentur, prævalet, ut ip$um de$cendens vi $uæ gravitatis cogat utrum- quc illud a$cendere. Id quod admiratione carere non pote$t, cum duo majora pondera, $uum æqualem conatum $ingula vi- ci$$im elidentia, conjunctis viribus minori gravitati præ$tare non valeant. <p>Funiculo CABD jungantur æquales gravitates C & D ex claviculis A & B pendentes, quæ æqualiter deor$um conniten- <FIG> tes, $ibique æqualiter repugnantes ne a$cendant, quie$cunt. Adnecta- tur in E pondus: huic etiam$i mi- nori illæ gravitates C & D omnino ob$i$tere non po$$unt, quin ex E de$cendat in F ex.gr. & funicu- lum trahens cogat illas a$cendere C quidem in I, D verò in K. Qua- propter funiculo EBD æqualis e$t funiculus FBK, & funicu- lo EAC æqualis e$t funiculus FAI: cum autem rectæ BE & BG æquales $int (nam centro B, intervallo BE de$criptus e$t <pb n=349> arcus) his ablatis, BD æquatur ip$i FG plus BK; & demptâ communi BK, remanet GF æqualis ip$i DK. Eadem ratione HF o$tenditur æqualis ip$i CI. E$t igitur men$ura motús pon- derum C & D a$cendentium HFG, ponderis verò intermedij de$cendentis EF. At ex prop.1. capitis $uperioris Tangens EF major e$t $ecantis BF exce$$u GF, item $ecantis AF exce$$u HF: contingit autem aliquam Tangentem majorem e$$e utro- que exce$$u $imul $umpto: pote$t igitur gravitas minor velociùs de$cendens præ$tare utrique ponderi tardiùs a$cendenti. <p>Quamdiu itaque $patium de$cendentis per Tangentem ma- jus e$t $patio a$cendentium, quod metitur exce$$us $ecantium, ita ut Ratio motûs de$cendentis ad motum a$cendentium major e$$e po$$it Ratione, quam habent pondera extrema ad pondus intermedium; hoc minore illa majora præponderantur. Ubi ve- rò cò ventum $it, ut jam neutra Ratio alteri præ$ect, tunc pon- dera $ub$i$tunt, & quies e$t. Si demùm ponderi intermedio pondus addatur, vel vis aliqua inferatur ponderis vicem $ubiens, utique adhuc de$cendit, quia Ratio ponderum extremorum ad pondus intermedium auctum facta e$t minor; $ed $ublato hoc ponderis additamento, illa extrema majorem habent Rationem ad pondus intermedium, quàm po$$it e$$e motuum reciprocè $umptorum Ratio; ac proinde illa de$cendentia hoc tanti$per elevant, dum fiat Rationum æqualitas. <p>Non e$t autem hîc opus ea, quæ ubcriùs $uperiore libro ex- plicata $unt, replicare, videlicet, gravium re$i$tentiam, ne mo- veantur, non e$$e attendendam penès ip$am gravitatem dum- taxat, verùm etiam motús, qui $itum ip$um atque po$itionem con$equeretur, velocitate aut tarditate dimetiendam; hanc ve- rò unius tarditatem cum alterius velocitate comparari non po$- $e ni$i ex longitudine $patiorum, quæ utrumque codem tempo- ris intervallo percurreret. Ex quo manife$tâ con$equutione con- ficitur $atis e$$e, $i $patiorum inæqualitas aut æqualitas o$tenda- tur; ut præponderatio aut æquilibritas innote$cat: ac propterea $atis e$t hîc $ecantium exce$$us cum Tangente comparare; hæc enim ponderis intermedij, illi ponderum extremorum motum definiunt. <p>Quapropter animum in rem ip$am attentiùs intendentes ob- $ervamus de$cendentis ponderis intermedij funiculum BFA <pb n=350> cum horizontali lineá BA angulos con$tituere ad B & A pri mum quidem acuti$$imos, deinde majores & majores; ac propterea Tangentis ad Exce$$um $ecantis Rationem $emper mi- nui ex propo$. 3. ideóque tandem ad eam deveniri Rationem, quæ non $it major Ratione ponderum reciprocè $umptorum. Quid igitur mirum, $i tandem fiat quies, ubi non e$t Ratio- num inæqualitas? Vici$$im autem quia ponderum certa e$t Ra- tio; certa e$t etiam Ratio Tangentis ad Exce$$um $ecantis certi cuju$dam anguli; igitur ex eádem prop.3. minoris anguli Tan- gens ad Exce$$um $uæ $ecantis majorem habet Rationem, quam $it Ratio ponderum reciprocè: ideóque pondus in E con$titu- tum po$itionem habens, ex quâ aliquis major motus deor$um con$equi pote$t, quàm a$cendant extrema pondera, de$cendit, & $uperat corum re$i$tentiam. Sed quoniam $uppo$ita extre- mis ponderibus manu ita elevare ea po$$umus, ut pondus inter- medium de$cendens funiculumque intendens con$tituat ad B & A angulos, quorum communis Taugens EF habeat ad Ex- ce$$um $ecantium HFG Rationem minorem, quàm $it reci- procè Ratio ponderum extremorum ad pondus intermedium, $atis con$tat, cur illa extrema præponderent, cùm & plus gra- vitatis & majora momenta, hoc e$t propen$ionem ad majorem motum, obtineant. Quamvis enim ex prop.4. differentia inter Tangentes duorum in eodem circulo arcuum inæqualium ma- jor $emper $it differentia, quæ inter corumdem $ecantes inter- cedit; quia tamen ex prop.5. Ratio hæc $emper fit minor, quò anguli augentur, idcircò $i Tangens $it duobus circulis com- munis, fieri pote$t, ut utriu$que circuli $ecantium differentiæ $imul $umptæ majores $int ipsá Tangente, vel $altem Tangens ad illas $imul $umptas cam habeat Rationem, quæ minor $it Ra- tione ponderum reciprocè. <p>Etut veritas exemplis ante omnium oculos po$ita nullum du- bitationi locum relinquat, data $it Ratio extremorum ponde- rum ad pondus intermedium, & inquiratur Tangens $imilem Rationem habens ad utriu$que $ecantis Exce$$um: intelligatur autem hîc facilitatis gratià punctum E omninò æqualiter di$tans ab A & B ita, ut æquales etiam $int $ecantium exce$$us HF & GF. Et primò quidem ponatur pondus medium æqua- le $ingulis extremis. E$t igitur quæ$ita Ratio dupla Tangentis <pb n=351> EF ad Exce$$uum $ummam HFG, cujus $ummæ $emi$$is e$t GF, atque adeò Ratio Tangentis EF ad GF e$t quadrupla, hoc e$t ut 4 ad 1. Ergo ex corollar. prop. 2. ut quadratum Ex- ce$sus ad differentiam inter quadrata Exce$sûs & Tangentis ($unt autem quadrata 1 & 16) hoc e$t ut 1 ad 15, ita exce$$us $ecantis ad duplum Radij BE. Quare Exce$$us $ecantis ad Ra- dium BE e$t ut 1 ad 7 1/2. Po$ito igitur Radio BE 100000, Ex- ce$$us $ecantis GF e$t 13333 1/3, & ejus quadrupla Tangens EF 53333 1/3 dat angulum EBF gr. 28. 4′. 21″, cujus $ecans BF e$t 113333 1/3. Di$tantia AB $tatuatur pedum quatuor, hoc e$t di- gitorum 64: e$t BE dig. 32. Igitur ut BE 100000 ad GF 13333, ita BE dig. 32. ad GF dig. 4 1/4. & Tangens hujus Ex- ce$sus quadrupla erit de$cen$us EF dig. 17, a$cen$us verò DK aut CI dig. 4 1/4 $inguli, & ambo $imul 8 1/2. In omnibus igitur angulis minoribus angulo gr. 28. 4′. 21″. Ratio Tangentis ad Exce$$uum $ecantium $ummam major e$t Ratione duplâ, quæ e$t ponderum Ratio, in angulis verò majoribus minor e$t Ratione duplâ: ac propterea ibi pondus intermedium $uperat extrema, hic $uperatur ab illis, & quie$cunt in invento angulo gr. 28. 4′. 21″. <p>Generaliter autem ut invenias, quantum a$cendere po$$int extrema pondera vi ponderis medij de$cendentis, $it nota Ra- tio ponderum: tùm minoris termini Rationis datæ $emi$$em ac- cipe (quia unicus Exce$$us hîc $umitur, & pondus medium æquali intervallo di$tat ab A & B) & hujus $emi$$is quadratum deme ex quadrato termini majoris: Deinde fiat ut hæc quadra- torum differentia ad quadratum illius $emi$$is, ita duplum Ra- dij, hoc e$t tota claviculorum di$tantia AB ad aliud, & erit Ex- ce$$us unius $ecantis, quæ e$t men$ura a$censûs æqualis pon- derum DK aut CI. <p>Ponderum extremorum Ratio $imul $umptorum ad interme- dium $it ex. gr. ut 7 ad 6: termini minoris 6 $emi$$is e$t 3, cu- jus quadratum 9 ex 49 quadrato termini majoris 7 deme, & e$t differentia 40. Di$tantia claviculorum A & B $it digitorum 80; fiat igitur ut 40 ad 9 ita 80 ad 18, & vi ponderis illius interme- dij poterunt extrema pondera a$cendere dig. 18. Ut verò inno- te$cat, quantum de$cendat pondus medium, inter Exce$$um <pb n=352> $ecantis 18, & 98 $ummam $ecantis & Radij, quære mediam proportionalem, & ex prop.2. hæc e$t Tangens dig.42: dupli- catus autem 18 pro utroque exce$$u $ecantis dat 36, atque mo- tuum Ratio 42 ad 36 eadem e$t cum reciprocá Ratione ponde- rum 7 ad 6. Quòd $i angulum EBF tantummodo quæris, quem funiculus FB con$tituit cum horizontali AB, fiat $imiliter ut 40 ad 9 ita Radij duplum 200000 ad 45000 Exce$$um Radio addendum, ut habeatur $ecans 145000 gr.46. 24′. <p>Ex his facilè intelligitur cur pro majore claviculorum A & B intervallo pondus medium magis de$cendat, quia $cilicet atten- denda e$t anguli magnitudo, ex quâ pendet Tangentis & $e- cantis Ratio; ubi verò major e$t Radius, majorem quoque e$$e $imilis anguli Tangentem atque $ecantem manife$tum e$t. Quare $i exiguum $it pondus medium, & vix appareat, an ab illo extrema pondera eleventur, atque dubitetur, an ideò $o- lùm illud de$cendat, quia funiculum magis intendit; adhibe longiorem funiculum, cui eadem pondera adnectas, & augea- tur, quantum opus fuerit, claviculorum A & B intervallum; demum enim apparebit extremorum ponderum a$cendentium motus: acuti$$imus $cilicet angulus in majore circulo habet $e- cantis Exce$$um $uprà Radium faciliùs notabilem quàm in mi- nore. Sic vides po$ito Radio habente unitatem cum $eptem cyphris, non inveniri Exce$$um $ecantis ni$i gr.0. 1′. 10. uni- tatem: at po$ito Radio cum quindecim cyphris, habetur eju$- dem anguli $ecantis Exce$$us $upra Radium partium 57585857: immò habetur etiam unius $ecundi $ecans, cujus Exce$$us $u- pra Radium e$t 11752. <p>Hinc etiam de$ines mirari, cur longiores funes aut catenæ nullâ vi ita intendi po$$int, ut in lineâ horizonti parallelâ rectam po$itionem habentes con$i$tant, $ed aliquantulum $al- tem inflectantur; quia nimirum in$itum funi aut catenæ pon- dus idem præ$tat, quod in hoc experimento pondus in medio appen$um. Id quod nautæ non ignorantes $æpius malunt uni anchoræ funem duplo longiorem adnectere, quàm duabus an- choris $implici & $ubduplo fune in$tructis navem firmare: nô- runt $iquidem longè majore vi opus e$$e ut funis longitudinem habens ducentorum cubitorum intendatur, quàm $i centum tantummodo cubitorum longitudo e$$et; ac proinde undarum <pb n=353> impetum longior funis faciliùs cludit, eóque minùs timendum e$t, ne dirumpatur, quò difficiliùs intendi pote$t. <p>Simile quiddam dicendum videtur, cùm longiorum pri$ma- tum aut cylindrorum extremitates $ubjectis fulcris totam longi- tudinem horizonti parallelam in aëre qua$i $u$pen$am $u$tinent; $uo enim pondere $i non franguntur, $altem curvantur; id quod brevioribus cylindris aut pri$matis non contingit. Quia vide- licet ex ipsá po$itione partes, quæ in mediá longitudine locum obtinent, & quæ his proximæ $unt, aptæ $unt velociùs moveri quàm remotiores: & quemadmodum pondus in medio po$itum de$cendens vincit re$i$tentiam extremorum ponderum a$cen- dentium, ita vis harum partium mediarum $uperat vim, quâ partes invicem nectuntur, ac proinde di$tractæ flectuntur $al- tem, & demum $eparantur. <p>Sed antequam planè ex animo effluat, unum hîc ob$ervan- dum (de quo forta$$e malui$$es initio præmoneri) aliud e$$e quod ex naturæ in$tituto, aliud quod ex iis, quæ accidunt, con- tingit. Quæ hactenus diximus de Ratione motuum $pectatis ponderum gravitatibus, intelligenda $unt, ni$i quid interveniat, quod legem hanc infringat; cuju$modi e$t aliqua funiculi re- mi$$io, vel minor inten$io, ita ut hic faciliùs à medio pondere de$cendente adhuc intendatur, quàm extrema pondera eleven- tur; ubi enim eò devenerit pondus medium, ut intentus funi- culus cum lineá horizonti parallelá angulum faciat, cujus Tan- gens ad $ecantium Exce$$us Rationem habet reciprocam pon- derum, ibi $ub$i$tit, etiam$i extrema pondera elevata non $ue- rint ni$i juxtâ men$uiam differentiæ $ecantium duorum angu- lorum, ejus videlicet quem demum funiculus con$tituit, & ejus qui funiculi remi$$ionem ip$o motûs initio con$equitur: quia ulterior de$cen$us ad ulteriorem a$cen$um non haberet majo- rem Rationem, $ed minorem Ratione ponderum reciprocè $umptorum. Quòd $i valde inæqualia fuerint pondera, eveni- re pote$t totam vim de$cendendi, quam pondus medium habet, ab$umi in funiculo intendendo, nec quicquam virium $upere$- $e ad extrema pondera attollenda. <p>Húc etiam $pectat impedimentum, quod ex funiculi clavi- culos terentis conflictu oritur; cùm enim de$cendentis ponde- tis medij momentum $emper decre$cat, ut ex prop.5. con$tat, <pb n=354> adeò extenuari pote$t, ut jam $uperare non valeat extremorum ponderum a$cendentium momenta aucta momento, quod ex partium conflictu oritur; qui conflictus $i non ade$$et, pergeret illud adhuc de$cendendo. Propterea $i claviculos ip$os con- gruentibus rotulis in$eras, adeò ut funiculus excavatæ ab$idi in$ideat, longè majorem motum faciliú$que perfici videbis; minùs enim rotula cum $uo axe confligit, quàm funiculus cum claviculo, $i illum terat; & quidem quò major fuerit ro- tula, circa eundem axem faciliùs volvitur, minor $iquidem partium tritus $it, $i cætera omnia $int paria. Simili modo $i pondus medium plus æquo per vim deprimas, faciliùs $uum in locum redibit adhibitis rotulis, quàm $i funiculus clavicu- lis in$i$teret: quia pondera extrema $uperare non valent & gra- vitatem ponderis medij & impedimentum, quod oritur ex ma- jori tritu funiculi & claviculorum, quàm rotularum & axium. Ob$ervabis etiam adhibitis rotulis pondus medium $ibi re- lictum tanto impetu à lineâ horizonti parallelâ de$cendere, ut ex concepto impetu fines $uos tran$iliat, ac idcirco de$inente impetu, quem in motu acqui$ivit, iterum $ur$um trahi ab ex- tremis ponderibus, quæ $icut minorem Rationem habebant ad gravitatem ponderis medij auctam impetu acqui$ito, ita ma- jorem Rationem habent ad eandem $poliatam illo impetu. <p>Porrò hæc quæ hactenus de pondere in mediâ planè di$tan- tiâ inter claviculos aut rotulas con$tituto dicta $unt, intelli- genda $unt pariter de pondere claviculorum intervallum inæ- qualiter dividente, quod quidem $pectat ad æquilibrium aut præponderationem propter Rationum æqualitatem aut inæqua- litatem. Peculiare tamen aliquid ob$ervandum e$t, videlicet aliquando contingere, ut hoc pondere medio de$cendente pondus proximum a$cendat, remotum verò de$cendat, utró- que autem pondere extremo a$cendente magis a$cendere quod proximum e$t, minùs quod remotum. Hujus inæqualis a$cen- sûs ($i pondus medium rectâ ad perpendiculum de$cendat) cau$a in promptu e$t ex iis, quæ prop. 8. indicata $unt, nam eju$dem Tangentis quadrato æqualia $unt, atque adeò & in- ter $e æqualia, rectangula, quæ fiunt $ub Exce$$u $ecantis & aggregato $ecantis & Radij: $unt igitur ex 14. lib.6. Exce$$us $ecantium reciprocè in Ratione aggregatorum $ecantis & Ra- <pb n=355> dij: quapropter ubi major e$t Radius & $ecans, ibi minor e$t $ecantis Exce$$us, hoc e$t remoti ponderis a$cen$us, & contra ubi minor e$t Radius & $ecans, ibi major e$t $ecan- tis Exce$$us, hoc e$t ponderis proximi a$cen$us. <p>Cur autem aliquando proximum pondus a$cendat, atque remotum de$cendat, quando nimirum valde inæquales $unt pond<*>is medij à claviculis di$tantiæ, hinc fit, quod idem pon- dus ex longiore funiculo majorem habet vim de$cendendi, quàm ex breviore; cui majori momento cum re$i$tere debeat pondus proximum, faciliùs cedit de$cendenti, atque adeò non rectâ de- or$um tendit pondus medium, $ed obliquè, accedendo ad pon- dus remotum, quod propterea de$cendit. Sic po$itum pondus in E valde inæqualia habet mo- <FIG> menta comparatum cum ex- tremis ponderibus D & C, quæ in punctis B & A exer- cent $uas vires adversùs pon- dus medium; quod ubi infrà horizontalem AB de$c&etilde;derit, illico inæquales angulos cum horizontali linea AB con$ti- tuit inflexus funiculus; ut $i intelligatur pondus ex E veni$$e in F, angulus FBA major e$t angulo FAB ex 18. lib.1. quia latus AF e$t majus latere FB. Igitur angulus FBD, quem funiculus inflexus FB facit cum perpendiculari BD minor e$t angulo FAC; ergo ex dictis lib.1. cap. 15. pondus in F minora habet momenta ad de$cendendum versùs perpendiculum BD, quàm ad de$cendendum versùs AC, & quidem duplici titulo, $cilicet anguli FBD minoris, & funiculi FB brevioris. Cum itaque pon- dus illicò ac ex E de$cendit magis pronum $it ad de$cendendum ve<*>ù perpendiculum AC, non per rectam EF perpendicular&etilde; de$cendit; $ed obliquè per lineam EG, ita ut funiculus GA bre- vior $it funiculo EA, ac propterca cedit ponderi C deor$um tra- henti. Et quia funiculus GB longior e$t funiculo FB, & multo magis funiculo EB, propterea aliquando contingere pote$t pon- dus D magis a$cendere, quàm a$cenderet, $i E fui$$et planè in mediâ di$tantiâ inter A & B. Ex quo etiam fit de$cen$um per- pendicularem ponderis medij minorem e$$e; nam punctum G <pb n=356> minùs di$tat ab horizontali AB, quàm punctum F, & tamen major e$t differentia inter EB & GB; ideò minor e$t Ratio IG ad Exce$$um GL, quàm EF ad Exce$$um FO. <p>Hanc momentorum inæqualitatem per$picies, $i pondus me- dium $ingulis extremis æquale inter claviculos æqualiter con$ti- tutum de$cendere permittas, $uóque in loco cõ$i$tere; cùm enim æqualis $it funiculorum illud $u$tinentium longitudo, & æqua- les faciat angulos tùm cum horizontali, tùm cum perpendicula- ribus, contra utrumque extremum æqualibus momentis pugnat, ac rectâ ad perpendiculum de$cendit. Tum alteri extremorum aliquid adde ponderis; hoc utique de$cendens $ecum rapit & ponderis medij & reliqui extremi gravitates, quas cogit a$cen- dere, donec ea fiat funiculorum inæqualitas, ut momenta, quæ pondus medium habet ad de$cendendum ratione di$tantiæ á cla- viculo remotiori, jam $uperari non valeant à pondere illo ex- tremo cum $uo additamento. <p>Nec di$par e$t philo$ophandi methodus, cum funiculi extre- mitas alterutri claviculo alligatur, unico pondere in alterâ extre- mitate pendente ex altero claviculo: pondus enim inter clavi- culos funiculo adnexum, quia velociùs movetur de$cendendo, quàm reliquum pondus a$cendendo, $uperare pote$t illius gra- <FIG> vitatem. Sit enim funiculus alligatus in A, & pendeat pondus D ex clavicu- lo B: pondus (utrùm æquale $it, an ma- jus, an minus, parum refert) adnectatur in C: utique de$cendens de$cribit ar- cum CI circa centrum A; e$t autem funiculus IB longior quàm CB ex 8. lib.3. Sed quoniam duo latera BC & CI $imul majora $unt reliquo latere IB ex 20.lib. 1. major e$t recta CI, & multo magis arcus CI $patium quod percurrit pon- dus medium de$cendens) quàm IE Exce$$us lateris IB $upra CB, hoc e$t men$ura motûs ponderis D a$cendentis. Quia verò ponderis medij de$cendentis circa centrum A momenta decre$- cunt ex dictis lib.1. cap.15. circa centrum autem B decre$cunt quidem, quia minor fit angulus declinationis à perpendiculo GBD, $ed decrementum hoc temperatur, quia momenta cre$- cunt ratione longitudinis funiculi, quæ $emper augetur ex 8. <pb n=357> lib.3.propterea ad momentorum æqualitatem venit, ubi demùm quie$cit. Quantum autem de$cendat, pendet ex ip$ius ponderis gravitate ab$olutâ $ive majori, $ive minori, $ive æquali compara- tâ cum pondere D, & ex di$tantiâ à centro A: $i enim valde pro- pinquum $it centro, parùm de$cendit, etiam$i cæteroqui gravius $it; & $i per vim adhuc deprimatur, ut veniat in G, ce$$ante vi extrin$ecùs illatâ pondus D de$cendens illud iterum attollit. <p>Cave tamen ponderis medij de$cendentis momenta metiaris ex arcu, quem de$cribit, $ed potiùs illa definienda $unt ex ip$o de$cen$u perpendiculari, cum moveatur vi $uæ gravitatis. Quo- niam verò æqualibus arcubus de$criptis non re$pondent paria perpendicularium linearum incrementa ex prop.10.$ed $emper minora fiunt; contra verò incrementa $ecantium augentur, hinc e$t deveniri ad momentorum æqualitatem, ita ut pondus me- dium gravius pondere extremo aptum $it minùs de$cendere quàm illud a$cenderet $ecundùm reciprocã Ration&etilde; gravitatum. <p>Hinc clici pote$t compendium aliquod in attollendo ponde- re cæteroqui valde gravi; $it enim pondus P attollendum func circumducto rotulæ A: quò longior <FIG> funis pote$t alligari in B, eò faciliùs $equetur motus, $i ad $ervandam in mediâ di$tantiâ po$itionem poten- tiæ moventis $implicem trochleam aut annulum in C addideris, cui in- $eratur funis BA: nam applicata po- tentia in D deor$um trahens multo faciliùs attollet pondus P, quàm $i arreptâ funis extremitate B idem onus elevare conaretur ad eam al- titudinem, ad quam attolleretur à pondere in C adnexo, quod æqualibus viribus præditum e$$et cum potentiâ in D trahente. Ubi jam $it attollendi difficultas, $uppone aliquid ponderi P, cui illud incumbat, nec contra funem conetur: tùm iterum funem intende, & alliga in B, ut $it AB horizonti parallelus, & ite- rum in D deor$um trahens priorem facilitatem expericris: id quod toties iterari poterit, quoties opus fuerit. <p>Ex his omnibus, quæ toto hoc capite di$putata $unt, mani- fe$tum e$t non referendas e$$e machinarum vires ad Rationes <pb n=358> circuli aut Vectis, quandoquidem hic videmus minori pondere majus pondus moveri ab$que ullo motu circulari. <HR> <C>CAPUT XIII.</C> <C><I>An aliqua $it Libræ obliquæ utilitas.</I></C> <p>LIl ram obliquam vocat Simon Stevinus Static. lib.3.prop.6. rotulam L funiculi in excavatâ ap$ide capacem pondus <FIG> cum æquipondio jungenris, & in $uo lo- culamento facillimè ver$atilem, cujus par- ticula extans E po$$it pro re natâ eximi, at- que iterum in$eri foraminibus, quibus exactè congruat, tigilli P firmè infixi pedi $atis gravi, ne valeat à ponderis examinan- di gravitate rapi & inclinari. Hanc ille ad ponderum obliquorum momenta inve$ti- ganda utilem exi$timavit, camque $æpiùs ingerit Static.lib.1.prop.19.& $eqq quam- vis $emper illam cum elevante directo conjunctam adhibeat. Propterea, an aliquid ex illâ emolumenti, $i $olitaria adhibeatur, capere po<*> mus in ponderum momentis inve$tigandis $ivè $u$- pen$orum, $ivè in plano inclinato jacentium, hîc examinare ope- ræ pretium fuerit; nam & à $uperioris capitis argumento non ali<*>na videtur e$$e præ$ens di$putatio. <p>Antequam verò rem aggrediar, monendum te cen$co, Ami- ce Lector, opportunius accidere, $i tigilli perforati loco cylin- drum in cochleam efformatum $tatueris, cui congruat in $imi- l<*>m helicem excavatum foramen S in rotulæ L loculamento: $ic enim faciliùs elevabitur aut deprimetur rotula, prout ex<*>get ip$ius ponderis po$itio. <p>Dupliciter itaque contingere pote$t ponderis obliquitas, $eu quia $u$pen$um non in codem perper diculo, in quo e$t punctum $u$pen$ioni<*>, habet centrum $uæ gravitatis, $eu quia plano incli- nato incumbit; utroque enim in ca$u momenta habet ad de$cen- dendum, quæ communi librâ aut $taterâ ve$tigare utique non po$$umus: an libræ obliquæ ope id a$$equemur? Et primò qui- dem $i pondus examinandum è funiculo $u$pen$um $ucrit, <*>$- que momenta pro variá declinatione à $uo perpendiculo inqui- <pb n=359> rantur, res manet incerta, $i in praxim deducatur, qum plurimum intere$t, quâ obliquitate inclinetur, atque à $uo perpendiculo de- flectat funiculus libræ obliquæ, $i maxime cum diversa obliqui- tate jungatur di$par funiculi illius longitudo. Nam ex A $u$- pendatur pondus B habens BAC angulũ <FIG> declinationis à $uo perpendiculo AC; & primùm $it libra obliqua D, itaut æquip&etilde;- dium E retineat pondus B in eodem $itu: deinde transferatur libra obliqua ex D in F, & æquipondium G retineat pariter in codem $itu pondus B cum declinationis angulo BAC. Si in eâdem rectâ lineâ $int BDF, nulla e$t momentorum inæqualitas, quamvis di$paritas intercedat inter funi- culi longitudines BD, & BF. Sin autem F paulo $uperior fuerit aut paulo inferior, jam BD & BF angulum in B con$tituunt, & momenta mutantur. Quoniam enim IE & HG perp&etilde;diculares $unt parallelæ, in ca$que incidit recta BDF producta, anguli BIE, & BHG $unt æquales per 29.lib.1. at verò $i libra obliqua F non planè in eâdem rectâ lineâ, $ed $uperiore loco collocaretur, angulum con$titueret cum perpendiculo HG acutiorem, & inferiùs po$ita angulum efficeret minùs acutum. Quare pondus B, quò acutior e$t angulus, & magis accedit ad perpendiculũ FG, eò etiam magis conatur contra F, & ad æqui- librium exigit majorem gravitatem in G, quàm cum angulus e$t minù, acutus. Id quod experimento allato $uperiori capite n<*>- ni$e$tum $it; $i enim funiculi extremitates jungant pondera in<*>- qualia, pondus intermedium magis accedit ad perpendiculum, in quo e$t major gravitas. Hinc quia valde incertum e$t in pra<*> utrùm B, D, & F in câdem $int rectá lineâ, propterea etiã incertũ erit ex gravitate ponderis G inferre, quanta $int ponderis B mo- m&etilde;ta cum declinatione BAC: Ni$i fortè duplic&etilde; in$tituas libræ obliquæ po$itionem in D, & in F atque eod&etilde; $emper põdere tam in E quàm in G retineatur pondus B in po$itione câd&etilde;. Ita tam&etilde; collocanda e$t libra obliqua, ut angulus ABD $it rectus; ex illo quippe æ$timatur planũ inclinatũ, in quo pondus B conatur de$- cendere, ut dictũ e$t lib.1.cap 15.alioquin $i acutus fuerit aut ob- tu$us ille angulus, quamvis in eâdem declinatione BAC reti- neatur, valde inæqualia apparebunt momenta. Quis autem de <pb n=360> anguli illius rectitudine certus fuerit? cùm maximè rectam DB oporteat ad perpendiculum in$i$tere lineæ jungenti pun ctum A $u$pen$ionis cum centro gravitatis ponderis B. Ex pond ere ita- que, quod e$t in E, aut in G, nemo pote$t certò definire mo- menta ponderis B $u$pen$i. <p>At $i dato quopiam plano inclinato jaceat pondus, veli$que li- brâ huju$modi obliquâ explorare, quanta habeat pro eâ plani in- clinatione ad de$cendendum momenta, ego $anè nihil certi affir- mare audcrem; quippè qui $emper incertus hærer&etilde;, an æquipon- dium libræ obliquæ indicaret ip$a mom&etilde;ta ponderis in plano in- clinato pro ratione inclinationis; nam plani $ubjecti non omnino lubrica $uperficies, & ponderis illi incumbentis a$peritas impe- dientes motum, non nihil detrahunt momenti ad de$cendendũ. Cum verò pro diversa inclinatione planũ inæqualiter prematur ab in$i$tente põdere, adhuc eadem $uperficierũ $e contingentiũ a$peritas magis ob$i$tit motui, quò major e$t plani inclinatio de- clinans à perpendiculo. Quare adhuc magis incerta e$$ent mo- menta, quæ ab æquipondio libræ obliquæ indicarentur. <p>Nihil aliud itaque commodi hinc $perari pote$t præter notitiã momenti, quod planorum a$peritas detrahit mom&etilde;to de$cenden- di. Si enim nota $it ponderis dati gravitas ab$oluta, & plani incli- natio innotuerit, videlicet angulus, quem planum inclinatũ cum plano horizontali con$tituit, fiat ut Radius ad Sinum noti anguli inclinationis, ita gravitas ab$oluta dati ponderis ad mom&etilde;ta, quæ habet in plano inclinato: Tum librâ obliquâ exploretur, quanto æquipondio opus $it ad retin&etilde;dum pondus in plano inclinato, ne deor$um labatur: nam differentia inter gravitatem æquipondij, & momenta inventa pro tali inclinatione indicabit, quantum impe- dimenti oriatur ex planorũ $e contingentium a$peritate, $i æqui- pondij gravitas minor $it momentis, quæ ab huju$modi inclina- tione exiguntur. Sic ex.gr.$it ponderis dati ab$oluta gravitas un- ciarum 30, inclinationis angulus dati plani cum plano horizõtali $it gr.60.fiat ut 10000 Radius ad 86603 Sinum gr.60.ita 30 ad 25.98. Si applicata libra obliqua æquipondium habeat $olùm unc.24, manife$tum e$t à planorum a$peritate detrahi momenti partem fer<*> decimam tertiam, cùm de<*>int ju$to æquipondio ferè unciæ 2. Verùm & hîc ob$ervandum, opus e$$e funiculi, à quo pondus retinetur, paralleli$mum cum plano inclinato, prout ex iis, quæ de obliquis tractionibus lib. 1. cap.16. dicta $unt, $atis con$tat. <pb n=361> <FIG> <C>MECHANICORUM</C> <C>LIBER QUARTUS.</C> <C><I>De Vecte.</I></C> <p>HACTENUS de in$trumentis ad movenda pondera idoncis nihil, ni$i forta$sè obiter, dictum e$t: Jam ad illa explicanda accedimus, quibus veteres facul- tatibus nomen indiderunt. Quamvis autem in quinque facultatibus enumerandis primum locum Vecti Pappus lib. 8. Collect. Math. non tribuat, placuit tamen de Vecte ante cæteras facultates di$$erere, e$t $iquidem paratu facillimus, & ad $ubitum u$um prompti$$imus, atque cen$eri pote$t, ut idem Pappus loquitur, <I>forta$$e pram<*>ditatlo motús cir- ca excedentia pondera: $tatuentes enim quidam magna pondera mo- vere [quoniam primùm à terrâ attollere oportet, an$as autem non hahebant) quòd omnes partes ba$is ip$ius ponderis $olo incumberent, pau<*>um $uffodientes, & ligni longi extremitatem $ubjicientes $ub onus, adducebant ex alterâ extremitate, $upponentes ligno propè ip$um onus lapiàem, qui Hypomochlium appellatur. Cúmque illis vi- $us e$$et hic motus valde facilis, exi$imaverunt fieri pe$$e, ut hoc pacio magna pondera moveretur. Vocatur autem tale lignum Vectis, $ive quadratum $it, $ive rotundum, & quanto propinquius oneri poni- tur hypomochlium, tanto faciliùs pondus movetur.</I> Hæc illc vectis ortum & procreationem quodammodo indigitans. <p>Contingere quidem pote$t, ut Vecte aliquando utamur ad $u$tinendum ingens pondus, non autem ad movendum, adeò ut potentia exigua $u$tinens, in alterâ vectis extremitate po$ita. <pb n=362> habeat rationem æquipondij retinentis pondus in oppo$itá ex- tremitate collocatum: & tunc locum habet Ari$totelis $enten- tia Mechan. quæ $t.3.dicentis, <I>Ip$e vectis e$t in causá libra ex $iens, $partum inferne habens, in inæqualia divi$a; hypomoclion enim e$t $p.<*>rtum, ambo namque $unt ut centrum.</I> Verùm cùm propriè, & pre$sè tunc facultas e$$e non videatur, neque exerceat munus vectis, quia non movet, $ed $it qua$i jugum $tateræ; fru$ira Vectis quâ vectis e$t, ad libram revocatur: præ$ertim cùm ali- quod vectis genus $it, in quo nullum libræ ve$tigium depre- hendi pote$t, etiam$i pondus cæteroqui <*>uiturum $u$tineat; $i nimirum pondus ip$um inter vectis extremitates con$titutum $u$tineatur, aut potentia ip$a $u$tentans medium locum occu- pet inter pondus & hypomochlium, ut infra dicetur. Quid enim pariter non revocetur libra aut $tatera ad Vectem, $i ex altera jugi extremitate pondus addatur, quod ad oppo$itum pondus majorem habeat Rationem, quàm libræ, aut $tateræ brachia reciprocè $umpta? tunc enim (qua$i $tateræ aut libræ centrum motûs e$$et hypomochlium) $equitur motus prout ex vecte. Quemadmodum igitur libra aut $tatera ad ponderum æquilibrium in$titute, non verò ad corum motum, libræ aut $tateræ munus non exercent in motu, quâ motus e$t; ita pari- ter vectis hypomochlium inter extremitates habens non exer- cet munus vectis in quiete: alioquin & vectis ad libram, & vi- ci$$im libra ad vectem ab$urdo circulo revocaretur. Adde verò genus hoc vectis hypomochlium inter extremitates habentis, $i adhibeatur ad onus in plano horizontali movendum, non verò ad illud $u$tentandum, nihil habere commercij cum librâ, onus $i quidem nullam exercet vim $uæ gravitatis adversùs ip$u<*> vectem, nam ce$$ante potentia onus illicò quie$cit; at in libra $ublato æquipondio pondus de$cendit. Quid $i vecte utamur ad corpus leve infra aquam deprimendum? an erit illa libra in- ver$a? Non igitur me fru$tra conficiam labore enitens rationes libræ in vecte recogno$cere, $ed ip$um per $e con$iderans, quæ opportuniora cen$uero, di$putabo. <pb n=363> <HR> <C>CAPUT I.</C> <C><I>Vectis forma, & vires explicantur.</I></C> <p>VEctis ob id ip$um quia Vectis e$t & Facultas mechanica, longitudo quædam e$t, in qua tria puncta a$$ignantur, pri- mum Potentiæ moventi, alterum Ponderi movendo, tertium Fulcro, $eu Hypomochlio, cui innixus vectis tanquam ex centro duos arcus de$cribens duplicem motum definit, Poten- tiæ videlicet & Ponderis, pro variâ illorum ab codem fulcro di$tantiâ. Hinc quia tripliciter in hac longitudine tria hæc puncta di$poni po$$unt, tria oriuntur vectis genera. Primum e$t vectis genus, cùm extremi- tates occupantur à Potentia A <FIG> & Pondere B, medius locus Hypomochlio C cedit. Secun- dum genus e$t, cum extremi- tati alteri F innititur vectis, al- teri Potentia D adjungitur, & inter utramque extremitatem collocatur Pondus E. Tertium genus e$t, cum Potentia & Pondus loca $ecundi generis invi- cem permutant, Potentia G videlicet in medio, Pondus H in extremitate con$tituitur, manente alterâ extremitate I tan- quam motuum centro. Cum itaque nulla alia fieri po$$it trium huju$modi punctorum diver$a di$po$itio, patet tria $olùm Vectis genera excogitari potui$$e. quod enim quartum Vectis genus, $cilicet inflexum RSV commini$ci quibu$dam placuit, omnino ineptum e$t, quippe quod à primo genere nihil differt, ni$i quia, loco $ubjecti fulcri, adnexum habet hypomochlium inter extremitates con$titutum in S, ubi $inuatur in angulum, cui in motu innititur. <p>Quemadmodum autem inter hæc tria Vectis genera di$$imi- litudo, ita non modica inter corum vires di$crepantia interce- <pb n=364> dit. Primum enim genus, $i ab hypomochlio inæqualiter di- vidatur longitudo vectis, ut ab eo plus di$tet Potentia, quàm Pondus, juvat Potentiam; $ecus verò, $i Potentia & Pondus æqualibus intervallis ab hypomochlio ab$int, aut propior $it Potentia quàm Pondus; Potentiæ etenim tunc vectis vel nihil affert adjumenti, vel plurimum detrimenti. Secundum genus Potentiæ laborem $emper minuit, Tertium $emper auger. Quo- nam id pacto contingat, manife$tum fiet, $i vectis vires unde ortum habeant, aperiamus. <p>Certuin e$t fieri non po$$e, ut pondus aliquod per vim mo- veatur, ni$i potentiæ moventis virtus $uperet ponderis re$i$ten- tiam; $i enim pari conatu confligerent, anceps e$$et victoria, & nullus e$$et motus; multo minùs à potentiâ infirmiore, quàm par $it, vinci poterit innata ponderis propen$io. Hoc igitur ip$o quod motus efficitur, argumento e$t potentiæ virtutem re- $i$tentiâ ponderis e$$e majorem: Quod verò pondus eodem temporis intervallo plus $patij aut minus decurrat, pro ratione exce$sûs virium potentiæ $upra ponderis re$i$tentiam definitur; nam $i perexiguus fuerit exce$$us, movebitur quidem pondus, $ed tardè; $in autem potentiæ virtus longè excedat ponderis vires, eam celerior motus con$equetur. Et hæc quidem intel- ligi hactenus velim, quando potentia & pondus juxta æqualem $patij longitudinem pari velocitate promoventur, ut ip$a expe- rientia omnibus manife$tum facit; nemo $iquidem dubitat, an currus à validioribus equis celerius quàm à debilibus canthe- riis trahatur; & à robu$tiore bajulo citiùs quàm ab imbecillio- re onus in de$tinatum locum transferri quotidie videmus. <p>Ut igitur vecte pondus moveri valeat, lex hæc eadem $tabi- lis & firma permaneat, nece$$e e$t, ut ponderis re$i$tentia mi- nor $it virtute potentiæ moventis. Quia verò re$i$tentia com- ponitur ex innatâ ponderis gravitate, & ex motûs violenti tar- ditate aut velocitate, hoc e$t ex motûs huju$modi quantitate intra datam temporis men$uram; propterea ita duo hæc tempe- rari oportet, ut quod alteri additur, alteri dematur; ne adeò re$i$tentia augeatur, ut jam minor non $it virtute potentiæ. Quare in vecte, cujus extremitati A potentia applicatur cer<*> virtutis, ita $tatuendus e$t hypomochlio C locus, ut compara- to motu potentiæ in A cum motu ponderis in B, ea $it motûs B <pb n=365> tarditas; quæ addita gravitati ponderis B re$i$tentiam compo- nat minorem virtute movendi potentiæ A. Quoniam enim, manente puncto C tanquam centro motús potentiæ de$cenden- tis & ponderis a$cendentis, manife$tum e$t eam e$$e motuum Rationem, quæ e$t Radiorum CA & CB idcirco quò major erit huju$medi Radiorum inæqualitas, eò etiam major erit Ra- tio motûs potentiæ ad motum ponderis, cujus tarditas gravi- tatem compen$ans minuet re$i$tentiam, ut virtuti potentiæ, pro- portione re$pondeat. <p>Hic verò, $i rem paulò attentiùs intro$picias, deprehendes tamdiu $olùm admirationi e$$e machinarum vires, quamdiu cau$a occulta manet; quæ $i in medium proferatur, admiratio- ni nobis e$t ip$a no$tra admiratio. Aio igitur potentiam tan- tumdem plane motûs in pondere efficere cum vecte conjunctam (idem de cæteri pariter Facultatibus intelligatur, neidem $æ- più, ad nau$eam inculcare oporteat) ac $i $olitaria eodem cona- tu pondus aliquod $ecum pari velocitate adduceret, aut eleva- ret. Sit potentia A æqualiter, ac pondus B, di$tans à fulcro C; & quo conatu movetur potentia de$cendens $patio digitorum decem, dum arteria bis pul$at; cogat oppo$itum pondus libræ unius a$cendere pariter eodem tempore per digitos decem; e$$e enim æquales oppo$itos huju$modi motus, qui ex æqualibus Radiis arcus æquales de$cribunt, certum e$t. Jam manente Ra- dio CA, finge Radium CB mutilum atque decurtatum adeò, ut $ola ejus pars decima reliqua $it, & CB ponderis di$tantia ab hypomochlio $it $ubdecupla di$tantiæ CA potentiæ ab eo- dem hypomochlio: erit igitur motus in B $ubdecuplus motûs in A. Quare pondus unius libræ in hac $ubdecuplâ di$tantiâ cùm $ubdecuplo tardius moveatur (percurrit enim tempore eo- dem $patium $ubdecuplum) indiget $olùm $ubdecuplo impetu ejus, quem prius exigebat, ut æqualiter cum potentiâ move- retur. Totus igitur impetus ille, quem potentia ponderi unius libræ imprimebat, ut æquali velocitate pariter moverentur, illa de$cendendo, hoc a$cendendo, $i decem ponderibus $imilibus di$tribuatur, <*> e$t, ut omnia illa moveantur $ubdecuplâ ve- locitate. Quia autem duorum arteriæ pul$uum $patio $ingula a$cend<*>nt digitum unum, & $unt decem a$cen$us digitales, dum potentia de$cendit digitos decem, & dum potentia primo <pb n=366> arteriæ pul$u decurrit digitos quinque, decem illa pondera motum quinque digitorum perficiunt, $ingula videlicet per $e- midigitum (id quod pariter ob$ervari facilè poterit in $ingulis minutioribus temporis particulis) tantumdem motus perficit potentia ac pondus, $ive toto impetu uni libræ impre$$o libra una habeat motum decem digitorum, $ive decimâ impetûs par- te $ingulis libris impre$sâ, $ingulæ habeant motum digitalem: utrobique $cilicet $unt decem motus digitales, $ive unius pon- deris, $ive decem ponderum eodem tempore. Quis verò mi- retur, $i ille idem, qui decem aureis nobili ho$piti $plendidio- res epulas parare po$$et, decem hominibus frugalem men$am in$trueret $ingulis aureis in $ingulos homines tributis? De$inat igitur pariter mirari, $i potentia eadem, quæ decem impetûs particulis libram unam $ecum pari velocitate movet, $ingulis particulis in $ingulas libras tributis moveat decem libras, $in- gulas $ubdecupla velocitate; neque enim hic plus conatûs, quàm ibi, requiritur. <p>In hoc itaque Vectis vires $itæ $unt, quod ex Potentiæ & Ponderis po$itione ita temperantur motus, ut impetûs quem potentia ponderi imprimere valet, aut re ip$a imprimit, inten- $io re$pondeat tarditati aut velocitati motûs ip$ius ponderis. Hinc $i Potentia, & Pondus æqualibus intervallis ab hypomo- chlio di$tent; motus æquales $unt; & perinde ac $i potentia $o- litaria $ine vecte ($i illa quidem vivens $it) attolleret pondus, vectis nihil juvat potentiam, quia pondus hoc recipit totam impetûs inten$ionem, quam illa efficere pote$t. Sin autem Potentia quidem magis, Pondusverò minùs à fulcro ab$it, tar- dior ponderis motus minorem exigit impetûs inten$ionem; ac proinde entitas eadem impetûs, quæ e$t inten$ivè minor, po- te$t fieri exten$ivè major, & communicari ponderi majori, ac priùs. Quare pro Ratione tarditatis motûs extenuatur impetûs inten$io, atque ideò pro eadem Ratione augeri pote$t ponderis exten$io, hoc e$t gravitas; ut quæ Ratio e$t velocitatis motûs in pondere æqualis velocitati motûs in potentiâ, ad tarditatem motûs in pondere minoris motu in potentiâ, eadem $it directè Ratio inten$ionis impetûs in pondere æquè veloci ad inten$io- nem impetûs in pondere tardiori, & reciprocè cadem $it Ratio ponderis tardioris majoris ad pondus illud minus, quod æquè <pb n=367> velociter cum potentia moveri pote$t. Quòd $i potentia pro- pior fuerit hypomochlio, quàm pondus, potentia tardiùs, pon- dus movetur velocius: plus igitur inten$ionis impetûs requiri- tur in pondere quàm in potentiâ, adeò ut impetus, qui in po- tentiâ non vivente e$t exten$ivè major, inten$ivè minor, con- tra in pondere $it exten$ivè minor, inten$ivè major: ac propterea pondus tantò levius e$$e oportet pondere, quod æquè velociter cum potentiâ moveretur, quantò velociùs movetur præ illo æquè veloci. Non igitur vectis juvat potentiam, ut faciliùs moveat, $ed movendi difficultatem auget. Id quod in Tertio vectis genere $emper contingit, in quo potentia G mi- nus ab hypomochlio I di$tat, quam pondus H, & tardiùs mo- vetur. Accidit autem hoc idem etiam in Primo genere, cum vectis inæqualiter ab hypomochlio di$tinguitur in partes, $i lo- ca permutentur, ut potentia propior $it, quàm pondus. His tamen uti po$$umus, quoties quidem viribus abundamus, $ed $patium, in quo potentia moveatur, angu$tum e$t, oportet au- tem ponderi velocem motum conciliare. Contra verò in vecte Secundi generis potentia à fulcro $emper remotior e$t, quàm pondus; idcirco $emper juvat potentiam; quia quo tardior e$t ponderis motus, eò minorem ponderis pars, quæ æqualis $it ponderi æquè veloci, exigit impetûs inten$ionem; ac propterea quod reliquum e$t impetûs à potentia producendi, pluribus aliis $imilibus ponderis partibus impertiri pote$t; atque adeò ab$olutè majus e$t pondus, quàm quod æquè velociter mo- veretur. <p>Hæc eadem, quæ de ponderibus vecte movendis dicta $unt, intelligi pariter oportet de ponderibus vecte $u$tentandis citra motum; eo tantùm ob$ervato di$crimine, quod ad motum ma- jor requiritur potentiæ virtus, quàm $it ponderis re$i$tentia, in $u$tentatione verò par re$i$tentiæ ponderis e$t virtus potentiæ. Re$i$tentia autem in $u$tentatione non ex motûs tarditate aut velocitate, quæ re ip$a $it, $ed ex eâ, quæ e$$et, $i motus fieret, quatenus pondus e$t vecti connexum, definienda e$t; & pro huju$modi momentorum Ratione, quibus pondus deor$um co- natur, etiam impetûs contranitentis inten$ionem dimetiri ne- ce$$e e$t. Quia igitur pondus cum vecte connexum quo propiùs ad hypomochlium accedit, eo tardiùs $ibi relictum de$cenderet; <pb n=368> propterea etiam minorem contranitentis impetûs inten$ionem requirit: Ex quo fit eodem potentiæ conatu, quo illa pondus $i- ne vecte $u$tineret, po$$e majorem ponderis gravitatem $u$tineri adhibito vecte, eóque majorem, quo major e$t Ratio di$tantiæ potentiæ ad di$tantiã ponderis à fulcro; & vici$$im potentia mi- nore conatu idem pondus $u$tinebit, $i hoc propius admoveatur ad hypomochlium, quàm priùs, cum opus erat majore conatu. <p>Porrò conatum potentiæ de indu$tria dixi, ut vocabulo ute- rer, quo tum potentia vivens, tùm inanimata æquè comprehen- deretur; quia aliquando quidem potentia conatum adhibet in- natâ $uâ gravitate, aliquando autem præter, aut contra gravitatis propen$ionem. Gravitate utitur, quæ inanima e$t, & vires $uas exerit totas, quodcunque demum pondus vecte movendum aut $u$tentandum proponatur. Potentia verò vivens $uo con$ulens commodo, ne $e inani conficiat labore, non plus operæ confert, quàm opus fuerit, $ed vires ex opportunitate admini$trat, modò majores, modò minores impendens, quippe quæ mu$culorum contentione voluntarios motus perficit, & non $olùm deor$um premendo, $ed etiam $ur$um connitendo, aut in tran$ver$um ur- gendo, vecte uti pote$t: At inanimata potentia non ni$i de$cen- dendo vi $uæ gravitatis cogere pote$t adver$um pondus ad a$cen- dendum; atque $i primum vectis genus demas, cui pote$t illa proximè admoveri, in cæteris generibus, $i attollendum $it pon- dus, artificium aliquod excogitandum e$t, quo interjecto, aut potentiæ virtus, aut ip$um pondus ad vectem applicetur, ut propo$itum finem a$$equamur; conatus enim potentiæ & pon- deris, licet inæquales, non tamen oppo$iti $unt, $ed ad eandem partem $ua gravitate contendunt. <p>Sic vecte RS, cujus fulcrum $it in extremitate R, non pote$t <FIG> pondus V attolli à po- tentia inanimata P, $i proximè illi adjungatur in S; ac propterea rotu- la in T figenda e$t ver- $atilis, & funiculo STP jungenda potentia P, quæ deor$um connitens elevat vectem in S, at- <pb n=369> que adeò etiam pondus V. Simili ratione $it vectis Secundi generis MN, & hypomochlium in M, locus autem ponderis in H: $i potentia N inanimata vecti proximè adnectatur, uti- que elevare non poterit pondus in H collocatum: quare $ta- tuatur in loco $uperiore rotula K, & funiculo HKL jungatur pondus L cum puncto H; nam potentia N $ua gravitate de$cen- dens deprimendo punctum H vectis clevabit pondus L. Idem continget, $i vectis MN $it tertij generis, & N $it pondus at- tollendum, potentia verò inanimata collocanda $it in H. Nihil utique præ$tabit de$cendendo in H; ut igitur punctum H a$cendat, rotula K adhibeatur, & à potentia L de$cendente elevabitur idem punctum H, ac proinde etiam pondus N. Vel $i in vecte RS tertij generis $tatuatur potentia V, illa de$cen- dens deprimet velociter extremitatem S, & pari velocitate a$cendet pondus P. Quid hoc $implex artificium aliquando in $cenicis motionibus præ$tare po$$it emolumenti, facilè prudens machinator intelligit. <p>Ex his, quæ de Vectis viribus explicata $unt, apertè liquet omnino veritati con$entanea e$$e ea, quæ lib. 2. cap. 8. diximus, in rotis curruum inveniri non po$$e rationem vectis, quia duo tantummodo $unt puncta, $cilicet extremitas Radij $ubjectam tellurem tangentis, & rotæ centrum, cui & innititur pondus, & medio temone applicatur potentia. Cum igitur potentia & pondus eandem habeant po$itionem, & æquali velocitate mo- veantur, nullum habetur ex Vectis rationibus compendium. Eatenus enim Vectis in Mechanicarum Facultatum cen$u nu- meratur, quoad potentia & pondus di$pari celeritate moventur, vel quia potentia $e velociter movens exiguo conatu tardè mo- vet pondus, ut in primo & $ecundo genere vectis, vel quia po- tentia $e tardè movens multo conatu celeriter movet pondus, ut in tertio genere. Quare $emper in motu ponderis per vectem aliquid lucri habetur, nimirum aut major ponderis gravitas, quæ movetur, aut $altem major velocitas, qua movetur. <pb n=370> <HR> <C>CAPUT II.</C> <C><I>Quid in hypomochlij collocatione $it oh$ervandum.</I></C> <p>TRia in Vecte, ut dictum e$t, puncta con$tituuntur & de- $ignantur duo quæ moventur, tertium illorum motuum centrum, quod alicui corpori innititur, ut vectis con$i$tat, nec à ponderis gravitate, aut à potentiæ vi abripiatur: huic cor- pori <I>Hypomochlio</I> nomen inditum e$t à Græcis, qua$i ($i verbum è verbo volumus) <I>$ubvectis,</I> nam ut plurimum vecti $ubjicitur, nos <I>Fulcrum</I> dicimus, quia vectem $ibi incumbentem fulcit. Cæterùm non e$t hæc con$tans, & perpetua hujus corporis po$itio, ut $ub vecte $it, quamvis $emper Hypomochlij aut Ful- cri nomine donetur; quandoquidem in vecte tertij generis, ubi pondus in extremitate e$t, potentia medium locum obtinet, $i infra alteram vectis extremitatem e$$et corpus huju$modi, uti- que à potentia nequiret attolli pondus, ut patet: in $uperiore igitur parte $it oportet, ut potentiâ $ur$um conante, pondere deor$um contranitente, impediatur altera vectis extremitas, ne fiat totius vectis conver$io ob$ecundans aut potentiæ conatui, aut gravitati ponderis, quod e$$et attollendum. Quod $i hoc vecte tertij generis deprimendum e$$et infra aquam per vim corpus aliquod leve, tunc $ub vecte con$titueretur hypomo- chlium: contrà vectis primi & $ecundi generis $i ad premen- dum aut deprimendum adhibeatur, exigit hypomochlium in $uperiori parte. Similiter non e$t $ub vecte, $ed ad latus adja- cet, quoties pondus e$t movendum in plano horizontali, $ive in eodem plano $it vectis, $ive in plano verticali, ut cùm duo mar- mora non elevanda $unt, $ed immi$$o inter illa vecte invicem disjungenda. Quemadmodum igitur lapis à lædendo pedem vocabulum habet, etiam$i non lapides omnes pedem lædant; ita corpus illud, cui punctum vectis quie$cens innititur, hypo- mochlij & fulcri nomen retinet, quamvis non $emper $ub vecte $it, ill úmque $uffulciat. Quid autem profuerit immutare vo- <pb n=371> cabula, ubi rem ip$am tenemus? Immò punctum ip$um vectis quie$cens, quod hypomochlio re$pondet, non raro ab iis hy- pomochlium dicitur, aut fulcrum, qui verborum compendio claritati con$ultum volunt; mihíque hanc loquendi facultatem, ubi res tulerit, re$ervo. <p>Quie$cens autem voco punctum vectis, quod e$t centrum motuum potentiæ, & ponderis; non quia $emper omnino quie$cat, $ed quia $i aliquo motu moveatur, tardi$$imum certè e$t omnium punctorum; cætera quippe vectis puncta circa hoc tanquam circa centrum de$cribunt lineam inflexam ac recur- vam: alioquin $i punctum hoc plus moveretur quàm pondus, mutatæ fui$$ent vices, & quod pondus dicitur, e$$et reip$a hy- pomochlium, corpus verò, quod hypomochlium dicitur, e$$et pondus, quod à potentiâ poti$$imum moveretur. Ob$ervandum enim e$t non pondus $olum, verùm etiam hypomochlium acci- pere vim externam potentiæ vectem agitantis, re$i$tente vide- licet pondere, ex quo fit illud premi; quod $i inæqualiter re- $i$tant, licet utrumque moveatur, in illud potiùs exercet vir- tutem $uam potentia, quod languidiùs re$i$tit, altero validiore hypomochlij rationem habente. Sic vecti ad attollendum mar- mor applicato $i glebam, hypomochlij loco, $uppo$ueris, non marmor attolles, $ed glebam vecte conteres: marmor igitur e$t hypomochlium vecti $uperpo$itum, & glebæ e$t pondus contri- tum vecte $ecundi generis: At $i pro gleba lignum $ubjicias, quod non frangatur, $ed aliquantulum cedens comprimatur, & vectis ve$tigium recipiat, ita tamen, ut marmor moveatur, du- plex vectis genus hic intercedit, prout duplex effectus poten- tiæ conatum con$equitur; ad comprimendum $cilicet lignum vectis e$t $ecundi generis hypomochlium habens impo$itum marmor, ad elevandum autem marmor vectis e$t primi generis, cujus hypomochlium e$t $ubjectum lignum. Cuju$modi $it hy- pomochlium, $ive $it funis vectem retinens, $ive axis infixus, circa quem volvatur vectis, $ive quodcumque aliud corpus, cui ille incumbat, aut innitatur, modò ab$it incommodi periculum ex ejus fragilitate, parum refert: $atis e$t, $i par fuerit ferendo oneri, quod vecte elevatur. Ex ponderis autem gravitate hy- pomochlij $oliditas atque materies definienda e$t; ex motùs <pb n=372> qualitate ($p<*> quo perficiendus e$t, po$itione) forma hypomochlij $tatuatur. <p>Illud examinandum videtur, quandónam præ$ter uti vecte primi generis, quando vecte Secundi generis, hoc e$t an plus commodi a$$erat $ulcrum in vectis extremitate collocatum, ut in $ecundo genere, an verò inter pondus atque potentiam in- terjectum, ut in primo genere. Propo$ita $it vectis longitudo decem palmorum, quo oporteat pondus ita attollere, ut ejus motus $it re$pondens arcui de$cripto ex Radio duorum palmo- rum. Si vectis $it primi generis, pondus & potentia $unt in vectis extremitatibus, hypomochlium dividit totam longitudi- nem in partes duas, quarum major ad potentiam $pectans e$t quadrupla minoris $pectantis ad pondus; e$t $cilicet illa octo, hæc duorum palmorum. At $i vectis fuerit $ecundi generis, hypomochlium & potentia illius extremitates occupant, pon- dus ab hypomochlio di$tat palmos duos: quare potentiæ di$tan- tia ab hypomochlio cum $it tota vectis longitudo, e$t quintu- pla di$tantiæ ponderis. Cum igitur ponderis motus cum po- tentiæ motu comparatus hic quintuplo tardior $it, ibi verò $o- lum quadruplo tardior, minore impetu indiget, ut moveatur vecte $ecundi generis. Cæterùm con$iderato hoc duplici vectis genere, ob$ervandum e$t in $ecundo genere à potentia elevan- dum non $olum pondus $ed etiam vectem ip$um, qui $i valde gravis $it (ut aliquando contingere pote$t trabem fungi vectis munere) auget potentiæ movendi difficultatem: Contra verò in vecte primi generis ip$a vectis gravitas juvat potentiam; & quidem $i homo $it, qui vectem premat, ip$a corporis gravitas acce$$ionem facit, ad impetum, qui à vitali conatu oritur: præ- terquam quod hic liberè & facillimè potentiam inanimatam adhibere po$$umus, & aliam atque aliam adjicere prout opus fuerit; at non item in vecte $ecundi generis, ni$i adhibito arti- ficio, de quo $uperiori capite dictum e$t. <p>Datâ igitur ponderis movendi gravitate, & datâ potentiæ virtute (quæ videlicet tanto conatu adhibito pote$t certam gra- vitatem $ola $ine vecte movere in $imili plano $ive horizontali, $ive inclinato, $ive verticali) di$tinguatur vectis in duas partes ita, ut vel pars ad partem, $i $it primi generis, vel totus ad par- <pb n=373> tem, $i $it $ecundi generis, eandem Rationem habeat, quæ e$t dati ponderis ad pondus, quod à potentia olâ $ine vecte po- te$t moveri. Sic data Potentia virtutem habeat movendi pon- dus lib. 6. certo conatu, oporteat autem hoc codem conatu movere lib. 30: quia virtus potentiæ e$t $ubquintupla pon- deris dati, propo$itus vectis intelligatur primùm <*> in partes $ex, quarum una tribuatur di$tantiæ ponderi, ab hypomochlio, reliquæ quinque tribuantur di$tantiæ poten- tiæ, ita ut reciprocè $it di$tantia potentiæ ad di$tanuam ponderis, ut pondus datum ad virtutem potentiæ: & hic e$t vectis primi generis. Deinde ut habeatur vectis $ecun- di generis, di$tinguatur totus vectis in partes quinque, & una ex illis $it di$tantia ponderis ab hypomochlio in vectis extremitate con$tituto. In utroque enim ca$u motus poten- tiæ e$t quintuplus motûs ponderis, atque adeò potentia poterit vecte movere pondus quintuplum ponderis, quod $o- la pote$t movere. <p>Potentiæ virtutem dixi, non potentiæ gravitatem, tùm quia non omnis potentia vim movendi habet ex gravitate, tum quia potentiæ gravitas movere non pote$t gravitatem æqualem, $ed minorem, nam cum æquali facit æquili- brium, & $olùm pote$t illam $u$pendere. Quare $i poten- tia vi $uæ gravitatis moveat, non $atis erit, $i fiat ut po- tentiæ gravitas ad ponderis gravitatem, ita reciprocè pon- deris di$tantia à centro motús ad di$tantiam potentiæ ab eo- dem centro; $ed di$tantia ponderis ad di$tantiam potentiæ exigit habere minorem Rationem. Hinc $i potentia $it pon- deris $ubquintupla ratione $uarum gravitatum, pondus ab hypomochlio di$tare debet minus quàm parte quinta di$tan- tiæ potentiæ ab eodem hypomochlio. Quod $i vectis is e$$et, cujus gravitas notabile momentum adderet potentiæ, tunc di$tantia ponderis, quæ e$$et $ubquintupla di$tantiæ potentiæ, $ufficeret, minor enim e$$et Ratione potentiæ adæquatè ac- ceptæ ad Pondus. <p>Ubi verò ponderis gravitatem con$iderare oportet, non $atis e$t illam notam habere, ac $i $taterâ expenderetur, $ed con$iderandum e$t planum, in quo illud movendum e$t; neque enim eadem habet momenta, $i $ur$um elevandum $it <pb n=374> in plano Verticali, ac $i urgendum $it in plano inclinato, aut propellendum in horizontali: propterea in Ratione a$- $ignandà partibus vectis non e$t attendenda gravitas ab$oluta ponderis, $ed quatenus in propo$ito plano. Idem e$t de gravi- tate potentiæ dicendum. <p>Ex dictis patet non quamcumque vectis longitudinem $em- per opportunam e$$e, quamvis verum $it quemlibet vectem po$$e $ecundùm quamcumque Rationem in partes di$tingui, atque proinde quodcumque pondus à quacumque datâ po- tentiâ po$$e moveri, $i ritè applicari po$$et. Unum enim e$t incommodum, quod, quo propiùs ad centrum motuum admovetur pondus, co minor e$t illius motus: & continge- re pote$t adeò exiguam e$$e ponderis ab hypomochlio di$tan- tiam, ut motus adeò tenuis nulli futurus $it u$ui. Qua- propter longiori vecte utendum erit, ut, $ervatâ eâdem di$tantiarum Ratione, intervallum inter pondus & centrum motuum $it notabile & con$picuum, ex quo motus $uffi- ciens obtineri po$$it. Quid enim juvaret, $i vecte palmo- rum 25 tentares attollere pondus centuplum virtutis poten- tiæ? an ut pondus ab hypomochlio di$tans per digitum ($u- mo digitos quatuor pro $ingulis palmis) elevaretur ad altitu- dinem unius aut alterius grani hordei? Præterquam quod tam ingens pondus ægrè po$$et in tantillo $patio ad vectem opportunè applicari. <p>Quod autem ad hypomochlium attinet, curandum maxi- mè e$t, ut qua parte vectem contingit, minimum $it, &, $i fieri pote$t, proximè in aciem de$inat; ut $cilicet eandem $emper in motu vectis partem contingat; $i enim alia atque alia vectis pars hypomochlio in$i$tat, mutantur ponderis at- que potentiæ momenta, ideoque augeri pote$t movendi diffi- <FIG> cultas. Sit vectis $ecundi generis AB innixus $axo, quod contingit in C, & centri gravitatis ponderis locus $it D: utique quia DC minore$t quàm DB, major e$t Ratio AB ad DC mi- norem, quàm eju$dem AB ad DB majorem, per 8. lib. 5. At elevato vecte, ut habeat po$itionem FE, $i- <pb n=375> cut A venit in F, ita B venit in E, ubi $axo innititur, & pon- dus D venit in G. E$t igitur FE ad GE, ut AB ad DB; ergo etiam FE ad GE habet minorem Rationem quàm AB ad DC. Quoautem minor e$t motuum Ratio, eò etiam minus e$t po- tentiæ momentum ad momentum ponderis; igitur $i Ratio AB ad DB minor $it, quàm AC ad DC, etiam Ratio FE ad GE minor erit quàm Ratio AC ad DC. Quare tunc $olùm ea- dem movendi facilitas manebit (quod quidem $pectat ad ra- tionem hypomochlij quicquid $it an ex alio capite mutetur, ut infra) quando CB pars extrema vectis, quæ innititur hypo- mochlio, ea e$t, ut eadem $it Ratio AB ad DB, quæ e$t AC ad DC: Hoc autem fieri omnino non pote$t, quia AB & DB $unt idem ac AC, atque DC, $i his utri$que addatur eadem pars CB. Si ergo ut AC plus CB ad DC plus CB e$$et ut AC ad DC, etiam permutando, & dividendo, & iterum per- mutando, per 16. & 17. lib. 5. e$$et ut AC ad DC ita CB ad CB, ac propterea AC totum æquale e$$et parti DC. Non igitur fieri pote$t, ut maneat in motu eadem facilitas ratione hypomochlij, $i accidat, ut vectis po$itiones in motu $e de- cu$$ent; id quod evenit, $i alia atque alia pars vectis hypomo- chlium tangat. Et quia major e$t Ratio totius AB ad totam DB, quàm $it ablatæ CB ad ablatam CB, erit etiam, per 33. lib. 5. reliquæ AC ad reliquam DC major Ratio quàm totius AB ad totam DB, hoc e$t major Ratio quàm FE ad GE. <p>Similiter in vecte primi generis, $i fulcrum $it cylindricum, tangit quidem in puncto, $ed dum vectis deor$um urgetur, aliud atque aliud ejus punctum aliis cylindri punctis congruit: nam $i fuerit potentia in C, & pondus <FIG> in E, vectis autem tangat in F, in con- ver$ione cum E venerit in I, & C in L, jam contactus fit in H ita, ut HL minor $it quàm FC, contrà verò HI major $it quàm FE. Decre$cunt ergo potentiæ momenta, cujus di$tantia à motûs centro minuitur, augentur autem ponderis momenta, cujus di$tan- tiæ à motûs centro aliquid $emper accedit. Et quidem quò cra$$ior fuerit cylindrus, factâ pari vectis inclinatione, major etiam oritur di$tantiarum differentia; ut facilè demon$tratur, <pb n=376> $i duo circuli $e intus contingant in O, ubi vectem $u$tinent, & deinde vectis inclinetur, ut faciat angulum OIG tangens <FIG> cylindrum minorem in G, aut faciat angu- lum OHS illi æqua- lem tangens cylin- drum majorem in S: duo $i quidem trian- gula IRG & HMS $unt æquiangula, quia vectes CK & BD $unt paralleli ex hypothe- $i, lineæ verò à centris R & M ad puncta contactuum G & S ductæ cadunt ad angulos rectos, ex 18. lib. 3. quapropter & an- guli ad centra R & M $unt æquales: igitur etiam arcus OG & OS $unt $imiles in Ratione $uarum $emidiametrorum OR & OM: major ergo e$t arcus OS quàm arcus OG, ac propterea illi major quàm huic vectis pars in conver$ione apta- tur, adeóque di$tantia ponderis ab hypomochlio minùs auge- tur ab O in G, quàm ab O in S, factâ æquali vectis inclina- tione. Illud tamen habetur compendij, $i cra$$ior cylindrus vecti $upponatur, quod non adeò inclinandus $it vectis, ut ad certam altitudinem attollatur pondus, ac illum inclinare opor- teret, $i exilior cylindrus fulcri munere fungeretur. <p>Quæ de cylindro dicta $unt, manife$ta quoque apparent, $i hypomochlium planum $it, ut OS: e$t nimirum longè alia <FIG> Ratio VO ad OR atque XS ad ST; nam additur ip$i OR longitudo OS, ut habeatur ST. Cum ergo minor $it poten- tiæ di$tantia XS, quàm VO, minora $unt potentiæ momenta: contra verò cumma- jor $it ponderis di$tantia TS, quàm RO, majora pariter $unt ponderis momenta. Ut itaque in vectis mo- tu momentorum Ratio $tabilis ac firma per$everet, $atius e$t hypomochlium vecti objicere aciem anguli, in quem duæ $ub- jecti corporis facies concurrunt, aut vecti axem infigi, circa quem ille convolvatur. <pb n=377> <HR> <C>CAPUT III.</C> <C><I>Qua Ratione $tatuendus $it ponderi locus in Vecte primi generis.</I></C> <p>QUoniam pondus vecte movendum non e$t corpus aliquod planè individuum, $ed partes habet, quarum aliæ $unt puncto fulcri, hoc e$t, centro motûs, propiores, aliæ remotio- res; animum diligenter advertere opus e$t, cuinam vectis puncto intelligendum $it adjunctum onus, ut ex eo ad fulcrum di$tantia determinetur. Et quidem vix cuiquam dubium e$$e pote$t, an inter omnia ponderis puncta illud unum eligendum $it, in quo gravitas vires $uas omnes exercere intelligitur, vi- delicet circa quod paribus momentis deor$um nititur, $i ip$a $ibi relinquatur: hoc autem e$t Gravitatis centrum ip$i ponderi in- $itum, in quod $ingularum partium conatus confluere, & $e- cundùm quod per directionis lineam deor$um vectem urgeri concipimus. <p>Sit enim pondus P, quod vecti AB infixum, & longitudini AC congruens, $uo gravitatis centro I deor$um nititur per li- neam directionis IH. Dico vectem perinde à toto pondere urgeri, atque <FIG> $i tota ejus gravitas e$$et in puncto I, atque ideò di$tantiam ponderis ab hypomochlio D e$$e, neque AD ma- ximam, neque CD minimam, $ed ID mediam: quia, et$i partibus $in- gulis $ua in$it gravitas, & $ingula pro $uâ à puncto D di$tantia $ua habeant momenta, ita majora momenta remotiorum parti- cularum à minoribus vicinarum compen$antur, ut intelligenda $it vel tota gravitas in media di$tantia ID vel $emi$$is gravitatis in extrema di$tantia AD, prout lib. 3. cap. 2. de momentis bra- chiorum inæqualium libræ o$ten$um e$t. Hoc autem, quod de pondere $ecundùm molem & gravitatem æquabili dicitur, etiam de ponderibus, quorum anomala e$t figura, vel ex diver- <pb n=378> $is $ecundùm $peciem gravitatibus compo$ita, intelligendum e$t, $i eorum centro gravitatis congruat vectis longitudo; nam ponderis di$tantia non e$t Arithineticè media inter maximam & minimam, $ed e$t intervallum, quod inter fulerum & centrum gravitatis interjicitur. <p>Sed quia non rarò pondus aut vecti totum incumbit, aut plu- ribus funiculis firmiter alligatum ex illo $u$penditur, propterea ob$ervandum e$t, in quod vectis punctum incidat Directionis linea ex centro gravitatis ponderis ducta; hæc enim definiet di$tantiam ponderis ab hypomochlio, & innote$cent momenta, quibus illud re$i$tit potentiæ elevanti. Id quod per libram æqualium brachiorum (ne illorum inæqualitas aliquam pariat difficultatem) in$tituto æquilibrio facillimè experiri poteris, $i laminas ligneas, aut metallicas, in varias figuras conformave- ris, in quibus centrum gravitatis inventum fuerit, & ita $ingu- las $ecundùm unum latus immobiliter uni brachio aptaveris, ut illi congruant, atque in oppo$itâ jugi extremitate æquipon- dium addideris; facto enim æquilibrio, & demi$$o perpendicu- lo per centrum gravitatis notatum tran$eunte, apparebit, cui- nam libræ puncto re$pondeat; atque inter hoc punctum, & cen- trum motús libræ, di$tantia erit ad reliqui brachij totam lon- gitudinem, ut æquipondij gravitas ad ponderis examinati gra- vitatem. <p>Quod $i pondus ex unico fune pendulum adnectatur vecti, $atis con$tat, ex quo vectis puncto de$umatur ejus di$tantia, ni- mirum ex puncto $u$pen$ionis; intentus enim funis à pendente gravitate lineam Directionis o$tendit. Quamvis autem $i hujus puncti tantummodo ratio habeatur, eadem videantur futura ponderis momenta, quæcumque tandem fuerit vectis po$itio $ive horizonti parallela, $ive obliqua, examinandum tamen erit inferius cap.8. utrum ratione anguli, $ecundùm quem pon- dus deor$um trahere conatur vectem, ejus momenta mutentur. <p>Nunc autem pondus firmiter vecti adnexum, non verò ex unico fune pendulum, con$ideremus, $ive vecti incumbat, $ive infra vectem collocetur; hoc nimirum e$t illud, in quo, propo- $itis majoribus ponderibus, non videtur connivendum; neque enim nihil refert, utrùm infra, an $upra vectem $it movendæ gravitatis centrum, quantóque intervallo hoc ab illo ab$it, ibi <pb n=379> $i quidem gravitas collocata intelligitur, ubi $uas omnes vires omnium partium con$piratione exercet. Quapropter, ut pon- deris momenta innote$cant, centri gravitatis motum perpen- dere, ac dimetiri oportet. Hinc e$t pondus firmiter adnexum vecti perinde $e habere, atque $i vectis quidam curvus in an- gulum inflexus ad punctum hypomochlij, $i $it vectis primi ge- neris, extremitatem alteram in centro gravitatis ponderis, al- teram in potentiâ haberet. <p>Sit Vectis rectus AB horizonti parallelus, hypomochlium habens in C, & in parte inferiore $tabili nexu adjungatur pon- dus, cujus gravitatis centrum I. <FIG> Ex I in vectem horizontalem cadat perpendicularis linea directionis IE; hoc enim perpendiculum de- finit di$tantiam gravitatis à vecte. E$t igitur potentia in A, & pondus in I perinde, atque $i e$$et vectis ACI; & ut pondus atque potentia in eâdem linea horizontali con$i$tant, non e$t attendenda vectis po$itio AB, $ed rectæ lineæ AI jungentis centrum po- tentiæ A cum centro gravitatis ponderis I; quæ linea AI $imul ut æquè ab horizonte di$tabit, & linea CH ad angulos rectos cadens in eandem lineam AI congruens erit rectæ lineæ jun- genti punctum hypomochlij C cum centro terræ, æquilibrium indicabit; eademque definiet Rationem ponderis ad potentiam $u$tinentem horizontaliter, juxta reciprocam eorumdem di$tantiam à puncto H; pro ut lib.3. cap.5. de librâ curvâ ex- plicatum e$t. In po$itione autem obliqua AI, quando recta ex C ad centrum terræ ducta e$t CG cadens $uper AI ad angu- los inæquales, potentia $u$tinens e$t ad pondus, ut IG ad GA. Cum igitur $it IG minor quàm IH, contrà verò GA $it ma- jor quàm HA, erit minor Ratio IG ad GA, quàm IH ad HA. <p>Quoniam verò linea directionis ponderis IE perpendicula- ris e$t ad vectem AB horizontalem ex hypothe$i, & parallela lineæ CG, e$t ut AG ad GI, ita AC ad CE, per 2. lib.6. ac propterea, in $itu vectis parallelo horizonti, locus ponderis e$t in vecte determinatus à lineâ directionis ponderis occurrente <pb n=380> ip$i vecti. Et quia major e$t Ratio AG ad GI, quàm $it AH ad HI, etiam major e$t Ratio AC ad CE, quàm $it AH ad HI: Ergo convertendo EC ad CA minorem habet Ratio- nem, quàm IH ad HA, per 26. lib. 5. Atqui potentia $u$ti- nens pondus datum, quando recta AI æquè di$tat ab horizon- te, e$t ad pondus ut IH ad HA; quando autem pondus e$t in- fra lineam BA illud cum potentiâ jungentem horizonti paral- lelam e$t ut EC ad CA. Igitur potentia $u$tinens in horizon- tali pondus habet majorem Rationem ad illud, quàm ad idem pondus habeat potentia $u$tinens illud infia horizontalem. Ergo, ex 8. lib. 5. potentiâ $u$tinens pondus infra horizonta- lem minor e$t potentiâ illud $u$tinente in horizontali. Finge enim e$$e libram curvam ACI habentem $partum in C: uti- que $i in A e$$et æquipondium, quod ad pondus I e$$et ut IH ad HA, non maneret in eadem po$itione obliqua, $ed A de$cen- deret ad po$itionem horizontalem, ut dictum e$t lib. 3. cap.4. ut igitur obliqua maneat, æquipondium A debet e$$e minus. Ad $u$tinendum autem pondus, hîc in vecte idem à Potentiâ præ$tatur, ac ab æquipondio in librâ bracl iorum inæqualium. <p>Simili omnino methodo o$tendetur pondus idem vecti AB horizontali impo$itum, cujus centrum gravitatis $it D, linea directionis DI occurrens vecti in E, e$$e ad potentiam A, ut e$t AC ad CE; at $i recta AD jungens potentiam cum cen- tro gravitatis D e$$et horizonti parallela, pondus ad potentiam e$$et ut AL ad LD, quam Rationem determinat CL cadens ad angulos rectos in rectam AD. Quia enim DE & IE $unt æquales ex hypothe$i, cum $it idem pondus, & latus EA e$t commune, anguli verò ad E $unt recti, etiam, per 4. lib. 1. lineæ AD & AI, item anguli EAD & EAI $unt æquales. Præterea in triangulis CHA, CLA rectangulis ad H & L, latus CA e$t commune, & anguli ad A $unt æquales; igitur, per 26. lib. 1. lineæ AL & AH $unt æquales, igitur & re$i- duæ LD & HI $unt æquales. Quapropter ut AH ad HI, ita AL ad LD: quia igitur Ratio AH ad HI o$ten$a e$t $uperiùs minor Ratione AC ad CE, etiam minor e$t Ratio AL ad LD, quàm AC ad CE. Sed ut AC ad CE, ita AO ad OD, per 2. lib. 6. propter paralleli$mum linearum CO & ED; ergo mi- nor e$t Ratio AL ad LD, quàm AO ad OD. Atqui cùm AD <pb n=381> parallela e$t horizonti, pondus D impo$itum vecti ad poten- tiam A $u$tinentem e$t ut AL ad LD, in po$itione verò obli- quâ AD e$t idem pondus ad potentiam $u$tinentem ut AO ad OD; ergo in priori po$itione horizontali pondus ad poten- tiam habet minorem Rationem, quàm in po$teriori po$itione obliqua: ergo per 8. lib. 5. in priori e$t major potentia, quàm in po$teriori. <p>Quamvis autem, cùm vectis e$t horizonti parallelus, pon- dus $ive illi impo$itum, $ive $uppo$itum fuerit, ii$dem momen- tis reluctetur potentiæ $u$tinenti, non ita tamen $e res habet, $i idem vectis <FIG> AB, fulcrum habens in C, elevetur $upra lineam hori- zontalem RT: plurimũ enim intere$t, utrũ ponderi $ub- jectus $it ve- ctis, an vecti pondus. Sint, ut prius, gravitatis ponderis cen- tra D $uperius, & I inferius, ex quibus in vectem perpendi- culares cadunt DE & IE, quæ, ex 14. lib. 1. $unt una recta li- nea DI. Jungantur centra potentiæ & ponderis rectâ AD, quæ $ecat rectam tran$euntem per fulcrum C & terræ centrum in puncto M. Quare ex dictis de librâ curva, $i $int æqualia momenta ponderis atque potentiæ, erit ut AM ad MD, ita pondus D ad potentiam A. Ducatur ex D linea directionis DN parallela perpendiculari MC; & per 2. lib. 6; e$t ut AM ad MD, ita AC ad CN: e$t autem CN minor quàm CE, ergo, ex 8. lib. 5. major e$t Ratio AC ad CN, quàm AC ad CE. Atqui in vecte horizontali potentia ad pondus e$t ut EC ad CA; hic autem ut NC ad CA; igitur minor e$t potentia $u$tinens pondus impo$itum vecti obliquo $upra horizontem, quàm potentia $u$tinens pondus idem vecte parallelo hori- zonti. <p>At $i pondus vecti $ubjiciatur, & $it cjus gravitatis centrum I, ducatur recta AI $ecans perpendiculum ex C ductum ad <pb n=382> centrum terræ in V. Igitur $i æqualia $unt momenta ponde- ris I & potentiæ A, e$t pondus ad potentiam ut AV ad VI. Ex I centro gravitatis linea directionis IB parallela lineæ CV occurrat vecti in B; igitur, ex 2. lib.6. ut AV ad VI, ita AC ad CB: e$t autem CB major quàm CE; ergo AC ad CB ha- bet, ex 8. lib. 5. minorem Rationem, quàm AC ad CE. Cum itaque in vecte horizontali potentia ad pondus e$$et ut EC ad CA, hic autem in vecte obliquo $it ut BC ad eandem CA, major potentia $u$tinens hîc requiritur. Quare tantumdem cre$cit $u$tinendi difficultas in pondere infra vectem adjuncto, quantum decre$cit in $u$tinendo pondere $upra vectem po$ito. Cum enim triangula BEI, DEN $int æquiangula (quia BI & DN, per 30. lib. 1. $unt parallelæ, adeóque per 29. lib. 1. alterni anguli ad B & N, & alterni ad I & D $unt æquales, & reliquus reliquo, per 32. lib.1.) e$t, per 4. lib. 6. ut IE ad ED, ita BE ad EN: $unt autem ex hypothe$i DE & IE æquales, igitur & BE æqualis e$t ip$i EN, illa refert incrementum po- tentiæ, hæc decrementum; ergo æqualiter ibi cre$cit, hic de- cre$cit difficultas $u$tinendi pondus. <p>Contraria $unt momenta, quæ ponderibus accidunt, vecte cum pondere infra horizontalem lineam inclinato: concipe enim hoc idem $chema ita conver$um, ut potentia A $it in $u- periore loco, pondera autem I & D $int infra horizontalem RT. Jam pondus I incumbit vecti, pondus verò D illi $ub- jectum adnectitur. Igitur pondus I vecti impo$itum majora mo- menta habet vecte cum pondere infra horizontem inclinato, quàm vecte horizonti parallelo: in hoc autem eodem $itu in- clinato pondus $ubjectum D minora habet momenta, nam pon- dus I ad potentiam A $u$tinentem e$t ut AC ad CB majorem, quæ e$t minor Ratio quàm AC ad CE minorem, ex 8. lib. 5: è contrario D pondus ad potentiam A $u$tinentem e$t ut AC ad CN minorem, quæ e$t major Ratio, quàm AC ad CE ma- jorem. Hinc e$t momenta ponderis vecti ex primo genere im- po$iti infra horizontem majora e$$e, $upra horizontem minora; contrà autem ponderis vecti $ubjecti infra horizontem minora e$$e, $upra horizontem majora. <p>Et hæc quid&etilde; eatenus dicta intelligantur, quatenus concipitur Potentia vi $uæ gravitatis rectâ deor$um connitens, adeò ut Di- <pb n=383> rectione, Pot&etilde;tiæ atque Ponderis $int parallelæ, propterea enim con$iderata e$t linea per centrũ motûs, hoc e$t punctum fulcri, ducta ad centrũ terræ utrique Directioni parallela. At $i linea Di- rectionis Potentiæ non e$$et parallela Directioni gravitatis Pon- deris $ires $erupulo$ius agatur, paulo aliter con$ideranda vide- ter linea per punctum fulcri tran$iens, quæ determinet partes li- neæ jungentis Potentiam & Centrum gravitatis ponderis, linea videlicet per fulcrum ducta ex puncto, in quo concurrunt di- rectiones Potentiæ atque <FIG> Ponderis. Sit Vectis AB in$i$tens fulcro C depre$- $us in A infra horizontem, ut $u$tineat pondus D in- cumbens vecti, à quo di$tat per lineam DE. Directio gravitatis ponderis e$t per- pendicularis DR, at di- rectio Potentiæ non $it per- pendicularis AT, verùm obliqua AR faciens cum vecte angulum BAR. Concurrunt itaque di- rectiones Ponderis, & Potentiæ in R. Quare $icuti quando $unt directiones DR & AT parallelæ, premunt fulcrum C juxta perpendicularem CV, quæ rectam AD $ecat in M, ita directiones DR & AR videntur premere fulcrum C juxta rectam CR, quæ producta $ecat rectam AD in S: ac propterea Ratio Potentiæ $u$tinentis ad Pondus non e$t ut DM ad MA, $ed ut DS ad SA. <p>Hinc e$t lineam directionis Potentiæ, quò majorem angu- lum con$tituit cum vecte in A, eò minorem angulum efficere cum perpendiculari lineâ directionis ponderis DR productâ, atque proinde cum illa concurrere multo remotiùs quàm in R, & lineam ex puncto concursûs directionum ductam ad C, & ulterius productam $ecare lineam AD inter M & S, adeò ut aliquando facilè citra notabilem errorem a$$umi po$$it punctum M: Cum enim DR & MV $int parallelæ, angulus DRC in- ternus æqualis e$t externo MCS, ex 29. lib. 1. idémque di- <pb n=384> cendum de quolibet angulo con$tituto cum perpendiculari DR à lineâ ex puncto concur$us directionum ducta per C punctum fulcri: ideò quo minor fit angulus ad B, minor quo- que e$t ad C, & punctum in lineâ AD notatum magis acce- dit ad M. <p>Hinc pro determinanda Ratione momentorum potentiæ ad momenta ponderis pro diversâ vectis inclinatione duplici me- thodo uti poteris. Prima e$t, fi ex centro gravitatis ponderis lineam directionis ducas, punctum enim, in quo hæc occurrit vecti, illud e$t, quod definit locum ponderis, in quo $ua exer- cet momenta. Secunda e$t, $i tam ex Potentiæ quàm ex Pon- deris centro gravitatis lineam ducas ad perpendiculum in li- neam horizontalem, quæ tran$it per C punctum fuicri; nam partes hujus lineæ horizontalis interceptæ inter puncta, in quæ cadunt perpendiculares, & punctum C, illæ $unt, quæ reci- procè $umptæ o$tendunt Rationem ponderis ad potentiam. In $itu namque horizontali vectis punctum E congruit puncto S, & potentia A congruit puncto X: e$t igitur ut AC ad CE ita XC ad CS: in po$itione autem obliquá ex A in horizontalem perpendicularis cadit in Z, ex D cadit in K, ex I verò in O. Quia igitur triangula AZC & NKC $unt æquiangula, vide- licet rectangula ad Z & K, angulos ad verticem C, ex 15.lib.1; æquales habent, &, ex 32 lib. 1. reliquum reliquo, e$t per 4. lib. 6. ut AC ad CN ita ZC ad CK. Similiter triangula BOC & AZC rectangula ad O & Z angulos ad verticem C æquales habent, & reliquum reliquo, adeóque $unt $imilia, & ut AC ad CB, ita ZC ad CO, Quare in hac obliquâ vectis po$itione momentum ponderis D ad momentum potentiæ $u$ti- nentis e$t ut ZC ad CK, & momentum ponderis I ad momen- tum potentiæ $u$tinentis e$t ut ZC ad CO. <p>Ex his, quæ de potentia $u$tentante dicta $unt, $atis apparet potentiam paulo validiorem $atis e$$e ad pondus movendum. Verùm licèt in vecte primi generis ad pondus $u$tentandum opportunè animum adverterimus ad libram curvam, hæc ta- men in vecte $ecundi generis locum habere non po$$unt; propterea ad aliam explicandi rationem confugiendum e$t, quæ utrique generi communis $it; nec difficile erit ea, quæ $ta- tim capite $equen<*>ciam pro $ecundo vectis genere ad pri- <pb n=385> mum traducere. Con$ideratur nimirum motus ponderis com- paratus cum eodem motu potentiæ: $i enim potentia $it $uâ gravitate de$cendens, ejus de$cen$um metitur ZA: pondus vecti impo$itum a$cendit, ut $it $upra horizontalem altitudine KD; $ed ex hac demenda e$t centri gravitatis di$tantia DE, qua eminebat $upra horizontalem, ut habeatur ejus motus DK minùs DE, hoc e$t GK. Contra verò pondus vecti $ub- jectum erat infra horizontalem di$tantiâ IE, quæ $i addatur al- titudini OI, dabit OH motum ip$ius ponderis. Major e$t au- tem motus OI plus IE, hoc e$t plus DE, quàm $it motus KD minùs DE; nam po$ita obliquitate lineæ DI, facto centro D, intervallo DE circulus de$criptus tran$it per G punctum de- pre$$ius quàm E, & ex I intervallo IE de$criptus tran$it per H punctum altius quàm E: ergo motus ZA ad minorem motum habet majorem Rationem, quàm ad majorem motum, atque adeò major e$t movendi facilitas. <HR> <C>CAPUT IV.</C> <C><I>Momenta ponderis in Vecte $ecundi generis con$iderantur.</I></C> <p>IN Vecte $ecundi generis circa extremitatem, ubi e$t ful- crum, de$cribuntur à pondere proximo & à potentiâ remotâ duo circulorum arcus tanquam circa commune centrum. Et quidem $i in eadem rectâ lineâ $int punctum fulcri, centrum gravitatis ponderis, & ip$a virtus potentiæ $ur$um a$cendentis, motus potentiæ & ponderis $unt in eadem Ratione, in qua $unt di$tantiæ ab hypomochlio, $ive pondus $upra horizontalem tran$euntem per fulcrum, $ive à loco inferiore ad horizontalem elevetur; quia videlicet tam pondus quàm potentia per $imi- les arcus ab horizontali æqualiter remotos moventur; ac pro- inde eorum arcuum Sinus, qui metiuntur elevationem, ha- bent inter $e Rationem eandem, quæ e$t radiorum, $ive di- $tantiarum. <pb n=386> <p>At verò $i centrum gravitatis ponderis $it extra lineam rectam jungentem punctum fulcri cum puncto virtutis poten- tiæ exi$tentis in alterâ vectis extremitate, $ive $upra vectem, $ive infra illum $it, non manet eadem Ratio motuum, quæ e$t di$tantiarum potentiæ & ponderis (quatenus ponderis di$tan- tia $umitur à puncto, in quod à centro gravitatis cadit in vectem perpendicularis) quia a$cen$us & elevationes non $er- vant eandem Rationem; ex eo quod, licèt in vectis conver$io- ne tam centrum gravitatis ponderis quàm centrum potentiæ de$cribant in motu arcus $imiles, hi tamen arcus non $unt $i- militer po$iti, hoc e$t $imili modo ab horizontali di$tantes: ac propterea (ut patet ex doctrina Sinuum) differentiæ Sinuum, qui conveniunt arcubus $upra vel infra horizontem, ubi incipit quadrans circuli, æqualiter cre$centibus, non $unt æquales: hæ autem differentiæ metiuntur motum elevationis, qui maximè attenditur, quatenus opponitur innatæ propen$ioni gravitatis. <p>Sit in C fulcrum vectis CA, & in A $it potentia movens. Si centrum gravitatis ponderis $it in eadem rectâ CBA, $em- <FIG> per motus ponderis & potentiæ $unt omnino $imiles, & ut CB ad ad CA; illud enim de$- cribit arcum BG, hæc verò arcum AS, & ele- vatio ponderis ex B in G e$t BR, a$cen$us po- tentiæ e$t AP; & prop- ter triangulorum rectan- gulorum CRB & CPA $imilitudinem e$t ut CB ad CA, ita BR ad AP. Et quamvis, divi$o arcu BG in partes ali- quot æquales, & in totidem æquales partes divi$o arcu $imili AS, non $int in $ingulis eju$dem arcûs partibus æquales a$cen$us) nam BH minor e$t quàm HI, hic minor quàm IK, & hic minor quàm KR, $imiliterque AL minor quàm LM, hic minor quàm MN, & hic minor quàm NP) comparatis ta- men $ingulis a$cen$ibus in minore arcu BG, cum $ingulis a$cen$ibus in arcu majore AS $ibi invicem re$pondentibus, ma- net eadem Ratio, & ut BH ad AL, ita HI ad LM, & $ic de <pb n=387> reliquis (ut ex Sinuum doctrinâ manife$tum e$t, nec opus e$t hic o$tendere) $unt enim omnes in Ratione Radij CB ad Ra- dium CA. <p>Longè aliter $e res habet, quando extra rectam lineam jun- gentem punctum fulcri cum potentiâ e$t centrum gravitatis ponderis. Nam $i Vecti CBA impo$itum $it pondus, cujus centrum gravitatis $it D, potentiâ A de$cribente arcum AQ centrum gravitatis ponderis de$cribit arcum DE, qui licèt æqualis $it arcui BD; habet tamen a$cen$um HI majorem quàm BH: igitur a$cen$us AL ad HI majorem, habet mino- rem Rationem quàm ad BH minorem, ex 8.lib.5. igitur in hoc motu Potentia ad Ponderis motum habet minorem Rationem, quàm $i centrum gravitatis ponderis e$$et in B; ergo majorem experitur in movendo difficultatem. <p>Contrà verò $i pondus $it vecti CBA $ubjectum, ejú$que centrum gravitatis $it O; dum potentia A de$cribit arcum AQ, centrum gravitatis O de$cribit arcum OB, eju$que a$cen$us e$t OV; atqui OV minor e$t quàm BH; ergo AL a$cen$us potentiæ ad OV minorem e$t in majori Ratione quàm ad BH majorem; e$t autem HI major quàm BH; ergo AL ad OV multo majorem Rationem habet quàm ad HI. Ergo datâ eâ- dem vectis po$itione, eodemque motu, major facilitas erit in elevando pondere habente centrum gravitatis infra vectem in O, quàm $i illud habeat $upra vectem in D. <p>Eadem erit demon$trandi methodus in cæteris a$cen$ibus: nam potentia percurrens arcum AT habet a$cen$um AM, centrum D percurrit arcum DF, cujus a$censûs men$ura e$t HK; centrum autem O percurrens arcum OD habet a$cen- $um OX: cùm igitur OX minor $it quàm BI, & hic minor quàm HK, etiam AM ad OX minorem e$t in majore Ratione quàm ad HK majorem. <p>Et hæc quidem hactenus dicta intelliguntur de vecte infra lineam horizonti parallelam depre$$o; nam vecte $upra hori- zontalem lineam elevato, contraria pror$us accidere ex dictis demon$tratur. Concipe vectem AC elevatum $upra horizon- tem, pondus OB e$t illi impo$itum, pondus DB e$t $ubjectum: quando potentia a$cendens per arcum QA habet a$cen$um LA, centrum gravitatis O de$cribit arcum BO, & a$censûs <pb n=388> men$ura e$t VO; at centrum gravitatis D de$cribens arcum ED habet a$cen$um IH. Cum igitur o$ten$um $it majorem Rationem e$$e LA ad VO, quàm ad IH, ctiam $upra horizon- tem elevato vecte major erit facilitas in movendo pondere vecti impo$ito, quàm in elevando pondus habens centrum gravita- tis infra vectem. <p>Ut autem innote$cat, qua Ratione in progre$$u motûs cre$- cat difficultas, aut minuatur, ob$erva ex Canone in arcubus æqualiter cre$centibus Sinuum differentias ab initio quadran- tis progrediendo u$que ad finem Quadrantis $emper decre$ce- re, harum verò differentiarum differentias, hoc e$t differen- tias $ecundas, $emper augeri. Hinc e$t ita RK Sinum arcûs GF majorem e$$e quàm differentiam KI, & KI majorem quàm IH, & IH majorem quàm HB, ut differentia inter Sinum RK & differentiam KI minor $it quàm differentia inter KI & IH, hæc verò differentia minor $it quàm differentia inter IH & HB. Idem dicendum de $imilibus differentiis inter Si- num PN, & differentias NM, & ML, & LA. In ii$dem li- neis PA & RB particulas a$$umptas donavi vocabulo Sinuum aut differentiarum, non qua$i ignorans illas particulas non e$$e Sinus aut differentias Sinuum arcubus æqualiter cre$centibus re$pondentium, $ed claritatis gratia abutens vocabulo; quan- doquidem illis æquales $unt, cum a$$umantur per lineas Radio CS parallelas. <p>His po$itis intelligatur vectis totus CA cum pondere B intrà aquam, potentia verò $it cortex $uberis, aut uter inflatus, $eu ve$ica, aut quid huju$modi levitans. Potentiæ motum metiri oportet ex naturalibus a$cen$ibus AL, LM, & reliquis. Quia autem e$t ut AL ad LM, ita BH ad HI; etiam vici$$im, per 16. lib. 5. ut AL ad BH, ita LM ad HI, & $ic de cæteris, $ive infra, $ive $upra horizontalem: propterea eadem $emper manet facilitas aut difficultas elevandi pondus in aquâ gravitans, cu- jus gravitatis centrum congruat vecti CA. Idem dic $i Poten- tia S in aqua gravitans deprimeret per vim pondus G, quod in aquâ levitaret: nam PN de$cen$us naturalis potentiæ ad RK depre$$ionem ponderis, eandem Rationem haberet, quam de$cen$us NM ad depre$$ionem KI. <p>Si vectis $it CA, cui pondus incumbat habens centrum gra- <pb n=389> vitatis D, atque tam pondus quàm potentia $int in medio, in quo alterum levitet, alterum gravitet, utriu$que motum qua- tenus naturalis e$t auz violentus, metitur linea perpendicularis in horizontalem cadens: & ut particulæ ip$æ invicem compa- rentur, Sinuum differentiæ AL, LM &c. BH, HI &c. con- $iderandæ $unt. Cum itaque differentia inter BH, & HI ma- jor $it quàm differentia inter HI, & IK, utique BH magis de- ficit ab æqualitate cum HI, quàm HI cum IK; ideóque mi- nor e$t Ratio BH ad HI, quàm HI ad IK: Atqui eadem e$t Ratio BH ad HI, quæ e$t AL ad LM; igitur minor e$t etiam Ratio AL ad LM, quàm HI ad IK, & vici$$im, per 27. lib. 5. minor e$t Ratio AL ad HI, quàm $it LM ad IK. Igitur $i po- tentia A levitet, & pondus, cujus centrum gravitatis D, gravi- tet, a$cendendo ad horizontalem, quæ per fulcrum C tran$it, acquirit movendi facilitatem. <p>Jam figuram inverte, ut vectis moveatur $upra horizontalem: vecte congruente lineæ horizontali CS, ponderis impo$iti cen- trum gravitatis erit in F, & a$cendet juxta men$uram KI & IH, cum potentiæ a$cen$us erit PN & NM. Quia igitur differentia inter Sinum RK & differentiam KI minor e$t, quàm differentia inter KI & IH, utique RK minùs excedit æqualitatem cum KI, quàm KI cum IH: ideóque minor e$t Ratio RK ad KI, quàm KI ad IH. E$t autem eadem Ratio RK ad KI, quæ e$t PN ad NM; igitur minor e$t Ratio PN ad NM, quàm KI ad IH, & vici$$im minor e$t Ratio PN ad KI, quàm NM ad IH: Igitur a$cendendo magis & recedendo ab horizontali cre$cit movendi facilitas. <p>Demum $i vecti CA $ubjectum $it pondus, cujus centrum gravitatis O, & potentiæ motum metiatur perpendicularis AP a$cendendo versùs horizontalem; quia differentia inter OV, & VX major e$t quàm differentia inter VX & HI, adeóque OV magis deficit ab æqualitate cum VX, quàm VX cum HI, prop- terea OV ad VX habet minorem Rationem quàm VX ad HI: $ed ut VX, hoc e$t BH, ad HI, ita AL ad LM; ergo minor e$t Ratio OV ad VX quàm AL ad LM; & vici$$im minor e$t Ra- tio OV ad AL quàm VX ad LM; ideóque faciliùs elevatur ex O in B, quàm ex B in D. Factâ autem figuræ conver$ione, ut a$cen$us Potentiæ $it PA, & a$cen$us Ponderis $it RB, $i poten- <pb n=390> tia $it in Z, centrum gravitatis ponderis $ubjecti e$t in G, & dum potentia a$cendit per NM & ML de$cribens arcum ZQ, pondus a$cendir per RK & KI. Atqui RK ad KI habet mi- norem Rationem quàm KI ad IH, ut $uperiùs o$ten$um e$t, & ut KI ad IH, ita NM ad ML; ergo minor e$t Ratio RK ad KI, quàm NM ad ML, & vici$$im minor e$t Ratio RK ad NM quàm KI ad ML; ergo faciliùs movetur per RK a$cen- dendo, quàm per KI, adeóque cre$cit difficultas elevandi pondus $ubjectum vecti $uprà horizontalem, $i comparentur inter $e partes elevationis. <p>Quare, ut in $ummam ea, quæ dicta $unt, referantur, $i pon- dus $it infra vectem $ecundi generis, faciliùs elevatur eodem vectis motu versùs horizontalem, quàm $i fuerit $upra vectem: Contrà verò $upra horizontalem faciliùs eodem vectis motu elevatur pondus vecti impo$itum, quàm vecti $ubjectum. Con- $ideratis autem particulatim $ingulis elevationibus, divi$o $cili- cet in æquales particulas univer$o motu eju$dem ponderis, $i pondus $it in eâdem rectâ lineâ cum fulcro & potentia, eadem $emper e$t movendi facilitas aut difficultas: Si pondus $it $upra vectem, & motus infra horizontalem incipiat, $emper cre$cit movendi facilitas non $olùm u$que ad horizontalem, verùm etiam $upra illam: At $i pondus $it infra vectem, motú$que in- fra horizontalem incipiat, augetur $emper difficultas movendi tùm u$que ad horizontalem, tùm $upra illam. <p>Hæc omnia confirmari po$$unt, $i lineam directionis per cen- trum gravitatis ponderis ductam produci intelligamus u$que ad horizontalem lineam, quæ per fulcrum tran$it; Secabit enim vectem, & in $ectionis puncto quodammodo con$titutum pon- <FIG> dus concipere po$$umus. Sit enim infra horizontalem CR, vectis CA, & ad punctum B illi in$i$tat perpendiculariter linea à centro gravitatis ducta, $cilicet DB $u- pra, & OB infra. Quando vectis CA congruet lineæ CR, & erit horizonti parallelus, pondus con- cipietur niti in B contra vectem: at infra horizontalem centrum D nititur in S, & centrum O <pb n=391> in T, juxta lineas directionis DS & OT. Quia igitur punctum S magis di$tat à fulcro C quàm punctum T, pondus infra vectem faciliùs $u$tinetur $ub horizontali, quàm pondus $upra vectem. Contra autem $upra horizontalem centrum O nititur in I remotiùs à fulcro C, & centrum D in H propiùs; ergo $upra horizontalem faciliùs $u$tinetur pondus vecti impo$itum, quàm illi $ubjectum. <p>Quoniam verò triangula rectangula CNT, & OBT, an- gulos ad verticem T æquales habent, & reliquum reliquo æqualem, erit, ex 4. lib. 6. ut CT ad TN, ita OT ad TB. Igitur prout ex elevatione vectis minuitur angulus ACN, etiam minuitur angulus TOB, ac propterea T recedit à ful- cro C ver$us B, & augetur $u$tinendi atque movendi difficul- tas. I$ti autem acce$$us versùs B $unt inæquales, etiam $i æqua- lia $int anguli TOB decrementa, prout decre$cunt angulo- rum ad O factorum Tangentes, po$ito Radio OB. Porrò ex Canone Tangentium con$tat illarum differentias $emper ma- jores fieri, $i augeatur angulus, minores fieri, $i minuatur an- gulus. Igitur recedente lineâ directionis Centri gravitatis O à fulcro C, augetur difficultas $u$tinendi & elevandi pondus vecti $ubjectum: & quia $upra horizontalem $emper magis re- cedit ab eodem fulcro C ultrà punctum B versùs A potentiam, puta, ut $it OI, multo adhuc major e$t $u$tinendi atque mo- vendi difficultas. Con$ideratis autem particulatim motibus, quia infra horizontalem differentiæ rece$$uum à puncto C fiunt $emper minores; propterea cre$cit quidem difficultas, $ed inæ- qualibus & minoribus incrementis; quia verò $upra horizon- talem differentiæ rece$$uum à fulcro C fiunt $emper majores, cre$cit adhuc difficultas, & quidem $emper majoribus incre- mentis. At $i pondus $it D vecti impo$itum, linea directionis DS accedit versùs B u$que ad horizontalem, $upra quam re- cedit à B versùs C, ut $it ex. gr. DH: $emper igitur faciliùs movetur, quamquam non æqualibus facilitatis incrementis; fiunt enim incrementa infra horizontalem $en$im minora, $u- pra autem fiunt $emper majora. Sed hic unum explicandum e$t, quod forta$$e alicui animum minùs attentè advertenti dif- ficultatem pariat adversùsea, quæ $uperiùs dicta $unt: videlicet o$ten$um e$t pondus vecti impo$itum, $i motus incipiat infra <pb n=392> horizontalem, majori difficultate moveri, quàm pondus vecti $ubjectum. Si enim, inquis, linea Directionis DS magis ac magis accedit ad B, utique cre$cit movendi facilitas; contra verò lineâ directionis OT accedente ad B cre$cit movendi difficultas. <p>Ut nodum hunc $olvas, ob$erva triangula SBD, & TBO rectangula ad B, quia DS & TO $unt parallelæ, e$$e æquian- gula & $imilia, immò æqualia, quia ut DB ad OB $ibi ex hy- pothe$i æqualem, ita SB ad TB. Igitur qua Ratione minuitur angulus ACR, etiam minuitur anguius SDB, & angulus TOB: igitur Tangentium differentiæ fiunt $emper minores. Quare in primo motu tam linea directionis DS, quàm linea directionis OT, magis accedit ad B quàm in $ecundo motu, & magis in $ecundo, quàm in tertio; acce$$us tamen utriu$- que lineæ directionis ex eodem vectis motu $unt æquales; & qua men$urâ augetur rece$$us ponderis D vecti impo$iti, à Po- tentia A, eâdem pariter men$ura augetur rece$$us ponderis O vecti $ubjecti, à fulcro C. Itaque cre$cit quidem illius facili- tas, hujus difficultas, $i ponderum $ingulorum motus particu- latim accipiantur, eju$démque ponderi, motûs pars cum par- te conferatur: at verò $i utriu$que ponderis motus invicem comparentur, utique pondus D difficiliùs movetur, cùm ejus linea directionis e$t citra punctum B versùs potentiam, quàm moveatur pondus O, quamdiu ejus linea directionis e$t ultra idem punctum B. <p>Ex his, quæ de vecte $ecundi generis dicta $unt, quid de vecte tertij generis dicendum $it, faciliùs innote$cit, quàm ut illud pluribus explicari oporteat; potentia $i quidem & pondus invicem loca commutant, $ed motuum Ratio eadem e$t, & quæ in vecte $ecundi generis e$t Ratio motûs Potentiæ ad motum Ponderis, vice versâ in vecte tertij generis e$t Ratio motûs Ponderis ad motum Potentiæ. <p>Hoc te monitum velim, Amice Lector, con$ideratum hacte- nus vectem ad movenda $ur$um pondera gravia, aut deprimen- da deor$um levia, & quidem à Potentia, quæ vi $uæ gravitatis aut levitatis moveatur, cujus propterea a$cen$um aut de$cen- $um con$ideravimus. Nam $i in plano horizontali à Potentia vivente movendum $it pondus, utique Potentiæ motus circu- <pb n=393> laris ob$ervatur, & attendendum e$t vectis punctum, in quod cadit linea, quæ à centro gravitatis ponderis in vectem per- pendicularis ducitur, ut ponderis locus $tatuatur, & momen- ta definiantur. Naturâ quippe comparatum e$t, ut $i vectis non occurrat huic perpendiculari, non moveatur totum pondus, $ed fiat ponderis conver$io vel circa gravitatis centrum, vel circa aliud punctum quod maneat immotum, aut $altem mino- re motu moveatur. <HR> <C>CAPUT V.</C> <C><I>Quæ $it Ratio Vectis Hypomochlium mobile habentis.</I></C> <p>NOn hîc hypomochlium mobile illud intelligo, qued $imul cum pondere à potentiâ $u$tentato ad ea$dem partes pro- movetur; cuju$modi $unt manualia bajulorum vehicula, quæ unicâ rotâ in$truuntur, & habentia rationem vectis $ecundi ge- neris; nam fulcrum habent in axe rotæ, & potentiam in extre- mitate manubriorum, quibus illa $u$tinet pondus transferen- dum: cui propterea addita e$t rota illa ver$atilis, ut etiam hy- pomochlium citra difficultatem, quin atterat $ubjectam plani- tiem, $imul cum pondere jam elevato, atque $u$tentato pro- moveatur. <p>Huju$modi pariter e$t novitium vehiculi genus, cui Sellæ Rotatæ nomen fecerunt, hoc uno à lecticâ viatoriâ di$crepans, quòd loco po$terioris jumenti $u$tinentis additus e$t axis dua- bus rotis infixus, cui innituntur vectes ab anteriore equo $u$tentanti unâ cum pondere intermedio. Hic e$t vectis $ecun- di generis, cujus hypomochlium $equitur potentiam trahen- tem pariter ac $u$tentantem impo$itum pondus, non mutatâ Ratione momenti potentiæ $u$tinentis, $ive hypomochlium moveatur, $ive $tabile $it ac fixum. Cæterùm quò pondus ma- gis à rotis di$tat, magis equum gravat, minùs autem $ub$ilit, cùm rotæ in offendiculum incurrunt. <p>Nomine igitur hypomochlij mobilis illud intelligo, quod <pb n=394> movente potentiâ atque conante adversùs pondus, re$i$tit qui- dem vecti, $ed & $imul loco cedit ita, ut pondus & hypomo- chlium in oppo$itas partes immi$$o inter illa vecte moveantur. Sic contingere pote$t fulcrum deprimi, dum pondus elevatur, aut fulcrum elevari, dum pondus deprimitur, aut $i utrumque in plano horizontali moveatur, in oppo$itas plagas recedere. Loquor autem de vecte primi & $ecundi generis, quibus com- muniter utimur; nam in vecte tertij generis, $i hypomochlium cedat, movetur ad ea$dem partes cum pondere & potentia, $ed tardiùs. Hinc $i vecte inter duo pondera non immodicè inæ- qualia interjecto alterutrum movere coneris, reliquum etiam movetur; ita tamen ut neutrum tantum motûs perficiat, quan- tum haberent $ingula, $i $olitariè moverentur, reliquo manen- te immoto. <p>Sit vectis AB inter duos lapides C & D interjectus, qui la- pidem C non dimovebit, ni$i eum tangat in puncto cui occur- <FIG> rit linea ex C gravitatis centro ducta (aut potiùs planum per idem gravitatis centrum C tran$iens) ad perpendiculum in vectem, & $it linea CE; ni$i enim in E lapis à vecte tanga- tur, movebitur quidem lapis circa centrum C, donec congruat vecti, $ed non propelletur totus lapis. Idem dic de lapide D, ni$i tangatur in F occurrente lineæ perpendiculari DF. Qua- re pondera intelligantur in E & F: & quoniam F re$i$tit vecti, ut E propellatur versùs C, & vici$$im E re$i$tit vecti, ut F propellatur versùs D, propterea ad movendum pondus C, vectis AE e$t primi generis, & ad movendum pondus D, vectis AE e$t $ecundi generis; atque pondera illa vici$$im ha- bent rationem hypomochlij, quia vectis alteri innititur, ut al- terum moveat. <p>Cæterùm $ingulorum lapidum ab$oluta & $impliciter $umpta re$i$tentia tum ex eorum ingenitâ gravitate, tum ex $uperfi- cierum $e tangentium a$peritate atque conflictu definitur: Comparatè verò ad vectem non $ic accipienda e$t $ingulorum re$i$tentia, qua$i motûs centra e$$ent E aut F: experimento enim manife$to deprehenditur motum potentiæ A ad motum <pb n=395> ponderis C non e$$e ut AF ad FE, neque eju$dem potentiæ A æqualem motum e$$e ad motum ponderis D ut AE ad FE. Nam $i punctum E vectis fixum e$$et, & potentiæ motus e$$et AL, motus ponderis F e$$et FH: Si verò punctum F manc- ret immotum, & potentiæ <FIG> motus e$$et AI æqualis ip$i AL, motus ponderis e$$et EG. Tunc autem motus AI æqualis e$t motui AL, quan- do ut AF ad AE, ita vici$$im angulus AEL ad angulum AFI: æqualium $i quidem angulorum in circulis inæ- qualibus arcus $unt ut Radij; ergo $i fuerint anguli reciprocè ut Radij, $cilicet minor in ma- jore circulo, & major angulus in minore, erunt æquales arcus illis oppo$iti: Sic anguli AFR æqualis angulo AEL arcus AR e$t ad AL, ut Radius FA ad Radium EA; $ed ut FA ad EA, ita arcus AR ad arcum AI ex con$tructione; ergo ut AR ad AL ita AR ad AI: ergo per 9.lib.5. AI & AL $unt æquales. <p>Quoniam igitur tam E quàm F ex hypothe$i in oppo$itas partes moventur circumacto vecte, punctum aliquod e$t inter E & F, quod e$t veluti centrum motuum tam potentiæ quàm pon- derum, in quo centro quodammodo divi$a intelligitur re- $i$tentia, quæ componitur tùm ex eorum innatâ gravitate, tùm ex eorum motu, $pectatâ po$itione ad vectem. Hinc ma- nife$tum e$t $ingula pondera minùs moveri, quàm $i $ingula moverentur reliquo manente immoto; quia videlicet $ingula minùs di$tant à centro, circa quod moventur. Sic ponderum E & F gravitas ponatur æqualis: $i intelligatur centrum mo- tûs ab utroque æqualiter di$tare, ut $it KE æqualis ip$i KF, motus potentiæ factus intervallo AK æqualem habet Ratio- nem ad motum, qui fit à $ingulis ponderibus. <p>Quare potentiæ momentum perinde $e habet, atque $i utrum- que pondus e$$et in E, aut utrumque in F, hypomochlium verò in K. Ponamus enim EF e$$e partium 6, quarum partium 7 e$t FA: igitur EK e$t 3, & KA 10; & potentia $ine vecte movens lib.3, vecte AKE movebit lib.10 in E. Similiter KF e$t 3, & <pb n=396> KA e$t 10; igitur potentia ut 3 in A, movebit in F pondus ut 10: igitur etiam in A potentia ut 6, facto motûs centro K, mo- vebit vel utrumque pondus ut 10 in E & F, vel unicum pondus ut 20 $ive in E, $ive in F. Con$tituatur itaque potentiæ virtus ut 6, $i hypomochlium e$$et F immotum, non moveret ni$i pon- dus grave ut 7 po$itum in E; & facto hypomochlio $tabili E moveret pondus grave 13 po$itum in F; adeóque univer$um pondus e$$et librarum 20. Quare idem pondus lib. 20 movetur ab eâdem potentia, $ed non eodem motu: Nam hîc amborum $imul ponderum motus circa centrum K e$t ut 6; at $i potentiæ motus AI $it 10 (quemadmodum motus potentiæ circa cen- trum K e$t 10) circa F centrum, motus EG e$t 8 4/7; & $i po- tentiæ motus AL $it pariter 10 circa centrum E motus FH e$t (4 8/13). <p>Hinc patet $ingulorum ponderum motum, quando utrum- que $imul movetur, minorem e$$e, quàm $i $ingula $olitariè moverentur, adeóque totum motum, qui ex duobus motibus coale$cit, minorem e$$e $ummâ, quæ conflatur ex motu EG & motu FH. Præterea manife$tum e$t cæteris paribus move- ri faciliùs pondus F, quod e$t Potentiæ A proximum, quàm pondus E ab eádem remotum; minor enim differentia e$t in- ter (4 8/13) & 3, quàm inter 8 4/7 & 3. <p>Quod $i duorum ponderum E & F ab$oluta re$i$tentia, quæ ex gravitate oritur, inæqualis fuerit, inæqualem pariter e$$e oportet re$i$tentiam ex motûs velocitate, quæ unicuique pon- deri conveniat, $ed reciprocè, ut fiat totius re$i$tentiæ æquali- tas. Cum enim utrumque pondus movendum $it, par e$t ita re- $i$tentiam dividi, ut æqualibus momentis adver$entur poten- tiæ contranitenti; quod $cilicet gravius e$t, difficiliùs movetur, quod minus grave, faciliùs: igitur illius motus minor e$t, hu- jus major. Proptetea centrum motuum iis intervallis ab utro- que pondere aberit, ut quæ Ratio e$t gravioris ponderis ad mi- nus grave, ea $it Ratio di$tantiæ centri motûs à minùs gravi ad di$tantiam eju$dem centri à graviore. Sit ex. gr. pondus E lib.8. & pondus F lib.12; di$tantia EF eadem quæ priùs, hoc e$t, 6; & FA 7. Cum igitur pondera $int ut 2 ad 3, dividatur EF in quin- que partes, & propè gravius F a$$umantur duæ FM, reliquæ <pb n=397> tres ME $pectent ad minus grave E. Si itaque circa centrum M moveantur pondera E & F, habent æqualia re$i$tentiæ mo- menta; nam lib. 12 moventur ut 2, & lib. 8 moventur ut 3. Quare AM e$t ad ME ut 9 2/5 ad 3 3/5, & AM ad MF e$t ut 9 2/5 ad 2 2/5. Fiat igitur ut AM ad ME, ita reciprocè pondus E lib. 8 ad virtutem potentiæ A movendi $ine vecte libras (3 3/47): & ut AM ad MF, ita reciprocè pondus F lib.12 ad eju$dem po- tentiæ A virtutem movendi $inè vecte libras (3 3/47). In hac ita- que ponderum inæqualium di$po$itione paulo plus virium re- quiritur in potentia (hoc e$t vis movendi lib. (6 6/47)) quàm $i e$- $ent æqualia, eandemque gravitatis $ummam lib. 20 con$ti- tuerent. <p>At $i vice versâ pondus E e$$et lib. 12, & F lib. 8, centrum motuum e$$et N, atque AN e$$et 10 3/5: ac propterea ut AN 10 3/5ad NE 2 2/5, ita pondus E lib. 12 ad virtutem potentiæ $i- ne vecte moventis libras (2 38/53); & ut AN 10 3/5 ad NF 3 3/5, ita pondus F lib. 8 ad virtutem potentiæ A moventis $ine vecte li- bras (2 38/53). Tota igitur virtus potentiæ in hac eorumdem pon- derum inæqualium collocatione $ufficiet, $i fuerit vis movendi lib. (5 23/53), quæ minor e$t eâ, quæ requiritur; quando pondera $unt æqualia, & differt à virtute, quæ requiritur, quando F gravins e$t quàm E, vi movendi ferè uncias 8 1/3. <p>Simili argumentatione ratiocinando deprehendes, quo mi- nus fuerit intervallum inter E & F, <*>am faciliùs duo illa pon- dera eodem vecte moveri. Nam $i idem vectis AE 13 adhi- beatur, atque pondera E & F æqualia fuerint, intervallum ve- rò EF $it 4, centrum motuum di$tabit ab A intervallo 11, & à $ingulis ponderibus intervallo 2: Quare potentia ut 4 move- bit pondera $ingula ut 11: vel $i ponantur ut prius $ingula lib. 10, fiat ut 11 ad 2, ita lib. 10 ad potentiam $ine vecte mo- ventem lib. (1 9/11); atque ideò tota potentia $ufficiens ad movenda duo pondera æqualia $imul $umpta lib. 20, erit vis movendi $ine vecte lib. (3 7/11). Quod $i E fuerit lib. 8, & F lib.12, E di$tabit à à centro motuum partibus 2 2/5, F verò part. 1 3/5, & potentia A di$tabit part. 10 3/5: Ex quo fit $ingula moveri po$$e à potentia <pb n=398> habente virtutem movendi $ine vecte lib. (1 43/53), & ambo $imul à potentia habente vim movendi lib. (3 33/53). At verò $i vici$$im E fuerit lib. 12, & F lib. 8, di$tantia potentiæ à centro motuum erit part. 11 2/5, ac propterea $ingula pondera exigent virturem movendi lib. (1 39/57), & tota potentia ad utrumque $imul moven- dum $ufficiens erit vis movendi $ine vecte lib. (3 21/57), quæ deficit à vi movendi lib. (3 33/53), ea virtute, quæ requireretur ad moven- dum uncias (3 1/20), atque à vi movendi lib. (3 7/11) deficit per uncias 3 1/5 ferè. <p>Que de corpore gravi dimovendo dicta $unt, intelligantur pariter, $i vectis inter duo corpora flectenda, aut divellenda, interjiceretur; quemadmodum objectos caveæ $i quæras fran- gere clathros: quod enim hîc gravitas, ibi ferreæ virgæ aut lignei tigilli foliditas impedimentum affert motui. <p>Porrò in vecte tertij generis, quando potentia inter utrum- que pondus mobile con$tituitur, aliter res $e habet: adhoc $ci- licet, ut aliquam vectis Rationem habeat, requiritur aut inæ- qualitas ponderum, aut $altem inæqualitas di$tantiarum po- tentiæ à ponderibus in utrâque extremitate con$titutis, ita ta- men ut hæ di$tantiæ non $int in reciprocâ Ratione ponderum: nam $i planè æqualiter di$taret potentia ab æqualibus ponderi- bus, aut inæquales di$tantiæ e$$ent in reciprocâ Ratione inæ- qualium ponderum, ita utrumque traheretur, aut impellere- tur, ut pondera $ingula æquè moverentur ac potentia: ad Ra- tiones autem vectis $pectat inæqualiter moveri potentiam ac pondus, $i vectis quidem obtineat vim Facultatis Mechanicæ. <p>Quoniam igitur in huju$modi vecte tertil generis oportet utrumque pondus opponi motui potentiæ; vel quia utrumque impellitur, vel quia alterum trahitur, alterum impellitur, $it <FIG> vectis AB, in cujus extremitati- bus pondera re$pondeant punctis A & B: Si potentia fuerit in C æquè di$tans ab A & B, pondera autem fuerint æqualia; potentia ex C versùs D mota nullum ha- beret $ui motûs centrum, $ed pariter traheret aut impelleret ad partes D utrumque pondus; nam æquè utrumque re$i$tcret <pb n=399> tùm ratione gravitatis, tùm ratione po$itionis & di$tantiæ, quæ legem daret motui, ac proinde utrumque æqualiter cederet virtuti potentiæ. At $i pondus A minus fuerit, quàm pondus B, $ed reciprocam Rationem habeant di$tantiæ potentiæ exi$tentis in E, ut $it EB ad EA, in Ratione ponderis A ad pondus B; adhuc æquales $unt re$i$tentiæ; $icut enim in plano Verticali potentiæ in E $u$tineret utrumque pondus in æquilibrio, ita in plano horizontali trahens aut impellens utrumque æqualiter moveret. <p>Sint igitur pondera A & B $ive æqualis gravitatis, $ive inæ- qualis, & ita potentia $it in E, ut EB ad EA non $it in Ratio- ne ponderis A ad pondus B: utique $i B moveri non po$iet, potentia E circa B, tanquam circa centrum, de$criberet ar- cum EI, & pondus A arcum AF: $imiliter $i pondus A immo- tum maneret, potentia circa A, tanquam circa centrum, de$- criberet arcum EH, & pondus B arcum BG, ex hypothe$i æqualem arcui AF. Potentia igitur in E faciliùs cæteris pari- bus moveret pondus B $ibi proximum, quàm pondus A remo- tum, $i $ingula $ingillatim movenda e$$ent; quia, cum arcus EH major $it arcu EI, arcus autem BG, & AF $int æquales, major e$t Ratio EH ad EI quàm BG ad AF; & per 27. lib.5. vici$$im EH ad BG habet majorem Rationem quàm EI ad AF. Cum itaque neutra extremitas immota maneat, $ed ambo pondera moveantur, minùs movetur A, quod difficiliùs, ma- gis B, quod faciliùs: ac propterea A $impliciter fungitur mu- nere hypomochlij ad motum ponderis B: hoc verò vici$$im ad ponderis A motum, quamvis minorem, $ubit vicem fulcri: Neque enim hic unum tribus motibus, potentiæ videlicet & duorum ponderum, commune centrum reperire e$t, quia ad candem partem omnium motus dirigitur. Hinc $i fune alligato in E trahas vectem cum ponderibus, punctum E neque omni- no versùs I, neque omnino versùs H dirigetur, quamquam ad H potiùs, quàm ad I inclinabitur; quia faciliùs A vectis punctum re$pondens ponderi convertitur circa centrum gravi- tatis ponderis, quàm propellat aut trahat totum pondus, pro ut ferunt, & ip$ius gravitas, & eju$dem di$tantia ab E, quæ il- lius re$i$tentia