![[BACK]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/back.gif){kind=icon}
Return to carda_propo_01_la_1570.raw
CVS log ![[TXT]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/text.gif){kind=icon}
![[DIR]](http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/arch/img/icons/dir.gif){kind=icon}
Up to [CVSROOT] / texts / archimedes / rawMain History Search Repository tree
| Return to carda_propo_01_la_1570.raw
CVS log | Up to [CVSROOT] / texts / archimedes / raw |
| File: [CVSROOT] / texts / archimedes / raw / carda_propo_01_la_1570.raw
(download) - view tree Revision 1.1, Wed Jun 19 09:18:25 2002 UTC (10 years, 11 months ago) by bcfuchs Branch: MAIN CVS Tags: HEAD adding from old repository but with new names |
<pb>
<pb>
<pb>
<head>HIERONYMI
CARDANI MEDIO
LANENSIS, CIVISQV'E BONO-
NIENSIS, PHILOSOPHI, MEDICI ET
Mathematici clari$simi,</head>
<head>OPVS NOVVM DE
PROPORTIONIBVS NVMERORVM, MO
TVVM, PONDERVM, SONORVM, ALIARVMQV'E RERVM
men$urandarum, non $olùm Geometrico more $tabilitum, $ed etiam
uarijs experimentis & ob$eruationibus rerum in natura, $olerti
demon$tratione illu$tratum, ad multiplices u$us ac-
commodatum, & in Vlibros dige$tum.</head>
<head>PRAETEREA.</head>
<head>ARTIS MAGNÆ, SIVE DE REGVLIS
ALGEBRAICIS, LIBER VNVS, ABSTRVSISSIMVS
& inexhau$tus plane totius Arithmeticæ the$aurus, ab
authore recens multis in locis recogni-
tus & auctus.</head>
<head>ITEM.</head>
<head>DE ALIZA REGVLA LIBER, HOC EST, ALGEBRAICAE
logi$ticæ $uæ, numeros recondita numerandi $ubtilitate, $ecundum Geo-
metricas quantitates inquirentis, nece$$aria Coronis,
nunc demum in lucem edita.</head>
<head>O<I>pus</I> P<I>hy$icis &</I> M<I>athematicis imprimis
utile & nece$$arium.</I></head>
<fig>
<head>Cum Cæ$. Maie$t. Gratia & Priuilegio.</head>
<head>BASILEÆ.</head>
<pb>
<head>IN LIBRVM DE
PROPORTIONIBVS HIERONYMI
CARDANI MEDIOLANENSIS, CIVISQV'E
Bononien$is, Medici, Præfatio ad M. A. Amulium
Venetum Card. Illu$tri$simum.</head>
<P>Bene Dictum e$tmeo iudicio à Platone M.
A. Amuli optime, beatas fore Re$pub. $i uel
illarum domini $apientiæ amatores e$$ent,
aut qui $apientiæ e$$ent amatores domina-
rentur, hocip$um clarè intelligens, $tudio $a
pientiæ nihil e$$e utilius humano generi:
quo $imul & pietas, & iu$titia, & mutuus
amor hominum inter $e & eorum commo-
da continerentur. Nempe hi$ce quatuor tota no$tra felicitas com-
prehenditur. Si quidem pietate in Deos nihil ni$i $anctum, & pu-
rum, & illu$tre $apimus: hocip$o primum quod $upra nos e$t, intel-
ligimus, Deos ueneramur, gratias agimus, timor cum ueneratione
no$tros animos $ubit, & de futura uita cogitamus, hæc ip$a morta-
lia $i non negligentes $altem paruifacientes. Iu$titiam autem adeò
nece$$ariam humano generi e$$e $cimus, ut $ine illa ne<01> e$$e, nedum
benè e$$e po$símus, ut ne<01> latronum cœtus ab$<01> ea diu $tare po$-
$int. Porrò quid dicam de concordia, & mutua hominum beneuo-
lentia, in quibus omnis uit&ecedil; human&ecedil; dulcedo repo$ita e$t: nec quis
$u$tineat uiuere, qui $e omnibus odio$um e$$e $entiat. His ip$is fi-
lios in $pem alimus, parentes fouemus, fratres tuemur, & adiuua-
mus, amicis opitulamur, cum hominibus hilarem & iucundam ui-
tam ducimus. Si quis $erpentem in lecto haberet, nunquam $om-
num caperet: ita nihil mole$tius e$t in hac uita, quam e$$e cum quo
nolis, & priuari con$uetudine eorum cum quibus maximè uiuere
cupias. Quid enim habent Principes præcipuum cum tota illa po-
tentia quam habent, ni$i hoc unum, quod $uis quos amant bene fa-
cere po$sint: nam reliqua omnia exerceri, uenari, edere, bibere, dor-
mire, iter agere, loca amæna inui$ere multis alijs conce$$um e$t, ma-
iore<03> commodo qui in uita priuata degunt. Si ergo principatum
cum totlaboribus, curis, periculis, & meritò omnes appetunt: nec
e$t in eo quicquam præcipuum præter hoc, cui dubium e$t quin
hocnon $it $ummum huius uitæ hominibus bonum? propter cu-
ius uel dubiam $pem eorum, quæ habent obliti mortales pericli-
tantur. Succedunt inde tot commoda, non $olum utilia, $ed plera<01>
<foot><*> 2 etiam</foot>
<pb>
etiam nece$$aria, quæ nos $apientia docet: huiu$modi ergo omnia
cùm libris contineantur, meritò optimus qui$que librorum bono-
rum perpetuitati at<01> in columitati fauere debet. C. Caligulam exe-
cramur $olum ob id quod Vergilij, & T. Liuij $cripta delere cogi-
tauerit. Quid facturi e$$emus, $i feci$$et quod cogitauerat? E$t in $a-
pientum monumentis bonum $ine malo, mens $ine corporea labe:
Virtutes ab$<01> uitijs, gratiæ & iucunditas $ine $orde, & immundi-
tia, uoluptas $ine dolore, conuer$atio ab$<01> tædio, delitiæ ab$<01> mi$e
ria nuda, omnia bona præ$tant, at<01> laudabilia ab omnibus morta-
litatis exuuijs libera, tantum commodi afferunt libri. Sed & in eo-
rum electione ac $tudijs modus, ac medio critas quædam $eruanda
e$t, quæ $i quis neglexerit non leui incommodo afficietur: eam an-
tiqui rationem alij proportionem appellarunt, non equidem etiam
in pertritis tam facillimã, ut rentur homines: nam in alijs rebus per-
ob$curam e$$e fatentur, ego difficillimam puto undi<01>, & magis for
$an ubi non exi$timamus. Vnde plures decidere uidemus magnis
cum auxilijs, & euidenti $pe: quid aliud e$t in cau$a quàm ignota
men$ura rerum? quam tamen plerique tenere $e putant. Ergo, cùm
$ummum bonum in hac men$ura $itum e$$e cernerem, ut clarè o$ten
dunt mu$icæ uoces, quæ non ni$i indiuiduo (ut ita dicam) $pacio
$eu loco $tare po$$unt, ita & in figuris picturarum & $tatuarum, &
diebus decretorijs, & negocijs ciuilibus oper&ecedil;precium me factu-
rum exi$timaui, $i omnia hæc quæ latè patebant breuiter in unum
redegi$$em, nõ tantum ne lectorem tædio afficerem, quàm ut quòd
aliàs do cui, breuibus tractationibus, & plura continerentur, & faci
lius docerentur. Cum uerò bona fortuna quædam effeci$$et, ut tibi
libellum dedica$$em de Prouidentia ex con$titutione temporum,
longe meliore occa$ione nominis tui typographi obliti $int, indi-
gnum fore putaui, ut non ærea (quemadmodum cum Glauco Dio
medes) cum aureis commutarem. Ita<01> infinitis licet circumuentus
negocijs totus huic operæ in cubui, at<01> adeò ut præter $pem unius
anni penè $pacio liber ab$olueretur. Qui cum tibi (ut dixi) iam iurè
deberetur, eò tamen magis dedican dum putaui, quod non ego $o-
lum quanquam id maximè, $ed communis con$en$us ho-
minum exi$timet, te $ingulari uirtute omnibus
$tudio$is plurimum fauere,
Vale.</P>
<foot>TABVLA</foot>
<pb>
<head>TABVLA PRO-
POSITIONVM DE
PROPORTIONIBVS.</head>
<table>
<row><col>I.</col><col>Proportionem <I>in proportionem duci, e$t $uperiores numeros
at<01> inferiores inuicem ducere.</I></col><col><I>pagina</I> 6</col></row>
<row><col>II.</col><col>P<I>roportio extremorum producitur ex intermedijs.</I></col><col>7</col></row>
<row><col>III.</col><col>S<I>i proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis producatur,
ip$a uerò proportio inter duas alias quantitates fuerit con$tituta: con$urgent trecen-
ti $exaginta modi productionis proportionis.</I></col><col>7</col></row>
<row><col>IIII.</col><col>S<I>i fuerit proportio primi ad $ecundum, producta ex proportionibus tertij ad quartum,
& quinti ad $extum, producetur etiam ex proportione tertij ad $extum, & quinti ad
quartum.</I></col><col>8</col></row>
<row><col>V.</col><col>S<I>i fuerit proportio primi ad $ecundum, producta ex proportione tertij ad quartum, &
quinti ad $extum: erit proportio tertij ad $extum, producta ex proportionibus primi
ad $ecur dum, & quarti ad quintum.</I></col><col>8</col></row>
<row><col>VI.</col><col>E<I>x trecentis $exaginta modis producendarum proportionum triginta $ex tantum e$$e
nece$$arios.</I></col><col>9</col></row>
<row><col>VII.</col><col>I<I>n modis qui nece$$ariò producuntur ex duabus proportionibus, cum duæ quantitates ex
illis quæ modos conficiunt, æquales fuerint: proportio producta ad quatuor quanti-
tates omiologas reducetur.</I></col><col>10</col></row>
<row><col>VIII.</col><col>S<I>i duarum proportionum $uperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicen-
tur at<01> coniungantur, erit proportio aggregati ad productum ex inferioribus in-
uicem proportio, ex primis proportionibus compo$ita.</I></col><col>11</col></row>
<row><col>IX.</col><col>S<I>i duarum proportionum $uperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicen-
tur, minus<03> productum ex maiore detrahatur, erit re$idui ad productum ex in$e-
rioribus proportio uelut illa, quæ relinquitur detracta minore proportione ex ma-
iore.</I></col><col>11</col></row>
<row><col>X.</col><col>S<I>i fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio, uelut alterius partis ad $ecun-
dam quantitatem, erit proportio cuiu$uis quantitatis eiu$dem generis ad $ecundam
compo$ita proportio, ex proportionibus eiu$dem quantitatis, a$$umptæ ad utranque
partem primæ quantitatis $eor$um.</I></col><col>11</col></row>
<row><col>XI.</col><col>P<I>roportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad aggregatum duarum æqua-
lium quantitatũ e$t, compo$ita ex proportionibus primis, & diui$a per duplam.</I></col><col>12</col></row>
<row><col>XII.</col><col>P<I>ropo$itis duabus proportionibus unam alteri iungere ab$<01> multiplicatione.</I></col><col>12</col></row>
<row><col>XIII.</col><col>P<I>roportio confu$a aggregata primæ & tertiæ quatuor quantitatum omiologarum ad
aggregatum $ecundæ & quartæ, e$t uelut compo$ita ex ei$dem diui$a per du-
plam.</I></col><col>13</col></row>
<row><col>XIIII.</col><col>P<I>roportiones confu$æ & coniunctæ in tribus quantitatibus inuicem commutantur.</I></col><col>13</col></row>
<row><col>XV.</col><col>S<I>i fuerint quatuor quantitates proportio confu$a, aggregati primæ & tertiæ, ad aggre-
gatum $ecundæ & quartæ, erit ut monadis addito prouentu, qui fit diui$a differentia,
differentiarum primæ & $ecundæ, at<01> quartæ & tertiæ, per aggregatum tertiæ &
quartæ ad ip$am monadem.</I></col><col>14</col></row>
<row><col>XVI.</col><col>O<I>mnium quatuor quantitatum propo$ita prima, quæ non minorem habet proportio-
nem ad $uam corre$pondentem quàm alia ad aliam, erit proportio confu$a illarum,</I></col><col></col></row>
<foot><*> 3 <I>ut pro-</I></foot>
<pb>
<row><col></col><col><I>ut producti ex aggregato primæ & tertiæ, in tertiam ad productum ex iggre
gato tertiæ & omiotatæ ad $ecundam in ip$am quartam.</I></col><col>14</col></row>
<row><col>XVII.</col><col>O<I>mnes duæ proportiones conuer$æ producunt æqualem proportionem.</I></col><col>15</col></row>
<row><col>XVIII.</col><col>S<I>i fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multiplici præter, ultimã
proportio uerò penultimæ ad ultimam, qualis re$idui primæ ad $ecundam,
erit primæ ad aggregatum reliquarum, uelut penultimæ ad ultimam.</I></col><col>15</col></row>
<row><col>XIX.</col><col>S<I>i fuerint aliquot quantitates arithmeticæ omiologæ, quarum exce$$us $it æqualis
minimè, omnibus autem deficientibus $upplementa ad æqualitatem maximè
adiungantur, erunt quadrata omnium quantitatum æqualium, adiecto rur$us
quadrato primæ cum eo quod fit ex minima primi ordinis in aggregatum o-
mnium quantitatum eiu$dem, tripla aggregato quadratorum omnium quanti
tatum primi ordinis pariter acceptis.</I></col><col>17</col></row>
<row><col>XX.</col><col>C<I>um fuerint quatuor quantitates, fuerit<03> $ecũda æqualis tertiæ, aut prima æqualis
quartæ, erit proportio primæ ad quartam, aut tertiæ ad $ecundam, producta
ex proportionibus primæ ad $ecundam & tertiæ ad quartam.</I></col><col>21</col></row>
<row><col>XXI.</col><col>C<I>um decu$$atim ducta fuerit prima in quartam, & $ecunda in tertiam, produ-
ctum<03> primæ in quartam, diui$um fu<*>rit per productum $ecundæ in tertiam,
erit proportio primæ ad $ecundam, diui$a per proportíonem tertiæ ad quar-
tam.</I> E<I>t $imiliter interpo$ita omiologa.</I></col><col>22</col></row>
<row><col>XXII.</col><col>C<I>um fuerit proportio primæ ad $ecundam maior quàm tertiæ ad quartam, erit
confu$a ex his maior quàm tertiæ ad quartam, minor autem quàm primæ ad
$ecundam.</I></col><col>23</col></row>
<row><col>XXIII.</col><col>O<I>mnis motus naturalis ad locum $uum e$t: ideò per rectam lineam fit.</I></col><col>23</col></row>
<row><col>XXIIII.</col><col>O<I>mnis motus circularis uoluntarius e$t.</I></col><col>23</col></row>
<row><col>XXV.</col><col>T<I>res $unt motus omnino $implices naturalis, uoluntarius, & uiolentus.</I></col><col>24</col></row>
<row><col>XXVI.</col><col>M<I>otus ergo compo$iti quatuor nece$$ariò $unt $pecies.</I></col><col>24</col></row>
<row><col>XXVII.</col><col>M<I>otus uoluntarius e$t in loco: naturalis ad locum: uiolentus ex loco.</I></col><col>25</col></row>
<row><col>XXVIII.</col><col>M<I>otus quilibet uoluntarius aut uiolentus in aliquo medio fit.</I></col><col>25</col></row>
<row><col>XXIX.</col><col>O<I>mnis motus uoluntarius æqualis e$t $emper: $impliciter etiam quilibet alius mo-
tus.</I></col><col>25</col></row>
<row><col>XXX.</col><col>I<I>n omni corpore mobili in medio partes medij re$i$tunt obuiæ, aliæ impel-
lunt.</I></col><col>26</col></row>
<row><col>XXXI.</col><col>O<I>mnis motus naturalis in æquali medio ualidior e$t in fine quàm in principio.</I>
V<I>iolentus contrà.</I></col><col>26</col></row>
<row><col>XXXII.</col><col>O<I>mne mobile naturaliter motum $eu uiolenter uelocius mouetur in medio rariore
quàm den$iore.</I> M<I>aior quo<01> e$t proportio finis motus in corpore rariore ad
finem motus in corpore den$iore quàm principij.</I> I<I>n uiolento autem celerius
perueniret ad finem motus in corpore den$iore.</I></col><col>27</col></row>
<row><col>XXXIII.</col><col>O<I>mnia duo mobilia æqualis undi<01> magnitudinis quæ æquali in tempore æqualia
$pacia pertran$eunt in diuer$is $ub$tantia medijs nece$$e e$t, ut $it ponderis ad
pondus, quem ad modum medij ad medium proportio duplicata.</I></col><col>27</col></row>
<row><col>XXXIIII.</col><col>P<I>roportio corporis cubi ad $uam $uperficiem quadratam, e$t uelut eiu$dem $uperfi
ciei, ad latus eiu$dem uerò ad monadem.</I></col><col>28</col></row>
<row><col>XXXV.</col><col>V<I>ocum magnitudines excre$cunt in acumine, non in grauitate, finis autem e$t in
utroque extremo.</I> P<I>ropter hoc minima facta uariatione in hypate acutæ uix
ferunt.</I></col><col>29</col></row>
<row><col>XXXVI.</col><col>S<I>i proportio per proportionem minorem æquali ducatur, proportio minor pro-</I></col><col></col></row>
<foot><I>ducetur.</I></foot>
<pb>
<row><col></col><col><I>ducetur.</I> V<I>nde manife$tum e$t duas proportiones minores æqualitate inuice<*> du
ctas proportionem minorem unaqua<01> illarum producere.</I></col><col>30</col></row>
<row><col>XXXVII.</col><col>S<I>i plures homines, quorum per $e nauim mouere poßint, aut pondus ferre $imul
iuncti eam moueant, aut pondus ferant, erunt illæ proportiones coniunctæ
non productæ.</I></col><col>30</col></row>
<row><col>XXXVIII.</col><col>O<I>mne corpus tantum re$i$tit motui contrario $uo natúrali, quantum mouetur oc-
culto motu quie$cendo.</I></col><col>31</col></row>
<row><col>XXXIX.</col><col>A<I>b æquali aut minore ui quàm $it impedimentum non fit motus.</I></col><col>31</col></row>
<row><col>XL.</col><col>O<I>mne corpus $pb æricum tangens planum in puncto mouetur ad latus per quam-
cun<01> uim, quæ medium diuidere pote$t.</I></col><col>31</col></row>
<row><col>XLI.</col><col>S<I>i fuerint duæ quantitates $umatur<03> toties aggregatũ maioris & minoris, quo-
ties aggregatum minoris & maioris, erit proportio confu$a maioris aggregati
ad minus, minor quam multiplicis maioris ad multiplex minoris.</I></col><col>32</col></row>
<row><col>XLII.</col><col>T<I>rahentium nauim, aut ferentium pondera proportiones in $e inuicem, quomodo
ducere oporteat con$iderare.</I></col><col>32</col></row>
<row><col>XLIII.</col><col>P<I>roductionem ad additionem retrabere.</I></col><col>33</col></row>
<row><col>XLIIII.</col><col>S<I>i fuerit proportio motoris ad id quod e$t maximum non mouens, & $pacium &
tempus, nota erit etiam reliquorum nota.</I></col><col>33</col></row>
<row><col>XLV.</col><col>R<I>ationem $tateræ o$tendere.</I></col><col>34</col></row>
<row><col>XLVI.</col><col>A<I>n $it aliqua proportio & qualis inter animam & uitas, & $ua corpora con$ide-
rare.</I></col><col>35</col></row>
<row><col>XLVII.</col><col>S<I>i duo mobilia æqualister in eodem circulo iuxta proprios motus moueantur, pro-
ductum temporis circuituum inuicem, erit æquale producto differentiæ tempo
rum circuitus ductæ in tempus coniunctionis primæ.</I></col><col>36</col></row>
<row><col>XLVIII.</col><col>S<I>i tria mobilia ex eodem puncto di$cedant, fuerint<03> duorum ac duorum coniun-
ctiones in temporibus commen$is, illa tria mobilia denuo coniungentur in tem
pore producto ex denominatore diui$ionis temporis maioris per minus in mi-
nus aut numeratore in maius.</I></col><col>37</col></row>
<row><col>XLIX.</col><col>P<I>ropofitio mobilis in circulo circuitus tempore data<03> ratione di$tantiæ ab illo mo
bilis circuitum inuenire, quod ex eod&etilde; puncto di$cedens cũalio mobili in dato
puncto cõueniat $ub quocũ<01> numero circuituũ t&etilde;pus quo<01> cõiunctionis.</I></col><col>39</col></row>
<row><col>L.</col><col>O<I>mnes circuituum portiones in ei$dem temporibus repetuntur.</I></col><col>40</col></row>
<row><col>LI.</col><col>O<I>perationes dictas exemplo declarare.</I></col><col>41</col></row>
<row><col>LII.</col><col>T<I>ria mobilia coniuncta in eod&etilde; puncto, quorum duo & duo conueniant in partib.
incommen$is inter $e, in perpetuum in nullo unquam puncto conuenient.</I></col><col>42</col></row>
<row><col>LIII.</col><col>C<I>irculorum $e in aduer$um mouentium proportionem declarare.</I></col><col>43</col></row>
<row><col>LIIII.</col><col>P<I>roportio circuli ad $uum diametrum per $imilitudinem e$t quarta pars periphe-
riæ.</I> R<I>ur$us<03> eiu$dem circuli ad peripheriam diametri quarta pars.</I></col><col>44</col></row>
<row><col>LV.</col><col>P<I>roportionem medicamentorum per ordines $up po$ita æquali proportione in or-
dinibus per quantitates & proportiones demon$trare.</I></col><col>44</col></row>
<row><col>LVI.</col><col>P<I>roportio cuiu$uis binomij ad $uum reci$um, uel ei commen$um e$t duplicata ei
quæ ad numeri latus.</I></col><col>49</col></row>
<row><col>LVII.</col><col>M<I>otus rationem ad pondus inuenire.</I></col><col>49</col></row>
<row><col>LVIII.</col><col>Q<I>uæ ex alto de$cendunt, cur non eandem pro di$tantia motus rationem in libero
aëre $eruent con$iderare.</I></col><col>49</col></row>
<row><col>LIX.</col><col>O<I>mne mobile motum duobus motibus non ad idem tendentibus utro<01> $eor$um tar
dius mouetur $imili motu.</I></col><col>50</col></row>
<row><col>LX.</col><col>O<I>mne mobile motu naturali de$cendentis parte, de$cendit grauiore $ecundum gra-</I></col><col></col></row>
<foot><*> 4 <I>uitatis</I></foot>
<pb>
<row><col></col><col><I>uitatis centrum.</I></col><col>51</col></row>
<row><col>LXI.</col><col>P<I>roportionum ictus ad pondus rei & di$tantiam generaliter con$iderare.</I></col><col>52</col></row>
<row><col>LXII.</col><col>P<I>roportionem motoris in plano ad motorem, qui eleuat pondus iuxta id quod
mouet, inuenire.</I></col><col>53</col></row>
<row><col>LXIII.</col><col>O<I>mne graue quanto proximius alligatum plano, tantò facilius trabitur.</I></col><col>53</col></row>
<row><col>LXIIII.</col><col>O<I>mne mobile quantò latius tanto tardius moustur in plano.</I></col><col>54</col></row>
<row><col>LXV.</col><col>P<I>roportionem duorum mobilium inter $e cum auxilio medij inuenire.</I></col><col>54</col></row>
<row><col>LXVI.</col><col>P<I>roportionem laterum eptagoni, & $ubten$arum con$iderare, & quæ à reflexa
proportione pendent.</I></col><col>55</col></row>
<row><col>LXVII.</col><col>S<I>i fuerint aliquot quantitates ab una quantitate aliæ<03> totidem ab eadem analo-
gæ, erit proportio tertiæ unius ordinis ad tertiam alterius, ut $ecundæ ad $e-
cundum duplicata, & quartæ ad quartam triplicata, quintæ ad quintam
quadruplicata, at<01> $ic de alijs.</I></col><col>57</col></row>
<row><col>LXVIII.</col><col>P<I>ropo$itio collectorum ab</I> E<I>uclide &</I> A<I>rchimede.</I></col><col>57</col></row>
<row><col>LXIX.</col><col>P<I>ropo$itio collectorum ex quatuor libris</I> A<I>pollonij</I> P<I>ergei &</I> Q. S<I>ereni.</I></col><col>59</col></row>
<row><col>LXX.</col><col>S<I>i fuerint tres quantitates <*> ontinua proportione, aliæ<03> totidem in continua
proportione poterunt con$tituere tres quantitates in æquali differentia per-
uer$im copulatæ.</I></col><col>62</col></row>
<row><col>LXXI.</col><col>P<I>roportionem leuitatis ponderis per uirgam torcularem attracti ad rectam $u-
$pen$ionem inuenire.</I></col><col>63</col></row>
<row><col>LXXII.</col><col>P<I>roportionem ponderis $phæræ pendentis ad a$cendentem per accliue planum
inuenire.</I></col><col>63</col></row>
<row><col>LXXIII.</col><col>P<I>roportionem ponderum attractorum penes figuram in plano inuenire.</I></col><col>64</col></row>
<row><col>LXXIIII.</col><col>P<I>roportionem concutientis ad concu$$um in$tabili inuenire.</I></col><col>64</col></row>
<row><col>LXXV.</col><col>P<I>roportion&etilde; immoti in aqua, ad immotũ in terra in excipiendo ictũ inuenire.</I></col><col>65</col></row>
<row><col>LXXVI.</col><col>P<I>roportionem duorũ mobilium $ibi inuic&etilde; concurrentiũ per rectã inuenire.</I></col><col>66</col></row>
<row><col>LXXVII.</col><col>P<I>roportionem motus obliqui ad motum rectum in nauibus inuenire.</I></col><col>66</col></row>
<row><col>LXXVIII.</col><col>P<I>roportionem nauis ad triremes quotuis concurrentes demon$trare.</I></col><col>67</col></row>
<row><col>LXXIX.</col><col>P<I>roportionem medicamentorum purgantium inuicem declarare</I></col><col>68</col></row>
<row><col>LXXX.</col><col>P<I>roportionem motus $ecundum obliquum ad rectum in $pacio declarare.</I></col><col>69</col></row>
<row><col>LXXXI.</col><col>Q<I>uualis $it angulus, per quem pote$t moueri nauis ad rectum explorare.</I></col><col>70</col></row>
<row><col>LXXXII.</col><col>P<I>roportionem uelorum indagare.</I></col><col>70</col></row>
<row><col>LXXXIII.</col><col>P<I>roportionem rece$$us à recta uia ad obliquitatem inue$tigare.</I></col><col>72</col></row>
<row><col>LXXXIIII.</col><col>D<I>i$tantiã centri terræ à centro mundi per motum lapidis</I> H<I>erculei declarare.</I></col><col>73</col></row>
<row><col>LXXXV.</col><col>P<I>roportio ponderis unius grauis ad aliud $ub eadem men$ura e$t ueluti eiu$dem
ad differentiam ponderis ua$is repleti ex altero graui, & ex ambobus de-
tracto priore.</I></col><col>74</col></row>
<row><col>LXXXVI.</col><col>S<I>i circuli in æ quales $eu in $phæra $eu in plano $e $ecuerint, nunquàm oppo$itos
angulos æquales habent.</I></col><col>77</col></row>
<row><col>LXXXVII.</col><col>P<I>roportiones craßitiei aquæ ad a&etilde;r&etilde; in cõparatione ad radios demon$trare.</I></col><col>78</col></row>
<row><col>LXXXVIII.</col><col>I<I>n$trumentũ</I> A<I>colingen, quo momenta temporum deprehendãtur fabricare.</I></col><col>79</col></row>
<row><col>LXXXIX.</col><col>P<I>roportionem den$itatis aquæ ad aërem per pondera inuenire.</I></col><col>82</col></row>
<row><col>XC.</col><col>R<I>ationem impetus uiolenti extra mißi ponderis ad æqualitatem reducere.</I></col><col>82</col></row>
<row><col>XCI.</col><col>P<I>roportionem grauis cubi, & $phærici æqualium in accliui, & de$cen$us eorum
demon$trare.</I></col><col>83</col></row>
<row><col>XCII.</col><col>P<I>roportion&etilde; ponderis æqualis iuxta longitudinis cõparation&etilde; demon$trare.</I></col><col>85</col></row>
<row><col>XCIII.</col><col>P<I>ropter qd in cõcußione etiã leui nauis loco moueatar o$t&etilde;dere.</I> V<I>nde manifi $iũ
e$t duas naues $ibi inuic&etilde; occur$antes retrocedere, & quãtũ retrocedãt ambæ.</I></col><col>86</col></row>
<foot>S<I>i</I></foot>
<pb>
<row><col>XCIIII.</col><col>S<I>i quãtitas aliqua nota at<01> proportio erit producta, quãtitas nota $imiliter.</I> E<I>t $i duæ
proportiones notæ fuerint, erit producta ex his at<01> diui$a coniuncta<03> at<01> detra-
cta nota.</I> E<I>t $i fuerit totius ad partem proportio nota, erit et ad aliam partem nota:
& alterius partis ad alterã uno minor.</I> E<I>t $i fuerit partis ad partem, erit ad to<*>um
monade minor at<01> nota.</I> E<I>t $i fuerit unius quãtitatis ad duas quãtitates proportio
nota, erit & cõfu$a ex eis nota.</I> E<I>t $i fuerint trium quantitatum omiologarum, aut
quatuor analogarum omnes præter unam cognitæ, erunt | & illa alia cognita.</I></col><col>87</col></row>
<row><col>XCV.</col><col>C<I>uiu$uis trigoni rectanguli, aut cuius duo auguli $int in dupla proportione, aut qui
circulo in$criptus $it cognita quantitate unius lateris in comparatione ad dimetien
t&etilde;, $i proportio duorum laterum cognita fuerit, erũt omnia eius latera cognita.</I></col><col>88</col></row>
<row><col>XCVI.</col><col>C<I>um in per$picuũ den$um radij lumino$i inciderint, quatuor fiunt luminis genera.</I></col><col>89</col></row>
<row><col>XCVII.</col><col>M<I>otũ inuer$ionis in figuris in cõparatione ad motũ $phæræ in plano inue$tigare.</I></col><col>91</col></row>
<row><col>XCVIII.</col><col>P<I>roportionem ponderum æqualium per differentiam angulorum inuenire.</I></col><col>92</col></row>
<row><col>XCIX.</col><col>P<I>roportionem grauitatum per multitudin<*> $uppo$itorum orbium o$tendere.</I></col><col>93</col></row>
<row><col>C.</col><col>P<I>roportion&etilde; grauitatis ponderũ attractorum per trochlearũ numerũ inue$tigare.</I></col><col>93</col></row>
<row><col>CI.</col><col>P<I>roportionem precij gemmarum ex tribus in eodem genere cognitis inuenire.</I></col><col>94</col></row>
<row><col>CII.</col><col>P<I>roportionem motuum inuer$ionis, & attractionis in plano inuenire.</I></col><col>95</col></row>
<row><col>CIII.</col><col>P<I>roportionem eorundem in accliui demon$trare.</I></col><col>95</col></row>
<row><col>CIIII.</col><col>P<I>roportionem motus attractionis in decliui ad motum in plano determinare.</I></col><col>95</col></row>
<row><col>CV.</col><col>P<I>roportionem ferentium pondus in pertica inuenire.</I></col><col>96</col></row>
<row><col>CVI.</col><col>Q<I>uales proportiones angulorum doceant laterum proportiones.</I> A<I>t<01> uicißim deter-
minare.</I></col><col>97</col></row>
<row><col>CVII.</col><col>S<I>i in circulo duæ diametri ad rectum angulum $e $ecauerint: aliæ uerò ad perpendicu-
lum ex diametro exicrint ad circum ferentiam, $ingulæ $upra diametrum erunt ma
iores portionibus reliquis diametri $uperioribus, infra autem minores.</I> D<I>imidium
autem portionis $uperioris re$iduum ad centrum maius $agitta habebit.</I> I<I>n aliqua
præterea portionis $uperioris parte, quæ uer$us diametrum tran$uer$um po$ita
e$t, maior e$t differentia partis diametri ei corre$põdentis, &qtilde; line æ tran$uer$æ.</I></col><col>100</col></row>
<row><col>CVIII.</col><col>P<I>unctum æqualitatis differentiæ de$cen$us & remotionis à centro inuenire.</I></col><col>100</col></row>
<row><col>CIX.</col><col>R<I>ationem libræ expendere.</I></col><col>101</col></row>
<row><col>CX.</col><col>S<I>i duæ $phæræ ex eadem materia de$cendant in aëre, eodem temporis momento ad
planum ueniunt.</I></col><col>104</col></row>
<row><col>CXI.</col><col>C<I>ur ex medio tela ualidiorem ictum, & naues in $calmo à remo ac malo recipiant in-
de ex puppi explorare.</I></col><col>105</col></row>
<row><col>CXII.</col><col>C<I>ur ex imo leuia longiùs ferantur declarare,</I></col><col>106</col></row>
<row><col>CXIII.</col><col>C<I>ur uirga longius mittatur à puero quam à uiro inueftigare.</I></col><col>107</col></row>
<row><col>CXIIII.</col><col>C<I>ircularis motus differentias quatuor e$$e, earum<03> rationem contemplari.</I></col><col>108</col></row>
<row><col>CXV.</col><col>P<I>roportionem motuum impul$ionis, & attractionis inter $e, ab eadem ui decla-
rare.</I></col><col>110</col></row>
<row><col>CXVI.</col><col>C<I>ur machinæ oblongæ igneæ longius emittant $phæram explorare.</I></col><col>111</col></row>
<row><col>CXVII.</col><col>I<I>n curriculis maior e$t uis pulueris copio$ioris ampliore in $pacio, quàm paucioris in
minore iuxta proportionem eandem.</I></col><col>112</col></row>
<row><col>CXVIII.</col><col>Q<I>uanta proportione decedat ictus in obliquum parietem ab eo qui e$t ad perpendi-
culum declarare.</I></col><col>114</col></row>
<row><col>CXIX.</col><col>Q<I>uantum ictus machinæ procliuis ad angulum minuatur explorare.</I></col><col>115</col></row>
<row><col>CXX</col><col>P<I>roportionem partium nauis ad eundem obliquum uentum explorare.</I></col><col>118</col></row>
<row><col>CXXI.</col><col>F<I>labelli uires at<01> naturam declarare.</I></col><col>219</col></row>
<row><col>CXXII.</col><col>C<I>ontemptus circa</I> S<I>olis rationem in umbris declarare.</I></col><col>120</col></row>
<foot><*> 5 C<I>ognita</I></foot>
<pb>
<row><col>CXXIII.</col><col>C<I>ognita ratione umbræ ad gnomonem $inum, & arcum altitudinis ab horizon-
te, quouis tempore digno$cere.</I></col><col>121</col></row>
<row><col>CXXIIII.</col><col>P<I>roportionem umbræ uer$æ e$$e ad gnomonem, uelut gnomonis ad umbram
uer$am.</I></col><col>122</col></row>
<row><col>CXXV.</col><col>P<I>roportionem dimetientis, & peripheriæ cuiuslibet circuli paralleli æquino-
ctiali per cognitam partem magni circuli demon$trare.</I></col><col>123</col></row>
<row><col>CXXVI.</col><col>C<I>irculi horarij naturam declarare.</I></col><col>123</col></row>
<row><col>CXXVII.</col><col>D<I>ata poli altitudine ortus amplitudinem demonftrare.</I></col><col>124</col></row>
<row><col>CXXVIII.</col><col>N<I>ota amplitudine ortus, cuiu$<01> puncti arcum $emidiurnum inuenire.</I></col><col>124</col></row>
<row><col>CXXIX.</col><col>D<I>ata altitudine</I> S<I>olis in quacun<01> regione, quacun<01> die di$tantiam</I> S<I>olis à meri-
diano cogno$cere.</I></col><col>124</col></row>
<row><col>CXXX.</col><col>D<I>ata regionis altitudine, & loco</I> S<I>olis proportionem gnomonis, tam ad um-
bram rectam quàm uer$am, uel etiam in cylindro determinare.</I></col><col>125</col></row>
<row><col>CXXXI.</col><col>S<I>i lineæ alicui duplum alterius adiungatur, erit proportio d<*>arum ad primam
maior quàm dupli cum prima ad primam cum una adiecta.</I></col><col>126</col></row>
<row><col>CXXXII.</col><col>S<I>i ad duas lineas quarum una alteri dupla $it eadem linea addatur, erit aggrega-
ti ex minore, & adiecta ad ip$am minorem, minor proportio quàm aggre-
gati ex maiore, & adiecta ad ip$am maiorem duplicata.</I></col><col>126</col></row>
<row><col>CXXXIII.</col><col>S<I>i fuerint duæ quantitates, quarũ una alteri dupla $it: minuatur à minore quæ-
dam quantitas, ead&etilde;<03> maiori addatur, erit minoris ad re$iduum maior pro-
portio, quàm aggregati ad maiorem duplicata.</I> S<I>i uerò minori addatur, &
à maiore detrabatur, erit aggregati ad minorem minor proportio quàm
maioris ad re$iduum duplicata.</I></col><col>127</col></row>
<row><col>CXXXIIII.</col><col>S<I>i rectangula $uperficies $it, cuius pars tertia quadrata $it corpus, quod ex la-
tere quadratæ in re$iduum $uperficiei con$tat, maius e$t quouis corpore ex
eadem $uperficies, aliter diui$a con$tituto.</I></col><col>127</col></row>
<row><col>CXXXV.</col><col>S<I>i linea in duas partes, quarum una fit alteri dupla diuidatur, erit quod fit ex
tertia parte in quadratum re$idui parallelipedum maius omni pararalleli-
pedo, quod ex diui$ione eiu$dem lineæ creari poßit.</I></col><col>128</col></row>
<row><col>CXXXVI.</col><col>D<I>enominationes in infinitum extendere.</I></col><col>129</col></row>
<row><col>CXXXVII.</col><col>R<I>ationem numerorum ex progreßione declarare.</I></col><col>131</col></row>
<row><col>CXXXVIII.</col><col>M<I>odos u$us horum numerorum declarare.</I></col><col>131</col></row>
<row><col>CXXXIX.</col><col>R<I>adices omnes à propo$itis numeris extrahere.</I></col><col>132</col></row>
<row><col>CXL.</col><col>R<I>adices per numeros fractos determinare.</I></col><col>133</col></row>
<row><col>CXLI.</col><col>N<I>umeros fractos ad minores in ea i&etilde; proportione ualde propinqud deducere</I></col><col>136</col></row>
<row><col>CXLII.</col><col>D<I>enominationũ in crem&etilde;ta ex extrema cognita inuenire.</I> E<I>t cõuer$o modo.</I></col><col>137</col></row>
<row><col>CXLIII.</col><col>S<I>i linea in duas partes diuidatur, corpora quæ fiunt ex una parte in alterius
quadratum mutuo æqualia $unt corpori, quod fit ex tota linea in $uperfi-
ciem unius partis in alteram.</I></col><col>138</col></row>
<row><col>CXLIIII.</col><col>D<I>uplum cubi medietatis maius e$t aggregato corporum mutuorum, cuiuslibet
diui$ionis quantum e$t, quod fit ex tota in quadratum differentiæ.</I></col><col>139</col></row>
<row><col>CXLV.</col><col>S<I>i linea in duas partes diuidatur quadrata ambarum partium detracto eo, quod
fit ex una parte in alteram, æqualia $unt producto unius in alteram cum
quadrato differentiæ.</I></col><col>139</col></row>
<row><col>CXLVI.</col><col>C<I>orpus quod fit ex linea diui$a in $uperficiem æqualem quadratis ambarum par
tium detracta $uperficie unius partis in alteram, e$t æquale aggregato cubo-
rum ambarum partium.</I></col><col>139</col></row>
<row><col>CXLVII.</col><col>P<I>ropo$ita linea diui$a duas ei line as adijcere, ut proportio additarũ $ingularium</I></col><col></col></row>
<foot><I>& partium</I></foot>
<pb>
<row><col></col><col><I>& partium $imul iunctarum ad additas $it mutua.</I></col><col>148</col></row>
<row><col>CXLVIII.</col><col>P<I>ropo$itis tribus lineis primam $ic diuidere, ut adiectis duabus alijs lineis, $ecun-
dum ration&etilde; mutuam $ingularum $ingulis, aggregatũ ex una adiectarũ, & par
te ad aggregatũ ex alia parte, & adiecta $e habeat, ut $ecunda ad tertiã.</I></col><col>140</col></row>
<row><col>CXLIX.</col><col>D<I>atam lineam $ic diuidere, ut proportio quadratorum ad dupium unius partis in
alteram $it, ut lineæ datæ ad lineam datam.</I></col><col>141</col></row>
<row><col>CL.</col><col>P<I>ropo$itis duabus lineis, lineam communem utri<01> adiungere, ut $it maioris ad ad-
ditam proportio, uelut quadratorum minoris, & adiectæ ad duplum unius in
alteram.</I></col><col>141</col></row>
<row><col>CLI.</col><col>P<I>roportio differentiæ quadratorum partium cuiu$uis lineæ, ad quadratum diffe-
rentiæ illarum e$t, uelut totius lineæ ad differentiam.</I></col><col>142</col></row>
<row><col>CLII.</col><col>S<I>i linea in duas partes æquales, duas<03> inæquales diuidatur, fuerit<03> proportio ag-
gregati ex maiore, & dimidio ad ip$am maiorem, uelut ex minore, & ali-
qua linea ad ip$am minorem, & rur$us aggregati ex minore, & dimidio ad
ip$am minorem, uelut aggregati ex maiore, & alia addita ad ip$am maiorem,
erit proportio dimidij ad partem unam inæqualem, uelut alterius partis inæ-
qualis ad $uam additam mutuò, & etiam proportio additarum inuicem, uelut
proportio partiũ inæqualiũ duplicata, & rur$us ip$um dimidiũ lineæ a$$um-
ptæ mediũ, erit proportione inter additas.</I> D<I>emũ proportio dimidij cũ addita
maiore ad dimidiũ, cum addita minore, uelut maioris partis ad minor&etilde;.</I></col><col>142</col></row>
<row><col>CLIII.</col><col>V<I>im quamcun<01> manus multiplicare.</I></col><col>144</col></row>
<row><col>CLIIII.</col><col>S<I>i lineæ datæ alia linea adiungatur, ab extremitatibus autem prioris lineæ duæ
rectæ in unum punctum concurrant proportionem habentes, quam mediam
inter tota m & adiectam, & adiectam erit punctus, concur$us à puncto extre-
mo lineæ adiectæ di$tans per lineam mediam.</I> Q<I>uod $i ab extremo alicuius li-
neæ æqua'is mediæ, $eu peripheria circuli, cuius $emidiameter $it media linea
duæ lineæ ad prædicta puncta producantur, ip$æ erunt in proportione mediæ
ad adiectam.</I></col><col>145</col></row>
<row><col>CLV.</col><col>Q<I>uadr atorum numerum proportionem & inuentionem con$iderare.</I></col><col>147</col></row>
<row><col>CLVI.</col><col>H<I>orologiorum tempus multiplicare.</I></col><col>152</col></row>
<row><col>CLVII.</col><col>H<I>orologiorum molarium rationem o$tendere.</I></col><col>154</col></row>
<row><col>CLVIII.</col><col>R<I>ationem indicis mobilis cum rota, qua horarum numerus per ictus indicatur ex-
plicare.</I></col><col>156</col></row>
<row><col>CLIX.</col><col>N<I>ullus angulus rectilineus æqualis e$$e pote$t alicui angulo contento recta, & cir
culi portione.</I></col><col>158</col></row>
<row><col>CLX.</col><col>P<I>ropo$ita linea tribus<03> in ea $ignis punctum inuenire, ex quo ductæ tres lineæ ad
$igna $int in proportionibus datis.</I></col><col>162</col></row>
<row><col>CLXI.</col><col>S<I>i fuerint duo trianguli, quorum ba$es in eadem linea $int con$tituti, & æquales
ad unum punctum terminati, & latus unum commune inter reliqua quantita-
te medium nece$$e e$t angulum à maioribus lineis contentũ minorem e$$e.</I></col><col>162</col></row>
<row><col>CLXII.</col><col>P<I>roportionem duorum orbium, quorum diametrorum conuexæ partis, & conca-
uæ proportiones datæ $int inue$tigare.</I></col><col>164</col></row>
<row><col>CLXIII.</col><col>P<I>roportionem uirium $tellarum per motus $uos indagare.</I></col><col>165</col></row>
<row><col>CLXIIII.</col><col>S<I>yderum proportionem in magnitudine o$tendere.</I></col><col>166</col></row>
<row><col>CLXV.</col><col>P<I>roportionem motuum omnium $tellarum ad</I> S<I>olem con$iderare.</I></col><col>167</col></row>
<row><col>CLXVI.</col><col>P<I>roportiones mu$icas $uperpartientes in eas, quæ particulá una tantum abundant
reducere.</I></col><col>168</col></row>
<foot>P<I>roportio-</I></foot>
<pb>
<row><col>CLXVII.</col><col>P<I>roportionem mu$icam ad $apores & odores coaptare.</I></col><col>176</col></row>
<row><col>CLXVIII.</col><col>P<I>icturarum proportiones explicare.</I></col><col>179</col></row>
<row><col>CLXIX.</col><col>P<I>roportionem mu$icam in in$trumentis declarare iuxta compo$itionis ra-
tionem.</I></col><col>182</col></row>
<row><col>CLXX.</col><col>C<I>oniugationes cuiu$uis numeri breuiter inuenire.</I></col><col>185</col></row>
<row><col>CLXXI.</col><col>P<I>ropo$itis duobus quibuslibet numeris, quotuis alios $eu in continuum $eu
medios in continua proportione arithmetica, geometrica & mu$ica in-
uenire.</I></col><col>187</col></row>
<row><col>CLXXII.</col><col>P<I>roportiones</I> S<I>tiphelij de$cribere.</I></col><col>191</col></row>
<row><col>CLXXIII.</col><col>C<I>irculum $uper centro $uo mouere æqualiter, ita quod omnia illius puncta
per rectam lineam moueantur ultro citro<01>.</I></col><col>192</col></row>
<row><col>CLXXIIII.</col><col>P<I>rogre$$us & regre$$us, tam $ine latitudine quàm cum latitudine in planetis
per $olos concentricos circulos æqualiter motos demon$trare.</I></col><col>194</col></row>
<row><col>CLXXV.</col><col>C<I>au$am uarietatis diametrorum ex $uppo$itis concentricis demon$tra-
re.</I></col><col>195</col></row>
<row><col>CLXXVI.</col><col>R<I>ationem centri grauitatis declarare.</I></col><col>197</col></row>
<row><col>CLXXVII.</col><col>S<I>i proportio aliqua ex duabus proportionibus eiu$dem quantitatis ad alias
duas componatur, erit proportio illarum duarum eadem proportioni
producti ex proportione in primam duarum quantitatum, detracta prio-
re illa quantitate, quæ ad duas comparatur, ad eandem priorem quanti-
tatem.</I></col><col>198</col></row>
<row><col>CLXXVIII.</col><col>P<I>roportionem mi$tionis metallorum, maximè auri & argenti declara-
re.</I></col><col>199</col></row>
<row><col>CLXXIX.</col><col>S<I>i duobus totis duæ portiones $imiles ab$cindantur ab ei$dem denuò, & ab-
$cißis portionibus partes eædem auferantur, denuo<03> ac denuò quoties
libuerit à portionibus, & ù re$iduis ip$arum quantitatum partes eædem
auferantur, erit re$iduí ad re$iduum, ueluti totius ad totum.</I></col><col>200</col></row>
<row><col>CLXXX.</col><col>S<I>i aliqua quantitas in duas partes diuidatur, fuerit<03> alicuius quantitatis ad
partes illas compo$ita proportio, non poterit eiu$dem quantitatis ad par-
tes alias quantitatis diui$a, aliter proportio eadem componi.</I></col><col>202</col></row>
<row><col>CLXXXI.</col><col>C<I>um fuerit aliqua proportio, compo$ita ex proportionibus primæ ad $ecun-
dam & tertiam, & rur$us quartæ ad quintam & $extam: ita $e habebit
proportio $ecundæ ad tertiam, ad proportionem quintæ ad $extam, uelut
producti ex proportione in $ecundam detracta prima ad primam ad pro-
ductum ex proportione in quintam, detracta quarta ad quartam.</I></col><col>203</col></row>
<row><col>CLXXXII.</col><col>P<I>ropo$ita differentia proportionum partium $imilium ad partes a$$umptas,
propo$ita<03> proportione totius ad re$idua eadem, differentiam propor-
tionum totius ad reliquum re$idui inuenire.</I></col><col>203</col></row>
<row><col>CLXXXIII.</col><col>S<I>pacium uitæ naturalis per $pacium uitæ fortuitum declarare.</I></col><col>204</col></row>
<row><col>CLXXXIIII.</col><col>Q<I>uæcun<01> grauia in uorticibus aquarum, merguntur, in medio uorticis, pri-
mum uer$a mergantur.</I></col><col>211</col></row>
<row><col>CLXXXV.</col><col>C<I>ur homo $edens quanto altius $edet, & quanto magis crura ad fœmora, &
fœmora ad pectus reclinata habet, facilius con$urgat, cum tamen hæc op-
po$ito modo inuicem $e habeant, declarare.</I></col><col>213</col></row>
<row><col>CLXXXVI.</col><col>S<I>i fuerit proportio primæ & $ecundæ quantitatis ad tertiam, ut primæ &
quartæ ad quintam, fuerit<03> quarta $ecunda maior, erit proportio quar-
tæ ad quintam maior quàm $ecundæ ad tertiam.</I> Q<I>uod $i fuerit maior</I></col><col></col></row>
<foot><I>quartæ</I></foot>
<pb>
<row><col></col><col><I>quartæ ad quintam quàm $ecundæ ad tertiam, nece$$e e$t quartam $ecunda e$$e
maiorem.</I></col><col>214</col></row>
<row><col>CLXXXVII.</col><col>S<I>i ei$dem uiribus & ‘eadem’ proportione cum auxilio ponderis tertij quar-
tum pondus moueatur quibus $ecundum, auxilio primi nece$$e e$t quartũ pon
dus tardius & maiore cum difficultate moueri quàm $ecundum.</I></col><col>214</col></row>
<row><col>CLXXXVIII.</col><col>S<I>i uires aliquæ moueant cum ponderibus aliqua pondera, ut compo$ita pro-
portio $it eadem proportioni uirium & duorum ponderum mouentium ag-
gregatum æquale duorum ponderum, ubi maior fuerit partium in æqual<*>as,
ibi erit maior difficultas.</I></col><col>214</col></row>
<row><col>CLXXXIX.</col><col>S<I>i pondus minus ad longitudinem minorem $ub æquali proportione coapte-
tar, facilius deor$um trahetur quàm quod maius e$t & propius.</I></col><col>215</col></row>
<row><col>CXC.</col><col>S<I>i fuerit primum graue minus $ecundo, & $ecundum minus tertio, proportio
autem primi ad $ecundum multo maior quàm $ecundi ad tertium, po$ibile erit
propo$itis uiribus ei$dem addere pondus $ecũdo, ut ip$um & tertium mouea-
tur faciliùs ab ei$dem uiribus, & primo uel $ecundo quàm antea.</I></col><col>215</col></row>
<row><col>CXCL.</col><col>C<I>um fuerint duo pondera & uires, duxeris<03> aggregatum ex uiribus & mi-
nore pondere in maius, addideris<03> in$uper quantum e$t productum dimidij ui
rium in $e latus aggregati detracto dimidio uirium, dice<*> pondus auxiliare
æqualis proportionis.</I></col><col>215</col></row>
<row><col>CXCII.</col><col>S<I>i ex medio diametri linea ad perpendiculum erigatur ad circuli peripheri-
am, ex eo puncto autem quotlibet lineæ ducantur $eu intus ad circun ferentia<*>
u$<01>, $eu extra ad diametrum, erit proportio totius lineæ ad totam uelut mu-
tuo partis ad partem.</I></col><col>217</col></row>
<row><col>CXCIII.</col><col>R<I>ationem ponderis triplicem explicare.</I></col><col>218</col></row>
<row><col>CXCIIII.</col><col>P<I>roportionem ponderis longioris in medio $u$pen$i, ad breuius illi æquale & in
medio $u$pen$um declarare.</I></col><col>219</col></row>
<row><col>CXCV.</col><col>S<I>i lectus fiat dupla longitudine ad latitudinem, melius $uffulcietur re$tibus
ex medio ad angulos & eius æquidi$tantibus quàm $ecundum longitudinem
& latitudinem.</I></col><col>220</col></row>
<row><col>CXCVI.</col><col>S<I>i duo circuli $uper eodem centro eodem motu trans feruntur, æquale $pacium
$uperant.</I></col><col>221</col></row>
<row><col>CXCVII.</col><col>C<I>ur lances ad locum $uum $u$pen$i redeant, impendentes nõ, demõ$trare.</I></col><col>224</col></row>
<row><col>CXCVIII.</col><col>C<I>ur $olidum quod cubus uocatur</I> P<I>yramide $tabilius $it o$tendere.</I></col><col>225</col></row>
<row><col>CXCIX.</col><col>R<I>ationem remorum nauim impellentium inuenire.</I></col><col>227</col></row>
<row><col>CC.</col><col>C<I>ur temo cum paruus $it, magnam nauim agere pote$t, & cur cùm uarietas $it
in prora, ip$e con$tituatur in puppi.</I> E<I>t cum transuer$im ab aqua prematur
rectà nauim dirigat.</I></col><col>228</col></row>
<row><col>CCI.</col><col>S<I>i duæ lineæ non $ecantes circuli peripheriam in unum punctum ex ea coe-
ant exterius, nece$$e e$t illas peripheria contenta e$$e maiores.</I></col><col>229</col></row>
<row><col>CCII.</col><col>R<I>ationem $trepitus o$tendere.</I></col><col>232</col></row>
<row><col>CCIII.</col><col>C<I>ur $cytalis onera portentur faciliùs, explorare.</I></col><col>233</col></row>
<row><col>CCIIII.</col><col>C<I>ur pluribus trochleis, pondera facilius eleuentur o$tendere.</I></col><col>233</col></row>
<row><col>CCV.</col><col>S<I>uper uerbis</I> P<I>latonis de fine</I> R<I>eipublicæ.</I></col><col>234</col></row>
<row><col>CCVI.</col><col>R<I>hombi paßiones qua$dam declarare.</I></col><col>235</col></row>
<row><col>CCVII.</col><col>P<I>roportionem agentium naturalium in tran$mutatione con$iderare.</I></col><col>238</col></row>
<row><col>CCVIII.</col><col>M<I>ota res à centro grauitatis per prior&etilde; motum, in reditu uelocius mouetur
quam $i quieuerit.</I></col><col>238</col></row>
<foot>S<I>i</I></foot>
<pb>
<row><col>CCIX.</col><col>S<I>i $uperficies rectangula in duas partes æquales diui$a intelligatur, quæ am-
bæ quadratæ $int, item<03> in duas inæquales, erit parallelipedum ex latere
mediæ partis in totam $uperficiem maius aggregato parallelipedorum ex
partibus inæqualibus in latera alterius partis mutuo, in eo, quod fit ex dif
ferentia lateris minoris partis à mediæ latere in differentiam maioris par-
tis $uperficiei à media $uperficie bis, & ex differentia amborum laterum
inæqualium iunctorum ad ambo latera, æqualia iuncta in minorem par-
tem $uperficiei.</I></col><col>241</col></row>
<row><col>CCX.</col><col>S<I>i duæ lineæ ad æquales angulos ab eodem puncto peripheriæ circuli refle-
ctantur, nece$$e e$t angulos cum dimetiente factos æquales e$$e.</I> V<I>nde ma-
nife$tum e$t, protractam diametrum angulum $uppo$itum per æqualia di-
uidere.</I></col><col>242</col></row>
<row><col>CCXI.</col><col>S<I>i duæ lineæ ex duobus punctis peripheriam contingentes, in eandem par-
tem protrahantur, $emper magis di$tabunt inuicem ea ex parte, & nun-
quam concurrent.</I></col><col>243</col></row>
<row><col>CCXII.</col><col>S<I>i ab eodem puncto ad circuli peripheriam lineæ quotuis ducantur, tres inue-
nire lineas, quæ non in alium punctum reflectentur.</I></col><col>244</col></row>
<row><col>CCXIII.</col><col>P<I>ropo$ito circulo, at<01> in eius peripheria puncto $ignato, lineas contingentes
ultra cítra<01>, & eam ab ip$omet deducere.</I></col><col>245</col></row>
<row><col>CCXIIII.</col><col>S<I>i extra circulum duo puncta æqualiter à centro di$tantia $ignentur, erit pun-
ctum reflexionis æqualis in medio arcus intercepti inter lineas, quæ à cen
tro ducuntur ad illa puncta.</I> S<I>i uerò unum centro proximius fuerit altero,
punctum æqualitatis in peripheria tantò longius, uer$us breuiorem line-
am, quantò punctum aliud à centro magis di$teterit.</I></col><col>245</col></row>
<row><col>CCXV.</col><col>P<I>unctum reflexionis punctorum inæqualiter di$tantium à centro, æqualiter
di$tat à lineis, ductis à centro ad puncta æqualiter di$tantia alterutrin-
que.</I></col><col>246</col></row>
<row><col>CCXVI.</col><col>S<I>i fuerint circuli duo inæquales, & extra utrunqúe punctum ad illud ex mi-
nore reflexè per magnam partem minoris à maiore perueuire pote-
runt.</I></col><col>247</col></row>
<row><col>CCXVII.</col><col>O<I>culus uidet partem $uperficiei</I> L<I>unæ illuminatam à</I> S<I>ole per radios reflexos
à</I> S<I>olis corpore: nec tamen pote$t uidere imaginem ip$ius in</I> L<I>una tan
quam in $peculo.</I></col><col>248</col></row>
<row><col>CCXVIII.</col><col>R<I>ationem maculæ</I> L<I>unæ indagare.</I></col><col>248</col></row>
<row><col>CCXIX.</col><col>R<I>ationem eorum quæ apparent circa</I> S<I>olem $peculo in aqua po$ito decla-
rare.</I></col><col>150</col></row>
<row><col>CCXX.</col><col>C<I>au$am cur</I> S<I>ol æ$tiuis diebus exoriens umbram ad meridiem, cum in meridie
ad boream mittat, explorare.</I></col><col>252</col></row>
<row><col>CCXXI.</col><col>M<I>agnitudo</I> L<I>unæ & cæterorum a$trorum digno$citur ex proportione alio-
rum ad eam iuxta di$tantiam: ip$ius uerò iuxta rationem pupillæ ad</I> L<I>u-
nam di$tantiæ ratione.</I></col><col>354</col></row>
<row><col>CCXXII.</col><col>Q<I>uantitates quæ æquales e$$e non po$$unt in eodem genere, maius tamen &
minus recipiunt, $unt in proportione pote$tatis.</I></col><col>255</col></row>
<row><col>CCXXIII.</col><col>Q<I>uantitates quæ actu æquales e$$e non po$$unt, in nulla proportione actu
e$$e po$$unt.</I></col><col>256</col></row>
<row><col>CCXXIIII.</col><col>N<I>eque temporis totius, ut imaginamur, ip$um e$$e infinitum, neque æui ui-
tarum proportio ulla e$t ad tempus, quod pote$tate e$t, utpotè diem</I></col><col></col></row>
<foot><I>uel</I></foot>
<pb>
<row><col></col><col><I>uel men$em.</I></col><col>256</col></row>
<row><col>CCXXV.</col><col>P<I>roportio media non e$t ex ratione agentis, $ed patientis.</I></col><col>256</col></row>
<row><col>CCXXVI.</col><col>P<I>roportio $ublimis non con$i$tit in magnitudine, $ed ordine, iuxta quem diffe-
rentia e$t eius quod e$t ante & po$t.</I></col><col>257</col></row>
<row><col>CCXXVII.</col><col>V<I>itæ iuxta numerum perfectionum in comparatione ad cogitationem no-
$tram proportionem quand am habent.</I></col><col>259</col></row>
<row><col>CCXXVIII.</col><col>P<I>roportionem $cientiæ futurorum & cæterorum occultorum con$idera-
re.</I></col><col>260</col></row>
<row><col>CCXXIX.</col><col>I<I>ncorporea omnia unum $unt, ne<01> numerus e$t eorum.</I></col><col>261</col></row>
<row><col>CCXXX.</col><col>P<I>roportio incorporeorum a$cendentium $emper maior e$t.</I></col><col>262</col></row>
<row><col>CCXXXI.</col><col>T<I>res e$$e mundos at<01> inter ip$os nullam e$$e proportionem: nec numero cos
definiri.</I></col><col>263</col></row>
<row><col>CCXXXII.</col><col>O<I>mnis motus naturalis quanto uelocior e$t tanto propior e$t & magis $imil
limus quieti.</I></col><col>264</col></row>
<row><col>CCXXXIII.</col><col>Q<I>uod e$t in mundo incorporeo æternum e$t, beatum, $ecurum, immutabile
$ecundum locum, $olum iuxta e$$entiam fit: iuxta quod uelut à leui $u-
$urro aquæ & aura æ$tiua demulcetur.</I></col><col>270</col></row>
</table>
<head>FINIS.</head>
<p n=>1</p>
<head>HIERONYMI CAR
DANI MEDIOLANENSIS, CI-
VI'SQVE BONONIENSIS, MEDICI-
de Proportionibus, $eu Ope-
ris Perfecti
LIBER QVINTVS.</head>
<P>Prima diffinitio.</P>
<P>Proportio ab Euclide $ic de$cribitur, Quòd
$it duarum quantitatum eiu$dem generis,
quod ad magnitudinem attinet, compara-
tio certa.</P>
<P>Secunda diffinitio.</P>
<P>Proportiones per $imilitudinem dicũtur,
cùm quantitas quantitati compara&ttilde; alterius
generis, cui fingitur æqualis e$$e pote$tate.<*></P>
<P>Velut $i a b fingatur monas in comparatione
ad b c erit rectangulum a c æquale lineæ b c.</P>
<fig>
<P>Tertia diffinitio.</P>
<P>Proportio æqualis proportioni e$t, cùm eodem modo termini
$e habent inuicem in utra<01></P>
<P>Quarta diffinitio.</P>
<P>Proportiones $ecundum genus notæ dicuntur, cùm nouimus,
quòd $int maiores, aut minores. Nam cùm æquales $unt, $imul ne-
ceffe e$t, ut cogno$camus genus, & $peciem.</P>
<P>Quinta diffinitio.</P>
<P>Datum po$itione e$t: quod nece$$ariò ex po$itis certam habet
quantitatem.</P>
<P>Sexta diffinitio.</P>
<P>Datum $impliciter dicitur, quod ex propo$itis cogno$ci pote$t,
quantum $it.</P>
<P>Septima diffinitio.</P>
<P>Proportiones pote$tate dicun&ttilde;, quæ$ub comparatione aliarum
quantitatũ nece$$ariam habentium cõnexionem $olũ cogno$cun&ttilde;.</P>
<P>Hæ autem $unt aliquando eiu$dem generis, cum primis ut nu-
meri: aliquandò alterius, ut linearum & $uperficierum, angulorum,
& arcuum: aliquando eiu$dem generis, & diuen$arum $pecierum,
ut arcuum per $inus, qua utuntur A$tronomi.</P>
<P>Octaua diffinitio.</P>
<P>Proportio homonyma dicitur duarum quantitatum diuer$i ge-
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
neris, $ed alterius a b altero dependentium, uelut motus ad tem-
<foot>A pus.</foot>
<p n=>2</p>
pus. Dicimus enim motum tardum, uel uelocem in comparatione
ad tempus.</P>
<P>Nona diffinitio.</P>
<P>Proportionum aliæ dicuntur rhete, aliæ alogæ, rhetæ quæ $unt
ut numeri ad numerum, alogæ quæ non $unt numeri ad numerum.</P>
<P>Decima diffinitio</P>
<P>Proportio rhete alia æqualis, alia multiplex, uel $ubmultiplex:
alia unius partis exce$$us, aut defectus, alia plurium, quam $uper-
partientem, aut $upartientem uocant.</P>
<P>Vndecima diffinitio.</P>
<P>Cum diui$o denominatore per numeratorem exit quantitas alo
ga, proportio dicitur aloga: $i autem numerus integer, aut pars nu-
meri nota dicitur rhete.</P>
<P>Duodecima diffinitio.</P>
<P>Proportionem in proportionem duci e$t, quoties recto ordine
tres quantitates in ei$dem collo can&ttilde;: ut $int tres quan
<fig>
titates a b c dicetur proportio a ad c producta ex pro
portione a ad b & b ad c, & $imiliter proportio c ad
a producitur ex proportione b ad a, & c ad b.</P>
<P>Tertiadecima diffinitio.</P>
<P>Proportionem per proportionem diuidi e$t, quoties ad eandem
quantitatem duæ quantitates comparantur, tunc illarum propor-
tio e$t, quæ prodit una per alteram diui$a.</P>
<P>Sint proportiones a & b ad c & interponatur b inter a & c, dico
proportionem a ad c diui$am per proportionem a ad b, & prodire
proportionem b ad c, con$tat ex conuer$a præcedentis.</P>
<P>Quartadecima diffinitio.</P>
<P>Additio proportionum intelligitur quotiens duarum quanti-
tatum ad unam tertiam, proportiones per aggregatum ip$arum
quantitatum ad eandem coniunguntur.</P>
<P>Velut $i comparentur a b & b c ad d, inde tota
<fig>
a c ad d dicemus proportionem, ac ad d e$$e con
iunctã ex duabus <04>portionibus a b ad d & b c
ad eand&etilde; d. Hoc & duo $equentes $icut & du&ecedil; anteced&etilde;tes demon-
$trabitur e$$e. nunc $olum quomodo intelligendũ $it proponimus.</P>
<P>Quintadecima diffinitio.</P>
<P>Detractionem proportionis à proportione intelligimus fieri
per detraction&etilde; minoris quantitatis à maiore, comparatam ad ean-
dem quantitatem.</P>
<P>Velut in exemplo $uperiore detracta proportione b c ad d ex
<foot>propor-</foot>
<p n=>3</p>
proportione a c ad d, relinquetur proportio a b ad d. & probatur
ex conuer$ione præcedentis.</P>
<P>Sextadecima diffinitio.</P>
<P>Extractio radicum alicuius proportionis fit per extractionem
radicum quantitatum illius iuxta unam, & eandem rationem.</P>
<P>Velut quadratæ, uel cubæ, uel pronicæ, uel uniner$alis, uel alte-
rius modi.</P>
<P>Decima$eptima diffinitio.</P>
<P>Cùm fuerint duæ proportiones $imiles in tribus terminis con-
tinuatæ, dicetur proportio primæ quantitatis ad tertiam ueluti
primæ ad $ecundam duplicata. Et $i $int tres proportiones $imiles
in quatuor terminis, dicetur proportio primæ quantitatis ad quar-
tam triplicatà ei, quæ e$t primæ ad $ecundam,</P>
<P>Decimaoctaua diffinitio.</P>
<P>Confu$a proportio dicitur $implicis, aut compo$itæ quantitatis
ad compo$itam in comparatione ad proportiones ad partes.</P>
<P>Decimanona diffinitio.</P>
<P>Quantitates qu&ecedil; in continua $unt <04>portione Analogæ uocan&ttilde;.</P>
<P>Dictum e$t hoc ad fugiendum nomen barbarum, etiam ut bre-
uiter tamen po$$emus $ententiam explicare.</P>
<P>Vige$ima diffinitio.</P>
<P>Reflexa proportio dicitur cum trium quantitatum aggregatum
primæ, & tertiæ $e habet ad $ecundam uelut $ecunda ad tertiam,</P>
<P>Vige$ima prima diffinitio.</P>
<P>Trium quantitatum analogarum aliæ quidem Geometricæ,
cùm proportio $imilis e$t: Aliæ Arithmeticæ, cum fuerit æqualis
exce$$us hucindè: Aliæ mu$icæ cum fuerit proportio primæ ad ter
tiam multiplex, aut $implex, aut compo$ita exce$$us quæ $implici
iuncta $it ad multiplicis perfectionem: eadem autem $it proportio
exce$$us primæ, & $ecundæ ad exce$$um $ecundæ $upra tertiam.</P>
<P>Velut proportio 6. 4. 3. dupla e$t utrin<01>, & 6. 3. 2 tripla. & 28. 24.
21. & 45. 40. 36. Geometrica uerò & arithmetica facilius continuan-
tur in quotquot quantitatibus, $ed & mu$ica uelut 12. 8. 6. 4. 3. &
proportio 8 ad 5 mu$ica e$t: quia proportio 5 ad 4 mu$ica e$t, &
bene $onans, igitur con$titutis 8. 5. 4. cum 8 ad 4 benè $onet, & 5
ad 4, & 4 $it extrema non media inde 8. & 5 benè $onãt. nam in me-
dijs nõ e$t uerũ, ut in 9. 6. 4 bis diapente, & 16. 12. 9 bis diate$$aron.</P>
<P>Vige$ima $ecunda diffinitio.</P>
<P>Quantitates quæ $imilem habent proportionem non continua-
tam, omiologæ appellantur.</P>
<P>Vige$ima tertia diffinitio.</P>
<P>Prima operatione con$i$tere dicuntur proportiones, cùm inter
primo conflatas quantitates con$titerint.</P>
<foot>A 2 PRI-</foot>
<p n=>4</p>
<P>PRIMA Animi communis $ententia.</P>
<P>Omnis Proportio e$t, aut æqualitatis, aut maior inæqualis,
aut minor.</P>
<P>Secunda animi communis $ententia.</P>
<P>Quilibet numerus tantus dicitur, quanta e$t illius proportio ad
monadem.</P>
<P>Dicimus enim quatuor, quod monadem quater contineat. Et
duo cum dimidio cùm monadem bis & $emis contineat.</P>
<P>Tertia animi communis $ententia.</P>
<P>Proportionem defectus, $eu detractæ quantitatis ad defectum
e$$e po$$e, ut quantitatis ad quantitatem dicuntur communes ani-
mi $entcntiæ, quæ ex intellectu $olo terminorum, quod ueræ $int,
cogno$cuntur. Si ergo defectus e$t quantitas, & quantitas eiu$dem
$peciei, quia detrahitur, & defectus non e$t $implicitur, $ed detra-
cto ergo per quartam petitionem: uel primam diffinitionem erit
proportio interillas. Sunt enim ambæ detractæ.</P>
<P>Quarta animi communis $ententia.</P>
<P>Inter quantitatem, & defectum minorem quantitate, cuius e$t de
fectus, e$t proportio, quatenus e$t quantitas. Sit a b linea, & detra-
cta quantitas b c, non maior a b & d $it alia quæuis quantitas eiu$-
<fig>
d&etilde; generis, dico quòd inter d & b c e$t propor-
tio quatenus b c e$t quantitas, quia $unt eiu$-
dem generis ideo $unt in aliqua proportione
per primam diffinitionem. Sed ut b c e$t defectus, nulla e$t propor-
tio: quia quanto b c augetur, tanto augetur proportio d ad b c, &
hoc e$t contra demon$trata ab Euclide.</P>
<P>Quinta animi communis $ententia.</P>
<P>Cum proportio producitur ex proportionibus quælibet illa-
rum dicetur producta diui$a per alteram.</P>
<P>Sexta animi communis $ententia.</P>
<P>Æqualium quantitatum $eu proportionum ad tertiam compa-
rabilium eadem e$t proportio at<01> uici$sim. Hæc et$i demon$tre-
tur ab Euclide, e$t tamen hic generalior: & $atis per $e nota. Vt $it
propior animi communi $ententiæ, quàm rei demon$trandæ.</P>
<P>Septima animi communis $ententia.</P>
<P>Ad quod quantitas proportionem habet infinitam, id in genere
illius quantitatis non comprehenditur.</P>
<P>Nam proportio e$t duarum quantitatum eiu$dem generis com-
paratio certa: at hæc comparatio certa non e$t: non igitur quantita-
tes ambæ $unt, aut non eiu$dem generis.</P>
<foot>PRI-</foot>
<p n=>5</p>
<P>PRIMA Petitio.</P>
<P>Si fuerit primi ad $ecundum, ut tertij ad quartum, & ex primo in
$ecundum producatur æquale, aut maius, aut minus primo, uel
$ecundo, producetur eodem modo ex tertio in quartum &ecedil;quale aut
maius, aut minus tertio, uel quarto eadem ratione & ordine.</P>
<P>Secunda petitio.</P>
<P>Proportiones po$$unt duci, diuidi, iungi, & auferri, & $umi radix
in eis cuiu$cunque generis, atque earum quantitatis, ut libet, po$$e
tran$ponere.</P>
<P>Tertia petitio.</P>
<P>Proportionis cuiu$uis nomen à denominatore $uprà $cripto, &
numeratore infrà $cripto $umitur.</P>
<P>Quarta petitio.</P>
<P>Diui$a quauis quantitate per aliam eiu$dem generis, quod exit
proportio dicitur.</P>
<P>Quinta petitio.</P>
<P>Qu&ecedil;libet proportio e$t uel inter duas quantitates, uel per unam
$ignificatur.</P>
<P>Nam per tertiam petitionem $i $int duæ quantitates, quæ non hæ
beant unius rationem, nomen $umit proportio à duobus numeris,
$in autem $it altera monas, erit per $ecundam animi communem $en
tentiam, proportio numerus ip$e Ideò patet, quod dicitur.</P>
<P>Sexta petitio.</P>
<P>Propo$ita proportione quacun<01>, & monade quantitatem inue
nire, quæ $e habeat ad monadem in proportione propo$ita.</P>
<P>Nam cùm per quartam petitionem diui$a quantitate per quan-
titatem exeat proportio, & numerus ad monad&etilde; $e habeat, ut pro-
portio, ideo $umpta monade $ecundum illum numerum, ille nume
rus e$t quantitas quæ$ita.</P>
<P>Septima petitio.</P>
<P>Quamlibet quantitatem per aliam eiu$dem generis diuidere
po$$e.</P>
<P>Octaua petitio.</P>
<P>Proportionem in proportionem ducere po$$e: quamuis $int in-
ter quantitates diuer$i generis.</P>
<P>Quod dicitur de multiplicatione intelligendum e$t de alijs ope-
rationibus $uprà enumeratis.</P>
<P>Nona petitio.</P>
<P>Monadem $emper $umere in quo cunque genere po$$e propo$i-
ta proportione.</P>
<foot>A 3 Nam</foot>
<p n=>6</p>
<P>Nam licet diuidere per $eptimam petitionem quantitatem per
quantitatem proportionis: & quod exit, e$t proportio per quar-
tam petitionem, & per $ecundam animi communem $ententiam
illa proportio e$t numero æqualis: ergo diui$a proportione, per $i-
milem numerum $tatuetur monas.</P>
<P>Decima petitio.</P>
<P>In quouis genere quantitatum $umere po$$e quantitatem, quæ
<marg>D<I>uodecima
$exti</I> E<I>lem.</I></marg>
$e habeat ad monadem in proportione data. Similem huic propo-
nit Euclides in lineis generaliter: nos autem contrà generaliter in
omnibus quantitatibus, $ed de monade tantum.</P>
<P>Vndecima petitio.</P>
<P>Monadem in quancun<01> quantitatem ductam æquale ip$i pro-
ducere. Similiter & proportionem æqualem.</P>
<P>Nam cum aliqua quantitas augeat ducta aliqua minuat, nece$$e
e$t aliquam e$$e, quæ nec augeat, nec minuat, & hæc e$t monas.
Idem dico de diui$ione. Aequalitas etiam ducta, uel diuidens non
<marg>S<I>ecunda ani
mi cõmunis
$ententia.</I></marg>
mutat proportionem: nec quantitatem ip$am, igitur monas æqua-
litatem refert. Quod etiam e$t per$picuum ex $upradictis.</P>
<P>Duodecima petitio.</P>
<P>Cum fuerint quatuor quantitates & ad primam, & tertiam æquè
multiplicibus a$$umptis, item <03> ad $ecundam & quartam, & $i mul-
tiplex primæ maius e$t multiplici $ecundæ, multiplex tertiæ $it ma-
ius multiplici quartæ, & $i minus minus, & $i æquale æquale, id<03>
$emper quouis modo a$$umptis his proportionibus ad primam &
tertiam, & ad $ecundam & quartam erit proportio primæ ad $ecun
dam, ut tertiæ ad quartam. Hæc etiam a$$umitur ab Euclide. Et per
<marg>Q<I>uinto</I> E<I>le.
diff.</I> 6.</marg>
hanc intelligimus etiam conuer$am.</P>
<P>Tertiadecima petitio.</P>
<P>Quantitates æquales, atque proportiones in qua$uis quanti-
tates ductæ eandem $eruant rationem. Euclides hanc demon$trat,
nos autem ad uitandum tædium petimus concedi, $ub qua in-
<marg>Q<I>uarta quin
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
cluduntur diui$io etiam additio, detractio, laterum omnium in-
uentio.</P>
<P>Quartadecima petitio.</P>
<P>Cùm termini alicuius quantitatis eandem $eruant rationem in
omnibus, & firmi $unt ac $tabiles eiu$dem rationis comparatione
contentæ partes æqualem $eruant exce$$um, $eu proportionem.</P>
<P>PROPOSITIO prima.</P>
<P>Proportionem in proportionem duci e$t $uperiores nume-
ros atque inferiores inuicem ducere.</P>
<foot>Sit</foot>
<p n=>7</p>
<P>Sit proportio lineæ a ad lineam b, ut anguli cad angulum d, $ta-
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
tuatur e monas in genere a
<fig>
b, & fiat fad e, ut cad d, & du
<marg>P<I>er</I> 9. P<I>etit.</I></marg>
catur<*>a in f & b in e, & pro-
ducantur g & h. Quia ergo
<marg>P<I>er</I> 10. P<I>et.</I></marg>
fe$t proportio ip$a, erit g ad
<marg>P<I>er</I> 8. P<I>etit.</I></marg>
a ut c ad d, $ed h e$t æqualis
b, igitur a ad h ut ad b. Du-
cta ergo dicetur proportio a
<marg>P<I>er</I> 2. A<I>ni-
<*>i $entent.</I></marg>
ad b in proportionem c ad d
ducendo terminos proportionis, $eu quantitatis recta $cilicet $u-
periores cum $uperioribus, & inferiores cum inferioribus. Nam $i
<marg>P<I>er</I> 11. P<I>et.</I></marg>
rur$um con$tituantur fad e ut a ad b cùm f $it proportio, & k ad f ut
<marg>P<I>er</I> 8. P<I>etit.</I></marg>
c ad d, erit k ad e, ut g ad h, k autem fit ex ductu proportionis a ad b,
quæ e$t fin proportionem c ad d, liquet igitur propo$itum.</P>
<P>Propo$itio $ecũnda.</P>
<P>Proportio extremorum producitur ex intermedijs.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Sint a b c quantitates dico proportio-
<fig>
nem a ad c, produci ex proportione a ad b
<marg>P<I>er</I> 6. <I>&</I> 9.
P<I>etit.</I></marg>
& b ad c, $tatuantur totidem à monade d e
f, erúntque ex demon$trantis ab Euclide in
quinto Elem&etilde;torum in eadem proportio-
ne, ftatuatur ergo d prima quantitas e $e-
cunda & tertia f quarta. eritqúe per præce-
<marg>P<I>er</I> 13. P<I>et.</I></marg>
dentem proportio productorum ex d in e
& $it g, & in f & $it h, producta ex propor-
tionibus d ad e & e ad f, quare ex propor-
tionibus a ad b & b ad e, $ed ex dictis cum
e $it eadem, erit proportio d ad f, ut g ad h & proportio, d ad f per
æquam proportionem ab Euclide demon$tratam, ut a ad c, igitur
<marg>P<I>er</I> 13. P<I>et.</I></marg>
proportio a ad c producitur ex proportionibus a ad b & b ad c, &
e$t proportio ip$a a ad c d numerus, ut o$ten$um e$t.</P>
<P>Ex hoc $equitur, quòd cùm fuerit quantitas tertia monas ex pro-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
portionibus inuicem ductis producetur prima quantitas.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 3</marg>
<P>Ex hoc $equitur, quòd conuer$a proportio producitur ex con-
uer$is proportionibus.</P>
<P>Propo$itio tertia.</P>
<P>Si proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis
producatur, ip$a uerò proportio inter duas alias quantitates fue-
<foot>A 4 rit</foot>
<p n=>8</p>
rit con$tituta: con$urgent trecenti $exaginta modi productionis
proportionis.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>H&ecedil;c propo$itio ut præcedens & $equ&etilde;tes tres ab Alchindo $um-
ptæ $unt, & ab eo demon$trantur. Sit ergo proportio a ad b, pro-
<table>
<row><col>a</col><col>b</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
<row><col>c</col><col>d</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
<row><col>e</col><col>f</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
</table>
ducta ex proportione c ad d & e ad f, con$tat
quòd cum $int $ex quantitates, quòd fieri pote-
runt quindecim coniugationes, quas po$ui à la-
tere facilitatis gratia, quibus re$pondent totidem
<table>
<row><col>a b</col><col>b a</col></row>
<row><col>a c</col><col>c a</col></row>
<row><col>a d</col><col>d a</col></row>
<row><col>a e</col><col>e a</col></row>
<row><col>a f</col><col>f a</col></row>
<row><col>b c</col><col>c b</col></row>
<row><col>b d</col><col>d b</col></row>
<row><col>b e</col><col>e b</col></row>
<row><col>b f</col><col>f b</col></row>
<row><col>c d</col><col>d c</col></row>
<row><col>c e</col><col>e c</col></row>
<row><col>c f</col><col>f c</col></row>
<row><col>d e</col><col>e d</col></row>
<row><col>d f</col><col>f d</col></row>
<row><col>e f</col><col>f e</col></row>
<row><col>direc.</col><col>conuer.</col></row>
</table>
conuer$æ: erunt ergo triginta. Singulæ autem ha
rum produci po$$unt duodecim modis: ductis
duodecim in triginta, fiunt trecenti $exaginta mo
di. Et hoc e$t clarum per$e, modo demõ$tremus,
quod $inguli horum modorum po$sint produ-
ci duodecim modis, & capiamus ab primam qu&ecedil;
pote$t produci ex c d & e f: Item ambabus con-
uer$is d c & fe: & rur$us altera recta altera con-
uer$a: & hoc bifariam c d & f e, & d c & e f, $unt er-
go iam quatuor modi. Totidem ex c e & d f, toti-
dem<03> ex c f & d e, igitur erunt duodecim mo-
di, quibus produci po$$e intelligitur propor-
tio a ad b.</P>
<P>Propo$itio quarta.</P>
<P>Si fuerit proportio primi ad $ecundum produ-
cta ex proportionibus tertij ad quartum, & quin
ti ad $extum, producetur etiam ex proportione
tertij ad $extum, & quinti ad quartum.</P>
<P>Sit proportio a b producta ex proportioni-
<table>
<row><col>a</col><col>b</col><col></col></row>
<row><col>c</col><col>e</col><col>g</col></row>
<row><col>d</col><col>f</col><col>h</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col><col>---</col></row>
<row><col>c</col><col>e</col><col>g</col></row>
<row><col>f</col><col>d</col><col>h</col></row>
</table>
bus c ad d, & e ad f, dico quod etiam erit produ-
<marg>P<I>er</I> 8. <I>petit.</I></marg>
cta ex proportionibus c ad f, & e ad d, di$ponan-
tur ut in figura & fiat ex c in e g, & ex d in fh, ergo
<marg>I<I>n</I> 13. <I>petit.</I></marg>
per primam harum g ad h ut a ad b, $ed per præ-
$uppo$ita in $ecunda productione etiam prode-
unt g & h, igitur per primam propo$itionem ha-
rum a ad b proportio producitur ex proportionibus c ad f tertiæ
$cilicet ad $extam, & e ad d quint&ecedil; ad quartam, quod fuit propo$itũ.</P>
<P>Propo$itio quinta.</P>
<P>Si fuerit proportio primi ad $ecundum producta ex proportio-
ne tertij ad quartum, & quinta ad $extum: erit proportio tertij ad
$extum producta ex proportionibus primi ad $ecundum, & quar-
ti ad quintum.</P>
<foot>Sit</foot>
<p n=>9</p>
<P>Sit proportio a ad b producta ex proportio-
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<table>
<row><col>a</col><col>b</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
<row><col>c</col><col>e</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
<row><col>d</col><col>f</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
</table>
nibus c ad d, & e ad f, dico quod proportio c ad
f producitur ex proportione a ad b & d ad e. In-
terponam d e inter c & f, erit<03> ex $ecunda pro-
po$itione repetita proportio c ad f producta ex
tribus proportionibus c ad d, d ad e, e ad f, $ed
proportiones c ad d, & e ad f producunt pro-
portionem a ad b, igitur proportio c ad f produ
citur ex proportionibus a ad b, & e ad f.</P>
<table>
<row><col>c</col></row>
<row><col>-----</col></row>
<row><col>d</col></row>
<row><col>-----</col></row>
<row><col>e</col></row>
<row><col>-----</col></row>
<row><col>f</col></row>
<row><col>-----</col></row>
</table>
<P>Propo$itio $exta.</P>
<P>Ex trecentis $exaginta modis producenda-
rum proportionum triginta $ex tantum e$$e ne-
ce$$arios.</P>
<table>
<row><col>c</col><col>p</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
<row><col>a</col><col>d</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
<row><col>b</col><col>e</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
</table>
<P>Per quartam enim proportio a ad b produ-
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
citur bifariam, & ex c ad d, & e ad f, & ex c ad f, &
e ad d. & perpræ cedentem c ad f producitur ex
a ad b, & d ad e, & per quartam rur$us ex a ad e,
& d ad b. Et per præcedentem rut$us a ad e ex c
ad f & b ad d, igitur per quartam eadem produ-
cetur ex c ad d & b ad f. Quare per præceden-
tem c ad f ex a ad e, & d ad b, & ita di$ponemus
hos modos in tabula. Vides etiam
<table>
<row><col></col><col>Primi ad $ecundum.</col></row>
<row><col>1</col><col>tertij ad quartũ, & quin</col></row>
<row><col></col><col>ti ad $extum.</col></row>
<row><col>2</col><col>tertij ad $extum, & qu<*>n</col></row>
<row><col></col><col>ti ad quartum.</col></row>
<row><col></col><col>Primi ad tertium.</col></row>
<row><col>3</col><col>$ecundi ad quartum, &</col></row>
<row><col></col><col>quinti ad $extum.</col></row>
<row><col>4</col><col>$ecundi ad $extum, &</col></row>
<row><col></col><col>quinti ad quartum.</col></row>
<row><col></col><col>Primi ad quintum.</col></row>
<row><col>5</col><col>$ecundi ad $extũ, & ter-</col></row>
<row><col></col><col>tij ad quartum.</col></row>
<row><col>6</col><col>$ecundi ad quartum, &</col></row>
<row><col></col><col>tertij ad $extum.</col></row>
<row><col></col><col>Secundi ad quartum.</col></row>
<row><col>7</col><col>primi ad tertium, & $ex</col></row>
<row><col></col><col>ti ad quintum.</col></row>
<row><col>8</col><col>primi ad quintum, et $ex</col></row>
<row><col></col><col>ti ad tertium.</col></row>
<row><col></col><col>Secundi ad $extum.</col></row>
<row><col>9</col><col>primi ad quintũ, & quar</col></row>
<row><col></col><col>ti ad tertium.</col></row>
<row><col>10</col><col>primi ad tertiũ, & quar-</col></row>
<row><col></col><col>ti ad quintum.</col></row>
<row><col></col><col>Tertij ad quartum.</col></row>
<row><col>11</col><col>primi ad $ecundum, &</col></row>
<row><col></col><col>$exti ad quintum.</col></row>
<row><col>12</col><col>primi ad quintum, & $ex</col></row>
<row><col></col><col>ti ad $ecundum.</col></row>
<row><col></col><col>Tertij ad $extum.</col></row>
<row><col>13</col><col>primi ad $ecundum, &</col></row>
<row><col></col><col>quarti ad quintum.</col></row>
<row><col>14</col><col>primi ad quintum, &</col></row>
<row><col></col><col>quarti ad $ecundum.</col></row>
<row><col></col><col>Quarti ad quintum.</col></row>
<row><col>15</col><col>$ecundi ad primum, &</col></row>
<row><col></col><col>tertij ad $extum.</col></row>
<row><col>16</col><col>$ecundi ad $extum, & ter</col></row>
<row><col></col><col>tij ad primum.</col></row>
<row><col></col><col>Quinti ad $extum.</col></row>
<row><col>17</col><col>primi ad $ecundum, &</col></row>
<row><col></col><col>quarti ad tertium.</col></row>
<row><col>18</col><col>primi ad tertiũ, & quar-</col></row>
<row><col></col><col>ti ad $ecundum.</col></row>
</table>
aliquos modos non produci, ut pri-
mi ad quartum nec ad $extum, & li-
quet, quòd cùm $int quindecim o-
mnes modi qui produci po$$e intelli-
guntur, & nouem tantum producan-
tur $ex e$$e, qui non <04>ducuntur, quos
$eor$um in tabula coniunxi. Et con-
$tat etiam, quod totidem conuer$i $ci-
licet decem octo producũtur, de qui-
bus diximus, ut $int omnes triginta
$ex, qui con$tat ex duabus propo$i-
tionibus præmi$sis, & hac tertia, quã
adiungemus $cilicet, quòd propor-
tio primi ad tertium producatur ex
proportionibus $ecũdi ad quartum,
& quinti ad $extũ. Hoc enim ex præ-
cedentibus non liquet: benè liquet
permutatis ordinibus, quod $i pro-
portio primi ad tertium producitur,
<foot>quod</foot>
<p n=>10</p>
quod etiam propor-
<marg>Modi qui nõ
producuntur
pri. ad quartu
pri. ad $extum
$ec. ad tertiũ
$ec. ad quintũ
tert. ad quint.
quart. ad $ext.</marg>
tio primi ad quintũ.
Nam tertium, & quin
tum, item <03> quartum,
& $extum non diffe-
rũt ni$i ordine uolun
tario. Ergo interpo$i-
to e inter a, & c per $e-
cundam propo$itio-
nem proportio a ad c
producitur ex proportionibus a ad
e, & e ad c, ut ex demon$tratis in præ-
$enti proportio a ad c producitur ex
c ad f & b ad d. Proportio ergo a ad
c producitur ex proportionibus e
ad c & c ad f & b ad d, at e ad c & c ad
f producunt eam, quæ e$t e ad f per
$ecũdam propo$itionem. Igitur pro-
portio a ad c producitur ex propor-
tionibus b ad d $ecundi ad quartum,
& e ad f quinti ad $extum. Hæc Al-
chindus in $uo libello: $ed licet inge-
nio $a ualde: parum tam&etilde; utilia olim
erãt nece$$aria ad intelligendum ma-
gnam cõpo$itionem Ptolem&ecedil;i, nunc
po$tquam Heber has $ex quantita-
tes traduxit ad quatuor, pror$us hæc
$cientia ulli u$ui e$$e de$ijt.</P>
<table>
<row><col>a</col><col>e c</col><col>a e</col><col>e c</col></row>
<row><col></col><col></col><col>c b</col><col>e</col></row>
<row><col></col><col></col><col>f d</col><col>c</col></row>
<row><col></col><col></col><col></col><col>f</col></row>
</table>
<P>Propo$itio $eptima.</P>
<P>In modis qui nece$$ariò produ-
cuntur ex duabus proportionibus,
cum du&ecedil; quantitates ex illis, qu&ecedil; mo
dos conficiunt, æquales fuerint: pro-
<table>
<row><col>a</col><col>b</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
<row><col>c</col><col>e</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
<row><col>d</col><col>f</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
</table>
portio producta ad quatuor quanti-
tates omiologas reducetur.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Sint $ex quantitates a b c d e f, &
producatur <04>portio a ad b ex pro-
portione c ad d, & e ad f, tu $cis, quòd
modi recepti $unt prima cum $ecunda, tertia uel quinta, & $ecunda
cum quarta, & $exta, & tertia $imiliter cum ei$dem, & quinta eodem
modo cum ei$dem: $i igitur du&ecedil; quantitates ex his, qu&ecedil; faciunt pro-
<foot>portionem</foot>
<p n=>11</p>
portionem productam inter $e fuerint æquales reducetur hæc pro-
portio ad quatuor quantitates omologas, $cilicer abiectis amba-
bus æqualibus. Sit gratia exempli prima æqualis quintæ: & quia
in octauo modo proportio $ecũdi ad quartum producitur ex pro-
portione primi ad quintum, & $exti ad tertium, ergo per expo$ita
proportio $ecundi ad quartum, ut $exti ad tertium, & ita permutan-
do, & conuertendo $ecundi ad $extum, ut quarti ad tertium, & tertij
<marg>V<I>ndecima
petitione.</I></marg>
ad quartum, ut $exti ad $ecundum.</P>
<P>Propo$itio octaua.</P>
<P>Si duarum proportionũ $uperiores numeri alternatim cum infe
rioribus multiplicentur, at<01> coniungantur: erit proportio aggre-
gati ad productum ex inferioribus inuicem proportio ex primis
proportionibus compo$ita.</P>
<fig>
<P>Sit proportio una a ad b, alia c ad d, ducatur b in
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
c, fiat<03> e & a in d, & fiat f, iungantur<03> e & f & fiat h,
& ducatur b in d et fiat g: dico proportion&etilde; h g com-
po$itam e$$e ex proportione a ad b, & c ad d. Quia
<marg>E<I>x</I> 13 <I>peti-
tione.</I></marg>
enim ex b in c fit e, & ex b in d fit g, erit proportio e
ad g, ut c ad d, & $imiliter, quia ex d in a fit f, & ex d in b fit g, erit f ad
g ut a ad b. Sed e & f componunt h, igitur proportio h ad g e$t com
po$ita ex proportionibus e & f ad g, igitur per communem animi
$ententiam, & diffinitionem compo$itæ proportionis, proportio h
<marg>P<I>er</I> 14 <I>diffi
nitionem.</I></marg>
ad g compo$ita e$t ex proportionibus a ad b, & c ad d, quod e$t
propo$itum.</P>
<P>Propo$itio nona.</P>
<P>Si duarum proportionum $uperiores numeri alternatim cum
inferioribus multiplicentur, minus<03> productum ex maiore detra-
hatur, erit re$idui ad productum ex inferioribus proportio uelut
illa, quæ relinquitur detracta minore proportione ex maiore.</P>
<P>Hæc eodem modo probatur, ut præcedens, ni$i quod h fit de-
<marg>C<I>or</I>_{m}.
152.</marg>
tracto è minore: gratia exempli ex f, & ita ex diffinitione patet pro-
po$itum.</P>
<P>Propo$itio decima.</P>
<P>Si fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio uelut al
terius partis ad $ecũdam quantitatem erit proportio cuiu$uis quan
titatis eiu$dem generis ad $ecundam compo$ita proportio ex pro-
portionibus eiu$dem quantitatis a$$umptæ ad utran <01> partem pri-
mæ quantitatis $eor$um.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<fig>
<P>Sit a b quantitas diui$a in c, & $i cut a b ad a c,
ita b c ad d: erit<03> iterum permutando a b ad b c,
ut a c ad d, & $umatur quædam quantitas e eiu$-
<foot>dem</foot>
<p n=>12</p>
dem tamen generis, cum illis dico quòd proportio e ad d e$t com-
po$ita ex proportionibus e ad a c, & e ad b c. Po$ita ergo e tan<08> $u-
periore numero, & a c & c b inferioribus, erit ex octaua propo$itio-
ne huius proportio productorum ex e in a c, & coniunctorum, &
ex con$equenti per primam $ecundi Elementorum producti ex e in
a b ad productum ex a c in c b compo$ita ex proportionibus e ad
a c, & e ad c b: at quod fit ex a c in c b, e$t æquale ei quod fit ex a b in
d, eo quòd a b, a c, c b & d $unt omiologæ per decimam$extam $exti
Elem&etilde;torum: Proportio igitur producti ex e in a b ad productum
ex d in a b e$t compo$ita ex proportionibus e ad a c, & e ad e b: At
proportio producti ex e in a b ad productum ex d in a b, e$t uelut e
<marg>13. P<I>etit.</I></marg>
ad d. per $uppo$ita igitur proportio e ad d e$t compo$ita ex propor
tionibus e ad a c, & e ad b c, quod fuit demon$trandum.</P>
<P>Propo$itio undecima.</P>
<P>Proportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad ag-
gregatum duarum æqualium quantitatum e$t compo$ita ex pro-
portionibus primis, & diui$a per duplam.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Sit proportio a ad c, & b ad d, & $int c & d
<fig>
æquales, dico quòd proportio a b ad c d e$t
compo$ita ex proportionibus a ad c, & b ad
d diui$o compo$ito per duplam. Quia enim
<marg>E<I>x $exta</I> A<I>nim.
com. $ententia.</I></marg>
c & d $unt æquales, erit b ad c, ut b ad d, qua-
re ex diffinitione cùm proportio a b ad c d
<marg>D<I>ecimaquarta</I></marg>
$it compo$ita ex proportionibus a ad c, & b
ad c, erit etiam compo$ita ex dictis ex propo$itione a ad c, & b ad d,
<marg>13. P<I>etit.</I></marg>
$tatuatur ergo e æqualis c d media inter a b & c. Et erit per $ecun-
dam propo$itionem proportio aggregati a b ad c producta ex
<marg>P<I>er</I> 2. P<I>etit.</I></marg>
proportione aggregati a b ad c, & e ad c, igitur proportio a b ad e
erit proportio a b ad c, diui$a per proportionem e ad c, $ed e ad c e$t
<marg>P<I>er quintam</I>
A<I>nim. com. $en
tentiam.</I></marg>
dupla: igitur proportio a b ad c d e$t proportio a b ad c diui$a per
duplam.</P>
<P>Propo$itio duodecima.</P>
<P>Propo$itis duabus proportionibus unam alteri iungere ab$que
multiplicatione.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.
10. P<I>etit.</I></marg>
<P>Sint propo$itæ proportiones a ad c &
<fig>
b ad d, & a$$umo e ad c, iuxta ea quæ Eu-
clides demon$trauit, ut b ad d, erit igitur
<marg>E<I>x generali
com.</I> A<I>nim. $en
tentia.</I></marg>
proportio a e ad c, compo$ita ex proportionibus a ad c, & e ad c,
$ed proportio e ad c e$t, ut b ad d, igitur proportio a e ad c compo-
$ita e$t ex proportionibus a ad c, & b ad d.</P>
<P>Aliter ex b in c fiat fex a in d, g ex c in d h coniunctum ex f g, k.</P>
<foot>Quia</foot>
<p n=>13</p>
<fig>
<P>Quia ergo ex c in b fit f, ex c in d h, erit f ad h,
ut b ad d, igitur ut e ad c, $ed a ad c, ut g ad h igi
<marg>P<I>er</I> 13. P<I>et.</I></marg>
tur a e ad c, ut k ad h, $ed k ad h cómponitur ex
proportionibus a ad c, & b ad d. Ex octaua ha
rum igitur proportio a c ad c compo$ita e$t ex
ei$dem. For$an quis dicat hanc eandem e$$e
octauæ $ed nõ e$t, in illa enim proportio com-
paratur ad productum, in hac ad unam ex
quantitatibus.</P>
<P>Ex hoc $equitur quòd: Quælibet duæ quantitates quarum ag-
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
gregatum e$tidem ad eam quantitatem, componunt eandem pro-
portionem.</P>
<P>Propo$itio tertiadecima.</P>
<P>Proportio confu$a aggregati primæ & tertiæ quatuor quantita-
tum omiologarum ad aggregatũ $ecundæ & quartæ, e$t uelut com
po$ita ex ei$dem diui$a per duplam.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Sint a ad b, ut c ad d, dico, quòd erit confu$a
<table>
<row><col>a</col><col>c</col></row>
<row><col>-----</col><col>-----</col></row>
<row><col>b</col><col>d</col></row>
<row><col>---</col><col>---</col></row>
</table>
proportio a c aggregati ad aggregatũ b d, com
po$itæ ex his proportionibus diui$æ per du-
plam æqualis. Erit enim aggregati ex a c ad aggregatum ex b d, ue-
lut a ad b per 18 quinti Elementorum. Sed proportiones a ad b,
& c ad d componunt proportionem producti a in d, & c in b per
octauam harum, ad productũ ex b in d, productum uerò ex a in d
e$t æquale producto ex b in c per decimam$extam $exti Elemento-
rum, & proportio producti ex b in c ad productum ex b in d e$t ue
lut c ad d, quare ut aggregati a c ad aggregatum b d, igitur propor-
tio compo$ita ex a ad b, & c ad d, e$t uelut confu$a bis $umpta. Igi-
tur confu$a e$t uelut compo$ita diui$a per duplam per modum un-
decimæ huius.</P>
<P>Propo$itio quartadecima.</P>
<P>Proportiones confu$æ, & coniunctæ in tribus quantitatibus in-
uicem commutantur.</P>
<fig>
<P>Sint tres quantitates, dico, quod proportio c
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
ad a b confu$a e$t, conuer$a coniunctæ a & b ad
<marg>14. <I>diff.</I></marg>
c. Nam per dicta proportio a b ad c efficit con-
iunctam ex a b ad c: $ed c ad a b conuer$a e$t eius, quæ e$t a b ad c, &
proportio c ad a b e$t confu$a eius, quæ e$t c ad a & b. Igitur pro-
portio confu$a in tribus quantitatibus e$t contraria coniunctæ in
ei$dem.</P>
<P>Ex quauis ergo illarum data, data erit & reliqua.</P>
<marg>P<I>er</I> 18. <I>diff.</I></marg>
<foot>B Propo$itio</foot>
<p n=>14</p>
<P>Propo$itio quintadecima.</P>
<P>Si fuerint quatuor quantitas-proportio confu$a aggregati pri-
mæ & tertiæ ad aggregatum $ecundæ, & quartæ erit ut monadis
addito prouentu, qui fit diui$a differentia differentiarum primæ &
$ecundæ, at<01> quartæ & tertiæ per aggregatum tertiæ, & quartæ ad
ip$am monadem.</P>
<fig>
<P>Sint quatuor quantitates a b, c, d, e f, &
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
$it a b maior cin a h, & e fmaior d in f g, &
differentia f g & a h $it a k: dico proportio-
nem a b, & d confu$am ad c & e f, e$$e ut mo
nadis addito prouentu, uel detracto a k diui$æ per aggregatum c.
& e f ad ip$am monadem, & manife$tum e$t, quòd pote$t continge-
re pluribus modis: Primus ut a b $it maior c & e f minor d, & tunc
differentiæ coniungentur, & prouentus, addetur monadi. Idem fa-
ciendum erit $i a b $it maior c, & e f $it minor d, $ed exce$$us $uperet
defectum. At $i uel a b $it minor c, & e f maior d, uel ita minor, ut c
exce$$us $upra b a $it maior defectu, detrahemus prouentum à mo-
nade. Alia cautio e$t quòd $i fuerint utrinque exce$$us, aut defectus,
minuemus minorem de maiore: $i autem unus $it exce$$us alter de-
fectus, iungemus illos, & po$t diuidemus. uno ergo demon$trato
ut pote primo intelligentur reliqui. Quia ergo b h e$t æqualis c &
e g æqualis d & h k æqualis g f, erit ex communi animi $ententia ag
gregatum ex d & k b æquale aggregato ex c & e f, igitur per dicta
proportio aggregati ad aggregatum e$t unum. at uerò diui$a k a
per c & e f fit quantum diui$a eadem per b k, & d, $ed diui$a k a per b
k, & d iunctas, exit proportio a k ad aggregatum b k & d: igitur di-
ui$a a k per aggregatum e f & c, exibit eadem proportio, igitur a b
& d ad aggregatum c & e f e$t coninncta ex monade & proportio-
ne a k ad aggregatum c & e f, quod erat demon$trandum.</P>
<fig>
<P>Ex hoc patet quod proportionum confu$io
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
fit iunctis denominatoribus numeratoris: mul-
tiplicatio multiplicatis: additio multiplicatis
decu$$atim in numeratores ad productum ex
denominatoribus, ut in exemplis.</P>
<P>Propo$itio $extadecima.</P>
<P>Omnium quatuor quantitatum propo$ita
prima, quæ non minorem habet proportionem
ad $uam corre$pondentem, quàm alia ad aliam
<fig>
erit proportio confu$a illarum, ut pro-
ducti ex aggregato primæ & tertiæ in
<foot>tertiam,</foot>
<p n=>15</p>
tertiam, ad productum ex aggregato tertiæ & omiotatæ ad $ecun-
dam in ip$am quartam.</P>
<P>Hæc magis reducit confu$am proportionem ad notitiam, quàm,
præcedens, quia reducit ad proportionem productã, qu&ecedil; operatio
e$t $implici$sima, $iue per multiplicationem quantitatum fiat, duæ
$unt tantum multiplicationes, $iue per eundem terminum $ufficit
alium addere. Summatur ergo a b, c, d & e, & non $it maior propor-
tio d ad e, quàm a b ad c, & $tatuatur tunc prima a b, $ecunda c, ter-
tia d, quarta e, & po$tquam non e$t minor ratio a b ad c, quàm d ad
e, $umatur a f ad c, ut d ad e. licet enim hoc facere. Dico quod pro-
portio confufa a b & d ad c & e e$t uelut producti ex aggregato a b
& d in d ad productum ex aggregato a f & d in e. Statuatur aggre-
<marg>P<I>er</I> 10. P<I>et.</I></marg>
gatum a b & d linea a d prima quantitas, & aggregatum a f & d,
<fig>
a d $ecunda quantitas, & d tertia,
& c quarta, & ex a b in d fiat g, ex
a d in e fiat h, erit ergo per pri-
mam propo$itionem g ad h pro-
<marg>P<I>er</I> 13. P<I>et.</I></marg>
ducta ex proportionibus a b d ad
a f d, & d ad c. Sed proportio a f d
ad aggregatum c e, e$t uelut d ad
e. Proportio uerò a b d ad a f d, &
a f d ad e c producunt proportio-
nem a b d ad c & e per $ecundam propo$itionem, harum igitur con-
$u$a a b ad c, & d ad e, & e$t proportio a b d ad c & e, producuntur
ex proportionibus a b d ad a f d, & d ad e. Ergo proportio g ad h
e$t confu$a ex a b ad e, & d ad e, quod erat demon$trandum.</P>
<P>Propo$itio decima$eptima.</P>
<P>Omnes du&ecedil; proportiones conuer$æ producunt æqualem pro-
portionem.</P>
<table>
<row><col>a</col></row>
<row><col>-----</col></row>
<row><col>b</col></row>
<row><col>---</col></row>
<row><col>c</col></row>
<row><col>----</col></row>
</table>
<P>Sint duæ proportiones a ad b & b ad a conuer$a,
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
dico, quòd producunt proportionem æqualem. fiat
enim b ad c, ut b ad a, erit igitur a æqualis c & b c con
<marg>P<I>er</I> 6. A<I>ni-
mi commun&etilde;
$ententiam.</I></marg>
uer$a eius quæ e$t a ad b, $ed per $ecundam harum
proportiones a ad b, & b ad c producunt propor-
tionem a ad c, igitur proportiones etiam a ad b & b ad a produ-
cunt eandem.</P>
<P>Propo$itio decimaoctaua.</P>
<P>Si fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multi-
plici præter ultimam: proportio uerò penultimæ ad ultimam qua-
lis re$idui primæ ad $ecundam, erit primæ ad aggregatum reliqua-
rum uelut penultimæ ad ultimam.</P>
<foot>B 2 Sint</foot>
<p n=>16</p>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Sint quantitates a b c d in continua proportione multiplici, $ed
d ad e $it uelut re$idui a & b ad b, dico proportionem a ad b c d e
e$$e ut d ad e. Quia enim e$t gnomonis e ad quadratum d, ut d ad e
ex $uppo$ito erit per coniunctam proportionem c & d ad d & e, u<*>
<marg>13. P<I>ropo$.
quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
d ad e, $ed e gnomo cum quadrato d efficit qua-
<fig>
dratum e, igitur ut c quadrati ad d & eiuncta, ita
d ad e. Rur$us, quia b quadrati ad c quadratum,
<marg>P<I>er</I> 19. <I>quin
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
ut c ad d erit gnomonis b ad quadratum c, ut
gnomonis c ad quadratum d, & ita d ad e, igitur
<marg>P<I>er</I> 12. <I>quin
ti</I> E<I>lement.</I></marg>
gnomonum b c cum quadrato d ad aggrega-
tum c d e quadratorum, ut d ad e, $ed c gno-
mo cum d quadrato perficit c quadratum,
& c quadratum cum gnomone b perficit
quadratum b, igitur proportio quadrati b
ad quadrata c d e, ut d quadrati a d e. Et ita
repetendo de quotuis quantitatibus in infi
nitum u$<01>. Hæc proponitur ab Archimede in libro de quadrato
æquali parabolæ, & minus generaliter & pluribus demon$tratur.
Ego tamen quia e$t generalis, de$cribam illam per corrolarium: ad-
dam<03> aliud quod ex hoc $equitur.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Si fuerint quotlibet quãtitates omnes analogæ præter ultimam,
$it autem penultima ad ultimam qualis re$idui primæ & $ecundæ
ad $ecundam, erit proportio primæ ad aggregatum omnium alia-
rum ueluti penultimæ ad ultimam.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Hæc enim e$t euidens, quia conuenit ei demon$tratio propo$ita.
<fig>
exemplo autem in numeris à latere
po$ito uides declarationem. nam
proportio 16 ad 32 e$t uelut 27 re$i
dui primæ & $ecundæ ad ip$am $e-
cundam $cilicet ad 54.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Ex hoc patet etiam quòd a$$umptis omnibus, $ub multiplicibus
analogiæ u$que in infinitum prima quantitas e$t multiplex aggre-
gati omnium reliquarum numero 1 m: quo prima e$t multiplex
$ecundæ.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg>
<P>Si fuerint quotlibet quantitates in $uper particulari proportio-
ne analogæ, erit proportio primæ ad aggregatum omnium in infi-
nitum iuxta proportionem multiplicem conuer$am illius partis.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Velut collectæ in $e$quialtera duplæ in $exquitertia triplæ in
$exqui$eptima $eptuplæ. Vt capio 512 448 392 343, & ita deinceps
u$que in infinitum aggregatum omnium earum erit 3584. Septu-
<foot>plum</foot>
<p n=>17</p>
plum 512, & aggregatum 18. 12. 8. 5 2/3, & ita deinceps in $<*>xquialtera
erit 54 duplum 27 primæ in eo ordine.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Ex quo patet genus demon$trandi nouun & pulchrum: nam
$upponatur 54, aggregatum duplum 27, primæ igitur addito 27
ad 54, cum $it dimidium, & addito 13 1/2, dimidio 27 ad 27, nam ex
$uppo$ito quantitas $equens e$t $exquialtera ad 27, igitur 81 e$t du-
<marg>P<I>er</I> 18. <I>quin
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
plum ad 40 1/2. Igitur conuertendo e$t proportio aggregati prioris
ad 27 e$t dupla, ergo aggregatum e$t 54.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg>
<P>Ex hoc patet eandem generaliter quod proportio maioris quan
titatis ad aggregatum reliquarum analogarum e$t, uelut eius quod
prouenit diui$o quadrato maioris termini per differentiam eius, &
$equentis maioris in eadem proportione ad ip$um maiorem.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Exemplum $it proportio augens 25 & 35 duarum quintarum, uo
lo $cire quantum $it aggregatum omnium citra 25, maximam acci-
pio 35, ulteriorem ad 25, cuius differentia a 25 e$t 10, cum quo diui-
do 625 quadratum, exit 62 1/2 aggregatum quantitatum. Et facile po-
<marg>Q<I>uæftio.</I></marg>
re$t demon$trari. Si quis dicat in qua proportione $unt infinitæ
quantitates analogæ cum 12, quæiunctæ efficiunt 10, iunge 10 cum
12 fit 22, duc 22 in 12 fit 264, diuide 264 per 10, exit 26 2/3, & in ea pro-
portione erũt illæ quantitates, in qua $unt 26 2/3 ad 12: duc per 5 fiunt
60, & 132 diuide per 12, exeunt 11 & 5, & ita eruntin proportione 11
ad 5 experiaris, & inuenies, & demon$tratur ex prioribus.</P>
<P>Propo$itio decimanona.</P>
<P>Si fu erint aliquot quantitates arithmeticæ omiologæ, quarum
exce$$us $it æqualis minimè, omnibus autem deficientibus $upple-
menta ad &ecedil;qualitatem maximè adiungantur, erunt quadrata omni-
um quantitatum æqualium adiecto rur$us quadrato primæ cum
eo quod fit ex minima primi ordinis in aggregatũ omnium quan-
titatum eiu$dem tripla aggregato quadra-
<fig>
torum omnium quantitatum primi ordinis
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
pariter acceptis.</P>
<P>Sint aliquot quantitates a b c d e f g h in
continua <04>portione. Arithmetica di$po$it&ecedil;
ita ut minima earũ qu&ecedil; $it h, $it &ecedil;qualis diffe-
renti&ecedil; quantitatum $ecundũ ordinem di$po
$itarũ, uelut differentia a & b, & b & c, & c &
d, et ita de alijs, addantur aũt $upplem&etilde;ta $in
gulis harum, quæ $int i k l m n o p, ita ut o&etilde;s
fiant &ecedil;quales cũ $uis $upplementis ip$i line&ecedil;
à maiori. E$t<03> id&etilde; ac $i e$$ent aliquot quanti
<foot>B 3 tates</foot>
<p n=>18</p>
tates, & diuideren&ttilde; $ingul&ecedil; $ecundũ numerum illarũ, $i quatuor in
quatuor partes æquales, $i quin<01> in quin<01>, $i decem in decem, eara
tione ut ultima diuidere&ttilde;, ubi e$t finis primæ partis, penultima ubi
e$t finis $ecundæ partis, antepenultima ubi e$t finis tertiæ, & $ic de
alijs. Vocabo ergo primas quãtitates <04>po$itas a b c d e f g h quan-
titates primi ordinis, $ed quantitates æquales quæ con$tãt ex quan
titatib. primi ordinis, & fupplementis, appellabo quantitates $ecun
di ordinis: ex quo patet quòd prima quãtitas erit ex utro <01> ordine,
quia non e$t diui$a, reliquæ omnes differunt, quantitates uerò quas
adiunxi nominabo $upplem&etilde;ta, & $unt una minus quã quantitates
ordinum: ut $i quãtitates ordinum $int octo, erunt $upplementa $e-
ptem, & $i quantitates ordinũ, e$$ent $eptem e$$ent $upplem&etilde;ta $ex,
quia inter $upplementa nõ adnumera&ttilde; quantitas indiui$a. Erunt er
go $upplementa i k l m n o p, quætanto erunt maiora quanto quan
titates primi ordinis $unt minores, & contrà tanto maiora, quanto
quãtitates primi ordinis $unt maiores. quantitates aũt $ecundi ordi
nis appellabun&ttilde; a, b i, ck, dl, em, fn, go, & hp. Hæcuolui pluribus
agere, ut dilucidior e$$et <04>po$itio. quæ licet nõ $it difficilis, e$t tam&etilde;
confu$a ualde propter multitudinem quantitatũ & ordinum. Dico
ergo &qring;d aggregatum quadratorũ quantitatum $ecundi ordinis pri
mo quadrato bis repetito, $eu uno addito cũ eo quod fit ex minima
in aggregatum quantitatum primi ordinis e$t triplũ aggregato ex
quadratis omnibus quantitatũ eiu$d&etilde; primi ordinis, & utres exem
plo facilius innote$cat, $int quãtitates primi ordinis 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.
quorum quadrata $int 64. 49. 36. 25. 16. & 9.4 & 1. quæ iuncta faciũt
204, dico quod $i $umamus quadrata omnium quãtitatum $ecundi
ordinis, quæ $unt octies 64, & eis addiderimus unum quadratũ ex
his, ut fiant nouies 64, & erunt 556, $imul iuncta & eis addamus, &qring;d
fit ex 1 quantitate minima primi ordinis in 36 aggregatum quanti-
tatum omnium primi ordinis, & e$t tale productũ 36, ut fiat totum
612, quod tale 612 e$t triplum 204, aggregati quadratorũ primi or-
dinis unius demon$tratio h&ecedil;c e$t. Quia ex quarta $ecundi Element.
Euclidis $ingula quadrata quantitatũ diui$arũ $ecundi ordinis con
$tant ex quatuor partibus quarum du&ecedil; $unt quadrata partium, reli-
quæ duæ $unt producta ex partibus inuic&etilde; bis, & quia h fuit æqua-
lis 1, & p &ecedil;qualis b, quia $upplementa fuerũt&ecedil;qualia mutuò quanti
tatibus, & ita c æqualis o & k æqualis g & d, æqualis n & l, æqualis
f, e aũt &ecedil;qualis m. Sequi&ttilde; ergo quod $umptis duabus quantitatibus
$ecundi ordinis hab entibus $upplem&etilde;ta mutuò æqualia ip$is quan
titatibus quod quadrata partium erũt dupla quadratis primarum
quantitatum: ueluti capio b i $ecundam & h p ultimam, quarũ qua-
<foot>drata</foot>
<p n=>19</p>
drata partium $unt quadrata b & i, & h & p, $ed b e$t æqualis p, & h
æqualis i. Ergo quatuor quadrata b i & h p $unt dupla quadratis b
& h, & ita concludã de omnibus ubi duæ quantitates duabus com
parantur: $ed in e m quia e$t $ola una quantitas, i$tud e$t etiam cla-
rius, quia quadrata e & m $unt dupla quadrato e $oli eo, quod & m
<marg>I<I>n</I> 5. E<I>l<*></I>
P<I>rop.</I> 12.</marg>
$unt æquales. Igitur per demon$trata ab Euclide erit proportio o-
mnium quadratorum b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, ad quadrata b c d e
f g h, pariter accepta proportio dupla. atuerò addito quadrato a
quadratis b c d e f g h, & erunt quadrata omnium quantitatum, &
quadratis b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, duplo qu<*>drati a $cilicet $emel,
quia a e$t ex $ecundo ordine quantitatum, & $emel, quia hoc fuit a$-
$umptum in Problemate. Sequitur ut quadrata omnia quãtitatum
$ecundi ordinis, prout $unt diui$a in partes addito quadrato a, $int
dupla quadratis primarum quantítatum, $imul pariter acceptis. Re
liquum e$t modo ut o$tendamus dupla illorũ productorum, cum
eo quod fit ex minima quantitate, $cilicet h in aggregatum ip$arum
quantitatum primi ordinis e$$e æquale quadratis, quantitatũ eiu$-
dem primi ordinis pariter acceptis. Con$tatigitur, quod duplum <*>
in b e$t æquale duplo h in ip$um b, quia h & i $unt æquales, & du-
plum k in ip$um c, e$t æquale quadruplo h in idem c, quia k e$t du-
pla h, & $imiliter duplum l in ip$um d e$t æquale $excuplo, h in d,
quia l e$t tripla h, & ita procedendo erunt illa dupla producta æ-
qualia productis ex h in ip$as quantitates toties $umptis quantus
e$t numerus, qui prouenit duplicato numero, $ecundum qu&etilde; h con
tinetur in illo $upplemento, exemplum uolo duplum producti lin
d bis, $cio quòd $upplementum l continet h ter, duplicabo tria & fi-
ent $ex, igi&ttilde; duplũ lin d æquale e$t $excuplo h in ip$um d. Quo con-
$tituto, cum $uppo$itum $it producta illa duplicata cum <04>ducto h
in aggregatum primarum quãtitatum e$$e æqualia quadratis ip$a-
rum quantitatum, igitur addemus productũ ex h in $ingulas quan-
titates productis illis prioribus, & fiet productum h in a $emel, in b
ter, in c quinquies, in d $epties, in e nouies, in f undecies, in g trede-
cies, & in h quindecies æquale duplo producti uniu$cuiu$<01> quan-
titatis in $uum $upplementum cum producto h in aggregatũ ip$a-
rum quantitarum, at quadratum a e$t &ecedil;quale producto ex h in eam,
qu&ecedil; talem habet proportionem ad ip$um a, qual&etilde; habet a ad ip$um
<marg>L<I>ib.</I> 6. E<I>l<*>.</I>
P<I>rop.</I> 17.</marg>
h per demon$trata ab Euclide, & pariter de quadrato b, quod e$t &ecedil;-
quale ei quod fit ex h in eam quæ toties continet b, quotiens b con
tinet h, & ita quadratum c æquale e$t ei, quod continetur $ub h, &
habente proportionem ad b eandem, quam b ad h, & $imiliter de
quadrato c & omnibus reliquis, u$<01> ad h ip$um. Gratia ergo exem
<foot>B 4 pli</foot>
<p n=>20</p>
pli quadratum a, erit æquale producto ex h in omnes quatitates $e-
cundas, quia quotus e$t numerus quantitatum, totus e$t numerus
$ecundum quem a continet h, & $imiliter quotus e$t numerus quan
títatum incipiendo à b, & quotus e$t numerus quantitatum incipi-
endo à c, toties b uel c contin&etilde;t h, & ita de alijs, quadrata ergo om-
nium quantitatum $imul iuncta $unt æqualia productis ex h in $in-
gulas illarum toties $umptis, quoties illæ cõtinent h, $eu quotus e$t
numerus illius quantitatis, incipiendo ab h, & numerãdo uer$us a.
Rur$us dico, quod productum multiplicis cuiuslibet quãtitatis in
minimam, $eu quadratum eiu$dem quantitatis &ecedil;quale e$t producto
eiu$dem quantitatis, & dupli omnium $equentium primi ordinis in
ip$am minimam quantitatem, uelut quadratum a e$t æquale produ
cto ex h in a, & in duplum b c d e f g h, hoc aut&etilde; facile e$t probare in
his quantitatibus, quia $i quadratum a e$t æquale producto h in o-
mnes quantitates $ecundi ordinis, & omnes quantitates $ecundi or
dinis $imul $umptæ $unt &ecedil;quales ip$i a, & duplo reliquarũ primi or
dinis, quia tales quantitates $unt æquales $uis $upplementis uici$-
$im, ut h cum i, k cum g, f cum l, e cũ m, ergo tam $upplementa, quàm
quantitates primi ordinis $unt dimidium quantitatum $ecundi or-
dinis, ergo duplum quantitatum primi ordinis e$t dimidium quan
titatum $ecundi ordinis, uerùm de b dico idem accidere, quia qua-
dratum b e$t &ecedil;quale producto ex h in b, & in duplum reliquarum à
b, $cilicet duplum c d e f g h, & hoc e$t o$tendere, quod i$t&ecedil; quantita
tes $unt dimidium totidem quantitatum æqualium b, nam c e$t mi-
nor b in h, & $upplementum p quod e$t æquale ip$i b, $i tota h p fiat
æqualis ip$i b, ut pote h q erit ip$a q dempta h æqualis ip$i c, ergo
quantitates primi ordinis $emper $unt æquales $upplementis non
ueris, $ed prioris quantitatis a$$umptæ, $eu in comparatione ad il-
lam, quadratum igitur b e$t æquale <04>ducto ex h in b, & in duplum
c d e f g h, & $imiliter per eadem, quadratum c e$t æquale producto
ex h in c, & in duplum d e f g h, & $ic de alijs. Habemus ergo, quod
quadrata a b c d e f g h $imul iuncta $unt æqualia producto ex h in
a, & in duplum reliquarum, & ex h in b, & in duplum reliquarum
$equentium, & producto ex h in c $emel, & in duplum $equentium
u$<01> ad h, & ita de reliquis. hoc enim e$t, quod nuper demon$traui-
mus. Antea quo <01> demõ$tratum e$t, quod duplum b in i, c in k, d in
l, e in m, f in n, g in o, h in p, cũ producto h in aggregatũ a b c d e f g h
erat &ecedil;quale productis ex h in a $emel, & in b ter, & in c quinquies, in
d $epties, in e nouies, in fundecies, in g tredecies, in $eip$am h quin-
decies, detractis ergo p ordin&etilde;, &qring;d fit ex h in a ab utro <01> aggregato,
& ex h in b c d e f g h bis relinque&ttilde; ex una parte, <09> fit ex h in b $emel
<foot>cum</foot>
<p n=>21</p>
cum $uis duplicatis $equentibus, & in c, & in d, & in reliquis pa-
riter conduplicatis $uis $equentibus ex altera, quod fit ex h in b $e-
mel, in c ter, in d quinquies, in e $epties, in f nouies, in g undecies,
in h tredecies, detractis ergo rur$us quod fit ex h in b $emel, & ex
h in c d e f g h bis relinquetur, quod fit ex h in c, & duplo $equen-
tium, & d & duplo $equentium, & e & aliarum pariter: & ex alia
parte, quod fit ex h in c $emel, & in d ter, & in e quinquies, in f $e-
pties, in g nouies, in h undecies. Ab his rur$us detractis, quòd fit
ex h in c $emel, & in $equentes bis, relinquetur h in d $emel cum $uis
$equentibus bis, & in e $emel cum $uis $equentibus & in f, & in g &
in h pariter, & ex alia parte, quod fit ex h in d $emel, in e ter, f quin-
quies, g $epties, h nouies, ab his rur$us detraho, quod fit ex h in d
$emel, & in $equentes bis, relinquetur ex una parte, quod fit ex h
in e f g h cum duplo $equentium ex alia, quod fit ex h in e $e-
mel, f ter, g quinquies, h $epties, & $imiliter ab his detractis, quod
fit ex h in e $emel, & bis in $equentes, relinquetur ex una par-
te; quod fit ex h in f $emel, & in g h bis, & in g $emel, & in h bis,
& in h $emel, & ex alia, quod fit ex h in f $emel, in g ter, in h quin-
quies. Iterum detractis, quod fit ex h in f $emel, & in g h bis com-
muniter relin quetur, quod fit ex h in g $emel, & in h bis, & in h $e-
mel, & ex alia parte quod fit ex h in g $emel, & ex h in h ter. Sed
i$ta, quæ relicta $unt iam, $unt manife$tè æqualia, ergo etiam pri-
ma aggregata ab initio fuere æqualia, ergo & æqualia illis qua-
drata a b c d e f g h his, quæ fiunt, ex h in ea$dem quantita-
tes cum duplo producti b in i, cin k, d in l, e in m, f in n, g in o,
h in p, $ed iam his quadratis a b c d e f g h demon$trata $unt e$$e du-
pla quadrata h p, g o, f n, e m, d l, c k, b i, cum duplo quadra-
ti a, ergo quadrata omnium quantitatum $ecundi ordinis cum
quadrato a rur$us repetito, & producto h in aggregatum quanti-
tatum primi ordinis $unt tripla quadratis quantitatum primi ordi-
nis pariter acceptis, quod fuit propo$itum, & fuit Archimedis in li
bro de lineis $piralibus, & ego adieci hic propter modum demon
$trandi, qui e$t eleganti$simus, & procedit ex principijs arithmeti-
cis, & diuer$is à communibus, & ideo non reuoluitur, ut $olentre-
liquæ quæ$tiones.</P>
<P>Propo$itio uige$ima.</P>
<P>Cùm fuerint quatuor quantitates, fuerit<03> $ecunda æqualis ter-
tiæ, aut primæ æqualis quartæ, erit proportio primæ ad quartam,
aut tertiæ ad $ecundam producta ex proportionibus primæ ad $e-
cundam, & tertiæ ad quartam.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Cùm enim quantitates hæ non fuerint &ecedil;quales, cõ$tat per $ecun-
<foot>dam</foot>
<p n=>22</p>
dam harum, quod proportio primæ ad quartã producitur ex pro-
portione primæ ad $ecundam, $ecund&ecedil; ad tertiam, & terti&ecedil; ad quar
tam: ergo non ex $olis proportionibus primæ ad $ecundam, & ter-
tiæ ad quartam, & $imiliter ex prima harum proportio prim&ecedil; ad $e-
cundam, & tertiæ ad quartam producunt proportionem producti
primæ in $ecundam ad productum tertiæ in quartam. Et in multi-
plicatione proportio, quæ $olet e$$e inter producta illa, & e$t qua$i
duplicata e$t inter ip$as quantitates. Sint igitur quantitates a b c d,
& $it b æqualis c, ponantur ergo recto ordine a b c d, erit<03> propor
<fig>
tio a ad d producta ex proportioni-
bus a ad b, b ad c, & c ad d, producan-
tur igitur ex proportionibus a ad b, c
ad d. proportio c ad f, erit igitur pro-
portio e ad f, $i multiplicetur per pro-
portionem b ad c eadem quæ prius, &
<marg>P<I>er</I> 16. P<I>et.</I></marg>
producta iam e$t eadem ei, quæ e$t a
ad d, ergo proportio a ad d erit producta ex proportionibus a ad
b, c ad d per primam propo$itionem. Quod uerò diximus de pri-
ma & quarta $i $int æquales, manife$tum e$t, quòd res redit ad idem
$olum tran$mutato ordine, ut tertia, & quarta præmittantur prim&ecedil;,
& $ecundæ. Hæcigitur propo$itio nihil aliud innuit, quàm quod
in hoc ca$u productio, quæ$olet fieri ex tribus proportionibus fiat
ex duabus tantum.</P>
<P>Propo$itio uige$imaprima.</P>
<P>Cùm decu$$atim ducta fuerit prima in quartam, & $ecunda in ter
tiam; productum<03> primæ in quartam diui$um fuerit per produ-
ctum $ecundæ in tertiam erit proportio primæ ad $ecundam diui-
$a per proportionem tertiæ ad quartam. Et $imiliter interpo$ita
omiologa.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<fig>
<P>Primum exponamus $ecundam partem, $it
proportio a ad b, quam uolo diuidere per
proportionem c ad d, facio e ad b, ut c ad d, erit
<marg>P<I>er</I> 10. P<I>et.</I></marg>
ergo per $ecũdam harum proportio ad b pro-
ducta ex proportione a ad e, & e ad b, quare ex a ad e, & c ad d, ergo
diui$a proportione a ad b per proportionem c ad d exit proportio
a ad e, & hic e$t $ecundus modus. Primus autem modus ducatur a
in d & fiat f, & b in c & fiat g, dico proportione f ad g e$$e prouen-
tum proportionis a ad b, diuide per proportionem c ad d, ducatur
igitur c in f & fiat h, & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c
in f, & f producitur ex a in d, ergo h producetur ex producto c in d,
in a, & $imiliter quia k producitur ex d in g, & g producitur ex b in
<foot>c, ergo</foot>
<p n=>23</p>
c, ergo k producetur ex c d in b, ergo ex c d in a fit h, ex c d in b fit k.
erit a ad b ut h ad k, igitur ex prima harum cum ex c in f producatur
h, & ex d in g k, & dicatur produci proportio h ad k ex proportio-
ne c ad d, & f ad g, & proportio h ad k $it eadem, quæ a ad b, ergo
proportio a ad b producitur ex c ad d, & f ad g, ergo diui$a propor-
tione a ad b prodibit proportio f ad g, quod fuit propo$itum.</P>
<P>Propo$itio uige$ima$ecunda.</P>
<P>Cùm fuerit proportio primæ ad $ecundam maior, quàm tertiæ
ad quartam, erit confu$a ex his maior quàm tertiæ ad quartam, mi-
nor autem quàm primæ ad $ecundam.</P>
<fig>
<P>Sit proportio a ad b maior quàm c
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
ad d, dico, quod confu$a ex a c ad b d
e$t maior, quàm c ad d, et minor quàm
a ad b, ut enim c ad d ita fiat e ad b, erit <03> per tertiamdecimam ha-
<marg>P<I>er</I> 10. P<I>et.</I></marg>
rum e c ad b d confu$a minor quàm a c ad b d, nam e e$t minor a,
quia proportionem habent minorem ad b quam a eo quòd e ha-
bet proportionem ad b, quam c ad d, quæ aut&etilde; c ad d minor, quám
a ad b, ut $uppo$itum e$t, igitur e c ad b d minor, quàm a b ad c d, e b
autem ad c d e$t, ut demon$tratum e$t qualis c ad d, ergo c ad d mi-
nor, quàm confu$a a b ad c d, quod e$t $ecundum per idem proba-
bitur, & primum po$ita f ad d, ut a ad b, erit<03> a maior c, igitur ma-
ior proportio a f ad b d, quàm a c ad b d, $ed a f ad b d, ut a ad b per
candem tertiamdecimam huius ergo proportio confu$a a b ad c d
e$t minor, quàm a ad b.</P>
<P>Propo$itio uige$imatertia.</P>
<P>Omnis motus naturalis ad locum $uum e$t: ideo per rectam li-
neam fit.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Motus naturalis e$t, ut con$eruetur corpus, & conueniat locus
corpori, igitur fit ad $uum locum. Locus autem dicitur in compara
tione ad uniuer$um. ideo omnis motus naturalis e$t à centro mun-
di $ur$um, uel ad centrum deor$um. Et quia quanto natura celerius
$uum finem pote$t a$$equi (quia finis bonus e$t aliter non illum ap-
peteret) eum quærit, cùm $it $apienti$simæ uitæ mini$tra: at linea re-
<marg>D<I>i$t. tertia
primi</I> E<I>lem.</I></marg>
cta breui$sima e$t Euclide te$te à puncto ad punctum, igitur omnis
motus naturalis e$t $ur$um aut deor$um per rectam lineam.</P>
<P>Propo$itio uige$imaquarta.</P>
<P>Omnis motus circularis uoluntarius e$t.</P>
<P>Sit motus in circulo $eu per circulum in orbe cuius $it centrum,
$it c mundi centrum: igitur ex diffinitione circuli tantum di$tabit a,
quantum b ab ip$o c: $ed in motu naturali per pr&ecedil;cedentem nece$$e
e$t, ut recta feratur ad c, uel recedat, igitur motus a e$t uoluntarius,
<foot>non</foot>
<p n=>24</p>
<fig>
non naturalis. nam $i uiolentus e$$et, non
e$$et perpetuus. Omnia ergo a$tra feruntur
circa centrum mundi. Sit modo rota e f g, di
co enon moueri motu circulari nam linea
e clõgior e$t g c, ergo recta mouetur ad cen
trum non circa centrum. Indicio etiamid
e$t: quòd $i in e ponatur fru$tum aliquod
in$igne plumbi in motu ad g per f de$cen-
det raptim: at dum ex g in e magna cum dif-
ficultate, igitur motus hic non e$t naturalis,
nec circularis. nihil etiam hoc modo $ponte mouetur. Sed cum non
moueatur per rectam naturaliter, nec æquidi$tans à centro per cir-
culum relinquitur, ut moueatur motu uiolento, aut mi$to, $ed non
ex uoluntario, cum nullo modo moueatur æquidi$tans à centro,
$ed $emper ab e lineæ ad centrum fiant breuiores, liquet e$$e mo-
tum uiolentum: aut mi$tum ex naturali, & uiolento.</P>
<P>Propo$itio uige$imaquinta.</P>
<P>Tres $unt motus omnino $implices naturalis, uoluntarius &
uiolentus.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Tres $unt modi, quibus po$$unt moueri in comparatione ad cen
trum $cilicet uel recta cum centro, uel æquidi$tando à centro, uel
neutro modo, igitur tres motus. Rur$us uel à principio interiore
non intelligente, & e$t naturalis, uel intelligente & e$t uoluntarius:
uel exteriore & e$t uiolentus. Hæc autem diui$io e$t $olum propria
non prima. Nam e$t uiolentus in recta ad centrum: ideo omnis, qui
non e$t in recta ad centrum, nec æquidi$tat, uiolentus e$t: non ta-
men omnis uiolentus e$t extra rectam. Attractio autem, quæ fit ob
raritatem corporum, $eu, ut dicunt, à uacuo, uiolenta e$t non natu-
ralis ni$i ratione finis, non agentis. Sunt enim quatuor genera mo-
<marg>7. P<I>hy$.
cap.</I> 2.</marg>
tus uiolenti ab Ari$totele po$ita, uectio, tractio, pul$io, & uolutio:
quanquam his non opus $it in demon$tratiua $cientia. cõ$tat enim
uolutionem ex tractione, & pul$ione apud illum con$i$tere.</P>
<P>Propo$itio uige$ima.</P>
<P>Motus ergo compo$iti quatuor nece$$ariò $unt $pecies.</P>
<P>Si tantum $unt tres $pecies $implicium, con$tat ratione arithme-
tica quatuor e$$e compo$itorum. Di$quiramus ergo an $int natura-
liter tot $pecies, for$an enim repugnabit aliquis alicui. Porrò uidea-
mus primò, quot $int uiolentorum $pecies: Prima erit cum non $e-
cundum rectam lineam fuerit: nec à centro æquidi$tantem. Secun-
da cum fuerit $ecundum rectam, $ed non ad centrum. Tertia cum
fuerit in recta ad centrum, $ed contrario modo, uelut terræ $ur$um.
<foot>Quarta</foot>
<p n=>25</p>
Quarta cùm in recta ad centrum, $ecundum naturam, $ed nõ à prin
cipio naturali. Velut cum quis proij cit lapidem rectà in terram è
turri uiolentius, quàm ille $ua grauitate de$cen$urus e$$et. Hic igi-
tur motus e$t compo$itus ex naturali, & uiolento. Animalium au-
tem motus uoluntarius e$t, cum $it à principio interiore cogno$cen
te: & $it quatenus à principio in linea circulari æqualiter di$tante à
centro: $ed quia ob$tat grauitas, ideò mi$tus e$t ex naturali, & uo-
luntario. Sed circularis, & uiolentus $oli e$$e non po$$unt: nam uio
lentus e$t nece$$ariò in corpore graui aut leui: $ed omne corpus gra
ue aut leue, cùm mouetur, naturaliter mouetur $altem in fine: & per
totum motum, motu ócculto, qui maximè in hoc libro dignus e$t
con$ideratione, igitur motus uoluntarius, & uiolentus non po$-
$unt e$$e $imul $oli. Eruntergo $ecundum naturam tantùm tres $pe-
cies. Velut cùm quis $candit, aut$alit: E$t enim motus naturalis $al-
tem in fine, & uoluntarius, & uiolentus. Si quis autem uelit uiolen-
tum cum uoluntario copulare dicemus con$tare eam compo$itio-
nem in initio $aliendi. Motum autem occultum uocamus grauita-
tem aut leuitatem.</P>
<P>Propo$itio uige$ima$eptima.</P>
<P>Motus uoluntarius e$t in loco: naturalis ad locum: uiolentus
exloco.</P>
<P>Hæc e$t tertia differentia primarum $pecierum motuum uolun-
tarius fit manente corpore toto in eodem loco, ideo proprius e$t
cœlo, corpora autem animalium in eodem loco feruntur: quia in
eodem orbe nata redire ad proprium locum. Et ideò, ut dixi, e$t mo
tus mi$tus ex naturali, & uoluntario, qui $i per $e fieret, non fatiga-
ret mobile, cùm ex utro<01> principio ab interiore ui procedat. Sed
quia fit per mu$culos, qui trahuntur: hic autem motus e$t uiolen-
tus, ideò per con$equentiam fatigat. Qui uerò naturalis, e$t ut re-
deat corpus ad $uum locum, igitur naturalis e$t ad locum. Sed
uiolenti finis e$t, ut protrudatur ex loco in quo e$t, non habens cer-
tum finem. licet enim qui trahit, ad $uum locum trabat, non tamen
ad locum mobilis.</P>
<P>Propo$itio uige$imaoctaua.</P>
<P>Motus quilibet naturalis aut uiolentus in aliquo medio fit.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Cùm uacuum non detur, & omnis motus naturalis $it ad locum,
et uiolentus ex loco per præcedentem, igitur cùm non $it in medio,
uacuum erit in aliquo corpore, uelut aere, aqua, igne, ligno.</P>
<P>Propo$itio uige$imanona.</P>
<P>Omnis motus uoluntarius æqualis e$t $emper: $impliciter etiam
quilibet alius motus.</P>
<foot>C Motus</foot>
<p n=>26</p>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<P>Motus uoluntarius non habet, quòd fatiget, & $umma perfectio
e$t æqualitas, & natura quæ mouet non debilitatur, igitur perpe-
tuo per$euerat æqualis. ne<01> enim e$t, ut dixi, per medium corpus.
Naturalis quo<01>, & uiolentus cum ratione proportionis mouentis
$upra mobile per$e non uarientur, & ab &ecedil;quali proportione &ecedil;qua-
lis uelo citas proueniat, igitur natura tales motus $unt &ecedil;quales, nam
in utro<01> mouens, mouet $ecundum ultimam $uam uim.</P>
<P>Propo$itio trige$ima.</P>
<P>In omni corpore mobili in medio, partes medij re$i$tunt obuiæ,
aliæ impellunt.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit mobile a cui partes $ubiaceant directæ b, & $it graue. Et pa-
tet ne diuidatur b re$i$tere, cum autem $uperauerit, partes b de$cen-
dunt ante a, & trahunt partes c & d adh&ecedil;rentes $ecum, at<01> ita e c d f
<fig>
adiuuant ad de$cen$um partes etiam laterales
g & h cum a tran$it in b, ne detur uacuum, tran-
$eunt in k uelo ci motu, ergo propellunt a maio
reimpetu inferius.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Ex quo patet, quod in omni motu naturali,
uel uiolento fit augumentum uelocitatis ab initio $altem u$que
ad aliquid.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Et ideò etiam bellicæ machinæ cuiu$cun<01> generis certam exi-
gunt di$tantiam, ut uiolentius feriant.</P>
<P>Propo$itio trige$imaprima.</P>
<P>Omnis motus naturalis in æquali medio ualidior e$t in fine,
quàm in principio: uiolentus contrà.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Cùm enim ex præcedenti augeantur $emper ob medium, & cau-
fa, quæ mouet, $it perpetua, & à principio æterno, quod per dictæ
æqualiter mouet, igitur motus ille fiet uelo cior in fine quàm in alia
parte temporis. In uiolento autem, cùm perueniat ad finem de$init
<marg><*> 29. P<I>ropo$.</I></marg>
uis illa nece$$ariò, quæ mouet, & $uperatur à ui naturali, quæ mo-
uet in contrarium, igitur antequam ce$$et motus fiet tardi$simus
in fine.</P>
<P>Ex quo patet, quòd motus quadrifariam mi$ti dicuntur, aut $pe-
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
cie, ut cùm quis iacit lapidem è turri: uel ex occulto naturali, & uio-
lento manife$to: uelut cùm quis iacit lapidem, & de$cendit po$tmo
<fig>
dum ex b in c motu utroque manife$to, $ed ex a
in b motu uiolento manife$to, & naturali oc-
culto: uel ratione medij, & hoc modo omnis
motus naturalis etiam non $olum uiolentus e$t
mi$tus ex proportione uirtutis mouentis, cum motu medij, ad me-
dium ip$um, uel $i uiolentus $it ex proportione uirtutis mouentis,
<foot>& medij</foot>
<p n=>27</p>
& medij ad mobile, ac medium, quod re$i$tit. Quarto ex motibus
imperfectis natura $ua, & non e$t uera mi$tio, & hoc apparet in mo-
tibus uoluntarijs animalium, qui non $unt ne<01> æquales, ne<01> perfe
ctè circa medium: $ed $unt potius $imiles uoluntarijs. Etideo de-
mon$trationes illæ Ari$totelis quoad u$um nihil iuuant nos.</P>
<P>Propo$itio trige$ima$ecunda.</P>
<P>Omne mobile naturaliter motum, $eu uiolenter uelo cius moue-
tur in medio rariore, quàm den$iore. Maior quo<01> e$t proportio fi-
nis motus in corpore rariore ad finem motus in corpore den$iore,
quàm principij. In uiolento autem celeriùs perueniet ad finem mo
tus in corpore den$iore.</P>
<fig>
<P>A mobile moueatur in b medio rariore, & in c den$io-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
re, igitur b minus re$i$tit, quàm c & magis adiuuat, quia
uelociùs mouetur: igitur duplici de cau$a a mouebitur
uelociùs in b quàm in c: & quia per corrolarium trige$i-
mæ, & præcedentis proportio finis (ubi æqualiter moueantur) ad
$ua principia maior erit in d, quàm in e: ergo per demõ$trata à Cam
pano po$ita d prima, b $ecunda, e tertia, c quarta, maior erit propor-
tio d ad e, quàm b ad c quod fuit propo$itum in naturali.</P>
<P>Propo$itio trige$imatertia.</P>
<P>Omnia duo mobilia æqualis undi<01> magnitudinis, quæ æquali
in tempore æqualia $patia pertran$eunt in diuer$is $ub$tantia me-
dijs, nece$$e e$t, ut $it ponderis ad pondus, quemadmodum medij
ad medium, proportio duplicata.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sint duo mobilia a & b magnitudine, & forma omnino paria,
& $int media c & d, exempli gratia: & pertran$eant æquale $patium
in utro<01> in eodem tempore, e dico proportionem ponderis b ad
pondus a e$$e duplicatam ei quæ e$t raritatis c ad raritatem d. Quia
enim feruntur æqualiter, nam in æquali tem-
<fig>
pore, $eu eodem æqualia $patia pertran$e-
unt, erit proportio potentiæ a cum $uo auxi-
lio ad id, quod re$i$tit ex c ut b cum $uo au-
xilio ad id, quod re$i$tit ex d, permutando igi
tur d ad c, ut b ad a, $ed c ad d proportio rari-
tatis duplicat actionem, tum minus re$i$ten-
do, tum adiuuando motum a, igitur proportio differentiæ motus
e$t duplicata proportioni raritatis: $ed proportio motus e$t æqua-
lis proportioni ponderis uici$sim per uige$imam$extam $exti Ele-
mentorum b ad a, igitur proportio b ad a ponderis e$t duplicata ei,
quæ e$t raritatis c ad raritatem d.</P>
<foot>C 2 SCHO-</foot>
<p n=>28</p>
<head>SCHOLIVM PRIMVM.</head>
<P>Ne tamen $ine exemplo intelligas hanc duplicatam rationem,
proponatur craritas quatuor, d unum, a pondus duodecim libra-
<fig>
rum, tunc c re$i$tit $olum ex quarta parte, & effi-
cit a quadruplo maioris actionis, $cilicet ut qua-
draginta octo, tota igitur proportio, qua mo-
uebitur a in c, erit centum nonaginta duorum, & hoc diuidemus
per d, quod e$t unum, exibit põdus b centum nonaginta duo. Pro-
portio igitur b ad a e$t $exde cupla, & hæc e$t duplicata quadruplæ
raritatis c ad raritatem d.</P>
<P>Quòd $i quis neget tantundem augere c actionem a, quanto mi-
nus re$i$tit, $ed aut magis aut minus, & $it proportio b ad a dupli-
cata ip$i f, dico fe$$e proportionem c ad d, nam proportio b ad a
e$t uelut actionis c ad d per decimam$extam $exti Elementorum,
ergo ex auxilio c in proportionem a ad c fit proportio b ad a, $ed ex
fin $e fit proportio b ad a ex diffinitione proportionis duplicatæ.
Sed ex duabus proportionibus a ad c, & actionis ex c ad a produ-
citur proportio b ad a, igitur per decimam$eptimã $exti Elemento-
rum proportio c ad d e$t media inter proportiones a ad c, & actio-
nis a in c, quare æqualis f, igitur proportio b ad a duplicata ei, quæ
e$t c ad d quod erat demon$trandum.</P>
<head>SCHOLIVM SECVNDVM.</head>
<P>Si autem media fuerint diuer$arum rationum, ut aqua, & aër non
demon$trat argumentum, quia pondera inter $e non $eruant ratio-
nem. Nam lignum centum librarum ex $alicis arbore, non magis
de$cendit, quàm lignum libræ unius. Ideò nec in comparatione ad
medium aëris.</P>
<P>Propo$itio trige$imaquarta.</P>
<P>Proportio corporis cubi ad $uam $uperficiem quadratam, e$t ue-
lut eiu$dem $uperficiei ad latus, eiu$dem uerò ad monadem.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit cubus a b c eius quadrata, $uperficies a
<fig>
c, latus a b, monas d, dico eas e$$e inuicem
analogas. Quia enim proportio a b c ad a c
e$t, ut quoties a$$umitur a c in a b c, & toties
ctiam a$$umitur a b in a c ex diffinitione Eucli
<marg>P<I>rima ex</I>
C<I>ampano.</I></marg>
dis $ecundo Elementorum, $i ergo monas e$t
in continua proportione, habeo intentum: $i
non ponatur e media inter a e & d, erit ergo
per decimam noni Elementorum elatus a c,
ergo æqualis a b, igitur cum a c, e & d $int analogæ, erunt & a b c,
a b, & d analogæ, quod fuit demon$trandum.</P>
<foot>Propo $itio</foot>
<p n=>29</p>
<P>Propo$itio trige$imaquinta.</P>
<P>Vocum magnitudines excre$cunt in acumine non in grauitate,
finis autem e$t in utro<01> extremo, propter hoc minima facta uaria-
tione in hypate acutæ uix ferunt.</P>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<P>Quoniam facta uariatione in hypate, quæ e$t
in Diapa$on, uel bis Díapa$on maiore interual-
<fig>
lo di$tat, uelut ex a in b in grauiore, maius e$t in-
teruallum ex c in d, igitur maior e$t b d, quàm a c
ergo $ingulæ uoces inter b & d magis di$tant,
<fig>
quàm inter a & c, & quanto magis appropin-
quant ad d, igitur d maius e$t quàm b. Ergo magnitudo e$t ratione
acuitatis, non grauitatis, cum $uppo$uerimus d e$$e acutiorem b &
cip$o a. O$tenditur etiam idem quia uox grauis fit ex priuatione
motus $icut acuta ex uehementia. Motus autem e$t res, quies,
priuatio.</P>
<P>Secundum $ic: nam remi$sio mota non feriet aurem, ideò $onum
non pariet ob nimiam tarditatem. At in uelo ci$simo motu oportet
uel fidem uel arteriam contrahi, & non contrahitur ni$i per mu$cu-
los, igitur contentio illa finem habet. Si autem non $it nece$$arium
habere, uel ualde procul po$sit extendi contentio, ut in machinis
igneis $trepitus fit maximus, nam motus, ut motus e$t etiam in aëre
nullum finem per $e habet ni$i ratione in$trumenti, ergo $trepitus
tantus e$$e pote$t, ut fermè ob$urde$cant, qui audierint, ut ferunt de
Nili cataractis.</P>
<fig>
<P>Tertium $ic $it a b humi-
lior uox, quæ excre$cat $e-
mitonio minore $olum in
c, & $it d e dupla ad ab $e-
<fig>
cundum naturam, ut in uo-
cibus medijs fiet, ut $i e debeat excre$cere $emitonio minore per de-
cimamnonam quinti Elem&etilde;torum fe dupla c b, & in acutis ubi ex-
creuerit ad diapa$on quadrupla: pueri autem uox, quæ iam diapa-
$on altior e$t d e, erit bis diapa$on, & ideò quadrupla b c, $ed in acu-
tioribus erit dupla, nullus enim puer e$t adeo fractæ uocis, qui$u-
pra humillimam non a$cendat per diapa$on, igitur interuallum uo-
cum erit octuplum a d, b c, $ed communiter a$cen dunt ad bis diapa
$on, igitur interuallum unius uocis etiam cum $emitonio propor-
tionem habentis e$t æquale fermè toti a b, cum autem in diapa$on
$int duodecim $emitonia, & duo comata, manife$tum e$t, quod ex-
ten$io illa erit maxima in cõparatíone grauioris uo cis a b. Etideò
minimum in crementum in humilioribus uocibus, ubi quis coga-
<foot>C 3 tur</foot>
<p n=>30</p>
tur a$cendere, maximum e$$e uidetur, adeò ut ægrè à pluribus fera-
tur, à quibu$dam non omnino feratur.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Ob hoc natura fecit, ut non quemadmodum in fidibus uoces ex
breuitate intenderentur, $ed ex con$trictione ligulæ, ut dicunt, $u-
per a$peram arteriam uox ad diapa$on acueretur addito impetu
proportione, ut ex con$trictione, & impetu cõ$urgeret dupla pro-
portio. Hoc autem manife$tè experimur in elymis in quibus nullæ
pror$us facta mutatione in$trumenti con$tantibus digitis omni-
bus præter pollicem $ini$træ uocem exacuimus ad diapa$on, inde
etiam ad bis diapa$on: $icut declarauimus in commentarijs Epi-
demiorum.</P>
<P>Propo$itio trige$ima$exta.</P>
<P>Si proportio per proportionem minorem æquali ducatur, pro-
portio minor producetur. Vnde manife$tum e$t duas proportio-
nes minores æqualitate inuicem ductas proportionem minorem
unaqua<01> illarum producere.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<fig>
<P>Proportio a b ad c, quali$cun<01> $it, duca-
tur in proportionem minorem æqualitate
fad g, dico quod producta proportio erit
minor ea, quæ e$t a b ad c fiat d ad a b, ut f
ad g, et erit per $ecundam huius d ad c pro-
ducta ex proportionibus a b ad c, & f g. Item<03> per decimamquar-
<marg>P<I>er</I> 1 <*>. P<I>et.</I></marg>
tam quinti Elementorũ erit d minor a b, igitur maior a b ad c, quàm
d ad c. igitur quàm proportio a b ad c in proportionem f ad g. Sit
autem utra<01> minor æqualitate ea, quæ a b ad c, & ea quæ f ad g, di-
co productam unaqua<01> earum e$$e minorem. Quod enim (manen
tibus his, quæ dicta $unt) minor $it d ad c, quam a b ad c ex prima
parte o$ten$um e$t. Quòd uerò etiam minor $it d ad c, quàm d ad
a b, & ex con$equenti quàm f ad g demon$tratur $ic. Quia enim mi-
nor e$t a b ad c, æqualitate erit a b minor c, fiat ergo h æqualis a b,
erit ergo d ad h, ut d ad a b per $eptimam quinti Elementorum, at d
ad c minor quàm d ad h per octauam eiu$dem, igitur minor d ad c,
quàm d ad a b, igitur patet propo$itum.</P>
<P>Propo$itio trige$ima$eptima.</P>
<P>Si plures homines, quorum nulli per $e nauim mouere po$sint,
aut pondus ferre $imul iuncti eam moueant, aut pondus ferant,
erunt illæ proportiones coniunctæ non productæ.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Cùm enim primus non po$sit mouere nec $ecundus, erunt pro-
portiones minores æqualitate, Ideò per $ecundam partem præce-
dentis multo minus mouerent duo, quàm unus. Et $i quatuor mo-
<foot>ucrent</foot>
<p n=>31</p>
uerent unus<03> per $e mouere non po$$et, adderetur $i proportio
produceretur, fieret minor, ergo minus mouerent quinque quàm
quatuor ex ij$dem, quod e$t ab$urdum.</P>
<P>Propo$itio trige$imao ctaua.</P>
<P>Omne corpus tantùm re$i$tit motui contrario $uo naturali quan
cum mouetur occulto motu quie$cendo.</P>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<P>Sit a corpus quie$cens in pauimento b, & mouetur in eo occul-
<marg>I<I>n commen.</I>
26. P<I>ropo$.</I></marg>
to motu uer$us centrum, ut $uprà ui$um e$t, contra-
<fig>
rius illi $it motus ad c, $i ergo a quie$ceret in c moue-
retur ad b occulto motu certa ui, ergo eadem re$titit,
ne traheretur ad c. Manife$tum e$t autem, quod hic
<marg>P<I>er</I> 30. P<I>ro
po$.</I></marg>
motus occultus e$t minor manife$to.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Ex hoc patet cur naues & currus ab initio tardè & difficulter mo
ueantur, ubi moueri cœperint motus augetur: quoniam re$i$tunt
<marg>Q<I>ue$t.</I> 31.</marg>
per motum occultum naturalem qui maximus e$t dum quie$cunt,
ut etiam do cebat philo$ophus in mechanicis, nam motus ille natu-
ralis e$t, & ideò contrarius uiolento: Ergo cum iam mouetur uio-
lenter minus, mouetur naturaliter, igitur minus re$i$tit. Declarabi-
tur enim infrà quòd omne quod mouetur duobus motibus tanto
<marg>P<I>ropo$.</I> 59.</marg>
minus uno mouetur quanto magis altero.</P>
<P>Propo$itio trige$imanona.</P>
<P>Ab æquali aut minore ui, quàm $it impedimentũ, non fit motus.</P>
<P>Sit a quod re$i$tat, ne $ur$um trahatur per decem, dico, quod nõ
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
$ur$um trahetur neque à decem, neque minore: nam $i impedimen-
tum non e$$et, moueretur infra ut decem, ergo $i traheretur $ur$um
per decem tantum moueretur $ur$um, quantũ deor$um, ergo quie-
$ceret. Si uerò à minore moueretur à maiore ui deor$um, quam $ur-
$um, ergo deor$um $impliciter non $ur$um.</P>
<P>Propo$itio quadrage$ima.</P>
<P>Omne corpus $phæricum tangens planum in puncto mouetur
ad latus per quancun<01> uim, quæ medium diuidere pote$t.</P>
<fig>
<P>Sit corpus ad unguem $phæricum a tan-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
gens planum b in puncto c (e$t enim hoc
nece$$arium ex demon$tratis ab Euclide in
decima$exta Propo$itione tertij Elemento-
rum) dico, quod mouebitur à ui, quæ pote$t
$cindere aërem. Nam cum non a$cendat, nec
de$cendat, $ed qua$i in circulo ad centrum
mundi moueatur, pondus non affert. Ne<01>
ratione magnitudinis contactus, cum $it in
puncto $olo, igitur remanet $olum aëris impedimentum.</P>
<foot>C 4 Exhoc</foot>
<p n=>32</p>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex hoc liquet, quod oportet b planum e$$e ex duri$sima mate-
ria, quæ nullo modo cedat, aliter tanget plu$quàm in puncto.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Vix fieri pote$t, utin elementaribus $phæra tangat planum in
puncto. Vel quia planum non erit exactè rectum, uel non durum,
ut pror$us non cedat, uel non ad æquilibrium po$itum, uel $phæra
non erit exactè rotunda.</P>
<P>Propo$itio quadrage$imaprima.</P>
<P>Si fuerint duæ quantitates $umatur<03> totius aggregatum maio-
ris & minoris, quoties aggregatum minoris, & maioris, erit pro-
portio confu$a maioris aggregati ad minus, minor quàm multipli-
cis maioris ad multiplex minoris.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sint duæ magnitudines a & b, & $it a maior
<fig>
b, & $umatur exempli gratia a quater cum b $e-
mel, & b quater cum a $emel, dico, quod propor
tio (quam confu$am e$$e liquet) aggregati primi ad $ecundum, e$t
<marg>E<I>x</I> 18. <I>diff.</I></marg>
minor quàm quadrupla. Con$tat enim quod proportio quadru-
pli a ad a e$t maior, quam b ad quadruplum b, cum una $it quadru-
pla, alia $ub quadrupla, igitur per uige$imam$ecundam huius ag-
gregati quadrupli a cum b $emel, ad quadruplum b cum a $emel mi
<marg>I<I>n</I> 2. <I>lib. de</I>
A<I>tqui pon-
deran.</I>
P<I>ropo$.</I> 10.</marg>
nor, quàm quadrupli a ad a, & maior quàm b ad quadruplum b, &
e$t pro intellectu Archimedis.</P>
<P>Propo$itio quadrage$ima$ecunda.</P>
<P>Trahentium nauim, ut ferentium pondera proportiones in $e in-
uicem, quomodo ducere oporteat con$iderare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Hoc quomodo non po$sit fieri $uprà docuimus, nunc etiam ge-
<marg>P<I>ropo$.</I> 37.</marg>
neraliter dicam, cum con$i$tant hæc in duobus terminis, productio
uerò præ$upponit quatuor terminos, ut in prima propo$itione, aut
$altem tres, atque in his medius habet rationem mouentis, & moti,
ergo cum in huiu$modi nõ $int quatuor termini, nec tres, è quibus
unus $it mouens, & motum proportio non poterit produci. Illud
etiam patet exemplo, nam $i e$$et lapis, aut nauis ob$i$tens ut $ex, &
e$$ent homines uiribus $inguli, ut quatuor cum dimidio, tres mo-
uerent in proportione dupla $exquiquarta perdicta $uperius eo-
dem loco, at $i proportio duci po$$et aliquorum hominum nume-
rus po$$et mouere in duplicata proportione ad unguem $cilicet
5 1/16 ut e$$et uix hominum collectorum 30 3/8 at nullus e$t numerus ho
minum qui collectus faciat hunc numerum, nam $ex homines ex-
plentnumerum 27, & $eptem 31 1/2, & ideò non pote$t duci propor-
tio. Et ideò maximus e$t error dicendo decem homines mouent na
uim proportione tripla, ergo triginta alij additis illis $imiles robo-
re mouebunt à proportione uiginti $eptupla $cilicet ducta nonu-
<foot>pla</foot>
<p n=>33</p>
pla in triplam. Sed $umpta proportione alio modo producitur. Ve
lut $i dicam, homines decem mouent nauim, aut ferũt pondus pro-
portione tripla, igitur quadraginta homines idem facient propor-
tione duodecupla $cilicet quadrupla in triplam ducta. Cum ergo
addo triginta homines, qui mouent in proportione nonupla, non
oportet ducere nonuplam in triplam, $ed totum numerum accipe-
re, & quam proportionem habet ad partem, tandem habet uis mo-
uens ad uim mou&etilde;tem. Vnde $i duo moueant in proportione $ex-
quialtera, & $ex in proportione quadrupla cum dimidia, & iungan
tur, ut fiant octo, non oportebit ducere $exquialteram, in quadru-
plam $exquialteram, $ed cum octo ad duo $it in proportione qua-
drupla, $umemus quadruplam ad $exquialteram, qu&ecedil; erit $excupla,
& octo mouebunt, aut pondus gerentin proportione $excupla.</P>
<P>Propo$itio quadrage$imatertia.</P>
<P>Productionem ad additionem retrahere.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<fig>
<P>Sit proportio a ad b dupla pote$tate li-
cet $int quin<01> homines, & $int quindecim
homines c, & habebunt ad b $excuplam
proportionem per præcedentem. Iuncta
ergo a, & c per octauam huius mouebũt
b proportione octupla, dico, quod $i du-
xeris proportion&etilde; c ad a plus uno. i. qua-
druplam in proportionem a ad b, quæ e$t dupla, proueniet eadem
octupla. Nam quia in coniunctione $ufficit iungere c cum a, & $u-
mitur $ecundum proportionem a ad b, igitur cum proportio a ad
b co mparata ad proportionem c & a ad b $it, $icut proportio c & a
ad a, & proportio c & a ad a $it, $icut proportio c ad a, & a ad a, &
proportio a ad a habet rationem unius, igitur proportio aggregati
c a ad b e$t producta ex proportione c ad a plus monade in propor
tionem a ad b, quod erat demon$trandum.</P>
<P>Propo$itio quadrage$imaquarta.</P>
<P>Si fuerit proportio motoris ad id, quod e$t maximum non mo-
uens & $patium, & tempus, nota erit etiam reliquorum nota.</P>
<P>Sæpe contingit, ut quin<01> homines moueant nauim, & $patium
ad tempus notum, & etiam cognitum maximum, quod mouere
non pote$t. Sit ergo a numerus hominum, b na-
<fig>
uis, c maximum, quod non mouere pote$t, d
tempus, e $patium, f motor alius $iue numerus
hominum notus, & g tempus, dico, quod h $patium notum erit, $eu
notũ g tempus, & h $patium, dico, quod erit f motor, $eu numerus
<foot>hominum</foot>
<p n=>34</p>
hominum notus. Quoniam ergo notum e$t a & c, quia e$t æquale
b, igitur proportio a ad b nota e$t: $ed iuxta illam a mouet b in d
tempore per e $patium, igitur per præcedentem, ut f ad a ita $patij
ad e in d tempore. Sed per eadem ut temporis d ad $patium illud,
ita g ad h, ergo cum nota $int d e f g erit etiam h, & ita conuertendo.</P>
<P>Propo$itio quadrage$imaquinta.</P>
<P>Rationem $tateræ o$tendere.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Archimedes nititur huic fundamento, quod pondera, quæ pro-
portionem mutuam habent, ut di$tantiæ à libella a, quæ $u$pen-
duntur, æqualiter ponderant, $it ergo libella a b, & $u$pen$a in a cen
trum mundi c, ad quod dirigitur pondus, & liquet, quod ip$um
non $e inclin abit ex uige$imatertia propo$itione. Si ergo ponantur
lo co lineæ b d in e & f, & $it proportio e b
<fig>
ad b f, ut g ad h, dico, quòd erit æquili-
brium, per eandem enim h mouebitur in k,
$cilicet ut perueniat in rectam a d, $i enim
non e$$et |$u$pen$um h, moueretur in re-
cta e h per eandem, quia ergo retinetur, mo-
uetur per obliquam h k, & $umatur in pro-
pin quum punctum in b e, & n in æquali di-
$tantia in e f, quia ergo e b totum mouetur
eadem ui in $ingulis partibus, quia a pon-
dere h, & in h mouetur per h k in m per m
p, ergo qualis e$t proportio magnitudinis h k ad m p, talis e$t uis
in m p ad uim in h k, & ita in b erit penè infinita: quia quanta ui ex-
tenditur ex h in k tanta puncta b, $e circumuertit ergo propor-
tio hypomochlij ad $patium, uelut roboris ad robur, at eadem n o
ad h k, e$t enim n o æqualis m p, & n b, & b m æquales, ut uerò g ad
h, ita e b ad b f: ergo ut e b ad b f, ita uirium n o ad h k, ut igitur g ad
h, ita uirium m p ad h k: ut etiam g l ad n o, ita uirium f b ad n b.
nam idem pondus $cilicet g mouet totam b f, igitur ut g $e habet
<marg>P<I>er</I> 9. <I>quin-
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
ad n o, ita h ad m p, $ed m p & n o $unt æquales, ergo tanta e$t uis g
in f, quanta h in e.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex quo patet, quod hypomo chlion moueretur infinita ui, $i po$-
$et e$$e punctus: $ed quia in extrema $uperficie cylindri, ideò pote$t
aliqua ui retineri.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Et $i quis po$$et capere ha$tam in extremo puncto, non po$$et
eam mouere, etiam quod haberet robur infinitum, quia ab æquali
non fit motus per trige$imamnonam propo$itionem.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg>
<P>Et libella nihil retinet ni$i quantum e$t pondus eius quod cu-
<foot>pit</foot>
<p n=>35</p>
pit ad centrum peruenire, & pondus ei appen$um non prohi-
bet motum, etiam $i e$$et infinitum, ni$i quatenus non uult recede-
re ex directo centri mundi: & ut grauat hypomochlion faciens im-
pre$sionem.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg>
<P>Et $i terra tota e$$et appen$a polo, moueretur magna ui: quoni-
am uis eadem e$t in polo, quæ in circulo toto æquinoctij.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 5.</marg>
<P>Etrota, quanto uelocius mouetur in ambitu, tanto mi
norem habet uim: $ed propter aërem, qui $ecum circum-
<fig>
fertur, mouetur magno impetu, & magnas facit læ$iones.
Ideò hoc in cono non accidit.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 6.</marg>
<P>Ex quo patet ratio eleuandi pondera magna per tra-
bem, ut à latere uides.</P>
<P>Propo$itio quadrage$ima$exta.</P>
<P>An $it aliqua proportio, & qualis inter animam, & ui-
tas, & $ua corpora con$iderare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Declarauimus motum cœli e$$e uoluntarium, ob$equente cœ-
lo per uirtutem in eo infu$am. In animalibus autem, & præcipuè
in homine notius e$t hoc experientibus nobis in ip$is: $ed motus
hic, ut dixi $upra, mi$tus e$t, ille uerò cœle$tis ignotior e$t. Certum
<marg>P<I>ropo$.</I> 27.</marg>
tamen e$t plenè ob$equi cœlum uitæ, nec pror$us repugnare. So-
let Ari$toteli imponi, quòd $i adderetur a$trum cœlo, quòd cœlum
aut quie$ceret, aut tardius moueretur: quod e$t, ac $i diceremus,
quòd homo paruus $i fieret maior, non e$$et adeò agilis, tanquam
motus ille e$$et ab externa cau$a. Imò perinde e$$et, ac$i quis dice-
ret, quod lapides magni minus uelociter de$cenderent, quam par-
ui. Quin potius ut lapis magnus uelociùs mouetur: quàm par-
uus naturali motu, & tardius præternaturali, ita cœlum motu uo-
luntario, $i ita dici po$$et æqualius & maiore cum efficacia, quan-
to den$ius. Et ita $i Ari$toteles illud dixi$$et, o$tendi$$et magnam
imperitiam. Ideò quale iudicium debemus facere de Alexandro, &
<marg>T<I>ex.</I> 71.
2. <I>de</I> C<I><*>.</I></marg>
Aueroe, qui hoc ei tribuunt. legi&ttilde; enim in textu Arabico tale quip-
piam. De Animalibus for$an po$$et hoc dici, quoniã, ut $uprà dixi-
mus, motus ille mi$tus e$t. Remanet ergo difficultas, quoniã $i mo-
tus i$te non à proportione fit, quare non e$t infinitus? & dico <09> in
animalibus tres $unt cau$æ, una, quia e$t mi$tus, & habet repugnan
tiam: $ecunda, quia e$t de loco ad locum, motus autem cœli e$t in lo
co: tertia e$t communis etiam cœlo, et e$t, quoniã non e$t ratio finis.
Natura enim diuina non appetit mouere tã celeriter. Quid e$t ergo
<04>portio, cũ $it ultimũ uoluntatis uit&ecedil;, ut obtemperet primæ cau$æ,
ideo illud e$t ultimũ, &qring; mouet. E$t aũt idem uelle, & po$$e. In natura
<foot>enim</foot>
<p n=>36</p>
enim cœli e$t ille appetitus, cuius prin cipium e$t uita: & eíus uolun
tatis bonum ip$um. Et ideo hæc proportio nõ diuiditur. In anima-
libus autem non e$t uis illa ni$i, cum proportione, quia primum in-
$trumentum, quod recipit, & e$t $piritus uim habet determinatam,
cum $it uirtus in materia: ideo nõ mouet ni$i cum certa proportio-
ne, uelut lumen in medio in $e non habet proportionem ni$i ad lu-
cem, $ed ut e$t in illo, pote$t e$$e remi$$um, ob$curũ & hebes. Quæ-
ritur ergo quantitas illius? $i dicas, quòd e$t à luce: quæro quanti-
tas lucis, unde $it? for$an dicendum, quòd uelutin motibus, quanto
den$iora $unt corpora tanto mouen&ttilde; maiore nixu, & robore. Nam
calor in materia augetur iuxta illius quantitatem: idem in luce, &
reliquis. Dico ergo proportionem e$$e infinitam: nam $i corpus e$-
$et infinitum & optimè di$po$itum infinita ui moueretur & agili-
tate, ut enim maius e$t eo maiores uires habet.</P>
<P>Propo$itio quadrage$ima$eptima.</P>
<P>Si duo mobilia æqualiter in eodem circulo iuxta proprios mo-
tus moueantur, productum temporis circuituum inuicem erit æ-
quale producto differentiæ temporum circuitus ductæ in tempus
coniunctionis primæ.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sint duo mobilia a & b in eodem pun-
<fig>
cto, quæ æqualiter uer$us candem partem
moueantur æqualibus in temporibus, inui
cem tamen in æqualiter, ita quod a in f & b
in g temporibus ab$oluant circulum, & ho
rum differentia $it h. Dum ita que a perficit
circulum b perueniat in c, igitur c d b e$t dif
ferentia, quæ $uperanda e$t, & proportio
circuli ad b c ut g ad f, quare reliqui ad reli-
quum, ut re$idui ad re$iduum, $cilicet circu-
li ad c d b, ut g ad h, & b c ad c d b ut f ad h, coniungantur igitur in k
tempore, erunt<03> k f g h omiologa, ut productum ex circulo in b c
diui$o per certam quantitatem & cum circulo & b c & c d b diffe-
rentia, & $it $productum exfin g, dico quod diui$a $ per h exibit k
tempus coniunctionis primæ, $it ita<01> d locus coniunctionis, dico
igitur quod differentia $patij pertran$iti a b, a & a, b in reditu ex con
iunctione prima ad d e$t unus circulus completus, non enim po$-
$unt e$$e plures, nam $equeretur, quòd a aliquando pertran$i$$et b,
et $ic non e$$et prima coniunctio, nec pote$t e$$e minus, nam $ic cum
a & b $int in d ultra perfectas circulationes uterque eorum pertran
$iuit arcum b c, igitur nullo modo differentia pote$t e$$e minor cir-
culo, neque maior, ut declaratum e$t, igitur e$t unus circulus ad un-
<foot>guem</foot>
<p n=>37</p>
guem. Hoc declarato ponatur m $patium compofitum ex circulis
pertran$itis a b a cum $patio b d, etenim $patium, quod pertran$it
b a coniunctione in a, ad coniunctionem primam in d, & erit ex de-
mon$tratis horum differentia circulus qui uocetur o, & $it p $pa-
tium, quod pertran$it b in tempore eodem, in quo a pertran$it o, &
$it q differentia o, & p qu&ecedil; in circulo e$t c d l b, quia igitur in eodem
tempore a pertran$it m & b, n, erit m ad n, ut a ad b, & eadem ratio-
ne a ad b, ut o ad p, igitur ex undecima quinti Euclidis m ad n, ut o
ad p, quare cum o $it differentia m & n, & q, differentia o & p erit ex
decimanona quinti Euclidis, m ad o, ut o ad q, & ita circulus e$t ana
logus inter $patium pertran$itum à motore uelociori, & inter diffe-
rentiam $patij quæ accidit, dum uelocior motor pertran$it circu-
lum, id e$t quòd circulus a c d e$t analogus inter c d l b, & circulos
pertran$itos a b a cum portione b d. Reuertor igitur ad propo$i-
tum, cum $it m ad o, ut o ad q, & m ad o, ut n ad p, ex $extadecima
quinti Euclidis, erit ex undecima eiu$dem n ad p, ut o ad q, quare ex
$extadecima $exti Elementorum ducto o, id e$t circulo, $eu maiore
numero in p $patium pertran$itum a b, $eu ducto fin g, & diui$o per
q differentiam $patiorum, $eu per h exibit n, $eu $patium quod
pertran$it b ab una coniunctione ad aliam quod erat demon-
$trandum.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Ex hoc patet, quod proportio temporis coniunctionis ad tem-
pus tardioris motus circuitionis e$t ueluti temporis circuitus uelo
cioris motoris ad differentiam temporis motus tardioris, & uelo-
cioris motoris in uno circuitu.</P>
<P>Propo$itio quadrage$imao ctaua.</P>
<P>Si tria mobilia ex eodem puncto di$cedant, fuerint<03> duorum, ac
duorum coniunctiones in temporibus commen$is illa tria mobi-
lia denuò coniungentur in tempore producto ex denominatore di
ui$ionis temporis maioris per minus in minus, aut numeratore
in maius.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sint tria mobilia a, quod circuat in duobus annis b in quinque,
c in $eptem. Dico quod primum redibunt in numero producto ex
$eptem quin<01> & duobus, qui $unt numeri primi, & erit ille nume-
rus $eptuaginta annorum. Nam in $eptuaginta annis a perficiet tri-
gintaquin<01> reuolutiones b quatuordecim, c decem: ergo redibũt
per perfectos circuitus ad idem punctum. O$tendo modo quod
non ante: nam $i $ic: $it, ut in trigintaquinque annis igitur b & c per-
ficient perfectos circuitus, ergo redibũt ad idem punctum, a autem
non redibit, quoniam eius circuitus non numerat trigintaquin<01>
aliter non fui$$et $eptuaginta minimus numeratus ab a b c, cum
<foot>D ergo</foot>
<p n=>38</p>
ergo iam $upponatur numerari a b & c non numerabitur a b a, er-
go a non perficiet circuitus, ergo non redibit ad primum locũ, ergo
non erit iunctus cum b & c. Quod $i dicas a b c coniungi in decem
$eptem annis numero non numerato ab ali
<fig>
quo illorum temporum, auferantur perfe-
ctæ circulationes, & remanebũt dimidium
ex a, duæ quintæ ex b, tres $eptimæ ex c, igi-
tur oportebit ut hæ portiones $int æqua-
les, ut po$t perfectas circulationes in idem
punctum, cõueniant, ergo 1/2 & 2/5 & 3/7 æqui-
ualebunt, quare proportio 7 ad 3 & 5 ad 2
& 2 ad 1, e$t una, quare permutando 3 ad 2
ut 7 ad 5, $ed 7 & 5 $unt contra $e primi, ergo in $ua proportione mi
nimi per dicta in $eptimo Elementorum: ergo tria, & duo non $unt
in eadem proportione. Rur$us dicantur conuenire in annis qua-
<marg>P<I>ropo$.</I> 23</marg>
tuordecim cum dimidio, ergo in uiginti nouem conuenient ite-
rum: ergo per $ecundam partem erit $eptem ad unum, ut duo ad
unum, igitur permutando unius ad unum, ut $eptem ad duo, $ed
unum e$t æquale uni, ergo duo erunt æqualia $eptem. Rur$us dica-
mus, quod in tempore annorum <02> quadrata decem $imiliter aufe-
ram integras reuolutiones, quas potero, & erunt <02> 2 1/2 m: 1, & <02> 2/5 &
<02> 10/49 æqualia. Hic uides infinita $equi in conuenientia, quæ longum
e$$et numerare, nam $eptem e$$et æquale quin<01>, & proportio reci$i
ad potentia rethe, ut numeri ad numerum. Igitur non conueniunt
ante $eptuaginta annos.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex hoc $equitur, quòd nullibi conuenient præterquàm in eo-
dem puncto, $cilicet in quo ab initio coniuncti fuerunt.</P>
<marg>C<I>or</I>m. 2.</marg>
<P>Sequitur denuo ex propo$itione ip$a repetita, & primo corrola-
rio, quod nullibi alibi conuenient quàm in dato primo puncto, in
quo coniuncti fuerant ab initio etiam u$<01> in æternum.</P>
<P>Sit rur$us ut a circuat in annis duobus cum dimidio, b in tribus
cum tertia parte, cin quatuor cum quarta parte ducam per $uos
denominatores, & erit ut a in quin<01> annis. b in decem, c in decem-
$eptem circuant, & redeant ad idem punctum, & quia quin que nu-
merat decem, & decem, & decem$eptem $unt numeri inuicem pri-
mi, ducam decem in decem$eptem fiunt centum $eptuaginta. Con-
$tat igitur c quadragíes, b quinquagies $emel, a $exagies octies cir-
cumuerti, & redire ad idem punctum: ergo rur$us coibunt po$t tot
annos in eo, dico modo, quod non ante: nam $i non $it, ut in trigin-
ta tribus annis. gratia exempli, aufero decem$ept&etilde;, decem, & quin-
que, & relinquentur $exdecim tria & tria, & rur$us ex $exde cim tres
<foot>cir cuitus</foot>
<p n=>39</p>
cir cuitus c, & relinquentur 3 3/4 $equetur igitur, ut $it proportio 17 ad
13, & 2 1/2 ad 1/2 & 3 1/3 ad 3 eadem, & ita 17/13, 5/2 & 10/9 eadem $i iam $uppo<*>-
mus 17 & 10 e$$e primos inuicem, ut in $ecunda demon$tratione<*>
Igitur $equuntur eadem corrolaria, quæ dicta $unt.</P>
<P>Propo$itio quadrage$imanona.</P>
<P>Propo$ito mobilis in circulo circuitus tempore, data<03> ratione
di$tantiæ ab illo mobilis circuitum inuenire, quod ex eodem pun-
cto di$cedens cum alio mobili in dato puncto conueniat $ub quo-
cun<01> numero circuituum tempus quo<01> coniunctionis.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<fig>
<P>Sit in circuli peripheria a pũctus, qui cir
cuat æquali motu (hocenim $emper intel-
ligitur) in b tempore: & $it datus punctus c
in quo di$cedens e mobile ex coniunctio-
ne cum a po$t certos circuitus proprios,
aut etiam. $ine ulla circuitione perfecta de-
beat conuenire. Volo $cire tempus circui-
tionis e: & etiam tempus coniunctionis.
Sit ergo primum ut ab$<01> circuitione ulla e, a debeat comprehen-
dere e in c po$t numerum circuitionum ip$ius a, qui $it f. nam $i a o c
currit e in prima circuitione ip$ius e, igitur a mouetur uelocius
quàm e, cum ergo debeat attingere ip$um e, nece$$e e$t ut a pertran-
$eat prius per punctum ex quo di$ce$sit antequam redeat ad con-
iunctionem e: ergo perficiet $altem unam circuitionem. Ducemus
ergo f in b, & fiet g tempus circuitus aut circuituum a, & quia $pa-
tium a c datum e$t, $it b temporis circuitus a ad h, uelut circuli to-
<marg>P<I>er</I> 10. P<I>et.</I></marg>
tius ad a c, & iungatur g cum h & fiat k. Fiat quoque, ut monadis
ad h, ita l ad monadem, & ducatur l in k, & fiat m: dico m e$$e tem-
pus circuitus e. Con$tat enim ex $uppo$ito, quod k e$t tempus to-
tum in quo a peruenit po$t b circuitiones in c, $i ergo e moueretur
per m tempus totum ex $uppo$ito perficeret circuitum, at quia cir-
cuitus ad a c, ut monadis ad h, igitur etiam ut l ad monadem, ergo
proportio circuitus ad a c, ut m ad monadem: ergo $i in m tran$it to
tum circuitum in monade tran$it a c: $ed monas ducta in k facit k,
igitur e in tempore k perueniet in c, quod erat demon$trandum.
Proponatur modo tempus reuolutionum e ip$um d: eodem mo-
<marg>P<I>er</I> 11. P<I>et.</I></marg>
do agemus ducendo fin b fit g, addatur h & fiat k, diuidatur k per
aggregatum d & a e, & exeat m, (idem enim e$t diuidere per aggre-
gatum d & h, & multiplicare per l) dico ergo ut in demon$tratione
priore, quod m e$t tempus circuitus e. Nam cum k $it tempus, in
quo a po$t circuitus f peruenit ad c, ergo diui$o ip$o toto tempore
<foot>D 2 per</foot>
<p n=>40</p>
per numerum reuolutionum d, & partem reuolutionis exibit tem-
pus unius reuolutionis.</P>
<P>Exemplum primi in repaulò ob$curiore: $it f 4 & b 2 1/2 & a c 4/5, du
cemus 4 in 2 1/2 fit 10, adde 4/5 6 quod e$t 2 fit 12, diuide per 4/5 $eu mul-
tiplica per 5/4 quod idem e$t, fit 15 circuitus e, in quatuor ergo circui-
tibus, & 4/5 qui $unt duo decim anni perueniet a ad c, & in duodecim
annis e perueniet ad c, nam 12 $unt 4/5 ip$ius 15. Similiter in $ecundo
ca$u $it f 4 ut prius b 2 1/3 a c 1/7, ducemus 4 in 2 1/3 fit 9 1/3, addemus<03> h
portionem b qualis a c e$t totius circuitus, id e$t 1/7, e$t autem 1/7 2 1/3, 1/3
fient 9 1/3, $imiliter ponatur d 5, & quia a c e$t 1/7 erunt 36/7, diuide ergo
9 2/3 id e$t 29/3 per 36/7 exeunt 203/108 tempus reuolutionis e. Quin que ergo
reuolutiones e erunt 1015/108 addita $eptima parte, quæ e$t 29/108 fient 2044/108
$eu 261/27, & $unt anni 9 18/27 $eu 9 2/3, ergo in tanto tempore a faciet qua-
tuor circuitus, & $eptimam partem, & e quinque circuitus, & $e-
ptimam.</P>
<marg>C<I><*></I>^{m}.</marg>
<P>Ex hoc patet, quod non coniungentur in alio loco, ne<01> alio tem
pore ante prædictum tempus.</P>
<P>Propo$itio quinquage$ima.</P>
<P>Omnes circuituum portiones in eiu$dem temporibus repetun&ttilde;.</P>
<P>Sint in circulo a b c d e f g: a & b iuncta, & in primo congre$$u
iungantur in c, in $ecundo in d, in tertio in e, in quarto in f, in quinto
in g, in $exto in h, in $eptimo in k, in octauo in l. Et $ic deinceps cũ<03>
tempora $int æqualia, erunt & circuitus totidem numero, & exce$-
$us æquales etiam a c, c d, d e, e f, f g, g h, h k,
<fig>
k l. Et $i aggregatum a $cilicet circulorum,
& portionis fuerit commen$um circulo, &
ita de b erunt omnia cõmen$a ad circulum,
<marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}.
<I>præcedentis.</I></marg>
& etiam inter $e. Et $i inter $e aggregata, uel
portiones erunt, & eodem modo reliqua.
Et quoniam circuli circulis commen$i $unt:
$i portiones erunt inuicem commen$æ erũt,
& toti circuitus cum partibus commen$i, &
$i non commen$i, neque erunt inter $e, ne<01> ad circulum. Et $i totum
$patium cum circuitibus erit unius generis, erunt duplicata, & tri-
plicata, & quadruplicata eiu$dem generis: quare cum $patia ip$a
detractis circuitibus uelut rhete habeant naturam reci$i, & $patia
ip$a tota $int eiu$dem generis, erunt $patia, quæ relinquuntur eiu$-
dem generis. Erunt tamen incommen$a nece$$ariò, $i partes fuerint
incommen$æ toti. Ponatur a c incommen$a toti circulo dico, quod
a k etiã e$t incommen$a toti circulo: & etiã a k, & k c. Quia enim a c
e$t incommen$a circulo, & k a cum toto circulo $emel e$t commen-
<foot>$a a c</foot>
<p n=>41</p>
$a a c, quia multiplex ei. igitur cum circulus, & a k diuidantur in cir-
<marg>P<I>er</I> 14. <I>deci
mi</I> E<I>lement.</I></marg>
culum et a k, & circulus $it incommen$us circulo, cum a k erit aggre.
gatum ex circulo, & a k incommen$um ip$i a k, & a k pariter incom
<marg>P<I>er</I> 17.
<I>eiu$dem.</I></marg>
men$a circulo. Rur$us quia a k e$t incommen$a circulo cum a k, &
circulus cum a k $it multiplex ad a c, erit a k incommen$a a c, quare
<marg>P<I>er</I> 14.
<I>rur$us.</I></marg>
erit c k incommen$a a k & a c, & circulo ad dita a k. Si ergo a c $it
commen$a circulo, erunt omnes portiones e genere numeri, & $i
<marg>P<I>er</I> 17.
<I>rur$us.</I></marg>
potentia rhete erunt omnes, uel potentia rhete, uel circulis detra-
ctis, ut a k & a l reci$a: & a c $it potentia $ecunda rhete, id e$t radix cu
bica erunt omnes c d, d e, e f, potentia $ecunda rhete, et radices cubi-
cæ numeri, $eu latera corporum rhete, a k uero & a l, & huiu$modi
in infinitum reci$a potentia rhete.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Ex hoc patet, quod cum circulus po$sit diuidi in infinita gene-
<marg>P<I>er penulti-
mam uige$i-
mi</I> E<I>lement.</I></marg>
ra quantitatum, quæ non $unt inuicem commen$æ cum<03> coniun-
ctiones hæ $emper in eodem genere maneant, quod infinita pun-
cta, & infinitis in $peciebus quantitatum remanebunt in quibus a
& b in perpetuum nunquam conuenient. Velut $i coniunctio pri-
ma fiat in <02> cu. 1/2 alicuius circuli, nunquam conuenient, ne<01> in me-
dietate, ne<01> in quarta parte, nec octaua, nec tertia, nec $exta, nec no-
na, nec quinta, nec decima, & $ic de $ingulis in genere commen$a-
rum toti circulo. Neque in <02> quadrata 1/2 uel 1/3 uel 1/5 ne<01> <02> 1/6 uel 1/20,
ne<01> in <02> 3 m: 1, nec 2 m: <02> 3 nec in <02> <02> 2 aut 3 aut 7 nec in <02> rela-
ta alicuius numeri, nec in 2 m: <02> <02> cub. 3 nec 2 m: <02> cub. 4, & $ic
de alijs.</P>
<P>Propo$itio quinquage$imaprima.</P>
<P>Operationes dictas exemplo declarare.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Supponamus in circulo prædicto a c <02> 7 con$tat, quod e$$e non
pote$t, quia <02> 7 e$t maior monade, ideo toto circulo, quare non po
terit e$$e pars circuli, $ed referetur ad quantitat&etilde; certam, uelut quod
circulus $it 10. $emper ergo diuidemus <02> 7, $eu eam portionem per
10 quantitatem circuli & exibit <02> 7/100, & hæc erit portio circuli, & ita
$i portio $it <02> cub. 16, diuidemus <02> cub. 16 per 10 exibit <02> cu 2/125, &
ita de alijs.</P>
<P>Sed cum ex repetitione cre$cat portio illa, donec exuperet mo-
nadem, aut aliquem quemuis numerum detracta monade aut nu-
mero circuituum habebit rationem reci$i. Velut <02> 7/100 quater $um-
pta efficit <02> 112/100. Et hoc e$t potentia rhete, $ed $i quis auferat mona-
dem fiet <02> 112/100 m: 1, & hoc e$t reci$um 1, $cilicet 1 p: <02> v: 23/25 m: <02> 28/25, $ed ta
men uerè e$t linea media.</P>
<P>Quod uerò non contingat coniungi in alio loco, neque tem-
pore $it, ut a b iungantur in c, & $it reuolutio a triplex integra, & b
<foot>D 3 $excuplex,</foot>
<p n=>42</p>
$excuplex, & tempus totum decem annorum: ita ut a c $it tertia
pars circuitus, & a circuitus tres anni, & quia circuitus b funt fex
cum tertia, diuidemus decem per 6 1/3 exit
1 11/29, dico quod non prius, neque in alio
<fig>
puncto. Si enim primùm in eodem pun-
cto, &, gratia exempli, in quatuor annis
congruit enim, & b dicamus quod per-
egerit duas reuolutiones cum tertia, hoc
enim e$t nece$$arium, $i debet perueni-
re ad c, & erunt anni tres, & 23/19, non ergo
anni quatuor. Cum enim tempora di-
uer$a diuiduntur per numeros haben-
tes proportionem erunt, qui prodeunt
<table>
<row><col>Decem</col><col></col><col>Quatuor</col><col></col></row>
<row><col>3</col><col>3 1/3</col><col>1 11/19</col><col>2/(<*>/2<*>)</col></row>
<row><col>1 11/19</col><col>6 1/3</col><col></col><col></col></row>
</table>
numeri in eadem ratione. Diui$o ergo
10 per 1 11/19 exit 6 2/3, & diui$o 4 per 1 11/19 exit
2 8/15, igitur 6 1/3 ad 2 8/15, ut 10 ad 4, igitur 8/25
non pote$t e$$e æquale 1/3. Si enim per
præcedentem repetuntur, ergo non po$-
$unt redire, doneciterum coniung antur in ip$o a. Si enim aliter $it
ut ex e, igitur e c e$t æqualis a c pars toti, quod contingere non po-
te$t. Sin uerò coniunctio fiat in d, igitur per præcedentem d e e$t
pars a c $ubmultiplex quomodolibet, quare non fuerunt a$$um-
pti primi numeri. Veluti in exemplo con$tituimus, quod a, & b
conueniunt in c in decem annis, & a c e$t tertia pars circuitus: er-
go in triginta annis conueniunt in a, & in quadraginta rur$us in c.
$i ergo quis a$$ump$i$$et quadraginta annos ab initio pro con-
gre$$u, & diui$i$$et per 1 12/19 exiret 25 1/3, & $i per 3 exiret 13 1/3, & mani-
fe$tum e$t, quod uterque numerus pote$t diuidi per eundem nu-
merum, utpote 4 & exit numerus cum eadem parte $cilicet 6 1/3 &
3 1/3 ergo conuenient ante, non ergo a$$ump$i$ti minimos in ea pro-
portione. Illi autem nequaquam amplius diuidi non po$$unt eo-
dem modo.</P>
<P>Propo$itio quinquage$ima$ecunda.</P>
<P>Tria mobilia coniuncta in eodem puncto, quorum duo, & duo
conueniant in partibus in commen$is inter $e, in perpetuum in nul-
lo unquam puncto conuenient.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sint a b c iuncta, & primo iungantur a & b, iterum in d & b, &
c in e, & $int a d, a e inconimen$æ, dico quòd a b c nunquam con-
uenient in aliquo puncto, $eu primo, $eu alio à prim o: $i non con-
<foot>ueniant</foot>
<p n=>43</p>
<fig>
ueniant in f, erunt ergo in g tempore re-
uolutiones integræ, & portio a f in$uper.
Et quia hæ con$tituuntur per congre$$us
b cum a, & $unt $patia a d, & b cum c, &
$unt $patia e f, igitur $patium a f erit ex ge-
nere quantitatis a d, & a e per quinqua-
ge$imam, harum ergo erunt commen$æ:
quod e$t contra $uppo$itum. Et harum
propo$itionum principium e$t traditum
à Campano Nouarien$i Euclidis expo$itore, in quodam libello
non edito qui diligentia patris mei Facij ad me peruenit.</P>
<P>Propo$itio quinquage$imatertia.</P>
<P>Circulorũ $e in aduer$um mouentium proportionem declarare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit orbis a b cuius cen-
<fig>
centrum c, manubrium c
d f e, $eu uero tangat circu
lum g, $eu more gemmas
$culpentium aligetur al-
teri orbi funiculo a l b, &
$it in uertice axis k m or-
biculus $olidus aut $emi-
circulari forma m, dico
quod proportio motus a
b ad motum m e$t produ
cta ex duabus proportio-
nibus c n $emidimeti&etilde;tis,
& $emidimetientis m ad k
o, quare ut rectanguli c n
in dimidium dimetientis
m ad quadratum o, ut enim a b ad ol orbem, id e$t peripheriarũ ita
c n ad o k, quoniam o l mouetur toties in una circuitione a b, quo-
ties peripheriã o l contine&ttilde; in peripheria a b, ergo quoties o k con-
tinetur in c n toties in una circuitione a b o l circumuertitur, $ed
quoties circumuertitur ol, toties etiam m, quia uter<01> mouetur eo-
dem circuitu k m axis, ergo quoties m circumducitur in circuitu a
b toties o k continetur in c n, ergo $i fiat comparatio $emidiametri
m ad c n, erit product a proportio circuitus a b ad circuitum m ex
<04>portione c n ad o k, et $emidimetientis m ad id&etilde; o k, ergo per 26
<04>portio numeri circuitus unius p alterũ e$t, ut rectanguli $ub c n,
& $emidimetiente m ad quadratum k o, quod erat demon$trandũ.</P>
<P>Manife$tum e$t autem ex ip$a $ola con$titutione, quod $i a b mo-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<foot>D 4 uetur</foot>
<p n=>44</p>
uetur $ur$um à dextro in $ini$trum in inferiore parte, mouebitur à
$ini$tro in dextrum, & uter<01> circulorum g & k in $uperiore parte,
& in inferiore mouebitur contrario motu, $cilicet in $uperiore à $ini
$tro in dextrum, & inferiore à dextro in $ini$trum, illi uerò duo or-
bes $imili motu mouebuntur tam in parte $uperiore, quàm inferio-
re, & proportio motuum eorum inter $e erit uelut dimetientium
corundem.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Rur$us cum a b circumuertatur cum manubrio c d f e, tanto uelo
cius circumuertetur, & in ea proportione, qua d f continetur in c n,
& in eodem tempore, in quo manubrium circumuertitur in eodem
axis circumuertitur, & orbis, ut dictum e$t, ergo in eodem tempo-
re, in quo axis circumuertitur in eodem orbis: ergo tanto tardius
uidebitur moueri axis ip$o orbe, quanta e$t proportio minoris in
æqualitatis ip$ius axis, $eu ambitus, $eu $emidimetientis ad ambi-
tum, $eu $emidimetientem orbis.</P>
<P>Propo$itio quinquage$imaquarta.</P>
<P>Proportio circuli ad $uum diametrum per $imilitudin&etilde; e$t quar-
ta pars peripheriæ. Rur$us<03> eiu$dem circuli ad peripheriam diame
tri quarta pars.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Quoniam enim $uperficies circuli, ut ab
<fig>
Archimede demon$tratum e$t, fit ex dimi-
<marg>P<I>er</I> 16. <I>$ex
ti</I> E<I>lement.</I></marg>
dio diametri in dimidiũ peripheriæ erit, ut
eadem fiat ex tota peripheria in quartã par
tem diametri, & ex tota diametro in quar-
tam part&etilde; peripheri&ecedil;. ergo proportio are&ecedil;
circuli ad diametrum per $imilitudinem
<marg>P<I>er</I> 2. <I>diff.</I></marg>
e$t quarta pars peripheri&ecedil;, & <04>portio are&ecedil;
ad peripheriã e$t quarta pars dimetientis, quod erat probandum.</P>
<P>Propo$itio quinquage$imaquinta.</P>
<P>Proportionem medicamentorum per ordines $uppo$ita æquali
proportione in ordinibus per quantitates, & proportiones de-
mon$trare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Galenus libro quinto de Simplicibus medicamentis, quem $e-
<marg>C<I>ap. ult.</I></marg>
quuti $unt alij medici, ponit quatuor ordines medicamentorũ iux-
ta qualitates calidi, frigidi, $icci, & humidi, & primus e$t cum medi-
camentũ non $entitur quale $it licet operetur, uelut cam&ecedil;melon, ab-
$ynthium, & oriza: $ecundus e$t, cum $entitur, $ed non lædit, ut nux
myri$tica, $aluia, ozimum: tertius e$t cum $entitur, & lædit, $ed
non de$truit, neque corrumpit corpus, uelut a$$arum apium $ta-
phi$agria, cappares, myrrha, ruta: quartus e$t, cum de$truit ue-
lut pyretrum, piper, euphorbium cæpe aggre$te, & $inapis, cina-
<foot>momum</foot>
<p n=>45</p>
momum autem, & gingiber numerantur inter medicinas calídas
tertij gradus, & hoc opus comparatur ad corpus $icut dicit Gale-
nus, & Serapio non ad linguam, ut medici no$tri temporis interpre
tantur. Ex quo patet, quod aliqua medicina poterit e$$e quarti ordl
nis, & non lædere linguam in gu$tu, & alia tertij ordinis, quæ non
$olum lædet linguam, $ed $en$um eius corrumpet, et de$truet, quod
contingit propter $ub$tantiam tenuem cra$$æ mi$tam cum $iccitate
pari ip$i calori. Sed non oportet h&ecedil;c nunc tractar, enon $olum quia
non $it locus, $ed etiam quòd con$u$a $it per $eip$a materia ab$que
eo, quod difficultatem difficultati addamus, $olum ergo eas dubita
tiones adiungemus, quas uol&etilde;tes declarare propo$itionem præ$en
tem, neque $uperfugere, neque declinare po$$umus. Nam de $icco,
& humido, cum $int longè minoris actionis, quàm calidum, & fri-
gidum, & præcipuè humidum, non uideo quomodo po$sit Gale-
nus $tatuere medicinam humidam tertij gradus, nedum quarti,
cum non po$sit inueniri medicina, quæ de$truat corpus no$trum
propter humidam qualitatem. Et licet Serapio po$uerit gingiber
<marg>C<I>ap.</I> 336.
337. &
338.</marg>
& enulam & zelim in tertio ordine calidorum & humidorum: &
inter frigidas, & humidas in tertio portulacam, aizoum, & uirgam
pa$toris, & fungos. Primum non au$us e$t ponere medicinas ullas
calidas, aut frigidas in quarto ordine, qu&ecedil; $int humidæ. $ecundum,
quando dicit medicinas calídas, aut frigidas, atque humídas in ter-
tio ordine, intelligit $olum de qualitate actiua $cilicet caliditate, uel
frigiditate, & non de humida qualitate, quod o$tendit de gingibe-
re, & enula, dicens, quod $unt calidæ in tertio ordine, & humidæ
humido crudo, non au$us addere ordinem, quia non uídit ratio-
nem, qua po$$ent dici humidæ in tertio. Et clarius in capite de zei-
len, quem $tatuerat inter medicinas calidas, & humidas in tertio, di
cit quod e$t calida in tertio, & humida in primo, ergo non intelligit
per medicinas calidas & humidas in tertio ordine, quod $int humi-
dæ in tertio ordine. Clarius etiam de frigidis & humidis, nam por-
tula cam dicit e$$e frigidam in tertio, humidam in $ecundo, & quod
maius, e$t cum collo ca$$et aizoum inter medicinas frigidas, & hu-
midas in tertio ordine, dicit, quod e$t frigidum in tertio ordine, ad-
ijcit, quod e$t $iccum parum, & de uirga pa$toris nihil dicit de hu-
mido, $ed dicit, quod a$tringit, ex quo concludo, quod $ecun-
dum mentem Serapionis nulla e$t medicina humidior portulaca,
etiam uidetur innuere de fungis, $atis e$t quod non excedunt $ecun
dum ordinem in humido ne<01> calida neque frigida, $ed frigida $unt
humidiora, ut fungi, & portulaca, quia frigiditas in generatione
humidum magis admittit, quàm caliditas, & calida magis hu-
<foot>mectant,</foot>
<p n=>46</p>
mectant, quia magis penetrat uis medicamenti, & hæc regula de
humido, & $icco e$t generalis apud Serapionem, quod non intelli-
gitur ordo in pa$siuis, ni$i $pecialiter exprimatur, nam de $iccitate
non nego, quin inueniantur medicinæ $iccæ in tertio, & for$an in
quarto ordine, $ed de hac Galeni o$citantia, quæ in illo peculiaris
e$t dum uult $equi $uas methodos $ine alio di$crimine, medicis con
$i derandum relinquo.</P>
<P>Secunda difficultas e$t maior, & magis pertinet ad nos, & e$t,
quòd non declarauit an i$ti ordines inter $e aliquã proportionem
$eruarent, an omnino nullam, $i enim nulla proportio $eruatur, fieri
nullo modo pote$t, ut per cognitionem temperaturæ $implicium
medicamentorum cogno $camus temperaturam compo$itorum ex
illis ratione ulla, $ed oportebit $olum experiri. Sed $i ordines $er-
uant proportionem, adhuc relinquitur dubium, an illa proportio
$it Arithmetica, uel Geometrica, uel Mu$ica, & nihil mirum e$$et,
quod e$$et Mu$ica, ut aliâs docuimus, ubitractauimus de differen-
tia inter $en$um auditus, et ui$us. Sed quia de hac nullus medicus ui
detur intellexi$$e, omittam hanc tractationem. Et quanquàm Gale-
nus po$sit uideri non exi$tima$$e, quòd hi ordines non $eruent
proportionem ullam, quia non au$us e$t tractare de temperamen-
to medicamentorum compo$itorum per rationem temperamen-
ti $implicium, nihilominus $uppo$ito quod ita e$$et, quod $eruetur
altera proportionum, uolo o$tendere rationem componendi in
utraque proportione & Arithmetica, & Geometrica. Ex quo $e-
quitur, quod Aueroes quàm o$citanter tractauerit in quinto $uo-
rum collectaneorum de hoc, & non di$tinguit, neque docet pri-
mum an $it aliqua proportio, deinde $i qua $it, cuius generis $it, &
cum in re tam clara pugnet pror$us, ut cœcus ictus maximos eden-
do, $ed in ca$$um plero$que, quàm malè agant qui ei in arduis tan-
tum tribuunt fidei, & authoritatis, $ed hæc e$t infelicitas no$tra, &
ira Deorum. Suppo$ito ergo quod primò ordines di$tinguantur
per proportionem arithmeticam, $it $uperficies a b pro quantitate,
<fig>
& a $it calida in primo gradu, & b in ter-
tio, erit ergo perinde ac $i duo corpora
e$$ent unum altitudinis unius cum ba$i
quadrilatera rectangula a, aliud altitu-
dinis trium, ba$i autem quadrilatera $u-
perficie rectangula b, hoc igitur erit to-
tum mi$tum, & quia quantitas medicamenti non mutatur quæ e$t
a, b, ergo talia corpora æquantur uni corpori, cuius ba$is e$t a b,
cum ergo talia corpora producantur ex a in unum, & b in tria, ergo
<foot>diui$o</foot>
<p n=>47</p>
diui$o aggregato per a b prodibit altitudo, $eu ordo qualitatis to-
tius medicamenti, iuxta quod con$tituitur regula prima libri artis
medendi paruæ huiu$modi, & reliquæ, traduxi autem illas ad hunc
locuin, “quia pendent ex demon$tratione hac: “duc numerum ordi-
nis $ingulorum medicamentorum in numerum quantitatis, $imilia
iunge, di$similia detrahe, quod fit, diuide per aggregatum, quanti-
tatum, exibit numerus ordinis compo$iti. Sic mi$cendo calidum in
$ecundo ordine cum duplo pondere temperati conflabit calidum
in be$$e. Secunda $i ex pluribus diuer$arum, qualitatum, & ordi-
num temperatum efficere uelis, duc quæ $unt eiu$dem qualitatis in
$uas quantitates, & iunge, quod fit, diuide per numerum or dinis
medicamenti contrarij, exibit quantitas illius, $ub qua $i iungatur,
fiet medicamentum temperatum. Tertia cum nolueris ex tempera-
to, & alio cuiu$cunque ordinis medicamen conficere ordinis re-
mi$sionis, detrahe numerum ordinis eius, quod conficere uis ex nu
mero ordinis eius, quod habes, & cum re$iduo diuide numerum
medicaminis, quod conficere uis, quod exit e$t numerus quantita-
tis medicamenti non temperati in comparatione ad temperatum.”
Ex his potes propo$itis quibu$cunque medicamentis conficere
antidotum $ub quo cunque ordine remi$siore potenti$simo ex il-
lis. Quarta in compo$itione, quæ non fermente$cit calida, calidis
iuncta $emper opus augent, ut mel cum pipere. Quæ autem $ub mi
nore quantitate exhibentur non $ub remi$siore ordine agant, $ed
uel facilius impediuntur, uel minorem corporis partem, uel leuius
immutant.</P>
<P>Quod $i $tatuamus proportionem e$$e Geometricam, modus
erit idem in omnibus, & quo ad numerum etiam in primo, & $ecun
do ordine, quia in proportione dupla Geometrica $ecundus ordo
tantundem di$tat à primo, quantum primus ab æqualitate, quia
unum & duo $eruant proportionem, & æqualem di$tantiam, $ed in
cæteris ordinibus non ita erit, quia qui e$$et trium in Arithmetica,
$cilicet totius ordo e$t, quatuor in Geometrica, & quartus ordo,
qui e$$et quatuor in Arithmetica, e$$et octo in Geometrica, ideo
<fig>
$cribemus ordines hoc modo, & operabimur cum
numeris loco ordinum, exemplum ergo primum
$it medicina calida in tertio ordine quatuor uncia-
rum, & medicina frigida in $ecũdo ordine duarum
unciarum, duco quatuor in tria, $i proportio $it Arithmetica, fit
duodecim, duco duo in duo fit quatuor, detraho quatuor in duo-
decim, quia omnis medicina tantum retondit de contrario, $eu mi-
nuit relin quuntur octo $cilicet caliditatis, diuido per $ex ag-
<foot>gregatum</foot>
<p n=>48</p>
gregatum unciarum exit unum, & tertia, ergo erit calida in princi-
pio $ecundi ordinis. Secundum exemplum $int eædem medicinæ,
& $it proportio Geometrica, ducemus ergo quatuor in quatuor, &
fiunt $exdecim, & duo in duo fiunt quatuor, detrahe quatuor ex $ex
decim, & remanent duodecim, diuide per $ex, ut prius, exeunt duo,
ergo erit calida in fine $ecund i gradus uides ergo di$crimen. rur$us
$int ambæ medicinæ calidæ, & ducemus, ut prius in tertio exem-
plo, ubi proportio $it Arithmetica iungendo duodecim cum qua-
tuor, & fient $exdecim, diuide per $ex, exeunt duo, & duæ tertiæ, er-
go erit calida in medio tertij gradus, rur$us in quarto exemplo iun
gemus $edecim cum quatuor, & fient uiginti, diuide per $ex exi-
bunt tria & tertia, & ita erit in medio tertij gradus, ut prius, $ed $i
ille quatuor unciæ e$$ent calidæ in quarto gradu, & illæ duæ unciæ
in $ecundo gradu, ut prius ducendo quatuor in quatuor fiunt $ex-
decim, & duo in duo fiunt quatuor, iunge, & fient uiginti, diuide
per $ex exeunt tria cum tertia, ergo erit calida in principio quarti
gradus $ecundum proportionem Arithmeticam, $ed $ecundum
Geometricam duc quatuor in octo, fiunt triginta duo, adde qua-
tuor ut prius, $cilicet productum duorum in duo fiunt triginta $ex,
diuide per $ex, exeunt $ex, & quia $ex ad quatuor maiorem habent
proportionem, quàm octo ad $ex ideo hæc medicina erit calida ul-
tra medium quarti gradus, iam ergo uides rationem, & differen-
tiam horum.</P>
<P>Quod $i quis dicat, an debeat attendi Geometrica proportio in
medicamentis, an Arithmetica, re$pondeo, quòd ueri$imilius e$t de
Arithmetica, quia illa proportio etiam quod $it minor quatuor ad
trium, quàm trium ad duo, & multò minor quàm duo ad unum ni-
hilominus longè plus operatur, quia tertius ordo iam incipit e$$e
præter naturam, & uidemus, quod læ$io facta in uulnerato, etiam
quòd $it quadruplo minor, plus nocet longè, quàm in $ano qua-
druplo maior: quia termini præter naturam $unt ualdè angu$ti in
comparatione ad latitudinem naturalem, $icut etiam uidemus in-
tendendis chordis $corpionum, quod ultima pars e$t breuis & ta-
men homini tantam difficultatem adijcit. Notandum e$t etiam,
quòd ob hoc diui$erunt ordines in tres partes, uelut gingiber e$t
calidum in fine tertij ordinis, origanum in medio, cinamomum in
principio, & ita euphorbium e$t calidum in principio quarti gra-
dus, $ed in fine principij piper, in prin cipio principij aqua $epara-
tionis in medio quarti ordinis, $ed oleum chalcanthi factum ea ar-
te, ut exurat paleas, $icut ignis e$t calidum in fine quarti ordinis, &
ita $ufficiet diuidere propter eandem cau$am primum, & $ecun-
<foot>dum</foot>
<p n=>49</p>
dum ordinem in duas tantum partes non ratione latitudinis, quæ
e$t æqualis, uel etiam for$an maior, $ed ratione uarietatis operatio-
nis quæ minus $entitur, & maximè in primo ordine.</P>
<P>Propo$itio quinquage$ima$exta.</P>
<P>Proportio cuiu$uis binomij ad $uum reci$um, uel ei commen-
$um e$t duplicata ei, quæ ad numeri latus.</P>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<P>Cum enim proportionis medium $itlatus numeri eo quod ex bi
nomio in reci$um $uum fit numerus ex his, quæ demon$trata $unt
generaliter in tertio Arithmeticæ de omnibus binomijs cum $uis
<marg>P<I>er</I> 6. P<I>ro-
po$. lib. de</I>
A<I>liza.</I></marg>
reci$is, uel in quadratis lateribus erit <02> numeri media proportione
inter binomium, & $uum reci$um, igitur cum proportio producto-
rum ex binomio in commen$a reci$o $it, ut commen$orum ad reci-
<marg>P<I>er</I> 17. <I>$ex
ti</I> E<I>lement.</I></marg>
$a crunt omnia producta ex binomio in commen$a reci$o $uo <02> nu
<marg>P<I>er</I> 17.
<I>$eptimi
eiu$dem.</I></marg>
meri, igitur proportio binomij ad reci$um $uum, & omnia com-
men$a illi, e$t duplicata ei quæ ad <02> numeri.</P>
<marg>P<I>er</I> 6. <I>deci-
mi</I> E<I>lement:</I></marg>
<P>Propo$itio quinquage$ima$eptima.</P>
<P>Motus rationem ad pondus inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>O$ten$um e$t antea, quod motus naturalis uelocior fit in fine, ac
magis augetur ob aëris motum, ubi uerò hæret e$t ac $i quie$cat.
Eadem autem e$t ratio in motis uiolenter, & naturaliter dum &ecedil;qua-
li impetu feruntur. Sed $ubitò po$t etiam, quod motus æqualiter
augerentur minus tamen cre$cit proportio uiolenti $cilicet ob im-
<fig>
pedimentum naturale. Sed $i uis mouens fuerit
adeò ualida ut proportio incrementi ex aëre $it
maior, quàm impedimentum, & in crementum al
terius mobilis naturaliter moti, motus ille uelo-
cior fiet naturali, ut in $phæris ferreis ex machina
igne excu$sis, quod ergo attinet ad præ$entem
motum ratio e$t eadem. Quicun que ergo motus
minoris grauis cogit de$cendere lancem ex ad-
uer$o proportionem habet eandem ad $uum mo
bile quam habet graue æquiponderans. Sit ergo
ut a ex b, c, d, e, eleuet eodem ordine pondera e, f,
g, h, erit ergo ponderum h, g, f, e, ad $e inuicem, & ad a qualis mo-
tuum ob di$tantiam intentorum. Experimentum ergo docet, quòd
dimidium ponderis æquilibrium facit ex palmo minoris dimidio
motum manife$tum, & ex palmo quarta pars ponderis, ergo $e ha-
bent prope portionem.</P>
<P>Propo$itio quinquage$imaoctaua.</P>
<P>Qu&ecedil; ex alto de$cendunt cur non eandem pro di$tantia motus ra
tionem in libero aëre $eruent con$iderare.</P>
<foot>E Aër</foot>
<p n=>50</p>
<P>Aër in $ublimiore eius regione $emper naturali motu fertur ex
Oriente in Occidentem, $ed & infra uerum minus manife$tè. At ca-
$u plerun <01> contingit, ut moueatur longè uehementius, $eu ad ean-
dem partem, $eu aliam. Qui uerò naturalis e$t, debilis
<fig>
e$t, quoniam in tenui ualde $ub$tantia e$t: nec cõtinuus
$ed in$tar motus aquæ maris fluit ac refluit: aliter ne-
ce$$e e$$et, ut $ingulis horis per mille milliaria procede-
ret, ut $ic ne <01> latere po$$et, quarndoquidem fortuiti mo
tus, qui $unt multo tardiores non latentnos. Nam tardiores illos
e$$e cõ$tat, cum in hora $int pul$us arteriarum, quatuor millia ictuũ
in homine prope temperamentum: $i igitur motus naturalis aëe;ris
e$$et continuus, in hora aër procederet ob ambitum terræ millies
mille pa$$us, igi&ttilde; in ictu pul$us $uperaret pa$$us 250. At experimur
nullum uentum aut procellam $uperare quinquaginta pa$$us, cum
etiam continuus e$$e nunquam $oleat, imò ne po$sit quidem, ita <01>
cum hic multo tardior etiam in $ublimi, dum e$t, nos latere non
queat, multo minus po$$et naturalis latere, $i adeò uelox & in ea-
dem parte a&etilde;ris e$$et at <01> continuus. Præterea tantus impetus nun-
quam à minore motu, aut cau$a $uperaretur, adeò ut $emper flatum
aëris orientalem $entiremus. Quotidie etiam aduenire ad nos aë-
rem ex Illyrico, Macedonia, My$ia, Ponto, Bythínia, Capado cia, Sy
ria, Babylonia, Hyrcanomarí, Bactrianis, Sacís, Scythis, ac Seris, to-
to præterea Oceano orientali tam ua$to, & Gallica noua, terra <03> flo
rida non $olum res e$t admirabilis', & incredibilis, $ed etiam aliena
à $en$u, & ab his, quæ eueniunt. A'$en$u quidem, quoniam nebul&ecedil;,
quæ in aëre mouentur, primùm non in eandem partem $emper mo
uentur: nun quam autem adeò celeriter: at $i aër $ic circumuoluere-
tur, mouerentur & illa, qu&ecedil; in eo continentur, quotidie<03> aërem ex-
periremur & nubilo$um, & madidum propter mare. Nechis, quæ
eueniunt hoc $atis re$pondet, nec nobis id contingeret, ut $i pe$ti-
aliqua in regione no$tra directa $æuiret, ut aër $ingulis diebus la-
be ea infectus ad nos deferretur. Moueri uerò aërem $emper mani-
fe$ti$simum e$t tum experimento, tum ratione: ratione $iquidem,
quod aqua & cœlum naturaliter perpetuò mouentur, quare etiam
aër. Experimento, quòd ubi hiant o$tia, & ianuæ, ibi perpetuus $en-
titur flatus. Ergo $i a pondus de$cendat in c, ex alto fertur rectà, $ed
$i ex $ublimi transferetur in b, & indirecta, & ad latus, unde ex
hoc $equitur.</P>
<P>Propo$itio quin quage$imanona.</P>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<P>Omne mobile motum duobus motibus non ad idem tendenti-
bus, utro <01> $eor$um tardius mouetur $imili motu.</P>
<foot>Sit a</foot>
<p n=>51</p>
<P>Sit a mobile, quod moueatur per a b c impul$u uenti aut uiolen-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<fig>
to cum naturali coniuncto: & $it terminus naturalis e,
<marg>P<I>er</I> 20. <I>bu-ius.</I></marg>
& uiolenti d: uter <01> in directo c, dico, quod tardius per-
ueniet ad c quam d, uel e. De e manife$tum e$t, quoniam
motus aëris, qui intendit motum a, diuíditur in partem,
quæ iuuat motum ad d, & partem, quæ mouetur ad e,
igitur fit minor adiectio. Et etiam quia a c e$t longior
a e ex diffinitione rectæ: quare tardius perueniet ad c quàm ad e du
plici ratione. Dico etiam, quod tardius ad c quàm d. Quia enim
uis, quæ fert ad d repugnat ei, quæ fert ad e, & uis, quæ fert ad e, re-
pugnat ei quæ fert ad d, igitur tardius perueniet ad c, quàm d. Nec
potes dicere, quòd uis, quæ fert ad c adiuuet ad motum è regione
d, nam cum unus motus non po$sit perfici $ine altero, igitur quan-
tum motus ad eretar dabit motum ad d, tanto motus a c erit tardí-
or ab$olutè motu ad d. Verum etiam e$t, quod c e breuior erit a d,
quia motus ad e $emper contrahit motum ad d naturalis uiolen-
rum ob cau$am dictam. Vtrùm uerò motus ad c ab$olutè $it tardi-
or, quàm ad d, non $uppo$ito, quod c e $it æqualis a d, $ed minor,
nunc non e$t locus determinandi.</P>
<P>Ex hoc patet, quod motus æquidi$tantis mobilis, finis e$t mini-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
mus omnium: quoniam mobile qua$i quie$cit in illo. Velut $i a mo
ueatur ad b, inde deflectat ad c minimus motus erit in b, ubi incipit
naturalis: nam cum incipiat, erit debili$simus, quia non
<fig>
e$t motus actu: uiolentus autem æqualis e$t naturali,
dum minimus e$t: ergo cum ex di$tantia medij palmi
duplicetur, naturalis erit motus in b minimus, ni$i b c
<marg>P<I>er</I> 57. <I>bu-ius.</I></marg>
e$$et minor dimidio palmi. Et etiam quòd e$$et minor, quia ut di-
ctum e$t, uter <01> $imul iunctus e$t æqualis uni eorum non impedito
uel minor.</P>
<P>Propo$itio $exage$ima.</P>
<P>Omne mobile motu naturali de$cendens parte, de$cendit gra-
uiore $ecundum grauitatis centrum.</P>
<P>Sit a mobile, grauitatis centrum b, cuius pars ei pro-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<fig>
ximior $it c a, dico quod de$cendat motu naturali c a,
parte tangendo terram, quia enim totum a non pote$t
de$cendere ad centrum de$cendit b, quia eadem e$t na-
tura partis, & totius: totius autem terræ natura e$t ut
centrum, totius $it centrum grauitatis, quare b breuiore uia fertur
<marg>P<I>er</I> 23. <I>bu-ius.</I></marg>
ad centrum, ergo per c d proximiorem partem ip$i b. Sed pars pro-
ximior nece$$ariò e$t grauior, quia centrum e$t in medio grauita-
<foot>E 2 tis,</foot>
<p n=>52</p>
tis, ergo omne mobile de$cendit motu naturali per $ui grauio-
rem partem.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Ex hoc $equitur, quòd graue habens partes inæquales, $eu $ub-
$tantia, $cu forma, $i ita excutiatur, ut pars grauior nõ $it, infrà opor-
tet, ut circumuoluatur.</P>
<P>Propo$itio $exage$imaprima.</P>
<P>Proportionem ictus ad pondus rei, & di$tantiam generaliter
con$iderare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Dictum e$t $uperius de proportione de$cenfus ad grauitatem:
<marg>P<I>ropo$.</I> 57.</marg>
& quòd $i graue de$cendat ex alto impeditur à motu aëris: & quòd
<marg>P<I>ropo$.</I> 58.</marg>
res, quæ mouetur duobus motibus non ad idem tendentibus tar-
<marg>P<I>ropo$.</I> 59.</marg>
dius mouetur, quam motus $it unu$qui$que. Demùm quòd graue
<marg>P<I>ropo$.</I> 60.</marg>
de$cendens circumuoluitur, $i pars grauior non $it, deor$um: & an-
tea ubi egimus de proportione motus ad grauitatem, quod h&ecedil;cin-
telligenda $unt prout po$$unt intelligi de motu etiam uiolento.
Cum ergo uideamus duo hæc, quodres acuta frangit caput, $i ex
alto incidat, $ed non concutit, lata concutit, $ed non diuidit, premit
tamen carnem $ubiectam: nec hoc accidit merito ponderis: nam ut
ui$um e$t $emilibra lapidis, uel ferri cadens ex alto contundit caput,
& uulnerat, & non eleuat in æquilibrio, ut potè ex alto cadens loco
per $patium octo palmorum pondus $exdecim librarum, & a pon-
dere $exdecim librarum homo non læditur, nec uulneratur, ergo id
accidit ex alia cau$a, & e$t, quod aër interceptus inter graue, & cor-
pus no$trum non pote$t dilabi tam citò, ergo ne corpus penetret,
cogitur ingredi locum, cui e$t obuius, at <01> ita concutere, & diuide-
re. Ex quibus $equuntur omnia hæc.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Primùm $i quod incidit, molle fuerit, non uulneratur caput, uel
pars $ubiecta, quia re$ilit in corpus molle: nec à molli, quia retundi-
tur, pote$t uulnerari: ergo nullo modo. Sed neque adeò concutit,
quia aër rediens, & receptus in molli corpore pro parte, non uer-
berat locum.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Secundum in omni colli$ione $eu duri, $eu mollis, $ed magis du-
ri, dilabuntur partes aëris ad latera, ideo quod partes mediæ pre-
muntur. Et quanto motus e$t tardior.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Tertium in motu uelo ci fit maior ictus & læ$io, & maiora omnia
quam proproportione motus: quoniam ob uelo citat&etilde; minus diffu
git aëris. Et ideò fiunt grauia uulnera ex modico incremento uelo-
citatis motus.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Quartum res latæ, duræ concutiunt, & non uulnerant ni$i $int
cum magno impetu, aut ualde graues: acutæ autem uulnerant, $ed
non concutiunt, ni$i parti acutæ lata $uccedat.</P>
<foot>Quintum</foot>
<p n=>53</p>
<P>Quintum, corpora dura magis læduntur à latis, quia $cindun-
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
tur, mollia autem à tenuibus, quia diuiduntur: nam mollitie excipi-
unt aërem, & ita à latis non adeò patiuntur, & etiam, quoniam nec
franguntur, nec $ponte $cinduntur.</P>
<P>Sextum, etiam in duris penetrat aliquid aëris, aliter tota frange-
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
rentur. Con$tat etiam omnem lapidem marmoreum, aut $iliceum
e$$e poro$um, ut dicunt. Et etiam quia recipitur in mollioribus, er-
go etiam in durioribus & in duri$simis: quod $i non recipiant ut ui
trum, & gemmæ tota franguntur. Hoc etiam uidetur $en$i$$e Philo
$ophus, qui uult, quòd res franguntur ob poros.</P>
<P>Propo$itio $exage$ima$ecunda.</P>
<P>Proportionem motoris in plano ad motorem, qui eleuat pon-
dus iuxta id, quod mouet inuenire.</P>
<P>Con$titutum e$t inuenire proportionem uirium, quæ eleuant
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
pondus ad uires, quæ ip$um in plano leui trahere po$-
<fig>
$unt. Vires enim, quæ eleuant pondus a $unt eædem
puta b, quæ uero trahunt c, $ed hæ po$$unt uariari, nam
quanto uinculum altius, aut decliuis locus magis, aut
a$pera $uperficies $eu ponderis $eu plani, tanto difficilius trahitur,
& maiores expo$cit uires: hoc enim experimento deprehenditur.
Duæ uerò po$tremæ cau$æ etiam per $e per$picuæ $unt, nec demon
$tratione indigent: ni$i quod $i planum $it duri$simum, ac leui$si-
mum, quod e$t a$perum facilius trahitur, quia minore $ui parte pla-
num tangit. Nos præterea $upponimus planum æquale undique
leue durum, & corpus undique $ibi $imile, id e$t cubi formam refe-
rens, & uinculum in imo: Demon$trare igitur expedit primum,
quòd in hoc ca$u b e$t duplum ad c. Quia enim cum a eleuatur b ui
res $uperant motum ob$curum $eu occultum, $eu pondus a, & $i
permitteretur $ine eo, quod $u$tineret, de$cenderet iuxta pondus
$uum, quod $it d: nititur ergo per pondus d, at quia trahendo duci-
tur circa medium, nam plana $uperficies parum differt à rotunda
terræ ob terræ magnitudinem, media erit repugnantia: in eo enim
quod mouetur, grauitatem habet d in eo, quod nõ remouetur nul-
lam habet grauitatem, mediam ergo retinet grauitatem, quare ut b
ad d, ita c ad dimidium, grauitatis a, at b e$t primum, quod pote$t
mouere d, igitur c e$t primum, quod pote$t mouere dimidium a, ut
ergo dimidium a ad d, ita c ad b, e$t igitur c dimidium b.</P>
<P>Propo$itio $exage$imatertia.</P>
<P>Omne graue quanto proximius alligatum plano, tanto faci-
lius trahitur.</P>
<foot>E 3 Sit</foot>
<p n=>54</p>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit graue a b c alligatum funibus in d ef, dico,
<fig>
quòd facilius trahetur per fe quàm c b & e b, quàm
d a, quia $i debet trahi ex a uel b, aut cadet, aut uis ex
a & b communicabitur c, igitur erit minor quàm in
c, & hoc naturaliter. Mathematica autem ratione quoniam ex a tra-
hetur c, qua$i per lineam d c: at attractio recta e$t ualidior obliqua-
igitur attractio c per d e$t debilior, quàm per f. Rur$us $i e trahitur
per d cùm a peruenerit in d, erit perinde ac, $i attractum e$$et per li-
neam c d, $ed linea c d mouet duobus motibus, uno ad $uperiora, al
<marg>P<I>er</I> 59. <I>bu-ius.</I></marg>
tero ad latus, ergo lentius ad f per d c quàm f c, quod erat demon-
$trandum.</P>
<P>Propo$itio $exage$imaquarta.</P>
<P>Omne mobile quanto latius tanto tardius mouetur in plano.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Demon$tratum e$t $uperius quòd $i mobile $it $ph&ecedil;ricum, & tan
<marg>P<I>ropo$.</I> 40.</marg>
gat planum in puncto, quòd mouetur per quancunque uim aptam
diuidere medium. Quia ergo $i tangat in puncto facillime moue-
tur, $i in linea paulò difficilius, $i per $uperficiem adhuc difficilius,
igitur cum fiat attritio in motu quanto latius e$t mobile eo diffici-
lius mouetur. Sit ergo mobile a b, quod moueatur uer$us c, & quia
pars b $eu dimidium mouetur iuxta rationem me-
<fig>
dietatis, & pars a eodem modo, ergo conduplicata
difficultate, quia medietas b impedit medietatem, a
quanto latius e$t, & longius a b, tanto difficilius
<marg>P<I>ropo$.</I> 62</marg>
mouetur. Et hoc intelligitur de corporibus ualde
latis propter dicta $uperius.</P>
<P>Propo$itio $exage$imaquinta.</P>
<P>Proportionem duorum mobilium inter $e cum auxilio medij
inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Graue de$cendit naturaliter quatuor cau$is: prima e$t ponderis
magnitudo, unde quod grauius e$t celerius de$cendit. Secundò ob
paruam medij repugnantiam, ideo quanto medium e$t rarius &
mobile tenuius, tanto celerius de$cendit: contrà uerò tardius. Ter-
tiò ob impetum aëris $ub $equentis: & ideo mobile quòd ex eadem
<marg>P<I>ropo$.</I> 30.</marg>
materia con$tat, $emper de$cendit parte acutiore $uprapo$ita, ne aër
cogatur celerius ferri: & quanto diutius de$cendit, tanto magis in-
tenditur motus, at <01> augetur, ut $uprà de claratum e$t. Quarta cau$a
e$t, quod non impediatur ab aëre tran$uerfim moto, et à latere: ideo
leuia mobilia & magna non $olum lentius de$cendunt, quoniam
<marg>P<I>ropo$.</I> 59.</marg>
paruam uim habeant, & magnam repugnantiam, $ed quia tran$uer
<marg>P<I>ropo$.</I> 62.</marg>
$im impul$a minus mouentur motu recto, ut $upra ui$um e$t. Por-
<foot>rò pro-</foot>
<p n=>55</p>
rò proportio ratione de$cen$us aucta, declarata e$t paulo antè,
quare cum medium $upponatur eiu$dem generis, & figura non
eiu$modi, nec leuitas, ut pror$us non impellat, nedum ut moueat la
tus: figura quo que eadem ambobus relinquetur proportio motus
ad motum producta ex proportionibus incrementi in proportio-
<marg>P<I>er</I> 42. <I>ha-rum.</I></marg>
nem ponderum, & iam habuimus proportionem incrementi ex
<marg>I<I>n</I> 61. <I>ha-rum.</I></marg>
motu aëris, ergo proportio unius motus producti ad alteram no-
ta erit.</P>
<P>Propo$itio $exage$ima$exta.</P>
<P>Proportionem laterum eptagoni, & $ubten$arum con$iderare,
& quæ à reflexa proportione pendent.</P>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<P>Sit eptagonus a b d f g e c, & $ubten$æ b
<fig>
c, & f e duobus lateribus, tribus autem d c
d e, & erunt (quia intelligitur eptagono æ-
quilatero, & æquiangulo) b c & e finuicem
æquales: & item d c, & d e æquales: & $i du-
cerentur b e & c f inuicem æquales: & ad a c
& d g: quare cum angulus cb d con$i$tatin
<marg>P<I>er</I> 28. & 29. <I>tertij</I> E<I>lem.</I></marg>
arcu c e g f d, & angulus b d c in arcu b a c,
& angulus b c d in arcu b d; & $it arcus c e g
f d duplus arcus b a c, quia c e g f d $ubtendit quatuor latera epta-
goni, & arcus b a c duo, & ita arcus etiam b a c duplus arcui b d
erit angulus d b e duplus angulo c d b, & angulus c d b duplus an-
<marg>P<I>er ult. $exti</I> E<I>lem.</I></marg>
gulo b c d, quare per demon$trata à nobis proportio laterum b d,
b c, c d, e$t reflexa, igitur proportio d b & b c, ad d c, ut d e ad b c, &
<marg>D<I>e</I> S<I>uh. lib.</I> 16.</marg>
rur$us proportio b d & d e ad b e, ut b e ad b d. Quare $uppo$ita
d b 1, b c 1 po$itione, erit d c latus 1 quad. p: 1 po$itione. Proportio
<marg>P<I>er</I> 20. <I>diff.</I></marg>
uerò, ut dictum e$t b d & d c ad b c, id e$t p: <02> 1 quad. p: 1 pos, ad 1
pos e$t, ut b c ad b d, id e$t 1 pos ad 1, igitur 1 p: <02> v: 1 quad. p: 1 pos
æquatur quadrato b c, quod e$t 1 quad. igitur 1 quad. m: 1 æquatur
<02> v: 1 quad. p: 1 pos quare 1 quad. quad. m: 2, quad. p: 1 æquatur 1
quad. p: 1 pos. Additis igitur communiter quatuor quadratis fient
1 quad. quad. p: 2 quad. p: 1 æqualia 5 quad. p: 1 pos. Et reducitur ad
1 cu. æqualem 1 3/4 pos p: 7/8.</P>
<P>Aliter $tante $uppo$itione ut Ludouicus Ferrarius ex demon-
$tratis à Ptolemæo quadratum b c, & e$t 1 quad e$t æquale produ-
cto ex b d in c e, quod e$t 1, & a b in d c, igitur detracto 1, produ-
cto b d in c e ex 1 quad. quadrato c b, relinquitur productum ex
a b in c d 1 quad. m: 1, ergo diui$o co per a b, quæ e$t 1, relinquitur
c d 1 quad. m: 1 huius uerò quadratum per ead&etilde; demon$trata à Pto-
<foot>E 4 lemæo,</foot>
<p n=>56</p>
lemæo, &ecedil;quale e$t rectangulis ex b c in de, & b d in c e, igitur 1 quad.
quad. m: 2 quad. p: 1 e$t æquale 1 producto b d in c e, & producto b
cin d e detracto 1 communi, relin quetur productum ex b c in d e 1
quad. quad. m: 2 quad. igitur diui$o 1 quad. quad. m: 2 quad. per 1
pos, exit 1 cu. m: 2 pos æqualia d e, & d e e$t æqualis d c, ut ab initio
demon$trauimus, & d c fuit 1 quad. m: 1, igitur 1 cu. m: 2 æquantur 1
quad. m: 1, igitur 1 cu. p: 1 æquantur 1 quad. p: 2 pos.</P>
<P>Aliter ut Pacciolus, concurrant latera eptagoni b d, c e in a, & du
cantur perpendiculares a f, d g & c d, & $it c e i ca 1 pos, & quia ut
<marg>P<I>er</I> 42. <I>pri mi</I> E<I>lement.</I></marg>
a e ad a c, ita d e ad b c, erit ergo b c (1 posp: 1)/(1 pos) quare b f (1/2 pos 1/2,)/(2 pos) &
quia d h e$t dimidium d e, erit d h, & g f
<fig>
1/2, cum ergo b f $it (1/2 pos p: 1/2)/pos erit ergo di-
ui$a 1/2 pos per 1 pos, & exit 1/2, b f 1/2p: 1/2/pos
igitur detracta g f relinquetur g b 1/2/(1 pos).
& eius quadratum 1/4/(1 quad). igitur cum qua-
dratum b d $it 1, erit quadratum g d 1 m:
2/4/(2 quad)g c autem e$t compo$ita ex e f, quæ
e$t 1/2p: 1/2/(1 pos) & f g quæ e$t 1/2, erit igitur c
g 1 p: 1/2/(1 pos), & quadratũ eius 1 p: 1/pos e$t 1/4/(1 quad.) quare &qtilde;dratũ e d &qring;d e$t
<marg>P<I>er</I> 32. <I>pri mi</I> E<I>lement.</I></marg>
compo$itum ex quadratis c g & g d erit 2 p: 1/pos c a uerò e$t æqua-
lis c d, quia, ut demon$tratum e$t angulus d c e e$t $eptima pars
duorum rectorum, & angulus b c e ei duplus, quare cum c f a $it re-
ctus erit ex trige$ima$ecunda primi Elementorum f a c tres $epti-
mæ unius recti, ergo d a c 6/7 unius recti, d c a uerò 2/7 unius recti, quia
<marg>P<I>er $extam eiu$dem.</I></marg>
e$t $eptima pars duorum rectorum, ígitur a d c e$t 6/7 unius recti: igi-
tur c d e$t æqualis c a, ergo quadratum quadrato: igitur 1 quad. p: 2
pos p: 1, æquatur 2 p: 1/(1 pos) igitur 1 quad. p: 2 pos, æquantur 1 p: 1/(1 pos).
Quare 1 cub. p: 2 quad. æquatur 1 pos p: 1.
<fig>
Sit etiam angulus a duplus b, & b c dupla
b a: & erit per eadem proportio a c, & a b
ad c b, ut c b ad c a. Ponamus ergo ab 1, erit
b c 2, & a c 1 pos, & a c, a b 1 pos p: 1, & du-
cta in a c fit 1 quad. p: 1 pos, & hoc e$t æquale 4 quadrato b c per re-
flexæ proportionis diffinitionem. Igitur a c e$t <02> 4 1/4 m: 1/2, & ita
de alijs.</P>
<P>Propo$itio $exage$ima$eptima.</P>
<P>Si fuerint aliquot quantitates ab una quantitate, aliæ<03> totidem
<foot>ab eadem</foot>
<p n=>57</p>
ab eadem analo gæ, erit proportio tertiæ unius ordinis ad tertiam
alterius, ut $ecundæ ad $ecundam duplicata, & quartæ ad quartam
triplicata, quintæ ad quintam quadruplicata, at <01> $ic de alijs.</P>
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
<P>Sint quantitates b c d e f, ab a in continua proportio-
<table>
<row><col></col><col>a</col><col></col></row>
<row><col>b</col><col></col><col>g</col></row>
<row><col>c</col><col></col><col>h</col></row>
<row><col>d</col><col></col><col>k</col></row>
<row><col>e</col><col></col><col>l</col></row>
<row><col>f</col><col></col><col>m</col></row>
<row><col></col><col>n</col><col></col></row>
<row><col>o</col><col></col><col>t</col></row>
<row><col>p</col><col><G>a</G></col><col>u</col></row>
<row><col>q</col><col><G>b g</G></col><col>x</col></row>
<row><col>z</col><col></col><col>y</col></row>
<row><col>s</col><col></col><col>z</col></row>
</table>
ne, & aliæ totidem g h k l m, dico quod proportio h c e$t
duplicata ei, quæ e$t g ad b, & k ad d triplicata, & l ad e
quadruplicata, & $ic deinceps, $umatur enim unum, & ab
<marg>P<I>er</I> 8. <I>non<*></I> E<I>le.</I> & 22. & 23. <I>octa ui.</I></marg>
co o p q r s in proportione b ad a, & tuxyz in propor-
tione g ad a, erit igitur p quadratum o, & u quadratum t,
& q cubus o, & x cubus t, & ita de alijs: ergo proportio
<marg>V<I>ide per</I> 23. P<I>etit.</I></marg>
n ad p duplicata ei, quæ t ad o, & x ad q triplicata ei, quæt
ad o, & pote$t etiam demon$trari generaliter ultra qua-
<marg>P<I>er</I> 23. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I> & 33. <I>undeci-mi.</I></marg>
dratum, & cubum: nam $i ducatur t in o, fiat <03> <G>a</G> erit, pro-
portio enim ad <G>a</G> eadem quæ t ad o, & proportio a ad p,
ut t ad o, igitur per diffinitionem proportionis duplicatæ
<marg>P<I>er</I> 17. <I>$e-ptimi</I> E<I>lem.</I></marg>
po$itam in quinto libro ab Euclide u ad p duplicata ei,
quæ t ad o, & $imiliter ex t in p fit <G>b</G> ex o in u, <G>g</G> erunt<03>
<marg>D<I>iff.</I> 10.</marg>
q <G>b g</G> x in continua proportione per eandem. Quia ergo propor-
tio q ad <G>b</G> e$t ut o ad t, patet, quod x ad q e$t triplicata ei, quæ e$t t ad
o, & ita de reliquis, cum ergo proportio p ad o $it, ut e ad b, & o ad
<marg>P<I>er</I> 24. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
n, ut b ad a, & n ad t, ut a ad g, & t ad u, ut g ad h, $equitur ut $it t ad a,
ut g ad b, & u ad p, ut h ad c, igitur cum $it ut u ad p duplicata ei, qu&ecedil;
e$t t ad o erit h ad e, duplicata ei quæ e$t g ad b, & ita de reliquis, &
no&ngrave; refert, $eu dicas u ad p duplicatam ei, quæ e$t t ad o, $eu dicas p
<marg>P<I>er</I> 10 <I>diff. quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
ad u duplicatam ei, quæ e$t o ad t. Aliter & euidentius in duabus
$oleo demon$trare: cum enim $it e & h duplicata ei quæ e$t b & g
ad a, ut $upra, & quadrati b ad quadratum a, & quadrati g ad qua-
<marg>P<I>er</I> 20. <I>$ex ti</I> E<I>lement.</I></marg>
dratum a duplicata his quæ b & g ad a erunt b & g quadratorum
ad quadratum a, uelut c & h ad a. Et conuertendo qua-
<table>
<row><col>&qtilde;d.</col><col>b</col><col>e</col></row>
<row><col>&qtilde;d.</col><col>a</col><col>a</col></row>
<row><col>&qtilde;d.</col><col>g</col><col>h</col></row>
</table>
drati a ad quadratum g, ut a ad h, con$tituantur ergo
hic & erit quadrati b ad quadratũ g, ita c ad h: $ed qua-
drati b ad quadratum g, ut b ad g proportio duplicata
igitur e ad h, ut b ad g duplicata.</P>
<P>Propo$itio $exage$imaoctaua, collectorum ab Euclide
& Archimede.</P>
<P>Omnis cylindrus cono habenti ba$im, & altitudinem eandem
<marg>1</marg>
triplus e$t. Omnis cylindrus $phæræ habenti eundem magnum
<marg>2</marg>
circulum, & altitudinem $exquialter e$t. Omnis $phæra dupla e$t
<marg>3</marg>
cono, cuius ba$is e$t eius circulus magnus, & altitudo eadem, quæ
$phæræ ip$ius. Omnis $uperficies $phæræ quadrupla e$t maiori
<marg>4</marg>
$uo circulo. Superficies portionis $phæræ e$t æqualis circulo, cu
<marg>5</marg>
<foot>ius</foot>
<p n=>58</p>
ius $emidiameter e$t linea ducta à uertice portionis ad finem illius.</P>
<P>Quilibet $ector $phæræ æqualis e$t cono, cuius ba$is e$t circu-
lus æqualis $uperficiei eiu$dem portionis, altitudo uerò $phæræ $e-
midiameter. Proportio $phæræ ad $ectorem datum, e$t duplica-
ta ei, qu&ecedil; e$t dimetientis ad lineam, quæ à uertice portionis ad lim-
bum. Cum enim $phæra $it æqualis cono, cuius ba$is e$t maior cir-
culus, altitudo uerò dupla dimetienti per tertiam harum, quæ hic
<marg>P<I>er</I> 14. & 15. <I>duodeci mi</I> E<I>le.</I> E<I>ucl.</I></marg>
proponuntur: erit $phæra æqualis cono ba$im habenti circulum,
cuius $emidiameter $it æqualis diametro $phæræ, altitudo uerò $e-
midiameter $phæræ. At per $extam harum $ector $phæræ e$t æqua-
lis cono habenti altitudinem $cmidiametrum $phær&ecedil;, ba$im autem
<marg>P<I>er</I> 11. <I>duo decimi</I> E<I>le.</I></marg>
ip$am portionis $uperficiem: igitur proportio $phæræ ad $ecto-
rem, uelut circuli cuius diameter e$t dupla dimetienti $phæræ ad
círculum æqualem $uperficiei portionis: at $uperficies portionis
per quintam harum e$t æqualis circulo, cuius $emidiameter e$t li-
nea à uertice portionis ad limbum eiu$dem: ergo proportio $phæ-
ræ ad $uum $ectorem e$t uelut circuli, cuius dimetiens e$t duplus di
metienti $phæræ, aut $emidimetiens e$t æqualis dimetienti $phæræ
ad circulum, cuius $emidimetiens e$t linea à uertice portionis ad
limbum. Sed proportio talium circulorum e$t duplicata propor-
<marg>P<I>er</I> 2. <I>duode cimi</I>, & 20. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg>
tioni $emidimetientium, igitur proportio $phæræ ad $uum $ecto-
rem e$t ueluti dimetientis $phæræ ad lineam, quæ á uertice portio-
<marg>8</marg>
nis ad limbum duplicata. Cuicunque portioni $phæræ conus ille
habetur æqualis, qui ba$im hab eat eandem cum portione, altitudi-
nem uerò lineam rectam, quæ ad altitudinem portionis eandem
habeat proportionem, quam $emidiametros $phæræ unà cum alti-
tudine reliquæ portionis habet ad eandem reliquæ portionis alti-
<marg>9</marg>
tudinem. Earum $phæræ portionum, quæ æqualibus $uperfi-
<marg>10</marg>
ciebus continentur medietas $phæræ maxima exi$tit. Proportio
$uperficiei $phæræ plano diui$æ ad reliquæ portionis $uperficiem,
& re$idui $ectoris ad $ectorem, e$t uelut quadratorum duarum li-
nearum quæ à uerticulis $ectionum ad communem $uperficiem
plani portiones $ecantis de$cendunt: nam $ectorem $phæræ, dico
<marg>P<I>er</I> 22. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
corpus compo$itum ex portione, & cono illo. Ille idem etiam defi-
nit Ellip$im coni a cuti anguli $ectionem, quam dicit etiam fieri $e-
<marg>P<I>er</I> 20. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I></marg>
cto cylindro per planum non ad angulos rectos $tante $uper cylin-
dri axem. Ab hac igitur coni acuti anguli $ectione $eu ellip$i cir-
<marg>P<I>er</I> 11. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
cumacta figura $phæroides corpus quod ba$im rotundam habet,
uocat: id <01> duplex ob longum, quod fit diametro longiore quie-
$cente, & prolatum quod fit quie$cente breuiore: $icut reliquam $ci
licet parabolen aut hyperbolen, quia inferius non e$t terminata,
<foot>in cono</foot>
<p n=>59</p>
in cono rectangulo uocat rectanguli coni $ectionem: ex qua cir-
cumacta fit conoidale, quia planam habet ba$im. Si ergo in ea-
<marg>11</marg>
dem rectanguli coni $ectione à plano portiones æquales habentes
diametros ab$cindantur, illæ portiones erunt æquales. Et triangu-
li in ei$dem portionibus in$cripti æquales erunt. Diametrum uo-
cat in quacunqũe portione lineam, quæ omnes lineas ba$i æquidi-
$tantes per æqualia diuidit. Omnis circuli cuius diameter e$t ma
<marg>12</marg>
ior diameter ellip$is proportio ad ellip$im e$t uelut directè diame-
tri ellip$is ad diametrum tran$uer$am. Ex quo patet quod pro-
<marg>13</marg>
portio cuiuslibet circuli ad ellip$im e$t uelut quadrati $uæ diame-
tri ad rectangulum recta, & tran$uer$a diametro ellip$is compre-
hen$um. Ex hoc rur$us $equitur quod ellip$is ad ellip$im, ut re-
<marg>14</marg>
ctanguli ex diametris unius ad rectangulum ex diametris alterius.</P>
<P>Si conoides & $phæroides $ecet plano æquidi$tanti axi fiet $e-
<marg>15</marg>
ctio conoidalis $imilis ei à qua conoides $eu $phæroides de$cri-
ptum e$t. Sin autem $upra axem plano ad perpendiculum erecto
$ectio circulus erit. Et $i $ecentur obliquè fiet ellip$is, modo omnia
latera comprehendat. Omnis portio conoidalis rectanguli, quam
<marg>16</marg>
planum $ecat, $exquialtera e$t, cono qui ba$im & axem eandem ha-
bet. Ex quo patet, quod $i portio conoidalis rectanguli & $phæ-
<marg>17</marg>
ræ medietas eandem ba$im habeant & axem eundem, medietas
$phæræ $exquitertia erit conoidali portioni. Et $i eiu$dem rectan
<marg>18</marg>
guli conoidalis portiones ab$cin dantur erit portionum propor-
tio uelut quadratorum axium. Cuiuslibet $phæroidis pars pla-
<marg>19</marg>
no per centrum ab$ci$$a dupla e$t cono ba$im & axem eadem ha-
benti. Si autem non $uper centrum erit proportio earum ad co-
<marg>20</marg>
num ba$im, & axem eandem habentem uelut coniunctæ ex axe al-
terius partis & dimidio axis $phæroidis ad axem alterius partis.</P>
<P>Demum proportio partis conoidis obtu$i anguli plano ab$ci$-
<marg>21</marg>
$æ ad conum, ba$im & axem eadem habentem e$t ueluti lineæ, com
po$itæ ex axe portionis & triplo adiectæ ad compo$itum ex axe
portionis & duplo eiu$dem adiectæ. Adiectam uocat hyperbolis
tran$uer$am. Omnis cylindrus cono triplus e$t habenti eandem
<marg>22</marg>
ba$im & altitudinem. Omnes cylindri coni $phæræ $unt in pro-
<marg>23</marg>
portione corporum $imilium planis $uperficiebus contentarum.</P>
<P>Propo$itio $exage$imanona, collectorum ex quatuor libris
Apollonij Pergei & Q. Sereni.</P>
<P>Si fuerit linea bifariam diui$a, ei<03> in longum alia addita, & rur-
<marg>1</marg>
$us alia detracta, fuerit<03> totius cum addita ad eam, quæ addita e$t
ueluti re$idui ad detractam erit lineæ com-
<fig>
po$itæ ex addita, & dimidia ad dimidiam
<foot>ip$am</foot>
<p n=>60</p>
ip$am uelut dimidiæ ad differentiam eius, & detractæ. Rur$us<03> li-
neæ compo$itæ ex dimidio & re$iduo dimidiæ ac detractæ ad li-
neam compo$itam ex addita & detracta ut re$idui dimidiæ, & de-
tractæ ad partem detractam. Et rur$us totius compo$itæ ad com-
po$itam ex dimidia & addita, uelut compo$itæ ex addita, & diffe-
rentia ad ip$am additam. Velut $it propo$ita a b per æqualia diui$a
in c, addita b d, & detracta b e, $it proportio a d ad d b, ut a e ad e b,
dico e$$e, ut c d ad cb, ita ab ad c e. Et ut a e ad e d ut c e ad e b. Etite-
<marg>2</marg>
rum ut a d ad c d uelut e d ad d b. In parabole proportio partium
diametri ad uerticem terminantium duplicata e$t proportioni li-
nearum ab ei$dem punctis ordinatim ductarum ad ip$am $ectio-
<marg>3</marg>
nem. In hyperbole autem & ellip$i & circuli circumferentia erit
quadratorum linearum ordinatim ductarum inter $e uelut rectan-
<marg>4</marg>
gulorum partium diametri ad eadem puncta terminantium. Et in
ei$dem $i à puncto peripheriæ contingens ad diametrum ducatur,
& ab eodem ordinata, erit ut partis diametri intercept&ecedil; inter extre-
mum, & ordinatam ad partem inter ordinatam & peripheriam, ue-
lut interceptæ inter extremum & contingentem ad interceptam
<marg>5</marg>
exterius inter finem contingentis & peripheriam. Et in ei$dem
quadratum $emidiametri æquale e$$e rectangulo ex intercepta in-
ter centrum & ca$um contingentis in inter ceptam inter centrum &
<marg>6</marg>
ca$um ordinatæ à loco contactus productæ. Si parabolen recta
linea contingens ad diametrum perueniat, $umpto<03> puncto alio
in $ectione æquidi$tans ab eo ducatur contingenti: & ab utroque
etiam ad diametrum ordinatæ, demum à uertice æquidi$tans illis,
& à priore puncto diametro æquidi$tans donec concurrant, erit
triangulus ex ordinata, & æquidi$tante à $ecundo puncto, & dia-
metri parte contentus rectangulo ex prima ordinata & parte dia-
metri inter uerticem & $ecundam ordinatam contento æqualis.</P>
<marg>7</marg>
<P>Si in parabole contingente ad diametrum ducta ex alio puncto
ei æquidi$tans ducatur ex ip$a $ectione, ubi iterum $ecat $ectione<*>
intercepta per æqualia diuidetur linea à puncto contingentis dia-
<marg>8</marg>
metro æquidi$tanti ducta. Idem uerò fermè continget ducta li-
nea à centro in locum contactus, $ecabit enim omnes contingenti
<marg>9</marg>
æquidi$tantes in hyperbole, ellip$i at <01> circulo. E$t autem omne
centrum in medio diametri: diameter autem in circulo & ellip$i il-
las per æqualia diuidit intus enim e$t: in contrapo$itis inter uerti-
cem, & uerticem po$ita e$t exterius utriu$que contingenti ad per-
pendiculum in$i$tens. In hyperbole autem exterius etiam adiacet,
ut in contrapo$itis eadem & tran$uer$a uo catur: cuius terminus e$t
punctus concur$us cum latere trianguli, qui conum per axem diui-
<foot>dit:</foot>
<p n=>61</p>
dit: linea uerò tangens uerticem hyperbolis ad quam ordinatæ
<marg>10</marg>
po$$unt, Recta appellabitur. Datarecta linea po$itione, alia<03> ma
gnitudine data & angülo parabolen, & hyperbolen, & ellip$im,
& contrapo$itas circa datam po$itione tanquàm diametrum de-
$cribere tanquàm cono erecto, ut angulus ad uerticem $ectionis
comprehen$us $it, & per rectam rectangulum æquale comprehen-
datur quadrato datæ lineæ magnitudine. Si linea in duas partes
<marg>11</marg>
diuidatur, ei<03> utrinque æquales lineæ adiun-
<fig>
gantur erit rectangulum ex partibus totius æ-
quale rectangulis partium prioris lineæ, & ex
priore linea cum una adiecta in eam, quæ adiecta e$t. Si hyperbo
<marg>12</marg>
len recta linea in uertice contingat, & utrinque ab$cindatur, quan-
tum e$t, quod pote$t in quartam partem rectanguli ex diametro
tran$uer$a hyperbolis, quæ exterius adiacetin eam, quæ recta dici-
tur, ad quam, quæ ordinatim ducuntur, $unt æquidi$tantes lineæ,
quæ à $ectionis centro ad terminos contingentis ducuntur $emper
ip$i $ectioni magis appropinquabunt, nec unquam conuenient: &
ob id a$ymptoton appellantur. Nec ullæ aliæ intra angulũ illum
<marg>13</marg>
inueniri poterunt. Vnde etiam intra datũ angulum de$cribere do-
cemur hyperbolen cuius anguli latera $int a$ymptota. A$ymptotis
<marg>14</marg>
duabus propo$itis uni hyperboli, in finitas alías eidem a$ymptotas
inuenire. Duabus rectis a$ymptotis infinitas $ubijci po$$e hyperbo
les illis rectis, & inter $e a$ymptotas. Cum in duabus $uperficie-
<marg>15</marg>
bus æquidi$tantibus duo circuli æquales, quorum linea per cen-
tra non e$t ad perpendiculum earum infinitis planis $ecantur, fiunt
in ip$is lineæ à peripheria in peripheriam rectæ quæ corpus cylin-
dricum claudunt quod $calenus cylindrus appellatur: longè alius
ab eo, qui fit recto cylindro per duo plana æquidi$tantia, $ed non
ad perpendiculum po$ita di$$ecto. nam eius extremæ $uperficies
non circuli, $ed ellip$es $unt. Si $calenus cylindrus plano non æ-
<marg>16</marg>
quidi$tanti ba$i, $ed ita ut angulos interiores æquales faciat angu-
lis ba$is $ectio circulus erit: uo catur<03> hæc$ectio $ubcontraria: nec
ulla præter hanc & ba$i æquidi$tantem $ectio circulus e$$e pote$t:
$ed $unt ellip$es. Super eundem circulum, & $ub eadem altitudi-
<marg>17</marg>
ne ellip$es $imiles in cono & cylindro e$$e po$$unt, quæ ab eodem
plano fiant, docet<03> uel ba$i uel cono uel cylindro, aut cono pro-
po$ito reliqua facere, quod e$t ualde admirabile: cum ellip$is cylin-
drica $emper æqualis $it in utraque parte à diametro tran$uer$a
utrinque æqualiter di$tante, conica uerò minor nece$$ariò $it in $u-
periore parte uer$us coni uerticem latior in inferiore, ubi partes a
diametro tran$uer$a æqualiter di$teterint: ip$&ecedil; autem non $olum $i-
<foot>F miles,</foot>
<p n=>62</p>
<marg>18</marg>
miles, $ed unam per$æpe in utri$ <01> e$$e uult. Sed & hoc Archime-
des dicere uidetur: lineæ ductæ à uertice coni$caleni ad perpendi-
culum $uper ba$es $ingulas omnium triangulorum per axe<*> coni
tran$euntium in peripheriam unius circuli cadunt.</P>
<P>Propo$itio $eptuage$ima.</P>
<P>Si fuerint tres quantitates in continua proportione, aliæ<03> toti-
dem in continua proportione, poterunt con$tituere tres quantita-
tes in æquali differentia peruer$im copulatæ.</P>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<P>Velut $int a b c primi ordi-
<fig>
nis, & d ef $ecundi, & $it 28,
<marg>16</marg>
b 4, c 2, & d 2 1/4, e 1 1/2, f 1, tunc
iunctis a & e fit 9 1/2, & b & d b
1/4, & e cum f 3, at 3 & 6 1/4 & 9 1/2
æqualiter di$tant, nam diffe-
rentia e$t 3 1/4. At $i iungatur
cum e, & b cum f, & c cum d
idem poterit contingere: ut in
figura uides, nam a e e$t 8 1/2,
p: <02> 1 1/<*>4, & b f 7, & c d 5 1/2, m: <02> 1 1/4, & differentia b f ab utro <01> com-
po$ito, e$t 1 1/2 p: <02> 1 1/4, qua excedit & exceditur. Dico modo, qua$i
ex ordine coniungantur quale$cun <01> proportiones fuerint, modo
non $int ambæ æqualitatis 1, ut b iungatur cum c, & reliquæ ut li-
bet, uelut a cum d, & c cum f, uel a cum f, & e cum d, nunquam fient
<marg>17</marg>
æquales exce$$us, nam de primo e$t clarum: nam $i a cum diun-
gatur, & ambæ fuerint maximæ, maior e$t differentia a ad b, quàm
b ad c, & maior etiam d ad e quàm e ad f, ideo maior erit differentia
a & d ad b e quàm b e ad c f, quod erat probandum. Eodem modo
$ed laborio$ius demon$tratur reliquus modus $cilicet, quod con-
iunctio a f ad b e e$t maior aut minor quàm b e ad c d, ex hoc$e-
quuntur corrolaria.</P>
<P>Primum, tres æquales quantitates non po$$unt diuidi in tres, &
tres quantitates in continua proportione ordinatè, ut dixi, ni$i u-
triu$que ordinis tres, ac tres inuicem $int æquales.</P>
<P>Secundum, tres quantitates in æquali exce$$u ordinate, ut dixi,
non po$$unt diuidi in tres, & tres quantitates, quæ $int in eadem
proportione quantumcun <01> proportiones illæ duorum ordinum
fint diuer $æ.</P>
<P>Tertium, tres quantitates, quæ $intin eadem proportione non
po$$unt diuidi ordinate in tres ac tres, quæ $int in continua propor
tione ni$i $int ambæ proportiones eædem cum proportione ip$a-
rum quantitatum.</P>
<foot>Propo$itio</foot>
<p n=>63</p>
<P>Propo$itio $eptuage$imaprima.</P>
<P>Proportionem leuitatis ponderis per uirgam torcularem attra-
cti ad rectam $u$penfionem inuenire.</P>
<fig>
<P>Sit torcularis uirga, cuius $piræ a b per circui-
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
tum $int centuplæ ad altitudinem a b, & axis d c
<marg>P<I>ropo$.</I> 45.</marg>
$emidiametro b c centupla, & quoniam per $upe-
rius a$$umpta, qualis e$t proportio $patij ad $pa-
tium, talis leuitatis ad leuitat&etilde;, igi&ttilde; e pondus a$cen
dens per a b leuius quam per b crectã centuplo, et
$imiliter cum circuitus b c, & d c $int in eodem tem
pore, & circuitus d c, $it centuplus ad $piralem b c
per demon$trata ab Euclide, ergo e erit centuplo
leuius circum ductum per d quàm b, $ed per b circumductum cen-
tuplo leuius e$t, quàm per rectam, igitur e ponderat folum particu-
lam ex decem millibus recti ponderis.</P>
<P>Propo$itio $eptuage$ima$ecunda.</P>
<P>Proportionem ponde<*>is $ph&ecedil;ræ pendentis ad a$cendentem per
accliue planum inueni<*></P>
<fig>
<P>Sit $phæra æqualis ponderig in pun-
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
cto b, quæ debeat trahi $uper b c accli-
ue planum b e ad perpendiculum pla-
<marg>P<I>ropo$.</I> 40. 7</marg>
ni b f. Quia ergo in b e mouetur a, qua-
uis modica ui per dicta $uperius, erit per
communem animi $ententiam uis, quæ
mouebit a per e b nulla: per dicta uerò
a mouebitur ad f $emper, a con$tanti ui
æquali g, & per b c a con$tanti ui æqua-
li k, $icut per b d a con$tanti æquali h, ergo per ultimam petitio-
nem, cum termini $eruent, quo ad partes eandem rationem $in-
guli per $e, & motus per b e $it a nulla ui, erit proportio g ad k, ue-
lut proportio uis, quæ mouet per b f ad uim, quæ mouet per
b c, & uelut anguli per e b f recti ad angulum e b c, & ita uis,
quæ mouet a per b f, & e$t, ut dictum e$t, g ad uim, quæ mouet
per b d, & e$t h ex $uppo$ito, ut c b f ad e b d, igitur proportio dif-
ficultatis motus a per b d ad idem a per b c, e$t uelut h ad k, quod
erat demon$trandum.</P>
<foot>F 2 Propo$itio</foot>
<p n=>64</p>
<P>Propo$itio $eptuage$imatertia.</P>
<P>Proportionem ponderum attractorum penes figuram in pla-
no inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sint duo pondera æqualia in plano a & b, & $it
<fig>
a $uperficies qua planum tangit dupla b $uperfi-
ciei, qua planum tangit: dico quod $i trahantur ab
imo, quod erunt æqualia: $u$pendantur, & erunt
æqualia ex $uppo$ito, $ed a quie$cens in plano e$t
dimidium a $u$pen$i, & b quie$cens in plano e$t di
midium b $u$pen$i ex demon$tratis $uperius, igi-
tur per communem animi $ententiam a & b in pla-
no $unt æqualia.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Ex hoc manife$tum e$t, quod proportio uirium trahentium pon
dera in plano eadem e$t, quæ ip$orum ponderum dum $u$pendun-
tur. Vbiplanum æquale $it, & $olidum.</P>
<marg>P<I>ropo$.</I> 62.</marg>
<P>Propo$itio $eptuage$imaquarta.</P>
<P>Proportionem concutientis ad concu$$um $tabili inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Intelligo concutiens e$$e $olidum, quod non frangitur, id<03> gra-
uitate, & impetu concutere, nam de duritie $upponitur, & grauitas,
ut demon$trabitur in corrolario e$t iuxta $uperficiem inferiorem
ponderi comparatam. Cum ergo motus concu$sionis magnitudo
con$tet ex grauitate, impetu & figura, concu$si autem ex pondere
& connexione: multiplicatis inuicem partibus productorum pro-
portio, erit proportio concu$sionis: ut $it grauitas decem, impetus
quadraginta: pondus icti centum connexio ut duo, ducemus qua-
dragintain decem, & fient quadringenta, et duo in centum, fient du
centa, igitur concu$sio erit dupla.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Cum fuerit figura rotunda, concu$sio erit integra in puncto:
quia $phæra iacens in plano totum pondus in punctum cogit.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Si autem planum e$t, quod ijcitur, proportio totius ad totum e$t
minor, quàm partis ad partem pro ratione quantitatis latitudinis.
<marg>P<I>ropo$.</I> 84.</marg>
$ed maior ratione aëris comprehen$i, de quo infrà.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg>
<P>Cum proportio minor fuerit $tabile, non poterit in $olido plano
moueri: aliter fieret motus à debiliore, & per præcedentem etiam
po$$et pari ratione eleuari.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg>
<P>Cum<03> $tabile non mouetur, & omne agens agat aliquid nece$$e
e$t, ut $tabilis partes cedant, aut di$$oluantur. Quanto ergo magis
cedit, tanto minus di$$oluitur.</P>
<foot>Cau$æ</foot>
<p n=>65</p>
<P>Cau$æ igitur quæ alleuiant ictum, ne di$$oluatur, $unt $eptem le-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 9.</marg>
uitas ictus, ponderis, fractura, mollities eius, quodicitur, mollities
eius, quod excipit ictum, motus eiu$dem, & figura lata, & inæqua-
lis. Durities ergo, quatenus fracturæ opponitur, aliud e$t, quam ut
molliciei: & utra <01> e$t cau$a, quæ augetictum, ut reliquæ
oppo$itæ minuunt, dicemus autem de his inferius.</P>
<P>Propo$itio $eptuage$imaquints.</P>
<P>Proportionem immoti in aqua ad immotum in terra in excipien
do ictum inuenire.</P>
<P>Sit pondus a in terra æquale b eiu$dem naturæ magnitudinis fi-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
guræ, & eodem in $itu, quod $it in aqua porrò a, $i e$$et affixum ter-
ræ oportet, ut conuellatur, aut di$$oluatur aut frangatur. Et clarum
<fig>
e$t, quod totum ictum excipit. Si uerò
affixum non $it, euertitur, & tanto mino-
rem partem excipit ictus, quanto faci-
lior e$t ad euer$ionem. Vnde nata fabu-
la de quercu, quæ cum immobilis e$$et,
& $taret uento euer$a e$t, arundo flecten-
do $e, cecidit quidem, $ed non e$t eradi-
cata. Sermo igitur e$t de b in$identi aqu&ecedil;
in comparatione ad a, quando excipit
plenum ictum. Cum ergo b tangitur, ex-
cipit plenum ictum illo in$tanti, $ed quia
non excipitur ictus cedente materia, &
antequam materia cedat b mouetur loco, quia in$idet aquæ, ergo
non excipit ictum. Proponatur ergo, quod moueatur b per c$pa-
tium in d tempore, & $it, ut idem b ab e ui trahatur per idem $pa-
tium in eodem tempore ex loco directo ad eandem partem: qua-
lis ergo proportio e ad b, & aërem, qui cum eo re$i$tit, talis propor-
tio ictus f grauis puta in a ad ictum Y in b. Quia per demon$tra-
<marg>P<I>ropo$.</I> 2.</marg>
ta $uperius proportio f ad a producitur ex proportionibus e ad b,
<marg>P<I>er</I> 42. & 43. P<I>ropo$.</I></marg>
& a ad e, ergo diui$a proportione f ad a per proportionem c ad b
exibit proportio ictus Y in a ad ictum Y in b quod erat demon-
$trandum.</P>
<P>Ex hoc patet, quod b quanto mollius, leuius, & $trictius in imo,
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
& in tenuiore aqua, eo minus lædetur. Et quanto ictus lentior fue-
rit etiam quod $it grauius Y.</P>
<foot>F 3 Propo$itio</foot>
<p n=>66</p>
<P>Propo$itio $eptuage$ima$exta.</P>
<P>Proportionem duorum mobilium $ibi inuicem concurrentium
per rectam inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Iam cognito, quod mobilia, quæ loco mouentur per præceden-
tes, $ed omnino quie$cunt integros excipiuntictus: alia quidem,
quæ concurrunt, non omnino re$iliunt, alia uero re$iliunt, & quæ
re$iliunt minores excipiuntictus, $equitur ut diuer$a $it compara-
tio: nam erunt, quæ $tando excipient ictus, & hæc integros ut mu-
ri, & quæ concurrendo, nec re$iliendo, ut equi cur$u incitati: & quæ
$tando, $ed re$iliendo, ut naues $tantes: & quæ concurrendo, re$i-
liendo qúe ut naues uentis, & triremes ab impul$u: bifariam ergo
contingit intelligi, quod proponitur. Sed in utroque etiam $en$u
uarietas e$t: nam ut concurrit pars altera celerius, ita etiam magis
concutitur. Et ideo $it, ut proportio ictùs $it in comparatione ad
grauitatem duplá, & concurrant æqualiter, & $int æquè grauia, &
neutrum re$iliat, erunt in proportione quadrupla, & eodem mo-
do $i utrunque re$iliat. At $i diuer$o impetu ferantur, ut dixi, tria
erunt præcipuè con$ideranda grauitas $eu pondus, impetus, & an
re$iliat. Quanto enim grauiora fuerint, & maiore impetu agen-
tur, & non re$ilierint eo maiorem ictum recipient: quanto leuio-
ra, & minore impetu, & magis re$ilierint, minus lædentur. Sed &
in debilitando ictum con$iderare oportet tria, quod re$iliat, quod
diffugiat, quod circumuertatur: re$iliunt naues, $i ro$tris concur-
rant pleno ictu: $i uerò non pleno ictu concurrant, $ed diffugiant
hoc experimento compertum e$t minimum e$$e ictum: $i ro$tro
tran$uer$um nauis feriatur medium, e$t hoc.</P>
<fig>
<P>Sit ergo ut a b nauis tangat ro$tro b c $ic ut
diffugiat, erit hypomochlium c, & $i tangat
e f hypomochlium e$t in d dupla, ergo e$t c b
ip$i d e, igitur ictus duplo minor excipitur à
c b quàm ef. E$t etiam tempus longè maius,
quo excipit ictum ef, quàm b c: $tatim enim di$cedit b c occurrit <03>
alijs partibus, in c f autem impingit, & angulus a d c e$t longè ma-
ior recto, quàm a b f: ob hæc igitur longè maior e$t ictus c f quàm
b c: uocant autem hoc declinationem.</P>
<P>Propo$itio $eptuage$ima$eptima.</P>
<P>Proportionem motus obliqui ad motum rectum in nauibus
inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Cùm uentus fertur ad puppim rectà, naui$qúe gubernaculum di
<foot>rigitur,</foot>
<p n=>67</p>
rigitur, tendunturqúe uela ac expanduntur $umma in parte mali,
tunc motus e$t ueloci$simus: fingamus autem, quod omnia ad
idem tendant præter uentum, qui non directus $it ad puppim, $ed
à latere, ut uides, & temo $itin contrarium tantundem directus, &
$upponamus pro nune, quod uelum $it $olum in anteriore parte
nauis, nam $ecus e$$et nimis magna differentia,
<fig>
quod nauis una ageretur tribus malis alia una:
Quæritur igitur proportio motus b c ad mo-
tum d e: fiat ergo c f æqualis e g, ita ut f angulus
rectus $it, & manife$tum e$t, quod h c maior e$t
c f, cum ergo angulus f rectus $it, quanto maior
erit angulus h c f, tanto maior erit proportio h c
ad c f, quod e$t primum a, ińde noto angulo h c f
per ea, quæ tradita $unt ab A$trologis de $inu &
arcu erit nota proportio c h ad c f, ideo ad e g
fiat ergo c k æqualis c h, igitur c k erit maior e g, $i ergo perambula-
bit æqualiter c, ut c h, erit temporis motus e g ad motum e f, ut c k
ad c f, igitur cum nota $it c k, e$t enim æqualis c h, erit temporis ad
tempus proportio nota. Quod autem in æquali tempore mouebi-
tur nauis per c k & h c patet ex a$$umpto inferius declarando.</P>
<marg>P<I>ropo$.</I> 99.</marg>
<P>Propo$itio $eptuage$imaoctaua.</P>
<P>Propo$itionem nauis ad triremes quotuis concurrentes de-
mon$trare.</P>
<P>Sit nauis deferens pondus decuplo maius triremi, & con$tat,
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
quod impul$u æquabitur decem triremibus, ubi flante uento e
puppi æqualiter feratur in aduer$um, quantum triremes ui homi-
num. Sed quoniam triremes impediuntur à uento licet $ine uelis
$int, habent enim & ip$&ecedil; malum, & uelum, $ed exigua comparatio-
<marg>P<I>ropo$.</I> 74.</marg>
ne nauium, ideo ictus ille multo ualidior e$t ex demon$tratis. Cum
uero uis illa $imul $it, liquet, 'quòd hoc in ca$u ni$i machinæ ob$ta-
rent una nauis mille po$$et obruere triremes di$iunctas per tantum
$patium inter $e, quantum e$t id, in quo nauis pote$tuenti impul-
$um recipere. At impedimentorum maximum $unt machinæ, quæ
in nauim collimant à lateribus, cum triremes quaquâ uer$um $e a-
g ant, & ob id proram $olam exponunt ictibus, in quam difficile
e$t collimare, & $i tangatur pars ea robu$tior e$t, nec periculum
euer$ionis adeò in currit, ut à lateribus: nec enim adeò angu$ta e$t a
prora ad puppim nauis, quam à latere ad latus: his tot cau$is mi-
nus e$t obnoxia machinis triremis, quám nauis. Sed & alia cau$a
e$t, quoniam nece$$e e$t ut ob angulum laterum ad proram
<foot>F 4 ictus</foot>
<p n=>68</p>
ictus dilabatur $&ecedil;pius $olum traiecta $uperficie. Secundum impe-
dimentum e$t à uento, $i ualde obliquus $it, nam ad rectum impul-
$um, multum debilitatur: aut $i incon$tans $it, uiribus<03> remittatur.
Tertium uerò $i triremes inuicem connexæ $int, ac $e tangant, in
quas nauis dirigitur. Sed & hoc infrà demon$trabitur nauim, ut le-
<marg>P<I>rop.</I> 109.</marg>
uior fuerit facilius elabi, $ed ut pondere magis onerata grauiores
ictus inferre: ob hoc triremem inuenerunt mediam maximi u$us
<G>a)mfh/rh<19></G>. Galeonum uulgò uocant.</P>
<P>Propo$itio $eptuage$imanona.</P>
<P>Proportionem medicamentorum purgantium inuicem de-
clarare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Scio, quàm multa concurrant, etiam per $e ad purgationem mul
titudo humorum præparatio locus propinquus, $ed nobis $er-
mo e$t pari$ub conditione, ut $it dimidia uncia Ca$siæ nigræ in tri-
bus uicibus expurget libram humorum, & uelim $cire ab una un-
cia, quoties expurgabitur, & quantum. Dico, quod in $camonio, &
agarico hæc ratio deprehendi pote$t: in his autem medicamentis,
quæ magis leniunt, quàm à proprietate educant, ut e$t ca$sia nigra,
ratio hæc non ualet, quoniam feces quando que pro maiore par-
te educuntur, ita ut etiam multiplicato medicamento de$it, quod
educatur. Et quamuis humores iuxta proportionem trahat, cum
tamen feces proportionem non $eruent, $equitur: ut aggregati ad
<marg>E<I>x conuer$a</I> 18. <I>quint.</I></marg>
aggregatum proportio non $eruetur. At non e$t facile po$tmo-
dum interno$cere feces ab humoribus, quocirca uidetur propor-
tio illa confundi. Quod $i medicamentum leniens, fiat ob quanti-
tatem purgans humores, ut de multa ca$sia nigra, tuncnon pote$t
a$signari illa comparatio ni$i ut e$t medicamentum purgans. Et $it
gratia exempli, primum ut grana $ex $camonij purgent aliquem
ter, & uncias decem bilis, dico iuxta rationem $uprapo$itam, quod
<marg>P<I>ropo$.</I> 37.</marg>
grana duodecim purgabunt iuxta proportionem duplam $exqui-
alteram, $i duo grana nil purgant, $ed commouent. æqualia enim
<marg>P<I>ropo$.</I> 42.</marg>
$unt: ut quatuor $int dupla, & $ex tripla, & mouent ter, quia $exqui-
alteram habent proportionem ad exce$$um, igitur duodecim du-
plam, & $exquialteram ad quatuor, nam decem ad quatuor e$t du-
pla $exquialtera, & purgabit $epties cum nixu libras duas fer-
me bilis. Vt comparatio fiat exce$$us ad uim, quæ re$i$tit eodem
modo. In ca$sia ergo nigra $i uncia unanõ purga, $ed lenit tantum,
& duæ unciæ purgant ter, & libram unam bilis, tres unciæ duplam
<foot>habent</foot>
<p n=>69</p>
habent proportionem iuxta exce$$um ad unam, exce$$us igitur
duplum purgabunt, & duplo magis, id e$t præter feces libras
duas bilis in $ex uicibus.</P>
<P>Propo$itio octuage$ima.</P>
<P>Proportionem motus $ecundum obliquum ad rectum in $pa-
tio declarare.</P>
<P>Hæc uídetur $imilis $uperiori cuidam propo$itioni, $ed tamen in
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
hoc differt, quoniam in c a $upponimus nauim moueri, ut concu-
tiat, hic autem iuxta motum $olum: ut proponamus b nauim ferri
<fig>
uer$us a uento recto ex b in a: $it autem uentus ex
cin a mouens nauim ex b in a: nòn enim moue-
bit ut quidam putant in ratione c a ad b a: ut $i ca
$it $exquiquarta ad b a, ut æquali impetu ex b &
c flante uento moueretur tardius per c a, quam
per b a, quia æqualiter ex $uppo$ito: ergo tanto
tardius c fertur in a, quam b in idem quanto lon-
gior e$t c a, b a igitur $i b perueniet in a in qua-
tuor diebus c perueniet in idem a in quinque
diebus. Hoc enim e$t per $e manife$tum: $ed non quærimus id, $ed
ut uento c a æquali per c a ei, qui e$t b a per b a, ubi b moueatur uen
to c a per b a, quanto tardius mouebitur. Mouebitur. n. tardius ad
a per b a, quam per c a, at per c a tardius, quam ex b in a per æqua-
lem uim, ergo multo tardius ex b in a per c a uentum, quam per uen
tum ex b in a. Quærimus ergo compo$itionem horum, ut $it c
nauis, quæ debeat transferri ad a per uentum ex b, & $equitur,
quod tardius, quam ex c per uentum ex c in a, & tardius ex b per
uentum ex cin a. Ergo malus, qui in prora e$t conuoluto eo, qui
e$t in puppi, ut etiam Ari$toteles docet tantundem nititur ad re-
<marg>Q<I>uæ$t.</I> 7. M<I>echanica.</I></marg>
ctum ex cin æquidi$tantem locum ab a quantum c di$tat ab con-
tra temo, qui in puppi e$t dirigitur ad h, & $i ualidius $it uentus e-
tiam adiuuante temonem, $eu contra nitente, quantum licet mo-
bili pondere nauis ad id latus, premitur enim nauis, qua$i $ubmer-
gi debeat, uento in aduer$um premente, ut $i uentus repente huic
contrarius exoriatur, periculũ $ubeat, ne obruatur. Cum ergo uen-
tus ex b feratur, æquidi$tans c h, & c feratur per temonem in k, & ab
oppo$itis æqualis actio $equatur, imò tota impeditur, ex c in h fere-
tur iuxta proportionem anguli, quem con$tituit h c cum a c ad to-
um rectum, Si igitur ex c in a debuit ferri in duodecim horis ob
<foot>uim</foot>
<p n=>70</p>
uim uenti, & uiæ longitudinem, angulus uerò h c a $it $exta re-
cti pars, feretur ex c uer$us a ad quantitatem b a in quatuorde-
cim horis: igitur rur$us quanta e$t proportio c a ad b a tan-
tum e$t temporis, in quo fertur ex c ad a ad quatuordecim horas
per uentum b a.</P>
<P>Propo$itio octuage$imaprima.</P>
<P>Qualis $it angulus, per quem pote$t moueri nauis ad rectum
explorare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Cum in præcedenti propo$itione o$ten$um $it angulum k c a
oportere e$$e æqualem angulo h c a, ut feratur, c in a uento c h, nec
tamen pror$us, $ed temo magis inflectit uer$us k quam uentus co-
git uer$us h: $icut contra maiori ui uentus dirigit ad h, quàm temo
ad k, ut nece$$e $it nauim flecti ad k pondere, ideo $i uentus e$$et
tran$uer$us periclitaretur, nece$$e e$t, ut per omnes uentos, qui fe-
runt ab ea, quæ ad perpendiculum $uper c a, & $unt quatuordecim:
$ed quoniam, ut dixi, pondere adiuuante uis uenti minor fit, nece$-
$e e$t, ut per uentos debiliores feratur magis ab extremis, qui pro-
pe perpendiculum $unt: ita ut numerus omnium $it, cum leui$simi
fuerint, quatuordecim, cum uiolenti$simi, tres tantum proprius, &
qui di$tant trige$ima$ecunda parte totius circuli, id e$t partibus un
decimi, cum quarta reliqui undecim, medij $unt: ut tanto plures a$-
$umi po$sint à Nauclero, quanto molliores $unt uenti, tanto pau-
ciores, quo uiolentiores. Tutius autem fuerit in ualidis uentis diri-
gere nauim per uentum proximiorem, quam per ip$ummet, qui re-
<marg>P<I>ropo$.</I> 83</marg>
ctè tendit ad locum. Veluti tendat nauis ex a in b, uentus tendat in
cualidior, cum<03> magnus fuerit angulus c a b, ut potè dodrans to-
tius recti, ut e$$et temo dirigendus ad $extum uentum altrin$ecus di
rigemus $olum ad quintum, ut feratur in d, & hoc erit tanto cele-
rius, & celerius feratur per a d & d b, quàm $i nauis recta lata e$$et
ex a in b. in$uper tutius.</P>
<P>Propo$itio octuage$ima$ecunda.</P>
<P>Proportionem uelorum indagare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Vela tribus in locis di$poni $olent dolo b, quod in prora con-
$tituitur, & in malo, qui ponitur in medio ratione, quæ inferius
o$tendetur, $ed non ad unguem, quia cum malus in anteriorem
partem à uento impellatur, $i e$$et in medio, $emper præmeretur
nauis in anteriorem partem, ex quo duo magna incommoda $eque
rentur: primùm ut periculum $ubiret, ne inuer$a in anteriorem par-
<foot>tem</foot>
<p n=>71</p>
tem $ubmergeretur. Secundum ne pre$$a in parte anteriore dif-
ficilius aquas di$$ecaret, & ob id longe tardiu, moueretur. Pro-
pter hæc duo incommoda igitur malus etiam $i unicus e$$et
(quod uulgati$simum maloribus no$tris |fuit) in parte magis
proræ proxima locabatur à gubernatoribus, ut e$$et qua$i in trien
te à ro$tro in be$$e à puppi: Rarum fuit, & memorabile, quod nunc
pa$sim habet olim Antigoni <G>triame/<15>&</G> 1, uelorum trium: quorum
po$tremum Epidromus ut ip$a uoce intelligamus non fui$$e ue-
lum in malo ip$o medio, $ed in puppi con$titutum. Cau$a Dolonis
inferius exponetur: quod autem e$$et paruum, & omnium mini-
mum, ut nauis $acile ab eo inuerteretur. Vnde etiam nunc minus
minime habent tam quantitate, quam etiam altitudine, quod uo-
cant Trinehetum, $olum enim $u$tinet nauim, quæ à uentis, uel un-
dis mergi $olet: ab undis ubi humilior e$t, à uentis à lateribus, et an-
teriore parte. Vnde humile, & exiguum uelum efficit, ut nauis ante-
riore parte leuis, nec mergatur prona à uentis, nec aquas ea exci-
piat, nec tamen impelli pote$t nauis in $copulos, nec euerti ob cau-
$as dictas: ob quæ in magnis tempe$tatibus hoc ip$o duntaxat uti
$olent. Quod et$i nimium $æuierint, etiam illud demittunt, & $i
fieri pote$t, etiam malum ip$am quamuis $ine uelo $it. Sed plerun-
que circumuolutam, & implicatam $olet antennam annexam, at-
que $u$pen$am habere. Sed & ne nauis pror$um obruatur, quo-
niam ea pars omnem uentorum uim excipere $olet, & ut leui$sima
$it ijdem Gubernatores puppim multa arena, lapillis qúe onerant.
Ergo uelocitas nauis à uentorum impetu, eorumqúe rectitudi-
ne à uelorum magnitudine, & loco humiliore, aut $ublimiore ha-
betur: tum nauis leuitate, & forma. Quæ enim non merguntur ut
<G>droma/des</G> ($ic enim uocat Ari$tophanes) eas, quas nunc uulgus fre-
gatas appellat) qua$i aquas innatantes cur$u $unt ueloci$simæ. Et
longiores latis. Po$t has $unt, quæ carinam habent tenuem, ut fa-
cile aquas diuidant. Vltimo loco, quæ qua$i mediæ, ante quidem
tenues, pò$t latiores ad uelocem cur$um, & ferendum onera aptæ,
& humiles altis: & leui ex ligno. Sed nos de uelorum uarieta-
te loquimur, non ea', quæ ad malos pertinet. Con$tat enim me-
dio loco plus mouere, quam in extremis, ut infrà docebi-
mus. Antiquo enim tempore opus non fuit malorum mul-
titudine, quoniam $yderibus uias dirigebant ob id non ad
amu$sim, quoniam linea dirigi non poterat maximè ob mo-
tus obliquitatem in circulo ui$us: ideò mali multi confu-
$ionem in cur$u, & impedimentum in naui, maiu$qúe pericu-
lum attuli$$ent. At nunc inuenta pyxide, & lapidis Her-
<foot>culei</foot>
<p n=>72</p>
culei auxilio pluribus locis uela di$po$ita melius dirigunt iter, ut
qua$i cra$$a minerua depictum, & pote$tate deformatum, ad amu$-
$im contrahant. Motus ergo magnitudo non $impliciter con$tat,
$ed comparatione $uper$iciei ueli ad uelum longitudine quidem,
<marg>P<I>ropo$.</I> 86.</marg>
ac latitudine conflata per multiplicationem. Altitudinis quo <01> ut
<marg>P<I>ropo$.</I> 42.</marg>
infrà exponetur. Ex quorum omnium ductu, qua$i cubica, uel tri-
plicata ratione, ut $uperius o$ten$um e$t, ratio uelocitatis motus na
uium conflatur.</P>
<P>Propo$itio octuage$imatertia.</P>
<P>Proportionem rece$$us à recta uia ad obliquitatem inue$tigare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit nauis in a itura in b (uentus rectus ad c, medius ad e) per ob-
liquũ, cum ergo tardius moueatur per a e quàm a c & per a b, quam
per a d, & $int ad perpendiculum b e, b d quas con$tat e$$e breui$si-
mas earum, quæ ad a c & ad a d. Queritur igitur quando uelocius
<fig>
ferretur ad b, an cum per a c, c b, an cum per a d, d b,
an cum per a b $impliciter. Et con$tat quod a d & d b
longiores $unt a b, i$tud enim demon$tratum e$t ab
Euclide in primo Elementorum, dico modo a c, &
<marg>P<I>ropo$.</I> 20.</marg>
c b e$$e longiores a d & d b, nam quadrata a d & d b
& a c & c b $unt æqualia quadrato a b per dicta ibi-
<marg>P<I>ropo$.</I> 47.</marg>
dem, & ideo quadrata a c & c b &ecedil;qualia quadratis a d
& d b, $ed a d e$t longior a c, quia ducta c d angulus
d c a e$t obtu$us, igitur ad maiorem a c per decimam
nonam primi Elementorum: quare per communem
animi $ententiam quadratum a d maius e$t quadrato a c, quarerur-
$us per communem animi $ententiam quadratum c b maius e$t
quadrato d b. Cum ergo quadrata a d & d b æqualia $int quadra-
tis a c & c b, & a d $it maior a c & c b maior d b, $equitur per nonam
$ecundi Elementorum, quod a c & c d $int maiores a d & d b pari-
ter acceptis. Si ergo maior fuerit exce$$us quàm proportio motus
per temonem cohibiti, ut $upra ui$um e$t, tardius mouebitur per
a d, d b quàm a b per a c, c b quàm per a d, d b, $ed $i contrà maior $it
proportio motus cohibiti à temone ad motum liberum quàm ex-
<marg>P<I>ropo$.</I> 80.</marg>
ce$$us ad exce$$um uelocius mouebitur per a d d b, quàm per a b,
& per a c quàm per a b. Accedit huc e incommodo longioris uiæ,
quod uento a c non poterit ferri nauis ex c d in b, quoniam antea
ægre ferebatur: & nunc ægrius per c b quàm a b, plus enim di$tat
uentus a c ab itinere c a quàm à uento a b, ut ui$um e$t $uperius, igi-
tur multo melius e$t (ni quid ob$tet) ire per a b quàm per ullã aliam
<marg>P<I>er</I> 81. P<I>ropo$.</I></marg>
uiam: ni$i $tationes $int in c d, uel periculum immineat in a b. Vbi ta
men uenti $ecundarent, tantum e$t uirium in recto cur$u, & æquali
<foot>uelocitate</foot>
<p n=>73</p>
uelocitate ferretur citius ex a in b per a d d b, & etiam citius per a c,
c b in b quam per ip$am a b, quod fuit propo$itum declarare.</P>
<P>Propo$itio octuage$imaquarta.</P>
<P>Di$tantiam centri terræ à centro mundi per motum lapidis Her
culei declarare.</P>
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
<P>Non me later Ari$totelem exi$timare centrum mundi e$$e cen-
trum terræ illud<03> proba$$e, quod tamen ex demon$tratione no$tra
mathematica apparet nunc$ubijciam, & quid ad illius rationes di-
cendum $it, aliâs etiam dicendum erit: nam liber hic, ut mathemati-
ca decet, e$$e debet ab omnibus contentionibus ab$olutus. Con-
$tat $anè non e$$e propriam uim lapidis illius, ut qui non $it circum-
$criptus $ed fru$tulum quoduis id pote$t, ne<01> per $e, $ed in ferro &
pendulo, nec fieri pote$t, ut $it illius tãquam $peciei unius lapidum,
$ed qua$i perfectæ portionis cuiu$dam generis terræ, quæ ab$olu-
ta $it, cuius indicium e$t illius copia, ne<01> enim ullibi non inuenitur,
& ubi ferrum effoditur, ut in Ilua In$ula Tyrrheno mari, e$t ergo fer
<fig>
ri uis terræ maritæ, quæ perfecta in $uo ge-
nere, ubi uim fœcundam acceperit à ma$cu-
lo $cilicet Herculeo lapide, quærit primum
ut de$cendat, ubi hoc non po$sit $alt&etilde; quæ-
rit, ut quie$cere po$sit. Vt ergo quie$cat à
motu cœli qui e$t ab Oriente in Occiden-
tem iuxta axis cœli $itum $e dirigit, quod
ille $olus quie$cat in $uo motu, uel $altem
tardi$simè moueatur: indicio e$t quod $i
extra $itum illum acus ferrea imbuta eo lapide ponatur, $tatim tre-
mit uchementer, adeò ut nec momento ullo con$i$tat, $ed mi$erè &
grauiter torqueri uideatur, non ergo quod $entiat polorum locum
qui tantum abe$t ab illa, ut nec ab homine perito mathematicarum,
$ed quod uix illa cœli $entiatur circa centrum mundi. Cuius indi-
cio e$t Oceani maris, aquarum fluxus & refluxus. Duos ergo ha-
bet motus terra perfecta, $eu ferrum lapide Herculeo imbutũ $ub-
ordinatos imperfectum perfecto: perfectus e$t, ut de$cendat ad cen
trum terræ, ut ibi quie$cat: imperfectum, cum à perfecto prohibe-
tur, ut quie$cat $altem extra centrum cum in clinatione ad centrum,
et hoc fiet $i $ecundum longitudinem acus dirigatur per axem mun
di, cum $itu tamen de$cen$ui ad terræ centrum proximiore, ut $æpi-
us $uperius declarauimus, dum de motu grauium & præcipuè li-
bræ, & centro grauitatis loqueremur. Quibus demon$tratis tum
experimento tum ratione à Fortunio Affaytato Cremonen$i Me-
dico, cum per hæc po$tmodum cogeretur fateri acum ad polum
<foot>G tendere,</foot>
<p n=>74</p>
tendere, cum tamen tendat à dextro latere $cilicet ab Oriente no-
uem partibus, $eu decima parte unius recti in centro terræ, quæ e$t
quadrage$ima totius ambitus cœli. Statuatur centrum mundia, &
b a c axis, $ecundum quam mouetur motu diurno, ital a dextra exit
oriens, k a $ini$tra occidens, & $tatuatur d centrum terræ, $eu $uprà
$eu infrà, non tamen in linea b c, $ed uel $uprà in dextra parte, uel in-
frà in $ini$tra, ita ut ducta linea per illud punctum arcus b g $it no-
uem partium. Con$tituta ergo acu in e puncto, ubilinea h ad g $ecat
peripheriam terr&ecedil; dico, quod acus dirigetur per h g, & non per b c,
nam acus mouetur ad centrum per eam, & in eo $itu tota dirigitur,
quia omnes partes grauis con$entiunt in motu principij grauitatis
ad centrum, hoc enim demon$tratum: nixus ergo e$t ut moueatur
per c d, & in eo nixu qui e$t quies cu$to dit lineam axis, quæ e$t a b,
ut quie$cat, ergo non quie$cet, ni$i in linea d g, quod erat demon-
$trandum. Quæ autem $equuntur ex his corrolaria omnia concor-
dant cum experimentis. Ergo hic $ermo e$t demon$tratiuus, ut e-
nim bene dixit Auerroes: Sermo demon$tratiuus $atisfacit omni-
bus problematibus quæ cõtingunt circa principale quæ$itum. Ex
hoc ergo patet, quod angulus di$tantia d ab a in latitudine e$t de ci-
ma pars recti, et quod quanto magis di$tatin longitudine centrum
terræ à centro mundi, tanto etiam minus di$tatin latitudine. Hæc
enim $unt demon$trata clarè in mathematicis. Vnde fieri po$$et
quod hæc quantitas di$tantiæ e$$et res, per quam exigua etiam $i
non e$$et maior quatuor digitis $ufficeret, modo etiam per ualde
paruum $patium di$taret ab eodem in longitudine. De cau$a au-
tem huius differentiæ aliâs dicendum erit, hiclo cus non e$t, $ed $uf-
ficit $cire quod ita $it, quod $i mobilis $it punctus d, clarum e$t ali-
quando futurum ut minus di$tet g à b, aliquando ut $it idem. Et
quali$cun<01> motus $it, nece$$e e$t eam di$tantiam uariari.</P>
<P>Propo$itio octuage$imaquinta.</P>
<P>Proportio ponderis unius grauis ad aliud $ub eadem men$ura
e$t, ueluti eiu$dem ad differentiam ponderis ua$is repleti ex altero
graui, & ex ambobus detracto priore.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit aurum a, & liquor b, quæ repleant uas c, &
pondus amborum $it librarum quadraginta, &
<fig>
uas repletum liquore $olo $it librarum xxix, au-
rum autem $it ponderis librarum xij, igitur reli-
quum erit ponderis xxviij, differentia ergo ua-
$is pleni, & non pleni liquore e$t libra una, pon-
dus auri e$t librarum duodecim: dico quod au-
ri pondus e$t duode cuplum ponderi liquoris, &
<foot>$i fui$$et</foot>
<p n=>75</p>
$i fui$$et pondus amborum libræ xxxix, manentibus reliquis, $eque
retur quod pondus liquoris e$$et xxvij, & quia plenum uas $uppo-
nitur e$$e librarum xxix, e$$et differentia libræij, at auri pondus e$t
libræ xij, igitur proportio ponderis auri ad liquorem e$$et $excu-
pla. Nam $i uas plenum liquore ex $uppo$ito e$t librarum xxix, &
cum auro xl, gratia exempli, & auri pondus e$t xij, igitur liquoris
pondus e$t xxviij librarum: $ed cum liquor $it corpus $imilium par-
tium, igitur loci ad lo cum, ut ponderis ad pondus, ergo dum ade$t
aurum, liquor occupat xxviij partes cxxxix, totius ua$is igitur au-
rum continet unam partem tantum, & cum aurum pondus habeat
librarum xij, & liquor unius: quia totum uas cxxxix librarum dum
e$t plenum, & e$t diui$um in xxix partes, igitur pondus unius par-
tis liquoris e$t una libra, igitur pondus auri e$t duode cuplum ad
pondus liquoris quod fuit propo$itum.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex quo $equitur quòd $i ducatur pondus illud partis per pon-
dus repleti ua$is ex alio graui, & productum diuidatur per differen
tiam illam, prodibit pondus ua$is repleti liquore graui.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Exemplum, $i pondus auri fuerit librarum xij, pondus ua$is re-
pleti liquore xxix librarum, pondus auri & liquoris replentium
uas xxxix librarum, ducemus xij in xxix fit cccxlviij, diuido perij
differentiam xxvij ponderis ua$is, repleti ex ambobus detracto au-
ri pondere, & xxix ponderis ua$is repleti liquore exit clxxiiij, & tan
tum auri uas illud continebit, nam cum duæ partes quas occupa-
bat aurum e$$ent ponderis librarum xij, totum quod erat partium
xxix, continebit decies & quater cum dimidio illud aurum xij, aut
ductum in xiiij cum dimidio, efficit cclxxiiij ut prius.</P>
<head>EXEMPLVM.</head>
<P>Quia ergo in $uperiore propo$itione docui, quod ferrum e$t ue-
ra terra: uolui $cire qualis e$$et proportio ferri ad aquam. Accepi ur
ceum cuius aqua dum plenus e$$et ponderis, fuit unciarum $ex, &
$eptuncis unciæ, & $eptuncis duodecimæ partis unciæ & pondus
ferri unciæ $eptem, & triens unciæ & triens duodecimæ partis un-
ciæ: & ua$is aqu&ecedil; & ferro eodem repleti unciæ tredecim, & duode-
cima & $eptunx duode cimæ partis unciæ. Detrahemus ergo vij &
trientem & trientem duodecimæ. i. 7 & 64/144 pondus ferri ex 13 19/144, &
relinquentur 5 99/144, detrahe ex 6 81/144, pondere aquæ totius ua$is relin
quuntur 17/18, diuide 7 64/144 per 17/18 exit proportio ponderis ferri ad pon
dus aquæ 7 15/17. Ethoc e$t proximum ei quod dixit Philo$ophus de
proportione ponderis terræ & aquæ.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Ex hoc patet $olutio problematis cuiu$dam propo$iti alias<03> mi
nus bene $oluti cùm cau$am habeat manife$ti$simam, $cilicet quod
<foot>G 2 wa$e</foot>
<p n=>76</p>
ua$e aqua pleno impo$itis $en$im centum aureis coronatis nihil ef-
funditur, non quod quicquam ab$umatur in metallo, $ed cau$a e$t
quod cum aurum $it duplum pondere ferro, erit ex demon$tratis
$ex decuplum ad pondus aquæ. Igitur cum $it proportio ponderis
auri ad differentiam $patij eadem, $i $it uas aquæ ponderis libræ
unius & mediæ, erit pondus totum xxiij unciarum, igitur aqua de-
ficiet $olum ex decimaoctaua parte $eu cre$cet ex impo$itione auri,
$ed illa pars in tumore aquæ ab$umitur, nõ $olum, quia
<fig>
dum aureos imponimus plana $olum $it, $ed quia non ex
quauis rotunditate defluit, aliter in urceo tam exiguo
non po$$et apparere rotunda: quod enim rotunditas to-
tius terræ, quæ etiam planam o$tendit totam unam re-
gionem ad rotun ditatem quæ apparet in exiguo urceo
aquæ. E$t igitur rotunditas illa potius ob lentorem aqu&ecedil; qui auge-
tur à lentore argenti, & etiam magis auri, cum $en$u digitorum per-
cipiatur.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg>
<P>Ex hoc apparet ratio quomodo Archimedes potuerit deprehen
dere coronam à Hierone propo$itam quantum auri & argenti con
tineret. Sit ergo uas a b aqua plenũ ponderis un ciarum triginta, &
cum libra auri $it ponderis unciarum quadraginta unius, & cum li-
bra argenti ponderis unciarum quadraginta cum dimidio, igitur
erit auri pondus ad aquæ pondus duodecuplum, argenti autem
ad idem octuplum, quare auri ad arg&etilde;tum pondus $exquialterum.
Ponamus ergo quod corona impo$ita ex auro & argento $olo fa-
bricata (hoc enim $upponere oportet) fuerit un ciarum $exaginta,
pondus autem aquæ content&ecedil; cum corona in ua$e unciarum uigin
tiquatuor cum dimidio, $cilicet totum octuaginta quatuor cum di-
midia, erit ergo proportio ponderis coronæ ad pondus aquæ, ut
cxx ad xi, aurum igitur e$t proportione duodecuplum, argentum
autem octuplum, corona ut cxx ad xi. Con$tituantur $ub ei$dem ra-
tionibus ducen do lxxxviij. cxx. cxxxij. hoc e$t ac $i dicamus, accipe
partes ex cxxxij & lxxxviij, tot ut faciant integrum & componant
cxx. Et ideò reduces ad minores numeros, $cilicet xxxiij. xxij. et xxx.
<marg>P<I>ropo$.</I> 178.</marg>
& operaberis per regulam de con$olatione monetarum, quas po-
nemus infrà, & fient auri partes octo & argen
<fig>
ti partes iij, nam cum duxeris iij in octo pon-
dus argenti fiet xxiiij, & cum duxeris viij in
xij, pondus auri fiet xcvi, igitur totum pon-
dus erit cxx, diuidendum per xi, aggregatum
partium auri & argenti, ita uero uncia ad unciam, ut tota corona mi
$ta ad coronam puram auri & argenti.</P>
<foot>Ex hoc</foot>
<p n=>77</p>
<P>Ex hoc etiam patet modus cogno$c&etilde;di proportionem grauium
<marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg>
inuicem per $olam aquam, uelut auri ad plumbum, ad lapides uel
æs, aut æris ad lapidem & $imilia, ut in præcedenti operatione de-
prehendi$ti: nam cum $it nota proportio auri ad aquam & æris uel
lapidis ad eandem, erit auri ad æs uel lapidem nota.</P>
<P>Et $imiliter $ciemus per hoc accipere partes diuer$orum, qu&ecedil; iun
<marg>C<I>or</I>^{m}. 5.</marg>
ctæ faciant con$titutum pondus. Velut uolo facere ma$$am ex mel-
<fig>
le & aqua, quæ impleat uas, quod mellis contineat
quindecim, aquæ duodecim, uolo ut contentum $it
ponderis quatuorde cim, operabor, ut in cõ$olatio-
nibus, ponam duas partes mellis & unam aquæ, ut
uides in operatione à latere.</P>
<P>Propo$itio octuage$ima$exta.</P>
<P>Si circuli in æquales, $eu in $phæra, $eu in plano $e $ecuerint nun-
quam oppo$itos angulos æquales habent.</P>
<P>Capiantur tres quartæ cir culorum magnorum a b, a c, b c, & alia
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
b d ad rectos angulos erũt<03> uici$sim poli, & ducatur per medium
parallelus, erit ergo e f æqualis e g, & f e æqualis f g, $ed ba$is c g e$t
<fig>
quarta circuli, & ba$is c b dimidium quartæ
circuli eo quod tota b a e$t quarta circuli, igi-
tur per modum 25 primi Elementorum quæ
tenet, erit angulus c f g maior oppo$ito c f b.
Hoc autem tenet in eiu$dem rationis $uperfi-
ciebus, quales $unt hæ, quæ $unt $uperficies eiu$dem $ph&ecedil;ræ. po$$et
etiam demon$trari per modum quartæ primi Elementorum. Et eti-
am con$tituta $phæra e f g, cuius hic circulus e$$et maior circulus, &
non tangeret ni$i in illa linea $phæra maiorem, & utrin <01> $ecaret eo-
dem circulo. Et etiam per cordas & trigonos rectilineos, auxilio
tam&etilde; regulæ dialecticæ. Ex hoc $equitur auxilio regulæ dialecticæ,
<fig>
quod in omnibus parallelis a c d & e f g cum b c circulo
maiore, & per aliam regulam dialecticam in omnibus cira
culis inæqualibus inter $e ad æquales angulos $ecanti-
bus & ex tertia demum regula dialectica, $equitur in o-
mnibus circulis in æqualibus $e $ecantibus ad quemuis
angulum in $phæræ $uperficie. Sunt autem hæ regulæ mediæ inter
axiomata & demon$trata. Et ex logica propria illi arti. In plano au-
<marg>P<I>er</I> 13. <I>terd
tij</I> E<I>lement.</I></marg>
tem $patium d b c minus e$t a b c, $ed $patium c b d e$t unum, ergo
per communem animi $ententiam $patium a b d, maius e$t $patio
c b c, quod fuit probandum.</P>
<foot>G 3 Propo$itio</foot>
<p n=>78</p>
<P>Propo$itio octuage$ima$eptima.</P>
<P>Proportionem cra$sitiei aquæ ad aërem in comparatione ad ra-
dios demon$trare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit in aheno a b c d in imo e dena
<fig>
rius argenteus cera affixus uel cla-
uo, quem uideat ex h impo$ita aqua
clara u$<01> ad f, uideat ex k, igitur per
aquam deflectitur à perpendiculo
per angulum k f n, & in l, per angu-
lum l g o cre$cente aqua demum in
labro m a p, & $it e annexus, & tabu
la h k l m $it affixa $olo uel pondere
firma foraminibus obliquis infrà
$pectantibus, & per a a$picientibus extremitatem e. Po$$umus ergo
imaginari primum, quòd omnes inclinationes $int à perpendicu-
lari, dum exit aqua, & ita denarius uideretur, uel in $uperficie aquæ
in directo e, uel in recta ex oculo in imo, quorum neutrum uerum
e$t. Secundus modus e$t, ut radius delatus e a flectatur ad k uell, &
hoc non quia in a non e$t mutatio medij. Tertius e$t, ut linea ex ocu
lo ducta perueniat per punctum a ad $uperficiem aquæ, & ex ea
per directum ad denarium, & tunc quia oculus iudicat $e uidere
per rectam, ideo iudicabit $e uidere per l a g in q, eo quod $emper in
directo loci in quo e$t e. At quoniam non ex qua cun<01> di$tantia ui-
detur e, $ed ex longinquiore loco, ubi uas fuerit humilius quod li-
neæ ad a ex oculo, quanto a fuerit humilius, tanto propius ip$i e
procedunt. Et uer$a uice lineæ ex e ad a, quanto e e$t humilius ad
quencun<01> locum inflectuntur, tanto inferius cadũt. Ergo cum fue
rint ad æquilibrium h, magis di$tabunt ab e, & ita e magis procul
uidebitur. Cau$a ergo triplex e$t humilitas, uel altitudo ua$is: humi
litas uel altitudo aquæ: & labri ua$is altitudo. Sed han crelinquere
po$$umus. Difficultas ergo experimenti etiam rectè facti e$t, quo-
niam po$ito ua$e n c d $olum, ut altitudo $it tantum n e, procul ma-
gis uidebitur e, quàm $i uas $it a b c d, & totum plenum. Vbi autem
uas fit a b c d, magis procul uidebitur e cum $uerit totum plenum,
quam cum fuerit plena $ola pars n c d. Sic difficile e$t con$iderare
an altitudo aquæ faciat ad ui$ionem procul, cum in humiliore, $ed
di$sipari ua$e longius uideatur in pauca, quia labrum non ob$tat:
in eodem autem longius in pluri aqua, quia labrum etiam non ob-
$tat, $ed alia ratione. Vt ergo uideamus hoc experimentum, capie-
<foot>mus</foot>
<p n=>79</p>
mus duo ua$a a b c d duplum h k l m $ub eadem proportione alti-
tudinis & latitudinis, & collo cabimus ita ut p n radius æquidi$tet
f e, & collo cabimus tabulas cum foraminibus, ut prius, & g f p q
<fig>
in æquilibrio, in de uidebimus, an q p $it æqualis aut breuior, nam
longior e$$e non pote$t, quoniam inflectitur a minore aqua, ideo
angulus p h q non pote$t e$$e maior f a g, $uppo$ita p h æquali a f:
quod $i non e$$et, $ufficeret, ut q & p e$$ent in æquilibrio uno, & f g
alio. Sed ueritas e$t quod à maiore aqua maior fit reflexio: tum
quia in his, quæ $unt $ecundum naturam corpoream, & $ub$tan-
tiam den$am, aut tenuem uarietas quantitatis uariat uires: tum
quia uidemus, quod in altiore aqua denarius uidetur magis cum
fundo elatus. Igitur his cognitis experimentum fiat cum ua$e ple-
no. Et (ut dixi) con$iderabimus proportionem anguli f a g ad far,
$eu f e c quæ $anè e$t no tabilis: adeò ut $it maior proportio aquæ ad
aërem comparatione grauium quàm lucis.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex his cogno$cemus comparatione eiu$dem aquæ tenuitatem
aëris unius regionis in comparatione ad aërem alterius: nam ubi
remotius uidebitur denarius, ibi aër erit tenuior.</P>
<marg>C<I>or</I>_{m}. 2.</marg>
<P>Et per idem in eadem regione comparationem aquarum. Nam
cum $it idem aër, & uas, ac reliqua paria, ubi magis procul uidebi-
tur denarius, aqua erit cra$sior ideò deterior.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg>
<P>Se quitur etiam quòd omnes res propiores in aqua uidentur,
quam $int, & ideò maiores: & ob id etiam omnis aqua profundior
e$t, quam uideatur. Vtingredi per$æpè $it periculo$um.</P>
<P>Propo$itio octuage$imaoctaua. De in$trumento
momentorum.</P>
<P>In$trumentum Acolingen, quo momenta temporum deprehen
dantur fabricare.</P>
<foot>G 4 Et</foot>
<p n=>80</p>
<marg>C<I>om.</I></marg>
<P>Et quoniam motus naturales fiunt in tempore: & dicuntur ue-
lociores, uel ob $patium loci magnum, quod $uperatur, uel ob tem
poris breuitatem in uelo ci$simis motibus, quod ad $patia attinet,
facilius digno$cuntur uelociores, quoniam $patium maius & ma-
net, ut men$urari commodè po$sit: $ed quòd ad tempus, quanto tar
diores, quoniam in uelo cibus quantitas temporis e$t exigua: & e-
tiam tempus ip$um perpetuò diffluit: ideò difficillimè deprehen di
pote$t. Huius cau$a exco gitauimus in$trumentum, quod uo caui-
mus Acolingen: quod con$tat tribus rotis: prima e$t pedum duo-
decim diametri, in ambitu autem habet denticulos ccclx æqua-
les, & æqualiter inter $e di$tantes, huius peripheriæ funis cum pon-
deribus in$eritur, ita ut cum alijs duabus rotis renitentibus in una
hora circumagatur æqualiter. Duodecim ex his denticulis curru-
lis duode cim denticulorum axis $ecundæ rotæ in$eritur: $ic ut cum
rota magna duode cim conuer$a fuerit partibus, $ecunda rota cu-
ius axis $it pedum duorum, $cilicet $excuplo maior circumuerta-
tur. Huius minoris ambitus diui$us $it in cxx partes æquales, &
unicuique parti denticulus in$ertus $it: ita hæc rota tricies in una
hora conuertetur. Singulis uerò denticulis currulis axis rotæ ha-
bentis denticulos quatuor in$eratur, ita ut dum $ecunda rota uer-
titur $emel minima circumuertatur tricies: nam pro $ingulis qua-
tuor denticulis, quibus media rota cir cumagetur, minima tota cir-
cumuertetur, ideoqúe nongenties in una hora. Hæc minima ro-
tula be$$em pedis in dimetiente habebit, ut $it $exta pars illius, in
ambitu autem diui$a erit in xl partes, ut cum circumuer$a fue-
rit nongenties in una hora pertran$ierit partes xxxvi. Et cum
pul$us hominis communis $int in hora <23>, uel circa nouem partes
ex his rot&ecedil; minoris perficient circiter unam pul$ationem ex dia$to-
le & $i$tole, $eu ex di$tentione & contractione perfectam: ut partis
unius conuer$io fiat in nona parte, uel circa unius pul$ationis pul-
$us humani: & hoc e$t minimum fermè, quod ab humano $en-
$u percipi po$sit. Erit etiam proportio rotarum eadem tam in dia-
metris, quàm circuitibus $cilicet $excupla, neque motus diffor-
mis, quoniam maior tanto tardius mouebitur, quanto quod ue-
locius mouetur etiam minus erit, tamen proportio uelo citatis ma-
ioris ad minorem in æqualibus $patijs uigintiquin cupla, ut ma-
ioris ad mediam quintupla, nam cum $it $excupla in ambitu,
& tricies moueatur uelocius comparatione totius, $equitur, ut
proportio $patij, quod $uperabit media ad $patium, quod $u-
perabit maior in ei$dem temporibus, erit quintupla, $emper ad un-
guem. Et ita mediæ ad minorem quintupla, & ideò maioris ad
<foot>minorem</foot>
<p n=>81</p>
minorem uelo citas uiginti quincupla, ut non $it difformis, neque
pcriculo$a, ut in rotis moletrinis, & $it diui$a per medium iuxta
proportionem, cum $it tanto uelo cior minor media, quanto media
maiore. Rur$us proportio partium maioris ad mediæ partes tripla
e$t $cilicet ccclx ad cxx, & mediæ ad minor&etilde; tripla cxx ad xl, & pro-
portio e$t $excupla, iterum igitur partes maioris ad mediam, & me-
diæ ad minorem erunt in dupla proportione, utrobi<01>, & e$t pul-
chrum. Ideò partes etiam minimæ rotæ erunt $atis magnæ: nam
cum diameter $it bes pedis, ambitus peripheriæ erit duorum pe-
dum. 1. unciarum uigintiquatuor: igitur diui$a peripheria in xl par-
ter, unaquæ <01> pars erit maior dimidia uncia.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Et cum defuerit in$trumentum, utemur men$ura expul$u homi-
nis de$umpta, $ed non e$t adeò exacta. Accedit aliud commodum,
quòd cum in una hora circumuertantur partes xxxvi, id e$t triginta
$ex mille: & octauus orbis circumuertatur in totidem annis, tot
erunt momenta ex his in una hora, quot anni in uno circuitu $tella-
rum fixarum. Vtintelligamus, quàm breui tran$it una hora apud
nos, ita apud Deum, utita dicam (nam nulla in infinito proportio)
unus annus magnus, & reditus rerum omnium. Comparata etiam
rota minima ad rotam moletrini $ic $e habet, quòd cùm modica ad-
e$t, uer$atur rota in una pul$atione: cum $atis abundans quinquies,
aut $exies cum immodica duo decies.</P>
<fig>
<foot>Ex hoc</foot>
<p n=>82</p>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Ex hoc $equitur, quod homo $i moueretur uelo citate motus ro-
tæ moletrinæ in $ex eb domadibus perueniret ad $ydus Lunæ, nam
rotarum earum, quibus ferrum acuitur $emidimetiens communi-
ter e$t bes unius pa$$us, ideò dimetiens pa$$us cum triente: ambi-
tus ergo quatuor pa$$us, & xxi pars, colligamus nunc integra, in
uno ictu pul$us circumagitur decies, id e$t pa$$us xl, in hora $unt
<23> pul$ationes: in hora igitur $patium pertran$itum e$t cxl pa$$uum
in M. horis, ergo erunt clx M. pa$$uum addita parte xxi, erunt clxviij
M. pa$$uum, & tantum di$tat luna à terra: & M. horæ $unt dies penè
xlij, eb domadæ $cilicet $ex.</P>
<P>Propo$itio octuage$imanona.</P>
<P>Proportionem den$itatis aquæ ad aërem per pondera inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Contingit hoc multis modis: primum acceptis duabus $phæru-
lis æqualibus ex cry$tali$ub$tantia una<03> demi$$a ab alti$sima turri,
& men$urato ictu per in$trumentum præcedens, & $ub totidem
momentis alia demi$$a in aquam, in de $ub eodem tempore dimen-
$a altitudine, erit proportio $patij ad $patium, ut den$itatis aquæ, ad
den$itatem aëris. Item emi$$a $phærula per in$trumentum in aërem,
in de in aquam: & fumpta proportione. Et uidimus $corpionem,
qui $phærulã creteam emittebat pedibus lxx, & in aqua per unum
& dimidium adeò, ut proportio fuerit, ut quinquaginta ad unum:
ideò e$t fallax experimentum in uiolento motu: nam cum emitte-
batur in aquam erat propè, & ob id in $ummo robore: cùm in aë-
rem, emittitur $en$im uis. De hoc ergo loquar.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Et erumpentia ob id magis quàm è terra, et minus quàm ex aëre:
diuiditur enim aqua cum graue petit fundum, & aqua feruet: & e$t
mirabilius, quàm utile.</P>
<P>Propo$itio nonage$ima.</P>
<P>Rationem impetus uiolenti extra mi$si ponderis ad æqualita-
tem reducere.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit uiolentum a quod moueatur per b c d e, e $patium, & quia
uiolentum contrà nititur naturali, cadat ergo in planum in e: $unt
ergo tria con$ideran da, primum quod, ut dixi aliâs, motus uiolen-
tus pro certa di$tantia augetur, & cau$am ibireddidi, ut potè u$que
ad c, $ed hoc e$$et difficile cognitu. Secundum, quod ubi in cipit de-
cre$cere, $emper magis ac magis decre$cit propter naturalem ni-
xum contra operantem. Tertium quod ubi de$cendere in cipit, ibi
e$t æqualis uis uiolentum motum agens cum naturali. Certum e$t
etiam quod motus æqualis intelligitur erecta ad perpendiculum
e f, donec occurrat a d: & diui$a tota b f per tempus, locus ergo, in
quo mouetur per tantum $patium, dicitur locus motus æqualis:
<foot>qui</foot>
<p n=>83</p>
qui $it gratia exempli g h, cuius medium proportione $it k, di-
co k con$i$tere propiorem f, quàm b, etiam$i æqualiter mouere-
tur. Primum quòd in tota g f declinat, & totus motus e$t lentior,
quàm in tota b g, & tamen tardatur tantundem, ergo per commu-
nem animi $ententiam, k e$t propior f, quàm b. Secundò, quia per
$ecundum $uppo $itum motus a uer$us f, continuè fit lentior, igitur
per communem animi $ententiam multò longius e$t tempus mo-
tus a k, quam f, & tanto maius $patium. Tertiò, quia motus ex b uer
$us caugetur, & $i e$$et æqualis adhuc multò e$$et breuior k f quam
a k, igitur multò magis hoc modo, & triplicata ratione. Si ergo b k
<fig>
e$$et $exquiquarta $olum ip$i k f,
erit b k dupla: fermè ex triplicata
ratione ip$i k f, & iuxta eundem
modum ponemus mediam uim
xlvi pa$sibus à $corpione a quam
& hoc modo erit propèid quod e$t.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Dubitat autem Philo$ophus in mechanicis quæ nam uis $it, qu&ecedil;
moueat lapidem iam excu$$um? & dubium non e$t quin ex parte $it
aër motus tum ratione, quia mouetur ergo mouet, tum experimen
to, ut in fulminibus, & his quæ uento impelluntur, ut hypophy$is,
$ed in $corpionibus & arcubus & pilis id non $ufficere uidetur. Ita-
que uelut & caliditas & frigiditas in corporibus natura contrarijs
aliquandiu manent, & agunt ita & uiolentos motus, id<03> Alexan-
der & Simplicius uolunt. Inditio $unt quòd mota & emi$$a ex lon-
gioribus machinis quan quam non aërem continentibus, nec in-
anibus tamen, longius eijciunt $agittas & mi$silia, quoniam uis
illa firmius imprimitur, uelut etiam de lapidibus & ferro, quod di-
utius in igne moram traxit, aut continuè follibus ignitum e$t, nam
etiam tanto tardius refrigeratur unum quod que horum, & alia urit
& accendit calore illo externo, quanquam natura frigidum $it: di-
cemus autem & de hoc $uo loco.</P>
<P>Propo$itio nonage$imaprima.</P>
<P>Proportionem grauis cubi, & $phærici æqualium in accliui, &
de$cen$us eorum demon$trare.</P>
<P>Hic non pauca $unt cõ$ideranda: Primum
<fig>
quòd hoc intelligi pote$t, uel de motibus at-
tractionis, uel impul$ionis, uel inuer$ionis.
Secundum quod omne, quod impellitur $uperiùs, tantundem gra-
uat attractum, quantum ad de$cen$um, $i $it rotundum, nam qua-
drata, etiã alia non de$cendunt $ponte in decliui, & $i $it locus ualdè
<foot>decliuis,</foot>
<p n=>84</p>
decliuis, tanto minus de$cendunt, quanto $unt latiora. Quia tamen
omnia difficiliùs de$cendunt $phæricis, & facilius quàm in plano,
ubi ponderant ni$i per dimidium grauitatis, ideò proportio hæc
con$tat ex proportione anguli de$cen$us ad totum rectum, & ma-
gnitudine $uperficiei, qua incumbit ad pondus comparata. Omne
enim graue, quanto grauius tam ad quietem, quàm ad motum na-
turalem potentius e$t: hoc enim per$picuum e$t, quia quieti natu-
rali motus uiolentus, & motui naturali quies uiolenta opponitur:
quia ergo maiore ui opus e$t ad motum præter naturam, ergo $e-
cundum naturam etiam maiore ui quie$cit. A$$ump$imus ergo cu-
bum, ut magis notum. Sphæra igitur in omni decliui de$cendit,
quia ut dictum e$t, nil habet quod re$i$tat ad motum: & ip$a gra-
uior e$t in decliui, quàm in plano, quia c pun-
ctus cadit ultra e, ergo punctus contactus, &
<fig>
centrum grauitatis, & centrum mundi, non $unt
in una linea. Si enim b c contangeretur, e$$et b c
plana. Si uerò tangit, angulus e$t maior angulo
contactus, ergo cum nece$$arium $it, æquidi$ta-
re aliter non e$$et $phæricum, oportet, ut eleue-
tur ex parte c, & de$cendat uer$us b, & ideò ut
continuetur motus. Si uerò $it in linea conta-
ctus b c f, & æquidi$tet non erit, ut dixi punctus
contactus in linea centrorum, $ed in a c, cum $uppo$itum $it lineam
a d e$$e lineam centrorum: maior e$t ergo portio g c e, quàm re$i-
duum, ergo de$cendet in b. Cubus uerò non de$cendet, ni$i cum di-
midium d addito, quod inter cipitur inter lineam mediam, & quæ à
centro mundi ad punctum medium contactus u$<01> quò perueniat
ad oppo$itam partem, eam habuerit proportionem ad idem me-
dium eadem portione detracta, quem iuncta proportioni an guli
declinationis ad re$iduum recti dimidiam proportionem efficiat.
Eadem<03> ratio aliorum planorum. Dico præterea quòd motus
$phæræ, & etiam corporum rectarum $uperficierum in de$cen$u
alius e$t æqualis, & alius inæqualis, & qua$i à latere, uelut $i angu-
lus unus prolabatur, ac fiat circumuolutio: cum ergo facilius fiat
hoc, & maximè $i non retineatur æqualiter, & difficile $it in medio
retinere, propterea prolap$us hi melius retin&etilde;tur duobus uinculis,
quàm in medio, non $olum ob hanc æqualitatem, & complexum
meliorem, $ed etiã, quod omnes motus, omnes ponderum nixus fa
ciliùs cohibentur, & deducun&ttilde; diui$i in partes, <08> $i toti contin ean&ttilde;,
aut ui trahãtur. Et ideo uin cula in rami cibus duplicia dextra, & $ini
$tra $cilicet in ead&etilde; parte tamë longe $unt meliora etiam ferreis, quæ
$olum in medio nectantur.</P>
<foot>Ex hoc</foot>
<p n=>85</p>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex hoc etiam $equitur,
<fig>
quod cùm omne graue
$pontè $emper appropin-
quet centro mundi, & a $i
moueretur per planum e,
magis remoueretur à cen-
tro mundi, ut per e c per ea
quæ diximus, & quoniam
linea ex centro mundi ad
c longior e$t, quàm ad e,
multò pote$t enim e$$e, ut
in proportione diametri
quadrati ad latus eius, &
ctiam maior. ergo poterit
e$$e adeò parum decliuis
linea c d, ut c punctus ma-
gis di$ter à centro mundi,
quàm d, & tamen feretur
ex d in c motu naturali, ut demon$tratum e$t, ergo per purum mo-
tum naturalem poterit a remoueri à centro mundi. Hoc uolui pro-
ponere, ut intelligeres in plano uero c e non moueri a $ponte, quia
c nece$$ariò altior e$t d: $i ergo mouebitur, non erit c e recta, $ed
pars proportionis circuli $uperficiei terræ, quæ $en$u à recta di$tin-
gui non poterit. Hoc ergo e$t primum, ex quo $equitur.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Quod aliquid poterit uideri decliue, in quo non de$cendet imò
erit, ut potè $i aliqua linea obliqua e$$et inter c e, & f e, illa e$$et decli-
uis $pecie, & re, & tamen graue in illa non de$cenderet, quia à cen-
tro mundi magis remoueretur: hoc tamen e$t perdifficile factu, &
maximè in parua di$tantia, uel etiam unius miliaris. Atque hæc
in leuigatis.</P>
<P>Propo$itio nonage$ima$ecunda.</P>
<P>Propprtionem ponderis æqualis iuxta longitu dinis compara-
tionem demon$trare.</P>
<fig>
<P>Hoc e$t, quod Archimedes reliquit
<marg>C<I>om.</I></marg>
intactum, cum e$$et maximè nece$$a-
rium, & o$tendit magis ab$tru$a, $ed
pace illius dixerim minus utilia. Cum
ergo $ump$i$$em uirgam b f ponderis
unciarum xxiij, fui$$et b a uige$imaquarta pars, b f fuit pondus æ-
quilibrij in b appen$um librarum uiginti$ex cum dimidia: fuit igi-
tur proportio ponderis e f ad pondus f b, ut tredecim ferme ad
<foot>H unum.</foot>
<p n=>86</p>
unum. Et rur$us feci a b quintam partem a f, & fuit a b unciarum
quatuor, & pondus quod æquauit librarum quatuor, ideò du-
plum ad pondus b f, $icut c f ad c b: con$tat enim quòd pondus ap-
pen$um e$t æquale ponderi cf. Et rur$us po$ui b a quartam partem
b f, & fuit pondus, quod æquauit in b duæ libræ: ex quo manife-
$tum e$t, quòd proportio c f ad c b e$t $emper uelut ponderis c f ad
totam b f. Et hoc e$t, ac $i dicamus, quòd proportio ponderis c f ad
totam e$t confu$a ex proportione e f ad c b, & c f, quod e$t 1 p. Id
<marg>E<I>x</I> 18. <I>diff.</I></marg>
etiam declaratum e$t in primo de Subtilitate. Proponatur ergo
lemma, iam $ic proportio ponderis cf ad pondus b c, e$t primum
ut longitu dinis cf, $i e$$et $u$pen$a in medio ad longitudinem b c,
quia $upponuntur proportione $imiles $uis longitudinibus ma-
gnitudines, & pondera. At c f $u$pen$a in c, tanto e$t grauior pon-
dere proprio, quanto proportionis longitudinis cf ad cb quadra-
tum, quia in $e ducitur proportio: igitur proportio ponderis c f in
loco $uo ad b c pondus e$t confu$a ex proportione longitudinis
cf ad c b, & quadratis eiu$dem proportionis longitudinis cf ad c
b. Sed quadratum proportionis longitudinis cf ad cb e$t æquale
producto proportionis longitudinis c f in ip$am c f, propterea
quòd ex proportione longitudinis cf ad cb in ip$am c b fit c f, igi-
tur proportio ponderis c f ad pondus c b e$t confu$a ex propor-
tione ponderis c f ad pondus c b, & proportione ponderis cf alicu
ius $e habentis ad pondus cf, ut cf longitudo ad longitudinem
c b, igitur proportio ponderis cf ad pondus b f, ut cf ad c b in lon-
gitudine, quod erat probandum.</P>
<P>Propo$itio nonage$imatertia.</P>
<P>Propter quid in concu$sione etiam leui nauis loco moueatur
o$tendere. Vnde manife$tum e$t, duas naues $ibi inuicem occur$an
tes retrocedere, & quantum retrocedant ambæ.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Proponatur, quod proportio motus grauis in a d graue in aqua
$it, uelut proportio ponderis attracti in terra ad den$itatem aquæ
cum profunditate, nam ubi pondus $upernataret aquæ, quia aqua
e$t rotunda, e$t ac $i tangeret in puncto. Quare per demon$trata $u-
periùs mouebitur à quacun<01> ui, ergo nixus contrarius aduenit ob
<marg>P<I>ropo$.</I> 40.</marg>
profunditatem, & aquæ den$itatem, $ed quanto aqua den$ior e$t,
tanto minus nauis de$cendit, & quanto minus den$a, tanto magis:
ergo pari modo fermè redduntur mobiles, & in aqua dulci & $al$a,
ubi naues $int $imiles forma, pondere, magnitudine. Quia crgo ne-
ce$$e e$t tabulam nauis e$$e duriorem, quam aqua ad re$i$tendum,
ergo pars maior ictus mouebit primo nauim, quam tabulam pe-
netret, cum ergo quod facilius e$t, præcedat, difficilius ergo naues
<foot>utrin<01></foot>
<p n=>87</p>
utrin<01> mouebuntur, & quia inter duos quo$cun<01> motus contra-
rios nõ e$$eos, ut utar uocabulo Auerrois quinto Phy$icorum, ne-
ce$$e e$t, ut intercedat quies media, & in quiete ab ictu, ut ui$um e$t
$uperius, oportet, ut quod excipit ictum uelloco moueatur, uel ce-
<marg>P<I>ropo$.</I> 74.</marg>
dat, & ictus penetret, uel aër non conden$etur ob tarditatem ultra
metam, nec retro cedere pote$t ex $uppo$ito, & ictus e$t magnus,
clarum e$t, quod oportet, ut cedat, & $i durum $it confringatur.
Proportio ergo rece$$us ad ictum e$t ut temporis, & magnitudinis
partis, quæ cedit, & retro ce$$us po$ito ictu tanquam monade.</P>
<P>Propo$itio nonage$imaquarta.</P>
<P>Si quantitas aliqua nota at<01> proportio erit producta quantitas
nota $imiliter. Et $i duæ proportiones notæ fuerint, erit producta
ex his at<01> diui$a, coniuncta<03>, at<01> detracta nota. Et $i fuerit totius
ad partem proportio nota erit, & ad aliam partem nota, & alterius
partis ad alteram uno minor. Et $i fuerit partis ad partem, erit ad to
tum monade minor at<01> nota. Et $i fuerit unius quantitatis ad duas
quantitates proportio nota, erit & confu$a ex eis nota. Et $i fuerint
trium quantitatum omiologarum, aut quatuor analogarum, o-
mnes præter unam cognitæ erunt, & illa alia cognita.</P>
<fig>
<P>Sit quantitas a b & ducta in d proportionem,
<marg>C<I>om.</I></marg>
producat b c: dico quod duobus quibuslibet ex
his cognitis, erit cognitum tertium: nam cogni-
tum quodlibet dicitur in comparatione ad $impliciter cognitum,
quod e$t unum per $e omnibus cognitum. Ob id Arithmetica e$t
prima omnium di$ciplinarum, quia habet principium cognitum,
& id, quod e$t, ad principium comparatum cognitum in illius com
paratione: ne<01> aliter cognitum dici pote$t. Quia ergo d cognita
e$t, erunt monades, & partes cognitæ in ea: aliter non e$$et cognita
b a, igitur cum cognita $it, erit cognita per $ingulas monades, quan
ta $it. Et $i diceres quòd b a non e$t cognita per partem monadis:
dico quod pars monadis non e$t incognita, quia cum monades
$unt cognitæ, e$$et d incognita. Omnes enim, quod componitur ex
cognito & incognito, e$t incognitum, quia cognitum $olum ratio-
ne partis cognitæ. Si ergo pars monadis e$t cognita, erit pars a b
quælibet prout ex monade componitur $impliciter cognita. Su-
<marg>E<I>x $ecunda
animi com-
muni $enter
tia.</I></marg>
pere$t, ut $olum pars partis: & dico quod illa etiam e$t cognita:
quia $i pars ab e$$et, monas e$$et cognita: e$$et enim pars ip$a.</P>
<P>Sed $i $it pars, erit $umpta $ecundum partem monadis ip$ius,
ideò erit cognita iuxta nomen, uelut dimidium e$t dimidium mo-
nadis, dimi dium tertiæ partis monadis e$t cognitum, quia tertia
pars e$t cognita, & $cimus, quanta pars a$$umatur illius. Ergo $i a b,
<foot>H 2 & d</foot>
<p n=>88</p>
& d cognitæ $unt erit & b c, quod e$t primum. Per hæc eadem pro-
bantur quatuor $equentes partes eodem modo. Sexta $ic: $it pro-
portio a c ad c b, nota igitur in comparatione ad monadem, $ed pro
portio a c ad c b b a e$t monas, igitur proportio a c ad a b nota e$t,
quoniam aliter non po$$et dici proportio a c ad b c nota. Aliter, $it
proportio a c ad c b e nota, ex $uppo$ito igitur conuer$a nota quæ
$it f ex f, igitur in a c fit b c ex g in a c, fiat a b ergo ex a c in f g fit a, cigi
tur f g e$t monas, f autem nota e$t, igitur in comparatione ad mona-
<marg>P<I>er demon-
$trat.</I> 12.
P<I>ropo$.</I></marg>
dem, ergo re$iduum g notum. Cum uerò proportio a c ad c b com-
ponatur ex proportione a b b c ad b c, & proportio b c ad b c $it
monas, & proportio a c ad b c nota, erit proportio a b ad b c cogni
<marg>P<I>er</I> 11. P<I>et.</I></marg>
ta, & monade minor proportione a c ad b c. Per idem octaua pars
<fig>
demon$trabitur. Inde $it proportio a ad b, & ad c no-
ta, erit ergo b, & c ad a nota, quare b c ad a nota, $ed
<marg>E<I>x demon$t.</I>
12. P<I>ropo$.</I></marg>
hæc e$t conuer$a ad b c confu$a, igitur proportio a
ad b confu$a nota e$t. Vltimum $it, $int a b c omiologæ, & $int a & b
<marg>P<I>er</I> 14.
P<I>ropo$.</I></marg>
notæ duo, quod c nota e$t, nam a b, $i notæ $unt, nota e$t proportio
earum. Ergo & proportio b ad c ergo per primam partem huius
<marg>P<I>er</I> 3. P<I>etit.</I></marg>
cum $it b nota, exit & c. Et $i ponantur a c notæ, dico, quòd b nota
erit: nam proportio a c ad c nota e$t, quæ $it d, igitur d ad monadem
ut a ad c, ergo latus notum erit, quod ductum in c producit b, b igi-
<marg>E<I>x</I> 2. A<I>nimi
$ententia.</I></marg>
tur nota. Et $imiliter in analogis $int a b c notæ: & ideò erit propor-
tio a ad b nota ergo c ad d. cum<03> c nota $it, ergo per primam par-
tem huius erit d nota, quod fuit demon$trandum.</P>
<P>Propo$itio nonage$imaquinta.</P>
<P>Cuiu$uis trigoni rectanguli, aut cuius duo anguli $int in dupla
proportione, aut qui circulo in$criptus $it cognita quantitate uni-
us lateris in comparatione ad dimetientem $i proportio duorũ la-
terum cognita fuerit, erunt omnia eius latera cognita.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Non de cognitione <04>pinqua a$tronomorũ, de qua abundè ab
Heber tractatum e$t, $ed de exacta, de qua $uperius egi nunc $ermo
<marg>P<I>ropo$.</I> 97.</marg>
e$t: $it igitur primum a b c trigonus orthogonius: & $it a rectus, &
<04>portio duorũ laterum cognita, dico, quod omnia latera cognita
<marg>P<I>er</I> 47. <I>pri
mi</I> E<I>lement.</I></marg>
<fig>
erunt: nam $it proportio, gratia exempli,
a b ad b c, erit ergo quadrati a b ad qua-
dratum b c cognita, quia duplicata: at
quadrata a b, & a c perficiunt quadratum
b c, igitur proportio quadrati a b ad a c et
e$t 1 p: cognita erit, quare & a b ad a c, & eod&etilde; modo a c ad b c: quod
e$t primum. Exemplum, ponatur b c dupla a b, erit a b quadratum
$ub quadruplum quadrato a b quare $ubtriplum quadrato a cigi-
<foot>tur $i</foot>
<p n=>89</p>
tur $i a b ponatur 1 b c erit 2, & a c <02> 3. Rur$us ponatur angulus b
duplus angulo c quali$cun<01> $it, erit per demon$trata $uperius pro-
portio a b b c ad a c, ut a c ad a b, $i igitur nota $it proportio a c ad
a b, erit nota proportio a b b c ad a b per præcedentem. Ergo per
eandem omnia nota $cilicet b c ad b a, & b c ad c a. Et $i e$$et nota
proportio a b ad b c, dico, quod e$$ent nota omnia, nam nota e$$et
a b, & b c, & quod fit ex a b in ip$um aggregatum. Sed hoc e$t æ-
<marg>P<I>er</I> 17. <I>$ex
ti</I> E<I>lem.</I>
P<I>ropo$.</I> 17.</marg>
quale quadrato a c, igitur notum e$t quadratum a c ergo a c: igitur
<04>portio a b b c ad a c, & a c ad a b. Vt $i a b e$$et 4 b c 5, e$$et a b b c
9 ducta in a b, quæ e$t, fit 36, cuius latus e$t b a c $cilicet. Et $i e$$et
trigonus aliquis in cir culo, cuius proportio duorum laterum $it co
gnita ad dimetientem relata, $equitur per demon$trata $upe-
rius, quod etiam tertium latus erit cognitum in comparatione ad
eadem, & ideo etiam proportio illorum laterum ad unguem co-
gnita erit.</P>
<P>Multa præterea cognita e$$ent in hoc genere, quæ nunc præter-
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
mitto, quia non $unt ad finem nece$$aria. Alia præterea per diligen-
tem inqui$itionem maioris artis quàm alias edidimus. tum uerò
etiam per nouas demon$trationes.</P>
<P>Propo$itio nonage$ima$exta.</P>
<P>Cum in per$picuum den$um radij lumino$i in ciderint, quatuor
fiunt luminis genera.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit $ol a, & per$picuum den$um, exempli gratia, ut ampula
magna aqua plena b c d, & $i $it rotunda accendit ignem ex ad-
uer$o ut in e. Dico ergo in b c d e$$e quatuor genera luminis. Pri-
mum quod e$t ualidius, & rectà tran$it, ualidius enim e$t, quod
tran$it quàm quod tran$ire non pote$t, & etiam quia, ut dixi,
ignem accen dit. Secundum e$t quod colligitur in ampula, & dein-
de $pargitur circũcircà, nam id ualidius e$t, quia penetrat, & re$ilit
quàm quod non penetrat, aut $i penetrat, non $pargitur, & hoc dif-
funditur circa uas, necreflectitur rectè, $ed qua$i intro colligitur, &
diuer$a ratione diffunditur, e$t tamen imbecillius primo, ut dictum
e$t. Tertium genus e$t, quod illuminat intus ingrediendo, $ed non
$pargitur, & hoc e$t debilius $ecundo, quia nõ pote$t $pargi. Quar-
<fig>
tum e$t, quod non ingreditur omnino, $ed refle-
ctitur, i$tud e$t ab$<01> dubio imbecillimum, quo-
niam penetrare non pote$t. Et licet in $peculis
concauis radius reflexus uideatur e$$e ualidior,
$tatim enim accendit ignem, hoc non contin-
git, ni$i quia in $peculo cauo radij omnes col-
<foot>H 3 liguntur</foot>
<p n=>90</p>
ligun&ttilde; ob opacũ, quod à tergo e$t, ne<01> $pargun&ttilde;, ne<01> tran$eũt, ne<01>
combibuntur, ut ita dicam $ed omnes reflectũtur. Ex quo colligitur
quin cuplex ordo radiorum iuxta rationem uirium, primus e$t refle
xorũ à $peculo cõcauo, & hi $unt pot&etilde;ti$simi ob ration&etilde; dictã, po$t
quos $unt radij, qui tran$eunt per per$picuum maximè rotundum,
qui & ip$i generant ignem, & debiliorem primo, deinde reliqui
tres $equentes $upradicti. Sextus e$t radiorum, qui reflectuntur à
rebus non nitidis, ut à muris, & tabulis, nam omnia dura reflectunt
& etiam mollium plera<01>, & hæc reflexio e$t fermè infinita, & ob id
cubicula etiam in angulis illuminantur.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex hoc $equitur, quòd Luna remittit lumen, non reflectit, nam
$ecus non illuminaret to tum orbem, $ed $olum portionem oppo-
$itam Soli, & hoc etiam rarò, ergo combibitur, & illu$trat circun-
circa ubi<01>.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>In $tellis lumen Solis pertran$it aliter, $i reflecteretur, non illumi-
naret nos, aut apparerent, uelut cometæ, quia pars una e$$et clarior
reliqua, & $i conbiberent lumen, non uiderentur æquè claræ, cum
Sol e$$et propinquus, aut remotus.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg>
<P>Luna tota intus illuminatur à Sole, quoniam $i ante coniun-
ctionem illuminatur à $ini$tra parte, & combibit lumen per cor-
rolarium primum, & po$t coniunctionem illuminatur à dex-
tra, & combibit pariter lumen, ergo e$t tota naturæ per$picuæ, $ed
uidetur ob$cura ex aduer$o, propterea quòd radij ualidiores refle-
xi illu$trant illam ex parte Solis, diffugiunt à contraria, quod ma-
nife$tè apparet in ampula expo$ita Soli. Pars enim clarior uer$us
Solem uidetur, quam ex aduer$o, hoc autem longè magis in Luna
ob di$tantiam.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg>
<P>In omni Solis eclip$i fit colectio radiorum ad a$pectum, &
ideo in regione illa, in qua centrum Solis integitur à centro Lunæ,
& ubicun<01> fit, fit in cendium per tertium corrolarium. Hoc autem
fit $emper in quauis coniunctione, & dum Luna $ilet in regione ae-
ris, $ed terris non $e cundùm centrum, uerùm ad latitudinem, & ad
Orientem ante coniunctionem cum Sole, & ad Occidentem po$t:
$ed centra non $unt in linea ui$us.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 5.</marg>
<P>Ex hoc $equitur, quod oportet $ub$tantiam Lunæ e$$e ualde cla-
ram, cum uideamus ab ampula tam paruum lumen diffundi, & ra-
rum, à Luna uerò in uniuer$um orbem, & tam copio$um, ut nece$-
$arium $it $ub$tantiam Lunæ e$$e den$am, & lucidam ualde.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Et $i quis dicat, quòd $i in cendium illud fieri po$$et in hora ecli-
p$is, $equeretur, quòd ut in ampula in medio Lunæ uideretur ma-
<foot>gnus</foot>
<p n=>91</p>
gnus $plendor, referens corpus Solis. Propterea dico, quòd uel ac-
eidit, quia homo non pote$t ea hora intueri Solem, & etiam e$t im-
peditus à radijs circum$tantibus, cuius indicio e$t, quod in $pe-
culo po$ito in aqua, $imile uidetur $tellulæ in centro Lun&ecedil;: & hic e$t
$plen dor Solis collectus in centro Lunæ. po$$et etiam dici, quòd
Luna circa medium propter maculam non admitteret lumen, & ita
e$$et inæqualium partium.</P>
<P>Propo$itio nonage$ima$eptima.</P>
<P>Motum inuer$ionis in figuris in comparatione ad motum $phæ
ræ in plano inue$tigare.</P>
<marg>C<I>om.</I></marg>
<P>Voco motum inuer$ionis, qui $imilis e$t motui $phæræ, $cili-
cet circumuertendo graue à uertice, & manife$tum e$t, quòd in
quacunque figura, qua graue in$idet plano per punctum ue-
<marg>P<I>er</I> 40.</marg>
lut ouata ip$um mouetur à quauis ui, $ed $i in$ideat per $uperfi-
ciem, quanto maior e$t, & humilior, tanto difficilius mouetur,
ideò in corpore uiginti ba$ium, quòd inter regularia uocata, plu-
res habet, $uperficies pro ratione æqualis ponderis, motus erit
longe facilior. Alia cau$a e$t inæqualitas partium, unde quæ ro-
tunda $unt, quia prominent, facile mouentur, & cum partes me-
diæ in$i$tant plano, quanto minores erunt tanto facilius moue-
buntur ratione ponderis. Vnde patet, quòd corpora ouata faci-
lius mouentur, etiam quàm $phærica, habent enim partem me-
diam minorem, & paria $unt ratione ince$$us plani, $ed aëris mul-
titudine tardius, quoniam enim $phæra $ub æquali ambitu plus
continet corporis, ergo ouatum æquale $phæræ habet maio-
rem ambitum ip$a $phæra. Hæc autem à Theone partim de-
mon$trata $unt, partim ab Archimede, & partim à nobis, ergo
motus ouati e$t fermè æqualis motui $phæræ, & tardior e$t con-
<fig>
citatus, quàm $phæræ, quia à ma-
iore excipitur aëre, & partes exte-
riores non ita incumbunt in me-
dium $ecundum longitudinem. Cu-
bus uero tardior e$t propter æqua-
litatem, & latitudinem $uperficiei in-
ferioris, omnium aut&etilde; minime pro-
pter has cau$as conus ambligonius,
& quanto magis fuerit, ratio uero
eleuationis e$t, ut $it cubus b c, cuius
medium grauitatis $it b $uper pla-
<foot>H 4 no de,</foot>
<p n=>92</p>
no de, & eleuetur ex a, & manife$tum e$t, quod in$idebit per totam
lineam c f ip$i plano, & proportio grauitatis totius $u$pen$i in com
paratione ad grauitatem eius, qui inuertit, e$t, uelut proportio par-
tis terminatæ ad lineam c f uer$us eum, qui eleuat ad partem, quæ
ultra e$t, cum uerò hæ partes notæ $int iuxta perpendiculum ex
centro grauitatis, manife$tum e$t, quod $ciemus pondus corporis
a b cf, dum inuertitur in quo cunque $itu ad pondus eius, dum $u-
$penditur, & clarum e$t, quòd cùm centrum, & medium grauitatis
fuerint in una linea per c f, tunc nulla erit grauitas.</P>
<P>Propo$itio nonage$imaoctaua.</P>
<P>Proportionem ponderum æqualium per differentiam angulo-
rum inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit a b, quæ $i appen$a e$$et ad æquidi-
<fig>
$tantem terræ $uperficiei, nulla ui po$$et ele
<marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}. 2.
45. P<I>ropo$.</I></marg>
uari, inflectatur ergo ad c punctum, omi$$a
c g, & manife$tum e$t, quod $i b c in$i$teret
<marg>P<I>er</I> 86.
P<I>ropo$.</I></marg>
ad perpendiculum, ponderaret a c $i e$$et in
æquilibrio, ponatur ergo accliuis in c d per
notum angulum. Quia igitur b c ad c a no-
ta e$t, erit dicta $uperiùs notum pondus
b h, po$ita h c æquali c a, quare totius a b,
& iam fuit e k notum, & punctus d notus:
hoc enim infrà demon$trabitur, qualis igitur proportio lineæ
<marg>P<I>ropo$.</I> 99.</marg>
tran$uer$æ dl ad lineam de$cendentem d m, talis differentiæ pon-
derum c m, & c e, id e$t partis ad partem. hæc autem inferiùs de-
mon$trabuntur. Neque enim ab$urdum e$t in materijs mi$tis, ali-
<marg>P<I>ropo$.</I> 97.</marg>
quando uti nondum demon$tratis cum fuerint mathematica, quia
obtinent principij rationem, quod etiam facit Archimedes. Ma-
nife$tum e$t autem, quod in angulo m c d recti dimidio, propor-
tio media erit. Sed hoc bifariam contingere pote$t $cilicet, ut $it
media, per quantitatem, & per proportionem, e$t autem media, ut
<marg>P<I>ropo$.</I> 98.</marg>
demon$trabitur infrà $ecundum proportionem l d ad l e, propo-
natur ergo c e b, erit latus quadrati <02> 72, igitur latus octogoni e$t
<02> v: 72 m: <02> 2592, & latus re$idui <02> v: 72 p: <02> 2592. quadrata er-
go partium ba$is differunt in <02> 10368. Quare partes ba$is $unt
6 p: <02> 18, & 6 m: <02> 18 $cilicet l e, l d autem e$t <02> 18, igitur differen-
tia, & proportio e$t, qualis <02> 18 ad 6 m: <02> 18 fermê, ut 17 ad 7, & ta-
lis e$t proportio ponderis c d ad pondus c e ratione in crementi,
$eu differentiæ. Vt $i pondus in c e e$$et decem librarum in c in
<foot>quadra-</foot>
<p n=>93</p>
quadraginta erit in c d triginta unius cum quarta, $ed proportionis
ratione e$$et uiginti octo cum tertia.</P>
<P>Propo$itio nonage$imanona.</P>
<P>Proportionem grauitatum per multitudinem $uppo$itorum or
bium o$tendere.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Omne, quod mouetur, mouetur $ecundum naturam ponderis,
quæ in attractione, ut demon$tratum e$t, æqualis e$t dimidio $u-
$pen$i, cum ergo diuidatur in multiplices partes motus uniu$cuiu$-
que, e$t $ecundum dimidium illius partis, ut, $i $int $ex rotæ in cur-
ru det, quod uehitur, $it pondus $exaginta librarum, unaquæ que
<marg>P<I>er</I> 40.</marg>
rota habet pondus quinque librarum, $cilicet diui$o triginta per
$ex, & quia quod cunque mouetur $phæricè non habet pondus,
ni$i quantum premitur axis, ideò pondus $exaginta librarum in
uehendo red ditur læ$us, quanto proportio producta minor e$t
additione. Exemplum, $it deductum pondus $exaginta librarum
per $ex rotas ad uigintiquatuor, quia $i rotæ po$$ent circumduci,
ut in inuer$ione dictum e$t, & e$$ent æquales, & in $olido æquali,
ac duro, nulla ui mouerentur, $ed qua$i per $e, ergo $uppo$ito pon-
dere uiginti quatuor librarum a$$umemus unamquam<01> partem,
& ducemus eam in $eip$am, $cilicet detraham quintam partem ex
toto 30, fit 24, duc 30 in $e, fit 900, duc 24 in $e, fit 576, proportio ut
25 ad 16, at diui$o 30 in $ex partes, fit 5, detrahe quintam partem, fit
4, duc in $e, fit 16, duc in $ex, fit 96, igitur proportio 900 ad 96 e$t ut
25 ad 2 2/3, quod ergo erat 16 factum e$t 2 2/3, proportio ergo de-
cre$centis maior e$t diui$o per plura. Sed plerunque additis ro-
tis cre$cit pondus nihilo $ecius, redditur etiam leuius. Sed & de
hoc in $equenti.</P>
<P>Propo$itio cente$ima.</P>
<P>Proportionem grauitatis ponderum attractorum per trochlea-
rum numerum inue$tigare.</P>
<marg>C<I>om.</I></marg>
<P>Ari$toteles in Mechanicis cen$et cau$am leuitatis trochlearum
<marg>I<I>n</I> M<I>echan.</I>
Q<I>uæ$t.</I> 18.</marg>
e$$e in pondere eleuando, quòd pondera auxilio uectium facilius
mouentur, quàm manibus. Rotulæ uerò in trochleis uectes $unt,
& axis mi$ta hypomochlij, ergo facilius pondus trahitur per u-
nam rotulam, quàm $i manu traheretur, at uerò per duas tres,
unde tris pa$$us longe facilius, & etiam facilius per quinque, unde
pentas pa$$us, nam quinque orbiculis, qua$i totidem uectibus
diui$um pondus manife$tè fit leuius, & ut dictum e$t, tanquam
totidem uectibus pondus eleuatur, e$tqúe proportio produ-
<foot>cta,</foot>
<p n=>94</p>
cta, $emper<03> prior hypomochlij locum habet, ueruntamen minus
a$$umit laboris, po$terior uerò uectis maiorem partem $ibi ponde-
ris $eruat, uelut in $uccula etiam iugum traiectum per plures colo-
pes facilius uertitur. Et $i quis dicat nónne totum pondus in$idet
prim&ecedil; trochleæ per trochleam, intelligo nunc $olùm rotulam cum
ip$o axe, $eu axiculo (ut dicunt) non autem in proprio $ignificato,
in quo etiam funis traiectus, & in$idens rotulæ, $eu rotulis, nam
una trochlea plures continere'pote$t orbiculos, & axes. Licet ergo
pondus in$ideat primæ trochleæ, $eu rotulæ, in eo tamen, quod tra
hitur, diuiditur', licet non æqualiter dico, præter id funis motum
intendi. nam motus actionem auget, & ideò quanto longior, eo fa-
cilius mouet ob con cu$sionem, demum quia leuis e$t rotula circa
axem, ut plus uecte po$sit.</P>
<P>Propo$itio cente$imaprima.</P>
<P>Proportionem precij gemmarum ex tribus in eodem genere co
gnitis inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Solent gemmarij uendere adamantem ponderis unius grani
uno coronato, duorum autem granorum tribus coronatis, qua-
tuor autem, gratia exempli, quadraginta coronatis, qu&ecedil;ritur quan-
tum ualebit adamas octo granorum, quoniam ergo proportio
non $eruatur. E$t enim in pondere utraque dupla, in precio autem
ex prima habetur tripla, ex $ecunda habetur proportio maior,
quàm tredecim ad unum, propterea utendum e$t proportione
propinquiori, $i $atis faceret. gratia exempli, in prima ad ditione fuit
unum granum, & acqui$iuit proportionem triplam, in $ecunda fue
runt duo grana, $i ergo acqui$i$$et $olum $excuplam proportio-
nem, haberemus intentum. Propterea in i$to ca$u oportet demon-
$trare forma Geometrica, $uppo$ito, quòd $it figura recta ex uno la
<fig>
tere a b, ita ut angulus, uel minimus capiat b c æqualem a b, & ex
æquali b a c addito fiat b d tripla b c, & ex angulo b a e duplo b a d,
fiat b c d e quadragintupla a b, & iuxta rationem erit in infinitum.
Siue $it parabole, $iue hiperbole, $eu $it alia coincidentium.</P>
<foot>SCHOLIVM</foot>
<p n=>95</p>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Et nota, quòd $i res hæc e$$et naturalis, o$tenderet infinitum in
rebus ex regula dialectica, $ed quia ex uolũtaria, nullas habet uires.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$ecunda.</P>
<P>Proportionem motuum inuer$ionis, & attractionis in plano
inuenire.</P>
<P>Et $it, ut aliquid inuertatur, declaratum autem e$t $uprà, quid $it
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
inuer$io, & quàm diuer$a $it rur$us, & quòd attractio e$t dimidium
<marg>P<I>ropo$.</I> 89.</marg>
ponderis eleuati. Cum ergo con$tet in inuer$ione, quanta $it pro-
portio ponderis $u$pen$i ad pondus inuer$um, & pondus $u$pen$i
<marg>P<I>ropo$.</I> 62.</marg>
$it duplum ponderi attracti, $equitur, ut diuifa proportione ponde
ris $u$pen$i ad pondus inuer$um per medium cogno$catur propor
tio attractionis ad inuer$ionem.</P>
<P>Ex hoc $equitur, quod aliquod pondus trahi pote$t, quod non
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
pote$t inuerti, hoc autem indigetlonga declaratione, quam doce-
bimus inferiùs: & tamen attigit hocrarò.</P>
<P>Propo$itio cente$imatertia.</P>
<P>Proportionem eorundem in accliui demon$trare.</P>
<P>Dupliciter pote$t intelligi, uel de$cendendo, uel a$cendendo.
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<marg>P<I>ropo$.</I> 72.</marg>
Sed ego nunc loquor de a$cen$u, contraria ratione intelliges de
de$cen$u, & circa inuer$ionem demon$trata e$t proportio eius
iuxta angulum a$cen$us, & $imiliter declarabitur de proportione
<marg>I<I>n $equenti.</I></marg>
attractionis iuxta eundem angulum a$cen$us, & nuper declarata
e$t proportio inuer$ionis in plano ad attractionem, ex quibus $e-
quitur per ea, quæ dicam inferius, quòd proportio cuiu$uis mobi-
lis inuer$i ad attractum $ub quibu$cun <01> angulis nota erit.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquarta.</P>
<P>Proportionem motus attractionis in decliui ad motum in pla-
no determinare.</P>
<P>Si ab accliue, $eu decliue in quo d ad attra-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<marg>E<I>x</I> 62. &
64. P<I>ropo$.</I></marg>
<fig>
hendum, cuius nota e$t ex $uperioribus dif-
ficultas in plano ratione figuræ con$tante, er-
go ea quæritur proportio a$cen$us, & quo-
niam terminus ad perpendiculum e$t dupla
proportio, & iam grauitas in plano e$t dimidium, ideò quicquid
acquiritur in eleuatione e$t in comparatione ad illud dimidium,
cum ergo attractio $ecundum eandem proportionem augeatur, er-
go $emper maior difficultas augebitur, ergo ab initio minimum
<foot>erit</foot>
<p n=>96</p>
erit di$crimen ab attractione in plano. Exempli gratia $it, ut graue d
in plano $it, ut quin <01>, & $u$pen$um decem, ergo in medio angulo
erit penè $eptem, $ed $eptem minus longe di$tãt à quin <01>, quàm de-
cem ad $eptem, ergo in $ecunda parte plus longè augebitur difficul
tas attractionis $upra difficultatem in medio angulo accliui, quam
in prima parte à plano ad medium accliue, & quoniam planum in
plano de$cendit, tanto uehementius, quanto difficilius attrahitur,
ergo planum in decliui $ublimi longe maiore impetu feretur infrà
quam $it proportio anguli ad angulum. Exempli gratia, planum in
medio angulo, $i incipiat de$cendere in dodrante multo lentius,
quàm pro dimidio uirium de$cen$us totius anguli, imò initium de-
$cen$us e$t à medio recti ad unguem, ubi omnia plana $int, & duri$-
$ima, & cau$a huius e$t, quia omne graue tendit ad centrum, quòd
maior pars ip$ius grauis e$t ultra medium grauitatis in decliui
humiliore.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquinta.</P>
<P>Proportionem ferentium pondus in pertica inuenire.</P>
<fig>
<P>Hæc proponitur etiam à Philo$o-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
pho, & ponatur ab, & $i pondus $it in
<marg>Q<I>us$t.</I> 59.
M<I>echanic.</I></marg>
medio d grauat æqualiter utrunque,
nam in hoc con$entit experimentum
cum ratione, at uerò $i ponatur in cita,
ut b c $it tripla b a uiderentur a & b, tanquam hypomochlia, & pon
<marg>P<I>ropo$.</I> 45.</marg>
dus ip$um b, ut grauior e$$et cb, quam c a. Ari$toteles, $eu author
ille hoc uidens bifariam re$pondet: primum quòd hoc e$t inuer-
<marg>P<I>rop.</I> 103.</marg>
$um in$trumentum, cum in cæteris motor $it ex aduer$o hypomo-
chlij, hic in ip$o, ge$tans enim mouet & hypomochlij in$tar e$t hu-
merus. At hoc uerum non e$t: quod mouet enim e$t pondus, & e$t
in c: nam a, & contingit moueri: quia $i $tarent, idem $equeretur. Se-
cunda re$pon$io e$t, quod utrun <01> premit $cilicet ferentes & pon-
dus, & quòd qui longior e$t ab hypomochlio facilius mouet, &
redit ad idem fermè: nam in c con$tituitur, quod moueri debet, ca-
pita uectium $unt a, & b: motus autem e$t ip$um $u$tinere pondus.
At hoc non uidetur, quoniam ratio, qua uectis longior facilius mo
uet, e$t ambitus magnitudo, ob quam motus redditur tardior, &
ideo leuior: igitur non e$t hoc uerum de motu occulto, $icut e$t gra
uis prementis, $ed circumducente, cum in occulto uelut in $tatera
contrarium accidere do cuerimus aliâs. Quidam dixere b premere
c uer$us a, a contrà uer$us b, & ideò grauari magis a àb, quàm b ab
a, quia maiorem uim habet b e, quàm a c. I$tud fal$um e$t bifariam.
Primum, quia & $i a, & b $int in æquilibrio, ut nec unus in alterum
<foot>in cumbat,</foot>
<p n=>97</p>
in cumbat, necimpellat, $ed tantum $u$tineat nihilo$ecius res uera
e$t. Et etiam quia non e$t uerum, quòd qui longius in cumbit, ma-
iorem uim inferat. Propterea dicendum e$t, quòd qui ex commu-
nibus propria nituntur demon$trare, omnes corrumpunt di$cipli-
nas. Nihil deterius e$t his mon$tris. Nam et$i hæc ratio uera e$$et:
non tamen reddit cau$am, quia non e$t ex proprijs principijs. Dico
ergo, quod $i c de$cendat in e, per perpendiculum de$cendet, igitur
d b e$t longior d a, quare angulus e a b maior e b a: igitur pondus c
plus de$cendit comparatione a, quàm b, ergo plus grauat cip$um a
quàm b, $eu ex cau$a, quod magis premat, $eu ex effectu, quòd ma-
gis de$ce$$erit. Cau$a ergo erroris e$t, quod $i ponatur angulus f b a
æqualis angulo f a b, & ponatur b f &ecedil;qualis b c, tun c in eodem tem-
pore, in quo tran$it dimidium c in e, tran$ibit aliud dimidium c in f.
quia $eparat&ecedil; partes grauiores $unt in c b, quàm c a, propter di$tan-
tiam ab hypomochlio, $ed tunc uelo cius mouentur, & angulus fit
&ecedil;qualis. Sed quando pondus e$t unum, & c de$cendit ad e, cum de-
$cendat inæquali tempore, & peragat maiorem angulum compa-
ratione a, quam b, $equitur, ut uelo cius moueatur comparatione a
quàm b. Ergo $i non mouetur, cum omnis potentia $it $imilis actui,
tum quia ab eo producitur, & effectus e$t $imilis cau$æ: tum quia
e$t initium actus, igitur etiam quod a b non in clinetur, nec de$cen-
dat, grauius erit pondus, comparatione a quàm b, quod erat de-
mon$trandum.</P>
<P>Ex hoc $equitur, quòd aliqua iuncta erunt grauiora re$pectu u-
nius, quæ erunt mutato ordine diui$a leuiora. Quoniam diui$a,
quæ longius di$tant æqualem, aut maiorem angulum faciunt, iun-
cta minorem.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$exta.</P>
<P>Quales proportiones angulorum doceant laterum proportio-
nes. At <01> uici$sim determinare.</P>
<P>Sit circulus a b c, cuius dimetiens, nota b d $it b, erit ergo latus
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
<fig>
exagoni a b dimidium b d, id e$t 3. igitur
cum angulus a $it rectus, erit a d <02> 27 latus
trianguli. Et latus quadrati per eandem <02>
18. Vt latus exagoni $it <02> 9. Quadrati <02> 18
Trianguli <02> 27, & ita pote$tate $e habent
hæc ut 1. 2. 3. Et $unt nota. Et quia latus d e c
agoni e$t <02> 11 1/4 m, 1 1/2. & ip$um erit notum.
Quare latus pentagoni e$t <02> v 22 1/2 m: <02>
101 1/4 notum. Et iam notum fuit latus epta-
goni. Habebimus igitur latera Trianguli
<foot>I qua-</foot>
<p n=>98</p>
quadrati pentagoni, & eptagoni æquilaterorum nota: & etiam
$ubten$orum duobus ex his. Sit, gratia exempli, a b 3 & b c <02> 11 1/4m:
1 1/2, ut prius, & ponatur b d diameter, erit ad <02> 27 & c d <02> v 22 1/2 m:
<02> 101 1/4, quam ducemus in a b, & fiet <02> v 202 1/2 m: <02> 8201 1/4. Duce-
mus itidem <02> 27 a d in b c <02> 11 1/4 m: 1 1/2 fiet <02> 303 3/4m: <02> 60 3/4, hoc to-
tum diuide per 66, quæ e$t b: fiet a c <02> 8 7/16 m: <02> 1 11/16 p: <02> v: 5 45/72 m: <02>
6 1701/5184. Nec credas te errare, quoniam latus pentagoni e$$et, ac $i an-
gulus b rectus e$$et: $ed quia e$t obtu$us, ideo a c e$t alia linea, &
maior latere pentagoni. Et $imiliter $i a b, & a c notæ e$$ent, utpo-
<marg>P<I>er</I> 52. E<I>le
ment.</I></marg>
te a b 3, ut prius a c 5 dico, quòd b c nota e$t: nam a d erit <02> 27, &
quia ex b d in a c fit 30, fiet ex b c in a d pos <02> 27, et ex a b in c d <02> 324
m: 9 quad. igitur 30 m: pos <02> 27 æquantur <02> 324 m: 9 quad. quare
900 p: 27 quad. m: pos <02> 97200 æquãtur 324 m: 9 quad. igitur 576
p: 16 quad. &ecedil;quantur pos <02> 97200. Quadratum igitur p: 36 &ecedil;quan-
tur pos <02> 379 11/16, erit ergo b c <02> v: <02> 94 59/64 p: <02> 58 59/64 & $imiliter $i a c
$it nota, puta 4 erit a b $ubten$a dimidio arcus a c nota. Erit enim a e
2 ergo d e 3 p: <02> 5 et b e 3 m: <02> 5, igi&ttilde; a b <02> v: 18 m, <02> 180. Igitur hoc
modo diuidendo, iungendo, & detrahendo habebimus ex quatu-
or illis $implicibus trianguli quadrati. Pentagoni, & eptagoni in
numeras linearum magnitudines in circulo. Et $imiliter quouis mo
do, ut dictum e$t, in quauis figura æquilatera, utpote $uppo$ito
<fig>
quod de$criptum $it nonangulum in
circulo æquilaterum, quod etiam erit
æquiangulum, & $it arcus a b duplus
arcui a c, erit angulus a c b duplus an-
gulo a b c, & angulus b a c in portione
b d e c $excuplus a b c, & triplus a c b.
Erit ergo per demon$trata proportio
<marg>I<I>n</I> 16. <I>de</I>
S<I>ubtil.</I></marg>
b a ad a c, uelut a c, & c b, ad a b: pro-
portio autem a b arcus ad a c, ex $up-
po$ito maior e$t proportione rectæ a b ad a c, igitur etiam propor-
tione a c & c b ad a b, ergo duo latera trianguli ad tertium minorem
habent proportionem, quam arcus ad arcum, quanto rectæ ad re-
ctam minor e$t. Sit rur$us in triangulo b e d quomodolibet modo
$it angulus b d e quadruplus angulo b e d, & diuidatur d per &ecedil;qua-
lia ducta d f, erit igitur proportio f d, d e ad f e, ut e f ad f d, $ed e f ad
<marg>P<I>er</I> 3. <I>$exti</I>
E<I>Elem.</I></marg>
f b ut d e ad d b. igitur proportio b d, d e ad f b cõpo$ita ex propor-
tionibus e f ad f d, & e d ad d b. Proportio igitur b d, d e ad f b, ut
producti ex e f in e d ad productum ex d fin d b. Rur$us ponamus,
<marg>P<I>er</I> 23. <I>$ex
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
quod in quadrangulo a b c d primæ figuræ $it a b 4 b c 3 c d 5 ad 6
dico, quòd $pacium contentum erit notum. Ductis rectis a c & b d
<foot>quomo-</foot>
<p n=>99</p>
quomodolibet, ut $e $ecent in e, erunt anguli d c a, & d b a æquales,
<marg>P<I>er</I> 21. <I>ter
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
quia in ea&dacute;em portione circuli a d, & anguli a d e &ecedil;quales, quia con
tra $e po$iti. igitur trianguli a b e, & c d e $imiles, & proportio d c ad
<marg>P<I>er</I> 15. <I>pri
mi</I> E<I>lement.</I></marg>
a b, ut c e ad b e, c d autem fuit 5 a b 4, igitur $i b e ponatur 4 pos c e
erit 5 pos. Per ea$dem, & eodem modo a d ad b c ut d e ad e c. igitur
po$ita c e 5 pos erit e d 10 pos, tota igitur d b 14 pos. Et quoniam ea-
<marg>P<I>er</I> 32. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
dem proportio a e ad e b per eadem, & e b fuit 4 pos: igitur a e e$t 8
pos, quare a e 13. po$t productum igitur ex a c in d b, e$t 182 quad.
& hoc æquatur productis a b in c d, quod e$t 20, & b c in a d quod
e$t 18, totum igitur e$t 38, igitur res e$t <02> 19/91. Quare not&ecedil; erunt lineæ
b e, e d, a e, & e c, $ed $ufficit, ut cognita $it a c, uel b d. Per regulam
enim triangulorum erunt notæ areæ a b c, & a d e, quare tota $uper-
ficies a b c d. Et e$t inuentum Scipionis Ferri Bononien$is de quo
aliâs. Pote$t etiam inuenta a c uel b d haberi $uperficies facilius
per catheros.</P>
<P>Sit modo obtu$i angulus a b c, & nota latera $ingula, & angu-
lus a b c, & producantur latera ad perpendicu-
<fig>
lum, ut $int d & e recti, & quia anguli ad a $unt
æquales, erunt anguli e b a, & d e a $emper æ-
<marg>P<I>er</I> 32. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
quales. Et hoc idem contingit in acuti angulis
triangulis intus, & e$t utile mechanicum: &
quia a b c notus e$t, & d notus, erunt anguli tri
goni d b c noti: & $i fuerit angulus a notus, erũt anguli d a c & e a b
noti, & ideo anguli e b a, & d c a: & $emper notum, quod fit ex b a
in a d, uel c a in a e, $unt enim &ecedil;qualia inter $e: etiam notæ ad & a c,
quoniam duplum horum e$t exce$$us quadrati b c $uper quadrata
a b, & a c. Quod uerò proponiturà Monteregio de cognitione an-
gulorum in triangulis non e$t intelligendum, ut uerba $ignificant,
<marg>P<I>er</I> 12. <I>$e-
cundi</I> E<I>lem.</I></marg>
$ed $olum de cognitione quoad u$um tabularum.</P>
<P>Et iterum ponamus, quòd proportio a c c b ad a b $it qualis a b
ad a c, dico quòd angulus c duplus e$t angulo b. Si non ducatur c d
<fig>
faciens angulum d c b duplum b, erit igitur pro-
portio d c c b ad d b, ut d b ad d c. Maior e$t aut&etilde;
d c, quàm a c, aut æqualis, aut minor, $i æqualis,
igitur maior proportio d c c b ad b d quàm b a,
igitur maior <04>portio b d ad d c quam b a ad a c
ad a c & æquales $unt igitur b d maior d a pars toto, quod e$$e non
pote$t. Si uerò d c ponatur maior a c, magis ex hoc $equitur b d ma-
iorem e$$e b a. Quod $i minor $it d c quàm a c. Ex demon$tratio-
ne ip$ius reflexæ proportionis patet hoc contingere non po$$e.
Et $imiliter patet conuer$as in reliquis etiam ueras e$$e, non $olum
<foot>I 2 in</foot>
<p n=>100</p>
in proportionibus noti$simis angulorum $ed etiam in coniuncti-
one & detractione. Et e$t ex $ubtili$simis operationibus, quæ ho-
mini in hoc genere eueniant.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$eptima.</P>
<P>Si in circulo duo diametri ad rectum angulum $e $ecauer int: ali&ecedil;
uerò ad perpendiculum ex diametro exierint ad circumferentiam,
$ingulæ $upra diametrum erunt maiores portionibus reliquis dia-
metri $uperioribus, infra autem minores. Dimidium autem porti-
onis $uperioris re$iduum ad centrum maius $agitta habebit. In ali-
qua præterea portionis $uperioris parte, quæ uer$us diam etrum
tran$uer$um po$ita e$t, maior e$t differe ntia partis diametri ei cor-
re$pondentis, quam lineæ tran$uer$æ.</P>
<fig>
<P>Sint du&ecedil; diametri a b, c d ad perpendi
culum $ecantes $e in centro, & ducũtur
$upr f g k h, & infra m l ad perpendicu-
lum $upra a b: dico f g e$$e maiorem f a,
& k h k a, & contrà minorem m l, quàm
m a. Per octauam enim $exti, quod fit ex
<marg>P<I>er</I> 31. <I>ter-
tij</I> E<I>lement.</I></marg>
b f in f a æquale e$t &qtilde;drato f g, $ed b f e$t
maior f g, quia b f e$t maior c b, & ideo
e c g f, ergo f g maior e$t f a, m l aũt minor e$t per ead&etilde; e c, quare e a,
multo igitur minor m a, quod e$t primum. Suppo$ito etiam, quòd
<marg>P<I>er</I> 7. <I>tertij</I>
E<I>lem.</I> C<I>or</I>^{m}.</marg>
a g arcus $it dimidium a c, dico a f minor&etilde; e$$e f e, nam quadratum e
<marg>1. <I>eiu$dem.</I></marg>
g æquale e$t quadratis f e, & f g, & quadratũ a g quadratis f g & f a
& e g e$t &ecedil;qualis lateri exagoni, & a g latus octogoni, igitur e g ma-
<marg>P<I>er</I> 47. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
ior g a, & duo quadrata e f & f g maiora duobus quadratis f g &
f a, detracto igitur communi f g quadrato, patet propo$itum.</P>
<marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}.
15. <I>quarti</I>
E<I>lem.</I></marg>
<P>Cum rur$us ex prima parte huius line&ecedil; f g & k h $int maiores f a,
& k a & ea $it æqualis e c, nece$$e e$t ut iuxta punctum c augeatur
<marg>P<I>er</I> 28. <I>ter-
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
magis linea in ea, quam $it differentia lineæ tran$uer$æ ad lineam
tran$uer$am per communem animi $ententiam, quod e$t tertium.</P>
<P>Propo$itio cente$imaoctaua.</P>
<P>Punctum &ecedil;qualitatis differenti&ecedil; de$cen$us, & remotionis à cen-
tro inuenire.</P>
<P>Per præcedentem moto puncto a uer$us c $emper u$ <01> ad e, c ma
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
gis di$tat pũctum a linea a e, quàm à puncto a uer$us, quia linea n h
maior e$t n a, & per eandem dum appropinquat ad c cum e c fiat
&ecedil;qualis ea, maius fit in crementum in a e, quàm re$pectu lineæ tran$-
uer$alis. Volo ergo inuenire punctum hoc in quo fit mutatio: &
diuido arcum ac per æqualia in f, & dico illum e$$e punctum quæ-
$itum: accepto quouis puncto in e f, puta k, duco g o h p &ecedil;quidi$tan
<foot>tes</foot>
<p n=>101</p>
<fig>
tes a b, & c d: erunt <03> anguli q & n recti
<marg>P<I>er</I> 29. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
& anguli f e a, & f e c &ecedil;quales, igitur uter
<marg>P<I>er</I> 23. <I>ter
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
que dimidium recti: igitur per dicta in
primo Elementorum Euclidis e n &ecedil;qua
<marg>P<I>ropo$.</I> 32.
& 6.</marg>
lis n k, igitur c q æqualis e n, quare h p
æqualis g o, $ed quod fit ex o k in k g e$t
<marg>P<I>er</I> 34. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
æquale ei, quod fit ex p k in k h, igitur
<marg>P<I>er</I> 7. <I>tertij</I>
E<I>lement.</I></marg>
k h e$t æqualis k g ex eisdem o$tendi-
tur f l m k quadratum e$$e. Quia ergo
k h e$t æqualis k g, & k l æqualis k m, erit l g æqualis m h. Er-
go de$cendendo ex g in f, quantum f l $uperat l g, tantum de$cen-
dendo ex f in h, f m $uperat m h per communem animi $ententi-
am. At f m e$t de$cen$us f in linea a e, & m h di$tantia, quæ acqui-
ritur in linea f r, n m enim e$t æqualis f r, igitur n h excedit f r in
h m, & ita a n excedit a r in n r &ecedil;quali f m. Quantum ergo in g f,
l f excedit l g, tantum in de$cen$u ex f in h, f m, quæ refert g l, ex-
cedit h m, quæ refert f l. Arcus autem f g e$t æqualis arcui f h,
quod cũ po$$em o$tendere pluribus modis $atis con$tat, quia chor
<marg>P<I>er</I> 47. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
darum illorum quadrata $unt inuicem æqualia, quia lineæ f m, &
<marg>P<I>er</I> 47. <I>ter-
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
f l item <01> m h & l g $unt æquales, & anguli m, & l recti. Igitur cum
ad quod uis punctum in linea e f $emper linea de$cen$us in parte
inferiore e$t maior linea di$tantiæ tanto, quanto per æqualem ar-
cum in $uperiore linea di$tantiæ e$t maior linea, de$cen$us $equitur
per regulam Dialecticam quod punctus f, e$t punctus &ecedil;qualitatis.
Per idem diceremus in quarta parte inferiore.</P>
<P>Propo$itio cente$imanona.</P>
<P>Rationem libræ expendere.</P>
<P>Cum libra moueatur, uelut rota circa axem, quia trutina manet,
ideò $i pondus ponatur, dum iugum fuerit in linea a b nihil mo-
uebitur, quia appetitus de$cen$us ex puncto a maximus e$t, & ni-
hil iuuat motum extra naturam, idem dico de graui po$ito inuerti-
ce b a. Nam duo $unt motus in rota, & in libra unus, per quem
dum fertur per arcum a f, gratia exempli de$cendit, quantum e$t
<marg>P<I>ropo$.</I> 98.</marg>
a r, quæ e$t minor dimidio e r, & ideò minor e r, quæ e$t maior di-
midio, ut demon$tratum e$t, & etiam minor r f, quæ æqualis e$t r e
<marg>I<I>n præceden
ti.</I></marg>
per demon$trata rur$us: & hic e$t naturalis ut palam e$t: alter præ-
ter naturã, & e$t ferri ad latus, quoniam hoc e$t propriũ immortali-
bus: cun <01> hic $it ad latus e$t etiam cõtra naturam, quia magis di$tat
a centro, nam e f e$t longior c r, $i ergo r ferretur in f, moueretur à
centro, & contra naturam. Dum ergo fertur ex a in f, multo lentius
<foot>I 3 fertur</foot>
<p n=>102</p>
fertur, quàm ex f in c: uelo cius autem ex c u$que ad medium: nam
plurimum de$cendit. Ex h ad b autem celerrimè, quoniam de$cen-
dit, & appropinquat lineæ a b, ut uter <01> motus $it naturalis. Non
ergo mouetur pr&ecedil;ter naturam ni$i quatenus longius recedit à linea
a b, unde in inferiore parte mouetur ad eandem, ideò de parte c b
tota per$picua e$t ratio, cur facillimè de$cendat, $imiliter & tota,
hoc enim e$t demon$tratum. Similiter & quare difficillimè feratur
ex b u$ <01> ad p, & ultra p u$ <01> ad directum r f: at de motu ex a in f,
quod debeat ferri, quia plus remouetur, quam de$cendat, nulla e$t
ratio: ut nec cur ex oppo$ito f ad a difficilem $e præ$tet: & hoc e$t,
quia tertiam rationem etiam ip$e Ari$toteles, & qui eum $equuti
$unt, prætermi$it. Ea autem e$t, quod dum fertur ad g, uel f etiam li-
cet non de$cendat magis, quàm remoueatur, ex a
<fig>
ad centrum terræ tamen magis appropinquat.
Quia enim e a e$t &ecedil;qualis e c, quoniam prodeunt
à centro circuli eiu$dem, & b e, & e c $unt maio-
res b c, ideò b a erit maior b c, e$t autem b cen-
<marg>P<I>er</I> 17. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
trum mundi, ergo a motum ad c, appropin qua-
uit ip$i b</P>
<P>Dico etiam quod libra ex chalybe tenui$simo,
& quanto leuiorũ concharum, & longioris iugi
10 exactior, quoniam lances illæ minori exce$$u
mouentur, quia plus di$tant ab hypomochlio.
Sit ergo libra, cuius iugum a b trutin a c: lances d & e, alia libra,
cuius lances h, & k, & l m longiores, iugum f g. Con$tat, quod
qualis proportio f g ad a b, talis ambitus, ad ambitum: motus er-
go $i $it æqualis utrarumque, igitur a tanto minore proportione
<fig>
<foot>moue-</foot>
<p n=>103</p>
mouebitur in h, quam in d, uelut $it proportio f g ad a b dupla, ut
ergo æqualiter moueantur, $i $it dupla $exquiquarta in d cum lan-
ce ad e uacuam, erit in h $exquialtera, & mouebit æquali tempore.
Ergo iuxta hoc fient libræ, quæ examinabunt decimam, & uige$i-
mam partem grani, quod e$t nece$$arium in precio$is rebus, & me-
dicamentis potentibus, & longè magis in mechanicis experimen-
tis, & maximè quæ ad demon$trationem pertinent magnitudinis
$uperficierum, & con$tat res in tribus, in longitudine, f g iungi, in le
uitate materiæ illius, & lancium, nam tanto maior redditur propor
tio ponderis exigui, & in firmitate iugi ac rectitudine. ideò debet
fieri ex chalybe purgato, durato ac tenui$simo, natura <03> leui, & ut c
$it in medio, & mobilis f g.</P>
<P>Con$iderandum e$t demum an f l & g m $int grauiores f h, &
g k. Vt enim grauiores extiterint minus facilè mouentur. Viden-
tur autem mihi, qui de his con$crip$erunt perperam contemp$i$$e
hoc, con$tat enim, quòd dum l de$cendit, remouetur a b n c tru-
tina, & m, quæ a$cendit contra appropinquat. Videtur autem hoc
bifariam contra naturam: nam ut diximus pondus applicat $e ad
rectam n c, quia uer$us centrum, & etiam quia facit angulum ob-
tu$um, cum deberet, ut ab initio $altem con$tituere cum iugo re-
ctum. Et de m nihil mirum e$t, cum acutum, ut $e ad lineam, quæ ad
centrum retrahat. Huiu$modi præterij$$e Ari$totelem, demiror,
quæ nimis fuerunt in con$picuo, ut dubitem ne non $uus $it ille li-
ber, qui eius penè nihil $apiat præter ob$curitatem. Tentan-
dum e$t igitur horum cau$as a$signare. nam quæ huiu$modi po-
te$t e$$e doctrina ni$i perfecta fuerit, in omnibus etenim nece$$e e$t
aut omnia $cire, aut ignorare. In hoc igitur dico, quod h f, $eu l f,
$emper æquidi$tant n c trutinæ, ergo cum angulus f c n in clina-
to iugo fiat obtu$us de$cendente pondere, & n c g a$cendente pon-
dere fiat acutus, ergo angulus l f c tantundem fiet obtu$ior, & m g c
acutior, quanto anguli ad c tales $unt. Et cau$a e$t quia n c ratio-
ne ponderis e$t directa ad centrum, ergo oportet, ut pondera l, uel
h, & m, uel k, $i debent tendere ad centrum, ut f l, & g m æquidi-
$tent n c, ni$i quantum e$t pro di$tantia f, à puncto c, & g a b eodem,
quæ comparata ad centrũ terr&ecedil;, $eu mundi, e$t in$en$ibilis omnino.
Circa hæc notandũ i$tud mirabile fcilicet, quod ratio motus, quan-
tumuis exigua $ufficit ad motus modũ, licet uelo citas p&etilde;deat ex gra
uitate, & alijs. Et <09> graue, quod expers e$t $en$us, debeat $equi ratio
nem Geometricam uix $apientibus cognitã, cau$a tamen una e$t, &
per$picua: nã omne graue e$t in linea à centro mũdi: $i aũt medium
grauis $it extra lineã, uertitur ad illam, qu&ecedil; e$t in eo, nam centrũ $em
<foot>I 4 per</foot>
<p n=>104</p>
per e$t in ead&etilde;. Ergo $ola in clinatio ad hoc ut mediũ grauis $it in li-
nea centrorũ grauitatis & terræ, $ufficit. E$t ergo principium in $ei-
p$o. In appen$is $imiliter. Trutina enim, & finis iugi, & grauis cen-
trũ mundi centrũ $unt in ead&etilde; linea, ut e$$e po$$unt, cum exigua illa
& $ola di$tantia intercedat. & hoc e$t primum. Quia ergo iugũ e$t
ex materia $olida, mouetur ratione, quæ dicta e$t, lances autem
oportet cum filis appen$i $int, ut puncta f & h, uell, & g k, uel g m
$int in una linea cum centro terræ. Et quia l magis di$tat a b f quam
h, & m a g magis, quam k, & oportet faciant eandem inclinatio-
nem, quia anguli trutinæ cum iugó $unt ijdem, & linea cl e$t ma-
ior c h, & c m, quàm c k in quouis $itu, ergo $patium, quod ambitur,
e$t maius ergo per d e mon$trata $uperius l e$t grauius h etiam
præter uinculorum additionem, & m grauius k. Quanto igi-
tur longiores $unt funiculi à libræ extremitate $eu iugi, tanto gra-
uius redditur pondus, quod tamen multi putant e$$e fal$um: nec
aliquid referre, quòd $it longum, aut breue $u$tentaculum.</P>
<P>Propo$itio cente$imadecima.</P>
<P>Si duæ $phæræ ex eadem materia de$cendant in a&etilde;
re eodem temporis momento ad planum ueniunt.</P>
<fig>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Supponitur quod ex eodem loco. Sermo enim
ab$urda $ub interpretatione nunquam ni$i ab inui-
dio$o, uel imperito intelligi debet. Sit ergo a tripla
ad b, $phærula ad $phærulam ex plumbo ambæ fer-
ro uel lapide eiu$dem generis, dico, quòd inæquali
tempore peruenient ad planum c d. Nam a propor-
tionem habet ad b, ut uiginti$eptem ad unum. pro-
portio autem $patij a ad $patium b nonupla e$t, &
proportio den$itatis aëris ad aërem e$t tripla, propterea quod den-
$itas illa multiplicatur propter impetus magnitudinem. nam $i ro-
bur, ut decem percutiat baculo lato, ut quatuor ictus erit maior du-
plo, quàm $it robur, ut quinque percutiat baculo, ut duo: propter
den$itatem ergo maiorem aëris in a, quam in b: & quoniam $i $ub
maiore impetu mouetur a&etilde;r $ub a, quam $ub b, igitur proportio
erit comparanda longitudini à centro a ad longitudinem a centro
b, quæ e$t tripla. Si ergo $ubtripla e$t ratio motus b ad a, quod
ad medium attinet, tripla autem propter uelo citatem di$ce$$us aë-
ris à medio grauitatis, quod e$t in $uperficie e regione centri graui-
tatis in linea ad centrum mundi, ut dictum e$t in præcedenti: mani-
fe$tum e$t, quod a, & b inæquali tempore peruenient ad $ubie-
ctum planum, & æquidi$tans centris eorum. Similiter & in aqua:
<foot>cum</foot>
<p n=>105</p>
cum uerò uideatur in illa tanto celerius a de$cendere, quàm b,
quanto e$t $emidiameter a longior $emidiametro b, liquet ex hoc,
quod æquali uelo citate de$cendunt, $ed ob uelo citatem motus in
aëre latet di$crimen anticipationis contactus $oli a ante b, qui di-
gno$citur in aqua, ex quo patet exactam e$$e æqualitatem. Sed re$i-
liunt $emel in aqua ambæ, cum pluries in aëre a $olo, quare etiam in
aqua perturbatur cognitio in parum accuratis, at <01> $en$u præditis,
$icut etiam in ca$u, ne altera alteram perueniat, utra <01> comprehen$a
duobus digitis, altera alteram tangente, & u$que ad centrum in
aquam demi$sis $imul digitis dilatatis dimittendæ $unt.</P>
<P>Propo$itio cente$imaundecima.</P>
<P>Cur ex medio tela ualidiorem ictum, & naues in $calmo à remo,
ac malo recipiant inde ex puppi explorare.</P>
<P>Ari$toteles uidetur in Mechanicis, & qui eum $equuti $unt, ui-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
dentur rem nauticam quòd ad remos attinet, referre in longitu-
dinem partis, quæ $calmum tanquàm hypomochlium interiacet
& manum: ea enim circa medium nauis cum illa ibi $it latior ma-
ior e$t. Sed & qui lembos ducunt, & in puppe magis di$tant à
$calmo & in prora, quàm in medio nauis, nec tamen uelo cius il-
lam agunt: non quòd ratio illa fal$a $it, $ed quia uelo cius ferun-
tur etiam ob aliam cau$am, quàm $it hæc, & magis uniuer$alem.
Primum igitur $umamus, quod $uperiùs demon$tratum e$t $cili-
<marg>P<I>ropo$.</I> 86.</marg>
cet, quòd ubi pondus aliquod æquale undique tanquam in li-
bra $u$pen$um fuerit, proportio ponderis partium inæqualium
ad duas partes æquales, e$t confu$a ex proportione longitudi-
nis earundem, & quadrato eiu$dem proportionis. Sit ergo diui-
$a a b in c, & fiat c e æqualis c a: proportio igitur ponderis b e ad
pondus e a e$t compo$ita ex proportione b e ad e a, & quadrato
<fig>
eius $ecũdum longitudinem. at po$ita agi
na d g in medio a b, <04>portio ponderis b e
ad pondus ea e$t, ueluti longitudinis b e
ad e a, igitur proportio põderis b e ad e a,
cum agina e$t extra medium in c, e$t tanto
maior proportione b c ad ea, quantum e$t quadratum illius pro-
<marg>P<I>er</I> 10.
<I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
portionis, ergo b e pondus maius e$t, cum agina e$t in c, quàm in d.
igitur per commun&etilde; animi $ententiã addito communi pondere a e,
erit pondus a b minus $emper cum agina e$t in d, <08> in ullo alio lo-
co a b. Ergo pondus a b apprehen$um in d mouebi&ttilde; a b æquali ui
<marg>P<I>er</I> 8. <I>quin-
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
maiore proportione, <08> in ullo alio loco. Ha$tile ergo in medio ap-
prehen$um maiore ui mouebitur, quàm in ulla alia parte. Et $i gra-
<foot>cilius</foot>
<p n=>106</p>
cilius $it in anteriore parte propinquius comprehen$um calci, & $i
cra$sius, uel grauius propius cu$pidi. Semper igitur ob hanc cau-
$am mota ex medio grauitatis, $eu uelo, $eu ramo, $eu manu uelo-
cius mouentur, quàm ex alijs partibus. In remo etiam pote$t acce-
dere illud commodum, cuius meminit Ari$tcteles. Propter hoc igi
tur, qui malum in naui collo carunt tantùm unum, in medio fermè
eum collocarunt, ut antiqui: & qui duos aut tres, maiorem cra$sio-
<marg>P<I>ropo$.</I> 82.</marg>
rem $cilicet, & altiorem in medio con$tituerunt.</P>
<P>Propo$itio cente$imaduodecima.</P>
<P>Cur ex imo leuia longius ferantur declarare.</P>
<P>Iam uerò cõ$ideremus, quòd propo$itum e$t, non $olum in com-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
paratione ad medium, $ed extremorum inuicem, mi$$a enim ab imo
uelo cius feruntur, quàm à medio non $olum manu, $ed $corpioni-
bus, & arcubus. Videmus & hoc ob$eruare pueros uirgam lon-
gius iacentes non ex medio, $ed imo apprehen$am, quoniam pars
ip$a anterior, & quæ manu apprehen$a e$t, uehementi impetu emit-
titur: & ut recipit impetum magis æqualem, longius fertur, nam
quod emittitur proportionem habet ad $patium. Cum ergo appre
hen$a in medio uirga $olum medietate anteriore impetum recipiat
per $e, ob id minus fertur: at impetus $equitur proportionem, ut ui-
$um e$t, quæ e$t circa medium ob leuitatem ponderis. In leuibus
ergo maius $patium $uperabunt emi$$a ex imo, quoniam propor-
tio $patij eadem e$t ad duplum, & ad dimidium. igitur ex imo fer-
me duplum etiam $patij $uperabit: non tamen omnino quia maio-
rem, ut dixi proportionem habet ad id, quod ex medio comprehen
$um e$t. At in leuibus non e$t nece$$arium, ut ex medio apprehen-
dantur, quoniam etiam cum incremento illo ponderis iam leuia
$unt: plus ergo facit longitudo eius, quod eiaculatur, quàm impe-
<fig>
tus, cuius demon$tratio e$t hæc. Sit uirga
a b apprehen$a in medio ponderis unciæ
mediæ, & in a d, ut $it d a palmus, & uige$i-
ma pars totius a b, erit ergo re$iduum ad duplum, a d nonuplum,
<marg>P<I>er</I> 86.</marg>
& a b tota unciarum quin <01> cum dimidia, $i igitur grauetur, quia in
$itu recto e$t mediæ unciæ, in æquidi$tanti terræ, quin <01> unciarum
cum dimidio, erit in $itu dimidij recti unciarum trium. E$t igitur
proportio $excupla, $i apprehendatur in medio, & ad æquidi$tan-
tem, ad apprehen$am in imo, & ad angulum medium: at emi$$a ex
<marg>P<I>er</I> 89.</marg>
a d habet totum aërem a b circumdantem impul$um ex c b $olum
dimidium reliqua pars ui trahitur, ergo proportio $patij a b, erit
$exdecupla fermè $patio b c, quoniam e$t triplicata corporis ad cor
pus eius, quæ e$t longitudinis ad longitudinem, & quadruplicata
<foot>re$pectu</foot>
<p n=>107</p>
re$pectu aëris a c, qui re$i$tit apprehen$a a b in c. Et iam minus fere-
batur quinta parte, ideo longius eiaculabitur triplo ex a, quàm ex
c. Nec tamen maiore impetu, quia obliquè fertur, & quæ obliquè
feriũt, minore cum impetu feriunt: at <01> eo magis $i leuia fuerint: ab
aëre enim circumambiente perturbantur, & in incertum trudun-
tur. Quæ ergo grauia $unt ex medio emi$$a, & ad æquidi$tantem
longius feruntur, & maiore cum impetu, quia magis directè: leuia
autem longius ex imo, $ed minore cum impetu, $i aliqua cau$a à re-
cto, & æquidi$tante declinauerint. At $i à $uprema parte, & iuxta
cu$pidem, neque procul feruntur, neque cum impetu ob cau$as di-
ctas. Eadem quoque ratio e$t omnium machinarum: ideò oblon-
g&ecedil;longius eiaculantur, quoniam proportionem $eruant ad cana-
<marg>P<I>rop.</I> 107.</marg>
iem. Sed de hoc inferius agetur.</P>
<P>Propo$itio cente$imatertia decima.</P>
<P>Cur uirga longius mittatur à puero, quàm à uiro inue$tigare.</P>
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
<P>Diligentia, & u$us puerilis efficit, ut uirga feratur $ecundum me-
dium rectianguli: uir autem non con$tanter iacit, & $ecundum re-
ctum, at rectus ince$$us in leuibus, quia ab aëre in obliquum defle-
ctitur uirga ob longitudinem efficit, ut inflectatur infrà celerius, &
de$inat citius motus, ac finiatur. Tertia cau$a e$t, quòd leui$sima
non adeò recipiunt impetum ut grauia: nam leui$simam & exigu-
am ligni portionem maximo nixu uix excutiemus è manu. Cau$a
ergo e$t: quoniam uim, oportet, ut habeat, quod contra naturam
mouetur, ut naturaliter moueri po$sit, quæcun <01> igitur naturaliter
exiguum habent motum, ut pluma, palea, fe$tucæ nulla ratione ue-
hementer contra naturam agi po$$unt. Quædam ergo à pueris lon
gius iaciũtur ob $olam peritiam, & exercitationem, quædam quo-
niam ad angulum latiorem magis feruntur, quàm $it rectus, quæ-
dam quoniam leui$sima $unt. Sed $i leuiora non feruntur ualido
motu uiolento, cur tamen à pueris iacta longius ferũtur? Ratio e$t,
quoniam maior uis deficiente obiecto magis fatigatur, atque ideò
minus mouet. Propter hæc igitur omnia non $olùm in pueris, $ed
in machinis, quæ accommodata $unt, melius impelluntur, aclon-
gius feruntur, quàm leui$sima. nam nec palea $corpione iacta tam
procul, quàm $agitta fertur, cum proportio maior $it, tamen ad pa-
leam, quàm ad $agittam. Inde fit, ut quemadmodum Turca ille lite-
ras $ui Prin cipis, cum timeret ad no$tros propius accedere, lapidi al
ligatas longius emi$it. Cau$am autem huius docet Ari$toteles in
Mechanicis dum quærit cur, & grauia & leuia ualde longe proijci
nequeunt: nam grauia nimis, moueri nõ facilè po$$unt: leuia etiam
ualde ad rem mouere non ualent. Ob hæc utra <01> ex his paruo cum
<foot>impetu</foot>
<p n=>108</p>
impetu emittuntur, tamet$i uehementer nitaris. Sed & leuia ferun-
tur hac illac, ut non po$sint retinere impetum prioris uiolentiæ: in-
natum enim e$t, ut duorum motuum $imul in eadem re uigentium,
cum illa proprio impetu feratur, unus alterum impediat: nam $i ro-
ta uehatur circulariter acta, non tamen ce$$abit, aut iminuetur impe
tus circulationis. Multa ergo in huiu$modi anomalis motibus con
$ideranda $unt, ut illorum impetum robur, aclocum definiamus.</P>
<P>Ex hoc liquet, cur plumbeæ $phærulæ longius ferantur à tor-
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
mento emi$$æ, quàm ligneæ, etiam $i non fran gantur.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquartadecima.</P>
<P>Cir cularis motus differentias quatuor e$$e, earum qúe rationem
contemplari.</P>
<P>In motu circulari aut axis progredi&ttilde;, aut $uo loco manet. Vtro <01>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
autem modo uel mouetur ab axe, uel circumferentia, igitur con$tat
quatuor e$$e motuum differentias: quas cum tres proponat author
libri Mechanicarum, aut Ari$totelem illum e$$e, credendum non
e$t, aut illum $tupidum dicere nece$$e e$t, nam modum diuidendi
eum latui$$e quis putet. cum rota igitur aut $phæra in plano cir-
cumagitur, motus e$t ex circumferentia prægrediente axe: ut pa-
lam e$t: motis enim loco nobis mouentur omnia, quæ $unt in no-
bis. Cum uerò rotæ $ub curru $unt, progreditur axis earum, & rota
ob id cum quie$cere nequeat, quia facilius circumuertitur, quàm
trahatur, procedit, & hic e$t $ecundus modus, quo rota ex circumfe
rentia mouetur, & ex axe initium e$t motus. At uerò in rota molari,
& quibus gladij exacuuntur, cum loco non moueantur, motus e$t
ex axe: axis enim rotam circumagit, non rota axem, quie$cit tamen
in eodem loco rota, & axis $cilicet, quia non progreditur, $ed in lo-
co mouetur: atque hic e$t tertius modus. Demum $uccula putei, &
ip$a mouetur circulari motu, & trochleæ etiam, ne<01> enim progre-
diuntur: $ed non ex axe mouentur, uerùm $uccula per coloppes cir
cumducitur, & tro chlea per funes, axis <03> in $uccula mouetur, in tro
chleis autem quie$cit pror$us: dico mouetur, id e$t circumducitur,
non quod progrediatur: ut non $olum $int quatuor modi, $ed po-
tius quin <01>, nam & demon$tratione o$tenduntur, & experimento
do cente deprehenduntur. Horum omnium liberrimus e$t, primus
ex cir cumferentia progrediente toto, $eu attracto $eu impul$o & ue
loci$simus, cuius cau$am $uprà o$tendimus. Proximus huic e$t mo-
<marg>P<I>ropo$.</I> 40.</marg>
tus rotarum per axem, quoniam axis premit rotam interius $o-
lam, & labitur: ideo <03> quod & axis, & rota intus $int leui$sima, pro-
de$t plurimum: & aurigæ axungia inungunt, & nomen ab eo traxit
<foot>axungia.</foot>
<p n=>109</p>
axungia. Et <09> rota magna $it: quoniam cum nõ rota, $ed axis traha-
tur in æquali tempore & magna, & parua trahitur: utra <01> uerò una
conuer$ione tantam lineã rectam $uperat, quanta e$t rotæ periphe-
ria. Quod $i plures $int rotæ celerius feruntur, quia axis minus tan-
to rotã premit. Et $i rectus $it axis, & bene rotundus, & foramen ro
tundum, & latius, & è duri$simo ligno, ut non po$sit in clinari: &
rota ip$a in ambitu æqualis, omnia hæc faciunt ad motus uelo cita-
tem, unde Homerus.</P>
<marg>I<I>liad.</I> 23.</marg>
<P><G><*> xnia tu/<13>e w_o/de<17>i w_a/r & ko/ni<19> a)|mfi xuqu_nai</G>.</P>
<P>Id e$t, ue$tigia per cu$sit pedibus, ante <03> illa puluis pedibus ex-
cu$$us (ue$tigia $cilicet relinquentibus) ingrederetur. Principalis
autem cau$a uelo citatis e$t agens, uelut equi. Sed inter hũc motum
& priorem medius e$t Scitalæ uocatæ, nam ut in primo axis proci-
dit & rotundum à $uperficie circumagitur, licet axis etiam circum-
ducatur, ut axis, & rota, aut $phæra duplici motu moueantur, fci-
licet antror$um, & circumcirca, in rota currus duo ijdem motus
$int, axis quo <01> antror$um moueatur, $ed non circumagatur: unde
impeditior e$t hic motus: ita in Scytala utrun <01> utro <01> motu mo-
uetur, & circumcirca, & antror$um, at <01> id commune e$t, cum pri-
mo ita axis mouet rotas, non rotæ axem, quòd $ecundo motui ro-
tarum in curru proprium e$t, ut tantum degenerent à primo motu,
quanto leuius uertuntur, quàm in $ecundo motu. Trahitur ergo
<fig>
iugum in $citala, uelut in rotis currus,
$ed e$t annexum rotis non in curri-
bus. Propterea in primo motu trahi-
tur, uel impellitur à $uperficie: in $e-
cundo a b axe, $ed non affixo rotis, unde ægrè trahuntur in $cyta-
la ab axe affixo rot&ecedil;. Quare leuius quàm in curru, difficilius quàm
in rota uel $phæra à $uperficie extima circumacta. Quartus modus
e$t, ut dixi, circumuecta rota ab axe, quum non progreditur, ut in
moletrinis, & rotis, quibus ferrum exacuitur. E$t enim hic $imilior
primo, quia contrarius, in primo enim procedit rota, & uertitur à
circumferentia, hic quie$cit rota, & mouetur ab axe. Proximus huic
e$t, qui fit in $ucculis ob firmitatem axis: nam axis e$t coniunctus
rotæ. Vltimus e$t trochlearum, qui & difficillimus: $it enim à cir-
cunferentia, & axis di$iunctus e$t à trochlea: quod ad dit difficulta-
tem. Sed & trochlea caret colloppibus. Ergo uerum e$t, quod o-
mnia rotunda facilius circumaguntur, $ed uaria ratione: nam plus
mota $uper aliquo plano, ut in plau$tris & $cytalis: minus in $uccu-
lis, & rotis acuentibus ferrum, & molis: nam & $i rotun ditatem iu-
uet ob æqualitatem ad conuer$ionem, non tamen in his e$t ad eò
<foot>K utilis.</foot>
<p n=>110</p>
utilis. Vtilitas ergo prima e$t, cum circumuertitur in plano, uelut
in rotis $cytalis, & $phæris. Secunda quæ minor e$t, cum à $uperfi-
cie circumuertitur, ut in trochleis. Tertia cum à coloppis, quæ mi-
nima e$t omnium, ut in $ucculis. Motus autem cœli non e$t ex tri-
plici primo genere, cum $it in loco, & non ad locum, ne<01> ut rotæ
molaris: nam ille e$t ex axe: necut in tro chlea: nam in ea axis quie$-
citip$um autem cœlum circa axem non uertitur, $ed cum axe, $i ta-
men in$ecabilis linea circumagi pote$t dici. Relinquitur ergo, ut
Cœli motus propior $it motui $ucculæ, quàm alij motui. Differt
ab eo in hoc, quod in $uccula mouetur axis ab orbe: at in cœlo
ut non mouetur ab axe, ita nec axis ab orbe: cun <01> $it motus $im-
plici$simus, in alio genere collocandus e$t: quando quidem in illo
nulla pars po$sit dici primo, quod nece$$ariũ e$t in uno quo <01> horũ.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquinta decima.</P>
<P>Proportionem motuum impul$ionis, & attractionis inter'$e ab
eadem ui declarare.</P>
<P>Con$tat, quòd attractio cum fune longiore ualidior e$t, quam
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
cum manibus, quoniam e$t cum motu quodam: motus autem au-
get actionem, ideo attractio ualidior e$t hac de cau$a, $ed & impul-
$io cum baculo ualidior e$t, quam cum manibus, quoniam licet col
ligere omnes uires in illo baculo, & ip$um applicare loco, unde fa-
cilius impelli pote$t. Velut $phæra ex medio latere: nam ibi magis
colliguntur uires, & ad impellendum facilius e$t, quodcun <01> leui-
us e$t. Pars autem magis remota à centro grauitatis e$t leuior, his
duabus cau$is, $phæra ex medio latere facilius ac magis impellitur.
Sed nos $upponimus nunc applicationem æqualem e$$e, nam $e-
cus ad impellendum facilius e$t applicare totum corpus, quàm at-
tractionem. Pectore enim magna ui impellimus, nihil e$t compar,
quo trahere po$simus. Sed, ut dixi, $it baculus applicatus alicui la-
pidi ea parte, qua facilius pote$t impelli & trahi, & quæritur, quæ
maior $it uis, an attrahendi? & dico quòd homo, uel conatur trahe-
re toto corpore, & impellere, at <01> hoc modo magis trahit, quàm
impellet, quoniam corporis pondus melius adhibetur in tractione
quàm impul$u: uel citra corporis pondus, $ed $ola ui membrorum:
& tunc magis impellit, quoniam impul$us fit corpore prono in an-
terior&etilde; partem, quæ in clinatio, & motus e$t naturalis magis, quàm
in attractione in partem po$teriorem. Sed ubi nulla $it diuer$itas
ne<01> horum, ne<01> figurarum æqualis uis æqualem efficit motum:
quia impul$us impellentis comparatione e$t attractio re$pectu al-
terius. Verùm non e$t eadem uis nec propè par impellendi, at que
attrahendi hominibus, cum attractio fiat per mu$culos ad origi-
<foot>nem</foot>
<p n=>111</p>
nem $uam naturaliter $e retrahentibus impul$ui nullum in$trumen
tum à natura delegatum inuenio, nam ad exten$ionem mu$culi $a-
nè ex aduer$o $unt fabricati: cum ergo duo $int tantum motus mu-
$culorum ten$io, dum retrahũtur ad principium $uum, & remi$sio,
dum membrum quie$cit in naturali nullus erit locus impul$ioni,
ni$i ex con$equentia non per $e, quamobrem multo infirmiorem il-
lum attractione in brachijs e$$e, nece$$e e$t.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$extadecima.</P>
<P>Cur machinæ ablongæ igneæ longius emittant $phæram ex-
plorare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Quoniam ratio $uperius adducta, ne<01> in his, ne<01> in hypophy-
<marg>P<I>rop.</I> 103.</marg>
$is (uocant cerbatanas) non pote$t $atisfacere, cum tamen idem $e-
quatur in his, ut in illis uidetur, qua$i uis e$$e in $phærula $ic emi$-
$a, & non in aëre, quemadmodum dicebamus, coniuncto e$$e. Ex
quo nece$$e e$$et, ut quod longius ferretur, etiam ualidiores ictus
<fig>
inferret, hoc autem
non ita $e habet, $ed
ictus magnitud o
ex robore machi-
narum tam ignea-
rum, quam $corpio
num pendet, nam
$it a $corpio ma-
gnus, $ed tenuis, ex
hòc palam e$t lon-
gius mittere $agit-
tam, quòd à parua,
& breui, quantun-
uis cra$$a non lon-
ge mittitur: at uerò
quod b cra$$us & paruus maiore cum impetu mittat o$tenditur
nam ea pondera $agittæ mouet, quæ non pote$t mouere a, igitur b
ualidiore robore mouet, quam a. Prætera illud o$ten dit iugum fu-
nis arcus cra$siora duriora, quæ maioribus uiribus indig&etilde;t, quam
a, qui à puero tendi poterit. Non e$t ergo eadem ratio mittendi
longius, & ualidiore cum robore. Eadem ergo cum ratio $it in
machinis igneis, cra$siores enim, & latiores ac breuiores magis
concutiunt, quam longiores tenuiores minoris $phæræ capaces:
non $olum ob mag nitudinem $phæræ magis illæ concutiunt, $ed,
ut dixi, ob maiorem impetus uim: cau$a ergo e$t manife$ta in his,
$ed non cau$a, qua longius ferantur in longiore canali. Sed uide-
<foot>K 2 tur</foot>
<p n=>112</p>
tur una, eadem <01> e$$e ratio in utri$que. Con$tituatur can alis a b
lońgior, & c d breuior, ut $it $exqui alter a b ad c d, & $it rur$us
<fig>
$phærulæ locus e in longiore,
$exqui alter in di$tantia a b, qua
lis e$t in f a d, & erit per dicta
ab Euclide in quinto, ac $exqui
altera c f. Po$$emus igitur di-
cere, quod uelut ab hypomo-
chlio longiore $patio circuma-
gitur pondus: ita & a b c, & f.
Sed rur$us incidimus in id, ut
maiore impetu feratur e quàm f. Ideo $i concedatur maiore ferri ex
e, quam ex f non $equitur, ut celerius, aut maiore impetu. Percutit
puer pugno quanta ui pote$t ac celerrimè, uir robu$tus lentè, & mi-
nore impetu, $ed tamen ictus longè maior e$t. E$t enim ictus robur
non à uelo citate $olum, $ed maiore ex ponderis grauitate, quæ $ola
premit, urget, & frangit etiam $ine motu. Solum ergo id re$tat du-
bium, cur $i grauius e$t, moueatur eodem ferm é impetu: nam quo
maiore impetu fertur, eo longius fertur, non tamen magis ferit, con
cutit, aut qua$$at, $ed grauitas ad hoc plus facit impetu. Palea maxi-
mo impetu demi$$a non ferit, non ledit, & celerius de$cendit, fer-
rum $ola grauitate actum, imò etiam temperato ictu lædit graui-
ter, qua$$at, & frangit: ita <01> f maiore indiget quantitate pyrij pulue-
ris, quàm e: $iquidem tertia parte ponderis $uæ $phæræ: at maius
e$t pondus f quam e, ergo maius pondus pulueris f quàm e, ergo
maior uehementia ictus, $iquidem ea $equitur, robur cau$æ mouen
tis $im pliciter: ut concludamus longitudinem ictus $equi propor-
tionem motoris ad motum, $ed uehementia robur motoris: nam $i
ex portione mouet æquale pondus maiore cum impetu mouet,
quoniam maior e$t proportio: $i minore igitur pondus maius e$t,
&, ut dixi plus facit magnitudo ponderis cum leui ictu, quàm ma-
gnitudo ictus cum leui pondere. Quæ ergo feruntur per longio-
res canales maiore impetu feruntur, & $ocietatem hab&etilde;t aëris moti
per longius $patiũ, ut tardius remittatur, quia longiore tempore uĩs
motus confirmata e$t, & <04>portio eius, quòd mouet, maior e$t ad id,
quod moue&ttilde;, quia minus extenditur, at uerò f motũ minore <04>por-
tione ictũ facit maior&etilde;, <04>a, ut dixi, tãto grauius, e$t quod ferit. Quod
aut&etilde; minus ext&etilde;datur machina a b quam c d, nũc o$t&etilde;dere oporter.</P>
<P>Propo$itio cente$imadecima$eptima.</P>
<P>In cuniculis maior e$t uis pulueris copio$ioris ampliore in $pa-
tio, quàm paucioris in minore iuxta proportionem eandem.</P>
<foot>Sit</foot>
<p n=>113</p>
<P>Sit $patium f d $exqui tertium b e, puluis quo <01> in f d $patio $i-
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
militer $exqui tertius pulueri b e pondere, & manife$tum e$t, quod
dum conuertitur in ignem quali$cun <01> $it proportio (modo eadem
ignis ad puluerem) erit ignis in f d pariter $exqui tertius igni in b e,
dico quòd $i cra$sities f d $it etiam $exqui tertia cra$sitiei b e, quod
poterit frangi, & moueri f d quie$cente b e. Vnde idem in cuniculis
ut magnus cuniculus cum multo puluere po$sit mouere montem
paruus cum puluere proportione re$pondente priori non po$sit.
Nam cùm æqualia $int omnia iuxta <03> rationem eandem, nece$$e e$t
ut pro ratione extendantur, at in paruo $patio minor fit den$itas c&ecedil;-
tera paria $unt, ergo à paruo $patio non tantus fit impetus, quantus
à magno. Impetus etiam proportionem habet ad põdus, & ad con-
iunctionem, à maiore igitur impetu plura, & maiora mouentur, &
conuelluntur, quam à minore, ob hæc igitur minores cuniculi $uc-
cutiunt, maiores euertunt, maximi exturbant, & proij ciunt. Nam
qui $uccutiunt, ubi pondus, aut coniunctio maior $it, quàm ut di-
$trahere po$sint, conden$ant partes proximiores, & rimas faciunt,
per quas exhalat ignis aut omnino extinguitur, aut conden$atur.
At ergo in bellicis machinis, minus dilatat puluis, cum fuerit in lon
go canali, ob id ergo maiore impetu feruntur per illas, quàm per
breuiores, etiam quòd minor $it puluis, minor $it ignis. Experimen
tum facies in canali, ubi $ambuci medulla pro globulo flatu impel-
lente expellitur ab$ <01> periculo: nam quanto minor fuerit canalis
ambitu ac longior eo maiore impetu pellitur. For$an qui$piam nos
meritò poterit uideri repreh&etilde;di$$e, quòd inanis gloriæ $tudio per-
nitio$a humano generi do ceam. Quibus re$pondeo, me nihil do cu
i$$e, quod ín humani generis detrimentum cedat, huiu$mo di <01> pr&ecedil;-
cepta iam ob$cura$$e, ut ne quid mali accidere po$$et hominibus ex
his: nã quòd ad ea, quæ declarata, $unt, cau$as $olùm retuli, effectus
ip$imodi artis nimiũ feruntur, ac nimio plu$quam uell&etilde; in telligun-
tur. Vt cum ad copiam, ad magnitudinem, ad coacta imperia mi$e-
rorum re$picio, nihil plus po$sit addi. Omnia enim hucu$ <01> $pectãt
ad potentiorum in crementa. An ergo $uccurrere afflictis, ob$e$sis,
cinctis, æquare condition&etilde;, liberare à $eruitute etiam rebelles nõ li-
cebit? Ab initio fuimus omnes liberi: excogitata fuit regni ratio ad
commodum hominum, ea uer$a e$t per uim in Tyrannid&etilde;. Subtili
ergo ratione occurrendũ e$t imbecillioribus: nã reliqua omnia ni-
mis, ut dixi, qu&ecedil; ad cuniculos ad magnitudin&etilde; machinarũ ad rectos
ictus ad libram&etilde;ta ad longitudinem $pacij, per quos globus ille de-
fertur, nota $unt improbis illis artificibus, nec no$trum e$t $pectare,
cur id licuerit, po$tquam Deus hanc uiolentiam e$$e uoluit. Multa
damnamus, &qtilde; Deus e$$e uult: boni uiri e$t nõ ni$i opitulari homini-
bus, etiã malis modo bonis futuri nõ $int impedim&etilde;to: quamobr&etilde;
<foot>K 3 ea</foot>
<p n=>114</p>
ea tradenda $unt, quæ oppre$sis $int auxilio: ea $unt, qu&ecedil; $ubtilibus
con$tãt rationibus, et multiplicata amittũt uim ut qua$i pr&ecedil;$t&etilde;t pau
ca multis, & exigua magnis. In c&ecedil;teris ob$curare ita decet cuncta, &qtilde;
obe$$e po$$unt, aut quouis modo puerti ad malos u$us queãt, ut di-
cta nõ dicta e$$e put&etilde;t, hoc e$t officiũ nõ $olum <04>bi, $ed etiã pruden
tis uiri.</P>
<P>Propo$itio cente$imadecimaoctaua.</P>
<P>Quanta <04>portione decedat ictus in obliquum parietem ab eo,
qui e$t ad perpendiculum declarare.</P>
<fig>
<P>Sit paries b d e, ex a fera&ttilde; in dictus, qui $i
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
e$$et in c d pariet&etilde; e$$e ad perpendiculum, &
ualidi$simus, $in uero in f g abraderet, & nõ
cõqua$$aret. Quæritur ergo ex b d e muro
qualis excipietur? erit ergo proportio anguli c d a ad angulũ b d a,
ueluti ictus a d in d c ad ictũ in b d, manife$tũ e$t aũt $equi <04>portio-
nem, quoniã maxima uarietate cõ$tat dum ex angulo b d a acuto fit
acutior, quoniã $i b d c $it &qtilde;druplus b d a erit re$iduus ad dimidiũ b
d a nonuplus ip$i dimidio, & ad quartã part&etilde; habebit <04>portionem
decemnou&etilde; ad unũ. Si ergo etiã in id&etilde; tenderent, nõ efficerent mille
ictus &qring;d tres, cuius demon$tratio h&ecedil;c e$t. Supponamus <04>portion&etilde;
b d c ad &qtilde;rtam part&etilde; a d b ad dito re$iduo ad b d c e$$e $olũ decuplã:
tũc ex duob. ictibus centupla erit in d c ad eã, qu&ecedil; in b e, etiã tribus
millecupla: nam cõqua$$ata turri in primo ictu, id d decuplo magis
ad perpendiculum <08> in b d e $uma&ttilde; decima pars in ambitu d, & illa
erit ergo tã di$$oluta, & infirma ex $uppo$ito, <08> e$t tota b e: $ed ex $e
cundo ictu decuplo magis cõqua$$abi&ttilde; illa pars, <08> b e ergo tota d c
centuplo magis qua$$abi&ttilde; ex duob. ictibus c d turris, <08> b e, & ita in
tribus: ex dec&etilde; millibus ergo ictibus etiã ad amu$sim directis, cũ ta
m&etilde;id uix fieri po$sit in tãta multitudine nõ plus cõminue&ttilde; b d e, <08>
ex decë c d &ptilde;ter quã exiguũ quippiã in $uperficie. Imo ut declaratũ
e$t multo minus repetita ratione multiplicis. Ob id in arce Medio-
lan&etilde;$i exterius lapidibus uiuis in rotundũ diducta $uperficie inter-
<fig>
uallo <03> &qtilde; drato hunc in modũ munit&ecedil; $unt altiores tur
res. Fiat ergo murus cuius <04>portio a d c ad b d a $it $ex
quitertia, erit <03> angulus b d c dodrãs recti, & parũ incli
natis, $iquid&etilde; b d c erit quarta pars recti, & $it tant&ecedil; ma-
gnitudinis, at <01> duritiei, ac adeò benè coniunctus fer-
<table>
<row><col>729</col></row>
<row><col>972</col></row>
<row><col>1296</col></row>
<row><col>1728</col></row>
<row><col>2304</col></row>
<row><col>3072</col></row>
<row><col>4096</col></row>
<row><col>5461 1/3</col></row>
<row><col>7281 7/9</col></row>
</table>
reis cathenis, ac $tolonibus, ut po$sit re$i$tere machinarũ fe-
rentiũ $ph&ecedil;rã librarũ ducentarum (quæ $anè maximæ $unt)
quin quaginta: tũc cum <04>portio $exquitertia nouies repeti-
ta, ut in numeris uides, efficiat quinquies replicatis nouem
ictibus, fiet <04>portio decupla quinquies <04>ducta, qu&ecedil; e$t cen
tũ millium ad unũ in quadraginta quin <01> ictibus. Antequã
ergo peruenit ad quinquaginta ictus rectos nece$$e erit, ut
<foot>multo</foot>
<p n=>115</p>
multo plures centum millibus ictus excipiat ante <08> euertatur, quæ
recta $i e$$et quin quaginta $olùm potui$$et $u$tinere. Quæ ergo hu
mana potentia $ufficeret. In arce Medio lan&etilde;$i uidimus uix attactas
in illis extuberationibus lapideis. Sed quoniam hic occurritur per
inclinationem machinarum, ideò de hoc $ermon&etilde; $um habiturus.</P>
<P>Propo$itio cente$imadecimanona.</P>
<P>Quantum ictus machin&ecedil; procliuis ad angulũ minua&ttilde; explorare.</P>
<P>Huiu$ce cau$a excogitarũt, ut ictus ad perpendiculũ dirigere&ttilde;, &
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
quanquã angulus d e f $it &ecedil;quali angulo a b c, longè tñ maior e$t uis
a b <08> d e duplici cau$a, & quoniã a b e$t $ecundũ nat uram impetus
<fig>
ignis, & etiã eorũ, qu&ecedil; emittun&ttilde; in altum: & &qring;d pars
$uperior in b retineat ictũ, in e non retineat. Sed caui
tas fiat maior in inferiore parte: cuius experim&etilde;tum
quiliber facere pote$t cũ ha$ta. Huic ergo $olertiæ, &qtilde;
tormenta iubet altius collocare ob$tat primũ, quod
ictus ex decliui $itu periculo$ior e$t <04> machina, & ma
ximè &qring;d retro impellit, <09> ex retro ce$$a, po$t <08> exone
rata e$t, digno$ci&ttilde;, & ad collimandũ decedit parte ui-
riũ $uarum, &qring;d et$i paruũ $it in ductu tñ, & ictuũ mul
tiplicatione magnũ affert di$crimen. Habet & cõmo
dum $itus muri accliuis terrã $uppo$itã ad perpendiculum, &qtilde; ictum
$u$tinet: adeò ut omnib. inuic&etilde; collectis, perinde $it ac $i ex perpen-
diculo, et &ecedil;quidi$tanti ad $olũ feria&ttilde;. Venetus. S. aliter Patauij cauit,
uidetur <03>, <09> $apienti$simus $it, & eandem $equatur ubi <01> normam,
po$t <08> in rotundã figuram totũ urbis ambitum formauit, & fo$$a la
ta, ac <04> fundi$sima aqua <03> perenni muniuit, & $ummã muri partem
rotundã in hunc modũ effecit cauã <03> interius undi <01>, ne cuniculis
<fig>
po$$et euerti, à lateribus uerò humiles, ac cra$si$simas turres, ut nul
la ui po$$ent dirui, eas <03> tormentis bellicis, undi <01> latera lu$trantib.
reple$$et, illud diligenti$sime cauit, ne murus humilior e$$et aduer$a
ripa, $ed ad libellã tamen depre$$us, ut etiã machinis in terram exten
$is $ph&ecedil;rulæ non tangerent murũ: nam cũ fo$$a $it quadraginta pa$-
$uum, excedat aũt murus exterior&etilde; aggerem uno pa$$u, ut quicquid
in ambitu e$t uno ictu oculi cogno$ci po$sit, & aggeris angulus ma
ior $it uno pa$$u, tũ magis adiecta cra$sitie machin&ecedil; fieri non pote$t,
utictus in murũ dirigatur. Eam ob cau$am etiã cauit, ne &ecedil;dificiũ ul-
<fig>
lum, aut planta, uel colliculus e$$et cir-
cum circa urb&etilde; ad tria M. P. laborat hoc
periculo h&ecedil;c urbs, ne tota &ecedil;dificijs euer-
$is concidat. Turcarũ enim Princeps di-
dicit, ut in Nouo ca$tro in Melit&ecedil; In$ul&ecedil;
arce S. Elmi appellata plu$ <08> mille icti-
bus in $ingulos dies imo M D obtundere
<foot>K 4 munitio-</foot>
<p n=>116</p>
munitiones. Eum <03> impetum producere ad quindecim dies, & ui-
ginti tum etiam longius, ut facilè domos omnes euertat, homines
occidat: $i qui $uper$unt tot in commodis obruuntur uigilijs, fame,
$iti, puluere, ut inutiles red dantur. Ideò huic incõmodo occurrunt
aggeribus intra mœnia erectis, in quos uis torm&etilde;torum igneorum
emoritur. Sed dices, cur ergo non pro muris erigere eos præ$tat, &
minore $umptu $atis? quoniam $ubruuntur à fo$$oribus facillimè, $<*>
ad illos peruenire po$sit ho$tis. Ideò intra m œnia utili$simi $unt, <04>
mœnijs parum pro$unt. Quod uerò ad te$tudines attinet, $ub qui-
bus lat&etilde;t fo$$ores machinæ laterales, & à fronte & ignes, & aqua al-
tior <04>hibent omnino iniuriam, qu&ecedil; ab his imminet. Cæterum hu-
iu$modi cum in longum differun&ttilde; morbis, illuuie, incõmodis, plu-
uijs, frigoribus omnino di$$oluũtur, ut nulla multitudo huic operi
$ufficere po$sit. Rhodus, Alba regia, Melita, Ca$trum nouũ, Byzan
tium, $i diferri potui$$ent tempora, non ce$si$$ent uictori quantum-
uis $uperbo. Vicit pertinacia, audacia <03> $umma, Corcyrã, Viennam
capere nõ potuit, quoniam in longũ trahebatur oppugnatio. Mul
tæ machinæ, & pauci homines prædæ ob$e$$orum expo$itæ $unt:
pauc&ecedil;, & pauci homines ob$idebuntur potius, quam ob$idebunt.
Exercitus magnus di$$oluitur, & $emetip$um con$umit, $i nulla fiat
acce$sio aut exigua quomodo $tabit: $i magna auxilia omnia cor-
rumpuntur. Contrà ob$e$sis auxilia $i ueniant lu$trata, & munita, et
omnibus nece$$arijs ornata uiri integri cõtra fatigatos, & fe$$os cor
pore, armati contra inermes, alacres contra torpidos $uperueniunt.
Ob id præcipuum e$t auxilium pr&ecedil;ter h&ecedil;c his, qui oppugnantur co
pia militum, qui per initia nun <08> quie$cant diu noctu <03>, uerũ noctu
duo tubicines per$æpe exercitũ in$omn&etilde; in armis tota nocte cõtine
bũt. Serio aũt die pugnare, & noctu cũ minimè id $perãt, & fatigati
$unt: mira euenire $olent in his in$peratis, ac audacibus eruptionib.
per$&ecedil;pe etiã omnino $upra fid&etilde;. Ita nõ conquie$cere oportet donec,
uel omnino à cepto de$inat ho$tis, aut locũ occupet $ibi relictũ po-
tius <08> qu&etilde; elegerit. nam experimentũ frequens do cuit, ubi illæ ma
gn&ecedil; uires $uo arbitrio locũ, qu&etilde; elegerũt obtinere potuerint, tand&etilde;
potiri locis quãtumuis munitis in hoc &qring;d diximus cõtra oppona&ttilde;.
Etenim $ept&etilde; modis cũ urbes, at <01> arces capian&ttilde;, quorũ duo $unt ex
tra &ptilde;$ent&etilde; con$ideration&etilde; ob$idio, &qtilde; magnitudine ambitus loci tol-
li&ttilde;, & <04>ditio, &qtilde; cu$to dũ uigilãtia, cuniculi, euer$io $uperioris muri,
euer$io ab imo <10> machinas, cuniculi, $eu $uffo$sio, urbis euer$io, $eu
&ecedil;dificiorũ: & &qtilde;uo cant aggre$sio, $eu oppugnatio <10> $calas, & crates
cũ $agittarijs: his omnib. $atisfactũ puto, pr&ecedil;ter <08> oppugnationi <04>-
pter humilitat&etilde; murorũ: nã lignis opplen&ttilde;, at <01> fa$ciculis, terra <03> fo$
$&ecedil;: nihil. n. re$i$tit immen$&ecedil; illi pote$tati, & crudelitati $&ecedil;ui$simorũ ty
rãnorũ. Verũ, ut dixi, terra noctu effodi&ttilde;, ligna artificio$is ignib. eru
<foot>untur.</foot>
<p n=>117</p>
untur. Et longum e$t opus $iue per paucos, $iue per multos quis ef-
ficere conetur: ut non minus exigat temporis, quàm ob$idio: nam
multitudine unus alterum impedit, & mortui uiuos, ut omnino res
$it non $peranda ni$i aduer$us inerti$simos. Pontes euertunt machi
næ, ignes <03>. Sed ubi etiam muros obtinuerint ob rotunditatem in
illis con$i$tere non po$$unt. Inde à defen$oribus propul$antur $ari$-
$is, telis, ignibus, tran$uer$is trabibus, machinis: illud<03> accedit com
modi, ut quanto plures eo facilius excutiantur. Dixi non debere
uereri maxima etiam præterid, quoniam & i$t&ecedil; ip$&ecedil; tanto $anguine
acqui$it&ecedil; tanto deorum & hominum iniuria modica $cintilla ignis
$ine munitionibus, exercitibus, $iue machinis, ab$<01> terræ cõcu$sio-
ne, aut inundatione, uel pe$te euertuntur. In illam mi$eram lachry-
mam patris $cintilla ignis inferni, cùm Deo placuerit, mitti&ttilde;, ex qua,
quod coalitũ e$t, multis $eculis imperium luxu, crudelitate, $tultitia
unius filij, uix uno lu$tro toto di$$oluitur. Hanc $cintillã cum felici
etiam genio $ecum ex utero detulit Alexander Magnus. In alijs alij
genium $ortiti $unt, alij $cintillã detulere ab Orco. Ex imperio A$$y
riorum per luxum Sardanapalus: ex Medorum per $cintillã A$tya-
ges: ex Per$arũ per $tultitiam Darius: ex Romanorũ Honorius. Di
ces, h&ecedil;c quid ad <04>portionem? Imò uelut machina ad perpendiculũ
librata pauculo illo puluere Pyrio urb&etilde; euertit, ita $cintilla illa infer
ni ignis $emini magni tyranni indita euertit at <01> di$$oluit totum re-
gnum $ine machinis, ut dixi, uel exercitibus ullis, & quod maius e$t
remedio nullo. Sed puerulo indito luxus, ignauiæ, crudelitatis at <01>
$tultiti&ecedil; fontibus, mirabile dictu $anè, & ad proportionem diuino-
rum in$trumentorũ pertinens. Sed redeamus ad in$titutum: Video
enim, quid po$sit obijci, $cilicet muros cra$$os, et altiores tueri urb&etilde;
& ædificia illius po$$e ab$<01> aggeris erectione, & $i diruan&ttilde; manere
etiam nihilominus imo magis, quod e$t terram, u$<01> quoniã eadem
ratione manet, quia concuti non po$sit à machinis: nec ho$tes id cu
raturos, $perantes hoc $olũ $ufficere, &qring;d mœnia $olo æquen&ttilde;, at <01> id
factũ e$t Mediolani, & in arce eius, tũ Papi&ecedil; & in Cremonen$i arce.
Verùm ni fallor, ut paruis arcibus à tanta ui tormentorum nullum
e$t præ$idiũ, aut $alutis $pes, ita ne<01> cõuenit, ut muris humilibus ag
geri confidant, nam & pauci homines tanto labori non $ufficerent,
& agger cum fo$$a effo$$a $cilicet terra defen$ores nimis in angu$tũ
cogeret. At in urbibus contra eueniet: muris enim erectis altius ma
chinæ lapidum fru$tis hominem occid&etilde;t: an percu$$a $uperiore par
te ob coniunctionem inferior concutitur, & in de totũ $imul cadit,
ut uidimus Papi&ecedil;, quo cad&etilde;te, & fo$$a impletur, & <G>t<05>kole/tois</G> facilior
aditus ad $ubruendum reliquas partes pr&ecedil;be&ttilde;: imò percul$i defen-
<foot>$ores</foot>
<p n=>118</p>
$ores $æpe muneris $ui obliui$cuntur, de$erta<03> ea parte liberum
ingre$$um ho$tibus exhibent. Tum uerò magis, quod non confi-
dunt animo nõ ad id parato, po$$e aggerem $ufficientem, & in tam
breui tempore ex$truere, & etiam intelligunt, antequam erigatur,
patere à lateribus introitum ho$tibus.</P>
<P>Propo$itio cente$imauige$ima.</P>
<P>Proportionem partium nauis ad eundem obliquum uentum
explorare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sint mali in naui a b c, ad b e, c fuentus è regione g h k etiam ad
perpendiculum feratur, ut anguli g d a, h e b, k f c $int æquales, dico
tamen diuer$o modo affici: nam cum premitur a uer$us l, c premi-
tur uer$us f: at $i prematur cuer$us n a, premitur uer$us d, at $i pre-
<fig>
matur b uer$us m, & a uer-
$us l, $ed non quantum ex
g d, & cuer$us n, $ed non
quantum ex k f, ab eodem
ergo uento contrarij mo-
tus efficiuntur ex uelorum
diuer$itate, etenim per uen
tum d feretur ad meridiem
nauis, & per uelum f ad Se
ptentrionem etiam didu-
cto auxilio e l a ui, quanto
magis cum illo: & $i uen-
tus excipiatur in f uelo,
non iuuabit clauus, & $i in
d dirigetur, & temperabitur motus, & $i in e medio modo. Ergo $i
uentus feratur rectè iuuabit, ut dici $olet omnibus, & plenis uelis
excipere, $i ex obliquo demittere antennam puppis, $in autem ual-
de obliqu us $it, $olo proræ uelo utemur. Si ualidior quàm oportet
humiliore. Atque hæc po$tmodum $unt diligenter numeranda, ac
metienda: nunc $ufficiat cau$am reddidi$$e, & admonui$$e diuer$i-
tatis motuum, quæ ex uelis contingit: nam eò fertur nauis, quò
prora dirigitur. Ergo cum puppis tanto feratur uer$us meridiem
a b, quanto prora uer$us meridiem a d, & quanto puppis fertur uer
$us meridi&etilde;, tanto prora fertur uer$us boream, igitur quanto prora
fertur uer$us meridiem a d, tanto uer$us boream a b f, $ed $itus claui
pote$t multo plus in comparatione ueli d, quam f $cilicet, quia di-
$tantia a b a e$t o a, & di$tantia e c e$t o c, tanto plus ergo pote$t cla-
ui $itus in comparatione ad uelum d, quam f, quanta e$t proportio
<foot>o a, ad</foot>
<p n=>119</p>
o a, ad o c, igitur clauus e$t longè potentior in comparatione ueli
d, quam f, ergo uelum d minus agit nauim, quam f. Sed ut extrema
$e habent, ita medium eorum comparatione, igitur malus b e uali-
dior e$t, multo d a, & infirmior c f. Verùm, ut dixi, ob $itum $impli-
citer ualidius e$t, uelum e quam f, & etiam quia, ut dixi, altior &
era$sior $olet e$$e, ideo multo ualidior tribus his cau$is, quàm e f:
adde quartam quòd uelum habet maius, antiquo tempore uoca-
tum acatius. At ut etiam docui c b non e$t in medio, nec æquidi$tat
ab a d & c f, $ed in clinatur ad proram ideo<03> imbecillior: cum ergo
$it æqualium, & paulo maiorum uirium, quàm c f, & tutior, & me-
lius agatur per clauũ quàm c f, & $it a d nimis iu$to imbecillis, pro-
pterea b e mali, & ueli maximus e$t u$us: adeò mali nomen per an-
tonoma$iam de ip$o $impliciter intelligatur.</P>
<P>Propo$itio cente$imauige$imaprima.</P>
<P>Flabelli uires, at <01> naturam declarare.</P>
<P>Sit flabellum a b c appen$um, ut $olet, in a, & moueatur motu
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
qua$i circa axem p a q in parte inferiore, & aër comprehen$us $ub
b h k, & $patium $it 1 m figuræ nauicularis, quæ con$tat e$$e par-
tem cylindri inanis ex formatione ab Euclide $cripta: nam $i pro-
poneretur p a q ad perpendiculum $uper$tans plano, fieret circum-
ducta a b c $uperficie, quæ e$$et lata $uperius, $icut etiam inferius
<marg>L<I>ib.</I> 11.
<I>diff.</I> 21.</marg>
cylindrus: at $uperius a b tenuis e$t, & angu$ta, ergo fiet pars cy-
lindri inanis: quia non circunuoluitur, donecredeat. Ergo per di-
cta $uperius $ectio illius p r q s per axem e$t pars cuiu$dam elly-
<marg>P<I>ropo$.</I> 6<*></marg>
p$is. Et $ectio quæuis planæ $uperficiei æquidi$tans a b cuelut tu,
item <01> æquidi$tans axi p a q e$t $uperficies rectangula, quarum
una e$t $imilis, & æqualis b h k, e$t in una $uperficie cum axe p a q
alia uerò e$t æquidi$tans eidem axi maior aut minor æquidi$tanti-
um, & ip$a laterum, at <01> rectangula ac $i cylindrus $tans axi plano
æquidi$tanti $ecaretur iuxta longitudinem $eu altitudinem $uam:
& manife$tum e$t, quod i$ta duo plana, & eorum $uperficies $ecant
$e mutuò ad rectos angulos.</P>
<P>Quibus con$titutis, qui $tabunt iuxta l, & m longitudines aëris
moti, & loci, per quem tran$it flabellum, $entient magnum uentum,
quoniam cum corpus m x l ab extremis partibus $it elatius a b ex-
tremis, $tantes, & alti tangentur à uento agitato. Si uero $edeant, aer
primum non attinget illos, ut etiam quia $ur$um pellitur non per-
ueniet ad illos, imò diffugiet, ergo non refrigerabuntur. Qui uerò
à lateribus l x m $tabũt hiccinde, uelut in f g, $i $teterint, nõ refrigeræ
bũtur, quia quãdo flabellum erit in l, uel m aer de$cendet, ergo fugi
et ab illis, cum autem fuerit in x, erit in loco humiliori, & mouebi-
<foot>tur</foot>
<p n=>120</p>
tur diuer$a ratione, quippe ab f in h, & non ad latera, ergo ne que
<fig>
contactu, neque motu, qui
fiet per æquidi$tantem f,
& g non poterunt refrige-
rari. Sed $i humili loco $e-
deant, quoniam aër de$cen
dit, ex l & m uer$us x, &
etiam, quia erunt proximi
h k, quãdo fuerit in x, refri-
gerabun&ttilde; ualde. Qui aut&etilde;
erũt iuxta h & k minus re-
frigerabun&ttilde; utri$<01>, $ed pau
lulum in reditibus propin
quis, & ne<01> $tantes, ne<01>
$ed&etilde;tes, $ed $i altius attolla-
tur h k. Rur$us $i b h k fue-
rit grauior eodem, ut de-
$cendat tanto impetu, quã-
to a$cendit attractum, ut
pote ex ligno tenui nucis,
tunc multo magis refrige-
rabit, & procul, nõ ob uim
ualidiorem, $ed quoniam
celerius occur$antes $ibi
contrarijs motibus, ac ue-
hem&etilde;tibus fiet colli$io par
tium aëris, & ideo in ambitum impelletur, & undique cubiculum
refrigerabit, quod non faciet maius longè flabellum lento motu
agitatum, aut ex materia leui. Idem multo magis contingeret, ubi
duo e$$ent flabella laquearibus appen$a, quæ ad perpendiculum
a&etilde;rem mouerent, $eu quod $uperficies eo modo $e haberent: & $i
flabella rotunda e$$ent, tunc maiorem ambitum aëris occuparent,
& uelocius deficientibus angulis mouebuntur.</P>
<P>Propo$itio cente$imauige$ima$ecunda.</P>
<P>Contemptus circa $olis rationem in umbris declarare.</P>
<P>Con$tat primùm $olem, & excentro, & toto eius ambitu illumi-
nare hanc primùm diuer$itatem, quæ aliquando tota diametro
computata dimidium unius partis totius cœli excedit: $cioterici
negligunt, ut exiguam. Secundò etiam diuer$itatis illius, qua mo-
dò à terra uer$us ab$idem defertur, modò ad terram de$cendere to-
tidem uariata altitudine, non parum nullam habent rationem, $eu
<foot>quòd</foot>
<p n=>121</p>
quòd tanta ne $it, ut euidentem in gnomonibus faciat uarietatem,
$eu quòd incertum adhuc $it, an id uerè $oli accidat. Tertium e$t fi-
nis umbræ ip$ius gnomonis, qui incertus e$t, ut pars non contem-
nenda in dubium uertatur, quoniam $en$im ex ob$curo in illumi-
natum feratur, attamen contemnitur etiam. Quartum quòd cum
$ol moueatur in $pira, fingitur qua$i in parallelo æquinoctiali circu
lo circumagatur ab his, qui horologia de$cribunt. Quintum quòd
cum inæqualiter in orbe $uo moueatur quanuis exigua $it hæc dif-
ferentia, æqualiter tam&etilde; moueri præ$upponitur. Sextum e$t, quòd
dies æquales $upponuntur, qui tamen tum ex ratione partis pera-
gratæ, tum ratione a$cen$us eiu$d&etilde; $unt inæquales, & tam&etilde; hæc in-
qualitas etiã in horarũ computatione prætermittitur. Sed & h&ecedil;c ut
prior ratione magis, quã $en$u deprehendi&ttilde;. Septimũ e$t di$crimen,
&qring;d oritur ex ui$us circulo $eu horizonte, & circulo tran$eunte p cen
trũ mundi, nam horizon uere tãto minor e$t circulo magno, quan-
tum e$t $emidiameter terr&ecedil;, cõparatus ad $emidiametrũ orbis cœle
$tis, $ed e$t in$en$ilis quantitatis. Octauũ e$t, quod trianguli ex gno-
mone umbra, & radijs $olis latera non mutant lineas, quæ à $ole ad
centrum terræ deueniunt, nec quòd maius e$t, radius $olis ad uerti-
cem hominis breuior habetur femidimetiente. Hæc igi&ttilde; omnia $ci-
otericorũ opifices non ob$eruant, $ed negligunt. Verum quatuor
tantùm altitudinem poli regionis locum $olis in eclyptica locum
$olis in circulo æquinoctialis, uel æquinoctiali parallelo, ex qui-
bus tribus fit altitudo $olis, una in circulo $cilicet uerticali ab hori-
zonte, & differentia lineæ meridianæ à linea uer$us polum, quam
<marg>P<I>ropo$.</I> 84.</marg>
o$tendit lapis Herculeus, de qua dictum e$t $uperius.</P>
<P>Propo$itio cente$imauige$imatertia.</P>
<P>Cognita ratione umbr&ecedil; ad gno
monem $inum, & arcum altitudi-
nis ab horizonte quouis tempo-
re digno$cere.</P>
<fig>
<P>Sit circulus magnus, in quo $ol
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
a f g $uper$tans ad perpendicu-
lum circulo ui$us f e g, quos mani
fe$tum e$t tran$ire per idem cen-
trum mundi c, quia magni $unt, &
$it c d erecta ad perpendiculum
$uper f g, nam perinde e$t per $e-
ptimum contemptum, ac $i $uper-
<marg>P<I>ræced.</I> P<I>ro
po$.</I></marg>
ficies horizontis tran$eat per terr&ecedil; centrum, & pedes per octauum,
<marg>P<I>rop.</I> 113.</marg>
ideo proportio e c ad c d umbræ ad gnomonem, ut b e ad b a, ergo
<foot>L per</foot>
<p n=>122</p>
per demon$trata b a cognita in comparatione a d e a, e a autem per
octauum contemptum e$t dimetiens circuli, ergo a b $inus notus,
& arcus f a, quod e$t primum cognitum. Et hic quidem circulus
uerticalis dicitur, quia per illum tran$it, aliter non e$$et ad perpen-
diculum horizonti.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex hoc $equitur, quod altitudines $olis æquales omnes in uno
$unt circulo horizonti parallelo. Et $i $ol fuerit in uno circulo ho-
rizonti parallelo, altitudines $olis, & umbræ magnitudines æqua-
les erunt.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Sol ni$i bis in una die pote$t e$$e in circulo horizonti parallelo,
$emel ante meridiem, & $emel po$t, tantundem ab eodem di$tans.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg>
<P>Cum ergo ita $it, nece$$e e$t umbras æquales, & circulum hori-
zonti parallelũ fieri $ub in æqualibus horis in diuer$is $emper die-
bus, præterquam cum in punctis fuerit æqualis ab &ecedil;quinoctiali, &
in eandem partem declinationis, & hoc bis cõtingit $olum in anno
pro quolibet circulo parallelo, $icut in eodem die etiam bis tãtum,
ut dictum e$t.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Nam exempli gratia, cum $ol e$t in initio Capricorni, & in Cœli
medio, minima e$t umbra eius diei, & totius anni. Cum ergo fuerit
ante meridiem, uel po$t, erit umbra maior ex $uppo$ito $ecudo um-
bra meridiei: at ei æqualis poterit e$$e umbra meridiei alterius diei
ex primo $uppo$ito, ergo umbræ æquales diuer$orum dierum fi-
unt $ub diuer$o $itu $olis, quo æd circulum meridiei, quod erat de-
mon$trandum.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg>
<P>Ex hoc $equitur, quod horarum determinatio fit $ecundum line-
am in æqualem obliquam, quæ toti anno $eruiat, ut æqualium um-
brarum determinatio hararum & partium eius numerum.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 5.</marg>
<P>Ex quo colligitur modus faciendi gnomonem, $eu per umbras
rectas, $eu per uer$as, qui docebit toto anno non $olũ horas, $ed mo
menta pul$uũ, de quibus dictũ e$t quod MMMDC horam perficiũt.</P>
<P>Propo$itio cente$imauige$imaquarta.</P>
<P>Proportionem umbræ uer$æ e$$e ad gnomonem, uelut gnomo-
nis ad umbram uer$am.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Vmbra uer$a dicitur, quoties gnomo in pariete ad perpendicu-
lum figitur, $ic ut gnomo æquidi$tet circulo horizontis. Sit ergo
paries c k ad perpendiculum f g, & h k a d gnomo ad perpendicu-
lum parietis & $ol, ut prius in a, & $it primo k h tantæ longitudinis
<marg>P<I>er</I> 15. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
ut umbræ locus $it pũctus d, ut $it radius a h d e, erit<03> angulus d u-
trin <01> æqualis, & propterea triangulus k h d $imilis d c e. Sit modo
<marg>P<I>er</I> 4. <I>$exti</I>
E<I>lem.</I></marg>
gnomo maior m l ip$o h k & c l maior c k $eu æqualis, & quam an-
guli k & l recti $unt, & anguli l m n, & k h d æqualis, quia a n, & a c
<foot>$unt</foot>
<p n=>123</p>
$unt æquidi$tantes per octauum contemptum, erunt per dicta tri-
anguli $imiles, igitur proportio l m gnomonis ad l n umbram
ut k h gnomonis ad k d umbram, $ed k h, ad k d, ut c e umbræ ad c d
gnomonem: igitur proportio l m gnomonis ad l n umbrã, ut um-
bræ c e ad c d gnomonem, quod fuit demon$trandum.</P>
<P>Ex hoc primùm patet & pr&ecedil;cedenti, quod cognita proportione
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
umbr&ecedil; uer$&ecedil; ad gnomonem cogno$citur $inus $olis, & arcus altitu-
dinis in circulo magno, & e$t altitudo ab horizontis parte, quæ
proximior e$t loco $olis, ut demon$tratum à nobis in Geometricis.</P>
<P>Se quitur etiam, quòd cùm umbra fuerit æqualis gnomoni, $eu
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
recta, $eu uer$a $olis, uel Lunæ, uel $tellæ, altitudo erit partium qua-
draginta quin <01>: nam anguli d & e, uel d & h erunt æquales: igitur
arcus f a medietas quartæ ideò partium xlv. Et $i gnomo fuerit ma-
ior umbra uer$a, uel minor recta, erit arcus f a minor xlv partibus, $i
contrà maior. Et hoc ubi<01> terrarum. Et ubi non po$sit tantundem
eleuari, ut quando $ol e$t $ub circulo capricorni, nunquam nobis
<marg>P<I>er</I> 5. <I>primi</I>
E<I>lement.</I></marg>
gnomo æquabitur umbræ rectæ $ed $emper erit minor, & $emper
<marg>P<I>er ult. $exti</I>
E<I>lem.</I></marg>
maior umbra uer$a pari ratione.</P>
<P>Propo$itio cente$imauige$imaquinta.</P>
<P>Proportionem dimetientis, & peripheri&ecedil; cuiuslibet circuli paral
leli æquinoctiali per cognitam partem magni circuli demon$trare.</P>
<P>Hæc erat tam clara, ut hic locum non mereretur: tam nece$$aria
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
huic propo$ito, ut non potuerit omitti. Sit ergo Aequinoctij circu-
lus a b portio circuli magni nota, a c parallelus circulus, &ecedil;quinoctij
circulo c d, erit igitur $inus c d notus. Et ideò quadratũ c d notum,
<marg>P<I>er</I> 3. <I>tertij,</I>
& 8. & 17.
<I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg>
ergo & pars utra<01> b d d a nota. Quare detracta a d ex d b relin qui-
tur d g æqualis f c diametro paralleli a$signari. Quare proportio
<marg>P<I>er</I> 5. <I>$ecu<*>
di</I> E<I>lem.</I></marg>
a b ad e f nota ex obiter $uprà demon$tratis, & pariter ambi-
tus circuli a b ad ambitum circuli c d, e$t enim ut dimetientis ad di-
<marg>P<I>er</I> 113.
P<I>ropo$.</I></marg>
metientem.</P>
<P>Propo$itio cente$imauige$ima$exta.</P>
<P>Circuli horarij naturam declarare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<fig>
<P>Circulus horarius e$t circulus magnus
tran$iens per $ol&etilde;, aut lunam, aut quoduis
$ydus, de quo agitur, & per polos mundi,
ideò differt à circulo priore altitudinis So-
lis, quia ille $tat ad perpendiculum $uper
horizontem, ni$i cum tangitur uice meridi-
ani, uter<01> tamen tran$it per centrũ mundi,
ac $olis. Hic etiam ad $imiles partes æqui-
noctij circulum, & omnes parallelos $ecat.
<foot>L 2 Et</foot>
<p n=>124</p>
Et principalis e$t meridianus, ideò ab illo A$trologi horas utrin<01>
ante, & po$t numerant. Ideò clarũ e$t, quòd horæ à meridie com-
putatæ $unt cõmunes, habitantibus $ub quauis altitudine poli, &
ubiuis $it, $ol modò regiones æqualiter di$tent à fortunatis, $eu $int
in eadem longitudine.</P>
<P>Propo$itio cente$imauige$ima$eptima.</P>
<P>Data Poli altitudine ortus amplitudinem demon$trare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit horizon a d b æquinoctij circulus
<fig>
a k f eclyptica c g, & punctus ortus in ea g.
& c initium arietis, & g b amplitudo ortiua
& c e, c f quartæ circulorum, ut $it e f maxi-
ma $olis declinatio, & polus mundi borea-
lis l, quia igitur l d nota e$t ex $uppo$ito, &
l k quadrans erit k h re$iduũ ad dimidium
circuli notum. Quia uerò æquinoctium, &
Meridianus $ecant $e ad angulos rectos, &
b a æquidi$tat ab utro <01> polo, erit b polus
h d, quare b k, quarta circuli, & angulus k
rectus. Igitur $umus in di$po$itione tabula-
rum primi mobilis, ergo etiam oppo$itus
triangulus, qui ei e$t æqualis, & &ecedil;quiangu-
lus in eadem di$po$itione b m d, quare cum
data $it g n declinatio pũcti g dati, datus erit, & arcus g b quæ$itus.</P>
<P>Propo$itio cente$imauige$imaoctaua.</P>
<P>Nota amplitudine ortus cuiu$<01> pũcti arcũ $emidiurnũ inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit in eadem figura nota g b, uolo illius arcũ $emidiurnum. Cum
ergo g n $it declinatio, erit pars arcus Meridiani horarij per polos
tran$euntis, compleatur ergo l g n o, & quia g n nota e$t, quia de-
clinatio puncti dati, & g b nota ex $uppo$ito, & f angulus rectus,
quia e f e$t portio meridiani, erit b n nota differentia a$cen$ionis a
quarta circuli k b, igi&ttilde; tota k n arcus $emidiurnus. Quoniã g p paral
lelus $imilis e$t k n, & in eo reuolui&ttilde; Sol: ergo quando enim perue-
niet ad p. Po$$umus etiam $ine inuentione arcus ortus amplitudi-
nis per triangulum k m d ex notitia g n cogno$cere eandem n b.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Ex his duabus $equitur cõuer$a $cilicet, <09> data magnitudine diei
cuiu$cũ<01> in quauis regione nota erit poli altitudo eiu$d&etilde; regionis.</P>
<P>Propo$itio cente$imauige$imanona.</P>
<P>Data altitudine $olis in quacun<01> regione quacun<01> die di$tan-
tiam $olis à Meridiano cogno$cere.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit Horizon a b c d æquinoctij circulus b e d. Meridianus a e c
Polus mundi Borealis f uertex, g, pũctus in eclyptica h ducatur ex
<foot>polo</foot>
<p n=>125</p>
polo mundi circulus horarius f h k ad æquinoctij circulum, & uer-
ticalis circulus p h l u$<01> ad Horizontem, & circulus parallelus æ-
quinoctij circulo h m, $it ergo h l altitudo $olis nota, igitur h g nota
<marg>P<I>er</I> 123.
P<I>ropo$.</I></marg>
erit re$iduum quart&ecedil; circuli, & $imiliter h k
<fig>
nota, quia declinatio puncti dati in eclypti
ca e$t n nota dies, & locus $olis ex $uppo$i-
to ergo nota fh re$iduũ quart&ecedil; circuli no-
ta e$t etiã g e, quæ e$t &ecedil;qualis altitudini po-
li ex $uppo$ito, ergo re$iduum quadrantis
f g, ergo triangulus f g h notorum laterum
ergo notus angulus f, ergo arcus k e di$tan
<marg>P<I>ropo$.</I> 34.
<I>lib.</I> 4.</marg>
tia $umpta in æquinoctij circulo puncti h,
cui $imilis e$t arcus h m ex parallelo h m, nam quando k perueniet
<marg>D<I>e</I> T<I>riang.</I>
M<I>onteregij.</I></marg>
in e h perueniet in m, & in æquali tempore, qua diui$a per quinde-
cim gradus, habebimus horas di$tãti&ecedil; $olis à Meridie ante, uel po$t,
& minuta horarum dando quibuslibet gradibus quatuor minuta
horæ, & quibuslibet minutis graduum quatuor $ecunda horæ, &
ita habebimus tempus exacti$simum à Meridie in quacun<01> regi-
one, & in quacun<01> hora diei.</P>
<P>Propo$itio cente$imatrige$ima.</P>
<P>Data regionis altitudine, & loco $olis proportionem gnomo-
nis tam ad umbram rectam, quam uer$am, uel etiam in cylindro de-
terminare.</P>
<P>H&ecedil;c e$t propo$itio illa pulcherrima, quam tot ambagibus tradi-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
dere antiqui cum $uis analematibus, & $cioteris, nec tamen demon
$trationem, nec rationem exactam in$trumenortum con$tructio-
nem, qua po$$emus per umbras rectas uer$as, & cylindricas $cire ad
unguem, qualis hora, & minutum, & $ecundum diei e$$et quocun-
que anni tempore. Pleri<01> autem tam laborio$è id conati $unt de-
mon$trare, ut $tudio$os deterruerint ab opere: res autem ip$a facil-
lima e$t. Propo$ita ergo Poli exacta altitudine $olis in Meridie
declinatione addita uel detracta, habebis re$iduum eius ad qua-
drantem f g, & $imiliter habebis ex declinatione nota loci $olis de-
tracta à quadrante f h & iuxta horam tuam, & minutum multi-
<marg>P<I>er</I> 28. <I>li.</I> 4.
<I>loan. de</I> M<I>on
teregij de</I>
T<I>riang.</I></marg>
plicatum per quindecim arcum k e quare angulum f, ex quo arcum
g h, quare re$iduum h l, igitur punctum umbr&ecedil; rect&ecedil;, uel uer$&ecedil; ip$i-
us gnomonis ad unguem, & ita con$titues horologium exacti$si-
mum $ecundum ea, quæ dixi in Corrolarijs $upradictis, & quia ho-
<marg>P<I>er</I> 123.
<I>uel</I> 124.
P<I>ropo$.</I></marg>
rizon a b c d $ecat æquinoctialem in c&etilde;tro terræ ducta g h k, erunt
anguli b h g, & k h l &ecedil;quales. Igitur po$ito g ortu puncti eclypti-
cæ, erit g b ortus amplitudo nota, & ideò angulus b h g, & k h l
<foot>L 3 notus,</foot>
<p n=>126</p>
<marg>P<I>rop.</I> 123.
C<I>orol.</I> 1.</marg>
notus, & ita extendemus per totum annum. Cum uerò fuerit g ele-
uatus erit, ut demõ$tratum e$t, in circulo magno uerticali, ergo an-
gulus fiet in eodem circulo, quia gnomo e$t etiam in illius $uperfi-
cie. Ergo angulus erit æqualis angulo, quem faceret $ol, $i oriretur
<marg>P<I>er</I> 127.
P<I>ropo$.</I></marg>
<fig>
in puncto horizontis, quem $ecat circulus
uerticalis $ub ea altitudine: $ed his e$t no-
tus: nam in priore figura g h f e$t notus ea-
<marg>P<I>er</I> 15. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
d&etilde; ratione, qua f, & ideò ei oppo$itus k h n,
& k rectus, e$t enim f polus b d, & h k decli
natio nota ergo k n, & h n notæ. At e k, &
g h fuere notæ. Ergo e n, & g n, quare re$i-
duæ n l & n b notæ. E$t autem angulus l
rectus. ergo ortus amplitudo punctil nota
$cilicet arcus l b, ergo in præ$enti figura angulus m h b, ergo k h l.
igitur poterimus $tatuere angulos umbrarum, & iam po$$umus
determinare magnitudinem: ergo punctum ad ungu&etilde; umbr&ecedil; qua-
libet hora, & parte horæ $ingulis diebus in quacun<01> regione datæ
altitudinis poli uer$a, & rects. In cylindrica autem eodem modo $i-
cut in uer$a, e$t enim $pecies umbr&ecedil; uer$&ecedil;, ni$i quod analema ob ob-
liquitatem cylindri melius aptatur, rotundum $cilicet cum rotũdo.</P>
<P>Propo$itio cente$imatrige$imaprima.</P>
<P>Si lineæ alicui dupla alterius adiunga&ttilde;, erit <04>portio duarum ad
primã maior, quam dupli, cum prima ad primam cum una adiecta.</P>
<P>Sit a b linea, cui adiecta $it b c, & rur$us ad b c c d æ&qacute;ualis b c
dico, quod proportio a c ad a b e$t maior, quàm a d ad a c. Propor
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
tio enim c d ad c a minor e$t, quàm ad a b per octauam quinti E-
lementorum. Ergo minor d c ad c a quàm c b ad a b, quia b c & c d
$unt æquales, ideò æqual&etilde; habent proportion&etilde;
ad a b: igi&ttilde; coniungendo per 28. Quinti propor
<fig>
tio d a ad a c minor, quam c a ad a b, quod erat demon$trandum.</P>
<marg>P<I>er</I> 7. <I>quin-
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
<P>Propo$itio cente$imatrige$ima$ecunda.</P>
<P>Si ad duas lineas, quarum una alteri dupla $it eadem linea adda-
tur erit aggregati ex minore, & a d adiecta ad ip$am minor&etilde; minor
proportio quam aggregati ex maiore, & adiecta ad ip$am maio-
rem duplicata.</P>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<P>Sint duæ line&ecedil; a b, & c d. & $it c d dupla ad a b, ad datur cõmunis
<fig>
b e, & uo cetur iuncta c d, d f dico,
quod proportio e a ad a b, e$t mi-
nor duplicata f c ad c d, adij cia-
tur d f æqualis g f, quia ergo g d
e$t dupla ad f d, ideo ad e b c d autem e$t du pla ad a b, tota igitur
<foot>g c</foot>
<p n=>127</p>
g c duplatoti e a. quare ut g c ad g d ut e a ad e b permutãdo, & per
euer$am ut e a ad a b, ita g c ad c d, ut g c ad c d cõponitur ex g e ad
f e, & f c ad c d, igitur e a ad c b componitur ex ei$dem. Proportio
autem g c ad f c e$t minor, quam f c ad c d, igitur minor quàm du-
plicata f c ad c d. con$tat uerò ex ei$dem, quod proportio c a ad a b
maior e$t duplicata g c ad f c.</P>
<P>Propo$itio cente$imatrige$imatertia.</P>
<P>Si fuerint duæ quantitates, quarum una alteri dupla $it: minua-
tur à minore quædam quãtitas eadem<01> maiori addatur, erit mino-
ris ad re$iduũ maior <04>portio, quã aggregati ad maior&etilde; duplicata.
Si uerò minori addatur et à maiore detrahatur, erit aggregati ad mi
nore m minor proportio quàm maioris ad re$iduum duplicata.</P>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<fig>
<P>Sit a b dupla c d, & addatur quæ-
dam ad b a, qu&ecedil; $it a g, eadem detraha-
tur ex c d & $it c h, dico, quod propor-
tio e d ad d h maior e$t, quam duplica-
ta g b ad a b, & rur$us $i quædam ad c & minuatur ex a b utpotè
c f addatur c d, & a e minuatur ex a b, erit proportio f d ad c d mi-
nor duplicata a b ad g e. Primũ $ic re$ecentur a n & k l æquales $in-
gulæ c h, igitur a l dupla e$t e h & a b fuit dupla a d, c d igitur ut in
priore con$titutioné præcedentis a b ad l b, ut c d ad h d & a b ad
b l maior, quam duplicata a b ad b k ut minor quàm k b ad b l. hoc
enim demon$tratum e$t in fine, igitur c d ad h d maior, quàm du-
plicata a k ad k b, $ed a k ad k b maior e$t per uige$imam tertiam, hu-
ius $cilicet per demon$trationem illius, quàm g b ad b a, igitur mul-
to maior c d ad d h, quàm duplicata g b ad b a, quod e$t primum.</P>
<P>Secundum $ic per eadem, addito enim duplo f c ip$i
<fig>
a b ut in $ecunda figura, & $int a m, & m n erit f d ad c d,
ut n a ad a b, quare cum n a ad a b $it minor duplicata per
præcedentem in b ad a b, & a b ad e b $it maior, ut demon
$tratum e$t in uige$ima tertia huius, quàm m b ad a b, erit
f d ad d c multo minor duplicata a b ad b e, quod e$t $e-
cundum.</P>
<P>Propo$itio cente$imatrige$imaquarta.</P>
<P>Si rectangula $uperficies $it cuius pars tertia quadrata $it, corpus
quod ex latere quadratæ in re$iduum $uperficiei con$tat maius e$t
quouis corpore ex eadem $uperficies aliter diui$a con$tituto.</P>
<P>Sit rectangulum a c cuius tertia pars c e $it quadrata, dico quod
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
corpus, quod cõ$tat ex e d in a b e$t maius omni corpore, quod fue
rit ex latere partis $uperficiei a b in reliquam part&etilde;. Si non diuidatur
uel $upra uel infra, & primo in f erit aut&etilde; <04>portio e d ad d f, ut e c ad
<foot>L 4 e k,</foot>
<p n=>128</p>
e k, & f a ad a e, ut $uperficierum ip$a-
<fig>
rum per primam $exti Elementorum: at
per præcedentem maior e$t proportio
e d ad d f, quàm a f ad a e, duplicata igi-
tur maior e$t proportio e d ad eam, qu&ecedil;
pote$t $uper f c $uperficiem, quam f a ad
a e, igitur maior, quàm a k ad a b ex pri-
ma $exti Elementorum: igitur per trige
$imam quartam undecimi. Parallelipe-
dum ex e d in a b maius e$t parallelipedo ex ea, quæ pote$t in f c $u-
perficiem in ip$am $uperficiem a k. Si uerò diui$io facta fuerit in g,
con$tat ex præcedenti, quod minor e$t proportio g e ad e d, quàm
$it duplicata e a ad a d a g, eam igitur minor proportio eius lineæ,
quæ pote$t in g e $uperficiem ad e d quam a b ad a h, igitur paralle-
lipedum ex e d in a b e$t maius parallelipedo ex ea, quæ pote$t g c
in a h cum $it a b ad a h, ut dictum e$t, uelut a e ad a g.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Manife$tum e$t autem, quòd tale corpus e$t æquale duplo cubi
lateris partis tertiæ quadratæ.</P>
<P>Propo$itio cente$imatrige$imaquinta.</P>
<P>Si linea in duas partes, quarum una $it alteri dupla, diuidatur
erit, quod fit ex tertia parte in quadratum re$idui parallelipedum
maius omni parallelipedo, quod ex diui$ione eiu$dem lineæ crea-
ri po$sit.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit a c dupla b c, & $it quadratum ad ip$ius a c, dico parallelipe-
<fig>
dum ex b c in a d maius e$$e quouis alio ex
diui$ione lineæ a b $imiliter creato. Secetur
primo in e, & fiat quadratum a f, erit<03> per
uige$imam quintam. Huius proportio c b
ad b c maior duplicata a e ad a c, quare ma-
ior, quam a f ad a d per uige$imam $exti Ele
mentorum, igitur per trige$imam quartam
undecimi, Parallelipedum ex b c in a d maius e$t parallelipedo e b
in a f, quod e$t demon$trandum. Si uerò diui$io cadat in g, fiat qua-
dratum a h, et erit per uige$imamtertiam huius proportio g c ad c b
minor, quam duplicata c a ad a g: igitur minor, quàm a d ad a h, igi-
tur per eandem parallelipedum ex c b in a d maius e$t parallelipe-
do ex g b in a h.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Ex hoc liquet quòd parallelipedum illud erit quadruplum cu-
bo minoris partis, & dimidium cubi maioris.</P>
<foot>Propo$itio</foot>
<p n=>129</p>
<P>Propo$itio cente$imatrige$ima$exta.</P>
<P>Denominationes in infinitum extendere.</P>
<P>Inquit Euclides, $i fuerint quotlibet quantitates ab uno in conti-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<marg>L<I>ib.</I> 9. P<I>ro
po$.</I> 8.</marg>
nua proportione, erit tertius numerus quadratus, & omnes alij $e-
quentes uno intermi$$o. Tertia igitur in comparatione ad $ecun-
dam etiam, quod non $it numerus, e$t quadratum: e$t enim tertia
ab uno quadratum $ecundæ, quæ e$t proportio. Detracto igitur
uno omnes quantitates lo co pari $unt quadratæ: ut $cias ergo cu-
ius $unt quadratæ diuide per medium, & erit quadratum illius, er-
go quadrage$ima erit quadratum uige$imæ, & uige$ima decimæ,
& decima quintæ, & uige$ima$exta tertiæ decimæ, & ita de alijs.
Iuxta hoc dicemus, quod $ecunda erit quadratũ, & quarta quadra-
tum quadrati, & octaua quadratũ quadrati quadrati. Et $extadeci-
ma quad quad quad quad. & ita trige$ima $ecunda quad quad quad
quad quad. Quod autem quad. e$t quarta in ordine, ideo & octa-
ua & duodecima & decima$exta, & $ic de alijs $unt quadrata qua-
drati, & $icut quarta e$t quadratum quadrati primæ, ita octaua $e-
cundæ, & duodecima tertiæ, & $extadecima quartæ, & uige$ima
quintæ, & ita $emper diuidendo per quatuor.</P>
<P>Secunda regula dicebat ibidem Euclides, $i fuerint quotlibet
<marg>L<I>ib.</I> 9. P<I>ro-
po$.</I> 8.</marg>
quantitates ab uno in continua proportione quartus, ab uno erit
cubus $upple $ecundæ, & ita duobus $emper intermi$sis, uno igi-
tur ip$o relicto quolibet loco ternario, ut tertia, $exta, nona, duode-
cima $unt cubi, & cubi eius quantitatis, qu&ecedil; exit diui$o numero per
tria, uelut tertia primæ, $exta $ecundæ, nona terti&ecedil;, duo decima quar
tæ: & ita tertia erit cubus nona cubus cubi, & uige$ima$eptima cu-
bus cubi cubi $cilicet primæ. Et trige$imanona e$t cubus ter-
tiæ decimæ.</P>
<P>Tertia regula quarta quantitas, ut ui$um e$t: e$t quad quad. Et
quinta e$t relatum primum, quia 5 e$t numerus primus, & 7 e$t re-
latum $ecundum, quia e$t $ecundus numerus primus: & undecima
tertium: & tertiadecima quartum: & decima$eptima quintum: &
decimanona $extum: & uige$imatertia $eptimum & uige$ima quin-
ta, quia e$t primus numerus præter quam ad quintam, ideò e$t rela-
tum quintæ, quæ e$t relatum primum primæ, omnes ergo numeri
primi $unt relata, alij omnes $unt ex natura cubi uel quadrati. Sed
relata $unt inter $e omnia diuer$orum generum ni$i uige$imũ quin-
tum, quod e$t relatum primum primi relati, & quadrage$imumno-
num e$t relatum $ecundum relati $ecundi. Et ita cente$imum uige$i-
mum primum e$t relatum tertium tertij relati, reliqua, ut dixi, me-
dia inter hæc $unt $ui generis.</P>
<foot>Quarta</foot>
<p n=>130</p>
<P>Quarta regula propo$ita quantitate ab uno in continua propor
tione, $i uis $cire cuius naturæ $it detracto uno con$idera, an po$sit
diuidi per duo, e$t quadratum medietatis, & ita procedes diuiden-
do u$<01> ad numerum primum, qui uel e$t 2, & erit ex genere quad
quad. uel 3, & erit ex genere quadratorum cuborum, & $imiliter $i
$it 9, erit ex genere quadratorum cubi cubi. Et $i proueniat alius nu
merus primus, ut 5. 7. 11. 13. erit quadratum relati illius ordinis. Et $i
non pote$t diuidi numerus quantitatum per 2 uide, $i po$sit diuidi
per 3, tunc erit cubus illius quantitatis, & $i illa quantitas, quæ pro-
uenit ex diui$ione: fuerit 3, uel potuerit diuidi per 3, erit cubus, uel
cubus cubi, & ita deinceps. Si uerò $it alius numerus primus, ut 5.
7. 11. erit cubus relati. Et ita $i nõ po$sit diuidi per 2, nec per 3, erit ex
genere relati. Et tunc $i po$sit diuidi per alium numerum, ut 35, erit
relatum ex eo genere. Vtpotè trige$imaquinta quantitas e$t rela-
tum $ecundum relati primi, $eu relatum primum relati $ecundi.
Nam quoties quantitas pote$t diuidi per duos numeros, dicetur
$ub utro <01> uici$sim, ut duodecima pote$t diuidi per 4 & 3, ideò di-
cetur cubus quad quad. uel quad quad. cub. & per 2 & 6, & dicetur
quadratum cubi quadrati, & quadratum cubicum quadrati ip$ius
proportionis, ad quam omnia referri debent.</P>
<P>Quinta regula ex præcedenti pendet, & e$t, quod denomina-
tiones, & proportiones uici$sim commutantur: uelut 256 e$t quad
quad quad, & inter quad quad quad, & quad quad $unt quatuor ter
mini ip$o computato, & inter quad quad, & quod ui$i duo, ergo
quad quad quad continet plures proportiones, & proportiones
duplicatæ non con$tituunt quad: nam 64 continet duas duplas
ad 16, non tamen e$t quadratum 16, ideo oportet diligenter ani-
maduertere.</P>
<P>Sexta regula $imiliter ex dictis pendet, & e$t, quòd gratia exem-
pli relatum primum comparatum ad primum terminum e$t $exta
quantitas, cum autem comparatur ad rem, iam præ$upponit pro-
portionem. Exemplum relatum primum proportionis 21/20 e$t 4084101/3200000
& e$t aliquanto maior $exquiquarta, & $i colligas terminos 100.
105. 110 1/4 115 61/80 121 861/1600 127 19681/32000. Tu uides quòd $unt $ex termini in
utra <01> computando primum, $ed in 21/20 $unt duo termini, & in qua-
drato tres, & in quadrato quadrati per præcedentem, adduntur
duo & ultimus $cilicet $extus fit ex relato ip$o. Ergo ultra propor-
tionem $unt tantum quatuor termini.</P>
<P>Septima regula ad effugiendum omnes errores tu $cis, quòd
4096 quadratum 64 e$t $extus a 64, ad quem habet proportionem
quadrati, & 64 e$t $imiliter $extus ab uno illo $cilicet non compu-
<foot>tato,</foot>
<p n=>131</p>
tato, & ita 64 habet rationem unius, & licet comparetur ad 2 rem,
& $it $extus ab eo, eo computato 4096 autem à 64 $it $eptimus, ta-
men non e$t eadem ratio, quia 64 non e$t quadratum 2.</P>
<P>Propo$itio cente$imatrige$ima$eptima.</P>
<P>Rationem numerorum ex progre$sione declarare.</P>
<P>Michaël Stifelius rationem pulcherrimam tradidit ad inuentio-
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
<marg>P<I>rimæ $uæ</I>
A<I>rith.</I></marg>
nem numerorum, qui uo cantur multiplicandi, & componitur hoc
modo. Ex prima componitur 1 & 2, faciunt 3. 1. 2. 3 faciunt 6. 1. 2. 3. 4
faciunt 10, & ita prima tabula con$tituit $ecundam recta $erie nu-
merorum iunctis o-
mnibus ab uno. Ter
<table>
<row><col>1</col><col>2</col><col>3</col><col>4</col><col>5</col><col>6</col><col>7</col><col>8</col></row>
<row><col>1</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>2</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>3</col><col>3</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>4</col><col>6</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>5</col><col>10</col><col>10</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>6</col><col>15</col><col>20</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>7</col><col>21</col><col>35</col><col>35</col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>8</col><col>28</col><col>56</col><col>70</col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>9</col><col>36</col><col>84</col><col>126</col><col>126</col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>10</col><col>45</col><col>120</col><col>210</col><col>252</col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>11</col><col>55</col><col>165</col><col>330</col><col>462</col><col>462</col><col></col><col></col></row>
<row><col>12</col><col>66</col><col>220</col><col>495</col><col>792</col><col>924</col><col></col><col></col></row>
<row><col>13</col><col>78</col><col>286</col><col>715</col><col>1297</col><col>1716</col><col>1716</col><col></col></row>
<row><col>14</col><col>91</col><col>364</col><col>1001</col><col>2002</col><col>3003</col><col>3432</col><col></col></row>
<row><col>15</col><col>105</col><col>455</col><col>1365</col><col>3003</col><col>5005</col><col>6435</col><col>6435</col></row>
<row><col>16</col><col>120</col><col>560</col><col>1820</col><col>4368</col><col>8008</col><col>11440</col><col>12870</col></row>
<row><col>17</col><col>136</col><col>680</col><col>2380</col><col>6188</col><col>12376</col><col>19448</col><col>24310</col></row>
</table>
tia fit ex $ecunda &
tertia, primò a$$umi
tur 10 in tertia, ut in
$ecunda, & ex 10 $e-
cundæ, & 10 tertiæ
fit 20, & ex 15 $ecun-
dæ, & 20 tertiæ fit
35, & ex 21 $ecundæ,
& 35 tertiæ fit 56, &
ex 28, & 56 fit 84. Et
quanta fit ex tertia,
& ex $eip$a. primum
a$$umendo 35 ex ter
tia, & ponitur pro
primo numero quartæ, & ex 35 tertiæ, & 35 quartæ fit 70 numerus
$ecundæ quartæ: & ita ex 56 & 70 fit 126, & ex 84, & 126. 210. & ita
quinta ex quarta & $eip$a, & $ic in infinitum.</P>
<P>Regula ergo e$t, quòd binarius $eruit <02> quadratæ, & quia nihil
e$t in eius directo, $olus ip$e $eruiet <02> quadratæ. Ternarius autem
cubicæ, & quia in eius directo e$t alter ternarius, ille etiam $eruiet
<02> cubicæ. Quaternarius autem $eruiet quadrato quadrati, & $ena-
rius, qui e$t in illius directo. Ergo quinarius $eruiet <02> relat&ecedil; prim&ecedil;,
& duo $equentes numeri $cilicet 10 & 10, & eo dem modo $enarius
numeri duo $equentes 15 & 20 $eruient cubo quadrati, & ita etiam
$eptenarius cum tribus $equentibus numeris 21. 35 & 35 $eruient
rel. $ecundi radici, & ita deinceps in infinitum.</P>
<P>Propo$itio cente$imatrige$imaoctaua.</P>
<P>Modos u$us horum numerorum declarare.</P>
<P>In quouis numero denominationis oportet tot addere o, quo-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<foot>tus e$t</foot>
<p n=>132</p>
tus e$t ordo, & facere tot numeros $equentes; quotus e$t ordo, &
$emper minuere unam o, uelut quia quadrata <02> e$t prima ad 2 ad-
demus o, & fiet 20, nec alium qu&ecedil;remus numerum. Sed quia cubi-
ca e$t $ecundo loco, habebit prima nota 00, & fiet 300, & $ecundum
3 unam 0, & fiet 30, & in quadrato quadrati addemus 000 primo,
& 00 $ecundo, & o tertio, & ita hab ebimus 4000. 600. 40. $ed quia
in tabula non e$t 4 ultimum, addemus $imilem primo $emper. In
relato primo, ergo habebimus 50000. 1000. 1000. 50. & in cubo
quadrati 600000. 150000. 20000. 1500. 60. Manife$tum e$t, quòd
his uice uer$a a$$ump$imus 15 & 6 $imiles prioribus addendo $em-
per ut dixi o minus, donec ad unam peruenerit. Et ita in relato $e-
cundo 7000000. 2100000. 350000. 35000. 2100. 70. & ita dein ceps.</P>
<P>Propo$itio cente$imatrige$imanona.</P>
<P>Radices omnes à propo$itis numeris extrahere.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Propo$itis quibu$uis numeris utpotè 916132832, uolo detrahere
<02> relatam primam, primum habebo in tabula de$cripta relata pri-
ma numerorum $implicium u$que ad 10 uelut in exemplo. Dein de
<fig>
$ub$cribam pun-
ctum $ub prima
nota à dextra, &
quia e$t quarta in
ordine hoc, $eu quinta denominatio $ecun-
dum no$trum, omittam quatuor notas in-
ter medias, & $ub$cribam punctum aliud,
& ita facerem $i e$$ent plures quàm decem
notæ: relinquitur ergo ad pũctum primum
à $ini$tra 9161, cuius qu&ecedil;ro <02> relatam pri-
mam in tabula, quam inuenio e$$e 6, nam
7776 eius relatum primum e$t
<04>ximius ex minoribus ad 9161,
detraho igitur 7776, ex numero
propo$itio relinquitur. Dein de
póno 6 & quadratum eius, & cub. & quadratum
quadrati, quia, ut dixi, e$t quarta denominatio a-
pud illum, & è regione numeros præcedentes in-
uentos relati primi ex præcedenti propo$itione: & duco $ingulos
cum $uis collateralibus, ut uides etiam in figura, et cum ultimo pro-
ducto, $cilicet 64800000 diuido 138532832 exit 2, huius accipio o-
mnes numeros ad relatum primum u$<01> ut uides, & pono minores
è regione maiorum, utpotè 2 è regione 1296 & 50000, & 4 è regio-
<foot>ne</foot>
<p n=>133</p>
ne 216 & 10000, & 8 è regione 36 & 10000, & 16 è regione 6, & 50,
& duco 6 in 50 fit 300, duco in 16 fit 4800, duco 36 in 1000 fit
36000, duco 36 in 8 fit 288000, duco etiam 216 in 10000 & fit
2160000, & duco hos per 4 fit 86400000, duco rur$us 1296 in
50000 fit 64800000, duco in 2 fit 129600000. Demum addo 32 re-
latum primum 2, & fit $umma omnium 138532832, & ita habemus
radicem relatam primam dictinumeri e$$e 62. Et $i numerus produ
ctus fui$$et maior oportui$$et accipere proximo minorem. Inde per
regulam $equentem addere minutias.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquadrage$ima.</P>
<P>Radices per numeros fractos determinare.</P>
<P>Duplex e$t modus, ut etiam docui in arithmeticis, $cilicet ut pro
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
radice quadrata addatur duo o, & pro cuba tria, & pro quadrata
quadrata quatuor, & pro relata prima quinque, & ita deinceps, &
pr&ecedil; decimis $emel, pro cente$imis bis, pro mille$imis ter, pro millia-
ribus $eu partibus earum quater, pro cente$imis mille$imis quin-
quies, pro mille$imis mille$imarum $exies, & ita deinceps deinde
per præcedentem detrahere radicem, & erit ualde exacta. Exemplo
non utar, ni$i quòd $i uelles radicem relatam 16 ad mille$imas, acci-
cipies radicem relatam numeri à latere propo$iti, & ita de alijs
1600000, 00000, 00000, & $i uelles <02> cub. 5 1/5 per mille$imas, pri
mo addes ter 000, & fiet 3000000000, inde $ume 1/5 1000000000,
qui e$t 200000000, & adde ad 5000000000, fit 2500000000,
& hoc quia unum refert numerum 1000000000 ex $uppo$ito & 1/5
e$t 1/5 unius.</P>
<P>Secundus modus e$t, ut accipias proximè maiorem, & multipli-
ca in $e, & detrahe numerum propo$itum, & re$iduum diuide per
duplum radicis primo inuentæ, $i fuerit quadrata, & per triplum
quadrati eiu$dem $i fuerit cubica, & per quadruplum cubi, $i fuerit
quadrata quadrata, & per quin cuplum quadrati quadrati, & quod
exit detrahes ex priore radice, & rur$us quod relinquitur, multipli-
ca in $e, & eodem modo agendo quod $upere$t à numero propo$i-
to, diuide per duplum radicis prioris, $i $it radix quadrata, uel per
triplum quadrati $i $it cubica, & quod exit rur$us detrahe, & ita a-
gendo, peruenies ad exacti$simam radicem, exemplum uolo radi-
cem quadratam 5 proxima maior e$t 3, quadratum 9, differentia 4,
diuide per 6 duplum 3 exit 2/3, detrahe ex 3 fit 2 1/3, quadratum e$t 49/9
quod e$t 5 4/9, rur$us diuido 4/9 differentiam 5 4/9 & 5 per 4 2/3 duplum
radicis primæ exit 2/21, detrahe ex 2 1/3, relinquitur 2 5/21, radix $atis pro-
pinqua, nam eius quadratum e$t 5 4/441, in cubica $imiliter uolo <02>
cu. 5, proxima maior e$t 2, cubus 8, differentia 3, diuide per triplum
<foot>M quadrati</foot>
<p n=>134</p>
quadrati 2 quod e$t 12 exit 1/4 detrahe ex 2 fit 1 3/4 cuius cubus e$t 5 23/64
differentia e$t 23/64 diuide per triplum quadrati 1 3/4 quòd e$t 9 3/16 exit
23/588 detrahe ex 1 3/4 relinquũtur 1 107/147 cuius cubus e$t 5 504449/3176523 Ita diuides
hunc exce$$um $i placet per triplum quadrati 1 107/147 & e$t fermè 9 exit
56050/3176523 qua$i detrahe ex 1 107/147 relinquuntur 323159/453789.</P>
<P>Tertius modus e$t $ubtilior, tu $cis, &qring;d duo decima denominatio
e$t quadrata $ext&ecedil;, & quadrata quad, tertiæ, & cuba quarti, quarta
autem e$t inter tertiã & $extam $ecunda quantitas in continua pro-
portione: ergo inuenta <02> numeri propo$iti & <02> radicis inuentæ
reducã ad unam denominationem, et inter numeratores collo cabo
duas quantitates, quod facile erit $en$im procedendo, & habebo <02>
cu. quæ$itam, $cilicet minorem ex duabus intermedijs. Et $imiliter
pro relata prima, capiam $exaginta denominationes, & $cis, quòd
quintadecima e$t <02> <02> $exage$im&ecedil;, & decima e$t <02> cu. <02> $exage$im&ecedil;,
& duodecima <02> relata prima $exage$imæ per eandem inuenta, er-
go <02> numeri propo$iti tanquam ille $it $exage$ima denominatio,
inueniam illius radicis inuentæ <02> quadratam, & cubicam, &
quia duodecima quantitas quæ e$t <02> relata prima numeri e$t
$ecunda, quatuor intermediarum inter ponam inter <02> quadra-
tum, quadratum, & cubicam quadratam quatuor numeros in
continua proportione, & $ecundus ex minoribus erit <02> relata
prima numeri propo$iti. Exemplum cubicæ uolo <02> cu: 5 habui <02>
quadratam eius 2 5/21 $ed uolo proximiorem diuidendo 4/441 per 4,
quod e$t fermè duplum 2 5/21 exit 1/441 detraho ex 2 5/21 relinquitur ualde
proxima <02> 5. 2 104/441 huius igitur radix quadrata, primo inuenta e$t 1 1/2
$ecunda proximior e$t 1 41/84 reduco ad eandem denominationem fi-
ent 284/9261 2 416/1764 & 1 861/1764 inter 3944, & 2625, inueniemus duos nume-
ros in continua proportione, ut uides, & erit $ecunda quantitas
<fig>
3006/7641, quod e$t 167/98 proximum ad 1 5/7, <02> cubica. 5.
nã eius cubus e$t 5. 13/343 at exacti$sima e$t ergo 1 69/98.
ut liquet. Pro relata prima ergo ponamus, ut ue-
lim <02> relatam primã 25, accipio 5 <02> 25 cuius <02> e$t, ut ui$um e$t, 2 104/441
$imiliter <02> cu: 5 fuit 1 69/98 igitur reducam ad unam denominationem,
& inueniam quatuor numeros in cõtinua proportione inter illos,
& $ecundus po$t minimum ex illis erit <02> relata prima propinqui$-
$ima 25. Quomodo uerò inueniantur facillimè illi termini, do-
cui in $exto libro operis perfecti.</P>
<P>Quarta regula e$t utilior, licet minus uideatur nobilis, & e$t $un-
data in hoc, quod $i a b $it maior c & eis ad dantur b e, & d f æqua-
les dico, quod erit minor proportio a c ad c f, quam a b ad c d, & ex
con$equenti per uiã fracti maior pars unius erit c fip$ius a e, quàm
<foot>c d</foot>
<p n=>135</p>
c d ip$ius a f ex Euclide. Dico ergo quod maior e$t proportio a b
<fig>
ad c d, quàm a e ad e f, fiat d g ad quam $it b c ut
<marg>8. P<I>ropo$.
quinti</I> E<I>lem.</I>
P<I>er</I> 18.
<I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
a b ad c d, erit<01> a e ad c g ut a b ad c d, minor au-
tem e$t a e ad c f, quam ad c g, igitur minor a e ad
c f quàm a b ad c d quod fuit propo$itum. Simili
ter $i fuerint duæ quantitates, a b & c d, quarum a b $it maiore, c d
autem eadem e minor, dico, quòd dimidium aggregati a b & c d
maiorem habebit proportionem ad e, quàm c d & minor, nam iun-
cta b f æquali d e ad a b, ita ut f g $it dimidium totius a f, qùia ergo
<fig>
f g e$t dimidium f a & fb e$t minor dimidio
<marg>P<I>er</I> 11.
<I>quinti</I> E<I>lem.
amplificatã.</I></marg>
f a cum $it minor b a, & $imiliter f g e$t mi-
nor a b, quia a b e$t maior dimidio a f, quia
e$t maior b f, ergo proportio g f ad c e$t ma
ior quam b f ad e, ita quam c d ad e, & mi-
<marg>P<I>er</I> 8. <I>quin-
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
nor quàm a b ad e, quod fuit propo$itum. Quo ui$o uolo <02> 1000
quadratam, & quòd de quadrata dico, dico etiam de alijs radici-
bus & erit ex $ecunda regula harum 31 39/62 & quadratum erit 1000
1521/3844. Iuxta ergo primam partem regulæ 31 38/61 erit minus, & in ueritate
in eo, quod fit ducendo, ut uides, & hoc e$t pro-
<fig>
ximum ad 1<*>/160, multiplico igitur duplum 31 39/62,
quod e$t fermè 63 1/4 in 1/160 fient 63/160 <fig> detrahe ex
1521/3844 hoc modo, diuide 3844 per 160 exit 24 <*>/40
diuide 1521 per 24, exit 63 3/8, habes igitur quod
1521/3844 $unt 63/160, igitur detracto 63/160 ex 63/160 nihil relinquitur, & erit <02> exa-
cta ualde 1000 hoc 31 38/61 cuius quadratum 1000 41/3421 uides breuita
tem, & propinquitatem in producto differentia e$t 1/100 aut parum
maius quod ad radicem comparatum cum debeat diuidi per du-
plum eius erit paulo maius 1/6300. Vnde facilior e$t, & breuior hæc
uia quàm per 00 ad ditus. Rur$us uolo aliquid adi&mtilde;ere & cum pro
pinquitate ita facio. Con$idero quòd 31 38/61 e$t maius 1/6300 radice, di-
uido 6300 per 62 exit 103 fermè, ne<01> enim curo in hoc fractiones,
multiplico ergo 103 in 38/61 & habeo 3914/6283 hic denominator e$t proxi-
mus 6300, aufero ergo 1 ex 3914, habebo ualde proximam <02> 1000,
31 3913/6283 cuius quadratum e$t 1000 minus 1/1048 hoc ut dixi diui$um
per duplum <02> quod e$t 63 e$t omnino in$en$ile in radice.</P>
<P>Quinta regula e$t omnium pulcherrima, & e$t communis omni
bus & fractis & integris & omnibus generibus radicum, & $it ex-
emplum, uolo <02> radicis $upra$criptæ $cilicet 31 3913/6283 multiplico 31
in 6283, & fit 194793, cui addo 3913, fit 198686 manife$tum e$t igi-
tur, quod 198686/6283 æquiualet 31 3913/6283 hoc facto, quod e$t commune om-
<foot>M 2 nibus</foot>
<p n=>136</p>
nibus radicibus extrahendis pro radice quadrata, multiplicabo nù
meratorem, qui e$t 194686 per denominatorem, qui e$t 6283, & $i
uoluero radicem cubicam, multiplicabo eundem numeratorem
per quadratum denominatoris, & $i uoluero radicem radicis, mul-
tiplicabo per cubum, multiplicabo per quadratum quadratum
6283, & ita de alijs una diminutione minore, & eius qui prouenit
numeri <02> $uprapo$ita denominatori erit <02> eiu$modi, quam $u$ce-
pi$ti, uelut in exemplo fuit numerus 198686/6283 quia ergo uolo <02> quad.
multiplico 198686 in 6283, & fit 1248344138, huius accipio <02>
quad. quæ e$t 35332, hæc autem e$t diuidenda per 6283, & exeunt
5 3917/12566, ecce uides radicem exactam admodum, & facilem. Volo rur-
$us <02> quadrat. 5 3917/12566, multiplico 12566 per 5 & fit 62830, cui addo
3917, & fit 66747, cui $uppono 12566 denominatorem, fient ergo
66747/12566, manife$tum e$t igitur quòd hoc æquiualet 5 3917/12566, $i igitur mul
tiplicarem denominatorem per denominatorem & numeratorem,
quod proueniret, e$$et æquale eidem numero, ergo <02> eius e$$et ea-
dem cum <02> prioris, $ed <02> denominatoris e$$et prior numerus, er-
go $ufficiet extrahere <02> producti ex denominatore in numerato-
rem, & ita productum erit ex denominatore in numeratorem
838742802, cuius <02> e$t 28961, hæc igitur diui$a per 12566 o$ten-
dit <02> 2 3892/12566. In hac autem quadrata e$t alius modus $ine multiplica-
tione, $ed non e$t communis alijs, ubi $tatueris denominatorem
pro denominatore <02>, utpote 12566, & numeratorem 66747, con-
$titues medium $en$im augendo.</P>
<P>Rur$us uolo <02> relatam 2 3829/12566 reduco ad denominatorem, & fit
ut prius 28961/12566, duco igitur 12566 ad quad. quad. $ed $ufficiet in hoc
ca$u deducere ad minores denominationes, utpotè diuide 28961
per 12566 exit 2 3829/12566 multiplico per 566 fit 1104 5862/12566, hoc detrahe
ex 28961 habebis 27856/12000, diuide igitur per 1000 habebis 12 & 27 107/125
at 108/126 $unt 6/7, igitur habes 12 pro denominatore, & 27 6/7 pro nume-
ratore, quare erunt numeri 195/84, erit ergo per hanc regulam, ut ducas
84 ad quad. quadrati, & fit 49787136, duc in 195 fit 9708491520,
cuius <02> relata prima e$t 99, igitur <02> relata prima 2 3829/12566 e$t 1 15/84 pau-
lo maior, id e$t 1 13/70. Et nota quod $i denominator haberet <02> illius
generis, quam quæris, $ufficeret inuenire radicem eiu$dem generis
ab$<01> alia numerorum multiplicatione.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquadrage$imaprima. (deducere.</P>
<P>Numeros fractos ad minores in ead&etilde; <04>portione ualde <04>pinqua</P>
<P>Cum plerun<01> numeri fracti hab cantur per radices, ut aliquan-
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
do maiores $int, aut minores eo fit, ut po$sint reduci ad mino-
res numeros, ut melius intelligi po$sint & facilius tractari, &
<foot>cum</foot>
<p n=>137</p>
cum hoc $it exactior illa pars exemplum, ergo habeo 2 3829/12566, quem
uolo certa ratione ad minores diui$iones deducere. Deduco pri-
mò totum ad fractiones ducendo 2 in 12566, & addendo 3829, &
fit 26961/12566, multiplico 12566 per 9, quia proportio unius ad alterum
e$t fermè, ut 9 ad 4, & fit 113094, multiplico 4 in 28961 fit 115844,
hoc igitur e$t maius, igitur proportio 28961 ad 12566 e$t maior
quàm 9 ad 4, detraho igitur 12566 ex 28961, relinquitur 16395, de-
traho 113094 ex 115844, relinquitur 2750, diuido 2750 per 16395
exit 55/328 addo 2 denominatori fit 55/330, quod e$t 1/6, nami$tæ additiones
paruæ præter quòd parum uariant quantitatem etiam dum ad ex-
amen reducuntur, nihil impediunt, detrahe igitur 1/6 à 9/4, & ducendo
per 6, & detrahendo 53/23, duco igitur primos numeros $cilicet 28961/12566
mutuo in 53/23, fiunt 665998, & 666107, ita uides, quod proportio
53 ad 23 e$t paulo minor, quàm 28961 ad 12566, & æquiualent 27/2<*>
& 2 3829/12566.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquadrage$ima$ecunda.</P>
<P>Denominationum incrementa ex extrema cognita inuenire, &
conuer$o modo.</P>
<P>Quidã per u$uram rediuiuã fecit 40000 coronatos ex 40 in 40
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
annis. Qu&ecedil;ro qutãa fuerit u$ura, & quãdo habuit 1000 coronatos,
quidã uellent $oluere per regulam trium quantitatum, in qua com-
mitterentur maximi errores. Et in ea multi $unt modi, & omnes fal-
$i præter hanc uiam nulla e$t uera, adde quòd uellent multi per $or-
tem inuentam $oluere augendo per $ingulos annos, quod adeò
difficile e$$et, & penè foret impo$sibile. Ideò diuides 40000 per 40
numerum $ortis exit 1000, igitur in 40 annis unum fit mille, $unt
ergo 40 denominationes ab uno, quarum quadrage$ima e$t 1000,
igitur uige$ima e$t <02> 1000 |$cilicet |31 3913/6283, igitur decima e$t <02> eius
<marg>P<I>er</I> 136.
P<I>ropo$.</I></marg>
5 3917/12566 huius radix, erit quinta quantitas 2 7/23, cuius <02> relata prima,
<table>
<row><col>Anni</col><col>Aurei</col></row>
<row><col>1</col><col>1 13/70</col></row>
<row><col>2</col><col>1 67/165</col></row>
<row><col>5</col><col>2 7/23</col></row>
<row><col>6</col><col>2 118/161</col></row>
<row><col>7</col><col>3 14/61</col></row>
<row><col>10</col><col>5 3917/12566</col></row>
<row><col>20</col><col>31 38/61</col></row>
<row><col>40</col><col>1000</col></row>
</table>
erit proportio 1 13/70, cuius quadratum e$t 1 1889/4900 $eu
1 67/165 pro $ecunda quantitate, duces ergo primam,
quæ e$t 83/70 in quintam, quæ e$t reducta ad mino-
res fractiones facilitatis cau$a 53/23, & habebis $ex-
tam quantitatem 2 118/161, duco etiam quintam quan-
titatem $cilicet 53/23 in $ecundam quæ e$t 232/165, & fit $e-
ptimi anni quantitas, duco igitur $eptem anno-
rum numerum, qui e$t 3 14/61 in 31 38/61 fit 102 992/6283. At in
$ex annis additis ad uiginti, fit tanto minus, quan-
to 31 38/61 ductum in differentiam $eptem, & $ex an-
norum quæ e$t 60/121, fit ergo 15 35/492. Quia ergo an-
<foot>M 3 nuatim</foot>
<p n=>138</p>
nuatim $olum u$ura adij citur $orti, $ufficiet diuidere 2 992/6283 per 15 35/492
$cilicet multiplicando per 12 numerum men$ium 2 992/6283 fit 25 5621/6283 di-
uide 25 5621/6283 per 15 35/492, exit men$is unus, & dies 21, detrahe ex 27 an-
nis, remanent anni 26, men$es 10, dies 9, in quo tempore habuit
4000 aureos coronatos. V$ura autem fuit ut ui$um 13/70, igitur per re-
gulam trium duc 13 in 100 fit 1300, diuide 1300 per 70 exit 18 4/7<*> &
tanta fuit pro centum. Et cum computaueris in tribus annis, acqui-
rit modico plus be$$e eius, quod habet. Et ita in 13 annis, & parua
illa parte perueniet ad decuplum eius, quod habet, $cilicet 4000 au
reorum, & habebit aureos 40000, ut propo$itum e$t.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>In propo$ita proportione numero <03> terminorum rediuiuam u-
$uram inuenire.</P>
<P>Sit gratia exempli, in $ex annis u$ura rediuiua uige$imæ, erit-
qúe proportio 21/20, cuius numeratorem $exies ducam in $e primum
bis fit 441: ergo ducto 441 in $e fit qúe 194481 ductum in 441
fit 85766121 $exies ductum 21, quinquies autem ducam 20 deno-
<fig>
minatorem in $e fit bis 400, ter 8000,
quinquies ergo 3200000, diuide nume-
ratorem per denominatorem abiectis
quin<01> notis erit 26 2566121/3200000. Quæ propor
tio e$t proxima 26 4/5 ad 20, & ita ut 134 ad
100. Et $i pigeret tædij autlaboris po$$es
pro xij annis, ducere 134 in $e, & fit 17956
diuide per 100 eadem ratione, exit 179 14/25
& ita 100 in xij annis, fit tantundem. Et
ita pro xviij & xx annis.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquadrage$imatertia.</P>
<P>Si linea in duas partes diuidatur, corpora, quæ fiunt ex una par-
te in alterius quadratum mutuò æqualia $unt corpori, quod fit ex
tota linea in $uperficiem unius partis in alteram.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit a c diui$a in a b, b c quadratum a b $it
<fig>
a d, quadratũ b c, $it b e parallelogrammũ
ex a b in b e, a f dico quòd corpora ex a b in
b e, & b c in a d æqualia $unt corpori ex a c
in a f. Quia enim corpus ex a c in a f con$tat
ex a b in a f, & b c in a f, per primam $ecun-
<marg>I<I>d e$t per
eius demon-
$trationem.</I>
P<I>er</I> 29. <I>un
decimi</I> E<I>lem.</I></marg>
di Elementorum. corpus autem ex a b in a f
e$t æquale corpori ex b c in a d, & corpus
ex b c in a f e$t æquale corpori ex a b in b c
igitur con$tat propo$itum.</P>
<foot>Propo-</foot>
<p n=>139</p>
<P>Propo$itio cente$imaquadrage$imaquarta.</P>
<P>Duplum cubi medietatis maius e$t aggregato corporum mutu-
orum cuiuslibet diui$ionis, quantum e$t, quod fit ex tota in quadra
tum differentiæ.</P>
<marg>C<I>o</I><*></marg>
<P>Sit a b diui$a per æqualia in c, & per inæqua-
lia in d, dico, quòd duplum cubi a c e$t maius ag
<fig>
gregato corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadratum
a cin eo quod fit ex a b in quadratum c d, nam per præcedent&etilde; du-
plum cubi a c e$t æquale corpori ex a b in quadratum a c: aggrega-
tum quo que corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadra-
tum a d e$t &ecedil;quale ei, quod fit ex a b in rectangulũ ex a d in d b. qua-
dratũ aut&etilde; a c e$t maius rectangulo a d in d b quadrato c d differen
tiæ, igitur duplum cubi a c excedit aggregatum corporũ mutuorũ
in corpore ex a b in quadratum c d differenti&ecedil;, quod e$t propo$itũ.</P>
<marg>P<I>er</I> 5. <I>$ecun
di</I> E<I>lement.</I></marg>
<P>Propo$itio cente$imaquadrage$imaquinta.</P>
<P>Si line a in duas partes diuidatur quadrata ambarum partium
detracto eo quod fit ex una partein alteram, &ecedil;qualia $unt producto
unius in alteram cum quadrato differentiæ.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit linea a c diui$a in b, & $it differentia a b,
b c, b d, dico quod quadrata a b & b c detracto
<fig>
eo quod fit ex a b in b c, æqualia $unt producto a b in b c cum qua-
drato b d. Quoniam. n. quadrata a b, b c æqualia quadratis a d d b
b c & productis ex a d in d b bis & quod fit ex a b in b c æquale e$t
ei quod fit ex a d in $e cum eo quod fit ex a d in d b, quia a d e$t &ecedil;qua
<marg>P<I>er</I> 4. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
lis b cideo quadrata a b & b c detracto eo quod fit ex a b in b c $unt
æqualia quadratis a d d b, & producto a d in d b $emel: a c quadra-
<marg>P<I>er</I> 1. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
tum a d cum producto a d in d b e$t æquale producto a b in a d, &
ex con$equenti in b c, igitur re$iduum quadratorum a b & b c de-
tracto producti a b in b c e$t æquale a b in b c cum quadrato b d
quod fuit propo$itum.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquadrage$ima$exta.</P>
<P>Corpus quod fit ex linea diui$a in $uperficiem &ecedil;qual em quadra-
tis ambarum partium detracta $uperficie unius pa<*>tis in alterã, e$t
æquale aggregato cuborum ambarũ partiũ.</P>
<fig>
<P>Sic a b diui$a in e quadrata partium e f &
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
b d detrahatur ex e f, f g æqualis a d, dico cor
pus ex a b in $uperficies b d, d g æquale e$-
$e cubis a c & c b pariter acceptis, quia. n.
ex a b in b d fiunt duo corpora cubus
b d & corpus ex a d in quadratum d b hoc
autem e$t æquale corpori ex b cin a d quia
<foot>M 4 fiunt</foot>
<p n=>140</p>
fíunt ex æqualibus lineis: at corpus quod fit ex a b in d g æquale e$t
corporibus quæ fiunt ex a c, c b in $uperficiem d g at cubus a c con-
tinet duo corpora qu&ecedil; fiunt & a c in d g & g f, igitur cubus a c $upe-
rat productum ex a b in d g in producto ex a c in f g & $uperatur ab
eo in producto ex b c in d g, $uperabatur etiam, ut ui$um e$t, cubus
b c à producto b a in d b in producto b cin c f, igitur cubi a c c b $u-
perantur à producto a b in ad in producto b cinc f & in d g, quare
in producto b c in f e: $i quidem f e & f g $unt æqualia ex $uppo$ito
$uperant autem in producto ex c b in e f, igitur tantum e$t in in quo
$uperantur quantum e$t id in quo $uperant: ergo $unt æqualia.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquadrage$ima$eptima.</P>
<P>Propo$ita linea diui$a duas ei lineas adijcere, ut proportio addita-
rum $ingularum & partium $imul iunctarum ad additas $it mutua.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit linea a b diui$a in c uolo eius
<fig>
partibus addere lineas, ut propo$i-
<marg>P<I>er</I> 13. <I>$ex
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
tum e$t, $tatuo mediam c d inter a e &
<marg>P<I>er</I> 11. <I>$ex
ti</I> E<I>lement.</I></marg>
c b quæ $it c d, & facio ut c d ad c a ita
c a ad a e, & ut d c ad c b ita c b ad b f, quia ergo d e media e$t inter
<marg>P<I>er</I> 11.
<I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
a c & c b, & ut ea ad a cita d c a c b ad c f erunt omnes in continua
<marg>P<I>er</I> 18.
<I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
proportione, quare proportio e c ad c a ut c f ad b f & e c ad ea ut
c f ad c b quod e$t propo$itum.</P>
<P>Propo$itio cen te$ima quadra ge$imaoctaua.</P>
<P>Propo$itis tribus lineis primam $ic diuidere, ut adiectis duabus
alijs lineis $ecundum rationem mutuam $ingularum $ingulis ag-
gregatum ex una adiectarum & parte ad aggregatum ex alia parte
& adiecta $e habeat, ut $ecunda ad tertiam.</P>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<P>Sit a, b, c, d, propo$itæ line&ecedil;,
<fig>
uolo diuidere a b ita in e ut
$umpta $ecundum proportio-
nem alicuius quantitatis, puta
g ad a e $ic b f ad e b & ut g ad
e b $ic g a ad a e ut $it propor-
tio g e ad e f ut c ad d. Sint ergo
omnia cõ$tituta & $it g rectan-
gulum ex a e in e b, cum ergo
g a contineat a e ut g continet e b, g autem continet e b $ecundum
a e, igitur g a continet a e $ecundum a c, ergo ex diffinitione qua-
<marg>P<I>er</I> 1. <I>$ecuu
di</I> E<I>lement.</I></marg>
drati a g e$t quadratum a e. Pari ratione b f e$t quadratum b e. pro-
portio igitur g e ad e f cum $it ut c ad e ex $uppo$ito erit ut ip$i pro-
portioni addamus, & detrahamus ex duplo a b & dimidium re$i-
dui ducamus in $e, & addamus aggregato quadrati a b cum ip$a
<foot>a b,</foot>
<p n=>141</p>
a b, & latus eius detracto dimidio re$idui erit b clinea, quare diui-
$io nota, & e$t ut dicamusu: olo diuidere datam lineam, ut quantita-
tes adiectæ $ub mutua proportione ad unam tertiam cum parti-
bus obtineantinter $e proportionem datam.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquadrage$imanona.</P>
<P>Datam lineam $ic diuidere, ut proportio quadratorum ad du-
plum unius partis in alteram $it, ut line&ecedil; datæ ad lineam datam.</P>
<P>Sit data a b quam uolo diuidere, ut proponitur $ub proportio-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
ne c d ad e, diuido a b bifariam in f, & ab$cindo
<fig>
g d æqualem d e, & inter c g re$iduũ & c e inter-
pono <04>portione, & ut h ad c g ita a f medietatis a b ad fk. Omnia
i$ta $unt noti$sima ex primo & $exto Elemento-
<fig>
rũ Euclidis. Si ergo ab$cindantur fk ex fa, dico
quod proportio quadratorum l k & k a ad du-
plum rectanguli a k in k b e$t ut c d ad d e. Quia. n. c e ad c g dupli-
cata e$t ei qu&ecedil; e$t h ad c g, duplicata e$t etiã ei quæ e$t f a ad fk, qua-
re ut quadrati a f ad fk, ita c e ad c g, igitur di$iungendo c g ad g e ut
re$idui quadrati k f ad re$iduum quadrati a f, quare c g ad g d ut
quadrati k f ad dimidium re$idui quadrati a f, igitur coniunctim c d
ad d g ut quadrati k f & dimidij re$idui quadrati a f ad ip$um dimi-
dium re$idui. At uerò cum g d $it æqualis d e, erit c d ad d e ut qua-
drati k f cum dimidio re$idui $æpius dicti ad ip$um dimidium re$i-
dui. Igitur etiam ut dupli quadrati k f cum re$iduo ad re$iduũ, $unt
enim omnia duplicata. At duplũ quadrati k f cũ re$iduo e$t æqua-
le quadratis a f & f k, igitur quadratorum a f & f k ad differentiam
eo rum proportio e$t ut c d ad d e, igitur dupli quadratorum a f &
f k ad duplum differentiæ quadratorum a f & fk ut c d ad d e. Ve-
<marg>P<I>er</I> 9. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
rum duplum quadratorum a f & f k æquatur quadratis b k & k a.
<marg>P<I>er</I> 5. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
Et duplum differentiæ quadratorum a f & fk e$t &ecedil;quale duplo pro
ducti b k in k a, igitur proportio quadratorum k b & k a ad duplũ
producti k b in k a e$t ueluti c d ad d e, quod e$t propo$itum.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquinquage$ima.</P>
<P>Propo$itis duabus lineis lineã communem
<fig>
utri<01> adiungere, ut $it maioris ad additam pro-
portio, uelut quadratorum minoris & adiectæ
ad duplum unius in alteram.</P>
<P>Hæc e$t qua$i conuer$a præced&etilde;tis. Sit a ma-
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
ior, & b c minor, & fiat b d dupla b c, $uper quã
erigatur b f æqualis a; & $it rectangulum d f &
de$cribatur quadratum b c quod $it b g re$idu&ecedil;
$uperficiei ad d f latus $it h, dico h e$$e lineam quæ$itam. Superficies
<foot>enm</foot>
<p n=>142</p>
enim d f cum fiat ex a in duplum b c, dupla erit $uperficiei a in b c, $u
perficies f d, tota æquatur quadratis h & b c, igitur quadrata h & b
c dupla $unt $uperficiei a in b c, quod uerò fit ex a in duplum b c $e
habet ad id quod fit ex h in duplum b c, ut a ad h, cum per eandem
lineam ducantur, igitur quod fit ex a in duplum b c, & $unt quadra-
ta h & b c, $e habent ad duplum h in b c, ut a ad h, quod fuit de-
mon$trandum.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquinquage$imaprima.</P>
<P>Proportio differentiæ quadratorum partium, cuiu$uis lineæ ad
quadratum differentiæ illarũ e$t uelut to tius line&ecedil; ad differentiam.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit a b diui$a in puncto c, & fiat c d æqualis
c b, manife$tum e$t quod differentia partium
<fig>
e$t a d, dico proportionem differentiæ quadra
torum a c & c b ad quadratum a d differentiæ partium e$$e ut a b ad
<marg>P<I>er</I> 4. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
a d. Quoniam differentia quadratorum a c & c b e$t, quod fit ex a d
in d c bis cum quadrato a d, & ideò quod fit ex a d in d b cum qua-
drato a d, & ideò quod fit ex tota a b in a d. Igitur differentia qua-
<marg>P<I>er</I> 3. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
drato a c & c b e$t quod fit ex a b in a d, quare cum quadratum a d
fiat ex a d in a d, erit proportio a b ad a d, uelut differentiæ quadra-
<marg>P<I>er</I> 1. <I>$exti</I>
E<I>lem.</I></marg>
torum a c & b c ad quadratum a d differentiæ partium. Quod fuit
propo$itum.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquinquage$ima$ecunda.</P>
<P>Si linea in duas partes æquales duas <03> in æquales diuidatur, fue-
rit<03> proportio aggregati ex maiore & dimidio ad ip$am maiorem
uelut ex minore, & aliqua linea ad ip$am minorem, & rur$us aggre-
gati ex minore dimidio ad ip$am minorem, uelut aggregati ex ma-
iore & alia addita ad ip$am maiorem, erit proportio dimidij'ad par
tem unam inæqualem, uelut alterius partis inæqualis ad $uam ad-
ditam mutuò, & etiam proportio ad ditarum inuicem, uelut pro-
portio partium inæqualium duplicata, & rur$us ip$um dimidium
lineæ a$$umptæ medium erit proportione inter additas. Demum
proportio dimidij cum ad dita maiore ad dimidium cum addita mi
nore, uelut maioris partis ad minorem.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit propo$ita a b diui$a per
<fig>
æqualia in c per inæqualia in
d, & $it ut addantur a g & b f,
ita ut proportio c a, & a d ad a d $it ueluti f d ad d b, & c b & b d ad
b d, uelut g d ad d a, & hæc e$t quarta $ecũdi Archimedis de $ph&ecedil;ra,
& Cylindro: quia ergo a c & a d ad a d, ut f d ad d b erit a c ad a d,
fb ad b d. Et $imiliter quia e$t c b & b d ad b d, uelut g d ad d a erit
<foot>c b ad</foot>
<p n=>143</p>
c b ad b d, uelut g a ad a d, & hoc e$t primum. Quia ergo c a e$t æ-
qualis c b, erit c a ad b d, uelut g a ad a d, & iam fuit a d ad c a, ut b d
ad f b, per conuer$am igitur a d ad b d, ut g a ad a d, & ut b d ad fb,
interpo$itis ergo a d & d b inter a g & b f cum compo$ita $it pro-
portio a g ad b f ex proportione a g ad a d, & ad d b, & d b
ad b f, & proportio a d ad d b, $it æqualis proportioni
<fig>
a g ad a d, & d b ad b f, igitur proportio a g ad b f. Per de-
mon$trata ab Alchindo e$t duplicata proportioni a d ad
d b quod e$t $ecundum. Rur$us quia ex primo demon-
$trato, uel eius conuer$o proportio a d ad a c e$t uelut b d
ad b f, & d b ad a c, ut a d ad a g, proportiones ergo
<fig>
a d & d b ad a c componunt proportionem produ-
ducti a d in d b, quod $it h ad quadratum a c quod $it
k, & $imiliter proportio b d ad b f & a d ad a g com-
ponunt proportionem producti ex b d in a d, quod
$itl ad productum b f in a g, quod $it m, per demon$trata ab Eucli-
de in $exto Elementorum, igitur proportio h ad k ut l ad m, $ed h &
<marg>I<I>n</I> P<I>rop.</I> 23
P<I>ropo$.</I> 9.</marg>
l $unt æquales, quia producuntur ex ei$dem, igitur per demon$tra-
ta in quinto Elementorum Euclidis, k e$t æquale m, ergo a c e$t me-
dia pro portione inter b f & g a, quod e$t tertium. Quia uerò ex pri-
mo demon$trato e$t fb ad b d, ut a c ad a d, & c b ad idem b d, ut g a
ad idem a d erit coniungendo fb & b c ad b d, ut coniun-
<fig>
gendo g a & a c ad a d, $ed fb & b c componunt f c & g a,
& a c componunt g c, igitur ut f c ad b d, ita g c ad a d, er-
go permutando g c ad f c, ut a d ad b d, quod e$t quartum.</P>
<P>Cum ergo punctum d fuerit datum, licet inuenire a g & b f, faci-
lè, ut Archimedes præ$up ponit proportionem g d ad d f datam &
quærit eam, quæ e$t a d ad d b, & peruenitur ad res numero triplo
quadrati dimidij lineæ a$$umptæ æquales cubo & numero, qui $it
ex duplo cubi dimidij in 1 m: ip$a proportione, & quod produci-
tur diui$o per 1 p: ip$a proportione. Veluti po$ita a b 10, & propor-
tione quam uolo g d ad d f $excupla, duco 5 dimidium 10 in $e fit 25,
& triplico, fit 75 numerus rerum. Inde duco 5 idem dimidium ad
cubum fit 125, duplico fit 250, duco in 5, qui e$t 1 m: proportione fit
1250, diuido per 7, qui e$t 1 p: proportione exit 178 4/7 numerus, qui
cum cubo æquatur 75 rebus. Cum ergo con$tituta fuerit diui$io in
c, non recipit proportionem g d ad f d quam uolueris, $ed $equitur
una $ola ad illã, & e$t mirabile, quoniam line&ecedil; uidentur $umi liberè.
Sed non e$t ita. Et etiã quia Archimedes uide&ttilde; a$$umere aliã lineam,
$ed non inue $tigat eam, imò o$tendit eam ex a$$umptis. At Euto ci-
us o$ten dit ambas, unã ex propria inuentione, aliam ex Diocle, $ed
<foot>una</foot>
<p n=>144</p>
una e$t $uperflua, quia ut dixi, una $e quitur ad aliam. Ex hoc pa-
tet cur Dio cles a$$ump$erit lineam unam, quæ e$t a c, quæ $e ha-
bet ad a d, & d b, ut uici$sim a d, & d b ad additas, quod e$t pri-
mum demon$tratum. Sic enim omittit primum quod proponit Ar
chimedes, & a$$umit quod proximum e$t: & ideò Archimedes non
pro bat, nec præ$upponit, quod à Diocle probatur, $cilicet datum
e$$e punctum d in linea a b, $ed $olum in linea g f, ideò cogitur pro-
bare $ecundum quod demon$tratur ab Eutocio, & à nobis demon
$tratum e$t $uprà. Archimedes aũt a$$umit lineã extra circulum, quã
uo cat b f, quæ e$t æqualis b c medietati: aliam a$$umit quam uocat
b h, cuius proportio ad b d e$t $icut quadrati ad a d quadratum a b.
Con$tat ergo quod proportio g d ad d f e$t data. Et $imiliter f g ad
g d, & e$t 1 præ proportione data. Vnde notandum quod datum
dicitur, $impliciter cognitum alio modo, dicitur datum po$itione,
quod e$t certum & tale, uelut $i quis dicat, diuide 10 in duos nume-
ros quadratos: hoc non e$t datum, pote$t enim diuidi pluribus mo
dis. At $i dicas ut una pars $it alterius quadratũ, i$tud antequàm $ci
untur partes, dicitur datum po$itione. Ergo datum po$itione e$t du
plex, uel ut ratio nota $it, non autem quantitas, ut $i dicam a b e$t du
pla ad b c, utra <01> dicitur nota po$itione, quo-
niam ne$cio quanta $it a b. Vel $i quantitas e$t
<fig>
nota proportio ignota $it, ut $i a c $it 10, & $it,
ut b c $it <02> relata, a b erit punctus b, & proportio a b ad b c data po
$itione, non tamen nota. Et $i dicas igitur omnia, quæ habent deter
minationem erunt data po$itione? Dico quod non, quia oportet,
ut illa determinatio comprehendatur $ub una ratione, ea<03> $altem
generaliter co gnita.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquinquage$imatertia.</P>
<P>Vim quan cun <01> manus multiplicare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Cum enim radimus aut trahimus manife$tum e$t,
<marg>P<I>er</I> 37.</marg>
quod ambabus manibus uis conduplicatur, & ma-
<fig>
ior redditur, quanta e$t proportio totius ad exce$-
$um: uelut $it a quod mouetur ab una manu uiribus
ut b, quæ $unt exce$$us b d $upra a, cum ergo propor
tio c b d ad a $it compo$ita ex proportionibus c &
b d ad a manife$tum e$t, quod erit producta ex pro-
portione c b d ad b d, & b d ad a, $ed e b d e$t dupla
ad b d, quia e e$t æqualis, cigitur proportio c b d ad
<marg>P<I>er</I> 2.</marg>
a e$t maior multo quàm duorum exce$$uum, qui mo
uerent in proportione dupla: uelut $i adderemus f
<foot>ad d b</foot>
<p n=>145</p>
ad d b æqualem b, multo maior e$t ex communi animi $ententia e f
b d quã f b d, quia e continet f, & quantum e$t d in$uper: cum ergo
b cum d moueat a in proportione b d ad a & f cum d mouebit a in
proportione eadem qua b d, ergo per uiam additionis duplo ue-
locius, quàm dupla proportione, uerùm dupla comparatione ad
proportionem b d ad a, non autem duplicata $ed dupla, ut dixi, qu&ecedil;
erit maior quàm dupla per addition&etilde; exce$$us. Ergo $i addatur al-
ter homo, erit dupla ad illam duplam, ueluti addendo æqualem d b
f e, adeò ut $i proportio d b f e e$$et quintupla, mouerent illi duo in
proportione decupla. Sed annexo baculo aut lima aut $erra annu-
lo h, ita ut circunuolui po$sit h æquabit uires non $olum d b f e $ed
multorum hominum. igitur multo plus aget homo ambabus ma-
nibus radendo aut $ecando cum g, quàm quadrupla proportione
unius manus, & hocincrementum e$t non $olum magnæ
utilitatis, $ed ualde accõmodatum in actionibus artificum
operum grauiorum. Et huiu$modi conduplicatio e$t ratio
limæ quam $urdam uocamus.</P>
<fig>
<P>Propo$itio cente$imaquadrage$imaquarta.</P>
<P>Si line&ecedil; dat&ecedil; alia linea adiungatur, ab extremitatibus autem pri-
oris line&ecedil; duæ rectæ in unum punctum con currant proportionem
habentes quam media inter totam & adiectam, ad adiectam erit
punctus concur$us à puncto extremo lineæ adiectæ di$tans per li-
neam mediam. Quòd $i ab extremo alicuius lineæ æqualis mediæ
$eu peripheria circuli cuius $emidiameter $it media linea duæ lineæ
ad prædicta puncta producantur, ip$&ecedil; erunt in proportione medi&ecedil;
ad adiectam.</P>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<P>H&ecedil;c propo$itio e$t admirabilis: & etiam de$crip$i, ut multa $ecre-
ta Dialecticæ potius aperiren&ttilde; quam quod huic propo$ito multũ
congrueret. Ideò potius $cholij cau$a po$ita e$t quam ip$ius tracta-
tionis: ut modũ demon$trandi magis quam id, &qring;d demon$tra&ttilde;, re-
$picere oporteat. Con$titua&ttilde; ergo (per uiam problematis) linea a b
& proportio c ad d, & fiat d e ad c, ut c ad d, & a b ad e ut b f ad d, &
ut g ad c, erit<03> g media inter a f & f b, quod licet $olum $upponatur
ab Appollonio, tam&etilde; facilè demon$tratur & à Commandino adie-
cta e$t demõ $tratio. Concurrant ergo ex a & b du&ecedil; line&ecedil; in aliquod
<marg>P<I>er</I> 29. <I>pri
mi, &</I> 4. <I>$ex
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
punctum, putat h ut $it a h ad h b uelut c ad d, dico quod $i ducat
h f quod ip$a erit æqualis g, ducatur b l æquidi$tans a h, & quia
<marg>P<I>er</I> 22.
<I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
ex $uppo$ito a h ad h b, ut g ad b f, erit b h ad h a, ut b f ad g, & quia
trianguli a h f & b l f $unt $imiles erit proportio a h ad b l, ueluti a f
<marg>P<I>er</I> 11. <I>quin
ti</I> E<I>lement.</I></marg>
ad fb, igitur per &ecedil;quam proportionem b e h ad b l, ut a f ad g, $ed ut
<marg>P<I>er</I> 6. <I>$exti</I>
E<I>lem.</I></marg>
a f ad g ita g ad b f ex $uppo$ito: & ut a f ad g, it a h a ad h b, ex $uppo
<foot>N $ito</foot>
<p n=>146</p>
$ito igitur ut a h ad h b ita h b ad b l, $ed angulus a h b e$t æqualis
angulo h b l, ergo triangulus a h b e$t
$imilis triangulo h b l, quare angulus
b h l e$t &ecedil;qualis angulo h a f, igitur du
orum triangulorum f a h, & fb h duo
<marg>P<I>er</I> 32. <I>pri
mi, &</I> 4. <I>$ex
ti</I> E<I>lement.</I></marg>
anguli unius a & f $unt æquales duo-
bus angulis, alterius igitur propor-
<fig>
tio a f ad fh re$picientium angulos &ecedil;-
<marg>P<I>er</I> 11.
<I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
quales ut a h ad h b re$picientium an-
<marg>P<I>er</I> 7. <I>quin-
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
gulum f, $ed a h ad h b ut c ad d, ex $up
po$ito igitur a f ad f h, ut c ad d, $ed ut c ad d ita a f ad g, ex $uppo$ito
ergo h f e$t æqualis g.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Cum ergo h&ecedil;c demon$tratio $it ex $en$u in uno puncto h, ideò ad
quælibet puncta traduci pote$t, quæ potero imaginari, & ita pri-
ma uo cabitur $en$us, $ecũda imaginandi: Et quoniã in demon$tran-
do non a$$umimus aliquid, quod $it proprium alicui puncto, ni$i
proportionem h a ad h b $imilem e$$e c ad d, ideo hoc pertinet ad
intellectum, & e$t tertium. Etidem dico $i k e$$et ultra h quod po-
te$t contingere. modò k a ad k b $it ut c ad d & k f $it &ecedil;qualis g idem
$equetur, & comprehenditur $ub tertio & pertinet ad intellectum,
& quoniam demon$tratur quod punctum k ubicun <01> $umatur, e$t
in &ecedil;quali di$tãtia à puncto f$cilicet per g lineam, erit $emper in peri-
pheria circuli, & hoc pote$t e$$e in infinitis locis $impliciter & extra
infinitum nihil e$t, igitur $ub hoc continetur conuer$um $cilicet,
quod a quolibet puncto circuli ductis lineis ad a & b ip$&ecedil; erunt in
<04>portione c ad d. Et ita ab$<01> principijs Geometricis concluditur
<04>po$itio Geometrica & hoc e$t <G>w_erila/mp<15>si<19></G> & fermè $ummum in-
tellectus humani. Et pote$t demon$trari Geometricè duobus uer-
bis. Quia. n. f$upponi&ttilde; æqualis g eo quòd h e$t in peripheria circu-
li erit media inter a f & f b, quare cum angulus f $it communis, erit
proportio a h ad h b, laterum re$picientium angulum f in utroque
<marg>P<I>er</I> 6. <I>$exti</I>
E<I>lem.</I></marg>
triangulo, uelut h f lateris in maiori ad f b latus in minori, quare
<marg>P<I>er</I> 4. <I>eiu$d&etilde;</I></marg>
cum ex $uppo$ito h f ad fb $it ut c ad d, erit a ad b, ut c ad d. Et uides
Apollonium, & Pappium quanta $uperflua adij ciant in hac $ecun-
<marg>P<I>er</I> 11. <I>$ex
ti</I> E<I>lem.</I>
I<I>n primo</I> C<I>o
nicor.</I> A<I>pol.
in</I> P<I>ræfat.</I></marg>
da parte demon$trationis, quæ e$t prima apud illos, & ducunt unã
lineam non nece$$ariam ex puncto b ad latus fh. Vt antiquorũ ple
ri<01> non tantum potuerint Geometria & ingenio, quæ ferunt excel
lenti$sima in illis, quantum nos ex Dialectica <G>w_e?ila/mp<15>si<19></G> inducen
tes. e$t enim $ingulare hoc exemplum.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Ex hoc etiã patet quod $i circulus duceretur $ecundum f k tran-
$iret<03> per m & n e$$et a m ad m b & a n ad b n, ut a h ad h b.</P>
<foot>S C H O-</foot>
<p n=>147</p>
<head>SCHOLIVM</head>
<P>Ex hoc pater qualiter ex uera demon$tratione $en$u o$ten$a per-
uenimus ad quotquot imaginando, inde intellectu abiectis condi-
tionibus non nece$$arijs facimus infinitum & uniuer$ale. Demum
$ine artis $pe cialis auxilio o$tendimus Iheorema uniuer$ale (quod
etiam poterat o$tendi Geometricè, $ed longè pulchrius e$t, ac $ubli-
mius per <G>w_erilamp<15>si<19></G>, qa hocip$o infinita alia do cemus generaliter
per $implicem compreh&etilde;$ionem o$tendere) $cilicet quod à quouis
puncto peripheri&ecedil; circuli, cuius $emidiameter e$t media proportio-
ne inter totam exten$am à centro u$<01> exterius, & partem quæ' e$t à
centro ad punctum de$criptum $ub proportione continua datarũ
linearum lineæ ductæ ex eo ad punctum exterius, & punctum de-
$criptum $unt in proportione datarum linearum.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquinquage$imaquinta.</P>
<P>Quadratorũ numerorũ <04>portionem & inuention&etilde; cõ$iderare.</P>
<fig>
<P>Primùm oportet $cire e$$e tres naturales
numerorum $eries, primam Euclidis iuxta
<marg>E<I>xemplũ</I> 1.</marg>
quamuis proportion&etilde;, in qua unum & ter-
tius & quintus, & ita uno $emper intermi$-
$o $unt quadrati. Primus quo <01>. 1. unum &
quartus & $eptimus & ita duobus intermi$sis $unt cubi. In $ecun-
do ordine e$t naturalis $eries numerorum, ex qua colligitur alia, &
ex illa bini quilibet $e $equentes con$tituunt numerum quadratũ.
In tertia numeri impares, qui $emper collati efficiunt quadratum.</P>
<fig>
<P>Sit ergo propo$itus numerus cui uelim
addere quadratum numerum, ut fiat qua-
<marg>E<I>xemplũ</I> 2.</marg>
dratus totus, accipe numerum quadratum
minorem illo quem uis, & detrahe à propo
$ito numero $eu quadrato $eu non re$idu-
<marg>E<I>xemplũ</I> 3.</marg>
um, diuide per duplum <02> quadrati quod
<*>axi$ti, &qring;d exit duc in $e fiet quadratus numerus, idem <03> additus
<*>umero propo$ito, faciet quadratum. Velut capio 16 qui e$t qua-
dratus, aufero 9 quadratum minor&etilde; relin quitur 7, diuido per 6 du-
plum <02> 9, exit 1 1/6 quadratum eius e$t 1 13/36 qui additus ad 16 facit 17 13/36
quadratũ cuius <02> e$t 4 1/6.</P>
<P>Ex hoc patet <04>po$ito quouis numero &qtilde;drato modus inuenien-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
di infinitos numeros quadratos qui cũ illo iuncti facient quadratũ.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Po$$em adducere demon$trationes omnium horũ, $ed reddere-
tur res longa cũ $int manife$t&ecedil; ex $eptimo octauo & nono Euclidis.
Exemplum $ecundum capio modò 14 qui non e$t quadratus, aufe-
ro 9, remanet 5, diuido per 6 duplum <02> 9 exit 5/6 quadratũ eius e$t 25/36
<foot>N 2 hic</foot>
<p n=>148</p>
hic additus ad 14 con$tituit 14 25/36 quadratum 3 5/6. Et ita 14 e$t diffe-
rentia duorum quadratorum, $cilicet 25/36 & 14 25/36.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Ex hoc habebis duo quadrata in datis terminis quæ different
dato numero, & e$t pulchrum. Velut uolo duo quadrata quæ dif-
ferant in 2, & <02> minoris $it inter 1 & 2, tunc capies per regulam i-
p$am 2, & auferes numerũ quadratum ita quòd re$iduum diui$um
per duplum radicis efficiat numerũ inter 1 & 2. Veluti capio 4/9 qua-
dratum, aufero ex 2, relinquitur 1 5/9 diuido per duplum 2/13 radicis 4/9 &
e$t 1 1/3 & exit 1 1/6, & hic e$t minor numerus cuius quadratum e$t 1 13/36
cui $i addantur 2, fient 3 13/36 numerus quadratus 1 5/6.</P>
<marg>C<I>or</I>_{m}. 3.</marg>
<P>Cum autem uolueris duo quadrata quæ differant in 100, tunc
per regulam datam $i auferes 1, peruenires ad numeros magnos &
fractos, & ideo melius e$t quia numerus e$t par, ut detrahas nume-
rum parem quadratum, ita quod re$iduum po$sit diuidi per duplũ
radicis, ut in hoc non detraho ne<01> quia remanet impar, nec 16 quia
84 re$iduũ non põt diuidi per 8 ita ut exeat integer numerus, ergo
detrahã 4 & relinque&ttilde; 96, diuido per duplũ radicis quod e$t 4 exit
24, cuius quadratum &qring;d e$t 576 addito 100 facit 676 quadratũ 26.
Et ita ex 433 non auferam $ed 9, quia relinquetur 24 qui pote$t diui-
di per $e, duplum <02> 9 & exit 4 cuius quadratũ e$t 16, addito 33 fit 49.</P>
<P>Secunda regula, cum uolueris propo$ito uno numero quadra-
to illum diuidere infinitis modis in duos numeros quadratos, cape
quemuis numerum quadratum per primum exemplum regul&ecedil; pri
mæ, & cum eo diuide numerum propo$itum, & qui proueniet erit
quadratus, hũc ergo duces in partes numeri quadrati qu&ecedil; $unt nu-
meri &qtilde;drati, & fient duo quadrati numeri, & illi compon&etilde;t numerũ
quadratũ prior&etilde; quem diui$i$ti. quia multipli catio fit per eo$d&etilde; nu-
meros qui $unt partes diui$oris. Velut uolo facere de 4 duas partes
qu&ecedil; $int &qtilde;drati numeri, capio numerũ &qtilde;dratũ qui cõpona&ttilde; ex duo-
bus &qtilde;dratis, uelut 25, diuido 4 per 25 exit 4/25 hũc duco <10> 9 & 16 &qtilde;dra-
tos numeros cõponentes 25 fiũt 1 11/25 & 2 14/25 &qtilde;drati 1 2/5 & 1 3/5 Et hi &qtilde;drati
cõponunt 4. Et ita po$$es diuidere infinitis modis, puta per 17 13/36 &
per 169. Tertia regula cum unus numerus additus
<fig>
primo & detractis à $ecũdo facit ambo quadrata, id&etilde;
numerus coniunctus cum differentia illorum nume-
rorum & detractus à primo & additus $ecundo facit
eo$dem numeros quadratos, ueluti capio 10 primum
3 $ecundum 6 additus ad 10 & detractus à 7 efficit 6
& 1 quadratos dico quod iunctus 16 cum 3 differen-
tia 10 & 7 fit 9, qui detractus à 10 & additus ad 7 effi-
cit 1 & 16 numeros quadratos priores.</P>
<foot>SCHO-</foot>
<p n=>149</p>
<head>SCHOLIVM</head>
<P>Sunt & alij modi plures faciendi huiu$modi, $ed nõ $unt ad eò ge
nerales, & nihilo minus $unt magis confu$i, & non aliquid plus.</P>
<P>Quarta regula, cũ uolueris numerũ aliquem non quad. qui bifa
riã compona&ttilde; ex duob. &qtilde;d. uelut 10 ex 25, & 25 & 49 & 1,
<fig>
& $uma&ttilde; a b numerus quad. diui$us in $upplem&etilde;ta, ita <09> c
d $it portio minor eiu$modi, ut adiecta illi æ&qtilde;li c d gnomo
cir cũ$criptus c k l cũ f&qtilde;drato, $it &ecedil;&qtilde;lis a b &qtilde;drato, detractis
igi&ttilde; c e & e d, æ&qtilde;libus erunt duo $upplem&etilde;ta c k l cũf qua-
drato &ecedil;qualia duob. $upplem&etilde;tis a b cũ &qtilde;drato h g. Maio-
ra aũt $upplem&etilde;ta excedũt minora in duplo quad. c d igi&ttilde; detractis
minoribus $upplementis cõmunibus, erit duplũ quad. c d cũ f qua-
drato &ecedil;qualia h g &qtilde;drato. Ergo <04>po$ito numero, putà 3 ducam in $e
fit 9, ducã 2 minor&etilde; in $e fit 4, duplicabo fit 8, detraho ex 9, relinqui&ttilde;
1 numerus &qtilde;dratus, igi&ttilde; dicã &qring;d 3 cũ duplo 2, & erit totũ 7, e$t unus
numerus, alter <02> 1. 1. 1, & horũ &qtilde;d. cõponunt 50, duplũ &qtilde;d. 5. Et $imi
liter capio 6 &qtilde;d. 36 duplũ &qtilde;d. 4. 32 differentia 4, numerus &qtilde;d. 2, ideo
6 cũ duplo 4, & e$t 14, e$t unus numerus, alter 2, quorũ &qtilde;d. $unt 200,
dimidiũ e$t 100 &qtilde;d. 10 cõpo$iti ex 6 & 4. Et ita capio 9, &qtilde;d. eius 81 du
plũ &qtilde;d. 6. 72 differentia 9 numerus &qtilde;d. igi&ttilde; cum duplo 6, & e$t 21, e$t
unus illorũ, alter 3 &qtilde;d. 450, duplũ 225 &qtilde;d. 15, qui con$tat ex 9 & 6. Et
ita capio 11 &qtilde;d. cuius e$t 121, duplũ &qtilde;d. 6 e$t 72 differentia, 72 & 21 e$t
49 numerus &qtilde;d. 7, igi&ttilde; 23 qui con$tat ex 11, & duplo 6 numeri mino
ris e$t unus numerus, alter e$t 7 &qtilde;d. quorũ $unt 578. duplũ 289, &qtilde;d.
17, qui con$tat ex 11 & 6. Quinta regula, per hoc inueniemus infini
tos numeros &qtilde;d. cõponentes 32, nam cũ 32 $it duplus &qtilde;d. diuidã <10>
unum aggregatũ ex inuentis puta 578, & quia ambo ex $uppo$ito
$unt dupli ad &qtilde;d. qui <04>ueniet erit &qtilde;d. $cilicet 16/289, duc in numeros &qtilde;-
dratos qui componunt 578, & $unt 529 & 49, & fient 2 206/289 & 29 83/289,
& hi iuncti fiũt 32, quia $unt multiplicatæ partes numeri, per quem
e$t <*>iui$us numerus. Et ita poteris diuidere 32 in infinitos alios &qtilde;d.</P>
<P>Sexta regula, ponamus modò &qring;d uelim diuidere 10, cõpo$itũ ex
duob. &qtilde;d. 9 & 1, & non duplũ numero &qtilde;d. ita &qring;d $it diui$us in alios
duos: ducã 10 in 25 cõpo$itũ ex duob. &qtilde;d. fit 250/25, at 250 cõponi&ttilde; aliter
ex duob. quad. <08> 225/25 & 25/25, $cilicet 169/25 & 81/25, id e$t 6 19/25 & 3 6/25, qui $unt &qtilde;d.
2 3/5 & 1 4/5, & ita uolo diuidere 13 in duo alia &qtilde;drata <08> 9 & 4, duco 13 in
25 & fit 325/25, qui nece$$ario cõponi&ttilde; ex 225/25 & 100/25, $ed ego uolo &qring;d cõpo
na&ttilde; aliter, uelut ex 289/25 & 63/25, & ita ex 11 14/25 & 1 11/25, qui $unt numeri &qtilde;d. com
ponentes 13, & <02> $unt 3 2/5 & 1 1/5, & in his opus e$t in du$tria, $cilicet ut
multiplice&ttilde; per numeros &qtilde;d. ut <04>ueniant numeri illi bifariã compo
$iti ex &qtilde;dratis. Vt uerò uideamus re$iduũ, <04>ponamus <09> uelim diui
dere 6 in duos numeros &qtilde;d, primũ $cire debes &qring;d non po$$unt e$$e
<foot>N 3 integri</foot>
<p n=>150</p>
integri exratione dicta, quia oporteret ut e$$ent ambo impares aut
pares, & $ic differr&etilde;t numero pari, ergo oporteret ut e$$et unus me-
dius numerus &qtilde;d. $unt & ali&ecedil; rationes, $ed ne<01> unus po$$et e$$e inte
ger, & alius fractus, nõ e$$et. n. 6 numerus integer: relinqui&ttilde; ergo ut
$int duo fracti: $ed in numeris fractis &qtilde;d. deductis ad minimas deno
minationes operũ, ut tam denominator <08> numerator habeat radi-
ces, ergo oportet &qring;d hoc $it in illis, & quia iuncti debent facere inte-
gros 6, nece$$e e$t ut denominator $it unus, & id&etilde; in utro<01>, et &qring;d nu
meratores $imul iuncti $int $excuplũ denominatoris, $i fracti deb&etilde;t
&ecedil;quipollere 6, ergo ille denominator cũ $it &qtilde;d. & numeratores am-
bo $int &qtilde;d. & $int $excuplũ denominatoris, oportebit inuenire nu-
merũ &qtilde;d. qui ductus in 6, faciat numerũ qui cõponi&ttilde; ex duob. &qtilde;d.
aut cõponi&ttilde; &ecedil;qualiter, ergo <04>portio medietatis ad medietat&etilde; 6, e$t
ueluti totius ad 6, $ed totu continet 6 in &qtilde;d. quia ex 6 in &qtilde;d. fit totũ,
ergo ex medietate in &qtilde;d. idem fit medietas, $ed medietas e$t nume-
rus &qtilde;d. ergo 3 e$$et numerus &qtilde;d. &qring;d e$t fal$um, oportet igi&ttilde; ut nume
ri illi $int inæ quales, & ut 6 diuidatur in duas partes in&ecedil;quales, hoc
aũt fit diuidendo quemlibet numerũ parem, qui cõponi&ttilde; ex duob.
numeris &qtilde;d. nam $i e$$et impar, nõ po$$et <04>dire numerus integer, &
cũ <04>uenerit numerus &qtilde;d. ille erit qu&etilde; qu&ecedil;rimus, nã diui$o 6 per to-
tum illũ numerum, inde &qring;d <04>uenit multiplicato per numeros &qtilde;d,
cõponentes illum numerũ <04>ductum, <04>ducun&ttilde; partes 6, quæ erũt
numeri &qtilde;d. quia denominator utriu$<01> partis ex $uppo$ito e$t nume
rus &qtilde;dratus, qui multipli catus e$t per 6, & numeratores $unt nume
ri &qtilde;drati, qui cõponebant numerũ productũ, et tales partes &ecedil;quan&ttilde;
6, quia numerus <04>ductus componi&ttilde; ex numeratoribus, & produ-
ci&ttilde; tale cõpo$itum ex 6 in denominator&etilde;, & hic e$t diui$us per deno
minator&etilde;, ergo <04>uenit 6, $i e&mtilde; multiplicato 3 in 4 fit 12, diui$o 12 per
4, exit nece$$ario idem 3. Pro colligendo ergo numeros omnes, qui
cõponuntur ex &qtilde;dratis, <04>pones tibi $eriem &qtilde;d. omniũ, & inde iun-
ges, & diuides per 6, & cũ prodierit &qtilde;dratus, inueni&ttilde; denominator,
& numeri cõponentes ip$um erunt numeratores, et $uppo$iti deno
minatoribus cõ$tituent partes. Vt uerò cogno$cas, ex quibus po$-
$it componi primum ex imparibus, non oportet a$$umere ni$i 135,
quia 7 diui$um per 6 relin quit 1, & 9 diui$um per 6, relinquit 3, & 35
diui$um per 6 relinquit 5. ergo non pote$t componi numerus im-
par, qui diuidatur per 6, ut $up er$it impar alius quàm 1. 3. 5. $ed 1 & 3
& 5, & 5 componunt 4 & 1, & 1 & 3 & 5 componunt 2, $cilicet abie-
cto 6, ergo tales numeri &qtilde;drati $i $int impares, uel ambo terminan-
tur in 3, ut 9 & 81, qui faciunt 90, uel in 1 & 5, $ed nullus numerus
quadratus diui$us per 6 terminatur in 5, quia 1 ductum in $e produ-
cit 1, & 3 pro ducit 3, & 5 pro ducit 1, ut 5 in 5 facit 25, & 11 in 11 produ-
<foot>cit</foot>
<p n=>151</p>
cit 121, quibus diui$is per 6 $upere$t 1. Quod etiam $ic demon$tratur
de 5, & compo$itis à 5, nam diui$o 5 in 3 & 2, quadratum eius cõpo-
nitur ex duplo 3 in 2, in quo nihil $upere$t, $i diuidatur per 6, & ex
quadrato 3, quòd e$t 9, in quo $upere$t 3, & ex quadrato 2 quod e$t
<marg>P<I>er</I> 4. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
4, $ed iunctis 4 & 3, & abiecto 6 $upere$t 1, ergo 5 in 5 ductũ, & diui
$o producto relin quitur 1. Et $imiliter capio 17, et componi&ttilde; ex 12 &
5 quadratum, ergo 17 componitur ex quadrato 12, in quo nihil $u-
pere$t, & duplo 5 in 12, in quo etiã nihil $upere$t, $i diuidatur per 6:
& ex quadrato 5, in quo $upere$t 1, ergo in nullo numero cõpo$ito
ex 5 & 6, uel compo$itis ex 6, poterit produci numerus, qui diui$us
per 6 relin quat 5, igitur ne<01> talis numerus potérit cõponi ex duo-
bus quadratis, in quib. $uper$it 5 & 1, quia nullus e$t, in quo $uper-
$it 5 facta diui$ione per 6. Ex quo colligitur una regula: quod $i quis
dicat multiplicaui 27 in $e, et diui$i per 13, uellem $cire quid $upere$t,
dico quod $ine multiplicatione et diui$ione poteris hoc $cire ex de-
mon$tratione dicta, diuide ergo 27 per 13, & relin quitur 1, duc in $e
fit 1: dices ergo, quod $upererit 1, & ita $i ducerem 28 in $e, & diuide-
rem per 11, dico quod $upererit 3, nam diui$o 28 per 11, relin quitur
6, duc in 6 fit 36, diuide per 11, relin quitur 3, ut dictum e$t, & tantum
relinqui&ttilde; ducto 28 in $e & fit 784, & diui$o per 11. Reuertendo ergo
ad propo$itum, pater quod ex duobus tantum numeris imparibus
quadratis pote$t conflari ille numerus, quorũ radices diui$æ per 6
relin quunt 3. Sed de paribus uel $upere$t 2 uel 4 uel nihil, $ed &qtilde;dra-
tum 2 e$t 4, & &qtilde;dratum 4 diui$um per 6 etiam relinquit 4, ergo ne<01>
ex duobus numeris, in quibus $uper$int 2, ne<01> in quibus $uper$int
4, ne<01> in quibus $uper$int in uno 2, in altero 4 poterũt quadrata, in
quibus $emper $upererit 4, & iuncta faciunt 8, in &qring;$upere$t 2, cõ fla-
re numerũ dictũ $eu quæ$itũ, qui po$sit diuidi <10> 6: ne<01> ex &qtilde;d. duo-
rũ num&etilde;rorũ, in quorũ altero nihil $uper$it in reliquo $uper$it 2 uel
4, quia in aggregato &qtilde;dratorũ $emper $upererit 4. Ergo relinqui-
tur quod ille numerus componetur ex duobus quadratis, uel impa
ribus, quorum latera diui$a per 6 relinquunt 3, uel ex duobus pari-
bus, quorum latera diui$a per 6 nihil relinquant. Oportet igitur
inuenire duos tales numeros quadratos numerorum imparium, in
quibus $uper$it 3, $i diuidantur per 6, aut parium in quibus nihil $u-
per$it, quorum aggregato diui$o per 6 prodeat numerus &qtilde;dratus'.</P>
<P>His ui$is dico, quod con$tat radices talium numerorum opor-
tere e$$e in imparibus per additionem 6 incipiendo à 3, ut $int
3. 9. 15. 21. 27. 33. 39. 45. 51. & $ic deinceps: in paribus au-
tem per additionem eiu$dem 6 incipiendo à 6, uelut 6. 12.
18. 24. 30. 36. 42. 48. 54. 60. Dico ergo quod diui-
$o numero illo compo$ito per 6 in imparibus exibit numerus,
<foot>N 4 qui</foot>
<p n=>152</p>
qui diui$us per 6 $upererit 3, & in paribus qui poterit diuidi per 6.
Quia componun&ttilde; ex huiu$modi: uelut 3 in $e facit 9, & 25 in $e facit
225, qui iũcti faciũt 234, diui$o 235 per 6 exit 39, qui iterũ diui$us <10> 6
$upere$t 3, & $imiliter capio 6 & 12, quorũ &qtilde;drata $unt 36 & 144, &
aggregatũ 180, qui diui$us per 6 exit 30, qui iterũ pote$t diuidi per
6. Et hoc quia quilibetillorũ pote$t diuidi per &qtilde;dratũ 6 in paribus,
ergo aggregato diui$o per 6 &qring;d prodit, iterũ poterit diuidi per 6.
Et in imparibus quo dlibet &qtilde;dratorũ exuperat $upra $enarios in 3,
igi&ttilde; aggregatũ diui$um in 2 pariet numerũ qui diui$us per 3, exibit
numerus impar cõpo$itus ex $enarijs & 3. Illud ergo quadratũ, &qring;d
<04>dibit, uel erit cõpo$itum ex $enarijs, uel $upererit 3. Sed cũ 3 nume
ret 6, ergo tres &qtilde;drati numeri $cilicet duo, qui cõponunt numerũ,
<marg>P<I>er</I> 29. <I>$e-
ptimi</I> E<I>lem.</I></marg>
& qui <04>dit per diui$ion&etilde; 6, erunt cõpo$iti inter $e, ergo & radices il
lorum. Igi&ttilde; radix numeri &qtilde;drati, qui <04>uenit diui$o aggregato qua-
dratorũ per 6 e$t ex eod&etilde; ordine impariũ, $i impares numeri &qtilde;drati
fuerũt, aut pariũ $i pares. At hoc e$$e nõ pote$t, nã fracti illi numeri,
qui erũt radices, nõ erũt minimi, $ed diui$i per 3 o$tendent minores,
quod e$t contra $uppo$itum, quare nullo modo 6 pote$t diuidi in
duos numeros quadratos, ne<01> integros, neque fractos, quod erat
demon$trandum. Habes igitur ex hoc demon$trationem quando
nõ po$sit diuidi, & quado po$sit, quod po$sit, & quomodo $imul.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquinquage$ima$exta.</P>
<P>Horologiorum tempus multiplicare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Contingit quando <01> &qring;d horologiorũ tem
<fig>
pus breue e$t, uolumus aũt maius efficere: id
duob. modis po$$umus, quorũ unus diffici-
lior e$t $ed perpetuus, & longè nobilior, nam
grauitas ponderis uer$atilis efficit quid&etilde; tar-
dior&etilde;, $ed di fficilius mobil&etilde;, & ob id grauio-
re põdere in digent&etilde;. Sit ergo rota a b uer$ati-
lis, quæ certam men$uram exigit <04> quacun<01> funis parte corre$<10>on
dentis uni denti ex centum, in quos di$tincta $it, curriculum aũt c d
quin<01> dentiũ, per &qring;drota $exaginta dentes hab&etilde;s circumuolua&ttilde; in
cõuer$ione, igi&ttilde; prim&ecedil; rot&ecedil; uities circumfere&ttilde;, $ecũda d&etilde;tes<03> M. CC.
rur$us ad hãc $ecundã tertia necta&ttilde; cum curriculo $ex dentiũ, at<01> in
ea d&etilde;tes $eptuaginta duo, ut in una cõuer$ione $int xiiij cccc, dentes
igi&ttilde; tot dentes in una cõuer$ione prim&ecedil; rot&ecedil; circumuoluentur. Iam
uerò tempus illud poterit duplicari ac triplicari iuxta tarditat&etilde; tem
poris uer$atilis: quãto igi&ttilde; pondero$ius fuerit illud t&etilde;pus, tanto tar-
dius mouebi&ttilde;, pauciores <03> circumuolutiones nece$$ari&ecedil; erũt ad ex-
pl&etilde;dam unam di&etilde;: id e$t horas 24, $ed hoc in cõmodi accedet, quòd
reuolutio indicis tanto tardior erit, ut nõ iu$tè o$ten dat horas: pro-
<foot>po$itum</foot>
<p n=>153</p>
po$itum igitur e$t, ut pondera tardius ferantur, index aũt, & qu&ecedil; ad
indicem $equuntur horarum demon$trationes celerius aut eodem
modo ferantur. Ponamus ergo po$t<08> eadem e$t ratio celerioris &
æqué uelocis, ponderis aũt tardius de$cendentis, aut cõtrà tardio-
ris, aut æqualiter cir cumducti in dicis, celerioris aũt de$cen$us pon-
deris, quod ad nullam utilitat&etilde; profuturum uideo. Sit ergo ut pon
dus uelim tardius de$cendere, rotam aũt &ecedil;qualiter circumferri, dico
quod ex tempore mobili $eu uer$atili (& e$t ferrum, quod in $um-
mo horologij citra ultra<03> fer&ttilde; tam in horologijs ponderum <08> mo
læ) id fieri non pote$t: nam quantum tardabitur rota tertia $ecunda
& prima, at<01> ob id de$cen$us ponderum, tantum remorabitur rota
prima quæ indicem o$tendit, ergo tantum index tardabitur quan-
rum põdera, & ut uno uerbo dicam, cùm ead&etilde; rota index circumfe-
ratur, & põdus de$cendat, quantũ unum tardatur tantum & aliud.</P>
<P>Secundus modus e$t, ut rota una totum tempus cum indice in ui
gintiquatuor horis circumuoluatur, & currulis in quo funis minor
fiat: nece$$e e$t igi&ttilde;, ut circumuoluta rota aut $emel aut bis, &ttilde;er, qua-
ter decies, & circumuolua&ttilde; pleno cir cuitu index, et $ine errore: quo-
niam tempus & dentes men$uræ re$pondent: igitur $ub ei$dem cir-
cuitibus numero eodem<03> tempore minus ex fune de$cend&etilde;t in cur
ruli paruo <08> magno: quare mutatione indiget currulis, aut ut funis
circumuoluens rotam curriculum habeat annexũ rotæ o$ten denti
horas, in qua pauciores $int dentes: nam in eodem tempore, & cir-
cuitu paucioribus uicibus circumuoluitur rota funis quæ grauita-
te temporis, & multitudine dentiũ certam
<fig>
$eruabit men$urã. Sed in hoc nece$$e e$t gra
uius efficere pondus, aut leuius t&etilde;pus quo-
niã funis debilius circumuertit rotã: minus
tñ tardè <08> $it <04> paruitatis circuitus ratione.</P>
<P>Tertius modus facilior e$t, & magis com
p&etilde;dio$us: Sit horologium a b c, in quo rota
d quæ funem cõtinet ba$is horologij e f, cui
firmiter $int app&etilde;$&ecedil; du&ecedil; trochle&ecedil; g & h, & fu
nis una parte tro chle&ecedil; appen$us in k, duca&ttilde;
ad inferiorem aliam tro chleam lin$eratur<03>
ibi orbiculo $uo, & redeat à dextra $uperius
in$era&ttilde;<03> orbiculo $uperioris tro chle&ecedil;, dedu
ca&ttilde;<03> uer$us $ini$trã: at<01> ibi de$cend&etilde;s habe
at põdus tractorium in m, deduca&ttilde;<03> $upra
ad rotã horologij d, et cir cumuolutus exeat
ip$um, & de$c&etilde;dat ad tro chleãn, $ub <03> ea circumuolutus iterũ a$cen
<foot>dat</foot>
<p n=>154</p>
dat à dextra parte, et circumuoluatur h co chle&ecedil; rediens ad $ini$tram
ibi<03> de$cendens connectatur tro chleæ in inferiori in o, cuius imæ
parti annectatur pondus remorans in imo annexum parte tro ch-
leæp. Cum ergo trahitur n tro chlea, trahitur funis adeò ut pon-
dus m, tandem a$cendat cum tro chleal prope k: quia ergo in duo-
decim horis pondus m de$cenderet per k l funem reuolutionibus
circa d rotam dicamus uiginti, ergo $i debet de$cendere à k ad l, per
funem duplicatam k l cum ip$am nece$$e $it obequitantem d reuo-
lutionibus quadraginta circumuolui d, nam tota o h n d m g l k lon
gè maior e$t duplo k l, nece$$e e$t m de$cendere tardius quàm in du
plo temporis, quo de$cenderet per rectum funem k l, quod erat de-
mon$trandum. Et hanc appendicem uidi apud Cæ$arem Odonum
Apulum medicum, uirum elegantem lepidi<03> ingenij. Memento
uerò quod ubi orbiculi non cederent funi, uel quia duriores in cir-
cumuolutione, uel quia latius exciperent illum reduplicato fune
circa illos omnin o circumducuntur, $ed difficilius ideò egent gra-
uiori pondere.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquinquage$ima$eptima.</P>
<P>Horologiorum molarium rationem o$tendere.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sunt horum duo genera primum, & anti
<fig>
quius licet multo po$terius eo quod pon-
deribus ducitur, quod funiculo ex inte$ti-
nis ouium $eu fidibus liræ agitur. Sit igitur
axis f k erectus $uper plano, cui per longum
coniuncta mola multiplicis $piræ in fine, cu
ius cannectatur ferreo circulo, qui habeatur lo co cap$ulæ b c, quæ
circumuolui po$sit: huic circũductus funis d e multipliciter in pun
cto g, $it autem e h in modum pyramidis $en$im in acutum, $ed non
ualde per $pirã exculptam de$inentis, cui rota in uertice in$erta den
$iculo, & uertatur h e, colligens funiculum tractum in $pira uer$us
apicem: unde funiculus circumuoluet b g d, cap$ulã uer$us c, traher
ergo molam, & con$trin get uiolenter quãtum fert longitudo funis
quæ circumuolui pote$t a b e ad h: & cum trahitur in d eremittitur,
non pote$t mola $tatim retrahere reluctantibus denticulis h l rotæ,
& alijs quæ implicantur curriculo m, a igitur mola con$tructa uio-
lenter mouet b g d, cap$ulam motu contrario à c in d & in g & in b,
quare funis d e trahitur, & trahit e h illum circumuoluendo contra-
rio motu priori, is mouet denticulo rotam h l, illa per curriculum in
aliam rotã, & $ic deinceps donec tempus moueatur, & rota indicis.
Hic ade$t cap$ula, & quod circumuertitur à claue non e$t axis mol&ecedil;
$ed extra molam, $cilicet e h. Et quoniam hac ratione quanto mola a
<foot>magis</foot>
<p n=>155</p>
magis explicabi&ttilde;, tanto lentius trahet, & uertet e h, ideò hoc ex $tru
ctura auxilium præ$tatur, ut funis in inferiore parte cõplexus latio-
res orbes, & è regione tanto uehementius uertat e h: & ita uis quæ
remittitur ob molæ laxitatem, augetur tantundem ob $itum & ma-
gnitudinem $pirarum ut di$tantiorum $ua extremitate ab hypomo
chlio, quod e$t axis coni e h, $eu in$tar axis.</P>
<P>Alterum genus horologiorum cum mola $ine fune loco cap$ul&ecedil;
habet rotã plano $ub $tratam, plenam denticulis axis, quo circum-
agitur uiolenter, non e$t extra molam, $ed ei annexa e$t mola intus,
exterius aũt rot&ecedil;; ergo circumducto axe mol&ecedil; uim patitur circulus
exterior, $ed non moue&ttilde;, quoniam clauo impedi&ttilde;. Vbi mola quan-
tum decet con$tricta e$t $ublato clauo $tatim $ecum trahit rotam, &
illa curriculũ rotas <03> alias, & tempus agitur, & index uertitur. Sed
in hoc idem e$t in commodum $ine remedio
<fig>
quod fuit in priore. Vbi enim cœperit laxa-
ri mola tanto tardius progrediuntur rotæ
at<01> index. Veluti axis a b cui $ecun dum lon
gitudinem molæ caput interius annexum
e$t altero circulo rotæ in c d curriculum rotæ e, implexum rotæ f
clauus rotam retinens, donec circumducto a b mola con$tringa-
tur, & latus eius trahat rotam ex c. Inde $ublato clauo circulus, $eu
rota trahitur ex c in g, & in famola, quæ etiam $ecundum eandem
partem circumuoluta e$t: igitur d circumagetur à rota & reliqua.
Sed ut dixi con$tructio hæc non $atisfacit.</P>
<P>Aliam ergo oportuit excogitare qu&ecedil; huiu$modi e$t. Sub axe a b,
qui cir cumuertitur ad molam contrahendam rotam, collocant par
uam quæ e$t, ut ita dicam, pars axis ima cui in$eruntur dentes in am
bitu ea ratione, ut dum mola ten ditur, premant denticulos interio-
res, atque ita elabitur, toties<03> circumducitur manente g f, donec
colligatur mola, quæ non ut in priore reliquo extremo ulli rotæ
affixa e$t, $ed columnæ in continenti
opercula horologij. Cum ergo mola
tenta retrahat axem a b contrario mo-
<fig>
tu, & ille rotam mobilem, quæ cum
non po$sit regredi propter auer$os
dentes, mouet rotam f g contrario mo
tu, quæ circumacta per denticulos $u-
os curriculum agit, & reliqua omnia
nece$$aria. Cur autem cum laxatur mo
la, & uertit lentius c e rotam coniun-
ctam, ideo<03> g f, & reliqua omnia nõ tardetur tempus, & circumuo-
<foot>lutio</foot>
<p n=>156</p>
lutio indicis cau$a e$t alia longè quàm in priore, nam mola longior
fit cra$sior, & durior adeo<03> robu$ta, & rotæ leues, ac tempus dum
laxata fuerit munus $uum iu$to in tempore obeant: quare nece$$e
e$t, ut ab initio uehementius agat, & celerius rotam cum axe qui <*>
hitur à mola. Ergo excogitarunt aliud genus retinaculi forma <*>o-
chleæ quod ab initio moratur uehem&etilde;ter axem ne circumagatur, et
quanto magis mola explicatur eo minus retinet impetũ illius <*>deo
ut uehementer retineat uehementem concitationem medio criter
moderatam, $egniter lentam, nullo modo iu$tam: ita fit, ut $emper
fermè æqualiter moueatur. Difficile e$t tamen ad unguem $eruare
moderationem, & æqualitatem, & magis etiam in his horologijs,
quæ uno circuitu molæ tempus lõgius exigunt: at difficilius etiam
efficere molam, quæ longo tempore duret, cum intenta ualde cele-
rius moueat rotas, & ob id breui ab$oluat circuitum, mollior au-
tem citò remittatur. Et ob id longior & non adeò
dura melior e$t. Ratio autem cochleæ ita $e habet.
<fig>
Circa axem molæ d deducitur cochlea a b c, quæ
dum laxatur mola cochlea mouetur ex b in c, at <01>
ita pariter laxatur uis cochleæ retinentis axem.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquinquage$imaoctaua.</P>
<P>Rationem indicis mobilis cum rota horarum numerus per ictus
indicatur explicare.</P>
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
<P>Hoc fieri pote$t in $ingulo genere horologij trium de$criptorũ.
Propterea $ufficiat de uno o$tendi$$e. Sed & in $ingulo genere $unt
multi modi, unius tamen reddidi$$e ration&etilde; $ufficiat. Hoc aũt qua-
tuor habet difficultates: prima ut horarum ictus conueniant cum
indice: $ecunda ut conuer$o indice conuertatur, & rota ictuum: ter
tia ut ictuum numerus cum numero indicis conueniat. Vnde mul-
ta $unt horologia, in quibus ictus unus $olum auditur $ingulis ho-
ris, at<01> hic modus facilis e$t: quarta cur in horum pleri$ que $i non
pul$ata $tatim hora transfera&ttilde;ur index, non ce$$at pul$atio: imò nec
retineri pote$t, donec pondus illud de$cenderit. Ergo primi & ter-
tij ratio hæc habeatur, cum rota qu&ecedil; indicis rotam circumagit, per-
uenerit ad horæ finem, denticulo $oluit aliam, eleuans obicem, illa
mouetur à pondere proprio alio, $cilicet ab illo quod tempus agit:
aut $i $it horologium molæ à mola alia propria, quæ malleos cir-
cumacta perpetuò mouet, at<01> motura e$$et $emper, donec pondus
ad terram de$cenderet: uerum dum mouetur de$cendit ferrum pro
quouis ictu quod in rotæ limbum incidit, & donec inciderit in eam
partem quæ lenis e$t dilabitur, nec retinetur, & ita eleuatur rur$us,
<foot>at uerò</foot>
<p n=>157</p>
at uero cum in concauam partem incidit retineri nece$$e e$t: at<01> ita
pondus non amplius de$cendit, rota $i$titur, malleus manet immo-
bilis: $patia ergo quæ $unt inter cauitates $unt $ecundum magnitu-
dinem proportionis numerórum horarũ, uel ad $ex, uel ad duode-
cim, uel ad uiginti-
<fig>
quatuor terminan-
tium. Ita quod, gra-
tia exempli, $it iam
in cauitate a duode-
cim&ecedil; horæ uncus, di
uidam circulum to-
tum in duas partes
æquales, quia in $in
gulis medietatibus
propo$itum e$t, duo
decim facere cauita-
tes <04> unco retinen-
do. Et quia in una-
qua<01> medietate o-
portet, ut pul$ent ho
ræ lxxviij, & præterea $int ibi $ex $patia cauitatum, quarum $ingulæ
contineant, gratia exempli, duo $patia unius ictus, ut certius retinea
tur uncus, erũt igitur $patia omnia nonaginta: diuidemus ergo me-
dietatem circuli utran<01> in nonaginta partes æquales in cipiendo
ab a, & dabimus b primæ hor&ecedil; quod $patium e$t unius tantum par
tis ex nonaginta, po$t de$cribemus c cauitatem duarum partium,
ita ubi ictum unum dederit uncus, retinebitur in c, pò$t accipiemus
duo $patia, & $int $ignificata d litera, po$t qu&ecedil; faciemus cauitatem e:
& ita uncus bis cadet in d, & pul$abunt duo ictus, & pò$t retinebi-
tur uncus in e. Et po$t accipiam $patium trium partium, quod $it f,
& po$t de$cribam cauitatem g duarum partium, at<01> ita procedam
u$<01> ad duodecim.</P>
<P>Ex quo manife$tum e$t pondus quod agit rotam uolæ non de-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
$cendere, ni$i dum horæ pul$ant, $ecus quie$cere.</P>
<P>Secundum, quòd de$cendit illud pondus plus & minus, iuxta
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
proportionem numeri horarum, ita quod quando pul$abit una ho
ra parum ualde de$cendet, cum $ex horæ $excuplo magis, cum duo-
decim adhuc longè magis, id e$t duplo plus quàm cum pul$ant
$ex horæ.</P>
<P>Secunda con$tructio hanc habetrationem: Cum n rota indicis
coniuncta fuerit rotæ, quæ transfert malleum, nece$$e e$t ut unà fe-
<foot>O rantur:</foot>
<p n=>158</p>
rantur: quinimò illud magis mirum de quo illi non mirantur quia
frequens e$t, $cilicet cur aut quomodo $i diui$æ $unt ut cir çũducto
indice non transferatur rota mallei, põdere tamen uer$ata rota in-
dicis in idem incidat, ut horæ quæ pul$u declarantur ad unguem
& in ei$dem $ectionibus cõueniant cum horis quas index o$ten dit.</P>
<P>Ver`m quia multis modis contingit ordinem horologiorum
peruerti: in $imilibus quidem $i hora indicis $imul & pul$us unà
circumferuntur, $ed tardius ambo index traducitur ad locum debi-
tum, inde ponderi aliquid additur. Si uerò antè proce$$erit quam.
Sol in dicet ablato pondere, $ines tempus fluere u$<01> ad indicis lo-
cum $ine motu horologij, pondus quo<01> ip$um minues. At $i pon-
dus pul$us in terram deuenerit uel propè, expecta donec $uper li-
nea index fuerit, inde trahe, ne<01>. n. excurret: nam $i dum index e$t in
medio horæ aut propè, traxeris pondus pul$us, non de$inet de$cen
dere, pul$abuntqúe horæ donec ad terram pondus deuenerit,
quòd $i iam in errorem incideris pul$ent<03> hor&ecedil; & de$cendat, pon-
dus, $en$im deducito indicem, cum. n. ad finem hor&ecedil; peruenerit ini-
tium<03> $equentis, quoniam ferrum in interuallum deuenerit rota &
pondus firmabitur. Inde $ublato põdere donec Sol ad horã quam
index mon$trat peruenerit, reddes pondus horologio. Si ergo ho-
ram pul$u eand&etilde; declarat quam index, bene e$t, $i non, paululũ uir-
gulã eleua qu&ecedil; e$t iuxta fores horologij pul$abit<03> $equens hora, id
uero toties repetes immoto in dies & $ublato, $i uereris ne extra in-
teruallũ ferrum feratur, & ob id excurrat rota pul$us horarũ, donec
hora pul$et quæ cum indice conuenit, $tatim<03> pondus quo horæ
pul$ant $ur$um retrahes. His quinque regulis u$um di$ces $imilium
horologiorum, unumquod<01> autem proprias habet: $ed duæ pri-
mæ omni horologiæ $atisfaciunt. Quòd $i hæ non $atisfa ciunt iam
horologium laborat: tum uerò illud di$$oluere oportet & deterge-
re & inungere, iuuat autem uel cap$ula uel linteo perpetuo pul-
uerem ab illo arcere. Quòd $i nec $ic re$tituitur nece$$e e$t di$$ol-
uere & antea con$iderare impedimentum, pò$t denticulum qui la-
borat, plerun<01>. n. aliquem inuenies huius modi, quem lima aut alia
ratione re$titues, $emper autém hi fermè re$tituuntur: at qui mola
aguntur præter rotarum & axium & indicum labores, molæ etiam
inæqualitati & defectibus $ubiciuntur, qui $i nimis uelo citer agunt
rotas cum difficultate re$tituuntur moderationi, $i lentius rarò uel
nunquam emendantur, uix etiam noua inducta mola.</P>
<P>Propo$itio cente$imaquinquage$imanona.</P>
<P>Nullus angulus rectilineus æqualis e$$e pote$t alicui angulo con
tento recta & circuli portione.</P>
<foot>Sit</foot>
<p n=>159</p>
<P>Sit angulus a & circulus b c, dico non po$$e aliquem angulum
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
contentum recta & circuli portione e$$e illi
<fig>
æqualem. $i enim e$$e po$sit, $it c b e. duca-
tur recta b d faciens rectilineum d b c &ecedil;qua
<marg>P<I>er</I> 23. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
lem a, erit igitur d b c &ecedil;qualis e b c per com-
munem animi $ententiam, $eu ergo b d ca-
dat intra circulum $eu extra, erit pars &ecedil;qua-
lis toti quod e$$e non pote$t. Sed ne<01> po-
te$t cadere recta $uper b e. namid e$t contra demon$trata ab Eucli-
<marg>23. E<I>lem.</I></marg>
de. At $i $it angulus c b e exterior $imiliter producta b d, $eu intus,
$eu extrà cadat, pars erit æqualis toti quod e$$e non pote$t.</P>
<P>Ex hoc patet quod nullus angulus peripheria circuli & recta cõ-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
tentus pote$t e$$e æqualis recto, quia rectus etiam rectilineus e$t.</P>
<P>Et rur$us nullus angulus peripheria &
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<fig>
recta contentus à recta linea per æqualia
diuidi pote$t, patet quia una pars e$$et an-
gulus rectilineus, alia contentus recta & pe
ripheria: i$ti aut&etilde; non po$$unt e$$e æquales,
quare nec prior potuit per æqualia diuidi.</P>
<P>Ex hoc etiam patet quod $pacium con-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg>
tentũ à peripheria circuli nulli angulo rectilineo &ecedil;quale e$$e pote$t.
nam dimidium e$$et æquale dimidio, quod e$t contra demon$trata.</P>
<head>LEMMA PRIMVM.</head>
<P>Inter duos circulos qui $e diuidant infinitæ lineæ duci po$$unt.
Inter circulos autem qui $e tangant, rectalinea duci non pote$t.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sint duo circuli a b & a c, qui $e diuidant
<marg>P<I>er</I> 11. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
in a, & ducatur ex centro inferioris d a &
<fig>
a d, & ad d a cathetus a e, dico quòd a e di-
uidet angulum b a c ducatur ex centro $u-
<marg>P<I>er</I> 15. <I>ter
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
perioris a c b quod $it f, fa cui cathetus a g,
quia ergo e a cadit infra a g, & inter a g &
<marg>P<I>er</I> 11. <I>ter-
tij</I> E<I>lement.</I></marg>
a b non pote$t duci recta, igitur e a cadit in-
<fig>
tra a c b circulum. Rur$us tangant $e circuli
c d & c e, & ducatur a b per centra eorũ qu&ecedil;
applicabit ad c, ex c ducatur cathetus c f &
quoniã c f contangit circulũ c e, ligitur, du-
cta quauis linea infra c f, cadet intra circulũ
c e. Non ergo poterit cadere inter c d & c e.</P>
<head>LEMMA SECVNDVM.</head>
<P>Dato angulo contento duabus peripherijs æqualiũ circulorum
$e $e cantium æqualem rectilineum illi fabricare.</P>
<foot>O 2 Sit</foot>
<p n=>160</p>
<P>Sit angulus a b c duabus peripherijs æqualium circulorum con
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
tentus, uolo ei æqualem rectilineum fabricare, ducantur b d & b e
<marg>P<I>er modum</I>
8. <I>primi</I> E<I>l.</I></marg>
æquales, ut pote facto b centro erit<01> angulus d b a æqualis angu-
lo e b c, addito utri<01> communi d b e ex peri
<fig>
pheria & recta, fiet angulus d b e ex rectis
æqualis a b c ex peripherijs, quod crat de-
mon$trandum.</P>
<P>Ex hoc patet quod reliqua duo $pacia
<marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg>
non po$$unt e$$e æqualia rectilineo. Nam
$patium b a c demon$tratum e$t æquale e$-
$e rectilineo, & b ad non e$t æquale rectili-
neo, igi&ttilde; $patiũ c a d non pote$t e$$e æquale
angulo rectilineo, nam $i $ic $it b a c &ecedil;quale
f g h & c a d h g k, igi&ttilde; totũ, b a d erit &ecedil;quale
<marg>P<I>er</I> 3. C<I>or</I>^{m}.
<I>præ$entis.</I></marg>
toti f g k &qring;d e$t contra $uppo$itũ, ideò ne<01>
b a e quia b a c & d a e $unt æ&qtilde;lia rectilineis
<10> $e, & etiã pariter accepta. Totum aũt $patiũ a e$t &ecedil;&qtilde;le quatuor, re-
ctis ergo re$iduũ, $cilicet $patia c a d & b a c pariter accepta $unt &ecedil;&qtilde;-
lia rectilineis $patijs, $ed $patiũ e a d non e$t æ&qtilde;le rectilineo, ergo <10>
demon$trata hic, nec b a e, nã $i $it, $it ergo b a e æquale h g k & quia
ambo $patia b a e & c a d $unt æ&qtilde;lia rectilineo ex demon$tratis, $it
ergo æqualia f g k, erit ergo ex communi animi $ententia $patium f
g h æquale $pacio c a d, quod e$t contra primam partem corrolarij.</P>
<head>LEMMA TERTIVM.</head>
<marg>P<I>er</I> 11. <I>pri
mi</I> E<I>lement.</I></marg>
<P>Inter duas rectas lineas $e tangentes circuli dati peripheriam
<marg>P<I>er</I> 3. <I>eiu$d&etilde;</I></marg>
ducere. Sit circulus datus a b rectilineus
<fig>
angulus c d e, uolo illum diuidere circuli
periferia data b f, duco perpendicularem
d g ex, d $uper d c, & facio g d æqualem a b
<marg>P<I>er</I> 15. <I>ter
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
& duco circulum per d qui $it d h qui cadet
infra d c & ob id etiam $upra d e, igitur di-
uidet angulum c d e, quare cum circulus d h $it æqualis circulo b f
<marg>C<I>or</I>^{m}. 6.</marg>
patet propo$itum.</P>
<P>Ex hoc patet quod infinitis modis pote$t diuidi angulus c d e
<marg>P<I>er</I> 1. <I>diff.
tertij eiu$d&etilde;.</I></marg>
peripheria b f, nam diui$o per rectam c d e linea d k per &ecedil;qualia & di
<marg>P<I>er</I> 9. <I>primi</I>
E<I>lem.</I></marg>
ui$o k d e per præ$entem peripheria b f, patet propo$itum quoniam
angulus c d e pote$tin infinitum recta diuidi, & ita $emper per peri-
pheriam, unde patet propo$itum.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>At<01> hæc omnia $equuntur de mente Euclidis, quæ tamen ui-
dentur difficillima creditu, quoniam anguli rectilinei, et ex periphe
<foot>ria</foot>
<p n=>161</p>
ria & recta $unt ex genere quantitatis continuæ, & quòd detur ma-
ius & minus & nunquam detur &ecedil;quale, uidetur ab$urdum ne dum
admirabile. Et maximè quod etiam anguli ex peripheria & recta
$unt diuer$orum generum inter $e & infinitorum. Pr&ecedil;terea i$tud re-
pugnare uidetur ip$imet Euclidi, dicenti duabus magnitu dinibus
<marg>1. P<I>ropo$.</I></marg>
<marg>10. E<I>lem.</I></marg>
propo$itis inæqualibus, $i de maiore earum plus dimidio detraha-
tur, at<01> iterum de re$iduo maius dimidio, & rur$us de eo quod re-
linquitur plus dimidio, nece$$e erit ut tandem minor minore quan-
titas relinquatur. Ne<01> illud argumentum uidetur concludere an-
gulus contactus, ex recta, & circuli circumferentia non pote$t recta
diuidi, & rectilineus pote$t diuidi, ergo rectilin eus $emper e$t ma-
ior angulo contactus, quia hoc contingit in angulo contactus pro
pter modum anguli, non paruitatem: $i cut etiam non ualet de figu-
<fig>
ra a lunari, & quadrangulo b. nam pote$t b diuidi
ab angulo ad angulum recta & a non pote$t, &
tamen a maius e$t quam b, cum contineat ip$am.
Proponantur ergo duo circuli a d e & a f g qui $e contingant in a, &
corum centra $int b & c & ducantur rectæ a f d & a g e & con$tat
&qring;d portiones a d & a f $imiles $unt,
<fig>
itemque a e & a g, ducta enim a b c
<marg>P<I>er</I> 11. <I>ter
tij</I> E<I>lement.</I></marg>
per centra circulorum ex contactu
tran$ibit per illa: quare anguli h a g
& h a e $untijdem & $imiliter h a f
& h a d ijdem, portiones ergo af &
a d item<03> a g & a e $imiles $unt: an-
gulus igitur g a e ex peripherijs &
<marg>E<I>x</I> 10. <I>diff.
tertij</I> E<I>lem.</I></marg>
e a d ex rectis $unt ijdem in puncto
a: $ed quod ad ba$sim maior e$t ba-
$is g e quam e d: hoc enim $uppono
quod per $e e$t manife$tum toties
diuid&etilde;do arcum d e ut fiat minor recta g e. Quia ergo $unt du&ecedil; ma-
gnitudines, quarum ter mini $unt ijdem ex una parte, $cilicet pun-
ctum a, ex alia autem unus e$t maior altero, $cilicet g e quam e f &
<marg>P<I>er</I> 1. <I>deci-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
a d e peripheria e$t maior recta a g e. Ergo per regulam dialecti-
cam $i $ub eadem proportione procederent, maius e$$et $patium
$emper inter peripherias quàm rectas. igitur angulus peripheria-
rum e$t maior angulo à rectis contento. Cum angulus non $it
ni$i quidam habitus propinquitatis linearum, $ed angulus con-
tactus ex recta & peripheria maior e$t contento ex peripherijs cum
habeat rationem totius ad partem, igitur angulus contactus e$t
maior dato angulo rectilineo.</P>
<foot>O 3 Propo-</foot>
<p n=>162</p>
<P>Propo$itio cente$ima$exage$ima.</P>
<P>Propo$ita linea tribus <03> in ea $ignis punctum inuenire, ex que
ductæ tres lineæ ad $igna $int in proportionibus datis.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit data linea a b c in qua puncta dicta & datæ tres line&ecedil; d e f, uo-
lo inuenire punctum, puta g ex quo ductæ tres
lineæ ad a b c puncta $int in proportione a g ad
<marg>P<I>er</I> 154.</marg>
g b, ut d ad e & g b ad g c, ut e ad f. Per pr&ecedil;ceden
<fig>
tia inuenio circulum ex cuius peripheria omni-
bus ex punctis ductæ lineæ ad a b $int in pro-
portione d ad e, & per idem circulum ex cuius
peripheria quælibet lineæ ductæ ad b c puncta
$int in proportione c ad f, $i igitur i$ti duo circu-
li $e $ecabunt in aliquo puncto puta g: liquet
quod lineæ ductæ ex g ad a b c, erunt in propor
tione d e f.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}_{m}.</marg>
<P>Ex quo liquet quod $i uoluero ducere ad tria puncta data, tres
lineas in continua proportione data d ad e, $ubijciam tertiam uel in
terponam, $i uoluero mediam. Et $i uellem, ut e$$et a g ad g b dupli-
cata ei quæ e$t g b ad b c, & uellem quòd proportio d ad a d f data
e$$et, oporteret inuenire duas medias proportione inter d & f, in de
operari cum una earum per modum propo$itum. Differt corrola-
rium hoc à propo$itione in hoc, quod in propo$itione non quæri-
mus ni$i proportionem g a ad g b & g b ad b c, non g a ad g c, ne<01>
comparationem proportionum: at in corrolario quærimus tres
proportiones g a g b & g c, & comparationem proportionum in-
ter $e, $cilicet æqualitatem.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$exage$imaprima.</P>
<P>Si fuerint duo trianguli quorum ba$es in eadem linea $int con-
$tituti & æquales & ad unum punctum terminati, & latus unum
commune inter reliqua quantita-
<fig>
te medium, nece$$e e$t angulum à
maioribus lineis contentum mi-
norem e$$e.</P>
<P>Sint duo trianguli a b c, a c d,
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
quales proponuntur, & $it a d ma-
<marg>P<I>er</I> 23. <I>pri
mi</I> E<I>lement.</I></marg>
ior a b dico angulum d a c e$$e mi-
norem. Si non fiat angulus d a c æ-
qualis ex alia parte, & oportet $i non $it minorut uel cadat a d $u-
<marg>P<I>er</I> 38. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
per a b & ducta a d ad &ecedil;qualitatem cadet infra b, ducta ergo d c erit
trigonus a d c maior a b c, quod e$$e non pote$t cum $int æquales.
<foot>Si</foot>
<p n=>163</p>
Si autem a d cadat extra a b ducatur d e: quæ $i cadat $upra b c uel
infra, cum totum $it maius parte erit a d e, ut prius maior a b c quod
<marg>P<I>er</I> 18. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
e$t contra Euclidem. Reliquum e$t ut d c cadat $upra b c: hoc au-
<marg>P<I>er</I> 23. <I>eiu$
dem.</I></marg>
tem e$$e non pote$t, nam cum $uppo$uerimus a b e$$e minorem a c
erit angulus a c b minor angulo a b c, quare a c b e$t minor recto, &
<marg>P<I>er</I> 13. <I>eiu$
dem.</I></marg>
ideò a c d maior recto, at a c d æqualis e$t a c d, alteri igitur a c d e$t
<marg>P<I>er</I> 4. <I>eiu$-
dem.</I></marg>
maior recto a c b minor, erit ergo pars maior toto.</P>
<head>LEMMA.</head>
<P>His demon$tratis quis dicere po$$et ex $uperius expo$itis quod
<marg>L<I>emmate</I> 3.
P<I>rop.</I> 159.</marg>
angulus rectilineus $emper e$$etmaior angulo contactus? quia an-
gulus contactus non pote$t diuidi ni$i obliqua linea, recti lineus
autem tam obliqua quam recta. Propter hoc exponantur circuli
<fig>
tres $e tangentes a b, a c, a d hac rati-
one ut a b, b c, c d $int æquales, erunt
<marg>P<I>er</I> 11. <I>ter
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
enim centra omnia in linea conta-
ctus, & ducatur a e f g recta quomo
<marg>P<I>er</I> 31. <I>ter
tij</I> E<I>lement.</I></marg>
dolibet: & erunt ductis lineis b c,
<marg>P<I>er</I> 32. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
c f, d g anguli e f g recti, quare om-
nes trigoni a b e, a c f, a d g, $imiles
<marg>P<I>er</I> 4. <I>$exti</I>
E<I>lem.</I></marg>
& ideo a e, e f, f g æquales, at<01> por-
tiones a g, a f, a e, iuxta proportio-
nem circulorum, quare a g, erit $ex-
quialtera a f & a f dupla a e, igitur
<marg>P<I>er</I> 10. <I>diff-
tertij</I> E<I>lem.</I></marg>
per præcedentem maior erit angu-
lus e a f, quam f a g, & a d a ex recta
<marg>P<I>er præce-
dentem.</I></marg>
& peripheria quam e a f, igitur augendo eadem ratione cum perue-
niamus ad angulum b a g qui fermè e$t recto æqualis cum deficiat
$olo angulo contactus, liquet angulum e a g e$$e longè maiorem
multis rectilineis. I$tud po$$et etiam demon$trari uia Archimedis
diuidendo arcus g a in h & f a in k bifariam ducendo <03> lineas re-
ctas g h & fk & ita diuidendo h a in 1, & k a in m bifariam, & ducen-
do rectas at<01> ita $emper appropinquando puncto a. Concludo er-
go quod angulus cõtactus ex recta & peripheria e$t maior multis
rectilineis. Cau$a autem erroris e$t quod multi exi$timarunt corro-
larium illud e$$e Euclidis cum non $it. Nam Euclidi $ufficit hoc
quòd angulus contactus nõ po$sit recta diuidi, nam eo utitur po$t
modũ in demon$trationibus. Eo uerò quod $it minor omnibus re-
ctilineis angulis non utitur, ideò etiam $i uerũ fui$$et nõ ad didi$$et:
quanto minus: cum uerum non $it, ideò fuit adiectũ ab aliquo qui
id&etilde; fore credidit nõ po$$e diuidi rectalinea & e$$e minus quocun<01>
quod recta linea diuidi po$$et, quod apertè ut dixi fal$um e$t.</P>
<foot>O 4 SCHO</foot>
<p n=>164</p>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Ratio autem quòd omnis angulus contactus indiuiduus $it, $eu
duorum circulorum, $eu circuli cum recta e$t, quoniam cum fuerint
duæ rationes contrariæ, & una perpetuò minuitur, alia manet ne-
ce$$e e$t, ut tandem, quæ minuitur, $uperetur ab ea quæ manet: cum
ergo circuli curuitas maneat, & angulus tendat in punctum perpe-
tua diminutione nece$$e e$t, ut curuitas circuli impediat diui$io-
nem rectè: $ed hoc habet duplicem obicem. Primum, quia nullus
angulus ex circumferentia & recta po$$et diuidi: hoc autem fal$um
e$t manife$tè, cum $olus ille qui fit ex contactu lineæ, quæ non di-
uidit circulum, diuidi non po$sit. Secundò, quod angulus conta-
ctus duorum circulorum $e exterius tangentium multo minus
po$$et diuidi angulo contactus interioris duorum circulorum,
quod tamen fal$um e$t: & hoc animaduertit Campanus no$ter, uir
acutus. Dico ergo quòd in his qui $e tangunt exterius, non fit diui-
$io ni$i $emel: & quamuis inclinentur mutuò, tamen in concur$u
non aptantur, ut cum obuiat rectæ aut cauæ parti circuli quia ne-
ce$$e e$t, ut accedat, in alio autem di$cedat: indicio e$t quod circu-
los $e exterius tangentes, in puncto facilè de$cribes, interius uix fie-
ri pote$t, $ed uidentur coniuncti
<fig>
per longum interuallum. Ad aliud
dico, quòd ille angulus ex recta &
peripheria conuexa circuli propter
di$ce$$um $eruat maiorem inclina-
tionem in quocun<01> puncto, quàm
$it acce$$us conuexæ partis exterio-
ris circuli.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$exage$ima
$ecunda.</P>
<P>Proportionem duorum orbium
<fig>
quorum diametrorum cõuexæ par
tis, & concauæ proportiones datæ
$int, inue$tigare.</P>
<P>Sint duo orbes a b c d & e f g h,
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
& $it proportio a d ad b c, data & e
h ad f g, data & rur$us a d ad e h, di-
co orbis proportionem a b c d ad
orb&etilde; e f g h e$$e datã. Quia. n. <04>por
tio a d $phær&ecedil; ad b c e$t ueluti ad di
metientis ad b c dimetient&etilde; triplicata, ideò cũ nota $it a d ad b c di
<marg>P<I>er</I> 18. <I>duo
decimi</I> E<I>lem.</I></marg>
metientiũ, erit nota etiã a d $phæræ ad b c $ph&ecedil;rã. quare orbis ad ad
$ph&ecedil;rã b c. nota e$t etiã <04>portio b c dimeti&etilde;tis ad a d & ad a d e h &
<foot>c h ad</foot>
<p n=>165</p>
e h ad f g, igitur b c proportio dimetientis ad f g dimetientem nota.
<marg>P<I>er</I> 22.
<I>quinti</I> E<I>lem.
&</I> A<I>lizam.</I></marg>
Quare $phæræ b c ad f g $phæram. atnota e$t proportio f g ad e h
dimetientium igitur & $phærarum: igitur nota e$t f g $phæræ ad or
bem e h, igitur cum nota $it proportio orbis ad a d $phæram b c, &
b c $phæræ ad f g $phæram, & f g $phæræ ad orbem e h, erit propor
tio orbis a d ad orbem e h nota, quod e$t propo$itum.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$exage$imatertia.</P>
<P>Proportionem uirium $tellarum per motus $uos indagare.</P>
<P>Mouentur $tellæ omnes ab Oriente in Occidentem die una, qui
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
motus fit à prima mente, quæ mouet: ideò quod ad hoc attinet non
e$t diuer$itas: uerùm in motibus ab Occidente in Orientem cũ $int
proprij, oportet con$iderare tempus, in quo circumuertũtur, & ma
gnitudinem ambitus, & inde magnitudinem orbis, qui circumagi-
tur, & horum trium facta comparatione digno$citur robur uirium
$tellarum & uitarum quæ mouent eas. Ponatur ergo, ut uelim pro-
portionem uit&ecedil; Saturni ad uitam Lunæ: erit ergo (ut docet Alphra
<marg>D<I>iff.</I> 21.</marg>
ganus) Luna, cum e$t in longitudine propiore, altitudinem habens
109000 M.P. & cum e$t in longitudine longiore 208500, tota igitur
dimetiens 417000 M.P. mane 218000 M.P. Igitur proportio $olida-
rum $phærarum e$t uelut 72511713 ad 10360232, remanebit ergo
proportio orbis ad $phæram elementorum, ut 62151481 ad
10360232, & e$t $excuplum fermè. Rur$us proportio dimetientis al-
titudinis Saturni ad contentum e$t uelut 2011 ad 1440, & e$t propè
201 ad 114, quare 67 ad 38, quare $phærarum ut 300000 ad 55000
ferme. Igitur ferè ut 60 ad 11. Rur$us proportio dimetientis $phæ-
ræ Saturni ad dimetientem $phæræ Lunæ e$t propè 313, & $phæra-
rum $olidarum 306 317 10. Perinde e$t. Quia ergo proportio $phæ-
ræ Saturni ad $phæram Lunæ e$t 30631710, & orbis Lunæ e$t 5/6
$olum $phæræ $uæ diuidemus 30631710 per 5/6, & exibit proportio
$phæræ Saturni ad orbem Lunæ 36758052, at quia proportio $o-
lidæ $phæræ Saturni ad contentum e$t ut 60 ad 11, erit $phæræ ad
orbem, ut 60 ad 49 re$iduum, diuidam ergo 36758052 per 60, exe-
unt 612634, & ducam per 49, id e$t per 100, fit 61263400, & diuiden
do per 2, exit 30631700, detraho 612634, relinquitur proportio or-
bis Saturni ad orbem Lunæ 30019066.</P>
<P>Iam uerò circuitus Saturni ad circulum Lunæ, proportio e$t 313,
ut ui$um e$t, Lunæ autem tempus per $ex ductum e$t 164 dies, Sa-
turni 177 anni propemodum, qui $unt dies 64649 diuide, duc
ergo 313 in 164, fiunt 51332. Idem ergo peragrat Luna in
51332 diebus, quod Saturnus in 64649, & e$t quo ad hoc agi-
<foot>lior,</foot>
<p n=>166</p>
lior, ut ita dicam, quarta parte: at Saturnus, ut dictum e$t, mouet or-
bem 30019066, $ed lentiùs quinta parte, detrahe illam fiet robur Sa
turni in comparatione ad Lunam 24015253.</P>
<P>E$t tamen Luna multo agilior ob propinquitatem, & ob uarie-
tatem luminis, & magnitudinem $uperficiei. Et etiam quod maius
e$t ob id quod defert ad nos uires omnium $yderum, nihilominus
quo ad uires uix e$t comparatio.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<marg>46</marg>
<P>Multum autem differt hæc propo$itio à $uperiore, nam in illa
quæ$iuimus uim uitarum ex proportione ad $ua corpora, quæ
quodammodo e$t quodammodo, non hic autem exponimus uim
uitarum ex earum operatione. Propterea $ubij ciemus breuiter alti-
tudinem proportiones in minore longitudine & maiori</P>
<table>
<row><col>Luna</col><col>in minore altitudine</col><col>51</col><col>in maiore</col><col>64</col></row>
<row><col>Mercurij</col><col>in minore</col><col>64</col><col>in maiore</col><col>167</col></row>
<row><col>Veneris</col><col>in minore</col><col>167</col><col>in maiore</col><col>1120</col></row>
<row><col>Solis</col><col>in minore</col><col>1120</col><col>in maiore</col><col>1220</col></row>
<row><col>Martis</col><col>in minore</col><col>1220</col><col>in maiore</col><col>8876</col></row>
<row><col>Iouis</col><col>in minore</col><col>8876</col><col>in maiore</col><col>14405</col></row>
<row><col>Saturni</col><col>in minore</col><col>14405</col><col>in maiore</col><col>20110</col></row>
</table>
<P>Stellarum fixarum propior 20110 longior non habetur. Et hæ
men$uræ $unt in comparatione ad $emidiametrum terræ. Et iuxta
id quod potuit $e cundum rationem haberi: nam demon$tratio $ola
e$t de altitudinibus Solis & Lunæ, & eorum magnitudinibus à
<marg>L<I>ib.</I> 5. <I>cap.</I>
14. 15. <I>&</I>
16.</marg>
Ptolemæo in magna compo$itione.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$exage$imaquarta.</P>
<P>Syderum proportionem in magnitudine o$tendere.</P>
<table>
<row><col>Luna ad terram comparata</col><col>1/39</col></row>
<row><col>Mercurij corpus</col><col>1/22000</col></row>
<row><col>Veneris</col><col>1/29</col></row>
<row><col>Solis corpus</col><col>166</col></row>
<row><col>Martis</col><col>15/8</col></row>
<row><col>Iouis</col><col>95</col></row>
<row><col>Saturni</col><col>91</col></row>
</table>
<P>Stellarum autem fixarum in$ignium unaquæ<01> etiam minima, $i
<marg>D<I>iff.</I> 22.</marg>
credendum e$t Alphragano, e$t centies maior tota terra, unde ca-
nem nece$$e e$t centies mille maiorem e$$e, e$t enim in eadem altitu||
dine, & dimetiens decuplus dimetienti $tellarum $ecundæ magni-
tudinis, quas ille in$ignes uocat: aliter Saturnus non tantus e$$e
po$$et, cum $it minimus a$pectu.</P>
<foot>Propo$itio</foot>
<p n=>167</p>
<P>Propo$itio cente$ima$exage$imaquinta.</P>
<P>Propo$itionem motuum omnium $tellarũ ad $olem con$iderare.</P>
<P>Videtur Sol qua$i Rex in Cœlo, nam omnes orbes cum illius
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
motu conueniunt, & uideturres admiratione digna his, qui non
nouerunt, quanta $it concordia omnium rerum, de qua infrà dice-
mus. Ergo Luna primum hoc habet, ut linea æqualis motu Solis
$emper media $it inter lineam æqualis motus Lun&ecedil; & loci maximè
inæqualitatis motus eius, ubi $cilicet tardi$simè mouetur, Veneris
autem & Mercurij ut motus æquales idem $emper $int cum motu
æquali, & locus cumloco ip$ius Solis ad unguem præterid quod
infrà dicemus. Trium uerò $uperiorũ ratio $ic cõ$tat ad Solem ut à
Prolem&ecedil;o ob$eruatũ e$t ex Hipparcho. In omnire$titutione cuiu$-
libet planet&ecedil; $uperioris numerus reuolutionũ Solis &ecedil;qualis e$t nu-
mero re$titutionũ planet&ecedil; $ecundũ motũ æqualitatis & in&ecedil;qualita
tis pariter acceptis. Velut Saturnus in annis quinquaginta nouem
die una & horis decem octo quinquage$ies $epties per motum in&ecedil;-
qualem ad ungu&etilde;, per æqualem autem duabus reuolutionibus par
te in$uper una & quadraginta quin <01> minutijs, quæ re$pondent di-
ei uni, & horis decem octo ex motu Solis, & ita bis Saturnus reuol
uitur $ecundum motum æqualitatis & quinquage$ies $epties per
motum inæqualem & $imiliter. Iupiter in annis 70, diebus trecen-
tis $exaginta, horis quatuor, $exaginta quin<01> reuolutiones in&ecedil;qua
les perficiet & $ex &ecedil;quales, deficientibus ex &ecedil;qualibus quatuor par-
tibus & dextante quod e$t quãtum peragraret Solin quatuor die-
bus, & dextante diei ad perfectionem $cilicet annorum $eptuaginta
at<01> unius. Martis quo <01> $tella in annis $eptuaginta nouem, & die-
bus tribus & horis fermè quatuor triginta nouem facit inæquali-
tatis reuolutiones: æqualitatis autem quadraginta duas, & in$uper
partes tres cum $extante, quas manife$tum e$t peragrari à Sole in
diebus tribus at<01> horis quatuor. Veneris quo <01> $ydus in octo an-
nis deficientibus diebus duobus & quadrante, inæqualitatis quin-
que perficit reuolutiones, æqualitatis autem tantundem ad un gu&etilde;
quantum Sol deficiente eadem parte $eu diebus duobus & qua-
drante. Mercurij quo <01> $tella in quadraginta $ex annis & una die
& hora una fermè quadraginta $ex fermè perficit reuolutiones æ-
qualis motus & in$uper gradum unum cum portione re$pondenti
portioni temporis, id e$t, horæ fermè uni: in æqualitatis autem cen-
$um quadraginta quin <01>. At<01> h&ecedil;c $unt manife$ti$sima et ut dixi ad-
miranda $unt, præterea alia minus generalia, aut minus manife$ta
aut non tanti momenti quæ con$ultò prætermitto, non e$t. n. locus
hic do cendi artes $ingulas $ed $olum ea tra ctandi quæ ad argumen
<foot>tum</foot>
<p n=>168</p>
tum pertinent. Igitur ut ad rem redeam. Solis cum octauo Orbe ea
ratio e$t, ut linea quam ille permeat eadem $it quam qu&ecedil; fix&ecedil; $tellæ,
non. n. ad eandem di$tantiam & mente conceptam ab æquinoctijs
de$cendentem ac æquidi$tantem mouetur, $ed ad eam $ecundum
quam $tell&ecedil; fix&ecedil; in octauo orbe mouentur in comparatione ad ecli-
pticam $uperioris orbis. Porrò de his at<01> huiu$modi in Paralipo-
menis diximus, ubi etiam docuimus quomodo $ecundum duos cir
<marg>L<I>ib.</I> 14.
<I>cap.</I> 7.</marg>
culos, qui $olum circa $uum centrum mouentur, punctus datus per
petuò in recta linea feratur.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$exage$ima$exta.</P>
<P>Proportiones mu$icas $uperpartientes in eas quæ particula una
tantum abundant reducere.</P>
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
<P>Ptolem&ecedil;i hoc inuentum fuit, ut & multa alia pr&ecedil;clara: ita<01> $ta-
tuendum e$t, primum uoces &ecedil;quales non concentum efficere, quia
diuer$æ non $unt, qu&ecedil; autem diuer$&ecedil; $unt, nihilominus proportio-
ne con$tant $implici$sima & multiplici, tales optimam efficiunt ar-
moniam. Eiu$modi $unt quæ in dupla $unt proportione, uocatur
autem diapa$on. 1. qua$i omnia comprehendens non à numero uo-
cum uelut diapente & diate$$aron à quatuor & quin <01> uo cibus. In
diapa$o. n. omnia cõprehendi uidentur. 1. omnes uo cũ differentiæ,
quanquã ex octo tantũ uo cibus con$tet. Pò$t $unt quæ in &qtilde;drupla,
unde bis diapa$on, po$t quæ in tripla, nam <04>pior e$t monadi $eu &ecedil;-
qualitati: $ed non adeò $implex ut bis diapa$on. Vocant aũt hanc
diapa$on diapente: inde $ub$equi&ttilde; octupla qu&ecedil; uix in uocib. huma-
nis habetur: frequ&etilde;s in in$trumentis, uo ca&ttilde;<03> tris diapa$on inde $ex-
cupla, $eu bis diapa$on diapente. Quintupla aũt minus cõcors e$t:
$ed de hac inferius dicemus, at<01> de multiplicib. dicta $unto. Sed de
cõ centu ex particula $uperaddita $exquialtera $exquitertia at<01> alijs
nunc agendum. Clarum e$t. n. has e$$e $implici$simas. Cum ergo du
pla proportio non magis po$sit diuidi æqualibus interuallis at<01>
$implicibus proportionibus quàm in $exquialteram & $exquiter-
tiam, uelutinter 4 & 2 interpo$ito 3. nam proportio 3 ad 2 e$t $ex-
quialtera, & 4 ad 3 $exquitertia: nec melius pote$t diuidi, at $exqui-
alteram & $exquitertiam quantumuis magnis numeris diuidere
non licebat melius aut commodius quam per $exquioctauas: uelu-
ti $umpto numero 64 cui duplus e$t 128, inter medius 96 qui cum
64 $exquialteram facit proportionem, quæ $uaui$sima e$t omni-
um deductis multiplicibus, uo catur<03> diapente. At quæ e$t 128 ad
96 $exquitertia e$t minu$<01> benè $onat per $e, $ed in acutioribus uo-
cibus $olum cum alijs benè $onat, uelut cum diapente, perficiens
diapa$on, interuallum, ergo inter 96 & 64 diui$um per $exquio cta-
<foot>uas</foot>
<p n=>169</p>
uas <04>ducit 72 et 81, nã 72 ad 64 e$t $exquio ctauũ, $icut 81 ad 72. uerùm
id accidebat in cõmodi <09> 81 ad 64 nullã habet <04>portion&etilde; commodã,
& multominus 96 ad 81, quare ui$um e$t Ptolem&ecedil;o ut $ubtracta mona
de fier&etilde;t termini 64, 72, 80, & 96, <04>portio aũt 80 ad 64 cõ$tituit $exqui
quartã at<01> ditonũ, <04>portio quo <01> 96 ad 72 $exquitertiã $emiditonũ <03>.
Rur$us <04>portio 128 ad 64 cõponi&ttilde; ex <04>portionib. 80 ad 64, &qtilde; habe&ttilde;
<04> ditono ut dictũ e$t, & e$t $exquiquarta <04>portio. At 128 cum 80 e$t in
<04>portione $uperpartiente tres quintas, &qtilde; iterũ e$t con$ona. Regula e&mtilde;
e$t <09> ubi con$onantia uo cũ diuida&ttilde; in duas partes, quarũ una $it con$o
nans, reliquã etiã e$$e con$onant&etilde;, at nõ cõuerti&ttilde;. S&ecedil;pe. n. fit ut ex duab.
con$onantibus di$$onans cõpo$itio oria&ttilde;, uelut ex duplici diap&etilde;te, aut
diap&etilde;te cũ ditono, $ed ut ad <04>po$itũ reuertar, alia diapa$on e$t inter 80
& 40, at inter 48 & 40 e$t $emiditonus ut o$t&etilde;$um e$t, uelut inter 96 &
80, nam inter 45 & 40 e$t <04>portio $exquioctaua, inter 48 aũt & 45 $ex-
quiquinta decima, igi&ttilde; ex regula data <04>portio 80 ad 48 &qtilde; e$t $uperbi-
partiens tertias $eu $olida cũ be$$e $eu $exta maior erit cõ$onans. Iam er
go uidemus detractione aut additione $exquio ctuage$imæ, concinnas
reddi uulgatiores armonias: tertiã utran <01> maior&etilde; $cilicet & minor&etilde;, ac
rur$us $extã maior&etilde; at<01> minore &qtilde; in minoribus numeris $cilicet à mo-
nade ad octo po$itæ $unt. Vides præterea $emiditonũ in $exquiquinta
<table>
<row><col>Diapa$on</col><col>2</col><col>1</col></row>
<row><col>Bis diapa$on</col><col>4</col><col>1</col></row>
<row><col>Diapa$on diapente</col><col>3</col><col>1</col></row>
<row><col>Tris diapa$on</col><col>8</col><col>1</col></row>
<row><col>Bis diapa$on diap&etilde;te</col><col>6</col><col>1</col></row>
<row><col>Hæmiolia</col><col>3</col><col>2</col></row>
<row><col>Hæmitritæa</col><col>4</col><col>3</col></row>
<row><col>Ditonus</col><col>5</col><col>4</col></row>
<row><col>Semiditonus</col><col>6</col><col>5</col></row>
<row><col>Sexta minor</col><col>8</col><col>5</col></row>
<row><col>Sexta maior</col><col>5</col><col>3</col></row>
<row><col>Bis diapa$on ditonus</col><col>5</col><col>1</col></row>
</table>
cõ$tare: adeò ut à $enario infra nihil inutile
reddatur. Diate$$aron aũt cum primum di
uidi pote$t, $i $ecus diuidatur <08> in ditonũ
& $emitoniũ, aut in $emiditonum & tonũ,
$cilicet in duo tantũ interualla, non cõmo-
dius quã inter octo & $eptem & $ex diuidi
pote$t. Cum ergo octo ad $ept&etilde; di$$ona $it,
quippe nimis remota e$t h&ecedil;c <04>portio à $en
$u humano: quamobr&etilde; ex regula data, ne-
que proportio $ept&etilde; ad $ex. Sed dubitabis
meritò, quia cũ diate$$aron diuidatur bifa-
riã, in ditonũ & $emitoniũ, ac rur$us in $e-
miditonũ & tonũ, quarum altera cõ$onans e$t, reliqua nõ. Vide&ttilde; ergo
infirmari regula illa, <09> con$onantia diui$a $i una pars cõ$onet, alia non
po$sit e$$e di$$onans, nã con$tat coniũ & $emitoniũ tam per $e quam in
cõpo$itione di$$onare: & nõ parũ $ed acerbè. Verũ re$pondeo diate$$a
ron, ut dixi, numerari inter ambiguas coniugationes, quatenus e&mtilde; per
fe e$t, di$$onans e$t: at <01> $ic in con$onant&etilde; & di$$onantem diuidi pote$t:
quatenus aũt pars e$t diapa$on cõ$onans in acutis: quan <08> etiã adiecta
ditono aut $emiditono $uprà efficiat $extã maiorem aut minor&etilde; parum
benè $onantes. At quintupla <04>portio ut ab initio <04>po$itum e$t, cõ$tat
bis diapa$on, & $exquiquarta, ut planè manife$tũ e$t: $exquiquarta aũt
<foot>P ditonus:</foot>
<p n=>170</p>
ditonus: bis diapa$on aũt quindecim uo cibus. Omnes igitur decem, &
$ept&etilde; uoces, &qtilde; $exdecim interuallis di$tinguun&ttilde;, con$onantes $unt: & ex
genere ditoni, & $exquiquartæ, $ed paulo minus benè $onãt <08> ditonus
ip$e. Igitur quintuplã multiplicem ad $ex quiquartã reduximus. Verum
ut o$ten$um e$t & decima$eptima, &qtilde; bis diapa$on cõ$tat, & $emiditono
benè $onat, h&ecedil;c aũt inter non aginta $ex & uiginti: quadrupla igi&ttilde; e$t &
$uperquadripartiens quintas. Diapa$on quo <01> cum $exta maiore & mi
nore eandem habentrationem quam 16 ad 5, & 10 ad 3, triplam utran<01>,
$ed altera $exquiquinta, altera $exquitertia: bis diapa$on uerò cũ ei$dem
ut uiginti ad tria, & 32 ad quin <01> $excupla utra<01>: $ed altera $uperbipar-
tiens tertias, altera quintas. Manife$tũ e$t igitur hanc diui$ionem nõ $o-
lum concinnam magis e$$e & $uauem $ed omnem tonorũ & $emitonio-
rum nece$sitat&etilde; effugere. Quòd uerò in cau$a fuit ut toni & $emitonia
in u$u e$$ent, id e$t, quoniam in di$c&etilde;do nece$$e e$t eandem $eruari ratio-
nem in crementorũ, ne <01> arithmeticam $ed geometricã. Ideò a$c&etilde;$us per
tonos & $emitonia cõmodus fuit, nam duplicem $olũ differentiam pue
ri u$u a$$equi coguntur. At uerò poterat & per $exqui$extam diuidi dia
te$$aron, ut inter triginta $ex & quadraginta nouem interpo$itis 42, ue-
rùm triplex $equeba&ttilde; in cõueniens: primum ut diate$$aron ad amu$sim
non $eruaretur, $ed incidebat in cacophoniam, addita quadrage$ima o-
ctaua parte: deficiente aũt in duabus $exqui$eptimis numeris $eu <04>por
tione $exquitertia: ut inter 49 & 64 loco 48 & 64, uelut etiã inter 48 ad
36, additaigitur monade in termino medio utrin <01> fit di$$onantia. Se-
cundum inconueniens, e$t <09> $ic diuidente non $eruabatur ratio $exqui-
quartæ & $exquiquintæ $eu ditoni & $emiditoni, quæ uoces benè $o-
nant. Tertium inconueniens erat, quòd hæcratio diuidendi diapentes
minimè $atisfaciebat, uelutinter 324 & 216. Interponere enim nece$$e
erat 252 & 294, unde incongrua rur$us erat diui$io. His tot cau$is cum
proportiones maiores non fatisfacerent ut $exqui quinta quæ diate$$a-
ron nullo modo æqualiter diuidere pote$t, & in diapente deficit $exqui
uige$imaquarta, ut inter 25 & 36, coacti $unt cum nec $exqui$exta nec
$exqui$eptima idoneæ e$$ent ad $exquio ctauam confugere.</P>
<P>E$t & alia diui$io toni in $emitonia, &qtilde; e$t uaria pon&etilde;do tonũ inter 18
& 16, media uox e$t 17 $emitonium maius inter 17 & 16, $ed minus inter
18 & 17, quorũ differentia e$t 1/288. Hic $ubit admiratio quomodo $emi-
toniũ minus apte&ttilde; tam gratè in $ymphonijs, maius aũt nequaquã. Ptole
m&ecedil;us hoc negaret, quia $exquiquinta $eu $emiditonus cõ$tat tono inte-
gro, qui e$t inter 90 & 80, & $emitonio plu$quã maiore quod e$t inter
96 & 90, & e$t $exquiquinta decima: &qtilde; maior e$t tono maiore 1/255. Pro-
pterea dicemus cau$am e$$e <09> po$ito $emiditono inter 81 & 96, id e$t,
27 & 32 $ublato tono, id e$t, 234 & 216, remanebit 13 differentia 256 ad
243, $eu qualis e$t 96 ad 91 & 1/8 quæ e$t ut 768 ad 729 et redit ad id&etilde;, $cili
<foot>cer,</foot>
<p n=>171</p>
cet, ut 256 ad 243, 13 autem e$t paulo plus decimanona, ergo multo mi-
nus $emitonio minore. $ecundum m&etilde;tem ergo Ptolemæi, po$ito tono
inter 135, & 120, & $emitonio maiore inter 128 & 120 remanebit $emito-
nium minus fermè inter 19 & 18, id e$t, 133 & 126, qu&ecedil; proportio differt
à 135 & 138. Si quis autem bene animaduertat, $exquioctuage$ima illa
adimitur, ex tono & additur $emitonio minori, & hæc e$t cau$a quòd
$emitonium maius Ptolemæi $it concinnum, quia additur tonis imper
fectis. Dimidium autem $emitonij minoris e$t inter 36 & 35, & uocatur
cõma: & e$t minus & maius: maius e$t inter 35 & 34, rur$us cõma mi-
nus diuiditur in duas die$es, minorem, quæ e$t inter 72 & 71, & maio-
rem, qu&ecedil; e$t inter 71 & 70, & ideò manet difficultas quomodo intenta
uoce per die$im fiat melior con$onantia? nam de remi$sione po$$emus
dicere quòd accipitur loco $exquio ctuage$imæ: $ed in $exquioctuage-
$ima remittitur de tono $ecundum mentem Ptolemæi, in die$i intendi-
tur $emitonium minus, $icut o$tendit experimentum, $ed for$an conue
niunt quia intentio $emitonij minoris deducit $emiditonum ad $exqui
quintam: e$t enim differentia $emitonij minoris intenti hoc modo ad
$emitonium minus, ut 136 ad 135: $ed hoc e$t longè minus $exquioctua
ge$ima, unum $at e$t, hanc e$$e ultimam diui$ionem toni in octo par-
tes, & ut in diatonico toni dominantur, ita in chromatico $emitonia in
enarmonico die$es, $ed die$es fugitando (utita dicam) ac aures uelli-
cando, mirum in modum oblectant audientes: uelut toni $tando, un-
de etiam nomen, $emitonia medium modum obtinent.</P>
<P>Tertium genus proportionis (omitto modò diui$ion&etilde; temporum
binarij, ternarij, quinarij, qui ultimus e$t eorum quos $en$us recipiat,
nam $eptenarius propinquior e$t binarij diui$ioni ob octonarium, &
modos illos $atis notos Doricum, Lydium & Phrigium, ac eiu$modi)
e$t Ptolemæi: rur$us qui cum uideret de$pectam futuram mu$icæ con-
templationem, conatus e$t illius aliquod $ingulare emolumentum
o$tendere, quemadmodum fecit & in libro de Prædictionibus, exi$ti-
mans ni illos compo$ui$$et ueluti pr&ecedil;mium o$tendentes tanti laboris
quantus nece$$arius uideretur ad intellectum librorum Magnæ com-
po$itionis, futurum e$$e, ut hi negligerentur, ergo & hoc in mu$icæ li-
bris o$tendere molitus e$t, $cilicet, præclarum e$$e aliqu&etilde; huius cõtem-
plationis finem, quod utinã non feci$$et, ne illud uerè de eo dici po$$et:</P>
<P>—Non omnia po$$umus omnes.</P>
<P>Virum enim hunc $upra omnem humani ingenij metã fui$$e nõ nega-
mus: $ed hanc partem quam hic agit, adeò infeliciter tractat, ut malim
credere totũ illum tertium librũ fui$$e ab aliquo alio adiectũ. Etenim
quid turpius $apienti homini <08> imitari uulgares illos? $ept&etilde; planetæ,
$eptem mundi miracula, $ept&etilde; artes liberales: quid enim $imilitudo nu
<foot>P 1 meri</foot>
<p n=>172</p>
meri iuuare pote$t, aut quàm afferre utilitatem? nimis certè in dignũ e$t
uti argum&etilde;to à $imilitudine $umpto: tum maximè adeò leui. Sed quo-
niam con$tat omnia quæ in mundo $unt ordine coniuncta e$$e, & ne-
ce$sitate uinciri, ideò cùm finis ip$e uerus $it, non tam debemus Ptole-
mæum damnare, <09> non probauerit, quàm laudare, quod ueritat&etilde; $ine
ratione $it a$$ectus. Sæpe enim accidit huiu$modi uiris adeò pr&ecedil;$tan-
tibus ut ueritas detegatur, quam cùm illi, ut mos e$t hominũ, rationi-
bus adornare nituntur, tran$gredientes metam muneris, in ab$urda &
ineptias incidũt. Ergo id modò declarare aggrediar, $upponens <09> ue-
rum e$t, $cilicet hanc mu$icam concinnitat&etilde; cum diuinis connexã e$$e,
& ab illis originem ducere. Verùm dubium e$t, an $oni propter nume
ros iucundi $int, an propter aliud? & $i propter aliud, cur ergo numeri
ad hoc $unt nece$$arij? & cur ob$eruare eos oportet ne ab illorum ordi
ne di$iungi po$sint? Hoc aũt perfacilè intelligi&ttilde;, & à nobis aliâs decla-
ratum e$t, $cilicet delectare nos, quæ percipiuntur quæ<03> ratione facta
uidentur, quoniã in his naturæ uis relucet & imago uniuer$i, ergo dele
ctant nos, quoniam natur&ecedil; ordine nos con$tamus. Illud difficilius lon
gè &qring;d tam&etilde; diligenti ob$eruatione dignũ uidetur, $cilicet, quonam pa
cto harmonia cum rebus cœle$tibus aut humanis cõiuncta $it. For$an
& illud ab re non e$$et intelligere, cur nullum animal pr&ecedil;ter hominem
capax $it harmoniæ? an for$an quoniã $olus homo ratione participet,
& ob id $olus gaudet ratione? ordinata aũt ratione cõ$tant aut $ola aut
maximè, numerus autem quid aliud e$t quàm ordinis $eparatorũ ima-
go. Porrò hæc accipienda $unt ex his quæ $en$ibus deprehenduntur,
qualia $unt <09> animus mouetur & uarios affectus in duit iuxta harmo-
niæ diuer$itatem lætiti&ecedil;, tri$titi&ecedil;, impetus, remi$sionis, timoris, $pei, ira-
cundiæ, & commi$erationis. Nos enim maximè octo affectus mouent
mu$icæ modulationes. Secundum quid autem mouent? uel quia con-
$onæ aut di$$onæ, uel quia concitat&ecedil; aut tardæ, uel quod maius e$t <09>
tendant in acutum ad alacritatem, uel in grauem de$inant & remi$$um
$onum ad cõmi$erationem, & lachrymas, aut etiam ex modo tetrachor
dorum. Illud $anè non ob$curum e$t, animã cum $ono maximè e$$e con
iunctã, nam ne<01> odoribus ut odores $unt, ne<01> $aporibus, aut his quæ
tanguntur licet plurimum delectent, aut etiam lædant, anima mouetur
ad affectus, licet, ut dixi, magis homo delectetur, aut tri$titia afficiatur
quemadmodum ex $onorum uaria natura, quod etiam in mor$is à Ta
rantula (arane&ecedil; genus e$t) deprehenditur. Quinimò nec à luce nec à co
loribus aut pictura, ni$i ut hæc ad memoriam reuocãt ea, propter quæ
ad hilaritatem aut tri$titiam uel iram, uel commi$erationem mouemur.
Vnde quo$dã reges ferunt iniurias acceptas iu$si$$e depingi in aula ne
po$$ent obliui$ci, at longè plures curarũt, ut potius eorũ facta egregia
<foot>pinge-</foot>
<p n=>173</p>
pingerentur continuata per memoriam uoluptate, quam dum illa àge
rent, cõceperant: nihilominus, ne<01> color ip$e, nec lux aut $pectaculum
uel imagines po$$unt adeò mouere animi affectus, uel $onus. Nam
duo in uniuer$um ex ui$u ad animi affectus mouendos habentur, tene
bræ ad tri$titiam & metum, pictura regionum amœnarũ ad iucundita
tem, $ed irã quæ moueant picturæ alacritatemúe aut cõmi$erationem,
non habemus. Videtur ergo ob hæc $onus ip$e magis animæ intimus
<08> ullum aliud $en$ile. Quod $i odoratus e$t in app&etilde;dicibus cerebri, ui
$us in pupilla oculi, gu$tus in linguæ neruis, ueri$imile e$t magis inti-
mum e$$e auditum, $cilicet in cerebro ip$o, at<01> ob id magis ab illo mo-
ueri animam. Ne<01> e&mtilde; in a&etilde;re concepto à concauitatibus auris, qui no
$tri pars non e$t: ne<01> à tympano, cùm $uperflua fui$$et cauitas interior
omnis: ne<01> enim inter pupillam & cerebrum pars ulla cernitur ad ui-
$um adiuuandum idonea: $ed $olus $ufficit con$en$us pupill&ecedil; cum cere
bro: nam ad nos per $piritus deffertur imago, non e&mtilde; ui$us e$$et unus,
nec in uno tempore fieret, $ed ueluti è $ecũdo $peculo & decimo $imul,
& eodem tempore reflectitur imago, ut à primo ita $en$us ui$us ex pu-
pilla in cerebro & in corde & anima $imul relucet. At ergo non potuit
in tympano uel neruo den$iore fieri auditus, $ed in cerebro ip$o, ob &qring;d
magis moueret affectus. Sed & magis incorporeus e$t $onus, ut qui
in$trumentum proprium non afficiat, ni$i cum immoderatus fuerit, at
omnis color, omnis lux oculum afficit, ac, ut ita dicam, tingit, ne<01> $uc-
ce$siones illas ob id adeò minutas oculus percipere pote$t ut auris,
$ed coinquinatur, ut ita dicam, priorum obiectorum reliquijs at<01> ima
ginibus. Vt in uniuer$um con$tet puriorem e$$e auditus $en$um etiam
animæ no$træ propiorem quàm ui$um.</P>
<P>Quibus con$titutis uidendum e$t, quomodo $onus permutet affe-
ctus: hoc autem nõ quia animam, quæ immortalis e$t & immateriaria,
$ed quoniam aut corporis eam partem, quæ e$t animæ in$trumentum,
id e$t, $piritum, aut animæ principal&etilde; coniunctionem qua corpori an-
nexa e$t. Vt enim corpus de$erit aut impeditur à corporis commercio
corpus immoritur: hoc præ$entiens animus, fiunt illa duo præuia ad
mortem timor & tri$titia. Vt contrà, lætitia non e$t ni$i communicatio
animæ corpori, & quatenus communicatur $olum de uita cogitat, at<01>
ob id qua$i immortalis, qui lætatur obliui$citur mortis. Ergo anim&ecedil; ra
tio illa erit, quæ ut cogno$cit perfectè exhilaratur dulcedine uo cum, &
hoc fit in diapa$on. Vt uerò imperfectè diapente, ut imperfectius dia-
te$$aron, at cum ex diate$$aro & diapente perficitur diapa$on, accidit ei
id&etilde;, quod quær&etilde;ti gemmas in matrice dum inuenit, & ei qui ex tabulis
arcam cõficit, & puero cũ adole$cit, & generaliter ei qui ex imperfectis
perfecta colligit: ex quintæ enim & quartæ $en$u imperfectarũ con$o-
<foot>P <*> nantiarum</foot>
<p n=>174</p>
nantiarum percipit perfectam diapa$on. Videamus ergo an aliquid $it
$imile in animæ facultatibus, nec dubiũ e$t quin ex $en$ib. exterioribus
at<01> interioribus fiat intelligentia. Et $en$us quid&etilde; exteriores $exquiter
tia cõ$tant: e$t enim illorũ imperfecta cognitio: maior longè memori&ecedil;
unius & rationis reliquarum<03> facultatũ, ex quibus intellig&etilde;tia oritur.
Iam uerò habemus exactam $imilitudin&etilde; facultatum anim&ecedil; human&ecedil;, &qtilde;
cogno$cit. Nunc ulterius <04>cedamus et uideamus, an$it aliqua etiã con
iunctio inter illas, nam $imilitudo et$i $it una originis cau$a, non tamen
$ola digna e$t ut à Philo$opho numere&ttilde; inter cau$as ordinis & natura-
lis uinculi. Non e$t ut tetrachordorũ genera ad partes anim&ecedil; cõparen-
tur, cũ $int uoluntaria diui$ione, non natura con$tituta. Sed $i quis hoc
uelit, magis ad rationem <04>prietatis re$piciat, $uauitas in chromatico,
$ubtilitas in Enarmonico, $tabilitas in diatonico: Vt Enarmonicũ ad
mentem uerè referri po$sit, chromaticũ ad $en$us: diatonicũ ad uitã na
turalem<03> facultatem. Sed, ut dixi, iam <04>pius accedamus, cõcitatior $o
nus, ut Doricus ad alacritatem pertinet, ad pugnam, ad uim anim&ecedil; ira-
$cibilis: Phrygius ad uoluptat&etilde;, Lydius ad intelligentiam remi$sione
corporeorũ affectuum. Sed nõ qu&ecedil;rere decet aut laborare, ut malè in-
uenta aut di$tributa aptemus ordini natur&ecedil;, $ed ut res rebus. Diximus
quatuor e$$e differ&etilde;tias nobiliorũ affectuũ animi, $cilicet, timoris, $pei,
iracũdi&ecedil; $eu $&ecedil;uiti&ecedil; & cõmi$erationis, l&ecedil;titi&ecedil;, tri$titi&ecedil;, impetus ac remi$-
$ionis. Et uide&ttilde; mu$ica nec hoc &ecedil;qualiter monere, $ed primũ uideamus
an hi$oli affectus $int maximi, quippe dee$$e uiden&ttilde; amor at<01> odium.
Et mihi dubium non e$t quin hi potenti$simi $int omniũ præter metũ.
Sed metus cũ cau$a, affectus propriè nõ e$t, $ed potius $cientia quædã.
Proprium enim perturbationum e$t excedere rationem: at metus mor
tis, ppri&ecedil; aut de filio, non e$t à ratione alienús, nec excedit metas, modò
inanis non $it aut fal$us, ob hoc metum excludemus ab hoc negocio:
tum maximè ob id quod nulla mu$ica e$t quæ metũ excitet cùm ea, nõ
opus $it in eo, qui $it cum ratione coniunctus. Indicio e$t <09> potius illũ
excudit abrupta mu$ica, $icut & omnia alia quæ perturbant rationem,
ueluti $olanũ & madrangora at<01> cicuta. Amorem igitur & odium nõ
excitat mu$ica, quia amor & odium alicuius $unt amor & odium, mu$i
ca aũt generales $olum mouet animi affectus. Et commi$eratio, licet $it
Didonis aut Phillidis, tamen e$t generaliter mi$erentis. Qu&ecedil;ramus er-
go rur$us qui $int affectus generales animi. Et $anè uiden&ttilde; e$$e lætitia
at<01> tri$titia: impetus & remi$sio: $&ecedil;uitia ac mi$ericordia & audacia. Sũt
tria ferme cõiũcta $imul impetus & $æuitia at<01> audacia, quoniã cũ mo
tu <10>turbato animi $unt eiecta ratione. Ob id unũquod <01> horũ ab ira-
cundia deriua&ttilde;. Quapropter & ita ration&etilde; expellit aut $uppeditat. at ra
tio perturba&ttilde;, aut ab immodicis $onis, aut in cõptis et magnas mutatio
<foot>nes</foot>
<p n=>175</p>
nes habentibus at<01> a$peris. Hæc autem, ut ita dicam, nulla e$t mu$ica.
Sed ne<01> mu$ica ulla tri$titiam gignit, cum ut dixi, tri$titia nil aliud $it <08>
mortis imago, mu$ica aũt uitam fouet. Vnde nõ immeritò fertur Xeno
philus mu$icus centũ quin<01> annis $ine aliquo incõmodo uixi$$e, quod
$ingulare e$$e exemplum in humana uita refert Plinius. Relin quitur igi
tur tandem, ut mu$ica maximè moueat tres affectus lætitiam, remi$sio-
nem & mi$ericordiam. Et quod ex his po$tmodum ad labores in$urga-
mus intentius, hoc non e$t ex mu$ic&ecedil; ui aut facultate, $ed cõ$equentibus
ad illa alia cau$is. Ne<01> ergo horũ cau$as ex diui$ionibus at<01> di$tribu-
tionibus uoluntarijs mu$icæ cõ$iderare oportet, $ed ex ip$a rerũ natura
at<01> e$$entia. Veluti intentionis et remi$sionis, a$peritatis at<01> $uauitatis
celeritatis ac tarditatis; cõ$onantium aut di$$onantium uo cũ at <01> muta-
tionis: hæ enim differenti&ecedil; præcipu&ecedil; $unt uo cum, uel etiam te$te Ari$to
tele. Verùm nõ ob$curum e$t: quemadmodum remi$siones fiant animi
<marg>I<I>n lib. de</I> A<I>u
dibilibus.</I></marg>
affectuum, cũ remittuntur uoces aut intendantur ad earũ intentionem.
Sed non e$t æqualis ratio, quoniam natura no$tra ad remi$sion&etilde; natu-
raliter inclinata e$t, ad intentionem non ita, $ed per uim quandã aut me-
dio uoluptatis, aut cum anima purior e$t à corporis impedimentis. Et
ob id ad $tudia nil aptius e$t pura $obrietate: nihil ineptius crapula at<01>
temulentia. At l&ecedil;titi&ecedil; cau$&ecedil; $unt, & cõ cordia uo cũ, & mutatio ex a$pera
in $uauem, nõ $ecus ac eius qui euadit è paupertate uel è mole$tia aliqua
aut dolore aut alio incõmodo, tum inten$io uo cũ ac liber $onus. Vnde
in l&ecedil;titia $olent homines exclamare. At ad cõmi$erationem mouendam
omnia remitti oportet ex magna in parua, adeo<03> deficientem ex a$pera
in leuem, ex ueloci in tardam, ex di$$ona in con$onantem. Antiqui ergo
(ut author e$t Cælius Rhodiginius) Dorico ad temperantiam & mode
<marg>L<I>ib.</I> 9. <I>ca.</I> 3.</marg>
rationem utebantur, $cilicet quòd non haberet præcipites lap$us, ne<01>
arduas intentiones: Phrygio ad impetum & bellicum ardorem, $cilicet
per a$peras intentiones: Lydio ad fletus & lamentationes per ca$us &
remi$siones longas ac $uaues: ideo funeribus peculiaris: Mixolydio ad
commi$erationem, ut defectiones interponantur & breues abruptæ<03>
remi$siones, iuuant<03> in hoc plurimum & $en$us uerborum, familiaris
hic tragædijs: Aeolicus qui & Ionicus tranquillitatis animi author e$t
$o mnum<03> conciliat: Dorico non ab$imilis $ed $uauior & mollior: ideò
chromatici generis. Qu&ecedil; uerò ad cœli motus referuntur, diapa$on qui-
dem refertur ad motum diurnum, nam maximo con$tat, & exacti$simo
interuallo, unus<03> e$t in omnibus & iucundi$simus & omnia continet,
uelut & diurnus motus. Proprius autem tàm erraticis quàm fixis, qui
etiam æqualitati propinquior e$t, & ad maiorem di$tantiam $cilicet de-
clinationis $igniferi ab æquinoctij circulo ad diapente refertur. Rur$us
diate$$aron quòd minimo cõ$tat interuallo ac maximè inæquali, & per
$e quidem qua$i non nece$$ario ad motum in latitudinem refer&ttilde;, is enim
<foot>exiguus</foot>
<p n=>176</p>
exiguus e$t & inæqualis. Ex horum ita<01> duorum cõpo$itione quem-
admodum et ex diate$$aro & diapente conformatur diapa$on, pulchra
con$truitur exortus & occa$us $yderum ratio, quæ primo motu cõ$tat.</P>
<P>Porrò de participatione diapente, quam non $olũ u$urpamus in in-
$trum&etilde;tis fi$tularum organis dictis: $ed etiã in fidibus monachordorũ
$eu clauichordorũ (ita. n. nunc uo can&ttilde; in$trum&etilde;ta quib. caruerunt anti-
qui) nõ alia e$tratio, quàm &qtilde; dicta e$t con$tituendarũ con$onantiarum
in ditonis & $emiditonis $exta<03> utra<01>. Vt e&mtilde; quatuor con$onantiæ
$uauiores efficeren&ttilde;, nece$$e fuit unã, $cilicet diapent&etilde; uariari. Exempli
gratia, $int fides expo$it&ecedil; octo, & ut con$titua&ttilde; proportio h ad c, ut 128
<table>
<row><col>a</col><col>ut</col></row>
<row><col>b</col><col>re</col></row>
<row><col>c</col><col>mi</col></row>
<row><col>d</col><col>fa</col></row>
<row><col>e</col><col>$ol</col></row>
<row><col>f</col><col>re</col></row>
<row><col>g</col><col>mi</col></row>
<row><col>h</col><col>fa</col></row>
</table>
ad 80, id e$t ut 8 ad 5, c facta e$t remi$sior octoge$ima, quare cũ
81 diapente habeat ad 121 cũ dimidio, erit ad 80 maior 1 1/2, id e$t
octuage$ima parte 120, quare intentior diapente. Atin diapa$o
omnia ad id&etilde; redeunt: horũ etiam cau$a $emitonia nigra illa ad-
dita $unt. Sed h&ecedil;c tractatio <04>prium locũ exigeret, $ecus e$$et ni-
mis curio$i illa huc traducere. quemadmodum, & ut uellemus
Philo$ophiam naturalem, moral&etilde;, & mathematicã ad mu$icã tra
ducere <04>portion&etilde;. Melius $anè fui$$et $ubtilioribus rationibus
hãc m&etilde;$uris motuũ a$trorũ <04>ut cõueniũt (quantũ fieri potuit) apta$$e.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$exage$ima$eptima.</P>
<P>Proportionem mu$icam ad $apores & odores coaptare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Melius feci$$et Ptolem&ecedil;us, $i hãc <04>portionem ad $apores & odores
et picturas, quemadmodũ inuenimus nos, applica$$et, uel ut Vitruuius
ad machinas, poterat e&mtilde; hoc $cire, cum Vitruuius plu$<08> centum quin-
quaginta annis Ptolem&ecedil;ũ antece$$erit. Et quan<08> Latinè $crip$erit, non
tam turpè erat latina legi$$e, aut cõuer$a ab alio quopiam intellexi$$e, <08>
ne$ciui$$e nece$$aria pulchra<03> inuenta aliorum clarorum uirorum, &
quod deterius erat, rerũ memorabilium loco fabulas $ubtexui$$e. Ergo
ut ad rem ueniam: mu$ica proportio bifariam inueni&ttilde; in $aporibus: $im-
pliciter, & ex comparatione, & $impliciter quidem $umma $uauitas ad
diapa$on refertur: e$t enim $uaui$simus concen$us in $aporibus, ergo
dulce ei re$põdet, ut $implex, quid enim $uauius e$$e pote$t in utro <01> ge
nere. At pinguis, qualis in carnibus & ouis benè pr&ecedil;paratis ad diap&etilde;te
refertur, e$t enim & ip$e $uaui$simus po$t dulce, at <01> in $uo genere perfe
ctus, diate$$aron uerò optimè $al$o cõuenit. Hic enim per $e improbus
e$t & in$uauis, $icut etiam $apor $al$us e$t, diate$$aron aũt cum diapente
perficit diapa$on, & cum diapa$o inutile e$t, et di$cordat, ita $apor $al$us
cum pingui $ummam delectationem affert: cum dulci adeò parum con
gruit, ut melius $ocietur cũ amaro, uelut in oliuis benè $al$is. Ergo $al-
$us $apor cum diate$$aro ad ungu&etilde; congruit rur$us $emiditonus cũ in$i
pido, & a$tringens cum ditono conueniunt ad unguem, nam uter<01> nõ
illepidus, & cum dulci conuenit, ita $emiditonus & ditonus cum diapa
<foot>$o con-</foot>
<p n=>177</p>
$o conueniunt, uterque etiam horum $aporum parum mouet$en-
$um, & inter $e $unt qua$i $imiles quod ditono accidit & $emidito-
no, $ed & neuter horum cum pingui conuenit, ne<01> ditonus aut $e-
miditonus cum diapente congruit, di$cordat enim h&ecedil;c compo$itio
non parum. Rur$us & in hoc $imiles $unt quod diate$$aron cum di-
tono & $emiditono plurimum conuenit, ita & in$ipidum, & a$trin-
gens cum $al$o bellè cõueniunt. Diate$$aron enim cum ditono $ex-
tam efficit maiorem, & cum $emiditono minorem qu&ecedil; utri<01> con$o
nant, non tamen plus $uaues per $e $unt, quòd dulci & pingui care-
ant, ut nec $exta maior aut minor, &qring;d ne<01> diapa$on perficiant ne<01>
diapente: Acris aut&etilde; $apor $exta maiori $imilis e$t, acidus minori:
mutuo conueniunt cum in$ipido acris, & cum a$tringente acidus,
quemadmodum & $exta maior cum $emiditono, & minor cum di-
tono copulatur perficientes diapa$on: $ed minus $uauem, quia ab-
e$t diapente ibi, quia abe$t pingue: au$terum uero cum acri mode-
rato conuenit, propterea bene uter<01> cum in$ipido iungitur, unde
illud Epigrammatici:</P>
<P>Vt $apiant fatuæ fabrorum prandia betæ,
O quam $æpe petet uina piper<03> coquus.</P>
<P>Piper enim acre e$t, & uinum au$terum e$t. Et iu$ta querela Cicero-
nis in Epi$tolis familiaribus, qui à maluis fatetur $e uictum, ut deci-
derit in lienteriam: conueniunt ambo hi $apores cũ dulci & pingui,
uelut & utraque $exta maior & minor cum diapa$on & diapente, at
neuter cum $al$o, nam ne<01> diate$$aron cum $extamaiore uel mino-
re iungi pote$t. Amarus autem $apor tono per$imilis e$t, di$$onus
enim per $e e$t $emper, & amarus per$e odio$us tonus origo e$t o-
mnium con$onantiarũ, ita omnes fructus, $eu dulces $eu a$tringen-
tes, $eu acidi, $eu acres prius amari $unt: tonus præterea nulla cum
con$onantia peius coit quàm cum diapa$o, ita ne<01> amarus $apor
infelicius iungnur quàm cum dulci, amarus quo <01> $apor cum nul-
lo magis conuenit quã cum $al$o, ita tonus additus diate$$aro, perfi
cit diapente dulci$simam con$onantiam, ut multi oliuas benè$al$as
prætulerint fa$ianis: tantum conuenit $al$o cum amaro, amarus,
quo <01> $apor leuis non abhorret à pingui, deteriorem tam&etilde; aliquan
to efficit, ut intortis ex ab$ynthio ouis & ca$eo, atque in uitibus in
quibus coma ab$ynthij in cocta fuit parum, degenerat tamen $apor
ille à pingui: ita tono addito ad diapente fit $exta maior, non adeò
$uauis ut diapente, attamen nõ pror$us in$uauis. Similiter $i tonus
addatur ad $emiditonum aut ad ditonum ex altero fit diate$$aron,
qui non concordat ex reliquo tritonus omnium a$perrimus. Ergo
cum idem fiat coniuncto amaro cum in$ipido, ac deterius cũ a$trin-
<foot>P 2 gente,</foot>
<p n=>178</p>
gente, uelut in acerbis glandibus, quibus nihil tri$tius gu$tari po-
te$t. Manife$tum e$tigitur optimè conuenire hano $aporum diui-
$ionem cum mu$ica proportione.</P>
<P>Cum<03> $apores ex $eptem planetis pendent manife$tè, Saturnus
e&mtilde; habet a$tringens, quoniam frigidus e$t & $iccus. Iupiter pingue
cõtraria ratione, & quoniã hic $uauis e$t, ille tri$tis, acre & au$terum
cõueniunt$oli, apparet<01> in eis uis maxima ad $piritũ uitalem cõfir
mandum, uires <03> o&etilde;s adauget, uelut & Sol. Venus habet dulce: de-
mon$tratione hoc non indiget. Mars $al$um & cũ peruer$è di$po$i-
tus e$t, amarũ. Luna in$ipidum. Mercurius acidũ, etenim frigida e$t
& humida Luna, & Mercurius tenuitat&etilde; quan dam habet cũ tempe
ram&etilde;to moderato, cuiu$modi fermè e$t acidus $apor, quan<08> ad fri-
giditatem declinet, parũ enim habet uiriũ Mercurius &qring;d minima $it
$tellarum, ut $uprà docuimus. Huiu$modi ergo ratione con$iderata
Luna ad $emiditonũ pertinebit Mercurius ad $extã minorem, Sol
ad $extam maiorem, Mars ad tetrachordũ, Saturnus ad ditonum,
Iupiter ad diapente, Venus ad diapa$on, unde plena illius dona uul
garis felicitatis opum honoris amoris & uoluptatis, po$t quem e$t
Iupiter, ut $ine his duobus omnino nulla po$sit e$$e felicitas.</P>
<P>Sed & in circulo $igniferi aliquam mu$ica proportio habebit ra-
tionem: diapa$on e&mtilde; erit & totius ad dimidium, & be$sis ad trien-
tem, & dimidij ad quadrantem, & trientis ad $extant&etilde;, diapente aũt
totius circuli ad be$$em, & dodrantis ad dimidiũ, & dimidij ad tri-
entem, & quadrãtis ad $extant&etilde;, diate$$aron aũt totius circuli ad do
drantem, & be$sis ad dimidiũ, & trientis ad quadrãtem: ita<01> in hoc
$olo cũ Ptolem&ecedil;o concordamus, in reliquis duobus ne$cio qua ra-
tione Ptolem&ecedil;us omi$erit unam cõiugationem, nam cũ e$$ent qua-
tuor in diapa$on & diapente, tres tantum numerauit. Reliquas aũt
quatuor per integra $igna numerare licebit, ad ration&etilde;, tamen a$pe-
ctuum deducere non po$$umus, propterea efficaciam quandam ha
bent etiam $ignorum mutationes, $ed harmoniam non perficiunt,
nam & $i $umamus $exquiquartam & $exquiquintam, ut in his $ex-
quialteram, $eu diapente con$tituamus, aut tria aut $ex $igna acci-
pere oportebit: utrun<01> fuerit, reliqua pars ad diate$$aron pertinere
minimè pote$t: quamobrem conuenientius e$$et meo iudicio, ut to
tus circulus non ad diapa$on, uelut Ptolemæus, referretur, $ed po-
tius ad diapa$on diapente: ita enim con$titutis quatuor, quinque,
$ex, duo decim<03> numeris, con$taret tota ratio harmonica, diui$o e-
tiam diapente in ditonum & $emiditonum. $ed de hoc $atis.</P>
<P>Reuertamur ad $apores, in quibus diximus aliam e$$e rationem
mu$icam iuxta cõpo$itionem: cum enim inter $apores qui quoui$-
<foot>modo</foot>
<p n=>179</p>
modo conueniunt, dupla fuerit optimi $aporis proportío ad dete-
riorem, medius uerò ad deteriorem $exquitertia, optimus ad me-
dium $exquialtera, $apor ille optimus erit. Et primum quidem id
in pingui tanquàm medio dulci<03> & $al$o experiamur, $imiliter in
$al$o, acri, at<01> in$ipido. Manife$tũ e$t enim quod horum optimus
e$t in$ipidus, quia per $e ferri pote$t, $al$us autem medius, acris de-
terrimus, $uperabit ergo in$ipidus $al$um $exquialtera, acrem du-
pla proportione, $al$us acrem $exquitertia. Rur$us dulcem copule-
mus cum acri, & cum in$ipido aut cum acido, & in$ipido præ$tabit,
ut dulcis dupla, aut quadrupla, aut octupla proportione in$ipi-
dum $uperet, id e$t, per diapa$on, uel bis diapa$on, aut ter diapa-
$on: acidum uero in$ipidum $exquitertia $uperabit. Alia rur$us ra-
tio in coniunctionibus $aporum ad $en$um uniu$cuiu$<01> referenda
e$t, in quo enim e$t $umma uoluptas comparatione ad illum, hic $ta
tuemus diapa$on, optimum<03> con$tituemus $aporem, dimidium il
lius quod ad uires attinet ex minus iucundo $exquitertium, ad il-
lum minus iucundum ex medio. Exempli gratia, proponamus ut
alicui au$tera maximè iucunda $int (nam $al$a nemini, quòd nullum
animal præter hominem, imò ne plantæ quidem ni$i admodum
paucæ, & $ui generis $al$o alantur, iucunda e$$e po$$unt: cum $al$um
amari pars $it, eo<03> deterius quod acutum $it$al$um, unde in $ale
nullum animal na$citur: in ab$ynthio, quanquàm ualde amaro, exi-
guum mu$carum genus, nigrum tota æ$tate oritur, & in ruta uer-
miculi) is ergo au$teri, quantum $atis erit$umet, dulcis tãquàm me-
dij. gratia exempli (nam optima ad extremum oppo$itum uix tran-
$ire queunt) be$$em accipito huius, gratia exempli, tanquàm deter-
rimi a$tringentis dodrantem, ut $it dulcis ad a$tringentem dupla
proportio. Sic ergo con$tituetur iuxta naturam propriam mu$ica
proportione $apor iucundi$simus.</P>
<P>Idem quo <01> in odoribus & eadem ratione, $ed ex $aporibus hoc
cum intellectum $it, fru$tra fuerit con$umere tempus, eadem enim
in omnibus ad $ciendum proportionem intelligenda erunt.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$exage$imaoctaua.</P>
<P>Picturarum proportiones explicare.</P>
<P>E$t pictura imago rei corporeæ quanquàm, & per illam, & acti-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
ones, & cogitationes, $ed non ni$i ut per corpora $ignificantur: ut
ergo corpora ip$a referamus. coloribus opus e$t, nam corpora, co-
lorata $unt, $ecundò ip$a rerum natura $cientia<03> illarum, unde pi-
ctorem multi$cium e$$e nece$$e e$t. tertium e$t, ut minimas earum
differentias explicare norit. quartum, ut affectiones, uelut in ira-
<foot>P 3 to rubo-</foot>
<p n=>180</p>
to ruborem, ciliorum cõtractionem, tumorem faciei in ambulante
in clinationem quandam, flexionem cruris at<01> $imilia. quintum e$t
lux coloribus exhib&etilde;da, $ed de horum nullo propo$itum e$t hic lo-
qui, quando quidem hæc u$u magis & con$ideratione, quàm ratio-
ne con$tent proportioneúe, nec $int adeò admiranda ut neque $im-
plex magnitudo quã$exto loco reponere po$$umus. Tria ergo ui-
dentur e$$e præcipua quorum nunc ratio habenda e$$et, ut $int in
totum nouem, $ed unum ex his relinquemus, tum quia alienum ab
hac con$ideratione, tum quia alibi pertractatum at<01> etiam ab alijs,
ne<01> adeò admiratione dignum $cilicet magnitudo picturarum re-
$pondens magnitudini corporum iuxta $itus differentiam, nam
qu&ecedil; altiores $unt paulo latiores at<01> in $uperiori magis parte quam
in inferiore, multò autem longiores e$$e oportet, $ic & quæ à latere
erunt eadem ratione iuxta a$pectus ingredientium rationem. Ve-
rum hoc ut dixi omittamus, & de duplici miraculo in pictura lo-
quamur, $cilicet di$tantia magna quam in parua tabella referimus,
et corporeitate quam in plano repr&ecedil;$entamus. Horum autem duo-
rum aliqua communia $unt aliqua propria. Dicemus ergo primũ
de corpore ita pingendo, ut palàm extra tabulam prominere uide
atur. Hoc autem primum ex forma $umitur, nam $i corpus in plano
$it nece$$e e$t, ut partes illius quædam pror$us ab$condantur, par-
tes aliæ non pror$us, aliæ pror$us $int in con$picuo. Ergo pictu-
ram talem fingere oportebit, quæ partes $ingulas pro ratione o$ten
dat aut occultet. Secũda ratio e$t quodima corporis ob$cura $unt,
$umm&ecedil; partes lucid&ecedil; & claræ aclumine qua$i dealbatæ: media, me-
dia quadam ratione ut in columnis, tantum<03> pote$t hæc ratio, ut
uel $ola picturas fallere nos faciat corpora eas e$$e putantes. Opor-
tet autem imum e$$e ad unguem $imile in colore colori anguli loci
& $ummum parti quæ $e oculis maximè $ubiectam præbet & cla-
ram: media uerò qualia ex umbris ob$curari $olent. Tertia ratio e$t
pro modo partium iuxta obliquitat&etilde; a$pectus: nam in$picienti a b
in c d ex e oculo: depingemus in c d iuxta obli-
<fig>
quitatem $uam, quia cum c d uideatur per line-
as e a c & e b d, & eleuatum in $itu a b, nece$$e e$t
ut uideatur in $itu a b, ergo eleuatum à c d. E$t
& alia con$ideratio proportionis ad proxima
remota<03>, grati a exempli, $i homo e$$et po$t co-
lumnam a b, lateret eius pars, quæ e$t propinquior parieti c d, ergo
$i depinxerimus hominis partes tantum dextram, reliquum $ub um
bra, cogitur oculus iudicare columnam eleuatam a pariete. De-
mum omnia hæc ita $unt $ubijcienda oculis, & per minimas diffe-
<foot>rentias</foot>
<p n=>181</p>
rentias & animaduer$iones ita dijudicanda, at<01> experimento $ub-
ijcienda, tum proprio, tum aliorum non artis in expertium, ut re<*>
pror$us ab$oluta uideatur, atque in hoc multum refert multiplices
partes $ecundum longitudinem coloribus di$tinguere ad hoc a-
ptis, qui $unt ob$curus, $ub ob$curus, cinereus, qualis $ilicis candi-
dus $ine luce, demum etiam aliquid nigri adijciendum, nam diui$io
$ecundum longitudinem multum impedit, hanc repræ$entationem
iuuant, & extrema benè coaptata, uelut $capi imi, & capitula & $u-
premi, tũ trabeationes ex materia coronæ, zofoni, tœnia, epi$tylia,
plinthi, echini, hypotrachelia, a$tagali, apophyges. Quæ etiam in
parte inferiore cũ $pira $eu ba$i & limbo & toro & plintho inferio-
re, & $tylobata, et alia tœnia $umma diligentia, & cum eleuatione ac
magnitudine ultra columnæ limites extendantur. Sicin $tylobata
ratio diapente con$tat, cui $olet addi utrinque $exta pars pro coro-
nice, manife$tum e$t autem, quod in ea con$tat mu$ica ratio diapa-
$on ex diapente & diate$$aro, compo$iti nam duæ $extæ partes, alte
ra utrin<01> adiecta tertiam conficiunt ut $it diate$$aron $uprà diapen
te. In regionibus autem & $patijs depingendis eadem fermè $eruan
da $unt duobus tamen adiectis, quorũ unum e$t ut longinqui$sima
pars, nõ per nigrum aut ob$curum, $ed cœruleum color&etilde;, qualis in
cœlo determinanda e$t (ni$i nox fingatur) nam cœlum longi$simè
à nobis di$tat, ita nubes coloribus proprijs, & montes cum niui-
bus, & $patia uelut fluminis alueus, mare, lacus, atque hæc omnia
per colores di$tantiæ finguntur, uelut fluminis pars propior clara
& lympida, & colore aqueo cernitur remota ob$cura, quæ maxi-
mè procul abe$t nigra. Sed maxima e$t confirmatio in compara-
tionibus: ut $i arbores propè magnæ $int, & homines & animalia,
in remotiore autem parte minimi, ac qua$i puncti magnitudinem
referentes, atque ut in his mu$ica non geometrica aut arithmeti-
ca proportio $eruetur. Equidem $i quis iudicio hæc con$equa-
tur, ac diligentia quæ $cribi non po$$unt, $ed contemplatione ha-
bentur, $en$u quoque, quem experimentum docet, necip$um man-
dare literis, licet ex rationibus tamen, quas hic docemus intelli-
get parum differre repræ$entationem à re ip$a corporea. Sed de
his hactenus, quæ $i diligentius quis per$equi uelit $ine
artis experientia, plus adimet perfectioni rei,
quam adijciet. Hoc enim aliâs
<marg>I<I>n prima</I>
D<I>islcfficæ.</I></marg>
declarauimus.</P>
<foot>P 4 Propo$itio</foot>
<p n=>182</p>
<P>Propo$itio cente$ima$exage$imanona.</P>
<P>Proportionem mu$icam in in$trumentis declarare iuxta compo
$itionis rationem.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Tria $unt in$trumentorum genera, in quibus maximè relucet ra-
tio compo$itionis mu$icæ quæ à nobis nunc $unt demon$tranda,
$cilicet machinæ bellic&ecedil;, ut catapultæ & bali$t&ecedil; & $corpiones, & hy
draulica in$trumenta ad modulationes parata, quæ antiquo tem-
pore maximè in u$u fuerunt nunc de$ita, de quibus Vitruuius agit
<marg>C<I>ap.</I> 15. <I>ad</I>
18. <I>& in
cap.</I> 13.</marg>
in decimo libro. Tertium e$t æneorum in$trumentorum, quorum
etiam u$us de$ijt in $cœnicis theatris, ad intendendam uocem cum
modulatione, ut etiam clamor audientium & uulgi cum uoluptate
<marg>C<I>ap.</I> 5.</marg>
excipiatur, de quo idem in quinto libro egit. Sed nil melius quàm
uerba ip$ius explicare de hoc tractantis, $unt autem hæc. “Mu$icen
autem $ciat oportet, uti canonicam rationem & mathematicam no-
tam habeat: præterea bali$tarum, catapultarum, $corpionum tem-
peraturas po$sit rectè facere. In capitulis enim dextra ac $ini$tra
$unt foramina homotonorum, per qu&ecedil; tenduntur ergatis aut $ucu-
lis & uectibus è neruo torti funes, qui non præcluduntur, nec præ-
ligantur ni$i $onitus ad artificis aures certos & &ecedil;quales fuerint. Bra-
chia enim quæ in eas tentiones includuntur cum exten duntur æ-
qualiter & parter utra<01> plagam emittere debent. Quod $i non ho-
motona fuerint, impedient directam telorum mi$sionem. Item the-
atris ua$a ærea, qu&ecedil; in cellis $ub gradib. mathematica ratione collo-
can&ttilde;, & $onitũ di$crimina, qu&ecedil; Gr&ecedil;ci <G><*>x<05>_a</G> uocãt, ad $ymphonias mu
$icas $iue concentus componun&ttilde;, diui$a in circinatione diate$$aron
& diapente & diapa$on, uti uox $cœnici $onitus cõueniens in di$po
$itionibus, tactu cũ o$tenderit aucta cũ increm&etilde;to clarior et $uauior
ad $pectatorũ perueniat aures. Hydraulicas quo <01> machinas & cæ-
tera &qtilde; $unt $imilia his organis $ine mu$icis rationib. efficere nemo
poterit. Capiamus ergo primum illud &qring;d e$t manife$tius, $cilicet de
hydraulicis organis quorum meminit Suetonius in Nerone: Reli-
quam diei partem per organa hydraulica noui & ignoti generis cir
cunduxit, o$tenden$<01> $ingula de ratione ac difficultate cuiu$<03> di$-
$erens iam $e prolaturum, ut con$tet illa fui$$e magni opificij quæ
no$tra &ecedil;tate de$iere.” Re$tat unicum & ualde leue exemplũ auiculæ
æneæ uelligneæ re$onantis. Certum e$t a&etilde;re effici $onum, $ed ita mi
$ceri aquæ, ut dulcior & mollior non $olum euadat, $ed etiam acuti-
or ac modulatior. Eadem autem ratio maris: $ed cum aquæ corpus
moueatur, uidetur difficile $eruare proportionem. ea prima diffi-
cultas. $ecunda e$t, quod cùm aqua moueatur, uix ficri po$$e uide-
tur ut totum $eruet uocis integrum tenorem. tertia ob illius con-
<foot>$umptio-</foot>
<p n=>183</p>
$umptionem. Propterea nil mirum e$t $i Nexo de his $ubtiliter di-
$putauit, mirum fuit quod in tanta animi perturbatione ni$i ad
amentia, ut illi putant, referatur. Sed quidiam amplius uagor, extat
<marg>L<I>ib,</I> 10. <I>cd,</I>
16.</marg>
compendio$a ratio con$tructionis illius apud eundem Vitruuium
ubi Philander ex Atheneo $onus hydradis $uauis admodum at<01>
<marg>L<I>ib.</I> 4. <I>cap.</I>
24.</marg>
iucundus auditu e$t: ita ut omnes concinnitate capti conuerterent,
fuit<03> Alexendrin&ecedil; urbis inuentum authore Cte$ibio ton$ore, e$t
autem magnæ Clep$ydræ in$trumentum non ab$imile, $unt enim
fi$tulæ in aquam contortæ, quæ, cùm aqua à iuuene quopiam per-
cutitur, axinis per organum tran$euntibus inflantur, periucũdum-
qúe $onum emittunt. E$t autem arærotundæ hoc in$trumentum
per$imile inuentum<03> Ptolemæi $ecundi Euergit&ecedil; temporibus, de
quo eundem Cte$ibium $crip$i$$e ferunt. Fiebant autem ex ære &
ba$is eligno cum regulis dextra ac $ini$tra $calari regula compactis,
aqua autem in &ecedil;rea arca continebatur. Facilè autem e$t per hæc reli
qua inuenire: nam epi$tomijs includebatur aër at<01> re$erabatur, &
modus erat per uectes: non tamen octo fi$tularũ & exin de uocum
numerum in$trumentum id $uperabat organa no$tra ut lo cupleti-
ora ita a$periora. Liquet ergo $i fabrilis omnis ars ad Architectum
pertinet, illum etiam hacratione oportere e$$e peritum mu$icæ.</P>
<marg>L<I>ib.</I> 5. <I>ca.</I> 5.</marg>
<P>“De Va$is uerò æneis theatri quod melius e$t quàm ut eundem
authorem con$ulamus, dicentem ua$a &ecedil;rea pro ratione magnitudi-
nis theatri ita fabricentur, ut cum tangũtur, $onitum facere po$sint
inter $e diate$$aron diapent, ex ordine addit diapa$on, po$tea inter
$edes theatri con$titutis cellis ratione mu$ica ibi collo centur: ita uti
nullum parietem tangant circa<03> habeant locum uacuũ et à $ummo
capite $patium, ponant<03> inuer$a & hab eant in parte qu&ecedil; $pectat ad
$cenam $uppo$itos cuneos ne minus alios $emipede, contra<03> eas
cellas relinquantur apertur&ecedil; inferiorum graduum cubilibus lon-
g&ecedil; pedes duos altæ $emipedem. Et $i non erit ampla magnitudine
theatrum, media altitudinis tran$uer$aregio de$ignetur, & in ea tre
decim cellæ duo decim æqualib. interuallis di$tantes confornicen&ttilde;
uti ea echea quæ $upra $cripta $unt, ad neten hyperboleon $onan-
tia in cellis quæ $untin cornibus extremis utra<01> parte prima col-
locentur, $ecunda ab extremis diate$$aron ad net&etilde; diezeugmenon,
tertia diate$$aron ad neten parame$on, quarta ad neten $ynemme-
non, quinta diate$$aron ad me$en, $exta diate$$aron ad hypaten me-
$en in medio unum diate$$aron ad hypaten hypaton. Quæ fequun-
tur & ad intelligentiam prædictorum melius ex Gulielmo Philan-
dro emendata $ic tran$cribemus: Eas regiones in tredecim cellas
diuidit æqualibus interuallis: id e$t, cellas paribus uici$sim inter-
<foot>$ticijs</foot>
<p n=>178</p>
$ticijs di$po$itas di$tribuit $ex hinc at<01> hinc & unam mediam, quæ
tamen non u$us, $ed partitionis & re$pon$us cau$a fit in media pr&ecedil;-
cinctione. In ima præcinctione ponuntur ua$a qu&ecedil; habent harmo-
ni&ecedil; ration&etilde;, hoc modo. In cornuũ cellis collocantur quæ $onitũ ha-
bent netes hyperboleon. Sub$equuntur utrin<01> quæ $unt ad neten
diezeugmenon interuallo con$onantia diate$$aron. In tertijs cel-
lis $unt quæ ad neten parame$en interuallo item diate$$aron, quæ
$unt in quartis tono $olummodo di$tant & $unt netes $ynemenon.
In quintis cellis $unt ad me$en interuallo diate$$aron. In $extis cellis
ad hypaten me$on, it&etilde; diate$$aron $patio. In media cella $unt ad hy
paten hypaton interuallo diate$$aron. In media præcinctione $unt
ua$a chromatos, collocantur autem in cornibus ua$a quæ $unt ad
paraneten hyperbolem. In $ecundis cellis ad paraneten diezeugme
nõ $patio diate$$aron, in tertijs ad paraneten hynemenon $patio dia
pente. In quartis ad lichanon me$on interuallo diate$$aron. In quin
tis ad lichanon hypaton, it&etilde; diate$$aron. In $extis ad parame$en &qring;d
$patium ad paraneten hyperboleon e$t diapente ad paraneten hy-
nemenon diate$$aron. In chromatis media cella nulla $unt ua$a,
quod à lichano hypaton ad proslambanomenon, aut ad aliam o-
mnino decem & octo uocum nulla $it con$onantia, $unt enim hæ-
mitonia tantum duo & tonus. In tertia præcinctione collocantur
ua$a diatoni. Etin cornibus quidem ea quæ $unt ad paraneten, hy-
perboleon. In $ecundis cellis ad paraneten diezeugmenon. $patio
diate$$aron. In tertijs ad paraneten hynemenon diapente. In quar-
tis ad lichanon me$on diate$$aron. In quintis ad lichanon hypaton
diate$$aron. In $extis quæ ad proslambanomenon diate$$aron $pa-
tio. In media quæ $unt ad me$en, quod ea ad proslambanomenon
habet con$onantiam diapa$on, & ad lychanon hypaton diapente.”
<marg>L<I>ib.</I> 16.</marg>
Hæc autem ex $igura patent in opere de Subtilitate de$cripta.</P>
<P>Porrò quod ad machinas attinet. Sit catapulta, cuius rudens a b
quam oportet trahere, $i emittere debeat lapi-
<fig>
dem, aut $corpio $agittam ad aliquod $ignum
puta c, cum ergo $onus c a & c b homotenus fue
rit, non $olum æqualiter pertractæ erunt c a &
c b, $ed etiam æquales: nam $i æquales e$$ent, &
in&ecedil;qualiter tractæ, aut in&ecedil;quales & inæqualiter
tract&ecedil; $onũ diuer$um redd&etilde;t euidenter. At $i in-
&ecedil;quales & &ecedil;qual&etilde; $onum reddant, erit tñ ut fidis
notæ quæ $trepitum edit duplicem, & effigiem
oculis multiplic&etilde;, unde $agitta in partem aduer-
$am dirigitur rud&etilde;tis intentioris, at<01> hæc ex Vitruuio eodem dum
de his agit.</P>
<foot>Propo$itio</foot>
<p n=>185</p>
<P>Propo$itio cente$ima$eptuage$ima.</P>
<P>Coniugationes cuiu$uis numeri breuiter inuenire.</P>
<P>Sint gratia exempli dec&etilde; homines, & patet quod po$$ent e$$e $in
<marg>C<I>o.</I> ^{m}</marg>
guli, & hoc dec&etilde; modis, quia $unt dec&etilde;, ut Petrus & Ioannes: item,
po$$unt e$$e omnes $imul, & hoc uno modo tantum, & po$$unt e$$e
duo, & hoc pote$t uariari &qtilde; draginta quin<01> modis: & po$$unt e$$e
octo, & manife$tum e$t, quod totid&etilde; modis uariantur, $cilicet qua-
draginta quin<01>, nam cum erunt octo, duo quirelinquũtur, uariari
po$$unt 45 modis, ergo & illi octo ad ungu&etilde; totidem modis. Et $i-
militer tres quot modis uariantur tot modis $ept&etilde;, & quot modis
quatuor tot$ex: quin<01> autem quia $unt dimidium decem, pluribus
modis uariantur. Etideò pro ordine huius detrahes unũ, ut $i $int
undecim uiri pones decem, $i decem pones nou&etilde;, & colliges natu-
ralem $eriem numerorum, utinfrà uides uno $emper termino defi-
ciente: & expriore ordine, ubi uidebis $emper etiã duplicari nume-
ros: ut 3. 6. in de $ub 6. 10. & 20 àlatere, & $ub 20 35. & à latere 70 du-
plum 35, & $ub
<table>
<row><col>1</col><col>2</col><col>3</col><col>4</col><col>5</col><col>6</col><col>7</col><col>8</col><col>9</col><col>10</col><col>11</col></row>
<row><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col></row>
<row><col>2</col><col>3</col><col>4</col><col>5</col><col>6</col><col>7</col><col>8</col><col>9</col><col>10</col><col>11</col><col></col></row>
<row><col>3</col><col>6</col><col>10</col><col>15</col><col>21</col><col>28</col><col>36</col><col>45</col><col>55</col><col></col><col></col></row>
<row><col>4</col><col>10</col><col>20</col><col>35</col><col>56</col><col>84</col><col>120</col><col>165</col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>5</col><col>15</col><col>35</col><col>70</col><col>126</col><col>210</col><col>330</col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>6</col><col>21</col><col>56</col><col>126</col><col>252</col><col>462</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>7</col><col>28</col><col>84</col><col>210</col><col>462</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>8</col><col>36</col><col>120</col><col>330</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>9</col><col>45</col><col>165</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>10</col><col>55</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
<row><col>11</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row>
</table>
70 126, & à late-
re 252, & hoc <04>
cognitione &qring;d
rectè $is opera-
tus. Secundò a-
nimaduertes $e-
qu&etilde;tes ordines
fieri ex recta li-
nea priorum, ue
lut $extus ordo e$t 7. 28. 84. 210. 462. ita incipiendo in primo ordi-
ne à 7, & tendendo ad dextram, inuenies illos eo$dem numeros ad
unguem, & ita in $eptimo ordine 8. 36. 120. 330. à $ini$tra inuento 8
in primo ordine, & procedendo ad dextram, inuenies 36. 120. &
330. Tertium e$t quod numeri ultimi à medio $unt ijdem, ut 462 &
462. 330 & 330. 165 & 165. 55 & 55. 11 & 11. Et $eor$um, ut dixi, rema-
net 1. Oportetigitur colligere numeros angulares, ut à latere ui-
des, & fit 2047 numerus coniugationum, tot enim modis po$$unt
uariari. Et $i e$$ent decem tantum, ut ab initio propo$ui, primus or-
do finitur ad 10, $ecundus ad 45, tertius ad 120, quartus ad 210, quin
tus ad 252, $extus redit ad 210, $eptimus ad 120, octauus ad 45, no-
nus ad 10, decimus ad 1. Etita colligeretur $umma ex extremis nu-
meris angularibus 1023. Et tot erunt coniugationes. Hic uides quia
numerus 10 e$t par, et quod adempta monade, relinquitur 9, qui e$t
impar quòd medius qui pertinet ad quintum ordinem e$t maxi-
<foot>Q mus,</foot>
<p n=>186</p>
mus, & e$t 252, & e$t coniugatio quinarij: hoc uolui dixi$$e,
<table>
<row><col>11</col></row>
<row><col>55</col></row>
<row><col>165</col></row>
<row><col>330</col></row>
<row><col>462</col></row>
<row><col>462</col></row>
<row><col>330</col></row>
<row><col>165</col></row>
<row><col>55</col></row>
<row><col>11</col></row>
<row><col>1</col></row>
<row><col>----</col></row>
<row><col>2047</col></row>
</table>
ut intelligeres rationes colligendi $ingulos ordines $eor-
$um. Quod ergo attinet ad collectionem maximi numeri,
primus ordo $eruit $emper ultimo relinqu&etilde;do monadem,
& $ecundus penultimo, & tertius antepenultimo, & ita de
alijs, nam $i $ecundus uariatur 55 modis, &'pen-
ultimus uariabitur 55 modis. Et $i tertius uaria-
tur 165 modis, antepenultimus uariatur 165 mo
dis. Et ita de alijs.</P>
<table>
<row><col>10</col></row>
<row><col>45</col></row>
<row><col>120</col></row>
<row><col>210</col></row>
<row><col>252</col></row>
<row><col>210</col></row>
<row><col>120</col></row>
<row><col>45</col></row>
<row><col>10</col></row>
<row><col>1</col></row>
<row><col>----</col></row>
<row><col>1023</col></row>
</table>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Hæc autem ratio $atisfacit multum, & e$t ne-
ce$$aria in temperiebus corporis humani. Vt in
$ecundo, De dentibus. Et etiam ut quælibet di-
$ciplina quàm breui$simè tradi po$sit, ut gratia
exempli, medicina tota in una pagina, dico me-
dicina nõ $olum Græcorum, $ed etiam Arabum
& Latinorum, & etiam longè plus: nam $i tradatur uigintiquatuor
regulis fimplicibus, & ex illis fiant coniugationes 16777215, mani
fe$tum e$t quod erunt regulæ omnes hæ multo plures, quàm con-
tineantur in omnibus libris Græcorum, & Arabum, & Latino-
rum, qui extant. Et tamen per$picuum e$t, uigintiquatuor regulas
una pagina commodi$simè contineri. Et hoc aliâs docui, quan-
quàm credam me erra$$e in $upputatione, nam locum inuenire non
potui. Vnum e$t id certum, quòd hæc ratio quàm nunc explicabo,
e$t uera & demon$tratiua, & facillima.</P>
<P>Cum enim $uperior $it uera & demon$tratiua, non e$t tamen fa-
cilis, & præcipuè in magnis numeris. Et ideò inueni hanc, quæ (ut
dixi) facillima e$t: adde numero propo$ito monadem, in de confla-
ri inuenias numerum à monade in eodem ordine, & ab eo detra-
cta monade habes numerum coniugationum. Exemplum, $i $int
10 adde 1 fit 11. Vndecimus ergo numerus in proportione dupla
e$t 1024, detrahe 1 & relinquantur 1023 numerus coniugationum,
ut in priore $upputatione. Item $i $int 11 numeri adde 1 fit 12, duo de-
cimus ergo numerus in proportione dupla e$t 2048, detrahe 1 re-
lin quuntur 2047, coniugationes 11, ut prius in $uprà $cripto exem-
plo. Et ita pro uiginti quatuor regulis adde 1 fit 25, uige$imus quin-
cus igitur numerus in ordine duplæ proportionis à monade e$t
16777216, ergo detracta monade relin quitur numerus (ut dixi) re-
gularum & coniugationum uigintiquatuor regularum, quæ ta-
men non $int contrariæ inuicem: nam tunc e$$ent pauciores. Et
quia in i$tis numeris duplicandis po$$es facile incidere in errorem,
diuide ultimum per 16, & $i nihil $upere$t, rectè proce$sit opus: $in
<foot>autem</foot>
<p n=>187</p>
autem aliquid $uper$it, aberra$ti. Vtau-
<table>
<row><col>1</col><col>1</col></row>
<row><col>2</col><col>2</col></row>
<row><col>3</col><col>4</col></row>
<row><col>4</col><col>8</col></row>
<row><col>5</col><col>16</col></row>
<row><col>6</col><col>32</col></row>
<row><col>7</col><col>64</col></row>
<row><col>8</col><col>128</col></row>
<row><col>9</col><col>256</col></row>
<row><col>10</col><col>512</col></row>
<row><col>11</col><col>1024</col></row>
<row><col>12</col><col>2048</col></row>
<row><col>13</col><col>4096</col></row>
<row><col>14</col><col>8192</col></row>
<row><col>15</col><col>16384</col></row>
<row><col>16</col><col>32768</col></row>
<row><col>17</col><col>65536</col></row>
<row><col>18</col><col>131072</col></row>
<row><col>19</col><col>262144</col></row>
<row><col>20</col><col>524288</col></row>
<row><col>21</col><col>1048576</col></row>
<row><col>22</col><col>2097152</col></row>
<row><col>23</col><col>4194304</col></row>
<row><col>24</col><col>8388608</col></row>
<row><col>25</col><col>16777216</col></row>
</table>
tem habeas numeros $ingulorum or-
dinum, in quauis multitudine, deduci-
to numerum ordinis à primo, & diui-
de per numerum ordinis ip$ius reli-
quum, & illud quod prouenit, duci-
to in numerum maximum præceden-
tis ordinis, & habebis numerum quæ-
$itum. Velut $i $int undecim, uolo $ci-
re breuiter numeros, qui fiunt ex ua-
riatione trium. Primum deduco pro
$ecundo ordine 1 ex 11 fit 10, diuido per
2 numerum ordinis, exit 5, duco in 11 fit
55 numerus $ecundi ordinis. Inde detra
ho 2, qui e$t numerus differentiæ ordi-
nis tertij à primo ex 11, relinquitur 9, di-
uido 9 per 3 numerũ ordinis exit 3, du-
co 3 in 55 numerum $ecundi fit 165, nu-
merus tertij ordinis. Similiter uolo nu
merum uariationum quatuor, deduco
3 differentiam 4 à primo ordine ab 11,
relinquitur 8. diuido 8 per 4 numerum ordinis, exit 2, duc 2 in 195
fit 330. numerus quarti ordinis. Similiter pro quinto detraho 4 dif-
ferentiam à primo ordine, relinquitur 7, diuido per 5 numerum or-
dinis exit 1 2/5, duco in 330 numerum præcedentis ordinis, fit 462
numerus quinti ordinis.</P>
<P>Ex hoc colligitur manife$tè modus conuertendi proportionem
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
arithmeticam in proportionem mi$tam: dico mi$tam, quia opor-
tet addere monadem in priore numero: dein de quia numerum
terminorum oportet $umere iuxta numerum a$signatum, $cilicet
addita monade: demum, quia oportet detrahere monadem ip$am.
E$t tamen $umpta à proportione Geometrica ut liquet, $cilicet con-
tinua dup la.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$eptuage$imaprima.</P>
<P>Propo$itis duobus quibuslibet numeris, quotuis alios, $eu in
continuum, $eu medios in continua proportione arithmetica, geo-
metrica & mu$ica inuenire.</P>
<P>Hæc tota propo$itio pendet ex intellectu diffinitionis earum.
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
Sint ergo propo$iti duo numeri 2 & 3, & uelim tertium in conti-
<marg>D<I>iff,</I> 20.</marg>
nua proportione arithmetica, duplico quemuis, ut pote 3 fit 6, de-
<foot>Q 2 traho</foot>
<p n=>188</p>
traho 2, reliquum remanet 4 tertius numerus. Item uolo quar-
tum, duplico 4 fit 8, detraho 3 remanet 5 quartus numerus: item
uolo minorem 3 & 2, duplico 2 fit 4, detraho 3 remanet 1, $i autem
uellem minorem uno, non po$$et, quia e$$et nihil, $ed cre$cendo
pote$t extendi in infinitum, ita capio 2, & <02> 10, duplico <02> 10, fit <02>
40, detraho 2, remanet <02> 40 m: 2, & ita $i uolo quartum numerum,
duplico <02> 40 m: 2 fit <02> 160 m: 4, detrahe <02> 10 ex <02> 160 m: 4, re-
manet <02> 90 m:4, & ita 2 <02> 10 <02> 40 m: 2, & <02> 90 m: 4, $unt in con-
tinua proportione arithmetica, & ita pote$t extendi in infini-
tum. Sed $i uellem unum, aut duos, aut tres terminos, uel quouis
medio 5 arithmeticæ, diuido differentiam per 1 p:numero termi-
norum, & partes addo minori numero. Exemplum, uolo tres nu-
meros medios inter 2 & 7 in continua proportione arithmeti-
ca, detraho 2 à 7 remanet 5, diuido 5 per 1 p: quam 3, id e$t per 4,
exit 1 1/4, adde ergo 1 1/4 ad 2 fit 3 1/4 primus terminus, cui adde iterum
1 1/4 fit 4 1/2 $ecundus terminus, cui adde iterum 1 1/4 fit 5 3/4 tertius
numerus: fient ergo quinque termini, hoc modo in continua pro-
portione arithmetica 23 1/4 4 1/2 5 3/4 & 7. Rur$us uolo totidem, uolo
inter 2 & <02> 32, detraho 2 ex <02> 32 remanet <02> 32 m: 2, diuido per 4,
qui e$t 1 p: numero terminorum, exit <02> 2 m: 1/2, addo ergo <02> 2 m:
1/2 ad 2 fit 1 1/2, p: <02> 2 primus terminus, cui iterum addo <02> 2 m: 1/2 fit
<02> 8 p:1, $ecundus terminus, cui etiam addo <02> 2 m: 1/2 fit <02> 18 m:
1/2, & ita habes tres terminos medios in continua proportione
arithmetica inter 2 & <02> 32, & ita $i uelles quatuor terminos, diui-
deres differentiam per 5, & $i uelles quinque, diuideres per $ex. &
ita de alijs quibu$cunque.</P>
<P>Pro Geometrica proponantur, gratia exempli, 2 & 4, $i uelim in
continua proportione tertium, duco 4 in $emet fit 16, diuido per 2
exit 8. & $i uelles quartum duc 8 in $e fit 64, diuide per 4 exit 16
quartus terminus, & ita in infinitum, & $i uelles minorem 2, duc 2
in $e fit 4, diuide 4 per 4 exit 1 tertius terminus, & ita $i uelles mino-
rem. duc 1 in $e fit 1, diuide per 2 exit 1/2 quartus terminus, & ita ha-
bes quo$uis terminos, & e$t $imilis arithmeticæ hæc operatio, $ed
in arithmetica duplicamus unum terminum, & detrahimus alium:
in geometrica multiplicamus unum terminum ad productum, &
diuidimus per alium. Et $i uelim terminum in continua proportio-
ne 2 & <02> 10, duco eodem modo <02> 10 in $e fit 10, diuido per 2 fit 5
tertius terminus, & uelim quartum, duco 5 in $e fit 25, diuido per <02>
10 exit <02> 62 1/2 quartus terminus.</P>
<P>Et $i uelles plures terminos medios in <04>portione geometrica, de
ducito maius extremum in $e $ecundũ denomination&etilde; inferior&etilde;, id
<foot>e$t, $i</foot>
<p n=>189</p>
e$t, $i uolo duos terminos $emel, & dein de in minorem, & <02>
cubica producti e$t $ecundus terminus, idem facio de minore in
$e in de in maiorem, & accipio <02> cu. Exemplum, uolo duos termi-
nos inter 2 & 3, duco 3 in $e fit 9, duco 2 in 9 fit 18, capio <02> cu. 18. hic
e$t unus terminus, & ita duco 2 in $e fit 4, duco in 3 fit 12, capio <02> cu.
12 pro $ecundo termino. Et $i uolo tres terminos, duco 3 in 3 fit 9, du
co 3 in 9 fit 27, duco 2 in 27 fit 54, & <02> <02> 54 e$t primus terminus.
Item duco 2 in 2 fit 4, duco 3 in 3 fit 9, duco 4 in 9 fit 36, & <02> <02> 36, id
e$t, <02> 36 e$t $ecundus terminus, $imiliter duco 2 ad $uum cubum fit
8, duco 3 in 8 fit 24, & <02> <02> 24, e$t tertius terminus. Similiter uolo
quatuor terminos medios, duco 3 in 3 fit 9, duco 9 in 9 fit 81, duco 2
in 81 fit 162, & <02> relata prima 162, e$t primus terminus, item duco 2
in 2 fit 4, & 4 in 4 fit 16, & 3 in 16 fit 48, & <02> relata prima 48 erit
quartus terminus, item ducendo 3 ad cubum fit 27, & 2 ad quadra-
tum, & fit 4, & 4 in 27 fit 108, & <02> relata prima 108, erit $ecundus
terminus, & $imiliter ducendo 2 ad cubum fit 8, & 3 ad quadratum
fit 9, & 9 in 8 fit 72, & <02> relata prima 72 e$t tertius terminus. Habe-
bis ergo terminos in continua proportione 2, id e$t, <02> relata pri-
ma 32, <02> relata prima 48, <02> relata prima 72, <02> relata prima 108, <02>
relata prima 172, & <02> relata prima 243, quod e$t 3, & ita de alijs in
infinitum.</P>
<P>At pro mu$ica, $i $int exhibiti duo numeri minores utpotè 2 & 3,
uelim tertium terminum, diuido 2 per 1 differentiam exit 2, detraho
1 pro regula remanet 1, diuido 3 maiorem terminum per 1 exit 3, ad-
de 3 ad 3, fit 6 maior terminus. Similiter capio 3 & 4, diuide 3 mino-
rem terminum per 1 differentiam exit 3, detrahe 1 pro regula, relin-
quitur 2, diuide 4 terminum medium per 2 exit 2, adde ad 4 fit 6 ma
ior terminus. Stiphelius autem erat in $ua regula, nam $ic 12 4 & 3
e$$entin continua proportione mu$ica ex $ua regula. Dico ergo,
quod $i proponantur 5 & 7, & uelim mu$icam proportionem con-
tinuare, detraho 5 de 7 relinquitur 2, diuido 5 per 2 exit 2 1/2, detra-
he 1 pro regula remanet 1 1/2, diuide 7 per 1 1/2 exit 4 & 2/3, adde ad 7
fit 11 2/3, reduc ad integra multiplicando omnia per 3, habebis
35, 21, & 15, in continua proportione mu$ica, nam 35 ad 15 e$t ut 7
ad 3, & 14 ad 6, e$t ut 7 ad 3, e$t autem 14 differentia 21 & 35, & 6 dif-
ferentia 21 & 15, & ita po$$es continuare inueniendo quartum,
quintum, $extum, in infinitum. Rur$us $int propo$iti duo termini
maiores, uelut 6 & 4, detrahe 4 à 6 exit 2, diuide 6 per 2 exit 3, ad-
de 1 pro regula fit 4, diuide 4 minorem terminum per 4 exit 1, de-
trahe 1 ex 4, relinquitur 3 minor terminus, & ita propo$itis 6 & 3
<foot>Q 3 differentia</foot>
<p n=>190</p>
differentia e$t 3, diuide 6 per 3 differentiam exit 2, adde 1 pro re-
gula fit 3, diuide 3 per 3 exit 1, detrahe ex 3 relinquitur 2 minor ter-
minus, & ita potes inuenire quotuis. Gratia exempli, habeo 3 & 2
maiores, capio 1 differentiam, per quam diuido 3 exit 3, addo 1
fit 4, diuido 2 minorem terminum per 4 exit 1/2, detrahe 1/2 ex
2, relinquuntur 1 1/2, erunt ergo 32 & 1 1/2, 1. 6. 4. 3. duplican-
do 2, ut prius in continua proportione mu$ica, quia ergo 632
$unt in continua proportione mu$ica, & 32, & 1 1/2 $unt in con-
tinua proportione mu$ica, erunt duplicando 3. 4. 6. 12. in con-
tinua proportione mu$ica. Rur$us $int propo$iti maior, & mi-
nor terminus, ut 6 & 2, diuides maiorem per minorem exit 3,
cui addes 1 fit 4, diuide 4 differentiam 6 à 2 per 4 iam inuentum
exiti, adde ad 2 fit 3 medius terminus, $imiliter inter 6 & 3, uolo me-
dium terminum in proportione mu$ica, detraho 3 à 6, relinquitur
3, $imiliter diuido 6 maiorem terminum per 3 minorem terminum,
exit 2, addo 1 pro regula fit 3, diuido 3 differentiam iam $eruatam
per hoc 3 iam inuentum exit 1, addo ad 3 minorem terminum fit 4,
medius terminus, $ic uolo inter 4 & 6 medium terminum in con-
tinua proportione mu$ica, diuido 6 per 4: exit 1 1/2, addo ei pro re-
gula fit 2 1/2, diuide 2 differentiam 4 & 6 per 2 1/2 exit 4/5, adde ad 4
fit 4 4/5 terminus medius, duc omnes in 5, habebis integros nume-
ros 30, 24 & 20, & $unt pulcherrimæ regulæ, quia po$$es diui-
dere 24 & 20 interponendo medium, id e$t capiendo 6 & 5, diui-
de 6 per 5 exit 1 1/5, adde 1 pro regula fit 2 1/5, diuide 1 differentiam
per 2 1/5 exit 5/11, adde ad 5 fient termini 5 5/11 & 6, reduc ad integra fi-
ent 55. 60. 66. & quia 30. 24. & 20, etiam erant in continua propor-
tione, & 30 ad 20, erat $exquialter, ideò capiam $exquialterum ad
55, & e$t 82 1/2, erunt ergo 82 1/2 66. 60. & 55. in continua proportio-
ne mu$ica, ergo duplicando 165 132 120 & 110, erunt in continua
proportione.</P>
<P>Adnotat Stiphelius, quod cum fuerint tres termini in continua
proportione geometrica, & inter primum & tertium interpo$itus
fuerit terminus in continua proportione arithmetica, quod ibi
erit proportio mu$ica, & dat exemplum de 12. 9. 8 & 6, $ed ita e$t in-
telligendum, ut a$$umpta proportione arithmetica, ut potè 12 9 &
6, in de ut e$t 9 ad 6, ita fiat 12 ad 8, tunc i$ti tres termini 128 & 6 e-
runt in continua proportione mu$ica. Et hoc e$t pulchrum, $i ita in-
telligatur, $cilicet ex proportione Geometrica & Arithmetica con-
$tituere proportionem mu$icam.</P>
<foot>Ex hoc</foot>
<p n=>185</p>
<P>Ex hoc patet &qring;d in proportion&etilde; Arithmetica & mu$ica $emper, $i
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
duo termini fuerint numeri, tertius erit numerus, & in Geometrica
idem erit, $i medius & extremus fuerint numeri, erit alter extremus
numerus, $ed tamen $i unus euariet, omnes poterunt e$$e diuer$i.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$eptuage$ima$ecunda.</P>
<P>Proportiones Stiphelij de$cribere.</P>
<P>Con$iderauit Michael Stiphelius quod $ump$it à Bo&etilde;tio, qua$-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
dam inueniri proportiones tribus numeris con$titutis, quæ in nul-
lo trium primorum generum continerentur, $ed quædam tamen
geometricis aliæ mu$icis a$similarentur, prima ergo Geometrica-
rum e$t, quoties proportio $ecundæ ad primam fuerit, uelut diffe-
rentiæ $ecundæ & primæ ad differentiam $ecundæ & tertiæ. Velut
<marg>2 1</marg>
capio 2, 4, 5, proportio 4 ad 2 e$t dupla talis e$t 2 differentiæ 4 & 2
<marg>2 4 5</marg>
ad 1 differentiam 5 & 4, nam in uera proportione Geometrica fit
conuer$o modo, quia proportio $ecundæ ad primam e$t, uelut dif-
ferenti&ecedil; tertiæ & $ecundæ ad differentiam $ecundæ à prima ut in 4.
6. & 9 proportio 6 ad 4 e$t uelut 3 differentiæ 9 ad 6 ad 2 differen-
tiam 6 & 4.</P>
<P>Secũda proportio quam ille appellat po$teriorem, e$t in qua pro
portio tertij ad $ecundum e$t uelut differentiæ primi & $ecundi ad
differentiam $ecundi & tertij: Velut capio 1, 4, 6, proportio 6 ad 4
<marg>3 2</marg>
tertij $cilicet, & $ecundum e$t uelut 3 differentiæ 4 & 1, ad 2, differen-
<marg>1 4 6</marg>
tiam 6 & 4, & hæc $imiliter differt à Geometrica uera in eo quo in
Geometrica uera oporteret, ut proportio tertij ad $ecundum e$$et
ut differentia tertij & $ecundi ad differentiam $ecundi & primi. Dif-
fert à priore, quoniam in illa differentiæ $eruant eundem ordinem,
quanuis transferantur in hac uerò fit conuer$us modus.</P>
<P>Tertia e$t ut $it proportio differentiæ primæ & tertiæ ad diffe-
rentiam primæ & $ecundæ, uelut $ecundæ ad primam, in Geometri
ca autem e$$et $icut aggregati $ecundæ & primæ ad ip$am primam,
tales ergo quantitates erunt uelut 4, 6, 7, nam proportio 6 ad 4 e$t
<marg>3</marg>
uelut 3 differentiæ 4 & 7 ad 2 differentiam 4 & 6.</P>
<marg>4 6 7</marg>
<marg>2</marg>
<P>Quarta proportio $imilis Geometricæ e$t cum fuerit proportio
differentiæ primæ & tertiæ ad differentiam tertiæ & $ecund&ecedil;, uelut
$ecundæ ad primam, uelut in 2, 3, 5 proportio differentiæ 5 & 2 quæ
<marg>3</marg>
<marg>2 3 5</marg>
e$t 3 ad differentiam $ecundæ & tertiæ, quæ e$t 2 e$t uelut 3 quantita
<marg>2</marg>
tis $ecundæ ad 2 quantitatem primam.</P>
<P>Prima aut&etilde; harmonicarũ quæ notha e$t nec legitima, hoc modo
$umitur: Vt $it proportio primæ ad tertiam uelut differentiæ $ecun
<marg>1 2</marg>
dæ & tertiæ ad differentiam $ecundæ & primæ, ueluti capio 6 pri-
<marg>6 5 3</marg>
mam 5 $ecundum 3 tertiam proportio 6 ad 3 e$t dupla $icut 2 diffe-
<foot>Q 4 rentiæ</foot>
<p n=>186</p>
rentiæ $ecundæ à tertia ad 1 differentiam $ecundæ à prima. Manife-
$tum e$t autem quod in uera harmonica proportio differentiarum
e$t primæ & $ecundæ ad illam quæ $ecundæ & tertiæ.</P>
<P>Secunda notha harmonica e$t, ut $it propor-
<fig>
tio primæ ad tertiam, uelut differentiæ primæ à
tertia ad differentiam $ecundæ à tertia, ponatur
25, prima 21, $ecunda 15, tertia proportio 25 ad 15
e$t uelut 10 differentiæ prim&ecedil; à tertia ad b differen
tiam $ecundæ à tertia.</P>
<P>Tertia e$t $imilis priori, ni$i quod $umitur dif-
<fig>
ferentia primæ à $ecunda pro ultimo termino. Ex-
emplum, 25 primus terminus, 19 $ecundus, 15 ter-
tius, proportio 25 ad 15 e$t uelut 10 differentiæ pri-
mæ a tertia ad b, differentiam primæ à $ecunda.
Has proportiones quanquàm exiguæ utilitatis, proponere uo-
lui, ut excogitatis aliquibus demon$trationibus, uelut $uperius
diximus, pulchra theoremata & problemata tradi po$$ent.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$eptuage$imatertia.</P>
<P>Circulum $uper centro $uo mouere æqualiter, ita quòd omnia
illius puncta per rectam lineam moueantur ultro citro <01>.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit a centrum circuli b c, & æqualis ei
<fig>
circulus d e, centrum eius b in circumfe-
rentia circuli b c, fixum ita ut ibi mouea-
tur ad motum circuli b c: & moueatur b
uer$us c æqualiter, & e contrario motu
etiam regulariter, & duplo uelocius ex e
uer$us d, dico omnia puncta d e moue-
ri in linea recta, & primum capio pun-
ctum d, quod $it in linea recta centro-
rum: & moueatur b ad c, & $i circulus d e
e$$et immobilis, palam e$t quòd pun-
ctum d cum $it in una linea a b, cum b
perueniret in c, d e$$et in linea a c, putà in
h $ecundum quantitatem, ergo b d ex
<marg>P<I>er</I> 20. <I>ter
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
centro c, de$cribo circuli portionem h k,
duco etiam c k, erit ergo angulus h c k
duplus a, quare arcus h k duplus b c,
nam con$i$tunt in centris circulorum æ-
qualium: igitur cum ex h motu conuer$o, & duplo ueloci in codem
tempore feratur d perueniet in k, & ita $ecundum rectam lineam
erit motum eadem ratione ex d in k, quod erat demon$trandum.</P>
<foot>Ex hoc</foot>
<p n=>187</p>
<P>Ex hoc patet quòd quando b
<fig>
<marg>C<I>or</I>_{m}. 1.</marg>
erit in c peracta quarta circuli, ut in
$ecunda figura erit per motum l e
in a: nam cum d a $it dupla c b, igi-
tur in eodem tempore l perueniet
ad a, in quo b perueniet ad c.</P>
<P>Dico etiam, quod quãdo b per-
<marg>C<I>or</I>_{m}. 2.</marg>
ueniet ad fin prima figura, d perue-
niet ad g, quia permeabit totum cir
culum, & a b d $unt in una recta li-
nea. Et cum b perueniet ad m in $e-
cunda figura, d rur$us perueniet ad a centrum.</P>
<P>Ex hoc patet, quòd punctum d permeabit lineam rectam æqua-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg>
lem duplo diametri unius circuli, id e$t, quantum e$t linea a g in pri
ma figura.</P>
<P>Sequitur etiam, quòd d punctum meabit et remeabit per rectam
<marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg>
lineam ag, peragendo bis eam in uno circuitu circuli b c, $eu duo-
bus circuitibus d e.</P>
<P>O$ten damus modo, quod pun
<fig>
ctum d extra lineam centrorum, $ci
licet in linea d c a f tran$ibit per re-
ctã eandem, ut in tertia figura pro-
ducatur c d u$<01> ad k, ita ut c k $it
æqualis c a, erit ergo punctus d pri
mæ figuræ m è regione k tertiæ, &
dum c mouetur ad e, d perueniat
ad g, erit ergo e g æqualis ea, & $e-
cet circulus g h rectam a d in h, &
ducatur c h. Et erit ut prius angu-
lus h e g duplus h a g, ergo arcus
<fig>
g h duplus e c, ergo g remeauit in
h in tempore quo c feretur in e,
quare d de$cendit per rectam in h.</P>
<P>Dico rur$us, quòd quanto ma-
gis d erit propinquum lineæ d g,
tanto minus de$cendet in recta,
quanto magis propinquum longi
tudinibus medijs, tãto celerius mo
uebitur, adeò ut in $ecunda figura
apparet motum ex d in g, non de$cendit ni$i per d n, & motum ex g
in l de$cendit ex n in a centrum fixum. De$cendat ergo ex e in h & h
<foot>Q 4 in k</foot>
<p n=>188</p>
in k per arcus æquales, & ducantur arcus h l & k m. Quia n m & n l
$unt minores quarta circuli, & maiores $unt f e & fl, & angulus an-
gulo non minor, patet propo$itum. Ita ergo motus, ut appropin-
quant pũctis medijs $unt uelo ciores, & in æquali di$tãtia æquales.</P>
<P>Et hoc inuentum fuit Ludouici Ferrarij, cuius meminimus in Ar
te magna, & nos ei $ub texuimus ex no$tra inuentione, cuius ille de-
mon$trationem inuenire nequiuit.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$eptuage$imaquarta.</P>
<P>Progre$$us & regre$$us tam $ine latitudine, quàm cum latitudi-
ne in planetis per $olos concentricos circulos æqualiter motos de-
mon$trare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit eclyptica a b c d, & arcus regre$$us b c in partes
<fig>
quatuor æquales diui$us, & de$cribantur circuli duo b
h & e k $uper e & f, & $upponatur orbis $uperior $ub
eclyptica tamen, cuius polus in f, qui circumagatur in du
plo temporis retroce$$us planetæ, & in di$tantia circuli
e k $ub puncto e eclypticæ, polus alterius orbis concen-
trici inferioris, qui circumagatur in tempore retro ce$$us
planetæ, & planeta $it in puncto 6, liquet ergo quòd pla
neta ille in uno circuitu e k circuli permeabit b c & re-
meabit, & $emper erit $ub ip$a eclyptica. Sed enim eclyptica habet
rationem rectæ lineæ, ut quiuis circulus maximus. Et $i quis relu-
ctetur fingamus rectam $ubten$am arcui b c, & aliam po$tmodum
æquidi$tantem in eadem $uperficie, & in orbe inferiore, & tunc pa-
tebit liquidò propo$itum. Sed $i uelim latitudinem de$cribam, ma-
ximam latitudinem à puncto b, & ducam circulum magnum per
punctum illud: reliqua ut prius, ad unguem: nihil enim refert quod
ad demon$trationem præcedentis attinet, $eu a d ponatur eclypti-
ca, $eu alius circulus magnus.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex hoc patet cau$a cur retroce$$us in initio, & in fine $int exigui,
in medio $int magni imò maximi, & quomodo perpetuò uarietur
latitudo in tempore retro ce$$us, & ratio omnium, & $imiliter de in-
crementis & uelocitate motus.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Ex hoc $equitur, quod cum erratica fuerit in centro $eu polo f, &
tunc mouetur uelo ci$símè, quòd tamen erit in oppo$ito $olis, &
tunc etiam ibi erit ip$e polus, quare alter erit cum ip$o $ole.</P>
<marg>C<I>or</I>_{m}. 3.</marg>
<P>Et quia dum motus e$t ueloci$simi $ecundum ordinem $igno-
rum, tunc erratica $uperior e$t $oli iuncta, e$t<03> in polo, oportet ut
polus fmoueatur $ecundum ordinem $ignorum, adeò ut cum $ol
peruenerit ad illius oppo$itum, orbis $uperior dimidium perfecerit
<foot>circuitus</foot>
<p n=>195</p>
cir cuitus, inferior autem integrum. Ergo orbis $uperior tanto tar-
diùs mouetur $ole, quantum e$t id quod peragit polus $ine æquali
motu in orbe $ignorum, per motum circunducentis orbis $uperio-
ris in tempore dimidij circuitus. Inferior ergo cum moueatur du-
plo uelociùs $uperiore, ut dictum e$t, igitur duplo uelo cius $ole, ni-
$i quantum e$t duplum motus poli $uperioris per motum orbis
circunducentis.</P>
<head>SCHOLIVM I.</head>
<P>Intelligo autem per arcum retro ce$$us non $olum illum quo pla-
neta retrocedit, nam hic e$t longè minor arcu proce$$us, $ed in quo
motus in æqualis e$t minor æquali, palam autem e$t hunc fore æ-
qualem arcui uelocioris motus quàm $it motus æqualis.</P>
<head>SCHOLIVM II.</head>
<P>Cum ergo, dum erratica e$t in polo orbis $uperioris, ibi quie$cat
motu eius, motu autem inferioris orbis ueloci$simè moueatur $eu
progrediendo $eu regrediendo motu<03> cir culari, & tamen per re-
ctam lineam, igitur uideretur quòd motus circularis partes po$$et
tran$ire in rectum. Re$pondeo quòd $ufficit $ola inclinatio ob ma-
gnitudinem anguli: nam dum $ydus transfertur extra centrum mo-
tu orbis inferioris, mouetur uelociter quo ad angulum motu orbis
$uperioris.</P>
<P>Propo$itio cente$ima$eptuage$imaquinta.</P>
<P>Cau$am uarietatis diametrorum ex $uppo$itis concentricis de-
mon$trare.</P>
<P>In tribus $uperioribus planetis & quibu$cun<03> $tellis octaui or-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
bis manife$tum e$t, quòd pars quæ re$picit nos quantò remotior
fuerit à Sole, tãto magis illuminatur. Manife$tum e$t etiam & expe-
rimento & ratione, quòd illud quod magis lucet, & e$t illuminatũ
à Sole in nocte, maius uidetur, $icut etiam de facibus nocturnis. Et
rur$us, quod $ub $tantia orbium circa loca quæ habentur pro polis
e$t den$ior, & quod res in medio den$o apparent maiores, $icut de
pi$cibus in aqua, denarijs & baculis. Demon$tratum aũt e$t in præ-
cedenti, quod quando $tella fuerit in polo orbis $uperioris, quòd
tunc maximè retrocedit, & ideò cum in tempore maximi retro ce$-
$us $it in oppo$ito Solis dũ tres $uperiores $unt in oppo$itu Solis,
multo maiores duabus ex cau$is e$$e uidentur, & iuxta proportio-
nem propinquitatis ad Solem commutant quantitatem & tanto
minores apparent, quia non po$$unt, commutare formã, uelut Lu-
na propter æqualitatem $ub$tanti&ecedil; & luminis proprij copiam, qu&ecedil;
non $init di$cerni uarietatem figur&ecedil;. In Luna autem $ecus e$t, nam in
<foot>ip$a</foot>
<p n=>196</p>
ip$a di$cernitur ob paucitatem luminis proprij figuræ uarietas, &
ob id non apparet maior, imò minor aut mediæ quantitatis in op-
po$ito Solis, $ed maxima in longitudinibus medijs, quoniam ibi
$unt poli motus uarietatis ut dictum e$t, qu&ecedil; habet locum retro ce$-
$us, $ed ob motus paruitatem Luna non pote$t retrocedere, uerùm
$olùm motus tardatur. Nam licet den$itas $it in cœlo $uperiore &
motus uelox nihilominus efficit imaginem maiorem, $icut apparet
de pi$ce in magna aqua in medio, & in parua in imo, nam in parua
uidetur longè maior quàm in magna, licet $it in æquali di$tantia. In
Venere autem & Mercurio eadem e$t ratio di$tantiæ à Sole ut di-
ctum e$t in præcedenti. Cum ergo $ub Sole multum moueantur
motu differentiæ uel $ecundum $ucce$sionem, uel contra $ucce$-
$ionem in medijs longitudinibus, parum tunc uidentur e$$e mino-
res, quia $unt remotiores à polo orbis $uperioris. Quod autem pro
pinqui coniunctioni Solis, & ueloces uideantur minores, i$tud
contingit ob primam cau$am, quia minus illuminantur, ea parte
quæ ad nos uergit. Re$tat ergo $olum o$tendere cur propinqui
Soli & in retroce$$u uideãtur maiores, cùm utra<01> ratio ob$tet, $unt
enim remoti à polo orbis $uperioris & propinqui Soli, cau$a e$t
quoniam apparent $olùm in crepu$culis quando $unt $ic di$po$iti,
& tunc aër e$t cra$sior. Quæ cau$a facit, ut neque dum ueloci$simi
$unt $emper parui uideantur, ideò non pote$t con$titui certa ratio.
imò i$ta deducta $unt potius ex fundamento fal$o illius figmen-
ti, quam ex $en$u (ita enim argumentantur) retro cedunt, ergo $unt
propinquiores terræ, ergo uidentur maiores, & ita fingunt $en-
$u $ehabere quod fal$a ratione o$tendere uidentur. quod<03> i$tud
$it uerum, patet quia nullum in$trum&etilde;tum etiam in aëre clari$simo
Aegypti pote$t o$tendere differentiam minorem $exminutis, &
hic e$t fermè diameter Mercurij, nec tanta e$t differentia in Venere.
Reliquum e$t ut $atisfa ciamus obiectioni quam faciunt de diuer-
$itate magnitudinis Lunæ propter eclip$im, nam uidetur e$$e ali-
quando maior, & aliquando minor in æquali di$tantia à $ectione
capitis & caudæ draconis, adeò ut non uideatur po$$e a$signari. di
co ergo huius cau$am e$$e umbram ip$ius Lunæ dubiam, $icut eti-
am in crepu$culis, quoniam Sol in diuer$o $itu facit diuer$am um-
bram comparatione oculi no$tri, maior e$t enim in hyeme quàm
in æ$tate, & quæ e$t propior nobis quàm quæ procul, & quæ e$t in
meridie quàm iuxta Ortum uel Occa$um, & ideò tam parua diffe-
rentia & incerta, & quæ aliquando uariat, nullo modo uitiare po-
te$t rationem motuum æternorum.</P>
<foot>Propo$i-</foot>
<p n=>197</p>
<P>Propo$itio cente$ima$eptuage$ima$exta.</P>
<P>Rationem centri grauitatis declarare.</P>
<P>Duplicem rationem c&etilde;tri grauitatis inuenit Archimedes, unam
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
$u$pen$orum ponderum: alteram $upernatantium aquæ, in qua-
rum utra<01> $ubtilitatis certè e$t quantum dignum e$t authore illo
ingenio $i$simo, $icut etiam in elica linea, fructus autem non pro ra-
tione laboris, ne<01> enim ab ætate illa u$que nunc inuentus e$t qui$-
quam, qui potuerit docere, nec ille idem quæ nam utilitas ex huiu$-
modi contemplatione haberetur, propterea totum hoc una propo
$itione conclu$imus.</P>
<P>Dico igitur quòd c&etilde;trum grauitatis in appen$is æqualibus qua-
dratis aut quadrilateris parallelis e$t, ubi$e inter$ecant duæ diame-
tri. Et quod in triangulis e$t punctus in quo concurrant tres lineæ,
duct&ecedil; ab angulis ad latera illa per æqualia $ecando. In quadrilatero
autem trapezio centrum grauitatis e$t in puncto lineæ, quæ $ecat
ambo latera oppo$ita per æqualia, ita ut proportio partis eius li-
neæ, quæ intercipitur à minore æquidi$tantium, ad partem quæ in-
tercipitur à maiore æquidi$tantium, $it ueluti dupli maioris æqui-
di$tantium cum minore ad duplum minoris æquidi$tantium cum
maiore. Cuiu$cun<03> portionis à recta linea, & rectanguli coni $ecti-
one comprehen$æ, centrum grauitatis diuidit diametrum portio-
nis, ita ut pars eius ad uerticem terminata, $it ad partem eam $exqui-
altera, quæ ad ba$im portionis terminatur. Cuiuslibet fru$ti à $ecti-
one rectanguli coni ablati, centrum grauitatis e$t in linea recta, qu&ecedil;
fru$ti exi$tit diametros: qua in quinque partes æquas diui$a, cen-
trum in quinta eius media exi$tit, atque in eo eius puncto quo ip$a
quinta $ic diuiditur, ut portio eius propinquior minori ba$i fru-
$ti ad reliquam eius portionem eam habeat proportionem, quam
habet $olidum, cuius ba$is $it quadratum lineæ illius quæ fru$ti ba-
$is maior extiterit.. Altitudo ueró i$tis utri$que $imul æqualis lineæ
quæ dupla $it minoris ba$is fru$ti, & ba$i maiori eiu$dem, ad $oli-
dum quod ba$im habeat quadratum ba$is minoris fru$ti, altitudi-
nem uero i$tis utri$<01> $imul æqualem lineæ quæ dupla $it maioris
ba$is, & ba$i minori. Et hæc de prima, multa qúe alia pulchra de-
clarat Federicus Comandinus, in $uo libro de Centro grauitatis, ut
pote. Quod cuiuslibet portionis conoidis rectanguli axis à cen-
tro grauitatis ita diuiditur ut pars, quæ determinatur ad uerticem
reliquæ, quæ ad ba$im terminatur dupla $it, & longè $ubtiliora qu&ecedil;
quilibet uidere poterit apud illum.</P>
<foot>SCHOLIVM.</foot>
<p n=>198</p>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Partes omnes con$entiunt in grauitatem medij, quoniam una
aliam non uult centro mundi fieri propiorem.</P>
<P>De $ecunda præcipua $unt, quod $i magnitudo aliqua humido
leuior ea in grauitate proportionem habebit ad humidum &ecedil;qualis
molis, quam pars magnitudinis demer$a ad totam magnitudinem,
& hoc intelligitur quando magnitudo illa fuerit è genere $olido-
rum rectorum & rectangulorum. Secunda e$t, quòd quæ $imilia
$unt $uperficiebus, ita ut axem habeant in medio, $ecundum $itum
axis merguntur & prominent, & $i aliter mergantur, redeunt. Ter-
tia, quod qu&ecedil; angu$tiora $unt, ab oppo$ita parte uerò latiora, incli-
nantur ad partem acutiorem, quia $ic facilius de$cendunt. Quarta
e$t, de corporibus non æqualibus, ip$a enim nece$$e e$t, ut ab hac $e
inflectant, & ratio horum diuer$a e$t iuxta rationem proportionis
partium quæ merguntur adinuicem. Quinta e$t, quòd mer$a in hu-
mido, quanto minus mer$a fuerint, tanto facilius & eo frequenti-
us commutantur.</P>
<P>Propo$itio cente$ima $eptuage$ima$eptima.</P>
<P>Si proportio aliqua ex duabus proportionibus eiu$dem quanti
tatis ad alias duas componatur: erit proportio illarum duarum ea-
dem proportioni producti ex proportione in primam duarum
quantitatum detracta priore illa quantitate, quæ ad duas compara
tur, ad eandem priorem quantitatem.</P>
<P>Sit proportio a ad compo$ita ex proportionibus c
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<fig>
ad d & c ad e, dico quòd proportio d ad e e$t, ut produ-
cti ex proportione in d detracto c ad ip$um c. Et nos
$uperius expo$uimus conuer$am huius. Erit enim per
$ecundã demon$trationem illius proportio a ad b, uelut producti
ex c in d, & e ad productum d in e: at productum d in e & in propor
tionem, e$t idem quod productum proportionis in d in ip$um e: igi
tur cum in uno $it productum e in c, & d in c, in alio productum a b
in d in de in e, quæ $unt æqualia, detracto producto e in c ex produ-
cto proportionis in d & inde in e, relinquetur, productum c in d æ-
quale producto a b .i. proportionis in productum d in e, detracto
numero c in e: igitur ducto c in d, & diui$o per productum a b in d
numero c, exibit e, igitur cum illud productum fiat ex d, $cilicetin c,
& ex e in productum proportionis in d dempto numero c, erit pro
portio d ad e, uelut producti ex d in proportionem, detracto e ad
ip$um c, uelut c $it 12, d 4, e 6, a b erit 5 proportio d ad e, uelut d in a b,
id e$t 20, detracto c, & e$t 8 ad c 12.</P>
<foot>Ex</foot>
<p n=>199</p>
<P>Ex demon$tratione $equitur, quod qualis e$t proportio e ad a b,
<marg>C<I>or</I>m.</marg>
talis e$t producti d in e, ad aggregatum eorum. Si quis ergo dicat,
habeo 10, & uolo inuenire duas quantitates, quarum differentia $it
1, & proportio 10, ad eas componat quintuplam, dices quintupla
e$t dimidium 10, igitur in uenias duas quantitates, quarum differen
tia $it 1, & proportio producti unius in alteram ad aggregatum $it
dupla. Et hoc e$t manife$tum.</P>
<P>Propo$itio cente$ima $eptuage$imaoctaua.</P>
<P>Proportionem mi$tionis metallorum, maximè auri & argenti
declarare.</P>
<P>Dubium non e$t, quod mi$tio non cogno$catur ducto ponde-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
re totius in partem auri uel argenti, & productis collectis diui$o
aggregato per aggregatum ponderis, idqúe e$t per $e manife-
$tum, nam qualis e$t proportio partis ad partem, talis e$t totius ad
totum.</P>
<P>Sed e$t genus mi$tionis, quod uocant con$olationem. Veluti,
uolo ex argento perfectionis decem & $eptem, & quinque, confla-
re argenti ma$$am centum librarum perfectionis nouem, ita agen-
dum e$t. Detrahe 9 à 10, & omni maiori 10, relinqui-
tur 1, hoc $uppone 7 & 5, item detrahe 7 & 5, & omne
<fig>
minus 9 à 9, relinquitur 2 & 4, iunge omnia re$idua
fient 8, nam 4. 2. 11. Dicemus ergo quod 8 unci&ecedil; per-
fectionis nouem componentur ex 6 uncijs perfe-
ctionis decem & una $eptem alia quinque. Po$t di-
ces, $i unciæ octo fiant 100, $ex & una, & una, quot fient, erunt<03> un-
ciæ aut libræ, aut ut uo cant marchæ perfectionis decem, & duo de-
cim cum dimidia, ac duodecim cum dimidia perfectionis, ut $e-
ptem & ut quinque: licebit etiam propo$itis terminis pluribus ex
repetita operatione idem facere, ueluti $int ma$$æ perfectionis 10.
7. 5. & 2. uolo ma$$am perfectionis ut 8. Tu $cis quod ex 10. 7 & 5.
fit ma$$a perfectionis nouem data lege $ub 6. 1 & 1. nunc habeo iam
perfectam ut 9, aliam ut 2, detraho 2 ex 8, relinquitur 6 & 8, x 9 re-
linquitur 1, iunge fient 7, erunt ergo $eptem unciæ, in
<fig>
quibus $ex erunt perfectionis, ut 9 & 1 perfectionis ut
2, & totum erit perfectionis ut octo. Duc ergo, ut ex-
plores ueritatem, 6 in 9 fit 54, duc 2 in 1 fit 2, iunge fit 56
diuide per 7 exit 8 perfectio quæ$ita.</P>
<P>Per idem intelliges detractionem ex ma$$a argenti perfectionis
7, detraxi quartam partem perfectionis 10, uolo $cire do drantem
<foot>qualis</foot>
<p n=>201</p>
militer l n ip$ius l m, iuxta pro-
<fig>
portionem h, $umatur rur$us
<marg>P<I>er</I> 22.
<I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
de ip$ius a b pars $ecundum h,
<marg>P<I>er</I> 18.
<I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
& n o ip$ius k l, $ecundum ean
dem proportionem. Et rur$us
<marg>P<I>er</I> 19. <I>&</I>
22. <I>eiu$dem.</I></marg>
$umatur e f æqualis d b, & o p
<marg>P<I>er</I> 22. <I>eiu$-
dem.</I></marg>
æqualis n l, ut $int portiones
b c & l m $ecundum proportionem h, & $umatur f g ip$ius a c, $ecun
<marg>P<I>er eandem.</I></marg>
dum proportionem h, & p q ip$ius k o, $ecundum eandum propor-
<marg>P<I>er</I> 19. <I>&</I>
22 <I>eiu$dem.</I></marg>
tionem, & ita procedendo $emper, dico quod erit a g re$idui ad k q
<marg>P<I>er ea$dem.</I></marg>
re$iduum, ut a b ad k l. Quia enim a b ad b c, ut k l ad l m ex $uppo$i-
<marg>P<I>er</I> 19 <I>quin-
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
to, erit a b ad b d, ut k l ad l n: e$t etiam a b ad d e, ut k l ad n o ex $up-
po$ito, igitur a b ad b c, ut k l ad l o. Igitur a b ad a c, ut k l ad k o. Rur
<marg>P<I>er</I> 16. <I>eiu$-
dem.</I></marg>
$us quia b c ad e f, ut l m ad o p, erit a b ad e f, ut k l ad o p, at fuit a b
ad a e, ut k l ad k o & a e ad g f, ut k o ad p q, igitur a b ad' g f, ut k l ad
q p. Quare a b ad g e, ut k l ad q o. Iterum ergo a b ad b g, ut k l ad
l q. Ergo a b ad a g, ut k l ad k q. Igitur a b ad k l, ut a g ad k q, quod
erat demon$trandum.</P>
<P>Ex hoc patet, quod et$i proportio non maneat eadem in parti-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
bus totius, & partis modo $it eadem in totis ad partes a$$umptas, et
in partibus ad partes a$$umptas, nihilominus $equitur idem.</P>
<P>Sequitur rur$us, quod et$i proportio eadem non maneat quan-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
titatum a$$umptarum ad partes quæ $umuntur, nec etiam partium
modo $emper pars, quæ a$$umitur $it totius pars, & alia partis idem
ueratur.</P>
<P>Velut $i prima uice capiam b d partem b c, ut l n partem l m $e-
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
cundum h proportionem, & deinde capiam d e partem a b & n o
partem k l $ecundum proportionem r, quæ $it alia ab h, & $ecunda
uice capiam e f partem b c, & o p partem l m $ecundum proportio-
nem h, quæ $it alia ab h & r. Et capiam f g partem a e & p q partem
k o, $ecundum eandem proportionem, $ed tamen quæ non $it ali-
qua prædictarum, $cilicet h r s, $ed diuer$a ab eis, & uocetur t, dico
quod nihilominus erit proportio a g ad k q, ut a b ad k l, quæ pa-
tent ex ui demon$trationum, in quibus nil plus a$$umitur ad de-
mon$trandum, quàm id quod proponitur in corrolarijs.</P>
<P>Ex hoc etiam $equitur, quod $ecundum quem numerum prima
<marg>C<I>or</I>^{m}. .3.</marg>
quantitas ab$umetur, $ecundum eundem ab$umetur & $ecunda.</P>
<P>Velut $i prima quantitas ab$umatur ad unguem in quinta detra-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
ctione, etiam $ecunda k l in quinta detractione ad unguem ab$ume
tur, quod patet per demon$trata, nam re$idua $emper $unt eædem
partes ip$arum quantitatum.</P>
<foot>R Quarto</foot>
<p n=>202</p>
<P>Quarto $equitur, quod $i detractio fuerit facta eodem modo, &
<marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg>
fuerit proportio totius ad totum, ut re$idui ad re$iduum, erunt par
tes a$$umptæ $imiles.</P>
<P>Velut $i fuerit facta detractio iuxta propo$itionem, aut primum
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
uel $ecundum corrolarium, & fuerit proportio a g ad k g, ut a b ad
k l, erit a b ad b c, ut k l ad l m.</P>
<P>Sequitur etiam, quod $i fuerit a$$umpta proportio primarũ par-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 5.</marg>
tium eadem, & facta fuerit detractio in omnibus præter unam iux-
ta dicta, & fuerit totius ad totum, ut re$idui ad re$iduum, erit ut illa
etiam reliqua detractio, $eu ad tota, $eu ad partes $it facta, $ecundum
eandem proportionem.</P>
<P>Velut $i $it proportio a b ad k l, ut a g ad k g, & rur$us ut b c ad
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
l m, & a$$umptæ $int proportiones eædem $emper totius, & totius
ad partes, & re$iduorum ad partes, etiam & b c & l m ad partes, eti-
am excepta una $eu quantitatum a b & k l, $eu re$iduorum ut a c &
k o, $eu partium ut b c & l m ad partes, dico quod hæ partes etiam
erunt a$$umptæ $ecundum eandem proportionem ad ip$as magni-
tudines, uel partes primas uel re$idua.</P>
<P>Sed & id $equitur ex his, quod cuiu$cunque $eu totius $eu partis
<marg>C<I>or</I>^{m}. 6.</marg>
$eu utriu$que pars maior a$$umetur, erit maior proportio totius ad
totum quàm re$idui ad re$iduum.</P>
<P>Hæc demon$trantur à Campano, nam $i $it maior proportio a b
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
ad a g, quam k l ad k g, erit maior a b ad k l quàm a g ad k g.</P>
<marg>R<I>up.</I> 16.
<I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
<P>Sequitur rur$us, quod in eadem con$titutione cuiu$cunque ma-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 7.</marg>
ior pars ab$umetur, ea quantitas minori numero, uel numeri parte
ab$umetur.</P>
<P>Nam $i minor erit continuo proportio a b ad a e, quàm k l ad k
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
o, & a e ad e g, quàm k o ad o g, erit longe minor a b ad b g quàm k l
ad l g, igitur longe maior a b ad a g quam k l ad k g. Igitur a g citius
ab$umetur quam k g.</P>
<P>Propo$itio cente$imaoctuage$ima.</P>
<P>Si aliqua quantitas in duas partes diuidatur, fueritque alicuius,
quantitatis ad partes illas compo$ita proportio eiu$dem quan-
titatis ad partes alias quantitatis diui$a aliter proportio eadem
componi.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit a b proportio ad partes c d quæ $int c e, & c d componens f,
dic<*> quod non poterit c d aliàs diuidi, ut proportio a b ad illas
componat candem proportionem f. Aliter $it diui$a in g, & erit mi-
<foot>nor c g,</foot>
<p n=>203</p>
nor c g, minor aut maior c d minore, capiam ergo c d minorem, erit
igitur proportio a b ad c d maioris exce$$us ad proportionem a b
ad c g, quàm $it proportio a b ad g d, ma-
<fig>
ior proportione a b ad c e, propterea quod
g e communis differentia maiorem habet
proportionem ad e d quam g c, igitur ma-
ius e$t aggregatum proportionum a b ad
c e, & e d, quã eiu$dem a b ad c g & g d, quod erat demon$trandum.</P>
<P>Propo$itio cente$imaoctuage$imaprima.</P>
<P>Cum fuerit aliqua proportio compo$ita ex proportionibus pri-
mæ ad $ecundam & tertiam, & rur$us quartæ ad quintam & $ex-
tam, ita $e habebit proportio $ecundæ ad tertiam proportionem
quintæ ad $extam, uelut producti ex proportione in $ecundam de-
tracta prima ad primam ad productum ex proportione in quin-
tam, detracta quarta ad quartam.</P>
<P>Sit pro portio g compo$ita ex proportionibus a
<fig>
ad b & c, & proportionibus d ad e & f, dico quod
quemadmodum b ad c, ad proportionem e ad f, ita
producti ex g in b, detracto a ad a ad productum ex
g in e, detracto d ad d. E$t enim, ut demon$tratum
e$t b ad c, ut productum ex g in b, detracto a ab a & e ad f, ut pro-
ducti ex g in e, detracto d ad d, igitur cum æqualium $int eædem
comparationes, erit ut proportionis b ad c ad proportionem e ad
f, ita producti ex g in b, detracto a ad a, ad productum e$t g in e, de-
tracto d ad d.</P>
<P>Quare erit proportio b ad c ad proportionem e ad f, uelut re$i-
dui b detracto quod prouenit, diui$o a per proportionem a ad pro
portionem re$idui e detracto quod prouenit diui$o d per propor-
tionem ad ip$um d.</P>
<P>Propo$itio cente$ima octuage$ima$ecunda.</P>
<P>Propo$ita differentia proportionum partium $imilium ad par-
tes a$$umptas propo$ita<03> proportione totius ad re$idua eandem
differentiam proportionum totius ad reliquum re$idui inuenire.</P>
<fig>
<P>Sint datæ partes b c & e f, $imiles in compa-
ratione ad a b & d e, & data re$idua a g & d h
in cõparatione a b & d e, $imilia in differentia
proportionis f e ad c l, ad proportionem
c b ad b k, dico quod data e$t differentia proportionis a b ad g k
ad proportionem d e & f h. Nam quia proportio f e ad c l, ad pro-
<foot>R 2 portionem</foot>
<p n=>204</p>
portionem b e ad c k data e$t, & c f ad e d, ut b c ad b a, erit ut a c ad
l e contineat a b ad b k, ut f e ad e l, c b ad b k, $ed a b ad a d, ut d c ad
d h, igitur a b ad b d, ut d e ad c h. Sunt ergo duæ quantitates a b &
d c, quæ eandem habent compo$itam proportionem ad g k & k b,
& h l & l e, quare per præcedentem proportionis h l ad l e, ad pro-
portinem g k ad k b, ut h l detracto prouentu d e, diui$i per propor
tionem ad d e ad proportionem g k, detracto prouentu a b, diui$i
per eandem proportionem ad ip$um a b. Si igitur nota e$t l e & h l,
erit nota proportio re$idui h l detracto prouentu d e diui$i per pro-
portionem, quare nota detractio g k detracto prouentu a b diui$i
per eandem proportionem ad a b. E$t autem a b nota, & propor-
tio nota, & ideo prouentus, & cum $it proportio nota, erit ergo
re$iduum notum, cui addito prouentu fit tota g k nota, quod fuit
demon$trandum.</P>
<P>Propo$itio cente$ima octuage$imatertia.</P>
<P>Spatium uitæ naturalis per $patium uitæ fortuitum declarare.</P>
<P>Cum con$tet homines ca$u uiuere ægrotantes primum $æpe:
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
deinde uiuentes in aëre malo, & ip$um intempe$tiuis horis $ub-
euntes tri$titijs, curis, uigilia, uenere, laboribus perperam $e excru-
ciantes, tũ uerò immodico cibo & potu, & prauo, & $æpius, quàm
oporteat, & intempe$tiuè, & malè præparato, & uario $e replentes,
atque $ic alij ad $exage$imum, alij ad $eptuage$imum, rari octuage-
$imo, rariores nonage$imo uel cente$imo anno ita moriun&ttilde;, ut non
ca$u, neque ui aut morbo, $ed potius qua$i naturali quadam morte
ab$umpti intereant: de quibus tantum e$t $ermo. Atque ut exem-
plo commodiore utamur, capiamus annum octoge$imum, qui e$t
terminus communis uitæ humanæ, non $olum no$tra ætate, $ed an-
tiquo tempore etiam fuit, ut Dauid te$tatur in P$almis, in Cantico
Moy$is: antea autem $i quis moriatur, non naturali morte, $ed ui
morbi ab$umptus exi$timatur. Certum e$t, quod $i homo recta ra-
tione uiueret, quod aliquanto diutius uitam extenderet, ne<01> enim
negare po$$umus, cum in magnis exce$sibus maximè $ectionis ue-
næ & curarum, quin homo euidentur uitam breuiorem efficiat:
quod ergo euidenti$simum e$t in magnis exce$sibus, in paruis ean-
dem habet uim licet occultiorem. Errorem autem in uita hunc ade$-
$e perpetuum, qui$<01> intelligit qui no$tras actiones pen$itare uelit,
cum $altem malam $equamur con$uetudinem: iam ergo proponan-
tur iuxta dicta du&ecedil; line&ecedil; a b uit&ecedil; naturalis exqui$it&ecedil; recte longior &
<foot>c d uitæ</foot>
<p n=>205</p>
c d uitæ quam is uicturus e$t, id e$t, annorum octuaginta, quam cõ-
<marg>P<I>rop.</I> 179.
E<I>t in cor.</I> 1.
<I>&</I> 2.</marg>
$tat e$$e breuiorem aliquanto. Et proponatur error quadrage$imæ
partis in ip$a uita, quamuis $it longe maior: quotu$qui$<01> enim e$t
qui non $altem edat bibat<03> quadrage$ima parte, plu$quàm opor-
teat in comparatione ad naturam, id e$t, ut natura fatigatur quadra
ge$ima illa parte amplius quàm debeat: idem dico de laboribus, cu
ris, uigilijs, uenere. Sed hoc non e$t generale: habet<03> multas exce-
ptiones inuicem pugnantes, ut tandem concludam non concoqui
plenè po$$e, & ob id impurum manere, unde citò di$$oluitur, & ca-
lorem etiam naturalem extinguit: at<01> etiam ob id, tum quia debi-
tos labores, & multo minus ad perfectam ætatem perferre nõ po$-
$unt, den$ari nequit & pingue$cere, ut duplici cau$a multo celerius
re$oluatur, una etiam calorem extinguat. Sit ergo a e talis pars a b,
qualis c f, c d. Cum ergo a b con$umi-
<fig>
tur in octuaginta annis, $emper $eruat
proportion&etilde; cum uita contracta, quæ
æqualiter ab$umitur: quia portiones
illæ æquales $unt in minore inuicem $icut in maiore, & inæquales
$eruant eandem proportionem, $umatur ergo a b annorum cclvij.
men$ium v. & ab$umatur $emper quantitas æqualis octuage$ima
a e, & quadrage$ima a b & re$iduorum.</P>
<table>
<row><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col>
<col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col></row>
<row><col></col><col>257</col><col>20</col><col>14</col><col>168</col><col>32</col><col>28</col><col>106</col><col>25</col><col>41</col><col>65</col><col>27</col><col>54</col><col>36</col><col>6</col><col>68</col><col>13</col><col>23</col></row>
<row><col>1</col><col>250</col><col>0</col><col>15</col><col>163</col><col>24</col><col>29</col><col>103</col><col>0</col><col>42</col><col>63</col><col>2</col><col>55</col><col>34</col><col>10</col><col>69</col><col>12</col><col>10</col></row>
<row><col>2</col><col>242</col><col>30</col><col>16</col><col>158</col><col>21</col><col>30</col><col>99</col><col>17</col><col>43</col><col>60</col><col>19</col><col>56</col><col>32</col><col>16</col><col>70</col><col>10</col><col>38</col></row>
<row><col>3</col><col>235</col><col>28</col><col>17</col><col>153</col><col>23</col><col>31</col><col>95</col><col>38</col><col>44</col><col>58</col><col>0</col><col>57</col><col>30</col><col>24</col><col>71</col><col>9</col><col>28</col></row>
<row><col>4</col><col>228</col><col>33</col><col>18</col><col>148</col><col>30</col><col>32</col><col>92</col><col>23</col><col>45</col><col>55</col><col>22</col><col>58</col><col>28</col><col>34</col><col>72</col><col>8</col><col>19</col></row>
<row><col>5</col><col>222</col><col>5</col><col>19</col><col>144</col><col>2</col><col>33</col><col>89</col><col>11</col><col>46</col><col>53</col><col>7</col><col>59</col><col>27</col><col>6</col><col>73</col><col>7</col><col>11</col></row>
<row><col>6</col><col>215</col><col>23</col><col>20</col><col>139</col><col>18</col><col>34</col><col>86</col><col>2</col><col>47</col><col>50</col><col>34</col><col>60</col><col>25</col><col>19</col><col>74</col><col>6</col><col>4</col></row>
<row><col>7</col><col>209</col><col>8</col><col>21</col><col>135</col><col>0</col><col>35</col><col>82</col><col>36</col><col>48</col><col>48</col><col>24</col><col>61</col><col>23</col><col>34</col><col>75</col><col>4</col><col>38</col></row>
<row><col>8</col><col>203</col><col>0</col><col>22</col><col>130</col><col>25</col><col>36</col><col>79</col><col>34</col><col>49</col><col>46</col><col>16</col><col>62</col><col>22</col><col>11</col><col>76</col><col>3</col><col>34</col></row>
<row><col>9</col><col>196</col><col>37</col><col>23</col><col>126</col><col>15</col><col>37</col><col>76</col><col>35</col><col>50</col><col>44</col><col>10</col><col>63</col><col>20</col><col>29</col><col>77</col><col>2</col><col>31</col></row>
<row><col>10</col><col>191</col><col>1</col><col>24</col><col>122</col><col>9</col><col>38</col><col>74</col><col>0</col><col>51</col><col>42</col><col>6</col><col>64</col><col>19</col><col>9</col><col>78</col><col>1</col><col>29</col></row>
<row><col>11</col><col>185</col><col>10</col><col>25</col><col>118</col><col>7</col><col>39</col><col>71</col><col>6</col><col>52</col><col>40</col><col>4</col><col>65</col><col>17</col><col>30</col><col>79</col><col>0</col><col>28</col></row>
<row><col>12</col><col>179</col><col>25</col><col>26</col><col>114</col><col>9</col><col>40</col><col>68</col><col>15</col><col>53</col><col>38</col><col>4</col><col>66</col><col>16</col><col>13</col><col>80</col><col>0</col><col>0</col></row>
<row><col>13</col><col>174</col><col>6</col><col>27</col><col>110</col><col>15</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col>67</col><col>14</col><col>37</col><col></col><col></col><col></col></row>
</table>
<P>Vt corrigas tabulam, $cito quod numerus quadrage$imæ cum
$uperiore annorum numero à leua componit numerum quadrage
$imæ $uperioris $impliciter, aut abiectis quadragenarijs. Velut è
regione trige$imi anni, $unt anni nonagintanouem, quad. 17 è
directo anni 29, $unt anni 103, quad. 0. ad de 17 quad. ad 103 fit 120,
abijce 40 ter, nil $upere$t, & ita nulla e$t quadragenaria è regione
29 & 103.</P>
<foot>S Rur$us</foot>
<p n=>206</p>
<P>Rur$us cum deuenimus ad annos 79, $uper$unt $olum 28 qua-
dragenariæ, & e$t minus anno, $ed hoc fieri ob fractiones & nume-
rorum partes, & etiam $i e$$et aliquis error, e$$et magis ad augen-
dum numerum annorum 257, men$ium $ex quàm ad diminutio-
nem, ideo non curaui de exacta ueritate.</P>
<P>Præterea ex hac tabella digno$cis, quod in ultimis annis parum
pote$t produci uita in comparatione ad primos, ueluti in 60 anno
$uper$unt anni 20, ex uita ordinaria, ex exacta paulo plures quàm
25, $cilicet 25 cum dimidio. Ergo à 60 anno non poterit per quam-
uis cu$todiam homo producere uitam plus annis quin<01> cum di-
midio. Et $i dicas tunc cu$todia maximè opus e$t, & magis quàm
unquam, re$pondeo quod uerum e$t, $ed non ad producendum ui-
tam, $ed ne in morbum incidas: nam ex quocun<01> morbo homo ab
ea ætate perit, cum habeat adeò imbecilles uires. Ex hoc patet,
quod Alexius Cornarius, patritius Venetus, cum incœpi$$et cu$to
diam anno 36, cum po$$et uiuere 44 annis, iuxta rationem uit&ecedil; com
munis, potuit producere eam annis 79, igitur annis 25 plu$quàm ui
xi$$et uita communi etiam quòd fui$$et $anus.</P>
<P>Si ergo aliquis $it uicturus centum annis uita communi adde-
mus eodem modo trige$imamnonam partem, id e$t quadrage$i-
mam partem, & quadrage$imam quadrage$imæ huic numero, &
unum amplius, & habebimus numerum ut infrà.</P>
<table>
<row><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col></row>
<row><col></col><col>257</col><col>20</col><col>87</col><col>314</col><col>33</col><col>94</col><col>383</col><col>11</col></row>
<row><col>81</col><col>265</col><col>3</col><col>88</col><col>323</col><col>34</col><col>95</col><col>394</col><col>3</col></row>
<row><col>82</col><col>272</col><col>34</col><col>89</col><col>333</col><col>5</col><col>96</col><col>405</col><col>6</col></row>
<row><col>83</col><col>280</col><col>32</col><col>90</col><col>342</col><col>26</col><col>97</col><col>416</col><col>27</col></row>
<row><col>84</col><col>289</col><col>0</col><col>91</col><col>352</col><col>16</col><col>98</col><col>428</col><col>13</col></row>
<row><col>85</col><col>297</col><col>16</col><col>92</col><col>362</col><col>16</col><col>99</col><col>440</col><col>11</col></row>
<row><col>86</col><col>306</col><col>0</col><col>93</col><col>372</col><col>27</col><col>100</col><col>452</col><col>22</col></row>
</table>
<P>Et ex hac tabula digno$cemus quantum qui$que po$sit uiuere,
quouis tempore ætatis $uæ, illud intelligendo quod non e$t eadem
men$ura omnibus, ut neque uitæ ordinariæ, nec magnitudinis cor
porum, nec ingeniorum, nec eiu$modi in aliquibus uita decre$cit
per uige$imam partem, hic $cilicet qui inordinatè uiuunt, alijs uix $e
xage$ima, quan<08> pauci$simis. Hic ergo numerus maximè concor-
dat cum experimentis duobus, &qtilde; apparuerunt parũ ante t&etilde;pora no
$tra, $cilicet Ioannis de t&etilde;poribus, qui uixit annis 361, & Richardus
de temporibus, annis 400. Et ambo fuerunt milites Caroli Ma-
gni, nam non potuerunt omnino pro$picere uitæ rationi exqui$i-
ti$simæ. Referũt etiam in India no$tris t&etilde;poribus uiuere ad centum
<foot>quinquaginta</foot>
<p n=>207</p>
quinquaginta annos, cuius cau$am transferunt in aërem: ego po-
tius in uitæ genus, ab$tinent enim carnibus, ouis, ca$eo & uino, u-
tuntur<03> fructibus tantum, & uiuebant $ine $olicitudine ulla & cu-
ris. Vnde rectè in$inuatum e$t etiam ultra hi$toriam, quod Adam
e$$et perpetuò uicturus, $i non degu$ta$$et fructum arboris boni &
mali, id e$t, quod mors nobis obrepit ob, $olicitudines & curas. A-
uenzoar autem cum uixerit multis cum curis, & fuerit in carcere
Hali, & ab eo per iniuriam uexatus, & natus in malo aëre, $ola ratio-
ne uictus produxit uitam ad annos 135, ut te$tatur Auerroes, quid
euenturum erat, $i in bono aëre educatus nihil graue, & adeò diu-
turnum expertus fui$$et:</P>
<P>Pro u$u autem huius & $uperioris tabulæ, $i quis proponat iu-
uenem ex $tirpe eorum, qui uiuunt $exaginta annis, iam natum de-
cem & $eptem annos, uelimus<03> $cire quantum uiuere po$sit, uide è
regione 20 annorum in primo ordine, & habes annos 139. Quad.
18. & ab hoc numera 17 annos, & habebis annos 37 è regione,
quorum $unt anni 76. Quad. 35, id e$t, men$es 10, dies 15. uel iunge
17, numerum annorum exactorum, & 20 numerum annorum defi-
cientium ab 80, fiunt anni 33, ut prius, è quorum regione habet an-
nos 76. quad. 35.</P>
<P>At $cio multos qui parum con$yderatè hæc legunt, obiecturos,
primum quod ne<01> mihi, neque ulli alij potui, uel ad centum uel ad
nonaginta annos uitã producere. Secundũ, &qring;d $i uita humana e$$et
eiu$modi, naturaliter e$$et ut in pluribus: at uix inuenire licet aliqu&etilde;
qui exce$$erit cente$imumuige$imum annum. Et maximè cum $cri-
ptum $it: Non $piritum meum in carne ultra centum uiginti annos,
& loquitur Deus. Videtur etiam nece$$e hoc uolenti, cupere totam
uitam $ub incerto fine, & non uacare, nec negotijs nec uoluptati,
quæ $unt duo illa præcipua, quibus uita no$tra con$tat, & maximè
amittere bona, adeò $ecura ob tam leuem & inanem $pem. Ab$ur-
dum etiam e$$e hoc quod latuerit tot præclaros medicos at<01> phi-
lo$ophos, quorum nullus de hoc $ermonem fecit. Hæc & huiu$mo
di $unt qu&ecedil; mihi obij ci po$$e $entio. At rogo quid admirabilius e$t,
an $olem e$$e plus centies et $exagies terra ac mari, an homines tam-
diu po$$e producere uitam? Et plures imperito hoc quam illud cre
dituri $unt: & tamen res illa ita $e habet, nec apud $apientes dubia
e$t: nedum incredibilis. Similiter quòd corpus adeò tenue, debeat
adeò celeriter circumferri, ut in uno ictu pul$us debeat peragere
$patium bis mille quingentorum millium pa$$uum, & tamen & il-
lud demon$trari pote$t euidenti$simè. Ergo ut ad obiecta re$pon-
deam $erò mihi hoc inuenire cõtigit, infeliciter natus, peius educa-
<foot>S 2 tus, &</foot>
<p n=>208</p>
tus & imbecilli corpore ac natura, quod aliâs dixi, nec for$an in
quibu$dam $ufficiat educatio ab initio, $ed requiritur $ucce$sio,
qualis fuit olim per multas ætates, $ic progenerantur gigantes &
homines ad miraculum u$que, docui etiam exacta media ætate, hoc
uix fieri po$$e. Contingunt præterea multa impedimenta. Sufficit
nobis $cire quid $it in natura hominis, non quæro modò quomo-
do faciendum: nec e$t præ$entis in$tituti, quin etiam ueri$imile e$t
ad hoc e$$e uiam quandam compendio$iorem, quæ minimè la-
tuerit antiquos, maximè Hebræos. Et for$an etiam hoc no$tro tem-
pore haberi po$$et quamuis lateat. Vnum e$t certum, oportere ab
initio uitæ (qui uiam hanc exqui$itam, quam hic trado, $equi uo-
luerit) con$tituere formam uictus, & tum maximè contractam,
quoniam (ut ui$um e$t in tabula) ex minimo errore, & breui tempo
re plurimum temporis uitæ perit. Oportet autem multa ade$$e, cor
pus moderatè $anum, & medio criter $altem con$titutum, in$tituto-
rem $apientem, obedientiam pueri, & per omnes ætates cum pati-
entia $umma commoda diuitiarum, & bonum aërem & fortunam
blandientem no$tro propo$ito, ne quis ca$us in tanto tempore ad-
uer$us nos impediat, ob tot & tanta quæ nece$$aria $unt, & a$siduè,
ideo res hæc fabulo$a ui$a e$t ad hanc u$<01> diem, tum maximè quod
nemo eam docuerat. De dicto Moy$is non laboro, cum $imus me-
dici ac philo$ophi non theologi. Quin etiam po$t hæc uixit Abra-
<marg>G<I>en. ca.</I> 25.</marg>
hamus annis clxxv, I$aacus autem clxxx, Iacobus cxlvij, $ed non la-
<marg>C<I>ap.</I> 35.</marg>
boro de his, uerùm relinquo illa $apientibus: melius e$t ergo ut de-
<marg>C<I>ap.</I> 47.</marg>
mon$trationem adducam huius, cum experimento etiam coniun-
ctam. Con$tat enim quod humidum pingue euane$cit per ætates,
$eu à calore innato, $eu ab aëre con$umatur, & quod humidum pin-
gue purum, ac den$um tardè ab$umitur, $icut apparet experimen-
to de oleo & $epo $alitis, quæ durant longiori tempore, quam $i nil
tale admi$tum habeant hæc pinguia, $imiliter aqua quadruplo ce-
lerius, imo longe uelocius ab$umitur oleo in ua$e feruente. Et ita
de pinguedinibus uariorum animalium de ligno iunipero, quod
referunt durare in annum, cur alia non po$sint ad $ex dies. Cer-
tum etiam e$t, quod coctio conden$et, & e$t Philo$ophi in quar-
to Metheororum. Si ergo coctio perfecta fiat, & puri$simum hu-
midum re$tauretur, dubium non e$t, quin homo po$sit uiuere $ex-
cuplo plus aut etiã octuplo: quia cùm res peruenit ad quendã ter-
minum, tunc acquiritur perfectio qu&ecedil;dã ultra omn&etilde; fidem, $icut ui-
demus de auro, &qring;d pror$us etiã longo tempore ab ignibus nõ ab$u
mitur: adeò ut liceat dicere, for$an non e$$e contra rationem, quod
detur humidum, quod nunquàm à calore naturali ab$umitur, quia
<foot>non</foot>
<p n=>209</p>
non e$t par ratio de auro & humido humano, nam in auro nõ e$t ca
lor ni$i ab exteriore igne, $ed in humido no$tro e$t calor intus, & $e-
cundum $ub$tantiam, ut $altem habeamus experimentum longi$-
$imæ uitæ & humidi quod uix à calore, & non ni$i multis in $eculis
ab$umatur. Atque hæc (ne incurramus irri$ionem Galeni) de Phi-
lo$opho qui pollicebatur perpetuitatem uitæ, quanquam non ob
id refugiam hoc, ut negem po$$e hominis uitam e$$e perpetuam,
quod Galenus Philo$ophũ hoc dicentem irri$erit, $ed quòd uidea-
mus omnia $ublunaria interire, quòd $ciamus omne compo$itum
debere di$$olui, quoniam compo$itio $it accidens, & accidens e$t
medium inter ea quæ $unt & non $unt: loquor de huiu$modi acci-
dentibus quæ adueniunt. Demum, quoniam calor ille $it in ip$o hu
mido: ideo cum h&ecedil;c non animaduerterit Galenus, potius fuit uates
in irridendo, quàm $apiens, ut authoritate eius moueri debeamus.
Hanc coctionem non animaduerterunt medici, $ed $olam illam bo-
nam qu&ecedil; e$t cau$a $anitatis, quæ $tat cum uigilia, labore & ciborum
multitudine, cùm illa exacta non $tet ni$i cum optimis & paucis
ualde cibis, quiete ac $omno. Et ideo $unt $ex genera coctionum, di-
co quod ad perfectionem attinet corrupta, imperfecta, imperfecta
morbo$a, imperfecta quæ emendari pote$t, has omnes uitare do-
cent medici: bona quæ e$t cum longa $anitate, cui medici $tudent:
ualde bona quam per umbram qua$i cognouerũt, & exacta quam
nec per $omnium quidem uiderunt, quæ $ola e$t cau$a tantæ lon-
gitudinis uitæ, cum tamen nunquam fuerit uel admodum parum
interrupta. Hoc autem inter cætera o$tendit experimentum de ele-
phantis, quos Ari$toteles ducentis annis uiuere con$tanter affir-
mat, alius dixit e$$e trecentis. Vt con$tet iam in natura animalium
& in genere caloris habentis magnum motum, & $ub$tantiam te-
nuem hoc inueniri po$$e, ut excludamus plantas de quarũ uita lon-
gi$sima $atis con$tat, $ed quia caret motu euidenti calor in illis, &
$ub$tantia e$t cra$$a animalium comparatione, non laboro. At de
elephanto omnes confitentur quòd $it omnium ingenio $i$simum,
adeò ut multi homines illo indu$tria & cognitione inferiores e$$e
uideantur. Ne<01> etiam ueri$imile e$t quod natura hominem fecerit
hac in parte illo inferiorem, præ$ertim cum de nullo alio animali
apud Ari$totelem dubium $it, & ubi modo aliquod dubium e$$et
propter querelam Theophra$ti, & illud quod $olet prædicari de
ceruis, tanto magis ueri$imile e$t indignum fui$$e hominem conce-
dere tot animalibus in diuturnitate uitæ. Quam obrem cum hæc
tractatio ad libros de tuenda Sanitate $pectaret, homines ad eos re-
<*>ego, nam ob id illos con$crip$i quòd uiderem Galenum nec hoc
<foot>S 3 uidi$$e</foot>
<p n=>210</p>
uidi$$e nec multa alia, $ed eorum loco longas & inutiles di$putatio-
nes inter$erui$$e. Verùm etiam, quoniam eam tractationem diuul-
$it, ut alia cogamus quærere in libris de Alimentis, alia, de cibis bo-
ni & mali $ucci: tum uerò & tractatio ip$a eduliorum e$t imperfe-
cta, & multa etiam deficiunt circa genera: in quo e$t ex cu$andus ob
uarietatem regionis & ætatis. Dee$t præterea maxima pars, quæ
nec ibi nec alibi habetur, $cilieet, de ciborum præparatione. Quod
etiam hæc latuerint tot præclaros uiros, quid mirum? cum Hippo-
crates uixerit $eculo illo agre$ti, in quo non e$t mirandum, quod ali
quid, pauca quædam & ab$tru$a omi$erit, $ed quod tam multa tam
bene inuenerit, ut fuerit, $icut de Pindaro dicitur, imò longè uerius
quam de Pindaro inimitabilis. De Galeno quid mirum, qui non
ni$i ueterum $cripta collegit, at<01> utinam $alt&etilde; bene. De Ari$totele
is multa inuenit $uo Marte, & Theophra$tus longè plura. De alijs,
dico tam medicis quàm philo$ophis, hoc e$t, quod queror, quod
in $patio pene duorum millium annorum, non hoc quod ualde re-
conditum erat, $ed nec leue ullum experimentum, uel naturæ arca-
num, uel uitæ $alutare auxilium inuenerit. Sed litigant de nugis &
rebus inutilibus, & etiam qu&ecedil; $ciri nõ po$$unt, ac plerun<01> non $ine
magna impietate. Quod uerò nece$$e $it amittere uoluptatem, &
negocia prætermittere uolenti hanc uitam longam adipi$ci, quæ
po$tmodum etiam ualde in certa e$t: dico quod quantum ad uolu-
ptates & negocia, non e$$e nece$$e, $ed $olum $uperfluas res, & dam
no$as & irritas, quas etiam philo$ophi & ciuitatum in$titutores, &
morum cen$ores docent debere uitari, etiam nullo propo$ito emo-
lumento, at reliqua cõ$uetudo efficit nõ $olum grata & tolerabilia,
$ed etiam iucunda. De incerto fine, quid e$t certum apud homines,
ni$i hoc nihil certum e$$e? Verum tamen $i quis re$piciat ad præ-
mium tam $ingulare e$t, & nobile atque utile, ut non lu$erit operam
immeritò, quicun<01> cum $pe tam illu$tris commodi, & tam exigua
iactura rerum, ac minore periculo $e huic aleæ experiundæ commi-
$erit. Cum, $i quis hoc ip$um adipi$catur, uerè dici po$sit $ummum
bonum adeptum e$$e: Non $olum compos factus diuturnitatis ui-
tæ, $ed cum illa tot uoluptatum, quæ in longo tempore percipiun-
tur $cientiæ tot rerum, quas non ni$i temporis longitudo o$tende-
re pote$t, tot denique ca$us uidere tum opum in crementum, quod
qua$i certi$simum e$t in longa ætate & u$u $apientia & authoritate
plena, adeò ut fermè nece$$e $it ad principatus $peciem deuenire,
qui tamdiu uixerit, tum gloria ip$a in comparabili. Hæc autem ma-
xime accidere nece$$e e$t, quod ut ui$um e$t, quanto longior fuerit
ætas eo firmiores etiã $unt illius partes quæ ad mortis tempus ap-
<foot>propinquant</foot>
<p n=>211</p>
propinquant pari ratione, ut ex tabella prima deprehendere licet,
quòd $i cum hoc $obolis felicitas accedat, non ob$curum e$t huiu$-
modi po$$e dici ultimam hominis felicitatem apud eos, qui huma-
nas res aliquid e$$e putant. Accidunt autem hæc $ponte in $eculo-
rum renouationibus, cum humanum genus con$umitur, $eu qui $u
per$unt ob robur, $eu ex terra geniti, ut dubitat Ari$toteles. Ha$en
credit, tum ob aëris puritatem, & maximè quòd alterutro modo
ex calidis regionibus & $ublimibus locis homines reparari nece$-
$e $it, tamen etiam ob uictus $implicitatem, cum in altera $uper$int
$oli pi$ces, in altera ne hi quidem, ut in Arcanis demon$tratum e$t.
Atque etiam ob curarum ab$entiam: $iquidem homines illi gau-
dent, reges ex agricolis haud dubiè terrarum facti, ac qua$i $ecu-
ri mole$tiarum ad hanc ætatem perueniunt longa $patia tempo-
ris, & propagandæ $obolis habentes, ut felici$simè uiuant, re$tituti
ex optimis quibu$cunque aureæ illi ætati, non $olum ob uitæ $yn-
ceritatem atque $plendorem, $ed etiam longitudinem $ic appella-
tæ. Quæ finem habuit dum $atis (uti cœperunt) à Saturno in u$um
traductis: unde etiam falcis in$igne accepit. Eadem tamen ætate
pauci$simi ex infinitis diutius quam no$tra uiuere cœperunt, cæte-
ri omnes minus quam nunc, quòd neque ue$titus corporum ab in-
undatione parta, neque aëris puritas à $qualoribus maneret, & edu
lia multo pauciora e$$ent hominibus & incondita.</P>
<P>Propo$itio cente$imaoctuage$imaquarta.</P>
<P>Quæcunque grauia in uorticibus aquarum merguntur, in me-
dio uorticis primum uer$a mergantur.</P>
<P>Hanc proponit Ari$toteles, $ed non quantum nece$$arium e$t
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
explicauit, unius enim quæ$iti, id e$t, primi multiplicem rationem
reddit. Sed neque illam perfectè, quod amborum cau$a una $it, ac
coniuncta, $ic ergo uortex, cuius extremus
circulus a b centrum in aquæ $uperficie c
<fig>
capacitas uorticis d e, ut aqua feratur per
$patium d e f g, h k in maiore circulo na-
uis, aut aliud graue, quod natura $ua non
e$$et de$cen$urum (ut fal$ò exponitur de
lapide, nam lapis, nec reuoluitur, nec fer-
tur ad d e circulum intimum, $ed præoccu-
pat ex grauitate $ua fertur in imum) dico
&qring;d h k prius circumuoluetur, in de trahetur
ad d e, & ubi fuerit ibi de$c&etilde;det, $ed $i leuius
$it nece$$ariò peruenet ad c antequam de$cendat. Cum ergo aqua
<foot>S 4 grauis</foot>
<p n=>212</p>
grauis $it tota, fertur ad circulum d e, ut de$cendat. Sed & quia de-
$cendit per d e f g, & magis ex centro e, ideo omnes partes circumui
cinæ trahuntur ad d e, & ad e centrum $uperficiei uorticis, tanquàm
ad centrum, ut de$cendant, at<01> id primum. Cun<03> lignũ de$cendat
partim <04>pria grauitate, partim attractũ, $i fuerit leue corpus, ut plu-
ma, quod natura $ua nõ de$cendat, nece$$e e$t ut de$c&etilde;dat $ola ui at-
tractionis, qu&ecedil; nõ e$t tanta in toto d e quãta in e, igi&ttilde; oportet ut pri-
us perueniat ad c quàm de$cendat, quia contra naturã propriã de-
$cendit ui attractũ. Cum uerò pars quæ in directo c e$t, uelo ci$simè
de$cendat, conantur omnes partes aqu&ecedil;, qu&ecedil; circa $unt de$cendere,
et cũ nõ po$sint $imul peruenire, mouentur ad illud linea, dico quia
habentinitium in e, circulus autem nullũ habet initiũ, igitur uiden-
tur moueri circulariter. Sed cum in circulo partes à c&etilde;tro mouean&ttilde;,
uelo cius mouebuntur, uelocius in elica a b quàm l m, & l m quàm
n o. Et ob has duas cau$as mouebuntur uelocius partes quæ $unt
circa c, quàm di$tantes ab eod&etilde;, tum quia in medio, tũ quia tardius
mouen&ttilde; motu elice. Declaratũ e$t. n. $uperius quod unus motus in
eod&etilde; mobili aliũ impedit & retardat. Cum ergo h k $it in $pacio a b
l m & aqua rapia&ttilde; motu, dico ad d e mouebit ad d e, & motu dico
qui uidetur circularis, nam mouetur motu eius à quo $u$tine&ttilde;. Mo-
uetur etiam ad d e, quoniam pars illa e$t humilior, nam $emper de-
$cendit, omne aũt quod mouetur partim e$t in termino, à quo, par-
tim ad quem, ideo partim iam aqua illa cum de$cendat humilior e$t
locus, igitur nauis ad illũ locum feretur. Tertio, quia latus k impelli
tur, in maiore circulo, ideo maiore impetu
<fig>
quàm h, quare de$c&etilde;det & circulo mouebi-
tur, nã $i h quie$ceret palã e$t, &qring;d nauis circu
lariter mouere&ttilde;, $ed h fungitur uice quie$c&etilde;-
tis, quia tardius moue&ttilde; quã k, igi&ttilde; k moue-
bitur ad d e & motu circulari aut participe
eius. Quarta cau$a e$t, quoniam h cupit de-
$c&etilde;dere, ut graue. ergo ferri, ubi minus impe
diatur à motu uiol&etilde;to, at minus impedi&ttilde; in
circulo, de qua a b, qa a b cũ maioris $it ambitus a qua in co ulterius
fer&ttilde; quã in d e, ob hæc oĩa & in mari & fluminibus ac lacubus cũ na
ues fuerint in ambitu uorticis iã rapiun&ttilde; ad illũ, & circulari motu:
is<03> motus e$t indiciũ $ubmer$ionis, quoniã indicat aquã, ibi propè
de$c&etilde;dere rectà uer$us c&etilde;trũ, & ob id prud&etilde;tes naut&ecedil; magna ui uen
toru & remorũ $&ecedil;pe $eruãt $e, pr&ecedil;o ccupãtes motũ elicũ recto motu.
Cur aũt aqua &qtilde; e$t in a, non potius fera&ttilde; per obliquam lineam ad d
uel g, <08> ad e uel c inde ex illis ad d uel g, præ$ertim cũ ad$it breuior
<foot>a e &</foot>
<p n=>213</p>
a e & e d et a g breuior a e et c (ut docet Euclides) cau$a e$t quia aqua
quæ de$cendit per e d & c g maiore impetu de$cendit quàm per ad
uel a g ut demon$tratum e$t, ergo non poterit quæ e$t in e d uel e g
loco dimoueri, nec cedere aquæ per obliquam lineam de$cendenti.</P>
<P>Propo$itio cente$imaoctuage$imaquinta.</P>
<P>Cur homo $edens quanto altius $edet, & quanto magis crura ad
femora & femora ad pectus reclinata habet, facilius con$urgat, cum
tamen hæc oppo$ito modo inuicem $e habeant, declarare.</P>
<P>Huius $ecundam partem Ari$toteles in Mechanicis propo$uit,
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
$ed neque $ub adiecta dubitatione, $edens n
<fig>
altius a b pectus, b c femur, c d crus eiu$-
dem uel æqualis, pectus g h, femur h k, crus
k l longior b f quam h n facit, ut facilius $ur-
gat a b c d quàm g h k l, & tamen anguli
a b c & b c d $unt maiores g h k & h k l, qui-
nimo cum uolumus $urgere, contrahimus c d & k l propè & è re-
gione a b, igitur patetratio $ecundi, propior n e$t c d ip$i a b quanto
angulus a b c minor e$t, cui æqualis e$t b c d. Cum ergo quanto pro
pior e$t c d ip$i a b eo facilius $urgat, quoniam particeps magis di-
$po$itionis per quam $urgit, propior autem quo anguli $unt acuti-
ores, ideo facilius exurgit homo, quo contractiora $unt crura, & an
guli femorum ad crura & pectus minora. Hucus<03> Ari$toteles &
bene.</P>
<P>Sed cur rur$us contractiora dum $unt crura, homo facilius exur-
git? Proponantur c f contracta ad perpendiculum, & in clinetur b a
in o ut fiant b o & f e equidi$tantes, ita enim commodius $urgimus:
nec aliter qui $unt imbecilliores: quia ergo b e$t in directo f, ideo
mu$culi femoris inferiores ob crus, & $uperiores ob pectus $unt
magis ten$i & anteriores cruris itidem, ideo maiore ui trahunt par
ticulam. Vnde manente fixo f & capite etiam & pectore grauitate
$ua adiuuantibus, facilius homo exurgit quam ad latos angulos
cum contractio, ut dixi, mu$culorum et inclinatio partium $uperio-
rum fiat maior.</P>
<P>Rur$us pro prima parte problematis, dico quòd quanto altior
e$t b f tanto facilius exurgit, nam $upponatur angu-
<fig>
lus reflixionis a h e æqualis a h c, & b c k æqualis h k f,
igitur cum b f $it breuior b f, erit h k breuior b c & f k,
f c. quare b c femur, & f c crus erunt uiolentius exten-
$a quàm in $itu h k, k f ergo, mu$culi fa cilius erigent
$edentem altiore loco quàm humiliore, quod erat de-
mon$trandum.</P>
<foot>Propo-</foot>
<p n=>214</p>
<P>Propo$itio cente$imaoctuage$ima$exta.</P>
<P>Si fuerit proportio primæ & $ecund æ quantitatis ad tertiam, ut
primæ & quartæ ad quintam, fueritqúe quarta $ecunda maior, erit
proportio quart&ecedil; ad quintam maior quàm $ecundæ ad tertiam.
Quod $i fuerit maior quart&ecedil; ad quintam, quàm $ecund&ecedil; ad tertiam,
nece$$e e$tquartam $ecunda e$$e maiorem.</P>
<P>Sit proportio a & b ad c, ut a & d ad e, $it<03> d maior b, dico maio-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
rem e$$e proportion&etilde; d ad e quàm b ad e, quod
<fig>
$i maior $it proportio d ad c quàm b ad c, dico d
e$$e maiorem b. Quoniam enim e$t d e$t maior
b ad d e$t maior a b per commun&etilde; animi $enten-
tiam, igitur cum $it proportio a d ad e ut a b ad c,
erit e maior c, igitur minor proportio a ad e quam a ad c, at propor-
<marg>P<I>er</I> 14. <I>quin
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
tio totius a d ad e e$t æqualis proportioni a b ad e, igitur ex com-
<marg>P<I>er</I> 8. <I>eiu$-
dem.</I></marg>
muni animi $ententia maior proportio d ad e, quam b ad c. Rur$us,
$i maior e$t proportio d ad e quàm b ad c, igitur per communem
animi $ententiam maior e$t a ad e quàm a ad c, igitur e maior quàm
<marg>P<I>er</I> 10.
<I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
c, $ed d maiorem habet proportionem ad e quàm b ad c, igitur d
<marg>P<I>er eadem
$æpius repe-
titam.</I></marg>
maiorem quàm b.</P>
<P>Propo$itio cente$imaoctuage$ima$eptima.</P>
<P>Si ei$dem uiribus & eadem proportione cum auxilio ponderis
tertij, quartum pondus moueatur quibus $ecundum auxilio primi,
nece$$e e$t quartum pondus tardiùs & maiore cum difficultate
moueri quàm $ecundum.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Maneat prior figura, & $int uires a quæ cum pondere b moue-
ant c pondus, et cum d pondere eadem uires $ub eadem proportio-
ne moueant e, $it autem pondus d maius quàm b, dico e tardius &
difficilius moueri quàm c. Nam ex præcedente e erit maius quàm
c, & proportio d ad e maior quàm b ad c, & proportio a ad e minor
quàm ad c, tum ergo propter uectem magis pre$$um, tum quia d
non mouet e, ni$i motum ab a, nece$$e e$t ut tardius & maiore cum
difficultate admoueat e quo a b mouet c. Et ideo eo perueniri po-
terit ab$que dubio, ut a b moueat uelociter e & a d, nullo mouente.
Quia hoc accidit cùm d non mouet c ni$i quia motum ab a.</P>
<P>Propo$itio cente$imaoctuage$imaoctaua.</P>
<P>Si uires aliquæ moueant cum ponderibus aliqua pondera, ut
compo$ita proportio $it eadem proportioni uirium & duorum
ponderum mouentium aggregatum æquale duorum ponderum,
ubi maior fuerit partium inæqualitas, ibi erit maior difficultas.</P>
<P>Sint uires a, & aggregatum ponderum b c & d e æqualia, & a
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
cum f & g moueat b & c $ub proportionibus componentibus ean-
<foot>dem</foot>
<p n=>215</p>
dem proportionem, quam componunt proportiones a & h mo-
uendo d & a, & k mouendo e, & $it maior diffe-
<fig>
rentia ponderis e ad d quàm c ad b, dico quod
maiore cũ difficultate mouebuntur d & e quàm
b & e. Nam cũ differentia e & d $it maior quàm
<marg>P<I>er præce-
dentem.</I></marg>
c & b, & d e & b c $int æqualia, erit e maius c, igi-
tur e difficilius mouebitur ab a & k quàm c ab a
& g. Itidem quia e tanto maius e$t c, quanto b
maius e$t d, & proportio a k ad e & a h ad d, conficiunt proportio-
nem a g ad c & a f ad b, erit ut motus d e $int tardiores & difficilio-
res motibus b c, per regulam dialecticam, nam difficultas motus e
$upra difficultatem motus c, e$t maior quam difficultas motus b
$upra difficultatem motus d, igitur difficultas motus d & e, maior
e$t difficultate motus b & e, quod erat demon$trandum.</P>
<P>Propo$itio cente$imaoctuage$imanona.</P>
<P>Si pondus minus ad longitudinem maiorem $ub æquali pro-
portione coaptetur, facilius deor$um trahetur quàm quod maius
e$t & propius.</P>
<P>Sit $itula aquæ f annexa tigno
<fig>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
in e & ad minuendum pondus
ad datur ex aduer$o elongius $eu
uincatur pondus a, dico quod
cõmo dius erit quàm $i &ecedil;quale ad
grauitatem addatur b proprius
in e, nam quia b &ecedil;quiponderat in
d ut a in e, & homo trahens ex e
plus pote$t quàm ex d, igitur fa-
cilius trahet ex e quam d. Et quo-
niã graue minus ponderat quan
to magis di$tat à medio, licet mo-
ueat magis, ergo inclinatum ad
<marg>P<I>er</I> 45.</marg>
medium, cum ergo moueatur
<marg>P<I>ropo$.</I></marg>
uelocius ex e quam d, & $emper
<marg>P<I>rop.</I> 109.</marg>
uelocius de$cendendo in com-
paratione a g h, igitur $emper
magis & magis uelociter ex e
quàm d ut $it duplex incrementum & comparatione c e ad c d &
de$cen$us ad de$cen$um in utro<01> & $imiliter in reditu, quia facilius
impelletur $ur$um e quàm d per primam rationem.</P>
<P>Propo$itio cente$imanonage$ima.</P>
<P>Si fuerit primum graue minus $ecundo, & $ecundum minus ter-
tio, proportio autem primi ad $ecundum multo maior quàm $ecun
<foot>di ad</foot>
<p n=>216</p>
di ad tertium, po$sibile erit propo$itis uiribus ei$dem addere pon-
dus $ecundo, utip$um & tertiũ moueantur facilius ab ei$dem uiri-
bus, & primo uel $ecundo quam antea.</P>
<P>Sit a põdus minus, c maius, proportio a ad b multo maior quàm
b ad c, uires d, & d cum a moueat b & cum b mo
<fig>
ueat c, dico quòd poterit addi pondus ad b ut d
cum a moueat b, & d cum b moueat e maiore fa-
cilitate componendo proportiones quam antea: Cum enim fuerit
proportio d b ad c minima, quãtumcun<03> moueatur b facilè ab a d
<marg>P<I>er</I> 188.</marg>
plus refert difficultas c moti a b d: igitur cum addito pondere di-
<marg>P<I>er</I> 187.</marg>
midio quod a $uperat b omnino uincat a d ip$um b, cum eo quod
additum e$t, & tanto minor $it difficultas motus c a b d cum ponde
re addito, $equitur ut minor $it difficultas motus b cum pondere
addito a b a d, & motus c à b cum pondere addito & d quàm b & e
ab a & b cum uiribus d.</P>
<marg>Q<I>uæ$t.</I> 28</marg>
<P>Ex hoc patet quod qui interpretati $unt Ari$totelem, cum non
po$sit nec intelligi nec demon$trari, fucum fecerunt legentibus: ni-
hilominus hoc illis debemus, quod $i Phrynis non fui$$et, Timo-
theus non fui$$et, nam ni$i illi quod $ciuerunt protuli$$ent in medi-
um, ego for$an aut illa non intellexi$$em aut neglexi$$em. Ita<01> & re-
liquas habes à nobis expo$itas licet non adeò diligenter, & mo-
dum huiu$modi exponendi. Subij ciemus autem et hanc, ut obiect&ecedil;
quæ$tioni, quantum nerui $it ($i pœnitus quis res $equi uelit, non
addictus nimis authoritati ueterum ut pedem figere uelit, ubi illi
res uix tactas reliquerunt) in telligamus.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Vocatur autem hæc proportio auxiliaris. Cun<01> fuerit &ecedil;qualis d
& a ad b ut d & b ad e, dicetur auxiliaris æqualis.</P>
<P>Propo$itio cente$imanonage$imaprima.</P>
<P>Cum fuerint duo pondera & uires duxeri$<03> aggre gatum ex ui-
ribus & minore pondere in maius, addideris<03> in$uper quãtum e$t
productum dimidij uirium in $e latus aggregati detracto dimidio
uirium, dicetur pondus auxiliare æqualis proportionis.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sint pondera b minus, c maius, & ducatur aggre-
<fig>
gatum ex a uiribus & b minore pondere in e, & ei
addatur quadratum dimidij a, dico quod radix $eu-
latus huius detracto dimidio a e$t pondus auxiliare
æquale, $it productum a b in e $uperficies & quadra-
tum dimidij a $it e, ita quod tota d e $it $uperficies
quadrata, cuius latus $it f g: f h autem dimidium a di-
co h g e$$e pondus auxiliare æquale. Quia enim f g
<foot>quadra-</foot>
<p n=>217</p>
quadratum e$t æquale quadratis g h, h f & duplo g h in h f, & qua-
<marg>P<I>er</I> 4. <I>primi.</I>
E<I>lem.</I></marg>
dratum fh e$t &ecedil;quale e $uperficiei, erit quadratum h g minus $uper-
ficie d in duplo g h in h f, quare productum a b in cerit &ecedil;quale qua-
drato g h in $e & a, nam duplo g h in h f & iam duplum g h in h f e$t
&ecedil;quale producto g h in a, quia a e$t duplum h f, igitur qualis e$t pro
<marg>P<I>er</I> 16. <I>$ex
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
portio a b ad g h, talis g h & a ad c, igitur per definitionem datam
g h & quantitas grauitatis auxiliaris æquale.</P>
<P>Ex hoc manife$tum e$t, quod $i fuerit datum pondus tertium au-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
xiliare, quod $ciemus quantum addendum uel detrahendum ut fi-
at pondus auxiliare æquale, nam inuenta g h $i fuerit k maior adde-
mus quod deficit, & $i minor quàm k detrahemus ex k quod e$t
$uperfluum.</P>
<P>Et rur$us inuenta g h ut perficiamus pondus &ecedil;quale, augebimus
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
aliquanti$per, ut fiat æqualis ad unguem difficultas in motu: iuxta
<marg>P<I>rop.</I> 187.</marg>
doctrinam $uperiùs d atam.</P>
<P>Propo$itio cente$imanonage$ima$ecunda.</P>
<P>Si ex medio diametri linea ad perpendiculum erigatur ad circu-
li peripheriam: ex eo puncto aut&etilde; quotlibet lineæ ducantur $eu in-
tus ad circumferentiam u$<01>, $eu extra ad diametrum, erit proportio
totius lineæ ad totam, uelut mutuò partis ad partem.</P>
<P>Ex media diametro a c. 1. c&etilde;tro b, ducatur ad perpendiculum b d,
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
& ex d lineæ d a d e d h, dico d e ad d a, ut d a ad d f, & d h ad d a ut
d a ad d g, & d e ad d h ut d g ad d f. Quia n quod fit ex d em e f, æ-
quale e$t ei quod ex e c in e a, quod uerò ex e c in e a cum quadrato
<marg>P<I>er</I> 36. <I>ter-
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
b d $eu b a &ecedil;quale e$t quadrato b e, igitur ex
<fig>
e d in e f cum quadrato d b æquale qua-
<marg>P<I>er</I> 6. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
drato b e, ex d e igitur in e f cum quadratis
<marg>P<I>er</I> 47. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
d b & b a æquale quadrato d e. Quadratis
<marg>P<I>er tandem.</I></marg>
autem a b & b d æquale quadratum d e:
<marg>P<I>er</I> 2. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
igitur ex d e in e f cum quadrato d a æqua-
<marg>P<I>er</I> 17. <I>$ex-
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
le quadrato d e. At quadratum d e æquale
e$t his quæ ex d e in e f, & f d igitur detra-
<marg>P<I>er</I> 2. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
cto communi ex d e in e f, erit quadratum d
e æquale ei quod ex d e in d f, igitur d e ad
<marg>P<I>er</I> 35. <I>ter
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
d a, ut d a ad d f. Similiter quod fit ex h d in
<marg>P<I>er</I> 47. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
d g, æquale e$t ei quod fit ex h g in g d cum
quadrato d g, at quod fit ex h g in g d e$t æquale ei quod fit ex c g in
g a, erit quod fit ex c g in g a cum quadrato d g &ecedil;quale ei quod fit ex
d h in d g. Quadratum autem d g e$t æquale quadratis d b, b g igi-
<marg>P<I>er</I> 5. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
tur d h in d g æquale e$t ei quod fit ex g a in c g cum quadratis b d
b g, at quod fit ex a g in g c cum quadrato b g e$t æquale quadrato
<foot>T b a</foot>
<p n=>218</p>
b a igitur quod fit ex d h in d g e$t &ecedil;quale quadratis d b, b a qu&ecedil; $unt
&ecedil;qualia quadrato a d, igitur quadratum a d e$t &ecedil;quale ei quod fit ex
<marg>P<I>er</I> 17. <I>$ex
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
h d in d g, quare proportio h d ad d a ut d a ad a g. Quia ergo pro-
<marg>P<I>er</I> 16. <I>&</I>
17. <I>$exti</I>
E<I>lement.</I></marg>
portio d e ad d a ut d a ad d f, & d h ad d a ut d a ad d g, erit d e ad d h
ut d g ad d f.</P>
<P>Vnde manife$tum e$t omnes has lineas in $uam interiorem par-
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
tem ductas rectangulum con$tituere &ecedil;quale quadrato quod circu-
lo eidem in$cribitur.</P>
<P>Propo$itio cente$imanonage$imatertia.</P>
<P>Rationem ponderis triplicem explicare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Superius declaratum e$t quòd id quod quie$cit, habet motum
<marg>P<I>ropo$.</I> 26.
<I>&</I> 38.</marg>
occultum. Quærit autem Ari$toteles cur $ecuris pondere pre$$a nõ
diuidit lignum, minore uerò $ed moto $ed modo diuidit? Diximus
<marg>Q<I>uæ$t.</I> 19.
M<I>echan.</I></marg>
motum ine$$e qui perpetuo augetur, indicium e$t, quod $i ex a de-
$cendat, maior&etilde; facit ictum, quoniam plurimus aër coadiuuat, ex d
autem occultum $olũ, et eum qui fit ratione grauitatis, me-
<fig>
dium ex medijs locis. Omitto modo de motu aucto per
uim humanam, de quo uidetur quærere Ari$toteles, quili-
bet enim aër addit $uper motum iam acqui$itum & fit hoc
argumentum centies ac millies maius, quoniam m e$t qui
diuidit, pondus autem non ponetrat. Sicut ergo cuneus
magis diuidit lignum quam claua, ita quod mouetur $ine
proportione (ut ita dicam) non $olum ob impetũ nece$$e
e$t ut uehementer diuidat lignum aut lapidem $ubiectum,
& non in proportione di$tanti&ecedil;. Sicut $i pondus in forma
$ecuris, & ip$a $ecuris diuidit longe magis ligna quam cla-
uis maioris ponderis & maiore ui de$cendens: ita pondus motum
quam immotum. Hoc adeò per$picuam habet cau$$am, ut quanto
plura uerba addererentur, eo redderetur res difficilior. Habet ergo
propriam $olum grauitatem & motum occultum. C&ecedil;terum e$t ter-
tium, genus mediũ, cum idem pondus appen$um e$t, ue-
<fig>
lut f quod dico e$$e maius & minus occultum quam $i ia-
ceret in plano, quoniam $icut tuber & cauitas in qua iacet
$imul tempore $unt, natura tamen tuber e$t prius cauitate,
ita pondus appen$um prius e$t, contrà nixum uinculi na-
tura & quodammodo tempore, $emper enim grauat, & illud $em-
per re$i$tit $upra illius grauitatem: Sed pondus quod e$t in plano
occultam omnino habet actionem bifariam<03> di$ting uitur a pon-
dere $u$pen$o: Primum quòd pondus quod quie$cit & contra in-
tendi principium $imul non $olum $unt tempore $ed etiam natu-
ra. Sed in appen$o, ut dixi, pondus prius grauat quam uincu-
<foot>Ium</foot>
<p n=>219</p>
lum contranitatur. Secundò, quia pondus in plano non inchoat
motum $ed pendens inchoat, ideo quòd e$t in plano habet pror-
$us occultum, quod pendet non: & $i $it lignum eiu$dem molis &
duritiei cui appen$um $it f & cui in$ideat, magis atteretur id cui ap-
<fig>
penditur, & prius<08> cui in$idet. Cæterúm quod
ad grauitatem attinet æqualia $unt, nam aër in
utroque pellit deor$um, ac magis quod quie$cit
in plano: $olum enim planum re$i$tit, in pendu-
lo onere etiam aer $uppo$itus, quo fit ut quod
pendet, minus graue $it. Sed æqualia uidentur.</P>
<P>Propo$itio cente$imanonage$imaquarta.</P>
<P>Proportionem ponderis longioris in medio $u$pen$i ad breuius.
illi æquale & in medio $u$pen$um, declarare.</P>
<marg>Q<I>uæ$t.</I> 27.</marg>
<P>Hanc generaliter propo$uit Ari$toteles in Mechanicis, o$tendi&ttilde;
e&mtilde; quod $i a b in e, & d e in f æqualia
pondera in medio $u$pendãtur, quod
<fig>
grauius erit a b quam d e. Et hoc e$t
certum quia a & b extrema plus di-
$tant ab hypomochlio. Sit igitur g h re$ecta æqualis hiccinde d e,
pondus e$t æquale a b, erit g h minus pondere d e in k, igitur per
communem animi $ententiam k e$t æquale uerò ponderi a g & h b,
igitur cum a g & h b plus ponderent in $itu $uo quam in $itu d e,
patet propo$itum quoad Ari$totelem attinet, $cilicet quod a b e$t
grauior d e.</P>
<P>Vt modò o$tendam proportionem, erit proportio h b ad g h ut
ponderis h b ad totum põdus g b, eadem ratione a g ad g h ut pon-
<marg>P<I>er</I> 92. <I>hu-
ius.</I></marg>
deris a g ad totum a h, a h autem e$t æqualis g b & a g æqualis h b
ex communi animi $ent&etilde;tia, & pondus a h &ecedil;quale ponderi b g, quia
$unt æquales & in eodem $itu: igitur a g, h b ad g h, ut ponderum
a g h b ad pondus g b. Et ita patet quod quanto longior e$t a b in
comparatione ad d e, tanto a g & h b in comparatione ad g h, igitur
tanto maior proportio ponderum a g h b ad pondus a h. rur$us e$t
tanto maius quanto a b e$t longior per demõ$trata in prima parte,
igitur multo maius e$t pondus a g h b, quanto longior a b in com-
paratione ad d e.</P>
<P>Exemplũ $it ponderis a b 12 ponderis lõgitudinis pedũ quatuor,
d e pondus 12 longitudinis duorũ pedum, eruntigi&ttilde; a g, g e, c h, h b
unius pedis $ingul&ecedil;. Et quia a g & b h $unt dimidiũ g h erunt ambæ
pariter æquales g h & ideo pondus a g h b æqualia g b ponderi,
$ed pondus g b e$t librarum nouem, quia g b e$t dodratus a b, igi-
tur tota a b e$t ponderis quindecim, nam g h e$t ponderis $ex, e$t er-
go pondus a b quadrante maius d e.</P>
<foot>T 2 Propo-</foot>
<p n=>220</p>
<P>Propo$itio cente$imanonage$imaquinta.</P>
<P>Si lectus fiat dupla longitudine ad latitudinem melius $uffulcie-
tur re$tibus ex medio ad angulos, & eis æquidi$tantibus quam $e-
cundum longitudinem & latitudinem.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>H&ecedil;c proponitur à Philo$opho in mechanicis, & dico quod $i a b
<marg>Q<I>uæ$t.</I> 25.</marg>
$it dupla a c, & <G>a b a g</G> dupla, & diuidantur a b a c & <G>a b a g</G> in quotuis
partes &ecedil;quales inuicem, nam $upponitur a b &ecedil;qualis <G>a b</G> & a c æqua-
lis <G>a g</G>, & ducantur rectæ lineæ decu$$atim & ad rectos angulos, &
$ecundũ id $tatuantur re$tes, quod decu$$a-
<fig>
tim po$itæ utiliores erũt, omitto quod de-
centius ob $patiorum minorem differenti-
am. Adducam $olùm tres Philo$ophi ratio-
nes: prima, quoniam ligna non adeò facilè
finduntur nec incuruantur tran$uer$im tra-
cta, ut recta & $ecundum longitudinem, Et
<fig>
ideò longè plus durabit <G>a b g d</G> quã a b c d,
& cum $pondis rectoribus, & ideò etiam
cum re$tibus magis intentis: & erit firmior
& pulchrior. Secunda ratio e$t, quod cum
re$tes in $ecunda con$titutione æquales inuicem $int, in prima quæ
$ecundum latitudinem dupl&ecedil;, qu&ecedil; longiores erunt magis laxabun-
tur tran$uer$alibus, & ita turpiores & incommodæ breui redden-
tur, & in $ecunda con$titutione &ecedil;qualiter $u$tinebunt pondus & re-
uolutionem cubantis, tum ob æqualitatem longitudinis inter $e,
tum ob $itum $imilem inter $e, tum ad humanum decubitum di$si-
mil&etilde;, nam (ut o$ten$um e$t) in præcedenti magis grauat pondus in
extremis quam in medio, & magis laxantur ob id quæ $unt $ecun-
dum eundem fitum. Et hanc cau$$am expo$itores non intellexe-
runt multi, multo minus tertiam, in qua faciunt demon$trationem
Geometricam & computantrem numeris. Deinde non animaduer
tunt quod in $ecunda figura a$$umunt quin<01> lineas, cum in prima
tantum a$$ump$i$$ent quatuor. Peius omnibus e$t quod demon-
$tratio hæc cum de tran$uer$is ad magis tran$uer$as lineas $it non
e$t ad propo$itum Ari$totelis, qui in duabus primis rationibus
tran$uer$as comparauit his, quæ à latere ad latus & à capite ad ca-
put deducuntur, ita ubi trifariam decepti $unt, ibi maximè glori-
antur. Mi$erum nunc philo$ophandi genus: uolunt<03> $upercilium
e$$e loco doctrinæ. Sint igitur lineæ ductæ ut uides, dico omnes
pariter acceptas in prima figura, e$$e longiores omnibus pariter ac-
<marg><*> 34. <I>pri
<*></I> E<I>lem.</I></marg>
ceptis in $ecunda figura, quod intendit demõ $trare Ari$toteles. O-
$ten$o ergo de duabus, idem $uppo$ito numero equali de omnibus
<foot>con$tat.</foot>
<p n=>221</p>
con$tat. Demon$trandum e$t ergo a b & g q'maiores e$$e <G>a<24> & <24>b</G>,
nam <G>ag & g<24></G> $unt æquales & <G><24>d & db</G> ex $uppo$ito, quare <G>a<24> & <24>b</G>
æquales $unt pote$tate quadrato, <G>ab</G> igitur ambæ iunctæ lineæ me-
<marg>P<I>er</I> 47. <I>pri-
mi &</I> 4. <I>$e-
cundi</I> E<I>lem.</I></marg>
diæ inter duplum <G>ab</G> & ip$am <G>ab</G>, quadratum enim <G>a<24> & <24>b</G> coniun-
ctarum e$t duplum quadratis uniu$cuius<03> earum pariter acceptis,
<marg>P<I>er</I> 17. <I>$exti</I>
E<I>lem.</I></marg>
uelut & quadratum mediæ inter duplum <G>ab</G> & ip$am <G>ab</G>, at quadra-
tum coniunctæ ex a b & a c e$t æquale duplo quadrati a b cum qua
<marg>P<I>er</I> 4. <I>$ecun
di</I> E<I>lem.</I></marg>
drato a c, igitur $uperat duplum quadrati <G>a b</G> in quadrato a c, $ed
<marg>P<I>er eandem.</I></marg>
quod pote$t in duplum quadrati <G>ab</G> e$t aggregatum <G>a<24> & <24>b</G>, igitur
a b & a d $unt longiores iunctæ <G>a<24> & zb</G> quia po$$unt eo plus quan-
<marg>P<I>er eandem.</I></marg>
tum e$t quadratum a c.</P>
<P>Propo$itio cente$imanonage$ima$exta.</P>
<P>Si duo circuli $uper eodem centro eodem motu transferuntur,
æquale $patiu m $uperant.</P>
<P>Sint duo circuli a b, c d $uper eodem centro e qui transferantur
<fig>
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
$uper axe per $patiũ c g dum re$oluitur c d,
tum ergo a erit in f, quia c d contingit pla-
num c g, igitur e c e$t ad perp&etilde;diculum c g,
<marg>P<I>er</I> 18. <I>ter
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
ergo punctum a e$t in f & a f æqualis c g,
<marg>P<I>er</I> 34. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
igitur a b circulus $olum reuolutus e$t $e-
mel, & tantum perambulauit $pacij quan-
tum e d & æquali uelo citate, cùm tamen $eor$um $it proportio $pa-
tij ad $patiũ ut circuli ad circulum. Hæc e$t $ubtili$sima quæ$tionũ
<marg>Q<I>uæ$t.</I> 25.</marg>
propo$itarũ ab Ari$to tele in mechanicis, quam $ic quidam $oluunt.
Supponunt duo: primũ $i quid ab aliquo mouetur nihil conferens
<fig>
ad illum motum,
ex$e ip$o per tan
tum mouebitur
$patiũ, per quan-
tum ab illo mo-
tore mouebitur:
Secundum, ead&etilde;
potentia in eod&etilde;
tempore diuer$o
modo duo mobi
lia mouebit &ecedil;qua
lia, cum unũ mo-
tui a$$entietur aliud nõ. quod $i hæc mobilia $eiuncta fui$$ent, quod
aptitudinem haberet $eiunctũ uelo cius moueretur, quàm dum con
iunctum e$t. Cum ergo inquiunt circulus c d moueatur ab a b cir-
culo, nec conferat quic<08> ad motum, ideo tantum tran$ibit $pacium
<foot>T 3 c d</foot>
<p n=>222</p>
c d quantum a b per primum $uppo$itum. Sed quoniam propofi-
to circulo alio non circa idem centrum, utpote k l reuoluetur &
perueniet ad h ex demon$tratis. Re$ponde&ttilde; ad hoc, quod idem e$t,
quia unus circulus tantum per $e mouetur circa centrum, reliqui
omnes non per$e circa centrum, $ed ab alio circulo primo mouen-
tur, ideò nihil refert $eu $int circa idem centrum $eu circa aliud, hoc
enim fortuitum e$t. Ideo ad argumentum re$pondent cauillo$am
e$$e hãc di$putationem, cum $upponatidem ambobus circulis per
$e centrum e$$e. Sed non e$t per$e, uerùm per accid&etilde;s. Attamen de-
miror de huiu$modi $olutione. Primum quod ip$emet. Ari$toteles
de hoc nos docuit in primo Po$teriorum dicens. Non e$t igitur ex
uno in aliud genus tran$c&etilde;dentem demon$trare, ut Geometricum
Arithmetica. Et Auerro&etilde;s in Commento magno inquit, ea uerba
exponens. Fieri non pote$t, ut demon$tratio transferatur de
arte in artem. Et ibidem docet, quod neque ut ambæ præmi$-
$æ $int communes, neque etiam maior tantum, $icut exponebat Al-
pharabices. Verùm dicit, $olum licet in artibus, quæ $unt in com-
paratione generis ad $peciem, ut $it conclu$io ueluti phy$ica ma-
ior propo$itio, in $ubiecta $cientia ueluti medicina. Vnde cõcludit
Philo$ophus. Propter hoc Geometri&ecedil; non licet demon$trare quod
contrariorum una e$t $cientia: $ed ne<01> quod duo cubi cubus, ne<01>
alij $cientiæ quod alterius: ni$i in his quæ ita inter $e habent ut alte-
ra $ub altera $it, ueluti per$pectiua ad Geometricam, & harmonica
ad Arithmeticã. Et po$t docet quod etiam non licet demon$trare ex
communibus: hæc igitur ratio e$t ex alienis genere at<01> communi-
bus. Quid, quòd non $oluit difficultatem qu&ecedil; mathematica tota e$t
& innititur manife$tis principijs. Debuit enim o$ten dere quomo-
do tardius moueatur circulus maior ip$o minore: hoc enim e$t ne-
ce$$e $i eodem tempore debent æqualia $patia pertran$ire. Accipia-
mus ergo quod manife$tum e$t, $cilicet uectionem e$$e hanc in qua
e centrum perpetuò per æquidi$tantem lineam fertur in m, nullum
autem circulum progre$$us centri e$$e cau$am ni$i ut rota mouet
currum & currus axem, reuolutio ergo notæ efficit ut $patium c g
pertran$eat nota, & ideo motus ille circularis non e$t, quia circula-
ris motus fit manente centro, $ed e$t circulus progrediens uelut &
punctum e: at in circulo, hoc e$t di$crimen quòd puncta, uariantur
centrum autem non. Dico ergo ut melius intelligas quòd talis mo-
tus e$t uelut famulorum fabrorum qui rotam circunducant domũ
impellentes, talis enim motus, e$t rectus, & e$t impul$ionis non au-
tem circularis. Et ideò omnia puncta æqualiter mouentur, & per
æquale $patium, accidit autem ut hic motus fiat circunuertendo,
<foot>$icut</foot>
<p n=>223</p>
$icut etiam $i traheretur fune. Et $i quis obijciat quod hæc re$pon-
$io e$t eadem cum illa qu&ecedil; tribuitur Ari$toteli, dico quod non, quia
in illa $upponuntur duo fal$a, unum quod principium motus ali-
quando $it in c d, aliquando in a b, quod pro $ecunda parte fal$um
e$t: nam nunquàm principium pote$t e$$e in a b, nam $i intelliga-
mus de modo motus, non mouetur nec a b nec c d motu circulari,
quoniam (ut dixi) motus e$t uectio, $eu tractio, non circularis. Sin
autem de cau$a motus rotæ illa e$t in circulo $emper maximo, $cili-
cet c d & non a b. Et cau$a erroris horum fuit duplex: cum enim $ci-
rent hanc rationem, dubitarunt an circulus c d motus e$$et potius
cau$a motus circuli a b, an contrà, ideò protulerunt ambos, $icut illi
quibus $ublata e$t res aliqua, ut non errent, dicunt hic, uel hic $ubri-
puit rem meam. Secunda fuit, quia ne$ciuerunt di$tinguere inter
motum per circulum & motum circularem, cum $it magnum di$cri
men: motus enim rotæ e$t per circulum, quia per circumferentiam
eius, quæ e$t circulus, non autem circularis. Et$i $uperius appella-
uerim circularem, cum di$tinxi in triplicem motum $ph&ecedil;r&ecedil; circum-
uolutionem, tunc non curaui de uerbis, quia uerba tum non erant
cau$a erroris.</P>
<P>Ex hoc patet unum, quod e$t difficilius, $cilicet quia certum e$t,
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
quòd tam c d quàm a b mouentur $uper rectas, & ita ut $ingula
puncta c d tangant $ingula puncta c g, & a b $ingula puncta a f, &
tamen c d circumferentia, aut non e$t æqualis rectæ c g, aut circum-
ferentia a b non e$t æqualis rectæ a f, aliter $i ambæ circumferentiæ
ambabus rectis e$$ent æquales, cum rectæ $int æquales, ut demon-
$tratum e$t, e$$ent circumferentiæ etiam a b & c d, æquales maior
minori, quod e$t impo$sibile. Non ergo ualet argumentum, i$te cir
culus circumfertur $uper rectam aliquam, ita ut cum redit ad idem
punctum rectam perambulauit ad unguem, ergo illius peripheria
e$t æqualis illi rectæ.</P>
<P>Melius ergo fui$$et huius reddere rationem, in quo e$t tota dif-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
ficultas, nam illa (ut dixi) de motu circulari nulla e$t, $i quis tam pe-
nitus intro$piciat. Sit igitur ut rotæ axis c, tran$eat in f, & quia e a &
f g æquales $unt a centro ad circumferentiam, & a g æquidi$tans
b c, erit per demon$trata punctum g in linea fh, & ponamus quod
punctum fuerit m, quod translatum, & retro reuolutum peruene-
rit ad h, & $ecet e m a b circulum in n, dico quod n e$t punctum g, in
quo etiam e$t animaduertendum de $tupore horum $cribentium,
nec aduertentium quod puncta circulorum a b & c d retro cedunt,
uer$us a & c, & non uer$us o & p, & hoc e$t quod decipit illos.
<foot>T 4 Quia</foot>
<p n=>224</p>
Quia ergo m e$t h
& e f, igi&ttilde; cum n $it
in linea e m, erit in
linea f h, $ed n e$t
etiã in circulo a b,
igitur cũ nullũ $it
punctũ aliud in li-
nea fh, et circulo g
q, <08> g e$t n cõmu-
nis $ectio, igitur n
peruenit in g. Vi-
des ergo quod m
<fig>
retroce$sit per angulum m g h, n autem antece$sit per angulum n
g f, qui e$t æqualis angulo m g h. Ex quo liquet cau$a dictorum, &
quod non intellexerunt quæ$tionis fundamentum cum ferantur
$ingula puncta in una reuolutione æqualiter cum centro motu re-
cto: & motu circumuolutionis $unt immobilia, quia tantum retro-
cedunt in una medietate, quantum procedunt in alia.</P>
<P>Propo$itio cente$imanon age$ima$eptima.</P>
<P>Curlances ad locũ $uũ $u$p&etilde;$i redeãt impend&etilde;tes nõ, demõ$trare.</P>
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
<P>Aliâs cum uiderem apud Ari$totelem & eius expo$itores hoc
<marg>Q<I>ue$t.</I> 7.
M<I>echan.</I></marg>
problema non $um au$us, quia ex proprijs non mihi occurrebat
demon$tratio, rationem reddere, at confecta dialectica $tatim appa
ruit modus. Sit ergo libra a b appen$a ex trutina c d, & $it per pon-
<fig>
dus educta loco e f, & $ublato reuertitur
ad locum priorem: Et rur$us eadem $i
immineat g d $u$ten taculo nõ mouetur:
igitur palam e$t quod in trutina d e gra-
uior e$t quã d fin$i$tens g d, nõ e$t adeo
grauis, aut omnino non grauior. Ne<01>
pote$t id accidere quod in primo ca$u
angulus e d c acutus, $it in $ecundo obtu
$us, nam $i ob angulum e d c acutum de$c&etilde;dit in primo ca$u e, in $e-
cundo ca$u de$cendet f, quia pariter f d g acutus e$t, & æqualis e d c,
hoc autem non contingit. Mira ne dicam $tultitia an audacia eorũ,
qui nihil intelligentes au$i $unt, hæc pertractare, $perantes in tot $e-
culis nullum futurum, qui ignorantiam $uam & impo$tura depre-
hendat, dicunt enim quod in primo ca$u producta quadam recta
ad perpendiculum, & quæ $it h k maiorem reddi d e quàm d f, ne <01>
quomodo id fiat o$tendunt, & $i (ut dixi) maior $it quã d fin primo
ca$u maior d f quam d e in $ecũdo ca$u: ergo $i in primo ca$u d e de-
$cendit, in $ecundo de$cendet magis d f, at hoc non accidit $ed $tat.
<foot>Oportet</foot>
<p n=>225</p>
Oportet igitur hoc e$$e principium ex Dialectica, quod o$tend at e
grauiorem e$$e f in primo ca$u, in $ecundo non e$$e grauiorem, aut
leuiorem, ut ne<01> ad angulum refugere po$simus. Ergo $upponere
oportet quæ manife$ta $unt, e e$$e grauiorem f, aliter enim non de-
$cenderet: non prohiberi autem in primo ca$u motum prohiberi in
$ecundo, aliter uel grauior fieret f, uel maneret eadem grauitas: $i-
quidem maneret grauitas, nec impediretur de$cendere e in $e-
cundo ca$u, ut in primo, at non de$cendit. Si grauitas mutaretur, igi
tur f de$cenderet $ecundo ca$u magis quam in primo. Quod $i di-
cas non tanto fieri grauiorem, igitur f magis depre$$a de$cendet
$altem, at nunquam de$cendit, igitur grauior e$t $emper e quàm f,
$ed in $ecundo ca$u impeditur motus non in primo. Cau$a grauita-
tis e$t, quoniam d e$t centrum grauitatis, quia medium. igitur cum
<marg>P<I>ropo$.</I> 45.</marg>
c & d con$pirent contra f, nece$$e e$t e de$cendere per $uperius de-
mon$trata, igitur e de$cendet in primo ca$u, quia grauius e$t ut do-
cui nec impeditum. At in $ecundo ca$u e & d $unt grauiora, $ed d
e$t impeditum, quia non habet motum, ni$i occultum in$idet enim
<marg>P<I>rop.</I> 193.</marg>
g d, igitur tantum ponderat e quam f, ergo pror$us non mouebun-
tur, facit & ad hoc quòd quæuis latitudo d, $u$tentaculi prohibet
motum, at dee$$e uix pote$t. Vides ergo illos nugas palam agere.
Primum dee$t illis dialectica, deinde ingenium acre, deinde quod
maius e$t, uolunt confe$tim tran$ire ex principijs ad remota theore-
mata, quod fieri non pote$t.</P>
<P>Propo$itio cente$imanonage$imaoctaua.</P>
<P>Cur $olidum quod cubus uoca&ttilde;, pyramide $tabilius $it, o$tendere.</P>
<head>LEMMA PRIMVM.</head>
<P>Si intra circulum triangulus æquilaterus de$cribatur, & ab uno
angulorum per centrum rectà ducatur, angulum per æqualia diui-
det, & trianguli latus, & ad angulos rectos ei in$i$tet, ip$a uerò quæ
ex centro per æqualia uici$sim à trianguli latere diuidetur.</P>
<fig>
<marg>C<I>o</I><*>.</marg>
<P>Sit a b c æquilaterus circulo in$criptus,
<marg>P<I>er</I> 8. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
cuius centrum d, ducatur<03> ad e f rectà per
centrum, & ducantur d b & d c, erit<03> ex hoc
<marg>P<I>er</I> 26. <I>ter-
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
triangulus a b d &ecedil;quilaterus triangulo a c d,
<marg>P<I>er</I> 28. <I>eiu$
dem.</I></marg>
quare angulus b a d æqualis c a d, igitur ar-
cus b e æqualis c e, igitur arcus b e e$t $exta
<marg>P<I>er</I> C<I>or</I>m.
15. <I>quarti</I>
E<I>lem.</I></marg>
pars circuli, quare b e recta latus exagoni,
quare b e erit æqualis d e, igitur cum anguli
<marg>P<I>er</I> 4. <I>primi</I>
E<I>lem.</I></marg>
a d f $int utrin <01> recti, crit d f æqualis f e, ita<01>
<marg>P<I>er</I> 47. <I>p
<*> i</I> E<I>lem.</I></marg>
f d, tertia pars fa & fb dimidium a b quia b c.
<foot>LEMMA</foot>
<p n=>226</p>
<head>LEMMA SECVNDVM.</head>
<P>Quadratum lateris trianguli æquilateri $e habet ad illius $uperfi
ciem, ut latus eius ad mediam lineam inter latus dodrantis, & qua-
drantis proportione duplicata.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Quadratum a b e$t æquale quadratis a f, fb, & quadruplum qua
<marg>P<I>er</I> 27. <I>pri
mi</I> E<I>lement.</I></marg>
drato b f, igitur quadratum a f e$t do drans quadrati a b. Quod ue-
rò fit ex a fin f b e$t medium proportione inter quadrata a f, f b, re-
<marg>P<I>er</I> 1. <I>$ex<*>i</I>
E<I>lem.</I></marg>
ctangulum igitur ex a fin fb, e$t ex lateribus dodrantis a f, & qua-
<marg>P<I>er eandem
&</I> 11. <I>quin
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
drantis b f quadrati a b, quare cum mediæ inter a f & fb æquale fa-
ciat quadratum rectangulo a fin fb, erit proportio quadrati a b ad
quadratum mediæ inter a f, fb, ut lateris trianguli ad mediam inter
<marg>P<I>er</I> 17. <I>&</I>
20. <I>$exti</I> E<I>l.</I></marg>
latera dodrantis, & quadrantis quadrati lateris ip$ius duplicata: re-
<marg>P<I>er</I> 41. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
ctangulum autem a fin fb e$t æquale triangulo a b c, igitur propor
tio quadrati a b ad triangulum a b c e$t uelut lateris a b ad mediam
inter latera dodrantis & quadrantis duplicata.</P>
<head>LEMMA TERTIVM.</head>
<P>Propo$itio quadrati cubi $phæræ inclu$i ad triangulum pyrami
dis eidem $phæræ inclu$æ, e$t uelut lateris pyramidis $eu trianguli
eius ad cathetum $uum.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Proponatur enim $phæræ diameter g, & latus pyramidis b a, &
<marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}.
13. <I>decimi-
tertij</I> E<I>lem.</I></marg>
latus cubi b h, quæ corpora illi $phæræ includuntur: igitur g erit
pote$tate $exquialtera ad a b, & tripla ad b h, igitur b a e$t pote$tate
<marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}.
15. <I>decimi-
tertij</I> E<I>lem.</I></marg>
dupla ad b h, quod igitur fit ex b a in dimidium $uum, e$t æquale
quadrato b h, igitur b h e$t media inter b a & b f, b f enim e$t dimi-
dium b a, ut probatum e$t. Quadratum igitur a b $e habet ad trian-
<marg>P<I>er</I> 17. <I>$ex
ti</I> E<I>lem.</I>
L<I>emmate</I> 1.</marg>
gulum a b c, ut a b ad mediam inter a f & fb duplicata: Quadratum
quo<01> a b $e habet ad quadratum h b, ut a b ad mediam inter a b &
b f, duplicata igitur proportio quadrati b h ad triangulum a b c, e$t
<marg>P<I>er</I> 67.</marg>
uelut lateris a b ad cathetum a f.</P>
<head>LEMMA QVARTVM.</head>
<P>Proportio lateris pyramidis ad axem illius e$t pote$tate $ex-
quialtera.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Intelligatur ba$is pyramidis triangulus a b c, & conus pyrami-
<marg>P<I>er</I> 47. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I>
L<I>emmate</I> 1.</marg>
dis k, & quæ per centrum $phæræ tran$it ex cono k d, cum<03> k d a
angulus rectus $it, erit quadratum k a æquale quadratis k d, d a, at
d a e$t dupla d f, ut probatum e$t, igitur pote$tate $exquitertia f b,
k a uerò e$t quadrupla pote$tate fb, quia fb e$t dimidium k a, igitur
k a e$t tripla pote$tate a d, igitur k a pote$tate $exquialtera k d, quod
erat demon$trandum.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Ex hoc patet quod proportio axis pyramidis ad latus cubi ea-
dem $phæra circum$criptorum e$t pote$tate $exquitertia.</P>
<foot>Quia</foot>
<p n=>227</p>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Quia enim k a e$t pote$tate dupla ad b b, & $e$quialtera pote$ta
te ad k d, nece$$e e$t ut k d $it $exquitertia pote$tate ad b h.</P>
<head>LEMMA QVINTVM.</head>
<P>Pri$ma altitudinem habens pyramidis & triangulum eiu$dem
ba$im, æquale e$t cubo eidem $phæræ in$cripto.</P>
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
<P>Cum enim proportio quadrati b h ad triangulum a b c $it uelut
<marg>P<I>er</I> 3 <I>lem-
ma.</I>
L<I>emmate</I> 2.</marg>
a b ad a f, a b autem ad a f $it $ex quitertia pote$tate ex demon$tratis,
erit quadratum b h ad triangulum a b c $ex quitertium pote$tate: at
cubi b h altitudo e$t ip$a b h, pri$matis autem a b c altitudo e$t k d,
k d autem potentia $exquitertia ad b h, igitur pri$ma a b c e$t &ecedil;quale
cubo b h, quod fuit propo$itum.</P>
<P>Ex hoc $equitur, quod cum pri$ma $it triplum $uæ pyramidi, ut
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
ab Euclide habetur, quod cubus e$t triplus pyramidi, quam eadem
<marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}.
<I>lemmatis</I> 4.</marg>
$phæra circum$cribit.</P>
<marg>P<I>er</I> 34. <I>un-
decimi</I> E<I>lem.</I></marg>
<P>Nunc uenio ad demon$trationem propo$itionis, & dico quod
corpus difficile e$t ad motum, uel ob magnitudinem ba$is, cui in$i-
<marg>E<I>x</I> 7. <I>duode
cimi</I> E<I>lem.</I></marg>
det, uel ob pondus, uel ob formam: nam corpus quod forma e$t
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
contracta, difficilè mouetur, ut pyramis, contrà, quod prominet à la
teribus, facile reuoluitur, ut corpus duodecim ba$ium pentagona-
rum, & uiginti triangularum: ergo cubi $edes e$t maior quàm $ua
pyramis, & pondus triplo maius, & etiam non prominet cubus,
ideò pro re $tabili po$itum e$t corpus eiu$modi. Eo quod ob gra-
uitatem etiam, ut dixi, $it $tabilius pyramide eiu$dem $ph&ecedil;r&ecedil;. Quod
$i etiam a$$umeres pyramidem, cuius ba$is e$$et æqualis quadrato
cubi, ip$a $e haberet ad pyramidem $phæræ in grauitate, uelut latus
trianguli ad $uum cathetum, & ideo proportio ponderis cubi ad
pyramidem e$$et, uelut tredecim ad quin<01> fermè: ergo ratione pon
deris e$$et longè $tabilior cubus ip$a pyramide. At in alijs corpori-
bus, quæ rationalia uocantur, non e$t tanta proportio ponderis, &
ba$is e$t minor & forma prominet.</P>
<P>Propo$itio cente$imanonage$imanona.</P>
<P>Rationem remorum nauim impellentium inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit a remi extremum, quod manu apprehenditur, b $calmus cui
remus in$idet: c extremum aliud latius remi, quod uocant pal-
mam, transferatur nixu manus, & motu corporis a in d, ut c per-
<marg>P<I>er</I> 15. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
ueniat in e, $unt enim æquales a b, d b, b c, b e etiam & angu-
li a d b contrapo$iti, quare trianguli a b d & c b e $imiles, igitur
primum quanto maior propo$itio c b ad b a, tanto maior propor-
<marg>P<I>er</I> 4. <I>$exti</I>
E<I>lem.</I></marg>
tio c ad a d, & ita ex æquali motu longius transferetur remus, $eu
palma. Secundum, cum motus a d fiat nixu brachiorum & corpo-
ris, quanto magis transfertur corpus eo minus opus erit brachio-
<foot>rum</foot>
<p n=>228</p>
rum nixu, & ita minus laborabunt. Et
<marg>P<I>rop.</I> 188.</marg>
quo minus laborabunt brachia, plus
corpus laborabit. Etideò, ut declara-
tum e$t $uprà, minor labor erit cum æ-
qualiter ambo laborabunt. Tertium,
quo minor erit proportio c b ad b a,
eo maius $patium pertran$ibit remex,
qui mouet ex a in d, $ed tanto facilius
<marg>P<I>ropo$.</I> 71.</marg>
mouebit, quia labor motus b c minue-
<fig>
tur, ut $uprà ui$um e$t per longitudinem a b & d b, ut $uprà demon
$trauimus. Quartum, cùm remus tran$ierit quoddam $patium
iuxta robur, puta ex c in e, nece$$e e$t ut eleuetur $uper aquam, tum
quia impediret motum pro gre$$us nauis, tum ut transferatur ante:
aliter $i transferretur ante $ub aqua difficilius multo, quam per aë-
rem transferretur, & retroageret tantundem nauim, quantum an-
tea retroactam impulit. His per $e notis dico, quòd translato remo
ex c in e, nece$$e e$t nauim contrà transferri ex f in g: nam quia impe
dimentum ex aqua tran$itur c in e, maius e$t quam nauis $uper a-
quam, & remus debet transferri ex a in d, & non pote$t transferri
ni$i uel $tante naui, & translato c in e, uel $tante a b c remo, & tran$-
lata naui: & tunc nece$$e e$t, ut e pro grediatur ad h, ita de$$ecabit a-
quam ch, ergo difficultas manet eadem fermè, ex his fit motus com
po$itus, ut palma non redeat u$<01> ad e, $ed maneat remus minus in-
clinatus, & qua$i ad perpendiculum in h. Et manife$tum e$t, &qring;d erit
motus compo$itus ex retro ce$$u remi & pro ce$$u nauis. Qui etiam
remiges circa medium $unt minus laborarent, $i remus æqualiter
promineret extra $calmum, $ed magis laborant, quia proportio e$t
eadem, & a b e$t longior, & cra$sior remus, ut minus flectatur ob
longitudinem, aliter $i e$$et æqualis cra$situdinis, & multo longior
flecteretur aut frangeretur, ideò robu$tiores remiges ponuntur in
medio triremis. Iuuatur præterea motus nauis pror$um ex percu$-
$ione remi, & impetu iam aqui$ito cum nixu remi in aduer$um $u-
peruenie<*>. Rur$us cum nauis transferatur eodem tempore antè
quò a progreditur ad d, manife$tum e$t quòd magna pars e$t ex
motu nauis, non nixu corporis aut uirium: & ita quod celerius mo
uetur ex c in h, ab initio dum nauis quie$cit, aut tardius mouetur,
tardius autem dum nauis progreditur.</P>
<P>Propo$itio ducente$ima.</P>
<P>Cur temo cũ paruus $it magnam nauim agere pote$t: & cur cum
uarietas $it in prora, ip$e con$tituatur in puppi. Et cum tran$uer$im
ab aqua prematur, rectà nauim dirigat?</P>
<foot>Dixi</foot>
<p n=>229</p>
<P>Dixi quod in hipomochlio parua uarietas fit in motu: igitur à
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
leui cau$a magnum nauigium impellitur aut uariatur. Cum enim a
trãsfertur ad b, fit minima uarietas in e, igitur a parua poterit tran$-
<fig>
ferri, tum uero quod debuit trãsferri ad c, tran sfertur ad
d, nam motus ip$e ab alia cau$a fit, uelut u&etilde;to aut remis,
ita non e$t difficultas ni$i propter motum aquæ, $cilicet
ut tabula $cindat illam. Ad hoc autem contulit illud
quod intra nauim prominet ut uectis rationem habeat,
& ob id facilius uerti.</P>
<P>Similiter uarietas in puppi exigua e$t cau$a magnæ
uarietatis in prora, quod autem pote$t fieri paucioribus
& faciliori modo id debet fieri, hac igitur cau$a in pup-
pi temonem con$tituere oportet $eu guberna culum.</P>
<P>Cum autem impellatur à mari, nece$$e e$t, ut à latere excipiat
aquam ita ut tantum pendeat in unam partem, quantum nauis in
aduer$am, nam $i nauis non penderet, gubernaculum rectè dirige-
<fig>
ret<*> Vt ergo ex duobus obliquis unũ rectum con$titui
tur, ita ex naui & gubernaculo, nam $int a b & c b & im-
pellatur ad d, impelletur per mediam lineam b e & non
per a b neque c b, igitur oportet temonem pendere ex ad
uer$o inclinationis nauis. E$t etiam alia ratio, quoniam
nauis $ecurior redditur, nam quemadmodum quod in
medio e$t, facilius impellitur tran$uer$im, quàm quod pendet in
contrarium, ita & in gubernaculo. E$t & id ob nece$sitatem, quoni-
am motus aquæ plerumque e$t in partem, uelut & uentus ad la-
tus eius $itus, $ecundum quem moueri debet nauis. Sicut igitur &
uela & malus inclinantur, ut motum directum efficiant, quia aliò
dirigitur nauis quam qui mouet uentus, ita de temone compara-
tione aquæ.</P>
<P>Propo$itio ducente$imaprima.</P>
<P>Si duæ lineæ non $ecantes circuli peripheriam in unũ punctũ, ex
ea coëant, exterius nece$$e e$t illas peripheria cõtenta e$$e maiores.</P>
<head>LEMMA PRIMVM.</head>
<P>Si fuerit proportio primi ad $ecundum maior quàm tertij ad
quartum, erit primi ad tertium maior quàm $ecundi ad quartum.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Quamuis hoc demon$tretur à Campano, quia
<marg>P<I>er</I> 10. <I>quin
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
tamen facile e$t hic adijcietur. Sit igitur maior a
ad b quam c ad d, dico maiorem e$$e a ad c quam
<fig>
<marg>P<I>er</I> 16. <I>eiu$
dem.</I></marg>
b ad d, quia enim maior e$t a ad b quam c ad d fiat e ad b ut c ad e
<marg>P<I>er</I> 8. <I>eiu$-
dem.</I></marg>
erit<03> e minu$quam a, eigitur ad c ut b ad d $ed maior a ad c quam
e ad e igitur maior a ad c quam b ad d.</P>
<marg>P<I>er</I> 11. <I>eiu$
dem.</I></marg>
<foot>V LEM-</foot>
<p n=>230</p>
<head>LEMMA SECVNDVM.</head>
<P>Si fuerint quatuor quanti-
<marg>P<I>er</I> 8. <I>quin-
ti</I> E<I>lem. par
tes ambas.</I></marg>
tates, quarum exce$$us primæ
$upra $ecundam, fit minor ex-
<fig>
ce$$u terti&ecedil; $upra quartam, $it<03> prima non minor tertia, erit propor
<marg>P<I>er</I> 10. <I>quin
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
tio primæ ad $ecundam minor quàm tertiæ ad quartam.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit exce$$us a $upra b c, g b minor exce$$u d $upra e f qui $it h e, di-
<marg>P<I>er</I> 19. <I>eiu$
dem.</I></marg>
co quod proportio a ad b c e$t minor proportione d ad e f. Quia
enim a e$t maior d, & b g minor h e, erit maior proportio a ad b g
<marg>P<I>er</I> 8. <I>eiu$-
dem.</I></marg>
quàm d ad h e, igitur fiat a ad g k ut d ad h e, erit ergo g k maior g b
<marg>P<I>er</I> 11. <I>quin
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
quare k e minor b c ex communi animi $ententia, e$t autem a ad k c
ut d ad e f, minor autem a ad c b quàm ad k c, igitur minor a ad b c
quam d ad e f.</P>
<P>Si intra circulum æquicurium, & $uper eandem ba$im figura æ-
quilatera & æquiangula cõ$tituatur, erũt omnia illius latera pariter
accepta minora duobus trianguli lateribus.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit ut proponitur, & producantur b d &
c e quæ concurrent intra triangulum, quia
anguli d b c & e c b $upponuntur &ecedil;quales, &
ducta d e producantur d fl, & e g l quæ con-
curr&etilde;t intra triangulum k d e ut propter ean-
dem cau$am, igitur a b & a c $unt maiores k b
& k c, ergo maiores k d, d b, & k e, e c quia
$unt eædem. Duct&ecedil; quo que de $imili modo
<fig>
k d & d e, $unt maiores l d & l e, igitur l f, f d & l g, g e, igitur a b & a c
maiores $unt b d, d f, f l c e e g g l pariter acceptis. Rur$us ducta f g:
f l & l g maiores $unt m f & m g, igitur a b & a c $unt maiores omni-
bus lateribus figuræ in$criptæ.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex hoc patet quod latera polygoniæ fi-
guræ &ecedil;quilateræ & æquiangulæ in$cript&ecedil;
portioni circuli $unt minora lateribus tra-
pezij circun$cripti eidem peripheriæ.</P>
<fig>
<P>Sit ergo trapezium a g h b circa periphe
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
riã a b, & in ea in$cripta figura polygonia
æquilatera & æquiangula a c, d f b. Et quia
trapezium e$t figura cuius oppo$ita duo
latera $unt &ecedil;qualia, & duo anguli $upra ba
$im æquales: item<03> duo in $ummitate inui
cem &ecedil;quales, tãget in medio peripheriam
<marg>P<I>er</I> 4. <I>pri-
mi, &</I> 16.
<I>tertij</I> E<I>lem.</I></marg>
quod patet ductis lineis ex centro ad ex-
<fig>
trema trapezij. Et ideo etiam punctũ medium polygoniæ, quare ex
<foot>hoc</foot>
<p n=>231</p>
hoc leminate duo latera g d & g a deducta ad æquicrurium, erunt
maiora lateribus polygoni&ecedil;, & $imiliter duo latera h d maiora late-
ribus polygoniæ inclu$æ, ergo latera trapezij erunt maiora omni-
bus lateribus polygoniæ inclu$æ.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Ex hoc habetur demon$tratio propo$itionis: $int duæ lineæ a b
& a c quæ comprehendant portionem cir-
culi b c, dico eas e$$e maiores b c portione,
$i enim a b & a c $unt æquales diui$o arcu
b c per æqualia in f, ducam contingentem
<marg>P<I>er</I> 2. <I>&</I> 1.
<I>primi</I> E<I>lem.</I></marg>
h f k, $i non faciant trian gulum æquicruri-
um b c d $uper b c, & cuius ambo latera pa
riter accepta $int æqualia a b & a c. Et du-
cam contingentem & habebo trapezium
<marg>P<I>er</I> 5. <I>eiu$-
dem.</I></marg>
h b, c k. Quare $i peripheria circuli b c e$t
<fig>
minor d b & d c pariter acceptis, habeo intentũ, $i non toties diuidã
peripheriam per æqualia ut fiat figura polygonia $uper b c æquila-
tera & æquiangula, cuius differentia a peripheria $it minor differen
tia d b & d c à trapezio b h, k c, id e$t, tribus eius lateribus, nam cum
d h & d k $int maiores h k, con$tat quod d b & d e $unt maiores h b,
& k c & h k igitur $it differentia illa l, & differ&etilde;tia peripheri&ecedil; à lineis
polyg oniæ minorl: igitur cum peripheria $it æqualis aut maior
d b & d c, & differentia a lateribus polygoniæ minor quàm d b &
d c, a b, h b, h k, k c, erit minor proportio peripheriæ ad latera poly-
<marg>P<I>er</I> 20. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
goniæ quàm d b & d c ad tria latera trapezij, quare minor propor-
<marg>P<I>er</I> 2 <I>lemma.</I></marg>
tio peripheriæ ad d b & d c quàm laterum polygoniæ ad tria latera
<marg>P<I>er</I> 1 <I>lemma.</I></marg>
trapezij, $ed latera polygoniæ $unt minora tribus laterib. trapezij,
<marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}.
3 <I>lemmatis.</I></marg>
igitur peripheria b c e$t minor d b & d e, quod erat demon$trandũ.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Hanc propo$itionem non $crip$i quòd e$$et magni momenti, $ed
propter modum probandi, $i enim re$picis ex uno oppo$ito $cilicet
quod peripheria circuli $it maior trianguli lateribus, o$tendo de-
mon$tratione non ducente ad inconueniens, $ed $implici quod ip$a
peripheria e$t minor trianguli lateribus, & hoc nunquam fuit factũ
ab aliquo, imò uidetur plane impo$sibile. Et e$t res admirabilior
quæ inuenta $it ab orbe condito, $cilicet o$tendere aliquid ex $uo
oppo$ito, demon$tratione non ducente ad impo$sibile & ita, ut nõ
po$sit demon$trari ea demõ $tratione ni$i per illud $uppo$itũ quod
e$t contrarium conclu$ioni, uelut $i quis demon$traret quòd So-
crates e$t albus quia e$t niger, & non po$$et demon$trare aliter, &
ideo e$t longè maius Chry$ippeo Syllogi$mo.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Ex hoc patet quod pars lineæ exterioris quæ tangit circulum
<foot>V 2 inter-</foot>
<p n=>232</p>
intercepta à linea ex centro longior e$t peripheria, $imiliter in-
tercepta.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit portio circuli a e, & linea a b intercepta à linea c b ex centro,
<fig>
dico ab e$$e longiorem a e, ducatur b e æqualis a b, ad
<marg>P<I>er</I> 8. <I>tertij</I>
E<I>lement.</I></marg>
circumferentiam, quæ illi obuiabit, ducantur<03> c a, c e
<marg>P<I>er</I> 8. <I>primi</I>
E<I>lem.</I></marg>
erit<03> angulus e c b æqualis a c b, igitur arcus a d, æ-
qualis d c, quare a d erit dimidiũ a e, & a b dimidium
<marg>P<I>er</I>|26. <I>ter-
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
a b, b e, facta enim fuit b e æqualis a b, cum ergo per
præ$entem duæ lineæ a b, b e, $int maiores a e, igitur per commu-
nem animi $ententiam a b maior a d.</P>
<P>Propo$itio ducente$ima$ecunda.</P>
<P>Rationem $trepitus o$tendere.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Fit $trepitus ob multitudinem aëris percu$si, uelut cum tabulis
percutimus: & cauitatum cau$a, unde ligna & tabulæ leues magis
$trepunt, & illud Virgilij:</P>
<P>—Sonitum<03> dedere cauernæ.</P>
<P>Tum uerò ob ictus impetum, impetus aut&etilde; partim uelocitatis cau-
$a, partim angu$tiæ loci. Fulmen edit tonitru in quo & caua nebula
excipit aërem, & multum impetu<03> maximo delatum, ob$trepũt au
tem metalla magis quam ligna eo quòd magis ob continuitat&etilde; par
tes moueantur. Indicio e$t, quod intenta ut æs & tenuia maior&etilde; $tre
pitum edunt: & dum $onant tremunt, aurum autem parum $onat,
quoniam den$i$simum e$t, et minus intentum arg&etilde;tum, minus den
$um, & magis intentum, quod autem intentum e$t totum $imul mo
uetur, & ob id $tridet: lignum aut&etilde; & tabula $onat, non quia ut me-
tallum percutiat aërem, $ed quia in eo aër percutitur. Cra$$um aut&etilde;
metallum & lignum non adeò $onant: metallum quoniam non mo
uet aërem, non enim mouetur: lignum quoniam non mouetur, nec
in eo qui e$t inclu$us aër, aër autem facilè mouetur, & ob id in ligno
cauo, etiam$i cra$$um $it, $trepitus magnus editur. Ergo et$i tenue
$it metallum, quod infixum e$t tabul&ecedil;, re$onat multum: nõ quia mo
ueatur, $ed quoniam a&etilde;rem in tabula cõ cutit. Ne<01> enim tabula per
$e $ola, quæ etiam nimis tunderetur $onum edere magnum pote$t
quoniam cedit: Oportet aut&etilde; non cedere quod re$onat, ne<01> metal-
lum $i cra$$um, $ed hebetem $onũ etiam tabul&ecedil; infixum reddit, quo-
niam ne<01> moueri pote$t infixum & cra$$um, nec cauerno$um e$t, &
tamen excipit ictum, ne lignum re$onet. Velox autem ictus nõ acu-
tum $onũ reddit, & $i cum impetu $it: indicio e$t tonitru & machin&ecedil;
bellicæ igne&ecedil;, contrà angu$ta fi$tula acutũ $onum reddit, etiã remi$-
$è inflata. Igitur aër $oni cau$a e$t $ecundum motũ, ubi ergo multus
aër & magnus motus ibi $onus magnus. Multus quidem aut in ca-
<foot>uerno$o</foot>
<p n=>233</p>
uerno$o corpore, qui graui$simũ edit $onũ interclu$us, ut etiã in uo
cibus, aut quia à magno corpore $tridulus efficitur, aut inter duo
corpora, qui grauitate medius e$t. Impetu uerò effici&ttilde; inten$us non
magnus, nam tonitrus <04>cul audimus noni$tum quamuis celerri-
mum, acutum uerò ob angu$tiam loci. At<01> h&ecedil; cau$&ecedil; $unt $onorum.</P>
<P>Propo$itio ducente$imatertia.</P>
<P>Cur $cytalis onera portentur facilius, explorare.</P>
<fig>
<P>Demiror nõ exactè cau$am manife$ti$simã
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
Ari$totelem non a$$ecutũ fui$$e, aut potius ad
<marg>P<I>rop.</I> 114.</marg>
nos corruptã $cripturam perueni$$e: nam qui
expo nũt multo minus intelligũt. Sit ergo cur
rus humilis $cytalis iucumb&etilde;s a b c. Diximus
aut&etilde; $uprà quid e$$et $cytala & currus rotis, &qtilde;
$untlonge maiores $cytalis e f g h, demõ$tran
dũ e$t $cytalã, quamuis minoris ambitus ma-
gis mouere <08> rotam, cũ ergo de una demon-
$trauerimus, de oĩbus erit intelligendũ. Quia
ergo $cytala k l m habet hypomo chlion in k et
m, & põdus premit in l, igi&ttilde; rota uer$atilis mo
<marg>P<I>ropo$.</I> 71</marg>
uebi&ttilde; tanto facilius <04>cedendo, quanta e$t lõ gitudo l m & l k, $ed &
rotul&ecedil; ill&ecedil; uer$abũt hypomochlion, &qring;d e$t l cõparatione k & m col-
lopum, igi&ttilde; facilius multo uer$abi&ttilde; currus à $cytalis <08> rotis. Et hoc
e$t quod dixit Philo$ophus. In utri$<01>. n. his reuolui&ttilde; circulus et mo
tus impelli&ttilde;, intelligit mutuã commutation&etilde; hypomochlij cum col
lopibus, nam ut trahãtur rotul&ecedil; &qtilde; $unt hypomochlij loco, collopes
terminan&ttilde; in medio: ut aũt uerta&ttilde; axis, qui & hypomochlion in me-
dio collopũ initium $int rotulæ. Ex quo $equi&ttilde;, &qring;d quanto lõgiores
erunt l k l t & l m, tanto facilius mouebun&ttilde; currus, at quanto humi-
liores, modò non obruantur in terra, quoniam tardius mouentur,
quæ minorem habent circuitum, quæ autem tardius mouentur, fa
cilius mouentur, ut $uprà $æpius demon$tratum e$t: Ob has ergo
duas cau$as pondera facilius feruntur curribus cum $cytalis, quàm
cum rotis magnis modò terra non obruantur.</P>
<P>Propo$itio ducente$imaquarta.</P>
<P>Cur pluribus trochleis pondera facilius eleuentur o$ten dere.</P>
<P>Dictum e$t $atis de hoc in lib. de Subtilitate, at nunc quod ad de-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
mon$trationem attinet eorũ $ubij ciam. Quia. n. $ingul&ecedil; rotul&ecedil; diffi
culter mouen&ttilde;, igitur nece$$e e$t $ingulas participes e$$e grauitatis,
igitur & totam grauitat&etilde; e$$e diui$am: quare ut in pr&ecedil;ced&etilde;ti facilius
moueri. Habent & rotul&ecedil; ip$&ecedil; centrum $eu axem hypomochlij, $eu
<marg>P<I>ropo$.</I> 71.</marg>
fulcimenti loco, ambitum aũt iuxta $emidiam etrum, uelut collopes
<foot>V 3 $eu</foot>
<p n=>234</p>
$eu uectes, quare tanto facilius mouebuntur quanto maiores erũt,
<fig>
& ut plures. Vna enim alterius loco fungitur uectis. Trochlea qui-
dem e$t, ut uides, in$trumentum longum $uprà angu$tius, $ed non,
cra$$um, in quo plures orbiculi $olent collo cari, unde $æpe numero
trochleæ nomine intelligimus orbiculos ei in clu$os, circa quos fu-
nis uo catur, ut in tro chleis & orbiculi & funes in cluduntur. Succu-
lis etiam $olent capita funium trahi: ut uectis auxilio imò nonnun-
quàm rotarum facilius pondera eleuantur.</P>
<marg>8. <I>de</I> R<I>epub.</I></marg>
<P>Propo$itio ducente$ima quinta, $uper uerbis Platonis,
de fine Reipub.</P>
<P>“E$t autem ei quod diuinitus generandum e$t circuitus, quem nu
merus cõtinet perfectus. Humanæ uerò, in quo primum argumen
tationes $uperantes, ut $uperatæ tres di$tantiæ: quatuor autem ter-
minos accipientes, $imilium & di$similium, ab undantiũ & deficien
tium cuncta corre$pondentia, & rationem habentia inuicem effece
runt. Quorum $exquitertium fundamentum quinario iunctũ duas
efficit harmonias ter aucta quidem: æqualem æqualiter centum to
ties, quandam autem æqualem quidem, longitudine aũt $ingulum
quidem numerorum à diametris ration&etilde; habentibus quinarij indi
gentibus uno $ingulis: non habentibus rationem aũt duobus, cen-
tum autem cuborum ternarij. Totus autem hic numerus geometri
cus talem authoritatem habet ad potiorem deteriorem<03> genera-
tion&etilde;. Quem locum Ari$toteles ita declarat. Quorum $exquiter-
tium fundamentum quinario coniunctum duas exhibet harmo-
nias, inqui&etilde;s, quãdo numerus diagrammatis huius efficia&ttilde; $olidus.”</P>
<marg>Q<I>uin</I> P<I>olyt.</I>
C<I>ap.</I> 12.</marg>
<P><G>*gusqmh\<19></G> fundam&etilde;tum interpretatus $um, quod radix pro latere in
hac materia accipi po$$et. Par e$t ut in diuina generatione numerus
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
accipere&ttilde; perfectus: ut intelligat generationem confe$tim $equi cor
ruptionem: nam $ermo e$t de corruptione, corrumpitur aũt unum-
quod<03> ut aliud generetur, malum enim e$t ob bonum, non contrà.
Liquet autem ex Euclide talem numerum e$$e octies mille centũ ui-
ginti octo. Et hic e$t finis omniũ urbium diuinus, cuius quadruplũ
uelut in cœli re$titutionibus, ac continuato ordine $olet ob$eruari,
e$t propè annus magnus: ueri$imile e$t enim tãto tempore cõfundi
decima, $cilicet totius circuitus parte. Humanæ uerò intelligit qua-
<table>
<row><col>8</col></row>
<row><col>12</col></row>
<row><col>18</col></row>
<row><col>27</col></row>
</table>
tuor à monade numeros, aut in quauis ratione principium li-
neam $uperficiem corpus, ut unũ, duo, quatuor, octo pariter
octo: duo decim decem octo uiginti $ept&etilde;: inter hæc $unt tria
$patia, & octo cum uiginti $eptem $unt di$similia & deficien-
tia: maiora e&mtilde; $unt $uis partibus à quibus numerantur. Contrà de-
cemocto & duodecim $unt $imilia at<01> ab undãtia, & corre$ponden
<foot>tem</foot>
<p n=>235</p>
tem habent rationem inuicem. Hæc Ari$toteles omittit, ut ad in-
troductionem, non rem pertinentia, uelut & finem tanquàm ex
præcedentibus notum. Vnde uerba Ari$totelis $unt ad unguem
eadem uerbis Platonis, $cilicet: “Quorum $exquitertium funda-
mentum quinario iunctum duas efficit harmonias: loco autem ter
aucta quidem, $cribit Ari$toteles: efficiatur $olidus, id e$t cubus, ut
in quadratum $uum ducatur: loco autem uerborum æqualem æ-
qualiter centum centies, u$que illuc à diametris rationem habenti-
bus quinarij ponit numerum diagrammatis.” E$t autem diagram-
ma, quod Plato uocat diametrum, cum numerus pote$t fermè du-
plum numeri alterius, ut 3 duplum 2, & 7 duplum 5, & 17 duplum
12, & $emper numerus hic dimetiens, excedit duplum alterius uno,
quod ex his patet, quæ ab Euclide demon$trata $unt in decimo li-
bro. Quare $i debet e$$e quadratum eius monade maius duplo, al-
terius quadrati, & duplum|alterius quadrati e$t par, igitur addi-
ta monade erit impar, ergo latus eius dimetiens impar $emper: la-
tera autem ip$a quadratorum, quæ duplicantur aliquando pa-
ria $unt ut 2, & tunc quadratum dimetientis e$t unum plus duplo
ut 9 e$t maius 8 monade, $i uerò latera imparia $int, erit quadratum
dimetientis uno minus duplo, ut 49 quadratum 7 e$t minus uno
50, duplo 25, quadrati 5. Ex quo patet agnatio, ut ita dicam in-
ter 7 & 5.</P>
<P>Cum ergo dicit, quorum $exquitertia e$t, ac $i diceret, ex horum
numerorum $erie $umemus $eptenarium principium epitrite, & di-
metientem 5, quos $imul iungemus.</P>
<P>Propo$itio ducente$ima$exta.</P>
<fig>
<P>Rhombi pa$siones qua$dam declarare.</P>
<P>Sit a d recta diui$a in k per æqualia, cui $u-
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
per$tent k b & k c ad perpendiculum inter $e
æquales, & $ingulæ earũ minores k a & k d,
<marg>P<I>er</I> 4. <I>primi</I>
E<I>lem.</I></marg>
& perficia&ttilde; figura quadrilatera a b d c, cuius
latera erunt omnia æqualia inuicem, & angu
li a & d oppo$iti, & b & c oppo$iti etiam inui
cem &ecedil;quales. Sed b & c maiores erunt a & d:
<marg>P<I>er</I> 25. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
& ideo talem figuram appellauit Ari$toteles rhombum à pi$cis $i-
militudine in medio latioris quã in extremis, cuius tam&etilde; longitudo
latitudine maior e$t. Dicit ergo Ari$toteles, &qring;d $i rhombus ip$e cir-
<marg>Q<I>uæ$t.</I> 23<*>
M<I>ech.</I></marg>
cumuoluatur, ita ut b tran$iret per b a c, & a per a c d, a maius $pa-
tium tran$iret ex recta, $cilicet a k d quàm b, quod tran$iret b k c. Et
ad hoc a$$umit, quòd cum angulus c $it maior a, igitur duæ lineæ
a c d $unt minus curuæ quam duæ b a c, igitur b a c habent ratio-
<foot>V 4 nem</foot>
<p n=>236</p>
nem currui, & a c d recti. Ergo $i in æquali t&etilde;poris $patio b, $uperet
b a c & a, a c d, magis per rectam feretur a quàm b, $ed quod rectum
e$t maius occupat $patium: igitur uelocius fertur a in d compara-
tione habita ad a d quàm b in c, comparatione habita ad b c.</P>
<P>Pro intellectu reliquorum ab eo dictorum, & quorundam mira-
bilium, proponatur alius rhombus illi &ecedil;qualis, in tabula pictus deli
neatis lateribus & diametris, qui fit l m o n, & diametri l p o & m p
n, & ab$cindatur hic ex $uperficie, & $uperponatur ita, ut puncta l m
o n ordinatim cadant, & aptentur pũctis a b d c, & p aptetur ip$i k.
Et tunc $i rhombus l o totus moueretur, nece$$e e$t, ut moueatur $e-
cundum latus aliquod, ut pote l m, & &ecedil;quidi$tans a b, igitur dicetur
<fig>
moueri $uper latus aliquod, $cilicet a c: at<01> hic e$t mo
tus, quem Ari$toteles uocat motũ a b $uper latus a c.
Si aũt fingamus quie$cere latus aliquod l o, uel pars
lateris, non po$$et omnino moueri in $uperficie a d
rhombi: et ita nõ perinde e$$et ac $i a d rhombus mo
ueretur, quod tamen $upponit Ari$toteles. Ne<01> etiã
$i quie$ceret punctum aliud quam p haberet ratio-
nem motus regularis, quod ab illo $upponitur: reli-
quum e$t igitur, ut rhombus l o moueatur uice rhombi a d $eruan-
do centrum, id e$t punctum p in puncto k. Dicamus ergo primum
de motu compo$ito Ari$totelis, & pò$t de no$tro.</P>
<P>Moueatur l m $uper a c, æquidi$tans $emper a b, ut $eruet $itum
quem habebat ita, quod extremũ lineæ l m $it $emper in linea a c, &
l punctum quod gerit uicem a, de$cendat tantum in linea l m, quan-
tum l extremum in linea a c: dicit Philo$ophus, quod a $eu l $emper
de$cendet in linea a d, & erit in e a. Supponatur <09> latus l m fit f g, &
erit l n, f t, ducatur aũt ex r puncto $ectionis diametri, & lateris l m li
<marg>P<I>er</I> 24. <I>$exti</I>
E<I>lem.</I></marg>
near q, æquidi$tans a f, igi&ttilde; rhombus a q r f e$t $imilis rhombo toti
a b d c, & <04>portio a f ad fr, ut a c ad c d, $ed a c e$t &ecedil;qualis c d, igi&ttilde; a f
e$t æqualis f r, $ed l de$cendit in l m, quantũ e$t a f ex $uppo$ito, igi&ttilde;
punctũ l $emper erit in linea a d. Po$t deficiunt quædam uerba: ob
quæ nemo intellexit $ententiam Philo$ophi, & tam&etilde; au$i $unt impo
nere lectoribus, tan<08> intellexi$$ent, tres $imul errores admittendo,
$cilicet Ari$totelem ob propriam ignorantiam, ut $tultum accu$an-
do, qui fal$a dicat, & demon$trare nitatur: produnt $eip$os cum
$ua impudentia. Et lectoribus imponere conantur, debet ergo $ic
legi (“b in ip$a b c diametro latum, ubi latus b d moueatur in late-
re b a, & b æqualiter uer$us d in b d, æqualis enim e$t ip$a b e”)
Tunc enim con$tat ut hic dixi, m moueri per b c rectam ut l per a d:
Dicit ergo cũ b d mouea&ttilde; in b a, tran$it unico motu totã b a, & pun
<foot>ctum</foot>
<p n=>237</p>
ctũ tamen b, quod moue&ttilde; duobus motibus, non pertran$it ni$i b c,
quæ pote$t e$$e minor b a: nam cõ$tat quod quãdo m erit in a, o erit
in e, & quia m de$cendit in o, in eodem tempore, ergo o erit in c, &
trã$iuit $emper per rectam b c: igitur m e$t minus motũ duobus mo
tibus quàm m l unico tantũ. Et quia aliquis dicere potui$$et non e$t
mirum, quod m $it minus motum duobus motibus quàm l m latus
unico tantum: quia m mouetur motu contrario motui lateris: nam
latus m o mouetur in latere b a a$cendendo, et punctum m uer$us o
in ip$o m o de$cendendo. Dicit Philo$ophus, hoc e$t mirum, quia
cum idem contingat in motu l, cuius latus mouetur per a c, & l per l
m recedendo in partem contrariam, nihilominus uelocius motum
e$t l, quàm latus l m, quia a d e$t longior a c. Ex quo patet, <09> qu&ecedil;$tio
Philo$ophi e$t una tantum, & non duæ. Et e$t cur motum duobus
motibus in rhombo, in uno mouetur uelocius latere tantum moto
uno motu, in alio tardius? Et quia aliquis dicere po$$et, &qring;d b c po$-
$et e$$e lõgior a c: Dicit Philo$ophus, uerum e$t, $ed ego po$$um in-
uenire talem rhombum, qui etiam habeat a clongiorem, & tunc ni-
hilominus $equi&ttilde; quod dico. Aliud aũt, quod docet ex hac demon-
$tratione, e$t <09> ex duobus motibus rectis diuer$is pote$t fieri unus
motus rectus diuer$us: igitur idem punctum, puta formica poteric
$imul, & $emel moueri duobus motibus rectis diuer$is. Et hoc e$t,
quia primus motus e$t rectus $olum $ecundum formam, & non $e-
cundum materiam: & alter $ecundus, $cilicet mi$tus e$t $ecundum
materiam & non $ecundum formam per rectam.</P>
<P>Ex hoc $equi&ttilde; aliud magis mirũ, et e$t iuxta no$trũ motum rhom
bi l o in rhombo a d, fixo centro p in centro k, & mouea&ttilde; quomodo
libet, l, dico quod l f $emper æqualis erit a f, quia e&mtilde; k l & k a $unt æ-
<fig>
quales, cũ e$$ent una linea ante motum ducta, l a erit
angulus k l a, æqualis angulo k a l, $ed angulus k a c
<marg>P<I>er</I> 5. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
e$t æqualis angulo k l m, cum angulus k l m e$$et id&etilde;
angulo k a b, & angulus k a b e$t æ&qtilde;lis angulo k a c,
<marg>P<I>er</I> 34. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
igitur angulus k l m e$t æqualis angulo k a c, igi&ttilde; re$i
duus fl a e$t æqualis re$iduo f a l, quare f a æqualis
<marg>P<I>er</I> 6. <I>primi</I>
E<I>lem.</I></marg>
fl. Si igitur quantum procedit latus m l in a c, tãtum
de$cendat punctum in linea l m punctum perpetuo, erit in linea a c,
& per eam mouebitur. Vnde $equitur quod</P>
<P>Quod punctũ l mouebi&ttilde; duob. motib. uno recto in linea, $cilicet
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
l m, & altero circulari. $. circa centrũ k, & tñ mouebi&ttilde; uerè motu re-
cto t&mtilde; in alia linea, $cilicet a c, & hoc e$t primũ admirabile. Aliud e$t</P>
<P>Quod punctũ l mouebi&ttilde; duobus motibus, & per ip$os mouebi&ttilde;
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
ad ungu&etilde; uno motu &ecedil;quali uni eorũ, ita &qring;d alius motus nihil addet
<foot>nec</foot>
<p n=>238</p>
necminuet. Patet quia mouebitur, gratia exempli, primo motu ex l
in f, & pò$t motu circulari, & uerè erit motum ex a in f, qui motus
e$t æqualis motui priori propriò, & $olo ex l in f.</P>
<P>Propo$itio ducente$ima$eptima.</P>
<P>Proportionem agentium naturalium in tran$mutatione con-
$yderare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit latitudo a b ad conuer$ionem terræ in aurum me-
dium perfectionis a b $it c, & medium a c d b, cuius dimi-
dium $it e b. Et fiat commutatio a c in f g, tempore dimi-
dium f g, g h in g h deberet peruenire ad perfectionem d,
quoniam ratio a c ad c d, ut f g ad g h. At uerò dum tran$i-
ret terra ad perfectionem c tota re$i$tebat, iam adepta per-
fectione a c non re$i$tit, ni$i pro medietate, at proportio cu
iuslibet quantitatis ad dimidium alterius producitur ex
proportione eadem & dupla, dupla igitur e$t proportio
agentis ad imperfectionem a c ei quæ e$t ad a b, igitur in di
midio temporis g h acquiret perfectionem c d, & $it g k di
midium g h, erit ergo tempus totum fk, in quo acquiret
a d. At ratio hæc con$tare non pote$t, nam $i diuidatur $p a
<fig>
tium a b in trientes fient trientes duo, & quarta pars in perfectione
a d: $ed iam multo citius acquiret quam in fk tempore, quod e$t di-
midium & octaua pars. Sed hoc non cogit, quoniam partes primæ
$unt $emper contumaciores, & ut di$ponuntur fiunt magis obedi-
entes, non iuxta proportionem $impliciter, $ed ut $unt in materia,
& ideò hæc actio e$t $imilior proportioni exce$$us, & e$t Arithme-
tica quam capacitatis $cilicet Geometricæ.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Ex hoc patet, quod res quæ ad $ummam maturitatem perueni-
unt, maximè acquirũt perfectionem in exiguo tempore, ut gemm&ecedil;,
aurum, infans. Ergo oportet maximè iuxta finem cauere, ne detur
occa$io ulla accelerandi partum.</P>
<P>Propo$itio ducente$imaoctaua.</P>
<P>Mota res à centro grauitatis per priorem motum in reditu uelo-
cius mouetur, quam $i quieuerit.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit a b c lectus pen$ilis, in quo ho
mo aut patera, in qua aqua uel ui-
nũ, & $it c&etilde;trum grauitatis d, quod
nece$$ariò e$t in linea loci, cui anne
xus e$t lectus a g, & in patera lo ci
medij manus continentis pateram
cũ centro quæ $it a g, quibus $tan-
tibus o$tendendum e$t primo.</P>
<fig>
<foot>LEM-</foot>
<p n=>239</p>
<head>LEMMA PRIMVM.</head>
<P>Omne graue motũ à centro grauitatis, re$tituto ad eundem $itum
pondere mobili aut inmobili, continente ultra centrum grauitatis
naturalis uiolenter fertur.</P>
<P>Seu $it pondus per $e non fluctuans in pen$ili lecto, $eu humor in
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
patera, quum põdus moueatur $olum ratione una, $cilicet lecti pen-
$ilis homo uel plumbum, humor autem aqua uel uinum bifariam
& ratione pateræ $i mobilis $it in a laxa manu, & etiam per humo-
rem ip$um redeuntem ad locum $uũ: adeò quòd $i e$$et & immobi-
lis patera, humor $altem reflueret propria inundatione ad locum
$uum centri grauitatis, licet in patera e$$et immobilis locus grauita-
tis uelocius & maiore cum impetu, adeò ut tran$eat uer$us e, cũ fu
erit motus primus ex e in f, et re$titutio ex fin e: $eu in immobili pon
dere mobilis continenti, ut in lecto pen$ili: $eu in immobili conti-
nente, $cilicet po$tquàm ad locum $uum re$titutum fuerit per uim
retenta patera à manu iuxta $itum priorem in a, mobili autem con-
tento, id e$t, humore, multo autem magis contento, & continente
mobilibus. Vt $i patera & humor ip$e $imul moueãtur, nam & pate
ra tran$gredietur locum $uum, & humor duplici motu $uperau-
<marg>P<I>ropo$.</I> 3 <I>o<*></I></marg>
ctus tran$gredietur motum naturalem. Cum enim a d e$t remotum
a g, & e$t in f, mouetur maiore impetu, quam $it pro ratione pon-
deris, ut demon$tratum e$t, igitur tran$ibit ad e, cum ergo redeat
ad g motu naturali, nece$$e e$t ut motus uiolentus $it ualidior ea
parte naturalis, qua d re$i$tit, dum e$t in g, ne dimoueatur à g, $i igi-
tur tractum ad c, $uperauit uim qua manet in g, in eo quod moue-
tur ad f, igitur in reditu mouebitur tantum ultra g uer$us e, quan-
tum e$t acqui$itum ex ui tran$itus ultra g uer$us f, quanto ergo ma-
ior e$t arcus e d, tanto maior e$t d f, & quanto maior e$t arcus d f,
tanto maior d h.</P>
<P>Ex quo patet, quod quanto magis remouetur d à g, tanto maio-
<marg>C<I>or</I>^{m}. <*></marg>
re impetu fertur uer$us extremum aliud & ultra medium.</P>
<head>LEMMA SECVNDVM.</head>
<P>Omne pondus appen$um e$t graue comparatione medij graui-
tatis, ad hoc ut ab eo remoueatur, quantum e$t pro ratione anguli
ex quo appen$um e$t.</P>
<P>Sit d appen$um in a & in b, & $it angulus c b d, triplus angu-
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
lo c a d, dico quod tripla e$t uis quæ transfert d in c ex b, ei quæ
transfert ex a, quoniam enim mixtus e$t in b & a, igitur a d æqua-
<marg>P<I>er</I> 16. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
lia $patia æquales uires exigentur: igitur uirium proportio ut
angulorum, at quanto maior e$t a d in proportione ab b d tanto
maior e$t proportio anguli c b d ad angulũ c a d, igitur quanto ma-
<foot>ior</foot>
<p n=>240</p>
<fig>
ior e$t a d tanto facilius remouet &ecedil;quali $pa
<marg>P<I>er <*>lt. $ex-
<*></I> E<I>lem.</I></marg>
tio d uer$us e. Et licet remoueantur ab ip$o
d, $emper eadem proportio manebit, ma-
<marg>P<I>er</I> 11. <I>quin
<*></I> E<I>lem.</I></marg>
nente eadem longitudine b d & a d, nam
<marg>P<I>er</I> 16. <I>eiu$
<*>.</I></marg>
proportio d f ad d c, e$t uelut f b d ad
c b d, & ut d f ad d e, ita f a d ad c a d, quare
fb d ad c b d, uelut f a d ad c a d, quare fb d
ad f a d, ut c b d ad c a d, quod fuit pro-
po$itum.</P>
<head>LEMMA TERTIVM.</head>
<P>Grauitatem ponderis appen$i aut fluidi
in comparatione ad remotionem à centro
grauitatis inuenire.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Nam cum d trahetur per planum ut $u$pen$um, & non tractum
<marg>P<I>er</I> 16. <I>hu-
<*>.</I></marg>
a d, erit dimidium ponderis appen$i, igitur ex lemmate $ecundo, pa
tebit proportio laboris in remouendo d à loco proprio in quan-
cun<01> partem & di$tantiam, & in quouis loco $it appen$um.</P>
<P>Ex hoc $equitur, quod poterit annulus tam altè appendi, utiuxta
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
proportionem angulí & leuitatem propriam cum filo tenui$simo,
& ut fuerit latus, & po$itus è regione oris, ut ex $ermone circum-
agatur quaqua uer$us, & percutiat labra ua$is aqua pleni fermè, ut
uideatur plane re$pon$a dare.</P>
<head>LEMMA QVARTVM.</head>
<P>Quanto magis remotum fuerit pondus ex eodem centro à recta
linea, tanto maiore impetu agetur, ut ultra locum medium feratur
non æquali, $ed producta proportione.</P>
<P>Sit a b, & ut dictum e$t, non e$t ei pondus, ni$i quatenus remoue-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
tur a recta, & in c $ummam habeat grauitatem, & d $it medium b c,
<fig>
dico ergo quod multo maiore impetu feretur ex cin
b quam ex d, nam cum c $it $umma grauitas, erit $al-
tem dupla grauitati d, $ed d grauitas e$t penè infinita,
ut demon$tratum e$t in comparatione ad b, ut iuxta
$itum remotionis à linea b, cum ergo proportio $in-
<marg>L<I>emmate</I> 2.</marg>
gularum partium c d ad $ingulas d b medietate b c di$tantes $it ma-
<fig>
ior dupla augendo, erit proportio c d ad d b, uelut pro-
po$ita h k dupla g f, & h e dupla e f, e k h ad e g f quadru-
pla, igitur & eo maior quo acqui$itus e$t impetus ex de-
mon$tratis, quare proportio motus & impetus ex c in
<marg>P<I>er</I> 30. <I>hu
ius.</I></marg>
b, e$t multo maior impetu ex d in b quadrupla pro-
portione.</P>
<foot>Ex his</foot>
<p n=>241</p>
<P>Ex his omnibus concluditur propo$itum in prima figura, & e$t
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
quod $i b c inclinetur uer$us e, mouebitur a d, certo impetu uer$us
e. Et quia $i prius b c inclinatum fuerit in f, redit a d, dum b c reuer-
titur ad proprium $itum ultra lineam a d g u$que ad h per primum
lemma. Et cum b c inclinatur ad b f peruenit, quantum b c inclina-
ta ad f, $cilicet ad e, igitur ex motibus b c in f & in e tanto plus mo-
uetur d ultra e, quantum e$t productum d e in d h, ‘ideo multo plus
quam $i $olum motum fui$$et d ex recta a g, etiam quod non moue-
retur b c. Multo plus ergo moto etiam b c, ut diximus.</P>
<P>Propo$itio ducente$imanona.</P>
<P>Si $uperficies rectangula in duas partes æquales diui$a intelli-
gatur, quæ amb&ecedil; quadratæ $int, item<03> in duas inæquales, erit pa-
rallelipedum ex latere mediæ partis in totum $uperficiem maius ag
<fig>
gregato parallelipedorum ex par-
tibus inæqualibus, in latera alte-
rius partis mutuo in eo, quod fit
ex differentia lateris minoris par-
tis a mediæ latere in differentiam
maioris partis $uperficiei à media
$uperficie bis, & ex differentia am-
borum laterum inæqualium iun-
ctorum ad ambo latera æqualia
iuncta in minorem partem $uperficiei.</P>
<P>Proponatur a g diui$a in duo quadrata æqualia a h, h b, & late-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
ra erunt a c, c b, & in duo inæqualia a d d g, quarum latera $int b c,
a f, dico quod parallelipeda a c in c g, & c b in c k, & $unt æqualia pa
rallelipedo ex a c in a g, excedunt
<table>
<row><col>1 a f in a h</col><col>f c in a h bis</col></row>
<row><col>2 a f in h d</col><col>f e in d k</col></row>
<row><col>3 a f in d k</col><col></col></row>
<row><col>4 f c in d k</col><col></col></row>
<row><col>5 c e in d k</col><col></col></row>
<row><col>1 a f in a h</col><col>4 f c in d k</col></row>
<row><col>2 a f in d h</col><col>5 c e in d k</col></row>
<row><col>3 a f in d k</col><col></col></row>
</table>
parallelipeda ex a f in d g, & b c
in d k, in duplo f c in d h, cum eo
quod fit ex f e in d k $emel. Quia
ergo parallelipedum ex a e in a g
e$t æquale parallelipedis a f & f c
in a h, h d, h k, quare parallelipe-
dis a f in a h, h d, d k, & f c in d k, &
c e in d k, & f e in d k, & f e in d h
bis. Ad parallelipedum a fin d g,
e$t æquale parallelipedis a fin a h, h d. Et parallelipedum b e in d k,
parall elipedis a f, f e, c e in d k. Detractis $imilibus relinquetur f c in
d l, l e, e h bis, quod e$t f c in d h bis, cum eo quod fit ex e f in d k $i-
mul, quod e$t propo$itum.</P>
<foot>X SCHO-</foot>
<p n=>242</p>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Dico etiam, quòd duæ lineæ b e & af $unt minores duabus a c,
c b $imul iunctis, nam quia d b, e b, c b, $unt in eadem proportione,
& d b e$t maior e b, erit maior differentia d b ad e b, quam e b ad
<marg>P<I>er conuer-
$am qua$i</I> 8.
<I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg>
c b, igitur maior d e quam e c, quare e c e$t minor medietate d c, &
ideo multo minor medietate a c. Et $imiliter, quia a c e$t maior af, &
a c, a f, a d $unt in continua proportione, maior erit c f quam
fd, & ideò con$tat quamuis longum e$$et, $i quis uellet demon-
$trare perfectè, quod b e & a fiunctæ $unt minores tota a b $eu du-
plo a c.</P>
<P>Exemplum, $int h b & h a 25, & a e, c b 5, producta mutua 250,
$itqúe g d 49, & erit b e 7, $it autem d k 1, & erit a f 1, quia ergo a f
e$t 1, a e 5, erit f c 4, & quia e b e$t 7, & b c 5, erit e c 2, quare etiam ef2,
productum ergo ex e b in d k e$t 7, & ex a f in d g 49, totum ag-
gregatum 56, differentia a 250, e$t 194, qui $it ex duplo fc, quod
e$t 8 in d h, quæ e$t 24, & fit 192, & exfe, quæ e$t 2, in d k, quæ e$t 1,
& fit: quod additum ad 192 facit 194. Similiter capio 450, cuius di-
midium e$t 225, c g & c k 225, & c a & c b 15 $ingulæ. Et ponatur
d g 441, eritqúe e b 21, & d k 9, & erit a f 3, igitur cum b e $it 21,
& b c 15, erit c e 6, a f uerò e$t 3, igitur f e e$t 6. Producta mu-
tua æqualia 6750, inæqualia 1521, differentia 5238, quia er-
go f c e$t 12, duplum eius e$t 24, ductum in d h, quæ e$t
216, nam d k ex $uppo$ito e$t 9, fiet ergo 5184, cui $i addam, quod
fit ex f e, quæ e$t 6, in d k, quæ e$t 9, fitqúe 54, erit totum 5238, quod
erat propo$itum.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
<P>Ex hac demon$tratione liquet, quod $i linea in duas partes æ-
quales diuidatur, & duas inæquales, quòd parallelipeda æqua-
lium $ectionum pariter accepta excedent parallelipeda inæqua-
lium $ectionum, $imul iuncta in eo quod fit ex tota linea in quadra-
tum differentiæ partium æqualium ab inæ qualibus.</P>
<P>Propo$itio ducente$imadecima.</P>
<P>Si duæ lineæ ad æquales angulos ab eodem puncto peripheriæ
circulirefle ctantur, nece$$e e$t angulos cum dimetiente factos æ-
quales e$$e. Vnde manife$tum e$t protractam diametrum angu-
lum $uppo$itum per æqualia diuidere.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Re$iliat radius d b c ad æquales angulos, ut fert natura rerum
<foot>dum</foot>
<p n=>243</p>
dum à plano re$ilit (licet refragante Plutarcho) ita ut anguli c b e, &
d b f $int æquales, dico angulos ibidem d b a, & c b a æquales e$$e:
<fig>
& quod $i trahatur latus a b u$<01> ad g, quod anguli d b
g & c b g etiam erunt &ecedil;quales. Primum patet, quia an-
guli a b e & a b c & a b f æquales $unt, $unt enim re$i-
dui ad angulos contactus eiu$dem circuli & rectæ, igi
tur additis æqualibus ex $uppo$ito c b e, d b f erunt
<marg>P<I>er</I> 16. <I>ter
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
per communem animi $ententiam a b c & a b d æqua-
les. Secundum, cum $int a b c & a b d æquales, & duo
anguli a b c, c b g æquales duobus rectis: item<03> a b d,
d b g duobus rectis æquales: Et omnes recti inuicem æquales ex
<marg>P<I>er</I> 13. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
petitione Euclidis erunt per communem animi $ententiam, æqua-
les re$idui quo<01> c b g & d b g.</P>
<P>Ex hoc patet, eam quæ re$ilit lineam $emper ultra lineam à cen-
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
tro ad punctum, ex quo re$ilit ductam ferri.</P>
<P>Con$tat quia linea ex centro diuidit angulum per æqualia, ergo
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
cadit media inter illa quæ incidit, & quæ re$ilit.</P>
<P>Ex hac etiam patet, quòd con$tituto angulo in cen-
<marg>C<I>or</I>m. 2.</marg>
tro a b c, & ducta linea a d à puncto a, $ciemus quo re$i-
$ilit in linea b c: ducta enim c d, faciemus angulum c d e
<marg>P<I>er</I> 23. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
æqualem a b c, & erit angulus a d g æqualis angulo e d
h, igitur d e re$ilit ex a b a d linea.</P>
<fig>
<P>Propo$itio ducente$imaun decima.</P>
<P>Si duæ lineæ ex duobus punctis peripheriam contingentes in
eandem partem protrahantur, $emper magis di$tabunt inuicem ea
ex parte, & nunquam concurrent.</P>
<fig>
<P>Duæ $emidiametri a b, a c ex terminis earum
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
duæ contingentes b f, c e, dico quod quanto
magis protrahentur in partem e f, tantò magis
di$tabunt, nunquàm concurrent: Nam angu-
lus a c g rectus e$t: angulus uerò c a d, $i $it re-
<marg>P<I>er</I> 29. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
ctus e g, nun<08> concurret cum a d, æquidi$ta-
bit enim ei: $in aut $it maior recto aut ex altera
<marg>P<I>er</I> 13. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
parte erit minor, & ita concurret, ergo in alte-
<marg>P<I>er</I> 6. & 4.
<I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg>
ram partem ductæ nunquàm concurrent, $ed perpetuo magis di-
$tabunt. Si ergo minorrecto $it angulus c a b, igitur e c ex eadem
<marg>P<I>er</I> 5. <I>petit.</I>
E<I>uclid.</I></marg>
parte concurret cum a d: concurrat ergo in g: & quia e g cadit ex-
<marg>P<I>er</I> 6. <I>ter-
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
tra circulum, igitur diuidet b f, quæ tangit circulum. Sit ergo ut di-
<foot>X 2 uidat</foot>
<p n=>244</p>
uidat in h, igitur h e & h f cùm angulum con$tituant, quanto magis
protrahentur eo magis di$tabunt, nec unquam concurrent.</P>
<P>Propo$itio ducente$imaduodecima.</P>
<P>Si ab eodem puncto ad circuli peripheriam, lineæ quotuis du-
cantur, tres inuenire lineas, quæ nõ in alium punctum reflectentur.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Quouis con$tituto puncto ueluti a extra circu
lum b c d, dico po$$e trahi tres lineas ad ip$am cir-
culi peripheriam, uelut a b, a c, a d, quæ ad alium
punctum non reflectentur. Ducantur ergo a e ad
<marg>P<I>er</I> 17. <I>ter-
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
centrum, & a b & a d ad contingentes illius peri-
pheriam, quas con$tat non reflecti $ed progredi,
<marg>P<I>er</I> 61. <I>ter
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
a c autem reflectitur in $eip$am per demon$trata
<marg>P<I>rop.</I> 210.</marg>
$uperius, igitur con$tat propo$itum.</P>
<fig>
<marg>C<I>or</I>m. 1.</marg>
<P>Ex hoc patet, quod omnia puncta $ub linea
contingente po$$unt reflecti ad ip$um per arcum
interceptum à contingente, & ea quæ ad centrum.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Id e$t, quod omnia puncta infra lineam a b f ductam quantum-
libet po$$unt reflecti per arcum b c ad punctum a æqualibus an-
gulis. Quoniam ex a per c b reflectuntur ad quælibet puncta infra
a b f, eo quòd termini $unt punctum a, per ea quæ $unt hic demon-
$trata, & a b f, ip$a ergo $i extrema in extremis, media in medijs con-
tinentur per regulam illam Dialecticam: igitur omnia puncta $ub
a b f etiam in infinitum producta continentur in reflexione à pun-
cto a per arcum b c.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Et rur$us, $i à circulo ad circulum extremæ ducantur, nec illæ re-
flectentur, $ed tran$ibunt: mediæ autem omnes reflecti poterunt à
quouis puncto.</P>
<fig>
<P>Quia $i a b $it Sol, c d Luna, Sole
minor extremum in utro<01> lumina-
ri a c, b d quæ contingant utrunque
circulum, quod facile fiat, ductis a c
& b d ex punctis non oppo$itis, æ-
quidi$tarent enim, $ed iuxta quan-
titatem dimetientis minoris. Erit er-
go ut h e non reflectantur, aliæ o-
mnes mediæ reflectentur per demon$trata à quolibet puncto, ergo
idem de totis circulis & punctis.</P>
<head>SCHOLIVM.</head>
<P>Propo$itis duobus circulis lineam ambos cõtingentem ducere.</P>
<foot>Propo$itorum</foot>
<p n=>245</p>
<P>Propo$itorum circulorum a & b centra iungam recta a b, $uper
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
quam ut $emidiametrum de$cribo circulum b c, & ex puncto a ad
<marg>P<I>er</I> 11. <I>primi</I>
E<I>lement.</I></marg>
perpendiculum a d, ex quo ab$cindo æqualem $emidiametro b e li-
<marg>P<I>er</I> 3. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
<fig>
neam d f, ex f duco a d perpendi-
culum f g, ex g in a duco a g, & æ-
qualem angulo g a d, b a h ab$cin
do h k &ecedil;qual&etilde; d f $eu b e, duco aũt
<marg>P<I>er</I> 23. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
b e, ut $it æquidi$tãs h k, duco h e,
<marg>P<I>er</I> 31. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
quã dico contangere utrun<01> cir-
culũ b k: <04>duco b k, & quia duæ
lineæ b a & a k $unt &ecedil;quales duo-
bus lineis a g & a f, duæ enim
prodeunt ab eodem centro, reli-
quæ $unt re$idua æqualium d f & h k, & angulus b a k æqualis
<marg>P<I>er</I> 4. <I>primi</I>
E<I>lem.</I></marg>
g a f, ex $uppo$ito erit angulus g f a æqualis angulo b k a, g f a au-
tem rectus fuit, quia g f ad perpendiculum erecta fuit, itaque b k a
rectus e$t, & ideo b k h rectus, quare cũ b e & k h $int æquales, & æ-
<marg>P<I>er</I> 13. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
quidi$tantes, erit angulus e oppo$itus b h k rectus, igitur duo angu
li e b k & e h k duobus rectis æquales, quare cum $int æquales inui
<marg>P<I>er</I> 33. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
cem, quia oppo$iti in parallelogrammo uterque eorum rectus erit.
<marg>P<I>er</I> 32. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
Recti ergo $unt anguli e & h, & lineæ b e & a h ex centris circulo-
rum, & angulos Illos con$tituit lineæ e h, igitur e h contangit u-
<marg>P<I>er</I> 16. <I>ter-
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
trunque circulum.</P>
<P>Propo$itio ducente$imatertiadecima.</P>
<P>Propo$ito circulo at<01> in eius peripheria puncto $ignato lineas
contingentes ultra citra<01>, & etiam ab ip$omet deducere.</P>
<fig>
<P>Sit circulus b c d, & in eius peripheria c
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
punctum de$criptum, & $umatur b d por-
tio minor quadrante, in qua punctum c, &
ducantur a b, a c, & ducantur b e, c f, d g, ad
<marg>P<I>er</I> 11. <I>pri-
mi</I> E<I>l<*>m.</I></marg>
perpendiculum, & con$tat propo$itum, &
quod nunquam ex eadem parte conuenient
<marg>P<I>er</I> 221.</marg>
ex eadem parte ex demon$tratis $uprà.</P>
<P>Propo$itio ducente$ima quartadecima.</P>
<P>Si extra circulum duo puncta &ecedil;qualiter à centro di$tantia $ignen
tur, erit punctum reflexionis æqualis, in medio arcus intercepti in-
ter lineas, quæ à centro ducuntur ad illa puncta. Si uerò unum cen
tro proximius fuerit altero punctum æqualitatis in peripheria, tan
to longius uer$us breuiorem lineam, quanto punctum aliud à cen-
tro magis di$teterit.</P>
<foot>X 3 Sint</foot>
<p n=>246</p>
<marg>C<I>o</I>_{m}.</marg>
<P>Sint puncta b c, æqualiter di$tantia à cen
<marg>P<I>er</I> 21. <I>ter-
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
tro a circuli d e, & reflectantur c f, b f, dico f
<marg>P<I>er</I> 4. <I>primi</I>
E<I>lem.</I></marg>
e$$e in medio arcus d e: producta enim f a,
erunt anguli d a f & e a f æquales: $upponi-
tur enim primũ f e$$e in medio: igitur cum
a b & a c $int æquales, & a f communis, erit
a f c æqualis a f b, igitur reflectentur æqua-
liter: ergo $i &ecedil;qualiter reflectentur, ex f re-
flectentur, ut ex $ecunda parte: quare ex
medio.</P>
<fig>
<marg>P<I>er</I> 210.
P<I>ropo$.</I></marg>
<P>Sumatur rur$us punctum g, remotius ab
a quam b, dico quòd reflexio erit in arcu f e.
Nam non in e, quoniam fic g e d e$$et æqualis b e k, cui rur$us e$t æ-
qualis b e d, ergo g e d æqualis b e d, pars toti. Sed ne<01> ultra e, nam
multo magis pars æqualis e$$et toti aut maior etiam. Sed ne<01> ex f,
nam eadem ratione pars e$$et maior toto. Neque in toto arcu f d:
nam $it punctum l, & ducantur al, g f, igitur g l a maior g f a, g f a au
tem maior e f a, igitur g l a maior c f a, &ecedil;qualis ex $uppo$ito b f a, b f a
<marg>P<I>er</I> 21. <I>pri
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
rur$us maior b l a: multo igitur maior g l a quam b l a, non ergo re-
flexio æqualis e$$e pote$t. Cum ergo reflexio fiat, & non ex arcu d f,
<marg>P<I>er</I> 1 C<I>or</I>_{m}.
<I>præcedentis.</I></marg>
nec puncto f, nec e, nec ultra e, nec extra d, erit nece$$arium, ut fiat ex
puncto in arcu e f.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex hoc patet, quod linea a puncto ducta, quo
longius fertur, eo etiam longius re$ilit.</P>
<fig>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Cum enim a c b maior $it a d b, & angulus e c b
<marg>P<I>er</I> 21.
<I>tertij</I> E<I>lem.</I></marg>
æqualis a c b & f d b æqualis a d b, erunt duo an-
guli a c b & e c b, maiores a d b & f d b, quare
reliquus f d a maior a c e, igitur'd f re$ilit latius
quam c e.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Ex hoc patet, quod tales lineæ quæ re$iliunt
nunquam concurrent.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Scilicet c e & d f nam con$tat ducta c d, angulos e c d f & d e, ma-
<marg>P<I>er conuer-
$am</I> 5. <I>petit.</I>
E <I>uclid.</I></marg>
iores e$$e duobus rectis, ergo non concurrentin partem e f.</P>
<P>Propo$itio ducente$imaquintadecima.</P>
<P>Punctum reflexionis punctorum inæqualiter di$tantium à cen-
tro, æqualiter di$tat à lineis ductis à centro ad puncta, æqualiter di
$tantia alterutrin<01>.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sint g h a & b h a æquales, & ab$cindatur h f æqualis h b, & pro-
ducatur h b u$que a d c, ut $it h c æqualis h g, & producantur f a &
<foot>c a, quæ</foot>
<p n=>247</p>
c a, quæ $ecent peripheriam in d & e, dico quod
punctum h e$t medium inter e & l, item inter d &
<marg>P<I>er</I> 210.</marg>
k. Nam cum h f & h b $int æquales ex $uppo$ito,
<marg>P<I>er</I> 4. <I>pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
& anguli b h a & g h a æquales, & linea h a com-
<marg>P<I>er</I> 26. <I>ter-
tij</I> E<I>lem.</I></marg>
munis, erit angulus b a h æqualis f a h, igitur ar-
cus h l æqualis arcui h e. Similiter angulus g h a
e$t æqualis e h a & c h æqualis h g ex$uppo$ito, &
a h communis, igitur ut $uprà angulus c a h æqua-
lis g a h, igitur per eandem arcus h k æqualis arcui
h d, quare h punctum in medio d & k, & in medio
etiam e & l, quod e$t probandum.</P>
<fig>
<P>Propo$itio ducente$ima$extadecima.</P>
<P>Si fuerint circuli duo inæquales, & extra utrun<01> punctum a d il-
lud ex minore reflexè per magnam partem minoris à maiore perue
nire poterunt.</P>
<fig>
<P>Sint duo circuli, maior a b, mi-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
nor c d, & punctũ g, extra utrun-
que, dico quod a d g ex c d pote-
rũt reflexè produci a b in c d, quia
enim ex a b quibu$uis punctis
po$$unt duci lineæ reflexè ex c d,
& ideo cum puncta in a b uarient
reflexionem ex c d, aliter pars e$-
$et æqualis toti, patet intentum.</P>
<P>Ex hoc patet, quod oculus in
<marg>C<I>or</I>_{m}. 1.</marg>
quauis parte terræ con$titutus, in
qua Lunam uidere po$sit, poterit
eam uidere per radios reflexos à
Sole.</P>
<P>Ex hoc rur$us patet, quod eod&etilde; modo oculus poterit uidere $u-
<marg>C<I>or</I>_{m}. 2.</marg>
perficiei Lun&ecedil; illuminat&ecedil; part&etilde; p radios reflexos à Solis corpore.</P>
<P>Hoc patet, quoniam $i circuli Solis $inguli, qui illuminant Lunã
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
o$tendunt per primum corrolarium huius part&etilde; circuli Lunæ per
radios Solis reflexos ab ip$a Luna, putà $ecundum portionem cir-
culi e f, igitur cum liceat in Sole accipere magnam partem $uperfi-
ciei eius, quæ Lunam illuminat, in qua continentur infinitæ por-
tiones circulorum, & hæ $ingulæ mittunt radios reflexos ex Luna
ad punctum g, igitur g uidebit portionem $uperficiei Lunæ $ecun-
dum longitudinem e f per radios Solares à Luna reflexos: quod
e$t propo$itum.</P>
<foot>X 4 Propo$itio</foot>
<p n=>248</p>
<P>Propo$itio ducente$imadecima$eptima.</P>
<P>Oculus uidet partem $uperficiei Lunæ illuminatam à Sole per
radios reflexos à Solis corpore: nec tamen pote$t uidere imaginem
ip$ius in Luna tanquam in $peculo.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Quoniam per illos, ut demõ$tratum e$t, pote$t uidere, & illi $unt
<marg>I<I>n præceden
ti.</I></marg>
robu$tiores, ergo per illos uidet, omnis enim operatio tribuitur di-
gniori cau$æ & potentiori. Item, quoniam uidemus Lunam in no-
cte immittere radios per fene$tram uelut Sol: irradiare autem non
e$t ni$i habentis tantum lumen ex $e, ut hoc po$sit facere, aut ut $par
gantur, aut ut reflectantur: ex $e tantum non habet ut adparet hora
deliquij: ne<01> $pargit, $ic enim non impediret Solem hora deliquij,
Solis ergo reflectis. Ergo uidemus per radios reflexos. Non tam&etilde;
per eam uidemus Solem, ut in $peculo obiecto, quoniam Luna pri
mũ lucet proprio lumine, & rubro $icut pruna, quod autem debet
fungi uice $peculi, oportet ut careat colore, & $it uelut aqua, & ut $it
purum. Deinde, quia Sol e$t maior Luna, ideò uidetur ut paries in
$peculo, uidetur enim non res reflexa, $ed quod ip$um $peculum $it
paries, & ita Sol uidetur, ut totum quoddam, & non pote$t obid
cogno$ci. Et etiam magnitudo luminis per quam oculus non po-
te$t di$tinguere Lunam ab imagine Solis: nam ea his quæ per$pe-
culum uidentur, oportet duo cogno$cere, $peculum, & rem quæ ui
detur, $ed magnitudo luminis prohibet $peculum uideri, ergo non
poterit uideri aliud tanquam in $peculo, $ed $olum $peculum cum
lumine tanquam res una. Et ita de Luna. Acce dit magnitudo di-
$tantiæ: nam in $uperflua di$tantia non cogno$citur $uperficies $pe-
culi, $ed $olum rei obiectæ imago, & illa habetur pro $uperficie $pe-
culi, ergo oculus non di$tinguit inter $peculum, & rem ui$am, ideò
non uidet tan quam è $peculo. Ex quo $equitur, quod Luna iudica-
bitur longiùs abe$$e quàm ab$it, quia quod uidemus ex ea e$t So-
lis imago, quæ longius multo abe$t à nobis ip$a Lunæ $uperficie.
Cum ergo $int quatuor cau$æ, quarum unaquæ<01> impedire po$$et,
quominus Sol non uideatur in Luna tanquàm in $peculo, quanto
magis cùm omnes ad$int in Luna, & $imul concurrant.</P>
<P>Propo$itio ducente$imadecimao ctaua.</P>
<P>Rationem maculæ Lunæ indagare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Supponamus primum quæ $unt manife$ta, inde addamus quæ
$unt ueri$imilia ualde, po$t ueri$imiliora ex dubijs, ubi ratio utrin<01>
pugnare uidetur, demum dicemus de quæ$ito. Manife$tum e$t igi-
tur, quod Luna di$tat à nobis circiter <20> X MP. dimetiens igitur or
bis Lunæ e$t circiter CCC<18><18> MP. igitur ambitus <21>MP. igitur in hora
<foot>circuit</foot>
<p n=>249</p>
circuit circiter XLII MP. Ergo in ictu in$en$ili penè, id e$t, tempore
ictus pul$us infantis laborantibus acuti$sima febre II MP. quoniam
quinque tales ictus continentur penè in ictu uno uiri temperatæ
naturæ, & <23> ictus pul$us fermè uiri temperati complent $patium
horæ. Igitur Luna mouetur rapidi$simo motu & $imili motui ful-
guris. Ex quo patet quod e$t corpus expers grauitatis & perfe-
ctum, quare nec mi$tum, nec uitiatum.</P>
<P>E$t etiam rotunda, tamet$i enim ob di$tantiam maximam po$-
$et uideri rotunda, etiam quod non e$$et, ueri$imile tamen e$t, cum
umbram talem efficiat in deliquio Solis, & cum exit è tenebris ter-
ræ, tum quia perfecta e$t quod $it rotũda, aut prope rotunditatem,
$ed quod e$t perfectum & diuinum (quia $eruat æqualitatem, hoc
enim demon$tratum e$t, quod æquale $olum reperitur in diuinis
quod ad motum attinet) exactè tale e$t, igitur Luna e$t exactè ro-
tunda in circuitu $ecundum $uperficiem orbis. Ergo etiam unde-
qua<01> & $ecundum profunditatem: nam in commutatione nõ po$-
$et latere inæqualitas. Et etiam non e$t ueri$imile ullo modo, quod
corpus perfectum & diuinum $it informe. E$$et autem nece$$ario
eiu$modi, $i e$$et exactè rotunda $ecundum longitudinem & latitu-
dinem, & $ecundum profunditatem alterius figuræ. Veri$imilius
e$t ergo, Lunam e$$e ut ignem qu&etilde;dam den$um per $elucidum, $ed
inæqualiter lumino$um, non $olum ob $ub$tantiæ den$itatem,
$ed copiam luminis & puritatem, quæ impuritas non illi accidit,
quia mi$ta, $ed quoniam e$t inæqualium partium partium rararum ac den-
$arum & mediarum. Ne<01> $olum collu$tratur à lumine ex his quæ
diximus, tum etiam quia collu$trata non lucent procul, ut neque
montes, qui plurimum ab$unt, quamuis non tale procul ut Luna,
imò nec nix qu&ecedil; illis in$idet, $ed nix e$t multo cãdidior per $e quàm
Luna, quam con$tat lumine Solis de$titutam e$$e rubrã, ergo Luna
relucet radijs Solaribus eli$is uelut à $peculo. Et $i quis in orbe Lu-
næ e$$et media die $erena, non uideret terram lumino$am, quæ mul
to maior e$t Luna, & paulo plus à Sole di$tat, & quando <01> illi pro-
pior e$t quàm Luna. Macula autem Lunæ e$t qualis depingitur
cum ore, oculis & na$o, $ed quod magis $pectatur e$t os ip$um:
<fig>
adeò ut Plutarchus non de macula Lunæ, $ed de ore Lu-
næ in$crip$erit. Non uerti autem Lunam, ex hoc probat
<marg>T<I>ex.</I> 49.</marg>
Philo$ophus $ecundo de Cœlo. Igi&ttilde; ab Oriente in Occi-
dent&etilde; uerti $ub, & $uprà nece$$e e$t. Scilicet ut oculi infrà
os $upra appareat. Videtur autem magis in plenilunio
ob differentiã luminis, & tota quoniam pars uer$us nos etiam tota
illu$tratur. Et ex illo loco apparet, quod Auerroes ne$ciuit Geo-
<foot>metriam,</foot>
<p n=>250</p>
metriam, ficut $emper fuit mos Philo$ophorum cõtentio$orum, ut
nil $ciant, $ed $olum garrire. audierat hoc ab aliquo malo Geome-
tra, & repo$uitin $uos libros: nam nos, ut $uprà uidi$ti, demon$tra-
uimus oppo$itum. Quod uerò $it macula illa ex umbra terræ, ue-
rum non e$t, quoniam una e$$et & non diui$a, & occuparet totam il
lius faciem: nec e$t uerum quod mutaret $itum, quia $uperficies ter-
ræ e$t nonupla $uperficiei Lunæ. Sicut terræ $uperficies e$t minor
trige$ima parte $uperficiei Solis. Nec $pargitur lumen Solis in Lu-
na, nam $ic e$$et ambitus ut uia lactea: cum autem Luna delin-
quit in Oriente, e$t glauca & purpurea, cum in cœli medio rubra,
cum in Occidente nigra uidetur, nam ab utra<01> parte tenebris ope-
ritur: ex Oriente ab umbra terræ, ab Occidente ab ob$curitate loci.
In medijs locis medijs coloribus, quos A$trologi terraticis tribu-
unt: hoc autem quandiu tota delituerit, quod tempus horam uix
implere pot e$t. Ergo partes peruiæ non remittunt lumen, ideò ob-
$curæ apparent, quod in uitreis $peculis à quorum partibus plum-
bum excidit: nam nigræ illæ apparent, reliquæ $plendidæ, obid $y-
dera aliquando per illam relucent, & aliquando non. Et Solaris
eclyp$is tempore, non lux tota Solis perit: at<01> ideo ut uidemus, &
uariant colores eo tempore, non tam&etilde; collu$trat $plendidè Sol ob
<marg>2. A<I>poteles</I>
P<I>tolem.</I></marg>
cra$sitiem Lunaris corporis hæc inferiora, tum etiam ob diuer$ita-
tem partium, & ad $itum. Nam $i Sol $it ad $itum a b, tran$ibunt mul
<fig>
ti radij, $i c d pauci$simi aut nulli, $ed ut ubi
tenuior e$t Luna in ambitu, & Solis radij
den$iores tran$eunt, & $ydera pellucent
contrarijs cau$is minus, ut iuxta medium
nequaquàm. At Lunæ maculam radij effi-
ciunt, etiam $i tota $ubtus opaca e$$et, cum
peruia uel tantillum fuerit in $uperficie, ut
uenis opus non $it. Etiuxta hoc macula illa, ut liquet, ad perfectio-
nem corporis Lunæ pertinet magis quam pars $plendida, quam-
uis prima cogitatione oppo$itum uideatur. E$t enim duplex perfe-
ctionis genus in cœle$tibus corporibus, & ob den$itatem cum re-
mittit, & ob per$picuitatem cum à Sole, ut uniuer$ali quo dam prin
ci pio illuminatur.</P>
<P>Propo$itio ducente$imadecimanona.</P>
<P>Ratio nem eorum quæ apparent circa Solem $peculo in aqua po
$ito declarare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit peluis a b aqua plena: $peculum in ea c d e f quadratum, aut
perfecte, aut oblongum $u bmer$um in ea: Sol primum $olus in g
<foot>o culus</foot>
<p n=>251</p>
oculus ex aduer$o in
h, ita ut ad æquales
angulos po$sit uide-
re Sol&etilde; in k, dico &qring;d
depre$$o oculo in m,
uidebit alium Solem
maiorem uer$us mar
ginem aduer$um in l,
& longè $plendidio-
rem: quia enim radij
reflectũtur ex k, ut ro
bu$ti & à medio den
$iore ad rarius, qui
non inflecten&ttilde;, erunt
pauci, & ideò Sol in
k minor apparebit, et
languidior: maior au
<fig>
tem pars deflectetur à perp&etilde;diculari ad m, igitur Sol apparebit ma-
ior & ualidior longè $plendentibus radijs, adeò ut uix ferri po$sit.
Sed quoniam angulus ex $uppo$ito m l $ maior e$t h k e, igitur cum
oculus iudicet $e uidere a d æquales angulos, uidebitur g depre$-
$ior & propior labro in t, $icut n m e$t infra h, ita t infra g, quare etiã
ut angulus m l $ $it æqualis angulo t l f, nece$$e e$t ut l $it ultra k: ali-
ter t uideretur qua$i tangere aquam. In hora autem deliquij Solis,
uelut hodie v. Idus Aprilis hora $exta diei, cũ diligenti$simi $tatue-
rint medium eclip$is in quinta, & $uppo$ita fuerit ob$curatio à Io-
anne Stadio partium nouem cum be$$e, & tempus horæ unius &
m: 26, fuit tamen maior & longior: quoniam luminaria fuerũt pro-
piora una parte caudæ Draconis, quam ip$e po$uerit in tabulis, &
hoc quia $upponit &ecedil;quinoctium tardius diebus duobus quã apud
Alphon$um: & for$an $ufficiebat una dies, $cilicet ut e$$et die deci-
ma Martij horis decemocto à meridie: nam tunc omnia re$pon-
dent ob$eruationi: in qua apparuerunt quatuor Lunæ: & quidem
ab initio fuerunt duæ orientaliores è regione, $cilicet o p, & una o c
cidentalior n, & tantum di$tabat n a k quantum o: Et clarum erat
quòd p erat, $icut $ecunda iris parua & non candida, $ed rubra pur-
pureo mi$ta, quoniam ex reflexu o oriebatur: apparebat autem a la
tere illo, quoniam Luna dextram partem obtegebat, ideo illa erat
minus lumino$a, & uerus Sol erat in k, modò Lunæ, modò Solis
imaginem referens ubi tran$i$$et eclip$is medium, non amplius
tres illæ Lunæ apparuerunt à dextra & à $ini$tra, $ed una ultra nos
<foot>in q</foot>
<p n=>252</p>
in q, & duæ uer$us nos in r & n
& quæ erat in F, erat $imiliter
parua & purpurea rubra<03>, &
mutato $peculo uariebatur $i-
tus q & r u, id e$t, ut modo e$-
$ent qua$i in medio laterum e
& f, quando que tran$uer$æ. Et
hoc contigit ob mutation&etilde; lo-
ci k propter $peculi uariation&etilde;.</P>
<fig>
<P>Cau$a e$t, quoniam Luna cũ
permeet Solem non è regione
recta lineæ oppo$itæ no$tro ui
$ui, & $olum mom&etilde;to, & in lon
gis temporũ interuallis po$sit
obtegere illum. Sit ergo ut Sol
obtegatur à Luna medijs par-
tibus, & $int radij extremi in
$peculo: a c & a d, igitur erunt
tanquam duo Soles, $ed uter<01>
illorum geminatur, ideò fiunt
tres: medius enim ob Lunæ
per$picuitatem integer, appa-
ret, ideò modò $ub forma So-
lis, modò Lunæ laterones am-
bo $ub forma Lunæ: ideò erũt
tres, quib. ad dita Luna p, quæ
e$t reflexa a $ecunda, fient qua-
tuor. At dices cur non fit refle-
xus $ecundum directum oculi,
ut Lunæ appareant ultra citra-
que Solem? Dico quod Luna
diuidente orbem reflexus fit ad latera, quia radij tran$uer$im ferun-
tur: cum autem non diuiditur fit pror$um & retror$um. Sed cur di-
ces Lunari forma? quoniam partes Solis quæ uigent, eiu$mo di for-
ma apparent, Iconem uides à latere.</P>
<P>Propo$itio ducente$imauige$ima.</P>
<P>Cau$am cur Sol æ$tiuis diebus exoriens umbram ad meridiem,
cum in meridie ad boream mittat, explorare.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Dico quod ubicunque terrarum in no$tro hemi$pherio, Sol ubi
fuerit in Oriente $eu Occidente uidebitur, cum $ub circulo æquino
ctij fuerit èregione, nobis etiã $i homo $ub arctico circulo habitet,
<foot>& ita</foot>
<p n=>253</p>
& ita re$picienti ad polum umbra erit à dextra in $ini$tram, dum o-
ritur & à $ini$tra in dextram dum occidit. Et quod dum erit in me-
ridie umbra uerget ad Septentrionem. Tertiò dico, quòd in his
qui habitant uer$us Septentrionem à tropico cancri umbra in Me-
ridie, quo cun<01> tempore anni borealis erit. Quarto, quòd ij$dem
toto dimidio anni ab æquinoctio uerno ad autumnale, umbræ o-
riente & occidente Sole $unt meridianæ tran$uer$æ: & muri re$pi-
cientes boream illuminantur. Sit finitor a b c d in regione boreali,
cuius uertex e & f polus, eleuatio poli $upra finitorem a f, æquino-
ctij circulus b q d, cui parallelus borealior Solis uia per cancri ini-
tium, g h l m n, circulus magnus per uerticem, & inter$ectiones æ-
quinoctij, & finitoris b h e m d, Meridiei $emicirculus $uperior a f e
l q c. Cum ergo uertex regionis $it in e, & circulus magnus b h d
tran$iens per uerticem, tran$eat per centrum terræ ex diffinitione
circuli magni, & linea à uertice grauium habitantium $ub uertice e,
<fig>
tendat ad centrum terræ ex de-
mon$tratis ab Ari$totele, & $up
po$itis ab A$trologis, &qring;d gra-
uia omnia tendunt ad centrum
terræ, erit quodlibet graue$eu
murus $eu homo, $eu per ulti-
mam petition&etilde;, $eu per demon-
<marg>F<I>ropo$.</I> 1</marg>
$trata in undecimo ab Euclide
murus, & homo quiuis inco-
laregionis in $uperficie circuli
uerticalis b e d. Igitur dum Sol
e$t in b uel d, umbræ erũt à dex
tro in $ini$trum, uel contrario
modo, & ita Sol uidebitur e$$e è regione nobis: & murus faciet um
bram oriental&etilde; uel occidentalem. Et hoc e$t primum. Et quoniam
cum Sol erit in Meridie, tum erit in q, igitur erit umbra ad Septen-
trionem, cum e $it loco gnomonis & murus. Et hoc e$t $ecun dum.
Tertium etiam patet, quia Sol nun quam tran$ibit punctũ l in Me-
ridie uer$us boream, $ed regio $upponitur borealior l, igitur tempo
re meridiei umbra $emper hic borealis erit. Et quoniam b h e m d
$ecat parallelos, qui $unt in Septentrione ut puta tropicum in h
& m, igitur oriente Sole, & occidente rur$us per totum arcum g h
& m n, uidebitur borealior quàm in b uel d parte arcus magni in-
tercepti inter arcum magnum tran$euntem per uerticem & locum
Solis, ubi $ecat finitorem & puncta b, & d: & ita erunt umbræ Me-
ridionales toto hoc tempore, & hoc e$t quartum.</P>
<foot>Y Ex quo</foot>
<p n=>254</p>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg>
<P>Ex quo $equitur, quod in hoc toto tempore ueris & æ$tatis, cùm
Sol in Meridie uideatur e$$e po$t tergum, & in Meridie, & dum ori
tur à parte Septentrionis. Ergo ab ortu Solis ad Meridiem uidebi-
tur ferri motu diurno, linea obliqua à Sept&etilde;trione in Meridiem: &
à Meridie ad Occa$um, alia obliqua linea à Meridie in Septentrio-
nem: ut in figura, ut $i Sol $it in a in Oriente, b in Meridie, cin Occi-
dente, & uertex nobis in e.</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg>
<P>Sequitur etiam, quòd $i tempore æ$tatis
<fig>
po$$emus in media nocte uidere Solem, in
cœli medio uideretur, tantundem uer$us bo
ream declinare, quantum in Meridie ad Me
ridi&etilde;. Et hoc quia circulus æquinoctij b q d,
tanto borealior e$t in parte inferiore circulo
per uerticem, quanto in $uperiori e$t au$tra-
lior: quoniam circuli magni $e $ecant per æ-
qualia. Et $i hoc e$t uerum de Sole $ub æqui-
noctij circulo, quãto magis erit uerum de Sole $ub tropico æ$tiuo?</P>
<marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg>
<P>Ex præcedenti patet, &qring;d Sol in media nocte borealior uideretur
$ub æquinoctij circulo tanto, quãto uidetur au$tralior $eip$o, dum
e$t $ub tropico cancri, quia circuli $e $ecant ad angulos oppo$itos
æquales: igitur $i uerticis circulus maiorem facit angulum $uperio-
<fig>
rem cum æquinoctij quam tro
<marg>P<I>er funilem</I>
15.
P<I>ropo$. pri-
mi</I> E<I>lem.</I></marg>
pici borealis circulo, igitur &
inferiorem: homo autem & ui-
$us iudicat au$trale & boreale
iuxta in clinationem circuli du
cti per locũ Solis ad circulum
ductum per locum uerticis.</P>
<P>Propo$itio CCXXL</P>
<P>Magnitudo Lunæ & cæte-
rorum a$trorũ digno$citur ex
proportione aliorum ad eam
iuxta di$tantiam: ip$ius uerò
iuxta rationem pupill&ecedil; ad Lu-
nam di$tantiæ ratione.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sit pupilla a b, quæ in circu-
lo l m, po$ita in eodem centro,
comprehendat portionem no
tam l m, ideo clau$o oculo alte-
ro eandem portionem uidebit
totius cœli, ut liquet ex demon
<foot>$tratis</foot>
<p n=>255</p>
$tratis in Elementis Euclidis, igitur nota l m nota erit pupillæ, &
ideo g h quanta $it portio cœli, quia k e$t etiam qua$i centrum cœ-
li Lunæ, $it ergo Luna c d, erit<03> tanta portio g h notæ, quanta e f
pars pupillæ, per quam uidetur ip$ius a b: e f autem $imiliter e$t no-
ta in n o, igitur & c d in comparatione ad totum cir culum. Quia ue-
ro g h e$t nota, & in Sole con$picitur arcus notus æqualis, ergo erit
nota diuer$itas a$pectu ob di$tantiam no$tram à terræ centro, qua-
re altitudo Lunæ nota, & eius magnitudo, eius enim ad $emidiame
trum oculi, ut c d ad ef. Hoc autem e$t cra$$a Minerua additum, ut
quis intelligat difficiliora e$$e quæ cra$$a uidentur, quàm quæ ela-
borata. huiu$modi autem diuina, de quibus mox dicendum erit.</P>
<head>SECVNDA PARS DESVPER</head>
<P>Principia.</P>
<head>DIFFINITIO PRIMA.</head>
<P>Proportio imperfecta $eu pote$tate e$t duarum quantitatũ, quæ
$ic $e habent, ut nullæ duæ aliæ in eodem genere inueniri queant.</P>
<head>DIFFINITIO SECVNDA.</head>
<P>Proportio media e$t comparatio rei non habentis quantitatem,
quæ tamen mutari po$sit ad rem, quæ quantitatem habeat.</P>
<head>DIFFINITIO TERTIA.</head>
<P>Proportio $ublimis $eu ordo dicitur duarum $ub$tantiarum, qu&ecedil;
quantitatem non habeant, comparatio.</P>
<head>PETITIO PRIMA.</head>
<P>Infinitum quod imaginem habet quãtitatis, quantitatem autem
non habet, ne<01> e$t quantitas.</P>
<head>PETITIO SECVNDA.</head>
<P>Repugnans e$t $uper quod nulla e$t potentia.</P>
<head>PETITIO TERTIA.</head>
<P>Non po$$e $uper ea quæ repugnãt, nullam declarat imperfectio-
nem, ne<01> infinitum non e$$e negat.</P>
<head>PETITIO QVARTA.</head>
<P>Infinitum infinito maius e$$e non pote$t.</P>
<P>Propo$itio ducente$imauige$ima$ecunda.</P>
<P>Quantitates quæ æquales e$$e nõ po$$unt in eodem genere, ma-
ius tamen & minus recipiunt, $unt in proportione pote$tatis.</P>
<P>Sint propo$iti duo anguli, gratia exempli, a rectilineus, b uerò in
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
circumfer&etilde;tia circuli, qui pote$t e$$e maior, & minor rectilineo pro-
po$ito, & nunquàm pote$t e$$e æqualis, ut declaratum e$t $uprà, di-
co proportionem b ad a e$$e pote$tate, nam ut ui$um e$t, pote$t e$$e
maior & minor, & e$t maius & minus uerè, & ideò $unt in eodem
genere, & uterque e$t continua quantitas, igitur in tran$itu nece$$e
e$t, ut $int æquales aliquando $ed non actu, hoc enim repugnat, igi-
tur pote$tate.</P>
<foot>Y 2 Propo$itio</foot>
<p n=>256</p>
<P>Propo$itio ducente$imauige$imatertia.</P>
<P>Quantitates quæ actu æquales e$$e non po$$unt, in nulla pro-
portione actu e$$e po$$unt.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Sint duæ quantitates quæ æquales e$$e non po$sint, ut in priore
exemplo a & b, dico quod non po$$unt e$$e in aliqua proportione
in actu, aliter $int in proportione c, & ducatur cin b, fiat d, erunt er-
go d & a æquales, quod e$t contra $uppo$itum, nam $upponitur
quod nulla quantitas ex genere b $it æqualis a, $ed d e$t ex genere
<marg>P<I>er</I> 9. <I>quin-
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
b & æquale a, & ideo $uppo$itum non manet, igitur a & b non $unt
in aliqua proportione in actu.</P>
<P>Propo$itio ducente$imauige$imaquarta.</P>
<P>Ne<01> temporis totius ut imaginamur ip$um e$$e infinitum, ne<01>
æui uitarum proportio ulla e$t ad tempus quod pote$tate e$t, ut po
tè diem uel men$em.</P>
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
<P>Tempus ip$um ut infinitũ e$t, aut in actu e$t, aut refert quippiam
in actu, pars autem temporis $olùm e$t pote$tate, quia nullum tem-
pus in actu e$t, ne<01> annus, ne<01> men$is, ne<01> dies, ne<01> hora aut mo-
mentum, $ed $i totum tempus non e$$et actu, nihil e$$et actu, ne<01> to
tum ne<01> partes. Igitur totũ tempus, uel aliquid loco eius e$t actu,
partes autem pote$tate, $ed ut ui$um proportio infiniti nulla e$t, &
ad rem quæ actu non e$t, igitur tempus nullam habet proportio-
nem ad annos, ne<01> men$es uel dies. Quare qui dicunt, quod mille
anni $unt unus dies, in philo$ophia errant, $ecus apud Apo$tolum,
ubi de diuinitate agitur. Ergo anni $unt longũ tempus, & dies bre-
ue, quia dicuntur in comparatione inter $e, & non $ecundum pro-
portionem ad infinitum. Quia $it infinitum a, & d uæ quantitates b
maior, & c minor, uel ergo proportio a ad b c, e$t una uel diuer$a, $i
<marg>P<I>er</I> 9. <I>quin-
ti</I> E<I>lem.</I></marg>
una, ergo b c erunt æquales, $i maior e$t ad c quam ad b, ergo infi-
nitum e$t maius infinito, ergo non e$t infinitum, quod e$t con-
<marg>4. P<I>etit.</I></marg>
tra petita.</P>
<P>Propo$itio ducente$imauige$imaquinta.</P>
<P>Proportio media non e$t ex ratione agentis $ed patientis.</P>
<fig>
<P>Proponatur a quantitas, qu&ecedil; debeat mutari ab uir-
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
tute quæ non fit in materia, & palam e$t quod non po
terit permutari in in$tanti, quia $imul e$$et, & non e$$et
ergo repugnaret, ne<01> etiam pote$t non e$$e, ut demon$tratum e$t
in Hyperchen, quia repugnant nece$$ario & e$$entiæ Dei, ne<01> mo-
uetur à certa proportione, quia b caret omni quantitate, ergo ni-
<marg>P<I>er</I> 3. P<I>etit.</I></marg>
hil o$tendit uim ip$ius b e$$e finitam, quod ergo moueatur tardè ce
<foot>leriter</foot>
<p n=>257</p>
leriter paruum magnum, i$tud contingit totum ex conditionibus
a, id e$t, materiæ & quantitatis: uelut, gratia exempli, $i a e$$et in ua-
$culo palmi, non po$$et implere iugerum, & hoc nõ o$tendit ullam
imperfectionem in b. Et $icut homines omnes $unt in carcere huius
mundi, & tamen uidentur e$$e $ibiliberi, & appellant $olũ illos e$$e
in carcere qui $unt in erga$tulo, ita omnis materia, & omnis quan-
titas habet conditiones, per quas (ut ita dicã) con$tringitur, & repu
gnat eas mutari, & ideò uitã agunt $ine ulla proportione. Quod ue
rò dictum e$t, $upra dictum fuit, per exemplum dictum e$t, nõ quia
ita $it, finge ergo quod in aliquo pariete, non $it albitudo, ni$i unius
gradus, illa non operabitur ni$i per unum gradũ, etiam $i calx e$$et
infinitè alba, & $imiliter de luce Solis, ergo omnes mentes mouent
$ine proportione, & non po$$unt dici finitæ uel infinitæ, quia ip$æ
$unt expertes omnis quantitatis, imò omnis relationis ad quantita
tem, & hoc e$t quod latuit multos, & maximè propter dictum Phi-
lo$ophi, e$t ergo omnis operatio iuxta id quod e$t in materia, &
non quod una mens maiores habeat uires, alia cum non $it in eis,
ne<01> maius ne<01> minus.</P>
<P>Propo$itio ducente$imauige$ima$exta.</P>
<P>Proportio $ublimis non con$i$tit in magnitudine, $ed ordine
iuxta quem differentia e$t eius quod e$t ante & po$t.</P>
<P>Non enim pote$t e$$e comparatio iuxta magnitudines motas,
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
quoniam uel $unt corpora cœle$tia, uel elementaria, elem&etilde;taria e$$e
non po$$unt, quia illa cum $int corruptioni obnoxia, id e$t, tran$mu
tationi, $ecundum qualitatem nõ po$$unt e$$e $ubiecta in corporca-
rum $ub$tantiarum, ne<01> à primis $ub$tantijs moueri, ne<01> etiam ex-
cipere primò lumen $uum, $ed mouentur per uim influxam à cœle-
$tibus corporibus, ne<01> etiam per motum corporum cœle$tiũ, nam
illa non mouentur $ecundum proportionem mentis ad corpus, $ed
iuxta rationem finis, à qua circum$cribuntur, & ideo quod Satur-
nus moueatur uelo ciore motu, quàm Iuppiter ab Oriente in Occi-
dentem, hoc non e$t, quia uitæ quæ mouet Saturnum fit robu$tior
uita qu&ecedil; mouet Iouem, cum $int una & eadem: uel $i dicas quod $int
diuer$æ uita Saturni, non tamen e$t ualidior in comparatione ad
$uum cœlum, uita Iouis non moueret celerius Saturnum ab Occi-
dente in Orientem, quàm uita Iouis Iouem, quod e$t fal$um, $ed ta-
lis motus uelo citas e$t ratione finis, quia oportet ut pariter mouea-
tur eo motu, & quia cœlum Saturni e$t maius, ideo celerius moue-
tur quam Iouis, & hoc ratione corporis mobilis, & nõ ratione pro-
portionis ad corpus. Dico etiam, quod non habent poteftatem
aliam, per quam $ubeant proportionem, nam qu&ecedil;ritur cuius com-
<foot>Y 3 paratione</foot>
<p n=>258</p>
paratione illa proportio oriatur, nam non ad corpora, quia neque
ad cœle$tia, ne<01> mortalia, ut dictum e$t, ni$i fin gamus alia corpora,
quod e$t ab$urdum, ne<01> etiam ratione incorporeorum, nam non
po$$unt de$truere $e inuicem, quia inferior non pote$t tollere $upe-
riorem, ne<01> multo minus pote$t uelle. Hoc e$t enim nefas cogita-
re, neque $uperior inferiorem, quam producit quam amat: & ideo
dico, quod $unt in proportione $ublimium, id e$t, ordine perfectio-
nis, qui con$i$tit in propinquitate ad primam cau$am. exemplum,
Sol e$t longe perfectior $ua luce, quæ e$t ei propria, quia Sol e$t
$ub$tantia, & lux e$t proprium, & lux Solis e$t multo perfectior lu-
mine, cum $it (ut dixi) lux proprium & in Sole, tanquam in $ubie-
cto, lumen autem extra & accidens. Nec tamen dicendum e$t, quod
Sol $it potentior luce, aut lux lumine, idem dico de anima & facul-
tatibus eius, & functionibus, inter quas nulla cadit proportio per-
fectionis, tamen differentia con$picua e$t, & ideo poterit impediri
functio, & non facultas, et facultas tolli remanente anima. For$an di
ces, quod i$t&ecedil; non $unt $ub$tantiæ, & ideò oporteret, ut omnia in-
corporea Deo $olo excepto e$$ent accidentia, dico quod in incor-
poreis non e$t $icut in anima, quæ e$t iuncta corpori, ne<01> ut in So-
le quod e$t corpus, $ed tanta e$t perfectio producti incorporei,
quod ip$um e$t $ub$tantia. Et ratio e$t quia $ub$tantia differt ab ac-
cidente uel ratione corporis, ut aqua à frigiditate, & hoc non e$t in
incorporeis, ut manife$tum e$t, uel quia unum $it $ubiectum alte-
rius, & ideò $ub$tantia, ut e$t principium comparationis, & in $e
ip$a dicitur $ub$tantia, & ut comparatur ad extra & ad operatio-
nem $uam, cuius e$t principium dicitur facultas: uelut uita cœle-
$tis $ub$tantia e$t, ut uerò cœlum pulchritudine illius delectatum
mouetur ad ob$equium, dicitur facultas in illa uita, & non e$t ni$i
$ub$tantia, tamen ip$ius uitæ adeo ut $ola ratione differant. Tertia
differentia e$t, quia $ub$tantia non e$t in $ubiecto, $ed facultas e$t in
$ubiecto, uerùm in incorporeis, ut dixi, non differunt ni$i $ola ra-
tione, uelut pater & homo, nam pater nece$$ariò e$t homo, & e$t
$ub$tantia, ut ad aliud comparatur. Quarta differentia e$t ratione
propriæ naturæ quæ non dependet, nam $ub$tantia non pendet
$icut accidens & facultas, uerùm ubi genita fuit non amplius pen-
det: re$pondeo, quod in incorporeis producitur, & non repugnet
productio $ub$tantiæ, quia $i non repugnat generatio hominis,
quod $it $ub $tantia, multo minus etiam incorporeorum. Relinqui-
tur ut obijcias, quoniam $ub$tantiæ incorporeæ $emper fiunt, er-
go nunquam $unt ueræ $ub$tantiæ: ad hoc re$pon dendum e$t per
interemptionem, nam de uera re$pon$ione non e$t hic locus, quod
<foot>cadem</foot>
<p n=>259</p>
cadem ratione qua producuntur uitæ, producuntur etiam cœli, at
cœlum nihilominus e$t uerè $ub$tantia, & magis i$tis mortalibus,
ergo uel talis productio non e$t perpetua, uel, ut uerius dicam, e$t
$impliciter productio circum$cripta ab omni tempore præ$enti,
præterito & futuro. Quare erit magis uera productio quam $ub-
$tantiæ mortalis, ideo contingit hic error ex di$similitudine eo-
rum quæ maximè $imilia e$$e uidentur, nam cùm accidentia pro-
ducantur in tribus temporibus, & incorporea in nullo, $ub$tantia
autem mortales $olum in uno tempore, ideò productio incorpo-
reorum uidetur e$$e $imilis productioni accidentium, cum tamen
productio $ub$tantiæ mortalis $it uerè media inter illas, nam $ub-
$tantia mortalis producitur in uno tempore, accidens in omni
$ub$tantia immortalis in nullo, nece$$e e$t autem extrema magis
differre inter $e quàm à media, igitur $ub$tantiæ in corporeæ ordi-
ne & perfectione differunt, non tamen proportionem habent. Et
$i quis dicát, quod ultima $ub$tantia e$$et &ecedil;què potens, ut Deus: re-
$pondeo quod non e$t uerum, quia uel loqueris de perfectione, &
ita demon$tratum e$t, quod Deus e$t ip$a perfectio, ultima $ub-
$tantia e$t imperfecti$sima: uel loqueris de magnitudine, & ita non
$unt æquales prima & ultima $ub$tantia, quia non po$$unt com-
parari, $icut lumen non pote$t comparari lumini, quod $it dul-
cius uel amarius, grauius uel leuius, maius enim & minus, & æ-
quales $unt differenti&ecedil; quantitatum, uitæ autem non habent quan-
titatem operationis, quia, ut dixi, e$t ab$oluti$sima ratione finis, ne-
que potentiam ad aliquid, quia $unt in æterno actu, & hoc $ecun-
dum philo$ophos, & iuxta rationem numinis naturalis, nam $e-
cus religio & fides tenent, quia $upponunt mundum e$$e creatum,
& $ic potentia differentiæ ab actu, quia Deus nunc creauit, & antea
non creauerat, & tamen poterat creare.</P>
<P>Ex hoc patet, quod nulla $ub$tantia incorporea e$t finita nec infi
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
nita, nec exten$a nec contracta, quia omnia i$ta pertinent ad quan-
titatem, quarum ill&ecedil; omnino $unt expertes.</P>
<P>Propo$itio ducente$imauige$ima$eptima.</P>
<P>Vitæ iuxta numerum perfectionum in comparatione ad cogita-
tionem no$tram proportionem quandam habent.</P>
<P>Velut Deus e$t per $e primo ab$olutum, & cau$a omnium bo-
<marg>C<I>o</I>m.</marg>
norum, & e$$e, $apientia uerò quæ generatur à primo bono, non e$t
cau$a omnium bonorum, quia $ic produceret primum bonum,
& produceretur e$t tamen per $e primo & ab$olutum bonum,
<foot>Y 4 amor</foot>
<p n=>260</p>
amor autem e$t cau$a omnium bonorum po$teriorum, & ab$olu-
tum, & per $e $ed non primò, & ita de uita quæ regit mundum, ip$a
non e$t ab$oluta, ne<01> per $e primò, $ed $olum cau$a omnium bono-
rum, e$t tamen ab$oluta in ordine bonorũ, quæ retinuit, & hoc mo-
do dicimus e$$e plures per$onas in diuinis plures mentes, & $ub-
$tantias incorporeas.</P>
<P>Propo$itio ducente$imauige$imaoctaua.</P>
<P>Proportionem $cientiæ futurorum & cæterorum occultorum
con$iderare.</P>
<P>Septem licet $int modi futura & occulta prægno$cendi, qu&ecedil;dam
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
tamen $unt communia omnibus, quædam multis: uaria quoque e$t
ratio horum, alia enim e$t proportio $ciendi, at<01> hæc duplex, uel ex
ratione intelligendi quæ ortum habet ex comparatione animæ ad
magnitudinem & difficultatem eorum, quæ cogno$cũtur, qu&ecedil;dam
ad modum quo iudicãtur. Alia rur$us e$t ratio proportionis modi
ad animam ip$am, ut qui$que propior fuerit ip$i aut remotior, alia
demum e$t differentiæ $ignorũ aut cau$arum, ergo ut à propinqui-
tate initium ducam, $eptem uidentur e$$e ordines, qui etiam ad per-
fectionem dijudicandi pertinent. Primus e$t eorum quæ agimus
quibus prudentia dominatur, atque hic admodum certus e$t, ut in
negotijs publicis priuatis <03> uidemus, e$t aut&etilde; duplex, ciuilis & mili
taris. Secundus e$t naturalium, e$t autem maximè euidens in tribus
medicina, agricultura & nauigatione. Tertius e$t eorum quæ $unt
$ecundum naturam, $ed non per cau$as, uelut a$trologia & phy$io-
gnomia. Eius aũt tres $unt partes phy$iognomia, metopo$copia &
chiromantia, nam<01> a$trologia et$i per cau$as $it, magis tamen per
$igna o$tendere uidetur, nam quod Iuppiter in a$cendente bonos
præbeat mores, cur magis hoc in loco uel illo, magna e$t quæ$tio.
Quartus e$t con$en$us omnium nobi$cum at<01> fatale uin culum, in
quo genere ponuntur fulgrum ca$us, exta, & augurium & hygro-
mantia. In quinto modo ponuntur ea quæ cum anima no$tra con-
$en$um habent, eiu$mo di $unt uitæ aut genij aut eroes. Sextus uerò
e$t ex origine, uelut $unt Prophetæ & uates Sybillæ<03>, quorum uis
alia in $eip$is, ut prophetarum, alia uaporis ut Delphici oraculi, alia
aqu&ecedil; uelut in Colophonio oraculo. Vltimum e$t præ$tanti$simum
idem<03> remoti$simũ, quod à Deo per preces cõ$equimur. In omni-
bus ergo his iuuat præ$tantia modi non au$picium, & exta paruam
habent $ignificationem, quæ uero à Deo maximam, alia enim e$t
proportio agentis, ut Dei alia modi agendi, uelut quæ per cau$as
fit melior quàm quæ per $igna, alia impre$sionis lucis aut efficacis,
alia coniunctionis naturæ nobi$cum. Quod uerò ad nos attinet,
<foot>aliud</foot>
<p n=>261</p>
aliud e$t ex peritia artis, aliud ex iudicio acri, aliud ex diligentia.
Differentia autem cogno$cendi $unt multorum aut paucorum ex-
actæ, uel non exactæ, $ecuræ aut dubiæ, at<01> horum omnium cau$a
e$t magnitudo proportionis, aut in origine ad $ignificandũ, aut in
anima ad intellig&etilde;dum. At<01> originis, ut dixi, multiplex e$t ratio, $ci
licet modi uel cau$æ uel efficaciæ, cùm uerò hæc omnia in unum
conuenerint, certi$sima & exacti$sima fiet diuinatio, cum pauca &
minus ualida, ut pote di$cur$us & iudicium dubia, debilis & pauc o
rum. Quæ uerò nugantur Porphyrius & Iamblicus de his, omni-
no fabulis $imilia $unt, uidetur<03> Iamblicus Porphyrio indixi$$e
bellum, $ed cum ignauo ho$te, ip$e longe deterior.</P>
<P>Propo$itio ducente$imauige$imanona.</P>
<P>Incorporea omnia unum $unt, ne<01> numerus e$t eorum.</P>
<P>Videbitur ab initio paradoxum, $ed ubi & modum & demon-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
$trationem ip$am deprehenderis, intelliges ita e$$e iuxta luminis na
turalis rationem, tum uerò maximè, cum id adiecero non prohibe-
re me, quin ut partes in homine numerentur. Sed aliud e$t partes in
homine dinumerare, quæ numero ip$o non di$tinguuntur, $ed $i
plures homines $eor$um de earum numero interroges $inguli di-
uer$a, nec exiguõ interuallo differentia re$pondebunt, $ed unus de-
cem puta, alius centum, alius innumerabiles pronunciabit. Quin
etiam qui$<01> qua ratione uelis illas di$tinguere interrogabit, at non
$ic de numero gregis pauidum, aut de pecunijs, in quibus nemo ab
altero di$$entiet, ni$i cum in numerando errorem admi$erit. Igitur
dico non e$$e numerum in incorporeis, nam finitus erit uel infini-
tus: $i infinitus, numerus non erit, quoniam primum nullus Deus
erit nulla prima $ub$tantia: nam quomodo Deus erit aut Domi-
nus infinitorum, aut primus ubi non e$t ultimum? Sed ne<01> nume-
rus aliquis certus earum e$$e pote$t, cum primum non magis hic
quàm ille: ne<01> enim definiuntur ullo termino, $eu centum, $eu mil-
le aut millies mille: nec cum $ubij ciantur quantitati continuæ pote-
runt $ubijci numero, uel alteri cuipiam accidenti. Sed omnia $unt
unum, ita tamen quod perfectius e$t at<01> imperfectius diffu$um ab
ip$o infinito, cuius in extremo cohærent mentes no$træ & animæ,
& cœlum, quæ communicatæ inferioribus atque corporibus illa
agunt, mutant & $eruant. Ip$um quàm ultimum e$$e, e$t in mundo,
quod e$t corpus, & eius pars præ cipua cœlum deinde reliqua.
Omnia<03> mouentur & transferuntur immobili primo principio,
quod cum illis coniunctũ e$t: nam reliqua incorporea ab ip$o pro-
$luunt. E$t & ratio Ari$totelis in tertio decimo Theologicorum $er
<marg>S<I>up.</I> 5.</marg>
monum, Deus non e$t unus numeri ratione, $ed ita ut non $it plura,
<foot>igitur</foot>
<p n=>262</p>
igitur in mundo toto incorporeo non e$t numerus. Si enim Deus
e$$et unus numero, non po$$et e$$e ens commune, & uniuer$im am-
plectens cuncta, & accidens contineret, quæ omnia $unt fal$a, ab$ur
da, nefaria & impia, licet tamen (ut dixi) menti humanæ quæ omnia
reducit ad $imilitudinem $en$ilium, à quibus originem traxit $uæ
operationis fingere numeros, $icut in partibus hominis, aut cœli,
aut aeris iuxta $itum, aut magnitudinem. E$t etiam alius modus
iuxta quem Ari$toteles numerauit mentes quæ mouent corpora
cœle$tia, quod ab$urdum non e$t, uelut $i quis numeret digitos, in
pul$ante chelim, erunt quatuor aut $ex, non tamen e$t numerus ille
uerè plurium, cum ad unum hominem referuntur. Et cum $it mun-
<marg><*>. 7. <I>cap.</I>
4.</marg>
dus hic imago $uperioris, ut ille dicebat, & inferior pote$tate conti-
neat infinitas partes, infinitas ordinis ratione $uperior continebit.
Sed non infinitas numero. Exempli gratia, proponamus quod So
lis uis dirigatur ad nos u$<01> impedita per nebulas, ut nõnunquam
contingit: erit ergo perfectio una, $ed ordinata omnium radiorum:
adeò quod $i infinita ua$a applicarentur aqua plena infinitæ ratio-
nes iridis apparerent, quæ omnes continerentur pote$tate in radijs
illis ratione comparationis ad ua$a & irides, per $e autem, ut $unt
perfectiones e$$ent in actu.</P>
<P>Propo$itio ducente$imatrige$ima.</P>
<P>Proportio incorporeorum a$cendentium $emper maior e$t.</P>
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
<P>Cum proportio illa $it qua$i $imilis decori, & ideo mu$icæ geo-
<marg>P<I>rop.</I> 171.</marg>
metrica maior e$t in maioribus ac magnitudinibus, ut $uprà docui-
mus. Sed non e$t ne<01> geometrica, ne<01> arithmetica, nec mu$ica, nec
per recen$um, e$$ent enim quantitates quæ compararen&ttilde;: unaqu&ecedil;<03>
enim harum inter quantitates con$tituta: at illa e$t ut producentis
ad productum. Et non comparantur quoad æternitatem, quia ut
aliâs declaraui, omnis $ub$tantia e$t æterna: quanto magis incor-
porea. Quia ergo primum per præced&etilde;tem habet rationem totius,
& e$t infinitum, $ecundũ ea parte qua recedit, quia primum non e$t,
plus di$tat a primo quam à tertio, igitur de$cendendo u$que ad pri-
ma elementa. Sed obijcies de qualitatibus & accidentibus: dico
quod habent mediũ e$$e, licet tempore infinito uin cantur à $ub$tan
tijs, ill&ecedil; tamen etiam uin cuntur & ab$<01> participatione perfectionis
illius cum accid&etilde;tia participent e$$entia & tempore, & $i quis dicat,
cur ergo Sol & lupiter nõ $unt locati in $upremis orbibus, cum $int
nobiliores & maiores & potentiores cæteris erraticis: dieo quòd
fuit ob mundum inferiorem, quoniam $i fui$$ent altiores mundus
inferior frigore corrumperetur, quando quidem uel $ic frigore pre-
mantur, in hyeme etiam $ub torrida plaga, & $ub polis ac iuxta eos
<foot>$emper.</foot>
<p n=>263</p>
$emper. Et orbes $uperiores nõ indigebant lumine Solis, quod ap-
paret in nocte $erena, cum etiam adeò à nobis di$tent. Vnde $i cani-
cula e$$et in cœlo Lunæ, plus luminis afferret centuplo quàm Lu-
na, cùm di$tantia $it quingentupla di$tantiæ Lunæ à terra. Et $i Sol
e$$et factus adeo maior, ut in orbe Saturni con$i$tens calefaceret ter
ram æqualiter, ut non exureretur in æ$tate, hyeme nece$$e e$$et, ut ni
mium gela$ceret. Sin autem æquale e$$et frigus in hyeme, exurere-
tur terra per æ$tatem, quando quidem nec $ic illam pati po$sint, qui
in torrida plaga habitant. Et $i Sol e$$et ubi e$t Luna, & eo minor
non illuminarentur orbes $uperiores. Ideo no bilitas non e$t in or-
bibus ob altitudinem, $ed ob $ub$tantiam incorpoream quæ illi do
minatur. Et e$t in loco congruenti toti corpus, uita autem non e$t
in loco.</P>
<head>LEMMA.</head>
<fig>
<P>Et proponantur a & b in proportione dupla alti-
tudinum & magnitudinum, & cõparentur ad d, erit
ergo angulus a d c maior b d c, quare $i $unt æquales
uires in a b, refrigerabitur magis d ab a quam b, &
ita patet utra<01> pars dicti in fine propo$itionis.</P>
<P>Propo$itio ducente$imatrige$imaprima.</P>
<P>Tres e$$e mundos, atque inter ip$os nullam e$$e proportionem:
nec numero eos definiri.</P>
<P>Cum palam $it e$$e corporeum mundum ut elementa, & incor-
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
poreum ut Dei, & medium e$$e nece$$e e$t uitarum & hominum ac
cœle$tium, quòd primum $en$u patet, ut cœli, hominum & anima-
lium, at<01> plantarum, & ratione etiam, quoniam extrema contraria
nõ propriè medio copulantur, ut incorporeum ac corporeum. Di-
co igitur nullam e$$e inter hos proportionem at<01> numerum face-
re: nam de numero con$tat, quoniam non $unt tres, quia $int in ordi
ne numerorum, $ed ut principium, medium, finis, & perfectum, per-
fectius, perfecti$simum: $cilicet po$itiuum, comparatiuum & $uper-
latiuum. Et quoniam $unt extrema cum medio, ideò $unt in propor
tione $ublimi etiam & non propria. Quod $i e$$ent maximè mun-
di uitalis ad corpora, $ed corpora nõ mouentur ni$i iuxta finem ui-
tæ, & non uim: ip$a enim $i po$$et habere uoluntatem infinitam mo
ueret in in$tanti: quia corpora non reluctantur animabus $uis, $ed
quantus e$t actus in animabus & uitis, tanta e$t pot&etilde;tia ad unguem
in corporibus, ergo non contingit proportio in mundo uitarum
uera ni$i illa $ublimis. Ne<01> enim finita e$t quæ nullis circum$cribi-
tur terminis, ne<01> infinita quo finitam pr&ecedil;$upponit, $ed neque inter
mundum & incorporeum & uitarum cùm mentes non moueant,
<foot>uitæ</foot>
<p n=>264</p>
uitæ moueant: & quod mouet nece$$ariò mouet, & quod non po-
te$t mouere, quoniam omnia æterna $unt: & in &ecedil;ternis idem e$t e$$e
ac po$$e: igitur inter mundum incorporeum & uitarum nulla e$t
proportio uera, $ed $olum $ublimis, nec numerus: ni$i ut à nobis fin
gitur. Velut $i dicamus in tabula, & in negocio e$t principium me-
dium finis, & hæc po$$unt dici tria quatenus di$tinguuntur: $ed nõ
ob hoc dicendum e$t tabulam, aut negocium habere tres partes,
multo minus e$$e tria negocia aut tres tabulas.</P>
<P>Propo$itio ducente$imatrige$ima$ecunda.</P>
<P>Omnis motus naturalis, quanto uelocior e$t, tanto propior e$t,
& magis $imillimus quieti.</P>
<P>Hæc propo$itio primo intuitu uidetur e$$e fal$a, quoniam cùm
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
motus $it contrarius quieti, & efficiat actiones quieti contrarias,
quantò uelo cior erit tanto remotior à natura quietis & magis di$si
milis, propterea intelligere oportet primum, in quo $en$u uerba
$int accipienda, nam hæc propo$itio, & authoritate, & $en$u & du-
plici ratione euidenti manife$ta e$t. Oportet igitur primũ $cire quo
ad locum attinet tria e$$e di$crimina: quietem in eodem: tran$itum
ad alium per medium: & tran$itum ad alium $ine medio. Duorum
primorũ exempla noti$sima $unt, tertij e$t hoc, $i urceus aqua ple-
nus exponatur Soli, & efficiatur iridis imago in tab ula: inde $ubla-
ta tabula eadem iris appareat in muro, erit tran$itus $ine media, quia
quod $it eadem dubium non e$t, ijdem radij & idem corpus $pecu-
lare, quod uerò tran$eat $ine medio, primũ $en$us docet, $ecundum
ratio, quia fit in in$tanti, ut Secundo de Anima. Rur$us Sol illu$tret
<marg>T<I>ex.</I> 121.</marg>
urceum aqua plenum: appareat ex hoc iris in muro, interponatur
aliquid, & transferatur urceus, apparebit iris alia loco, & non tran-
$iuit per medium, uidetur idem de intellectu, & ui imaginandi, qui-
bus ex Germania tran$eo in Indiam $ubitò: & eodem modo ex ani-
ma $alicis, in hac planta fit tran$itus in proximam ne<01> per medium,
quod etiam uidemus in igne & ellychnio proximo, & id $æpe acci-
dit tum præ$ertim cum nuper extinctum fuerit.</P>
<P>Iam ergo id $upponamus, quod etiam ad rem parum facit, $ed ad
intelligentiam $atis, uideamus <03>, quare $it quod motus opponatur
quieti, & manife$tũ e$t, quod differentia loci e$t cau$a, nam in quiete
res manet in eodem loco, in motu tran$it ad alium locum, & quan-
tò medium e$t maius, tantò motus e$t manife$tior, unde $equitur,
quod in his quæ ualde lentè mouentur, illa uidentur quie$cere, &
po$t aliquot tempus deprehendimus mota fui$$e, nunquàm tamen
moueri, $icut in Sole, Luna, $tellis, unde illa opinio Philo$ophorũ
exi$timantium omnia $emper moueri, nõ omnino pote$t tam bene
<foot>reprobari,</foot>
<p n=>265</p>
reprobari, quia licet $en$us nõ cogno$cat moueri, cogno$cit tamen
mota e$$e, & id $ufficit: multa ergo cogno$cuntur mota e$$e quæ nõ
cogno$cuntur moueri, uelut lapis grauis $uper$tans terræ, quem ui
demus po$t annum de$cendi$$e per duos digitos, & tamen $emper
uidetur quie$cere. Igitur cum in pari tempore qu&ecedil; uelo citer mouen
tur plus $patij $uperent, maius etiam relinquunt medium inter lo-
cum, & locum, & ob id magis remota $unt à quiete, & magis illi cõ-
traria: hæc igitur e$t ratio cur quæ uelo cius moueantur, minus quie
ti $imilia aut proxima exi$timentur. Dico ergo, quod illa quæ natu-
raliter uelo ci$simè mouentur, $unt magis $imilia & magis proxima
ip$is quie$centibus quàm quæ tardè: cum enim omnis motus natu
ralis nece$$ariò etiã $it regularis, ut qui à uirtute Dei fiat, erit uel per
lineam obliquam aut rectã. Quoniam uerò multarũ recta e$t per-
fecti$sima, & obliquarum circularis, erit omnis motus naturalis cir
cularis aut rectus: dico ergo quòd in utro<01> uerũ e$t quod dicitur.
Et primũ in circulari ille motus e$t propinquior quieti, in quo par-
tes $unt propinquiores $uo loco, $ed $i ueloci$simus $it motus, nun-
quàm ita $unt extra $uum locum, qui enim in pote$tate $int proxi-
mæ ei: ergo partes ill&ecedil; inde $e habent ac $i quiefcerent. Secunda ra-
tio, quia quod uelo ci$simè moue&ttilde;, ab$<01> dubio tanto tempore quie
$cit in $uo loco quantò quod tardè: exemplum. Luna in triginta an
nis quie$cit in principio arietis quadring&etilde;teis per $ex horas, id e$t,
centum diebus in quadringentis uicibus, Saturnus c&etilde;tum diebus
$ed $emel tantum: ergo tantum Luna quie$cit, quantum Saturnus,
cõparatione ad idem tempus addita pari ratione in alijs partibus,
$ed cum uelo cius moueatur Luna quàm Saturnus minus quie$ce-
re uidebitur Luna in alijs partibus quàm Saturnus, & tantundem
in principio arietis Luna ut Saturnus, ergo cum Luna tantundem
in principio arietis quie$cat, quantum Saturnus in triginta annis, &
in alijs partibus minus quàm Saturnus, igitur ab$olutè Luna plus
quie$cit in principio arietis, quàm Saturnus dato tempore æquali
triginta annorũ. Et formatur demon$tratio hoc modo: Luna quan
do e$t in loco ip$o, puta in principio arietis, ibidem e$t actu, & quie
$cit per tantundem temporis quantũ Saturnus, & in omnibus alijs
locis data paritate, e$t $emper propior ip$i principio arietis pote$ta
te quam Saturnus, igitur Luna plus quie$cit in principio arietis
quam Saturnus, quia dum ibidem $unt æqualiter quie$cũt, & dum
$unt extra, Luna $emper e$t propior & pote$tate magis in illo loco,
igitur Luna magis quie$cit in principio arietis quàm Saturnus. Pr&ecedil;
terea, $i Luna & Saturnus mouerentur in æquali tempore, & Luna
in paruo circulo, & Saturnus in magno, dubium non e$$et, quin
<foot>Z Luna</foot>
<p n=>266</p>
Luna non diceretur magis quie$cere in $uo loco, & diutius quàm
Saturnus, nam Luna $emper e$$et propelocum $uum, & Saturnus
per$æpe uideretur procul. Sed $i moueantur in eodem circulo, &
Luna moueatur uelo ci$simè, Saturnus tardè: perinde erit, ac $i Lu-
na moueatur in paruo circulo, & Saturnus in magno, ergo quod
uelo ci$simè mouetur e$t proximius quieti quàm quod tardè. Illud
etiam idem manife$tius erit in extremis, nam quod minimo $patio
mouetur propemodum non mouetur. Sicut, $i quid circa centrum
moueatur, adeò ut ip$um tangat, non dicetur moueri, $ed quie$cere
ibi, $ed quod uelo ci$sime mouetur, $emper uer$atur circa idem, quia
nunquam multum abe$t, quia ibi non quie$cit, igitur quod uelo ci$-
$imè mouetur motu naturali circular$ e$t proximius quieti quam
quod tardè. Demum, $i aliquid moueretur in finita uelo citate motu
circulari, $emper e$$et in eodem $itu $ecundum partes & immobile,
igitur quod infinita uelo citate mouetur, & quie$cit. Ergo quod ue-
lo ci$simè mouetur cum magis di$tet ab oppo$ito eius, quod infini-
ta tarditate mouetur, quàm quod tardè, magis etiam appropinqua
bit pote$tate in efficaci infinitæ uelo citati quàm quod tardè, igitur
quod uelo ci$simè mouetur propius e$t quie$centi quam quod tar-
dè. Demon$tratum e$t enim in Dialecticis, argumentum o$tendere
ab eo quod e$t $impliciter tale ad id &qring;d natura illi quo quo modo
tale e$t & cõuer$o modo. O$tendo modò quod $imillimus: quoniã
illud e$t $imilius quieti in quo quod fertur non pote$t digno$ci di-
$tantia à priore loco, $ed in uelo ci$simè motis hæc di$tantia non po
te$t digno$ci, igitur uelo ci$simè mota uidentur planè quie$cere,
quod idem patet duobus experimentis manife$tis. Primum $i quis
uideat rotas quibus acuuntur gladij moueri u$<01> ad certam uelo ci-
tatem, augeri uidetur motus ille, uerùm cum adeo cõcitatus fuerit,
ut $en$us non po$sit di$cernere, ne<01> comprehendere illam uelo ci-
tatem, & rota non fuerit mota ab axe, ita ut titubet nec fuerit ulla in-
æqualitas, uidebitur omnino quie$cere, & ita oculus dijudicat, &
longè magis dijudicaret, ubi ad tantam motus perueniret uelo cita
tem, ut nullo modo initium à fine di$tingui po$$et, $icut e$t in motu
cœli, qui comparatus ad quemuis motum uelo ci$simum artificio
factum, in$en$ilem habet proportionem ob magnitudinem, & ideo
talis motus cœle$tis e$t $imillimus quieti. Secundum experim&etilde;tum
e$t, $i e$$ent duo homines habitantes Bononiæ, quorum unus iret
Mutinam, paulatim quie$cendo in quolibet loco per unam diem,
adeò ut in unoquo<01> anno maneret Mutinæ, & prope per $ex men
$es, & prope Bononiam per $ex alios men$es in diuer$is locis, &
una die tantum Bononiæ: alius uerò iret Mutinam $ingulo die, &
<foot>per</foot>
<p n=>267</p>
per omnia loca $icut hirundo uolans quater & quater rediret Bo-
noniam, nemini dubium e$t, quod hic $ecundus uideretur magis
quie$cere Bononiæ quàm primus, & hoc quia in anno quilibet eo-
rum quie$ceret per unam diem Bononiæ, & in hoc e$$ent æquales,
$ed $ecundus uideretur frequentius Bononiæ quàm primus, & eti-
am e$$et pote$tate propior illi, adeò utliceret cuilibet illum conue-
nire qualibet die magis quam primum: ergo duabus de cau$is ui-
deretur $ecundus magis quie$cere Bononiæ quam primus, & in ter
tia æqualiter.</P>
<P>Modò dico de recto motu, quoniam quanto celerius fertur per
medium ad $uum locum, tanto minus temporis in$umit, ergo diu-
tius quie$cit in loco, minus e$t etiam tempus per quod mouetur in
comparatione ad quietem & $impliciter, ergo in motu recto pro-
pius e$t quieti, quod uelo ci$simè mouetur, pr&ecedil;terea inter duas quie
tes motus uelo ci$simus e$t imperceptibilis. Ergo motus uelo ci$si-
mus e$t $imilior quieti quàm minus uelox. Accedit manife$ti$simè
illud quod ab initio diximus, $cilicet, quia motus uelo ci$simus e$t
medius inter motum tardum & $ubitam mutationem, hoc enim e$t
manife$ti$simum, adeò ut dubitemus in motibus uelo ci$simis, an
mobile tran$ierit per medium, e$t enim primùm motus lentus, qui
fit ex tran$itu in longo tempore, & uelo ci$simus in paruo, & muta-
tio $ine tempore. Rur$us con$tituamus alium ordinem quietis mo-
tus, & $ubitæ mutationis: & ex dictis $ubita mutatio e$t propior
quieti quã motus: quo-
<marg>Subit. Mut. Motus uelo ci$. Motus Tar.
Quies $ubita Mut. Motus</marg>
niam $i motus e$$et me-
dius inter quietem &
$ubitam mutationem, non e$$et, ut dictum e$t, $ubita mutatio quæ-
dam quies: nam in $ubita mutatione non pertran$itur medium: in
quiete non pertran$itur medium, in motu pertran$itur medium, igi
tur quies e$t propior $ubitæ mutationi quàm motui. Sed $ubita mu
tatio e$t propior motui uelo ci$simo quàm tardo, igitur quies e$t
propior motui uelo ci$simo quam tardo.</P>
<P>Videtur & hoc $en$us manife$tè o$tendere, quoniam cum lapis
de$cendit $umma cum uelo citate, adeò ut non percipiatur, uidetur
quie$cere, & non motus e$$e, & hæc fuit $ententia multorum nobi-
liorum antiquorum, & propterea oportet ut o$tendamus difficul-
tates, quæ contingunt in his.</P>
<P>Dico igitur, quod motus naturales $unt duorum generum, ut di
ctũ e$t, $cilicet rectus & circularis: & motus differt à quiete in duo-
bus, in eo quod mutat locum, et in eo quod tran$it per medium mo
tus, ergo rectus ueloci$simus in eo quod tran$it per medium ma-
<foot>Z 2 gis</foot>
<p n=>268</p>
gis di$tat à quiete in eo quod plus de medio $uperat quàm tardus,
& e$t propinquior quieti in eo quod celerius quie$cit. At motus cir
cularis ueloci$simus e$t propior quieti in tran$itu medij, & in redi-
tu ad locum priorem: de reditu ad locum priorem clarum e$t per $e:
de tran$itu medij, dico quod cum in prima medietate magis remo-
ueatur à medio quam motus tardus, & in $ecunda medietate tan-
tundem, uelocius redeat. Ergo in $ecũda medietate e$t $emper pro-
ximior motus uelo ci$simus ip$i quieti, $ed in prima medietate &qring;d
mouetur motu ueloci$simo propius e$t $ecundæ medietati $emper
quam quod mouetur tardo motu, igitur quod mouetur ueloci$si-
mè circulariter e$t propius quie$centi, quam quod mouetur tardè.
Et hoc e$t quia in &ecedil;ternis motus e$t quies, & ideo habent quandam
$imilitudinem iuxta perfection&etilde; $uam, $icut $i e$$ent in circulo hoc
<fig>
modo. Mutatio ergo cõue-
nit in corporeis qu&ecedil; pend&etilde;t
à corpore, $icut lumini: qua-
tenus enim $unt ex corpo-
reo, occupãt diuer$um locũ,
quatenus e$t in corporei id,
agit $ine tran$itu per mediũ
& in in$tanti, ergo in corpo-
rea $impliciter mutationem
recipiunt, non in tempore
ne<01> in loco. Videtur aut&etilde;
uelo ci$simũ dupliciter etiã
nobis iuxta $en$um, id<03> e$t
in quo $en$us medij tran$itum non percipit, & natura quod e$t pri-
mi mobilis. At dubitare quis pote$t circa hoc, nam proprium mo-
tus e$t tangentia concutere, quietis autem minime: concutit autem
maximè quod uelo ci$simè mouetur, ob hoc arbitrati $unt homi-
nes quod uelo ci$simus motus multò plus di$taret à natura quietis
quam tardus, $ed hoc e$t quia non eadem e$t ratio uiolenti & natu-
ralis: uiolenta enim non redeunt in $eip$a, nec habent rationem cir-
cularis, $ed potius recti & infiniti, & ideò in his quæ mouentur mo
tu recto naturali cadit uiolentia, non autem in his quæ mouentur
motu circulari naturali: cõ cu$sio ergo e$t in motu uiolento, & qua-
li$cun<01> motus uiolentus, quanto magis augetur tantò magis re-
cedit à contrario, tantò magis remouetur à natura contrarij, & ha-
bet actiones contrarias ualidiores.</P>
<P>E$t etiam aliud penè $imile argumentum in figuris ip$is, circulus
enim unica linea continetur, nulla tamen figura ab ea magis natura
<foot>remota</foot>
<p n=>269</p>
remota e$t triangulo: $iquidem circulus capaci$simus e$t, triangu-
lus omnium rectilin earũ minimè capax: ut contrà polygoni&ecedil;, quan
to plurium $unt laterum eo capaciores $unt, adeò ut octagona qua-
drangula, & quæ e$t $exdecim laterum æqualium, & æquiangula-
rium plus contineat octagona, & forma etiam $it $imilior circulo,
adeò ut cum excreuerit in multiplicem numerum rectangula figu-
ra huiu$modi, $cilicet æquilatera, & æquiangula omnino $en$um
fallat, uideatur<03> pror$us circulus. Et tam&etilde; figura plurium laterum,
quãto plurium laterum fuerit rem otior e$t à natura circuli, qui una
tantum linea continetur: plus enim di$tat centum ab uno quàm de-
cem, & mille quàm centum. Cau$a igitur e$t, quia (ut dixi) etiam in
naturalibus omnis natura rerum e$t, ut qua$i clanculum redeat in
$eip$am: nam circularis figura per triangulum ex rectis multum à
natura $ua recedit & ambitu & $imilitudine: eadem per figuras qu&ecedil;
ex pluribus rectis con$tant ad $ui $imilitudinem redit, nunquàm ta
men explet eandem naturam perfectè, cùm nulla poligonya figura
pro circulo exacto $it: ita uidetur in naturalibus ad id&etilde; redire, quod
e$t pote$tate $olum quadam generali di$simile: actu uerò non idem
ad unguem. Sed obijcies de motu quòd $i tempus fiat breuius, ma-
gnitudo autem con$tet, erit (ut diximus) quod mouetur $imile quie
$centi: at ubi tempus idem $it, $ed magnitudo perpetuò augeatur,
non idem ut in cœlo: ueri$imile e$t enim quicquid e$t quod moue-
tur ulterius quam id quod cernitur nihilominus in uiginti quatu-
or horis, non autem celerius moueri: propterea cùm $patium tem-
poris prolixum $it, non uidebitur quie$cere. Nec ob$tat quòd qui$-
piam proportionem obijciat, $i quidem multo minus uidebuntur
propiora centro quie$cere, nam<01> illa tardius ex confe$$o mouen-
tur, at quod tardius mouetur, ut dictum e$t, moueri magis uidetur,
ideò proportionem illam ad aliud mobile referre oporteret, cum
nullum tale $it. Dicimus ergo quòd apud illas non uidetur motus
tardus, quia comprehendunt motum ante tempus, nobis aut&etilde; hæc
accidunt, quia comprehen dimus tempus ante motum. Et etiã quia
circa polos qua$i quie$cit, & quod non pote$t aliquid comprehen-
di, $imul moueri & quie$cere, ut do cebimus. Et etiam quia motus
e$t ab illis, $icut in nobis cum mouemur: nõ enim ut mouemur nos
moueri deprehendimus, $ed ut moti ideò in his, non quod appa-
ret, $ed quod e$t $pectare oportet: at ita e$t ut quæ uelociter ualde
mouentur, perinde $unt qua$i ac $i quie$cerent, adeò ut motus $i in
in$tanti fieret e$$et quies, & quies in incorporeis e$t motus, non in
tempore. Videntur etiam a$tra quie$cere nobis, quoniam (ut dixi)
lineæ a e & b e non po$$unt uideri moueri in e, oculus autem iudi-
<foot>Z 3 cat</foot>
<p n=>270</p>
<fig>
cat moueri debere in e, non ex c
in d, ubi e$t amplum $patium
terræ comprehen$um, ergo a e
quie$cere uidetur in e, igitur &
in a. Quòd autem uideatur in e
quie$cere, patet, quia quod mo
tum uideri debet, oportet ut in
in$en$ili tempore $patium $en-
$ile pertran$ierit: in$en$ile au-
tem tempus e$t minus motu ue
loci$simo pul$us, hic autem ma
ius exigit t&etilde;pus cente$ima par-
te cente$imæ partis hor&ecedil;, igitur
diei ducente$ima quadrage$ima mille$imæ partis, & in hoc oportet
ut pertran$eat $en$ile $patium, quod e$t quinquage$ima parte ulnæ
$altem maius. Ergo $i fiat in$trumentum quing&etilde;tarum ulnarum am
bitus, &qring;d in uigintiquatuor horis circumuoluatur, adeò lentè mo-
uebitur, ut quie$cere uideatur: tum uerò magis ob id quod dixi,
quoniam in centro quie$cere uidebitur, ergo in peripheria, ubi di-
$tantia deprehendi po$sit. Ergo nulla machina quæ uideatur mo-
ueri, con$titui pote$t, quæ in horis XXIIII cir cumuertatur: quia non
tam magna fieri pote$t, ut $patium à centro ad cir cumferentiam ocu
lo non po$sit deprehendi.</P>
<P>Et hoc uoluimus declarare ut intelligamus, quæ $unt nece$$aria
ad mundum incorporeum.</P>
<P>Propo$itio ducente$imatrige$imatertia.</P>
<P>Quod e$t in mundo incorporeo æternum, e$t beatum, $ecurum
immutabile $ecundum locum $olum iuxta e$$entiam fit, iuxta quod
uelut à leui $u$urro aquæ & aura æ$tiua demulcetur.</P>
<P>Quod e$t ibi non e$t pars nec totum, e$$et enim quantum, aut nu
<marg>C<I>o</I>^{m}.</marg>
mero di$cretum, nec mutationem loci aut temporis habet, cum in
nullo eorum $it, ideò nec habere pote$t, nec amittere, non e$t ibi infi
nitum, cuius nullus finis $it, $ed dum emanat à priore $ecundum or-
dinem e$t $umma uoluptas, qualis in his qui ad cognitionem & feli
citatem deueniũt. Qu&ecedil; in illis cum æterna $it & $ecura, recipit quan
dam uariationem, in qua delectatur, uelut mortalia ex cõtrarijs cau
$is naturæ contrarijs affectibus: & hoc e$t perpetuò nouum, quia
$emper pendet & recipit. Et ob id e$t unum & actu $empiterno,
quod uerò e$t extra, e$t potentia, ideò infinitum, quod imaginatur
anima, quia in ordinatum priore ordine, qui e$t ante limit&etilde; omnem,
ne<01> enim dubium e$t, quin infinitum non $it cau$a, ut non po$sit
<foot>e$$e</foot>
<p n=>271</p>
e$$e ordo ille $ecundus: $ed nos loquimur de primo. Et ideò anima
no$tra ob materiæ coniunctionem appetit ordinem, & lætatur in
eo ut inueniat finem in rebus, uelut in multis proprietatibus nume
rorum e$t manife$tum. Potentia enim e$t cau$a imaginandi infini-
tum, quia $emper ultra aliquid e$$e po$$e putamus, e$t igitur poten-
tia actus imperfectus. Anima ergo no$tra conuer$a e$t à Deo, res
po$t $e in quibus inuenit potentia imperfectionem <G>a)tacian</G> pericu-
lum & infinitum ad de$perationem tandem, quod quilibet uidere
poterit, qui $e à diuinis auerterit: quantò enim plura habet, plura
de$unt. Multiplic&etilde;tur filij, opes, honores, nil ni$i laborem & anxie-
tatem aucta inuenies. Quomodo autem quod infinitum non e$t,
infinitam faciat potentiam? uides in repræ$entatione Solis qu&ecedil; infi
nita e$$et, $i cœlum e$$et infinitum. Dubitatione autem dignum e$-
$et, an $i cœlum infinitum e$$et ubi<01> Sol illuminaret: $eu quia quæ-
$itum nullum $it, ui$it de eo quod non e$t, nihil autem non e$$e po-
te$t, aut quod non po$$et, quoniam uirtus corporea e$t. Corporeo
autem omni finem ad e$$e nece$$e e$t. Hanc nouitatem ergo alij tri-
pudium, alij mu$icam & $onum cœle$tem interpretati $unt.</P>
<P>Manife$tum e$t igitur $ub$tantiam incorporei mundi, e$$e in
<marg>C<I>or</I>^{m}.</marg>
quadam mutatione perpetua ordinis, & $ine motu, tempore & lo-
co: unde amor & uoluptas mutua, & totum unum, $icut anima cum
cogno$cit Deum, & cum cogno$cit cœlum de$cendit, & fit alia or-
dine. Et hæc beatitudo in mundo illo e$t tanta, ut in com-
parabilis $it no$træ, quæ e$t umbra eius, etiam
quando e$t & pura, etiam $i e$$et per-
petua. Igitur hic finis no-
$ter Diuin&ecedil; naturæ
& libri.</P>
<head>LIBRI DE PROPORTIONI-
BVS FINIS.</head>