Archimedes Texts

folio 37r

Distinctio quinta. Capitulum primum. . 37

re, se ’l quadrato dela mitá .gz. avanza ala superficie del .ge. in .gz. overo sia a quella igua-
le, che sia l’ una .gi. e l’ altra .iz. E compise la retta .id. infino al ponto .t. Dico adonca el trian-
golo .abg. esser diviso in .2. parti iguali dala linea .idt., che cosí te ’l proveró. Perché, a mul-
tiplicare del .ge. in .gz. è iguale ala multiplicatione del .gi. in .iz., sará cosí .gz. al .zi. comme .ig.
al .eg. Onde sia cosí .zg. al’ altra parte di sé, cioé al .ig., comme .ig. al’ altra parte di sé, cioé al .ie.
Ma è cosí .gi. al .ie., cosí .gt. al .de. Adunca cosí .gz., al .ig., cosí .gt. al .de. Ma la multiplicatio-
ne del .zg. in .de. è la mitá dela multiplicatione del .ag. in .bg., onde il triangulo .itg. è la mitá
triangulo .abg., comme dicemmo. E, acioché questo s’ abia neli numeri, sia .ab.13. e
.ag.15. e .bg.14. E faciase .ac. catetto, che sia .12. E il cadimemo .bc. sia .5. e .cg. sia .9. e il ponto
.d. sia infra il catetto e l’ angolo .g. E faciase la linea .dk. equedistante al catetto e sia .3. E me-
nise la linea .edl., e e al lato .bg., e sia .ld. 3/16. d’ uno. Voglio, pel ponto .d., menare una
linea che divida lo triangulo .abg. in .2. parti iguali. In questo modo .kc. è iguale e equedistante
al .ld. e il .dk. sia iguale e equedistante ala linea .lc., dove .lc. è .3. e .kc. sia .3/16. e .al. rimará .9. e la
linea .le. sia .6 1/4., che in questo modo lo troverai. Nel triangulo .acg. la linea .le. è equidistan-
te ala linea .cg. Sará cosí .al. al .ac. comme .le. al .gc., per la .2a. del sexto. Dove, multiplicato .al.,
ch’ é .9., per .gc., che è ancora .9., fanno .81. che, diviso per .ac., ne viene .6 3/4. per la linea .le., dela qua-
le, tratta .ld., cioé .3/16., rimarrá .de.6 9/16., per lo quale numero se divideremo la mitá del fatto del
.ag. in .bg., cioé .105., ne perverrá .16. per la linea .gz. Ancora, perché gli é cosí .al. al .ac., cosí .ae. al .ag.,
sia .ae.11 1/4., cioé diviso la multiplicatione del .al. in .ag. per .ac., dove .eg. fieno .3 3/4., cioé il quar-
to dela linea .ga., per la quale multiplicato la linea .gz., fanno .60. Adunque abiamo a dividere
.16. in .2. parti che, multiplicata l’ una per l’ altra, facino .60. Dove del quadrato dela mitá di .16.
cioé .64., ne trarrai .60., rimane .4., del quale la radici è .2., dove, che tratta di .8., riman .6. per una
parte. L’ altra sia infino in .16., che è .10. Adunque .gi. sia .10. Dipoi, diviso .105. per .gi., cioé per
.10., ne viene .10 1/2. per la linea .gt., che passa per lo ponto .d., e la linea .ti. sia radice di .80 1/4., che
la troverai, se il catetto .in. troverrai che sia .8. e .ng. sia .6., ch’ era da mostrare.
Se’ l ponto datto fosse di fora del triangulo dal quale vogliamo menare la linea che
divida il detto triangulo in .2. parti iguali. Comme sia il ponto dato .d., fuori del tri-
angulo .abg. E voglio dividere il detto triangolo in .2. parti iguali dala linea che
si muova dal ponto .d. Io meneró la linea .ad., segante il lato .bg. nel ponto .e. E,
se la retta .be. è iguale ala retta .eg., noi aremo il proposito, che giá molte volte l’ abiamo det-
to. Adunque la linea .aed. sarebe quella che dividerebe il detto triangulo in .2. parti iguali.
Ma non sia .be. iguali al .eg., ma sia una di loro magiore e sia .be. magiore del .eg.
e dal ponto .d. si meni la retta .dz. equidistante ala linea .be. E menise la retta
.ab. infino tochi lo ponto .z. E, perché la retta .be. è magiore dela mità del lato
.bg., la superficie fatta dal .be. in .ba. é piú che la mitá dela superficie fatta dal .ba.
in .bg. E ancora molto piú è la superficie .ba. in .zd. che la mitá dela superficie del .ba. in .gb.,
imperoché magiore è .zd. che .bc. Piglise adunca la superficie .ib. in .zd., che sia iguale ala
mitá dela superficie del .ab. in .bg. E, perché magiore è la superficie del .ab. in .be. dela super-
ficie del .ib. in .zd., sará la proportione del .zd. al .de. minore dela proportione del .ba. al .bi.
Ma la proportione del .zd. al .be. è iguale ala proportione del .za. al .ab. E, per la disgionta
proportionalitá, sirá la proportione del .zb. al .ba. minore dela proportione de .ai. al .ib. On-
de la superficie del .zb. in .bi. è minore dela superficie .ba. in .ai. Agiungase adunca ala retta
.bi. uno paralello iguale ala superficie del .z.b. in .bi., cioé che ala retta .bi. s’ agiunga alcuna li-
nea che, multiplicata in sé e nel .ib., facia iguali ala multiplicatione del .zb. in .bi., che sia .ti., e com-
pise la retta .tkd. La quale linea divide il triangulo .abg. in .2. parti iguali, commo volava-
mo. E con numeri. Sia .ab.13. e .ag.15. e .gb.14. e .zd.10 2/5. e .bz. 1 3/7. Voglio dal ponto .d. mena-
re la linea che divida il triangulo .abg. in .2. parti iguali. Divideró la mitá dela multiplica-
tione del .ab. in .bg., cioé .91., per .dz., cioé per .10 2/5. e verrane .8 3/4. per la linea .bi. E multiplica-
ró .zb., cioé .1 3/7. per .8 3/4., fanno .12 1/2., a’ quali agiongneró. Il quadrato dela mitá dela linea .bi., cioé
la multiplicatione de .4 3/6. in sé, che fanno .19 9/64. che, con .12 1/2., fanno .31. e .41/64., de’ quali la radici è
.5 5/8. per la linea .lt., ai quali, agionto .lb., che è .4 3/6., fanno .10. per la linea .tb. E, perché gli é cosí el