Archimedes Texts

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Resta di dire con piu chiarezza, & facilità, come si debbia usare questo instrumento, cioè come
con esso si possa tra due linee dritte ritrouarne due altre o piu proportionate, secondo la mente di
Eratosthene, & prima tra due due, & poi tra due piu proportionali. Siano due linee dritte, a b.
c d. cadino amendue sopra una dritta in modo, che siano parallele. & tanto si aggiugna alla
linea c d, che ella sia pari alla linea a b, il cui capo sia e, & dallo a sia tirata una linea
fin allo e. siche si faccia una superficie quadrangulare. a b c. partiscasi poi la linea b c.
in tre parti, una dellequali sia la doue è la f. & alquanto piu inanzi dal punto f sia segna
to il punto. g. di modo, che dal b al g. sia alquanto piu d'un terzo della linea b c. simil
mente nella linea a c. sia segnato un punto tanto distante dallo a, quanto è il g. dal b. &
sia quello h. & si leghi poi il g. con lo a. & con lo h. & lo a. con il d. & la g h,
tagli la a d nel punto. i. similmente si tagli tanto della linea a b. quanto è dal g. allo
i. & sia quello spacio b K, & dallo i al K. si tiri una linea fin'al toccamento della linea
g a. & sia iui segnato l. & perche per la trentesima terza del primo d'Euclide la linea a b.
è parallela alla linea g i h. & per lo presupposto nostro le linee g i. & b h sono eguali,
ne segue, che la linea b g, sia parallela alla linea i l. Oltra di questo delle linee g c. &
h e. si leuino due parti eguali alla parte i l. & siano quelle g m. & h n. & siano con
giunte i m. & m n. per la allegata propositione g l, & m i saranno parallele. & simil
mente g h. & m n. Tagli anche la linea m n, la a d nel punto o. & sia preso tanto
della linea b K, quanto è m o. & sia quella parte b p. & dal punto o. uerso il punto
p. sia tirata una linea, finche ella tocchi la linea. i m. nel punto. que se adunque la linea
m e sarà eguale alla o que egli starà bene. ma se la m c. sarà minore, adunque la b g sa
rà stata presa maggiore del giusto. però bisognerà pigliare la b g alquanto minore; & sarà
da ripigliare la istessa descrittione, & tanto esperimentare, che la parte o q sia eguale alla
m c. sia adunque la m c. eguale alla o que adunque saranno parallele c o. & m que
per lo presupposto & per la trentesima del primo de gli elementi. finalmente le a b. g i. mo.
c d. saranno le prime parallele. ma l' a g. m i. c o. le seconde. Dico che alle linee a b.
c d le di mezo proportionali saranno g i. & m o. siano adunque la a d & b c. tira
te in lungo, & cadino insieme nel punto r. & perche per la simiglianza de i triangoli si como
è la a r. alla r i. nelle prime parallele cosi è b r ad r g. oltra di questo alle seconde pa
rallele, si come è la a r. alla r i. cosi la g r. alla r m. & nelle prime parallele si come è
la g r. alla r m. cosi la i r alla r o, & nelle seconde parallele come la i r alla r o.
cosi la m r. alla r c. sono adunque continue proportionali b r. r g. m r. r o. Ma sot
to la istessa proportione anche è per la quarta del sesto de gli elementi, che si come è la a b
alla g i cosi la g i alla m o. & la m o alla c d. Tra due dunque dritte linee da to
a b. & c d. si sono trouate due continue proportionali di mezo, come bisognaua di sare. &
con simili ragioni potremo ritrouarne quante uorremo. & però per trouarne qui due di mezo pro
portionali la b f. sarà un terzo della b c, per che la b g, è alquanto piu del terzo della
b c. & non mai minore, nè eguale alla b f. & per trouarne tre di mezo proportionali, la
b f sarà un quarto della b c. & la b g alquanto maggiore della b f. & per trouarne
quattro la b f sarà un quinto della b c, & la b g sarà alquanto maggiore della b f. cioè
un quinto di essa b c, & cosi sempre la b c. sarà partita in una parte piu di quello, che sono
le linee mezane, che trouar uorremo, & sempre la b f sarà una di quelle parti, & la b g. al
quanto maggiore che la b f. & però si piglia la parte b f. che sia a punto tante fiate della
b c, accioche piu presto si possa conietturare la grandezza della b c.