Archimedes Texts

folio 46r

Distinctio sexta. Capitulum tertium. 46

il catetto .ah. e sia il cadimento piú longo .bh.11 2/3. e il minore sirá .3 1/3. Onde il quadrato del
catetto .ah. sirá .88 8/9., col quale agiongnendo el quadrato dela linea .hg., che è .69 4/9., faranno
.158 1/3. per lo quadrato dela linea .ag. Ancora, se del quadrato dela linea .ad. si togli il quadra-
to del .df., cioé .49. de .100., rimarranno .51. per lo quadrato dela linea .af. Adonca la linea
.af. è radici di .51. e la linea .ag. è radici de .158 1/3. e la linea .fg. è .9 1/3. E, poiché habiamo e lati del
triangolo .afg. noti, possiamo la noticia del catetto descendente dal .a. sopra la linea .fg. (per
la dottrina che insengnanmo nel trovare l’ area de’ triangoli) havere.
Ancora sia una piramide .abgd. dela quale la basa sia il triangolo .abg. diversi-
latero e gli lati discendenti dal ponto .d. ne’ ponti .a.b.g. sienno similmente di-
versi e non iguali, che alcuna volta ne sia uno di loro ortogonalmente ritto so-
pra il triangolo .abg. E alcuna volta fienno tutti e lati declinanti. Verbi gratia:
sia il lato .ab.10. e .ag.9. e .bg.5. e .da.15. e il lato .db. sia .13. e il .dg. sia .12. In questa piramide rit-
ta .dg. catetto imperoché li quadrati dele linee .bg. e .gd. sonno iguali al quadrato dela li-
nea .bd. e ancora li quadrati dele linee .dg. e .ga. sonno iguali al quadrato dela linea .ad.
Adonca, se ’l terzo del .gd. si meni per l’ embado, over area, del triangolo .abg., sará l’ embado o-
ver capacitá dela piramide .abgd. Ma non sia il catetto dela piramide alcuna dele linee
discendenti dale summitá sua, commo nela piramide .abcd. dela quale il lato .ab. sia .13., bc.
.14. e .ac.15. e il lato .bd. sia .15., .dc. sia .13., .da.14. Prima nelo triangolo .abc. meneró il catet-
to .ae. e nel triangolo .dbc. meneró il catetto .df. e per lo ponto .f. meneró lo catetto .fh. eque-
distante al catetto .ae. e sia l’ angolo .hfc. retto. Dapoi nel triangolo .dac. meneró il catetto
.dg. sopra la retta .ac. De’ quali tutti siranno manifesti: la linea .dh., ‘lati del triangolo .dfh. sia
noti. E peró il catetto cadente in quello dal ponto .d. sopra la linea .fh. sia nota che sirá l’altez-
za dela piramide. Verbi gratia: el catetto .ae. è .12., il cadimento .be. è .5. e il cadimento .ec.9.

Similmente il catetto .df. nella superficie del triangolo .dbc. è .12. e il diametro .fc. è .5. E, per-
ché .fh. è equedistante al catetto .ae., sia cosí .cf. al .ce. cosí .fh. al .ae. e .ch. al .ca. Onde .fh. è .6 2/3.
e .ch. è .8 1/3. Dapoi, acioché troviamo el catetto .dg., trarró el quadrato .dc. del quadrato del
lato .da., cioé .169. di .196., rimane .27. e quali, divisi per .ac., vienne .1 4/5. che, agionti con .ac., fan-
no .16 4/5., de’ quali la mitá è .8 2/5., che è il cadimento del magiore .ag. Onde il caso minore .gc. è
.6 3/5. e per questo s’ ánno .11 1/5. per lo catetto .dg., del quale el quadrato, se s’ agiongni al quadra-
to del .gh., fienno .128 4/9. per lo quadrato del .dh. che è .11 1/3. Resta che nel triangolo .dfh. trovia-
mo el catetto cadente dal ponto .d. sopra la linea .fh. e sirá il caso magiore .fi. 4 1/2. Onde il ca-
tetto .di., che è l’ altezza dela piramide sia radici di .123 3/4., per la quale se multiplicaremo per lo
terzo del’ area del triangolo .abc., cioé .28., haremo radici di .97020. per l’ area corporale dela
piramide .abcd. E debbi notare, se l’ angolo .dcb. del triangolo .dbc. sirá obtuso, alora el catet-
to .df. caderá di fuori del triangolo .dbc., commo in questa altra figura si manifesta, nela qua-
le poniamo el lato .ac.13. e .bc.9. e il lato .ab. radici di .160 e il lato .da. sia .19. e il lato .db. sia .17.
e il lato .dc. sia .10. Onde il catetto .ae. sia .12. e il caso .be. sia .4. et .ec. sia .5. E dapoi trarremo
el quadrato del lato .dc. del quadrato del lato .db., rimarranno .189., lo quale dividerai per .bc., cioé per .9., vien-
ne .21. che, agionto a .9., fanno .30. del quale la mitá è .15. per lo cadimento .bf. Onde il ponto .f. cade di
fuora del .bc. e sia .cf.36. el quale quadrato, tratto del quadrato del lato .dc. rimane .64., cioé
tratto .36. di .100., rimane .64. per lo quadrato del catetto .df. Onde .df. è .8. Dapoi meneró
la linea .fh. equedistante al catetto .ae. e farollo concurrere con la linea .ba. nel ponto .h. e
comporró .dh. e fie il triangolo .hbf. ortogonio simile al triangolo .abc. Onde sia cosí .be.
al .ea. cosí .bf. al .fh. e .hf. è .45., del quale el quadrato è .2025. al quale, agionto el quadrato del-
la basa .bf., che è .225., vienne .2250. per lo quadrato dela linea .bh. Overo, perché e gli é cosí .be.
al .bf. cosí .ba. al .bh., se multiplicaremo el quadrato del .bf. per lo quadrato del .ba., cioé .225.
per .160. e divideremo la summa per lo quadrato del .be., che è .16., vienne similmente .2250.
per lo quadrato dela linea .bh. Dapoi, acioché veniamo ala noticia dela linea .hd., troveró
il catetto cadente dal ponto .d. in sul lato .ba., che cosí si fa. Del quadrato fatto del .da. si
traga el quadrato del .db., cioé .289. di .361., rimane .72. Dapoi, per lo lato .ba., che è radici di
.160., dividi. Onde il quadrato di .72., che è .5184., dividi per .160., vienne .192 2/5. del quale, se si
trae el doppio dela radici dela multiplicatione de .32 2/5. in .160., che è doppio .144., rimarran-
no .48 2/5. per lo quadrato del doppio minore cadimento che sia .bk. Onde il quadrato del
.bk. sia .12 1/10., cioé il .1/4. di .48 2/5., e quali .12 1/10., tratti del quadrato dela linea .db., rimarranno
.176 9/10. per lo quadrato del catetto .dk. Dapoi cosí, acioché habiamo noticia del .bk., agiongneró il