Archimedes Texts

folio 39r

Distinctio quinta. Capitulum secundum. 39

2. parti in .2. parti iguali segherai e sia tutto il paralello in .4. parti diviso comme vorrai.
E, volendo dividere uno paralello in .3. parti non iguali, comme sia il paralello .abgd.
el quale in .3. parti non iguali voglio dividere in tal modo che ’l primo habia la .1/2. e ‘l secondo il
terzo. E il terzo habia il sexto. Divideró prima il paralello .ag. in .2. paralelli igua-
li che sonno .az. e .eg. Dipoi, da uno di quelli, segheró il terzo, cioé la terza parte del
paralello .az. overo .eg. che sirá il paralello .ig. Cioé che la retta .id. sia la terza parte del .ed.
Dico il paralello .ag. essere diviso in .3. parti predette dele quali la mitá è il paralello .az. e il sexto
é il paralello .ig. e l’ avanzo, cioé il paralello .et. sia la terza parte di tutto il paralello .ag. ch’ era
bisogno mostrare. Possiamo adunque qualunque parte vogliamo torre dele predette fi-
gure dala linea menata dal ponto dato fuor o dentro overo sopra uno de’ lati del paralello,
per quelle cose dette. E questo basti quanto al dividere de’ paralelli e, seguendo, diremo del
dividere dele figure dette caput abcisum.

Le figure chiamate caput abscisum, cioé le figure dette capo tagliato, sonno di .4.
spetie, de quali la prima se dice mezzo capo tagliato, l’ altra figura se dice igual ca-
po tagliato, la terza diverso capo tagliato. La quarta capo tagliato declinan-
te, commo di sopra havesti in lor misurare. E, perché el modo a dividere de tutte
queste è uno, quelle per ordine porró sotto medesime notule e termini acioché quello che
se dici d’ una di tutte l’ altre s’ intenda. Sienno adunque queste .4. specie di quadrilateri segna-
te .abgd., aventi e lati .ad. e .bg. equedistanti e volse ciascuna di queste dividere per la retta
equedistante ale base loro, le quali base sonno .bg., in .2. parti iguali, che in questo modo lo
faremo: perché la equistante .ad. e .bg. non sonno iguali, anzi é magiore .gb. che .ad. se me-
neremo le rette .ba. e .gd. nela parte del .ad. infino dove concorrono nel ponto .e. E sia il qua-
drato dela retta .ze. la mitá de’ quadrati delle rette .eb. e .ae. e dal ponto .z. si meni la retta .zi. e-
quedistante ala basa .gb. Dico el trapezzo .abgd. essere diviso in .2. parti iguali dala linea .zi.
equedistante alla linea .bg. che cosí si prova. Perché e quadrati dele linee .eb. e .ae. sonno dop-
pi al quadrato dela linea .ez., fienno ancora doppio li triangoli .ebg. e .ead. al triangol .ezi.
conciosiacosaché fra loro sienno simili. Ma, se del triangolo .ebg. lasciamo el triangolo .ezi.,
che è iguali a quello triangolo che è nel triangolo .ebg., rimarrá il quadrilatero .izbg. e ‘l triangolo
.ead. iguali al triangolo .ezi.; onde, d’ ogni parte si traga el triangolo .ead., rimane el quadrilatero .zgi.
iguale al quadrilatero .ai. Adonca è diviso el quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali dala linea .zi. ch’ era
de bisogno mostrare. Che ancora con numeri il mostraremo. Sia .ab.12. e .bg.12. e .ad. sia .3.
e il lato .gd. sia .15. E, perché nel triangolo .ebg. é menata la retta .da. equedistante ala basa
.bg., sia cosí .ad. al .gb., cioé cosí .3. e a .12., cosí .ea. al .eb., per la .2a. del 6o. Onde comme .3. è a
.9. cosí .ea. e .ab. Adunque .ea. é .4., cioé il terzo del .ab., adunque .eb. é .16. Agionti adunque e qua-
drati dele linee .eb. e .ea., cioé .256. e .16., fanno .272., de’ quali la mitá, cioé .136. é il quadrato della
linea .ez. E, perché e gli é cosí .ez. al .eb. cosí .zi. al .bg., sirá adunque comme el quadrato de-
la linea .ez. al quadrato dela linea .eb., cioé commo .136. a .256. che, ne’ minori numeri, é comme
.17. a .32. Cosí il quadrato dela linea .zi. é alo quadrato della linea .bg. Onde, se multiplicare-
mo .17. per .144. e divideremo per .32., verranne .76 1/2. per lo quadrato della linea .zi. E, perché
ortogonio è il triangolo .ezi. e ancora il triangolo .ead., onde, multiplicando la mitá del .ez. in
.zi., haremo l’ area del triangolo .ezi. che è .51. che viene dela multiplicatione della quarta par-
te di .136. nel quadrato dela linea .zi., cioé in .76 1/2. La quale multiplicatione è la radice de .2601.

Del quale, togliendo el triangolo .ead. che è .6., rimangono .45. per l’ area del quadrilatero
.azid., el quale .45. è la mitá de .90. ch’ é l’ area di tutto il quadrilatero mezzo caput abscisum .abgd.
perché multiplicando la mitá del .ab. nel congionto del .ad. e .bg., cioé .6. per .15. haremo el det-
to .90. che è doppio de .45. e peró è provato el quadrilatero .ai. essere la mitá di tutto il quadri-
latero .abgd. overo altramente tratta .ez. del .ed., cioé radice di .136., di .16., rimarranno .16. me-
mo radice di .136. per la linea .bz. del quale il .1/2. è .8. meno radice di .34. che, multiplicato per lo
congionto del .zi. e .bg., cioé per .12. e radice di .76 1/2., haremo .45. per l’ area del quadrato .gz.
e questo era da mostrare.

E, se sopra il lato .ad. alcun ponto sia dato e vorrai da quello menare la linea che divi-
da el detto quadrilatero in .2. parti iguali, e lati .ad. e .bg. in .2. parti iguali dividi sopra li
ponti .k. e .t., che cosí si prova. Io compiró la retta .tk. Dico che la retta .tk. é quella che divide
il detto quadrilatero in .2. parti iguali. Adonca, quando el ponto dato fosse in sula mitá dela linea .ad. com-
me il ponto .t., alora el detto quadrilatero è diviso in .2. parti iguali comme nela presente