Archimedes Texts

folio 37v

Distinctio quinta. Capitulum primum.

.zt. al .tb., cosí .zd. al .bk., multiplicaró .zd. in .bt., cioé .10 3/5. per .10., fanno .104., lo quale divi-
deró per 11 3/7., cioé per la linea .zt., vienne .9 1/10. per la linea .bk. overo .91., che sonno la mitá
dela superficie del .ab. in .bg. Divideró per .bt., cioé per .10., similmente ne viene .9 1/10.
per la linea .bk. E cosí sia il triangolo .abg. diviso in .2. parti iguali dala linea .tkd., comme era
de bisogno. E questo del dividere el triangolo in .2. parti iguali sia abastanza e daremo mo-
do a dividere quello in .3. o piú parti e peró starai atento.

Sia dato uno triangolo .abg. del quale voglio torne la terza parte per una linea
cadente da uno angolo. Dico che bisogna che quella linea caggia in sul terzo de-
la facia oposta a quello angolo, comme per la linea .ad., che è .bd. il terzo dela linea
overo lato .bg. che, per quel che s’ é detto, chiaro si manifesta. Adunque, essendo
.ab.13. e .bg.15. e .ga.14. lo .bd. sia .5.

E, volendo il detto triangolo diveder per terzo, cioé .3. parti iguali, dale linee .de. e
.if., e voglio sapere quanto è dal .a. al .d. e dal .a. al .e. e quanto è la linea .ed. e anco-
ra quanto .ef. e .ai. e .if. Multiplicarai .ab. in sé, cioé .13. in sé, fanno .169. De’ quali pi-
glia il .1/3., che è .56 1/3., e la radice di .56 1/3. è .ae. E, per lo lato .ag., multiplica .14. in sé, fan-
no .196. De’ quali il 1/3. è .65 1/3. e la radici de .65 1/3. é la linea .ad. E, per .ed., multiplica .bg. in sé, fanno
.225. De’ quali il .1/3. è .75. e radici di .75. è .ed. E, dipoi, piglia e .2/3. di .169., che sonno .112 2/3., e radici
di .112 2/3. é la linea .ai. e piglia e .2/3. di .196., che sonno .130 2/3., e radice di .130 2/3. sia la linea .af. E pi-
glia e .2/3. di .225., che sonno .150., e radice di .150. sia la linea .if. e cosí opera in simili.
E, volendo il detto triangolo dividere in .2. parti iguali per la linea .pq., e vorai sa-
pere quanto è .ap. e .aq. e quanto è .pq. Multiplicarai .13. in sé, fanno .169. e di quel
piglia la mitá, che è .84 1/2., e radici de .84 1/2. sia .ap. E, dipoi, multiplica .14. in sé, fanno
.196. De’ quali la mitá è .98., la cui radici è la linea .pq. E, dipoi, multiplica .15. in sé, fan-
no .225. De’ quali la mitá è .112 1/2. e radici de .112 1/2. é la linea .pq. E cosí, in similianti, è da operare.
E, se si dá un ponto in sul lato del triangolo. Comme nel triangolo .gbd. e sia nel
lato .dg. dato il ponto .z. E voglio dal ponto .z. menare una linea che del triango-
lo ne tolga il .1/3. Adimando in che parte dela linea .bd. tocherá la linea che si muo-
ve dal .z. E questo modo farai. Overo il ponto .z. é in sul terzo dela facia .gd. o non.
Se gli é in sul terzo, alora si muova la linea dal ponto .z. e vada in sul’ angolo oposto. E, com-
me ó detto, la linea .bz. harebbe diviso il triangolo in terza parte. Ma, se ’l ponto .z. non è in sul ter-
zo dela linea overo lato .gd. overo .gz. sia piú che ’l terzo overo meno. Sia prima meno:
dove togli del .gd. la terza parte e sia .ag. e compise la retta .ai. equedistante ala linea .bz. E, di-
poi si facia la linea .zi., la quale divide lo triangolo .bgd. in terza parte, cioé lo quadrilatero
.bgzi. é il terzo del detto triangolo. Dove, con numeri, sia .gz.3., dove .zd. sia .12. E multiplichi-
se .gd. per .db., cioé .15. per .14., fanno .210. De’ quali togli e .2/3., sonno .140., li quali dividi per .12.,
haremo .11 2/3. e .11 2/3. è la linea .di. E questo volavamo mostrare.
E, se ’l ponto .z. è dato in modo che .zg. sia piú che ’l .1/3. e meno che .2/3., faciase dal lato
del’ angolo .d. la terza parte del .dg., che sia .ed. e menise .ei. E, dipoi, si meni .zi. Di-
co .zi. essere quella linea che divide il triangolo in terza parte. Cioé che ’l triangolo
.zid. è il terzo del triangolo .bgd. Che con numeri sia .gz.9. e multiplicarai .gd. per
.db., cioé .15. per .14., fanno .210. Del quale il .1/3. è .70. che, diviso per .9., ne viene .7 7/9. per la linea
.di. E cosí sempre a simigliante é da operare. E, se ’l ponto dato fosse infra ’l .e. e .d., operaresti com-
me in quella fatta innanze ala detta.

Ancora sia il triangolo .abg. il quale voglio dividere in .3. parti iguali. Dele quali
parti ciascuna habia uno angolo e uno lato. Divideró .bg. in .2. parti iguali dal
ponto .d. E compiró la linea .ad. E, dipoi, dela linea .ad. piglieró il terzo, che sia
.dc., cioé dala parte del .d., e faró le linee .bc. e .gc. Dico adunque il triangolo .abg.
essere diviso in .3. parti iguali, de’ quali ciascuna è sopra a uno lato del triangolo .abg., le quali
parti sonno li triangoli .abc. e .bgc. e .gac., che cosí el proveró. Perché .dc. è la terza parte de-
la retta .da., sia .ac. doppio del .cd. Onde el triangolo .abc. è doppio al triangolo .bcd., per
primam sexti. E, per questo, ancora el triangolo .acg. è doppio al triangolo .gcd. Ancora per-
ché e gli é iguale la retta .bd. ala retta .dg., iguali sonno li triangoli .cbd. e .cdg. infra loro, pur
per la pa. del .6o. Onde tutto .cbg. triangolo è iguale a ciascun de’ triangoli .cbd. e .cdg. e quel-
li, che a una medesima cosa sonno doppi, infra loro sonno iguali per la conceptione. Diviso
è adunque il triangolo .abg. in .3. parti iguali.