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Sarà
NC linea retta: &
perche l'angolo K
EC è eguale all'an­
golo HDN, &
l'angolo CEG è pa
rimente eguale al­
l'angolo NDM,

peroche egli è contenuto da mezi diametri, & da circonferenze eguali: ſarà il re­
stante angolo & miſto KEG eguale al reſtante angolo & miſto HDM.
NC will be a straight line, and, since the angle KEC is equal to the angle HDN, and the angle CEG is likewise equal to the angle NDM, being contained within equal radii and circumferences , the remaining mixed angle KEG equals that of HDM.
Et per­
cioche preſuppongono, che quanto è minore l'angolo contenuto dalla linea tirata à
piombo dell'orizonte, & dalla circonferenza, tanto in quel ſito eſſere anco più gra
ue il peſo.
Accordingly, they assume that the smaller the angle contained between the vertical line and the circumference, the heavier the weight will be in that position.
Talche ſi come l'angolo contenuto da HD, & dalla circonferenza
DG, è minore dell'angolo KEG, cioè dell'angolo HDM, coſi ſecondo queſta
proportione il peſo poſto in D ſia più graue di quello che ſtà in E.
So that, as the angle HDG contained between HD and the circumference DG is less than the angle KEG (that is, than the angle HDM ) in this same proportion will the weight at D be heavier than it would be at E.
Mala pro­
portione dell'angolo MHD all'angolo HDG è minore di qual ſi voglia altra
proportione, che ſi troui tra la maggiore, & minore quantità: Adunque la pro­
portione de i peſi DE ſarà la minima di tutte le proportioni, anzinon ſarà quaſi
ne anche proportione, eſſendo la minima di tutte le proportioni.
But the ratio of angle MDH to HDC is smaller than any other ratio that exists between greater and smaller quantities; therefore the proportion of the weights at D and E will be the smallest of all possible ratios, or, rather, will not be a ratio at all.
Che la propor­
tione di MDH verſo HDG ſia di tutte la minima, moſtrano con queſta ne­
ceſſaria ragione, peroche MHD ſupera HDG con angolo di linea curua, che
è MGD, ilquale angolo è il minimo di tutti gli angoli fatti di linee rette: ne po­
tendoſi dare angolo minore di MGD ſarà la proportione di MDH verſo HDG
la minima di tutte le proportioni.
That the ratio of MDH to HDG is the least of all, they demonstrate by this necessary reason: that MDH exceeds HDG by a curvilinear angle MDG, which angle is less than any angle made by straight lines; and since no smaller angle can be found than MDG, the ratio of MDH to HDG will be the least of all ratios.
Laqual ragione pare eſſere grandemente friuo­
la, peroche quantunque l'angolo MDG ſia di tutti gli angoli fatti di linee rette
il minore, non perciò ſegue totalmente egli eſſere di tutti gli angoli il minimo, im-
peroche ſia dal punto D tirata la linea DO à piombo di NC, ambedue que­
ste toccberanno le circonferenze LDMFDG nel punto D.
This reasoning seems very frivolous; for, though the angle MDG is less than any angle made by straight lines, it does not follow that it is the least of all possible angles; inasmuch as, if we draw the line DO from D perpendicular to NC, it will touch both the circumferences LDM and FDG at the point D.
Ma percioche le
circonferenze ſono eguali, ſarà l'angolo MDO misto eguale all'angolo ODG mi­
ſto.
But since the circumferences are equal, the mixed angle MDO is equal to the mixed angle ODG.
L'vno de gli angoli dunque, cioè ODG ſarà minore di MDG, cioè minore
del minimo.
Hence one of the angles, that is, ODG, will be less than MDG; that is, less than the minimum.
Dapoi l'angolo ODH ſarà minore dell'angolo MDH. Therefore the angle ODH will be less than MDH; whence the ratio of ODH to HDG will be less than that of MDH to HDG.
Per laqual coſa
ODH haurà proportione minore all'angolo HDG, che MDH all'iſteſſoHDG.
Therefore the angle ODH will be less than MDH; whence the ratio of ODH to HDG will be less than that of MDH to HDG.
Daraſſi dunque la proportione anco minore della minima, laquale mostre­
remo dauantaggio in inſinito minore in questo modo.
So there will be a ratio still less than the minimum, which we shall show further to be infinitely less in this manner.
Deſcriuaſi il cerchio DR,
il cui centro ſia E, & il mezo diametro ED, la circonferentia DR tocche-
rà la circonferenza
DG nel punto D,
& la linea DO nel
punto D.
Describe the circle DR with its center at E and with radius ED; the circumference DR will touch the circumference DG at the point D and the line DO at the point D.
Per laqual
coſa minore ſarà l'an
golo RDG dell'an­
golo ODG, & ſi­
milmente l'angolo R
DH dell'angolo O
DH.
Hence the angle RDG will be less than the angle ODG, and likewise the angle RDH less than the angle ODH --- And thus, if infinitely many circumferences are drawn between DO and DG, we shall find the ratio diminishing ad infinitum and it follows thus that the ratio of the weight placed at D to that at E is not so small that one infinitely less cannot be found.
Adunque QDH haurà proportione minore ad HDG
che RDH ad HDG, & nell'iſteſſo modo in tutto, ſe tra il C & il P ſi tor­
rà vn'altro punto, & tra queſto, & il C vn'altro, & coſi ſucceßiuamente ſi de­
ſcriueranno infinite circonferentie tra DO, & la circonferenza DG: dalle quali
troueremo ſempre la proportione minore in infinito: & coſi ſegue, che la propor­
tione del peſo poſto in D al peſo poſto in E non ſia tanto picciola, che non ſi
poſſa ritrouarla ſempre minore in infinito.
Hence the angle RDG will be less than the angle ODG, and likewise the angle RDH less than the angle ODH --- And thus, if infinitely many circumferences are drawn between DO and DG, we shall find the ratio diminishing ad infinitum and it follows thus that the ratio of the weight placed at D to that at E is not so small that one infinitely less cannot be found.
Et perche l'angolo MDG ſi puote
diuidere in infinito, ſi potrà anche diuidere quel più di grauezza che ha il D ſo­
pra lo E in infinito.
And since the angle MDG can be divided in infinitum so also one may divide in infinitum the excess of weight which D has over E.
Ne biſogna tralaſciare, che
eglino hanno preſupp oſto
nella demoſtratione l'ango
lo KEG eſſer maggiore del
l'angolo HDC, come co
ſa nota: il che ben è vero ſe
DHEK ſono fra loro e­
gualmente diſtanti.
Nor should it be omitted that they have assumed in their proof as a thing known that the angle KEG is greater than the angle HDG, which indeed is true if DH and EK are parallel.
Ma
percioche, come eßi pari­
mente preſuppongono, le
linee DHEK ſi vanno à
trouare nel centro del mon
do, le linee DHEK non
ſaranno egualmente diſtan
ti giamai, et l'angolo KEG
non ſolo non ſarà maggio­
re dall'angolo HDG, ma
minore.
But since, as they likewise assume, the lines DH and EK meet at the center of the world, they are not ever parallel, and not only will the angle KEG not be greater than the angle HDG, but it will be smaller.
Come per gra­
tia di eſſempio, ſia tirata la
linea FG ſin al centro del
mondo, che ſia S, & con
giunganſi DS ES.
For example, draw the line FG to the center of the world S, and join DS and ES.
Egli
è da mostrare l'angolo SE
G eſſere minore dell'ango
lo SDG.
The angle SEG is to be demonstrated less than the angle SDG.
Tiriſi dal punto
E la linea ET, che toc­
chi il cerchio DGEF, &
dall'iſteſſo punto ſia tirata
la EV egualmente diſtan

te da DS: Percioche dunque EVDS ſono traloro egualmente diſtanti, ſimil­
mente ET DO ſono egualmente diſtanti: ſarà l'angolo VET eguale all'ango­
lo SDO: & l'angolo TEG eguale all'angolo ODM, per eſſere contenuto da
linee toccanti la circonferenza, & da circonferenze eguali.
From the point E draw the line ET tangent to the circle DGEF, and from the same point draw EV parallel to DS.
Then since EV and DS are parallel, ET and DO are parallel; the angle VET will be equal to the angle SDO, and the angle TEG to ODM, being contained between tangents and equal circumferences.
Tiriſi dal punto
E la linea ET, che toc­
chi il cerchio DGEF, &
dall'iſteſſo punto ſia tirata
la EV egualmente diſtan

te da DS: Percioche dunque EVDS ſono traloro egualmente diſtanti, ſimil­
mente ET DO ſono egualmente diſtanti: ſarà l'angolo VET eguale all'ango­
lo SDO: & l'angolo TEG eguale all'angolo ODM, per eſſere contenuto da
linee toccanti la circonferenza, & da circonferenze eguali.
From the point E draw the line ET tangent to the circle DGEF, and from the same point draw EV parallel to DS.
Then since EV and DS are parallel, ET and DO are parallel; the angle VET will be equal to the angle SDO, and the angle TEG to ODM, being contained between tangents and equal circumferences.
Tutto l'angolo dun­
que VEG ſarà eguale all'angolo SDM.
Therefore the whole angle VEG will be equal to SDM.
Leuiſi via dall'angolo SDM l'ango
lo di linee curue MDG: & dall'angolo VEG leuiſi via l'angolo VES, &
l'angolo VES fatto di linee rette è maggiore dell'angolo MDG fatto di linee
curue; ſarà il reſtante angolo SEG minore dell'angolo SDG.
Take away from the angle SDM the curvilinear angle MDG, and from the angle VEG the angle VES; and the angle VES formed by straight lines is greater than the angle MDG formed by curved lines, so the remaining angle SEG is less than SDG.
Per laqual coſa
dalle preſuppoſte loro non ſolo il peſo posto in D ſarà più graue del peſo poſto
in E, ma per lo contrario il peſo E ſarà più graue dell'iſteſſo D.
Hence by their own suppositions not only will the weight placed at D fail to be heavier than that at E, but on the contrary the weight at E will be heavier than that at D.
Producono tutta via
ragioni con le quali
ſi sforzano di mo­
ſtrare, che la bilan­
cia DE ritorna per
neceßità in AB e­
gualmente distante
dall'orizonte.
Nevertheless, they adduce reasons by which they attempt to show that the balance DE necessarily returns to AB, parallel to the horizon.
Pri­
ma dimoſtrano l'i­
ſteſſo peſo eſſere più
graue in A, che
in altro ſito, che
chiamano ſito della
egualità, eſſendo la
linea AB egual­
mente diſtante dal­
l'orizonte.
First they show that a given weight is heavier at A than at any other place, and this position they call the "level position," the line AB being parallel to the horizon.
Da­
poi quanto è più da

preſſo allo A, tanto eſſere piu graue di qual ſi voglia altro più da lontano, cioè
il peſo poſto in A eſſere più graue, che in D; & in D, che in L: & ſimil­
mente in A più graue, che in N; & in N più graue, che in M.
Then the closer the weight is to A, the heavier it will be in comparison with any other position; that is, it will be heavier at A than at D, and at D than at L^.
and similarly heavier at A than at N, and at N than at M, only one weight on one of the arms, moved up or down, being considered.
Da­
poi quanto è più da

preſſo allo A, tanto eſſere piu graue di qual ſi voglia altro più da lontano, cioè
il peſo poſto in A eſſere più graue, che in D; & in D, che in L: & ſimil­
mente in A più graue, che in N; & in N più graue, che in M.
Then the closer the weight is to A, the heavier it will be in comparison with any other position; that is, it will be heavier at A than at D, and at D than at L^.
and similarly heavier at A than at N, and at N than at M, only one weight on one of the arms, moved up or down, being considered.
Conſide-
rando ſolamente vn peſo in vno delle braccia in sù, ouero in giù moſſo.
and similarly heavier at A than at N, and at N than at M, only one weight on one of the arms, moved up or down, being considered.
Percio­
che dicono, poſta la trutina della bilancia in CF, il peſo meſſo in A è più lunge
dalla trutina che in D; & in D più lunge, che in L: peroche tirate le linee DO
LP à piombo di CF, la linea AC reſta maggiore di DO, & DO di eſſa LP,
& auiene l'iſteſſo ne i punti NM.
For they say that, if the support of the balance is on CF, the weight placed at A is farther from the support than at D, and at D it is farther than at L; for when the lines DO and LP are drawn perpendicular to CF, the line AC is longer than DO, and DO than LP, and the same for the points N and M.