Gehler, J. S. T. Physicalisches Wörterbuch

Hohlspiegel

Hohlspiegel, Speculum concavum, Miroir concave.

Ein krummer Spiegel, dessen Fläche nach der Vorderseite zu hohl ist. Die Krümmung kan sphärisch, parabolisch, elliptisch oder hyperbolisch seyn. Da die letztern beyden Arten selten gebraucht werden, für die parabolischen aber ein eigner Artikel (Parabolische Spiegel) bestimmt ist, so bleiben hier nur noch die sphärischen Hohlspiegel oder hohlen Kugelspiegel (specula sphaerica concava) zu betrachten übrig, wobey man erstens auf die Wege der von ihnen zurückgeworfenen Stralen, zweytens auf die Bilder, die sie darstellen, zu sehen hat.

MN, Taf. XI. Fig. 76. sey ein Durchschnitt eines hohlen Kugelspiegels, und dessen Mitte A sey mit dem Mittelpunkte der Kugel C durch die Axe AC verbunden. Ein Stral LM, der parallel mit der |Axe einfällt, macht mit dem Halbmesser der Kugel CM, (welcher auf der Kugelfläche bey M lothrecht steht) den Einfallswinkel 0=y, wird also unter einem eben so großen Winkel x=0=y so zurückgeworfen, daß er die Axe CA bey O schneidet. Weil nun im Dreyecke COM die Winkel x und y gleich sind, so sind auch die Seiten MO und CO gleich, und werden, wie in jedem gleichschenklichten Dreyecke, durch das Product der halben Grundlinie in die Secante des anliegenden Winkels ausgedrückt. Nennt man also den Halbmesser der Kugelfläche CM=a, so ist CO=1/2 a. sec. y.

Der Stral CA, der in der Axe selbst einfällt, trift den Spiegel senkrecht, und prallt in sich selbst zurück. Der zunächst an CA einfallende ca, für welchen der Bogen Aa oder das Maaß des Winkels y unendlich klein, also dessen Secante=1 ist, trift die Axe in F so, daß CF=1/2 a, oder F auf der Helfte des Halbmessers liegt.

Ist die Breite des Spiegels oder der Bogen AM (der allezeit den Winkel y mißt) 18°, so wird LM, der letzte einfallende Parallelstral, die Axe in O so treffen, daß CO= 1/2a. sec. 18°=1,051...1/2a=0,5255..a. Alle den Spiegel treffende Parallelstralen werden also zwischen F und O durch die Axe gehen, wobey der Raum FO=0,5255.. a — 0,5. a=0,0255..a oder (1/39) des Halbmessers beträgt.

Wäre des Spiegels Breite AM oder y=60°, so würde für den äussersten Parallelstral CO=1/2 a. sec. 60°=a seyn, oder dieser Stral wird auf den Spiegel selbst nach A zurückgeworfen.

Der Raum FO=CO—CF ist überhaupt für jede Breite des Spiegels =1/2 a. sec. y—1/2a=1/2a. (sec. y—1), also für die Breiten 3°, 6°, 9°, 15°=a multiplicirt in 0,00086; 0,00275; 0,00623; 0,01763, oder=(1/1470), (1/363), (1/160), (1/57) des Halbmessers.

Ein hohler Kugelspiegel also bringt Stralen, welche mit seiner Axe parallel einfallen, in einem Raume FO zusammen, der einen desto geringern Theil des Halbmessers ausmacht, je kleiner die Breite des Spiegels ist. Der Punkt F liegt um die Helfte des Halbmessers vom Spiegel ab. Die nahe an der Axe einfallenden Stralen sammlen sich näher bey F, die weiter abliegenden weiter von F ab gegen A zu, und die 60° abstehenden in A selbst. Auch werden die Unterschiede der Räume FO, in welchen die zurück geworfenen Stralen die Axe kreuzen, desto kleiner, je näher die Stralen an der Axe liegen, d. i. je näher sie bey F vorbeygehen, oder die Strahlen kommen in der Gegend von F am dichtesten zusammen.

Durch diese Verdichtung werden die Sonnenstralen, wenn die Axe des Spiegels gegen der Sonne Mittelpunkt gerichtet ist, vermögend gemacht, bey F zu brennen, s. Brennspiegel. Daher heißt auch F der Brennpunkt und AF die Brennweite des Spiegels, welche letztere also die Helfte des Halbmessers oder den vierten Theil des Durchmessers beträgt. Diesen Satz hat Porta (De refractione p. 39.) zuerst angegeben. Wenn der Spiegel keine allzugroße Breite hat, so kan man annehmen, alle aus einem Punkte der Sonne kommende Stralen würden um F vereiniget, wobey das, was hierin nicht in aller Schärfe richtig ist, als eine Abweichung wegen der Kugelgestalt des Spiegels angesehen wird. Die weiter von F abliegenden Stralen dienen doch den Gegenstand mit zu erwärmen. Offenbar aber wäre es zum Brennen unnütz, dem Spiegel viel Grade zu geben.

Die Größe der Abweichung wegen der Kugelgestalt kömmt auf die Größe des Raumes FO an, und läßt sich aus ihr durch Rechnungen herleiten, welche für unsern gegenwärtigen Zweck zu weitläuftig sind. Herr Kästner (Analytische Katoptrik in Smiths Lehrbegrif der Optik S. 81. u. f.) hat dieselben analytisch ausgeführt und berechnet (15 Zus. S. 92.), daß bey einem hohlen Kugelspiegel von 8° Breite das Licht in einem nahe am Brennpunkte liegenden Kreise 170590 mal dichter zusammen gebracht wird, als beym Einfallen, vorausgesetzt, daß keine Stralen durch die Reflexion verlohren gehen.

Fiele die Abweichung wegen der Kugelgestalt ganz hinweg, so würde sich im Brennpunkte F ein deutliches Bild der Sonne zeigen, und schon darum würde sich der Brennpunkt in einen diesem Bilde gleichen Flächenraum verwandlen. Wie man unter dieser Voraussetzung die Dichte des Lichts im Brennraume finde, ist bey dem Worte: Brennraum angegeben. Die Abweichung aber vermindert nicht allein die Deutlichkeit dieses Sonnenbilds in F, sondern macht auch, daß zwischen F und O eine ununterbrochene Reihe von Sonnenbildern entsteht, welche verschiedene Größen haben, und den Brennraum zu einem körperlichen Raume ausdehnen, dessen auf den Spiegel lothrechte Durchschnitte von Brennlimen begrenzt werden. Da man aber den hohlen Kugelspiegeln nie eine beträchtliche Breite giebt, so kan man bey den allgemeinen Erklärungen ihrer Phänomene die Abweichung wohl bey Seite setzen.

Stralen, die aus F auf die Fläche des Hohlspiegels fallen, werden dergestalt zurückgeworfen, daß sie hernach alle unter sich und mit der Axe gleichlaufend werden. Von einer brennenden Kerze in F wirft der Spiegel alles Licht parallel in unendliche Entfernungen hinaus.

Daß die zündende Eigenschaft der hohlen Kugelspiegel schon den Alten bekannt gewesen sey, erhellet aus den Anfangsgründen der Katoptrik, die man insgemein dem Euklides zuschreibt, wo diese Eigenschaft (Prop. 31.) ausdrücklich erwähnt, der Brennpunkt aber sehr unrichtig in den Mittelpunkt der Kugelfläche gesetzt wird. Man findet aber keine bestimmten Nachrichten, daß davon irgend einiger Gebrauch gemacht worden sey, und die Erzählung von Archimeds Brennspiegeln ist vielen Zweifeln unterworfen, s. Brennspiegel. Euklids Katoptrik beschäftiget sich mehr mit den im Hohlspiegel erscheinenden Bildern, zu deren Betrachtung wir nunmehr fortgehen wollen.

Es ist bey dem Worte: Bild bereits angeführt worden, daß man die Bestimmung des Orts der Bilder in Spiegeln auf zweyerley Sätze gründe. Der erste, schon in Euklids Katoptrik gebrauchte, ist dieser: daß man das Bild eines Punkts da sehe, wo der vom Spiegel zurückgeworfene Stral das vom Punkte auf die Spiegelfläche gefällte Loth schneidet. Euklid suchte ihn daher zu erweisen, weil man in Kugelspiegeln kein Bild sieht, wenn das Auge in diesem Lothe steht, welcher Grund aber nicht hinreichend ist. Der andere von Barrow eingeführte Grundsatz nimmt den Ort des Bildes in der Spitze des von den zurückgeworfenen Stralen gebildeten Kegels an. Nun giebt es zwar, wie Herr Kästner (De objecti in speculo sphaerico visi magnitudine apparente, Comm. Nov. Gotting. To. VIII. 1777.) gezeigt hat, in sphärischen Spiegeln gar keinen Punkt, aus dem die von einerley Punkte des Gegenstandes ins Auge fallenden Stralen alle herkämen; doch enthält auch bey ihnen das Perpendikel von dem sichtbaren Punkte auf die Fläche des Spiegels (oder die Linie durch den sichtbaren Punkt und des Spiegels Mittelpunkt) denjenigen Ort, um welchen die Zerstreuungspunkte der zurückgeworfenen Stralen am dichtesten beysammen liegen, in welchen man also den Ort des Bildes ohne großen Fehler setzen kann.

Dieß also vorausgesetzt, sey Taf. XI. Fig. 77. SV der Durchschnitt eines Hohlspiegels mit der Ebne, in welcher die Reflexion geschieht; C der Mittelpunkt des Spiegels, F der Brennpunkt. Zwischen dem Brennpunkte und dem Spiegel befinde sich der Gegenstand AB; die Perpendikel aus seinen Endpunkten auf die Spiegelfläche sind die durch den Mittelpunkt C gehenden Linien CAI,CBM. Die aus A auf den Spiegel fallenden divergirenden Stralen AR, AG werden nach der Zurückwerfung weniger divergiren, gerade als ob sie aus einem entlegenern Punkte des Perpendikels I herkämen. So wird dem Auge O, das diese Stralen auffaßt, das Bild von A ohngefähr um I zu liegen scheinen; und eben so wird das Bild von B hinter dem Spiegel in M auf der Verlängerung von CB liegen. Der Gegenstand erscheint also hinter dem Spiegel in IM aufrecht und vergrößert. Je näher AB an den Brennpunkt rückt, desto weniger divergiren die reflektirten Stralen, desto weiter fallen also die Vereinigungspunkte I und M hinaus, und desto stärker wird die Vergrößerung.

Rückt AB in den Brennraum F selbst, so gehen die aus A einfallenden Stralen nach der Reflexion parallel mit einander selbst, und mit dem Perpendikel CA. Es giebt also in diesem Falle keinen Durchschnittspunkt mehr; und die zurückgeworfenen Stralen bilden nicht Kegel, sondern Cylinder, die keine Spitze haben; es kan also kein Bild von A erscheinen. Eben dies gilt von B, und von den übrigen Punkten des Gegenstandes, der also, wenn er im Brennraume steht, im Spiegel gar nicht gesehen werden kan.

Liegt der Gegenstand über den Brennpunkt F hinaus, wie AB (Taf. XI. Fig. 78.), so werden die Stralen AR, AG nach der Zurückwerfung convergent, kreuzen sich in einem Punkte I des Perpendikels ACV, und kommen in dem Falle, den die Figur darstellt, erst nach dem Durchkreuzen ins Auge, daher das Bild von A in I erscheinen sollte. Eben so müßte B sein Bild in M haben, und also das Bild IM umgekehrt vor dem Spiegel in der Luft zu schweben scheinen. Man nennt es daher ein Luftbild.

Es sind hierbey drey Fälle zu unterscheiden. 1) Wenn, wie bey Fig. 79., der Gegenstand AB zwischen F und C, dem Brennpunkte und Mittelpunkte des Spiegels liegt, so ist der Perpendikel durch A die Linie SACI, der Stral AR wird nach I zurückgeworfen, schneidet daselbst den Perpendikel, und stellt A in I, mithin das umgekehrte Luftbild IM noch vor dem Gegenstande AB selbst, und größer, als diesen, vor. 2) Wenn der Gegenstand im Mittelpunkte des Spiegels selbst, oder in C liegt, wie Ca, Fig. 79. Alsdann bekömmt der durch a gehende Perpendikel auf den Spiegel die Lage Ca selbst, und das Bild von a fällt in b, wo der reflectirte Stral Rb die Verlängerung von aC schneidet. Weil hier Cb=Ca, so ist in diesem Falle das Luftbild eben so groß, als der Gegenstand, und sollte denselben zu berühren scheinen. 3) Wenn der Gegenstand über den Mittelpunkt C hinaus liegt, wie Fig. 78., so schwebt das Luftbild näher vor dem Spiegel, und ist kleiner, als der Gegenstand.

Mit diesen Sätzen stimmt die Erfahrung zwar in Absicht auf die umgekehrte Lage und die Größe der Bilder völlig überein; was aber die scheinbaren Stellen der Luftbilder betrift, so findet man zwischen den erwähnten drey Fällen wenig Unterschied, die Bilder scheinen einmal wie das anderemal gleichsam auf dem Spiegel selbst zu schweben, und man sieht sie sogar, wenn das Auge die Punkte I und M hinter sich hat. Dies ist allerdings ein wichtiger Einwurf gegen die Theorie, dessen Stärke Barrow selbst gefühlt hat. Bey dem Worte: Bild habe ich angeführt, wie man diese Schwierigkeit zu heben gesucht habe. Der Anblick der Luftbilder ist für uns eine neue und ungewöhnliche Art des Sehens, wobey wir das Bild auf den Spiegel selbst setzen, weil wir zwischen beyden nichts sehen, was uns einen Begrif von Abstand oder Entfernung geben könnte. So löset sich die Schwierigkeit in einen Gesichtsbetrug oder vielmehr in ein Sehen und Urtheilen nach unbestimmten Regeln auf, und wenn der Ort des eigentlichen Bildes erst hinter dem Auge liegt, und wir also von den Punkten des Gegenstandes convergirende Stralen erhalten, so wird das Bild jederzeit sehr undeutlich seyn, und wir werden, wenn wir es genau betrachten wollen, eine schmerzhafte Anstrengung des Auges fühlen. Dennoch bleibt an dem gemachten Einwurfe soviel wahr, daß die scheinbare Stelle gesehener Punkte nicht von dem Scheitel des Kegels der Gesichtsstralen allein, sondern von mehrern Umständen abhängt, s. Entfernung, scheinbare.

Johann Georg Brengger, ein Arzt in Kaufbeuern, äussert in einem Briefe an Keplern vom 22. Dec. 1604. (Epistolae ad Keplerum scriptae ed. a Mich. Gottl. Hanschio. Lips. 1718. fol. Ep. CLI. p. 223.) den Gedanken, der Ort des Bildes liege in dem Perpendikel aus dem leuchtenden Punkte auf die Ebne, welche die Spiegelfläche im Zurückstrahlungspunkte berühret, eine Bestimmung, welcher auch d'Alembert (Opuscules mathem. To. I. p. 275.) vor der alten gewöhnlichen den Vorzug giebt. Kepler aber (Ep. CLII.) antwortet darauf sehr gut, es komme nicht auf eine, sondern auf mehrere Repercussionen, nemlich auf die Vereinigungspunkte mehrerer zurückgeworfenen Stralen an. D'Alembert beschließt seine Untersuchungen auch damit, daß es gar keinen allgemeinen Grundsatz über den scheinbaren Ort der Bilder gebe.

Man kan das Schweben der Bilder in der Luft deutlicher bemerken, wenn man etwas zwischen den Ort des Bildes und den Spiegel bringt, und bewegt, wodurch die Empfindung eines Abstands vom Spiegel lebhafter gemacht wird. Ficht man z. B. mit einem Degen gegen den Hohlspiegel, so scheint das Bild des Degens aus dem Spiegel hervorzukommen und dagegen zu fechten; bewegt man die Hand gegen den Spiegel, so scheint aus demselben eine andere Hand zu kommen, und sich in jene zu legen u. s. w.

Kästner Anfangsgr. der angew. Math., 1ste Abth. Dritte Aufl. Katoptrik §. 32. u. f.

Priesiley Geschichte der Optik durch Klügel, S. 7 u. f.

Holländisches Fernrohr, s. Fernrohr.