Gehler, J. S. T.
Physicalisches Wörterbuch


Am geradlinigten mathematischen Hebel stehen senkrecht wirkende Kräfte
Am geradlinigten mathematischen Hebel stehen senkrecht wirkende Kräfte

D und E im Gleichgewichte, wenn sie sich verkehrt, wie ihre Entfernungen oder Abstände vom Ruhepunkte (s. Entfernung einer Kraft vom Ruhepunkte) d. i. wie CB: CA, verhalten. So wird z. B. der Hebel Fig. 53. im Gleichgewicht stehen, wenn das in der Entfernung CB angebrachte Gewicht E doppelt so groß ist, als die in der doppelten Entfernung CA aufwärts ziehende Kraft D.

Dieses Gesetz des Gleichgewichts der Kräfte am Hebel, auf welchem die ganze Statik und Maschinenlehre beruht, war schon in den ältesten Zeiten bekannt, und wird bereits vom Archimedes (De aequiponderantibus Lib. I. Prop. VI. in Archimedis Opp. per Isaacum Barrow, Lond. 1675. 4. ingl. Archimedis Kunstbücher, verteutscht von I. C. Sturm. Nürnberg, 1670. fol. Erstes Buch: Von der Flächen Gleichwichtigkeit) aus der Lehre vom Schwerpunkte erwiesen. Man findet den archimedeischen Beweiß mit einiger Abänderung in den wolfischen Anfangsgründen der Mechanik, und bey vielen ältern mechanischen Schriftstellern. Archimed hatte ihm die Wendung gegeben, daß er zeigte, es sey kein Grund da, warum sich der Hebel unter der Bedingung, die das Gesetz enthält, auf die eine Seite eher, als auf die andere, drehen sollte, daher er sich gar nicht drehe. Man hat deswegen gesagt, daß Herr von Leibnitz seinen Satz des zureichenden Grundes aus diesen Büchern des Archimedes entlehnt habe.

Es ist aber dieser archimedeische Beweis, wie schon Barrow bemerkt, darum unzulänglich, weil dabey unerwiesen angenommen wird, der Schwerpunkt bleibe einerley, man möge Körper verbinden oder trennen. Daher suchte Descartes (Tract. de Mechanica in Opusc. posth. Amstel. 1701. 4.) die ganze Statik aus dem neuen Grundsatze herzuleiten, daß das wahre Vermögen einer bewegenden Kraft dem Produkte der bewegten Masse in ihre Geschwindigkeit gleich sey. Bewegt sich nemlich der Hebel ACB, Taf. X. Fig. 54. mit den Körpern A und B um den Ruhepunkt C bis in die Lage aCb, so verhalten sich die bewegten Massen, wie A:B, die Geschwindigkeiten, wie die in gleicher Zeit von ihnen durchlaufenen Räume oder Bogen Aa und Bb. Diese Bogen aber, als ähnliche, welche die beyden gleichen Winkel ACa und BCb messen, verhalten sich wie ihre Halbmesser CA und CB, daher CA:CB das Verhältniß der Geschwindigkeiten ist. Also sind nach dem Satze des Descartes die Kräfte, mit denen sich A und B bewegen, wie AXCA:BXCB. Ist nun A : B=CB : CA, so folgt AXCA=BXCB oder die bewegenden Kräfte sind einander gleich, suchen aber den Hebel auf entgegengesetzte Seiten zu drehen, daher er nach dem allgemeinen Satze des Gleichgewichts in Ruhe bleiben muß. Dieser allerdings sehr scharfsinnige Beweis, der eigentlich darauf beruht, daß es gleichen Aufwand von Kraft erfordert, 1 Pfund 2 Schuh hoch, und 2 Pfund in gleicher Zeit 1 Schuh hoch zu heben u. s. w. bleibt doch den Einwendungen ausgesetzt, daß das cartesianische Maaß der bewegenden Kräfte für einen Grundsatz nicht Evidenz genug hat, und daß im Gleichgewichte, wo der Hebel still steht, gar keine Geschwindigkeit betrachtet werden kan. Wenn gleich auf letzteres die Cartesianer antworten, es sey doch beym Gleichgewichte Kraft, oder Streben nach Bewegung mit einer gewissen Geschwindigkeit (sollicitatio ad motum, velocitas virtualis) vorhanden, die man in diefem Falle statt der wirklichen Geschwindigkeit setzen könne, so entkräftet doch die Einwendung noch immer die mathematische Schärfe dieser Demonstration.

Newton (Princip. L. I. Axiom. 3. Coroll. 2.) leitet das Gesetz des Gleichgewichts am Hebel aus der Lehre von Zusammensetzung der Kräfte her, und Varignon (Nouvelle mecanique ou Statique, à Paris, 1725. 4.) hat auf diese Lehre die ganze Statik und Mechanik gebaut. Johann Bernoulli aber (Variaeprop. mechanico-dynamicae Opp. To. IV. no. 177. §. V.) behauptet, es müsse vielmehr die Lehre von der Zusammensetzung der Kräfte auf die Theorie des Hebels gegründet werden, wenn man einen Cirkel im Beweisen vermeiden wolle. Bey diesen Unvollkommenheiten der Beweise des ersten statischen Grundgesetzes sagte d'Alembert mit Recht (Traité de Dynamique, à Paris, 1743. 4. présace), man sey mehr bemüht gewesen, das Gebäude der Mechanik zu vergrößern, als dessen Eingange Licht zu geben; man habe den Bau immer fortgesetzt, ohne für die gehörige Festigkeit des Grundes zu sorgen. Herr Hofrath Kästner (Vectis et compositionis virium theoria evidentius exposita, Lips.1753. 4.) hat endlich diesem Mangel abgeholfen, und einen völlig scharfen Beweiß für das Gesetz des Hebels gegeben, nach dessen wiederholter Bekanntmachung er erst einige ähnliche Betrachtungen in des de la Hire Mechanik fand. Ich will diesen Beweiß hier in möglichster Kürze mittheilen.

Wenn an dem doppelarmichten Hebel die beyden auf ihn senkrecht wirkenden Kräfte gleich groß und gleich weit vom Ruhepunkte entfernt sind, so kan keine von beyden die andere überwinden. Denn eben die Ursachen, welche der einen das Uebergewicht geben könnten, gelten auch von der andern; folglich heben sich beyde Kräfte auf, und es entsteht ein Gleichgewicht. Dieser Satz hat Evidenz genug für einen Grundsatz. Die Unterlage C, Taf. X. Fig.51. hat in diesem Falle die Summe von D und E, oder D zweymal zu tragen. Wenn also anstatt der Unterlage nur eine Kraft nach der Richtung CF zöge, die der Kraft D oder E zweymal genommen, gleich wäre, so würde diese den Hebel tragen, und alles würde ruhen.

Nun nehme man an diesem Hebel das Gewicht D weg, und befestige dagegen den Punkt A so, daß er weder aufwärts noch unterwärts weichen kan, so wird sich der doppelarmichte Hebel in den einarmichten Taf. X. Fig. 52. verwandlen, wo die Kraft AD=2E oder doppelt so groß, als die in B angebrachte, B aber noch einmal so weit vom Ruhepunkte C entfernt ist, als A; und wo sich unter diesen Umständen die einfache und die doppelte Kraft das Gleichgewicht halten.

Aber, wenn man nun diesen einarmichten Hebel jenseits der Unterlage um das Stück CF, Fig. 55., verlängerte, das dem Stücke CA gleich wäre, so würden unstreitig zwey Pfund an F gehenkt eben so stark unterwärts nach der Richtung FG ziehen, als zwey Pfund in A, die nach der Richtung AD zögen. Aber die letztern zwey Pfund stehen im Gleichgewichte mit einem Pfunde, das noch einmal so weit vom Ruhepunkte in B ziehet: also halten auch zwey Pfund und ein Pfund am doppelarmichten Hebel einander das Gleichgewicht, wenn das eine Pfund E zweymal weiter vom Ruhepunkte C entfernt ist, als die zwey Pfund G am andern Arme.

Eben so kan man weiter schließen, daß in beyden Arten des Hebels das dreyfache Gewicht dem einfachen das Gleichgewicht hält, wenn das einfache dreymal weiter vom Ruhepunkte entfernt ist; das vierfache dem einfachen, wenn dieses viermal weiter entfernt ist u. w. Ueberhaupt also, daß das n fache Gewicht dem einfachen das Gleichgewicht hält, wenn das einfache n mal weiter vom Ruhepunkte absteht, als das n fache.

Wenn sich endlich die Kräfte D und E Taf. X. Fig. 56. überhaupt, wie m:n, und ihre Entfernungen CA und CB, wie n:m, verhalten, so nehme man CP so groß, daß es in CA n mal, in CB m mal enthalten ist, und stelle sich bey P ein angehangnes Gewicht L=n. D=m. E, und eine eben so große aufwärts nach PQ gerichtete Kraft. vor. Beyde halten einander ungezweifelt das Gleichgewicht. Aber die Kraft nach PQ hält auch mit D das Gleichgewicht, weil sie n mal größer als D, dasür aber D n mal entfernter vom Ruhepunkte C ist: und das Gewicht L hält mit E das Gleichgewicht, weil es m mal größer als E, dafür aber E m mal weiter entfernt von C ist. Mithin müssen sich auch D und E selbst das Gleichgewicht halten. Da sich jedes Verhältniß durch zwo ganze Zahlen ausdrücken läst, welche für m und n gesetzt werden können, so gilt dieser Beweiß bey jedem Verhältniße der Kräste, und es erfolgt überhaupt ein Gleichgewicht am Hebel der ersten Art, wenn sich die Kräfte verkehrt, wie die Entfernungen vom Ruhepunkte, verhalten.

Daß aber dieser Satz auch vom einarmichten Hebel gelte, erhellet sogleich, wenn man Cb=CB nimmt, und für E eine an b aufwärts nach be ziehende Kraft=E substituirt. Es bleibt hiebey alles in Ruhe, weil die Kraft E bey b eben so auf die Umdrehung des Hebels wirkt, als das Gewicht E in der gleichgroßen Entfernung CB wirkte. Daher ist die Kraft bey b mit D im Gleichgewicht, wenn sie sich zu D wie n:m, ihre Entfernung Cb aber zur Entfernung CA, wie CB zu CA, d. i. wie m:n verhält. So ist das Gesetz des Gleichgewichts für beyde Arten des Hebels erwiesen.

Dieser Theorie zufolge steht ein Pfund mit tausend Pfunden im Gleichgewichte, wenn der Arm des mathematischen Hebels, woran das eine Pfund wirkt, tausendmal länger, als der andere Arm, ist. Unter diesen Umständen muß sogar ein Pfund Kraft mit einem hinzukommenden geringen Zusatze eine Last von 1000 Pfunden in Bewegung setzen können. Athenäus (Deipnosophisticorum L. V.) erzählt, Archimed habe durch Maschinen den König Hieron mit seiner Hand ein Schif bewegen lassen, und ihm, da er sein Erstaunen bezeugt habe, geantwortet: Gieb mir einen Standpunkt, so will ich die Erde bewegen. Dieser kühne Ausspruch hält zwar keine genaue Prüfung aus (s. Sturm Diss. Terra machinis immota, Altorf. 1691. 4.), ist aber doch m gehörigen Sinne genommen in sofern richtig, als die Theorie an sich den Verstärkungen der Kräfte durch den Hebel gar keine Grenzen setzt.

Wenn sich die Kräfte verkehrt, wie ihre Entfernungen vom Ruhepunkte verhalten, so muß das Product der einen Kraft in ihre Entfernung, dem Producte der andern in die ihrige gleich seyn. Man nennt daher dieses Product das Moment (momentum staticum), und drückt das Gesetz des Gleichgewichts am Hebel auch so aus: Wenn die Momente auf beyden Seiten gleich sind, so erfolgt ein Gleichgewicht, und wenn ein Gleichgewicht erfolgen soll, so müssen die Momente gleich seyn.

Wird der im Gleichgewichte stehende Hebel bewegt, wie Taf.X. Fig. 54., so verhalten sich die Wege, welche die Kräfte in gleichen Zeiten zurücklegen, wie die Arme des Hebels CA und CB, d. i. verkehrt, wie die Kräfte selbst. Ein Pfund also, das vier Pfund bewegt, muß vier Schuh weit gehen, indem die vier Pfund nur einen Schuh durchlaufen; es muß sich also viermal so geschwind bewegen. Je geringer die Kraft ist, womit die Last bewegt wird, desto größer muß die Geschwindigkeit der Kraft gegen die Geschwindigkeit der Last seyn. Man drückt diesen Satz so aus: Soviel man an Kraft gewinnt, soviel verliert man an Geschwindigkeit. Dies ist ein allgemeines Gesetz der Maschinenlehre, und wer 100 Pfund mit 1 Pfund heben will, muß die Kraft durch 100 Schuhe gehen lassen, wenn die Last um 1 Schuh gehoben werden soll. Schiefer Zug der Kräfte.

Alles bisherige ist nur von Kräften erwiesen worden, welche senkrecht an den Armen des Hebels wirken. Jetzt aber ziehe eine Kraft K, Taf. XI. Fig. 57. an dem Hebel CB unter dem schiefen Winkel CBK. Wenn man aus dem Ruhepunkte C auf die Richtung der Kraft BK das Perpendikel CP fället, und sich vorstellet, das rechtwinklichte Dreyeck CPB könne um C gedrehet werden, so wird die Kraft K, bey P an die Linie CP angebracht, an dieser Linie mit dem Momente KXCP wirken. Sobald sie aber CP dreht, dreht sie zugleich das ganze Dreyeck CRP eben so stark mit, daher auch die Linie CB. Also ist das Moment, womit sie auf die Umdrehung von CB wirkt, auch=KXCP. Es ist aber ganz einerley, ob die Kraft K bey P angehangen und durchs Dreyeck CBP mit B verbunden, oder ob sie unmittelbar an B angebracht ist. Daher wird das Moment, für den schiefen Zug BK an B, durch das Product der Kraft in die aus dem Ruhepunkte auf die Richtungslinie der Kraft gefällte Perpendicularlinie CP ausgedrückt. Versteht man nun, wie dies in der Statik gewöhnlich ist, unter dem Worte: Entfernung vom Ruhepunkte diese Perpendicularlinie aus C auf die Richtung der Kraft BK (s. Entfernung einer Kraft vom Ruhepunkte), so wird auch für den schiefen Zug das Moment dem Producte der Kraft in die Entfernung gleich, und so gelten alle für den senkrechten Zug erwiesene Sätze auch für den schiefen.

So werden am Hebel ACB, Taf. XI. Fig.58. die schiefziehenden Kräste D und E im Gleichgewichte seyn, wenn sie sich verkehrt, wie die Perpendikel Ca und Cb, die aus C auf ihre Richtungslinien AD und BE gefällt worden, d. i. wie ihre Entfernungen, verhalten. Denn ihre Momente sind DXCa und EXCb; und das Gleichgewicht erfolgt, wenn diese gleich sind, oder wenn D : E = Cb : Ca.

Wenn man beyder Kräfte Richtungen so weit verlängert, bis sie sich in I schneiden, so giebt die Linie CI die Richtung an, nach welcher die Unterlage gedrückt wird, die mittlere Richtung der Kräfte. Verlängert man |AI und CI ein wenig, und zieht, wo man will, ed mit BI parallel, so bildet Ied ein Dreyeck, dessen drey Seiten den Richtungen der äussern Kräfte und der mittlern parallel laufen, und dessen Seiten Id, de und eI sich, wie die Kräfte D, E und der Widerstand der Unterlage, verhalten. Dies hängt mit Stevins Satze vom Gleichgewichte dreyer Kräfte zusammen; s. Gleichgewicht.

Weil der Perpendikel Ca=CA. sin. A, also das Moment der Kraft D=D.CA. sin A ist, und sich daher, wenn D und CA einerley bleiben, wie der Sinus von A, verhält, so folgt, daß eine Kraft am Hebel mehr vermöge, wenn sie senkrecht, als wenn sie schief angebracht ist. Beym senkrechten Zuge nemlich ist A ein rechter Winkel, daher sein Sinus dem Sinustotus gleich und größer, als in jedem Falle, wo A ein schiefer Winkel ist.

Daß alle diese Sätze auch vom Winkelhebel, oder gebrochnen Hebel, vom krummlinigten Hebel, und von jeder Verbindung gelten, in welcher sich drey Punkte für Ruhepunkt und zwo entgegengesetzte Kräfte denken lassen, erhellet daraus, weil in allen diesen Fällen die ganze Ebne, in welche sich diese Punkte bringen lassen, von jeder Kraft mit eben dem Momente und eben so stark um den Ruhepunkt gedrehet wird, als wenn diese Kraft an einer auf ihre Richtung senkrechten Linie durch den Ruhepunkt wirkte, woraus die Schlüße eben so, wie beym schiefen Zuge, folgen, s. Wmkelhebel. Das angeführte Gesetz des Gleichgewichts ist also allen mathematischen Hebeln gemein. Physischer Hebel.

Wird das Gewicht des Hebels selbst mit in Betrachtung gezogen, wie dies allerdings in der Ausübung geschehen muß, so heißt der Hebel ein physischer. Man kan ihn als ein neues Gewicht ansehen, das im Schwerpunkte des Hebels angebracht wäre, s. Schwerpunkt, dessen Moment besonders berechnet, und zu dem Momente der Seite, auf die es fällt, hinzugesetzt werden muß. Sind alsdann die Momente beyder Seiten gleich, so steht der physische Hebel im Gleichgewichte.

Wäre z. B. Taf. XI. Fig. 59. der Hebel ACB 10 Pfund schwer, und 6 Schuhe lang, bey C, einen Schuh weit von A, durch eine Unterlage gestützt, in A mit 300, und in B mit 56 Pfund beschwert, so würde man sich sein ganzes Gewicht von 10 Pfunden in seiner Mitte, oder im Schwerpunkte V beysammen gedenken, und ihn übrigens als einen mathematischen Hebel betrachten können. Dann wären die Momente linker Hand=300X1; rechter Hand=56X5 +10X2=300, also der Hebel im Gleichgewichte.

Sollte eben dieser Hebel, wie Taf.XI. Fig. 60. als einer der zweyten Art gebraucht, und bey A, einen Schuh weit von C mit 300 Pfund beschwert werden, so müste am andern Ende B eine Kraft von 55 Pfund aufwärts ziehen, um das Gleichgewicht zu bewirken. Denn so wären die herabwärts wirkenden Momente=300. 1+10. 3=330; das aufwärts wirkende = 55. 6 = 330, also beyde gleich groß. So läst sich aus den sechs Stücken: Größe beyder Kräfte, Entfernung derselben, Gewicht des Hebels, Abstand seines Schwerpunkts vom Ruhepunkte, ein jedes finden, wenn die fünf übrigen gegeben sind, wozu in den Lehrbüchern der Statik umständliche Anweisungen vorkommen.

Sind aber bey noch unbekanntem Ruhepunkte die Kräfte und ihre Stellen nebst dem Gewicht und Schwerpunkte des Hebels gegeben, so findet man daraus den Ort des Ruhepunkts, wenn man nach der beym Worte: Schwerpunkt mitgetheilten Regel den gemeinschaftlichen Schwerpunkt des Hebels und der beyden Kräfte sucht. Dieser Schwerpunkt ist alsdann der Ruhepunkt.

Der Hebel ist das einfachste, und eben darum auch eines der wirksamsten Rüstzeuge. Das Reiben beträgt bey ihm nur wenig, und die Kraft kan daher fast eben soviel ausrichten, als die Theorie angiebt, welches sich kaum von irgend einer andern Maschine sagen läst. Eine seiner nützlichsten Anwendungen ist die Wage, s. Wage. Die Arten, den einfachen Hebel als Rüstzeug zu Verstärkung der Kraft zu gebrauchen, sind unzählbar, und fallen bey einiger Aufmerksamkeit überall in die Augen, wo man Menschen arbeiten sieht. In seiner ganz einfachen Gestalt ist er unter dem Namen des Hebebaums bekannt.

Die gröste Unbequemlichkeit beym Gebrauche des einfachen Hebels ist, daß man die Last durch ihn nicht hoch heben kan, weil sein kürzerer Arm nur Kreisbogen von einem sehr kleinen Halbmesser beschreibt, und also die Last kaum um die Größe eines solchen Halbmessers erhebt. Dieser Unbequemlichkeit abzuhelfen, hat man Vorrichtungen erfunden, wo ein Hebel auf abwechfelnden Unterlagen ruhen kan, von denen die folgende immer höher liegt, als die vorhergehende, wobey der Hebel mit der daran befindlichen Last stufenweis von einer zur andern gebracht wird. Oder man versieht seinen kurzen Arm mit Bügeln, die in eine gezahnte Stange einfallen, und diese mehreremale nach einander, jedesmal um einen Zahn, höher heben. Diese Vorrichtungen begreist man zusammen unter dem Namen der Hebladen. Sie werden zum erstenmale bey einem französischen Schriftsseller (Recreations mathematiques, Rouen, 1634. Part. II. Probl. 21.) unter dem Namen: Leuier sans fin, und aus demselben beym Schwenter (Mathematische Erquickstunden, Nürnb. 1651. 4. Funfzehuter Theil 23 Ausg.) sehr undeutlich erwähnt, von Leupold aber (Theatr. machinarium Cap. V. Taf. 16. 17.) deutlich beschrieben und abgebildet. Besondere Hebladen, Bäume umzustürzen und Wurzelstöcke aus der Erde zu reissen, beschreiben Böse (Hebmaschine, Göttingen, 1771. 8.), Polhem (Abhdl. der schwed. Akad. der Wiss. XVIII. B. der Uebers. S.193.) und Silberschlag (Closter-Bergische Versuche, Berlin, 1768. 6 Vers. S.169.).

Ausserdem findet der Gebrauch des Hebels und die Anwendung seiner Gesetze im gemeinen Leben bey tausenderley Verfahren statt, ohne daß man immer darauf Achtung giebt, oder die Gesetze selbst kennet. Der Geisfuß der Mäurer, die Ruder, Messer, Scheeren, Zangen, Hammer, Bohrer, u. dgl. sind einfache oder zusammengesetzte Hebel, deren Wirkungen dem allgemeinen Gesetze dieses Rüstzeugs folgen. So besteht die Scheere aus zween Hebeln, die sich um einen gemeinschaftlichen Ruhepunkt drehen, und wo der Widerstand, den die Theile des zu zerschneidenden Körpers ihrer Trennung entgegengesetzen, die Stelle der Last vertritt. Sehr oft wird auch der Hebel so angebracht, daß er die Geschwindigkeit der Bewegungen vergrößern soll, in welchem Falle die Last weiter vom Ruhepunkte entfernt seyn muß, als die Kraft.

Auch die Muskeln des thierischen Körpers wirken bey Bewegung der Glieder nach den Gefetzen des Hebels. Die Natur hat hiebey mehrentheils diejenige Art des einarmichten Hebels gebraucht, bey welcher die zu bewegende Last weiter,als die Kraft entfernt ist, und welche einige Schriftsteller unter dem Namen des Wurfyebels besonders unterschieden haben, wobey noch überdieß die Richtung der Muskelfasern sehr schief an die als Hebel wirkenden Knochen angebracht ist. Hiebey muß nun die Kraft ungemein viel stärker, als die Last, seyn; dagegen wird aber auch durch die geringste Bewegung der Kraft, der Last eine sehr große Geschwindigkeit mitgetheilt. Wenn wir z. B. eine Last mit ausgestrecktem Vorderarme halten, so ist im Ellenbogen der Ruhepunkt, und der Vorderarm selbst bildet einen Hebel, gegen den die Last senkrecht wirkt, indeß die Muskelfasern fast mit dem Hebel parallel laufen, und ihn endlich nur unter einem sehr spitzigen Winkel schneiden. Daher ist hier die Entfernung der Kraft ungemein viel geringer, als die Entsernung der Last, und die Kraft der Muskeln muß weit größer seyn, als die Last, die man in dieser Stellung halten kan. Borellus (De motu animalium, Lugd. Bat. 1685. 4. P. I. cap. 14.) und Nieuwetyt (Gebrauch der Weltbetrachtung, aus dem holländ. von Segner Iena, 1747. 4. X Betr. S. 104.) haben hieraus Untersuchungen über die ungemeine Kraft der Muskeln angestellt, s. Muskeln. Die Natur scheint diese Einrichtung gewählt zu haben, um den Raum, durch den sich die Kraft bewegen muß, wenn sie der Last eine beträchtliche Geschwindigkeit geben soll, so klein, als möglich zu machen.

Kästners Anfangsgr. der angewandten Mathematik, der math. Anfangsgr. II Theil, 1ste Abtheil. Mechanische und Optische Wiss., Dritte Aufl. Göttingen, 1780. 8. Mechanik. §.25. u. f.

Erxleben Anfangsgründe der Naturl. durch Lichtenberg, Vierte Aufl. Göttingen, 1787. 8. §.74 — 83.